LABORATORIUM MANAJEMEN MENENGAH

RISET OPERASIONAL 2

1

LABORATORIUM MANAJEMEN MENENGAH

RISET OPERASIONAL 2

OR 2 SERI PRAKTIKUM OPERASIONAL RISET 2

Aplikasi

: Customized Application Made w/ Visual BASIC 6.0 & QSB Sistem Operasi DOS Novel Netware Versi 3.0

Penyusun

: Riski Apriyani, Arief, Fauwziah, & Suwardi

Website

: ma-menengah.lab.gunadarma.ac.id

LABORATORIUM MANAJEMEN MENENGAH UNIVERSITAS GUNADARMA JAKARTA 2015

2


RISET OPERASIONAL 2 KATA PENGANTAR Puji syukur kehadirat Allah SWT karena atas berkat rahmatNya yang telah dilimpahkan kepada penulis, sehingga Modul Operasional Riset Dua ini telah berhasil kami selesaikan hingga dapat disajikan pada mahasiswa/i dan dapat menjadi sumber ilmu yang dapat dipahami oleh mahasiswa/i ataupun pembacanya. Untuk memudahkan penyelesaian masalah yang ada, modul ini juga dilengkapi dengan cara penggunaan aplikasi Win Quantative System for Bussines ( QSB ) sebagai software yang digunakan untuk mengurangi kesalahan penghitungan secara manual, dan mempertinggi keakuratan dalam memecahkan masalah yang ada. Dalam kesempatan ini, penyusun ingin mengucapkan terima kasih kepada Kedua Orang Tua kami, Staff Laboratorium Management Menengah Universitas Gunadarma, juga para Asisten senior dan rekan rekan asisten lainnya yang telah memberikan bantuan dalam penyusunan modul Operasional Riset Dua ini. Penulis menyadari bahwa masih banyak kekurangan yang terdapat dalam modul ini, oleh karena itu kami memohon kritik dan saran yang bersifat konstruktif demi perbaikkan dalam penyusunan modul yang akan datang. Semoga modul ini dapat memberikan manfaat positif pembacanya.

Depok, Juni 2015

Litbang OR2

3


RISET OPERASIONAL 2

DAFTAR ISI Kata Pengantar

3

Daftar Isi

4

Tujuan Modul

5

BAB I Antrian Pengantar Teori Antrian .................................................................................................. 6 Penggunaan software ............................................................................................... 13 Soal Latihan ............................................................................................................. 18 BAB II PERT Pengantar PERT ....................................................................................................... 21 Penggunaan Software ............................................................................................... 35 Soal Praktikum ......................................................................................................... 40 BAB III Teori Antrian Dalam Praktek Pengantar Teori antrian dalam praktek .................................................................... 45 Penggunaan Software ............................................................................................... 53 Soal Praktikum ......................................................................................................... 58 BAB IV Analisis Markov Pengantar Analsis Markov ....................................................................................... 61 Penggunaan Software .............................................................................................. 71 Soal Praktikum ......................................................................................................... 74

4


RISET OPERASIONAL 2 Deskripsi Modul Riset operasional merupakan cabang interdisiplin dari matematika terapan dan sains formal yang menggunakan model-model—seperti model matematika, statistika, dan algoritma untuk mendapatkan nilai optimal atau nyaris optimal pada sebuah masalah yang kompleks. Riset Operasional merupakan suatu metode/teknik/peralatan/cara manajemen yang digunakan oleh seorang manajer untuk menyelesaikan masalah-masalah yang sering muncul dalam kegiatan-kegiatan sehari-hari. Riset operasional biasanya digunakan untuk mencari nilai maksimal (profit, performa lini perakitan, hasil panen, bandwith dll) atau nilai minimal (kerugian, risiko, biaya, dll) dari sebuah fungsi objektif. Sehingga akhirnya permasalahan tersebut dapat dipecahkan secara optimal.

Tujuan Modul Setelah menyelesaikan praktikum pada modul ini, praktikan akan memahami: 1. Efektifitas dari suatu loket 2. Penjadwalan yang efisien dalam pengerjaan suatu proyek 3. Prediksi dari adanya perubahan-perubahan yang akan terjadi dari suatu permasalahan 4. Probabilitas atas resiko dari suatu kegiatan 5. Menyusun suatu strategi atas suatu kegiatan

Isi Pembelajaran: Teori Antrian Latihan 1 Menghitung Probabilitas atas suatu antrian Pembelajaran: Program Evaluastion and Review Technique Latihan 2 Menghitung Waktu optimal penyelesaian proyek Pembelajaran: Analisis Markov Latihan 3 Menghitung Prediksi prubahan suatu kegiatan Pembelajaran: Teori Pengambilan Keputusan Latihan 4 Menghitung Keputusan yang paling optima

5


RISET OPERASIONAL 2

6


RISET OPERASIONAL 2 TEORI ANTRIAN Deskripsi Teori antrian adalah teori-teori yang menyangkut studi matematis dari barisan atau barisan pengguna. Antrian ini terjadi apabila kebutuhan akan suatu pelayanan melebihi kapasitas

yang

tersedia

untuk

menyelenggrakan

pelayanan

itu,

sehingga

pelanggan (customer) yang datang tidak segera mendapatkan pelayanan. Dalam kehidupan sehari-hari kejadian ini sering ditemukan. Misalnya seperti terjadi pada loket pembayaran, loket bioskop, loket kereta api, loket teller bank, pada dermaga pelabuhan, telepon jarak jauh, tempat praktek dokter, pompa minyak, pada pelanggan restoran yang menunggu pesanan, kedatangan pesanan barang digudang, dan lain-lain.

Tujuan Setelah menyelesaikan praktikum pada modul ini, praktikan akan memahami: 1. Konsep dalam menentukan Model Keputusan Antrian 2. Jenis-jenis biaya yang timbul dari sistem antrian. 3. Pengaplikasian model-model antrian

Isi Pembelajaran : model keputusan antrian Pembelajaran : latihan soal Pembelajaran : langkah-langkah penyelesaian menggunakan software

7


RISET OPERASIONAL 2 1.1 SEJARAH TEORI ANTRIAN Sistem antrian atau sering disebut sebagai waiting line theory diciptakan pada tahun 1909 oleh seorang matematikawan dan insinyur berkebangsaan Denmark yang bernama A.K. Erlang yang mempelajari fluktuasi permintaan fasilitas telepon dan keterlambatan pelayanannya. Teori ini pertama kali diperkenalkan pada tahun 1913 yang dimulai dengan menggunakan konsep dan struktur system antrian sebelum mengembangkan model matematisnya. Teori ini dirancang untuk memperkirakan berapa banyak langganan menunggu dalam suatu garis antrian, kepanjangan garis tunggu, seberapa sibuk fasilitas pelayanan, dan apa yang terjadi bila waktu pelayanan atau pola kedatangan berubah. Biasanya antrian terlihat setiap harinya pada : 1.

Deretan mobil yang mengantri untuk mengambil tiket atau membayar jalan tol.

2.

Antrian pengambilan DNU dan DNS mahasiswa Gunadarma di loket BAAK.

3.

Antrian dari permintaan telepon pada suatu switch board.

4.

Penonton yang ingin membeli karcis bioskop.

5.

Menunggu pesanan pada suatu restoran.

6.

Antrian pesawat di lapangan udara.

7.

Kedatangan kapal di suatu pelabuhan.

8.

Peralatan yang menunggu di service.

9.

Antrian pembayaran listrik di Bank DKI

10.

Antrian KRL Ekonomi tujuan Jakarta

1.2 TUJUAN ANTRIAN Tujuan dasar model-model antrian adalah untuk meminimumkan biaya total, yaitu : 1.

Biaya langsung Biaya karena menambah fasilitas layanan serta gaji tenaga kerja yang memberi pelayanan.

2.

Biaya tidak langsung Biaya karena mengantri (biaya yang timbul karena para individu harus menunggu untuk dilayani).

8


RISET OPERASIONAL 2 1.3 ELEMEN - ELEMEN POKOK DALAM SISTEM ANTRIAN Model antrian paling tidak memerlukan 3 jenis data, yaitu : 1

Tingkat kedatangan rata-rata langganan untuk mendapatkan pelayanan.

2

Tingkat pelayanan rata-rata.

3

Jumlah fasilitas pelayanan.

Sedangkan elemen-elemen yang membentuk sistem antrian adalah : 1

Populasi masukan (input)

Yaitu jumlah total unit yang memerlukan pelayanan dari waktu ke waktu atau disebut jumlah total langganan potensial. Input dapat berupa populasi orang, barang, komponen atau kertas kerja yang datang pada system untuk dilayani. Asumsi yang digunakan untuk input dalam antrian adalah terbatas.

2

Pola Kedatangan (distribusi kedatangan)

Arriver pattern (pola kedatangan) adalah dengan cara bagaimana individu-individu dari populasi memasuki system. Untuk pola kedatangan menggunakan asumsi distribusi probabilitas poisson, yaitu salah satu dari pola-pola kedatangan yang paling umum bila kedatangan didistribusikan secara random. Ini terjadi karena distribusi poisson menggambarkan jumlah kedatangan per unit waktu bila sejumlah besar variable-variabel random mempengaruhi tingkat kedatangan.Bila pola kedatangan individu-individu mengikuti suatu distribusi poisson, maka waktu antar kedatangan atau inter arriver time(waktu kedatangan setiap individu) adalah random dan mengikuti suatu distribusi exponential.

3

Disiplin antrian/Pola Pelayanan

Disiplin antrian menunjukkan pedoman keputusan yang digunakan untuk menyeleksi individu-individu yang memasuki antrian untuk dilayani terlebih dahulu. Macam-macam disiplin antrian : a.

First come first served (FCFS) yang akan dipelajari

b.

Shortest operating (service)-time (SOT)

c.

Last come first served (LCFS)

d.

Longest operating time (LOT)

e.

Service in random order (SIRO) 9


RISET OPERASIONAL 2 f.

Emergency first atau critical condition first\

4

Kepanjangan antrian

Kepanjangan antrian ada yang terbatas dan tidak terbatas. Asumsi untuk kepanjangan antrian ini yang akan kita gunakan adalah yang terbatas (finite). System antrian yang menampung jumlah individu-individu yang besar ini mempunyai kapasitas yang terbatas dan model antrian terbatas harus digunakan untuk manganalisa system tersebut.

5

Tingkat pelayanan

Waktu pelayanan (service time) adalah waktu yang digunakan untuk melayani individu-individu dalam suatu system. Apabila waktu palayanan mengikuti distribusi exponensial atau distribusi acak, waktu pelayanan (unit / jam) akan mengikuti distribusi poisson.

6

Keluaran (exit)

Sesudah individu selesai dilayani, maka ia akan keluar system.

1.4 SISTEM ANTRIAN Sistem antrian dapat diklasifikasikan menjadi system yang berbeda-beda dimana teori antrian sering diterapkan secara luas. 1.

Sistem pelayanan komersial

Contoh : restoran, cafetaria, toko-toko, salon, dll 2.

Sistem pelayanan bisnis industri.

Contoh : lini produksi, system material handling, system penggudangan. 3.

Sistem pelayanan transportasi Contoh : kereta api, bus, pesawat terbang.

4.

Sistem pelayanan social

Contoh : kantor tenaga kerja, kantor registrasi SIM dan STNK.

10


RISET OPERASIONAL 2 CONTOH SISTEM ANTRIAN SISTEM

ANTRIAN/GARIS TUNGGU

FASILITAS PELAYANAN

Lapangan terbang

Pesawat menunggu di landasan Landasan pacu

Bank

Nasabah(orang)

Teller (kasir)

Bongkar muat barang

Kapal atau truk

Fasilitas bongkar muat

Perpustakaan

Anggota

Pegawai perpustakaan

Car Wash Automatic

Mobil Automatic

Alat pencuci mobil otomatis

Registrasi mahasiswa

Mahasiswa

Pusat Registrasi

Menonton Bioskop

Pelanggan

Pelayanan tiket

1.5 PERILAKU BIAYA Dalam sistem antrian ada dua jenis biaya yang timbul. Yaitu biaya karena mengantri, dan di sisi lain biaya karena menambah fasilitas layanan. Biaya yang terjadi karena orang mengantri, antara lain berupa waktu yang hilang karena menunggu. Sementara biaya menambah fasilitas layanan berupa penambahan fasilitas layanan serta gaji tenaga kerja yang memberi pelayanan. Tujuan dari sistem antrian adalah meminimalkan biaya total, yaitu biaya karena mengantri dan biaya karena menambah fasilitas layanan.

