KURVA CATENARY DAN APROKSIMASI PARABOLA, EVALUASI PERBEDAAN TITIK KOORDINAT DAN PANJANG BUSUR

KURVA CATENARY DAN APROKSIMASI PARABOLA, EVALUASI PERBEDAAN TITIK KOORDINAT DAN PANJANG BUSUR Entjie Mochamad Sobbich1 ABSTRACT This article describes format of a curve of cable when they are free hanging under gravity, held on two tips at same elevation. The curve is known as a catenary. Description was developed started by analysis of forces equilibrium working on the cable lasting on getting general solution, and the particular solution as well, of the differential equation valid for the curve. McLaurin series for the curve of catenary was a power series which the first term is a quadratic function. The quadratic approximation for the curve was plotted, coordinate points found, and the arc length was calculated, then compared to the catenary. At last, reduction on the difference of coordinate points was done. Keywords: catenary curve, McLaurin series, parabolic curve, coordinate point, arc length

ABSTRAK Artikel ini membahas tentang bentuk kelengkungan kurva dari sebuah kabel yang menggantung bebas dibawah pengaruh gravitasi, dipegang pada dua ujung dengan elevasi sama tinggi. Kurva ini selanjutnya dikenal sebagai catenary. Uraian dikembangkan bermula dari analisis kesetimbangan gaya-gaya yang berpengaruh pada kabel hingga akhirnya didapatkan solusi-umum maupun solusi-khusus terhadap persamaan diferensial yang berlaku pada kelengkungan kurva tersebut. Penderetan McLaurin dari kurva catenary menghasilkan deret pangkat dengan suku pertama berbentuk fungsi kuadrat. Hasil aproksimasi kuadratis di-plot, titik-titik koordinat ditentukan dan dilakukan kalkulasi panjang busur, kemudian dilakukan komparasi terhadap catenary. Akhirnya, dilakukan reduksi perbedaan yang ada. Kata kunci: kurva catenary, deret McLaurin, kurva parabola, titik koordinat, panjang busur

                                                             1

Pusat Penelitian Kalibrasi Instrumentasi dan Metrologi – LIPI, Kompleks PUSPIPTEK- Serpong, Tangerang, [email protected]

100

Jurnal Mat Stat, Vol. 9 No. 2 Juli 2009: 100-107 

PENDAHULUAN Perkembangan dunia ICT (teknologi informasi dan komunikasi) ternyata diikuti oleh semakin banyaknya kabel-kabel transmisi yang dapat kita lihat di berbagai tempat. Kabel-kabel ini ada yang disembunyikan sedemikian rupa dari pandangan mata kita agar nampak rapi. Namun, ada pula yang dibiarkan merentang kesana-kemari di atas kita ditopang oleh tiang-tiang listrik pada ketinggian tertentu. Pada kenyataannya, kabel, tali dan juga berbagai benda lainnya seperti kawat dan rantai ketika direntang bebas horisontal dengan cara dipegang atau ditopang pada dua ujungnya, maka kabel akan membentuk kurva lengkung ke bawah, kurva lengkung ini selanjutnya terkenal dengan sebutan catenary (Rubeis, 2001). Layaknya sebuah kurva parabola, kurva catenary adalah sebuah kelengkungan yang simetri tehadap sumbu tegak yang melewati titik tengah di antara kedua penopangnya. Ini berarti jika jarak horizontal dua tiang penopang adalah 20 m, maka titik terendah dari kelengkungan kabel terjadi pada jarak 10 m dari tiang yang manapun. Para ahli (Paul Kunkel, 2006) pada awalnya menduga kelengkungan ini adalah kurva parabola (kuadratis). Namun, pembuktian berikutnya menunjukkan bahwa bukan parabola, tetapi fungsi dari cosh(x) yang juga memberikan kelengkungan yang simetri sebagaimana pada parabola. Artikel ini membahas tentang analisis bentuk persamaan kurva catenary dari rentangan kabel sehingga dapat ditentukan panjang kabel antara dua penopangnya. Selain itu, dilakukan penderetan McLaurin terhadap kurva tersebut, yang ternyata suku pertama dari penderetan McLaurin adalah bentuk kuadratis atau kurva parabola. Selanjutnya, kurva kelengkungan kabel diaproksimasi menjadi bentuk parabola agar dapat diketahui besarnya penyimpangan yang bisa terjadi terhadap titik-titik koordinat maupun terhadap panjang busurnya. Upaya untuk mereduksi besarnya penyimpangan dilakukan dengan mengubah nilai paameter c pada parabola dari c = 1 menjadi c = 0,9206 dan ini telah berhasil mereduksi, baik perbedaan titik-titik koordinat pada kedua kurva maupun perbedaan panjang busur dari 2,3% menjadi 0,32%.

