Konstruktivistické přístupy k vyučování a praxe

Konstruktivistické přístupy k vyučování a praxe

Naďa Stehlíková Jana Cachová

Studijní materiály k projektu Operační program Rozvoj lidských zdrojů č. projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky v rámci operačního programu Rozvoj lidských zdrojů

© JČMF 2006

SU



MA

Společnost učitelů matematiky JČMF

Obsah Úvod Konstruktivizmus a naše pedagogické přesvědčení Rámcové vzdělávací programy Úloha příkladů z praxe v dalším vzdělávání učitelů matematiky Pět tezí popisujících podnětnou výuku Teze 1. Učitel probouzí zájem dítěte o matematiku a její poznávání Teze 2. Učitel předkládá žákům podnětná prostředí (úlohy a problémy) a vhodně s nimi pracuje Teze 3. Učiteli jde především o žákovu aktivní činnost Teze 4. Učitel nahlíží na chybu jako na vývojové stádium žákova chápání matematiky a impulz pro další práci Teze 5. Učitel se u žáků orientuje na diagnostiku porozumění spíše než na reprodukci odpovědi Závěr Témata seminárních prací Literatura

strana 2 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

 MA

Společnost učitelů matematiky JČM F

Úvod Potřeba změny koncepce výuky matematiky je přetrvávajícím tématem diskusí učitelů, didaktiků, veřejnosti i matematiků. V komunitě didaktiků matematiky dnes převládá přesvědčení, že cestou, která by mohla přispět ke zlepšení současného stavu, je větší uplatnění konstruktivistických přístupů ve výuce. V tomto textu se pokusíme podat jejich stručnou charakteristiku, která postačí jako pozadí pro naše konkrétní ukázky v hlavní části textu. V úvodu se také věnujeme propojení tematiky konstruktivistických přístupů a právě probíhající reformy základního školství prostřednictvím Rámcového vzdělávacího programu pro základní vzdělávání. Konstruktivizmus a naše pedagogické přesvědčení [Konstruktivizmus v psychologických a sociálních vědách je] směr druhé poloviny 20. století, který zdůrazňuje aktivní úlohu člověka, význam jeho vnitřních předpokladů a důležitost jeho interakce s prostředím a společností. (Hartl, Hartlová, 2000, s. 271)

O konstruktivizmu a jeho přednostech pro vyučování se v didaktice matematiky mluví asi od 80. let minulého století, jeho principy však zůstávají spíše v rovině teoretické než praktické. Konstruktivizmus není jasně vymezenou teorií, ale skládá se z mnoha proudů a neustále se vyvíjí. Také dostává celou řadu přívlastků podle toho, jaké aspekty poznání a výuky akcentuje (radikální, sociální, didaktické apod.). Není naším cílem podat vyčerpávající evidenci různých typů konstruktivizmu, ani se k jedné z nich jednoznačně přihlásit. Spíše se budeme snažit vyjasnit naše chápání konstruktivizmu a přiblížit některé jeho principy na praktických ukázkách. Tzv. radikální konstruktivizmus (např. Glasersfeld, 1995) stručně řečeno, zavrhuje vše, co je vně světa zkušeností jedince. Je tak do jisté míry na opačném pólu spektra než behaviorizmus, který nebere v úvahu existenci mentálních konstruktů nepřístupných přímému pozorování a poznání považuje za objektivní a nezávislé na poznávajícím. Zastánci radikálního konstruktivizmu považují pravdu za důsledek společenského konsensu a nepřipouštějí možnost ‚objektivní‘ pravdy. Psychologové mluví o kognitivním konstruktivizmu, jehož základy lze vysledovat i v pracích klasiků (Piaget, 1985, Dewey, 1932). Poznávání se děje konstruováním tak, že si poznávající jedinec spojuje fragmenty informací z vnějšího prostředí do smysluplných struktur a provádí s nimi mentální operace, které odpovídají úrovni jeho kognitivního rozvoje (Průcha aj., 2001). Práce L. Vygotského (např. Vygotskij, 1970, 1976) jsou základem tzv. sociálního konstruktivizmu, který zdůrazňuje nezastupitelnou roli sociální interakce a kultury v konstrukci poznatků. Z. Kalhous aj. (2002, s. 55) zdůrazňují, že „učení ... je proces zároveň osobní i sociální, který nastává tehdy, když jedinci spolupracují na budování (konstrukci) sdílených, společných porozumění a významů“. Pro konstruktivistické přístupy k vyučování matematice je příznačné „aktivní vytváření části matematiky v mysli žáka. Podle povahy žáka může být podkladem pro takovou konstrukci otázka či problém ze světa přírody, techniky nebo matematiky samé.“ (Kuřina, 2002). Zásadní roli hraje motivace, neboť bez motivace lze těžko očekávat od žáka či studenta aktivitu. Žák či student, „který nebude k učení motivován, si žádnou poznatkovou strukturu nevybuduje, ba on ji ani budovat nezačne, neboť k tomu je třeba jeho aktivita“ (Kuřina, 2002). Motivačně by měly působit i samy otázky a problémy, které jsou studentům předkládány, případně které navrhnou studenti sami. M. Hejný a F. Kuřina (1998, 2001) přetvářejí obecný konstruktivistický přístup k vyučování v tzv. didaktický konstruktivizmus, který bere v úvahu specifika vyučování matematice. Formulují deset zásad, které popisují jejich pojetí k vyučování matematice v době svého vzniku. Zkrácené zásady uvádíme níže. strana 3 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

 MA


1. Matematika je chápána jako specifická lidská aktivita, ne jen jako její výsledek. 2. Podstatnou složkou matematické aktivity je hledání souvislostí, řešení úloh a problémů, tvorba pojmů, zobecňování tvrzení, jejich prověřování a zdůvodňování. 3. Poznatky jsou nepřenosné, vznikají v mysli poznávajícího člověka. 4. Tvorba poznatků se opírá o zkušenosti poznávajícího. 5. Základem matematického vzdělávání je vytváření prostředí podněcujícího tvořivost. 6. K rozvoji konstrukce poznatků přispívá sociální interakce ve třídě. 7. Důležité je použití různých druhů reprezentace a strukturální budování matematického světa. 8. Značný význam má komunikace ve třídě a pěstování různých jazyků matematiky. 9. Vzdělávací proces je nutno hodnotit minimálně ze tří hledisek: porozumění matematice, zvládnutí matematického řemesla, aplikace matematiky. 10. Poznání založené na reprodukci informací vede k pseudopoznání, k formálnímu poznání.

F. Kuřina dále mluví o tzv. realistickém konstruktivizmu, který podle něho lépe odpovídá reálným možnostem aplikace konstruktivistických přístupů ve výuce. Kromě výše uvedených zásad zdůrazňuje také možnost transmise určitých partií, ovšem stále v intencích základního principu konstruktivizmu, tj. vytváření matematiky v mysli poznávajícího jedince: Při řešení ... problému můžeme přirozeně sdělovat žáku všechny potřebné informace, vysvětlovat pojmy, odkazovat na poznatky v příručkách a encyklopediích, ale vše ve službách rodící se matematiky v duševním světě žáka. Konstruktivní vyučování tedy může obsahovat transmisi celých partií, může obsahovat i instrukce k řešení typických úloh. (Kuřina, 2002, s. 6)

Realistický konstruktivizmus sice zdůrazňuje nutnost řešení problémů a problémových situací pro poznávání jedince, nicméně mluví explicitně i o čerpání podnětů z okolního světa a zprostředkovaně z učebnic a další literatury, případně prostřednictvím výpočetní techniky a internetu. Vždyť ne všechno se dá vymyslet, k učení potřebujeme i informace. [Například] že procento označujeme %. Hlubší poznání jako „co je to procento“ či „k čemu je procento užitečné“ by však už mělo vznikat v žákově vědomí jeho vlastní konstrukcí. (Hejný, Stehlíková, 1999, s. 33)

V tomto textu budeme vyučování, které zahrnuje prvky konstruktivistických přístupů k vyučování, pro jednoduchost nazývat podnětné vyučování. Rámcové vzdělávací programy Určité možnosti pro rozšíření konstruktivistických přístupů do praxe otevřel Národní program rozvoje vzdělávání MŠMT, tzv. ‚Bílá kniha‘ (Kotásek, 2001), a z něj vycházející rámcové vzdělávací programy. Za prvořadý cíl si kladou přizpůsobit vzdělávání celkovému rozvoji společnosti a jejím neustále se měnícím potřebám a zajistit uplatnění absolventů na trhu práce (větší flexibilitou jedince, možnostmi jeho rekvalifikace a programem celoživotního vzdělávání občanů). Dále počítají s uzpůsobením školství novým zdrojům informací, jako jsou počítače, internet, ale také studijní pobyty v zahraničí aj. Podle ‚Bílé knihy‘ a rámcových vzdělávacích programů nemůže tradiční školský systém v budoucnu obstát, je nutná jeho podstatná změna, a to v samotném přístupu učitelů k žákům, v přístupu žáků k dostupným informacím a jejich využívání, ale také v systému hodnocení, vedení škol, v kurikulárním systému, při přípravě a vzdělávání budoucích učitelů atd. Je zapotřebí změnit náplň a cíle vzdělávání a styl vyučování. Hlavní cíle Národního programu rozvoje vzdělávání v zásadě neodporují myšlenkám konstruktivizmu. Hovoří se zde o směrech a vyučovacích metodách umožňujících nové změny, strana 4 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

 MA


které se budou v praxi postupně prosazovat – jako příklad je uvedeno projektové vyučování. Vzdělávací oblast ‚Matematika a její aplikace‘ je v základním vzdělávání založena především na aktivních činnostech (rozumějme žákových) s matematickými objekty a na aplikaci matematiky v reálných situacích; má žákovi poskytovat vědomosti a dovednosti potřebné v praktickém životě. Klade důraz na důkladné porozumění základním myšlenkovým postupům, pojmům a jejich vzájemným vztahům. To ostatně odpovídá i zásadám didaktického konstruktivizmu – vyučování matematice chápe jako specifickou lidskou aktivitu, ne jen jako její výsledek. Nelze se soustředit pouze na procvičování matematického řemesla (dovedností), ale také na porozumění pojmům a jejich aplikování. Konečně, rámcové vzdělávací programy poskytují prostor pro tvořivost učitele – což je pro konstruktivistické přístupy důležité – jedině tvořivý učitel může vychovávat tvořivého žáka. O tvořivou činnost v matematice (a o jakoukoli činnost v matematice vůbec) jde především – právě jejím prostřednictvím je možné individuálně rozvíjet matematiku v myslích jednotlivých žáků. Shrnutí Člověk není pasivním příjemcem podnětů, přicházejících z vnějšího světa, ale ve zcela konkrétním smyslu tvoří svůj svět… (L. von Bertalanffy, 1964)

Naším záměrem je systematicky pěstovat matematiku v myslích jednotlivých žáků. Školská praxe se ale většinou bohužel orientuje spíše na formální výstupy – zaměřuje se převážně na kontrolu ‚správné‘ odpovědi, čímž vlastně navádí žáky k reprodukci. Tato nepřijatelná skutečnost plyne z hluboce zakořeněné pasivní výuky... Tradiční autokratický styl práce učitele, převážně hromadný způsob výuky, strach ze známkování utlumují žákovu zvídavost, spolupráci a spolutvořivost, snahu z chyb se učit a těšit se z výsledků práce… (Kozlík, 2003)

Učitel, který studuje, jaké představy má žák o pojmech, nakolik porozuměl souvislostem, pojmům a postupům, jak dokáže poznatky aplikovat, a snaží se tento stav zlepšit, tj. dovést žáka ke správným představám a správnému porozumění, k aplikování matematiky, rozvíjí osobnost žáka patřičným směrem. Možností, jak toho dosáhnout, je podle našeho názoru několik:  vést žáka k řešení problémů a k samostatné tvůrčí práci;  pracovat na projektech (vycházet ze vztahu matematiky k realitě);  naučit se něco, co funguje (pro vnitřní uspokojení žáka);  naučit se něco, co bude potřebovat (pro vnější cíle). Důležitá je především činnost v matematice (zvláště ta tvořivá). Vše, co přispívá k rozvíjení matematiky v mysli žáka, je dobré a v souladu s konstruktivistickými přístupy. Je však nutné, aby chtěl sám žák – realizace podnětného vyučování a jeho úspěšnost nezávisí pouze na učiteli, ale stejnou měrou i na jeho žácích. Proto je hlavním úkolem učitele probudit zájem a aktivitu.

