Kurz DVPP Badatelsky orientovaná výuka matematiky na 1. stupni ZŠ. Studijní materiál

Kurz DVPP Badatelsky orientovaná výuka matematiky na 1. stupni ZŠ Studijní materiál Akreditace MŠMT č. j. Č.j.: MSMT- 17532/2014-1-612 ze dne 24.7.2014

Projekt EduTech: Vzdělávání pro efektivní transfer technologií a znalostí v přírodovědných a technických oborech CZ.1.07/2.3.00/45.0011

Autor: Mgr. Helena Picková TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

1. Badatelsky orientované vyučování Pojem badatelsky orientované vyučování (BOV) je obvykle užíváno jako česká verze anglického pojmu Inquiry Based Science Education (IBSE), který bychom při důsledném překladu vyložili jako „učení se skrze bádání, zkoumání, objevování, pídění se po odpovědi“ Jedná se o vzdělávací směr typický především v přírodovědných předmětech. K vysvětlení podstaty badatelského vyučování je především potřeba důkladně pochopit význam termínu „BÁDÁNÍ“. Obvykle rozlišujeme pojmy vědecké bádání a bádání. Vědecké bádání souvisí s metodami, kterými vědci studují okolní svět, a způsoby, pomocí kterých nabízejí vysvětlení zkoumaných jevů. Bádání při BOV charakterizujeme jako činnosti žáků, při kterých rozvíjejí své dovednosti v duchu vědeckého stylu práce: -

pozorování

-

kladení otázek

-

vyhledávání informací

-

navrhování postupů řešení

-

ověřování experimentálních výsledků

-

získávání dat, jejich analýza a interpretace

-

formulování odpovědí, vysvětlení a předpovědí;

-

prezentace závěrů

Podstatné je, že závěry této činnosti závisí na momentálních znalostech a rozhledu a různé osoby tak mohou interpretovat stejná fakta různě. Nemusí se dokonce

dojít k žádnému

konečnému závěru. Z výše uvedeného vyplývá, že při badatelsky orientované výuce učitel probíranou látku nevyloží v ucelené podobě, ale výuku připravuje tak, aby se žáci sami pokusili řešit problémové situace a s jeho případnou pomocí hledali cestu k řešení této situace nebo se alespoň o to pokusili. Žák není při této výuce pasivní, ale naopak je nucený přicházet se s svými nápady, které pak zkouší prověřovat. Měl by být při tom učitelem podporován v tom, že při tom procesu výuky není ostuda udělat chybu. Souhrnně může říci, že role učitele by měla spočívat především v tom, aby se snažil rozvíjet v žácích jejich přirozenou zvídavost. 2 TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

1.1. Základní kroky badatelsky orientovaného vyučování BOV můžeme obvykle rozložit na čtyři základní fáze, které na sebe přirozeně navazují: 1. Seznamování se s daným problémem: získávání informací, přemýšlení o tom, co se chce zjistit, kladení otázek, uvědomění si toho, co je známo a máme k dispozici 2. Stanovení hypotézy: formulace nápadu, domněnky jaký bude výsledek zkoumaného problému. 3. Ověřování hypotézy: vlastní řešení – návrh experimentu, pozorování, zkoumání, provedení pokusu, hledání argumentů, získávání dat, analýza dostupných dat a informací (např. výpočet) apod. 4. Prezentace výsledků: sestavení a vysvětlení získaných závěrů a jejich využití, diskuze k

původní domněnce (hypotéze),

naznačení dalších možností při řešení daného

problému ….

Učitel výuku plánuje tak, že nastoluje problémové situace (t.j. zahájí krok 1), které pak žáci sami řeší (kroky 2-4) a je pak již jen jejich průvodcem při řešení zadaného problému – koriguje je a usměrňuje tak, aby sami

dospěli k výsledku, ale do jejich práce a postupů však pokud

možno příliš nezasahuje. Pouze se snaží tento typ výuky organizovat tak, aby se zapojili všichni žáci a měla být organizována tak, aby žáci byli nuceni: spolupracovat -

učení probíhá v menších skupinách

-

každý žák má vymezenou svou roli ve skupině

-

žáci by měli dokázat řešit svěřený úkol

-

je vhodné na viditelném místě ve třídě vyvěsit práce ve skupině

komunikovat -

předávají si instrukce, vzájemně vysvětlují a diskutují

-

prezentují své výsledky - ústně, obrázky i písemně

-

nutné je stanovení pravidel ( např.: „mluví jeden“)

3 TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

pracovat s technikou -

dovednosti ovládat multimédia

-

pracovat s přístroji a pomůckami podle povahy zkoumaného problému

-

nutné je dbát na bezpečnost

Učitel by se měl při BOV snažit: -

zajistit atmosféru, ve které se otevřeně komunikuje a ve které se žáci vzájemně respektují a důvěřují si. Cítí se bezpečně, bez stresu.

-

podporovat atmosféru spolupráce nikoliv soutěživost. Smyslem není to, že se co nejdříve dospěje ve třídě k výsledku, ale především o to, aby každý žák (nebo skupinka) navrhl vlastní postup řešení, pak tento postup realizoval a došel tak k vlastnímu výsledku, který může být i jiný než mají ostatní.

-

se postavit do role „vědce“, který klade „vhodné“ otázky

-

projevovat dostatečné nadšení z navržených hypotéz, postupů řešení a získaných „objevů“ žáků

-

podněcovat zvídavost tvořivost a fantazii žáků.

1.2. Principy sestavení badatelsky orientované vyučovací hodiny 1. Plánování hodiny Volba tématu, které chci s žáky řešit  Hodí se pro něj badatelsky orientované vyučování? V případě, že ano, je nutné si dobře promyslet, na co konkrétně by bylo vhodné se zaměřit.  Téma a řešená problematika by měly zaujmout žáky. . Prostor pro bádání • Čas věnovaný tématu - jedna vyučovací hodina, několik návazných hodin nebo badatelský den, …, • místo práce - třída, laboratoř či venku v terénu, • pomůcky - jsou dispozici, je nutné je obstarat (jak ?).


Moje cílová skupina Je nutné brát v úvahu: • na jaké úrovni badatelské samostatnosti se žáci nacházejí (bádají samostatně nebo potřebují nasměrovat), • zda je lepší zkoušet bádání po jednotlivých krocích nebo vyzkoušet celou • badatelskou hodinu, • formu práce (aktivity, velikost skupin), • individuální nebo skupinovou práci, • co je nutné, aby žáci věděli předem. Stanovení konkrétního cíle pro hodinu • Co chci, aby si žáci odnesli („dostalo se jim pod kůži“), když vše ostatní • zapomenou. • Co je hlavní myšlenka, kterou mají žáci objevit a zapamatovat si. • Co mají žáci dokázat, odhalit, zkusit? • Jaké dovednosti by měly být rozvíjeny a jaké cíle dosaženy (nemusí být jen badatelské). Je záměr hodiny opravdu badatelský? • Jaké myšlenkové procesy mají u žáků proběhnout ? • Co nového badatelského by si měli osvojit ? • Které „AHA“ momenty by si při bádání měli prožít?

