Kosztolányi Dezső Gimnázium

Kosztolányi Dezső Gimnázium Cím: 1012 Budapest Attila út 135-137. Tel./Fax: 375-2282 E-mail: [email protected] OM azonosító: 035344 Honlap: http://kosztolanyigimnazium.hu

Matematika

KÉPZÉSI SZAKASZ ÉVFOLYAM

ALAPOZÓ

DIFFERENCIÁLÓ

ORIENTÁLÓ

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

Heti óraszám

4

4

4

4

4

5

4

4

Éves óraszám

144

144

144

144

144

180

144

124

Érettségi felkészítés heti óraszáma

2

2

Érettségi felkészítés éves óraszáma

72

62

2013.

Matematika Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről. A matematika tanulása érzelmi és motivációs vonatkozásokban is formálja, gazdagítja a személyiséget, fejleszti az önálló rendszerezett gondolkodást, és alkalmazásra képes tudást hoz létre. A matematikai gondolkodás fejlesztése segíti a gondolkodás általános kultúrájának kiteljesedését. A matematikatanítás feladata a matematika különböző arculatainak bemutatása. A matematika: kulturális örökség; gondolkodásmód; alkotó tevékenység; a gondolkodás örömének forrása; a mintákban, struktúrákban tapasztalható rend és esztétikum megjelenítője; önálló tudomány; más tudományok segítője; a mindennapi élet része és a szakmák eszköze. A tanulók matematikai gondolkodásának fejlesztése során alapvető célunk, hogy mind inkább ki tudják választani és alkalmazni tudják a természeti és társadalmi jelenségekhez illeszkedő modelleket, gondolkodásmódokat (analógiás, heurisztikus, becslésen alapuló, matematikai logikai, axiomatikus, valószínűségi, konstruktív, kreatív stb.), módszereket (aritmetikai, algebrai, geometriai, függvénytani, statisztikai stb.) és leírásokat. A matematikai nevelés sokoldalúan fejleszti a tanulók modellalkotó tevékenységét. Ugyanakkor fontos a modellek érvényességi körének és gyakorlati alkalmazhatóságának eldöntését segítő képességek fejlesztése. Egyaránt lényeges a reproduktív és a problémamegoldó, valamint az alkotó gondolkodásmód megismerése, elsajátítása, miközben nem szorulhat háttérbe az alapvető tevékenységek (pl. mérés, alapszerkesztések), műveletek (pl. aritmetikai, algebrai műveletek, transzformációk) automatizált végzése sem. Célunk, hogy a tanulás elvezessen a matematika szerepének megértésére a természet- és társadalomtudományokban, a humán kultúra számos ágában. Segítünk kialakítani a megfogalmazott összefüggések, hipotézisek bizonyításának igényét. Megmutatjuk a matematika hasznosságát, belső szépségét, az emberi kultúrában betöltött szerepét. Fejlesztjük a tanulók térbeli tájékozódását, esztétikai érzékét. A tanulási folyamat során fokozatosan megismertetjük a tanulókkal a matematika belső struktúráját (fogalmak, axiómák, tételek, bizonyítások elsajátítása). Mindezzel fejlesztjük a tanulók absztrakciós és szintetizáló képességét. Az új fogalmak alkotásakor, az összefüggések felfedezésekor és az ismeretek feladatokban való alkalmazásakor fejlesztjük a kombinatív készséget, a kreativitást, az önálló gondolatok megfogalmazását, a felmerült problémák megfelelő önbizalommal történő megközelítését, megoldását. A diszkussziós képesség fejlesztésével, a többféle megoldás keresésével, megtalálásával és megbeszélésével a többféle nézőpont érvényesítését, a komplex problémakezelés képességét is fejlesztjük. Így segítjük a tanulókat eljutni az önálló, rendszerezett, logikus gondolkodás egyre magasabb szintjeire. A különböző témakörök szerves egymásra épülésével kívánjuk feltárni a matematika és a matematikai gondolkodás világát. A fogalmak, összefüggések érlelése és a matematikai gondolkodásmód kialakítása egyre emelkedő szintű spirális felépítést indokol – az életkori, egyéni fejlődési és érdeklődési sajátosságoknak, a bonyolódó ismereteknek, a fejlődő absztrakciós képességnek megfelelően. Ez a felépítés egyaránt lehetővé teszi a lassabban haladókkal való foglalkozást és a tehetség kibontakoztatását. A matematikai értékek megismerésével és a matematikai tudás birtokában a tanulók hatékonyan tudják használni a megszerzett kompetenciákat az élet különböző területein. A matematika a maga hagyományos és modern eszközeivel segítséget ad a természettudományok, az informatika, a technikai, a humán műveltségterületek, illetve a választott szakma ismeretanyagának tanulmányozásához, a mindennapi problémák értelmezéséhez, leírásához és kezeléséhez. Ezért a tanulóknak rendelkezniük kell azzal a képességgel és készséggel, hogy alkalmazni tudják matematikai tudásukat, és felismerjék, hogy a megismert fogalmakat és tételeket változatos területeken használhatjuk Az adatok, táblázatok, grafikonok értelmezésének megismerése nagyban segítheti a mindennapokban, és különösen a média közleményeiben való reális tájékozódásban. Mindehhez elengedhetetlen egyszerű matematikai szövegek értelmezése, elemzése. A tanulóktól megkívánjuk a szaknyelv életkornak megfelelő, pontos használatát, a jelölésrendszer helyes alkalmazását írásban és szóban egyaránt. A tanulók rendszeresen oldanak meg önállóan feladatokat, aktívan részt vesznek a tanítási, tanulási folyamatban. A feladatmegoldáson keresztül a tanuló képessé válik a pontos, kitartó, fegyelmezett munkára. Kialakul bennük az önellenőrzés igénye, a sajátunkétól eltérő szemlélet tisztelete. Mindezek érdekében is a tanítás folyamában törekedünk a tanulók pozitív motiváltságának biztosítására, önállóságuk fejlesztésére. A matematikatanítás, -tanulás folyamatában egyre nagyobb szerepet adunk az önálló ismeretszerzés képességének fejlesztésére, az általunk ajánlott, illetve az önállóan megkeresett, nyomtatott és internetes szakirodalom által. A matematika tanításakor lehetőségekhez igazodva támogatni tudjuk az elektronikus eszközök (zsebszámológép, számítógép, grafikus kalkulátor), Internet, oktatóprogramok stb. célszerű felhasználását, ezzel hozzájárulva a digitális kompetencia fejlődéséhez.

2

Matematika A tananyag egyes részleteinek csoportmunkában való feldolgozásával, a feladatmegoldások megbeszélésével az együttműködési képesség, a kommunikációs képesség fejlesztjük, a reális önértékelés kialakulását segítjük. Ugyancsak nagy gondot fordítunk a kommunikáció fejlesztésére (szövegértésre, mások szóban és írásban közölt gondolatainak meghallgatására, megértésére, saját gondolatok közlésére), az érveken alapuló vitakészség fejlesztésére. A matematikai szöveg értő olvasásával, tankönyvek, lexikonok használatával, szövegekből a lényeg kiemelésével, a helyes jegyzeteléshez szoktatással a felsőfokú tanulást is előkészítjük. Változatos példákkal, feladatokkal mutatunk rá arra, hogy milyen előnyöket jelenthet a mindennapi életben, ha valaki jártas a problémamegoldásban. A matematikatanításnak kiemelt szerepe van a pénzügyigazdasági kompetenciák kialakításában. Életkortól függő szinten, rendszeresen foglalkozunk olyan feladatokkal, amelyekben valamilyen probléma legjobb megoldását keressük. Kiemelt szerepet szánunk azoknak az optimumproblémáknak, amelyek gazdasági kérdésekkel foglalkoznak, amikor költség, kiadás minimumát; elérhető eredmény, bevétel maximumát keressük. Fokozatosan bevezetjük matematikafeladatainkban a pénzügyi fogalmakat: bevétel, kiadás, haszon, kölcsön, kamat, értékcsökkenés, -növekedés, törlesztés, futamidő stb. Ezek a feladatok erősítik a tanulókban azt a tudatot, hogy matematikából valóban hasznos ismereteket tanulnak, ill. hogy a matematika alkalmazása a mindennapi élet szerves része. Az életkor előrehaladtával egyre több példát mutatunk arra, hogy milyen területeken tud segíteni a matematika. Felhívjuk a figyelmet arra, hogy milyen matematikai ismerteket alkalmaznak az alapvetően matematikaigényes, ill. a matematikát csak kisebb részben használó szakmák (pl. informatikus, mérnök, közgazdász, pénzügyi szakember, biztosítási szakember, illetve pl. vegyész, grafikus, szociológus) ezzel is segítve a tanulók pályaválasztását. A matematikához való pozitív hozzáállást segítjük a matematika tartalmú játékok és a matematikához kapcsolódó érdekes problémák és feladványok tanórai alkalmazásával. A matematika a kultúrtörténetnek is része. Bemutatjuk a tananyag egyes elemeinek a művészetekben való alkalmazását. A motivációs bázis kialakításában komoly segítség a a matematikatörténet egy-egy mozzanatának megismertetése, a máig meg nem oldott, egyszerűnek tűnő matematikai sejtések megfogalmazása, nagy matematikusok életének, munkásságának megismerése: Eukleidész, Pitagorasz, Descartes, Bolyai Farkas, Bolyai János , Thalész, Euler, Gauss, Pascal, Cantor, Erdős, Neumann. A matematika oktatása elképzelhetetlen állítások, tételek bizonyítása nélkül. Hogy a tananyagban szereplő tételek beláttatása során milyen elfogadott igazságokból indulunk ki, s mennyire részletezünk egy bizonyítást, nagymértékben függ az állítás súlyától, a csoport befogadó képességétől, a rendelkezésre álló időtől stb. Ami fontos, az a bizonyítás iránti igény felkeltése, a logikai levezetés szükségességének megértetése. Minden életkori szakaszban fontos a differenciálás. Ez nem csak az egyéni igények figyelembevételét jelenti. Sokszor az alkalmazhatóság vezérli a tananyag és a tárgyalásmód megválasztását, más esetekben a tudományos igényesség szintje szerinti differenciálás szükséges. Egy adott osztály matematikatanítása során a célok, feladatok teljesíthetősége igényli, hogy a tananyag megválasztásában a tanulói érdeklődés és a pályaorientáció is szerepet kapjon. A matematikát alkalmazó pályák felé vonzódó tanulók gondolkodtató, kreativitást igénylő versenyfeladatokkal motiválhatók, a humán területen továbbtanulni szándékozók számára érdekesebb a matematika kultúrtörténeti szerepének kidomborítása, másoknak a középiskolai matematika gyakorlati alkalmazhatósága fontos. A fokozott szaktanári figyelemmel, az iskolai könyvtár és az elektronikus eszközök használatával segítjük az esélyegyenlőség megvalósulását. Az egyes témaköröket az általános iskolában a szokásosnál mélyebben tárgyaljuk, néhány ismerettel korábban foglalkozunk. Ugyanakkor a fogalmak kialakítására, megerősítésére is különös gondot fordítunk, kellő időt szánunk, a későbbi években sok témára magasabb szinten visszatérünk. Az erre az életkorra jellemző érdeklődést, kíváncsiságot, játékosságot felhasználjuk a megismerési, tanulási folyamatban. Gyakran indulunk ki konkrét tevékenységekből, a tapasztalatok elemzéséből, játékból. Az 5–6. évfolyam fontos feladata a biztos számolási készség kialakítása. Támaszkodunk az alsó tagozaton szerzett ismeretekre, fokozatosan bővítjük azt a számkört, amelyben műveleteket végzünk. Számolunk fejben és írásban az egész számok és a racionális számok halmazán, a megszerzett tudást alkalmazzuk a mindennapi életben. Szöveges feladatokat oldunk meg, a hétköznapi és gyakorlati problémákat megfogalmazzuk a matematika nyelvén. A várható eredményekre becsléseket adunk, megoldásunkat ellenőrzünk. A geometria témakörben méréseket, szerkesztéseket végzünk, egyszerű síkbeli és térbeli alakzatokat ismerünk meg. A konkrét tárgyak vizsgálata a térszemlélet fejlesztését jelenti, amely része az esztétikai nevelésnek is. A geometriai transzformációk megismeréséhez tevékenységeken keresztül jutunk el. A matematikai gondolkodásmódot felhasználjuk a problémamegoldások során. Ehhez szükséges megfelelő szemléltető ábrákat, diagramokat, grafikonokat készítünk, ilyeneket értelmezünk, elemezünk és felhasználunk; halmazokat jellemzünk, szabályszerűségeket keresünk, általánosító sejtéseket, állításokat megfogalmazunk, igazságtartalmukat vizsgáljuk. 3

Matematika Az érvelés, a cáfolás, a vitakészség, a helyes kommunikáció fejlesztése folyamatos feladatunk. Ehhez szükséges másokkal problémamegoldásban együttműködni, gondolatainkat, a megismert fogalmakat rendszerezni. A modellalkotás fontos eszköz, amely segítséget nyújt a problémák megoldásában. Fontos, hogy a tanulók a modellalkotásaik során a megértett és megtanult fogalmakat és eljárásokat fel tudják használni és a modelljeikbe szervesen be tudják építeni. Szükséges, hogy problémahelyzetet leíró szöveg alapján a probléma lényegét felismerjék, majd annak megfelelő, a probléma megoldását elősegítő modelleket alkossanak. Fokozatosan fejlesztjük a matematikai szaknyelv és jelölésrendszer használatát, alkalmazását. Az értékelés változatos módszereit alkalmazzuk. Ebben az életkorban a legkisebb teljesítményt is észrevesszük, a szóbeli dicséret ösztönző erejére is építünk. A kerettanterv az 5–9. és 11-12. évfolyamon heti 4, évi 144 matematikaórát ír elő. 10. évfolyamon a heti 4 órát plusz 1 helyi tantervi óraszámmal egészítjük ki, ezért ezen az évfolyamokon 180 matematikaórával számolunk. A tantárgy óraszámán belül jelentkező szabad időkeretet és a 36 órát gyakorlásra, a tanultak elmélyítésére, a kapcsolódási lehetőségek kiaknázására fordítjuk. A 11-12. évfolyamok számára a felkészülés emelt szintű érettségire külön órakerettel, külön tematika alapján történik heti 2, évi 72 (tizenkettedikben 62) órában. A számonkérésre és ismétlésre biztosított időkeret 12 óra minden évfolyamon.

4

Matematika

Tananyagbeosztás 5–8. évfolyam 5. évfolyam heti 4 óra

6. évfolyam heti 4 óra



3+folyamatos

3+folyamatos

2+folyamatos

6+folyamatos

Számtan, algebra

72

76

53

47

Geometria

37

37

53

54

Függvények, sorozatok

12

10

17

18

Statisztika, valószínűségszám.

8

6

7

7

Ismétlés, ellenőrzés

12

12

12

12

Összesen:

144

144

144

144

Témakörök Gondolkodási módszerek

5

Matematika

5. évfolyam Tematikai egység/ Fejlesztési cél

1. Gondolkodási és megismerési módszerek

Órakeret 3 óra + folyamatos Adott tulajdonságú elemek halmazba rendezése. Halmazba tartozó elemek közös tulajdonságainak felismerése, megnevezése. Annak eldöntése, hogy egy elem beletartozik-e egy adott halmazba. Előzetes tudás A változás értelmezése egyszerű matematikai tartalmú szövegben. Több, kevesebb, ugyanannyi fogalma. Állítások igazságtartalmának eldöntése. Néhány elem sorba rendezése, az összes eset megtalálása (próbálgatással). Ismeretek tudatos memorizálása és felidézése. A megtanulást segítő eszközök és A tematikai egység módszerek megismerése, értelmes, interaktív használatának fejlesztése. A nevelési- fejlesztési rendszerezést segítő eszközök és algoritmusok megismerése. céljai Tervezés, ellenőrzés, önellenőrzés igényének kialakítása. Kommunikáció fejlesztése. A saját képességek és műveltség fejlesztésének igénye. Ismeretek Fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok Természetes számok, síkbeli pontok, A helyes halmazszemlélet kialakítása. adott síkidomok halmazba rendezése Tárgyak tulajdonságainak kiemelése, adott tulajdonság alapján. összehasonlítás, azonosítás, Konkrét halmaz és részhalmaza közti megkülönböztetés, osztályokba sorolás kapcsolat felismerése. különféle tulajdonságok szerint, a Két véges halmaz közös része. különféle érzékszervek tudatos Két véges halmaz egyesítése. működtetésével. Halmazok közti kapcsolatok szemléltetése táblázattal, halmazábrával, intervallummal stb. Változatos tartalmú szövegek Értő, elemző olvasás fejlesztése. Magyar nyelv és irodalom: értelmezése. Kommunikáció fejlesztése a nyelv szövegértés, szövegértelmezés. Összehasonlításhoz szükséges logikai elemeinek használatával. kifejezések értelmezése, használata (pl. A lényegkiemelés, a szabálykövető egyenlő; kisebb; nagyobb; több; magatartás fejlesztése. kevesebb; nem; és; vagy; minden; van olyan, legalább; legfeljebb). Példák a biztos, a lehetséges és a A matematikai logika nyelvének Magyar nyelv és irodalom: a lehetetlen bemutatására. megismerése, tudatosítása. lényegkiemelés képességének A tanultakhoz kapcsolódó igaz és A közös tulajdonságok felismerése, fejlesztése. hamis állítások. tagadása. Megoldások megtervezése, eredmények Tervezés, ellenőrzés, önellenőrzés. Lásd ellenőrzése. például a műveleti sorrendnek, a szöveges feladatok megoldásának vagy a geometriai szerkesztések lépéseinek megtervezését. Egyszerű, matematikailag is Kommunikáció, lényegkiemelés. Magyar nyelv és irodalom: értelmezhető hétköznapi szituációk lényegkiemelés fejlesztése. megfogalmazása szóban és írásban. Definíció megértése és alkalmazása. Halmaz, elem, eleme, alaphalmaz, üres halmaz, részhalmaz, egyesítés, közös rész. Kulcsfogalmak/ Igaz, hamis. Nem, és, vagy. Minden, van olyan. Biztos, lehetséges, lehetetlen. fogalmak Legalább, legfeljebb. Tematikai egység/ Órakeret 2. Számtan, algebra Fejlesztési cél 72 óra Előzetes tudás Számok írása, olvasása (10 000-es számkör). Helyiérték, alaki érték, valódi érték. Természetes számok nagyság szerinti összehasonlítása. Matematikai jelek: +, –, •, :, =, <, >, ( ) ismerete, használata. A hosszúság, az űrtartalom, a tömeg és az idő mérése. Átváltások szomszédos mértékegységek között. Mérőeszközök használata. 6

Matematika A matematika különböző területein az ésszerű becslés és a kerekítés alkalmazása. Fejben számolás százas számkörben. A szorzótábla biztos tudása. Összeg, különbség, szorzat, hányados fogalma. Műveletek tulajdonságai, tagok, illetve tényezők felcserélhetősége. Műveleti sorrend. Négyjegyű számok összeadása, kivonása, szorzás és osztás egy- és kétjegyű számmal írásban. Műveletek ellenőrzése. Páros és páratlan számok, többszörös, osztó, maradék fogalma. Szimbólumok használata matematikai szöveg leírására, az ismeretlen szimbólum kiszámítása. Negatív számok a mindennapi életben (hőmérséklet, adósság). Törtek a mindennapi életben: 2, 3, 4, 10, 100 nevezőjű törtek megnevezése. Számok helye a számegyenesen. Számszomszédok, kerekítés. Biztos számfogalom kialakítása. Számolási készség fejlesztése. A műveleti sorrend használatának fejlesztése, készségszintre emelése. Mértékegységek helyes használata és pontos átváltása. Matematikai úton megoldható probléma megoldásának elképzelése, becslés, sejtés A tematikai egység megfogalmazása; megoldás után a képzelt és tényleges megoldás összevetése. nevelési-fejlesztési céljai Egyszerűsített rajz készítése lényeges elemek megőrzésével. Fegyelmezettség, következetesség, szabálykövető magatartás fejlesztése. Pénzügyi ismeretek alapozása. Ellenőrzés, önellenőrzés, az eredményért való felelősségvállalás. Ismeretek Fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok Természetes számok értelmezése A számkör bővítése. Számlálás, Természetismeret: Magyarország milliós számkörben. Alaki érték, számolás. Hallott számok leírása, látott lakosainak száma. helyiérték. Természetes számok számok kiolvasása. Kombinatorikus Mindennapi gyakorlat: helyesírása. Római számírás. Számok gondolkodás elemeinek alkalmazása Pénzegységek, mértékegységek ábrázolása számegyenesen, számok kirakásával. Matematikai jelek átváltása. nagyságrendi összehasonlításuk. értelmezése (<, >, = stb.) használata. A természetes számok kerekítése. A kerekítés szabályainak alkalmazása. Nem tízes alapú számrendszerek. Informatika: 2-es számrendszer. Összeadás, kivonás, szorzás osztás Számolási készség fejlesztése. A szóban és írásban a természetes számok műveletfogalom mélyítése gyakorlati körében (0 szerepe a szorzásban, feladatok megoldásával. osztásban). Becslés. Szorzás, osztás 10- A műveletekhez kapcsolódó ellenőrzés zel, 100-zal, 1000-rel, … (tíz igényének és képességének fejlesztése. hatványaival). Önellenőrzés, önismeret fejlesztése. Összeg, különbség, szorzat, hányados Algoritmikus gondolkodás fejlesztése. változásai. Egyszerű feladatok esetén a műveleti Műveleti tulajdonságok, a helyes sorrend helyes alkalmazási módjának műveleti sorrend, zárójelek használata. felismerése, alkalmazása. Az Műveletek eredményeinek előzetes egyértelműség és a következetesség becslése, ellenőrzése, kerekítése. fontossága. Ellenőrzés és becslés. Osztó, többszörös, osztható. Az osztópárok felsorolása. A természetes számkör bővítése: az egész számok halmaza. Negatív szám értelmezése tárgyi tevékenységgel, szemléletes modellek segítségével. Ellentett, abszolútérték. Egész számok ábrázolása számegyenesen, nagyság szerinti összehasonlításuk. Egész számok összeadása, kivonása a szemléletre támaszkodva. Közönséges tört fogalma. Törtszám ábrázolása számegyenesen.

Halmazműveletek, kombinatorika eszköz jellegű alkalmazása. Készpénz, adósság fogalmának továbbfejlesztése. Hőmérséklet leolvasása hőmérőről. Számolás az „időszalagon”. Számolás földrajzi adatokkal: mélységek és magasságok értelmezése matematikai szemlélettel.

A közönséges tört szemléltetése, kétféle értelmezése, felismerése 7

Természetismeret; hon- és népismeret: Tengerszint alatti mélység, tengerszint feletti magasság szűkebb és tágabb környezetünkben (a Földön). Történelem, társadalmi és állampolgári ismeretek: időtartam számolása időszámítás előtti és időszámítás utáni történelmi eseményekkel. Ének-zene: a hangjegyek értékének és a törtszámoknak a

Matematika Ismeretek Fejlesztési követelmények Törtek egyszerűsítése, bővítése, szöveges környezetben. nagyság szerinti összehasonlításuk. Törtek összeadása, kivonása. Törtek Számolási készség fejlesztése. A szorzása, osztása természetes számmal. műveletfogalom mélyítése gyakorlati feladatok megoldásával. Tizedestört fogalma. Helyiérték-táblázat használata. A tizedestörtek értelmezése. Mértékegységek kifejezése Tizedestörtek jelentése, kiolvasása, tizedestörtekkel: dm, cl, mm, … leírása. Tizedestörtek ábrázolása A mérés pontosságának jelzése. számegyenesen. Tizedestörtek A váltópénz fogalma (euró, cent). egyszerűsítése, bővítése, nagyság szerinti összehasonlításuk. Tizedestörtek kerekítése. Tizedestörtek összeadása, kivonása. Számolási készség fejlesztése. A Tizedestörtek szorzása, osztása műveletfogalom mélyítése gyakorlati természetes számmal. Műveletek feladatok megoldásával. Annak eredményeinek előzetes becslése. felismerése, hogy a természetes Tizedestörtek szorzása, osztása 10-zel, számokra megtanult műveleti 100-zal, 1000-rel, … tulajdonságok a tizedestörtekre is érvényesek. A racionális szám fogalmának A mennyiségi jellemzők kifejezése előkészítése: véges és végtelen számokkal: természetes szám, szakaszos tizedes törtek. racionális szám, pontos szám és közelítő szám. Szöveges feladatok megoldása. Egyszerű matematikai problémát Adatok meghatározása. tartalmazó és a mindennapi élet Összefüggések megkeresése, köréből vett szövegek feldolgozása. tervkészítés. Gondolatmenet tagolása. A matematikai modell felírása. Emlékezés elmondott, elolvasott Becslés. történetekre, emlékezést segítő ábrák, A terv végrehajtása, megoldás. vázlatok, rajzok készítése, Ellenőrzés. visszaolvasása. Szöveges válasz.

Kapcsolódási pontok kapcsolata.

Magyar nyelv és irodalom: olvasási és megértési stratégiák kialakítása (szövegben megfogalmazott helyzet, történés megfigyelése, értelmezése, lényeges és lényegtelen információk szétválasztása). Vizuális kultúra: Elképzelt történetek vizuális megjelenítése különböző eszközökkel. Arányos következtetések. A következtetési képesség fejlesztése. Hon- és népismeret; természetismeret: A mindennapi életben felmerülő, Értő, elemző olvasás fejlesztése. Magyarország térképéről egyszerű arányossági feladatok Annak megfigyeltetése, hogy az egyik méretarányos távolságok megoldása következtetéssel. mennyiség változása milyen változást meghatározása. Egyenes arányosság. eredményez a hozzá tartozó A saját település, szűkebb mennyiségnél. lakókörnyezet térképének Arányérzék fejlesztése, a valóságos használata. viszonyok becslése települések térképe Vizuális kultúra: valós tárgyak alapján. arányosan kicsinyített vagy nagyított rajza. Egyszerű elsőfokú egyismeretlenes Önálló problémamegoldó képesség egyenletek, egyenlőtlenségek megoldása kialakítása és fejlesztése. tervszerű próbálgatással, Állítások megítélése igazságértékük következtetéssel, lebontogatással. A szerint. Az egyenlő, nem egyenlő megoldások ábrázolása számegyenesen, fogalmának elmélyítése. Ellenőrzés. ellenőrzés behelyettesítéssel. Szabványmértékegységek és átváltásuk: Gyakorlati mérések, mértékegységTechnika, életvitel és gyakorlat: hosszúság (terület, térfogat, átváltások helyes elvégzésének tárgykészítéshez kapcsolódó űrtartalom), idő, tömeg. fejlesztése (pl. napirend, vásárlás). mennyiségi fogalmak kialakítása, Megjegyzés: Az arányosság felismerése mennyiség a mennyiségek megállapítása A mértékegységek alkalmazása nyomon és mérőszám kapcsolata alapján. becslés, számítás, mérés útján; követi a szám- és a műveletfogalom Kreatív gondolkodás fejlesztése. időbeosztás, napi- és hetirend. 8

Matematika Ismeretek fejlődését.

Kulcsfogalmak/ fogalmak

Tematikai egység/ Fejlesztési cél

Fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok Mennyiségi következtetés, becslési készség fejlesztése. Tízes számrendszer, helyiérték, alaki érték, számegyenes, kerekítés. Az összeg tagjai (összeadandók), kisebbítendő, kivonandó, különbség, szorzat, a szorzat tényezői (szorzandó, szorzó), osztandó, osztó, hányados, maradék. Arány, egyenes arányosság. Hosszúság, tömeg, idő, hőmérséklet, továbbá geometriai témakörben értelmezve, de a számtan, algebra témakörben is alkalmazva: terület, térfogat, űrtartalom. A mértékegységek átváltása. Euró, cent. Pozitív szám, negatív szám, előjel, ellentett, abszolútérték. Tört, számláló, nevező, közös nevező, vegyes szám, egyszerűsítés, bővítés. Tizedestört, véges és végtelen szakaszos tizedestört. Egyenlet egyenlőtlenség, alaphalmaz, megoldás, igazsághalmaz (megoldáshalmaz). Órakeret 37 óra 3. Geometria rendszerezés, számonkérés

Vonalak (egyenes, görbe). Hosszúság és távolság mérése (egyszerű gyakorlati példák). Háromszög, négyzet, téglalap, jellemzői. Kör létrehozása, felismerése, jellemzői. Előzetes tudás A test és a síkidom megkülönböztetése. Kocka, téglatest, jellemzői. Négyzet, téglalap kerülete. Mérés, kerületszámítás, mértékegységek. Négyzet, téglalap területének mérése különféle egységekkel, területlefedéssel. Térelemek fogalmának elmélyítése – környezetünk tárgyainak vizsgálata. Távolság szemléletes fogalma, meghatározása. A sík- és térszemlélet fejlesztése. A vizuális képzelet fejlesztése. A tematikai egység Rendszerező-képesség, halmazszemlélet fejlesztése. Számolási készség fejlesztése. nevelési-fejlesztési céljai A szaknyelv helyes használatának fejlesztése. A geometriai jelölések pontos használata. Pontos munkavégzésre nevelés. Esztétikai érzék fejlesztése. Ismeretek Fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok A tér elemei: pont, vonal, egyenes, A tanult térelemek felvétele és jelölése. Vizuális kultúra: párhuzamos és félegyenes, szakasz, sík, test, felület. Absztrakt fogalmak szemléleti merőleges egyenesek Egyenesek kölcsönös helyzete: metsző, alapozása (például papírhajtogatással). megfigyelése környezetünkben. párhuzamos, merőleges, kitérő Körző, vonalzók helyes használata, két egyenesek. vonalzóval párhuzamosok, merőlegesek Síkok és egyenesek, síkok és síkok rajzolása. kölcsönös helyzete a térben. Testek vizsgálatának előkészítése. Síkidomok, sokszögek (háromszögek, Síkidomok, tulajdonságainak vizsgálata, Hon- és népismeret: népművészeti négyszögek) szemléletes fogalma. közös tulajdonságok felismerése. minták, formák. Sokszögek kerülete. Egybevágó A korábban tanultak felelevenítése. Technika, életvitel és gyakorlat: (ugyanolyan alakú és méretű) Adott alakzatok kerületének Udvarok, telkek kerülete. síkidomok. Kicsinyítés, nagyítás. meghatározása méréssel, számolással. Téglalap, négyzet tulajdonságainak Méterrúd, mérőszalag használata. vizsgálata, kerülete. Számolási készség fejlesztése. A terület mérése, mértékegységei. A téglalap, négyzet területe.

Kocka, téglatest tulajdonságai, él, lap, csúcs. Téglatest (kocka) hálója, felszínének fogalma, a felszín kiszámítása. A térfogat szemléletes fogalma. A térfogatmérés mértékegységei. A téglatest (kocka) térfogatának

Adott alakzatok területének meghatározása méréssel, számolással, átdarabolással. A gyakorlati élettel kapcsolatos szöveges feladatok megoldása. Testek építése, tulajdonságaik vizsgálata. Testek csoportosítása adott tulajdonságok alapján. A gyakorlati élettel kapcsolatos szöveges feladatok megoldása. Szövegértelmezés. A térszemlélet fejlesztése. 9

Technika, életvitel és gyakorlat: Az iskola és az otthon helyiségeinek alapterülete. Technika, életvitel és gyakorlat: téglatest készítése, tulajdonságainak vizsgálata. Vizuális kultúra: egyszerű tárgyak, geometriai alakzatok tervezése, modellezése.

Matematika Ismeretek kiszámítása. Az űrtartalom mérése, mértékegységei. Az űrtartalom mértékegységeinek és a térfogatmérés mértékegységeinek a kapcsolata. A távolság szemléletes fogalma, adott tulajdonságú pontok keresése. Adott feltételeknek megfelelő ponthalmazok. Kör, gömb szemléletes fogalma. Sugár, átmérő, húr, szelő, érintő.

Fejlesztési követelmények

Kapcsolódási pontok

Törekvés a szaknyelv helyes Vizuális kultúra: térbeli tárgyak használatára (legalább, legfeljebb, nem síkbeli megjelenítése, a tér nagyobb, nem kisebb…) Körző, leképezési módjai. Építészetben vonalzók helyes használata, két alkalmazott térlefedő vonalzóval párhuzamosok, merőlegesek lehetőségek (kupolák, víztornyok rajzolása. stb.). Körök, minták megjelenésének Természetismeret: égitestek. vizsgálata a környezetünkben, Testnevelés és sport: tornaszerek előfordulásuk a művészetekben és a (labdák, karikák stb.). gyakorlati életben. Díszítőminták Hon- és népismeret: népművészeti szerkesztése körzővel. minták, formák.

Háromszög szerkesztése három Egyszerű problémák megoldása. oldalból. A háromszög-egyenlőtlenség Törekvés a pontosságra. felismerése. Két ponttól egyenlő táMegjegyzés: A témakört az volságra lévő pontok. Szakaszfelező ismerkedés szintjén dolgozzuk fel. merőleges. Adott egyenesre merőleges, Alaposabb tárgyalására, a fogalmak adott egyenessel párhuzamos rendszerezésére és a szerkesztések szerkesztése. Téglalap szerkesztése. begyakorlására 6. osztályban kerül sor. A szögtartomány, szög fogalma, mérése Szögmérő használata. Fogalomalkotás szögmérővel (fok, szögperc, mélyítése. szögmásodperc). Szögfajták. A szög Törekvés a pontos munkavégzésre. jelölése, betűzése. Tájékozódás iránytűvel, tájolóval. Matematikatörténet: görög betűk használata a szögek jelölésére. Testek ábrázolása. Testek építése, A tanultak gyakorlati alkalmazása; a szemléltetése. térszemlélet fejlődése (lásd a kompetenciafelmérések feladatsorait).

Technika, életvitel és gyakorlat: megfelelő eszközök segítségével figyelmes, pontos munkavégzés.

Történelem, társadalmi és állampolgári ismeretek: görög „abc” betűinek használata. Természetismeret: Tájékozódás térképen és terepen. Iránytű, alaprajz, fővilágtájak, térkép. Technika, életvitel és gyakorlat: téglatest készítése, tulajdonságainak vizsgálata. Testek ábrázolása. Vizuális kultúra: egyszerű tárgyak, geometriai alakzatok tervezése, modellezése. Térbeli tárgyak síkbeli megjelenítése, a tér leképezési módjai. Pont, egyenes, szakasz, félegyenes, sík. Egyenesek kölcsönös helyzete (metsző, merőleges, párhuzamos, kitérő). Távolság, szakaszfelező merőleges. Síkidom, sokszög, háromszög, négyszög, téglalap, négyzet. Kör (körvonal, körlap), Kulcsfogalmak/ átmérő, sugár. Szögtartomány, szögfajták (nullszög, hegyesszög, derékszög, fogalmak tompaszög, egyenesszög, homorúszög, tompaszög). Kerület, terület, a terület mértékegységei. Test, csúcs, él, lap. Gömb. Téglatest, kocka felszíne, hálója, térfogata. Tematikai egység/ Órakeret 4. Függvények, az analízis elemei Fejlesztési cél 12 óra Szabályfelismerés, szabálykövetés. Összefüggések keresése. Előzetes tudás A szabály megfogalmazása egyszerű formában, a hiányzó tagok pótlása. Tapasztalati adatok lejegyzése, táblázatba rendezése. Sorozat megadása szabállyal. A koordináta-rendszer biztonságos használata. A tematikai egység Függvényszemlélet előkészítése. nevelési-fejlesztési céljai Probléma felismerése. Összefüggés-felismerő képesség fejlesztése. Szabálykövetés, szabályfelismerés képességének fejlesztése. Ismeretek Fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok Helymeghatározás gyakorlati Megadott pont koordinátáinak Természetismeret: tájékozódás a 10

Matematika Ismeretek szituációkban, konkrét esetekben. A Descartes-féle derékszögű koordináta-rendszer. Matematikatörténet: Descartes.

Fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok leolvasása, illetve koordináták térképen, fokhálózat. segítségével pont ábrázolása a Descartes-féle koordináta-rendszerben. Sakklépések megadása, torpedójáték betű-szám koordinátákkal. Osztálytermi ülésrend megadása koordináta-rendszerrel. Összetartozó adatok táblázatba Összefüggések felismerése. Együtt rendezése. Táblázat hiányzó elemeinek változó mennyiségek összetartozó pótlása ismert vagy felismert szabály adatpárjainak jegyzése: tapasztalati alapján, ábrázolásuk grafikonon. függvények, sorozatok alkotása. Változó mennyiségek közötti A megfigyelőképesség, az összefüggéskapcsolatok, ábrázolásuk derékszögű felismerés gyakorlása. Szövegértelmező koordináta-rendszerben. képesség fejlesztése. Az egyenes arányosság függvény Eligazodás a mindennapi élet egyszerű grafikonja (előkészítő jelleggel). grafikonjainak értelmezésében. Sorozat megadása a képzés szabályával, Szabálykövetés, szabályfelismerés. Testnevelés és sport; ének-zene; dráma illetve néhány elemével. Annak felismerése, hogy a néhány és tánc: ismétlődő ritmus, Példák konkrét sorozatokra. elemével adott sorozat végtelenül tánclépés, mozgás létrehozása. Sorozatok folytatása adott szabály sokféleképpen folytatható. szerint. Sorozat, koordináta-rendszer, táblázat, grafikon. Kulcsfogalmak/ fogalmak Tematikai egység/ Órakeret 5. Statisztika, valószínűség Fejlesztési cél 8 óra Adatgyűjtés, adatok lejegyzése, diagram leolvasása. Előzetes tudás Valószínűségi játékok, kísérletek, megfigyelések. „Biztos”, „lehetetlen”, „lehetséges, de nem biztos”. A statisztika szerepének felismerése. A tematikai egység Megfigyelőképesség, az összefüggés-felismerő képesség, elemzőképesség fejlesztése. nevelési-fejlesztési céljai Ismeretek Fejlesztési követelmények Valószínűségi játékok és kísérletek Valószínűségi és statisztikai dobókockák, pénzérmék segítségével. alapfogalmak szemléleti alapon történő kialakítása. Kommunikáció és együttműködés a páros, ill. csoportmunkákban. Valószínűségi kísérletek végrehajtása. Adatok tervszerű gyűjtése, rendezése. Tudatos és célirányos figyelem Egyszerű diagramok értelmezése, gyakorlása. táblázatok olvasása, készítése. Napi sajtóban, különböző kiadványokban található grafikonok, táblázatok elemzése.


Technika, életvitel és gyakorlat: menetrend adatainak értelmezése; kalóriatáblázat vizsgálata. Informatika: adatkezelés, adatfeldolgozás, információmegjelenítés. Átlagszámítás néhány adat esetén Az átlag lényegének megértése. Természetismeret: időjárási átlagok (számtani közép). Számolási készség fejlődése. (csapadék, hőingadozás, napi, havi, évi középhőmérséklet). Esemény, biztos esemény, lehetetlen esemény. Adat, diagram, átlag. Kulcsfogalmak/ fogalmak

11

Matematika

5. évfolyam: a fejlesztés várt eredményei Gondolkodási és megismerési módszerek – – – – – – – – – – – – – –

–

Halmazba rendezés adott tulajdonság alapján, részhalmaz felírása, felismerése. Két véges halmaz közös részének, uniójának felírása, ábrázolása. Néhány elem kiválasztása adott szempont szerint. Néhány elem sorba rendezése, az összes lehetséges sorrend felsorolása. Állítások igazságának eldöntésére, igaz és hamis állítások megfogalmazása. A nyelv logikai elemeinek és az összehasonlításhoz szükséges kifejezéseknek a helyes használata. Számtan, algebra Az 1 000 000-nál nem nagyobb természetes számok írása, olvasása, összehasonlítása, ábrázolása számegyenesen, a tízes számrendszer ismerete. Természetes számok kerekítése. A természetes számok összeadása, kivonása, szorzása többjegyű szorzóval, osztása kétjegyű osztóval. Számok osztóinak, többszöröseinek felírása. A 2-vel, 5-tel, 100-zal, 1000-rel osztható számok felismerése. Törtek kétféle értelmezése, ábrázolásuk többféleképpen. Kis nevezőjű törtek összehasonlítása, összeadása, kivonása, szorzása, osztása természetes számmal. Tizedestörtek értelmezése, írása, olvasása, összehasonlításuk. Tizedestörtek kerekítése. Tizedestörtek összeadása, kivonása, szorzása, osztása természetes számmal. Két-három műveletet tartalmazó műveletsor eredményének kiszámítása, a műveleti sorrendre vonatkozó szabályok ismerete, alkalmazása. Zárójelek alkalmazása. Egész számok, negatív, pozitív számok ismerete, ellentett, abszolútérték meghatározása. Egész számok összeadása, kivonása szemléletes feladatokban. A mindennapi élettel kapcsolatos egyszerű szöveges feladatok megoldása (szövegértelmezés, adatok kigyűjtése, terv, becslés, számítás; ellenőrzés segítségével a kapott eredmények helyességének megítélése). A hosszúság, terület, térfogat, űrtartalom, idő, tömeg szabványmértékegységeinek ismerete, helyes alkalmazása. Mértékegységek egyszerűbb átváltásai gyakorlati.

Összefüggések, függvények, sorozatok – –

–

Tájékozódás a koordináta-rendszerben: pont ábrázolása, adott pont koordinátáinak leolvasása. Egyszerűbb grafikonok, elemzése, oszlopdiagramok, vonaldiagramok értelmezése, megrajzolása. Táblázatok értelmezése, készítése. Néhány tagjával elkezdett sorozathoz szabály(ok) keresése, megfogalmazása. Egyszerű sorozatok folytatása adott, illetve felismert szabály alapján .

Geometria – – – – – – –

Térelemek felismerése: pont, vonal, egyenes, félegyenes, szakasz, sík, test szemléletes fogalmának ismerete. Törekvés a szaknyelv és az anyanyelv helyes használatára. Párhuzamos, metsző, kitérő, merőleges egyenesek fogalmának ismerete. Párhuzamos és merőleges egyenesek rajzolása egyélű és derékszögű vonalzó segítségével. A geometriai ismeretek alkalmazásával az ábrák helyes értelmezése. Pont és egyenes távolsága, két párhuzamos egyenes távolsága. A körző, vonalzó célszerű használata. A sokszög szemléletes fogalma. Sokszögek tulajdonságainak vizsgálata, csoportosításuk különböző szempontok szerint. Konkrét sokszögek kerületének kiszámítása. A téglalap, négyzet fogalma, tulajdonságaik vizsgálata, kerületük kiszámítása konkrét feladatokban. 12

Matematika – – – – –

–

Sokszögek területének meghatározása alkalmai mértékegységgel történő lefedéssel. A terület szabványos mértékegységei, átváltásuk. A téglalap (négyzet) területe. A téglatest, kocka ismerete, az elnevezések (csúcs, él, lap) helyes használata. A téglatest hálója, felszínének meghatározása. A téglatest térfogata, a térfogat szabványos mértékegységei. A térfogat és az űrtartalom mértékegységei közti kapcsolat ismerete. A kerület-, a terület- és a térfogatszámításról tanultak alkalmazása gyakorlati jellegű feladatokban. Testek ábrázolása; építése. A szögtartomány fogalma, a szögek nagyságának megmérése, a mértékegységek ismerete. Adott nagyságú szög megrajzolása szögmérő segítségével. A szögfajták ismerete.

Valószínűség, statisztika – –

Egyszerű diagramok készítése, értelmezése, táblázatok olvasása. Néhány szám számtani közepének kiszámítása. Valószínűségi játékok, kísérletek során adatok tervszerű gyűjtése, rendezése, ábrázolása

13

Matematika



Órakeret 3 óra + folyamatos Adott tulajdonságú elemek halmazba rendezése. Halmazba tartozó elemek közös tulajdonságainak felismerése, megnevezése. Annak eldöntése, hogy egy elem beletartozik-e egy adott halmazba. Előzetes tudás Egyszerű matematikai tartalmú szövegek értelmezése. Állítások igazságtartalmának eldöntése. Néhány elem sorba rendezése, az összes eset megtalálása (próbálgatással). Ismeretek tudatos memorizálása és felidézése. A megtanulást segítő eszközök és módszerek megismerése, értelmes, interaktív használatának fejlesztése. A A tematikai egység rendszerezést segítő eszközök és algoritmusok megismerése. nevelési-fejlesztési céljai Kombinatorikus gondolkodás fejlesztése. Tervezés, ellenőrzés, önellenőrzés igényének kialakítása. Kommunikáció fejlesztése. A saját képességek és műveltség fejlesztésének igénye. Ismeretek Fejlesztési követelmények Elemek elrendezése, rendszerezése A kombinatorikus gondolkodás, a adott szempont(ok) szerint. célirányos figyelem kialakítása, Néhány elem sorba rendezése, fejlesztése. kiválasztása különféle módszerekkel. Halmazba rendezés adott tulajdonság A helyes halmazszemlélet kialakítása. alapján. Konkrét halmaz és Tárgyak tulajdonságainak kiemelése, részhalmaza közti kapcsolat összehasonlítás, azonosítás, felismerése. megkülönböztetés, osztályokba Két véges halmaz közös része, sorolás különféle tulajdonságok egyesítése. Halmazok közti szerint. kapcsolatok szemléltetése. Változatos tartalmú szövegek Értő, elemző olvasás fejlesztése. értelmezése. Kommunikáció fejlesztése a nyelv Példák a biztos, a lehetséges és a logikai elemeinek használatával. lehetetlen bemutatására. A közös tulajdonságok felismerése, A tanultakhoz kapcsolódó igaz és tagadása. hamis állítások. Egyszerű, matematikailag is értelmezhető hétköznapi szituációk megfogalmazása szóban és írásban. A nyelv logikai elemeinek („nem”, „és”, „vagy”, „ha …, akkor …”, „minden”, „van olyan”, „legalább”, „legfeljebb”) helyes használata. Definíció megértése és alkalmazása. Megoldások megtervezése, eredmények ellenőrzése.


Kommunikáció, lényegkiemelés. A matematikai logika nyelvének megismerése, tudatosítása.


Informatika: könyvtárszerkezet a számítógépen.

Magyar nyelv és irodalom: szövegértés, szövegértelmezés. A lényegkiemelés képességének fejlesztése.

Magyar nyelv és irodalom: A lényegkiemelés fejlesztése.

Tervezés, ellenőrzés, önellenőrzés. Informatika: Internet használata. Lásd például a műveleti sorrendnek, a szöveges feladatok megoldásának, az arányossági következtetéseknek, a statisztikai adatgyűjtésnek vagy a geometriai szerkesztéseknek a megtervezését. Halmaz, elem, eleme, alaphalmaz, üres halmaz, részhalmaz, egyesítés, közös rész. Igaz, hamis. Nem, és, vagy. Minden, van olyan. Biztos, lehetséges, lehetetlen. Legalább, legfeljebb. 14

Matematika Tematikai egység/ Fejlesztési cél

2. Számtan, algebra

Órakeret 76 óra

Természetes számok írása, olvasása (1 000 000-s számkör), helyesírása, kerekítésük. Helyiérték, alaki érték, valódi érték. A négy alapművelet végrehajtása szóban és írásban a természetes számok körében. Műveletek ellenőrzése. Egész számok, pozitív, negatív számok. Ellentett, abszolútérték. Egész számok nagyság szerinti összehasonlítása, összeadása, kivonása a szemléletre támaszkodva. Törtek, tizedestörtek fogalma, helyük a számegyenesen. Törtek, tizedestörtek egyszerűsítése, bővítése, nagyság szerinti összehasonlítása. Törtek, tizedestörtek összeadása, kivonása, szorzásuk, osztásuk természetes számmal. Előzetes tudás A hosszúság, az űrtartalom, a tömeg és az idő mérése. Mértékegységek átváltása. Mérőeszközök használata. A matematika különböző területein az ésszerű becslés és a kerekítés alkalmazása. Műveletek tulajdonságai. Zárójelek használata, műveleti sorrend. Oszthatóság, többszörös, osztó, maradék fogalma. Egyszerű szöveges feladatok megoldása (a szöveg értelmezése, a szükséges adatok kiválasztása, tervkészítés, a számítások végrehajtása és ellenőrzése a szöveg alapján, szöveges válasz). Biztos számfogalom kialakítása. Számolási készség fejlesztése. A műveleti sorrend használatának fejlesztése, készségszintre emelése. Mértékegységek helyes használata és pontos átváltása. Matematikai úton megoldható probléma megoldásának elképzelése, becslés, sejtés A tematikai egység megfogalmazása; megoldás után a képzelt és tényleges megoldás összevetése. nevelési-fejlesztési céljai Egyszerűsített rajz készítése lényeges elemek megőrzésével. Fegyelmezettség, következetesség, szabálykövető magatartás fejlesztése. Pénzügyi ismeretek alapozása. Ellenőrzés, önellenőrzés, az eredményért való felelősségvállalás. Ismeretek Fejlesztési követelmények Ismétlés: A természetes számok A számokról tanultak felelevenítése, értelmezése milliós számkörben, mélyítése, a számkör bővítése. Hallott kitekintés billióig. A tizedestörtek számok leírása, látott számok fogalmának felelevenítése. Számok kiolvasása. Számok ábrázolása írása. Alaki érték, helyiérték. Számok számegyenesen. ábrázolása számegyenesen, Helyiérték-táblázat használata. összehasonlításuk. Kerekítés, a mérés Mértékegységek kifejezése pontosságának jelzése. tizedestörtekkel: dm, cm, mm… A hatványozás fogalmának Kombinatorikus gondolkodás előkészítése. A természetes számok fejlesztése. helyiértékének hatványalakja. Tizedestört alakban írt számok szorzása, osztása 10-zel, 100-zal, 1000-rel, … (tíz hatványaival). Ismétlés: Szabvány mértékegységek A korábban tanultak áttekintése, és átváltásuk: hosszúság, terület, rendszerezése. Gyakorlati mérések, térfogat, űrtartalom, idő, tömeg. mértékegység-átváltások helyes A mértékegységek alkalmazása elvégzése. Az arányosság felismerése algebrai, geometriai és függvénytani mennyiség és mérőszám kapcsolata problémák megoldásában. alapján. Kreatív gondolkodás fejlesztése. Osztó, többszörös, oszthatóság, A korábban tanultakból kiindulva új osztópárok. Egyszerű oszthatósági összefüggések „felfedezése”. szabályok 2-vel, 3-mal, 5-tel, 9-cel, Két szám közös osztóinak, majd a 10-zel [100-zal, 4-gyel, 25-tel]. legnagyobb közös osztónak a Két szám közös osztói, közös kiválasztása az összes osztóból. A 15

Kapcsolódási pontok Természetismeret: Magyarország, Európai Unió, Kína lakosainak száma. Európa területe stb.

Technika, életvitel és gyakorlat: tárgykészítéshez kapcsolódó mennyiségi fogalmak kialakítása, a mennyiségek megállapítása becslés, számítás, mérés útján.

Matematika többszörösei. legkisebb pozitív közös többszörös A tanult ismeretek felhasználása a megkeresése. törtek egyszerűsítése, bővítése során. Számolási készség fejlesztése szóban. A bizonyítási igény felkeltése. Megjegyzés: A „spirális” építkezés elve alapján 7. osztályban – magasabb szinten – visszatérünk ennek az anyagrésznek a tárgyalására. Az egész számok halmaza. Egész A korábban szemléletes úton számok ábrázolása számegyenesen, kialakuló fogalom magasabb nagyság szerinti összehasonlításuk. absztrakciós szintre emelése. Egész számok összeadása, kivonása, Szabályok megfogalmazása és szorzása, osztása. Zárójelhasználat, követése. műveleti sorrend. A tört fogalma. A törttel kapcsolatos A közönséges tört szemléltetése, Ének-zene: hangjegyek értékének és a elnevezések használata Törtszám kétféle értelmezése, felismerése törtszámoknak a kapcsolata. ábrázolása számegyenesen. szöveges környezetben. A korábban Törtek egyszerűsítése és bővítése, tanultak áttekintése, kiegészítése. Az nagyság szerinti összehasonlításuk. A oszthatóságról tanultak alkalmazása. tizedestörtek egyszerűsítése és bővítése. Matematikatörténet: A törtfogalom kialakulása az ókorban. Törtek, speciálisan tizedestörtek Számolási készség fejlesztése. A összeadása, kivonása. Tört szorzása műveletfogalom általánosítása és törttel, tört osztása törttel. A mélyítése gyakorlati feladatok reciprok fogalma. megoldásával. A természetes Szorzás, osztás tizedestört alakú számokra tanult algoritmusok számmal. általánosítása. Egyszerű feladatok Műveleti tulajdonságok, helyes esetén a műveleti sorrend helyes műveleti sorrend, zárójelek alkalmazási módjának felismerése, használata. alkalmazása. Az egyértelműség és a Műveletek eredményének előzetes következetesség fontossága. becslése, ellenőrzése, kerekítése. Önellenőrzés, önismeret fejlesztése. A racionális szám fogalma: Negatív törtek értelmezése, ábrázolásuk számegyenesen. Számolás negatív törtekkel és negatív tizedestörtekkel. Véges és végtelen szakaszos tizedes törtek. Szöveges feladatok megoldása. Matematikatörténet: Pólya György munkássága.

Két szám aránya. Egyenes arányossági következtetések. A mindennapi életben felmerülő, egyszerű arányossági feladatok

A mennyiségi jellemzők kifejezése számokkal: természetes szám, racionális szám, pontos szám és közelítő szám. Egyszerű matematikai problémát tartalmazó és a mindennapi élet köréből vett szövegek feldolgozása. Gondolatmenet tagolása. Emlékezés elmondott, elolvasott történetekre, emlékezést segítő ábrák, vázlatok, rajzok készítése, visszaolvasása.

Magyar nyelv és irodalom: olvasási és megértési stratégiák kialakítása (szövegben megfogalmazott helyzet, történés megfigyelése, értelmezése, lényeges és lényegtelen információk szétválasztása). Vizuális kultúra: Elképzelt történetek vizuális megjelenítése különböző eszközökkel. A következtetési képesség fejlesztése. Hon- és népismeret; természetismeret: Értő, elemző olvasás fejlesztése. Magyarország térképéről Annak megfigyeltetése, hogy az egyik méretarányos távolságok mennyiség változása milyen változást meghatározása. 16

Matematika megoldása következtetéssel. eredményez a hozzá tartozó Fordított arányosság. Arányos osztás. mennyiségnél. Arányérzék fejlesztése, a valóságos viszonyok becslése, települések térképe alapján. A százalék fogalmának megismerése gyakorlati példákon keresztül. Az alap, a százalékérték és a százalékláb értelmezése. Egyszerű százalékszámítási feladatok megoldása következtetéssel. Összetett százalékszámítási feladatok.

A saját település, szűkebb lakókörnyezet térképének használata. Vizuális kultúra: valós tárgyak arányosan kicsinyített vagy nagyított rajza. Az alap, a százalékérték és a Természetismeret: százalékláb megkülönböztetése. Százalékos feliratokat tartalmazó Az eredmény összevetése a termékek jeleinek felismerése, feltételekkel, a becsült eredménnyel, a értelmezése, az információ valósággal. jelentősége. Történelem, társadalmi és állampolgári ismeretek; pénzügyi, gazdasági kultúra: árfolyam, infláció, hitel, betét, kamat; árengedmény. Önálló problémamegoldó képesség kialakítása és fejlesztése. Állítások megítélése igazságértékük szerint. Az egyenlő, nem egyenlő fogalmának elmélyítése. Ellenőrzés. Ismerkedés a mérlegelvvel: szemléletes játékos feladatok megoldása.

Nyitott mondat, egyenlet, egyenlőtlenség. Alaphalmaz, megoldáshalmaz. Egyszerű elsőfokú egyismeretlenes egyenletek, egyenlőtlenségek megoldása következtetéssel, lebontogatással. A megoldások ábrázolása számegyenesen, ellenőrzés behelyettesítéssel. Ismerkedés a mérlegelvvel. Szöveges feladatok megoldása egyenlettel. Természetes szám. Tízes számrendszer, helyiérték, alaki érték, számegyenes, kerekítés. Az összeg tagjai (összeadandók), kisebbítendő, kivonandó, különbség, szorzat, a szorzat tényezői (szorzandó, szorzó), osztandó, osztó, hányados, maradék. Két szám aránya, egyenes arányosság, fordított arányosság. Százalék, százalékérték, alap, százalékláb. Kulcsfogalmak/ Hosszúság, tömeg, idő, hőmérséklet, terület, térfogat, űrtartalom. A mértékegységek fogalmak átváltása. Egész szám, pozitív szám, negatív szám, előjel, ellentett, abszolút érték. Tört, számláló, nevező, közös nevező, vegyes szám, egyszerűsítés, bővítés. Reciprok. Tizedestört, véges és végtelen szakaszos tizedestört. Racionális számok. Nyitott mondat, egyenlet egyenlőtlenség, alaphalmaz, megoldás, igazsághalmaz (megoldáshalmaz). Tematikai egység/ Fejlesztési cél

3. Geometria

Órakeret 37 óra

Vonalak (egyenes, görbe). Pont, egyenes, szakasz, félegyenes, sík. Hosszúság és távolság mérése (egyszerű gyakorlati példák), mértékegységek. Egyenesek kölcsönös helyzete: párhuzamos, metsző, kitérő, merőleges egyenesek. Szögtartomány, szögfajták, a szög nagyságának mérése. Síkidom, sokszög, háromszög, négyzet, téglalap fogalma. Kör (körvonal, körlap), Előzetes tudás átmérő, sugár. A körző, az egyélű vonalzó és a derékszögű vonalzó helyes használata. Négyzet, téglalap kerülete. Mérés, kerületszámítás. A területszámítás mértékegységei. Négyzet, téglalap területe. A test és a felület szemléletes fogalma. Kocka, téglatest, jellemzői, hálójuk, felszínük, térfogatuk. Gömb. A tematikai egység Térelemek fogalmának elmélyítése – környezetünk tárgyainak vizsgálata. Távolság nevelési-fejlesztési céljai szemléletes fogalma, meghatározása. A sík- és térszemlélet fejlesztése. A vizuális képzelet fejlesztése. Rendszerező-képesség, halmazszemlélet fejlesztése. Számolási készség fejlesztése. A szaknyelv helyes használatának fejlesztése. A geometriai jelölések pontos 17

Matematika használata. Pontos munkavégzésre nevelés. Esztétikai érzék fejlesztése. Ismeretek A tér elemei: pont, vonal, egyenes, félegyenes, szakasz, sík, test (él, csúcs, lap), felület. Alakzatok kölcsönös helyzetének vizsgálata. Párhuzamosság, merőlegesség. Két pont, pont és egyenes, párhuzamos egyenesek távolsága. Matematikatörténet: Eukleidész, Bolyai Farkas és Bolyai János.

Fejlesztési követelmények A korábban tanult fogalmak felelevenítése, rendszerezése, kiegészítése. Körző, vonalzók helyes használata, két vonalzóval párhuzamosok, merőlegesek rajzolása, alapszerkesztések. A tanult térelemek felvétele és jelölése.

Testek ábrázolása. Testek építése, szemléltetése.

Kapcsolódási pontok Vizuális kultúra: párhuzamos és merőleges egyenesek megfigyelése környezetünkben. Térbeli tárgyak síkbeli megjelenítése, a tér leképezési módjai.

Technika, életvitel és gyakorlat: téglatest készítése, tulajdonságainak vizsgálata. Testek ábrázolása. Vizuális kultúra: egyszerű tárgyak, geometriai alakzatok tervezése, modellezése. Térbeli tárgyak síkbeli megjelenítése, a tér leképezési módjai.

A sokszög szemléletes fogalma. Síkidomok, tulajdonságainak Tulajdonságaik vizsgálata: átlók vizsgálata, közös tulajdonságok száma (általános összefüggés felismerése. megkeresése), konvexitás. Ismétlés: Adott feltételeknek Törekvés a szaknyelv helyes Hon- és népismeret: népművészeti megfelelő ponthalmazok: Kör használatára minták, formák. (körvonal, körlap) fogalma, körszelet, körcikk. Sugár, átmérő, húr, szelő, érintő. Két ponttól egyenlő távolságra levő Egyszerű problémák megoldása. A pontok. Szakaszfelező merőleges. szerkesztési feladatok megoldásának Adott egyenesre merőleges lépései (Pólya nyomán). szerkesztése. Adott egyenessel Törekvés a pontosságra. párhuzamos egyenes szerkesztése. Gyakorlati példák a fogalmak mélyebb Téglalap, négyzet szerkesztése. megértéséhez. A szög fogalma, mérése A szögekről tanultak ismétlése, Történelem, társadalmi és állampolgári szögmérővel. Szögfajták. kiegészítése. A fogalomalkotás ismeretek: görög „abc” betűinek A szög jelölése, betűzése. mélyítése. A szögmérő használata. használata. Szögmásolás, szögfelezés. Törekvés a pontos munkavégzésre. Nevezetes szögek szerkesztése. A szerkesztés gondolatmenetének (Például: 60°, 30°, 90°, 45°, 120°.) tagolása. Háromszögek és csoportosításuk. Tulajdonságok megfigyelése, Vizuális kultúra: speciális Hegyesszögű, derékszögű, összehasonlítása. Csoportosítás. háromszögek a művészetben. tompaszögű háromszög. Egyenlő A belső szögek összegének, a külső szárú, egyenlő oldalú háromszög. szög és a belső szögek közti A tanultak alkalmazása háromszögek kapcsolatnak megsejtése megszerkesztésében. parkettázással, hajtogatással, szögmásolással, méréssel. Négyszögek, speciális négyszögek Az alakzatok előállítása hajtogatással, (trapéz, paralelogramma, deltoid, nyírással, rajzzal, tulajdonságaiknak rombusz) megismerése. Belső és kiemelése, összehasonlítás, azonosítás, külső szögek megfigyelése. Speciális megkülönböztetés, osztályokba négyszögek szerkesztése. sorolás különféle tulajdonságok szerint. 18

Matematika A tengelyes tükrözés. Egyszerű alakzatok tengelyes tükörképének megszerkesztése. A tengelyes tükrözés tulajdonságai.

Szimmetrikus ábrák készítése. Technika, életvitel és gyakorlat: Tükrözés körzővel, vonalzóval. megfelelő eszközök segítségével Tükrözés koordináta-rendszerben. figyelmes, pontos munkavégzés. Pont, egyenes, szög, háromszög, kör képe, irányításváltás. Transzformációs szemlélet fejlesztése. Tengelyesen szimmetrikus alakzatok. A tengelyes szimmetria vizsgálata Vizuális kultúra; természetismeret: A kör szimmetriatengelyei. hajtogatással, tükörrel. tengelyesen szimmetrikus alakzatok Tengelyesen szimmetrikus A szimmetria felismerése a megfigyelése, vizsgálata a háromszögek. természetben és a művészetben. műalkotásokban. Tengelyesen szimmetrikus sokszögek (például a szabályos sokszögek). Tengelyesen szimmetrikus négyszögek (deltoid, rombusz, húrtrapéz, téglalap, négyzet). Derékszögű háromszög és Területmeghatározás átdarabolással. tengelyesen szimmetrikus háromszögek, négyszögek területe. Pont, egyenes, szakasz, félegyenes, sík. Egyenesek kölcsönös helyzete (metsző, merőleges, párhuzamos, kitérő); sík és egyenes, két sík kölcsönös helyzete. Távolság, szakaszfelező merőleges, szögfelező. Síkidom, sokszög. Háromszögek, hegyesszögű, tompaszögű, derékszögű háromszög; egyenlő szárú, egyenlő oldalú háromszög. Négyszög, téglalap, négyzet, húrtrapéz, Kulcsfogalmak/ deltoid, rombusz. fogalmak Kör (körvonal, körlap, körív, körcikk, körszelet), átmérő, sugár, érintő. Szögtartomány, szögfajták (nullszög, hegyesszög, derékszög, tompaszög, egyenesszög, homorúszög, tompaszög). Kerület, terület, a terület mértékegységei. Test, csúcs, él, lap. Gömb. Téglatest, kocka felszíne, hálója, térfogata. Egybevágóság, tengelyes tükrözés, tengelyes szimmetria. Tematikai egység/ Fejlesztési cél

4. Függvények, az analízis elemei

Órakeret 10 óra

Szabályfelismerés, szabálykövetés. Összefüggések keresése. Összetartozó számpárok ábrázolása Descartes-féle derékszögű koordináta-rendszerben. Egyszerű grafikonok értelmezése, megrajzolása. Előzetes tudás A szabály megfogalmazása egyszerű formában. A hiányzó tagok pótlása adott vagy felismert szabály alapján. Tapasztalati adatok lejegyzése, táblázatba rendezése, táblázatban adott adatok értelmezése. Sorozat megadása szabállyal. A koordináta-rendszer biztonságos használata. A tematikai egység Függvényszemlélet előkészítése. nevelési-fejlesztési céljai Probléma felismerése. Összefüggés-felismerő képesség fejlesztése. Szabálykövetés, szabályfelismerés képességének fejlesztése. Ismeretek Ismétlés: Helymeghatározás gyakorlati szituációkban, konkrét esetekben. A Descartes-féle derékszögű koordináta-rendszer.

Fejlesztési követelmények Megadott pont koordinátáinak leolvasása, illetve koordináták segítségével pont ábrázolása a Descartes-féle koordinátarendszerben.

19


Matematika Táblázat hiányzó elemeinek pótlása Összefüggések felismerése. A ismert vagy felismert szabály alapján, megfigyelőképesség fejlesztése. ábrázolásuk grafikonon. Változó Együtt változó mennyiségek mennyiségek közötti kapcsolatok, összetartozó adatpárjainak jegyzése: ábrázolásuk derékszögű koordináta- tapasztalati függvények vizsgálata. rendszerben. Eligazodás a mindennapi élet egyszerű grafikonjaiban. Gyakorlati példák elsőfokú Ellenpéldaként (az osztály függvényekre. Az egyenes arányosság képességeinek megfelelő szinten) grafikonja. célszerű a fordított arányossággal is foglalkozni. Példák konkrét sorozatokra. Szabálykövetés, szabályfelismerés. Sorozatok folytatása adott szabály szerint. Sorozat, koordináta-rendszer, táblázat, grafikon. Egyenes arányosság. Kulcsfogalmak/ fogalmak Tematikai egység/ Fejlesztési cél

Előzetes tudás A tematikai egység nevelési-fejlesztési céljai

5. Statisztika, valószínűség

Órakeret 6 óra rendszerezés, számonkérés

Adatgyűjtés, adatok lejegyzése, oszlopdiagram leolvasása. Valószínűségi játékok, kísérletek, megfigyelések. „Biztos”, „lehetetlen”, „lehetséges, de nem biztos”. A statisztika szerepének felismerése. Megfigyelőképesség, az összefüggés-felismerő képesség, elemzőképesség fejlesztése.

Ismeretek Valószínűségi játékok és kísérletek dobókockák, pénzérmék segítségével.

Fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok Valószínűségi alapfogalmak szemléleti alapon történő kialakítása. Kommunikáció és együttműködés a páros, ill. csoportmunkákban. Valószínűségi kísérletek végrehajtása. Adatok tervszerű gyűjtése, Tudatos és célirányos figyelem Technika, életvitel és gyakorlat: rendezése. gyakorlása. menetrend adatainak értelmezése; Egyszerű diagramok Napi sajtóban, különböző kalóriatáblázat vizsgálata. (oszlopdiagramok, kördiagramok) kiadványokban található grafikonok, Informatika: adatkezelés, értelmezése, táblázatok olvasása, táblázatok elemzése. adatfeldolgozás, információkészítése. megjelenítés. Esemény, biztos esemény, lehetséges, de nem biztos, lehetetlen esemény. Lehetséges Kulcsfogalmak/ esetek, kedvező esetek. Adat, diagram. fogalmak

6. évfolyam: a fejlesztés várt eredményei Gondolkodási és megismerési módszerek – Halmazba rendezés adott tulajdonság alapján, részhalmaz felírása, felismerése. – Két véges halmaz közös részének, uniójának felírása, ábrázolása. – Néhány elem kiválasztása adott szempont szerint. – Néhány elem sorba rendezése különféle módszerekkel. – Állítások igazságának eldöntésére, igaz és hamis állítások megfogalmazása. A nyelv logikai elemeinek és az összehasonlításhoz szükséges kifejezéseknek a helyes használata. 20

Matematika Számtan, algebra – A tízes számrendszer fogalma, a tízes számrendszer helyiértékeinek ismerete. – Számok osztóinak, többszöröseinek felírása. Közös osztók, közös többszörösök megkeresése. Oszthatósági szabályok (2, 3, 5, 9, 10, 4, 25, 100) ismerete, alkalmazása. – Egész számok fogalmának ismerete, ellentett, abszolútérték meghatározása. Egész számok összeadása, kivonása, szorzása, osztása. Az egész számokkal végzett műveletek szabályainak alkalmazása. – Törtek, tizedestörtek értelmezése, írása, olvasása, egyszerűsítése, bővítése, összehasonlításuk. Tizedestörtek kerekítése. Törtek, tizedestörtek összeadása, kivonása, szorzása, osztása. A racionális szám fogalma. Műveletek a racionális számok körében (negatív törtekkel, tizedestörtekkel is). – Két-három műveletet tartalmazó műveletsor eredményének kiszámítása, a műveleti sorrendre vonatkozó szabályok ismerete, alkalmazása. Zárójelek alkalmazása. – Két szám aránya. A mindennapi életben felmerülő egyszerű arányossági feladatok megoldása következtetéssel, az egyenes arányosság [és a fordított arányosság] értése, használata. – A százalék fogalmának ismerete, a százalékérték kiszámítása. – Elsőfokú egyismeretlenes egyenletek, egyenlőtlenségek megoldása szabadon választott módszerrel. – Egyszerű szöveges feladatok megoldása következtetéssel, egyenlet felírásával. Szövegértelmezés, adatok kigyűjtése, terv (szimbólumok, betűkifejezések segítségével összefüggések felírása a szöveges feladatok adatai között), becslés, számítás; ellenőrzés segítségével a kapott eredmények helyességének megítélése. – A hosszúság, terület, térfogat, űrtartalom, idő, tömeg szabványmértékegységeinek ismerete. Mértékegységek egyszerűbb átváltásai gyakorlati feladatokban. Algebrai kifejezések gyakorlati használata a terület, kerület, felszín és térf ogat számítása során.

