KONCEPT DURACE A KONVEXITY U CENNÝCH PAPÍRŮ S FIXNÍM VÝNOSEM V první části této studie se zaměřujeme na stanovení tržní ceny dluhopisu, kterou označujeme písmenem B (kde B – bond price). Průměrný (úrokový) výnos do doby splatnosti dluhopisu označujeme symbolem y (yield to maturity – YTM); Ct je kupon vyplacen v čase t (předpokládáme, že existuje n termínů výplat kuponů) a M značí jistinu v okamžiku splatnosti neboli maturity obligace. Aktuální výnos obligace je těsně svázán s hladinou úrokové míry (v souladu s převládající konvencí při odvolání na bezrizikovou úrokovou sazbu ji zde označujeme písmenem r). Při klesající úrokové míře roste cena obligací a tím se snižuje i výnos z investované částky, poněvadž za obligaci zaplatíme vyšší cenu. Tento vztah platí i naopak. Z uvedených vztahů tedy vyplývá, že cena obligace je nepřímo úměrná úrokové míře. Tržní cena obligace, B, se rovná současné hodnotě obligace a je zpravidla v ekonomické a finanční literatuře vyjádřena následujícím výrazem:
B=
Cn C1 C2 M + + ..... + + 2 n (1 + y ) (1 + y ) (1 + y ) (1 + y ) n
Tento vztah je kompaktně vyjádřen v rovnici (1) na str. 2. Pro odvození durace je obyčejně tato rovnice nejvhodnější. Pracuje se s ní lépe především při stanovování závislosti ceny obligace na úrokové míře. Investor se zpravidla zajímá, jak velká je tato závislost. Změnu B (ceny dluhopisu) při změně výnosu do splatnosti, y, můžeme přesně stanovit jako první derivaci B podle y (viz. rovnici 2). Při odvození durace (viz. např. rovnice 4 nebo 5) vidíme, že durace měří o kolik % se změní cena obligace při % změně výnosu do doby splatnosti, resp. při změně úrovně úrokových sazeb. Rovnice (6) pak ukazuje, že na duraci můžeme rovněž pohlížet jako na vážený časový průměr. “Rozměr” durace je skutečně čas. Později, při odvození modifikované durace (viz. rovnici 7) vidíme, jak se změní cena obligace při absolutní změně výnosu do splatnosti. Mohli bychom ještě dále pokračovat, vynásobit modifikovanou duraci tržní cenou obligace, B a odvodit tzv. korunovou (nebo dolarovou) duraci, která zobrazuje, o kolik korun (resp. dolarů) se změní cena obligace při dané změně výnosu. Vztahy a rovnice v této studii jsou odvozeny (derivovány) pro nekonečně malou změnu výnosu y. V praxi se však zpravidla zajímáme o změny ceny B při větších změnách y (viz. například výpočet durace v této studii a přílohu v tabulkovém procesoru Excel). I zde lze duraci využít, ovšem interpretace “změna ceny B při změně y” pak platí jen přibližně. Ve druhé části studie ukážeme, že tento odhad lze zpřesnit po zavedení pojmu konvexity (viz. např. výraz 8 a následující rovnice a obrázky 1 a 2). Jedno z kriterií, které se pouñívá pÍi odhadech rizika úrokové míry je durace. U obligací s fixním výnosem (např. s kuponem) se poñadovaný výnos do doby splatnosti (required rate of return, internal yield, zde značen písmenem y) mní se zmnou úrokových mr, např. pÍi zmn diskontní sazby. Durace je koncept, který vysvtluje do jaké míry se zmna výnosu do doby splatnosti (zde značená )y) promítne do sou…asné hodnoty - trñní ceny obligace (zde zna…ené B). Výraz )B/B násoben 100 zde zna…í procentní zmnu ceny obligace. Trñní cena (sou…asná hodnota dluhopisu) je diskontovaný sou…et kuponových plateb plus diskontovaná hodnota jistiny a je vyjádÍena výrazem: n
(1)
B = ∑ Ct (1 + y ) −t t =1
File name: Durace a konvexita
1
kde Ct je kuponová platba v …ase t a symbol y je průměrný úrokový výnos do doby splatnosti obligace tj. výnos, kterým trh obligaci ocení. PÍedpokládá se, že Ct je (konstantní) kupon C pro t = 1, 2, ......, (n-1) a v dob splatnosti, kdy t=n je poslední kupon vyplacený spolu s jistinou v okamñiku splatnosti (tj. Cn = C + M, kde M je maturita - jistina v …ase n). PÍi spojitém úro…ení je hodnota obligace (B) vyjádÍena:
