Klasická Weierstrassova věta o aproximaci a její důkazy

Klasická Weierstrassova věta o aproximaci a její důkazy Jiří Veselý

Seminář, 4. října 2010

Jiří Veselý

Klasická Weierstrassova věta o aproximaci a její důkazy

Citát

„That student is best taught who is told the least.ÿ Robert Lee Moore (1882 – 1974)

Jiří Veselý


Zdroje

Založeno na : Steffens, K.-G.: The History of Approximation theory Cheney, E. W.: Introduction to Approximation theory Pinkus, A.: Weierstrass and Approximation Theory http://www.math.technion.ac.il/hat/articles.html

Jiří Veselý


Stručný obsah

Stručná historie teorie aproximace, problémy 18. stol.: Euler (trochu jinak) Stejnoměrná aproximace v prostoru C([ a, b ]) 19. stol.: Čebyšev a Weierstrass Několik životopisných údajů 20. stol.: Různé aspekty Weierstrassovy věty

Jiří Veselý


Pravěk ?

Starověké základy

Jiří Veselý


Začátek ?

Archimedes (287 √ – 212 p.n.l.) – aproximace délky kružnice znal aproximaci 3 (snad Babyloňané) √ zlatý řez a 5 aproximace reálného (iracionálního) čísla racionálním

Jiří Veselý


Začátek ?


Jiří Veselý


Začátek ?


Jiří Veselý


Začátek ?

Kalkulačka : √ 1≤ 2 ≤2, √ 1, 4 ≤ 2 ≤ 1, 5 , √ 1, 41 ≤ 2 ≤ 1, 42 ,

protože protože protože

Jiří Veselý

12 ≤ 2 ≤ 22 ,

(1, 4)2 ≤ 2 ≤ (1, 5)2 ,

(1, 41)2 ≤ 2 ≤ (1, 42)2 , . . .


Začátek ?

Kalkulačka : √ 1≤ 2 ≤2, √ 1, 4 ≤ 2 ≤ 1, 5 , √ 1, 41 ≤ 2 ≤ 1, 42 ,


12 ≤ 2 ≤ 22 ,

(1, 4)2 ≤ 2 ≤ (1, 5)2 ,

(1, 41)2 ≤ 2 ≤ (1, 42)2 , . . .

Pravděpodobně však (a > 0) xn+1 :=

√ a 1 → a xn + 2 xn

Jiří Veselý


Začátek ?

Kalkulačka : √ 1≤ 2 ≤2, √ 1, 4 ≤ 2 ≤ 1, 5 , √ 1, 41 ≤ 2 ≤ 1, 42 ,


12 ≤ 2 ≤ 22 ,

(1, 4)2 ≤ 2 ≤ (1, 5)2 ,

(1, 41)2 ≤ 2 ≤ (1, 42)2 , . . .


√ a 1 → a xn + 2 xn

Jiří Veselý


Začátek ?

Kalkulačka : √ 1≤ 2 ≤2, √ 1, 4 ≤ 2 ≤ 1, 5 , √ 1, 41 ≤ 2 ≤ 1, 42 ,


12 ≤ 2 ≤ 22 ,

(1, 4)2 ≤ 2 ≤ (1, 5)2 ,

(1, 41)2 ≤ 2 ≤ (1, 42)2 , . . .


√ a 1 → a xn + 2 xn

Jiří Veselý


Seriozní počátek ?

18. stol. Leonhard Euler

Jiří Veselý


Ivan Kirilovič Kirilov (1689 – 1737) R. 1734 vytvořil mapu ruského impéria (dnes velmi cenný sběratelský kousek)

Jiří Veselý


Ivan Kirilovič Kirilov (1689 – 1737)

Velkolepý projekt atlasu o 360 mapách, zůstalo pouze torzo (cca 10 map, ukázaná mapa byla první mapou ruského původu cena – 1 rubl). R. 1725 pozval Petr I. z Francie Joseph-Nicolas Delisle (1688 – 1768) – nedohoda o zdrojích R. 1745 – atlas stažen Delisle protestoval

Jiří Veselý


Guillaume de L’Isle (1675 – 1726)

Kvalifikace astronoma pro geografii ? Bratr Guillaume de L’Isle (1675 – 1726) ten vytvořil mnoho map, mj. roku 1700 mapu Asie :

