Adatok gyűjtésének és értékelésének módszerei Domokos, Endre Csom, Veronika

Adatok gyűjtésének és értékelésének módszerei Domokos, Endre Csom, Veronika

Created by XMLmind XSL-FO Converter.

Adatok gyűjtésének és értékelésének módszerei Domokos, Endre Csom, Veronika

Created by XMLmind XSL-FO Converter.

Tartalom 1. Jelmagyarázat és rövidítésjegyzék .................................................................................................. 1 2. Bevezetés ........................................................................................................................................ 2 3. Nagy mennyiségű adatok feldolgozásának statisztikai alapjai ....................................................... 3 1. Alapfogalmak ........................................................................................................................ 3 1.1. Sokaság ..................................................................................................................... 3 1.2. Ismérv (attribútum) ................................................................................................... 4 1.3. Mérés ........................................................................................................................ 4 1.4. Statisztikai sor .......................................................................................................... 5 2. Viszonyszámok ..................................................................................................................... 6 2.1. Dinamikus viszonyszám ........................................................................................... 6 2.2. Megoszlási viszonyszám .......................................................................................... 7 2.3. Intenzitási viszonyszám ............................................................................................ 7 2.4. Számításértelmezési feladat ...................................................................................... 8 3. Eloszlás-elemzés ................................................................................................................... 8 3.1. Gyakorisági sorok ..................................................................................................... 9 3.1.1. Osztályközös gyakoriság számításának lépései .......................................... 10 3.1.2. Kumulálás (halmozott összeadás) .............................................................. 12 3.1.3. Értékösszegsor ........................................................................................... 15 3.2. Kvantilisek .............................................................................................................. 16 3.3. Középérték .............................................................................................................. 18 3.3.1. Medián (Me) ............................................................................................... 18 3.3.2. Módusz (Mo) .............................................................................................. 20 4. Statisztikai mutatók ............................................................................................................. 24 4.1. Terjedelem .............................................................................................................. 24 4.1.1. (Rendes) terjedelem .................................................................................... 25 4.1.2. Interkvantilis (nyesett) terjedelem .............................................................. 26 4.2. Statisztikai momentumok ....................................................................................... 27 4.2.1. Szóródás (σ) ............................................................................................... 27 4.2.2. Relatív szóródás ......................................................................................... 29 4.2.3. Általános (abszolút) különbség .................................................................. 31 4.2.4. Momentum .................................................................................................. 33 4. Adatbázisok fellelhetősége az interneten ...................................................................................... 36 1. OKIR (Országos Környezetvédelmi Információs Rendszer) .............................................. 36 2. Zöldhatóságok ..................................................................................................................... 38 3. OLM (Országos Légszennyezettségi Mérőhálózat) ............................................................ 39 4. Központi Statisztikai Hivatal .............................................................................................. 41 5. Vízügyi adatbank ................................................................................................................ 41 6. OMSZ (Országos Meteorológiai Szolgálat) ........................................................................ 41 7. River Monitoring ................................................................................................................. 42 8. Integrált Drávai Monitoring ................................................................................................ 44 9. Nemzetközi kitekintés ......................................................................................................... 44 5. Adatbázisok használatának jogi háttere ........................................................................................ 47 1. örnyezetvédelmi vonatkozású adatok szabályozása ............................................................ 47 2. A környezetvédelmi vonatkozású közérdekű adatok megismerésének korlátai .................. 48 3. Az elektronikus információszabadság ................................................................................. 48 6. Adatminőségi osztályok (adatok pontossága, adatok megbízhatósága) ....................................... 50 7. Adatok előkészítése kiértékelésre (szűrés, normalizálás, u-próba, t-próba) ................................. 53 1. Szűrés .................................................................................................................................. 53 2. Hibaszámítási adatok .......................................................................................................... 54 3. Student-féle egymintás t-próba .......................................................................................... 55 4. Gyakorisági eloszlás ............................................................................................................ 56 5. Szórás, konfidencia intervallum .......................................................................................... 60 6. Kiugró értékek ellenőrzése (normalizálás) .......................................................................... 64 8. Környezetvédelem során mért adatok különleges feldolgozása ................................................... 67 1. A mérőeszközök megválasztása .......................................................................................... 67 2. Megfelelő mérési körülmények biztosítása ......................................................................... 67

iii Created by XMLmind XSL-FO Converter.

Adatok gyűjtésének és értékelésének módszerei 9. Adattárolási módok számítógépes feldolgozás során .................................................................. 69 1. Osztott adatbázisok ............................................................................................................. 69 1.1. GRID rendszerek .................................................................................................... 69 2. Adatbiztonság ...................................................................................................................... 69 10. Adatábrázolási technikák, mérési hibák vizuális ábrázolása, görbe és trendvonal illesztése adatsorokra ........................................................................................................................................................... 73 1. Adatábrázolási technikák .................................................................................................... 73 1.1. Poláris diagram – sugár diagram ............................................................................ 73 1.2. Pontdiagram és a vonaldiagram .............................................................................. 74 1.3. Területdiagram ........................................................................................................ 76 1.4. Kör- és perecdiagram .............................................................................................. 76 1.5. Oszlopdiagram ........................................................................................................ 78 11. Nagy mennyiségű adatok kezelése és összehasonlítási módszerei ............................................. 80 1. Lorenz görbe és a Gini együttható ...................................................................................... 80 12. Adattrendek használatának lehetőségei a fenntartható fejlődés tervezésének támogatására ...... 88 1. Várpalota térségének levegőminősége és változása az elmúlt évtizedekben ...................... 88 1.1. NO2 koncentrációk változása .................................................................................. 88 1.2. SO2 koncentrációk változása ................................................................................... 89 1.3. Ülepedő por koncentrációk változása ..................................................................... 90 1.4. Ammónia koncentrációk változása ......................................................................... 90 2. Várpalota és térsége levegőminőségének jellemzése .......................................................... 91 13. Kérdések ..................................................................................................................................... 92 14. Ajánlott irodalom ........................................................................................................................ 96 15. Segédtáblázatok .......................................................................................................................... 97

iv Created by XMLmind XSL-FO Converter.

Az ábrák listája 3.1. Statisztikai sorok fajtái (vastagon kiemelve a leggyakoribb előfordulás) .................................... 5 3.2. Adatok rendezésének gombja MS Excelben .............................................................................. 11 3.3. Adatok rendezésének gombja LibreOfficeban ........................................................................... 11 3.4. A kumulált gyakoriság ábrázolása ............................................................................................. 14 3.5. Módusz kiemelése a sokaságból ................................................................................................ 22 3.6. Vizsgált adatsor jellemzői számegyenesen ................................................................................ 26 3.7. Vizsgált adatsor jellemzői .......................................................................................................... 26 3.8. A standard deviancia ábrázolása ................................................................................................ 31 4.1. Veszprém levegőt terhelő pontforrásai ...................................................................................... 37 4.2. Volán telephely éves szennyezőanyag kibocsátása (kg) ........................................................... 38 4.3. Veszprém – Kádár utcai mérőkonténer adatlapja ..................................................................... 40 4.4. Vízügyi adatbank kezdőlapja .................................................................................................... 41 4.5. Vízügyi adatbank lekérdező felülete .......................................................................................... 41 4.6. Met.hu legfrissebb mért meteorológiai adatai ........................................................................... 42 4.7. UV index várható napi menete ................................................................................................. 42 4.8. Tisza-vízgyűjtő monitoring rendszer ......................................................................................... 42 4.9. Európai Statisztikai Hivatal témakörei ...................................................................................... 45 6.1. A kezdő és a pontosan célzó „találatai” ..................................................................................... 50 6.2. A kezdő és a pontosan célzó „találatai”- szóródási görbe .......................................................... 50 6.3. Szisztematikus hiba – torzítás illusztrációja .............................................................................. 51 6.4. Véletlen hiba – szórás/pontosság illusztrációja ......................................................................... 51 7.1. Probléma az adatbázisban .......................................................................................................... 53 7.2. ÉDT-KTVF adatbázisából részlet .............................................................................................. 53 7.3. SO2 koncentráció változása a mintahónapban ............................................................................ 57 7.4. SO2 koncentráció változása a mintahónapban ............................................................................ 58 7.5. SO2 tartalom relatív gyakorisági eloszlása ................................................................................. 59 7.6. SO2 összegzett relatív gyakorisági eloszlása .............................................................................. 60 7.7. Párhuzamos mérési helyszínek - Veszprém ............................................................................... 60 7.8. PM10 - párhuzamos mérések eredményei ábrázolva ................................................................... 62 7.9. PM2,5 - párhuzamos mérések eredményei ábrázolva .................................................................. 63 7.10. A standard normáleloszlás sűrűségfüggvénye ......................................................................... 65 8.1. Nagytérfogat-áramú pormintavevő, és a szűrőpapíron felfogott porminta ................................ 67 9.1. A hardver, szoftver és az adat árainak egymáshoz viszonyított aránya a számítástechnika korai korszakában és ma ............................................................................................................................ 69 9.2. Klasszikus – adatbiztonságra kiépített – adatbázis hardver környezet ...................................... 70 9.3. Osztott – adatbiztonságra kiépített – adatbázis hardver környezet ............................................ 70 9.4. Korszerű – adatbiztonságra kiépített – adatbázis hardver környezet ......................................... 71 10.1. Összes só-tartalom csillagábra ................................................................................................. 74 10.2. Példaként bemutatott 9.3 diagramjának adatsora – részlet a 24 órás mérés eredményeiből .... 74 10.3. Hőmérséklet – UVA sugárzás pont (felső)- illetve vonaldiagramon (alsó) ............................. 75 10.4. 2010. október 8-9. – Devecseri mérésünk PM10 koncentráció értékei és a határérték .............. 76 10.5. Földhasználat művelési ágak szerint (2010) – KSH adatai szerint ......................................... 76 10.6. Földhasználat művelési ágak szerint – KSH adatai szerint ..................................................... 77 10.7. Földhasználat művelési ágak szerint (2010-külső perec, 2008-belső perec) – KSH adatai szerint 77 10.8. Balaton Pláza – egyidejűleg mért PM10/PM2,5 szálló por frakciók koncentráció értékei .......... 78 10.9. Balaton Pláza – PM2,5 frakció aránya a PM10 koncentrációban ................................................ 79 10.10. Diagram rajzolása .................................................................................................................. 79 11.1. Szennyvízkibocsátók az ipari parkban. .................................................................................... 81 11.2. Osztályközök ........................................................................................................................... 83 11.3. Lorenz görbe. ........................................................................................................................... 85 12.1. Várpalota, Inota, Pétfürdő – NO2 koncentrációk éves átlagértékeinek változása 1979-2008 között 88 12.2. Várpalota, Pétfürdő – SO2 koncentrációk éves átlagértékeinek változása 1979-2008 között .. 89 12.3. Várpalota, Inota, Pétfürdő – Ülepedő por koncentrációk éves átlagértékeinek változása 1979-2008 között ................................................................................................................................................ 90

v Created by XMLmind XSL-FO Converter.

Adatok gyűjtésének és értékelésének módszerei 12.4. Pétfürdő – Ammónia koncentrációk éves átlagértékeinek változása 1979-2006 között .......... 90 13.1. Jelen és jövő ............................................................................................................................. 92

vi Created by XMLmind XSL-FO Converter.

A táblázatok listája 3.1. Megoszlási viszonyszám számítása táblázatkezelő rendszerben ................................................. 7 3.2. Szmogriadók száma 2008-2011 között ........................................................................................ 8 3.3. Osztályközös gyakoriság alaptáblázata ........................................................................................ 9 3.4. Veszprémi légszennyezettség-mérő állomás órás NOx töménység-mérési adatai ..................... 10 3.5. Osztályköz táblázat egyenletes osztályköz esetén ..................................................................... 12 3.6. Kumulált gyakoriság .................................................................................................................. 13 3.7. Felfelé kumulált gyakoriság számítása ...................................................................................... 13 3.8. Lefelé kumulált gyakoriság számítása ....................................................................................... 13 3.9. Relatív kumulált gyakoriság ...................................................................................................... 14 3.10. Mérőcsoportok ......................................................................................................................... 15 3.11. Értékösszegsor számítása. ........................................................................................................ 16 3.12. Kvantilisek. .............................................................................................................................. 16 3.13. Kvantilisek meghatározásához kiindulási adattábla. ............................................................... 17 3.14. Medián számítás alapadatai felfelé kumulált gyakorisággal .................................................... 19 3.15. Medián számítás alapadatai relatív kumulált gyakorisággal .................................................... 20 3.16. Módusz meghatározásának lépései .......................................................................................... 21 3.17. Módusz meghatározása makróval. ........................................................................................... 22 3.18. Terjedelem meghatározása. ..................................................................................................... 25 3.19. Szórás meghatározása. ............................................................................................................ 27 3.20. Súlyozott szórás meghatározása. ............................................................................................. 28 3.21. Relatív szóródás meghatározása. ............................................................................................. 30 3.22. Különbség számításához alapadatok ....................................................................................... 32 3.23. Momentum számítás (berendezés megbízhatósága) ................................................................ 34 4.1. Monitorállomások alap-műszerezettsége ................................................................................... 43 7.1. Hibaszámítási adatok – feladat megoldása ................................................................................ 54 7.2. Egymintás t- próba – feladat megoldása .................................................................................... 55 7.3. A feladat megoldása – 1. rész .................................................................................................... 56 7.4. A feladat megoldása – 2. rész .................................................................................................... 58 7.5. PM10 - párhuzamos mérések eredményei ................................................................................... 61 7.6. PM2,5 - párhuzamos mérések eredményei ................................................................................... 62 7.7. Statisztikai vizsgálatok eredménye ............................................................................................ 64 7.8. Feladat megoldása standardizálással ......................................................................................... 65 10.1. Vizsgált mintavételi helyre jellemző összessó-tartalom jellemző és számított adatsorai ........ 73 11.1. Szennyvízkibocsátók az ipari parkban. .................................................................................... 80 11.2. Előzetes számítások a Gini-együtthatóhoz. ............................................................................ 82 11.3. Osztályközök létrehozása. ...................................................................................................... 83 11.4. Gyakoriságok értékei. .............................................................................................................. 84 11.5. Gyakoriságok számítása. ......................................................................................................... 84 11.6. Érkékösszegsorok. ................................................................................................................... 85 11.7. Értékösszegsorok számítási módja. ......................................................................................... 85 11.8. Gini együtthatóhoz szükséges segédtábla ................................................................................ 86 11.9. Gini együtthatóhoz szükséges segédszámítások. ..................................................................... 86

vii Created by XMLmind XSL-FO Converter.

