ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE

Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

Prostějov 2010

2

Analytická geometrie

Úvod Vytvořený výukový materiál pokrývá předmět matematika, která je vyučována v osnovách a tematických plánech na gymnáziích nižšího a vyššího stupně. Mohou ho však využít všechny střední a základní školy, kde je vyučován předmět matematika, a které mají dostatečné technické vybavení a zázemí.

Cílová skupina: Podle chápání a schopností studentů je stanovena úroveň náročnosti vzdělávacího plánu a výukových materiálů. Zvláště výhodné jsou tyto materiály pro studenty s individuálním studijním plánem, kteří se nemohou pravidelně zúčastňovat výuky. Tito studenti mohou s pomocí našich výukových materiálů částečně kompenzovat svou neúčast ve vyučovaném předmětu matematika, formou e-learningového studia.


3

Obsah Analytická geometrie ................................................................................................................. 8 Souřadnice .............................................................................................................................. 8 Souřadnice ........................................................................................................................ 12 Varianta A ........................................................................................................................ 12 Souřadnice ........................................................................................................................ 13 Varianta B ........................................................................................................................ 13 Souřadnice ........................................................................................................................ 15 Varianta C ........................................................................................................................ 15 Vektory ................................................................................................................................. 16 Vektory ............................................................................................................................. 23 Varianta A ........................................................................................................................ 23 Vektory ............................................................................................................................. 24 Varianta B ........................................................................................................................ 24 Vektory ............................................................................................................................. 26 Varianta C ........................................................................................................................ 26 Přímka .................................................................................................................................. 28 Přímka .............................................................................................................................. 31 Přímka .............................................................................................................................. 32 Varianta A ........................................................................................................................ 32 Přímka .............................................................................................................................. 33 Varianta B ........................................................................................................................ 33 Přímka .............................................................................................................................. 34 Varianta C ........................................................................................................................ 34 Polohové úlohy v rovině ...................................................................................................... 35 Polohové úlohy v rovině .................................................................................................. 36 Varianta A ........................................................................................................................ 36

4


Polohové úlohy v rovině .................................................................................................. 37 Varianta B ........................................................................................................................ 37 Polohové úlohy v rovině .................................................................................................. 38 Varianta C ........................................................................................................................ 38 Metrické úlohy v rovině ....................................................................................................... 40 Metrické úlohy v rovině ................................................................................................... 42 Varianta A ........................................................................................................................ 42 Metrické úlohy v rovině ................................................................................................... 43 Varianta B ........................................................................................................................ 43 Metrické úlohy v rovině ................................................................................................... 44 Varianta C ........................................................................................................................ 44 Přímka, rovina ...................................................................................................................... 45 Přímka a rovina ................................................................................................................ 47 Varianta A ........................................................................................................................ 47 Přímka a rovina ................................................................................................................ 49 Varianta B ........................................................................................................................ 49 Přímka a rovina ................................................................................................................ 51 Varianta C ........................................................................................................................ 51 Polohové úlohy v prostoru ................................................................................................... 52 Polohové úlohy v prostoru ............................................................................................... 53 Varianta A ........................................................................................................................ 53 Polohové úlohy v prostoru ............................................................................................... 55 Varianta B ........................................................................................................................ 55 Polohové úlohy v prostoru ............................................................................................... 57 Varianta C ........................................................................................................................ 57 Metrické úlohy ..................................................................................................................... 59 Metrické úlohy ................................................................................................................. 61


5

Varianta A ........................................................................................................................ 61 Metrické úlohy ................................................................................................................. 63 Varianta B ........................................................................................................................ 63 Metrické úlohy ................................................................................................................. 65 Varianta C ........................................................................................................................ 65 Kuželosečky a kulová plocha ................................................................................................... 67 Kružnice ............................................................................................................................... 67 Kružnice ........................................................................................................................... 69 Varianta A ........................................................................................................................ 69 Kružnice ........................................................................................................................... 71 Varianta B ........................................................................................................................ 71 Kružnice ........................................................................................................................... 73 Varianta C ........................................................................................................................ 73 Tečna kružnice ..................................................................................................................... 75 Tečna kružnice ................................................................................................................. 76 Varianta A ........................................................................................................................ 76 Tečna kružnice ................................................................................................................. 78 Varianta B ........................................................................................................................ 78 Tečna kružnice ................................................................................................................. 80 Varianta C ........................................................................................................................ 80 Parabola ................................................................................................................................ 82 Parabola ............................................................................................................................ 87 Varianta A ........................................................................................................................ 87 Parabola ............................................................................................................................ 89 Varianta B ........................................................................................................................ 89 Parabola ............................................................................................................................ 90 Varianta C ........................................................................................................................ 90

6


Tečna paraboly ..................................................................................................................... 92 Tečna paraboly ................................................................................................................. 93 Varianta A ........................................................................................................................ 93 Tečna paraboly ................................................................................................................. 94 Varianta B ........................................................................................................................ 94 Tečna paraboly ................................................................................................................. 96 Varianta C ........................................................................................................................ 96 Elipsa .................................................................................................................................... 98 Elipsa .............................................................................................................................. 101 Varianta A ...................................................................................................................... 101 Elipsa .............................................................................................................................. 102 Varianta B ...................................................................................................................... 102 Elipsa .............................................................................................................................. 104 Varianta C ...................................................................................................................... 104 Hyperbola ........................................................................................................................... 106 Hyperbola ....................................................................................................................... 111 Varianta A ...................................................................................................................... 111 Hyperbola ....................................................................................................................... 113 Varianta B ...................................................................................................................... 113 Hyperbola ....................................................................................................................... 114 Varianta C ...................................................................................................................... 114 Elipsa, hyperbola, přímka, tečny ........................................................................................ 116 Elipsa, hyperbola, přímka, tečny .................................................................................... 118 Varianta A ...................................................................................................................... 118 Elipsa, hyperbola, přímka, tečny .................................................................................... 120 Varianta B ...................................................................................................................... 120 Elipsa, hyperbola, přímka, tečny .................................................................................... 122


7

Varianta C ...................................................................................................................... 122 Kulová plocha .................................................................................................................... 124 Kulová plocha ................................................................................................................ 127 Varianta A ...................................................................................................................... 127 Kulová plocha ................................................................................................................ 129 Varianta B ...................................................................................................................... 129 Kulová plocha ................................................................................................................ 131 Varianta C ...................................................................................................................... 131


8

Analytická geometrie Souřadnice Soustava souřadnic na přímce Na libovolné přímce p zvolíme bod O a bod I tak, aby |OI|=1. Pak každému bodu X této přímky přiřadíme reálné číslo x = |OX|, pokud bod X leží na polopřímce OI, nebo číslo |

|, pokud bod X leží na polopřímce opačné. Tuto přímku nazýváme ČÍSELNOU

OSOU, bod

se nazývá počátek soustavy souřadnic na přímce p.

Soustava souřadnic v rovině Dvojice číselných os x, y v rovině, pro které platí – obě osy jsou navzájem kolmé – jejich průsečíku odpovídá na obou osách číslo 0, se nazývá KARTÉZSKÁ SOUSTAVA souřadnic v rovině a označuje se Oxy. Bod O je počátek kartézské soustavy souřadnic, přímky x, y se nazývají souřadnicové osy. ;

dvojice je uspořádaná ⇒ souřadnice nelze zaměnit!


Soustava souřadnic v prostoru Trojice číselných os x, y, z v prostoru takových, že – každé dvě osy jsou navzájem kolmé – všechny procházejí jedním bodem – na všech osách je bodu O přiřazeno číslo 0, se nazývá kartézská soustava souřadnic Oxyz. Bod

nazýváme počátek, přímky x; y; z se

nazývají souřadnicové osy. Roviny určené dvojicemi souřadnicových os se nazývají souřadnicové roviny. Pravotočivá soustava souřadnic:

9


10

Levotočivá soustava souřadnic:

Vzdálenost bodů v rovině ;

;

;

|

Podle Pythagorovy věty: |

|

|

1

1

2

2

2

2

Vzdálenost bodů v prostoru ;

|

;

|

;

;

1

1

;

2

2

2

2

3

3

2


Střed úsečky dělí úsečku na 2 stejné části

;

v rovině:

v prostoru: ;

;

11


12

Souřadnice Varianta A 3; 6; 2 ;

Vypočítejte souřadnice středu úsečky AB:

1; 2; 8

Příklad: Řešení: ; ;

; ;

1; 4; 3

Příklad: Varianta A

1; 4; 3

Výsledek řešení:

Varianta B Varianta C

Příklady k procvičení: 4; 2; 1 ;

1.) Vypočítejte vzdálenost bodů C; D: Řešení: |

|

3√5 2; 9 ;

2.) Vypočítejte vzdálenost bodů A, B: Řešení: |

|

1; 0; 3

2; 6

5

3.) Vypočítejte délky stran trojúhelníku ABC a rozhodněte, zda je pravoúhlý. 1; 2; 3 ; Řešení: |

|

4; 2; 3 ; 5; |

|

1; 3; 5

√5; |

|

√38

trojúhelník není pravoúhlý

(neplatí Pythagorova věta). 4.) Určete, který z bodů A; B; C má nejmenší vzdálenost od bodu K. 3; 1; 6 ; Řešení: Bod A.

4; 5; 10 ;

7; 1; 3 ;

0; 1; 3


13

Souřadnice Varianta B Sestrojte pravidelný šestiúhelník KLMNOP tak, aby střed kružnice byl v počátku O kartézské soustavy souřadnic, aby první vrchol byl bod K[4;0] a aby pro bod L [l1; l2] platilo l2>O. Určete souřadnice všech vrcholů šestiúhelníku. Řešení:

|

|

|

|

|

|

|

|

4

2

|

|

|

|

|

|

√12

2√3

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

Výsledek řešení: 2; 2√3 ;

2; 2√3 ;

4; 0 ;

2;

2√3 ;

2; 2√3

14


Příklady k procvičení: 1.)Ve volném rovnoběžném promítání zobrazte krychli ABCDEFGH; 0; 4; 0 ; Řešení:

4; 4; 0 ; 0; 0; 0 ;

4; 0; 0 . Zapište souřadnice ostatních vrcholů krychle. 0; 4; 4 ;

4; 4; 4 ;

4; 0; 4 ;

0; 0; 4

2.) Ve volném rovnoběžném promítání zobrazte kvádr ABCDEFGH; 2; 2; 0 ;

2; 4; 0 ; 1; 2; 0 ;

Řešení:

1; 4; 0 , jeho výška je 6. Určete souřadnice zbývajících vrcholů. 2; 2; 6 ;

2; 4; 6 ;

1; 4; 6 ;

3.) Určete obraz bodu K ve středové souměrnosti se středem S; Řešení:

1; 2; 6 2; 5; 3 ;

4; 2; 1

3; 1 ;

2; 4

´ 0; 8; 7

4.) Vypočítejte délku těžnice tc trojúhelníku ABC. Řešení: | |

√45

3√5

5; 3 ;


15

Souřadnice Varianta C Určete číslo r tak, aby vzdálenost bodů 2

2; 2; 1 ;

2;

5; 1 byla 2√11.

Příklad: 2 16

2

2

16

4

5

10

5 6 15

2

2

3

1 9

4

1

2√11

44

0

0

3

Varianta A

1


Varianta B

3

1

Varianta C Příklady k procvičení: 1.) Na ose y určete bod Y tak, aby jeho vzdálenost od bodu Řešení:

0; 6 ;

3; 5 byla √10.

0; 4

2.) Na ose x najděte bod X tak, aby měl od bodu A dvakrát větší vzdálenost než od bodu B. 3; 2; 2 ; Řešení:

2; 1; 2 .

1; 0 0 ;

; 0; 0

3.) V kartézské soustavě souřadnic Oxyz zakreslete pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV, jehož výška je 6 a zapište souřadnice bodu V. Řešení:

0; 4; 0 ;

4; 4; 0 ;

0; 0; 0

2; 2; 6

4.) Jsou dány body S1; S2. K libovolnému bodu A určete jeho obraz A1 ve středové souměrnosti se středem S1. Pak najděte obraz bodu A1 ve středové souměrnosti se středem S2 a tento obraz označte A2. Určete vzdálenost bodů A; A2. 5; 3; 2 ; Řešení:

10

6; 1; 1 ; ; 6

; ; ;4

;

2;

8;

6

|

|

√104

2√26

16


Vektory je úsečka AB, jejíž krajní body mají určené pořadí. Bod A je

Orientovaná úsečka

počáteční bod, bod B je koncový bod orientované úsečky. Velikost orientované úsečky je vzdálenost bodů A, B. Nulová orientovaná úsečka má počáteční bod totožný s koncovým bodem. Její velikost je nula. Nenulový vektor je množina všech nenulových orientovaných úseček, které mají stejnou velikost a stejný směr. ;

Dva vektory a) polopřímky

;

mají stejný směr, jestliže

jsou rovnoběžné a obě leží ve stejné polorovině s hraniční přímkou

AC. b) přímky

;

jsou totožné a průnikem polopřímek

;

je opět polopřímka.

Nulový vektor je množina všech nulových orientovaných úseček, značíme ho . Každou orientovanou úsečku .

, která představuje vektor , nazýváme umístěním vektoru


Souřadnice vektoru

Je-li vektor ;

určen orientovanou úsečkou

; ;

;

;

;

Operace s vektory Součet vektorů ;

; ⇒

, pak

.

17

18


Pro každé dva vektory v rovině nebo prostoru platí: Pro každé tři vektory v rovině nebo prostoru platí: Sčítání vektorů ke komutativní a asociativní. Je-li

, pak vektor

Rozdíl vektorů

;

je opačný k

a značíme ho

.


