Kis csom oelm elet Stipsicz Andr as

Kis csom´oelm´elet Stipsicz Andr´as

1.

fejezet

Csom´ ok ´ es vet¨ uleteik 1.1

Csom´ ok

1.1.1 defin´ıci´ o. Az R3 (vagy S 3 ) t´er egy K ⊂ R3 , az S 1 k¨orvonallal homeomorf r´esz´et csom´ onak nevezz¨ uk. 3 Egy K ⊂ R csom´ o szel´ıd, ha minden x ∈ K pontnak l´etezik olyan Ux (R3 -beli) k¨ornyezete, hogy az (Ux , K ∩Ux ) p´ ar a (D3 , D1 ) p´ arral homeomorf, ahol D1 a D3 goly´ o ´atm´er˝oje. (A nem szel´ıd csom´ okat vadnak h´ıvjuk.) A tov´abbiakban csak szel´ıd csom´ okkal fogunk foglalkozni. Egy alternat´ıv defin´ıci´o lenne, hogy megk¨ ovetelj¨ uk, a csom´ o egyenes szakasz-darabokb´ ol ´ alljon, vagy hogy differenci´alhat´o r´eszsokas´ag legyen. 1.1.2 defin´ıci´ o. A K1 ´es K2 csom´ ok ekvivalensek, ha l´etezik R3 -nak olyan h ir´ any´ıt´astart´o homeomorfizmusa, mely az egyiket a m´asikba viszi. Egy alternat´ıv defin´ıc´ ot ad az, hogy egy csom´ ot az S 1 k¨orvonal be´ agyazott k´epek´ent defini´alunk, ekkor a vad csom´ okat elker¨ ulend˝o a be´ agyaz´asr´ol kell feltenni, hogy szakaszonk´ent line´aris (vagy differenci´alhat´o) legyen. K´et k´ezenfekv˝ o ekvivalencia ad´odik ebben az esetben: 1.1.3 defin´ıci´ o. 1. Az f0 , f1 : X → Y be´ agyaz´asok izot´ opak, ha l´etezik egy olyan, a szinteket meg˝orz˝ o, teh´at F (x, t) = (f (x, t), t) alak´ u F : X × [0, 1] → Y × [0, 1] be´ agyaz´as, melyre f (x, 0) = f0 (x),

f (x, 1) = f1 (x).

2. Az f0 , f1 : X → Y be´ agyaz´asok be´ agyazottan izot´ opak, ha l´etezik egy olyan H: Y × [0, 1] → Y × [0, 1], a szinteket meg˝orz˝ o be´ agyaz´as, melyre a H(y, t) = (ht (y), t) defin´ıci´oval f 1 = h1 ◦ f 0 ,

h0 = idY .

B´armely k´et csom´ o izot´op (a fenti 1. ´ertelemben), viszont a be´ agyazott izot´opi´ at haszn´alva visszakapjuk az els˝o defin´ıci´o ekvivalencia-fogalm´ at. A tov´abbiakban teh´at az 1.1.3(2.) defin´ıci´o szerinti ekvivalenci-fogalmat tekintj¨ uk (b´ar sokszor ’izot´ op’ csom´ okr´ol besz´el¨ unk akkor is, amikor val´oj´ aban ’be´ agyazottan izot´opra’ gondolunk.) A tov´abbiakban csak ir´ any´ıtott csom´ okat tekint¨ unk, teh´at r¨ogz´ıtj¨ uk a csom´ o egy k¨or¨ ulj´ar´as´at. Legyen prP : R3 → P egy P ≤ R3 s´ıkra val´ o (mer˝ oleges) vet´ıt´es. Egy K csom´ ora a prP (K) k´ep a csom´ o vet¨ ulete. Tegy¨ uk fel, hogy K egy szakaszonk´ent line´aris lek´epez´essel van megadva. A prP vet´ıt´est regul´ arisnak nevezz¨ uk, amennyiben csak duplapontok vannak a vet¨ uletben (vagyis a vet¨ ulet minden t pontj´ ara |prP−1 (t) ∩ K| ≤ 2) ´es K egyik cs´ ucsa sem duplapont. Duplapontokn´al az alul l´ev˝ o sz´al megszak´ıt´as´aval kapjuk a csom´ o diagramj´ at, mely m´ar (be´ agyazott izot´opia erej´eig) meghat´arozza a csom´ ot. A kapott objektumot a csom´ o (prP vet´ıt´eshez tartoz´o) diagramj´ anak nevezz¨ uk. A csom´ oelm´elet c´elja: oszt´alyozni a csom´ okat, illetve azok ´erdekes tulajdons´ agait meghat´arozni, felismerni. 1.1.4 p´ eld´ ak.

• A s´ıkon egy be´ agyazott k¨orvonallal, mint diagrammal megadott csom´ o a trivi´ alis csom´ o. 1

B

J

1.1 ´ abra: A k´et h´ aromlevel˝ u csom´ o; B a balkezes, m´ıg J a jobbkezes v´altozat.