Jiří Veselý


Guillaume de L’Isle (1675 – 1726) : Guillaume de L’Isle, Asie (1700) polární projekce

Jiří Veselý


Různé typy projekcí : Johann Matthias Hasius (1684 – 1742) Imperii Russici et Tatariae . . . (Norimberk 1739) polární projekce

Jiří Veselý


Neznámý autor : dtto – rovníková projekce

Jiří Veselý


Principy (Peter H. Dana)

„projekce na kuželÿ – tečný a sečný případ

Jiří Veselý


Jiří Veselý


Leonhard Euler (1707 – 1783)

Euler 1877 : analyzoval lokální i globální přesnost „delisovské kuželové projekceÿ (De proiectione geographica De Lisliana in mappa generali imperii Russici usitata) Výsledek: sečný případ s optimální volbou rovnoběžek 43◦ 59′ 20′′ a 65◦ 4′ 11′′ – chyba ? cca 1 versta (=1067m)/stupeň zeměpisné šířky

Jiří Veselý




Jiří Veselý




Jiří Veselý


Seriozní počátek ?

19. stol. Čebyšev a Weierstrass

Jiří Veselý


Čebyšev – Curriculum vitae

Pafnutij Lvovič Čebyšev (1821 – 1894) vzděláván doma, tělesně postižený Moskevská univerzita (1837 – 1846)

Jiří Veselý



Pafnutij Lvovič Čebyšev (1821 – 1894) vzděláván doma, tělesně postižený Moskevská univerzita (1837 – 1846) Univerzita v Petrohradu 1847

Jiří Veselý



Pafnutij Lvovič Čebyšev (1821 – 1894) vzděláván doma, tělesně postižený Moskevská univerzita (1837 – 1846) Univerzita v Petrohradu 1847 doktorát 1849 Akademie 1853 aktivní poměr ukončil 1882

Jiří Veselý



Pafnutij Lvovič Čebyšev (1821 – 1894) vzděláván doma, tělesně postižený Moskevská univerzita (1837 – 1846) Univerzita v Petrohradu 1847 doktorát 1849 Akademie 1853 aktivní poměr ukončil 1882 žáci: Sochocki, Ljapunov, Stěklov, Krylov, 2x Markov výborně učil, rád cestoval po Evropě, . . .

Jiří Veselý



Pafnutij Lvovič Čebyšev (1821 – 1894) vzděláván doma, tělesně postižený Moskevská univerzita (1837 – 1846) Univerzita v Petrohradu 1847 doktorát 1849 Akademie 1853 aktivní poměr ukončil 1882 žáci: Sochocki, Ljapunov, Stěklov, Krylov, 2x Markov výborně učil, rád cestoval po Evropě, . . . Přiblížení ?

Jiří Veselý




Jiří Veselý




Jiří Veselý


Citát Čebyšev (1):

Spolupráce teorie s praxí dává nejlepší výsledky a není to pouze praxe, která má z toho prospěch; sama věda se rozvíjí pod vlivem praxe (. . . ) Jestliže teorie získává mnoho z nového užití starých metod (. . . ), pak mnohem více získává z objevů metod nových a v takovém případě nachází věda sama v praxi svého opravdového vůdce.

Jiří Veselý


Citát Čebyšev (2):

Dělím matematiky do dvou skupin: jedni užívají matematiku k řešení nových problémů přírodních věd a jejich výsledky jsou jasné, kdežto druzí činí matematiku předmětem svých filozofických úvah. Myslím, že ti druzí by se neměli nazývat matematiky a kdo se octne na této dráze, nikdy matematikem nebude. V otázce univerzitního programu jsem se jasně vyjádřil, že na matematické fakultě přednášky z filozofie nejsou žádoucí.

