Kromlijnige bewegingen Herhaling ‘Vallen’ Onder ‘vallen’ versta ik iedere beweging door de lucht zonder ‘aandrijving’ (door spierkracht of motorkracht). Bijvoorbeeld de beweging van een voorwerp dat is weggegooid.
Vrije val De beweging is een vrije val1, als er geen luchtwrijvingskracht werkt. Dit is het geval in vacuüm. Soms is de beweging bij benadering een vrije val, namelijk als de luchtwrijvingskracht klein is2. Dit is bijvoorbeeld het geval, als: • de snelheid van het voorwerp klein is • het voorwerp klein is en een goede stroomlijn heeft • het voorwerp zwaar is • de lucht ijl is. Bij een vrije val op aarde is er een constante valversnelling: (±) 9,8 m/s2. De (verticale) beweging is eenparig versneld, omdat de enige kracht die werkt de zwaartekracht is.
Verticale valbeweging Oefenopgave 1 Een voorwerp valt3 van 9,6 m hoog naar beneden. De luchtwrijving mag worden verwaarloosd. Bereken de valtijd.
y = 1 ⋅ g ⋅t2 2
→ 9,6 = 1 ⋅ 9,8 ⋅ t 2 2
→ t = 1,4 s
Bereken de eindsnelheid. Methode 1:
∆v = g ⋅ t
→ ∆v = 9,8 ⋅ 1,4 = 14 m
s
→ veind = 14 m
s
Methode 2:
m ⋅ g ⋅ h = 1 ⋅ m ⋅ v2 2
→
m ⋅ 9,8 ⋅ 9,6 = 1 ⋅ m ⋅ v 2 2
→ v = 14 m
s
1
In het dagelijkse taalgebruik wordt de valbeweging van een parachutist, voordat de parachute geopend wordt, een vrij val genoemd. Bedenk echter dat de luchtwrijving dan zeker belangrijk zal zijn en het natuurkundig gezien dus geen vrije val is. 2 T.o.v. de zwaartekracht op het voorwerp. 3 De beginsnelheid is dus 0.
1
Oefenopgave 2 Een voorwerp wordt van 9,6 m hoogte met een (begin)snelheid van 4,9 m/s recht omhoog gegooid. De luchtwrijving mag worden verwaarloosd. Bereken de valtijd.
∆v 4,9 = = 0,50 s g 9,8 ∆h = < v > ⋅t = 1 ⋅ 4,9 ⋅ 0,50 = 1,2 m 2
De benodigde tijd tot het hoogste punt is: Dit hoogste punt ligt boven 9,6 m:
t =
Vanaf 9,6 + 1,2 = 10,8 m valt het voorwerp dus naar beneden in:
y = 1 ⋅ g ⋅t2 2
→ 10,8 = 1 ⋅ 9,8 ⋅ t 2 2
→ t = 1,5 s
Zodat de totale valtijd 0,50 + 1,5 = 2,0 seconde is. Bereken de eindsnelheid. Methode 1:
∆v = g ⋅ t
→ ∆v = 9,8 ⋅ 1,5 = 15 m
s
→ veind = 15 m
s
Methode 2:
m ⋅ g ⋅ h = 1 ⋅ m ⋅ v2 2
→ m ⋅ 9,8 ⋅ 10,8 = 1 ⋅ m ⋅ v 2 2
→ v = 15 m
s
Methode 3:
m ⋅ g ⋅ h + 1 ⋅ m ⋅ v2 = 1 ⋅ m ⋅ v2 → 2 2 2 m ⋅ 9,8 ⋅ 9,6 + 1 ⋅ m ⋅ 4,9 = 1 ⋅ m ⋅ v 2 → v = 15 m 2 2 s Oefenopgave 3 Een voorwerp wordt van 9,6 m hoogte met een (begin)snelheid van 4,9 m/s, maar nu verticaal omlaag gegooid. De luchtwrijving mag worden verwaarloosd. Bereken de eindsnelheid.
m ⋅ g ⋅ h + 1 ⋅ m ⋅ v2 = 1 ⋅ m ⋅ v2 → 2 2 2 m ⋅ 9,8 ⋅ 9,6 + 1 ⋅ m ⋅ 4,9 = 1 ⋅ m ⋅ v 2 → v = 15 m 2 2 s Bereken de valtijd.
t=
∆h 9,6 9,6 = = = 0,99 s < v > 1 ⋅ (4,9 + 15) 9,7 2
Opmerking: De eindsnelheid is in oefenopgave 2 en 3 gelijk; de valtijd is echter ongelijk!