2. Konkrétní kroky Motivace: Co bude tím magnetem v úvodu hodiny, který podchytí zájem i fantazii žáků a odstartuje lavinu otázek? Přemýšlení o tématu: Budou žáci studovat další zdroje (literaturu, webové stránky apod.)? V případě, že ano, na jaké zdroje je nasměruji? Kladení otázek: Budou mít žáci prostor klást vlastní otázky a diskutovat o nich? Jestli ano, jak je v tom mohu podpořit? Výběr výzkumné otázky: Bude mít každý žák svoji výzkumnou otázku nebo si ji vybere společně se spolužáky ve skupině nebo vybereme společnou otázku pro celou třídu? Jaký postup použiji pro výběr otázky? Formulace hypotézy: Bude moci každý žák vyslovit svoji vlastní hypotézu nebo budou žáci sestavovat hypotézu ve skupinách? Plánování, příprava a provedení pokusu: Budou se žáci podílet na plánování a provedení pokusu? Jestli ano, tak jakým způsobem?


Formulace závěrů a návrat k hypotéze: Umožní lekce žákům návrat k hypotéze a její zhodnocení? Hledání souvislostí: Jakým způsobem žákům umožním, aby se zamysleli nad přesahem lekce ? Prezentace: Jakým způsobem zajistím, aby žáci měli možnost výsledky svého bádání sdělit ostatním? Kladení nových otázek: Těším se, že žáky budou napadat nové otázky. Sepíšeme je společně? Budeme s nimi dál pracovat? Reflexe: Jakým způsobem zajistím, aby si žáci uvědomili, co se jim v hodině podařilo, co by mohli příště udělat lépe a jaké dovednosti využili?

3. Hodnocení žáků Jak zhodnotím zapojení žáků do různých částí badatelského postupu? Jak budu např. hodnotit, zda si každý samostatně sestavil hypotézu ? Při hodině budu žáky pozorovat a zapíši si, jak pracovali. Jakou formou dostanou žáci zpětnou vazbu na svou práci? Získají ji od třídy nebo od učitele a okamžitě v průběhu hodiny nebo někdy později souhrnně? Mám na závěr připravené hodnocení (skupinové, či individuální) ? Využiji sebehodnocení žáků pomocí předem zadaných kritérií? Vytvořím kritéria já nebo společně se žáky?

2.3. Příklad badatelsky orientované hodiny Konkrétní představu badatelsky orientované hodiny při výuce matematiky budeme ilustrovat na tématu Oplocení pastviny (pracovní list č. 3)

1. Přemýšlení o tématu a kladení otázek: Zemědělec Josef Hrouda chtěl oplotit pastvinu pro svých 25 krav. Má k dispozici 50 kusů plotu, každý je 1 m dlouhý. Zkusil si udělat dva návrhy, jak postupovat.


Jak často se v naší rodině nakupuje? Každý den děláte menší nákupy nebo jednou týdně se jezdí autem do super(hyper)marketu? Kdo u nás nakupuje? Kolik přibližně stojí nákup? Kolik asi utratíme za jídlo každý měsíc? Mají oba pozemky stejnou plochu, tj. obsahují stejný počet čtverečků ? Na čem plocha závisí ? Kdy bude plocha největší ? Musí být oplocený jen obdélník ? Je možné oplotit pozemek tak, aby byl čtvercový ? Žáci přemýšlí a kladou další otázky…. 2. Formulace hypotézy: Oba navržené pozemky mají různou plochu. Plocha závisí na poměru stran pozemku. Čím budou délky stran obdélníka podobnější, tím je plocha pozemku větší. Lze oplotit i jiné tvary (nákres). S danými dílci nelze oplotit pozemek tak, abychom získali čtverec. Žáci formulují svá tvrzení a nápady (hypotézy)…. 3. Ověřování hypotézy: -

Plánování a příprava: Připravíme si čtverečkový papír a tužku, aby bylo možné kreslit navržené tvary pozemků. Žáci plánují postup ověření hypotéz…

-

Provedení pokusu: Na čtverečkovaném papíře spočítáme čtverečky v obou navržených oplocených pozemcích. Zkoušíme nakreslit další varianty pozemků, tak aby plot okolo odpovídal padesáti dílcům (čtverečkům). Žáci zapisují, porovnávají a hledají…


-

Pozorování a zaznamenávání: Srovnáváme různé plochy a zkoušíme hledat pozemek s největší plochou. Žáci vyhledávají a třídí informace, vyhodnocují výsledky…

4. Prezentace výsledků -

Analýza dat: Všechna pozorování a výsledky o ploše (počet čtverečků) je třeba zapsat do společné tabulky, porovnáváme naše výsledky se zjištěními a výsledky ostatních spolužáků. Žáci formulují závěry, porovnávají s ostatními…

-

Návrat k hypotéze: Po debatě s ostatními se vrátíme ke své hypotéze a zapíšeme, zda se nám náš odhad potvrdil či vyvrátil a proč. Žáci hledají širší souvislosti…

-

Reflexe: Často pracujeme ve skupinách a výsledky prezentujeme před ostatními. Zkoušíme vysvětlit, proč a jak jsme vlastně prováděli zjišťování a k čemu je dobré jeho výsledky znát. Žáci vědí, co zjistili a k čemu mohou výsledky využít…

2.4. Literatura a WWW stránky týkající se BOV PAPÁČEK, M (ed.) Didaktika biologie v České republice 2010 a badatelsky orientované vyučování. České Budějovice: Pedagogická fakulta Jihočeské univerzity, 2010a. ISBN 978-80-7394-210-6. PAPÁČEK, M. Badatelsky orientované přírodovědné vyučování – cesta pro biologické vzdělávání generací Y, Z a alfa? SCIED, roč. 1, no.1, 2010b, pp.33-49, přístupné on line http://www.scied.cz/Default.aspx?ClanekID=330&PorZobr=1&PolozkaID=12 SAMKOVÁ, Libuše et al. Badatelsky orientované vyučování matematice. Scientia in educatione, v. 6, n. 1, jun. 2015. Přístupné on line: http://www.scied.cz/index.php/scied/article/view/154 VOTÁPKOVÁ, D., VAŠÍČKOVÁ, R., SVOBODOVÁ, H., SEMERÁKOVÁ, B. (ed.) Badatelé.cz: Průvodce pro učitele badatelsky orientovaným vyučováním. Praha: Sdružení TEREZA, 2013a. ISBN 978-80-87905-02-9. 8 TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

VOTÁPKOVÁ, D., VAŠÍČKOVÁ, R., SVOBODOVÁ, H., SEMERÁKOVÁ, B. (ed.) Bádálek: Badatelské lekce pro 4. - 5. ročník ZŠ. Praha: Sdružení TEREZA, 2013b. ISBN 978-80-87905-03-6. VOTÁPKOVÁ, D., VAŠÍČKOVÁ, R., SVOBODOVÁ, H., SEMERÁKOVÁ, B. (ed.) Bádálek: Badatelské lekce pro 6. - 9. ročník ZŠ Praha: Sdružení TEREZA, 2013c. ISBN 978-80-87905-04-3. www.badatele.cz www.generacey.cz www.kritickemysleni.cz www.terezanet.cz


