Marie Chodorová. Projektivní geometrie UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

ˇ AV ´ AN ´ Í INVESTICE DO ROZVOJE VZDEL Rozˇs´ıˇren´ı akreditace uˇcitelstv´ı matematiky a uˇcitelstv´ı deskriptivn´ı geometrie na PˇrF UP v Olomouci o formu kombinovanou CZ.1.07/2.2.00/18.0013

´ UNIVERZITA PALACKEHO V OLOMOUCI ˇ ´ ˇ ´ PRIRODOVEDECKA FAKULTA

Projektivn´ı geometrie

Marie Chodorová

Olomouc, 2013

Oponenti: RNDr. Miloslava Sedlářová, CSc. RNDr. Lenka Juklová, Ph.D.

Neoprávněné užití tohoto díla je porušením autorských práv a může zakládat občanskoprávní, správněprávní, popř. trestněprávní odpovědnost. © Marie Chodorová, 2013 © Univerzita Palackého v Olomouci, 2013 ISBN 978-80-244-4000-2

Obsah ´ Uvod

3

1 Z´ akladn´ı pojmy projektivn´ı geometrie 1.1 Incidence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Afinn´ı roviny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Projektivn´ı roviny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Vztahy mezi afinn´ımi a projektivn´ımi rovinami . . . . 1.5 Dˇelic´ı pomˇer a dvojpomˇer . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Pappova vˇeta a jej´ı d˚ usledky . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Princip duality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8 Roviny desarguesovské, pappovské a fanovské . . . . 1.9 Harmonické vlastnosti u ´plného ˇctyˇrrohu a ˇctyˇrstranu 1.10 Perspektivn´ı a projektivn´ı zobrazen´ı . . . . . . . . . . 1.11 Involuce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Projektivn´ı geometrie kuˇ zeloseˇ cek 2.1 Definice a základn´ı vlastnosti kuˇzeloseˇcek 2.2 Pascalova vˇeta . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Brianchonova vˇeta . . . . . . . . . . . . 2.4 Involuce na kuˇzeloseˇcce . . . . . . . . . . 2.5 Polárn´ı vlastnosti kuˇzeloseˇcek . . . . . . 2.6 Svazek a ˇrada kuˇzeloseˇcek . . . . . . . . 2.7 Afinn´ı a metrické vlastnosti kuˇzeloseˇcek . 2.7.1 Afinn´ı klasifikace kuˇzeloseˇcek . . 2.7.2 Stˇred a asymptoty kuˇzeloseˇcky . 2.7.3 Pr˚ umˇery kuˇzeloseˇcek . . . . . . . 2.7.4 Osy kuˇzeloseˇcek . . . . . . . . . . 2.7.5 Ohniska kuˇzeloseˇcky . . . . . . .

3

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

11 11 12 13 14 15 20 21 23 25 29 39

. . . . . . . . . . . .

43 43 54 60 67 72 81 86 86 87 90 100 110

´ Uvod Tento text by mˇel slouˇzit student˚ um deskriptivn´ı geometrie jako opora pro pˇredmˇet Projektivn´ı geometrie. V´ yklad této látky je pˇrizp˚ usoben sp´ıˇse samostudiu. Pro studium tohoto textu je zapotˇreb´ı vrozené geometrické pˇredstavivosti, a tud´ıˇz nen´ı ani zapotˇreb´ı nˇejak´ ych hlubˇs´ıch geometrick´ ych znalost´ı. Vˇetˇsina uveden´ ych vˇet je intuitivn´ıch a nen´ı tak u kaˇzdé vˇety uveden d˚ ukaz. Velká ˇca´st textu je vˇenována pˇr´ıklad˚ um a jejich ˇreˇsen´ı. Pro jednoduchost je v závˇeru publikace ke kaˇzdému ˇreˇsenému pˇr´ıkladu uvedeno nav´ıc i jeho grafické zadán´ı. U vˇetˇsiny zadán´ı pˇr´ıklad˚ u je pˇreruˇsovanou ˇcarou pˇredr´ ysovaná samotná kuˇzeloseˇcka, a to z d˚ uvodu názornosti a ovˇeˇren´ı si správnosti v´ ysledku. Samotná Projektivn´ı geometrie pˇredstavuje takovou geometrii, která zkoumá vlastnosti, které se nemˇen´ı u projektivn´ıch transformac´ı, tedy zab´ yvá se tˇemi vlastnosti, které se zachovávaj´ı stˇredov´ ym prom´ıtán´ım. Studium tˇechto vlastnost´ı si vynutily hlavnˇe potˇreby mal´ıˇrstv´ı v 16. stolet´ı. V té dobˇe ˇzil a také tvoˇril jeden z nejv´ yznamnˇejˇs´ıch mal´ıˇr˚ u a perspektivc˚ u Leonardo da Vinci. Ale za zakladatele projektivn´ı geometrie je povaˇzován Jean-Victor Poncelet, kter´ y pˇripravil základy ke studiu projektivn´ıch vlastnost´ı kuˇzeloseˇcek, kter´ ym je také vˇenována podstatná ˇca´st tohoto textu. Model pro tuto geometrii je obvykle projektivn´ı rovina anebo projektivn´ı prostor. V této geometrii jsou definovány body a pˇr´ımky, nikoli vˇsak u ´hly a vzdálenosti. Pojem orientovaná vzdálenost je uveden v afinn´ı geometrii, ale ta se na rozd´ıl od projektivn´ı geometrie zab´ yvá studiem invariant˚ u, které se zachovávaj´ı pˇri rovnobˇeˇzném prom´ıtán´ı. Dále projektivn´ı geometrie nerozliˇsuje vlastn´ı a nevlastn´ı body a tud´ıˇz nedˇel´ı kuˇzeloseˇcky podle pr˚ uniku s nevlastn´ı pˇr´ımkou na elipsu, parabolu a hyperbolu, ale popisuje jen kuˇzeloseˇcku zadanou pˇeti podm´ınkami bez rozd´ılu. Rozdˇelen´ı kuˇzeloseˇcek, tak jak je známe z konstrukˇcn´ı geometrie, je uvedeno aˇz v afinn´ı geometrii, protoˇze rovnobˇeˇzné prom´ıtán´ı zobraz´ı vlastn´ı body na vlastn´ı a nevlastn´ı na nevlastn´ı, coˇz neplat´ı pro stˇredové prom´ıtán´ı. Upˇr´ımnˇe dˇekujeme Mgr. Petru Kozákovi za tvorbu pˇr´ıklad˚ u a obrázk˚ u, Bc. Janu A Mlˇc˚ uchovi za psan´ı v programu L TEXa recenzent˚ um RNDr. Lence Juklové, Ph.D. a RNDr. Miloslavˇe Sedláˇrové, CSc. za jejich cenné pˇripom´ınky. 5

Seznam ikon uˇ z´ıvan´ ych v textu Dále jsou uvedeny ikony oznaˇcuj´ıc´ı prvky podporuj´ıc´ı studenta pˇri studiu, tj. odkazy, otázky, u ´koly, korespondenˇcn´ı u ´koly apod. s vysvˇetlivkami:

C´ıle Na zaˇcátku kaˇzdé kapitoly naleznete konkrétnˇe formulované c´ıle. Jejich prostˇrednictv´ım z´ıskáte pˇrehled o tom, co budete po nastudován´ı pˇr´ısluˇsného tématického celku umˇet, znát, co budete schopni dˇelat.

Motivace Odstavec, v nˇemˇz by mˇelo b´ yt vysvˇetleno, proˇc se danou problematikou v˚ ubec hodláme zab´ yvat. Motivujte studenty k tomu, aby studovali právˇe tuto pasáˇz.

Pr˚ uvodce studiem Pasáˇz, v n´ıˇz zbav´ıme studenta strachu z nového uˇciva“, poukáˇzeme na propo” jenost uˇciva s pˇredchoz´ı kapitolou, uvedeme, co jiˇz student zná z pˇredmˇetu v ˇ s ˇc´ım se setkal v praxi. . . pˇredchoz´ım roˇcn´ıku, ze SS,

Otázka k zamyˇslen´ı Mˇela by vás podnˇecovat k pˇrem´ yˇslen´ı, k u ´vahám, k hledán´ı vlastn´ıho ˇreˇsen´ı. Je to prostor, kter´ y vám nab´ız´ım k vyjádˇren´ı osobn´ıho názoru, postoje k studované problematice. Odpovˇedi na tyto otázky si formulujete sami, b´ yvaj´ı pˇredmˇetem diskus´ı na prezenˇcn´ıch setkán´ıch, jsou souˇca´st´ı zkouˇsky (ˇcasto je pokládaj´ı examinátoˇri).

Pasáˇz pro zájemce Tato ˇcást textu je urˇcena tˇem z vás, kteˇr´ı máte zájem o hlubˇs´ı studium problematiky, nebo se chcete dozvˇedˇet i nˇejaké zaj´ımavé podrobnosti vztahuj´ıc´ı se k tématu. Vˇse, co najdete v této pasáˇzi, je nepovinné, tud´ıˇz zcela dobrovolné. Zm´ınˇené informace po vás nebudou vyˇzadovány u zkouˇsky. 7

´ Ukol Jeho prostˇrednictv´ım budete vyb´ıdnuti k tomu, abyste na základˇe studia urˇcité tématiky nˇeco vytvoˇrili, zpracovali, konkrétnˇe uvedli za pˇredpokladu, ˇze uˇz máte jisté znalosti. Má pˇreváˇznˇe aplikaˇcn´ı charakter. Správné (moˇzné) ˇreˇsen´ı najdete k nˇekter´ ym u ´kol˚ um (dle obsahu, zamˇeˇren´ı) v kl´ıˇci.

Doporuˇcen´ı Dobrá rada, doporuˇcen´ı, nˇeco, co student˚ um usnadn´ı“ práci, dovede je rychleji ” k c´ıli, pom˚ uˇze vyhnout se chybám apod. Upozornˇen´ı Slouˇz´ı pro upozornˇen´ı na nˇejakou chybu, které se studenti ˇcasto (a u ´plnˇe zbyteˇcnˇe) zejména pro nepozornost dopouˇstˇej´ı. Odkazy na on-line zdroje Slouˇz´ı jako m´ısto pro odkazy na dalˇs´ı zdroje, které lze nalézt na internetu. Shrnut´ı kapitoly Tato pasáˇz postihuje ve struˇcné podobˇe to nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ı, o ˇcem konkrétn´ı kapitola pojednává. Má v´ yznam pro opakován´ı, aby se vám informace a kl´ıˇcové body prob´ırané látky lépe vybavily. Pokud zjist´ıte, ˇze nˇekterému u ´seku nerozum´ıte, nebo jste jej dostateˇcnˇe neprostudovali, vrat’te se k pˇr´ısluˇsné pasáˇzi v textu. Pojmy k zapamatován´ı Na konci kaˇzdé kapitoly najdete kl´ıˇcové pojmy, které byste mˇeli b´ yt schopni vysvˇetlit. Jde o d˚ uleˇzit´ y terminologick´ y aparát a jména, jeˇz je nezbytné znát. Po prvn´ım prostudován´ı kapitoly si je zkuste sami pro sebe objasnit, vracejte se k nim i pˇri dalˇs´ım ˇcten´ı a opakován´ı dokud si je dostateˇcnˇe nezafixujete v pamˇeti. Kontroln´ı otázky Provˇeˇruj´ı, do jaké m´ıry jste uˇcivo pochopili, zapamatovali si podstatné informace a zda je um´ıte aplikovat. Najdete je na konci kaˇzdé kapitoly. Jejich prostˇrednictv´ım zjist´ıte, jestli jste splnili formulované c´ıle. Jsou velmi d˚ uleˇzité, vˇenujte jim proto náleˇzitou pozornost. Odpovˇedi na nˇe m˚ uˇzete naj´ıt ve v´ıce ˇci ménˇe skryté formˇe pˇr´ımo v textu. 8

´ Ulohy k procviˇcen´ı Tyto pasáˇze maj´ı za u ´kol uˇcivo procviˇcit, zopakovat, upevnit. Pomáhaj´ı vám fixovat poznatky.

Kl´ıˇc Obsahuje patˇriˇcné odpovˇedi a moˇzná ˇreˇsen´ı k u ´kol˚ um. M˚ uˇzete si zkontrolovat správnost své odpovˇedi na konkrétn´ı (ale ne na kaˇzd´ y) u ´kol.

Literatura V této ˇca´sti najdete pˇrehled vˇsech zdroj˚ u a literatury, ze které jsem ˇcerpala pˇri zpracováván´ı textu. Tento seznam slouˇz´ı také jako zdroj informac´ı pro zájemce o dalˇs´ı podrobnˇejˇs´ı studium a doplnˇen´ı poznatk˚ u.

9

Kapitola 1 Z´ akladn´ı pojmy projektivn´ı geometrie Projektivn´ı geometrie se zab´ yvá pojmy, které se prom´ıtán´ım (rovnobˇeˇzn´ ym, stˇredov´ ym) nemˇen´ı.

Nezbytnou souˇca´st´ı studia deskriptivn´ı geometrie je znalost projektivn´ı geometrie. Seznám´ıme se se základn´ımi pojmy projektivn´ı geometrie tak, abychom je mohli pouˇz´ıt pˇri studiu deskriptivn´ı geometrie. Základn´ı pojmy si osvoj´ıme tak, abychom je mohli pouˇz´ıvat pˇri projektivn´ım zaveden´ı kuˇzeloseˇcek a aplikovat je pˇri ˇreˇsen´ı u ´loh o kuˇzeloseˇckách.

Nezbytnou souˇca´st´ı studia deskriptivn´ı geometrie je znalost projektivn´ı geometrie. Seznám´ıme se se základn´ımi pojmy projektivn´ı geometrie tak, abychom je mohli pouˇz´ıt pˇri studiu deskriptivn´ı geometrie. Základn´ı pojmy si osvoj´ıme tak, abychom je mohli pouˇz´ıvat pˇri projektivn´ım zaveden´ı kuˇzeloseˇcek a aplikovat je pˇri ˇreˇsen´ı u ´loh o kuˇzeloseˇckách.

1.1

Incidence

Vˇ eta 1.1.1 Jsou-li dva u ´tvary navzájem incidentn´ı, pak také jejich pr˚ umˇety jsou incidentn´ı. Struˇcnˇe: incidence se prom´ıtán´ım zachovává.

11

1.2

Afinn´ı roviny

Definice 1.2.1 Afinn´ı rovina je uspoˇra´daná dvojice mnoˇzin (B, P), kde B je neprázdná mnoˇzina prvk˚ u, P je systém jist´ ych podmnoˇzin mnoˇziny B a jsou splnˇeny axiomy A1, A2, A3.

A1 ∀X, Y ∈ B, X 6= Y, ∃!p ∈ P : X, Y ∈ p A2 ∀X ∈ B, ∀p ∈ P, ∃!q ∈ P : X ∈ q ∧ qkp A3 Existuj´ı tˇri nekolineárn´ı body. Prvky z mnoˇziny B naz´ yváme body. Prvky z mnoˇziny P naz´ yváme pˇr´ımkami. Afinn´ı rovinu budeme znaˇcit α = (B, P). Dvˇe pˇr´ımky p, q, které nemaj´ı ˇza´dn´ y spoleˇcn´ y bod nebo spl´ yvaj´ı, naz´ yváme rovnobˇeˇzkami a znaˇc´ıme pkq. Dvˇe pˇr´ımky, které maj´ı právˇe jeden spoleˇcn´ y bod, budeme naz´ yvat r˚ uznobˇeˇzkami. Uved’te pˇr´ıklady afinn´ıch rovin.

i)

Eukleidovská rovina.

ii) Necht’ mnoˇzina B obsahuje ˇctyˇri prvky a P obsahuje vˇsechny dvouprvkové podmnoˇziny mnoˇziny B. Potom α = (B, P) je ˇctyˇrbodová afinn´ı rovina. Pokuste se ji znázornit. iii) Necht’ mnoˇzina B obsahuje devˇet prvk˚ u a P jsou tˇr´ıprvkové podmnoˇziny mnoˇziny B. Potom α = (B, P) je dev´ıtibodová afinn´ı rovina. Pokuste se ji znázornit. Z této definice je moˇzné odvodit ˇradu vlastnost´ı afinn´ı roviny. Napˇr´ıklad ˇze rovnobˇeˇznost pˇr´ımek v afinn´ı rovinˇe je relace ekvivalence nebo ˇze kaˇzdé dvˇe r˚ uzné pˇr´ımky maj´ı nejv´ yˇse jeden spoleˇcn´ y bod. Vˇ eta 1.2.1 Kaˇzdá pˇr´ımka v afinn´ı rovinˇe obsahuje alespoˇ n dva r˚ uzné body.

Jelikoˇz je z axiom˚ u zajiˇstˇena jak existence alespoˇ n jednoho páru r˚ uznobˇeˇzek, tak i jednoho páru rovnobˇeˇzek, mohou m´ıt dvˇe r˚ uzné pˇr´ımky v afinn´ı rovinˇe právˇe jeden nebo ˇzádn´ y spoleˇcn´ y bod. Tato vlastnost bude d˚ uleˇzitá zejména pˇri porovnáván´ı afinn´ı a projektivn´ı roviny. Pˇri studiu vzájemn´ ych vztah˚ u afinn´ı a projektivn´ı roviny vyuˇzijeme také následuj´ıc´ıch pojm˚ u. 12

Definice 1.2.2 Svazek rovnobˇeˇzek v afinn´ı rovinˇe je mnoˇzina vˇsech pˇr´ımek rovnobˇeˇzn´ ych s danou pˇr´ımkou p afinn´ı roviny. Znaˇc´ıme [ p ].

Definice 1.2.3 Svazek pˇr´ımek v afinn´ı rovinˇe je mnoˇzina vˇsech pˇr´ımek procházej´ıc´ıch dan´ ym bodem P afinn´ı roviny. Bod P naz´ yváme stˇredem svazku a svazek znaˇc´ıme [ P ].

Vˇ eta 1.2.2 V kaˇzdé afinn´ı rovinˇe existuj´ı alespoˇ n tˇri r˚ uzné svazky rovnobˇeˇzek a tˇri r˚ uzné svazky pˇr´ımek.

Z definice afinn´ı roviny lze dále odvodit, ˇze kaˇzdá afinn´ı rovina obsahuje alespoˇ n ˇctyˇri body, které jsou po tˇrech nekolineárn´ı. Nav´ıc lze ukázat, ˇze existuje afinn´ı rovina, která obsahuje právˇe ˇctyˇri body. Vedle koneˇcn´ ych afinn´ıch rovin, kter´ ymi se dále nebudeme zab´ yvat, existuj´ı také nekoneˇcné afinn´ı roviny. Pˇr´ıkladem nekoneˇcné afinn´ı roviny je eukleidovská rovina, jelikoˇz splˇ nuje vˇsechny axiomy afinn´ı roviny. Pˇri hlubˇs´ım studiu zjiˇst’ujeme, ˇze afinn´ı geometrie pracuje s vlastnostmi, které se zachovávaj´ı pˇri rovnobˇeˇzném prom´ıtán´ı.

1.3

Projektivn´ı roviny

Oproti tomu projektivn´ı geometrie studuje vlastnosti, které se zachovávaj´ı stˇredov´ ym prom´ıtán´ım, a celá teorie je vybudována na pˇredpokladu, ˇze kaˇzdé dvˇe r˚ uzné pˇr´ımky v téˇze rovinˇe maj´ı spoleˇcn´ y právˇe jeden bod. Pˇri studiu projektivn´ı geometrie opˇet vyjdeme z axiom˚ u a základn´ıch pojm˚ u. Definice 1.3.1 Projektivn´ı rovina je uspoˇrádaná dvojice mnoˇzin (B, P), kde B je neprázdná mnoˇzina prvk˚ u, P je systém jist´ ych podmnoˇzin mnoˇziny B a jsou splnˇeny axiomy P1, P2, P3.

P1 ∀X, Y ∈ B, X 6= Y, ∃!p ∈ P : X, Y ∈ p P1 ∀p, q ∈ P, p 6= q, ∃!X ∈ B : X ∈ p ∧ X ∈ q P1 Existuj´ı ˇctyˇri body po tˇrech nekolineárn´ı. Prvky z mnoˇziny B opˇet naz´ yváme body a prvky z mnoˇziny P pˇr´ımkami. Projektivn´ı rovinu budeme znaˇcit π = (B, P). 13

Uved’te pˇr´ıklady projektivn´ıch rovin. i)

Necht’ B obsahuje sedm prvk˚ u a P obsahuje vˇsechny tˇr´ıprvkové podmnoˇziny mnoˇziny B. Potom π = (B, P) je sedmibodová projektivn´ı rovina. Pokuste se ji znázornit. (Tuto projektivn´ı rovinu lze z´ıskat také tzv. projektivn´ım rozˇs´ıˇren´ım afinn´ı roviny, viz kapitola 1.4)

ii) V trojrozmˇerném euklidovském prostoru E3 je dán pevn´ y bod 0. Mnoˇziny B, P zvolme takto: B je mnoˇzina vˇsech pˇr´ımek v E3 , které procházej´ı bodem O, pˇriˇcemˇz kaˇzdou rovinu chápeme jako mnoˇzinu pˇr´ımek, které v n´ı leˇz´ı a procházej´ı bodem O. Dvojice π = (B, P) splˇ nuje vˇsechny axiomy projektivn´ı roviny, je tedy modelem projektivn´ı roviny. iii) Rozˇs´ıˇrená euklidovská rovina je rovnˇeˇz pˇr´ıkladem projektivn´ı roviny. Axiom P2 vyluˇcuje existenci pˇr´ımek, které by nemˇely ˇza´dn´ y spoleˇcn´ y bod. V projektivn´ı rovinˇe tedy obecnˇe nezavád´ıme pojmy rovnobˇeˇznost a svazek rovnobˇeˇzek. Oproti tomu pojem svazek pˇr´ımek lze zavést analogicky jako v pˇr´ıpadˇe afinn´ı roviny. Definice 1.3.2 Svazek pˇr´ımek o stˇredu P v projektivn´ı rovinˇe π je mnoˇzina vˇsech pˇr´ımek p ⊂ π procházej´ıc´ıch dan´ ym bodem P . Znaˇc´ıme P (a, b, c, . . .) nebo [ P ].

V následuj´ıc´ıch vˇetách uvedeme nˇekteré vlastnosti projektivn´ıch rovin. Vˇ eta 1.3.1 Kaˇzdá pˇr´ımka v projektivn´ı rovinˇe obsahuje alespoˇ n tˇri r˚ uzné body.

Vˇ eta 1.3.2 V projektivn´ı rovinˇe existuj´ı alespoˇ n ˇctyˇri pˇr´ımky, z nichˇz ˇzádné tˇri neprocházej´ı týmˇz bodem.

Vˇ eta 1.3.3 V projektivn´ı rovinˇe ke kaˇzdým dvˇema r˚ uzným pˇr´ımkám p, q existuje bod R, který neleˇz´ı na ˇzádné z nich.

Stejnˇe jako v pˇr´ıpadˇe afinn´ı roviny existuj´ı koneˇcné i nekoneˇcné projektivn´ı roviny. Nejmenˇs´ı koneˇcná projektivn´ı rovina obsahuje právˇe sedm bod˚ u. Dále se opˇet zamˇeˇr´ıme pouze na nekoneˇcné projektivn´ı roviny.

1.4

Vztahy mezi afinn´ımi a projektivn´ımi rovinami Mezi afinn´ı a projektivn´ı rovinou lze nalézt vzájemn´ y vztah, kdy kaˇzdou afinn´ı rovinu m˚ uˇzeme rozˇs´ıˇrit na rovinu projektivn´ı a naopak z kaˇzdé projektivn´ı roviny 14

vytvoˇrit rovinu afinn´ı. K tomu u ´ˇcelu definujeme nevlastn´ı prvky1 afinn´ı roviny a následnˇe uvedeme vˇety, které tento vzájemn´ y vztah popisuj´ı.

Definice 1.4.1 Necht’ α je afinn´ı rovina a p je libovolná pˇr´ımka z této roviny. Svazek rovnobˇeˇzek [ p ] budeme naz´ yvat nevlastn´ım bodem pˇr´ımky p. Znaˇc´ıme P∞ = [ p ]. Mnoˇzinu vˇsech nevlastn´ıch bod˚ u roviny α budeme naz´ yvat nevlastn´ı pˇr´ımkou afinn´ı roviny α a oznaˇc´ıme ji n∞ . Ostatn´ı body a pˇr´ımky naz´ yváme vlastn´ımi.

Vˇ eta 1.4.1 Necht’ α = (B, P) je afinn´ı rovina. Necht’ B je mnoˇzina obsahuj´ıc´ı vˇsechny vlastn´ı i nevlastn´ı body roviny α. A necht’ P obsahuje nevlastn´ı pˇr´ımku roviny α a vˇsechny pˇr´ımky z mnoˇziny P doplnˇené o pˇr´ısluˇsné nevlastn´ı body. Potom α = B, P je projektivn´ı rovina, která se nazývá projektivn´ım rozˇs´ıˇren´ım afinn´ı roviny α.

Vˇ eta 1.4.2 Necht’ π = (B, P) je projektivn´ı rovina a n ⊂ π je libovolná pevnˇe zvolená pˇr´ımka. Poloˇzme B n = B \ {n}, P n = {p = p r {p ∩ n}, p ∈ P, p 6= n}. Potom π = B n , P n je afinn´ı rovina, která byla vytvoˇrena restrikc´ı projektivn´ı roviny π.

Eukleidovská rovina je afinn´ı rovinou, lze ji tedy také projektivnˇe rozˇs´ıˇrit. Dostaneme tzv. rozˇs´ıˇrenou eukleidovskou rovinu E2 . Smˇery v této rovinˇe povaˇzujeme za nevlastn´ı body a mnoˇzinu vˇsech nevlastn´ı bod˚ u za nevlastn´ı pˇr´ımku. T´ım dostáváme projektivn´ı rovinu, ve které je nav´ıc pro vlastn´ı prvky definována metrika.

1.5

Dˇ elic´ı pomˇ er a dvojpomˇ er

K zaveden´ı dalˇs´ıho pojmu, se kter´ ym pracujeme v projektivn´ı geometrii, mus´ıme m´ıt definovánu vzdálenost bod˚ u. Budeme tedy pracovat v rozˇs´ıˇrené eukleidovské rovinˇe. Jelikoˇz jsme vˇsak kaˇzdou pˇr´ımku eukleidovské roviny rozˇs´ıˇrili o nevlastn´ı bod, mus´ıme rozˇs´ıˇrit také mnoˇzinu reáln´ ych ˇc´ısel R o jeden prvek {∞} a definovat pro tento prvek poˇcetn´ı operace. Oznaˇcme R = R ∪ {∞}. ∀a ∈ R, a 6= 0, ∞ : a + ∞ = ∞ ; ∀a ∈ R r {0} : a · ∞ = ∞, a : ∞ = 0, a : 0 = ∞ Nedefinujeme: ∞ ± ∞, ∞ , ∞, 0 , . . . ∞ 0 ∞ 1

Nevlastn´ı body a nevlastn´ı pˇr´ımku zavedl francouzsk´ y matematik Girard Desargues roku 1639.

15

Definice 1.5.1 Vzdálenost bod˚ u A, B pˇr´ımky p mˇeˇrená od bodu A k bodu B −→ −→ se naz´ yvá orientovaná vzdálenost a znaˇc´ıme ji |AB|. Je-li A = B, pak |AB| = 0. −→ −→ Je-li právˇe jeden z bod˚ u A, B nevlastn´ı, pak |AB| = |BA| = ∞.

Tato orientovaná délka u ´seˇcky je zˇrejmˇe ˇc´ıslo a toto ˇc´ıslo zvol´ıme kladné nebo záporné podle tohoto pˇredpisu. −→ Je-li smysl od bodu A k bodu B kladn´ y, je |AB| > 0. −→ Je-li smysl od bodu A k bodu B záporn´ y, je |AB| < 0. −→ Jestliˇze A = B, potom je |AB| = 0. −→ −→ Zˇrejmˇe plat´ı |AB| = −|BA|.

Kaˇzdou pˇr´ımku p m˚ uˇze bod A prob´ıhat ve dvou vzájemnˇe opaˇcn´ ych smyslech, jeden z nich nazveme kladn´ ym a druh´ y záporn´ ym. −→ −−→ −→ Podobnˇe, jsou-li A, B, C tˇri libovolné body na pˇr´ımce, plat´ı |AB|+|BC|+|CA| = 0. Necht’ D je ˇctvrt´ y bod na zvolené pˇr´ımce a vynásob´ıme-li pˇredchoz´ı vztah vztah ˇc´ıslem −−→ −→ −−→ −−→ −−→ −→ −−→ −−→ −−→ |AD| dostaneme |AB||AD| + |BC||AD| + |CA||AD| = 0. Za |AD| dosad´ıme |AD| = −→ −−→ −→ −−→ |AB| + |BD| = |AC| + |CD|, tak dostaneme −→ −→ −−→ −−→ −−→ −→ −→ −−→ |AB| · |AC| + |CD| + |BC| · |AD| − |AC| · |AB| + |BD| = 0 −−→ −−→ −→ −−→ −→ −−→ odkud po u ´pravˇe vycház´ı |BC||AD| + |CA||BD| + |AB||CD| = 0. Definice 1.5.2 Necht’ A, B jsou dva r˚ uzné vlastn´ı body pˇr´ımky p a bod C je li−→ −−→ bovoln´ y bod téˇze pˇr´ımky p. Je-li bod C vlastn´ı, potom oznaˇcme λC = |AC| : |BC|. ˇ ıslo λC ∈ R potom naz´ Je-li C bod nevlastn´ı, je λC = 1. C´ yváme dˇelic´ı pomˇer bodu C vzhledem k bod˚ um A, B. Znaˇc´ıme λC = (ABC).

Máme-li na pˇr´ımce p pevnˇe dány dva r˚ uzné vlastn´ı body A, B, pak kaˇzdému bodu C pˇr´ımky p je jednoznaˇcnˇe pˇriˇrazena jediná hodnota dˇel´ıc´ıho pomˇeru λC . A obrácenˇe kaˇzdé hodnotˇe λC ∈ R je jednoznaˇcnˇe pˇriˇrazen právˇe jeden bod C tak, ˇze λC = (ABC). Pro A = C, resp. B = C, dostáváme λC = 0, resp. λC = ∞. Je-li bod C stˇredem u ´seˇcky AB, pak λC = −1. 16

1. (ABC) = λ

− − → |BC| 1 −→ = λ |AC| −→ −→ − − → AB| |AC|+|CB| == |− = − → = − − → |CB| −|BC| − − → 1 == |CB| −→ = 1−λ |AB| −→ == |BA| −→ = 1 − (BAC) |CA| 1 λ == (BCA) = λ−1

2. (BAC) = 3. (ACB) 4. (CAB) 5. (BCA) 6. (CBA)

1−λ

=

λ−1 λ

Orientovaná vzdálenost ani dˇelic´ı pomˇer se pˇri stˇredovém prom´ıtán´ı nezachovávaj´ı a tud´ıˇz nejsou pˇredmˇetem studia projektivn´ı geometrie. Dˇelic´ı pomˇer se vˇsak zachovává rovnobˇeˇzn´ ym prom´ıtán´ım a je tedy pojmem afinn´ı geometrie. Definice 1.5.3 Necht’ A, B, C, D jsou ˇctyˇri navzájem r˚ uzné body pˇr´ımky p, pˇriˇcemˇz body A, B jsou vlastn´ı. Potom pomˇer µ = λC : λD , kde λC a λD jsou dˇelic´ı pomˇery bod˚ u C, D vzhledem k bod˚ um A, B, se naz´ yvá dvojpomˇer bod˚ u A, B, C, D v tomto poˇrad´ı a znaˇc´ı se µ = (ABCD).

Pro nevlastn´ı bod C∞ , resp. D∞ , dostáváme uˇzit´ım definice orientované vzdálenosti a definice dˇelic´ıho pomˇeru následuj´ıc´ı rovnosti. −−→ −−→ |AD| |BD| µ = (ABC∞ D) = (ABC∞ ) : (ABD) = 1 : −−→ = −−→ = (BAD) |BD| |AD| −→ −→ |AC| |AC| µ = (ABCD∞ ) = (ABC) : (ABD∞ ) = −−→ : 1 = −−→ = (ABC) |BC| |BC| Následuj´ıc´ı vˇeta uvád´ı nˇekteré dalˇs´ı vlastnosti dvojpomˇeru, které lze odvodit pˇr´ımo z jeho definice, z definice dˇelic´ıho pomˇeru a vlastnost´ı orientované vzdálenosti. Vˇ eta 1.5.1 Necht’ A, B, C, D jsou ˇctyˇri navzájem r˚ uzné vlastn´ı body pˇr´ımky p, pak plat´ı (ABCD) = (CDAB), (ABCD) = (BADC), (ABCD) = 1 : (ABDC), 1 − (ABCD) = (ACBD).

D˚ ukaz: −→ −−→ −→ −−→ −→ −−→ |AC| |AD| −|CA| −|DA| |CA| |CB| (ABCD) = −−→ : −−→ = −−→ : −−→ = −−→ : −−→ = (CDAB) |BC| |BD| −|CB| −|DB| |DA| |DB| " −−→ #−1 −→ −−→ |AC| |AD| |BC| · (ABCD) = −−→ : −−→ = −→ |BC| |BD| |AC| 17

−−→ −−→ −−→ |BD| |BD| |BC| −−→ = −−→ : −→ = (BADC) |AD| |AD| |AC|

−1 (ABD) (ABD) (ABC) = =1: = 1 : (ABDC) (ABCD) = (ABD) (ABC) (ABC) −→ −−→ −−→ −−→ −→ −−→ −→ −−→ |AC| |AD| |BC| · |AD| − |AC| · |BD| −|AB| · |CD| 1 − (ABCD) = 1 − −−→ : −−→ = = −−→ −−→ = −−→ −−→ |BC| |BD| |BC| · |AD| |BC| · |AD| −→ −−→ |AB| |AD| = −−→ : −−→ = (ACBD) |CB| |CD| Tato vˇeta plat´ı pouze pro body vlastn´ı, jelikoˇz v definici dvojpomˇeru vyˇzadujeme, aby body A a B byly vlastn´ı. Definici dvojpomˇeru vˇsak m˚ uˇzeme rozˇs´ıˇrit i pro body nevlastn´ı a t´ım rozˇs´ıˇrit i danou vˇetu pro body nevlastn´ı. Definice 1.5.4 Necht’ A, B, C, D jsou navzájem r˚ uzné body vlastn´ı pˇr´ımky p. Jestliˇze nˇekter´ y z bod˚ u A, B je nevlastn´ı, pak dvojpomˇer tˇechto bod˚ u definujeme vztahem (ABCD) = (CDAB).

Máme tedy definován dvojpomˇer pro kaˇzdou ˇctveˇrici navzájem r˚ uzn´ ych bod˚ u leˇz´ıc´ıch na vlastn´ı pˇr´ımce. Pro kaˇzdou takovouto ˇctveˇrici bod˚ u existuje maximálnˇe ˇsest r˚ uzn´ ych hodnot dvojpomˇer˚ u, kter´ ych mohou nab´ yvat v závislosti na jejich uspoˇra´dán´ı. Pˇriˇcemˇz dvojpomˇer ˇctyˇr r˚ uzn´ ych bod˚ u m˚ uˇze nab´ yvat vˇsech reáln´ ych hodnot kromˇe 0 a 1.

1. (ABCD) = (CDAB) = (BADC) = (DCBA) = µ 2. (ABDC) = (DCAB) = (BACD) = (CDBA) =

1 µ

3. (ACBD) = (BDAC) = (CADB) = (DBCA) = 1 − µ 4. (ADBC) = (BCAD) = (DACB) = (CBDA) =

µ−1 µ

5. (ACDB) = (DBAC) = (CABD) = (BDCA) =

1 1−µ

6. (ADCB) = (CBAD) = (DABC) = (BCDA) =

µ µ−1

18

Definici dvojpomˇeru lze rozˇs´ıˇrit, aby zahrnovala i pˇr´ıpad, kdy dva vlastn´ı body z dan´ ych ˇctyˇr bod˚ u splynou. Jsou-li body A, B, C tˇri navzájem r˚ uzné vlastn´ı body, m˚ uˇzeme definovat (ABCD) = ∞ pro A = D, (ABCD) = 0 pro B = D a (ABCD) = 1 pro C = D. Pro takto definovan´ y dvojpomˇer a pro pevnˇe zvolené r˚ uzné vlastn´ı body A, B, C pˇr´ımky p je kaˇzdému bodu pˇr´ımky p pˇriˇrazena jediná hodnota dvojpomˇeru µ ∈ R. A obrácenˇe ke kaˇzdé hodnotˇe µ ∈ R lze sestrojit jedin´ y bod D pˇr´ımky p takov´ y, ˇze µ = (ABCD). Podle znaménka dvojpomˇeru m˚ uˇzeme rozliˇsovat vzájemnou polohu ˇctyˇr r˚ uzn´ ych bod˚ u na pˇr´ımce. Je-li hodnota dvojpomˇeru (ABCD) záporná, ˇr´ıkáme, ˇze se dvojice bod˚ u A, B a C, D oddˇeluj´ı. Je-li (ABCD) > 0, ˇr´ıkáme, ˇze se neoddˇeluj´ı2 . V projektivn´ı rovinˇe je pˇr´ımka uzavˇrená kˇrivka. V pˇr´ıpadˇe, kdy dvojpomˇer nab´ yvá nˇekteré z hodnot {−1, 21 , 2} dostáváme m´ısto ˇsesti r˚ uzn´ ych hodnot dvojpomˇer˚ u hodnoty pouze tˇri. Dvojpomˇer µ = −1 má zvláˇstn´ı v´ yznam v teorii kuˇzeloseˇcek, a proto si uvedeme nˇekteré jeho vlastnosti, které plynou z vlastnost´ı dvojpomˇeru. Definice 1.5.5 Je-li (ABCD) = −1 ˇr´ıkáme, ˇze body A, B, C, D tvoˇr´ı harmonickou ˇctveˇrici nebo ˇze body C, D jsou harmonicky sdruˇzeny s body A, B nebo ˇze bod D je harmonicky sdruˇzen s bodem C vzhledem k bod˚ um A, B nebo ˇze bod D je ˇctvrtý harmonický k bod˚ um A, B, C.

