Koczog András 2017
www.matematikam.hu www.feladat.matematikam.hu
Matematika - Az alapoktól az érettségin át az egyetemig
Logaritmus és exponenciális egyenletek
Kifejezések számítása Az exponenciális és logaritmusos egyenletek megoldásához szükséges, hogy képesek legyünk általános egyenletek megoldására. Ezeken felül a logaritmus és exponenciális definíciók és összefüggésekre és ötletekre lesz csak szükségünk, hogy képesek legyünk elvégezni a feladatokat. Határozzuk meg a logaritmus értékét: 1
1
1
log 3 9 = 2, mert 32 = 9
log 8 2 = 3, mert 83 = 2 1
log 2 16 = −4, mert 2−4 = 16
1
1
√9
1 93
log 9 3 = log 9
1
1
= log9 9−3 = − 3
Hatvány azonosságok és logaritmus definíciójának segítségével számítsuk ki: 51+3 log5 2 = 51 53 log5 2 = 51 5log5 2 = 5 23 = 40 3
1
1
1
1
√106+lg 81 = (106+lg 81 )2 = 102 6+2 lg 81 = 103+lg 812 = 103+lg 9 = 103 10lg 9 = 1000 + 9 = 1009 Hozzuk egyszerűbb alakra az azonosságok és definíció segítségével: 2 log𝑘 𝑥+3 log𝑘 𝑦 5
=
log𝑘 𝑥 2 +log𝑘 𝑦 3 log𝑘 𝑘 5
= log 𝑘 (𝑥 2 + 𝑦 3 + 𝑘 5 )
Egyenletek megoldásának néhány módja Új alap és számológép használata 2𝑥 = 5 log 2 2𝑥 = log 2 5 𝑥 log 2 2 = 𝑥 = log2 5 lg 5
/ vesszük a két oldal logaritmusát / azonosságot használva kivisszük a hatvány kitevőjét / új, 10-es alapra térünk át, hogy számológéppel számolhasunk
𝑥 = log 2 5 = lg 2 = 2,32
Azonos hatványalap és összevonása 52 5𝑥 − 3 51 5𝑥 + 5𝑥 = 55 / összevonjuk az ismeretlent tartalmazó hatványokat 11 5𝑥 = 55 5𝑥 = 5 / vesszük az oldalak logaritmusát log 5 5𝑥 = log 5 5 𝑥 log 5 5 = log 5 5 𝑥=1 Több azonos hatványalap és összevonása 3𝑥−1 + 3𝑥+2 = 2𝑥+1 + 2𝑥+4
/ azonosságok segítségével felbontjuk a kitevőket
3𝑥
/ 3
3 𝑥
+ 9 3𝑥 = 2𝑥 2 + 2𝑥 16
3 + 27 3 = 2 6 + 2 48 28 3𝑥 = 54 2𝑥
/ összevonjuk a tagokat / : 28 / : 2𝑥
3𝑥
/ vesszük a két oldal 10-es alapú logaritmusát (számológéppel)
2𝑥
𝑥
𝑥
54
𝑥
27
= 1,5𝑥 = 28 = 14 27
lg 1,5 = 𝑥 lg 1,5 = lg 14 𝑥
/ azonosság alapján kiemeljük a log-on belüli ismeretlent
27
𝑥 = lg 14 : lg 1,5 = 1,62
1
Koczog András 2017
www.matematikam.hu www.feladat.matematikam.hu
Matematika - Az alapoktól az érettségin át az egyetemig
Hasonló alapú hatványalapok átírása 3 814 27𝑥+1 = 9(𝑥 44
3 3 3
3 𝑥+1
=3
/ észrevesszük, hogy átírhatóak az alapok 3 hatványaira
2)
2 2 (𝑥 )
/ rendezzük a hatványkitevőket
2 𝑥 2
3 3 3 =3 2 1+16+3𝑥+3 3 = 32 𝑥 2 320+3𝑥 = 32 𝑥
/ exp.fgv.szig.mon.