2. Badatelsky orientovaná výuka matematiky Badatelsky orientovaná výuka je typická především v přírodovědných předmětech. Matematiku sice obvykle řadíme mezi přírodovědné předměty, ale zpravidla mezi oblast tzv. „neživé přírody“. Podobně jako klasická BOV i badatelsky orientovaná výuka v matematice (BOVM) má stejné kroky - začíná otázkou nebo problémem, následuje hledání odpovědi zpravidla pozorováním a zkoumáním, přičemž experiment je realizován často pouze myšlenkově či virtuálně. Typické je hledáme dalších, již dříve řešených a vyřešených problémů, které jsou podobné těm našim. (Samková L. et al. Badatelsky orientované vyučování matematice. Scientia in educatione,, 2015). Podle téhož autorského kolektivu badatelsky orientované vyučování matematiky ji neprezentuje jako hotový celek určený k osvojení, ale je založeno na následujících principech: -

úlohy, které mohou být různě interpretovatelné, mají více způsobů řešení více správných odpovědí,

-

poučení se z chyb (ta je chápána jako nedílná součást vyučovacího procesu),

-

dostatečná znalost základních dovedností a pojmů (na nichž je možné stavět),

-

propojování nově získaných poznatků s dříve nabytými znalostmi,

-

aplikace matematiky do jiných oborů (i humanitních),

-

podpora kooperativního i autonomního učení.

a zdrojem badatelského přístupu při výuce matematiky mohou být: -

přírodní jevy (Jak se mění stín předmětu osvětleného sluncem?);

-

technické problémy (Jak funguje GPS ?);

-

„každodenní“ problémy (Je daná sleva zboží skutečně výhodná?);

-

zpracování velkého množství údajů a informací (statistika, spolehlivost systémů);

-

umění (zlatý řez, symetrie v malířství a architektuře);

- vlastní matematické objekty (geometrické obrazce, magické čtverce).

10

TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

3. Pracovní listy pro badatelsky orientovanou výuku matematiky Jako příloha tohoto materiálu byly připraveny pracovní listy, které lze použít přímo ve výuce. Ve většině případů jsou inspirovány

materiálem projektu

Fibonacci: Inquiry Based

Mathematics Education for Gifted Children in Primary School, Volker Ulm (Ed.) – viz http://fibonacci.uni-bayreuth.de/resources/examples-of-activities/in-mathematics.html V uvedeném materiálu lze nalézt řadu dalších vhodných příkladů pro badatelsky orientovanou výuku matematiky na prvním stupni. V následujícím textu je stručně popsán jejich obsah s ohledem na metodiku badatelsky orientované vyučování.

Pracovní listy č. 1 a 2 – Magické čtverce Od dávných dob lidé byli fascinováni symbolikou čísel. Často měla jednotlivá čísla, číselné posloupnosti nebo vztahy mezi čísly náboženský, astrologický nebo politický význam. Řadu příkladů souvisejících s tématem magických čtverců lze také nalézt v literatuře a umění. Magický čtverec je speciální zápis vztahů mezi čísly. Čísla jsou uspořádána do čtverce tak, že všechny horizontální, vertikální a diagonální součty jsou stejné. Na prvním stupni lze toto téma řešit ve všech ročnících. Cílem je odhalit strukturu a vztahy, na kterých jsou magické čtverce jsou založeny. Práce s magickými čtverci nabízí možnosti při samostatném zkoumání a objevování vztahů. Při práci na jednotlivých úkolech žáci používají svá vlastní řešení problémů. Spolupráci mezi žáky lze jen doporučit. Zejména pro mladší žáky nebo pro uvedení tématu je vhodné použít karet s čísly 1 až 9. Vyhnete se tak opakovanému užití jedné číslice a špatné výsledky nemusí být přepisovány apod. Je poměrně obtížné si všimnout, že existuje pouze jedno řešení ve čtverci 3x3 (až na symetrické uspořádání), bývá nutné proto naznačit cestu.

11


Pracovní list č. 3 – Oplocení pastviny Tento pracovní list je věnován geometrii, konkrétně jde vztah mezi obvodem a obsahem různých mnohoúhelníků, především obdélníků. Děti na základní úrovni zjistí, že tvary se stejným obvodem mohou mít různé obsahy. Na vyšší úrovni se děti mohou pokusit najít různé plochy pro dané obvody. Následně je možné měnit a přizpůsobovat úlohy a jejich řešení v závislosti na úrovni matematických schopností žáků. Pro procvičení je připravena jednoduchá vstupní situace popisující oplocení pastviny. Žáci si tak mohou propojit výpočet s konkrétní situací a zobrazením úlohy. Pracovní list poskytuje žákům různé možnosti dalších vlastních úloh. Lze i změnit původní situaci.

Pracovní list č. 4 - Origami kapsa Na základě tohoto pracovního listu žáci skládají kapsy z listů papírů různých velikostí. Měří rozměry těchto kapes a objevují souvislost s rozměry listů papíru. Tímto způsobem propojují své geometrické a numerické myšlení. Formáty papírů řady A poskytují známé geometrické tvary z každodenního života, jejichž prostřednictvím děti mohou matematicky bádat. Vhodný pro skládání je papír standardního formátu A4. Žáci by měli získat všechna měření z vlastního skládání a měly by popsat hlavní postřehy pomocí slov "dvojnásobný", "polovina" a "půlit".

Pracovní list č. 5 - Geometrie prostřednictvím skládání papíru - liška Žáci se mají pomocí skládání origami naučit rozpoznat geometrické struktury, číst text s porozuměním, pochopit jednotlivé kroky a instrukce při skládání papíru a přemýšlet o jejich výsledcích, k čemuž slouží záznam o skládání lišky. Několik různých geometrických tvarů je výsledkem skládání papíru: trojúhelníky, čtverce,

lichoběžníky, obecné čtyřúhelníky.

Tyto tvary jsou většinou symetrické. Na tuto problematiku volně navazuje část Počítáme nohy zvířat, která se zaměřuje na aritmetiku. Nejprve žáci počítají násobky čtyř; pak řeší jednoduché problémy, které jsou založeny na sčítání. Poté následují příklady, kdy je hodnota součtu (počet nohou zvířat) dána. Záměrem je u žáků rozvíjet schopnost řešit problémy vypracováním různých strategií a experimentů. 12 TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Pracovní list č. 6 - Navrhuj, odhaduj, počítej, interpretuj, diskutuj Italský fyzik a nositel Nobelovy ceny Enrico Fermi (1901 - 1954) byl známý i pro svou zálibu pro kladení otázek zvláštní typu. Tyto otázky měly pomoci jeho studentům řešit problémy, které se zdály být neřešitelné. Obvykle zahrnovaly jednoduchý, často překvapující problém z každodenního života. Tento problém se zdál nemožný vyřešit z důvodu pouze omezeného množství dostupných informací. Řešení proto vyžadovalo odhad, shromažďování informací, zjednodušení, srovnání apod., aby bylo možné se přiblížit k hledanému výsledku. Navržené otázky v pracovním listě popisují problémy související s dětským světem, a to způsobem, který je pro žáky přístupný. Vzhledem k omezené dostupnosti potřebných číselných údajů, jsou žáci nuceni hledat informace a odhadovat, musí vymýšlet dílčí otázky, na které jsou schopní odpovědět apod. Tímto způsobem pak mohou přistoupit k řešení původního problému. Není přitom důležité ( a většinou ani není možné) najít jedno unikátní řešení. Toto téma se spíše zaměřuje na nalezení řádově odpovídající hodnoty pomocí vhodně navržených odhadů. Tyto aktivity pomáhají rozvíjet u žáků matematické dovednosti, protože děti: 

