Leerplanstudie leerplan c

Marialand 31, Gent

Leerplanstudie leerplan c derde graad aso

Samengesteld en gegeven door Guy Reyntjens en Luc De Wilde Pedagogisch begeleiders wiskunde DPB Gent Leerplanstudie leerplan c – derde graad aso – februari 2015

Pagina 1

Inhoudstafel 1.

Wiskunde onderwijzen 1.1 1.2 1.3 1.4

2.

Leerplan c - derde graad aso 2.1 2.2 2.2

3.

Wat is wiskunde? Wiskundige competenties Wiskundevorming Welke manieren zijn er om wiskunde te onderwijzen?

Overzicht Pedagogisch-didactische wenken Motivatie

Evalueren 3.1 3.2 3.3 3.4

Waarom meer aandacht voor procesevaluatie? Kijkwijzer procesevaluatie Productevaluatie Kijkwijzer productevaluatie

4.

Overzicht leerplandoelstellingen met bijzondere aandacht voor enkele pedagogische wenken - bespreking examenvragen deelnemers per leerstofonderdeel (zie bijlage)

5

Formulegevoeligheid

6

Bespreking examen: zie bijlage

7

Wat na het secundair?

Leerplanstudie leerplan c – derde graad aso – februari 2015

Pagina 2

1 Wiskunde onderwijzen 1.1 Wat is ‘wiskunde’? In de wiskunde creëren we modellen om de werkelijkheid rondom ons te beschrijven. 



Met de werkelijkheid bedoelen we hier o.a. natuurverschijnselen (ruimte, beweging, kracht, ...) , technische realisaties (elektronica, informatietechnologie,…) of menselijke relaties (economie, sociologie,…). De modellen zelf kunnen bijv. de vorm aannemen van een evenredigheid, een formule, een vergelijking, een functioneel verband, een meetkundig verband.

Bovendien ordent de wiskunde die modellen in samenhangende systemen en schema’s, waarbij ook de toepasbaarheid en de beperkingen van die systemen kunnen beschreven worden.

1.2 Wiskundige competenties Wiskundig competent zijn betekent: beschikken over wiskundige kennis, vaardigheden, houdingen en opvattingen, zo dat die optimaal kunnen gebruikt worden bij het aanpakken en oplossen van problemen binnen en buiten de wiskunde of waarbij wiskunde een rol speelt. (Bron: OECD – PISA)


Pagina 3

1.3 Wiskundevorming Wiskundevorming heeft een dubbele rol: -

het ontwikkelen van een wiskundig instrumentarium, nodig om goed te kunnen functioneren in de maatschappij, het aanbieden van een fundamentele denken attitudevorming. Denkactiviteiten -

Attitudes

modelleren en algebraïseren ordenen en structureren analytisch denken en probleemoplossen formules manipuleren abstraheren logisch redeneren en bewijzen

-

zelfvertrouwen en zelfstandigheid doorzettingsvermogen kritische zin zin voor samenwerking zin voor nauwkeurigheid en orde zin voor helderheid, bondigheid en eenvoud van taalgebruik zin voor kwaliteit van de presentatie waardering voor wiskunde

Wiskundevorming geven is het nastreven van kennisdoelen, vaardigheidsdoelen én attitudedoelen. Vaardigheden die leerlingen (verder) ontwikkelen doorheen het secundair onderwijs zijn rekenvaardigheden, meet- en tekenvaardigheden, wiskundige taalvaardigheden, denken redeneervaardigheden, probleemoplossende vaardigheden, leervaardigheden, onderzoekvaardigheden. Voorafgaand aan de inhoudelijke leerplandoelstellingen vindt men in elk leerplan de doelstellingen i.v.m. vaardigheden en attitudes aangevuld met pedagogisch-didactische wenken.

1.4 Welke manieren zijn er om wiskunde te onderwijzen? Bij het wiskundeonderwijs dienen we rekening te houden met de twee dimensies van de wiskunde  

de horizontale dimensie: het mathematiseren en oplossen van problemen die verband houden met de werkelijkheid (het maken van modellen om de werkelijkheid te beschrijven) de verticale dimensie: de deductieve opbouw van de wiskunde (het ordenen van modellen)

Naargelang het belang dat men hecht aan die 2 dimensies ontstaan er vier soorten van wiskundedidactiek.

receptenwiskunde empirische wiskunde structuralistische wiskunde betekenisvolle wiskunde

horizontale dimensie + +


verticale dimensie + +

Pagina 4



In de receptenwiskunde worden zowel de horizontale als de verticale dimensie verwaarloosd. De leerlingen houden zich vooral bezig met het uitvoeren van routineopdrachten volgens opgelegde regels, zonder dat ze de samenhang van die regels begrijpen (verticale dimensie) of dat ze weten welke reële problemen ze vertegenwoordigen (horizontale dimensie). Men zegt wel eens dat de wiskunde hier wordt herleid tot zijn “betekenisloosheid”.



In de empirische wiskunde zijn de leerlingen wel bezig met het oplossen van reële problemen, maar zonder dat ze de samenhang tussen hun bevindingen kunnen begrijpen of aantonen.



In de structuralistische wiskunde overheerst volledig de verticale dimensie. De wiskunde wordt opgebouwd vanuit zijn grondvesten (axioma’s) als een monumentaal rationeel gebouw. Het gevolg is echter dat de concepten worden ingevoerd op het moment dat ze passen in het deductief systeem, en niet op het moment dat ze belangrijk zijn om bepaalde problemen op te lossen. Een klassiek voorbeeld van structuralistische wiskunde was het meetkundeonderwijs, geïnspireerd op de boeken van Euclides. Een meer recente vorm was de zgn. “moderne” wiskunde, die als doel had de hele wiskunde op te bouwen vanuit de verzamelingenleer.



In de betekenisvolle wiskunde ten slotte vertrekt men van reële problemen, die geworteld zijn in diverse contexten: het dagelijkse leven, een ander schoolvak of de wiskunde zelf. Vanuit deze problemen worden eenvoudige mathematische modellen opgebouwd. Deze modellen wordt in de loop van de jaren d.m.v. nieuwe contexten veralgemeend, uitgebreid en geabstraheerd. Ook de manier van redeneren ondergaat een hele evolutie: van eenvoudige afleidingen naar bewijzen (koppelen van afleidingen), verder naar deductieve eilanden (koppelen van bewijzen) en ten slotte naar wiskundige theorieën.


Pagina 5

2 Leerplan c derde graad aso 2.1 Overzicht Het leerplan bestaat uit de volgende onderdelen. Het aantal voorziene lestijden is een aanbeveling.

1

Vaardigheden en attitudes (5.1) wordt geïntegreerd in de verwerking van de leerinhoudelijke doelstellingen.

2

Verplichte leerinhoudelijke doelstellingen

ca. 105

Functieleer (5.2.1)

83

Grafisch onderzoek

8

Veeltermfuncties Inleiding

5

Afgeleiden

25

Integralen

15

Exponentiële en logaritmische functies 15 Goniometrische functies

15

Statistiek (5.2.2)

3

20

Keuzeonderwerpen

ca. 45

Matrices en stelsels (5.3.1)

15

Financiële algebra (5.3.2)

25

Ruimtemeetkunde (5.3.3)

15

Lineaire regressie en correlatie (5.3.4)

15

Betrouwbaarheidsintervallen (5.3.5)

10

Toetsen van hypothesen (5.3.6)

7

Telproblemen (5.3.7)

10

Kansrekenen (5.3.8)

15

Mathematiseren en oplossen van problemen

15

De leraar werkt een eigen keuzeonderwerp uit


max.

15

Pagina 6

2.2 Pedagogisch-didactische wenken KENNIS EN INZICHT  Begripsvorming: onderbouwen met voorbeelden en tegenvoorbeelden  Inzicht in de aangeleerde begrippen en eigenschappen impliceert dat de verworven kennis kan toegepast worden

 

VAARDIGHEDEN  ICT efficiënt gebruiken







Grotere verantwoordelijkheid ten aanzien van het eigen leren

ATTITUDEN EN OPVATTINGEN  Leerattitudes verwerven:  orde, nauwkeurigheid, doorzettingsvermogen en zelfvertrouwen  Onderzoeksgerichte en kritische houding  (vergelijken van mekaars oplossing)  Realiteitsbetrokken situaties  ACTIEVE WERKVORMEN  Een radicale keuze voor actieve werkvormen ligt voor de hand  Zelfstandig leren en werken

Valkuilen? Gerichte opgaven via opdrachten in klas, taken en formatieve toetsen Keuze van de opgaven, visueel werken

GRM en computer: visualiseren, oplossing met ICT, controle Leraar als coach bij oefenmomenten

Voorbeeldfunctie van de leerkracht, stellen van een typevraag Oefenmomenten in de klas Keuze van de opgaven (diverse handboeken, kranten,…)



Actief leerproces : doceren ‘vermijden’



Lesstructuur – leerlingen ideeën en oplossingswijze laten verwoorden – plaats voor actieve vraagstelling

WISKUNDE EN ICT  Didactisch gebruik van ICT







Visualiseren , controlemiddel, hulp bij zelfstandig werken en leren Problemen met realistische waarden