1. fejezet - Jelmagyarázat és rövidítésjegyzék dB

deciBell, a hangnyomásszint mértékegysége

WGS84

A GPS által használt vonatkoztatási rendszer

GPS

global positioning system (globális helymeghatározó rendszer)

EOV

egységes országos vetület

b

kiindulási (bázis) érték jelölése

bi

bázis-viszonyszám értéke az i. adatra

y

statisztikai adat illetve egyed (elemi információegység)

yi

az i. adat

li

lánc-viszonyszám értéke az i. adatra

Vm

megoszlási viszonyszám

n

elemek száma

Vi

intenzitási viszonyszám

fi

abszolút gyakoriság

gi

relatív gyakoriság

xi

osztályközép értéke

Yi0

az i. osztályköz alsó határértéke

Yi1

az i. osztályköz felső határértéke

hi

hosszúsága

k

osztályközök száma abszolút kumulált gyakoriság relatív kumulált gyakoriság

1 Created by XMLmind XSL-FO Converter.

2. fejezet - Bevezetés MIÉRT FONTOS AZ ADATKEZELÉS? Jelen jegyzet a leendő fenntartható fejlődés szakértő hallgatók számára a szükséges részletességig ismerteti az adatgyűjtés és –értékelés matematikai hátterére, ugyanakkor a fenntartható fejlődés témaköréből választja a példákat, és azokon keresztül mutatja be adatok felhasználásának módját és lehetőségeit. A környezetvédelmi elemzések során rendszerint hatalmas mennyiségű – jellemzően – számadat keletkezik. Az emberi agy felépítéséből következően inkább analitikus, elemző munkára képes, mint manuális, monoton számítások elvégzésére. e összhangot kell találni az emberi gondolkodás és a gépi számítások között. Ebben szintén segítséget nyújt e könyv, bemutatva mit lehet a gépre bízni és mi az amit emberi elmére. A jegyzet elektronikus tanulásra készült és feltételezi, hogy megfelelő számítógépes alapismeretekkel rendelkezik a felhasználó a példák LibreOffice (régebben OpenOffice) Calc vagy Microsoft Office Excel szoftveren történő gyakorlására. Az anyag megértéséhez – mivel bármilyen felsőfokú végzettséggel rendelkező hallgató számára érthető kíván maradni – csak alapvető matematikai ismeretekkel kell rendelkezni. Éppen ezért az anyag egy része a mérnök és gazdálkodás szakon végzettek számára már ismert lehet, de a példák környezetvédelmi vonatkozásai miatt nekik is célszerű átolvasni e részeket. A digitális technológia kiszélesíti a tanulási lehetőségeket, és egyben meg is változtatja a tanítási módszereket. Az elektronikus tananyagoknak mindenekelőtt felhasználóbarátnak kell lenniük, hiszen ha nem élvezetes a velük való foglalkozás az elveheti a hallgatók kedvét a tanulástól, az adott témától, anyagrésztől. Az anyagból meg fogjuk ismerni az adatokkal való dolgozás buktatóit és hogyan vehetjük észre e csapdákat. Megismerjük, hogyan lehet ugyanabból a hiteles mérési adatsorból kiindulva „bizonyítani”, hogy a légszennyezés egy településen 50%-kal nőtt és azt is, hogy 30%-kal csökkent; és azt is hogyan lehet az ilyen típusú adatfeldolgozásokat felismerni.


3. fejezet - Nagy mennyiségű adatok feldolgozásának statisztikai alapjai A világunkat a számok mozgatják. Mégis egyre többen vannak, akik idegenkednek a számok világától és nem értik vagy nem akarják érteni azok jelentését. A természet és a világgazdaság folyamatainak megértéséhez elengedhetetlenül szükséges a számok elemzésének ismerete, a statisztika. E fejezet célja, hogy közérthetően, példákkal szemléltetve megismertesse az olvasóját a statisztika alapjaival. Nem célja, hogy statisztikusokat képezzen, ezért csak szemezget a mindennapi életben leggyakrabban előforduló ismeretekből. Ezen ismeretekkel könnyebben kivédhetjük azt a – sajnos – egyre gyakoribb tapasztalatot, hogy mind több és több gazdasági és politikai szereplő kihasználja az emberek statisztikai hiányosságait. Ez legtöbbször abban nyilvánul meg, hogy olyan összefüggéseket hitetnek el velünk, amilyeneket – ha nem a számok nyelvén mondanák – senki nem hinne el.

1. Alapfogalmak Mi is a statisztika? A következő két megfogalmazás két híres magyartól származik: • Lukács Ottó: „Tapasztalati adatokból (mintákból) következtetni az egész sokaság valószínűségeire, eloszlásés sűrűségfüggvényeire, azok paramétereire.” • Besenyei Lajos: „A valóság tényeinek tömegét tömören, a számok nyelvén jellemző tudományos módszertan illetve gyakorlati tevékenység.” Mindkét állítás jól leírja a lényeget, de Besenyei megfogalmazása közelebb áll a környezetvédelemmel, a fenntartható jövővel foglalkozó szakemberek munkájához. Az adatokkal való munka során célunk a valóság folyamatainak elemzése, amit legtöbbször a jövőre vonatkozó becslések követnek. Ahhoz, hogy megértsük, a statisztika alapjait néhány fogalmat tisztázni kell: • Sokaság (populáció): A vizsgálat (megfigyelés) tárgyát alkotó egyedek összessége. Napjainkban egyre többször azonosítjuk az adat megnevezéssel. Ezen irányzat a számítástechnika előretörésével egyre inkább terjed. • Megfigyelési egység: amelyre/akire a megfigyelés irányul • Számbavételi egység: amely/aki információt szolgáltat a megfigyelési egységre vonatkozóan

1.1. Sokaság Az adatokkal való munka egyik kulcslépése, hogy képesek legyünk besorolni az adatunkat a megfelelő sokasági kategóriákba. E kategóriák a következő képen oszthatóak fel: • Vonatkozás szerint • Időpontra: Egy jól meghatározható időpontra (tegnap, tavaly, 1974.09.01-én, stb). • Időtartamra: Két időpont között (hétfőtől péntekig, 1974-2000-ig). De például tavaly január 1-től december 31-ig szintén időtartam, bár megegyezik az időpontban példaként felsorolt „tavaly” fogalommal. A különbség: itt a 365 darab napot értjük rajta, míg az időpontnál a teljes évet, mint „év” vesszük figyelembe. • Érték szerint • Diszkrét: Ide tartoznak, azok az adatok, amelyek már nem változnak meg az idő előrehaladtával. Időpontra és időtartamra is vonatkozhat. Például a települések száma egy adott időpontban vagy a tavalyi évben (időtartam) bejelentett szmog-riadók száma egy településen. • Folytonos: Ezen adatoknál csak az adott pillanatig bekövetkezett eseményeket tudjuk számszerűsíteni, amely akár már a következő időpillanatban megváltozhat. Vonatkozhat időpontra és időtartamra is. Például: szmogos napok száma idén (időtartam) vagy jelenleg belvízzel borított területek mérete (időpont). 3 Created by XMLmind XSL-FO Converter.

Nagy mennyiségű adatok feldolgozásának statisztikai alapjai • Típusra: • Álló (állomány): Ebben az esetben a sokaság egy darab jó meghatározható értékből áll, ami önmagában is értelmezhető. Csak időpontra vonatkozhat. Például a talaj-közeli ózon napi átlagos töménysége tegnap (időtartam esetén) vagy talaj-közeli ózon jelenlegi átlagos töménysége (időpont esetén). • Mozgó (áramlás): E típus esetén egy adattömeggel dolgozunk, amely azonos jelenségnek írja le az időbeni változását. Csak időtartamra vonatkozhat. Például a talaj-közeli ózon óránkénti átlagos töménysége (időtartam). A sokasági kategóriába történő besorolást nagy mértékben segíti ha pontosan utánajárunk az adatok forrásának és jelentésének. E megállapítás bár köznapinak tűnik, nem szabad könnyelműen kezelni: nagyon sokszor még a gyakorlott tudósok is gondban vannak egy adat jelentésének megállapításánál. Ennek oka, hogy számos adatközlő nem tájékoztat arról, hogy pontosan mit is takar az adott adat (hogyan mérték, milyen pontosságú a műszer, stb.).

1.2. Ismérv (attribútum) Az ismérv a sokaság egységeit jellemző tulajdonság vagy az adott szempont szerint lehetséges tulajdonságok halmaza. Gyakorlatilag olyan szempontok, amelyek alapján a sokaság egymást át nem fedő részekre bontható. Az egyes ismérvkategóriákra adható válaszok az ismérvváltozatok, amelyek lehetnek megszámlálhatóak (például a kémhatás csak savas, lúgos vagy semleges lehet, de a NOX töménység értéke – majdnem – bármilyen nagy szám lehet és csak a mérés pontosság határozza meg, hogy hány változata fordulhat elő). Azoknál az ismérvváltozatoknál, ahol csak két változat van, alternatív ismérvnek is hívjuk. A mennyiségi ismérvek ismérvváltozatait ismérvértéknek is nevezhetőek. Az ismérveket több féle képen csoportosíthatjuk. Fő csoportosítás alapján lehet • közös (a sokaság minden tagjára igazak) vagy • megkülönböztető (az egyedek vagy azok egy csoportja elkülöníthető). Ezen kívül jellemzőjük alapján négy csoportba soroljuk az ismérveket: • Tárgyi ismérvek • Minőségi ismérv: A sokaság számszakilag, időponttal vagy térbeli adattal ki nem fejezhető (jellemzően azonosításukat szolgáló) ismérvei. Ilyen ismérv például a légszennyező anyag, ismérvváltozatai az NOX, O3, CO2, stb.para> • Mennyiségi: A sokaság számokkal kifejezhető (mérhető) egyedei. A statisztika ezen ismérvekkel foglalkozik a leggyakrabban. Ilyen ismérv például a föld-közeli ózon töménysége. • Időbeli ismérv: A sokaság adott elemének időpontját tároló érték. Értéke lehet egy pontos időpont, de lehet időtartam is. Például a mérés ideje (időpont) vagy a mérés időtartama. • Területi ismérv: A sokaság adott elemének földrajzi rögzítésére szolgáló ismérv. Lehet számszerűsített (például a mérés GPS koordinátája), közismert nevekhez kötött (például Veszprém) vagy viszonylagos (például „a második emeleten”).

1.3. Mérés Mérésnek az egységek számokkal való jellemzését értjük. A környezetvédelemben négy mérési skálát (szintet) használunk. • Nominális (névleges) mérési skála: Az egységekhez rendelt számértékek egyező vagy különböző voltát engedi meg. Például: • Két talajminta higany töménysége azonos-e vagy sem. (Figyeljük meg a példát: az információból nem tudjuk magasabb-e, vagy alacsonyabb a higany töménysége, sem egyéb ismeretet.)


Nagy mennyiségű adatok feldolgozásának statisztikai alapjai • Van-e higany a talajban vagy nincs. • Ordinális (sorrendi) mérési skála: Az egységek a tulajdonságok szerint rangsorba állíthatók. (Tudunk nagysági különbséget tenni közöttük. Tudjuk, hogy nagyobb, kisebb, de a mértékét nem.). Például: • A talajminta higanytartalma alapján milyen szennyezettség-osztályba tartozik. (De nem tudjuk – vagy nem érdekes – az osztályok közötti pontos koncentráció-különbség.) • A mérési adatok higanytartalom szerinti sorrendje. Ez esetben nem ismert az adatok közötti távolság. • Intervallum mérési skála: A rangsorba rendezett tulajdonságokat egyenlő közök választják el, de nem tudjuk a kezdőértéket. Figyeljünk rá, hogy a „0” is köznek számít! Például: • A minta a 0-10 μg/kg, 10-20 μg/kg közötti higany töménységű talajok csoportjába tartozik-e? (De nem mondhatjuk, hogy a 20 μg/kg töménységű talaj kétszer szennyezettebb, mint a 10 μg/kg-os, mivel nem tudjuk mennyi a „tiszta” talaj higanytartalma.) • Arányskála: A kezdőpont egyértelműen adott és rögzített, s így a skálaértékek egymáshoz való aránya is meghatározható. Ezen skálába tartozó adatok valók teljes elemzési műveletek elvégzésére. Példa: • Tudjuk, hogy mennyi a talaj általános higany koncentrációja. Fontos, hogy a besorolásoknál nem az számít, hogy mi az adat tényleges információtartalma, hanem, hogy milyen információ érdekes számunkra. Például egy éjszakai szórakozóhely hangnyomásszintjének („zajosságának”) felmérése során percenként rögzítjük öt ponton, egy-egy órán keresztül a hangnyomásszinteket. Ez az adatsor nominális skálának számít, ha csak arra vagyunk kíváncsiak, hogy átlépte-e a megengedett hangnyomásszintet a létesítmény, vagy sem. Ugyan ez az adatsor ordinális skálának minősül, ha arra vagyunk kíváncsiak, hogy a hangnyomásszint milyen súlyos a zajszennyezés (nincs büntetés, pénzbüntetés, bezárás). Végül lehet intervallum vagy arányskála is, ha a mérési adatokat 10 dB-ként csoportosítjuk és tudjuk a hallásküszöb értékét is.

1.4. Statisztikai sor A sokaság egységeinek bizonyos ismérvek szerinti csoportosítása, rendezése.

3.1. ábra - Statisztikai sorok fajtái (vastagon kiemelve a leggyakoribb előfordulás)

A benne szereplő adatok összegezhetősége szerint lehet: • Csoportosító statisztikai sor: adatai összegezhetők, számszakilag értelmezhetők (például árvízzel borított területek összes felülete). • Összehasonlító sor: adatai nem összegezhetők, számszakilag értelmetlen (például a minta színe) 5 Created by XMLmind XSL-FO Converter.

Nagy mennyiségű adatok feldolgozásának statisztikai alapjai A sorban szereplő adatok fajtái szerint: • idősor: időbeli ismérv alapján csoportosítva az adatokat • állapot idősor: Adatai számszakilag nem összegezhetők, egy adott időpontra vonatkoznak (például a mérés időpontja 2011.12.20. 08:15). • tartam idősor: Adatai számszakilag összegezhetőek (de nem felétlenül értelmesek is az összegzés után!), adatai időtartamra vonatkoznak (például az egymás követő mérések időtartama). • minőségi sor: Az adatoknak minőségi ismérv szerinti rendezése (például a minta szaga). • mennyiségi sor: Az adatoknak mennyiségi ismérv szerinti rendezése (például a hangnyomásszint mért értéke). • területi sor: Az adatok területi hovatartozást jelentenek. • nevesített területi sor: A területi adatok nem számszerűsített formában állnak rendelkezésre. Ilyen adat például: „a mérés a gyárkapu előtt történt”. • geokódolt területi sor: A területi adatok számszerűsített (geokódolt) formában állnak rendelkezésre, amelyekkel térbeli műveletek végezhetőek (például vektorműveletek). Ilyen adat jellemzően WGS84 („GPS”) vagy EOV koordináta. • leíró sor: Ebbe a kategóriába azok a sorok tartoznak, ahol egy mérés különböző tulajdonságát soroljuk fel. Jellemzően ezek az adatok a „megjegyzés” rovatban szoktak feltüntetésre kerülni egy mérés során.