se naučí vidět matematické problémy v každodenním životě a vyzkouší si své schopnosti v matematickém modelování,



používají své dovednosti pro řešení problémů, které se zdají být neřešitelný, je tak povzbuzováno jejich sebevědomí a odvaha řešit složité problémy,



spojují své představy každodenního života s matematikou



dělají přibližné výpočty s čísly, pracují s řádově odpovídající hodnotou, jejíž znalost je pro mnohdy postačující



si zvyknou na odhady a práci s omezenou dostupnou informací,



naučí se hodnotit dostupnou informaci a uvědomí si, že různé předpoklady a odhady



mohou vést ke stejně "dobrému" řešení.


Pracovní list č. 7 - Analyzujeme data a kreslíme grafy Tato oblast je zařazena do programu kurzu, ačkoliv nepatří mezi klasická matematická témata prvního stupně ZŠ, neboť práce s různými daty a údaji hraje stále důležitější roli v současné společnosti, která je obklopena nadbytkem informací. Navíc základy statistického uvažování a zkoumání lze úspěšně zařadit do výuky již na prvním stupni. Prezentace je zaměřena na práci s různými typy dat, které žák snadno získá. Obdobně měřením nebo pozorováním okolního světa lze získat další vhodná data na zpracování (např. průběžné měření venkovní teploty v průběhu roku, evidence různých typů stromů v okolí školy, výška a hmotnost žáků), které pak následně lze podrobit zkoumání, které zahrnuje porovnání, sumarizaci, hledání vztahů a souvislostí a grafickou reprezentaci. Žáci nejprve pracují s již připravenými daty na pracovních listech nebo lze nachystat podobně vypadající plakát dobře viditelný pro všechny děti. Žáci by sami měli zkusit odpovědět na dané otázky. Lze doplňovat dalšími podobnými otázkami, aby se naučili správně chápat pojmy „nejčastější“,

„největší hodnota“, „více než“, „méně než“, „alespoň“, „nejvýše“ apod.

Pozornost je nutné věnovat možné nejednoznačnosti nejčastěji (tzv. modus) nebo nejméně často se vyskytující hodnotě. Je vhodné ukázat takový příklad, který ukazuje, že všechny kategorie výsledků jsou stejně možné.


Kurz DVPP Badatelsky orientovaná výuka matematiky na 1. stupni ZŠ Pracovní listy Akreditace MŠMT č. j. Č.j.: MSMT- 17532/2014-1-612 ze dne 24.7.2014

Projekt EduTech: Vzdělávání pro efektivní transfer technologií a znalostí v přírodovědných a technických oborech CZ.1.07/2.3.00/45.0011

Autor: Mgr. Helena Picková TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Pracovní listy a jejich metodika jsou ve většině případů jsou inspirovány materiálem projektu Fibonacci: Inquiry Based Mathematics Education for Gifted Children in Primary School, Volker Ulm (Ed.) – viz http://fibonacci.uni-bayreuth.de/resources/examples-of-activities/in-mathematics.html V uvedeném materiálu lze nalézt řadu dalších vhodných příkladů a pracovních listů pro badatelsky orientovanou výuku matematiky na prvním stupni.


Metodické pokyny k pracovním listům č. 1 a 2 –Magické čtverce

Úvod Od dávných dob lidé byli fascinováni symbolikou čísel. Často měla jednotlivá čísla, číselné posloupnosti nebo vztahy mezi čísly náboženský, astrologický nebo politický význam. Řadu příkladů souvisejících s tématem magických čtverců lze také nalézt v literatuře a umění. Magický čtverec je speciální zápis vztahů mezi čísly. Čísla jsou uspořádána do čtverce tak, že všechny horizontální, vertikální a diagonální součty jsou stejné. Na prvním stupni lze toto téma řešit ve všech ročnících. Cílem je odhalit strukturu a vztahy, na kterých jsou magické čtverce jsou založeny. Práce s magickými čtverci nabízí vzrušující možnosti při samostatném zkoumání a objevování vztahů. Při práci na jednotlivých úkolech žáci používají svá vlastní řešení problémů. Učitel pak má možnost diskutovat jednotlivé techniky s každým dítětem zvlášť nebo dohromady s celou třídou.

Podstata magických čtverců Čísla v těchto magických čtvercích jsou uspořádána tak, aby součty v každém řádku, sloupci a úhlopříčce byly stejné. Tento součet se nazývá magický součet. Chcete-li najít magický součet, sečtěte všechna čísla v magickém čtverci a pak vydělte tento součet číslem odpovídajícímu počtu řádků nebo sloupců. Například, pokud pracujete se čtvercem 3x3 a čísly od 1 do 9: 

Sečtěte čísla: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8+ 9 = 45,



vydělte součet počtem řádků: 45: 3 =15,



magický součet je 15.

Nejmenší možný magický čtverec s různými čísly je čtverec 3x3. Pokud se použijí čísla od 1 do 9, existuje pouze jedno řešení, které může být měněno symetrickým posunutím. Níže jsou uvedeny příklady tohoto, což je také řešením prvního pracovního listu.


2

9

4

2

7

6

4

9

2

4

3

8

7

5

3

9

5

1

3

5

7

9

5

1

6

1

8

4

3

8

8

1

6

2

7

6

6

1

8

6

7

2

8

1

6

8

3

4

7

5

3

1

5

9

3

5

7

1

5

9

2

9

4

8

3

4

4

9

2

6

7

2

Abychom pochopili, proč neexistuje žádné jiné řešení pro čtverec typu 3x3 s čísly od 1 do 9, uvažujte všechny různé způsoby, jak můžete sečíst tři různá čísla, aby se rovnala 15. Pokud budeme postupovat systematicky, dojdeme k následujících osmi součtům: 1 + 5 + 9 = 1 + 6 + 8 = 2 + 4 + 9 = 2 + 5 + 8 = 2 + 6 + 7 = 3 + 4 + 8 =3 + 5 + 7 = 4 + 5 + 6 = 15. Těchto osm součtů je potřeba nalézt v každé magickém čtverci 3x3 (tři v řádcích, tři v sloupcích a dva v úhlopříčkách). Pomocí těchto osmi různých součtů odhalíme strukturu magického čtverce. Vidíme, že číslo 5 se v nich vyskytuje nejčastěji (celkem čtyřikrát). Důsledkem toho musí být ve středu čtverce – vyskytne se pak v jednom řádkovém, jednom sloupcovém a dvou diagonálních součtech. Dále si všimneme, že sudá čísla se vyskytují v součtech třikrát. Musí být proto v rozích čtverců – budou v jednom řádkovém, jednom sloupcovém a jednom diagonálním součtu. Nakonec lichá čísla se v součtech vyskytují jen dvakrát, proto musí být ve středu obvodových řádků a sloupců. Budou vždy v jednom horizontálním a jednom vertikálním součtu, ale nejsou součástí diagonály.