Vˇ eta 1.5.2 Jsou-li body C, D harmonicky sdruˇzeny vzhledem k bod˚ um A, B, pak jsou také body A, B harmonicky sdruˇzeny vzhledem k bod˚ um C, D.

Vˇ eta 1.5.3 Jsou-li body C, D harmonicky sdruˇzeny vzhledem k bod˚ um A, B, pak jsou také body D, C harmonicky sdruˇzeny vzhledem k bod˚ um A, B i k B, A.

Zat´ım nemáme definován dvojpomˇer pro ˇctveˇrici nevlastn´ıch bod˚ u. K tomu potˇrebujeme následuj´ıc´ı vˇetu, která nav´ıc ˇr´ıká, ˇze dvojpomˇer je pojmem projektivn´ı geometrie. Dˇelic´ı pomˇer, dvojpomˇer, nevlastn´ı bod, nevlastn´ı pˇr´ımka, harmonická ˇctveˇrice. 2

Dvojice bod˚ u A, B a C, D na pˇr´ımce se oddˇeluj´ı, jestliˇze mezi body A, B leˇz´ı právˇe jeden z bod˚ u C, D.

19

1.6

Pappova vˇ eta a jej´ı d˚ usledky

Nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ı vlastnost dvojpomˇeru znal uˇz Pappos z Alexandrie. Vˇ eta 1.6.1 (Pappova) Dvojpomˇer se stˇredovým prom´ıtán´ım nemˇen´ı.

Uvedené vˇety vyuˇz´ıváme ke konstrukci: Konstrukce 1.6.1 Na pˇr´ımce p jsou dány tˇri r˚ uzné body A, B, C. Sestrojte bod D tak, aby (ABCD) = µ, kde µ je dané reálné ˇc´ıslo.

Obr. 1.6.1

Postup (Obr.1.6.1): Bodem C vedeme pˇr´ımku p0 , (p0 6= p). Poloˇz´ıme C = C 0 a na pˇr´ımce p0 najdeme body A0 , B 0 tak, aby (A0 B 0 C 0 ) = µ, S = AA0 ∩BB 0 . Pr˚ useˇc´ık pˇr´ımky, 0 která je rovnobˇeˇzná s pˇr´ımkou p a procház´ı bodem S, s pˇr´ımkou p je hledan´ y bod D. 0 0 0 Jestliˇze C = C a nevlastn´ı bod pˇr´ımky p oznaˇc´ıme jako D∞ , pak podle Vˇety 1.5.1 0 plat´ı (ABCD) = (A0 B 0 C 0 D∞ ).

Cviˇ cen´ı: Na pˇr´ımce p jsou dány tˇri r˚ uzné body A, B, C. Sestrojte bod D tak, aby (ABCD) = −1

Pappova vˇeta umoˇzn ˇuje zavést dvojpomˇer ˇctyˇr pˇr´ımek procházej´ıc´ıch jedn´ım bodem. Pomoc´ı dvojpomˇeru pˇr´ımek poté definujeme dvojpomˇer ˇctyˇr nevlastn´ıch bod˚ u. 20

Definice 1.6.1 Necht’ a, b, c, d jsou ˇctyˇri navzájem r˚ uzné pˇr´ımky projektivn´ı roviny, které procházej´ı bodem S. Dvojpomˇer pˇr´ımek (abcd) definujeme jako dvojpomˇer ˇctyˇr bod˚ u A, B, C, D, které jsou pr˚ useˇc´ıky libovolné vlastn´ı pˇr´ımky p neprocházej´ıc´ı bodem S s pˇr´ımkami a, b, c, d.

Definice 1.6.2 Je-li (abcd) = −1 ˇr´ıkáme, ˇze pˇr´ımky a, b, c, d tvoˇr´ı harmonickou ˇctveˇrici nebo ˇze c, d jsou harmonicky sdruˇzeny s pˇr´ımkami a, b nebo ˇze pˇr´ımka d je harmonicky sdruˇzena s pˇr´ımkou c vzhledem k pˇr´ımkám a, b nebo ˇze pˇr´ımka d je ˇctvrtá harmonická k pˇr´ımkám a, b, c.

Definice 1.6.3 Necht’ A∞ , B∞ , C∞ , D∞ jsou ˇctyˇri navzájem r˚ uzné nevlastn´ı body projektivn´ı roviny. Dvojpomˇer (A∞ B∞ C∞ D∞ ) tˇechto bod˚ u definujeme jako dvojpomˇer pˇr´ımek (abcd), kde a = SA∞ , b = SB∞ , c = SC∞ , d = SD∞ a bod S je libovoln´ y vlastn´ı bod projektivn´ı roviny.

V ˇcem spoˇc´ıvá v´ yznam Pappovy vˇety?

1.7

Princip duality

Pˇri podrobnˇejˇs´ım studiu projektivn´ı geometrie lze mezi urˇcit´ ymi páry vˇet této teorie 3 nalézt vzájemn´ y vztah, tzv. princip duality . Následuj´ıc´ı vˇeta tento vztah popisuje. Vˇ eta 1.7.1 Z kaˇzdé vˇety V plynouc´ı v projektivn´ı rovinné geometrii z axiom˚ u P1, ∗ P2, P3 dostaneme novou platnou vˇetu V , tzv. duáln´ı vˇetu, zamˇen´ıme-li pojmy bod a pˇr´ımka, procház´ı bodem a leˇz´ı na pˇr´ımce, protneme a spoj´ıme, kolineárn´ı a procházej´ıc´ı jedn´ım bodem. Obsahuje-li nˇejaká vˇeta projektivn´ı geometrie pouze pojmy, ke kter´ ym lze vytvoˇrit pojmy duáln´ı, je moˇzné k této vˇetˇe vyslovit vˇetu duáln´ı, kterou jiˇz nen´ı tˇreba dokazovat. Pˇr´ıpadn´ y d˚ ukaz by prob´ıhal duálnˇe k d˚ ukazu vˇety p˚ uvodn´ı. Platnost principu duality v projektivn´ı rovinné geometrii lze zd˚ uvodnit volbou axiom˚ u této teorie. Aplikujeme-li princip duality na axiomy P1, P2 a P3, dostaneme duáln´ı axiomy P1∗ , P2∗ a P3∗ . 3

Princip duality objevil francouzsk´ y matematik Jean-Victor Poncelet v roce 1822.

21

P1∗ ∀p, q ∈ P, p 6= q, ∃!X ∈ B : X ∈ p ∧ X ∈ q P2∗ ∀X, Y ∈ B, X 6= Y, ∃!p ∈ P : X, Y ∈ p P3∗ Existuj´ı ˇctyˇri pˇr´ımky, z nichˇz ˇzádné tˇri neprocház´ı t´ ymˇz bodem. Z tˇechto duáln´ıch axiom˚ u lze vybudovat tutéˇz teorii projektivn´ı rovinné geometrie, která se bude liˇsit jen formálnˇe. Konkrétnˇe axiom P3 bude v této teorii vˇetou a naopak axiom P3∗ je vˇetou v naˇs´ı teorii. Pˇri porovnán´ı obou systém˚ u axiom˚ u je vidˇet, ˇze axiom P1 je totoˇzn´ y s axiomem P2∗ a axiom P2 je totoˇzn´ y s axiomem P1∗ . Tato vlastnost axiom˚ u nám dovoluje zavést princip duality. V afinn´ı rovinné geometrii princip duality neplat´ı, jelikoˇz k axiomu A1 neexistuje axiom duáln´ı. V teorii afinn´ı rovinné geometrie bychom museli nalézt vˇetu, která by ˇr´ıkala, ˇze kaˇzdé dvˇe pˇr´ımky maj´ı spoleˇcn´ y právˇe jeden bod, coˇz je v rozporu v axiomem A2. Dále také nelze dualizovat metrické pojmy afinn´ı geometrie. Kaˇzdá vˇeta dokazatelná z jednoho systému axiom˚ u je v duáln´ım znˇen´ı dokazatelná z duáln´ıho systému axiom˚ u. Dualizujte vˇety, které plat´ı pro projektivn´ı roviny.

22

1.8

Roviny desarguesovsk´ e, pappovsk´ e a fanovsk´ e

K axiom˚ um z definice projektivn´ı roviny je moˇzné pˇridat dalˇs´ı axiomy a definovat tak projektivn´ı roviny s r˚ uzn´ ymi vlastnostmi. P4 Jsou-li A, B, C ∈ π, A0 , B 0 , C 0 ∈ π dvˇe trojice navzájem r˚ uzn´ ych bod˚ u projektivn´ı 0 0 0 0 0 roviny takové, ˇze O = AA ∩BB ∩CC , pak body P = AB ∩A B , Q = AC ∩A0 C 0 a R = BC ∩ B 0 C 0 jsou kolineárn´ı (Obr. 1.8.1). Definice 1.8.1 Projektivn´ı rovina, pro kterou plat´ı Desargues˚ uv axiom P4, se naz´ yvá desarguesovská.

Obr. 1.8.1 V projektivn´ı rovinˇe je nutné tuto vlastnost zajistit axiomaticky. V projektivn´ım prostoru ji vˇsak lze dokázat ze základn´ıch axiom˚ u, jelikoˇz k jej´ımu d˚ ukazu je tˇreba vyuˇz´ıt prostorov´ ych vlastnost´ı, které v projektivn´ı rovinˇe nejsou k dispozici. P5 Jsou-li p, p0 ⊂ π dvˇe navzájem r˚ uzné pˇr´ımky projektivn´ı roviny, A, B, C ∈ p 0 0 0 0 a A , B , C ∈ p jsou navzájem r˚ uzné body a r˚ uzné od pr˚ useˇc´ıku p ∩ p0 , pak body P = AB 0 ∩ A0 B, Q = AC 0 ∩ A0 C a R = BC 0 ∩ B 0 C jsou kolineárn´ı (Obr. 1.8.2).

Obr. 1.8.2 23

Definice 1.8.2 Projektivn´ı rovina, pro kterou plat´ı Papp˚ uv axiom P5, se naz´ yvá pappovská.

Mezi rovinami desarguesovsk´ ymi a pappovsk´ ymi existuje vzájemn´ y vztah. Kaˇzdá rovina pappovská je také rovinou desarguesovskou. Existuj´ı vˇsak roviny, které jsou desarguesovské, ale nejsou pappovské. Pˇred vysloven´ım dalˇs´ıho axiomu a axiomu k nˇemu duáln´ıho uvedeme definice dvou navzájem duáln´ıch pojm˚ u, kter´ ych se tyto axiomy t´ ykaj´ı a se kter´ ymi budeme nadále pracovat.

Definice 1.8.3 Mnoˇzina {A, B, C, D} ⊂ π ˇctyˇr bod˚ u projektivn´ı roviny, z nichˇz ˇza´dné tˇri nejsou kolineárn´ı, se naz´ yvá u ´plný ˇctyˇrroh. Body A, B, C, D se naz´ yvaj´ı vrcholy u ´plného ˇctyˇrrohu, pˇr´ımky spojuj´ıc´ı vrcholy se naz´ yvaj´ı strany u ´plného ˇctyˇrrohu. Dvojice pˇr´ımek AB a CD, AC a BD, AD a BC se naz´ yvaj´ı protˇejˇs´ı strany u ´plného ˇctyˇrrohu. Body E = AB ∩CD, F = AC ∩BD a G = AD∩BC se naz´ yvaj´ı diagonáln´ı body u ´plného ˇctyˇrrohu a tvoˇr´ı tzv. diagonáln´ı troj´ uheln´ık (Obr. 1.8.3).

Obr. 1.8.3 Definice 1.8.3∗ Mnoˇzina {a, b, c, d} ⊂ π ˇctyˇr pˇr´ımek projektivn´ı roviny, z nichˇz ˇza´dné tˇri neprocházej´ı t´ ymˇz bodem, se naz´ yvá u ´plný ˇctyˇrstran. Pˇr´ımky a, b, c, d se naz´ yvaj´ı strany u ´plného ˇctyˇrstranu, pr˚ useˇc´ıky dvou stran se naz´ yvaj´ı vrcholy u ´plného ˇctyˇrstranu. Body a ∩ b a c ∩ d, a ∩ c a b ∩ d, a ∩ d a b ∩ c se naz´ yvaj´ı protˇejˇs´ı vrcholy u ´plného ˇctyˇrstranu, pˇr´ımky e, f, g spojuj´ıc´ı protˇejˇs´ı vrcholy se naz´ yvaj´ı diagonáln´ı pˇr´ımky a tvoˇr´ı tzv. diagonáln´ı troj´ uheln´ık (Obr. 1.8.4).

P6 Diagonáln´ı body E, F, G ˇza´dného u ´plného ˇctyˇrrohu obsaˇzeného v projektivn´ı rovinˇe π nejsou kolineárn´ı. 24

P6∗ Diagonáln´ı pˇr´ımky e, f, g ˇza´dného u ´plného ˇctyˇrstranu obsaˇzeného v projektivn´ı rovinˇe π neprocházej´ı t´ ymˇz bodem. Definice 1.8.4 Projektivn´ı rovina, která nesplˇ nuje Fan˚ uv axiom P6, se naz´ yvá fanovská. V opaˇcném pˇr´ıpadˇe se naz´ yvá antifanovská.

Obr. 1.8.4 K Desarguesovu a Pappovu axiom je také moˇzné vyslovit axiomy duáln´ı. Pˇriˇcemˇz splˇ nuje-li projektivn´ı rovina axiom Desargues˚ uv, resp. Papp˚ uv, resp. Fan˚ uv, pak v n´ı plat´ı i axiom duáln´ı. Jiˇz dˇr´ıve jsme ukázali, ˇze rozˇs´ıˇrená eukleidovská rovina je projektivn´ı rovinou. Zaj´ımá nás tedy, zda splˇ nuje i nˇekter´ y z právˇe uveden´ ych axiom˚ u. Lze dokázat, ˇze rozˇs´ıˇrená eukleidovská rovina je pappovská a antifanovská projektivn´ı rovina. Splˇ nuje tedy vˇsechny uvedené axiomy. ´ y ˇctyˇrroh, u Upln´ ´pln´ y ˇctyˇrstran.

1.9

Harmonick´ e vlastnosti u ´ pln´ eho ˇ ctyˇ rrohu a ˇ ctyˇ rstranu V projektivn´ı geometrii ˇcasto ˇreˇs´ıme u ´lohu, kdy ke tˇrem prvk˚ um, bod˚ um ˇci pˇr´ımkám, máme nalézt ˇctvrt´ y harmonick´ y prvek. Existuje nˇekolik r˚ uzn´ ych konstrukc´ı, jak ˇctvrt´ y harmonick´ y prvek sestrojit. Nˇekteré z tˇechto konstrukc´ı jsou zaloˇzeny na metrice a jiné jsou ˇcistˇe projektivn´ı. Dˇr´ıve neˇz ukáˇzeme, jak danou u ´lohu ˇreˇsit projektivn´ımi prostˇredky, uvedeme nˇekolik vlastnost´ı u ´plného ˇctyˇrrohu au ´plného ˇctyˇrstranu, které pˇri ˇreˇsen´ı vyuˇzijeme. 25

Vˇ eta 1.9.1 Na kaˇzdé stranˇe u ´plného ˇctyˇrrohu tvoˇr´ı dva vrcholy, diagonáln´ı bod a pr˚ useˇc´ık jeho protˇejˇs´ı diagonály se stranou harmonickou ˇctveˇrici bod˚ u (Obr. 1.9.1). Vˇ eta 1.9.1∗ V kaˇzdém vrcholu u ´plného ˇctyˇrstranu tvoˇr´ı dvˇe strany, diagonáln´ı pˇr´ımka a spojnice jej´ıho protˇejˇs´ıho diagonáln´ıho bodu s vrcholem harmonickou ˇctveˇrici pˇr´ımek (Obr.1.9.2).

Obr. 1.9.1

Obr. 1.9.2 Vˇ eta 1.9.2 Dvojice protilehlých stran u ´plného ˇctyˇrrohu dˇel´ı harmonicky dvojici diagonál procházej´ıc´ıch pr˚ useˇc´ıkem tˇechto stran. Vˇ eta 1.9.2∗ Dvojice protˇejˇs´ıch vrchol˚ u u ´plného ˇctyˇrstranu dˇel´ı harmonicky dvojici diagonáln´ıch bod˚ u leˇz´ıc´ıch na spojnici tˇechto vrchol˚ u.

26

Vˇ eta 1.9.3 Na diagonále u ´plného ˇctyˇrrohu tvoˇr´ı harmonickou ˇctveˇrici dva diagonáln´ı body a dva pr˚ useˇc´ıky této diagonály s dvojic´ı protˇejˇs´ıch stran procházej´ıc´ıch tˇret´ım diagonáln´ım bodem.

Vˇ eta 1.9.3∗ V diagonáln´ım bodˇe u ´plného ˇctyˇrstranu tvoˇr´ı harmonickou ˇctveˇrici dvˇe diagonáln´ı pˇr´ımky a dvˇe spojnice tohoto diagonáln´ıho bodu s protˇejˇs´ımi vrcholy leˇz´ıc´ımi na tˇret´ı diagonáln´ı pˇr´ımce.

Tˇechto uveden´ ych vlastnost´ı lze vyuˇz´ıt k ryze projektivn´ı konstrukci ˇctvrtého harmonického bodu. Konstrukce 1.9.1 Jsou dány tˇri kolineárn´ı vlastn´ı body A, B, C. Sestrojte bod D tak, aby (ABCD) = −1.

Obr. 1.9.3 Postup (Obr. 1.9.3): Bodem C vedeme pˇr´ımku c, bodem A pˇr´ımky a, a0 a bodem B pˇr´ımky b, b0 tak, aby a ∩ b ∈ c a a0 ∩ b0 ∈ c. Body a ∩ b0 a a0 ∩ b urˇcuj´ı pˇr´ımku d, na které leˇz´ı hledan´ y bod D (vˇeta 1.9.1). Nebot’ jsme tak sestrojili u ´pln´ y ˇctyˇrroh, ve kterém jsou body A, B jeho vrcholy, bod C je diagonáln´ım bodem na stranˇe AB a bod D je pr˚ useˇc´ıkem diagonály se stranou AB. Konstrukce 1.9.1∗ Jsou dány tˇri vlastn´ı pˇr´ımky a, b, c, které procházej´ı bodem S. Sestrojte pˇr´ımku d tak, aby (abcd) = −1. 27

Obr. 1.9.4 Postup (Obr. 1.9.4): Na pˇr´ımce a zvol´ıme dva body A, A0 a na pˇr´ımce c zvol´ıme bod C. Pˇr´ımky AC a A0 C protnou pˇr´ımku b v bodech B, B 0 . Hledaná pˇr´ımka d je urˇcena bodem S a bodem D, kde D = AB 0 ∩ A0 B. Konstrukce 1.9.2 Jsou dány tˇri kolineárn´ı vlastn´ı body A, B, C. Sestrojte bod D tak, aby (ABCD) = −1. Postup (Obr. 1.9.5): Body A, B, C vedeme pˇr´ımky a, b, c. Pˇr´ımka c protne pˇr´ımky a, b v bodech A0 , B 0 . Bod D je pr˚ useˇc´ıkem pˇr´ımek p ∩ d, kde pˇr´ımka d je urˇcena jako spojnice 0 0 bod˚ u (a ∩ b) a (AB ∩ A B).

Obr. 1.9.5 Konstrukce 1.9.2∗ Jsou dány tˇri vlastn´ı pˇr´ımky a, b, c, které procházej´ı bodem S. Sestrojte pˇr´ımku d tak, aby (abcd) = −1. Postup (Obr. 1.9.6): Na pˇr´ımkách a, b, c zvol´ıme body A, B, C. Spojnice AC protne pˇr´ımku b v bodˇe B 0 , spojnice BC protne pˇr´ımku a v bodˇe A0 . Pˇr´ımka d procház´ı bodem S a pr˚ useˇc´ıkem (AB 0 ∩ A0 B). 28

Obr. 1.9.6

1.10

Perspektivn´ı a projektivn´ı zobrazen´ı

Jedn´ım ze základn´ıch u ´tvar˚ u v projektivn´ı geometrii je svazek pˇr´ımek. K tomuto u ´tvaru lze zavést pojem duáln´ı a studovat vzájemné vztahy tˇechto u ´tvar˚ u.

Definice 1.10.1 Mnoˇzina vˇsech bod˚ u dané pˇr´ımky p se naz´ yvá pˇr´ımá ˇrada bodová. Pˇr´ımka p se naz´ yvá nositelka ˇrady a ˇradu znaˇc´ıme p (A, B, C, . . .) nebo [ p ].

Definice 1.10.2 Bud’ [ p ] pˇr´ımá ˇrada bodová, [ P ] svazek pˇr´ımek a pˇredpokládejme, ˇze stˇred svazku neleˇz´ı na nositelce ˇrady. Zobrazen´ı φ : [ P ] → [ p ], resp. φ−1 : [ p ] → [ P ] definované vztahem a → A = a ∩ p, resp. A → a = AP , se naz´ yvá perspektivn´ım zobrazen´ım (perspektivitou) svazku [ P ] na ˇradu [ p ]. Znaˇc´ıme φ : [ p ] [ [ P ].

V tomto pˇr´ıpadˇe pˇr´ımou ˇradu bodovou naz´ yváme ˇrezem tohoto svazku, a obrácenˇe svazek pˇr´ımek naz´ yváme pr˚ umˇetem této ˇrady. 29

Obr. 1.10.1

Jelikoˇz má pˇr´ımá ˇrada bodová i svazek pˇr´ımek stejnˇe prvk˚ u a perspektivn´ı zobrazen´ı je prosté, je perspektivita bijekc´ı. Nebudeme tedy rozliˇsovat mezi perspektivitou φ a φ−1 . Perspektivitu je moˇzné definovat i pro dvˇe ˇrady bodové ˇci dva svazky pˇr´ımek.

Definice 1.10.3 Necht’ [ p ], [ q ] jsou dvˇe pˇr´ımé ˇrady bodové, zobrazen´ı ρ : [ p ] → [ q ] naz´ yváme perspektivitou ˇrad [ p ], [ q ], jestliˇze existuje takov´ y svazek [ O ], jehoˇz stˇred neleˇz´ı na ˇza´dné z dan´ ych ˇrad, ˇze zobrazen´ı ρ je sloˇzen´ım perspektivit svazku [ O ] po ˇradˇe na pˇr´ımé ˇrady bodové [ p ], [ q ]. Stˇred tohoto svazku nazveme stˇredem O

perspektivity pˇr´ım´ ych ˇrad bodov´ ych [ p ], [ q ]. Znaˇc´ıme ρ : [ p ] [ [ q ].

Definice 1.10.3∗ Necht’ [ P ], [ P 0 ] jsou dva svazky pˇr´ımek, zobrazen´ı ρ : [ P ] → [ P 0 ] naz´ yváme perspektivitou svazk˚ u [ P ], [ P 0 ], jestliˇze existuje pˇr´ımá ˇrada bodová [ o ] neprocházej´ıc´ı stˇredy dan´ ych svazk˚ u tak, ˇze zobrazen´ı ρ je sloˇzen´ım perspektivit 0 ˇrady [ o ] po ˇradˇe na svazky [ P ], [ P ]. Pˇr´ımou ˇradu bodovou [ o ] nazveme osou o

perspektivity svazk˚ u [ P ], [ P 0 ]. Znaˇc´ıme ρ : [ P ] [ [ P 0 ] (Obr. 1.10.2). 30

Obr. 1.10.2

Z definice perspektivity plyne, ˇze dvˇe pˇr´ımé ˇrady bodové jsou perspektivn´ı, jestliˇze jsou ˇrezem téhoˇz svazku. A duálnˇe, dva svazky pˇr´ımek jsou perspektivn´ı, jestliˇze jsou pr˚ umˇetem téˇze ˇrady. Definice 1.10.4 Prvek, kter´ y je v nˇejaké geometrické pˇr´ıbuznosti pˇriˇrazen sám sobˇe, se naz´ yvá samodruˇzný. Pˇr´ıbuznost, v n´ıˇz je kaˇzd´ y prvek samodruˇzn´ y, se naz´ yvá identita.

Vˇ eta 1.10.1 V perspektivnosti dvou pˇr´ımých ˇrad bodových je pr˚ useˇc´ık jejich nositelek samodruˇzný bod.

Vˇ eta 1.10.1∗ V perspektivnosti dvou svazk˚ u pˇr´ımek je spojnice jejich stˇred˚ u samodruˇzná pˇr´ımka.

O urˇcenosti perspektivity hovoˇr´ı následuj´ıc´ı navzájem duáln´ı vˇety. Vˇ eta 1.10.2 Necht’ [ p ], [ q ] jsou dvˇe r˚ uzné pˇr´ımé ˇrady bodové, necht’ jsou dány navzájem r˚ uzné body A1 , A2 ∈ [ p ], B1 , B2 ∈ [ q ], které jsou zároveˇ n r˚ uzné od pr˚ useˇc´ıku pˇr´ımek p, q. Pak existuje jediná perspektivita ˇrady [ p ] na ˇradu [ q ], v n´ıˇz A1 → B1 a A2 → B2 .

31

Vˇ eta 1.10.2∗ Necht’ [ P ], [ Q ] jsou dva r˚ uzné svazky pˇr´ımek, necht’ jsou dány navzájem r˚ uzné pˇr´ımky a1 , a2 ∈ [ P ], b1 , b2 ∈ [ Q ], které jsou r˚ uzné od spojnice bod˚ u P , Q. Pak existuje jediná perspektivita svazku [ P ] na svazek [ Q ], v n´ıˇz a1 → b 1 a a2 → b 2 .

Je-li v perspektivitˇe ˇrad, resp. svazk˚ u, p = q, resp. P = Q, pak je zˇrejmˇe daná perspektivita identitou. Obecnˇe lze tedy ˇr´ıci, ˇze perspektivita, která nen´ı identitou, je urˇcena dvˇema páry odpov´ıdaj´ıc´ıch si prvk˚ u. Dále je moˇzné ukázat, ˇze perspektivn´ı zobrazen´ı zachovává dvojpomˇer. Jelikoˇz sloˇzen´ı dvou perspektivit nen´ı obecnˇe perspektivitou, zavád´ıme tzv. projektivn´ı zobrazen´ı, které je obecnˇejˇs´ı. Definice 1.10.5 Necht’ p, p0 jsou dvˇe ne nutnˇe r˚ uzné pˇr´ımky. Zobrazen´ı ˇrady p (A, B, C, . . .) na ˇradu p0 (A0 , B 0 , C 0 , . . .), které m˚ uˇze b´ yt vyjádˇreno sloˇzen´ım koneˇcného poˇctu perspektiv, se naz´ yvá projektivn´ı zobrazen´ı. Struˇcnˇe projektivitou ˇrad. 0 0 Znaˇc´ı se p (A, B, C, . . .) Z p (A , B 0 , C 0 , . . .) (Obr. 1.10.3, 1.10.4).

Obr. 1.10.3 Z definice projektivn´ıho zobrazen´ı plyne, ˇze zachovává dvojpomˇer, a oproti perspektivitˇe nav´ıc plat´ı, ˇze sloˇzen´ı koneˇcného poˇctu projektivit dává opˇet projektivitu. Vˇetu o urˇcenosti (tzv. Fundamentáln´ı teorém) vyslov´ıme pouze pro projektivn´ı zobrazen´ı dvou ˇrad, pro ostatn´ı pˇr´ıpady zn´ı analogicky.

32

V pˇr´ıpadˇe projektivn´ıho zobrazen´ı m˚ uˇze nastat situace, kdy pˇr´ımky p a p0 splynou, viz Obr. 1.10.4:

Obr. 1.10.4 Vˇ eta 1.10.3 (Fundamentáln´ı teorém) Necht’ p, q jsou dvˇe pˇr´ımky projektivn´ı roviny. A, B, C jsou tˇri navzájem r˚ uzné body pˇr´ımky p a A0 , B 0 , C 0 jsou tˇri navzájem r˚ uzné body pˇr´ımky q, vˇsechny r˚ uzné od pr˚ useˇc´ıku pˇr´ımek p a q. Pak existuje jediná projektivita ρ : [ p ] → [ q ], která zobraz´ı A → A0 , B → B 0 a C → C 0 .

V rozˇs´ıˇrené eukleidovské rovinˇe je fundamentáln´ı teorém ekvivalentn´ı Pappovu axiomu a projektivita je v n´ı tedy urˇcena tˇremi páry odpov´ıdaj´ıc´ıch si bod˚ u. Vˇ eta 1.10.4 Projektivnost dvou nesoum´ıstných pˇr´ımých ˇrad bodových lze vytvoˇrit sloˇzen´ım nejvýˇse dvou perspektiv.

Definice 1.10.6 Dvˇe pˇr´ımé ˇrady bodové [ p ], [ q ] nazveme soum´ıstnými, jestliˇze p = q. V opaˇcném pˇr´ıpadˇe je naz´ yváme nesoum´ıstnými.

Definice 1.10.6∗ Dva svazky pˇr´ımek [ P ], [ Q ] nazveme soum´ıstnými, jestliˇze P = Q. V opaˇcném pˇr´ıpadˇe je naz´ yváme nesoum´ıstnými. Projektivity dvou soum´ıstn´ ych ˇrad, resp. svazk˚ u, dále dˇel´ıme podle poˇctu samodruˇzn´ ych prvk˚ u. Jestliˇze v projektivitˇe soum´ıstn´ ych u ´tvar˚ u existuj´ı tˇri r˚ uzné samodruˇzné 33

prvky, pak z fundamentáln´ıho teorému vypl´ yvá, ˇze je tato projektivita identitou. Soum´ıstná projektivita, která nen´ı identitou, m˚ uˇze tedy m´ıt nejv´ yˇse dva r˚ uzné samodruˇzné prvky. Vˇ eta 1.10.5 Kaˇzdá neidentická projektivnost dvou soum´ıstných ˇrad bodových (svazk˚ u pˇr´ımek) má vˇzdycky právˇe dva samodruˇzné body (pˇr´ımky), které jsou bud’ reálné r˚ uzné, nebo splývaj´ıc´ı, nebo imaginárnˇe sdruˇzené (Obr. 1.10.5, 1.10.6).

Obr. 1.10.5

Obr. 1.10.6 34

Definice 1.10.7 Projektivita dvou soum´ıstn´ ych u ´tvar˚ u se dvˇema r˚ uzn´ ymi samodruˇzn´ ymi prvky se naz´ yvá hyperbolická. S jedn´ım samodruˇzn´ ym prvkem se naz´ yvá 4 parabolická. Projektivita bez samodruˇzn´ ych prvk˚ u se naz´ yvá eliptická .

Pro hyperbolické projektivity lze dokázat následuj´ıc´ı duáln´ı vˇety, kter´ ych vyuˇz´ıváme pˇri doplˇ nován´ı tˇechto projektivit. Vˇ eta 1.10.6 Necht’ X, Y jsou dva r˚ uzné samodruˇzné body soum´ıstné projektivity 0 ˇrad. Potom dvojpomˇer (XY AA ) = k, kde A, A0 jsou libovolné body r˚ uzné od X, Y ˇ odpov´ıdaj´ıc´ı si v této projektivitˇe. C´ıslo k se nazývá charakteristika projektivity ˇrad.

Vˇ eta 1.10.6∗ Necht’ x, y jsou dvˇe r˚ uzné samodruˇzné pˇr´ımky soum´ıstné projektivity 0 svazk˚ u. Potom dvojpomˇer (xyaa ) = k, kde a, a0 jsou libovolné pˇr´ımky r˚ uzné od x, y ˇ ıslo k se nazývá charakteristika projektivity svazk˚ odpov´ıdaj´ıc´ı si v této projektivitˇe. C´ u.

Z definice projektivity je zˇrejmé, ˇze kaˇzdá perspektivita je souˇcasnˇe projektivitou. Pro nesoum´ıstné projektivn´ı u ´tvary m˚ uˇzeme vyslovit kritérium, kdy je daná projektivita perspektivitou. Vˇ eta 1.10.7 Dvˇe nesoum´ıstné projektivn´ı ˇrady jsou perspektivn´ı právˇe tehdy, kdyˇz je jejich pr˚ useˇc´ık samodruˇzný bod.

Vˇ eta 1.10.7∗ Dva nesoum´ıstné projektivn´ı svazky jsou perspektivn´ı právˇe tehdy, kdyˇz je spojnice jejich stˇred˚ u samodruˇzná pˇr´ımka.

K doplˇ nován´ı nesoum´ıstn´ ych projektivit vyuˇz´ıváme následuj´ıc´ıch vlastnost´ı. Vˇ eta 1.10.8 Jsou-li dány dvˇe nesoum´ıstné projektivn´ı ˇrady bodové, potom pr˚ useˇc´ıky 0 0 0 0 0 0 AB ∩ A B, AC ∩ A C a BC ∩ B C leˇz´ı na pˇr´ımce, tzv. direkˇcn´ı ose daných ˇrad. Direkˇcn´ı osa prot´ıná nositelky v bodech, které odpov´ıdaj´ı pr˚ useˇc´ıku obou nositelek (Obr. 1.10.7).

4

Pokud v projektivn´ı geometrii pracujeme s komplexn´ımi prvky, dostáváme pro samodruˇzné prvky tyto moˇznosti: dva r˚ uzné re´ alné samodruˇzné prvky, jeden dvojnásobn´ y reáln´ y samodruˇzn´ y prvek, dva imagin´ arnˇe sdruˇzené samodruˇzné prvky.

35

Obr. 1.10.7

Vˇ eta 1.10.8∗ Jsou-li dány dva nesoum´ıstné projektivn´ı svazky pˇr´ımek, potom následuj´ıc´ı pˇr´ımky (a ∩ b0 ) (a0 ∩ b), (a ∩ c0 ) (a0 ∩ c) a (b ∩ c0 ) (b0 ∩ c) procházej´ı týmˇz bodem, tzv. direkˇcn´ım stˇredem daných svazk˚ u. Spojnice direkˇcn´ıho stˇredu se stˇredy daných svazk˚ u jsou pˇr´ımky, které v dané projektivitˇe odpov´ıdaj´ı spojnici stˇred˚ u daných svazk˚ u (Obr. 1.10.8).

Obr. 1.10.8

Perspektivita, projektivita, soum´ıstné projektivn´ı ˇrady bodové, soum´ıstné projektivn´ı svazky pˇr´ımek.

Konstrukce 1.10.1 Projektivita dvou nesoum´ıstn´ ych svazk˚ u [ P ] , [ P 0 ] je urˇcena tˇremi páry odpov´ıdaj´ıc´ıch si pˇr´ımek a, b, c, a0 , b0 , c0 . K dané pˇr´ımce d svazku [ P ] sestrojte odpov´ıdaj´ıc´ı pˇr´ımku d0 svazku [ P 0 ]. 36

Obr. 1.10.9 Postup (Obr.1.10.9): Oznaˇc´ıme a ∩ b0 = 1, a0 ∩ b = 2, b ∩ c0 = 3, b0 ∩ c = 4, d ∩ b0 = 5. Direkˇcn´ı stˇred O projektivn´ıch svazk˚ u [ P ], [ P 0 ] sestroj´ıme jako pr˚ useˇc´ık pˇr´ımek 12 a 34. Pˇr´ımka O5 prot´ıná pˇr´ımku b v bodˇe 6, kter´ ym procház´ı hledaná pˇr´ımka d0 . Konstrukce 1.10.2 Projektivita dvou nesoum´ıstn´ ych svazk˚ u [ P ] a [ P 0 ] je urˇcena tˇremi páry odpov´ıdaj´ıc´ıch si pˇr´ımek a, b, c, a0 , b0 , c0 . K pˇr´ımce P P 0 svazku [ P 0 ] sestrojte odpov´ıdaj´ıc´ı pˇr´ımku p svazku [ P ].