Összefüggések, függvények, sorozatok – Tájékozódás a koordináta-rendszerben: pont ábrázolása, adott pont koordinátáinak leolvasása. – Egyszerűbb grafikonok, elemzése, oszlopdiagramok, vonaldiagramok értelmezése, megrajzolása. Táblázatok értelmezése, készítése. – Az egyenes arányosság mint függvény. Az egyenes arányosság grafikonjának értelmezése. – Néhány tagjával elkezdett sorozathoz szabály(ok) keresése, megfogalmazása. Egyszerű sorozatok folytatása adott, illetve felismert szabály alapján

Geometria – Térelemek felismerése, a szaknyelv és az anyanyelv helyes használata. – Párhuzamos, metsző, kitérő, merőleges egyenesek fogalmának ismerete. Párhuzamos és merőleges egyenesek rajzolása egyélű és derékszögű vonalzó segítségével. – Alapszerkesztések végrehajtása; pont és egyenes távolsága, két párhuzamos egyenes távolsága, szakaszfelező merőleges, szögfelező, szögmásolás, merőleges és párhuzamos egyenesek. Téglalap szerkesztése. – Adott tulajdonságú ponthalmazok felismerése. A körrel kapcsolatos fogalmak, elnevezések ismerete. – A szögtartomány fogalma, a szögek nagyságának megmérése, a mértékegységek ismerete. Adott nagyságú szög megrajzolása szögmérő segítségével. A szögfajták ismerete. Speciális szögek szerkesztése. – Alakzatok tengelyese tükörképének szerkesztése, a tengelyes szimmetria felismerése. – A sokszög szemléletes fogalma. Sokszögek tulajdonságainak vizsgálata a geometriai ismeretek alkalmazásával (átlók száma, konvex és konkáv sokszögek megkülönböztetése, tengelyes szimmetria stb.). A sokszögek csoportosítása különböző szempontok szerint. Konkrét sokszögek kerületének kiszámítása. – A háromszögek osztályozása szögeik szerint. A háromszög-egyenlőtlenség felismerése. Tengelyesen szimmetrikus háromszög szerkesztése, tulajdonságainak felismerése, területének kiszámítása (átdarabolás, kiegészítés).

21

Matematika –

– –

A négyszög, a speciális négyszögek fogalmának ismerete, tulajdonságaik vizsgálata, Tengelyesen szimmetrikus négyszögek tulajdonságainak felismerése adott ábrák segítségével. A négyszög kerületének kiszámítása. – A téglalap (négyzet) területe, a korábban tanultak alkalmazása geometriai problémák és gyakorlati jellegű feladatok megoldásában. A téglatest, kocka ismerete, az elnevezések (csúcs, él, lap) helyes használata, tulajdonságaik vizsgálata. A téglatest térfogata, a térfogat szabványos mértékegységei. A térfogat és az űrtartalom mértékegységei közti kapcsolat ismerete. A korábban tanultak alkalmazása gyakorlati jellegű feladatokban. Testek ábrázolása, az ábrák helyes értelmezése. Testek építése.

22

Matematika

7–8. évfolyam A nyolcosztályos gimnázium második szakaszában is a matematikai problémák megközelítése során a konkrét tapasztalatszerzésből indulunk ki. Ugyanakkor a gyerekek fokozatosan képessé válnak elvonatkoztatásra, absztrakcióra. Erre alapozva bátrabban fogalmazunk meg definíciókat, már hangsúlyt helyezünk arra, hogy a megsejtett összefüggések bizonyításának igénye is kialakuljon. Tizenhárom éves kortól a tanulók mindinkább általánosító elképzelésekben, elvont konstrukciókban gondolkoznak. Elméleteket gyártanak, összefüggéseket keresnek, próbálják értelmezni a világot. Az iskolai tanítás csak akkor lehet eredményes, ha alkalmazkodik ezekhez a változásokhoz, illetve igyekszik azokat felhasználva fejleszteni a tanulókat. A matematika kiválóan alkalmas arra, hogy a rendszerező képességet és hajlamot fejlessze. Ebben a két évfolyamában mind inkább szükséges matematikai szövegeket értelmezni és alkotni. Segítjük a tanulókat, hogy a problémamegoldásaik részeként többféle forrásból legyenek képesek ismereteket szerezni. Ebben a korban a tanításban már meg kell jelennie az elvonatkoztatás és az absztrakciós készség felhasználásának, fejlesztésének. A matematika tanításában itt jelenik meg a konkrét számok betűkkel való helyettesítése, a tapasztalatok általános megfogalmazása. Algebrai kifejezéseket használunk, egyenleteket oldunk meg. A változó mennyiségek közötti kapcsolatok vizsgálata a függvényfogalomhoz vezet el, grafikonokat rajzolunk. Ezekben az évfolyamokban már komoly hangsúlyt helyezünk arra, hogy a megsejtett összefüggések bizonyításának igénye is kialakuljon. A definíciókat és a tételeket mind inkább meg kell tudni különböztetni, azokat helyesen kimondani, problémamegoldásban mind többször alkalmazni. A mindennapi élet és a matematika (korosztálynak megfelelő) állításainak igaz vagy hamis voltát el kell tudni dönteni. A feladatok megoldása során fokozatosan kialakul az adatok, feltételek adott feladat megoldásához való szükségessége és elégségessége eldöntésének képessége. A tanítás része, hogy a feladatmegoldás előtt mind gyakrabban terveket, vázlatotokat készüljenek, majd ezek közül válasszuk ki a legjobbat. Esetenként járjunk be több utat a megoldás során, és ennek alapján gondoljuk végig, hogy létezik-e legjobb út, vagy ennek eldöntése csak bizonyos szempontok rögzítése esetén lehetséges. A feladatmegoldások során lehetőséget kell teremteni arra, hogy esetenként a terveket és a munka szervezését a feladatmegoldás közben a tapasztalatoknak megfelelően módosítani lehessen. Egyes feladatok esetén szükséges általánosabb eljárási módokat, algoritmusokat keresni. A zsebszámológép használata akkor jelenik majd meg, amikor a tanulók már jól számolnak fejben és írásban. A geometriai transzformációk vizsgálata a természetben, építészetben megtalálható szimmetriát magyarázza. A geometriai szerkesztések megértését számítógépes szoftver használatával tesszük érdekesebbé, érthetőbbé. Testek felszínét, térfogatát meghatározzuk, ezzel javítjuk, fejlesztjük a gyerekek térszemléletét. Változatos módszerekkel oldunk meg kombinatorikai feladatokat. Statisztikai adatokat vizsgálunk, egyszerű valószínűségi kísérleteket végzünk. Az esetek szisztematikus összeszámolása tervszerűségre nevelés, egyben erősíti a rendszerező képességet. Figyelhetünk a célszerű stratégia kiválasztására. A sejtések, hibák megbeszélése az érvelés kultúráját alakítja. A matematika egyes területei más-más módon adnak lehetőséget ebben az életkorban az egyes kompetenciák fejlesztésére. A különböző matematikatanítási módszerek minden tananyagrészben segíthetik a megfelelő önismeret, a helyes énkép kialakítását. A tananyaghoz kapcsolódó matematikatörténeti érdekességek hozzásegítenek az egyetemes kultúra, a magyar tudománytörténet megismeréséhez. A gyakorlati élethez kapcsolódó szöveges feladatok segítik a gazdasági nevelést, a környezettudatos életvitelt, az egészséges életmód kialakítását. A definíciók megtanulása fejleszti a memóriát, a szaknyelv precíz használatára ösztönöz. A geometriai ismeretek elsajátítása közben a tanulók térszemlélete fejlődik, megtanuljuk az esztétikus, pontos munkavégzést. Az érdeklődés specializálódása természetes dolog. Akinél ez a reál tárgyak felé fordul, ott igényes feladatanyaggal, kiegészítő ismeretekkel kell elérni, hogy az ilyen irányú továbbtanuláshoz szükséges alapok kialakuljanak, az érdeklődés fennmaradjon. Akinél a matematika, illetve a reál tárgyak iránti érdeklődés csökken, ott egyrészt sok érdeklődést felkeltő elemmel: matematikatörténeti vonatkozással, játékokkal, érdekes feladatokkal lehet ezt az érdeklődést visszaszerezni, másrészt célszerű sok olyan feladatot beiktatni, amelyek jól mutatják, hogy az életben sokszor előnybe kerülhetnek, jobb döntést hozhatnak azok, akik jól tudják a matematikát. 23

Matematika



Órakeret: 2+folyamatos Halmazba rendezés adott tulajdonság alapján. A részhalmaz fogalma. Két véges halmaz közös része. Egyszerű, matematikailag is értelmezhető hétköznapi szituációk megfogalmazása szóban és írásban. Állítások igazságának eldöntése. Igaz és hamis állítások Előzetes tudás megfogalmazása. Összehasonlításhoz szükséges kifejezések értelmezése, használata. Definíció megértése és alkalmazása. Néhány elem kiválasztása adott szempont szerint. Néhány elem sorba rendezése különféle módszerekkel. Az önálló gondolkodás igényének kialakítása. Halmazok eszköz jellegű használata, halmazszemlélet fejlesztése. Szóbeli és írásbeli kifejezőkészség fejlesztése, a matematikai szaknyelv pontos A tematikai egység használata. Saját gondolatok megértetésére való törekvés (szóbeli érvelés, szemléletes nevelési-fejlesztési céljai indoklás). Rendszerszemlélet, kombinatorikus gondolkodás fejlesztése. Fogalmak egymáshoz való viszonyának, összefüggéseknek a megértése. A rendszerezést segítő eszközök és algoritmusok használatának fejlesztése. A bizonyítás, az érvelés iránti igény felkeltése, a kulturált vitatkozás gyakoroltatása. Ismeretek Fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok A halmazokról korábban tanultak Halmazba rendezés több szempont Informatika: Matematikatörténeti eszköz jellegű alkalmazása a alapján a halmazműveletek ismeretek gyűjtése könyvtárból, matematika különböző alkalmazásával. internetről. témaköreiben. Két véges halmaz uniója, különbsége, metszete. Részhalmaz elemeinek kiválasztása. Ismeretek Fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok Az „és”, „vagy”, „ha”, „akkor”, A matematikai szaknyelv pontos Magyar nyelv és irodalom: a lényeges és „nem”, „van olyan”, „minden” használata. A nyelv logikai elemeinek lényegtelen megkülönböztetése. („bármely”), „legalább”, legfeljebb” egyre pontosabb, tudatos használata. kifejezések használata. A logikai műveletek és a halmazműveletek kapcsolatának felismerése. Egyszerű („minden”, „van olyan” Kulturált érvelés a csoportmunkában. típusú) állítások igazolása, cáfolata konkrét példák kapcsán. A matematikai bizonyítás A bizonyítási igény erősödése. előkészítése: sejtések, kísérletezés, Tolerancia, kritikai szemlélet, módszeres próbálkozás, cáfolás. problémamegoldás. A kulturált vitatkozás elsajátítása. A gyakorlati élethez és a Szövegelemzés, értelmezés, lefordítás Fizika; biológia-egészségtan; földrajz; társtudományokhoz kapcsolódó a matematika nyelvére. Ellenőrzés, technika, életvitel és gyakorlat: szöveges feladatok megoldása. önellenőrzés iránti igény erősödése. számításos feladatok. Igényes grafikus és verbális kommunikáció. Matematikai játékok, játékos Aktív részvétel, pozitív attitűd. Informatika: Játékos feladatok feladatok. keresése internet segítségével. Kombinatorikus módszerek Sorba rendezés, kiválasztás. Néhány eszközszerű alkalmazása (fadiagram, elem esetén az összes eset felsorolása. táblázatok készítése). Tapasztalatszerzés az összes eset rendszerezett felsorolásában. Halmaz, elem, részhalmaz, egyesítés, metszet. Alaphalmaz. Igaz, hamis, nem, és, Kulcsfogalmak/ vagy, minden, van olyan, biztos, lehetséges, lehetetlen. A nyelv logikai elemei (nem, fogalmak és, vagy, ha …, akkor …, mindig, van olyan, legalább, legfeljebb). 24

Matematika Tematikai egység/ Fejlesztési cél

2. Számelmélet, algebra

Órakeret: 53 óra

Racionális számkör. Számok írása, olvasása, összehasonlítása, ábrázolása számegyenesen. Műveletek racionális számokkal. Ellentett, abszolútérték, reciprok. Alapműveletek racionális számokkal írásban. Oszthatóság, oszthatósági szabályok. A százalékszámítás alapjai. Mérés, mértékegységek használata, átváltás egyszerű esetekben. Előzetes tudás A mindennapi életben felmerülő egyszerű arányossági feladatok megoldása következtetéssel, egyenes arányosság. A zárójelek, a műveleti sorrend biztos alkalmazása. Helyes és értelmes kerekítés, az eredmények becslése, a becslés használata ellenőrzésre is. Szöveges feladatok megoldása. A matematikai ismeretek és a mindennapi élet történései közötti kapcsolat tudatosítása. Szavakban megfogalmazott helyzethez, történéshez matematikai modellek választása, keresése, készítése, értelmezése adott szituációkhoz. Konkrét matematikai modellek értelmezése a modellnek megfelelő szöveges feladat alkotásával. A tematikai egység A szabványos mértékegységekhez tartozó mennyiségek és többszöröseik, törtrészeik nevelési-fejlesztési céljai képzeletben való felidézése. Az együttműködéshez szükséges képességek fejlesztése páros és kiscsoportos tevékenykedtetés, feladatmegoldás során – a munka tervezése, szervezése, megosztása. Az ellenőrzés, önellenőrzés iránti igény, az eredményért való felelősségvállalás erősítése. Ismeretek Fejlesztési követelmények A racionális szám fogalma. A A számfogalom mélyítése. természetes, egész és racionális A rendszerező képesség fejlesztése. számok halmazának kapcsolata. A racionális számok tizedestört alakja (véges, végtelen tizedestörtek), példák nem racionális számra (végtelen, nem szakaszos tizedes törtek). A hatványozás fogalma nemnegatív A hatvány fogalmának kialakítása és elmélyítése. A definícióalkotás egész kitevőre, egész számok igényének felkeltése. körében. Műveletek hatványokkal: azonos Az alap és a kitevő változása hatásának felismerése, megértése a alapú hatványok szorzása, osztása. hatványértékre; a hatványozás azonosságainak „felfedezése”. Szorzat, hányados hatványozása. Hatvány hatványozása. 10 egész kitevőjű hatványai. 1-nél Számolási készség fejlesztése (fejben és írásban). nagyobb számok normálalakja. Műveletek racionális számkörben Műveletfogalom mélyítése. A zárójel és a műveleti sorrend biztos írásban és számológéppel. Az alkalmazása. eredmény helyes és értelmes A számolási, a becslési készség és az algoritmikus gondolkodás fejlesztése. kerekítése. Eredmények becslése, ellenőrzése. A zárójel és a műveleti sorrend biztos alkalmazása a hatványozás figyelembevételével. Oszthatósági szabályok. A tanult ismeretek felelevenítése, kiegészítése, alkalmazása összetett Összetett oszthatósági feladatok: feladatokban. A bizonyítási igény felkeltése oszthatósági feladatoknál. például 6-tal, 12-vel. Számelméleti alapú játékok.

25

Matematika Prímszám, összetett szám. Prímtényezős felbontás. Legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös. Matematikatörténet: érdekességek a prímszámok köréből. Eukleidész, Eratoszthenész. Tökéletes számok, barátságos számok. Arány, arányos osztás. (Az egyenes arányosságot és a fordított arányosságot lásd a függvények témakörben.) Mértékegységek átváltása racionális számkörben. Ciklusonként átélt idő és lineáris időfogalom, időtartam, időpont. Az alap, a százalékérték és a százalékláb fogalmának ismerete, értelmezése, kiszámításuk következtetéssel, a megfelelő összefüggések alkalmazásával. A mindennapjainkhoz köthető százalékszámítási feladatok.

Hatványozás azonosságainak használata a prímtényezős felbontásnál. Két szám legnagyobb közös osztójának kiválasztása az összes osztóból. A legkisebb pozitív közös többszörös megkeresése a közös többszörösök közül. Oszthatóságról tanultak alkalmazása a törtekkel való műveleteknél.

Az algebrai egész kifejezés fogalma. Egytagú, többtagú, egynemű kifejezés fogalma. Helyettesítési érték kiszámítása. Egyszerű átalakítások: zárójel felbontása, összevonás. Egytagú és többtagú algebrai egész kifejezések szorzása racionális számmal, egytagú egész kifejezéssel. Matematikatörténet: az algebra kezdetei, az arab matematika. Többtagú kifejezés szorzattá alakítása kiemeléssel. Elsőfokú, illetve elsőfokúra visszavezethető egyenletek, elsőfokú egyenlőtlenségek megoldása. Alaphalmaz, megoldáshalmaz. Azonosság. Azonos egyenlőtlenség. Szöveges feladatok megoldása egyenlettel, egyenlőtlenséggel. A matematikából és a mindennapi életből vett egyszerű szöveges feladatok megoldása a tanult matematikai módszerek használatával.

Elnevezések, jelölések megértése, rögzítése, definíciókra való emlékezés. Egyszerű szimbólumok megértése és alkalmazása a matematikában. Betűk használata szöveges feladatok általánosításánál.

A mindennapi élet és a matematika közötti gyakorlati kapcsolatok meglátása, a felmerülő arányossági feladatok megoldása. A következtetési képesség fejlesztése. Gyakorlati mérések, mértékegység-átváltások helyes elvégzése.

A mindennapi élet és a matematika közötti gyakorlati kapcsolat meglátása a gazdasági élet, a környezetvédelem, a családi háztartás köréből vett egyszerűbb példákon. Feladatok az árképzés: árleszállítás, áremelés, áfa, betétkamat, hitelkamat, bruttó bér, nettó bér, valamint különböző termékek (pl. élelmiszerek, növényvédőszerek, oldatok) anyagösszetétele köréből. Szövegértés, szövegalkotás. Becslések és következtetések végzése. Zsebszámológép célszerű használata.

Algebrai kifejezések egyszerű átalakításának felismerése. Műveletek biztos elvégzése, törekvés a pontos, precíz munkára.

Az egyenlő, nem egyenlő fogalmának elmélyítése. Algoritmikus gondolkodás alkalmazása. A megoldások ábrázolása számegyenesen. Pontos munkavégzés. Számolási készség fejlesztése. Az ellenőrzés igényének erősödése. Megjegyzés: A törtegyütthatós egyenletek megoldását 8. osztályra halaszthatjuk. Szövegértelmezés, problémamegoldás fejlesztése. A lényeges és lényegtelen elkülönítésének, az összefüggések felismerésének fejlesztése. A gondolatmenet tagolása. Az ellenőrzési igény további fejlesztése. Igényes kommunikáció kialakítása. Szöveges feladatok megoldása a környezettudatossággal, az egészséges 26

Matematika Ellenőrzés. életmóddal, a családi élettel, a gazdaságossággal kapcsolatban. Egyszerű matematikai problémát tartalmazó hosszabb szövegek feldolgozása. Feladatok például a környezetvédelem, az egészséges életmód, a vásárlások, a család jövedelmének ésszerű felhasználása köréből. Racionális szám. Hatvány, alap, kitevő. Normálalak. Osztó, maradék, többszörös, osztható, prímszám, összetett szám, prímtényezős felbontás, legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös. Arány, aránypár, arányos osztás, egyenes és fordított arányosság. Százalékalap, Kulcsfogalmak/ százalékláb, százalékérték. Kamat. fogalmak Algebrai egész kifejezés, változó, együttható, helyettesítési érték, egynemű kifejezés, összevonás, zárójelfelbontás. Kiemelés. Egytagú, többtagú kifejezés. Egyenlet, változó, egyenlőtlenség, alaphalmaz, megoldáshalmaz, azonosság, mérlegelv, ellenőrzés. Tematikai egység/ Órakeret: 53 óra 3. Geometria Fejlesztési cél Pont, vonal, egyenes, félegyenes, szakasz, sík, szögtartomány. Háromszögek, csoportosításuk. Négyszögek, speciális négyszögek (trapéz, paralelogramma, deltoid). Kör és részei. Adott feltételeknek megfelelő ponthalmazok. Háromszög, négyszög belső és külső szögeinek összegére vonatkozó ismeretek. Téglatest tulajdonságai. Tengelyesen szimmetrikus alakzatok. Egyszerű alakzatok tengelyes tükörképének megszerkesztése. Előzetes tudás Két pont, pont és egyenes távolsága, két egyenes távolsága. Szakaszfelezés, szögfelezés, szögmásolás. Merőleges és párhuzamos egyenesek szerkesztése. Nevezetes szögek szerkesztése. Szerkesztési eszközök használata. Koordináta-rendszer megismerése, pont ábrázolása, adott pont koordinátáinak a leolvasása. A téglalap és a deltoid kerületének és területének kiszámítása. A téglatest felszínének és térfogatának a kiszámítása. Rendszerező készség fejlesztése. A mindennapi élethez kapcsolódó egyszerű geometriai számítások elvégzésének fejlesztése. A gyakorlatban előforduló geometriai ismereteket igénylő problémák megoldására való képesség fejlesztése. Statikus helyzetek, képek, tárgyak megfigyelése. Geometriai transzformációkban megfigyelt megmaradó és változó tulajdonságok tudatosítása. A tematikai egység Képzeletben történő mozgatás: átdarabolás elképzelése, testháló összehajtásának, nevelési-fejlesztési céljai szétvágásának elképzelése. A pontos munkavégzés igényének fejlesztése. A problémamegoldás lépéseinek megismertetése (szerkesztésnél: vázlatrajz, adatfelvétel, a szerkesztés menete, szerkesztés, diszkusszió). Az együttműködéshez szükséges képességek fejlesztése páros és kiscsoportos tevékenykedtetés, feladatmegoldás során – a munka tervezése, szervezése, megosztása; kezdeményezőkészség, együttműködési készség, tolerancia. Ismeretek Fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok Az egybevágósági transzformációk Vizuális kultúra: festmények, Geometriai transzformáció. Az művészeti alkotások egybevágó egybevágóság szemléletes fogalma. fogalmának megalapozása játékos példák és ellenpéldák segítségével. geometriai alakzatai. Az egybevágóság jelölése. A megfigyelőképesség fejlesztése. A szaknyelv pontos használata. Eltolás. A vektor szemléletes Pontos, precíz munka elvégzése a Fizika: Elmozdulás. fogalma . A transzformáció szerkesztés során. A eltolás tulajdonságai. Egyszerű alakzatok tulajdonságainak „felfedezése”. eltolt képének megszerkesztése. 27

Matematika Ismétlés: Tengelyes tükrözés. A transzformáció tulajdonságai, a tengelyes tükörkép megszerkesztése. Tengelyes szimmetria. Középpontos tükrözés. A transzformáció tulajdonságai. Egyszerű alakzatok tengelyes tükörképének megszerkesztése. Középpontosan szimmetrikus alakzatok a síkban.

A tengelyes tükrözés tulajdonságainak Fizika: Síktükör. vizsgálata. Tengelyesen szimmetrikus alakzatok felismerése. Pontos, precíz munka elvégzése a szerkesztés során. A középpontosan szimmetrikus alakzatok felismerése. Gondolkodás fejlesztése szimmetrián alapuló játékokon keresztül. Művészeti alkotások vizsgálata (Penrose, Escher, Vasarely). Pontos, precíz munka elvégzése a szerkesztés során.

Vizuális kultúra: művészeti alkotások megfigyelése a tanult transzformációk segítségével. Informatika: Művészeti alkotások keresése a világhálón.

Tengelyes és középpontos Vizuális kultúra: festmények szimmetria alkalmazása geometriai alakzatai. szerkesztésekben, bizonyításokban, fogalmak kialakításában. Szögpárok (egyállású szögek, A tanult transzformációk váltószögek, kiegészítő szögek). felhasználása a fogalmak kialakításánál. Ismerkedés a forgatással, Forgásszimmetria megfigyelése a Vizuális kultúra: Építészet, forgásszimmetriával. Az elfordulás természetben és a művészetben. díszítőminták. mérése. A síkidomokról, sokszögekről tanultak felelevenítése. Háromszögek osztályozása oldalak, A tanult ismeretek felidézése, Földrajz: szélességi körök és illetve szögek szerint. A megerősítése. A halmazszemlélet hosszúsági fokok. háromszögek kerületének fejlesztése. kiszámítása. A háromszögek Összefüggések megsejtése, magassága, magasságvonala. A kimondása, bizonyítása. korábban szemléletre támaszkodó A háromszög tulajdonságaira sejtések bizonyítása: vonatkozó igaz-hamis állítások háromszög-egyenlőtlenség; megfogalmazása során részvétel a szögek közti kapcsolatok; vitában, a kulturált vita szabályainak szögek és oldalak közti kapcsolat. alkalmazása. A geometriai transzformációkról Bizonyítási igény felkeltése. tanultak alkalmazása. Nevezetes szögek szerkesztése: 15°, A háromszögek egybevágóságának 45°, 75°, 105°, 135°. esetei. Háromszögek szerkesztése. Négyszögek, belső és külső szögeik A speciális négyszögek felismerése. A Technika, életvitel és gyakorlat: műszaki összege, kerületük. A speciális fogalmak közti kapcsolat tudatosítása. rajz készítése. négyszögek, trapéz, deltoid, A középpontos és a tengelyes Magyar nyelv és irodalom: szabatos húrtrapéz, paralelogramma, speciális tükrözés tulajdonságainak fogalmazás. paralelogrammák definíciója, felhasználása a tulajdonságok tulajdonságai. vizsgálatánál. Törekvés a tömör, de Speciális négyszögek szerkesztése. pontos, szabatos kommunikációra. A szaknyelv minél pontosabb használata írásban is. A szerkesztéshez szükséges eszközök célszerű használata. Átélt folyamatról készült leírás gondolatmenetének értelmezése (pl. egy szerkesztés leírt lépéseiről a folyamat felidézése). A sokszög területének szemléletes Átdarabolások, kiegészítés Technika, életvitel és gyakorlat: A fogalma, téglalap, paralelogramma, értelmezése, végrehajtása. hétköznapi problémák területtel deltoid, trapéz, háromszög területe. Eredmények becslése. kapcsolatos számításai (lefedések, Szabályos sokszögek. A képletek értelmezése, alkalmazásuk szabászat, földmérés). a számításokban. A területképletből Informatika: tantárgyi szimulációs az ismeretlen adat kifejezése. program. 28

Matematika Számítógépes animáció használata az egyes területképletekhez. A kör és részei. Sugár, átmérő, szelő, A kör kerületének közelítése méréssel. húr, érintő. A kör kerülete, területe. A kör területének közelítése „átdarabolással”. Sokszöglapokkal határolt testek. A halmazszemlélet és a térszemlélet Technika, életvitel és gyakorlat: modellek Egyenes hasábok, forgáshenger fejlesztése. készítése, tulajdonságainak hálója, tulajdonságai, felszíne, vizsgálata. térfogata. Történelem, társadalmi és állampolgári ismeretek: történelmi épületek látszati képe és alaprajza közötti összefüggések megfigyelése. Vizuális kultúra: térbeli tárgyak síkbeli megjelenítése. Mértékegységek átváltása racionális A gyakorlati mérések, Testnevelés és sport: távolságok és idő számkörben. Hosszúság, terület, mértékegységváltások helyes becslése, mérése. térfogat, űrtartalom, tömeg, idő elvégzése. Fizika; kémia: mérés, mérése. mértékegységek, mértékegységek átváltása. Egyszerű számításos feladatok a A számolási készség, becslési készség Magyar nyelv és irodalom: szövegértés, geometria különböző területeiről; és az ellenőrzési igény fejlesztése. szövegértelmezés. kerület-, terület-, felszín- és Zsebszámológép célszerű használata a térfogatszámítás. Szögekkel számítások egyszerűsítésére, kapcsolatos számítások. gyorsítására. Geometriai transzformáció. Egybevágóság: tengelyes tükrözés, középpontos tükrözés, eltolás. Vektor. Tengelyes szimmetria, húrtrapéz, deltoid. Középpontos szimmetria, paralelogramma, Kulcsfogalmak/ rombusz. fogalmak Egyállású szög, váltószög, csúcsszög. Sokszögek belső és külső szöge. Háromszög, magasságvonal. Terület. Hasáb; alaplap, alapél, oldallap, oldalél, testátló, lapátló. Henger, alkotó, palást. Felszín, térfogat. Tematikai egység/ Órakeret 4. Függvények, az analízis elemei Fejlesztési cél 17 óra Egyszerű sorozatok folytatása adott szabály szerint. Biztos tájékozódás a derékszögű koordináta-rendszerben. Előzetes tudás Egyszerű grafikonok értelmezése. Egyszerű kapcsolatok ábrázolása derékszögű koordináta-rendszerben. Függvényszemlélet fejlesztése. A tematikai egység Megoldás a matematikai modellen belül. Matematikai modellek ismerete, nevelési-fejlesztési céljai alkalmazásának módja, korlátai (sorozatok, függvények, függvényábrázolás). Ismeretek Fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok Két halmaz közötti hozzárendelések A függvényszemlélet fejlesztése. Fizika; biológia-egészségtan; kémia; megjelenítése konkrét esetekben. Időben lejátszódó valós folyamatok földrajz: függvényekkel leírható Függvények és ábrázolásuk a elemzése a grafikon alapján. folyamatok. derékszögű koordináta-rendszerben. Egyenes arányosság. A mindennapi élet, a tudományok és a Fizika: út-idő; feszültségLineáris függvények (elsőfokú matematika közötti kapcsolat áramerősség. függvény, nulladfokú függvény). A fölfedezése konkrét példák alapján. Informatika: Számítógép használata a lineáris függvény grafikonja Lineáris Számolási készség fejlesztése a függvények ábrázolására. függvények jellemzése konkrét racionális számkörben. példák alapján: növekedés, fogyás. A sorozat, mint függvény. Egyszerű Konkrét tag megadása a sorozat sorozatok vizsgálata. képletének helyettesítési értékeként. Egyismeretlenes elsőfokú egyenletek A tanult ismeretek alkalmazása új grafikus megoldása. helyzetben. 29

Matematika Fordított arányosság:

Annak felismerése, hogy a fordított arányosság a mindennapi gyakorlatban is fontos szerepet játszik; szükséges a fizikában tanult összefüggések értelmezéséhez.

Grafikonok olvasása, értelmezése, készítése: szöveggel vagy matematikai alakban megadott szabály grafikus megjelenítése értéktáblázat segítségével.

Fizika: Boyle–Mariotte-törvény; adott út esetén a sebesség és az út megtételhez szükséges idő kapcsolata; adott feszültség esetén az áramerősség és az ellenállás nagysága közti összefüggés. Földrajz: adatok hőmérsékletre, csapadék mennyiségére. Kémia: értékek a levegő és a víz szennyezettségére vonatkozóan.

Kapcsolatok észrevétele, megfogalmazása szóban, írásban, grafikonok olvasása és készítése egyszerű esetekben. Adatok és grafikonok elemzése a környezet szennyezettségével kapcsolatban. Hozzárendelés, függvény, értelmezési tartomány, értékkészlet. Egyenes arányosság. Kulcsfogalmak/ Lineáris függvény, elsőfokú függvény, nulladfokú függvény. Lineáris függvény fogalmak grafikonja, meredekség, növekedés, fogyás. Sorozat. Fordított arányosság. Tematikai egység/ Órakeret 5. Statisztika, valószínűség Fejlesztési cél 7 óra Egyszerű diagramok készítése, értelmezése, táblázatok olvasása. Előzetes tudás Néhány szám számtani közepének kiszámítása. Valószínűségi játékok és kísérletek, az adatok tervszerű gyűjtése, rendezése. A statisztikai gondolkodás fejlesztése. A tematikai egység A valószínűségi gondolkodás fejlesztése. nevelési-fejlesztési céljai Gazdasági nevelés. Ismeretek Fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok Adatok gyűjtése, rendszerezése, Adatsokaságban való eligazodás: Testnevelés és sport: teljesítmények adatsokaság szemléltetése, táblázatok olvasása, grafikonok adatainak, mérkőzések grafikonok, diagramok készítése. készítése, elemzése. Együttműködési eredményeinek táblázatba rendezése. Adathalmazok elemzése (átlag, készség fejlődése. Biológia-egészségtan; történelem, módusz, medián) és értelmezése, Számtani közép kiszámítása. társadalmi és állampolgári ismeretek: ábrázolásuk. Gazdasági statisztikai adatok, táblázatok és grafikonok adatainak grafikonok értelmezése, elemzése. ki- és leolvasása, elemzése, adatok Adatsokaságban való eligazodás gyűjtése, táblázatba rendezése. képességének fejlesztése. Informatika: statisztikai adatelemzés.

Valószínűségi kísérletek. Valószínűségi szemlélet fejlesztése. Informatika: Gyűjtőmunka az internet Valószínűség előzetes becslése, Tudatos megfigyelés. segítségével. szemléletes fogalma. A tapasztalatok rögzítése. Valószínűségi kísérletek, eredmények Tanulói együttműködés fejlesztése. lejegyzése. Gyakoriság, relatív Számítógép használata a gyakoriság fogalma. tudománytörténeti érdekességek Matematikatörténet: Érdekességek a felkutatásához. valószínűség-számítás fejlődéséről. Kulcsfogalmak/ Diagram, gyakoriság, relatív gyakoriság, valószínűség. fogalmak

30

Matematika

7. évfolyam: a fejlesztés várt eredményei Gondolkodási és megismerési módszerek – Elemek halmazba rendezése több szempont alapján. Halmazok ábrázolása. – A nyelv logikai elemeinek helyes használata. Állítások igaz vagy hamis voltának eldöntése, állítások tagadása. – Állítások, feltételezések, választások világos, érthető közlésének képessége, egyszerűbb szövegek értelmezése. – Kombinatorikai gondolatmenetek alkalmazása a lehetséges esetek, megoldások felkutatásában. – Gráfok használata feladatmegoldások, összefüggések szemléltetése során.

Számtan, algebra – A racionális számokkal kapcsolatos fogalomrendszer ismerete. A négy alapművelet végrehajtása az egész számok és a törtalakban vagy tizedestört alakban adott racionális számok körében. – A természetes szám kitevőjű hatványozás fogalma, hatványértékek kiszámítása. Műveletek konkrét természetes szám kitevőjű hatványokkal. – Az 1-nél nagyobb számok normálalakjának értelmezése. A normálalak használata a számok egyszerűbb írására. – A műveleti sorrendre, zárójelezésre vonatkozó szabályok ismerete, helyes alkalmazása (a hatványozást is figyelembe véve). Számológép ésszerű használata a számolás megkönnyítésére. – Az oszthatósággal kapcsolatos definíciók, tételek (osztó, többszörös, oszthatósági szabályok, közös osztó, közös többszörös) ismerete. A legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös meghatározása. Pozitív egész számok prímtényezőkre bontása. Egyszerű oszthatósági problémák vizsgálata. Az oszthatóságról tanult ismereteik megszerzése során kialakult a bizonyítás iránti igény. – Az arány fogalmának ismerete, alkalmazása gyakorlati jellegű feladatokban is. Arányos osztás végrehajtása. Az egyenes és fordított arányosság felismerése és alkalmazása matematikai és hétköznapi feladatokban. – A százalékszámítás fogalomrendszerének ismerete, a tanult összefüggések alkalmazása. A kamatos kamat fogalma, kiszámítása.. – Algebrai egész kifejezések helyettesítési értékének meghatározása. Algebrai egész kifejezések összevonása, szorzása egytagú kifejezéssel. A betűkifejezések és az azokkal végzett műveletek alkalmazása matematikai, természettudományos és hétköznapi feladatok megoldásában. – Egyszerű egyenletek, egyenlőtlenségek megoldása, a kapott eredmény ellenőrzése. – Az egyenletmegoldás különböző módszereinek sikeres alkalmazása a matematikából és a mindennapi életből vett egyszerű szöveges feladatok megoldására.

