SELEKSI TINGKAT PROPINSI CALON PESERTA OLIMPIADE SAINS NASIONAL 2012
MATEMATIKA SMA/MA PETUNJUK UNTUK PESERTA: 1. Tes terdiri dari dua bagian. Tes bagian pertama terdiri dari 20 soal isian singkat dan tes bagian kedua terdiri dari 5 soal uraian. 2. Waktu yang disediakan untuk menyelesaikan semua soal adalah 210 menit. (tiga puluh) menit pertama dari keseluruhan waktu tes. 3. Tuliskan nama, kelas, dan asal sekolah Anda di sebelah kanan atas pada setiap halaman. 4. Untuk soal bagian pertama: (a) Masing-masing soal bagian pertama bernilai 1 (satu) angka. (b) Beberapa pertanyaan dapat memiliki lebih dari satu jawaban yang benar. Anda diminta memberikan jawaban yang paling tepat atau persis untuk pertanyaan seperti ini. Nilai hanya akan diberikan kepada pemberi jawaban paling tepat atau paling persis. (c) Tuliskan hanya jawaban dari soal yang diberikan. Tuliskan jawaban tersebut pada kotak di sebelah kanan setiap soal. 5. Untuk soal bagian kedua: (a) Masing-masing soal bagian kedua bernilai 7 (tujuh) angka. (b) Anda diminta menyelesaikan soal yang diberikan secara lengkap. Selain jawaban akhir, Anda diminta menuliskan semua langkah dan argumentasi yang Anda gunakan untuk sampai kepada jawaban akhir tersebut. (c) Jika halaman muka tidak cukup, gunakan halaman sebaliknya. 6. Jawaban hendaknya Anda tuliskan dengan menggunakan tinta (bukan pensil), kecuali pada sketsa gambar. 7. Selama tes, Anda tidak diperkenankan menggunakan buku, catatan, dan alat bantu hitung. Anda juga tidak diperkenankan bekerjasama. 8. Mulailah bekerja hanya setelah pengawas memberi tanda dan berhentilah bekerja segera setelah pengawas memberi tanda. 9. Selamat bekerja.
1
Nama: .................................... Kelas: ........ Sekolah: ......................................................
BAGIAN PERTAMA 1. Misalkan O dan I berturut-turut menyatakan titik pusat lingkaran luar dan titik pusat lingkaran dalam pada segitiga dengan panjang sisi 3; 4; dan 5: Panjang dari OI adalah...
2. Misalkan x; y; dan z adalah bilangan-bilangan prima yang memenuhi persamaan 34x
51y = 2012z:
Nilai dari x + y + z adalah...
3. Diketahui empat dadu setimbang dan berbeda, yang masing-masing berbentuk segi delapan beraturan bermata 1, 2, 3, ..., 8. Empat dadu tersebut ditos (dilempar) bersama-sama satu kali. Probabilitas kejadian ada dua dadu dengan mata yang muncul sama sebesar ...
4. Fungsi bernilai real f dan g masing-masing memiliki persamaan s p p x 2 p f (x) = bxc a dan g(x) = x2 a
dengan a bilangan bulat positif. Diketahui bxc menyatakan bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan x. Jika domain g f adalah fxj3 21 x < 4g, maka banyaknya a yang memenuhi sebanyak...
5. Diberikan bilangan prima p > 2: Jika S adalah himpunan semua bilangan asli n yang menyebabkan n2 + pn merupakan kuadrat dari suatu bilangan bulat maka S = :::
6. Untuk sebarang bilangan real x dide…nisikan fxg sebagai bilangan bulat yang terdekat dengan x; sebagai contoh f1; 9g = 2; f 0; 501g = 1; dan sebagainya. Jika n adalah suatu o npbilangan 3 k =n bulat positif kelipatan 2012, maka banyak bilangan bulat positif k yang memenuhi adalah...
7. Banyak bilangan bilangan asli n < 100 yang mempunya kelipatan yang berbentuk 123456789123456789:::123456789 adalah...
2
8. Diberikan parallelogram (jajar genjang) ABCD. Titik M pada AB sedemikian rupa sehingga AM 17 = 0; 017, dan titik N pada AD sehingga AN = 2009 . Misal- kan AC \ M N = P , maka AC = AB AD AP ...
9. Dalam sebuah pertemuan, 5 pasang suami istri akan didudukkan pada sebuah meja bundar. Berapa banyak cara untuk mengatur posisi duduk 5 pasang suami istri tersebut sedemikian sehingga tepat 3 suami duduk disamping istrinya?
10. Jika p; q; dan r akar-akar dari x3
x2 + x
2 = 0, maka p3 + q 3 + r3 = ....