20 + 3𝑥 = 2 𝑥
/ 0-ra redukálunk
16
3𝑥+3
2
/ II. fokú egyenlet megoldása
2 𝑥 − 3𝑥 − 20 = 0 2
𝑥1;2 =
−𝑏±√𝑏2 −4𝑎𝑐 2𝑎 3+13
𝑥1 =
𝑥2 =
4 3−13 4
3±√9+4220 = 4 16
=
4
=−
=
3±√169 4
=
3±13 4
=4
10 4
= −2,5
Alapátírással, hatványazonosságokkal és értékkészletvizsgálattal 3𝑥
2 −1
/ észrevesszük, hogy 5,4 =
5𝑥−3 = 5,4
27 5
=
33 5
ha nem láttuk meg, akkor vesszük a 10-es alapú logaritmusokat és számológéppel oldjuk 3𝑥
2 −1
5𝑥−3 =
33
/ 5 / : 33
5
/ kiemelünk azonossággal 𝑎2 − 𝑏2 = (𝑎 + 𝑏) · (𝑎 − 𝑏) / hatványszorzat azonosság
2
3𝑥 −4 5𝑥−2 = 1 (3𝑥+2 )𝑥−2 5𝑥−2 = 1 (3𝑥+2 5)𝑥−2 = 1
/ vizsgálat
egy hatvány értéke akkor és csak akkor 1, ha az alapja 1, vagy a kitevője 0
/ :5
3𝑥+2 5 = 1 3
𝑥+2
1
=5=5
/ vesszük a két oldal 10-es alapú logaritmusát (számológéppel)
−1
/ log azonossággal kivisszük a hatványkitevőket / : lg 3 / −2
lg 3𝑥+2 = lg 5−1 (𝑥 + 2) lg 3 = − lg 5 lg 5
𝑥 = − lg 3 − 2
𝑥1 = −3,46 𝑥−2 =0 𝑥2 = 2
Másodfokú egyenletre vezető logaritmussal 32𝑥+1 − 3𝑥+2 = 162 / azonosságok segítségével felbontjuk a kitevőket 32𝑥 31 − 3𝑥 32 = 162 3 32𝑥 − 9 3𝑥 = 162 / :3 / 3𝑥 ≔ 𝑦 / 0-ra redukálunk
32𝑥 − 3 3𝑥 = 54 𝑦 2 − 3 𝑦 = 54 𝑦 2 − 3𝑦 − 54 = 0 𝑦1;2 =
−𝑏±√𝑏2 −4𝑎𝑐 2𝑎 3+15
𝑦1 =
2
=
=
3±√9+454
18 2
2
=
3±√225 2
=
3±15 2
=9
3𝑥 = 9 𝑥=2 3−15 12 𝑦2 = 2 = − 2 = −6 3𝑥 = −6
ellentmondás, 3𝑥 > 0
2
Koczog András 2017
www.matematikam.hu www.feladat.matematikam.hu
Logaritmus azonossággal és definícióval lg(𝑥 − 6) + lg(2𝑥 − 14) = 3 − lg 25 kikötés: 𝑥−6 >0 𝑥>6 2𝑥 − 14 > 0 𝑥 > 7 lg(𝑥 − 6) + lg(2𝑥 − 14) = 3 − lg 25 lg(𝑥 − 6) + lg(2𝑥 − 14) = lg 1000 − lg 25 lg[(𝑥 − 6)(2𝑥 − 14)] = lg (
1000 25
/ zárójel kibontás / 0-ra redukálás
2
2𝑥 − 14𝑥 − 12𝑥 + 84 = 40 2𝑥 2 − 26𝑥 + 44 = 0 −𝑏±√𝑏2 −4𝑎𝑐 2𝑎 26+18
𝑥1 =
𝑥2 =
4 26−18 4
=
26±√676−4244 22
/ közös alapú logaritmusra hozni / azonosságok segítségével összevonni / log.fgv.szig.mon.