2
Oefenopgave 2 en 3
5
tijd (s) snelheid (m /s)
0 0
0,5
1
1,5
2
-5
-10
opgave 2 opgave 3
-15
Oefenopgave 4 Bij opgave 2 en 3 is het voorwerp respectievelijk na 2,0 s en na 1,0 s op de grond. Ga m.b.v. het (v,t)-diagram na dat bij oefenopgave 2: De (val)versnelling ( – ) 9,8 m/s2 is. Het voorwerp eerst 1,2 m omhoog gaat. Het voorwerp daarna 10,8 m omlaag gaat. Ga m.b.v. het (v,t)-diagram na dat bij oefenopgave 3: De beginhoogte van het voorwerp 9,6 m is. Ga na dat de beweging bij opgave 3 exact gelijk is aan het tweede deel van de beweging van het voorwerp bij opgave 2.
3
Oefenopgave 5 Een voorwerp valt van 9,6 m hoog naar beneden. Het voorwerp heeft een massa heeft van 5,1 kg heeft. De luchtwrijvingskracht is voortdurend 30 N4. Bereken de versnelling:
a=
Fres (50 − 30) = = 3,9 m 2 s m 5,1
Bereken de valtijd.
y = 1 ⋅ a ⋅t2 2
→ 9,6 = 1 ⋅ 3,9 ⋅ t 2 2
→ t = 2,2 s
Bereken de eindsnelheid. Methode 1:
∆v = a ⋅ t
→ ∆v = 3,9 ⋅ 2,2 = 8,7 m
→ veind = 8,7 m
s
s
Methode 2:
m ⋅ g ⋅ h = 1 ⋅ m ⋅ v2 + Q → 2 5,1 ⋅ 9,8 ⋅ 9,6 = 1 ⋅ 5,1 ⋅ v 2 + 30 ⋅ 9,6 → v = 8,7 m 2 s Opmerking: Er ontstaat 30·9,6 = 288 J warmte; de wrijvingskracht verricht – 288 J arbeid.
Oefenopgave 6 Een voorwerp (massa 5,1 kg) wordt van 9,6 m hoogte met een beginsnelheid van 4,9 m/s recht omhoog gegooid. De luchtwrijvingskracht is voortdurend 30 N. Bereken de valtijd. De versnelling bij het omhoog bewegen: a =
Fres (50 + 30) = = (−) 16 m 2 s m 5,1
∆v − 4,9 = = 0,31 s De benodigde tijd tot het hoogste punt is: a − 16 Dit hoogste punt ligt boven 9,6 m: ∆h = < v > ⋅ t = 1 2 ⋅ 4,9 ⋅ 0,31 = 0,77 m t =
4
De wrijvingskracht is uiteraard altijd tegen de bewegingsrichting in gericht. In werkelijkheid zal de luchtwrijvingskracht niet constant zijn, maar afhangen van de snelheid van het vallende voorwerp.
4
Vanaf 9,6 + 0,77 = 10,4 m valt het voorwerp dus naar beneden. De versnelling bij het omlaag vallen: a =
y = 1 ⋅ a ⋅t2 2
Fres (50 − 30) = = 3,9 m 2 s m 5,1
→ 10,4 = 1 ⋅ 3,9 ⋅ t 2 2
→ t = 2,3 s
Zodat de totale valtijd 0,31 + 2,3 = 2,6 seconde is. Bereken de eindsnelheid. Methode 1:
∆v = a ⋅ t
→ ∆v = 3,9 ⋅ 2,3 = 9,0 m
s
→ veind = 9,0 m
s
Methode 2:
m ⋅ g ⋅ h = 1 ⋅ m ⋅ v2 + Q → 2 5,1 ⋅ 9,8 ⋅ 10,4 = 1 ⋅ 5,1 ⋅ v 2 + 30 ⋅ 10,4 → v = 9,0 m 2 s Methode 3:
m ⋅ g ⋅ h + 1 ⋅ m ⋅ v2 = 1 ⋅ m ⋅ v2 + Q → 2 2 2 5,1 ⋅ 9,8 ⋅ 9,6 + 1 ⋅ 5,1 ⋅ 4,9 = 1 ⋅ 5,1 ⋅ v 2 + 30 ⋅ (0,77 + 10,4) → v = 9,0 m 2 2 s
Oefenopgave 7 Een voorwerp (massa 5,1 kg) wordt verticaal omlaag gegooid van 9,6 m hoogte met een beginsnelheid van 4,9 m/s. De luchtwrijvingskracht is voortdurend 30 N. Bereken de eindsnelheid.
m ⋅ g ⋅ h + 1 ⋅ m ⋅ v2 = 1 ⋅ m ⋅ v2 + Q → 2 2 5,1 ⋅ 9,8 ⋅ 9,6 + 1 ⋅ 5,1 ⋅ 4,9 2 = 1 ⋅ 5,1 ⋅ v 2 + 30 ⋅ 9,6 → v = 10 m 2 2 s Bereken de valtijd. Methode 1: De versnelling bij het omlaag vallen: a =
Zodat de valtijd
t=
Fres (50 − 30) = = 3,9 m 2 s m 5,1
∆v (10 − 4,9) = = 1,3 s a 3,9
is.
