KU Leuven. Algebra. Notities. Tom Sydney Kerckhove

KU Leuven

Algebra Notities

Tom Sydney Kerckhove

Gestart 23 september 2014 Gecompileerd 28 oktober 2014

Inhoudsopgave 1 Verzamelingen 1.1 Basisbegrippen . . . . . . . . . . . . 1.2 De algebra van verzamelingen . . . 1.2.1 Unie . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Doorsnede . . . . . . . . . . 1.2.3 Complement . . . . . . . . 1.2.4 Verschil . . . . . . . . . . . 1.2.5 Machtsverzameling . . . . . 1.3 Koppels en het carthesisch product

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

3 3 5 5 5 7 8 9 9

2 Relaties 2.1 Samenstelling van relaties . 2.2 Equivalentierelaties . . . . . 2.2.1 Equivalentieklassen . 2.3 Orderelaties . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

12 12 14 14 15

3 Functies en afbeeldingen 3.1 Jecties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Speciale afbeeldingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Permutaties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18 20 20 22

4 Kardinaliteit

25

5 Deelbaarheid

26

6 Samenstellingswetten 6.1 Inwendige bewerking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Uitwendige bewerking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29 29 32

7 Algebras 7.1 Morfismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34 34

8 Groepen 8.1 Basisbegrippen . . . . 8.1.1 De groep . . . 8.1.2 Morfismen . . 8.1.3 Orde . . . . . 8.1.4 Nevenklassen 8.1.5 Directe som . 8.2 Permutatiegroepen . 8.3 Conjugatie . . . . . .

36 36 36 39 43 47 52 52 53

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . 1

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

2

INHOUDSOPGAVE 8.4

. . . .

58 59 60 61

. . . . . . . . . . .

66 66 66 67 68 68 68 69 69 70 70 72

10 Voorbeelden 10.1 Groepen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Ringen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.1 Eenhedengroepen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73 73 76 77

11 Algebra I: Oefenzittingen 11.1 Oefenzitting 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

78 78

12 Toepassingen van Algebra: Oefenzittingen 12.1 Oefenzitting 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82 82

8.5

Normaaldelers en Quotientgroepen . . . . . 8.4.1 Quotientgroepen . . . . . . . . . . . 8.4.2 Enkelvoudige en oplosbare groepen . De isomorfismestellingen . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

9 Ringen 9.1 Abstracte ringen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.1 Ring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.2 Ring met eenheidselement . . . . . . . . 9.1.3 Commutatieve ring . . . . . . . . . . . . 9.1.4 Integriteitsdomeinen . . . . . . . . . . . 9.1.5 Lichaam . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.6 Velden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.7 Direct product . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.8 Deelringen . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.9 Ringmorfismen . . . . . . . . . . . . . . 9.1.10 Breukenveld van een integriteitsdomein

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

Hoofdstuk 1 Verzamelingen 1.1

Basisbegrippen

Definitie 1.1. Een verzameling is een geheel van onderling verschillende, ongeordende objecten. Deze objecten noemt men de elementen van de verzameling. de

Definitie 1.2. Een formele beschrijving van een verzameling met behulp van een predikaat p ziet er als volgt uit. {x | p(x )} Dit is de verzameling van all elementen die aan het predikaat p voldoen.

Definitie 1.3. Twee verzamelingen A en B zijn gelijk als en slechts als ze dezelfde elementen bevatten. A = B ⇔ ∀x : x ∈ A ⇔ x ∈ B Stelling 1.4. De transitiviteit van ’=’: Gegeven drie willekeurige verzamelingen A, B en C. (A = B) ∧ (B = C) ⇒ A = C Bewijs. A = B ∧ B = C ⇔ (∀x : x ∈ A ⇔ x ∈ B) ∧ (∀x : x ∈ B ⇔ x ∈ C) ⇒ ∀x : ((x ∈ A ⇔ x ∈ B) ∧ (x ∈ B ⇔ x ∈ C)) ⇔ ∀x : (x ∈ A ⇔ x ∈ C) ⇔A=C Definitie 1.5. Een verzameling A is een deelverzameling van een verzameling B als en slechts als B alle elementen van A bevat. A ⊆ B ⇔ ∀x : x ∈ A ⇒ x ∈ B Stelling 1.6. De anti-symmetrie van ’⊆’: Gegeven twee willekeurige verzamelingen A en B. A ⊆ B∧B ⊆ A⇔A=B 3

4

HOOFDSTUK 1. VERZAMELINGEN Bewijs. A ⊆ B ∧ B ⊆ A ⇔ (∀x : x ∈ A ⇒ x ∈ B) ∧ (∀x : x ∈ B ⇒ x ∈ A) ⇔ ∀x : ((x ∈ A ⇒ x ∈ B) ∧ (x ∈ B ⇒ x ∈ A)) ⇔ ∀x : x ∈ A ⇔ x ∈ B ⇔A=B

Stelling 1.7. De transitiviteit van ’⊆’: Gegeven drie willekeurige verzamelingen A, B en C. A ⊆ B∧B ⊆C ⇔A ⊆C Bewijs. A ⊆ B ∧ B ⊆ C ⇔ (∀x : x ∈ A ⇒ x ∈ B) ∧ (∀x : x ∈ B ⇒ x ∈ C) ⇒ ∀x : ((x ∈ A ⇒ x ∈ B) ∧ (x ∈ B ⇒ x ∈ C)) ⇔ ∀x : x ∈ A ⇒ x ∈ C ⇔A⊆C Definitie 1.8. Een verzameling A is een strikte deelverzameling van een verzameling B als en slechts als A een deelverzameling is van B en niet gelijk is aan B. A ( B ⇔ A ⊆ B ∧a , B

Definitie 1.9. De universele verzameling U is de verzameling van alle mogelijke elementen waarvan sprake is. U = {x | true} Stelling 1.10. Elke verzameling A is een deelverzameling van het universum U . A⊆U Bewijs. Inderdaad. Kies een willekeurige verzameling A. Elk element van A zit ook in U . ∀x : x ∈ A ⇒ x ∈ U Definitie 1.11. De lege verzameling ∅ is de verzameling die geen enkel element bevat. Stelling 1.12. De lege verzameling ∅ is een deelverzameling van elke verzameling. Bewijs. Inderdaad. Kies een willekeurige verzameling A. Elk element van ∅ (geen enkel element) zit ook in A. ∀x : x ∈ ∅ ⇒ x ∈ A

5

HOOFDSTUK 1. VERZAMELINGEN

Definitie 1.13. Een singleton is een verzameling met precies e´ e´ n element.

1.2 1.2.1

De algebra van verzamelingen Unie

Definitie 1.14. De unie A ∪ B van twee verzamelingen A en B is de verzameling die zowel de elementen van A als de elementen van B bevat. A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B} Eigenschap 1.15. De unie is commutatief . A∪B = B ∪A Bewijs. A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B} = {x | x ∈ B ∨ x ∈ A} = B ∪ A

Eigenschap 1.16. De unie is idempotent A∪A =A Bewijs. A ∪ A = {x | x ∈ A ∨ x ∈ A} = {x | x ∈ A} = A

Stelling 1.17. Elke verzameling A is een deelverzameling van elke unie A ∪ B van die verzameling met een andere verzameling B. A ⊆ A∪B Bewijs. ∀x : x ∈ A ⇔ x ∈ A ∨ x ∈ B

Stelling 1.18. A ⊆ B ⇔A∪B =B Bewijs. {x | x ∈ A ∨ x ∈ B} = B ⇔ ∀a ∈ A : a ∈ B

Stelling 1.19. De unie is associatief A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C Bewijs. A ∪ {x | x ∈ B ∨ x ∈ C} = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B ∨ x ∈ C} = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B} ∪ C

Stelling 1.20. De identiteitswet voor de unie A∪∅ =A Bewijs. A ∪ ∅ = {x | x ∈ A ∨ x ∈ ∅} = A

Stelling 1.21. De nulwet voor de unie A∪U = U Bewijs. A ∪ U = {x | x ∈ A ∨ x ∈ U } = {x | x ∈ A ∨ true} = U

1.2.2

Doorsnede

6


Definitie 1.22. De doorsnede A∩B van twee verzamelingen A en B is de verzamling die enkel de elementen bevat die zowel in A als in B zitten. A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B} Eigenschap 1.23. De doorsnede is commutatief . A∩B = B ∩A Bewijs. A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B} = {x | x ∈ B ∧ x ∈ A} = B ∩ A

Eigenschap 1.24. De doorsnede is idempotent A∩A =A Bewijs. A ∩ A = {x | x ∈ A ∧ x ∈ A} = {x | x ∈ A} = A

Stelling 1.25. De doorsnede A ∩ B is een deelverzameling van A. A∩B ⊆ A Bewijs. A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B} ⊆ {x | x ∈ A} = A

Stelling 1.26. A ⊆ B ⇔A∩B =A Bewijs. ∀x : (x ∈ A ⇒ x ∈ B) ⇔ {x | x ∈ A ∧ x ∈ B} = A

Stelling 1.27. De identiteitswet voor de doorsnede A∩U = A Bewijs. A ∩ U = {x | x ∈ A ∧ x ∈ U } = {x | x ∈ A ∧ true} = A

Stelling 1.28. De nulwet voor de doorsnede A∩∅ = ∅ Bewijs. A ∩ ∅ = {x | x ∈ A ∧ x ∈ ∅} = {x | x ∈ A ∧ f alse} = ∅

Definitie 1.29. Twee verzamelingen A en B zijn disjunct als en slechts als ze geen gemeenschappelijke elementen hebben. A∩B = ∅ Stelling 1.30. De eerste absorptiewet. A ∪ (A ∩ B) = A Bewijs. A ∪ (A ∩ B) = A ∪ {x | x ∈ A ∧ x ∈ B} = {x | x ∈ A ∨ (x ∈ A ∧ x ∈ B)} = {x | x ∈ A} = A Stelling 1.31. De tweede absorptiewet. A ∩ (A ∪ B) = A Bewijs. A ∩ (A ∪ B) = A ∩ {x | x ∈ A ∨ x ∈ B} = {x | x ∈ A ∧ (x ∈ A ∨ x ∈ B)} = {x | x ∈ A} = A

7

HOOFDSTUK 1. VERZAMELINGEN Stelling 1.32. De doorsnede is distributief ten opzichte van de unie. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) Bewijs. A ∩ (B ∪ C) = A ∩ {x | x ∈ B ∨ x ∈ C} = {x | x ∈ A ∧ (x ∈ B ∨ x ∈ C)} = {x | (x ∈ A ∧ x ∈ B) ∨ (x ∈ A ∧ x ∈ C)} = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

Stelling 1.33. De unie is distributief ten opzichte van de doorsnede. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) Bewijs. A ∪ (B ∩ C) = A ∪ {x | x ∈ B ∧ x ∈ C} = {x | x ∈ A ∨ (x ∈ B ∧ x ∈ C)} = {x | (x ∈ A ∨ x ∈ B) ∧ (x ∈ A ∨ x ∈ C)} = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

1.2.3

Complement

Definitie 1.34. Het complement van een verzameling A ten opzichte van de universele verzameling U is de verzameling van alle elementen die niet in A zitten, maar wel in U . Ac = {x | x < A} Andere notaties voor het complement zijn A0, A. Stelling 1.35. Het complement van het complement van een verzameling is opnieuw de originele verzameling. (Ac )c = A c

Bewijs. Ac = {x | x < Ac } = {x | x ∈ A} = A

Stelling 1.36. De complementaire wet voor de unie. De unie van een verzameling en haar complement is het universum. A ∪ Ac = U Bewijs. A ∪ Ac = {x | x ∈ A ∨ x ∈ Ac } = {x | true} = U

Stelling 1.37. De complementaire wet voor de doorsnede. De doorsnede van een verzameling en haar complement is leeg.. A ∩ Ac = ∅ Bewijs. A ∩ Ac = {x | x ∈ A ∧ x ∈ Ac } = {x | f alse} = ∅ Stelling 1.38. De eerste wet van De Morgan. (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc

8

HOOFDSTUK 1. VERZAMELINGEN Bewijs.

(A ∪ B)c = {x = {x = {x = Ac

| x < (A ∪ B)} | ¬(x ∈ A ∨ x ∈ B)} | (x < A) ∧ (x < B)} ∩ Bc

Stelling 1.39. De tweede wet van De Morgan. (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc Bewijs.

(A ∩ B)c = {x = {x = {x = Ac

| x < (A ∩ B)} | ¬(x ∈ A ∧ x ∈ B)} | (x < A) ∨ (x < B)} ∪ Bc

1.2.4

Verschil

Definitie 1.40. Het verschil van een verzameling A met een andere verzameling B is de verzameling van alle elementen van A die niet in B zitten. A \ B = {x | x ∈ A ∧ x < B} Propositie 1.41. Voor twee verzamelingen A en B geldt dat zowel de doorsnede als de verschillen onderling disjunct zijn. (1) (A ∩ B) ∩ (A \ B) = ∅ (2) (A \ B) ∩ (B \ A) = ∅ (3) (B \ A) ∩ (A ∩ B) = ∅ Bewijs. Bewijs elk deel afzonderlijk: •

•

•

(A ∩ B) ∩ (A \ B) = = = =

{x {x {x {x

| x ∈ A ∧ x ∈ B} ∩ {x | x ∈ A ∧ x < B} | (x ∈ A ∧ x ∈ B) ∧ (x ∈ A ∧ x < B)} | (x ∈ B) ∧ (x < B)} | f alse} = ∅

(A \ B) ∩ (B \ A) = {x | x ∈ A ∧ x < B} ∩ {x | x ∈ B ∧ x < A} = {x | (x ∈ A ∧ x < B) ∧ (x ∈ B ∧ x < A)} = {x | f alse} =∅ (B \ A) ∩ (A ∩ B) = = = =

{x {x {x {x

| x ∈ B ∧ x < A} ∩ {x | x ∈ A ∧ x ∈ B} | (x ∈ B ∧ x < A) ∧ (x ∈ A ∧ x ∈ B)} | (x ∈ A) ∧ (x < A)} | f alse} = ∅

9


Stelling 1.42. Het verschil van twee verzamelingen kan worden herschreven als de doorsnede met het complement. A \ B = A ∩ Bc Bewijs. A \ B = {x | x ∈ A ∧ x < B} = {x | x ∈ A} ∩ {x | x < B} = A ∩ Bc

Definitie 1.43. Het symmetrisch verschil van twee verzamelingen A en B is de verzameling van alle elementen die in precies e´ e´ n van de twee verzamelingen zit. A∆B = {x | (x ∈ A ∧ x < B) ∨ (x ∈ B ∧ x < A)} Stelling 1.44. Het symmetrisch verschil van twee verzamelingen kan worden herschreven als de unie van de twee verschillen. A∆B = A∇B = A ÷ B = A B = (A \ B) ∪ (B \ A)

1.2.5

Machtsverzameling

Definitie 1.45. De machtsverzameling P (A) is de verzameling van alle deelverzamelingen van een verzameling A. P (A) = {S | S ⊆ A}

Definitie 1.46. Een partitie P van een verzameling X is een deelverzameling van de machtsverzameling P (x ) van X met de volgende eigenschappen: • De verzamelingen zijn niet leeg. ∀A ∈ P : A , ∅ • De verzamelingen zijn onderling disjunct. ∀A,B ∈ P : A , B ⇒ A ∩ B = ∅ • De verzamelingen samen vormen X . ∀x ∈ X : ∃A ∈ P : x ∈ A

1.3

Koppels en het carthesisch product

Definitie 1.47. Een geordend paar of een koppel zijn twee elementen die in een bepaalde volgorde samen horen. (a,b)

Definitie 1.48. De gelijkheid tussen koppels is zo gedifineerd dat de overeenkomstige elemen-

HOOFDSTUK 1. VERZAMELINGEN ten gelijk zijn.

10

(a,b) = (c,d ) ⇔ (a = c ∧ b = c)

Definitie 1.49. Het carthesisch product A × B van twee verzamelingen A en B is de verzameling der koppels (x,y) met x ∈ A en y ∈ B A × B = {(x,y) | x ∈ A ∧ y ∈ B} Stelling 1.50. Het carthesisch product is distributief ten opzichte van de unie. A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C) Bewijs. A × (B ∪ C) = = = =

{(x,y) {(x,y) {(x,y) {(x,y)

| x ∈ A ∧ y ∈ (B ∪ C)} | x ∈ A ∧ (y ∈ B ∨ y ∈ C)} | (x ∈ A ∧ y ∈ B) ∨ (x ∈ A ∧ y ∈ C)} | (x ∈ A ∧ y ∈ B)} ∪ {(x,y) | (x ∈ A ∧ y ∈ C)} = (A × B) ∪ (A × C)

Stelling 1.51. Het carthesisch product is distributief ten opzichte van de doorsnede. A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C) Bewijs. A × (B ∩ C) = = = =

{(x,y) {(x,y) {(x,y) {(x,y)

| x ∈ A ∧ y ∈ (B ∩ C)} | x ∈ A ∧ (y ∈ B ∧ y ∈ C)} | (x ∈ A ∧ y ∈ B) ∧ (x ∈ A ∧ y ∈ C)} | (x ∈ A ∧ y ∈ B)} ∩ {(x,y) | (x ∈ A ∧ y ∈ C)} = (A × B) ∩ (A × C)

Stelling 1.52. Zij A, B, C en D verzamelingen, dan geldt volgende gelijkheid. (A × B) ∩ (C × D) = (A ∩ C) × (B ∩ D) Bewijs. (A × B) ∩ (C × D) = = = =

{(x,y) | x ∈ A ∧ y ∈ B} ∩ {(x,y) | x ∈ C ∧ y ∈ D} {(x,y) | x ∈ A ∧ y ∈ B ∧ x ∈ C ∧ y ∈ D} {(x,y) | x ∈ A ∧ x ∈ C ∧ y ∈ B ∧ y ∈ D} {x | x ∈ A ∧ x ∈ C} × {y | y ∈ B ∧ y ∈ D} = (A ∩ C) × (B ∩ D)

Definitie 1.53. Het carthesisch product van een verzameling A met zichzelf wordt wel eens als A2 genoteerd. A2 = A × A

11


Definitie 1.54. Een n-koppel of n-tal zijn n elementen die in een bepaalde volgorde voorkomen. (a 1 ,a 2 , . . . ,an )

Definitie 1.55. Het n-voudig Carthesis product tussen n verzamelingen is de verzameling van alle n-tallen over die verzamelingen. A1 × A2 × . . . × An = {(a 1 ,a 2 , . . . ,an ) | ai ∈ Ai }

Definitie 1.56. Het n-voudig Carthesis product van een verzameling A met zichzelf wordt als An genoteerd. An = A × A × . . . × A

Hoofdstuk 2 Relaties Definitie 2.1. Een (binaire) relatie R is een verzameling koppels (x,y), respectievelijk van een verzameling X en Y . Wanneer (x,y) een koppel is in R noteren we xRy. R ⊆ X ×Y Vaak worden X en Y opgenomen in de identiteit van de relatie om over surjecties te kunnen spreken.

