Masarykova univerzita v Brně. Analýza rozptylu. Vypracovala: Marika Dienová

Masarykova univerzita v Brnˇe Pˇr´ırodovˇedecká fakulta

´ RSK ˇ ´ PRACE ´ BAKALA A Analýza rozptylu

Vypracovala: Marika Dienová Vedouc´ı bakaláˇrské práce: Mgr. Jan Koláˇcek, Ph.D.

Brno 2006/2007

Prohl´ aˇ sen´ı Prohlaˇsuji, ˇze jsem svou bakaláˇrskou práci napsala samostatnˇe pod odborn´ ym veden´ım Mgr. Jana Koláˇcka, Ph.D. a v´ yhradnˇe s pouˇzit´ım citovan´ ych pramen˚ u. V Brnˇe dne 23.kvˇetna 2007 Marika Dienová

2

Podˇ ekov´ an´ı Dˇekuji Mgr. Janu Koláˇckovi, Ph.D. za odborné veden´ı bakaláˇrské práce, cenné rady a pˇripom´ınky, poskytnuté materiály a pˇredevˇs´ım ˇcas, kter´ y mi vˇenoval.

3

Obsah ´ Uvod

6

1 Jednofaktorov´ a ANOVA 1.1 Oznaˇ cen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Testov´ an´ı hypot´ ezy o shodˇ e stˇ redn´ıch 1.3 Mnohon´ asobn´ e pozorov´ an´ı . . . . . . . 1.3.1 Bonferroniho metoda . . . . . . . . 1.3.2 Scheffého metoda . . . . . . . . . . 1.3.3 Tukeyova metoda . . . . . . . . . . 1.4 Pˇ r´ıklad 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . hodnot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Dvoufaktorov´ a ANOVA 2.1 Oznaˇ cen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Dvojit´ e tˇ r´ıdˇ en´ı bez interakc´ı . . . . . . . 2.2.1 Testován´ı hypotézy o shodˇe stˇredn´ıch 2.2.2 Mnohonásobné pozorován´ı . . . . . . 2.3 Dvojit´ e tˇ r´ıdˇ en´ı s interakcemi . . . . . . 2.3.1 Testován´ı hypotézy o shodˇe stˇredn´ıch 2.3.2 Mnohonásobné pozorován´ı . . . . . . 2.4 Pˇ r´ıklad 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 V´ ychoz´ı situace 3.1 Pˇ redpoklady pouˇ zit´ı anal´ yzy rozptylu 3.2 Test homogenity rozptyl˚ u . . . . . . . 3.2.1 Bartlet˚ uv test . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Leven˚ uv test . . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Cochran˚ uv test . . . . . . . . . . . 3.3 Pˇ r´ıklad 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . . . hodnot . . . . . . . . . . hodnot . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

7 7 8 12 12 13 13 14

. . . . . . . .

18 18 19 19 22 22 22 25 26

. . . . . .

31 31 31 31 32 32 33

Z´ avˇ er

36

Literatura

37

5

´ Uvod Tato práce se zab´ yvá problémem, zdali je moˇzné v´ıce nezávisl´ ych v´ ybˇerov´ ych soubor˚ u, které se ˇr´ıd´ı normáln´ım rozloˇzen´ım se stejn´ ym rozptylem, povaˇzovat za realizaci jedné náhodné veliˇciny. Zkoumám tedy vliv jednoho nebo dvou faktor˚ u na experiment pˇri nˇekolikerém opakován´ı pokusu s pevnˇe nastaven´ ymi u ´rovnˇemi faktoru. Je tˇreba na hladinˇe v´ yznamnosti α testovat nulovou hypotézu, která tvrd´ı, ˇze vˇsechny stˇredn´ı hodnoty jsou stejné, tedy H0 : µ1 = . . . = µI . Na prvn´ı pohled se zdá, ˇze staˇc´ı vytvoˇrit I(I − 1)/2 dvojic a na kaˇzdou z nich aplikovat dvouv´ ybˇerov´ y t-test. Tento postup vˇsak nen´ı vhodn´ y, protoˇze nesplˇ nuje podm´ınku, ˇze pravdˇepodobnost chyby prvn´ıho druhu je α. Z tohoto d˚ uvodu se pro test hypotézy H0 pouˇz´ıvaj´ı metody anal´ yzy rozptylu (ANOVY), které udrˇz´ı pravdˇepodobnost chyby prvn´ıho druhu na hladinˇe α. Podstatou samotné ANOVY je rozloˇzit variabilitu souboru dat na pˇr´ıspˇevky, které pocházej´ı od zmˇeny u ´rovnˇe faktoru a které jsou zp˚ usobené náhodn´ ymi chybami. Budu tedy testovat hypotézu H0 a pokud dojde k zam´ıtnut´ı, budu hledat v´ ybˇery které se od sebe liˇs´ı a ˇreˇsit tedy strukturu nehomogenity stˇredn´ıch hodnot. K tomuto u ´ˇcelu slouˇz´ı metody mnohonásobného srovnáván´ı. V prvn´ı a druhé kapitole jsou uvedeny teoretické konstrukce ANOVY a metod mnohonásobného srovnáván´ı. V posledn´ı kapitole uvád´ım pˇredpoklady ANOVY a metody pouˇz´ıvané k jejich testován´ı. Tyto testy jsou odvozeny pro jednofaktorovou ANOVU a pouˇz´ıvá se pˇri nich oznaˇcen´ı z pˇredchoz´ıch kapitol, proto je uvád´ım aˇz na závˇer. Na konci vˇsech kapitol je problematika demonstrována na konkrétn´ıch pˇr´ıkladech, které pracuj´ı s reáln´ ymi daty, z´ıskané z dávkován´ı odpad˚ u a tradiˇcn´ıch paliv pˇri procesu pálen´ı cementu. K testován´ı je pouˇzit software STATISTIKA.

6

Kapitola 1 Jednofaktorov´ a ANOVA 1.1

Oznaˇ cen´ı

Pˇri jednofaktorové anal´ yze rozptylu zkoumáme vliv pouze jediného faktoru A na sledovan´ y v´ ysledek. Definice 1.1.1. Necht’ máme nezávislé výbˇery z rozloˇzen´ı N (µ1 , σ 2 )...N (µI , σ 2 ). Náhodný výbˇer z rozloˇzen´ı N (µi , σ 2 ) oznaˇc´ıme Xi1 ...Xini Jeho rozsah je tedy ni • N=

I P

ni je celkový rozsah vˇsech výbˇer˚ u

i=1

• Xi. =

ni P

Xij je souˇcet hodnot v i-té u ´rovni

j=1

• X.. =

I P

Xi. =

• M.. =

Xij je souˇcet hodnot vˇsech výbˇer˚ u

i=1 j=1

i=1

• Mi. =

ni I P P

1 X ni i.

=

1 X N ..

=

1 ni

1 N

ni P

Xij je výbˇerový pr˚ umˇer v i-té u ´rovni

j=1 ni I P P

Xij je celkový pr˚ umˇer vˇsech výbˇer˚ u

i=1 j=1

Situaci lze zachytit nejlépe v pˇrehledné tabulce:

7

u ´roveˇ n faktoru

rozsah vu ´rovni

zjiˇstˇené hodnoty

suma v u ´rovni

pr˚ umˇer vu ´rovni

1

n1

X11 , X12 , . . . , X1n1

X1.

M1.

2

n2

X21 , X22 , . . . , X2n2

X2.

M2.

...

...

...

...

...

I

nI

XI1 , XI2 , . . . , XInI

XI.

MI.

celkov´ y souˇcet I P X.. = Xi.

celkov´ y pr˚ umˇer

celkov´ y rozsah I P N= ni i=1

i=1

M.. =

1 X N ..

Definice 1.1.2. Maj´ı-li vˇsechny výbˇery stejný rozsah, tedy n1 = . . . = nI ˇr´ıkáme, ˇze tˇr´ıdˇen´ı je vyv´ aˇ zen´ e. Pokud k tomu dojde, pak oznaˇc´ıme rozsah výbˇeru symbolem P .

