Nyal´abok, konnexi´ok Stipsicz Andr´as
1.
fejezet
Nyal´ abok 1.1
Fibr´ alt nyal´ abok
A k¨ ul¨onb¨oz˝o karakterisztikus oszt´ alyok defini´al´ asa ´es fontos tulajdons´ agaik t´ argyal´ asa el˝ott r¨ oviden tekints¨ uk at a fibr´alt nyal´ ´ abok elm´elet´enek alapjait. Legyen teh´ at G r¨ ogz´ıtett Lie-csoport. Tegy¨ uk fel, hogy G a P topologikus t´eren (jobbr´ ol) szabadon hat, vagyis adott egy folytonos f : P × G → P (p, g) 7→ p · g lek´epez´es, melyre p · g = p eset´en g = 1 ´ all fenn. A P/G faktort jel¨ olje M , a P → M faktoriz´al´ o lek´epez´est pedig π. 1.1.1 defin´ıci´ o. A π: P → M lek´epez´es princip´ alis G-nyal´ abot ad, amennyiben minden m ∈ M pontnak l´etezik olyan U k¨ ornyezete, hogy π −1 (U ) az U × G direkt szorzattal G-ekvivari´ans m´odon azonos´ıthat´ o. A defin´ıci´ oban megk¨ ovetelt tulajdons´ ag azt jelenti, hogy a π: P → M fibr´al´ as lok´alisan U × G → U alak´ u, vagyis lok´ alisan trivi´ alis. 1.1.2 feladat. L´assuk be, hogy ha G kompakt, akkor minden P -n adott szabad G-hat´as lok´alisan trivi´ alis. 1.1.3 defin´ıci´ o. Legyen π: P → M egy princip´ alis G-nyal´ ab. Egy m ∈ M pontra π −1 (m) alteret a fibr´al´ as (m feletti) fibrum´ anak (vagy rostj´ anak) nevezz¨ uk ´es alkalmank´ent Pm -mel jel¨ olj¨ uk. Egy σ: M → P lek´epez´es a nyal´ ab szel´ese amennyiben π ◦ σ = idM . Vegy¨ uk ´eszre, hogy egy princip´ alis G-nyal´ ab minden fibruma (nem kanonikus m´odon) a G csoporttal at “affin azonos´ıthat´ o: p ∈ Pm v´ alaszt´assal a g 7→ p · g lek´epez´es egy G ∼ = Pm bijekci´ot ad. (A fibrumok teh´ ´ertelemben” Lie-csoportok — amint kijel¨ olj¨ uk Pm -ben az egys´egelemet, az G-vel izomorf csoportstrukt´ ur´at kap.) A princip´ alis nyal´ ab fenti defin´ıci´ oja k¨ onnyen kiterjeszthet˝o tetsz˝ oleges m´as fibrum eset´ere is. Legyen teh´ at F egy r¨ ogz´ıtett topologikus t´er, G egy Lie-csoport, ´es r¨ ogz´ıts¨ uk G egy hat´as´at F -en, vagyis vegy¨ unk egy G → Aut(F ) homomorfizmust. (A tov´ abbiakban — az egyszer˝ us´eg kedv´e´ert — G-t mint Aut(F ) r´eszcsoportj´ at fogjuk tekinteni.) Ha E ´es B topologikus terek, π: E → B pedig egy folytonos lek´epez´es, akkor a (π, E, B, F, G) ot¨ ¨ ost F fibrum´ u, G strukt´ ura-csoport´ u fibr´ alt nyal´ abnak nevezz¨ uk, ha (1) minden b ∈ B-re l´etezik egy ϕb : π −1 (b) → F homeomorfizmus; (2) π: E → B lok´alisan trivi´ alis, vagyis minden b ∈ B pontnak l´etezik olyan U ⊂ B ny´ılt k¨ ornyezete ´es ahhoz egy φU : π −1 (U ) → U × F , melyre π = pr1 ◦ φU (itt pr1 a direkt szorzat els˝ o komponens´ere val´ o vet´ıt´es´et jel¨ oli); (3) tov´ abb´ a B-nek l´etezik olyan {Uα } ny´ılt fed´ese, hogy a Uα ny´ılt halmazok felett a nyal´ ab trivi´ alis (mint (2)-ben fent), ´es r¨ ogz´ıtett u ∈ Uα ∩ Uβ pontra a φUα ◦ φUβ (., u): F → F lek´epez´es egy G-beli elem. 1
1.1.4 defin´ıci´ o. Az E teret a nyal´ ab tot´ alis ter´enek, B-t pedig b´ azis´ anak h´ıvjuk; F a nyal´ ab fibruma. A fenti ab kociklus-strukt´ ur´ aj´ anak nevezz¨ uk. (3) pont ´altal garant´ alt gαβ = φUα ◦ φUβ : Uα ∩ Uβ → G rendszert a nyal´ Egy σ: B → E lek´epez´es a nyal´ ab szel´ese ha π ◦ σ = idB . 1.1.5 feladatok. (a) L´assuk be, hogy egy princip´ alis nyal´ ab egyben (G fibrum´ u) fibr´alt nyal´ ab is. (b) Bizony´ıtsuk be, hogy ha {gαβ } egy kociklus-strukt´ ura, akkor u ∈ Uα ∩ Uβ ∩ Uγ eset´en gαβ (u) · gβγ (u) · −1 gγα (u) = 1 ´es gαβ (u) = gβα (u). 