Definitie 2.2. De eenheidsrelatie IX op een verzameling X is de volgende verzameling: {(x,x ) ∈ X × X | x ∈ X }

Definitie 2.3. De inverse R −1 van een relatie R is de volgende relatie: R −1 = (x,y) | (y,x ) ∈ R Stelling 2.4. De inverse van de inverse van een relatie is opnieuw de originele verzameling. −1

R −1 = R TODO: bewijs

2.1

Samenstelling van relaties

Definitie 2.5. De samenstelling S ◦ R van twee relaties R en S (lees: “S na R”) is de volgende relatie. (x,y) | (∃z)((x,z) ∈ R ∧ (z,y) ∈ S ) Stelling 2.6. De samenstelling van relaties is associatief . (T ◦ S ) ◦ R = T ◦ (S ◦ R) TODO: bewijs

12

13

HOOFDSTUK 2. RELATIES

Stelling 2.7. De inverse van een relatie nemen is distributief ten opzichte van de samenstelling van relaties. (S ◦ R) −1 = R −1 ◦ S −1 TODO: bewijs

Definitie 2.8. Zij R een relatie. Het domein (domain) is als volgt gedefinieerd. domR = x | (∃y)(x,y) ∈ R

Definitie 2.9. Zij R een relatie. Het beeld (range) is als volgt gedefinieerd. bldR = ranR = y | (∃x )(x,y) ∈ R Stelling 2.10. Het domein van een relatie is het beeld van zijn inverse. domR = bldR −1 TODO: bewijs

Stelling 2.11. Het beeld van een relatie is het domein van zijn inverse. bldR = domR −1 TODO: bewijs

Stelling 2.12. Domein na samenstelling: dom(R ◦ S ) ⊆ domS TODO: bewijs

Stelling 2.13. Beeld na samenstelling: bld (R ◦ S ) ⊆ bldR TODO: bewijs

Stelling 2.14. Domein na samenstelling (2): bldS ⊆ domR ⇒ dom(R ◦ S ) = domS TODO: bewijs

14


Definitie 2.15. Een n-aire relatie is, analoog aan een binaire relatie, een verzameling n-tallen.

2.2

Equivalentierelaties

Definitie 2.16. Een relatie R op X × X is reflexief wanneer voor alle x ∈ X xRx geldt. ∀x ∈ X : (x,x ) ∈ R

Definitie 2.17. Een relatie R op X × X is symmetrisch wanneer voor alle x,y ∈ X xRy ⇔ yRx geldt. ∀x,y ∈ X : (x,y) ∈ R ⇔ (y,x ) ∈ R

Definitie 2.18. Een relatie R op X ×X is transitief wanneer voor alle x,y,z ∈ X (xRy ∧yRz) ⇒ xRz geldt. ∀x,y,z ∈ X : ((x,y) ∈ R ∧ (y,z) ∈ R) ⇒ (x,z) ∈ R

Definitie 2.19. Een equivalentierelatie R is een relatie die reflexief, symmetrisch en transitief is.

2.2.1

Equivalentieklassen

Definitie 2.20. Zij ∼ een equivalentierelatie op X en zij x ∈ X . De equivalentieklasse van x is de verzameling van elk element dat equivalent is met x. [x] = {y ∈ X | x ∼ y}

Definitie 2.21. De quotientverzameling van X ten opzichte van een equivalentierelatie ∼ is de verzameling van alle equivalentieklassen. X / ∼= {[x] | x ∈ X } Stelling 2.22. Zij ∼ een equivalentierelatie op X , dan is elk element van X een element van diens equivalentieklasse. ∀x ∈ X : x ∈ [x] Bewijs. Zij x een willekeurig element van X , dan geldt x ∼ x vanwege de reflexiviteit van een equivalentierelatie.1 Stelling 2.23. Zij ∼ een equivalentierelatie op X . ∀x,y ∈ X : y ∈ [x] ⇔ [y] = [x] 1 Zie

definitie 2.19 en 2.16.

15

HOOFDSTUK 2. RELATIES Bewijs. Bewijs van een equivalentie. • ⇒ Kies een willekeurige y in de equivalentieklasse van x. y ∼x

Kies een willekeurige z ∈ [y]. x ∼ y geldt alsook y ∼ z bijgevolg geldt x ∼ z.2 [y] is dus een deelverzameling van [x]. [y] ⊆ [x] De omgekeerde richting is analoog.3

[x] ⊆ [y]

• ⇐ Stel [y] = [x], nu geldt y ∈ [y]4 en bijgevolg y ∈ [x]. Stelling 2.24. De quotientverzameling X / ∼ van een equivalentierelatie ∼ op verzameling X is een partitie van X . Bewijs. We gaan de voorwaarden uit de definitie van een partitie na.5 • Een element [x] van A bevat steeds een element x en is dus niet leeg. • Stel dat er twee verschillend elementen [x] en [y] zijn van X / ∼ die niet onderling disjunct zijn, dan bestaat er een element z dat in zowel [x] als [y] zit. Nu geldt zowel [z] = [x] als [z] = [y].6 Tenslotte geldt [x] = [y]. Contradictie. • Voor elk element x ∈ X zit de equivalentieklasse in A. A overdekt dus minstens X . Stelling 2.25. Zij P een partitie van X . De volgende verzameling vormt dan een equivalentierelatie op X . x ∼ y ⇔ (∃A ∈ P : x ∈ A ∧ y ∈ A) Bewijs. We definieren een relatie ∼ als volgt: x ∼ y ⇔ x en y zitten in dezelfde deelverzameling van P Dat deze relatie een equivalentierelatie is volgt meteen uit het feit dat “dezelfde … als” ook een equivalentierelatie is.

2.3

Orderelaties

Definitie 2.26. Een relatie R op een verzameling X × X is anti-symmetrisch als het volgende geldt: ∀x,y ∈ X : ((x,y) ∈ R ∧ (y,x ) ∈ R) ⇒ x = y 2 Zie

definitie 2.19 en 2.18. definitie 2.19 en 2.17. 4 Zie stelling 2.22. 5 Zie definitie 1.46. 6 Zie stelling 2.23. 3 Zie

16


Definitie 2.27. Een (partiële) orderelatie op X is reflexief, transitief en anti-symmetrisch.

Definitie 2.28. Een grootste element a van een verzameling A waarop een orderelatie ≺ is gedefinieerd is, is het element waarvoor geldt dan alle andere elementen kleiner zijn of gelijk aan a. ∀x ∈ A : x a Analoog wordt ook een kleinste element gedefinieerd.

Definitie 2.29. Een maximaal element a van A waarop een orderelatie ≺ is gedefinieerd is, is het element waarvoor geldt dat er geen kleiner bestaat. @x ∈ A : a ≺ x Analoog wordt ook een minimaal element gedefinieerd. Opmerking 2.30. Een maximaal/minimaal element is niet noodzakelijk een grootste/kleinste element. Definitie 2.31. Zij (X ,preceq) een geordende verzameling en A ( X . b ∈ X is een bovengrens van A als het volgende geldt. ∀x ∈ A : x b Analoog wordt een ondergrens gedefinieerd. Opmerking 2.32. Een grens van een ordeverzameling hoeft dus niet in die verzameling te zitten.

Definitie 2.33. Een supremum(infimum) van een deelverzameling van een geordende verzameling is een bovengrens(ondergrens) die kleiner(groter) is dan elke andere bovengrens(ondergrens). Opmerking 2.34. Een supremum/infimum is een grens van een ordeverzameling en hoeft dus niet in die verzameling te zitten. Stelling 2.35. Zij A een partieel geordende verzameling met orderelatie ≺. Het kleinste/grootste element element van A is uniek als het bestaat. TODO: bewijs

Stelling 2.36. Zij A een partieel geordende verzameling met orderelatie ≺. Het supremum/infimum van A is uniek als het bestaat. TODO: bewijs

17


Definitie 2.37. Een totale orderelatie is een partiele orderelatie met bijkomend de volgende eigenschap: ∀x,y ∈ X : x y ∨ y x Voor elke twee elementen zijn er dus precies drie mogelijkheden: • x ≺y • x =y • y≺x

Definitie 2.38. Zij A een verzameling die volledig geordend is door de relatie ≺, dan noemen we succ de successorfunctie als die gedefinieerd kan worden. succ (x ) = y ⇔ x < y ∧ (@z ∈ A : x < z < y Opmerking 2.39. De successorfunctie kan niet altijd gedefinieerd worden. Denk bijvoorbeeld aan de volgende volledige orderelatie over Z: | ≤ | : Z × Z : x | ≤ | y ⇔ |x | ≤ |y|

Hoofdstuk 3 Functies en afbeeldingen Opmerking 3.1. Na dit hoofdstuk en in andere lectuur wordt met “functie” vaak “volledige functie” bedoelt, en wordt er dus geen onderscheid meer gemaakt tussen een functie en een afbeelding. Definitie 3.2. Een (partiele) functie f van A naar B: f : A → B is een relatie tussen A en B die 1-waardig is. 1. f ∈ A × B (f is een relatie van A naar B.) 2. (x,y1 ) ∈ f ∧ (x,y2 ) ∈ f ⇒ y1 = y2 (f is 1-waardig.) Vaak worden A en B opgenomen in de definitie van een functie om over surjecties te kunnen spreken. Een functie f : A → B is dan het drietal ( f ,A,B).

Definitie 3.3. De definitie van een functie ziet er als volgt uit: f : A → B : a 7→ b Hier noemen we B het codomein van f en er geldt dom f ⊆ A. We lezen: “f is een functie van A naar B die a afbeeldt op b.”

Definitie 3.4. Wanneer er geen koppel (x,y) in f bestaat zeggen we dat de functie f ongedefinieerd is in x.

Definitie 3.5. Wanneer we over functies spreken gebruiken we soms de volgende afkorting. Zij f een functie f : A → B en C ⊆ A een verzameling. f (C) = { f (c) | c ∈ C}

Definitie 3.6. Zij f een functie: f : A → B. In y = f (x ) noemen we x het argument en y het beeld van x onder f .

18

HOOFDSTUK 3. FUNCTIES EN AFBEELDINGEN

19

Definitie 3.7. Het beeld f (A) van een verzameling A onder een functie f is de verzameling van alle beelden van de elementen van A. f (A) = {y ∈ Y | ∃x ∈ A : f (x ) = y}

Definitie 3.8. Het invers beeld f −1 (A) van een verzameling B onder een functie f is de verzameling van alle elementen uit X die op een element in B afgebeeldt worden. f −1 (B) = {x ∈ X | f (x ) ∈ B}

Definitie 3.9. Een afbeelding (of volledige functie) f van A naar B: f : A → B is een functie die overal gedefiniëerd is. ∀x ∈ A, ∃y ∈ B : (x,y) ∈ f

Definitie 3.10. De definitie van een afbeelding ziet er als volgt uit: f : A → B : a 7→ b Hier noemen we B het codomein van f en A het domein van f . We lezen: “f is een functie afbeelding van A op B die a afbeeldt op b.”

Definitie 3.11. Wanneer we over afbeeldingen spreken noteren we vaak f (x ) = y in plaats van x f y of (x,y) ∈ f . Stelling 3.12. Zij f en д functies van A naar B: f : A → B, dan geldt: ∀x ∈ A : f = д ⇔ f (x ) = д(x ) Bewijs. Bewijs van een equivalentie. • ⇒ Als de verzamelingen f en д gelijk zijn is het beeld van elke x inderdaad hetzelfde onder f als onder д. • ⇐ Geldt er voor koppel (x,y1 ) ∈ f en (x,y2 ) dat y1 gelijk is aan y2 , dan moeten f en д wel dezelfde verzameling zij. Definitie 3.13. Zij f : A → A een functie van A naar zichzelf. We noemen x een vast punt van f als f x op zichzelf afbeeldt. f (x ) = x


20

Definitie 3.14. Zij f : A → A een functie van A naar zichzelf. We noemen een deelverzameling X van A een invariante of stabiele deelverzameling voor f als f X op een deelverzameling van zichzelf afbeeldt. f (X ) ⊆ X

3.1

Jecties

Opmerking 3.15. De “jecties” worden soms enkel gedefinieerd voor afbeeldingen, maar ze kunnen al over relaties gedefinieerd worden.

Definitie 3.16. Een afbeelding f : A → B is injectief (een injectie) als ze voor verschillende argumenten nooit hetzelfde beeld geeft. ∀x 1 ,x 2 ∈ A : f (x 1 ) = f (x 2 ) ⇒ x 1 = x 2

Definitie 3.17. Een afbeelding f : A → B is surjectief (een surjectie) als elk element in het codomein B een beeld is van een element uit A. ∀y ∈ B : ∃x ∈ A : y = f (x )

Definitie 3.18. Een afbeelding f : A → B is bijectief (een bijectie) als het een injectie en een surjectie is.

Definitie 3.19. We noemen twee verzamelingen X en Y equipotent als er een bijectie f : X → Y bestaat.

Definitie 3.20. Een afbeelding f : A → A van een verzameling op zichzelf noemen we een transformatie.

3.2

Speciale afbeeldingen

Definitie 3.21. Een bijectieve functie van een eindige verzameling A naar een eindige verzameling B noemen we een substitutie.

Definitie 3.22. De identieke transformatie idA van een verzameling A is de (bijectieve) afbeelding die elk element op zichzelf afbeeldt. idA : A → A met ∀x ∈ A : f (x ) = x


21

Definitie 3.23. De inlassing iAB van A in B met A ⊆ B beeldt elk element ook op zichzelf af, maar heeft een ander codomein. iAB : A → B met ∀x ∈ A : f (x ) = x

Definitie 3.24. Een constante afbeelding f beeldt elk argument af op e´ e´ nzelfde beeld b. f : A → B met ∀x ∈ dom f : f (x ) = b

Definitie 3.25. De karacteristieke afbeelding van A in C is gedefinieerd voor A ⊆ C in B = {0, 1} als volgt: ( ) x 7→ 1 als x ∈ A EA : C → B : x 7→ 0 als x < A

Definitie 3.26. De beperking f |C van f tot C is gedefinieerd voor f : A → B en C ∈ A als volgt: f |C : C → B : x 7→ f (x ),∀x ∈ C Een functie, beperkt tot haar domein is een afbeelding. Stelling 3.27. Zij f : A → B en д : B → C twee afbeeldingen, dan is de samenstelling д ◦ f ervan ook een afbeelding. Bewijs. Inderdaad, z = (д ◦ f )(x ) = д( f (x )) en zowel f (x ) en д( f (x )) zijn goed gedefinieerd omdat f en д afbeeldingen zijn. Stelling 3.28. Zij f en д injecties, dan is hun samenstelling д ◦ f ook een injectie. TODO: bewijs

Stelling 3.29. Zij f en д surjectie, dan is hun samenstelling д ◦ f ook een surjectie. TODO: bewijs

Stelling 3.30. Zij f en д bijectie, dan is hun samenstelling д ◦ f ook een bijectie. TODO: bewijs

Definitie 3.31. Assymetrische inversen De linker inverse д : B → A van een afbeelding f : A → B is een afbeelding zodat het volgende geldt: д ◦ f = IA De rechter inverse д : B → A van een afbeelding f : A → B is een afbeelding zodat het volgende geldt: f ◦ д = IB


22

Definitie 3.32. De (algemene) inverse д : B → A van een afbeelding f : A → B is een afbeelding die zowel de linker- als rechter inverse is van f .

Definitie 3.33. Een afbeelding f : A → B is inverteerbaar als en slechts als f −1 : B → A ook een afbeelding is. f −1 noemen we dan de inverse afbeelding. Stelling 3.34. Een afbeelding is inverteerbaar als en slechts als ze bijectief is. TODO: bewijs

Stelling 3.35. De samenstelling van een inverteerbare afbeelding en haar inverse is de identieke transformatie. TODO: bewijs

Stelling 3.36. Ontbindingsstelling voor afbeeldingen Iedere afbeelding f : A → B valt te schrijven als een samenstelling: f = i ◦b ◦p • p: de projectie van f op A/R f . • b: een bijectie tussen A/R f en f (A), • i: de inlassing van f (A) in B, TODO: bewijs

3.3

Permutaties

Definitie 3.37. Een transpositie is een permutatie die elementen verwisselt en de rest op zichzelf afbeeldt. Het is met andere woorden een cykel van lengte 2.

Definitie 3.38. Een bijectieve afbeelding van een eindige verzameling naar zichzelf noemen we een permutatie. Stelling 3.39. Een permutatie is een samenstelling van transposities. TODO: bewijs zie p 15

Definitie 3.40. We noemen de verzameling van permutaties van n elementen Sn .


23

Definitie 3.41. We noteren het voorschrift van een permutatie σ : A → A van een verzameling A = a 1 , . . . ,an soms als volgt: ! a1 . . . an σ= σ (a 1 ) . . . σ (an ) Dit heet de twee-lijnen notatie van Cauchy.

Definitie 3.42. We kunnen een permutatie van {1, . . . ,n} eenvoudig noteren als volgt: Zij i 1 , . . . ,ir elementen uit {1, . . . ,n}. σ = (i 1i 2 . . . ir ) Bovenstaande gelijkheid is de notatie voor σ , zijnde de volgende permutatie: σ (ii ) = i (i+1)mod r Dit heet de cykelnotatie.

Definitie 3.43. Twee cykels zijn disjunct als ze geen gemeenschappelijke symbolen hebben. Stelling 3.44. Elke permutatie in Sn , verschillend van de identieke, is de samenstelling van twee aan twee disjuncte cykels. TODO: bewijs zie p 14

Definitie 3.45. Zij π : A → A een permutatie en i en j twee elementen van A met i < j. We zeggen dat i en j geinverteerd worden door π als het volgende geldt: π (i) > π (j)

Definitie 3.46. Het aantal inversies van een permutatie π tellen we als volgt: ( 0 als π (i) < π (j) ϕ(i, j) = 1 als π (i) < π (j) X ϕ(i, j) I (π ) = 1≤i<j≤n

Het teken van de permutatie π noteren we als siдn(π ) en is ofwel 1 ofwel −1. siдn(π ) = (−1) I (π ) Eigenschap 3.47. Zij π en ρ permutaties. siдn(π ◦ ρ) = siдn(π )siдn(ρ) Bewijs.

siдn(π )siдn(ρ) = (−1) I (π ) (−1) I (ρ) = (−1) I (π ◦ρ) = siдn(π ◦ ρ)


24

Definitie 3.48. We noemen een permutatie even/oneven als het aantal inversies even/oneven is.

Definitie 3.49. We noemen een cykel van r elementen even/oneven als r even/oneven is.

Definitie 3.50. We noemen de verzameling van even permutaties van n elementen An . Stelling 3.51. Een transpositie is steeds oneven. Bewijs. Een transpositie inverteert precies e´ e´ n element.

Stelling 3.52. Een permutatie in disjuncte cykelnotatie is even als en slechts als het aantal even cykels even is. TODO: bewijs

Hoofdstuk 4 Kardinaliteit Definitie 4.1. Definieer En als de verzameling met de n eerste elementen uit N. En = {i ∈ N | 1 ≤ i ≤ n}

Definitie 4.2. Zij X een verzameling. We zeggen dat n de kardinaliteit is van X als er een bijectie bestaat tussen X en En . |X | = #X = n

Definitie 4.3. Een verzameling is aftelbaar oneindig als X equipotent is met N0 . |X | = ℵ0

Definitie 4.4. We noemen een verzameling aftelbaar als ze eindig of aftelbaar oneindig is.

Definitie 4.5. Een verzameling is overaftelbaar als ze nie aftelbaar is.

25

Hoofdstuk 5 Deelbaarheid Definitie 5.1. Zij x, y elementen van Z, dan is x een deler van y als er een q in Z bestaat zodat y = qz geldt. x |y ⇔ ∃q ∈ Z : y = zq Eigenschap 5.2. De relatie | op Z is transitief. TODO: bewijs

Eigenschap 5.3. ∀d,a,b,x,y ∈ Z : (d |x ) ∧ (d |y) ⇒ d |(ax + by) TODO: bewijs

Eigenschap 5.4. ∀x,y ∈ Z : (x |y) ∧ (y|x ) ⇔ |x | = |y| TODO: bewijs

Eigenschap 5.5. ∀x ∈ Z,∀y ∈ Z0 : x |y ⇒ |x | ≤ |y| TODO: bewijs

Definitie 5.6. Zij a 1 , . . . ,an ∈ Z0 . De grootste gemene deler d van a 1 , . . . ,an is de het grootste getal d ∈ N waarvoor het volgende geldt: d = ддd (a 1 , . . . ,an ) ⇔ d |a 1 ∧ · · · ∧ d |an Definieer bovendien ддd (0, 0, . . . , 0) = 0.