11. Jika m dan n bilangan bulat positif yang memenuhi m2 + n5 = 252, maka m + n =...
12. Pada ABC titik D terletak pada garis BC. Panjang BC = 3, \ABC = 30 , dan \ADC = 45 . Panjang AC =...
13. Lima siswa, A; B; C; D; E berada pada satu kelompok dalam lomba lari estafet. Jika A tidak bisa berlari pertama dan D tidak bisa berlari terakhir, maka banyaknya susunan yang mungkin adalah...
14. Diketahui H adalah himpunan semua bilangan asli kurang dari 2012 yang faktor primanya tidak lebih dari 3: Selanjutnya dide…nisikan himpunan S=
1 jn 2 H : n
Jika x merupakan hasil penjumlahan dari semua anggota S dan bxc menya- takan bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan x, maka bxc = ... 15. Diberikan dua lingkaran 1 dan 2 yang berpotongan di dua titik yaitu A dan B dengan AB = 10. Ruas garis yang menghubungkan titik pusat kedua lingkaran memotong lingkaran 1 dan 2 masing-masing di P dan Q. Jika P Q = 3 dan jari-jari lingkaran 1 adalah 13, maka jari-jari lingkaran 2 adalah : : :
16. Banyaknya pasangan bilangan bulat (x; y) yang memenuhi 1 1 + x y
1 3 = 2 xy 4
adalah ......
3
17. Untuk bilangan real positif x dan y dengan xy = 13 , nilai minimum
1 9x6
+
1 4y 6
adalah ......
18. Banyaknya pasangan bilangan bulat positif (a; b) yang memenuhi 4a + 4a2 + 4 = b2 adalah ......
19. Diberikan segitiga ABC, dengan panjang AB sama dengan dua kali panjang AC. Misalkan D dan E berturut-turut pada segmen AB dan BC, sehingga \BAE = \ACD. Jika F = AE \CD dan CEF merupakan segitiga sama sisi, maka besar sudut dari segitiga ABC adalah ......
20. Banyaknya bilangan bulat positif n yang memenuhi n 2012 dan merupakan bilangan kuadrat sempurna atau kubik atau pangkat 4 atau pangkat 5 atau ... atau pangkat 10, ada sebanyak...
4
Nama: .................................... Kelas: ........ Sekolah: ......................................................
BAGIAN KEDUA Soal 1. Tentukan semua pasangan bilangan bulat tak negatif (a; b; x; y) yang memenuhi sistem persamaan a + b = xy x + y = ab
5
Nama: .................................... Kelas: ........ Sekolah: ...................................................... Soal 2. Cari semua pasangan bilangan real (x; y; z) yang memenuhi sistem persamaan p 8 < x = 1 + p y z2 y = 1 + pz x2 : z = 1 + x y2:
6
Nama: .................................... Kelas: ........ Sekolah: ...................................................... Soal 3. Seorang laki - laki memiliki 6 teman. Pada suatu malam di suatu restoran, dia bertemu dengan masing - masing mereka 11 kali, setiap 2 dari mereka 6 kali, setiap 3 dari mereka 4 kali, setiap 4 dari mereka 3 kali, setiap 5 dari mereka 3 kali, dan semua mereka 10 kali. Dia makan diluar 9 kali tanpa bertemu mereka. Berapa kali dia makan di restoran tersebut secara keseluruhan ?
7
Nama: .................................... Kelas: ........ Sekolah: ...................................................... Soal 4. Diberikan segitiga lancip ABC. Titik H menyatakan titik kaki dari garis tinggi yang ditarik dari A. Buktikan bahwa AB + AC
BC cos \BAC + 2AH sin \BAC
8
Nama: .................................... Kelas: ........ Sekolah: ...................................................... Soal 5. Diketahui p0 = 1 dan pi bilangan prima ke-i, untuk i = 1; 2; : : :; yaitu p1 = 2, p2 = 3, : : :. Bilangan prima pi dikatakan sederhana jika (n2 )
pi
> pi 1 (n!)4
untuk semua bilangan bulat positif n. Tentukan semua bilangan prima yang sederhana!
9
SELEK KSI OLIM MPIADE TINGKA AT PROV VINSI 20 012 TIM OLIMPIAD DE MATE EMATIKA A INDON NESIA 20 013
Prestaasi itu dirraih bukann didapatt !!!
SOLU USI SOA AL BAGIAN N PERTA AMA
Disussun oleh : Eddy He rmanto, SST
Solusi
Olimpiade O e Matema atika Tk P Provinsi 2 2012
Bagian Pertama
BAGIAN PER RTAMA 1. Tanpa mengurangi m keumuman k misalkan m AC = 3 ; AB = 4 ; BC = 5. Misalkan n juga R adalah jari-jari lingkaran lu uar dan r ad dalah jari-jarri lingkaran dalam ΔABC C. Karena ΔABC Δ siku-siiku di A mak ka BC adalah h diameter llingkaran lua ar ΔABC. Jadi, O adalah a perte engahan BC..