Onderhouden van manuele technieken



Een toepassing meer …



Basisopgaven op examens, via formatieve toetsen en jaarwerk een juist beeld van de mogelijkheden van elke leerling vormen



Hulp bij de behandeling van realiteitsgebonden problemen Routinerekenwerk niet manueel

ANDERE HULPMIDDELEN, VADEMECUM  Gebruiken en interpreteren belangrijker dan het van buiten kennen van veel formules



WISKUNDE VOOR ELKE LEERLING Differentiatie

RELATIE MET HET OPVOEDINGSPROJECT VAN DE SCHOOL  Leerlingen persoonlijk kennen  Advies voor studiekeuze


Pagina 7

Leerpiramide van Glasser

Luisteren 5-8% Lezen 11% Zien / horen 22% Er over praten 56% Toepassen / doen 75% Uitleggen aan anderen 82% Hoe leren leerlingen ? De piramide van Glasser toont aan dat coöperatieve vormen van leren veel effectiever zijn dan traditionele werkvormen zoals doceren. Leerstijlen van leerlingen (leercirkel van Kolb) Jongeren kunnen over vier verschillende leerstijlen beschikken: de dromer leert door inleving, de doener leert door te doen, de denker leert door onderzoek en de beslisser leert via informatie. De aandacht voor de verschillende leerstijlen bepaalt het leerproces waarin de jongere liefst instapt. Deze theorie is aan kritiek onderhevig maar niemand twijfelt aan het gegeven dat leerlingen verschillende leervoorkeuren hebben.

Kwadrant 1: dromer-observeerder, Kwadrant 2: doener-ondernemer Kwadrant 3: toepasser-beslisser , Kwadrant 4: denker-theoreticus,


Pagina 8

Leerstijl Doenerondernemer

Omschrijving De leerling leert het best door dingen zelf te doen. Hij houdt van experimenteren, nieuwe ervaringen opdoen en iets uit te proberen. Hij kan zich snel aan een nieuwe situatie aanpassen. Hij wil snel resultaat zien en loopt daardoor soms te hard van stapel.

Dromerobserveerder

De leerling heeft een groot voorstellingsvermogen. Hij voelt zich thuis in situaties waarbij nieuwe dingen moeten worden bedacht. Hij denkt eerst goed na voor hij iets doet en heeft voldoende tijd nodig om tot uitvoering te komen. Soms komt hij moeilijk tot besluiten.

Denker-theoreticus De leerling is goed in het bedenken van theoretische modellen. Hij wil intellectueel uitgedaagd worden. Hij is goed in logisch denken en analyseren en leert graag uit boeken. Hij stelt veel vragen.

Toepasserbeslisser

De leerling zoekt naar verbanden tussen leerstof en werk. Hij scoort hoog op abstract denken en op actief experimenteren. Hij werkt het liefst doelgericht en planmatig.

Tips voor de leraar Laat de leerling vooral ervaringen opdoen, concrete problemen oplossen en uitdagende opdrachten uitvoeren. Geef de leerling veel kansen om samen te werken met anderen, want contact is belangrijk voor hem. Let erop dat hij leert uit zijn fouten en niet te snel tot actie overgaat. Geef hem advies en help hem bij het onderscheiden van hoofd- en bijzaken. Geef je leerling voldoende tijd. Zorg dat er niet teveel druk zit op het uitvoeren van opdrachten en het nemen van beslissingen. Moedig hem veel aan en zorg ervoor dat hij niet blijft steken in zijn twijfels maar ook echt tot uitvoering komt. Vraag hem om hardop te denken zodat je hem kan helpen om knopen door te hakken. Geef je leerling gestructureerde opdrachten met duidelijke doelen. Geef hem uitdagende opdrachten met veel gelegenheid om vragen te stellen. Zorg dat je leerling kan beschikken van kennis op papier en geef hem een heldere korte uitleg. Zorg dat je leerling de praktijk niet vergeet. Zorg ervoor dat je leerling ook regelmatig met anderen samenwerkt hoewel hij het liefst in zijn eentje werkt. Zorg ervoor dat je leerling kan leren van opdrachten waarin theorie en praktijk verweven zijn. Geef hem concrete en praktische taken. Laat hem dingen uitproberen en oefenen. Zorg ervoor dat hij niet alleen met het resultaat bezig is, maar ook voldoende aandacht heeft voor zijn groepsgenoten. Laat hem samenwerken met een ervaren collega die de rode draad bewaakt.


Pagina 9

2.3 Motivatie Praktijkprincipes die werken om de leerbereidheid van leerlingen aan te wakkeren (uit de literatuurstudie: ‘Leerbereidheid van leerlingen aanwakkeren). 1. 2.

Blijf werken aan een positieve relatie met je leerlingen. Zorg voor een veilig leerklimaat door het bieden van duidelijke grenzen en het werken aan een hechte klasgroep. 3. Kies onderwerpen, methodes en activiteiten die zoveel mogelijk de interesse van je leerlingen prikkelen. 4. Help leerlingen zich te verbinden met (het belang van) onderwerpen en taken, zeker ook als die niet spontaan de interesse van leerlingen prikkelen. 5. Luister (bij het aanbrengen van leerinhouden) oprecht en erkennend naar weerstand bij leerlingen en naar uitingen van negatieve gevoelens. 6. Verkies autonomie ondersteunend boven controlerend taalgebruik. 7. Bied structuur aan in de richting van het leerdoel. 8. Bied gepaste en haalbare uitdagingen: leg de lat net hoog genoeg, niet te hoog en niet te laag. 9. Geef feedback die een verbinding maakt tussen wat leerlingen doen (of niet doen) en het bereiken van het beoogde doel. 10. Houd voeling met je eigen behoeftes, je eigen interesses, je eigen motivatie en zorg voor structurele ondersteuning en inspiratie voor jezelf als leraar.

Waarom doet hij zijn best niet (Maarten Vansteenkiste)? In elke klas zitten onderpresteerders, moet-ivatie werkt niet, goesting wel 1. Ik gebruik uitnodigende taal: “Ik stel voor dat jullie eerst deze oefening maken” i.p.v. het dwingende “Ik verwacht dat jullie eerst deze oefening maken”. 2. Ik moedig inspraak en participatie aan, laat keuzes toe. 3. Ik probeer mee te denken en te voelen vanuit het standpunt van de leerlingen. 4. Ik geef uitleg waarom ik iets van leerlingen verlang, zodat de zin en betekenis van de opdracht duidelijk is. 5. Ik presenteer het schoolwerk als groeikans en uitdaging. 6. Ik maak duidelijk wat ik precies verlang van mijn leerlingen. 7. Ik laat de leerlingen voelen dat ik hen geloof, dat ik ze vertrouw. 8. Ik bied hulp waar nodig. 9. Ik bekijk fouten als kansen om te leren en niet om af te straffen. 10. Ik moedig ze aan. Ik geef positieve feedback en schouderklopjes.


Pagina 10

3

Evalueren

Evalueren is een proces waarbij men op systematische wijze informatie verzamelt over leergedragingen en leerresultaten van leerlingen, daaraan een bepaalde waarde toekent en op basis daarvan beslissingen neemt. Deze beslissingen hebben betrekking op de leerling: -

ze kunnen van didactische aard zijn en als bedoeling hebben het leerproces van de leerlingen te bevestigen of bij te sturen in de gewenste richting; ze kunnen ook betrekking hebben op de sanctionering van de studies en als bedoeling hebben de leerling te oriënteren, een advies te formuleren, een attest toe te kennen.

Evaluatiegegevens van leerlingen leiden ook tot beslissingen over het eigen onderwijsgedrag zoals het verloop van het didactisch proces, de keuze van opdrachten, de gehanteerde werkvormen, de opvolging van het leerproces van leerlingen, het gebruik van leermiddelen. De kwaliteit van de beslissingen hangt uiteraard nauw samen met de kwaliteit van de verzamelde evaluatiegegevens, de manier waarop deze geïnterpreteerd en beoordeeld worden en de wijze van rapportering. Het is uiteraard de bedoeling dat bij de evaluatie alle aspecten van de wiskundevorming betrokken worden.


Pagina 11

3.1 Waarom meer aandacht voor procesevaluatie? Het leerplan is het uitgangspunt voor het werk van de leraar en de vakgroep. Elk leerplan omvat naast de inhoudelijke doelstellingen ook doelstellingen in verband met vaardigheden en attitudes. Ook het verwerven van deze doelstellingen maakt deel uit van de wiskundevorming. Dit betekent dat ook deze doelstellingen geëvalueerd worden. Voor bepaalde vaardigheden en attitudes bieden vormen van procesevaluatie hiertoe mogelijkheden. Procesevaluatie is een thema dat heel wat raakvlakken heeft met andere actuele onderwijsthema’s zoals differentiatie, oriëntatie, welbevinden van leerlingen, motivatie,… Procesevaluatie is ook onlosmakelijk verbonden met het leerproces van leerlingen en het pedagogischdidactisch handelen van de leerkracht en dit met expliciete aandacht voor alle aspecten van de wiskundevorming, in het bijzonder de leervaardigheden en de vakgebonden attitudes. Ook in inspectieverslagen wordt verwezen naar het belang van procesevaluatie en wordt procesevaluatie vaak als een aandachtspunt weerhouden. In recente inspectieverslagen vind je op onder andere het volgende terug: (zie: http://www.ond.vlaanderen.be/doorlichtingsverslagen) -

“Men hanteert overwegend een testcultuur en integreert zelden elementen van een evaluatiecultuur, hoewel de eindtermen en de leerplannen naast kennis en vaardigheden ook vakgebonden attitudes benadrukken. De studiemotivatie en het doorzettingsvermogen worden hierdoor onvoldoende geprikkeld.”