1.6 STRUKTUR ANTRIAN Menurut Pangestu Subagyo (1999) terdapat 4 model struktur antrian dasar yang umum terjadi dalam seluruh system antrian, yaitu : 1. Single Channel Single Phase Single chanel berarti bahwa hanya ada satu jalur untuk memasuki system pelayanan atau ada satu fasilitas pelayanan. Single phase menunjukkan bahwa hanya ada satu station pelayanan atau sekumpulan tunggal operasi yang dilaksanakan.

Gambar. 1 Single Channel Single Phase 11


RISET OPERASIONAL 2

2. Single Chanel Multi Phase Multi phase menunjukkan ada dua atau lebih pelayanan yang dilaksanakan secara berurutan.

Gambar. 2 Single Chanel Multi Phase 3. Multi Chanel Single Phase Multi chanel single phase terjadi kapan saja dua atau lebih fasilitas pelayanan dialiri oleh antrian tunggal.

Gambar. 3 Multi Chanel Single Phase 4. Multi Chanel Multi Phase Sistem ini mempunyai beberapa fasilitas pelayanan pada setiap tahap, sehingga lebih dari satu individu dapat dilayani pada suatu waktu. Pada umumnya, jaringan antrian ini terlalu complex untuk dianalisa dengan teori antrian, mungkin simulasi lebih sering digunakan untuk menganalisa system ini.

12


RISET OPERASIONAL 2 I.7 MODEL-MODEL ANTRIAN Dalam mengelompokan model-model antrian yang berbeda –beda akan digunakan suatu notasi yang disebut kendall‘s notation. Notasi ini sering dipergunakan karena beberapa alasan. Pertama, karena notasi tersebut merupakan alat yang efisien untuk mengidentifikasi tidak hanya model-model antrian, tapi juga asumsi-asumsi yang harus dipenuhi. Dibawah ini adalah model-model yang digunakan dalam antrian : a)

M/M/1/I/I

b)

M/M/S/I/I

c)

M/M/1/I/F

d)

M/M/S/F/I

Penjelasan notasi-notasi pada model-model diatas : Tanda pertama notasi selalu menunjukkan distribusi tingkat kedatangan. Dalam hal ini, M menunjukkan tingkat kedatangan mengikuti suatu distribusi probabilitas poisson. Tanda kedua menunjukkan distribusi tingkat pelayanan. Lagi, M menunjukkan bahwa tingkat pelayanan mengikuti distribusi probabilitas poisson. Tanda ketiga menunjukkan jumlah fasilitas pelayanan (channels) dalam system. Model diatas adalah model yang mempunyai fasilitas pelayanan tunggal.

a). M/M/1/I/I Polulasi (I)

Antrian (M)

Fasilitas Pelayanan (M/1) FCFS

Sumber tak terbatas

Tingkat kedatangan poisson

Tingkat pelayanan poisson

keluar

Kepanjangan antrian tak/ terbatas (I) Penjelasan : Sumber tak terbatas (I) merupakan salah satu sumber masukkan ( input ) dimana sumber masukkan dapat terdiri atas suatu populasi orang, barang, komponen atau kertas kerja yang datang pada system untuk dilayani. Bila populasi relatif besar sering dianggap merupakan besaran yang tak terbatas. Suatu populasi dinyatakan besar apabila populasi tersebut besar dibandingkan kapasitas pelaayanan Tingkat kedatangan poisson (M) merupakan bagian dari pola kedatangan para 13


RISET OPERASIONAL 2 individu dari populasi untuk memasuki system. Tingkat kedatangan poisson adalah pola-pola

kedatangan

yang paling sering

bila

kedatangan-kedatangan

di

distribusikan secara random. FCFS merupakan salah satu dari disiplin antrian dimana disiplin antrian menunjukkan pedoman keputusan yang digunakkan untuk menyeleksi individuindividu yang memasuki antrian untuk dilayani terlebih dahulu. Dan FCFS merupakan disiplin antrian yang paling umum yaitu kepanjangan dari First Come, First Served yang pertama kali datang, pertama kali dilayani. Tingkat pelayanan (M/1) adalah waktu yang digunakkan untuk melayani individuindividu dalam suatu system. Waktu ini mungkin konstan, tetapi juga sering acak. Bila waktu pelayanan mengikuti distribusi eksponensial, waktu pelayanan (yaitu unit perjam) akan mengikuti distribusi poisson. Angka 1 maksudnya jumlah fasilitas adalah 1. Tingkat kepanjangan antrian tak terbatas (I) adalah bila kapasitas antrian tidak menjadi faktor terbatas jumlahnya individu yang dapat dilayani dalam system secara nyata berarti system mempunyai kepanjangan antrian tak terbatas. Keluar adalah apabila seorang individu telah selesai dilayani dia keluar (exit) dari system. b)

M/M/S/I/I

Fasilitas Pelayanan (M/S)

Polulasi (I)

Antrian (M) FCFS

Sumber tak terbatas

Tingkat pelayanan poisson

Tingkat kedatangan poisson

keluar Tingkat pelayanan poisson

Kepanjangan antrian tak/ terbatas (I) Penjelasan : 

Untuk penjelasan yang lain telah diuraikan pada point a Seperti yang telah di jelaskan diatas mengenai tingkat pelayanan poisson kali ini Huruf S menunjukan jumlah fasilitas adalah lebih dari 1. 14


RISET OPERASIONAL 2 c) M/M/1/I/F Polulasi (I)

Antrian (M)

Fasilitas Pelayanan (M/1) FCFS

Tingkat kedatangan posion

Sumber tak terbatas

Tingkat pelayanan posion

keluar

Kepanjangan antrian terbatas (F) Penjelasan : 

Untuk penjelasan yang lain telah diuraikan pada point a Tingkat kepanjangan antrian terbatas (F) adalah bila kapasitas antrian

menjadi

faktor terbatas jumlahnya individu yang dapat dilayani dalam system secara nyata berarti system mempunyai kepanjangan antrian terbatas.

d) M/M/S/F/I Fasilitas Pelayanan (M/S)

Polulasi (F)

Antrian (M) FCFS

Sumber terbatas

Tingkat pelayanan posion

Tingkat kedatangan posion

keluar Tingkat pelayanan posion

Kepanjangan antrian tak/ terbatas (I) Penjelasan : 

Untuk penjelasan yang lain telah diuraikan pada point a

I.7 APLIKASI MODEL ANTRIAN 1.

Tingkat kegunaan ( Utility / U )  U =



15


RISET OPERASIONAL 2 2.

Jumlah individu rata-rata dalam system ( L )  L=  - 

3.

Jumlah individu rata-rata dalam antrian (Lq )  Lq =

4.

(-)

Waktu rata-rata dalam sistem ( W ) 1 W=

5.

 - 

Waktu rata-rata dalam antrian ( Wq )  Wq =  ( -)

6.

Probabilitas jumlah individu dalam sistem Untuk pelanggan ke- …  Pn = 1

 

Untuk adanya …. pelanggan n

Pn = 1-

 

n+1

16


RISET OPERASIONAL 2 Keterangan : 

: tingkat kedatangan rata-rata (unit/jam)

1/

: waktu antar kedatangan rata-rata (jam/unit)



: tingkat pelayanan rata-rata (unit / jam)

1/

: waktu pelayanan rata-rata (jam/unit)

Lq

: Jumlah individu rata-rata dalam antrian (unit)

L

: jumlah individu rata-rata dalam sistem (unit)

Wq

: waktu rata-rata dalam antrian (jam)

W

: waktu rata-rata dalam system (jam)

Pn

: probabilitas jumlah n individu dalam system (frekuensi relatif)

P

: tingkat kegunaan fasilitas pelayanan (rasio)

Contoh Soal Tingkat

kedatangan

pelanggan

pada

CAFÉ

―BORA‖

adalah

20

sedangkan pelayanan dari pegawai CAFE memerlukan waktu rata-rata 90 . Bila tingkat kedatangan pelanggan mengikuti distribusi poisson dan tingkat pelayanan mengikuti distribusi exponensial, maka tentukan : a. Tingkat kegunaan bagian pelayanan b. Jumlah pelanggan rata-rata dalam antrian c. Jumlah pelanggan rata-rata dalam system d. Waktu rata-rata dalam antrian e. Waktu rata-rata dalam sintem f. Probabilitas adanya pelanggan ke-20 dalam system g. Probabilitas untuk adanya 2 pelanggan dalam system

Jawaban Diketahui : λ

= 20 = 60

µ = 90

17


RISET OPERASIONAL 2 A. U = =

= 0,6667

= 66,67 % Bahwa CAFÉ BORA akan sibuk melayani pelaggan selama 66,67% dari waktunya, sedangkan 33,33% dari waktunya (1-p) menganggur.

B.

 Lq = (-)

=

=

= 1,33 = 1 orang Jadi, pelanggan yang menunggu untuk dilayani dalam antrian sebanyak 1 pelanggan.

C.

L= =

=

= 2 orang Angka 2 menunjukkan bahwa pegawai dapat mengharapkan 2 pelanggan yang berada dalam system.

D.

wq

=

=

=

= = 0,0222 jam = 1,33 menit Jadi , waktu rata-rata pelanggan menunggu dalam antrian selama 1,33 menit

18


RISET OPERASIONAL 2 E.

W= =

=

= 0,0333 jam = 1.998 menit ( 2 menit) Jadi, waktu rata-rata pelanggan menunggu dalam sistem selama 2 menit

F.

Pn = [ 1 - ] [ ] n

P20 = [ 1 =[

]20

][

] [ 0,0003 ]

= 0,0001

G. P0 = [ 1 =[

]0

][

][1]

= 0,333 P1 = [ 1 =[

][

]1

] [ 0,666 ]

= 0,222 P2 = [ 1 =[

][

]2

] [ 0,444 ]

= 0,147852

19


RISET OPERASIONAL 2 Penggunaan Software 1. Start -> All Program -> WinQSB

2. Pilih Queuing Analysis

3. Tampilan awal saat program dijalankan

20


RISET OPERASIONAL 2

4. Untuk memulai, pilih menu File -> New Problem

5. Pada form Problem Specification, masukkan Problem Title = Teori Antrian, isikan Time Unit (satuan yang digunakan) = hour. Pilih Simple M/M System pada Entry Format. Klik OK untuk melanjutkan

21


RISET OPERASIONAL 2 6. Masukkan Number of server=1, Costumer arrival rate (lambda) = 60, Service rate ( µ ) = 90. Isikan Queue Capacity = M (menandakan kapasitas Antrian tidak terbatas ) dan Costumer Population = M (menandakan banyaknya pelanggan tidak terbatas)

7. Untuk melakukan problem solving, pilih menu Solve and Performance -> Solve the Performance

22


RISET OPERASIONAL 2 8. Hasil akhir dari problem solving. Tingkat Kegunaan (U) Overall system utilization = 66.67% Jumlah Pelanggan Rata-rata Dalam Sistem (L) = 2 Jumlah Pelanggan Rata-rata Dalam Antrian (Lq) = 1.3333 Waktu Rata-rata Dalam Sistem (W) = 0.0333 hours Waktu Rata-rata Dalam Antrian (Wq) = 0.0222 hours Kemungkinan Semua Loket Menganggur (P0) = 33.3333% Kemungkinan Kedatangan Pelanggan Menunggu (Pw) = 66.6667%

9. Untuk menghitung Probabilitas adanya pelanggan ke-15 dalam system pilih menu Result -> Probability Summary

23


RISET OPERASIONAL 2 10. Hasil perhitungan kemungkinan adanya pelanggan ke-20, pada kolom Estimated Probability of n Costumers in the System cari n ke-20. Itulah kemungkinan adanya pelanggan ke-20 yaitu sebesar 0.0001

11. Untuk menghitung adanya 3 pelanggan dalam sistem perhatikan kolom Cumulative Probability. Cari n ke-3 yaitu sebesar 0.8025

