Lagrange egyenletek
´ a virtu´ Ugy alis munka mint a D’Alembert-elv gyakorlati alkalmaz´ as´ at megnehez´ıti a δri virtu´ alis elmozdul´ asok egym´ ast´ ol val´ o f¨ ugg˝ os´ege. X (Fi − p˙ i )δxi = 0 , i = 1, 3N .
(1)
i
3N infinitezim´ alis δxi , s holonom k¨ ot´es → f = 3N − s darab f¨ uggetlen v´ altoz´ o: q1 , q2 , . . . , qf ´ altal´ anos koordin´ at´ ak ri = ri (q1 , q2 , . . . , qf , t) , δxi =
∂xi δqr , ∂qr
i = 1, N
i = 1, 3N ,
Einstein-f´ele o ¨sszegz´esi konvenci´ o ´erv´enyben (r -re.)
r = 1, f
δW =
X
Fi δxi = Fi
i
ahol Qr =
X i
Fi
∂xi δqr = Qr δqr ∂qr
∂xi , ∂qr
(2)
r = 1, f
az u ´n. ´ altal´ anos er˝ ok. A statikus rendszerekre alkalmazott virtu´ alis munka elv´eb˝ ol (δW = 0 , ∀δqr ): Qr = 0
Az (1) egyenletb˝ ol a D’Alembert elv megfelel˝ o egyenlete: X i
p˙ i
∂xi − Qr = 0 . ∂qr
(3)
Haszn´ aljunk kiz´ ar´ olag ´ altal´ anos koordin´ at´ akat dxi ∂xi ∂xi ∂ x˙ i = q˙ r → = . dt ∂qr ∂ q˙ r ∂qr d ∂xi ∂xi ∂xi d pi p˙ i = − pi ∂qr dt ∂qr dt ∂qr d ∂xi d ∂ x˙ i d ∂ mi 2 pi = mi x˙ i = x˙ i dt ∂qr dt ∂ q˙ r dt ∂ q˙ r 2 d ∂xi ∂ d ∂ x˙ i ∂ mi 2 xi = mi x˙ i x˙ i pi = pi = dt ∂qr ∂qr dt ∂qr ∂qr 2 x˙ i =
(4)
(5) (6) (7)
Behelyettes´ıt´esek: (6), (7) → (5) → (3) Lagrange-f´ ele m´ asodfaj´ u egyenlet d ∂T ∂T − = Qr . dt ∂ q˙ r ∂qr
r = 1, f
(8)
Lagrange-f´ ele m´ asodfaj´ u egyenlet ∂T d ∂T − = Qr . dt ∂ q˙ r ∂qr
r = 1, f
Siker¨ ult kik¨ usz¨ ob¨ olni a k´enyszereket. A Lagrange-egyenletek m´ asodrend˝ u differenci´ alegyenletei a qr (t) ˙ 0 ) = q˙ 0 alak´ f¨ uggv´enyeknek → q(t0 ) = q0 , q(t u kezdeti felt´etelek.
(9)
Az munka, er˝ o ´es potenci´ alis energia k¨ oz¨ ott fenn´ all´ o kapcsolatokat alkalmazzuk a δqr virtu´ alis elmozdul´ as, δW virtu´ alis munka ´es a Qr ´ altal´ anos´ıtott er˝ o eset´ere. Virtu´ alisan konzervat´ıv” U(q, t) er˝ ot´er (a t´er ´ altal v´egzett munka z´ art g¨ orbe ” ment´en nulla, ha v´egtelen¨ ul r¨ ovid id˝ o alatt j´ arjuk be azt) δW = Qr δqr = −δU = −
∂U δqr . ∂qr
tetsz˝ oleges δqr -re, teh´ at Qr = −
Lagrange egyenlet ∂L ∂L d − =0, dt ∂ q˙ r ∂qr
r = 1, f ;
∂U . ∂qr
(10)
˙ t) = T (q, q, ˙ t) − U(q, t) . L(q, q, (11)
Az L = T − U f¨ uggv´enyt Lagrange-f¨ uggv´enynek nevezz¨ uk. (a mozg´ asegyenletek fenti alakja konzervat´ıv k¨ olcs¨ onhat´ as ´es holonom k¨ ot´esek eset´en ´erv´enyes)