Definitie 5.7. Zij a 1 , . . . ,an ∈ Z0 . a 1 , . . . ,an zijn relatief priem of onderling ondeelbaar als ддd (a 1 , . . . ,an ) = 1 geldt. Stelling 5.8. Euclidische deling Voor elke a ∈ Z en elke b ∈ N0 , bestaat er een unieke q ∈ Z en een unieke r ∈ Z zodat het volgende geldt: a = bq + r met r ≤ r < b 26

27

HOOFDSTUK 5. DEELBAARHEID We noemen q het quotient en r de rest. We duiden r bovendien aan als r = a mod b = a%b. TODO: bewijs

Stelling 5.9. Zij x en y gehele getallen en n ∈ N0 . (x + y) mod n = ((x mod n) + (y mod n)) mod n TODO: bewijs

Stelling 5.10. Zij x en y gehele getallen en n ∈ N0 . (x · y) mod n = ((x mod n) · (y mod n)) mod n TODO: bewijs TODO: algoritme van euler

Stelling 5.11. Bézout-Bachet Zij a en b elementen van Z dan bestaan er α en β in Z zodat het volgende geldt. ддd (a,b) = αa + βb TODO: bewijs

Stelling 5.12. Zij a,b,c ∈ Z

c |ab ∧ дdd (a,c) = 1 ⇒ c |b

TODO: bewijs

Stelling 5.13. Zij a,b,c ∈ Z a|b ∧ b|c ∧ d = ддd (a,b) ⇒

ab |c d

TODO: bewijs

Stelling 5.14. Zij a,b,c ∈ Z

ддd (a,bc)|ддd (a,b) · ддd (a,c)

TODO: bewijs

Stelling 5.15. Chinese reststelling Zij n 1 , . . . ,nr ∈ N0 met ддd (ni ,n j ) = 1 voor alle i , j. Voor alle a 1 , . . . ,ar ∈ Z bestaat er een x ∈ Z zodat het volgende geldt:  x mod n 1 = a 1 mod n 1    ..  .    x mod n = a mod n r 1 r  Bovendien geldt dat als x 0 ∈ Z een oplossing is van bovenstaand stelsel, dan wordt de oplossingsverzameling in Z de volgende: {x 0 + (n 1n 2 . . . nr )k |k ∈ r } = {x ∈ Z|x mod (n 1n 2 . . . nr ) = x 0 mod (n 1n 2 . . . nr )} TODO: bewijs

28

HOOFDSTUK 5. DEELBAARHEID Stelling 5.16. kдv (a,b) =

ab дcd (a,b)

TODO: bewijs en definieer kgv

Definitie 5.17. Een priemgetal is een natuurlijk getal p > 1 dat alleen deelbaar is door ±1 en ±p. Stelling 5.18. Zij p een priemgetal en a,b ∈ Z zodat p|ab, dan geldt p|a of p|b. p|ab ⇒ p|a ∨ p|b TODO: bewijs

Stelling 5.19. De unieke priemfactorisatie Elk natuurlijk getal n > 1 kan geschreven worden als een product van priemgetallen. Deze ontbinding is uniek op de volgorde van de factoren na. TODO: bewijs

Definitie 5.20. Zij p een priemgetal en a ∈ Z0 . De p orde ordp (a) van a is de grootste exponent a ∈ N zodat pa |a. We definieren bovendien ordp (0) = +∞. Stelling 5.21. Stelling van euclides Er bestaan oneindig veel priemgetallen. TODO: bewijs

Hoofdstuk 6 Samenstellingswetten 6.1

Inwendige bewerking

Definitie 6.1. Een (inwendige) samenstellingswet of bewerking > onder de elementen van een verzameling A is een partiele functie: > : A × A → A : (x,y) → >((x,y)) De enige voorwaarde voor een bewerking is dat ze intern is. Met andere woorden: ∀x,y ∈ A : >((x,y)) ∈ A Vaker dan de functienotatie gebruiken we de infixnotatie: x>y ⇔ ((x,y), >((x,y))) ∈ >

Definitie 6.2. We noemen een bewerking overal bepaald als het een afbeelding is.

Definitie 6.3. Zij > : A×A → A een bewerking gedefinieerd op een verzameling A. We noemen een deelverzameling B ⊆ A stabiel of gesloten onder > als de bewerking intern is binnen B. ∀x,y ∈ B ⊆ A : x>y ∈ B

Definitie 6.4. associativiteit We noemen een bewerking > : A × A → A associatief als de haakjes niet uit maken. ∀x,y,z ∈ A : x>(y>z) = (x>y)>z

Definitie 6.5. commutativiteit We noemen een bewerking > : A × A → A associatief als de volgorde van de argumenten niet

29

HOOFDSTUK 6. SAMENSTELLINGSWETTEN uit maakt.

30

∀x,y ∈ A : x>y ⇔ y>x

Definitie 6.6. Zij > : A × A → A een bewerking gedefinieerd op een verzameling A. We noemen e ∈ A het neutraal element van > in A als de volgende gelijkheden gelden. ∀a ∈ A : a>e = e = e>a Stelling 6.7. Als er een neutraal element e bestaat voor een bewerking > in een verzameling A is dat neutraal element uniek. Bewijs. Bewijs uit het ongerijmde Stel dat er twee verschillende neutrale elementen e 1 en e 2 bestaan, dan gelden volgende gelijkheden: e 2 >e 1 = e 1 = e 1 >e 2 e 1 >e 2 = e 2 = e 2 >e 1 Bijgevolg zijn deze neutrale elementen gelijk. Contradictie.

Definitie 6.8. Zij > : A × A → A een bewerking gedefinieerd op een verzameling A. Zij l een element van A. l is links-regulier of links-schrapbaar als het links geschrapt kan worden. ∀x,y ∈ A : l>x = l>y ⇒ x = y r is rechts-regulier of rechts-schrapbaar als het rechtse geschrapt kan worden. ∀x,y ∈ A : x>r = y>r ⇒ x = y Een element is regulier of schrapbaar als het zowel links- als rechts-regulier is. Opmerking 6.9. Als een element links/rechts schrapbaar is, is de afbeelding x 7→ l>x / x 7→ x>r een injectie. Het “schrappen” van dat element is dan de linker/linker inverse afbeelding van deze afbeelding. Definitie 6.10. Zij > : A × A → A een bewerking gedefinieerd op een verzameling A met een neutraal element e. We noemen een element x ∈ A symmetriseerbaar voor > alls het volgende geldt: ∃y ∈ A : (x>y = e) ∧ (y>x = e) y is dan het symmetrisch element van x voor > in A. y = sym(x ) Stelling 6.11. Zij > : A × A → A een associatieve bewerking gedefinieerd op een verzameling A met een neutraal element e. Voor elk element x ∈ A geldt dat het symmtrisch element uniek is als het bestaat. !∃y : y = sym(x ) TODO: bewijs

HOOFDSTUK 6. SAMENSTELLINGSWETTEN

31

Stelling 6.12. Zij > : A × A → A een associatieve bewerking gedefinieerd op een verzameling A met een neutraal element e. Elk symmetrisch element is schrapbaar. ∃y : y = sym(x ) ⇒ (∀a,b ∈ A : (a>x = b>x ⇒ a = b) ∧ (x>a = x>b ⇒ a = b)) TODO: bewijs

Stelling 6.13. Zij > : A × A → A een associatieve bewerking gedefinieerd op een verzameling A met een neutraal element e. ∀x,y ∈ A : sym(x>y) = sym(x )>sym(y) TODO: bewijs

Definitie 6.14. De multiplicatieve notatie biedt afkortingen wanneer we de notatie ∗ of · · · gebruiken voor de notatie van een bewerking. Multiplicatieve notatie wordt meestal gebruikt als de bewerking associatief is maar niet noodzakelijk commutatief. • x −1 voor het symmetrisch element van x. • x 0 of 1 voor het neutraal element e. • x n = x ∗ x ∗ . . . ∗ x als n > 0 • x n = x −1 ∗ x −1 ∗ . . . ∗ x −1 als n < 0

Definitie 6.15. De additieve notatie biedt afkortingen wanneer we de notatie + gebruiken voor de notatie van een bewerking. Additieve notatie wordt meestal gebruikt als de bewerking zowel associatief als commutatief is. • −x voor het symmetrisch element van x. • 0 voor het neutraal element e. • nx = x ∗ x ∗ . . . ∗ x als n > 0 • nx = (−x ) ∗ (−x ) ∗ . . . ∗ (−x ) als n < 0 • a ∗ (−b) = a − b

Definitie 6.16. Zij > en >0 twee bewerkingen op A. > is links-distributief ten opzichte van >0 als en slechts als volgende bewering geldt: ∀x,y,z ∈ A : x>(y>0z) = (x>y)>0 (x>z) > is rechts-distributief ten opzichte van >0 als en slechts als volgende bewering geldt: ∀x,y,z ∈ A : (x>0y)>z = (x>z)>0 (y>z) > is zonder meer distributief als de bewerking zowel links- als rechts-distributief is.


6.2

32

Uitwendige bewerking

Definitie 6.17. Een (uitwendige) samenstellingswet of bewerking ⊥ tussen elementen van een verzameling Ω en elementin van eenverzameling A is een partiele functie. ⊥ : Ω × A → A : (x,y) → ⊥(x,y)) Vaker dan de functienotatie gebruiken we de infixnotatie: x⊥y ⇔ ((x,y), ⊥((x,y))) ∈ ⊥

Definitie 6.18. Zij ⊥ : Ω×A → A een uitwendige bewerking. We noemen een deelverzameling B ⊆ A stabiel of gesloten onder ⊥ als de bewerking intern is binnen B voor alle elementen van Ω. ∀x ∈ B ⊆ A,∀y ∈ A : x⊥y ∈ B

Definitie 6.19. Zij > een inwendige en ⊥ een uitwendige bewerking voor A, dan noemen we ⊥ distributief ten opzichte van > als het volgende geldt: ∀α ∈ Ω,∀x,y ∈ A : α⊥(x>y) = (α⊥x )>(α⊥y)

Definitie 6.20. Zij > een inwendige en ⊥ een uitwendige bewerking voor A, dan noemen we ⊥ associatief ten opzichte van > als het volgende geldt: ∀α, β ∈ Ω,∀x ∈ A : (α>β )⊥x = α⊥(β⊥x )

Definitie 6.21. Zij >1 en >2 bewerkingen voor twee respectievelijke verzamelingen A1 en A2 . De productbewerking > is als volgt gedefinieedr: ∀x 1 ,y1 ∈ A1 ,∀y2 ,x 2 ∈ A2 : (x 1 ,x 2 ) ⊕ (y1 ,y2 ) = (x 1 >1y1 ,x 2 >2y2 ) Opmerking 6.22. De definitie van de productbewerking kan uitgebreid worden naar n-tallen.

Definitie 6.23. Zij A een verzameling met een inwendige bewerking > en een equivalentierelatie ∼. We noemen ∼ rechts-verenigbaar met > als het volgende geldt: ∀x,y,a ∈ A : x ∼ y ⇒ (x>a) ∼ (y>a) We noemen ∼ links-verenigbaar met > als het volgende geldt: ∀x,y,a ∈ A : x ∼ y ⇒ (a>x ) ∼ (a>y)


33

We noemen ∼ zonder meer verenigbaar met > als ∼ zowel links- als rechts-verenigbaar is met >.

Definitie 6.24. Zij A een verzameling met een inwendige bewerking > en een equivalentiere¯ is de quotientbewerking voor > door B: latie ∼ die verenigbaar is met >. > ¯ : A/R × A/R → A/R : (∼x , ∼y ) 7→∼x > ¯ ∼y =∼x>y > Stelling 6.25. Zij A een verzameling met een inwendige bewerking > en een equivalentierelatie ¯ voor > door B is wel degelijk een inwendige ∼ die verenigbaar is met >. De quotientbewerking > bewerking. TODO: bewijs

Stelling 6.26. Zij A een verzameling met een inwendige bewerking > en een equivalentierelatie ∼ ¯ associatief is, dan is > associatief. die verenigbaar is met >. Als de quotientbewerking > TODO: bewijs

Stelling 6.27. Zij A een verzameling met een inwendige bewerking > en een equivalentierelatie ∼ ¯ commutatief is, dan is > commutatief. die verenigbaar is met >. Als de quotientbewerking > TODO: bewijs

Stelling 6.28. Zij A een verzameling met een inwendige bewerking > en een equivalentierelatie ∼ die verenigbaar is met >. Als de equivalentieklasse ∼e van een element het neutraal element is van ¯ dan is e het neutraal element van >. >, TODO: bewijs

Stelling 6.29. Zij A een verzameling met een inwendige bewerking > en een equivalentierelatie ∼ die verenigbaar is met >. Voor elk element x van A geldt als y het symmetrisch element is van x in A, dat ∼x dan het symmetrisch element is van ∼y is in A/R. TODO: bewijs

Hoofdstuk 7 Algebras Definitie 7.1. Een algebra¨ısche structuur of algebra is een verzameling A waarop een aantal inwendige (en eventueel een aantal uitwendige) bewerkingen gedefinieerd zijn. A, >1 ,dotsc, >m , ⊥1 , . . . , ⊥n

Definitie 7.2. Een algebra B is een deelalgebra of subalgebra van een algebra A als volgende beweringen gelden: • B ⊆ A: B is een deelverzameling van A. • Op B zijn dezelfde bewerkingen gedefineerd. • B is stabiel voor de interne bewerkingen van A.

Definitie 7.3. Zij A een algebra en ∼ een equivalentierelatie verenigbaar met de bewerkingen van A, dan vormt de quotientverzameling A/R voorzien van de quotientbewerking de quotientalgebra van A door R.

7.1

Morfismen

Definitie 7.4. Twee algebras A en B zijn homoloog als volgende beweringen gelden: • Met iedere inwendige bewerking op A komt een inwendige bewerking op B overeen. • Met iedere uitwendige bewerking op A komt een uitwendige bewerking op B overeen. • De operatorengebieden voor A zijn dezelfde als de operatorengebieden voor B.

Definitie 7.5. Zij A, >, . . . , ⊥, . . . en B, >0, . . . , ⊥0, . . . twee homologe algebras. Een homomorfisme tussen A en B is een afbeelding f met de volgende eigenschappen:

34

35

HOOFDSTUK 7. ALGEBRAS • Voor elke inwendige bewerking: ∀x,y ∈ A : f (x>y) = f (x )>f (y) • Voor elke uitwendige bewerking: ∀x ∈ A,∀α ∈ Ω : f (α⊥x ) = α⊥f (x )

Definitie 7.6. Een bijectief homomorfisme is een isomorfisme. “A is isomorf met B” noteren we als volgt: GH

Definitie 7.7. Een homomorfisme van een algebra met zichzelf is een endomorfisme.

Definitie 7.8. Een isomorfisme van een algebra met zichzelf is een automorfisme.

Hoofdstuk 8 Groepen 8.1

Basisbegrippen

8.1.1

De groep

Definitie 8.1. Een halfgroep G, ∗ is een algebraa die bestaat uit een (niet-lege) verzameling G en een afbeelding ∗ (De bewerking). ∗ : G × G →: (x,y) 7→ x ∗ y De bewerking ∗ is associatief. a Zie

definitie 7.1.

Definitie 8.2. Een mono¨ıde is een halfgroep G, ∗ met een neutraal element eG . TODO: cyclische mono¨ıde

Definitie 8.3. Een groep G, ∗ is een mono¨ıde waarin elk element symmetriseerbaar is. ∀x ∈ G, ∃x 0 ∈ G : x ∗ x 0 = e = x 0 ∗ x Stelling 8.4. De inverse x −1 van een element x van een groep G is uniek. Bewijs. Bewijs uit het ongerijmde. Stel dat er twee verschillende inversen y en z zijn van x in G. y = y ∗ eG = y ∗ (x ∗ z) = (y ∗ x ) ∗ z = eG ∗ z =z De derde gelijkheid geldt omdat de bewerkin ∗ associatief is.1 De vierde gelijkheid geldt omdat het neutraal element van een groep uniek is.2 1 Zie 2 Zie

de definitie van een groep (Definitie 8.3). stelling 6.7.

36

37

HOOFDSTUK 8. GROEPEN

Definitie 8.5. Een commutatieve groep of abelse groep G, ∗ is een groep waarbij de bewerking ∗ commutatief is. ∀x,y ∈ G : x ∗ y = y ∗ x

Definitie 8.6. Zij G, ∗ een groep en H een (niet-lege) deelverzameling van G. We noemen H een deelgroep van G als H zelf ook een groep is met dezelfde bewerking ∗. Met andere woorden: “Een deelgroep is een deelalgebra die ook een groep is”. Stelling 8.7. Zij H een deelgroep van G, ∗, dan is eG ook het neutraal element van H . Bewijs. Noem eG het neutraal element van G, ∗ en eh dat van H , ∗. Noem het invers van een element ¯ x in G x −1 en het invers van x in H x. ⇒ ⇒ ⇒ ⇒

eH ∗ eH −1 eH ∗ (eH ∗ eH ) (eH−1 ∗ eH ) ∗ eH eG ∗ eH eH

= eH ∗ eG = eH−1 ∗ (eH ∗ eG ) = (eH−1 ∗ eH ) ∗ eG = eG ∗ eG = eG

Stelling 8.8. Zij H een deelgroep van G, ∗, dan is elk invers element x −1 van een element x in H ook het invers element van x in G. Bewijs. Noem eG het neutraal element van G, ∗ en eh dat van H , ∗. Noem het invers van een element ¯ x in G x −1 en het invers van x in H x. x ∗ x¯ = eH = eG = x ∗ x −1

⇒ x¯ = x −1

Stelling 8.9. Het criterium van een deelgroep. Zij G, ∗ een groep, en H een deelverzameling van G. H is een deelgroep van G als en slechts als aan de volgende voorwaarden voldaan is. 1. eG ∈ H 2. ∀x,y ∈ H : x ∗ y ∈ H 3. ∀x ∈ H : x −1 ∈ H Bewijs. Bewijs van een equivalentie. • ⇒ Als H een deelgroep is van G, dan gelden de voorwaarden al omdat H zelf een groep is.3 • ⇐ Stel dat de voorwaarden voldaan zijn. Vanwege voorwaarde twee is de beperking van ∗ tot H alvast een interne bewerking in H . ∗ : H × H → H : (x,y) 7→ x ∗ y 3 Zie

bovendien stelling 8.7.

38

HOOFDSTUK 8. GROEPEN – associativiteit Deze bewerking is associatief in G, dus ook in H . – Neutraal element Vanwege de eerste voorwaarde is eG ook een neutraal element van H .

– Inverse Elk element x in H heeft bovendien ook een invers in H volgens de derde voorwaarde. Stelling 8.10. alternatieve criteria. We kunnen in het vorige criterium de volgende aanpassingen maken. • Vervang de eerste voorwaarde door voorwaarde 10: H ,∅ • Vervang de tweede en derde voorwaarde samen door voorwaarde 4: ∀x,y ∈ H : x ∗ y −1 ∈ H Bewijs. We bewijzen dat de voorwaarden die we vervangen equivalent zijn. • eG ∈ H ⇔ H , ∅. Als eG een element is van H , is H natuurlijk niet leeg. Als H niet leeg is, bestaat er een element x in H . Vanwege de derde voorwaarde zit de inverse van dat element ook in H . Vanwege de tweede voorwaarde zit x ∗ x −1 = eG ook in H . •

(∀x,y ∈ H : x ∗ y ∈ H ) ∧ (∀x ∈ H : x −1 ∈ H ) ⇔ ∀x,y ∈ H : x ∗ y −1 ∈ H Als voorwaarde 2 en 3 gelden is het duidelijk dat voorwaarde 4 geldt. Als voorwaarde 4 geldt, kies dan eG voor x in voorwaarde 4 om voorwaarde 3 te bekomen. ∀y ∈ H : eG ∗ y −1 = y −1 ∈ H Kies nu de inverse z −1 van een willekeurig element x in H voor y in voorwaarde 4 om voorwaarde 2 te bekomen. ∀x,z ∈ H : x ∗ (z −1 ) −1 = x ∗ z ∈ H

Stelling 8.11. Zij G een verzamelinge met een bewerking ∗ die voldoet aan de volgende voorwaarden. • ∗ is associatief • er bestaat een e in G waarvoor geldt ∀x ∈ G : x ∗ e = x • voor elk element e dat voldoet aan de vorige voorwaarde: ∀x ∈ G, ∃y ∈ G : x ∗ y = e G, ∗ is dan een groep.