Úloha příkladů z praxe v dalším vzdělávání učitelů matematiky Nelze podat návod na konstruktivistické vyučování. Mluvit o takovém návodu je vnitřně sporné, protože podstatou tohoto přístupu je autentičnost, hledání, bohaté využívání vlastních zkušeností. Jednou z jeho základních charakteristik je nepředvídatelnost. Nové myšlenky se mohou objevovat v kontextech, kde to učitel původně neplánoval. Jak tedy můžeme učitele co neefektivněji seznámit s výukou, kterou zde nazýváme podnětnou, pokud mu nemůžeme prostě předložit nějaký pedagogický dokument či učebnici? Jedna z cest, kterou lze použít a kterou jsme již do značné míry vyzkoušely s budoucími učiteli matematiky strana 5 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

 MA


a prvního stupně, zahrnuje analýzu reálné výuky z hlediska principů konstruktivizmu. Protože však nelze zajistit, aby se učitelé scházeli na hospitacích, nabízíme zde alternativní cestu prostřednictvím videonahrávek hodin a ukázek písemných záznamů z hodin. Zde jsme čerpaly z hospitací na různých hodinách matematiky, z literatury, ze zkušeností našich posluchačů, budoucích učitelů, i ze zmíněných videonahrávek. Konkrétní ukázky z reálné výuky mohou překlenout propast, která většinou zeje mezi obecně formulovanými zásadami a jejich aplikací v praxi. S mnohými zásadami se učitel proklamativně ztotožní, avšak v praxi je neuplatňuje, nebo neví, jak je uplatnit. Ilustrace mu pomůže uvědomit si právě toto praktické uplatnění. Jedna ilustrace může vyjádřit víc než celé stránky obecných výkladů. Doufáme, a naše zkušenost s budoucími učiteli i s výsledky podobných kurzů ukazuje, že společná analýza výuky může přispět i ke zvyšování citlivosti učitele k prvkům podnětného vyučování ve vlastní výuce. Z pochopitelných důvodů v tomto textu uvádíme jen konkrétní stručně popsané ukázky. Vlastní kurz, pro který tvoříme tento materiál, bude založen zejména na společném rozboru videonahrávek běžných hodin většinou druhého stupně ZŠ (z několika zemí). Ty mají oproti slovně popsaným ilustracím tu výhodu, že čtenář není závislý na tom, co mu autor ilustrace předloží, jak onu situaci ve třídě popíše. Je možné, že nějaký důležitý aspekt nevědomky vynechá či už v době zápisu špatně interpretuje. U videonahrávky má každý možnost udělat si názor na základě zhlédnutí celé komplexní situace. Každou z ilustrací, které uvádíme níže, se snažíme též okomentovat z hlediska podnětné výuky. Jsme si vědomy toho, že se tím dopouštíme určitého zjednodušení a že naše hodnocení musí být nutně subjektivní. Vyučování je natolik složitý proces, že dává smysl jen jako celek. Vytrhneme-li některý jeho rys, může se jevit v jiném světle, než když se na něj díváme z pohledu ostatních rysů vyučování. Úryvky z hodin používáme proto, abychom lépe ilustrovaly některé naše teoretické úvahy, ne abychom hodnotily celou vyučovací hodinu. Pokud ilustrace a náš komentář vyvolají diskusi a motivují učitele k tomu, aby se zamyslel nad podnětnou výukou z hlediska vlastní výuky, pak splnily svůj cíl.

Pět tezí popisujících podnětnou výuku V hlavní části textu se zaměříme na pět tezí, které podle našeho názoru vystihují některé rysy konstruktivistických přístupů k výuce. Teze jsou formulovány z pozice učitele a jeho činností ve výuce. 1. 2. 3. 4.

Učitel probouzí zájem dítěte o matematiku a její poznávání. Učitel předkládá žákům podnětná prostředí (úlohy a problémy) a vhodně s nimi pracuje. Učiteli jde především o žákovu aktivní činnost. Učitel nahlíží na chybu jako na vývojové stádium žákova chápání matematiky a impulz pro další práci. 5. Učitel se u žáků orientuje na diagnostiku porozumění spíše než na reprodukci odpovědi.

Každou tezi budeme ilustrovat na příbězích z praxe – z výuky matematiky na základní škole u nás nebo v zahraničí. Příběhy budeme opatřovat komentáři. Rozumí se, že stejný příběh může často sloužit jako ilustrace několika tezí, ty se mohou navzájem překrývat. Pokud není u ilustrace uveden zdroj, jedná se o vlastní pozorování.

Teze 1. Učitel probouzí zájem dítěte o matematiku a její poznávání Podnětné vyučování vede žáka k budování správných představ, k porozumění a k aplikování matematiky. Velmi důležitou roli zde hraje právě motivace. Motivace je základní podstatou podnětného vyučování. Hlavní motivační sílu představuje zájem žáka, radost z práce a úspěchu. strana 6 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

 MA


Lokšová a Lokša (1999) rozlišují motivační činitele podněcující výkonnost žáka na:  vnitřní činitele (poznávací potřeby a zájmy, potřebu výkonu, potřebu vyhnutí se neúspěchu a dosažení úspěchu, sociální potřeby – potřebu pozitivního vztahu a prestiže) a  na vnější činitele (známky, odměnu a trest, vztah žáka k jiným lidem, k vlastní budoucnosti a ke společnosti). Motivy dělí v souladu se sociálním přístupem na tři základní okruhy, a to:  vnitřní motivy – vlastní touha víc vědět a poznat, radost z poznávání, žák sám chce poznávat;  vnější nebo sociální motivy – při nich se žák učí pro někoho, na kom mu záleží nebo kdo mu to nařídil, prostě protože musí – v opačném případě ho čeká trest nebo nepříjemnosti;  interiorizované sociální motivy – chce svou prací prospět společnosti. Nebudeme se zde zabývat vnější motivací typu známka, pochvala učitele, soutěže atd. Naopak se zaměříme na vnitřní motivaci vyrůstající z vnitřních pohnutek, tzn. jak dosáhnout toho, aby žáci sami chtěli v matematice něco zjistit. Ilustrace 1.1: Strašení matematikou (4. ročník) Učitelka dětem rozdala pracovní listy s obrázkem, který si mohou vybarvit, pokud správně vyřeší početní úlohy k jednotlivým políčkům obrázku a určí tak barvy, kterými mají obrázek vybarvovat. U: (pět minut před zvoněním) „Ve zbytku hodiny si můžete, ale úplně potichu, vymalovávat obrázek. Jak nebudete ticho, budeme ještě počítat!“ Ačkoli učitelka rozdala dětem pracovní listy s hravým počítáním a zřejmě tak chtěla žáky motivovat, svým komentářem k práci udělala pravý opak. Počítání používá k zastrašení dětí – ukazuje jim, že lepší a zábavnější je pro ně vybarvování, kdežto počítat budou za trest. Takový přístup ze strany učitele jistě nepřispívá k utváření kladného vztahu dětí k matematice a neposiluje jejich zájem o ni. Úkol pro čtenáře: Zamyslete se nad svou vlastní výukou. Daří se vám vždy podporovat kladný vztah dětí k poznávání? Nezastrašujete také občas své žáky matematikou? Školní vyučování matematice, místo aby rozvíjelo, naopak často potlačuje tvořivé myšlení žáka, jeho aktivitu a zájem o předmět. Dokládá to i následující příběh. Ilustrace 1.2: Adámkovo zaujetí velkým číslem (5. ročník) V 5. ročníku žáci procvičují písemné násobení víceciferným činitelem. Pracují samostatně do sešitů, přitom vždy jeden žák současně počítá pro kontrolu na tabuli. U jedné z početních úloh vyšel výsledek 1 419 444. Z lavice na něj spontánně reaguje Adam: „Ty vogane, to už je milión, paní učitelko, kolik je to miliónů?“ Učitelka neodpovídá (nejspíš takové vykřikování považuje za rušivé). Adam, fascinovaný velkým číslem, otázku ještě dvakrát zopakoval (přidal i na intenzitě hlasu), ale odpovědi se nedočkal. Učitelka po hodině vysvětlila své přehlížení Adamovy reakce na velké číslo tím, že jde o autistu, který vše příliš prožívá. To, že Adama fascinovala velikost čísla, je v tomto věku přirozené – děti potřebují ‚velká‘ čísla nejprve ‚prožívat‘, představit si, jak jsou velká, a až poté s nimi mohou pracovat jako s abstraktními objekty. Učitelka však přešla Adamův zájem o čísla mlčením – to příště Adama spíše odradí od dalšího přemýšlení o číslech a zajímání se o ně. Učitelka promarnila velký motivační impuls. Podobně asi nebude podporovat studenty v konstrukcích jejich vlastní matematiky učitel střední strana 7 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

 MA


průmyslové školy, který snahu jednoho ze svých studentů ohodnotil slovy: „…místo, aby se učil, vymýšlí vlastní postupy, které nestojí za nic…“ Další ukázka se týká vlivu úrovně obtížnosti úlohy na motivaci dítěte – úloha, která je pro žáka příliš obtížná, jej může odradit – na druhou stranu ale příliš jednoduché úlohy rovněž demotivují. Dokladem jsou často děti, které při vstupu do školy dokáží počítat i do sta, ale nedostávají žádnou příležitost, aby své dovednosti využily. Jejich zájem pak přirozeně opadá. Ilustrace 1.3: A přece to jde! (5. ročník) Učitelka zadala dětem samostatnou práci – sestavit ze čtyř devítek a vhodných znamének početních operací úlohu s výsledkem 100. Žáci začali nadšeně počítat. (Učitelka třídu hodnotí jako šikovnou a pracovitou, která velmi ráda řeší různé problémy.) Po chvíli se hlásí dva žáci, ale ani jeden z nich nevyřešil úlohu správně. Po pěti minutách řešení, kdy doposud nikdo z dětí nepřišel na správný výsledek, začíná pomalu zájem některých jedinců opadat – přestávají se soustředit na práci, odkládají pera, otáčejí se, hrají si pod lavicí. Učitelka proto přistupuje k jednomu chlapci, který ještě stále pracuje, a mírně mu napoví. Za chvíli se chlapec hlásí se správným řešením. Na většinu dětí to působí jako vzpruha – jak na ty, které doposud stále ještě řešení nevzdaly, tak na ty ostatní – znovu se chápou propisek a přemýšlejí nad úlohou. Po několika minutách se hlásí čtyři žáci, že rovněž nalezli řešení úlohy… Učitelka zná dobře děti ve své třídě. Ví, že je sice neúspěch dokáže odradit, ale pokud vidí, že je v jejich silách řešení objevit (někomu ze třídy se to podaří), dostanou tak nový impuls, aby chyby překonaly a nalezly správné řešení. To zafungovalo i nyní. Ačkoli ostatním žákům neporadila, dala jim nepřímo podnět k dalšímu hledání. Ilustrace 1.4: Statistika (Austrálie, 8. ročník) Učitel rozdává dětem hrací kostky a pracovní list se šesti oválky. Přitom parafrázuje úlohu z pracovního listu: „Má žena peče báječné čokoládové sušenky. Bohužel v poslední době se počet čokoládových kousků v sušenkách zmenšil, takže mi už tak nechutnají. Každá sušenka by měla obsahovat aspoň tři čokoládové kousky, aby byla dobrá. Vaším úkolem bude zjistit, kolik čokoládových kousků musíme dát do těsta na šest sušenek, abychom zajistili, že v každé sušence budou aspoň tři. Použijte hrací kostku k simulaci situace.“ Děti pak ve dvojicích házejí kostkou a při každém hodu zaznamenávají, do které sušenky přibyl čokoládový kousek. Takto získaná data jsou pak zapsána do společné tabulky a využita pro zjištění základních statistických hodnot jako průměr, medián, modus, horní a dolní kvartil. Motivace uvedeným příběhem se ukázala jako vhodná. Děti skutečně s nadšením zjišťovaly uvedené charakteristiky a posléze se dohadovaly, které z nich nejlépe popisují situaci. Uvedené statistické pojmy zde sloužily jako prostředek zjištění výsledku nějaké pro děti smysluplné aktivity, nebyly vlastním cílem (alespoň z hlediska dětí). Ilustrace 1.5: Ekonomický obal „Představte si, že určitá firma chce vyrábět nový výrobek. Musí navrhnout a vyrobit takový obal, který by byl co nejlevnější, ovšem i spolehlivý a aby se co nejlépe převážel např. v krabicích. Navrhněte takový obal a vyčíslete náklady na výrobu 100 ks.“ (Parafráze úlohy z Littler, 2004.) Děti dostanou určitý předmět (nejlépe nějaký nepravidelný), pro který se má vytvořit obal, a materiál (papír, nůžky, lepidlo). Při práci musí brát v úvahu mnoho faktorů: náklady a jednoduchost výroby obalu, skladnost jednotlivých obalů, množství odpadu, případně i barevný návrh obalu. Pro zjištění nákladů musí počítat i povrch obalu a obsah odpadu. Z hlediska matematických pojmů pracují i s procenty, poměrem, objemem apod. Ilustrace zahrnuje motivaci ze ‚skutečného života‘. Úloha může být zpracována jako interdisciplinární projekt nejen v hodinách matematiky, ale také výtvarné výchovy. Pro žáky je toto strana 8 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

 MA


zadání zajímavější, než kdyby měli počítat obsahy a objemy určitých útvarů. Úloha je formulována poměrně otevřeně. Někteří žáci si s jejím konkrétním vypracováním poradí dobře, jiným bude třeba pomoci. Učitel by však neměl sklouznout k tomu, aby úlohu pro žáky rozpracoval do posloupnosti konkrétních kroků (viz teze 2 níže). Shrnutí Podle Hvozdíka (1986) existují další rozmanité způsoby a metody, jak rozvíjet motivaci žáka. Vybereme z nich ty, které odpovídají principům podnětného vyučování a kde zájem žáka o vyučování vyrůstá z vnitřní podstaty matematiky (nejedná se o přesný citát, provedly jsme výběr a principy jsme jinak utřídily):          

příznivé klima ve třídě – aktivita, hledání, produkce, humor; řešení problémů (zejména vyvolání zájmu o problém), alternativní řešení, tvorba hypotéz, aktivita; uplatnitelnost v budoucím životě; tvořivé úlohy; učení se činností; učení se ve skupinách; práce s informacemi; vyučování hrou – didaktické hry; rozmanitost ve vyučování – variabilita, změna rytmu a tempa, metod a forem práce, překvapivost; pocit úspěchu, radost z toho, že se něco podařilo, že žák něco dokázal.

