A klasszikus kor iskol´ ai.
A klasszikus kor iskol´ai.
´ ¨ ro ¨ g Matematika 2. Az Okori Go
Eleai Iskola. 1
A klasszikus kor iskol´ai
2
Klukovits Lajos
Parmenidesz, Zenon, Leukipposz, Demokritosz (tan´ıtv´anyok sora). Zenon apori´ai a mozg´asr´ ol ⇒ az empirikus ´es a dedukt´ıv megismer´es ellent´ete. 1 2
TTIK Bolyai Int´ ezet 3
2015. okt´ ober 6.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Klasszikus kor.
2015. okt´ ober 6.
1 / 27
Achilleus ´es a tekn˝ osb´eka, a mozg´as lehetetlens´ege, ha az folytonos”. ” A stadion paradoxon”, a rep¨ ul˝ o ny´ıl ´all” minden pillanatban, azaz a ” ” mozg´as akkor is lehetetelen, ha azt diszkr´et” folyamatnak tekintj¨ uk. ”
Hat´asuk a matematika dedukt´ıv tudom´anny´a v´al´as´ara: a v´alt´as f˝ o ´ ad) oka. (Szab´ o Arp´
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Az Athen-i iskol´ ak.
A g¨or¨og demokr´acia vir´agkora”. ” A 480-ban kezd˝od˝o perzsa h´abor´ u: 1 2
3
1
Az oktatott (m˝ uvelt) diszciplin´ak: filoz´ ofia, grammatika, retorika, dialektika (= a vitatkoz´as tudom´anya), erk¨ olcstan, geometria (matematika), csillag´aszat (+csillagj´ osl´as).
2
2
4
Xerxesz kezdeti sikerei: Thermopyla, Athen; g¨or¨ og ellent´amad´as: Szalamisz (Themisztoklesz), Plataia.
Egyik f˝ o c´el: a geometria (a matematika) seg´ıts´eg´evel a vil´ag (az univerzum) megismer´ese.
3
A 3 nevezetes szerkeszt´esi probl´ema: kockakett˝ oz´es (a Delosz-i ” probl´ema”), sz¨ ogharmadol´as, a k¨ or n´egysz¨ oges´ıt´ese”. ” Anaxagorasz f¨ olvet´esei, probl´em´ai.
478-ban l´etrej¨ott a Deloszi-sz¨ ovets´ eg a perzs´ak ellen: 1
ad´ofizet´es a k¨ oz¨ os h´abor´ ukra, a kassza ˝orz´ese”, ” a klasszikus g¨ or¨ og kult´ ura vir´agkora”, Ath´en dominanci´aja a kult´ ura ” minden ter¨ ulet´en.
4
1
A fontosabb iskol´ak: 1 2 3
2
Szofist´ak. Akad´emia. Lyceum.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
2 / 27
Szofist´ak.
´ Attekint´ es. 2
2015. okt´ ober 6.
Az Athen-i iskol´ ak.
Az Athen-i iskol´ak 1.
1
Klasszikus kor.
Klasszikus kor.
2015. okt´ ober 6.
3 / 27
a Nap nem istens´eg, hanem egy izz´ o g¨ omb; majdnem akkora, mint a Peloponesszosz f´elsziget; a Holdnak nincs saj´at f´enye, hideg f¨ oldgoly´ o, emberek is ´elhetnek rajta.
5
Ezen ´es m´as hasonl´ o tan´ıt´as´a´ert — Perikl´esz n´epszer˝ us´ege hanyatl´asakor — beb¨ ort¨ on¨ ozt´ek istentelens´eg v´adj´aval.
6
A legend´ak szerint a b¨ ort¨ onben foglalkozott a k¨ or n´egysz¨ oges´ıt´es´evel, amely a kor egyik n´epszer˝ u probl´em´aja volt.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Klasszikus kor.
2015. okt´ ober 6.
4 / 27
Az Athen-i iskol´ ak.
Az Athen-i iskol´ ak.
Szofist´ak.
Szofist´ak.
Arisztophan´esz: Madarak Er˝ofesz´ıt´esek szerkeszt´esi probl´em´ak megold´as´ara.
S megm´erem az egyenes r´ uddal, hogy a K¨ or n´egysz¨og˝ u legyen, tudod; s k¨ oz´epen Piac — fel´eje, mint k¨ozpontba, sok Egyenes u ´t vigyen s mint sugarak, L¨ ovelljenek sz´et a kerek piacr´ol Mindenfel´e. (Arany J. ford´ıt´asa)
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Klasszikus kor.