1 n b

1

=

1 n

c ...

a

=

−1 = 1

1.2 ´ abra: A P (a, b, c) perec csom´ o (a, b, c ∈ Z). • Az 1.1 ´abr´ an megadott k´et csom´ o a (bal- ´es jobbkeze) h´ aromlevel˝ u (vagy trefoil ) csom´ o. A jobbkezes h´ aromlevel˝ u csom´ o tagja egy ´ altal´ anosabb csom´ o-oszt´alynak, az u ´ n. pozit´ıv t´ orikus csom´ ok oszt´aly´anak: Legyen p ´es q k´et relat´ıv pr´ım term´eszetes sz´am. Az R2 s´ıkon vegy¨ uk a p/q meredeks´eg˝ u, orig´on ´atmen˝ o egyenest. R2 -et a Z2 egys´egr´ acs szerint faktoriz´alva egy t´ oruszt kapunk, az eml´ıtett egyenes k´epe pedig egy γ z´ art g¨ orbe lesz ezen a t´ oruszon. A t´ orusz standard R3 -beli (vagy S 3 -beli) be´ agyaz´as´at tekintve γ k´ep´et (pozit´ıv) t´ orikus (p, q)-csom´ onak nevezz¨ uk ´es T (p, q)-val jel¨olj¨ uk. (Negat´ıv t´ orikus csom´ okat kapunk akkor, ha a T (p, q) csom´ oknak valamely R3 -beli s´ıkra vett t¨ uk¨ork´ep´et tekintj¨ uk.) • Az 1.2 ´abra-beli csom´ ok csal´ adj´at, ahol a n´egyzetekben l´ev˝ o eg´esz sz´amok megfelel˝o (pozit´ıv esetben jobbkezes, negat´ıv esetben balkezes) csavarokat jel¨olnek, perec csom´ oknak nevezz¨ uk. 1.1.5 feladat. Az a, b, c ´ert´ekek mely parit´ asa mellett lesz a P (a, b, c) perec csom´ o val´oban csom´ o (teh´ at osszef¨ ¨ ugg˝o)? A diagram v´altoztat´ as´ anak az 1.3 ´ abr´ an mutatott h´ arom t´ıpusa nyilv´an nem v´altoztatja meg a csom´ o ekvivalencia-oszt´ aly´at. Ezeket a v´altoztat´ asokat R1 , R2 ´es R3 Reidemeister mozg´ asoknak nevezz¨ uk. A fenti megfigyel´es megford´ıtottja azonban m´ar kev´esb´e nyilv´anval´o. (Az al´abb k¨ovetkez˝o t´etelt a tov´abbiakban bizony´ıt´as n´elk¨ ul elfogadjuk.) 1.1.6 t´ etel (Reidemeister). Legyen D1 ´es D2 k´et adott csom´ odiagram. A k´et diagram pontosan akkor reprezent´ alja ugyanazt a csom´ ot (be´ agyazott izot´ opia erej´eig), ha a k´et diagram egym´ asba alak´ıthat´ o a Reidemeister mozg´ asoknak ´es azok inverzeinek v´eges sokszori alkalmaz´ as´ aval. 1.1.7 megjegyz´ es. Hasonl´o m´odon tekinthetn´enk a csom´ o vet¨ ulet´et az S 2 g¨ ombfel¨ uletre is, majd a vet¨ uletnek csak a s´ık “v´eges” tartom´ any´aba es˝ o r´esz´et ´ abr´ azoljuk. (Ezt az elvet val´oban haszn´alni is fogjuk.) L´ atsz´ olag egy u ´ jabb mozg´as bevezet´ese sz¨ uks´eges (a v´egtelen t´avoli ponton val´o ´athalad´as), de nem neh´ez l´atni, hogy ez a Reidemeister mozg´ asokkal is megval´ os´ıthat´ o, l´asd az 1.4 ´abr´ at.

R1

R2

R3

1.3 ´ abra: A Reidemeister mozg´asok 2

K

K

K

1.4 a´bra: Az S 2 v´egtelen t´ avoli pontj´ an t¨ ort´en˝o ´athalad´as. A f¨ ugg˝oleges szakaszok a v´egtelen t´ avoli pontban tal´ alkoznak, ´es egyik vagy m´asik ir´ anyba elmozd´ıtva a v´egtelen t´ avoli pontt´ol kapjuk a k´et als´o ´abr´ at. Ezeket Reidemeister mozg´asokkal egym´ asba lehet transzform´ alni.