Radost z vlastní matematické práce, z toho, že žák něco, byť se jednalo o sebenepatrnější poznatek, objevil, je z hlediska motivace nezastupitelná, i když se jedná snad o nejobtížněji dosažitelný motivační impuls. K tomu, aby žákovo matematické sebevědomí stouplo, nestačí pochvala a dobrá známka. K tomu je nutný vnitřní pocit radosti ze zdolání překážky. Ten může přinést i chybná myšlenka. Radost totiž není důsledkem správnosti výsledku, ale námahy vynaložené k jeho získání a přesvědčení, že je to výsledek aspoň v něčem dobrý. Učitel, který nakonec musí žáka dovést k poznání, že výsledek je chybný, může uchovat v jeho vědomí zkušenost, že intelektuální práce může být zdrojem velké vnitřní radosti. (Hejný, 2004, s. 74)

Uvedly jsme, že podle konstruktivistického přesvědčení je k nabytí poznání nutná intelektuální aktivita žáka a že důležitou, dokonce rozhodující roli zde hraje jeho vnitřní motivace. To dokládá i výzkum motivace, který provedli Lokšová a Lokša (1999). Výsledky výzkumu potvrdily, že u žáků 6. – 8. ročníku základní školy převládá snaha získat v budoucnu odbornost, snaha dostat dobrou známku, ale rovněž i touha nabývat vědomostí. Úlohou učitele je vnitřní motivaci navozovat. Protože se výuka odehrává v kolektivu, jsou faktory, které zde působí, jak sociální, tak psychologické a jistě i kognitivní. Součinností všech faktorů je ve třídě vytvářeno jisté prostředí a cílem konstruktivisticky zaměřeného učitele je, aby toto prostředí bylo podnětné, aby povzbuzovalo zvídavost žáků, aby jim dopřálo pocit radosti z nového poznání i pocit sociální seberealizace. Pokud jde o faktory kognitivní, potřebné jsou takové podněty, které jim umožní propojovat nové poznatky s již existujícími zkušenostmi či poznatky a které současně vycházejí z jejich předchozích zkušeností se světem, jenž je obklopuje. Požadavek spojení podnětů v matematice s reálným životem často vede, podle našeho mínění, k nesprávnému názoru, že všechny úlohy mají být reálné. Domníváme se, že ona reálnost nevychází pouze ze světa, který nás obklopuje, ale týká se propojenosti na životní zkušenost daného jedince. Tak může být pro dítě reálný kontext, který je pro dospělé naprosto imaginární, či který je čistě matematický. strana 9 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

 MA


Teze 2. Učitel předkládá žákům podnětná prostředí (úlohy a problémy) a vhodně s nimi pracuje Tato teze se týká činnosti, která je každému učiteli matematiky vlastní. Ukážeme však, že nejde jen o to vybrat vhodné úlohy, ale zejména o to, vhodně s nimi pracovat. Ilustrace 2.1: Procvičování sčítání desetinných čísel (5. třída, pozorování studentky učitelství) V učebnici je nejprve předložena série klasických úloh typu: 0,9 + 3,1 = 12,5 + 6,7 = atp. Na závěr procvičování zařadili autoři učebnice slovní úlohu: „Anička si šla nakoupit školní potřeby. Koupila si sešit za 14,60 Kč, tužku za 8,30 Kč, plnicí pero za 28,90 Kč a trojúhelník za 17,20 Kč. Kolik zaplatila za svůj nákup?“ Děti mají v této úloze řešit problém z reálného života. Blíží se konec hodiny, děti si přečtou zadání úlohy a paní učitelka říká: „To prostě jenom sečtete, jako v těch předchozích úlohách, a je to.“ Paní učitelka zasáhla do práce dětí podle našeho názoru nevhodným způsobem. Jednoduše je seznámila s principem řešení. Děti nemusí hledat žádnou strategii, prostě mechanicky sečtou čísla v úloze (podobně jako v předchozích procvičovacích úlohách). Jistě, chápeme, že se blíží konec hodiny a učitelka chce dodělat začaté téma. Pak je však nutné se zamyslet, zda bylo nezbytné dávat dětem úlohu z reálného života, stačilo by jim dát o jeden procvičovací úkol navíc. Problém z reálného života zařazujeme zejména proto, aby si děti uvědomily, že matematika je nástrojem pro jeho řešení, a aby se naučily analyzovat text a rozhodovat o vhodné strategii. Ilustrace 2.2: Tabulka a graf (6. ročník) Na začátku 6. ročníku opakovaly dvě učitelky se svými žáky přímou úměrnost. Obě třídy řešily stejnou úlohu: „Kája si kupoval čokolády s nálepkami, které sbíral. Jedna čokoláda stála 7 Kč. - Kolik korun stálo Káju 3, 5, 6, 11, 12 čokolád? - Kolik čokolád si mohl koupit za 14, 28, 56 a 98 Kč? - Počet koupených čokolád a částku za ně zaplacenou zanes do grafu.“ V první ze tříd žáci nejdříve přesně sestrojili tabulku hodnot (učitelka dbala na to, aby ji narýsovali a ne jen načrtli), pak si narýsovali soustavu souřadnic, určili měřítko, popsali hodnoty na osách. Graf však již vynést nestačili, protože zvonilo. Žáci měli úlohu dokončit za domácí úkol. Ve druhé třídě učitelka donesla dětem pracovní listy s připravenou soustavou souřadnic. Děti si načrtly tabulku, do níž zapsaly hodnoty, a do připravené soustavy pak příslušné údaje vyznačily. Nakonec vynesly graf. Obě učitelky měly stejný cíl – zopakovat přímou úměrnost pomocí slovní úlohy, v níž měly děti nejprve sestavit tabulku hodnot a poté sestrojit graf. Úkol pro čtenáře: Kterému z obou použitých pracovních postupů byste dali přednost? Proč? Učitelé mnohdy trvají na pečlivém rýsování tabulek, grafů, obrázků i tam, kde přílišná pečlivost neplní svůj účel – prvořadé není narýsovat tabulku, ale připravit si hodnoty, které budou ilustrovat průběh funkce. Stejně tak není důležité, aby musel vždy žák celý graf samostatně sestrojit. Graf je jen jiným jazykem, který popisuje podstatu věci – pomáhá zvýšit názornost. Proto je v určitých případech možné, aby učitel žákům práci usnadnil a žáci hodnoty pouze zaznamenávali do připravené šablony. Tím jim naopak umožní nerozptylovat pozornost a soustředit se na skutečnou podstatu věci. strana 10 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

 MA


Ilustrace 2.3: Otáčení o 90 stupňů (Boaler, 2002, s. 30 a 31; 8. ročník) Na tabuli jsou nakresleny dvě úsečky o délce 1 a 3: 1 3 Učitel se ptá (S znamená student nebo studenti, U učitel): U: „Máme-li úsečku délky 3 a úsečku na ni kolmou délky 1, co se stane, pokud to otočíme o 90 stupňů?“ S (vykřikují): „Jde to dokola.“ „Doleva.“ „Doprava.“ U: „Jak to bude?“ S: „Jde to nahoru.“ 1 U: „Ano, nahoru, že?“ Nakreslí obě úsečky otočené: 3 S: dívají se na obrázek a nereagují. U: „Vidíte, co se stalo? Vyměnily se; úsečka délky 3 jde nahoru a délka 1 jde napříč, takže si pamatujte, že když děláte rotaci o 90 stupňů, prostě si vzpomeňte, že se mají vyměnit.“ Učitel vlastně vyzval studenty, aby přestali přemýšlet o tom, k čemu dochází u rotace o 90 stupňů, a zapamatovali si pravidlo. Tato situace je zhoubná zejména pro to, jakou představu si děti vytvoří o matematice. Jistě, je možné, že i kdyby učitel nechal studenty, aby si tento poznatek sami odvodili, všichni by to nepochopili a někteří by se nakonec naučili pravidlo. Ovšem alespoň by nezískali mylný dojem, že matematika je o zapamatování pravidel. Ilustrace 2.4a: Součet úhlů v mnohoúhelníku (Stigler, Hiebert, 1999, s. 45) Žáci měli doma změřit úhly v konvexním šestiúhelníku a sečíst jejich velikost (viz obrázek níže bez vyčárkovaných úseček).

Druhý den se učitel zeptal, zda všichni získali výsledek blízký 720 stupňům. Pak pokračoval: U: „Kdybych vzal ten úhel D a přesunul ho sem dolů, změní se ten součet?“ S: „Ne.“ U: „Neměl by, že? Proč? Stále mám kolik úhlů?“ S: „Stále máte šest.“ Učitel zde značně náhodnou otázkou vede žáky k odpovědi. Ovšem žáci ještě nevědí, že počet vnitřních úhlů v mnohoúhelníku je klíčovou informací pro zjištění součtu úhlů! Hodina pokračuje. Ilustrace 2.4b: Součet úhlů v mnohoúhelníku (pokračování) U: „Stále mám šest úhlů. Existuje vzorec a budeme se ho učit po jarních prázdninách, ale dám vám teď aspoň nápovědu. Když vezmu počet stran a odečtu dva a vynásobím to číslo 180 stupni, tak dostanu, kolik je součet úhlů. Kolik stran má tento útvar?“ (Pauza.) „Šest. Ano? Počet stran mínus dva mi dá co?“ S: „Čtyři.“ U: „Čtyři. Kolik je čtyřikrát 180 stupňů?“ strana 11 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

 MA


S: „720.“ U: „A mělo to být 720, že? Kolik stupňů by mělo být u pětiúhelníka?“ (Pauza.) „Vezměte si vzorec, počet stran je pět ... odečtěte dva a násobte 180 stupni.“ S: „590?“ U: „540 stupňů. Všechny pětiúhelníky obsahují 540 stupňů.“ Úloha, která mohla být použita problémově, byla použita jako čistě procedurální. Studenti nemuseli vůbec přemýšlet, v podstatě ani dosadit do vzorce, protože stačilo odpovídat na otázky náročnosti prvního stupně základní školy. Učitel změnil úlohu na rutinní záležitost. Opět se nabízí otázka, jakou představu o matematice žáci získají. Odstrašujícím příkladem je autentická výpověď jednoho žáka 8. ročníku: „V matematice si musíme pamatovat, v jiných předmětech můžeme taky přemýšlet.“ Problémové použití této úlohy si dokážeme představit. Znají-li děti součet úhlů v trojúhelníku, mohou pak rozdělit mnohoúhelníky pomocí úhlopříček na trojúhelníky a doplňovat následující tabulku: Mnohoúhelník čtyřúhelník pětiúhelník šestiúhelník sedmiúhelník ... n-úhelník

počet stran 4 5 6 7

počet trojúhelníků 2 3

součet vnitřních úhlů 2  180 = 360 3  180 = 540

n

Je pravděpodobné, že k zobecnění se samostatně propracují jen některé děti. Nicméně i ti ostatní budou zřejmě schopni vyplnit konkrétní hodnoty tabulky a alespoň tak se podílet na celkovém řešení. Učitel může přistupovat k dětem individuálně v tom, že některým poradí např. jak si mají mnohoúhelník rozdělit na trojúhelníky, jiné upozorní na hledání souvislosti mezi číslem, kterým násobíme 180 stupňů, a počtem stran, jiné nechá zcela bez nápovědy. Podle toho, jak se mu děti jeví, ale zejména podle toho, jakou nápovědu děti vyžadují. Rozhodně mají dostat dostatek času na začátku, aby se pokusily najít strategii řešení samy. V následující ilustraci je popsáno, jak je možné formulovat podobný úkol (tentokrát o součtu vnějších úhlů v mnohoúhelníku) pro práci s počítačem. Ilustrace 2.5: Součet vnějších úhlů v mnohoúhelníku (Austrálie, 8. ročník) Žáci dostali pracovní list s následující úlohou: Vnější úhel mnohoúhelníka vznikne, když prodloužíme jednu z jeho stran. Vnější úhly leží mimo mnohoúhelník. V této úloze odhalíte vztah pro součet velikostí vnějších úhlů mnohoúhelníka počínaje pětiúhelníkem. Zkonstruuj: Krok 1: Zkonstruuj orientované polopřímky AB, BC, CD, DE a EA podle obrázku.