2. Viszonyszámok Amikor két adatot vagy adatcsoportot szeretnénk összehasonlítani, akkor két vizsgált érték hányadosát statisztikai viszonyszámnak nevezzük. Az általunk érintett témakörben három viszonyszámot használunk nagy gyakorisággal: • Összehasonlító sorból: összehasonlítási viszonyszám (dinamikus, területi) • Csoportosító sorból: megoszlási viszonyszám • Leíró sorból: intenzitási viszonyszám számítható.

2.1. Dinamikus viszonyszám Két időszak adatának hányadosa. Csak idősorokból lehet számítani, a számított eredmény az idősor két adatának egymáshoz való aránya. A két adatot tárgy időszaknak (időben a vizsgálat céljához közelebbi adat) és bázis időszaknak (időben a vizsgálat céljától távolabbi adat) Ha több időszakunk van (például egy év napi átlagos hőmérséklet adatai), akkor az viszonyíthatjuk egymáshoz (láncviszonyszám), vagy az időben első adathoz, amit bázisnak nevezünk (bázisviszonyszám). Számításuk a következő: • Bázis-viszonyszám: bi = yi / yb • Láncviszonyszám: li = yi / yi-1 A két viszonyszám egymásból is számítható a következő képletekkel: Bázisviszonyszámból láncviszonyszám:

Láncviszonyszámból bázisviszonyszám:


Nagy mennyiségű adatok feldolgozásának statisztikai alapjai

2.2. Megoszlási viszonyszám Egy adott sokaságból egy kiválasztott tartomány része. Értéke megmutatja, hogy a sokaságban milyen súllyal találhatók az adott csoport tagjai. Ezt a viszonyszámot használjuk leggyakrabban, ha valamilyen esemény előfordulásának gyakoriságára vagyunk kíváncsiak. Számítása:

vagy

Számítása táblázatkezelő rendszerben:

3.1. táblázat - Megoszlási viszonyszám számítása táblázatkezelő rendszerben A

B

1

Minta azonosítója

Szennyezett?

2

AD231

igen

3

AB322

nem

4

AS231

nem

5

AB343

nem

6

AA231

igen

7

Megoszlási viszonyszám szennyezett mintára:

a KÉPLET*

*ahol a képlet helyére a következőt kell írni, MS Office és LibreOffice esetében egyaránt: =DARABTELI(B2:B6;"igen")/DARAB2(B2:B6)

2.3. Intenzitási viszonyszám Egy adott sokaság egészéből (pl. városok) egy másik sokaság egészére (pl. lakosság) mennyi jut. Célja, hogy meghatározhatjuk a sokaság egyedeit érő átlagos terhelést vagy megoszlást. (Ne keverjük össze a MEGOSZLÁSSAL!) Számítása:

vagy

A számítás során az osztóban szereplő adatot a statisztikai gyakorlat – a könnyebb kezelhetőség érdekében - sok esetben nagyobb egységként veszi figyelembe. Például a második számítási minta esetében sokkal gyakoribb,


Nagy mennyiségű adatok feldolgozásának statisztikai alapjai hogy az osztó nem fő, hanem ezer fő. Ezzel egynél nagyobb számot tudunk kapni, amit könnyebben értelmezünk.

2.4. Számításértelmezési feladat Egy vizsgáljuk meg, hogyan alakul a szmog-riadót hirdetett napok száma egy településen. Az adatok a következőek:

3.2. táblázat - Szmogriadók száma 2008-2011 között Év

Szmog-riadók száma (nap)

2008

3

2009

6

2010

8

2011

5

Számítsuk ki a 2008-hoz, mint bázisévhez viszonyítva 2011 viszonyszámát:

Számítsuk ki 2011 láncviszonyszámát 2010-es évhez képest:

Mit olvashatunk ki a számokból? Ha 2011-et vizsgáljuk, akkor írhatunk egy újságcikket, amiben megállapíthatjuk – és számszakilag bizonyíthatjuk is –, hogy a szmog-riadós napok száma több mint másfélszeresére nőtt (bázisviszonyszám) de írhatunk olyat is, hogy a szmog-riadós napok száma több mint harmadával csökkent (láncviszonyszám). Ezen egyszerű példa is jól megvilágítja, hogy a statisztika kétélű tudományos módszer, amellyel szándékosan vissza lehet élni, de tudatlanságunkból fakadóan akaratlanul is félrevezethetjük magunkat és másokat. Ahhoz, hogy az ilyen félreértelmezéseket elkerüljük: • Mindig tisztába kell lennünk az adatok forrásával: sok vizsgálat esetében attól függően, hogy milyen szabvány, milyen metódus szerint végezzük a mérést máshogy és máshogy értelmezendő adatokat kapunk. Kiemelten igaz ez a nagy léptékű társadalmi és gazdasági események mérésére, ahol nem homogén és nagyon nagy méretű a minta, ezért csak (reprezentatív) mintavétellel lehet mérni. • Lehetőleg az adatoknak a környezetét is ismerjük meg. Mint azt előző példafeladat alapján is látjuk, ha csak két adatot ismerünk, akkor nagyon könnyen belefuthatunk a folyamat egészére nem jellemző rendellenességbe, mérési hibába, váratlan eseménybe. • Értelmezzük az eredményt! Például ha csak annyit olvasunk, hogy a viszonyszám nézzük meg lánc- vagy bázisviszonyszám-e. Ha az olvassuk „arány”, akkor nézzük meg minek is az aránya? Egyáltalán összehasonlítható a két adat? Mialatt ezeket a kérdéseket feltesszük magunkban és megkeressük rá a választ az esetek döntő hányadában megbizonyosodhatunk arról, hogy megfelelően feldolgozott adattal van-e dolgunk.

3. Eloszlás-elemzés A környezetvédelemben és általában a természettudományokban nagy szerep jut az empirikus eloszlásoknak. Amely a megfigyelések (kísérletek) eredményeként kapott adatok eloszlását jelenti. Amikor nem – csak – valós


Nagy mennyiségű adatok feldolgozásának statisztikai alapjai megfigyelések eredményeiről van szó, azt elméleti elosztásnak nevezzük és a valószínűség-számítás tárgykörébe tartozik. Az eloszlás elemzés legfontosabb eszközei a következők: • Gyakorisági sorok • Kvantilisek • Középértékek • Szóródás

3.1. Gyakorisági sorok Valamely sokaságnak egy mennyiségi ismérv szerinti csoportosítása. Segítségével különösen a nagy mennyiségű adatok kezelésénél tudjuk könnyebben áttekinteni sokaságot. Célja, hogy a sokaság összetételéről kapjunk áttekintést. Leggyakrabban osztályközös gyakoriság formájában használjuk. Az osztályközös gyakoriság alapvetése a következő: Vegyünk egy Y ismérv valamely N számú egységéhez tartozó Y1,Y2,…Yn változatait (ezek lehetnek számszerűek és nem számszerűek is). Legyen az Y ismérv különbség- vagy arányskálán mért számérték Az Y neve változó, az Y i-ket pedig (ismérv)értékeknek nevezzük. Rendezzük sorba monoton nem csökkenő módon. Ezt nevezzük rangsornak. Nagy N esetén osztópontok kijelölésével a rangsort feldaraboljuk, ezek a részek az osztályközök. Osztályközökkel szembeni fontos követelmény, hogy azok nem fedik át egymást és az osztályközök összessége lefedi a teljes sokaságot.

3.3. táblázat - Osztályközös gyakoriság alaptáblázata Az Y szerint képzett osztály

alsó

Osztályközép

Abszolút

Relatív

fi

gi

felső

xi

gyakoriság

Y10

Y11

x1

f1

g1

Y20

Y21

x2

f2

g2

:

:

:

:

:

Yi0

Yi1

xi

fi

gi

:

:

:

:

:

Yk0

Yk1

xk

fk

gk

N

1 (100%)

határa

Összesen Az osztályközös gyakoriság esetében használt fogalmak a következőek:

• Az abszolút gyakoriság (jele: fi) megadja, hogy az adott osztályba hány darab egység tartozik sokaságból. • A relatív gyakoriság (jele: gi) megadja, hogy az adott osztályba tartozó elemek milyen súllyal szerepelnek a sokaságban. Számítása: gi=fi / N; • Az osztályközép értéke kifejezi az adott osztályköz középértékét. Számítása: xi=1/2 × (yi0 + yi1); • Az osztályköz hosszúság értéke az adott osztályköz két határértékének távolsága. Számítása: hii=yi1-yi0; 9 Created by XMLmind XSL-FO Converter.

Nagy mennyiségű adatok feldolgozásának statisztikai alapjai Első kérdés, amit el kell dönteni, hogy hány osztályközt alkossunk? A legjobb megoldás, ha az adatok ismeretében magunk határozzunk meg a szükséges osztályközök számát, de ez általában nem lehetséges. Ezért a (amiből

)

képlettel határozzuk meg a közelítő osztályköz-számot, amit szükség esetén kézzel korrigálunk. Ha egyenletes osztályközöket akarunk képezni, akkor az osztályköz hossza:

Ha egyenetlen az adatok megoszlása, akkor egyenlőtlen közöket alkalmazunk:

ahol sz – az ismérvérték utolsó fontos számjegyének helyértéke.

3.1.1. Osztályközös gyakoriság számításának lépései Y legyen a veszprémi légszennyezettség-mérő állomás órás NOx töménység-mérési adatai a tegnapi napra. (N = 24; Y1 jelentse az 1. óra átlagát, Y2 jelentse a 2. óra átlagát, stb.)

3.4. táblázat - Veszprémi légszennyezettség-mérő állomás órás NOx töménység-mérési adatai Időpont

Ismérv

Érték

Rangsort Rangsor

0-1

Y1

40

készítünk 35

1-2

Y2

45

2-3

Y3

43

36

3-4

Y4

36

38

4-5

Y5

39

39

5-6

Y6

46

39

6-7

Y7

51

40

7-8

Y8

57

43

8-9

Y9

93

43

9-10

Y10

98

45

10-11

Y11

67

45

11-12

Y12

56

45

12-13

Y13

45

46

13-14

Y14

56

51


→

36


14-15

Y15

35

54

15-16

Y16

76

56

16-17

Y17

89

56

17-18

Y18

92

57

18-19

Y19

54

67

19-20

Y20

45

76

20-21

Y21

43

89

21-22

Y22

38

92

22-23

Y23

39

93

23-24

Y24

36

98

Osztályközök száma: Számítása táblázatkezelő rendszerben: A kiválasztott adatsort nagyság szerint kell rendezni. Ezt a feladatot MS Office esetén az adatok kijelölése után a következő gombbal tudjuk megtenni:

3.2. ábra - Adatok rendezésének gombja MS Excelben

Ugyanezt a feladatot a LibreOffice-ban az adatok kijelölése után a következő gombbal tudjuk megtenni:

3.3. ábra - Adatok rendezésének gombja LibreOfficeban



Egyenletes osztályköz esetén: Az osztályköz táblázat a következő képen néz ki egyenletes osztályköz esetén:

3.5. táblázat - Osztályköz táblázat egyenletes osztályköz esetén Yi0

Yi1

Xi

fi

35

47

41

13 ~0,54

48

60

54

5 ~0,21

61

73

67

1 ~0,04

74

86

80

1 ~0,04

87

99

93

4 ~0,17 24

gi

1

3.1.2. Kumulálás (halmozott összeadás) A kumulálás célja, hogy meghatározzuk hány darab adatunk (mintánk) értéke 1. kisebb vagy egyenlő (felfelé kumulált gyakoriság) illetve 2. nagyobb vagy egyenlő (lefelé kumulált gyakoriság) mint a vizsgált osztályköz. A kumulált gyakoriság jele: fi'; A kumulált gyakoriságot lehet abszolút gyakoriságból és relatív gyakoriságból is számolni. A kumulált gyakoriság igen gyakran használt mérőszám, ha arra vagyunk kíváncsiak, hogy a mérések közül hány darab lépte át az adott vizsgálathoz tartozó környezetvédelmi határértéket (vagy éppen maradt alatta). A kumulálás menete a következő:

Felfelé kumulálás esetén: azaz ahhoz, hogy az abszolút felfelé kumulált gyakoriság értékét megkapjuk minden sorban összeadjuk az adott sor és a megelőző sorok abszolút gyakorisági (fi) értékeit.

Lefelé kumulálás esetén: azaz ahhoz, hogy az abszolút lefelé kumulált gyakoriság értékét megkapjuk minden sorban összeadjuk az adott sor és a megelőző sorok abszolút gyakorisági (fi) értékeit, majd a kapott értéket kivonjuk a mintaszámból (n). Példa: Kumulált gyakoriság 12 Created by XMLmind XSL-FO Converter.

Nagy mennyiségű adatok feldolgozásának statisztikai alapjai A veszprémi légszennyezettség-mérő állomás órás NOX töménység-mérési adatait alapként használva (lásd: Osztályközös gyakoriság számításának lépései) a következő eredményt kapunk:

3.6. táblázat - Kumulált gyakoriság Yi0

Yi1

Xi

fi

felfelé kumulált gyakoriság (f'i)

lefelé kumulált gyakoriság (f' i)

35

47

41

13

13

24

48

60

54

5

13+5=18

24-13=11

61

73

67

1

13+5+1=19

24-13-5=6

74

86

80

1

13+5+1+1=20*

24-13-5-1=5**

87

99

93

4

13+5+1+1+4=24 24-13-5-1-1=4

A felfelé kumulált gyakoriság számítása mind MS Excel mind LibreOffice táblázatkezelő rendszerben a következő:

3.7. táblázat - Felfelé kumulált gyakoriság számítása A

B

C D

E

1

Yi0

Yi1

Xi fi

felfelé kumulált gyakoriság (f’i)

2

35

47

41 13 =SZUM($D$2:D2)

3

48

60

54 5 =SZUM($D$2:D3)

4

61

73

67 1 =SZUM($D$2:D4)

5

74

86

80 1 =SZUM($D$2:D5)

6

87

99

93 4 =SZUM($D$2:D6)

Megjegyzés: Elég az E2 cellába megírni a képletet, utána le lehet húzni az összes többi cellába. A lefelé kumulált gyakoriság számítása mind MS Excel mind LibreOffice táblázatkezelő rendszerben a következő:

3.8. táblázat - Lefelé kumulált gyakoriság számítása A

B

1

Yi0

Yi1

Xi fi felfelé kumulált gyakoriság (f’i)

2

35

47

41 13


C D

E

=SZUM($D$2:D6)


3

48

60

54 5

=SZUM($D$2:$D$6)SZUM($D$2:D2)

4

61

73

67 1


5

74

86

80 1


6

87

99

93 4


Megjegyzés: Elég az E2 és az E3 cellába megírni a képletet, utána az utóbbit le lehet húzni az összes többi cellába. Példa: Relatív kumulált gyakoriság A veszprémi légszennyezettség-mérő állomás órás NOx töménység-mérési adatait alapként használva (lásd: Osztályközös gyakoriság számításának lépései) a következő eredményt kapunk:

3.9. táblázat - Relatív kumulált gyakoriság felfelé kumulált lefelé kumulált relatív gyakoriság relatív gyakoriság (g’i) (g’i)

Yi0

Yi1

Xi

gi

35

47

41

~0,54

0,54

1,00

48

60

54

~0,21

0,54+0,21=0,75

1,00-0,54=0,46

61

73

67

~0,04 0,54+0,21+0,04=0, 79

74

86

80

~0,04 0,54+0,21+0,04+0, 1,00-0,54-0,2104=0,83 0,04=0,21

87

99

93

~0,17 0,54+0,21+0,04+0, 1,00-0,54-0,2104+0,17=1,00 0,04-0,04=0,17

3.4. ábra - A kumulált gyakoriság ábrázolása


1,00-0,540,21=0,25


Táblázatkezelő rendszerekben történő számítása megegyezik a kumulált gyakoriság (f’i) számításával.