Obr. 1.10.10 Postup (Obr. 1.10.10): Podle vˇety 1.10.8∗ procház´ı pˇr´ımka p direkˇcn´ım stˇredem projektivn´ıch svazk˚ u [ P ], [ P 0 ]. Direkˇcn´ı stˇred sestroj´ıme stejnˇe jako v konstrukci 1.10.1 Hledaná pˇr´ımka p je tedy urˇcena body P , O. 37

´ Uloha 1.10.1 Jsou dány dvˇe pˇr´ımky nesoum´ıstné projektivn´ı ˇrady bodové p, p0 urˇcené páry odpov´ıdaj´ıc´ıch si bod˚ u AA0 , BB 0 , CC 0 . K danému bodu D ∈ p sestrojte D0 ∈ p0 a k danému bodu E 0 ∈ p0 sestrojte E ∈ p. ˇ sen´ı (Obr. 1.10.11): Na pˇr´ımce AA0 zvol´ıme body O, O0 . Z bodu O prom´ıtneme Reˇ body B, C a z bodu O0 prom´ıtneme body B 0 , C 0 . Oznaˇc´ıme B 00 = OB ∩ O0 B 0 a C 00 = OC ∩ O0 C 0 , p00 = B 00 C 00 , AA0 ∩ p00 = A00 . K bodu D najdeme bod D0 tak, ˇze urˇc´ıme bod D00 jakoˇzto pr˚ useˇc´ık spojnice OD s pˇr´ımkou p00 a bod D0 dostaneme jako pr˚ useˇc´ık pˇr´ımky p0 se spojnic´ı O0 D00 . Z Obr. 1.10.11 je dále patrná i konstrukce bodu E ∈ p.

Obr. 1.10.11

´ Uloha 1.10.2 Doplˇ nte dvˇe soum´ıstné projektivn´ı ˇrady p = p0 , je-li dán jeden pár odpov´ıdaj´ıc´ıch si bod˚ u AA0 a dva samodruˇzné body X = X 0 , Y = Y 0 . ˇ sen´ı: Zvol´ıme body O, O0 tak, aby jejich spojnice procházela bodem Y . Z bodu Reˇ O prom´ıtneme bod A a z bodu O0 prom´ıtneme bod A0 . Oznaˇc´ıme A00 = OA∩O0 A0 a p00 = A00 X. K bodu B najdeme bod B 0 tak, ˇze urˇc´ıme bod B 00 jakoˇzto pr˚ useˇc´ık 00 0 spojnice OB s pˇr´ımkou p a bod B dostaneme jako pr˚ useˇc´ık pˇr´ımky p se spojnic´ı 0 00 OB . 38

1.11

Involuce

U soum´ıstn´ ych u ´tvar˚ u lze studovat speciáln´ı druh projektivn´ıho zobrazen´ı, které sloˇzeno samo se sebou dává identitu. Takovéto zobrazen´ı naz´ yváme involutorn´ım (involuc´ı). Definice 1.11.1 Involutorn´ım párem bod˚ u (pˇr´ımek) rozum´ıme takov´ y pár, pro 0 0 0 kter´ y plat´ı, jestliˇze f : A → A , pak (A = B ) ⇒ (A = B). Tedy A ↔ B.

Vˇ eta 1.11.1 Jestliˇze v projektivnosti dvou soum´ıstných u ´tvar˚ u existuje kromˇe samodruˇzných prvk˚ u alespoˇ n jeden involutorn´ı pár, potom jsou vˇsechny páry involutorn´ı a daná projektivnost je involutorn´ı.

Tato vˇeta je kritérium, kdy je daná projektivita involuc´ı. V involuci nerozliˇsujeme vzor a obraz.

Vˇ eta 1.11.2 Involuce je urˇcena dvˇema páry odpov´ıdaj´ıc´ıch si prvk˚ u.

Pˇr´ıkladem involuce je stˇredová soumˇernost na pˇr´ımce. Dále je moˇzné ukázat, ˇze kaˇzdá involuce má bud’ dva r˚ uzné samodruˇzné prvky nebo nemá ˇza´dn´ y samodruˇzn´ y prvek. Pokud bereme v u ´vahu involuci jako stˇredovou soumˇernost na pˇr´ımce, tak tato involuce nemá ˇzádné reálné samodruˇzné prvky. Stˇredu stˇredové soumˇernosti v involuci odpov´ıdá nevlastn´ı bod dané pˇr´ımky. Vˇ eta 1.11.3 Involuce, jej´ıˇz samodruˇzné prvky jsou reálné, se nazývá hyperbolická involuce, involuce, jej´ıˇz samodruˇzné prvky jsou imaginárnˇe sdruˇzené, se nazývá eliptická.

Vˇ eta 1.11.4 Jestliˇze se páry odpov´ıdaj´ıc´ıch si prvk˚ u v dané involuci oddˇeluj´ı, je daná involuce eliptická. Neoddˇeluj´ı-li se, je hyperbolická.

U hyperbolické involuce m˚ uˇzeme hovoˇrit o jej´ı charakteristice. Lze dokázat, ˇze libovoln´ y pár odpov´ıdaj´ıc´ıch si prvk˚ u oddˇeluje harmonicky dvojici samodruˇzn´ ych prvk˚ u. Charakteristika hyperbolické involuce je tedy rovna −1. 39

Vˇ eta 1.11.5 Projektivnost je involuc´ı právˇe tehdy, kdyˇz je jej´ı charakteristika rovna −1.

Kaˇzdé involuci pˇr´ım´ ych ˇrad bodov´ ych lze jednoznaˇcnˇe pˇriˇradit ˇc´ıselnou hodnotu tzv. mocnost involuce. Mocnost jiˇz nen´ı, oproti charakteristice hyperbolické involuce, pro vˇsechny involuce stejná. Definice 1.11.2 Stˇredem involuce pˇr´ım´ ych ˇrad bodov´ ych se naz´ yvá takov´ y vlastn´ı bod pˇr´ımky, kter´ y odpov´ıdá nevlastn´ımu bodu.

Pokud nevlastn´ımu bodu odpov´ıdá opˇet nevlastn´ı bod, stˇred involuce neexistuje. K pojmu stˇred involuce neexistuje duáln´ı pojem. Pro urˇcen´ı involuce staˇc´ı zadat stˇred involuce a pár odpov´ıdaj´ıc´ıh si bod˚ u.

Vˇ eta 1.11.6 Souˇcin orientovaných vzdálenost´ı odpov´ıdaj´ıc´ıch si vlastn´ıch bod˚ u v involuci od stˇredu involuce je konstantn´ı a nazývá se mocnost involuce.

Jelikoˇz se odpov´ıdaj´ıc´ı si body hyperbolické involuce neoddˇeluj´ı, je jej´ı mocnost kladná. Pro eliptickou involuci naopak záporná. K pojmu stˇred involuce neexistuje pojem duáln´ı a tedy u involuce svazk˚ u nezavád´ıme jej´ı mocnost. Sestrojen´ı stˇredu involuce, samodruˇzn´ ych prvk˚ u a involutorn´ıch pár˚ u je moˇzné provádˇet ˇcistˇe projektivnˇe s vyuˇzit´ım vlastnost´ı projektivn´ıch u ´tvar˚ u. Pˇri konstrukc´ıch v rozˇs´ıˇrené eukleidovské rovinˇe lze také vyuˇz´ıt vlastnost´ı mocnosti involuce ˇrad. Konstrukce 1.11.1 Involuce je dána dvˇema páry odpov´ıdaj´ıc´ıch si bod˚ u A → A0 , B → B 0 . Urˇcete stˇred S této involuce.

Obr. 1.11.1 40

Obr. 1.11.2 Postup (Obr. 1.11.1, 1.11.2): Body A, B, resp. A0 , B 0 , vedeme navzájem rovnobˇeˇzné pˇr´ımky a, b, resp. a0 , b0 . Oznaˇc´ıme pr˚ useˇc´ıky a ∩ b0 = 1, a0 ∩ b = 2. Pˇr´ımka 12 prot´ıná nositelku projektivn´ıch ˇrad v hledaném stˇredu involuce S.5 Konstrukce 1.11.2 Hyperbolická involuce je dána stˇredem S a párem odpov´ıdaj´ıc´ıch si bod˚ u A → A0 . Urˇcete jej´ı samodruˇzné body X, Y .

Obr. 1.11.3 Postup (Obr. 1.11.3): Pro mocnost involuce plat´ı |SA| · |SA0 | = |SX|2 = |SY |2 . Pomoc´ı Eukleidovy vˇety o odvˇesnˇe tedy urˇc´ıme velikost u ´seˇcky SX, |SX| = |SM |. Hledané samodruˇzné body X, Y leˇz´ı na kruˇznici se stˇredem ve stˇredu involuce S a polomˇerem délky |SM |. Doplˇ nován´ı involuce svazk˚ u lze ˇreˇsit pˇreveden´ım na konstrukce v involuci pˇr´ım´ ych ˇrad bodov´ ych. Dále lze k doplˇ nován´ı involuce svazk˚ u ˇci ˇrad vyuˇz´ıt poznatk˚ u z teorie projektivn´ı geometrie kuˇzeloseˇcek. Tyto konstrukce uvedeme v následuj´ıc´ı kapitole. Pro involuci svazk˚ u vˇsak vyslov´ıme vˇetu, která nám v projektivn´ı geometrii kuˇzeloseˇcek dovol´ı zavést pojem os kuˇzeloseˇcky. Definice 1.11.3 Involuce svazk˚ u, ve které jsou vˇsechny odpov´ıdaj´ıc´ı si pˇr´ımky navzájem kolmé, se naz´ yvá pravo´ uhlá involuce.

5

Zd˚ uvodnˇen´ı konstrukce lze nalézt napˇr´ıklad v uˇcebnici [1], kde je uvedena i konstrukce pomoc´ı chord´ al.

41

Vˇ eta 1.11.7 V involuci svazk˚ u, která nen´ı pravo´ uhlá ani identická, existuje právˇe jeden pravo´ uhlý pár odpov´ıdaj´ıc´ıch si pˇr´ımek.

42

Kapitola 2 Projektivn´ı geometrie kuˇ zeloseˇ cek V této kapitole budeme pˇredpokládat, ˇze projektivn´ı rovina π je pappovská a antifanovská projektivn´ı rovina. Pˇri ˇreˇsen´ı u ´loh budeme nav´ıc poˇzadovat, aby tato projektivn´ı rovina byla rozˇs´ıˇrená eukleidovská rovina.

2.1

Definice a z´ akladn´ı vlastnosti kuˇ zeloseˇ cek

Definice 2.1.1 Necht’ jsou v projektivn´ı rovinˇe π dány dva nesoum´ıstné projektivn´ı svazky A (x, y, z, . . .), B (x0 , y 0 , z 0 , . . .). Mnoˇzina vˇsech pr˚ useˇc´ık˚ u odpov´ıdaj´ıc´ıch si pˇr´ımek v projektivitˇe ϕ se naz´ yvá kuˇzeloseˇcka v rovinˇe π. Znaˇc´ıme K (A, B, ϕ).

Dva nesoum´ıstné projektivn´ı svazky lze urˇcit pomoc´ı tˇr´ı pár˚ u odpov´ıdaj´ıc´ıch si 1 pˇr´ımek, tedy pˇeti r˚ uzn´ ymi body , z nichˇz ˇza´dné ˇctyˇri neleˇz´ı na téˇze pˇr´ımce. M˚ uˇzeme se vˇsak ptát obecnˇeji, zda ke kaˇzdé pˇetici bod˚ u existuje projektivita nesoum´ıstn´ ych svazk˚ u (kuˇzeloseˇcka), která tyto body obsahuje jako pr˚ useˇc´ıky odpov´ıdaj´ıc´ıch si pˇr´ımek. Vˇ eta 2.1.1 Necht’ A1 , A2 , A3 , A4 , A5 je pˇet r˚ uzných bod˚ u projektivn´ı roviny π, potom existuje taková kuˇzeloseˇcka K (A, B, ϕ), ˇze {A1 , A2 , A3 , A4 , A5 } ⊂ K (A, B, ϕ).

D˚ ukaz: Budeme se snaˇzit nalézt projektivitu svazk˚ u, která bude urˇcena pomoc´ı dan´ ych bod˚ u. Podle polohy bod˚ u rozdˇel´ıme d˚ ukaz na ˇctyˇri ˇcásti.

(1) Necht’ body A1 , A2 , A3 , A4 , A5 leˇz´ı na pˇr´ımce p. Zvol´ıme libovolné body P, P 0 neleˇz´ıc´ı na pˇr´ımce p a z tˇechto bod˚ u prom´ıtneme pˇr´ımkami danou pˇetici bod˚ u. Dostaneme 1

Dva stˇredy svazk˚ u a tˇri pr˚ useˇc´ıky odpov´ıdaj´ıc´ıch si pˇr´ımek.

43

tak dva projektivn´ı svazky pˇr´ımek [ P ] , [ P 0 ], které jsou nav´ıc perspektivn´ı. Spojnice bod˚ u P, P 0 je tedy samodruˇzná pˇr´ımka této perspektivity. Kuˇzeloseˇcka obsahuj´ıc´ı body A1 , A2 , A3 , A4 , A5 je potom tvoˇrena pˇr´ımkami p a P P 0 . (2) Necht’ A1 , A2 , A3 , A4 ∈ p a A5 ∈ / p. Zvol´ıme libovoln´ y bod P neleˇz´ıc´ı na pˇr´ımce p a r˚ uzn´ y od bodu A5 . Podobnˇe jako v pˇr´ıpadˇe (1) dostaneme dva perspektivn´ı svazky [ A5 ] , [ P ]. Kuˇzeloseˇcka obsahuj´ıc´ı body A1 , A2 , A3 , A4 , A5 je tedy tvoˇrena pˇr´ımkami p a P A5 . (3) Necht’ A1 , A2 , A3 ∈ p a A4 , A5 ∈ / p. Z bod˚ u A4 , A5 prom´ıtneme pˇr´ımkami zbylé body A1 , A2 , A3 a dostaneme opˇet dva perspektivn´ı svazky [ A4 ] , [ A5 ]. Kuˇzeloseˇcka je tedy tvoˇrena pˇr´ımkami p, A4 A5 . (4) Necht’ ˇza´dné tˇri body neleˇz´ı na pˇr´ımce. Z bod˚ u A4 , A5 prom´ıtneme pˇr´ımkami body A1 , A2 , A3 . Dostaneme dva nesoum´ıstné projektivn´ı svazky pˇr´ımek urˇcuj´ıc´ı kuˇzeloseˇcku, která obsahuje body A1 , A2 , A3 , A4 , A5 . Kaˇzd´ ymi pˇeti r˚ uzn´ ymi body tedy procház´ı kuˇzeloseˇcka, která vˇsak obecnˇe nemus´ı b´ yt jediná. Je-li napˇr´ıklad tˇechto pˇet bod˚ u kolineárn´ıch, pak existuje nekoneˇcnˇe mnoho takov´ ych kuˇzeloseˇcek. K tomu, abychom mohli hovoˇrit o jednoznaˇcné urˇcenosti kuˇzeloseˇcky pˇeti body, je tˇreba se omezit na jist´ y typ kuˇzeloseˇcek.

Definice 2.1.2 Kuˇzeloseˇcka K (A, B, ϕ) v projektivn´ı rovinˇe π se naz´ yvá singulárn´ı, existuje-li pˇr´ımka p taková, ˇze [ p ] ⊂ K (A, B, ϕ). V opaˇcném pˇr´ıpadˇe se kuˇzeloseˇcka naz´ yvá regulárn´ı.

V ˇca´stech (1),(2) a (3) d˚ ukazu vˇety 2.1.1 je kuˇzeloseˇcka procházej´ıc´ı dan´ ymi body vˇzdy singulárn´ı. Následuj´ıc´ı vˇeta popisuje d˚ uleˇzité vlastnosti kuˇzeloseˇcky z ˇcásti (4). Vˇ eta 2.1.2 Necht’ A1 , A2 , A3 , A4 , A5 je pˇet r˚ uzných bod˚ u projektivn´ı roviny π, z nichˇz ˇzádné tˇri neleˇz´ı na téˇze pˇr´ımce. Pak existuje právˇe jedna kuˇzeloseˇcka, která tyto body obsahuje. Tato kuˇzeloseˇcka je vˇzdy regulárn´ı.

Na rozd´ıl od singulárn´ıch kuˇzeloseˇcek jsou tedy regulárn´ı kuˇzeloseˇcky urˇceny jedˇ adná singulárn´ı kuˇzeloseˇcka tedy noznaˇcnˇe pˇeti sv´ ymi libovoln´ ymi r˚ uzn´ ymi body. Z´ neobsahuje pˇet po tˇrech nekolineárn´ıch bod˚ u. A naopak ˇzádná regulárn´ı kuˇzeloseˇcka neobsahuje tˇri kolineárn´ı body. Z d˚ ukazu vˇety 2.1.1 lze snadno odvodit následuj´ıc´ı vˇety. 44

Vˇ eta 2.1.3 Jsou-li P (a, b, c, . . .) , P 0 (a0 , b0 , c0 , . . .) dva nesoum´ıstné projektivn´ı svazky pˇr´ımek, pak pr˚ useˇc´ıky A = a ∩ a0 , B = b ∩ b0 , C = c ∩ c0 , . . . odpov´ıdaj´ıc´ıch si pˇr´ımek jsou body nˇejaké kuˇzeloseˇcky. Jsou-li svazky perspektivn´ı, je kuˇzeloseˇcka singulárn´ı, v opaˇcném pˇr´ıpadˇe je regulárn´ı.

Vˇ eta 2.1.4 Body regulárn´ı kuˇzeloseˇcky se prom´ıtaj´ı z libovolných dvou svých bod˚ u 0 2 P, P projektivn´ımi svazky. Jejich direkˇcn´ım stˇredem procházej´ı teˇcny dané kuˇzeloseˇcky sestrojené v bodech P, P 0 .

D˚ ukaz: Dokáˇzeme pouze druhou ˇca´st této vˇety, protoˇze prvn´ı ˇcást je zˇrejmá. Kaˇzdá pˇr´ımka svazku [ P ] obsahuje nejv´ yˇse dva body kuˇzeloseˇcky, stˇred P svazku a pr˚ useˇc´ık s odpov´ıdaj´ıc´ı pˇr´ımkou. Protoˇze na pˇr´ımce svazku [ P ], která odpov´ıdá spojnici stˇred˚ u 0 P, P , je t´ımto pr˚ useˇc´ıkem bod P , je tento bod P dvojnásobn´ ym bodem a daná pˇr´ımka tedy teˇcnou kuˇzeloseˇcky. Pˇri urˇcován´ı projektivity svazk˚ u lze vz´ıt za jeden (ˇci dva) odpov´ıdaj´ıc´ı si pár pˇr´ımek takov´ y pár, ve kterém si odpov´ıdá spojnice stˇred˚ u svazk˚ u a pˇr´ımka procházej´ıc´ı direkˇcn´ım stˇredem. Dostáváme tak dalˇs´ı zp˚ usoby urˇcen´ı regulárn´ı kuˇzeloseˇcky. Vˇ eta 2.1.5 Kuˇzeloseˇcka je urˇcena teˇcnou s bodem dotyku a dalˇs´ımi tˇremi body.

Vˇ eta 2.1.6 Kuˇzeloseˇcka je urˇcena dvˇema teˇcnami s body dotyku a dalˇs´ım bodem.

Princip duality zaruˇcuje platnost následuj´ıc´ıch vˇet. Vˇeta 2.1.3∗ popisuje duáln´ı zp˚ usob, jak lze kuˇzeloseˇcky zavést. Vˇ eta 2.1.2∗ Necht’ a1 , a2 , a3 , a4 , a5 je pˇet r˚ uzných pˇr´ımek projektivn´ı roviny π, z nichˇz ˇzádné tˇri neprocházej´ı týmˇz bodem. Pak existuje právˇe jedna kuˇzeloseˇcka, která se jich dotýká. Tato kuˇzeloˇseˇcka je vˇzdy regulárn´ı. Vˇ eta 2.1.3∗ Jsou-li p (A, B, C, . . .), p0 (A0 , B 0 , C 0 , . . .) dvˇe nesoum´ıstné projektivn´ı ˇrady bodové, pak spojnice a = AA0 , b = BB 0 , c = CC 0 , . . . odpov´ıdaj´ıc´ıch si bod˚ u jsou teˇcny nˇejaké kuˇzeloseˇcky. Jsou-li ˇrady perspektivn´ı, je kuˇzeloseˇcka singulárn´ı. V opaˇcném pˇr´ıpadˇe je regulárn´ı. 2

Teˇcnou naz´ yv´ ame pˇr´ımku, kter´ a m´ a s kuˇzeloseˇckou právˇe jeden spoleˇcn´ y bod.

45

Vˇ eta 2.1.4∗ Teˇcny kuˇzeloseˇcky prot´ınaj´ı dvˇe jej´ı libovolné teˇcny p, p0 v projektivn´ıch ˇradách bodových. Jejich direkˇcn´ı osa prot´ıná kuˇzeloseˇcku v bodech, v nichˇz se j´ı dotýkaj´ı teˇcny p, p0 . Vˇ eta 2.1.5∗ Kuˇzeloseˇcka je urˇcena teˇcnou s bodem dotyku a dalˇs´ımi tˇremi teˇcnami. Vˇ eta 2.1.6∗ Kuˇzeloseˇcka je urˇcena dvˇema teˇcnami s body dotyku a dalˇs´ı teˇcnou. Z vˇety 2.1.4 a vlastnost´ı projektivn´ıch svazk˚ u pˇr´ımek plyne následuj´ıc´ı vˇeta, d´ıky které je moˇzné zavést dvojpomˇer ˇctyˇr bod˚ u na kuˇzeloseˇcce a poté také dvojpomˇer ˇctyˇr teˇcen kuˇzeloseˇcky. ˇ ri dané body kuˇzeloseˇcky se prom´ıtaj´ı ze vˇsech jej´ıch bod˚ Vˇ eta 2.1.7 Ctyˇ u ˇctveˇricemi pˇr´ımek konstantn´ıho dvojpomˇeru. Mnoˇzina vˇsech bod˚ u, z nichˇz se daná ˇctveˇrice bod˚ u prom´ıtá ˇctveˇricemi pˇr´ımek konstantn´ıho dvojpomˇeru, je kuˇzeloseˇcka, která tˇemito body procház´ı. Pˇr´ımka, která z bodu kuˇzeloseˇcky prom´ıtá tentýˇz bod, je teˇcna kuˇzeloseˇcky v tomto bodˇe.

ˇ ri dané teˇcny kuˇzeloseˇcky vyt´ınaj´ı na vˇsech jejich teˇcnách ˇctveˇrici Vˇ eta 2.1.7∗ Ctyˇ bod˚ u konstantn´ıho dvojpomˇeru. Vˇsechny pˇr´ımky, které dané ˇctyˇri pˇr´ımky prot´ınaj´ı ve ˇctveˇrici bod˚ u konstantn´ıho dvojpomˇeru, jsou teˇcny kuˇzeloseˇcky, která se tˇechto pˇr´ımek dotýká. Pr˚ useˇc´ık teˇcny kuˇzeloseˇcky s touˇz jej´ı teˇcnou je jej´ım bodem dotyku. Definice 2.1.3 Dvojpomˇerem ˇctyˇr bod˚ u A, B, C, D kuˇzeloseˇcky rozum´ıme dvojpomˇer (abcd) pˇr´ımek, jimiˇz se tyto body prom´ıtaj´ı z libovolného bodu této kuˇzeloseˇcky.

Definice 2.1.3∗ Dvojpomˇerem ˇctyˇr teˇcen a, b, c, d kuˇzeloseˇcky rozum´ıme dvojpomˇer (ABCD) ˇctyˇr bod˚ u, které tyto teˇcny vyt´ınaj´ı na libovolné teˇcnˇe této kuˇzeloseˇcky. Máme-li dány tˇri r˚ uzné body kuˇzeloseˇcky, pak kaˇzdému dalˇs´ımu bodu kuˇzeloseˇcky je pˇriˇrazen právˇe jeden dvojpomˇer a naopak kaˇzdému dvojpomˇeru r˚ uznému od 0 a 1 právˇe jeden bod r˚ uzn´ y od tˇrech dan´ ych bod˚ u. Definice 2.1.4 Kvadratická soustava bod˚ u je mnoˇzina vˇsech bod˚ u kuˇzeloseˇcky. Kuˇzeloseˇcka se naz´ yvá nositelka soustavy. Znaˇc´ıme K (A, B, C, . . .).

46

Definice 2.1.4∗ Kvadratická soustava pˇr´ımek je mnoˇzina vˇsech teˇcen kuˇzeloseˇcky. Znaˇc´ıme K (a, b, c, . . .). Definice dvojpomˇeru ˇctyˇr bod˚ u, resp. teˇcen, kuˇzeloseˇcky nám dovoluje zavést projektivnost dvou kvadratick´ ych soustav bod˚ u, resp. pˇr´ımek. Definice 2.1.5 Necht’ se kvadratická soustava bod˚ u K (A, B, C, . . .), 0 0 0 0 resp. K (A , B , C , . . .), prom´ıtá z libovolného bodu X kuˇzeloseˇcky K, resp. X 0 kuˇzeloseˇcky K0 , svazkem pˇr´ımek [ X ], resp. [ X 0 ]. Jsou-li svazky [ X ] a [ X 0 ] navzájem projektivn´ı, naz´ yvaj´ı se kvadratické soustavy K (A, B, C, . . .) a K0 (A0 , B 0 , C 0 , . . .) také projektivn´ı. Definice 2.1.5∗ Necht’ kvadratická soustava pˇr´ımek K (a, b, c, . . .), resp. K0 (a0 , b0 , c0 , . . .), vyt´ıná na libovolné teˇcnˇe x kuˇzeloseˇcky K, resp. x0 kuˇzeloseˇcky K0 , ˇradu bodovou [ x ], resp. [ x0 ]. Jsou-li pˇr´ımé ˇrady bodové [ x ] a [ x0 ] navzájem projektivn´ı, naz´ yvaj´ı se kvadratické soustavy K (a, b, c, . . .) a K0 (a0 , b0 , c0 , . . .) také projektivn´ı. Stejnˇe jako u pˇr´ım´ ych ˇrad bodov´ ych rozliˇsujeme soum´ıstné a nesoum´ıstné kvadratické soustavy. Dále budeme hovoˇrit pouze o soum´ıstn´ ych kvadratick´ ych soustavách. Projektivnost kvadratick´ ych soustav je, stejnˇe jako projektivnost lineárn´ıch u ´tvar˚ u, urˇcena tˇremi páry odpov´ıdaj´ıc´ıch si prvk˚ u. Analogicky jako u projektivnosti lineárn´ıch u ´tvar˚ u lze také zavést direkˇcn´ı osu a direkˇcn´ı stˇred projektivn´ıch kvadratick´ ych soustav. Vˇ eta 2.1.8 Jsou-li K (A, B, C, . . .) , K (A0 , B 0 , C 0 , . . .) dvˇe r˚ uzné projektivn´ı kvadratické soustavy bod˚ u na téˇze kuˇzeloseˇcce K, pak pr˚ useˇc´ıky AB 0 ∩ A0 B, AC 0 ∩ A0 C a BC 0 ∩ B 0 C leˇz´ı na téˇze pˇr´ımce o, tzv. direkˇcn´ı ose obou daných soustav, která prot´ıná kuˇzeloseˇcku K v samodruˇzných bodech obou soustav. Pˇritom spojnice dvou splývaj´ıc´ıch bod˚ u kuˇzeloseˇcky K je zastoupena jej´ı teˇcnou v tomto bodˇe. Vˇ eta 2.1.8∗ Jsou-li K (a, b, c, . . .) , K (a0 , b0 , c0 , . . .) dvˇe r˚ uzné projektivn´ı kvadratické 0 soustavy teˇcen téˇze kuˇzeloseˇcky K, pak pˇr´ımky (a ∩ b ) (a0 ∩ b), (a ∩ c0 ) (a0 ∩ c) a (b ∩ c0 ) (b0 ∩ c) procházej´ı týmˇz bodem O, tzv. direkˇcn´ım stˇredem, obou daných soustav. Teˇcny kuˇzeloseˇcky K jdouc´ı bodem O jsou samodruˇzné pˇr´ımky obou soustav. Pˇritom pr˚ useˇc´ık dvou splývaj´ıc´ıch teˇcen kuˇzeloseˇcky K je zastoupen bodem dotyku. Pomoc´ı vˇety 2.1.8 sestrojujeme samodruˇzné body projektivn´ıch kvadratick´ ych soustav i projektivn´ıch ˇrad bodov´ ych. 47

Konstrukce 2.1.1 Projektivita soum´ıstn´ ych ˇrad bodov´ ych je dána tˇremi páry odpov´ıdaj´ıc´ıch si bod˚ u A → A0 , B → B 0 , C → C 0 . Sestrojte jej´ı samodruˇzné body X, Y .

Obr. 2.1.1 Postup (Obr. 2.1.1): Z libovolného bodu P ∈ / p libovolné kruˇznice k prom´ıtneme body 0 0 0 A, B, C a A , B , C projektivn´ımi svazky pˇr´ımek. Tyto svazky vyt´ınaj´ı na kruˇznici projektivn´ı kvadratické soustavy bod˚ u k (α, β, γ, . . .) , k (α0 , β 0 , γ 0 , . . .). Sestroj´ıme direkˇcn´ı osu o této projektivity, která prot´ıná kuˇzeloseˇcku v samodruˇzn´ ych bodech χ, ψ. Tyto body urˇcuj´ı spolu s bodem P samodruˇzné pˇr´ımky projektivity svazk˚ u, které prot´ınaj´ı pˇr´ımku p v hledan´ ych samodruˇzn´ ych bodech X, Y . M´ısto kruˇznice lze v této konstrukci pouˇz´ıt libovolnou jinou regulárn´ı kuˇzeloseˇcku. Vzhledem k nároˇcnosti konstrukce tˇechto kuˇzeloseˇcek vˇsak vol´ıme právˇe kruˇznici, tzv. Steinerovu.3 V následuj´ıc´ıch u ´lohách ukáˇzeme, jak nalézt dalˇs´ı bod a teˇcnu regulárn´ı kuˇzeloseˇcky, máme-li tuto kuˇzeloseˇcku urˇcenu nˇekter´ ym z uveden´ ych zp˚ usob˚ u. Ve zbytku této kapitoly jiˇz budeme studovat pouze vlastnosti regulárn´ıch kuˇzeloseˇcek. Dále tedy kuˇzeloseˇcˇ sen´ı vˇsech u kou mysl´ıme regulárn´ı kuˇzeloseˇcku. Reˇ ´loh uveden´ ych v této kapitole bude vycházet pˇr´ımo z definic a vˇet zde uveden´ ych.

´ Uloha 2.1.1 Kuˇzeloseˇcka je dána pˇeti vlastn´ımi body A, B, C, D, E. Sestrojte jej´ı dalˇs´ı bod. ˇ sen´ı (Obr. 2.1.2): Z bod˚ Reˇ u D, E prom´ıtneme pˇr´ımkami a, b, c a a0 , b0 , c0 body A, B, C. T´ım dostáváme dva nesoum´ıstné projektivn´ı svazky [ D ] , [ E ]. Urˇc´ıme direkˇcn´ı stˇred O tˇechto projektivn´ıch svazk˚ u a zvol´ıme pˇr´ımku f , procházej´ıc´ı bodem D a neprocházej´ıc´ı direkˇcn´ım stˇredem O. K pˇr´ımce f svazku [ D ] urˇc´ıme od3

Pojmenovan´ a podle ˇsv´ ycarského matematika Jakoba Steinera (1796–1863).

48

pov´ıdaj´ıc´ı pˇr´ımku f 0 svazku [ E ] (konstrukce 1.10.1). Hledan´ y bod F je pr˚ useˇc´ıkem odpov´ıdaj´ıc´ıch si pˇr´ımek f, f 0 .

Obr. 2.1.2 ´ Uloha 2.1.2 Kuˇzeloseˇcka je dána pˇeti vlastn´ımi body A, B, C, D, E. V jednom z dan´ ych bod˚ u sestrojte teˇcnu.

Obr. 2.1.3 ˇ sen´ı (Obr. 2.1.3): Z dan´ Reˇ ych bod˚ u D, E prom´ıtneme body A, B, C projek0 0 0 tivn´ımi svazky D (a, b, c, . . .), E (a , b , c , . . .). Urˇc´ıme direkˇcn´ı stˇred O tˇechto projektivn´ıch svazk˚ u a pˇr´ımku d svazku [ D ] odpov´ıdaj´ıc´ı spojnici d0 stˇred˚ u svazk˚ u [ D ] , [ E ]. Pˇr´ımka d procház´ı direkˇcn´ım stˇredem O a je teˇcnou kuˇzeloseˇcky v bodˇe D (vˇeta 2.1.4). 49

´ Uloha 2.1.3 Kuˇzeloseˇcka je dána ˇctyˇrmi vlastn´ımi body A, B, C, D a teˇcnou c v bodˇe C. Sestrojte dalˇs´ı bod a teˇcnu kuˇzeloseˇcky. ˇ sen´ı (Obr. 2.1.4): Z bodu C prom´ıtneme pˇr´ımkami a, b body A, B a z bodu D Reˇ prom´ıtneme pˇr´ımkami a0 , b0 , c0 body A, B, C. Tyto pˇr´ımky urˇcuj´ı spolu s teˇcnou c projektivitu svazk˚ u [ C ] , [ D ]. Urˇc´ıme direkˇcn´ı stˇred O tˇechto projektivn´ıch svazk˚ u, kter´ y leˇz´ı na teˇcnˇe c. K urˇcen´ı dalˇs´ıho bodu kuˇzeloseˇcky zvol´ıme pˇr´ımku e svazku [ C ] r˚ uznou od pˇr´ımek a, b, c, c0 a sestroj´ıme k n´ı odpov´ıdaj´ıc´ı pˇr´ımku e0 svazku [ D ]. Pr˚ useˇc´ık E tˇechto pˇr´ımek je bodem kuˇzeloseˇcky. Teˇcnu d0 v bodˇe D sestroj´ıme jako pˇr´ımku odpov´ıdaj´ıc´ı v projektivitˇe pˇr´ımce d = CD. Teˇcna d0 je tedy urˇcena body D, O.

Obr. 2.1.4 ´ Uloha 2.1.4 Kuˇzeloseˇcka je dána tˇremi vlastn´ımi body A, B, C a teˇcnami b, c0 v bodech B, C. Sestrojte jej´ı dalˇs´ı bod.

50

Obr. 2.1.5 ˇ sen´ı (Obr. 2.1.5): Z bodu B prom´ıtneme pˇr´ımkami a, c body A, C a z bodu C Reˇ prom´ıtneme pˇr´ımkami a0 , b0 body A, B. Pˇr´ımky a, a0 , b, b0 = c, c0 urˇcuj´ı projektivitu svazk˚ u o stˇredech B, C. Pr˚ useˇc´ık O pˇr´ımek b, c0 je direkˇcn´ım stˇredem této projektivity. Dalˇs´ı bod kuˇzeloseˇcky sestroj´ıme jako pr˚ useˇc´ık odpov´ıdaj´ıc´ıch si pˇr´ımek v této projektivitˇe. ´ Uloha 2.1.5 Kuˇzeloseˇcka je dána dvˇema vlastn´ımi teˇcnami a, b s vlastn´ımi body dotyku A, B a nevlastn´ı teˇcnou c∞ . Sestrojte dalˇs´ı teˇcnu kuˇzeloseˇcky. 0 0 ˇ sen´ı (Obr. 2.1.6): Oznaˇc´ıme C∞ = a ∩ c∞ , C∞ Reˇ = b ∩ c∞ . Body A, B, C∞ , C∞ urˇcuj´ı projektivitu pˇr´ım´ ych ˇrad bodov´ ych [ a ] , [ b ], kde body A, B odpov´ıdaj´ı pr˚ useˇc´ıku pˇr´ımek a, b. Direkˇcn´ı osa o projektivity ˇrad procház´ı body A, B. Na pˇr´ımce a zvol´ıme bod D r˚ uzn´ y od bod˚ u A, a ∩ b, C∞ a pomoc´ı direkˇcn´ı osy urˇc´ıme 0 jemu odpov´ıdaj´ıc´ı bod D leˇz´ıc´ı na pˇr´ımce b. Body D, D0 urˇcuj´ı hledanou teˇcnu d.

Obr. 2.1.6 ´ Uloha 2.1.6 Kuˇzeloseˇcka je urˇcena ˇctyˇrmi vlastn´ımi teˇcnami a, b, c, d a bodem dotyku A na teˇcnˇe a. Sestrojte dalˇs´ı bod kuˇzeloseˇcky.

