KUMPULAN SOAL DAN PEMBAHASAN BILANGAN I SMP Abdul Azis Abdillah
UL
Januari 2017
Soal
AZ
1. Angka satuan dari 1 + (1 × 2) + (1 × 2 × 3) + (1 × 2 × 3 × 4) + ... + (1 × 2 × 3 × 4 × ... × 2017) adalah ... 2. Diberikan dua buah bilangan yaitu x = 201720172017 × 2016201620162016 dan y = 201620162016 × 2017201720172017.. Hitunglah nilai dari (x − y)2017 p p p √ √ √ 3. Hitunglah 54 + 14 5 + 12 − 2 35 + 32 − 10 7 4. Hitunglah
RE TA N
1 1 1 1 + + + ... + 2×3 3×4 4×5 2016 × 2017
5. Manakah yang paling besar diantara dua bilangan a dan b, jika a = 216204 dan b = 5306 ? q p √ 6. Sederhanakan bentuk berikut ini 2 2 2... = ... 7. Carilah nilai yang dapat menggantikan huruf-huruf pada operasi berikut ini. HITAM 4 _____x MATIH
CO
8. Berapakah hasil dari 1002 − 992 + 982 − 972 + ... + 22 − 12 ? 9. Berapakah jumlah digit bilangan 22016 × 52017 ?
10. Hitunglah nilai dari 1 1 1 1 √ +√ √ +√ √ + ... + √ √ 1+ 2 2+ 3 3+ 4 9800 + 9801
11. Hitunglah 13 23 33 20173 1− × 1− × 1− × ... × 1 − 1000 1000 1000 1000 12. Carilah nilai dari
1−
1 22
1 1 1 1− 2 1 − 2 ... 1 − 2 3 4 n
1
UL AZ RE TA N
13. Buktikan bahwa
14. Nilai dari
adalah ... (OSK 2016)
1 1 1 1 + + + ··· + <2 1! 2! 3! 2016! 2017 × (20162 − 16) × 2015 2020 × (20162 − 1)
CO
15. Banyak bilangan real x yang memenuhi x2016 − x2014 = x2015 − x2013 adalah ... (OSK 2016) 2 1.2.4+2.4.8+...+n.2n.4n 3 16. Nilai dari 1.3.9+2.6.18+...+n.3n.9n adalah ... (OSK 2016)
17. Misalkan dxe menyatakan bilangan bulat terkecil yang lebih besar daripada atau sama dengan x. Jika x=
2 1 1001
+
2 1002
+
3 1003
+ ... +
maka dxe = ... (OSK 2016) √ 18. 50502 − 49502 = ... q b 19. Jika a = 1−b , maka b dinyatakan dalam a adalah... 20. Bentuk sederhana dari
p
4−
√
15 −
p
4+
√
15 adalah ...
2
10 1010
,
Pembahasan 1. Angka satuan dari 1 + (1 × 2) + (1 × 2 × 3) + (1 × 2 × 3 × 4) + ... + (1 × 2 × 3 × 4 × ... × 2017) adalah ... Perhatikan jumlah 4 suku pertama berikut: Jumlah satu suku pertama yaitu 1, angka satuan (1) Jumlah dua suku pertama yaitu 1 + 2 = 3, angka satuan (3) Jumlah tiga suku pertama yaitu 3 + 6 = 9, angka satuan (9) Jumlah empat suku pertama yaitu 9 + 24 = 33, angka satuan (3)
UL
Perhatikan jumlah 5 suku pertama dan selanjutnya: Jumlah lima suku pertama yaitu 33 + 120 = 153, angka satuan (3) Jumlah enam suku pertama yaitu 153 + 720 = 873, angka satuan (3) .. .