-

“Rapportcommentaren geven bij zwakkere resultaten meestal wel aan voor welke componenten (meetkunde, getallenleer, functies, statistiek) te zwak gepresteerd is, maar ze geven onvoldoende aan hoe hiervoor geremedieerd kan worden.”

-

“De leerlingen (en ouders) krijgen productfeedback (cijfers, vakrapport), maar weinig of geen procesfeedback. Positief is wel dat de leerlingen uitgenodigd worden tot een zelfbeoordeling van de eigen inzet.”

-

“Echte leerlijnen (zowel binnen de graad als over de graden heen) zijn nog niet uitgewerkt. Er zijn geen sporen van een reflectie over de gehanteerde evaluatie met het oog op het bijsturen van het onderwijsproces.”

-

“De vakgroep is nog op zoek naar een doeltreffende manier om attitudes in de evaluatie op te nemen. De leerlingen en ouders krijgen voornamelijk productfeedback. Het geven van procesfeedback op basis van grondige toetsanalyses en individueel gerichte remediëringsinitiatieven is leraargebonden.”

Bovendien is evaluatiebeleid één van de prioriteiten in meerdere scholen en zijn er ook vakgroepen zoekende naar vormen van evaluatie die meer omvatten dan de traditionele toetsen en examens. Evaluatie is niet alleen iets wat op het einde van een lessenreeks een plaats krijgt. Het doel van procesevaluatie (= formatieve evaluatie) is zoveel mogelijk leerlingen tot beheersingsleren te brengen zonder de sterkere leerlingen daarbij af te remmen, maar deze leerlingen ook verder uit te dagen. Het gaat doorgaans over evaluatiegegevens die gebruikt worden voor didactische beslissingen. Voor de leraar kan dit betekenen dat sommige aspecten van het onderwijsproces of het didactisch proces bijgestuurd worden. Dit kan zowel ten opzichte van individuele leerlingen als ten opzichte van de klasgroep als geheel.


Pagina 12

Hoe gaat de leerling te werk om tot bepaalde prestaties te komen? Wat is zijn leerstijl? Welke leeractiviteiten ontwikkelt hij? Welke methoden gebruikt hij? Hoeveel tijd heeft hij nodig? Hoe gaat hij om met zijn leermateriaal? Maken de diverse aspecten van het onderwijsleerproces het mogelijk dat elke leerling op een efficiënte manier kan leren? Is er voldoende rekening gehouden met de beginsituatie? Is de keuze en ordening van de leerinhouden voldoende doordacht? Voldoen de gehanteerde werkvormen? Is er voldoende oefentijd? Zijn de leermiddelen geschikt? Krijgen sterkere leerlingen voldoende uitdaging? Biedt de voorgestelde remediëring effectief de nodige bijkomende leerkansen voor elke leerling? …. Sommige leerlingen moeten de kans krijgen tot een inhaalmaneuver (hernemen, fouten verbeteren, bijkomende uitleg krijgen, meer tijd investeren), terwijl anderen kunnen werken aan verdiepende opdrachten. Procesevaluatie hangt dus samen met een vorm van interne differentiatie. Omdat men uit de procesevaluatie nieuwe leerkansen wil creëren, is ze doorgaans sanctievrij. Dit betekent niet dat er geen punten kunnen toegekend worden. Bij procesgerichte evaluatie gaat men ervan uit dat frequente evaluatiemomenten tijdens de normale lestijden gevolgd door een goede analyse en snelle feedback, het leerproces versterken. Procesevaluatie is een geïntegreerd deel van het lesgebeuren en doorbreekt het leerproces niet. Deze formatieve evaluatie is ook de aangewezen weg om leerlingen bewust te maken van hun eigen mogelijkheden. Deze vorm van evaluatie wordt ook wel de ‘zachte’ evaluatie genoemd: evaluatie om ‘te leren’. Met ‘harde’ evaluatie wordt dan de productevaluatie bedoeld: evaluatie om ‘te meten’. Beide vormen kunnen ook samen aan bod komen, bv. een proefwerk (summatieve toets) is een vorm van productevaluatie, maar de feedback op het proefwerk aan de leerling is een vorm van procesevaluatie (toekomstgericht). De leraar kan op basis van het leerlingenwerk dat hij onder ogen krijgt, mogelijk zijn didactische aanpak in de toekomst aanpassen, wat weer een vorm van procesevaluatie is. De evaluatiecultuur is tevens een belangrijke hefboom voor het verhogen van de motivatie bij leerlingen vanuit succeservaringen en het opbouwen van zelfvertrouwen bij de leerlingen.


Pagina 13

De volgende elementen kunnen een positieve bijdrage leveren in het geheel van de procesevaluatie. Een diagnostische toets of instaptoets. Een korte toets bij het begin van een lessenreeks kan zicht geven op de verworven kennis. Op basis hiervan kan je klassikaal of individueel remediëren. Het persoonlijk werk van de leerling. Over de zin van het persoonlijk werk en de mogelijke vormen lees je meer in APR1 (Algemene Pedagogische Reglementering, te downloaden via www.vvkso.be en kies dan Pedagogisch – Didactisch, APR’s). De klassieke huistaak biedt heel wat mogelijkheden om te werken aan attitudes. Kleine huistaken of opdrachten, die de leerlingen thuis moeten afwerken, geven de leerling een duidelijk zicht op het feit of de leerstof al voldoende beheerst wordt. Naast de klassieke oefeningen die aansluiten bij de behandelde leerstof, zal de leraar ook voldoende uitdagende opgaven meegeven. Het is aangewezen in het jaarplan buffermomenten te voorzien, waarin je eerder geziene leerstof terug kunt inoefenen. Feedback geven. Als leraar zijn we soms geneigd leerlingen zo snel mogelijk op het juiste pad te zetten, hen op voorhand te waarschuwen voor mogelijke valkuilen, hen te corrigeren door de ‘juiste’ oplossing te geven. Op die manier willen we het leerproces van de leerlingen versnellen en de kostbare tijd in de klas ten volle benutten. Ongewild nemen we zo echter uitgelezen leerkansen weg. We geven leerlingen soms te weinig kans om zelf na te denken, het probleem zelf te ontdekken, zichzelf de vraag te stellen waarom een opgave verkeerd werd opgelost. Zelfevaluatie door de leerlingen. Laat de leerlingen af en toe eens werken met correctiesleutels. Laat ze zelf een foutenanalyse maken. Leg hen af en toe een paar vragen voor over de eigen studiehouding, de inzet, de manier van studeren. Laat hen zelf enkele werkpuntjes formuleren. Remediëring en differentiatie. Het zou in feite ideaal zijn als we bij elke leerling via aangepaste opdrachten het leerproces konden sturen. We stellen vast dat heel veel collega’s hiervoor ernstige inspanningen leveren, die vaak erg gewaardeerd worden.


Pagina 14

3.2 Kijkwijzer procesevaluatie Het leerproces van leerlingen 1 2 3 4

Hoe peil je bij jouw leerlingen naar de evolutie van het leerproces bij het begin, tijdens en op het einde van een lessenreeks? Hoe wordt de parate kennis onderhouden? Hebben de leerlingen zicht op hun eigen leerproces? Hoe doe je dit? (feedback, foutenanalyse, correctiemodel,…) Heb je aandacht voor binnenklasdifferentiatie? Hoe doe je dit?

Persoonlijk werk van de leerling 1 2 3 4

Hoe verdeel je de te maken opdrachten tijdens de les? En taken buiten de les? Hoe laat je de leerlingen werken aan problemen die slaan op een gehele leereenheid? Sluiten taken steeds aan bij het te behandelen onderwerp? Welke voordelen biedt het werken met een portfolio?

Vaardigheden en attitudes 1 2 3

Op welke momenten besteed je gericht aandacht aan het evalueren van vaardigheden en attitudes? Heb je ervaring met zelfevaluatie door de leerlingen na een toets, na een examen? Zo ja, hoe verloopt dit concreet? Hoe volg je dit verder op? Hoe tracht je leerlingen te motiveren voor wiskunde? Wat zijn mogelijke redenen waarom een leerling gemotiveerd is?


Pagina 15

3.3

Productevaluatie

Tot de productevaluatie (summatieve evaluatie) behoren examens (of toetsen over een groter geheel) die vooral worden gebruikt om een oordeel te vellen over de mate waarin een leerling de leerplandoelstellingen beheerst. 1. Voorwaarden en kenmerken voor een kwaliteitsvolle en evenwichtige evaluatie -

Validiteit Validiteit is de mate waarin de toets meet wat hij beoogt te meten. Zijn de vragen representatief en relevant m.b.t. de behandelde leerstof? Zijn de vragen representatief en relevant m.b.t. de voorgeschreven leerplandoelstellingen? Is de kans om via raden het juiste antwoord te geven tot een minimum herleid (uitgesloten)? Is er niet te veel ruis bij de vraagstelling zelf? Zijn de vragen voldoende realistisch (authentiek) en betekenisvol?