1.5 ´ abra: Egy keresztez˝od´es ir´ any´ıtott felold´ asa

1.2

Invari´ ansok

A fent megismert mozg´ asokkal sokszor egyszer˝ uen megmutathat´ o, hogy k´et k¨ ul¨onb¨ oz˝o diagram val´oj´ aban ugyanazt a csom´ ot adja meg. Nehezebb azonban azt l´atni, hogy bizonyos csom´ ok k¨ ul¨onb¨ oz˝oek; erre szolg´ alnak a csom´ oinvari´ ansok. Az els˝o ilyen invari´ans geometriai eredet˝ u, ´es ´ altal´ aban nem k¨onny˝ u a pontos ´ert´ek´et meghat´arozni. A csom´ o g´enusz´ anak defin´ıci´oja a k¨ovetkez˝o nevezetes t´etelen alapszik: 1.2.1 t´ etel (Seifert). Minden K ⊂ S 3 csom´ ora l´etezik egy olyan Σ ⊂ S 3 be´ agyazott, ir´ any´ıtott fel¨ ulet, melyre ∂Σ = K. Az ilyen fel¨ uleteket a csom´ o Seifert fel¨ uleteinek nevezz¨ uk. 1.2.2 defin´ıci´ o. Egy adott K csom´ ora a g(K) g´enusz az ¨osszes K-hoz tartoz´o Seifert fel¨ uletek g´enuszainak minimuma. Bizony´ıt´ as [Az 1.2.1 t´etel bizony´ıt´ asa.] Egy olyan fel¨ ulet, melyre ∂Σ = K teljes¨ ul, el´eg egyszer˝ uen megkaphat´o: sz´ınezz¨ uk a vet¨ ulet tartom´ anyait (vagyis a komplementum komponenseit) sakkt´abla-szer˝ uen feket´ere vagy feh´erre, vegy¨ uk az egyik sz´ınhez tartoz´o tartom´anyokat, ´es ragasszuk ¨ossze ˝oket a cs´ ucsaikn´ al a csom´ o ´altal dikt´ alt szalagokkal. Az eredm´eny egy megfelel˝o hat´arral rendelkez˝o fel¨ ulet lesz, de esetleg nem ir´ any´ıthat´ o. Az ir´ any´ıt´ashoz vegy¨ unk egy ir´ any´ıt´ ast a csom´ on, ´es tekints¨ uk egy diagramj´ anak ir´ any´ıtott felold´ as´ at, vagyis minden keresztez˝od´est helyettes´ıts¨ unk az 1.5 ´ abr´ an mutatott m´odon. A kapott ir´ any´ıtott k¨or¨ok ir´ any´ıtott k¨orlapokat hat´arolnak, ´es a megfelel˝o szalagokat hozz´ ajuk ragasztva egy ir´ any´ıtott fel¨ uletet kapunk, melynek hat´ ara K. Nyilv´ anval´oan g(K) nemnegat´ıv eg´esz, ´es nem neh´ez bel´atni, hogy g(K) = 0 pontosan akkor teljes¨ ul, ha K a trivi´alis csom´ o. Egyenl˝ ore azonban m´eg nem l´attunk bizony´ıt´ast arra, hogy l´etezik nem-trivi´alis csom´ o. Ehhez egy egyszer˝ ubb invari´anst vezet¨ unk be. 1.2.3 defin´ıci´ o. Legyen P, F, Z h´ arom r¨ogz´ıtett sz´ın. A K csom´ o egy D diagramja h´ arom-sz´ınezhet˝ o, ha a diagram minden ´ıv´ehez hozz´ a tudjuk u ´ gy rendelni a sz´ınek valamelyik´et, hogy egy keresztez˝od´esben vagy minden sz´ al egysz´ın˝ u, vagy mind k¨ ul¨onb¨ oz˝o, ´es a diagram nem egysz´ın˝ u (vagyis a sz´ınez´es nem trivi´alis).