Összefüggések, függvények, sorozatok – A hozzárendelés (reláció) megadása diagrammal, táblázattal, grafikonnal, szabállyal. Alaphalmaz, képhalmaz fogalmának ismerete. – Egyértelmű hozzárendelés, függvény fogalmának, valamint az értelmezési tartomány, értékkészlet fogalmának ismerete, konkrét függvény értelmezési tartományának, értékkészletének meghatározása. – Valós (szám-szám) függvény grafikonjának elemzése a tanult szempontok szerint: a függvény alaptulajdonságainak (adott helyen felvett függvényérték, adott függvényértékhez tartozó független változók, növekedés, csökkenés, legnagyobb érték, legkisebb érték) grafikonról való leolvasása. – Az egyenes arányosság mint szám-szám függvény tulajdonságainak felismerése. Az egyenes arányosság grafikonjának felismerése, adott egyenes arányosság grafikonjának ábrázolása. A grafikon meredekségének vizsgálata. – A lineáris függvénnyel kapcsolatos fogalomrendszer ismerete, konkrét lineáris függvény grafikonjának megrajzolása (esetleg összegtartozó számpárok segítségével). A lineáris kapcsolatokról tanultak alkalmazása természettudományos feladatokban is. 31

Matematika – A fordított arányosság függvényének ismerete (tulajdonságok, grafikon). Megadott sorozatok folytatása adott szabály szerint .

Geometria – A tanuló a geometriai ismeretek segítségével képes jó ábrákat készíteni, pontos szerkesztéseket végezni. – Ismeri a vektor fogalmát. – Az egybevágó alakzatok felismerése. Tengelyes és középpontos tükörkép, eltolt alakzat képének megszerkesztése. A tanult egybevágósági transzformációk vizsgálata, tulajdonságaik felsorolása. A tengelyesen szimmetrikus, a középpontosan szimmetrikus alakzatok felismerése, e fogalmak alkalmazása geometriai vizsgálatokban. – A szögpárok ismerete, alkalmazásuk geometriai vizsgálatokban. – Ismeri a háromszög tulajdonságait (háromszög-egyenlőtlenség, háromszög szögei és oldalai közötti öszszefüggések, háromszög belső és külső szögeire vonatkozó összefüggések), háromszögek csoportosítása szögeik és oldalaik szerint. Tudását alkalmazza a feladatok megoldásában. – Ismeri a nevezetes négyszögek (deltoid, trapéz, húrtrapéz, paralelogramma, rombusz, téglalap, négyzet) fogalmát, e fogalmak közti kapcsolatrendszert. Ismeri a négyszög (speciálisan a nevezetes négyszögek) belső és külső szögeire vonatkozó összefüggéseket, továbbá a nevezetes négyszögek szimmetriatulajdonságait. Tudását alkalmazza feladatok megoldásában. – Ismeri a sokszög területének fogalmát, szabványos mértékegységeit, helyesen váltja át a mértékegységeket. Kiszámítja a háromszög, a nevezetes négyszögek és a kör kerületét, területét. – A tanuló képes térbeli alakzatok axonometrikus képét felvázolni, és ennek segítségével sikeresen old meg problémákat. – Ismeri az egyenes hasáb és az egyenes körhenger fogalmát, tulajdonságait. Képes felvázolni a tanult testek hálóját, kiszámítani a felszínüket. – Ismeri a sokszöglapokkal határolt test térfogatának fogalmát, a térfogat szabványos mértékegységeit, helyesen váltja át a mértékegységeket. A háromszög és négyszög alapú egyenes hasáb, továbbá a forgáshenger térfogatképleteinek ismeretében ki tudja számítani sok, a mindennapjainkban előforduló test felszínét, térfogatát, űrmértékét.

Valószínűség, statisztika – Valószínűségi kísérletek eredményeinek tudatos megfigyelése, lejegyzése, relatív gyakoriságok kiszámítása. Konkrét feladatok kapcsán a tanuló érti az esély, a valószínűség fogalmát, felismeri a biztos és a lehetetlen eseményt. Események valószínűségének kiszámítása vagy becslése egyszerűbb esetekben. – Adathalmaz rendezése megadott szempontok szerint, táblázatok készítése. Adat gyakoriságának és relatív gyakoriságának kiszámítása. A középértékek (középső érték, átlag, leggyakoribb érték) és a terjedelem meghatározása. Vonaldiagram, oszlopdiagram olvasása, készítése – Egyszerű oszlopdiagramok, vonaldiagramok kördiagramok értelmezése, készítése, táblázatok olvasása. – Néhány szám számtani közepének kiszámítása. Valószínűségi játékok, kísérletek során adatok tervszerű gyűjtése, rögzítése.

32

Matematika



Órakeret 6 óra + folyamatos Halmazba rendezés adott tulajdonság alapján. A részhalmaz fogalma. Két véges halmaz közös része. Egyszerű, matematikailag is értelmezhető hétköznapi szituációk megfogalmazása szóban és írásban. Állítások igazságának eldöntése. Igaz és hamis állítások Előzetes tudás megfogalmazása. Összehasonlításhoz szükséges kifejezések értelmezése, használata. Definíció megértése és alkalmazása. Néhány elem kiválasztása adott szempont szerint. Néhány elem sorba rendezése különféle módszerekkel. Az önálló gondolkodás igényének kialakítása. Halmazok eszköz jellegű használata, halmazszemlélet fejlesztése. Szóbeli és írásbeli kifejezőkészség fejlesztése, a matematikai szaknyelv pontos A tematikai egység használata. Saját gondolatok megértetésére való törekvés (szóbeli érvelés, szemléletes nevelési-fejlesztési céljai indoklás). Rendszerszemlélet, kombinatorikus gondolkodás fejlesztése. Fogalmak egymáshoz való viszonyának, összefüggéseknek a megértése. A rendszerezést segítő eszközök és algoritmusok használatának fejlesztése. A bizonyítás, az érvelés iránti igény felkeltése, a kulturált vitatkozás gyakoroltatása. Ismeretek Fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok Két véges halmaz uniója, Halmazba rendezés több szempont Informatika: Matematikatörténeti különbsége, metszete. Részhalmaz alapján a halmazműveletek ismeretek gyűjtése könyvtárból, elemeinek kiválasztása. A korábban alkalmazásával. A halmazokról és a internetről. tanultak rendszerezése, Az logikai műveletekről korábban Magyar nyelv és irodalom: a lényeges és összefüggések megfogalmazása. tanultak eszköz jellegű alkalmazása. A lényegtelen megkülönböztetése. Az „és”, „vagy”, „ha”, „akkor”, „minden”, „van olyan” típusú „nem”, „van olyan”, „minden” állítások igazolása, cáfolata konkrét („bármely”), „legalább”, legfeljebb” példák kapcsán. kifejezések használata. A matematikai szaknyelv pontos Matematikatörtént: Georg Cantor. használata. A nyelv logikai elemeinek egyre pontosabb, tudatos használata. A matematikai bizonyítás A bizonyítási igény erősödése. előkészítése: sejtések, kísérletezés, Tolerancia, kritikai szemlélet, módszeres próbálkozás, cáfolás. problémamegoldás. A kulturált vitatkozás elsajátítása. A gyakorlati élethez és a Szövegelemzés, -értelmezés, lefordítás Fizika; kémia; biológia-egészségtan; társtudományokhoz kapcsolódó a matematika nyelvére. Ellenőrzés, földrajz; technika, életvitel és gyakorlat: szöveges feladatok megoldása. önellenőrzés iránti igény erősödése. számításos feladatok. Igényes grafikus és verbális kommunikáció. Egyszerű kombinatorikai feladatok Sorba rendezés, kiválasztás. Néhány Informatika: Matematikai játékok megoldása különféle módszerekkel elem esetén az összes eset felsorolása. keresése internet segítségével. (fadiagram, útdiagram, táblázatok Tapasztalatszerzés az összes eset készítése). Matematikai játékok. rendszerezett felsorolásában. Halmaz, elem, részhalmaz, egyesítés, metszet. Alaphalmaz. Igaz, hamis, nem, és, Kulcsfogalmak/ vagy, minden, van olyan, biztos, lehetséges, lehetetlen. A nyelv logikai elemei (nem, fogalmak és, vagy, ha …, akkor …, mindig, van olyan, legalább, legfeljebb). Tematikai egység/ Órakeret: 47 óra 2. Számelmélet, algebra Fejlesztési cél Előzetes tudás Racionális számkör. Számok írása, olvasása, összehasonlítása, ábrázolása számegyenesen. Műveletek racionális számokkal. Ellentett, abszolútérték, reciprok. Alapműveletek racionális számokkal írásban. A százalékszámítás alapjai. Mérés, mértékegységek használata, átváltás egyszerű esetekben. Szöveges feladatok megoldása. A mindennapi életben felmerülő egyszerű egyenes és fordított 33

Matematika arányossági feladatok megoldása következtetéssel, egyenes arányosság. A zárójelek, a műveleti sorrend biztos alkalmazása. Helyes és értelmes kerekítés, az eredmények becslése, a becslés használata ellenőrzésre is. Algebrai kifejezések helyettesítési értékének kiszámítása, egyszerű kifejezések összevonása, többtagú kifejezés szorzása egytagú kifejezéssel. Egyszerű elsőfokú egyenletek megoldása, a mérlegelv alkalmazása. Geometriai, fizikai képletek értelmezése, helyettesítési értékük kiszámítása, az ismeretlen változó kifejezése a képletből. A matematikai ismeretek és a mindennapi élet történései közötti kapcsolat tudatosítása. Szavakban megfogalmazott helyzethez, történéshez matematikai modellek választása, keresése, készítése, értelmezése adott szituációkhoz. Konkrét matematikai modellek értelmezése a modellnek megfelelő szöveges feladat alkotásával. A tematikai egység A szabványos mértékegységekhez tartozó mennyiségek és többszöröseik, törtrészeik nevelési-fejlesztési céljai képzeletben való felidézése. Az együttműködéshez szükséges képességek fejlesztése páros és kiscsoportos tevékenykedtetés, feladatmegoldás során – a munka tervezése, szervezése, megosztása. Az ellenőrzés, önellenőrzés iránti igény, az eredményért való felelősségvállalás erősítése. Ismeretek Fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok A racionális szám fogalma. A A szám- és műveletfogalom mélyítése. Gyakorlati alkalmazás: számolás természetes, egész és racionális A rendszerező képesség fejlesztése. zsebszámológéppel. számok halmazának kapcsolata. A Biztos számolás fejben, írásban és Fizika, kémia, biológia, egészségtan, racionális számok tizedestört alakja számológéppel. Becslés közelítő földrajz: számítási feladatok. (véges, végtelen szakaszos értékekkel számolva. A számolási, a tizedestörtek). becslési készség és az algoritmikus Műveletek racionális számkörben gondolkodás fejlesztése. írásban és számológéppel. Az eredmény becslése, helyes és értelmes kerekítése, ellenőrzése. A zárójel és a műveleti sorrend biztos alkalmazása. A hatványozás fogalma nemnegatív A 7. osztályban tanultak áttekintése, egész kitevőre. Számolás törekvés a konkrét példák segítségével hatványokkal. A hatvány kiszámítása felismert összefüggések általános számológéppel. megfogalmazására, bizonyítására. 10 természetes kitevőjű hatványai. 1- A számolási, a becslési készség és az Fizika, kémia: Számítási feladatok, nél nagyobb számok normálalakja. algoritmikus gondolkodás fejlesztése. mértékegységek átváltása. 10 egész kitevőjű hatványai. 0-nál A számológép alkalmazása. nagyobb számok normálalakja. Osztó, többszörös. Oszthatósági A tanult ismeretek felelevenítése, szabályok. Összetett oszthatósági alkalmazása összetett feladatokban. A feladatok. Prímszám, összetett szám. bizonyítási igény felkeltése. Prímtényezős felbontás. Oszthatóságról tanultak alkalmazása a Legnagyobb közös osztó, legkisebb törtekkel való műveleteknél. közös többszörös. Arány, aránypár, arányos osztás, A korábban tanultak áttekintése. arányossági következtetések. A mindennapi élet és a matematika Százalékszámítás. közötti gyakorlati kapcsolatok A mindennapjainkhoz köthető meglátása, a felmerülő arányossági százalékszámítási feladatok. feladatok megoldása (árleszállítás, Zsebszámológép célszerű használata. áremelés, áfa, különböző termékek összetétele stb.). A következtetési képesség fejlesztése. Szövegértés, szövegértelmezés. 34

Fizika; kémia: számítási feladatok. Technika, életvitel és gyakorlat: pénzügyi ismeretek: kamat, kamatos kamat.

Matematika Számok négyzete, négyzetgyöke.

Négyzetgyök meghatározása számológéppel.

Példa irracionális számra (π, ). Mértékegységek átváltása racionális Gyakorlati mérések, mértékegységszámkörben. átváltások helyes elvégzése. Ciklusonként átélt idő és lineáris időfogalom, időtartam, időpont.

Technika, életvitel és gyakorlat: Főzésnél a tömeg, az űrtartalom és az idő mérése. Történelem, társadalmi és állampolgári ismeretek: évtized, évszázad, évezred. Az algebrai egész kifejezés fogalma. Elnevezések, jelölések megértése, Fizika: összefüggések Egytagú, többtagú, egynemű rögzítése, definíciókra való emlékezés. megfogalmazása, leírása a kifejezés fogalma. Helyettesítési Egyszerű szimbólumok megértése és matematika nyelvén. A képlet érték kiszámítása. alkalmazása a matematikában. Betűk értelme, jelentősége. Helyettesítési Egyszerű átalakítások: zárójel használata szöveges feladatok érték kiszámítása képlet alapján. felbontása, összevonás. Egytagú és általánosításánál. Fizika; kémia; biológia-egészségtan: többtagú algebrai egész kifejezések Algebrai kifejezések egyszerű Képletek átalakítása. szorzása racionális számmal, egytagú átalakításának felismerése. Műveletek egész kifejezéssel. biztos elvégzése, törekvés a pontos, Többtagú kifejezés szorzattá precíz munkára. alakítása kiemeléssel.

Nyitott mondat. Megoldás. Algoritmikus gondolkodás Fizika; kémia; biológia-egészségtan: Alaphalmaz, megoldáshalmaz. alkalmazása. A megoldások ábrázolása számításos feladatok. Elsőfokú, illetve elsőfokúra számegyenesen. Pontos munkavégzés. visszavezethető egyenletek, elsőfokú Számolási készség fejlesztése. egyenlőtlenségek megoldása. Az ellenőrzés igényének erősödése. Mérlegelv. Azonosság. Azonos egyenlőtlenség. Szöveges feladatok megoldása egyenlettel, egyenlőtlenséggel. Egyenlettel megoldható A megoldás folyamata: Magyar nyelv és irodalom: Szövegértés, típusfeladatok egyszerű példákkal: A szöveg értelmezése, az adatok szövegértelmezés. A gondolatmenet számok helyiértékével kapcsolatos lejegyzése. tagolása. feladatok; Az összefüggések megkeresése, a Fizika; kémia; számításos feladatok. geometriai számításokkal kapcsolatos megoldási terv felírása egyenlettel feladatok; (egyenlőtlenséggel). fizikai számításokkal kapcsolatos Becslés. feladatok; Az egyenlet megoldása. százalékszámítási feladatok Ellenőrzés a szöveg alapján. (leértékelés, béremelés, Szöveges válasz. kamatszámítás stb.); keverési feladatok; együttes munkavégzéssel kapcsolatos feladatok. A matematikából és a mindennapi Szövegértelmezés, problémamegoldás Magyar nyelv és irodalom: Szövegértés, életből vett egyszerű szöveges fejlesztése. A lényeges és lényegtelen szövegértelmezés. A gondolatmenet feladatok megoldása a tanult elkülönítésének, az összefüggések tagolása. matematikai módszerek felismerésének fejlesztése. Fizika; kémia; biológia-egészségtan: használatával. A gondolatmenet tagolása. Az számításos feladatok. Ellenőrzés. ellenőrzési igény további fejlesztése. Egyszerű matematikai problémát Igényes kommunikáció kialakítása. tartalmazó hosszabb szövegek Szöveges feladatok megoldása a feldolgozása. Feladatok például a környezettudatossággal, az egészséges környezetvédelem, az egészséges életmóddal, a családi élettel, a életmód, a vásárlások, a család gazdaságossággal kapcsolatban. jövedelmének ésszerű felhasználása 35

Matematika köréből.


Tematikai egység/ Fejlesztési cél

Racionális szám. Hatvány, alap, kitevő. Normálalak. Négyzetgyök. Osztó, maradék, többszörös, osztható, prímszám, összetett szám, prímtényezős felbontás, legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös. Arány, aránypár, arányos osztás, egyenes és fordított arányosság. Százalékalap, százalékláb, százalékérték. Kamat. Kamatos kamat. Algebrai egész kifejezés, változó, együttható, helyettesítési érték, egynemű kifejezés, összevonás, zárójelfelbontás. Kiemelés. Egytagú, többtagú kifejezés. Egyenlet, változó, egyenlőtlenség, alaphalmaz, megoldáshalmaz, azonosság, mérlegelv, ellenőrzés. Órakeret: 54 óra 3. Geometria

Pont, vonal, egyenes, félegyenes, szakasz, sík, szögtartomány. Két pont, pont és egyenes távolsága, két egyenes távolsága. Szakaszfelezés, szögfelezés, szögmásolás. Merőleges és párhuzamos egyenesek szerkesztése. Adott feltételeknek megfelelő ponthalmazok. Nevezetes szögek szerkesztése. Szerkesztési eszközök használata. Geometriai transzformáció. Egybevágóság: tengelyes tükrözés, középpontos tükrözés, eltolás. Vektor. Tengelyesen és középpontosan szimmetrikus alakzatok (háromszögek, négyszögek). Előzetes tudás Egyszerű alakzatok tengelyes tükörképének, középpontos tükörképének és eltolással kapott képének megszerkesztése. Háromszögek, csoportosításuk. Négyszögek, speciális négyszögek. Háromszög, négyszög belső és külső szögeinek összegére vonatkozó ismeretek. Kör és részei. A háromszög, a speciális négyszögek és a kör kerületének és területének kiszámítása. A hasáb és az egyenes körhenger tulajdonságai, hálójuk, felszínük, térfogatuk. Koordináta-rendszer megismerése, pont ábrázolása, adott pont koordinátáinak a leolvasása.. A mindennapi élethez kapcsolódó egyszerű geometriai számítások elvégzésének fejlesztése. A gyakorlatban előforduló geometriai ismereteket igénylő problémák megoldására való képesség fejlesztése. Statikus helyzetek, képek, tárgyak megfigyelése. Geometriai transzformációkban megfigyelt megmaradó és változó tulajdonságok tudatosítása. Képzeletben történő mozgatás: átdarabolás elképzelése, testháló összehajtásának, A tematikai egység szétvágásának elképzelése. nevelési-fejlesztési céljai A pontos munkavégzés igényének fejlesztése. A problémamegoldás lépéseinek megismertetése (szerkesztésnél: vázlatrajz, adatfelvétel, a szerkesztés menete, szerkesztés, diszkusszió). Rendszerező képesség fejlesztése. Az együttműködéshez szükséges képességek fejlesztése páros és kiscsoportos tevékenykedtetés, feladatmegoldás során – a munka tervezése, szervezése, megosztása; kezdeményezőkészség, együttműködési készség, tolerancia. Ismeretek Fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok Térelemek kölcsönös helyzete, A tanult ismeretek felidézése, távolsága. Szögek értelmezése síkban megerősítése. A további vizsgálatok és térben. Szögpárok. Adott előkészítése. tulajdonságú ponthalmazok. . Egyszerű szerkesztések végrehajtása. A síkidomokról, sokszögekről tanultak felelevenítése. Háromszögek osztályozása oldalak, A korábban tanult legfontosabb illetve szögek szerint. A ismeretek felidézése, megerősítése. A háromszögek kerületének halmazszemlélet fejlesztése. kiszámítása. Összefüggések a A háromszög tulajdonságaira háromszög belső és külső szögei vonatkozó igaz-hamis állítások között. megfogalmazása során részvétel A háromszögek egybevágóságának vitában, a kulturált vita szabályainak esetei. Háromszögek szerkesztése. alkalmazása. A háromszögek magassága, Bizonyítási igény felkeltése. 36

Matematika magasságvonala. A háromszög nevezetes vonalai, pontjai, körei. Pitagorasz tétele. A Pitagorasz-tétel alkalmazása geometriai számításokban, egyszerű bizonyításokban. Matematikatörténet: Érdekességek életéről és a Pitagorasz-tétel történetéből. A pitagoraszi számhármasok. Thalész-tétel. A kör érintői. Matematikatörténet: Thalész. Négyszögek, belső és külső szögeik összege, kerületük. A speciális négyszögek, trapéz, deltoid, húrtrapéz, paralelogramma, speciális paralelogrammák definíciója, tulajdonságai

Annak felismerése, hogy a matematika Történelem, társadalmi és állampolgári az emberiség kultúrájának része. ismeretek: Püthagorasz és kora. A bizonyítási igény felkeltése. Számítógépes program felhasználása a tétel bizonyításánál.

A speciális négyszögek felismerése. A fogalmak közti kapcsolat tudatosítása. A középpontos és a tengelyes tükrözés tulajdonságainak felhasználása a tulajdonságok vizsgálatánál. Törekvés a szaknyelv minél pontosabb használatára írásban is. A sokszög területének szemléletes A képletek értelmezése, alkalmazásuk fogalma, téglalap, paralelogramma, a számításokban. A területképletből deltoid, trapéz, háromszög kerülete, az ismeretlen adat kifejezése. területe. A Pitagorasz-tétel alkalmazása. A kör és részei. Sugár, átmérő, szelő, A hiányzó adat kifejezése és húr, érintő. A kör kerülete, területe. kiszámítása a képletből. Sokszöglapokkal határolt testek. Az A térszemlélet fejlesztése. egyenes hasáb és a forgáshenger A kúp és a gömb felszín- és hálója, tulajdonságai, felszíne, térfogatképletének ismertetését térfogata. (pontos levezetés nélkül). Ismerkedés a gúlával, forgáskúppal és a gömbbel. Matematikatörténet: Arkhimédész. Mértékegységek átváltása racionális számkörben. Hosszúság, terület, térfogat, űrtartalom, tömeg, idő mérése.

Technika, életvitel és gyakorlat: műszaki rajz készítése. Magyar nyelv és irodalom: szabatos fogalmazás.

Technika, életvitel és gyakorlat: A hétköznapi problémák területtel kapcsolatos számításai (lefedések, szabászat, földmérés).

Technika, életvitel és gyakorlat: modellek készítése, tulajdonságainak vizsgálata. Történelem, társadalmi és állampolgári: történelmi épületek látszati képe és alaprajza közötti összefüggések megfigyelése. Vizuális kultúra: térbeli tárgyak síkbeli megjelenítése. A gyakorlati mérések, Testnevelés és sport: távolságok és idő mértékegységváltások helyes becslése, mérése. elvégzése. Fizika; kémia: mérés, mértékegységek, mértékegységek átváltása. A korábban tanultak áttekintése, Vizuális kultúra: művészeti alkotások kiegészítése, rendszerezése. Pontos, megfigyelése a tanult precíz munka elvégzése a szerkesztés transzformációk segítségével. során. A eltolás tulajdonságainak Informatika: Művészeti alkotások „felfedezése”. A matematika keresése a világhálón. kapcsolata a természettel és a művészeti alkotásokkal:

Geometriai transzformáció. A háromszögek egybevágóságának alapesetei. A tengelyes tükrözés és szimmetria, a középpontos tükrözés és szimmetria és az eltolás. A vektor szemléletes fogalma. Az egybevágóság tulajdonságai. Egyszerű szerkesztési feladatok. Hasonlóság, kicsinyítés és nagyítás. A A hasonlóság szemléletes fogalmának hasonlóság arányának fogalma. kialakítása. Annak a felismerése, hogy A háromszögek hasonlósága. az egybevágóság is hasonlóság. Hasonló síkidomok területének, hasonló testek felszínének és térfogatának aránya. Középpontos nagyítás, kicsinyítés A középpontos nagyítás, kicsinyítés 37

Vizuális kultúra, technika, életvitel és gyakorlat: Valós tárgyak arányosan kicsinyített vagy nagyított rajza. Földrajz: Térképi ábrázolás. Méretarány értelmezése. Fizika: lencsék képalkotása, nagyítás.

Matematika elvégzése. A középpontos felismerése hétköznapi szituációkban. hasonlóság tulajdonságainak felismerése: aránytartás, szögtartás, alakzat és képének irányítása. Egyszerű számításos feladatok a A számolási készség, becslési készség Magyar nyelv és irodalom: szövegértés, geometria különböző területeiről; és az ellenőrzési igény fejlesztése. szövegértelmezés. kerület-, terület-, felszín- és Zsebszámológép célszerű használata a térfogatszámítás. Szögekkel számítások egyszerűsítésére, kapcsolatos számítások. gyorsítására. Geometriai transzformáció. Egybevágóság: tengelyes tükrözés, középpontos tükrözés, eltolás. Vektor. Tengelyes szimmetria, húrtrapéz, deltoid. Középpontos szimmetria, paralelogramma, rombusz. Kulcsfogalmak/ Egyállású szög, váltószög, csúcsszög. fogalmak Hasonlóság, hasonlóság aránya, kicsinyítés, nagyítás. Középpontos hasonlóság. Sokszögek belső és külső szöge. Háromszög, magasságvonal. Terület. Hasáb; alaplap, alapél, oldallap, oldalél, testátló, lapátló. Henger, alkotó, palást. Gúla, kúp, gömb. Felszín, térfogat. Tematikai egység/ Órakeret 4. Függvények, az analízis elemei Fejlesztési cél 18 óra Egyszerű sorozatok folytatása adott szabály szerint. Biztos tájékozódás a derékszögű koordináta-rendszerben. Előzetes tudás Egyszerű grafikonok értelmezése. Egyszerű kapcsolatok ábrázolása derékszögű koordináta-rendszerben. Függvényszemlélet fejlesztése. A tematikai egység Megoldás a matematikai modellen belül. Matematikai modellek ismerete, nevelési-fejlesztési céljai alkalmazásának módja, korlátai (sorozatok, függvények, függvényábrázolás). Ismeretek Fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok Két halmaz közötti hozzárendelések A korábban tanultak rendszerező Fizika; biológia-egészségtan; kémia; megjelenítése konkrét esetekben. áttekintése. földrajz: függvényekkel leírható Mennyiségek közti kapcsolatok A függvényszemlélet fejlesztése. folyamatok. ábrázolása grafikonnal. Függvények Időben lejátszódó valós folyamatok és ábrázolásuk a derékszögű elemzése a grafikon alapján. koordináta-rendszerben. Matematikatörténet: A függvényfogalom fejlődése. Lineáris függvény, egyenes A mindennapi élet, a tudományok és a Fizika: út-idő; feszültségarányosság fogalma, grafikus képe. matematika közötti kapcsolat áramerősség. Példák nemlineáris függvényre: fölfedezése konkrét példák alapján. f(x) = x2, f(x) = ‫׀‬x‫;)׀‬ Számolási készség fejlesztése a racionális számkörben. fordított arányosság: Számítógép használata a függvények Függvények jellemzése növekedés, ábrázolására. fogyás. Egyismeretlenes elsőfokú egyenletek A tanult ismeretek alkalmazása új grafikus megoldása. helyzetben. Egyszerű sorozatok vizsgálata. Az összefüggések „felfedezése”, Technika, életvitel és gyakorlat: Kamatos A sorozat, mint speciális függvény. konkrét példák megoldása kamat. Sorozatok készítése, vizsgálata. segítségével. A számtani sorozat. A számtani sorozat megadása az első taggal és a differenciával. Az első n tag összegének kiszámítása Gaussmódszerrel. Ismerkedés a mértani sorozattal. Matematikatörténet: Gauss. Függvénytranszformációk. Informatika: számítógépes program 38

Matematika Az abszolútérték- és a másodfokú használata függvények ábrázolására. függvény transzformációja egyszerű esetekben. Matematikatörténet: René Descartes. Hozzárendelés, függvény, értelmezési tartomány, értékkészlet, zérushely, szélsőérték, Kulcsfogalmak/ monotonitás, egyenes arányosság, fordított arányosság, sorozat, számtani sorozat, fogalmak differencia. Lineáris függvény, elsőfokú függvény, nulladfokú függvény, abszolútérték-függvény, másodfokú függvény. Tematikai egység/ Órakeret 5. Statisztika, valószínűség Fejlesztési cél 7 óra Adatok tervszerű gyűjtése, rendezése. Egyszerű diagramok készítése, értelmezése, Előzetes tudás táblázatok olvasása. Néhány szám számtani közepének kiszámítása. Valószínűségi játékok és kísérletek. A tematikai egység A statisztikai és a valószínűségi gondolkodás fejlesztése. Gazdasági nevelés. nevelési-fejlesztési céljai A valószínűség meghatározása egyszerű esetekben. Ismeretek Fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok Adatok gyűjtése, rendszerezése, Adatsokaságban való eligazodás: Testnevelés és sport: teljesítmények adatsokaság szemléltetése, táblázatok olvasása, grafikonok adatainak, mérkőzések grafikonok, diagramok készítése. készítése, elemzése. Együttműködési eredményeinek táblázatba rendezése. Adathalmazok elemzése (átlag, készség fejlődése. Biológia-egészségtan; történelem, módusz, medián) és értelmezése, Számtani közép kiszámítása. társadalmi és állampolgári ismeretek: ábrázolásuk. Gazdasági statisztikai adatok, táblázatok és grafikonok adatainak grafikonok értelmezése, elemzése. ki- és leolvasása, elemzése, adatok Adatsokaságban való eligazodás gyűjtése, táblázatba rendezése. képességének fejlesztése. Informatika: statisztikai adatelemzés.

Valószínűségi kísérletek. Valószínűségi szemlélet fejlesztése. Valószínűség előzetes becslése, Tudatos megfigyelés. szemléletes fogalma. A tapasztalatok rögzítése. Valószínűségi kísérletek Tanulói együttműködés fejlesztése. kimeneteleinek lejegyzése. Számítógép használata a Gyakoriság, relatív gyakoriság tudománytörténeti érdekességek fogalma. felkutatásához. Kulcsfogalmak/ Diagram, gyakoriság, relatív gyakoriság, átlag, módusz, medián, fogalmak terjedelem. Adatok tervszerű gyűjtése, rendezése. Valószínűség.

8. évfolyam: a fejlesztés várt eredményei Gondolkodási és megismerési módszerek –

–

– –

Halmazokkal kapcsolatos alapfogalmak ismerete, halmazok szemléltetése, halmazműveletek ismerete, eszköz jellegű alkalmazásuk számelméleti, geometriai vizsgálatokban. Elemek halmazba rendezése több szempont alapján. A nyelv logikai elemeinek („nem”, „és”, „vagy”, „ha …, akkor …”, „legalább”, „legfeljebb”, „pontosan akkor …, ha …”, „minden”, „van olyan”) helyes értelmezése, tudatos használata. Állítások igaz vagy hamis voltának eldöntése, állítások tagadása. Állítások, feltételezések, választások világos, érthető közlésének képessége, szövegek értelmezése. A szaknyelv tudatos használata. Kombinatorikai feladatok megoldása az összes eset szisztematikus összeszámlálásával, a megoldás gondolatmenetének elmondása, leírása, szemléltetése fagráffal. Kombinatorikai gondolatmenetek alkalmazása a matematika különböző területein (például oszthatósági problémák megoldásában, geometriai fel39

Matematika

– –

adatok megoldásának diszkussziójában, valószínűség-számítási feladatokban a lehetséges, illetve a kedvező esetek összeszámlálásában). Gráfok használata a matematika különböző témaköreiben, a feladatmegoldások gondolatmenetének követése, összefüggések, fogalmak közti kapcsolatok szemléltetése során. Néhány kiemelkedő magyar matematikus, esetleg kutatási területének, eredményének megnevezése.

Számtan, algebra –

–

– – –

– –

–

–

–

A számhalmazok (természetes, egész, racionális számok) ismerete. Biztos számolási ismeretek a racionális számkörben. A műveleti sorrendre, zárójelezésre vonatkozó szabályok ismerete, helyes alkalmazása. Számológép ésszerű használata a számolás megkönnyítésére. A természetes szám kitevőjű hatványozás fogalma, hatványértékek kiszámítása számológép használatával. Műveletek természetes szám kitevőjű hatványokkal, a hatványozás azonosságainak felismerése, alkalmazása. Az 1-nél nagyobb számok normálalakjának értelmezése. Számolás normálalakkal egyszerűbb esetekben.] A 10 egész kitevőjű hatványainak értelmezése, 0-nál nagyobb, 1-nél kisebb számok normálalakja. Számolás normálalakkal, számológép segítségével. Az oszthatósággal kapcsolatos definíciók, tételek, számolási eljárások ismerete, alkalmazása egyszerű oszthatósági feladatok megoldásában, törtek egyszerűsítésében, törtekkel végzett műveletek végrehajtásában. A négyzetgyökvonás fogalmának ismerete, pozitív számok négyzetgyökének (közelítő) meghatározása számológép segítségével. A négyzetgyökvonás biztos alkalmazása különböző témakörökben. Az arány fogalmának ismerete, alkalmazása gyakorlati jellegű feladatokban, geometriai számításokban. Arányos osztás végrehajtása. Az egyenes és fordított arányosság felismerése és alkalmazása matematikai és hétköznapi feladatokban. A mindennapjainkhoz kapcsolódó százalékszámítási feladatok megoldása. Kamatos kamat kiszámítása. Algebrai egész kifejezések helyettesítési értékének meghatározása. Algebrai egész kifejezések összevonása, szorzása egytagú kifejezéssel. A betűkifejezések és az azokkal végzett műveletek alkalmazása matematikai, természettudományos és hétköznapi feladatok megoldásában. A geometriában és a természettudományos tárgyakban előforduló képletek értelmezése, alkalmazása, az ismeretlen változó kifejezése a képletből. Az egyenlet, egyenlőtlenség, azonosság, azonos egyenlőtlenség fogalmának ismerete. Gyakorlottság az egyenletek, egyenlőtlenségek megoldásában, a mérlegelv alkalmazásában, a kapott eredmény ellenőrzésében. Egyenlőtlenség megoldáshalmazának ábrázolása számegyenesen. Az egyenletmegoldás különböző módszereinek sikeres alkalmazása a matematikából és a mindennapi életből vett egyszerű szöveges feladatok megoldására. (Szöveges feladatok értelmezése, összefüggések lefordítása a matematika nyelvére, a számítások végrehajtása, az eredmény ellenőrzése a szöveg alapján.)