51

Obr. 2.1.7 ˇ sen´ı (Obr. 2.1.7): Oznaˇc´ıme C = a ∩ c, C 0 = b ∩ c, D = a ∩ d, D0 = b ∩ d. Reˇ Body A, C, C 0 , D, D0 urˇcuj´ı projektivitu ˇrad [ a ] , [ b ], ve které bod A odpov´ıdá pr˚ useˇc´ıku pˇr´ımek a, b. Direkˇcn´ı osa o je urˇcena body A a 1 = CD0 ∩ C 0 D a prot´ıná pˇr´ımku b v bodˇe B 0 , kter´ y je hledan´ ym bodem dotyku. ´ Uloha 2.1.7 Kuˇzeloseˇcka je dána pˇeti vlastn´ımi teˇcnami a, b, c, d, e. Sestrojte dalˇs´ı teˇcnu a nˇekter´ y bod dotyku. ˇ sen´ı (Obr. 2.1.8): Oznaˇc´ıme A = a ∩ d, A0 = a ∩ e, B = b ∩ d, B 0 = b ∩ e, C = Reˇ c∩d, C 0 = c∩e. Body A, B, C, A0 , B 0 , C 0 urˇcuj´ı projektivitu pˇr´ım´ ych ˇrada bodov´ ych [ d ] , [ e ]. Sestroj´ıme direkˇcn´ı osu o této projektivity na pˇr´ımkách e, d. Direkˇcn´ı osa o prot´ıná teˇcny d, e v bodech D, E, které jsou body dotyku dané kuˇzeloseˇcky (vˇeta 2.1.8). Dalˇs´ı teˇcnu kuˇzeloseˇcky urˇc´ıme jako spojnici odpov´ıdaj´ıc´ıch si bod˚ u projektivn´ıch ˇrad [ d ] , [ e ]. Na pˇr´ımce d zvol´ıme bod F r˚ uzn´ y od bod˚ u A, B, C, D 0 a pomoc´ı direkˇcn´ı osy urˇc´ıme jemu odpov´ıdaj´ıc´ı bod F ˇrady [ e ]. Hledaná teˇcna f je urˇcena body F, F 0 .

Obr. 2.1.8 ´ Uloha 2.1.8 Kuˇzeloseˇcka je dána pˇeti vlastn´ımi body A, B, C, D, E. Sestrojte pr˚ useˇc´ıky kuˇzeloseˇcky s danou pˇr´ımkou p. ˇ sen´ı (Obr. 2.1.9): Z bod˚ Reˇ u A, B prom´ıtneme na pˇr´ımku p body C, D, E. Na pˇr´ımce p tak dostaneme projektivitu soum´ıstn´ ych ˇrad, ve které C 0 → C 00 , D0 → D00 , E 0 → E 00 . Hledané pr˚ useˇc´ıky X, Y pˇr´ımky p s kuˇzeloseˇckou jsou samodruˇzné body této projektivity. Tyto body sestroj´ıme pomoc´ı Steinerovy kruˇznice (konstrukce 2.1.1). Na libovolné kruˇznici k zvol´ıme libovoln´ y bod S, kter´ y neleˇz´ı na 52

pˇr´ımce p, a z tohoto bodu prom´ıtneme body C 0 , D0 , E 0 a C 00 , D00 , E 00 projektivn´ımi svazky pˇr´ımek. Tyto svazky vyt´ınaj´ı na kruˇznici k projektivn´ı kvadratické soustavy bod˚ u k (γ 0 , δ 0 , ε0 , . . .), k (γ 00 , δ 00 , ε00 , . . .). Sestroj´ıme direkˇcn´ı osu o této projektivity, která prot´ıná kruˇznici k v samodruˇzn´ ych bodech ξ, υ. Tyto body urˇcuj´ı spolu s bodem S samodruˇzné pˇr´ımky projektivity svazk˚ u, které prot´ınaj´ı pˇr´ımku p v hledan´ ych samodruˇzn´ ych bodech X, Y , tedy hledan´ ych pr˚ useˇc´ıc´ıch pˇr´ımky p s kuˇzeloseˇckou.

Obr. 2.1.9 ´ Uloha 2.1.9 Kuˇzeloseˇcka je dána pˇeti vlastn´ımi body A, B, C, D, E. Sestrojte pr˚ useˇc´ıky s nevlastn´ı pˇr´ımkou.

53

Obr. 2.1.10 ˇ sen´ı (Obr. 2.1.10): Z bod˚ Reˇ u D, E prom´ıtneme na nevlastn´ı pˇr´ımku body A, B, C. Na nevlastn´ı pˇr´ımce tak dostaneme projektivitu soum´ıstn´ ych ˇrad, ve které A0∞ → 0 00 0 00 A00∞ , B∞ → B∞ , C∞ → C∞ . Hledané pr˚ useˇc´ıky U∞ , V∞ nevlastn´ı pˇr´ımky s kuˇzeloseˇckou jsou samodruˇzné body této projektivity. Tyto body sestroj´ıme pomoc´ı Steinerovy kruˇznice. ´ Uloha 2.1.10 Kuˇzeloseˇcka je dána pˇeti vlastn´ımi teˇcnami a, b, c, d, e. Sestrojte teˇcny kuˇzeloseˇcky z daného bodu P , kter´ y neleˇz´ı na ˇza´dné z dan´ ych teˇcen.

Obr. 2.1.11 ˇ sen´ı (Obr. 2.1.11): Oznaˇc´ıme A = a ∩ d, A0 = a ∩ e, B = b ∩ d, B 0 = b ∩ Reˇ e, C = c ∩ d, C 0 = c ∩ e. Body A, A0 , B, B 0 , C, C 0 urˇcuj´ı projektivitu pˇr´ım´ ych ˇrada bodov´ ych [ d ] , [ e ]. Z bodu P prom´ıtneme projektivn´ı ˇrady bodové [ d ] , [ e ] a dostaneme tak projektivitu soum´ıstn´ ych svazk˚ u o stˇredu P . Samodruˇzné pˇr´ımky f, g této projektivity jsou hledané teˇcny kuˇzeloseˇcky. Teˇcny f, g sestroj´ıme pomoc´ı Steinerovy kruˇznice.

2.2

Pascalova vˇ eta

Jelikoˇz pˇet bod˚ u urˇcuje kuˇzeloseˇcku, je ˇsest bod˚ u této kuˇzeloseˇcky vázáno jistou podm´ınkou. V pˇredchoz´ı ˇca´sti jsme ukázali, jak sestrojit dalˇs´ı bod kuˇzeloseˇcky urˇcené pˇeti body pomoc´ı projektivn´ıch svazk˚ u. Nyn´ı vyslov´ıme vˇetu, tzv. Pascalovu vˇetu 4 , která 4

Pojmenovan´ a podle francouzského matematika Blaise Pascala (1623–1662), kter´ y ji v roce 1640 objevil.

54

uvád´ı dalˇs´ı vztah ˇsesti bod˚ u na kuˇzeloseˇcce a d´ıky které bude konstrukce dalˇs´ı bod˚ u kuˇzeloseˇcky jednoduˇsˇs´ı. Definice 2.2.1 Uspoˇra´daná mnoˇzina {1, 2, 3, 4, 5, 6} ˇsesti bod˚ u leˇz´ıc´ıch na kuˇzeloseˇcce K se naz´ yvá ˇsesti´ uheln´ık kuˇzeloseˇcce vepsaný. Body 1, 2, 3, 4, 5, 6 naz´ yváme vrcholy ˇsesti´ uheln´ıku, pˇr´ımky 12, 23, 34, 45, 56, 61 naz´ yváme strany ˇsesti´ uheln´ıku, dvojici vrchol˚ u leˇz´ıc´ı na téˇze stranˇe naz´ yváme sousedn´ı vrcholy, dvojice stran 12, 45; 23, 56; 34, 61 naz´ yváme protˇejˇs´ı strany ˇsesti´ uheln´ıku.

Vˇ eta 2.2.1 (Pascalova) Pr˚ useˇc´ıky protˇejˇs´ıch stran ˇsesti´ uheln´ıku kuˇzeloseˇcce K vepsaného leˇz´ı na jedné pˇr´ımce, tzv. Pascalovˇe pˇr´ımce a obrácenˇe, leˇz´ı-li pr˚ useˇc´ıky protˇejˇs´ıch stran ˇsesti´ uheln´ıku na jedné pˇr´ımce, pak je tento ˇsesti´ uheln´ık vepsán jisté kuˇzeloseˇcce.

D˚ ukaz: (1) Dokáˇzeme, ˇze pr˚ useˇc´ıky protˇejˇs´ıch stran ˇsesti´ uheln´ıku kuˇzeloseˇcce vepsaného leˇz´ı na jedné pˇr´ımce. Necht’ (1, 2, 3, 4, 5, 6) je dan´ y ˇsesti´ uheln´ık. Oznaˇc´ıme-li 1 = A, 2 = 0 0 0 C , 3 = B, 4 = A , 5 = C, 6 = B , pak tyto body urˇcuj´ı projektivnost kvadratick´ ych soustav bod˚ u K (A, B, C, . . .) , K (A0 , B 0 , C 0 , . . .). Body AB 0 ∩ A0 B, AC 0 ∩ A0 C, BC 0 ∩ B 0 C, které jsou zároveˇ n pr˚ useˇc´ıky protˇejˇs´ıch stran ˇsesti´ uheln´ıku, leˇz´ı na jedné pˇr´ımce, direkˇcn´ı ose. (2) Dokáˇzeme druhou ˇcást vˇety. Necht’ je dán ˇsesti´ uheln´ık s vrcholy 1, 2, 3, 4, 5, 6, pro které plat´ı, ˇze body X = 12 ∩ 45, Y = 23 ∩ 56, Z = 34 ∩ 61 leˇz´ı na pˇr´ımce p. Body 1, 2, 3, 4, 5 urˇcuj´ı kuˇzeloseˇcku a dokáˇzeme, ˇze bod 6 na této kuˇzeloseˇcce také leˇz´ı. Pˇr´ımka 16 prot´ıná tuto kuˇzeloseˇcku v bodech 1 a 60 . K ˇsesti´ uheln´ıku (1, 2, 3, 4, 5, 6) m˚ uˇzeme sestrojit Pascalovu pˇr´ımku, která je totoˇzná s pˇr´ımkou p 0 a tedy 6 = 6 . V pˇr´ıpadˇe, ˇze dva sousedn´ı vrcholy ˇsesti´ uheln´ıku kuˇzeloseˇcce vepsaného splynou, nahrazujeme jejich spojnici teˇcnou kuˇzeloseˇcky v tomto bodˇe. Pro pˇr´ıpad, kdy ˇsest vrchol˚ u splyne (po dvou) do tˇrech vrchol˚ u, dostáváme speciáln´ı pˇr´ıpad Pascalovy vˇety pro troj´ uheln´ık kuˇzeloseˇcce vepsan´ y. Vˇ eta 2.2.2 Pr˚ useˇc´ıky stran troj´ uheln´ıku kuˇzeloseˇcce vepsaného s jej´ımi teˇcnami sestrojenými v protˇejˇs´ıch vrcholech leˇz´ı na jedné pˇr´ımce.

55

´ Uloha 2.2.1 Kuˇzeloseˇcka je dána pˇeti vlastn´ımi body A, B, C, D, E. Sestrojte dalˇs´ı bod kuˇzeloseˇcky. ˇ sen´ı(Obr. 2.2.1): Oznaˇc´ıme A = 1, B = 2, C = 3, D = 4, E = 5 a sestroj´ıme Reˇ libovolnou pˇr´ımku f procházej´ıc´ı bodem E a neprocházej´ıc´ı body A, B, C, D. Sestroj´ıme Pascalovu pˇr´ımku p ˇsesti´ uheln´ıku (1, 2, 3, 4, 5, 6), pro kter´ y je spojnice vrchol˚ u 5 a 6 dána pˇr´ımkou f . Pˇr´ımka p je urˇcena body α = 12 ∩ 45 a β = 23 ∩ f . Hledan´ y bod F = 6 urˇc´ıme jako pr˚ useˇc´ık pˇr´ımky f s pˇr´ımkou γ1, kde γ = 34 ∩ p.

Obr. 2.2.1 ´ Uloha 2.2.2 Kuˇzeloseˇcka je dána pˇeti vlastn´ımi body A, B, C, D, E. Sestrojte teˇcnu kuˇzeloseˇcky v nˇekterém z dan´ ych bod˚ u. ˇ sen´ı(Obr. 2.2.2): Oznaˇc´ıme A = 1, B = 2, C = 3, D = 4, E = 5 = 6 a Reˇ sestroj´ıme Pascalovu pˇr´ımku p ˇsesti´ uheln´ıku (1, 2, 3, 4, 5, 6). Jelikoˇz jsme zvolili E = 5 = 6, je spojnice vrchol˚ u 5 a 6 nahrazena teˇcnou e kuˇzeloseˇcky v bodˇe E. Tato hledaná teˇcna je urˇcena bodem E a bodem β = 23 ∩ p.

Obr. 2.2.2

56

´ Uloha 2.2.3 Kuˇzeloseˇcka je dána ˇctyˇrmi vlastn´ımi body A, B, C, D a teˇcnou d v bodˇe D. Sestrojte dalˇs´ı teˇcnu kuˇzeloseˇcky. ˇ sen´ı(Obr. 2.2.3): Oznaˇc´ıme A = 1, B = 2, C = 3 = 4, D = 5 = 6 a sestroj´ıme Reˇ Pascalovu pˇr´ımku p ˇsesti´ uheln´ıku (1, 2, 3, 4, 5, 6). Spojnici vrchol˚ u 3 a 4, resp. 5 a 6, nahrad´ıme teˇcnou c kuˇzeloseˇcky v bodˇe C, resp. hledanou teˇcnou d v bodˇe D. Teˇcna d je urˇcena bodem D a bodem β = 23 ∩ p.

Obr. 2.2.3 ´ Uloha 2.2.4 Kuˇzeloseˇcka je dána tˇremi vlastn´ımi body A, B, C a teˇcnami a, c v bodech A, C. Sestrojte dalˇs´ı bod kuˇzeloseˇcky. ˇ sen´ı(Obr. 2.2.4): Oznaˇc´ıme A = 1 = 2, B = 5, C = 3 = 4 a zvol´ıme libovolnou Reˇ pˇr´ımku d procházej´ıc´ı bodem B a neprocházej´ıc´ı body A, C, na které leˇz´ı hledan´ y bod D. Pascalova pˇr´ımka p ˇsesti´ uheln´ıku (1, 2, 3, 4, 5, 6) je urˇcena body α = a ∩ 45 a β = 23 ∩ d. Dále urˇc´ıme bod γ = c ∩ p a protoˇze má platit γ = c ∩ 16, sestroj´ıme hledan´ y bod D jako pr˚ useˇc´ık pˇr´ımek d a γ1.

Obr. 2.2.4 57

´ Uloha 2.2.5 Kuˇzeloseˇcka je dána tˇremi vlastn´ımi body A, B, C a vlastn´ı teˇcnou u s nevlastn´ım bodem dotyku U∞ . Sestrojte dalˇs´ı teˇcnu kuˇzeloseˇcky.

ˇ sen´ı(Obr. 2.2.5): Oznaˇc´ıme A = 5 = 6, B = 4, C = 3, U∞ = 2 = 1 a sestroj´ıme Reˇ Pascalovu pˇr´ımku ˇsesti´ uheln´ıku (1, 2, 3, 4, 5, 6). Spojnici vrchol˚ u 5 a 6, resp. 1 a 2, nahrad´ıme hledanou teˇcnou a kuˇzeloseˇcky v bodˇe A, resp. teˇcnou u v bodˇe U∞ . Pascalova pˇr´ımka p je urˇcena body α = u ∩ 45 a γ = 34 ∩ 61. Teˇcna a je urˇcena body A a β = 23 ∩ p.

Obr. 2.2.5

´ Uloha 2.2.6 Kuˇzeloseˇcka je dána tˇremi vlastn´ımi body A, B, C a dvˇema nevlastn´ımi body U∞ , V∞ . Sestrojte dalˇs´ı bod kuˇzeloseˇcky.

ˇ sen´ı(Obr. 2.2.6): Oznaˇc´ıme A = 5, B = 2, C = 4, U∞ = 1, V∞ = 3 a zvol´ıme Reˇ libovolnou pˇr´ımku d procházej´ıc´ı bodem A a neprocházej´ıc´ı body B, C, U∞ , V∞ . Dále sestroj´ıme Pascalovu pˇr´ımku p ˇsesti´ uheln´ıku (1, 2, 3, 4, 5, 6), pro kter´ y je spojnice vrchol˚ u 5, 6 dána pˇr´ımkou d. Pˇr´ımka p je urˇcena body α = 12 ∩ 45 a β = 23 ∩ 56. Hledan´ y bod D kuˇzeloseˇcky urˇc´ıme jako pr˚ useˇc´ık pˇr´ımky d s pˇr´ımkou γ1, kde γ = 34 ∩ p. 58

Obr. 2.2.6 ´ Uloha 2.2.7 Kuˇzeloseˇcka je dána tˇremi vlastn´ımi body A, B, C a dvˇema nevlastn´ımi body U∞ , V∞ . Sestrojte teˇcny kuˇzeloseˇcky v nevlastn´ıch bodech. ˇ sen´ı(Obr. 2.2.7): Oznaˇc´ıme A = 1, B = 4, C = 2, U∞ = 5 = 6, V∞ = 3 a Reˇ sestroj´ıme Pascalovu pˇr´ımku p ˇsesti´ uheln´ıku (1, 2, 3, 4, 5, 6). Pˇr´ımka p je urˇcena body α = 12 ∩ 45 a γ = 34 ∩ 61. Hledaná teˇcna u v bodˇe U∞ , která nahrazuje spojnici vrchol˚ u 5, 6 ˇsesti´ uheln´ıku, procház´ı bodem β = 23 ∩ p. Teˇcnu v v bodˇe V∞ sestroj´ıme analogicky.

Obr. 2.2.7 ´ Uloha 2.2.8 Kuˇzeloseˇcka je dána tˇremi vlastn´ımi body A, B, C a jedn´ım nevlastn´ım bodem U∞ s nevlastn´ı teˇcnou. Sestrojte teˇcnu kuˇzeloseˇcky v nˇekterém z dan´ ych vlastn´ıch bod˚ u. 59

Obr. 2.2.8

ˇ sen´ı(Obr. 2.2.8): Oznaˇc´ıme A = 1, B = 5 = 6, C = 2, U∞ = 3 = 4 a sestroj´ıme Reˇ Pascalovu pˇr´ımku p ˇsesti´ uheln´ıku (1, 2, 3, 4, 5, 6). Spojnici spl´ yvaj´ıc´ıch vrchol˚ u3 a 4 nahrad´ıme teˇcnou v bodˇe U∞ , tedy nevlastn´ı pˇr´ımkou n∞ . Pˇr´ımka p je urˇcena vlastn´ım bodem α = 12 ∩ 45 a nevlastn´ım bodem γ = 61 ∩ n∞ . Hledaná teˇcna b nahrazuje spojnici vrchol˚ u 5 a 6 ˇsesti´ uheln´ıku (1, 2, 3, 4, 5, 6), a procház´ı tedy bodem β = 23 ∩ p.

2.3

Brianchonova vˇ eta

K Pascalovˇe vˇetˇe lze vyslovit vˇetu duáln´ı, tzv. Brianchonovu 5 . Tato vˇeta byla objevena 166 let po vˇetˇe Pascalovˇe, jelikoˇz v té dobˇe nebyl znám princip duality. Definice 2.3.1 Uspoˇra´daná mnoˇzina {t1 , t2 , t3 , t4 , t5 , t6 } ˇsesti teˇcen kuˇzeloseˇcky K se naz´ yvá ˇsesti´ uheln´ık kuˇzeloseˇcce opsaný. Pˇr´ımky t1 , t2 , t3 , t4 , t5 , t6 naz´ yváme strany ˇsesti´ uheln´ıku, body t1 ∩ t2 = 1, t2 ∩ t3 = 2, t3 ∩ t4 = 3, t4 ∩ t5 = 4, t5 ∩ t6 = 5, t6 ∩ t1 = 6 naz´ yváme vrcholy ˇsesti´ uheln´ıku, dvojice vrchol˚ u 1,4; 2,5; 3,6 naz´ yváme protˇejˇs´ı vrcholy ˇsesti´ uheln´ıku.

Vˇ eta 2.3.1 (Brianchonova ) Spojnice protˇejˇs´ıch vrchol˚ u ˇsesti´ uheln´ıku kuˇzeloseˇcce opsaného procházej´ı jedn´ım bodem, tzv. Brianchonovým bodem, a opaˇcnˇe procházej´ıli spojnice protˇejˇs´ıch vrchol˚ u ˇsesti´ uheln´ıku jedn´ım bodem, pak tento ˇsesti´ uheln´ık je opsán jisté kuˇzeloseˇcce.

5

Objevena francouzsk´ ym matematikem Charlesem Julienem Brianchonem (1783–1864) roku 1806.

60

Obr. 2.3.1 Splynou-li dvˇe sousedn´ı strany ˇsesti´ uheln´ıku kuˇzeloseˇcce opsaného, nahrazujeme jejich pr˚ useˇc´ık bodem dotyku dané kuˇzeloseˇcky na této pˇr´ımce. Pro pˇr´ıpad, kdy ˇsest stran ˇsesti´ uheln´ıku splyne (po dvou) do tˇrech, dostáváme duáln´ı vˇetu k vˇetˇe o troj´ uheln´ıku kuˇzeloseˇcce vepsaném. Vˇ eta 2.3.2 Spojnice vrchol˚ u troj´ uheln´ıku kuˇzeloseˇcce opsaného s body dotyku jeho protˇejˇs´ıch stran procházej´ı jedn´ım bodem.

Brianchonovu vˇetu uˇz´ıváme zejména ke konstrukci dalˇs´ıch teˇcen kuˇzeloseˇcky, kterou máme zadánu pomoc´ı pˇeti teˇcen ˇci dvˇema teˇcnami s body dotyku a dalˇs´ı teˇcnou.

´ Uloha 2.3.1 Kuˇzeloseˇcka je dána pˇeti vlastn´ımi teˇcnami a, b, c, d, e. Sestrojte dalˇs´ı teˇcnu kuˇzeloseˇcky.

Obr. 2.3.2 61

ˇ sen´ı (Obr. 2.3.2): Oznaˇc´ıme a = t1 , b = t2 , c = t3 , d = t4 , e = t5 a na pˇr´ımce Reˇ t1 zvol´ıme libovoln´ y bod X = 6 neleˇz´ıc´ı na ˇza´dné z pˇr´ımek t2 , t3 , t4 , t5 . Sestroj´ıme Brianchon˚ uv bod β ˇsesti´ uheln´ıku (t1 , t2 , t3 , t4 , t5 , t6 ) kuˇzeloseˇcce opsaného jako pr˚ useˇc´ık pˇr´ımek 14 a 36, kde 1 = t1 ∩ t2 , 4 = t4 ∩ t5 a 3 = t3 ∩ t4 . Dále urˇc´ıme bod 5 jako pr˚ useˇc´ık pˇr´ımek β2 a t5 . T´ımto bodem a bodem 6 procház´ı hledaná teˇcna t6 kuˇzeloseˇcky. ´ Uloha 2.3.2 Kuˇzeloseˇcka je dána pˇeti vlastn´ımi teˇcnami a, b, c, d, e. Sestrojte bod dotyku na jedné z nich.

Obr. 2.3.3 ˇ sen´ı (Obr. 2.3.3): Oznaˇc´ıme a = t1 , b = t2 , c = t3 , d = t4 = t5 , e = t6 a seReˇ stroj´ıme Brianchon˚ uv bod β ˇsesti´ uheln´ıku (t1 , t2 , t3 , t4 , t5 , t6 ). Pr˚ useˇc´ık spl´ yvaj´ıc´ıch stran t4 , t5 ˇsesti´ uheln´ıku nahrazujeme hledan´ ym bodem dotyku teˇcny d. Brianchon˚ uv bod je pr˚ useˇc´ık pˇr´ımek 25 a 36, kde 2 = t2 ∩ t3 , 5 = t5 ∩ t6 , 3 = t3 ∩ t4 a 6 = t6 ∩ t1 . Bod dotyku D = 4 na teˇcnˇe d urˇc´ıme jako pr˚ useˇc´ık pˇr´ımky d s pˇr´ımkou β1. ´ Uloha 2.3.3 Kuˇzeloseˇcka je dána ˇctyˇrmi vlastn´ımi teˇcnami a, b, c, d a bodem dotyku B na teˇcnˇe b. Sestrojte dalˇs´ı bod dotyku.

62

Obr. 2.3.4 ˇ sen´ı (Obr. 2.3.4): Oznaˇc´ıme a = t1 = t6 , b = t2 = t3 , c = t4 , d = t5 a seReˇ stroj´ıme Brianchon˚ uv bod β ˇsesti´ uheln´ıku (t1 , t2 , t3 , t4 , t5 , t6 ). Jelikoˇz strany t2 a t3 ˇsesti´ uheln´ıku spl´ yvaj´ı, nahrad´ıme jejich pr˚ useˇc´ık bodem B = 2. Vrcholy 1, 3, 4, 5 ˇsesti´ uheln´ıku urˇc´ıme jako pr˚ useˇc´ıky odpov´ıdaj´ıc´ıch stran tohoto ˇsesti´ uheln´ıku. Hledan´ y bod dotyku na teˇcnˇe a urˇc´ıme jako vrchol 6 ˇsesti´ uheln´ıku (t1 , t2 , t3 , t4 , t5 , t6 ). Bod A = 6 je tedy pr˚ useˇc´ık pˇr´ımek a a β3. ´ Uloha 2.3.4 Kuˇzeloseˇcka je dána tˇremi vlastn´ımi teˇcnami a, b, c a body dotyku A, B na teˇcnách a, b. Sestrojte zb´ yvaj´ıc´ı bod dotyku.

Obr. 2.3.5 ˇ sen´ı (Obr. 2.3.5): Oznaˇc´ıme a = t1 = t2 , b = t3 = t4 , c = t5 = t6 a A = 1, B = Reˇ 3, 2 = t2 ∩ t3 , 4 = t4 ∩ t5 , 6 = t6 ∩ t1 . Sestroj´ıme Brianchon˚ uv bod β jako pr˚ useˇc´ık pˇr´ımek 14 a 36. Hledan´ y bod dotyku C = 5 na teˇcnˇe c je pr˚ useˇc´ık této teˇcny s pˇr´ımkou β2. ´ Uloha 2.3.5 Kuˇzeloseˇcka je dána tˇremi vlastn´ımi teˇcnami a, b, c a body dotyku A, B na teˇcnách a, b. Sestrojte dalˇs´ı teˇcnu.

63

Obr. 2.3.6

ˇ sen´ı (Obr. 2.3.6): Oznaˇc´ıme a = t1 = t2 , b = t3 = t4 , c = t6 a na teˇcnˇe t6 zvol´ıme Reˇ libovoln´ y bod X = 5 neleˇz´ıc´ı na ˇza´dné z teˇcen t1 , t2 , t3 , t4 . Bod X = 5 je vrcholem ˇsesti´ uheln´ıku (t1 , t2 , t3 , t4 , t5 , t6 ), kde teˇcna t5 je hledaná teˇcna kuˇzeloseˇcky. Urˇc´ıme Brianchon˚ uv bod β tohoto ˇsesti´ uheln´ıku, β = 25 ∩ 36, kde 2 = t2 ∩ t3 , B = 3 a 6 = t6 ∩ t1 , a pomoc´ı tohoto bodu sestroj´ıme vrchol 4. Hledaná teˇcna t5 je urˇcena body X = 5 a 4. ´ Uloha 2.3.6 Kuˇzeloseˇcka je dána ˇctyˇrmi vlastn´ımi teˇcnami a, b, c, d a nevlastn´ım bodem dotyku D∞ na teˇcnˇe d. Sestrojte dalˇs´ı teˇcnu kuˇzeloseˇcky.

Obr. 2.3.7

ˇ sen´ı (Obr. 2.3.7): Oznaˇc´ıme a = t1 , b = t2 , c = t3 , d = t5 = t6 a na teˇcnˇe Reˇ t3 zvol´ıme libovoln´ y bod X = 3 neleˇz´ıc´ı na ˇza´dné z teˇcen t1 , t2 , t4 , t6 . Nevlastn´ı bod dotyku D∞ nahrazuje pr˚ useˇc´ık stran t5 , t6 ˇsesti´ uheln´ıku (t1 , t2 , t3 , t4 , t5 , t6 ), oznaˇc´ıme tedy D∞ = 5. Sestroj´ıme Brianchon˚ uv bod β tohoto ˇsesti´ uheln´ıku, ve kterém je strana t4 hledanou teˇcnou kuˇzeloseˇcky. Pomoc´ı bodu β urˇc´ıme vrchol 4 ˇsesti´ uheln´ıku, kter´ y spolu s bodem X = 3 urˇcuje hledanou teˇcnu t4 . ´ Uloha 2.3.7 Kuˇzeloseˇcka je dána ˇctyˇrmi vlastn´ımi teˇcnami a, b, c, d a nevlastn´ım bodem dotyku D∞ na teˇcnˇe d. Sestrojte dalˇs´ı bod kuˇzeloseˇcky. 64

Obr. 2.3.8 ˇ sen´ı (Obr. 2.3.8): Oznaˇc´ıme a = t1 , b = t2 , c = t3 = t4 , d = t5 = t6 a 1 = Reˇ t1 ∩ t2 , 2 = t2 ∩ t3 , 4 = t4 ∩ t5 , D∞ = 5, 6 = t6 ∩ t1 . Sestroj´ıme Brianchon˚ uv bod β, pro kter´ y plat´ı β = 14 ∩ 25. Hledan´ y bod dotyku C teˇcny c urˇc´ıme jako vrchol 3 ˇsesti´ uheln´ıku (t1 , t2 , t3 , t4 , t5 , t6 ), tedy C = 3 = c ∩ β6. ´ Uloha 2.3.8 Kuˇzeloseˇcka je dána tˇremi vlastn´ımi teˇcnami a, b, c, nevlastn´ı teˇcnou n∞ a bodem dotyku C na teˇcnˇe c. Sestrojte dalˇs´ı teˇcnu kuˇzeloseˇcky.

Obr. 2.3.9 ˇ sen´ı (Obr. 2.3.9): Oznaˇc´ıme a = t1 , b = t2 , c = t4 = t5 , n∞ = t6 a na teˇcnˇe t2 Reˇ zvol´ıme libovoln´ y bod X = 2 neleˇz´ıc´ı na ˇzádné z teˇcen t1 , t4 , t6 . Sestroj´ıme Brianchon˚ uv bod β ˇsesti´ uheln´ıku (t1 , t2 , t3 , t4 , t5 , t6 ) a poté vrchol 3 tohoto ˇsesti´ uheln´ıku jako pr˚ useˇc´ık strany t4 s pˇr´ımkou β6. Hledaná teˇcna t3 je urˇcena body X = 2 a 3. ´ Uloha 2.3.9 Kuˇzeloseˇcka je dána tˇremi vlastn´ımi teˇcnami a, b, c a vlastn´ım bodem dotyku C na teˇcnˇe c. Sestrojte bod dotyku na nevlastn´ı pˇr´ımce n∞ . 65

ˇ sen´ı (Obr. 2.3.10): Oznaˇc´ıme a = t1 , b = t2 , c = t3 = t4 , n∞ = t5 = t6 a Reˇ 1 = t1 ∩ t2 , 2 = t2 ∩ t3 , C = 3, 4 = t4 ∩ t5 , 6 = t6 ∩ t1 . Hledan´ y body dotyku N∞ nevlastn´ı teˇcny n∞ je poté vrchol 5 ˇsesti´ uheln´ıka (t1 , t2 , t3 , t4 , t5 , t6 ) kuˇzeloseˇcce opsaného. Sestroj´ıme-li Brianchon˚ uv bod β = 14 ∩ 36, je nevlastn´ı bod N∞ = 5 urˇcen smˇerem pˇr´ımky β2.

Obr. 2.3.10

´ Uloha 2.3.10 Kuˇzeloseˇcka je dána tˇremi vlastn´ımi teˇcnami a, b, c a dvˇema nevlastn´ımi body dotyku A∞ , B∞ na teˇcnách a, b. Sestrojte bod dotyku C teˇcny c.

ˇ sen´ı: (Obr. 2.3.11) Oznaˇc´ıme a = t1 = t2 , b = t3 = t4 , c = t5 = t6 a A∞ = Reˇ 1, 2 = t2 ∩ t3 , B∞ = 3, 4 = t4 ∩ t5 , 6 = t6 ∩ t1 . Hledan´ y bod C splyne s vrcholem 5 ˇsesti´ uheln´ıku (t1 , t2 , t3 , t4 , t5 , t6 ), sestroj´ıme jej tedy pomoc´ı Brianchonova bodu β, kter´ y z´ıskáme jako pr˚ useˇc´ık pˇr´ımek 36 a 14. Bod 5 = c ∩ 2β. 66

Obr. 2.3.11

2.4

Involuce na kuˇ zeloseˇ cce

Definice 2.4.1 Kvadratické soustavy bod˚ u K (A, B, C, . . .), K (A0 , B 0 , C 0 , . . .) tvoˇr´ı involuci bod˚ u, prom´ıtaj´ı-li se z libovolného bodu kuˇzeloseˇcky involutorn´ımi svazky. Definice 2.4.1∗ Kvadratické soustavy teˇcen K (a, b, c, . . .), K (a0 , b0 , c0 , . . .) tvoˇr´ı involuci teˇcen, vyt´ınaj´ı-li na libovolné teˇcnˇe kuˇzeloseˇcky involutorn´ı ˇrady bodové. Pro involuci kvadratick´ ych soustav bod˚ u ˇci teˇcen plat´ı analogické vˇety jako pro involuci lineárn´ıch u ´tvar˚ u. Vˇ eta 2.4.1 Jestliˇze v projektivnosti kvadratických soustav bod˚ u, resp. teˇcen, existuje kromˇe samodruˇzných prvk˚ u alespoˇ n jeden involutorn´ı pár prvk˚ u, pak vˇsechny páry odpov´ıdaj´ıc´ıch si prvk˚ u jsou involutorn´ı a daná projektivnost je involuce.

Vˇ eta 2.4.2 Involuce kvadratických soustav bod˚ u, resp. teˇcen, je urˇcena dvˇema r˚ uznými páry odpov´ıdaj´ıc´ıch si prvk˚ u.

Vˇ eta 2.4.3 Involuce na kuˇzeloseˇcce má bud’ dva r˚ uzné samodruˇzné prvky nebo nemá ˇzádný samodruˇzný prvek.

Definice 2.4.2 Involuce na kuˇzeloseˇcce se dvˇema samodruˇzn´ ymi prvky se naz´ yvá hyperbolická. Involuce bez samodruˇzn´ ych bod˚ u se naz´ yvá eliptická.

67

Vˇ eta 2.4.4 Kterékoli dva páry odpov´ıdaj´ıc´ıch si prvk˚ u eliptické involuce se navzájem oddˇeluj´ı, zat´ımco kterékoli dva páry odpov´ıdaj´ıc´ıch si prvk˚ u hyperbolické involuce se navzájem neoddˇeluj´ı.

Pˇri studiu involuce na kuˇzeloseˇcce m˚ uˇzeme také, oproti involuci lineárn´ıch u ´tvar˚ u, vyuˇz´ıt direkˇcn´ı osu, resp. direkˇcn´ı stˇred, dané involutorn´ı projektivity. Následuj´ıc´ı vˇety popisuj´ı nˇekteré vlastnosti direkˇcn´ı osy, resp. direkˇcn´ıho stˇredu, které vyuˇz´ıváme pˇri ˇreˇsen´ı u ´loh o kuˇzeloseˇckách. Definice 2.4.3 Direkˇcn´ı osa involutorn´ı projektivity bod˚ u na kuˇzeloseˇcce se naz´ yvá osa involuce bod˚ u. Definice 2.4.3∗ Direkˇcn´ı stˇred involutorn´ı projektivity teˇcen kuˇzeloseˇcky se naz´ yvá stˇred involuce teˇcen.

Vˇ eta 2.4.5 Osa hyperbolické involuce bod˚ u na kuˇzeloseˇcce prot´ıná tuto kuˇzeloseˇcku v samodruˇzných bodech této involuce.

Vˇ eta 2.4.5∗ Teˇcny vedené ze stˇredu hyperbolické involuce teˇcen kuˇzeloseˇcky jsou samodruˇzné pˇr´ımky této involuce.

Vˇ eta 2.4.6 Involuce bod˚ u na kuˇzeloseˇcce je urˇcena svou osou.

Vˇ eta 2.4.6∗ Involuce teˇcen kuˇzeloseˇcky je urˇcena svým stˇredem.

K urˇcen´ı direkˇcn´ı osy, resp. direkˇcn´ıho stˇredu, projektivity kvadratick´ ych soustav jsou potˇreba tˇri páry odpov´ıdaj´ıc´ıch si prvk˚ u. Jelikoˇz je vˇsak involuce urˇcena pouze dvˇema páry, uvedeme vˇety, které dávaj´ı návod, jak pomoc´ı tˇechto bod˚ u sestrojit osu involuce, resp. stˇred involuce. Vˇ eta 2.4.7 Jsou-li A, A0 , B, B 0 dva r˚ uzné páry odpov´ıdaj´ıc´ıch si bod˚ u v involuci na kuˇzeloseˇcce, pak osa této involuce je diagonáln´ı stranou u ´plného ˇctyˇrrohu AA0 BB 0 , která leˇz´ı proti tomu diagonáln´ımu vrcholu, kterým procházej´ı strany AA0 a BB 0 .