24


RISET OPERASIONAL 2 Soal Latihan (Pilihan Ganda) 1. Tingkat pelayanan pelanggan Rumah Makan ―DASOM‖ adalah 100 orang per jam mengikuti distribusi poisson dengan tingkat kegunaan bagian pelayanan sebesar 75%, maka tentukan tingkat kedatangan orang perjam, jumlah pelanggan rata-rata dalam antrian, jumlah pelanggan rata-rata dalam sistem, waktu rata-rata dalam antrian, waktu rata dalam sistem, probabilitas adanya pelanggan ke-10 dalam system, probabilitas adanya 3 pelanggan dalam system. Pilihlah jawaban dari apa yang diminta : a. 75 orang; 2 pelanggan; 3 pelanggan; 0,8 menit; 0,4 menit; 0,01200; 0,6836. b. 75 orang; 2 pelanggan; 3 pelanggan; 1,8 menit; 2,4 menit; 0,01200; 0,1136. c. 75 orang; 2 pelanggan; 3 pelanggan; 0,8 menit; 2,4 menit; 0,014075; 0,01136. d. 75 orang; 2 pelanggan; 3 pelanggan; 1,8 menit; 2,4 menit; 0,014075; 0,6836. 2. Tingkat kedatangan pelanggan pada rumah baso ― Bandung Lautan Api ‖ adalah 12 orang / jam, sedangkan pelayanan dari pegawai rumah baso tersebut memerlukan waktu rata-rata 18 orang / jam. Bila tingkat kedatangan pelanggan mengikuti distribusi poisson, dan tingkat pelayanan mengikuti distribusi exponensial, tentukanlah tingkat kegunaan bagian pelayanan, Jumlah pelanggan rata-rata dalam antrian, jumlah pelanggan rata-rata dalam system, waktu rata-rata dalam antrian, waktu rata-rata dalam system, probabilitas adanya pelanggan ke-4 dalam system, probabilitas adanya 3 pelanggan dalam system. Pilihlah jawaban yang tepat dari apa yang diminta : a. 0,67; 1 pelanggan; 2 pelanggan; 6,6 menit; 10,2 menit; 0,066; 0,33. b. 0,67; 1 pelanggan; 2 pelanggan; 6,6 menit; 11,2 menit; 0,076; 0,33. c. 0,67; 1 pelanggan; 2 pelanggan; 6,6 menit; 10,2 menit; 0,076; 0,33. d. 0,67; 1 pelanggan; 2 pelanggan; 6,6 menit; 11,2 menit; 0,066; 0,33. 3. Tingkat pelayanan pengambilan kartu sehat dan kuat ―RT 01 RW 06‖ adalah 40 orang per jam mengikuti distribusi poisson dengan tingkat kegunaan bagian pelayanan sebesar 80%. Tentukanlah Tingkat kedatangan orang/jam, Jumlah pelanggan rata-rata dalam system, jumlah pelanggan rata-rata dalam antrian, waktu rata-rata dalam system, waktu rata-rata dalam antrian, probabilitas adanya pelanggan ke-5 dalam system, probabilitas adanya 4 pelanggan dalam system. Pilihlah jawaban yang tepat dari apa yang diminta : 25


RISET OPERASIONAL 2 a. 32 orang; 4 pelanggan; 3 pelangan; 7,5 menit; 1 menit; 0,06554; 0,67232. b. 32 orang; 4 pelanggan; 3 pelangan; 7,5 menit; 6 menit; 0,06554; 0,67232. c. 32 orang; 7 pelanggan; 3 pelangan; 7,5 menit; 1 menit; 0,06554; 0,67232. d. 32 orang; 1 pelanggan; 3 pelangan; 7,5 menit; 6 menit; 0,06554; 0,67232.

4. Tingkat pada bank BNI adalah 1 orang per menit mengikuti distribus poison dengan tingkat kegunaan bagian pelayanan 90 %. Tentukanlah tingkat kedatangan orang perjam, jumlah pelanggan rata-rata dalam system, jumlah pelanggan rata-rata dalam antrian, waktu rata-rata dalam system, waktu rata dalam antrian, probabilitas adanya pelanggan ke-5 dalam system, probabilitas adanya 2 pelanggan dalam system. Pilihlah jawaban dari apa yang diminta : a. 54 orang; 9 pelanggan; 8 pelangan; 10 menit; 9 menit; 0,059049; 0,27. b. 54 orang; 9 pelanggan; 8 pelangan; 10 menit; 9 menit; 0,06949; 0,17. c. 54 orang; 9 pelanggan; 8 pelangan; 10 menit; 9 menit; 0,059049; 0,37. d. 54 orang; 9 pelanggan; 8 pelangan; 10 menit; 9 menit; 0,000049; 0,27.

5. Tingkat kedatangan pada alfamart adalah 35 orang perjam mengikuti distribusi poison. dengan tingkat kegunaan bagian pelayanan adalah 75%, maka tentukanlah tingkat pelayanan orang perjam, jumlah pelanggan rata-rata dalam system, jumlah pelanggan rata-rata dalam antrian, waktu rata-rata dalam system, waktu rata-rata dalam antrian, probabilitas adanya pelanggan ke 4 dalam system, probabilitas adayan 2 pelanggan dalam system. Pilihlah jawaban dari apa yang diminta : a. 55 orang; 2 pelanggan; 1 pelangan; 10 menit; 2,8 menit; 0,072; 0,657. b. 50 orang; 2 pelanggan; 1 pelangan; 10 menit; 2,8 menit; 0,012; 0,657. c. 52 orang; 2 pelanggan; 1 pelangan; 10 menit; 2,8 menit; 0,012; 0,657. d. 50 orang; 2 pelanggan; 1 pelangan; 10 menit; 2,8 menit; 0,072; 0,657.

26


RISET OPERASIONAL 2

27


RISET OPERASIONAL 2 PROGRAM EVALUATION AND REVIEW TECHNIQUE

Deskripsi

Pert menjelaskan tentang pembuatan network yang berisi tentang pemhaman komponenkomponen , analisa network dan hal yang perlu diperhatikan dalam analisa network, serta distribusi probabilitas beta sehingga dapat melakukan penjawalan setiap kegiatan-kegiatan.

Tujuan Setelah menyelesaikan praktikum pada modul ini, praktikan akan memahami: 1. Komoponen-komponen utama untuk membuat jaringan 2. Hal-hal yang perlu diperhatikan dalam pembuatan jaringan 3. Asumsi-asumsi yang digunakan dalam PERT 4. Dapat melakukan penjadwalan kegiatan

Isi Pembelajaran 1: Pembuatan Network Pembelajaran 2 : Hal yang perlu diperhatikan dalam pembuatan network Pembelajaran 3 : Distribusi Probabilitas Beta Pembelajaran 3: Aplikasi PERT Latihan

: Menghitung Aplikasi PERT

28


RISET OPERASIONAL 2  PENDAHULUAN Konsep network ini mula –mula di susun oleh perusahaan jasa konsultan manajemen boaz, Allen, dan Hamilton, yang disusun untuk perusahaan pesawat terbang Lockheed. Kebutuhan penyusunan network ini dirasakan karena perlu adanya koordinasi dan pengurutan kegiatan-kegiatan pabrik yang kompleks, yang saling berhubungan dan saling tergantung satu sama lain. Hal ini di lakukan agar perencanaan dan pengawasan semua kegiaatan itu dapat dilakukan secara sistematis, sehingga dapat di peroleh efisiensi kerja.

Masalah penjadwalan, perencanaan, dan pengawasan suatu proyek dari segi waktu biasanya dianalisis dengan salah satu model jaringan yang dinamakan Critical Path Method (CPM) atau Program Evaluation And Review Tehnique (PERT). CPM dan PERT pada dasarnya serupa, bedanya CPM adalah teknik deterministic sedangkan PERT bersifat probabilistik. Pada teknik deterministic, waktu kegiatan diasumsikan diketahui dengan pasti, sehingga merupakan nilai tunggal. Sedangkan pada PERT waktu kegiatan merupakan variable random yang memiliki distribusi probabilistik.

Salah satu tujuan dari analisis CPM/PERT adalah untuk menentukan waktu terpendek yang diperlukan untuk merampung proyek atau menentukan critical path, yaitu jalur dalam jaringan yang membutuhkan waktu penyelesaian paling lama. Kegiatan-kegiatan yang dilewati critical path dinamakan kegiatan kritis. Keterlambatan penyelesaian salah satu kegiatan ini akan menyebabkan keterlambatan penyelesaian proyek.  PEMBUATAN NETWORK Model Jaringan tersusun atas beberapa komponen utama: •

Kegiatan (activity), adalah suatu pekerjaan atau tugas, dimana penyelesaianya memerlukan periode waktu, biaya serta fasilitas tertentu. Biasanya deberi simbol anak panah.

•

Peristiwa (event), yaitu permulaan atau akhir suatu kegiatan. Biasanya peristiwa digambarkan dengan suatu lingkaran atau nodes.

•

Kegiatan semu (dummy), yaitu kegiatan yang tidak nyata. Suatu dummy activity tidak memakan waktu dan sumber daya, jadi waktu kegiatan dan biaya 29


RISET OPERASIONAL 2 sama dengan nol.

Sebagai contoh yang menunjukan hubungan antara events dengan activities ini adalah pekerjaan mengecat pintu. Event pertama adalah pintu masih kotor belum dicat, kemudian dikukan kegiatan pengecatan, dan akhirnya setelah kegiatan pengecatan selesai kita peroleh event kedua, yaitu pintu telah dicat. Untuk lebih jelasnya contoh ini dapat dilihat pada gambar 2.1 berikut : 1

Pintu belum dicat

2

Kegiatan pengecatan

Pintu telah dicat

Adapun kegunaan dari kegiatan semu antara lain : 

Untuk menghindari terjadinya dua kejadian yang dihubungkan oleh lebih dari dari satu kegiatan.



Dengan asumsi sebelumnya yang dikatakan bahwa network hanya dimulai dari satu kejadian awal yang sebelumnya tidak ada pekerjaan yang mendahuluinya. Terkadang harus ditambahkan satu kejadian semu pada awal suatu network, satu kejadian semu pada akhir network dan kegiatankegiatan semu yang menghubungkankejadian awal atau akhir dengan kejadian-kejadian di dalam network, apabila network dimulai atau diakhiri oleh beberapa kejadian.



Kegunaan dummy aktivities itu untuk menujukan urut-urutan pekerjaan secara tepat.

 HAL YANG PERLU DI PERHATIKAN DALAM ANALISA NETWORK.

Untuk bisa melakukan analisa network, kita harus memperhatikan hal-hal berikut : 1. Sebelum suatu kegiatan dimulai, semua kegiatan yang mendahuluinya harus

selesai di kerjakan. 2. Gambar anak panah hanya sekedar menunjukan urutan-urutan di dalam

mengerjakan pekerjaan saja. Panjang anak panah dan arahnya tidak 30


RISET OPERASIONAL 2 menunjukan letak dari pekerjaan. 3. Nodes (lingkaran yang menunjukan kejadian) diberi nomor sedemikian rupa,

sehingga tidak terdapat nodes yang mempunyai nomor sama. Untuk menghindari arah anak panah yang berulang kembali –kembali

( lihat

gambar 2.2a), biasanya nomor yang lebih kecil diletakan pada awal anak panah, sedang pada akhir anak panah diberi nomor lebih besar (lihat gambar 2.2b.).

1

2

1

2

3

gambar 2.2b 3 gambar 2.2a

4. Dua buah kejadian (events) hanya bisa dihubungkan oleh satuu kegiatan

(anak pahah). 5. Network hanya dimulai dari satu kejadian awal (Initial event) yang

sebelumnya tidak ada pekerjaan yang mendahuluinya. Disamping itu networks diakhiri oleh satu kejadian saja (terminal events)  DISTRIBUSI PROBALILITAS BETA

Seringkali waktu penyelesaian kegiatan tidak diketahui dengan pasti atau merupakan variabel random. Maka diperlukan asumsi tertentu tentang bentuk distribusi waktu penyelesaian kegiatan. Bentuk probabilistic waktu penyelesaian kegiatan tersebut dapat menggunakan distribusi beta.

Setiap kegiatan diasumsikan memberikan tiga kemungkinan waktu penyelesaian, yaitu: A. Optimistic time (a), ialah waktu terpendek untuk menyelesaikan kegiatan. Probabilitas waktu penyelesaian lebih pendek dan waktu ini sangat kecil. B. Most likely time (m), ialah waktu yang paling mungkin untuk 31


RISET OPERASIONAL 2 menyelesaikan kegiatan. C. Pessimistic time (b), ialah waktu terlama untuk menyelesaikan kegiatan. Probabilitas waktu penyelesaian lebih panjang dari waktu ini sangat kecil.