Teori Dasar Penurunan Persamaan Kurva Catenary Kurva catenary menyatakan bentuk pergeseran segmen-segmen kabel ketika mengalami gaya gravitasi, atau gaya lain yang serba-sama. Kurva ini layaknya rantai yang fleksibel sempurna yang ditopang pada ujung-ujungnya dan terkena gaya gravitasi. Persamaan Catenary ini didapatkan/ ditemukan oleh Leibniz dan Bernoulli dalam menjawab permasalahan yang sebelumnya dihadapi oleh Bernoulli dan Jacob. Persamaan dari sebuah kurva catenary dapat diturunkan dengan menguji/mengkaji satu bagian kecil dari sebuah kabel serta keseluruhan gaya-gaya yang bekerja padanya (Gambar 1).

Gambar 1 Kelengkungan Kabel dan Gaya-gaya yang Bekerja pada Satu Segmen Kabel

Kurva Catenary …... (Entjie Mochamad Sobbich) 

101

Sebagai penyederhanaan, kita akan pertimbangkan dua titik pada kabel titik 1 dan 2. Ambillah jarak kedua titik ini sangat kecil sehingga segmen kabel ini dapat dianggap linier dan ambillah dx sebagai proyeksinya ke sumbu X dan dy adalah proyeksinya ke sumbu Y. Gaya pengencangan terjadi di mana-mana di sepanjang titik pada kabel. Gaya-gaya tersebut bekerja dengan arah menyinggung pada kelengkungan kabel dan hanya bergantung pada koordinat titik pada kabel. Ambillah gaya pengencangan di titik-1 = N dan di titik-2 = N + dN, di mana dN adalah pertambahan sangat kecil dari koordinat titik-1. Ambillah P sebagai berat kabel dari 1-2. Berat berarah ke bawah, sejajar sumbu Y dan ambillah α sebagai sudut antara sumbu X dan bagian kabel 1-2. Agar bagian kabel 1-2 diam di tempat dan dalam keseimbangan dengan bagian kabel lainnya, gaya-gaya yang bekerja pada bagian ini butuh seimbang dengan yang lainnya. Jumlahan gaya-gaya ini harus sama dengan Nol. Jika

N adalah gaya-pengencang (tightening force) pada titik-1 Nx adalah proyeksi N ke sumbu-x Ny adalah proyeksi N ke sumbu-y,

maka berlaku keseimbangan gaya-gaya ke sumbu-x maupun ke sumbu-y sebagai berikut:

⎧− N x + ( N + dN ) x = 0, …………………………………………………………….. (1) ⎨ N P N dN − − + ( + ) = 0 , y y ⎩ dan ini berakibat pada terjadinya kesamaan berikut:

⎧dN x = 0, ………………………………………………………………………………… (2) ⎨ ⎩dN y = P, Interpretasi dari persamaan (2) adalah bahwa sumasi gaya pada sumbu-x adalah Nol, sedangkan yang ke sumbu-y sama dengan P, yaitu gaya-berat kabel. Dari Gambar 1 didapatkan rasio Ny terhadap Nx sebagai:

Ny Nx

=

N . sin α dy = tgα = ……………………………………………………………… (3) N . cos α dx

dan apabila diturunkan ke x, didapatkan:

1 dN y d2y = …………………………………………………………………………... (4) dx 2 N x dx Jika kemudian diambil: q berat per satuan panjang kabel, (N/m) dS panjang-busur elementer kabel, (m) maka :

P = q.dS ............................................................................................................................... (5)

Dengan demikian, persamaan (2) dapat dikembangkan menjadi:

dN y dx

=

P dS =q dx dx

dan mengingat bahwa

102

Jurnal Mat Stat, Vol. 9 No. 2 Juli 2009: 100-107 

2

⎛ dy ⎞ dS = 1 + ⎜ ⎟ dx ⎝ dx ⎠ maka dari dua persamaan terakhir, didapatkan:

P dS ⎛ dy ⎞ = =q = q 1+ ⎜ ⎟ dx dx dx ⎝ dx ⎠

dN y

2

.................................................................................... (6)

Agar nampak sederhana, ambillah: c = Nx/q , (m) maka didapatkan:

d2y ⎛ dy ⎞ c 2 = 1+ ⎜ ⎟ dx ⎝ dx ⎠

2

.......................................................................................................... (7)

Persamaan (7) dapat disebut sebagai Persamaan Diferensial kabel atau kawat menggantung yang solusinya didapatkan dengan terlebih dahulu melakukan substitusi:

dy = sinh(z ) dx Solusi umum didapatkan berbentuk:

⎛ ⎞ ⎛ x + C1 ⎞ y = c.⎜⎜ cosh⎜ ⎟ + C 2 ⎟⎟ ............................................................................................... (8) ⎝ c ⎠ ⎝ ⎠ Solusi khusus (partikulir) didapatkan dengan mengambil asumsi titik-tengah kabel berada di pusat salib-sumbu, didapatkan: C1 = 0 dan C2 = - 1 sehingga solusi khususnya adalah:

⎛ ⎛ x⎞ ⎞ y = c.⎜⎜ cosh⎜ ⎟ − 1⎟⎟ ........................................................................................................... (9) ⎝c⎠ ⎠ ⎝ Persamaan (8) dan persamaan (9) kemudian dikenal sebagai solusi umum dan solusi khusus dari kurva CATENARY (Moreno et al, 2009).

Gambar 2 Kelengkungan Catenary dengan Titik Terendah di O(0,0)

Kurva Catenary …... (Entjie Mochamad Sobbich) 

103

Deret McLaurin dari Catenary Sebuah fungsi y = f(x) dapat dideretkan McLaurin (Mathews, 2003; Kreyszig, 1988) berbentuk:

f ' (0) f ' (0) 2 f ' (0) 3 f ' (0) n x+ x + x + ... + x + ... 1! 2! 3! n!

f ( x) = f (0) +

Maka kurva Catenary sesuai dengan persamaan (9) dapat dideretkan berbentuk:

f ( x) =

1 2 1 4 f ' (0) 6 1 x + x + x + ... + x 2 n + ... ……………………….. (10) 3 5 2 n −1 2!c 4!c 6!c (2n)!c

Nampak bahwa jika hanya suku pertama saja yang diambil, maka kurva catenary dapat diaproksimasi menjadi y ≈

1 2 x . Persamaan kuadratis seperti ini adalah representasi dari sebuah 2c

kurva parabola. Ini berarti bahwa sebuah kurva catenary dapat diaproksimasi oleh kurva parabola. Namun demikian, perlu dilakukan pengamatan bentuk kurva masing-masing serta perhitungan panjang busurnya. Panjang Busur Catenary dan Parabola Aproksimasinya Dari kalkulus diketahui bahwa untuk kurva y = f(x) yang merentang dari x1 hingga x2 maka panjang busur S dapat dicari dari formula: x2

S=

∫

1 + ( y ') dx 2

x1

Jika formula diatas diimplementasikan pada kurva catenary dengan interval x1 = 0 dan x2 = L maka dihasilkan:

⎛ L⎞ S = c. sinh ⎜ ⎟ ………………………………………………………………………… (11.a) ⎝c⎠ Untuk interval dari x1 = -L hingga x2 = L dihasilkan:

⎛ L⎞ S = 2c. sinh ⎜ ⎟ ……………………………………………………………………….. (11.b) ⎝c⎠ Dua hasil terakhir juga memberikan bukti bahwa kurva catenary adalah kurva yang simetris terhadap sumbu y. Sedangkan parabola y = S=

1 2 x dengan interval x1 = 0 hingga x2 = L akan memiliki panjang busur: 2c

⎛ L + L2 + c 2 1 ⎛⎜ L 2 L + c 2 + c. ln⎜ ⎜ c 2⎜ c ⎝ ⎝

⎞⎞ ⎟ ⎟ ......................................................................... (12.a) ⎟⎟ ⎠⎠

Dari kalkulus kita yakin bahwa parabola adalah kurva yang simetri sehingga untuk interval x1 = - L hingga x2 = L dihasilkan : S=

104

⎛ L + L2 + c 2 L 2 L + c 2 + c. ln⎜ ⎜ c c ⎝

⎞ ⎟ ……………………………………………………... (12.b) ⎟ ⎠

Jurnal Mat Stat, Vol. 9 No. 2 Juli 2009: 100-107 

Contoh Perhitungan Sebagai contoh dalam perhitungan dan untuk sederhananya kalkulasi, maka akan diambil c = 1 sehingga persamaan catenary menjadi y = cosh (x ) − 1 , dengan panjang busur: dari x1 = 0 hingga x2 = 1 adalah S = sinh (1)

dari x1 = - 1 hingga x2 = 1 adalah S = 2 sinh (1)

Sedangkan aproksimasi parabolanya adalah y = dari x1 = 0 hingga x2 = 1 adalah S = dari x1 = -1 hingga x2 = 1 adalah S =

1 2

(

1 2 x , dengan panjang busur: 2

(

2 + ln 1 + 2

(

2 + ln 1 + 2

)

))

Bentuk kurva masing-masing bila di-plot bersama adalah sebagai berikut:

Gambar 3 Plot Kurva Catenary dan Parabola Aproksimasinya, C = 1.

Nampak pada gambar di atas bahwa sisi kiri dari kurva catenary memotong titik dengan koordinat (-1, 0,54) dan disebelah kanan memotong titik dengan koordinat (1, 0,54). Sedangkan parabola aproksimasinya memotong di titik (-1, 0,50) dan titik (1, 0,50). Panjang kurva catenary dari x = 0 hingga x = 1 didapatkan S = 1,1752 m dari x = - 1 hingga x = 1 didapatkan S = 2,3504 m. Sedangkan panjang kurva parabola aproksimasinya dari x = 0 hingga x = 1 didapatkan S = 1,1478 m dari x = -1 hingga x = 1 didapatkan : S = 2,2956 m Tabel 1 berikut merupakan tabulasi hasil perhitungan titik-titik korrdinat yang lainnya, baik untuk kurva catenary maupun aproksimasi parabolanya.

Kurva Catenary …... (Entjie Mochamad Sobbich) 

105

Tabel 1 Koordinat Titik-titik pada Catenary dan Aproksimasi Parabolanya. untuk Rentang dari x1 = 0 Hingga x2 = 1 dan Titik Terendah pada O(0,0)

Absis x (*) Jarak dari O(0,0) 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

Ordinat y (terhitung dari O(0,0)) Catenary (m) 0,0201 0,0811 0,1855 0,3374 0,5431

Perbedaan

Parabola (m) 0,02 0,08 0,18 0,32 0,50

(m)

(%) (**)

0,0001 0,0011 0,0055 0,0174 0,0431

0,50 1,36 2,96 5,16 7,94

(*)

Karena sifat simetri pada kabel catenary maupun parabola, jarak dari titik O berlaku ke arah kanan (+) maupun ke kiri (-). (**) Perbedaan (%) = Perbedaan (m) / y(catenary).