-

Betrouwbaarheid Een toets is betrouwbaar als het behaalde resultaat werkelijk weergeeft in welke mate de leerlingen de doelstellingen bereikt hebben. M.a.w. het resultaat mag niet vertekend zijn door factoren, die niets te maken hebben met de te meten prestatie. We onderscheiden twee factoren: externe factoren zijn factoren die niets met de inhoud of de formulering van de vragen te maken hebben zoals té veel vragen, oppervlakkig toezicht waardoor spieken mogelijk wordt, stress, … interne factoren zijn factoren die met de inhoud of de formulering te maken hebben zoals bv. onduidelijke vraagstelling, ongewone vraagvormen, eenzijdigheid in de vraagvorm, té veel moeilijke vragen of strikvragen, afhankelijke vragen, …

-

Objectiviteit bij het verbeteren Een toets is objectief verbeterd als verschillende beoordelaars, onafhankelijk van elkaar, tot dezelfde oordelen (scores) komen en als een leraar de toets voor alle leerlingen steeds volgens dezelfde criteria beoordeelt.

-

Criteriumgerichtheid bij het verbeteren Aan welke criteria moet het antwoord van een vraag voldoen om het maximum te halen? Hoe zwaar worden fouten/onvolledigheden aangerekend? Is de puntenverdeling over de ganse toets in overeenstemming met het belang van de doelstellingen? Waar ligt de cesuur, d.w.z. de grens tussen “geslaagd” en “niet geslaagd”?


Pagina 16

2. Leidraad voor een vakgroep 

Voorbereiding op een examen (of toets over een groter geheel) -



Laat de leerlingen een structuur maken van de geziene leerstof. Geef de leerlingen vóór het examen een overzicht van de leerinhouden (kennis, vaardigheden, verwijzingen naar representatieve oefeningen). Aanvullend bij het oefenen op grotere gehelen in de loop van het schooljaar, zijn vóór het examen herhalingslessen aangewezen.

Rangschikking van de vragen Het is aangewezen om de vragen van het examen op te stellen in volgorde van moeilijkheidsgraad i.p.v. in "chronologische" volgorde.



Differentiatie Een goed middel om te differentiëren in de vragen is het volgende. Bij één of meer vragen krijgen de leerlingen de keuze tussen een gemakkelijker vraag en een moeilijker vraag. Bij deze laatste zijn meer punten te verdienen. Een andere manier is bij één of meer vragen verschillende keuzes over een bepaalde leerinhoud aan te bieden op hetzelfde aantal punten.



Keuze en selectie van de vragen Het is best dat de vragen zoveel mogelijk onafhankelijk zijn. Stapelvragen, d.w.z. vragen waarbij vroegere resultaten gebruikt moeten worden om nieuwe vragen op te lossen, hebben immers als nadeel dat leerlingen vastraken als ze een bepaald onderdeel van de vraag niet kunnen oplossen of fout oplossen. We kunnen dit vermijden door tussenresultaten te geven (bijvoorbeeld toon aan dat ... gelijk is aan ... i.p.v. bereken ...), of één vraag op te delen in twee onafhankelijke deelvragen.



Vraagvormen: in een evenwichtige evaluatie treden zowel gesloten als open vragen op Open vragen: de leerling moet zelf het antwoord formuleren, meestal aangevuld met een berekening, uitleg, bewijs of redenering. Open vragen kunnen meer begrensd worden bijvoorbeeld door bijkomende instructies, een tekening, het aangeven van hulpmiddelen, het geven van een tip, e.d. Dit vergemakkelijkt de opdracht en is soms ook een hulp voor de correctie. Soms wordt een toepassingsvraag door deze begrenzing een inzichtvraag. Gesloten vragen: de leerling krijgt vooraf geformuleerde antwoorden die hij moet beoordelen op hun juistheid of die hij moet rangschikken of waaruit hij het juiste antwoord moet kiezen. -



Meerkeuzevragen: vraag, indien zinvol, ook naar een (beknopte) verklaring! Waar-niet waar / juist – niet juist / … : vraag altijd een verklaring! Koppel- of sorteervragen

Een examen (of toets over een groter geheel) moet representatief zijn op het inhoudelijke vlak, d.w.z. dat de verschillende leerplandoelstellingen op een evenwichtige wijze in de vragen verwerkt moeten zijn. Dit betekent ook dat alle vragen verband moeten hebben met minstens één leerplandoelstelling. De leerinhouden die in een toets (examen) aan bod komen kunnen vermeld worden op het examen (of toets over een groter geheel).


Pagina 17



Een examen (of toets over een groter geheel) moet representatief zijn op het gebied van de vaardigheden, d.w.z. dat de verschillende vaardigheden (rekenvaardigheid, meet- en tekenvaardigheid, wiskundige taalvaardigheid, denken redeneervaardigheden, probleemoplossende vaardigheden) in de vragen aan bod moeten komen. Om denken redeneervaardigheden en wiskundige taalvaardigheid van de leerlingen te evalueren kunnen de vragen niet beperkt worden tot ‘bereken’ of werk uit’ of ‘vul in…’. Ook een ‘waarom-vraag’ of ‘verklaar’ of andere vraagvormen die leerlingen aanzetten tot argumenteren en redeneren en waarbij ze hun gedachten en inzichten onder woorden brengen, moeten in een examen aan bod komen. Om probleemoplossende vaardigheden van leerlingen te evalueren zal het toevoegen van tips, oplossingsschema’s, … in sommige vragen achterwege moeten blijven. Leerlingen moeten er bv. zelf toe komen dat een tekening of tabel een hulp kan zijn om tot een oplossing te komen, dat het invoeren van onbekenden of notaties noodzakelijk is om te mathematiseren ...



Een examen (of toets over een groter geheel) moet representatief zijn op het gebied van de verschillende kennisniveaus. Kennis: het zuiver reproduceren van theorie Vb: formuleer de stelling van Pythagoras in woorden (met figuur) Inzicht: het herkennen en begrijpen Vb: Romeo wil met een ladder tot bij het venster van Julia komen. De ladder is 5 meter lang en de onderkant van het venster bevindt zich op een hoogte van 4,54 m. Hoe ver moet hij de ladder van de muur plaatsen? Toepassing In een herkenbare (analoge) situatie: herkennen én begrijpen én bewerken/toepassen In een nieuwe situatie: herkennen én begrijpen én elementen toevoegen door strategieën toe te passen, door onderdelen met elkaar in verband te brengen, door creatief denken Vb: De zijde van het grondvlak van een regelmatige vierzijdige piramide is 6 cm. De hoogte is 8 cm. Bereken de totale oppervlakte.



Correctie en analyse van de resultaten -

Het is best om de weging van elke vraag op voorhand aan de leerlingen mee te

-

Het is best om vooraf correctievoorschriften vast te leggen. Door de vragen eerst zelf op te lossen en mogelijke uitwerkingen te noteren kan je eventueel onduidelijkheden in de vraagstelling opsporen en het zelf uitschrijven van de antwoorden geeft ook al een indicatie voor de tijd die leerlingen zullen nodig hebben.

-

Het is aangewezen om een foutenanalyse te maken. Welk soort fouten worden doorgaans gemaakt bij een bepaalde vraag: rekenfouten? Weetfouten? Denkfouten? Op basis hiervan kan dan een bespreking van de toets of examen met de leerlingen worden uitgewerkt.

-

Het is ook interessant om de resultaten van de leerlingen op te volgen over de verschillende jaren. Hoe evolueren de uitslagen van de leerlingen bij overgang van … naar …?

-

Het is interessant om na te gaan hoe de gemiddelde resultaten van wiskunde zich t.o.v. het algemeen gemiddelde verhouden.


delen.

Pagina 18



Feedback

-

Snelle feedback is belangrijk voor de leraar. Het is bijvoorbeeld belangrijk om na een examen de totaaluitslagen te analyseren (gemiddelde, aantal tekorten, …) en ze te vergelijken met de uitslagen in parallelklassen of met uitslagen van dezelfde leerlingen vorig jaar.

-

Snelle feedback is belangrijk voor de leerling. Om het leerproces van een leerling effectief te begeleiden is het noodzakelijk dat we leerlingen kansen geven om te leren uit hun fouten.

-

Het ter beschikking stellen van een correctiesleutel werkt tijdsbesparend maar het is niet altijd voldoende voor een gemiddelde leerling om te achterhalen wat er precies fout was bij zijn aanpak en hoe dit kan voorkomen worden.

-

Tijdens feedbackmomenten kan de leerkracht de leerlingen laten ervaren dat een wiskundige activiteit voor iedereen een zoekproces is, met volgende componenten: een situatie analyseren, er een wiskundig model voor kiezen en technieken (algoritmen) toepassen, en dan nagaan of je het probleem zo kunt oplossen. Daarom is het best om vragen die kenmerkend zijn voor een onderdeel van het leerproces of vragen waarbij veel dezelfde fouten voorkomen klassikaal te verbeteren.