Minim´alis hat´as elve A Lagrange-egyenletet olyan form´ aba ´ırjuk ´ at, hogy a virtu´ alis elmozdul´ asok t´enyleges szerephez jussanak. δq(t) a q(t) val´ os p´ alya ´es a q(t) + δq(t) virtu´ alis p´ aly´ ak k¨ oz¨ otti elt´er´es. (sima) d δqr (t) = δ q˙ r (t) , (12) dt azaz a virtu´ alis elmozdul´ as id˝ o szerinti deriv´ altja megegyezik a sebess´egben t¨ ort´en˝ o virtu´ alis v´ altoz´ assal. ˙ t) mennyis´eg megfelel˝ Egy tetsz˝ oleges f (q, q, o virtu´ alis v´ altoz´ asa els˝ orendben: ˙ t) = f (q + δq, q˙ + δ q, ˙ t) − f (q, q, ˙ t) = δf (q, q, ∂f ∂f δqr + δ q˙ r = ∂qr ∂ q˙ r ∂f d ∂f d ∂f (12) → = δqr + δqr − δqr = ∂qr dt ∂ q˙ r dt ∂ q˙ r d ∂f ∂f d ∂f = δqr + − δqr dt ∂ q˙ r ∂qr dt ∂ q˙ r =
Vezess¨ uk be a
Z
t1
˙ t)dt f (q, q,
I [q; t0 , t1 ] = t0
integr´ altat. I f¨ uggv´enye a t0 ´es t1 integr´ al´ asi hat´ aroknak ´es funkcion´ alja a q(t) p´ aly´ anak. → ∀q0 = q(t0 ) ´es q1 = q(t1 ) pontot o ¨sszek¨ ot˝ o p´ aly´ ahoz az f = 3N − s dimenzi´ os t´erben egy´ertelm˝ uen megfeleltet egy val´ os ´ert´eket. Els˝ orendben δI [q; t0 , t1 ] = I [q + δq; t0 , t1 ] − I [q; t0 , t1 ] = Z t1 ˙ t) − f (q, q, ˙ t)]dt = [f (q + δq, q˙ + δ q, = Z
t0 t1
˙ t) = δf (q, q,
= t0
t1 Z t1 ∂f ∂f d ∂f = δqr + − δqr dt ∂ q˙ r ∂qr dt ∂ q˙ r t0 t0 v´ altoz´ as az I ´ert´ek´eben.
Tekints¨ uk a virtu´ alis p´ aly´ ak egy olyan oszt´ aly´ at, melyben a q0 ´es q1 v´egpontok r¨ ogz´ıtettek, azaz form´ alisan: δq0 = δq1 = 0. Ebben az esetben a fenti egyenlet jobboldal´ an megjelen˝ o els˝ o tag elt˝ unik ´es: Z t1 d ∂f ∂f δI [q; t0 , t1 ] = − δqr dt ∂qr dt ∂ q˙ r t0 T´ etel: Ha egy f (x) folytonos val´ os f¨ uggv´enyre fenn´ all, hogy Z x1 f (x)η(x)dx = 0 x0
minden olyan η(x) folytonosan differenci´ alhat´ o val´ os f¨ uggv´enyre, mely kiel´eg´ıti a η(x0 ) = η(x1 ) = 0 peremfelt´eteleket, akkor az f (x) f¨ uggv´eny azonosan nulla az [x0 , x1 ] szakaszon. A fenti t´etel kiterjeszthet˝ o t¨ obbv´ altoz´ os f¨ uggv´enyekre. Ez esetben, ha m Z x1 X fi (x)ηi (x)dx = 0 , ηi (x0 ) = ηi (x1 ) = 0 , i=1
x0
´es η1 (x), η2 (x), . . . ηm (x) egym´ ast´ ol f¨ uggetlenek, akkor fenn´ all, hogy f1 (x) = f2 (x) = · · · = fm (x) = 0 ,
x ∈ [x0 , x1 ]
Z
t1
δI [q; t0 , t1 ] = t0
d ∂f − ∂qr dt
∂f ∂ q˙ r
δqr dt
Az el˝ obbi t´etel ´ertelm´eben: δq(t) tetsz˝ oleges f¨ uggv´eny → az integr´ al elt˝ un´es´enek sz¨ uks´eges ´es el´egs´eges felt´etele a d ∂f ∂f − =0 ∂qr dt ∂ q˙ r (13) → I [q; t0 , t1 ] els˝ orendben nem v´ altozik → a funkcion´ al stacion´ arius q(t)-ben.
(13)
A Lagrange-f´ele mozg´ asegyenletek eset´en a rendszer mozg´ as´ at az al´ abbi elv form´ aj´ aban is megfogalmazhatjuk: Minim´ alis hat´ as elve (Hamilton elv) Egy f szabads´ agi fok´ u rendszer egy olyan q(t) = (q1 (t), q2 (t), . . . , qf (t)) p´ aly´ an mozog a t0 ´es t1 id˝ opontok k¨ oz¨ ott a q(t0 ) pontb´ ol a q(t1 ) pontba, hogy az Z t1 ˙ t)dt S[q; t0 , t1 ] = L(q, q, (14) t0
hat´ asf¨ uggv´eny, vagy m´ asn´even hat´ asintegr´ al, minim´ alis.
