LOGISTICKÉ SYSTÉMY Dr. Ing. Tomáš Šubrt Orientační sylabus • Typologie logistických systémů, makrologistika, mezologistika, mikrologistika • Kvantitativní a kvalitativní přístupy v logistice, přehled problémů • Logistické řetězce a jejich typy • Zásobovací systémy a zásobovací logistika • Dopravní logistika – dopravní systémy, dopravní sítě, formalizační aparát • Základní úlohy v dopravních systémech a jejich klasifikace • Optimalizace v dopravních sítích I – optimální spojení míst, vícestupňové úlohy • Optimalizace v dopravních sítích II – optimální spojení míst, vícerozměrné úlohy • Optimalizace v dopravních sítích II – dopravní obslužnost • Dopravní komplety, vytěžování a shromažďování • Dopravní proudy, kinematika a interakce • Výrobní logistika I • Výrobní logistika II – uplatnění modelů teorie obnovy a teorie front • Logistický systém firmy a meziodvětvová logistika Doporučená literatura: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
Daganzo, C.F.: Logistic Systems Analysis, Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, 2005 Kosková, I,: Distribuční úlohy I, ČZU Praha, 2004 Lambert, J., Stock, J.R., Ellram, L.: Logistika, CP Books, Brno, 2005 Pernica, P.: Logistický management, Radix, Praha 1998 Schulte, Ch.: Logistika, Victoria Publishing, Praha , 1994 Sixta, J., Mačát, V.: Logistika, teorie a praxe, CP Books, Brno, 2005 Tuzar, A., Maxa, P., Svoboda, V.: Teorie Dopravy, ČVUT Praha, 1997
Podmínky absolvování • Alespoň 60% ze 2 zápočtových testů • Skupinová případová studie Pojem LOGISTIKA Termín „logistika“ měnil v historii význam • 1591 „l. numerosa“ vs „l. speciosa“ (počítání s číslicemi vs počítání s písmeny) • G.W. Leibnitz (1646-1716) matematická logika • 1904 Ženevský filosofický kongres symbolická logika • 60. Léta 1) symbolická logika, 2) týlové zabezpečení Novodobý systémový pohled (kořeny logistiky ve vojenství) •
Řetězec operací probíhající v prostoru a čase, za pomocí fungujících toků informací
•
Organizace, plánování a výkon toků zboží vývojem a nákupem počínaje, výrobou a distribucí podle objednávky finálního zákazníka konče tak, aby byly splněny požadavky trhu při minimálních nákladech a minimálních kapitálových výdajích (Evropská logistická asociace)
•
Logistika je řízení materiálového, informačního i finančního toku s ohledem na včasné splnění požadavků finálního zákazníka a s ohledem na nutnou tvorbu zisku v celém toku materiálu. Při plnění potřeb finálního zákazníka napomáhá již při vývoji výrobku, výběru vhodného dodavatele, odpovídajícím způsobem řízení vlastní realizace potřeby zákazníka (při výrobě výrobku), vhodným přemístěním požadovaného výrobku k zákazníkovi a v neposlední řadě i zajištěním likvidace morálně i fyzicky zastaralého výrobku (Sixta 2005) Úkolem logistiky je: řídit oběh, jako hmotné spojení mezi výrobou a spotřebou, jakož i spojení ve výrobě samé. Úkolem logistiky je: postarat se, aby bylo k dispozici správné zboží či služba, se správnou kvalitou, u správného zákazníka, ve správném množství, na správném místě, ve správném okamžiku a to s vynaložením přiměřených nákladů (Pravidlo 7s. Resp. seven Rs) Logistický řetězec (Pernica, 1998)
Cíle logistiky • Vnější vs vnitřní (vzhledem k firmě) • Výkonová vs ekonomická složka Vnější cíle: zvyšování objemu prodeje, zkracování lhůt dodání, zlepšování spolehlivosti dodávek, zvýšení pružnosti Vnitřní cíle (při dodržení vnějších): snižování nákladů na zásoby, dopravu, manipulaci, sklady, výrobu, řízení Logistické priority
Logistické komponenty • Business logistics - podniková logistika • Channel management - řízení (distribučních) kanálů • Distribution - distribuce • Industrial logistics - průmyslová logistika • Logistical management - logistické řízení • Materials management - řízení materiálů • Physical distribution - distribuce zboží (fyzická) • Quick-response systems - systémy "rychlé odezvy" • Supply chain management - řízení zásobovacích/dodávkových řetězců • Supply management - řízení zásobování • Logistic systems - logistické systémy Logistické činnosti • Customer service - Zákaznický servis • Demand forecasting (planning) - Prognózování (plánovánání) poptávky • Inventory management - Řízení stavu zásob • Logistics communications - Logistická komunikace • Material handling - Manipulace s materiálem • Order processing - Vyřizování objednávek • Packaging - Balení • Parts and service support - Podpora servisu a náhradní díly • Stanovení místa výroby a skladování - Plant and warehouse site selection.
Členění logistiky dle Pfohla a Baumanna
dle Krampeho
Členění logistiky (nejčastější)
Logistické řízení • Proces plánování, realizace a řízení toku a skladování služeb a souvisejících informací z místa vzniku do místa spotřeby • Integrální součástí je řízení oblasti materiálu (správa surovin, součástí, obalů…)
Složky logistického řízení (Lambert, Stock Elram, 2005)
Oblast vlivu logistiky (Sixta, Mačák, 2005)
Logistický systém Distribuční systémy (doprava, rozdělování, přiřazování) • Lokační a alokační systémy (kolik a kam) • Skladové systémy • Systémy hromadné obsluhy Cílem všech LS – minimalizace nákladů – minimalizace času Charakteristické rysy řešení problémů LS • Složitost, velké množství proměnných (exogenních i endogenních) – nutnost generalizace • Multidisciplinarita • Obvykle NP úplné • Stochastické rysy • Aplikace suboptimálních řešení • Strategická až taktická úroveň řízení Distribuční systémy • 1 to 1 • 1 to n • 1 to n over m • n to n over m Co?
Odkud? Kam?
Kdy?
Jak? Čím?
Základní kalkulace PŘÍKLAD Hypotetická společnost vyrábí počítače, rádia a televize. Celkově disponuje 100 odbytovými centry ve střední části USA. Střediska výroby jsou umístěna v • Green Bay (počítačové moduly) • Indianopolis (monitory, klávesnice, TV) • Denver (příslušenství) Před vlastním prodejem musí být počítače ještě zkompletovány. Tato kompletace se může provádět buď V distribučním centru Nebo ve skladu (logistickém středisku) poblíž Indianopolis Parametry výrobků Typ Počítač TV (monitor+kláv) Příslušenství
Cena 300 $ 400 $ 100 $
Parametry přepravy Nosnost kamionu: Náklady: Průměrná přepravní vzdálenost:
Hmotnost 5 lbs 10 lbs 30 lbs 30 000 lbs 1 $ / míle 1000 mil
Parametry skladování Denní náklad: 0,06% z ceny výrobku za pracovní den 1 rok = 250 pracovních dní, tedy 15% ročně Parametry odbytového centra Denní požadavek: 10 ks (PC modulů, TV, klávesnic, monitorů, příslušenství) – tj. 2500 ročně Cíl: Minimalizace logistických nákladů Dvě elementární strategie - Přímá distribuce od výroby do odbytové centra (OC) plnými kamiony bez zastávky - Svoz do skladu v Indianopolis a následný rozvoz do OC Strategie 1 • bez využití skladu • kamiony jedou až jsou plně obsazeny a) Přepravní náklady Frekvence dodávky = (požadavek OC*hmotnost)/kapacita kamionu • z Green Bay = (2500*5)/30000 = 0,417 (=počet spojů za rok) • z Denveru = (2500*30)/30000 = 2,5 • z Indi = (5000*10)/30000 = 1,67 Přepravní náklady = počet OC*frekvence*prům. vzdálenost*cena za míli • 100*(0,417+2,5+1,67)*1000*1= 460 000 $
b) Skladovací náklady Jednotkový náklad = (cena výrobku*roční podíl)/frekvence dodávky • Green Bay = (300*0,15)/0,417= 108$ • Denver = (100*0,15)2,5 = 6$ • Indi = (400*0,15)1,67 = 36$ Skladovací náklady = počet OC*požadavek*jednotkový náklad 100*2500*108 + 100*2500*6 + 100*5000*36 = 46,5 mil $ c) Celkové logistické náklady Celkový náklad = přepravní náklad + skladovací náklad 465 000 + 46 500 000 = = cca 47 mil $ Strategie 2 • Veškeré zboží je transportováno do skladu v Indi, kde je kompletováno. Poté rozvezeno do OC.