3

P

P

P P

P

P

P

F

P Z

P

F

P

p p

p

p p

p

p

F

P

p p

p

p

F

p

F

p

p

Z p

F

Z

F

Z

p p

p

Z F

Z p

p

F

F

p

p p

F

1.6 ´ abra: A h´ arom-sz´ınezhet˝os´eg invarianci´ aja Reidemeister mozg´asokra 1.2.4 lemma. Ha D1 , D2 a K csom´ o k´et diagramja, akkor D1 pontosan akkor h´ arom-sz´ınezhet˝ o, amikor D2 . K¨ ovetkez´esk´epp a h´ arom-sz´ınezhet˝ os´eg nem a diagram, hanem a csom´ o egy tulajdons´ aga. Bizony´ıt´ as Puszt´an azt kell bel´ atnunk, hogy ha egy diagram h´ arom-sz´ınezhet˝o, akkor egy Reidemeister mozg´as alkalmaz´asa ezt a tulajdons´ agot nem v´altoztatja meg. Az els˝o mozg´asn´ al keletkez˝o huroknak a keresztez˝od´esben k´et ´ıve tal´ alkozik, ´es ´ıgy defin´ıci´o szerint minden szerepl˝ o ´ıv egysz´ın˝ u, k¨ovetkez´esk´epp ˝orzi a h´ arom-sz´ınezhet˝os´eget. A m´asodik mozg´as eset´en k´et esetet kell megk¨ ul¨onb¨ oztetn¨ unk, att´ ol f¨ ugg˝oen, hogy a k´et ´ıv azonos, vagy k¨ ul¨onb¨ oz˝o sz´ın˝ u. A harmadik mozg´ asra h´ arom esetet k¨ ul¨onb¨ oztetet¨ unk meg, att´ ol f¨ ugg˝oen, hogy (valamely ir´ any´ıt´asra) a h´ arom befel´e mutat´ o szakasz sz´ınez´es´eben egy, k´et vagy h´ arom sz´ın szerepel. Az 1.6 ´abra mutatja a bizony´ıt´ast. 1.2.5 k¨ ovetkezm´ eny. A trivi´ alis csom´ o ´es a h´ aromlevel˝ u csom´ o nem ekvivalensek. Bizony´ıt´ as A k´et csom´ o k´ezenfekv˝ o diagramjaira az egyik h´ arom-sz´ınezhet˝o, a m´asik nem. 1.2.6 megjegyz´ esek. • Val´ oj´ aban egy csom´ o h´ arom-sz´ınezhet˝os´ege az S 3 − K komplementum π1 (S 3 − K) fundament´ alis csoportj´ anak (a csom´ o csoportj´ anak ) egy tulajdons´ aga: avval ekvivalens, hogy l´etezik-e olyan π1 (S 3 − K) → S3 homomorfizmus, mely a csom´ o k¨or¨ uli kis k¨or¨oket transzpoz´ıci´okba viszi. • A h´ arom-sz´ınezhet˝os´eg defin´ıci´oj´ aban a Z3 = {0, 1, 2} h´ arom-elem˝ u ciklikus csoport elemeivel is sz´ınezhett¨ unk volna, ahol teh´ at a szab´aly az, hogy a sz´ınez´es legal´ abb k´et elemet haszn´al, ´es egy keresztez˝od´esn´el a fels˝o sz´alhoz rendelt b, ´es a k´et als´ohoz rendelt a ´es c ´ert´ekekre a + c = 2b ´all fenn. 1.2.7 feladatok. (a) L´ assuk be, hogy egy csom´ o diagramj´ anak h´ arom-sz´ınez´ese pontosan akkor nem trivi´alis, ha mindh´arom sz´ınt haszn´alja. (b) Vegy¨ uk a ZN = {0, 1, . . . , N − 1}, N -elem˝ u ciklikus csoportot (N ≥ 3), ´es sz´ınezz¨ uk ennek elemeivel egy csom´ o egy diagramj´ anak ´ıveit. Tegy¨ uk fel, hogy a sz´ınez´es nem-trivi´alis (vagyis nem csak egy sz´ınt haszn´al), ´es a keresztez˝od´esekben teljes´ıti a fenti a + c = 2b szab´alyt. Ekkor a diagram N -sz´ınezhet˝o. L´ assuk be, hogy ez a tulajdons´ ag a csom´ o egy tulajdons´ aga, vagyis ´ altal´ anos´ıtsuk az 1.2.4 lemm´at minden N -re. (c) L´ assuk be, hogy a T (2, 5) t´ orikus csom´ o nem h´ arom-sz´ınezhet˝o, de 5-sz´ınezhet˝o. (Teh´at T (2, 5) k¨ ul¨onb¨ ozik mind a trivi´alis, mind a h´ aromlevel˝ u csom´ ot´ol.) (d) L´ assuk be, hogy a {T (2, p) | p pr´ım} t´ orikus csom´ ok csal´adj´aban a tagok p´ aronk´ent k¨ ul¨onb¨ oznek. (e) Sz´am´ıtsuk ki a h´ aromlevel˝ u csom´ o g´enusz´ at.

4

1 0 0 1 1 0 0 1

11 00

x 1.7 ´ abra: A h´ aromlevel˝ u csom´ o Kauffman ´allapotai −1/2

s:

0

−1

1/2 0

0

0

d:

1 0

0

−1/2

1/2

0

0

0 0

1.8 ´ abra: Az s- ´es d-´ert´ekek lok´alis defin´ıci´oja egy Kauffman ´allapotra

1.3

Az Alexander polinom

A csom´ o csoportja a csom´ onak sokkal ´erz´ekenyebb, de sokszor nehezebben ¨osszehasonl´ıthat´o invari´ansa. A Wirtinger prezent´ aci´ ob´ol k¨onnyen l´athat´o, hogy a G = π1 (S 3 − K) csoport G/G′ Abeliz´altja v´egtelen ciklikus, u ´ gyhogy ez sem haszn´alhat´ o arra a c´elra, hogy ennek seg´ıts´eg´evel csom´ okat k¨ ul¨onb¨ oztess¨ unk meg. Vegy¨ uk azonban a C = G′ /G′′ Abel csoportot. Ez ´eppen a csom´ o komplementum´ anak a G′ ≤ π1 (S 3 −K) r´eszcsoporthoz tartoz´ o v´egtelenszeres fed´es´enek els˝o homol´ ogia-csoportja. Mint Abel csoport ezen hat Z, de a fed˝otranszform´aci´ ok hat´ asa egy m´asik Z-hat´ast, ´es ´ıgy egy Laurent polinom-hat´ast is defini´al, ´ıgy C val´oj´ aban egy Z[t, t−1 ] modulus. Bel´athat´o, hogy mint ilyen, egy ciklikus modulus, teh´at el˝oa´ll C/I alakban, ahol I egy f˝oide´al. Ekkor I-t egy ∆K (t) Laurent polinom gener´ alja, mely Z[t, t−1 ]-beli egys´eg (teh´ at ±tn ) erej´eig van meghat´arozva. Az ´ıgy kapott polinom a csom´ o Alexander polinomja. A fenti defin´ıci´o ugyan nem f¨ ugg semmilyen v´alaszt´ast´ ol (´es l´athat´oan csak a csom´ o csoportj´ at´ol f¨ ugg), de nagyon neh´ez az invari´anst kisz´ am´ıtani. Al´ abb egy kombinatorikus ´atfogalmaz´ ast fogunk megmutatni, b´ ar annak bel´at´as´at, hogy a kapott polinom a fenti defin´ıci´ ot kiel´eg´ıti, nem fogjuk t´ argyalni. Legyen teh´at D egy adott K csom´ o diagramja, melyben a keresztez˝od´esek halmaz´at jel¨olje Cr(D), a tartom´anyok´et pedig Dom(D). (A tartom´ anyok a vet¨ ulet komplementum´ anak komponensei.) Jel¨olj¨ uk meg a diagram egyik ´ıv´et egy x jellel, ´es legyen Dom0 (D) azon tartom´anyok halmaza, melyek nem tartalmazz´ak x-et a hat´arukon (vagyis hagyjuk el a kit¨ untetett ´el melletti k´et tartom´anyt). 1.3.1 ´ all´ıt´ as. A Dom0 (D) ´es a Cr(D) halmazok azonos sz´ amoss´ ag´ uak. Bizony´ıt´ as Ha c jel¨oli a keresztez˝od´esek sz´ am´ at, akkor a vet¨ uletben 2c ´el van (hiszen minden cs´ ucsb´ ol 4 ´el megy ki, de ´ıgy minden ´elt k´etszer sz´ amoltunk), teh´ at Euler poli´eder t´etele miatt d − 2c + c = 2, ahol d a tartom´anyok sz´ ama. Ebb˝ol az ´all´ıt´ as trivi´ alisan ad´odik. 1.3.2 defin´ıci´ o. Egy olyan σ: Cr(D) → Dom0 (D) bijekci´ot, melyre minden c ∈ Cr(D) eset´en c benne van σ(c) hat´ ar´aban (vagyis minden keresztez˝od´eshez egy mellette fekv˝o tartom´anyt rendel), a D diagram egy Kauffman a ´llapot´ anak nevez¨ unk. A D diagram Kauffman ´ allapotainak halmaz´at Ks(D) fogja jel¨olni. 1.3.3 p´ elda. A h´ aromlevel˝ u csom´ onak az 1.7 ´ abr´ an bemutatott h´ arom Kauffman ´allapota van. Minden Kauffman ´ allapothoz k´et ´ert´eket rendel¨ unk, a k¨ ovetkez˝o szab´aly szerint: egy ci keresztez˝od´esn´el legyen s(σ(ci )) a Kauffman ´ allapot ´ altal ci -n´el elfoglalt tartom´anyba az 1.8 rajzon megadott ´ert´ek, ´es defini´aljuk d(σ(ci ))-t hasonl´ oan. Ekkor X X d(σ(ci )). s(σ(ci )), d(σ) = s(σ) = ci ∈Cr(D)

ci ∈Cr(D)

5

11 00 s( )=0 00 11 11 00 11)=0 00 d(

11 00

111 000

szimmetrikusak 1 0 0 1

11 00 00 11

1111 0000

11 00 00 11

11 00 11 00

00 11 s( )=0 00 11 11 00 00 11 d( )=0

11 00 s( )=0 00 11 1)=0 d( 0

aszimmetrikus parok 0 1 0 1 11 00 00 11 00 11 s( )=−1/2 1)=0 d( 0

&

1 0 00 11 1)=−1/2 0 s( 0 1 1)=−1 d(0

1 0 0 1 11 00

&

00 11 1 0

s( )=−1/2 11 00 11 00 s( )=−1/2 d( 11)=0 00 11 00 d( )=−1

1.9 ´ abra: Az els˝o k´et Reidemeister mozg´ast´ ol val´o f¨ uggetlens´eg 1.3.4 defin´ıci´ o. Legyen D egy adott K csom´ o diagramja. A X 1 1 (−1)d(σ) · ts(σ) ∈ Z[t 2 , t− 2 ] ∆K (t) = σ∈Ks(D)

