Marcel Šebek Algebraická entropie

Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzik´aln´ı fakulta

´ RSK ˇ ´ PRACE ´ BAKALA A

ˇ Marcel Sebek Algebraick´ a entropie Katedra algebry

ˇ Vedouc´ı bakal´aˇrsk´e pr´ace: Mgr. Jan Zemliˇ cka, Ph.D. Studijn´ı program: Matematika, obecn´a matematika

2010

ˇ Dˇekuji vedouc´ımu pr´ace Mgr. Janu Zemliˇ ckovi, Ph.D. za ˇcas, kter´ y vˇenoval konzultac´ım, a za cenn´e rady, kter´e pˇrispˇely ke zd´arn´emu dokonˇcen´ı pr´ace.

Prohlaˇsuji, ˇze jsem svou bakal´aˇrskou pr´aci napsal samostatnˇe a v´ yhradnˇe s pouˇzit´ım citovan´ ych pramen˚ u. Souhlas´ım se zap˚ ujˇcov´an´ım pr´ace a jej´ım zveˇrejˇ nov´an´ım. ˇ Marcel Sebek

V Praze dne 27. 5. 2010

2

Obsah ´ 1 Uvod 1.1 Motivace . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Znaˇcen´ı, definice, z´akladn´ı vlastnosti 1.3 Pouˇzit´a tvrzen´ı . . . . . . . . . . . . 1.4 Dalˇs´ı vlastnosti Abelov´ ych grup . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

5 5 7 9 9

2 Algebraick´ a entropie pro Abelovy grupy 2.1 Definice entropie . . . . . . . . . . . . . 2.2 Z´akladn´ı vlastnosti entropie . . . . . . . 2.3 Indukovan´e endomorfismy . . . . . . . . 2.4 Grupy nekoneˇcn´e entropie . . . . . . . . 2.5 Endomorfismy s nulovou entropi´ı . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

11 11 15 19 21 24

. . . .

3 Algebraick´ a entropie pro moduly

27

4 Z´ avˇ er

29

Literatura

31

3

N´azev pr´ace: Algebraick´a entropie ˇ Autor: Marcel Sebek Katedra (´ ustav): Katedra algebry ˇ Vedouc´ı bakal´aˇrsk´e pr´ace: Mgr. Jan Zemliˇ cka, Ph.D. e-mail vedouc´ıho: [email protected] Abstrakt: N´apln´ı pr´ace je algebraick´a entropie Abelov´ ych grup a jejich endomorfism˚ u. Jsou dok´az´any z´akladn´ı vlasnosti, mezi nˇeˇz patˇr´ı omezen´ı na moˇzn´e hodnoty entropie Abelovy grupy. Ta m˚ uˇze b´ yt bud’ nulov´a, nebo nekoneˇcn´a, odtud pramen´ı klasifikace Abelov´ ych grup podle jejich algebraick´e entropie. Pr´ace se zab´ yv´a tˇr´ıdou Abelov´ ych grup nekoneˇcn´e entropie, konkr´etnˇe zkoum´a postaˇcuj´ıc´ı podm´ınky pro existenci endomorfismu nekoneˇcn´e entropie. Je dok´az´ano nˇekolik alternativn´ıch charakterizac´ı endomorfism˚ u nulov´e entropie. Zm´ınˇena je sˇc´ıtac´ı vˇeta a je dok´az´an jeden jej´ı speci´aln´ı pˇr´ıpad. Kr´atce je zm´ınˇeno zobecnˇen´ı algebraick´e entropie pro moduly. Kl´ıˇcov´a slova: entropie, Abelova grupa, endomorfismus

Title: Algebraic entropy ˇ Author: Marcel Sebek Department: Department of Algebra ˇ Supervisor: Mgr. Jan Zemliˇ cka, Ph.D. Supervisor’s e-mail address: [email protected] Abstract: The topic of the thesis is algebraic entropy of Abelian groups and their endomorphisms. Basic properties are proved, including the property that an Abelian group must have either zero or infinite algebraic entropy, giving raise to the entropy-based classification of Abelian groups. The thesis analyzes the class of Abelian groups of infinite entropy, for which sufficient conditions for existence of endomorphisms of infinite entropy are investigated. A few alternative characterizations of endomorphisms of zero entropy are proved. The addition theorem is mentioned and a special case is proved. A short note about generalized algebraic entropy for modules is made. Keywords: entropy, Abelian group, endomorphism

4

Kapitola 1 ´ Uvod Entropie je pojem vyskytuj´ıc´ı se v rozliˇcn´ ych podob´ach v mnoha vˇedeck´ ych oborech. N´as bude zaj´ımat jej´ı algebraick´a verze, kter´a u ´zce souvis´ı s entropi´ı topologickou. Obˇe se poprv´e objevily v textu [AKM] v roce 1965. O algebraick´e entropii je zde vˇsak pouze kr´atk´a zm´ınka. Podrobnˇeji se t´ematem zab´ yval aˇz ˇcl´anek [W] z roku 1975, kde jsou dok´az´any z´akladn´ı vlastnosti algebraick´e entropie pro endomorfismy Abelov´ ych grup a je uk´az´ana souvisˇ lost s topologickou entropi´ı. Cl´anek [P] upravuje definici entropie tak, aby mˇela v´ yznam i pro endomorfismy beztorzn´ıch a sm´ıˇsen´ ych grup. Pro torzn´ı grupy pˇritom obˇe definice spl´ yvaj´ı. N´asleduje dvojice ˇcl´ank˚ u [DGSZ] a [SZ] z roku 2009. Prvn´ı z nich prohlubuje teorii algebraick´e entropie Abelov´ ych grup v t´e podobˇe, jak je definovan´a ve [W], druh´ y definici entropie zobecˇ nuje pro moduly a podrobnˇeji zkoum´a tzv. hodnostn´ı entropii Abelov´ ych grup. Ta je v jist´em smyslu du´aln´ı k algebraick´e entropii definovan´e ve [W], nebot’ m´a smysl pouze pro beztorzn´ı grupy. Obsahem t´eto pr´ace je pˇrehlednˇe zpracovat z´akladn´ı poznatky z [DGSZ]. Sp´ıˇse informativnˇe je tak´e zm´ınˇeno zobecnˇen´ı entropie z ˇcl´anku [SZ]. Vˇetˇsina vˇet a d˚ ukaz˚ u v tomto textu je pˇrevzata z [DGSZ] a [SZ] bez v´ yslovn´eho odkazu, d˚ ukazy jsou vˇsak zpracov´any podrobnˇeji a element´arnˇeji.

1.1

Motivace

V t´eto sekci si neklademe za c´ıl naˇse u ´vahy korektnˇe matematicky formulovat, nˇekter´e pojmy jsou pouˇz´ıv´any velmi volnˇe nemaj´ı ˇza´dn´ y pˇresn´ y smysl. ˇ Cten´aˇri nemaj´ıc´ımu v oblibˇe neform´aln´ı u ´vahy nezb´ yv´a neˇz vyˇckat na prvn´ı 5

definici. Jak ale uvid´ıme ve zbytku pr´ace, vˇse lze matematicky precizovat. Algebraick´a entropie endomorfismu Abelovy grupy m´a vyjadˇrovat jakousi rozp´ınavost tohoto endomorfismu. Jin´ ymi slovy mˇeˇr´ı, jak rychle endomorfismus pˇri opakovan´em aplikov´an´ı nafukuje“ mal´e ˇca´sti grupy. My budeme ” za mal´e ˇc´asti povaˇzovat koneˇcn´e podgrupy. Zamysleme se nad t´ım, jak´e vlastnosti by rozumn´a definice entropie mˇela m´ıt. Mˇela by to b´ yt vlastnost asymptotick´a, tedy by nemˇelo z´aleˇzet na koneˇcnˇe mnoha poˇc´ateˇcn´ıch iterac´ıch. Proto se zd´a pˇrirozen´e, kdyˇz vyjde nulov´a pro koneˇcn´e grupy. Uvaˇzujme tedy nˇejak´ y jednoduch´ y nekoneˇcn´ y pˇr´ıklad — aditivn´ı grupu cel´ ych ˇc´ısel Z. Vˇsechny endomorfismy t´eto grupy jsou urˇceny obrazem gener´atoru 1, tedy jsou tvaru x 7→ kx. Je vidˇet, ˇze takov´ y endomorfismus ˇza´dnou podgrupu Z nezvˇetˇs´ı, proto bychom r´adi, pokud by mˇel entropii 0. K tomuto z´avˇeru m˚ uˇzeme doj´ıt i jinak. Grupa Z m´a jedinou koneˇcnou podgrupu a to je nulov´a grupa. Tato vlastnost je spoleˇcn´a vˇsem beztorzn´ım grup´am, proto pro nˇe vych´az´ı entropie nulov´a. Kdybychom uvaˇzovali m´ısto koneˇcn´ ych podgrup koneˇcn´e podmnoˇziny, nulov´a entropie uˇz by vyj´ıt nemusela. Touto variantou se zab´ yv´a [P]. Uvaˇzme jin´ y pˇr´ıklad nekoneˇcn´e grupy, spoˇcetn´ y direktn´ı souˇcet grup Zn pro jedno konkr´etn´ı n. Snadno nahl´edneme, ˇze zobrazen´ı, kter´e prvku dopln´ı zleva 0 a ostatn´ı sloˇzky o jedno m´ısto posune, je korektnˇe definovan´ y endomorfismus. Vid´ıme, ˇze tento endomorfismus kaˇzdou podgrupu zvˇetˇsuje donekoneˇcna a asymptoticky pˇribliˇznˇe konstantn´ı rychlost´ı, tj. o jednu sloˇzku doprava. Proto se zd´a rozumn´e, aby mˇel tento endomorfismus entropii kladnou a jej´ı hodnota z´avisela jednak na tom, o kolik m´ıst se pˇri jedn´e iteraci grupa zvˇetˇs´ı, jednak na velikosti Zn . Jak´ y smysl by mˇelo m´ıt tvrzen´ı, ˇze nˇejak´ y endomorfismus m´a entropii nekoneˇcnou? Zd´a se rozumn´e poˇzadovat, aby ke kaˇzd´e hodnotˇe d existovala podgrupa, na kter´e je rychlost nafukov´an´ı alespoˇ n d. Existuje v˚ ubec takov´ y endomorfismus? Nab´ız´ı se vyuˇz´ıt pˇredchoz´ı pˇr´ıklad, oznaˇcme Gn grupu a φn endomorfismus z tohoto pˇr´ıkladu a vezmˇeme direktn´ı souˇcet grup Gn pˇres vˇsechna n ∈ N. Na t´eto grupˇe definujme endomorfismus φ po sloˇzk´ach“ ” jako direktn´ı souˇcet endomorfism˚ u φn . Entropie na jednotliv´ ych sloˇzk´ach nen´ı omezena ˇz´adnou hodnotou, proto by celkov´a entropie mˇela b´ yt ∞. V tomto pˇr´ıkladu je vidˇet jeˇstˇe jeden obecn´ y princip. Entropie direktn´ıho souˇctu je souˇcet entropi´ı sˇc´ıtanc˚ u. Je ovˇsem nutn´e, aby tento endomorfismus byl tak´e direktn´ım souˇctem, tj. jeho restrikce na direktn´ı sˇc´ıtanec byla endomorfismem tohoto direktn´ıho sˇc´ıtance. Vˇsimnˇeme si, ˇze rozklad Gn na grupy Zn tento poˇzadavek nesplˇ nuje, entropii φn proto nelze poˇc´ıtat 6