AZ
Maka jumlah 2017 suku pertama yaitu 153 + 720 = 873, angka satuan (3)
2. Diberikan dua buah bilangan yaitu x = 201720172017 × 2016201620162016 dan y = 201620162016 × 2017201720172017.. Hitunglah nilai dari (x − y)2017 Perhatikan bentuk berikut:
RE TA N
x = 201720172017 × 2016201620162016 = 2017(100010001) × 2016(1000100010001)
y = 201620162016 × 2017201720172017 = 2016(100010001) × 2017(1000100010001)
CO
Berdasarkan diatas terlihat bahwa x = y, sehingga nilai dari (x − y)2017 = 02017 = 0
3
UL AZ RE TA N
3. Hitunglah
p p p √ √ √ 54 + 14 5 + 12 − 2 35 + 32 − 10 7
Untuk menjawab bentuk soal seperti ini perhatikan bentuk berikut. √ √ √ √ √ • ( a + b)2 = (a + b) + 2 a.b ←→ ( a + b) =
q √ (a + b) + 2 a.b q √ √ √ √ √ √ • ( a − b)2 = (a + b) − 2 a.b ←→ ( a − b) = (a + b) − 2 a.b
CO
Maka q q q q q q √ √ √ √ √ √ 54 + 14 5 + 12 − 2 35 + 32 − 10 7 = 54 + 2 245 + 12 − 2 35 + 32 − 2 175 √ √ √ √ √ √ = ( 49 + 5) + ( 7 − 5) + ( 25 − 7) = 12
4. Hitunglah
1 1 1 1 + + + ... + 2×3 3×4 4×5 2016 × 2017
4
Untuk menjawab bentuk soal seperti ini perhatikan bentuk berikut. 1 1 1 = − a × (a + 1) a a+1 Dari bentuk diatas maka diperoleh
UL
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + ... + = − + − + ... + − 2×3 3×4 4×5 2016 × 2017 2 3 3 4 2016 2017 1 1 = − 2 2017 5. Manakah yang paling besar diantara dua bilangan a dan b, jika a = 216204 dan b = 5306 ?
q p √ 6. Sederhanakan bentuk berikut ini 2 2 2... = ...
AZ
Ubah a dan b kedalam bentuk berikut a = 216204 = (2162 )102 = 46656102 b = 5306 = (53 )102 = 125102 Sehingga jelas terlihat bahwa a merupakan bilangan yang terbesar
RE TA N
q p √ √ Misalkan a = 2 2 2..., maka a = 2a Kuadratkan kedua ruas maka diperoleh
a2 = 2a
a2 − 2a = 0
a(a − 2) = 0
Nilai yang memenuhi adalah a = 0 atau a = 2. a tidak mungkin bernilai 0, maka a ditolak. Sehingga nilai yang memenuhi adalah a = 2
CO
7. Carilah nilai yang dapat menggantikan huruf-huruf pada operasi berikut ini. HITAM 4 _____x MATIH
5
• Hasil H × 4 harus kurang dari 10 (tidak ada yang disimpan), yang mungkin hanya 1 atau 2. • H tidak mungkin 1, karena HIT AM × 4 bersatuan genap, maka H = 2. • Jika H = 2 maka M = 8. • IT A × 4 + 3 = AT I (ingat 3 merupakan simpanan dari 8 × 4) • I × 4 < 10, maka nilai I yang mungkin hanya 0, 1, dan 2, sehingga nilai yang memenuhi adalah I = 1. Akibat ini, haruslah A = 7.
UL
• T × 4 + 3 menghasilkan angka akhir T dan dibawa 3, maka haruslah T = 9. ∴ Jadi
CO
RE TA N
AZ
21978 4 _____x 87912
8. Berapakah hasil dari 1002 − 992 + 982 − 972 + ... + 22 − 12 ?
6
Perhatikan pola berikut : 22 − 12 = 3 = 1 + 2 42 − 32 = 7 = 3 + 4 62 − 52 = 11 = 5 + 6 .. . maka soal dapat dituliskan dalam bentuk 1002 − 992 + 982 − 972 + ... + 22 − 12 = 100 + 99 + 97 + 96 + ... + 2 + 1 100(100 + 1) 2 = 5050
