KONTRUKSI RUMUS NORMA ALTERNATIF UNTUK 1 RUANG FUNGSI L ([ 0,1]) Wahyuniati1, Erna Apriliani2, Eridani 3 ABSTRAK Ruang fungsi Lp (X ) merupakan ruang bernorma untuk 1 p . Semua ruang hasil kali dalam adalah ruang bernorma, tetapi tidak selalu berlaku sebaliknya. Ruang fungsi L1 ( X ) adalah ruang bernorma yang bukan ruang hasil kali dalam. Pembahasan utama pada penelitian ini adalah kajian ruang fungsi L1 ( X ) karena ruang fungsi L1 ( X ) lebih luas dari kajian ruang fungsi Lp (X ) untuk 1 p . Sebagai hasil utamanya adalah rumus norma alternatif yang didapatkan dengan memanfaatkan 1 fungsi bebas linier pada L ( X ) tersebut. Dengan mendefinisikan daerah X , akan lebih menarik jika diambil ruang tertutup [ 0,1] . Beberapa contoh fungsi bebas linier di 1 dalam ruang fungsi L ([0,1]) yaitu jenis-jenis fungsi walsh menghasilkan bentuk eksplisit rumus norma alternatif yang baru untuk ruang fungsi yang bersangkutan. Kata Kunci: fungsi bebas linier, ruang bernorma, ruang fungsi Lp (X ) , ruang hasil kali dalam. 1. PENDAHULUAN p Ruang fungsi L ( X ) untuk 1 p dan ruang norma-n menjadi salah satu topik yang dapat dikaji dalam bidang matematika analisis. Pada jurnal matematika [Gunawan,H 2001] membahas ruang barisan l p untuk 1 p dan ruang norma-n. Hasil utama dari jurnal tersebut adalah didapatkan norma alternatif untuk ruang barisan. Dengan memanfaatkan barisan bebas linier di l p untuk 1 p dihasilkan kaitan rumus norma baku dengan norma alternatifnya. Sehingga rumus norma baru yang didapatkan memiliki sifat-sifat seperti yang ada pada norma l p klasik, seperti kekonvergenan, kelengkapannya, maupun pembahasan titik tetapnya. Menjadi sesuatu hal yang menarik jika pembahasan dan hasil yang diperoleh pada l p ini diterapkankan pada ruang fungsi Lp (X ) . Sehingga diharapkan memberikan wacana baru tentang norma dan melengkapi penelitian sebelumnya. Sedikitnya sumber literatur, tidak akan mengurangi kontribusi pada perkembangan penelitian ilmiah matematika. Studi beberapa ruang fungsi [Gunawan,H 2001] dan fungsi bernilai real, p adalah bilangan real positif, suatu fungsi terukur didefinisikan
untuk ruang
1 p Lp ([0,1]) jika f . Untuk kesederhanaan didefinisikan 0
f Lp ([0,1]) jika: 1
Mahasiswa Pasca Sarjana Matematika-FMIPA Intitut Teknologi Sepuluh Nopember, Sukolilo, Surabaya. Jurusan Matematika-FMIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Sukolilo, Surabaya. 3 Jurusan Matematika-Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga, Surabaya. 2
Seminar Nasional-Pendidikan Sains FMIPA Unesa 2008/38
1
1 p p f p : f d 0 1 Pada penelitian ini dikontruksi rumus alternatif untuk ruang fungsi L ([0,1]) dengan menganalogkan norma alternatif pada ruang barisan. Dengan memanfaatkan norma alternatif tersebut juga dapat ditemukan norma dengan pola tertentu berdasarkan pilihan himpunan fungsi bebas linier. 2.BEBERAPA TEOREMA YANG DIBUTUHKAN Teorema-teorema yang digunakan untuk pembahasan penelitian ini adalah sebagai berikut: Teorema 1: Ketaksamaan Holder (Jones,F 1993) Jika f Lp dan g Lg dengan 1 p, q dan f .g
f
1 1 1 , p q
1 maka f .g L dan
g q. Teorema 2: Ketaksamaan Minskwoski (Jones,F 1993) Jika f dan g didalam Lp untuk p 1 maka f g Lp 1
f g
p
p
f
p
g
p
dan berlaku
.