1.2

Testov´ an´ı hypot´ ezy o shodˇ e stˇ redn´ıch hodnot

Na hladinˇe v´ yznamnosti α testujeme nulovou hypotézu, která tvrd´ı, ˇze vˇsechny stˇredn´ı hodnoty jsou stejné oproti alternativn´ı, která tvrd´ı, ˇze alespoˇ n jedna dvojice stˇredn´ıch hodnot se od sebe signifikantnˇe liˇs´ı. H0 : µ1 = . . . = µI

H1 : non H0

Kaˇzdé pozorován´ı lze popsat následuj´ıc´ım modelem Xij = µ + αi + εij

(1.2.1)

kde µ je spoleˇcná ˇcást stˇredn´ı hodnoty promˇenné veliˇciny, αi je vliv faktoru A na u ´rovni i a εij je realizace náhodné chyby, coˇz je realizace náhodné veliˇciny z rozloˇzen´ı N (0, σ 2 ). Kdyby nezáleˇzelo na faktoru A, platila by hypotéza α1 = . . . = αI = 0 a dostali bychom submodel: Xij = µ + εij (1.2.2) Stˇredn´ı hodnotu µ odhadneme hodnotou celkového pr˚ umˇeru vˇsech v´ ybˇer˚ u M.. a stˇredn´ı hodnotu pˇri dané u ´rovni µi = µ + αi odhadneme v´ ybˇerov´ ym pr˚ umˇerem 8

v i -té u ´rovni Mi. . Tedy αi = Mi. − M.. . Realizaci náhodné chyby lze vyjádˇrit jako odchylku namˇeˇrené hodnoty od odhadu stˇredn´ı hodnoty pro danou u ´roveˇ n faktoru, tedy εij = Xij − Mi. Po dosazen´ı do modelu (1.2.1) dostáváme Xij = M.. + (Mi. − M.. ) + (Xij − Mi. ) Pˇrevedeme-li celkov´ y pr˚ umˇer na levou stranu, obˇe strany rovnice umocn´ıme na druhou a seˇcteme pˇres vˇsechna i a j, dostaneme následuj´ıc´ı vztah ni I P P

(Xij − M.. )2 =

i=1 j=1 ni I P P

(Mi. − M.. )2 +

i=1 j=1

ni I P P

(Xij − Mi. )2 + 2

i=1 j=1

ni I P P

(Xij − Mi. )(Mi. − M.. )

i=1 j=1

Lemma 1.2.1. Posledn´ı ˇclen je roven nule: ni I X X 2 (Xij − Mi. )(Mi. − M.. ) = 0 i=1 j=1

D˚ ukaz. 2

ni I X X

(Xij − Mi. )(Mi. − M.. ) = 2

ni I X X i=1

= 2(X..

(Xij Mi. − Xij M.. − Mi.2 + Mi. M.. )

i=1 j=1

i=1 j=1

= 2(

ni I X X

Xij Xij − ni j=1

ni I X X i=1

I

I

Xij X 2 X + Mi. − Mi. M.. ) Xij N i=1 i=1 j=1

X..2

X.. − − M..2 + M..2 ) = 0 N N

Definice 1.2.1. Zaved’me následuj´ıc´ı souˇcty ˇctverc˚ u: • Celkov´ y souˇ cet ˇ ctverc˚ u ST , který charakterizuje variabilitu jednotlivých pozorován´ı kolem celkového pr˚ umˇeru ST =

ni I P P

(Xij − M.. )2

i=1 j=1

• Skupinov´ y souˇ cet ˇ ctverc˚ u SA , který charakterizuje variabilitu mezi jednotlivými náhodnými výbˇery 9

SA =

I P

ni (Mi. − M.. )2

i=1

• Rezidu´ aln´ı souˇ cet ˇ ctverc˚ u SE , který charakterizuje variabilitu uvnitˇr jednotlivých náhodných výbˇer˚ u SE =

ni I P P

(Xij − Mi. )2

i=1 j=1

Lemma 1.2.2. Zjednoduˇsenˇe lze tedy psát: ST = SA + SE D˚ ukaz. Podrobné odvozen´ı vzorc˚ u a d˚ ukaz vztah˚ u pro souˇcty ˇctverc˚ u lze nalézt v knize Andˇel[2]. Z tohoto lemmatu plyne, ˇze celková variabilita hodnot se rozdˇelila na pod´ıl zp˚ usoben´ y faktorem A a pod´ıl zp˚ usoben´ y náhodn´ ymi chybami. Veliˇcina ST má χ2 rozloˇzen´ı s fT = (N − 1) stupni volnosti, stejnˇe jako veliˇcina SA má χ2 rozloˇzen´ı s fA = (I − 1) stupni volnosti a veliˇcina SE má také χ2 rozloˇzen´ı s fE = (N − R) stupni volnosti, viz [1]. Je patrné, ˇze: fT = fA + fE Lemma 1.2.3. Pro praktické výpoˇcty se doporuˇcuje vyˇc´ıslit celkový souˇcet ˇctverc˚ u a skupinový souˇcet ˇctverc˚ u jako ST =

ni I P P

Xij2 − N M..2

SA =

I P

ni Mi.2 − N M..2

i=1

i=1 j=1

Reziduáln´ı souˇcet ˇctverc˚ u se dopoˇc´ıtá z rozd´ılu ST − SA .

10

D˚ ukaz. SA = =

=

I X i=1 I X i=1 I X

2

ni (Mi. − M.. ) =

=

ST =

ni Mi.2 − 2 ni Mi.2 − 2

I X

ni

−2

Xij

i=1 j=1

Xij + N

ni Mi.2 − 2N M..2 + N M..2 =

ni Mi. M.. +

I X

ni

ni M..2

i=1

X..2 N2

i=1 ni I X X

ni

i=1 j=1

I X

I X

Xij2 N2

ni Mi.2 − N M..2

i=1

i=1 ni I X X

2

(Xij − M.. ) =

ni I X X

I X i=1

X.. 1 Xi. + ni N

i=1 ni I X X

i=1 j=1

=

ni Mi.2

i=1

i=1 I X

I X

ni I X X

Xij2

−2

i=1 j=1

Xij2 − 2N M..2 + M..2 =

i=1 j=1

ni I X X i=1 j=1

ni I X X

Xij

Xij + M..2 N

Xij2 − N M..2

i=1 j=1

Proti testovac´ı hypotéze svˇedˇc´ı pˇr´ıpady, ve kter´ ych se statistiky v´ yraznˇe liˇs´ı od M.. . Pˇri vlastn´ım proveden´ı testujeme, zdali se liˇs´ı rozptyl zp˚ usoben´ y faktorem od rozptylu zp˚ usobeného náhodn´ ymi chybami (odtud vypl´ yvá i název metody, anal´ yza rozptylu). Nulová a alternativn´ı hypotéza se pak formuluj´ı následovnˇe H0 : σA2 = σ 2

H1 : σA2 6= σ 2

(1.2.3)

Pod´ıl, kter´ y je testovac´ım kritériem, má Fisher-Snedecorovo rozloˇzen´ı s (N − 1) a (N − I) stupni volnosti. FA =

SA fE SA (N − I) = SE (I − 1) SE fA

(1.2.4)

Pokud pˇrekroˇc´ı veliˇcina FA kritickou hodnotu F1−α (I −1, N −I) zam´ıtneme H0 na hladinˇe α. Definice 1.2.2. Hodnota

SE N −I

se nazývá rezidu´ aln´ı rozptyl.