-

Bepaalde antwoorden op vragen van toetsen of examens kunnen als leermateriaal in een les worden ingeschakeld (dit hoeft niet in de klas waar de toets werd afgenomen).


Pagina 19

3.4 Kijkwijzer productevaluatie 1.

Opstellen van een examen       

Is er samenwerking bij het opstellen van examens? (gelijkwaardigheid) Hebben leerlingen voldoende tijd? (Aantal vragen? Haalbaarheid?) Zijn de vragen gerangschikt van gemakkelijk naar moeilijk? (Succeservaring) Vermijd stapelvragen. Zijn de aanwezige stapelvragen verantwoord? Voorzie je differentiatie? Worden de leerinhouden vermeld op het examen? Zijn de behandelde leerinhouden en de tijdsbesteding conform het leerplan? Is de puntenverhouding evenredig met de tijdsbesteding conform het leerplan?  Staat de weging (puntentotaal) bij de vragen vermeld? 2.

Gebruik van hulpmiddelen  Vademecum, formuleblad? Wat wel? Wat niet? (gelijkwaardigheid)  Deel zonder ICT? (gelijkwaardigheid)

3.

Aandacht voor taalgebruik  Zijn de vragen duidelijk? (ondubbelzinnig, gebruikte worden, laat het examen nalezen)  Is er voldoende variatie in de vraagstelling? (open en gesloten vragen,…)

4.

Is het examen representatief voor de leerstof?  Sluiten alle vragen aan bij leerplandoelstellingen? (inhoudelijk)  Stel je vragen op verschillende kennisniveaus? (kennis-inzicht-toepassing)  Stel je vragen op verschillende beheersingsniveaus? (moeilijkheidsgraad of in de eerste graad E-B-V)  Is er een evenwichtige spreiding over de verschillende vaardigheden?

5.

Correctie en analyse van de resultaten  Leg je vooraf correctievoorschriften vast?  Maak je een foutenanalyse van het examen?  Op welke manier gebeurt de feedback?


Pagina 20

4 Overzicht leerplandoelstellingen met bijzondere aandacht voor enkele pedagogische wenken bespreking examenvragen deelnemers per leerstofonderdeel (zie bijlage) A.

Functieleer (Richtlijn: 83 lestijden)

Klemtonen: 

vooral op een brede betekenisgeving, de ontwikkeling van wiskundig denken en het oplossen van problemen;



minder op het memoriseren van allerlei regels of op het verwerven van (extreme) automatismen in het (manueel) uitvoeren van rekentechnieken.

Impact van de grafische rekenmachines en software voor functies:

1



meer mogelijkheden om bepaalde concepten zoals asymptoot, afgeleide, integraal inzichtelijk te verwerken (bijv. meer de voorbeeldmogelijkheden, realistische toepassingen,…)



Intensief investeren in het verwerven van het manueel manipuleren van ingewikkelde uitdrukkingen is niet meer zinvol. De zo nagestreefde automatismen zullen in de praktijk maar zelden effectief gebruikt worden.



een aantal voorbeelden en situaties manueel verwerken, zodat het inzicht in het verloop van het proces gevrijwaard wordt. Vermits niet de ingewikkelde techniciteit maar het inzicht hier dan prioritair zijn, kan de rekentechnische complexiteit van deze situaties beperkt gehouden worden.



problemen met complexere functievoorschriften: gebruik van ICT.

GRAFISCH ONDERZOEK (RICHTLIJN: 8 LESTIJDEN) F1

B

Met behulp van een grafisch onderzoek vragen beantwoorden i.v.m. probleemsituaties waarvan het functioneel verband gegeven is of de functionele verbanden gegeven zijn.

14 31 32

F2

B

Van de grafiek van een functie een nulpunt, het tekenverloop, de symmetrie, het stijgen, dalen of constant blijven binnen een interval, een extremum aflezen (als ze voorkomen).

14 31

F3

U

Met behulp van de grafiek het asymptotisch gedrag van een functie onderzoeken en dat illustreren met een tabel van functiewaarden.

F4

B

Het verband bespreken tussen de functies f(x) = x2 en g(x)  x , f(x) = x3 en g(x) =

3

23

x en naar analogie tussen de functies f(x) = xn en g(x)  n x .

PEDAGOGISCH-DIDACTISCHE WENKEN  een visuele benadering van functies vanuit grafieken is aangewezen.  Een functievoorschrift dat voortvloeit uit vraagstukken, contexten of probleemsituaties wordt in deze fase gegeven en nog niet door de leerlingen opgesteld. Het gegeven functievoorschrift wordt omgezet in een grafiek d.m.v. ICT.  Met behulp van de grafiek (al of niet met ondersteuning van ICT) worden vragen i.v.m. de gegeven situatie beantwoord. (aandacht voor kijkvenster, concrete begrenzing,…)  Aandacht voor het vergelijken van grafieken, m.n. het opzoeken van gemeenschappelijke punten en de onderlinge ligging (cf. verband met gelijkheden, stelsels, ongelijkheden).  Het vergelijken van de ligging van grafieken kan leiden tot het onderzoeken van symmetrisch liggende grafieken of delen ervan. (ook: link met begrip inverse functie). Leerplanstudie leerplan c – derde graad aso – februari 2015

Pagina 21

2

VEELTERMFUNCTIES (RICHTLIJN: 45 LESTIJDEN)

INLEIDING (ca. 5 lestijden) F5

B

Eenvoudige concrete situaties omzetten in een voorschrift.

F6

B

In concrete situaties - de nulpunten van een veeltermfunctie bepalen; - de snijpunten van de grafiek van twee veeltermfuncties bepalen; - ongelijkheden oplossen.

31 32

PEDAGOGISCH-DIDACTISCHE WENKEN  aandacht voor een aantal basistechnieken (o.a. reststelling, euclidische deling,…) om algebraïsche (reken-)problemen op te lossen. Het gebruik van ICT is aan te bevelen als het algebraïsch rekenen niet tot een snelle oplossing leidt. AFGELEIDEN (ca. 25 lestijden) F7

B

Gemiddelde veranderingen over een interval beschrijven en vergelijken met behulp van differentiequotiënten.

15

F8

B

Met behulp van een intuïtief begrip van limiet het verband leggen tussen het begrip afgeleide, het begrip differentiequotiënt en de richting van de raaklijn aan de grafiek.

15

F9

B

De afgeleide herkennen in situaties binnen en buiten de wiskunde, o.m. de afgeleide in een punt gebruiken als maat voor een ogenblikkelijke verandering.

19 15

F10

B

De afgeleide berekenen van de functies f(x) = x , f(x) = x2 , f(x) = x3 en de bekomen

16

n

uitdrukking veralgemenen naar functies f(x) = x , waarbij n een natuurlijk getal is. F11

B

De som- en veelvoudregel toepassen om de afgeleide functie te bepalen van een veeltermfunctie.

17

F12

U

De afgeleide van een product van veeltermfuncties berekenen.

F13

U

De afgeleide van een macht van een veeltermfunctie berekenen.

F14

B

De raaklijn construeren aan de grafiek van een functie in een punt van die kromme.

F15

B

De betekenis van de afgeleide functie gebruiken om te bepalen - in welke intervallen een functie stijgt of daalt; - voor welke waarde(n) een functie een extremum bereikt.

18

F16

B

Problemen oplossen waarbij het begrip afgeleide gebruikt wordt.

20

F17

U

De betekenis van de tweede afgeleide functie gebruiken om te bepalen - in welke intervallen de grafiek van een functie hol of bol is; - voor welke waarde(n) de grafiek van een functie een buigpunt heeft.

PEDAGOGISCH-DIDACTISCHE WENKEN  De voornaamste doelstellingen bij de studie van het begrip afgeleide bij veeltermfuncties zijn - een betekenisvolle ontwikkeling van het begrip nastreven; - dit begrip gebruiken bij de studie van het verloop van de functie en in het bijzonder van de grafiek; - en het toepassen om in een probleemstelling bijzondere waarden en veranderingen te onderzoeken.


Pagina 22

 De leerlingen moeten de afgeleide functie van een veeltermfunctie manueel kunnen berekenen door de hierboven genoemde regels te gebruiken. Het berekenen van de afgeleide functie van een veeltermfunctie is zo eenvoudig dat het gebruik van ICT hierbij overbodig is.  Bij het onderzoeken van het verloop van functies kan ook aandacht besteed worden aan ‘alternatieve’ vraagstellingen, zoals - het selecteren uit een aantal gegeven grafieken van deze die passend is bij een gegeven afgeleide functie; - de grafiek schetsen van de afgeleide functie bij een gegeven grafiek; - de grafiek van een functie (of mogelijkheden daarbij) schetsen bij de gegeven grafiek van de afgeleide functie; - het bepalen van het tekenverloop van de eerste afgeleide functie als de grafiek van de functie gegeven is. INTEGRALEN (ca. 15 lestijden) F18

B

Een primitieve functie bepalen van een veeltermfunctie.

F19

U

De integraal van functies van de vorm f(x) = (ax + b)n berekenen.