Definisi 3: Aljabar- (Jones,F 1993) Suatu Aljabar- subset dari X adalah koleksi dari himpunan-himpunan M 2 x akan memenuhi kriteria berikut: 1. M 2. A, B M A B M 3. A M A C M Definisi 4: Ukuran (Jones,F 1993) Suatu fungsi adalah ukuran maka memenuhi tiga hal berikut yaitu: (1). Suatu himpunan X tidak kosong; (2). M adalah aljabar , dengan M 2 x ; (3). Suatu fungsi didefinisikan pada M memenuhi : a. 0 ( A) untuk semua AM , b. () 0 , c. Jika A1 , A2 ,... adalah himpunan saling bebas di dalam M , maka: Ak Ak k 1 k 1 Oleh karena itu fungsi disebut ukuran. Definisi 5: Fungsi Terukur (Barttle, 2001) ( X , M , ) adalah ruang ukuran, suatu X M X adalah himpunan terukur. Misalkan suatu f : X R disebut fungsi terukur jika dan hanya jika x X ; f ( x ) M , R . Definisi 6: Definisi Ruang Fungsi L1 (Jones, F 1993) 1 n Jika f L ( R ) didefinisikan norm f di dalam L1 adalah : Seminar Nasional-Pendidikan Sains FMIPA Unesa 2008/39
f
1
f ( x ) dx Rn
disebut sebagai norma jika memenuhi kriteria dibawah ini: (a). 0 f 1 (b). f 1 0 f 0(a.e) (c). cf 1 c f 1 jika c R (d). f g 1 f 1 g 1 Terlihat bahwa untuk poin (d) sesuai dengan pertidaksamaan segitiga yaitu f ( x ) g ( x) f ( x) g ( x) . Definisi 7: Definisi Norma-n (Gunawan,H 2001) Jika n adalah bilangan bulat tak negatif dan X adalah ruang linier real dengan dimensi d n , maka Fungsi bernilai riel .,...,. pada X n memenuhi kriteria norma berikut: (i). x1 ,..., x n 0, jika dan hanya jika x1 ,..., x n bergantung linier. (ii). x1 ,..., x n invarian terhadap permutasi. (iii). x1 ,..., x n x1 ,..., xn untuk setiap R . (iv). x1 x' , x2 ,...xn x, x2 ,...,xn x' , x2 ,...,xn Definisi 8: Definisi Norma-2 untuk Ruang Fungsi Lp (Jones, F 1993) p Suatu fungsi f dengan definisi f p : L [ a, b] R,1 p adalah well defined dan p fungsi g dengan definisi g p : L [a, b] R ,1 p dengan definisi norma-2nya adalah .,.
p
: Lp [a, b] xLp [a, b ] R ,1 p yang memenuhi: 1 p
f (x) f ( y) 1 (1) f , g p : det dxdy g ( x ) g ( y ) 2 a a 9. Pengertian Fungsi Walsh bb
p
Gambar 1. Jenis fungsi Walsh Dari fungsi tangga satuan yang telah dikenal, didapatkan bermacam-macam jenis fungsi Walsh. Berikut contoh fungsi Walsh:
Seminar Nasional-Pendidikan Sains FMIPA Unesa 2008/40
1 1,0 x 2 f1 ( x) 0, 1 x 1 2 1 0 , 0 x 2 f 2 ( x ) 1 1, x 1 2
(2)
3.HASIL DAN PEMBAHASAN Pembahasan pada penelitian ini diawalai dengan membuktikan rumus Alternatif sebagai bentuk norma yaitu: Lemma 10: Norma Alternatif X , .,. Diberikan ruang bernorma-2 , dapat dipilih himpunan fungsi bebas linier
f 1 , f 2 di
dalam X , dapat dibuktikan rumus alternatif
adalah norma. Juga h
* p
: h, f1
p
untuk
h, f 2
p
f 1 , f 2 , f 3 di
h, f 3
h p : h, f1 h, f 2 *
p
1 p p
dalam X merupakan norma yaitu
. Sedangkan
1 p p
h
*
: h, f 1 p
1 p p
bukan termasuk