Jako další variantu lze zkoumat čtverce 3x3 s jinými čísly. Existují magické čtverce, které obsahují pouze sudá nebo lichá čísla? Odpověď je ano, protože stačí zdvojnásobit každé číslo (od 1 do 9) a s nimi je možné zkonstruovat analogicky magický čtverec. Podobně pro čtverec jen s lichými čísly, stačí odečíst 1 po konstrukci „sudého“ čtverce.


Některé obecné strategie, které slouží k vytvoření nových magických čtverců z již existujících: 

Přičíst nebo odečíst číslo od každé položky v magickém čtverci.



Vynásobit nebo vydělit všechny položky čtverce nějakým číslem.



Sečíst dva magické čtverce.

Tím zajistíte změnu magického součtu. Poznámky a rady Struktura připravených pracovních listů je zaměřena na reflexi a nezávislé objevování. Z tohoto důvodu by měli žáci dostatek času při práci na tomto tématu. Spolupráci mezi žáky lze doporučit. Pracovní list je vhodné na začátku vysvětlit. Konkrétní pořadí úkolů není nutné dodržet. Zejména pro mladší žáky nebo pro uvedení tématu je vhodné použít karet s čísly 1 až 9. Vyhnete se tak opakovanému užití jedné číslice a špatné výsledky nemusí být přepisovány apod. Je poměrně obtížné si všimnout, že existuje pouze jedno řešení ve čtverci 3x3 (až na symetrické uspořádání), bývá nutné naznačit cestu.


Pracovní list 1/1 - Matematika

Téma: Magické čtverce pro začátečníky Magické čtverce měly speciální význam v mnoha vyspělých starověkých kulturách. Stará čínská legenda vypráví, že magický čtverec s názvem Lo Shu byl přinesen k císaři želvou. Na jejím krunýři byla čísla od jedné do devíti uspořádána do třech řádků a sloupců tak, že součet čísel v každém řádku, sloupci a na diagonále byl stejný - 15.

1. Vyplň následující magické čtverce tak, aby součet čísel v každém řádku, sloupci a uhlopříčce (diagonále) byl 15. Každé z čísel 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 užij pouze jednou. 2

2 5

6

4

3

1

6

7

5 4

8

2

8

7

8

4 9

1

7

2

5

4 3

4

1

4

1

9

9



Téma: Magické čtverce pro začátečníky 2. Zkoumej magické čtverce podrobněji. Čeho si všimneš ?

3. Které číslo je vždy na stejném místě? Přemýšlej proč?

4. Podívej se podrobněji na magické čtverce a zapiš si čísla, která jsou v rozích. Čeho si u nich všimneš ? Mají nějakou společnou vlastnost ? Jak se těmto číslům říká ?

5. Podívej se na zbývající čísla (ve středu každé strany) a zapiš si je. Čeho si u nich všimneš ? Mají nějakou společnou vlastnost ? Jak se těmto číslům říká?

6. Nyní si zapiš pořadí čísel z jednotlivých krajních malých čtverečků. Pořadí určuj tak, že začneš v levém horním rohu a budeš pokračovat ve směru hodinových ručiček. Co jsi zjistil ?

7. Kolik existuje různých řešení pro 3x3 magické čtverce s čísly 1 až 9? Zkus zdůvodnit.



Téma: Vytváření magických čtverců 1. Vytvoř číselný čtverec: Napiš postupně čísla od 1 do 9, začni v levém horním rohu číslem 1 a pak pokračuj až k číslu 9 v pravém dolním rohu.

2. Sečti čísla v každém řádku a sloupci a obou diagonálách. Zapiš výsledky do kroužků. Čeho si všimneš?

3. Sečti výsledky (součty) všech tří řádků. Sečti výsledky všech tří sloupců. Stejně tak sečti čísla od 1 do 9. Co zjistíš ? Pokus se to vysvětlit.



Téma: Vytváření magických čtverců 4. Podívej se podrobněji na čísla ve čtverci :  Která čísla jsou zapsána v rozích čtverce ? Jak se nazývají tato čísla?  Která čísla najdete ve středech obvodových stran čtverce? Jak se nazývají tato čísla?  Které číslo se nachází ve středu čtverce ?

5. Změň číselný čtverec: Vymaž všechna lichá čísla v rozích a ponechej 5 ve středu. Přesuň potom všechna sudá čísla ve směru hodinových ručiček do rohů (2 vpravo, 6 dolů, 8 doleva, 4 nahoru). Sečti čísla v obou úhlopříčkách. Co zjistíš ?



Téma: Vytváření magických čtverců 6. Nyní zapiš lichá čísla 1, 3, 7, 9 do čtverce tak, aby součet každého řádku a každého sloupce byl stejný jako součet v úhlopříčkách.

7. Přesuň všechna sudá čísla ve čtverci ve směru hodinových ručiček o dvě, čtyři a šest míst. Kam potom vložíš lichá čísla ?

Čeho si všimneš? Tyto číselné čtverce jsou nazývány "magické čtverce". Čísla v takovém čtverci jsou uspořádána tak, že součty v každém řádku, sloupci a v úhlopříčce jsou si rovny. Tento výsledek se nazývá "magický součet".


Metodické pokyny k pracovnímu listu č. 3 – Oplocení pastviny Úvod Tato část je věnována geometrii, konkrétně jde vztah mezi obvody a plochami různých mnohoúhelníků. Děti si tak mohou procvičit a rozšířit své znalosti geometrických tvarů. Přitom mohou zjistit, jak obsah a obvod spolu souvisí. Na základní úrovni zjistí, že tvary se stejným obvodem mohou mít různé obsahy. Na vyšší úrovni se děti mohou pokusit najít různé plochy pro dané obvody. Následně je možné měnit a přizpůsobovat úlohy a jejich řešení v závislosti na úrovni matematických schopností žáků. Tato geometrická témata jsou včleněna do jednoduché situace popisující oplocení pastviny. Žáci si tak mohou propojit výpočet s konkrétní situací a zobrazením úlohy. Pracovní list poskytuje žákům různé možnosti dalších vlastních úloh. Lze i změnit původní situaci.

Poznámky a rady Cílem pracovního listu je použití vhodného vizuálního nástroje pro vytváření geometrického myšlení žáků. Děti potřebují pro kreslení čtverečkovaný papír a pravítko. Pokud jde o měření, je vhodné použít vztah, že jedna strana čtverečku na papíře odpovídá jednomu metru ve skutečnosti. Děti nepotřebují znát jednotku metr čtverečný, protože mohou ukazovat plochu jako počet čtverců. Nicméně je ale možné, aby učitel zavedl jednotku metr čtverečný. Alespoň na začátku by žáci měli pracovat rovnými čárami a pravými úhly podél mřížky čtverečkovaného papíru. Při další práci je možné opustit toto pravidlo a použít půlky čtverců (nebo úhly 45 °). Všimněte si, že počet plotových dílů je 50 a číslo 50 není dělitelné 4. Z tohoto důvodu není čtverec řešením v prvních cvičeních. Po dokončení prvního cvičení by měla třída diskutovat o tématu s cílem objasnit slovně problém týkající se velikosti pastviny.