Jiří Veselý


Zdroje

Cesta ke stejnoměrné aproximaci : Konstrukce mechanismů Wattův odstředivý regulátor

Jiří Veselý


Zdroje

Cesta ke stejnoměrné aproximaci : Konstrukce mechanismů Wattův odstředivý regulátor Zajímavé výsledky

Jiří Veselý


Zdroje


Jiří Veselý


Zdroje


Jiří Veselý


Připomenutí o interpolaci V základním kurzu MA zůstává stranou Interpolace : Existuje jediný polynom P stupně nejvýše n-tého, který nabývá předepsaných hodnot y0 , y1 , . . . , yn v (n + 1) daných bodech x0 , x1 , . . . , x n . Jednoznačnost:  1 x0 x02 · · · 1 x x 2 · · ·  1 1  ..  .. .. . . . ··· 1 xn xn2 · · ·

Jiří Veselý

x0n

an

  y0     n x1  an−1  y1    =  ..   .   .  .   ..   ..  a0 yn xnn 





Jiří Veselý

x0n

an

  y0     n x1  an−1  y1    =  ..   .   .  .   ..   ..  a0 yn xnn 





Jiří Veselý

x0n

an

  y0     n x1  an−1  y1    =  ..   .   .  .   ..   ..  a0 yn xnn 




Odkud ?

Soustava odpovídá pro polynom P(x) =

n X

ak x n−k

k=0

rovnicím P(xk ) = yk , k = 0, . . . , n. Determinant soustavy D je Vandermondův determinant a má hodnotu D=

Y

(xi − xj )

1≤j
Jiří Veselý


Odkud ?

Soustava odpovídá pro polynom P(x) =

n X

ak x n−k

k=0

rovnicím P(xk ) = yk , k = 0, . . . , n. Determinant soustavy D je Vandermondův determinant a má hodnotu D=

Y

(xi − xj )

1≤j
Jiří Veselý


Zdroje

Praktická realizace: Popíšeme P jako lineární kombinaci pk pk (x) =

n Y

i =0, i 6=k

a to P(x) =

n X

x − xk , xi − xk

yk pk (x)

k=0

Jiří Veselý


Problém

Čebyšev řešil úlohu: K dané f ∈ C([ a, b ]) nalézt Q ∈ Pn ([ a, b ]) – polynomy stupně nejvýše n-tého – tak, aby sup |f (x) − P(x)| = kf − Qk En (f ) = inf P∈Pn ([ a,b ])

x∈[ a,b ]

Jen však speciální případy – reálně analytická f Jeho cesta k výsledkům ?

Jiří Veselý


Problém


x∈[ a,b ]


Jiří Veselý


Problém


x∈[ a,b ]


Jiří Veselý


Výsledky

1

Ke každé funkci f ∈ C([ a, b ]) existuje v prostoru Pn ([ a, b ]) polynom nejlepší aproximace P ∗ , pro který En (f ) = kf − P ∗ k .

2

3

Absolutní hodnota rozdílu |f − P ∗ | nabývá (kladné) hodnoty En (f ) v nejméně (n + 2) bodech intervalu [ a, b ] Znaménka tohoto rozdílu se střídají (alternační věta).

Jiří Veselý


Výsledky

1


2

3


Kam se Čebyšev dostal ? Pracoval pouze s „hladkýmiÿ funkcemi !

Jiří Veselý


Výsledky

1


2

3



Jiří Veselý


Výsledky

1


2

3



Jiří Veselý


Celkově

1

Existence: „vzorečkemÿ, pro obecnou spojitou f teprve Kirchberger (1902) a Borel (1905)

2

Nabývání: ano (speciální případ)

3

Alternace: znal (?), nikde v pracích není – velice blízko, je možné, že ji i znal

Jiří Veselý


Celkově

1


2


3


Panuje vcelku shoda, že Čebyšev (někdy „Euler 19. stoletíÿ) dospěl tak daleko, jak mu to umožnil stav matematiky a jeho filozofie

Jiří Veselý


Celkově

1


2


3



Jiří Veselý


Celkově

1


2


3



Jiří Veselý


Souvislosti Čebyšev pracoval s omezeními, kladenými na koeficienty polynomů : Jednoduchý případ: jistá normalizace, tj. aproximující polynomy k nulové funkci polynomy tvaru P(x) = x n + a1 x n−1 + · · · + an−1 x + an V tomto případě je (pro f (x) = 0, x ∈ [ −1, 1 ]) aproximující polynom P(x) = 21−n Tn (x) = 21−n cos(n arccos x) a má normu kPk = 21−n . Polynom Tn má kořeny (2i − 1)π xi = cos . 2n

Jiří Veselý



Jiří Veselý



Jiří Veselý


Další výsledek Tn jsou již zmíněné polynomy, tvořící ortogonální systém vzhledem (Tm , Tn ) =

Z

1

−1

Tm (x) Tn (x)dx p = δm,n 1 − x2

Čebyšev : Lagrangeovy interpolační polynomy pro reálně analytickou funkci f konvergují stejnoměrně pro 0 < h < 1 na [ −h, h ], volíme-li (2i − 1)π . xi = h cos 2n

K interpolaci se ještě vrátíme !