2015. okt´ ober 6.
5 / 27
1
Sz¨ ogharmadol´as: az eliszi Hippiasz quadratrixe.
2
A k¨ or n´egysz¨ oges´ıt´ese: Anaxagorasz pr´ ob´alkoz´asai, a khioszi Hippokratesz holdacsk´ai.
3
Kockakett˝ oz´es: Archytasz, Hippokratesz, Eudoxos ´es sokan m´asok.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Sz¨ ogharmadol´ as.
Klasszikus kor.
2015. okt´ ober 6.
6 / 27
Sz¨ ogharmadol´ as.
Sz¨ogharmadol´as.
Sz¨ogharmadol´as.
Az eliszi Hippiasz quadratrixe.
Quadratrix
Konstrukci´o 1
Az AB szakaszt ´alland´ o sebess´eggel der´eksz¨ oggel elforgatjuk: AD.
2
A B pontbeli ´erint˝ ot ´alland´ o sebess´eggel eltoljuk az AD helyzetig.
3
A sebess´egek ar´anya olyan, hogy egyszerre ind´ıtva egyszerre ´erik el a v´eghelyzetet.
4
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Klasszikus kor.
2015. okt´ ober 6.
7 / 27
Egy adott id˝ opontban AB AD 0 -be, BC B 0 C 0 helyzetbe jut, metsz´espontjuk E 0 . Ezen pontok ¨ osszess´ege a QUADRATRIX.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Klasszikus kor.
2015. okt´ ober 6.
8 / 27
Sz¨ ogharmadol´ as.
Sz¨ ogharmadol´ as.
Sz¨ogharmadol´as.
Sz¨ogharmadol´as.
A quadratrix egyenlete.
Az elj´ar´as.
1
A defini´al´o mozg´asok egyenletes volta miatt:
2
3
Φ E 0H = . π/2 BA Az y = E 0 H ´es a = BA jel¨ ol´esekkel
4
Φ y = π/2 a 5
=⇒
y = aΦ
2 π
Ha x = AH, akkor az egyenlet
1
6
y=
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
2a y arctan , π x
vagy
y = x tan
Klasszikus kor.
πy . 2a
2015. okt´ ober 6.
2 3
9 / 27
Legyen E 0 H 0 = 2H 0 H, H 0 az y harmadol´ opontja. A B 00 H 0 C 00 egyenes p´arhuzamos AD-vel, L-ben metszi a g¨ orb´et. ´ ıtjuk, hogy ∠LAD = Φ/3. All´
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Sz¨ ogharmadol´ as.
Klasszikus kor.
K¨orn´egysz¨oges´ıt´es.
Az elj´ar´as.
A khioszi Hippokratesz 1. 1
2
2
Ugyanis
10 / 27
K¨ orn´ egysz¨ oges´ıt´ es.
Sz¨ogharmadol´as.
1
2015. okt´ ober 6.
∠LAD H 0H y = = . π/2 a 3a
Ink´abb pitagoreus, mint szofista, de Athenben ´elt az V. sz´azad m´asodik fel´eben. Elemeket” ´ırt, amely elveszett. ” Egyesek szerint a dedukt´ıv matematika egyik el˝ ofut´ara volt, de ez er˝ osen k´ets´eges.
3
Els˝ osorban a k´et k¨ or´ıv ´altal hat´arolt alakzatok, az u ´n. holdacsk´ak n´egysz¨ oges´ıt´es´evel foglalkozott.
4
Legegyszer˝ ubb eredm´enye:
Mivel Φ y 2a = ⇒ y= Φ π/2 a π
⇒
∠LAD 2aΦ 2Φ = = , π/2 3aπ 3π A befog´ ok f¨ ol¨ otti holdacsk´ak ¨ osszege egyenl˝ o a h´aromsz¨ oggel.
3
teh´at
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
∠LAD = Klasszikus kor.
Φ 3. 2015. okt´ ober 6.
11 / 27
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Klasszikus kor.
2015. okt´ ober 6.
12 / 27
K¨ orn´ egysz¨ oges´ıt´ es.
K¨ orn´ egysz¨ oges´ıt´ es.
K¨orn´egysz¨oges´ıt´es.
K¨orn´egysz¨oges´ıt´es.
A khioszi Hippokratesz 2.
A khioszi Hippokratesz 3.