Misalkan n D adalah tiitik pada AB B sehingga OD AB dan E pada OD ssehingga IE OD. 1 6 2 r=1 Karena O adalah pertengahan BC B maka D adalah perte ngahan AB ssehingga AD = 2. Jadi, E adalah a titik singgung garis OD terha adap lingkaraan dalam. M Maka IE = 2. OE = OD ED = AC Cr= OI2 = OE2 + IE2 =
1
OI = √5 5 Jadi,, panjang OII = √ . 2. 34x 51 1y = 2012z dengan x, y, z adalah billangan primaa. Karena 34 3 dan 2012 habis dibag gi 2 maka y habis h dibagi 2. Karena y prima makka y = 2. Karena 34 3 dan 51 ha abis dibagi 17 1 maka z ha abis dibagi 117. Karena z prima makka z = 17. 34x 51(2) = 2012(1 17) 9 yang meme enuhi bahwa a x adalah bilangan prim ma. x = 1009 x + y + z = 1009 + 2 + 17 = 1028 Jadi,, nilai dari x + y + z ada alah 1028. 3. Banyakn nya kejadian n semua angk ka dadu berrbeda = 8 x 7 x 6 x 5. Peluang ada angka yang y sama = 1 Jadi,, peluang ad da angka yan ng sama =
SMA Negerri 5 Bengkullu
E Eddy Hermaanto, ST
Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2012
Solusi
4.
2
dan 2
√ √
Bagian Pertama
dengan a adalah bilangan bulat positif.
2 √
Karena 3
4 maka
3.
4 maka
Untuk 3 3
√6
√3
sehingga
2
√ Syarat yang harus dipenuhi adalah a 3 (1) dan √6 2 3 0 √ a(3 a)2 6 2a (2) Jika a = 1 maka 1 (3 1)2 = 4 dan 6 2(1) = 4 Jika a = 2 maka 2 (3 2)2 = 2 dan 6 2(2) = 2 Jika a = 3 maka 3 (3 3)2 = 0 dan 6 2(3) = 0 Maka nilai a bulat positif yang memenuhi adalah a = 1 atau a = 2 atau a = 3. Banyaknya nilai a yang memenuhi ada 3. 5. Karena n2 + pn bilangan kuadrat sempurna maka 4n2 + 4pn juga merupakan kuadrat sempurna. 4n2 + 4pn = m2 dengan n, m N dan p adalah bilangan prima. (2n + p)2 p2 = m2 p2 = (2n + p + m)(2n + p m) Maka ada 2 kasus : Jika 2n + p + m = p dan 2n + p m = p Maka didapat 2n + p = 0 dan 2n p = 0 Didapat n = 0 yang tidak memenuhi syarat bahwa n N. Jika 2n + p + m = p2 dan 2n + p m = 1 Jumlahkan kedua persamaan didapat 4n + 2p = p2 + 1 4n = (p 1)2 Karena p adalah bilangan prima ganjil maka akan didapat n N. Jadi,
6.
dengan p bilangan prima > 2.
2012
√
dengan m N
√ Karena n habis dibagi 2012 maka
SMA Negeri 5 Bengkulu
dan
keduanya bilangan asli. Jadi,
Eddy Hermanto, ST
Olimpiade O e Matema atika Tk P Provinsi 2 2012
Solusi
Bagian Pertama
1
Maka ba anyaknya nila ai k yang me emenuhi ada a Jadi,, banyaknya a nilai k yang g memenuhi ada
3
1.
.
7. Misalkan n m = 123456789123456789…123456 6789 merupaakan bilanga an terdiri da ari 9k angka a dengan angka-an ngka berulang setiap 9 angka a yaitu 123456789. m = 1234 456789(1 + 109 + 1018 + + 109(k-1)) Jelas bahwa 31234 456789. Juga jelas bahwa 9 membagi 12 23456789. Karena 12345678912 1 23456789 ha abis dibagi 11 maka 11 jjuga memba agi m. 999 = 33 37 ( 37) Ma aka 109n 1 (mod 37) un ntuk n bilanggan bulat tak negatif. 103 1 (mod Jadi, jik ka k = 37 maka 37m = 123456789(1 1 + 109 + 101 8 + + 109(kk-1)) 3 9n 10 1 (mod ( 27) Ma aka 10 1 (mod 27) un ntuk n bilanggan bulat tak negatif. Jadi, jik ka k = 27 maka 271 + 109 + 1018 + + 109(k-1) se ehingga 27m Karena 3123456789 3 9 dan 271 + 109 + 1018 + + 109(k-11) maka 81m m Maka billangan asli n < 100 yang g mempunyai kelipatan m adalah 1, 3, 9, 11, 27 7, 33, 37, 81 1, 99. Jadi,, banyaknya a bilangan assli n < 100 ya ang memenu uhi ada 9. 8. Perhatik kan gambar.