19

Násobení vektoru číslem

Násobek nenulového vektoru

reálným číslem

je vektor

, kde C je bod, pro který

platí: a) |

|

· |

|

0, leží bod C na polopřímce AB

b) je-li

0, leží bod C na polopřímce opačné k polopřímce AB

Je-li

; Platí: pro každé dva vektory , a každé ,

R

0· 1 · ·

·

·

asociativnost násobení vektoru číslem

·

distributivnost násobení součtu vektorů číslem ·

distributivnost násobení vektoru součtem čísel

Lineární kombinace vektorů Lineární kombinací vektorů , ,

je vektor

·

·

· , kde , , . Lze

vytvořit lineární kombinaci libovolného počtu vektorů. Lineární kombinace jednoho vektoru je jeho reálný násobek. Vektory se nazývají lineárně závislé právě tehdy, když lze jeden z nich vyjádřit jako lineární kombinaci ostatních. Nejsou-li vektory lineárně závislé, nazývají se lineárně nezávislé. Skalární součin vektorů

Velikost vektoru

je velikost kterékoliv orientované úsečky

, která je jeho umístěním.

Platí: | |

|

| . Jednotkový vektor má velikost 1, nulový vektor má velikost 0.

Pro každý vektor

;

Pro každý vektor

;

Skalární součin ·

v rovině platí:| | ;

v prostoru platí: | |

. .

dvou nenulových vektorů je reálné číslo, které je rovno součinu

velikostí těchto vektorů a kosinu velikosti úhlu φ, který tyto vektory svírají.

20


·

| | · | | · ;

Pravidlo pro výpočet skalárního součinu vektorů

;

;

v rovině:

· ;

Pravidlo pro výpočet skalárního součinu vektorů

;

;

;

;

v prostoru: · Vlastnosti skalárního součinu ·

·

komutativnost skalárního součinu vektorů

·

·

asociativnost skalárního součinu vzhledem k násobení

číslem ·

·

·

distributivnost skalárního součinu vzhledem ke sčítání

vektorů | |

·

Velikost úhlu dvou vektorů , lze určit použitím skalárního součinu: · | |·| |

∨ ·

· | |·| |

·

Vektorový součin Vektorový součin dvou vektorů , , které neleží v jedné přímce, je vektor

, pro který platí:

a) vektor

je kolmý k oběma vektorům ,

b) vektor

je orientován vůči vektorů , pravotočivě, tedy podle pravidla pravé ruky

c) | |

| | · | | ·

, kde

je úhel vektorů , .


Vektorový součin dvou vektorů, které leží v jedné přímce, je nulový vektor. Vektorový součin Příklad:

3; 2; 1 ; 2·6

;

;

2; 4; 6

4 · 1; 1 ·

2

6 · 3; 3 · 4

2 ·2

8; 20; 16 ~ 2; 5; 4

Užití vektorového součinu: 1. při určení vektoru kolmého ke dvěma daným vektorům 2. při výpočtu obsahu rovnoběžníku ABCD, popř. trojúhelníku ABC Obsah rovnoběžníku ABCD je Obsah trojúhelníku ABC je

| | | |

21

22


Smíšený součin Smíšený součin vektorů , ,

v tomto pořadí je číslo, které vypočteme

Užití smíšeného součinu: Pro objem rovnoběžnostěnu ABCDEFGH platí: |

· | , kde

;

;

.

Objem trojbokého hranolu je roven polovině objemu rovnoběžnostěnu. Objem trojbokého jehlanu je roven třetině objemu rovnoběžnostěnu. Objem čtyřstěnu je roven šestině objemu rovnoběžnostěnu.

· .


23

Vektory Varianta A 3; 3 ;

Jsou dány body

5; 4 ;

7; 5 .

a) Rozhodněte, zda body A, B, C leží na přímce b) Určete číslo

3;

tak, aby bod

ležel na přímce AB.

Příklad: ·

a) Leží-li body A, B, C na jedné přímce, musí platit, že 4; 2 ;

2; 1

2·

body A; B; C leží v jedné přímce ·

b) Má-li bod D ležet na přímce AB, musí platit 2; 1 ;

6;

.

3

0



Varianta B

body A; B; C leží v jedné přímce b)

Varianta C

0

Příklady k procvičení: 1. Vektor Řešení:

2; 10 zapište jako lineární kombinaci vektorů

2; 2 .

3

2.) Určete číslo Řešení:

1; 3 ;

tak, aby velikost vektoru

8

6;

byla 10.

8

3.) V trojúhelníku ABC označte vektory

;

. Jako lineární kombinaci

vektorů ; zapište následující vektory: a) b)

, kde

je střed strany BC.

Řešení: a)

; b)

4.) Je dán vektor

1; 2; 3 . Určete

k vektoru . Řešení:

4

tak, aby vektor

17; ; 3 byl kolmý


24

Vektory Varianta B √3; 1 . Určete souřadnice vektoru , který svírá s vektorem

Je dán vektor

úhel 60°

a jehož velikost je 4. Příklad: · | |·| |

60°

√ · √

4

·

√ ·

√3 ·

4

Dosadíme do vztahu pro velikost vektoru √3 · 3

8√3

2√3 ·

4 |2

4

16

16

0

2√3

0

0; 4 ;

0

2√3

2√3; 2

Příklad: Varianta A Výsledek řešení:

Varianta B

0;

4 ;

2√3; 2

Varianta C Příklady k procvičení: 1.) Je dán vektor Řešení:

2;

2.)Určete vektor Řešení:

3; 2 . Určete

tak, aby platilo

7; 0 ;

platilo

4; 1 ; 8; 3 ;

| |

4√5, kde

3; 6 .

8; 4 6; 2 . Určete souřadnice bodů B, C, D tak, aby čtyřúhelník

ABCD byl čtverec. Bod S je střed čtverce. Řešení:

6;

6

8; 4 ;

3.) Jsou dány body

tak, aby pro vektor

5; 4

5.


4.) Jsou dány body

3; 1 ;

1; 3 . Určete bod C tak, aby platilo:

a) bod C leží na ose x a |

|

90°

b) bod C leží na ose y a |

|

90°

Řešení: a)

0; 0 ;

2; 0 ; b)

0; 5

25


26

Vektory Varianta C 1; 2; 3 ;

Jsou dány body

4; 5; 6 ;

4; 3; 2 .

a) Dokažte, že body A, B, C tvoří trojúhelník. , , , tak, aby body

b) Určete reálná čísla

0;

;

;

; ; 6 ležely na přímce AB.

Příklad: a) Body A, B, C tvoří trojúhelník, jestliže vektor 5; 3; 3 ;

3; 1; 1 . Vektor

není násobkem vektoru

není násobkem vektoru

.

, proto body A, B, C

tvoří trojúhelník. b)

musí být násobek vektoru

5; 3; 3 ;

,

1;

2;

3

,

musí být násobek vektoru 1

4,

1;

,

2; 3

6

Příklad: Varianta A ,


Varianta B

;

4,

6

Varianta C

Příklady k procvičení: 2; 3; 4 ;

1.) Jsou dány vektory platilo | |

2;

; 0 . Určete hodnotu parametru

4√6. 1,

Řešení:

2.) Na ose určete bod V tak, aby objem čtyřstěnu ABCDV, kde 2; 3; 1 , Řešení:

1; 0; 3 ,

0; 0; 7 ,

3; 1; 1 byl 14.

0; 0; 17

tak, aby


3.) Na ose y určete bod C tak, aby obsah trojúhelníku ABC byl 10. Řešení:

0; 1

2√10; 0 ,

4.) Je dán vektor Řešení:

12,

0; 1

3; 2 . Určete 6

2; 1; 0 ,

27

2; 2; 3 .

2√10, 0 tak, aby pro vektor

; 2 platilo 3

5.

28


Přímka Přímka je dána dvěma různými body A, B. Vektor

se nazývá směrový vektor přímky AB.

Přímka má nekonečně mnoho směrových vektorů, lze ji totiž určit pomocí nekonečného počtu dvojic bodů.

1.) Parametrická rovnice přímky Parametrická rovnice přímky AB je rovnice , Proměnná se nazývá parametr. Každé hodnotě parametru odpovídá jeden bod přímky AB. Je-li z množiny všech nezáporných čísel, jde o vyjádření polopřímky AB, je-li 0; 1 , jde o vyjádření úsečky AB, je-li z množiny všech nekladných čísel, jde o polopřímku opačnou k polopřímce AB. Mějme v rovině body ;

;

;

;

a vektor

;

. Rovnici přímky

lze rozepsat do soustavy rovnic s parametrem : ;


29

2.) Obecná rovnice přímky Obecná rovnice přímky má tvar

0, kde , ,

a alespoň jedna

z konstant , je nenulová.

;

je normálový vektor = je kolmý na směrový vektor přímky

nula. ·

0 0 0

0 , kde

skalární součin

a

je

30


3.) Směrnicový tvar rovnice přímky

Rovnice

se nazývá směrnicový tvar rovnice přímky. Číslo

je směrnice

přímky. , Směrnice přímky je rovna Přímka rovnoběžná s osou

, kde

je odchylka přímky od kladné poloosy .

nemá žádnou směrnici, směrnicový tvar neexistuje.

Přímka se směrovým vektorem Přímka kolmá na přímku

;

má směrnici

.

má směrnici .

Dvě přímky jsou rovnoběžné právě tehdy, jsou-li buď obě rovnoběžné s osou , nebo jsou obě různoběžné s osou

a mají stejnou směrnici.

4.) Úsekový tvar rovnice přímky Získáme z obecné rovnice přímky tak, že ji vydělíme číslem 1, souřadnic.

0 , kde

;0 ;

;

0.

jsou průsečíky s osami soustavy


31

Přímka Je dána přímka

. Sestavte její parametrické rovnice, obecnou rovnici, zapište ji ve

směrnicovém a úsekovém tvaru, pokud existují. a) Přímka

je daná bodem

5; 3 a směrovým vektorem

2; 1 .

b) Přímka

je daná bodem

3; 0 a normálovým vektorem

3; 2 .

Příklad: Řešení: a) parametrické rovnice:

5

2

3

; 1; 2

obecná rovnice: normálový vektor dosadíme za

a souřadnice bodu A

směrnicový tvar:

, pro výpočet

6

0

0, pro výpočet

1

2

dosadíme do rovnice bod A

1

2

9

0

úsekový tvar: průsečík s osou : s osou y: ,

1; 0 0;

1 2; 3

b) parametrické rovnice: obecná rovnice: 3

2

úsekový tvar:

3

2 ;

3 ;

0, po dosazení bodu B

směrnicový tvar:

5

2

, po dosazení bodu B 1

9

3

0.


32

Přímka Varianta A 4; 3 a je rovnoběžná s přímkou

Napište obecnou rovnici přímky , která prochází bodem :5

2

8

0.

Příklad: Každá rovnoběžná přímka s přímkou

má stejný normálový vektor jako přímka

5; 2 :5

2

0, dosadíme bod K

20

6

0

26 5

2

26

0.


Výsledek řešení: 5

Varianta B

2

26

0

Varianta C Příklady k procvičení: 1. Napište obecnou rovnici přímky , která prochází bodem přímku :

2

Řešení: : 2 2.) Body

2; 4 ;

7

0.

7

0

4; 6 určují přímku

. Napište obecnou rovnici přímky, která prochází

středem úsečky KL a je kolmá na přímku AB, Řešení: 5

14

6; 5 a je kolmá na

1; 2 ;

4; 3 .

0

3. Jsou dány dva body

2; 5 ;

4; 1 . Napište rovnici osy úsečky MN; polopřímky

MN; polopřímky NM. 1

Řešení: Osa: Polopřímka

0; polopřímka MN:

4

:

4.) Jsou dány body

;

2; 4 ;

v bodě A. Řešení:

6

22

0

1

;

2

;

5

;

0; ∞

0; ∞ .

3; 2 . Napište obecnou rovnici kolmice k úsečce AB


33

Přímka Varianta B Body

4; 1 ;

4; 2 ;

2; 4 jsou vrcholy trojúhelníku KLM. Vypočítejte souřadnice

průsečíku os jeho stran. Příklad: 4; 1,5 ;

0; 1

3; 3 ;

2; 2

3; 1,5 ;

:

1,5 :

0 0

2; 3

:2

3

1,5

0

Z první osy plyne pro průsečík, že jeho y-ová souřadnice je 1,5; z druhé osy, že x-ová 1,5; 1,5 .

souřadnice je 1,5



Varianta B

1,5; 1,5

Varianta C Příklady k procvičení: 1.) Napište parametrické rovnice a obecnou rovnici přímky , která prochází bodem 4; 2 a je kolmá k přímce : Řešení: :

;

2

2.) Určete souřadnici

bodu

3; 5 ;

4

2

2 ;

6

0.

; :2

6

0.

; 10 tak, aby bod A ležel na přímce KL, kde

1; 1 .

Řešení:

2.

3.) Body

4; 1 ;

4; 2 ;

2; 4 jsou vrcholy trojúhelníku KLM. Napište obecné rovnice

přímek, na nichž leží těžnice trojúhelníku JKLM a určete souřadnice těžiště. Řešení:

:2

9

0; :

2 2

4.) Je dána polopřímka

bodu A dané polopřímky. Určete Řešení:

;

;

2.

8

0;

3 ;3 tak, aby bod

:5 ∞; 1;

4

26

0;

;

. Určete souřadnice počátečního ležel na dané polopřímce.


