2. intermezzo - Tucet dalších příkladů. Příklad 1: Čtyři studenti jisté vysoké školy skládají zkoušku z matematiky. Kolik existuje případů, že každý z nich bude mít jinou známku? Počítejte s čtyřstupňovou klasifikací. řešení
Příklad 2: Kolik náhrdelníků lze sestavit ze 7 korálků dvou velikostí: 5 menších a 2 větších jinak nerozlišitelných? řešení
Příklad 3: Kolika způsoby může při hodu dvěma kostkami padnout součet ok: a) roven 7 b) nejvýše 5 řešení
Příklad 4: Student si má vytáhnout z 10 otázek 3. Je připraven na 5 otázek. Kolik existuje způsobů, kdy si vytáhne: A – právě jednu, kterou umí B – právě dvě, které umí C - právě tři, které umí, D - aspoň jednu, kterou umí, E - žádnou, kterou umí, F - nejvýše jednu, kterou umí, G - aspoň dvě, které umí, H - nejvýše dvě, které umí. řešení
Příklad 5: Na osmi stejných kartičkách jsou po řadě napsána čísla 2, 4, 6, 7, 8, 11, 12, 13. Náhodně se vezmou dvě kartičky. Kolik existuje případů, že zlomek utvořený z těchto dvou čísel lze krátit. řešení
Příklad 6: Z úplné sady kostek domina se náhodně vybere 5 kostek. Kolik případů výběru bude obsahovat aspoň jednu kostku se šestkou. řešení
Příklad 7: V šatně si odložili čtyři návštěvníci kabáty a klobouky. Protože klobouky spadly, šatnářka je musí pověsit zpět. V kolika případech se jí podaří: A - všechny klobouky přidělit ke správným kabátům, B - aspoň dva klobouky přidělit ke správným kabátům. řešení
Příklad 8: Z úplného telefonního seznamu náhodně vybereme určité pěticiferné telefonní číslo. Kolik je případů, že A - všechny číslice budou různé, B - všechny číslice budou liché, C - všechny číslice budou stejné, řešení
Příklad 9: Ve skříni je rozházeno 6 různých párů střevíců. Večer potmě se náhodně ze skříně vybere 5 střevíců. V kolika případech platí, že se z nich nechá sestavit alespoň jeden úplný pár? řešení
Příklad 10: Výtah, ve kterém je 7 osob, zastavuje na 10 poschodích. Kolik je případů, že nevystoupí v žádném poschodí více než jedna osoba. řešení
Příklad 11: V dílně pracovalo 9 mužů a 6 žen. Došlo k výbuchu, při němž byly zraněny 4 osoby. Kolik případů odpovídá, že to byli: A – jen muži B – jen ženy C – nejvýše jedna žena D – nejvýše jeden muž řešení
Příklad 12: Společnost, ve které je 5 mužů a 10 žen, se náhodně rozdělí do 5 skupin po 3 osobách. Kolik je případů, že v každé skupině bude 1 muž. řešení
ŘEŠENÍ
řešení příklad 1: 4 studenti, 4 různá hodnocení vyjádřená čísly 1,2,3,4 => permutace P(4) = 4! = 24 případů zpět
řešení příklad 2: je 7 míst a musíme rozmístit 2 větší (5 menších) korálky, což je možné (72) = (75) = 21 způsoby, ostatní korálky zaplní zbývající místa. Ale náhrdelník není v řadě nýbrž v kruhu, a proto výsledek musíme dělit 7, což dává konečné 3 možnosti zpět
řešení příklad 3: označme si i – počet ok na 1.kostce, j – počet ok na 2.kostce a celou situaci si můžeme zobrazit graficky; jednotlivé případy hodů zobrazují uspořádané dvojice (i, j) i, j=1,2,3,4,5,6 pro případy příznivé jevu A musí platit i + j = 7
a těch je 6
pro případy příznivé jevu B musí platit i + j
těch je 10
5 zpět
řešení příklad 4: nezáleží na pořadí výběru, jde tedy o kombinace; jednotlivé případy musíme skládat z výběru otázek, které umí a z výběru otázek, které neumí a dále s využitím pravidel o součtu a součinu A – právě jednu, kterou umí: 1 z 5, které umí a 2 z 5, které neumí B – právě dvě, které umí:
(52)(51) = 50 (53) = 10
=>
(51)(52) = 50
C - právě tři, které umí: D - aspoň jednu, kterou umí: tj, 1 nebo 2 nebo 3, které umí; využijeme-li předchozích výsledků je celkový počet hledaných způsobů roven součtu 50 + 50 + 10 = 110 E - žádnou, kterou umí: (53) = 10 F - nejvýše jednu, kterou umí: 10 + 50 = 60 G - aspoň dvě, které umí: 50 + 10 = 60 H - nejvýše dvě, které umí: 10 + 50 + 50 = 110 zpět