a) Přepravní náklady do skladu v Indi Přepravní náklady = počet OC*frekvence*prům. vzdálenost*cena za míli • 100*(0,417+2,5)*1000*1 = 300 000 $ (pozor, bez Indi) b) Přepravní náklady ze skladu v Indi do OC (viz strategie 1) 460 000 $ Přepravní náklady celkem = 760 000 $ c) Skladovací náklady u výrobce Frekvence dodávky do skladu = (požadavek OC*počet OC* hmotnost)/kapacita kamionu • z Green Bay do Indi= (2500*100*5)/30000 = 41 • z Denveru do Indi= (2500*100*30)/30000 = 250 Jednotkový náklad = (cena výrobku*roční podíl)/frekvence dodávky • Green Bay = (300*0,15)/41= 1,$ • Denver = (100*0,15)/250 = 0,06$ Skladovací náklady u výrobce = počet OC*požadavek*jednotkový náklad 100*2500*1,1 + 100*2500*0,06 = 290 000 $ d) Skladovací náklady v Indi Frekvence dodávky do OC = (požadavek OC*celková hmotnost)/kapacita kamionu • Celkem z Indi = (2500*(5+10+10+30)/30000 = 4,6 Jednotkový náklad = (cena výrobku*roční podíl)/frekvence dodávky • Celkem = (300*0,15+2*400*0,15+100*0,15)/4,6 = 39$ Skladovací náklady = počet OC*požadavek*jednotkový náklad •
100*2500*39 = 9,8 mil $
e) Celkové logistické náklady Celkový náklad = a) + b) +c) +d = cca 10,9 mil $ Smíšené strategie Strategie 3 – optimální frekvence bez skladu Strategie 4 – optimální frekvence s využitím skladu v Indi Strategie 5 – optimální frekvence, kombinace 3,4
Logistické náklady Cíl: minimalizace všech typů LN LN závisí na: - množství materiálu - čase – čas náklady snižuje i zvyšuje Dále na Místě, typu materiálu, frekvenci dodávek, typu dopravního prostředku….. Typy LN Náklady ve fázích řetězce ¾ přeprava (manipulace) od producenta do distribučního centra ¾ čekání na přepravu ¾ nakládání do dopravního prostředku ¾ vlastní transport ¾ vykládání a související manipulace ¾ čekání na spotřebu u zákazníka Pozn: stejné ve všech částech řetězce (např. dodavatel – výrobce, výrobce – sklad, sklad OC) Skladovací resp. udržovací náklady (holding costs) ¾ pronájem (rent) – prostor, techniky, zařízení, bezpečnost ¾ čekání (waiting) – zpoždění, penále, obětovaná příležitost, vázaný kapitál Přepravní náklady (motion costs) ¾ dopravní (transportation) – v dopravním prostředku ¾ manipulační (handling) – mimo dopravní prostředek Analýza typů nákladů Nezáleží „nám“ na tom, kdo náklady hradí zda - výrobce (producent, dodavatel, zdroj….) - spotřebitel (zákazník, odběratel, cíl…..) - někdo „třetí“ – dopravce, zprostředkovatel Skladovací náklady - Zboží je vyráběno i spotřebováváno (požadováno) s konstantní intenzitou D’ - Produkční i spotřební funkce (I a IV – viz dále) jsou lineární a rovnoběžné 4 funkce ¾ zboží vyrobené (I)..produkce ¾ zboží vypravené resp. odeslaného (II) ¾ zboží doručené (III) ¾ zboží spotřebované resp. prodané (IV)
I
množství zboží II
IV III
H3 zelená plocha – celková čekací doba u dodavatele modrá plocha – celková čekací doba u zákazníka mezi plochami – celkový přepravní čas
H2 D’
H1 tm
D’ čas
tm … přepravní doba jednotky (každé, stejné za předpokladu FIFO) Hi… interval mezi dvěma dodávkami (odvozy), tedy doba čekání jedné dodávky na distribuci H1… maximální interval mezi dvěma dodávkami (odvozy), tedy maximální doba čekání na distribuci Průměrná doba čekání jednotky na spotřebu (u výrobce, u zákazníka):
w = H1 + tm kde H1 = max { H i }
Maximální akumulace v ks (stejná u dodavatele i zákazníka)
Amax = D′H1 Náklady na pronájem Náklady na pronájem prostor, zařízení, obslužné a udržovací techniky atd. k zachování příslušného množství zboží v pokud možno nezměněné kvalitě za předpokladu lineárních vztahů mezi množstvím a časem = maximální akumulaci Klíčový parametr: cr.… jednotková sazba za rok skladování (USD/y) CRC - roční náklady pronájmu (rent cost/year)
CRC = c r A max
URC - jednotkové náklady pronájmu (rent cost/item)
URC = cr Amax / D′ = cr H1 Náklady čekání ¾ též nazývány „náklady na zásoby“ (inventory cost) ¾ náklady na zboží za dobu mezi výrobou a spotřebou strávenou mimo dopravní prostředek Klíčový parametr: ci.… sazba za čekání (skladování) jednotky zboží za CWC - roční náklady čekání (wait cost/year) UWC - jednotkové náklady čekání (wait cost/item)
jednotku času (USD/y)
CWC = ci * celková čekací doba za rok UWC = ci * průměrná čekací doba
′ = ci ⎡⎣D′ ( H1 + tm ) ⎤⎦ = ci DH ′ 1 + ci Dt′ m CWC = ci Dw U W C = c i w = c i ⎡⎣ ( H 1 + t m ) ⎤⎦ = c i H 1 + c i t m Význam a stanovení ci ¾ v případě transportu lidí…hodnota času (value of time) ¾ – jak stanovit?? ¾ v případě standardního zboží… vázaný kapitál, tedy cena obětované příležitosti (oportunity cost) ¾ v případě zboží podléhajícího zkáze… znehodnocení (fyzické, morální např. sezónní) Od jaké ceny odvodit π0 ... cena u výrobce π1 ... cena na trhu π1>>π0 Jaká je absorpční schopnosti trhu – prodá se vše?? ¾ Při konstantní poptávce lze snížit tempo (intenzitu) výroby - nižší skladovací náklady ¾ Podmínkou je rovnoběžnost křivek I a IV – Sklon I větší než sklon IV…hromadění zásob – Sklon I menší než sklon IV…neuspokojení poptávky Úspora nákladů na jednotku Δ ... redukce čekací doby
D′Δ …snížení objemu výroby
D′Δπ0
…úspora nákladů za jednotku času u výrobce (π0 je přímo úměrné ci)
D′Δπ 1 …je-li trh schopen plné absorpce, tedy mimořádný důchod za jednotku
Dopravní náklady ¾ vedle manipulačních jsou součástí přepravních nákladů (viz) ¾ lineární vztah mezi cenou a vzdáleností ¾ lineární vztah mezi množstvím a cenou ¾ u malého množství přepravy skokový nárůst – „diskrétní“ dopravní prostředky Klíčové parametry cf… pevné náklady (např. mzda řidiče) – závisí pouze na počtu přeprav cv…
variabilní náklady (závislost na čase a vzdálenosti – spotřeba paliva)
vi…
počet přepravovaných kusů (kompletů) v i –té přepravě
TTC… celkové dopravní náklady obecně (resp. na jednu přepravu)
TTC = c f + cv v
TTCn… celkové dopravní náklady na n přeprav n
TTCn = ∑( cf + cvvi ) = cf n + cvV kde V = ∑vi i=1
UTC… jednotkové dopravní náklady
UTC = c f DTC…
c n + cv = f + cv V v
dopravní náklady za jednotku času
Průměrná velikost přepravy:
w V v= n
- nepřímá úměrnost s UTC Dopravní náklady lze analyzovat ve vztahu k ¾ Intervalům jízd (odvozu, přepravy) tedy (Headways) ¾ Vzdálenosti (Distance) ¾ Rozsahu (Size) • Kapacita (Capacity restrictions) • Způsob (Modes) DN ve vztahu k intervalům jízdy - DN klesají s průměrnou délkou intervalů (nezávislé na dílčích intervalech) - manipulační náklady rostou s maximálním intervalem - Přeprava by měla být co nejpravidelnější
UTC =
cf v
=
cf + cv D′H
nebotˇ V= ∑ D′H i = D′Hn v = D′H DN ve vztahu ke vzdálenosti Základní typ závislosti Připomenutí: JDU a VDU, lokační a alokační problém, dimenzování (mezi) skladů Klíčové parametry cd … náklady na jednotku vzdálenosti (distance cost) cs … náklady při zastavení (stopping costs)
c’d … dodatečné náklady na jednotku vzdálenosti c’s … dodatečné náklady při zastavení – např. pokuta za zpoždění d… vzdálenost (distance)
cv = cs′ + cd′ d
c f = cs + cd d TTCn
Pro případ konstantní vzdálenosti D-S bez zastávky
TTCn ≈ cs n + cd nd + cs′V + cd′Vd Pro případ zastávek (v počtu ns)
TTCn ≈ cs (1 + ns )n + cd nd + cs′V + cd′Vd
UTC ≈ cs
1 + ns d + cd + cs′ v v
⎛ 1 + ns ⎞ ⎛ d UTC ≈ cs ⎜ + cd ⎜ ⎟ ⎝ D ′H ⎠ ⎝ D ′H
⎛ 1 + ns ⎞ ⎛d + DTC ≈ cs ⎜ c ⎟ d⎜ ⎝ H ⎠ ⎝H
⎞ ′ ⎟ + cs ⎠
⎞ ′ ′ ⎟ + cs D ⎠
DN vzhledem k rozsahu dopravy a) Vazba na kapacitní omezení - Jeden dodavatel, jeden spotřebitel vmax…maximální nosnost vozidla …funkce dopravních nákladů v čase f t (v )