Methode 2:
t=
∆h 9,6 9,6 = = = 1,3 s < v > 1 ⋅ (4,9 + 10) 7,5 2
5
Oefenopgave 8 Een voorwerp (massa 5,1 kg) wordt recht omhoog gegooid. De luchtwrijvingskracht is afhankelijk van de snelheid van het voorwerp. De beweging van het voorwerp is weergegeven in een (y,t)-diagram.
hoogtegrafiek 80 70 60
y (m)
50 40 30 20 10 0 0
1
2
3
4
5
6
7
8
t (s)
Hoe groot is de beginhoogte? 40 m
Bepaal de beginsnelheid. 30,0 m/s
Bepaal de eindsnelheid. – 10,m/s
Hoe groot is de verplaatsing? – 40 m
Hoe groot is de afgelegde weg? 74 m
Hoe groot is de versnelling in het hoogste punt? (–) 9,8 m/s
2
Hoe groot is de wrijvingskracht op t = 7,0 s? 50 N
Hoe groot is de gemiddelde snelheid? – 5,0 m/s
Bereken hoeveel arbeid de wrijvingskracht heeft verricht.
ΣW = ∆E kin
2 2 ↔ W zw + Wwr = 1 ⋅ m ⋅ (veind − vbegin ) 2
Wwr = 1 ⋅ 5,1⋅ ((−10) 2 − 30 2 ) − 5,1 ⋅ 9,8 ⋅ 40 = − 4,0 kJ 2
6
Oefenopgave 9 Een voorwerp (massa 5,1 kg) wordt recht omhoog gegooid. De luchtwrijvingskracht is afhankelijk van de snelheid van het voorwerp. De beweging van het voorwerp is weergegeven in een (v,t)-diagram. Op t = 8,0 s bereikt het voorwerp de grond. snelheidsgrafiek 40
30
v (m/s)
20
10
0 0
1
2
3
4
5
6
7
8
-10
-20 t (s)
Op welk tijdstip is het voorwerp op het hoogste punt? 1,5 s
Bepaal vanaf welke hoogte het voorwerp is gegooid. 40 m
Hoe groot is de wrijvingskracht op t = 7,0 s? 50 N
Bepaal de versnelling op t = 1,5 s. 9,8 m/s2
Bepaal de wrijvingskracht als het voorwerp met 30 m/s beweegt. 150 N
Voor de luchtwrijvingskracht geldt: Mogelijkheid 1: Fwr = C ⋅ v Mogelijkheid 2: Fwr = C ⋅ v De wrijving is evenredig met de De wrijving is evenredig met het snelheid. De evenredigheidsconstante kwadraat van de snelheid. De C hangt o.a. af van de stroomlijn van evenredigheidsconstante C hangt o.a. het voorwerp. af van de stroomlijn van het voorwerp. Leg uit welke mogelijkheid voor dit vallende voorwerp geldig is. Bepaal de evenredigheidsconstante C. 2
mogelijkheid 1 5,0 N.s/m = 5,0 kg/s
7
Oefenopgave 10 (naar VWO-examen 2003) Space Shot ‘Space Shot’ is een spectaculaire attractie in het pretpark Six Flags. Hierbij kan een groep mensen zich laten ‘lanceren’ met behulp van een ring om een hoge toren. Op de ring zijn stoelen bevestigd waarin de bezoekers met stevige gordels vastzitten. De ring wordt vanaf de grond omhooggeschoten tot onder de top van de toren.
Lees de folder. Space Shot: nieuw in de BENELUX! Een sensationele lancering met een snelheid van 85 kilometer per uur, 60 meter omhoog. Een rit valt te vergelijken met een lancering van de Space Shuttle, waarbij je de spanning kan voelen die de astronauten ervaren als zij vertrekken van Cape Canaveral. Je ondergaat een versnelling van 4g! naar: reclamefolder van Six Flags
Esther wil een aantal gegevens uit de reclamefolder controleren. Met behulp van een versnellingsmeter meet ze tijdens een lancering de versnelling als functie van de tijd. De metingen worden ingelezen in een computer, die ze bewerkt tot een (v,t)-grafiek.
8
Leg met figuur 11 uit of de in de folder genoemde snelheid bereikt wordt.
Toon aan dat de ring minder ver omhooggaat dan in de folder is vermeld.
Bepaal of bereken de maximale versnelling tijdens de lancering en ga na of deze overeenkomt met de waarde uit de folder.