B =
(1a)
n
∑C t =1
t
e − yt
Odvozování durace probíhá následujícím zpçsobem: Nejprve derivujeme B podle y v rovnici …. 1 s diskretním úročením. n dB = −∑tCt (1 + y)−t−1 dy t =1
(2)
V pÍípadě spojitého úro…ení by derivování obou stran rovnice (1a) podle y dalo výsledek (rovnice pro spojité úročení mají v této studii příponu a): n dB = − ∑ tC t e − yt dy t =1
(2a)
(Tento výraz budeme potřebovat při řešení případové studie se spojitým úročením později). Pokra…ujeme však s diskretním pÍíkladem. Vynásobíme-li ob strany předchozí rovnice (2) výrazem (1 + y) dostaneme: (3)
(1 + y )
n dB = −∑ tCt (1 + y ) −t dy t =1
Relativní zmna ceny v % (tj. změna sou…asné hodnoty obligace, )B/B), která je vyvolaná zmnou y (tj. )y) výnosu je dána výrazem: (dB/B)/dy. (Pozn.: Jde o velmi malou změnu, proto d namísto ) ve jmenovateli výrazu.) Vydlíme-li ob strany rovnice vyjadřuje procentní zmnu ceny doby splatnosti obligace. Levá pravá strana rovnice vyjadřuje
(4)
Výraz (-) D jako:
(3) cenou obligace B dostaneme vztah, který obligace vyvolané procentní zmnou výnosu do strana rovnice (4) je vlastně elasticita a Macauleho duraci (s negativním znaménkem).
n dB / B = −∑ dy /( 1 + y ) t =1
C t (1 + y ) − t t = −D B
se nazývá Macauleyho durace. Macauleyho duraci lze přepsat
(5)
D =
n
∑
t =1
C (1 + y ) − t t t B
,
kde výraz v hranaté závorce je váha (w) diskontovaných kuponových plateb. File name: Durace a konvexita
2
Podobně lze odvodit Macauleyho duraci i pro pÍípad spojitého úro…ení resp. diskontování (s pouñitím rovnice 2a):
D =
(5a)
n
∑
t=1
C te − t B
yt
Definujme váhu (wt ) jednotlivých diskontovaných kuponových plateb. Tato váha (weight) je vyjádÍena: wt = Ct(1 + y)-t/B a tento výraz najdeme v hranatých závorkách v rovnicích (4) a (5) výše. Nyní (4) mçñe být zapsána: n dB / B = − ∑ tw t = − D . dy /( 1 + y ) t =1
(6)
Rovnice (4) a (6) nám napovídají dv dçleñité vci o duraci. Za prvé, levá strana (4) indikuje, ñe Macauleyho durace (s negativním znaménkem) mçñe být interpretována jako procentní zmna v trñní cen obligace dB/B, která byla zpçsobena nepatrnou zmnou (d) ve výnosu do splatnosti resp. úrokové míry (y). Tento výraz, dy, (ve jmenovateli)je však vydlen (1 + y); pozdji ho odstraníme pÍi zmn Macauleyho durace na duraci modifikovanou. Za druhé, durace je vlastn váñený prçmrný …as do doby splatnosti obligace, kde váhy (weights, wt), jsou sou…asné hodnoty kuponových plateb v kañdém termínu nebo období výplaty. (Sou…et vah musí dávat 1, neboli 100 %.) U obligací s kupony je durace menší neñ doba splatnosti ponvadñ …ást celkových cash flows plynoucích z obligace -obdrñené kuponové platby- jsou inkasovány v obdobích pÍed dobou splatnosti obligace. V pÍípad dluhopisů s nulovým kuponem se durace rovná dob do splatnosti. Vtšina investorç, manañerç portfolií a finan…ních ekonomç dává pÍednost indikátoru durace, který by jednoduše vyjadÍoval zmnu v cen obligace dB/B, vyvolanou přímo zmnou v míÍe výnosu dy (a nikoli relativní změnou % výnosu). To lze jednoduše provést výpočtme tzv. modifikované durace. Tu obdržíme, vydlíme-li ob strany (4) výrazem (1 + y):
(7)
n dB / B = −∑ dy t =1
C (1 + y ) − t − D t t ≡ − Dm . = (1 + y ) B ( 1 y ) +
Dm se nazývá modifikovaná durace (modified duration, také Dmod) a je běžně vyuñívána ve strategiích Íízení rizik a hedgingu portfolií. Modifikovaná durace tedy udává, o kolik % se změní cena obligace při absolutní změně výnosu y. Je to vlastně Macauleyho durace definována vztahem (5) a posléze vydlena výrazem (1 + y). Uvedeme pÍíklad výpo…tu Macauleyho i modifikované durace s pomocí výrazů (4) a (7).