11

ˇ ım vˇetˇs´ı je hodnota SA , t´ım máme vˇetˇs´ı d˚ Pozn´ amka 1.2.1. C´ uvod si myslet, fA ˇ ım vˇetˇs´ı bude ˇze mezi jednotlivými stˇredn´ımi hodnotami existuje skuteˇcný rozd´ıl. C´ SE hodnota fE , t´ım v´ıce máme d˚ uvod se domn´ıvat, ˇze rozd´ıly mezi jednotlivými výbˇery jsou zp˚ usobeny pouze náhodnými vlivy. Obecnˇe lze ˇr´ıci, ˇze ˇc´ım vˇetˇs´ı je rozd´ıl mezi SA SE a , t´ım vˇetˇs´ı je pravdˇepodobnost zam´ıtnut´ı H0 . fA fE V´ ypoˇcty se shrnuj´ı v tabulce anal´ yzy rozptylu Zdroj variability

stupeˇ n volnosti

pod´ıl

skupiny reziduáln´ı

Souˇcet ˇctverc˚ u SA SE

fA = I − 1 fE = N − I

SA fA SE fE

Celkov´ y

ST

fT = N − 1

−

1.3

Testovac´ı statistika FA = SSAE ffEA − −

Mnohon´ asobn´ e pozorov´ an´ı

Dojdeme-li anal´ yzou rozptylu k zam´ıtnut´ı nulové hypotézy, m˚ uˇzeme si poloˇzit otázku, které u ´rovnˇe faktoru se od sebe statisticky v´ yznamnˇe liˇs´ı. K tˇemto u ´ˇcel˚ um slouˇz´ı metody mnohonásobného srovnáván´ı. V této kapitole se omez´ıme pouze na Bonferroniho, Scheffého a Tukeyovu metodu. Nˇekdy se pouˇz´ıvaj´ı i jiné metody.

1.3.1

Bonferroniho metoda

Tato metoda porovnává vˇsechny moˇzné dvojice pr˚ umˇer˚ u, porovnává tedy I(I − 1)/2 dvojic. Dvˇe stˇredn´ı hodnoty µi. , µj. se pak liˇs´ı na hladinˇe α, kdyˇz plat´ı: s 1 SE 1 + (1.3.1) |Mi. − Mj. | ≥ t mα (N − I) N − I ni nj kde t mα (N − I) je kvantil Studentova rozdˇelen´ı a m pˇredstavuje poˇcet vˇsech moˇzn´ ych pozorován´ı, tedy m = I(I − 1)/2. Pozn´ amka 1.3.1. Pokud je nˇekterý výbˇer zvolen jako kontroln´ı, pak v Bonferroniho metodˇe vol´ıme m = (I −1) a zaj´ımáme se pouze o dvojice pr˚ umˇer i-té skupiny a referenˇcn´ı pr˚ umˇer.

12

1.3.2

Scheff´ eho metoda

Tato metoda je v praxi preferovaná. Velkou v´ yhodou Scheffého metody je jej´ı obecnost, avˇsak má o nˇeco menˇs´ı citlivost neˇz nˇekteré jiné metody, protoˇze zpravidla nevyuˇz´ıvá celou pravdˇepodobnost chyby prvn´ıho druhu α. Rovnost stˇredn´ıch hodnot µi. , µj. zam´ıtneme na hladinˇe α, kdyˇz plat´ı: s 1 1 SE + (I − 1)F1−α (I − 1, N − I) (1.3.2) |Mi. − Mj. | ≥ ni nj N − I kde F1−α (I − 1, N − I) je kvantil Fisher-Snedecorova rozloˇzen´ı.

1.3.3

Tukeyova metoda

Tukeyova metoda se pouˇz´ıvá pro pˇr´ıpad vyváˇzen´ ych tˇr´ıdˇen´ı, existuje vˇsak i jej´ı modifikace pro pˇr´ıpad nevyváˇzeného tˇr´ıdˇen´ı, která se ˇcasto oznaˇcuje jako Tukey HSD. Tato metoda nen´ı sice tak obecná jako Scheffého metoda, ale je o nˇeco citlivˇejˇs´ı, protoˇze pravdˇepodobnost chyby prvn´ıho druhu je rovna α. Rovnost stˇredn´ıch hodnot µi. , µj. zam´ıtneme na hladinˇe α, kdyˇz plat´ı následuj´ıc´ı nerovnice: 1.

s |Mi. − Mj. | ≥

SE q1−α (I, P − I) P (P − I)

(1.3.3)

pro pˇr´ıpad vyváˇzeného tˇr´ıdˇen´ı P = N 2.

s |Mi. − Mj. | >

SE 2(N − I)

1 1 + q1−α (I, N − I) ni nj

(1.3.4)

modifikace Tukeyova testu pro pˇr´ıpad nevyváˇzeného tˇr´ıdˇen´ı kde q1−α (I, N − I) je kvantil studentizovaného rozpˇet´ı. Pozn´ amka 1.3.2. Tukeyovu metodu je výhodnˇejˇs´ı pouˇz´ıt, kdyˇz plat´ı q1−α (I, N − I) < 2(I − 1)F1−α (I − 1, N − I). Protoˇze je tato nerovnost nezávislá na Xij , m˚ uˇzeme si mezi jednotlivými metodami vyb´ırat.

13

1.4

Pˇ r´ıklad 1

Máme namˇeˇrené v´ yhˇrevnosti (v MJ/kg) ˇctyˇr druh˚ u odpad˚ u, které se dodaj´ı na spálen´ı do cementárny: Oleje (eto), uheln´ y prach (Kormul), drcen´ y odpad (TTS) a masokostn´ı mouˇcka (MKM). Hodnoty jsou mˇeˇrené laboratornˇe, vˇzdy na zaˇcátku mˇes´ıce. Tyto hodnoty jeˇstˇe pro názornost budu porovnávat s namˇeˇren´ ymi hodnotami v´ yhˇrevnosti uhl´ı. Na hladinˇe v´ yznamnosti α = 0, 05 testujeme hypotézu, ˇze rozd´ıly v namˇeˇren´ ych v´ yhˇrevnostech paliv jsou zp˚ usobeny pouze náhodn´ ymi vlivy. V´ ysledky máme uvedené v tabulce: odpady uhl´ı eto kormul TTS MKM

30, 61 25, 18 26, 14 19, 79 18, 35

30, 05 24, 22 24, 86 18, 9 18, 11

v´ yhˇrevnosti 30, 84 30, 51 30, 96 31, 58 26, 13 27, 36 27, 85 25, 87 26, 13 27, 91 25, 71 27, 00 19, 77 19, 12 17, 48 18, 5 16, 6 18 18, 7 19, 1 18, 64 17, 95

ˇ sen´ı Reˇ Data povaˇzujeme za realizace pˇeti náhodn´ ych v´ ybˇer˚ u z normáln´ıch rozloˇzen´ı se stejn´ ym rozptylem. D˚ ukaz bude proveden v posledn´ı kapitole.

Intervaly spolehlivosti Vypoˇcteme nejprve intervaly spolehlivosti pro stˇredn´ı hodnotu v kaˇzdém z pˇeti paliv (I = 5).

14

odpady uhl´ı eto kormul TTS MKM

rozsah NI 6 3 10 8 6

souˇcet XI. 184, 55 75, 53 264, 82 148, 16 110, 85

pr˚ umˇer MI. 30, 758 25, 177 26, 482 18, 520 18, 475

Interval spolehlivosti (30, 222; 31, 294) (22, 804; 27, 549) (25, 764; 27, 199) (17, 587; 19, 453) (18, 032; 18, 918)

celkov´ y

33

783, 90

23, 755

(22, 001; 25, 509)

Intervaly spolehlivosti jeˇstˇe zobraz´ıme graficky:

Vid´ıme, ˇze nˇekteré intervaly spolehlivosti se v˚ ubec nepˇrekr´ yvaj´ı, jejich stˇredn´ı hodnoty jsou tedy navzájem r˚ uzné a nulová hypotéza H0 : µ1 = . . . = µI bude následuj´ıc´ım testem zam´ıtnuta.

Anal´ yza rozptylu Nyn´ı provedeme anal´ yzu rozptylu:

15

Zdroj variability skupiny reziduáln´ı Celkov´ y

Souˇcet ˇctverc˚ u SA = 761, 152 SE = 21, 799 ST = 782, 951

stupeˇ n volnosti fA = 4 fE = 28 fT = 32

pod´ıl 190, 288 0, 779 −

Testovac´ı statistika FA = 244, 414 − −

Kritickou hodnotu F-rozdˇelen´ı zjist´ıme z tabulek F1−0,05 (4, 28) = 2, 71, coˇz je menˇs´ı neˇz FA = 244, 414, a proto zam´ıtáme H0 . Mezi jednotliv´ ymi palivy jsou v´ yznamné rozd´ıly.