PERT mengasumsikan bahwa penyelesaian kegiatan mengikuti distribusi beta, dengan rata- rata (tij) dan varian (vij) seperti berikut:

aij + 4mij + bij tij =

6 bij – aij

vij =

2

6

PERT juga mengasumsikan bahwa waktu kegiatan adalah Independen secara statistik, sehingga rata-rata dan varians waktu-waktu kegiatan itu dapat dijumlahkan untuk menghasilkan rata-rata dan varians waktu penyelesaian proyek. PERT juga mengasumsikan bahwa rata-rata dan varians waktu penyelesaian proyek mengikuti distribusi normal

Penjadwalan Kegiatan Analisis PERT juga bertujuan menentukan jadwal kegiatan yang dapat menerangkan kapan kegiatan ini dimulai dan berakhir. Penjadwalan itu juga dapat menentukan critical path (sekaligus waktu minimum yang diperlukan untuk menyelesaikan proyek) dan kegiatan apa saja yang dapat ditunda dan berapa lama.

1.

Earliest Time

: Waktu minimum yang diperlukan untuk menyelesaikan proyek

Earliest Time (ETj) = Maks {ETj + tij} 2.

Latest Time

: Waktu terakhir (paling lama) suatu event dapat direalisasikan tanpa menunda waktu penyelesaian 32


RISET OPERASIONAL 2 proyek

Latest Time (LTi) = Min { LTj - tij} 3. Slack Kegiatan

: Waktu dimana suatu kegiatan dapat ditunda tanpa mempengaruhi penyelesaian proyek dengan waktu minimum

Sij = LTj - ETi - tij Contoh Soal

1. Dibawah ini table perkiraan waktu perakitan sebuah mesin pabrik

Kegiatan

Kegiatan

aij

mij

bij

tij

vij

Sebelumnya A

-

10

11

12

B

A

3

5

7

C

A

7

10

13

D

B,C

21

22

23

E

D

8

10

12

F

E

14

17

20

G

E

7

7

7

H

F,G

18

19

20

Berdasarkan data diatas tentukanlah : a. Gambarkan Jaringan b. Tentukan Distribusi Beta c. Tentukanlah Jalur Kritis 33


RISET OPERASIONAL 2 d. Tentukanlah Probabilitas proyek dikerjakan lebih dari 92 minggu. Jawaban a. Gambar Jaringan

3 B5 1

A11

Dummy 1

2 C10

F17 D22 4

5

E10

7 Dummy 2

6 G7

H19 8

9

b. Distribusi Beta

tij =

vij = (

A

t12 = 11

V12 =

B

t23 = 5

V23 =

C

t24 = 10

V24 =

D

t45 = 22

V45 =

E

t56 = 10

V56 =

F

t67 = 17

V67 = 1

G

t68 = 7

V68 = 0

H

t89 = 19

V89 =

)

2

34


RISET OPERASIONAL 2 c. Penentuan Jalur Kritis Dalam menentukan jalur kritis, kita harus mengetahui terlebih dahulu earliest time (ET) dan latest time (LT) dari masing peristiwa/event atau node yang terjadi. Lalu pilih peristiwa mana yang memiliki nilai ET dan LT yang sama, maka itulah jalur kritisnya.

N O D E

ET

LT

Berikut adalah langkah-langkah penjelasannya: 1.

Node 1 selalu memiliki nilai ET1 = 0 minggu 0 1

2.

Node 2 berasal dari kegiatan A (t12)

maka nilai ET2 = ET1 + t12 = 0 + 11 = 11 minggu A 0

11

1

2

3.

Node 3 berasal dari kegiatan B (t13)

maka nilai ET3 = ET2 + t23 = 11 + 5 = 16 minggu 16 B

3

A 0 1

11 2 35



Node 4 berasal dari kegiatan C (t24) atau dummy 1 maka nilai ET4 = ET3 + dummy1 = 16+ 0 = 16 minggu maka nilai ET4 = ET2 + t24 = 11 +10 = 21 minggu

16

B

3

A 11

0

2

1

Dummy 1 C 21 4

5.

Node 5 berasal dari kegiatan D (t45) maka nilai ET5 = ET4 + t45 = 21 + 22 = 43 minggu

16 3

B A

0

11 2

1

Dummy 1 C 21

43

4

6.

5

Begitu Seterusnya Sampai ET9 D 16

B 0 1

A

3

11 2

70

Dummy 1 F

C 21 4

D

43 5

E

7

53

Dummy 2

6

G H

89

70 8

9

36



Selanjutnya tentukan LT. menentukan LT dengan cara mundur dari node

yang paling belakang sehingga dimulai dari node 9, maka LT9 = 89 minggu 16

B A

0

3

11 2

1

70

Dummy 1

7

F

C D

21

E

43

4

53

5

Dummy 2

6

G H 89

70 9

8

89

8.

89

Node 8 penyebab dari kegiatan H Maka nilai LT8 = LT9 – t89 = 89 - 19 = 70 16 3

B A

0

11 2

1

70

Dummy 1

7

F

C D

21

E

43

4

53

5

Dummy 2

6

G H 89

70 9

8

89

70

89

9.

Begitu seterusnya sampai LT1

10.

*dalam menentukan LT, pilih yang memiliki nilai LT paling kecil. Lalu pilih

jalur kritis yang memiliki nilai ET dan LT yang sam

16 3 21 0 1

A

11

B

2

70 11

7

Dummy 1

0

70

F 21 4

C

D

43 5

21

E

53

Dummy 2

6 43

53

G H 89

70 9

8 70


89 37 89

RISET OPERASIONAL 2 Jadi Jalur kritisnya adalah A-C-D-E-F-DUMMY2-G-H d. Probabilitas proyek dikerjakan lebih dari 92 minggu µ = t12 + t24 + t45 + t56 + t67 + t78 + σ2 = v12 + v25 + v57 + v78+ v25 + v57 + t89

v78 = 11 + 10 + 22 + 10 + 17 + 0 +

=

+1+

+

+0+

19 = 89

=

P ( tij ≥ 92 ) P ( tij ≥ 92 ) = P z ≥ =Pz ≥ =Pz ≥ = P z ≥ 1,918894 (dibulatkan menjadi 1,9) = 0,5 – 0,4713 = 0,0287 Penggunaan Software Langkah-langkah menggunakan software WinQSB 1. Start -> All Program -> WinQSB

38


RISET OPERASIONAL 2

2. Pilih program Queuing Analysis

3. Tampilan awal PERT / CPM

39


RISET OPERASIONAL 2 4. Pilih menu File -> New Problem untuk memulai

5. Pada form Problem Specification isikan 

Problem title (isikan data anda)



Number of Activities = 8



Time unit (satuan waktu) = week



Problem Type = Probabilistic PERT

Klik OK untuk melanjutkan

6. Isikan table sesuai dengan soal

40


RISET OPERASIONAL 2

7. Pilih menu Solve and Analyze -> Solve Critical Path

8. Hasil akhir

9. Untuk melihat jalur kritisnya pilih menu Results -> Show Critical Path

41


RISET OPERASIONAL 2

10. Untuk melihat jalur kritisnya pilih menu Results -> Graphic Activitu Analysis

42


RISET OPERASIONAL 2 Soal Praktikum

1. Dibawah ini adalah waktu pembuatan meja makan

Kegiatan

Kegiatan Sebelumnya

aij

mij

bij

A

-

6

7

8

B

A

6

8

10

C

B

12

13

14

D

B

11

12

13

E

B

14

17

20

F

C,D,E

8

8

8

G

F

9

10

11

H

F

15

15

15

I

G,H

7

9

11

tij

vij

Berdasarkan data diatas buatlah gambar jaringan, tentukan distribusi beta untuk kegiatan E, tentukan jalur kritis, tentukan Probabilitas proyek dikerjakan lebih dari 65 minggu. Pilihlah jawaban yang tepat dari soal yang diminta : a. 4 C13 1

A7

2

B8

3

Dummy 1

D12

5 Dummy 2

E17

G10

8

F8 6

Dummy 3

7 H15 9

I 9

10

t36 = 17 dan V36 = 1; jalur kritis A-B-E-F-H-I; 0,345.

43


RISET OPERASIONAL 2 b. 4 C13

1

A7

2

B8

3

Dummy 1

D12

5 Dummy 2

E17

G10

9

F8 6

Dummy 3

7 H15 8

I 9

10

t36 = 17 dan V36 = 0; jalur kritis A-B-E-F-H-I; 0,266. c. 4 C13

1

A7

2

B8

3

Dummy 1

D12

5 Dummy 2

E17

G10

8

F8 6

Dummy 3

7 H15 9

I 9

10

t36 = 17 dan V36 = 1; jalur kritis A-B-E-F-H-I; 0,246. d. 4 C13

1

A7

2

B8

3

Dummy 1

D12

5 Dummy 2

E17

G10

8

F8 6

Dummy 3

7 H15 9

I 9

10

t36 = 12 dan V36 = 21; jalur kritis A-B-E-F-H-I; 0,246. 44


RISET OPERASIONAL 2 2. Berikut ini adalah waktu pembangunan jembatan

Kegiatan

Kegiatan Sebelumnya

aij

mij

bij

A

-

2

3

4

B

-

6

8

10

C

A

12

14

16

D

C

18

18

18

E

B

12

13

14

F

D,E

17

20

23

G

F

5

5

5

H

F

9

10

11

I

F

1

4

7

J

G,H

6

6

6

K

I

10

13

15

tij

vij

Berdasarkan data diatas buatlah gambar jaringan, tentukan distribusi beta untuk kegiatan D, tentukan jalur kritis, tentukan Probabilitas proyek dikerjakan lebih dari 75 bulan. Pilihlah jawaban yang tepat dari soal yang diminta : a.

9 C14 A3

4

2

F20 5

1

Dummy 1

G5

D18 6

E13

B8

J6

H10

3

10

8 I4

K13 7

T45 = 17 dan V45 = 0; jalur kritis A-C-D-F-I-K; 0,0668.

45


RISET OPERASIONAL 2 b.

7 C14 A3

4

2

F20 5

1

Dummy 1

G5

D18

10

8

E13

B8

J6

H10 6 I4

3

K13 9

T45 = 18 dan V45 = 0; jalur kritis A-C-D-F-I-K; 0,0868. c.

7 C14 A3

4

2

F20 5

1

Dummy 1

G5

D18 6

10

8

E13

B8

J6

H10 I4

3

K13 9

T45 = 17 dan V45 = 0; jalur kritis A-C-D-F-I-K; 0,0668. d.

7 C14 A3

4

2

F20 5

1

Dummy 1

G5

D18 6

10

8

E13

B8

J6

H10 I4

3

K13 9

T45 = 18 dan V45 = 0; jalur kritis A-C-D-F-I-K; 0,0668.

3. Berikut ini adalah waktu pembangunan jalan tol

Kegiatan

Kegiatan Sebelumnya

aij

mij

bij

A

-

3

5

7

B

-

12

14

16

C

A,B

18

20

22

tij

vij

46


RISET OPERASIONAL 2 D

C

10

13

16

E

-

10

10

10

F

E

14

16

18

G

E

19

21

23

H

F,G

26

28

30

I

D

6

7

8

Berdasarkan data diatas buatlah gambar jaringan, tentukan distribusi beta untuk kegiatan D, tentukan jalur kritis, tentukan Probabilitas proyek dikerjakan lebih dari 60 minggu. Pilihlah jawaban yang tepat dari soal yang diminta : a. A5

2 Dummy 1

1 B14 E10

D13

C20 3

5

I7 8

9

F16 4

6 Dummy 2

H28

G21` 7 T58 = 13 dan V58 = 2; jalur kritis E-G-H; 0,1577. b. A5

2 Dummy 1

1 B14 E10

D13

C20 3

5

I7 8

9

F16 4

6 Dummy 2

H28

G21` 7 T58 = 13 dan V58 = 1; jalur kritis E-G-H; 0,1587.

47


RISET OPERASIONAL 2

c. A5

2 Dummy 1

1 B14 E10

D13

C20 3

5

I7 8

9

F16 4

7 Dummy 2

H28

G21` 6 T58 = 13 dan V58 = 1; jalur kritis E-G-H; 0,1577. d. A5

2 Dummy 1

1 B14 E10

D13

C20 3

5

I7 6

9

F16 4

7 Dummy 2

H28

G21` 6 T58 = 13 dan V58 = 1; jalur kritis E-G-H; 0,1587.