Případová studie výpočtu durace Jaká je Macauleyho a modifikovaná durace desetileté obligace s nominální hodnotou 1000 CZK (nebo USD) a osmiprocentním kuponem splatným jednou za rok (Ct = 80 p.a.) a vyñadovaným výnosem do splatnosti (y) ve výši 7 % p.a.?
File name: Durace a konvexita
3
Řešení: Z výrazu (1), víme, ñe sou…asná hodnota této obligace (B) se rovná:
B=
10
80
∑ (1,07 ) t =1
t
1000 + (1,07 ) 10 = 1070 , 24
Tato sou…asná hodnota (1070,24 CZK nebo USD) sestává ze sou…asné hodnoty deseti kuponových splátek (první část rovnice), a ze současné hodnoty jistiny (druhá část výrazu, kde při poslední, desáté výplatě kuponu je splacena také jistina). Tabulka 1, podává přehled nejdůležitějších součástí tohoto výrazu v různém stupni agregace. Tabulka 1. Čas
Platba
Disk. faktor
Souč. hodnota Ct(1 + y)-t
Váha
Čas*Váha
wt
t*wt
t
Ct
(1 + y)-t
1
80
0.9346
74.77
0.0699
0.0699
2
80
0.8734
69.88
0.0653
0.1306
3
80
0.8163
65.30
0.0610
0.1831
4
80
0.7629
61.03
0.0570
0.2281
5
80
0.7130
57.04
0.0533
0.2665
6
80
0.6663
53.31
0.0498
0.2989
7
80
0.6227
49.82
0.0466
0.3259
8
80
0.5820
46.56
0.0435
0.3480
9
80
0.5439
43.51
0.0407
0.3659
10
1080
0.5083
549.02
0.5130
5.1299
1070.24
1.0000
7.3466
Celkem:
Macauleyho durace (D) této obligace je 7.3466 (asi 7 let a 4 měsíce) a modifikovaná durace (Dm) pÍi pouñití rovnice (7) je 6.866 let (7.3466/1.07) a činí 6 let, 10 měsíců a necelých 12 dní. Modifikovaná durace v tomto pÍípad (Dm=6.866 let) říká, ñe kdyñ se úroková míra (a požadovaný výnos do splatnosti) sníží o 100 bázických bodů (”basis points, bps” neboli o 1%) pak se cena obligace (dB/B) zvýší o 6.87 %: dB/B = - Dm
.
dy = - 6.866
.
-0.01 = + 0.06866 = + 6.866 %.
Naopak, v pÍípad zvýšení vyñadované míry výnosu (internal yield, y) o 100 bps (základních bodů) by cena obligace při použití obdobného výrazu klesla o 6.87 %: dB/B = - Dm
.
dy = - 6.866
.
+0.01 = - 0.06866 = - 6.866 %.