Tanpa mengurangi m keumuman k misalkan m koo ordinat A(0, 0), B(a, 0) dan D(b, c).. Maka koordinat C(b + a, c). Koo ordinat
, 0 dan n
,
.
Persama aan garis AC adalah 0
Persama aan garis MN N adalah
Perpotongan garis AC A dan MN ad dalah titik P
sehingga
,
.
177 7
Maka Jadi,,
. Jadi, koordinat
.
9. Misalkan n A, B, C da an D adalah h 4 orang da alam arah ssearah jarum m jam yangg tidak dudu uk dekat pasangannya dan xA, xB, xC dan xD adalah banyaknya b kkursi yang be erada antarra A dan B, a antara B dan C, antara a C dan n D dan anta ara D dan A.. Jelas bahw wa xA, xB, xC dan xD semuanya genap. Ada 4 kasus : SMA Negerri 5 Bengkullu
E Eddy Hermaanto, ST
Solusi
Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2012
Bagian Pertama
Kasus 1, xA = 0, xB = 0, xC = 0 dan xD = 6. A, B, C dan D akan berdekatan. Agar di antara mereka tidak ada sepasang suami isteri maka mereka harus duduk berselang seling. Banyaknya cara memilih A ada 10. Banyaknya cara memilih B hanya 8 sebab B tidak boleh pasangan A. Cara memilih C dan D hanya ada satu cara memilihnya sebab mereka pasangannya A dan B. Banyaknya cara menyusun 3 pasang lainnya adalah 3! X 2 x 2 x 2 = 48. Banyaknya susunan = 10 x 8 x 1 x 1 x 48 = 3840. Kasus 2, xA = 0, xB = 2, xC = 2 dan xD = 2. A dan B akan berdekatan sehingga tidak mungkin pasangan suami isteri. Banyaknya cara memilih A dan B adalah 10 x 8. C adalah pasangan A atau B sehingga banyaknya cara memilih C dan D adalah 2 x 1. Banyaknya cara menyusun 3 pasang lainnya adalah 3! X 2 x 2 x 2 = 48. Banyaknya susunan = 10 x 8 x 2 x 1 x 48 = 7680. Kasus 3, xA = 0, xB = 0, xC = 2 dan xD = 4. A, B dan C akan berdekatan sehingga B bukan pasangan A atau C. Banyaknya cara memilih A ada 10 dan B ada 8. Banyaknya cara memilih C dan D hanya ada 1. Banyaknya cara menyusun 3 pasang lainnya adalah 3! X 2 x 2 x 2 = 48. Banyaknya susunan = 10 x 8 x 1 x 1 x 48 = 3840. Kasus 4, xA = 0, xB = 2, xC = 0 dan xD = 4. A dan B akan berdekatan sehingga tidak mungkin pasangan suami isteri. Banyaknya cara memilih A dan B adalah 10 x 8. C adalah pasangan A atau B sehingga banyaknya cara memilih C dan D adalah 2 x 1. Banyaknya cara menyusun 3 pasang lainnya adalah 3! X 2 x 2 x 2 = 48. Banyaknya susunan = 10 x 8 x 2 x 1 x 48 = 7680 Kasus 5, xA = 0, xB = 0, xC = 4 dan xD = 2. A, B dan C akan berdekatan sehingga B bukan pasangan A atau C. Banyaknya cara memilih A ada 10 dan B ada 8. Banyaknya cara memilih C dan D hanya ada 1. Banyaknya cara menyusun 3 pasang lainnya adalah 3! X 2 x 2 x 2 = 48. Banyaknya susunan = 10 x 8 x 1 x 1 x 48 = 3840 Banyaknya cara menyusun secara keseluruhan = 10 x 8 x 7 x 1 x 48 = 26880. Jadi, banyaknya cara menyusun secara keseluruhan = 26880.