t´ımto zp˚ usobem. To vˇsak neznamen´a, ˇze by neˇsla grupa G rozloˇzit jin´ ym ˇ zp˚ usobem, kter´ y jiˇz poˇzadavk˚ um vyhovuje. Casem uvid´ıme, ˇze to moˇzn´e je, pokud n nen´ı prvoˇc´ıslo. P˚ ujde o rozklad na tzv. p-komponenty. Lze podat axiomatickou definici entropie, vlastnosti v n´ı poˇzadovan´e se pˇr´ıliˇs neshoduj´ı s tˇemi, kter´e jsou zm´ınˇeny zde. Axiomatick´a definice vˇsak pˇr´ıliˇs nemotivuje konstruktivn´ı definici, pˇrenech´ame ji proto aˇz do z´avˇeru pr´ace. N´asleduje soupis pouˇz´ıvan´ ych pojm˚ u, znaˇcen´ı a z´akladn´ıch vlasnost´ı zkouman´ ych objekt˚ u.

1.2

Znaˇ cen´ı, definice, z´ akladn´ı vlastnosti

Vˇsechny grupy v tomto textu jsou Abelovy, tento pˇredpoklad nebude vˇzdy P d˚ uslednˇe uv´adˇen. Pouˇz´ıv´a se aditivn´ı z´apis. A + B resp. i∈I Ai bude znaˇcit spojen´ı grup. Pro φ : G → H homomorfismus a H ≤ G podgrupu bude φH oznaˇcovat obraz grupy H pˇri homomorfismu φ. Mnoˇzina F (G) bude oznaˇcovat mnoˇzinu vˇsech koneˇcn´ ych podgrup grupy G. Symbolem F bude vˇzdy m´ınˇena nˇejak´a koneˇcn´a grupa, tento pˇredpoklad nemus´ı b´ yt explicitnˇe uveden. Mnoˇzina pˇrirozen´ ych ˇc´ısel bez nuly resp. s nulou bude oznaˇcena N resp. N0 . Pro n ∈ N budeme definovat G[n] = { g ∈ G | ng = 0 } a ˇ ad prvku oznaˇcuje mohutnost nG = { ng | g ∈ G }, jde zˇrejmˇe o podgrupy. R´ cyklick´e grupy generovan´e t´ımto prvkem. Grupa je omezen´a, pokud existuje n ∈ N takov´e, ˇze vˇsechny prvky maj´ı ˇra´d nejv´ yˇse n, v tomto pˇr´ıpadˇe budeme tak´e ps´at, ˇze je grupa n-omezen´a. Definice 1.1. Bud’ p prvoˇc´ıslo. Abelova grupa G se naz´ yv´a (i) torzn´ı, pokud kaˇzd´ y jej´ı prvek m´a koneˇcn´ y ˇr´ad, (ii) bez torze, pokud kaˇzd´ y jej´ı nenulov´ y prvek m´a nekoneˇcn´ y ˇr´ad, (iii) p-grupa, pokud kaˇzd´ y jej´ı prvek m´a ˇr´ad pl pro nˇejak´e l ∈ N0 . Torzn´ı ˇc´ast´ı Abelovy grupy G rozum´ıme mnoˇzinu vˇsech prvk˚ u koneˇcn´eho ˇra´du, oznaˇc´ıme ji t (G). Bud’ p prvoˇc´ıslo, oznaˇcme tp (G) mnoˇzinu prvk˚ u ˇra´du mocniny p a nazveme ji p-komponenta G. Obˇe tyto mnoˇziny jsou zˇrejmˇe podgrupy a p-komponenty jsou p-grupy. Grupa G se naz´ yv´a (i) divizibiln´ı, pokud plat´ı G = nG pro kaˇzd´e n ∈ N, 7

(ii) redukovan´a, pokud nem´a ˇza´dnou divizibiln´ı podgrupu kromˇe nulov´e. Spojen´ı divizibiln´ıch grup je opˇet divizibiln´ı grupa, proto existuje maxim´aln´ı divizibiln´ı podgrupa grupy G, kterou budeme naz´ yvat divizibiln´ı ˇc´ast G. Pro prvoˇc´ıslo p poloˇzme Z (p∞ ) = { exp (2πım/pn ) | m, n ∈ N }, kde tuto grupu ch´apeme jako podgrupu multiplikativn´ı grupy C∗ . Z (p∞ ) se naz´ yv´a Pr¨ uferova grupa. Jde zˇrejmˇe o p-grupu. Za okruh Zn budeme povaˇzovat faktorokruh Z/nZ. Prvky tohoto okruhu ztotoˇzn ˇujeme s cel´ ymi ˇc´ısly { 0, . . . , n − 1 }. Pokud je n prvoˇc´ıslo, jde o tˇeleso. Bud’ nyn´ı p prvoˇc´ıslo. Okruh p-adick´ ych cel´ ych ˇc´ısel definujeme rovnost´ı Jp = Zp [[p]], neboli Jp je okruh form´aln´ıch mocninn´ ych ˇrad nad Zp jedn´e neurˇcit´e p. Okruh Zpn je izomorfn´ı Jp /pk Jp . V tomto izomorfismu odpov´ıdj´ı prvk˚ um Zpn jejich vyj´adˇren´ı v b´azi p. Obˇcas budeme potˇrebovat vyj´adˇrit Abelovu grupu jako direktn´ı limitu syst´emu jej´ıch φ-invariantn´ıch podgrup. Jde sice o ponˇekud abstraktnˇejˇs´ı pojem, ale vˇzdy lze situaci vhodn´ ym izomorfismem pˇrev´est na tento jednoduˇsˇs´ı pˇr´ıpad, kter´ y pro n´as bude definic´ı: ˇ Definice 1.2. Necht’ G je Abelova grupa. Rekneme, ˇze G je direktn´ı limitou syst´emu jej´ıch podgrup { Gi | i ∈ I }, pokud plat´ı tyto dvˇe podm´ınky: P (i) G = i∈I Gi (ii) ∀i, j ∈ I ∃k ∈ I : Gi ≤ Gk & Gj ≤ Gk . Kategorie Abelov´ ych grup je ekvivalentn´ı kategorii (lev´ ych) Z-modul˚ u, pˇresnˇeji ˇreˇceno na kaˇzdou Abelovu grupu lze pohl´ıˇzet jako na Z-modul. Z´aroveˇ n si jednoznaˇcnˇe odpov´ıdaj´ı homomorfismy dvou Abelov´ ych grup a jim pˇr´ısluˇsn´e homomorfismy Z-modul˚ u. Kaˇzdou p-grupu G lze nav´ıc povaˇzovat za Jp -modul.PSkal´arn´ı n´asoben´ı P∞ n prvkem a = i=0 an pn ∈ Jp definujeme rovnost´ı ag = ∞ i=0 an p g, g ∈ G. Tento souˇcet je pro kaˇzd´e konkr´etn´ı g koneˇcn´ y, nebot’ g m´a ˇra´d dˇeliteln´ y p. m Pokud je nav´ıc G p -omezen´a, lze se pˇri n´asoben´ı omezit pouze ty prvky Jp , jejichˇz koeficienty u pi jsou nulov´e pro i ≥ m. Odtud vid´ıme, ˇze G je tak´e Jp /pm Jp ∼ y = Zpm -modul. Speci´alnˇe G[p] je Zp -modul, neboli vektorov´ prostor nad tˇelesem Zp , budeme jej naz´ yvat doln´ı vrstva p-grupy G. Mˇejme (obecnˇe nekomutativn´ı) okruh R. Definujeme centrum okruhu R jako mnoˇzinu vˇsech prvk˚ u R komutuj´ıc´ıch s kaˇzd´ ym prvkem okruhu R. Jde zˇrejmˇe o podokruh. 8

ˇ Bud’ nyn´ı R ≤ S rozˇs´ıˇren´ı komutativn´ıch okruh˚ u a s ∈ S. Rekneme, ˇze s je celistv´y nad R, pokud existuje monick´ y polynom f (x) ∈ R[x] takov´ y, ˇze f (s) = 0.

1.3

Pouˇ zit´ a tvrzen´ı

Vˇ eta 1.3L([S, Teor. 1.2]). Bud’ G torzn´ı Abelova grupa. Pak G lze vyj´adˇrit ve tvaru p tp (G). Vˇ eta 1.4 ([S, Cor. 2.8]). Abelova grupa je direktn´ım souˇctem jej´ı divizibiln´ı ˇc´asti a redukovan´e grupy. Vˇ eta 1.5 ([S, Teor. 3.5]). Koneˇcn´a Abelova grupa je koneˇcn´ym direktn´ım souˇctem koneˇcn´ych cyklick´ych grup. Vˇ eta L 1.6 ([S, Teor. L 5.1]). Pro divizibiln´ı Abelovu grupu G existuje rozklad tvaru i∈I Qi ⊕ j∈J Zj , pˇriˇcemˇz kaˇzd´e Qi je izomorfn´ı aditivn´ı grupˇe ra
cion´aln´ıch ˇc´ısel a kaˇzd´e Zj je izomorfn´ı Pr¨ uferovˇe grupˇe Z p∞ pro nˇejak´e j prvoˇc´ıslo pj . Vˇ eta 1.7 ([F1, Theor. 17.2]). Omezenou Abelovu grupu lze vyj´adˇrit jako direktn´ı souˇcet cyklick´ych grup. Vˇ eta 1.8 ([F1, Property (D)]). Homomorfn´ı obraz divizibiln´ı Abelovy grupy je divizibiln´ı Abelova grupa. Vˇ eta 1.9 ([F2, Theor. 108.3]). Necht’ G je p-grupa. Pak centrum okruhu endomorfism˚ u End (G) je rovno { g ∈ G 7→ mg | m ∈ M }, kde M = Zpn , pokud G je pn -omezen´a a n je nejmenˇs´ı moˇzn´e. Pokud G nen´ı omezen´a, je M = Jp .

