ˇ ezovka (catenary) Retˇ Robert Maˇr´ık jaro 2014
Tento text je tiˇstˇenou verz´ı prezentac´ı dostupn´ych z http://user.mendelu.cz/marik/am.
ˇ ezovka - kˇrivka lan a ˇretˇ Retˇ ez˚ u provˇ eˇsen´ ych vlastn´ı vahou Budeme se zaj´ımat o to, jak´y tvar vlivem gravitace zaujmou volnˇe vis´ıc´ı ohebn´a lana a ˇretˇezy. Tento tvar vid´ıme ˇcasto kolem sebe, napˇr´ıklad tento tvar zaujmou elektrick´e dr´aty (zejm´ena kdyˇz jsou sloupy daleko od sebe a na dr´atech je n´amraza). Stejn´y tvar zaujmou mosty, kter´e maj´ı hmotnost rozloˇzenu pod´el d´elky. Lano na nˇemˇz vis´ı kotˇe zaujme tvar ˇretˇezovky aˇz se kotˇe pust´ı. Teprve potom bude splnˇena podm´ınka, ˇze lano nese pouze svou vlastn´ı hmotnost.
Zavˇ eˇsen´ y most (tohle nen´ı ˇretˇ ezovka) Jednoduˇsˇs´ım u´kolem je zkoumat nejprve most zavˇeˇsen´y na lanˇe. Nejedn´a se o ˇretˇezovku, protoˇze lano nese dalˇs´ı z´atˇeˇz. • Hmotnost nosn´eho lana a svisl´ych lan je zanedbateln´a vzhledem k hmotnosti vozovky. • D´elka svisl´ych lan, na kter´ych je vozovka zavˇeˇsena, je zvolena tak, aby nam´ah´an´ı bylo rovnomˇernˇe rozloˇzeno. • Je potˇreba zvolit d´elku svisl´ych nosn´ych lan aby hlavn´ı nosn´e lano mˇelo (pˇri rovn´e vozovce) tvar, kter´y je pro nˇe “pˇrirozen´y”. Potom nebude vozovka zbyteˇcnˇe nam´ah´ana ve vertik´aln´ım smˇeru. 0
Podpoˇreno projektem Pr˚ uˇrezov´a inovace studijn´ach program˚ u Lesnick´e a dˇrevaˇrsk´e fakulty MENDELU v Brnˇe (LDF) s ohledem na discipliny spoleˇcn´eho z´akladu (reg. ˇc. CZ.1.07/2.2.00/28.0021) za pˇrispˇen´ı finanˇcn´ıch prostˇredk˚ u EU ˇ e republiky. a st´atn´ıho rozpoˇctu Cesk´
2
3
4
5
6
7
8
9
Proˇ c je dobr´ e zn´ at ˇreˇsen´ı probl´ emu zavˇ eˇsen´ eho mostu? Probl´em ˇspatnˇe navrˇzen´eho mostu v mal´em mˇeˇr´ıtku a mal´em rozsahu ˇskod: Na napnut´em lanˇe vis´ı teˇzk´y gumov´y p´as slouˇz´ıc´ı pro dˇeti jako skluzavka nebo opora pˇri ˇsplh´an´ı nahoru. • Nosn´e lano m´a tendenci se prohnout, d´ırky na uchycen´ı tuto tendenci nerespektuj´ı a jsou vyvrtan´e vˇsechny v jedn´e ˇradˇe. • Krajn´ı d´ırky jsou tedy nejv´ıc nam´ahan´e a v tomto m´ıstˇe dojde k poruˇse materi´alu. • Pod´el jak´e kˇrivky se mˇely udˇelat otvory pro uchycen´ı?
10
Zjednoduˇsen´ a formulace probl´ emu zavˇ eˇsen´ eho mostu Jak´y tvar zaujme lano zanedbateln´e hmotnosti, kter´e nese z´atˇeˇz rovnomˇernˇe rozloˇzenou ve vodorovn´em smˇeru?