Geometria – Ismeri a geometria alapvető fogalmait és a hozzájuk kapcsolódó elnevezéseket. Felismeri a térelemek kölcsönös helyzetét, továbbá az adott tulajdonságú ponthalmazokat. Képes értelmezni és meghatározni a térelemek távolságát. Szögek értelmezése, mérése, a szögfajták, valamint a szögpárok ismerete. Az alapvető szerkesztések (szakaszfelezés, szögmásolás, szögfelezés, stb.) végrehajtása. Ismeri a vektor fogalmát. Ezeket az ismereteket képes alkalmazni sokszögek, testek, geometriai transzformációk tulajdonságainak vizsgálatában, feladatok megoldásában. Helyesen használja a szaknyelvet. – A tanuló a geometriai ismeretek segítségével képes jó ábrákat készíteni, pontos szerkesztéseket végezni, képes térbeli alakzatok axonometrikus képét felvázolni, és ennek segítségével sikeresen old meg problémákat. 40

Matematika – Ismeri a háromszög tulajdonságait (háromszög-egyenlőtlenség, háromszög szögei és oldalai közötti öszszefüggések, háromszög belső és külső szögeire vonatkozó összefüggések), háromszögek csoportosítása szögeik és oldalaik szerint. Háromszög-szerkesztések lépéseinek leírása, a szerkesztések elvégzése. Háromszögek nevezetes vonalainak, pontjainak, köreinek meghatározása, megszerkesztése. – A Pitagorasz-tétel kimondása és alkalmazása számítási feladatokban. – A Thalész-tétel ismerete, egyszerű alkalmazásai. – Ismeri a nevezetes négyszögek fogalmát, e fogalmak közti kapcsolatrendszert.Ismeri a négyszögek belső és külső szögeire vonatkozó összefüggéseket, továbbá a nevezetes négyszögek szimmetriatulajdonságait. Tudását képes alkalmazni feladatok megoldásában. – Ismeri a terület szemléletes fogalmát, szabványos mértékegységeit, helyesen váltja át a mértékegységeket. Kiszámítja a háromszög, a nevezetes négyszögek és a kör kerületét, területét. A területszámításról tanultakat képes alkalmazni térgeometriai számításokban, illetve a mindennapi gyakorlattal kapcsolatos feladatok megoldásában. – Ismeri az egyenes hasáb, az egyenes körhenger és a gúla fogalmát, tulajdonságait. Képes felvázolni a tanult testek hálóját, kiszámítani a felszínüket. Felismeri a körkúpot és a gömböt. – Ismeri a térfogat szemléletes fogalmát, mértékegységeit, helyesen váltja át a mértékegységeket. A térfogatképletek ismeretében kiszámítja a tanult testek térfogatát, képes a tanultak gyakorlati alkalmazására. – Az egybevágó alakzatok felismerése. Tengelyes és középpontos tükörkép, eltolt alakzat képének megszerkesztése. A tanult egybevágósági transzformációk vizsgálata, tulajdonságaik felsorolása. A tengelyesen szimmetrikus és a középpontosan szimmetrikus alakzatok felismerése, e fogalmak alkalmazása geometriai vizsgálatokban. Kicsinyítés és nagyítás felismerése, a hasonlóság alkalmazása hétköznapi helyzetekben (szerkesztés nélkül). A középpontos hasonlóság felismerése, tulajdonságainak ismerete.

Összefüggések, függvények, sorozatok – A hozzárendelés (reláció) megadása diagrammal, táblázattal, grafikonnal, szabállyal. Alaphalmaz, képhalmaz fogalmának ismerete. – Egyértelmű hozzárendelés, függvény fogalmának, valamint az értelmezési tartomány, értékkészlet fogalmának ismerete, konkrét függvény értelmezési tartományának, értékkészletének meghatározása. – Mennyiségek közti kapcsolatok ábrázolása grafikonnal. Valós (szám-szám) függvény grafikonjának ábrázolása, elemzése, a függvény alaptulajdonságainak (adott helyen felvett függvényérték, adott függvényértékhez tartozó független változók, növekedés, csökkenés, legnagyobb érték, legkisebb érték) grafikonról való leolvasása. – Az egyenes arányosság, mint szám-szám függvény tulajdonságainak ismerete. Adott egyenes arányosság grafikonjának ábrázolása. A grafikon meredekségének vizsgálata. – A lineáris függvénnyel kapcsolatos fogalomrendszer ismerete, konkrét lineáris függvény grafikonjának megrajzolása. A lineáris kapcsolatokról tanultak alkalmazása természettudományos feladatokban is. – A fordított arányosság függvényének ismerete (tulajdonságok, grafikon). – Az abszolútérték függvény, a másodfokú függvény, a fordított arányosság függvényének ismerete (tulajdonságok, grafikon). Egylépéses függvénytranszformációk végrehajtása. Megadott sorozatok folytatása adott szabály szerint. Sorozatok néhány jellemzőjének vizsgálata. A számtani sorozat felismerése.

Valószínűség, statisztika – A véletlen jelenségek tudatos megfigyelése, az eredmények lejegyzése, relatív gyakoriságok kiszámítása. A tapasztalatok levonása, ezek alapján a valószínűségi szemlélet fejlődése. Konkrét feladatok kapcsán a tanuló érti az esély, a valószínűség fogalmát, felismeri a biztos és a lehetetlen eseményt. Események valószínűségének kiszámítása a klasszikus valószínűségi modell alkalmazásával egyszerűbb esetekben.

41

Matematika – Adathalmaz rendezése megadott szempontok szerint, táblázatok készítése. Adat gyakoriságának és relatív gyakoriságának kiszámítása. A középértékek (középső érték, átlag, leggyakoribb érték) és a terjedelem meghatározása. Diagramok (vonal-, oszlop-, szalag-, kördiagram) olvasása, készítése.

42

Matematika

9–10. évfolyam Ez a matematika kerettanterv alapján készült helyi tanterv mindazon tanulóknak szól, akik a 9. és 10. osztályban még nem választottak matematikából emelt szintű képzést. Azoknak is, akik majd később, fakultáción akarnak felkészülni matematikaigényes pályákra, és természetesen azoknak is, akiknek a középiskola után nem lesz rendszeres kapcsolatuk a matematikával, de egész életükben hatni fog, hogy itt milyen készségeik alakultak ki a problémamegoldásban, a rendszerező, elemző gondolkodásban. Ezeket a tanulókat ebben az időszakban lehet megnyerni a gazdasági fejlődés szempontjából meghatározó fontosságú természettudományos, műszaki, informatikai pályáknak. A megismerés módszerei között továbbra is fontosnak tartjuk a gyakorlati tapasztalatszerzést, de az ismeretszerzés fő módszere a tapasztalatokból szerzett információk rendszerezése, igazolása, ellenőrzése, és az ezek alapján elsajátított ismeretanyag alkalmazása. A középiskola e két évfolyamán sok, korábban már szereplő ismeret, összefüggés, fogalom újra előkerül, úgy, hogy a fogalmak definiálásán, az összefüggések igazolásán, az ismeretek rendszerezésén, kapcsolataik feltárásán és az alkalmazási lehetőségeik megismerésén van a hangsúly. Ezért a tanulóknak meg kell ismerkedniük a tudományos feldolgozás alapvető módszereivel. (Mindenki által elfogadott alapelvek/axiómák, már bizonyított állítások, új sejtések, állítások megfogalmazása és azok igazolása, a fentiek összegzése, a nyitva maradt kérdések felsorolása, a következmények elemzése.) A felsorolt célok az 5-8. évfolyamos matematikatanítás céljaihoz képest jelentős többletet jelentenek, ezért is fontos, hogy változatos módszertani megoldásokkal tegyük könnyebbé az átmenetet. A problémamegoldás megszerettetésének igen fontos eszközei lehetnek a matematikai alapú játékok. A gyerekek szívesen játszanak maradékos osztáson, oszthatósági szabályokon alapuló számjátékokat, és szimmetriákon alapuló geometriai, rajzos játékokat. Nyerni akarnak, ezért természetes módon elemezni kezdik a szabályokat, lehetőségeket. Olyan következtetésekre jutnak, olyan elemzéseket végeznek, amilyeneket hagyományos feladatokkal nem tudnánk elérni. A matematikatanításnak ebben a szakaszában sok érdekes matematikatörténeti vonatkozással hozzuk közelebb a tanulókhoz a tantárgyat. A témakör egyes elemeihez kapcsolódva mutatjuk be néhány matematikus életútját. A geometria egyes területeinek (szimmetriák, aranymetszés) a művészetekben való alkalmazásait megjelenítve világossá tesszük a tanulók előtt, hogy a matematika a kultúra elválaszthatatlan része. Az ezekre a témákra fordított idő bőven megtérül az ennek következtében növekvő érdeklődés, javuló motiváció miatt. (A tantervben dőlt betűkkel szerepelnek ezek a részek.) Változatos példákkal, feladatokkal mutatunk rá arra, hogy milyen előnyöket jelenthet a mindennapi életben, ha valaki jól tud problémákat megoldani. Gazdasági, sport témájú feladatokkal, számos geometriai és algebrai szélsőérték-feladattal lehet gyakorlati kérdésekre optimális megoldásokat keresni. Ez az életkor már alkalmassá teszi a tanulókat az önálló ismeretszerzésre. Ezért követelmény, hogy egyes adatoknak, fogalmaknak, ismereteknek könyvtárban, interneten nézzenek utána. Ez a kutatómunka hozzájárul a tanulók digitális kompetenciájának növeléséhez, ugyanúgy, mint a geometriai és egyéb matematikai programok használata is. A tanulók későbbi, matematika szempontjából nagyon különböző céljai, a fogalmi gondolkodásban megnyilvánuló különbségek igen fontossá teszik ebben a szakaszban a differenciálást. Az évfolyamok összetételének a bevezetőben vázolt sokszínűsége miatt nagyon indokolt csoportbontásban tanítani a matematikát. Az egyes tematikus egységekre alkalmazott óraszámokat évfolyamonként a táblázatok tartalmazzák.

43

Matematika

9. évfolyam Tematikai egység címe 1. Gondolkodási és megismerési módszerek 2. Számtan, algebra 3. Összefüggések, függvények, sorozatok 4. Geometria 5. Valószínűség, statisztika Összefoglalásra, gyakorlásra, ismétlésre szánt Órakeret

órakeret 10 óra 43 óra 15 óra 40 óra 10 óra

14 óra (a kerettantervben ún. szabad órakeret, az éves óraszám 10%-a) Ellenőrzés, számonkérés 12 óra Az összes óraszám 144 óra Tematikai egység/ Órakeret 1. Gondolkodási és megismerési módszerek Fejlesztési cél 10 óra Példák halmazokra, geometriai alapfogalmak, alapszerkesztések. Halmazba rendezés Előzetes tudás több szempont alapján. Gyakorlat szövegek értelmezésében. A matematikai szakkifejezések adott szinthez illeszkedő ismerete. A valós számok halmazának ismerete. Kommunikáció, együttműködés. A matematika A tematikai egység épülése elveinek bemutatása. Igaz és hamis állítások megkülönböztetése. Halmazok nevelési-fejlesztési eszközjellegű használata. Gondolkodás; ismeretek rendszerezési képességének céljai fejlesztése. Önfejlesztés, önellenőrzés segítése, absztrakciós képesség, kombinációs készség fejlesztése. Ismeretek Fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok Véges és végtelen halmazok. Végtelen Annak megértése, hogy csak a véges számosság szemléletes fogalma. halmazok elemszáma adható meg Matematikatörténet: Cantor. természetes számmal. Részhalmaz. Halmazműveletek: unió, Megosztott figyelem; két, illetve több Magyar nyelv és irodalom: metszet, különbség. Halmazok közötti szempont egyidejű követése. mondatok, szavak, hangok viszonyok megjelenítése. Szöveges megfogalmazások matematikai rendszerezése. modellre fordítása. Biológia-egészségtan: Elnevezések megtanulása, definíciókra halmazműveletek való emlékezés. alkalmazása a rendszertanban. Kémia: anyagok csoportosítása. Alaphalmaz és komplementer halmaz. Annak tudatosítása, hogy alaphalmaz Biológia-egészségtan: élőlények nélkül nincs komplementer halmaz. osztályozása; besorolás Halmaz közös elem nélküli halmazokra közös rész nélküli bontása jelentőségének belátása. halmazokba. A megismert számhalmazok: természetes A megismert számhalmazok áttekintése. Informatika: számábrázolás számok, egész számok, racionális Természetes számok, egész számok, (problémamegoldás számok. racionális számok elhelyezése táblázatkezelővel). A számírás története. halmazábrában, számegyenesen. Valós számok halmaza. Az intervallum Annak tudatosítása, hogy az intervallum fogalma, fajtái. Irracionális szám létezése. végtelen halmaz. Távolsággal megadott ponthalmazok, Ponthalmazok megadása ábrával. Vizuális kultúra: a tér adott tulajdonságú ponthalmazok (kör, Megosztott figyelem; két, illetve több ábrázolása. gömb, felező merőleges, szögfelező, szempont egyidejű követése (például két Informatika: tantárgyi középpárhuzamos). feltétellel megadott ponthalmaz). szimulációs programok használata. Logikai műveletek: „nem”, „és”, „vagy”, Matematikai és más jellegű érvelésekben „ha…, akkor”. a logikai műveletek felfedezése, (Folyamatosan a 9–12. évfolyamon.) megértése, önálló alkalmazása. A köznyelvi kötőszavak és a matematikai logikában használt kifejezések 44

Matematika jelentéstartalmának összevetése. A hétköznapi, nem tudományos szövegekben található matematikai információk felfedezése, rendezése a megadott célnak megfelelően. Matematikai tartalmú (nem tudományos jellegű) szöveg értelmezése. Szöveges feladatok. Szöveges feladatok értelmezése, Magyar nyelv és irodalom: (Folyamatos feladat a 9–12. évfolyamon: megoldási terv készítése, a feladat szövegértés; információk a szöveg alapján a megfelelő matematikai megoldása és szöveg alapján történő azonosítása és modell megalkotása.) ellenőrzése. összekapcsolása, a szöveg Modellek alkotása a matematikán belül; egységei közötti tartalmi matematikán kívüli problémák megfelelés felismerése; a modellezése. Gondolatmenet lejegyzése szöveg tartalmi elemei (megoldási terv). közötti kijelentés-érv, okMegosztott figyelem; két, illetve több okozati viszony felismerése szempont egyidejű követése (a szövegben és magyarázata. előforduló információk). Figyelem Technika, életvitel és gyakorlat: összpontosítása. egészséges életmódra és a Problémamegoldó gondolkodás és családi életre nevelés. szövegfeldolgozás: az indukció és dedukció, a rendszerezés, a következtetés. A „minden” és a „van olyan” helyes A „minden” és a „van olyan” helyes használata. használata. Nyitott mondatok igazsághalmaza, Halmazok eszközjellegű használata. szemléltetés módjai. A matematikai bizonyítás. Kísérletezés, Kísérletezés, módszeres próbálkozás, Magyar nyelv és irodalom: módszeres próbálkozás, sejtés, cáfolás sejtés, cáfolás megkülönböztetése. mások érvelésének (folyamatos feladat a 9–12. Érvelés, vita. Érvek és ellenérvek. összefoglalása és évfolyamokon). Ellenpélda szerepe. figyelembevétele. Matematikatörténet: Euklidesz szerepe a Mások gondolataival való vitába szállás és tudományosság kialakításában. Nevezetes a kulturált vitatkozás. sejtések (pl. ikerprím sejtés); hosszan Megosztott figyelem; két, illetve több „élt”, de megoldott sejtések (pl. szempont (pl. a saját és a vitapartner Fermat-sejtés, négyszínsejtés). szempontjának) egyidejű követése. Állítás és megfordítása. Az „akkor és csak akkor” használata. „Akkor és csak akkor” típusú állítások. Feltétel és következmény felismerése a „Ha …, akkor …” típusú állítások esetében. Korábbi, illetve újabb (saját) állítások, tételek jelentésének elemzése. Bizonyítás. Gondolatmenet tagolása. Rendszerezés Etika: a következtetés, (érvek logikus sorrendje). érvelés, bizonyítás és cáfolat Következtetés megítélése helyessége szabályainak alkalmazása. szerint. A bizonyítás gondolatmenetére, bizonyítási módszerekre való emlékezés. Kidolgozott bizonyítás gondolatmenetének követése, megértése. Példák a hétköznapokból helyes és helytelenül megfogalmazott következtetésekre. Egyszerű kombinatorikai feladatok: Rendszerezés: az esetek Informatika: leszámlálás, sorbarendezés, gyakorlati összeszámlálásánál minden esetet meg problémamegoldás problémák. kell találni, de minden esetet csak egyszer táblázatkezelővel. Kombinatorika a mindennapokban. lehet számításba venni. Megosztott Technika, életvitel és gyakorlat: Logikai szita. figyelem; két, illetve több szempont hétköznapi problémák egyidejű követése. Esetfelsorolások, megoldása a kombinatorika 45

Matematika diszkusszió (pl. van-e ismétlődés). Sikertelen megoldási kísérlet után újjal való próbálkozás; a sikertelenség okának feltárása (pl. minden feltételre figyelt-e).

eszközeivel. Magyar nyelv és irodalom: periodicitás, ismétlődés és kombinatorika mint szervezőelv poetizált szövegekben. A gráffal kapcsolatos alapfogalmak Gráfok alkalmazása Kémia: molekulák (csúcs, él, fokszám). problémamegoldásban. térszerkezete. Egyszerű hálózat szemléltetése. Számítógépek egy munkahelyen, Informatika: elektromos hálózat a lakásban, település problémamegoldás úthálózata stb. szemléltetése gráffal. informatikai eszközökkel és Gondolatmenet megjelenítése gráffal. módszerekkel, hálózatok. Történelem, társadalmi és állampolgári ismeretek: pl. családfa. Technika, életvitel és gyakorlat: közlekedés. Unió, metszet, különbség, komplementer halmaz. Gráf csúcsa, éle, csúcs fokszáma. Kulcsfogalmak/ Logikai művelet (NEM, ÉS, VAGY. „Ha …., akkor …”). Feltétel és következmény. Sejtés, fogalmak bizonyítás, megcáfolás. Ellentmondás. Tematikai egység/ Órakeret 2. Számtan, algebra Fejlesztési cél 43 óra Számolás racionális számkörben. Prímszám, összetett szám, oszthatósági szabályok. Hatványjelölés. Egyszerű algebrai kifejezések ismerete, zárójel használata. Egyenlet, Előzetes tudás egyenlet megoldása. Egyenlőtlenség. Egyszerű szöveg alapján elsőfokú egyismeretlenes egyenlet felírása (modell alkotása), megoldása, ellenőrzése. Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban, tapasztalatszerzés. Problémakezelés és – megoldás. Algebrai kifejezések biztonságos ismerete, kezelése. Szabályok betartása, tanultak alkalmazása. Elsőfokú egyenletek, egyenletrendszerek megoldási módszerei, a megoldási módszer önálló kiválasztási képességének kialakítása. A tematikai egység Gyakorlati problémák matematikai modelljének felállítása, a modell hatókörének nevelési-fejlesztési vizsgálata, a kapott eredmény összevetése a valósággal; ellenőrzés fontossága. A céljai problémához illő számítási mód kiválasztása, eredmény kerekítése a tartalomnak megfelelően. Alkotás öntevékenyen, saját tervek szerint; alkotás adott feltételeknek megfelelően; átstrukturálás. Számológép használata. Ismeretek Fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok Számelmélet elemei. A tanult oszthatósági szabályok A tanult oszthatósági szabályok. rendszerezése. Prímtényezős felbontás, Prímtényezős felbontás, legnagyobb közös osztó, legkisebb közös legnagyobb közös osztó, legkisebb többszörös meghatározása a felbontás közös többszörös. Relatív prímek. segítségével. Matematikatörténeti és számelméleti Egyszerű oszthatósági feladatok, szöveges érdekességek: feladatok megoldása. (pl. végtelen sok prímszám létezik, Gondolatmenet követése, egyszerű tökéletes számok, barátságos gondolatmenet megfordítása. számok, Érvelés. Eukleidész. Mersenne, Euler, Fermat) Hatványozás 0 és negatív egész Fogalmi általánosítás: a korábbi definíció kitevőre. Permanencia-elv. kiterjesztése. A hatványozás azonosságai. Korábbi ismeretekre való emlékezés. Számok abszolút értéke. Egyenértékű definíció (távolsággal adott Fizika: hőmérséklet, elektromos definícióval). töltés, áram, feszültség előjeles értelmezése. Különböző számrendszerek. A A különböző számrendszerek Informatika: kommunikáció helyiértékes írásmód lényege. egyenértékűségének belátása. ember és gép között, adattárolás 46

Matematika Kettes számrendszer. Matematikatörténet: Neumann János. Számok normálalakja. Az egyes fogalmak (távolság, idő, terület, tömeg, népesség, pénz, adat stb.) mennyiségi jellemzőinek kifejezése számokkal, mennyiségi következtetések. Számolás normálalakkal írásban és számológép segítségével. A természettudományokban és a társadalomban előforduló nagy és kis mennyiségekkel történő számolás Nevezetes azonosságok: Régebbi ismeretek mozgósítása, kommutativitás, asszociativitás, összeillesztése, felhasználása. disztributivitás. Számolási szabályok, zárójelek használata. (a ± b)2, (a ± b)3 polinom alakja, Ismeretek tudatos memorizálása (azonosságok). szorzat alakja. Azonosság Geometria és algebra összekapcsolása az fogalma. azonosságok igazolásánál. Egyszerű feladatok polinomok, Ismeretek felidézése, mozgósítása (pl. illetve algebrai törtek közötti szorzattá alakítás, tört egyszerűsítése, műveletekre. Tanult azonosságok bővítése, műveletek törtekkel). alkalmazása. Algebrai tört értelmezési tartománya. Algebrai kifejezések egyszerűbb alakra hozása. Elsőfokú egyenletek és Régebbi ismeretek mozgósítása, egyenlőtlenségek megoldása összeillesztése, felhasználása, kiegészítése. különböző módszerekkel Módszerek tudatos kiválasztása és (lebontogatás, mérlegelv, szorzattá alkalmazása. alakítás, értelmezési tartomány és értékkészlet vizsgálata, grafikus módszer). Egyszerű egyenletek paraméterrel. Elsőfokú kétismeretlenes Megosztott figyelem; két, illetve több egyenletrendszer megoldása. szempont egyidejű követése. Különböző módszerek alkalmazása ugyanarra a problémára (behelyettesítő módszer, egyenlő illetve ellentett együtthatók módszere, grafikus módszer). Elsőfokú egyenletre, Szöveges számítási feladatok megoldása a egyenletrendszerre vezető szöveges természettudományokból, a számítási feladatok a mindennapokból (pl. százalékszámítás: természettudományokból, a megtakarítás, kölcsön, áremelés, mindennapokból. árleszállítás, bruttó ár és nettó ár, ÁFA, jövedelemadó, járulékok, élelmiszerek százalékos összetétele). A növekedés és csökkenés kifejezése százalékkal („mihez viszonyítunk?”). Gondolatmenet lejegyzése (megoldási terv). Számológép használata. Az értelmes kerekítés megtalálása. A mindennapokhoz kapcsolódó problémák matematikai modelljének elkészítése (egyenlet, illetve 47

egységei. Fizika; kémia; biológia-egészségtan: tér, idő, nagyságrendek – méretek és nagyságrendek becslése és számítása az atomok méreteitől az ismert világ méretéig; szennyezés, környezetvédelem.

Fizika: számítási feladatok megoldása (pl. munkatétel). Fizika; kémia; biológia-egészségtan: számítási feladatok.

Fizika: kinematika, dinamika.

Fizika; kémia; biológia-egészségtan: számítási feladatok. Informatika: problémamegoldás táblázatkezelővel. Földrajz: a pénzvilág működése. Technika, életvitel és gyakorlat: tudatos élelmiszer-választás, becslések, mérések, számítások. Társadalmi, állampolgári és gazdasági ismeretek: a család pénzügyei és gazdálkodása, vállalkozások. Fizika: kinematika, dinamika. Kémia: százalékos keverési feladatok.

Matematika

Egyes változók kifejezése fizikai, kémiai képletekből. Egy abszolútértéket tartalmazó egyenletek. . A négyzetgyök definíciója.

egyenletrendszer felírása); a megoldás ellenőrzése, a gyakorlati feladat megoldásának összevetése a valósággal (lehetséges-e?). A képlet értelmének, jelentőségének belátása. Helyettesítési érték kiszámítása képlet alapján. Definíciókra való emlékezés. Számológép használata.

Fizika; kémia: képletek értelmezése..

Fizika: fonálinga lengésideje, rezgésidő számítása. Kulcsfogalmak/ Hatvány. Normálalak. Egyenlet. Alaphalmaz, értelmezési tartomány. Azonosság. fogalmak Ekvivalens egyenlet. Elsőfokú egyenlet. Elsőfokú egyenletrendszer. Egyenlőtlenség. Tematikai egység/ Órakeret 3. Összefüggések, függvények, sorozatok Fejlesztési cél 15 óra Halmazok. Hozzárendelés fogalma. Grafikonok készítése, olvasása. Pontok ábrázolása Előzetes tudás koordináta-rendszerben. A tematikai egység Összefüggések, folyamatok megjelenítése matematikai formában (függvény-modell), nevelési-fejlesztési vizsgálat a grafikon alapján. A vizsgálat szempontjainak kialakítása. céljai Függvénytranszformációk algebrai és geometriai megjelenítése. Ismeretek Fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok A függvény megadása, elemi Ismeretek tudatos memorizálása Fizika; kémia; biológia-egészségtan: tulajdonságai. (függvénytani alapfogalmak). időben lejátszódó folyamatok Alapfogalmak megértése, konkrét leírása, elemzése. függvények elemzése a grafikonjuk alapján. Informatika: tantárgyi Időben lejátszódó valós folyamatok szimulációs programok elemzése grafikon alapján. Számítógép használata, adatkezelés használata a függvények vizsgálatára. táblázatkezelővel. A lineáris függvény, lineáris Táblázatok készítése adott szabálynak, Fizika: időben lineáris kapcsolatok. A lineáris függvények összefüggésnek megfelelően. folyamatok vizsgálata, a tulajdonságai. Az egyenes Időben lejátszódó történések megfigyelése, változás sebessége. arányosságot leíró függvény. A a változás megfogalmazása. Modellek Kémia: egyenes arányosság. lineáris függvény grafikonjának alkotása: lineáris kapcsolatok felfedezése a Informatika: táblázatkezelés. meredeksége, ennek jelentése lineáris hétköznapokban (pl. egységár, a változás kapcsolatokban. sebessége). Lineáris függvény ábrázolása paraméterei alapján. Számítógép használata a lineáris folyamat megjelenítésében. Ismeretek felidézése Az abszolútérték-függvény. Az (függvénytulajdonságok). függvény grafikonja, tulajdonságai ( ). Fizika: matematikai inga A négyzetgyökfüggvény. Az ( Ismeretek felidézése (függvénytulajdonságok). lengésideje. ) függvény grafikonja, tulajdonságai. Fizika: ideális gáz, izoterma. A fordított arányosság függvénye. Ismeretek felidézése (függvénytulajdonságok). Informatika: tantárgyi szimulációs programok ( ) grafikonja, használata. tulajdonságai. Függvények alkalmazása. Valós folyamatok függvénymodelljének Fizika: kinematika. megalkotása. A folyamat elemzése a Informatika: tantárgyi függvény vizsgálatával, az eredmény szimulációs programok összevetése a valósággal. A modell használata. érvényességének vizsgálata. Számítógép alkalmazása (pl. 48

Matematika függvényrajzoló program). Megosztott figyelem; két, illetve több szempont egyidejű követése. Egyenlet, egyenletrendszer grafikus Egy adott probléma megoldása két Fizika; kémia; biológia-egészségtan; megoldása. különböző módszerrel. földrajz: számítási feladatok. Az algebrai és a grafikus módszer összevetése. Megosztott figyelem; két, illetve több szempont egyidejű követése. Számítógépes program használata. Az (a ≠ 0) másodfokú Ismeretek felidézése (algebrai ismeretek és Fizika: egyenletesen gyorsuló függvénytulajdonságok ismerete). mozgás kinematikája. függvény ábrázolása és Számítógép használata. Informatika: tantárgyi tulajdonságai. szimulációs programok Függvénytranszformációk használata. áttekintése az alak segítségével. Függvény. Valós függvény. Értelmezési tartomány, értékkészlet, zérushely, növekedés, Kulcsfogalmak/ fogyás, szélsőértékhely, szélsőérték. Alapfüggvény. Függvénytranszformáció. Lineáris fogalmak kapcsolat. Meredekség. Grafikus megoldás. Tematikai egység/ Órakeret 4. Geometria Fejlesztési cél 40 óra Térelemek, illeszkedés. Sokszögek, háromszögek alaptulajdonságai, négyszögek csoportosítása; speciális háromszögek és négyszögek elnevezése, felismerése, alaptulajdonságaik. Alapszerkesztések, háromszög szerkesztése alapadatokból. Előzetes tudás Háromszög köré írt kör és beírt kör szerkesztése. Háromszögek egybevágósága. Kör és gömb, hasábok, hengerek és gúlák felismerése, alaptulajdonságaik. A Pitagorasz-tétel ismerete. Tájékozódás a térben. Számítások síkban és térben. Az egybevágósági transzformációk alkalmazása problémamegoldásban. A szimmetria szerepének felismerése a matematikában, a valóságban. A szükséges és az elégséges feltétel felismerése. A tematikai egység Tájékozódás valóságos viszonyokról térkép és egyéb vázlatok alapján. Összetett számítási nevelési-fejlesztési probléma lebontása, számítási terv készítése (megfelelő részlet kiválasztása, a céljai részletszámítások logikus sorrendbe illesztése). Valós probléma geometriai modelljének megalkotása, számítások a modell alapján, az eredmények összevetése a valósággal. Korábbi ismeretek mozgósítása. Számológép, számítógép használata. Ismeretek Fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok Geometriai alapfogalmak. Idealizáló absztrakció: pont, egyenes, Térelemek, távolságok és szögek sík, síkidomok, testek. Vázlat értelmezése. (Folyamatosan a készítése. 9-10. évfolyamon.) A háromszög nevezetes vonalai, A definíciók és tételek pontos Informatika: tantárgyi szimulációs körei. Oldalfelező merőlegesek, ismerete, alkalmazása. programok használata (geometriai belső szögfelezők, szerkesztőprogram). magasságvonalak, súlyvonalak, középvonalak tulajdonságai. Körülírt kör, beírt kör. Matematikatörténet: Euler-egyenes, Feuerbach-kör bemutatása (interaktív szerkesztőprogrammal, bizonyítás nélkül). Konvex sokszögek általános Fogalmak alkotása specializálással: tulajdonságai. Átlók száma, belső konvex sokszög, szabályos sokszög. szögek összege. Szabályos sokszög belső szöge. Kör és részei, kör és egyenes. Ív, Fogalmak pontos ismerete. Fizika: körmozgás, a körpályán mozgó 49

Matematika húr, körcikk, körszelet. Szelő, érintő. A körív hossza. Egyenes arányosság a középponti szög és a hozzá tartozó körív hossza között (szemlélet alapján). A körcikk területe. Egyenes arányosság a középponti szög és a hozzá tartozó körcikk területe között (szemlélet alapján). A szög mérése. A szög ívmértéke.

test sebessége. Vizuális kultúra: építészeti stílusok. Együttváltozó mennyiségek Fizika: körmozgás sebessége, összetartozó adatpárjainak vizsgálata. szögsebessége. Földrajz: távolság a Föld két pontja között. Együttváltozó mennyiségek összetartozó adatpárjainak vizsgálata. Mérés, mérési elvek megismerése. Mértékegység-választás, mérőszám.

Fizika: szögsebesség, körmozgás, rezgőmozgás. Földrajz: tájékozódás a földgömbön; hosszúsági és szélességi körök, helymeghatározás.

Thalész tétele, és alkalmazásai. Ismeretek tudatos memorizálása. A matematika mint kulturális Állítás és megfordításának gyakorlása. örökség. Pitagorasz-tétel alkalmazásai. Ismeretek mozgósítása, rendszerezése Fizika: vektor felbontása merőleges (Koordináta-geometria problémamegoldás érdekében. Állítás összetevőkre. előkészítése.) és megfordításának gyakorlása. A tengelyes és a középpontos A megmaradó és a változó Fizika: elmozdulásvektor, forgások. tükrözés, az eltolás, a pont körüli tulajdonságok tudatosítása. Földrajz: bolygók tengely körüli forgása, elforgatás. A transzformációk keringés a Nap körül. tulajdonságai. A geometriai vektorfogalom. Egybevágóság, szimmetria. Szimmetria felismerése a Informatika: tantárgyi szimulációs matematikában, a művészetekben, a programok használata. környezetünkben található Vizuális kultúra: kifejezés, tárgyakban, részvétel szimmetrián képzőművészet; művészettörténeti alapuló játékokban. stíluskorszakok. Biológia-egészségtan: az emberi test síkjai, szimmetriája. Szimmetrikus négyszögek. Fogalmak alkotása specializálással. Vizuális kultúra: kifejezés, Négyszögek csoportosítása képzőművészet; művészettörténeti szimmetriáik szerint. stíluskorszakok. Szabályos sokszögek. Egyszerű szerkesztési feladatok. Szerkesztési eljárások gyakorlása. Informatika: tantárgyi szimulációs Szerkesztési terv készítése, ellenőrzés. programok használata (geometriai Megosztott figyelem; két, illetve több szerkesztőprogram). szempont egyidejű követése. Pontos, esztétikus munkára nevelés. Vektorok összege, két vektor Műveleti analógiák (összeadás, Fizika: erők összege, két erő különbsége, különbsége. kivonás). vektormennyiség változása (pl. sebességváltozás). Vektor szorzása valós számmal. Új műveletfogalom kialakítása és Fizika: Newton II. törvénye. gyakorlása. Tér, sík, egyenes, pont. Sokszög. Háromszög, négyszög, speciális háromszög, speciális Kulcsfogalmak/ négyszög. Belső szög, külső szög, átló. Kerület, terület. Egybevágó. Szimmetria. Vektor, fogalmak vektorművelet. Tematikai egység/ Órakeret 5. Valószínűség, statisztika Fejlesztési cél 10 óra Valószínűségi kísérletek elvégzése, elemzése. Táblázatok, diagramok olvasása. Előzetes tudás Százalékszámítás. A tematikai egység Diagram, vonaldiagram, oszlopdiagram, kördiagram készítése, olvasása. Táblázat nevelési-fejlesztési értelmezése, készítése. Számítógép használata az adatok rendezésében, értékelésében, céljai ábrázolásában. 50

Matematika Ismeretek Statisztikai adatok és ábrázolásuk (gyakoriság, relatív gyakoriság, eloszlás, kördiagram, oszlopdiagram, vonaldiagram).

Fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok Adatok jegyzése, rendezése, ábrázolása. Informatika: adatkezelés, Együttváltozó mennyiségek összetartozó adatfeldolgozás, adatpárjainak jegyzése. információmegjelenítés. Diagramok, táblázatok olvasása, Történelem, társadalmi és készítése. állampolgári ismeretek: Grafikai szervezők összevetése más történelmi, társadalmi témák formátumú dokumentumokkal, vizuális ábrázolása (táblázat, következtetések levonása írott, ábrázolt diagram). és számszerű információ Földrajz: időjárási, éghajlati és összekapcsolásával. gazdasági statisztikák. Számítógép használata. Adatsokaságok jellemzői: átlag, medián, A statisztikai mutatók nyújtotta Informatika: statisztikai módusz, terjedelem. információk helyes értelmezése. adatelemzés. Nagy adathalmaz vizsgálata kevés statisztikai jellemzővel: előnyök és hátrányok. Kulcsfogalmak/ Adat. Diagram, táblázat. Módusz, medián, átlag, terjedelem. Gyakoriság, relatív fogalmak gyakoriság.

51

Matematika A fejlesztés várt eredményei a 9. évfolyam végén

Gondolkodási és megismerési módszerek – Halmazokkal kapcsolatos alapfogalmak ismerete, halmazok szemléltetése, halmazműveletek ismerete; számhalmazok ismerete. – Értsék és jól használják a matematika logikában megtanult szakkifejezéseket a hétköznapi életben. – Definíció, tétel felismerése, az állítás és a megfordításának felismerése; bizonyítás gondolatmenetének követése. – Egyszerű leszámlálási feladatok megoldása, a megoldás gondolatmenetének rögzítése szóban, írásban. Számtan, algebra 1. Egyszerű algebrai kifejezések használata, műveletek algebrai kifejezésekkel; a tanultak alkalmazása a matematikai problémák megoldásában (pl. modellalkotás szöveg alapján, egyenletek megoldása, képletek értelmezése); egész kitevőjű hatványok, azonosságok. 2. Elsőfokú egyismeretlenes egyenlet megoldása; ilyen egyenletre vezető szöveges és gyakorlati feladatokhoz egyenletek felírása és azok megoldása, a megoldás önálló ellenőrzése. 3. Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszer megoldása; ilyen egyenletrendszerre vezető szöveges és gyakorlati feladatokhoz az egyenletrendszer megadása, megoldása, a megoldás önálló ellenőrzése. 4. A tanulók képesek a matematikai szöveg értő olvasására, tankönyvek, keresőprogramok célirányos használatára, szövegekből a lényeg kiemelésére. Összefüggések, függvények, sorozatok 1. A függvény megadása, a szereplő halmazok ismerete (értelmezési tartomány, értékkészlet); valós függvény alaptulajdonságainak ismerete. 2. A tanult alapfüggvények ismerete (tulajdonságok, grafikon). 3. Egyszerű függvénytranszformációk végrehajtása. 4. Valós folyamatok elemzése a folyamathoz tartozó függvény grafikonja alapján. 5. Függvénymodell készítése lineáris kapcsolatokhoz; a meredekség. 6. A tanulók tudják az elemi függvényeket ábrázolni koordináta- rendszerben, és a legfontosabb függvénytulajdonságokat meghatározni, nemcsak a matematika, hanem a természettudományos tárgyak megértése miatt, és különböző gyakorlati helyzetek leírásának érdekében is. Geometria 1. Térelemek ismerete; távolság és szög fogalma, mérése. 2. Nevezetes ponthalmazok ismerete, szerkesztésük. 3. A tanult egybevágósági transzformációk és ezek tulajdonságainak ismerete. 4. Egybevágó alakzatok; két egybevágó alakzat több szempont szerinti összehasonlítása (pl. távolságok, szögek, kerület, terület). 5. Szimmetria ismerete, használata. 6. Háromszögek tulajdonságainak ismerete (alaptulajdonságok, nevezetes vonalak, pontok, körök). 7. Derékszögű háromszögre visszavezethető (gyakorlati) számítások elvégzése Pitagorasz-tétellel. 8. Szimmetrikus négyszögek tulajdonságainak ismerete. 1. Vektor fogalmának ismerete; három új művelet ismerete: vektorok összeadása, kivonása, vektor szorzása valós számmal. 2. Kerület, terület, felszín és térfogat szemléletes fogalmának kialakulása, a jellemzők kiszámítása (képlet alapján); mértékegységek ismerete; valós síkbeli, illetve térbeli probléma geometriai modelljének megalkotása. 3. A geometriai ismeretek bővülésével, a megismert geometriai transzformációk rendszerezettebb tárgyalása után fejlődik a tanulók dinamikus geometriai szemlélete, diszkussziós képessége. 4. A háromszögekről tanult ismeretek bővülésével a tanulók képesek számítási feladatokat elvégezni, és ezeket gyakorlati problémák megoldásánál alkalmazni. 5. A szerkesztési feladatok során törekednek az igényes, pontos munkavégzésre. Valószínűség, statisztika 52

Matematika – Adathalmaz rendezése megadott szempontok szerint, adat gyakoriságának és relatív gyakoriságának kiszámítása. – Táblázat olvasása és készítése; diagramok olvasása és készítése. – Adathalmaz móduszának, mediánjának, átlagának értelmezése, meghatározása. – A statisztikai feladatok megoldása során a diákok rendszerező képessége fejlődik. A tanulók képesek adatsokaságot jellemezni, ábrákról adatsokaság jellemzőit leolvasni.

53

Matematika

10. évfolyam Ez a változat 11. évfolyamról átcsoportosítja 10. osztályba az alábbi 5 óra tartalmat: Szögfüggvények kiterjesztése, trigonometrikus alapfüggvények (sin, cos, tg, ctg) tulajdonságai. A trigonometrikus függvények alkalmazása egyszerű egyenletek megoldásában. A szögfüggvényfogalom 10. évfolyamon történő kiterjesztésének két alapvető indoka van: 1. Érdemes a kiterjesztést időben viszonylag közel tanítani a hegyesszögekre vonatkozó definíciókhoz, összefüggésekhez, alkalmazásokhoz, ugyanis ekkor még „eleven”, alkalmazásképes szinten emlékeznek a tanulók a hegyesszögekre vonatkozó ismeretekre. 2. Más tantárgyak (elsősorban a fizika) tananyaga alkalmazás szintjén igényelheti a kiterjesztett fogalmakat. A 3.2.08.1Fizika tanterv minden olyan tartalmat (Rezgések, hullámok, váltakozó áram), amely igényli a szögfüggvények ismeretét, 9–10. osztályban tárgyal, ezért ha az iskola ezt a tantervet választja, akkor mindenképpen indokolt a szögfüggvények bevezetése 10. osztályban. Tematikai egység címe órakeret 1. Gondolkodási és megismerési módszerek 20 óra 2. Számtan, algebra 50 óra 3. Összefüggések, függvények, sorozatok 20 óra 4. Geometria 40 óra 5. Valószínűség, statisztika 20 óra Összefoglalásra, gyakorlásra, ismétlésre szánt Órakeret 18 óra (10%) Ellenőrzés, számonkérés 12 óra Az össz óraszám 180 óra Tematikai egység/ Órakeret 1. Gondolkodási és megismerési módszerek Fejlesztési cél 20 óra Gyakorlat szövegek értelmezésében. A matematikai szakkifejezések adott szinthez Előzetes tudás illeszkedő ismerete. Kommunikáció, együttműködés. A matematika épülése elveinek bemutatása. Igaz és A tematikai egység hamis állítások megkülönböztetése. Gondolkodás; ismeretek rendszerezési nevelési-fejlesztési képességének fejlesztése. Önfejlesztés, önellenőrzés segítése, absztrakciós képesség, céljai kombinációs készség fejlesztése. Ismeretek Fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok A matematikai bizonyítás. Kísérletezés, Kísérletezés, módszeres próbálkozás, Magyar nyelv és irodalom: módszeres próbálkozás, sejtés, cáfolás sejtés, cáfolás megkülönböztetése. mások érvelésének (folyamatos feladat a 9–12. Érvelés, vita. Érvek és ellenérvek. összefoglalása és évfolyamokon). Ellenpélda szerepe. figyelembevétele. Matematikatörténet: Euklidesz szerepe a Mások gondolataival való vitába szállás és tudományosság kialakításában. Nevezetes a kulturált vitatkozás. sejtések (pl. ikerprím sejtés); hosszan Megosztott figyelem; két, illetve több „élt”, de megoldott sejtések (pl. szempont (pl. a saját és a vitapartner Fermat-sejtés, négyszínsejtés). szempontjának) egyidejű követése. Állítás, tétel és megfordítása. Szükséges Az „akkor és csak akkor” használata. feltétel, elegendő feltétel. „Akkor és csak Feltétel és következmény felismerése a akkor” típusú állítások. „Ha …, akkor …” típusú állítások esetében. Korábbi, illetve újabb (saját) állítások, tételek jelentésének elemzése. Bizonyítás. Bizonyítási módszerek, Gondolatmenet tagolása. Rendszerezés Etika: a következtetés, jellegzetes gondolatmenetek (indirekt (érvek logikus sorrendje). érvelés, bizonyítás és cáfolat módszer, skatulya-elv) konkrét példákon Következtetés megítélése helyessége szabályainak alkalmazása. keresztül. szerint. A bizonyítás gondolatmenetére, bizonyítási módszerekre való emlékezés. Kidolgozott bizonyítás gondolatmenetének követése, megértése. Példák a hétköznapokból helyes és 54

Matematika helytelenül megfogalmazott következtetésekre. Logikai műveletek: „nem”, „és”, „vagy”, Matematikai és más jellegű érvelésekben „ha…, akkor”. a logikai műveletek felfedezése, (Folyamatosan a 9–12. évfolyamon.) megértése, önálló alkalmazása. A köznyelvi kötőszavak és a matematikai logikában használt kifejezések jelentéstartalmának összevetése. A hétköznapi, nem tudományos szövegekben található matematikai információk felfedezése, rendezése a megadott célnak megfelelően. Matematikai tartalmú (nem tudományos jellegű) szöveg értelmezése. Szöveges feladatok. Szöveges feladatok értelmezése, Magyar nyelv és irodalom: (Folyamatos feladat a 9–12. évfolyamon: megoldási terv készítése, a feladat szövegértés; információk a szöveg alapján a megfelelő matematikai megoldása és szöveg alapján történő azonosítása és modell megalkotása.) ellenőrzése. összekapcsolása, a szöveg Modellek alkotása a matematikán belül; egységei közötti tartalmi matematikán kívüli problémák megfelelés felismerése; a modellezése. Gondolatmenet lejegyzése szöveg tartalmi elemei (megoldási terv). közötti kijelentés-érv, okMegosztott figyelem; két, illetve több okozati viszony felismerése szempont egyidejű követése (a szövegben és magyarázata. előforduló információk). Figyelem Technika, életvitel és gyakorlat: összpontosítása. egészséges életmódra és a Problémamegoldó gondolkodás és családi életre nevelés. szövegfeldolgozás: az indukció és dedukció, a rendszerezés, a következtetés. Egyszerű kombinatorikai feladatok: Rendszerezés: az esetek Informatika: leszámlálás, sorbarendezés, gyakorlati összeszámlálásánál minden esetet meg problémamegoldás problémák. kell találni, de minden esetet csak egyszer táblázatkezelővel. Kombinatorika a mindennapokban. lehet számításba venni. Megosztott Technika, életvitel és gyakorlat: figyelem; két, illetve több szempont hétköznapi problémák egyidejű követése. Esetfelsorolások, megoldása a kombinatorika diszkusszió (pl. van-e ismétlődés). eszközeivel. Sikertelen megoldási kísérlet után újjal Magyar nyelv és irodalom: való próbálkozás; a sikertelenség okának periodicitás, ismétlődés és feltárása (pl. minden feltételre figyelt-e). kombinatorika mint szervezőelv poetizált szövegekben. A gráffal kapcsolatos alapfogalmak Gráfok alkalmazása Kémia: molekulák (csúcs, él, fokszám). problémamegoldásban. térszerkezete. Egyszerű hálózat szemléltetése. Számítógépek egy munkahelyen, Informatika: elektromos hálózat a lakásban, település problémamegoldás úthálózata stb. szemléltetése gráffal. informatikai eszközökkel és Gondolatmenet megjelenítése gráffal. módszerekkel, hálózatok. Történelem, társadalmi és állampolgári ismeretek: pl. családfa. Technika, életvitel és gyakorlat: közlekedés. Kulcsfogalmak/ Gráf csúcsa, éle, csúcs fokszáma. Feltétel és következmény. Szükséges feltétel, elegendő fogalmak feltétel. Sejtés, bizonyítás, megcáfolás. Ellentmondás. Faktoriális. Tematikai egység/ Órakeret 2. Számtan, algebra Fejlesztési cél 50 óra Előzetes tudás Egész kitevőjű hatványozás. Számolás algebrai kifejezésekkel. Egyenlet, egyenlet 55

Matematika megoldása. Egyenlőtlenség. Egyszerű szöveg alapján egyenlet felírása (modell alkotása), megoldása, ellenőrzése. Négyzetgyök fogalma. Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban, tapasztalatszerzés. Problémakezelés és – megoldás. Algebrai kifejezések biztonságos ismerete, kezelése. Szabályok betartása, tanultak alkalmazása. Másodfokú egyenletek, egyenletrendszerek megoldási módszerei, a megoldási módszer önálló kiválasztási képességének kialakítása. A tematikai egység Gyakorlati problémák matematikai modelljének felállítása, a modell hatókörének nevelési-fejlesztési vizsgálata, a kapott eredmény összevetése a valósággal; ellenőrzés fontossága. A céljai problémához illő számítási mód kiválasztása, eredmény kerekítése a tartalomnak megfelelően. Alkotás öntevékenyen, saját tervek szerint; alkotás adott feltételeknek megfelelően; átstrukturálás. Számológép használata. Ismeretek Fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok A négyzetgyök definíciója. A A négyzetgyök azonosságainak Fizika: fonálinga lengésideje, rezgésidő négyzetgyök azonosságai. használata konkrét esetekben. Gyökjel számítása. alól kihozatal, nevező gyöktelenítése. A másodfokú egyenlet Különböző algebrai módszerek Fizika: egyenletesen gyorsuló mozgás megoldása, a megoldóképlet. alkalmazása ugyanarra a problémára kinematikája. (szorzattá alakítás, teljes négyzetté kiegészítés). Ismeretek tudatos memorizálása (rendezett másodfokú egyenlet és megoldóképlet összekapcsolódása). A megoldóképlet biztos használata. Másodfokú egyenletre vezető Matematikai modell (másodfokú Fizika; kémia: számítási feladatok. gyakorlati problémák, egyenlet) megalkotása a szöveg alapján. szöveges feladatok. A megoldás ellenőrzése, gyakorlati feladat megoldásának összevetése a valósággal (lehetséges-e?). Gyöktényezős alak. Algebrai ismeretek alkalmazása. Másodfokú polinom szorzattá alakítása. Gyökök és együtthatók Önellenőrzés: egyenlet megoldásának összefüggései. ellenőrzése. Néhány egyszerű magasabb Annak belátása, hogy vannak a fokú egyenlet megoldása. matematikában megoldhatatlan Matematikatörténet: részletek a problémák. harmad- és ötödfokú egyenlet megoldásának történetéből. Fizika: például egyenletesen gyorsuló Egyszerű négyzetgyökös Megoldások ellenőrzése. mozgással kapcsolatos kinematikai feladat. egyenletek. . Másodfokú egyenletrendszer. Egyszerű másodfokú egyenletrendszer A behelyettesítő módszer. megoldása. A behelyettesítő módszerrel is megoldható feladatok. Megosztott figyelem; két, illetve több szempont egyidejű követése. Egyszerű másodfokú egyenlőtlenség Informatika: tantárgyi szimulációs Egyszerű másodfokú megoldása. Másodfokú függvény programok használata. egyenlőtlenségek. eszközjellegű használata. (vagy > 0) alakra visszavezethető egyenlőtlenségek ( ). Példák adott alaphalmazon Megosztott figyelem; két, illetve több ekvivalens és nem ekvivalens szempont egyidejű követése. egyenletekre, átalakításokra. Halmazok eszközjellegű használata. 56

Matematika Alaphalmaz, értelmezési tartomány, megoldáshalmaz. Hamis gyök, gyökvesztés. Összefüggés két pozitív Geometria és algebra összekapcsolása az Fizika: minimum- és szám számtani és mértani azonosság igazolásánál. maximumproblémák. közepe között. Gyakorlati Gondolatmenet megfordítása. példa minimum és maximum probléma megoldására. Kulcsfogalmak/ Másodfokú egyenlet, diszkrimináns. Gyöktényezős alak. Egyenletrendszer. Egyenlőtlenség. fogalmak Számtani közép, mértani közép. Tematikai egység/ Órakeret 3. Összefüggések, függvények, sorozatok Fejlesztési cél 20 óra Halmazok. Hozzárendelés fogalma. Grafikonok készítése, olvasása. Pontok ábrázolása Előzetes tudás koordináta-rendszerben. A tematikai egység Összefüggések, folyamatok megjelenítése matematikai formában (függvény-modell), nevelési-fejlesztési vizsgálat a grafikon alapján. A vizsgálat szempontjainak kialakítása. céljai Függvénytranszformációk algebrai és geometriai megjelenítése. A periodicitás kezelése. Ismeretek Fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok Függvények alkalmazása másodfokú Függvénytulajdonságok tudatos alkalmazása és gyökös egyenletek, egyenlőtlenségek megoldására; másodfokú függvényre vezető szélsőérték-feladatok Szögfüggvények kiterjesztése, A kiterjesztés szükségességének, Fizika: periodikus mozgás, trigonometrikus alapfüggvények (sin, alapgondolatának megértése. A hullámmozgás, váltakozó cos, tg) tulajdonságai. permanencia-elv alkalmazása. Időtől függő feszültség és áram. periodikus jelenségek kezelése. Földrajz: térábrázolás és térmegismerés eszközei, GPS. A trigonometrikus függvények alkalmazása egyszerű egyenletek megoldásában. Kulcsfogalmak/ Trigonometrikus függvény. Periodikusság. Grafikus megoldás. fogalmak Tematikai egység/ Órakeret 4. Geometria Fejlesztési cél 40 óra Térelemek, illeszkedés. Sokszögek, háromszögek alaptulajdonságai, négyszögek csoportosítása; speciális háromszögek és négyszögek elnevezése, felismerése, Előzetes tudás alaptulajdonságaik. Alapszerkesztések, háromszög szerkesztése alapadatokból. Háromszög köré írt kör és beírt kör szerkesztése. Háromszögek egybevágósága. Kör és gömb, hasábok, hengerek és gúlák felismerése, alaptulajdonságaik. A Pitagorasz-tétel ismerete. Tájékozódás a térben. Számítások síkban és térben. A geometriai transzformációk alkalmazása problémamegoldásban. A szükséges és az elégséges feltétel felismerése. Tájékozódás valóságos viszonyokról térkép és egyéb vázlatok alapján. Összetett számítási A tematikai egység probléma lebontása, számítási terv készítése (megfelelő részlet kiválasztása, a nevelési-fejlesztési részletszámítások logikus sorrendbe illesztése). Valós probléma geometriai modelljének céljai megalkotása, számítások a modell alapján, az eredmények összevetése a valósággal. A valóságos tárgyak formájának és a tanult formáknak az összevetése, gyakorlati számítások (henger, hasáb, kúp, gúla, gömb). Korábbi ismeretek mozgósítása. Számológép, számítógép használata. Ismeretek Fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok A körrel kapcsolatos ismeretek Korábbi ismeretek felelevenítése, új Informatika: tantárgyi szimulációs bővítése: kerületi és ismeretek beillesztése a korábbi programok használata (geometriai középponti szög fogalma, ismeretek rendszerébe. szerkesztőprogram). kerületi szögek tétele; húrnégyszög fogalma, húrnégyszögek tétele. Látószög; látószögkörív mint 57

Matematika speciális ponthalmaz (Thalész tételének általánosítása). Középpontos hasonlóság, A megmaradó és a változó hasonlóság. Arányos osztás. tulajdonságok tudatosítása. A hasonlósági transzformáció. Hasonló alakzatok. A megmaradó és a változó tulajdonságok tudatosítása: a megfelelő szakaszok hosszának aránya állandó, a megfelelő szögek egyenlők, a kerület, a terület, a felszín és a térfogat változik. A háromszögek Szükséges és elégséges feltétel hasonlóságának alapesetei. megkülönböztetése. Ismeretek tudatos memorizálása. A hasonlóság alkalmazásai. Új ismeretek matematikai alkalmazása. Háromszög súlyvonalai, súlypontja, hasonló síkidomok kerületének, területének aránya. Magasságtétel, befogótétel a derékszögű háromszögben. Két pozitív szám mértani közepe. A hasonlóság gyakorlati alkalmazásai. Távolság, szög, terület a tervrajzon, térképen. Hasonló testek felszínének, térfogatának aránya.

Informatika: tantárgyi szimulációs programok használata (geometriai szerkesztőprogram).

Fizika: súlypont, tömegközéppont. Vizuális kultúra: összetett arányviszonyok érzékeltetése, formarend, az aranymetszés megjelenése a természetben, alkalmazása a művészetekben.

Ismeretek tudatos memorizálása, alkalmazása szakaszok hosszának számolásánál, szakaszok szerkesztésénél. Modellek alkotása a matematikán belül; Földrajz: térképkészítés, térképolvasás. matematikán kívüli problémák modellezése: geometriai modell. Annak tudatosítása, hogy nem Biológia-egészségtan: példák arra, amikor egyformán változik egy test felszíne és adott térfogathoz nagy felület (pl. fák térfogata, ha kicsinyítjük vagy nagyítjuk. levelei) tartozik. Ismeretek mozgósítása új helyzetben. Fizika: eredő erő, eredő összetevőkre Emlékezés korábbi információkra. bontása. Elnevezések, jelek és egyéb Fizika: helymeghatározás, erővektor megállapodások megjegyzése. felbontása összetevőkre. Emlékezés definíciókra. Fizika: erővektor felbontása derékszögű összetevőkre.

Vektorok felbontása összetevőkre. Vektorok a koordinátarendszerben. Bázisvektorok, vektorkoordináták. Hegyesszög szinusza, koszinusza, tangense és kotangense. A Pitagorasz-tétel és a A valós problémák matematikai Fizika: erővektor felbontása derékszögű hegyesszög szögfüggvényeinek (geometriai) modelljének megalkotása, a összetevőkre. alkalmazása a derékszögű problémák önálló megoldása. háromszög hiányzó adatainak kiszámítására. Távolságok és szögek számítása gyakorlati feladatokban, síkban és térben. A kiterjesztett szögfüggvényfogalom egyszerű alkalmazásai. Kulcsfogalmak/ Kerületi szög, középponti szög, látószög. Húrnégyszög. Hasonló. Arány. Vektor, fogalmak vektorművelet, vektorkoordináták. Szinusz, koszinusz, tangens, kotangens. Tematikai egység/ Órakeret 5. Valószínűség, statisztika Fejlesztési cél 20 óra Valószínűségi kísérletek elvégzése, elemzése. Táblázatok, diagramok olvasása. Előzetes tudás Összeszámlálási alapfeladatok. Százalékszámítás. A valószínűség fogalmának mélyítése: ismeretek rendszerezése, tapasztalatszerzés újabb A tematikai egység kísérletekkel, a kísérletek kiértékelése (relatív gyakoriság, eloszlás), következtetések. nevelési-fejlesztési Táblázat értelmezése, készítése. Számítógép használata az adatok rendezésében, céljai értékelésében, ábrázolásában. 58

Matematika Ismeretek Fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok Valószínűségi kísérletek, az adatok A rendelkezésre álló adatok alapján rendszerezése, a valószínűség becslése. jóslás a bekövetkezés esélyére. Eseményekkel végzett műveletek. Példák A matematika különböző területei események összegére, szorzatára, közötti kapcsolatok tudatosítása. komplementer eseményre, egymást Halmazműveletek és események közötti kizáró eseményekre. műveletek összekapcsolása. Elemi események. Események előállítása elemi események összegeként. Példák független és nem független eseményekre. Véletlen esemény és bekövetkezésének A véletlen esemény szimmetria alapján, Biológia-egészségtan: öröklés, esélye, valószínűsége. logikai úton vagy kísérleti úton mutáció. megadható, megbecsülhető esélye, valószínűsége. Kísérletek, játékok csoportban. A valószínűség matematikai A véletlen kísérletekből számított relatív definíciójának bemutatása példákon gyakoriság és a valószínűség kapcsolata. keresztül. A valószínűség klasszikus modelljének A modell és a valóság kapcsolata. előkészítése egyszerű példákon keresztül. Véletlen (valószínűségi) kísérlet. Véletlen esemény, elemi esemény, biztos esemény, Kulcsfogalmak/ lehetetlen esemény, komplementer esemény. Gyakoriság, relatív gyakoriság, esély, fogalmak valószínűség. A fejlesztés várt Gondolkodási és megismerési módszerek eredményei a 10. – Értsék, és jól használják a matematika logikában megtanult szakkifejezéseket a évfolyam végén hétköznapi életben. – Definíció, tétel felismerése, az állítás és a megfordításának felismerése; bizonyítás gondolatmenetének követése. – Egyszerű összeszámlálási feladatok megoldása, a megoldás gondolatmenetének rögzítése szóban, írásban. – Gráffal kapcsolatos alapfogalmak ismerete. Alkalmazzák a gráfokról tanult ismereteiket gondolatmenet szemléltetésére, probléma megoldására. Számtan, algebra 5. Másodfokú egyismeretlenes egyenlet megoldása; ilyen egyenletre vezető szöveges és gyakorlati feladatokhoz egyenletek felírása és azok megoldása, a megoldás önálló ellenőrzése. 6. Másodfokú (egyszerű) kétismeretlenes egyenletrendszer megoldása; ilyen egyenletrendszerre vezető szöveges és gyakorlati feladatokhoz az egyenletrendszer megadása, megoldása, a megoldás önálló ellenőrzése. 7. Egyismeretlenes egyszerű másodfokú egyenlőtlenség megoldása. 8. Az időszak végére elvárható a valós számkör biztos ismerete, e számkörben megismert műveletek gyakorlati és elvontabb feladatokban való alkalmazása. 9. A tanulók képesek a matematikai szöveg értő olvasására, tankönyvek, keresőprogramok célirányos használatára, szövegekből a lényeg kiemelésére. Összefüggések, függvények, sorozatok 7. A trigonometrikus függvények tulajdonságainak és grafikonjának alkalmazása egyszerű periodikus jelenségek, folyamatok vizsgálatára. 8. A tanult alapfüggvények ismerete (tulajdonságok, grafikon). 9. Egyszerű függvénytranszformációk végrehajtása trigonometrikus függvényeken. 10. Valós folyamatok elemzése a folyamathoz tartozó függvény grafikonja alapján. Geometria 9. A körrel kapcsolatos ismeretek bővülésének hatása elméleti és gyakorlati számításokban. 10. A hasonlósági transzformáció és tulajdonságainak ismerete. 11. Hasonló alakzatok; két hasonló alakzat több szempont szerinti összehasonlítása (pl. távolságok, szögek, kerület, terület, térfogat). 12. Derékszögű háromszögre visszavezethető (gyakorlati) számítások elvégzése 59

Matematika Pitagorasz-tétellel és a hegyesszögek szögfüggvényeivel; magasságtétel és befogótétel ismerete. 6. Vektor felbontása, vektorkoordináták meghatározása adott bázisrendszerben. 7. A geometriai ismeretek bővülésével, a megismert geometriai transzformációk rendszerezettebb tárgyalása után fejlődik a tanulók dinamikus geometriai szemlélete, diszkussziós képessége. 8. A háromszögekről tanult ismeretek bővülésével a tanulók képesek számítási feladatokat elvégezni, és ezeket gyakorlati problémák megoldásánál alkalmazni. 9. A szerkesztési feladatok során törekednek az igényes, pontos munkavégzésre. Valószínűség, statisztika – Adathalmaz rendezése megadott szempontok szerint, adat gyakoriságának és relatív gyakoriságának kiszámítása. – Táblázat olvasása és készítése; diagramok olvasása és készítése. – Véletlen esemény, elemi esemény, biztos esemény, lehetetlen esemény, véletlen kísérlet, esély/valószínűség fogalmak ismerete, használata. – Nagyszámú véletlen kísérlet kiértékelése, az előzetesen „jósolt” esélyek és a relatív gyakoriságok összevetése. – A valószínűségszámítási, statisztikai feladatok megoldása során a diákok rendszerező képessége fejlődik. A tanulók képesek adatsokaságot jellemezni, ábrákról adatsokaság jellemzőit leolvasni. Szisztematikus esetszámlálással meg tudják határozni egy adott esemény bekövetkezésének esélyét a klasszikus modell alapján.

60

Matematika

11–12. évfolyam Ez a szakasz az érettségire felkészítés időszaka is, ezért a fejlesztésnek kiemelten fontos tényezője az elemző- és összegzőképesség alakítása. Ebben a két évfolyamban áttekintését adjuk a korábbi évek ismereteinek, eljárásainak, problémamegoldó módszereinek, emellett sok, gyakorlati területen széles körben használható tudást is közvetítünk. Olyanokat, amelyekhez kell az előző évek alapozása, amelyek kissé összetettebb problémák megoldását is lehetővé teszik. Az érettségi előtt már elvárható többféle ismeret együttes alkalmazása. A sík- és térgeometriai fogalmak és tételek mind a térszemlélet, mind az analógiás gondolkodás fejlesztése szempontjából lényegesek. A koordináta-geometria elemeinek tanításával a matematika különböző területeinek összefüggéseit s így a matematika komplexitását mutatjuk meg. Minden témában nagy hangsúllyal ki kell térnünk a gyakorlati alkalmazásokra, az ismeretek más tantárgyakban való felhasználhatóságára. A statisztikai kimutatások és az információk kritikus értelmezése, az esetleges manipulációs szándék felfedeztetése hozzájárul a vállalkozói kompetencia fejlesztéséhez, a helyes döntések meghozatalához. Gyakran alkalmazhatjuk a digitális technikát az adatok, problémák gyűjtéséhez, a véletlen jelenségek vizsgálatához. A terület-, felszín-, térfogatszámítás más tantárgyakban és mindennapjaink gyakorlatában is elengedhetetlen. A sorozatok, kamatos kamat témakör kiválóan alkalmas a pénzügyi, gazdasági problémákban való jártasság kialakításra. Az anyanyelvi kommunikáció fejlesztését is segíti, ha önálló kiselőadások, prezentációk elkészítését, megtartását várjuk el a diákoktól. A matematikatörténet feldolgozása például alkalmas erre. Ez sokat segíthet abban, hogy a matematikát kevésbé szerető tanulók se tekintsék gondolkodásmódjuktól távol álló területnek a matematikát. Az egyes tematikus egységekre jutó óraszámokat a táblázatok tartalmazzák. Ezen kívül számonkérésre 12 órát terveztünk.

61

Matematika

11. évfolyam Tematikai egység címe Órakeret 1. Gondolkodási és megismerési módszerek 12 óra 2. Számtan, algebra 33 óra 3. Összefüggések, függvények, sorozatok 18 óra 4. Geometria 40 óra 5. Valószínűség, statisztika 15 óra Összefoglalásra, gyakorlásra, ismétlésre szánt Órakeret 14 óra (a kerettantervben ún. szabad órakeret, az éves óraszám 10%-a) Ellenőrzés, számonkérés 12 óra Az össz óraszám 144 óra Tematikai egység/ Órakeret 1. Gondolkodási és megismerési módszerek Fejlesztési cél 12 óra Előzetes tudás Sorbarendezési, leszámlálási problémák megoldása. Gráffal kapcsolatos alapfogalmak. Ismeretek rendszerezése, alkalmazása. Mintavétel céljának, értelmének megértése. A tematikai egység Gráfokkal kapcsolatos ismeretek alkalmazása, bővítése, konkrét példák alapján nevelési-fejlesztési gráfokkal kapcsolatos állítások megfogalmazása. A modellhasználati, modellalkotási céljai képesség fejlesztése. Ismeretek Fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok Vegyes kombinatorikai feladatok, Modell alkotása valós problémához: Földrajz: előrejelzések, kiválasztási feladatok. A kombinatorika kombinatorikai modell. tendenciák megfogalmazása alkalmazása egyszerű geometriai Megosztott figyelem; két, illetve több Biológia-egészségtan: genetika feladatokban. szempont egyidejű követése. Mintavétel visszatevés nélkül és visszatevéssel. Matematikatörténet: Erdős Pál. Binomiális együtthatók. Jelek szerepe, alkotása, használata: célszerű jelölés megválasztásának jelentősége a matematikában. Gráfelméleti alapfogalmak, alkalmazásuk. Modell alkotása valós problémához: Fokszám összeg és az élek száma közötti gráfmodell. Megfelelő, a problémát jól összefüggés. tükröző ábra készítése. Matematikatörténet: Euler. Kulcsfogalmak/ Mintavétel visszatevéssel, visszatevés nélkül. fogalmak Tematikai egység/ Órakeret 2. Számtan, algebra Fejlesztési cél 33 óra Hatvány fogalma egész kitevőre, hatványozás azonosságai. Négyzetgyök fogalma, Előzetes tudás azonosságai. Egyenlet, egyenlőtlenség megoldása. Ekvivalens egyenlet fogalma. Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban: valós problémák megoldása megfelelő A tematikai egység modell választásával. A matematika alkalmazása más tudományokban. Ismeretek nevelési-fejlesztési rendszerezése, alkalmazása. A matematika épülésének elvei: létező fogalom céljai újraértelmezése, kiterjesztése. A fogalmak kiterjesztése követelményeinek megértése. Függvénytulajdonság alkalmazása egyenlet megoldásánál (pl. szigorú monotonitás). Ismeretek Fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok n-edik gyök fogalma, azonosságai. A matematika belső fejlődésének A négyzetgyök fogalmának felismerése, új fogalmak alkotása. általánosítása. Hatványozás pozitív alap és racionális Fogalmak módosítása újabb kitevő esetén. tapasztalatok, ismeretek alapján. A hatványfogalom célszerű kiterjesztése, permanenciaelv alkalmazása. Hatványozás azonosságainak Ismeretek tudatos memorizálása. alkalmazása. Példák az azonosságok Ismeretek mozgósítása. érvényben maradására. 62

Matematika A definíciók és a hatványozás azonosságainak közvetlen alkalmazásával megoldható exponenciális egyenletek.

Modellek alkotása (algebrai modell): exponenciális egyenletre vezető valós problémák (például: befektetés, hitel, értékcsökkenés, népesség alakulása, radioaktivitás).