Nyní je již jasné, ñe procentní zmna v cen obligace se rovná modifikované duraci této obligace násobené zmnou y. Pro zjednodušení však pÍi všech tchto úvahách pÍedpokládáme paralelní pohyb výnosové kÍivky, která je navíc plochá. Při důkladnější analýze rovnic a vzorců pro výpočet durace je zřejmé, že Macauleyho i modifikovaná durace závisí na třech faktorech: doby do File name: Durace a konvexita
4
splatnosti, na výši kuponových plateb a na výnosu do splatnosti obligace. Mezi nejdůležitější charakteristiky durace se považuje např. vztah mezi dobou do splatnosti obligace a durací: durace se zvyšuje s dobou do splatnosti a naopak. V případě dalších dvou faktorů a durací platí nepřímá závislost: zvýšení kuponových plateb (a/nebo zvýšení výnosu do splatnosti) má za následek snížení durace a naopak.1
Případová studie se spojitým úročením
Všimnme si jiného pÍíkladu, kde je pÍedpoklad spojitého úro…ení. Celkový pÍístup je jinak prakticky totoñný s výše uvedeným pÍíkladem. Pro kalkulaci jednotlivých sloupcç bude tÍeba výrazç (1a), (2a) a (5a). Jedná se o tÍíletou obligaci s nominální hodnotou 100 mnových jednotek a kuponovými platbami kañdých šest msícç ve výši 5 mnových jednotek. Jistina bude vyplacena spolu s posledním (šestým) kuponem. Vyñadovaný výnos (úroková míra nebo vnitÍní míra výnosu, kterou budeme tento budoucí cash flow diskontovat) je 12 % p.a. PÍedpokládáme spojitou výnosovou míru neboli spojité diskontování. Sou…asné hodnoty kuponových plateb jsou vypo…ítány ve …tvrtém sloupci tabulky …. 2. NapÍíklad sou…asná hodnota tÍetího kuponu je: 5e-0.12*1.5 = 4.176 atp. Pokud —obdobn jako v pÍedchozích pÍípadech— definujeme váhu wt = Ct.e-yt/B, pak výrazy (2a) a (5a) mohou být vyjádÍeny následovn:
dB
(6a)
n
B = − tw = −D. ∑ t dy t =1
Vynásobením obou stran rovnice výrazem B dostaneme: (7a)
dB/dy = - B.D;
a tedy:
dB = - B.D.dy
Sou…asná hodnota obligace (94.213) sestává ze sou…asných hodnot šesti kuponových plateb v…etn jistiny. Tabulka …. 2 podává pÍehled o výpo…tu durace pÍi spojitém úro…ení:
1
Rovnice rovněž napovídají, že vztahy mezi těmito proměnnými nejsou lineární (a v některých případech existují dokonce i vztahy, které nejsou monotonní, např. přímá závislost mezi durací a dobou do splatnosti se po dosažení určitého bodu mění v závislost nepřímou a to u “deep discount bonds” nebo perpetuit). Na případové studii výpočtu durace, která je vypracována v Excelu a uvedena jako příloha k tomuto článku, můžeme měnit výnos do splatnosti a pozorovat, jak se v návaznosti na to mění durace i konvexita.
File name: Durace a konvexita
5
Tabulka 2. Čas
Platba
Disk. f. Cte-.12t
Souč. hodnota
Čas*Váha
wt
t.wt
t
Cte-.12t
0.5
5
0.942
4.709
0.050
0.025
1.0
5
0.887
4.435
0.047
0.047
1.5
5
0.835
4.176
0.044
0.066
2.0
5
0.787
3.933
0.042
0.084
2.5
5
0.741
3.704
0.039
0.098
3.0
105
0.698
73.256
0.778
2.334
94.213
1.000
2.653
Celkem: 130 Z výrazu (7a) je zÍejmé, ñe
(Cte-.12t)/B
Váha
dB = -94.213 dB = -249.95
.
2.653 .
.
dy, neboli:
dy.