Mnohon´ asobn´ a pozorov´ an´ı Nyn´ı by nás zaj´ımalo, které dvojice paliv se od sebe liˇs´ı. V tomto pˇr´ıkladˇe provedeme Scheffého test (podle vzorce 1.3.2) a Tukey˚ uv test (podle vzorce 1.3.4). Z tˇechto dvou metod je citlivˇejˇs´ı Tukey˚ uv test, protoˇze q0,95 (5, 28) < 8·F0,95 (4, 28). Tabulka metod mnohonásobného pozorován´ı: srovnávaná paliva rozd´ıl |Mi. − Mj. | uhl´ı a eto uhl´ı a kormul uhl´ı a TTS uhl´ı a MKM eto a kormul eto a TTS eto a MKM kormul a TTS kormul a MKM TTS a MKM

5, 581 4, 276 12, 238 12, 283 1, 305 6, 657 6, 702 7, 962 8, 006 0, 045

pravá strana Scheffého testu 2, 054 1, 500 1, 569 1, 677 1, 912 1, 967 2, 054 1, 378 1, 500 1, 569

pravá strana Tukeyova testu 1, 24 1, 24 1, 30 1, 39 1, 59 1, 63 1, 70 1, 14 1, 24 1, 30

Obˇe metody se shoduj´ı a vid´ıme, ˇze se na hladinˇe v´ yznamnosti 0, 05 neliˇs´ı pouze eto s kormulem a TTS s MKM.

16

Z´ avˇ er Z v´ ysledk˚ u, ke kter´ ym jsme dospˇeli vypl´ yvá, ˇze je nejlepˇs´ı dávkovat pouze uhl´ı. Uhl´ı je vˇsak také velice drahé, a tak cementárna dávkuje kolem 30% alternativn´ıch paliv. Z alternativn´ıch paliv má nejlepˇs´ı v´ yhˇrevnost olej a kormul, bohuˇzel je z tˇechto odpad˚ u také nejniˇzˇs´ı zisk. Z ekonomického hlediska je pro cementárnu v´ yhodné dávkovat drcen´ y odpad a masokostn´ı mouˇcku. Tyto dva odpady vˇsak zanáˇs´ı pec, kterou je z tohoto d˚ uvodu potˇreba na nˇejak´ y ˇcas vˇzdy odstavit a vyˇcistit. Kdyˇz ovˇsem pec nepál´ı cement, docház´ı k ohromn´ ym finanˇcn´ım ztrátám. Stanoven´ı ideáln´ıho pomˇeru pro dávkován´ı je tak znaˇcnˇe sloˇzité a urˇcuje se pˇredevˇs´ım podle situace ve, které je pec.

17

Kapitola 2 Dvoufaktorov´ a ANOVA 2.1

Oznaˇ cen´ı

Pˇri dvoufaktorové anal´ yze rozptylu zkoumáme vliv dvou faktor˚ u (A na I u ´rovn´ıch a B na J u ´rovn´ıch) na sledovan´ y v´ ysledek. V této kapitole se omez´ım pouze na vyváˇzená tˇr´ıdˇen´ı, tedy na pˇr´ıpady, kdy je poˇcet pozorován´ı nij pro vˇsechny dvojice (i, j) stejn´ y a je roven P ≥ 1. Pˇr´ıpad nestejného poˇctu pozorován´ı lze vyˇreˇsit bud’ vypuˇstˇen´ım ”pˇresahuj´ıc´ıch hodnot”, nebo tzv. neváˇzenou anal´ yzou rozptylu, kterou se zde nebudeme zab´ yvat. Definice 2.1.1. Necht’ máme nij nezávislých pozorován´ı z normáln´ıho rozloˇzen´ı s konstantn´ım rozptylem. Máme tedy nij pokus˚ u, jejichˇz výsledky oznaˇc´ıme Xij1 , . . . , Xijp • N = IJP je celkový rozsah veliˇcin Xijp • Xij. =

P P

Xijp je souˇcet hodnot v i-té a j-té u ´rovni

p=1

• Xi.. =

J P P P

Xijp je souˇcet hodnot v i-té u ´rovni

j=1 p=1

• X... =

I P J P P P

Xijp je celkový souˇcet hodnot

i=1 j=1 p=1

• Mij. =

Xij. P

je výbˇerový pr˚ umˇer v i-té a j-té u ´rovni

• Mi.. =

Xi.. JP

je výbˇerový pr˚ umˇer v i-té u ´rovni 18

• M... =

X... N

je celkový výbˇerový pr˚ umˇer

Situace zachycená ve faktorové tabulce pro P = 2, n = 12 faktory A a B

B1 x111 x112 X11. M11.

B2 x121 x122 X12. M12.

B3 x131 x132 X13. M13.

sloupcové pr˚ umˇery X1.. M1..

x221 x222 X22. M22.

x231 x232 X23. M23.

X2.. M2..

pr˚ umˇery

x211 x212 X21. M21.

ˇra´dkové pr˚ umˇery

X.1. M.1.

X.2. M.2.

X.3. M.3.

X... M...

A1 pr˚ umˇery A2

2.2 2.2.1

Dvojit´ e tˇ r´ıdˇ en´ı bez interakc´ı Testov´ an´ı hypot´ ezy o shodˇ e stˇ redn´ıch hodnot

Dvourozmˇerná ANOVA bez interakc´ı bude provedena ve dvou kroc´ıch. V prvn´ım kroku testujeme vliv faktoru A, kterému odpov´ıdaj´ı ˇrádky faktorové tabulky. V druhém kroku testujeme vliv faktoru B, kterému odpov´ıdaj´ı sloupce faktorové tabulky. Náhodné veliˇciny Xijp se ˇr´ıd´ı následuj´ıc´ım modelem Xijp = µ + αi + βj + εijp

(2.2.1)

pro i = 1, . . . , I; j = 1, . . . , J; p = 1, . . . , P , kde µ je spoleˇcná ˇca´st stˇredn´ı hodnoty promˇenné veliˇciny, αi je vliv faktoru A na u ´rovni i, tzv. ˇrádkové efekty, βj je vliv faktoru B na u ´rovni j, tzv. sloupcové efekty, a εijp je realizace náhodné chyby, coˇz jsou nezávislé náhodné veliˇciny z rozloˇzen´ı N (0, σ 2 ). Kdyby nezáleˇzelo na faktoru A, platila by hypotéza α1 = . . . = αI = 0 a dostali bychom submodel: Xijp = µ + βj + εijp (2.2.2) 19

Ten odpov´ıdá jednoduchému tˇr´ıdˇen´ı, kde je poˇcet pozorován´ı v kaˇzdé u ´rovni roven IP . Dále pokraˇcujeme metodou jednofaktorové ANOVY. Jestliˇze v submodelu 2.2.2 poloˇz´ıme β1 = . . . = βJ = 0, dostaneme dalˇs´ı submodel: Xijp = µ + εijp (2.2.3) Definice 2.2.1. Zaved’me následuj´ıc´ı souˇcty ˇctverc˚ u: • Celkov´ y souˇ cet ˇ ctverc˚ u ST , který charakterizuje variabilitu jednotlivých pozorován´ı kolem celkového pr˚ umˇeru ST =

I P J P P P

x2ijp − N M...2

i=1 j=1 p=1

ˇ adkov´ • R´ y souˇ cet ˇ ctverc˚ u SA , který charakterizuje variabilitu mezi jednotlivými ˇrádky tabulky SA = JP

I P

2 − N M...2 Mi..

i=1

• Sloupcov´ y souˇ cet ˇ ctverc˚ u SB , který charakterizuje variabilitu mezi jednotlivými sloupci tabulky SB = IP

J P

2 − N M...2 M.j.

j=1

• Rezidu´ aln´ı souˇ cet ˇ ctverc˚ u SE , který charakterizuje variabilitu uvnitˇr jednotlivých náhodných výbˇer˚ u SE =

I P J P P P

x2ijp − P

i=1 j=1 p=1

I P J P

2 Mij.

i=1 j=1

Lemma 2.2.1. Zjednoduˇsenˇe lze tedy psát: SE = ST − SA − SB D˚ ukaz. Podrobné odvozen´ı vzorc˚ u a d˚ ukaz vztah˚ u pro souˇcty ˇctverc˚ u lze nalézt v knize Andˇel[2].