norma. Untuk mendapatkan hasil dari penelitian ini, dipilih X yaitu ruang fungsi L ([0,1]) dan L1 ([0,1]) . Oleh karena itu dibuktikan hubungan keduanya yaitu: Teorema 11: Hubungan Lq Lp (Jones, F 1993) Jika 1 p q maka Lq Lp P Sebagai fungsi bebas linier di L ([0,1]) yang dipilih adalah fungsi Walsh (2) { f1 , f 2 }, {f 1 , f 2 } , pada [0,1] yaitu berbentuk dan {1 f 1 , 2 f 2 ,...,k f k ,..., n 1 f n 1 , n f n }. Uraian dibawah ini akan memberikan hasil yang diharapkan. p 1. Fungsi Walsh pada [0,1] yang berbentuk { f1 , f 2 } untuk L ([0,1]) Suatu fungsi Walsh didefinisikan pada [0,1] yang terdiri dari dua fungsi bebas linier (2) yang berlaku f1 , f 2 Lp ([0,1]) . Untuk h( x ) L p ([0,1]) , sehingga untuk P
norma-2 h, f i
p
untuk i 1,2 dapat dicari dengan menggunakan (2) yaitu: 1
h, f i
p
11 p 1 p untuk i 1,2 . h ( x ) f ( y ) h ( y ) f ( x ) dxdy i i 2 00
Dengan memanfaatkan ketaksamaan minskwoski didapatkan: 2
h, f1 h, f 2
21p . h p p
2 1p
2
.h
p
p
sehingga norma baru yang dihasilkan untuk kasus fungsi bebas linier { f 1 , f 2 } h
h
2 p 1 p
*
1 p
p p
1 p
Seminar Nasional-Pendidikan Sains FMIPA Unesa 2008/41
1
1 p h p . 2 p 2. Fungsi Walsh pada [0,1] yang berbentuk {g1 , g 2 } untuk L ([0,1]) Didefinisikan fungsi bebas linier {g1 , g 2 } = {f 1 , f 2 } , dengan , adalah bilangan bulat di R , dan { f 1 , f 2 } adalah persamaan (2). Tampak jelas bahwa g1 , g 2 Lp ([0,1]) . Dengan cara yang sama pada poin 1 di atas, akan didapatkan hubungan norma alternatif sesuai dengan fungsi bebas linier yang dipilih. Ketaksamaan minskwoski dapat dipakai untuk menghasilkan: h
*
p
2
h, g1 h, f 2
p
21 p . h
p
2 h 2 1 p
p
p
sehingga norma baru yang dihasilkan untuk kasus fungsi bebas linier {g1 , g 2 } h
h
: h, f1 h, f 2 p
*
* p
p
1
1 p p
.
21 p h
p
p
1 p
p 3. Fungsi Walsh pada [0,1] yang berbentuk {g1 , g 2 ,..., g k ,..., g n } untuk L ([0,1]) {g1 , g 2 ,..., g k ,..., g n } {1 f 1 , 2 f 2 ,...,k f k , n f n } , Suatu = dengan f1 , f 2 , f 3,..., f k ,..., f n berada pada interval [0,1] untuk pengambilan 1 , 2 ,3 ,..., k ,...,n sebagai bilangan real positif . Untuk kasus ini dapat dihasilkan :
h, g1 h, g 2 h, g 3
p
2n p .2 1 . h
p
p
2n 2 2 h
p
p
2n 2 3 h p , h, g 4
1
1 p 1 p
fungsi yaitu h, g n
p
2n p 2 4 h p , dan seterusnya sampai n buah 1
p
2n 2 n h p . 1 p
Sedangkan norma baru
yang
dihasilkan untuk kasus fungsi bebas linier ini adalah: * h p h, g1 p ... h, g k ... h, g n Sehingga didapat norma turunan dengan fungsi bebas linier {g 1 , g 2 ,..., g k ,..., g n } adalah 1 h p 2 n p h
*
1
p
... ... 1
k
n
Dari pembahasan ini, didapatkan hubungan antara norma alternatif
h
* p
dengan norma baku h p . Hubungan ini akan sangat sesuai dengan bentuk fungsi bebas linier yang digunakan. Akan lebih bagus jika fungsi bebas linier yang digunakan memunyai konstanta-konstanta yang berpola seperti deret aritmatika atau deret geometri. 1 Dengan cara yang sama untuk ruang fungsi L ([0,1]) sebagai hasil utamanya adalah: 1 1. Fungsi Walsh pada [0,1] yang berbentuk { f1 , f 2 } untuk L ([0,1]) Seminar Nasional-Pendidikan Sains FMIPA Unesa 2008/42
Suatu fungsi Walsh didefinisikan pada [0,1] yang terdiri dari dua fungsi bebas 1 linier { f1 , f 2 } seperti pada persamaan (2) adalah berada di dalam L ([0,1]) . Pada 1 ruang fungsi L ([0,1]) ini didapatkan norma baru yaitu: h h
2p h p
*
* p
p 1
2
h 1
21p
p
p 1
p
h
p 1
1 p
1 p
1