Téma: Oplocení pastviny Zemědělec Josef Hrouda chtěl oplotit pastvinu pro svých 25 krav. Má k dispozici 50 kusů plotu, každý je 1 m dlouhý. 1. Srovnej jeho první dva plány. Čeho si všimneš ? Vysvětli !

2. Přemýšlej o tom, jak může zemědělec pastvinu pro své krávy oplotit a načrtni své vlastní návrhy pro něj na čtverečkový papír. Uvažuj, ve kterých případech mají krávy dostatek prostoru a ve kterých případech ho mají málo.



Téma: Oplocení pastviny 3. Zemědělec Hrouda by chtěl mít dvakrát tak velkou oplocenou pastvinu než byla jeho původní. Kolik dalších kusů plotu musí koupit ?

4. Na okraji oplocené pastviny jsou 4 stromy, které nechce mít Hrouda na svém pozemku a chce proto pozemek změnit. Pro ohraničení každého stromu potřebuje 4 kusy plotu. Nakreslete možné tvary pastviny.

5. Zemědělec Hrouda by chtěl rozdělit svou pastvinu do dvou částí, které jsou spojeny cestou, která nebude širší než 2 m. Najděte různá řešení. Uvažujte, ve kterých případech budou mít krávy dostatek prostoru a ve kterých případech ho budou mít málo.

6. Zemědělec Hrouda koupil dalších 10 krav. Jak by měl změnit svou pastvinu (kolik kusů plotu koupit) , aby pro každou krávu měl tolik místa jako před nákupem.


Metodické pokyny k pracovnímu listu č. 4 - Origami kapsa Úvod V tomto pracovním listě žáci skládají kapsy z listů papírů různých velikostí. Měří rozměry těchto kapes a objevují souvislost s rozměry listů papíru. Tímto způsobem se propojí geometrické a numerické myšlení. Formáty papírů řady A poskytují známé geometrické tvary z každodenního života, jejichž prostřednictvím děti mohou matematicky bádat. Základní poznatky Papír ve formátu A se dá změnit na následující menší A-formát rozpůlením originálu. Je dobré si všimnout, že všechny formáty A jsou podobné. Konkrétně všechny formáty mají stejný poměr délky a šířky listu papíru - odmocninu ze dvou. Přibližně to znamená, že délka je 1,41 krát větší než je šířka. Plocha papíru A0 je 1 m2. V následující tabulce jsou uvedeny rozměry formátů A: Délka

Šířka

A0

118,9 cm

84,1cm

A1

84,1 cm

59,5 cm

A2

59,5 cm

42,0 cm

A3

42,0 cm

29,7 cm

A4

29,7 cm

21,0 cm

A5

21,0 cm

14,9 cm

A6

14,9 cm

10,5 cm

Pokud složíte kapsu podle instrukcí z listu papíru formátu A4, dostane kapsu o velikosti A6. Z papíru A5 dostanete kapsu velikosti A7 … Tady, každá kapsa je o polovinu kratší a o polovinu užší než použitý papír pro skládání. Poznámky a rady Žáci dostanou pokyny na skládání na pracovním listu nebo lze připravit plakát s instrukcemi viditelný pro všechny. Vhodný pro skládání je papír standardního formátu A4. Žáci by měli získat všechna měření z vlastního skládání a měly by popsat hlavní postřehy pomocí slov "dvojnásobný", "polovina" a "půlit". TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY


Téma: Origami kapsa Návod na složení: Origami kapsa

1. Přelož na polovinu.

3. Přelož horní okraj na polovinu až k okraji trojúhelníka ...

5. Porovnej svou práci s obrázkem.

2. Rozlož zpátky. Přelož spodní levý roh do středu, udělej to samé s pravým horním rohem.

4. ... a udělej to samé se spodním okrajem.

6. Přeložte horní levý roh podle prostřední linie (viz obr.) a ...



Téma: Origami kapsa

7. ... přeložte stejně spodní pravý roh podle prostřední linie.

8. Zasuň oba rohy do trojúhelníkových kapsiček.

Tvoje kapsa je hotová !



Téma: Origami kapsa Záznam o skládání kapsy: 1. Na co sis musel dát pozor při skládání kapsy?

2. Který krok z návodu na skládání je nejtěžší? Proč?

3. Co by se dalo dát do kapsy?

4. Jak jsi byl úspěšný při skládání kapsy?

Cvičení zaměřená na měření a kreslení 1. Změř rozměry kapsy a dalšího listu papíru určeného na skládání a vyplň tabulku: Délka

Šířka

List papíru na skládání Kapsa Porovnej výsledky měření listu papíru a kapsy. Čeho sis všimnul ?

2. Udělej náčrtek kapsy (přední a zadní strana) na opačnou stranu tohoto pracovního listu.



Téma: Origami kapsa Skládaná kapsa se stává menší a menší Nejprve změř rozměry listu papíru než začneš skládat a potom rozměry kapsy. Zapiš svá měření do tabulky: Poznámky k práci List papíru 1

Délka

Šířka

Začni s listem papíru rozměru A4, měř a skládej

Kapsa 1 List papíru 2 Kapsa 2 List papíru 3 Kapsa 3 List papíru 4 Kapsa 4 List papíru 5 Kapsa 5 List papíru 6 Kapsa 6

A4 papír přelož a polovinu odstřihni změř a slož novou kapsu. Zbylou polovinu A4 znovu přelož a polovinu odstřihni měř a skládej kapsu. Zbytek papíru znovu přelož, polovinu odstřihni a měř a skládej. Zbytek papíru opět přelož, polovinu odstřihni a měř a znovu skládej. Zkus ještě složit nejmenší kapsu. Jde to ještě ?

Zkus srovnat svá měření. Cos zjistil ? Vysvětli.


Metodické pokyny k pracovnímu listu č. 5 - Geometrie prostřednictvím skládání papíru - liška Úvod Většina dětí zná z pohádek a bajek chytrou lišku. Můžete propojit nějaký tento příběh o chytré lišce se skládáním papírové lišky (origami), které je náplním tohoto pracovního listu. Skládání papírů je velmi motivující pro žáky při budování geometrické představivosti, podporuje také rozvoj motoriky, přesnou práci a strukturované myšlení. Základní poznatky Žáci se mají pomocí skládání origami naučit rozpoznat geometrické struktury, číst text s porozuměním, pochopit jednotlivé kroky a instrukce při skládání papíru a přemýšlet o jejich výsledcích, k čemuž slouží záznam o skládání. Několik různých geometrických tvarů je výsledkem skládání papíru: trojúhelníky, čtverce, lichoběžníky, obecné čtyřúhelníky. Tyto tvary jsou většinou symetrické. Na tuto problematiku volně skrz lišku navazuje část Počítáme nohy zvířat, která se zaměřuje na aritmetiku a řešení problémů. Nejprve žáci počítají násobky čtyř; pak řeší jednoduché problémy, které jsou založeny na sčítání. Poté následují příklady, kdy je hodnota součtu (počet nohou zvířat) dána. Záměrem je u žáků rozvíjet schopnost řešit problémy vypracováním různých strategií a experimentů. Poznámky a rady Žáci dostanou pokyny na skládání na pracovním listu nebo lze připravit plakát s instrukcemi viditelný pro všechny. Pro skládání potřebují čtvercový kus papíru, který má stranu dlouhou cca 15 až 20 cm. Práce může být strukturováná následujícím způsobem: 

Každý žák složí lišku samostatně na základě pokynů ke skládání.