)
(𝑥 − 6)(2𝑥 − 14) = 40
𝑥1;2 =
Matematika - Az alapoktól az érettségin át az egyetemig
=
26±18 4
= 11 = 2 kikötésnek nem felel meg
Logaritmus definíció segítségével log 2 log 3 log4 𝑥 = 1 21 = log 3 log 4 𝑥 32 = log 4 𝑥 49 = 𝑥
/ log definíció szerint haladunk lépésenként
Logaritmus definíció segítségével log 2[1 + log5 (3 + log3 𝑥 )] = 1 21 = 1 + log 5(3 + log 3 𝑥 )
/ logaritmus definíció szerint / −1 / logaritmus definíció szerint / −3 / logaritmus definíció szerint
1 = log5 (3 + log3 𝑥 ) 51 = 3 + log 3 𝑥 2 = log3 𝑥 32 = 𝑥 = 9 Kikötéssel egyeztetve ellentmondás lg(3𝑥−5) lg(𝑥−1)
=1
kikötés: 5
𝑥>3
3𝑥 − 5 > 0
𝑥>1 𝑥−1≠ 1 𝑥 ≠ 2
𝑥−1 >0 lg(𝑥 − 1) ≠ 0 lg(3𝑥−5) lg(𝑥−1)
/ lg(𝑥 − 1)
=1
lg(3𝑥 − 5) = lg(𝑥 − 1) / log.fgv.szig.mon. 3𝑥 − 5 = 𝑥 − 1 / +5 / −𝑥 2𝑥 = 4 𝑥 = 2 nem megoldás, mivel ellent mond a kikötésnek Közös logaritmus alapra áttéréssel log 6 √𝑥 + log1 𝑥 = log 36 𝑥 − 3
/ áttérünk 6-os alapú logaritmusra
6
log6 𝑥 2
− log6 𝑥 =
log 6 𝑥 = 3 𝑥 = 216
log6 𝑥 2
−3
/−
log6 𝑥 2
/ (−1)
/ log def szerint
3
Koczog András 2017
www.matematikam.hu www.feladat.matematikam.hu
Matematika - Az alapoktól az érettségin át az egyetemig
Új hatványalappal és azonos alapú logaritmussal, definícióval és gyökös egyenlettel 4 𝑥 log2 𝑥 = √512 / észrevesszük a 2 hatványát 9
4
/ vesszük a 2-es alapú logaritmusukat
𝑥 log2 𝑥 = √29 = 24 9 4
9
log 2 𝑥 log2 𝑥 = log 2 2 = 4 log 2 𝑥 log 2 𝑥 = (log 2 𝑥 log 2 𝑥1 =
3
)2
/ log azonossággal kivisszük a hatványkitevőt 9
=4
/√ 3 2
𝑥1 = 2 = √8
2 3
log 2 𝑥2 = − 2
3
𝑥2 = 2−2 =
1 √8
Grafikus megoldással 3𝑥 = 𝑥 + 4 az egyenlet két oldalát függvényként kezelem és ábrázolom: 𝑥1 ≈ −3,9 𝑥2 ≈ 1,6
Egyenlőtlenség reláció fordulással log 0,5(𝑥 − 2) < log 0,5 3 log.fgv.szig.mon.csökken (csökken, tehát fordul a reláció!) 𝑥−2 >3 𝑥>5
4
Koczog András 2017
www.matematikam.hu www.feladat.matematikam.hu
Matematika - Az alapoktól az érettségin át az egyetemig
A könyv megvásárolható egyben, nyomtatva - ára szintenként 4000 Ft
A könyv készítője:
Koczog András matematikus, biológus
[email protected]
Forrás
www.matematikam.hu www.feladat.matematikam.hu www.feladat.matematikam.hu/letoltes
Matematika korrepetálás, felkészítés Online matematika feladatok Letölthető matematika feladatsorok
www.konyv.matematikam.hu
Matematika könyvem témakörei, fejezetei
www.fb.com/matematikam.hu
[email protected]
A tanítás és matek facebook oldala Üzenet a könyvvel és az oktatással kapcsolatban
Évek óta foglalkozom matematika oktatással - az általános iskolás korosztálytól kezdve az érettségizőkön át egészen az egyetemi szintig készítek fel diákokat a különböző megmérettetésekre. Végzettségemet tekintve okleveles matematikus és biológus vagyok, illetve webszerkesztő és hivatásos túravezető. Szerencsémre ezekre nem mint feladat, hanem mint hobbi tudok tekinteni, így továbbra is lelkesen képzem magamat ezen területeken. 2008-ban sikerült befejeznem a jegyzetet, majd 2014-ben a diplomám megszerzése után újra nekiláttam a fejezetek "modernizálásának", az egész anyagot kibővítettem, és igyekeztem még inkább használhatóvá tenni. Most már teljes bizonyossággal elmondhatom, hogy a könyv elég a közép- és az emelt szintű érettségihez is.
Reklám
www.turaoldal.hu www.elovilag.turaoldal.hu www.blog.turaoldal.hu www.fb.com/turaoldal.hu
[email protected]
Minden, ami túrázás, túlélés, természet A Kárpát-medence és környékének élővilága Cikkek a túrázással és a természettel kapcsolatban A turaoldal.hu lapok facebook oldala Üzenet a természettel és a túrázással kapcsolatban
5
