Verticale bewegingen Bepaling divergentie J.C. Bellamy heeft een objectieve methode ontwikkeld om de divergentie te berekenen uit drie windwaarnemingen. Hebben we windwaarnemingen op meerdere niveau’s (uit ballonoplatingen), dan kunnen we op die niveau,s de divergentie bepalen. Uit de divergentie kunnen we dan weer de verticale windsnelheid bepalen. Beschouw de driehoek gevormd door de stations A, B en C (Figuur 1). We veronderstellen nu dat de wind tussen deze stations lineair verloopt; we kunnen dan de stations elk apart beschouwen. Beschouw eerst station A en neem aan dat het in B en C windstil is. We berekenen nu de bijdrage aan de totale divergentie door de wind in station A: A. We kunnen zo ook de bijdragen B en C bepalen. De totale divergentie is dan de som van de partiële bijdragen..
Figuur 1 Stationsdriehoek en windvectoren.
In de figuur stelt AA' de windvector voor in station A, dat wil zeggen de afstand die de lucht aflegt in één uur tijd. Als het in B en C windstil is en de wind tussen de stations lineair verloopt, dan wordt de uitstroming van de lucht voorgesteld door de oppervlakken: A'AC + A'AB = A'BC - ABC De partiële horizontale divergentie A is gedefinieerd als de uitstroming per volumeeenheid, dus als we een laag van eenheidsdikte beschouwen, door:
∆A =
A′BC − ABC ABC
(1)
Definieer de lijnen hA, hA' en a als in de figuur, dan geldt: 1
A′BC =
BC h A′ 2
en
ABC =
BC hA 2
(2)
zodat we voor de divergentie vinden:
∆A =
h A′ − h A a component van de wind langs de loodlijn = = hA hA lengte van de loodlijn
(3)
Hierbij wordt de component van de wind langs de loodlijn gegeven in knopen en de lengte van de loodlijn in mijlen. Als de drie posities van de stations bekend zijn, kunnen we de lengte van de loodlijn hA bepalen. Als de oriëntatie van AX bekend is en de wind in A bekend is, kan a berekend worden, zodat de partiële bijdrage van station a aan de divergentie berekend kan worden. Zo kunnen we ook de bijdragen van station B en C berekend worden. We vinden tenslotte voor de totale divergentie:
D = ∆A + ∆B + ∆C =
a b c + + h A hB hC
(4)
Volgens Bellamy geldt de berekende divergentie voor het snijpunt van de middellijnen van de driehoek. Als we rekening houden met de richting van de wind, dan vinden we voor de component van de wind langs de loodlijn:
a = ff . cos[(dd − 180) − α ]
(5)
waarin ff de windsterkte in m s-1 is, dd de windrichting in graden en α de richting van de loodlijn in graden t.o.v. het noorden. We hebben dan a berekend in m s-1. Bedenk bij het berekenen van de divergentie D dat deze wordt uitgedrukt in s-1. Voor de oefening gebruiken we gegevens van ballonoplatingen van de stations Valencia (Ierland, station 03953), Long-Kesh (Noord-Ierland, station 03920) en Camborne (Engeland, station 03808). Bijgevoegd zijn de windgegevens (in m/s) en de al uitgerekende lengtes (in km) en richtingen van de loodlijnen (t.o.v. het noorden) voor de stations, een overzicht van de ligging van de stations en een weerkaart van de situatie waarop de gegevens betrekking hebben.
Verticale snelheid ω
De “gewone” verticale windsnelheid w (in m s-1) is gedefinieerd in het (x,y,z)-stelsel met als verticale coördinaat de hoogte (in m) en er geldt dus:
w=
∂z . ∂t
(6)
2
Echter in het (x,y,p)-stelsel met als verticale coördinaat de druk (in Pa) geldt voor de bijbehorende verticale windsnelheid:
ω=
∂p = − ρgw , ∂t
(7)
waarbij de verticale snelheid (ω) dus gegeven wordt in de eenheid Pa s-1. Met behulp van hydrostatisch evenwicht is de gegeven relatie tussen ω en w eenvoudig af te leiden. De verticale windsnelheid is moeilijk rechtstreeks te meten (orde van grootte 10 cm/s). De grootte van de verticale windsnelheid moet bepaald worden met behulp van andere meteorologische grootheden. Als we de divergentie kennen en het verloop ervan met de hoogte, dan kunnen we daaruit de verticale windsnelheid ω berekenen. Deze kinematische methode is gebaseerd op de continuïteitsvergelijking in drukcoördinaten:
∂u ∂v ∂ω + + = 0. ∂x ∂y ∂p
(8)
∂u ∂v ∂ω = − + = − Dh ∂x ∂x ∂y
(9)
Ofwel:
waarbij Dh de horizontale divergentie (s-1) is. Integratie levert: p
2 D( p1 ) + D( p 2 ) ω( p 2 ) = ω( p1 ) − ∫ D.dp = ω( p1 ) + ∆p . 2 p1
(10)
Als we dus de divergentie op twee drukniveau’s kennen, kunnen we de verticale snelheid ω op het bovenste niveau berekenen. We beginnen daarbij op de grond, omdat op dat niveau geldt dat de verticale snelheid gelijk aan nul is. Door successievelijke integratie (sommatie) over opeenvolgende lagen kunnen we de verticale snelheden voor de verschillende niveau’s berekenen.
Grootteorde van divergentie en verticale beweging Bij actieve synoptische systemen varieert de divergentie D meestal tussen 1x10-5 en 4x10-5 s-1. Een karakteristieke waarde voor ω is 20-40 hPa/uur (dat is ongeveer 1 Pa s-1), overeenkomend met w ≈ 10 cm s-1. Het divergentieprofiel van een ontwikkelende depressie ziet er uit als in Figuur 2. Kenmerkend zijn de convergentie (negatieve divergentie) in de onderste troposfeer en de divergentie in de hogere troposfeer. Op ongeveer 500 hPa zien we dat we een divergentievrij niveau hebben.
3
Figuur 2 Verdeling van convergentie en divergentie. A: trog in hogere luchtlagen, lagedrukgebied aan de grond. B: ontwikkelend lagedrukgebied.
Divergentie en vorticiteit De divergentie is altijd ongeveer een grootteorde kleiner dan de planetaire vorticiteit f (D ≈10-5 s-1 tegenover f ≈ 10-4 s-1). Dit is noodzakelijk opdat aan de vorticiteitsvergelijking kan worden voldaan. Deze vergelijking kunnen we na schaalanalyse schrijven als:
1 dη 1 d( f + ζ ) = =−D. η dt f +ζ dt
(11)
Hieruit blijkt dat convergentie- en divergentiepatronen sterk gekoppeld zijn aan veranderingen in absolute vorticiteit. Als bijvoorbeeld D<0 is (convergentie), dan is dη/dt>0 en hebben we te maken met een toename van de cyclonale absolute vorticiteit. Inderdaad is geconstateerd dat een gebied met low-level convergentie gunstig is voor het ontstaan van een lagedrukgebied. Een lagere luchtdruk aan de grond betekent echter minder lucht in de luchtkolom erboven. dat is niet in strijd met de toestromende lucht door de low-level convergentie, want tegelijkertijd is er sprake van een upper-level divergentie. In onderstaande Figuur 3 is de samenhang tussen convergentie, divergentie en verticale bewegingen nog eens schematisch weergegeven.
4
Figuur 3 Relatie tussen convergentie, divergentie en verticale bewegingen.
5