AZ
9. Berapakah jumlah digit bilangan 22016 × 52017 ?
UL
=
22016 × 52017 = 22016 × 52016 × 5 = (2 × 5)2016 × 5 = 5 × 102016 Sehingga jumlah digit bilangan dari 22016 × 52017 adalah 2017 digit
10. Hitunglah nilai dari
RE TA N
1 1 1 1 √ +√ √ +√ √ + ... + √ √ 1+ 2 2+ 3 3+ 4 9800 + 9801
Rasionalkan setiap penyebut sehingga diperoleh bentuk berikut: √ √ √ √ √ √ √ 2 2− 3 3− 4 9800− 9801 = 1− + + + ... + 1−2 √ 2−3√ √3−4 √ √ 9800−9801 √ √ = −(1 − √2 + 2 − 3 + 3 − 4 + ... + 9800 − 9801) = −(1 − 9801) = −(1 − 99) = 98 11. Hitunglah
CO
13 23 33 20173 1− × 1− × 1− × ... × 1 − 1000 1000 1000 1000
Perhatikan bentuk berikut: 3 13 23 103 = 1 − 1000 × 1 − 1000 × ... × 1 − 1000 × ... × 1 − 2017 1000 1 8 1000 20173 = 1 − 1000 × 1 − 1000 × ... × 1 − 1000 × ... × 1 − 1000 3 1 8 = 1 − 1000 × 1 − 1000 × ... × (1 − 1) × ... × 1 − 2017 1000 3 8 1 × 1 − 1000 × ... × (0) × ... × 1 − 2017 = 1 − 1000 1000 =0
12. Carilah nilai dari
1 1− 2 2
1 1 1 1− 2 1 − 2 ... 1 − 2 3 4 n
7
CO
RE TA N
AZ
UL
1 1 1 1 1 1 1 1 1− 2 1− 2 1 − 2 ... 1 − 2 = 1 − 1+ 1− 1+ 2 3 4 n 2 2 3 3 1 1 ... 1 − 1+ n n 1 3 2 4 n−1 n+1 = ... 2 2 3 3 n n n+1 = 2n
13. Buktikan bahwa
1 1 1 1 + + + ··· + <2 1! 2! 3! 2016!
8
Perhatikan ketaksamaan berikut: 1 2 1 3 1 2015 < ; < ;··· ; < 3! 3! 4! 4! 2016! 2016! maka
1 1 1 1 1 1 2 2015 + + + ··· + < + + + ··· + 1! 2! 3! 2016! 1! 2! 3! 2016!
(*)
k+1 1 k = − (k + 1)! (k + 1)! (k + 1)! 1 1 = − (k)! (k + 1)!
UL
Perhatikan bahwa
(**)
Dengan menggunakan bentuk pada (**) maka pertaksamaan pada (*) dapat ditulis menjadi:
AZ
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + +···+ < + − − − − + + +···+ 1! 2! 3! 2016! 1! 1! 2! 2! 3! 3! 4! 2015! 2016!
RE TA N
1 1 1 1 1 + + + ··· + <1+1− 1! 2! 3! 2016! 2016! 1 1 1 1 1 + + + ··· + <2− 1! 2! 3! 2016! 2016! 1 1 1 1 + + + ··· + <2 1! 2! 3! 2016!
∴ Terbukti 14. Nilai dari
adalah ... (OSK 2016)
2017 × (20162 − 16) × 2015 2020 × (20162 − 1)
CO
Misalkan x = 2016, maka diperoleh bentuk
2017 × (20162 − 16) × 2015 (x + 1) × (x2 − 16) × (x − 1) = 2020 × (20162 − 1) (x + 4) × (x2 − 1) 2 (x − 1)(x + 4)(x − 4) = (x + 4)(x2 − 1) =x−4
Kemudian substitusikan nilai x = 2016 pada persamaan (*), sehingga diperoleh nilai 2017 × (20162 − 16) × 2015 = 2016 − 4 = 2012 2020 × (20162 − 1)
15. Banyak bilangan real x yang memenuhi x2016 − x2014 = x2015 − x2013 adalah ... (OSK 2016)
9
(*)
x2016 − x2014 = x2015 − x2013 (x2015 − x2013 )x − x2015 − x2013 = 0 (x − 1)(x2015 − x2013 ) = 0 (x − 1)(x2 − 1)(x2 013) = 0 (x − 1)(x − 1)(x + 1)(x2 013) = 0
(*)
CO
RE TA N
AZ
UL
Sehingga nilai x yang memenuhi persamaan (*) adalah x = −1, x = 1, dan x = 0
16. Nilai dari
1.2.4+2.4.8+...+n.2n.4n 1.3.9+2.6.18+...+n.3n.9n
23
adalah ...