řešení příklad 5: čísla 7, 11, 13 jsou prvočísla a žádné ze zbývajících čísel není jejich násobek a zároveň všechna zbývající čísla jsou sudá, tedy z nich (těch sudých) vytvořené neuspořádané dvojice lze krátit jejich počet je 5 => p = ( 2) = 10 zpět
řešení příklad 6: 1. způsob řešení celý problém si musíme rozložit na jednodušší: výběr bude obsahovat právě jednu 6 (tedy 4 bez 6) (61)(214) s právě jednou 6 je celkem 06,16,26,36,46,56 šest kostek kostek bez šestky je 21 právě dvě 6
teď je to ještě komplikovanější, protože je tu dubler 66 buď dubler a ostatní bez 6, nebo (součet) bez dublera
právě tři 6 právě čtyři 6 právě pět 6 a podle pravidla součtu všechno sečteme
(11)(214) + (10)(62)(213)
2. způsob řešení před doplněk Když si uvědomíme, že požadavek „aspoň jednu 6“ vylučuje pouze jeden případ „žádnou 6“, můžeme příklad vyřešit tak, že spočítáme všechny možnosti výběru 5 kostek z 28 (285) = 98280 spočítáme všechny možnosti výběru 5 kostek z 21 bezšestkových a rozdíl představuje „aspoň jednu 6“ zpět
(215) = 20349
77931
řešení příklad 7: klobouky si můžeme představit jako čísla 1,2,3,4 a vytváříme uspořádané čtveřice A – splní jediný případ (jediná čtveřice) 1234 B – si rozložíme na tří případy: B2 – právě dva správně, B3 – právě tři správně, B4 – právě 4 správně B2 – jsou tyto možnosti: 1.+2. místo správně 3.+4. prohozený, 1.+3. místo správně 2.+4. prohozený nebo 1.+4. místo správně 2.+3. prohozený atd., tedy dva správně a zbývající dva mají už jedinou možnost, hledáme počet všech možností jak vybrat dvě místa, kam umístíme klobouky správně a k nim zbývající dva prohodíme – celkem (42)=6 B3 – nemožné; když jsou 3 klobouky správně umístěny, je pro poslední klobouk k dispozici jen jediné místo a to správné (což je případ B4) B4 = A – jediný případ B = B2
B3
B4 a podle pravidla součtu dostáváme zpět
6 + 0 + 1 = 7 možností
řešení příklad 8: vytváříme pětice z číslic 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 – tel. čísla mohou začínat 0 A - všechny číslice budou různé V(5,10) = 10.9.8.7.6 = 30240 možností B - všechny číslice budou liché (pět číslic) V’(5,5) = 5.5.5.5.5 = 55 = 3125 možností C - všechny číslice budou stejné 10 možností zpět
řešení příklad 9: Tento příklad se řeší přes doplněk, tj. určíme všechny možnosti a možností odpovídající negaci podmínky a tyto pak od sebe odečteme, viz příklad 6. 12
5 střevíců z 12 se dá vybrat (nezáleží na pořadí) celkem N = ( 5) = 792 způsoby. počet případů, kdy každý z pěti střevíců patří do jiného páru (vždycky musíme další střevíc vybírat z jiných párů; a z uspořádaných „udělat“ neuspořádané), je k = (12 x 10 x 8 x 6 x 4)/5! = 192 celkem je tedy N – k = 600 zpět
řešení příklad 10: vybereme 7 pochodí a do nich necháme vystoupit po jednom člověku, na pořadí nezáleží 10 K(7,10) = ( 7) = 120 možností zpět
řešení příklad 11: vybíráme zvlášť muže a zvlášť ženy a postupujeme podle pravidla součinu a součtu; nezáleží na pořadí: A – jen muži (vybrána žádná žena, vybráni 4 muži) (60)(94) = 126 B – jen ženy (64)(90) = 15 C – nejvýše jedna žena (60)(94) + (61)(93) = 630 D – nejvýše jeden muž (64)(90) + (63)(91) = 195 zpět
řešení příklad 12: máme celkem 5 mužů a 10 žen a vytváříme neuspořádané trojice do 1. skupiny vybereme 1 muže a 2 ženy (51)(102) = 225 možností po prvním výběru skupiny máme celkem 4 muže a 8 žen do 2. skupiny vyberem 1 muže a 2 ženy (41)(82) = 112 možností analogicky do 3. skupiny vyberem 1 muže a 2 ženy (31)(62) = 45 možností do 4. skupiny vyberem 1 muže a 2 ženy (21)(42) = 12 možností do 5. skupiny již není co vybírat, zbyla = 1 možnost každý výběr skupiny se může kombinovat se všemi výběry dalších skupin, podle pravidla součinu celkem je 225.112.45.12.1 = 13 608 000 možností zpět
KONEC