De massa van de ring met bezoekers is 2,4·103 kg. De kracht waarmee deze ring omhoog wordt gestuwd, werkt slechts gedurende 1,80 s. Bepaal of bereken hoeveel arbeid de stuwkracht op de ring verricht. Verwaarloos daarbij de arbeid die de wrijvingskracht verricht. In werkelijkheid is de arbeid die de wrijvingskracht verricht niet te verwaarlozen. De grafiek van figuur 11 vertoont op dat tijdstip een lichte knik (dit is met behulp van een geodriehoek goed te zien). Esther denkt dat de knik het gevolg is van het omkeren van de richting van de wrijvingskracht tussen de ring en de toren. Leg uit of het omkeren van de richting van de wrijvingskracht inderdaad tot een dergelijke knik in de (v,t)-grafiek kan leiden. Zie: http://www.natuurkunde.nl/artikelen/view.do?supportId=177194
9
Oefenopgave 11 (naar VWO-examen 2002) Parachute Joyce wil weten hoe een parachutesprong verloopt. Zij vraagt een ervaren parachutist om inlichtingen. Deze laat de (hoogte, tijd)-grafieken zien van twee van zijn sprongen. In het diagram van figuur 12 zijn beide (h,t)-grafieken weergegeven.
Eén sprong is vanaf 5000 m hoogte en één sprong vanaf 800 m. Bij beide sprongen ging de parachute open op een hoogte van 700 m. Joyce merkt dat de parachutist met een ’vrije val’ niet hetzelfde bedoelt als wat daarover in haar natuurkundeboek staat. De parachutist bedoelt er het gedeelte van een val mee waarbij de parachute nog niet is geopend. De val van 5000 m naar 700 m duurt langer dan wanneer het een vrije val volgens het natuurkundeboek zou zijn. Bepaal hoeveel langer. Gebruik g = 9,8 ms-2. Uit figuur 12 blijkt dat je bij beide sprongen met dezelfde snelheid op de grond neerkomt. Hoe blijkt dat uit de grafieken? We bekijken de sprong vanaf 5000 m hoogte. Leg uit of de wrijvingskracht op de parachutist (plus parachute) op een hoogte van 1500 m groter dan, kleiner dan of gelijk aan de wrijvingskracht op 500 m is.
Zie: http://www.natuurkunde.nl/artikelen/view.do?supportId=357834
10
Joyce besluit met behulp van een computermodel een parachutesprong te simuleren. Ze houdt er rekening mee dat de luchtdruk op grote hoogte lager is dan op de grond, omdat de lucht op grote hoogte ijler is. Joyce gaat in haar model uit van een parachutist die samen met zijn parachute een massa van 75 kg heeft. Ze laat het model een (snelheid, hoogte)-grafiek tekenen voor een sprong vanaf 5000 m hoogte.
Het blijkt dat de snelheid al vóór het openen van de parachute kleiner wordt. Leg uit waardoor de snelheid dan reeds afneemt. Bepaal de arbeid die de luchtwrijvingskracht verricht vanaf het tijdstip dat de parachute zich ontvouwt tot de landing.
Antwoord: Op kleinere hoogte is de luchtdruk en dus Fwr groter. Als Fwr groter wordt dan Fzw neemt de snelheid af. Antwoord: 2 Openen parachute: hoogte = 7,010 m snelheid = 72 m/s
Etotaal = E zw + E kin = m ⋅ g ⋅ h + 1 ⋅ m ⋅ v 2 = 75 ⋅ 9,8 ⋅ 7,0.10 2 + 1 ⋅ 75 ⋅ 72 2 = 7,1.10 5 J 2 2 Landing: hoogte = 0 m snelheid = 7 m/s
Etotaal = E zw + E kin = m ⋅ g ⋅ h + 1 ⋅ m ⋅ v 2 = 0 + 1 ⋅ 75 ⋅ 7 2 = 2.10 3 J 2 2
Er ‘verdwijnt’ dus 7,1.105 – 2.103 = 7,1.105 J energie. 5 Oftewel: Er ontstaat dus 7,1.10 J warmte. 5 Dus: de wrijvingskracht heeft – 7,1.10 J arbeid verricht.
11
§ 2.1 Horizontale en schuine5 worp Bij een horizontale en schuine worp beweegt het voorwerp gelijktijdig horizontaal én verticaal. Beide bewegingen verlopen onafhankelijk van elkaar, zoals blijkt uit het proefje met het toestel van figuur 2.2 en uit de opname van figuur 2.3. Eerst bespreken we een worp schuin omhoog, waarbij de wrijvingskracht mag worden verwaarloosd. Een goed voorbeeld hiervan is de beweging van een kogel die door een kogelstoter wordt weggestoten. Gegevens: De kogel verlaat de hand van de atleet op een hoogte van 1,7 m. De kogel wordt met een snelheid van 33 km/h weggeschoten onder een hoek (met de horizontaal) van 40 o. Omdat de wrijvingskracht mag worden verwaarloosd, is: de horizontale snelheid van de kogel door de lucht ( vx ) constant de verticale beweging van de kogel een vrije val ( g = – 9,8 m/s2 ) Het ontbinden van de beginsnelheid:
v = 9,2 m/s
vy
v x = 9,2 ⋅ cos(40) = 7,0 m
v y = 9,2 ⋅ sin( 40) = 5,9 m
s 40
o
s
vx Zolang de kogel nog niet op de grond is beweegt het met een constante snelheid van 7,0 m/s door de lucht naar voren. De afstand die de kogel in totaal naar voren gaat hangt af van de tijd, die de kogel in de lucht is (zie oefenopgave 2). Bereken de valtijd.
