Modely analýzy a syntézy plánů (MAF/KIV) – Přednáška 10
Citlivostní analýza 1 Analytické metody – durace a konvexita aktiva (dluhopisu) Budeme uvažovat následující tvar cenové rovnice
(
𝑣$ , 1+𝑖 $
𝐶= $)*
(1)
kde jsou 𝐶 současná cena (hodnota) aktiva, 𝑣$ výnos (např. kupón) na konci 𝑘tého období (poslední výnos obsahuje i prodejní nebo zbytkovou cenu), 𝑖 výnosová míra. Změnu ceny (𝐶) v závislosti na změně výnosové míry (𝑖) lze aproximovat pomocí Taylorova polynomu druhého (případně prvního) stupně.
𝛥𝐶 =
𝑑𝐶 1 𝑑0𝐶 𝛥𝑖 + 𝛥𝑖 0 𝑑𝑖 2 𝑑𝑖 0
(2)
Derivace uvedené v (2) jsou
𝑑𝐶 1 =− 𝑑𝑖 1+𝑖
(
𝑣$ ⋅ 𝑘 1+𝑖 $
(3)
𝑣$ ⋅ 𝑘 𝑘 + 1 . 1+𝑖 $
(4)
$)*
a
𝑑0𝐶 1 = 𝑑𝑖 0 1+𝑖
( 0 $)*
Vzorec (2) se obvykle upravuje do podoby, kdy je do něj zavedena Macaulayova durace (𝐷) a konvexita (𝐶𝑋). Durace je definována jako
𝑑𝐶 𝐷 = − 1 + 𝑖 ⋅ 𝑑𝑖 = 𝐶
( $)* ( $)*
𝑣$ ⋅ 𝑘 1+𝑖 $ 𝑣$ 1+𝑖 $
(5)
⋅𝑘 𝑘+1 1+𝑖 $ . 𝑣$ $ 1+𝑖
(6)
a konvexita jako
𝑑0𝐶 1 0 𝐶𝑋 = 𝑑𝑖 = 𝐶 1+𝑖
0
⋅
𝑣$ ( $)* ( $)*
Pomocí jednoduchých úprav a s využitím (5) a (6) získáme výraz (2) v podobě, která v sobě již zahrnuje duraci a konvexitu (ty mohou být – v případě dluhopisů často bývají – uváděny přímo na burze nebo u daného obchodníka).
Patrice MAREK – KMA – FAV – ZČU (poslední úprava 26. 4. 2016)
Strana 1 z 6
Modely analýzy a syntézy plánů (MAF/KIV) – Přednáška 10
𝛥𝐶 = −𝐷
𝐶 1 𝛥𝑖 + 𝐶𝑋 ⋅ 𝐶 𝛥𝑖 0 . 1+𝑖 2
(7)
Durace je váženým průměrem dob splatnosti, kdy jako váha slouží současná hodnota daného výnosu vztažená k současné hodnotě všech výnosů (viz. (5)). Další význam durace plyne z úpravy výrazu (7), kdy použijeme pouze Taylorův polynom prvního stupně, tedy bez konvexity.
𝛥𝐶 = −𝐷
𝐶 𝛥𝑖 1+𝑖
(8)
Po úpravě (8) s využitím platnosti 𝛥𝑖 = 𝛥 1 + 𝑖 získáme
𝛥𝐶 𝐶 𝐷 = − . 𝛥 1+𝑖 1+𝑖
(9)
Durace je tedy záporně vzatý poměr relativní změny ceny ku relativní změně výnosového faktoru 1 + 𝑖. Příklad 1: Budeme uvažovat dluhopis se splatností za 10 let, kdy každý rok na konci je vyplacen kupón ve výši 200 Kč a na závěr je držiteli vyplacena nominální hodnota dluhopisu ve výši 10 000 Kč. Jaká je současná hodnota tohoto dluhopisu pokud použijeme srovnávací úrokovou míru ve výši 3 % p. a.? Jaká bude hodnota pokud se zvýší úroková míra o jeden procentní bod směrem nahoru a směrem dolu (vypočtěte s aproximací i přesně)? Řešení je v přiloženém souboru MAF10.xlsx na listu Durace a konvexita.