39


Bewijs. Om te bewijzen dat G, ∗ een groep is, moeten we nog bewijzen dat er een neutraal element bestaat in G en dat elk element een inverse heeft in G. TODO: voor doorbijters: Bewijs

Stelling 8.12. Zij G, ∗ een groep waarop een equivalentierelatie ∼ is gedefinieerd, dan is de verzameling van alle elementen equivalent met het neutraal element als ∼ links-(of rechts-)verenigbaar is met ∗. TODO: bewijs p 106 tai

8.1.2

Morfismen

Definitie 8.13. Zij G, ∗ en H , groepen. Een (groeps)(homo)morfisme f is een morfismea tussen twee groepen G, ∗ en H , . ∀x,y ∈ G : f (x ∗ y) = f (x )f (y) a Zie

definitie 7.5.

Definitie 8.14. Zij f : G → H een groepsmorfisme. De kern Ker f wordt gedefinieerd als volgt. Ker f = {x ∈ G | f (x ) = eH }

Definitie 8.15. Zij f : G → H een groepsmorfisme. Het beeld Im f wordt gedefinieerd als volgt. Im f = f (G) = { f (u) | u ∈ G} Stelling 8.16. Zij G, ∗ en H , groepen met een morfisme f : G → H . eH = f (eG ) Bewijs. Beschouw de neutrale elementen eG en eH in de groepen. Begin bij de definite van een groepsmorfisme.4 f (eG ∗ eG ) = f (eG ) ∗ f (eG ) eG is het neutraal element in G. eG ∗ eG is dus opnieuw G. f (eG ) = f (eG ) ∗ f (eG ) Voeg links eH toe. Dit mag omdat eH het neutraal element is in H . f (eG ) ∗ eH = f (eG ) ∗ f (eG ) Schrap tenslotte f (eG ) aan beide kanten. eH = f (eG ) 4 Zie

definitie 8.13.

40

HOOFDSTUK 8. GROEPEN Stelling 8.17. Zij G, ∗ en H , groepen met een morfisme f : G → H . ∀x ∈ G : f (x −1 ) = ( f (x )) −1 Bewijs. Kies een willekeurig element x in G. Nu geldt het volgende: f (x ) ∗ f (x −1 ) = f (x ∗ x −1 ) = f (eG ) = eH

De eerste gelijkheid is precies de definitie van een groepsmorfisme.5 De tweede gelijkheid volgt uit de definitie van de inverse van een element van een groep.6 De laatste gelijkheid geldt omdat een groepsmorfisme het neutraal element behoudt.7 Wat we bekomen is de definitie van het neutraal element f (x −1 ) van f (x ). Stelling 8.18. Zij G, ∗ en H , groepen met een morfisme f : G → H . Im( f ) is een deelgroep van H Bewijs. We bewijzen elke voorwaarde uit het criterium voor deelgroepen. 1. eH ∈ Im( f ) Inderdaad!8 2. ∀x,y ∈ Im( f ) : xy ∈ Im( f ) Kies twee elementen f (x ) en f (y) in Im( f ), nu bestaan er dus twee elementen x en y in G. In G is de bewerking ∗ intern.9 . Kijk nu naar de definitie van een groepsmorfisme.10 f (x ∗ y) = f (x )f (y) f (x )f (y) is dus een element van Im( f ). 3. ∀x ∈ Im( f ) : x −1 ∈ Im( f ) Kies een element f (x ) in Im( f ), er bestaat er dus een element x in G. Nu is de inverse van f (x ) precies f (x −1 ).11 Stelling 8.19. Zij G, ∗ en H , groepen met een morfisme f : G → H . Ker ( f ) is een deelgroep van G Bewijs. We bewijzen elke voorwaarde uit het criterium voor deelgroepen. 1. eH ∈ Ker ( f ) Inderdaad!12 5 Zie

definitie 8.13. definitie 8.3 puntje 3. 7 Zie stelling 8.16. 8 Zie stelling 8.16. 9 Zie definitie 8.3 10 Zie definitie 8.13. 11 Zie stelling 8.17. 12 Zie stelling 8.16. 6 Zie

41

HOOFDSTUK 8. GROEPEN 2. ∀x,y ∈ Ker ( f ) : x ∗ y ∈ Ker ( f ) Kies twee willekeurige elementen x en y in de kern Ker ( f ) van f . Nu geldt het volgende. f (x ∗ y) = f (x )f (y) = eH eH = eH x ∗ y zit dus in Ker ( f ) voor elke x en y. 3. ∀x ∈ Ker ( f ) : x −1 ∈ Ker ( f ) Kies een willekeurig element x in de kern Ker ( f ) van f . Nu geld het volgende. f (x −1 ) = ( f (x )) −1 = eH−1 = eH x −1 zit dus in Ker ( f ) voor elke x.

Stelling 8.20. Zij G, ∗ en H , groepen met een morfisme f : G → H . Ker ( f ) = {eG } ⇔ f is injectief Bewijs. Bewijs van een equivalentie. ∀x,y ∈ G : f (x ∗ y) = f (x )f (y) • ⇒ Bewijs uit het ongerijmde: Stel dat er twee verschillende elementen x en y in G zitten die door x op hetzelfde element f (x ) = f (y) ∈ H afgebeeldt worden. f (x ∗ y) = f (x )f (y) = f (x )f (x ) f (y) = f (x ) Contradictie. • ⇐ Bewijs door contrapositie: Als de kern van f niet triviaal is, dan bestaan er minstens twee verschillende elementen in G die door f op eH afgebeeldt worden en is f dus niet injectief. Stelling 8.21. Zij G, ∗ en H , groepen met een morfisme f : G → H . f is een isomorfisme ⇒ f −1 is een isomorfisme Merk op dat de afbeelding f −1 slechts bestaat als f een injectie is. Bewijs. f −1 is een morfisme: f −1 (y1 y2 ) = f −1 ( f (x 1 )f (x 2 )) = f −1 ( f (x 1 ∗ x 2 )) = x1 ∗ x2 = f −1 (y1 )f −1 (y2 ) f −1 is bovendien bijectief, want f is bijectief. TODO: bewijs in het hoofdstuk over afbeeldingen.

42


Stelling 8.22. Zij G, ∗ en H , groepen met een morfisme f : G → H . Als een verzameling A een deelgroep is van G, dan is f (A) een deelgroep van H . Bewijs. We gaan elke voorwaarde in het criterium van een deelgroep af. • e f (A) ∈ H . A is een deelgroep van G, dus geldt eA ∈ G. Bovendien wordt eA = eG afgebeeldt op eH = e f (A) .13 e f (A) zit dus wel degelijk in H . • ∀x,y ∈ f (A) : xy ∈ f (A) Kies twee elementen f (x ) en f (y) in f (A), nu bestaan er dus twee elementen x en y in A. In A is de bewerking ∗ intern.14 Kijk nu naar de definitie van een groepsmorfisme.15 f (x ∗ y) = f (x )f (y) f (x )f (y) is dus een element van f (A). • ∀x ∈ f (A) : x −1 ∈ f (A) Kies een element f (x ) in f (A), er bestaat er dus een element x in A. Nu is de inverse van f (x ) precies f (x −1 ).16 Merk op dat deze stelling een algemener geval is van stelling 8.18. Stelling 8.23. Zij G, ∗ en H , groepen met een morfisme f : G → H . Als een verzameling B een deelgroep is van H , dan is f −1 (B) een deelgroep van G. Bewijs. We gaan elke voorwaarde in het criterium van een deelgroep af. • e f −1 (B) ∈ G. Omdat eG = eB geldt17 , geldt ook f (eB ) = eH . Bijgevolg geldt ook e f −1 (B) = eB ∈ G. • ∀x,y ∈ f −1 (B) : xy ∈ f −1 (B) Kies twee willekeurige elementen a en b uit f −1 (B). Dit houdt in dat er twee elementen f (a) en f (b) in B bestaan. f (a)f (b) ∈ B geldt omdat B een deelgroep is van B. 18 Dit is bovendien gelijk aan f (a ∗ b) ∈ f −1 (B), dus zitten a en b beide in f −1 (B). • ∀x ∈ f −1 (B) : x −1 ∈ f −1 (B) Kies een willekeurig element a uit f −1 (B). Dit houdt in dat er een element f (a) in B bestaat. Het inverse element van f (a) is ( f (a) −1 ) en zit ook in B.19 Er bestaat dus ook een element a −1 dat bovendien in f −1 (B) zit.20 Stelling 8.24. De verzamelingen van automorfismen AutG, uitgeruist met de samenstellingsfunctie ◦ vormt een groep. 13 Zie

stelling 8.16. definitie 8.3. 15 Zie definitie 8.13. 16 Zie stelling 8.17. 17 Zie stelling 8.7. 18 Zie definitie 8.3. 19 Zie stelling 8.8. 20 Zie stelling 8.17. 14 Zie

43

HOOFDSTUK 8. GROEPEN Bewijs. We bewijzen elk deel van de definitie appart.21 • associativiteit

∀x,y,z ∈ AutG : (x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦ z)

De samenstelling van afbeeldingen is inderdaad associatief.22 • neutraal element

∀x ∈ AutG : x ◦ e = e = e ◦ x

Er bestaat een neutraal element voor AutG, namelijk IdG .23 • inverse

∀x ∈ AutG, ∃x 0 ∈ AutG : x ◦ x 0 = e = x 0 ◦ x

Kies een willekeurige x in G. Er bestaat nu wel degelijk een inverse afbieelding, precies omdat x een bijectie is. Stelling 8.25. Zij G, ∗ en H , groepen en α : G → H een morfisme. α is een isomorfisme als en slechts als er een morfisme β : H → G bestaat zodat β ◦ α = IdG en α ◦ β = IdG gelden. Bewijs. Bewijs van een equivalentie. Zij G, ∗ en H , willekeurige groepen. • ⇒ Zij α : G → H een groepsisomorfisme. α is een bijectie, dus α −1 is goed gedefinieerd. Noem α −1 nu β, dan gelden β ◦ α = IdG en α ◦ β = IdG .24 • ⇐ Zij α : G → H β : H → G morfismes, zodat β ◦ α = IdG en α ◦ β = IdG gelden. Volgens β is nu de inverse van α.25 Omdat α een inverse heeft, is α bijectief en bijgevolg een isomorfisme.26

8.1.3

Orde

Definitie 8.26. De orde n van het element x van een groep G, ∗ is de kleinste n ∈ N 0 waarvoor x n = eG geldt, indien die bestaat en anders ∞.

Definitie 8.27. De orde |G | of #G van een groep G is het aantal elementen van G. Eigenschap 8.28. Zij G, ∗ een groep en x ∈ G een element met een eindige orde n in die groep. ∀r ,s ∈ Z : (x s = e ⇔ n|s) ∧ (x r = x s ⇔ n|r − s) Bewijs. Bewijs van conjunctie. Kies willekeurige elementen r en s in Z. 21 Zie

definitie 8.3. stelling 2.6. 23 Zie definitie 3.22. 24 Zie stelling 3.35. 25 Zie stelling 3.35. 26 Zie stelling 3.34. 22 Zie

44

HOOFDSTUK 8. GROEPEN • (x s = e ⇔ n|s) – ⇒ Stel x s = e geldt. Deel nu s euclidisch door n.27 s = nq + r met 0 ≤ r < n Nu geldt het volgende: x s = x nq+r = (x n )q ∗ x r = e q ∗ x r = x r = e

Omdat n de kleinste waarde is waarvoor x n = e geldt en omdat r tussen 0 en n ligt, besluiten we dat r nul is. s = nq n is dus een deler van s.28 – ⇐ Stel dat n|s geldt, dan bestaat er een q zodat volgende gelijkheid geldt.29 s = nq We beschouwen nu x s

x s = x nq = (x n )q = e q = e

• (x r = x s ⇔ n|r − s) – ⇒ Stel dat x r = x s geldt.

x r = x s ⇔ x r −s = e

In het vorige deel van dit bewijs hebben we bewezin dat n dan een deler is van r − s. n|r − s – ⇐ Stel dat n|r − s geldt, dan geldt volgend deel e´ e´ n van dit bewijs het volgende: x r −s = e Dit betekent precies dat x r en x s gelijk zijn. ⇒ xr = xs Definitie 8.29. Zij x een element van een groep G, ∗, dan is < x > de groep voortgebracht door x. < x >= {x s | s ∈ Z} Stelling 8.30. Zij x een element van een groep G, ∗. De ‘groep’ < x > voortgebracht door x is wel degelijk een groep. 27 Zie

stelling 5.8. definitie 5.1. 29 Zie definitie 5.1. 28 Zie

45

HOOFDSTUK 8. GROEPEN Bewijs. We bewijzen elke eigenschap van een groep voor < x >.30

• Associativiteit Kies drie willekeurige elementen uit < x >, met andere woorden kies drie getallen a, b en c uit mathbbZ : (x a ∗ x b ) ∗ x c = x a+b ∗ x c = x a+b+c = x a ∗ x b+c = x a ∗ (x b ∗ x c ) • Neutraal element Kies willekeurig een element uit < x >, kies dus een a ∈ Z. Het neutraal element voor < x > is x 0 : x a ∗ x 0 = x a+0 = x a = x 0+a = x 0 + x a • Invers element Kies een willekeurig element uit < x >, kies dus een a ∈ Z. Het invers element van x a is nu x −a . x a ∗ x −a = x a−a = x 0 = x −a+a = x −a ∗ x a Stelling 8.31. Zij x een element in een groep G, ∗, dan is de orde n van de groep voortgebracht door x gelijk aan de orde m van x in G. |x | = | < x > | Bewijs. Bekijk de groep < x >.

< x >= {x n ,x,x 2 , . . . ,x n−1 }

Er zitten precies n elementen in < x >. Dat m de orde is van x in G houdt het volgende in: x m = e en ¬(∃ m0 )(m0 < m ∧ x m = e) 0

Alle machten van x tot en met x m zijn dus verschillend. Die m machten zijn precies de elementen van < x >. Definitie 8.32. Een groep G, ∗ is een cyclishe groep als en slechts als er een element in G bestaat dat G voortbrengt. We noemen bovendien x de generator van G. Eigenschap 8.33. Elke oneindige cyclishe groep is isomorf met Z, + en is dus aftelbaar. Bewijs. We tonen dat er een bijectie b bestaat tussen de willekeurige oneindige cyclische groep G, ∗ met generator x en Z, +. G =< x >= {x s | s ∈ Z} Inderdaad, kies b als volgt.

b : Z → G : s 7→ x s

Eigenschap 8.34. Elke cyclishe groep van eindige orde n ∈ N is isomorf met Zn , +. 30 Zie

definitie 8.3.

46


Bewijs. We tonen dat er een bijectie b bestaat tussen de willekeurige eindige cyclische groep G, ∗ met generator x en orde n en Z, +. G =< x >= {x s | s ∈ Z} Inderdaad, kies b als volgt.

b : Z → G : [s]n 7→ x s

Stelling 8.35. Elke deelgroep H van een cyclische groep G, ∗ =< x > is cyclish. Sterker nog: H wordt voortgebracht door x s waarbij s ∈ N0 het kleinste getal is waarvoor x s ∈ H geldt. Bewijs. Als H = {e} geldt, dan is H inderdaad cyclisch. Stel nu dat H niet enkel het neutraal element bevat, dan bevat H mistens nog de elementen x m en x −m met m ∈ N. Het kan zijn dat er meerdere van die m’s bestaan, maar er bestaat er altijd een kleinste: n. xn ∈ H Voor elk element x s van G geldt nu dat het in H zit als n een deler is van s. x s ∈ H ⇔ n|s Inderdaad, als x s in H zit, dan kunnen we s euclidisch delen door n 31 : s = nq + r met 0 ≤ r < n x s = x nq+r ⇒ x r = x s−nq = x s (x n ) −q ∈ H Omdat n minimaal is, en r tussen 0 en n zit, is r gelijk aan nul, en s dus deelbaar door s. Omgekeerd, wanneer s deelbaar is door n bestaat er een q zodat volgende bewering geldt32 : s = nq x s = x nq = (x n )q ∈ H Met andere woorden: elke macht van x n ∈ H zit opnieuw in H . Dit betekent precies dat H cyclisch is. Stelling 8.36. Zij G =< a > een cyclishe groep van eindige orde n met ∗ als bewerking. De orde van ak is gelijk aan ддdn(k,n) : n

(ak ) ддd (k,n) = e Bewijs.

n

k

(ak ) ддd (k,n) = (an ) ддd (k,n) = e Nu moeten we nog bewijzen dat ддdn(k,n) minimaal is. Stel dus dat er en 0 < r < ддdn(k,n) bestaat zodat akr geldt. Bekijk nu de stelling van Bézout-Bachet.33 Er bestaan een α en beta zodat het volgende geldt: ддd (k,n) = αk + βn Nu bekijken we akr = e opnieuw, en verheffen we beide kanten tot de macht α zodat er αk in de macht staat. akrα = aддd (k,n)r −βnr = aддd (k,n)r ∗ a −βnr = aддd (k,n)r 31 Zie

stelling 5.8. definitie 5.1. 33 Zie stelling 5.11. 32 Zie

47

HOOFDSTUK 8. GROEPEN Omdat aддd (k,n)r = e geldt, is n een deler van ддd (k,n)r .34 Dat houdt in dat dus kleiner.

n d

een deler is van r , en

TODO: bewijzen in hoofdstuk van deelbaarheid

Stelling 8.37. Zij G =< a > een cyclishe groep van eindige orde n. ak is een generator van G als en slechts als ддd (k.n) gelijk is aan 1. < ak >= G ⇔ ддd (k,n) = 1 Bewijs. We weten dat de orde van ak in G gelijk is aan ддdn(k,n) .35 Als en slechts als ak een generator is voor G, dan is de orde van ak gelijk aan de orde van G.36 n = n ⇔ ддd (k,n) = 1 ддd (k,n) Stelling 8.38. Zij G, ∗ =< a > een cyclishe groep van eindige orde n. Voor elke positieve deler m n van n geldt dat G precies e´ e´ n deelgroep heeft van orde m, namelijk < a m >. n

n

Bewijs. < a m > is een deelgroep37 van G. Omdat G cyclisch is, is < a m > ook cyclisch.38 De orde n van < a m > is bovendien gelijk aan ддd (nn ,n) .39 m

n =m ддd ( mn ,n) TODO: Bewijs in hoofdstuk van deelbaarheid n

We moeten nu dus nog bewijzen dat elke deelgroep H van orde m gelijk is aan < a m >. Kies zo’n deelgroep H van orde m. H is nu zeker cyclisch. Noem de generator van H ak . H =< ak > We weten nu opnieuw dat H orde

n ддd (k,n)

m=

heeft. kдv (k,n) n = ддd (k,n) k

TODO: Bewijs in hoofdstuk van deelbaarheid

kдv (k,n) m n k is dus een veelvoud van m . Bijgevolg zit ak zeker in < ak >. H is nu dus een deel van < ak >, dus n zijn H en < a m > gelijk vanwege hun gelijke orde. k=

8.1.4 34 Zie

Nevenklassen

stelling 8.28. stelling 8.36. 36 Zie stelling 8.31. 37 Zie stelling 8.30. 38 Zie stelling 8.35. 39 Zie stelling 8.36. 35 Zie

48


Definitie 8.39. Zij G, ∗ een groep en H een deelgroep van G. • De linkse nevenklasse xH van H in G bepaald door x: xH = {x ∗ h | h ∈ H } • De rechtse nevenklasse Hx van H in G bepaald door x: Hx = {h ∗ x | h ∈ H } De verzameling van linker nevenklassen van H in G noteren we als G/H . G/H = {xH | x ∈ G} Eigenschap 8.40. Zij G een groep en H een deelgroep van G. ∀a,b ∈ G : aH = bH ⇔ a ∈ bH ⇔ b −1a ∈ H Bewijs. Bewijs door circulaire implicaties. • ∀a,b ∈ G : aH = bH ⇒ a ∈ bH H is een groep, en bevat dus een neutraal element.40 a is dus een element van aH , wat gelijk is aan bH , dus a zit in bH . • ∀a,b ∈ G : a ∈ bH ⇒ b −1a ∈ H Ofwel zijn b en a gelijk, en dan is b −1a een element van H omdat H een groep is. Ofwel zijn b en a niet gelijk, en dan bestaat er dus een c ∈ H waarvoor het volgende geldt: b ∗c = a b −1 ∗ b ∗ c = b −1a c = b −1a ∈ H • ∀a,b ∈ G : b −1a ∈ H ⇒ aH = bH Noem b −1a h 0 . b −1a = h 0 ⇒ (a = bh 0 ) en b = ah −1 0 Nu geldt voor alle h ∈ H het volgende: a ∗ h = bh 0 ∗ h aH is dus al een deel van bH . Bovendien geldt, opnieuw voor alle h ∈ H ook het volgende: b ∗ h = ah −1 0 bH is dus ook een deel van aH . We besluiten dat aH en bH gelijk zijn. Eigenschap 8.41. Zij G een groep en H een deelgroep van G. ∀a,b ∈ G : Ha = Hb ⇔ a ∈ Hb ⇔ ab −1 ∈ H TODO: bewijs analoog 40 Zie

definitie 8.3.