∆v 5,9 = = 0,60 s g 9,8 ∆h = < v > ⋅t = 1 ⋅ 5,9 ⋅ 0,60 = 1,8 m 2
De benodigde tijd tot het hoogste punt is: Dit hoogste punt ligt boven 1,7 m:
t =
Vanaf 1,7 + 1,8 = 3,5 m valt het voorwerp dus naar beneden in:
y = 1 ⋅ g ⋅t2 2
→ 3,5 = 1 ⋅ 9,8 ⋅ t 2 2
→ t = 0,85 s
Zodat de totale valtijd 0,60 + 0,85 = 1,45 seconde is. Bereken de gestoten afstand.
5
∆x = v x ⋅ ∆t = 7,0 ⋅1,45 = 10 m
De schuine worp is geen examenstof en wordt dus niet in het boek behandeld.
12
De snelheid van de kogel verandert tijdens de beweging door de lucht voortdurend, zowel van grootte als van richting. Bereken de grootte van de snelheid waarmee de kogel de grond raakt. De grootte van de snelheid is op twee manieren uit te rekenen. Wet van behoud van energie Omdat de wrijving te verwaarlozen is, ontstaat er geen warmte. De totale energie van de kogel ( Ezw + Ekin ) blijft dus constant vanaf het moment dat de kogel de hand van de atleet verlaat tot het moment dat de grond wordt geraakt.
m ⋅ g ⋅ h + 1 ⋅ m ⋅ v2 = 1 ⋅ m ⋅ v2 → 2 2 m ⋅ 9,8 ⋅ 1,7 + 1 ⋅ m ⋅ 9,2 2 = 1 ⋅ m ⋅ v 2 → v = 11 m 2 2 s
Stelling van Pythagoras De verticale eindsnelheid is de snelheid die de kogel bereikt na 0,85 s vallen (met [verticale] beginsnelheid 0)
∆v y = g ⋅ t
→ ∆v y = 9,8 ⋅ 0,85 = 8,3 m
s
→ (v y ) eind = 8,3 m
s
De horizontale (eind)snelheid is 7,0 m/s, zodat:
v = ( v x ) 2 + ( v y ) 2 = 7,0 2 + 8,3 2 = 11 m
s
Bereken de richting van de snelheid waarmee de kogel de grond raakt. De richting van de snelheid is te berekenen met sinus, cosinus of tangens.
8,3 sin α = → α = 49 o 11 7 ,0 cos α = → α = 50 o 11 8,3 tan α = → α = 50 o 7,0
vx = 7,0 m/s α
vy = 8,3 m/s v = 11 m/s
In werkelijkheid zal de wrijvingskracht bij een schuine of horizontale worp niet altijd te verwaarlozen zijn. De beweging van het voorwerp door de lucht is dan te beschrijven met de ‘numerieke natuurkunde’ die in hoofdstuk 5 wordt behandeld.
Nuttige sommen horizontale worp: voorbeeld 1, voorbeeld 2, som 3, som 5, som 6, som 7, som 8.
13
Oefenopgave Dart Officiële afstanden dartbaan:
Worp 1: Een pijl wordt vanachter de ‘Oche’ vanaf een hoogte van 1,73 m horizontaal naar het midden van het bord gegooid met een snelheid van 19,0 km/h. Er is geen afwijking naar links of rechts. De wrijvingskracht op de pijl mag worden verwaarloosd. Bereken op welke hoogte de pijl bij de muur is.
Worp 2: De pijl wordt met dezelfde horizontale snelheid schuin omhoog gegooid en komt precies in de ‘Bull’s eye’. Opnieuw is er geen afwijking naar links of rechts en mag de wrijvingskracht worden verwaarloosd. Bereken onder welke hoek (met de horizontaal) de pijl is weggegooid.
Worp 3: De pijl wordt schuin omhoog weggegooid met een snelheid van 5,88 m/s onder een hoek (met de horizontaal) van 30 o. Er is geen afwijking naar links of rechts. De wrijvingskracht op de pijl mag worden verwaarloosd. Ga met een berekening na of de pijl boven of onder de ‘Bull’s eye’ komt. Bereken de afstand tot de ‘Bull’s eye’. Bereken de hoek (met de horizontaal) waarmee de pijl bij het bord komt.
