Líneáris függvények Definíció: Az f(x) = mx + b alakú függvényeket, ahol m ≠ 0, m, b ∈ R els fokú függvényeknek nevezzük. Az f(x) = mx + b képletben
- a b megmutatja, hogy a függvény hol metszi az y tengelyt, majd - az m (meredekség) megmutatja, hogy az el bb kapott pontból jobbra lépve egy egységet hány (m) egységet lépjünk fölfele (m > 0), vagy lefele (m < 0).
Ábrázoljuk az f(x) = 2x + 3 függvényt!
Ábrázoljuk az f(x) = −3x + 1 függvényt!
Az y tengelyt (0, 3) pontban metszi a függvény, ebb l a pontból 1-et lépünk jobbra majd 2-t fölfele. Az így kapott pontokat összekötjük.
Az y tengelyt (0, 1) pontban metszi a függvény, ebb l a pontból 1-et lépünk jobbra majd 3-at lefele. Az így kapott pontokat összekötjük.
y
y
10
10
8
(0,3)
6
-5
6
4
4
2
2
0 -10
8
-2
0
5
10
x
0 -10
-5
-2
-4
-4
-6
-6
-8
-8
-10
-10
0
5
10
x
−1
Ábrázoljuk az f(x) = 3 x − 2 függvényt! Az y tengelyt (0, −2) pontban metszi a függvény, 1 -ot 3
ebb l a pontból 1-et lépünk jobbra majd fölfele (3-at jobbra, 1-et felfelé). Az így kapott pontokat összekötjük.
8
8
6
6
4
4
2
2
-2
0
5
10
x
5
fölfele (5-öt jobbra, 1-et felfele). Az így kapott pontokat összekötjük. y
10
0 -5
Az y tengelyt (0, 1) pontban metszi a függvény, ebb l a pontból 1-et lépünk jobbra majd 1 -öt
y
10
-10
1 Ábrázoljuk az f(x) = 5 x + 1 függvényt!
0 -10
-5
-2
-4
-4
-6
-6
-8
-8
-10
-10
0
5
10
x
Ábrázoljuk az f(x) = 2x függvényt! Az y tengelyt (0, 0) pontban metszi a függvény, ebb l a pontból 1-et lépünk jobbra majd 2-t fölfele. Az így kapott pontokat összekötjük.
1 Ábrázoljuk az f(x) = 2 x függvényt! Az y tengelyt (0, 0) pontban metszi a függvény, ebb l a pontból 1-et lépünk jobbra majd 1 -et 2
fölfele (2-t jobbra, 1-et felfele). Az így kapott pontokat összekötjük. y
10
10
8
8
6
6
4
4
2
2
0 -10
-5
-2
0
y
5
10
x
0 -10
-5
-2
-4
-4
-6
-6
-8
-8
-10
-10
0
5
10
x
Ábrázoljuk az f(x) = x függvényt!
Ábrázoljuk az f(x) = −x függvényt!
Az y tengelyt (0, 0) pontban metszi a függvény, ebb l a pontból 1-et lépünk jobbra majd 2-t fölfele. Az így kapott pontokat összekötjük.
Az y tengelyt (0, 0) pontban metszi a függvény, ebb l a pontból 1-et lépünk jobbra majd 1-et fölfele. Az így kapott pontokat összekötjük.
y
10
8
8
6
6
4
4
2
2 0 -10
-5
-2
y
10
0
5
10
x
0 -10
-5
-2
-4
-4
-6
-6
-8
-8
-10
-10
0
5
10
x
Függvények jellemzése ÉT:
értelmezési tartomány
A változó lehetséges értékeinek a halmaza. jelölés:Df
ÉK:
értékkészlet
A lehetséges függvényértékek halmaza.