Fizika; kémia: radioaktivitás. Földrajz; biológia-egészségtan: globális problémák – demográfiai mutatók, a Föld eltartó képessége és az élelmezési válság, betegségek, világjárványok, túltermelés és túlfogyasztás. A logaritmus értelmezése. Korábbi ismeretek felidézése (hatvány Technika, életvitel és gyakorlat: Matematikatörténet: fogalma). zajszennyezés. A logaritmussal való számolás szerepe a Ismeretek tudatos memorizálása. Kémia: pH-számítás. Kepler-törvények felfedezésében. Fizika: Kepler-törvények. Zsebszámológép használata, táblázat Annak felismerése, hogy a technika Fizika; kémia: számítási használata. fejlődésének alapja a matematikai tudás. feladatok. A logaritmus azonosságai. A hatványozás és a logaritmus kapcsolatának felismerése. A definíciók és a logaritmus Modellek alkotása (algebrai modell): Életvitel és gyakorlat: azonosságainak közvetlen logaritmus alkalmazásával megoldható zajszennyezés. alkalmazásával megoldható egyszerű exponenciális egyenletek; ilyen Kémia: pH-számítás. logaritmusos egyenletek. egyenletre vezető valós problémák Biológia-egészségtan: érzékelés, az (például: befektetés, hitel, értékcsökkenés, inger és az érzet. népesség alakulása, radioaktivitás). Kulcsfogalmak/ n-edik gyök. Racionális kitevőjű hatvány. Exponenciális növekedés, csökkenés. Logaritmus. fogalmak Tematikai egység/ Órakeret 3. Összefüggések, függvények, sorozatok Fejlesztési cél 18 óra Függvénytani alapfogalmak. Hatványozás azonosságai. Négyzetgyök. Függvény Előzetes tudás megadása, tulajdonságai. Hegyesszög szögfüggvényeinek értelmezése. A folyamatok elemzése a függvényelemzés módszerével. Tájékozódás az időben: A tematikai egység lineáris folyamat, exponenciális folyamat. A matematika és a valóság: matematikai nevelési-fejlesztési modellek készítése, vizsgálata. Alkotás öntevékenyen, saját tervek szerint; alkotások céljai adott feltételeknek megfelelően. Ismerethordozók használata. Ismeretek Fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok Szögfüggvények kiterjesztése, A kiterjesztés szükségességének, Fizika: periodikus mozgás, trigonometrikus alapfüggvények alapgondolatának megértése. Időtől hullámmozgás, váltakozó feszültség (sin, cos, tg). függő periodikus jelenségek kezelése. és áram. Földrajz: térábrázolás és térmegismerés eszközei, GPS. Informatika: tantárgyi szimulációs A trigonometrikus függvények Tudatos megfigyelés a változó szempontok és feltételek szerint. programok használata. transzformációi: , ; ; . Az exponenciális függvények. Permanenciaelv alkalmazása. Exponenciális folyamatok a Modellek alkotása (függvény modell): a természetben és a társadalomban. lineáris és az exponenciális növekedés/csökkenés matematikai modelljének összevetése konkrét, valós problémákban (például: népesség, energiafelhasználás, járványok stb.).

A logaritmusfüggvények vizsgálata. Logaritmus alapfüggvények grafikonja, jellemzésük. 63

Fizika; kémia: radioaktivitás. Földrajz: a társadalmi-gazdasági tér szerveződése és folyamatai. Történelem, társadalmi és állampolgári ismeretek; földrajz: globális kérdések: - erőforrások kimerülése, fenntarthatóság, demográfiai robbanás a harmadik világban, népességcsökkenés az öregedő Európában.

Matematika A logaritmusfüggvény mint az Fizika; kémia: radioaktivitás. exponenciális függvény inverze. Függvénynek és inverzének a grafikonja a koordinátarendszerben. Kulcsfogalmak/ Szinuszfüggvény, koszinuszfüggvény, tangensfüggvény. Exponenciális függvény, fogalmak logaritmusfüggvény. Exponenciális folyamat. Tematikai egység/ Órakeret 4. Geometria Fejlesztési cél 40 óra Sokszögekkel, körrel kapcsolatos ismeretek. Ponthalmazok, nevezetes ponthalmazok ismerete. Háromszög nevezetes vonalai, pontjai, körei. Háromszögekre, speciális háromszögekre vonatkozó tételek. Egybevágóság, hasonlóság, szimmetria. Hegyesszögek szögfüggvényei. Ekvivalens egyenlet. Elsőfokú és másodfokú egyenlet, Előzetes tudás kétismeretlenes egyenletrendszer algebrai megoldása. Alapszerkesztések, egyszerű szerkesztési feladatok körrel, háromszöggel kapcsolatosan. Vektorok, vektorműveletek. Hasáb, henger, gúla, kúp, gömb felismerése. Felszín, térfogat szemléletes fogalma. Poliéder felszíne. Számológép (számítógép) használata. Tájékozódás a térben. Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban: távolságok, szögek A tematikai egység kiszámítása a szögfüggvények segítségével. A matematika két területének (geometria és nevelési-fejlesztési algebra) összekapcsolása: koordináta-geometria. Emlékezés, korábbi ismeretek céljai rendszerezése, alkalmazása. Ismeretek Fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok Szinusztétel, koszinusztétel. Általános eset, különleges eset viszonya Fizika: vektor felbontása adott állású (a derékszögű háromszög és a két tétel). összetevőkre. Földrajz: térábrázolás és térmegismerés eszközei, GPS. Pitagoraszi összefüggés egy A trigonometrikus azonosságok szög szinusza és koszinusza megértése, használata. között. Összefüggés a szög és a Függvénytáblázat alkalmazása feladatok mellékszöge szinusza, illetve megoldásában. koszinusza között. A tangens kifejezése a szinusz és a koszinusz hányadosaként. Egyszerű trigonometrikus A problémához hasonló egyszerű Fizika: rezgőmozgás, adott kitéréshez, egyenletek. Trigonometrikus probléma keresése. sebességhez, gyorsuláshoz tartozó egyenletre vezető, időpillanatok meghatározása. háromszöggel kapcsolatos valós problémák. Azonosság alkalmazását igénylő egyszerű trigonometrikus egyenlet. Két vektor skaláris szorzata. A A művelet újszerűségének felfedezése. Fizika: mechanikai munka, mágneses skaláris szorzat tulajdonságai. A szükséges és az elégséges feltétel fluxus. Két vektor merőlegességének felismerése, megkülönböztetése. szükséges és elégséges feltétele. Helyvektor. Emlékezés: jelek, jelölések, Fizika: vonatkoztatási rendszer, hely megállapodások. megadása. Műveletek koordinátáikkal A vektor fogalmának bővítése (algebrai Fizika: erők összeadása komponensek adott vektorokkal. Vektorok és vektorfogalom). Sík és tér: a dimenzió segítségével, háromdimenziós rendezett számpárok közötti szemléletes fogalmának fejlesztése. képalkotás (hologram). megfeleltetés. A helyvektor koordinátái. Képletek értelmezése, alkalmazása. Fizika: hely megadása. Szakasz felezőpontjának, harmadoló pontjának, a háromszög súlypontjának koordinátái. Két pont távolsága, a szakasz Képletek értelmezése, alkalmazása. hossza. 64

Matematika A kör egyenlete.

Geometria és algebra összekapcsolása.

Az egyenes különböző megadási módjai. Az irányvektor, a normálvektor, az iránytangens. Iránytangens és az egyenes meredeksége. A merőlegesség megfogalmazása skaláris szorzattal. Az egyenes egyenlete. Két egyenes párhuzamosságának, merőlegességének feltétele. Két egyenes metszéspontja. Kör és egyenes kölcsönös helyzete.

Megosztott figyelem; két, illetve több szempont egyidejű követése.

Informatika: ponthalmaz megjelenítése képernyőn (geometriai szerkesztőprogram). Informatika: ponthalmaz megjelenítése képernyőn (geometriai szerkesztőprogram). Fizika: út-idő grafikon és a sebesség kapcsolata.

Geometriai ismeretek felelevenítése, megfogalmazása algebrai alakban. Az egyenest jellemző adatok, a közöttük Informatika: tantárgyi szimulációs felfedezhető összefüggések értése, programok használata (geometriai használata. szerkesztőprogram).

Geometriai probléma megoldása Informatika: ponthalmaz megjelenítése algebrai eszközökkel. Ismeretek képernyőn (geometriai mozgósítása, alkalmazása (elsőfokú, szerkesztőprogram). illetve másodfokú kétismeretlenes egyenletrendszer megoldása). A kör adott pontjában húzott A geometriai fogalmak megjelenítése Informatika: ponthalmaz megjelenítése érintője. algebrai formában. Geometriai képernyőn (geometriai ismeretek mozgósítása. szerkesztőprogram). A koordinátageometriai Geometriai problémák megoldása Informatika: tantárgyi szimulációs ismeretek alkalmazása egyszerű algebrai eszközökkel. Geometriai programok használata (geometriai síkgeometriai feladatok problémák számítógépes megjelenítése. szerkesztőprogram használata). megoldásában. Fizika: égitestek pályája. Kulcsfogalmak/ Valós szám szinusza, koszinusza, tangense. Bázisrendszer, helyvektor. Skaláris szorzat. fogalmak Ponthalmaz egyenlete; kétismeretlenes egyenletnek megfelelő ponthalmaz. Tematikai egység/ Órakeret 5. Valószínűség, statisztika Fejlesztési cél 15 óra A statisztika alapfogalmai. Adathalmaz statisztikai jellemzői, adathalmaz ábrázolása. Táblázatok kezelése. A véletlen esemény fogalma, a véletlen kísérlet fogalma. Elemi Előzetes tudás esemény, biztos esemény, lehetetlen esemény, komplementer esemény. Gyakoriság, relatív gyakoriság. Esély és valószínűség hétköznapi fogalma. Kombinatorikai ismeretek. Ismeretek rendszerezése, alkalmazása, bővítése. Műveletek az események között. A tematikai egység Matematikai elvonatkoztatás: a valószínűség matematikai fogalmának fejlesztése. nevelési-fejlesztési céljai Véletlen mintavétel módszerei jelentőségének megértése. Ismeretek Fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok Ismétlés, rendszerezés: eseményekkel A matematika különböző területei közötti Informatika: folyamatok, végzett műveletek; példák események kapcsolatok tudatosítása. kapcsolatok leírása logikai összegére, szorzatára, komplementer Halmazműveletek és események közötti áramkörökkel. eseményre, egymást kizáró műveletek összekapcsolása. eseményekre; elemi események. Események előállítása elemi események összegeként. Példák független és nem független eseményekre. A valószínűség klasszikus modellje. A modell és a valóság kapcsolata. Matematikatörténet: Rényi: Levelek a valószínűségről. Egyszerű valószínűség-számítási Ismeretek mozgósítása, tanult Fizika: az űrkutatás hatása problémák. kombinatorikai módszerek alkalmazása. mindennapjainkra, a találkozás valószínűsége. Statisztikai mintavétel. Valószínűségek Modell alkotása (valószínűségi modell): a Informatika: tantárgyi 65

Matematika visszatevéses mintavétel esetén, a mintavételi eljárás lényege. szimulációs programok binomiális eloszlás. Visszatevés nélküli használata (binomiális mintavétel. eloszlás). Kulcsfogalmak/ Valószínűség matematikai fogalma. Klasszikus valószínűség-számítási modell. fogalmak Gondolkodási és megismerési módszerek – A kombinatorikai problémához illő módszer önálló megválasztása. – A gráfok eszközjellegű használata problémamegoldásában. – Bizonyított és nem bizonyított állítás közötti különbség megértése. – Feltétel és következmény biztos felismerése a következtetésben. – A szövegben található információk önálló kiválasztása, értékelése, rendezése problémamegoldás céljából. – A szöveghez illő matematikai modell elkészítése. – A tanulók a rendszerezett összeszámlálás, a tanult ismeretek segítségével tudjanak kombinatorikai problémákat jól megoldani,. – A gráfok ne csak matematikai fogalomként szerepeljenek tudásukban, alkalmazzák ismereteiket a feladatmegoldásban is. Számtan, algebra – A kiterjesztett gyök- és hatványfogalom ismerete. – A logaritmus fogalmának ismerete. – A gyök, a hatvány és a logaritmus azonosságainak alkalmazása konkrét esetekben probléma megoldása céljából. – Egyszerű exponenciális és logaritmusos egyenletek felírása szöveg alapján, az egyenletek megoldása, önálló ellenőrzése. – A mindennapok gyakorlatában szereplő feladatok megoldása a valós számkörben tanult új műveletek felhasználásával. – Számológép értelmes használata a feladatmegoldásokban. A fejlesztés várt Összefüggések, függvények, sorozatok eredményei a 11. Trigonometrikus függvények értelmezése, alkalmazása. évfolyam végén Függvénytranszformációk végrehajtása. Exponenciális függvény és logaritmusfüggvény ismerete. Exponenciális folyamatok matematikai modelljének megértése. Az új függvények ismerete és jellemzése kapcsán a tanulóknak legyen átfogó képük a függvénytulajdonságokról, azok felhasználhatóságáról. Geometria – Jártasság a háromszögek segítségével megoldható problémák önálló kezelésében. – A tanult tételek pontos ismerete, alkalmazásuk feladatmegoldásokban. – A valós problémákhoz geometriai modell alkotása. – Hosszúság és szög kiszámítása. – Két vektor skaláris szorzatának ismerete, alkalmazása. – Vektorok a koordináta-rendszerben, helyvektor, vektorkoordináták ismerete, alkalmazása. – A geometriai és algebrai ismeretek közötti összekapcsolódás elemeinek ismerete: távolság, szög számítása a koordináta-rendszerben, kör és egyenes egyenlete, geometriai feladatok algebrai megoldása. Valószínűség, statisztika – A valószínűség matematikai fogalma. – A valószínűség klasszikus kiszámítási módja. – Mintavétel és valószínűség. – A mindennapok gyakorlatában előforduló valószínűségi problémákat tudják értelmezni, kezelni.

66

Matematika

12. évfolyam Tematikai egység címe Órakeret 1. Gondolkodási és megismerési módszerek 10 óra 2. Összefüggések, függvények, sorozatok 20 óra 3. Geometria 24 óra 4. Valószínűség, statisztika 20 óra 5. Összefoglalásra, gyakorlásra, ismétlésre szánt Órakeret 30+12 óra (a kerettantervben ún. szabad órakeret, az éves óraszám 10%-a) Ellenőrzés, számonkérés 12 óra Az összes óraszám 128 óra Tematikai egység/ Órakeret 1. Gondolkodási és megismerési módszerek Fejlesztési cél 10 óra Előzetes tudás Az „és”, „vagy”, „nem”, „ha ..., akkor”, „akkor és csak akkor” szemléletes jelentése. A tematikai egység A logikai műveletek megfelelő használata a hétköznapi életben és a matematikában. nevelési-fejlesztési céljai Ismeretek Fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok Logikai műveletek: „nem”, „és”, „vagy”, Matematikai és más jellegű érvelésekben a „ha…, akkor”, „akkor és csak akkor”. logikai műveletek felfedezése, megértése, önálló alkalmazása. A köznyelvi kötőszavak és a matematikai logikában használt kifejezések jelentéstartalmának összevetése. A hétköznapi, nem tudományos szövegekben található matematikai információk felfedezése, rendezése a megadott célnak megfelelően. Matematikai tartalmú (nem tudományos jellegű) szöveg értelmezése. Kijelentés fogalma, műveletek Az ismeretek rendszerezése: a Fizika: logikai áramkörök, kijelentésekkel: konjunkció, diszjunkció, matematika különböző területei közötti kapcsolási rajzok negáció, implikáció, ekvivalencia. Logikai kapcsolatok tudatosítása (halmazok – műveletek igazságtáblázatai, egyszerű kijelentések – események). azonosságok. A logikai műveletek változatos alkalmazásai feladatokban. Kulcsfogalmak/ Logikai művelet. Igazságtáblázat. fogalmak Tematikai egység/ Órakeret 2. Összefüggések, függvények, sorozatok Fejlesztési cél 20 óra Előzetes tudás Függvénytani alapfogalmak. A tematikai egység Sorozat vizsgálata; rekurzió, képletek értelmezése. A matematika és a valóság: nevelési-fejlesztési matematikai modellek készítése, vizsgálata. Ismerethordozók használata. Alkotás céljai öntevékenyen, saját tervek szerint; alkotások adott feltételeknek megfelelően. Ismeretek Fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok A számsorozat fogalma. A Sorozat megadása rekurzióval és Informatika: problémamegoldás függvény értelmezési képlettel. informatikai eszközökkel és tartománya a pozitív egész módszerekkel: algoritmusok számok halmaza. megfogalmazása, tervezése. Matematikatörténet: Fibonacci. Számtani sorozat, az n. tag, az A sorozat felismerése, a megfelelő első n tag összege. képletek használata problémamegoldás Matematikatörténet: Gauss. során. Mértani sorozat, az n. tag, az A sorozat felismerése, a megfelelő Fizika; kémia, biológia-egészségtan; földrajz; első n tag összege. képletek használata problémamegoldás történelem, társadalmi és állampolgári során. ismeretek: exponenciális folyamatok 67

Matematika A számtani sorozat mint lineáris vizsgálata. függvény és a mértani sorozat mint exponenciális függvény összehasonlítása. Kamatoskamat-számítás. Modellek alkotása: befektetés és hitel; Földrajz: a világgazdaság szerveződése különböző feltételekkel meghirdetett és működése, a pénztőke működése, a befektetések és hitelek vizsgálata; a hitel monetáris világ jellemző folyamatai, költségei, a törlesztés módjai. hitelezés, adósság, eladósodás. Az egyéni döntés felelőssége: az Történelem, társadalmi és állampolgári eladósodás veszélye. ismeretek: a család pénzügyei és Korábbi ismeretek mozgósítása (pl. gazdálkodása, vállalkozások. százalékszámítás). Magyar nyelv és irodalom: szövegértés. A szövegbe többszörösen mélyen beágyazott, közvetett módon megfogalmazott információk és kategóriák azonosítása. Kulcsfogalmak/ Számsorozat. Rekurzió. Számtani sorozat, mértani sorozat. fogalmak Tematikai egység/ Órakeret 3. Geometria Fejlesztési cél 24 óra Sokszögekkel, körrel kapcsolatos ismeretek. Ponthalmazok, nevezetes ponthalmazok ismerete. Háromszög nevezetes vonalai, pontjai, körei. Háromszögekre, speciális Előzetes tudás háromszögekre vonatkozó tételek. Egybevágóság, hasonlóság, szimmetria. Hasáb, henger, gúla, kúp, gömb felismerése. Felszín, térfogat szemléletes fogalma. Poliéder felszíne. Számológép (számítógép) használata. A tematikai egység Terület, kerület, felszín és térfogat kiszámítása. nevelési-fejlesztési céljai Ismeretek Fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok Síkidomok kerületének és Ismeretek alkalmazása. Földrajz: felszínszámítás. területének számítása. Mértani testek csoportosítása. A problémához illeszkedő vázlatos ábra Informatika: tantárgyi szimulációs Hengerszerű testek (hasábok és alkotása; síkmetszet elképzelése, programok használata (térgeometriai hengerek), kúpszerű testek (gúlák ábrázolása. Fogalomalkotás közös szimulációs program). és kúpok), csonka testek (csonka tulajdonság szerint (hengerszerű, Kémia: kristályok. gúla, csonka kúp). Gömb. kúpszerű testek, poliéderek). A tanult testek felszínének, A valós problémákhoz modell alkotása: Informatika: tantárgyi szimulációs térfogatának kiszámítása. geometriai modell. Ismeretek megfelelő programok használata (térgeometriai Gyakorlati feladatok. csoportosítása. szimulációs program). Kulcsfogalmak/ Terület, felszín, térfogat. fogalmak Tematikai egység/ Órakeret 4. Valószínűség, statisztika Fejlesztési cél 20 óra A statisztika alapfogalmai. Adathalmaz statisztikai jellemzői, adathalmaz ábrázolása. Előzetes tudás Táblázatok kezelése. A valószínűség klasszikus modellje. A tematikai egység Ismeretek rendszerezése, alkalmazása, bővítése. Statisztikai mérőszámok. nevelési-fejlesztési Következtetések a statisztikai mutatók alapján. A valószínűség geometriai modellje. céljai Ismeretek Fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok Egyszerű példák a valószínűség Modellalkotás; megfelelő valószínűségi kiszámításának geometriai modelljére. modell hétköznapi problémákra, jelenségekre. Adathalmazok jellemzői: átlag, A statisztikai kimutatások és a valóság: az medián, módusz, terjedelem, szórás. információk kritikus értelmezése, az Nagy adathalmazok jellemzése esetleges manipulációs szándék statisztikai mutatókkal. felfedeztetése. Közvélemény-kutatás, minőség-ellenőrzés, egyéb gyakorlati alkalmazások elemzése. 68

Matematika Számológép/számítógép használata statisztikai mutatók kiszámítására. Kulcsfogalmak/ Szórás. fogalmak Tematikai egység/ Órakeret 5. Rendszerező összefoglalás Fejlesztési cél 30 óra Előzetes tudás A középiskolai matematika anyaga. A matematika épülésének elvei: ismeretek rendszerezése, alkalmazása. Motiválás. Emlékezés. Önismeret, önértékelés, reflektálás, önszabályozás. Alkotás és kreativitás: A tematikai egység alkotás öntevékenyen, saját tervek szerint; alkotások adott feltételeknek megfelelően; nevelési-fejlesztési céljai átstrukturálás. Hatékony, önálló tanulás kompetenciájának fejlesztése. Ismeretek Fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok Gondolkodási és megismerési módszerek Halmazok. Ponthalmazok és A problémának megfelelő szemléltetés számhalmazok. Valós számok halmaza kiválasztása (Venn-diagram, számegyenes, és részhalmazai. koordináta-rendszer). Állítások logikai értéke. Logikai Szövegértés. A szövegben található Filozófia: logika - a műveletek. információk összegyűjtése, rendszerezése. következetes és rendezett gondolkodás elmélete, a logika kapcsolódása a matematikához és a nyelvészethez. Informatika: Egy bizonyos, nemrég történt esemény információinak begyűjtése több párhuzamos forrásból, ezek összehasonlítása, elemzése, az igazságtartalom keresése, a manipulált információ felfedése. Navigációs eszközök használata: hierarchizált és legördülő menük használata. A halmazelméleti és a logikai ismeretek Halmazok eszközjellegű használata. kapcsolata. Definíció és tétel. A tétel bizonyítása. A Emlékezés a tanult definíciókra és tétel megfordítása. tételekre, alkalmazásuk önálló problémamegoldás során. Bizonyítási módszerek. Direkt és indirekt bizonyítás közötti Filozófia: szillogizmusok. különbség megértése. Néhány tipikusan hibás következtetés bemutatása, elemzése. Kombinatorika: leszámlálási feladatok. Sorbarendezési és kiválasztási problémák Egyszerű feladatok megoldása felismerése. gráfokkal. Gondolatmenet szemléltetése gráffal. Műveletek értelmezése és műveleti Absztrakt fogalom és annak konkrét tulajdonságok. megjelenései: valós számok halmazán értelmezett műveletek, halmazműveletek, logikai műveletek, műveletek vektorokkal, műveletek vektorral és valós számmal, műveletek eseményekkel. Számtan, algebra Gyakorlati számítások. Kerekítés, közelítő érték, becslés. Technika, életvitel és gyakorlat: Számológép használata, értelmes kerekítés. alapvető adózási, biztosítási, egészség-, nyugdíj- és társadalombiztosítási, pénzügyi ismeretek. 69

Matematika Egyenletek és egyenlőtlenségek.

Megoldások az alaphalmaz, értelmezési tartomány, megoldáshalmaz megfelelő kezelésével. Algebrai azonosságok, hatványozás Az azonosságok szerepének ismerete, azonosságai, logaritmus azonosságai, használatuk. Matematikai fogalmak trigonometrikus azonosságok. fejlődésének bemutatása pl. a hatvány, illetve a szögfüggvények példáján. Egyenletek és egyenlőtlenségek Adott egyenlethez illő megoldási módszer megoldása. Algebrai megoldás, grafikus önálló kiválasztása. megoldás. Ekvivalens egyenletek, Az önellenőrzésre való képesség. ekvivalens átalakítások. A megoldások Önfegyelem fejlesztése: sikertelen ellenőrzése. megoldási kísérlet után újjal való próbálkozás. Első- és másodfokú egyenlet és Tanult egyenlettípusok és egyenlőtlenség. Négyzetgyökös egyenlőtlenségtípusok önálló megoldása. egyenletek. Abszolút értéket tartalmazó egyenletek. Egyszerű exponenciális, logaritmikus és trigonometrikus egyenletek. Elsőfokú és egyszerű másodfokú A tanult megoldási módszerek biztos kétismeretlenes egyenletrendszer alkalmazása. megoldása. Egyenletekre, egyenlőtlenségekre Matematikai modell (egyenlet, vezető gyakorlati életből vett és egyenlőtlenség) megalkotása, vizsgálatok a szöveges feladatok. modellben, ellenőrzés. Összefüggések, függvények, sorozatok Emlékezés: a fogalmak pontos felidézése, ismerete. Értelmezési tartomány, értékkészlet, zérushely, szélsőérték, monotonitás, periodicitás, paritás fogalmak alkalmazása konkrét feladatokban. Az alapfüggvények ábrázolása és tulajdonságai. A tanult alapfüggvények ismerete. Képi emlékezés statikus helyzetekben (grafikonok felidézése). Függvénytranszformációk: , Kapcsolat a matematika két területe között: függvénytranszformációk és ; ; . Eltolás, nyújtás geometriai transzformációk. és összenyomás a tengelyre merőlegesen. Függvényvizsgálat a tanult szempontok Emlékezés, ismeretek mozgósítása. szerint. Függvények használata valós folyamatok elemzésében. Függvény alkalmazása matematikai modell készítésében.

Fizika; kémia; biológiaegészségtan; földrajz; történelem, társadalmi és állampolgári ismeretek: képletek használata

Fizika; kémia; biológiaegészségtan; földrajz; történelem, társadalmi és állampolgári ismeretek: matematikai modellek.

A függvény megadása. A függvények tulajdonságai.

Geometria Geometriai alapfogalmak, ponthalmazok. Térelemek kölcsönös helyzete, távolsága, szöge. Távolságok és szögek kiszámítása. Geometriai transzformációk.

Valós problémában a megfelelő geometriai fogalom felismerése, alkalmazása.

70

Fizika, kémia; biológiaegészségtan; földrajz; történelem, társadalmi és állampolgári ismeretek: matematikai modellek.

Matematika Távolságok és szögek vizsgálata a transzformációknál. Egybevágóság, hasonlóság. Szerepük felfedezése művészetekben, Szimmetriák. játékokban, gyakorlati jelenségekben. Háromszögekre vonatkozó tételek és Állítások, tételek jelentésére való alkalmazásuk. emlékezés. A háromszög nevezetes vonalai, pontjai A problémának megfelelő összefüggések és körei. Összefüggések a háromszög felismerése, alkalmazása. oldalai, oldalai és szögei között. A derékszögű háromszög oldalai, oldalai és szögei közötti összefüggések. Négyszögekre vonatkozó tételek és Állítások, tételek jelentésére való alkalmazásuk. emlékezés. Négyszögek csoportosítása különböző szempontok szerint. Szimmetrikus négyszögek tulajdonságai. Körre vonatkozó tételek és alkalmazásuk. Számítási feladatok. Vektorok, vektorok koordinátái. Bázisrendszer. Matematikatörténet: a vektor fogalmának fejlődése a fizikai vektorfogalomtól a rendezett szám nesig. Vektorok alkalmazásai. Egyenes egyenlete. Kör egyenlete. Két Geometria és algebra összekapcsolása. alakzat közös pontja. Matematikatörténet: nevezetes szerkeszthetőségi problémák. Valószínűség-számítás, statisztika Diagramok. Statisztikai mutatók: Adathalmazok jellemzése önállóan módusz, medián, átlag, szórás. választott mutatók segítségével. A reprezentatív minta jelentőségének megértése.

Magyar nyelv és irodalom: a tartalom értékelése hihetőség szempontjából; a szöveg hitelességével kapcsolatos tartalmi elemek magyarázata; a kétértelmű, többjelentésű tartalmi elemek feloldása; egy következtetés alapját jelentő tartalmi elem felismerése; az olvasó előismereteire alapozó figyelemfelhívó jellegű címadás felismerése. Gyakoriság, relatív gyakoriság. Véletlen A valószínűség és a statisztika törvényei Technika, életvitel és gyakorlat; esemény valószínűsége. érvényesülésének felfedezése a biológia-egészségtan: A valószínűség kiszámítása a klasszikus termelésben, a pénzügyi folyamatokban, a szenvedélybetegségek és modell alapján. társadalmi folyamatokban. rizikófaktor. A véletlen törvényszerűségei. A szerencsejátékok igazságtalanságának és a játékszenvedély veszélyeinek felismerése. Következtetés. Definíció. Tétel. Bizonyítás. Halmaz, alaphalmaz, igazsághalmaz, megoldáshalmaz. Függvény/transzformáció. Értelmezési tartomány. Művelet, műveleti Kulcsfogalmak/ tulajdonság. Egyenlet, azonosság, egyenletrendszer, egyenlőtlenség. Ekvivalencia. fogalmak Ellenőrzés. Véletlen, valószínűség. Adat, statisztikai mutató. Térelem, mennyiségi jellemző (távolság, szög, kerület, terület, felszín, térfogat). Matematikai modell. A fejlesztés várt Gondolkodási és megismerési módszerek eredményei a 12. – A logikai műveletek megfelelő alkalmazása a matematikában és a hétköznapi évfolyam végén életben. 71

Matematika – Bizonyított és nem bizonyított állítás közötti különbség megértése. – Feltétel és következmény biztos felismerése a következtetésben. – A szövegben található információk önálló kiválasztása, értékelése, rendezése problémamegoldás céljából. – A szöveghez illő matematikai modell elkészítése. Számtan, algebra Összefüggések, függvények, sorozatok A számtani és a mértani sorozat összefüggéseinek ismerete, gyakorlati alkalmazások. Geometria – A tanult tételek pontos ismerete, alkalmazásuk feladatmegoldásokban. – A valós problémákhoz geometriai modell alkotása. – Kerület, terület, felszín és térfogat kiszámítása speciális síkidomok és testek esetében. Valószínűség, statisztika – Statisztikai mutatók használata adathalmaz elemzésében. – A mindennapok gyakorlatában előforduló valószínűségi problémákat tudják értelmezni, kezelni. – Megfelelő kritikával fogadják a statisztikai vizsgálatok eredményeit, lássák a vizsgálatok korlátait, érvényességi körét. Összességében – A matematikai tanulmányok végére a matematikai tudás segítségével önállóan tudjanak megoldani matematikai problémákat. – Kombinatív gondolkodásuk fejlődésének eredményeként legyenek képesek többféle módon megoldani matematikai feladatokat. – Fejlődjön a bizonyítási, diszkussziós igényük olyan szintre, hogy az érettségi után a döntési helyzetekben tudjanak reálisan dönteni. – Feladatmegoldásokban rendszeresen használják a számológépet, elektronikus eszközöket. – Tudjanak a síkban, térben tájékozódni, az ilyen témájú feladatok megoldásához célszerű ábrákat készíteni. – A feladatmegoldások során helyesen használják a tanult matematikai szakkifejezéseket, jelöléseket. – A tanulók váljanak képessé a pontos, kitartó, fegyelmezett munkára, törekedjenek az önellenőrzésre, legyenek képesek várható eredmények becslésére. – A helyes érvelésre szoktatással fejlődjön a tanulók kommunikációs készsége. – A középfokú matematikatanulás lezárásakor rendelkezzenek a matematika alapvető kultúrtörténeti ismereteivel, ismerjék a legnagyobb matematikusok felfedezéseit, legyen rálátásuk a magyar matematikusok eredményeire.

72

Matematika

FELKÉSZÍTÉS EMELT SZINTŰ ÉRETTSÉGIRE Ez a szakasz az érettségire – és éppen ezáltal a tehetségesebb, érdeklődőbb diákok részére emelt szinten való - felkészítés időszaka is, ezért a fejlesztésnek kiemelten fontos tényezője az elemző-, és összegzőképesség alakítása. Ebben a két évfolyamban a korábbi évek ismereteinek, eljárásainak, problémamegoldó módszereinek áttekintése mellett sok, gyakorlati területen széles körben használható tudást is közvetítünk, valamint olyan többletismereteket, ami a szűkösebb órakerettel gazdálkodó alap-matematikai képzésnek nem kötelező részét képezi, mivel komolyabb élmélyültséget, ill. nagyobb jártasságot igényel, főleg elméleti háttértudást és a különböző részterületek adekvát asszociációját előfeltételezi. Példaként említve: a sík- és térgeometriai fogalmak és tételek mind a térszemlélet, mind az analógiás gondolkodás fejlesztése szempontjából lényegesek. A koordináta-geometria elemeinek tanításával a matematika különböző területeinek összefüggéseit s így a matematika komplexitását mutatjuk meg. Minden témában nagy hangsúllyal ki kell térnünk a gyakorlati alkalmazásokra, az ismeretek más tantárgyakban, más tudományokban való felhasználhatóságára. A statisztikai kimutatások és az információk kritikus értelmezése, az esetleges manipulációs szándék felfedeztetése hozzájárul a vállalkozói kompetencia fejlesztéséhez, a helyes döntések meghozatalához. Gyakran alkalmazhatjuk a digitális technikát az adatok, problémák gyűjtéséhez, a véletlen jelenségek vizsgálatához. A terület-, felszín-, térfogatszámítás más tantárgyakban és mindennapjaink gyakorlatában is elengedhetetlen. A sorozatok, kamatos kamat, törlesztőrészlet-számítás témaköre kiválóan alkalmas a pénzügyi, gazdasági problémákban való jártasság kialakításra. Az anyanyelvi kommunikáció fejlesztését is segíti, ha önálló kiselőadások, prezentációk elkészítését, megtartását várjuk el a diákoktól. (Különös fontosságú és pozitív eleme az emelt szintű matematika érettséginek éppen ezért, hogy szóbeli fordulóból is áll.) Az egyes tematikus egységekre jutó óraszámokat a táblázatok tartalmazzák. Ezen kívül számonkérésre összesen 12 órát tervezünk.

73

Matematika

11. évfolyam Tematikai egység címe órakeret 1. Gondolkodási és megismerési módszerek 6 óra 2. Számtan, algebra 16 óra 3. Összefüggések, függvények, sorozatok 9 óra 4. Geometria 20 óra 5. Valószínűség, statisztika 8 óra Összefoglalásra, gyakorlásra, ismétlésre szánt Órakeret 7 óra (a kerettantervben ún. szabad órakeret, az éves óraszám 10%-a) Ellenőrzés, számonkérés 6 óra Az össz. óraszám 72 óra Tematikai egység/ Órakeret 1. Gondolkodási és megismerési módszerek Fejlesztési cél 6 óra Előzetes tudás Sorbarendezési, leszámlálási problémák megoldása. Gráffal kapcsolatos alapfogalmak. Ismeretek rendszerezése, alkalmazása. Mintavétel céljának, értelmének megértése. A tematikai egység Gráfokkal kapcsolatos ismeretek alkalmazása, bővítése, konkrét példák alapján nevelési-fejlesztési gráfokkal kapcsolatos állítások megfogalmazása. A modellhasználati, modellalkotási céljai képesség fejlesztése. Ismeretek Fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok Vegyes kombinatorikai feladatok, Modell alkotása valós problémához: Földrajz: előrejelzések, kiválasztási feladatok. A kombinatorika kombinatorikai modell. tendenciák megfogalmazása alkalmazása geometriai feladatokban. Megosztott figyelem; két, illetve több Biológia-egészségtan: genetika Mintavétel visszatevés nélkül és szempont egyidejű követése. visszatevéssel. Matematikatörténet: Erdős Pál. Binomiális együtthatók. Jelek szerepe, alkotása, használata: célszerű jelölés megválasztásának jelentősége a matematikában. Gráfelméleti fogalmak, alkalmazásuk. Modell alkotása valós problémához: Fokszám összeg és az élek száma közötti gráfmodell. Megfelelő, a problémát jól összefüggés. tükröző ábra készítése. Matematikatörténet: Euler, Hamilton Kulcsfogalmak/ Mintavétel visszatevéssel, visszatevés nélkül. fogalmak Tematikai egység/ Órakeret 2. Számtan, algebra Fejlesztési cél 16 óra Hatvány fogalma egész kitevőre, hatványozás azonosságai. Négyzetgyök fogalma, Előzetes tudás azonosságai. Egyenlet, egyenlőtlenség megoldása. Ekvivalens egyenlet fogalma. Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban: valós problémák megoldása megfelelő A tematikai egység modell választásával. A matematika alkalmazása más tudományokban. Ismeretek nevelési-fejlesztési rendszerezése, alkalmazása. A matematika épülésének elvei: létező fogalom céljai újraértelmezése, kiterjesztése. A fogalmak kiterjesztése követelményeinek megértése. Függvénytulajdonság alkalmazása egyenlet megoldásánál (pl. szigorú monotonitás). Ismeretek Fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok n-edik gyök fogalma, azonosságai. A matematika belső fejlődésének A négyzetgyök fogalmának felismerése, új fogalmak alkotása. általánosítása. Hatványozás pozitív alap és racionális Fogalmak módosítása újabb kitevő esetén. tapasztalatok, ismeretek alapján. A hatványfogalom célszerű kiterjesztése, permanenciaelv alkalmazása. Hatványozás azonosságainak Ismeretek tudatos memorizálása. alkalmazása. Példák az azonosságok Ismeretek mozgósítása. érvényben maradására. A definíciók és a hatványozás Modellek alkotása (algebrai modell): Fizika; kémia: radioaktivitás. 74

Matematika azonosságainak közvetlen alkalmazásával megoldható exponenciális egyenletek.

exponenciális egyenletre vezető valós problémák (például: befektetés, hitel, értékcsökkenés, népesség alakulása, radioaktivitás).