1.4

Dalˇ s´ı vlastnosti Abelov´ ych grup

Lemma 1.10. tp (G) je u ´plnˇe charakteristick´a, tj. invariantn´ı na endomorfismy G. D˚ ukaz.
Zvolme φ ∈ End (G) a g ∈ tp (G), tedy plat´ı pk g = 0. Pak pk φ (g) = φ pk g = 0 a φ (g) ∈ tp (G). Lemma 1.11. Divizibiln´ı ˇc´ast Abelovy grupy je u ´plnˇe charakteristick´a. 9

D˚ ukaz. Podle vˇety 1.8 padne obraz divizibiln´ı ˇca´sti do divizibiln´ı ˇca´sti. Lemma 1.12. Necht’ G je Abelova grupa, n ∈ N. Pak G[n] je u ´plnˇe charakteristick´a. Speci´alnˇe doln´ı vrstva p-grupy G[p] je u ´plnˇe charakteristick´a. D˚ ukaz. Pro x ∈ G[n] plat´ı 0 = φ (nx) = nφ (x), tedy φ (x) ∈ G[n]. Lemma 1.13. Bud’ φ : GP→ H homomorfismus Abelov´ych grup, {Gi }i∈I P soubor podgrup G. Pak φ i∈I Gi = i∈I φGi . D˚ ukaz. Plat´ı φ (y1 + · · · + yn ) = φ (y1 ) + · · · + φ (yn ), yk ∈ Gik , tedy kaˇzd´ y prvek lev´e strany rovnosti lze vyj´adˇrit jako prvek prav´e strany a naopak. P P Pozorov´ P P an´ı 1.14. Pro soubor Abelov´ych grup {Gi,j } plat´ı i∈I j∈J Gi,j = enit nekoneˇcn´a spojen´ı grup. j∈J i∈I Gi,j , tedy lze zamˇ D˚ ukaz. Plyne z koneˇcnosti vyj´adˇren´ı prvk˚ u tˇechto spojen´ı. Lemma 1.15. Koneˇcn´e spojen´ı koneˇcn´ych Abelov´ych grup je opˇet koneˇcn´a Abelova grupa. D˚ ukaz. Staˇc´ı dok´azat, ˇze F = G + H je koneˇcn´a pro G a H koneˇcn´e, zbytek plyne indukc´ı. To ale plyne z vyj´adˇren´ı spojen´ı ve tvaru F = {f = g + h | g ∈ G & h ∈ H }. Lemma 1.16. Bud’ G p-grupa. Pak existuje k ∈ N0 ∪ {∞} takov´e, ˇze |G| = pk . D˚ ukaz. Pro G nekoneˇcnou tvrzen´ı plat´ı, necht’ |G| < ∞. Dle vˇety 1.5 G rozloˇz´ıme na koneˇcn´ y direktn´ı souˇcet cyklick´ ych grup, kter´e maj´ı zˇrejmˇe ki mohutnosti p pro vhodn´a ki , i ∈ I. Mohutnost grupy G je tedy rovna pk , P k = i∈I ki . Lemma 1.17. Podgrupa a faktorgrupa torzn´ı grupy (p-grupy) je opˇet torzn´ı grupa (p-grupa). ˇ ad prvku h je zˇrejmˇe stejn´ D˚ ukaz. Bud’ H ≤ G, h ∈ H. R´ y v H i v G. Bud’ g + H ∈ G/H. Z Lagrangeovy vˇety m´ame |Zg| = |(Z (g + H)) /H| · |H|, tedy ˇra´d g + H dˇel´ı ˇra´d g.

10

Kapitola 2 Algebraick´ a entropie pro Abelovy grupy 2.1

Definice entropie

Definice 2.1. Necht’ G je Abelova grupa, F jej´ı koneˇcn´a podgrupa, x ∈ G, n ∈ N a φ : G → G endomorfismus. Poloˇzme def

n−1

Tn (φ, F ) = F + φF + · · · + φ

F =

n−1 X

φi F

i=0 def

T (φ, F ) =

∞ X

Tn (φ, F ) =

∞ X n−1 X n=1 i=0

n=1

i

φF =

∞ X

φn F

n=0

def

Tn (φ, x) = Tn (φ, Zx) def

T (φ, x) = T (φ, Zx) . Pokud nebude moci doj´ıt k omylu, budeme Tn (φ, F ) a Tn (φ, x) nahrazovat symbolem Tn a T (φ, F ) symbolem GF pˇr´ıpadnˇe pouze T . Tn nazveme n-tou ˇc´asteˇcnou φ-trajektori´ı F resp. x, T pak φ-trajektori´ı F resp. x. Pozn´ amka 2.2. Pˇr´ımo z definice plyne, ˇze Tn i T jsou podgrupy G. Nav´ıc kaˇzd´e Tn je koneˇcn´a grupa, nebot’ jde o koneˇcn´e spojen´ı koneˇcn´ ych grup. T je φ-invariantn´ı z definice a je to jistˇe nejmenˇs´ı podgrupa obsahuj´ıc´ı F resp. x s touto vlastnost´ı.

11

LemmaP 2.3. Mˇejme soubor koneˇcn´ych podgrup { Fi | i ∈ IP } Abelovy grupy ’ G, bud P i∈I
Fi koneˇcn´a a mˇejme φ ∈ End (G). Pak plat´ı i∈I T (φ, Fi ) = T φ, i∈I Fi . D˚ ukaz. Pouˇzijeme nˇekolikr´at lemma 1.13 a pozorov´an´ı 1.14: ! ∞ X ∞ X X X X j Fi = φj Fi = T φ, Fi = φ j=0

i∈I

=

j=0 i∈I

i∈I

∞ XX

φj Fi =

i∈I j=0

X

T (φ, Fi ) .

i∈I

D˚ usledek 2.4. T (φ, F ) je koneˇcn´a, pr´avˇe kdyˇz pro kaˇzd´e x ∈ F je T (φ, x) koneˇcn´a. P D˚ ukaz. M´ame T (φ, F ) = x∈F T (φ, x). Implikace zleva doprava je tedy ihned vidˇet, k d˚ ukazu opaˇcn´e implikace pouˇzijeme nav´ıc lemma 1.15. Definice 2.5. Oznaˇcme Hn (φ, F ) = log |Tn (φ, F )| Hn (φ, F ) H (φ, F ) = lim . n→∞ n Opˇet budeme pouˇz´ıvat zkr´acen´ y z´apis Hn a H. Uvid´ıme, ˇze limita m´a vˇzdy smysl. To bude vypl´ yvat z tvrzen´ı 2.14. Definice 2.6 (Entropie). Necht’ G je Abelova grupa a φ endomorfismus G. Definujme (algebraickou) entropii endomorfismu φ rovnost´ı ent (φ) = sup H (φ, F ) F ∈F (G)

a (algebraickou) entropii grupy G rovnost´ı ent (G) =

sup

ent (φ).

φ∈End(G)

Pˇ r´ıklad 2.7. Endomorfismus µk : g 7→ kg m´a nulovou entropii pro libovoln´e k ∈ Z. Kaˇzd´a podgrupa G je µk -invariantn´ı, proto Tn (µk , F ) = GF = F a Hn je konstanta. 12

Pˇ r´ıklad 2.8. Necht’ K je torzn´ı Abelova grupa a poloˇzme Ki = K, G = L uv posunovac´ı endomorfismus φ pˇriˇrazen´ım i∈N Ki . Definujme Bernoulli˚ (k1 , k2 , . . .) ∈ G 7→ (0, k1 , k2 , . . .). Dok´aˇzeme, ˇze ent (φ) = log |K|. Nejprve zkoumejme L pˇr´ıpad, kdy K je koneˇcn´a. Pro volbu F = K1 dost´av´ame Hn (φ, F ) = log | ni=1 Ki | = log |K|n = n log |K| a m´ame ent (φ) ≥ log |K|. Naopak zvolme F 0 ∈ F (G). Protoˇze plat´ı GF = G, najdeme m ∈ N takov´e, aby F 0 ≤ Tm (φ, F ). Pak Hn (φ, F 0 ) ≤ Hn+m (φ, F ) a Hn+m (φ, F ) Hn (φ, F 0 ) n + m · ≤ lim · 1 = log |K| . n→∞ n→∞ n+m n n+m

H (φ, F 0 ) = lim

Pokud je K nekoneˇcn´a, volme za F koneˇcnou podgrupu grupy K1 a stejnou u ´vahou jako v´ yˇse dostaneme ent (φ) ≥ log |F |. Protoˇze mohutnost grupy F m˚ uˇze pˇrekroˇcit libovolnou koneˇcnou hranici, je ent (φ) = ∞. Entropie φ se tedy rovn´a bud’ logaritmu nˇejak´eho pˇrirozen´eho ˇc´ısla, pokud je K koneˇcn´a, nebo ∞, pokud je K nekoneˇcn´a. Nen´ı n´ahoda, ˇze n´am vyˇsly zrovna takov´eto hodnoty. Uk´aˇzeme totiˇz, ˇze jin´ ych hodnot entropie endomorfismu nab´ yvat nem˚ uˇze. Jako d˚ usledek pak vyplyne, ˇze entropie endomorfismu (resp. grupy) je bud’ ∞, nebo se nab´ yv´a pro vhodnou podgrupu (resp. endomorfismus a podgrupu). Pˇredt´ım odvod´ıme nˇekolik izomorfism˚ u. Pozorov´ an´ı 2.9. Plat´ı Tn+1 = Tn + φn F , tedy speci´alnˇe Tn ≤ Tn+1 . D˚ usledek 2.10. Plat´ı izomorfismus Tn+1 ∼ φn F = Tn Tn ∩ φn F D˚ ukaz. Plyne z pˇredchoz´ıho pozorov´an´ı uˇzit´ım 3. vˇety o izomorfismu. Lemma 2.11.