Jednotkové dopravní a skladovací ve vztahu k rozsahu přepravy (přepravovanému množství)
Optimální přepravované množství („lot size“ resp. „economic order quantity“ – úloha matematického programování:
B⎫ ⎧ EOQ : min ⎨ Av + ⎬ v⎭ ⎩ v ≤ vmax kde A=
ch ; B = cf D′
b)Vazba na typ dopravy Přibližně lineární nárůst dopravní ceny ve vztahu k množství - záleží ale na typu přepravy - různý poměr fixních a variabilních nákladů - např. pošta (nízké cf vysoké cv) x vlastní auto (vysoké cf nízké cv) Jde o to zvolit optimální typ dopravy vzhledem k přepravovanému množství
Příklad:
kapacita vozidla způsob 1: způsob 2:
vmax = 1 cf = 1; cv = 0 cf = 0; cv = 1,5
Přepravní náklady jedním způsobem: pro v = 1,1: TTC1 = 2 …. (1+1) TTC2 = 1,65 …. (1,5*1,1) Přepravní náklady optimální kombinace: (1 jednotka 1. způsobem, 0,1 jednotky 2. Způsobem, tedy TTCopt = 1 + 0,1*1,5 = 1,15
Manipulační náklady 1) 2) 3) 4)
Na „paletizaci“ resp. „kontejnerizaci“ Na naložení na dopravní prostředek Na vyložení z dopravního prostředku Na vybalení palety (kontejneru)
Kusová manipulace Paletová manipulace
TLC ≈ cs′v
manipulační náklady / dávka ≈ c′f + cv′v
U dodavatele a spotřebitele jsou různé c′f resp. cv′ , ale funkce fh(v) mají stejný tvar a stejnou hodnotu v max
Přepravní náklady souhrnné
′ vmax vmax
f m = ft + f h resp. c′f ⎛ ′ f m (v) ≈ c f + ⎜ cv + cv + ′ vmax ⎝
⎞ ⎟v ⎠
Vztah mezi velikostí přepravy a přepravními náklady (souhrn dopravních a manipulačních)
Optimální přepravované množství Pevné resp. variabilní přepravní (dopravní + manipulační) náklady
c′′f resp. cv′′
Vzhledem ke kapacitě dopravního prostředku – dopravní N Vzhledem k velikosti palety (kontejneru) – manipulační N
Economic Order Quantity
B ⎧ ⎫ EOQ : min ⎨ Av + + C ⎬ v ⎩ ⎭ v ≤ vmax kde A=
ch ; B = c′′f ; C = ci tm + cv′′ D′
Stochastické vlivy na logistické náklady 1. Intenzita produkce (a zvláště spotřeby) – D’ - není konstantou, ale náhodnou veličinou s určitým rozdělením pravděpodobnosti (! Nelinearita vztahu) 2. Spotřeba - Poissonovský proces 3. Vliv především na skladovací náklady - Zvyšování rezerv (viz teorie zásob)
Logistické optimalizační modely Distribuce 1:1 Lot Size Problem Cíl: Stanovení optimální velikosti dodávky Minimalizace nákladů při konstantní poptávce Minimalizace nákladů při nekonstantní poptávce Lot Size Problem V praxi suboptimální řešení (drobné změny v nákladech nemají vliv na strukturu opt. řešení) Řešení bývá obvykle dvoustupňové – 1. Model (analytický) pro hrubou strukturu optima – 2. Model upřesnění (Fine Tuning) – analytický, simulační a) Minimalizace nákladů při konstantní poptávce Výchozí model – optimalizace přepravovaného množství v (v*)
B ⎧ ⎫ z = min ⎨ Av + ; v ≤ vmax ⎬ v ⎩ ⎭ Je-li vmax = ∞ potom v* = min( Av + Bv −1 ) B…pevné přepravní náklady (cf) A…jednotkové skladovací náklady (ch/D’)
v* =
B A
Po dosazení v* do účelové funkce a příslušné úpravě dostáváme optimální jednotkové náklady:
z* = 2 AB
Obě dvě části UF jsou stejné (z odvození) proto náklady na jednotku jsou minimální pro skladovací náklady = přepravní náklady
Přímá úměrnost z a cf, ch – nepřímá z a D’ Analýza citlivosti vzhledem k – Cf – Ch Analýza odolnosti vůči chybám – V datech – V modelu – Kombinovaným chybám b) Minimalizace nákladů při nekonstantní poptávce poptávky se mění v čase stává se funkcí D(t) D’(t)….derivace D(t)…intenzita poptávky Cílem je najít – optimální čas dodávky (t0 = 0, t1, t2,…,tn-1) – optimální velikost dodávky (v0 = 0, v1, v2,…,vn-1) Časový horizont t∈[t0;tmax] vmax = ∞ (není-li uvedeno jinak) cf … pevné přepravní náklady (za vozidlo) ch = cr+ci n…počet dodávek Pro konstantní poptávku D(t) = D’
(tedy A = ch/D’ a B = cf)
Základní dva typy problémů 1) Zanedbatelné čekací náklady 2) Zanedbatelné náklady pronájmu 1) Zanedbatelné čekací náklady
tedy ci << cr ; ch ≈ cr Náklady pronájmu rostou s maximální akumulací Amax (viz)
Dolní mez maximální akumulace u spotřebitele = maximální velikosti dodávky (kterážto je nejmenší při pravidelných intervalech dodávek Hi !)
Amax ≥ D (tmax ) / n Čas ve kterém Amax = D (tmax ) / n je optimálním pro pro realizaci n dodávek při minimálních nákladech
cr D (tmax ) / n Tj. každá dodávka přesně stačí k uspokojení poptávky Do další dodávky je spotřeba mezi dvěma dodávkami rovněž D(tmax)/n
Rozdělit osu x mezi 0 a D(tmax) na n stejných intervalů a najít časy ti pro které platí
D(ti ) =
iD(tmax ) pro i = 0,1,..., (n − 1) n
Dodávat právě tolik aby byla uspokojená poptávka do další dodávky
Minimální náklady nezávisí na ti ale pouze na n, potom:
DC (cost/time) =
UC (cost/item) =
kde D′ =
cr D(tmax ) c f n + n tmax
cf n cr D(tmax ) + D(tmax ) D′n
D (tmax ) ... prům. intenzita spotřeby tmax
Vzorec pro UC odpovídá vzorci pro EOQ když v=D(tmax)/n n musí být celočíselné dá se předpokládat, že pro větší n (cca n>3) platí:
n* =
D(tmax ) v*
2) Zanedbatelné náklady pronájmu
tedy cr << ci ; ch ≈ ci Skladované položky jsou malé a drahé - náklady narůstají s jejich skladováním Celkové náklady u spotřebitele odpovídají šrafované ploše na grafu Kombinované náklady (dodavatel+spotřebitel) rovněž odpovídají pokud (i) se jedny zanedbají, nebo (ii) pokud obojí mají stejný průběh Aby sled časových okamžiků (t1, t2,…tn) byl optimální, musí být úsečka PQ rovnoběžná s tečnou křivky D(t) v bodě T – optimální čas dodávky D(t) už není pouze funkcí n ◊ problém s tvarem funkce ◊ numerická nebo aproximativní řešení Numerické řešení A) Dynamický program, kde čas dodávky ti je stanoven pro všechny i=1,2,…,n-1 B) Algoritmus dynamického programování nalezne optimální skladovací náklady pro dané n, tj. zi*(n*) resp. n*. C) Numerická procedura je vhodná pokud je křivka D(t) hladká D) probíhá v následujících krocích
Postup numerického řešení A) bod P1 a jemu odpovídající T1 B) přímka z P1 paralelně s tečnou k D(t) v T1 C) kolmice bodem T1 D) průsečík kolmice s přímkou z P1…bod P2 E) atd. až po D(tmax) F) pokud průsečík není v D(tmax)..posun P1 G) „Optimální“ náklady experimentováním s posunem P1, dokud součet ploch trojúhelníků Ti-1;Ti,Pi (skladovací náklady) není roven přepravním nákladům a tedy MIN R(t)…skoková funkce dodávek (receiving step curve)
Analytické řešení (metoda spojité aproximace) Metoda vhodná pokud D’(t) se nemění příliš rychle Interval Ii, jako i-tý interval mezi ti-1 a ti Celková cena za jednu dodávku bude:
Ci (cost i ) = c f + ci ( P( I ) ) Kde Pi je plocha vyťatá D(Ti-1), D(Ti), Pi (tedy pro interval Ii) Velikost této plochy s využitím bodu t’i
P( i ) =
ti
∫ (t
− ti −1 ) D′(ti′)dt 2
i
ti −1
Definujme si funkci Hs(t) jako skokovou tak, že Hs(t)=ti-ti-1, pro t z intervalu Ii
Z minulého grafu… cena za interval:
Ci (cost i ) =
ti
⎡ cf ⎤ ci H S (t ) ′ ′ + t D ( ) i ⎢ ⎥dt ∫ H S (t ) 2 ⎦ ti −1 ⎣
Po aproximaci D′(t ) za D′(ti′) (což je akceptovatelné pro malé změny D(t) dostáváme pro celé období do tmax:
C (cost) ≈
tmax
∫ 0
⎡ cf ⎤ c H (t ) + i S D′(t ) ⎥dt ⎢ 2 ⎣ H S (t ) ⎦
Interpolací Hs(t) spojitou funkcí H(t) – viz obr dostáváme:
C (cost) ≈
tmax
∫ 0
Po dosazení
H (t ) =
2c f ci D′(t )
TC ≈
úpravě dostáváme
tmax
∫ 0
⎡ cf ⎤ ci H S (t ) ⎢ H (t ) + 2 D′(t ) ⎥dt ⎣ ⎦
(což odpovídá vzorcům EOQ – viz přednáška 2 a
⎡⎣ 2ci c f D′(t ) ⎤⎦ dt
Vztažením na jednotku produkce dostáváme celkové optimální náklady na jednotku produkce ve výši: tmax
z *(cost/item) ≈
∫ 0
⎡⎣ 2ci c f D′(t ) ⎤⎦ dt tmax
∫ D′(t )dt 0
Kde
D(tmax ) =
tmax
∫ D′(t )dt 0
je celkový počet vyrobených jednotek