34

Přímka Varianta C Určete hodnotu parametru

tak, aby přímka

2

1

0 procházela

počátkem soustavy souřadnic.

Příklad: Má-li přímka procházet počátkem soustavy souřadnic, musí bod

0; 0 vyhovovat rovnici

přímky. Dosadíme proto do rovnice přímky za , nulu a dostaneme:2 · ·

,

1

0.

1;

·

Příklad: Varianta A Výsledek řešení:

Varianta B

1;

Varianta C Příklady k procvičení: 1; 4 ;

1.) Je dán trojúhelník EFG,

3; 2 ;

4; 6 . Určete v parametrickém tvaru

rovnici přímky, na které leží střední příčka rovnoběžná s FG. Řešení: 4

7

1

0. 0; 0 ;

2.) Je dán trojúhelník KLM, Řešení:

;

4; 2 ;

6; 0 . Vypočítejte souřadnice těžiště T.

.

3.) Osy , a přímka AB, kde

2; 9 ;

4; 3 , určují trojúhelník. Vypočítejte jeho obsah.

Řešení: 4.) Určete reálné číslo 1; 2 ; Řešení:

3; 3 ; 1.

tak, aby bod K ležel na přímce MN, je-li: ;

0,5 .


35

Polohové úlohy v rovině Vzájemnou polohu dvou přímek lze vyšetřit dvěma způsoby: 1.) řešíme soustavu složenou z obou rovnic, o vzájemné poloze rozhodne počet řešení 1 řešení

různoběžné, 1 průsečík

0 řešení

rovnoběžné různé

∞ řešení

totožné

2.) určíme směrové (normálové) vektory obou přímek Přímky , jsou rovnoběžné, jestliže:

·

, kde

0;

·

,

\0. ,

Dvě přímky

a

,

jsou totožné, jsou-li rovnoběžné a leží-li bod Q na přímce .

Přímky , jsou k sobě kolmé, jsou-li jejich směrové (normálové) vektory navzájem kolmé, tj. platí-li

·

0;

·

0 .


36

Polohové úlohy v rovině Varianta A Vyšetřete vzájemnou polohu přímek KL a MN, znáte-li souřadnice bodů, kterými dané přímky 1; 2 ;

procházejí;

1; 1 ;

1; 1 ;

2; 3 .

Příklad: 0; 3 ;

3; 0

1; 2 ;

:

1

2; 1

0

:2

1

0

·

Přímky jsou různoběžné, protože

Průsečík má x-ovou souřadnici 1 (plyne z rovnice přímky KL), y-ovou souřadnici 1; 3 .

dopočítáme z rovnice přímky MN


1;

Výsledek řešení: Přímky jsou různoběžné;


Příklady k procvičení: 1.) Vyšetřete vzájemnou polohu přímek , ; 1

2 ;2

3 ;

;

1

2 ;7

3 ;

.

Řešení: Rovnoběžné různé 2.) Vyšetřete vzájemnou polohu přímek 1

2 ;2

3 ;

Řešení: Různoběžné;

;

17

, . 4 ; 6

2 ;

1; 2

3.) Vyšetřete vzájemnou polohu přímek , . 1

2 ;2

3 ;

;

5

4 ; 4

Řešení: totožné 4.) Vyšetřete vzájemnou polohu přímek , . :2

1

0; :

Řešení: Různoběžné,

2 2; 3

8

0.

6 ;

.

3


37

Polohové úlohy v rovině Varianta B Určete hodnotu parametru

11

tak, aby přímka

průsečíkem přímek : 2

6

0; :

2

8

0 procházela

0.

Příklad: 2 2 4

6

0 |·2

8

0

2

12

2

8

0 0

po sečtení obou rovnic dostaneme: 5

20

0

4

4; 2 . 4

Nyní bod X dosadíme do rovnice přímky s parametrem

2

11

0

3. Příklad: Varianta A

3



Příklady k procvičení: 1.) Vyšetřete vzájemnou polohu úseček. 1

;2 ;

0; 1

;

1

2 ;2

;

;

;

2; 1

.

;2

;

Řešení: 2 ; 3

2.) Průsečíkem přímek 2

k přímce Řešení: 4

3

4 ;8 19

3 ;

1

veďte kolmici

.

0

3.) Vypočítejte souřadnice vrcholů trojúhelníku KLM tak, aby jeho strany ležely na přímkách :2

1

Řešení:

0; : 8

11

0;

:

2

8

0.

2; 3 ; 2; 5 ; 1; 3

4.) Je dána úsečka KL, kde

2; 1 ;

1; 2 . Určete hodnotu parametru

úsečka AB protínala úsečku KL v jejím středu. Souřadnice bodů A, B jsou 2;

;

Řešení:

2; 6 . 6

tak, aby


38

Polohové úlohy v rovině Varianta C 4; 1 je vnitřním bodem trojúhelníku ABC,

Zjistěte, zda bod 5; 1 ;

2; 4 ;

7; 3 .

Příklad: Má-li bod K ležet uvnitř trojúhelníku ABC, musí ležet ve stejné polorovině s hraniční přímkou AB jako bod C, ve stejné polorovině s hraniční přímkou BC jako bod A a ve stejné polorovině s hraniční přímkou AC jako bod B. Přímka AB má rovnici 3 22

7

22

, polorovina s bodem C má rovnici 3

7

0.

Po dosazení souřadnic bodu K do poloroviny zjistíme, že nerovnice platí, bod K proto leží ve stejné polorovině jako bod C. 3

Přímka AC má rovnici

2

0, polorovina s bodem B má rovnici

3

2

0.

Po dosazení souřadnic bodu K do poloroviny zjistíme, že nerovnice platí, proto bod K leží ve stejné polorovině jako bod B. Přímka BC má rovnici 7 34

5

34

0, polorovina s bodem A má vyjádření 7

5

0. Po dosazení souřadnic bodu K do poloroviny zjistíme, že nerovnice platí.

Bod K leží uvnitř trojúhelníku ABC.


Výsledek řešení: Bod K leží uvnitř trojúhelníku ABC.


Příklady k procvičení: 3; 5 ;

1.) Jsou dány body poloroviny

, je-li

Řešení: 3

2

; 1

0

.

1; 2 a vektor

2; 3 . Napište analytické vyjádření


2.) Určete reálné číslo 2 ;

1

procházela průsečíkem přímek

2

;1

2 ;

3 ; 1

2 ;

6 ;

;

.

5

Řešení:

3.) Určete hodnoty parametrů , 1 Řešení:

;2

;

2;

;

2 . 11; 0

tak, aby přímky ;5

,

;

byly totožné. .

1

4.) Určete všechny hodnoty parametru Řešení:

5

tak, aby přímka s parametrickým vyjádřením

39

tak, aby bod

4;

3 ležel v polorovině


40

Metrické úlohy v rovině Patří sem úlohy, ve kterých je použito měření – vzdálenosti bodů, velikosti úhlů apod. Vzdálenost bodu od přímky

Postup vidíme z obrázku: 1.) bodem X vedeme kolmici k přímce 2.) najdeme průsečík P kolmice vedené bodem X a přímky |

3.) Určíme vzdálenost ;

:

| 0 . Pak kolmice má rovnici:

. Hledáme průsečík

;

přímek , .

·

·

0 0

;

, kde je vypočítaná hodnota parametru.

Pak √ | |·√ Jestliže dosadíme za , dostaneme:

|

| √

;


41

Odchylka dvou přímek Odchylka přímek , je ta velikost úhlu, která leží v intervalu 0; . Odchylku přímek určíme pomocí úhlu směrových vektorů (případně normálových vektorů). | · | | |·| |


42

Metrické úlohy v rovině Varianta A Na přímce : 4

3

2

0 určete bod P tak, aby jeho vzdálenost od přímky : 5

12

0 byla 3.

Příklad: Má-li bod P ležet na přímce , musí jeho souřadnice vyhovovat rovnici přímky 2

3 ;

. | ·

Dosadíme do vzorce pro vzdálenost: 3 |6

Po úpravě dostaneme: 39

3 |

Řešíme rovnici s absolutní hodnotou: 6 11 a

Dostáváme řešení: 35; 11 ;

|

· √

3

39

35;

11 ;

6

3

39

15

43; 15 .



Varianta B

43; 15

Varianta C Příklady k procvičení: 1.) Vypočítejte vzdálenost rovnoběžek

:8

3

0a

:8

6

3

0.

0,6

Řešení:

2.) Na přímce : 2 základnou BC, kde

0 najděte bod A tak, aby trojúhelník ABC byl rovnoramenný se 6; 4 ;

2; 2 .

;

Řešení:

3.) Na ose najděte bod P, který má od bodu Řešení:

6

6

2√10; 0 ;

6

2√10; 0 .

4.) Vypočítejte obvod trojúhelníku KLM, kde Řešení: 10√2

2√10.

6; 3 vzdálenost 7.

2; 4 ;

3; 3 ;

3; 1 .


43

Metrické úlohy v rovině Varianta B Vypočítejte odchylku přímek : 7

1

0

0; :

7

1

0.

Příklad: 7; 1 ;

Určíme normálové vektory obou přímek:

1; 7 | ·

Úhel přímek vypočteme dosazením do vzorce:

|

· ·

73°44´23´´


73°44´23´´



Příklady k procvičení: 1.) Jsou dány dvě přímky :

4

0; :

2

8

0. Určete hodnotu parametru

tak, aby přímky svíraly úhel 90°. Řešení:

2

2.) Vypočítejte odchylku přímek Řešení:

3 ;

2

1

0; : 2

;

4 4

90°

4.) Vypočítejte odchylku přímek : 3 Řešení:

;1

45°

3.) Vypočítejte odchylku přímek : Řešení:

2

36°52´21´´

4

0; :

6

0.

0.

2 ;5

;

.


44

Metrické úlohy v rovině Varianta C Body

5; 3 ;

3; 4 ;

souřadnice vrcholů , ,

3; 5 jsou středy stran trojúhelníku KLM. Vypočítejte

.

Příklad: Na přímce, spojující středy dvou stran, leží střední příčka v trojúhelníku, proto má tato přímka stejný směrový (normálový) vektor jako přímka, na které leží třetí strana. 2; 7

7; 2

Přímka KM má tedy rovnici: 7 8; 8

2

0.

1; 1 7

Přímka LM má tedy rovnici: 6; 1

11

0.

1; 6

Přímka KL má tedy rovnici:

6

13

0.

Řešíme vzájemnou polohu těchto přímek jako soustavy rovnic. ;

1; 2 ;

;

11; 4 ;

;

5; 12 .



Varianta B

1;

2;

11;

4;

5; 12

Varianta C Příklady k procvičení: 1.) Určete bod R tak, aby trojúhelník PQR byl pravoúhlý a rovnoramenný s přeponou PQ, kde 2; 10 ; Řešení:

4; 6 . 9; 5 ;

7; 1

2.) Určete souřadnice vrcholů čtverce ABCD, jestliže Řešení:

4; 2 ;

4; 4 ;

6; 4 ;

0; 3 ;

2; 6 .

3.) Vypočítejte souřadnice vrcholů čtverce KLMN, je-li Řešení:

6; 2 ;

3; 6 ;

2; 4 ;

6

Řešení:

2; 1

16

1; 3 ;

2; 1 .

5; 0 .

4.) V rovnoramenném trojúhelníku EFG se základnou EF, přímce 5

2; 5 .

0. Určete souřadnice vrcholu G.

3; 4 ;

1; 6 leží vrchol G na


45

Přímka, rovina 1.) Parametrická rovnice roviny Rovina je dána třemi body, které neleží v jedné přímce. Proto lze sestavit dva vektory ;

ležící v této rovině. Rovinu značíme malými písmeny řecké abecedy.

Rovinu, která je dána bodem A a směrovými vektory ; , zapisujeme

Rovnice

; ,

, ,

.

se nazývá parametrická rovnice roviny ABC.

Můžeme opět rozepsat:

, 2.) Obecná rovnice roviny Užívá se častěji než parametrická. Rovinu určíme bodem P a vektorem , který je k ní kolmý. Tento vektor se nazývá normálový. Bod X leží v rovině právě tehdy, jestliže vektor ·

kolmý k vektoru

Bod X má souřadnice má souřadnice ·

0. ; ;

, bod P má souřadnice

; ; .Pak můžeme psát: ·

je

·

0

Po úpravě dostaneme 0

;

;

a normálový vektor

46


Označíme výraz

a máme obecnou rovnici roviny: 0

Poznámka: známe-li dva směrové vektory roviny, normálový vektor určíme jako vektorový součin těchto dvou vektorů. 3.) Úsekový tvar rovnice roviny

Rovina určená body

; 0; 0 ;

0; ; 0 ;

0; 0;

má rovnici

0


47

Přímka a rovina Varianta A Jsou dány body

2; 3; 1 ;

4; 3; 2 . Rozhodněte, zda body

leží na přímce KL, a určete ,

tak, aby bod

; 2 ;

2; 0; 1

2

0; 4; 2 ;

2√3; 3; √3

ležel na přímce KL.

Příklad: Napíšeme rovnice přímky KL:

Dosadíme postupně souřadnice bodů , 0

2

2

4

3

2

1

2 ;

3;

1

;

.

do rovnice přímky KL.

bod A neleží na přímce KL.

Totéž provedeme s bodem B: 2√3

2

2

platí vždy, z první i třetí rovnice plyne, že

3

3 √3

1

√3

1, proto bod B leží na přímce KL.

. Prostřední rovnice

Do rovnice přímky KL nyní dosadíme souřadnice bodu C: 2

2

2

3

1

.