φTn ∼ Tn = φTn−1 Tn−1 + (Tn ∩ Ker φ)

D˚ ukaz. Definujeme homomorfismus ψ : Tn → φTn /φTn−1 vztahem tn ∈ Tn 7→ φ (tn ) + φTn−1 . Zobrazen´ı ψ je zˇrejmˇe surjektivn´ı, nalezneme jeho j´adro. M´ame tn ∈ Ker ψ, pr´avˇe kdyˇz φ (tn ) ∈ φTn−1 , coˇz nastane, pr´avˇe kdyˇz tn ∈ Tn−1 + Ker φTn = Tn−1 + (Tn ∩ Ker φ). Dok´aˇzeme posledn´ı ekvivalenci. Pokud tn ∈ Tn−1 + (Tn ∩ Ker φ), pak tn = tn−1 + kn , kde tn−1 ∈ Tn−1 a kn ∈ Tn ∩ Ker φ. Pak φ (tn ) = φ (tn−1 ) + φ (kn ) = φ (tn−1 ) ∈ φTn−1 . Necht’ 13

naopak φ (tn ) = φ (vn−1 ) pro nˇejak´e vn−1 ∈ Tn−1 . Pak φ (tn − vn−1 ) = 0, proto tn − vn−1 ∈ Tn ∩ Ker φ. Existuje vyj´adˇren´ı tn = vn−1 + (tn − vn−1 ), vn−1 ∈ Tn−1 , (tn − vn−1 ) ∈ Tn ∩ Ker φ. Tedy Ker ψ = Tn−1 + (Tn ∩ Ker φ) a v´ ysledek plyne z 1. vˇety o izomorfismu. Poloˇzme τn = |Tn |. Z Lagrangeovy vˇety dost´av´ame, ˇze posloupnost (τn ) je neklesaj´ıc´ı a τn dˇel´ı τn+1 . Definujme αn+1 = τn+1 /τn . Uvid´ıme, ˇze posloupnost (αn ) je naopak nerostouc´ı a αn+1 dˇel´ı αn . Lemma 2.12. Bud’ n > 1, pak αn+1 dˇel´ı αn . Speci´alnˇe posloupnost (an ) je nerostouc´ı. D˚ ukaz. Pouˇzijeme vztah φTn−1 ≤ Tn a 2. vˇetu o izomorfismu: Tn+1 Tn

φn F φn F φTn−1 ∩ φn F ∼ ∼ . = = Tn ∩ φn F Tn ∩ φn F φTn−1 ∩ φn F

Oznaˇcme Bn = φn F/ (φTn−1 ∩ φn F ). Pak αn+1 dˇel´ı |Bn |, nebot’ velikost faktorgrupy dˇel´ı velikost p˚ uvodn´ı grupy. D´ale si vˇsimnˇeme vztahu φTn = φTn−1 + φn F a pouˇzijme postupnˇe 3. vˇetu o izomorfismu, lemma 2.11 a 2. vˇetu o izomorfismu: φTn Bn ∼ = φTn−1

Tn Tn Tn−1 ∼ ∼ . = = Tn−1 + (Tn ∩ Ker φ) Tn−1 + (Tn ∩ Ker φ) Tn−1

Podle stejn´e u ´vahy |Bn | dˇel´ı αn , a tedy αn+1 dˇel´ı αn . Pozorov´ an´ı 2.13. Nerostouc´ı posloupnost pˇrirozen´ych ˇc´ısel (αn ) je nutnˇe od nˇejak´eho n0 konstantn´ı, oznaˇcme α tuto jej´ı konstantn´ı hodnotu. Zˇrejmˇe plat´ı vztah τn+1 = ατn pro n ≥ n0 . Tvrzen´ı 2.14. Existuje n0 ∈ N takov´e, ˇze pro n ≥ n0 je H (φ, F ) = log (τn+1 /τn ) = log α. Speci´alnˇe limita v definici H existuje a na jej´ı hodnoty def plat´ı omezen´ı H ∈ LN = { log β | β ∈ N }. D˚ ukaz. Dle pozorov´an´ı 2.13 nalezneme n0 a α. Vyuˇzijeme vztahu Hn0 +k = log τn0 +k = log τn0 αk = log τn0 + k log α = Hn0 + k log α 14

a spoˇcteme hodnotu Hn0 +k (φ, F ) Hn0 (φ, F ) + k log α = lim = log α. k→∞ k→∞ n0 + k n0 + k

H (φ, F ) = lim

Tvrzen´ı 2.15. Mnoˇzina LN je diskr´etn´ı. Speci´alnˇe supremum v definici entropie je bud’ ∞, nebo se nab´yv´a pro nˇejakou koneˇcnou podgrupu a nˇejak´y endomorfismus. D˚ ukaz. Zvol´ıme β ∈ N. Poloˇz´ıme 2δ = log ((β + 1) /β). Z konk´avnosti logaritmu plyne, ˇze v δ-okol´ı log β neleˇz´ı ˇz´adn´ y dalˇs´ı prvek mnoˇziny LN .

2.2

Z´ akladn´ı vlastnosti entropie

Lemma 2.16. Necht’ G ∼ = G0 jsou izomorfn´ı Abelovy grupy, θ : G → G0 izomorfismus, φ ∈ End (G) a ψ = θφθ−1 konjugovan´y endomorfismus. Pak ent (φ) = ent (ψ). D˚ ukaz. Precizn´ım d˚ ukazem nebudeme ˇcten´aˇre zatˇeˇzovat, v intuitivn´ı rovinˇe je totiˇz lemma zˇrejm´e. Na izomorfismus lze pohl´ıˇzet jako na pˇrejmenov´an´ı prvk˚ u izomorfn´ıch grup. Pˇritom endomorfismus φ odpov´ıd´a endomorfismu ψ, nebot’ je to ten sam´ y endomorfismus, kter´ y pracuje s pˇrejmenovan´ ymi prvky. Lemma 2.17. H (φ, F ) = 0, pr´avˇe kdyˇz T (φ, F ) je koneˇcn´a. D˚ ukaz. Pokud je T koneˇcn´a, je limita v definici H rovna nule. Naopak pokud je H = 0, dle tvrzen´ı 2.14 je α = 1, a tedy T = Tn0 . Lemma 2.18. Necht’ G je Abelova grupa, φ ∈ End (G). Pak ent (φ) = 0, pr´avˇe kdyˇz T (φ, g) je koneˇcn´a pro kaˇzd´e g ∈ G. D˚ ukaz. Z definice m´ame, ˇze ent (φ) = 0, pr´avˇe kdyˇz pro kaˇzdou F ∈ F (G) plat´ı H (φ, F ) = 0. Dle lemmatu 2.17 toto nastane, pr´avˇe kdyˇz pro kaˇzdou F ∈ F (G) plat´ı, ˇze T (φ, F ) je koneˇcn´a. Z´avˇer plyne z d˚ usledku 2.4. Pˇ r´ıklad 2.19. Zat´ım jsme poˇc´ıtali pouze entropii endomorfism˚ u, uved’me ∞ ’ pˇr´ıklad v´ ypoˇctu entropie grupy. Necht G = Z (p ). Prvk˚ u pevnˇe dan´eho ˇra´du je v t´eto grupˇe pouze koneˇcnˇe mnoho, proto je G[n] koneˇcn´a pro kaˇzd´e n ∈ N. Nav´ıc je G[n] invariantn´ı na kaˇzd´ y endomorfismus (lemma 1.12). Odtud ihned plyne, ˇze kaˇzd´a koneˇcn´a grupa m´a pˇri libovoln´em endomorfismu koneˇcnou trajektorii, tedy podle lemmatu 2.18 je ent (φ) = 0 pro kaˇzd´ y φ ∈ End (G). Dok´azali jsme, ˇze ent (G) = 0. 15

Lemma 2.20. Pokud G je p-grupa, lze entropii vyj´adˇrit ve tvaru k log p, kde k ∈ N0 ∪ { ∞ }. D˚ ukaz. Pokud je entropie koneˇcn´a, je rovna log α = log (τn0 +1 /τn0 ), tedy logaritmu mohutnosti Tn0 +1 /Tn0 . Dle lemmatu 1.17 jsou podgrupy a faktorgrupy p-grup opˇet p-grupy. Pouˇzit´ım lemmatu 1.16 tedy dostaneme α = pk pro vhodn´e k ∈ N0 . Pozorov´ an´ı 2.21. Necht’ podgrupa H ≤ G je φ-invariantn´ı, pak plat´ı nerovnost ent (φ) ≥ ent (φH ). Lemma 2.22. ent (φ) = supF ∈F (G) ent (φGF ). Nav´ıc pokud ent (φ) < ∞, jde o maximum. D˚ ukaz. GF je φ-invariantn´ı dle pozn´amky 2.2, tedy jedna nerovnost plyne z pˇredchoz´ıho pozorov´an´ı. Nav´ıc zˇrejmˇe plat´ı H (φ, F ) = H (φGF , F ) pro kaˇzdou F ∈ F (G). D˚ ukaz druh´e nerovnosti rozdˇel´ıme na dva pˇr´ıpady. Pokud je ent (φ) = ∞, ych podgrup (Fn ) takov´ ych, ˇze
nalezneme posloupnost koneˇcn´ H φGFn , Fn = H (φ, Fn ) ≥ n a prav´a strana je rovna ∞. Pokud ent (φ) < ∞, vyuˇzijeme tvrzen´ı 2.15
k nalezen´ı koneˇcn´e grupy F0 takov´e, ˇze ent (φ) = H (φ, F0 ) = H φGF0 , F0 a m´ame i v tomto pˇr´ıpadˇe opaˇcnou nerovnost.
D˚ usledek 2.23. Necht’ G je Abelova grupa, pak ent (φ) = ent φt(G) . Speci´alnˇe ent (φ) = 0 pro G bez torze. D˚ ukaz. Kaˇzd´a F ≤ G koneˇcn´a je zˇrejmˇe podgrupa t (G), proto i kaˇzd´a Tn (φ, F ) ≤ t (G), a tedy i T (φ, F ) ≤ t (G). Nyn´ı pouˇzijeme lemma 2.22. Vid´ıme, ˇze takto definovan´a entropie m´a v´ yznam pouze pro torzn´ı grupy, proto se v mnoha tvrzen´ıch o endomorfismech omez´ıme pouze na tyto grupy. Neplat´ı vˇsak rovnost ent (G) = ent (t (G)). Existuj´ı grupy s nulovou entropi´ı, jejichˇz torzn´ı ˇca´st m´a entropii nekoneˇcnou. To je zp˚ usobeno t´ım, ˇze ˇza´dn´ y endomorfismus nekoneˇcn´e entropie nelze rozˇs´ıˇrit na celou grupu. Konstrukce pˇr´ıkladu takov´eto grupy vyˇzaduje p-adick´e z´ uplnˇen´ı a lze ji nal´ezt v [DGSZ, Ex. 5.5]. Lze definovat du´aln´ı pojem, tzv. hodnostn´ı entropii, kter´a m´a v´ yznam pouze pro Abelovy grupy bez torze. Definice je uvedena v kapitole 3 t´eto pr´ace, podrobnˇeji je studov´ana v [SZ].