68

D˚ ukaz: Necht’ A → A0 a B → B 0 . Poloˇz´ıme-li C = A0 a C 0 = A, pak jistˇe C → C 0 , jelikoˇz se jedná o involuci. Osa této involuce procház´ı bodem AB 0 ∩A0 B, kter´ y je zároveˇ n 0 0 0 0 diagonáln´ım vrcholem u ´plného ˇctyˇrrohu AA BB , a bodem BC ∩ B C, kter´ y je také 0 0 diagonáln´ım vrcholem u ´plného ˇctyˇrrohu AA BB . Osa této involuce je tedy diagonáln´ı stranou tohoto ˇctyˇrrohu.

Obr. 2.4.1 D˚ uleˇzitá vlastnost involuce bod˚ u dané kuˇzeloseˇcce K (A, B, ϕ) je patrná z Obr. 2.4.1. 0 0 Jsou-li A, A , resp. B, B , resp. C, C 0 tˇri libovolné, vzájemnˇe r˚ uzné páry odpov´ıdaj´ıc´ıch si bod˚ u této involuce, osa této involuce je diagonáln´ı stranou u ´plného ˇctyˇrrohu 0 0 0 AA BB a zároveˇ n diagonáln´ı stranou u ´plného ˇctyˇrrohu AA CC 0 . Oznaˇcme tuto osu involuce p. Pr˚ useˇc´ık spojnic A, A0 a B, B 0 je diagonáln´ı vrchol P u ´plného 0 0 ˇctyˇrrohu AA BB , kter´ y leˇz´ı proti diagonáln´ı stranˇe p. Pr˚ useˇc´ık osy p s pˇr´ımkou 0 A, A oznaˇcme PA . Z harmonick´ ych vlastnost´ı u ´plného ˇctyˇrrohu v´ıme, ˇze plat´ı 0 (AA P PA ) = −1. Pˇr´ımka p je zároveˇ n diagonáln´ı stranou u ´plného ˇctyˇrrohu AA0 CC 0 , takˇze jeho diagonáln´ı vrchol proti n´ı leˇz´ıc´ı, coˇz je pr˚ useˇc´ık pˇr´ımek A, A0 a C, C 0 , je bod, kter´ y spolu s bodem PA oddˇeluje harmonicky dvojici bod˚ u A, A0 ; to znamená, ˇze pr˚ useˇc´ık pˇr´ımek A, A0 a C, C 0 je opˇet bod P , tedy ˇze pˇr´ımka C, C 0 procház´ı bodem P , kter´ y se naz´ yvá stˇredem dané involuce bod˚ u na kuˇzeloseˇcce K (A, B, ϕ). Pro osu involuce se provede duáln´ı u ´vaha, kterou ponecháme na ˇctenáˇri. Vˇ eta 2.4.7∗ Jsou-li a, a0 , b, b0 dva r˚ uzné páry odpov´ıdaj´ıc´ıch si pˇr´ımek v involuci teˇcen kuˇzeloseˇcky, pak stˇred této involuce je diagonáln´ı vrchol u ´plného ˇctyˇrstranu 0 0 aa bb , který leˇz´ı proti té diagonáln´ı stranˇe, na které leˇz´ı vrcholy a ∩ a0 a b ∩ b0 .

69

Osa involuce je tedy diagonáln´ı stranou kaˇzdého u ´plného ˇctyˇrrohu AA0 BB 0 , kde A, A0 , B, B 0 jsou libovolné r˚ uzné páry odpov´ıdaj´ıc´ıch si bod˚ u v této involuci. Duálnˇe plat´ı totéˇz pro stˇred involuce. Snadno ukáˇzeme, ˇze podobná vlastnost plat´ı i pro diagonáln´ı vrchol u ´plného ˇctyˇrrohu, kter´ y leˇz´ı proti ose involuce. Vˇ eta 2.4.8 Spojnice odpov´ıdaj´ıc´ıch si bod˚ u v involuci bod˚ u na kuˇzeloseˇcce procházej´ı jedn´ım bodem, tzv. stˇredem involuce bod˚ u.

D˚ ukaz: Necht’ A, A0 , B, B 0 , C, C 0 jsou odpov´ıdaj´ıc´ı si páry v involuci. Osa této involuce p je diagonáln´ı stranou u ´plného ˇctyˇrrohu AA0 BB 0 a souˇcasnˇe diagonáln´ı stranou u ´plného ˇctyˇrrohu AA0 CC 0 . Oznaˇc´ıme-li AA0 ∩ p = PA , AA0 ∩ BB 0 = P a AA0 ∩ CC 0 = P 0 , pak z harmonick´ ych vlastnost´ı u ´plného ˇctyˇrrohu plyne, ˇze (AA0 P PA ) = −1 a zároveˇ n 0 0 0 (AA P PA ) = −1 a tedy P = P . Vˇ eta 2.4.8∗ Pr˚ useˇc´ıky odpov´ıdaj´ıc´ıch si pˇr´ımek v involuci teˇcen kuˇzeloseˇcky leˇz´ı na jedné pˇr´ımce, tzv. ose involuce teˇcen. Vˇ eta 2.4.9 Dvojice bod˚ u odpov´ıdaj´ıc´ıch si v involuci na kuˇzeloseˇcce je harmonicky oddˇelována dvojic´ı bod˚ u, které na jejich spojnici tvoˇr´ı pr˚ useˇc´ık s osou involuce a stˇred involuce. (Obr. 2.4.1)

Vˇ eta 2.4.9∗ Dvojice pˇr´ımek odpov´ıdaj´ıc´ıch si v involuci teˇcen na kuˇzeloseˇcce je harmonicky oddˇelována dvojic´ı pˇr´ımek, které tvoˇr´ı spojnice jejich pr˚ useˇc´ıku se stˇredem této involuce a osa této involuce. (Obr. 2.4.2)

Obr. 2.4.2 70

Mezi involuc´ı bod˚ u a involuc´ı teˇcen kuˇzeloseˇcky lze nalézt vzájemn´ y vztah, kdy kaˇzdou involuci bod˚ u m˚ uˇzeme pˇrevést na involuci teˇcen a opaˇcnˇe. Dále tak budeme hovoˇrit pouze o involuci bod˚ u. Vˇ eta 2.4.10 Dvojice teˇcen kuˇzeloseˇcky sestrojené v odpov´ıdaj´ıc´ıch si bodech involuce bod˚ u tvoˇr´ı involuci teˇcen. Obˇe involuce maj´ı spoleˇcný stˇred a osu.

Pro involuci bod˚ u tedy plat´ı stejné vlastnosti jako pro involuci teˇcen. Involuce bod˚ u je tedy také urˇcena sv´ ym stˇredem, kter´ ym procházej´ı teˇcny sestrojené v samodruˇzn´ ych bodech této involuce. Definice 2.4.4 Je-li P stˇred involuce bod˚ u na kuˇzeloseˇcce, pak ˇr´ıkáme, ˇze bod P tuto involuci na kuˇzeloseˇcce indukuje.

Jelikoˇz diagonáln´ı vrchol leˇz´ıc´ı proti diagonáln´ı stranˇe u ´plného ˇctyˇrrohu, nen´ı s touto stranou nikdy incidentn´ı, nen´ı stˇred involuce incidentn´ı s osou této involuce. Dále lze ukázat, ˇze stˇred involuce neleˇz´ı na kuˇzeloseˇcce a osa involuce nen´ı teˇcnou kuˇzeloseˇcky. Konstrukce 2.4.1 Doplˇ nte involuci pˇr´ımek ve svazku o stˇredu M , která je dána dvˇema páry odpov´ıdaj´ıc´ıch si pˇr´ımek a, a0 , b, b0 , a urˇcete jej´ı samodruˇzné pˇr´ımky.

Obr. 2.4.3 71

Postup (Obr. 2.4.3): Involuce pˇr´ımek ve svazku se stˇredem M je dána dvˇema páry odpov´ıdaj´ıc´ıch si pˇr´ımek a, a0 , b, b0 ; sestrojme libovolnou kruˇznici k procházej´ıc´ı bodem M . Tato involuce pˇr´ımek prot´ıná kruˇznici k v involuci bod˚ u, jej´ıˇz stˇred P sestroj´ıme 0 0 jako pr˚ useˇc´ık spojnic AA a BB . Libovolná dalˇs´ı pˇr´ımka incidentn´ı s bodem P protne kruˇznici k v bodech C, C 0 , jimiˇz procházej´ı pˇr´ımky c, c0 daného svazku, jeˇz tvoˇr´ı dalˇs´ı pár dané involuce. Dále urˇc´ıme osu involuce bod˚ u na kruˇznici k, která danou kruˇznici k prot´ıná v samodruˇzn´ ych bodech této involuce. Osu m˚ uˇzeme sestrojit dvˇema zp˚ usoby, 0 0 bud’to jako diagonáln´ı stranu u ´plného ˇctyˇrrohu AA BB nebo jako spojnici bod˚ u dotyku teˇcen veden´ ych z bodu P . Pr˚ useˇc´ıky kruˇznice k s osou p jsou samodruˇzné body involuce na kruˇznici k a jimi procházej´ı hledané samodruˇzné pˇr´ımky x = x0 a y = y 0 dané involuce. Konstrukce 2.4.2 Doplˇ nte involuci bod˚ u na pˇr´ımce m, která je dána dvˇema páry 0 0 odpov´ıdaj´ıc´ıch si bod˚ u A, A a B, B a urˇcete jej´ı samodruˇzné body. Postup: Proveden´ı by bylo moˇzno uskuteˇcnit dualizac´ı pˇredchoz´ıho konstrukce. Rychlejˇs´ı je vˇsak pˇreveden´ı dané u ´lohy na pˇredchoz´ı, a to tak, ˇze involuci bod˚ u na pˇr´ımce m prom´ıtneme z libovolného bodu M , kter´ y neleˇz´ı na pˇr´ımce m a danou u ´lohu ˇreˇs´ıme pro tuto involuci pˇr´ımek.

2.5

Pol´ arn´ı vlastnosti kuˇ zeloseˇ cek

Definice 2.5.1 Necht’ je dána kuˇzeloseˇcka. Jestliˇze bod P neleˇz´ı na kuˇzeloseˇcce, pak osu involuce, kterou na kuˇzeloseˇcce indukuje bod P , nazveme polárou bodu P vzhledem k této kuˇzeloseˇcce. Jestliˇze bod P leˇz´ı na kuˇzeloseˇcce, nazveme polárou teˇcnu dané kuˇzeloseˇcky v bodˇe P . Je-li pˇr´ımka p polárou bodu P vzhledem k dané kuˇzeloseˇcce, pak bod P nazveme pólem pˇr´ımky p vzhledem k této kuˇzeloseˇcce.

Pro pól neleˇz´ıc´ı na kuˇzeloseˇcce a jeho poláru m˚ uˇzeme vyslovit podobné vˇety jako pro stˇred a osu téˇze involuce. Vˇ eta 2.5.1 Je-li pˇr´ımka p polárou bodu P vzhledem ke kuˇzeloseˇcce, pak body dotyku teˇcen vedených ke kuˇzeloseˇcce z bodu P jsou pr˚ useˇc´ıky poláry p s kuˇzeloseˇckou. Vˇ eta 2.5.1∗ Je-li bod P pólem pˇr´ımky p vzhledem ke kuˇzeloseˇcce, pak teˇcny sestrojené v pr˚ useˇc´ıc´ıch pˇr´ımky p s kuˇzeloseˇckou procházej´ı pólem P . Vˇ eta 2.5.2 Necht’ P je bod, který neleˇz´ı na kuˇzeloseˇcce, p je jeho polára, pˇr´ımka q (která nen´ı teˇcnou kuˇzeloseˇcky) incidentn´ı s bodem P necht’ prot´ıná kuˇzeloseˇcku v bodech A, A0 a poláru p v bodˇe PA . Pak body A, A0 , P, PA tvoˇr´ı harmonickou ˇctveˇrici. 72

Vˇ eta 2.5.2∗ Necht’ p je pˇr´ımka, která nen´ı teˇcnou kuˇzeloseˇcky, bod P jej´ı pól, bodem Q pˇr´ımky p (který neleˇz´ı na kuˇzeloseˇcce) necht’ procházej´ı teˇcny a, a0 kuˇzeloseˇcky a pˇr´ımka pa = P Q. Pak pˇr´ımky a, a0 , p, pa tvoˇr´ı harmonickou ˇctveˇrici. Z vlastnost´ı involuce lze odvodit následuj´ıc´ı duáln´ı vˇety o vztahu pól˚ u a polár téˇze kuˇzeloseˇcky. Tohoto vztahu vyuˇz´ıváme napˇr´ıklad pˇri konstrukci pólu dané pˇr´ımky. Vˇ eta 2.5.3 Leˇz´ı-li pól Q na poláˇre p bodu P vzhledem ke kuˇzeloseˇcce K, pak polára q bodu Q vzhledem k téˇze kuˇzeloseˇcce procház´ı bodem P .

D˚ ukaz: Necht’ Q ∈ p, kde p je polára bodu P . Pro P ∈ K je vˇeta zˇrejmˇe plat´ı. Necht’ tedy P, Q ∈ / K. Pˇr´ımka P Q tedy nen´ı teˇcnou kuˇzeloseˇcky K. Jestliˇze pˇr´ımka P Q prot´ıná kuˇzeloseˇcku v bodech A, A0 , patˇr´ı tyto body jak involuci indukované bodem P , tak i involuci indukované bodem Q. Zˇrejmˇe tedy plat´ı, ˇze body A, A0 , P, Q tvoˇr´ı harmonickou ˇctveˇrici bod˚ u a polára q bodu Q mus´ı tedy procházet bodem P . Necht’ Q ∈ p, kde p je polára bodu P a necht’ pˇr´ımka P Q kuˇzeloseˇcku K neprot´ıná. Teˇcny kuˇzeloseˇcky vedené z bodu Q tvoˇr´ı involutorn´ı pár teˇcen involuce o ose p a stˇredu P . Body dotyku tˇechto teˇcen tedy tvoˇr´ı involutorn´ı pár involuce o téˇze ose p a stˇredu P . Pˇr´ımka AA0 , jenˇz je polárou q bodu Q, tedy procház´ı bodem P . Vˇ eta 2.5.3∗ Procház´ı-li polára q pólem P pˇr´ımky p vzhledem ke kuˇzeloseˇcce K, pak pól Q pˇr´ımky q vzhledem k téˇze kuˇzeloseˇcce leˇz´ı na pˇr´ımce p. Definice 2.5.2 Dva body, z nichˇz kaˇzd´ y leˇz´ı na poláˇre druhého z nich sestrojené vzhledem k téˇze kuˇzeloseˇcce, se naz´ yvaj´ı sdruˇzené póly této kuˇzeloseˇcky, nebo ˇr´ıkáme, ˇze kaˇzd´ y z nich je vzhledem k dané kuˇzeloseˇcce polárnˇe sdruˇzený s druh´ ym z nich. Definice 2.5.2∗ Dvˇe pˇr´ımky, z nichˇz kaˇzdá procház´ı pólem druhé z nich sestrojené vzhledem k téˇze kuˇzeloseˇcce, se nazývaj´ı sdruˇzené poláry této kuˇzeloseˇcky, nebo ˇr´ıkáme, ˇze kaˇzdá z nich je vzhledem k dané kuˇzeloseˇcce polárnˇe sdruˇzena s druhou z nich. Máme-li dva sdruˇzené póly P, Q a jejich poláry p, q vzhledem k nˇejaké kuˇzeloseˇcce, pak zˇrejmˇe pr˚ useˇc´ık R tˇechto polár je pólem pˇr´ımky P Q. Pro takovouto trojici pól˚ u, resp. polár, nav´ıc plat´ı dalˇs´ı vlastnost plynouc´ı z harmonick´ ych vlastnost´ı u ´plného ˇctyˇrrohu, resp. ˇctyˇrstranu. Definice 2.5.3 Troj´ uheln´ık, jehoˇz kaˇzdá strana je polárou jeho protilehlého vrcholu vzhledem ke kuˇzeloseˇcce, se naz´ yvá polárn´ı troj´ uheln´ık kuˇzeloseˇcky. 73

Vˇ eta 2.5.4 Je-li u ´plný ˇctyˇrroh kuˇzeloseˇcce vepsán, pak jeho diagonáln´ı troj´ uheln´ık je polárn´ım troj´ uheln´ıkem této kuˇzeloseˇcky.

Vˇ eta 2.5.4∗ Je-li u ´plný ˇctyˇrstran kuˇzeloseˇcce opsán, pak jeho diagonáln´ı troj´ uheln´ık je polárn´ım troj´ uheln´ıkem této kuˇzeloseˇcky.

Zˇrejmˇe plat´ı, ˇze poláry vˇsech bod˚ u pˇr´ımky p vzhledem k téˇze kuˇzeloseˇcce procházej´ı jedn´ım bodem, pólem P pˇr´ımky p. A opaˇcnˇe, ˇze póly vˇsech pˇr´ımek procházej´ıc´ıch bodem P leˇz´ı na pˇr´ımce p. Máme tedy dáno jednoznaˇcné zobrazen´ı bod˚ u pˇr´ımky p na pˇr´ımky svazku [ P ] a ptáme se jaké má vlastnosti. Vˇ eta 2.5.5 Prob´ıhá-li bod pˇr´ımou ˇradu bodovou, vytvoˇr´ı jeho poláry svazek pˇr´ımek, který je s danou pˇr´ımou ˇradou bodovou projektivn´ı.

Vˇ eta 2.5.5∗ Prob´ıhá-li pˇr´ımka svazek pˇr´ımek, vytvoˇr´ı jej´ı póly pˇr´ımou ˇradu bodovou, která je s daným svazkem pˇr´ımek projektivn´ı.

Uvaˇzujme pˇr´ımku q, která nen´ı teˇcnou kuˇzeloseˇcky. K pˇr´ımé ˇradˇe bodové [ q ] lze podle vˇety 2.5.5 sestrojit projektivn´ı svazek pˇr´ımek. K tomuto svazku lze podle vˇety 2.5.5∗ sestrojit projektivn´ı ˇradu bodovou. Sloˇzen´ım tˇechto dvou projektivit dostáváme soum´ıstnou projektivitu ˇrad. Z této konstrukce je zˇrejmé, ˇze páry odpov´ıdaj´ıc´ıch si bod˚ u v této projektivitˇe tvoˇr´ı páry sdruˇzen´ ych pól˚ u vzhledem k dané kuˇzeloseˇcce, a tedy tato projektivita je involuce. Odvodili jsme tak následuj´ıc´ı tvrzen´ı. Vˇ eta 2.5.6 Nen´ı-li pˇr´ımka q teˇcnou kuˇzeloseˇcky, tvoˇr´ı páry sdruˇzených pól˚ u kuˇzeloseˇcky na pˇr´ımce q involuci bod˚ u.

Vˇ eta 2.5.6∗ Neleˇz´ı-li bod Q na kuˇzeloseˇcce, tvoˇr´ı páry sdruˇzených polár v bodˇe Q involuci pˇr´ımek.

Definice 2.5.4 Involuce sdruˇzen´ ych pól˚ u kuˇzeloseˇcky na pˇr´ımce q se naz´ yvá involuce indukovaná kuˇzeloseˇckou na pˇr´ımce q. Involuce sdruˇzen´ ych polár kuˇzeloseˇcky v bodˇe Q se naz´ yvá involuce indukovaná kuˇzeloseˇckou v bodˇe Q.

74

Involuce indukovaná kuˇzeloseˇckou má opˇet bud’ právˇe dva r˚ uzné samodruˇzné prvky nebo nemá ˇza´dn´ y samodruˇzn´ y prvek. Následuj´ıc´ı vˇety plynou pˇr´ımo z pˇredchoz´ı u ´vahy a z vlastnost´ı involuce. Vˇ eta 2.5.7 Samodruˇzné body involuce sdruˇzených pól˚ u indukované kuˇzeloseˇckou na pˇr´ımce q jsou pr˚ useˇc´ıky pˇr´ımky q s kuˇzeloseˇckou. Vˇ eta 2.5.7∗ Samodruˇzné pˇr´ımky x, y involuce sdruˇzených polár indukované kuˇzeloseˇckou v bodˇe Q jsou teˇcny vedené z bodu Q ke kuˇzeloseˇcce. Vˇ eta 2.5.8 Kaˇzdá dvojice sdruˇzených pól˚ u kuˇzeloseˇcky na pˇr´ımce q oddˇeluje harmonicky pr˚ useˇc´ıky X, Y pˇr´ımky q s kuˇzeloseˇckou. (Obr. 2.5.1)

Obr. 2.5.1 Vˇ eta 2.5.8∗ Kaˇzdá dvojice sdruˇzených polár kuˇzeloseˇcky v bodˇe Q oddˇeluje harmonicky teˇcny x, y vedené z bodu Q ke kuˇzeloseˇcce. (Obr. 2.5.1) Vˇ eta 2.5.9 Involuce indukovaná kuˇzeloseˇckou na pˇr´ımce q se prom´ıtá z pólu Q této pˇr´ımky involuc´ı pˇr´ımek, která je indukována kuˇzeloseˇckou v bodˇe Q.

Polárn´ıch vlastnost´ı kuˇzeloseˇcek vyuˇz´ıváme pˇri konstrukci dalˇs´ıch bod˚ u ˇci teˇcen kuˇzeloseˇcky. Jak uvid´ıme v následuj´ıc´ıch u ´lohách, je moˇzné pól˚ u a polár vyuˇz´ıt k jednoznaˇcnému zadán´ı kuˇzeloseˇcky.

´ Uloha 2.5.1 Kuˇzeloseˇcka je dána pˇeti vlastn´ımi body A, B, C, D, E. K danému bodu P sestrojte jeho poláru p. ˇ sen´ı (Obr. 2.5.2): Pólem P a bodem A, resp. B, proloˇz´ıme pˇr´ımku, na které Reˇ pomoc´ı Pascalovy vˇety sestroj´ıme bod A0 , resp. B 0 , leˇz´ıc´ı na kuˇzeloseˇcce. Body 75

A, A0 , B 0 , B tvoˇr´ı u ´pln´ y ˇctyˇrroh s diagonáln´ım bodem P . Sestroj´ıme zbylé diagonáln´ı body X a Y , kter´ ymi je urˇcena polára p bodu P (vˇeta 2.4.7).

Obr. 2.5.2 ´ Uloha 2.5.2 Kuˇzeloseˇcka je dána pˇeti vlastn´ımi teˇcnami a, b, c, d, e. K dané pˇr´ımce p sestrojte jej´ı pól P .

Obr. 2.5.3 ˇ sen´ı (Obr. 2.5.3): Pomoc´ı Brianchonovy vˇety sestroj´ıme teˇcnu a0 , resp. b0 , dané Reˇ kuˇzeloseˇcky procházej´ıc´ı bodem A = a ∩ p, resp. B = b ∩ p. Teˇcny a, a0 , b, b0 tvoˇr´ı u ´pln´ y ˇctyˇrstran kuˇzeloseˇcce opsan´ y s diagonáln´ı pˇr´ımkou p. Hledan´ y pól P je tedy 0 pr˚ useˇc´ıkem zbyl´ ych diagonáln´ıch pˇr´ımek U V a XY , kde U = a ∩b, V = a∩b0 , X = a ∩ b, Y = a0 ∩ b0 (vˇeta 2.4.7∗ ). ´ Uloha 2.5.3 Kuˇzeloseˇcka je dána tˇremi vlastn´ımi body A, B, C a pólem P s polárou p. Sestrojte dalˇs´ı body kuˇzeloseˇcky. ˇ sen´ı (Obr. 2.5.4): Pólem P a bodem A proloˇz´ıme pˇr´ımku, která protne poláru Reˇ p v bodˇe PA . Pro bod A0 , ve kterém prot´ıná pˇr´ımka AP kuˇzeloseˇcku, plat´ı (AA0 P PA ) = −1 (vˇeta 2.5.2). Sestroj´ıme jej tedy uˇzit´ım konstrukce 1.10.1. Dále 76

sestroj´ıme bod B 0 kuˇzeloseˇcky leˇz´ıc´ı na pˇr´ımce BP . Vyuˇzijeme k tomu vlastnost´ı ˇctyˇrrohu A, A0 , B, B 0 , ve kterém je bod P diagonáln´ım vrcholem a pˇr´ımka p diagonáln´ı stranou. Pˇr´ımka AB prot´ıná pˇr´ımku p v diagonáln´ım vrcholu X. Pˇr´ımka A0 X je stranou u ´plného ˇctyˇrrohu, na které leˇz´ı hledan´ y vrchol B 0 , tedy B 0 = A0 X ∩ BP .

Obr. 2.5.4 ´ Uloha 2.5.4 Kuˇzeloseˇcka je dána tˇremi vlastn´ımi teˇcnami a, b, c a pólem P s polárou p. Sestrojte dalˇs´ı teˇcnu kuˇzeloseˇcky. ˇ sen´ı (Obr. 2.5.5): Oznaˇc´ıme X = a ∩ p a P X = pa . Pro hledanou teˇcnu a0 , Reˇ která procház´ı bodem X, plat´ı (aa0 ppa ) = −1 (vˇeta 2.5.2∗ ). Sestroj´ıme ji uˇzit´ım konstrukce 1.10.1∗ .

77

Obr. 2.5.5 ´ Uloha 2.5.5 Kuˇzeloseˇcka je dána dvˇema vlastn´ımi body A, B, teˇcnou a v bodˇe A a pólem P s polárou p. Sestrojte dalˇs´ı bod a teˇcnu. ˇ sen´ı (Obr. 2.5.6): Oznaˇc´ıme PB = BP ∩ p, X = a ∩ p, pa = P X. Na pˇr´ımce Reˇ BP sestroj´ıme bod B 0 , pro kter´ y plat´ı (BB 0 P PB ) = −1, a t´ım z´ıskáme dalˇs´ı bod kuˇzeloseˇcky. Dále sestroj´ıme pˇr´ımku a0 , pro kterou plat´ı (aa0 ppa ) = −1. Tato pˇr´ımka je pak hledanou teˇcnou kuˇzeloseˇcky.

Obr. 2.5.6 ´ Uloha 2.5.6 Kuˇzeloseˇcka je dána dvˇema body A, B a polárn´ım troj´ uheln´ıkem P QR. Sestrojte dalˇs´ı body kuˇzeloseˇcky.

Obr. 2.5.7 ˇ sen´ı (Obr. 2.5.7): Sestroj´ıme pˇr´ımku AQ, která protne poláru q pólu Q v bodˇe Reˇ QA . Pˇr´ımka AQ prot´ıná kuˇzeloseˇcku v bodˇe A a v hledaném bodˇe A0 . Pro ˇctveˇrici 78

bod˚ u A, A0 , Q, QA plat´ı (AA0 QQA ) = −1. Hledan´ y bod A0 sestroj´ıme pomoc´ı konstrukce 1.10.1. Dalˇs´ı hledané body kuˇzeloseˇcky sestroj´ıme analogicky. ´ Uloha 2.5.7 Kuˇzeloseˇcka je dána dvˇema teˇcnami a, b a polárn´ım troj´ uheln´ıkem P QR. Sestrojte dalˇs´ı teˇcnu kuˇzeloseˇcky.

ˇ sen´ı (Obr. 2.5.8): Oznaˇc´ıme X = a ∩ r a sestroj´ıme pˇr´ımku ra = XR. Chceme Reˇ sestrojit teˇcnu kuˇzeloseˇcky a0 6= a procházej´ıc´ı bodem X, pˇriˇcemˇz pro ˇctveˇrici pˇr´ımek a, a0 , r, ra plat´ı (aa0 rra ) = −1 (vˇeta 2.5.8∗ ). Pˇr´ımku a0 lze sestrojit pomoc´ı konstrukce 1.10.1∗ , nebo vyuˇzijeme vlastnosti dvojpomˇeru (ABCD∞ ) = (ABC) následuj´ıc´ım zp˚ usobem. Protoˇze (ABCD∞ ) = (ABC) = −1, je bod C stˇredem AB. Tedy v naˇsem pˇr´ıpadˇe vedeme libovoln´ ym vlastn´ım bodem K 6= X pˇr´ımky ra vedeme pˇr´ımku m procházej´ıc´ı nevlastn´ım bodem pˇr´ımky a, tedy rovnobˇeˇzku s pˇr´ımkou a. Pˇr´ımka m protne pˇr´ımku r v bodˇe L a hledanou pˇr´ımku a0 v bodˇe M , protoˇze (aa0 rra ) = −1 = (KLM A∞ ) = (KLM ), bod M je tedy stˇredem u ´seˇcky KL. Dalˇs´ı teˇcny dané kuˇzeloseˇcky sestroj´ıme analogicky.

Obr. 2.5.8

´ Uloha 2.5.8 Kuˇzeloseˇcka je dána pólem M s polárou m a polárn´ım troj´ uheln´ıkem P QR. Sestrojte nˇekolik bod˚ u kuˇzeloseˇcky. 79

Obr. 2.5.9

ˇ sen´ı (Obr. 2.5.9): Sestroj´ıme-li pˇr´ımku M P , pak body P, P 0 = p∩M P, M, M 0 = Reˇ m ∩ M P urˇcuj´ı involuci sdruˇzen´ ych pól˚ u dané kuˇzeloseˇcky (vˇeta 2.5.6). Jelikoˇz se odpov´ıdaj´ıc´ı si dvojice bod˚ u neoddˇeluj´ı, je tato involuce hyperbolická a má tedy dva samodruˇzné body. Dle vˇety 2.5.7 jsou samodruˇzné body X, Y této involuce pr˚ useˇc´ıky pˇr´ımky M P s kuˇzeloseˇckou. Body X, Y sestroj´ıme pomoc´ı Steinerovy kruˇznice k (konstrukce 2.1.1). Z libovolného bodu S kruˇznice k prom´ıtneme pˇr´ımkami body M, M 0 , P, P 0 . Na kruˇznici k dostaneme involuci kvadratick´ ych 0 0 soustav bod˚ u k (α, β, . . .) a k (α , β , . . .). Osa o této involuce prot´ıná kruˇznici k v samodruˇzn´ ych bodech χ, ψ. Prom´ıtneme-li body χ a ψ z bodu S na pˇr´ımku M P z´ıskáme hledané body X, Y dané kuˇzeloseˇcky. Dalˇs´ı body kuˇzeloseˇcky sestroj´ıme analogicky. ´ Uloha 2.5.9 Kuˇzeloseˇcka je dána pˇeti body A, B, C, D, E. Sestrojte pr˚ useˇc´ıky dané pˇr´ımky p s touto kuˇzeloseˇckou. ˇ sen´ı (Obr. 2.5.10): Na pˇr´ımce p zvol´ıme libovolné dva r˚ Reˇ uzné body Q, R a sestroj´ıme jejich poláry q, r vzhledem k dané kuˇzeloseˇcce (´ uloha 2.5.1). Oznaˇc´ıme 0 0 0 0 Q = q ∩ p, R = r ∩ p. Body Q, Q , R, R urˇcuj´ı na pˇr´ımce p involuci sdruˇzen´ ych pól˚ u kuˇzeloseˇcky. Jelikoˇz se odpov´ıdaj´ıc´ı si dvojice bod˚ u neoddˇeluj´ı, jedná se o hyperbolickou involuci a m˚ uˇzeme sestrojit samodruˇzné body X, Y této involuce, které jsou hledan´ ymi pr˚ useˇc´ıky pˇr´ımky p s danou kuˇzeloseˇckou. V pˇr´ıpadˇe, kdy by involuce byla eliptická, daná pˇr´ımka p by s kuˇzeloseˇckou nemˇela ˇza´dn´ y spoleˇcn´ y bod. 80

Obr. 2.5.10

2.6

Svazek a ˇ rada kuˇ zeloseˇ cek

Regulárn´ı kuˇzeloseˇcka je jednoznaˇcnˇe urˇcena pˇeti sv´ ymi body, z nichˇz ˇzádné tˇri neleˇz´ı na pˇr´ımce. Dvˇe r˚ uzné regulárn´ı kuˇzeloseˇcky tedy mohou m´ıt nejv´ yˇse ˇctyˇri spoleˇcné body, pˇriˇcemˇz tˇemito body procház´ı nekoneˇcnˇe mnoho navzájem r˚ uzn´ ych kuˇzeloseˇcek. Definice 2.6.1 Necht’ A, B, C, D jsou ˇctyˇri r˚ uzné body projektivn´ı roviny, z nichˇz ˇza´dné tˇri neleˇz´ı v pˇr´ımce. Mnoˇzina vˇsech kuˇzeloseˇcek, které procházej´ı body A, B, C, D se naz´ yvá svazek kuˇzeloseˇcek. Znaˇc´ıme S (A, B, C, D).

Definice 2.6.2∗ Necht’ a, b, c, d jsou ˇctyˇri r˚ uzné pˇr´ımky projektivn´ı roviny, z nichˇz ˇza´dné tˇri neprocházej´ı t´ ymˇz bodem. Mnoˇzina vˇsech kuˇzeloseˇcek, které se dot´ ykaj´ı pˇr´ımek a, b, c, d se naz´ yvá ˇrada kuˇzeloseˇcek. Znaˇc´ıme s (a, b, c, d).

Kaˇzd´ y svazek kuˇzeloseˇcek obsahuje vedle regulárn´ıch kuˇzeloseˇcek také tˇri singulárn´ı kuˇzeloseˇcky. Tyto singulárn´ı kuˇzeloseˇcky jsou tvoˇrené protˇejˇs´ımi stranami u ´plného ˇctyˇrrohu A, B, C, D. Je zˇrejmé, ˇze pro kaˇzd´ y bod projektivn´ı roviny r˚ uzn´ y od dané ˇctveˇrice existuje právˇe jedna kuˇzeloseˇcka patˇr´ıc´ı tomuto svazku. Duáln´ı vlastnost pro ˇrady kuˇzeloseˇcek plat´ı jen v pˇr´ıpadˇe, ˇze se omez´ıme pouze na regulárn´ı kuˇzeloseˇcky.

1. Spoleˇcn´ y název pro ˇradu a svazek kuˇzeloseˇcek je lineárn´ı soustava. 2. X 6= A, B, C, D;X urˇcuje s body A, B, C, D jedinou kuˇzeloseˇcku. 3. Body A, B, C, D urˇcuj´ı tˇri singulárn´ı kuˇzeloseˇcky (AB, CD), (AC, BD), (AD, BC). 81

Definice 2.6.2 Za singulárn´ı kuˇzeloseˇcku K budeme pokládat mnoˇzinu pˇr´ımek a, b 1. je-li a 6= b, pak kuˇzeloseˇcka K je sjednocen´ım ˇrad bodov´ ych K = [a] ∩ [b], 2. je-li a = b, pak K = [a], pˇriˇcemˇz kaˇzd´ y bod A ∈ a budeme povaˇzovat za dvojnásobn´ y.

Vˇ eta 2.6.1 Svazek kuˇzeloseˇcek je urˇcen dvˇema svými kuˇzeloseˇckami.

ˇ Vˇ eta 2.6.1∗ Rada kuˇzeloseˇcek je urˇcena dvˇema sv´ ymi kuˇzeloseˇckami.

Dvˇe r˚ uzné kuˇzeloseˇcky mohou m´ıt nejv´ yˇse ˇctyˇri spoleˇcné body. Pro regulárn´ı kuˇzeloseˇcky m˚ uˇze vzájemná poloha b´ yt následuj´ıc´ı:

Obr. 2.6.1 jeden spoleˇcn´ y bod (v nˇem spoleˇcná teˇcna)

Obr. 2.6.2 jeden spoleˇcn´ y bod (v nˇem spoleˇcná teˇcna) 82

Obr. 2.6.3 dva spoleˇcné body (bez spoleˇcné teˇcny)

Obr. 2.6.4 dva spoleˇcné body (se spoleˇcn´ ymi teˇcnami)

Obr. 2.6.5 ˇctyˇri spoleˇcné body

Obr. 2.6.6 tˇri spoleˇcné body (v jednom spoleˇcná teˇcna) Vˇ eta 2.6.2 (Desarguesova )Kuˇzeloseˇcky svazku S (A, B, C, D) prot´ınaj´ı pˇr´ımku p, která neprocház´ı ˇzádným z bod˚ u A, B, C, D, v párech bod˚ u, které tvoˇr´ı na pˇr´ımce p involuci, tzv. involuci Desarguesovu.