10. x3 x2 + x 2 = 0 akar-akarnya p, q dan r. p+q+r=1 pq + pr + qr = 1 pqr = 2 Alternatif 1 : (p + q + r)3 = p3 + q3 + 3 + 3p2q + 3p2r + 3pq2 + 3pr2 + 3q2r + 3qr2 + 6pqr (p + q + r)3 = p3 + q3 + r3 + 3(pq + pr + qr)(p + q + ) 3pqr 13 = p3 + q3 + r3 + 3(1)(1) 3(2) p3 + q3 + r3 = 4 Alternatif 2 : p2 + q2 + r2 = (p + q + r)2 2(pq + pr + qr) = 12 2 1 = 1 p, q dan r adalah akar-akar persamaan x3 x2 + x 2 = 0 maka p3 p 2 + p 2 = 0 q3 q 2 + q 2 = 0 SMA Negeri 5 Bengkulu
Eddy Hermanto, ST
Solusi
Olimpiade O e Matema atika Tk P Provinsi 2 2012
Bagian Pertama
r3 r2 + r 2 = 0 Didapat p3 + q3 + r3 (p2 + q2 + r2) + p + q + r = 6 p 3 + q 3 + r3 + 1 + 1 = 6 p 3 + q 3 + r3 = 4 Jadi,, p3 + q3 + r3 = 4. 11. m2 + n5 = 252 denga an m, n N 5 n 252 sehingga n 3 Jika n = 1 maka m2 = 251. Tidak T ada m N yang m emenuhi. Jika n = 2 maka m2 = 220. Tidak T ada m N yang m emenuhi. 2 Jika n = 3 maka m = 9. Nila ai m N yan ng memenuh hi hanya m = 3. Maka pa asangan (m, n) yang mem menuhi adallah (3, 3). Jadi,, m + n = 6. 12. Misalkan n panjang BD D = x. Karena ADC = 45 5o maka AD DB = 135o se ehingga BA AD = 15o.
AD = 2x cos 15o. Pada ΔA ACD berlaku AC2 = AD D2 + DC2 2 AD DC cos 45o 2 AC = (2x x cos 15o)2 + (3 x)2 2(2x 2 cos 15o)(3 ) x) cos 445o Maka nillai AC bergantung denga an x. Jadi,, belum dap pat ditentuka an panjang AC. A 13. Ada 2 ka asus : Jika D sebagai pelari p pertam ma Bany yaknya cara memilih pelari ke-2 ada a 4, pelari kke-3 ada 3, p pelari ke-4 a ada 2 dan pe elari ke5 ada 1. Bany yaknya cara = 4x3x2x1 = 24 Jika D bukan seb bagai pelari pertama yaknya cara memilih pellari ke-1 ada a 3. Bany Bany yaknya cara memilih pellari ke-5 ada a 3. Bany yaknya cara memilih pellari ke-2 ada a 3 dan pelaari ke-3 ada 2 dan pelari ke-4 ada 1. Bany yaknya cara = 3x3x2x1x3 3 = 54 Banyakn nya cara men nyusun pelari = 24 + 54 = 78. Jadi,, banyaknya a cara menyu usun pelari = 78. SMA Negerri 5 Bengkullu
E Eddy Hermaanto, ST
Olimpiade O e Matema atika Tk P Provinsi 2 2012
Solusi
Bagian Pertama
14. H = {20 30, 20 31, 20 32, 20 33, , 210 30) 36 = 729 dan 37 = 2187 24 dan 211 = 2048. 210 = 102 ∙
∙
∙
⋯
∙
∙
dengan q = 210 36.
p = 36 (2 ( 10 + 29 + + 1) + 35 (2 ( 10 + 25 + + 21) + 34 (210 + 25 + + 23) + 33 (210 + 25 + + 24) + 32 (210 + 29 + + 26) + 31 (210 + 210 + + 27) + 30 (2110 + 29) p = 36 (2 ( 11 1) + 35 21 (210 1) + 34 23 (28 1) + 33 24 (27 1) + 32 26 (25 1) + 31 27 4 (2 1) + 30 29 (22 1) p = 1492 2263 + 49717 78 + 165240 + 54862 + 17856 + 57600 + 1536 = 2.234.697. q = 210 36 = 746.496 6 2 3 Jadi,,
.
15. Misalkan n M dan N be ertuurt-turut adalah pussat lingkaran n Г1 dan Г2. Misalkan ju uga MN berp potongan dengan AB A di R. Jela as bahwa R adalah perte engahan AB . Jadi, AR = RB = 5.
Jelas bahwa garis melalui kedua k pusatt lingkaran akan mem motong teggak lurus ttalibusur A MR dan n AR RN. persekuttuan. Jadi, AR Karena MA M = 13 dan AR = 5 mak ka MR = 12. Jadi, J RP = 1 dan QR = PQ RP = 3 1 = 2. Misalkan n jari-jari Г2 = r. AN2 = AR R2 + RN2 2 2 r = 5 + (r 2)2 4r = 29 Jadi jari-jari ling gkaran Г2 = .
dengan x, y Z
16.
Jelas bahwa x,y 0. Jika x < 0 maka 0 Nilaii y yang mem menuhi hanyya y = 1 Teta api untuk y = 1 maka
1
Jika x > 0 J y<0 Jika Nilai N x yang memenuhi hanya h x = 1.