16

Tvrzen´ı 2.24. Mˇejme Abelovu grupu G a φ jej´ı endomorfismus. Necht’ G je direktn´ı limitou syst´emu φ-invariantn´ıch podgrup { Gi | i ∈ I }. Pak plat´ı ent (φ) = sup ent (φGi ) . i∈I

Pokud je ent (φ) < ∞, supr´emum se nab´yv´a. D˚ ukaz. Jedna nerovnost opˇet plyne z pozorov´an´ı 2.21. K d˚ ukazu opaˇcn´e nerovnosti vyuˇzijeme lemma 2.22, staˇc´ı uk´azat platnost sup ent (φGi ) ≥ sup ent (φGF ) . i∈I

F ∈F (G)

Necht’ tedy m´ame F ∈ F (G). Staˇc´ı naj´ıt grupu Gi ≥ GF . Budeme postupovat indukc´ı dle poˇctu gener´ator˚ u grupy F . Pokud je F nulov´a, staˇc´ı zvolit libovoln´e Gi . Pokud je F cyklick´a s gener´atorem x, mus´ı podle bodu (i) v definici 1.2 existovat existovat Gi obsahuj´ıc´ı x. Protoˇze Gi je φ-invariantn´ı a dle pozn´amky 2.2 je GF nejmenˇs´ı φ-invariantn´ı podgrupa obsahuj´ıc´ı x, m´ame GF ≤ Gi . V indukˇcn´ım kroku uvaˇzujeme F = F1 + F2 , kde F1 i F2 maj´ı menˇs´ı poˇcet gener´ator˚ u neˇz F . Z indukˇcn´ıho pˇredpokladu najdeme i, j ∈ I takov´e, ˇze F1 ≤ Gi a F2 ≤ Gj . Pouˇzijeme bod (ii) v definici 1.2 a najdeme k ∈ I, aby Gi ≤ Gk a Gj ≤ Gk . Nyn´ı dle lemmatu 2.3 m´ame GF = GF1 +F2 = GF1 + GF2 ≤ Gk . Lemma 2.25. Mˇ ejme endomorfismy φi ∈ End (Gi ), i ∈ 1, . . . , n a oznaˇcme L L n n φ ∈ End ( i=1 i=1 i LnGi ) jejich direktn´ı souˇcet, tj. endomorfismus, kter´y prvku (g1 , g2 , . . .) ∈ i=1 Gi pˇriˇrad´ı prvek (φ1 (g1 ) , φ2 (g2 ) , . . .). Pak plat´ı: P L L (i) ∀Fi ∈ F (Gi ) , i ∈ {1, . . . , n} : H ( ni=1 φi , ni=1 Fi ) = ni=1 H (φi , Fi ), P L (ii) ent ( ni=1 φi ) = ni=1 ent (φi ). D˚ ukaz. (ii) plyne okamˇzitˇe z (i). (i) Staˇc´ı dok´azat pro n = 2, zbytek plyne snadno indukc´ı. Z definice je vidˇet, ˇze plat´ı (φ1 ⊕ φ2 ) (F1 ⊕ F2 ) = φ1 F1 ⊕ φ2 F2 a indukc´ı vyvod´ıme (φ1 ⊕ φ2 )n (F1 ⊕ F2 ) = φn1 F1 ⊕ φn2 F2 . Odtud pro F1 ⊕ F2 ∈ F (G1 ⊕ G2 ) dost´av´ame Tn (φ1 ⊕ φ2 , F1 ⊕ F2 ) = Tn (φ1 , F1 ) ⊕ Tn (φ2 , F2 ), tedy Hn (φ1 ⊕ φ2 , F1 ⊕ F2 ) = log |Tn (φ1 , F1 ) ⊕ Tn (φ2 , F2 )| = = log (|Tn (φ1 , F1 )| · |Tn (φ2 , F2 )|) = = log |Tn (φ1 , F1 )| + log |Tn (φ2 , F2 )| = = Hn (φ1 , F1 ) + Hn (φ2 , F2 ) . 17

Pˇredchoz´ı lemma lze d´ale zobecnit na nekoneˇcn´e souˇcty: L Tvrzen´ı 2.26. Bud’ φ ∈ End (G), G = i∈I Gi Abelova grupa takov´a, ˇze kaˇzd´a Gi je φ-invariantn´ı. Pak X X
ent (φ) = ent (φGi ) = sup ent φGj . J⊆I j∈J |J|<∞

i∈I

D˚ ukaz.L Staˇc´ı uk´azat, ˇze grupa G je direktn´ı limitou φ-invariantn´ıch podgrup GJ = cn´a. Grupy GJ jsou jistˇe φ-invariantn´ı, j∈J Gj , kde J ⊆ I je koneˇ P nebot’ kaˇzd´a Gj je φ-invariantn´ı. D´ale G = J GJ , nebot’ kaˇzd´a grupa Gi je obsaˇzena v GJ pro J = {i}. Zvolme nyn´ı J, K ⊆ I koneˇcn´e. Pak pro J 0 = J ∪ K je GJ + GK ≤ GJ 0 a J 0 je koneˇcn´a. Z tvrzen´ı 2.24 a lemmatu 2.25 tedy m´ame X
ent (φ) = sup ent (φGJ ) = sup ent φGj . J⊆I |J|<∞

J⊆I j∈J |J|<∞

D˚ usledek L 2.27. Mˇejme torzn´ı Abelovu grupu s rozkladem na p-komponenty zdy existuje dle vˇety 1.3). Necht’ φ ∈ End (G) . Pak G = p (G) (ten vˇ p tP
ent (φ) = p ent φtp (G) . D˚ ukaz. Plyne z pˇredchoz´ıho a z toho, ˇze p-komponenty jsou invariantn´ı na kaˇzd´ y endomorfismus (lemma 1.10). Pˇri zkoum´an´ı entropie endomorfism˚ u se tedy m˚ uˇzeme omezit na p-grupy. Lemma 2.28. Necht’ φ ∈ Aut (G), pak ent (φ) = ent (φ−1 ). D˚ ukaz. Snadno nahl´edneme, ˇze plat´ı rovnost Tn (φ, F ) = φn−1 Tn (φ−1 , F ). Protoˇze φn−1 je automorfismus, m´ame |Tn (φ−1 , F )| = |Tn (φ, F )| a v´ ysledek je pak jiˇz zˇrejm´ y.
Lemma 2.29. Pro k ∈ N0 plat´ı ent φk = k ent (φ). D˚ ukaz. D˚ ukaz vych´az´ı ze vztahu, kter´ y plyne ihned z definice:
Tnk (φ, F ) = Tn φk , Tk (φ, F ) . D´ale plat´ı


ent φk = sup H φk , F = sup H φk , Tk (φ, F ) , F ∈F (G)

F ∈F (G)

18

(2.1)

nebot’ H je neklesaj´ıc´ı v druh´em argumentu. Zvolme tedy F ∈ F (G) libo
k volnˇe a ukaˇzme, ˇze H φ , Tk (φ, F ) = k · H (φ, F ). Nalezneme n0 a α dle pozorov´an´ı 2.13 takov´a, aby pro n ≥ n0 platilo |Tn+1 (φ, F )| = α |Tn (φ, F )|, tedy H (φ, F ) = log α. Pak dle (2.1) je
Tn+1 φk , Tk (φ, F ) = T(n+1)k (φ, F ) =
= αk |Tnk (φ, F )| = αk Tn φk , Tk (φ, F )
pro n ≥ n0 , tedy H φk , Tk (φ, F ) = log αk = k log α.
D˚ usledek 2.30. Pro φ ∈ Aut (G) a k ∈ Z plat´ı ent φk = |k| ent (φ). D˚ ukaz. Pouˇzijeme nav´ıc lemma 2.28. D˚ usledek 2.31. (i) Abelova grupa G kladn´e entropie umoˇzn ˇuje definovat endomorfismy libovolnˇe velk´e koneˇcn´e entropie, tedy speci´alnˇe plat´ı ent (G) = ∞, (ii) pro kaˇzdou Abelovu grupu G plat´ı ent (G) ∈ { 0, ∞ }. Vid´ıme, ˇze Abelovy grupy lze rozdˇelit do dvou tˇr´ıd podle jejich entropie.

2.3

Indukovan´ e endomorfismy

V cel´e t´eto sekci budeme studovat n´asleduj´ıc´ı situaci. M´ame Abelovu grupu G s endomorfismem φ a podgrupou H, kter´a je φ-invariantn´ı. At’ π : G → G/H je kanonick´a projekce, pak zˇrejmˇe Ker π = H. Necht’ φ¯ ∈ End (G/H) ¯ je indukovan´
y endomorfismus, tj. φπ = πφ. Pro F ∈ F (G) bude jistˇe platit ¯ πF = πTn (φ, F ). Pouˇzijeme 1. vˇetu o izomorfismu a dostaneme Tn φ,
¯ πF = πTn (φ, F ) ∼ Tn φ, = Tn (φ, F ) /(Tn (φ, F ) ∩ H). Zlogaritmov´an´ım a vydˇelen´ım ˇc´ıslem n dostaneme
¯ πF Hn φ, Hn (φ, F ) log |Tn (φ, F ) ∩ H| = − . n n n Provedeme limitn´ı pˇrechod a dostaneme
¯ πF = H (φ, F ) − lim log |Tn (φ, F ) ∩ H| . H φ, n→∞ n 19

(2.2)