1.1.6 megjegyz´ es. K¨ onnyen l´ atha´ o, hogy a fenti 1.1.5(b) feladat ´all´ıt´ asa megford´ıthat´ o: ha {Uα } a B −1 topologikus t´er egy fed´ese ´es gαβ : Uα ∩Uβ → G folytonos lek´epez´esek, melyekre gαβ ·gβγ ·gγα = 1 ´es gαβ = gβα teljes¨ ul, akkor l´etezik egy olyan π: E → B nyal´ ab, melynek {gαβ } a kociklus-strukt´ ur´aja. Vegy¨ uk ehhez az ∐Uα ×F diszjunkt uni´ ot, ´es azonos´ıtsuk az (u1 , f1 ) ∈ Uα ×F , (u2 , f2 ) ∈ Uβ ×F elemeket akkor, ha u1 = u2 = u ∈ Uα ∩Uβ ´es f2 = gαβ (u)f1 . Az ´ıgy kapott faktort´er (az els˝ o koordin´at´ ara t¨ ort´en˝ o vet´ıt´essel) egy olyan π: E → B (F fibrum´ u, G strukt´ ura-csoport´ u) nyal´ abot ad, melynek ´eppen {gαβ } lesz (az {Uα } fed´eshez tartoz´o) kociklusstrukt´ ur´aja. 1.1.7 p´ eld´ ak. (a) A B × F → B direkt szorzat tetsz˝ oleges G-re fibr´alt nyal´ abot, az u ´n. trivi´ alis nyal´ abot ad. ´ (b) Erint˝ onyal´ ab: Egy M sima n–dimenzi´ os sokas´agra vegy¨ unk egy atlaszt ´es tekints¨ uk az Uα ∩ Uβ metszeten a ∂yi )i,j=1,...,n ( ∂x j m´atrixokkal megadott kociklus-strukt´ ur´at. (Itt {x1 , . . . , xn } ´es {y1 , . . . , yn } az Uα ´es Uβ t´erk´epeken l´ev˝o lok´alis koordin´ at´ akat jel¨ oli.) A kapott m´atrixokat Aut(Rn ) = GL(n; R)-beli elemeknek tekintve a kapott Rn –fibrum´u nyal´abot az M sima sokas´ag ´erint˝onyal´abj´anak nevezz¨uk. Egy π: E → B fibr´alt nyal´ ab egy princip´ alis nyal´ abot hat´aroz meg a k¨ ovetkez˝ o m´odon. Vegy¨ uk π: E → B egy kociklus-strukt´ ur´ aj´at ´es ebb˝ol a 1.1.6 megjegyz´esben le´ırtak szerint, a G × G → G jobbszorz´ assal mint G-hat´assal k´esz´ıts¨ unk egy G fibrum´ u nyal´ abot. Az ´ıgy kapott P → B nyal´ abr´ ol k¨ onnyen bel´athat´ o, hogy egy princip´ alis G-nyal´ ab. Megford´ıtva, egy princip´ alis G-nyal´ ab ´es egy λ: G → Aut(F ) baloldali G-hat´as (a 1.1.6 megjegyz´esben le´ırtak szerint, kociklus-strukt´ ur´aj´an kereszt¨ ul) egy F fibrum´ u π: E → B nyal´ abot hat´aroz meg, melyet a P -hez λ-val asszoci´ alt nyal´ abnak h´ıvunk ´es P ×λ F -fel jel¨ ol¨ unk. Egyszer˝ uen l´ athat´ o be, hogy E = P × F/ ≈ ahol (p, f ) ≈ (pg, λ(g −1 )f ) minden g ∈ G-re. 1.1.8 feladatok. (a) L´assuk be, hogy egy P → B princip´ alis G-nyal´ abnak pontosan akkor van szel´ese, ha a nyal´ ab trivi´ alis. (b) Azonos´ıtsuk az E → B nyal´ ab szel´eseit az {f : PE → F | f (pg) = λ(g)f (p) ∀g ∈ G} G-ekvivari´ans lek´epez´esek ter´evel. (Itt PE az E → B nyal´ abhoz tartoz´o princip´ alis G-nyal´ abot jel¨ oli.) (c) L´assuk be, hogy nem minden minden G fibrum´ u nyal´ ab princip´ alis. (Tal´ aljunk olyan p´eld´at, melynek fibruma G, nem trivi´ alis, de van szel´ese, pl. a tautologikus kvaterni´ o nyal´ ab princip´ alis nyal´ abj´ahoz asszocialjunk egy SU (2)–fibrum´ u nyal´ abot az ad: G → Aut(G) adg (h) = g −1 hg reprezent´ aci´ oval. Nem minden G fibrum´ u nyal´ ab princip´ alis, hiszen.... Egy (F, f ): (E, B) → (E ′ , B ′ ) lek´epez´es-p´art nyal´ ablek´epez´esnek h´ıvunk ha F : E → E ′ , f : B → B ′ ´es a π, π ′ projekci´okra π′ ◦ F = f ◦ π all fenn. K´et B feletti E1 , E2 nyal´ ´ ab izomorf ha l´etezik olyan F : E1 → E2 lek´epez´es, melyre (F, idB ) nyal´ ablek´epez´es. 2
Egy f : B ′ → B lek´epez´esre ´es π: E → B nyal´ abra az f ∗ E → B ′ visszah´ uzott nyal´ abot — vagy az E nyal´ ab ∗ f menti visszah´ uzottj´ at — az f E = {(e, b) ∈ E × B ′ | π(e) = f (b)} formul´aval defini´alhatjuk. Az f ∗ E → B ′ vet´ıt´est a m´asodik faktorra val´ o projekci´o megszor´ıt´ asa adja. Ugyanezt term´eszetesen a kociklus-strukt´ ur´akkal is k¨ onnyen megfogalmazatjuk: ha ({Uα }, {gαβ }) egy kociklus strukt´ ura a π: E → B nyal´ abra ´es f : B ′ → B egy folytonos lek´epez´es, akkor az ({f −1 (Uα )}, {f ◦ gαβ }) p´ar egy kociklus-strukt´ ur´ at ad egy B ′ feletti nyal´ abra, mely ´eppen a fent defini´alt f ∗ E lesz. Sok esetben (az {Uα fed´es esetleges megv´ altoztat´as´aval ´es a {gαβ } f¨ uggv´enyek homot´opi´aj´aval) a kociklusstrukt´ ur´ar´ ol feltehet˝o, hogy val´ oj´aban egy H < G r´eszcsoportba mutat. (Minden olyan H r´eszcsoportra megtehet˝ o ez p´eld´aul, mely G-nek deform´ aci´ os retraktuma.) Ekkor azt mondjuk, hogy az E → B strukt´ ura-csoportja G-r˝ ol H-ra reduk´alhat´ o. 1.1.9 feladat. L´assuk be, hogy E → B pontosan akkor trivi´ alis, ha strukt´ ura-csoportja az {1} ≤ G trivi´ alis csoportra reduk´alhat´ o.