3.1.3. Értékösszegsor Az osztályközökhöz az azokba tartozó egységek ismérvértékeinek szorzatát rendeli. A mennyiségi ismérv értékeinek egyes osztályokon (osztályközökön) belüli összegeit értékösszegnek nevezzük.

Az értékösszeg gyakorlatilag az osztályköz ismérvvel súlyozott értékét adja meg. Ez önmagában is hasznos lehet, de az értékösszegsor környezetvédelemben leggyakrabban használt formája a relatív értékösszegsor (Z i). Ebben az esetben az értékösszegeket a teljes értékösszegsorral arányosítjuk, így arányszám formájában kapjuk meg a súlyozások értékét:

Példa: Egy terepi mérés során 1; 3 és 5 fős mérőcsoportokat küldtek ki. A csoportok száma rendre 3; 11 és 4 darab volt. Melyik létszámú mérőcsoportban mekkora összlétszám dolgozott? Mi volt a csoportokban dolgozók egymáshoz viszonyított aránya? Melyik a legnagyobb súlyú csoport?

3.10. táblázat - Mérőcsoportok



Mérőcsoport létszáma

Csoportok száma

(fő) Xi

(db) fi

Mérésben résztvevők száma

Relatív értékösszegsor Zi

(fő) si 1

3

1*3=3

3/56=0,054

3

11

3*11=33

33/56=0,589

5

4

5*4=20

20/56=0,357

Összesen

18 db

56 fő

~1

A fenti feladatot mind MS Excel mind LibreOffice táblázatkezelő rendszerben a következő módon oldhatjuk meg:

3.11. táblázat - Értékösszegsor számítása.

1

A

B

C

D

Mérőcsoport létszáma

Csoportok száma

Mérésben résztvevők száma

Relatív értékösszegsor

(fő) si

Zi

(db) fi (fő) Xi 2

1

3

=A2*B2

=C2/$C$5

3

3

11

=A3*B3

=C3/$C$5

4

5

4

=A4*B4

=C4/$C$5

5

Összesen

18 db

=SZUM(C2:C4)

1

A példa kérdésére a válasz: A legnagyobb súlyú csoport (58,9%-os részesedéssel) a három mérőszemélyből álló mérőcsoport.

3.2. Kvantilisek A kvantiliseknek nagyon jelentős szerepük van a környezetvédelmi gyakorlatban. A kvantilisek módszere az egyenlő gyakoriságú osztályközök képzése, amely az értékek elhelyezkedéséről gyors tájékoztatást ad. Típusait az osztályközök száma alapján határozzuk meg. Ezek közül többet a gyakori használat miatt nevesítve, egyedi jelöléssel is használunk:

3.12. táblázat - Kvantilisek. Osztályközök száma (k)

Elnevezés

Jelölés

Lehetséges kvantilisek

2

Medián

Me

Me

4

Kvartilis

Qi

Q1, Q2, Q3

5

Kvintilis

Ki

K1,K2,K3,K4

10

Decilis

Di

D1,D2,..,D9



Osztályközök száma (k)

Elnevezés

Jelölés


100

Percentilis

Pi

P1,P2,..,P99

A kvantilis meghatározása a következő: Az

(i. k-ad rendű kvantilis szám az a szám, amelynél az összes

előforduló ismérvérték -ad része kisebb, -ad része nagyobb ( és i=1,2,…,k-1). Az hányadost pvel jelöljük,míg a Yp kvantilis neve p-ed rendű kvantilis. A kvantilis értékek nem feltétlenül léteztek a sorban korábban, ebben az esetben a kvantilis értékei innentől beletartoznak a sorba. A számítás menete a következő: 1) Első lépésben meg kell határoznunk a kvantilis osztópontját (sorszámát).

Az osztópontok száma gyakorlatilag az osztályközök számánál eggyel kisebb, azaz a medián esetén 1, kvartilis esetén 3. Ennek oka, hogy ezek a pontok határozzák meg az osztályközök töréspontjait. Fontos kiemelni, hogy ezek nem valóságos sorszámok (ezért is hívjuk őket osztópontoknak), hanem csak segédértékek. Így nem okoz gondot, hogy az esetek nagy részében ezek értéke nem egész szám. Példa: Az „Osztályközös gyakoriság számításának lépései” fejezetnél megismert példában szereplő 24 minta esetén a kvartilis osztópontok számítása a következő:

2) Ha meghatároztuk az osztópontok értékeit, akkor ki kell számolni, hogy ezek az osztópontok milyen konkrét értékekhez tartoznak, azaz mekkorák a kvantilis értékei:

Ezek az értékek az esetek többségében nem voltak meg az eredeti értéksorban, de kiszámításuk után már részei lesznek (azaz megnövelik a sor darabszámát). Példa: Az „Osztályközös gyakoriság számításának lépései” fejezetnél megismert példában szereplő adatokból az előbb kiszámolt három kvartilis osztópont adatait felhasználva az osztópontok értékei a következők: Az eredeti adattábla a következő:

3.13. táblázat - Kvantilisek meghatározásához kiindulási adattábla. i

Yi

i

Yi

i

Yi

1

35

9

43

17

56

2

36

10

45

18

57

3

36

11

45

19

67



i

Yi

i

Yi

i

Yi

4

38

12

45

20

76

5

39

13

46

21

89

6

39

14

51

22

92

7

40

15

54

23

93

8

43

16

56

24

98

Az osztópontok a következőek:

Ebből a kvantilisek:

Jelentése: Mivel kvantilisről, azaz négy felé osztásról van szó, így a három kvantilis rendre -e, -e és -e a teljes sornak. Így a Q1 esetében a minták 25%-a kisebb koncentrációjú, mint 39,25. (Azaz 75%-nak nagyobb a koncentrációja ennél.)

Jelentése: A minták 50%-a kisebb koncentrációjú, mint 45,50. (Azaz 50%-nak nagyobb a koncentrációja ennél.)

Jelentése: A minták 75%-a kisebb koncentrációjú, mint 64,50. (Azaz 25%-nak nagyobb a koncentrációja ennél.)

3.3. Középérték A környezetvédelmi adatok elemzése során sokszor kerülünk olyan probléma elé, hogy meg kell határozni egy adatsor középértékét. Ez számtalan esetben nem a matematikai átlagértéket jelenti, hanem valamilyen szempont szerinti középpontot. A leggyakrabban használt középértékek a következőek: Helyzeti középértékek: • Medián (Me) • Módusz (Mo) Átlagok (súlyozott és súlyozatlan, a súlyok gyakran a relatív gyakoriságok): • Számtani átlag ( vagy

)

• Mértani (geometriai) átlag (

vagy

• Harmonikus átlag (

)

• Négyzetes átlag (

vagy vagy

)

;)

3.3.1. Medián (Me)


Nagy mennyiségű adatok feldolgozásának statisztikai alapjai Az az ismérvérték, amelynél az összes ismérvérték fele kisebb, fele pedig nagyobb. Ez gyakorlatilag a klasszikus középérték, azaz amikor a számok súlypontját keressük. Több féle módon is számíthatjuk. Lehetőség van rangsor, kumulált gyakoriság és osztályközös gyakoriság alapján történő meghatározására. Ha a számítás a rangsor alapján történik, különböző módon, attól függően, hogy a rangsorban lévő adatok darabszáma páratlan vagy páros:

Példa: Az „Osztályközös gyakoriság számításának lépései” fejezetnél megismert példában szereplő adatokból (24 darab adat) számítva:

; Azaz az adatok pont fele kisebb (illetve nagyobb), mint 45,5. Ha a számítás a kumulált gyakoriság ismerete esetén történik, akkor a következő képletet használjuk:

Ahol:

me: :

: h:

mediánt magába foglaló osztályköz alsó határa

mediánt megelőző osztályköz kumulált gyakorisága medián osztályközének kumulált gyakorisága medián osztályközének hossza

Példa: A „Kumulálás (halmozott összeadás)” fejezetnél megismert példában szereplő adatokból számítva:

3.14. táblázat - Medián számítás alapadatai felfelé kumulált gyakorisággal Yi0

Yi1

Xi

fi

felfelé kumulált gyakoriság (f’i)

35

47

41

13

13

48

60

54

5

13+5=18

61

73

67

1

13+5+1=19

74

86

80

1

13+5+1+1=20

87

99

93

4

13+5+1+1+4=24



Ha a számítás a relatív gyakoriság ismerete esetén:

; Ahol:

me:

mediánt megelőző osztályköz kumulált relatív gyakorisága

: : h:

mediánt magába foglaló osztályköz alsó határa

medián osztályközének kumulált relatív gyakorisága medián osztályközének hossza

Példa: A „Kumulálás (halmozott összeadás)” fejezetnél megismert példában szereplő adatokból számítva:

3.15. táblázat - Medián számítás alapadatai relatív kumulált gyakorisággal felfelé kumulált lefelé kumulált relatív gyakoriság relatív (g’i) gyakoriság (g’i)

Yi0

Yi1

Xi

gi

35

47

41

~0,54

0,54

1,00

48

60

54

~0,21

0,54+0,21=0,75

1,00-0,54=0,46

61

73

67

~0,04 0,54+0,21+0,04=0, 79

74

86

80

~0,04 0,54+0,21+0,04+0, 1,00-0,54-0,2104=0,83 0,04=0,21

87

99

93

~0,17 0,54+0,21+0,04+0, 1,00-0,54-0,2104+0,17=1,00 0,04-0,04=0,17

1,00-0,540,21=0,25

A három medián érték jelenleg a következő értéket veszi fel: rangsorból: 45,5 < kumulált relatív gyakoriságból: 46,1 < kumulált gyakoriságból: 46,63 Ez a sorrend csak most alakult így, de nem feltétlenül így fog alakulni a sorrend, ha más kiindulási adatokkal dolgozunk!

3.3.2. Módusz (Mo) Módusznak a legtipikusabb, leggyakrabban előforduló ismérvet nevezzük. Két típus fordul elő: diszkrét esetben (amikor az adatok önálló, egymástól független értékeket vesznek fel), a leggyakoribb ismérvértéket, míg folytonos esetben (amikor az adatokat egy görbe írja le), akkor a görbe legnagyobb pontjához tartozó érték a módusz. Ez utóbbi esetben a legtöbbször új ismérvérték jön létre, ami részévé válik a sornak. Példa:



3.16. táblázat - Módusz meghatározásának lépései Rangsor

megszámoljuk

Ismérvérték

Előfordulás

sorba

Ismérvérték

Előfordulás

35

az előfordulást

35

1

rendezzük

45

3

36

2

36

2

36

38

1

39

2

38

39

2

43

2

39

40

1

56

2

39

43

2

35

1

40

45

3

38

1

43

46

1

40

1

43

51

1

46

1

45

54

1

51

1

45

56

2

54

1

45

57

1

57

1

46

67

1

67

1

51

76

1

76

1

54

89

1

89

1

56

92

1

92

1

56

93

1

93

1

57

98

1

98

1

36

→

→

67 76 89 92 93 98


Nagy mennyiségű adatok feldolgozásának statisztikai alapjai A számítás eredményét ábrázolva (2.4. ábra) vizuálisan is elkülöníthető a módusz. Ha nem akarjuk ábrázolni, akkor a számolás eredményének sorba rendezésével kapjuk meg az eredményt. A módusz kézi számítása nagyon időigényes folyamat, így célszerűbb táblázatkezelő rendszerre bízni annak kiszámítását.

3.5. ábra - Módusz kiemelése a sokaságból

Módusz számítása táblázatkezelő rendszerben két úton lehetséges. Ha megelégszünk a legtöbbször előforduló értékek közül a legkisebbel (azaz ha például a 39 és a 45 is háromszor fordul elő, akkor csak a 39-et fogjuk megkapni), akkor: • MS Excel esetében a =MÓDUSZ.EGY(tartomány) utasítással tudjuk elvégezni a számítást. (A tartomány helyébe mindig az adatokat tartalmazó mezőket kell megadni. Például: „=MÓDUSZ.EGY(A2:A25)”) • LibreOffice esetében a =MÓDUSZ(tartomány) utasítással tudunk eljárni. Ez a módszer alkalmazása bár kényelmes és gyors, sokszor vezethet tévútra illetve hamis elemzéshez, ami a kézi módszernél sokkal nehezebben fordulhat csak elő. Például vegyük egy város éves óránkénti NOx töménység értékének az adatsorát (24*365=8760 adat). A táblázatkezelő által kiírt módusz érték 10 mg/m3. Ha kézzel végezzük el a számítást, akkor kiderül, hogy valóban a tízes érték fordul elő leggyakrabban az adatsorban (107-szer), de a 45-ös (103-szor) és a 44-es (98-szor) érték szorosan követi a gyakorisági sorban (a következő 19-es érték már csak 37-szer fordult elő). Ha valaki csak a táblázatkezelő értéke alapján dönt, akkor – ahogy sajnos számtalanszor előfordult már – megnyugodva közölheti: a városban leggyakrabban nagyon tiszta a levegő. Ha viszont veszi a fáradságot és elvégzi a teljes elemzést, akkor viszont gyorsan kiderül, hogy a szennyezett értékek száma jóval magasabb, mint a tízes értéké csak – például a műszer mérési jellegzetessége miatt – megoszlik két mérési érték között. Természetesen van kényelmes feloldása a gyors és esetleg félrevezető és a fáradságos, de értékesebb számítás kérdésének. Ez pedig a makro. A táblázatkezelők makro nyelvével gyorsan és hatékonyan elvégezhetjük a számítást. (A makro nyelv ismertetése nem célja ezen anyagnak, de számos kiváló forrásanyag segítheti az elsajátítását.) A feladat megoldása makro nyelv használatával:

3.17. táblázat - Módusz meghatározása makróval. A

B

C

D

1

Ismérvek

Értékek

Előfordulás (db)

2

35

35*

1*



A

B

C

D

3

36

36*

2*

4

36

38*

1*

5

38

39*

2*

6

39

40*

1*

7

39

43*

2*

8

40

45*

3*

9

43

46*

1*

10

43

51*

1*

11

45

54*

1*

12

45

56*

2*

13

45

57*

1*

14

46

67*

1*

15

51

76*

1*

16

54

89*

1*

17

56

92*

1*

18

56

93*

1*

19

57

98*

1*

20

67

21

76

22

89

23

92

24

93

25

98

* A csillaggal jelzett számokat a makro írta be. Megjegyzés: A makrót korlátlan számú ismérvre le lehet futtatni. '


Nagy mennyiségű adatok feldolgozásának statisztikai alapjai 'Módusz ' '(C)2011 Dr. Domokos Endre ' Sub Módusz() Dim t, r, s As Integer Dim Van As Boolean t=2 r=2 Do Until Cells(t, 1) = "" Van = False For s = 2 To r If Cells(t, 1) = Cells(s, 3) Then Cells(s, 4) = Cells(s, 4) + 1 Van = True Exit For End If Next s If Van = False Then Cells(r, 3) = Cells(t, 1) Cells(r, 4) = 1 r=r+1 End If t=t+1 Loop End Sub

4. Statisztikai mutatók A statisztikai mutatók feladata, hogy számszerűen, pontosan megmutassa egy adatsor jellemző értékeit. Míg a grafikonokon alapuló elemzéseket jellemzően az adatsorok gyors áttekintésére, emberi felhasználók számára történő látványos megjelenítésre használjuk a környezetvédelem területén, számos esetben szükségünk lehet továbbszámításokhoz használható, számszaki adatokra. Az erre szolgáló számos módszer közül terjedelmeket és a momentumokat ismertetjük részletesen.