Worp 4: Een pijl wordt vanachter de ‘Oche’ vanaf een hoogte van 1,73 m horizontaal naar het midden van het bord gegooid met een snelheid van 19,0 km/h. Er is geen afwijking naar links of rechts. De wrijvingskracht op de pijl mag worden verwaarloosd. Precies op het moment dat de pijl wordt gegooid, valt het bord naar beneden. De wrijvingskracht op het bord mag ook worden verwaarloosd. Leg uit waar de pijl het bord raakt: boven de ‘Bull’s eye’ in de ‘Bull’s eye’ onder de ‘Bull’s eye’? Worp 1: 74 cm boven de grond o Worp 2: hoek met horizontaal 23 o Worp 3: 31 cm boven ‘Bull’s eye’ onder een hoek van 16 Worp 4: in de ‘Bull’s eye’
14
Cirkelbewegingen
Graden radialen Zie: http://hhofstede.nl/modules/radialen.htm
Eenparige cirkelbeweging Een eenparige cirkelbeweging is een cirkelbeweging, waarbij de grootte van de snelheid niet verandert.
baansnelheid v de snelheid van het bewegende voorwerp in m/s hoeveel meter de cirkelboog is die per seconde wordt doorlopen: hoeksnelheid ω de hoeksnelheid in rad/s hoe groot de hoek in radialen is die per seconde wordt doorlopen omlooptijd T hoeveel tijd nodig is voor één rondje T = 2 ⋅ π ⋅ r = 2 ⋅ π
v
Verband tussen v en ω:
f =
v=
ω=
s t
φ t
ω
v =ω ⋅r
1 T
omloopfrequentie f hoeveel rondjes per seconde worden doorlopen (eenheid: s-1 = Hz) eventueel ook het toerental = aantal rondjes per minuut (eenheid: min-1)
15
Een eenparige cirkelbeweging is een versnelde beweging, omdat de snelheid van richting verandert. Er is dus een snelheidsverandering en daardoor ook een versnelling.
Voorbeeld: De straal van de bovenkant van de zweefmolen is 2,6 m. De kabels van ieder stoeltje zijn 2,0 m lang en maken een hoek van 60 o met de horizontaal. De zweefmolen draait constant rond met 12 RPM6. Bereken de straal van de cirkel. 3,6 m
Bereken de omlooptijd. 5,0 s
Bereken de hoeksnelheid. 1,3 rad/s
Bereken de (baan)snelheid. 4,5 m/s
Bereken de doorlopen hoek in 1,4 minuut.
2
1,1.10 rad
Bereken de (grootte van de) verplaatsing in 1,25 s. 5,1 m
Bereken de (grootte van de) gemiddelde snelheid in 1,25 s. 4,1 m/s
Bereken de (grootte van de) snelheidsverandering in 1,25 s. 6,4 m/s
Bereken de (grootte van de) gemiddelde versnelling in 1,25 s. 5,1 m/s
2
veind ∆x ∆v
vbegin
‘veind’
Bereken de (grootte van de) gemiddelde snelheid in 2,5 s. 2,9 m/s
Bereken de (grootte van de) gemiddelde versnelling in 2,5 s. 3,6 m/s
2
Bereken de (grootte van de) gemiddelde snelheid in 5,0 s. 0 m/s
Bereken de (grootte van de) gemiddelde versnelling in 5,0 s. 0 m/s 6
2
RPM = toeren per minuut
16
Bij een eenparige cirkelbeweging is het niet zinvol te spreken over de gemiddelde versnelling in een bepaalde periode. Dé versnelling op een bepaald tijdstip is wel belangrijk. Deze versnelling heet de middelpuntzoekende versnelling ampz. Dit kun je vergelijken met de volgende situatie. Als je op zaterdagochtend met je racefiets gaat fietsen, is je gemiddelde
snelheid op het moment dat je terug thuis komt < v > = ∆x = 0 = 0 m . Het is voor een wielrenner slechts zinvol om na
∆t
∆t
s
te gaan hoe groot de (momentane) snelheid op ieder tijdstip van de fietstocht was.
Omdat er tijdens een eenparige cirkelbeweging een (middelpuntzoekende) versnelling is, moet er ook een resulterende kracht op het voorwerp werken. Deze resulterende kracht heet de middelpuntzoekende kracht Fmpz.
De richting van de middelpuntzoekende kracht De middelpuntzoekende kracht is bij een eenparige cirkelbeweging altijd naar het midden van de cirkel gericht. Zie: http://www.youtube.com/watch?v=fSfVVz0eIis
De grootte van de middelpuntzoekende kracht Een schaatser moet er in de bocht voor zorgen dat hij zich ‘schrap’ zet om te voorkomen dat hij ‘de bocht uitvliegt’. De benodigde middelpuntzoekende kracht hangt af van: 1. De massa van de schaatser m Hoe groter de massa, des te groter de benodigde kracht; het is voor een zware schaatser moeilijker om de bocht te houden. 2. De snelheid van de schaatser v Hoe groter de snelheid, des te groter de benodigde kracht; het is voor een schaatser het moeilijkste om de bocht te houden op de 500 m sprint. 3. De straal van de bocht r Hoe kleiner de straal van de bocht, des te groter de benodigde kracht; het is voor een schaatser het moeilijkste om de binnenbocht te houden. m⋅v Op grond van deze overwegingen, zou kunnen gelden: Fmpz = . r Een eenhedenbeschouwing toont echter aan dat deze formule niet kan kloppen: m [m] ⋅ [v] kg ⋅ s kg kg ⋅ m ≠ [F ] = N = = = [r ] m s s2 Het blijkt dat geldt7:
Fmpz
m ⋅ v2 = = m ⋅ω 2 ⋅ r r
Ga met een eenhedenbeschouwing na dat dit de goede formule zou kunnen zijn.