A bizony´ıt´as.
Egy tov´abbi n´egysz¨ oges´ıt´es:
1
2 3
4
A h´aromsz¨og k¨or´e ´ırt k¨or´enek fele k´etszerese a befog´ o f¨ ol´e ´ırt f´elk¨ornek. ´Igy a nagy negyedk¨or” egyenl˝ o egy kis f´elk¨ orrel”. ” ” Vonjuk ki mindkett˝ob˝ol a befog´ o f¨ ol¨ otti k¨ orszeletet, az egyenl˝ os´eg tov´abbra is f¨onn´all.
´ ıt´asa. All´ A szimmetrikus trap´ez, amely egy szab´alyos hatsz¨ og fele, egyik oldal´ara emelt f´elk¨ or ´es az oldalakon lev˝ o holdacsk´ak egy¨ utt megadj´ak a trap´ez ter¨ ulet´et.
Kaptuk, a holdacska” egyenl˝ o a h´aromsz¨ og fel´evel, azaz egy ” egyenesekkel hat´arolt alakzattal.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Klasszikus kor.
2015. okt´ ober 6.
13 / 27
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
K¨ orn´ egysz¨ oges´ıt´ es.
K´ets´egek 1.
A holdacsk´ak kvadrat´ ur´aj´at, amely a k¨ orrel val´ o rokons´aguk miatt k¨ ul¨onleges alakzatoknak t˝ unnek, el˝ osz¨ or Hippokratesz ´ırta le, s kifejt´ese helyesnek tal´altatott. ...
I I
A pirossal szedett kijelent´es (a k¨ or¨ okre vonatkoz´ o) ´eppen Euklidesz XII.2. T´etele, de azt el˝ osz¨ or Eudoxos bizony´ıtotta, az ´altala bevezetett eszk¨ oz¨ ok, m´ odszerek n´elk¨ ul — a menyis´egek ´altal´anos elm´elete n´elk¨ ul — az lehetetlen.
El˝ osz¨ or az alapokat vezette meg, s az ehhez sz¨ uks´eges t´eteleket ´all´ıtotta f¨ ol, pl. azt, hogy A hasonl´ o k¨ orszeletek u ´gy ar´anylanak egym´ashoz, mint alapjuk n´egyzetei. Ezt u ´gy bizony´ıtotta be, hogy megmutatta, az ´atm´er˝ ok n´egyzet´enek ar´anya ugyanaz, mint a k¨or¨ok´e.
K´ets´egek 2. A pitagoreusok ar´anyelm´elet´et biztosan ismerte, de az csak ¨ osszem´erhet˝ o mennyis´egekre vonatkozott. A nem ¨ osszem´erhet˝ o (az irracion´alis) esethez sz¨ uks´eg van Eudoxos (legal´abb 50 ´evvel k´es˝ obbi) elm´elet´ere.
Mert amilyen a k¨or¨ok ar´anya, olyan a hasonl´ o szeletek´e is. hasonl´ o szeletek azok, amelyek a k¨ ornek ugyanakkora r´esz´et k´epezik.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
14 / 27
Bizony´ıtotta-e ´all´ıt´asait?
Eudemosz v´elem´enye.
I
2015. okt´ ober 6.
K¨ orn´ egysz¨ oges´ıt´ es.
Bizony´ıtotta-e ´all´ıt´asait?
I
Klasszikus kor.
Klasszikus kor.
2015. okt´ ober 6.
15 / 27
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Klasszikus kor.
2015. okt´ ober 6.
16 / 27
K¨ orn´ egysz¨ oges´ıt´ es.
Az Akad´ emia.
Bizony´ıtotta-e ´all´ıt´asait?
Akad´emia
Hippokratesz bizony´ıt´asi technik´aja.
A leghosszabb ideig f¨ onn´all´ o´ okori g¨ or¨ og iskola. I.e. 387 k¨ or¨ ul alap´ıtotta Platon, ´ es I.sz. 529-ben z´aratta be II. Jusztinianusz.
1
Nem el´egszik meg a vizu´alis” bizony´ıt´ekokkal: ” 1 2 3 4
2
nem el´egszik meg szerkeszt´esekkel, bizony´ıtani igyekszik, hogy a k¨ uls˝o ´ıv hosszabb a bels˝on´el”. ” Ezt nem tudta korrekten elv´egezni, de nem is az a legfontosabb, hanem az ig´eny az ilyen ´all´ıt´asok bizony´ıt´as´ara.