Udělejte si výstavku všech složených lišek.



Žáci vyplní záznam o skládání.



Přemýšlejte společně nad procesem skládací (obtíže, vhodné rady atd.)



Zkoumejte společně nalezené geometrické tvary a jejich symetrii.



Žáci poté rozloží lišku a studují podrobně rozložený papír; snaží se rozpoznat určité tvary. Zjištěné výsledky můžete diskutovat společně.



Téma: Geometrie prostřednictvím skládání papíru liška (Origami) Návod na složení:

1. Papír ve tvaru čtverce přelož tak, aby vznikl trojúhelník.

3. V takto vzniklém trojúhelníku vezmi přední levý dolní roh a přelož papír dopředu a nahoru, podobně zadní levý dolní roh přelož dozadu a nahoru.

2. Přehni pravý roh do levého.

4. Otoč proti směru hodinových ručiček.



Téma: Geometrie prostřednictvím skládání papíru liška (Origami)

5. Otevřené hrany jsou nyní na levé straně.

6. Přelož pruh doprava.

7. Otevři přeložený pás uprostřed a měl bys vidět hlavu a uši lišky, zamáčkni nos směrem dolů.

8. Přehni pravý roh a vytvoř její ocas



Téma: Geometrie prostřednictvím skládání papíru liška (Origami) Záznam o skládání lišky: 1. Podívej se na svou lišku podrobně. Co jsi zjistil ?

2. Na cos dával nejvíce pozor při skládání lišky ?

3. Jaký krok skládání byl nejtěžší ?

4. Jak se ti podařilo lišku složit ?

5. V návodu pro skládání lišky můžeš objevit mnoho různých tvarů. Které z nich znáš a kolik jich tam je?

Trojúhelníky

Čtverce

Jiné čtyřúhelníky

Obrázek 1 Obrázek 2 Obrázek 6 Obrázek 8



Téma: Geometrie prostřednictvím skládání papíru liška (Origami) Počítej nohy zvířat: 1. Kolik nohou mají 1, 2, 3, ... lišky mají ? Zapiš si to a popiš jak se čísla mění Lišky

1

2

3

4

5

6

7

8

Nohy

2. Hladová liška se plíží kolem zahrady, kde vidí tři slepice. Kolik nohou mají dohromady liška a slepice ? 3. Na dvoře jsou však kromě tří slepic ještě dvě kachny a čtyři husy. Kolik nohou mají všechna zvířata dohromady? Kresli a počítej.

4. Na zahradě u sousedů mají 4 slepice, tři kachny, dvě husy, dvě kozy. Liška, se stále plíží kolem. Kolik nohou mají všechna zvířata dohromady?

5. Liška vleze do zahrady k sousedům, některá zvířata ji zpozorují a uprchnou do stodoly. Všechna zvířata ve dvoře nyní mají dohromady 16 nohou. Která zvířata by mohla být stále na dvoře ? Přemýšlej o různých možnostech.

6. Po chvíli se některá zvířata vrátí a na dvoře je dvakrát tolik slepic než kachen a dvakrát tolik kachen než koz. Liška je tam pořád také. Všechna zvířata mají dohromady 36 nohou. Kolik zvířat je na dvoře ?


Metodické pokyny k pracovnímu listu č. 6 - Navrhuj, odhaduj, počítej, interpretuj, diskutuj Úvod Italský fyzik a nositel Nobelovy ceny Enrico Fermi (1901 - 1954) je známý i pro svou zálibu pro kladení otázek zvláštní typu. Tyto otázky měly pomoci jeho studentům řešit problémy, které se zdají být neřešitelné. Fermiho otázka obvykle zahrnuje jednoduchý, často překvapující problém z každodenního života. Tento problém se zdá být nemožné řešit z důvodu pouze omezeného množství dostupných informací. Řešení proto vyžadují odhad, shromažďování informací, zjednodušení, srovnání apod., aby bylo možné se přiblížit k hledanému výsledku. Základní poznatky Fermiho otázky popisují problémy související s dětským světem, a to způsobem, který je pro žáky přístupný. Vzhledem k omezené dostupnosti potřebných číselných údajů, jsou žáci nuceni hledat informace a odhadovat, musí vymýšlet dílčí otázky, na které jsou schopní odpovědět apod. Tímto způsobem pak mohou přistoupit k řešení původního problému. Není přitom důležité ( a většinou ani není možné) najít jedno unikátní řešení. Toto téma se spíše zaměřuje na nalezení řádově odpovídající hodnoty pomocí vhodně navržených odhadů. Tyto aktivity pomáhají rozvíjet u žáků matematické dovednosti, protože děti: se naučí vidět matematické problémy v každodenním životě a vyzkouší si své schopnosti v matematickém modelování, 

používají své dovednosti pro řešení problémů, které se zdají být neřešitelný, je tak povzbuzováno jejich sebevědomí a odvaha řešit složité problémy,



spojují své představy každodenního života s matematikou



dělají přibližné výpočty s čísly, pracují s řádově odpovídající hodnotou, jejíž znalost je pro mnohdy postačující



si zvyknou na odhady a práci s omezenou dostupnou informací,



naučí se hodnotit dostupnou informaci a uvědomí si, že různé předpoklady a odhady



mohou vést ke stejně "dobrému" řešení.


Poznámky a rady Pracovní list obsahuje několik otázek, které by měly být dostupné pro žáky čtvrtých a pátých ročníků. Některé vybrané otázky mohou být položeny i mladším žákům, ale je vhodné je zformulovat písemně na tabuli. Kromě toho lze problémy zjednodušit (např. nahradit žáky ve škole žáky ve třídě). Doporučuje se střídat mezi individuální prací, prací ve dvojicích nebo v malých skupinách a diskusí nápadů ve třídě, zejména v případě, že děti pracují na různých problémech.



Téma: Navrhuj, odhaduj, počítej, interpretuj, diskutuj Vyberte si ve dvojici jednu z následujících otázek a pokuste se na ní vzájemně odpovědět. Svůj výsledek se pokus jasně, reálně a srozumitelně zdůvodnit. Pokud se výsledky ve dvojici liší, zkuste zjistit proč. 1. Kolik metrů špaget snědí všechny děti z tvé třídy během oběda? 2. Jak často se písmeno "e" vyskytuje ve tvé oblíbené knize? 3. Tvoje srdce nepřetržitě „tluče“. Kolikrát „tlouklo“ ve tvém životě ? 4. Kolik fotbalových míčů se vejde na fotbalové hřiště ve tvém městě ? 5. Kolik litrů vzduchu ji vdechl ve svém dosavadním životě ? 6. Kolik rolí (metrů) toaletního papíru bylo použito ve tvé škole za jeden školní rok? 7. Pokud všichni žáci ve škole dají své učebnice na jednu hromadu, jak vysoká bude tato věž z knih? 8. Představ si, že všechna auta lidí z města parkují v jedné řadě. Jak dlouhá bude tato řada aut ? 9. Kolik času jsi za svůj život prospal ? 10. Kolik kilometrů jsi pěšky prošel od narození ? 11. Kolik pitné vody spotřebuješ ty a tvoje rodina doma během roku ? 12. Kolik hodin ses ve svém životě díval na televizi ? Vytvořit podobné otázky a snaž se na ně odpovědět.