Definujme zobrazen´ı P : F (G) → F (G/H), F 7→ πF . Toto zobrazen´ı je jistˇe dobˇre definovan´e, nebot’ kaˇzd´a koneˇcn´a grupa se projekc´ı zobraz´ı opˇet na koneˇcnou grupu. Pokud P nen´ı surjektivn´ı, nelze obecnˇe nic ˇr´ıci o vztahu
¯ ent (φ) a ent φ . Lemma 2.32. P je surjektivn´ı, pokud je splnˇena nˇekter´a z tˇechto podm´ınek: (i) G je torzn´ı, (ii) H je koneˇcn´a. P D˚ ukaz. Necht’ F 0 ∈ F (G/H), F 0 = { gi + H | i ∈ I }. Poloˇzme F = Zgi . Pak jistˇe P (F ) = F 0 , pokud uk´aˇzeme ˇze F je koneˇcn´a. Pokud by nebyla, existovala by Zgi nekoneˇcn´a, tedy beztorzn´ı. V bodˇe (i) tedy m´ame spor. V bodˇe (ii) staˇc´ı uv´aˇzit, ˇze (Zgi + H) /H ≤ F 0 je koneˇcn´a, H koneˇcn´a, ale Zgi + H nekoneˇcn´a, coˇz je spor s Lagrangeovou vˇetou.
Lemma 2.33. Necht’ G je torzn´ı. Pak ent (φ) ≥ ent φ¯ . D˚ ukaz. Dle pˇredchoz´ıho je P surjektivn´ı a vˇse ihned plyne z (2.2). Pˇ r´ıklad 2.34. uˇze nastat i opaˇcn´a nerovnost. Mˇejme L Pokud G nen´ı torzn´ı, m˚ uv posunovac´ grupu G = N Z a φ Bernoulli˚ L ı endomorfismus. Protoˇze G je ı a bez torze, N pZ,
pak H je φ-invariantn´ L je ent (φ) = 0. Poloˇzme H = ¯ φ = log (p) > ent (φ) = 0. Z . Jak v´ ıme z pˇ r ´ ıkladu 2.8, je ent G/H ∼ = N p
Tvrzen´ı 2.35. Necht’ H je koneˇcn´a, pak ent (φ) = ent φ¯ . D˚ ukaz. P je surjektivn´ı dle lemmatu 2.32. Protoˇze H je koneˇcn´a, je limita ve v´ yrazu (2.2) nulov´a. V n´asleduj´ıc´ım tvrzen´ı bud’ H divizibiln´ı ˇc´ast torzn´ı grupy G. H je invariantn´ı na kaˇzd´ y endomorfismus podle lemmatu 1.11. V rozkladu H podle vˇety 1.6 budou figurovat pouze grupy Z (p∞ ), nebot’ Q je beztorzn´ı. Tvrzen´ı 2.36. Necht’ H znaˇc´ı divizibiln´ı ˇc´ast torzn´ı grupy G. Necht’ kaˇzdou p-komponentu H
lze rozloˇzit na koneˇcnou direktn´ı sumu grup Z (p∞ ). Pak ent (φ) = ent φ¯ . D˚ ukaz. Staˇc´ı uk´azat, ˇze limita ve v´ yrazu (2.2) je nulov´a. M´ame koneˇcnou (torzn´ı) grupu F , tedy lze nal´ezt m ∈ N takov´e, ˇze mF = 0. Pak Tn (φ, F ) ∩ H = Tn (φ, F ) ∩ H[m]. Grupa H[m] je koneˇcn´a, nebot’ Z (p∞ ) [m] je koneˇcn´a a staˇc´ı uvaˇzovat pouze ty p-komponenty, kde p|m. Proto je uvaˇzovan´a limita nulov´a. 20

Velice d˚ uleˇzit´a vlastnost entropie je tzv. sˇc´ıtac´ı vˇeta. Jej´ı u ´pln´ y d˚ ukaz je nad r´amec t´eto pr´ace, lze jej nal´ezt v ˇcl´anku [DGSZ]. Vˇetu lze dok´azat dvˇema zp˚ usoby, jeden je ˇcistˇe algebraick´ y a pomˇernˇe zdlouhav´ y, druh´ y vyuˇz´ıv´a sˇc´ıtac´ı vˇetu pro topologickou entropii a nˇekter´e ˇca´steˇcn´e v´ ysledky algebraick´eho d˚ ukazu. My zde uvedeme pouze znˇen´ı a dok´aˇzeme jeden speci´aln´ı pˇr´ıpad, kter´ y pozdˇeji budeme potˇrebovat. Poznamenejme, ˇze hlavn´ı aplikace sˇc´ıtac´ı vˇety je poˇc´ıt´an´ı entropie endomorfism˚ u omezen´ ych grup. Vˇ eta 2.37 (Sˇc´ıtac´ı vˇeta, [DGSZ, Theor. 3.1]). Necht’ G je torzn´ı Abelova grupa. Pak plat´ı
ent (φ) = ent (φH ) + ent φ¯ .
Lemma 2.38. Necht’ G je torzn´ı Abelova grupa a ent φ¯ = 0. Pak ent (φ) = ent (φH ). D˚ ukaz. Nerovnost ent (φ) ≥ ent (φH ) plat´ı vˇzdy (pozorov´an´ı 2.21), ukaˇzme opaˇcnou.
At’ F ∈ F (G) libovoln´a, poloˇzme F1 = πF . Uˇzit´ım tvrzen´ı 2.14
¯ F1 = z ent φ¯
= 0 vyvod´ıme existenci m ∈ N takov´eho, ˇze plat´ı T φ, ¯ F1 pro j ≥ m. Tvrd´ıme, ˇze existuje F2 ≤ H koneˇcn´a, ˇze plat´ı φm F ≤ Tj φ,
¯ F1 . Tm (φ, F ) + F2 . To je zˇrejm´e, nebot’ φm F je koneˇcn´a a πφm F ≤ T φ, Proto φTm (φ, F ) ≤ Tm (φ, F ) + F2 a indukc´ı dle k ∈ N m´ame φk Tm (φ, F ) ≤ Tm (φ, F ) + Tk (φ, F2 ). Koneˇcnˇe poloˇzme n = m + k a vyvod´ıme Tn (φ, F ) ≤ Tm (φ, F ) + Tk (φ, F2 ). Protoˇze logaritmus je konk´avn´ı funkce, plat´ı log |A + B| ≤ log |A| + log |B|, a tedy Hn (φ, F ) ≤ Hm (φ, F ) + Hk (φ, F2 ). Nerovnost podˇel´ıme ˇc´ıslem n a provedeme limitn´ı pˇrechod n → ∞. m je pevn´e, tedy i k → ∞ a m´ame H (φ, F ) ≤ H (φ, F2 ) ≤ ent (φH ). Protoˇze F bylo libovoln´e, odvodili jsme poˇzadovanou nerovnost.

2.4

Grupy nekoneˇ cn´ e entropie

Pozorov´ an´ı 2.39. Necht’ G = A ⊕ B je Abelova grupa, ψ ∈ End (A). Pak ψ lze rozˇs´ıˇrit na φ ∈ End (G) tak, ˇze plat´ı ent (ψ) = ent (φ). D˚ ukaz. Staˇc´ı poloˇzit φ : a + b 7→ ψ (a) a pouˇz´ıt lemma 2.25. L Vˇ eta 2.40. Necht’ G = n∈N Gn , kde kaˇzd´a Gn je torzn´ı Abelova grupa a necht’ existuj´ı vnoˇren´ı ψn : Gn → Gn+1 . Pak existuje endomorfismus φ grupy G nekoneˇcn´e entropie. 21

S D˚ ukaz. Zvolme rozklad mnoˇziny pˇrirozen´ ych ˇc´ısel N = k∈N Ik takov´ y, aby kaˇzd´a z rozkladov´ ych tˇr´ıd Ik = { ik,1 < ik,2 < . . . } byla nekoneˇcn´a. Poloˇzme L L ˜ def rejmˇe plat´ı G ∼ Ak = = zd´e z grup Ak = G n∈Ik Gn , zˇ k∈N Ak . Na kaˇ jsou definov´ana vnoˇren´ı νk,n : Gik,n → Gik,n+1 sloˇzen´ım odpov´ıdaj´ıc´ıch ψn , tedy m˚ uˇzeme definovat Bernoulli˚ uv posunovac´ı endomorfismus σk vzhledem k vnoˇren´ım νk,n vztahem (g1 , g2 , . . .) ∈ Ak 7→ (0, νk,1 (g1 ) , νk,2 (g2 ) , . . .). ˜ → G, ˜ (a1 , a2 , . . .) 7→ (σ1 (a1 ) , σ2 (a2 ) , . . .). Koneˇcnˇe poloˇzme φ : G Tvrd´ıme, ˇze ent (φ) = ∞. V kaˇzd´e grupˇe Ak zvol´ıme xk 6= 0, xk ∈ Gik,1 . Ln−1 i Vid´ıme, ˇze Hn (σk , xk ) = log i=0 σk Zxk = log |Zxk |n = n log |Zxk |, tedy def Lm H (σk , xk ) = log |Zxk |. Definujeme posloupnost podgrup Fm = k=1 Zxk . Pm Dle lemmatu 2.25 plat´ı H (φ, Fm ) = k=1 H (σk , xk ) ≥ m log 2. Dost´av´ame ent (φ) = supF ∈F (G) H (φ, F ) ≥ sup∞ m=1 H (φ, Fm ) = ∞. D˚ usledek 2.41. Necht’ divizibiln´ı ˇc´ast p-grupy G je izomorfn´ı nekoneˇcn´emu direktn´ımu souˇctu grup Z (p∞ ). Pak existuje endomorfismus G nekoneˇcn´e entropie. D˚ ukaz. Dle vˇety 1.4 existuje rozklad G ∼ = D ⊕ R, kde D je divizibiln´ı ˇca´st a R redukovan´a grupa. Na D lze definovat endomorfismus nekoneˇcn´e entropie dle pˇredchoz´ıho tvrzen´ı (vnoˇren´ı jsou identick´a) a staˇc´ı pouˇz´ıt pozorov´an´ı 2.39. Lemma 2.42. Necht’ G je p-grupa a φ ∈ End (G) takov´y, ˇze ent (φ) > 0. Pak existuje omezen´a φ-invariantn´ı podgrupa H takov´a, ˇze plat´ı ent (φH ) > 0.
D˚ ukaz. Dle lemmat 2.18 a 2.17 existuje x ∈ G takov´e, ˇze ent φT (φ,x) > 0. G je p-grupa, proto existuje nejmenˇs´ı k ∈ N takov´e, ˇze pk x = 0, proto i pk T (φ, x) = 0. Staˇc´ı poloˇzit H = T (φ, x). Tvrzen´ı 2.43.
At’ G je p-grupa a φ jej´ı endomorfismus, ent (φ) > 0. Pak plat´ı ent φG[p] > 0. D˚ ukaz. Podle lemmatu 2.42 a pozorov´an´ı 2.21 staˇc´ı tvrzen´ı dok´azat pro pk omezenou podgrupu H ≤ G. Pokud k = 1, je H = H[p] a tvrzen´ı plat´ı. D´ale postupujeme indukc´ı. pH je φ-invariantn´ı podgrupa H. Mohou nastat 2 pˇr´ıpady. Pokud ent (φpH ) > 0, pouˇzijeme
indukˇcn´ı pˇredpoklad
na pH, k−1 nebot’ pH je p -omezen´a. Pak ent φpH[p] > 0, proto i ent φH[p] > 0. Necht’ ent (φpH ) = 0. Definujeme homomorfismus H → pH, g 7→ pg, jehoˇz j´adro je H[p]. Proto existuje izomorfismus θ : H/H[p] → pH. Indukovan´ y endomorfismus φ¯ ∈ End (H/H[p]) je konjugovan´ y k φpH, jak snadno 22