SU

 MA


Krok2: Uspořádej body tak, aby pětiúhelník ABCDE byl konvexní. Krok 3: Na polopřímkách mimo pětiúhelník zkonstruuj body tak, že F leží na polopřímce AB, G na BC, H na CD, J na DE a K na EA. Krok 4: Změř vnější úhly KAB, FBC, GCD, HDE a JEA. Vypočítej součet velikostí těchto úhlů. Poznámka: Tímto způsobem vznikl jeden soubor vnějších úhlů. Kdybychom udělali polopřímky orientované na opačnou stranu, vznikl by další soubor. Zkoumej: Pohybuj vrcholy pětiúhelníka a zjišťuj, zda a jak se mění součet velikostí úhlů. (Pětiúhelník ale musí zůstat konvexní.) Je tento součet stejný pro všechny pětiúhelníky? Zkonstruuj vnější úhly a změř jejich velikosti pro trojúhelníky, čtyřúhelníky, šestiúhelníky a jiné mnohoúhelníky. Jaké součty vnějších úhlů dostaneš? Napiš svou hypotézu. Učitel nejprve se studenty probral pro ně neznámou terminologii a pomocí zpětného projektoru nastínil, jak byl zkonstruován onen pětiúhelník. Pak požádal studenty, aby si do sešitu zapsali svoji hypotézu, kolik asi bude onen součet pro pětiúhelník. Studenti pak utvořili dvojice a šli pracovat k počítači, kde již byl puštěn program Sketchpad, v němž byl nakreslen útvar z obrázku. Učitel do jejich práce prakticky nezasahoval, reagoval jen na konkrétní dotazy. Studenti se volně bavili mezi sebou (pokud lze soudit, tak skutečně o zadaném úkolu). Je dobré, že žáci dostali úkol přehledně zapsán na pracovním listu a rozepsán do jednotlivých kroků. Mají tak stále před sebou, co vlastně mají dělat, a mohou se soustředit na vyšší cíl, kterého mají dosáhnout, tj. zobecnění. Učitel se také hned na začátku ujistil, zda všichni rozumějí terminologii, a podnětným způsobem vyjasnil nejasné termíny (viz ilustrace 4.6). Konečně zamezil případným dotazům i tím, že podrobně na fólii ukázal, jak vznikl pětiúhelník a jeho vnější úhly. Teprve pak třída přešla k počítačům a začala vlastní práce. Učitel si uvědomuje, že mají-li žáci dospět k objevu, je nutné jim dát prostor k samostatnému experimentování, a tak jejich práci nijak neurychluje. Srovnejme tuto ilustraci s ilustrací 2.6. Ilustrace 2.6a: Odhalování obvodu kruhu (8. ročník, půlená třída) Učitel zopakoval s dětmi pojem obvod a formuloval problém: „Jak určit obvod kruhu, resp. délku kružnice?“ Na tabuli je nakreslena kružnice. Po chvíli jeden z žáků navrhl opsat kružnici čtverec. Učitel ho vyzval k nakreslení na tabuli, poté sám shrnul, co vlastně žák udělal, a upozornil, že takové řešení je značně nepřesné. Formulovaný problém představuje dobrou výchozí situaci. Žáci se cítili aktivizováni a byli strana 13 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

 MA


schopni navrhnout začátek řešení. V jejich možnostech bylo však i to, aby formulovali poznatek, že takové řešení je ještě značně nepřesné. To už za ně udělal učitel. Ilustrace 2.6b: Odhalování obvodu kruhu (pokračování) Uvedeme fragment rozhovoru, který následoval po učitelově výzvě ke zpřesnění řešení. S: „A můžeme udělat čtverec dovnitř?“ U: „Ano, to by šlo. To by bylo výborný. Udělat to dovnitř. Vepsat.“ ... U: „Ale potom ten průměr je čím? Průměr je v tom čtverci čím? Průměr je ve čtverci... S: „Úhlopříčkou.“ U: „Úhlopříčkou. Průměr je ve čtverci úhlopříčkou a byla by s tím asi trochu starost, jak určit obsah takového čtverce.“ ... U: „A z toho byste dokázali spočítat stranu, ano. Ale jednoduše byste na tu stranu nepřišli. Tak obvod tohoto čtverce neurčíš. Jinak.“ S: „Tak bych třeba použil osmiúhelník.“ U: „Osmiúhelník. Zase neurčíš stranu. Ale kdy určíš stranu velice jednoduše?“ S: „Trojúhelník.“ U: „Trojúhelník, ne také ne. Stando?“ S: „Šestiúhelník.“ Od této chvíle pokračuje učitel v práci v podstatě sám, vše píše i na tabuli. Postupně zpřesňuje řešení tím, že čtverci vepisuje 12, 24, 48 a 96úhelník. Žákům se zřejmě osmiúhelník jeví jako logické pokračování čtverce. Učitelovo chabě zdůvodněné a pro žáky zřejmě nepochopitelné odmítnutí osmiúhelníku a následně trojúhelníku (který je zase poměrně logickou reakcí na otázku „kdy určíš stranu velice jednoduše?“) vede k tomu, že se již dále nesnaží. (Z hlediska učitele je ovšem jeho reakce logická, protože on se chce dostat k 96úhelníku.) Signál, který žáci dostali, tedy že jedině učitel ví, jaké je správné řešení (resp. jedině on ví kritéria správnosti), na ně zapůsobí demotivačně. Z matematického hlediska není hodině co vytknout. Jednotlivé části na sebe navazují, ovšem nemůžeme se ubránit dojmu, že pouze v mysli učitele. Učitel ve svém nadšení, s jakým chce ukázat dětem pěkné odvození vzorce pro obvod kruhu, dělá všechnu práci za ně. Uvedené ilustrace můžeme nahlížet jako ukázky toho, že úloha není vnitřně konstruktivistická, záleží na způsobu jejího podání. I standardní, procedurální úloha typu rovnice 4 x + 5 = 19, může být použita problémově. Učitel může položit otázky typu „Co když rovnici napíšeme jako 19 = 4 x + 5, bude stejné řešení?“, „Můžeme dělit obě strany rovnice libovolným číslem?“, nebo dokonce začít diskusi o ekvivalentních úpravách rovnic. Naopak podnětná úloha může být použita procedurálně, když učitel např.:  dá dítěti řadu návodů, které ho vedou krůček po krůčku k výsledku;  předčasně mu prozradí výsledek;  upozorní ho na chybu, aniž by je nechal nejdříve chybu samostatně odhalit;  vede dítě k použití strategie, o níž se domnívá, že je nejvhodnější (zpravidla ta, která je nejrychlejší a nejekonomičtější), aniž by je nechal rozvinout vlastní strategie, apod. Ilustrace 2.7: Odhalování vět o shodných trojúhelnících (Austrálie, 8. ročník, dívčí třída) Děti si zopakovaly, co to jsou shodné trojúhelníky, a dostaly následující úkol: „Každý narýsuje jeden trojúhelník a pak bude diktovat ostatním ve skupině pokyny tak, aby i oni narýsovali stejný trojúhelník. Pro kontrolu vzniklý trojúhelník vystřihněte a přiložte na původní trojúhelník. Úkolem je přijít na to, jaký je minimální počet údajů (velikost stran a úhlů), které musíte strana 14 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

 MA


sdělit druhému, aby zreprodukoval váš trojúhelník.“ Učitelka vysvětlila, co budou dělat, a zdůraznila hlavní cíl. Prozradila, že hledají čtyři způsoby, jak vytvořit soubor instrukcí ke konstrukci shodného trojúhelníka. Žákyně pracují ve skupinách po dvou a po třech, v hodině je trochu ruch, ale zdá se, že všichni pracují na zadaném úkolu. Učitelka obchází třídu a odpovídá na dotazy, pak se ptá, co kdo dělal. Jednotlivé skupiny jí ukazují, jaké trojúhelníky sestrojily a jaké pokyny vypracovaly. Učitelka nekomentuje, zda to je správně nebo ne, spíše klade doplňující otázky a přeformulovává jejich pokyny tak, aby obsahovaly pojmy ‚velikost stran a úhlů‘. Když učitelka vidí, že jsou dívky hotovy, sumarizuje to, co objevily. Při tom používá jejich řešení a jejich slova. Vzniká diskuse, z níž je patrné, že jsou studentky zvyklé takto pracovat – doplňují učitelku, přerušují a navrhují svá řešení. Objevuje se též řešení využívající velikostí všech tří úhlů. Učitelka na to poukazuje a ptá se, zda to stačí. Otevírá se prostor pro diskusi o podobných trojúhelnících, který však učitelka nevyužívá. Celá hodina se dá charakterizovat vysokým pracovním nasazením dětí – dělají (objevují) matematiku. Úloha, kterou učitelka zvolila, se nám jeví jako podnětná – skutečně vedla k odhalení vět o shodných trojúhelnících. Rýsování bylo použito ve smysluplném kontextu. Narýsování trojúhelníku nebylo použito jen jako cíl sám o sobě, ale jako prostředek hledání řešení určitého problému. Úkol pro čtenáře: Vyhledávejte ve své výuce i při násleších příklady procedurálních úloh použitých problémově a naopak problémových úloh použitých procedurálně. Shrnutí V tomto odstavci jsme ukázaly, že nestačí si připravit podnětnou úlohu pro výuku, je také nutné ji podnětně použít. Domníváme se, že v případě ilustrací 2.1, 2.3, 2.4 a 2.6 zůstala příležitost k podnětné výuce nevyužita. V žádném případě netvrdíme, že se tak událo úmyslně, učitel je veden dobrými úmysly. Nechce nechat žáka tápat, chce ho vést úskalími matematické práce. Činí tak ovšem na úkor aktivity žáka (o tom více níže). Po zadání úlohy musí učitel činit řadu rozhodnutí. Podívejme se např. na některé ilustrace z části 1. U ilustrace 1.2 se učitelka rozhodla neprozradit žákům výsledek, ale vhodnou nápovědou jedné ze skupinek se jí podařilo žáky povzbudit. U ilustrace 1.4 má učitel také více možností. Buď nechá studentům zcela volné pole působnosti, nebo jim trochu napoví nebo jim přímo řekne, jaké kroky musí učinit. Závěrem uvedeme některé výsledky TIMSS Video Study z roku 1999, které úzce souvisejí s naší tezí. Tato studie vyhodnocovala náhodně vybrané hodiny matematiky v 8. ročníku v několika zemích, mezi nimiž byla i Česká republika. V každé zemi bylo natočeno na video asi 100 hodin výuky, které potom analyzovaly týmy sestavené z pedagogů, psychologů, matematiků a didaktiků přesně stanovenou procedurou (podrobněji viz Hiebert aj., 2003). Dívaly se např. i na to, jaké procento tvoří ‚procedural tasks‘ (procedurální úlohy – úlohy, které se dají řešit použitím nějaké konkrétní předem známé procedury), ‚making connections tasks‘ (lze volně přeložit jako podnětné úlohy – úlohy vedoucí na konstrukci vztahů mezi matematickými pojmy a postupy; většinou zahrnují matematické uvažování typu tvorba hypotéz, ověřování, zevšeobecňování) a ‚stating concepts tasks‘ (např. úlohy vyžadující příklad nějakého matematického pojmu – „nakresli rovnostranný trojúhelník“). Rozložení těchto typů úloh ve výuce v jednotlivých zemích je v grafu na obr. 2.1.


SU

 MA


Obr. 2.1

Všimněme si, že procento procedurálních a podnětných úloh je např. v České republice a v USA podobné. Ovšem ČR dopadla v TIMSSu lépe, proto samo použití podnětných úloh ve výuce nemohlo tyto lepší výsledky vysvětlovat. Odborníci (Hiebert aj., 2003) se tedy soustředili ještě na to, jakým způsobem jsou úlohy ve výuce skutečně použity. Graf na obr. 2.2 ukazuje skutečné použití procedurálních úloh, graf na obr. 2.3 skutečné použití podnětných úloh. Obr. 2.2


SU

 MA


Obr. 2.3

Zde jsou již změny patrné. V USA nebyly téměř žádné úlohy skutečně problémově použity. Potěšitelné je, že v České republice byly i některé procedurální úlohy použity problémově (srovnej ale např. s Japonskem) a asi polovina podnětných úloh byla skutečně problémově použita. Závěrem dodejme, že problematika ‚správného‘ využití úlohy je velice komplexní a do značné míry i subjektivní. Dokládá i to následující výrok studentky učitelství matematiky. Hned na začátku musím konstatovat, že i když je mi teoreticky jasné, jaký je rozdíl v termínech procedurální úloha a problémová úloha, v praxi mi připadá těžké rozhodnout, jakého typu daná úloha je. Myslím si, že většina úloh se nachází někde na pomezí a záleží hlavně na učiteli, jak dokáže využít možnosti, které úloha nabízí, ve prospěch žáků.