p 1 h 1 . 2 Sehingga didapatkan hubungan norma alternatif dengan norma baku yang telah 1 diketahui untuk kasus fungsi bebas linier { f 1 , f 2 } untuk ruang fungsi L ([0,1]) yaitu : h
*
p
1
p 1 h 1 2 2. Fungsi Walsh pada [0,1] yang berbentuk {g1 , g 2 } untuk L1 ([0,1]) Dengan mengambil fungsi yang sama dengan Lp ([0,1]) yaitu suatu fungsi Walsh yang didefinisikan dengan dua fungsi bebas linier {g1 , g 2 } ={f1 , f 2 } yang 1 berada di L ([0,1]) . Dengan cara yang sama, pada kasus ini akan didapatkan hubungan norma alternatif h
*
p
dengan
norma
baku
yang
baru
dari
h
* p
: h, g1
p 1
h, g 2
g 1 , g 2 yang bebas linier. Sehingga didapatkan: memanfaatkan fungsi h h h h
* p * p * p * p
: h, g1
p 1
h, g 2
p 1
1 p p 1
dengan
1 p
h h p h p
1
h
1
p
p
1
p
1
1 p
1 p
1 3. Fungsi Walsh pada [0,1] yang berbentuk {g1 , g 2 ,..., g k ,..., g n } untuk L ([0,1]) . Untuk kasus ini dihasilkan norma alternatif yang baru adalah: * 1 2 3 ...k ...n h p h 1
h
* p
h
n
1
i1
i
Dari beberapa kasus di atas menunjukkan bahwa untuk ruang fungsi L ([0,1]) menghasilkan hubungan antara norma alternatif dengan norma baku sesuai 1 fungsi-fungsi bebas linier yang diberikan. Sehingga norma alternatif untuk L ([0,1]) 1
p * serupa dengan norma alternatif untuk L ([0,1]) , yaitu h p : h, g 1 1 p h, g 2
.
1 p p 1
4.KESIMPULAN Dari hasil pembahasan permasalahan rumus norma alternatif ini dapat disimpulkan: 1 1. Rumus Norma alternatif untuk ruang fungsi L ([0,1]) adalah:
Seminar Nasional-Pendidikan Sains FMIPA Unesa 2008/43
h
* p
: h, g1
p 1
h, g 2
1 p p 1
2. Keterkaitan norma alternatif dengan norma baku untuk fungsi bebas linier:
{ f 1 , f 2 } adalah h
* p *
1
1p h 2 1 1p h 2
{g1 , g 2 } adalah h
{g1 , g 2 ,..., g k ,..., g n } adalah h
p
p
p * p
n
1
1p h 2
p
i
i1
1 Sedangkan untuk ruang fungsi L ([0,1]) adalah: *
1
p 1 h 1 2 h 1
{ f 1 , f 2 } adalah h
{g1 , g 2 } adalah h
{g1 , g 2 ,..., g k ,..., g n } adalah h
p * p
* p
h 1 i n
i1
5.DAFTAR PUSTAKA [1].Anton, H. 1987. “Aljabar Linier Elementer”, Edisi kelima, Erlangga: Jakarta. [2].Aliprantis, D. C. dan Burkinshaw,O , (1999), “ Problem in Real Analisys, a workbook with Solutions”, 2nd Edition, ACADEMIC PRESS, San Diego, USA. [3].Bartle, Robert. G, 2001, “Introduction To Real Analysis, Second Edition”, John Willey & Sons. Inc, USA. [4].Gunawan, H., (2000), “ On n-Normed Spaces”, Int. J. Math. Math. Sci, vol 27 , hal. 321-329. [5] Gunawan, H., (2001), “The Space p-Summable Sequences and its Natural nNorm”, Bulletin Australia Mathematic Society, vol 64, hal. 137-147. [6].Gunwan, H, dan Mashadi, (2001), “On Finite Dimensional 2-normed space”, soochow journalof mathematic, volume 27, no.3, pp.321-329, [7].Hellekalek, P., (1994), “General discrepancy estimates: the Walsh functionSystem”, Universitas Salzburg, Salzburg, Austria. [8].Jones, F., (1993), “ Lebesque Integration on Euclidian Space “, Jones and Barlet Publishers, Boston, London. [9].Kreyszig, E., (1978), “Introductory Functional Analysis with Application”. John Wiley and Sons, Inc.,Canada. [10].Royden, H.L. ,1968. “Real Analysis, second Edition”, Macmillan Publishing co., inc.: New York.
Seminar Nasional-Pendidikan Sains FMIPA Unesa 2008/44