Z prostřední rovnice určíme, že

; dosadíme do první rovnice

a po dosazení do

.

třetí rovnice zjistíme, že


Výsledek řešení: bod A neleží na přímce KL; bod B leží na přímce KL; ;

48


Příklady k procvičení: 1

1.) Je dána přímka 5; 8; 3 ;

2 ;2

3 ;1

;

3; 1; 0 leží na přímce a určete ,

. Rozhodněte, zda body tak, aby bod

9; ;

ležel na

přímce . Řešení: ∉ ;

;

10;

3

2.) Vypočítejte souřadnice bodů, ve kterých přímka

2; 1

;4 ;

protíná

souřadnicové roviny. Řešení:

2; 0; 4 ;

2; 1; 0 ;

neexistuje

3.) Napište parametrické rovnice přímky , která prochází bodem 2

s přímkou Řešení:

;

;1 4

;3 ;

5 ;

5

.

5 ;

4.) Napište parametrické rovnice přímky , která prochází bodem osou . Řešení:

2;

4;

1

0; 4; 5 a je rovnoběžná

;

2; 4; 1 a je rovnoběžná s


49

Přímka a rovina Varianta B Dokažte, že body

2; 1; 6 ;

0; 1; 6 ;

1; 2; 0 určují rovinu a napište její

parametrické rovnice, určete její obecnou rovnici a vypočítejte souřadnice bodů, ve kterých rovina KLM protíná souřadnicové osy. Příklad: ·

3 body určují rovinu, pokud neleží v jedné přímce, čili vektor 2; 2; 12 ; 2

2

1

2

6

12

3; 1; 6

body určují rovinu.

3

6 ; , 24; 24; 8

3; 3; 1

3

3

3

0.

Průsečíky se souřadnicovými osami mají vždy dvě souřadnice nulové 1; 0; 0 ;

0; 1; 0 ;

0; 0; 3


Výsledek řešení: body určují rovinu; 3 0;

1; 0; 0 ;

0; 1; 0 ;

0; 0;

3

3

3

Příklady k procvičení: 1.) Je dána rovina roviny Řešení:

1

;2

3

;5

; ,

. Vypočítejte průsečíky

se souřadnicovými osami. 2; 0; 0 ;

2.) Zjistěte, zda body Řešení: neleží

0; 4; 0 ;

0; 0; 4

3; 2; 1 ;

1; 3; 1 ;

2; 1; 3 ;

1; 2; 2 leží v jedné rovině.

50


3.) V soustavě souřadnic v prostoru je umístěn pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV tak, že 0; 0; 0 ; Řešení:

4; 0; 0 ; 4

2

4.) Jsou dány body

4; 4; 0 ; 4 ;

4

2; 9; 7 ;

2; 2; 6 . Napište parametrické vyjádření roviny BCV. 2 ;

6 ; ,

4; 3; 5 ;

6; 5; 1 . Napište parametrické vyjádření

těžnice trojúhelníku KLM, která prochází bodem K. Řešení:

2

;

9

5 ;

7

9 ;

0; 1


51

Přímka a rovina Varianta C 1

Dokažte, že přímky

;2

;3

2 ;

;

;1

;1

2 ;

určují rovinu a napište její obecnou rovnici. Příklad: Přímky určují rovinu, pokud bod jedné přímky neleží na přímce druhé, což ověříme dosazením bodu 1; 2; 3 z přímky 1

2

1

3

1

do rovnic přímky .

2

bod neleží na přímce

1; 1; 2 a určíme vektor daná body v obou

Vypíšeme si směrový vektor přímky : 0

přímkách

1; 1

2; 1

3

1; 1; 2 . Vektorový součin těchto směrových 0; 4; 2

vektorů určí normálový vektor hledané roviny hledané roviny je 2

přímky určují rovinu.

0 ,kde člen

0; 2; 1 . Proto rovnice

vypočítáme dosazením některého bodu

kterékoliv ze zadaných přímek do této rovnice

2

1

0.



Varianta B

1

0

Varianta C Příklady k procvičení: 1

1.) Dokažte, že přímka

;2

2 ;0 ;

a bod

1; 0; 3 určují rovinu a

napište její obecnou rovnici. Řešení: 6

3

2

12 1

2.) Je dána rovina

0 2

2 ;2

3

2 ;1

4

,

. Napište její

obecnou rovnici. 4

Řešení:

0

3.) Napište obecnou rovnici roviny , ve které leží body kolmá k rovině : 3 Řešení: :

3

2 3

6 11

2

Řešení: : 3

5

0. 2; 2; 8 na roviny : 3

0 proložte rovinu . Určete její obecnou rovnici. 5

36

1; 2; 2 a rovina

0

4.) Kolmicemi sestrojenými z bodu :

2; 3; 0 ;

0

2

4

0;

je

52


Polohové úlohy v prostoru

1.) Vzájemná poloha přímek Dvě přímky v prostoru mohou být totožné, rovnoběžné různé, různoběžné nebo mimoběžné. Základním kritériem jsou směrové vektory obou přímek. Je-li

· , jsou přímky totožné nebo rovnoběžné různé. Která z možností to bude,

rozhodneme podle toho, zda bod jedné přímky leží na přímce druhé – pokud ano, jsou přímky totožné, pokud ne, jsou rovnoběžné různé. Je-li

· , jsou přímky různoběžné nebo mimoběžné. Řešíme vzájemnou polohu těchto

přímek, v případě společného bodu jsou přímky různoběžné a určujeme průsečík, v případě, že společný bod neexistuje, jsou přímky mimoběžné. 2.) Vzájemná poloha přímky a roviny Přímka buď leží v rovině (pak je ∞ mnoho společných bodů), je rovnoběžná různá s rovinou (žádný společný bod) nebo je různoběžná a pak určujeme 1 společný bod. Řešíme nejsnadněji dosazením parametrických rovnic přímky do obecné rovnice roviny a podle počtu řešení rozhodneme o vzájemné poloze. 3.) Vzájemná poloha 2 rovin Dvě roviny mohou být totožné, rovnoběžné různé nebo různoběžné. Která z možností nastane, závisí na rovnicích obou rovin. V nejjednodušším případě máme obecné rovnice obou rovin a sledujeme normálové vektory obou rovin. Pokud platí, že roviny totožné. Pokud platí, že Pokud platí, že

·

·

·

·

·

, pak jsou

, pak jsou roviny rovnoběžné různé.

, pak jsou roviny různoběžné a pak určujeme průsečnici. Při

hledání průsečnice dvou různoběžných rovin hledáme dva body, které leží zároveň v první i druhé rovině. To zajistíme tak, že zvolíme dvě ze tří souřadnic a třetí souřadnici dopočítáme pří řešení soustavy dvou rovnic, které získáme dosazením zvolených souřadnic do obou rovnic rovin.


53

Polohové úlohy v prostoru Varianta A Vyšetřete vzájemnou polohu přímek: 5

;3

2 ;5

;

;

Vypíšeme si směrové vektory obou přímek: přímky

6

;7

;2 ;

1; 2; 1 ;

není násobkem směrového vektoru přímky

1; 1; 2 . Vektor

přímky jsou různoběžné nebo

mimoběžné. Budeme řešit jako soustavu, pokud bude mít řešení, jsou přímky různoběžné, pokud ne, jsou mimoběžné.

Příklad: 5 3

6 2

5

7 2

Po sečtení prvních dvou rovnic zjistíme, že

1. Dosazením do 1. Rovnice vypočteme

2. Nyní obě hodnoty dosadíme do třetí rovnice. 5

1

2 · 2, což je výrok pravdivý.

Přímky jsou proto různoběžné. Musíme tedy určit průsečík (dosazením např. hodnoty do rovnice přímky ). Průsečík má tedy souřadnice

4; 5; 4 .


Výsledek řešení: přímky jsou různoběžné,

4; 5; 4 .

2


54

Příklady k procvičení: 1.) Vyšetřete vzájemnou polohu přímek: 1

;2

2 ; ;

;

4

2 ;1

4 ;3

2 ;

3 ;3

;2

Řešení: přímky jsou rovnoběžné různé 2.) Vyšetřete vzájemnou polohu přímek: 2

3 ;1

;4

;

;

4

;

Řešení: přímky jsou totožné 3.) Vyšetřete vzájemnou polohu přímek: 2 ;3

;4

;

;

2

2 ; 1

;6

2 ;

Řešení: přímky jsou mimoběžné tak, aby přímky , byly různoběžné. Pak vypočítejte

4.) Určete hodnotu parametru souřadnice průsečíku přímek 2 Řešení:

;3 2

2 ;4 ; 5; 3; 4

, . ;

1

4 ;

;1

3 ;


55

Polohové úlohy v prostoru Varianta B Vyšetřete vzájemnou polohu přímky a roviny: a)

2

;3

2 ;1

b)

1

2 ;5

c)

2 ;4

;

; 3

; 1 ;

; : 5 ;

2

5

; :3

; :

2

0 11

3

5

0

0

Příklad: Vzájemnou polohu přímky a roviny vyšetřujeme dosazením přímky do rovnice roviny. a) 2

2· 3

2

1

5

0

4

8

0

2

přímka je různoběžná 2 do rovnice

s rovinou, mají společný 1 bod, jehož souřadnice zjistíme dosazením 0; 1; 3 .

přímky b) 3 · 1

2

5

3

5

11

16

0

0

přímka je rovnoběžná

různá s rovinou c) 2

2· 4

3·

1

5

0

0

0 přímka leží v rovině


0;

Výsledek řešení: a)

Varianta B

1; 3 ; b) přímka je rovnoběžná různá

s rovinou; c) přímka leží v rovině

Varianta C

Příklady k procvičení: 1.) Vyšetřete vzájemnou polohu přímky dána body

0; 0; 3 ;

2; 1; 1 ;

,

2; 0; 1 ;

0; 1; 4 .

Řešení: přímka je různoběžná s rovinou,

4; ;

2.) Vyšetřete vzájemnou polohu přímky

2

1

2 ;3

3 ;1

2; 1; 4 a roviny , která je

3 ; ,

. ;3 ;1 .

;

a roviny


56

Řešení: přímka je rovnoběžná různá s rovinou 3; 2; 1 ;

3.) Jsou dány body

5; 10; 5 ;

4; 7; 3 ;

3; 5; 2 . Určete, pokud

existuje, průsečík úsečky KL a přímky MN. Řešení:

3; 7; 4 .

4.) Ukažte, že přímka 2

3

Řešení:

2 6; 7; 11 .

, kde

3; 2; 1 ;

4; 1; 3 je různoběžná s rovinou o rovnici

0. Potom najděte jejich průsečík.


57

Polohové úlohy v prostoru Varianta C Vyšetřete vzájemnou polohu rovin : 2

4

8

0; : 2

6

0.

Podle souřadnic normálových vektorů vidíme, že roviny jsou různoběžné, budeme proto hledat rovnici přímky, která je průsečnicí rovin. Hledáme tedy dva body, které leží současně v obou rovinách.

Příklad: Zvolíme si jednu souřadnici každého bodu libovolně, zbylé dvě souřadnice vypočteme ze soustavy rovnic. ; 0;

dosadíme souřadnice bodu A do rovnic obou rovin

2

8 6

0

0 6

1

1; 0; 6 .

Totéž provedeme pro bod B: 2

12 8

; 1; 8

0

0 8

2

2; 1; 8 1; 1; 2

Nyní určíme směrový vektor přímky AB, 1

Průsečnice má tedy rovnici:

;

;6

2 ;

.


Výsledek řešení: roviny jsou různoběžné, 2 ;

.

1

;

;6

58



1.) Rozhodněte, jakou vzájemnou polohu mají roviny

12

2 ; ,

;

1 2

; 2

3 ;2 4

4 ; ,

3

;1

9

; 3

.

Řešení:roviny jsou rovnoběžné různé 2.) Rozhodněte, jakou vzájemnou polohu mají roviny

2

4

.

2 ; ,

;

4

; 7

3 ; 17 2

4 ; ,

;1

3

; 3

Řešení: roviny jsou totožné 3.) Určete hodnoty parametrů 4

3

,

7

0; :

0 byly a) rovnoběžné; b) různoběžné; c) navzájem kolmé 1

Řešení: a)

4 ; b)

4.) Vyšetřete vzájemnou polohu rovin 3

tak, aby roviny :

4 ;6

2

3 ;1

Řešení: roviny jsou totožné

5 ; ,

1

4; c) 3 .

;5

1 ;

4 2 ; ,

;


59

Metrické úlohy

1.) Vzdálenost bodu od přímky

Postup: a.) Určíme parametrické vyjádření přímky : ·

b.) Z podmínky

0 určíme tu hodnotu parametru , pro kterou platí

(viz

obr.). |

c.) Určíme vzdálenost

|

2.) Vzdálenost bodu od roviny Bodem P vedeme přímku

kolmou k rovině , určíme průsečík R přímky p a roviny

|

určíme vzdálenost :

|.

0;

;

;

Hledáme průsečík přímky p s rovinou ·

a

·

;

;

;

;

.

tak, že rovnice přímky dosadíme do rovnice roviny.

·

0

Odtud Tuto hodnotu dosadíme do parametrického vyjádření přímky a dostaneme souřadnice bodu R. Platí Proto

|

;

;

|

| | · √

, kde je vypočítaná hodnota. .

60


;

Vzdálenost bodu

;

od roviny :

0 je vyjádřena |

| √

3.) Odchylka dvou přímek ,

Odchylka přímek

;

,

0; , pro které platí:

je číslo

| · | | |·| |

4.) Odchylka přímky a roviny Je-li přímka p kolmá k rovině , je odchylka přímky p a roviny není kolmá k rovině , vedeme jí rovinu v přímce p´. Odchylka

rovna . Pokud přímka p

kolmou k rovině . Rovina

přímky p a roviny

protne rovinu

je pak odchylka přímek p, p´.