20

Celková variabilita se nám rozdˇelila na pod´ıl zp˚ usoben´ y faktorem A, pod´ıl zp˚ usoben´ y faktorem B a pod´ıl zp˚ usoben´ y náhodn´ ymi chybami. Opˇet plat´ı, ˇze jednotlivé souˇcty ˇctverc˚ u maj´ı χ2 rozloˇzen´ı a to ST má s fT = (N − 1) stupni volnosti, SA s fA = (I − 1) stupni volnosti, SB s fB = (J − 1) stupni volnosti a SE s fE = (N − I − J + 1) stupni volnosti,viz [1]. Plat´ı: fT = fA + fB + fE Platnost modelu 2.2.2, a tedy testován´ı hypotézy H0 : σA2 = σ 2 oproti H1 : σA2 6= σ 2 , ovˇeˇrujeme pomoc´ı veliˇciny: FA =

SA fE SA (N − I − J + 1) = SE (I − 1) SE fA

(2.2.4)

která má za platnosti 2.2.2 Fisher-Snedecorovo rozloˇzen´ı s (I −1) a (N −I −J +1) stupni volnosti. Rozd´ıl mezi 2.2.2 a 2.2.3, a tedy testován´ı hypotézy H0 : σB2 = σ 2 oproti H1 : σB2 6= σ 2 , ovˇeˇrujeme pomoc´ı veliˇciny: FB =

SB (N − I − J + 1) S B fE = SE (J − 1) S E fB

(2.2.5)

která má za platnosti 2.2.3 Fisher-Snedecorovo rozloˇzen´ı s (J −1) a (N −I −J +1) stupni volnosti. Pozn´ amka 2.2.1. Submodel 2.2.2 odpov´ıdá situaci, kdy testujeme rovnost ˇrádkových efekt˚ u a zároveˇ n pˇrihl´ıˇz´ıme k eventuáln´ım sloupcovým efekt˚ um. Naproti tomu, pˇri testován´ı rovnosti sloupcových efekt˚ u pomoc´ı FB , se nebere v u ´vahu pˇr´ıpadný vliv ˇrádk˚ u. Nyn´ı bychom tedy mohli provádˇet stejné u ´vahy, ale v opaˇcném poˇrad´ı. Nejprve bychom testovali variabilitu mezi sloupci a pak teprve variabilitu mezi ˇrádky. To vˇsak nen´ı nutné, protoˇze bychom dostali shodné výsledky, coˇz je d˚ usledkem pˇredpokladu o vyváˇzeném tˇr´ıdˇen´ı. V´ ypoˇcty shrnuté v tabulce anal´ yzy rozptylu: Zdroj variability

Souˇcet ˇctverc˚ u

stupeˇ n volnosti

pod´ıl

Testovac´ı statistika

ˇra´dky

SA

fA = I − 1

FA =

sloupce

SB

fB = J − 1

reziduáln´ı

SE

fE = N − I − J + 1

SA fA SB fB SE fE

Celkov´ y

ST

fT = N − 1

−

−

21

FB = −

S A fE S E fA SB fE SE fB

2.2.2


Jestliˇze zjist´ıme v´ yznamn´ y rozd´ıl mezi ˇrádky, obvykle nás zaj´ımá, které dvojice ˇra´dk˚ u se od sebe v´ yznamnˇe liˇs´ı, stejnˇe tak i pro sloupce. Zde uvedeme obdobné vzorce jako v prvn´ı kapitole, omez´ıme se vˇsak pouze na Scheffého metodu a Tukeyovu metodu. Z tˇechto dvou metod si pak vˇzdy vybereme tu, která je citlivˇejˇs´ı. Na hladinˇe v´ yznamnosti α tedy testujeme hypotézu H0 : αi = αt (respektive H0 : βj = βt ).

Scheff´ eho metoda 1. Rovnost αi = αt zam´ıtneme, jestliˇze plat´ı s 2(I − 1)SE F1−α (I − 1, N − I − J + 1) (2.2.6) |Mi.. − Mt.. | > JP (N − I − J + 1) 2. Rovnost βj = βt zam´ıtneme, jestliˇze plat´ı s 2(J − 1)SE F1−α (J − 1, N − I − J + 1) (2.2.7) |M.j. − M.t. | > IP (N − I − J + 1)

Tukeyova metoda 1. Rovnost αi = αt zam´ıtneme, jestliˇze plat´ı s SE |Mi.. − Mt.. | > q1−α (I, N − I − J + 1) JP (N − I − J + 1) 2. Rovnost βj = βt zam´ıtneme, jestliˇze plat´ı s SE |M.j. − M.t. | > q1−α (J, N − I − J + 1) IP (N − I − J + 1)

2.3 2.3.1

(2.2.8)

(2.2.9)

Dvojit´ e tˇ r´ıdˇ en´ı s interakcemi Testov´ an´ı hypot´ ezy o shodˇ e stˇ redn´ıch hodnot

ˇ se ˇcasto stává, ˇze faktory A a B se vzájemnˇe ovlivˇ V dvourozmˇerné ANOVE nuj´ı. Z tohoto d˚ uvodu se provád´ı ANOVA ve tˇrech kroc´ıch. V prvn´ım kroku testujeme 22

vliv faktoru A, kterému odpov´ıdaj´ı ˇra´dky faktorové tabulky, v druhém kroku testujeme vliv faktoru B, kterému odpov´ıdaj´ı sloupce faktorové tabulky a ve tˇret´ım kroku ˇreˇs´ıme interakce obou promˇenn´ ych. V následuj´ıc´ı kapitole se pˇredpokládá, ˇze P ≥ 2. Náhodné veliˇciny Xijp se ˇr´ıd´ı následuj´ıc´ım realistiˇctˇejˇs´ım modelem Xijp = µ + αi + βj + λij + εijp

(2.3.1)

pro i = 1, . . . , I; j = 1, . . . , J; p = 1, . . . , P , kde µ je spoleˇcná ˇcást stˇredn´ı hodnoty promˇenné veliˇciny, αi jsou ˇrádkové efekty, βj jsou sloupcové efekty, λij jsou interakce a εijp je realizace náhodné chyby, coˇz jsou nezávislé náhodné veliˇciny z rozloˇzen´ı N (0, σ 2 ). Kdyby interakce mezi faktorem A a B byly bezv´ yznamné, platila by hypotéza λij = 0 pro vˇsechna i = 1, . . . , I; j = 1, . . . , J a dostali bychom submodel Xijp = µ + αi + βj + εijp

(2.3.2)

Dále postupujeme jako v pˇr´ıpadˇe dvoufaktorové ANOVY bez interakc´ı. Testujeme tedy postupnˇe α1 = . . . = αI = 0 a β1 = . . . = βJ = 0. Dostaneme postupnˇe submodely Xijp = µ + βj + εijp (2.3.3) Xijp = µ + εijp

(2.3.4)

Pozn´ amka 2.3.1. I v tomto pˇr´ıpadˇe nezáleˇz´ı na tom v jakém poˇrad´ı klademe rovny nule parametry λij , αi , βj , je to d˚ usledek vyváˇzeného tˇr´ıdˇen´ı. Interakce je souˇca´st´ı variability mezi r˚ uzn´ ymi skupinami mˇeˇren´ı, je tedy souˇca´st´ı vnˇejˇs´ıho rozptylu, proto budou platit následuj´ıc´ı vzorce: SAB = ST − SA − SB − SE fAB = fT − fA − fB − fE kde SAB je souˇcet ˇctverc˚ u interakce, kter´ y má χ2 rozloˇzen´ı s fAB = (I − 1)(J − 1) stupni volnosti. 2 Platnost modelu 2.3.2, a tedy testován´ı hypotézy H0 : σAB = σ 2 oproti H1 : 2 2 σAB 6= σ , ovˇeˇrujeme pomoc´ı veliˇciny: FAB =