F20

B

Het verband uitleggen tussen het begrip bepaalde integraal van een functie en oppervlakten van gebieden bepaald door die functie en de horizontale as.

F21

B

Het verband illustreren tussen het berekenen van een bepaalde integraal van een functie en de primitieve functie van de gegeven functie.

F22

B

Vraagstukken oplossen waarbij het bepalen van de oppervlakte van een gebied kan herleid worden tot het begrip integraal.

PEDAGOGISCH-DIDACTISCHE WENKEN  De voornaamste doelstellingen bij de studie van het integraalbegrip bij veeltermfuncties zijn - een betekenisvolle ontwikkeling van de begrippen bepaalde en onbepaalde integraal, - een begrijpen van het verband tussen beide begrippen; - en het toepassen van de begrippen in vraagstukken.  Voor de aanbreng van het integraalbegrip kan men uitgaan van twee mogelijke vragen: - hoe ziet een functie eruit waarvan we de afgeleide functie kennen, - of bereken de oppervlakte van een bepaald gebied afgebakend door (een) functie(s).  Om het begrip bepaalde integraal van een functie te ontwikkelen moet men alleszins het verband leggen met oppervlakten bepaald door de functie.  Men kan bepaalde integralen van bij de aanvang laten berekenen door het gebruik van de rekenmachine of software. Het biedt het voordeel om snel aan toepassingen te kunnen werken, waarbij het integraalbegrip in zijn volle betekenis aan bod komt.  Men kan in enkele concrete voorbeelden de oppervlakte van een dergelijk gebied effectief berekenen. Daarbij kan men zich beperken tot een gebied onder de grafiek van een positieve gedeelte van een veeltermfunctie. De oppervlakte wordt benaderd door de som van de oppervlakten van een aantal rechthoekjes. Deze oppervlakte kan onbeperkt dicht benaderd worden door het aantal rechthoekjes te verhogen. (Gebruikmaken van software!) Alleszins moet men beseffen dat dergelijke berekeningswijze door de leerlingen zelf niet moet kunnen uitgevoerd worden. Het gaat hem dus om het ‘begrijpen’ van het concept of werkwijze en het plausibel maken ervan.  Oppervlakte tussen een kromme en de x-as: aandacht voor nulpunten binnen het integratie-interval.  Oppervlakte tussen twee krommen: aandacht voor snijpunten binnen het integratie-interval.  Mogelijke toepassing: berekenen van inhouden van omwentelingslichamen. Leerplanstudie leerplan c – derde graad aso – februari 2015

Pagina 23

3

EXPONENTIELE EN LOGARITMISCHE FUNCTIES (RICHTLIJN: 15 LESTIJDEN) F23

B

De uitdrukking ab, met a > 0 en b rationaal definiëren.

21

F24

B

Exponentiële groeiprocessen onderzoeken door middel van grafieken en tabellen.

24 25

F25

B

De vergelijking uitleggen tussen een lineair groeiproces en een exponentieel groeiproces.

25

F26

B

De grafiek van de functie f(x) = p.ax tekenen en domein, bereik, bijzondere waarden, stijgen en dalen en asymptotisch gedrag aflezen.

22 24

F27

B

Het begrip a logb definiëren.

23

F28

B

Basiseigenschappen van bewerkingen met logaritmen formuleren.

F29

B

Concrete problemen in verband met exponentiële groei oplossen met betrekking tot beginwaarde, groeifactor en groeipercentage.

24 25

F30

B

Het verband onderzoeken tussen de functies f(x) = ax en f(x) = a logx door middel van grafieken en tabellen.

23

F31

B

De grafiek van de functie f(x) = a logx tekenen en domein, bereik, bijzondere waarden, stijgen en dalen en asymptotisch gedrag aflezen.

23

PEDAGOGISCH-DIDACTISCHE WENKEN  De voornaamste doelstellingen bij de studie van exponentiële functies zijn - een betekenisvolle ontwikkeling nastreven van begrippen zoals exponentiële groei, macht, logaritme; - de exponentiële functies gebruiken als model voor de beschrijving van groeiprocessen; - en het toepassen van de verkregen kennis bij problemen in verband met groeiprocessen.  Het machtsbegrip wordt uitgebreid: zo bondig mogelijk en functioneel zonder uitgebreide behandeling van n-de machtswortels. Rekenregels voor machten met gehele exponenten kunnen aanvaard worden voor machten met rationale exponenten. Het aantal oefeningen i.v.m. deze regels wordt beperkt gehouden.  Het begrip logaritme wordt ingevoerd voor het oplossen de vergelijking af (x) = b . Men zal echter niet nalaten te tonen dat sommige van deze vergelijkingen op te lossen zijn door te steunen op het begrip exponent zelf.


Pagina 24

4

GONIOMETRISCHE FUNCTIES (RICHTLIJN: 15 LESTIJDEN) F32

B

Het maatgetal van een hoek omzetten van zestigdelige graden in radialen en omgekeerd.

26

F33

B

De verbanden tussen de goniometrische getallen van verwante hoeken formuleren en verklaren.

F34

U

Som- en verschilformules en de formules van Simpson hanteren met een formularium.

F35

B

De grafiek tekenen van de functie f(x) = sin x op basis van de goniometrische cirkel.

27

F36

B

Voor de functie f(x) = sin x domein, bereik, periodiciteit, extrema en stijgen en dalen aflezen van de grafiek.

28

F37

B

Vergelijkingen oplossen van de vorm sin x = k met behulp van de grafiek van de functie en van de goniometrische cirkel.

30

F38

B

Uitgaande van de grafiek van f(x) = sin x de grafiek van de functies met voorschrift k.sin x , sin(k.x) , sin(x +k) en sin x + k opbouwen en de coëfficiënt interpreteren.

29

F39

B

Bij een grafiek van een sinusfunctie het voorschrift bepalen.

F40

B

Indien mogelijk een goniometrische functie gebruiken als model voor een periodieke verschijnsel.

F41

B

Vergelijkingen van de vorm sin(ax + b) = c oplossen en grafisch interpreteren.

PEDAGOGISCH-DIDACTISCHE WENKEN  De voornaamste doelstellingen bij de studie van goniometrische functies zijn - een betekenisvolle ontwikkeling nastreven van begrippen zoals goniometrisch getal (sinus, cosinus), periodiciteit, amplitude, periode, faseverschuiving; - de goniometrische functies gebruiken als model voor de beschrijving van periodieke verschijnselen; - en het toepassen van de verkregen kennis bij problemen.  Het is aan te raden de grafiek van f(x) = sin x ook manueel te tekenen. De leerlingen ervaren hierdoor dat men voldoende punten moet plaatsen om een zo nauwkeurig mogelijke grafiek te bekomen. Controle kan gebeuren d.m.v. ICT.  Het oplossen van goniometrische vergelijkingen wordt beperkt tot het oplossen van basisvormen zoals sin x = c , sin x = sina , sin(ax+b) = sina . Het is aangewezen de vergelijkingen eerst op te lossen in een bepaalde periode. Daarna kan de oplossing ruimer geïnterpreteerd worden. De grafieken van de bijbehorende functies kunnen als hulpmiddel dienst doen. De grafische oplossing zal de interpretatie van een berekend resultaat merkelijk vereenvoudigen. Het gebruik van ICT is hierbij aanbevolen. UITBREIDING  Voor het gebruik van de formules in toepassingen kunnen de leerlingen best gebruik maken van een formularium (zie algemene doelstellingen over vaardigheden, o.m. leervaardigheden). Van een beperkt aantal formules kan afgesproken worden dat ze gememoriseerd worden.  Gezien de verschuiving van klemtonen naar een meer toepassingsgerichte opvatting van goniometrische functies zal minder aandacht besteed worden aan het aantonen van goniometrische identiteiten.


Pagina 25

B.

Statistiek (Richtlijn: 20 lestijden)

BEGINSITUATIE De volgende leerinhouden in verband met (beschrijvende) statistiek werden behandeld in de tweede graad. - Het verwerken, voorstellen en interpreteren van statistische gegevens. - Centrum- en spreidingsmaten als parameters om gegevens samen te vatten. S1

B

Statistische gegevens, centrum- en spreidingsmaten en grafische voorstellingen van statistische gegevens interpreteren.

S2

B

Aan de hand van concrete voorbeelden aangeven dat men enkel op basis van aselecte steekproeven uitspraken kan doen over de ganse populatie en dat bij elk statistisch experiment toeval een rol speelt.

S3

B

In betekenisvolle situaties gebruik maken van een normale verdeling als continu model bij data met een klokvormige frequentieverdeling en het gemiddelde en de standaardafwijking van de gegeven data gebruiken als schatting voor het gemiddelde en de standaardafwijking van deze normale verdeling.

33

S4

B

Het gemiddelde en de standaardafwijking van een normale verdeling grafisch interpreteren en grafisch het verband leggen tussen een normale verdeling en de standaardnormale verdeling.

34 35

S5

B

Bij een normale verdeling de relatieve frequentie interpreteren van een verzameling gegevens met waarden - tussen twee gegeven grenzen, - groter dan een gegeven grens, - of kleiner dan een gegeven grens, als de oppervlakte van een gepast gebied.