Teze 3. Učiteli jde především o žákovu aktivní činnost Učit se matematice vyžaduje konstrukci, ne pasivní přijetí, a znát matematiku vyžaduje konstrukční práci s matematickými objekty v matematické komunitě. (Davis, Maher, Noddings, 1990, s. 2)

S touto tezí by jistě jen málokterý učitel nesouhlasil. V praxi však nebývá důsledně uplatňována, nebo bývá zaměňována za, řekněme, pseudočinnost, kdy žák pouze reaguje na dílčí otázky učitele, který má na mysli směřování k nějakému obecnějšímu cíli – ten však žák nezná (srovnej s ilustracemi 2.4 a 2.6). Ilustrace 3.1: Kosinová věta Na čtyřletém gymnáziu učí studentka učitelství. Studenti opakují sinovou větu a je zavedena kosinová věta. Nemají učebnice, vše si píší. Jsou velmi klidní a dělají vše, co jim učitelka řekne. Výuka jde ve velmi rychlém tempu, každou otázku si učitelka zodpoví po nepatrné pauze sama. Kosinová věta je napsána na tabuli ve standardním tvaru jako fakt. Učitelka vyzve studenty, aby napsali tuto větu pro jinou stranu než a. Než mají čas zareagovat, napíše na tabuli zbylé dvě formulace. Ptá se, čeho se kosinová věta týká. Sama si okamžitě odpoví, že dvou stran a úhlu naproti nim. strana 17 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

 MA


Přicházejí procvičovací úlohy standardního charakteru. Učitelka postupně prochází řešení krok za krokem, dokonce upravuje výrazy na tabuli tak, aby studentům stačilo jen dosadit konkrétní čísla. Přichází zajímavější otázka. Učitelka se ptá, proč u jedné úlohy, kde byla použita sinová věta, vyšly dva výsledky a tam, kde používali kosinovou větu, taková situace nenastala. Než mají možnost se zamyslet, sama si odpovídá odkazem na vlastnosti sinu a kosinu. Za domácí úkol dostávají žáci trochu nestandardní úlohu. Učitelka však kreslí na tabuli obrázek a upozorňuje na to, že tam vznikne trojúhelník. Studentům stačí jen rozhodnout, zda použijí kosinovou nebo sinovou větu. Studentka ve snaze stihnout vše, co si na hodinu připravila, dělá vše za studenty. Ti nemuseli během hodiny ani minutu myslet. Stačilo dosazovat do vzorečku a odpovídat na dílčí otázky. Nemuseli ani jednou stanovit strategii řešení. Podmínky pro práci byly přitom mimořádně vhodné. Studenti byli klidní a reagovali na učitelku pozitivně. Nedávali najevo otrávenost, naopak se zdálo, že jsou připraveni se učit. Ilustrace 3.2: Výrazy (9. ročník, pozorování studenta učitelství) Žáci upravovali výrazy a jeden z nich se během hodiny zeptal, zda u úlohy (3u+v)/(u-v) může krátit (u+v). Paní učitelka odpověděla, že krátit může jen tehdy, když mezi u a v je operace násobení. Pomiňme teď fakt, že učitelka trochu pozměnila žákovu otázku – ten se neptal na to, zda lze krátit jednou z proměnných u nebo v, ale na celý výraz u + v. Podívejme se na ukázku z hlediska zkoumané teze. Domníváme se, že učitelka zde nevyužila možnost iniciovat diskusi o matematickém problému, který nastolil jeden ze žáků (procedurální úloha mohla být užita problémově). Reagovala tak, že řekla pravidlo, které si žáci okamžitě zapsali (hodina sama byla plná pravidel, které žáci sborově odříkávali). Spíše bychom očekávali, že se s položenou otázkou obrátí na celou třídu. Žáci mohli např. vyzkoušet dosadit nějaké konkrétní hodnoty za u a v a pak zkusit vykrátit číslem u + v. Mohli být také požádáni, aby napsali takový lomený výraz, kde by se výrazem u + v již krátit dalo. Tato otázka by jistě byla pro žáky zajímavá (většinou nemají v hodinách matematiky nic vytvářet, spíše řeší to, co vytvořili jiní), aktivizovala by je a navíc by její řešení ukázalo, zda krácení výrazů správně rozumí. Ilustrace 3.3: Pythagorova věta I (8. ročník) Učitelka standardně zavedla Pythagorovu větu. Na tabuli je nakreslen pravoúhlý trojúhelník se standardně označenými stranami a, b, c. Děti řeší procvičovací úlohy individuálně, ve třídě je klid. Vždy jeden žák předvádí řešení u tabule. V učebnici je u učiva historická vsuvka o modelování pravoúhlého trojúhelníka o stranách 3, 4 a 5 pomocí provázku. Učitelka vyzývá děti, aby si otevřely učebnice a potichu si poznámku přečetly. Modelování pravoúhlého trojúhelníka pomocí provázku se nám jevilo jako vhodná činnost v jinak velmi standardní hodině. Na dotaz, proč nenechala žáky trojúhelník vymodelovat, učitelka odpověděla, že by byl v hodině ruch. K tomu není co dodat. Hlavním cílem vyučování matematice nemůže být, aby byl ve třídě klid. Pokud je ruch ‚z dobrého důvodu‘ žákova dělání matematiky, pak se s ním učitel musí smířit. Míra aktivity žáka při čtení byť z našeho pohledu zajímavého poznatku je sporná. Jeho motivační hodnota pro žáky taktéž. Ilustrace 3.4: Pythagorova věta II (Holandsko, 8. ročník) Učitelka chce zavést Pythagorovu větu. Upozorní žáky na obrázek z učebnice (obr. 3.1). Pak zapne zpětný projektor a ukazuje žákům na připravených fóliích, jak to s Pythagorovou větou je. Má vystřižených osm shodných pravoúhlých trojúhelníků a na dvou fóliích nakreslen obrys velkého čtverce. Trojúhelníky posunuje na fólii tak, aby vytvořila názornou ukázku platnosti Pythagorovy strana 18 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

 MA


věty (viz obr. 3.2). Výsledný obrázek popíše konkrétními čísly. Celý výklad trvá asi 6 minut. Děti sedí v lavicích a poslouchají.

Obr. 3.2

Obr. 3.1

Ilustrace je ukázkou podnětného vyučování ‚na půl cesty‘. Podívejme se na sebereflexi učitelky, kterou napsala po zhlédnutí videozáznamu své hodiny: Pythagorova věta je v knize vysvětlena pomocí dvou čtvercových desek stejné velikosti a osmi shodných pravoúhlých trojúhelníků. Místo toho, abych to nechala dětem číst, chtěla jsem jim to tentokrát ukázat. Fungovalo to velmi dobře. Studenti získali lepší porozumění tomu, jak to funguje, než v minulých letech.

Vidíme, že učitelka si uvědomuje, že pouhé přečtení textu z učebnice a pasivní zhlédnutí obrázku nestačí ke správné představě o Pythagorově větě. Proto se tentokrát rozhodla, že vše předvede názorněji a dynamičtěji. Přestože je přesvědčena o tom, že žáci takto získali lepší porozumění věty, domníváme se, že tomu tak ve skutečnosti není. Na videozáznamu je vidět, že učitelčina ukázka Pythagorovy věty je poměrně rychlá a pro žáka, který ještě větu nezná, téměř neuchopitelná. Sebereflexe učitelky však dává naději, že v budoucnu si toto uvědomí a nechá děti situaci modelovat samotné. Pokud si předem připraví vystřižené útvary, nemusí celá činnost být časově náročnější. Práci se zpětným projektorem může využít pro konečné shrnutí pro všechny žáky. K rozvíjení matematického světa žáka významně přispívá pěstování různých jazyků matematiky, a to využíváním jak psaného textu, mluveného projevu a obrázků, tak i počítačů, kalkulaček a konečně i rozličných učebních pomůcek. Podívejme se např. znovu na ilustraci 3.3, v níž učitelka nechala děti, aby si pouze přečetly o modelování trojúhelníku o stranách 3, 4 a 5. Práce s provázkem, která by situaci vymodelovala v praxi, by byla jistě názornější a přispěla by k vytvoření správné představy spíše než pouhé přečtení. Stejnou roli by sehrálo i vymodelování situace popsané v ilustraci 3.4 přímo dětmi. Úkol pro čtenáře: Prostudujte pět přístupů k výuce Pythagorovy věty v knize Hejný, Kuřina (2001) a vyberte ten, který je nejbližší tomu, jak skutečně tuto látku učíte. Pak navrhněte postup, který by podle vašeho názoru byl pro výuku Pythagorovy věty ideální (kdybyste měli dostatek času i nadšené žáky). strana 19 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

 MA


Shrnutí Chceme-li vést žáky k aktivitě a rozvíjet jejich matematický svět, nesmíme se bát dát jim problém, kde není řešení na první pohled patrné, a musíme mít i ‚odvahu‘ jim neporadit. Chápeme obavy učitelů, cítí zodpovědnost za to, co se děti naučí. Nicméně pochybnosti, tápání a frustrace patří do matematické práce, jen tak mohou alespoň některé děti zažít radost z objevu. Každý se musí se situací nejdříve poprat, aby jí porozuměl (třeba za pomoci ostatních nebo učitele). Zajímavé výsledky v tomto směru přinesla TIMSS Video Study 1995 (Stigler, Hiebert, 1999), v níž se zjistilo, že američtí učitelé téměř nikdy nedají dětem úlohu, aniž by jim předem nenaznačili nebo přímo neukázali metodu řešení. Japonští učitelé postupovali opačně. Učitelé obou zemí procházeli po zadání úlohy ve třídě, ovšem za jiným účelem. Američtí učitelé okamžitě spěchali studentům na pomoc, jakmile se objevily známky, že tápou. Jakoby brali tápání a frustraci jako znak toho, že nedělají svou práci dobře. Japonští učitelé dávali studentům nápovědy, ale současně sbírali informace k tomu, aby mohli organizovat následnou diskusi mezi dětmi. Téměř nikdy nereagovali na problémy dětí tím, že by prozradili řešení. Nechceme, aby vznikl dojem, že učitel nemá žákům poskytovat žádnou pomoc! Jde spíše o to, najít určitou míru pomoci, a záleží na tom, jaký cíl určitou aktivitou učitel sleduje. Chce-li, aby žáci něco samostatně objevili, musí jim k tomu dát na jedné straně prostor a na druhé straně zajistit, aby měli všechny nutné zdroje. Y. Bertrand (1998) upozorňuje, že ústřední místo má sice vlastní činnost jedince, ale nemůže být ponechán jen sám sobě. V omezeném čase vyučování není prakticky žádná možnost, že žák zvládne vše sám, jestliže není uveden do záměrně připravených situací ..., jestliže nemá k dispozici jisté množství signifikantních prvků (dokumenty, experimenty, argumenty) a jestliže nedostal jistý počet formálních postupů (symboliku, grafy, schémata či modely), které může při svém postupu používat. (Bertrand 1998, s. 75)

Na druhé straně to ovšem neznamená, že učitel pouze předává žákům hotové a utříděné poznatky. M. Hejný a N. Stehlíková (1999, s. 33) charakterizují jeho roli takto: Učitel, který je vedený snahou maximálně přispět k formování žákovy osobnosti, zejména k jeho kognitivnímu a metakognitivnímu růstu, nepředkládá žákovi hotové kusy poznání, ale ukazuje mu cesty, kterými se on sám k takovému poznání může dopracovat. Odkrývá žákovi svůj intimní vztah k matematice a předkládá mu problémy, při jejichž řešení může žák zažít krásné chvíle poznávání pravdy. Je ochotný vyslechnout si žákovo vyprávění o jeho cestě za hledáním řešení, umí mu být dobrým partnerem v diskusi, ale hlavně umí spolu s ním prožívat žákovu radost, která provází každý nový objev. Žákovi, který neumí s problémem pohnout, který při opakovaně neúspěšných pokusech propadá beznaději, umí nabídnout doplňující otázky i rady, umí mu dodat víru a sebedůvěru. Vede žáky k tomu, aby si každý z nich zkonstruoval svůj vlastní, autentický obraz matematického světa, vybudovaný na vlastních zkušenostech.