SMA Negerri 5 Bengkullu
E Eddy Hermaanto, ST
Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2012
Solusi
Bagian Pertama
4y 4 = y2 (y + 2)2 = 8 Tidak ada y bulat yang memenuhi. Jika y > 0 Jika x y x2 Jika x = 1 maka tidak ada y yang memenuhi. Jika x = 2 maka
4y 2 = y2 (y 2)2 = 2 Tidak ada y bulat yang memenuhi. Jika y x
y2 Jika y = 1 maka tidak ada x bulat yang memenuhi. yang dipenuhi oleh x = 3. Jika y = 2 maka Pasangan (x, y) = (3, 2) memenuhi persamaan. Banyaknya pasangan bilangan bulat (x, y) yang memenuhi ada 1. Jadi, banyaknya pasangan bilangan bulat (x, y) yang memenuhi ada 1.
17. Berdasarkan ketaksamaan AM-GM maka 2∙ Jadi,nilai minimal dari
∙
∙3
9
adalah 9.
18. Lemma : Akan dibuktikan dengan induksi matematika bahwa 4n > 4n2 untuk n N dan n > 2. Bukti : Jika n = 3 maka 64 = 43 > 4 (3)2 = 36 Andaikan benar untuk n = k maka diangap benar 4k > 4k2 4k+1 = 4 4k > 16k2 = 4k2 + (k 2) 8k + 16k + 4k2 Karena k > 2 maka 4k+1 = 4 4k > 16k2 = 4k2 + (k 2) 8k + 16k + 4k2 > 4k2 + 8k + 4 = 4(k + 1)2 Maka terbukti bahwa jika 4k > 4k2 maka 4k+1 > 4(k + 1)2 untuk k > 2. Jadi, terbukti bahwa 4n > 4n2 untuk n N dan n > 2 4a + 4a2 + 4 = b2. Karena ruas kiri habis dibagi 4 maka b genap. Misalkan b = 2m maka 4a-1 + a2 + 1 = m2 Jika a ganjil maka ruas kiri dibagi 4 akan bersisa 2 atau 3 yang tidak memenuhi syarat. Misalkan a = 2n maka 42n-1 + 4n2 + 1 = m2 SMA Negeri 5 Bengkulu
Eddy Hermanto, ST
Olimpiade O e Matema atika Tk P Provinsi 2 2012
Solusi
Bagian Pertama
Berdasarkan lemma untuk n > 2 maka (22n-1)2 = 42n-1 < 42n-1 + 4n2 + 1 < 42n-1 + 4n + 1 = (22n-1)2 + 2 22n-1 + 1 = (22n-1 + 1)2 (22n-1)2 < 42n-1 + 4n2 + 1 < (22n-1 + 1)2 (22n-1)2 < m2 < (22n-1 + 1)2 Jadi, un ntuk n > 2 maka m m2 terrletak di antara 2 bilan ngan kuadra at berurutan n. Maka tida ak ada n yang me emenuhi. Jika n = 1 maka 42n-11 + 4n2 + 1 = 9 = 32. Jika n = 2 maka 42n-11 + 4n2 + 1 = 81 = 92. Maka pa asangan bilan ngan bulat positif p (a, b)) yang meme enuhi adalah h (2, 6), (4, 18). Jadi,, banyaknya a pasangan bilangan b bula at positif (a , b) yang me emenuhi ada a 2. 19. Misalkan n BAE = A ACD = . Missalkan juga panjang p AC = x sehingga a panjang AB B = 2x.
Karena CFE = 60o maka m AFC = 120o. o Karena AFC = 120 dan ACF = maka C CAF = 60o sehingga BAC = 60o. Karena BAC = 60o dan d ACB = 60o + mak ka ABC = 660o . Berdasarkan dalil sinus pada ΔA ABC maka Karena AB A = 2AC ma aka 2 sin (60 0o ) = sin (60o + ) 2 ∙ √3 cos c 2 ∙ sin s c √3 cos √3 cos
sin
sin
cot √3 √ = 30o ABC = 60o = 30 0o. Jadi,, besar ABC = 30o. 20. Bilangan n pangkat 2, 2 pangkat 4, 4 pangkat 6, pangkat 8 dan pan ngkat 10 semuanya me erupakan bilangan n pangkat 2. Bilangan pangkat 9 juga j merupaakan bilanggan pangkat 3. Jadi, pe ersoalan setara dengan d men ncarai banya aknya bilangan pangkaat 2 atau pa angkat 3 attau pangkatt 5 atau pangkat 7. Misalkan n A, B, C dan n D berturutt-turut adalaah himpunan n semua angggota bilangan bulat positif n 2012 yang merupakan pangkat 2, pangkat 3,, pangkat 5 dan pangkat 7. Karena 44 4 2 = 1936 dan d 452 = 202 25 maka ban nyaknya angggota himpun nan A = A = 44. 3 Karena 12 1 = 1728 dan d 133 = 219 97 maka ban nyaknya angggota himpun nan B = B = 12. 5 5 Karena 4 = 1024 da an 5 = 3125 maka banya aknya anggoota himpunan n C = C = 4. Karena 27 = 128 dan n 37 = 2187 maka m banyak knya anggotaa himpunan D = D = 2 2.