(OSK 2016)
1.2.4 + 2.4.8 + ... + n.2n.4n 1.3.9 + 2.6.18 + ... + n.3n.9n
10
32
1.2.4(1 + 2 + ... + n) 1.3.9(1 + 2 + ... + n) 23 8 = 27 4 = 9 =
23
17. Misalkan dxe menyatakan bilangan bulat terkecil yang lebih besar daripada atau sama dengan x. Jika x=
2 1 1001
+
2 1002
+
3 1003
+ ... +
10 1010
,
maka dxe = ... (OSK 2016)
2 1 1001
+
2 1001
+
3 1001
+ ... +
10 1001
=
2 55 1001
=
UL
Kita akan menyelesaikan permasalahan ini dengan mencari rentang nilai terdekat dengan x. Berikut penyelesaiannya Nilai minimum untuk x dapat diperoleh dengan mengubah semua penyebut dari penyebut menjadi 1001, sehingga diperoleh suatu nilai yaitu 2002 = 36, 4 55
2 1 1010
+
2 1010
+
3 1010
+ ... +
10 1010
AZ
Nilai maximum untuk x dapat diperoleh dengan mengubah semua penyebut dari penyebut menjadi 1010, sehingga diperoleh suatu nilai yaitu =
2
55 1010
=
2020 = 36, 73 55
18.
√
RE TA N
Berdasarkan nilai minimum dan maksimum yang telah kita peroleh yaitu 36, 4 < x < 36, 73 dapat disimpulkan bahwa nilai dxe yang memenuhi adalah 37
50502 − 49502 = ...
p
50502 − 49502 =
p
(5050 + 4950) − (5050 − 4950)
=
p
(100.000).(100)
= 1000
q
b 1−b ,
maka b dinyatakan dalam a adalah...
CO
19. Jika a =
11
r a=
b 1−b
Pangkatkan dua pada setiap ruas, maka diperoleh bentuk a2 =
b 1−b
Kalikan ke dua ruas dengan (1 − b), maka diperoleh bentuk
a2 − a2 b = b a2 = b + a2 b a2 = b(1 + a2 )
a2 1+a2
CO
RE TA N
∴b=
AZ
a2 =b 1 + a2
20. Bentuk sederhana dari
UL
a2 (1 − b) = b
p
4−
√
15 −
p
4+
√
15 adalah ...
12
p p √ √ Misalkan 4 − 15 − 4 + 15 = x Kuadratkan kedua ruas, maka diperoleh bentuk 2 x = 4 − 15 − 4 + 15 q q q q √ √ √ √ 4 − 15 − 4 + 15 4 − 15 − 4 + 15 = q q √ √ √ √ = 4 − 15 + 4 + 15 − 2 4 − 15 4 + 15 √ = 8 − 2 16 − 15 √
q
√
UL
q
2
= 8 − 2.1 =6 √
6
AZ
∴ Sehingga nilai x =
Biografi Penulis
CO
RE TA N
Abdul Azis Abdillah memiliki minat dalam bidang matematika terapan. Saat ini, kegiatan yang dilakukan selain belajar menulis, juga merupakan salah satu staf pengajar di salah satu perguruan tinggi yang ada di Depok. Penulis dapat dihubungi melalui alamat email berikut :
[email protected] Jika anda ingin memasang iklan pada karya-karya penulis silahkan menghubungi penulis lewat alamat email yang telah disediakan.
13