2 Pravděpodobnostní metody – rozptylová analýza Nyní budeme analyzovat cenovou rovnici (1), tj.
(
𝑣$ , 1+𝑖 $
𝐶= $)*
(10)
z pravděpodobnostního pohledu. Budeme sledovat vliv nepřesností při stanovení výnosů pro pevně dané výnosové procento 𝑖. Při této analýze budeme předpokládat, že výnosy 𝑣$ se střední hodnotou 𝐸(𝑣$ ) a směrodatnou odchylkou 𝜎(𝑣$ ) mají symetrické rozdělení kolem své střední hodnoty 𝐸(𝑣$ ) a jsou po dvou nezávislé. Střední hodnota ceny 𝐶 je
(
𝐸 𝐶 = $)*
𝐸 𝑣$ . 1+𝑖 $
(11)
Využitím (10) a (11) získáme odchylku ceny od střední hodnoty
(
𝐶−𝐸 𝐶 = $)*
𝑣$ − 𝐸 𝑣$ . 1+𝑖 $
(12)
Patrice MAREK – KMA – FAV – ZČU (poslední úprava 26. 4. 2016)
Strana 2 z 6
Modely analýzy a syntézy plánů (MAF/KIV) – Přednáška 10 Pro rozptyl ceny (s využitím předpokladu, že výnosy jsou po dvou nezávislé) obdržíme (
0
𝜎 𝐶 = $)*
𝜎 0 𝑣$ . 1 + 𝑖 0$
(13)
Směrodatná odchylka ceny, tj. odmocnina z výrazu (13), je mírou nepřesnosti určení ceny. Příklad 2: Budeme uvažovat dluhopis se splatností za 10 let, kdy každý rok na konci je vyplacen kupón ve výši 200 Kč a na závěr je držiteli vyplacena nominální hodnota dluhopisu ve výši 10 000 Kč. Budeme předpokládat, že individuální směrodatné odchylky výnosů činí 20 % a že srovnávací úroková míra je ve výši 3 % p. a. Určete dle popsané metodiky směrodatnou odchylku ceny a relativní směrodatnou odchylku ceny. Řešení je v přiloženém souboru MAF10.xlsx na listu Rozptylová analýza.
3 Pravděpodobnostní analýza – modelování simulací Opět budeme analyzovat cenovou rovnici (1), tj. (
𝑃𝑉 = 𝐶 = $)*
𝑣$ . 1+𝑖 $
(14)
Často nedokážeme přesně určit některé projektované hodnoty, ale máme dobrou představu o tom, v jakém intervalu by se měly pohybovat, tj. známe některé následující intervaly pro: •
𝑖tý výnos, který bude v intervalu 𝑣=>=( , 𝑣=>?@ ,
•
výnosové procento, které se bude pohybovat v intervalu 𝑖 >=( , 𝑖 >?@ a
•
cenu, která bude v intervalu 𝐶 >=( , 𝐶 >?@ .
Za předpokladu, že projektované veličiny jsou rovnoměrně rozloženy v uvedených intervalech, tak je lze generovat pomocí generátoru náhodných čísel. Případně lze uvažovat jiná rozdělení, např. normální.
3.1 Ukázka pro známé výnosy a výnosové procento V tomto případě známe intervaly, ve kterých se pohybují jednotlivé výnosy a interval, ve kterém se pohybuje výnosové procento. S touto znalostí generujeme výnosy a výnosové procento a následně dopočteme současnou hodnotu. Příklad 3: Volně navážeme na příklad z páté přednášky o živnosti s malým skříňovým automobilem. Opět budeme uvažovat pořizovací cenu automobilu 660 000 Kč. Životnost investice budeme předpokládat 6 let a u výnosů budeme předpokládat, že v jednom roce může být výnos mezi 130 000 Kč a 190 000 Kč. Pro výnosovou míru budeme uvažovat, že se může pohybovat v intervalu od 2 % do 10 %. Výskyt v uvedených intervalech budeme předpokládat pro generování všude stejně možný (rovnoměrné rozdělení na udaném intervalu). Po vygenerování výnosů a srovnávací výnosové míry dopočteme již klasicky současnou hodnotu výnosů. Tento postup opakujeme v dostatečném počtu simulací. Zde je uveden výsledek 5 000 simulací. Např. hodnota 332 u kategorie 762 007 znamená, že u 332 simulací z 5 000 byla současná hodnota v intervalu 748 948, 762 007 . Počet kategorií byl volen tak, aby přibližně odpovídal Sturgesovu pravidlu.