Newton ´ altal´ anos ´erv´eny˝ u mozg´ ast¨ orv´eny´eb˝ ol vezett¨ uk le konzervat´ıv rendszerekre kiz´ ar´ olag holonom k¨ ot´esekre A mechanik´ aban kev´esb´e ´ altal´ anos ´erv´eny˝ u mint a Newton m´ asodik t¨ orv´eny´et k´epez˝ o m´ asodrend˝ u differenci´ alegyenlet. Ennek ellen´ere univerz´ alis elv.
Egyv´altoz´os f¨ uggv´enyek sz´els˝ o´ert´eke
A deriv´ alt z´erushelyeiben tan α = y 0 (x) = 0, teh´ at az ´erint˝ o v´ızszintes. Ezeket stacion´ arius pontoknak nevezz¨ uk. A f¨ uggv´enynek sz´els˝ o´ert´eke van x0 -ban, ha y (x) − y (x0 ) k¨ ul¨ onbs´eg el˝ ojeltart´ o x0 tetsz˝ olegesen kis k¨ ornyezet´eben. Ellenkez˝ o esetben x0 ´ athajl´ asi (inflexi´ os) pont. A stacion´ arius pont t´ıpus´ at – sz´els˝ o´ert´ek vagy ´ athajl´ asi pont – az a legkisebb rend˝ u deriv´ alt adja meg, mely nem elt˝ un˝ o. Ha ez m, akkor a Tm (x) − y (x0 ) =
y (m)(x0 ) (x − x0 )m m!
m≥2
polinom p´ aros m eset´en sz´els˝ o´ert´eket, p´ aratlan eset´en pedig ´ athajl´ ast eredm´enyez x0 -ban. Amennyiben az y 00 (x0 ) m´ asodrend˝ u deriv´ alt nem nulla, a T2 (x) m´ asodrend˝ u megk¨ ozel´ıt´es egy parabola, melynek cs´ ucsa az (x0 , y (x0 )) pontban helyezkedik el. Ha y 00 (x) < 0, akkor a sz´els˝ o´ert´ek egy maximum ellenkez˝ o esetben minimum.
T¨ obbv´altoz´os f¨ uggv´enyek sz´els˝ o´ert´eke. Sylvester t´etele Legyen u : D ⊂ Rn → R egy t¨ obbv´ altoz´ os f¨ uggv´eny. x0 a D tartom´ any bels˝ o pontja ´es x ∈ D egy el´eg kis” k¨ ornyezet´eben lev˝ o tetsz˝ oleges pont. u ” megk¨ ozel´ıthet˝ o m´ asodrend˝ u Taylor polinomj´ aval: u(x) ≈ T2 (x) = u(x0 ) +
n X
uxi (x0 )∆xi +
i=1
n 1 X ux x (x0 )∆xi ∆xj , 2! i,j=1 i j
El´eg kis k¨ ornyezet az a tartom´ any ´ertj¨ uk melyen bel¨ ul a m´ asodrend˝ u tag sokkal kisebb mint az els˝ orend˝ u. A sz´els˝ o´ert´ek felt´etele, hogy n X
uxi (x0 )∆xi +
i=1
n 1 X ux x (x0 )∆xi ∆xj , 2! i,j=1 i j
∆xi = xi − xi0
el˝ ojeltart´ o. Az els˝ orend˝ u tag el˝ ojeltart´ asa kiz´ art: → uxi (x0 ) = 0 ,
i = 1, n
u stacion´ arius az x0 -ban → az (x 0 , y 0 )-ban az ´erint˝ o s´ık k xOy →
n X i,j=1
uxi xj (x0 )∆xi ∆xj
el˝ ojeltart´ o.
(15)
Ha uxi xj (P0 ) = 0 minden i ´es j-re, akkor magasabbrend˝ u sz¨ uks´eg van. A fenti n´egyzetes alak pozit´ıv definit, ha a ux1 x1 ux2 x1 ux1 x1 ux1 x2 , . . . Dn = . D1 = ux1 x1 , D2 = ux2 x1 ux2 x2 .. ux x n 1
megk¨ ozel´ıt´esekre is
ux1 x2 ux2 x2 .. . uxn x2
determin´ ansok mindegyike pozit´ıv ´es negat´ıv definit, ha D1 < 0 ,
D2 > 0 , . . . , (−1)n Dn > 0
... ... .. . ...
ux1 xn ux2 xn .. . uxn xn
P´ elda Tanulm´ anyozzuk az u(x, y ) = x 2 + my 2 f¨ uggv´eny sz´els˝ o´ert´ek´et az m param´eter f¨ uggv´eny´eben.