4. Berikut ini adalah waktu pembangunan Ruko Bersama

Kegiatan

Kegiatan Sebelumnya

aij

A

-

B

mij

bij

tij

3

7

5

-

12

14

13

C

A,B

18

24

20

D

C

10

16

13

vij

48


RISET OPERASIONAL 2 E

-

10

10

10

F

E

14

18

16

G

E

19

23

21

H

F,G

26

30

28

I

D

6

8

7

Berdasarkan data diatas buatlah gambar jaringan, tentukan distribusi beta untuk kegiatan C, tentukan jalur kritis, tentukan Probabilitas proyek dikerjakan lebih dari 62 minggu. Pilihlah jawaban yang tepat dari soal yang diminta : a.

A5

2 Dummy 1

1 B13

C20 3

E10

D13 5

I7 8

9

F16 4

6 Dummy 2

H28

G21` 7 m35 = 19,5 dan V35 = 1; jalur kritis E-G-H; 0,001. b. A5

2 Dummy 1

1 B13 E10

C20 3

D13 5

I7 8

9

F16 4

6 Dummy 2

H28

G21` 7 m35 = 19 dan V35 = 1; jalur kritis E-G-H; 0,011.

49


RISET OPERASIONAL 2 c. A5

2 Dummy 1

1 B13

C20 3

E10

D13

I7

5

8

9

F16 4

6 Dummy 2

H28

G21` 7 m35 = 18,5 dan V35 = 1; jalur kritis A-E-G-H; 0,101.

d. A5

3 Dummy 1

1 B13 E10

C20 2 2

D13

I7

5

8

9

F16 4

6 Dummy 2

H28

G21` 7 m35 = 19,5 dan V35 = 1; jalur kritis E-G-H; 0,001.

5. Berikut adalah waktu pembangunan Rumah Putih Bapak Arka

Kegiatan

Kegiatan Sebelumnya

aij

A

-

15

15

B

-

16

18

C

A

5

7

D

B

1

7

mij

bij

tij

vij

50


RISET OPERASIONAL 2 E

C,D

2

6

F

-

10

14

G

F

15

21

H

G

20

20

I

E

6

12

J

I,H

4

8

K

J

9

11

Berdasarkan data diatas buatlah gambar jaringan, tentukan distribusi beta untuk kegiatan C, tentukan jalur kritis, tentukan Probabilitas proyek dikerjakan lebih dari 70 minggu. Pilihlah jawaban yang tepat dari soal yang diminta : a. 2

A15 1

C6 E4

B1 7

D4

5

6

I9

3

F12

J6

4

8

H20

G18

K10 9

10

7

M35 = 4 dan V35 = 1; jalur kritis F-G-H-J-K; 0,0126. b. 2

A15 1

C6 E4

B1 7

D4

5

7

I9

3

F12

J6 H20

G18 4

8

K10 9

10

6 M35 = 4 dan V35 = 1; jalur kritis F-G-H-J-K; 0,0026.

51


RISET OPERASIONAL 2 c. 2

A15

C6 E4

1

B1 7

5

D4

I9

7

3

J6

F12 4

8

H20

G18

K10 9

10

6

M35 = 4 dan V35 = 17; jalur kritis F-G-H-J-K; 0,0126. d. 3

A15 1

C6 E4

B1 7

D4

5

7

I9

2

F12

J6 H20

G18 4

8

K10 9

10

6

M35 = 4 dan V35 = 1; jalur kritis F-G-H-J-K; 0,0126.

52


RISET OPERASIONAL 2

53


RISET OPERASIONAL 2

TEORI ANTRIAN DALAM PRAKTEK Deskripsi Modul

Antrian menjelaskan tentang tujuan dasar model antrian, elemen-elemen pokok dalam antrian, macam-macam sturktur antrian serta asumsi-asumsi yang digunakan dalam mengunakan teori antrian khsususnya asumsi yang digunakan dalam model antrian jenis multi chanel singel phase.

Tujuan Modul Setelah menyelesaikan praktikum pada modul ini, praktikan akan memahami: 1. Efektifitas suatu channel atau loket 2. Keputusan membangun channel atau loket 3. Pengidentifikasian efektifitas suatu loket 4. Kemungkinan atau probabilitas pelanggan

Isi Pembelajaran 1: Konsep dasar Antrian Pembelajaran 2 : Struktur Antrian Pembelajaran 3: Aplikasi Antrian Latihan

: Menghitung Aplikasi Antrian

54


RISET OPERASIONAL 2 

PENDAHULUAN

Sistem ekonomi dan usaha (bisnis) sebagian besar beroprasi dengan sumber daya yang relatif terbatas. Sering terjadi orang –orang, barang – barang, komponen-komponen, atau kertas kerja harus menunggu untuk mendapatkan jasa pelayanan. Garis-garis tunggu ini sering disebut dengan antrian (Queues), berkembang karna kualitas pelayanan (server) adalah relatif mahal untuk memenuhi permintaan layanan dan sangat terbatas. 

STRUKTUR ANTRIAN. Proses antrian pada umumnya dikelompokkan ke dalam empat struktur dasar menurut sifat-sifat fasilitas pelayanan, yaitu: 1. Single Channel - Single Phase (satu saluran satu tahap) 2. Single Channel - Multi Phase (satu saluran banyak tahap) 3. Multi Channel - Single Phase (banyak saluran satu tahap) 4. Multi Channel - Multi Phase (banyak saluran banyak tahap) Pada praktikum semester lalu kalian telah mempelajari antrian single channel single phase pada Manajemen Operasional. Kini pada praktikum Riset Operasional 2 pembahasan antrian masih berlanjut tepatnya antrian MULTI CHANNEL SINGLE PHASE.

Antrian Multi Channel Single Phase a) Asumsi-asumsi dalam multi channel single phase (infinite) > Jumlah antrian tidak dibatasi > Kedatangan mengikuti distribusi poisson > Waktu pelayanan mengikuti distribusi exponential negative > First come, first served > Saluran dikalikan dengan tingkat pelayanan > dari tingkat kedatangan. b) Ciri ciri distribusi poisson : > Tingkat kedatangan rata-rata dapat diduga berdasarkan data masa lalu > Tingkat kedatangan rata-rata persatuan waktu adalah konstan > Banyaknya kedatangan dalam suatu selang waktu tidak dipengaruhi apa yang terjadi pada selang waktu sebelumnya > Probabilitas suatu kedatangan dalam selang waktu yang sangat pendek adalah sangat kecil sehingga probabilitas > dari satu kedatangan dalam selang waktu 55


RISET OPERASIONAL 2 yang pendek akan mendekati 0 (nol)

Multi channel single phase (infinite) = antrian tidak dibatasi

P Model antrian

C C

O O O O

C Rumus 

: Probabilitas tidak adanya pengantri dalam system 1 Po = (λ / µ)n

c-l ∑ n=0

c-l + ∑ n! n=0 c!

(λ /µ)c (1 – (λ /c.µ))

catatan : untuk yg diketahui C,dihitung dari 1 , 2 , 3 ,dst sampai ke C 

Probabilitas orang ke-n mengantri dalam system (λ / µ)n P (n ≤ c)

=

. Po n! (λ / µ)n

P (n > c)

=

. Po C! . C n-c



Tingkat Kegunaan λ R= C×µ



Rata-rata banyaknya pengantri dalam antrian (Lq) Po (λ / µ)c . [(λ / (c × µ)] Lq =

C! (1 – (λ / (c . µ))2 Atau Po (λ / µ)c . [R]

Lq =

C! (1 – (R)2 56


RISET OPERASIONAL 2 

Rata-rata banyaknya pengantri dalam System (L) L = Lq + λ / µ



Rata-rata waktu mengantri dalam antrian (Wq) Wq = Lq / λ



Rata-rata waktu mengantri dalam System (W) W = Wq + 1 / µ

Contoh Soal Pada penjualan tiket Konser Dewa 19 di JCC diketahui memiliki 3 loket dengan tingkat pelayanannya yaitu 90 detik/orang mengikuti distribusi poisson. Serta diketahui juga tingkat kegunaan 80% Maka tentukan :

a. Tingkat Kedatangan b. Proporsi tidak adanya pengantri dalam system c. Rata – rata banyaknya pengantri dalam antrian d. Rata – rata banyaknya pengantri dalam system e. Rata – rata waktu mengantri dalam antrian f. Rata – rata waktu mengantri dalam system g. Probabilitas adanya orang ke 7 h Probabilitas adanya 2 orang dalam antrian Jawab a. λ = R x C x µ = 0,8 x 3 x 40 = 96 Jadi, tingkat kedatangan pelanggan Konser Dewa 19 di JCC adalah 96 orang/jam b.

1 Po = c-l (λ / µ)n ∑ n=0

c-l

(λ /µ)c

+∑ n! n=0 c! (1 – (λ /c.µ))

57


RISET OPERASIONAL 2 =

1 (96 / 40)0 + 0!

=

(96 / 40)1 +

(96 / 40)2 +

1! 1

2! =

1

(96 / 40)3 3 ! (0,2) =

0,056

1 + 2,4 + 2,88 + 11,52 17,8 Jadi, probabilitas tidak adanya pengantri dalam sistem pada Konser Dewa 19 di JCC adalah 0,056 c. Lq =

Po x (λ / µ) c x (R) C ! ( 1- (R)) 2

=

0,056 x (96 / 40)3 x (0,8)

= 2,58

= 2 orang

3! (1-(0,8)) 2 Jadi, rata-rata banyaknya pengantri dalam antrian pada Konser Dewa 19 di JCC adalah sebanyak 2 orang

d. L = Lq + (λ / µ) = 2,58 + (96 / 40) = 4,98 = 5 orang Jadi, rata-rata banyaknya pengantri dalam sistem pada Konser Dewa 19 di JCC adalah sebanyak 5 orang e. Wq = Lq / λ = 2,58 /96 = 0,0269 = 1,6 menit Jadi, rata-rata lamanya waktu menunggu untuk dilayani dalam antrian pada Konser Dewa 19 di JCC selama 1,6 menit

f. W = Wq + (1 / µ) = 0,0269 + 1 / 40 = 0,0519 = 3 menit Jadi, rata-rata lamanya waktu menunggu untuk dilayani dalam sistem pada Konser Dewa 19 di JCC selama 3 menit 58


RISET OPERASIONAL 2

g. P7 =

(λ / µ) p

x Po

C ! x C P- C =

(96 / 40) 7

x 0,056 = 0,052

3 ! x 3 7- 3 Jadi, probabilitas adanya orang ke-7 yang mengantri dalam sistem pada Konser Dewa 19 di JCC adalah 0,052

h. P1 = (λ / µ) n

x Po

n! .

=

(96 / 40) 1

x 0,056 = 0,134

1! P2 = (λ / µ) n

x Po

n! .

=

(96 / 40) 2 x 0,056 = 0,161

2! Jadi probabilitas adanya 2 orang yang mengantri dalam sistem pada penjualan tiket Konser Dewa 19 di JCC adalah P0 + P1 + P1 = 0,056 +0,134+0,161 = 0,351 Penggunaan Software 11. Start -> All Program -> WinQSB

59


RISET OPERASIONAL 2

12. Pilih program Queuing Analysis

13. Tampilan awal Queuing Analysis

14. Pilih menu File -> New Problem untuk memulai

60


RISET OPERASIONAL 2

15. Pada form Problem Specificaion isikan 

Problem Title (isikan data anda)



Time Unit (satuan waktu) = hour

Klik OK untuk melanjutkan

16. Masukkan 

Number of Servers = 3



Service rate (per server per hour) µ = 40



Costumer arrival rate (per hour) lambda = 96

61


RISET OPERASIONAL 2

17. Pilih menu Solve and Analyze -> Solve the Performance

18. Hasil problem solving 

Tingkat kegunaan = 80%



Proporsi waktu menganggur kasir (P0) = 5.6180



Rata-rata banyaknya pengantri dalam antrian (Lq) = 2.5888



Rata-rata banyaknya pengantri dalam system (L) = 4.9888



Rata-rata waktu menunggu dalam antrian (Wq) = 0.027



Rata-rata waktu mengunggu dalam system (W) = 0.520

62


RISET OPERASIONAL 2

19. Pilih menu Result -> Probability Summary

20. Probabilitas adanya orang ke-7 P(7) = 0.053 21. Probabilitas adanya 2 orang yang mengantri dalam sistem pada penjualan tiket Konser Dewa 19 di JCC adalah P0 + P1 + P1 = 0,056 +0,134+0,161 = 0,351