36

S6

U

Bij de normale verdeling de oppervlakte onder de kromme over een bepaald interval interpreteren als kans dat die gegevenswaarden zich zullen voordoen.

PEDAGOGISCH-DIDACTISCHE WENKEN  De voornaamste doelstellingen bij de studie van dit onderdeel statistiek is dat - de leerlingen statistische voorstellingen en gegevens kritisch leren lezen en interpreteren - de leerlingen kennismaken met het samenvatten (modelleren) van statistische gegevens in een functie aan de hand van de normale verdeling - en bij normaal-verdeelde gegevens met de grafiek van de normale verdeling kunnen werken om statistische problemen op te lossen.  Leerinhouden van tweede graad worden verder uitgediept (zie beginsituatie): aandacht voor het belang van de vorm van een grafische voorstelling (symmetrisch, niet-symmetrisch, …) en voor eventuele extreme meetwaarden, die een grote invloed kunnen hebben op het gemiddelde en de standaardafwijking.  Aandacht voor representativiteit van een steekproef en voor steekproefvariabiliteit.  De overgang van een histogram naar een dichtheidsfunctie kan intuïtief gebeuren door over te gaan op relatieve frequenties per eenheid (de relatieve frequentie gedeeld door de breedte van elk interval) en een vloeiende kromme te tekenen door het histogram. … Zo kan de normale verdeling ingevoerd worden als model voor de klokvormige frequentieverdeling. De precieze kennis van het functievoorschrift van een algemene normaalverdeling is hier niet nodig.


Pagina 26

 De leerlingen moeten aan de hand van voorbeelden ook begrijpen dat niet alle data normaal verdeeld zijn… Nagaan of statistische gegevens eventueel normaal verdeeld zijn, gebeurt in eerste instantie door te redeneren over de data en te onderzoeken of een histogram van deze gegevens klokvormig is. Daarnaast kan men dan nagaan of aan de 68-95-99,7-regel voldaan is. In de klas kan men zich hiertoe beperken.  Met behulp van de normale verdeling kunnen nu bijv. ook statistische gegevens met verschillend gemiddelde en standaardafwijking vergeleken worden. Dit probleem kan aangepakt worden door na te gaan hoeveel procent van de uitslagen in beide gevallen hoger of lager liggen dan de te vergelijken waarden of door afwijkingen van het gemiddelde in beide gevallen uit te drukken in aantal standaardafwijkingen en deze getallen te vergelijken ( z-scores ). UITBREIDING  In het tweede jaar van de tweede graad werd het verband gelegd tussen kansen en relatieve frequenties. Hierop wordt gesteund om ook hier kansen te bepalen bij normaal verdeelde gegevens.


Pagina 27

KEUZEONDERWERPEN 1

2

MATRICES EN STELSELS MS1

B

Met behulp van matrices een concreet probleem schematiseren.

MS2

B

Binnen een gesteld probleem matrices optellen en aftrekken, een matrix met een getal vermenigvuldigen, een matrix transponeren, matrices vermenigvuldigen en machten van matrices berekenen.

MS3

B

Evoluties van blokken gegevens beschrijven met matrices.

MS4

B

De methode van het rijherleiden verklaren en gebruiken voor het oplossen van mxnstelsels van de eerste graad (m en n maximum 3).

MS5

B

Vraagstukken oplossen die te herleiden zijn tot het oplossen van een mxn-stelsel van de eerste graad (m en n maximum 3).

MS6

U

Een mxn-stelsel met één parameter bespreken (m en n maximum 3).

MS7

U

De inverse matrix van een reguliere matrix berekenen.

FINANCIËLE ALGEBRA

FA1

B

Het verschil uitleggen tussen enkelvoudige en samengestelde intrest.

FA2

B

Een jaarlijkse rentevoet omzetten in een gelijkwaardige maandelijkse, trimestriële of semestriële rentevoet en omgekeerd.

FA3

U

Een aantal beleggingsvormen vergelijken en het nettorendement ervan berekenen.

FA4

B

De eindwaarde en het termijnbedrag berekenen bij een postnumerando kapitaalsvorming.

FA5

B

Het te lenen bedrag en het termijnbedrag berekenen bij een schuldaflossing met dadelijk ingaande annuïteit.

FA6

B

Het bedrag berekenen dat moet betaald worden als de schuld wordt afgelost voor de eindvervaldag.

FA7

U

Het termijnbedrag berekenen bij een variabele rentevoet.

FA8

B

Het verschil uitleggen tussen een lening met constante annuïteit en een lening met constante kapitaalsaflossing.

FA9

B

Een aflossingstabel interpreteren.

FA10

B

Uit een reclameaanbieding het soort consumentenkrediet herkennen en de gegevens ervan controleren.

FA11

B

In verband met de aangeleerde begrippen informatie verzamelen en interpreteren.

FA12

B

De aangeleerde begrippen kaderen binnen de actuele situatie.


Pagina 28

3

4

RUIMTEMEETKUNDE M1

B

Eigenschappen over de loodrechte stand van rechten en vlakken in de ruimte onderzoeken en formuleren.

M2

B

In een concrete probleemstelling op een ruimtelijke voorstelling de doorsnede bepalen van een veelvlak met een vlak.

M3

B

Problemen oplossen in verband met ruimtelijke situaties door gebruik te maken van eigenschappen van vlakke figuren.

M4

B

Veelvlakken op hun eigenschappen onderzoeken.

M5

B

Eenvoudige meetkundige problemen in verband met veelvlakken oplossen.

LINEAIRE REGRESSIE EN CORRELATIE

LR1

B

Bij een reeks waarnemingsgegevens van twee variabelen op basis van een grafiek eventuele lineaire verbanden aangeven.

LR2

B

Bij concrete voorbeelden de betekenis van de correlatiecoëfficiënt uitleggen.

LR3

B

Met behulp van ICT bij waarnemingsgegevens van twee variabelen met een grote correlatie de regressielijn bepalen en hiermee bij de gegevens interpoleren en extrapoleren.

5

6

BETROUWBAARHEIDSINTERVALLEN BI1

B

Bij concrete statistische uitspraken over proporties waarin gebruik wordt gemaakt van foutenmarges en het bijbehorend betrouwbaarheidsniveau, de betekenis van beide begrippen uitleggen.

BI2

B

Bij een concreet steekproefresultaat i.v.m. proporties een correcte statistische uitspraak formuleren, gebruik makend van een foutenmarge en het bijbehorende betrouwbaarheidsniveau.

TOETSEN VAN HYPOTHESEN

HY1

B

Binnen een probleemsituatie van een eenvoudige hypothesetoets de begrippen nulhypothese, alternatieve hypothese en P-waarde uitleggen.

HY2

B

Bij een onderzoek waar proporties voorkomen de nulhypothese en alternatieve hypothese formuleren en met behulp van ICT de P-waarde berekenen.

7

TELPROBLEMEN

TP1

B

Systematisch mogelijkheden tellen in situaties waarin herhalingen zijn toegestaan en in situaties waarin herhalingen niet voorkomen.


Pagina 29

8

KANSREKENEN

KR1

B

In eenvoudige situaties kansen berekenen door gebruik te maken van een kansboom, de somregel, productregel en complementregel.

KR2

B

Van een toevalsvariabele de kansverdeling opstellen en de verwachtingswaarde berekenen en interpreteren en het verband leggen met de begrippen ‘gemiddelde’ en ‘standaardafwijking’ uit de statistiek.

KR3

B

Vaststellen of een kansexperiment vertaald kan worden naar het model van de binomiale verdeling en de bijbehorende kansen berekenen met behulp van ICT.

9

MATHEMATISEREN EN OPLOSSEN VAN PROBLEMEN

MA1

B

Problemen herkennen, analyseren en de probleemstelling verhelderen met behulp van hun wiskundekennis.

MA2

B

Heuristische methodes gebruiken om een probleem aan te pakken.

MA3

B

Resultaten interpreteren binnen de context van het gestelde probleem.

MA4

B

Een reflecterende houding verwerven door gecontroleerd terugkijken op de oplossingsweg, het gekozen model en de uitgevoerde berekeningen.

MA5

B

Vertrouwen verwerven door hun wiskundekennis zinvol in te schakelen.

10 DE LERAAR WERKT EEN EIGEN KEUZEONDERWERP UIT


Pagina 30

5 Formulegevoeligheid Algebraïsche vaardigheden Basisvaardigheden  Lokaal kijken  Algebraïsch rekenen  Procedurele routine

Formulegevoeligheid  Globaal kijken  Algebraïsch redeneren  Strategische vaardigheden

Basisvaardigheden en formulegevoeligheid zijn geen tegenpolen. Ze zijn sterk verweven en het één kan niet zonder het ander. Algebraïsch redeneren is pas goed mogelijk als je de bewerkingen enigszins in de vingers hebt. Andersom is bij het algebraïsch rekenen ook enig redeneren nodig, zeker als de automatismen onvoldoende aanwezig zijn of de situatie afwijkt van de gebruikelijke. Voorbeeld 1: lezen doorheen de symbolen – globaal kijken   



    

Zien leerlingen in dat 2n  1 een oneven getal in? 1 Zien leerlingen in dat  9  6 x   5 x  1 een vergelijking is van de eerste graad? 2 Zien leerlingen in dat het foutief is om te noteren dat 4  x 2  0  4  x 2 2 x? Is bij leerlingen de reflex aanwezig dat de ongelijkheid 4  x 2  0 kan opgelost worden door: - gebruik te maken van een tekentabel? - na te gaan voor welke x-waarden de grafiek van de functie f met als voorschrift f x   4  x 2 boven de x-as ligt? Wat stellen leerlingen zich voor bij de vergelijking 4t  5  8t 2 ? Zien leerlingen in dat vergelijkingen van de vorm k 2  4  0, k 2  4k  0 en k  22  5  0 kunnen opgelost worden zonder gebruik te maken van de discriminant? Zien leerlingen in dat x 3  x 2  4 x  4 kan ontbonden worden in factoren door het gepast samennemen van termen? 1   Zien leerlingen in dat de vergelijking 2sin  t  4  1  0 kan herleid worden tot sin   ? 2 3  ….