Optimalizace dopravní sítě Minulá přednáška: výběr optimální trasy Dnes: optimální vytížení trasy vzhledem k nákladům – optimální (Flow scale economies – úspory z rozsahu) Trasa ohodnocena nákladovou funkcí Z* klesá s rozsahem přepravy příklad Cíl (D1) Trasa (L1) Zdroj (S) Trasa (L2)
S = 8 i/t D1 = 4 i/t D2 = 4 i/t
Trasa (L3)
Cíl (D2)
Cíl 1 dostává veškeré zboží přímo, Cíl 2 částečně přímo, částečně před S1
xi…přepravované množství („tok zboží“) na trase – X1…S-D1 – X2…S-D2 – X3…D2-D3 zi(xi)…nákladová funkce příslušné trasy x…část zboží (ve formě zlomku) přepravovaného přes „mezisklad“, tedy po trase S-D1-D2 odvození
x1 + x2 = 8 x2 + x3 = 4
x3 4 x3 = 4 x x=
x2 + 4 x = 4
x1 + 4(1 − x) = 8
x2 = 4(1 − x)
x1 = 4(1 + x)
3
TC = ∑ xi zi ( xi ) i =1
Vztah mezi xi a x je vždy lineární Funkce xiz i (xi) je rostoucí, konkávní
z1 = x1−1/ 2
x1 z1 = x11/ 2
z2 = 3 x2−1/ 2
x2 z2 = 3 x1/2 2
z3 = 1
x3 z3 = x3
TC = 2 (1 + x) + 6 (1 − x) + 4 x TC 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
9 0,
1
8 0,
5 0,
7
4 0,
0,
3 0,
6
2 0,
0,
1
0 0,
8 8,09746676 8,189717485 8,276487733 8,357453376 8,4322204 8,500311009 8,561144657 8,614011929 8,658038008 8,69213043 8,714902279 8,72455532 8,718694386 8,694016307 8,645751311 8,566563146 8,444084109 8,254176347 7,934488795 6,828427125
0
0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 0,55 0,6 0,65 0,7 0,75 0,8 0,85 0,9 0,95 1
TC
Podíl zboží
X
Optimální řešení: x*=1; z*=6,82 Všechno vezeme přes D1 Vzhledem ke tvaru nákladových funkcí (konkávní) dosahujeme min nákladů na jednom nebo druhém „konci“ přípustných hodnot oboru je častým řešením „všechno nebo nic“ – (viz. praxe) Analýza citlivosti nákladových koeficientů např. nárůst koeficientu u z3 na
z3 = 2 − 2−1/ 2 ≈ 1, 293
x3 z3 = 1, 293 x3
TC = 2 (1 + x) + 6 (1 − x) + 5,172 x
Tedy alternativní řešení – viz 1.tab
Pro
z3 > 2 − 2−1/ 2 např z = 1,3 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 0,55 0,6 0,65 0,7 0,75 0,8 0,85 0,9 0,95 1
8 8,156045 8,306875 8,452224 8,591768 8,725114 8,851783 8,971195 9,082641 9,185246 9,277917 9,359267 9,427499 9,480217 9,514117 9,524431 9,503821 9,439921 9,308592 9,047483 8
veškerý transport přímo – viz. tab 2 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 0,55 0,6 0,65 0,7 0,75 0,8 0,85 0,9 0,95 1
8 8,157467 8,309717 8,456488 8,597453 8,73222 8,860311 8,981145 9,094012 9,198038 9,29213 9,374902 9,444555 9,498694 9,534016 9,545751 9,526563 9,464084 9,334176 9,074489 8,028427
Konkávní funkce – problém s nalezením lokálního minima (dtto úloha nekonvexního programování) Network with scale diseconomies – konvexní funkce Řešení: – Heuristika, local search, kombinatorické algoritmy – Redukce na „úlohu o batohu“ Pro „Local Search“ ppř. konvexní úlohu – můžeme řešit pomocí – Excel Solver (řešitel s Excelu) – Lingo Přírodní logistické sítě – princip „všechno nebo nic“ – dělení se nevyplácí (složitost v rozvodných uzlech) – Strom – jeden kmen (rozvod mízy) – Savec – jedna aorta (rozvod krve)
Fraktální struktura
Zákazník (list)
Zdroj (kořen)
Fraktální struktury (přírodních) logistických sítí Fraktál je geometrický objekt, který má následující vlastnosti: • je soběpodobný – znamená to, že pokud daný útvar pozorujeme v jakémkoliv měřítku, v jakémkoliv rozlišení, pozorujeme stále opakující se určitý charakteristický tvar, • má na první pohled velmi složitý tvar, ale je generován opakovaným použitím jednoduchých pravidel. • Fraktály jsou nejsložitější geometrické objekty, které současná matematika zkoumá. • Termín fraktál použil poprvé matematik Benoît Mandelbrot v roce 1975. Pochází z latinského fractus – rozbitý. • Podobné objekty dlouho před tím (např. Kochova vločka). (zdroj: http://cs.wikipedia.org)
Kochova vločka Základem je Kochova křivka, jež vznikne nekonečným opakováním jednoduchého postupu. Na začátku je prostá úsečka (v případě Kochovy vločky rovnostranný trojúhelník tvořený třemi takovými úsečkami). V každém kroku se pak provede následující: 1. Úsečka se rozdělí na třetiny. 2. Nad prostřední třetinou se sestrojí rovnostranný trojúhelník. 3. Základna trojúhelníka (bývalá prostřední třetina úsečky) se odstraní. Tím se z původní úsečky stane křivka složená ze čtyř úseček (resp. z trojúhelníka se stane šesticípá hvězda) a postup se rekurzivně opakuje s každou takto vzniklou úsečkou. Kochova křivka vznikne jako limita při opakování tohoto postupu do nekonečna. Její délka je nekonečná, neboť se v každém kroku prodlouží vždy o třetinu – ze tří částí úsečky vzniknou čtyři stejně dlouhé. Z toho vyplývá, že v kroku n bude délka křivky (4/3)n délky původní úsečky, Kochova křivka je spojitá, ale v žádném bodě nemá tečnu. První čtyři iterace Kochovy vločky vzniklé ze 3 Kochových křivek
obecný fraktál
Logistický fraktál
Optimalizace dopravní sítě Nástroje pro řešení nelineárních problémů • Lingo (www.lindo.com) • Solver - Řešitel – Součást Excelu: Nástroje – Řešitel (třeba doinstalovat) – univerzální nástroj ve formě doplňku SOLVER.XLA – řeší lineární a konvexní modely MP – nutno model upravit do formy součtových vzorců – výsledková, citlivostní a limitní zpráva
Řešitel Zápis modelu z počátku přednášky pro řešení Řešitelem (na listu Excelu)
Nastavení parametrů řešitele a nalezené „optimum“ pro iteraci od x0=(0;0;0)
Nastavení parametrů řešitele a nalezené optimum pro iteraci od x0=(10;10;10)
Microsoft Excel 11.0 Výsledková zpráva List: [Ad P7 solver.xls]List1 Zpráva vytvořena: 20.11.2006 18:34:58
Nastavovaná buňka (Min) Buňka Název Původní hodnota Konečná hodnota $B$22 TC 22,64911064 6,828427125
Měněné buňky Buňka Název $B$23 x1 $B$24 x2 $B$25 x3
Omezující podmínky Buňka Název $F$19 SumaLHS $F$20 SumaLHS
Původní hodnota Konečná hodnota 10 8 10 0 10 4
Hodnota buňky Vzorec 8 $F$19=$G$19 4 $F$20=$G$20
Stav Odchylka Neplatí 0 Neplatí 0
Dopravní obsluha úseků sítě - Každý vrchol je třeba navštívit právě jednou (TSP) - Každý úsek sítě je třeba navštívit alespoň jednou úsek sítě – hrana (Úloha o Čínském pošťákovi – hrana=ulice) - Při podmínce průchodu hranou právě jednou = Eulerův tah - Při podmínce průchodu hranou alespoň jednou = Eulerův sled Neorientovaný Eulerův tah – nutná a postačující podmínka: a) Všechny uzly sudého stupně nebo b) Právě 2 uzly lichého stupně Ad a) – uzavřený tah Ad b) – otevřený tah Orientovaný Eulerův tah – nutná a postačující podmínka: a) Všechny uzly stejný vstupní a výstupní stupeň nebo b) Právě 2 uzly U a V pro něž platí
deg u (b) = deg u (a) + 1 deg v (b) = deg v (a) − 1
Ad a) – uzavřený tah Ad b) – otevřený tah Úloha o čínském pošťákovy s jednosměrnými cestami Hledání ET – Fleuryho algoritmy a jejich modifikace Dopravní obsluha úseků sítě - Hledání uzavřeného ET v neorient. grafu 1. Sestavíme libovolný uzavřený tah 2. Při kontrole procházíme podél tahu a v každém uzlu U testujeme, zda v množině hran incidentních s tímto uzlem, existuje hrana h, která dosud v tahu neleží. 3. Pokud hrana podle kroku [1] v grafu existuje (tj. v tahu dosud neleží), tak v uzlu u tah rozpojíme a začneme jej prodlužovat, počínaje hranou h; toto prodlužování skončí v uzlu u. 4. Po propojení nového a starého tahu pokračujeme v kontrole podle kroku [1] počínaje uzlem u a postupujeme podél nové části tahu. Tím je zajištěno, že jak při prodlužování, tak při kontrole postupujeme podél každé hrany právě jednou; postup je proto velmi rychlý. 5. Pokud hrana podle kroku [1] v grafu již neexistuje, tak naposledy (propojením) získaný tah je eulerovský. příklad
1. 2. 3. 4. 5.