Výhodnější je sestrojit přímku q kolmou k rovině . Jestliže odchylka přímek p a q je 2

5.) Odchylka dvou rovin Odchylku rovin

a

snadno určíme pomocí normálových vektorů těchto rovin.

Platí: · ·|

|

, pak


61

Metrické úlohy Varianta A V trojúhelníku ABC vypočítejte výšku

1; 2; 3 ;

, víte-li, že

3; 6; 2 ;

1; 10; 2 .

Příklad: Počítáme vzdálenost bodu A od přímky BC. 4; 4; 4

Směrový vektor přímky BC je

1; 1; 1 . Rovnice přímky BC

3

je:

6 2

; 3

Kterýkoliv bod X přímky BC má souřadnice 2

Vektor

;4

; 1

Hledáme takovou hodnotu ·

.

. , aby platilo, že přímka AX je kolmá na přímku BC.

1· 4

1·

4

Velikost výšky

1

5

1

0

3

3

1

4; 5; 3 a vzdálenost bodů A, X je

Bod X má tedy souřadnice |

;2

0

1· 2

|

;6

2

3

3

√3

3

0

√18

3√2

trojúhelníku ABC je 3√2.


Výsledek řešení: Velikost výšky

trojúhelníku ABC je 3√2.


62

Příklady k procvičení: 1.) Vypočítejte vzdálenost bodu Řešení: |

| |

4; 2; 3 od roviny : 2

12

;

5

0.

.

2 2

3

0; : 2

5. 4

4.) Na přímce

Řešení:

2 ;

0.

Řešení: | , | přímky

;5

2

3.) Vypočítejte vzdálenost dvou rovnoběžných rovin : 2 2

3

√3

2.) Vypočítejte vzdálenost bodu Řešení: |

0; 2; 3 od přímky

3

; 2; 2

2 ; ;1 ;

1; 2; 3 ;

; byla 4.

; 2;

.

určete bod P tak, aby vzdálenost bodu P od


63

Metrické úlohy Varianta B Vypočítejte odchylku průsečnice rovin : 2

3

0; :

5

0 od osy z.

Příklad: Hledáme dva body, které leží v obou rovinách – určíme od každého bodu libovolně jednu souřadnici a zbylé dvě dopočítáme ze soustav rovnic, které dostaneme po dosazení bodů do rovnic rovin. 0; 5; 8 ;

1; 4; 9

u obou bodů byla zvolena x-ová souřadnice.

1; 1; 1 0; 0; 1 Dosadíme do vzorce pro velikost odchylky dvou přímek: | ·

·

· | √

54°44´


54°44´



Příklady k procvičení: 1.) Vypočítejte odchylku přímky :

4

Řešení:

1

2 ;1

2 ; ;

od roviny

0

45°.

2.) Vypočítejte odchylku rovin : 2 Řešení:

4

60°.

4

0; : 2

4

2

5

0.

64


3.) Je dána přímka

1

Určete hodnotu parametru Řešení:

; 1

;

tak, aby platilo

a rovina :

8

0.

.

1.

4.) Je dán bod

2; 1; 0 a přímka

tak, aby odchylka přímek Řešení:

;2

;

; ; 3 .

3

a p byla 90°.

;1

; 3 ;

. Na přímce p určete bod


65

Metrické úlohy Varianta C Krychle ABCDEFGH má hranu a. Bod K je střed hrany AE. Vypočítejte odchylku přímek BK a AG.

Příklad: ; 0; 0 ;

,; ;0 ; ;

;

0; ;

; 0;

;

;

; ;

·

·

·

·

·√



78°54´

√

√

78°54´

66


Příklady k procvičení: 1.) Krychle ABCDEFGH má hranu a. Bod K je střed hrany AE, bod L je střed hrany BC. Vypočítejte odchylku přímky BK od roviny ALG. Řešení:

15°48´.

2.) Krychle ABCDEFGH má hranu a. Bod K je střed hrany EH, bod L je střed hrany BC. Vypočítejte odchylku rovin BCK a ALH. Řešení:

45°.

3.) Pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV má výšku postupně , , Řešení:

√

Řešení:

|

4. Označte

středy hran AB, AD, CV. Vypočítejte vzdálenost bodu V od roviny KLM. .

4.) Pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV má výšku postupně , ,

6, délku hrany |

6, délku hrany |

|

4. Označte

středy hran AB, AD, CV. Vypočítejte odchylku přímek KM a CV.

69°46´.


67

Kuželosečky a kulová plocha Kružnice

Patří mezi kuželosečky, které můžeme získat jako průnik rotační kuželové plochy a roviny. Kružnici získáme jako průnik rotační kuželové plochy a roviny, která je kolmá na její osu. Je to středová kuželosečka, protože má střed souměrnosti. Kružnice je množina všech bodů X v rovině, které mají od daného bodu S (středu kružnice) v rovině danou vzdálenost r (poloměr kružnice),|

|

|

2

2

Odtud dostáváme středovou rovnici kružnice 2

2

2

|

;

0.

68


Rovnici můžeme upravit na obecnou rovnici kružnice 2

Pozor! Rovnice 2

2

2

2

2

2

2

2

2

0 , kde 0 je rovnicí kružnice pouze tehdy, jestliže platí:

0.

Vnitřní oblast kružnice je množina všech bodů X v rovině, které mají od daného bodu S (středu kružnice) vzdálenost menší než r (poloměr kružnice). 2

2

2

Vnější oblast kružnice je množina všech bodů X v rovině, které mají od daného bodu S (středu kružnice) vzdálenost větší než r (poloměr kružnice). 2

2

2

Kruh je množina všech bodů X v rovině, které mají od daného bodu S (středu kružnice) vzdálenost menší nebo rovnu r (poloměr kružnice).

Kružnice a přímka Přímka buď s kružnicí nemá žádný společný bod, pak je vnější přímkou kružnice, nebo má s přímkou jeden společný bod, pak je tečnou kružnice, nebo má s kružnicí dva společné body, pak je sečnou kružnice. Řešíme tedy vzájemnou polohu přímky a kružnice dosazením z rovnice přímky do rovnice kružnice.


69

Kružnice Varianta A Napište rovnici kružnice, která má střed

2; 1 a prochází bodem

6; 2 . Potom

vypočítejte souřadnice bodů, ve kterých kružnice protíná osy x a . Při hledání rovnice kružnice použijeme středový tvar rovnice kružnice, do kterého dosadíme souřadnice středu.

Příklad: 2

1

Pro výpočet poloměru můžeme dosadit do rovnice kružnice za x a y souřadnice bodu K nebo můžeme spočítat vzdálenost bodů S, K. Při dosazení bodu K do rovnice kružnice: 6 2

2

1 4

3

√25

5 2

Hledaná rovnice kružnice tedy je

1

25.

Průsečíky s osami mají vždy jednu souřadnici nulovou. 0

1

21

0

2

24

Průsečíky s osami jsou

1 2

√21 2

√24

2√6; 0 ;

2

1

√21 2

√24

2√6; 0 ;

0; 1

2

√21 ;



2 0; 1

2√6; 0 ; √21 ;

2√6

2

2√6; 0 ;

0; 1

√21

0; 1

√21

70


Příklady k procvičení: 1. Napište rovnici kružnice, jestliže úsečka Řešení:

1

6

3; 7 ;

1; 5 je jejím průměrem.

5

2.) Napište rovnici kružnice, která prochází body 9

,

3; 2 ;

1; 4 a má střed na přímce

0. 2

7

Řešení:

100.

3.) Napište rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem 1; 1 . 2.

Řešení:

4.) Najděte souřadnice středu a poloměr kružnice, jejíž rovnice je: 6 Řešení:

4 3

23 2

0. 36

3; 2 ;

6.


71

Kružnice Varianta B 4

Určete vzájemnou polohu kružnice dané rovnicí

10

24,5

0 a přímky o

0 v závislosti na hodnotě parametru .

rovnici

Vzájemnou polohu přímky a kružnice řešíme vyjádřením jedné neznámé (x nebo y) z rovnice přímky a jejím dosazením do rovnice kružnice. Má-li být přímka tečnou, musí být jedno 0 ), má-li být přímka sečnou, musí vyjít dvě řešení

řešení kvadratické rovnice ( (

0 ), má-li být přímka vnější přímkou, kvadratická rovnice nemá řešení (

0 ).

Příklad: Z rovnice přímky vyjádříme:

a dosadíme do rovnice kružnice.

4·

10

2 2

4 6

2

2 · 6

6 36

4 2 4·2·

24

4 56

24,5

8

24,5

0

0

24,5 4

0

0

24,5

32

196

40

0

160

Tečna:

0

Sečna:

0

Vnější přímka:

10

4

2

4

4

24,5

14

∞; 10 0

10 ·

4

0

4; ∞

10; 4


Výsledek řešení: Tečna: Sečna:

10; ∞;

Vnější přímka:

4 10 10;

4; ∞ 4

10;

4


72

Příklady k procvičení: 1.) Určete vzájemnou polohu přímky : 2 :

3

2

3

0 a kružnice

0.

Řešení: Přímka je sečna kružnice. 2.) Určete vzájemnou polohu přímky : 1

2

1

3

10

0 a kružnice :

4

5.

Řešení: přímka je tečnou kružnice. 3.) Určete vzájemnou polohu přímky :

1.

0 a kružnice :

Řešení: Přímka je vnější přímkou kružnice. 4.) Určete souřadnice společných bodů os x, y s kružnicí Řešení: 0; 4 ; 0; 2 .

6

8

0.


Kružnice Varianta C Napište rovnici kružnice, která se dotýká přímky : 3 přímce :

2

6

4

15

0, její střed leží na

0 a poloměr je 5.

Příklad: ;

Mají-li být splněny všechny podmínky ze zadání, musí platit, že 6

0, kde m, n jsou souřadnice středu kružnice.

5

|

|

2

√

25

|3 ·

25

| 6

18

25

| 2

33|

2

6

4 4

|

a z druhé rovnice dosadíme

15| 25

2

33

25

52

Hledané kružnice jsou dvě o rovnicích: 2

2

33

29

4

2

52

2

29

2

25 a

2

2

52

2

29

2

25 a

2

2

25.



Varianta B

4

Varianta C

2

25.

Příklady k procvičení: 1.) Napište rovnici kružnice, která má střed v bodě :3

4

6

0.

2

15|

Dopočítáme souřadnici středu 4

6 |

První rovnici upravíme: 5

5

5; 4 a dotýká se přímky

73


74 Řešení:

5

2

4

2

25.

2.) Napište rovnici kružnice, která prochází body Řešení:

1

2

2

2

4;

9

2

3; 2 ; 10

2

1; 4 a dotýká se osy . 100.

3.) Napište rovnici kružnice, která se dotýká osy x i osy . Její střed leží na přímce :

3

Řešení:

0. 3 2 2

3 2 2

9 . 4

4.) Určete rovnice všech kružnic, které se dotýkají osy x, procházejí bodem střed na přímce, která prochází středy kružnic o rovnicích 2

12

4

0.

Řešení: kružnice neexistuje.

2

2

6

2

4; 3 a mají 6

0;

2


75

Tečna kružnice ;

Jestliže bod

;

je bodem kružnice se středem

a poloměrem r, je bod

bodem dotyku kružnice a její tečny t v tomto bodě.

0, kde a, b jsou souřadnice normálového vektoru

Tečna má obecnou rovnici 0.

tečny, tedy vektoru 0

;

0

0

Tečna má tedy rovnici

·

0

·

0

0

Hodnotu c určíme z podmínky, že tečna t prochází bodem Tedy

·

0

0

·

0

0.

0

0

·

·

Dosadíme do rovnice tečny a dostaneme: 0

· ;

Bod

·

0

0

·

0

·

0

0

0

(1)

leží na kružnici, musí proto jeho souřadnice vyhovovat rovnici kružnice,

takže je dosadíme za x a . 0

2

2

2

0

2

2

(2)

Pokud rovnice (1) a (2) sečteme, dostaneme rovnici tečny ve tvaru

0

·

0

·

2


76

Tečna kružnice Varianta A 2; 4 leží na kružnici :

Ověřte, že bod

2

4

0. Potom napište rovnici

tečny v bodě A ke kružnici k.

Příklad: Leží-li bod A na kružnici k, musí jeho souřadnice vyhovovat rovnici kružnice. 4

2 4

16

2·2 4

16

4·

4

0

0

Rovnost platí, bod A proto leží na kružnici k. 1

Rovnici kružnice si upravíme na středový tvar: ;

Tečna kružnice v libovolném bodě dotyku 1

1 ·

2 ·

2

2

5

má rovnici:

5

Tečnu v bodě A najdeme tak, že do rovnice tečny dosadíme za souřadnice bodu A. 1 · 2

1

Po úpravě dostaneme:

2 ·

4

2

10

2

5 0



Varianta B

2

10

0

Varianta C Příklady k procvičení: 1.) Najděte rovnici tečny kružnice : Řešení: 3

4

25

3

13

3; 4 .

13 v bodě

2;

0

2.) Najděte rovnici tečny kružnice : Řešení: 2

25 v bodě

0

0.

;

souřadnice


3.) Určete všechna reálná čísla m, pro něž je přímka tečnou kružnice :

7

; 17

;

140

0 v jejích průsečících

169. ; 2,4

Řešení:

4.) Napište rovnice tečen kružnice : s přímkou : Řešení: 5

77

4

3. 12

219

0; 5

12

99

0.