49

HOOFDSTUK 8. GROEPEN Eigenschap 8.42. Zij G, ∗ een groep en H een deelgroep van G. ∀a ∈ G : aH = H ⇔ a ∈ H ⇔ Ha = H Bewijs. Bewijs door circulaire implicaties. • ∀a ∈ G : aH = H ⇒ a ∈ H a is een element van aH . aH en H zijn gelijk, dus a zit ook in H .

• ∀a ∈ G : a ∈ H ⇒ Ha = H H is een deelgroep met bewerking ∗ die intern is in H .41 Wanneer we elk element in H rechts bewerken met a, komen we telkens een element in H uit. Omgekeerd kan elk element in H geschreven worden als een ander element in H rechts bewerkt met a. • ∀a ∈ G : Ha = H ⇒ aH = H a is een element van Ha. Ha en H zijn gelijk, dus a zit ook in H . H is een deelgroep met bewerking ∗ die intern is in H .42 Wanneer we elk element in H links bewerken met a, komen we telkens een element in H uit. Omgekeerd kan elk element in H geschreven worden als een ander element in H links bewerkt met a. Ha en aH zijn dus gelijk. Stelling 8.43. De verzamelingen der linker en rechter nevenklassen van een deelgroep H , ∗ van een groep G, ∗ zijn equipotent. |{xH | x ∈ G}| = |{Hx | x ∈ G}| TODO: bewijs p 101 tai

Stelling 8.44. Zij G een groep en H een deelgroep van G, De linkse(/rechter) nevenklassen van H vormen een partitie van G De relatie “X en Y liggen in dezelfde linkernevenklasse van H in G” is een equivalentierelatie. Bewijs. We bewijzen dat de linkse(/rechter) nevenklassen elke definierende eigenschap van een partitie heeft. • Elke linker(/rechter) nevenklasse is niet leeg. Ze bevat altijd het element waarmee bewerkt wordt • Elk element van G behoort tot een linker(/rechter) nevenklasse. Elk element x behoort al zeker tot de nevenklasse van H bepaald door x in G. • Twee linker(/rechter) nevenklassen zijn ofwel gelijk ofwel disjunct. Ofwel zijn twee nevenklassen disjunct, ofwel bevatten hun doorsnede minstens e´ e´ n element. We bewijzen dat als twee nevenklassen minstens e´ e´ n element gemeenschapplijk hebben, dat ze dan gelijk zijn. Kies een willekeurige x en y uit G zodat de doorsnede van de nevenklasse van H bepaald door x en door y niet disjunct zijn. Er bestaat dan een element z in G dat in de doorsnede zit. Er bestaan dus elementen h en h0 in G die aan volgende bewering voldoen: – Linker nevenklassen Nu volgt dit: xH en yH zijn dus gelijk.43 41 Zie

definitie 8.3. definitie 8.3. 43 Zie eigenschap 8.40. 42 Zie

z = x ∗ h = y ∗ h0 y −1 ∗ x = h0 ∗ h −1 ∈ H

50

HOOFDSTUK 8. GROEPEN – Rechter nevenklassen

z = h ∗ x = h0 ∗ y

Nu volgt dit:

y ∗ x −1 = h0−1h ∈ H

Hx en Hy zijn dus gelijk.44 De relatie “X en Y liggen in dezelfde linkernevenklasse van H in G” is dus een equivalentierelatie.45 Stelling 8.45. Zij G, ∗ een eindige groep en H een deelgroep van G, ∗. Nu geldt voor elke x ∈ G dat de orde van H en zowel de linker als de rechter nevenklasse van x in G alledrie dezelfde orde. |H | = |x ∗ H | = |H ∗ x | Bewijs. We bewijzen dat er een bijectie f : H → xH bestaat tussen H en xH . Beschouw de afbeelding f: f : H → xH : h → x ∗ h • f is injectief. Kies twee willekeurige elementen h 1 en h 2 uit H waarvoor het beeld onder f gelijk is. f (h 1 ) ⇒ xh 1 ⇒ x −1xh 1 ⇒ h1

= f (h 2 ) = xh 2 = x −1xh 2 = h2

• f is surjectief. Kies een willekeurig element a uit xH , dan bestaat er dus een h ∈ H zodat a = x ∗ h geldt. Analoog kunnen we bewijven dat er een bijectie f : H → Hx bestaat.

Stelling 8.46. Een groep G, ∗ heeft evenveel linkse als rechtse nevenklassen. TODO: bewijs

Stelling 8.47. Stelling van Lagrange: Zij G, ∗ een eindige groep en H ⊂ G een deelgroep. Het aantal linkse (of rechtse) nevenklassen van H in G is dan gelijk aan: |G | [G : H ] = |H | We noemen dit de index van H in G. De orde van H is bijgevolg een deler van de orde van G. Bewijs. De linkernevenklassen van H in G vormen een partitie van G, dus we kunnen elementen д1 = e,д2 , . . . ,дk ∈ G kiezen zodat de nevenklassen die erdoor bepaald zijn samen G vormen en onderling disjunct zijn. G = д1H ∪ · · · ∪ дk H ∀i, j : i , j ⇒ дi H ∩ дj H = ∅ Nu geldt dus dat de orde van G k keer de orde van H is.46 |G | = k · |H | Hieruit volgt dat |H | een deler is van |G | en dat het aantal linker nevenklassen k gelijk is aan 44 Zie

eigenschap 8.41. stelling 2.25. 46 Zie stelling 8.45. 45 Zie

|G | |H | .

51


Gevolg 8.48. Zij G, ∗ een eindige groep en x een element van G. De orde van x in G is een deler van |G |. x |G | = eG Bewijs. Beschouw de deelgroep47 < x > van G. Het aantal elementen van < x > is precies de orde van x in G.48 De orde van een deelgroep is steeds een deler van de orde van de groep.49 Stelling 8.49. Zij G, ∗ een groep waarvan de orde gelijk is aan een priemgetal p, dan is G cyclisch. Bewijs. Kies een willekeurig element x uit G en beschouw de deelgroep50 < x > voortgebracht door x van G. De orde van < x > is een deler van de orde van G.51 p heeft maar twee delers, namelijk 1 en p, dus ofwel is x gelijk aan het neutraal element, ofwel is x een generator voon G en is G dus cyclisch.52 Gevolg 8.50. Op isomorfisme na, bestaat er slechts e´ e´ n groep voor elk priemgetal, waarbij dat getal de orde is van die groep. Bewijs. Kies een priemgetal p en twee groepen G, ∗ en H , met p als orde. We weten al dat G en H cyclisch zijn.53 Kies dus een generator д voor G en een generator h voor H . Beschouw nu het volgende morfisme. f : G → H : дk 7→ hk f is een isomorfisme, dus G en H zijn isomorf.

Stelling 8.51. Zij f : G → H een morfisme tussen twee groepen G, ∗ en H , . Voor alle x,y in G geldt het volgende: f (x ) = f (y) ⇔ x ∗ Ker ( f ) = y ∗ Ker ( f ) Bewijs. x ∗ Ker ( f ) = y ∗ Ker ( f ) ⇔ x −1 ∗ y ∈ Ker ( f ) Ker ( f ) is een deelgroep van G.54 Bovenstaande gelijkheid geldt voor elke linker neverklasse, dus ook voor Ker ( f ).55 Omdat x −1 ∗ y in de kern van f zit is het beeld ervan eH . f (x −1 ∗ y) = eH f is een morfisme56 :

f (x −1 )f (y) = eH

Wat er nu over blijft is precies dat f (x ) en f (y) gelijk zijn. We hebben in dit bewijs enkel equivalenties gebruikt. De omgekeerde redenering geldt dus ook. Stelling 8.52. Als G een commutatieve groep is ,dan is de verzameling G/H met als bewerking ∗¯ vormt een groep. ∗¯ : G/H × G/H → G/H : (x ∗ H ,y ∗ H ) → (x ∗ y) ∗ H TODO: bewijs str TODO: voorwaarde afzwakken bij normaaldelers 47 Zie

stelling 8.30. stelling 8.31. 49 Zie stelling 8.31. 50 Zie stelling 8.30. 51 Zie stelling 8.48. 52 Zie definitie 8.32. 53 Zie stelling 8.49. 54 Zie stelling 8.19. 55 Zie eigenschap 8.40 van linker neverklassen. 56 Zie definitie 8.13. 48 Zie

52


8.1.5

Directe som

Definitie 8.53. Zij G 1 , . . . ,Gn groepen met bewerkingen ∗1 , . . . , ∗n , dan is de directe som van de groepen Gi , genoteerd als G 1 ⊕ · · · ⊕ Gn de verzameling G, voorzien van de bewerking ∗ waarbij het volgende geldt. G = G 1 × · · · × Gn (д1 , . . . ,дn ) ∗ (h 1 , . . . ,hn ) = (д1 ∗1 h 1 , . . . ,д2 ∗2 h 2 ) Stelling 8.54. De directe som van n groepen G 1 , . . . ,Gn is een groep. TODO: bewijs

Eigenschap 8.55. Elke groep van orde 4 is isomorf met Z4 of met de viergroep V . TODO: bewijs

Eigenschap 8.56. Elke groep van orde 6 is isomorf met Z6 of met S. TODO: bewijs

Definitie 8.57. Zij G, ∗ een commutatieve groep en G 1 , ∗ en G 2 , ∗ deelgroepen van G, en elk element д valt op een unieke manier te schrijven als д = д1д2 met д1 ∈ G 1 en д2 ∈ G 2 , dan noemen we G de inwendige directe som van G 1 en G 2 .

8.2

Permutatiegroepen

Definitie 8.58. Zij V een verzameling. De verzameling van permutaties van V noemen we SV . De symmetrische groep van V is de groep SV , ◦ waarbij ◦ de samenstelling van afbeeldingen is.

Definitie 8.59. Een permutatiegroep van V is een deelgroep van SV , ◦.

Definitie 8.60. De symmetrische groep van graad n: Sn is de groep van permutaties van {1, . . . ,n}, Stelling 8.61. SV , ◦ is een groep. TODO: bewijs

Stelling 8.62. De orde van Sn is n!. TODO: bewijs

Stelling 8.63. De orde van An is TODO: bewijs

n! 2.

53


Stelling 8.64. In een permutatiegroep heeft een element dat als een cykel van lengte n wordt voorgesteld orde n TODO: bewijs

Stelling 8.65. Stelling van Cayley: Elke groep is isomorf met een permutatiegroep (een deelgroep van S (G), ◦). TODO: bewijs

Gevolg 8.66. Elke eindige groep met n elementen is isomorf met een deelgroep van Sn . TODO: bewijs

Propositie 8.67. De afbeelding sдn : Sn , ◦ → {1, −1}, · is een groepsmorfisme met als kern An . Bewijs. Kies twee willekeurige permutaties σ en τ uit Sn . Nu geldt het volgende, bijgevolg is sдn een morfisme.57 sдn(σ ◦ τ ) = sдn(σ ) · sдn(τ ) De kern van dit morfisme zijn alle permutaties met teken 1. Dit zijn precies de permutaties in An .58 Propositie 8.68. De groep van even permutaties An is een deelgroep van Sn . Bewijs. We gaan de voorwaarden in het criterium voor een deelgroep na.59 . • Het neutraal element van Sn is een even permutatie. • De samenstelling van twee even permutaties is opnieuw een even permutatie. Kies namelijk twee willekeurige even permutaties σ en τ : sдn(σ ◦ τ ) = sдn(σ ) · sдn(τ ) = 1 · 1 = 1 • Voor elke even permutatie bestaat er een inverse permutatie die ook even is. Kies een willekeurige even permutatie τ : τ ◦ τ −1 sдn(tau ◦ τ −1 ) sдn(tau) · sдn(τ −1 ) 1 · sдn(τ −1 )

= Id = sдn(Id ) =1 =1

Het teken van τ −1 moet dus 1 zijn en τ −1 bijgevolg even.

8.3

Conjugatie

Definitie 8.69. Zij G een groep en x een element van G. Een element axa −1 met a ∈ G in G noemen we een geconjugeerde of toegevoegde van x.

57 Zie

stelling 3.47 definitie 3.50. 59 Zie stelling 8.9 58 Zie

54


Definitie 8.70. De conjugatieklas van x in G is de verzameling Cl (x ). Cl (x ) = {axa −1 | a ∈ G} Eigenschap 8.71. Een element behoort steeds tot zijn eigen conjugatieklas. Bewijs. Kies een willekeurig element x van een groep G, ∗. Omdat e een element is van G bevat de conjugatieklas het element exe −1 = x. Eigenschap 8.72. De verzameling van alle conjugatieklassen van een groep G, ∗ vormt een partitie van G en bepaalt bijgevolg een equivalentierelatie. Bewijs. We gaan alle eigenschappen van een partitie na.60 • Een conjugatieklasse van een element x is nooit leeg want ze bevat steeds minstens x. • Conjugatieklassen zijn onderling disjunct. Stel immers dat twee verschillende conjugatieklassen Cl (x ) en Cl (y) van elementen x en y een niet-lege doorsnede hebben, dan bestaan er elementen a,b ∈ G en een element z in de doorsnede zodat het volgende geldt: axa −1 = z = byb −1 Nu zit x in de conjugatieklas Cl (y) van y met als geconjugeerde b −1a en y in de conjugatieklas Cl (x ) van x met als geconjugeerde a −1b: (b −1a)x (a −1b) = y x = (a −1b)y(b −1a) CLARIFY: Ik ben nog niet overtuigd…

Contradictie. • Elk element van G zit in een conjugatieklas.61 Stelling 8.73. Zij G, ∗ een groep en a en b twee elementen van G. Cl (a) = Cl (b) ⇔ b ∈ Cl (a) ⇔ a ∈ Cl (b) Bewijs. Twee verschillende conjugatieklassen zijn disjunct62 , dus twee elementen zitten in dezelfde conjugatieklas als en slechts als een van de elementen in de conjugatieklas van het andere zit. Eigenschap 8.74. Twee permutaties σ en τ in Sn zijn geconjugeerd als en slechts als ze dezelfde cykelstructuur hebben. Met andere woorden als en slechts als σ en τ evenveel cykels hebben van elke optredende lengte. Bewijs. Bewijs van een equivalentie. 60 Zie

definitie 1.46. eigenschap 8.71. 62 Zie eigenschap 8.72. 61 Zie

55


• ⇒ Zij σ en τ twee geconjugeerde permutaties in Sn . Er bestaat dan een geconjugeerd element α: ασα −1 = τ Schrijf nu σ in de disjuncte cykelnotatie als volgt: σ = (i 1,1 . . . i 1,j1 )(i 2,1 . . . i 2,j2 ) . . . (ik,1 . . . ik,jk ) Het aantal elementen in de m-de cykel is jm en het totaal aantal cykels is k. Allereerst merken we het volgende op: α ◦ (im,1 . . . im,jm ) ◦ α −1 = (α (im,1 ) . . . α (im,jm )) CLARIFY: waarom? maak algoritme voor samenstelling van cykels en toon dan aan.

Dit is bovendien opnieuw een jm -cykel. Bekijk nu τ : τ = α ◦ σ ◦ α −1 = α ◦ (i 1,1 . . . i 1,j1 )(i 2,1 . . . i 2,j2 ) . . . (ik,1 . . . ik,jk ) ◦ α −1 = (α ◦ (i 1,1 . . . i 1,j1 ) ◦ α −1 ) ◦ (α ◦ (i 2,1 . . . i 2,j2 ) ◦ α −1 ) ◦ . . . ◦ (α ◦ (ik,1 . . . ik,jk ) ◦ α −1 ) = (α (i 2,1 ) . . . α (i 2,j2 )) ◦ (α (i 2,1 ) . . . α (i 2,j2 )) ◦ . . . ◦ (α (ik,1 ) . . . α (ik,jk )) Deze schrijfwijze bestaat opnieuw uit disjuncte cykels. CLARIFY: waarom?

De cykelstructuur is bovendien gelijk aan die van σ . • ⇐ Stel dat twee permutaties σ en τ dezelfde cykelstructuur hebben. σ = (i 1,1 . . . i 1,j1 )(i 2,1 . . . i 2,j2 ) . . . (ik,1 . . . ik,jk ) 0 0 0 0 0 0 σ = (i 1,1 . . . i 1,j )(i 2,1 . . . i 2,j ) . . . (ik,1 . . . ik,j ) 1 2 k

We construeren nu een permutatie α van {1, . . . ,n} zodat τ en σ conjugeren als volgt: 0 ∀p,q : α (ip,q ) = ip,q

De andere elementen beeldt α op zichzelf af. CLARIFY: Zeker?

Nu conjugeert α τ met σ . CLARIFY: Ja?

Definitie 8.75. Zij G, ∗ een groep en a een element van G. De conjugatie met een element a of het inwendig automorfisme bepaald door een element a is een afbeelding σa : σa : G → G : x 7→ axa −1

56


Eigenschap 8.76. Zij G, ∗ een groep en a een element van G, dan is σa een automorfisme. Bewijs. σa is een transformatie van G 63 , dus we moeten enkel nog bewijzen dat σa voor elke a een bijectie is. Kies daarvoor een willekeurige a uit G. • σa is een surjuctie. Kies een element b in het beeld van σa , dan bestaat er een x zodat x op b afgebeeldt wordt: σa (x ) = b b is namelijk gelijk aan axa −1 dus x is gelijk aan a −1ba. • σa is een injectie. Kies twee elementen x en y met eenzelfde beeld b onder σa . axa −1 = aya −1 x is dan gelijk aan y. Eigenschap 8.77. Zij G, ∗ een groep, dan is de afbeelding σ een groepsmorfisme: σ : G, ∗ → AutG, ◦ : a 7→ σa TODO: bewijs

Definitie 8.78. De deelgroep InnG van AutG is de groep der inwendige automorfismen van G. InnG = Im(σ ) = {σa | a ∈ G} Stelling 8.79. De groep InnG der inwendige automorfismen van een groep G is wel degelijk een deelgroep van AutG.