7
Christiaan Huygens (1659)
17
Wielrennen 1 (herhaling) Een wielrenner rijdt een helling af. De helling maakt een hoek α met de horizontaal. Zie: VWO 4 Kernboek A bladzijde: 217 – 219.
Fnormaal
Fwrijving
Fspier
α
α Fzw De krachten loodrecht op de helling heffen elkaar op: Fnormaal = Fzw.cos α Langs de helling omhoog werkt: De totale wrijvingskracht Fwrijving De rolwrijving zal, vergeleken met de luchtwrijving, klein zijn. Als de wielrenner remt, is de totale wrijvingskracht nog groter. Langs de helling omlaag werkt: De x-component van de zwaartekracht: (Fzw)x = Fzw.sin α De spierkracht Fspier langs de helling omlaag (als de wielrenner bij trapt). Er zijn drie mogelijkheden: De snelheid van de wielrenner neemt af. Er is een resulterende kracht langs de helling omhoog: Fwr > (Fzw)x + Fspier 2. De wielrenner heeft een constante snelheid. De krachten langs de helling heffen elkaar op: Fwr = (Fzw)x + Fspier 3. De snelheid van de wielrenner neemt toe. Er is een resulterende kracht langs de helling omlaag: (Fzw)x + Fspier > Fwr 1.
18
Wielrennen 2 Een wielrenner rijdt in de bocht op een wielerpiste. Het is een eenparige cirkelbeweging. De helling maakt een hoek α met de horizontaal. Zie: VWO 5 Kernboek bladzijde: 88 – 89. Wat is er fout aan Figuur 2.34? Fnormaal
α
naar het midden van de cirkel
α
Fzw
De voorwaartse en achterwaartse krachten8: Omdat de snelheid van de wielrenner niet van grootte verandert, heffen de spierkracht en de wrijvingskracht elkaar op: Fspier = Fwrijving.
De verticale krachten: De verticale krachten heffen elkaar op. De zwaartekracht en de verticale component van de normaalkracht zijn even groot: Fzw = (Fnormaal)y = Fnormaal.cos α
De horizontale krachten: Als er geen ‘dwarswrijvingskrachten’ zijn, is de enige horizontale kracht de horizontale component van de normaalkracht. Dit is dus de benodigde middelpuntzoekende kracht: Fmpz = (Fnormaal)x = Fnormaal.sin α 8
Deze krachten zijn loodrecht op de tekening en dus niet in de figuur te zien.
19
Voorbeeld: De straal van de bovenkant van de zweefmolen is 2,6 m. De kabels van ieder stoeltje zijn 2,0 m lang en maken een hoek van 60 o met de horizontaal. De zweefmolen draait rond met een constante hoeksnelheid. Bereken deze hoeksnelheid.
tan 60 o =
Fzw m⋅g 9,8 = = 2 2 Fmpz m ⋅ ω ⋅ r ω ⋅ 3,6
→ ω=
9,8 = 1,3 rad o s 3,6 ⋅ tan 60
Fspan
‘Fzw’
‘Fzw’
60o Fmpz Nuttige sommen: § 2.2 10, 12 § 2.3 13 – 19 § 2.4 20 – 23 § 2.5 24 – 29
Fzw
Het hoogste punt bij een verticale cirkelbeweging
Als bij een verticale cirkelbeweging de snelheid te klein is, zal het voorwerp in het hoogste punt ‘uit de cirkel’ naar beneden (willen) vallen. De normaalkracht kan dit eventueel verhinderen. Zie som 27b. Als de snelheid ‘te groot’ is, zal het voorwerp de cirkelbeweging voortzetten. De zwaartekracht én een andere kracht9 samen, leveren dan de benodigde middelpuntzoekende kracht. Zie som 26b. Er precies is één snelheid waarbij het voorwerp in het hoogste punt net wel/net niet naar beneden dreigt te vallen. Bij deze snelheid is de zwaartekracht de benodigde middelpuntzoekende kracht:
Fzw = Fmpz
9
→ v = g ⋅r
Zie som 27a.
Afhankelijk van de situatie bijvoorbeeld de spankracht óf de normaalkracht.