Teze 4. Učitel nahlíží na chybu jako na vývojové stádium žákova chápání matematiky a impulz pro další práci Část učitelů stále ještě zastává názor, že je chyba něco špatného, čeho se žák nemá dopouštět. Domnívají se, že je zapotřebí žáka na chybu upozornit, aby ji mohl včas odstranit a nahradit správným spojem. Obávají se, aby si učivo s chybou omylem nezafixovali i další žáci. To dokládá i výpověď studentky učitelství pro 1. stupeň (hodnocení vlastního výstupu v rámci pedagogické praxe): …zvolila jsem didaktickou hru. Děti se měly ‚probudit‘, když řeknu příklad správně, jinak zůstávaly ‚ležet‘ na lavici. Měly tak rozlišit správný a chybný výsledek… Hodinu jsem později konzultovala s paní učitelkou. Ta měla menší výhradu k této práci. Ona uznává metodu ‚neslyšet a nevidět chybný příklad‘. [Tedy učitelka by vůbec neměla vyslovit chybně vyřešenou úlohu.] Děti, které využívají více strana 20 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

 MA


zrakovou nebo sluchovou paměť, by si podle ní mohly chybné spoje spíše mimoděk upevnit…

Úkol pro čtenáře: Zamyslete se nad názorem učitelky. Souhlasíte s ním či nikoli? Svou odpověď podložte argumenty. Také učitelka z následující ukázky se obává přítomnosti chyby. Ilustrace 4.1: Denisova chyba (4. ročník) Čtvrťáka Denise učitelka hodnotí jako slabšího, často nepozorného, s malým zájmem o matematiku. Třída řeší slovní úlohy, děti pracují společně na tabuli. Na další úlohu je k tabuli vyvolán Denis. Chlapec zpočátku řeší úlohu správně, pak se ale dopustí chyby. Když je na ni učitelkou upozorněn, neví si rady. U: „Pojď to, Káťo, za něj napsat!“ (K Denisovi) „Ty si běž sednout, Denisi, Káťa to už za tebe napíše…“ Káťa opravuje Denisovu chybu a pokračuje mlčky v řešení úlohy u tabule. Denis se vrací do lavice. Učitelka svým jednáním utvrzuje Denise v tom, že je slabší žák, který ‚nemá na to‘, aby úlohu správně vyřešil, že to za něj musí udělat někdo ‚lepší‘. Nejspíš sama nevěří, že to může Denis zvládnout, nebo nechce ztrácet čas. Na chybu se zde nahlíží jako na něco špatného, co musí být odstraněno, ale už se s ní dále nepracuje. Denis se nedovídá, proč je jeho řešení špatně, ale jen jak to má být správně. Učitelce zřejmě nejde o to, dovést Denise ke správnému řešení, ale o to, předvést na tabuli vzorový postup, aby si ostatní žáci, kteří měli úlohu chybně, mohli podle něj svá řešení opravit. Nejde zde o porozumění žáka učivu, ale o učivo samo. Stejný názor na chybu postupně od učitele přebírají i jeho žáci. Obávají se, aby se nedopustili chyby, protože chyba je považována za nepatřičnou a je mnohdy také trestána. Ilustrace 4.2: Vlastní zkušenost s chybou (zkušenost druhé z autorek) Sama mám také, asi jako každý z nás, negativní zkušenost s chybou. Jako dítě jsem se v 6. ročníku v hodině češtiny přihlásila, abych odpověděla na otázku učitelky. Bohužel jsem se ale spletla nebo jsem dotazu ne zcela porozuměla, takže jsem se dopustila chyby. Učitelka mě tehdy před celou třídou nevybíravě pokárala, jak mě něco takového vůbec mohlo napadnout. Tehdy mi dlouho trvalo, než jsem znovu našla odvahu se opět přihlásit a odpovídat na její otázky, ačkoli jsem znala správné odpovědi – příliš jsem se bála, abych se znovu nezmýlila. Strach z chyby vnáší do školní práce napětí a nervozitu, narušuje vztah mezi učitelem a žákem, i mezi dětmi navzájem. Přitom pro řešení úloh je zapotřebí vytvořit ve třídě příznivé pracovní klima, ve kterém se žáci nesmí bát navrhovat hypotézy, které nemusí nutně vést ke správnému výsledku. Pokud jsou ale děti svázány obavami, zda jsou jejich úvahy vhodné, těžko je pak možné od nich očekávat podnětné tvůrčí návrhy. Děti si velmi rychle zvyknou, že samy nemusí o chybě přemýšlet, že není třeba, aby samy zvažovaly, zda něco platí či ne, ale že je tu učitel jako autorita, která rozhodne. Ilustrace 4.3: Katka (5. ročník) Děti písemně násobí. Katka a ještě dva její spolužáci počítají na tabuli. Katka se hlásí, že je hotova. U: „Máš to dobře?“ K: (Je vidět, že sama neví, že je rozpačitá.) U: „Máš to dobře.“ Katka spokojeně odchází do lavice. strana 21 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

 MA


Katka nepřemýšlí, jak ověřit správnost výsledku, očekává, že toto rozhodnutí přijde odněkud shora, od učitele, a ve svém očekávání se nemýlí. Autorita učitele pro mnohé děti slouží jako jediné kritérium, které rozhoduje o pravdivosti řešení. Podívejme se na výpověď jedné učitelky (Cachová, 2003): Na otázku, co je absolutní hodnota reálného čísla, se většinou dovídám, že je to číslo kladné, tak jsem tuhle žákovi řekla, takže absolutní hodnota z –5 je 15?! Číslo 15 je kladné, tak to tvé definici odpovídá. Chvíli na mne divně koukal, tak říkám – vyvrať mi to! A on na to, když to říkáte vy, tak to bude asi pravda… Třída vybuchla smíchy, já taky, ale ono je to spíš k pláči a k zamyšlení.

Učitelka má pravdu. Žák si v průběhu své školní docházky vytvoří strategii, že je důležitější přizpůsobit se očekávání učitele než zkoumat pravou podstatu věci. Tuto strategii je velmi těžké narušit také proto, že je pro děti pohodlnější, jak upozorňuje také J. Holt (1994): …Jeden prvňák se zabýval stránkou úkolů v pracovním sešitě. Odpovědi tam byly uvedené, ale některé byly správné a jiné ne a chlapec měl označit, které jsou které. Označil první tři nebo čtyři správně a potom napsal X k následující. Udělal to tak rychle, že se ho učitel zeptal, jak na to přišel. Odpověděl: „Ále, vždycky dávají špatnou odpověď asi tak sem.“

Jak je vidět z ukázky, děti se takto učí nespoléhat se na sebe, nehledají podstatu věci, ale snaží se tipovat správnost či nesprávnost odpovědí, učivo přijímají formálně. Je to stejné jako s testy v autoškole, kde u některých otázek nepřemýšlíme nad dopravní situací, ale vybíráme ze tří možností tu nejdelší odpověď, protože zbylé dvě jsou příliš krátké. Tento stav je třeba změnit. Jak už bylo řečeno, je třeba dětem vytvořit klidné prostředí, ve kterém se nemusí obávat toho, že se dopustí chyby. Navíc je třeba, aby učitel dokázal chybu využít jako obraz úrovně poznání dotyčného žáka a podle toho mu zprostředkoval podněty k dalším činnostem. Ilustrace 4.4: Odbourávání strachu z chyby (8. ročník) Učitelka při samostatné práci žáků prochází mezi lavicemi. Sleduje, jak jednotliví žáci pracují. U: „…chyba – nevadí, tak se to opraví, proto chodíme do školy, abychom se to naučili…“ Opět prochází mezi lavicemi, nahlíží do sešitů. U: „Znovu opakuji, že matematika je o tom, abychom se naučili.“ Učitelka se snaží svým postojem žáky uvolnit, aby se mohli skutečně soustředit na práci. Je žádoucí, aby učitel vytvářel ve třídě pracovní klima, které je k žákovi vstřícné a kde chyba není nahlížena jako něco špatného, co do vyučování nepatří a co je zapotřebí potrestat. Úkol pro čtenáře: Zamyslete se nad svým postojem k chybě (žáka i vaší vlastní). Jak reagujete na chyby žáků při vyučování? Dokážete před svými žáky přiznat vlastní omyl? Je zajímavé provést srovnání vyučování matematice s logopedickou praxí, ačkoli se na první pohled jedná o dvě zcela odlišné oblasti. Logoped cvičí s dítětem, které má vady v řeči, správnou výslovnost vždy individuálně v 15-ti minutových blocích jedenkrát týdně. Po tuto dobu se mu maximálně věnuje a cíleně se snaží vadu jeho výslovnosti odstranit. Při školním vyučování učitel také odhalí ‚vady v matematice dítěte‘, ale mnohdy, místo aby společně s dítětem nedostatky odstranil, je odsouvá jako neřešitelné. Přitom rodiče mají ke škole většinou stejnou důvěru jako k logopedovi – věří, že chyby dítěte odstraní, že jej naučí počítat, rýsovat, řešit slovní úlohy atd. Učitel má však daleko obtížnější roli než logoped, který napravuje pouze chybnou dovednost (nesprávnou výslovnost). Kromě nácviku dovedností (jakými jsou např. rýsování rovnoběžek, písemné dělení dvojciferným dělitelem, ekvivalentní úpravy rovnic atd.) je třeba, aby žáci jednotlivým matematickým pojmům, postupům a souvislostem porozuměli, vytvořili si o nich správné představy a navíc je dokázali aplikovat. strana 22 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

 MA


Ilustrace 4.5: Středová a osová souměrnost (8. ročník) Žáci při práci s geoboardem (čtvercovou destičkou s 5 x 5 kolíčky) dostali od učitele pokyn vyznačovat pomocí napnuté gumičky útvary osově souměrné nebo středově souměrné. Jak se při práci ukázalo, některé z dětí nedokázaly rozlišit, které útvary jsou pouze středově souměrné, které pouze osově souměrné a které jsou středově i osově souměrné. Učitel proto těmto dětem zadal další činnosti – roztřídit podle druhů symetrie písmena velké tiskací abecedy. K tomu měly využít překládání papíru a práci s napnutým provázkem. Nesprávná představa symetrických útvarů zde nebyla penalizována, ale naopak využita jako odrazový můstek další práce. Manipulace s papírem či provázkem sloužila jako účinný nástroj zjišťování souměrnosti či nesouměrnosti útvarů. Stejně možné je například využít chybu při hledání různých sítí krychle. Není vhodné, aby učitel dětem napovídal, která z jejich sítí, zakreslených např. do čtverečkovaného papíru, je skutečně sítí krychle, ale aby je pobídl k tomu, aby síť vystřihly a pokusily se model krychle sestavit (popř. mohou k tomuto účelu využít některou vhodnou stavebnici). Ilustrace 4.6: Mnohoúhelníky (Austrálie, 8. ročník) Děti dostaly pracovní list popsaný v ilustraci 2.5. Nejdříve si měly zaškrtnout slova, kterým nerozumí. Mimo jiné se na tabuli objevilo slovo mnohoúhelník. U: „Podíváme se na ta slova. Mnohoúhelník. Mohl by nám někdo poradit, co by mohl být mnohoúhelník?“ S: „To je útvar s pěti stranami.“ [To je zřejmě dáno podobností slov ,polygon‘ (mnohoúhelník) a ‚pentagon‘ (pětiúhelník) v angličtině.] U: „Útvar s pěti stranami. Kdo souhlasí, že je to útvar s pěti stranami? Hmm, moc vás není.“ S: „Libovolný dvourozměrný útvar?“ U: „Libovolný dvourozměrný útvar. Dobře. Takže... je tohle mnohoúhelník?“ (Učitel kreslí na tabuli neuzavřenou zaoblenou křivku.) S: „Libovolný uzavřený dvourozměrný útvar?“ U: „No, aha, tenhle je uzavřený.“ (Učitel kreslí uzavřenou zaoblenou křivku.) S: „No, útvar s mnoha stranami? ... Rovnými.“ U: „Aha, rovnými. Dobře. To už je trochu blíž. Takže... útvar, který má určitý počet rovných stran. Kolik stran má tenhle?“ (Učitel kreslí konvexní šestiúhelník.) Návrhy dětí jsou pochopitelně zpočátku nesprávné. Učitel jim však nesděluje, že tomu tak je či v čem nesprávnost vězí. Prostě pokaždé nakreslí útvar, který odpovídá definici dětí. Ty tak lehce nahlédnou nejen, že jejich návrh byl špatný, ale také si uvědomí, co přesně není dobře. Naučí se tak nejen správné definici, ale také se učí schopnosti definovat. Uvědomí si, že v matematice se musíme vyjadřovat přesně a proč. Dodejme, že učitel mohl zajít ještě dál a nechat kreslit na tabuli ony protipříklady děti. (To zřejmě nemohl udělat z časového hlediska. Hlavním cílem hodiny bylo objevit vztah pro součet vnějších úhlů v mnohoúhelníku.) Technika ‚postupného definování‘, která se objevila v této ukázce, je v didaktice matematiky poměrně známá (viz např. Edwards, Ward. 2005). Shrnutí Ve školní praxi často převládá negativní postoj k chybě (žák ani učitel se jí dopouštět nemá). Podnětné vyučování naopak nahlíží na chybu jako na přirozené vývojové stádium poznávání, které umožňuje jak žáku, tak učiteli se z ní poučit (tzn. přijít na to, v čem vlastně žák skutečně chybuje, odhalit příčinu a zjednat nápravu). strana 23 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