10


78

Tečna kružnice Varianta B Napište rovnice tečen kružnice : :2

6

2

0, které jsou kolmé k přímce

0 2

Jakákoliv přímka kolmá k přímce p, má rovnici

0.

Přímka má být tečnou, to znamená, že při řešení vzájemné polohy kružnice a přímky musí vyjít jedno řešení. Řešíme tedy vzájemnou polohu přímky a kružnice tak, že vyjádříme z rovnice přímky x nebo y a dosadíme do rovnice kružnice.

Příklad: 2 2

2 4

4

5

4

2

2

0

2

0

0 0.

Kvadratická rovnice má právě jedno řešení, jestliže platí: 4·5·

4

0

Po úpravě dostaneme 16 Odtud

0

Hledané tečny jsou:

20

20

0

4

20

0

·

5

5 :

2

0; :

2

5

0.



:

2

0;

:

2

5

0.

0


79

Příklady k procvičení: 1.) Napište rovnice tečen kružnice : s přímkou : 2 Řešení:

2

2 ;

8

15

2.) Napište rovnice tečen kružnice : 3

Řešení: 2

35

3

0 , které jsou rovnoběžné

0.

2

s přímkou : 2

5

5

2

6

13, které jsou rovnoběžné

0.

0; 2

3

3.) Napište rovnice tečen kružnice

9

0. 8

15

0, víte-li, že směrnice tečny je

4

0 tak, aby odchylka tečny a osy

2. Řešení:

2

5;

2

10

4.) Napište rovnici tečny kružnice : x byla Řešení:

45°. 3


80

Tečna kružnice Varianta C 3; 0 ke kružnici :

Určete odchylku tečen, které lze sestrojit z bodu

6

0.

Příklad: 9

3

Kružnici upravíme na středový tvar:

;

Tečna této kružnice v libovolném bodě dotyku 3 ·

3

·

má rovnici:

9

Bod M je vnější bod kružnice, musí ležet na tečně, takže jeho souřadnice musí rovnici tečny vyhovovat. 3

3 ·

Protože bod

3

0·

0

;

leží na kružnici, musí jeho souřadnice vyhovovat rovnici kružnice,

9

0

a vypočítáme souřadnici .

dosadíme tedy souřadnici 9

6

3

√

9

Tečny mají tedy rovnice: :

√

0

:

√

0

Odchylku tečen vypočítáme podle vzorce pro odchylku přímek: ·

√

·

√

0,5

·



60°

60°


81

Příklady k procvičení: 1.) Vypočítejte velikost úhlu, pod kterým je vidět kružnici : z bodu Řešení:

2

6

6

0

3; 0 . 106°16´

2.) Určete odchylky tečen kružnic

:

25;

:

2

3

8

4

65

0 ve

společných bodech těchto kružnic. Řešení:

12°32´ :

3.) Najděte průsečíky kružnic

4

0;

:

4

0. V každém průsečíku určete tečny obou kružnic a úhel, který tyto tečny svírají. Řešení: 1; 2 ; 3; 2 ;

1

0;

1; 45°;

4.) Určete m tak, aby přímka : 2 2 Řešení:

6 5

5

0;

0 byla tečnou kružnice

0 a určete bod dotyku. 5√2; 1

2√2; 3

√2; 1

2√2; 3

√2

3; 45°.

4

7


82

Parabola Parabolu získáme jako průnik rotační kuželové plochy rovinou, která neprochází vrcholem kuželové plochy a je rovnoběžná právě s jednou přímkou kuželové plochy. Parabola je množina všech bodů X roviny, které mají stejnou vzdálenost od daného bodu F jako od dané přímky d, která bodem F neprochází. Bod F se nazývá ohnisko paraboly, přímka d se nazývá řídící přímka paraboly. Osa o paraboly je kolmá na řídící přímku a prochází ohniskem F paraboly a vrcholem V paraboly. Vzdálenost ohniska F od řídící přímky d se nazývá parametr paraboly a značíme ho ;

,

,

0.

Analytické vyjádření paraboly ve vrcholovém tvaru: 1.)

0; 0 , osa o paraboly splývá s osou y, ohnisko leží nad vrcholem V: 2

; rovnice řídící přímky: :

; ohnisko

0;


2.)

;

, osa o paraboly je rovnoběžná s osou y, ohnisko F leží nad vrcholem V: 2

3.)

; rovnice řídící přímky: :

; ohnisko

;

0; 0 , osa o paraboly splývá s osou y, ohnisko F leží pod vrcholem V: 2

; rovnice řídící přímky :

; ohnisko

0;

83


84

;

4.)

, osa o paraboly je rovnoběžná s osou y, ohnisko F leží pod vrcholem V: 2

5.)


; ohnisko

;

0; 0 , osa o paraboly splývá s osou x, ohnisko F leží napravo od vrcholu V: 2


; ohnisko

;0


6.)

;

, osa o paraboly je rovnoběžná s osou x, ohnisko F leží napravo od vrcholu V: 2

7.)


; ohnisko

0; 0 , osa o paraboly splývá s osou x, ohnisko F leží nalevo od vrcholu V: 2


; ohnisko

;0

;

85

86 8.)


;

, osa o paraboly je rovnoběžná s osou x, ohnisko F leží nalevo od vrcholu V: 2


; ohnisko

;

Vnitřní oblastí paraboly s ohniskem F a řídící přímkou d nazýváme množinu všech bodů X roviny, pro které platí: |

|

;

.


Parabola Varianta A Napište rovnici paraboly, která má vrchol

2; 5 a řídící přímku :

4.

Příklad:

Z obrázku je patrné, že parabola má osu rovnoběžnou s osou x, její ohnisko leží nalevo od vrcholu. Pracujeme tedy s rovnicí: 2 4

Vzdálenost vrcholu V od řídící přímky d je rovna

Dosadíme do rovnice paraboly souřadnice vrcholu a parametr a dostaneme: 8

5

2



5

8

2

87

88


Příklady k procvičení: 1.) Napište rovnici paraboly, která má vrchol Řešení:

2

40

3

4

1

4

3; 1 a řídící přímku : 3; 1 a řídící přímku :

2

4.) Určete ohnisko a řídící přímku paraboly o rovnici 2 Řešení:

3,5; 0 ; :

3.

2

3.) Napište rovnici paraboly, která má ohnisko Řešení:

5.

5

2.) Napište rovnici paraboly, která má ohnisko Řešení:

2; 5 a řídící přímku :

2,5.

3

.

1.


89

Parabola Varianta B Napište rovnici paraboly, která má vrchol v počátku, osa paraboly je shodná s osou y a parabola prochází bodem

4; 8 .

Příklad: Parabola s vrcholem v počátku a osou shodnou s osou y má rovnici: 2 Jestliže bod K leží na parabole, musí jeho souřadnice vyhovovat rovnici paraboly, proto je dosadíme. 4

2 · 8

1 2 .

Parabola má tedy rovnici


2



Příklady k procvičení: 1.) Napište rovnici paraboly, která má vrchol v počátku, osa paraboly je shodná s osou x a parabola prochází bodem Řešení:

4; 4 .

4

2.) Napište rovnici paraboly, znáte-li vrchol

4; 2 a víte-li, že prochází bodem

1; 2 a zároveň platí, že osa je rovnoběžná s osou . Řešení:

4

2

3.) Určete ohnisko, vrchol a řídící přímku paraboly dané rovnicí Řešení:

3; 0,25 ;

3; 2 ; :

9

3; 5 .

Řešení: 3

6

2

9

0.

4,25.

4.) Určete rovnici paraboly, která má osu rovnoběžnou s osou y, má vrchol prochází bodem

6

6; 2 a

90


Parabola Varianta C Napište rovnici paraboly, která prochází body

1; 2 ;

5; 2 ;

1; 5 ;

7; 5 .

Příklad:

Vidíme, že parabola má osu rovnoběžnou s osou y a ohnisko nad vrcholem, pracujeme tedy 2

s rovnicí

Máme tři neznámé – x, y, z, které vypočítáme dosazením tří bodů do rovnice paraboly. : 1

2 2

: 5

2 2

: Po umocnění: 1

2

25 1

4

1

2 4

10 10

2

2 5

2 2

Od druhé rovnice odečteme první a dostaneme: 24

8

Od druhé rovnice odečteme třetí a dostaneme: 24

12

Pokud dosadíme

3 dostaneme

6

12

0

3

6 . 2

Dopočítáme poslední neznámou dosazením za m a p do kterékoliv ze tří rovnic Hledaná parabola je

3

4

1 .



3

4

1

1.


91

Příklady k procvičení: 1.) Napište rovnici paraboly, která má osu rovnoběžnou s osou x a prochází body 0; 0 ; Řešení:

0; 4 . Ohnisko je 4

2

0; 2 .

1

2.) Napište rovnici paraboly, která prochází body

3; 8 ;

5; 0 ;

2; 2 . Její osa je

rovnoběžná s osou . Řešení:

2

4

6

3.) Napište rovnici paraboly, která prochází body

5; 3 ;

1; 3 ;

je rovnoběžná s osou . 3

2

5

4.) Určete souřadnice společných bodů přímky a paraboly, jestliže :

2

4

Řešení: 8; 2

0; :

32

0.

9; 13 . Její osa


92

Tečna paraboly ;

;

je bod dotyku,

1.) parabola:

je libovolný bod tečny. Pak tečna paraboly má rovnici:

2

tečna: 2

2.) parabola: tečna: 3.) parabola:

2

tečna: 4.) parabola:

2

tečna: Poznámka: Osa paraboly a každá přímka s ní rovnoběžná má s parabolou pouze jediný společný bod, tyto přímky však nepovažujeme za tečny paraboly.


93

Tečna paraboly Varianta A 6

Napište rovnici tečny k parabole

2

15

0 v jejím bodě

3; 3 .

Příklad: ;

Tečna této paraboly v bodě dotyku 3

3

1

3

1

2

3

Rovnici paraboly přepíšeme do vrcholového tvaru:

má rovnici:

3

Bod K je bodem dotyku, proto jeho souřadnice dosadíme za 3

3

3

3

3

3

3

tečna má rovnici

,

.

3

0



Varianta B

3

0

Varianta C Příklady k procvičení: 1.) Určete rovnici tečny paraboly Řešení: 3

7

2

8

3

4

12

. ; 2 .

10

;6 .

0

tečny v tomto bodě. Řešení: 5

7 v jejím bodě

3 v jejím bodě

2; 0 leží na parabole 2

4.) Ověřte, že bod

4

2;

0

3.) Napište rovnici tečny k parabole Řešení:

1 v jejím bodě

0

2.) Určete rovnici tečny paraboly Řešení:

5

0

3

2

0 a potom napište rovnici

94


Tečna paraboly Varianta B 6

Napište rovnici tečny paraboly :3

2

7

6

3

0 rovnoběžné s přímkou

0.

Příklad: Jakákoliv rovnoběžka s přímkou p má rovnici 3

2

0. Pokud to má být tečna, musí

při řešení vzájemné polohy paraboly a přímky vyjít jedno řešení. Vyjádříme jednu neznámou z rovnice přímky: 6

2

a dosadíme do rovnice paraboly:

7 3

6

0

Po úpravě 10 0

Musí platit:

100

4 2

2

3

3

0

0

11

Tečna má rovnici: 2

2

11

0



Varianta B

2

11

0

Varianta C

Příklady k procvičení: 1.) Napište rovnice tečen paraboly :

1

2

0, které jsou rovnoběžné s přímkou

0. 2

Řešení:

2.) Napište rovnice tečen paraboly 2 Řešení:

3

4

4

0, které jsou kolmé k přímce :

7

0.


3.) Parabola je dána rovnicí Řešení: 4

4

3

2 . Určete rovnice všech tečen paraboly, které jsou

3

2 . Určete rovnice všech tečen paraboly, které

0.

kolmé k přímce 13

0

4.) Parabola je dána rovnicí obsahují bod

3; 1 .

Řešení: 6

19

0; 2

95

7

0

96


Tečna paraboly Varianta C 0; 2 k parabole

Určete odchylku tečen, které lze sestrojit z bodu

8

0.

Příklad: ;

Tečna této paraboly v bodě dotyku

má rovnici 4

4

Bod M leží na této tečně, musí tedy jeho souřadnice vyhovovat rovnici tečny: 0·

4·

2

4

2

Bod dotyku leží na tečně a současně na parabole, musí tedy jeho souřadnice vyhovovat rovnici paraboly: 8·2 4; 2 ;

Máme tedy dva body dotyku

0

4

4; 2 .

Můžeme tedy napsat rovnice obou tečen: :4 : 4

4

8

4

8

2

2

0 0



Varianta B

:4

Varianta C

4

: 4

8

4

2

8

2

0 0

Příklady k procvičení: 1.) Rozhodněte, zda lze z bodu

8; 0 sestrojit tečny k parabole

3

4

8

0.

Řešení: nelze 16

2.) Napište rovnici tečny paraboly Řešení:

7

0; 2

3

14

0

4

12

0 procházející bodem

7; 0 .