Földrajz; biológia-egészségtan: globális problémák – demográfiai mutatók, a Föld eltartó képessége és az élelmezési válság, betegségek, világjárványok, túltermelés és túlfogyasztás. A logaritmus értelmezése. Korábbi ismeretek felidézése (hatvány Technika, életvitel és gyakorlat: Matematikatörténet: fogalma). zajszennyezés. A logaritmussal való számolás szerepe a Ismeretek tudatos memorizálása. Kémia: pH-számítás. Kepler-törvények felfedezésében. Fizika: Kepler-törvények. Zsebszámológép használata, táblázat Annak felismerése, hogy a technika Fizika; kémia: számítási használata. fejlődésének alapja a matematikai tudás. feladatok. A logaritmus azonosságai. A hatványozás és a logaritmus kapcsolatának felismerése. A definíciók és a logaritmus Modellek alkotása (algebrai modell): Életvitel és gyakorlat: azonosságainak közvetlen logaritmus alkalmazásával megoldható zajszennyezés. alkalmazásával megoldható egyszerű exponenciális egyenletek; ilyen Kémia: pH-számítás. logaritmusos egyenletek. egyenletre vezető valós problémák Biológia-egészségtan: érzékelés, az (például: befektetés, hitel, értékcsökkenés, inger és az érzet. népesség alakulása, radioaktivitás). Kulcsfogalmak/ n-edik gyök. Racionális kitevőjű hatvány. Exponenciális növekedés, csökkenés. Logaritmus. fogalmak Tematikai egység/ Órakeret 3. Összefüggések, függvények, sorozatok Fejlesztési cél 9 óra Függvénytani alapfogalmak. Hatványozás azonosságai. Négyzetgyök. Függvény Előzetes tudás megadása, tulajdonságai. Hegyesszög szögfüggvényeinek értelmezése. A folyamatok elemzése a függvényelemzés módszerével. Tájékozódás az időben: A tematikai egység lineáris folyamat, exponenciális folyamat. A matematika és a valóság: matematikai nevelési-fejlesztési modellek készítése, vizsgálata. Alkotás öntevékenyen, saját tervek szerint; alkotások céljai adott feltételeknek megfelelően. Ismerethordozók használata. Ismeretek Fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok Szögfüggvények kiterjesztése, A kiterjesztés szükségességének, Fizika: periodikus mozgás, trigonometrikus alapfüggvények alapgondolatának megértése. Időtől hullámmozgás, váltakozó feszültség (sin, cos, tg, ctg), és arcusfüggő periodikus jelenségek kezelése. és áram. függvényeik Földrajz: térábrázolás és térmegismerés eszközei, GPS. Informatika: tantárgyi szimulációs A trigonometrikus függvények Tudatos megfigyelés a változó szempontok és feltételek szerint. programok használata. transzformációi: , ; ; . Az exponenciális függvények. Permanenciaelv alkalmazása. Exponenciális folyamatok a Modellek alkotása (függvény modell): a természetben és a társadalomban. lineáris és az exponenciális növekedés/csökkenés matematikai modelljének összevetése konkrét, valós problémákban (például: népesség, energiafelhasználás, járványok stb.).

A logaritmusfüggvények vizsgálata. Logaritmus alapfüggvények grafikonja, jellemzésük. A logaritmusfüggvény mint az

Fizika; kémia: radioaktivitás. Földrajz: a társadalmi-gazdasági tér szerveződése és folyamatai. Történelem, társadalmi és állampolgári ismeretek; földrajz: globális kérdések: erőforrások kimerülése, fenntarthatóság, demográfiai robbanás a harmadik világban, népességcsökkenés az öregedő Európában.

Fizika; kémia: radioaktivitás. 75

Matematika exponenciális függvény inverze. Függvénynek és inverzének a grafikonja a koordinátarendszerben. Kulcsfogalmak/ Szinuszfüggvény, koszinuszfüggvény, tangensfüggvény. Exponenciális függvény, fogalmak logaritmusfüggvény. Exponenciális folyamat. Tematikai egység/ Órakeret 4. Geometria Fejlesztési cél 20 óra Sokszögekkel, körrel kapcsolatos ismeretek. Ponthalmazok, nevezetes ponthalmazok ismerete. Háromszög nevezetes vonalai, pontjai, körei. Háromszögekre, speciális háromszögekre vonatkozó tételek. Egybevágóság, hasonlóság, szimmetria. Hegyesszögek szögfüggvényei. Ekvivalens egyenlet. Elsőfokú és másodfokú egyenlet, Előzetes tudás kétismeretlenes egyenletrendszer algebrai megoldása. Alapszerkesztések, egyszerű szerkesztési feladatok körrel, háromszöggel kapcsolatosan. Vektorok, vektorműveletek. Hasáb, henger, gúla, kúp, gömb felismerése. Felszín, térfogat szemléletes fogalma. Poliéder felszíne. Számológép (számítógép) használata. Tájékozódás a térben. Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban: távolságok, szögek A tematikai egység kiszámítása a szögfüggvények segítségével. A matematika két területének (geometria és nevelési-fejlesztési algebra) összekapcsolása: koordináta-geometria. Emlékezés, korábbi ismeretek céljai rendszerezése, alkalmazása. Ismeretek Fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok Szinusztétel, koszinusztétel. Általános eset, különleges eset viszonya Fizika: vektor felbontása adott állású (tangenstétel) (a derékszögű háromszög és a két tétel). összetevőkre. Addíciós tételek Földrajz: térábrázolás és térmegismerés eszközei, GPS. Pitagoraszi összefüggés egy A trigonometrikus azonosságok szög szinusza és koszinusza megértése, használata. között. Összefüggés a szög és a Függvénytáblázat alkalmazása feladatok mellékszöge szinusza, illetve megoldásában. koszinusza között. A tangens kifejezése a szinusz és a koszinusz hányadosaként. Trigonometrikus egyenletek. A problémához hasonló egyszerű Fizika: rezgőmozgás, adott kitéréshez, Trigonometrikus egyenletre probléma keresése. sebességhez, gyorsuláshoz tartozó vezető, háromszöggel időpillanatok meghatározása. kapcsolatos valós problémák. Azonosság alkalmazását igénylő trigonometrikus egyenletek. Két vektor skaláris szorzata. A A művelet újszerűségének felfedezése. Fizika: mechanikai munka, mágneses skaláris szorzat tulajdonságai. A szükséges és az elégséges feltétel fluxus. Két vektor merőlegességének felismerése, megkülönböztetése. szükséges és elégséges feltétele. Vektoriális szorzat és tul. Helyvektor. Emlékezés: jelek, jelölések, Fizika: vonatkoztatási rendszer, hely megállapodások. megadása. Műveletek koordinátáikkal A vektor fogalmának bővítése (algebrai Fizika: erők összeadása komponensek adott vektorokkal. Vektorok és vektorfogalom). Sík és tér: a dimenzió segítségével, háromdimenziós rendezett számpárok közötti szemléletes fogalmának fejlesztése. képalkotás (hologram). megfeleltetés. A helyvektor koordinátái. Képletek értelmezése, alkalmazása. Fizika: hely megadása. Szakasz felezőpontjának, harmadoló pontjának, a háromszög súlypontjának koordinátái. Két pont távolsága, a szakasz Képletek értelmezése, alkalmazása. hossza. A kör egyenlete. Geometria és algebra összekapcsolása. Informatika: ponthalmaz megjelenítése 76

Matematika

Az egyenes különböző megadási módjai. Az irányvektor, a normálvektor, az iránytangens. Iránytangens és az egyenes meredeksége. A merőlegesség megfogalmazása skaláris szorzattal. Az egyenes egyenlete. Két egyenes párhuzamosságának, merőlegességének feltétele. Két egyenes metszéspontja. Kör és egyenes kölcsönös helyzete. Kör és kör kölcs. Helyzete. További kúpszeletek (ellipszis, hiperbola, parabola) A kör adott pontjában húzott érintője.

Megosztott figyelem; két, illetve több szempont egyidejű követése.

képernyőn (geometriai szerkesztőprogram). Informatika: ponthalmaz megjelenítése képernyőn (geometriai szerkesztőprogram). Fizika: út-idő grafikon és a sebesség kapcsolata.

Geometriai ismeretek felelevenítése, megfogalmazása algebrai alakban. Az egyenest jellemző adatok, a közöttük Informatika: tantárgyi szimulációs felfedezhető összefüggések értése, programok használata (geometriai használata. szerkesztőprogram). Geometriai probléma megoldása algebrai eszközökkel. Ismeretek mozgósítása, alkalmazása (elsőfokú, illetve másodfokú kétismeretlenes egyenletrendszer megoldása).

Informatika: ponthalmaz megjelenítése képernyőn (geometriai szerkesztőprogram).

A geometriai fogalmak megjelenítése Informatika: ponthalmaz megjelenítése algebrai formában. Geometriai képernyőn (geometriai ismeretek mozgósítása. szerkesztőprogram). A koordinátageometriai Geometriai problémák megoldása Informatika: tantárgyi szimulációs ismeretek alkalmazása egyszerű algebrai eszközökkel. Geometriai programok használata (geometriai síkgeometriai feladatok problémák számítógépes megjelenítése. szerkesztőprogram használata). megoldásában. Fizika: égitestek pályája. Kulcsfogalmak/ Valós szám szinusza, koszinusza, tangense kotangense. Bázisrendszer, helyvektor. Skaláris fogalmak szorzat. Ponthalmaz egyenlete; kétismeretlenes egyenletnek megfelelő ponthalmaz. Tematikai egység/ Órakeret 5. Valószínűség, statisztika Fejlesztési cél 8 óra A statisztika alapfogalmai. Adathalmaz statisztikai jellemzői, adathalmaz ábrázolása. Táblázatok kezelése. A véletlen esemény fogalma, a véletlen kísérlet fogalma. Elemi Előzetes tudás esemény, biztos esemény, lehetetlen esemény, komplementer esemény. Gyakoriság, relatív gyakoriság. Esély és valószínűség hétköznapi fogalma. Kombinatorikai ismeretek. Ismeretek rendszerezése, alkalmazása, bővítése. Műveletek az események között. A tematikai egység Matematikai elvonatkoztatás: a valószínűség matematikai fogalmának fejlesztése. nevelési-fejlesztési céljai Véletlen mintavétel módszerei jelentőségének megértése. Ismeretek Fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok Ismétlés, rendszerezés: eseményekkel A matematika különböző területei közötti Informatika: folyamatok, végzett műveletek; példák események kapcsolatok tudatosítása. kapcsolatok leírása logikai összegére, szorzatára, komplementer Halmazműveletek és események közötti áramkörökkel. eseményre, egymást kizáró műveletek összekapcsolása. eseményekre; elemi események. Események előállítása elemi események összegeként. Példák független és nem független eseményekre. A valószínűség klasszikus modellje. A modell és a valóság kapcsolata. Matematikatörténet: Rényi: Levelek a valószínűségről. Egyszerű és összetettebb valószínűség- Ismeretek mozgósítása, tanult Fizika: az űrkutatás hatása számítási problémák. kombinatorikai módszerek alkalmazása. mindennapjainkra, a találkozás valószínűsége. Statisztikai mintavétel. Valószínűségek Modell alkotása (valószínűségi modell): a Informatika: tantárgyi 77

Matematika visszatevéses mintavétel esetén, a mintavételi eljárás lényege. binomiális eloszlás. Visszatevés nélküli mintavétel. Hipergeometriai eloszlás. Kulcsfogalmak/ fogalmak

A fejlesztés várt eredményei a 11. évfolyam végén

szimulációs programok használata (binomiális eloszlás, Poisson eloszlás, hipergeom. eloszl.). Valószínűség matematikai fogalma. Klasszikus valószínűség-számítási modell. Gondolkodási és megismerési módszerek A kombinatorikai problémához illő módszer önálló megválasztása. A gráfok eszközjellegű használata problémamegoldásában. Bizonyított és nem bizonyított állítás közötti különbség megértése. Feltétel és következmény biztos felismerése a következtetésben. A szövegben található információk önálló kiválasztása, értékelése, rendezése problémamegoldás céljából. A szöveghez illő matematikai modell elkészítése. A tanulók a rendszerezett összeszámlálás, a tanult ismeretek segítségével tudjanak kombinatorikai problémákat jól megoldani,. A gráfok ne csak matematikai fogalomként szerepeljenek tudásukban, alkalmazzák ismereteiket a feladatmegoldásban is. Számtan, algebra – A kiterjesztett gyök- és hatványfogalom ismerete. – A logaritmus fogalmának ismerete. – A gyök, a hatvány és a logaritmus azonosságainak alkalmazása konkrét esetekben probléma megoldása céljából. – Egyszerű exponenciális és logaritmusos egyenletek felírása szöveg alapján, az egyenletek megoldása, önálló ellenőrzése. – A mindennapok gyakorlatában szereplő feladatok megoldása a valós számkörben tanult új műveletek felhasználásával. – Számológép értelmes használata a feladatmegoldásokban. Összefüggések, függvények, sorozatok – Trigonometrikus függvények értelmezése, alkalmazása. – Függvénytranszformációk végrehajtása. – Exponenciális függvény és logaritmusfüggvény ismerete. – Exponenciális folyamatok matematikai modelljének megértése. – Az új függvények ismerete és jellemzése kapcsán a tanulóknak legyen átfogó képük a függvénytulajdonságokról, azok felhasználhatóságáról. Geometria – Jártasság a háromszögek segítségével megoldható problémák önálló kezelésében. – A tanult tételek pontos ismerete, alkalmazásuk feladatmegoldásokban. – A valós problémákhoz geometriai modell alkotása. – Hosszúság és szög kiszámítása. – Két vektor skaláris szorzatának ismerete, alkalmazása. – Vektorok a koordináta-rendszerben, helyvektor, vektorkoordináták ismerete, alkalmazása. – A geometriai és algebrai ismeretek közötti összekapcsolódás elemeinek ismerete: távolság, szög számítása a koordináta-rendszerben, kör és egyenes egyenlete, geometriai feladatok algebrai megoldása. Valószínűség, statisztika – A valószínűség matematikai fogalma. – A valószínűség klasszikus kiszámítási módja. – Mintavétel és valószínűség. – A mindennapok gyakorlatában előforduló valószínűségi problémákat tudják értelmezni, kezelni.

78

Matematika

12. évfolyam Tematikai egység címe órakeret 1. Gondolkodási és megismerési módszerek 5 óra 2. Összefüggések, függvények, sorozatok 31 óra 3. Geometria 12 óra 4. Valószínűség, statisztika 10 óra 5. Összefoglalásra, gyakorlásra, ismétlésre szánt Órakeret 6 óra (a kerettantervben ún. szabad órakeret, az éves óraszám 10%-a) (Ellenőrzés, számonkérés) (alapórában) Az összes óraszám 64 óra Tematikai egység/ Órakeret 1. Gondolkodási és megismerési módszerek Fejlesztési cél 5 óra Az „és”, „vagy”, „vagy-vagy (kizáróvagy)”„nem”, „ha ..., akkor”, „akkor és csak akkor” Előzetes tudás szemléletes jelentése. A tematikai egység A logikai műveletek megfelelő használata a hétköznapi életben és a matematikában. nevelési-fejlesztési céljai Ismeretek Fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok Logikai műveletek: „nem”, „és”, „vagy”, Matematikai és más jellegű érvelésekben a „ha…, akkor”, „akkor és csak akkor” . logikai műveletek felfedezése, megértése, önálló alkalmazása. A köznyelvi kötőszavak és a matematikai logikában használt kifejezések jelentéstartalmának összevetése. A hétköznapi, nem tudományos szövegekben található matematikai információk felfedezése, rendezése a megadott célnak megfelelően. Matematikai tartalmú (nem tudományos jellegű) szöveg értelmezése. Kijelentés fogalma, műveletek Az ismeretek rendszerezése: a Fizika: logikai áramkörök, kijelentésekkel: konjunkció, diszjunkció, matematika különböző területei közötti kapcsolási rajzok negáció, implikáció, ekvivalencia. Összes kapcsolatok tudatosítása (halmazok – (egy-, és kétváltozós) logikai művelet kijelentések – események). igazságtáblázata, azonosságok. A logikai műveletek változatos alkalmazásai feladatokban. Kulcsfogalmak/ Logikai műveletek. Igazságtáblázat. fogalmak Tematikai egység/ Órakeret 2. Összefüggések, függvények, sorozatok Fejlesztési cél 25 óra Előzetes tudás Függvénytani fogalmak. A tematikai egység Sorozat vizsgálata; rekurzió, képletek értelmezése. A matematika és a valóság: nevelési-fejlesztési matematikai modellek készítése, vizsgálata. Ismerethordozók használata. Alkotás céljai öntevékenyen, saját tervek szerint; alkotások adott feltételeknek megfelelően. Ismeretek Fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok A számsorozat fogalma. A Sorozat megadása rekurzióval és Informatika: problémamegoldás függvény értelmezési képlettel. Sorozatok határértékének és informatikai eszközökkel és tartománya a pozitív egész küszöbindexének számítása. módszerekkel: algoritmusok számok halmaza. Konvergens Fibonacci sorozat vizsgálata, határértéke. megfogalmazása, tervezése. és divergens sorozatok, Alapfüggvények deriváltjának ismerete, korlátosság, monotonitás, összetett- és műveletekkel összekapcsolt Fizika: Mechanikai alkalmazások. határérték. függvények deriváltjának meghatározása. Differencálhányados. Érintő meredekségének kiszámítása adott Deriváltfüggvény, deriválási pontban. Függvényvizsgálat. (min. max. szabályok, alkalmazások infl. pont) 79

Matematika (érintő, szélsőérték feladatok stb.) Integrálszámítás (NewtonLeibniz t.) Riemann- (esetleg improprius-) integrál kiszámítási feladatok. Alkalmazások (primitívfüggvény, területsz. stb.) Matematikatörténet: Fibonacci, Cauchy, Bolzano, Weierstrass, Newton, Leibniz ... Számtani sorozat, az n. tag, az első n tag összege. Matematikatörténet: Gauss. Mértani sorozat, az n. tag, az első n tag összege.

„Egyszerűbb” függvények primitívfüggvényének meghatározása. Területszámítási feladatok. Kapcsolódás a valószínűségszámítással (eloszlások).

A sorozat felismerése, a megfelelő képletek használata problémamegoldás során. A sorozat felismerése, a megfelelő Fizika; kémia, biológia-egészségtan; földrajz; képletek használata problémamegoldás történelem, társadalmi és állampolgári során. ismeretek: exponenciális folyamatok A számtani sorozat mint lineáris vizsgálata. függvény és a mértani sorozat mint exponenciális függvény összehasonlítása. Kamatoskamat-számítás. Modellek alkotása: befektetés és hitel; Földrajz: a világgazdaság szerveződése Annuitás és különböző feltételekkel meghirdetett és működése, a pénztőke működése, a törlesztőrészletszám. befektetések és hitelek vizsgálata; a hitel monetáris világ jellemző folyamatai, költségei, a törlesztés módjai. hitelezés, adósság, eladósodás. Az egyéni döntés felelőssége: az Történelem, társadalmi és állampolgári eladósodás veszélye. ismeretek: a család pénzügyei és Korábbi ismeretek mozgósítása (pl. gazdálkodása, vállalkozások. százalékszámítás). Magyar nyelv és irodalom: szövegértés. A szövegbe többszörösen mélyen beágyazott, közvetett módon megfogalmazott információk és kategóriák azonosítása. Kulcsfogalmak/ Számsorozat, mint függvény. Rekurzió. Számtani sorozat, mértani sorozat. fogalmak Tematikai egység/ Órakeret 3. Geometria Fejlesztési cél 12 óra Sokszögekkel, körrel kapcsolatos ismeretek. Ponthalmazok, nevezetes ponthalmazok ismerete. Háromszög nevezetes vonalai, pontjai, körei. Háromszögekre, speciális Előzetes tudás háromszögekre vonatkozó tételek. Egybevágóság, hasonlóság, szimmetria. Hasáb, henger, gúla, kúp, gömb felismerése. Felszín, térfogat szemléletes fogalma. Poliéder felszíne. Számológép (számítógép) használata. A tematikai egység Terület, kerület, felszín és térfogat kiszámítása. nevelési-fejlesztési céljai Ismeretek Fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok Síkidomok kerületének és Ismeretek alkalmazása. Földrajz: felszínszámítás. területének számítása. Mértani testek csoportosítása. A problémához illeszkedő vázlatos ábra Informatika: tantárgyi szimulációs Hengerszerű testek (hasábok és alkotása; síkmetszet elképzelése, programok használata (térgeometriai hengerek), kúpszerű testek (gúlák ábrázolása. Fogalomalkotás közös szimulációs program). és kúpok), csonka testek (csonka tulajdonság szerint (hengerszerű, Kémia: kristályok. gúla, csonka kúp). Gömb. kúpszerű testek, poliéderek). Poliéderek és Euler-tétele. A tanult testek felszínének, A valós problémákhoz modell alkotása: Informatika: tantárgyi szimulációs térfogatának kiszámítása. geometriai modell. Ismeretek megfelelő programok használata (térgeometriai Gyakorlati feladatok. csoportosítása. szimulációs program). Kulcsfogalmak/ Terület, felszín, térfogat. 80

Matematika fogalmak Tematikai egység/ Fejlesztési cél Előzetes tudás

Órakeret 10 óra A statisztika alapfogalmai. Adathalmaz statisztikai jellemzői, adathalmaz ábrázolása. Táblázatok kezelése. A valószínűség klasszikus modellje. Ismeretek rendszerezése, alkalmazása, bővítése. Statisztikai mérőszámok. Következtetések a statisztikai mutatók alapján. A valószínűség geometriai modellje. 4. Valószínűség, statisztika

A tematikai egység nevelési-fejlesztési céljai Ismeretek Fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok Egyszerű példák a valószínűség Modellalkotás; megfelelő valószínűségi kiszámításának geometriai modelljére. modell hétköznapi problémákra, jelenségekre. Adathalmazok jellemzői: átlag, A statisztikai kimutatások és a valóság: az medián, módusz, terjedelem, szórás. információk kritikus értelmezése, az Nagy adathalmazok jellemzése esetleges manipulációs szándék statisztikai mutatókkal. felfedeztetése. Közvélemény-kutatás, minőség-ellenőrzés, egyéb gyakorlati alkalmazások elemzése. Számológép/számítógép használata statisztikai mutatók kiszámítására. Kulcsfogalmak/ Átlag, szórás. fogalmak Tematikai egység/ Órakeret 5. Rendszerező összefoglalás Fejlesztési cél 12 óra Előzetes tudás A középiskolai matematika anyaga. A matematika épülésének elvei: ismeretek rendszerezése, alkalmazása. Motiválás. Emlékezés. Önismeret, önértékelés, reflektálás, önszabályozás. Alkotás és kreativitás: A tematikai egység alkotás öntevékenyen, saját tervek szerint; alkotások adott feltételeknek megfelelően; nevelési-fejlesztési céljai átstrukturálás. Hatékony, önálló tanulás kompetenciájának fejlesztése. Ismeretek Fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok Gondolkodási és megismerési módszerek Halmazok. Ponthalmazok és A problémának megfelelő szemléltetés számhalmazok. Valós számok halmaza kiválasztása (Venn-diagram, és részhalmazai. számegyenes, koordináta-rendszer). Állítások logikai értéke. Logikai Szövegértés. A szövegben található Filozófia: logika - a következetes és műveletek. információk összegyűjtése, rendezett gondolkodás elmélete, a rendszerezése. logika kapcsolódása a matematikához és a nyelvészethez. Informatika: Egy bizonyos, nemrég történt esemény információinak begyűjtése több párhuzamos forrásból, ezek összehasonlítása, elemzése, az igazságtartalom keresése, a manipulált információ felfedése. Navigációs eszközök használata: hierarchizált és legördülő menük használata. A halmazelméleti és a logikai ismeretek Halmazok eszközjellegű használata. kapcsolata. Definíció és tétel. A tétel bizonyítása. Emlékezés a tanult definíciókra és A tétel megfordítása. tételekre, alkalmazásuk önálló problémamegoldás során. Bizonyítási módszerek. Direkt és indirekt bizonyítás közötti Filozófia: szillogizmusok. különbség megértése. Néhány tipikusan hibás következtetés 81

Matematika bemutatása, elemzése. Kombinatorika: leszámlálási feladatok. Sorbarendezési és kiválasztási Feladatok megoldása gráfokkal. problémák felismerése. Gondolatmenet szemléltetése gráffal. Műveletek értelmezése és műveleti Absztrakt fogalom és annak konkrét tulajdonságok. megjelenései: valós számok halmazán értelmezett műveletek, halmazműveletek, logikai műveletek, műveletek vektorokkal, műveletek vektorral és valós számmal, műveletek eseményekkel. Számtan, algebra Gyakorlati számítások. Kerekítés, közelítő érték, becslés. Technika, életvitel és gyakorlat: Számológép használata, értelmes alapvető adózási, biztosítási, kerekítés. egészség-, nyugdíj- és társadalombiztosítási, pénzügyi ismeretek. Egyenletek és egyenlőtlenségek. Megoldások az alaphalmaz, értelmezési tartomány, megoldáshalmaz megfelelő kezelésével. Algebrai azonosságok, hatványozás Az azonosságok szerepének ismerete, Fizika; kémia; biológia-egészségtan; azonosságai, logaritmus azonosságai, használatuk. Matematikai fogalmak földrajz; történelem, társadalmi és trigonometrikus azonosságok. fejlődésének bemutatása pl. a hatvány, állampolgári ismeretek: képletek (addíciós tételek, biz. nélkül) illetve a szögfüggvények példáján. használata Egyenletek és egyenlőtlenségek Adott egyenlethez illő megoldási megoldása. Algebrai megoldás, módszer önálló kiválasztása. grafikus megoldás. Ekvivalens Az önellenőrzésre való képesség. egyenletek, ekvivalens átalakítások. A Önfegyelem fejlesztése: sikertelen megoldások ellenőrzése. megoldási kísérlet után újjal való próbálkozás. Első-, másod- és magasabbfokú Tanult egyenlettípusok és egyenlet és egyenlőtlenség. N.-gyökös egyenlőtlenségtípusok önálló egyenletek. Abszolút értéket megoldása. tartalmazó egyenletek. Exponenciális, logaritmikus és trigonometrikus egyenletek. Elsőfokú és másodfokú két- és A tanult megoldási módszerek biztos többismeretlenes egyenletrendszer alkalmazása. megoldása. Egyenletekre, egyenlőtlenségekre Matematikai modell (egyenlet, Fizika; kémia; biológia-egészségtan; vezető gyakorlati életből vett és egyenlőtlenség) megalkotása, földrajz; történelem, társadalmi és szöveges feladatok. vizsgálatok a modellben, ellenőrzés. állampolgári ismeretek: matematikai modellek. Összefüggések, függvények, sorozatok A függvény megadása. A függvények Emlékezés: a fogalmak pontos tulajdonságai. felidézése, ismerete. Értelmezési tartomány, értékkészlet, zérushely, szélsőérték, monotonitás, periodicitás, paritás fogalmak alkalmazása konkrét feladatokban. Az alapfüggvények ábrázolása és tulajdonságai. A tanult alapfüggvények ismerete. Képi emlékezés statikus helyzetekben (grafikonok felidézése). Függvénytranszformációk: , Kapcsolat a matematika két területe között: függvénytranszformációk és 82

Matematika ; ; . Eltolás, nyújtás geometriai transzformációk. és összenyomás a tengelyre merőlegesen. Függvényvizsgálat a tanult Emlékezés, ismeretek mozgósítása. szempontok szerint. Függvények használata valós Fizika, kémia; biológia-egészségtan; folyamatok elemzésében. földrajz; történelem, társadalmi és Függvény alkalmazása matematikai állampolgári ismeretek: matematikai modell készítésében. modellek. Geometria Geometriai alapfogalmak, ponthalmazok. Térelemek kölcsönös helyzete, Valós problémában a megfelelő távolsága, szöge. geometriai fogalom felismerése, Távolságok és szögek kiszámítása. alkalmazása. Geometriai transzformációk. Távolságok és szögek vizsgálata a transzformációknál. Egybevágóság, hasonlóság. Szerepük felfedezése művészetekben, Szimmetriák. játékokban, gyakorlati jelenségekben. Háromszögekre vonatkozó tételek és Állítások, tételek jelentésére való alkalmazásuk. emlékezés. A háromszög nevezetes vonalai, A problémának megfelelő pontjai és körei. Összefüggések a összefüggések felismerése, háromszög oldalai, oldalai és szögei alkalmazása. között. A derékszögű háromszög oldalai, oldalai és szögei közötti összefüggések. Négyszögekre vonatkozó tételek és Állítások, tételek jelentésére való alkalmazásuk. emlékezés. Négyszögek csoportosítása különböző szempontok szerint. Szimmetrikus négyszögek tulajdonságai. Körre vonatkozó tételek és alkalmazásuk. Számítási feladatok. Vektorok, vektorok koordinátái. Bázisrendszer. Matematikatörténet: a vektor fogalmának fejlődése a fizikai vektorfogalomtól a rendezett szám nesig. Vektorok alkalmazásai. Vektorműveletek. Egyenes egyenlete. Kör egyenlete. Két Geometria és algebra összekapcsolása. alakzat közös pontja. Kúpszeletek egyenletei. Matematikatörténet: nevezetes szerkeszthetőségi problémák. Valószínűség-számítás, statisztika Diagramok. Statisztikai mutatók: Adathalmazok jellemzése önállóan Magyar nyelv és irodalom: a módusz, medián, átlag, szórás. választott mutatók segítségével. A tartalom értékelése hihetőség reprezentatív minta jelentőségének szempontjából; a szöveg megértése. hitelességével kapcsolatos tartalmi elemek magyarázata; a kétértelmű, többjelentésű 83

Matematika tartalmi elemek feloldása; egy következtetés alapját jelentő tartalmi elem felismerése; az olvasó előismereteire alapozó figyelemfelhívó jellegű címadás felismerése. Gyakoriság, relatív gyakoriság. Véletlen A valószínűség és a statisztika törvényei Technika, életvitel és gyakorlat; esemény valószínűsége. érvényesülésének felfedezése a biológia-egészségtan: A valószínűség kiszámítása a klasszikus termelésben, a pénzügyi folyamatokban, a szenvedélybetegségek és modell alapján. társadalmi folyamatokban. rizikófaktor. A véletlen törvényszerűségei. A szerencsejátékok igazságtalanságának és a játékszenvedély veszélyeinek felismerése. Következtetés. Definíció. Tétel. Bizonyítás. Halmaz, alaphalmaz, igazsághalmaz, megoldáshalmaz. Függvény/transzformáció. Értelmezési tartomány. Művelet, műveleti Kulcsfogalmak/ tulajdonság. Egyenlet, azonosság, egyenletrendszer, egyenlőtlenség. Ekvivalencia. fogalmak Ellenőrzés. Véletlen, valószínűség. Adat, statisztikai mutató. Térelem, mennyiségi jellemző (távolság, szög, kerület, terület, felszín, térfogat). Matematikai modell. A fejlesztés várt Gondolkodási és megismerési módszerek eredményei a 12. A logikai műveletek megfelelő alkalmazása a matematikában és a hétköznapi életben. évfolyam végén Bizonyított és nem bizonyított állítás közötti különbség megértése. Feltétel és következmény biztos felismerése a következtetésben. A szövegben található információk önálló kiválasztása, értékelése, rendezése problémamegoldás céljából. A szöveghez illő matematikai modell elkészítése. Számtan, algebra Összefüggések, függvények, sorozatok – A számtani és a mértani sorozat összefüggéseinek ismerete, gyakorlati alkalmazások. Geometria – A tanult tételek pontos ismerete, alkalmazásuk feladatmegoldásokban. – A valós problémákhoz geometriai modell alkotása. – Kerület, terület, felszín és térfogat kiszámítása speciális síkidomok és testek esetében. Valószínűség, statisztika – Statisztikai mutatók használata adathalmaz elemzésében. – A mindennapok gyakorlatában előforduló valószínűségi problémákat tudják értelmezni, kezelni. – Megfelelő kritikával fogadják a statisztikai vizsgálatok eredményeit, lássák a vizsgálatok korlátait, érvényességi körét. Összességében – A matematikai tanulmányok végére a matematikai tudás segítségével önállóan tudjanak megoldani matematikai problémákat. – Kombinatív gondolkodásuk fejlődésének eredményeként legyenek képesek többféle módon megoldani matematikai feladatokat. – Fejlődjön a bizonyítási, diszkussziós igényük olyan szintre, hogy az érettségi után a döntési helyzetekben tudjanak reálisan dönteni. – Feladatmegoldásokban rendszeresen használják a számológépet, elektronikus eszközöket. – Tudjanak a síkban, térben tájékozódni, az ilyen témájú feladatok megoldásához célszerű ábrákat készíteni. – A feladatmegoldások során helyesen használják a tanult matematikai szakkifejezéseket, jelöléseket. – A tanulók váljanak képessé a pontos, kitartó, fegyelmezett munkára, törekedjenek az önellenőrzésre, legyenek képesek várható eredmények becslésére. – A helyes érvelésre szoktatással fejlődjön a tanulók kommunikációs készsége. – A középfokú matematikatanulás lezárásakor rendelkezzenek a matematika 84

Matematika alapvető kultúrtörténeti ismereteivel, ismerjék a legnagyobb matematikusok felfedezéseit, legyen rálátásuk a magyar matematikusok eredményeire.

85

Kosztolányi Dezső Gimnázium

Recommend Documents