1-10-11 1-2-6-8-10-11 1-2-3-5-8-10-11 1-2-3-4-5-8-10-11 1-2-3-4-5-9-7-6-8-10-11
Délka trasy: 62 Uzavřený ET existuje právě jeden (konstantní počet hran) – Nezáleží na ohodnocení – Libovolný takový tah je optimálním řešením – Vybraná posloupnost hran tvoří plán obsluhy úseku dopravní sítě Eulerův graf (síť)– existuje-li uzavřený ET Pokud dva vrcholy lichého stupně…doplnění fiktivní hanou … stejný postup, počátek tahu v jednom z těchto vrcholů Dopravní obsluha úseků sítě - Eulerův sled Počet vrcholů lichého stupně je vždy sudý 1) Graf S = (V , H ) , kde V = n V ′ ⊂ V .....uzly lichého stupně, V ′ = 2n′
2) Pro každou dvojici různých uzlů (u,v) z množiny V’ vytvoříme doplňkový úsek h’=(u,v) o délce d(h’) rovné vzdálenosti těchto uzlů v S, tyto úseky tvoří množinu H’ 3) Obdržíme S=(V’,H’) jakožto úplný graf 4) Hledáme n’ párů úseků tak, aby součet ohodnocení byl minimální 5) Řešíme pomocnou úlohu „Nejlevnějšího maximálního párování“ Pomocná úloha: Nejlevnější maximální párování PÁROVÁNÍ V grafu S = (V,H) je takový jeho podgraf P, ve kterém má každý uzel stupeň nejvýše 1, tzn. že je spojen nejvýše jednou hranou s jiným uzlem. Párování je tedy taková podmnožina hran původního grafu (tedy podgraf), ve které žádné dvě hrany nemají společný uzel. O uzlu v říkáme, že je NASYCEN V PÁROVÁNÍ, existuje-li v párování hrana, která je s tímto uzlem incidentní. PERFEKTNÍ PÁROVÁNÍ je takové párování, které nasycuje všechny uzly původního grafu. MAXIMÁLNÍ PÁROVÁNÍ obsahuje největší možný počet hran původního grafu. NEJLEVNĚJŠÍ MAXIMÁLNÍ PÁROVÁNÍ je takové maximální párování, ve kterém je součet ohodnocení hran minimální D={dij}…matice vzdáleností uzlů V’ Řešíme úlohu bivalentního programování
2 n′
i −1
∑x +∑x i =1
ij
j =1
ji
=1
xij ∈ {0;1} 2 n′
2 n′
D ( P ) = ∑ ∑ d ij xij ... min i =1 j =i +1
xij = 1 ⇔ (Vi ;V j ) ∈ P
Přičemž:
(
)
6) Po určení úsekůx projetých 2x postupujeme dle algoritmu pro ET ij = 0 ⇔ Vi ;V j ∉ P 7) Délka všech úseků nalezených pomocí nejlevnějšího maximálního párování tvoří vzdálenost ujetou navíc. Eulerův sled - příklad Společnost rozvážející mražené potraviny disponuje několika vozidly. Schéma uliční sítě většího města v okruhu rozvozu jednoho z nich je zobrazena na následujícím obrázku. Navrhněte optimální rozvoz do jednotlivých ulic s cílem minimalizace počtu najetých km (čísla u hran grafu). Vrcholy grafu reprezentují křížení ulic (pro snazší orientaci očíslováno červeně v závorce).
(3)
1 (4)
6
8 4
(2)
(5)
5
2 2 (1)
2
3
7
2
9 (6)
(7)
Uzly lichého stupně: V2, V3, V5, V6 Matematický model pro nalezení nejlevnějšího maximálního párování na listu Excelu x23
x25
V2 V3 V5 V6 D(P)
1 1
x26 1
x35 1 1
1 6
4
x36
x56
1
1 7
8
1 1 11
= = 1 = 1 = 3
Optimální řešení nalezeného SW Linkosa
Optimální řešení modelu OptMaxPar Min. hodnota účelové funkce D(P) 9
Strukturní proměnné
Omezení
Název x23 x25 x26 x35 x36 x56
Název V2 V3 V5 V6
Hodnota Typ 1 Bázická 0 Dolní mez 0 Dolní mez 0 Bázická 0 Bázická 1 Bázická
Hodnota Rezerva 1 0 1 0 1 0 1 0
1 1 1 1
Optimální řešení – nejkratší trasa:1-2-3-4-5-3-2-6-5-7-6-5-2-7-1 – minimální délka:součet ohodnocení + 9 = 60 Eulerův sled v orientovaném grafu Silně souvislý nezáporně orientovaný graf S = (V,H) Kde ch …ohodnocení hrany h∈H
∑ c …dolní mez hodnoty řešení … (této hodnoty je dosaženo při existenci
h∈H
h
uzavřeného orientovaného ET)
Místo úlohy o nejlevnějším maximálním párování lze použít pomocnou Jednostupňovou DÚ dle pravidel: 1) Pro každý uzel zjistíme rozdíl (a-b), tedy výstupního a vstupního stupně • Je-li rozdíl kladný, jde o zdroj (dodavatele) s kapacitou ri = ai – bi (množina Z) • Je-li rozdíl záporný, jde o spotřebitele s požadavkem sj = bj - aj (množina S) 2) Vytvoříme matici vzdáleností mezi uzly z množin Z a S, tj. D={dij}… 3) Formulujeme JDÚ (vždy vyvážená)
∑x
ij
= ri i ∈ Z
∑x
ij
= s j j∈ S
j∈S
i∈Z
xij ≥ 0 z = ∑ ∑ d ij xij ... min i∈Z j∈S
4) Optimálním řešením jsou opět cesty (úseky nebo hrany) které je nutno projet vícekrát (hodnoty proměnných udávají počet nutných průjezdů) 5) Doplníme na orientovaný ET a přičteme hodnotu z
Příklad: Nalezněte Eulerův sled s minimálním součtem ohodnocení hra
1
12
5
5
8
4
2
4
4
7 8
15
S2
S = {2,4,7}
S4 31 51 2
Z6 Z10
3
11
Z = {6,10}
Množina spotřebitelů (excentrické uzly) Dopravní tabulka
10
15
9
Množina zdrojů (koncentrické uzly)
4
10
12 7
8
7
6
6
12
3
10
S7 48 58 1
45 55 1
3 1
Optimální řešení (pomocí SW Dumkosa)
Optimální řešení dopravniho modelu
OES
Optimalni hodnota účelové funkce je 165 S2 Z6 Z10
S4
S7
2 0 ALT- 0
1 EPS
2
1
1
3 1
1
Cesta Z6-S2 bude projeta navíc 2x, Z6-S4 1x a Z10-S7 1x. Celkem bude najeta vzdálenost o 165j větší než je součet ohodnocení hran Tedy – – – –
Hrany 6-9, 9-5, 5-2 budou projety navíc 4x (celkem 5x) Hrany 2-1, 1-4, 3-7, 10-6 budou projety navíc 1x (celkem 5x) Ostatní hrany budou projety 1x Celkově ujetá vzdálenost je 149 +165 =314 (j)
Dopravní obsluha úseků sítě - Zranitelnost dopravní sítě • • •
Zaměřuje se na selhání místa sítě bez ohledu na pravděpodobnost Rozdílný vliv selhání na úsek sítě vs. na celou síť Zranitelnost – Uzlu resp. hrany – Cesty – Sítě jako celku
Uzel je zranitelný, pokud selhání (resp. degradace většího rozsahu) relativně malého počtu úseků podstatně omezí jeho dosažitelnost Dosažitelnost uzlu j
Aij = dij
Relativní
Integrální I ij = ∑ dij
(vzdálenost resp. náklady) (součet délek všech cest)
i
Určení zranitelných úseků dopravní sítě Předpoklad: pravděpodobnost použití cesty R(i,j) je přímo úměrná pravděpodobnosti užití všech úseků e v cestě R(i,j)
P ( R (i, j )) = K .