83

D˚ ukaz: (Obr. 2.6.7) Necht’ je dána kuˇzeloseˇcka svazku S (A, B, C, D) a pˇr´ımka p. Studujme jejich vzájemnou polohu. Pˇredpokládejme, ˇze pˇr´ımka p neprocház´ı ˇzádn´ ym z bod˚ u A, B, C, D. Abychom urˇcili pr˚ useˇc´ıky pˇr´ımky p s nˇekterou kuˇzeloseˇckou K1 daného ´ svazku, uˇzijeme konstrukce v Uloze 2.1.8. Oznaˇcme P ≡ A, P 0 ≡ B. Z bod˚ u P, P 0 se prom´ıtaj´ı ostatn´ı body naˇs´ı kuˇzeloseˇcky K1 projektivn´ımi svazky pˇr´ımek, které prot´ınaj´ı pˇr´ımku p ve dvou projektivn´ıch pˇr´ım´ ych ˇradách bodov´ ych. Z bodu P ≡ A 0 0 0 prom´ıtneme body C, D do bod˚ u C , D a z bodu P ≡ B prom´ıtneme body C, D do 00 00 bod˚ u C , D . Samodruˇzné body projektivn´ıch ˇrad p(C 0 , D0 , . . .) Z p(C 00 , D00 , . . .) jsou ´ pr˚ useˇc´ıky pˇr´ımky p s kuˇzeloseˇckou K1 ve svazku bl´ıˇze neurˇcenou. Podle Ulohy‘2.1.8 hledáme tyto samodruˇzné body t´ım zp˚ usobem, ˇze obˇe projektivn´ı ˇrady prom´ıtneme z libovolného bodu R na pomocnou kruˇznici, tzv. Steinerovu kruˇznici, procházej´ıc´ı bodem R. Tyto pr˚ umˇety bod˚ u C 0 , D0 , C 00 , D00 na kruˇznici k oznaˇcme Ck0 , Dk0 , Ck00 , Dk00 . T´ım je u ´loha pˇrevedena na hledán´ı samodruˇzn´ ych bod˚ u kvadratick´ ych projektivn´ıch soustav 0 0 00 00 bod˚ u k(Ck , Dk , . . .)Zk(Ck , Dk , . . .) na kuˇzeloseˇcce k; k tomu potˇrebujeme jejich direkˇcn´ı osu. Protoˇze naˇse myˇslená kuˇzeloseˇcka K1 nebyla ve svazku bl´ıˇze urˇcena, známe z této projektivnosti jen dva páry odpov´ıdaj´ıc´ıch si bod˚ u; m˚ uˇzeme tedy urˇcit jen jeden bod 0 00 0 00 direkˇcn´ı osy, je to pr˚ useˇc´ık spojnic Ck Dk a Dk Ck ,. V obrázku je oznaˇcen jako bod M .

Obr. 2.6.7 Zvol´ıme-li na pˇr´ımce p na pˇr´ıklad bod X jako jeden pr˚ useˇc´ık kuˇzeloseˇcky K1 s touto pˇr´ımkou, bude druh´ y pr˚ useˇc´ık Y m´ıt tu vlastnost, ˇze body X, Y se prom´ıtnou z bodu R na kruˇznici k do bod˚ u Xk , Yk jejich spojnice jako direkˇcn´ı osa projektivn´ıch ˇrad bude procházet bodem M . Tento postup lze obrátit. Vedeme-li bodem M libovolnou pˇr´ımku, pak tato pˇr´ımka protne kruˇznici k v bodech Xk , Yk , které se z bodu R prom´ıtaj´ı na pˇr´ımku p do bod˚ u X, Y , v nichˇz ji protne nˇekterá kuˇzeloseˇcka daného svazku. Protoˇze body Xk , Yk zˇrejmˇe tvoˇr´ı na kruˇznici k involuci o stˇredu M , tvoˇr´ı i body X, Y na pˇr´ımce p involuci, tzv. Desarguesovu involuci. 84

Desarguesova vˇeta má znaˇcné konstruktivn´ı d˚ usledky. Proto je d˚ uleˇzité ji umˇet konstruktivnˇe urˇcit. Z obrázku je pˇr´ımo patrné, ˇze napˇr´ıklad bodu D0 odpov´ıdá v Desarguesovˇe involuci na pˇr´ımce p bod C 00 , nebot’ spojnice Dk0 Ck00 , procház´ı stˇredem involuce M bod˚ u na pomocné Steinerovˇe kruˇznici. Vˇec je velmi názorná, uvˇedom´ıme-li si, ˇze kuˇzeloseˇcka zkoumaného svazku, která procház´ı bodem D0 , obsahuje tˇri body A, D, D0 , jeˇz leˇz´ı v pˇr´ımce. To znamená, ˇze tato kuˇzeloseˇcka nen´ı regulárn´ı; je tud´ıˇz sloˇzená z pˇr´ımek AD a BC a jej´ı pr˚ useˇc´ıky s pˇr´ımkou p tvoˇr´ı také jeden pár zm´ınˇené involuce. Vˇeta Desarguesova plat´ı tedy i pro singulárn´ı kuˇzeloseˇcky daného svazku a ty jsou zˇrejmˇe tvoˇreny protˇejˇs´ımi stranami u ´plného ˇctyˇrrohu ABCD. Vˇ eta 2.6.2∗ Teˇcny vedené ke kuˇzeloseˇckám ˇrady s (a, b, c, d) z bodu, kter´ y neleˇz´ı na ˇza´dné z pˇr´ımek a, b, c, d, tvoˇr´ı involuci, tzv. involuci Desarguesovu. Desarguesovy vˇety uˇz´ıváme pˇri konstrukci kuˇzeloseˇcky svazku, která se pˇr´ımky p dot´ yká. Bod dotyku této kuˇzeloseˇcky je totiˇz samodruˇzn´ ym bodem Desarguesovy involuce. Vˇ eta 2.6.3 Jestliˇze v Desarguesovˇe involuci bod˚ u na pˇr´ımce p existuj´ı dva r˚ uzné samodruˇzné body, pak v daném svazku kuˇzeloseˇcek existuj´ı dvˇe kuˇzeloseˇcky, pro které je pˇr´ımka p teˇcnou. Pˇritom body dotyku jsou právˇe samodruˇzné body Desarguesovy involuce. Vˇ eta 2.6.3∗ Jestliˇze v Desarguesovˇe involuci pˇr´ımek v bodˇe P existuj´ı dvˇe r˚ uzné samodruˇzné pˇr´ımky, pak v dané ˇradˇe kuˇzeloseˇcek existuj´ı dvˇe kuˇzeloseˇcky, které procházej´ı bodem P . Pˇritom teˇcny tˇechto kuˇzeloseˇcek v bodˇe P jsou právˇe samodruˇzné pˇr´ımky Desarguesovy involuce.

´ Uloha 2.6.1 Urˇcete kuˇzeloseˇcky svazku S (A, B, C, D) dot´ ykaj´ıc´ı se dané pˇr´ımky p. ˇ sen´ı (Obr. 2.6.8): V daném svazku existuj´ı dvˇe r˚ Reˇ uzné singulárn´ı kuˇzeloseˇcky, [ AC ] ∪ [ BD ] a [ AD ] ∪ [ BC ]. Tyto kuˇzeloseˇcky prot´ınaj´ı pˇr´ımku p v bodech M, M 0 , N, N 0 , které urˇcuj´ı Desarguesovu involuci bod˚ u. Samodruˇzné body X, Y této involuce jsou body dotyku hledan´ ych kuˇzeloseˇcek svazku S (A, B, C, D) a pˇr´ımky p. Body X, Y urˇc´ıme pomoc´ı Steinerovy kruˇznice k. Hledané kuˇzeloseˇcky jsou tedy jednoznaˇcnˇe urˇceny pˇeti sv´ ymi body A, B, C, D, X, resp. A, B, C, D, Y . (V obrázku je z d˚ uvodu pˇrehlednosti zakreslena pouze kuˇzeloseˇcka urˇcená body A, B, C, D, X). 85

Obr. 2.6.8

2.7

Afinn´ı a metrick´ e vlastnosti kuˇ zeloseˇ cek

Pˇri studiu afinn´ıch a metrick´ ych vlastnost´ı kuˇzeloseˇcek pracujeme s nevlastn´ımi prvky, rovnobˇeˇznost´ı a metrikou. Dále tedy budeme projektivn´ı rovinou rozumˇet rozˇs´ıˇrenou eukleidovskou rovinu.

2.7.1

Afinn´ı klasifikace kuˇ zeloseˇ cek

Definice 2.7.1 Kuˇzeloseˇcku naz´ yváme elipsou, jestliˇze neprot´ıná nevlastn´ı pˇr´ımku. Kuˇzeloseˇcku naz´ yváme parabolou, jestliˇze má s nevlastn´ı pˇr´ımkou spoleˇcn´ y právˇe jeden bod (dotykov´ y). Kuˇzeloseˇcku naz´ yváme hyperbolou, jestliˇze prot´ıná nevlastn´ı pˇr´ımku ve dvou bodech.

Z této definice plyne, ˇze nevlastn´ı pˇr´ımka nen´ı teˇcnou elipsy ani hyperboly. Pro elipsu a hyperbolu lze tedy uvaˇzovat involuci sdruˇzen´ ych pól˚ u na nevlastn´ı pˇr´ımce a pomoc´ı n´ı rozhodnout o jak´ y typ kuˇzeloseˇcky se jedná. Vˇ eta 2.7.1 Kuˇzeloseˇcka je elipsou, resp. hyperbolou, právˇe tehdy, kdyˇz na nevlastn´ı pˇr´ımce své roviny indukuje eliptickou, resp. hyperbolickou, involuci sdruˇzených pól˚ u.

86

Vˇ eta 2.7.2 Kuˇzeloseˇcka je parabolou právˇe tehdy, kdyˇz je nevlastn´ı pˇr´ımka jej´ı teˇcnou.

´ Uloha 2.7.1 Kuˇzeloseˇcka je dána pˇeti vlastn´ımi body A, B, C, D, E. Urˇcete typ kuˇzeloseˇcky. ˇ sen´ı (Obr. 2.7.1): Typ kuˇzeloseˇcky urˇc´ıme tak, ˇze zjist´ıme poˇcet pr˚ Reˇ useˇc´ık˚ u kuˇzeloseˇcky s nevlastn´ı pˇr´ımkou. Zvol´ıme dva body D, E a z nich prom´ıtneme ostatn´ı body projektivn´ımi svazky. Páry odpov´ıdaj´ıc´ıch si pr˚ useˇc´ık˚ u pˇr´ımek tˇechto svazk˚ u s nevlastn´ı pˇr´ımkou tvoˇr´ı soum´ıstnou projektivitu ˇrad. Pomoc´ı Steinerovy kruˇznice k urˇc´ıme poˇcet samodruˇzn´ ych bod˚ u této projektivity. Dostáváme projektivn´ı kvadratické soustavy bod˚ u k (α, β, γ, ...) , k (α0 , β 0 , γ 0 , ...). Direkˇcn´ı osa o prot´ıná Steinerovu kruˇznici k ve dvou bodech χ, ψ, daná kuˇzeloseˇcka je tedy hyperbola.

Obr. 2.7.1

2.7.2

Stˇ red a asymptoty kuˇ zeloseˇ cky

Definice 2.7.2 Pól nevlastn´ı pˇr´ımky vzhledem k elipse, resp. hyperbole, se naz´ yvá stˇred elipsy, resp. stˇred hyperboly. U paraboly stˇred nezavád´ıme, jelikoˇz nevlastn´ı pˇr´ımka je teˇcnou paraboly a jej´ı pól tedy pˇr´ısluˇsn´ ym bodem dotyku, kter´ y je nevlastn´ı. Pro elipsu ani pro hyperbolu nen´ı nevlastn´ı pˇr´ımka jej´ı teˇcnou, pól nevlastn´ı pˇr´ımky vzhledem k tˇemto kuˇzeloseˇckám tedy 87

nen´ı incidentn´ı s nevlastn´ı pˇr´ımkou a je bodem vlastn´ım. Pro stˇred hyperboly a elipsy dokáˇzeme d˚ uleˇzitou vlastnost. Vˇ eta 2.7.3 Elipsa a hyperbola jsou soumˇerné podle svého stˇredu. Jiný stˇred soumˇernosti nemaj´ı.

D˚ ukaz: Necht’ pˇr´ımka p procház´ı stˇredem S kuˇzeloseˇcky a prot´ıná tuto kuˇzeloseˇcku v bodech A, A0 . Oznaˇc´ıme-li pr˚ useˇc´ık pˇr´ımky p s nevlastn´ı pˇr´ımkou jako S∞ , pak z polárn´ıch vlastnost´ı plyne, ˇze (AA0 SS∞ ) = −1 a tedy (AA0 S) = −1. Stˇred S je tedy stˇredem u ´seˇcky AA0 . Obrácenˇe stˇred soumˇernosti mus´ı b´ yt zˇrejmˇe pólem nevlastn´ı pˇr´ımky. Ke kaˇzdé pˇr´ımce vˇsak vzhledem k dané kuˇzeloseˇcce existuje právˇe jeden jej´ı pól. Jedin´ y stˇred soumˇernosti elipsy, resp. hyperboly, je tedy jej´ı stˇred. Definice 2.7.3 Elipsa a hyperbola se naz´ yvaj´ı stˇredové kuˇzeloseˇcky. Parabola se naz´ yvá nestˇredová kuˇzeloseˇcka.

Definice 2.7.4 Teˇcna kuˇzeloseˇcky v jej´ım nevlastn´ım bodˇe se naz´ yvá asymptota kuˇzeloseˇcky.

Poˇcet asymptot u jednotliv´ ych kuˇzeloseˇcek plyne ihned z definice 2.7.1 Elipsa nemá s nevlastn´ı pˇr´ımkou ˇzádn´ y spoleˇcn´ y bod, neexistuje tedy ˇzádná jej´ı reálná asymptota. Vˇ eta 2.7.4 Hyperbola má dvˇe asymptoty a jejich pr˚ useˇc´ık je stˇredem hyperboly. Jediná asymptota paraboly je nevlastn´ı pˇr´ımka dané roviny.

D˚ ukaz: Pro parabolu vˇeta plyne pˇr´ımo z vˇety 2.7.2 Dokáˇzeme tedy pouze, ˇze pr˚ useˇc´ık asymptot hyperboly je jej´ım stˇredem. Asymptoty jsou teˇcny v nevlastn´ıch bodech, jejich pr˚ useˇc´ık je tedy dle vˇety 2.5.1∗ pólem nevlastn´ı pˇr´ımky. Pól nevlastn´ı pˇr´ımky je vˇsak podle definice 2.7.2 stˇred kuˇzeloseˇcky. Vedle involuce sdruˇzen´ ych pól˚ u na nevlastn´ı pˇr´ımce, m˚ uˇzeme studovat také involuci sdruˇzen´ ych polár procházej´ıc´ıch stˇredem kuˇzeloseˇcky. Pro elipsu je tato involuce eliptická, tedy bez samodruˇzn´ ych pˇr´ımek. Pro hyperbolu je naopak hyperbolická, existuj´ı v n´ı tedy dvˇe samodruˇzné pˇr´ımky. Lze dokázat, ˇze samodruˇzné pˇr´ımky této involuce jsou právˇe asymptoty dané hyperboly.

88

´ Uloha 2.7.2 Hyperbola je dána tˇremi vlastn´ımi body A, B, C a dvˇema nevlastn´ımi body U∞ , V∞ . Sestrojte jej´ı asymptoty u, v.

Obr. 2.7.2 ˇ sen´ı (Obr. 2.7.2): Asymptoty u, v sestroj´ıme jako teˇcny v nevlastn´ıch bodech Reˇ U∞ , V∞ uˇzit´ım Pascalovy vˇety. Oznaˇc´ıme A = 1, B = 2, C = 4, U∞ = 3, V∞ = 5 = 6 a sestroj´ıme Pascalovu pˇr´ımku p = αγ, kde α = 12 ∩ 45, γ = 34 ∩ 61. Hledaná asymptota v procház´ı bodem β = 23 ∩ p a bodem V∞ . Asymptotu u sestroj´ıme analogicky. ´ Uloha 2.7.3 Kuˇzeloseˇcka je dána tˇremi vlastn´ımi body A, B, C a stˇredem S. Sestrojte dalˇs´ı body a teˇcnu kuˇzeloseˇcky. ˇ sen´ı (Obr. 2.7.3): Dalˇs´ı body A0 , B 0 , C 0 kuˇzeloseˇcky sestroj´ıme jako body souReˇ mˇernˇe sdruˇzené s body A, B, C podle stˇredu S kuˇzeloseˇcky. Teˇcnu kuˇzeloseˇcky sestroj´ıme pomoc´ı Pascalovy vˇety. Oznaˇc´ıme A = 1 = 6, A0 = 5, B = 2, B 0 = 4, C = 3 a sestroj´ıme Pascalovu pˇr´ımku p = α∞ β. Hledaná teˇcna a kuˇzeloseˇcky procház´ı bodem γ = 34 ∩ p.

Obr. 2.7.3 89

´ Uloha 2.7.4 Hyperbola je dána asymptotami u, v a teˇcnou a. Sestrojte bod dotyku A teˇcny a.

Obr. 2.7.4

ˇ sen´ı (Obr. 2.7.4): Bod A sestroj´ıme pomoc´ı Brianchonovy vˇety. Oznaˇc´ıme u = Reˇ t1 = t2 , a = t3 = t4 , v = t5 = t6 a sestroj´ıme Brianchon˚ uv bod β = 14 ∩ 25, kde 1 = t1 ∩ t2 , 2 = t2 ∩ t3 , 4 = t4 ∩ t5 , 5 = t5 ∩ t6 . Hledan´ y bod A urˇc´ıme jako pr˚ useˇc´ık pˇr´ımky a s pˇr´ımkou β6.

2.7.3

Pr˚ umˇ ery kuˇ zeloseˇ cek

Definice 2.7.5 Vlastn´ı pˇr´ımka, jej´ıˇz pól vzhledem k dané kuˇzeloseˇcce je bod nevlastn´ı, se naz´ yvá pr˚ umˇer kuˇzeloseˇcky.

Z této definice je zˇrejmé, ˇze ke kaˇzdé kuˇzeloseˇcce existuje nekoneˇcnˇe mnoho jej´ıch pr˚ umˇer˚ u. Z polárn´ıch vlastnost´ı kuˇzeloseˇcek snadno odvod´ıme následuj´ıc´ı vˇety pro pr˚ umˇery kuˇzeloseˇcek. Vˇ eta 2.7.5 Pr˚ umˇery stˇredové kuˇzeloseˇcky procházej´ı jej´ım stˇredem a obrácenˇe, kaˇzd´ a pˇr´ımka procházej´ıc´ı stˇredem kuˇzeloseˇcky je jej´ım pr˚ umˇerem.

Vˇ eta 2.7.6 Pr˚ umˇery paraboly jsou navzájem rovnobˇeˇzné. Jejich spoleˇcný nevlastn´ı bod je bodem dotyku nevlastn´ı pˇr´ımky a paraboly.

90

Vˇ eta 2.7.7 Spojnice pr˚ useˇc´ıku dvou teˇcen kuˇzeloseˇcky se stˇredem u ´seˇcky, jej´ımiˇz krajn´ımi body jsou body dotyku tˇechto teˇcen, je pr˚ umˇer kuˇzeloseˇcky.

D˚ ukaz: Necht’ t1 , t2 jsou dvˇe teˇcny téˇze kuˇzeloseˇcky s body dotyku T1 , T2 . Oznaˇcme P = t1 ∩ t2 a p = T1 T2 . Bod P je zˇrejmˇe pólem pˇr´ımky p. Oznaˇc´ıme-li Q∞ nevlastn´ı bod pˇr´ımky p, pak jeho polára q vzhledem k dané kuˇzeloseˇcce procház´ı bodem P a prot´ıná pˇr´ımku p v bodˇe Q0 . Staˇc´ı tedy dokázat, ˇze bod Q0 je stˇredem u ´seˇcky T1 T2 . 0 Body T1 , T2 , Q , Q∞ tvoˇr´ı harmonickou ˇctveˇrici a jelikoˇz bod Q∞ je nevlastn´ı plat´ı také (T1 T2 Q0 ) = −1. Bod Q0 je tedy stˇredem u ´seˇcky T1 T2 . Dvˇe teˇcny stˇredové kuˇzeloseˇcky mohou b´ yt navzájem rovnobˇeˇzné, jejich pr˚ useˇc´ıkem je pak nevlastn´ı bod. Spojnice bod˚ u dotyku tˇechto teˇcen je tedy polárou nevlastn´ıho bodu ˇcili pr˚ umˇerem této kuˇzeloseˇcky. K parabole nelze vést navzájem rovnobˇeˇzné teˇcny, jelikoˇz je nevlastn´ı pˇr´ımka teˇcnou paraboly a tedy kaˇzd´ ym nevlastn´ım bodem m˚ uˇze procházet nejv´ yˇse jedna vlastn´ı teˇcna. Vˇ eta 2.7.8 Spojnice stˇred˚ u rovnobˇeˇzných tˇetiv kuˇzeloseˇcky je jej´ı pr˚ umˇer.

Obr. 2.7.5 D˚ ukaz: Necht’ vˇsechny navzájem rovnobˇeˇzné tˇetivy procházej´ı nevlastn´ım bodem P∞ . Potom polára p tohoto bodu je pr˚ umˇerem dané kuˇzeloseˇcky. Staˇc´ı tedy dokázat, ˇze pˇr´ımka p procház´ı stˇredy rovnobˇeˇzn´ ych tˇetiv. Zvolme libovolnou tˇetivu a, která prot´ıná 0 kuˇzeloseˇcku v bodech A, A a pˇr´ımku p v bodˇe Pa . Pro body A, A0 , Pa , P∞ plat´ı (AA0 Pa P∞ ) = −1 a tedy (AA0 Pa ) = −1. Bod Pa je tedy stˇredem u ´seˇcky AA0 . Stˇred kuˇzeloseˇcky je moˇzné urˇcit napˇr´ıklad jako pr˚ useˇc´ık dvou jej´ıch pr˚ umˇer˚ u ˇci jako pól nevlastn´ı pˇr´ımky. Ke konstrukci stˇredu kuˇzeloseˇcky lze také vyuˇz´ıt následuj´ıc´ı vˇety. 91

Vˇ eta 2.7.9 Stˇred kuˇzeloseˇcky je stˇredem involuce sdruˇzených pól˚ u, kterou kuˇzeloseˇcka indukuje na kterémkoli svém pr˚ umˇeru, který nen´ı asymptotou.

Vedle sdruˇzen´ ych pól˚ u leˇz´ıc´ıch na pr˚ umˇeru kuˇzeloseˇcky, m˚ uˇzeme také studovat páry sdruˇzen´ ych polár procházej´ıc´ıch stˇredem kuˇzeloseˇcky. Dostáváme ˇradu vlastnost´ı, které lze vyuˇz´ıt pˇri konstrukci stˇredov´ ych kuˇzeloseˇcek. Definice 2.7.6 Dva pr˚ umˇery stˇredové kuˇzeloseˇcky, které jsou jej´ımi sdruˇzen´ ymi polárami, se naz´ yvaj´ı sdruˇzené pr˚ umˇery.

Vˇ eta 2.7.10 Dvojice sdruˇzených pr˚ umˇer˚ u stˇredové kuˇzeloseˇcky tvoˇr´ı involuci pˇr´ımek indukovanou kuˇzeloseˇckou ve svém stˇredu. U elipsy je tato involuce eliptická. U hyperboly je hyperbolická, pˇriˇcemˇz samodruˇzné pˇr´ımky této involuce jsou jej´ı asymptoty.

Z vlastnost´ı hyperbolické involuce pˇr´ımek ihned plyne, ˇze asymptoty hyperboly oddˇeluj´ı harmonicky kaˇzdé dva jej´ı sdruˇzené pr˚ umˇery. Z polárn´ıch vlastnost´ı kuˇzeloseˇcek m˚ uˇzeme také odvodit, ˇze kaˇzdá dvojice sdruˇzen´ ych pr˚ umˇer˚ u kuˇzeloseˇcky tvoˇr´ı spolu s nevlastn´ı pˇr´ımkou polárn´ı troj´ uheln´ık této kuˇzeloseˇcky. Obrácenˇe také plat´ı, ˇze kaˇzd´ y polárn´ı troj´ uheln´ık kuˇzeloseˇcky, jehoˇz jednou stranou je nevlastn´ı pˇr´ımka, obsahuje dvojici sdruˇzen´ ych pr˚ umˇer˚ u. Dalˇs´ı vlastnosti sdruˇzen´ ych pr˚ umˇer˚ u plynouc´ı z polárn´ıch vlastnost´ı uvádˇej´ı následuj´ıc´ı vˇety. Vˇ eta 2.7.11 Kaˇzdý ze dvou sdruˇzených pr˚ umˇer˚ u stˇredové kuˇzeloseˇcky p˚ ul´ı jej´ı tˇetivy rovnobˇeˇzné s druhým pr˚ umˇerem.

Vˇ eta 2.7.12 Kaˇzdá pˇr´ımka polárnˇe sdruˇzená s pr˚ umˇerem stˇredové kuˇzeloseˇcky je rovnobˇeˇzná s jej´ım sdruˇzeným pr˚ umˇerem.

´ Vˇ eta 2.7.13 Uhlopˇ r´ıˇcky rovnobˇeˇzn´ıku stˇredové kuˇzeloseˇcce opsaného jsou sdruˇzenými pr˚ umˇery této kuˇzeloseˇcky.

92

Obr. 2.7.6

D˚ ukaz: Strany rovnobˇeˇzn´ıku tvoˇr´ı u ´pln´ y ˇctyˇrstran, jehoˇz diagonáln´ı troj´ uheln´ık obsahuje nevlastn´ı pˇr´ımku. Stˇred kuˇzeloseˇcky je tedy vrcholem diagonáln´ıho troj´ uheln´ıku a diagonáln´ı troj´ uheln´ık je polárn´ım troj´ uheln´ıkem. Strany tohoto troj´ uheln´ıku procházej´ıc´ı stˇredem kuˇzeloseˇcky jsou tedy sdruˇzené pr˚ umˇery. Pro rovnobˇeˇzn´ık kuˇzeloseˇcce vepsan´ y plat´ı podobná vˇeta. V jej´ım d˚ ukazu bychom vyˇsli z vlastnost´ı u ´plného ˇctyˇrrohu a jeho diagonáln´ıho troj´ uheln´ıku.

Obr. 2.7.7 93

Vˇ eta 2.7.14 Stˇredn´ı pˇr´ıˇcky rovnobˇeˇzn´ıku vepsaného stˇredové kuˇzeloseˇcce jsou jej´ı sdruˇzené pr˚ umˇery.

Definice 2.7.7 Pr˚ useˇc´ıky kuˇzeloseˇcky se sv´ ym libovoln´ ym pr˚ umˇerem se naz´ yvaj´ı krajn´ı body pr˚ umˇeru.

Vˇ eta 2.7.15 Dva pr˚ umˇery stˇredové kuˇzeloseˇcky jsou sdruˇzené právˇe tehdy, kdyˇz teˇcny sestrojené v krajn´ıch bodech jednoho pr˚ umˇeru jsou rovnobˇeˇzné s druhým pr˚ umˇerem.

D˚ ukaz: 0 (1) Necht’ m, m0 jsou sdruˇzené pr˚ umˇery kuˇzeloseˇcky a body M∞ , M∞ jejich póly. Oznaˇcme M1 , M2 krajn´ı body pr˚ umˇeru m a m1 , m2 teˇcny v tˇechto bodech. Teˇcna m1 , resp. m2 , je polárnˇe sdruˇzena s pˇr´ımkou m, jelikoˇz pˇr´ımka m procház´ı pólem M1 , resp. M2 , pˇr´ımky m1 , resp. m2 . Teˇcny m1 , m2 tedy procházej´ı nevlastn´ım bodem M∞ , kter´ ym vˇsak podle pˇredpokladu procház´ı také pr˚ umˇer m0 . Pˇr´ımky m0 , m1 , m2 jsou tedy navzájem rovnobˇeˇzné.

(2) Necht’ m, n jsou pr˚ umˇery kuˇzeloseˇcky a teˇcny m1 , m2 sestrojené v krajn´ıch bodech pr˚ umˇeru m jsou rovnobˇeˇzné s pr˚ umˇerem n. Teˇcny m1 , m2 opˇet procházej´ı pólem M∞ pr˚ umˇeru m. Jelikoˇz je pˇr´ımka n podle pˇredpokladu rovnobˇeˇzná s teˇcnami m1 , m2 , mus´ı procházet stejn´ ym nevlastn´ım bodem, tedy bodem M∞ . Pól pr˚ umˇeru m leˇz´ı na pr˚ umˇeru n, tud´ıˇz pól pr˚ umˇeru n mus´ı leˇzet na pr˚ umˇeru m a tedy dané pr˚ umˇery jsou sdruˇzené. Vˇ eta 2.7.16 Spojnice kteréhokoli bodu stˇredové kuˇzeloseˇcky s krajn´ımi body jej´ıho libovolného pr˚ umˇeru jsou rovnobˇeˇzné se sdruˇzenými pr˚ umˇery této kuˇzeloseˇcky.

Tato vˇeta je d˚ usledkem vˇety o stˇredn´ıch pˇr´ıˇckách rovnobˇeˇzn´ıku vepsaného kuˇzeloseˇcce (vˇeta 2.7.14). Vˇ eta 2.7.17 Spojnice kteréhokoli bodu stˇredové kuˇzeloseˇcky s krajn´ımi body libovolného pr˚ umˇeru prot´ınaj´ı právˇe s n´ım sdruˇzený pr˚ umˇer ve dvou sdruˇzených pólech.

94

Obr. 2.7.8 D˚ ukaz: Necht’ m, n jsou sdruˇzené pr˚ umˇery, body M1 , M2 krajn´ı body pr˚ umˇeru m a bod A libovoln´ ym bodem kuˇzeloseˇcky. Urˇc´ıme-li na kuˇzeloseˇcce bod B tak, aby platilo ABkM1 M2 , pak body A, B, M1 , M2 tvoˇr´ı u ´pln´ y ˇctyˇrroh kuˇzeloseˇcce vepsan´ y. Nevlastn´ı bod N∞ pˇr´ımky m je diagonáln´ım bodem tohoto ˇctyˇrrohu a pˇr´ımka n je jeho diagonáln´ı stranou. Na pˇr´ımce n tedy leˇz´ı zb´ yvaj´ıc´ı diagonáln´ı vrcholy P = AM1 ∩n, P 0 = AM2 ∩n, pˇriˇcemˇz tyto vrcholy jsou sdruˇzen´ ymi póly vzhledem ke kuˇzeloseˇcce. Na pr˚ umˇeru kuˇzeloseˇcky tak dostáváme involuci sdruˇzen´ ych pól˚ u urˇcenou stˇredem kuˇzeloseˇcky a dvojic´ı odpov´ıdaj´ıc´ıch si pól˚ u. Je-li tato involuce hyperbolická, m˚ uˇzeme sestrojit jej´ı samodruˇzné body, které jsou krajn´ımi body daného pr˚ umˇeru. Pro parabolu nemá smysl zavádˇet pojem sdruˇzen´ ych pr˚ umˇer˚ u, jelikoˇz jsou vˇsechny jej´ı pr˚ umˇery rovnobˇeˇzné. Z polárn´ıch vlastnost´ı vˇsak m˚ uˇzeme pro parabolu odvodit podobné vlastnosti jako pro stˇredové kuˇzeloseˇcky. Definice 2.7.8 Smˇer pˇr´ımek polárnˇe sdruˇzen´ ych s pr˚ umˇerem paraboly se naz´ yvá smˇer sdruˇzený s t´ımto pr˚ umˇerem.

Vˇ eta 2.7.18 Kaˇzdý smˇer v rovinˇe paraboly, který nen´ı smˇerem pr˚ umˇeru této paraboly, je sdruˇzen právˇe s jedn´ım pr˚ umˇerem této paraboly.

→

D˚ ukaz: Mˇejme dán libovoln´ y smˇer s r˚ uzn´ y od smˇeru pr˚ umˇeru dané paraboly. Vˇsechny → pˇr´ımky daného smˇeru s necht’ procházej´ı bodem S∞ . K bodu S∞ existuje právˇe jedna polára s vzhledem k dané parabole, která je nav´ıc jej´ım pr˚ umˇerem. Na pˇr´ımce s leˇz´ı → vˇsechny póly pˇr´ımek patˇr´ıc´ı smˇeru s a obrácenˇe, kaˇzd´ y bod leˇz´ıc´ı na pˇr´ımce s má poláru → → smˇeru s . Smˇer s je tedy sdruˇzen právˇe s pr˚ umˇerem s paraboly. 95

Bod dotyku vlastn´ı teˇcny a paraboly je pólem této teˇcny, pr˚ umˇer procházej´ıc´ı t´ımto bodem je tedy pr˚ umˇer sdruˇzen´ y se smˇerem této teˇcny. Pro tˇetivy paraboly plat´ı opˇet podobná vˇeta jako pro tˇetivy stˇredové kuˇzeloseˇcky. Vˇ eta 2.7.19 Pr˚ umˇer paraboly p˚ ul´ı vˇsechny jej´ı tˇetivy rovnobˇeˇzné se smˇerem s n´ım sdruˇzeným.

Obr. 2.7.9 Na kaˇzdém svém pr˚ umˇeru indukuje parabola involuci sdruˇzen´ ych pól˚ u. Tato involuce je vˇzdy hyperbolická a má tedy dva samodruˇzné prvky, které jsou opˇet body paraboly. Jelikoˇz je jedn´ım samodruˇzn´ ym bodem této involuce nevlastn´ı bod, plat´ı pro druh´ y samodruˇzn´ y bod následuj´ıc´ı vˇeta. Vˇ eta 2.7.20 Necht’ q je libovolný pr˚ umˇer paraboly a body P, P 0 jsou dva r˚ uzné 0 sdruˇzené póly leˇz´ıc´ı na tomto pr˚ umˇeru q. Potom stˇred u ´seˇcky P P je bodem paraboly. (Obr. 2.7.9)

Konstrukce 2.7.1 Sestrojte involuci sdruˇzen´ ych pr˚ umˇer˚ u, pˇr´ıpadnˇe asymptoty kuˇzeloseˇcky urˇcené pˇeti body A, B, C, D, E. ˇ sen´ı(Obr. 2.7.10): Spojnic´ı AE vedeme rovnobˇeˇzku bodem B a Pascalovou vˇetou Reˇ urˇc´ıme jej´ı druh´ y pr˚ useˇc´ık B 0 s danou kuˇzeloseˇckou. Spojnice stˇred˚ u rovnobˇeˇzn´ ych tˇetiv 0 AE a BB je podle vˇety 2.7.8 pr˚ umˇer m dané kuˇzeloseˇcky. Jin´ y jej´ı pr˚ umˇer urˇc´ıme touˇz konstrukc´ı, opakujeme-li ji na pˇr´ıklad pro tˇetivy rovnobˇeˇzné s pˇr´ımkou AD, z´ıskáme tak pr˚ umˇer n. Jsou-li pr˚ umˇery m, n spolu rovnobˇeˇzné, je touto kuˇzeloseˇckou parabola a hledán´ı involuce sdruˇzen´ ych pr˚ umˇer˚ u v tomto pˇr´ıpadˇe odpadá. V opaˇcném pˇr´ıpadˇe 96

je pr˚ useˇc´ık pr˚ umˇer˚ u m, n stˇredem kuˇzeloseˇcky, j´ımˇz procház´ı pr˚ umˇer m0 sdruˇzen´ y s pr˚ umˇerem m, kter´ y sestroj´ıme jako pˇr´ımku vedenou stˇredem kuˇzeloseˇcky rovnobˇeˇznˇe s pˇr´ımkou AE. Podobnˇe pr˚ umˇer n0 sdruˇzen´ y s pr˚ umˇerem n je rovnobˇeˇzn´ y s pˇr´ımkou 0 0 AD. Dvˇema páry m, m a n, n je involuce sdruˇzen´ ych pr˚ umˇer˚ u urˇcena; jej´ı samodruˇzné pˇr´ımky jsou hledané asymptoty. V naˇsem pˇr´ıpadˇe se jedná o elipsu a asymptoty by byly imaginárnˇe sdruˇzené pˇr´ımky.

Obr. 2.7.10

´ Uloha 2.7.5 Kuˇzeloseˇcka je dána tˇremi vlastn´ımi body A, B, C a stˇredem S. Urˇcete involuci sdruˇzen´ ych pr˚ umˇer˚ u. ˇ sen´ı (Obr. 2.7.11): K bod˚ Reˇ um A, B, C sestroj´ıme podle stˇredu S kuˇzeloseˇcky 0 stˇredovˇe soumˇerné body A , B 0 , C 0 . Body A, B, A0 , B 0 , resp. B, C, B 0 , C 0 , jsou vrcholy rovnobˇeˇzn´ık˚ u kuˇzeloseˇcce vepsan´ ych. Dle vˇety 2.7.14 jsou tedy stˇredn´ı pˇr´ıˇcky tˇechto rovnobˇeˇzn´ık˚ u sdruˇzen´ ymi pr˚ umˇery. Dostáváme tak dva páry sdruˇzen´ ych 0 0 pr˚ umˇer˚ u m, m a n, n , které urˇcuj´ı involuci sdruˇzen´ ych pr˚ umˇer˚ u.

97

Obr. 2.7.11

´ Uloha 2.7.6 Kuˇzeloseˇcka je dána tˇremi vlastn´ımi teˇcnami a, b, c a stˇredem S. Urˇcete involuci sdruˇzen´ ych pr˚ umˇer˚ u.