1.2
Vektornyal´ abok
Legyen F az n-dimenzi´os val´ os vektort´er, G pedig a GL(n; R) = {A: F → F | det A 6= 0} csoport r´eszcsoportja. Ekkor egy π: E → B, F fibrum´ u, G strukt´ ura-csoport´ u nyal´ abot (val´ os) n-dimenzi´os vektornyal´ abnak nevez¨ unk. Hasonl´oan, ha F komplex vektort´er ´es G ≤ GL(n; C), akkor a komplex vektornyal´ ab fogalm´at kapjuk. 1.2.1 feladat. L´assuk be, hogy ha π: E → B egy vektornyal´ ab, akkor a szel´esek Γ(E) tere term´eszetes m´odon l´ athat´ o el vertort´er trukt´ ur´ aval. K¨ onnyen bel´athat´ o, hogy egy differenci´ alhat´ o sokas´ag ´erint˝ onyal´ abja vektornyal´ ab. A k¨ ovetkez˝ o p´elda k¨ ozponti szerepet fog j´asztszani k´es˝ obbi vizsg´alataink sor´an. 1.2.2 p´ elda. Legyen C∗ = C − {0} ´es vegy¨ uk a CPn = Cn+1 − {0}/C∗ faktort. A τC (n) → CPn tautologikus n n+1 nyal´ abot, mint CP × C r´eszhalmaz´at a τC (n) = {(l, p) ∈ CPn × Cn+1 | p ∈ l} defin´ıci´ o adja meg. Az els˝ o koordin´at´ ara val´ o vet´ıt´est τC (n)-re megszor´ıtva egy τC (n) → CPn lek´epez´est kapunk, melyr˝ol k¨ onnyen igazolhat´o, hogy egy 1-dimeni´os komplex nyal´ ab — u ´n. komplex vonalnyal´ ab. Hasonl´ o defin´ıci´ oval val´ os ´es kvaterni´ o vonalnyal´ abok kaphat´ok az RPn ´es HPn projekt´ıv terek felett; ezeket a tov´ abbiakban τR (n) → RPn ´es τH (n) → HPn fogja jel¨ olni. A Gram-Schmidt f´ele ortogonaliz´ aci´ os elj´ ar´ ast alkalmazva egyszer˝ uen bel´athat´ o, hogy egy vektornyal´ ab strukt´ ura-csoportja mindig O(n)-re (ill. a komplex esetben U (n)-re) redukl´alhat´ o. Nevezetesen, egy vonalnyal´ ab ura-csoport´ unak princip´ alis nyal´ abja O(1) = Z2 (a komplex esetben U (1) = S 1 = {z ∈ C | zz = 1}) strukt´ v´ alaszthat´o. 1.2.3 feladatok. (a) L´assuk be, hogy egy X topologikus t´er kett˝ os fed´esei a H 1 (X; Z2 ) kohomol´ ogia-csoport elemeivel bijekci´ oba ´ all´ıthat´ ok. Vegy¨ uk ´eszre, hogy X kett˝ os fed´esei ´eppen az X feletti princip´ alis Z2 nyal´ aboknak felelnek meg. (b) Mutassuk meg, hogy τR (1) → RP1 ´eppen a M¨obius szalag. (c) L´assuk be, hogy τC (1) → CP1 princip´ alis S 1 -nyal´ abja a π: S 3 → S 2 Hopf-fibr´al´ assal azonos. (d) Bizony´ıtsuk be, hogy a τH (1) → HP1 strukt´ ura-csoportja SU (2)-re reduk´alhat´ o, ´es hat´arozzuk meg a megfelel˝ o princip´ alis SU (2)-nyal´ ab tot´alis ter´et.
3
Term´eszetesen vektornyal´ abokat is vissza lehet h´ uzni; mivel azonban m´atrixokkal tov´ abbi m˝ uveletek is elv´egezhet˝ok, defini´alni tudjuk vektornyal´ abok o¨sszeg´et, du´ alis´ at, komplexifik´ altj´ at, tenzorszorzat´ at ´es determin´ans´ at. h i 0 Adjuk meg az α: GL(n; R) × GL(m; R) → GL(n + m; R) homomorfizmust az (A, B) → A aval. 0 B formul´ Egy E1 → B n-dimenzi´os ´es egy E2 → B m-dimenzi´os vektornyal´ ab kociklus-strukt´ ur´aj´at α-val kompon´alva ilym´odon egy (n + m)-dimenzi´os vektornyal´ abot kapunk, amit az E1 ⊕ E2 ¨osszegnek nevez¨ unk. (Ugyan´ıgy adhatunk ¨ossze komplex ´es kvaterni´ o nyal´ abokat is.) A t: GL(n; R) × GL(m; R) → GL(nm; R) tenzorszorz´ast alkalmazva az E1 ⊗ E2 tenzorszorzat nyal´ abot, m´ıg a c: GL(n; R) → GL(n; C) be´agyaz´ast alkalmazva az EC = E ⊗R C komplexifik´ altat kapjuk. A kociklus-strukt´ ur´at a det: GL(n; R) → GL(1; R) = R∗ homomorfizmussal kompon´alva a det E determin´ ans vonalnyal´ ab ad´odik; hasonl´ o konstrukci´ okat kapunk term´eszetesen a komplex ´es kvaterni´ o esetben is. Hasonl´o egyszer˝ u oper´ aci´ okkal defini´alhat´ ok a dualis es konjugalt nyal´ abok. Vegy¨ uk ´eszre, hogy egy B t´er feletti vonalnyal´ abok a tenzorszorzatra, mint m˝ uveletre n´ezve z´artak. Nem neh´ez bel´atni, hogy tetsz˝ oleges L → B vonalnyal´ abra l´etezik olyan L′ → B, hogy L ⊗ L′ trivi´ alis — L′ -t −1 ′ v´ alaszthatjuk L inverz´enek, vagyis L egy kociklus-strukt´ ur´aj´at v´ alaszthatjuk hαβ (u) = gαβ (u)-nak, amennyiben {gαβ } L egy kociklus-strukt´ ur´ aja. K¨ ovetkez´esk´epp a B feletti vonalnyal´ abok (a tenzorszorz´asra n´ezve) csoportot alkotnak. 1.2.4 feladatok. (a) Bontsuk fel S 1 -et k´et intervallum uni´ oj´ara ´es hat´arozzuk meg τR (1) egy kociklusstrukt´ ur´aj´at. Adjuk meg az S 1 feletti val´ os vonalnyal´ abok csoportj´ at. (b) Oldjuk meg a fenti feladatot S 2 feletti komplex vonalnyal´ abokra. (c) A 1.2.3(a) feladat eredm´eny´et alkalmazva azonos´ıtsuk egy B t´er feletti vonalnyal´ abok csoportj´ at a H 1 (B; Z2 ) csoporttal.