Jestliñe dy = +0.001 (tj. y se zvýší ze 0.12 na 0.121, v procentech z 12 % p.a. na 12.1 %), výraz dB = -249.95.dy napovídá, ñe dB bude -0.25. Jinými slovy, cena obligace by se mla sníñit o 0.25 na 93.963 (94.213 - 0.25). Pokud provedeme stejný výpo…et hodnoty B pro výnos y = 12.1 % p.a. (nikoli 12 %), a hlavn, pokud nebudeme zaokrouhlovat zjistíme, ñe rozdíl, dB, je skute…n 0.25. Klí…ový výsledek, který podkládá zajišÙovací schémata nebo hedging zaloñená na duraci je dB = - B.D.dy, kde dy reprezentuje infinitesimální zmnu ve výnosu, y (obvykle se jedná o spojité úro…ení) a dB pÍedstavuje následnou zmnu v B. Tento vztah umoñÁuje manañerům portfolií ohodnotit sensitivitu obligace ve vztahu k “relevantní” diskontní míÍe. Vzore…ek pro výpo…et durace obligace nazna…uje, ñe durace —vlastn cenová elasticita— závisí na třech faktorech. Konkretně to jsou: doba do splatnosti obligace, kuponová sazba a výnos do doby splatnosti y. Za prvé, …ím delší doba do splatnosti (maturity, tj. …ím vyšší n) tím vtší durace ceteris paribus. Dále, se zvýšením kuponové sazby se sníñí durace. Výplata kuponç v prvních letech ñivota obligace zapÍí…iÁuje, ñe je jejich váha ve vzore…ku durace vyšší. V pÍípad nulového kuponu je durace nejvyšší moñná (rovná se dob do splatnosti). Kone…n, pÍi zvýšení úrokových mr (vnitÍní výnosové míry, y) se durace sniñuje. Intuitivn, vyšší diskontní míra sníñí sou…asnou hodnotu vzdálenjších kuponových výplat (a jistiny) více neñ hodnotu blízkých plateb. Durace portfolia s cennými papíry s fixním výnosem mçñe být, ne však zcela pÍesn 2, definována jako váñený prçmr durací jednotlivých obligací v portfoliu - kde váhy jsou proporcionální k cenám individuálních obligací. Nicmén fakt, ñe cena obligace (B) není lineární funkcí vnitÍní míry výnosu (y) pÍináší další moñnou komplikaci, pro jejíñ sníñení nebo odstranní je nutno aplikovat koncept konvexity, ke kterému nyní přistoupíme.
2
Existují teoretické problémy, jako napÍíklad tzv. "combination lines" tj. "kombinování" obligací, které se od sebe liší jak vnitÍní mírou výnosu, kterými je musíme diskontovat, tak i splatností. "VnitÍní" míra výnosu u obligací, y, je odvozena obdobn jako vnitÍní míra výnosu —IRR— u projektç (v kapitálovém rozpo…etnictví). PÍestoñe v reálném svt manañeÍi portfolií zprçmrovávají vnitÍní míry výnosç a durace jednotlivých komponent portfolia za ú…elem kalkulace durace portfolia, není to zcela pÍesné. Graficky by se kombinace jednotlivých sloñek portfolia jevily jako konvexní nebo konkávní kÍivky; pouze v pÍípad, ñe je y ("vnitÍní" míra výnosu) u dvou nebo více obligací stejná, lze kombinovat jak y tak i D a kalkulovat váñený prçmr (weighted average) pÍesn. File name: Durace a konvexita
6
Uvedli jsme, že modifikovaná durace je pouze aproximací procentní zmny ceny obligace pÍi dané zmn výnosu (dy, nebo )y). Je pÍesná pokud se jedná o infinitesimáln malé paralelní posuny ve výnosové kÍivce.3 PÍi vtších zmnách úrokových mr je nutno rozšířit analýzu o konvexitu. VyjádÍeno matematicky, durace je první aproximace vztahu mezi cenou obligace a jejím výnosem. Z pÍedchozích vzorcç vyplývá, ñe vztah mezi cenou obligace a výnosem není lineární. Durace je však koncept, který se snañí o vyjádÍení nelineární závislosti (konvexní kÍivky) pomocí pÍímky, te…ny k této kÍivce. Abychom vidli rozdíl, který vznikl mezi odhadem ceny obligace a její skute…nou velikostí, podíváme se znovu na výsledky pÍedchozího prvního pÍíkladu. Jednalo se o obligaci s diskretními platbami a modifikovanou durací 6.866. Vypočítaná hodnota této modifikované durace predikuje, ñe jestliñe se výnos (yield) sníñí ze 7 na 6 procent (tedy o 100 základních bodç - basis points) pak by se cena obligace mla zvýšit z 1070.24 na 1143.72 (tedy o 6.866 %). PÍi pouñití vzorce pro výpo…et ceny obligace (1) a při nahlédnutí do přílohy k této konzultaci (vypracované v Excelu) však vidíme, ñe pÍi 6% výnosu do splatnosti bude pÍesná cena obligace 1147.20. Rozdíl mezi tmito dvma cenami, 1143.72 a 1147.20 se pÍi…ítá tomu, ñe sou…asná hodnota (cena cenného papíru s fixním výnosem) je nelineární funkcí výnosu do splatnosti. Obrázek …. 1 ukazuje chybu v odhadu v tomto pÍíklad. PÍi výnosové míÍe rovnající se 7 procentçm je cena obligace 1070.24. Modifikovaná durace se odvíjí z hodnoty derivace dB/dy, která je ohodnocena pÍi výnosu 7 % p.a. Tento vztah (derivace) je na obrázku znázornn pÍímkou, te…nou ke kÍivce skutečné ceny obligace pÍi 7 procentech.