Definitie 8.80. Zij G een groep en д een element van G, dan is de centralisator van д in G de verzameling CG (д) van de elemneten in G die commuteren met G. CG (д) = {x ∈ G | дx = xд}

Definitie 8.81. Zij G een groep, dan is het centrum van G de deelverzameling van G van elementen die met alle elementen van de groep commuteren. \ Z (G) = {x ∈ G | ∀д ∈ G : дx = xд} = CG (д) д∈G

Eigenschap 8.82. Zij G een groep, dan is elke centralisator CG (д) van G een deelgroep van G. TODO: bewijs pagina 21. 63 Zie

definitie 8.75.

57

HOOFDSTUK 8. GROEPEN Eigenschap 8.83. Het centrum van een groep is een deelgroep van die groep. TODO: bewijs pagina 21.

Stelling 8.84. Voor n groter dan 1 geldt het volgende over het centrum van Dn Z (D 2n−1 = {e} Z (D 2n ) = {e,an } TODO: bewijs

Stelling 8.85. Zij G een eindige groep en a een element van G. |G | = |CG (a)| · |Cl (a)| TODO: bewijs pagina 21.

Gevolg 8.86. Zij G een eindige groep en a een element van G, dan is |Cl (a)| een deler van |G |. TODO: bewijs

Stelling 8.87. De klasvergelijking Zij G een eindige groep van orde k. De som van het aantal orde in het centrum van G en het aantal elementen van de conjungatieklassen met meer dan 1 element is gelijk aan het aantal elementen in G. In symbolen: Noteer de conjungatieklassen van G als volgt: Cl (a 1 ), . . . ,Cl (am ),Cl (am+1 ), . . . ,Cl (ak ) De elementen met index kleiner of gelijk aan m hebben een conjungatieklasse van grootte 1, en de anderen een grotere. |Cl (a 1 )| = · · · = |Cl (am )| = 1 en |Cl (am+i )| > 1 k X |G | = Z (G) + |Cl (ai )| i=m+1

TODO: bewijs pagina 22.

Definitie 8.88. Een groep P met een macht pk van een priemgetal p als orde noemen we een p-groep. Propositie 8.89. Zij p een priemgetal en P een p-groep, dan bevat het centrum van P meer dan e´ e´ n element. |Z (P )| > 1 TODO: bewijs pagina 22.

Eigenschap 8.90. Zij p een priemgetal en P een p-groep, dan deelt p het aantal elementen in het centrum van P. p | |Z (P )| TODO: bewijs pagina 22.

Stelling 8.91. Zij p een priemgetal, dan is elke groep met p 2 elementen commutatief. TODO: bewijs pagina 23.

Stelling 8.92. Elke groep van orde 9 is isomorf met Z9 of met Z3 ⊕ Z3 . TODO: bewijs

58


8.4

Normaaldelers en Quotientgroepen

Definitie 8.93. Een normaaldeler H , ∗ is een deelgroep H , ∗ van G, ∗ met de volgende eigenschap: N / G ⇔ ∀д ∈ G : д ∗ H = H ∗ д In woorden: “De linker en rechter nevenklasse van N bepaald door elk element д ∈ G zijn gelijk.” Opmerking 8.94. Merk op dat volgende bewering niet noodzakelijk geldt voor een normaaldeler H , ∗ van een groep G, ∗: ∀h ∈ H ,д ∈ G : д ∗ h = h ∗ д CLARIFY: is dit equivalent met: “en normaaldeler is niet noodzakelijk het centrum van een groep.”

Definitie 8.95. Een quotientgroep G/H , ∗¯ van een groep G door een deelgroep H van G Stelling 8.96. Van een commutatieve groep is elke deelgroep een normaaldeler. TODO: bewijs

Stelling 8.97. In elke groep G zijn {eG } en G normaaldelers. TODO: bewijs

Definitie 8.98. Zij G een groep, dan noemen we {eG } en G de triviale normaaldelers van G. Stelling 8.99. Criteria voor een normaaldeler Zij G, ∗ een groep en H een deelgroep van G. (1)

H / G ⇔ ∀д ∈ G : д ∗ H ∗ д−1 = H (2)

⇔ ∀д ∈ G : д ∗ H ∗ д−1 ⊂ H (3)

⇔ ∀д ∈ G,∀h ∈ H : д ∗ h ∗ д−1 ∈ H TODO: bewijs p 26

Stelling 8.100. ZIj G, ∗ een groep, H , ∗ een deelgroep van G, ∗ en ∼ een equivalentierelatie op G, dan is H een normaaldeler van G als en slechts als ∼ zowel links als rechts verenigbaar is. TODO: bewijs p 106 tai

Propositie 8.101. Zij G, ∗ een groep, dan is het centrum Z (G) een normaaldeler van G. TODO: bewijs p 26

Propositie 8.102. Zij G, ∗ een groep, dan is elke deelgroep van G met index 2 een normaaldeler van G. TODO: bewijs p 26

59


Propositie 8.103. Zij G, ∗ een groep en N de enige deelgroep van G met orde |N |, dan is N een normaaldeler van G. TODO: bewijs p 26

Propositie 8.104. De kern Ker (G) van een groepsmorfisme f : G, ∗ → H , is een normaaldeler van G, ∗. Ker ( f ) / G TODO: bewijs

Eigenschap 8.105. Zij f : G, ∗ → H , een groepsmorfisme f behoudt het normaaldelen. N / G ⇒ f (N ) / f (G) TODO: bewijs

Eigenschap 8.106. Zij f : G, ∗ → H , een groepsmorfisme f −1 behoudt het normaaldelen. N / H ⇒ f −1 (N ) / G TODO: bewijs

8.4.1

Quotientgroepen

Definitie 8.107. Zij G, ∗ een groep en N een normaaldeler van G. De (kandidaat-)bewerking ∗¯ op G/N is gedefinieerd als volgt: (x ∗ N )¯∗ (y ∗ N ) = (x 0 ∗ y 0 ) ∗ N Hierin zijn x 0 ∈ x ∗ N en y 0 ∈ f ∗ N twee willekeurige representanten. Propositie 8.108. De bewerking ∗¯ : G/N × G/N is onafhankelijk van de gekozen representanten. TODO: bewijs p 27

Stelling 8.109. Zij G, ∗ een groep en N een normaaldeler van G, dan is de verzameling der nevenklassen G/H , uitgerust met de bewerking ∗¯ een groep. TODO: bewijs p 28

Stelling 8.110. Zij G, ∗ een groep en N een normaaldeler van G, dan is de afbeelding π een groepsmorfisme. π : G → G/N : x 7→ x ∗ N TODO: bewijs p 28

Definitie 8.111. Zij G, ∗ een groep en N een normaaldeler van G. De verzameling G/H van nevenklassen, uitgerust met de bewerking ∗¯ noemen we de quotiëntgroep van G door N . ∗¯ zullen we vanaf nu ook gewoon als ∗ schrijven.

60


Definitie 8.112. Zij G, ∗ een groep en N een normaaldeler van G. We gebruiken een kortere notatie x¯ voor een element x ∗ N van de quotiëntgroep van G door N : x¯ = x ∗ N Eigenschap 8.113. De kern van π G → G/N : x 7→ x ∗ N is N . TODO: bewijs

Gevolg 8.114. Een deelgroep N , ∗ van een groep G, ∗ is een normaaldolor van G als en slechts als deze de kern is van een groepsmorfisme vanuit G. TODO: bewijs

Stelling 8.115. Zij N , ∗ een deelgroep van een groep G, ∗, dan is N een normaaldeler als de bewerking ∗¯ van G/N een groep maakt: ∗¯ : G/N × G/N → G/N : (x ∗ N )¯∗ (y ∗ N ) = (x ∗ y) ∗ N TODO: bewijs

Stelling 8.116. Zij G, ∗ een groep met G/Z (G) cyclisch, dan is G commutatief (en G/Z (G) bijgevolg de triviale groep). TODO: bewijs p 29

Stelling 8.117. Als er een deelgroep H , ∗ van het centrum Z (G) van een groep G, ∗ bestaat zodat G/H cyclisch is, das is G commutatief. TODO: bewijs

Gevolg 8.118. Zij p en q verschillende priemgetallen, dan is het centrum van een niet-commutatieve groep G, ∗ van orde pq triviaal. Z (G) = {eG } TODO: bewijs p 29

8.4.2

Enkelvoudige en oplosbare groepen

Definitie 8.119. Een groep G, ∗ is enkelvoudige als de enige normaaldelers van G de triviale normaaldelers {eG } en G zijn. TODO: definitie van compositiefactoren

Propositie 8.120. De enkelvoudige eindige commutatieve groepen zijn de groepen Zp , + met p een priemgetal en de triviale groep {eG }, ∗. TODO: bewijs p 30

Stelling 8.121. zonder bewijs Structuurstelling voor eindige commutatieve groepen Elke eindige commutatieve groep is isomorf met een directe som van cyclische groepen. r M i=1

Zp k i i

61

HOOFDSTUK 8. GROEPEN Hierin is elke piki een macht van een priemgetal. TODO: toch eens het bewijs proberen?

Definitie 8.122. Een groep G is oplosbaar als er een eindige keten van deelgroepen Hi bestaat zodat voor elke Hi twee eigenschappen gelden: {eG } = Hk ⊂ Hk−1 · · · H 2 ⊂ H 1 ⊂ H 0 = G • ∀i : Hi+1 / Hi • ∀i : Hi /Hi+1 is commutatief Stelling 8.123. zonder bewijs Een eindige groep G, ∗ is oplosbaar als en slechts als alle compositiefactoren van G commutatief zijn. TODO: toch eens het bewijs proberen?

Stelling 8.124. zonder bewijs Een eindige groep G van orde n is oplosbaar als e´ e´ n van de volgende voorwaarden geldt: • n < 60. • n is oneven. • n is een macht van een priemgetal. TODO: bewijs bekijken

8.5

De isomorfismestellingen

Stelling 8.125. Eerste isomorfismestelling Zij ϕ : G → H een groepsmorfisme, dan is ϕ¯ : G/Ker (ϕ) → H : дKer (ϕ) 7→ ϕ(д) een injectief groepsmorgifsme. Bijgevolg is G/Ker (ϕ) isomorf met ϕ(G). G/Ker (ϕ) ϕ(G) Een alternatieve formulering van deze stelling gaat als volgt: Zij ϕ : G → H een groepsmorfisme, dan is het volgende diagram commutatief en ϕ 0 een isomorfisme. G π G/Ker (ϕ)

ϕ ϕ¯

ϕ0

H i ϕ(G)

Nog een derde formulering als volgt: Met dezelde notaties: een groepsmorfisme ϕ kan ontbonden worden als een samenstelling van een surjectie π en de injectie ϕ¯ = i ◦ ϕ 0 CLARIFY: dit kan duidelijker TODO: bewijs p 33

62


Propositie 8.126. Zij G een groep, dan zijn de nevenklassen van het centrum van G in G isomorf met de groep der inwendige automorfismen van G. TODO: bewijs p 34

Stelling 8.127. De factorisatiestelling deel 1 Zij f : G → H een groepsmorfisme en N ⊆ Ker ( f ) een normaaldeler van G. Er bestaan dan een uniek groepsmorfisme f 0 : G/N → H zodat f kan ontbonden worden als f 0 ◦ π . TODO: bewijs p 34

Stelling 8.128. De factorisatiestelling deel 2 Zij f : G → H een groepsmorfisme en N ⊆ Ker ( f ) een normaaldeler van G. Het groepsmorfisme f 0 met f = f 0 ◦ π is injectief als en slechts als N gelijk is aan de kern van f . f 0 : G/N → H is injectief ⇔ N = Ker ( f ) TODO: bewijs p 34

Definitie 8.129. Zij G, ∗ een groep en X ⊆ G een deelverzameling van G. De groep дrp{X } voortgebracht door X is de doorsnede van alle deelgroepen van G die X omvatten. дrp{X } = дrp < X >=< X > De groep voortgebracht door X is de kleinste deelgroep van G die X omvat. Opmerking 8.130. Zij G, ∗ een groep en x en y twee elementen van G. De groep < x,y > voortgebracht door x en y is niet zomaar gelijk aan de volgende verzameling (analoog met een cyclische groep). {x k yl | k,l ∈ Z} Eigenschap 8.131. Zij G, · een groep en X ⊆ G een deelverzameling van G, dan is de groep < X > voortgebracht door X gelijk aan de verzameling van alle mogelijke samenstellingen van elementen uit X en hun inversen. n Y      ai n ∈ N,ai ∈ X ∨ ai−1 ∈ X  < X >=     i=0 TODO: bewijs p 34

Propositie 8.132. Sn =< (12), (13), (14), . . . , (1 n − 1), (1n) > extra: bewijs p 34

Propositie 8.133. Sn =< (12), (23), (34), . . . , (n − 2 n − 1), (n − 1 n) > extra: bewijs p 34

63

HOOFDSTUK 8. GROEPEN Propositie 8.134. Sn =< (12), (123 . . . n − 1 n) > extra: bewijs p 34

Propositie 8.135. An =< (ab)(cd ) | a , b ∧ c , d > extra: bewijs p 34

Propositie 8.136. n ≥ 3 ⇒ An =< (abc) | a,b,c ∈ {1, 2, . . . ,n} > extra: bewijs p 34

Definitie 8.137. Zij H en K deelgroepen van een groep G, ∗, dan is HK als volgt gedefinieerd. H ∗ K = {h ∗ k | h ∈ H ,k ∈ K } Opmerking 8.138. Als G niet commutatief is, dan zal HK niet steeds de groep zijn voortgebracht door H ∪ K. Het is zelfs niet steeds een deelgroep. Stelling 8.139. Zij H en K deelgroepen van een groep G, ∗, dan is HK een deelverzameling van de groep voortgebracht door H ∪ K. HK ⊆< H ∪ K > extra: bewijs

Stelling 8.140. Zij H en K deelgroepen van een commutatieve groep G, ∗, dan is HK gelijk aan de groep voortgebracht door H ∪ K. HK =< H ∪ K > extra: bewijs

Propositie 8.141. Zij H en K deelgroepen van een groep G, ∗, dan zijn de volgende stellingen equivalent. • HK =< H ∪ K > • HK is een deelgroep van G. • HK = KH extra: bewijs p 36

Gevolg 8.142. Zij H en K deelgroepen van een groep G, ∗, dan geldt het volgende als H of K een normaaldeler is. HK = KH =< H ∪ K >

64


Stelling 8.143. Tweede isomorfismestelling of parallellogramisomorfismestelling Zij G een groep. Zij H een deelgroep van G en N een normaaldeler van G, dan gelden volgende beweringen. (H ∩ N ) / H N / HN H HN H ∩N N TODO: bewijs p 37

Stelling 8.144. Zij A en B deelgroepen van een eindige groep G. |AB| =

|A| · |B| |A ∩ B|

extra: bewijs

Stelling 8.145. Derde isomorfismestelling Zij G een groep en N een normaaldeler van G. • De afbeelding H 7→ H /N bepaalt een bijectie tussen de deelgroepen van G die N omvatten en de deelgroepen van G/N . • Onder deze bijectie corresponderen normaaldelers van G met normaaldelers van G/N . • Zij H nog een normaaldeler van G zodat N een deelverzameling is van H , dan geldt het volgende: (G/N )/(H /N ) G/H TODO: bewijs p 38

Stelling 8.146. Herformulering van commutativiteit Een groep is commutatief als en slechts als het volgende geldt: ∀x,y ∈ G : xyx −1y −1 = e extra: bewijs

Definitie 8.147. Zij G een groep, dan zijn de elementen in G van de vorm xyx −1y −1 met x,y ∈ G commutatoren

Definitie 8.148. De commutatordeelgroep of afgeleide groep G 0 = G (1) van G is de groep voortgebracht door de commutatoren van G. G 0 = G (1) =< xyx −1y −1 | x,y ∈ G >

65

HOOFDSTUK 8. GROEPEN Stelling 8.149. Zij G een groep.

G0 / G

TODO: bewijs p 39

Stelling 8.150. Zij G een groep.

G/G 0 is commutatief

TODO: bewijs p 39

Stelling 8.151. Zij G een groep en N een normaaldeler van G, dan is G/N commutatief als en slechts als G 0 een deel is van N . G/N is commutatief ⇔ G 0 ⊆ N TODO: bewijs p 39

Stelling 8.152. Zij G een groep, definieer dan p als volgt: p : G → G/G 0 : д 7→ дG 0 Zij f nu een groepsmorfisme van G naar een commutatieve groep A, dan bestaat er een uniek morfisme f 0 als volgt: f 0 : G/G 0 → A met f = f 0 ◦ p TODO: bewijs p 39

Definitie 8.153. De n-de afgeleide groep G (n) van een groep G als volgt. G (n) = G 0(n−1) Propositie 8.154. G is oplosbaar als en slechts er een k-de afgeleide van G bestaat die enkel het neutraal element bevat. G is oplosbaar ⇔ ∃k ∈ N0 : G (k ) = {eG } TODO: bewijs p 40

Stelling 8.155. Voor n groter dan 4 is Sn niet oplosbaar. TODO: bewijs p 40

Hoofdstuk 9 Ringen 9.1 9.1.1

Abstracte ringen Ring

Definitie 9.1. Een ring R, +, · is een verzameling R waarop twee inwendige bewerkingen + en · gedefinieerd zijn met de volgende eigenschappen: • R, + is een commutatieve groep. • · is associatief.

∀x,y,z ∈ R : (x · y) · z = x · (y · z)

• · is distributief ten opzichte van +. ∀x,y,z ∈ R : x · (y + z) = (x · y) + (x · z) = (y · x ) + (z · x )

Definitie 9.2. In de context van een ring R, +, · noemen we het neutraal element van R, + het nulelement van R, +, ·. Eigenschap 9.3. Zij R, +, · een ring met nulelement e. ∀a ∈ R : a · e = e = e · a TODO: bewijs

Eigenschap 9.4. Zij R, +, · een ring met nulelement. ∀a,b ∈ R : a · (−b) = (−a) · b = −(a · b) TODO: bewijs

Eigenschap 9.5. Zij R, +, · een ring met nulelement. ∀a,b ∈ R : (−a) · (−b) = a · b TODO: bewijs

66

67

HOOFDSTUK 9. RINGEN

Definitie 9.6. Zij R, +, · een ring, dan noteren we de verzameling R zonder het neutraal element eR,+ van + in R als R 0 .

Definitie 9.7. Wanneer in de context van een ring R, +, · de multiplicatieve notatie wordt gebruikt voor de tweede bewerking korten we “x · y” vaak af als “xy”.

Definitie 9.8. Zij R, +, · een ring, dan korten we de verzameling R \ {eR,+ } vaak af met R 0 of Re .