Patrice MAREK – KMA – FAV – ZČU (poslední úprava 26. 4. 2016)
Strana 3 z 6
Modely analýzy a syntézy plánů (MAF/KIV) – Přednáška 10 Kompletní řešení je přiloženo v souboru MAF10.xlsm na listech Simulace (zde je možno měnit vstupy a pomocí makra si spustit vlastní simulaci) a Simulace (ukázka 5000) (zde je zachycen výsledek pro jednu realizovanou simulaci, kde bylo nastaveno 5000 opakování). 400 350
Počet
300 250 200 150 100 50
Současná hodnota
více
984 009
970 950
957 891
944 832
931 773
918 714
905 656
892 597
879 538
866 479
853 420
840 361
827 302
814 243
801 184
788 125
775 066
762 007
748 948
735 889
722 831
709 772
696 713
683 654
670 595
657 536
644 477
631 418
618 359
0
Obrázek 1: Získané současné hodnoty při generování výnosů a výnosového procenta
Poznámka: Uvedený histogram naznačuje, jak vypadá hustota pravděpodobnosti náhodné proměnné, která popisuje současnou hodnotu z projektu. Lepších výsledků (a často i s menším počtem simulací) dosáhneme, pokud použijeme k aproximaci neparametrické odhady hustot (podrobněji viz MRF/KIV).
3.2 Ukázka pro známé výnosy a cenu V tomto případě známe intervaly, ve kterých se pohybují jednotlivé výnosy a interval, ve kterém se pohybuje cena. S touto znalostí generujeme výnosy a cenu a následně dopočteme výnosovou míru (vnitřní výnosové procento). Příklad 4: Budeme uvažovat předchozí příklad, kde ale tentokrát známe výnosy, které se pohybují mezi 130 000 Kč a 190 000 Kč a současnou cenu, o které předpokládáme, že se bude pohybovat v intervalu od 650 000 Kč do 800 000. Výskyt v uvedených intervalech budeme předpokládat pro generování všude stejně možný (rovnoměrné rozdělení na udaném intervalu). Po vygenerování výnosů a současné ceny dopočteme vnitřní výnosovou míru. Tento postup opět opakujeme v dostatečném počtu simulací. Zde je uveden výsledek 5 000 simulací. Např. hodnota 73 u kategorie 4.24 % znamená, že u 73 simulací z 5 000 bylo vnitřní výnosové procento v intervalu 0.0372, 0.0424 .Počet kategorií byl volen tak, aby přibližně odpovídal Sturgesovu pravidlu. Kompletní řešení je přiloženo v souboru MAF10.xlsm na listech Simulace 2 (zde je možno měnit vstupy a pomocí makra si spustit vlastní simulaci) a Simulace 2 (ukázka 5000) (zde je zachycen výsledek pro jednu realizovanou simulaci, kde bylo nastaveno 5000 opakování).