3.) Vypočítejte odchylku tečen kružnice

225 a paraboly

16 v jejich

společných bodech. Řešení:

70°34´

4.) Určete rovnici každé tečny paraboly o rovnici odchylku 45° . Řešení: 2

2

3

0

6 , která má od osy paraboly

97

98


Elipsa Elipsu získáme jako průnik rotační kuželové plochy s rovinou, která není kolmá na osu této plochy a neprochází jejím vrcholem. Lze ji také získat jako průnik rotační válcové plochy a roviny, která není s osou válcové plochy rovnoběžná. Elipsa je množina všech bodů X v rovině, které mají od dvou pevně daných bodů E, F konstantní součet vzdáleností; toto číslo značíme 2a.

|

|

|

|

2

je střed elipsy; body E, F se nazývají ohniska elipsy, přičemž platí |

|

Bod

;

|

, kde číslo e se nazývá excentricita ( výstřednost ) elipsy. Přímka EF se nazývá

|

hlavní osa elipsy, body A, B jsou hlavní vrcholy elipsy a platí |

|

|

|

,|

Číslo a je délka hlavní poloosy. Body C, D jsou vedlejší vrcholy elipsy a platí | |

|

,|

|

|

2 .

|

2 , číslo b je délka vedlejší poloosy. Přímka CD se nazývá vedlejší osa

elipsy. Z pravoúhlého trojúhelníku SCF platí podle Pythagorovy věty: .


Analytické vyjádření elipsy: 0; 0 ; hlavní osa leží na ose x:

;

1

1

; hlavní osa je rovnoběžná s osou x:

0; 0 ; hlavní osa leží na ose y:

1

99

100

;


1

; hlavní osa je rovnoběžná s osou y:

Vnitřní oblast elipsy s ohnisky E, F a s hlavní osou délky 2 ; 2 všech bodů X roviny, pro které platí:|

|

|

|

|

| nazýváme množinu

2 .

Elipsa a přímka Přímka, která leží v rovině elipsy a má s elipsou jeden společný bod, je tečnou elipsy. Má-li přímka s elipsou dva společné body, nazývá se sečna. Vzájemnou polohu řešíme dosazením z rovnice přímky do rovnice elipsy.


101

Elipsa Varianta A 3; 2 ;

Napište rovnici elipsy, která má ohniska v bodech

3; 2 a hlavní poloosu 5.

Příklad: Střed elipsy je střed úsečky EF

0; 2 , podle polohy ohnisek vidíme, že elipsa má osu

rovnoběžnou s osou . |

|

3;

5

U elipsy platí: 3

√5

9

√25

√16

√ 4 1

Rovnice elipsy tedy je:

Příklad: Varianta A 1



Příklady k procvičení: 1.) Napište rovnici elipsy, která má ohniska v bodech

1; 8 ;

1; 0 a vedlejší poloosu 3.

3; 1 ;

5; 1 a hlavní vrchol

1

Řešení:

2.) Napište rovnici elipsy, která má ohniska v bodech 1

Řešení:

3.) Napište rovnici elipsy, která má ohniska v bodech

2; 2 ;


2; 7 . 1

Řešení:

4.) Napište rovnici elipsy, znáte-li jedno ohnisko 6; 2 ; Řešení:

7; 1 .

6; 6 . 1

3; 2 a vedlejší vrcholy


102 Elipsa

Varianta B má přímka :

Určete, pro které hodnoty parametru 1

4

s elipsou

6

0

a) právě jeden společný bod; b) dva společné body; c) žádný společný bod Vzájemnou polohu přímky a elipsy řešíme dosazením z rovnice přímky do rovnice elipsy. Podle diskriminantu rozhodujeme o počtu řešení.

Příklad: Vzájemnou polohu přímky a elipsy řešíme dosazením z rovnice přímky do rovnice elipsy. Podle diskriminantu rozhodujeme o počtu řešení. 4

6

4

1

6

· 1

4

0

1 6

0 1

a)

0

36

4· 1

b)

0

c)

0

0 4

∞; √2

0

9

1

4

2

√2

√2; ∞

√2; √2

Příklad: Varianta A Varianta B

Výsledek řešení: a) c)

Varianta C

√2; b)

∞;

√2

√2; ∞

√2; √2

Příklady k procvičení: 1.) Vyšetřete vzájemnou polohu přímky : 2 Řešení: p je sečna elipsy;

2; 2 ;

1; 4

6

0 a elipsy o rovnici 4

20.


2.) Určete, pro které hodnoty parametru 4

má přímka

s elipsou o rovnici

36 právě jeden společný bod, dva společné body, žádný společný bod.

Řešení:

3;

3; 3 ;

∞; 3

3; ∞

3.) Určete délku tětivy, kterou vytíná elipsa 2

8 na přímce

2.

Řešení: √2 4.) Vypočítejte délku tětivy elipsy o rovnici kvadrantu. Řešení: 4√3

2

18, která leží na ose I. A III.

103

104


Elipsa Varianta C Napište rovnici elipsy, která má osy rovnoběžné s osami soustavy souřadnic, střed prochází body

9; 9 ;

3; 1 a

13; 5 .

Příklad: Rovnice elipsy se středem

3; 1 je:

1

V rovnici máme dvě neznámé (a, b), které vypočítáme dosazením obou zadaných bodů do rovnice elipsy za x a . 1

1

Řešíme tedy soustavu dvou rovnic 1

1

Z první rovnice vyjádříme výraz

a dosadíme do rovnice druhé 256

36 64

36 · 144 64

1

Po úpravě dostaneme 400 ;

100

Hledaná elipsa má tedy rovnici 3 400

1 100

1


Výsledek řešení: 3 400

1 100

1


105

Příklady k procvičení: 1.) Napište rovnici elipsy, která má hlavní osu totožnou s osou x, její střed je v počátku soustavy souřadnic, hlavní poloosa má délku 4 a elipsa prochází bodem Řešení:

2√3; 1 .

1

2.) Napište rovnici elipsy, která má hlavní osu rovnoběžnou s osou x, střed

2; 1 , hlavní

poloosa je dvakrát delší než vedlejší poloosa a elipsa prochází počátkem soustavy souřadnic. 1

Řešení:

3.) Napište rovnici elipsy, která má osy shodné s osami soustavy souřadnic a prochází body 3√2; 4 ; Řešení:

6; √7 . 1

4.) Napište rovnici elipsy, která má hlavní osu totožnou s osou y, střed má v počátku soustavy souřadnic, hlavní poloosa má délku 4√2 a elipsa prochází bodem Řešení:

1

2√2; 4 .


106

Hyperbola Hyperbolu získáme jako průnik rotační kuželové plochy s rovinou, která neprochází vrcholem kuželové plochy. Úhel, který svírá rovina s osou kužele, je menší než úhel, který svírají osa kužele a strana kužele. Hyperbola je množina všech bodů X v rovině, které mají od dvou daných bodů E, F roviny konstantní absolutní hodnotu rozdílu vzdáleností; toto číslo značíme 2a. Bod

;

je střed hyperboly, body ,

Platí: |

|

|

,

|

|

|

; |

hyperbola nemá, body , ,|

|

je excentricita (výstřednost) hyperboly.

se nazývá hlavní osa hyperboly, body ,

Přímka Platí: |

|

jsou ohniska hyperboly.

2 , číslo

|

2 ; číslo

jsou hlavní vrcholy hyperboly.

je délka hlavní poloosy. Vedlejší vrcholy

vnímáme jako pomocné body, pro které platí: |

je délka vedlejší poloosy, přímka

|

|

|

se nazývá vedlejší osa

hyperboly. Mezi čísly , , platí vztah odvozený na základě Pythagorovy věty:

Hyperbola má dvě asymptoty, které procházejí středem hyperboly.

, takže


Analytické vyjádření hyperboly a jejích asymptot: 1.)

0; 0 ; hlavní osa leží na ose x

1 ; rovnice asymptot:

:

;

:

107

108 2.)


;

; hlavní osa je rovnoběžná s osou x


:

;

:


3.) S 0; 0 ; hlavní osa leží na ose y


:

;

:

109

110


4.) S

;

; hlavní osa je rovnoběžná s osou y 1;

rovnice asymptot:

:

;

:

Speciálním případem je rovnoosá hyperbola. Platí: Vnitřní oblastí jedné větve hyperboly s ohnisky , nazýváme množinu všech bodů

a hlavní osou délky 2 2

roviny, pro které platí |

druhé větve téže hyperboly nazýváme množinu všech bodů |

|

|

|

2 .

√2

√

|

|

|

√2. |

|

2 ; vnitřní oblastí

roviny, pro které platí


Hyperbola Varianta A Najděte střed, ohniska, vrcholy a rovnice asymptot hyperboly: 16

25

150

224

959

0.

Příklad: Rovnici hyperboly upravíme na středový tvar 25

6

16

14

959

25

3

16

7

959

25

3

16

7

400

225

784

1 Z rovnice hyperboly nyní určíme velikost hlavní poloosy, vedlejší poloosy a excentricity: 16

4;

25

5;

√16

25

√41

Souřadnice vrcholů a ohnisek tedy jsou: 1; 7 ;

7; 7 ;

3; 7 ;

7

Asymptoty:

3

√41; 7 ;

3

√41; 7 .

3



Varianta B

√41; 7 . Asymptoty:

Varianta C

1; 7 ;

7; 7 ;

7

3; 7 ;

3

√41; 7 ;

3

3

Příklady k procvičení: 1.) Najděte střed, ohniska, vrcholy a rovnice asymptot hyperboly: 9

4

5

0

Řešení: 5; 0 ; Asymptoty:

1; 0 ;

2; 1 ; 2

2; 1 ;

2; 0 ;

2

√10; 0 ;

2

√10; 0 .

111


112

2.) Najděte střed, ohniska, délku obou poloos, excentricitu a rovnice asymptot hyperboly: 4

1

2

16

Řešení: 1; 2 ;

4;

2;

2√5;

1

2√5; 2 ;

1

2√5; 2 ;

2

1


3

1

Řešení: 0; 3 ;

√

;

1;

√

;

√

;3 ;

√

;3 ;

3

√2


9

Řešení:

36 0; 0 ;

3;

2;

√13;

0; √13 ;

0; √13 ;


113

Hyperbola Varianta B Napište rovnici hyperboly, která má ohniska

2; 1 ;


4; 1 .

Příklad: 2; 1 .

Určíme souřadnice středu hyperboly, jde o střed úsečky Vzdálenost bodů , je velikost hlavní poloosy excentricity

2, vzdálenost bodů , je délka

4, takže délka vedlejší poloosy je

√12.

Rovnice hyperboly tedy je: 2

1 12

4

1


1


Varianta C Příklady k procvičení: 1.) Napište rovnici hyperboly, která má ohniska v bodech

2; 0 ;

18; 0 a hlavní poloosu

o délce 8. Řešení:

1

2.) Napište rovnici hyperboly s ohnisky Řešení:

1; 1 ;

1

3.) Napište rovnici rovnoosé hyperboly s ohnisky Řešení:

6; 2 ;

14; 2 .

1

4.) Napište rovnici hyperboly, která má vrcholy 5; 3 . Řešení:

1; 11 a vedlejší poloosou o délce 4.

1

0; 3 ;

4; 3 a jedno ohnisko

114


Hyperbola Varianta C Napište rovnici hyperboly, která má osy rovnoběžné s osami soustavy souřadnic, střed 2; 1 a prochází body

30; 23 ;

6; 5 .

Příklad: Dosadíme do středové rovnice hyperboly souřadnice středu: 2

1

1

, proto jeho souřadnice musí vyhovovat rovnici hyperboly: 30

2

23

1

1

784

576

1

, proto jeho souřadnice musí také vyhovovat rovnici hyperboly: 64

36

1

Řešíme tedy soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. Z druhé rovnice vyjádříme 36

64

1

A dosadíme do rovnice první 784

16

64

1

1

Po roznásobení závorky 784

1024

16

1

240

15

Rovnice hledané hyperboly tedy je 2 16

1 12

1



1

16

12


115

Příklady k procvičení: 1.) Napište rovnici hyperboly, která prochází bodem 0; 4√6 ;

0; 4√6 . 1

Řešení:

2.) Napište rovnici hyperboly, víte-li, že její asymptoty :

2 ;

:

2 a jeden vrchol je

;

mají rovnice

;

mají rovnice

3; 0 .

1

Řešení:

3.) Napište rovnici hyperboly, víte-li, že její asymptoty ,

30; 24 a má ohniska v bodech

:

2

3 a jedno její ohnisko je

2; 0 .

1

Řešení:

4.) Napište rovnici hyperboly, která prochází počátkem soustavy souřadnic a její asymptoty jsou Řešení:

:3

9

0; 1

:3

3

0.

116


Elipsa, hyperbola, přímka, tečny Elipsa a přímka Přímka, která leží v rovině elipsy, je tečnou elipsy, má-li s elipsou jeden společný bod. Má-li přímka s elipsou dva společné body, je sečnou elipsy.

Tečna elipsy

1 v jejím bodě

;

má rovnici 1

Tečna elipsy

1 v jejím bodě

;

má rovnici

1

Hyperbola a přímka Asymptota nemá s hyperbolou žádný společný bod, přímka od ní různá, ale s ní rovnoběžná, protíná hyperbolu právě v jednom bodě. Každá další přímka buď protíná hyperbolu ve dvou různých bodech, pak je sečna, nebo má s hyperbolou společný právě jeden bod, pak jde o tečnu, nebo nemá s hyperbolou žádný společný bod.