Laurent polinom a csom´ o Alexander polinomja. 1.3.5 t´ etel. Az Alexander polinom a csom´ o egy invari´ ansa, vagyis nem f¨ ugg a diagram, ´es az azon kijel¨ olt ´el v´ alaszt´ as´ at´ ol. Bizony´ıt´ as A diagram v´alaszt´as´ at´ol val´ o f¨ uggetlens´eget term´eszetesen u ´ gy fogjuk bel´atni, hogy megmutatjuk, a polinom nem v´altozik Reidemeister mozg´ asok alkalmaz´asa eset´en. Foglalkozzunk el˝osz¨ or azzal az esettel, amikor a megjel¨olt ´el a Reidemeister mozg´ asban r´esztvev˝ o kis k¨orlap-beli ´eleken k´ıv¨ ul van. Az els˝o Reidemeister mozg´as eset´en a kis tartom´ anyban egyetlen keresztez˝od´es van, ´ıgy ott a Kauffman ´allapot mindig ugyanaz, ´es ennek hozz´ aj´ arul´asa s-hez ´es d-hez is nulla, ´ıgy bevezet´ese vagy elhagy´asa nem v´altoztat a polinom ´ert´ek´en. A m´asodik Reidemeister mozg´ as eset´en, a mozg´as eredm´enyek´en el˝oa´ll´o diagramban (az 1.9 ´abr´ an) az allapotokat k´et csoportba oszthatjuk, att´ ´ o f¨ ugg˝ oen, hogy a kis bigonon k´ıv¨ uli jel a bigon f¨ ugg˝oleges tengely´en (teh´ at ’szimmetrikusan’), vagy att´ o jobbra/balra (teh´ at ’aszimmetrikusan’) helyezkedik el. Az els˝o t´ıpus´ u allapotok megfelelnek a mozg´ ´ as el˝ otti diagram ´ allapotainak, ´es mivel a k´et pont hozz´ aj´ arul´asa ekkor kioltja egym´ ast, az ilyen ´allapotok s- ´es d-´ert´ekei nem v´altoznak. A tov´abbi ´allapotok pedig az a´br´ an mutatott m´odon p´ arba ´all´ıthat´oak, ´es a p´ arokon bel¨ ul az s-´ert´ekek megegyeznek, m´ıg a d-´ert´ekek eggyel k¨ ul¨onb¨ oznek, ´ıgy az osszegben ezek a tagok egym´ ¨ ast ki fogj´ ak ejteni. (Az ´abr´ an egy r¨ogz´ıtett ir´ any´ıt´as eset´et rajzoltuk le, a t¨ obbi eset is hasonl´ oan m˝ uk¨ odik.) A harmadik mozg´ as eset´eben valamivel t¨ obb esetet kell megn´ezni. A lok´alis k´epen h´et tartom´any ´es h´ arom cs´ ucs szerepel, ´ıgy n´egy tartom´ any ’k´ıv¨ ulr˝ ol’ kapja az ´allapot´at. Ez a n´egy tartom´any vagy egym´ as melletti, vagy h´ arom egym´ as melletti ´es a negyedik nem ´erintkezik vel¨ uk, vagy 2-2 megoszl´asban ´erintkeznek. Az els˝o esetben a mozg´as el˝ ott ´es ut´an is csak egyf´ele ´ allapot ´ırhat´ o a lok´alis k´epbe, ´es ennek hozz´ aj´ arul´asa a mozg´as sor´an nem v´altozik. A m´asodik esetben egy illetve h´ arom lehet˝os´eg van, de a h´ aromb´ ol kett˝ o kiejti egym´ ast az osszegben. Az utols´ ¨ o esetben k´et-k´et lehet˝ os´eget kell ¨osszehasonl´ıtanunk, melyek s- ´es d-´ert´ekei p´ arban ´allnak, ´ıgy az ´allapotok s- ´es d-´ert´ekei is megfelelnek egym´ asnak. Az 1.10 ´abr´ an ism´et egy ir´ any´ıt´asv´alaszt´as l´athat´o, a t¨ obbi eset is hasonl´ oan int´ezhet˝o el. 6