Patrice MAREK – KMA – FAV – ZČU (poslední úprava 26. 4. 2016)
Strana 4 z 6
Modely analýzy a syntézy plánů (MAF/KIV) – Přednáška 10 450 400 350
Počet
300 250 200 150 100
IRR
více
16.12%
15.61%
15.09%
14.57%
14.06%
13.54%
13.02%
12.51%
11.99%
11.47%
10.96%
9.92%
9.41%
8.89%
8.37%
7.86%
7.34%
6.82%
6.31%
5.79%
5.27%
4.76%
4.24%
3.72%
3.21%
2.69%
2.18%
1.66%
0
10.44%
50
Obrázek 2: Získané hodnoty IRR při generování výnosů a současné ceny
4 Výpočetní (experimentální) metody Předpokladem je, že máme k dispozici model výpočtu (např. v tabulkovém procesoru) a je možno zkoumat, k jakým změnám dojde, pokud se změní některé vstupní hodnoty. Tím můžeme najít vstupní hodnoty, na které je výpočet citlivý a je tedy nutné je stanovit co možná nejpřesněji. Naopak lze nalézt vstupní hodnoty, kdy výpočet na jejich změnu téměř nereaguje a těmto tedy nemusíme věnovat až tak velkou pozornost (to ale neznamená, že bychom se jimi neměli zabývat vůbec). Poměrně dobře se vizualizuje změna výsledků na jeden a dva vstupy. Pro jeden vstup se může například jednat o jednoduchou tabulku, kdy v jednom řádku zachycujeme procentní (absolutní) změnu sledované vstupní hodnoty a ve druhém řádku zachycujeme procentní (absolutní) změnu vypočtené výstupní hodnoty. V případě dvou vstupů se situace dá zachytit rovněž do tabulky, kdy ve sloupcích zachycujeme změnu jednoho vstupu a v řádcích změnu druhého vstupu. Tabulka pak obsahuje změnu vypočtené výstupní hodnoty při dané kombinaci vstupních dat. Vizualizace více kombinací je již složitá, ale obvykle platí, že výpočetně dnes již nečiní žádné problémy. Vhodným postupem může být analýza vlivů samostatných vstupů při zachování ostatních vstupů bez změny a následně zkoumání vlivu dvojice (obecně 𝑛tice) identifikovaných nejvýznamnějších vstupů. Při identifikaci významnosti vstupů bychom neměli vycházet pouze z hodnot, ale i z pravděpodobnosti, že se nějaká tato hodnota realizuje ve skutečnosti. Příklad 5: Navážeme na první příklad z této přednášky. Analyzujeme dluhopis se splatností za 10 let, kdy každý rok na konci je vyplacen kupón ve výši 200 Kč a na závěr je držiteli vyplacena nominální hodnota dluhopisu ve výši 10 000 Kč. Srovnávací úrokovou míru jsme používali ve výši 3 % p. a. Tabulka 1 ukazuje citlivost současné hodnoty dluhopisu na změnu úrokové míry. Kompletní řešení je přiloženo v souboru MAF10.xlsm na listu Výpočetní metody. Námět: Uvažujte v předchozím příkladu, že prodejní cena ani kupóny nejsou pevně stanoveny. Zkoumejte citlivost současné hodnoty dluhopisu na tyto faktory a následně zkoumejte citlivost na kombinaci dvou nejvýznamnějších faktorů. Pro korektní citlivostní analýzu se obvykle používá kombinace všech uvedených postupů. Vždy záleží na konkrétní situaci, zda je daný postup vhodný pro použití.
Patrice MAREK – KMA – FAV – ZČU (poslední úprava 26. 4. 2016)
Strana 5 z 6
Modely analýzy a syntézy plánů (MAF/KIV) – Přednáška 10 Úrok 0.0% 0.5% 1.0% 1.5% 2.0% 2.5% 3.0% 3.5% 4.0% 4.5% 5.0% 5.5% 6.0%
Změna úroku v % -100% -83% -67% -50% -33% -17% 0% 17% 33% 50% 67% 83% 100%
PV
Změna PV
12 000 11 460 10 947 10 461 10 000 9 562 9 147 8 753 8 378 8 022 7 683 7 362 7 056
2 853 2 313 1 800 1 314 853 415 0 -394 -769 -1 125 -1 464 -1 785 -2 091
Změna PV v % 31.19% 25.28% 19.68% 14.37% 9.33% 4.54% 0.00% -4.31% -8.41% -12.30% -16.00% -19.52% -22.86%
Tabulka 1: Citlivost současné hodnoty dluhopisu na změnu úrokové míry
Použité zdroje a materiály pro další studium RADOVÁ, Jarmila. Měření citlivosti ceny dluhopisů. Český finanční a účetní časopis. 2007, 2(3), 41-55. Dostupné také z: www.vse.cz/polek/download.php?jnl=cfuc&pdf=232.pdf
Patrice MAREK – KMA – FAV – ZČU (poslední úprava 26. 4. 2016)
Strana 6 z 6