4
2.
fejezet
Nyal´ abok homotopikus elm´ elete 2.1
Klasszifik´ al´ o terek
Legyen G r¨ ogz´ıtett kompakt Lie-csoport. 2.1.1 t´ etel. L´etezik egy olyan EG → BG princip´ alis G-nyal´ ab, hogy B parakompakt b´ azist´er eset´en minden P → B princip´ alis G-nyal´ ab P = f ∗ EG visszah´ uzottk´ent ´ all el˝ o. Az EG tot´ alis t´err˝ ol az is feltehet˝ o, hogy pontrah´ uzhat´ o; ekkor P a fenti f : B → BG lek´epez´est homot´ opia erej´eig meghat´ arozza. K¨ ovetkez´esk´epp a B feletti princip´ alis G-nyal´ abok izomorfizmus-oszt´ alyai a [B, BG] t´er elemeivel azonos´ıthat´ ok. (Adott X, Y topologikus terekre [X, Y ] az X-b˝ ol Y -ba men˝ o folytonos lek´epez´esek homot´opia-oszt´ alyainak ter´et jel¨ oli.) A BG teret a G csoport klasszifik´ al´ o ter´enek, m´ıg az EG → BG nyal´ abot az univerz´ alis G-nyal´ abnak nevezz¨ uk. EG pontrah´ uzhat´ os´ag´ at felt´eve bel´athat´ o, hogy ezek a terek homot´opia erej´eig meghat´arozottak. A fenti t´etel alapj´an term´eszetesen minden F fibrum´ u, G strukt´ ura-csoport´ u nyal´ ab el˝oa´ll mint az EG×λ F → BG asszoci´alt nyal´ ab visszah´ uzottja. Ilym´odon teh´ at a B t´er feletti G-nyal´ abok megismer´es´ehez a BG (homot´ opia erej´eig meghat´arozott) teret ´es a [B, BG] halmazt kell felt´erk´epezn¨ unk. A tov´ abbiakban a G = O(n), SO(n) illetve U (n) esetekre fogunk szor´ıtkozni. 2.1.2 megjegyz´ es. G kompakts´ag´ ara tett felt´etel¨ unk nem t´ ul er˝ os, hiszen minden v´eges dimenzi´os Lie-csoport tartalmaz egy H ≤ G, vele homotopikusan ekvivalens kompakt csoportot, ´ıgy minden G strukt´ ura-csoport´ u nyal´ ab csoportja H-ra reduk´alhat´ o.
2.2
Vektornyal´ abok klasszifik´ al´ o terei
Jel¨olje Gr(n, Rm ) az Rm vektort´er n-dimenzi´os altereinek topologikus ter´et. (A topol´ ogi´at Gr(nRm )-en u ´gy m m lehet p´eld´aul megadni, hogy azonos´ıtjuk a {f ∈ Hom(R , R ) | dim Imf = n}/ ∼ = f2 = faktorral, ahol f1 ∼ pontosan akkor ha Im f1 =Im f2 .) Az Rm ֒→ Rm+1 egy Gr(n, Rm ) → Gr(n, Rm+1 ) lek´epez´est induk´ al; m → ∞ direkt limesszel ´ıgy egy GrR (n) topologikus t´er, az n-dimenzi´os alterek Grassmann-sokas´ aga ad´odik. 2.2.1 megjegyz´ es. (a) A Gr(n, Rm ) t´er val´ oj´aban egy sima, kompakt sokas´ag lesz; GrR (n) azonban m´ar nem lesz v´eges dimenzi´ os. (b) Legyen R∞ = {(x1 , x2 , . . .) | xi ∈ R ´es xi = 0 v´eges sok kiv´etellel}. Ekkor GrR (n) = Gr(n, R∞ ). (c) Hasonl´o konstrukci´ o adja a GrC (n) komplex Grassmann-sokas´agot is. (d) Vegy¨ uk ´eszre, hogy Gr(1, Rn+1 ) = RPn ´es Gr(1, Cn+1 ) = CPn ; jel¨ olje ´ıgy RP∞ ´es CP∞ a GrR (1) ´es GrC (1) tereket. A tautologikus nyal´ abok defin´ıci´ oj´ahoz hasonl´ oan adhatunk meg n-dimenzi´os τR (n) (ill. τC (n)) nyal´ abokat a GrR (n) (ill. GrC (n)) terek felett. 5
2.2.2 t´ etel. A G = O(n) v´ alaszt´ assal BG homot´ op ekvivalens a GrR (n) t´errel. Hasonl´ oan, BU (n) homot´ op ekvivalens GrC (n)-nel. Bizony´ıt´ as. A k¨ ovetkez˝ okben puszt´an a val´ os eset t´ argyal´ as´ara szor´ıtkozunk, a komplex v´ altozat t´ argyal´ asa hasonl´ oan megy. Azt kell teh´ at bel´atnunk, hogy ha E → B egy n-dimenzi´os vektornyal´ ab, akkor l´etezik egy olyan f : B → GrR (n) folytonos lek´epez´es, melyre f ∗ τR (n) = E, majd meg kell mutatni, hogy f homot´opia erej´eig egy´ertelm˝ u. El˝ osz¨ or is vegy¨ uk ´eszre, hogy egy fenti tulajdons´ ag´ u f megad´ asa egy olyan fˆ: E → R∞ f¨ uggv´eny megad´ as´aval ekvivalens, mely E fibrumai ment´en line´aris ´es injekt´ıv. (Ebb˝ol m´ar az f1 (e) = (fˆ(e-n ´athalad´o fibrum), fˆ(e)) ∈ τR (n) megadja a keresett f1 : E → τR (n) nyal´ ab-lek´epez´est.) ´ alhat´ o ny´ılt fed´ese, hogy E|Ui 2.2.3 lemma. A parakompakt B b´ azist´ernek l´etezik egy olyan {Ui }∞ 1 megszml´ trivi´ alis. Legyen teh´ at {Ui }∞ er fenti tulajdons´ ag´ u fed´ese, ´es legyen Vi ⊂ Ui olyan ny´ılt halmaz, melyre ∪∞ 1 a B t´ 1 =B ´es V i ⊂ Ui . Hasonl´oan r¨ ogz´ıts¨ unk Wi ⊂ Vi r´eszhalmazokat.