ZH:
zérushely
Széls érték min:
Egy f függvény zérushelyeinek nevezzük az értelmezési tartományának mindazon x értékeit, melyre f(x) = 0. Az a pont, ahol a függvény érinti6metszi az x tengelyt
minimum
max:
maximum
Monotonitás mon. n :
monoton n
mon. csökken:
monoton csökken
Paritás:
jelölés:Rf
Egy függvénynek minimuma van az értelmezési tartományhoz tartozó x0 helyen, ha az ott felvett f(x0) függvényértéknél kisebb értéket sehol sem vesz fel a függvény. Egy függvénynek maximuma van az értelmezési tartományhoz tartozó x0 helyen, ha az ott felvett f(x0) függvényértéknél nagyobb értéket sehol sem vesz fel a függvény. Azt mondjuk, hogy az f függvény monoton növekv az értelmezési tartomány egy intervallumán, ha az intervallum bármely x1 < x2 elemeihez rendelt függvényértékekre az f(x1) ≤ f(x2) reláció áll fenn. Azt mondjuk, hogy az f függvény szigorúan monoton növekv az értelmezési tartomány egy intervallumán, ha az intervallum bármely x1 < x2 elemeihez rendelt függvényértékekre az f(x1) < f(x2) reláció áll fenn. Azt mondjuk, hogy az f függvény monoton csökken az értelmezési tartomány egy intervallumán, ha az intervallum bármely x1 < x2 elemeihez rendelt függvényértékekre az f(x1) ≥ f(x2) reláció áll fenn. Azt mondjuk, hogy az f függvény szigorúan monoton csökken az értelmezési tartomány egy intervallumán, ha az intervallum bármely x1 < x2 elemeihez rendelt függvényértékekre az f(x1) > f(x2) reláció áll fenn. Legyen az értelmezési tartományának minden elemével együtt annak ellentettje is eleme az értelmezési tartományának; (x ∈ Df, akkor –x ∈ Df) és Egy függvényt párosnak nevezünk, ha minden értelmezési tartománybeli elem ellentettjéhez az eredeti elemhez rendelt függvényértékeket rendeli; (minden x ∈ Df esetén f(x) = f(–x)). Egy függvényt páratlannak nevezünk, ha minden értelmezési tartománybeli elem ellentettjéhez az eredeti elemhez rendelt függvényérték mínusz egyszeresét rendeli; (minden x ∈ Df esetén f(x) = – f(–x)).
Példák
f(x) = −3x + 1
f(x) = 2x + 3 y
10
y
10 8
8
6
6
4
4
2
2 0
0 -10
-5
-2
0
5
10
x
-10
-5
-2
0
5
-4
-4
-6
-6
-8
-8
-10
-10
ÉT: ÉK: ZH: Sz.é. min.: max.: Mon .csökken: Mon. n : Paritás
x∈R y∈R x = – 1,5 – – – ]–∞ ; ∞[ –
ÉT: ÉK: ZH: Sz.é. min.: max.: Mon .csökken: Mon. n : Paritás
x∈R y∈R x = 0,5 – – ]–∞ ; ∞[ – –
10
x
1 f(x) = 5 x + 1
−1
f(x) = 3 x − 2 y
10
y
10
8
8
6
6
4
4
2
2
0 -10
-5
-2
0
5
10
x
0 -10
-5
-2
-4
5
-4
-6
-6
-8
-8
-10
ÉT: ÉK: ZH: Sz.é. min.: max.: Mon .csökken: Mon. n : Paritás
0
-10
x∈R y∈R x=–6 – – ]–∞ ; ∞[ – –
ÉT: ÉK: ZH: Sz.é. min.: max.: Mon .csökken: Mon. n : Paritás
x∈R y∈R x = –5 – – – ]–∞ ; ∞[ –
10
x
1 f(x) = 2 x
f(x) = 2x
y
10
y
10
8
8
6
6
4
4
2
2
0
0 -10
-5
-2
0
5
10
x
-10
-5
-4
-4
-6
-6
ÉT: ÉK: ZH: Sz.é. min.: max.: Mon .csökken: Mon. n : Paritás
-2
0
-8
-8
-10
-10
x∈R y∈R x= 0 – – – ]–∞ ; ∞[ páratlan
ÉT: ÉK: ZH: Sz.é. min.: max.: Mon .csökken: Mon. n : Paritás
x∈R y∈R x=0 – – – ]–∞ ; ∞[ páratlan
5
10
x
f(x) = x
f(x) = −x y
10
8
8
6
6
4
4
2
2 0 -10
-5
ÉT: ÉK: ZH: Sz.é. min.: max.: Mon .csökken: Mon. n : Paritás
-2
y
10
0
5
10
x
0 -10
-5
-2
-4
-4
-6
-6
-8
-8
-10
-10
x∈R y∈R x=0 – – – ]–∞ ; ∞[ páratlan
ÉT: ÉK: ZH: Sz.é. min.: max.: Mon .csökken: Mon. n : Paritás
0
5
x∈R y∈R x=0 – – ]–∞ ; ∞[ – páratlan
10
x