SAB fE SAB (N − IJ) = SE (I − 1)(J − 1) SE fAB 23

(2.3.5)

která má za platnosti 2.3.2 Fisher-Snedecorovo rozloˇzen´ı s (IJ − I − J + 1) a (N − IJ) stupni volnosti. Pojem interakce má také svá u ´skal´ı: • Je nutná opatrnost pˇri interpretaci rozd´ılu mezi ˇrádkov´ ymi, resp. sloupcov´ ymi efekty. M˚ uˇze se stát, ˇze nˇekteré interakce jsou mnohem v´ yraznˇejˇs´ı neˇz pˇr´ısluˇsné ˇrádkové ˇci sloupcové efekty, takˇze interpretace z´ıskan´ ych v´ ysledk˚ u m˚ uˇze b´ yt nesprávná. • Nˇekdy volba hodnoty závislé promˇenné nen´ı jednoznaˇcná, proto nen´ı jednoznaˇcná ani hodnota interakce. (Studujeme napˇr´ıklad kvalitu slepic. Tuto promˇennou m˚ uˇzeme mˇeˇrit vahou slepice, poˇctem snesen´ ych vajec nebo logaritmem snesen´ ych vajec atd) • Vhodnou transformac´ı závislé promˇenné lze nˇekdy interakce odstranit. Nˇekteré pˇr´ıpady slabé interakce lze pˇrevést na pˇr´ıpady bez interakce, proto nemá moc smysl tvrdit, ˇze interakce existuje nebo neexistuje. To ovˇsem v˚ ubec neznamená, ˇze nemá smysl interakce studovat, mnohdy lze naopak interakce jednoznaˇcnˇe prokázat. V´ ypoˇcty shrnuté v tabulce anal´ yzy rozptylu: Zdroj variability


stupeˇ n volnosti

pod´ıl


ˇra´dky

SA

fA = I − 1

FA =

sloupce

SB

fB = J − 1

interakce

SAB

fAB = (I −1)(J −1)

reziduáln´ı

SE

fE = N − IJ

SA fA SB fB SAB fAB SE fE

Celkov´ y

ST

fT = N − 1

−

−

SA fE SE fA FB = SSBE ffBE fE FAB = SSAB E fAB

−

Pozn´ amka 2.3.2. Je vhodné si vˇsimnout, ˇze souˇcet SE + SAB , resp. fE + fAB dá hodnotu SE , resp. fE v tabulce bez interakc´ı. Model s interakcemi tedy vznikl rozˇstˇepen´ım reziduáln´ıho ˇrádku v tabulce analýzy rozptylu dvojitého tˇr´ıdˇen´ı bez interakc´ı. Pozn´ amka 2.3.3. Z tabulky analýzy rozptylu je také zˇrejmé, ˇze pˇredpoklad P ≥ 2 byl nutný, protoˇze pˇr´ıpad P = 1 dává nepˇrijatelný výsledek fe = 0. Velmi ˇcasto se 24

vˇsak v praxi stává, ˇze v dvojitém tˇr´ıdˇen´ı máme pouze jedno pozorován´ı v kaˇzdé podtˇr´ıdˇe, ale pˇresto je nutné poˇc´ıtat s pˇr´ıtomnost´ı interakc´ı. V tomto pˇr´ıpadˇe poloˇz´ıme I J 2 P P SAB = SAIJSB Xij(Mi. − M.. )(M.j − M.. ) i=1 j=1

SE = ST − SA − SB − SAB pˇriˇcemˇz pro poˇcet stupˇ n˚ u volnosti plat´ı: fAB = 1

2.3.2

fE = (I − 1)(J − 1) − 1


Na hladinˇe v´ yznamnosti α testujeme hypotézu H0 : αi = αt (respektive H0 : βj = βt ). I zde se omez´ım pouze na Scheffého metodu a Tukeyovu metodu, z kter´ ych si vybereme tu citlivˇejˇs´ı.

Scheff´ eho metoda 1. Rovnost αi = αt zam´ıtneme, jestliˇze plat´ı s 2(I − 1)SE F1−α (I − 1, N − IJ) |Mi.. − Mt.. | > JP (N − IJ) 2. Rovnost βj = βt zam´ıtneme, jestliˇze plat´ı s 2(J − 1)SE F1−α (J − 1, N − IJ) |M.j. − M.t. | > IP (N − IJ)

(2.3.6)

(2.3.7)

Tukeyova metoda 1. Rovnost αi = αt zam´ıtneme, jestliˇze plat´ı s SE q1−α (I, N − IJ) |Mi.. − Mt.. | > JP (N − IJ) 2. Rovnost βj = βt zam´ıtneme, jestliˇze plat´ı s SE |M.j. − M.t. | > q1−α (J, N − IJ) IP (N − IJ) 25

(2.3.8)

(2.3.9)

2.4

Pˇ r´ıklad 2

Prvn´ı zad´ an´ı V tomto pˇr´ıkladˇe se zamˇeˇr´ıme pouze na jeden druh odpadu a to emulzn´ı topné oleje (eto). Zkoumat budeme vliv dvou promˇenn´ ych. Prvn´ı promˇennou je m´ısto odebrán´ı vzork˚ u k anal´ yze v´ yhˇrevnosti, druhou promˇennou je dodavatel. Máme tedy laboratornˇe namˇeˇrené v´ yhˇrevnosti od tˇr´ı dodavatel˚ u (oznaˇc´ıme je A,B,C) vˇzdy tˇesnˇe po dodán´ı odpad˚ u a v cementárnˇe pˇred spalován´ım (po dodán´ı, pˇred spálen´ım). Situace je zachycena v následuj´ıc´ı tabulce: faktory dodavatel/m´ısto

po dodán´ı

pˇred spálen´ım

A

B

C

36, 33

38, 46

38, 43

36, 8

37, 65

38, 56

37, 28

38, 36

38, 62

10, 44

26

20, 11

18, 66

25, 18

35, 82

15, 96

24, 22

26, 13

ˇ sen´ı Reˇ Pˇri ˇreˇsen´ı pˇr´ıkladu bychom mohli provést dva oddˇelené experimenty jednofaktorové anal´ yzy rozptylu. V jednom experimentu zkoumat vliv prvn´ıho faktoru (dodavatel) v r˚ uzn´ ych podm´ınkách (mˇeˇreno po dodán´ı a mˇeˇreno pˇred spálen´ım). V druhém experimentu zkoumat vliv druhého faktoru (m´ısto odebrán´ı vzork˚ u) za tˇrech podm´ınek (vzorky od dodavatele A,B,C). Mnohem lepˇs´ı ale je zkoumat oba vlivy dohromady ve dvoufaktorové anal´ yze rozptylu, protoˇze pˇri tom m˚ uˇzeme studovat interakci (tedy vzájemn´ y vliv faktor˚ u).

26

Anal´ yza rozptylu Tabulka anal´ yzy rozptylu: Zdroj variability


stupeˇ n volnosti

pod´ıl


m´ısto

SA = 1057, 54

fA = 1

1057, 54

FA = 77, 76

dodavatel

SB = 168, 06

fB = 2

84, 03

FB = 6, 178

interakce

SAB = 96, 24

fAB = 2

48, 12

FAB = 3, 538

reziduáln´ı

SE = 163, 20

fE = 12

13, 60

−

Celkov´ y

ST = 1485, 04

fT = 17

−

−

Vliv prvn´ıho faktoru (m´ısto odebr´ an´ı vzork˚ u): Kritickou hodnotu F-rozdˇelen´ı zjist´ıme z tabulek F1−0,05 (1, 12) = 4, 75, coˇz je menˇs´ı neˇz FA = 77, 76, a proto zam´ıtáme H0 . V´ yhˇrevnost oleje tedy ovlivˇ nuje m´ısto odebrán´ı vzork˚ u. Vliv druh´ eho faktoru (dodavatel): Kritickou hodnotu F-rozdˇelen´ı zjist´ıme z tabulek F1−0,05 (2, 12) = 3, 9, coˇz je menˇs´ı neˇz FB = 6, 178, a proto zam´ıtáme H0 . Vliv dodavatele na v´ yhˇrevnost je statisticky v´ yznamn´ y. Vliv interakc´ı mezi faktory: Kritickou hodnotu F-rozdˇelen´ı zjist´ıme z tabulek F1−0,05 (2, 12) = 3, 9, coˇz je vˇetˇs´ı neˇz FAB = 3, 54. To znamená, ˇze vliv interakce mezi faktory na v´ yhˇrevnost nen´ı statisticky v´ yznamná.