6
3.
fejezet
Egy kis differenci´ algeometria 3.1
A konnexi´ o defin´ıci´ oja
Ebben a fejezetben r¨ oviden felid´ezz¨ uk a differenci´ algeometria n´eh´ any olyan alapfogalm´ at, melyeket a k´es˝ obbiekben haszn´ alni fogunk. Legyen P → M adott princip´ alis G-nyal´ ab (a tov´ abbiakban mindig feltessz¨ uk, hogy G=SU(2) vagy SO(3)), E → M pedig a hozz´ a asszoci´ alt vektornyal´ ab. A k¨ ovetkez˝ okben a konnexi´o fogalm´anak k´et egym´assal ekvivalens defin´ıci´ oj´at fogjuk megadni. Jel¨olje Ωi (M ; E) a Γ(M ; Λi M ⊗ E) nyal´ ab-´ert´ek˝ u i-form´ak ter´et. (Egy π: E → M nyal´ abra Γ(M ; E) a tov´ abbiakban az {s: M → E | s egy C ∞ -lek´epez´es, ´es π ◦ s = idM } szel´esek ter´et jel¨ oli.) 3.1.1 defin´ıci´ o. Egy ∇: Ω0 (M ; E) → Ω1 (M ; E) line´aris oper´ atort konnexi´ onak nevez¨ unk, ha f ∈ C ∞ (M ) eset´en ∇(f · s) = df · s + f · ∇(s) (s ∈ Ω0 (M ; E)). ∇-t szok´as kovari´ ans deriv´ al´ asnak is nevezni. Sok esetben hasznosabb a konnexi´okat m´as szemsz¨ogb˝ol, sokkal ink´ abb geometriai objektumokk´ent kezelni. Ehhez azonban n´emi el˝ok´esz´ıt´esre van sz¨ uks´eg¨ unk. Mivel π: P → M princip´ alis G-nyal´ ab, (defin´ıc´o szerint) G szabadon hat (jobbr´ ol) P -n ´es P/G ∼ = M . Ez a Ghat´as egy φp izomorfizmust defini´al Ker dπp ≤ Tp P (a fibrum ´erint˝ otere avagy f¨ ugg˝oleges vektorok) ´es a Lie(G) d (p · gt )|t=0 ) = η Lie-algebra k¨ oz¨ott: egy η ∈ Lie(G) elemet {gt } 1-param´eteres r´eszcsoporttal reprezent´ alva φp ( dt egy φp : Ker dπp → Lie(G) izomorfizmust ad meg. Id´ezz¨ uk eml´ekezet¨ unkbe, hogy G hat • P -n (jobbr´ ol), • T P -n (g ∈ G-re dg = g ∗ : T P → T P ), • Lie(G)-n pedig az adjung´alt hat´assal (egy {gt } 1-param´eteres r´eszcsoport k´epe {g −1 gt g} 1-param´eteres r´eszcsoport lesz). 3.1.2 defin´ıci´ o. Egy ω P -n defini´alt Lie(G)-´ert´ek˝ u 1-forma (teh´at Ω1 (P ; Lie(G)) egy eleme) konnexi´o, ha: ∗ (I) ω|Ker dπp = φp , ´es (II) g ∈ G eset´en ωpg (g v) = g −1 ωp (v)g ∈ Lie(G). El˝ osz¨ or is kapcsolatot szeretn´enk tal´alni a k´et defin´ıci´ o k¨ oz¨ott. Bel´ atjuk, hogy ∇ vagy ω megad´ asa ekvivalens egy olyan szab´aly r¨ ogz´ıt´es´evel, mely lehet˝ ov´e teszi M feletti vektorok (M -beli) g¨ orbe menti p´arhuzamos eltol´as´at. Ez´altal — a p´arhuzamos eltol´as k¨ ozbeiktat´as´aval — ∇ egy´ertelm˝ uen meghat´aroz egy ω ∈ Ω1 (P ; Lie(G)) 1form´at ´es ford´ıtva. Egy ∇ kovari´ans deriv´ al´ ast r¨ ogz´ıtve a k¨ ovetkez˝ o m´odon defini´alhatjuk az s0 ∈ Em0 vektor γ: [0, 1] → M (γ(0) = m0 ) g¨ orbe menti eltoltj´ at: El˝ osz¨ or is ∇: Γ(E) → Γ(E) ⊗ Γ(T ∗ M ) helyett ∇-t tekinthetj¨ uk egy 7
Γ(E) ⊗ Γ(T M ) → Γ(E) oper´ atornak. Kiterjesztve a γ˙ γ-menti vektormez˝ot egy X ∈ Γ(T M ) elemm´e, keress¨ uk meg azt az s ∈ Γ(E) szel´est, melyre ∇(s, X) = 0 ´es s(m0 ) = s0 . Az s(γ(1)) ∈ Eγ(1) elemet fogjuk az s0 ∈ Eγ(0) vektor γ menti p´arhuzamos eltoltj´ anak nevezni. Term´eszetesen, ha adott egy p´arhuzamos eltol´asi szab´aly, vagyis minden g¨ orb´ere r¨ ogz´ıtve van egy Eγ(0) → Eγ(1) izomorfizmus, ∇-t k¨ onnyen defini´alhatjuk: s ∈ Γ(E) ´es X ∈ Γ(T M ) eset´en az m ∈ M pontban X(m)-et reprezent´ aljuk egy γ: (−ǫ, ǫ) → M γ(0) = m, γ(0) ˙ = X(m) g¨ orb´evel, majd az s(γ(t)) ∈ Eγ(t) vektorokat toljuk p´arhuzamosan az Eγ(0) fibrumba. Ez´altal Eγ(0) -ban kapunk egy s¯t g¨ orb´et, ennek t = 0-ban vett deriv´ altj´ at fogjuk a ∇(s, X) szel´es m ∈ M pontbeli ´ert´ekek´ent defini´alni. A fenti gondolatmenet teh´ at azt mutatja, hogy egy kovari´ans deriv´ al´ as egy´ertelm˝ uen meghat´aroz egy p´arhuzamos eltol´asi szab´alyt ´es ford´ıtva. L´assuk mi a kapcsolat a konnexi´o 