Tečna hyperboly

1 v jejím bodě

;

má rovnici

1


Tečna hyperboly

1 v jejím bodě

;

má rovnici

1

Tečna hyperboly

1 v jejím bodě

;

má rovnici

1

Tečna hyperboly

1 v jejím bodě

;

má rovnici

1

117

118


Elipsa, hyperbola, přímka, tečny Varianta A Určete, pro které hodnoty parametru

má daná přímka s hyperbolou

a) právě jeden společný bod b) dva společné body c) žádný společný bod :

2; :

1

Příklad: O počtu společných bodů rozhoduje diskriminant při řešení kvadratické rovnice, kterou dostaneme při řešení vzájemné polohy přímky a hyperboly. Z rovnice přímky tedy dosadíme do rovnice hyperboly. 2

1

Po úpravě 4

4

1

1

4

Vyjádříme diskriminant 16

20 1 0.

a) Přímka má s hyperbolou jeden společný bod, pokud je 16

20 20

20 0

4

20

0

4 5 √5 0.

b) Přímka má s hyperbolou dva společné body, pokud je 20

0

4 5

√5; √5 \ 1 0.

c) Přímka nemá s hyperbolou společný bod, pokud je 20

4

0 5

∞; √5 Poznámka: pro

√5; ∞

1 jde o asymptotickou přímku.

5

0


119


Výsledek řešení:a)

Varianta C

c)

∞;

√5

√5; √5 \ 1 ;

√5 ; b) √5; ∞

Příklady k procvičení: 1.) Vyšetřete vzájemnou polohu přímky : 2 Řešení:

je asymptotická přímka hyperboly,

4

0 a hyperboly 4

;

2.) Určete souřadnice všech společných bodů hyperboly :3

4

12

4

:9

16

144 a přímky

0.

Řešení: 4; 0 3.) Určete souřadnice společných bodů hyperboly :2

: 64

81

5184 a přímky

0.

Řešení: 4.) Určete souřadnice společných bodů přímky . 3 3

5

120.

Řešení: 5; 3 ;

;

4

3

0 a elipsy

0.

120


Elipsa, hyperbola, přímka, tečny Varianta B Ověřte, že bod 1; 0 ; :

leží na elipse a potom napište rovnici tečny v bodě 2

4

5

elipsy.

0

Příklad: Má-li bod

ležet na elipse, musí jeho souřadnice vyhovovat rovnici elipsy.

Po dosazení dostaneme 1 Bod

2·0

4·1

5

0

je tedy bodem elipsy.

Rovnici elipsy nyní upravíme na tvar 2

2

9 ;

Tečna této elipsy v libovolném bodě dotyku o souřadnicích 2

2

2 ·0

9

2

má rovnici

9

Dosadíme souřadnice bodu dotyku 2 1

2

3

6

9

Hledaná tečna má rovnici 1

0



Varianta B

1

0

Varianta C Příklady k procvičení: 1.) Ověřte, že bod

leží na hyperbole a potom napište rovnici tečny v bodě 12

2; 2 ; : 4 Řešení: 4

6

0

0

hyperboly.


2.) Napište rovnice tečen elipsy :2

3

:

9

5

0 , která je rovnoběžná s přímkou

0.

Řešení: 3.) Napište rovnice tečen hyperboly

:

4

12, které jsou kolmé k přímce :

0. Řešení:

3

4.) Určete délku tětivy, kterou vytíná hyperbola : Řešení: 4√2

2

4 na přímce

2.

121


122

Elipsa, hyperbola, přímka, tečny Varianta C 0; 0 k hyperbole

Určete odchylku tečen, které lze sestrojit z bodu 4

6

3

0.

Příklad: Rovnici hyperboly upravíme na tvar 3

4 ;

Libovolná tečna této hyperboly v bodě dotyku 3 Bod

12

3

má rovnici

4

12

má ležet na tečně hyperboly, musí tedy jeho souřadnice vyhovovat při dosazení za

, . 0 Hledaný bod dotyku

3

3

1;

4 ·0

12

1

leží na hyperbole, jeho souřadnice tedy musí vyhovovat

rovnici hyperboly 1

4

3

12

1

Můžeme tedy napsat rovnice tečen: : :

3 3

1 1

3 3

4·1· 4·

1

12 12

Po úpravě :

0

:

0

Odchylka tečen je 90°, protože vidíme podle normálových vektorů obou přímek, že přímky jsou na sebe kolmé.



90°.


123

Příklady k procvičení: 1.) Napište rovnici tečny hyperboly 6

4

1 tak, aby odchylka tečny a osy x byla 60°.

√3

Řešení:

0

2.) Pro která reálná čísla m přímka o rovnici a) protíná hyperbolu o rovnici 4

25

100

b) dotýká se jí c) nemá s ní společné body? Řešení: a)

∞; √21

b)

√21; √21

c)

√21; √21

√21; ∞

3.) Vypočítejte odchylku tečen hyperboly o rovnici 12; Řešení:

. 10°28´

4.) Napište rovnici tečny elipsy 3 Řešení:

64, které procházejí bodem

√

2√10

36 tak, aby odchylka tečny a osy

byla 30°.

124


Kulová plocha Kulová plocha (sféra) je množina všech bodů v prostoru, které mají od daného bodu S (středu kulové plochy) danou vzdálenost r, tzv. poloměr kulové plochy. Má-li střed kulové plochy souřadnice ; ;

; ;

a poloměr kulové plochy je r, pak bod

je bodem kulové plochy právě tehdy, jestliže platí:

Koule je množina všech bodů v prostoru, které mají od daného bodu S (středu koule) vzdálenost menší nebo rovnu danému číslu, tzv. poloměru koule. Má-li střed koule souřadnice

; ;

a poloměr koule je r, pak bod

; ;

je bodem

koule právě tehdy, jestliže platí:

Vzájemná poloha roviny a kulové plochy (koule) Průnikem kulové plochy (koule) a roviny je kružnice (kruh), bod nebo prázdná množina. Závisí to na vzdálenosti roviny od středu kulové plochy (koule). Je-li vzdálenost roviny od středu kulové plochy (koule) větší než její poloměr, je průnikem prázdná množina.


125

Je-li vzdálenost roviny od středu kulové plochy (koule) menší než její poloměr, průnikem je kružnice (kruh). Je-li vzdálenost roviny od středu kulové plochy (koule) rovna jejímu poloměru, průnikem je bod, který nazýváme bod dotyku. Rovinu v tomto případě nazýváme tečná rovina.

Vzájemná poloha přímky a kulové plochy Přímka má s kulovou plochou nejvýše dva společné body. Vzájemná poloha závisí na vzdálenosti přímky od středu kulové plochy. Je-li vzdálenost přímky od kulové plochy menší než její poloměr, má přímka s kulovou plochou dva společné body. Je-li vzdálenost přímky od středu kulové plochy větší než její poloměr, je průnikem prázdná množina. Je-li vzdálenost přímky od středu kulové plochy rovna jejímu poloměru, je průnikem jediný bod, který nazýváme bod dotyku. Přímka je tečnou kulové plochy.

126


Vzájemná poloha přímky a koule Je-li vzdálenost přímky od středu koule menší než její poloměr, je průnikem úsečka. Je-li vzdálenost přímky od středu koule větší než její poloměr, je průnikem prázdná množina. Je-li vzdálenost přímky od středu koule rovna poloměru koule, je průnikem jediný bod, který nazýváme bod dotyku.


127

Kulová plocha Varianta A Určete všechny hodnoty parametru 4

2

, pro něž rovnice

0 vyjadřuje kulovou plochu.

Příklad: Rovnici upravíme na středový tvar 2

1 2

4 1

1

5

Rovnice bude rovnicí kulové plochy právě tehdy, jestliže pravá strana rovnice bude větší než 0

5

0

5



5

Varianta C

Příklady k procvičení: 1.) Určete střed a poloměr kulové plochy o rovnici

6

10

4

7

4

22

0.

Také určete průsečíky os souřadnic , , s kulovou plochou. Řešení: 0; 5

3; 5; 2 ; √3; 0 ; 0; 5

4; průsečík s osou x a s osou neexistuje √3

2.) Určete střed a poloměr kulové plochy o rovnici určete průsečíky souřadnicových os , , s kulovou plochou. Řešení:

2; 3,5; 1,5 ;

18,5; 0; 0; 0 ; 4; 0; 0 ; 0; 7; 0 ; 0; 0; 3

3

0. Také

128


10

3.) Určete střed a poloměr kulové plochy o rovnici

5

4

2

0.

Také určete průsečíky souřadnicových os , , s kulovou plochou. Řešení: 0; 0,5 5

5; 2,5; 2 ;

37,25;

√33 ; 0 ; 0; 0,5 5

5

3√3; 0; 0 ;

√33 ; 0 ; 0; 0; 2

5

3√3; 0; 0 ;

√6 ; 0; 0; 2 12

4.) Určete střed a poloměr kulové plochy o rovnici

√6 40

Také určete průsečíky souřadnicových os , , s kulovou plochou. Řešení: 0; 20

6; 20; 1,5 ;

442,25; 6

2√101; 0 ; 0; 20

2√10; 0; 0 ; 6

2√10; 0; 0 ;

2√101; 0 ; 0; 0; 4 ; 0; 0; 1

3

4

0.


129

Kulová plocha Varianta B 1; 2; 3 a prochází bodem

Napište rovnici kulové plochy, která má střed

3; 1; 1 .

Pak určete průsečíky této plochy s přímkami, které procházejí bodem A a jsou rovnoběžné s osami soustavy souřadnic.

Příklad: Určíme poloměr kulové plochy jako vzdálenost bodů A a S. |

|

1

2

3

1

3

1

9

√16

16

√41

Rovnice kulové plochy tedy je 1

2

3

41

Přímka, která prochází bodem A a je rovnoběžná s osou x, má parametrické vyjádření 3

;

1;

1;

Vzájemnou polohu kulové plochy a přímky řešíme dosazením parametrických rovnic přímky do rovnice kulové plochy 3

1

1 8

2

16

1 9

8

0

8

0

0; 3; 1; 1

Průsečíky mají souřadnice:

16

3

41

41

8 ;

5; 1; 1

Přímka, která prochází bodem A a je rovnoběžná s osou y, má rovnici 3;

1

;

1;

Dosadíme do rovnice kulové plochy 3

1

1

16

9

2 6

16 6

0

6

0

0; Průsečíky mají souřadnice.

3; 1; 1

1

3 41

6 ;

3; 5; 1

41

130


Přímka, která prochází bodem A a je rovnoběžná s osou z, má rovnici 3;

1;

1

1

2

1

9

16

;

Dosadíme do rovnice kulové plochy 3

1 16

8 8

3; 1; 1

41

41 0

0; Průsečíky mají souřadnice:

3

8 ;

3; 1; 7



Varianta B

1

2

3

41

Varianta C Příklady k procvičení: 3

1.) Určete průsečíky kulové plochy dané rovnicí která prochází bodem

2

38 a přímky,

0; 3; 1 a je rovnoběžná se souřadnicovou osou z.

Řešení: 0; 3; 2 ; 0; 3; 2 2.) Jsou dány body rovnicí

2; 1; 0 ;

2; 7; 4 . Určete společné body kulové plochy dané

2

3

38 a polopřímky BA.

Řešení: 0; 3; 2 ; 5; 7; 3 3.) Je dána přímka :

4,

1

6 ,

4

6 ;

6; 6; 5 . Najděte rovnici

a bod

kulové plochy, která má střed v bodě A a s přímkou p má právě jeden společný bod. Řešení:

6

6

5

108 4

4.) Mezi kulovými plochami, které mají rovnice 0;

určete ty, které mají s přímkou

jeden společný bod. Řešení:

26

7

5 ;

3 3

2 ;

1 6

;

právě


131

Kulová plocha Varianta C Určete rovnice kulové plochy, která prochází body 2; 1; 0 ;

5; 0; 4 ;

0; 3; 2 ;

3; 6; 6 . Určete rovnice tečných rovin kulové

plochy v bodech A, B a odchylku těchto tečných rovin.

Příklad: Do středové rovnice kulové plochy budeme postupně dosazovat jednotlivé body. 2

1

(1)

5

4 3

(2) 2

3

(3)

6

6

(4)

Po umocnění a sečtení 4

2

5

10

8 6

6

41

4 12

(1) (2)

13

(3)

12

81

(4)

Od rovnice (1) odečteme rovnici (2) 6

2

8

36

3

4

18


4

4

8

2


14

12

76

7

6

38

Dostáváme soustavu tří rovnic o třech neznámých, kterou vyřešíme Po vyřešení soustavy dostaneme 0,

2,

4

Dopočítáme poloměr kulové plochy dosazením do některé z rovnic s výrazem Kulová plocha má tedy rovnici 2 Normálový vektor tečné roviny v bodě A je:

4

29 2; 3; 4

29


132

Tečná rovina má tedy rovnici 2

3

4

7

0 5; 2; 0

Normálový vektor tečné roviny v bodě B je: Tečná rovina má tedy rovnici 5

2

25

0

Odchylka tečných rovin je odchylka normálových vektorů 10

6

√29 · √29

56°31´


56°31´




1.) Určete společné body kulové plochy ;

5; 6; 16 ;

Řešení:

6

2

9

0 a přímky

7; 2; 12 .

1; 2; 2 ;

4; 0; 5

2.) Mezi rovinami, které mají rovnice 2

3

2

0;

4

dotýkají kulové plochy o rovnici

2

určete ty, které se

0. (Využijte střed a poloměr

kulové plochy). Řešení:

2

√85 4

3.) Určete tečné roviny kulové plochy o rovnici v jejích bodech

1; 1; 3 ;

Řešení: 5

2

3

2; 1; 0 ;

14

0; 6 4

4.) Je dána kulová plocha 24

0.

1

38

1; 3; 1 . 11

0; 3

6

10

rovnici roviny, která se dotýká dané kulové plochy v bodě A. Řešení: 6

2 5

2

0 a bod

14

0

4; 4; 4 . Určete

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

Recommend Documents