Obr. 1. Cena obligace jako funkce výnosu do doby splatnosti Cena, B
Původní situace: 1147,20 1143,72
kupon = 8 % výnos = 7 % cena = 1070
1070,24 1000 996,75
6 %
7 %
8 %
Výnos do splatnosti, y
3
Za ú…elem vyhnutí se pÍípadným komplikacím se pÍedpokládá plochá výnosová kÍivka (flat yield curve).
File name: Durace a konvexita
7
Změna ceny obligace a další implikace mohou být nejlépe vysvětleny graficky a to na obr. č. 1. Abychom znázornili zmnu ceny obligace, která nastala v dçsledku poklesu výnosu do doby splatnosti ze 7 na 6 procent (o 100 bázických bodç, bps) zakreslili jsme na obrázku vertikální pÍímku, která protíná horizontální osu v bod 6 procent a v prçse…íku této pÍímky a pÍímky znázorÁující derivaci jsme nakreslili kolmici k vertikální ose. Odhadnutá cena obligace zaloñená na modifikované duraci je 1143.72 K…. Jestliñe se vertikální pÍímka prodlouñí nahoru smrem ke kÍivce znázorÁující “opravdovou” cenu obligace (která má konvexní charakter) najdeme v jejich prçse…íku pÍesnou cenu obligace a sice 1147.20. Chyba v ocenní, která činí 3.48, je zpçsobena omezením modifikované durace, která nebere v úvahu konvexní povahu funkce ceny obligace. Vtší pÍesnosti mÍení závislosti (elasticity) ceny obligace na zmn výnosu (dy) mçñeme dosáhnout jestliñe vezmeme v úvahu konvexitu obligace. Pro lepší porozumní konvexity si mçñeme pÍipomenout, ñe podle pravidel diferenciálního po…tu mçñe být matematická funkce aproximována Taylorovou (resp. Maclaurinovou) Íadou. Aproximace je tím pÍesnjší, …ím více …lenç Taylorovy Íady se pouñije. Cenu obligace, kterou representuje vztah (1) budeme expandovat do Taylorovy Íady s pouñitím prvních dvou …lenç: (8)
dB = dB/dy
.
(dy) + ½
.
d2B/dy2
.
(dy)2 + ,
Chybový faktor , zohledÁuje skute…nost, ñe jsme v expanzi Taylorovy Íady pouñili pouze první dva …leny. (Poznámka: Ve výrazech (8) a (9) ve zlomku ½ je …íslo dv ve jmenovateli ve skute…nosti 2!, tj. dv faktoriál.) Naše aproximace zmn ceny obligace zçstane pouhou aproximací. Nyní zanedbáme chybový faktor a vydlíme ob strany výrazem B.
dB 2 dB B ( dy ) + 1 d B 1 ( dy ) 2 = B dy 2 dy 2 B
(9)
Skute…nost, ñe durace je prvním …lenem Taylorovy Íady je zÍejmá z porovnání prvního s…ítance pravé strany rovnice (9) s rovnicemi (4), (5), nebo nejlépe se vztahem (7). Druhý …len Taylorovy Íady vyñaduje výpo…et druhé derivace funkce ceny obligace. Neñ k tomu pÍistoupíme, definujeme konvexitu následovn:
(10)
Konvexita
≡
1 d 2B 1 2 ! dy 2 B
Intuitivn, konvexita je aproximace zakÍivení (viz. obrázek …. 1). Nyní mçñeme pÍepsat výraz (9), tj. procentní zmnu ceny obligace s pouñitím rovnic (7) a (10) následovn: (11)
dB/B = - Dm.dy + konvexita.(dy)2
Hodnotu druhé derivace ceny obligace (dB) vzhledem ke zmn výnosu (dy) obdrñíme, derivujeme-li ob strany rovnice (2) podle y. Výsledek je následující: (12)
d 2B = dy 2
n
Ct
∑ t ( t + 1) (1 + y )
t =1
t+2
.