4.1. Terjedelem


Nagy mennyiségű adatok feldolgozásának statisztikai alapjai A terjedelem mutató meghatározza, hogy az adott adatsor mekkora tartományt ölel fel, azaz mekkora a legkisebb és legnagyobb értéke. A terjedelem meghatározásával gyorsan megállapítható például egy mérés-sorozatról, hogy annak valamelyik eleme átlépte-e a határértéket, vagy sem. A terjedelemnek két fő típusát különböztetjük meg: • amikor a teljes adatsorra vonatkoztatunk, akkor a „rendes” terjedelmet nézzük (jellemzően nem teszünk megkülönböztető jelzőt a megnevezés elé), • amikor viszont csak egy kisebb részét vizsgáljuk az egésznek (jellemzően egy vagy több kvantilist), akkor interkvantilis vagy nyesett terjedelemről beszélünk.

4.1.1. (Rendes) terjedelem Példa: Az „Osztályközös gyakoriság számításának lépései” fejezetnél megismert példában szereplő 24 minta esetén, mind MS Office-ban mind LiberOffice-ban azonosan tudjuk megoldani:

3.18. táblázat - Terjedelem meghatározása. A

B

C

1

Érték

2

40

Legkisebb

=MIN(A2:A25)

3

45

Legnagyobb

=MAX(A2:A25)

4

43

5

36

6

39

7

46

8

51

9

57

10

93

11

98

12

67

13

56

14

45

15

56

16

35

17

76

Terjedelem



A 18

89

19

92

20

54

21

45

22

43

23

38

24

39

25

36

B

C

A meghatározás eredményeképpen megtudjuk, hogy a terjedelem 35 és 98 között van.

4.1.2. Interkvantilis (nyesett) terjedelem Az interkvantilis terjedelem meghatározása során egyszerűen vesszük a kiválasztott kvantilisek két szélső darabját és azok értéke lesz a terjedelem. A leggyakrabban használt két interkvantilis terjedelem a decilisből (a középső 80%-ot szokták így meghatározni), illetve a kvartilisből képzett (így pedig a középső 50%-ot lehet meghatározni). A kvartilisből képzett értéket nagyon gyakran Box-and-whiskers módszernek is hívják. Példa: Ábrázoljuk az „Osztályközös gyakoriság számításának lépései” fejezetnél megismert példában szereplő 24 minta esetén a Box-and-whiskers értéket a mediánhoz képest. Vegyük a „Kvantilisek” fejezetben meghatározott kvartilis értékek kvantilisét: Q1 = 39,25 Q2 = 45,50 Q3 = 64,50 Ezután vegyük az első és a harmadik kvartilis kvantilis értéket, majd ábrázoljuk azt egy számegyenesen:

3.6. ábra - Vizsgált adatsor jellemzői számegyenesen

3.7. ábra - Vizsgált adatsor jellemzői

A példa jól megmutatja, hogy ha:


Nagy mennyiségű adatok feldolgozásának statisztikai alapjai • csak a teljes terjedelemre elemzünk, akkor úgy vélhetnénk, hogy nagyon szélsőséges értékek között mozog (35-98) • ha már a medián értékét is figyelembe vesszük (Me=45,5), akkor sokkal jobb rálátásunk lesz az adatsorra, mivel kiderül, hogy az adatok a tartomány alsóbb régiójában összpontosulnak, • végül – anélkül, hogy túlzottan bele kellene mélyedni az adatokba – a box-and-whiskers értékkel egészen pontosan be tudjuk határolni, hogy a jellemző mérési értékek a 39 és 65 közötti tartományban találhatóak.

4.2. Statisztikai momentumok A statisztikai momentumok közül az átlag és a szóródás információt nyújtanak az adatsor tekintetében a hely és a változékonyság (terjedés, megoszlás) kérdésében és ez által, megközelítő tájékoztatást nyújtanak azok eloszlásáról (mint azt például egy fényképről készült hisztogram esetében). Az átlag és a szóródás az első két statisztikai momentum, míg a harmadik és a negyedik momentumok tájékoztatást nyújtanak az eloszlás alakjáról és változékonyságáról. Ezek az információk elsődleges célja a gyors, és hatékony adat-áttekinthetőség elérése. Ezek közül a környezetvédelemben a szóródás a leggyakrabban használt művelet.

4.2.1. Szóródás (σ) A szóródás az átlagtól történő eltérést mutatja meg. Mérőszáma a szórás. A szórás értéke tájékoztatást ad arról, hogy mennyire egységes az adatállomány. Kifejezetten fontos érték, ha egy mérőműszer pontosságáról, egy mérés megbízhatóságáról kívánunk tudást szerezni. Számítása súlyozott és súlyozatlan úton lehetséges. Az utóbbi módszer használata gyakoribb a mérési módszer ellenőrzésekor. Az előbbit alkalmazzuk például hatástanulmányok esetében, amikor a környezet több elemének változásának átlagos eltérésére vagyunk kíváncsiak, de a környezeti elemeket nem egyenlő súllyal kívánjuk figyelembe venni (például a vizet érintő változásokat kiemelten kívánjuk kezelni). A számítás során gyakorlatilag az egyedi értékeket hasonlítjuk össze az átlaggal, majd negatív értékek elkerülése érdekében négyzetre emeljük és a végén az átlagból gyököt vonunk. Súlyozatlan esetben a számítás:

Súlyozott esetben a számítás:

Példa: Egy 15 km hosszú védett folyó-területen, 1 km-ként mérték fel a fajgazdagságot (hány féle fajt találtak az adott területen), illetve meghatározták a folyó vízminőségi kategóriáját. Kérdés milyen szórást mutat a folyó vízminőségi kategóriája, illetve milyen súlyozott szórást mutat ez az érték, ha figyelembe vesszük a fajgazdagságot is. Súlyozatlan esetben, mind MS Office-ban mind LiberOffice-ban megbízható függvényt tudunk használni.

3.19. táblázat - Szórás meghatározása. A Kategória

1



A 2

5

3

5

4

4

5

3

6

4

7

5

8

5

9

4

10

5

11

5

12

4

13

3

14

2

15

4

16

5

17

0,909*

* MS Office esetében: =SZÓR.S(A2:A16) * LiberOffice esetében: =SZÓRÁSP(A2:A16) Súlyozott esetben sem a MS Office-ban sem a LiberOffice-ban nem találunk függvényt a megoldásra, így a példában szereplő 15 minta esetén, a következő képletrendszerrel tudjuk elvégezni a számítást (mindkét esetben azonos képletekkel).

3.20. táblázat - Súlyozott szórás meghatározása. A

B

C

1

Kategória

Fajgazdagság

Segédoszlop

2

5

104

=F2*HATVÁNY((A Átlag: 2-$D$3);2)

3

5

97

=F2*HATVÁNY((A =ÁTLAG(A2:A16) 3-$D$3);2)


D


A

B

C

D

1

Kategória

Fajgazdagság

Segédoszlop

4

4

117

=F2*HATVÁNY((A 4-$D$3);2)

5

3

110

=F2*HATVÁNY((A =SZUM(B2:B16) 5-$D$3);2)

6

4

76

=F2*HATVÁNY((A Segédátlag 6-$D$3);2)

7

5

140

=F2*HATVÁNY((A =ÁTLAG(C2:C16) 7-$D$3);2)

8

5

131

=F2*HATVÁNY((A Szórás 8-$D$3);2)

9

4

132

=F2*HATVÁNY((A =GYÖK(D7/D5) 9-$D$3);2)

10

5

107

=F2*HATVÁNY((A 10-$D$3);2)

11

5

119

=F2*HATVÁNY((A 11-$D$3);2)

12

4

96

=F2*HATVÁNY((A 12-$D$3);2)

13

3

103

=F2*HATVÁNY((A 13-$D$3);2)

14

2

89

=F2*HATVÁNY((A 14-$D$3);2)

15

4

108

=F2*HATVÁNY((A 15-$D$3);2)

16

5

110

=F2*HATVÁNY((A 16-$E$3);2)

4.2.2. Relatív szóródás Sok esetben a szóródás önmagában nem segít a valós helyzet felmérésben, ami számos félreértelmezéshez vezethet. Amikor kijelentjük egy mérésről, hogy a szóródása 19,62 mg/m3, az számos esetben nem ad elég tájékozódási alapot. Sok ez az érték? Kevés ez az érték? Ha például a mérés 100 000 mg/m3 nagyságrendű, akkor a szóródás kiváló mérési pontosságot takar, de ha a mérés 100 mg/m3 nagyságrendű, akkor komoly fenntartásaink lehetnek a méréssel kapcsolatban. Ezt a bizonytalanságot csökkenti a relatív szóródás kiszámítása, ami százalékos formában adja meg a szórás és az számtani átlag hányadosát. Számítása:



Példa: Egy kalibrációs mérési sorozat eredményei alapján határozzuk meg a szóródást és a relatív szóródást. A megoldás mind MS Office-ban mind LiberOffice-ban beépített függvények segítségével lehetséges.

3.21. táblázat - Relatív szóródás meghatározása. A

B Mért érték

1

(mg/l) 2

104

3

103

4

98

5

101

6

102

7

99

8

100

9

100

10

98

11

102

12

103

13

104

14

102

15

103

16

101

17

Szóródás

1,92*

mg/l

18

Relatív szóródás

1,90**

%

* MS Office esetében: =SZÓR.S(B2:B16)


Nagy mennyiségű adatok feldolgozásának statisztikai alapjai * LiberOffice esetében: =SZÓRÁSP(B2:B16) ** MS Office és LiberOffice esetében: =100*(B18/ÁTLAG(B3:B17)) A standard deviancia ábrázolása a fenti adatsorra:

3.8. ábra - A standard deviancia ábrázolása

4.2.3. Általános (abszolút) különbség A szóródás vizsgálatának egy másik elve, amelyet Corrado Gini alkotott meg, azt vizsgálja, hogy az ismérvek mennyire különböznek egymástól. Ezt a vizsgálatot általános vagy abszolút különbségnek hívjuk. Az elemzés kifejezetten hasznos, ha a szélsőségekre szeretnénk választ kapni. Ennél a vizsgálati módszernél már néhány, az átlagtól kiugróan eltérő ismérv is jelentősen megemeli a különbség értékét. Lehetséges súlyozott és súlyozatlan módon is számolni. Képlet a következő: Súlyozatlan:

Súlyozott:

Példa: A „Szóródás (δ)” fejezetben megismert példán számítsuk ki az átlagos különbség súlyozatlan és súlyozott értékét.


Nagy mennyiségű adatok feldolgozásának statisztikai alapjai A feladatot kényelmesen MS Office-ban és LibreOffice-ban is csak makro nyelven tudjuk megoldani. A makró forráskódja a következő:

3.22. táblázat - Különbség számításához alapadatok A

B

1

Kategória

Fajgazdagság

2

5

104

3

5

97

4

4

117

5

3

110

6

4

76

7

5

140

8

5

131

9

4

132

10

5

107

11

5

119

12

4

96

13

3

103

14

2

89

15

4

108

16

5

110

17

Átlagos

különbség

18

Súlyozatlan

1,00952381*

19

Súlyozott

11554,01905*

* A csillaggal jelzett számokat a makro írta be. ' 'Átlagos különbség számítása ' '(C)2011 Dr. Domokos Endre ' 32 Created by XMLmind XSL-FO Converter.

Nagy mennyiségű adatok feldolgozásának statisztikai alapjai Sub Súlyozatlan() Dim r, t, N As Integer Dim Különbség, G As Double N = 15 Különbség = 0 For t = 2 To N + 1 For r = 2 To N + 1 Különbség = Különbség + Abs(Cells(t, 1) - Cells(r, 1)) Next r Next t G = (1 / (N * (N - 1))) * Különbség Cells(N + 3, 2) = G End Sub Sub Súlyozott() Dim r, t, N As Integer Dim Különbség, G As Double N = 15 Különbség = 0 For t = 2 To N + 1 For r = 2 To N + 1 Különbség = Különbség + (Cells(t, 2) * Cells(r, 2) * Abs(Cells(t, 1) - Cells(r, 1))) Next r Next t G = (1 / (N * (N - 1))) * Különbség Cells(N + 4, 2) = G End Sub

4.2.4. Momentum A szóródások egy különleges fajtája a momentum képzés, amelynek során a szóródást egy tetszőlegesen kiválasztott (akár az ismérvek között nem szereplő) értékhez viszonyítjuk. Kiválóan lehet használni e módszert műszerek teljes pontosságának meghatározására, amikor egy ismert (beállító) érték mérése során mért értékeket viszonyítunk a beállító értékhez. Gyakorlatban a momentum képzés az átlagok és a szórások általános felírása. Általános megfogalmazása a következő: Y ismérv vagy gyakorisági eloszlás A körüli r-ed rendű momentumai. Számítása súlyozatlan esetben:



Súlyozott esetben:

Néhány nevezetes momentum: Számtani átlag (r=1, A=0):

Négyzetes átlag négyzete (r=2, A=0):

Variancia (r=2,

):

Megbízhatóság (r=2, A =beállító érték)

Példa: A „Relatív szóródás” fejezetben megismert példa során a mérést 100 mg/l-es sűrűségű mintával végeztük. Számítsuk ki a megbízhatóságát a berendezésnek.