 MA


Na ilustraci 1.3 jsme ukázaly, že impulsem k překonání chyby či chybného myšlenkového postupu může být často skutečnost, že někdo ve třídě stejnou úlohu dokázal vyřešit. Jednak tu zřejmě funguje vzájemné soupeření a soutěživost mezi dětmi ve třídě, jednak ale i to, že je to skutečně možné. Tady není rozhodující, že je úloha řešitelná, že učitel očekává výsledek, ale pro děti je důležité, že někdo s podobnými schopnostmi jako oni, tedy jeden z nich, dokázal úlohu vyřešit – tedy řešení je i v jejich silách. Lze to srovnat s tím, když malé děti raději než dokonalý obrázek od dospělého ocení obrázek nakreslený starším dítětem (ten spíše mohou brát jako vlastní vzor, je bližší jejich schopnostem a dovednostem). Závěrem se zmíníme o problematice tzv. nálepkování žáků, na které jsme narazily v ilustraci 4.1. Nálepkování je nebezpečné, protože žákovi v podstatě neumožňuje vymanit se ze škatulky, do níž si ho učitel zařadil. Hejný (2004) o této problematice píše (s. 74): 1. Jestliže slabý žák dostane od učitele nálepku „slabý“ a učitel pak od něj stále čeká jen chyby, znemožňuje to žákovi tento stav změnit. Naopak učitel, který věří, že žákovi dokáže pomoci, který vnímá změnu žáka jako vlastní úkol, vyzývá svým postojem žáka ke spolupráci, která má značnou naději na úspěch. 2. Slabý žák je při rozhovoru s učitelem pod psychickým tlakem; chronickým, protože nevěří, že může matematice porozumět, i akutním, protože je v ohrožení, že se dopustí chyby, a tedy hledá způsob jak uniknout. Ujištění učitele, že mu nic nehrozí, oslabí tlak akutní, povzbuzení mu dodá energii potřebnou k intelektuální práci, přiměřená úloha mu dá šanci něco samostatně vypočítat.

Chybě a její úloze v podnětném vyučování se nebudeme věnovat hlouběji, protože tato problematika je podrobněji rozpracována v rámci kurzu M. Hejného, D. Jirotkové a J. Kratochvílové.

Teze 5. Učitel se u žáků orientuje na diagnostiku porozumění spíše než na reprodukci odpovědi V této tezi se (až na jednu výjimku) nebudeme zabývat formálním hodnocením, tj. hodnocením známkou nebo testem. Naopak nám půjde o učitelovu vlastní reflexi – zjišťování, zda použité metody skutečně vedly u žáků k porozumění. Neformální hodnocení je typické pro každodenní činnost učitele. Učitel v průběhu vyučování spontánně posuzuje žáky, monitoruje momentální průběh vyučování a pohotově řeší situace. Pedagogický zásah je možné provést ihned po diagnostikování. (Gavora, 2001, s. 246)

Ilustrace 5.1: Thaletova kružnice (pozorování studentky učitelství) Žák je v lavici zkoušen z Thaletovy věty. Není schopen vyjádřit svou myšlenku bez náčrtku a tak zoufale kreslí celou situaci rukou do vzduchu a pomalu začíná skládat větu. Učitelka ohodnotí jeho výkon pětkou: „To přece musíš sypat z rukávu!“ Je pravděpodobné, že žák zná Thaletovu větu správně, jen ji neumí říci zpaměti. Kdyby dostal možnost nakreslit si situaci na tabuli nebo na papír (všimněme si gest jeho rukou), zřejmě by větu vyslovil. Signál, který teď dostal, zní: „Není důležité, jestli tomu rozumíš. Hlavně to musíš odříkat.“ Tato situace je ilustrací problematiky různých jazyků matematiky (viz výše desatero konstruktivismu) a současně i různých typů inteligence (Gardner, 1999). Někteří žáci nejlépe porozumí, mohou-li si načrtnout obrázek, jiní potřebují využít i hmat (např. modelování), dalším stačí představa v duchu, ještě další potřebuje slyšet mluvené slovo a poznatek sám zformulovat slovy. Konečně někdy pomůže i pohyb.


SU

 MA


Ilustrace 5.2: Učitel na průmyslovce (pozorování studenta učitelství) Mladý učitel vystudoval ekonomii a nemá žádné pedagogické vzdělání. [...] Jeho přístup je velmi odtažitý a chladný, výuka po formální stránce je však v pořádku. Snaží se studenty nachytat a ponížit, oni ho na oplátku nemají rádi. Při hodině bylo ve třídě hrobové ticho, nikdo se neodvažoval na nic zeptat. Výuka byla jednotvárná, studenti chodili ‚dobrovolně‘ (pod pohrůžkou písemky: „Když nikdo nechce si to procvičit, tak si můžeme napsat písemku!“) k tabuli na počítání úloh, kterým evidentně nerozuměli [...] Po týdnu přišel za vedoucí učitelské knihovny a požádal ji o nějakou sbírku s obzvlášť těžkými úlohami, aby mohl studentům ukázat „jak se to taky dá dělat“, aby si vážili toho, že je k nim normálně ještě velmi shovívavý. Tento příběh je bohužel pravdivý. Zde ani nemůžeme mluvit o diagnostice znalostí a vědomostí, ale spíše o zjišťování toho, co děti neumí, resp. o prokázání toho, že neumí. K tomu není co dodat. Ilustrace 5.3: Oprava chyby podle diktátu učitele Žáci 4. ročníku řešili samostatně do sešitů slovní úlohu z učebnice: „Kolik hodin jsou 4 vyučovací hodiny?“ Pro společnou kontrolu řešení byl učitelkou k tabuli vyvolán Filip. Chlapec něco začal psát na tabuli (co přesně ostatní žáci neviděli, zakrýval to tělem). Učitelka k němu přistoupila. U: „To smaž, to je špatně!“ Filip rukou maže svůj postup. Učitelka diktuje správné řešení (4 . 45 = atd.), chlapec podle jejího diktátu dopisuje celý postup. U: (k Filipovi) „Dobře, jdi si sednout…“ (ke třídě) „Už tomu všichni rozumějí?“ Na Filipovi, který se vrací do lavice, je vidět, že postup řešení úlohy stále nechápe, ale učitelce se to neodváží říct. Protože na otázku nikdo ze žáků nereagoval, učitelka přechází k další úloze. Z ukázky je patrné, že ani ostatní žáci ve třídě nemusejí přemýšlet nad tím, kde Filip chybu udělal a proč (ani na ni nevidí), ale rozhodující pro ně má být to, že je Filipovo řešení označeno učitelkou za chybné. Zde diagnostika porozumění žáků dané problematice zcela chybí, pokud nepočítáme formální otázku „Už tomu všichni rozumějí?“. Ilustrace 5.4: Vlastnosti rovnoběžníku (pozorování studentky učitelství) Žáci diskutovali o vlastnostech rovnoběžníku. Z 28 žáků asi 10 vytrvale tvrdilo učitelce, že každý rovnoběžník je osově souměrný. Učitelka je nejprve okřikovala, že to není pravda, pak už na ně nereagovala a trvala na úspěšném dokončení řešení zadané úlohy. Není třeba zdůrazňovat, že říci žákům, že nemají pravdu, aniž by se dozvěděli proč, není vhodné. Žáci by neměli o nesprávnosti svého názoru být přesvědčování jen na základě autority učitele (viz teze 4), ale měli by se dozvědět, případně si najít matematické zdůvodnění. V tomto případě stačilo vyzvat ty, kteří tvrdili, že ne každý rovnoběžník je osově souměrný, aby nakreslili nějaký příklad. Celá situace by mohla vést k otevřenému problému ‚klasifikujte čtyřúhelníky podle symetrie‘. Je také možné, že žáci měli nesprávnou představu osově souměrného útvaru (srovnej s ilustrací 4.5, v niž učitel řeší podobný problém). Diagnostika porozumění opět zcela chyběla. Ilustrace 5.5: Jednotky času (5. ročník) Studentka učitelství probírala s dětmi v 5. ročníku jednotky času a jejich převody. Aby získala kontrolu, jak děti nové učivo pochopily, zadala jim dva úkoly. 1. Děti řešily ve skupinách slovní úlohy, které byly pro ně zajímavé. Každá skupina dostala jinou úlohu – např.: „Kolik hodin jste doma o letních prázdninách (nemusíte chodit do školy)?“ „Kolik minut by trvaly dva roky prázdnin?“ „Kolik je ti hodin? (Spočítejte pro jednoho žáka z vaší skupiny.)“ Atd. strana 25 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

 MA


2. Hra na závodníky: Každý žák dostal lístek s jiným časovým údajem (v různých jednotkách). Žáci měli za úkol vytvořit čtyřčlenná družstva – časy na lístcích všech dětí ve skupině dají dohromady výsledný čas celého družstva. Které z družstev vyhraje? Z práce dětí bylo patrné, že jsou na práci ve skupinách zvyklé. Učitelka jednotlivé skupiny v průběhu práce obcházela, podle potřeby některé skupiny mírně usměrnila – zadala další náhodné otázky. Při hodnocení porozumění žáků učitelka nekladla standardní otázky „Kolik jsou dvě hodiny minut?‘, ale ‚zabalila‘ je do hávu pro děti zajímavějšího. Tím je nejen motivuje, ale současně zjišťuje, zda skutečně problematice rozumějí, zda umějí převádět jednotky času v různých kontextech. Podívejme se na některé již dříve uvedené ilustrace z hlediska zkoumané teze. Otázka, kterou ve výuce běžně používá každý učitel, tedy „Už tomu všichni rozumějí?“, je často dětmi chápána jako formální či řečnická a učiteli jen zřídka dává zpětnou vazbu o skutečném porozumění. To se projeví např. tehdy, položíme-li žákům otázku odlišnou od těch, které byly využity při zavádění pojmu. Např. u ilustrace 3.2 by otázka „Najděte takový výraz, kde můžeme krátit výrazem u + v“ nejen přinesla žákovi odpověď na jeho otázku, ale také prokázala, jak žáci rozumí úpravám lomených výrazů. V ilustraci 5.4 by úkol oběma skupinám zastávajícím opačný názor „nakreslete čtyřúhelník, který je, resp. není osově souměrný“ ukázal dětem, že ne všechny čtyřúhelníky jsou osově souměrné, a učiteli, jak vlastně žáci chápou osovou souměrnost a symetrii útvarů. V ilustraci 2.4b učitel zjišťuje to, zda žáci porozuměli vzorci pro součet úhlů v mnohoúhelníku tak, že jim klade dílčí otázky, které jsou ovšem zodpověditelné i bez znalosti onoho vzorce. Diagnostikovat porozumění lze i tak, že žákovi dáme místo standardní úlohy problémovou úlohu. Takovou mohla být i úloha zadaná v ilustraci 3.1 jako domácí úkol, kdyby učitelka nedala studentům velkou nápovědu. Shrnutí Konstruktivistické přístupy k vyučování matematice, na rozdíl od přístupů transmisivního a instruktivního typu, podporují aktivní tvořivé myšlení žáka a jeho zájem o matematiku. Orientují se především na systematické rozvíjení matematického světa žáka (ve smyslu tří světů K. Poppera, Hejný, Kuřina, 2000), nikoli na formální výstupy. Školská praxe se bohužel často orientuje právě na ně. Děti pak pouze reprodukují, co jim učitel předložil, aniž by učivu musely porozumět. Školní vyučování matematice často vede žáky k tomu, aby hlavně rychle a co nejvíc bezchybně reagovali na úkoly a otázky, které jim učitel klade. Často to jsou otázky s nuceným výběrem (a, b, c, …) odpovědí, otázky zjišťovací (Co to je? Jak to je? Kolik to je?) nebo je dokonce otázka učitelem formulována jako částečná odpověď, kterou má žák pouze doplnit podle očekávání učitele. Pokud ji nikdo z žáků pohotově nezodpoví, odpovídá si často učitel sám. Podnětné vyučování se zaměřuje na každého žáka. Důležité je, aby žák správně učivu porozuměl a pochopil je. K tomu musí učitel sledovat aktuální obraz matematiky v jeho mysli, snažit se pochopit žákův vnitřní svět matematiky – na základě toho jej pak může pozměňovat tak, aby směřoval žáka ke správnému porozumění a pochopení. H. Gardner (1999, s. 103–289) vymezuje následující typy lidské inteligence:       

jazykovou; hudební; logicko – matematickou; prostorovou; tělesně pohybovou; interpersonální (chování, city a motivace jiných lidí); intrapersonální (zkoumání sebe sama a znalost vlastních pocitů). strana 26

Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

 MA


Odlišnost jednotlivých typů inteligence částečně vysvětluje to, proč je snaha učitele dovést žáka ke správnému porozumění učivu mnohdy tak obtížná. Každá z inteligencí upřednostňuje jiný styl učení – u dětí s převládající jazykovou inteligencí je důležité o jevech hovořit, slovně je popsat, logicko-matematická inteligence vyžaduje přesné a výstižné vyjádření (např. vztah, vzorec), prostorová inteligence znázornění obrázkem, schématem či modelem, interpersonální – učení se ve skupině či diskusi se spolužáky atd. Ve všech případech je však důležité aktivně zapojit žáka do procesu poznávání (prostřednictvím rozmanitých, nejlépe tvořivých činností).