∏
g (e) = K .G ( R(i, j )) *
e∈R ( i , j )
Kde K… konstanta G(e)… pravděpodobnostní funkce užití úseku G(R)… pravděpodobnostní funkce užití cesty Vhodnou funkcí pro g(e) je: g ( e ) = ex p ( − α z ( e )) g (e) = 0
pokud e leží na akceptovatelné cestě v ostatních případech
Kde - z (e) ≥ 0 je rozdíl mezi cestovními náklady vyvolanými použitím úseku e spojujícího uzly r a s a náklady vyvolanými použitím minimální cesty mezi r a j. - α je citlivost na přepravní náklady (čím větší, tím více je preferována nejkratší cesta) - Akceptovatelná cesta je cesta, ve které pro každý následující uzel platí, že jeho vzdálenost od cíle je menší než vzdálenost předcházejícího uzlu od cíle. Pokud V(r, j) je vzdálenost uzlu r od cíle cesty j (resp. minimální přepravní náklady z r do j), pak úsek e bude na akceptovatelné cestě, pokud V(r, j) > V(s, j). Rozdíl nákladů z(e) je roven z(e) = V(s, j) + c(e) – V(r, j) kde – c(e) jsou přepravní náklady přesunu po úseku e.
Pokud se úsek e nachází na minimální cestě mezi i a j, pak z(e) = 0, protože V(r, j) = V(s, j) + c(e). Vztah (*) vyjadřuje způsob výpočtu pravděpodobnosti použití cesty R(i, j) mezi uzly i a j. Pravděpodobnost, že úsek e bude použitý pro cestu mezi uzlem i a uzlem j,se vypočítá jako suma pravděpodobností použití všech cest mezi i a j, které obsahují úsek e:
P(e,(i, j)) =
∑
P(R(i, j))
R(i, j ):e∈R(i, j )
Podmíněná pravděpodobnost, že cesta bude procházet uzlem r :
P(e,(i, j)| r) Lze vypočítat rekurzivně pomocí váhové funkce w(e):
w(e) = g(e) pokud s = j w(e) = g(e)∑wl jindy
w ...součet váhových funkcí úseků vycházejících z s ∑ β
l∈ ( s)
l
P(e,(i, j) | r) =
w(e) ∑ wl
l∈β (r )
Vypočtené pravděpodobnosti P(e,(i, j)| r) pro jednotlivé úseky e mohou být využity jako indikátory klíčového významu úseků z hlediska zranitelnosti dopravní sítě. Platí, že čím vyšší je hodnota této pravděpodobnosti, tím více nepříznivé budou následky v případě poruchy daného úseku.
Ve všeobecnosti se dá říct, že porucha jakéhokoli úseku s P(e,(i, j)| r) > 0,5 negativně ovlivní výkonnost dopravní sítě, ale celkový efekt nemusí být nijak velký. Skutečně kritická, zranitelná místa na dopravní síti mají hodnotu P(e,(i, j)| r) vyšší
výrazně
Účelem analýzy zranitelnosti dopravní sítě je jednak odhalit slabá místa,ve kterých je síť zranitelná a jejichž selhání bude mít značné negativní následky,a jednak navrhnout nápravná opatření (typu vybudování nového úseku) vedoucí ke zvýšení robustnosti sítě. Analýza vyhodnocuje zranitelnost z pohledu dosažitelnosti dvou míst i a j (tedy z hlediska relativní dosažitelnosti). Zranitelnost z pohledu integrální dosažitelnosti je možné analyzovat opakováním algoritmu pro všechny zkoumané uzly j.
Zásobovací logistika Základní koncepce zásob Důvody udržování zásob • Dosažení úspor z rozsahu • Vyrovnání nabídky a poptávky • Specializace výroby v rámci firmy • Ochrana před nejistotou a neočekávanými událostmi • „Nárazník“ v rámci celého logistického řetězce
Základní koncepce zásob Pohyb zásob v logistickém řetězci
Zásoby surovin
Zásoby ve výrobě
Zásoby hotových výrobků v závodě
Zásoby u dodavatele
Zásoby hotových výrobků v místech dodávky Zásoby u spotřebitele
Přepracování nebo opětovné zabalení produktu Odpad a vedlejší produkty
Typy zásob • Běžné (cyklické) zásoby • Zásoby na cestě • Pojistné (vyrovnávací) zásoby • Spekulativní zásoby • Sezónní zásoby • Mrtvé zásoby
Zásoby v maloobchodě
Likvidace odpadu
přímé logistické zpětné logistické
Základní princip pohybu zásob 1. Konstantní poptávka, konstantní doba doplnění zásob, podmínky jistoty td = 10 dní QO= 400 ks QP = 20 ks/den
Q (ks) příchod objednaného zboží
400 podání objednávky
příchod objednaného zboží
podání objednávky
průměrná běžná zásoba
200
0
10
20
30
40
50
60
t (dny)
2. Konstantní poptávka, konstantní doba doplnění zásob, podmínky jistoty Q (ks)
td = 10 dní QO= 200 ks QP = 20 ks/den
400 200 průměrná běžná zásoba
100
0
10
20
30
40
50
60
t (dny)
3. Konstantní poptávka, konstantní doba doplnění zásob, podmínky jistoty Q (ks) td = 10 dní 600 QO= 600 ks QP = 20 ks/den 400 průměrná běžná zásoba
300 20 0
0
10
20
30
40
50
60
t (dny)
4. Variabilní poptávka, konstantní doba doplnění zásob, podmínky nejistoty td = 10 dní QO= 200 ks QP0 = 20 ks/den QP1 = 25 ks/den
Q (ks)
400
200 150
průměrná běžná zásoba = 100 ks
100 50 0 -50
průměrná zásoba = 150 ks 0
8
10
18
20
30
40
t (dny) pojistná zásoba = 50 ks
5. Konstantní poptávka, variabilní doba doplnění zásob, podmínky nejistoty td = 10 dní ± 2 dny QO= 200 ks QP = 20 ks/den
Q (ks)
400
200 150
průměrná běžná zásoba = 100 ks
100 50 0 0 -40
průměrná zásoba = 140 ks 10
12
20
30
40
t (dny) pojistná zásoba = 40 ks
6. Variabilní poptávka, variabilní doba doplnění zásob, podmínky nejistoty
td = 10 dní ± 2 dny QO= 200 ks QP = 20 ks/den QP1 = 25 ks/den
Q (ks)
400
200 150
průměrná běžná zásoba = 100 ks
100 50 0 -100
průměrná zásoba = 200 ks 0
8 10 12
20
30
40
t (dny) pojistná zásoba = 100 ks
Měření efektivity řízení zásob • Celkové náklady logistických činností (min) •
Obrátka zásob (max) = roční objem prodeje v nákupních cenách / průměrná hodnota zásob
•
Míra plnění dodávek (max) %
Modely poptávky pro řízení zásob • Systém tahu – zásoby jsou vytahovány když zákazník dá pokyn • Systém tlaku – firma vyrábí a pak se snaží prodat, tlačí na zákazníka aby koupil • •
Závislá poptávka – čerpání více produktů spolu souvisí Nezávislá poptávka – produkty jsou čerpány nezávisle na sobě
Řízení zásob v podmínkách jistoty • Prostá minimalizace celkových nákladů • Kompromis mezi – náklady na udržování zásob – náklady na objednání • Model EOQ (Economic Order Quantity) Model EOQ N (Kč)
Celkové náklady
EOQ
Náklady na udržování zásob
Objednací náklady QO (ks) EOQ … optimální velikost objednávky (ks) Náklady na objednání D … celková roční potřeba produktu (ks)
NO =
D P (Kč) EOQ
P … náklady na jednu objednávku (Kč)
Náklady na udržování zásob V = průměrné náklady resp. cena/ks zásob (Kč/ks) C = roční náklady na udržování zásob (podíl z V)
NU =
EOQ C ∗ V (Kč) 2
D EOQ P+ CV EOQ 2 Hledame min imum CN , tedy dCN PD CV =− + =0 2 cEOQ 2 EOQ
CN = N O + N U =
CV PD = 2 EOQ 2 EOQ =
2 PD CV
Model EOQ – příklad Ve výrobě se denně spotřebuje 20 ks určitých součástek. Průměrné náklady na udržování jedné součástky ve stavu zásob jsou 250 Kč. Náklady na vystavení jedné objednávky jsou 100 Kč a za dopravu jedné zásilky je třeba zaplatit dopravci 300 Kč. Jaká je optimální velikost objednávky s ohledem na minimalizaci celkových nákladů na objednávání a udržování zásob? Vyrábí se nepřetržitě 365 dní v roce. D = 20⋅365 = 7 300 ks P = 100 + 300 = 400 Kč V = 250 Kč C = 1 (=100 %)
