LAMPIRAN
35
Lampiran 1 Penentuan titik tetap Model Gyllenberg-Webb Titik tetap dari sistem persamaan diferensial (3.7)-(3.8) diperoleh dengan 0 dan
menentukan
0, sehingga diperoleh: 1
1
ln
0
ln
(1)
0
(2) (3)
Substitusikan
dari persamaan (3) ke persamaan (1), diperoleh 1
ln
1 ln
1
0 1
dengan
1
ln
Substitusikan
ke persamaan (2), diperoleh 1
ln
1 1
1 ln
0 1
Substitusikan
0
, diperoleh 1
1
1
0
0 0 4
0
,
2
36
2 0
ln
4
,
2
0
0 0 untuk mendapatkan N dan Q.
Substitusikan
1 , karena 0 dan
ln N
1
0 dan
ln N
1
0 maka
0.
0 tidak dapat digunakan karena
0 tak terdefinisi.
Substitusikan
untuk mendapatkan
. 1
ln N
1
1
karena
ln N
1
ln N
1
ln N
1
maka 4 1
ln N
Sehingga diperoleh,
2
dan
37
, karena
dan
Maka ,
Sehingga diperoleh titik tetap
, sebagai berikut
,
Substitusikan nilai-nilai parameter dari tabel 1 diperoleh ,
0.67, 1.67
untuk mendapatkan
Substitusikan
dan
. 1
ln N
1
1
karena
ln N
1
ln N
1
ln N
1
maka 4 1
ln N
2
38
Sehingga diperoleh,
dan
, karena
maka ,
sehingga diperoleh titik tetap
,
sebagai berikut
,
substitusikan nilai-nilai parameter dari tabel 1 diperoleh ,
0.027, 0.068
Program dengan menggunakan Mathematica 7 untuk menentukan titik tetap sebagai berikut: Solve
μp
1 0, 1
Log , Log , 0,
Diperoleh,
,
1 1
1 Log , 1 Log ,
μq
39
Solve
1
μp
Log
0,
1
Log
0,
,
1
Log μq
1
1 Log
40
Lampiran 2a Analisis kestabilan Model Gyllenberg-Webb Substitusikan
ke persamaan (3.7)-(3.8), Misalkan sistem
persamaan (3.7)-(3.8) ditulis sebagai berikut: 1
, ,
1
ln
ln
dengan melakukan pelinearan didapat matriks Jacobi sebagai berikut :
dimana 1
β
ln
ln
1
ln 1
1
ln
ln
1 ln
μq
1
ln
ln
ln
41
Lampiran 2b Analisis kestabilan Model Gyllenberg-Webb di ,
Kestabilan sistem di titik tetap
,
,
,
dapat diperoleh dengan melakukan pelinearan pada persamaan sistem sehingga diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut ,
Dimana
kemudian di cari nilai eigennya dengan menggunakan persamaan karakteristik ,
, sehingga diperoleh
42
sehingga nilai eigen adalah √ ,
Substitusikan nilai-nilai parameter dari tabel 1 sehingga pelinearan titik tetap
,
lebih mudah, maka akan diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut : ,
.
.
.
.
kemudian di cari nilai eigennya dengan menggunakan persamaan karakteristik ,
sehingga diperoleh, .
. .
. .
.
jadi nilai eigen adalah . . sehingga kestabilan titik tetapnya bersifat simpul stabil. Program dengan menggunakan Mathematica 7 untuk matriks Jacobi dan nilai eigen di sekitar titik tetap
,
sebagai berikut :
J[P_,Q_,β_,μp_,μq_]=D[{(β-μp(1+Log[©,(P+Q)]))*P+(1/(1+Log[©,(P+Q)]))*Q,(1+Log[©,(P +Q)])*P((1/(1+Log[©,(P+Q)]))+μq)*Q},{{P,Q}}]//Simplify; MatrixForm[%] P=0.67;Q=1.67; β=0.7;μp=0.2;μq=0.2; J[P,Q,β,μp,μq]; J[P,Q,β,μp,μq]-λ IdentityMatrix[2]; Det[J[P,Q,β,μp,μq]-λ IdentityMatrix[2]] Eigenvalues[J[P,Q,β,μp,μq]-λ IdentityMatrix[2]];
43
Lampiran 2c Analisis kestabilan Model Gyllenberg-Webb di ,
Kestabilan sistem di titik tetap
,
,
,
dapat diperoleh dengan melakukan pelinearan pada persamaan sistem sehingga diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut ,
dimana
kemudian di cari nilai eigennya dengan menggunakan persamaan karakteristik ,
, sehingga diperoleh
44
sehingga nilai eigen adalah √ ,
Substitusikan nilai-nilai parameter dari tabel 1, sehingga pelinearan titik tetap
,
lebih mudah, maka akan diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut : .
,
. .
.
kemudian di cari nilai eigennya dengan menggunakan persamaan karakteristik , sehingga diperoleh
,
.
. .
. .
.
jadi nilai eigen adalah . . sehingga kestabilan titik tetapnya bersifat simpul tak stabil Program dengan menggunakan Mathematica 7 untuk matriks Jacobi dan nilai eigen di sekitar titik tetap
,
sebagai berikut :
J[P_,Q_,β_,μp_,μq_]=D[{(β-μp(1+Log[©,(P+Q)]))*P+(1/(1+Log[©,(P+Q)]))*Q,(1+Log[©,(P +Q)])*P((1/(1+Log[©,(P+Q)]))+μq)*Q},{{P,Q}}]//Simplify; MatrixForm[%] 0.027;
0.068;
45
Lampiran 2f Lanjutan β=0.7;μp=0.2;μq=0.2; J[P,Q,β,μp,μq]; J[P,Q,β,μp,μq]-λ IdentityMatrix[2]; Det[J[P,Q,β,μp,μq]-λ IdentityMatrix[2]] Eigenvalues[J[P,Q,β,μp,μq]-λ IdentityMatrix[2]];
46
Lampiran 3 Penentuan Titik Tetap Model Modifikasi Titik tetap dari sistem persamaan diferensial (3.9)-(3.10) diperoleh dengan 0 dan
menentukan
0, sehingga diperoleh: 1
1
ln
0
ln
(1)
0
(2) (3)
Substitusikan
dari persamaan (3) ke persamaan (1), diperoleh 1
c 1 dengan
ln
1
ln
1 ln
1
1 ln
1
ln
0
0
, 1
ln N
1
1 ln
1
dengan
1
ln
Substitusikan
ke persamaan (2), diperoleh 1
ln
1
substitusikan
1 ln
0
, diperoleh 1
1
0
47
1
1
1
0
0 0 4
0
,
2 2
0
ln
4
,
2
0
0 0 untuk mendapatkan N dan Q.
Substitusikan
1
ln N
1
ln N
1
,
karena , karena 0 dan
0 dan
0 maka
0.
0 tidak dapat digunakan, karena ln 0 tak terdefinisi.
Substitusikan dan
untuk mendapatkan
. 1
ln N
1
1
ln N
ln N
1
1
ln N
1
48
karena
maka 4 1
ln N
2
sehingga diperoleh,
, karena
dan
maka ,
sehingga diperoleh titik tetap
,
sebagai berikut :
,
dimana substitusikan nilai-nilai parameter dari tabel 1 dan tabel 3 diperoleh ,
124078, 310196
49
Substitusikan dan
untuk mendapatkan
. 1
ln N
1
1
ln N
ln N
1
1
karena
ln N
1
maka 4 1
ln N
2
sehingga diperoleh,
dan
, karena
maka sehingga diperoleh titik tetap
,
,
sebagai berikut :
,
50
dimana substitusikan nilai-nilai parameter diperoleh ,
0.0027 ,0.0066
Program dengan menggunakan Mathematica 7 untuk menentukan titik tetap sebagai berikut: Solve
µp
km kp 0,
1
km kp
0,
1
Log , 1
1
Log , 1
Log ,
1
Log ,
1
1 Log
µq
,
diperoleh, Solve
1
µp
Log 0,
km
1
Log kp
km 1
Log kp µq
0,
,
51
Lampiran 4a Analisis kestabilan Model Modifikasi Analisis kestabilan untuk titik tetap dapat dilakukan melalui langkahlangkah sebagai berikut: substitusikan
ke persamaan (3.9)-(3.10), misalkan sistem persamaan
(3.9)-(3.10) ditulis sebagai berikut: , ,
, ,
1
1
ln
ln P
Q
ln
Matriks Jacobi adalah
dimana P
μ P
P
P
P
1
P
Q 1
1
ln P Q 1
ln P Q 1 ln P Q
Q
Q
Q 1 ln P
Q
ln P Q 1 ln P Q
Q 1 ln P
Q
Q
μ
52
Lampiran 4b Analisis kestabilan Model Modifikasi di ,
Kestabilan sistem di titik tetap
,
,
,
dimana dapat diperoleh dengan melakukan pelinearan pada persamaan sistem sehingga diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut 1, 1
dimana
kemudian di cari nilai eigennya dengan menggunakan persamaan karakteristik ,
, sehingga diperoleh
53
sehingga nilai eigen adalah √ ,
Substitusikan nilai-nilai parameter dari tabel 1 dan tabel 3, sehingga ,
pelinearan titik tetap
akan lebih mudah, maka akan diperoleh matriks
Jacobi sebagai berikut : ,
.