SMA Negerri 5 Bengkullu
E Eddy Hermaanto, ST
Solusi
Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2012
Bagian Pertama
AB adalah himpunan semua anggota bilangan bulat positif n 2012 yang merupakan pangkat 2 dan juga pangkat 3 yang berarti merupakan himpunan pangkat 6. Karena 36 = 729 dan 46 = 4096 maka banyaknya anggota himpunan AB = AB= 3. Dengan cara yang sama didapat AC = 2 ; AD = 1 ; BC = 1 ; BD = 1 ; CD = 1. ABC = 1 ; ABD = 1 ; ACD = 1 ; BCD = 1. ABCD = 1 ABCD = A + B + C + D AB AC AD BC BD CD + ABC + ABD + ACD + BCD ABCD . ABCD = 44 + 12 + 4 + 2 3 2 1 1 1 1 + 1 + 1 + 1 + 1 1 = 56 Jadi, banyaknya bilangan yang memenuhi ada 56.
SMA Negeri 5 Bengkulu
Eddy Hermanto, ST
SELEK KSI OLIM MPIADE TINGKA AT PROV VINSI 20 012 TIM OLIMPIAD DE MATE EMATIKA A INDON NESIA 20 013
Prestaasi itu dirraih bukann didapatt !!!
SOLU USI SOA AL BAGIA AN KED DUA
Disussun oleh : Eddy He rmanto, SST
Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2012
Solusi
Bagian Kedua
BAGIAN KEDUA 1. a, b, x, y bilangan bulat tak negatif. a + b = xy x + y = ab Jika salah satu di antara a, b, x dan y sama dengan 0, tanpa mengurangi keumuman misalkan saja a = 0 maka x + y = 0 sehingga x = y = 0 dan membuat b = 0. Jadi, jika salah satu di antara a, b, x atau y sama dengan 0 maka yang lain akan sama dengan 0. Andaikan bahwa tidak ada satupun di antara a, b, x atau y sama dengan 0. Karena a dan b simetris maka dapat diandaikan a b. Karena a bilangan bulat lebih dari 0 maka x + y = ab b 2x + 2y 2b Karena a b maka xy = a + b 2b 2x + 2y 2b a + b = xy Jadi, didapat 2x + 2y xy (x 2)(y 2) 4 Karena x dan y simetris maka tanpa mengurangi keumuman dapat dimisallkan x y. Maka x 4. Jika x = 1 a + b = y dan 1 + y = ab 1 + a + b = ab (a 1)(b 1) = 2 Didapat a = 2 dan b = 3 sehingga y = 5 Jika x = 2 a + b = 2y dan 2 + y = ab 4 + a + b = 2ab (2a 1)(2b 1) = 9 Didapat a = 1 dan b = 5 sehingga y = 3 atau a = 2 dan b = 2 sehingga y = 2 Jika x = 3 a + b = 3y dan 3 + y = ab 9 + a + b = 3ab (3a 1)(3b 1) = 28 Didapat a = 1 dan b = 5 sehingga y = 2 Jika x = 4 Maka y = 4 a + b = 16 dan 8 = ab Tidak ada a dan b bulat yang memenuhi. Semua tupel (a,b,x,y) yang memenuhi adalah (0,0,0,0), (1,5,2,3), (1,5,3,2), (2,2,2,2), (2,3,1,5), (2,3,5,1), (3,2,1,5), (3,2,5,1), (5,1,2,3), (5,1,3,2).
2.