EOQ =
2 ∗ 400 * 7300 = 153ks 1 * 250
Model EOQ - Předpoklady pro použití: 1. Konstantní a známá výše poptávky 2. Konstantní a známá celková doba doplnění zásob 3. Konstantní jednotkové nákupní ceny 4. Konstantní jednotkové přepravní náklady 5. Uspokojení veškeré poptávky 6. Žádné zásoby na cestě 7. Nezávislá poptávka po položce zásob 8. Nekonečný a/nebo neomezený plánovací horizont 9. Neomezená dostupnost kapitálu
Model EOQ – typické modifikace • paletace, balení – někdy se dodávají pouze standardní balení – nutno najít „celočíselné“ řešení problému – stačí aplikovat metodu „branch and bound“ • proměnné přepravní sazby – obvykle po částech lineární funkce – jednotková cena za přepravu s rostoucím objemem přepravovaného produktu klesá • množstevní slevy – jednotková nákupní cena produktu s rostoucím objemem objednávaného množství klesá – obvykle také po částech lineární funkce Model EOQ – proměnné přepravní sazby
NP (Kč)
0
a
b
c
d
QO (ks)
Model EOQ – proměnné přepravní sazby – příklad Vozík Vozík Vozík Šupkára Šupkára Šupkára Avie Avie Avie Avie Kamion Kamion Kamion Kamion Kamion
Palet 0,2 0,5 1 1 2 3 3 4 5 6 6 7 8 9 10
Náklady Průměrné N 100 500 100 200 100 100 300 300 300 150 300 100 400 133 400 100 400 80 400 67 700 117 700 100 700 88 700 78 700 70
NP (Kč) 600 500 400 300 200 100 0 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
QO (30ks)
Model EOQ – proměnné přepravní sazby - příklad
CN = N O + N U CN =
7300 ⎛ 100 ⎞ EOQ ∗ 250....EOQ ∈ (0;30) ∗⎜ + 100 ⎟ + 2 EOQ ⎝ 20 ⎠
CN =
7300 ⎛ 300 ⎞ EOQ ∗ 250.....EOQ ∈ (30; 90 ∗⎜ + 100 ⎟ + 2 EOQ ⎝ 20 ⎠
CN =
7300 ⎛ 400 ⎞ EOQ ∗ 250......EOQ ∈ (90;180 ∗⎜ + 100 ⎟ + 2 EOQ ⎝ 20 ⎠
CN =
7300 ⎛ 700 ⎞ EOQ ∗ 250.....EOQ ∈ (180; 360 ∗⎜ + 100 ⎟ + 2 EOQ ⎝ 20 ⎠
EOQ1 =
2 * 200 * 7300 = 108ks ∉ (0; 30 1 * 250
EOQ2 =
2 * 400 * 7300 = 153ks ∉ (30; 90 1 * 250
EOQ3 =
2 * 500 * 7300 = 171ks ∈ (90;180 1 * 250
EOQ4 =
2 * 800 * 7300 = 216ks ∈ (180; 360 1 * 250
EOQ 7300 * (100 + 100) + * 250 = 52415.... proEOQ = 30 EOQ 2 EOQ 7300 CN 2 = * (100 + 300) + * 250 = 43694.... proEOQ = 90 EOQ 2 EOQ 7300 CN 3 = * (100 + 400) + * 250 = 42720.... proEOQ = 171 EOQ 2 EOQ 7300 CN 4 = * (100 + 700) + * 250 = 54037... proEOQ = 216 EOQ 2
CN 1 =
Lze dodat pouze celé palety (= 30 ks)
EOQ 7300 * (100 + 100) + * 250 = 52415.... proEOQ = 30 EOQ 2 EOQ 7300 CN 2 = * (100 + 300) + * 250 = 43694.... proEOQ = 90 EOQ 2 EOQ 7300 CN 31 = * (100 + 400) + * 250 = 43083.... proEOQ = 150 EOQ 2 EOQ 7300 CN 32 = * (100 + 400) + * 250 = 42778..... proEOQ = 180 EOQ 2 EOQ 7300 CN 41 = * (100 + 700) + * 250 = 54059... proEOQ = 210 EOQ 2 7300 EOQ CN 42 = * (100 + 700) + * 250 = 54333... proEOQ = 240 EOQ 2 CN 1 =
Řízení zásob v podmínkách nejistoty
Nejistota generovaná – ekonomickými podmínkami partnerů – konkurencí, – vládou…. Nejistota v – cyklu (době) objednávky – době přepravy – čekání na výrobu
Reakce na nejistotu – Dodatečné zásoby ve formě pojistných – Risk potenciálních ztrát z prodeje z důvodů vyčerpán ↓↓ náklady na udržování zásob x náklady z nedostatečných zásob Nejistota v intervalech mezi dodávkami vede k přeceňování aspektu KDY na úkor KOLIK objednávat Model pevného bodu (velikosti) objednávky x Model pevné velikosti objednávky
Model pevného bodu objednávky Objednávka při dosažení hladiny 150 ks
Model pevného intervalu objednávky Objednávka každých 20 dní
Pojistné zásoby Pojistka vzhledem k • Variabilitě poptávky • Variabilitě cyklu doplnění
Velikost pojistných zásob lze zjistit • Simulací • Pomocí statistických metod (na základě disponibilního výběrového souboru)
σ c = R(σ S 2 ) + S 2 (σ R 2 )
Požadavek na pojistné zásoby:
σc - pojistná zásoba potřebná k uspokojení 68% pravděpodobnosti (jedna odchylka), že během cyklu nedojde k vyčerpání zásob
R - průměrný cyklus doplnění zásob σR - sm.odch. cyklu doplnění zásob S - průměrný denní prodej
σS … sm.odch. průměrného denního prodej Směrodatná odchylka prodeje
σS =
∑ fd
2
n −1
σS - směrodatná odchylka denního prodeje f - četnost případů stejného denního prodeje d - odchylka případů od střední hodnoty n - počet pozorování Stejný postup lze použít pro výpočet sm. odchylky cyklu doplnění zásob σR
příklad Pro oblast trhu 1 byla zaznamenána následující historie prodeje:
směrodatná
a) Výpočet směrodatné odchylky prodeje
S = 100
σS =
10000 ≈ 20 25 − 1
V 68% případů se denní prodej pohybuje mezi 80-120 krabicemi (100±20) V 95% případů se denní prodej pohybuje mezi 60-140 krabicemi (100±40 – dvě σ) Při stanovení úrovně pojistné zásoby stačí uvažovat případy překračující stř. hodnotu Normální rozdělení poptávky pro oblast trhu 1
Reálně: Pojistná zásoba ve výši 40 krabic pokryje 98% případů Pojistná zásoba ve výši 20 krabic pokryje 84% případů
b) Výpočet směrodatné odchylky cyklu doplnění zásob
R = 10
σR =
40 ≈ 1,634 16 − 1
Průměrný cyklus doplnění zásob je 10. Celková pojistná zásoba nutná pro pokrytí variability prodeje je:
σ c = R(σ S 2 ) + S 2 (σ R 2 ) = 4000 + 26700 = 175 Lze tedy shrnout: V situaci, kdy se objem denního prodeje mění od 60 do 140 krabic a cyklus doplnění zásob se mění od 7 do 13 dní, umožní pojistná zásoba ve výši 175 krabic výrobci uspokojovat 84 % všech možných událostí.
Pokud by se chtěl výrobce zabezpečit pro 98 % všech možností, musel by udržovat pojistnou zásobu ve výši 350 krabic. Různé úrovně zákaznického servisu a požadavků na zásoby (podrobněji)
Průměrná výše zásob – Plánovaná roční poptávka: 250*100 = 25000 krabic – Náklady na udržení zásob: 32% (dáno) – Hodnota krabice: 4,37 USD (dáno) – Objednací náklady: NO= 28 USD (dáno – Odtud EOQ = 1000 ks Průměrné zásoby při různých úrovních zákaznického servisu
c) Výpočet míry plnění dodávek (FR – fill rate) Vyjadřuje závažnost vyčerpání zásob (Chce-li manažer udržovat pojistnou zásobu ve výši 280 ks, jaká bude FR?)
FR = 1 −
σc EOQ
I (K )
I(K)…servisní funkce (faktor významnosti) založená na potřebném počtu sm. Odchylek K… požadovaná pojistná zásoba / c Manažer chce udržovat pojistnou zásobu ve výši 280 ks, jaká bude FR ?
FR = 1 −
175 ⎛ 280 ⎞ I⎜ ⎟ = 1 − 0,175.I (1, 6) = 1 − 0,175.0, 0236 = 0,9959 1000 ⎝ 175 ⎠
Průměrná míra plnění dodávek tedy činí 99,59 %. Znamená to, že pokud manažer udržuje pojistnou zásobu 280 jednotek a objednává pokaždé 1 000 jednotek, pak z každých 100 požadovaných jednotek výrobku A bude k dispozici (pro prodej) 99,59 jednotek.