3.23. táblázat - Momentum számítás (berendezés megbízhatósága) A 1

B

C

D

Mért érték

Segédoszlop

Beállító sűrűség

(mg/l) 2

104

=HATVÁNY(B2$D$2;2)

100

3

103

=HATVÁNY(B3$D$2;2)

mg/l

4

98

=HATVÁNY(B4$D$2;2)

5

101

=HATVÁNY(B5$D$2;2)

6

102

=HATVÁNY(B6-



A

B

C

D

$D$2;2) 7

99

=HATVÁNY(B7$D$2;2)

8

100

=HATVÁNY(B8$D$2;2)

9

100

=HATVÁNY(B9$D$2;2)

10

98

=HATVÁNY(B10$D$2;2)

11

102


12

103


13

104


14

102


15

103


16

101


=SZUM(C2:C16)/D ARAB(B2:B16)

mg/l

17

Megbízhatóság

Az eredmény 5,47 mg/l, azaz a berendezésünk által mért értékek ±6 mg/l pontosak (ez a műszerünk megbízhatósága).


4. fejezet - Adatbázisok fellelhetősége az interneten Az Európai Unió illetve Magyarország környezetpolitikájában egyre nagyobb szerepet kap a társadalom, mivel növekszik az emberek környezettudatossága és a környezeti információk iránt az igényük. Alapvető fontosságú, hogy a lakosság tájékozódni tudjon lakóhelyének környezeti állapotáról, és így lehetősége nyílik részt venni a döntési folyamatokban. Ahhoz, hogy ez a rendszer kialakuljon, közérthető formában kell az emberek elé tárni az adott problémát. A demokrácia fejlődésével egyre inkább előtérbe kerül az önkormányzatok felelősségében, a településeken lakók számára élhető és egészséges környezet megteremtése, és az, hogy olyan területfejlesztési programokat indítsanak, mely ezt elősegíti. A környezeti információk megléte, látványos megjelenítése jelentősen megkönnyíti a területfejlesztési döntések meghozatalát, a fejlesztések kapcsán a lakosság informálását, egy esetleges lakossági fórum, vagy szavazás szakmai megalapozását. A törvényeknek megfelelően mára több állami szervezet, és önkormányzat biztosít hozzáférést a környezeti adatokhoz, és azok értékeléséhez. A civil társadalomra jellemző módon, az állam mellett több civil szervezet önként vállat, vagy szerződésben rögzített feladatként foglalkozik környezeti információs rendszerek építésével és lakossági tájékoztatással. Ezek mellett több állami és non-profit kutatóhely munkakörébe tartozik a környezeti adatok gyűjtése, értékelése. Ennek ellenére be kell látnunk, hogy mind a lakossági tájékoztatás, mind pedig a nyilvánosan hozzáférhető adatbázisok működése napjainkban még gyenge lábakon áll hazánkban. Számos oldalon például csak utalásokat találhatunk bizonyos adatbázisokra, ezek lenyíló választó fülei is megjelennek, azonban ezek után vagy csak egy rövid szöveges leírást találunk, vagy éppen egy jelszóval védett oldalra jutunk. Így kimaradnak a felsorolásból olyan oldalak, mint: • Vízügyi honlap • Vízügyi és Környezetvédelmi Központi Igazgatóság • Vízgazdálkodási Információs Rendszer (VIZIR). • Vízkárelhárítási Védekezési Információs Rendszer (VIR). • Vízminőségi Kárelhárítási Információs Rendszer (VIKÁR). • Hidrometeorológiai Információs Rendszer. • Vízföldtani Információs Rendszer. • Vízügyi jelentés nyilvántartási információs rendszer. • Települési Szennyvíz Információs Rendszer • Talajvédelmi Információs Monitoring Rendszer (TIM) Tekintettel arra, hogy minden területnek megvan a maga adatbázisa, jelen fejezetben elsősorban a környezetvédelmi jellegű, illetve az azzal összefüggésbe hozható (jelentősebb) adatbázisokat tekintjük át. Kizárólag olyan adatlapok kerülnek megemlítésre, amelyek nem csak felsorolják, hogy az adott szervezet milyen jellegű adatokat gyűjt, hanem amelyek ténylegesen online, mindenki számára elérhető, lekérhető adatokat is szolgáltat a környezettel kapcsolatosan.

1. OKIR (Országos Környezetvédelmi Információs Rendszer)


Adatbázisok fellelhetősége az interneten A Vidékfejlesztési Minisztérium (korábban Környezetvédelmi és Vízügyi Minisztérium1, www.kvvm.hu2) irányítása alá tartozó szervezeteknél a környezet terhelésével és a környezet állapotával kapcsolatban számos adat áll rendelkezésre. Az OKIR adatbázisban szereplő adatok egy része a területi környezetvédelmi szervek saját méréseiből, másik része a környezethasználók jogszabályi előírásai alapján tett adatszolgáltatásaiból származnak. Az adatok jelentős része ma már közvetlenül központi számítógépes adatbázisba kerül, olyan módon, hogy a méréseket végző, valamit az adatszolgáltatásokat feldolgozó Környezetvédelmi, Természetvédelmi és Vízügyi Felügyelőségek a minisztériumi szerverhez kapcsolódva közvetlenül a központi adatbázisba viszik fel az adatokat. Ez a rendszer az Országos Környezetvédelmi Információs Rendszer (OKIR). A rendszer elsődleges feladata, hogy a környezet állapotának és használatának figyelemmel kísérését, igénybevételi és terhelési adatainak gyűjtését, feldolgozását és nyilvántartását támogassa, és az érintett felhasználókat (beleértve a nyilvánosságot is) ellássa a szükséges információkkal. Moduláris felépítésű, amely azt jelenti, hogy a különböző környezetvédelmi szakterületek adatai saját szakterületi nyilvántartásokba kerülnek, amely szakrendszerek egymással összefüggő és egymás között átjárható konglomerátumot alkotnak. A lekérdező funkció segítségével jelenleg az alábbi környezetvédelmi területekről érhetők el adatok: • Mi van a környezetemben? - Térképes lekérdező, a Környezetvédelmi Alapnyilvántartó Rendszerben nyilvántartott objektumok és az azokról rendelkezésre álló környezetvédelmi adatok megjelenítése érdekében • Hulladékgazdálkodási adatok a Hulladékgazdálkodási Információs Rendszerből (HIR) • Légszennyező anyag kibocsátások a Levegő-tisztaság Védelmi Információs Rendszerből (LAIR) • Felszíni vízminőségi mérési eredmények - a felügyelőségi laboratóriumok vízvizsgálatai mérései alapján a '60-as évekig visszamenőleg (FEVI) • Jogerős környezetvédelmi hatósági határozatok adatai, amelyek a felügyelőségek által vezetett Hatósági Nyilvántartó Rendszerből (HNYR) származnak • Veszélyes és nem veszélyes hulladékok kezelésére feljogosító engedélyek adatai, beleértve a hulladékok begyűjtésére és szállítására vonatkozó engedélyeket. Tekintsünk meg egy példát. Kiválasztunk egy várost „Mi van a környezetemben” menüpont alatt (ez esetben Veszprémet), majd lekérdezzük, milyen levegőt terhelő pontforrások vannak a választott városunkban (3.1. ábra és 3.2. ábra).

4.1. ábra - Veszprém levegőt terhelő pontforrásai

1

Környezetvédelmi és Vízgazdálkodási Minisztérium (1987) Környezetvédelmi és Területfejlesztési Minisztérium (1994) Környezetvédelmi Minisztérium (1997) Környezetvédelmi és Vízügyi Minisztérium (2002)

2

Vidékfejlesztési Minisztérium (2010) Az új kormányzati portál 2011. január 1. óta él: http://www.kormany.hu./hu/videkfejlesztesi-miniszterium


Adatbázisok fellelhetősége az interneten

4.2. ábra - Volán telephely éves szennyezőanyag kibocsátása (kg)

Az adatbázisban szereplő telephelyek megjelennek a térképen. Egérrel rámutatunk az egyik piros „léggömbre”, kinyílik a címke: Volán telephely. A részletes adatokra kattintva táblázatban megnyílnak a mért a szennyezőanyag koncentrációk éves átlagai (3.2. ábra).

2. Zöldhatóságok 38 Created by XMLmind XSL-FO Converter.

Adatbázisok fellelhetősége az interneten Az Országos Környezetvédelmi, Természetvédelmi és Vízügyi Főfelügyelőség a vidékfejlesztési miniszter irányítása alatt működő központi hivatal, önállóan működő és gazdálkodó, közhatalmi központi költségvetési szerv, illetékessége az ország egész területére kiterjed. Felügyeleti szerve a Vidékfejlesztési Minisztérium. Közigazgatási eljárásban az alárendeltségben működő 10 környezetvédelmi, természetvédelmi és vízügyi felügyelőség (területi szerv) felettes, valamint felügyeleti szerve. Környezetvédelmi, természetvédelmi és vízügyi felügyelőségek: Közép-Duna-völgyi Környezetvédelmi, Természetvédelmi és Vízügyi Felügyelőség (Budapest) Alsó-Tisza-vidéki Környezetvédelmi, Természetvédelmi és Vízügyi Felügyelőség (Szeged) Dél-dunántúli Környezetvédelmi, Természetvédelmi és Vízügyi Felügyelőség (Pécs) Észak-dunántúli Környezetvédelmi, Természetvédelmi és Vízügyi Felügyelőség (Győr) Észak-magyarországi Környezetvédelmi, Természetvédelmi és Vízügyi Felügyelőség (Miskolc) Felső-Tisza-vidéki Környezetvédelmi, Természetvédelmi és Vízügyi Felügyelőség (Nyíregyháza) Közép-dunántúli Környezetvédelmi, Természetvédelmi és Vízügyi Felügyelőség (Székesfehérvár) Közép-Tisza-vidéki Környezetvédelmi, Természetvédelmi és Vízügyi Felügyelőség (Szolnok) Nyugat-dunántúli Környezetvédelmi, Természetvédelmi és Vízügyi Felügyelőség (Szombathely) Tiszántúli Környezetvédelmi, Természetvédelmi és Vízügyi Felügyelőség (Debrecen) A felügyelőségek weboldalai környezeti és közérdekű adatokat egyaránt tartalmaznak az elektronikus információszabadságról szóló 2005. évi XC. törvény által meghatározott formában és tartalommal. Elérhető az éppen az aktuális jogszabályok jegyzéke, továbbá a legtöbb ügyintézéshez szükséges formanyomtatvány.

3. OLM (Országos Légszennyezettségi Mérőhálózat) 1974 és 2001 között a mérőhálózatot (korábbi nevén: Országos Immisszió-mérő Hálózat) az egészségügyi tárca szakmai irányításával az akkori megyei (fővárosi) KÖJÁL-ok, majd ezek utódai, a megyei (fővárosi) ÁNTSZ intézetek üzemeltették. A mérőhálózat üzemeltetéséért 2002. február 1. óta a környezetvédelmi tárca, 2010-től a Vidékfejlesztési Minisztérium a felelős. A tényleges kezelői feladatokat a területi szervei, a környezetvédelmi, természetvédelmi és vízügyi felügyelőségek (felügyelőségek) látják el. Az Országos Légszennyezettségi Mérőhálózat két részből áll: az automata és a manuális mérőhálózatból. A mérőhálózat az ország területén a légszennyezettség mérésére és értékelésére hivatott, mely az automatikus mérőhálózat, a manuális mérőhálózat, mobil mérőállomások és időszakos mintavételek segítségével valósul meg. Az egyes illetékességi területeken a Környezetvédelmi Felügyelőségek üzemeltetik a manuális (szakaszos) és az automatikus (folyamatos) mérőhálózat állomásait, valamint ők végzik az időszakos légszennyezettségi méréseket is. Jelenleg 31 település 52 mintavételi helyén mérik folyamatosan a kiemelt jelentőségű légszennyező anyagok koncentrációit és az értékeléshez szükséges meteorológiai paramétereket. Az automata mérőhálózatban mért légszennyező anyagok (nem mérnek minden komponenst minden helyszínen, példa 3.3. ábra): • SO2 • NO/NO2/NOx, • CO • O3


Adatbázisok fellelhetősége az interneten • Szálló por (PM10 és PM2,5 frakciók, utóbbi csak 4 helyszínen) • BTEX • H 2S • VOC Az automata mérőhálózatban regisztrált meteorológiai paraméterek: • szélsebesség, • szélirány, • hőmérséklet, • páratartalom, • csapadékmennyiség.

4.3. ábra - Veszprém – Kádár utcai mérőkonténer adatlapja

A manuális mérőhálózat (korábbi nevén: RIV: Regionális Immisszió Vizsgáló Hálózat) közel harminc éves múltra tekint vissza. A minták elemzését a szakaszos (24 órás) mintavételt követően a Környezetvédelmi, Természetvédelmi és Vízügyi Felügyelőségek akkreditált vizsgáló laboratóriumaiban végzik. A vizsgálati eredmények a felügyelőségi alközpontokba, majd végül az Országos Légszennyezettségi Adatközpontba kerülnek. Jelenleg 131 településen működik a manuális mérőhálózat. A manuális hálózatban vizsgált komponensek: • SO2, • NO2, • ülepedő por (g/m2*30 nap). 40 Created by XMLmind XSL-FO Converter.

Adatbázisok fellelhetősége az interneten A háttér-szennyezettséget mérő hálózatot – négy mérőállomással - az Országos Meteorológiai Szolgálat üzemelteti, amelyek K-pusztán, Nyírjesen, Farkasfán és Hortobágyon találhatók. További két állomás működik a környezetvédelmi felügyelőség kezelésében, ezek a Fertőújlaki (Sarród) és a Majláth-pusztai mérőállomások.

4. Központi Statisztikai Hivatal Az előzőekben említett manuális és automata mérőállomások adatai a Központi Statisztikai Hivatal adatbázisában is megjelennek, továbbá bővebb információk érhetők el a metainformációs adatbázisból mind a környezetvédelmi ipar, környezetvédelmi ráfordítás, hulladék, mind pedig víz tématerületeken.

5. Vízügyi adatbank 4.4. ábra - Vízügyi adatbank kezdőlapja

A fenti menüsorból az alábbiak szerint választhatjuk ki az adatbázisból a számunkra értékes információt.

4.5. ábra - Vízügyi adatbank lekérdező felülete

6. OMSZ (Országos Meteorológiai Szolgálat) Online adatbázisából a meteorológiai paraméterek alakulását ismerhetjük meg (mint hőmérséklet, páratartalom, szélsebesség, szélirány, UV-B sugárzás – 3.6 ábra és 3.7 ábra). Az OMSZ üzemelteti továbbá a háttérszennyezettséget mérő mérőállomásokat, méri a troposzférikus ózon koncentrációt, felszín-légkör közötti CO2 forgalmat, üvegházgáz mérlegeket készít, stb., de ez utóbbiak adatai online nem elérhetők. 41 Created by XMLmind XSL-FO Converter.