63


RISET OPERASIONAL 2

64


RISET OPERASIONAL 2 Soal Praktikum 1.) Sebuah tempat makan bernama ‗Bebek Kaleyo‘ memiliki 6 kasir yang melayani pembelinya. Jika diketahui tingkat menganggur dari kasir tersebut sebesar 20% serta tingkat kedatangan pelanggan sebanyak 10 orang/ 10 menit (begitu seterusnya) mengikuti distribusi poisson. Maka Tentukanlah : Tingkat pelayanan, proporsi menganggur pelayanan, rata-rata banyaknya pengantri dalam antrian, rata-rata banyaknya pengantri dalam system , rata-rata waktu menunggu dalam antrian , rata-rata waktu menunggu dalam system, probabilitas adanya 7 orang. a) 50 orang/jam; 0,303; 0 orang ; 1 orang; 0 menit; 1,2 menit dan 0,000002 b) 55 orang/jam; 0,303; 0 orang; 1 orang; 1 menit; 2 menit dan 0,000002 c) 50 orang/jam; 0,301; 0 orang; 2 orang; 1,6 menit; 3 menit dan 0,000002 d) 55 orang/jam; 0,301; 0 orang; 1 orang; 0 menit; 1,2 menit dan 0,000002 2.) Pada tempat Karaoke ―Nav‖ diketahui tingkat kegunaannya 66,66% dengan tingkat kedatangan 60 orang/jam mengikuti distribusi poisson. Dan diketahui juga tingkat pelayanannya yaitu 4 menit/orang. Maka tentukan : Berapa loket yg dimiliki Karaoke ―Nav‖ , probabilitas tidak adanya pengantri dalam system, rata – rata banyaknya pengantri dalam antrian, rata – rata banyaknya pengantri dalam system, rata – rata waktu mengantri dalam antrian, rata – rata waktu mengantri dalam system, probabilitas adanya 3 orang. a) 3; 0,0167; 0 orang; 4 orang; 0,5 menit; 4 menit dan 0,3955 b) 3; 0,0167; 0 orang; 4 orang; 0,5 menit; 4,5 menit dan 0,3945 c) 3; 0,0167; 0 orang; 3 orang; menit; 3 menit dan 0,3955 d) 3; 0,0167; 0 orang; 3 orang; 0 menit; 1,2 menit dan 0,3945

3.) Di Istana Negara terdapat 3 dapur yang diketahui mampu melayani 20 orang/ 20 menit serta memiliki tingkat menganggur 10%. Dari data tersebut maka tentukan: Tingkat kedatangan, proporsi menganggur loket, rata-rata banyaknya pengantri dalam antrian, rata-rata banyaknya pengantri dalam system, rata-rata waktu menunggu dalam antrian, rata-rata waktu menunggu dalam system , probabilitas adanya orang ke 5 a) 162 orang/jam; 0,0249 ; 7 orang; 10 orang; 2,7 menit; 3,7 menit dan 0,0661 b) 162 orang/jam; 0,0259 ; 8 orang; 10 orang; 2,5 menit; 3,7 menit dan 0,0661 c) 162 orang/jam; 0,0249 ; 8orang; 10

orang; 2,7 menit; 3,7 menit dan 0,0661 65


RISET OPERASIONAL 2 d) 162 orang/jam; 0,0259 ; 7 orang; 10 orang; 2,5 menit; 3,7 menit dan 0,0661

4.) Pada pertandingan Final Liga Champion diketahui memiliki 5 loket karcis dengan tingkat pelayanannya yaitu 40 detik/orang mengikuti distribusi poisson. Serta diketahui juga tingkat menganggur 25% Maka tentukan : Tingkat Kedatangan, proporsi tidak adanya pengantri dalam system, rata – rata banyaknya pengantri dalam antrian, rata – rata banyaknya pengantri dalam system, rata – rata waktu mengantri dalam antrian, rata – rata waktu mengantri dalam system, probabilitas adanya 6 orang a) 337 orang/jam; 0,0188 ; 2 orang; 4orang; 0,24 menit; 0,9 menit dan 0,7395. b) 337 orang/jam; 0,0188 ; 1 orang; 5 orang; 0,24 menit; 0,9 menit dan 0,7399. c) 337 orang/jam; 0,0188 ; 2 orang; 4 orang; 0,24 menit; 0,9 menit dan 0,7399. d) 337 orang/jam; 0,0188 ; 1 orang; 5 orang; 0,24 menit; 0,9 menit dan 0,7395. 5.) Pada ―Audisi Master Chef Indonesia‖ diketahui ada 6 meja juri dengan tingkat kegunaan di ibaratkan apabila dari 100 pelanggan,maka 85 orang dilayani. Dan tingkat kedatangan mengikuti distribusi poisson sebesar 50 orang di 30 menit pertama, 50 orang di 25 menit selanjutnya,dan 53 orang pada 5 menit selanjutnya. Maka tentukan : Tingkat pelayanan untuk melayani seorang pelanggan, probabilitas tidak ada yang mengantri dalam sistem, rata – rata banyaknya pengantri dalam antrian, rata – rata banyaknya pengantri dalam system, rata – rata waktu mengantri dalam antrian, rata – rata waktu mengantri dalam system, probabilitas adanya 2 orang a) 30 orang/jam; 0,00383 ; 4 orang; 7 orang; 1,3 menit; 3,3 menit dan 0,008317. b) 30 orang/jam; 0,00383 ; 3 orang; 8 orang; 1,3 menit; 3,3 menit dan 0,007317 c) 30 orang/jam; 0,00383 ; 3 orang; 8 orang; 1,3 menit; 3,3 menit dan 0,007317 d) 30 orang/jam; 0,00383 ; 4 orang; 7 orang; 1,3 menit; 3,3 menit dan 0,008317

66


RISET OPERASIONAL 2 ANALISIS MARKOV

Deskripsi Analisis Markov diartikan sebagai suatu teknik ataupun metode matematika untuk meramalkan perubahan pada variabel-variabel tertentu berdasarkan pengetahuan dari perubahan sebelumnya. Dalam dunia usaha ataupun industri analisis markov digunakan untuk mengetahui kemungkinan perubahan yang terjadi pada usaha yang dilakukan yang pada akhirnya digunakan sebagai alat untuk membantu pengambilan keputusan. Pengambilan keputusan yang sering kali dibuat yaitu dalam hal hutang-piutang, keunggulan produk, pergantian merk, operasi mesin dan lain sebagainya.

Tujuan Setelah menyelesaikan praktikum pada modul ini, praktikan akan : 1. Memahami konsep dasar menegenai analisis markov. 2. Mampu menyusun probabilitas transisi maupun probabilitas tree dalam melakukan analisis markov. 3. Mampu menyimpulakan hasil analisis yang dilakukan dari probabilitas yang diperoleh. 4. Mampu menggunakan aplikasi software dalam analisis markov isi pembelajaran 1 : Ciri-ciri proses Markov pembelejaran 2 : Menyususn probabilitas transisi serta probabilitas tree pembelajaran 3 : Menyususn probabilitas steady state pembelajaran 4 : Pengaplikasian Markov secara manual serta software pembelajaran 5 : Latihan soal

67


RISET OPERASIONAL 2 1. Pendahuluan Model Rantai Markov dikembangkan oleh seorang ahli Rusia A.A. Markov pada tahun 1906. Pada umumnya Riset Operasional bertujuan untuk mengambil keputusan yang optimal atas suatu permasalahan. Namun Analisis markov digunakan untuk menghasilkan suatu informasi probabilistik yang dapat digunakan untuk membantu pengambilan keputusan. Dengan kata lain teknik-teknik yang lain dalam Riset Operasional pada umumnya merupakan teknik optimisasi sedangkan pada Analisis Markov merupakan teknik deskriptif. Rantai Markov adalah suatu teknik matematik yang biasa digunakan untuk melakukan pembuatan model bermacam-macam sistem dan proses bisnis. Teknik ini dapat digunakan untuk memperkirakan perubahan-perubahan yang akan terjadi di waktu yang akan datang dalam variabel-variabel dinamis atas dasar perubahan-perubahan variabel tersebut di waktu lampau. 2. Ciri-ciri Proses Markov Probabilitas Transisi adalah perubahan dari satu status ke status yang lain pada periode (waktu) berikutnya dan merupakan suatu proses random yang dinyatakan dalam probabilitas. Untuk lebih jelasnya akan digunakan sebuah contoh kasus pada kendaraan umum. Dalam kasus ini terdapat dua buah state (kondisi / status) yaitu narik dan mogok. Jadi kendaraan umum tersebut akan selalu berada pada salah satu dari dua state tersebut, jika tidak narik maka mogok. Agar dapat digunakan dalam proses Markov dibutuhkan beberapa asumsi seperti berikut : a. Jika state kendaraan saat ini adalah narik maka hanya ada dua kemungkinan untuk kondisi waktu (hari) berikutnya yaitu narik kembali atau mogok. Sehingga jumlah probabilitas transisi pada setiap baris adalah satu. b. Probabilitas transisi itu tidak akan berubah untuk selamanya. c. Probabilitas transisi hanya tergantung pada status sekarang bukan status periode sebelumnya 3. Menyusun Probabilitas Transisi Untuk menunjukkan cara penyusunan probabilitas transisi, akan digunakan contoh kasus diatas dengan probabilitas-probabilitas sebagai berikut: 68


RISET OPERASIONAL 2 Status (saat ini)

Banyaknya Mobil Hari l

Hari II

Narik

120

144

Mogok

100

76

Jumlah

220

220

Table 3.1

Hari l

Hari II

Jumlah

Narik Mogok

Narik

70

50

120

Mogok

74

26

100

Jumlah

144

76

220

Tabel 3.2

Dari tabel di atas dapat diperoleh Probabilitas Transisi sebagai berikut:

Hari II

Hari l Narik Narik Mogok

Mogok

70/120= 0,5833 50/120 = 0,4167 74/100 = 0,74

26/100 = 0,26

Tabel 3.3

4. Probabilitas Tree Probabilitas Tree merupakan cara yang mudah untuk menggambarkan sejumlah terbatas transisi dari suatu proses Markov. Agar lebih jelas kita masih akan mengambil contoh kasus di atas. Semisal ingin diketahui : a. Probabilitas hari ke-3 narik jika hari ke-1 narik b. Probabilitas hari ke-3 mogok jika hari ke-1 narik c. Probabilitas hari ke-3 narik jika hari ke-1 mogok d. Probabilitas hari ke-3 mogok jika hari ke-1 mogok Maka kita akan buat Probabilitas Tree dari kasus di atas sebagai berikut: 69


RISET OPERASIONAL 2 Hari ke-1

Hari ke-2 0,5833 0,5833

Hari ke-3 0,5833

0,3402 Narik

0,4167

0,2431 Mogok

0,74

0,3084 Narik

Narik

Narik 0,4167 Mogok 0,4167

0,1083 0,26

Mogok

Probabilitas Tree hari ke-1 narik

Hari ke-1

Hari ke-2

Hari ke-3 0,4316 0,5833

0,74 0,74

Narik

Narik 0,3084

0,4167

Mogok

0,74

0,192 4 Narik

Mogok

0,26 Mogok 0,26

0,0676 0,26

Mogok

Probabilitas Tree hari ke-1 mogok

Dari gambar 3.1 dan Gambar 3.2 dapat kita jawab soal di atas, sehingga : a. Probabilitas hari ke-3 narik, jika hari ke-1 narik = 0,3402 + 0,3084 = 0,6486 b. Probabilitas hari ke-3 mogok jika hari ke-1 narik = 0,2431 + 0,1083 = 0,3514 c. Probabilitas hari ke-3 narik, jika hari ke-1 mogok = 0,4316 + 0,1924 = 0,642 d. Probabilitas hari ke-3 mogok jika hari ke-1 mogok = 0,3084 + 0,0676 = 0,376 70


RISET OPERASIONAL 2

5. Pendekatan Matriks Ada kalanya kita harus mencari probabilitas pada periode yang sangat besar, misalkan periode hari ke-9, ke-10 dan seterusnya, akan sangat menyulitkan dan membutuhkan media penyajian yang khusus jika kita menggunakan Probabilitas Tree. Permasalahan tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan metode Pendekatan Matriks Probabilitas Adapun Matriks Probabilitas dari contoh kasus di atas adalah sebagai berikut: 0,5833

0,4167

0,74

0,26

Probabilitas kendaraan narik pada periode ke-i jika pada periode ke-1 narik, dilambangkan dengan: Probabilitas Narik

Nn (i)

Periode ke-i

Status Awal Narik

Probabilitas kendaraan mogok pada periode ke-3 jika pada periode ke-1 mogok, dilambangkan dengan: Probabilitas Mogok