Obr. 2.7.12

ˇ sen´ı (Obr. 2.7.12): K teˇcnám a, b, c sestroj´ıme podle stˇredu S kuˇzeloseˇcky Reˇ stˇredovˇe soumˇerné teˇcny a0 , b0 , c0 . Pˇr´ımky a, b, a0 , b0 , resp. b, c, b0 , c0 , urˇcuj´ı rovnobˇeˇzn´ıky kuˇzeloseˇcce opsané. Dle vˇety 2.7.13 jsou u ´hlopˇr´ıˇcky tˇechto rovnobˇeˇzn´ık˚ u 0 sdruˇzen´ ymi pr˚ umˇery. Dostáváme tak dva páry sdruˇzen´ ych pr˚ umˇer˚ u m, m a n, n0 , které urˇcuj´ı involuci sdruˇzen´ ych pr˚ umˇer˚ u. ´ Uloha 2.7.7 Kuˇzeloseˇcka je dána párem sdruˇzen´ ych pr˚ umˇer˚ u m, m0 , krajn´ımi body M1 , M2 pr˚ umˇeru m a bodem A. Sestrojte krajn´ı body pr˚ umˇeru m0 .

ˇ sen´ı (Obr. 2.7.13): Z bodu A kuˇzeloseˇcky prom´ıtneme krajn´ı body M1 , M2 Reˇ pr˚ umˇeru m na pr˚ umˇer m0 . Dostaneme tak body P, P 0 , které tvoˇr´ı involutorn´ı pár sdruˇzen´ ych pól˚ u vzhledem ke kuˇzeloseˇcce (vˇeta 2.7.17). Jelikoˇz se jedná o hyperbolickou involuci, m˚ uˇzeme sestrojit (konstrukce 1.11.2) jej´ı samodruˇzné body 0 0 M1 , M2 , které jsou krajn´ımi body pr˚ umˇeru m0 . 98

Obr. 2.7.13 ´ Uloha 2.7.8 Kuˇzeloseˇcka je dána pˇeti vlastn´ımi body A, B, C, D, E. Sestrojte jej´ı stˇred S.

Obr. 2.7.14 ˇ sen´ı (Obr. 2.7.14): Bodem C vedeme pˇr´ımku c rovnobˇeˇznou s pˇr´ımkou AB Reˇ a pomoc´ı Pascalovy vˇety na n´ı sestroj´ıme pr˚ useˇc´ık C 0 s danou kuˇzeloseˇckou. (V obrázku z d˚ uvodu pˇrehlednosti nen´ı tato konstrukce vyznaˇcena). Dostaneme tak dvˇe rovnobˇeˇzné tˇetivy kuˇzeloseˇcky. Podle vˇety 2.7.8 je spojnice m stˇred˚ u tˇechto tˇetiv pr˚ umˇer kuˇzeloseˇcky. Obdobnˇe sestroj´ıme také pr˚ umˇer n kuˇzeloseˇcky. Jelikoˇz jsou pr˚ umˇery m, n r˚ uznobˇeˇzné, nem˚ uˇze b´ yt daná kuˇzeloseˇcka parabolou a pr˚ useˇc´ık tˇechto pr˚ umˇer˚ u je tedy hledan´ ym stˇredem S kuˇzeloseˇcky. ´ Uloha 2.7.9 Kuˇzeloseˇcka je dána stˇredem S a polárn´ım troj´ uheln´ıkem P QR. Urˇcete involuci sdruˇzen´ ych pr˚ umˇer˚ u. 99

Obr. 2.7.15

ˇ sen´ı (Obr. 2.7.15): Sestroj´ıme pr˚ Reˇ umˇer m0 = P S a jeho nevlastn´ı bod oznaˇc´ıme M∞ . Hledan´ y pr˚ umˇer m, kter´ y je sdruˇzen´ y s pr˚ umˇerem m0 , je zˇrejmˇe polárou nevlastn´ıho bodu M∞ . Pr˚ umˇer m0 procház´ı stˇredem S a pólem P , jeho pól je tedy pr˚ useˇc´ıkem pˇr´ımek n∞ , p, tedy nevlastn´ım bodem pˇr´ımky p, kde pˇr´ımka p je polárou bodu P . Jelikoˇz polára m0 procház´ı bodem M∞ , mus´ı také polára m bodu 0 M∞ procházet bodem M∞ . Hledan´ y pr˚ umˇer m sdruˇzen´ y vzhledem ke kuˇzeloseˇcce 0 s pr˚ umˇerem m je tedy rovnobˇeˇzn´ y s pˇr´ımkou p. Analogicky sestroj´ıme sdruˇzené 0 pr˚ umˇery n, n = QS. Involuci sdruˇzen´ ych pr˚ umˇer˚ u máte tedy urˇcenu dvˇema páry odpov´ıdaj´ıc´ıch si pr˚ umˇer˚ u.

2.7.4

Osy kuˇ zeloseˇ cek

Definice 2.7.9 Pˇr´ımky, které tvoˇr´ı pravo´ uhl´ y pár involuce sdruˇzen´ ych pr˚ umˇer˚ u stˇredové kuˇzeloseˇcky, se naz´ yvaj´ı osy kuˇzeloseˇcky. Pr˚ umˇer paraboly, kter´ y je kolm´ y ke smˇeru s n´ım sdruˇzen´ ym, se naz´ yvá osa paraboly.

Dˇr´ıve neˇz se budeme zab´ yvat poˇctem os u jednotliv´ ych kuˇzeloseˇcek, je tˇreba mnoˇzinu vˇsech elips rozdˇelit na dvˇe disjunktn´ı skupiny. Definice 2.7.10 Elipsu, která ve svém stˇredu indukuje pravo´ uhlou involuci sdruˇzen´ ych pr˚ umˇer˚ u, naz´ yváme kruˇznic´ı.

Pro stˇredové kuˇzeloseˇcky lze poˇcet os odvodit z vlastnost´ı involuce svazk˚ u pˇr´ımek. Pro parabolu staˇc´ı uvaˇzovat vˇetu 2.7.18 100

Vˇ eta 2.7.21 Kaˇzdá parabola má právˇe jednu osu. Kaˇzdá stˇredová kuˇzeloseˇcka, která nen´ı kruˇznic´ı, má právˇe dvˇe osy. Kaˇzdá kruˇznice má nekoneˇcnˇe mnoho os.

Následuj´ıc´ı vˇeta plyne pro stˇredové kuˇzeloseˇcky z vlastnost´ı sdruˇzen´ ych pr˚ umˇer˚ ua pro parabolu z vlastnost´ı pr˚ umˇer˚ u sdruˇzen´ ych se smˇerem. Kaˇzd´ y pr˚ umˇer paraboly p˚ ul´ı jej´ı tˇetivy, které patˇr´ı smˇeru sdruˇzenému. A kaˇzd´ y pr˚ umˇer stˇredové kuˇzeloseˇcky p˚ ul´ı tˇetivy rovnobˇeˇzné s pr˚ umˇerem k nˇemu sdruˇzen´ ym. Vˇ eta 2.7.22 Kuˇzeloseˇcka je soumˇerná podle své osy a obrácenˇe osy kuˇzeloseˇcky jsou jej´ı jediné osy soumˇernosti.

Definice 2.7.11 Vlastn´ı pr˚ useˇc´ıky kuˇzeloseˇcky s kaˇzdou jej´ı osou se naz´ yvaj´ı vrcholy kuˇzeloseˇcky. Teˇcny ve vrcholech se naz´ yvaj´ı vrcholové teˇcny.

Parabola má tedy právˇe jeden vrchol a právˇe jednu vrcholovou teˇcnu. Kaˇzdá stˇredová kuˇzeloseˇcka, která nen´ı kruˇznic´ı, má nejv´ yˇse ˇctyˇri vrcholy. Dˇr´ıve neˇz odvod´ıme pˇresn´ y poˇcet vrchol˚ u u stˇredov´ ych kuˇzeloseˇcek, je tˇreba dokázat d˚ uleˇzitou vlastnost vnitˇrn´ıch bod˚ u kuˇzeloseˇcky. Pˇriˇcemˇz vnitˇrn´ım bodem kuˇzeloseˇcky rozum´ıme takov´ y bod projektivn´ı roviny, kter´ ym neprocház´ı ˇza´dná teˇcna této kuˇzeloseˇcky a jeho polára tedy neprot´ıná kuˇzeloseˇcku. Vnˇejˇs´ım bodem kuˇzeloseˇcky, pak rozum´ıme bod, kter´ ym procházej´ı právˇe dvˇe teˇcny. Vˇ eta 2.7.23 Kaˇzdá pˇr´ımka procházej´ıc´ı vnitˇrn´ım bodem kuˇzeloseˇcky je jej´ı seˇcnou.

D˚ ukaz: Necht’ Q je libovoln´ y vnitˇrn´ı bod kuˇzeloseˇcky a p libovolná pˇr´ımka, která j´ım procház´ı. Necht’ dále pˇr´ımka p prot´ıná poláru q bodu Q vzhledem ke kuˇzeloseˇcce v bodˇe Q0 . Body Q, Q0 leˇz´ıc´ı na p jsou tedy polárnˇe sdruˇzené a souˇcasnˇe body P, Q0 , kde P je pól pˇr´ımky p, jsou polárnˇe sdruˇzené na pˇr´ımce q. Zvolme libovoln´ y bod T kuˇzeloseˇcky a sestrojme teˇcnu t v tomto bodˇe. Oznaˇcme R = p ∩ t. Polára r bodu R procház´ı body P, T a prot´ıná pˇr´ımku p v bodˇe R0 . Body R, R0 leˇz´ıc´ı na p jsou opˇet polárnˇe sdruˇzené. Máme tedy dánu involuci sdruˇzen´ ych pól˚ u na pˇr´ımce p. Staˇc´ı dokázat, ˇze tato involuce je hyperbolická a tedy ˇze pˇr´ımka p prot´ıná kuˇzeloseˇcku v samodruˇzn´ ych bodech této involuce. Oznaˇcme M = q ∩ t. Polára m bodu M procház´ı body Q, T a prot´ıná pˇr´ımku q v bodˇe M 0 . Body M, M 0 leˇz´ıc´ı na pˇr´ımce q jsou polárnˇe sdruˇzené. Na pˇr´ımce q máme dánu involuci sdruˇzen´ ych pól˚ u P, Q0 a M, M 0 . Jelikoˇz je pˇr´ımka q polárou vnitˇrn´ıho bodu kuˇzeloseˇcky, je tato involuce eliptická a dané dvojice bod˚ u se oddˇeluj´ı. Z toho plyne, 0 0 ˇze dvojice bod˚ u M , Q a M, P se navzájem neoddˇeluj´ı. Dvojice bod˚ u Q, Q0 a R, R0 se tedy také navzájem neoddˇeluj´ı, jelikoˇz jsou pr˚ umˇetem dvojic M 0 , Q0 a M, P . Involuce 101

sdruˇzen´ ych pól˚ u na pˇr´ımce p je tedy hyperbolická a pˇr´ımka p prot´ıná kuˇzeloseˇcku ve dvou bodech, je tedy jej´ı seˇcnou (Obr. 2.7.16).

Obr. 2.7.16 Stˇred kuˇzeloseˇcky jsme definovali jako pól nevlastn´ı pˇr´ımky. Jelikoˇz nevlastn´ı pˇr´ımka nemá s elipsou ˇza´dn´ y spoleˇcn´ y bod, je stˇred elipsy vnitˇrn´ım bodem. Hyperbola prot´ıná nevlastn´ı pˇr´ımku ve dvou r˚ uzn´ ych bodech, stˇred hyperboly je tedy jej´ım vnˇejˇs´ım bodem. Snadno jiˇz tedy odvod´ıme vˇety o poˇctu vrchol˚ u stˇredov´ ych kuˇzeloseˇcek. Vˇ eta 2.7.24 Kaˇzdý pr˚ umˇer elipsy ji prot´ıná ve dvou r˚ uzných bodech. Elipsa, kter´ a nen´ı kruˇznic´ı, má ˇctyˇri r˚ uzné vrcholy. Kruˇznice má nekoneˇcnˇe mnoho vrchol˚ u.

Vˇ eta 2.7.25 Z kaˇzdého páru sdruˇzených pr˚ umˇer˚ u hyperboly, které nejsou asymptotami, ji prot´ıná právˇe jeden pr˚ umˇer. Hyperbola má dva r˚ uzné vrcholy.

Ukázalo se, ˇze je v´ yhodné na pr˚ umˇerech, které neprot´ınaj´ı hyperbolu, uvaˇzovat podobné body, jako v pˇr´ıpadˇe krajn´ıch bod˚ u pr˚ umˇer˚ u prot´ınaj´ıc´ıch hyperbolu. Tˇechto bod˚ u poté vyuˇz´ıváme pˇri konstrukc´ıch dalˇs´ıch prvk˚ u hyperboly. Definice 2.7.12 Je-li involuce sdruˇzen´ ych pól˚ u na pr˚ umˇeru hyperboly eliptická, pak sdruˇzené póly incidentn´ı s t´ımto pr˚ umˇerem, které jsou soumˇerné podle stˇredu hyperboly, se naz´ yvaj´ı náhradn´ı krajn´ı body tohoto pr˚ umˇeru.

Z vlastnost´ı involuce sdruˇzen´ ych pr˚ umˇer˚ u snadno odvod´ıme, ˇze osy u ´hl˚ u, které sv´ıraj´ı asymptoty, jsou osy hyperboly. Asymptoty hyperboly jsou samodruˇzn´ ymi pˇr´ım102

kami a osy hyperboly jsou pravo´ uhl´ ym párem v této involuci. Charakteristika této involuce je rovna −1, asymptoty a osy hyperboly tedy tvoˇr´ı harmonickou ˇctveˇrici pˇr´ımek. Jelikoˇz jsou osy hyperboly navzájem kolmé mus´ı b´ yt osami u ´hl˚ u, které sv´ıraj´ı asymptoty.

Konstrukce 2.7.2 Involuce je dána dvˇema páry odpov´ıdaj´ıc´ıch si pˇr´ımek a, a0 a b, b0 . Sestrojte pravo´ uhl´ y pár pˇr´ımek o1 , o2 této involuce.

Obr. 2.7.17

Postup (Obr. 2.7.17) : Sestroj´ıme libovolnou kruˇznici k se stˇredem O procházej´ıc´ı stˇredem involutorn´ıch svazk˚ u S. Pˇr´ımky svazk˚ u prot´ınaj´ı tuto kruˇznici v involutorn´ıch kvadratick´ ych soustavách bod˚ u. Direkˇcn´ım stˇredem P tˇechto soustav procházej´ı vˇsechny spojnice odpov´ıdaj´ıc´ıch si bod˚ u v dané involuci. Odpov´ıdaj´ıc´ı si body χ, χ0 kvadratick´ ych soustav, ve kter´ ych kruˇznici k prot´ıná pravo´ uhl´ y pár o1 , o2 , urˇc´ıme jako krajn´ı body pr˚ umˇeru OP kruˇznice k.

´ Uloha 2.7.10 Parabola je dána tˇremi vlastn´ımi body A, B, C a nevlastn´ım bodem U∞ . Sestrojte osu o paraboly. 103

Obr. 2.7.18 ˇ sen´ı (Obr. 2.7.18): Nevlastn´ı bod U∞ urˇcuje smˇer hledané osy. Bodem A vedeme Reˇ pˇr´ımku a kolmou ke smˇeru osy a pomoc´ı Pascalovy vˇety na n´ı urˇc´ıme bod A0 . Parabola je soumˇerná podle své osy, hledaná osa o tedy procház´ı stˇredem X u ´seˇcky AA0 . ´ Uloha 2.7.11 Kuˇzeloseˇcka je dána stˇredem S, osou o1 a dvˇema vlastn´ımi body E, F . Sestrojte vˇsechny vrcholy kuˇzeloseˇcky.

Obr. 2.7.19 ˇ sen´ı (Obr. 2.7.19): Sestroj´ıme body E 0 , F 0 soumˇernˇe sdruˇzené s body E, F Reˇ ˇ rice bod˚ podle osy o1 . Ctveˇ u E, F, F 0 , E 0 tvoˇr´ı u ´pln´ y ˇctyˇrroh kuˇzeloseˇcce vepsan´ y, 104

jeho diagonáln´ı vrcholy P, P 0 leˇz´ı na ose o1 . Body P, P 0 jsou sdruˇzen´ ymi póly v involuci pól˚ u na pˇr´ımce o1 . Jelikoˇz je mocnost této involuce kladná, m˚ uˇzeme sestrojit jej´ı samodruˇzné body A a B, které jsou hledan´ ymi vrcholy kuˇzeloseˇcky na ose o1 . Stejnou konstrukci lze provést i pro osu o2 a t´ım z´ıskat vrcholy C, D. Zadaná kuˇzeloseˇcka je tedy elipsou. ´ Uloha 2.7.12 Kuˇzeloseˇcka je dána stˇredem S, osou o1 a teˇcnou e s bodem dotyku E. Sestrojte vˇsechny vrcholy kuˇzeloseˇcky. ˇ sen´ı (Obr. 2.7.20): Sestroj´ıme bod E 0 a teˇcnu e0 soumˇernˇe sdruˇzené s bodem Reˇ E a teˇcnou e podle osy o1 . Pˇr´ımky e, e0 se prot´ınaj´ı na ose o1 v bodˇe P , kter´ y 0 0 je pólem pˇr´ımky p = EE . Pr˚ useˇc´ık pˇr´ımky p s osou o1 oznaˇc´ıme P . Body P, P 0 jsou sdruˇzen´ ymi póly vzhledem k dané kuˇzeloseˇcce. Involuce sdruˇzen´ ych pól˚ u na 0 ose o1 urˇcená stˇredem kuˇzeloseˇcky S a odpov´ıdaj´ıc´ımi si body P, P je hyperbolická. Lze tedy sestrojit jej´ı samodruˇzné body A, B, které jsou hledan´ ymi vrcholy kuˇzeloseˇcky. Na ose o2 kuˇzeloseˇcky dostáváme eliptickou involuci, osa o2 tedy neprot´ıná kuˇzeloseˇcku. Kuˇzeloseˇcka je tedy hyperbolou.

Obr. 2.7.20

´ Uloha 2.7.13 Kuˇzeloseˇcka je dána stˇredem S, osou o1 a pólem P s polárou p. Sestrojte vˇsechny vrcholy kuˇzeloseˇcky. ˇ sen´ı (Obr. 2.7.21): Oznaˇc´ıme Q0 = o1 ∩ p. Polára q 0 bodu Q0 vzhledem ke Reˇ kuˇzeloseˇcce procház´ı pólem P pˇr´ımky p a pólem O∞ pˇr´ımky o1 . Pr˚ useˇc´ık pˇr´ımek o1 0 0 a q oznaˇc´ıme Q. Polára q bodu Q je urˇcena body O∞ a Q . Dostáváme tak dvojici odpov´ıdaj´ıc´ıch si pól˚ u v involuci sdruˇzen´ ych pól˚ u na ose o1 . Samodruˇzné body A, B této involuce jsou hledan´ ymi vrcholy kuˇzeloseˇcky na ose o1 . Analogick´ ym postupem sestroj´ıme také vrcholy C, D na ose o2 . 105

Obr. 2.7.21 ´ Uloha 2.7.14 Parabola je dána osou o a dvˇema vlastn´ımi body A, B. Sestrojte vrchol V paraboly. ˇ sen´ı (Obr. 2.7.22): Sestroj´ıme body A0 , B 0 soumˇernˇe sdruˇzené s body A, B podle Reˇ osy o. Body A, B 0 , B, A0 tvoˇr´ı u ´pln´ y ˇctyˇrroh parabole vepsan´ y, jehoˇz diagonáln´ı 0 0 vrcholy P, P leˇz´ı na ose o. Body P, P jsou sdruˇzen´ ymi póly v involuci pól˚ u na ose o. Samodruˇzn´ ymi body této involuce jsou pr˚ useˇc´ıky osy o s parabolou, tedy 0 nevlastn´ı bod V∞ osy o, a hledan´ y vrchol V paraboly. Vrchol V je stˇredem u ´seˇcky 0 0 0 0 0 0 P P , jelikoˇz pro body P, P , V, V∞ plat´ı P P V V∞ = −1 a tedy (P P V ) = −1.

Obr. 2.7.22 ´ Uloha 2.7.15 Parabola je dána osou o a teˇcnou a s bodem dotyku A. Sestrojte vrchol V paraboly. 106

Obr. 2.7.23 ˇ sen´ı (Obr. 2.7.23): Sestroj´ıme bod A0 a teˇcnu a0 soumˇernˇe sdruˇzené s bodem Reˇ A a teˇcnou a podle osy o. Pˇr´ımky a, a0 se prot´ınaj´ı na ose o v bodˇe P , kter´ y 0 0 je pólem pˇr´ımky p = AA . Pr˚ useˇc´ık pˇr´ımky p s osou o oznaˇc´ıme P . Body P, P 0 jsou sdruˇzen´ ymi póly v involuci pól˚ u na ose o. Hledan´ y vrchol V paraboly je tedy 0 (stejnˇe jako v pˇredchoz´ı u ´loze) stˇredem u ´seˇcky P P . ´ Uloha 2.7.16 Parabola je dána osou o a pólem Q s polárou q. Sestrojte vrchol V paraboly.

Obr. 2.7.24 ˇ sen´ı (Obr. 2.7.24): Oznaˇc´ıme P 0 = o∩q. Polára p0 bodu P 0 vzhledem k parabole Reˇ procház´ı pólem Q pˇr´ımky q a pólem O∞ pˇr´ımky o. Pr˚ useˇc´ık pˇr´ımek o a p0 oznaˇc´ıme 107

P . Polára p bodu P je urˇcena body O∞ a P 0 . Dostáváme tak dvojici odpov´ıdaj´ıc´ıch si pól˚ u v involuci sdruˇzen´ ych pól˚ u na ose o. Samodruˇzn´ y vlastn´ı bod V této 0 involuce, tedy stˇred u ´seˇcky P P , je hledan´ ym vrcholem paraboly. ´ Uloha 2.7.17 Elipsa je dána sdruˇzen´ ymi pr˚ umˇery m, n s krajn´ımi body M, M 0 a N, N 0 . Sestrojte osy o1 , o2 a vrcholy A, B, C, D elipsy.

ˇ sen´ı (Obr. 2.7.25): Krajn´ımi body M, M 0 , resp. N, N 0 , vedeme pˇr´ımky n00 , n0 , Reˇ resp. m00 , m0 , rovnobˇeˇzné s pˇr´ımkou n, resp. m. Pˇr´ımky m0 , n0 , m00 , n00 tvoˇr´ı rov´ nobˇeˇzn´ık elipse opsan´ y. Uhlopˇ r´ıˇcky q, r tohoto rovnobˇeˇzn´ıku jsou dalˇs´ımi sdruˇzen´ ymi pr˚ umˇery dané elipsy. Máme tak dánu involuci sdruˇzen´ ych pr˚ umˇer˚ u, ve které jsou hledané osy o1 , o2 elipsy pravo´ uhl´ ym párem sdruˇzen´ ych pr˚ umˇer˚ u (konstrukce 2.7.2). Vrcholy A, B, C, D sestroj´ıme stejnˇe jako v u ´loze 2.7.11.

Obr. 2.7.25

´ Uloha 2.7.18 Hyperbola je dána sdruˇzen´ ymi pr˚ umˇery m, n s krajn´ımi body 0 0 M, M , resp. náhradn´ımi krajn´ımi body N, N . Sestrojte asymptoty u, v hyperboly. 108

Obr. 2.7.26 ˇ sen´ı (Obr. 2.7.26): Body M, M 0 , resp. N, N 0 , vedeme pˇr´ımky t, t0 , resp. m00 , m0 , Reˇ rovnobˇeˇzné s pr˚ umˇerem m, resp. n. Hledané asymptoty jsou u ´hlopˇr´ıˇcky rov0 0 00 nobˇeˇzn´ıku o stranách tt m m . Od˚ uvodnˇen´ı vypl´ yvá z následuj´ıc´ıho. Oznaˇcme 0 P = m ∩ t. Polára p bodu P procház´ı body N, M , jelikoˇz bod N je pólem pˇr´ımky m0 a bod M je pólem pˇr´ımky t. Oznaˇcme x = P S. Pól X∞ pˇr´ımky x dostaneme jako pr˚ useˇc´ık poláry p bodu P s nevlastn´ı pˇr´ımkou, tedy polárou stˇredu S. Jelikoˇz je pˇr´ımka x u ´hlopˇr´ıˇckou rovnobˇeˇzn´ıku se stranami t, m0 , t0 , m00 a pˇr´ımka p spojnic´ı stˇredu vedlejˇs´ıch stran tohoto rovnobˇeˇzn´ıku, jsou tyto pˇr´ımky rovnobˇeˇzné. Bod X∞ tedy leˇz´ı na pˇr´ımce x. Protoˇze pˇr´ımka x procház´ı jak stˇredem S hyperboly, tak i sv´ ym pólem X∞ vzhledem k této hyperbole, je tato pˇr´ımka hledanou asymptotou u hyperboly. Podobnou u ´vahou bychom doˇsli k závˇeru, ˇze asymptota v hyperboly je druhou u ´hlopˇr´ıˇckou rovnobˇeˇzn´ıku se stranami t, m0 , t0 , m00 . ´ Uloha 2.7.19 Parabola je dána teˇcnami a, b s body dotyku A, B. Sestrojte osu o a vrchol V paraboly.

109

Obr. 2.7.27 ˇ sen´ı (Obr. 2.7.27): Nejprve sestroj´ıme pr˚ Reˇ umˇer q dané paraboly jako spojnici pr˚ useˇc´ıku P dan´ ych teˇcen a, b se stˇredem tˇetivy AB, kde A, B jsou body dotyku dan´ ych teˇcen a, b na základˇe vˇety 2.7.7. Jeden ze zp˚ usob˚ u, kter´ ym budeme pokraˇcovat, nám umoˇzn´ı rychlé sestrojen´ı vrcholu V dané paraboly. Sestroj´ıme rovnobˇeˇzky q1 , q2 s pˇr´ımkou q procházej´ıc´ı body A, B, coˇz jsou pr˚ uvodiˇce bod˚ u A, B. Bodem P vedeme pˇr´ımku kolmou k pr˚ umˇeru q, která protne pˇr´ımky q1 , q2 0 0 0 0 v bodech A , B . Pr˚ useˇc´ık spojnic A BaBA je vrchol V , jenˇz ovˇsem leˇz´ı na ose g. Od˚ uvodnˇen´ı toho zp˚ usobu spoˇc´ıvá v tom, ˇze bod P je direkˇcn´ım stˇredem projektivn´ıch svazk˚ u pˇr´ımek A(q1, . . .) ::: B(q2, . . .), jeˇz vytváˇrej´ı naˇsi parabolu. Pˇr´ımce m1 = AB 0 v této projektivnosti odpov´ıdá pˇr´ımka m2 = BA0 , takˇze bod V je skuteˇcnˇe bodem dané paraboly. Abychom ukázali, ˇze je to jej´ı vrchol, sestroj´ıme v nˇem teˇcnu v uˇzit´ım Pascalovy vˇety, pˇri ˇcemˇz oˇc´ıslován´ı vol´ıme tak, ˇze V = 1 = 2, A = 3, B = 6 a nevlastn´ı bod pr˚ umˇeru q, kter´ y je bodem dotyku nevlastn´ı teˇcny, je bod 4∞ ≡ 5∞ . Pascalovou pˇr´ımkou je pak spojnice A0 B 0 a teˇcna v je s n´ı rovnobˇeˇzná. Tedy teˇcna v je kolmá na pr˚ umˇer q, a proto je to teˇcna vrcholová.

2.7.5

Ohniska kuˇ zeloseˇ cky

V kaˇzdém bodˇe projektivn´ı roviny, kter´ y neleˇz´ı na kuˇzeloseˇcce, indukuje daná kuˇzeloseˇcka involuci sdruˇzen´ ych polár. V této involuci sdruˇzen´ ych polár existuje bud’ právˇe jeden pravo´ uhl´ y pár, nebo je daná involuce pravo´ uhlá. Definice 2.7.13 Bod, v nˇemˇz kuˇzeloseˇcka indukuje pravo´ uhlou involuci sdruˇzen´ ych polár, se naz´ yvá ohnisko kuˇzeloseˇcky. Znaˇc´ıme F .

Stˇred kruˇznice je zˇrejmˇe jej´ım ohniskem, jelikoˇz navzájem kolmé sdruˇzené pr˚ umˇery kruˇznice jsou souˇcasnˇe sdruˇzen´ ymi polárami. Oproti tomu kuˇzeloseˇcka, která nen´ı kruˇznic´ı, indukuje ve svém stˇredu involuci sdruˇzen´ ych pr˚ umˇer˚ u, která nen´ı pravo´ uhlá. Jej´ı stˇred tedy nen´ı ohniskem. Dále lze odvodit, ˇze ohnisko libovolné kuˇzeloseˇcky je bod vlastn´ı, jelikoˇz pˇr´ımky incidentn´ı s nevlastn´ım bodem jsou rovnobˇeˇzné, a tedy nemohou tvoˇrit pravo´ uhlou involuci. Vˇ eta 2.7.26 Pr˚ umˇer kuˇzeloseˇcky, který procház´ı jej´ım ohniskem, je osou této kuˇzeloseˇcky.

D˚ ukaz: Pro kruˇznici a parabolu tvrzen´ı zˇrejmˇe plat´ı. Necht’ je tedy dána stˇredová kuˇzeloseˇcka, která nen´ı kruˇznic´ı, jej´ı ohnisko F a stˇred S. Pól pr˚ umˇeru F S je ne110

vlastn´ı bod, vˇsechny poláry sdruˇzené s touto pˇr´ımkou t´ımto bodem procházej´ı a jsou tedy navzájem rovnobˇeˇzné. Pr˚ umˇer F S kuˇzeloseˇcky a pr˚ umˇer s n´ım sdruˇzen´ y v involuci sdruˇzen´ ych pr˚ umˇer˚ u ve stˇredu S tedy tvoˇr´ı pravo´ uhl´ y pár této involuce a tedy také osy kuˇzeloseˇcky. Tato vˇeta nezaruˇcuje existenci ˇza´dného ohniska, pouze ˇr´ıká, kde pˇr´ıpadná ohniska leˇz´ı. Vyslov´ıme tedy vˇetu, d´ıky které lze poˇcet ohnisek jednotliv´ ych kuˇzeloseˇcek snadno odvodit. Vˇ eta 2.7.27 Mˇejme kuˇzeloseˇcku, která nen´ı kruˇznic´ı. Potom páry bod˚ u, které na kaˇzdé jej´ı ose vyt´ınaj´ı dvˇe k sobˇe kolmé sdruˇzené poláry, tvoˇr´ı involuci. Je-li kuˇzeloseˇcka stˇredová, pak jej´ı stˇred je stˇredem kaˇzdé z tˇechto involuc´ı; na jedné ose je involuce hyperbolická a jej´ı samodruˇzné body jsou ohniska, na druhé ose je eliptická. Je-li kuˇzeloseˇcka parabola, je tato involuce hyperbolická, pˇriˇcemˇz jeden jej´ı samodruˇzný bod je nevlastn´ı bod osy a druhý je ohnisko paraboly.

Jako pˇr´ım´ y d˚ usledek této vˇety dostáváme vˇetu o poˇctu ohnisek kuˇzeloseˇcek. Vˇ eta 2.7.28 Kaˇzdá stˇredová kuˇzeloseˇcka, která nen´ı kruˇznic´ı, má dvˇe r˚ uzná ohniska, jejich spojnice je osou této kuˇzeloseˇcky. Parabola má jedno ohnisko.

V pravo´ uhlé involuci polár nem˚ uˇze existovat pˇr´ımka, která by byla teˇcnou kuˇzeloseˇcky. Ohnisko tedy neleˇz´ı na kuˇzeloseˇcce a ani nen´ı jej´ım vnˇejˇs´ım bodem. Kaˇzdé ohnisko kuˇzeloseˇcky je tedy jej´ım vnitˇrn´ım bodem. Jelikoˇz ohniska stˇredové kuˇzeloseˇcky, která nen´ı kruˇznic´ı, leˇz´ı pouze na jedné z os, budeme tyto osy navzájem rozliˇsovat. Definice 2.7.14 Osu stˇredové kuˇzeloseˇcky, která nen´ı kruˇznic´ı, procházej´ıc´ı jej´ımi ohnisky naz´ yváme hlavn´ı osou. Osu, na které ohniska neleˇz´ı, naz´ yváme vedlejˇs´ı osou.

Pro hyperbolu tak dostáváme následuj´ıc´ı vˇetu plynouc´ı z toho, ˇze kaˇzdé ohnisko je vnitˇrn´ım bodem své kuˇzeloseˇcky. Vˇ eta 2.7.29 Hlavn´ı osa hyperboly prot´ıná tuto hyperbolu ve dvou r˚ uzných vrcholech, vedlejˇs´ı osa ji neprot´ıná.

111

Definice 2.7.15 Vzdálenost ohniska od stˇredu kuˇzeloseˇcky se naz´ yvá excentricita (výstˇrednost) kuˇzeloseˇcky. Znaˇc´ıme ji e. Vzdálenost vrcholu na hlavn´ı ose od stˇredu kuˇzeloseˇcky se naz´ yvá délka hlavn´ı poloosy. Znaˇc´ıme ji a. Vzdálenost vrcholu elipsy na vedlejˇs´ı ose od stˇredu elipsy se naz´ yvá délka vedlejˇs´ı poloosy. Znaˇc´ıme ji b. Délkou vedlejˇs´ı poloosy hyperboly rozum´ıme kladné ˇc´ıslo b takové, ˇze −b2 je mocnost involuce sdruˇzen´ ych pól˚ u na jej´ı vedlejˇs´ı ose, ˇc´ıslo 2a, resp. 2b, je délka hlavn´ı, resp. vedlejˇs´ı osy kuˇzeloseˇcky.

M˚ uˇzeme tedy vyslovit dobˇre známou vˇetu eukleidovské geometrie. Tuto vˇetu opˇet uvedeme bez d˚ ukazu, jelikoˇz se zde vyuˇz´ıvá poznatk˚ u z d˚ ukazu vˇety 2.7.27. Vˇ eta 2.7.30 Jsou-li a, b délky hlavn´ı a vedlejˇs´ı poloosy stˇredové kuˇzeloseˇcky a e jej´ı výstˇrednost, plat´ı pro elipsu rovnice e2 = a2 − b2 a pro hyperbolu e2 = a2 + b2 .

Jelikoˇz jsou délka b vedlejˇs´ı poloosy a v´ ystˇrednost e u stˇredové kuˇzeloseˇcky vˇzdy kladné, plat´ı pro elipsu vztahy a > b, e < a a pro hyperbolu vztah e > a. Definice 2.7.16 Obdéln´ık, jehoˇz vrcholy jsou pr˚ useˇc´ıky vrcholov´ ych teˇcen hyperboly s jej´ımi asymptotami, se naz´ yvá charakteristický obdéln´ık hyperboly.

Vˇ eta 2.7.31 Délky stran charakteristického obdéln´ıku hyperboly o poloosách a, b jsou 2a, 2b.

Zˇrejmˇe tedy také plat´ı, ˇze u ´hlopˇr´ıˇcky charakteristického obdéln´ıku hyperboly s v´ ystˇrednost´ı e maj´ı délku 2e. Pr˚ useˇc´ık tˇechto u ´hlopˇr´ıˇcek je stˇred hyperboly, jelikoˇz u ´hlopˇr´ıˇcky jsou asymptoty. Z tˇechto vlastnost´ı ihned plyne následuj´ıc´ı vˇeta. Vˇ eta 2.7.32 Ohniska hyperboly jsou pr˚ useˇc´ıky jej´ı hlavn´ı osy s kruˇznic´ı, která je opsána jej´ımu charakteristickému obdéln´ıku.

Vˇ eta 2.7.33 Kruˇznice opsaná troj´ uheln´ıku, jehoˇz jedna strana je na vedlejˇs´ı ose stˇredové kuˇzeloseˇcky, která nen´ı kruˇznic´ı, a druhé dvˇe jsou kterékoli jej´ı dvˇe kolmé sdruˇzené poláry, prot´ıná hlavn´ı osu v ohniskách této kuˇzeloseˇcky.

112

Obr. 2.7.28

D˚ ukaz: (Obr. 2.7.28) Necht’ p, p0 jsou libovolné navzájem kolmé sdruˇzené poláry vzhledem k dané stˇredové kuˇzeloseˇcce, která nen´ı kruˇznic´ı, a jejich pr˚ useˇc´ık M necht’ neleˇz´ı na vedlejˇs´ı ose této kuˇzeloseˇcky. Oznaˇcme pr˚ useˇc´ıky D, D0 polár p, p0 s vedlejˇs´ı osou kuˇzeloseˇcky. Body D, D0 jsou dle vˇety 2.7.27 odpov´ıdaj´ıc´ı si body v involuci na vedlejˇs´ı ose. Pˇr´ımka q 0 kolmá ke spojnici q bod˚ u D, F1 a procházej´ıc´ı t´ ymˇz ohniskem F1 je ovˇsem 0 jej´ı sdruˇzenou polárou. Dvojice pˇr´ımek q, q tedy prot´ıná vedlejˇs´ı osu g 0 v páru bodové involuce. Protoˇze jeden bod takového páru je bod D, druh´ ym bodem je nutnˇe bod 0 0 0 D , to znamená, ˇze pˇr´ımka q procház´ı bodem D . Oba pravo´ uhlé troj´ uheln´ıky DM D0 a DF1 D0 maj´ı tedy spoleˇcnou pˇreponu, proto body M a F1 leˇz´ı na kruˇznici nad pr˚ umˇerem 0 DD . Definice 2.7.17 Pˇr´ımka procházej´ıc´ı bodem dotyku teˇcny s kuˇzeloseˇckou a kolmá k této teˇcnˇe se naz´ yvá normála kuˇzeloseˇcky.