4.6. ábra - Met.hu legfrissebb mért meteorológiai adatai

4.7. ábra - UV index várható napi menete

7. River Monitoring Tiszta-vízgyűjtő monitoring rendszer mérési/mintavételi pontjai a 3.8 ábrán láthatók.

4.8. ábra - Tisza-vízgyűjtő monitoring rendszer



A monitorállomások felszereltségének főbb összetevői a mérőműszerek, a mintaellátó szivattyúrendszer, a hidraulikai rendszer, a különböző segédberendezések és a mérésvezérlő-adatgyűjtő rendszer. Online megismerhető adatok (3.1 táblázat):

4.1. táblázat - Monitorállomások alap-műszerezettsége Monitorállomások alap-műszerezettsége Vízminőségi paraméter

Mértékegység

Mérési tartomány

Működési elv

Vízhőmérséklet

C°

0-50

Digitális

0-14

Potenciometria

pH Oldott oxigén

mg/l

0-20

Voltametria

Vezetőképesség

µS/cm

0-2000

Konduktometria

Zavarosság

NTU

0-500

Fényvisszaszórás

Ammónium ion

mg/l

0-10

Fotometria

TOC

mg/l

0-20

UV gyorsított oxidáció

Felszíni olaj

-

-

Felszíni vízminta TOC méréshez

Klorofill-a

µg/l

0,1-től

Fluorometria

0-20

T-index

0-100

Daphina / Alga



Monitorállomások alap-műszerezettsége További műszerezettség az MS-2 monitorállomáson Nehézfém analizátor (cink, kadmium, ólom, réz)

µg/l

0-5000

Polarográfia

Nitrát

µg/l

0-10

Fotometria

Cianid

µg/l

0-2

Polarográfia

8. Integrált Drávai Monitoring Az országos vízminőségi törzshálózat kialakítására 1968-1972 között került sor, ennek részeként a Drávai megfigyelések már 1968-ban megkezdődtek. • Vízrajzi monitoring (online elérhető) • Vízkémiai monitoring (pH, Fajlagos vezetőképesség (µS/cm), Oldott O 2 (mg/l), O2 (%), KOIsp (mg/l), KOIcr (mg/l), NH4+ (mg/l), Összes P (mg/L), a-klorofill (mg/m3), szaprobitás index) (online elérhető) • Biológiai monitoring

9. Nemzetközi kitekintés Egyesült Királyság • Elérhetőség: http://www.airquality.co.uk/archive/index.php Írország • Elérhetőség: http://www.ehsni.gov.uk/environment/air/smokecontrol.shtml Ausztrália • Elérhetőség: http://www.epa.vic.gov.au/Air/AAQFS/AAQFS_Melb_Forecast.asp Svájc • Elérhetőség:http://www.umweltschweiz.ch/buwal/eng/fachgebiete/fg_luft/luftbelastung/karten/index.html Németország • Elérhetőség: http://www.env-it.de/luftdaten/map.fwd?measComp=O3 Franciaország • Elérhetőség: http://www.airnormand.asso.fr/normand/uk/index.html A nemzetközi kitekintésből egyértelműen kiderült, hogy a vizsgált rendszerek mindegyike elsősorban a levegőminőség szempontjából jellemzi a városi környezet élhetőségét. Közös ezekben, a rendszerekben az, hogy a leggyakoribb szennyezők (O3, CO, SO2, PM10, NO, NO2, benzol) előfordulását mérik a légkörben, általában a város fixen meghatározott pontjain. Ez a megállapítás a rendszerekkel szemben támasztott alapvető elvárások közé sorolható, csakúgy, mint a megfigyelt adatok visszakereshetőségére vonatkozó kitétel. A legtöbb alkalmazás kitér a mérési eredmények minősítésére is, azaz valamilyen formában jelzi azt, hogy mennyire szennyezett adott területen a levegő. Ez általában egy – az adott ország törvényi rendelkezéseitől függő – határérték táblázat alapján történő értékelésének eredményeképpen valósul meg. A megjelenítést és az adatok böngészését egy internetes felület segítségével valósítják meg, melyen általában egy statikus térképet is


Adatbázisok fellelhetősége az interneten alkalmaznak. Az új alkalmazásokkal szembeni elvárás mára már az, hogy az adatokat dinamikus térképeken lehessen szemléltetni, megkönnyítve ezzel az adatok elérését. Európai Unió E-PRTR – The European Pollutant Release and Transfer Register – 27 EU tagállam, valamint Izland, Liechtenstein, Norvégia, Szerbia és Svájc tartozik a nyilvántartásba. Éves adatokat láthatunk 28000 ipari létesítmény kapcsán, 65 gazdasági tevékenységgel összefüggésben, 9 szektorra osztva: • energia • termelés és fémfeldolgozás • ásványipar • vegyipar • hulladék-és vízgazdálkodás • papír és faanyag előállítása és feldolgozása • intenzív állattartás és akvakultúra • állati és növényi eredetű termékek az élelmiszer-és üdítőital-ágazatban, valamint egyéb tevékenységek. EEA – European Environment Agency – Az oldal olyan környezeti kérdésekkel foglalkozik, mint például a fenntarthatóság, a környezetbarát gazdaság, a víz, a hulladék, az élelmiszer, az irányítás és az ismeretek megosztása. • Hivatalos nyelven: http://www.eea.europa.eu/ ( http://www.eea.europa.eu/hu) Eurostat – Your key to European Statistics

4.9. ábra - Európai Statisztikai Hivatal témakörei




5. fejezet - Adatbázisok használatának jogi háttere A Magyar Köztársaság valamennyi állami és önkormányzati szerve adatok, dokumentumok sokaságát kezeli. Ezek egy része a nyilvánosság elől törvény által védett adat, más része bárki által megismerhető. Van köztük olyan, amely természetes személyre vonatkozik, van, ami az adott szervezet működésére, és létezik olyan is, amelyet a közszféra szervei a feladatuk ellátása során más szervezetekről tartanak nyilván. Az adatok kezelését, gyűjtését, továbbítását jogi normák szabályozzák. Magyarországon az Alkotmány (az 1949. évi XX. törvény) kimondja, hogy mindenkit megillet a személyes adatok védelméhez való jog (59. § (1) bekezdés), és mindenkinek joga van arra, hogy a közérdekű adatokat megismerje és terjessze (61. § (1) bekezdés). Az 1989–90-es politikai átalakulás egyik sarkalatos kérdése volt a nyilvánosság ügye. A rendszerváltás politikai erői egyetértettek abban, hogy nem elég a sajtószabadság, a véleménynyilvánítás szabadságának megteremtése. Egy demokratikus társadalomban elengedhetetlen, hogy szigorú törvények óvják a polgárok magánéletét, ugyanakkor biztosítsák az állam átláthatóságát, elszámoltathatóságát. Ezek alapján az Országgyűlés megalkotta a személyes adatok védelméről és a közérdekű adatok nyilvánosságáról szóló 1992. évi LXIII. törvényt (továbbiakban Avtv.), egy normába foglalva e jogok gyakorlásának legfontosabb szabályait, garanciáit.Az Avtv. alapján a közszférában kezelt adatokat öt csoportra osztjuk. 2. § E törvény alkalmazása során: 1. személyes adat: bármely meghatározott (azonosított vagy azonosítható) természetes személlyel (a továbbiakban: érintett) kapcsolatba hozható adat, az adatból levonható, az érintettre vonatkozó következtetés. A személyes adat az adatkezelés során mindaddig megőrzi e minőségét, amíg kapcsolata az érintettel helyreállítható. A személy különösen akkor tekinthető azonosíthatónak, ha őt - közvetlenül vagy közvetve - név, azonosító jel, illetőleg egy vagy több, fizikai, fiziológiai, mentális, gazdasági, kulturális vagy szociális azonosságára jellemző tényező alapján azonosítani lehet; 2. különleges adat: a) a faji eredetre, a nemzeti és etnikai kisebbséghez tartozásra, a politikai véleményre vagy pártállásra, a vallásos vagy más világnézeti meggyőződésre, az érdek-képviseleti szervezeti tagságra, b) az egészségi állapotra, a kóros szenvedélyre, a szexuális életre vonatkozó adat, valamint a bűnügyi személyes adat; 3. bűnügyi személyes adat: a büntetőeljárás során vagy azt megelőzően a bűncselekménnyel vagy a büntetőeljárással összefüggésben, a büntetőeljárás lefolytatására, illetőleg a bűncselekmények felderítésére jogosult szerveknél, továbbá a büntetés-végrehajtás szervezeténél keletkezett, az érintettel kapcsolatba hozható, valamint a büntetett előéletre vonatkozó személyes adat; 4. közérdekű adat: az állami vagy helyi önkormányzati feladatot, valamint jogszabályban meghatározott egyéb közfeladatot ellátó szerv vagy személy kezelésében lévő, valamint a tevékenységére vonatkozó, a személyes adat fogalma alá nem eső, bármilyen módon vagy formában rögzített információ vagy ismeret, függetlenül kezelésének módjától, önálló vagy gyűjteményes jellegétől; 5. közérdekből nyilvános adat: a közérdekű adat fogalma alá nem tartozó minden olyan adat, amelynek nyilvánosságra hozatalát vagy hozzáférhetővé tételét törvény közérdekből elrendeli;

1. örnyezetvédelmi vonatkozású adatok szabályozása Európai Unió hatodik környezetvédelmi akcióprogramja (2002-2012) külön területként jelöli meg az állampolgárok bevonásának ösztönzését a környezetvédelmi eljárásokba, illetve megfelelő jogosítványokkal való felhatalmazásukat. A társadalmi részvétel és ezzel együtt a civil kontroll mind teljesebb érvényre juttatása alapvető követelményként jelent meg a környezetvédelmi jog XX. századi fejlődésében. A társadalmi részvétel egyes területeit a Riói Nyilatkozat 10. elve foglalja össze: ”A környezeti ügyeket a legjobban az összes érdekelt állampolgár részvételével a megfelelő szinten lehet kezelni. Nemzeti szinten minden egyénnek biztosítani kell a megfelelő hozzáférést a környezetre vonatkozó információkhoz, melyekkel a közhivatalok és a hatóságok rendelkeznek; beleértve a veszélyes anyagokra és az állampolgárok közösségeit érintő tevékenységekre vonatkozó információt; és lehetővé kell tenni a döntéshozatali folyamatban való


Adatbázisok használatának jogi háttere részvételt. Az államok segítsék el és bátorítsák a lakosság tudatosságát és részvételét azzal, hogy széles körben hozzáférhetővé teszik az információkat." A társadalmi részvétel érvényesülésének és érvényesítésének alapdokumentuma az 1998. évi Aarhusi Egyezmény, amit az Európai Parlament és a Tanács 2006. szeptember 6-i 1367/2006/EK rendelete az Európai Unió jogrendszerének szerves részévé tett. Az Egyezmény 1. cikkelye kimondja: „A jelen és jövő generációkban élő minden egyén azon jogának védelme érdekében, hogy egészségének és jólétének megfelelő környezetben éljen, ezen Egyezményben Részes valamennyi Fél garantálja a nyilvánosság számára a jogot az információk hozzáférhetőségéhez, a döntéshozatalban való részvételhez és az igazságszolgáltatás igénybevételéhez a környezetvédelmi ügyekben." A környezet védelmének általános szabályairól szóló 1995. évi LIII. tv. (Környezetvédelmi törvény) 12. §-a tájékozódás, tájékoztatás és nyilvánosság elveként valami hasonló alapelv kimondására törekszik, de ezt a törvényi elvet csak a törvény VIII. fejezetével együtt elemezve – nyilvánosság részvétele a környezetvédelemben – azonosíthatjuk a társadalmi részvétel elvével. A tájékozódás a környezetre vonatkozó információk megismerését jelenti, a tájékoztatás az állami szervek és önkormányzatok adatgyűjtési és ezen alapuló tájékoztatási kötelezettségével azonosítható, míg a környezethasználót is tájékoztatási kötelezettség terheli a 12. § (9) bekezdése szerint. Az információ a társadalmi részvétel legalapvetőbb feltétele, amely két nagy jogosítványcsoportba sorolható: • az aktív információhoz való jutás szabályainak csoportjába, amely szerint a társadalmat rendszeresen tájékoztatni kell a környezet állapotáról, és • a passzív információs jog csoportjába, amelynek értelmében a társadalom tagjai vagy csoportjai információt kérhetnek, mégpedig anélkül, hogy ennek indokait meg kellene határozniuk. Az információ iránti igény visszautasítására csak indokolt esetekben kerülhet sor – ilyen lehet például a nemzetbiztonság vagy a szolgálati titok.

2. A környezetvédelmi vonatkozású közérdekű adatok megismerésének korlátai Az Avtv. szerint tehát: a közfeladatot ellátó szerveknek lehetővé kell tenniük, hogy a kezelésükben lévő közérdekű adatot bárki megismerhesse, kivéve, • ha az adott törvény alapján az arra jogosult szerv állam vagy szolgálati titokká nyilvánította, továbbá • ha a közérdekű adatok nyilvánosságához való jogot – az adatfajták meghatározásával – a törvény honvédelmi, nemzetbiztonsági, bűnüldözési vagy bűnmegelőzési, központi pénzügyi vagy devizapolitikai érdekből, külügyi kapcsolatokra, nemzetközi szervezetekkel való kapcsolatokra, bírósági eljárásra tekintettel korlátozza.

3. Az elektronikus információszabadság Információszabadság alatt azt értjük, hogy a tág értelemben vett állam működésének átláthatónak kell lennie az egyének, csoportjaik vagy akár az egész közvélemény számára, az államnak csak szigorúan és pontosan meghatározott feltételek fennállása esetén, rendkívül szűk körben lehetnek titkai. Az információszabadság számos egyéni és társadalmi célt szolgálhat, például hozzásegítheti a magánszemélyeket ügyeik gyors és egyszerű elintézéséhez, tudományos kutatókat kutatásuk alapjául szolgáló adatok megismeréséhez, vagy akár szolgálhatja bárki érdeklődésének egyszerű kielégítését is. Az elmúlt évtizedek információs technológiájának viharos fejlődése érthető módon hatással van az információs jogok szabályozására és gyakorlatára egyaránt. A 90-es évek második felétől hazánkban is sorra jelentek meg olyan szabályok, amelyek meghatározott információk elektronikus közzétételi kötelezettségét írták elő. 2005-ben megszületett az elektronikus információszabadságról szóló 2005. évi XC. törvény (Eitv.). Az Avtvben biztosított jogokkal összhangban további pontosításokat jelent a jogok és kötelezettsége rendszerében. A fő gondolatmenetet a törvény célja fogalmazza meg az alábbiak szerint:


Adatbázisok használatának jogi háttere „1. § E törvény célja annak biztosítása, hogy a közvélemény pontos és gyors tájékoztatása érdekében a közérdekű adatok e törvényben meghatározott körét elektronikus úton bárki számára személyazonosítás és adatigénylési eljárás nélkül, folyamatosan és díjmentesen közzétegyék.” Környezetvédelmi adatbázisok révén jelen témakörben alapvető fontosságú meghatározni, hogy mit is értünk „környezeti információ” alatt. A 311/2005. (XII. 25.) Korm. rendelet a nyilvánosság környezeti információkhoz való hozzáférésének rendjéről c. rendelet részletesen definiálja a környezeti információ fogalmát (az Aarhusi Egyezmény 2. cikkének 3. bekezdésével összhangban). Környezeti információ minden olyan információ (adat), amely vonatkozik: a. a környezetre, illetve a környezeti elemek állapotára - ideértve a biológiai sokféleséget és annak összetevőit, valamint a géntechnológiával módosított szervezeteket -, valamint az ezen elemek közötti kölcsönhatásra; b. a környezetterhelésre, ideértve a zaj, sugárzás, hulladék, radioaktív hulladék környezetbe történ közvetlen vagy közvetett kibocsátására, ha az hatással van, vagy valószínűleg hatással lehet a környezet a) pontban meghatározott elemeire; c. környezettel összefügg intézkedésekre, különösen az azokkal kapcsolatos ágazati politikára, jogszabályokra, tervekre, programokra, megállapodásokra, illetve az a) és b) pontban meghatározottakra hatással lévő vagy valószínűleg hatással lévő tevékenységekre, valamint a környezet és a környezeti elemek védelmére hozott intézkedésekre és tevékenységekre; d. a környezetvédelmi jogszabályok végrehajtásáról szóló jelentésekre; e. a c) pontban említett intézkedések és tevékenységek keretein belül használt, költséghatékonysági és más gazdasági elemzésekre és feltevésekre; f. az emberi egészség és biztonság állapotára - ideértve az élelmiszerlánc szennyeződését, az emberi életfeltételeket, a kulturális helyszíneket és építményeket - amennyiben azokra a környezeti elemek állapota vagy ezeken az elemeken keresztül a b) vagy c) pontban említett bármilyen tényező vagy intézkedés hatással van, vagy hatással lehet. A környezeti információt lehetőség szerint elektronikus adatbázisokban kell nyilvántartani. A megfelelő szintű technikai feltételek rendelkezésre állása esetén a környezeti információt az adott szervezet hivatalos internetes honlapján is meg kell jeleníteni, a közölt adatok folyamatos frissítésével. Emberi egészséget vagy a környezetet érő közvetlen fenyegetés esetén – függetlenül attól, hogy emberi tevékenység vagy természeti ok idézi elő –, a környezeti információval rendelkező szerv a birtokában lévő vagy számára tárolt környezeti információt közzéteszi a várható kihatással érintett lakosság számára azonnal és késedelem nélkül, lehetővé téve a fenyegetésből származó kár megakadályozására vagy csökkentésére irányuló intézkedések megtételét.