Mm (3)

Periode ke-3

Status Awal Mogok

Jika kendaraan pada hari ke-1 narik maka berlaku probabilitas sebagai berikut: Nn(l) = 1 sedangkan Mm(l) = 0 Jika probabilitas di atas disusun ke dalam vektor baris, maka kita dapatkan: (Nn(l)

Mm(l)) = (l

0)

Adapun rumus untuk mencari probabilitas periode berikutnya (i+1) adalah: (Nn(i+1)

Mn(i+1)) = (Nn(i)

Mn(i)) x Matriks Probabilitas Transisi

71


RISET OPERASIONAL 2

Bila rumus di atas kita gunakan untuk mencari probabilitas hari ke-2, maka:

(Nn(2) Mn(2)) = (Nn(1)

= (1

= (0,5833

Mn(1))

×

0,5833

0,4167

0,74

0,26

0,5833

0,4167

0,74

0,26

0) ×

0,4167)

Terlihat bahwa hasilnya sama dengan yang diperoleh dengan menggunakan metode Probabilities Tree. Dengan menggunakan cara yang sama kita akan dapatkan status untuk periode-periode berikutnya sebagai berikut:

(Nn(3)

Mn(3)) = (0,6486

0,3514)

(Nn(4)

Mn(4)) = (0,6384

0,3616)

(Nn(5)

Mn(5)) = (0,6400

0,3400)

(Nn(6)

Mn(6)) = (0,6397

0,3603)

(Nn(7)

Mn(7)) = (0,6398

0,3602)

(Nn(8)

Mn(8)) = (0,6398

0,3602)

Terlihat bahwa perubahan probabilitas semakin lama semakin mengecil sampai akhirnya tidak tampak adanya perubahan. Probabilitas tersebut tercapai mulai dari periode ke-7, dengan probabilitas status: (Nn(7)

Mn(7)) = (0,6398 0,3602)

Ini berarti pemilik kendaraan dapat menarik kesimpulan bahwa jika awalnya kendaraan berstatus narik, setelah beberapa periode di masa depan probabilitasnya narik adalah sebesar 0,6398 dan probabilitasnya mogok adalah sebesar 0,3602. Untuk perhitungan probabilitas status hari pertama mogok dapat kita cari dengan metode yang sama dan akan kita dapatkan probabilitas yang akan sama untuk periode selanjutnya, mulai dari periode ke-8. Adapun probabilitas pada periode ke-8 adalah: (Nm(8)

Mm(8)) = (0,6398

0,3602)

72


RISET OPERASIONAL 2 F. Probabilitas Steady State Dalam banyak kasus, proses markov akan menuju pada Steady State (keseimbangan) artinya setelah proses berjalan selama beberapa periode, probabilitas yang dihasilkan akan bernilai tetap, dan probabilitas ini dinamakan Probabilitas Steady State. Dari contoh di atas Probabilitas Steady Statenya adalah probabilitas narik sebesar 0,6398 dan probabilitas mogok sebesar 0,3602. Untuk mencari Probabilitas Steady State dari suatu Matriks Transisi, maka kita dapat menggunakan rumus: (Nn(i+1) Mn(i+1)) = (Nn(i)


Karena Steady State akan menghasilkan probabilitas yang sama pada periode ke depan maka rumus tersebut akan berubah menjadi: (Nn(i)

Mn(i)) = (Nn(i)


Dari contoh kasus di atas dengan status hari ke-1 narik, maka kita dapatkan:

0,5833 0,4167 0,74

0,26

Untuk mengurangi keruwetan, periode (i) dapat kita hilangkan, karena pada saat Steady State tercapai periode tidak akan mempengaruhi perhitungan. Sehingga perhitungan di atas akan menjadi:

(Nn

Mn) = (Nn

Mn) x

0,5833

0,4167

0,74

0,26

Dari perhitungan di atas akan menghasilkan persamaan berikut: Nn = 0,5833Nn + 0,74Mn............................................... (1) Mn = 0,4167Nn + 0,26Mn .............................................. (2) Karena salah satu ciri proses markov adalah: Nn(i) + Mn(i) = 1, maka: Nn + Mn = 1

Mn = 1 - Nn 73


RISET OPERASIONAL 2 Dengan menstubstitusikan Mn = 1 -Nn ke persamaan (1) didapatkan: Nn = 0,5833Nn + 0,74(l-Nn) Nn = 0,5833Nn + 0,74 - 0,74Nn l,1567Nn = 0,74 Nn = 0,6398 Lalu kita masukkan nilai Nn = 0,6398 ke dalam persamaan (2) didapatkan: Mn = 0,3602

G. Penggunaan Probabilitas Steady State Dari contoh kasus kita ketahui bahwa Pemilik Kendaraan memiliki 220 kendaraan. Dengan menggunakan Probabilitas Steady State yang sudah kita dapatkan, Pemilik dapat mengharapkan jumlah kendaraan setiap harinya narik atau mogok sebanyak: Narik

: Nn x 220 = 0,6398 x 220= 140,756 atau sebanyak 141 kendaraan

Mogok : Mn x 220 = 0,3602 x 220= 79,244 atau sebanyak 79 kendaraan Misalkan Pemilik kurang puas dengan tingkat operasi yang ada dan ingin meningkatkannya, sehingga Pemilik mengambil kebijakan untuk menggunakan suku cadang asli dalam setiap perawatan armada. Kebijakan ini membuat Matriks Probabilitas Transisi berubah menjadi: 0,7

0,3

0,74

0,26

Artinya kebijakan ini membuat Probabilitas saat ini narik, lalu hari berikutnya mogok menurun dari 0,4 menjadi 0,3. Probabilitas Steady State yang baru adalah:

(Nn

Mn) = (Nn

Mn) x

0,7

0,3

0,74

0,26

Sehingga kita adpatkan persamaan berikut: Nn = 0,7Nn + 0,74Mn………………………(1) Mn = 0,3Nn + 0,26Mn……………………(2)

Substitusikan Nn = 1 - Mn ke persamaan (2), sehingga kita dapatkan: Mn = 0,2885 dan Nn = 0,7116 - 74 -


Riset Operasional 2 2015 Artinya setiap harinya Pemilik dapat mengharapkan kendaraan yang narik atau mogok sebanyak: Narik

: Nn x 220 = 0,7116 x 220 = 156,55 atau sebanyak 157 kendaraan

Mogok : Mn x 220 = 0,2885 x 220 = 63,47 atau sebanyak 63 kendaraan

Kebijakan tersebut menghasilkan kenaikan operasional dari 141 kendaraan perhari menjadi 157 kendaraan perhari. Dalam hal ini Pemilik harus mengevaluasi kebijakan ini, apakah kenaikan pendapatan operasional dapat menutupi kenaikan biaya operasional karena kebijakan ini. Misalkan karena kebijakan ini terjadi kenaikan biaya perawatan kendaraan sebesar Rp. 1.000.000,- setiap harinya. Jadi bila kenaikan pendapatan operasional lebih besar dari Rp. 1.000.000,- maka kebijakan tersebut layak untuk dijalankan. Dari contoh ini menunjukkan bahwa Analisis Markov tidak memberikan solusi atau keputusan, namun analisis tersebut memberikan informasi yang dapat membantu pembuatan keputusan.

CONTOH SOAL : Sebuah Restoran BIASA AJA telah berdiri sejak 3 tahun yang lalu. Sang Pemilik Restoran ingin mengetahui perkembangan usahanya tersebut. Berikut ini datadata yang diperoleh Sang pemilik restoran selama 2 tahun : Keterangan Untung Rugi Jumlah

Tahun 1 2325 2360 4685

Tahun 2 2250 2435 4685

Dalam waktu 2 tahun terakhir terdapat perubahan terhadap keuntungan dan kerugian pada restorannya. Untuk data lebih jelasnya, lihat tabel dibawah ini :

Tahun 1 Untung Rugi Jumlah

Tahun 2 Untung Rugi 525 1800 1725 635 2250 2435

75

Jumlah 2325 2360 4685

Riset Operasional 2 2015 Ditanya: a. Buatlah tabel probabilitas transisi dan tree! b. Tentukanlah probabilitas tahun ke-3 mengalami rugi, jika pada tahun ke-1 untung ! c. Tentukanlah probabilitas tahun ke-3 mengalami rugi, jika pada tahun ke-1 rugi ! d. Tentukanlah probabilitas tahun ke-3 mengalami untung, jika pada tahun ke-1 untung e. Tentukanlah probabilitas tahun ke-3 mengalami untung, jika pada tahun ke-1 rugi ! f. Tentukan probabilitas pada kondisi Steady State

Jawab a)

Tahun 2

Tahun 1

a)

Untung

Rugi

Untung

525/2325=0,2258

1800/2325=0,7742

Rugi

1725/2360=0,7309

635/2360=0,2691

Bulan ke-1

Bulan ke-3

Bulan ke-2

0,0510 0,2258

Untung

0,2258

Untung

0,2258

0,1748 Rugi

0,7742 Untung 0,7309

0,7742

0,2083

Rugi 0,7742 Bulan ke-1

0,5659 Untung

0,2691

Rugi Bulan ke-3

Bulan ke-2

0,1650 0,7309 0,7309

0,2258

Untung 0,7742

Rugi 0,7309

0,2691

76

0,5659 Rugi 0,1967 Untung 0,0724

Rugi 0,2691

Untung

0,2691

Rugi

Riset Operasional 2 2015 b) 0,1748 + 0,2083 = 0,3831 c) 0,5659 + 0,0724 = 0,6383 d) 0,0501 + 0,5659 = 0,6168 e) 0,1650 + 0,1967 = 0,3617 Dalam menghitung Steady State dapat menggungakan cara seperti dibawah ini :

X1 = 0,2258 (X1) + 0,7309 (1- X1)

X2 = 1- X1

X1 = 0,2258 X1 + 0,7309 – 0,7309 X1

X2 = 1 – 0,4856

X1 = -0,5051 X1 + 0,7309

X2 = 0,5144

X1 + 0,5051 X1 = 0,7309 1,5051 X1 = 0,7309 X1 = 0,4856

Langkah-langkah pengerjaan dengan menggunakan software WinQSB a. Start -> All Program -> WinQSB

77

Riset Operasional 2 2015 b. Pilih program MarKov Process

c. Tampilan awal Markov Process

d. Pilih menu File -> New Problem untuk memulai

e. Masukkan data Problem Title (isikan data anda), Number of States = 2

f. Isikan data sesuai dengan Tabel Probabilitas 78

Riset Operasional 2 2015

g. Pilih menu Solve and Analyze -> Solve Steady State

h. Hasil akhir

79

Riset Operasional 2 2015 LATIHAN SOAL : 1. Sebuah TOKO BATIK telah berdiri sejak 3 tahun yang lalu. Sang Pemilik TOKO ingin mengetahui perkembangan usahanya tersebut. Berikut ini datadata yang diperoleh Sang pemilik Pabrik selama 2 tahun : Keterangan

Tahun 1

Tahun 2

A

1700

1400

B

1600

1900

Jumlah

3300

3300

Dalam waktu 2 tahun terakhir terdapat perubahan terhadap keuntungan dan kerugian pada TOKONYA. Untuk data lebih jelasnya, lihat tabel dibawah ini :

Tahun 1

Tahun 2

Jumlah

A

B

A

900

800

1700

B

500

1100

1600

Jumlah

1400

1900

3300

Tentukanlah : - Buatlah tabel probabilitasnya! - Tentukanlah probabilitas tahun ke-3 mengalami A, jika pada tahun ke-1 A ! - Tentukanlah probabilitas tahun ke-3 mengalami A, jika pada tahun ke-1 B ! - Tentukanlah probabilitas tahun ke-3 mengalami B, jika pada tahun ke-1 A ! - Tentukanlah probabilitas tahun ke-3 mengalami B, jika pada tahun ke-1 B ! - Tentukan probabilitas pada kondisi Steady State ! Pilihlah jawaban yang paling tepat sesuai dengan yang diminta diatas :

80

Riset Operasional 2 2015 a. Tahun 2

Tahun 1 A

B

A

900/1700 = 0,5294

800/1700 = 0,4706

B

500/1600 = 0,3125

1100/1600 = 0,6875

0,4274; 0,5726; 0,3802; 0,6198 dan X1 : 0,3991 X2 : 0,6009

b. Tahun 2

Tahun 1 A

B

A

900/1200 = 0,5294

800/1800 = 0,4706

B

500/1300 = 0,3125

1100/1400 = 0,6875

0,4274; 0,5726; 0,3772; 0,6198 dan X1 : 0,3991 X2 : 0,6009 c. Tahun 2

Tahun 1 A

B

A

900/1700 = 0,1194

800/1700 = 0,4706

B

500/1600 = 0,3175

1100/1600 = 0,6875

0,4274; 0,5326; 0,3802; 0,6198 dan X1 : 0,3991 X2 : 0,6009 d. Tahun 2

Tahun 1 A

B

A

900/1700 = 0,5294

800/1700 = 0,4706

B

500/1600 = 0,3125

1100/1600 = 0,6875

0,4274; 0,5726; 0,3802; 0,6198 dan X1 : 0,3991 X2 : 0,4569 2. Sebuah Toko Pet Shop ―LOVELY ANIMAL‖ milik IBU CATY yang dibuka sejak 3 bulan yang lalu, ingin mengetahui selera pembeli terhadap aneka hewan pada tokonya. Untuk itu, ia memperoleh data hewan-hewan mana yang sering dibeli oleh pelanggan pada toko miliknya. Berikut tabelnya :

81

Riset Operasional 2 2015 Keterangan

Bulan I

Bulan II

Kucing

3850

3700

Hamster

4450

4600

Jumlah

8300

8300

Adapun perubahan selera pembeli dari ketiga hewan selama 2 bulan :

Bulan I

Bulan II Kucing

Hamster

Jumlah

Kucing

3200

650

3850

Hamster

500

3950

4450

Jumlah

3700

4600

8300

Tentukanlah: -

Buatlah tabel Probabilitas Transisi.