Jestliñe je y (vnitÍní výnosová míra resp. míra, kterou diskontujeme) vyjádÍena spojit postupujeme obdobn, ovšem pouñijeme vztah (2a). Optným derivováním obou stran rovnice (2a) podle y vyjádÍíme konvexitu za File name: Durace a konvexita
8
pÍedpokladu spojitého úro…ení.
d 2B = dy 2
(12a)
n
∑t
2
t =1
C t e − yt
Nyní se vrátíme zpt k prvnímu pÍíkladu (viz. tabulka 1 a příloha k této studii v tabulkovém procesoru Excel), kde byla Macauleyho durace 7.3466 let a modifikovaná durace 6.866 let. Pro výpočet konvexity pouñijeme nejprve rovnici (12) a získáme hodnotu d2B/dy2. Konvexitu dluhopisu pak vypo…teme s pomocí výrazu (10). Pokra…ování první případové studie: Jaká je konvexita desetileté obligace s nominální hodnotou 1000 K…, osmiprocentním kuponem splatným jednou za rok (Ct=80 p.a.) a vyñadovaným výnosem do doby splatnosti (y) ve výši 7 %? Z pÍedchozí …ásti tohoto pÍíkladu (viz. tabulka 1 a přílohu v Excelu) víme, ñe cena obligace je 1070.24 K…. Jednotlivé …ásti (komponenty) pÍi výpo…tu konvexity podle (12) jsou: Tabulka 3. t
t(t + 1)
Ct
t(t + 1)Ct
(1 + y)t+2
(1 + y)t+2
1
2
65.3038
130.61
2
6
61.0316
366.19
3
12
57.0389
684.47
4
20
53.3074
1066.15
5
30
49.8200
1494.60
6
42
46.5607
1955.55
7
56
43.5147
2436.82
8
72
40.6679
2928.09
9
90
38.0074
3420.67
10
110
479.5329
52748.62
Celkem (d2B/dy2)
67231.77
Hodnota d2B/dy2 pro tuto obligaci je téměř 67 232; konvexita —pÍi pouñití vztahu (10)— je: ½ . 67231.77 . (1/1070.24) = 31.4098. K dokreslení obrázku mçñeme pouñít konvexitu s modifikovanou durací a u…init tak pÍesnjší odhad procentní zmny ceny dluhopisu, která plyne z poklesu výnosu do doby splatnosti (y) o 1 % tj. o 100 bps.
dB/B = - Dm . dy + konvexita . (dy)2 = - 6.866 . (-0.01) + 31.4098
.
(-0.01)2 = 7.18 %.
Jinými slovy, zakládáme-li náš odhad na modifikované duraci a konvexit, o…ekává se, ñe pÍi poklesu výnosu do doby splatnosti o 100 bázických bodç se cena obligace zvýší na 1147.08 K…. Chyba v odhadu se po zavedení konvexity sníñila z 3.48 K… na 0.12 K…. Podobn, jestliñe výnos (yield) poroste o 100 bodç (basis points) napÍ. tím, ñe úrokové míry vzrostou ze 7 na 8 procent, o…ekávali bychom, ñe cena obligace poklesne na 996.75 K… jestliñe uvañujeme pouze duraci. (Výpo…et je: 1070.24 - 6.866 % = 1070.24 - 73.483 = 996.75 K….) Pokud však zohledníme File name: Durace a konvexita
9
také konvexitu, cena obligace by mla klesnout mén (o 6.552 %) na 1000 K…. dB/B
= - Dm
.
dy + konvexita
= - 6.866
.
.
(dy)2
(+0.01) + 31.4098
.
(+0.01)2 = - 6.552%.
