Fakulta informacˇnı´ch technologiı´ CˇVUT v Praze
Prˇijı´macı´ zkousˇka z matematiky 2012 Ko´d uchazecˇe ID:
..................
Varianta:
1. Meˇjme dveˇ cˇ´ısla zapsana´ v sedmicˇkove´ soustaveˇ 34567 a 33107 . Vyja´drˇete jejich soucˇet take´ v sedmicˇkove´ soustaveˇ.
a b c d e x
(a) 34567 + 33107 = 67667 (b) 34567 + 33107 = 660017 (c) 34567 + 33107 = 60017 (d) 34567 + 33107 = 100667 (e) Zˇa´dna´ z prˇedcha´zejı´cı´ch mozˇnostı´ nenı´ spra´vna´. 2. Nalezneˇte sourˇadnice vrcholu paraboly zadane´ rovnicı´ y = −2x2 + 6x − 8 . (a)
7 2, 2
3
a b c d e x
(b) −6, − 72 (c) − 23 , − 72 (d) 3, − 47 (e) Zˇa´dna´ z prˇedcha´zejı´cı´ch mozˇnostı´ nenı´ spra´vna´. 3. O rˇesˇenı´ch rovnice x4 + x3 − 12x2 = 0
a b c d e x
platı´: (a) Rovnice nema´ rˇesˇenı´. (b) Rovnice ma´ pra´veˇ 3 ru˚zna´ rˇesˇenı´. (c) Rovnice ma´ pra´veˇ 1 rˇesˇenı´. (d) Rovnice ma´ pra´veˇ 4 ru˚zna´ rˇesˇenı´. (e) Zˇa´dna´ z prˇedcha´zejı´cı´ch mozˇnostı´ nenı´ spra´vna´. 4. Nalezneˇte rˇesˇenı´ rovnice a rozhodneˇte, ktere´ tvrzenı´ je pravdive´: |2x + 1| − |3 − x| = 2 . (a) Rovnice nema´ rˇesˇenı´. (b) Rovnice ma´ pra´veˇ dveˇ rˇesˇenı´. (c) Rovnice ma´ pra´veˇ jedno rˇesˇenı´. (d) Vsˇechna rˇesˇenı´ jsou za´porna´. (e) Zˇa´dna´ z prˇedcha´zejı´cı´ch mozˇnostı´ nenı´ spra´vna´. 1
a b c d e x
5. Mnozˇina vsˇech rˇesˇenı´ nerovnice
x 3 3 <− 5 5
a b c d e x
je: (a) Vsˇechna rea´lna´ cˇ´ısla. (b) Kladna´ rea´lna´ cˇ´ısla. (c) Za´porna´ rea´lna´ cˇ´ısla. (d) Rea´lna´ cˇ´ısla veˇtsˇ´ı nezˇ 1. (e) Zˇa´dna´ z prˇedcha´zejı´cı´ch mozˇnostı´ nenı´ spra´vna´. 6. Obde´lnı´kove´ kluzisˇteˇ o rozmeˇrech 50 m a 26 m se ma´ pokry´t vrstvou ledu vysokou 4 cm. Kolik litru˚ vody bude potrˇeba k vytvorˇenı´ ledu, jestlizˇe objem ledu je o 10 % veˇtsˇ´ı nezˇ objem vody, kterou necha´me zmrznout?
a b c d e x
(a) 47272, 72 l vody (b) 57777, 7 l vody (c) 57 200 l vody (d) 46800 l vody (e) Zˇa´dna´ z prˇedcha´zejı´cı´ch mozˇnostı´ nenı´ spra´vna´. 7. Do cˇtverce je vepsany´ mensˇ´ı cˇtverec tak, zˇe jeho vrcholy jsou strˇedy stran pu˚vodnı´ho cˇtverce. Do mensˇ´ıho cˇtverce je vepsany´ nejmensˇ´ı cˇtverec tak, zˇe jeho vrcholy jsou strˇedy stran mensˇ´ıho cˇtverce. Ktere´ tvrzenı´ o obvodu a obsahu je pravdive´?