Teˇcna kuˇzeloseˇcky a jej´ı normála jsou kolm´ ymi sdruˇzen´ ymi polárami vzhledem k této kuˇzeloseˇcce. Vˇeta 2.7.33 pro nˇe tedy také plat´ı, ˇcehoˇz vyuˇz´ıváme zejména v pˇr´ıpadˇe, kdy máme sestrojit ohniska stˇredové kuˇzeloseˇcky dané osami a teˇcnou s bodem dotyku. Vˇ eta 2.7.34 Ohnisko paraboly je stˇredem kaˇzdé u ´seˇcky, jej´ıˇz krajn´ı body jsou na ose paraboly vyt’aty kolmými sdruˇzenými polárami, a tedy i kaˇzdou jej´ı teˇcnou a pˇr´ısluˇsnou normálou.

113

D˚ ukaz: Necht’ p, p0 jsou libovolné navzájem kolmé sdruˇzené poláry vzhledem k dané parabole, jejichˇz pr˚ useˇc´ık neleˇz´ı na ose této paraboly. Oznaˇcme pr˚ useˇc´ıky D, D0 polár p, p0 s osou paraboly. Body D, D0 jsou opˇet (dle vˇety 2.7.27) odpov´ıdaj´ıc´ı si body v involuci na ose paraboly. Jelikoˇz je nevlastn´ı bod osy paraboly jedn´ım samodruˇzn´ ym bodem této involuce, mus´ı b´ yt druh´ y samodruˇzn´ y bod, tedy ohnisko, stˇredem kaˇzdé u ´seˇcky s krajn´ımi body v odpov´ıdaj´ıc´ıch si bod˚ u v involuci na ose paraboly, tedy i 0 u ´seˇcky DD . Definice 2.7.18 Polára ohniska kuˇzeloseˇcky se naz´ yvá ˇr´ıdic´ı pˇr´ımka kuˇzeloseˇcky.

Kruˇznice má právˇe jednu ˇr´ıdic´ı pˇr´ımku a to pˇr´ımku nevlastn´ı. Kaˇzdá stˇredová kuˇzeloseˇcka, která nen´ı kruˇznic´ı, má právˇe dvˇe ˇr´ıdic´ı pˇr´ımky. Parabola má právˇe jednu ˇr´ıdic´ı pˇr´ımku a tato pˇr´ımka je vˇzdy vlastn´ı. Jelikoˇz je ohnisko kuˇzeloseˇcky vˇzdy jej´ım vnitˇrn´ım bodem, je ˇr´ıdic´ı pˇr´ımka vˇzdy neseˇcnou kuˇzeloseˇcky. Vˇ eta 2.7.35 Je-li d vzdálenost stˇredu kuˇzeloseˇcky, která nen´ı kruˇznic´ı, od ˇr´ıdic´ı pˇr´ımky, pak je d · e = a2 . Tato vˇeta plyne z toho, ˇze libovolné ohnisko a pr˚ useˇc´ık hlavn´ı osy s polárou tohoto ohniska tvoˇr´ı odpov´ıdaj´ıc´ı si pár v involuci s mocnost´ı a2 a stˇredem ve stˇredu kuˇzeloseˇcky. Z vlastnost´ı involuce sdruˇzen´ ych pól˚ u na ose paraboly m˚ uˇzeme také odvodit vˇetu pro ohnisko paraboly. Vˇ eta 2.7.36 Vrchol paraboly je stˇredem u ´seˇcky s krajn´ımi body v jej´ım ohnisku a pr˚ useˇc´ıku ˇr´ıdic´ı pˇr´ımky s osou.

Vˇ eta 2.7.37 Pomˇer vzdálenost´ı libovolného vlastn´ıho bodu kuˇzeloseˇcky, která nen´ı kruˇznic´ı, od jej´ıho ohniska a od ˇr´ıdic´ı pˇr´ımky, která je polárou tohoto ohniska, je konstantn´ı.

D˚ ukaz: (Obr. 2.7.29) Necht’ F je ohnisko a f jeho polára vzhledem k dané kuˇzeloseˇcce. Na kuˇzeloseˇcce zvolme libovolné dva r˚ uzné vlastn´ı body M, N a sestrojme teˇcny m, n v tˇechto bodech. Oznaˇcme R pr˚ useˇc´ık teˇcen m, n. Polára r bodu R vzhledem k dané kuˇzeloseˇcce je urˇcena body M, N . Oznaˇcme P = f ∩ r a sestrojme poláru p = F R bodu P . Dále oznaˇcme P 0 = f ∩ p a opˇet sestrojme poláru p0 = F P bodu P 0 . Jelikoˇz jsou pˇr´ımky p, p0 sdruˇzené poláry procházej´ıc´ı ohniskem F , jsou navzájem kolmé. Oznaˇcme Q = p∩r a q = P R. Body P, Q jsou sdruˇzen´ ymi póly na pˇr´ımce r, plat´ı tedy (M N P Q) = −1. 114

Obr. 2.7.29 Prom´ıtneme-li body M, N z bodu F pˇr´ımkami m0 , n0 , pak také plat´ı (m0 n0 p0 p) = −1. Jelikoˇz jsou pˇr´ımky p, p0 navzájem kolmé a harmonicky sdruˇzené s pˇr´ımkami m0 , n0 , jsou pˇr´ımky p, p0 osy u ´hl˚ u pˇr´ımek m0 , n0 . Prom´ıtneme-li body M, N, P, Q rovnobˇeˇznˇe s pˇr´ımkou p na pˇr´ımku f do bod˚ u M 0 , N 0 , P, P 0 , plat´ı (M 0 N 0 P P 0 ) = −1. Sestroj´ıme-li pˇr´ımky m0 = F M 0 , n0 = F N 0 , pak pˇr´ımky p, p0 jsou opˇet osy u ´hl˚ u tˇechto pˇr´ımek. Z uve0 0 den´ ych vlastnost´ı vypl´ yvá, ˇze |]N F N | = |]M F M | a |]F M M 0 | = |]F N N 0 |, tedy ˇze troj´ uheln´ıky M F M 0 , N F N 0 jsou podobné. Prom´ıtneme-li body M, N kolmo na pˇr´ımku f do bod˚ u M1 , N1 , jsou také troj´ uheln´ıky M M 0 M1 , N N 0 N1 podobné. Dostáváme tedy následuj´ıc´ı rovnosti

|M F | |N F | |M M 0 | |N N 0 | = a = = ρ ⇒ |M M 0 | = ρ|M M1 |, |N N 0 | = ρ|N N1 | |M M 0 | |N N 0 | |M M1 | |N N1 | a tedy

|N F | |M F | |N F | |M F | = ⇒ = . ρ|M M1 | ρ|N N1 | |M M1 | |N N1 |

Protoˇze body M, N byly dva libovolné r˚ uzné body naˇs´ı kuˇzeloseˇcky a |M F | je vzdálenost bodu M od ohniska a |M M1 | je vzdálenost bodu M od ˇr´ıd´ıc´ı pˇr´ımky, má pomˇer |M F | : |M M1 | hodnotu nezávislou na volbˇe bodu M na naˇs´ı kuˇzeloseˇcce a je tedy pro vˇsechny body kuˇzeloseˇcky konstantn´ı. Z osové soumˇernosti podle vedlejˇs´ı osy u stˇredov´ ych kuˇzeloseˇcek plyne, ˇze tento pomˇer vzdálenost´ı nezávis´ı na volbˇe ohniska. Pro kaˇzdou kuˇzeloseˇcku, která nen´ı kruˇznic´ı, tedy dostáváme jedinou hodnotu tohoto pomˇeru vzdálenost´ı. 115

Definice 2.7.19 Pomˇer vzdálenost´ı libovolného vlastn´ıho bodu kuˇzeloseˇcky, která nen´ı kruˇznic´ı, od jej´ıho libovolného ohniska a pˇr´ısluˇsné ˇr´ıdic´ı pˇr´ımky se naz´ yvá ˇc´ıseln´ a ˇ výstˇrednost kuˇzeloseˇcky a znaˇc´ıme ji ε. C´ıselná v´ ystˇrednost kruˇznice je rovna 0.

Vrchol paraboly je stejnˇe vzdálen od jej´ıho ohniska a jej´ı ˇr´ıdic´ı pˇr´ımky, ˇc´ıselná v´ ystˇrednost paraboly je tedy rovna 1. Pro vˇsechny vlastn´ı body paraboly tedy plat´ı, ˇze jsou stejnˇe vzdáleny od jej´ıho ohniska a ˇr´ıdic´ı pˇr´ımky. Zb´ yvá ukázat, zda kaˇzd´ y vlastn´ı bod projektivn´ı roviny, kter´ y má stejnou vzdálenost od ohniska i od ˇr´ıdic´ı pˇr´ımky, je bodem paraboly. Vˇ eta 2.7.38 Kaˇzdý vlastn´ı bod paraboly má od jej´ıho ohniska a od ˇr´ıdic´ı pˇr´ımky stejnou vzdálenost. Kaˇzdý vlastn´ı bod roviny, který je stejnˇe vzdálen od ohniska a ˇr´ıdic´ı pˇr´ımky paraboly, je bodem dané paraboly.

D˚ ukaz: Prvn´ı ˇca´st vˇety plyne pˇr´ımo z pˇredchoz´ıch u ´vah. Dokáˇzeme tedy, ˇze kaˇzd´ y vlastn´ı bod projektivn´ı roviny, jehoˇz vzdálenosti od ohniska a od ˇr´ıdic´ı pˇr´ımky jsou sobˇe rovny, je bodem paraboly. D˚ ukaz rozdˇel´ıme na dva pˇr´ıpady. 1. Necht’ bod X je stejnˇe vzdálen od ohniska F a ˇr´ıdic´ı pˇr´ımky f dané paraboly a souˇcasnˇe je vnˇejˇs´ım bodem této paraboly. Necht’ u ´seˇcka F X prot´ıná parabolu v 0 bodˇe A. Oznaˇcme X pravo´ uhl´ y pr˚ umˇet bodu X na pˇr´ımku f . Dostáváme tak následuj´ıc´ı rovnost |XX 0 | = |F X| = |XA| + |AF |, |AA0 | = |AF | ⇒ |XX 0 | = |AX| + |AA0 |. Bod A je tedy bodem u ´seˇcky XX 0 a souˇcasnˇe dle pˇredpokladu také bodem u ´seˇcky 0 ´ F X. Useˇcky XX , F X nemohou b´ yt rovnobˇeˇzné, plat´ı tedy A = X, coˇz je spor s pˇredpokladem, ˇze X je vnˇejˇs´ım bodem paraboly. 2. Necht’ bod Y je stejnˇe vzdálen od ohniska F a ˇr´ıdic´ı pˇr´ımky f dané paraboly a souˇcasnˇe je vnitˇrn´ım bodem této paraboly. Oznaˇcme Y 0 pravo´ uhl´ y pr˚ umˇet bodu 0 Y na pˇr´ımku f . Necht’ u ´seˇcka Y Y prot´ıná parabolu v bodˇe B. Dostáváme tak následuj´ıc´ı rovnost |F Y | = |Y Y 0 | = |Y B| + |BY 0 |, |BY 0 | = |BF | ⇒ |F Y | = |Y B| + |BF |. Bod B je tedy bodem u ´seˇcky F Y a souˇcasnˇe bodem u ´seˇcky Y Y 0 . Jelikoˇz vˇsak u ´seˇcky Y Y 0 , F Y nemohou b´ yt rovnobˇeˇzné, mus´ı platit B = Y , coˇz je spor s pˇredpokladem, ˇze Y je vnitˇrn´ım bodem paraboly. 116

Dokázali jsme, ˇze kaˇzd´ y vlastn´ı bod, kter´ y je stejnˇe vzdálen od ohniska a ˇr´ıdic´ı pˇr´ımky paraboly, je bodem dané paraboly. Stˇredové kuˇzeloseˇcky, které nejsou kruˇznic´ı, maj´ı právˇe dvˇe ohniska a právˇe dvˇe ˇr´ıdic´ı pˇr´ımky, pro libovoln´ y bod X této kuˇzeloseˇcky mus´ı b´ yt tedy splnˇena rovnost |XF2 | |XF1 | = = ε, |XX1 | |XX2 | kde F1 , F2 jsou ohniska a X1 , X2 pravo´ uhlé pr˚ umˇety bodu X na pˇr´ısluˇsné ˇr´ıdic´ı pˇr´ımky. Jelikoˇz jsou ˇr´ıdic´ı pˇr´ımky navzájem rovnobˇeˇzné dostáváme následuj´ıc´ı rovnosti pro elipsu |XX1 | + |XX2 | = 2d, pro hyperbolu |XX1 | − |XX2 | = 2d. Mus´ı b´ yt tedy splnˇeny také rovnosti |XF1 | − |XF2 | |XF1 | + |XF2 | = ε, pro elipsu = ε, pro hyperbolu |XX1 | + |XX2 | |XX1 | − |XX2 | a tedy také pro elipsu |XF1 | + |XF2 | = 2dε = 2a, pro hyperbolu |XF1 | − |XF2 | = 2dε = 2a. Souˇcet vzdálenost´ı libovolného bodu elipsy, která nen´ı kruˇznic´ı, od jej´ıch ohnisek je tedy konstantn´ı. A absolutn´ı hodnota rozd´ılu vzdálenost´ı libovolného vlastn´ıho bodu hyperboly od jej´ıch ohnisek je také konstantn´ı. Odvodili jsme tedy následuj´ıc´ı vˇety pro body elipsy a pro vlastn´ı body hyperboly. Vˇ eta 2.7.39 Elipsa, která nen´ı kruˇznic´ı, je mnoˇzina vlastn´ıch bod˚ u, jejichˇz souˇcet vzdálenost´ı od dvou r˚ uzných pevných vlastn´ıch bod˚ u F1 , F2 je konstantn´ı a je roven délce jej´ı hlavn´ı osy. Vˇ eta 2.7.40 Vlastn´ı body hyperboly jsou body, jejichˇz rozd´ıl vzdálenost´ı od dvou r˚ uzných pevných vlastn´ıch bod˚ u je konstantn´ı a je roven délce jej´ı hlavn´ı osy. Pro stˇredové kuˇzeloseˇcky, které nejsou kruˇznic´ı, je splnˇeno 2dε = 2a a souˇcasnˇe d · e = a2 . Z tˇechto rovnost´ı snadno dostáváme rovnost ε = ae . Jelikoˇz pro elipsu plat´ı také e < a, je ˇc´ıselná v´ ystˇrednost elipsy menˇs´ı neˇz 1. Pro hyperbolu naopak plat´ı e > a, ˇc´ıselná v´ ystˇrednost hyperboly je tedy vˇetˇs´ı neˇz 1. Vˇ eta 2.7.41 Necht’ ε je ˇc´ıselná výstˇrednost kuˇzeloseˇcky. Je-li ε ∈ h0; 1), je kuˇzeloseˇcka elipsou. Je-li ε = 1, je parabolou. Je-li ε ∈ (1; ∞), je hyperbolou.

117

´ Uloha 2.7.20 Kuˇzeloseˇcka je dána osami o1 , o2 a teˇcnou a s bodem dotyku A. Sestrojte ohniska F1 , F2 kuˇzeloseˇcky.

Obr. 2.7.30 ˇ sen´ı (Obr. 2.7.30): V bodˇe A sestroj´ıme normálu n kuˇzeloseˇcky. Pˇr´ımky a, n Reˇ prot´ınaj´ı osy o1 , o2 v bodech C, C 0 ∈ o1 a D, D0 ∈ o2 . Body C, C 0 , resp. D, D0 , tvoˇr´ı involutorn´ı pár bod˚ u v involuci na pˇr´ımce o1 , resp. o2 . Jelikoˇz stˇred S je 0 bodem u ´seˇcky DD , je involuce na pˇr´ımce o2 eliptická, a tedy pˇr´ımka o2 je vedlejˇs´ı osou kuˇzeloseˇcky. Sestroj´ıme kruˇznici k s pr˚ umˇerem DD0 . Kruˇznice k prot´ıná osu o1 v ohniskách F1 , F2 kuˇzeloseˇcky (vˇeta 2.7.33). Ohniska lze také sestrojit pomoc´ı involuce bod˚ u na ose o1 . Bod S je stˇredem této involuce a body C, C 0 tvoˇr´ı involutorn´ı pár. Samodruˇzné body této involuce jsou hledan´ ymi ohnisky kuˇzeloseˇcky (vˇeta 2.7.27). ´ Uloha 2.7.21 Parabola je dána osou o a teˇcnou a s bodem dotyku A. Sestrojte ohnisko F paraboly.

118

Obr. 2.7.31

ˇ sen´ı (Obr. 2.7.31): V bodˇe A sestroj´ıme normálu n paraboly. Pˇr´ımky a, n Reˇ prot´ınaj´ı osu o paraboly v bodech D, D0 . Hledané ohnisko F paraboly je stˇredem u ´seˇcky DD0 (vˇeta 2.7.34). ´ Uloha 2.7.22 Kuˇzeloseˇcka je dána osami o1 , o2 a pólem P s polárou p. Sestrojte ohniska F1 , F2 kuˇzeloseˇcky.

Obr. 2.7.32

ˇ sen´ı (Obr. 2.7.32): V bodˇe P sestroj´ıme pˇr´ımku n kolmou k pˇr´ımce p. Pˇr´ımky Reˇ n, p prot´ınaj´ı osy o1 , o2 v bodech C, C 0 ∈ o1 a DD0 ∈ o2 . Pˇr´ımky p, n jsou kolmé sdruˇzené poláry, body C, C 0 , resp. D, D0 , tedy tvoˇr´ı involutorn´ı páry bod˚ u v involuci na pˇr´ımce o1 , resp. o2 . Involuce na o2 je eliptická, pˇr´ımka o2 je tedy vedlejˇs´ı osou kuˇzeloseˇcky. Sestroj´ıme kruˇznici k s pr˚ umˇerem DD0 . Tato kruˇznice prot´ıná osu o1 v hledan´ ych ohniskách F1 , F2 kuˇzeloseˇcky (vˇeta 2.7.33). ´ Uloha 2.7.23 Parabola je dána osou o a pólem P s polárou p. Sestrojte ohnisko F paraboly. 119

Obr. 2.7.33 ˇ sen´ı (Obr. 2.7.33): V bodˇe P sestroj´ıme pˇr´ımku n kolmou k pˇr´ımce p. Pˇr´ımky Reˇ n, p jsou kolm´ ymi sdruˇzen´ ymi polárami vzhledem k dané parabole a prot´ınaj´ı osu 0 o paraboly v bodech D, D . Hledané ohnisko F paraboly je dle vˇety 2.7.34 stˇredem u ´seˇcky DD0 . ´ Uloha 2.7.24 Kuˇzeloseˇcka je dána tˇremi teˇcnami a, b, c a ohniskem F . Sestrojte osu o kuˇzeloseˇcky.

Obr. 2.7.34 ˇ sen´ı (Obr. 2.7.34): Oznaˇc´ıme Q = a ∩ b a sestroj´ıme pˇr´ımku p = QF . V Reˇ ohnisku F sestroj´ıme pˇr´ımku p0 kolmou k p. V bodˇe Q sestroj´ıme pˇr´ımku p00 , tak aby platilo (abpp00 ) = −1. Pˇr´ımky p, p0 , resp. p, p00 , jsou sdruˇzené poláry vzhledem k dané kuˇzeloseˇcce. Pr˚ useˇc´ık P pˇr´ımek p0 , p00 je tedy pólem pˇr´ımky p. Jelikoˇz polára p procház´ı ohniskem F , leˇz´ı jej´ı pól P na poláˇre f ohniska F , tedy na ˇr´ıdic´ı 120

pˇr´ımce. Stejn´ ym postupem pro bod R = b ∩ c urˇc´ıme pól M pˇr´ımky m = RF . ˇ ıdic´ı pˇr´ımka f kuˇzeloseˇcky je tedy urˇcena body M, P . Hledaná osa o procház´ı R´ ohniskem F a je kolmá k pˇr´ımce f . ´ Uloha 2.7.25 Kuˇzeloseˇcka je dána teˇcnou a s bodem dotyku A, teˇcnou b a ohniskem F . Sestrojte osu o kuˇzeloseˇcky. ˇ sen´ı (Obr. 2.7.35): Oznaˇc´ıme Q = a∩b a sestroj´ıme pˇr´ımku p = QF . V ohnisku Reˇ F sestroj´ıme pˇr´ımku p0 kolmou k p. V bodˇe Q sestroj´ıme pˇr´ımku p00 , tak aby platilo (abpp00 ) = −1. Pˇr´ımky p, p0 , resp. p, p00 , jsou sdruˇzené poláry vzhledem k dané kuˇzeloseˇcce. Pr˚ useˇc´ık P pˇr´ımek p0 , p00 je tedy pólem pˇr´ımky p. Jelikoˇz polára p procház´ı ohniskem F leˇz´ı jej´ı pól P na poláˇre f ohniska F , tedy na ˇr´ıdic´ı pˇr´ımce. Sestroj´ıme pˇr´ımku m = AF a v ohnisku F sestroj´ıme pˇr´ımku m0 kolmou k m. Pˇr´ımky a, m0 jsou sdruˇzené poláry vzhledem k dané kuˇzeloseˇcce, jejich pr˚ useˇc´ık M je tedy pólem pˇr´ımky m. Pˇr´ımka m procház´ı ohniskem F , ˇr´ıdic´ı pˇr´ımka f tedy procház´ı bodem M . Hledaná osa o procház´ı ohniskem F a je kolmá k pˇr´ımce f = MP .

Obr. 2.7.35

121

Pˇ r´ılohy ´ Uloha 2.1.1 Kuˇzeloseˇcka je dána pˇeti vlastn´ımi body A, B, C, D, E. Sestrojte jej´ı dalˇs´ı bod.

´ Uloha 2.1.2 Kuˇzeloseˇcka je dána pˇeti vlastn´ımi body A, B, C, D, E. V jednom z dan´ ych bod˚ u sestrojte teˇcnu.

´ Uloha 2.1.3 Kuˇzeloseˇcka je dána ˇctyˇrmi vlastn´ımi body A, B, C, D a teˇcnou c v bodˇe C. Sestrojte dalˇs´ı bod a teˇcnu kuˇzeloseˇcky.

122

´ Uloha 2.1.4 Kuˇzeloseˇcka je dána tˇremi vlastn´ımi body A, B, C a teˇcnami b, c0 v bodech B, C. Sestrojte jej´ı dalˇs´ı bod.

´ Uloha 2.1.5 Kuˇzeloseˇcka je dána dvˇema vlastn´ımi teˇcnami a, b s vlastn´ımi body dotyku A, B a nevlastn´ı teˇcnou c∞ . Sestrojte dalˇs´ı teˇcnu kuˇzeloseˇcky.

´ Uloha 2.1.6 Kuˇzeloseˇcka je urˇcena ˇctyˇrmi vlastn´ımi teˇcnami a, b, c, d a bodem dotyku A na teˇcnˇe a. Sestrojte dalˇs´ı bod kuˇzeloseˇcky.

123

´ Uloha 2.1.7 Kuˇzeloseˇcka je dána pˇeti vlastn´ımi teˇcnami a, b, c, d, e. Sestrojte dalˇs´ı teˇcnu a nˇekter´ y bod dotyku.

´ Uloha 2.1.8 Kuˇzeloseˇcka je dána pˇeti vlastn´ımi body A, B, C, D, E. Sestrojte pr˚ useˇc´ıky kuˇzeloseˇcky s danou pˇr´ımkou p.

´ Uloha 2.1.9 Kuˇzeloseˇcka je dána pˇeti vlastn´ımi body A, B, C, D, E. Sestrojte pr˚ useˇc´ıky s nevlastn´ı pˇr´ımkou.

124

´ Uloha 2.1.10 Kuˇzeloseˇcka je dána pˇeti vlastn´ımi teˇcnami a, b, c, d, e. Sestrojte teˇcny kuˇzeloseˇcky z daného bodu P , kter´ y neleˇz´ı na ˇza´dné z dan´ ych teˇcen.

´ Uloha 2.2.1 Kuˇzeloseˇcka je dána pˇeti vlastn´ımi body A, B, C, D, E. Sestrojte dalˇs´ı bod kuˇzeloseˇcky.

´ Uloha 2.2.2 Kuˇzeloseˇcka je dána pˇeti vlastn´ımi body A, B, C, D, E. Sestrojte teˇcnu kuˇzeloseˇcky v nˇekterém z dan´ ych bod˚ u.

125

´ Uloha 2.2.3 Kuˇzeloseˇcka je dána ˇctyˇrmi vlastn´ımi body A, B, C, D a teˇcnou d v bodˇe D. Sestrojte dalˇs´ı teˇcnu kuˇzeloseˇcky.

´ Uloha 2.2.4 Kuˇzeloseˇcka je dána tˇremi vlastn´ımi body A, B, C a teˇcnami a, c v bodech A, C. Sestrojte dalˇs´ı bod kuˇzeloseˇcky.

´ Uloha 2.2.5 Kuˇzeloseˇcka je dána tˇremi vlastn´ımi body A, B, C a vlastn´ı teˇcnou u s nevlastn´ım bodem dotyku U∞ . Sestrojte dalˇs´ı teˇcnu kuˇzeloseˇcky. 126

´ Uloha 2.2.6 Kuˇzeloseˇcka je dána tˇremi vlastn´ımi body A, B, C a dvˇema nevlastn´ımi body U∞ , V∞ . Sestrojte dalˇs´ı bod kuˇzeloseˇcky.

´ Uloha 2.2.7 Kuˇzeloseˇcka je dána tˇremi vlastn´ımi body A, B, C a dvˇema nevlastn´ımi body U∞ , V∞ . Sestrojte teˇcny kuˇzeloseˇcky v nevlastn´ıch bodech.

127

´ Uloha 2.2.8 Kuˇzeloseˇcka je dána tˇremi vlastn´ımi body A, B, C a jedn´ım nevlastn´ım bodem U∞ s nevlastn´ı teˇcnou. Sestrojte teˇcnu kuˇzeloseˇcky v nˇekterém z dan´ ych vlastn´ıch bod˚ u.

´ Uloha 2.3.1 Kuˇzeloseˇcka je dána pˇeti vlastn´ımi teˇcnami a, b, c, d, e. Sestrojte dalˇs´ı teˇcnu kuˇzeloseˇcky.

´ Uloha 2.3.2 Kuˇzeloseˇcka je dána pˇeti vlastn´ımi teˇcnami a, b, c, d, e. Sestrojte bod dotyku na jedné z nich.

128

´ Uloha 2.3.3 Kuˇzeloseˇcka je dána ˇctyˇrmi vlastn´ımi teˇcnami a, b, c, d a bodem dotyku B na teˇcnˇe b. Sestrojte dalˇs´ı bod dotyku.

´ Uloha 2.3.4 Kuˇzeloseˇcka je dána tˇremi vlastn´ımi teˇcnami a, b, c a body dotyku A, B na teˇcnách a, b. Sestrojte zb´ yvaj´ıc´ı bod dotyku.

´ Uloha 2.3.5 Kuˇzeloseˇcka je dána tˇremi vlastn´ımi teˇcnami a, b, c a body dotyku A, B na teˇcnách a, b. Sestrojte dalˇs´ı teˇcnu.

129

´ Uloha 2.3.6 Kuˇzeloseˇcka je dána ˇctyˇrmi vlastn´ımi teˇcnami a, b, c, d a nevlastn´ım bodem dotyku D∞ na teˇcnˇe d. Sestrojte dalˇs´ı teˇcnu kuˇzeloseˇcky.

´ Uloha 2.3.7 Kuˇzeloseˇcka je dána ˇctyˇrmi vlastn´ımi teˇcnami a, b, c, d a nevlastn´ım bodem dotyku D∞ na teˇcnˇe d. Sestrojte dalˇs´ı bod kuˇzeloseˇcky.

´ Uloha 2.3.8 Kuˇzeloseˇcka je dána tˇremi vlastn´ımi teˇcnami a, b, c, nevlastn´ı teˇcnou n∞ a bodem dotyku C na teˇcnˇe c. Sestrojte dalˇs´ı teˇcnu kuˇzeloseˇcky.

130

´ Uloha 2.3.9 Kuˇzeloseˇcka je dána tˇremi vlastn´ımi teˇcnami a, b, c a vlastn´ım bodem dotyku C na teˇcnˇe c. Sestrojte bod dotyku na nevlastn´ı pˇr´ımce n∞ .

´ Uloha 2.3.10 Kuˇzeloseˇcka je dána tˇremi vlastn´ımi teˇcnami a, b, c a dvˇema nevlastn´ımi body dotyku A∞ , B∞ na teˇcnách a, b. Sestrojte bod dotyku C teˇcny c. 131

´ Uloha 2.5.1 Kuˇzeloseˇcka je dána pˇeti vlastn´ımi body A, B, C, D, E. K danému bodu P sestrojte jeho poláru p.

´ Uloha 2.5.2 Kuˇzeloseˇcka je dána pˇeti vlastn´ımi teˇcnami a, b, c, d, e. K dané pˇr´ımce p sestrojte jej´ı pól P .

132

´ Uloha 2.5.3 Kuˇzeloseˇcka je dána tˇremi vlastn´ımi body A, B, C a pólem P s polárou p. Sestrojte dalˇs´ı body kuˇzeloseˇcky.

´ Uloha 2.5.4 Kuˇzeloseˇcka je dána tˇremi vlastn´ımi teˇcnami a, b, c a pólem P s polárou p. Sestrojte dalˇs´ı teˇcnu kuˇzeloseˇcky.

´ Uloha 2.5.5 Kuˇzeloseˇcka je dána dvˇema vlastn´ımi body A, B, teˇcnou a v bodˇe A a pólem P s polárou p. Sestrojte dalˇs´ı bod a teˇcnu. 133

´ Uloha 2.5.6 Kuˇzeloseˇcka je dána dvˇema body A, B a polárn´ım troj´ uheln´ıkem P QR. Sestrojte dalˇs´ı body kuˇzeloseˇcky.

´ Uloha 2.5.7 Kuˇzeloseˇcka je dána dvˇema teˇcnami a, b a polárn´ım troj´ uheln´ıkem P QR. Sestrojte dalˇs´ı teˇcnu kuˇzeloseˇcky.

134

´ Uloha 2.5.8 Kuˇzeloseˇcka je dána pólem M s polárou m a polárn´ım troj- u ´heln´ıkem P QR. Sestrojte nˇekolik bod˚ u kuˇzeloseˇcky.

´ Uloha 2.5.9 Kuˇzeloseˇcka je dána pˇeti body A, B, C, D, E. Sestrojte pr˚ useˇc´ıky dané pˇr´ımky p s touto kuˇzeloseˇckou.

´ Uloha 2.6.1 Urˇcete kuˇzeloseˇcky svazku S (A, B, C, D) dot´ ykaj´ıc´ı se dané pˇr´ımky p.

´ Uloha 2.7.1 Kuˇzeloseˇcka je dána pˇeti vlastn´ımi body A, B, C, D, E. Urˇcete typ kuˇzeloseˇcky.

135

´ Uloha 2.7.2 Hyperbola je dána tˇremi vlastn´ımi body A, B, C a dvˇema nevlastn´ımi body U∞ , V∞ . Sestrojte jej´ı asymptoty u, v.

´ Uloha 2.7.3 Kuˇzeloseˇcka je dána tˇremi vlastn´ımi body A, B, C a stˇredem S. Sestrojte dalˇs´ı body a teˇcnu kuˇzeloseˇcky.

136

´ Uloha 2.7.4 Hyperbola je dána asymptotami u, v a teˇcnou a. Sestrojte bod dotyku A teˇcny a.

´ Uloha 2.7.5 Kuˇzeloseˇcka je dána tˇremi vlastn´ımi body A, B, C a stˇredem S. Urˇcete involuci sdruˇzen´ ych pr˚ umˇer˚ u.

´ Uloha 2.7.6 Kuˇzeloseˇcka je dána tˇremi vlastn´ımi teˇcnami a, b, c a stˇredem S. Urˇcete involuci sdruˇzen´ ych pr˚ umˇer˚ u.

137

´ Uloha 2.7.7 Kuˇzeloseˇcka je dána párem sdruˇzen´ ych pr˚ umˇer˚ u m, m0 , krajn´ımi body M1 , M2 pr˚ umˇeru m a bodem A. Sestrojte krajn´ı body pr˚ umˇeru m0 .

´ Uloha 2.7.8 Kuˇzeloseˇcka je dána pˇeti vlastn´ımi body A, B, C, D, E. Sestrojte jej´ı stˇred S.

´ Uloha 2.7.9 Kuˇzeloseˇcka je dána stˇredem S a polárn´ım troj´ uheln´ıkem P QR. Urˇcete involuci sdruˇzen´ ych pr˚ umˇer˚ u.

138

´ Uloha 2.7.10 Parabola je dána tˇremi vlastn´ımi body A, B, C a nevlastn´ım bodem U∞ . Sestrojte osu o paraboly.

´ Uloha 2.7.11 Kuˇzeloseˇcka je dána stˇredem S, osou o1 a dvˇema vlastn´ımi body E, F . Sestrojte vˇsechny vrcholy kuˇzeloseˇcky.

139

´ Uloha 2.7.12 Kuˇzeloseˇcka je dána stˇredem S, osou o1 a teˇcnou e s bodem dotyku E. Sestrojte vˇsechny vrcholy kuˇzeloseˇcky.

´ Uloha 2.7.13 Kuˇzeloseˇcka je dána stˇredem S, osou o1 a pólem P s polárou p. Sestrojte vˇsechny vrcholy kuˇzeloseˇcky.

´ Uloha 2.7.14 Parabola je dána osou o a dvˇema vlastn´ımi body A, B. Sestrojte vrchol V paraboly.

140

´ Uloha 2.7.15 Parabola je dána osou o a teˇcnou a s bodem dotyku A. Sestrojte vrchol V paraboly.

´ Uloha 2.7.16 Parabola je dána osou o a pólem Q s polárou q. Sestrojte vrchol V paraboly.

141

´ Uloha 2.7.17 Elipsa je dána sdruˇzen´ ymi pr˚ umˇery m, n s krajn´ımi body M, M 0 a N, N 0 . Sestrojte osy o1 , o2 a vrcholy A, B, C, D elipsy.

´ Uloha 2.7.18 Hyperbola je dána sdruˇzen´ ymi pr˚ umˇery m, n s krajn´ımi body M, M 0 , resp. náhradn´ımi krajn´ımi body N, N 0 . Sestrojte asymptoty u, v hyperboly.

142

´ Uloha 2.7.19 Parabola je dána teˇcnami a, b s body dotyku A, B. Sestrojte osu o a vrchol V paraboly.

´ Uloha 2.7.20 Kuˇzeloseˇcka je dána osami o1 , o2 a teˇcnou a s bodem dotyku A. Sestrojte ohniska F1 , F2 kuˇzeloseˇcky. 143

´ Uloha 2.7.21 Parabola je dána osou o a teˇcnou a s bodem dotyku A. Sestrojte ohnisko F paraboly.

´ Uloha 2.7.22 Kuˇzeloseˇcka je dána osami o1 , o2 a pólem P s polárou p. Sestrojte ohniska F1 , F2 kuˇzeloseˇcky.

144

´ Uloha 2.7.23 Parabola je dána osou o a pólem P s polárou p. Sestrojte ohnisko F paraboly.

´ Uloha 2.7.24 Kuˇzeloseˇcka je dána tˇremi teˇcnami a, b, c a ohniskem F . Sestrojte osu o kuˇzeloseˇcky.

´ Uloha 2.7.25 Kuˇzeloseˇcka je dána teˇcnou a s bodem dotyku A, teˇcnou b a ohniskem F . Sestrojte osu o kuˇzeloseˇcky.

145

146

Literatura ˇ ´ [1] HAVLÍCEK, Karel. Uvod do projektivn´ı geometrie kuˇzeloseˇcek, Praha 1956, SNTL ´ Petr. Reˇ ˇ sené pˇr´ıklady z projektivn´ı geometrie kuˇzeloseˇcek, Olomouc 2012, [2] KOZAK, Diplomová práce

147

Mgr. Marie Chodorová, Ph.D.

Projektivní geometrie Výkonný redaktor Prof. RNDr. Tomáš Opatrný, Dr. Odpovědná redaktorka Mgr. Jana Kreiselová Technická redakce autor Určeno pro studenty Přírodovědecké fakulty Univerzity Palackého v Olomouci Vydala a vytiskla Univerzita Palackého v Olomouci Křížkovského 8, 771 47 Olomouc www.upol.cz/vup [email protected] Tato publikace neprošla redakční jazykovou úpravou. Olomouc 2013 1. vydání Edice – Skripta ISBN 978-80-244-4000-2 Neprodejná publikace VUP 2013/944

Marie Chodorová. Projektivní geometrie UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

Recommend Documents