1-forma (ω), ´es a p´arhuzamos eltol´as k¨ oz¨ott! Az ω ∈ Ω1 (P ; Lie(G)) 1-forma egy {Ker ωp } alt´ermez˝ ot (disztrib´ uci´ot) defini´al P -n, melyr˝ol k¨ onny˝ u l´ atni, hogy a {Ker dπp } f¨ ugg˝oleges vektorok egy direkt kieg´esz´ıt˝ oje, vagyis Ker ωp ⊕ Ker dπp = Tp P . Ez´ert Ker ωp elemeit az ω konnexi´o v´ızszintes vektorainak is nevezik. Egy γ: [0, 1] → M g¨ orbe felemeltj´enek nevezz¨ uk azt a Γ: [0, 1] → P g¨ orb´et, melyre π ◦ Γ = γ (π a P → M nyal´ ab projekci´oja). K¨ onny˝ u meggondol´as mutatja, hogy Γ(0) ∈ Pγ(0) r¨ ogz´ıt´es´evel egyetlen olyan Γ felemel´ese l´etezik γ-nak, melyre ˙ Γ(t) = dΓ(t) ∈ Ker ω, vagyis a felemelt Γ g¨ orbe ´erint˝ oi v´ızszintesek. A Γ(0) → Γ(1) f¨ uggv´eny egy Pγ(0) → Pγ(1) izomorfizmust ad meg, ami az asszoci´ alt vektornyal´ abon ´eppen egy p´arhuzamos eltol´asi szab´alyt jelent. Visszafel´e egyszer˝ u gondolatmenet mutatja, hogy a p´arhuzamos eltol´asi szab´ aly kijel¨ oli a v´ızszintes vektorokat (Ker ω elemeit), hiszen a p´arhuzamos eltol´asi szab´aly megadja a Γ “v´ızszintes” felemel´eseket, ezek ´erint˝ oit v´eve kapjuk Ker ω elemeit. Mivel Ker dπ-n egy ω konnexi´o 1-forma (a 2.1.2 defin´ıci´ o (I) pontja ´ertelm´eben) r¨ ogz´ıtett, Ker ω megad´ as´aval m´ar az ω 1-forma is defini´alt. Megmutattuk teh´ at, hogy a konnexi´o k´et defin´ıci´ oja (∇ ´es ω) ekvivalens. Ezent´ ul egy konnexi´ot A-val fogunk jel¨ olni, ´es mindig az el˝ony¨ osebb realiz´ aci´ oj´at (kovari´ans deriv´ al´ as vagy 1-forma) fogjuk haszn´ alni. A tov´ abbiak el˝ott n´eh´ any jel¨ ol´est r¨ ogz´ıt¨ unk. Jel¨olje AP a P → M nyal´ abon l´ev˝ o konnexi´ok ter´et. Mindk´et defin´ıci´ ob´ol l´ atszik, hogy A1 , A2 ∈ AP eset´en A1 + A2 nem konnexi´o. ω1 , ω2 konnexi´o 1-form´akra azonban ω1 − ω2 k¨ ul¨onbs´eg Ker dπ-n elt˝ unik, ´ıgy ω1 − ω2 egy M -en l´ev˝ o 1-forma P -re val´ o visszah´ uz´ as´aval egyenl˝o. A P -hez az adjung´alt hat´assal asszoci´ alt Lie(G) fibrum´ u nyal´ abot adP -vel jel¨ olve a k¨ ovetkez˝ o ´all´ıt´ as teljes¨ ul: 3.1.3 ´ all´ıt´ as. ω1 , ω2 ∈ AP -re pontosan egy olyan η ∈ Ω1 (M ; adP ) elem l´etezik, melyre ω1 − ω2 = π ∗ η. Teh´ at b´ar ω ∈ AP ´ert´ek´et a trivi´ alis P × Lie(G) nyal´ abban veszi fel, η m´ar adP -´ert´ek˝ u 1-forma lesz M en. Vagyis AP egy Ω1 (M ; adP )-re n´ezve affin v´egtelen dimenzi´os t´er. Legyen GP az a csoport, melynek elemei olyan g: P → P nyal´ ab-automorfizmusok, melyek a b´azison az identit´ast induk´ alj´ak, vagyis g(Pm ) = Pm minden m ∈ M -re. A GP csoportot szok´as m´erce-csoportnak (gauge group) nevezni. 3.1.4 megjegyz´ esek. • R¨ovid megfontol´as mutatja, hogy GP elemei annak az AdP → M G-fibrum´ u nyal´ abnak a szel´eseivel azonos´ıthat´ ok, melyet u ´gy kapunk, hogy P → M -hez a konjug´alt hat´assal G-t asszoci´aljuk (vagyis AdP = P ×G G, ahol g ∈ G a h ∈ G elemen a h 7→ g −1 hg konjug´alt hat´assal hat). AdP teh´ at egy G-fibrum´ u de nem princip´ alis nyal´ ab! A P → M nyal´ abhoz teh´ at az Ad-hat´assal G-t asszoci´alva az AdP → M , az ad-hat´assal Lie(G)-t asszoci´alva pedig az adP → M nyal´ abot kapjuk. • A fenti defin´ıci´ ob´ol j´ol l´ athat´ o, hogy Ω0 (M ; AdP ) = Γ(M ; AdP ) csoport-strukt´ ur´aval, Ω0 (M ; adP ) = Γ(M ; adP ) pedig Lie-algebra strukt´ ur´aval rendelkezik, ´es term´eszetesen a GP = Ω0 (M ; AdP ) csoport 0 Lie-algebr´aja ´eppen Ω (M ; adP ) lesz. • Mivel G =SO(3) (illetve G =SU(2)) eset´en a Lie(G) Lie-algebra r´eszalgebr´aja R3 (illetve C2 ) endomorfizmusalgebr´ aj´anak, ha EndE → M jel¨ oli az E → M nyal´ ab endomorfizmusainak nyal´ abj´at, akkor Ω0 (M ; adP ) ≤ Ω0 (M ; EndE) ´all fenn.