a b c d e x
(a) Mensˇ´ı cˇtverec ma´ polovicˇnı´ obvod a cˇtvrtinovy´ obsah nezˇ pu˚vodnı´ cˇtverec. (b) Nejmensˇ´ı cˇtverec ma´ cˇtvrtinovy´ obvod i obsah nezˇ pu˚vodnı´ cˇtverec. (c) Nejmensˇ´ı cˇtverec ma´ polovicˇnı´ obvod i obsah nezˇ pu˚vodnı´ cˇtverec. (d) Mensˇ´ı cˇtverec ma´ cˇtvrtinovy´ obvod i obsah nezˇ pu˚vodnı´ cˇtverec. (e) Zˇa´dna´ z prˇedcha´zejı´cı´ch mozˇnostı´ nenı´ spra´vna´. 8. Z cifer 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 a 9 vybereme dveˇ ru˚zne´, oznacˇ´ıme je a a b a vytvorˇ´ıme cˇtyrˇciferne´ cˇ´ıslo 1b2a. Kolika zpu˚soby lze cifry a a b vybrat, aby zkonstruovane´ cˇ´ıslo bylo deˇlitelne´ 45? (a) Pra´veˇ dveˇma zpu˚soby. (b) Pra´veˇ sedmi zpu˚soby. (c) Pra´veˇ osmi zpu˚soby. (d) Takova´ volba neexistuje. (e) Zˇa´dna´ z prˇedcha´zejı´cı´ch mozˇnostı´ nenı´ spra´vna´.
2
a b c d e x
9. Mnozˇina vsˇech rˇesˇenı´ nerovnice
x2 −5x+4 1 ≤1 2
a b c d e x
je: √
√
(a) h 5−2 13 , 5+2 13 i √
√
(b) (−∞, 5−2 13 i ∪ h 5+2 13 , +∞) (c) h1, 4i (d) (−∞, 1i ∪ h4, +∞) (e) Nerovnice nema´ rˇesˇenı´. 10. Kolik je prvku˚ jestlizˇe pocˇet variacı´ druhe´ trˇ´ıdy z nich vytvorˇeny´ch bez opakova´nı´ je o 36 veˇtsˇ´ı nezˇ pocˇet kombinacı´ druhe´ trˇ´ıdy z nich vytvorˇeny´ch bez opakova´nı´.
a b c d e x
(a) 9 (b) 8 (c) 12 (d) Celocˇ´ıselne´ rˇesˇenı´ neexistuje. (e) Zˇa´dna´ z prˇedcha´zejı´cı´ch mozˇnostı´ nenı´ spra´vna´. 11. Rˇesˇenı´ rovnice x4 − 10x3 + 35x2 − 50x + 24
a b c d e x
jsou: (a) {1, 2, 3, 4} (b) {−1, −2, −3, −4} (c) {1, 2, 4, 8} (d) Rˇesˇenı´ neexistuje. (e) Zˇa´dna´ z prˇedcha´zejı´cı´ch mozˇnostı´ nenı´ spra´vna´. 12. Najdeˇte cele´ cˇ´ıslo x tak, aby cˇ´ısla a1 , a2 , a3 tvorˇila (v tomto porˇadı´) trˇi po sobeˇ jdoucı´ cˇleny aritmeticke´ posloupnosti a1 = x2 + x a2 = x2 + 4x + 4 a3 = 16 . (a) Mnozˇina vsˇech rˇesˇenı´ je {2, 6}. (b) Existuji dveˇ takova´ cˇ´ısla x a jejich soucˇet je 9. (c) Takove´ cˇ´ıslo x neexistuje. (d) Existujı´ dveˇ takova´ cˇ´ısla x a jejich soucˇin je −8. (e) Zˇa´dna´ z prˇedcha´zejı´cı´ch mozˇnostı´ nenı´ spra´vna´.