˝ sz´amolt el˝osz¨or korrekten egyenl˝ O otlens´egekkel, aminek igazi jelent˝os´ege k´es˝obb jelentkezik. 1
2
Eudoxos: a k¨ orbe ´es a k¨or k¨or´e ´ırt soksz¨ogek k¨ ul¨onbs´ege tetsz˝olegesen kicsiv´e tehet˝ o. Euler kezdetleges” gondolatmenetei. ”
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Klasszikus kor.
2015. okt´ ober 6.
17 / 27
El˝ofut´arok. K¨ ur´enei Theodorosz ´es a tarrentumi Archytasz (k´et pitagoreus), akik megismertett´ek a matematik´aval Platont, megalapozt´ak a pitagoreus dominanci´at az iskol´aban matematik´ab´ ol.
Ismertebb tagok m´eg ... Menaechmosz, Dinosztratosz, (IV. sz), Theaitetosz (415-369).
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Az Akad´ emia.
Klasszikus kor.
2015. okt´ ober 6.
18 / 27
Az Akad´ emia.
Akad´emia
Akad´emia A k¨urenei Theodorosz. 1
A tagok.
2
DE a klasszikus kor minden valamireval´ o” matematikusa ” hosszabb-r¨ovidebb id˝ot t¨olt¨ ott itt, miel˝ ott saj´at iskol´at alap´ıtott volna ´Igy p´eld´aul Eudoxos, aki az antikvit´as 3 legnagyobb matematikus´anak egyike (Theaitetosz ´es Archimedesz mellett).
1
2
3
3
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Klasszikus kor.
2015. okt´ ober 6.
19 / 27
Platon Theaitetosz c´ım˝ u dial´ ogus´aban besz´elget az agg Theodorosz az ifj´ u Theaitetosszal. Theaitetosz r¨ ovid ¨ osszefoglal´ oja a hallottakr´ ol. A mi Theodoruszunk itt f¨ olrajzolt (´ırt?) valamit, ami n´egyzetek oldalaira vonatkozik. Megmutatta, hogy a h´arom ´es az ¨ ot l´abnyi esetben, hogy azok hosszukat tekintve nem nem m´erhet˝ ok az egy l´abnyival. ´Igy el˝ ovett minden egyes esetet eg´eszen tizenh´et l´abig. Enn´el valami megakasztotta.
Az ¨ osszem´erhet˝ os´eg” fogalma szakaszokra vonatkozik (Euklidesz ” X.), ez´ert a h´arom-, ¨ ot l´abnyi” azon n´egyzetek oldal´at jelenti, ” amelyek ter¨ ulete h´arom-, ¨ ot n´egyzetl´ab.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Klasszikus kor.
2015. okt´ ober 6.
20 / 27
Az Akad´ emia.
Az Akad´ emia.
Theodorosz.
Theodorosz. Az igazi k´erd´es:
K´erd´esek.
hogyan der´ıtette ki, hogy w3 , w5 , . . . , w17 -nek nincs k¨ oz¨ os m´ert´eke w1 -gyel.
Hogyan szerkesztett Theodorosz? Mi´ert 17-ig haladt?
1
Ugyanazon aritmetikai (sz´amelm´eleti) m´ odszerrel, ahogy kor´abban Archytasz igazolta w2 ¨ osszem´erhetetlens´eg´et az egys´eggel (irracionalit´as´at).
2
Ha pl. wq ¨ osszem´erhet˝ o w1 -gyel, akkor valamely m, n sz´amokra
V´alaszok. 1
2
√ Mivel a g¨or¨og¨okn´el az, amit nek¨ unk pl. a 3 jelent nem sz´am, hanem CSAK egy hossz´ us´ag (egy mennyis´eg), ez´ert ink´abb w3 , w5 , . . . , w17 -et ´ırunk. V´elhet˝ oen 3, 5, . . . , 17 egys´egnyi ter¨ ulet˝ u t´eglalapokat alak´ıtott azonos ter¨ ulet˝ u n´egyzetekk´e (Elemek I.14.)
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Klasszikus kor.
2015. okt´ ober 6.
3
m2 = qn2 , 4
21 / 27
´es az Elemek VII. k¨ onyve alapj´an ebb˝ ol q n´egyzetsz´am volta ad´ odna ugyan, de ez nem val´ osz´ın˝ u, mert Theodorosz geom´eter volt.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Az Akad´ emia.
Klasszikus kor.