Chyba našeho odhadu byla sníñena pÍibliñn o 3.30 K…. Jestliñe tedy manañeÍi portfolií, finanční ekonomové a investi…ní bankéři vezmou v úvahu jak duraci tak i konvexitu mohou přesněji odhadnout riziko úrokových mr, kterému jsou vystavena jejich fixně úročená aktiva a pasiva (resp. jejich portfolia cenných papírç s fixním výnosem) a zajistit své pozice hedgingem. Strategie jako napÍ. imunizace kterou pouñívají pojišÙovny, penzijní fondy, dluhopisové podílové fondy, investiční společnosti a další institucionální investoÍi se samozřejmě také opírají o koncepty durace a konvexity. Konvexita obliga…ního portfolia je nejvyšší, jestliñe takové portfolio vyplácí platby rovnomrn bhem dlouhého období. Na druhé stran konvexita je nejmenší jestliñe platby jsou koncentrovány do jednoho bodu v …ase resp. do krátkého …asového intervalu. Na obrázku 2 má portfolio I. vtší konvexitu (zakÍivení) neñ portfolio II. Pokud se výnos do doby splatnosti sniñuje, hodnota portfolia I. se procentn zvyšuje více neñ je tomu u portfolia II. PÍi nárçstu úrokových sazeb a tedy výnosu do splatnosti (y) se hodnota (cena) portfolia I. sniñuje procentn mén neñ hodnota portfolia II. Pro dlouhou pozici v portfoliu obligací je z obrázku 2 jasné, ñe portfolio s vyšší konvexitou je pÍi stejné duraci atraktivnjší neñ portfolio s niñší konvexitou. Na efektivních kapitálových trzích je oby…ejn —podle o…ekávání— trñní hodnota takového portfolia také vyšší.
Obr. 2. Portfolia obligací s rozdílnými konvexitami Změna ceny obligace (dB/B)
Portfolio I. (větší konvexita)
Portfolio II. (stejná durace jako u port. I. menší konvexita)
Změna ve výnosu do splatnosti (dy)
I. II.
Investoři používají koncept durace a konvexity pro zajištění svých pozic (exposure) tak, že kvantifikují expozice vzhledem ke změnám úrokových měr a změní duraci portfolií tak, aby se dalo využít očekávaných změn ve výnosu do splatnosti. Např. očekává-li se pokles úrokových sazeb (a tedy růst cen dluhopisů) investoři zvýší duraci portfolií; při očekávání růstu úrokových měr duraci sníží vhodnou obměnou dluhopisů v portfoliích. V obou případech se však budou snažit o maximální konvexitu, ceteris paribus, podle obr. 2. File name: Durace a konvexita
10
THE CONCEPT OF DURATION AND CONVEXITY: AN OVERVIEW The duration of a bond is a measure of how long, on average, the holder of this fixed-income instrument has to wait before receiving cash payments. A zero-coupon bond that matures in n years has a duration of n years. However, a coupon-bond maturing in n years has a duration of less than n years. This is because some of the cash payments are received by the holder prior to year n. The duration of a bond is simply a measure of the responsiveness of its market price (intrinsic, or present value) to a change in the underlying interest rates. In general, the greater the relative percentage change in a bond price in response to a given percentage change in interest rate (required yield), the longer the duration. In computing duration, we consider not only the maturity or term over which cash flows are received but also the time pattern of interim cash flows. Put differently, duration specifies the elasticity of the bond price to movements in yield (required rate of return). We can achieve greater precision in measuring the bond’s responsiveness to yield shifts ()y), however, by also accounting for the bond’s convexity. This is especially important when considering moderate —or large— changes in interest rates. Mathematically, duration is (only) a first approximation of the price/yield relationship. That is, duration attempts to estimate a convex relationship with a straight line (the tangent line). Hence, we have to take into account the fact that accuracy of the approximation also depends on the convexity (bowedness) of the price/yield relationship. Using convexity in conjunction with duration allows us to arrive at a more accurate estimate of the percentage change in bond price attributable to a given basis point change in yield. The concepts and techniques expounded in this outline, focusing on duration and convexity of fixed-income instruments, are widely used in financial risk management and interest rate hedging strategies. The business and academic communities have teamed together to employ these and other innovative applications to help manage business and financial risks.
File name: Durace a konvexita
11