Závěr Nejen učitel se musí ‚učit‘ používat prvky konstruktivistických přístupů. Pro žáky to platí také. Ze svého předchozího studia si s sebou nesou určitá očekávání, jak má výuka matematiky vypadat, často se snaží matematikou projít ‚cestou nejmenšího odporu‘. Zde je autentický záznam studenta učitelství, který začal uplatňovat výše uvedené teze v 1. ročníku střední školy: Asi patnáctiletý student sedící v první lavici hned u katedry se jednou po skončení hodiny ptal na právě probíranou látku. Vysvětlil jsem mu, na co se ptal, načež on řekl: „Vy to vysvětlujete nějak divně. Já to od vás nemohu během hodiny pochopit. Proč to vysvětlujete tak složitě, když je to v učebnici napsané tak jednoduše?“ ... Chci, aby studenti přišli na problém sami a aby sami zkonstruovali řešení příkladů. Já jsem jen jako jejich pomocník a usměrňovatel. Zatímco v knize ... je popsaný postup ke každému typu příkladu. Ten je pak snadné se naučit a aplikovat, aniž by člověk musel moc namáhat hlavu. Studentovi tedy asi dříve byla matematika vykládána jen jako postupy, on se je učil a pomocí nich řešil příklady. Teď by chtěl podobný výklad. Některým studentům [...] vyhovuje klasické postupové řešení. Tedy by člověk měl učit oběma způsoby.

Konečně každému vyhovuje jiný přístup. I v naší výuce na vysoké škole, kde se snažíme alespoň některé odborné předměty pojmout tak, že si studenti mají řadu poznatků objevit sami, dostáváme rozličné reakce. Na jednu stranu jsou studenti, kteří jsou překvapeni, na co všechno dokážou sami přijít, a uvádějí, že je to takto více baví. Ovšem pak jsou jiní, kteří očekávají, že jim učitel předloží vhodně upravené definice a věty a logicky je poskládá dohromady. Naproti tomu učitel očekává, že si určitou strukturu vytvoří sami na základě vlastní práce. Tak se v průběhu let snažíme najít určitou rovnováhu a přijít na to, jaká míra pomoci je pro studenty přínosná z hlediska jejich vlastního matematického zrání a současně přijatelná pro jejich očekávání. Nechceme vyvolat klamný dojem, že žák si má všechno v matematice zkonstruovat a že by do procesu jeho poznání učitel neměl zasahovat. Vždyť i jeden ze zakladatelů sociálního konstruktivizmu P. Cobb tvrdí: Myšlenka, že dáme dětem nějaké kostky či jiný materiál, necháme je samotné a když se vrátíme po patnácti letech, očekáváme, že vynalezli matematickou analýzu, nedává vůbec žádný smysl. Učitel je stále autoritou, stále učí.

Jde nám spíše o rovnováhu, o to, aby výuka nebyla pouze instruktivní a transmisivní. Konstruktivistické přístupy k vyučování mohou být mnohostranné, neexistuje jeden správný. Konkrétními ilustracemi z praxe jsme se snažily ukázat, jaké chování či reakce učitele je podle našeho názoru v souladu s těmito přístupy a jaké je v rozporu. Podnětná výuka se podle našeho názoru skládá z určitých rysů, které jsme se zde pokusily osvětlit pomocí pěti tezí. Tedy hodina může být např. procvičovací, ale učitel může přesto využívat konstruktivistické prvky např. vhodnou reakcí na jejich dotazy a chyby. Tedy podnětná výuka pro nás není synonymem pro objevitelskou výuku. Uvědomujeme si, že základní námitkou ze strany učitele vůči některým doporučením v tomto textu bude, že jsou časově náročné a v reálném vyučování na ně není čas. Na to máme dvě strana 27 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

 MA


odpovědi. Za prvé, mnoho z toho, o čem jsme zde diskutovaly, se týká věcí, které nejsou časově náročnější než tradiční vyučování (např. vhodná reakce učitele na chybu nebo podnět žáka). Za druhé, věříme, že pokud učitel zařadí např. práci s pomůckami nebo nějakou činnost, v níž si žáci něco sami objeví, vynaložený čas se mu vrátí později. Poznatky žáků jsou trvalejší a kvalitnější a nemělo by docházet k situaci, kdy učitel musí učivo znovu a znovu vykládat: „Vždyť jsem jim to říkala tolikrát, stále to nechápou.“


SU

 MA


Témata seminárních prací Práci můžete zaměřit na jedno z níže uvedených témat, nebo můžete zkombinovat několik témat. 1. Popište podrobně skutečně odučenou ‚objevitelskou‘ hodinu a rozeberte její průběh z hlediska pěti uvedených tezí. 2. Popište situaci, v níž byla podnětná úloha použita procedurálně, a navrhněte nápravu. Podobně popište situaci, v níž byla procedurální úloha použita problémově. Situace mohou být odpozorovány v praxi nebo mohou být hypotetické. 3. Popište ukázku hodiny, o níž se domníváte, že v ní byli žáci vhodným způsobem motivováni k aktivní a tvořivé činnosti. Svůj výběr podrobně zdůvodněte. Klasifikujte motivaci použitou ve vaší ukázce podle hledisek uvedených v textu. 4. Popište situaci, ve které podle vašeho názoru učitel nesprávně nahlíží na chybu žáka. Navrhněte, jak by mohl učitel postupovat, aby chybu žáka využil v jeho prospěch. Proveďte šetření mezi svými kolegy učiteli s cílem zjistit, jak oni nahlížejí na chybu žáka i svou vlastní. 5. Popište situaci, ve které je příčinou chyby žáka špatné porozumění podstatě věci, a navrhněte postup, jak to napravit. 6. Navrhněte nějakou činnost (může být i z vaší praxe), která rozvíjí tvořivost žáka. Udělejte si podrobnou přípravu, včetně možných reakcí žáků. Pak aktivitu realizujte a zhodnoťte z hlediska původních cílů a předpokladů. 7. Vyberte si nějaké matematické téma a navrhněte pro něj různé zpracování, počínaje silně instruktivním až po silně konstruktivistické. Uveďte výhody a nevýhody každého přístupu. Jeden z nich vyzkoušejte a svou výuku zhodnoťte. 8. Vytvořte sérii ilustrací (z praxe nebo hypotetických), které ilustrují výše uvedené teze (případně jinou tezi, která je v souladu s konstruktivistickými přístupy k vyučování). Ilustrace okomentujte. 9. Sestavte soubor podnětných úloh a vypracujte komentář, který ukáže, jak by se měly správně (problémově) použít ve výuce. Některou z nich vyzkoušejte a podrobně popište průběh vyučování a zhodnoťte jej z hlediska původních cílů a předpokladů. 10. Vyberte si vhodnou úlohu (úlohy) a rozpracujte její řešení s ohledem na různé typy inteligencí (viz výše). Vyzkoušejte ji v praxi a podrobně popište průběh vyučování a zhodnoťte jej z hlediska původních cílů a předpokladů.


SU

 MA


Literatura BERTRAND, Y.: Soudobé teorie vzdělávání. Praha: Portál. 1998. BOALER, J.: Experiencing school mathematics. London: Lawrence Erlbaum Associates Publisher. 2002. CACHOVÁ, J.: Konstruktivní přístupy k vyučování matematice a školní praxe. Praha. 2003. Disertační práce. Univerzita Karlova v Praze, Pedagogická fakulta. DAVIS, R.B., MAHER, C.A., NODDINGS, N.: Constructivist views on teaching and learning of mathematics. USA: National Council of Teachers of Mathematics. 1990. DEWEY, J.: Demokracie a výchova. Praha: Laichter. 1932. EDWARDS, B. S., WARD, M. B.: Překvapení z didaktického výzkumu: Jak studenti „užívají“ matematické definice. Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, roč. 50, č. 3, 221–236. 2005. GARDNER, H.: Dimenze myšlení. Teorie rozmanitých inteligencí. Praha: Portál. 1999. GAVORA, P.: Diagnostikovanie a hodnotenie žiaka vo vyučování. In Kolláriková, Z., Pupala, B. (Eds.): Předškolní a primární pedagogika. Praha: Portál. 2001. GLASERSFELD VON, E.: Radical constructivism. London: The Falmer Press. 1995. HARTL, P.; HARTLOVÁ, H. Psychologický slovník. Praha: Portál. 2000. HEJNÝ, M.: Chyba jako prvek edukační strategie učitele. In Hejný, M., Novotná, J., Stehlíková, N. (Eds.): Dvacet pět kapitol z didaktiky matematiky, Praha: PedF UK. 2004, 63–80. HEJNÝ, M.; KUŘINA, F.: Konstruktivní přístupy k vyučování matematice. Matematika, fyzika, informatika. 1998, č. 7, s. 385–395. HEJNÝ, M.; KUŘINA, F.: Tři světy Karla Poppera a vzdělávací proces. Pedagogika. 2000, roč. 49, č. 1, s. 38–50. HEJNÝ, M.; KUŘINA, F.: Dítě, škola a matematika: konstruktivistické přístupy k vyučování. Praha: Portál. 2001. HEJNÝ, M.; STEHLÍKOVÁ, N.: Číselné představy dětí. Praha: PedF UK. 1999. HIEBERT, J. et al. (eds.): Teaching mathematics in seven countries. Results from the TIMSS 1999 Video Study. National Center for Education Statistics. 2003. [http://nces.ed.gov/pubsearch] HOLT, J.: Proč děti neprospívají. Praha: Agentura STROM. 1994 HVOZDÍK, J.: Základy školskej psychologie, Bratislava: SPN. 1986. KALHOUS, Z., OBST, O. aj.: Školní didaktika. Praha: Portál. 2002. KOTÁSEK, J. aj. Národní program rozvoje vzdělávání v České republice. Bílá kniha. Praha: Ústav pro informace ve vzdělávání – nakladatelství Tauris. 2001, 98 s. KOZLĺK, J.: Jak navyknout žáky základních škol myslet, komunikovat a učit se. Pardubice: Univerzita Pardubice, Fakulta humanitních studií. 2003. KUŘINA, F.: O matematice a jejím vyučování. Obzory matematiky, fyziky a informatiky. 2002, roč. 31, č. 1, s. 1–8. LITTLER, G.H.: Using childrens‘ experiences in and out of school. In Kubínová, M., Littler, G.H. (Eds.): EMTISM – Empowering Mathematics Teachers for the Improvement of School Mathematics, Praha: PedF UK, s. 17–50, 2004. LOKŠOVÁ, I., LOKŠA, J.: Pozornost, motivace, relaxace a tvořivost dětí ve škole, Praha: Portál. 1999. PIAGET, J.: The equilibrium of cognitive structures. Cambridge, MA: Harvard University Press. 1985. PRŮCHA, J.; WALTEROVÁ, E.; MAREŠ, J.: Pedagogický slovník. Praha: Portál. 2001. STEHLĺKOVÁ, N.: Konstruktivistické přístupy k vyučování matematice. In Hejný, M., Novotná, J., Stehlíková, N. (Eds.): Dvacet pět kapitol z didaktiky matematiky. Praha: PedF UK. 2004, s. 11–22. strana 30 Operační program Rozvoj lidských zdrojů Podíl učitele matematiky ZŠ na tvorbě Školního vzdělávacího programu č.projektu: CZ.04.1.03/3.1.15.1/0237

SU

 MA


STEHLĺKOVÁ, N.: Konstruktivistické přístupy k vyučování a praxe. In Krátká, M. (Ed.): Jak učit matematice žáky ve věku 11–15 let. V tisku. STIGLER, J. W.; HIEBERT, J.: The Teaching Gap: Best Ideas from the World's Teachers for Improving Education in the Classroom. Free Press. 1999. VYGOTSKIJ, L.S.: Myšlení a řeč. Praha: SPN. 1970. VYGOTSKIJ, L.S.: Vývoj vyšších psychických funkcí. Praha: SPN. 1976.


SU

 MA


Konstruktivistické přístupy k vyučování a praxe

Recommend Documents