8
Mint l´ attuk, a P → M nyal´ abon l´ev˝ o A konnexi´ohoz a P -hez asszoci´alt E → M vektornyal´ abon egy ∇A kovari´ans deriv´ al´ asi oper´ ator tartozik. (Itt E → M -et a G csoport term´eszetes — SO(3) eset´en a 3dimenzi´os val´ os, SU(2) eset´en a 2-dimenzi´os komplex — reprezent´ aci´ oj´at haszn´ alva kapjuk meg P → M -b˝ ol.) Term´eszetesen minden asszoci´ alt vektornyal´ abon defini´alhat´ o az A konnexi´ohoz tartoz´o kovari´ans deriv´ al´ asi oper´ ator. Ezek k¨ oz¨ ul sz´ amunkra a tov´ abbiakban a dA -val jelzett, adP → M szel´esein hat´o oper´ator lesz k¨ ul¨on¨osen fontos. 3.1.5 feladat. L´assuk be, hogy a dA : Ω0 (M ; adP ) → Ω1 (M ; adP ) opar´ ator egy ω ∈ Ω0 (M ; adP ) elemen a 0 k¨ ovetkez˝ o m´odon hat: egy s ∈ Ω (M ; E) = Γ(E) szel´esre (dA ω)(s) = ∇A (ω(s)) − ω(∇A (s)). (Ne feledj¨ uk, hogy az ω ∈ Ω0 (M ; adP ) ≤ Ω0 (M ; EndE) elem hat az E → M nyal´ abon, ´es ´ıgy az Ωi (M ; E) tereken is.) GP a visszah´ uz´ assal term´eszetesen hat az AP t´eren. A BP = AP /GP faktort´ernek a k´es˝ obbiekben nagyon fontos szerep jut majd.
3.2
G¨ orb¨ ulet
Egy adott ∇ konnexi´o F∇ g¨ orb¨ ulet´et a k¨ ovetkez˝ o m´odon adhatjuk meg. A Γ(M ; E ⊗ Λi M ) = Ωi (M ; E) teret i (1) 1 r¨ oviden Ω (E)-vel jel¨ olve legyen ∇ : Ω (E) → Ω2 (E) az a line´aris oper´ ator, melyre ∇(1) (s · ω) = ∇(s)ω − s · dω (ω 1-forma, s ∈ Γ(E)). Ez a Leibnitz-t´ıpus´ u szab´aly egy´ertelm˝ uen defini´alja ∇(1) -t ∇ ismeret´eben (hasonl´ o m´odon tetsz˝ oleges i-re (i) i kiterjesztve a defin´ıci´ ot ∇ : Ω (E) → Ωi+1 (E) oper´ atort kaphatunk). B´ ar ∇ nem C ∞ (M )-line´aris — hiszen ∇(f s) 6= f · ∇(s) (f ∈ C ∞ (M ), s ∈ Γ(E)) —, k¨ onny˝ u sz´ amol´ as mutatja, hogy ∇(1) ◦ ∇: Γ(E) → Γ(E ⊗ Λ2 M ) (1) m´ar igen. M´assz´oval a ∇ ◦ ∇ oper´ ator s ∈ Γ(E) elemen felvett ´ert´eke az m ∈ M pontban csak az s(m) ∈ Em ´ert´ekt˝ ol, nem pedig s-nek az m pont egy k¨ ornyezet´en val´ o viselked´es´et˝ol f¨ ugg. Ez azt jelenti, hogy l´etezik egy olyan F∇ : E → E ⊗ Λ2 M nyal´ ablek´epez´es, melyre ∇(1) ◦ ∇(s)(m) = F∇ (s(m)); ezt a lek´epez´est g¨ orb¨ uletnek nevezz¨ uk. F∇ teh´ at a Hom(E, E ⊗ Λ2 M ) nyal´ ab egy szel´ese. Hom(E, E ⊗ Λ2 M ) 2 ∗ term´eszetesen izomorf az E ⊗Λ M ⊗E nyal´ abbal, ´es k¨ onnyen bel´athat´ o, hogy adP ∼ = E ⊗E ∗ . V´egeredm´enyben 2 2 teh´ at a ∇ konnexi´o F∇ g¨ orb¨ ulete Γ(adP ⊗ Λ M ) = Ω (M ; adP ) egy eleme. Mivel a konnexi´onak is k´et (egym´ assal ekvivalens) defin´ıci´ oj´at adtuk, a teljess´eg kedv´e´ert megadjuk az F g¨ orb¨ uletet arra az esetre is, amikor a konnexi´ot egy ω ∈ Ω1 (P ; Lie(G)) 1-forma reprezent´ alja. Tekints¨ uk az F¯ω = dω + ω ∧ ω ∈ Ω2 (P ; Lie(G)) Lie-algebra ´ert´ek˝ u 2-form´at. ω ∧ ω egy kis magyar´ azatot ig´enyel: ω(τ ) Lie-algebra elemet reprezent´ alhatjuk egy m´atrixszal, melyben a m´atrix-elemek sz´ am´ert´ek˝ u 1form´ak (τ ∈ Tp P egy p ∈ P pontban). ω(τ1 ) ∧ ω(τ2 ) legyen a k´et m´atrix kommut´atora u ´gy, hogy az 1-form´akat az ´ek-szorz´ assal (∧) szorozzuk ¨ ossze. 3.2.1 ´ all´ıt´ as. Az F¯ω 2-forma megszor´ıt´ asa a π: P → M fibr´ al´ as fibrumainak ´erint˝ oter´ere azonosan nulla, s˝ ot p ∈ P ´es τ1 , τ2 ∈ Tp P eset´en ha legal´ abb az egyik τi ´erinti a fibrumot (τi ∈ Ker dπp ), akkor F¯ω (τ1 , τ2 ) = 0. Ez m´assz´oval azt jelenti, hogy l´etezik egy olyan Fω ∈ Ω2 (M ; adP ) 2-forma, melyre π ∗ Fω = F¯ω . Az ´ıgy kapott Fω lesz a g¨ orb¨ uleti kett˝ o-forma, mely megegyezik az el˝oz˝ o defin´ıci´ o F∇ ∈ Ω2 (M ; adP ) szel´es´evel. 3.2.2 megjegyz´ esek. • Vegy¨ uk ´eszre, hogy b´ar F¯ω ∈ Ω2 (P ; Lie(G)) a trivi´ alis P × Lie(G) nyal´ abban veszi fel ´ert´ekeit, Fω m´ar — a nem felt´etlen¨ ul trivi´ alis — adP nyal´ abba mutat. • Jel¨olje ∇g az (M, g) Riemann-sokas´ag Levi-Civita konnexi´oj´at. Ekkor pontosan P F∇2(m) = 0 eset´en tal´alhat´ o m ∈ M k¨ or¨ ul olyan lok´alis {x1 , ..., xn } koordin´ata-rendszer, melyre g = dxi , vagyis m k¨ or¨ ul M olyan, mint Rn a kanonikus metrik´aval. Ez az ´eszrev´etel indokolja a g¨ orb¨ ulet fenti defin´ıci´ oj´at. 9