Mnohon´ asobn´ a pozorov´ an´ı Nyn´ı by nás zaj´ımalo, které dvojice dodavatel˚ u se od sebe liˇs´ı. V tomto pˇr´ıkladˇe pouˇzijeme Scheffého test. Rovnost βj = βt zam´ıtneme, jestliˇze plat´ı: s 2(J − 1)SE F1−α (J − 1, N − IJ) |M.j. − M.t. | > IP (N − IJ)

27

srovnávan´ı dodavatelé rozd´ıl |M.j. − M.t. | pravá strana AaB

5, 73

5, 95

AaC

7, 03

5, 95

BaC

1, 3

5, 95

Vid´ıme, ˇze se na hladinˇe 0,05 liˇs´ı pouze dodavatelé A a C.

Druh´ e zad´ an´ı Formulujme nyn´ı problém jinak. Opˇet budeme zkoumat vliv dvou faktor˚ u (dodavatel a m´ısto odebrán´ı vzork˚ u) na oleje. Oleje vˇsak nyn´ı budou vyjádˇreny cenou (v CZK), kterou plat´ı cementárna za jeden GJ energie. Situace nyn´ı vypadá následovnˇe: faktory dodavatel/m´ısto

po dodán´ı

pˇred spálen´ım

ˇ sen´ı Reˇ Anal´ yza rozptylu Tabulka anal´ yzy rozptylu:

28

A

B

C

66, 91

62, 45

62, 9

67, 25

64, 84

63, 53

64, 87

64, 02

49, 9

232, 85

92, 38

120, 2

132, 63

96, 95

68, 39

151, 53

101, 4

73, 76

Zdroj variability


stupeˇ n volnosti

pod´ıl


m´ısto

SA = 14079, 5

fA = 1

14079, 5

FA = 22, 65

dodavatel

SB = 7420, 3

fB = 2

3710, 1

FB = 5, 968

interakce

SAB = 5653

fAB = 2

2826, 5

FAB = 4, 547

reziduáln´ı

SE = 7460

fE = 12

621, 7

−

Celkov´ y

ST = 34612, 8

fT = 17

−

−

Vliv prvn´ıho faktoru (m´ısto odebr´ an´ı vzork˚ u): Kritickou hodnotu F-rozdˇelen´ı zjist´ıme z tabulek F1−0,05 (1, 12) = 4, 75, coˇz je menˇs´ı neˇz FA = 22, 65, a proto zam´ıtáme H0 . Cenu za olej tedy ovlivˇ nuje m´ısto odebrán´ı vzork˚ u. Vliv druh´ eho faktoru (dodavatel): Kritickou hodnotu F-rozdˇelen´ı zjist´ıme z tabulek F1−0,05 (2, 12) = 3, 9, coˇz je menˇs´ı neˇz FB = 5, 968, a proto zam´ıtáme H0 . Vliv dodavatele na cenu je statisticky v´ yznamn´ y. Vliv interakc´ı mezi faktory: Kritickou hodnotu F-rozdˇelen´ı zjist´ıme z tabulek F1−0,05 (2, 12) = 3, 9, coˇz je menˇs´ı neˇz FAB = 4, 547. To znamená, ˇze vliv interakce mezi faktory na cenu je statisticky v´ yznamn´ y.

Mnohon´ asobn´ a pozorov´ an´ı Nyn´ı by nás zaj´ımalo, které dvojice dodavatel˚ u se od sebe liˇs´ı. I v tomto pˇr´ıkladˇe pouˇzijeme Scheffého test. Rovnost βj = βt zam´ıtneme, jestliˇze plat´ı: s 2(J − 1)SE F1−α (J − 1, N − IJ) |M.j. − M.t. | > IP (N − IJ) srovnávan´ı dodavatelé rozd´ıl |M.j. − M.t. | pravá strana AaB

78

40, 2

AaC

91, 44

40, 2

BaC

14, 44

40, 2

Vid´ıme, ˇze se na hladinˇe 0,05 liˇs´ı dodavatelé A a B, dále A a C. 29

Z´ avˇ er Z tohoto pˇr´ıkladu je zˇrejmé, ˇze pˇr´ıpad se slabou interakc´ı lze pˇrevést na pˇr´ıklad bez interakc´ı, staˇc´ı jen na m´ısto ceny za GJ uvaˇzovat v´ yhˇrevnost. Pˇri pohledu na namˇeˇrené hodnoty se m˚ uˇzeme ptát, jak je moˇzné, ˇze mezi hodnotami namˇeˇren´ ymi po dodán´ı a pˇred spálen´ım jsou tak znaˇcné rozd´ıly. Tento problém vznikl v cementárnˇe bˇehem minulého roku a byl zp˚ usoben´ y ˇspatn´ ym skladován´ım. V zásobn´ıc´ıch na skladován´ı oleje bylo prasklé potrub´ı, t´ımto potrub´ım se oleje ohˇr´ıvaj´ı, aby bylo moˇzné olej ˇcerpat. Do zásobn´ıku takto tekla voda, a tak v´ ysledné v´ yhˇrevnosti byly mnohem menˇs´ı a samozdˇrejmˇe i cena, kterou musela zaplatit cementárna za GJ energie byla vyˇsˇs´ı. Z ceny za GJ energie po dodán´ı uˇz nen´ı tak tˇeˇzké dopoˇc´ıtat, jaká ztráta vznikla bˇehem roku v d˚ usledku ˇspatného skladován´ı.

30

Kapitola 3 V´ ychoz´ı situace 3.1

Pˇ redpoklady pouˇ zit´ı anal´ yzy rozptylu

• Nez´ avislost jednotliv´ ych v´ ybˇ er˚ u • Normalita. M´ırné poruˇsen´ı normality nevad´ı, pˇri v´ yraznˇejˇs´ım poruˇsen´ı se pouˇz´ıvá Kruskal˚ uv-Wallis˚ uv test, viz [1]. • Shoda rozptyl˚ u. Tento pˇredpoklad se dá testovat, pouˇz´ıvá se k tomu Bartlet˚ uv test, Leven˚ uv test ˇci Cochran˚ uv test.

3.2

Test homogenity rozptyl˚ u

Pˇred proveden´ım anal´ yzy rozptylu je zapotˇreb´ı ovˇeˇrit pˇredpoklad o shodˇe rozptyl˚ u ˇ nevad´ı, pˇri vˇetˇs´ım je zapotˇreb´ı v dan´ ych I v´ ybˇerech. M´ırné poruˇsen´ı ANOVE pouˇz´ıt Kruskal˚ uv-Wallis˚ uv test. Testuji tedy hypotézu H0 : σ12 = . . . = σI2

3.2.1

H1 : non H0

(3.2.1)

Bartlet˚ uv test

Bartlet˚ uv test lze vyuˇz´ıt k hodnocen´ı shodnosti rozptyl˚ u u vyváˇzen´ ych i nevyváˇzen´ ych soubor˚ u. Testovan´ ym kritériem je veliˇcina B, která je definovaná jako I

B=

X 1 [(N − I) ln s2 − (ni − 1) ln s2i ] C i=1 31

(3.2.2)

kde 1 s2i = ni − 1

ni X

! (Xij − Mi. )2

I 1 X s = (ni − 1)s2i N − I i=1 ! I X 1 1 1 − ni − 1 N − I 3(I − 1) i=1 2

C =1+

(3.2.3)

j=1

(3.2.4)

(3.2.5)

Je-li ni > 6, pak má B za platnosti H0 pˇribliˇznˇe χ2I−1 rozdˇelen´ı. Testovac´ı hypotézu zam´ıtneme, pokud B ≥ χ21−α (I − 1). Bartlet˚ uv test lze vyuˇz´ıt k hodnocen´ı shodnosti rozptyl˚ u u vyváˇzen´ ych i nevyváˇzen´ ych soubor˚ u. Tento test je vˇsak pomˇernˇe slab´ y a dost citliv´ y na poruˇsen´ı normality, obzvláˇstˇe u soubor˚ u s mal´ ym poˇctem pozorován´ı.