20
Voorbeeld Sven Kramer rijdt de 5000 m. Hiernaast zie je hem in de binnenbocht. Neem aan dat hij steeds even snel schaatst. Bepaal zijn eindtijd.
bron: http://www.youtube.com/watch?v=o5MWIDwxjEw&feature=related
Niet-eenparige cirkelbeweging Bij het centrifugeren van de was zijn te onderscheiden: 1. De trommel gaat sneller draaien 2. De trommel draait met constant toerental 3. De trommel stopt met draaien. Als de trommel met een constant toerental draait, voert het wasgoed een eenparige cirkelbeweging uit. Voorbeeld: toerental 1200 RPM diameter trommel 44 cm sok (40 g) tegen de binnenkant van de trommel. Op de sok werkt een middelpuntzoekende kracht (de normaalkracht van de trommel). Deze kracht is:
Fmpz = m ⋅ ω 2 ⋅ r = 0,040 ⋅ (2 ⋅ π ⋅ 20) 2 ⋅ 0,22 = 1,4.10 2 N Deze kracht is (uiteraard) voortdurend naar het midden van de trommel gericht. Bij het op gang komen (afremmen) van de trommel, verandert de snelheid niet alleen voortdurend van richting, maar ook van grootte. Er is een resulterende kracht F met een component: Naar het midden van de cirkel (radiële component Fr) Deze component is de middelpuntzoekende kracht, die ervoor zorgt dat de snelheid van richting verandert. In de richting van de raaklijn op de cirkel (tangentiële component Ft) Deze component zorgt ervoor dat de snelheid groter/kleiner wordt. Als de cirkel ‘met de wijzers van de klok mee’ wordt doorlopen, is er sprake van afremmen (en andersom).
21
De gravitatiewet van Newton Twee voorwerpen (massa’s) oefenen een aantrekkende kracht op elkaar uit. De gravitatieconstante is zo klein10 dat deze kracht uitsluitend van belang is, indien één of beide voorwerpen een zeer grote massa heeft. De zwaartekracht (op het aardoppervlak) is niets anders dan de gravitatiekracht, waarmee de aarde een voorwerp aantrekt:
G ⋅ m Aarde = g = 9,8 N 2 kg rAarde
De wetten van Newton geven een zeer adequate beschrijving van de bewegingen van hemellichamen in het heelal. Deze theorie zal pas in de 20e eeuw worden verbeterd door de Algemene Relativiteitstheorie van Einstein.
10
G = 6,67.10-11 N.m2.kg-2 (BINAS 7)
22
Bewegingen van hemellichamen Planeten om een centrale ster Satellieten (manen) om een planeet bewegen eigenlijk in een ellipsbaan (1e wet van Kepler).
De (baan)snelheid is dichtbij het centrale hemellichaam het grootst (2e wet van Kepler). http://astro.unl.edu/naap/pos/animations/kepler.swf
Omdat het centrale hemellichaam (meestal) zeer veel zwaarder is dan het bewegende hemellichaam, geldt bij benadering dat: 1. De baan een cirkel is. 2. Het centrale hemellichaam zich in het middelpunt van de cirkel bevindt. 3. De beweging een eenparige cirkelbeweging is. 4. De gravitatiekracht de benodigde middelpuntzoekende kracht is.
Afleiding11 3e wet van Kepler
Fmpz = Fgrav
↔
maar ook geldt:
zodat:
→
m ⋅ v2 G ⋅ m ⋅ M = r r2 2 ⋅π ⋅ r v= T
→ v2 =
G⋅M r
4 ⋅π 2 ⋅ r2 → v = T2
4 ⋅π 2 ⋅ r2 G ⋅ M = T2 r
2
→
r3 G ⋅ M = T 2 4 ⋅π 2
Gevolg: 1. 2.
11 12
r3 gelijk. T2 De massa van een ster (planeet) is te berekenen, indien van één ronddraaiend hemellichaam de afstand én de omlooptijd bekend zijn. Voor alle planeten in één zonnestelsel12 is de verhouding
afleiding voor eenparige cirkelbewegingen idem: alle satellieten rondom hun planeet
23
Satellieten om de aarde 1.
De maan Geloof jij dat de mens op de maan is geweest? http://video.google.nl/videoplay?docid=2304895215368202642#
2.
Geostationaire satellieten (communicatiesatellieten) draaien in 24 uur rond de aarde. • Ga na dat zij zich recht boven de evenaar moeten bevinden. • Ga na dat zij zich op een hoogte van 36.106 km moeten bevinden.
3.
Satellieten met polaire banen draaien in een ‘lage’ baan13 over de noord- en de zuidpool rondom de aarde. Zij nemen het aardoppervlak waar, dat ‘onder hun baan door draait’ en worden bijvoorbeeld voor weersvoorspellingen gebruikt.
http://www.esa.int/SPECIALS/ESOC/SEMN2VM5NDF_mg_1.html
Nuttige sommen: § 2.6 33, 36, 38
13
meestal tussen 300 – 1000 km hoogte (boven het aardoppervlak)
24