3.2.3 defin´ıci´ o. Egy A konnexi´ot laposnak (flat) nevez¨ unk, ha FA =0. Megmutatjuk, hogy r¨ ogz´ıtett sokas´ag feletti nyal´ abon megadhat´ o lapos konnexi´ok a sokas´ag fundament´ alis csoportj´ anak reprezent´ aci´ oival azonos´ıthat´ ok. E kapcsolat megad´ asa el˝ott azonban sz¨ uks´eg¨ unk van a k¨ ovetkez˝ o defin´ıci´ ora. 3.2.4 defin´ıci´ o. Egy A konnexi´ora a γ: [0, 1] → M, γ(0) = γ(1) = m0 hurok menti p´arhuzamos eltol´assal aci´ ot, vagyis Holγ (A) ∈ Aut(Em0 ) elemet az A konnexi´o γ menti kapott g: Em0 → Em0 line´aris transzform´ ab strukt´ ura-csoportja), ez az izomorfizmus csak holon´ omi´ aj´ anak nevezz¨ uk. B´ ar Aut(Em0 ) ∼ = G (G a nyal´ konjug´al´ as erej´eig meghat´arozott, ´ıgy Holγ (A) a G csoportnak egy konjug´al´ as erej´eig meghat´arozott eleme. Ha az A konnexi´o g¨ orb¨ ulete 0, vagyis A lapos, homot´op g¨ orb´ekre A holon´omi´ aja azonos lesz, teh´ at A egy ¯ π1 (M, m0 ) → Aut(Em ) homomorfizmust defini´al, ami egy — konjug´al´ a s erej´ e ig egy´ e rtelm˝ u — φ: π (M )→G φ: 1 0 reprezent´ aci´ ot ad meg. Jel¨olj¨ uk a tov´ abbiakban RG (M )-mel a Hom(π1 (M ), G) teret, χG (M )-mel pedig ennek Hom(π1 (M ), G)/adG faktor´at (G konjug´al´ assal hat a homomorfizmusok ter´en, ezt a hat´ast jel¨ olt¨ uk adG-vel). A fentiek szerint a holon´omia egy lapos konnexi´ohoz χG (M ) egy elem´et rendeli. A P → M nyal´ abon l´ev˝o lapos konnexi´ok ´es a fundament´ alis csoport reprezent´ aci´ oi k¨ oz¨otti kapcsolat meg´ert´es´ehez a k¨ ovetkez˝ o konstrukci´oval kell megismerkedn¨ unk. Adott ρ: π1 (M ) → G reprezent´ aci´ ohoz egy Rρ → M princip´ alis G-nyal´ ab ´es A lapos ¯ → M az M univerz´alis fed´ese, ami teh´ konnexi´o asszoci´alhat´ o a k¨ ovetkez˝ o m´odon: legyen M at egy princip´ alis π1 (M )-nyal´ ab. A ρ reprezent´ aci´ o seg´ıt´eg´evel ehhez egy Rρ → M princip´ alis G-nyal´ abot asszoci´alhatunk: ¯ ×π (M ) G = M ¯ × G/∼ Rρ = M =, 1 ∼ (m, ρ(γ)g) (m ∈ M ¯ , g ∈ G, γ ∈ π1 (M )). Rρ teh´ ¯ feletti trivi´ at nem m´as mint az M alis ahol (m · γ, g) = ¯ × G-n a trivi´ G-nyal´ ab faktora a γ(m, g) = (mγ, ρ(γ −1 )g) π1 (M )-hat´assal. V´eve M alis konnexi´ot, a fenti ¯ -en, faktoriz´al´ as egy A konnexi´ot defini´al Rρ → M -en. Mivel A lok´alisan olyan, mint a trivi´ alis konnexi´o M FA = 0 teljes¨ ul, vagyis A lapos. Azt is k¨ onny˝ u bel´atni, hogy val´ oj´aban minden lapos konnexi´o megkaphat´o evvel a konstrukci´oval. Legyen teh´ at χG (M, P ) = {ρ ∈ RG (M ) | Rρ ∼ = P }/adG, FP = {A ∈ AP | FA = 0}/GP ; ekkor 3.2.5 ´ all´ıt´ as. A H: FP → χG (M, P ) holon´ omia-f¨ uggv´eny bijekci´ ot ad meg a P -n l´ev˝ o lapos konnexi´ ok ´es π1 (M ) azon ρ reprezent´ aci´ oi k¨ oz¨ ott, melyekre Rρ = P . Az eddig defini´alt terek — AP , BP , FP — nem ny´ ujtanak inform´aci´ ot M sima strukt´ ur´aj´ara vonatkoz´oan. AP v´egtelen dimenzi´ os affin t´er, FP a π1 (M ) ismeret´eben meghat´arozhat´ o, ´es BP -r˝ ol is bel´athat´ o, hogy M -nek csak a homot´opia-t´ıpus´ at´ ol f¨ ugg. Egy u ´j — ez´ uttal egy Riemann-metrik´ at´ ol f¨ ugg˝o — oper´ator bevezet´es´evel a helyzet gy¨ okeresen megv´ altozik.
10