11 00 00 11

11 00

1 0 1 0

11 00 00 11

s( 11)=−1/2 d( 00 11)=−1 00

s( 11)=−1/2 d( 0 00 1)=−1

1 0 0 1

11 00 00 11

11 00 00 11 1 0

1 0

11 00

s( 11)=−1 d(0 00 1)=−2 s( )=0 d( )=0 s( )=0 d( )=−1

s( )=−1 d( 0 11 00 1)=−2

1 0

11 00 00 11

00 11 1 0

11 00 00 11

1 0 1 0

0 0 s( 1 )=1/2 d( 1 )=0 0 1 0 1 s( )=−1/2 d( )=−1

0 s( 1 )=0 0)=1/2 d( 0 1 1 s( )=−1/2 d( )=−1

1.10 ´ abra: A harmadik Reidemeister mozg´ast´ ol val´o f¨ uggetlens´eg K¨ovetkez˝o l´ep´esk´ent megmutatjuk, hogy a kit¨ untetett pont v´alaszt´as´at´ol a v´alasz f¨ uggetlen. Ehhez puszt´an egy keresztez˝od´esen kell a pontot ’´atjuttatni’. A diagramot az S 2 g¨ ombfel¨ uleten tekintve, a keresztez˝od´est tegy¨ uk ´eppen a v´egtelen t´ avoli pontba. A kijel¨ olt pontot nem tartalmaz´ o sz´alat a k´et ir´ anyba mozd´ıtva, majd az egyiken olyan Reidemeister mozg´ asokat v´egezve, amikor a kijel¨ olt pont ’t´avol’ van, ´epp a k´ıv´ ant k´et ´abr´ at kapjuk. V´eg¨ ul ha a kijel¨ olt pont a tervezett Reidemeister mozg´as k¨ozel´eben van, el˝osz¨ or az el˝obbiek alapj´an vigy¨ uk messze, v´egezz¨ uk el a Reidemeister mozg´ ast, majd vigy¨ uk a kijel¨ olt pontot vissza. Ez utols´ o ´eszrev´etel a bizony´ıt´ast be is fejezi. 1.3.6 feladatok. (a) Sz´am´ıtsuk ki a T (2, 2n + 1) t´ orikus csom´ ok Alexander polinomj´at. (b) Hasonl´ıtsuk ¨ossze a bal- ´es jobbkezes h´ aromlevel˝ u csom´ o Alexander polinomj´at. A k¨ovetkez˝o t´etelt bizony´ıt´ as n´elk¨ ul k¨oz¨olj¨ uk: 1.3.7 t´ etel. Legyen K ⊂ S 3 egy adott csom´ o. Ekkor • ∆K (t) ∈ Z[t, t−1 ]; • ∆K (t) = ∆K (t−1 ), vagyis ∆K (t) = a0 +

Pn

i=1

ai (ti + t−i ) (an 6= 0);

• g(K) ≤ n; • Ha K-nak van altern´ al´ o diagramja (vagyis egy olyan diagramja, melyen k¨ orbehaladva az alul- ´es fel¨ ulkeresztez˝ od´esek v´ altakozva fordulnak el˝ o), akkor n = g(K). 1.3.8 feladat. A fenti t´etelt alkalmazva hat´ arozzuk meg a T (2, 2n + 1) t´ orikus csom´ o g´enusz´ at.

7

L+

L−

L0

1.11 ´abra: A bogoz´asi rel´aci´ oban r´esztvev˝ o vet¨ uletek. (Az L0 vet¨ uletben szerepl˝ o szaggatott szakasz a rel´aci´ o bizony´ıt´as´aban j´atszik majd szerepet.)

1.4

A bogoz´ asi rel´ aci´ o

A fentiekben az Alexander polinomot csak csom´ okra defini´altuk. Legyen teh´at L egy esetleg t¨ obb komponens˝ u l´anc. Ha a l´ancnak van nem ¨ osszef¨ ugg˝ o vet¨ ulete, akkor defini´aljuk a polinomot 0-nak, egy´ebk´ent vegy¨ uk L egy (¨ osszef¨ ugg˝o) vet¨ ulet´et, ´es erre ism´etelj¨ uk el a csom´ okra tanult defin´ıci´ot. (A Reidemeister mozg´asokra val´ o invariancia ugyan´ ugy m˝ uk¨ odik, a pont mozgat´asa azonban nem, hiszen nem tudunk egyik komponensr˝ ol a m´asikra ´atl´epni. A pont v´alaszt´as´ at´ol val´ o f¨ uggetlen´seg ´eppen a bogoz´asi rel´aci´ ob´ol fog k¨ovetkezni.) 1.4.1 t´ etel. Legyen L+ , L− , L0 h´ arom olyan (ir´ any´ıtott) l´ anc, melyeknek egy r¨ ogz´ıtett projekci´ oj´ ara teljes¨ ul az, hogy egy kis k¨ orlapon k´ıv¨ ul megegyeznek, a k¨ orlapon bel¨ ul pedig az 1.11 a ´bra szerint n´eznek ki. Ekkor a megfelel˝ o Alexander polinomokra 1

1

∆L+ − ∆L− = (t 2 − t− 2 )∆L0 teljes¨ ul. Proof. Tegy¨ uk fel, hogy L0 minden vet¨ ulete ¨ osszef¨ ugg˝o, ´es tekints¨ uk az adott vet¨ uletet. Vegy¨ uk ennek a diagramnak egy Kauffman ´ allapot´at. Ekkor a szaggatott szakaszt tartalmaz´ o tartom´anyban a Kauffman ´allapot a tartom´anynak vagy a szakasz feletti, vagy a szakasz alatti egyik keresztez˝od´es´en´el van. Ilym´ odon L+ -ban ´es L− -ban az u ´ j keresztez˝od´esben egyetlen v´alaszt´asunk van arra, hogy az L0 -beli adott Kauffman ´allapotot kiterjessz¨ uk. Az ´allapotok ´ert´ek´et kisz´ am´ıtva azt l´atjuk, hogy az L+ -belib˝ol az L− -belit levonva az L0 -beli 1