Jiří Veselý



Z

1

−1


Čebyšev : Lagrangeovy interpolační polynomy pro reálně analytickou funkci f konvergují stejnoměrně pro 0 < h < 1 na [ −h, h ], volíme-li (2i − 1)π xi = h cos . 2n


Jiří Veselý



Z

1

−1


Čebyšev : Lagrangeovy interpolační polynomy pro reálně analytickou funkci f konvergují stejnoměrně pro 0 < h < 1 na [ −h, h ], volíme-li (2i − 1)π xi = h cos . 2n


Jiří Veselý


Citát z F. W. Cheney: Intoduction . . . (1966)

Pokud by bylo nutné označit jedinou větu v teorii aproximace jako důležitější než všechny ostatní, byla by to pravděpodobně Weierstrassova věta o aproximaci. Její vliv je pociťován nejen užíváním jistého nástroje analýzy, ale i mnohem hloubějším způsobem: slouží jako lákadlo pro matematiky, aby ji zobecňovali nebo hledali jiné její důkazy.

Jiří Veselý


Výskyty stejnoměrné aproximace

Kde se student MFF setká s SA na C([ a, b ]) ? Stejnoměrná aproximace spojitých funkcí: po částech konstantními funkcemi (Riemannův integrál)

Jiří Veselý



Kde se student MFF setká s SA na C([ a, b ]) ? Stejnoměrná aproximace spojitých funkcí: po částech konstantními funkcemi (Riemannův integrál) po částech lineárními funkcemi (separabilita C([ a, b ]))

Jiří Veselý



Kde se student MFF setká s SA na C([ a, b ]) ? Stejnoměrná aproximace spojitých funkcí: po částech konstantními funkcemi (Riemannův integrál) po částech lineárními funkcemi (separabilita C([ a, b ])) polynomy (Weierstrassova věta)

Jiří Veselý




Jiří Veselý




Jiří Veselý


O kom se budeme zmiňovat ?

Věta o aproximaci spojité funkce na [ a, b ] polynomy (1885) dnes cca 100 důkazů Weierstrass, Runge, Lerch, Lebesgue, Fejér, Landau, Bernstein, Korovkin různá zobecnění

Jiří Veselý


O kom se budeme zmiňovat ?

Věta o aproximaci spojité funkce na [ a, b ] polynomy (1885) dnes cca 100 důkazů Weierstrass, Runge, Lerch, Lebesgue, Fejér, Landau, Bernstein, Korovkin různá zobecnění

Jiří Veselý


Carl T. W. Weierstrass (1815 – 1897)

Weierstrass 1885 : Souvislost s rovnicí pro vedení tepla v R2 Dxx f − Dt f = 0 Řešení ve tvaru singulárního integrálu s jádrem a konečné („useknutéÿ) rozvoje analytických funkcí

Jiří Veselý


Carl T. W. Weierstrass (1815 – 1897) Již Weierstrass postupuje v podstatě obecněji : Pro f ∈ Cper ([ 0, 2π ]) definuje Z ∞ u − x 1 F (x, k) = du , f (u) ψ 2kω −∞ k kde ψ je spojitá, nezáporná, integrovatelná, a Z ∞ ψ(x) dx ω= 0

Funkce F (x, k) jsou „v komplexní proměnné zÿ celé funkce pro každé k > 0 a platí pro ně lim F (x, k) = f (x)

k→0+

stejnoměrně na

[ 0, 2π ]

Konkretizace jádra generovaného exponenciálou, lze dostat aproximaci celistvými funkcemi Jiří Veselý


Carl T. W. Weierstrass (1815 – 1897) Již Weierstrass postupuje v podstatě obecněji : Pro f ∈ Cper ([ 0, 2π ]) definuje Z ∞ u − x 1 F (x, k) = du , f (u) ψ 2kω −∞ k kde ψ je spojitá, nezáporná, integrovatelná, a Z ∞ ψ(x) dx ω= 0