nahl´edneme z definice izomorfismu θ. Podle lemmatu 2.16 je proto
ent φ¯ = 0. Nyn´ı je ˇcas pouˇz´ıt lemma 2.38, odkud 0 < ent (φ) = ent φH[p] . Lemma 2.44. Necht’ G je omezen´a p-grupa, φ jej´ı endomorfismus, 0 < ent (φ) < ∞. Pak existuje ψ ∈ End (G) nekoneˇcn´e entropie. D˚ ukaz. Podle vˇety 1.7 lze G rozloˇzit na direktn´ı souˇcet cyklick´ ych grup. Protoˇze G je omezen´a, je v tomto rozkladu nekoneˇcnˇe grup Zpm pro nˇejak´e m ∈ N, oznaˇcme H direktn´ı sˇc´ıtanec G sloˇzen´ y z tˇechto grup. Dle vˇety 2.40 nalezneme ψ ∈ End (H) nekoneˇcn´e entropie. ψ lze rozˇs´ıˇrit na celou grupu dle pozorov´an´ı 2.39. N´asleduj´ıc´ı vˇeta m´a zaj´ımav´ y d˚ usledek. Jej´ı form´aln´ı d˚ ukaz je nad r´amec t´eto pr´ace, vyˇzadoval by zaveden´ı nˇekolika dalˇs´ıch pojm˚ u, konkr´etnˇe v´ yˇsky prvku v grupˇe, voln´eho valuovan´eho vektorov´eho prostoru a Ulm-Kaplansky invariantu koneˇcn´eho indexu. Uvedeme neform´alnˇe pouze z´akladn´ı kostru d˚ ukazu bez korektn´ıho zaveden´ı potˇrebn´ ych pojm˚ u a jejich vlastnost´ı. Vˇ eta 2.45 ([DGSZ, Theor. 1.19]). At’ G je redukovan´a p-grupa a φ jej´ı endomorfismus, 0 < ent (φ) < ∞. Pak G m´a nekoneˇcn´y omezen´y direktn´ı sˇc´ıtanec. Idea d˚ ukazu. Dle tvrzen´ı 2.43 nalezneme x ∈ G[p] s nekoneˇcnou trajektori´ı a uk´aˇzeme, ˇze tato trajektorie tvoˇr´ı valuovan´ y vektorov´ y prostor s valuac´ı urˇcenou v´ yˇskou prvku. Z pˇredpokladu ent (φ) < ∞ uk´aˇzeme, ˇze tato valuace je shora omezen´a. Odtud vyplyne, ˇze T (φ, x) m´a direktn´ı sˇc´ıtanec nekoneˇcn´e dimenze. Tato dimenze je shora omezen´a n-t´ ym Ulm-Kaplansky invariantem, tedy je tento invariant nekoneˇcn´ y. Odtud jiˇz plyne tvrzen´ı vˇety. D˚ usledek 2.46. Necht’ G je Abelova grupa, ent (G) > 0. Pak existuje endomorfismus φ ∈ End (G) nekoneˇcn´e entropie. D˚ ukaz. Protoˇze plat´ı ent (G) > 0, existuje endomorfismus φ kladn´e entropie. Pokud ent (φ) = ∞, jsme hotovi. Pˇredpokl´adejme opaˇcn´ y pˇr´ıpad. Pokud nˇejak´a p-komponenta G m´a divizibiln´ı ˇca´st izomorfn´ı nekoneˇcn´emu direktn´ımu souˇctu grup Z (p∞ ), plyne z´avˇer z d˚ usledku 2.41. Necht’ G
∼ = D ⊕ R, D divizibiln´ı, R redukovan´a. Z tvrzen´ı 2.36 plyne, ˇze 0 < ent φ¯ < ∞, kde φ¯ ∈ End (R) je indukovan´ y endomorfismus. Nutnˇe mus´ı existo0 vat p-komponenta R = tp (R), ˇze plat´ı 0 < ent (φR0 ) < ∞. Existence poˇzadovan´eho endomorfismu nyn´ı plyne z vˇety 2.45, lemmatu 2.44 a pozorov´an´ı 2.39. 23

2.5

Endomorfismy s nulovou entropi´ı

V t´eto sekci se bez u ´jmy na obecnosti omez´ıme na p-grupy. To n´am usnadn´ı nˇekter´e u ´vahy a obecn´ y pˇr´ıpad vyplyne z d˚ usledk˚ u 2.23 a 2.27. Necht’ tedy G je p-grupa. Oznaˇcme C centrum okruhu End (G). Z vˇety 1.9 vid´ıme, ˇze C je izomorfn´ı bud’ Jp nebo Zpn . Pro φ ∈ End (G) je okruh C[φ] nejmenˇs´ı podokruh End (G) obsahuj´ıc´ı C a φ. C[φ] je zˇrejmˇe komutativn´ı. Na G m˚ uˇzeme nahl´ıˇzet jako na C[φ]-modul. Pro F ∈ F (G) je C[φ]-podmodul G generovan´ y F tot´eˇz co T (φ, F ). Lemma 2.47. Necht’ φ je celistv´y nad C. Pak ent (φ) = 0. P n D˚ ukaz. Zvolme g ∈ G. Z definice celistvosti m´ame φk (g) + k−1 n=0 fn φ (g) = 0, fn ∈ C. Odtud ihned vid´ıme, ˇze T (φ, g) = Tk (φ, g). Ted’ jiˇz staˇc´ı pouˇz´ıt lemma 2.18. Ln Pˇ r´ıklad 2.48. Opaˇcn´a implikace neplat´ı. Oznaˇcme Gn = i=1 hbn,i i, kde hbn,i i jsou koneˇcn´e cyklick´e p-grupy, hbn,i i ∼ = hbn,j i pro vˇsechna i 6= j. Definujme φn ∈ End (Gn ) hodnotami na gener´atorech: ( bn,1 i = n, φn (bn,i ) = bn,i+1 jinak. GnLjsou koneˇcn´e grupy, proto je ent (φn )L = 0. Vezmˇeme direktn´ı souˇcet G = ı 2.26 je n∈N Gn a jeho endomorfismus φ = n∈N φn . Podle tvrzen´ ent (φ) = 0. Dok´aˇzeme, ˇze φ nen´ı celistv´ y nad C. Pro spor necht’ existuj´ı m ∈ N, ai ∈ C takov´a, ˇze φm + am−1 φm−1 + · · · + a0 = 0. Pro pˇrehlednost oznaˇcme zi = bm+1,i , 1 ≤ i ≤ m + 1. Pak φi (z1 ) = zi+1 , 1 ≤ i ≤ m. Mnoˇzina {zi }m+1 avisl´a, proto φm (z1 ) + am−1 φm−1 (z1 ) + · · · + a0 φ0 (z1 ) = i=1 je C-nez´ zm+1 + am−1 zm + · · · + a0 z1 6= 0. To je ale spor s pˇredpokladem, nebot’ dosazen´ı do nulov´eho homomorfismu nem˚ uˇze d´avat nenulov´ y v´ ysledek. Jestliˇze na poˇca´tku zvol´ıme hbn,i i ∼ = Zpk pro pevn´e k, jde o pˇr´ıpad C ∼ = ∼ ∼ Zpk , pˇri volbˇe hbn,i i = Zpn dostaneme C = Jp . ˇ Pokud oslab´ıme definici celistvosti, dostaneme ekvivalenci. Rekneme, ˇze φ ∈ End (G) je bodovˇe celistv´ y nad C, jestliˇze pro kaˇzd´e g ∈ G existuje monick´ y polynom fg (x) ∈ C[x] takov´ y, ˇze fg (φ) (g) = 0. Vid´ıme, ˇze d˚ ukaz lemmatu 2.47 projde i v pˇr´ıpadˇe, ˇze pˇredpokl´ad´ame pouze bodovou celistvost. Dˇr´ıve neˇz pˇrikroˇc´ıme k d˚ ukazu opaˇcn´e implikace, zavedeme jeˇstˇe jeden pojem. 24

Definice 2.49. Necht’ G je p-grupa, x ∈ G a necht’ C[φ]x znaˇc´ı C[φ]-modul generovan´ y mnoˇzinou {x}. Poloˇzme tφ (G) = { x ∈ G | C[φ]x je koneˇcn´a } = { x ∈ G | T (φ, x) je koneˇcn´a } . Jistˇe jde o podgrupu, nazveme ji φ-torzn´ı podgrupa G. V n´asleduj´ıc´ım lemmatu uvid´ıme, ˇze tφ (G) je φ-invariantn´ı, m´a proto smysl uvaˇzovat indukovan´ y endomorfismus φ¯ ∈ End (G/tφ (G)), oznaˇcme jeˇstˇe π kanonickou projekci modulo tφ (G). Lemma 2.50.

(i) x ∈ tφ (G) ⇐⇒ φ (x) ∈ tφ (G),

(ii) tφ (G) je φ-invariantn´ı, (iii) tφ¯ (G/tφ (G)) = 0, S (iv) K∞ = n∈N Ker (φn ) ≤ tφ (G). D˚ ukaz. (i) Plat´ı T (φ, x) = Zx+T (φ, φ (x)), proto je T (φ, x) koneˇcn´a, pr´avˇe kdyˇz je T (φ, φ (x)) koneˇcn´a. (ii) je okamˇzit´ y d˚ usledek (i). (iii) Zvolme x¯ = x + tφ (G) ∈ tφ¯ (G/tφ (G)) a uk´aˇzeme, ˇze x ∈ tφ (G). Jistˇe existuj´ı i < j takov´e, ˇze φ¯i (¯ x) = φ¯j (¯ x), tedy π (φi (x) − φj (x)) = 0. j Proto existuje y ∈ tφ (G) takov´e, ˇze plat´ı φ (x) = φi (x) + y. Odtud vid´ıme, ˇze T (φ, x) ≤ Tj (φ, x) + T (φ, y), kde napravo je koneˇcn´a grupa. Dok´azali jsme x ∈ tφ (G). (iv) Vezmˇeme x ∈ K∞ , pak φn (x) = 0 pro nˇejak´e n ∈ N. To ale znamen´a, ˇze T (φ, x) je koneˇcn´a, proto x ∈ tφ (G). Tvrzen´ı 2.51. Bud’ G p-grupa, φ ∈ End (G). Je ekvivalentn´ı: (i) ent (φ) = 0, (ii) pro kaˇzd´e g ∈ G je T (φ, g) koneˇcn´a, (iii) φ je bodovˇe celistv´y nad C, (iv) G = tφ (G), (v) ∀x ∈ G ∃m, n ∈ N, m < n : φm (x) = φn (x).