3
a b c d e x
13. Nalezneˇte rˇesˇenı´ rovnice a rozhodneˇte, ktere´ tvrzenı´ je pravdive´: 7 · 3x+1 − 3x+2 − 2x+2 − 2x+3 = 0
a b c d e x
(a) Rˇesˇenı´ je kladne´ cˇ´ıslo veˇtsˇ´ı nezˇ 2. (b) Rˇesˇenı´ lezˇ´ı v intervalu (1, 2). (c) Rˇesˇenı´ je za´porne´ cˇ´ıslo mensˇ´ı nezˇ −1. (d) Rˇesˇenı´ neexistuje. (e) Zˇa´dna´ z prˇedcha´zejı´cı´ch mozˇnostı´ nenı´ spra´vna´. 14. Kazˇdy´ z 35 studentu˚ se ucˇ´ı alesponˇ jeden z jazyku˚: anglicˇtinu, neˇmcˇinu nebo francouzsˇtinu. Vsˇechny trˇi jazyky se ucˇ´ı 5 studentu˚, anglicky se ucˇ´ı 20 studentu˚, neˇmecky 15 a francouzsky 10 studentu˚. Rozhodneˇte, ktere´ tvrzenı´ je pravdive´:
a b c d e x
(a) Neexistuje student, ktery´ by se ucˇil pra´veˇ dva jazyky. (b) Alesponˇ jeden student se ucˇ´ı pra´veˇ dva jazyky. (c) Alesponˇ jeden student se ucˇ´ı za´rovenˇ francouzsky a neˇmecky an ne anglicky. (d) Popsana´ situace nemu˚zˇe nastat. (e) Zˇa´dna´ z prˇedcha´zejı´cı´ch mozˇnostı´ nenı´ spra´vna´. 15. Na ta´borˇe je vı´ce nezˇ 50 a me´neˇ nezˇ 100 deˇtı´. Vytvorˇ´ı-li skupiny po 4, zbudou 3 deˇti. Vytvorˇ´ı-li skupiny po 5, zbudou opeˇt 3 deˇti, a vytvorˇ´ı-li skupiny po 6, zbudou take´ 3 deˇti. Kolik deˇtı´ zbude, vytvorˇ´ı-li skupiny po 7?
a b c d e x
(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3 (e) Zˇa´dna´ z prˇedcha´zejı´cı´ch mozˇnostı´ nenı´ spra´vna´. 16. Zahradnı´k si rozvrhl vysa´zenı´ jiste´ho mnozˇstvı´ stromku˚ do osmi dnu˚, kazˇdy´ den pla´noval vysadit stejny´ pocˇet stromku˚. Pracoval vsˇak rychleji, nezˇ prˇedpokla´dal, a denneˇ vysadil o 60 stromku˚ vı´ce, nezˇ pla´noval. Po 4 dnech meˇl uzˇ vysa´zeny dveˇ trˇetiny vsˇech stromku˚. Kolik dnı´ by mu pra´ce trvala, kdyby naopak pracoval pomaleji, nezˇ zamy´sˇlel, a denneˇ vysadil o 20 stromku˚ me´neˇ, nezˇ pla´noval? (a) 7 dnı´ (b) 9 dnı´ (c) 10 dnı´ (d) 12 dnı´ (e) Zˇa´dna´ z prˇedcha´zejı´cı´ch mozˇnostı´ nenı´ spra´vna´.
4
a b c d e x
17. Kolika zpu˚soby lze z 15 zˇen a 20 muzˇu˚ vybrat trˇ´ıcˇlenny´ ty´m tak, aby v ty´mu byla vzˇdy alesponˇ jedna zˇena a alesponˇ jeden muzˇ?
a b c d e x
(a) 1140 (b) 5005 (c) 4950 (d) 6545 (e) Zˇa´dna´ z prˇedcha´zejı´cı´ch mozˇnostı´ nenı´ spra´vna´. 18. Mezi korˇeny kvadraticke´ rovnice 3x2 − 28x + 9 = 0
a b c d e x
vlozˇte dveˇ cˇ´ısla tak aby spolu s korˇeny rovnice tvorˇily cˇtyrˇi cˇleny geometricke´ posloupnosti. Soucˇin vlozˇeny´ch cˇ´ısel je: ´ loha ma´ vı´ce nezˇ jedno rˇesˇenı´. (a) U (b) 3 (c) 6 (d) 9 (e) Zˇa´dna´ z prˇedcha´zejı´cı´ch mozˇnostı´ nenı´ spra´vna´. 19. Jake´mu strˇedove´mu u´hlu odpovı´da´ kruhovy´ oblouk dlouhy´ 0,01 de´lky obvodu? (a) 1◦
a b c d e x
(b) 10◦ (c) 36◦ (d) 3,6◦ (e) Zˇa´dna´ z prˇedcha´zejı´cı´ch mozˇnostı´ nenı´ spra´vna´. 20. Soucˇin dvou kladny´ch cely´ch cˇ´ısel je 432, jejich nejveˇtsˇ´ı spolecˇny´ deˇlitel je 6. Jaky´ je jejich soucˇet, je-li alesponˇ jedno z cˇ´ısel veˇtsˇ´ı nezˇ 30? ´ loha ma´ vı´ce nezˇ jedno rˇesˇenı´. (a) U (b) 42 (c) 48 (d) 78 (e) Zˇa´dna´ z prˇedcha´zejı´cı´ch mozˇnostı´ nenı´ spra´vna´.
5
a b c d e x