Funkce F (x, k) jsou „v komplexní proměnné zÿ celé funkce pro každé k > 0 a platí pro ně lim F (x, k) = f (x)

k→0+

stejnoměrně na

[ 0, 2π ]

Konkretizace jádra generovaného exponenciálou, lze dostat aproximaci celistvými funkcemi Jiří Veselý


Malý odskok – Diracova posloupnost

Definujme : Jsou-li f , g spojité na R a pro x → ±∞ konvergují k 0 „rychleÿ, lze definovat konvoluci funkcí f , g Z ∞ g (x − v )f (v ) dv (g ∗ f )(x) = −∞

Jiří Veselý


Malý odskok – Diracova posloupnost

Souvislost s aproximacemi ? Spojité funkce Kn ≥ 0, n ∈ N, pro něž Z ∞ Kn (v ) dv = 1 , −∞

a ke kterým pro každé ε > 0 a každé 0 < δ < 1 existuje n ∈ N tak, že Z Kn (v ) dv < ε , |x|≥δ

tvoří tzv. Diracovu posloupnost. Platí tvrzení :

Jiří Veselý


Malý odskok – Diracova posloupnost Pro funkci f ∈ Cc (R) je Kn ∗ f ⇉ f na R. Totiž : K ε > 0 lze zvolit číslo δ > 0 ze stejnoměrné spojitosti

≤ ≤ε

Z

Z

∞

|f (x) − (Kn ∗ f )(x)| ≤

−∞ δ

−δ

Kn (v ) |f (x) − f (x − v )|dv ≤

Kn (v )du + 2kf k

Z

|v |≥δ

Kn (v )dv ≤

≤ (1 + 2 kf k) ε

Odhad nezávisí na x, konvergence je tedy stejnoměrná.

Jiří Veselý


Poznámky :

Problematika rovnice pro vedení tepla (S. Kovalevská) Velká zkušenost se stejnoměrnou konvergencí Odlišná motivace (funkce = formule, tedy reprezentace)

Jiří Veselý


Poznámky :

Problematika rovnice pro vedení tepla (S. Kovalevská) Velká zkušenost se stejnoměrnou konvergencí Odlišná motivace (funkce = formule, tedy reprezentace) Weierstrassův věk (70 let)

Jiří Veselý


Poznámky :

Problematika rovnice pro vedení tepla (S. Kovalevská) Velká zkušenost se stejnoměrnou konvergencí Odlišná motivace (funkce = formule, tedy reprezentace) Weierstrassův věk (70 let) Dvě verze (1885 – dvě části, 1903 – spojeno), věcné rozdíly (jedna věta, dodatek)

Jiří Veselý


Poznámky :


Jiří Veselý


Poznámky :


Jiří Veselý


Charles Emile Picard (1856 – 1941)

Picard 1891 : Přístup přes singulární integrál (založeno na Poissonově integrálu) Užití Fourierových řad Prioritní: trigonometrická verze pro f ∈ Cper ([ 0, 2π ]) Zmínka o vícedimenzionální variantě (jako první)

Jiří Veselý




Cituje H. A. Schwarze (1871 (!!)), později „skoro celéÿ Schwarz (Weierstrass neodhadl význam ?)

Jiří Veselý





Jiří Veselý





Jiří Veselý


Carl David Tolmé Runge (1856 – 1927)

Runge 1885 : přístup přes aproximaci racionálními funkcemi (korespondence s Mittag-Leflerem) neformulováno tvrzení, Mittag-Lefler později upozornil na souvislost s Weierstrassovou větou

Jiří Veselý


Matyáš Lerch (1860 – 1922)

Lerch 1892 (Volterra 1897) : přístup přes „dvoustupňovou aproximaciÿ: po částech lineární funkce, Fourierovy řady (1870 (?!)), Maclaurinův rozvoj návrat k problému: 1903 (dvě speciální Fourierovy řady)

Jiří Veselý


Vito Volterra (1860 – 1940)

Volterra 1897 : přístup rovněž přes „dvoustupňovou aproximaciÿ: po částech lineární funkce, Fourierovy řady, stejnoměrná konvergence F. Ř. pro po částech lineární (periodickou) Volterra znal Picardovu práci, ale ne Lerchovu (výlučnost či priorita ?)