2015. okt´ ober 6.
22 / 27
2015. okt´ ober 6.
24 / 27
Az Akad´ emia.
Theodorosz.
Theodorosz. Anderhub egy ´erdekes ´abr´aja (1941).
Geometriai bizony´ıt´as. Az alap: Elemek X.2. Ha k´et nem egyenl˝ o mennyis´eg eset´en a kisebbiket a nagyobbikb´ol val´o v´altakoz´ o kivon´as´an´al a marad´ek sohasem lesz m´erhet˝o az el˝oz˝ovel, akkor e mennyis´egek ¨ osszem´erhetetlenek. Ennek alkalmaz´as´at val´osz´ın˝ us´ıti az is, hogy az eseteket egyenk´ent vizsg´alta. Az aritmetikai u ´t — kor´abban l´attuk is — egyszerre int´ezte volna el az ¨osszeset. A geometriai utat k¨ovetve minden egyes esetet k¨ ul¨ on kell vizsg´alni, mert m´asok a kivon´asok. Megjegyz´ es. V´elhet˝oen a folyamat v´egtelen volt´at nem bizony´ıtotta Theodorosz, csak utalhatott r´a, hogy a marad´ek soha sem t˝ unik el”. ”
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Klasszikus kor.
2015. okt´ ober 6.
23 / 27
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Klasszikus kor.
A dedukt´ıv matematika kiteljesed´ ese.
A dedukt´ıv matematika kiteljesed´ ese.
A dedukt´ıv matematika kiteljesed´ese.
A dedukt´ıv matematika kiteljesed´ese. ´ Platon, Allam 510 D - E
Platon 1
2
Sz´ıvesen hivatkozik a matematik´ara mint az egzakt k¨ ovetkeztet´esek mintap´eld´aj´ara. A matematik´aban egzakt k¨ ovetkeztet´esek lehets´egesek annak ellen´ere, hogy 1
2 3
nem l´athat´ o, hallhat´ o (megfoghat´o) dolgokr´ol sz´ol, hanem ide´alis objektumokr´ ol, olyanokr´ ol, amelyek csak a gondolkod´asunkban l´eteznek.
Bizony´ara azt is [tudod], hogy mindig csak l´athat´ o alakokkal dolgoznak, s besz´edeikben is ezzel foglalkoznak, holott pedig gondolataik igazi t´argyai nem ezek az alakok, hanem azok, amikhez ezek hasonl´ıtanak: mag´anak a n´egysz¨ oglet˝ u testnek [helyesen: n´egyzetnek!] s mag´anak az ´atm´er˝ onek [helyesen: ´atl´ onak!] a kedv´e´ert folytatj´ak elm´elked´eseiket, nem pedig az´ert az ´atm´er˝ o´ert [´atl´ o´ert], amelyet lerajzolnak...
Ezek megfogalmaz´asakor v´elhet˝ oen a n´egyzet ´atl´ oja ´es oldala k¨olcs¨on¨os ¨osszem´erhetetlens´eg´enek bizony´ıt´as´ara gondolhatott.
K¨ ozben azokat a fogalmakat keresik, amelyeket m´ask´eppen, mint ´esszel, senki meg nem l´atott. Szab´ o Mikl´ os ford´ıt´asa Poll´ak Gy¨ orgy korrekci´ oj´aval.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Klasszikus kor.
2015. okt´ ober 6.
25 / 27
A dedukt´ıv matematika kiteljesed´ ese.
A dedukt´ıv matematika kiteljesed´ese.
Megjegyz´ es. Platon biztos abban, hogy a matematikusok egyet´ertenek vele: a l´athat´o szakaszokra ´ertelmetlen az a k´erd´es, hogy van-e k¨ oz¨ os m´ert´ek¨ uk: egy hajsz´al vastags´aga” mindk´et megrajzolt szakaszra ” eg´esz sz´amszor m´erhet˝o f¨ol. Az ¨osszem´erhet˝os´eg k´erd´es´enek kiz´ar´ olag k´epzelt teh´at absztrakt szakaszok eset´en van ´ertelme. Teh´at Theodorosz sem hivatkozhatott a szeml´eletre n´egyzet oldalai ¨osszem´erhetetlens´eg´enek bizony´ıt´as´an´al.
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Klasszikus kor.
2015. okt´ ober 6.
27 / 27
Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Int´ ezet)
Klasszikus kor.
2015. okt´ ober 6.
26 / 27