Fyzik´ aln´ı podstata: Osu x vol´ıme vodorovnˇe, poˇc´atek je volen v nejniˇzˇs´ım bodˇe lana. Na ˇc´ast lana mezi t´ımto nejniˇzˇs´ım bodem a obecn´ym bodem x p˚ usob´ı tyto s´ıly: • Tahov´a s´ıla T v bodˇe x = 0. Tato s´ıla m´a smˇer teˇcn´y k lanu, tj. vodorovn´y. • Tahov´a s´ıla F v obecn´em bodˇe x. Tato s´ıla m´a tak´e teˇcn´y smˇer k lanu. Smˇernice pˇr´ımky, ve kter´e s´ıla p˚ usob´ı, je tedy rovna derivaci funkce, kterou hled´ame. • T´ıhov´a s´ıla, zp˚ usoben´a gravitac´ı. Tato s´ıla je souˇcinem hmotnosti m a t´ıhov´eho zrychlen´ı ~g . Podle pˇredpokladu je hmotnost rozloˇzena konstantnˇe. Definujeme-li tedy line´arn´ı hustotu τ mostu jako hmotnost jedn´e d´elkov´e jednotky, je hmotnost mostu d´elky x d´ana vztahem m = τ x. 11
Uvaˇzovan´y u´sek je v klidu, celkov´a s´ıla, kter´a na nˇej p˚ usob´ı je tedy nulov´a. To znamen´a, ˇze vektorov´y souˇcet vˇsech tˇr´ı sil je nulov´y vektor a po pˇresunut´ı tedy vektory tvoˇr´ı strany pravo´uhl´eho troj´uheln´ıka. Z tohoto troj´uheln´ıka plyne tan α = G = τTxg = µx, kde µ = τTg je konstanta. T Matematick´ e formulace: Najdˇete rovnici kˇrivky splˇnuj´ıc´ı rovnici y 0 = µx. ˇ sen´ı: Zn´ame-li derivaci funkce, p˚ Reˇ uvodn´ı funkci najdeme integrov´an´ım. Z y(x) =
Z
0
y (x)dx =
1 µxdx = µ x2 + C. 2
Nosn´e lano mus´ı m´ıt parabolick´y tvar.
Koneˇ cnˇ e k ˇretˇ ezovce (sestaven´ı diferenci´ aln´ı rovnice) Uvaˇzujme stejnou situaci jako na pˇredhoz´ım slidu, ale hmota je rozloˇ zena rovnomˇ ernˇ e pod´ el d´ elky lana. Jedin´e, co se na pˇredchoz´ı u´loze mˇen´ı, je vztah pro t´ıhu. Hmotnost R x p uvaˇzovan´eho u´seku lana je souˇcinem line´arn´ı hustoty τ a d´elky tohoto u´seku, dan´e vztahem 0 1 + [y 0 (t)]2 dt. Plat´ı tedy Z xp 0 1 + [y 0 (t)]2 dt. y =α 0
Matematick´a formulace: Naleznˇete funkci splˇnuj´ıc´ı Z xp 0 y =α 1 + [y 0 (t)]2 dt. 0
ˇ sen´ı: Derivov´an´ım dost´av´ame Reˇ y 00 = α
p
1 + [y 0 (x)]2 . p Vskutku, je-li funkce F(x) primitivn´ı funkc´ı k funkci 1 + y 02 (x), je podle Newtonovy–Leibnizovy vˇety integr´al napravo roven rozd´ılu F(x) − F(0). Derivov´an´ım podle x obdrˇz´ıme F 0 (x), coˇz nen´ı p ´ nic jin´eho neˇz 1 + y 02 (x), protoˇze F je podle pˇredpokladu primitivn´ı funkc´ı. Ukolem je tedy naj´ıt funkci, kter´a splˇnuje rovnici p y 00 = α 1 + y 02 Substituce z(x) = y 0 (x), z 0 (x) = y 00 (x) pˇrev´ad´ı tuto rovnici na rovnici √ z0 = α 1 + z2. Toto je rovnice, kde nezn´amou je funkce z(x) a v rovnici vystupuje i derivace z 0 (x). Takov´e rovnice naz´yv´ame diferenci´ aln´ı rovnice
12
Rozˇreˇsen´ı diferenci´ aln´ı rovnice Separac´ı promˇenn´ych obdrˇz´ıme √ a po integraci
ln z + Odsud z+
√ √
dz = αdx 1 + z2
√
1+
z2
= αx + C.
1 + z 2 = eαx+C 1 + z 2 = eαx+C − z 1 + z 2 = e2(αx+C) − 2zeαx+C + z 2
2zeαx+C = e2(αx+C) − 1 1 αx+C z= e − e−(αx+C) 2 Plat´ı tedy y0 =
1 αx+C e − e−(αx+C) 2
a integrac´ı obdrˇz´ıme y=
1 1 αx+C e + e−(αx+C) = cosh(αx + C) 2α α
Lano zaujme tvar hyperbolick´eho kosinu.
13
Dalˇs´ı ˇretˇ ezovky okolo n´ as • Pavuˇcina
• Gateway Arch St. Louis - 192 metr˚ u, odkaz
14
• N´adraˇz´ı Keletti v Budapeˇsti
• Pro kolo s hranat´ymi koly jsou ˇretˇezovky ide´aln´ım povrchem
15
Video na Youtube
16