-

Probabilitas seorang pelanggan pada bulan ketiga membeli Hamster, jika pada bulan pertama membeli kucing !

-

Probabilitas seorang pelanggan pada bulan ketiga Hamster, jika pada bulan pertama membeli Hamster!

-

Probabilitas seorang pelanggan pada bulan ketiga membeli Kucing, jika pada bulan pertama membeli Kucing !

-

Probabilitas seorang pelanggan pada bulan ketiga membeli Kucing, jika pada bulan pertama membeli Hamster!

-

Probabilitas pada kondisi steady state.

Pilihlah jawaban yang paling tepat sesuai dengan yang diminta diatas : a.

Bulan II

Bulan I Kucing

Hamster

Kucing

3200/3850 = 0,8222

650/3850 = 0,1688

Hamster

500/4450 = 0,1111

3950/4450 = 0,8889

0,2901; 0,8068; 0,7099; 0,1932 dan XI= 0,3997 X2= 0,6003

82

Riset Operasional 2 2015 b.

Bulan II

Bulan I Kucing

Hamster

Kucing

3200/3850 = 0,8312

650/3850 = 0,1688

Hamster

500/4450 = 0,1124

3950/4450 = 0,8876

0,2901; 0,8068; 0,7099; 0,1932 dan XI= 0,3997 X2= 0,6003

c.

Bulan II

Bulan I Kucing

Hamster

Kucing

3200/3850 = 0,8312

650/3850 = 0,1688

Hamster

500/4450 = 0,1111

3950/4450 = 0,8876

0,2911; 0,8068; 0,7999; 0,1932 dan XI= 0,3997 X2= 0,6003

d.

Bulan II

Bulan I Kucing

Hamster

Kucing

3200/3850 = 0,8322

650/3850 = 0,1688

Hamster

500/4450 = 0,1121

3950/4450 = 0,8876

0,2911; 0,8068; 0,7999; 0,1932 dan XI= 0,3997 X2= 0,6003

3. Pada WARUNG MAKAN SEDAP BANGET pemiliknya ingin mengurangi salah satu porsi jenis masakan di warung makan tersebut karena ingin menambah jumlah proporsi menu masakan yang lebih sering dipesan oleh pelanggan. Berikut ini data yang diperoleh pemilik warung makan tersebut selama 2 Minggu terakhir :

Keterangan

Minggu 1

Minggu 2

Rica-Rica

3350

2450

Pedes datar

1600

2500

Jumlah

4950

4950

Adapun perpindahan pelanggan pada warung makan, terlihat pada tabel berikut ini :

83

Riset Operasional 2 2015 Minggu 1

Minggu 2 Rica-rica

Pedes Datar

Jumlah

Rica-Rica

2000

1350

3350

Pedes Datar

450

1150

1600

Jumlah

2450

2500

4950

Tentukanlah: -

Buatlah tabel Probabilitas Transisi.

-

probabilitas seorang pelanggan pada minggu ketiga Pedes Datar, jika pada minggu pertama memilih Rica-Rica!

-

probabilitas seorang pelanggan pada minggu ketiga Rica-Rica, jika pada minggu pertama memilih Rica-Rica !

-

probabilitas seorang pelanggan pada minggu ketiga Rica-Rica, jika pada minggu pertama memilih Pedes Datar !

-

probabilitas seorang pelanggan pada minggu ketiga Pedes Datar, jika pada minggu pertama memilih Pedes datar !

-

Probabilitas pada kondisi steady state.

Pilihlah jawaban yang paling tepat sesuai dengan yang diminta diatas : a.

Minggu 2

Minggu 1 Rica-Rica

Pedes Datar

Rica-Rica

2000/3350 = 0,5970

1350/3350 = 0,4030

Pedes Datar

450/1600 = 0,2812

1150/1600 = 0,7188

n 0,5303; 0,4697; 0,3699; 0,63 dan X1=0,4110 X2= 0,5890 b.

Minggu 2

Minggu 1 Rica-Rica

Pedes Datar

Rica-Rica

2000/3350 = 0,5970

1350/3350 = 0,4030

Pedes Datar

450/1600 = 0,2812

1150/1600 = 0,7188

n 0,5222; 0,1697; 0,4599; 0,63 dan X1=0,4110 X2= 0,5890

84

Riset Operasional 2 2015 c.

Minggu 2

Minggu 1 Rica-Rica

Pedes Datar

Rica-Rica

2000/3350 = 0,6570

1350/3350 = 0,4030

Pedes Datar

450/1600 = 0,2812

1150/1600 = 0,7188

n 0,1103; 0,1197; 0,3699; 0,63 dan X1=0,4110 X2= 0,5890 d.

Minggu 2

Minggu 1 Rica-Rica

Pedes Datar

Rica-Rica

2000/3350 = 0,5970

1350/3350 = 0,4030

Pedes Datar

450/1600 = 0,2812

1150/1600 = 0,7188

n 0,222; 0,4697; 0,3699; 0,63 dan X1=0,4190 X2= 0,5890 4. Seorang manager dari klinik DUCINI, ingin mengetahui perkembangan Kepuasan pelanggannya yang berjumlah 2117 pelanggan. Manager tersebut melakukan pendataan terhadap pelanggannya. Berikut ini data-data tersebut :

Keterangan

Minggu 1

Minggu 2

Puas

1050

2250

Tidak Puas

3200

2000

Jumlah

4250

4250

Selama 2 minggu terdapat perubahan terhadap kepuasan pelanggan di klinik tersebut. Di bawah ini data perubahan lebih jelasnya :

Minggu 1

Minggu 2 Tidak Puas

Puas

1000

50

1050

Tidak Puas

1250

1950

3200

Jumlah

2250

2000

4250

Tentukanlah : -

Jumlah

Puas

Buatlah table probabilitas transisinya!

85

Riset Operasional 2 2015 -

Probabilitas seorang pelanggan pada minggu ketiga Puas, bila pada minggu pertama dia Tidak Puas!

-

Probabilitas seorang pelanggan pada minggu ketiga Puas, bila pada minggu pertama dia Puas!

-

probabilitas seorang pelanggan pada minggu ketiga Tidak Puas, bila pada minggu pertama dia Tidak Puas!

-

probabilitas seorang pelanggan pada minggu ketiga Tidak Puas, bila pada minggu pertama dia Puas

-

probabilitas pada kondisi steady state! Pilihlah jawaban yang paling tepat sesuai dengan yang diminta diatas :

a. Minggu 2

Minggu 1 Puas

Tidak Puas

Puas

1000/1050 = 0,9524

50/1050 = 0,0476

Tidak Puas

1250/3200 = 0,3906

1950/3200 = 0,6094

0,6100; 0,9257; 0,3900; 0,0743 dan X1=0,8914 X2= 0,1086

b.

Minggu 2

Minggu 1 Puas

Tidak Puas

Puas

1000/1050 = 0,9524

50/1050 = 0,0476

Tidak Puas

1250/3200 = 0,3906

1950/3200 = 0,6094

0,6100; 0,9211; 0,3870; 0,0743 dan X1=0,8914 X2= 0,1086 c. Minggu 2

Minggu 1 Puas

Tidak Puas

Puas

1000/1050 = 0,9524

50/1050 = 0,0476

Tidak Puas

1250/3200 = 0,3906

1950/3200 = 0,6094

0,6100; 0,9211; 0,3870; 0,0743 dan X1=0,8900 X2= 0,1086

86

Riset Operasional 2 2015 d. Minggu 2

Minggu 1 Puas

Tidak Puas

Puas

1000/1050 = 0,9524

50/1050 = 0,0476

Tidak Puas

1250/3200 = 0,2000

1950/3200 = 0,6094

0,6100; 0,9211; 0,3870; 0,0743 dan X1=0,8900 X2= 0,1086 5. Seorang MAHASISWA yang gemar menonton film di bioskop, ingin mengetahui bioskop mana saja yang sering didatangi oleh teman-teman KAMPUS-nya. Berikut ini data yang diperoleh ibu MAHASISWA tersebut selama 2 Bulan dari teman-temannya yang berjumlah 4232 orang :

Keterangan

Bulan 1

Bulan 2

Bioskop DEF

3200

4150

Bioskop HIJ

5150

4200

Jumlah

8350

8350

Adapun perubahan terhadap kedua bioskop. Berikut lebih jelasnya :

Bulan 1

Bulan 2 Bioskop DEF

Bioskop HIJ

Jumlah

Bioskop DEF

2050

1150

3200

Bioskop HIJ

2100

3050

5150

Jumlah

4150

4200

8350

Tentukanlah :

-

Probabilitas Transisi-nya.

-

Probabilitas siswa bulan ke-3 menonton di Bioskop HIJ, jika bulan ke-1 menonton di Bioskop DEF !

-

Probabilitas siswa bulan ke-3 menonton di Bioskop DEF, jika bulan ke-1 menonton di Bioskop HIJ !

-

Probabilitas siswa bulan ke-3 menonton di Bioskop DEF, jika bulan ke-1 menonton di Bioskop DEF!

87

Riset Operasional 2 2015 -

Probabilitas siswa bulan ke-3 menonton di Bioskop HIJ, jika bulan ke-1 menonton di Bioskop HIJ !

Pilihlah jawaban yang paling tepat sesuai dengan yang diminta diatas :

a.

Bulan 2

Bulan 1 Bioskop DEF

Bioskop HIJ

Bioskop

2050/3200 = 0,6406

1150/3200 = 0,3594

Bioskop DEF

2100/5150 = 0,4078

3050/5150 = 0,5922

HIJ 0,443; 0.5027; 0,557; 0,4973 dan X1= 0,5315 X2 = 0,4685

b.

Bulan 2

Bulan 1 Bioskop DEF

Bioskop HIJ

Bioskop

2050/3200 = 0,6406

1150/3200 = 0,3594

Bioskop DEF

2100/5150 = 0,4078

3050/5150 = 0,5922

HIJ 0,443; 0.5027; 0,557; 0,3373 dan X1= 0,5315 X2 = 0,4685 c.

Bulan 2

Bulan 1 Bioskop DEF

Bioskop HIJ

Bioskop

2050/3200 = 0,6406

1150/3200 = 0,3594

Bioskop DEF

2100/5150 = 0,4078

3050/5150 = 0,5922

HIJ 0,443; 0,1234; 0,557; 0,4973 dan X1= 0,5315 X2 = 0,4685 d.

Bulan 2

Bulan 1 Bioskop DEF

Bioskop HIJ

Bioskop DEF

2050/3200 = 0,6406

1150/3200 = 0,3594

Bioskop HIJ

2100/5150 = 0,4078

3050/5150 = 0,5922

0,443; 0.5027; 0,557; 0,4973 dan X1= 0,5315 X2 = 0,5315

88

Riset Operasional 2 2015 Tabel yang digunakan dalam BAB 2. PERTH

89

LABORATORIUM MANAJEMEN MENENGAH

Recommend Documents