Jiří Veselý


Henri León Lebesgue (1875 – 1941)

Lebesgue 1898 : přístup přes „dvoustupňovou aproximaciÿ: po částech lineární funkce, speciální rozvoj funkce k(t + |t|), t ∈ R a |t| =

q

t2 =

q

1 − (1 − t 2 ) =

1 1 1·3 = 1− (1 − t 2 )− (1 − t 2 )2 − (1 − t 2 )3 − · · · 2 2·4 2·4·6 základ chápání speciální role funkce |t|

Jiří Veselý


Nicolas Bourbaki (1935 – ????) Rekurzivní definice : Pro t ∈ [ 0, 1 ] definujeme p0 (t) = 0, 1 t − pn2 (t) , 2 √ což je neklesající posloupnost majorizovaná t, konvergence pn+1 (t) := pn (t) +

p(t) = p(t) +

1 t − p 2 (t) , 2

a tedy p(t) =

Jiří Veselý

√

t



p(t) = p(t) +

1 t − p 2 (t) , 2

a tedy p(t) =

Jiří Veselý

√

t



p(t) = p(t) +

1 t − p 2 (t) , 2

a tedy p(t) =

Jiří Veselý

√

t


Magnus Gösta Mittag-Leffler (1846 – 1927)

Mittag-Leffler (1900) jako editor Acta Mathematica poukazuje na přínos Rungeho a Phragména a prezentuje i vlastní přístup

Jiří Veselý


Další vývoj ?

20. stol. Mnoho dalších

Jiří Veselý


Další vývoj ?

20. stol. Mnoho dalších

Jiří Veselý


Lipót Fejér (1880 – 1959)

Fejér 1900 : „weierstrassovskýÿ přístup přes singulární integrál: fundamentální nástroj: Fourierova řada cesàrovská sčítatelnost

Jiří Veselý


Fejérův důkaz Pro f ∈ Cper ([ 0, 2π ]) je (cesàrovské součty) σn (f , t) := kde je

s0 (f , t)+· · ·+sn (f , t) ⇉ f (t) n+1

1 sn (f , t) = π

Z

π

−π

f (t − v )Dn (v ) dv

tzv. Dirichletovo jádro Dn – to je „divokéÿ,zatímco Z 1 π f (t − v )Kn∗ (v ) dv σn (f , t) = π −π tzv. Fejérovo jádro Kn∗ (nezápornost, tvoří Diracovu posloupnost)

Jiří Veselý


Fejérův důkaz Pro f ∈ Cper ([ 0, 2π ]) je (cesàrovské součty) σn (f , t) := kde je

s0 (f , t)+· · ·+sn (f , t) ⇉ f (t) n+1

1 sn (f , t) = π

Z

π

−π

f (t − v )Dn (v ) dv

tzv. Dirichletovo jádro Dn – to je „divokéÿ,zatímco Z 1 π f (t − v )Kn∗ (v ) dv σn (f , t) = π −π tzv. Fejérovo jádro Kn∗ (nezápornost, tvoří Diracovu posloupnost)

Jiří Veselý


Edmund Georg Hermann Landau (1877 – 1938)

Landau 1908 : aproximující polynomy Pn : konvoluce f ∈ C([ 0, 1 ]) , f (0) = f (1) = 0, n ∈ N, s vhodným „polynomiálním jádremÿ Kn (v ) = cn (1 − v 2 )n , kde Z

1

Kn (v ) dv = 1 ,

−1

Jiří Veselý

n ∈ N.


kroky Landauova důkazu (a) Je potřeba alespoň odhad pro chování cn Odhadneme cn pomocí výpočtu Z 1 Z 1 2 n −1 (1 − x 2 )n dx ≥ (1 − x ) dx = 2 (cn ) = −1

≥2

Z

√ 1/ n

0

2 n

(1 − x ) dx ≥ 2

0

Z

√ 1/ n

0

(1 − nx 2 ) dx =

√ h √ 4 nx 3 i1/ n = √ > ( n)−1 , =2 x− 3 x=0 3 n

z něhož plyne √ cn < n

a

0 ≤ Qn (x) ≤

Jiří Veselý

√

n (1 − δ2 )n =: an → 0


kroky Landauova důkazu

(b) Aproximujeme polynomy?