Reduksi Perbedaan Koordinat dan Panjang Busur Jalan yang hendak ditempuh dalam artikel ini agar koordinat titik-titik memiliki perbedaan yang kian tereduksi, demikian pula panjang busur kedua kurva, yaitu: Mempertemukan catenary dan parabola aproksimasinya bertemu di dua titik O(0,0) dan titik P(1, 0,54), maka ini bisa dilakukan dengan mengubah c pada parabola menjadi c =1/(2*0,5431) = 0,9206. Dengan nilai c yang baru untuk parabola ini, maka kolom ketiga pada Tabel 1 berubah, demikian pula kolom keempat dan kelima, menjadi seperti Tabel 2.

Tabel 2 Koordinat Titik-titik pada Catenary dan Aproksimasi Parabolanya. Nilai C pada Parabola adalah 0,9206.

Absis x Jarak dari O(0,0) 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

Ordinat y (terhitung dari O(0,0)) Catenary (m) 0,0201 0,0811 0,1855 0,3374 0,5431

Parabola (m) 0,0217 0,0869 0,1955 0,3476 0,5431

Perbedaan (m)

(%)

-0,0016 -0,0058 -0,01 -0,0102 0

-7,96 -7,15 -5,39 -3,02 0

Panjang busur parabola setelah pengubahan adalah Untuk rentang dari x1 = 0 hingga x2 = 1 didapatkan S = 1,1714 m Untuk rentang dari x1 = -1 hingga x2 = 1 didapatkan S = 2,3428 m. Plot kedua kurva setelah terjadi reduksi adalah sebagai berikut.

106

Jurnal Mat Stat, Vol. 9 No. 2 Juli 2009: 100-107 

Gambar 4 Plot Kurva Catenary dan Parabola Aproksimanya. Nilai C pada Parabola adalah 0,9206.

PENUTUP Kabel yang digantung bebas pada dua ujungnya, maka ia akan melengkung dengan kelengkungan Catenary. Namun, bisa diaproksimasi dalam bentuk kurva parabola sesuai dengan penderetan McLaurin. Hasil plot keduanya memberikan kurva yang semakin menyimpang jauh pada titik-titik koordinat yang semakin jauh dari posisi terendahnya di (0,0). Kalkulasi panjang busur yang dicontohkan untuk c = 1 memberikan panjang catenary untuk rentangan dari x1 = -1 hingga x2 = 1 sebesar S = 2,3504 m, sedangkan parabola aproksimasinya sedikit lebih pendek, yaitu S = 2,2956 m, atau terjadi perbedaan sebesar 2,3%. Reduksi dilakukan dengan cara mengubah nilai c menjadi 0,9206 dan menghasilkan panjang busur parabola S = 2,3428 m. Dengan demikian, proses pengubahan nilai c ini berhasil mereduksi perbedaan panjang busur menjadi 0,32%.

DAFTAR PUSTAKA Kreyszig E. (1988). Advanced engineering mathematics, 6th ed., New York: John Wiley and Sons. Kunkel, P. (June 30, 2006). Hanging with Galileo, Whistler Alley Mathematics. Retrieved March 27, 2009 from http://whistleralley.com/hanging/hanging.htm. Mathews, J.H. Module for the catenary. Retrieved from http://math.fullerton.edu/mathews/n2003/catenary. MATLAB Release-14 R2007A, The Mathwork Inc., USA, January 29, 2007. (software untuk menghitung dan mem-plot kurva). Moreno, A., and English, L.Q. (2009). The stability of the catenary shapes for a hanging cable of unspecified length, Eur. J. Phys., 30, 97-108. Rubeis K.M. (2001). Development of 13 m cable experiment, Journal of Undergraduate Study and Independent Research, 2, 1 – 11, Univ. of Notredame, Indiana, USA.

Kurva Catenary …... (Entjie Mochamad Sobbich) 

107