1

(t 2 − t− 2 )-szeres´et kapjuk. A fentiekben minden L0 -beli ´ allapotot sz´ ambavett¨ unk, de nem minden L+ - ´es L− -belit. Ezek nyilvan meghat´arozz´ ak egym´ ast, ´es csak azokat kell m´eg megvizsg´ alni, amikor az u ´ j keresztez˝od´esn´el a jel oldalt van. Ezekre az ´allapotokra az s ´es d ´ert´ekek azonban k¨onnyen l´athat´oan megegyeznek, ´ıgy a k¨ ul¨onbs´egben kiesnek. Val´oj´ aban a bogoz´asi rel´aci´ o ´es a ∆U = 1 norm´al´as (ahol U a trivi´alis csom´ o) meghat´arozza az Alexander polinomot. Ez a t´eny abb´ol k¨ovetkezik, hogy alkalmas bogoz´asi rel´aci´ oban k´et csom´ o ’egyszer˝ ubbnek’ v´alaszthat´o, mint a harmadik: az egyiknek a keresztez˝od´es-sz´ama kisebb, m´ıg a m´asikat kevesebb keresztez˝od´es-cser´evel lehet kicsom´ozni. (Ehhez meg kell gondolni azt, hogy minden csom´ o kicsom´ozhat´o v´eges sok keresztez˝od´es-cser´evel: induljunk el egy csom´ on ´es ´erj¨ uk el azt, hogy mindig a fels˝o ´ıven megy¨ unk, mindaddig m´ıg vissza nem ´er¨ unk ¨ esek egy olyan keresztez˝od´eshez, amin m´ar egyszer ´ atment¨ unk — ekkor a hurok ler¨ovid´ıthet˝o, ´es a keresztezHod´ sz´ ama ´ıgy cs¨okkenthet˝ o.) 1.4.2 feladat. L´ assuk be, hogy egy k´etkomponens˝ u l´anc Alexander polinomja nem f¨ ugg a kit¨ untetett ´ıv v´alaszt´as´at´ol. (Haszn´ aljuk a bogoz´asi rel´aci´ ot ´es a hasonl´ o t´etelt csom´ okra.) Indukci´oval l´assuk be ezt az all´ıt´ ´ ast tetsz˝ oleges l´ancra.

1.5

Kitekint´ es

Az Alexander polinomot J. W. Alexander defini´alta 1928-ban megjelent dolgozat´ aban; a defin´ıci´o fent k¨oz¨olt at´ır´ ´ asa L. Kauffman nev´ehez f˝ uz˝odik. Sok´ aig ez a polinom volt csom´ ok egyetlen igaz´an hat´asos invari´ansa. 1985 k¨or¨ ul V. Jones tal´ alt egy m´asik polinom invari´anst (mely m´ar a jobb- ´es balkezes h´ aromlevel˝ u csom´ ot 8

is meg tudta k¨ ul¨onb¨ oztetni). Ism´et Kauffman fogalmazta ´at az eredeti defin´ıci´ot a fentihez nagyon hasonl´ıt´o kombinatorikus form´aba. B´ar olyan K csom´ ot nem neh´ez tal´ alni, melynek Alexander polinomja a trivi´alis csom´ o Alexander polinomj´ aval egyezik meg (pl. a P (−3, 5, 7) perec csom´ o ilyen), az m´eg ma is nyitott k´erd´es, hogy van-e olyan csom´ o, mely nemtrivi´ alis, de Jones polinomja a trivi´alis csom´ o Jones polinomj´aval egyenl˝ o. A Jones polinom felfedez´ese ut´an a k´et polinom k¨oz¨os ´altal´ anos´ıt´asak´ent fedezt´ek fel az u ´ n. HOMFLY polinomot (a hat felfedez˝ o neveinek kezd˝ obet˝ uib˝ ol.) Az elm´ ult n´eh´any ´evben a polinomok ism´et renesz´anszukat ´elik: 2000-ben Khovanov egy olyan homol´ ogiaelm´eletet tal´ alt, melynek Euler karakterisztik´ aja ´eppen a Jones polinom. N´eh´any ´evvel k´es˝obb Ozsv´ath ´es Szab´ o (Khovanov m´odszer´et˝ol teljesen elt´er˝ o m´odon) egy m´ asik homol´ ogia-elm´eletet tal´ alt, mely az Alexander polinomot adja Euler karakterisztikak´ent. (Napjainkban pedig egy olyan elm´elet is megsz¨ uletett, mely a HOMFLY polinomot adja vissza.) Ezekr˝ol az elm´eletekr˝ol bel´athat´o (de nem egyszer˝ uen), hogy meghat´arozz´ ak a trivi´alis csom´ ot, vagyis nemtrivi´ alis csom´ o invari´ansa k¨ ul¨onb¨ ozik a trivi´alis´et´ol.

9