Metodické pokyny k pracovnímu listu č. 7 - Analyzujeme data a kreslíme grafy Úvod Tato oblast je zařazena do programu kurzu, ačkoliv nepatří mezi klasická matematická témata prvního stupně ZŠ, neboť práce s různými daty a údaji hraje stále důležitější roli v současné společnosti, která je obklopena nadbytkem informací. Navíc základy statistického uvažování a zkoumání lze úspěšně zařadit do výuky již na prvním stupni. Prezentace je zaměřena na práci s různými typy dat, které žák snadno získá. Obdobně měřením nebo pozorováním okolního světa lze získat další vhodná data na zpracování (např. průběžné měření venkovní teploty v průběhu roku, evidence různých typů stromů v okolí školy, výška a hmotnost žáků), které pak následně lze podrobit zkoumání, které zahrnuje porovnání, sumarizaci, hledání vztahů a souvislostí a grafickou reprezentaci. Poznámky a rady Žáci nejprve pracují s již připravenými daty na pracovních listech nebo lze nachystat podobně vypadající plakát dobře viditelný pro všechny děti. Žáci by sami měli zkusit odpovědět na dané otázky. Společně by se o výsledcích diskutovalo. Lze doplňovat dalšími podobnými otázkami, aby se naučili správně chápat pojmy „nejčastější“, „největší hodnota“, „více než“, „méně než“, „alespoň“, „nejvýše“ apod. Pozornost je nutné věnovat možné nejednoznačnosti nejčastěji (tzv. modus) nebo nejméně často se vyskytující hodnotě. Je vhodné ukázat takový příklad, který ukazuje, že všechny kategorie výsledků jsou stejně možné. Na obdobných datech týkající se třídy vyzkoušejte návrhy jednoduchých hypotéz. Některé možnosti jsou uvedeny na pracovních listech. Nejlépe pomocí společně vytvořeného grafu proveďte ověření jednotlivých hypotéz a výsledky diskutujte. V některých situacích je hypotéza a ověření na úrovni žáků prvního stupně poměrně složitá – např. „Zkus přemýšlet, pokud bys třídu rozdělil zvlášť na dívky a zvlášť na chlapce, zdali je pravdivá obecná domněnka, že dívčí jména jsou ve třídě delší než chlapecká.“ Je vhodné si vytvořit dva grafy a jednotlivé rozdíly diskutovat. Situace je o to komplikovanější, pokud je ve třídě rozdílný počet dívek a chlapců, nezapomínejte na to !!!



Téma: Analyzujeme data a kreslíme grafy Ve třídě je 16 žáků, společně s paní učitelkou si hráli se svými jmény a vytvořili následující graf:

1) Jaké jméno je ve třídě nejdelší ? Znáš ještě delší jméno ?

2) Jak dlouhá jména jsou ve třídě nejčastější ? Jak dlouhá jména jsou ve třídě naopak nejméně častá ?



Téma: Analyzujeme data a kreslíme grafy 3) Je více jmen, která mají méně než šest písmen, nebo těch, která mají více než šest písmen ? Zdůvodni.

4) Zajímej se o první písmeno jmen. Navrhni, které písmeno se vyskytuje nejčastěji. Je potřeba změnit graf, abys svůj návrh mohl(a) dobře prozkoumat ? Jakým způsobem bys graf změnil(a) ? Proveď.

5) Zkus navrhnout (vyslov hypotézu), jak dlouhé jméno je v tvé třídě nejčastější, které jméno je nejdelší a které nejkratší.

6) Svůj návrh společně se třídou prověř podobně jak je uvedeno na obrázku. Zkus přemýšlet, pokud bys třídu rozdělit zvlášť na dívky a zvlášť na chlapce, zdali dojdeš k podobným závěrům. Pokud se výsledky budou lišit, zkus přemýšlet na domněnkou, že dívčí jména jsou delší.



Téma: Analyzujeme data a kreslíme grafy V jiné třídě si žáci s paní učitelkou chtěli udělat přehled, v jakých měsících mají narozeniny a vytvořili proto následující graf:

1) Ve kterém měsíci bude třída slavit narozeniny nejčastěji ?

2) Můžeme říci nejčastější počet narozenin nebude jen v jednom měsíci ? Zkus navrhnout, jak by se měl graf změnit (přesuň nějaká jména), kdybychom řekli, že nejčastěji (3x) se narozeniny vyskytují v dubnu, listopadu, červnu.



Téma: Analyzujeme data a kreslíme grafy 3) Zkus navrhnout ve kterém ročním období (uvažuj, že prosinec, leden a únor je zima, březen, duben a květen je jaro, červen, červenec a srpen je léto, září, říjen a listopad je podzim) se narozeniny ve třídě vyskytují narozeniny nejčastěji a kdy naopak nejméně často. Vytvoř vhodný graf a svůj návrh ověř. Seřaď roční období podle počtu narozenin ve třídě.

4) Zkus ve třídě navrhnout (vyslovte hypotézu), ve kterém měsíci (ročním období) ve vaší třídě jsou nejčastěji narozeniny a ve kterém nejméně často.

5) Svůj návrh společně se třídou prověř podobně, jak je uvedeno na obrázku. Zkus přemýšlet, pokud bys třídu rozdělit zvlášť na dívky a zvlášť na chlapce, zdali dojdeš k podobným závěrům.



Téma: Analyzujeme data a kreslíme grafy V poslední třídě žáci se paní učitelkou zajímali o to, kolik sourozenců mají a svá zjištění zapsali do následujícího grafu :



Téma: Analyzujeme data a kreslíme grafy 1) Kdo má nejvíce sourozenců, kdo nejméně a kdo má alespoň dva sourozence ?

2) Jaký počet sourozenců je nejčastější ? Navrhni způsob jak připravit graf, aby se na tuto otázku nejsnadněji odpovědělo.

3) Je mezi sourozenci více kluků nebo holek ? Navrhni vhodný způsob, jakým to zjistíš, aby tě soused mohl zkontrolovat.

4) Zkuste ve třídě navrhnout (vyslovte hypotézu), kdo má nejvíce sourozenců a jaký počet sourozenců je nejčastější.

5) Svůj návrh společně se třídou prověř podobným způsobem, jak je uvedeno na obrázku. Zkus přemýšlet, pokud bys třídu rozdělil zvlášť na dívky a zvlášť na chlapce, zdali dojdeš k podobným závěrům.


Kurz DVPP Badatelsky orientovaná výuka matematiky na 1. stupni ZŠ. Studijní materiál

Recommend Documents