Předmět a cíl výrobní logistiky Výrobní logistika se obecně zabývá úkoly logistiky v oblasti vnitropodnikových transformací materiálových toku. Výrobní logistika se nemusí nacházet na začátku logistiky podniku Podnik představuje výrobní systém, který je součástí logistického řetězce sdružujícího dodavatele i odběratele. Na konci řetězce je zákazník, uspokojení jeho potřeb je potvrzením účelnosti materiálového toku Předmětem výrobní logistiky je materiál v nejširším smyslu slova tzn.veškeré druhy materiálu od surovin po finální produkty, a to i v podobě nehmotných služeb. Cílem výrobní logistiky je zajišťovat v oblasti své působnosti účelnost materiálového toku (Klíčovou skutečností je, že materiálové toky nejsou samoúčelné, jejich smyslem je uspokojení potřeb a požadavku zákazníka) Řízení materiálového toku Zahrnuje správu surovin, součástek, vyrobených dílů, balicích materiálů a zásob ve výrobě Pokud se nezabezpečí efektivní a účinné řízení toku vstupních materiálů, výrobní proces nebude schopen vyrábět produkty za požadovanou cenu, a v době, kdy jsou tyto produkty požadovány pro distribuci zákazníkům Nedostatek správných materiálů ve správné době : • zpomalení výroby či jejímu výpadku • vyčerpání hotových výrobků u producenta • vyčerpání zásob u zákazníka Jedna z nejdůležitějších činností v oblasti řízení toku materiálu je: řízení ve spolupráci s logistickou funkcí dopravy materiálu směrem do podniku a v rámci podniku Rozbor materiálového toku Rozbor toku materiálu je důležitý především tam, tam, kde náklady na dopravu a manipulaci s materiálem jsou vysoké ve srovnání s náklady na výrobní operace, skladování a kontrolu. Rozboru toku materiálu zkoumá – nejefektivnější sled pohybu materiálu nutnými fázemi výrobního procesu – intenzitu (rozsah) těchto pohybů Efektivní tok vyžaduje, aby materiál postupoval výrobním procesem progresivně bez zbytečných oklik a protisměrných pohybů. Dopravní vzdálenosti jsou předem dány v souladu s navrhováním manipulace s materiálem. Uspořádání (dispozici) lze změnit, prokáže-li se úspora prostředků pro manipulaci.
Při zpracování projektů manipulace materiálem je potřeba znát: – místo nakládky a vykládky, – trasy, popř. již používané metody na těchto trasách, – velikosti předpokládané plochy pro jednotlivé činnosti (zatížení, resp. podlahový tlak, modul sloupů, výška podlaží apod.). Pro návrhy nových uspořádání (dispozic) jsou charakteristické tři hlavní druhy toku materiálu: - přímý – ve tvaru písmene L, – ve tvaru písmene U. Modifikace těchto tří druhů dispozičního uspořádání závodů je pak kruhový, resp. klikatý tok materiálu. Nejcharakterističtější dominantní veličinou dispozičního uspořádání je – intenzita toku materiálu Qm, Qv, Qz na trase – manipulační výkon Cm, Cv, Cz. Typické jednotky měření intenzity toku materiálu nebývají srovnatelné. (Například váha značného množství sypkého materiálu není z hlediska přepravitelnosti srovnatelná s tuhým materiálem stejné hmoty, karoserie vozu s jeho motorem…) Proto při řešení obtížných manipulačních problémů používáme veličinového počtu MAG. MAG udává základní hodnotu velikosti předmětu A (činitel rozměru, viz obr. č. 1 dále), kterou zvyšujeme nebo snižujeme s přihlédnutím k následujícím činitelům ovlivňující přepravitelnost: – A-rozměry, – B-hmotnost, – C-tvar, – D-nebezpečí poškození, – E-stav materiálu, – F-hodnota (cena) materiálu Hodnota 1 MAG odpovídá materiálu, který lze pohodlně držet v ruce, je dostatečně pevný, má kompaktní tvar, dá se stohovat, nepodléhá poškození, je dostatečně čistý, tuhý a stálý (Typickým příkladem je kostka suchého dřeva s objemem 10 palců kubických (16,4 cm3)) Hodnota přepravitelnosti se vypočítá z následující rovnice udávající velikosti činitelů přepravitelnosti B, C,D, E, F. MAG=A+[0,25.A.(B+C+D+E+F)] MAG tedy umožňuje porovnávat intenzitu toků různých druhů materiálu nebo intenzitu toku materiálu po různých trasách.
Výpočet velikosti hodnoty činitele A (podle objemu) v jednotkách MAG
Kategorie materiálu dle hmotnosti, tvaru, odolnosti a manipulovatelnosti
Materiálové toky se obvykle a znázorňují materiálového do Sankeyova diagramu, kde intenzita materiálového toku se přímo zakresluje do situačního plánu. Šířka jednotlivých proudů je úměrná intenzitě materiálového toku
Rozbor materiálového toku, graf P-Q Pro analýzu a optimalizaci materiálových toků je důležitý rozbor různých druhů výrobků (nebo materiálu či součástí) ve srovnání s vyráběným množstvím každého jednotlivého druhu. Z tohoto rozboru vychází většina projektů manipulace s materiálem a dopravy, skladování nebo plánování výroby. Tento rozbor má charakter: grafického rozdělení (seskupení) různých výrobků či položek resp.tabulky nebo výpočtu množství každého seskupení nebo každého výrobku
Graf P-Q ukazuje typické druhy výrobků s velkým obratem a s malým obratem. Položky v oblasti M jsou často vhodné pro metody hromadné výroby (velká množství poměrně malého počtu výrobků nebo modifikací), Položky v oblasti J se musí vyrábět individuálně (zakázková nebo kusová výroba velkého množství různých výrobků v malých množstvích-objemech).
U výrob s pestrým sortimentem je možné dosáhnout efektivního řešení rozdělením výrobků a jejich výrob do dvou odlišných dispozic. Jednotlivé řešení dispozice, stejné pro všechny výrobky by mohlo být méně efektivním kompromisem. Pro „mělkou“ křivku P-Q je vhodné použít univerzálního systému manipulace a jednotného typu dispozičního uspořádání pro všechny výrobky. (Větší část výroby je soustředěna ve střední části křivky, navrhneme v zájmu všeobecné efektivnosti jeden typ dispozičního řešení, i přesto, že výroba na obou koncích P-Q křivky nebude zcela efektivní.) Pro „hlubokou“křivku je potřeba rozdělit výrobky, výrobní plochy do dvou odlišných dispozic a systémů manipulace i dopravy. Metody rozmísťování objektů Hlavní roli při rozmísťování (navrhování umístění) objektů hraje velikost materiálového toku v závislosti na délce trasy. Ostatní faktory jako křížení toků,vhodnost rozmístění objektů v závislosti na výrobní návaznost apod. lze podchytit individuálním posouzením. Metody řešení rozmístění objektů lze rozdělit na: • Metody matematického programování (Craft) • Metody posloupnosti: trojúhelníková, kruhová apod. • Stochastické metody rozmísťování objektů-pravděpodobnostní, např. Monte Carlo), • Kombinované metody. A) CRAFT CRAFT - (Computerized Relative Allocation of Facilities Technique) Jedná se o nalezení minima kriteriální funkce manipulačního problému. Problém optimalizace vzájemné polohy objektů lze formulovat: – vij… počet jednotek materiálu pohybujících se mezi objekty i a j – uij…náklady na pohyb jednotky na jednotku vzdálenosti mezi i a j – lij… vzdálenost mezi objekty i a j Náklady na manipulaci celé produkce mezi objekty i a j na jednotku vzdálenosti:
cij = uij vij Náklady na manipulaci jednotky produkce mezi objekty i a j na jejich vzdálenost:
dij = lij vij Náklady řešení rozmístění jednotlivých objektů: n
n
z = ∑∑ uij vij lij ...min i =1 j =1
1. Problém rozmísťovací – konečný diskrétní počet matic L, „hledání té nejlepší“ za podmínky
uij ...konst , vij ...konst 2. Problém velikosti toku lij ...konst , vij ...konst
∑∑ u
ij
=U
kde U je konst. množství materiálu určeného k přepravě
B) Trojúhelníková metoda Při řešení rozmístění objektů trojúhelníkovou metodou hledáme vzájemnou polohu objektů, mezi nimiž tečou materiálové toky. Metoda vychází z předpokladu nejkratší přímé vzdálenosti mezi dvěma body (objekty) a je založena na předpokladu stejných vzdálenosti. Za předpokladu přímého rozmísťování objektů má rovnostranný trojúhelník nejmenší obvod při stejné ploše jiných trojúhelníků ostatních možných řešení
Nejméně ekonomicky náročné umístění objektu C za pomocí trojúhelníkové metody řešení oproti nesprávným umístěním (C)
B) Kruhová metoda Metoda vychází z požadavku nejkratšího největšího hmotového toku. Součet součinů objemů materiálů a vzdálenosti musí být minimální. Tedy: n
z = ∑ Gi ai ...min i =1
kde
ai … přepravní vzdálenost Gi … přepravní objem.
Vzdálenost mezi dvěma objekty je zde dána množstvím přepravovaného materiálu. Inverzí velikostí jednotlivých přepravovaných objemů dostáváme velikost poloměru kružnice ai, na jejichž obvodu by se objekt měl vyskytovat
ai =
1 M Gi
kde M je vhodné měřítko na základě znalosti výchozích míst a míst určení. Neumísťujeme objekty do konkrétní situace, ale hledáme vzájemnou polohu vůči sobě, přičemž platí, že každý objektem prochází právě tolik kružnic, kolik je v tomto objektu materiálových toků. Řešení touto metodou se nedoporučuje u komplikovaných materiálových toků s větším