.
.
.
kemudian di cari nilai eigennya dengan menggunakan persamaan karakteristik ,
, sehingga diperoleh .
. .
. .
.
jadi nilai eigen adalah . . sehingga kestabilan titik tetapnya bersifat simpul stabil Program dengan menggunakan Mathematica 7 untuk matriks Jacobi dan nilai eigen sebagai berikut :
54
J[P_,Q_,β_,μp_,μq_]=D[{(β-μp(1+Log[©,(P+Q)]))*P+(1/(1+Log[©,(P+Q)]))*Q,(1+Log[©,(P +Q)])*P((1/(1+Log[©,(P+Q)]))+μq)*Q},{{P,Q}}]//Simplify; MatrixForm[%] P=124078;Q=310196; β=0.7;μp=0.2;μq=0.2;Km=0.134;Kp=2.76; J[P,Q,β,μp,μq]; MatrixForm[%] J[P,Q,β,μp,μq]-λ IdentityMatrix[2]; Det[J[P,Q,β,μp,μq]-λ IdentityMatrix[2]] Eigenvalues[J[P,Q,β,μp,μq]-λ IdentityMatrix[2]]; MatrixForm[%]
55
Lampiran 4c Analisis kestabilan Model Modifikasi di Kestabilan sistem di titik tetap
,
,
,
,
dimana dapat diperoleh dengan melakukan pelinearan pada persamaan sistem sehingga diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut 2, 2
dimana
k k
kemudian di cari nilai eigennya dengan menggunakan persamaan karakteristik ,
, sehingga diperoleh
56
sehingga nilai eigen adalah √ ,
Substitusikan nilai-nilai parameter dari tabel 1 dan tabel 3 sehingga ,
pelinearan titik tetap
akan lebih mudah, maka akan diperoleh matriks
Jacobi sebagai berikut : .
,
. .
.
kemudian di cari nilai eigennya dengan menggunakan persamaan karakteristik ,
, sehingga diperoleh .
. .
. .
.
jadi nilai eigen adalah . . sehingga kestabilan titik tetapnya bersifat simpul tak stabil. Program dengan menggunakan Mathematica 7 untuk matriks Jacobi dan nilai eigen sebagai berikut : J[P_,Q_,β_,μp_,μq_]=D[{(β-μp(1+Log[©,(P+Q)]))*P+(1/(1+Log[©,(P+Q)]))*Q,(1+Log[©,(P
57
+Q)])*P((1/(1+Log[©,(P+Q)]))+μq)*Q},{{P,Q}}]//Simplify; MatrixForm[%] P=0.0027;Q=0.0066; β=0.7;μp=0.2;μq=0.2;Km=0.134;Kp=2.76; J[P,Q,β,μp,μq]; J[P,Q,β,μp,μq]-λ IdentityMatrix[2]; Det[J[P,Q,β,μp,μq]-λ IdentityMatrix[2]] Eigenvalues[J[P,Q,β,μp,μq]-λ IdentityMatrix[2]]; MatrixForm[%]