1 1 1 Karena akar suatu bilangan tidak mungkin negatif maka x, y, z 1. Alternatif 1 : Karena x, y, z 1 maka x2 x ; y2 y dan z2 z
SMA Negeri 5 Bengkulu
Eddy Hermanto, ST
Olimpiade Matem matika Tk k Provinsii 2012
Solusi
Bagia an Kedua
Karena x real maka y z2 z x2 x y2 Karena y y2 dan y2 y maka haruslah h y = y2 yang dipe enuhi oleh y = 1. Dengan cara yang sa ama didapatt x = z = 1. Jadi, tripel bilangan n real (x,y,z) yang memenuhi x = y = z = 1. Alternattif 2 : Karena x, x y, z 1 maka m xyz 1 Jelas bahwa y z2 ; z x2 dan n z y2 . Kalikan ketiga persa amaan di ata as didapat 2 yz) xyz (xy xyz 1 Karena xyz x 1 adan n xyz 1 ma aka haruyslah xyz = 1 yaang dipenuhii hanya jika x = y = z = 1 1. Jadi,, tripel bilan ngan real (x,y,z) yang memenuhi m x = y = z = 1.. 3. Misalkan n kawan-kaw wan laki-laki tersebut ad dalah A, B, C C, D, E dan F, ABC CDEF = 11 6C1 6 6C2 + 4 6C3 3 6C4 + 3 6C5 10 6C6 S 9 = 66 90 + 80 45 + 18 8 10 = 19 8 S = 28 Maka lak ki-laki tersebut pergi ke e restoran se ebanyak 28 kkali. Catatan : Penulis berkeyakina b n bahwa maksud soal adalah sepe erti tersebu ut di atas. B Bertemu dengan tepat tiga di d antaranya a berarti jug ga bertemu dengan 2 d di antaranya a. Persyarattan yang dipenuhi haruslah banyaknya b pertemuan p muanya paling banyak harus sama dengan dengan sem pertemu uan dengan lima di antaranya. Te ernyata berttemu denga an semuanyya sebanyakk 10 kali lebih banyak dari be ertemu deng gan setiap lima di antarranya,yaitu 3 kali. Jika tida ak, maka soa al harus diarrtikan berte emu dengan setiap lima di antaranyya tidak bera arti juga bertemu u dengan em mpat di antarranya. ABC CDEF = 11 6C1 + 6 6C2 + 4 6C3 + 3 6C4 + 3 6C5 + 10 0 6C6 S 9 = 66 + 90 + 80 + 45 + 18 8 + 10 = 309 18. S = 31 Jadi,, laki-laki te ersebut makan di restora an sebanyakk 28 kali. 4 4. Andaikan Ai dengan i = 1, 2, 3, adalah ku umpulan titiik-titik sehin ngga BAiC = maka ku umpulan titik-titik tersebut akan a membe entuk suatu lingkaran.
Misalkan n Hi pada BC C sehingga AiHi tegak lurrus BC. Jelas bahwa AiHi aka an maksimum jika Hi me erupakan pe ertengahan B BC. Misalkan n AiHi maksim mum = y. Sa aat AiHi = y maka m AB = AC C. Misalkan saja saat in ni AB = AC = x. 2
SMA Negerri 5 Bengkullu
E Eddy Hermaanto, ST
Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2012
Solusi
Bagian Kedua
2
cos
sin
1 1 2 sin cos 2 2
∙
∙
cos cos
2
2
4
2 sin
2
2
4
2 sin
2
4
4
2
2
2
2
2
2
2 2 Karena bilangan kuadrat tidak mungkin negatif maka cos 2 sin 0 sehingga cos 2 sin 2 Maka didapat cos 2 sin cos Jadi, terbukti bahwa
2
4 2
2
2
2 sin
2
5. Lemma 1 : Akan dibuktikan dengan induksi matematika bahwa 32n+1 > (n + 1)4 untuk n N dan n > 1. Bukti : Jika n = 2 maka 443 = 32(2)+1 > (2 + 1)4= 81 Andaikan bentuk untuk n = k. Maka 32k+1 > (k + 1)4 dianggap benar untuk k N dan k > 1. 32(k+1)+1 = 32 32k+1 > 9(k + 1)4 = 9k4 + 36k3 + 54k2 + 36k + 9 = k4 + 36k3 + 54k2 + 36k + 8k2 + 9 32(k+1)+1 = 32 32k+1 > 9(k + 1)4 = k4 + 36k3 + 54k2 + 36k + 8k2 + 9 > k4 + 8k3 + 24k2 + 32k + 16 32(k+1)+1 = 32 32k+1 > k4 + 8k3 + 24k2 + 32k + 16 = (k + 2)4 Jadi, terbukti bahwa 32n+1 > (n + 1)4 untuk n N dan n > 1 Lemma 2 : Akan dibuktikan dengan induksi matematika bahwa ! 3 untuk n N dan n > 1. Bukti : 3 27 Jika n = 2 maka 16 2! 3 dianggap benar untuk k N dan k > 1. Andaikan benar untuk n = k. Maka ! Sesuai lemma 1 maka ! 1 3 ∙3 3 1 ! 3 untuk n N dan n > 1 Jadi, terbukti bahwa ! Jika i = 1 Pi = 2 dan untuk n = 2 maka ∙ ! Jadi, untuk i = 1 sehingga Pi = 2 tidak termasuk bilangan prima sederhana. Jika i > 1 Pi 3 Jika n = 1 ∙
!
Jadi, untuk n = 1 maka ∙ ! Jika n > 1 Sesuai lemma 2 dan mengingat bahwa Pi > Pi-1 didapat !
3
! ∙ ! untuk i > 1 dan n N. Terbukti bahwa Jadi, semua bilangan prima sederhana adalah Pi dengan i N dan i ≠ 1. SMA Negeri 5 Bengkulu
Eddy Hermanto, ST