25

D˚ ukaz. Ekvivalence (i) a (ii) je pˇredmˇetem lemmatu 2.18. Ekvivalence (ii) a (iv) plyne ihned z definice. Z (iii) plyne (i) dle u ´vah za definic´ı bodov´e celistvosti. Zvolme x ∈ G. Pokud by φm (x) 6= φn (x) pro kaˇzd´e m < n, byla by T (φ, x) nekoneˇcn´a, proto z (ii) plyne (v). Pˇredpokl´adejme (v), pak φm (x) − φn (x) = 0, tedy plat´ı (iii). ˇ Definice 2.52. Necht’ G je torzn´ı Abelova grupa, φ ∈ End (G). Rekneme, ˇze φ je silnˇe rekurentn´ı, pokud pro kaˇzd´e g ∈ G existuje n ∈ N takov´e, ˇze φn (g) = g. Pro u ´plnost poznamenejme, ˇze φ se naz´ yv´a rekurentn´ı, pokud pro kaˇzd´e g ∈ G a pro kaˇzd´e N ∈ N existuje n ∈ N takov´e, ˇze plat´ı g − φn (g) ∈ pN G. Tvrzen´ı 2.53. Bud’ G Abelova grupa a φ ∈ End (G) monomorfismus. Pak φ je silnˇe rekurentn´ı, pr´avˇe kdyˇz ent (φ) = 0. D˚ ukaz. Necht’ ent (φ) = 0 a zvolme x ∈ G. Pak dle tvrzen´ı 2.51 (v) existuje m < n ∈ N, ˇze plat´ı φn (x) = φm (x). φ je prost´ y, proto φn−m (x) = x, tedy je φ silnˇe rekurentn´ı. Naopak pro kaˇzd´e g ∈ G existuje polynom fg (y) = y n −y, ˇze plat´ı fg (φ) (g) = 0, tedy φ je bodovˇe celistv´ y. D˚ usledek 2.54. Necht’ G je torzn´ı Abelova grupa, ent (G) = 0. Pak kaˇzd´y monomorfismus φ ∈ End (G) je jiˇz automorfismem. D˚ ukaz. Vzorem x ∈ G je φn−1 (x).

26

Kapitola 3 Algebraick´ a entropie pro moduly Definice 3.1. Necht’ R je okruh a i : Mod (R) → [0; ∞] zobrazen´ı invariˇ antn´ı na izomorfismy. Rekneme, ˇze i je subaditivn´ı invariant Mod (R), pokud pro kaˇzd´e R-moduly A a B plat´ı: (i) A ≤ B =⇒ i (B/A) ≤ i (B), (ii) i (A + B) ≤ i (A) + i (B). ˇ Rekneme, ˇze i je vˇern´ y, pokud i (M ) = 0 pouze pro M = 0. Aditivn´ı invariant je subaditivn´ı invariant, pro kter´ y nav´ıc plat´ı i (B) = i (A) + i (B/A), kdykoliv A ≤ B jsou R-moduly. Definice 3.2. Bud’ i subaditivn´ı invariant Mod (R), M ∈ Mod (R) a φ ∈ EndR (M ). Poloˇzme Fini (M ) = { N ≤ M | i (N ) < ∞ }. Pro F ∈PFini (M ) n−1 k φ F definujme n-tou ˇc´asteˇcnou φ-trajektoriiPF rovnost´ı Tni (φ, F ) = k=0 k φ F . Z definice subaditivn´ ıho a φ-trajektorii F rovnost´ı T i (φ, F ) = ∞ k=0 i i invariantu nahl´edneme, ˇze Tn (φ, F ) ∈ Fin (M ), podm´ınka (i) totiˇz implikuje φk F ∈ Fini (M ). D´ale definujme H i (φ, F ) = limn→∞ i (Tni (φ, F )) /n. Lze dok´azat, ˇze tato limita vˇzdy existuje. Koneˇcnˇe definujme i-entropii φ resp. M vzorci  enti (φ) = sup H i (φ, F ) | F ∈ Fini (M )  enti (M ) = sup enti (φ) | φ ∈ EndR (M ) . Pro takto obecnˇe definovanou entropii lze dok´azat analogii nˇekter´ ych tvrzen´ı, kter´e plat´ı pro grupovou entropii, napˇr´ıklad lemma 2.28. Nˇekter´a 27

tvrzen´ı jdou vˇsak vyslovit pouze s dodateˇcn´ ymi pˇredpoklady na invariant i. Tuto teorii nebudeme d´ale rozv´ıjet, omez´ıme se pouze na z´akladn´ı pˇr´ıklady. Pˇ r´ıklad 3.3. Uvaˇzujme nejprve Abelovy grupy, tj. R = Z. Pokud zvol´ıme i(A) = log |A|, dostaneme entropii z kapitoly 2. i je zˇrejmˇe vˇern´ y a z Lagrangeovy vˇety plyne, ˇze je aditivn´ı. Volba i (A) = rk (A) vede k hodnostn´ı entropii, kter´a je v jist´em smyslu du´aln´ı k log-entropii. Pˇritom hodnost rk (A) je definov´ana jako mohutnost maxim´aln´ı Z-line´arnˇe nez´avisl´e podmnoˇziny A. rk (A) = 0 pro A torzn´ı, proto m´a hodnostn´ı entropie v´ yznam hlavnˇe pro beztorzn´ı grupy. Tak´e odtud vid´ıme, ˇze i nen´ı vˇern´ y. Pˇ r´ıklad 3.4. Pokud uvaˇzujeme R komutativn´ı tˇeleso, lze za i zvolit dimenzi R-vektorov´eho prostoru. Tento invariant je jistˇe vˇern´ y a aditivn´ı.

28

Kapitola 4 Z´ avˇ er Na z´avˇer si pojd’me struˇcne shrnout obsah pr´ace. Po u ´vodn´ıch definic´ıch jsme se vˇenovali z´akladn´ım vlastnostem algebraick´e entropie. Za hlavn´ı v´ ysledek t´eto sekce lze povaˇzovat tvrzen´ı o omezen´ı hodnot entropie grupy na mnoˇzinu { 0, ∞ }. Zde proveden´ y d˚ ukaz je jednoduˇsˇs´ı neˇz d˚ ukaz v ˇcl´anku [DGSZ], kde jde o d˚ usledek pomˇernˇe obt´ıˇzn´e vˇety o existenci endomorfismu nekoneˇcn´e entropie za pˇredpokladu existence endomorfismu kladn´e entropie. Staˇc´ı pˇritom dok´azat existenci endomorfism˚ u libovolnˇe velk´e koneˇcn´e entropie. D´ale jsme studovali vztah entropie endomorfismu a entropie pˇr´ısluˇsn´eho indukovan´eho endomorfismu. Tyto poznatky jsme vyuˇzili pˇri studiu grup nekoneˇcn´e entropie. Uvedli jsme nˇekolik charakterizac´ı endomorfism˚ u nulov´e entropie a struˇcnˇe jsme zm´ınili pojem rekurence. Nezab´ yvali jsme se ot´azkou, kdy je entropie grupy nulov´a. To je jiˇz t´ema celkem pokroˇcil´e, vyuˇz´ıvaj´ı se hlubok´e v´ ysledky z teorie okruh˚ u endomorfism˚ u Abelov´ ych grup. Podstatnou roli zde hraj´ı mal´e endomorfismy (φ je mal´ y endomorfismus
p-grupy G, pokud pro kaˇzd´e k ∈ N existuje n ∈ N0 takov´e, ˇze φ pn G[pk ] = 0). Lze uk´azat, ˇze mal´e endomorfismy maj´ı nulovou entropii a tvoˇr´ı oboustrann´ y ide´al End (G). Do textu se rovnˇeˇz neveˇsel d˚ ukaz axiomatick´e charakterizace entropie. Ta je zn´am´a jak pro klasickou, tak pro hodnostn´ı entropii. Uvedeme alespoˇ n znˇen´ı, podrobnosti lze nal´ezt v [DGSZ, Theor. 6.1]. Algebraick´a entropie pro (torzn´ı) Abelovy grupy je definov´ana jako jednoznaˇcnˇe urˇcen´ y soubor funkc´ı {hG : End (G) → [0; +∞] | G torzn´ı} splˇ nuj´ıc´ı:
(i) ∀k ∈ N : hG φk = k hG (φ), (ii) necht’ θ : G → H je izomorfismus, pak hG (φ) = hH (θφθ−1 ), 29


(iii) necht’ H ≤ G je φ-invariantn´ı, pak hG (φ) = hG (φH ) + hG/H φ¯ , (iv) necht’ G je direktn´ı limitou φ-invariantn´ıch podgrup Gi , pak hG (φ) = sup hGi (φGi ), L (v) necht’ G = cn´a, σ ∈ End (G) Bernoulli˚ uv posunovac´ı N K, K koneˇ endomorfismus, pak ent (σ) = log |K|. Platnost tˇechto axiom˚ u pro konstruktivn´ı definici entropie byla pˇredmˇetem lemmat 2.16 a 2.29, tvrzen´ı 2.24, vˇety 2.37 a pˇr´ıkladu 2.8, nutno ovˇsem dodat, ˇze sˇc´ıtac´ı vˇeta nebyla v t´eto pr´aci dok´az´ana. Algebraick´a entropie se jev´ı jako mocn´ y n´astroj pro popis struktury endomorfism˚ u, zat´ım je vˇsak prozkouman´a pouze pro komutativn´ı objekty — moduly. Jedna z cest dalˇs´ıho v´ yzkumu se proto nab´ız´ı zobecnˇen´ı entropie na nekomutativn´ı struktury. Nen´ı ale pˇredem jist´e, ˇze toto zobecnˇen´ı bude m´ıt nˇejak´e rozumn´e vlastnosti.

30

Literatura [AKM] R. L. Adler, A. G. Konheim, and M. H. McAndrew. Topological entropy. Trans. Amer. Math. Soc. 114:309–319, 1965. [DGSZ] D. Dikranjan, B. Goldsmith, L. Salce, and P. Zanardo. Algebraic entropy for abelian groups. Trans. Amer. Math. Soc. 361 (7):3401– 3434, 2009. [F1]

L. Fuchs. Infinite abelian groups. Vol. I. Pure and Applied Mathematics, Vol. 36. Academic Press, New York, 1970.

[F2]

L. Fuchs. Infinite abelian groups. Vol. II. Academic Press, New York, 1973. Pure and Applied Mathematics. Vol. 36-II.

[P]

J. Peters. Entropy on discrete abelian groups. Adv. in Math. 33 (1):1–13, 1979.

[S]

L. Salce. Struttura dei p-gruppi abeliani. Pitagora Ed., Bologna, 1980.

[SZ]

L. Salce and P. Zanardo. A general notion of algebraic entropy and the rank-entropy. Forum Math. 21 (4):579–599, 2009.

[W]

M. D. Weiss. Algebraic and other entropies of group endomorphisms. Math. Systems Theory 8 (3):243–248, 1974/75.

31