Pn (t) = = =

1

Z

f (t + v )Kn (v ) dv =

−1 Z 1−t

f (t + v )Kn (v ) dv =

−t Z 1 0

f (v )Kn (v − t) dv

Jiří Veselý


kroky Landauova důkazu

(c) Vlastní odhad Z |f (x) − pn (x)| = ≤

Z

1

(f (x) − f (x + t)) Qn (t) dt ≤

−1 1

−1

≤ 4M

f (x) − f (x + t) Qn (t) dt ≤

Z

1

Qn (t) dt + ε

δ

Jiří Veselý

Z

δ

Qn (t)

−δ


Jen zmínka – zobecnění Sergej Natanovič Bernstein (1880 – 1968) → → Pavel Petrovič Korovkin (1913 – 1985)

Marshall Harvey Stone (1903 – 1989)

Jiří Veselý


Inspirace Bernsteinův důkaz Weierstrassovy věty (1912) pro [ 0, 1 ] n k n X Bn (x) = f x k (1 − x)n−k n k

=

k=0 n X

αk qk (x)

k=0

Bude podrobněji v dalších přednáškách Analogicky jako interpolační polynomy, tedy se nabízí domněnka, že vhodně generované interpolační polynomy . . .

Jiří Veselý



=

k=0 n X

αk qk (x)

k=0

Bude podrobněji v dalších přednáškách Analogicky jako interpolační polynomy, tedy se nabízí domněnka, že vhodně generované interpolační polynomy . . . ukázalo se, že tudy cesta nevede !!!

Jiří Veselý



=

k=0 n X

αk qk (x)

k=0


Jiří Veselý



=

k=0 n X

αk qk (x)

k=0


Jiří Veselý


Přirozená otázka

Šli jsme s kanonem na vrabce ?

Jiří Veselý


Trochu podrobněji Jak se chovají funkce vzhledem k Lagrangeově interpolaci ? Runge (1901): f (x) = 1 + x 2

−1

,

x ∈ [ −5, 5 ] ,

Dělící body xi , i = 0, . . . , n, tvoří ekvidistantní dělení. Potom pro interpolační polynomy Pn kf − Pn k není omezená

Jiří Veselý


Trochu podrobněji Jak se chovají funkce vzhledem k Lagrangeově interpolaci ? Runge (1901): f (x) = 1 + x 2

−1

,

x ∈ [ −5, 5 ] ,

Dělící body xi , i = 0, . . . , n, tvoří ekvidistantní dělení. Potom pro interpolační polynomy Pn kf − Pn k není omezená

Jiří Veselý


Ještě jinak

Bernstein (1936 ?): f (x) = |x| ,

x ∈ [ −1, 1 ] ,

Dělící body xi , i = 0, . . . , n, tvoří ekvidistantní dělení. Potom pro interpolační polynomy Pn Pn (x) −→ f (x) , pouze pro x ∈ − 1, 0, 1

Jiří Veselý


Lze nějak zobecnit ?

Georg Faber (1877 – 1966) již r. 1914 dokázal : Nechť pro všechna přirozená n je (n)

(n)

(n)

x0 , x1 , . . . , x n

(*)

systém (n + 1) dělicích bodů intervalu [ a, b ]. Pak vždy existuje f ∈ C([ a, b ]) tak, že pro interpolační polynomy Pn příslušné k dělení pomocí bodů (*) kf − Pn k není omezená

Jiří Veselý




(n)

(n)

x0 , x1 , . . . , x n

(*)


Jiří Veselý




(n)

(n)

x0 , x1 , . . . , x n

(*)


Jiří Veselý


Závěr – citát

Weierstrass – známý nastolením nových kriterií přesnosti : Pravdou je, že matematik, který není zároveň tak trochu básníkem, nemůže být výborným matematikem. Chápal, že absolutní matematická preciznost, stejně jako krása poezie, je ideálem, kterého nelze dosáhnout, ale přesto má smysl se mu snažit přiblížit.

Jiří Veselý


Závěr – citát

Weierstrass – známý nastolením nových kriterií přesnosti : Pravdou je, že matematik, který není zároveň tak trochu básníkem, nemůže být výborným matematikem. Chápal, že absolutní matematická preciznost, stejně jako krása poezie, je ideálem, kterého nelze dosáhnout, ale přesto má smysl se mu snažit přiblížit.

Jiří Veselý


Závěrečná poznámka :

Děkuji vám za pozornost

Jiří Veselý


Klasická Weierstrassova věta o aproximaci a její důkazy

Recommend Documents