3.2.2

Leven˚ uv test

Dnes se pouˇz´ıvá nejˇcastˇeji. Vytvoˇr´ı se I skupin náhodn´ ych veliˇcin, a to Zij = |Xij −Mi. |, na tˇechto skupinách se provád´ı jednofaktorová anal´ yza rozptylu. Tento test je vˇsak pouze aproximativn´ı, protoˇze nejsou splnˇeny pˇredpoklady Anovy, je tomu tak proto, ˇze veliˇciny Zij nejsou nezávislé a absolutn´ı hodnoty tˇechto veliˇcin nemaj´ı normáln´ı rozdˇelen´ı. V jist´ ych pˇr´ıpadech je moˇzné Leven˚ uv test modifikovat, lze napˇr´ıklad m´ısto Mi. vyuˇz´ıt mediánu.

3.2.3

Cochran˚ uv test

Testovan´ ym kritériem je veliˇcina C, která je definovaná jako s2max C= 2 s1 + . . . + s2I

(3.2.6)

n

s2i

i 1 X = (Xij − Mi. )2 ni − 1 j=1

(3.2.7)

s2max = max{s21 , . . . , s2I }

(3.2.8)

Testovac´ı hypotézu zam´ıtneme, pokud C pˇrekroˇc´ı kritickou hodnotu Cochranovy statistiky. Tedy C ≥ C1−α (I, N − 1). 32

3.3

Pˇ r´ıklad 3

Pro data z pˇr´ıkladu 1 ovˇeˇrte pˇredpoklady pouˇzit´ı anal´ yzy rozptylu.

ˇ sen´ı Reˇ Ovˇ eˇ ren´ı normality V statistice je implementován test normality, kter´ y provedeme postupnˇe pro vˇsech pˇet v´ ybˇer˚ u. Zde provedeme Shapir˚ uv-Wilk˚ uv test normality, kter´ y je zaloˇzen na ovˇeˇren´ı, zda body v Q-Q plotu jsou v´ yznamnˇe odliˇsné od regresn´ı pˇr´ımky proloˇzené tˇemito body, viz [3]. Q-Q plot je graf, kter´ y umoˇzn ˇuje posoudit, zda data pocházej´ı z normáln´ıho rozloˇzen´ı. Test normality pro uhl´ı: Promˇenná N W P v´ yhˇrevnost

6

0, 97 0, 892

Test normality pro eto: Promˇenná N W P v´ yhˇrevnost

3

1, 00 0, 994

Test normality pro TTS: Promˇenná N W P v´ yhˇrevnost

8

0, 947 0, 680

Test normality pro kormul: Promˇenná N W P v´ yhˇrevnost 10 0, 929 0, 436 Test normality pro MKM: Promˇenná N W P v´ yhˇrevnost

6

33

0, 970 0, 892

V tabulkách jsou uvedeny testovac´ı statistiky (W ) pro Shapir˚ uv-Wilk˚ uv a j´ım odpov´ıdaj´ıc´ı p-hodnoty. P-hodnota vyjadˇruje pravdˇepodobnost, s jakou ˇc´ıselné realizace náhodného v´ ybˇeru podporuj´ı H0 , je-li pravdivá. U vˇsech v´ ybˇer˚ u je vypoˇctená p-hodnota vˇetˇs´ı neˇz α = 0, 05, H0 tedy nezam´ıtáme. Vˇsechny v´ ybˇery se ˇr´ıd´ı normáln´ım rozloˇzen´ım. Sestroj´ıme normáln´ı pravdˇepodobnostn´ı grafy, které umoˇzn ˇuj´ı graficky posoudit, zda data pocházej´ı z normáln´ıho rozloˇzen´ı:

Vid´ıme, ˇze body leˇz´ı pˇribliˇznˇe na pˇr´ımce, normalita dat je tedy naruˇsena jen m´ırnˇe. Data m˚ uˇzeme nadále povaˇzovat za normáln´ı.

Test homogenity rozptyl˚ u Testujeme hypotézu: H0 : σ12 = . . . = σI2

H1 : non H0

Nejprve provedeme Bartlet˚ uv test: B=

1 [(N C

− I) ln s2 −

s2i =

1 ni −1

ni P

I P

(ni − 1) ln s2i ] i=1 !

(Xij − Mi. )2

j=1

34

I P s2 = N 1−I (ni − 1)s2i I i=1 P 1 1 1 C =1+ − N −I 3(I−1) ni −1 i=1

s2

C

B

3, 89 1, 84 16, 69 Hypotézu bychom mˇeli zam´ıtnout, protoˇze B > 9.488, avˇsak nesplnili jsme pˇredpoklady Bartletova testu (ni ≤ 6) a jeho pouˇzit´ı v naˇsem pˇr´ıkladˇe je znaˇcnˇe nevhodné. Na ovˇeˇren´ı hypotézy se nejlépe hod´ı Leven˚ uv test. Tento test je také implementován ve Statistice. V´ ypoˇcet hodnot Zij = |Xij − Mi. | zde nebudeme provádˇet a pˇrejdˇeme pˇr´ımo k tabulce anal´ yzy rozptylu: Zdroj variabi- Souˇcet lity ˇctverc˚ u

stupeˇ n nosti

skupiny

SA = 1, 824

reziduáln´ı Celkov´ y

vol-

pod´ıl


fA = 4

σA2 = 0, 456

FA = 2, 166

SE = 5, 896

fE = 28

σ 2 = 0, 211

−

ST = 7, 721

fT = 32

−

−

Kritická hodnota je F1−0,05 (4, 28) = 2, 71, coˇz je vˇetˇs´ı neˇz FA = 2, 166, a proto hypotézu H0 nezam´ıtáme.

Z´ avˇ er Nejprve jsme testovali normalitu dat, kterou Shapir˚ uv-Wilk˚ uv test nezam´ıtl. Pˇri testu homogenity rozptyl˚ u sice doˇslo k zam´ıtnut´ı Bartletov´ ym testem, nicménˇe silnˇejˇs´ı Leven˚ uv test ukázal, ˇze m˚ uˇzeme rozptyly povaˇzovat za shodné. Pˇredpoklady anal´ yzy rozptylu jsou tedy splnˇeny.

35

Z´ avˇ er C´ılem této práce bylo pˇribl´ıˇzit ˇctenáˇri princip jednofaktorové a dvoufaktorové anal´ yzy rozptylu, vˇcetnˇe metod mnohonásobného pozorován´ı. V kaˇzdé kapitole je na zaˇca´tku podán v´ yklad statistick´ ych metod, které jsou v závˇeru kapitol aplikovány na pˇr´ıkladech z odpadového hospodáˇrstv´ı. V prvn´ı kapitole je vˇenována pozornost jednofaktorové anal´ yze rozptylu, v pˇr´ıkladu jsou porovnávány v´ yhˇrevnosti alternativn´ıch paliv a studovány rozd´ıly mezi jednotliv´ ymi palivy. Druhá kapitola se vˇenuje dvoufaktorové anal´ yze rozptylu, v jej´ım závˇeru se studuje variabilita namˇeˇren´ ych hodnot emulzn´ıch topn´ ych olej˚ u, které jsou nejdˇr´ıve vyjádˇreny v´ yhˇrevnost´ı a pozdˇeji cenou za GJ energie. V tˇret´ı kapitole jsou uvedeny pˇredpoklady pouˇzit´ı anal´ yzy rozptylu a testovány pro prvn´ı pˇr´ıklad.

36

Literatura [1] Andˇel Jiˇr´ı Základy matematické statistiky, 1. vydán´ı. Praha, MATFYZPRESS, 2005. [2] Andˇel Jiˇr´ı Matematická statistika, 2. vyd. Praha, SNTL - Nakladatelstv´ı technické literatury, 1985 ˇ epán Základn´ı statistické metody, [3] Bud´ıková Marie - Lerch Tomáˇs - Mikoláˇs Stˇ 1. vyd. Brno, Masarykova univerzita, 2005.

37

Masarykova univerzita v Brně. Analýza rozptylu. Vypracovala: Marika Dienová

Recommend Documents