In tal van bovenstaande voorbeelden met betrekking tot het ‘globale (in)zicht in formules’ durft het bij sommige leerlingen wel eens fout lopen. Een aantal redenen kunnen hiervoor aangehaald worden zoals een gebrek aan - voldoende kennis van de parate kennis, van de basiskennis - globaal kijken - flexibiliteit - zin voor nauwkeurigheid - kritische zin -…


Pagina 31

Het verbeteren van het globaal kijken, (in)zicht in formules kan bij de leerlingen gestimuleerd worden door als leerkracht nog meer belang te hechten aan - het globaal kijken naar uitdrukkingen - verwoorden van de gekozen strategie, de heuristiek (waarom werkt dit wel of niet in een bepaald geval)van de redenering - afwisseling in de keuze van letters - het voorkomen van klakkeloos handelen - het ‘lezen’ van formules en daarin relevante en minder relevante kenmerken onderscheiden - oefenen in twee richtingen, bijvoorbeeld bij de transfer van merkwaardige producten Voorbeeld 2: algebraïsch redeneren Hoeveel is

2z  1 als 5  2 z  1  10 ? 2

De meeste leerlingen pakken deze opgave aan door eerst de haakjes in de gegeven vergelijking uit te werken, vervolgens de vergelijking naar z op te lossen, en het resultaat in de gevraagde uitdrukking te substitueren. Een kwestie van elementaire algebraïsche vaardigheden, al is een rekenfoutje hierbij verre van denkbeeldig. Een handigere manier is natuurlijk de volgende: 2z  1 uit 5  2 z  1  10 volgt dat 2 z  1  2 zodat  1. 2 Dat sommige leerlingen geen ‘zicht’ hebben op de hierboven geschetste handiger methode kan mogelijks verklaard worden door problemen die zich voordoen bij het procesdenken: - door de macht van de gewoonte zien ze de uitdrukking in de opdracht niet als een formule waar weinig bij te rekenen valt, - weinig zicht op de visuele kenmerken van de uitdrukking, ze werken de haakjes eerst uit wat overbodig blijkt, - er is een gebrek aan flexibiliteit, misschien als gevolg van te veel te hebben geoefend met een beperkt repertoire aan standaardproblemen, - er is een gebrek aan betekenis van de algebraïsche uitdrukking, de leerlingen beschouwen de uitdrukking als een formeel rijtje symbolen zonder dat dit voor hen iets betekent. - … Dit algebraïsch redeneren kan gestimuleerd worden door meer aandacht te schenken aan opdrachten zoals 2x  6 - Als 2 x  3  5 , hoeveel is dan ? 2x  5 2 4 - Welke breuk is het grootste: of met n  IN0 ?, n 2n  1 - Hoeveel is 27x33=? ; 27²=? ; 33²=? - Hoeveel is 500,7²-500,6²? -

Hoeveel is a 2  2ab  b 2 als a = 19 en b =  10 ? Hoeveel is 76  24  76  24  24  76  76  24 ?

-

Hoeveel is a 2  a  b 2  b als a = 100 en b = 99?

-

Hoeveel is

-

Waarom is het resultaat van de volgende berekeningen steeds gelijk aan 2? 8x9-7x10, 105x106-104x107, 2010x2011-2009x2012, … 1 1 Als x   5 , waaraan is dan x 2  2 gelijk?, x x Als a  b  4 en a 3  b 3  100 , hoeveel is dan a  b ?

-





2

44  99 ?


Pagina 32

Voorbeeld 3: strategische vaardigheden









Hoe zouden leerlingen de vergelijking x 2  7 x  12  8x  11  x 2  7 x  12  3x  14 oplossen? De kans is groot dat leerlingen direct beide leden uitwerken tot 8x 3  67x 2  173x  132  3x 3  7 x 2  62x  168 . Na vereenvoudiging levert dit de vergelijking 5x 3  60x 2  235x  300  0 wat leidt tot x 3  12x 2  47x  60  0 . Deze laatste stap durven leerlingen al eens overslaan! Door toepassing van de regel van Horner vindt men als oplossingen x  3, x  4, x  5 . De kans dat onderweg rekenfouten worden gemaakt is niet gering.

Een betere strategie bestaat erin om iets langer te blijven ‘stilstaan’ (globaal kijken) bij de opgave om zo tot het inzicht te komen dat het gestelde probleem gelijkwaardig is met het oplossen van de vergelijking x 2  7 x  12  8x  11  x 2  7 x  12  3x  14  0 . De oplossing hiervan herleidt zich stapsgewijs tot: x 2  7 x  12  8x  11  3x  14  0





 x

2





  7 x  12 5x  25  0

Hieruit kunnen op eenvoudige manier de gevraagde oplossingen berekend worden. De kans op het maken van rekenfouten is hier beduidend kleiner. Een alternatief van bovenstaande tweede strategie is dat de leerlingen inzien dat de vergelijking x 2  7 x  12  8x  11  x 2  7 x  12  3x  14 van de vorm a  b  a  c is en als volgt op een elegante manier kan opgelost worden: a  b  a  c  a  0 of b  c .

















In het geval van x 2  7 x  12  8x  11  x 2  7 x  12  3x  14 levert dit x  7 x  12  0 of 8x  11  3x  14 . Hieruit volgen dan op eenvoudige manier de oplossingen x  3, x  4, x  5 . 2

Het belang van de tweede strategie (of het alternatief) blijkt overduidelijk uit een volgende gelijkaardige opdracht. Het oplossen van de vergelijking x 2  2 x  2  2 x 2  1  x 2  2 x  2  x 2  1 volgens de eerste strategie (beide leden uitwerken, vereenvoudigen, vergelijking van de vierde graad) lukt niet door toepassing van de regel van Horner omdat de oplossingen  2 , 2 ,1  3 en 1  3 zijn. In dit geval is het noodzakelijk om de tweede strategie te hanteren. Dit levert x 2  2 x  2  x 2  2  0 waaruit op een elegante manier de oplossingen kunnen berekend









 







worden. Het alternatief a  b  a  c  a  0 of b  c leidt ook tot x 2  2 x  2  0 of x 2  2  0 .


Pagina 33

Essentiële voorwaarden om te komen tot formulegevoeligheid Bovenstaande voorbeelden illustreren dat formulegevoeligheid bij leerlingen kan bevorderd worden door        

een betere reflectie over opgaven het gebruiken van het gezond verstand het niet overhaast overgaan tot algebraïsche manipulatie het kritisch omspringen met automatismen het overzicht houden op het oplossingsproces zonder te verdrinken in deelstappen het verstandig kiezen van vervolgstappen het terugblikken na het vinden van de oplossing …

Didactiek: hoe pakken we dit aan? 

Om tot een betere formulegevoeligheid te komen is de voorbeeldfunctie van de leraar belangrijk

En is het aan te bevelen in de klaspraktijk  verschillende oplossingswijzen te bespreken, dus ook leerlingen zelf naar oplossingen te laten zoeken  leerlingen nog meer de kans te geven hun oplossingsproces te verwoorden  gemengde inhouden aan te bieden om de samenhang tussen de wiskundeonderdelen te intensifiëren  leerlingen ook laten oefenen op grotere gehelen  regelmatig aandacht te besteden aan eenvoudig algebraïsch rekenwerk, voor de hand liggende vereenvoudigingen, eenvoudige substituties, …  de wisselwerking tussen algebraïsch rekenwerk en de corresponderende grafische interpretaties te verhogen  ingewikkelde en kunstmatige (reken) opdrachten te vermijden, vlotheid gaat boven complexiteit  voldoende aandacht te besteden aan een foutenanalyse (redeneerfout, rekenfout, aandachtfout, foutief gebruik van ICT; onvoldoende kennen van rekenregels, formules, eigenschappen, …)  nog meer aandacht te besteden aan het gebruik van een correcte wiskundetaal  basisvaardigheden strategisch toe te passen in complexere situaties  geïntegreerde opdrachten te maken, waarin inzicht en automatisme hand in hand gaan  …

6 Bespreking examen: zie bijlage 7 Wat na het secundair? Zie http://toekomstso.vvkso.be/ en/of http://www.onderwijskiezer.be/v2/secundair/sec_3graad_aso.php


Pagina 34

Leerplanstudie leerplan c

Recommend Documents