Definitie 9.9. Zij R, +, · een ring, dan noemen we een element x, verschillend van het nulelement, een nuldeler als er nog een element y, ook verschillend van het nulelement, bestaat zodat het volgende geldt: x · y = 0 of y · x = 0

9.1.2

Ring met eenheidselement

Definitie 9.10. Zij R, +, · een ring. We noemen R, +, · een ring met eenheidselement als er een eenheidselement i ∈ R bestaat als volgt: ∀x ∈ R : i · x = x = x · i Eigenschap 9.11. Zij R, +, · een ring met eenheidselement i. ∀a ∈ R : (−i) · a = −a = a · (−i) TODO: bewijs

Eigenschap 9.12. Zij R, +, · een ring met eenheidselement i. (−i) · (−i) = i TODO: bewijs

Definitie 9.13. Zij R, +, · een ring met eenheidselement i. We noemen een element u van R een eenheid als er een element v bestaat van R zodat het volgende geldt: u ·v = i =v ·u

Definitie 9.14. Zij R, +, · een ring met eenheidselement i. Zij u een eenheid van R, +, · met v, dan noemen we v de inverse van u. u ·v = i =v ·u

68

HOOFDSTUK 9. RINGEN

Stelling 9.15. Zij R, +, · een ring met eenheidselement i. Zij u een eenheid van R, +, ·, dan is de inverse van u uniek. TODO: bewijs

Definitie 9.16. De eenhedengroep R × , · van een ring R, +, · met eenheidselement i is de verzameling van eenheden van R, uitgerust met de multiplicatieve bewerking van R. R × = U (R) = {u ∈ R | ∃v ∈ R : u · v = i = v · u} Stelling 9.17. Zij R, +, · en R,?, ∗ ringen met eenheidselement. (R × S ) × = R × × S × TODO: bewijs p 34 structuren

9.1.3

Commutatieve ring

Definitie 9.18. Zij R, +, · een ring waarbij · commutatief is, dan noemen we R, +, · een commutatieve ring. ∀x,y ∈ R : x · y = y · x

Definitie 9.19. Zij R, +, · een commutatieve ring en a en b elementen van R. We noemen a een deler van b (in R, +, ·) als er een q in R bestaat zodat het volgende geldt: b =q ·a

9.1.4

Integriteitsdomeinen

Definitie 9.20. Een (integriteits)domein R, +, · is een (niet-triviale) commutatieve ring R, +, · met eenheidselement, zonder nuldelers. Zij e het nulelement van R, +, ·: ∀a,b ∈ R : (a · x = e) ⇒ (x = e ∨ y = e) Eigenschap 9.21. Zij R, +, · een intergiteitsdomein met nulelement e ∀a,b,c ∈ R : (ab = ac ∧ a , 0) ⇒ b = c TODO: bewijs

9.1.5

Lichaam

69

HOOFDSTUK 9. RINGEN

Definitie 9.22. Zij R, +, · een ring met eenheidselement i. We noemen R, +, · een lichaam als Re , · een groep is: ∀x ∈ Re , ∃y ∈ R : x · y = y · x = i Stelling 9.23. Een lichaam heeft geen nuldelers extra: bewijs

Stelling 9.24. De stelling van Wedderburn Een eindig lichaam is commutatief. extra: toch eens een bewijs proberen?

9.1.6

Velden

Definitie 9.25. Een veld is een commutatief lichaam. Stelling 9.26. De eenhedengroep van een veld F , +, · is gelijk aan Fe , · extra: bewijs

Stelling 9.27. Een eindig integriteitsdomein is een veld. TODO: bewijs p 44 A I

Gevolg 9.28. Zij p een priemgetal, dan is Zp , +, · een veld. extra: bewijs

Stelling 9.29. Een eindig lichaam is een veld. extra: toch eens bewijs proberen?zie stelling 9.24.

9.1.7

Direct product

Definitie 9.30. Zij Ri , +i , ·i n ringen, dan definieren we het direct product van deze Ri als de productverzameling met dezelfde bewerkingen, maar dan op paarsgewijze elementen. (R 1 × · · · × Rn ), +, · Stelling 9.31. Het direct product van n ringen Ri , +i , ·i heeft een eenheidselement als en slechts als elk van de ringen Ri , +i , ·i een eenheidselement heeft is. extra: bewijs

Stelling 9.32. Het direct product van n ringen Ri , +i , ·i is commutatief als en slechts als elk van de ringen Ri , +i , ·i commutatief is. extra: bewijs

Stelling 9.33. Het direct product van n ringen Ri , +i , ·i kan geen veld zijn als elk van de ringen Ri , +i , ·i verschillend is van de nulring. extra: bewijs

70

HOOFDSTUK 9. RINGEN

9.1.8

Deelringen

Definitie 9.34. Zij R, +, · een ring en S een niet-lege deelverzameling van R. We noemen S een deelring van R als S een ring is voor dezelfde bewerkingen. Stelling 9.35. Criteria voor een deelring. Zij R, +, · een ring en S een niet-lege deelverzameling van R, dan is S een deelring van R als aan de volgende criteria voldaan is. • S, + is een deelgroep van R, + en · is intern in S. • S is niet leeg, · is intern in S en het volgende geldt: ∀a,b ∈ S : a − b ∈ S TODO: bewijs

9.1.9

Ringmorfismen

Definitie 9.36. Zij R, +, · en S,?, ∗ ringen. Een (ring)(homo)morfisme van R naar S is een afbeelding f : R → S die voldoet aan twee voorwaarden: 1. ∀x,y ∈ R : f (x + y) = f (x ) ? f (y) 2. ∀x,y ∈ R : f (x · y) = f (x ) ∗ f (y) Opmerking 9.37. Een ringisomorfisme f van een ring R, +, · naar S,?, ∗ is een groepsisomorfisme van de groep R, + naar S,?

Definitie 9.38. Een bijectief ringhomomorfisme is een (ring)isomorfisme.

Definitie 9.39. Een morfisme van een ring naar zichzelf heet een endomorfisme.

Definitie 9.40. Een isomorfisme van een ring naar zichzelf heet een automorfisme.

Definitie 9.41. Zij R, +, · en S,?, ∗ ringen en f : R → S een ringmorfisme. Zij e het nulelement van S. De kern Ker ( f ) van f is de verzameling van elementen van R die onder f op e ∈ S worden afgebeeldt. Ker ( f ) = {x ∈ R | f (x ) = 0} Eigenschap 9.42. Zij R, +, · en S,?, ∗ ringen en f : R → S een morfisme. f (0) = 0 TODO: bewijs

71

HOOFDSTUK 9. RINGEN Eigenschap 9.43. Zij R, +, · en S,?, ∗ ringen en f : R → S een morfisme. ∀a ∈ R : f (−a) = −f (a) TODO: bewijs

Eigenschap 9.44. Zij R, +, · en S,?, ∗ ringen en f : R → S een morfisme. Zij A een deelring van R, dan is f (A) een deelring van S. TODO: bewijs

Eigenschap 9.45. Zij R, +, · en S,?, ∗ ringen en f : R → S een morfisme. Zij B een deelring van S, dan is f −1 (B) een deelring van R. TODO: bewijs

Eigenschap 9.46. Zij R, +, · een ring met eenheidselement i, S,?, ∗ een ring en f : R → S een morfisme. De deelring f (R) heeft f (i) als eenheidselement. TODO: bewijs

Opmerking 9.47. Het eenheidselement van een deelring van een ring hoeft niet gelijk zijn aan het eenheidselement van de ring. CLARIFY: hoeft de ring er e´ e´ n te hebben? extra: verwijzen naar vb op p 47 A

Eigenschap 9.48. Zij R, +, · en S,?, ∗ ringen en f : R → S een morfisme. Zij e het nulelement van R. f is injectief als en slechts als Ker ( f ) = {e}. TODO: bewijs

Eigenschap 9.49. Zij R, +, · en S,?, ∗ ringen en f een ringisomorfisme van R naar S, dan is ook f −1 : S → R een ringisomorfisme. TODO: bewijs p 33 structuren

Stelling 9.50. Zij R, +, · en S,?, ∗ ringen met eenheidselement i R en iS en zij f : R → S een isomorfisme dat het eenheidselement i R van R, +, · afstuurt op het eenheidselement iS van S, +, ·, dan zijn de eenheidsgroepen R × , · en S × , · isomorf. TODO: bewijs p 34 structuren

Eigenschap 9.51. Zij R, +, · en S,?, ∗ ringen met eenheidselement i R en iS en zij f : R → S een isomorfisme dat het eenheidselement i R van R, +, · afstuurt op het eenheidselement iS van S, +, ·. Als u een eenheid is in R, dan is f (u) een eenheid in S. Bovendien geldt het volgende: ( f (u)) −1 = f (u −1 ) TODO: bewijs

Propositie 9.52. Zij R, +, · een ring met eenheidselement i R en nulelement eR en zij S,?, ∗ een integriteitsdomein met eenheidselement iS en nulelement eS . Zij f : R → S een ringmorfisme. f (R) = {eS } TODO: bewijs p 47 A

∨

f (i R ) = iS

72

HOOFDSTUK 9. RINGEN

Propositie 9.53. Zij R, +, · en S,?, ∗ ringen en f : R → S een morfisme. f is een isomorfisme als en slechts als en een morfisme д : S → R bestaat zodat het volgende geldt: д ◦ f = IR

∧

f ◦ д = IS

TODO: bewijs

9.1.10

Breukenveld van een integriteitsdomein

Definitie 9.54. Zij R een integriteitsdomein, F een veld en i : R → F een ringmorfisme als volgt: 1. i is injectief 2. ∀q ∈ F , ∃a ∈ R,b ∈ Re : q = i (a) · i (b) −1 F is dan het breukenveld van R. Stelling 9.55. We kunnen een integriteitsdomein identificeren met zijn beeld onder de inbedding i en dus als deelring van F beschouwen. TODO: bewijs p 48 A

Eigenschap 9.56. Het breukenveld van een integriteitsdomein is uniek. TODO: bewijs p 49 A

Eigenschap 9.57. Zij F het breukenveld van een integriteitsdomein R met inbedding i : R → F . Er bestaat voor elk injectief ringmorfisme f : R → K met K een veld een uniek ringmorfisme f 0 : F → K zodat f = f 0 ◦ i geldt. TODO: bewijs p 49 A extra: eenhedengroepen van resklassenringen pagina 35 tot 49 structuren

Hoofdstuk 10 Voorbeelden 10.1

Groepen

Definitie 10.1. De triviale groep is de groep met enkel een neutraal element. G, ∗ = {eG }, ∗ Commutatief Voorbeeld 10.2. De getallen, uitgerust met de optelling, vormen groepen met 0 als neutraal element. Z⊆Q⊆R⊆C Commutatief Voorbeeld 10.3. De complexe en reële getallen, uitgerust met de vermeningvuldiging, vormen groepen met 1 als neutraal element. R⊆C Commutatief Voorbeeld 10.4. De n-tallen, uitgerust met de optelling, vormen groepen met ~0 als neutraal element. Zn ⊆ Qn ⊆ Rn ⊆ Cn Commutatief Voorbeeld 10.5. De n-de eenheidswortels {z ∈ C | zn = 1}, uitgerust met de vermeningvuldiging is een groep met neutraal element 1.

Definitie 10.6. De cirkelgroep S 1 is de verzameling van complexe getallen met modulus 1, uitgerust met de vermenigvuldiging. Voorbeeld 10.7. De matrixes van dezelfde vorm, uitgerust met de optelling, vormen groepen met [0] als neutraal element. Zm×n ⊆ Qm×n ⊆ Rm×n ⊆ Cm×n Commutatief

73

74

HOOFDSTUK 10. VOORBEELDEN

Voorbeeld 10.8. De verzameling GLn (R) van inverteerbare reële n × n-matrices, uitgerust met de matrix vermeningvuldiging, vormen een groep met In als neutraal element. Voorbeeld 10.9. De verzameling R[x] van reële veeltermen in de veranderlijke x, uitgeruist met de optelling, is een groep met neutraal element 0. Commutatief Definitie 10.10. De viergroep of groep van Klein V , · heeft als neutraal element e. Er geldt een eenvoudige regel: ab = c, bc = a, ca = b ◦ e a b c

e e a b c

a a e c b

b b c b a

c c b a e

Commutatief Voorbeeld 10.11. De reële getallen Z, uitgerust met de optelling modulo n ∈ N0 , vormen een groep Zn met neutraal element [0]n . Zo een groep heet de restklassengroep van graad n. Commutatief Definitie 10.12. De symmetrische groep van graad n: Sn , ◦ is de groep van permutaties van {1, . . . ,n}. |Dn | = n! Voor n ≤ 2 is Sn commutatief. Eigenschap 10.13. Sn is een deelgroep van Sn+1 . TODO: bewijs

Voorbeeld 10.14. S1 , ◦: De groep van permutaties van {1}. ◦ Id Id Id Commutatief Voorbeeld 10.15. S2 , ◦: De groep van permutaties van {1, 2}. ◦ Id (12) Id Id (12) (12) (12) Id Commutatief Voorbeeld 10.16. S3 , ◦: De groep van permutaties van {1, 2, 3}. ◦ Id (12) (13) (23) (123) (132) Id Id (12) (13) (23) (123) (132) (12) (12) Id (132) (123) (23) (13) (13) (13) (123) Id (132) (12) (23) (23) (23) (132) (123) Id (13) (12) (123) (123) (13) (23) (12) (132) Id (132) (132) (23) (12) (13) Id (123)

75

HOOFDSTUK 10. VOORBEELDEN Voorbeeld 10.17. S4 , ◦: De groep van permutaties van {1, 2, 3, 4}. { Id, (12), (13), (14), (23), (24), (34), S4 = (123), (124), (132), (134), (142), (143), (234), (243) (12)(34), (13)(42), (14)(23), (1234), (1243), (1324), (1342), (1423), (1432) }

Definitie 10.18. Q, ·,: De quaternionengroep. Q = {1, −1,i, −i, j, −j,k, −k} Er gelden vier eenvoudige regels: • i 2 = j 2 = k 2 = −1 • ij = k • jk = i • ki = j 1 −1 i −i j −j k −k · 1 1 −1 i −i j −j k −k 1 −i i −j j −k k −1 −1 i i −i −1 1 k −k −j j −i −i i 1 −1 −k k j −j j −j −k k −1 1 i −i j −j −j j k −k 1 −1 −i i k k −k j −j −i i −1 1 k −j j i −i 1 −1 −k −k

Definitie 10.19. De Diëdergroep van graad n: Dn , ◦ is de groep van starre bewegingen die een regelmatige n-hoek op zichzelf afbeelden. Dn bevat n rotaties Id,a, . . . ,an−1 en n spiegelingen b,ab, . . . ,an−1b. |Dn | = 2n Er gelden drie eenvoudige regels: • an = Id • b 2 = Id • ba = a −1b Voorbeeld 10.20. D1 , ◦: De groep van starre bewegingen die een regelmatige 1-hoek op zichzelf afbeelden. ◦ Id b Id Id b b b Id

76

HOOFDSTUK 10. VOORBEELDEN Commutatief

Voorbeeld 10.21. D2 , ◦: De groep van starre bewegingen die een regelmatige 2-hoek op zichzelf afbeelden. ◦ Id a b ab Id Id a b ab a a Id ab b b b ab Id a ab ab b a Id Commutatief Voorbeeld 10.22. D3 , ◦: De groep afbeelden. ◦ Id a a2 b ab a 2b

van starre bewegingen die een regelmatige 3-hoek op zichzelf

Voorbeeld 10.23. D4 , ◦: De groep afbeelden. ◦ Id Id Id a a a2 a2 a3 a3 b b ab ab a 2b a 2b a 3b a 3b

van starre bewegingen die een regelmatige 4-hoek op zichzelf

10.2

Id a a2 b ab a 2b Id a a2 b ab a 2b 2 a a Id ab a 2b b a 2 Id a a 2b b ab b a 2b ab Id a 2 a ab b a 2b a Id a 2 a 2b ab b a2 a Id

a a2 a3 b ab a 2b a 3b a a2 a3 b ab a 2b a 3b a 2 a 3 Id ab a 2 a 3b b a 3 Id a a 2b a 3b b ab Id a a 2 a 3b b ab a 2b 3 2 a b a b ab Id a 3 a 2 a 3 2 3 b ab ab a Id a a2 ab b a 3b a 2 a Id a 3 2 3 2 a b ab b a a a Id

Ringen

Definitie 10.24. De nulring 0 is de ring met e´ e´ n enkel element zodat zowel {0}, + als {0}, · een groep zijn met hetzelfde neutraal element. 0 = {0}, +, · Commutatief Voorbeeld 10.25. De gehele getallen, uitgeruist met de optelling en de vermenigvuldiging, vormen een commutatieve ring Z, +, ·. Commutatief Voorbeeld 10.26. De rationale getallen, uitgerust met de optelling en de vermenigvuldiging, vormen velden. Q⊆R⊆C Commutatief

77

HOOFDSTUK 10. VOORBEELDEN

Voorbeeld 10.27. De reele veeltermen, uitgerust met de optelling en de vermenigvuldiging, vormen een commutatieve ring R, +, ·. Commutatief Voorbeeld 10.28. De verzameling van reële vierkante matrices Rn×n , uitgerus met de optelling en de matrixvermenigvuldiging vormen een ring. TODO: nog voorbelden op pagina 42 A TODO: quaternionen H p 45 A TODO: deelringen p 46 A TODO: ringmorfismen p 46 A TODO: breukenvelden p 49 A

10.2.1

Eenhedengroepen

Voorbeeld 10.29. De eenhedengroep Z× , · van Z, +, · is de groep {1, −1}, ·. Z× = {1, −1} Voorbeeld 10.30. De eenhedengroep (Rn×n ) × , · van Rn×n , +, · is de groep GLn (R), · van inverteerbare matrices. (Rn×n ) × = GLn (R) Voorbeeld 10.31. De eenhedengroep van R[x], +, · en die van R, +, · zijn beide gelijk aan R0 , ·.

Hoofdstuk 11 Algebra I: Oefenzittingen 11.1

Oefenzitting 1

TODO: Oefening 1

Oefening 2 Zij G, ∗ een groep. Stel dat ∀x ∈ G : x 2 = e geldt. Toon aan dat G, ∗ commutatief is. Bewijs. Kies twee willekeurige elementen x en y uit G: (x ∗ y) 2 (x ∗ y ∗ x ∗ y) x ∗ (x ∗ y ∗ x ∗ y) ∗ y (x ∗ x ) ∗ y ∗ x ∗ (y ∗ y) y ∗x

=e =e = x ∗e ∗y = x ∗y = x ∗y

Oefening 3 Zij G een groep. Toon aan dat G commutatief is als en slechts als het volgende geldt: ∀a,b ∈ G,∀n ∈ N : (ab)n = anb n Bewijs. Kies twee willekeurige elementen a en b uit G: • ⇒ Kies een willekeurige n ∈ N (ab)n = ababab . . . abab = aaaaa . . . bbbbb • ⇐ Kies n = 2:

abab = aabb bab = abb ba = ab

TODO: Oefening 3

78

HOOFDSTUK 11. ALGEBRA I: OEFENZITTINGEN

79

Oefening 4 (a) Bepaal alle deelgroepen van Z12 , +.

{0, 2, 4, 6, 8, 10}, + {0, 3, 6, 9}, + {0, 4, 8}, + {0, 6}, + {0}, +

TODO: Oefening 4b TODO: Oefening 4c TODO: Oefening 4d TODO: Oefening 5 TODO: Oefening 6

Oefening 7 (a) Zij G, ∗ en H , groepen met een morfisme f : G → H . Als een verzameling A een deelgroep is van G, dan is f (A) een deelgroep van H . Inderdaad, zie ?? (b) Zij G, ∗ en H , groepen met een morfisme f : G → H . Als een verzameling B een deelgroep is van H , dan is f −1 (B) een deelgroep van G. Inderdaad, zie ??

Oefening 8 Zij G, · een niet-cyclische groep van orde 6. (a) G heeft een element van orde 3. Bewijs. De orde van een element van een groep is een deler van de orde van de groep.1 Elk element heeft dus een orde in {1, 2, 3, 6}. Enkel e heeft als orde 1, en er zijn geen elementen van orde 6 want dan zou G cyclisch zijn. Stel dat elk element orde 2 is, dan is G commutatief.2 Dit zou betekenen dat {e,a,b,ab} een deelgroep was van G met orde 4, maar 4 is geen deler van 6. Contradictie3 Bijgevolg bestaat er minstens e´ e´ n element van orde 3. 1 Zie

gevolg 8.48. oefening 2. (11.1) 3 Zie stelling 8.47. 2 Zie

HOOFDSTUK 11. ALGEBRA I: OEFENZITTINGEN

80

(b) Zij a een element van orde 3 en b < {e,a,a 2 }, dan geldt G = {e,a,a 2 ,b,ab,a 2b}. Bewijs. We bewijzen dat {e,a,a 2 ,b,ab,a 2b} enkel verschillende elementen bevat. • {e,a,a 2 } is een verzameling van onderling verschillende elementen, en bovendien een groep. • {e,a,a 2 ,b} is een verzameling van onderling verschillende elementen omdat b niet in{e,a,a 2 } zit en {e,a,a 2 } een groep is. CLARIFY: Waarom?

• {e,a,a 2 ,b,ab} is een verzameling van onderling verschillende elementen: ab , e want dan zou {e,a,a 2 } geen groep zijn. ab , a want dan zou b = e gelden. ab , a 2 want dan zou b = a gelden. ab , b want dan zou a = b gelden. • {e,a,a 2 ,b,ab,a 2b} is een verzameling van onderling verschillende elementen: a 2b , e want dan zou {e,a,a 2 ,b} geen groep zijn. CLARIFY: Waarom?

ab 2 , a want dan zou b 2 = e gelden. CLARIFY: Waarom?

ab 2 , a 2 want dan zou CLARIFY: Waarom?

ab 2 , b want dan zou ab = b gelden. ab 2 , ab want dan zou b = e gelden. (c) De orde van b is 2. Bewijs.

b2 b2 b2 b2

,a , a2 , ab , a 2b

want??? want??? want dan zou b = a gelden. want dan zou b = a 2 gelden.

CLARIFY: Waarom?

Bijgevolg geldt b 2 = e.

81

HOOFDSTUK 11. ALGEBRA I: OEFENZITTINGEN (d) ba is gelijk aan a 2b. Bewijs.

ba ba ba ba ba ba

,e ,a , a2 ,b , ab , a 2b

want dan zou {e,a,a 2 } geen groep zijn. (gegeven) want dan zou b = a gelden. want dan zou a = e gelden. want ??? want dan zou b = a 2 gelden.

CLARIFY: Waarom?

(e) G D3 S3 geldt. Bewijs. Constructief bewijs. • Er bestaat een bijectie tussen G en S3 : e a a2 b ab a 2b e (123) (132) (12) (13) (23)

!

• G is gelijk aan D 4 .

Hoofdstuk 12 Toepassingen van Algebra: Oefenzittingen 12.1

Oefenzitting 1

Oefening 1 Op R definieren we de samenstellingswet τ : aτb = a + b + a 2b 2 (a) Geef het neutraal element van deze wet. Het neutraal element is hier 0: aτ 0 = a + 0 + a 2 02 = a = 0 + a + 02a 2 (b) ze is niet associatief. Ga na! cτ (aτb) = cτ (a + b + a 2b 2 ) = c + (a + b + a 2b 2 ) + c 2 + (a + b + a 2b 2 ) 2 , (cτa)τb = (c + a + c 2a 2 )τb = (c + a + c 2a 2 ) + b + (c + a + c 2a 2 ) 2 + b (c) Ze is commutatief. Waarom? De samenstellingswet is commutatief omdat zowel de optelling als het product voor a en b commutatief zijn.

Oefening 2 Bewijs dat in R 2 × R 2 volgende relaties equivalantierelaties zijn: G = {((a,b), (c,d )|a 2 + b 2 = c 2 + d 2 } H = {((a,b), (c,d ))|b − a = d − c} J = {((a,b), (c,d ))|b + a = d + c} Deze relaties zijn inderdaad reflexief, transitief en symmetrisch. welke zijn de partities die door deze relaties bepaald worden? 82

83

HOOFDSTUK 12. TOEPASSINGEN VAN ALGEBRA: OEFENZITTINGEN

G (a,b) = {(x,y) ∈ R2 |x 2 + y 2 = a 2 + b 2 } Dit zijn de concentrische cirkels met de oorsprong als middelpunt en straal

√

a2 + b 2.

H (a,b) = {(x,y)ε : y = x + b − a} Dit zijn alle punten op dezelfde evenwijdige rechte met de identieke. J (a,b) = {(x,y)εR 2 : y = −x + b + a} Dit zijn alle punten op dezelfde evenwijdige rechte met de tegengestelde van deidentieke. welke zijn de partities die hierdoor gedefinieerd worden? (H ∩ J ) (a,b) = {(x,y) ∈ R2 |x = a,y = b} = {(a,b)}

Oefening 3 los het volgende stelsel op: 3x 1 − 2x 2 + 6x 3 = 4 mod 7     4x 1 + x 2 + x 3 = 0 mod 7    2x 1 + x 2 + 2x 3 = −1 mod 7 x 1 − 3x 2 + 2x 3 = 6 mod 7     −→  4x 1 + x 2 + x 3 = 0 mod 7   2x 1 + x 2 + 2x 3 = −1 mod 7 x 1 − 3x 2 + 2x 3 = 6 mod 7     −→  0x 1 − 1x 2 + 0x 3 = 4 mod 7   0x 1 + 0x 2 + 5x 3 = 1 mod 7 De oplossingsverzameling van dit stelsel is {(2, 3, 3)}

Oefening 4 Bepaal de isometrieen van een gelijkzijdige driehoek. Stel voor deze ismetrieen de bewerkingstabel op, onder de samenstellingswet ◦. Benoem de volgende isometrieen: 1 identieke r 1 rotatie over 120 graden r 2 rotatie over 240 graden s 1 spiegeling over do hoogtelijn door hoek 1 s 2 spiegeling over do hoogtelijn door hoek 2 s 3 spiegeling over do hoogtelijn door hoek 3

HOOFDSTUK 12. TOEPASSINGEN VAN ALGEBRA: OEFENZITTINGEN

84

De bijhoordende bewerkingstabel is dan de volgende: ◦ 1 r1 r2 s1 s2 s3

1 1 r1 r2 s1 s2 s3

r1 r1 r2 1 s2 s3 s1

r2 r2 1 r1 s3 s1 s2

s1 s1 s3 s2 1 r2 r1

s2 s2 s1 s3 r1 1 r2

s3 s3 s2 s1 r2 r1 1

Oefening 5 Een latijns vierkant in een n x n tabel waarin slechts n verschillende elementen voorkomen. In elke rij en elke kolom komt namelijk elk element juist eenmaal voor. (a) Bewijs dat de bewerkingstabel voor een eindige groep steeds een latijns vierkant is (b) Is dit ook een voldoende voorwaarde om een groep te hebben? Bepaal of volgend latijns vierkant de bewerkingstabel van een groep is τ a b c d e f

a c f a e d b

b e c b a f d

c a b c d e f

d b a d f c e

e f d e c b a

f d e f b a c

(a) Elke rij en kolom van de bewerkings tabel zijn verschillende elementen. Stel immers dat er op een rij of kolom twee keer hetzelfde element voorkomt, dat is de bewerking niet injetief. Bijgevolg is de bewerking niet injectief en dus niet inverteerbaar. Er is dan geen uniek invers element voor elk element van de groep. Dit is in contradictie met de definitie van een bewerking op een groep. (b) De bewerking is niet associatief:

aτ (aτb) = aτe = f (aτa)τb) = cτb = b

Index n-koppel, 11 n-tal, 11 n-voudig Carthesis product, 11 (integriteits)domein, 68 (ring)(homo)morfisme, 70 (ring)isomorfisme, 70 abelse groep, 37 absorptiewet, 6 additieve notatie, 31 afbeelding, 19 aftelbaar, 25 aftelbaar oneindig, 25 algebra, 34 algebra¨ısche structuur, 34 alternatieve criteria, 38 anti-symmetrie, 3 anti-symmetrisch, 15 argument, 18 associatief, 5, 29 associativiteit, 29 automorfisme, 70 Bézout-Bachet, 27 beeld, 13, 18, 19, 39 beperking, 21 bewerking, 29, 32 bijectief, 20 bovengrens, 16 breukenveld, 72 carthesisch product, 10 centralisator, 56 centrum, 56 Chinese reststelling, 27 cirkelgroep, 73 commutatief, 6 commutatieve groep, 37 commutatieve ring, 68 commutativiteit, 29 commutatordeelgroep, 64 commutatoren, 64 complement, 7 complementaire wet, 7

conjugatie met een element, 55 conjugatieklas, 54 constante afbeelding, 21 criterium van een deelgroep, 37 cyclishe groep, 45 deelalgebra, 34 deelgroep, 37 deelring, 70 definitie van een afbeelding, 19 definitie van een functie, 18 deler, 26, 68 Derde isomorfismestelling, 64 Diëdergroep, 75 directe som, 52 disjunct, 6 distributief, 31 domein, 13 doorsnede, 6, 7 een deelverzameling, 3 een koppel, 9 eenhedengroep, 68 eenheid, 67 eenheidselement, 67 eenheidsrelatie, 12 Eerste isomorfismestelling, 61 endomorfisme, 70 equivalentieklasse, 14 equivalentierelatie, 14 Euclidische deling, 26 even, 24 factorisatiestelling, 62 functie, 18 geconjugeerde, 53 gelijk, 3 gelijkheid, 9 generator, 45 geordend paar, 9 groep, 36, 44 groep der inwendige automorfismen, 56 groep van Klein, 74 85

86

INDEX grootste element, 16 grootste gemene deler, 26 halfgroep, 36 homoloog, 34 homomorfisme, 34

parallellogramisomorfismestelling, 64 permutatie, 22 permutatiegroep, 52 priemfactorisatie, 28 priemgetal, 28

quaternionengroep, 75 identieke transformatie, 20 quotiëntgroep, 59 identiteitswet, 5, 6 quotientgroep, 58 infimum, 16 quotientverzameling, 14 injectief, 20 inlassing, 21 rechter inverse, 21 invariante of stabiele deelverzameling, 20 rechts-distributief, 31 invers beeld f −1 (A) van een verzameling, 19 rechts-regulier, 30 inverse, 12, 13, 22, 67 rechts-schrapbaar, 30 inverteerbaar, 22 rechtse nevenklasse, 48 inwendig automorfisme bepaald door een element, reflexief, 14 55 regulier, 30 relatie, 12 kardinaliteit, 25 relatief priem, 26 kern, 39, 70 representanten, 59 klasvergelijking, 57 restklassengroep, 74 kleinste element, 16 ring, 66 ring met eenheidselement, 67 lege verzameling, 4 lichaam, 69 linker inverse, 21 links-distributief, 31 links-regulier, 30 links-schrapbaar, 30 linkse nevenklasse, 48

machtsverzameling, 9 maximaal element, 16 minimaal element, 16 mono¨ıde, 36 morfisme, 39 multiplicatieve notatie, 31 normaaldeler, 58 nuldeler, 67 nulelement, 66 nulring, 76 nulwet, 5, 6 ondergrens, 16 onderling ondeelbaar, 26 oneven, 24 ongedefinieerd, 18 oplosbaar, 61 orde, 43 orderelatie, 16 overaftelbaar, 25

samenstelling S ◦ R van twee relaties, 12 samenstelling van relaties is associatief, 12 schrapbaar, 30 singleton, 5 Stelling van Cayley, 53 Stelling van euclides, 28 Stelling van Lagrange, 50 stelling van Wedderburn, 69 strikte deelverzameling, 4 subalgebra, 34 supremum, 16 surjectief, 20 symmetrisch, 14 symmetrisch element, 30 symmetrisch verschil, 9 symmetrische groep, 52, 74 symmetriseerbaar, 30 teken, 23 toegevoegde, 53 totale orderelatie, 17 transitief, 14 transitiviteit, 3, 4 transpositie, 22 triviale groep, 73 Tweede isomorfismestelling, 64

INDEX unie, 5, 7 unie is commutatief, 5 unie is idempotent, 5 universele verzameling, 4 van twee verzamelingen, 5, 6 vast punt, 19 veld, 69 verschil, 8 verzameling, 3 verzameling van alle deelverzamelingen, 9 viergroep, 74 wet van De Morgan, 7, 8

87

Todo list TODO: bewijs . . . . . . . . . TODO: bewijs . . . . . . . . . TODO: bewijs . . . . . . . . . TODO: bewijs . . . . . . . . . TODO: bewijs . . . . . . . . . TODO: bewijs . . . . . . . . . TODO: bewijs . . . . . . . . . TODO: bewijs . . . . . . . . . TODO: bewijs . . . . . . . . . TODO: bewijs . . . . . . . . . TODO: bewijs . . . . . . . . . TODO: bewijs . . . . . . . . . TODO: bewijs . . . . . . . . . TODO: bewijs . . . . . . . . . TODO: bewijs . . . . . . . . . TODO: bewijs . . . . . . . . . TODO: bewijs zie p 15 . . . . . TODO: bewijs zie p 14 . . . . . TODO: bewijs . . . . . . . . . TODO: bewijs . . . . . . . . . TODO: bewijs . . . . . . . . . TODO: bewijs . . . . . . . . . TODO: bewijs . . . . . . . . . TODO: bewijs . . . . . . . . . TODO: bewijs . . . . . . . . . TODO: bewijs . . . . . . . . . TODO: algoritme van euler . . TODO: bewijs . . . . . . . . . TODO: bewijs . . . . . . . . . TODO: bewijs . . . . . . . . . TODO: bewijs . . . . . . . . . TODO: bewijs . . . . . . . . . TODO: bewijs en definieer kgv TODO: bewijs . . . . . . . . . TODO: bewijs . . . . . . . . . TODO: bewijs . . . . . . . . . TODO: bewijs . . . . . . . . . TODO: bewijs . . . . . . . . . TODO: bewijs . . . . . . . . . TODO: bewijs . . . . . . . . . TODO: bewijs . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

88

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12 12 13 13 13 13 13 13 16 16 21 21 21 22 22 22 22 23 24 26 26 26 26 27 27 27 27 27 27 27 27 27 28 28 28 28 30 31 31 33 33

INDEX

89

TODO: bewijs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TODO: bewijs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TODO: bewijs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TODO: cyclische mono¨ıde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TODO: voor doorbijters: Bewijs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TODO: bewijs p 106 tai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TODO: bewijs in het hoofdstuk over afbeeldingen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TODO: bewijzen in hoofdstuk van deelbaarheid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TODO: Bewijs in hoofdstuk van deelbaarheid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TODO: Bewijs in hoofdstuk van deelbaarheid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TODO: bewijs analoog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TODO: bewijs p 101 tai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TODO: bewijs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TODO: bewijs str . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TODO: voorwaarde afzwakken bij normaaldelers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TODO: bewijs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TODO: bewijs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TODO: bewijs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TODO: bewijs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TODO: bewijs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TODO: bewijs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TODO: bewijs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TODO: bewijs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TODO: bewijs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . CLARIFY: Ik ben nog niet overtuigd… . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . CLARIFY: waarom? maak algoritme voor samenstelling van cykels en toon dan aan. . . . . . CLARIFY: waarom? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . CLARIFY: Zeker? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . CLARIFY: Ja? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TODO: bewijs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TODO: bewijs pagina 21. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TODO: bewijs pagina 21. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TODO: bewijs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TODO: bewijs pagina 21. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TODO: bewijs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TODO: bewijs pagina 22. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TODO: bewijs pagina 22. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TODO: bewijs pagina 22. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TODO: bewijs pagina 23. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TODO: bewijs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . CLARIFY: is dit equivalent met: “en normaaldeler is niet noodzakelijk het centrum van een groep.” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TODO: bewijs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TODO: bewijs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TODO: bewijs p 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TODO: bewijs p 106 tai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TODO: bewijs p 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TODO: bewijs p 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TODO: bewijs p 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TODO: bewijs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33 33 33 36 39 39 41 47 47 47 48 49 50 51 51 52 52 52 52 52 52 53 53 53 54 55 55 55 55 56 56 57 57 57 57 57 57 57 57 57 58 58 58 58 58 58 58 59 59

90

INDEX TODO: bewijs . . . . . . . . . . . . . . TODO: bewijs . . . . . . . . . . . . . . TODO: bewijs p 27 . . . . . . . . . . . . TODO: bewijs p 28 . . . . . . . . . . . . TODO: bewijs p 28 . . . . . . . . . . . . TODO: bewijs . . . . . . . . . . . . . . TODO: bewijs . . . . . . . . . . . . . . TODO: bewijs . . . . . . . . . . . . . . TODO: bewijs p 29 . . . . . . . . . . . . TODO: bewijs . . . . . . . . . . . . . . TODO: bewijs p 29 . . . . . . . . . . . . TODO: definitie van compositiefactoren TODO: bewijs p 30 . . . . . . . . . . . . TODO: toch eens het bewijs proberen? TODO: toch eens het bewijs proberen? TODO: bewijs bekijken . . . . . . . . . CLARIFY: dit kan duidelijker . . . . . . TODO: bewijs p 33 . . . . . . . . . . . . TODO: bewijs p 34 . . . . . . . . . . . . TODO: bewijs p 34 . . . . . . . . . . . . TODO: bewijs p 34 . . . . . . . . . . . . TODO: bewijs p 34 . . . . . . . . . . . . extra: bewijs p 34 . . . . . . . . . . . . . extra: bewijs p 34 . . . . . . . . . . . . . extra: bewijs p 34 . . . . . . . . . . . . . extra: bewijs p 34 . . . . . . . . . . . . . extra: bewijs p 34 . . . . . . . . . . . . . extra: bewijs . . . . . . . . . . . . . . . extra: bewijs . . . . . . . . . . . . . . . extra: bewijs p 36 . . . . . . . . . . . . . TODO: bewijs p 37 . . . . . . . . . . . . extra: bewijs . . . . . . . . . . . . . . . TODO: bewijs p 38 . . . . . . . . . . . . extra: bewijs . . . . . . . . . . . . . . . TODO: bewijs p 39 . . . . . . . . . . . . TODO: bewijs p 39 . . . . . . . . . . . . TODO: bewijs p 39 . . . . . . . . . . . . TODO: bewijs p 39 . . . . . . . . . . . . TODO: bewijs p 40 . . . . . . . . . . . . TODO: bewijs p 40 . . . . . . . . . . . . TODO: bewijs . . . . . . . . . . . . . . TODO: bewijs . . . . . . . . . . . . . . TODO: bewijs . . . . . . . . . . . . . . TODO: bewijs . . . . . . . . . . . . . . TODO: bewijs . . . . . . . . . . . . . . TODO: bewijs . . . . . . . . . . . . . . TODO: bewijs p 34 structuren . . . . . TODO: bewijs . . . . . . . . . . . . . . extra: bewijs . . . . . . . . . . . . . . . extra: toch eens een bewijs proberen? .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59 59 59 59 59 60 60 60 60 60 60 60 60 61 61 61 61 61 62 62 62 62 62 62 63 63 63 63 63 63 64 64 64 64 65 65 65 65 65 65 66 66 66 67 67 68 68 68 69 69

91

INDEX extra: bewijs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TODO: bewijs p 44 A I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . extra: bewijs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . extra: toch eens bewijs proberen?zie stelling 9.24. . . . . . . . . . . . . . . extra: bewijs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . extra: bewijs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . extra: bewijs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TODO: bewijs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TODO: bewijs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TODO: bewijs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TODO: bewijs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TODO: bewijs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TODO: bewijs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . CLARIFY: hoeft de ring er e´ e´ n te hebben? . . . . . . . . . . . . . . . . . . extra: verwijzen naar vb op p 47 A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TODO: bewijs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TODO: bewijs p 33 structuren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TODO: bewijs p 34 structuren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TODO: bewijs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TODO: bewijs p 47 A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TODO: bewijs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TODO: bewijs p 48 A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TODO: bewijs p 49 A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TODO: bewijs p 49 A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . extra: eenhedengroepen van resklassenringen pagina 35 tot 49 structuren TODO: bewijs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TODO: nog voorbelden op pagina 42 A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TODO: quaternionen H p 45 A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TODO: deelringen p 46 A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TODO: ringmorfismen p 46 A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TODO: breukenvelden p 49 A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TODO: Oefening 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TODO: Oefening 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TODO: Oefening 4b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TODO: Oefening 4c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TODO: Oefening 4d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TODO: Oefening 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TODO: Oefening 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . CLARIFY: Waarom? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . CLARIFY: Waarom? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . CLARIFY: Waarom? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . CLARIFY: Waarom? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . CLARIFY: Waarom? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . CLARIFY: Waarom? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69 69 69 69 69 69 69 70 70 71 71 71 71 71 71 71 71 71 71 71 72 72 72 72 72 74 77 77 77 77 77 78 78 79 79 79 79 79 80 80 80 80 80 81

KU Leuven. Algebra. Notities. Tom Sydney Kerckhove

Recommend Documents