6. fejezet - Adatminőségi osztályok (adatok pontossága, adatok megbízhatósága) Az Európai Közösségek Bizottsága a 96/23/EK tanácsi irányelvben rögzítette az analitikai módszerek elvégzése és az eredmények értelmezése terén használatos fogalmakat. A precizitás, vagy pontosság (precision) a mérési eredményeknek az átlagérték körüli ingadozását kifejező mértékszám (önálló vizsgálati eredmények közeliségét mutatja meg). A pontosság növelhető a párhuzamosan elvégzett mérések számával. A torzítás, helyesség vagy egzaktság (accuracy) a mérési eredmények átlagának valamilyen módon rögzített referenciaértéktől, valós értéktől való eltérése. A torzítás közvetlenül nem ismerhető fel a mérési eredményekből, és nem csökkenthető a vizsgálatok számának növelésével. Az ismételhetőség azt mutatja meg, hogy ugyanazt a vizsgálati mintát, ugyanaz a személy, azonos körülmények esetén más alkalommal milyen pontossággal tudja megmérni. A reprodukálhatóság pedig azt fejezi ki, hogy ugyanazt a vizsgálati mintát, azonos körülmények között más személy milyen precizitással méri meg. „Egy mérés nem mérés, egy számítás önámítás” – tartja a mondás. Egy mérést, ha többször megismételünk, azt tapasztaljuk, hogy mérési eredményeink ingadoznak, szórnak. A megismételhetőség jól szemléltethető egy céltáblával (5.1 ábra). Van öt lehetőség lőni. Vajon a céltábla közepén lesznek-e a találatok? A méréstechnika nyelvén megfogalmazva: a mért érték (aktuális találat) mennyire közelíti meg a valódi értéket (célpontot)?

6.1. ábra - A kezdő és a pontosan célzó „találatai”

Egy kezdő (1) pontatlan, találatainak nagy a szórása: minél nagyobb a bizonytalanság, annál kisebb az ismétlőképesség; míg a profi (4) pontos és precíz: a valódi értékhez közeli és jó ismétlőképességű.

6.2. ábra - A kezdő és a pontosan célzó „találatai”- szóródási görbe

A csúcsnál van a legvalószínűbb (várható) érték: itt csoportosulnak a találatok, a széles terjedelem pedig a nagy bizonytalanságra utal (nagy szóródásra) utal (5.2 ábra). Ezek a görbék a várható érték (m = mean) és a pontosság mértékét jellemző szórás (σ) paraméterekkel le. 50 Created by XMLmind XSL-FO Converter.

Adatminőségi osztályok (adatok pontossága, adatok megbízhatósága) Méréseink tehát mindig hibásak, és eredményeink megítélése szempontjából rendkívül fontos a mérési hiba nagyságának, és típusának ismerete. A hibaforrások közül a mérőeszközök tökéletlenségét, a kísérleti körülmények kismértékű változását (objektív hibák), és az érzékszerveink hibáját, a kísérletet végző személlyel kapcsolatos szubjektív tényezőket kell kiemelni. Az igen durva hibáktól eltekintve (mint pl. az eszközök helytelen használata, az eszköz/mérőműszer hibás leolvasása, vagy az adatok téves feljegyzése) a hibákat két nagy csoportba oszthatjuk: 1) Szisztematikus hibát okozhat a készülékek és eszközök pontatlansága, a kísérleti körülmények helytelen megválasztása, az eredmények helytelen értékelése. Ezek egy méréssorozatban minden eredményt azonos mértékben és irányban befolyásolnak (torzítanak), ezért nehéz ezeket a hibaforrásokat felfedezni. A valódi érték és a mért adatok átlagának eltérése adja a mérés torzítását (céltábla második ábrája és az alábbi 5.3 ábra illusztrálja a torzítást).

6.3. ábra - Szisztematikus hiba – torzítás illusztrációja

A torzítást a mérések átlagának (xátlag) a valós értéktől (xvalós) való eltérése jellemzi. Számszerű adatát a mérés során akkor lehet meghatározni, ha ismert a valós érték (referencia, vagy irodalmi adat). Az abszolút érték százalékában relatív hibaként szokták kifejezni (accuracy %):

2) Véletlen hibák a véletlen megfigyelési és leolvasási hibákból, az objektív és szubjektív kísérleti feltételek kismértékű, ellenőrizhetetlen ingadozásából, egyes műveletek helytelen kivitelezéséből származnak. Ezek szabják meg a vizsgálat pontosságát, hogy a mérési eredmények mennyire térnek el a középértéktől (milyen a mérés szórása), valamint az eredmény megismételhetőségét és reprodukálhatóságát. A véletlen hibák nagysága több párhuzamos mérés elvégzésével csökkenthető, mivel a számtani átlagban a hibák kompenzálják egymást. Kis pontosság esetén az egyes eredmények jelentős az eltérést mutatnak az átlagtól (céltábla harmadik ábrája és a 5.4 ábra mutatja be a jelenséget).

6.4. ábra - Véletlen hiba – szórás/pontosság illusztrációja

A pontosság mértékének megállapítására a szórás (s) számítását alkalmazzuk, amellyel a mért adatoknak az átlagtól való eltérését jellemezzük. Az egyes mérési eredmények átlagtól való eltérésének négyzetösszegét osztjuk a mérések számával, majd négyzetgyököt vonunk.


Adatminőségi osztályok (adatok pontossága, adatok megbízhatósága)

A pontosságot az átlag ± szórás alakban adhatjuk meg (Δ = xátlag ± s), vagy a mérés százalékos relatív hibájaként (δ % = 100 · s / xátlag).


7. fejezet - Adatok előkészítése kiértékelésre (szűrés, normalizálás, upróba, t-próba) 1. Szűrés Főként nagy mennyiségű adatok gyűjtése, és azok számítógépen történő regisztrálása során jelentkező hibát mutatunk be az alábbiakban. Előfordulhat, hogy egy-egy mérőberendezés valami okból kifolyólag leáll, majd automatikusan újraindul. Ilyen esetekben ezeket az értékeket ki kell szűrni (6.1 ábra, a sárgával jelölt rész törlendő), és törölni kell az adatbázisból a további feldolgozás előtt, ugyanis az adatbázis kezelő rendszerek nem képesek figyelmen kívül hagyni az érvénytelen adatokat.

7.1. ábra - Probléma az adatbázisban

A 6.2 ábra szereplő adatsor az Észak-dunántúli Környezetvédelmi Felügyelőség adatbázisából származik, a győri és esztergomi levegőtisztaság-védelmi mérőkonténerek regisztrálták. A szálló por PM10 és PM2,5-es frakcióit mutatja az ábra. A PM10 a 10 ;m átmérőnél kisebb részecskéket jelenti, míg a PM2,5 a 2,5 m-nél kisebbeket. Tekintettel arra, hogy a PM2,5 a PM10 részét képei, így nem lehet nagyobb az előbbi érték az utóbbinál. Tehát a szűrés nem feltételül merül ki csak az érvénytelen adatok kiszűrésében, előfordulhat, hogy további vizsgálatokat is kell végezni. A központi – online elérhető – adatbázisokból az ilyen típusú hibákat nem minden esetben távolítják el.

7.2. ábra - ÉDT-KTVF adatbázisából részlet

A mérési eredmények/adatok feldolgozásra történő előkészítése során, továbbá azok kiértékelési folyamataiban számos esetben találkozunk statisztikából ismerős fogalmakkal, összefüggésekkel. Az összes lehetséges esetet 53 Created by XMLmind XSL-FO Converter.

Adatok előkészítése kiértékelésre (szűrés, normalizálás, u-próba, tpróba) lehetetlen lenne itt felsorolni, de a leggyakrabban előforduló fogalmakat az alábbi fejezetben bemutatjuk. Egy rövid elméleti áttekintés után, mindenhol egy általunk választott/megoldott példán keresztül mutatjuk be azok gyakorlati alkalmazását.

2. Hibaszámítási adatok Számtani közép: az összes mérési eredmény figyelembe vételével számolt átlagérték.

Pontosság: a középérték

és a pontos érték X0 különbsége a pontos értékre vonatkoztatva.

Adatok szórása: az egyes mérési eredményeknek a középértéktől való eltérését mutatja. Definíciója szerint az adatok 2/3-ad része az

és

közötti tartományban található.

Szórásnégyzet (variancia): az adatok és a középértékek közötti eltérések négyzeteinek középértéke (Sx2) Középérték szórása (standard hiba): a középérték megbízhatóságának jellemzésére szolgál.

Változási együttható (variációs koefficiens): az adatok százalékos szórására ad felvilágosítást.

Középérték százalékos hibája (relatív hiba): az eredmények kiírható számjegyeinek számát ez alapján határozzuk meg.

Példa: Titrimetriás meghatározásnál a hallgatók által mért fogyások a következők: 0,98 cm 3; 0,78 cm3; 0,90 cm3; 0,94 cm3; 0,96 cm3; 0,98 cm3; 0,94 cm3; 1,00 cm3; 1,12 cm3; 1,05 cm3; 0,98 cm3; 1,02 cm3; 0,92. A pontos érték 1,00 cm3 lett volna. Határozzuk meg a hibaszámítási adatokat.

7.1. táblázat - Hibaszámítási adatok – feladat megoldása 1

B

C

D

2

Mért fogyás

Hibaszámítási adat Eredmény

Érték

3

0,98

Pontos (cm3)

-

4

0,78

1 Adatok száma (db) 13,00

-

5

0,90

2 Átlag (cm3)

-

6

0,94

3 Adatok (szórás)

szórása 0,08

0,98 cm3 ± 0,08 cm3

7

0,96

4

szórása 0,02

0,98 cm3 ± 0,02 cm3

középérték 1,00

Átlag

0,98


E

Adatok előkészítése kiértékelésre (szűrés, normalizálás, u-próba, tpróba) 1

B

C

D

2

Mért fogyás

Hibaszámítási adat Eredmény

E Érték

(standard hiba) 8

0,98

5 Variancia

0,01

-

9

0,94

6 Variációs 8,06 koefficiens

0,98 cm3 ± 8,06%

10

1,00

7 Átlag százalékos 2,31 hibája (relatív hiba)

0,98 cm3 ± 2,31%

11

1,12

8 Pontosság

1,00 cm3 ± 3,30%

12

1,05

13

0,98

14

1,02

15

0,92

3,31

1

2

D5=ÁTLAG(B3:B15)

3

4

5

6

D9=(D6*100)/D3

7

8

D4=DARAB(B3:B15) D8=VAR(B3:B15)

D6=SZÓRÁS(B3:B15) D10=(D7*100)/D5

D7=D5/(HATVÁNY(D3; 0,5)) D11=((D3-D5)*100)*D3

3. Student-féle egymintás t-próba Az egymintás próbák során az adathalmaz alapján becsült és az elméleti középérték, illetve szórások összehasonlítását végezzük. Amikor valamely adathalmaz becsült középértékének és az elméleti középértékének (X0) a különbözőségét akarjuk eldönteni a Student-féle egymintás t-próbát alkalmazzuk. Ilyenkor a képlet segítségével kiszámítjuk az adathalmazra jellemző t-értéket, melyet összehasonlítunk a Student-próba táblázatban szereplő kiválasztott hibavalószínűségének (általában P=5%) és DF=n-1 szabadsági foknak megfelelő t-értékkel. Ha a számított t-érték nagyobb, mint a táblázatban szereplő kritikus érték, a megengedhető P hibavalószínűségi szinten szignifikánsan különbözőnek tekintjük a becsült és az elméleti középértéket. Példa: Egy mérőoldat koncentrációja 0,2 M volt készítéskor. Bizonyos idő eltelte után a töménységet újból ellenőriztük: 0,1968; 0,1950; 0,2018; 0,1938; 0,1944 M. Megváltozott-e a mérőoldat összetétele?

7.2. táblázat - Egymintás t- próba – feladat megoldása adatok (M)

0,1967 0,1895 0,195 0,2018 0,1938 55 Created by XMLmind XSL-FO Converter.

Adatok előkészítése kiértékelésre (szűrés, normalizálás, u-próba, tpróba) 0,1944 átlag

0,1952

szórás

0,0040

átlag szórása

0,0016

t-számított

2,9223

elemszám

6

t-érték (leolvasott: P=5%; DF=n-1=5)

2,571

Következtetés: mivel a 6.2 táblázatban számított t-érték nagyobb, mint a 4.6. melléklet táblázatban szereplő kritikus érték, elmondható, hogy az oldat összetétele szignifikánsan megváltozott, a megengedhetőnél nagyobb mértékben.

4. Gyakorisági eloszlás A környezeti elemek (tulajdonságai időben gyakran változnak. Az adatok nagy szórása ellenére is értékelnünk kell a mérési eredményeket úgy, hogy azok a környezeti elem változására legyenek jellemzőek. Ezt úgy valósítjuk meg, hogy a vizsgált jellemző gyakoriságát és kumulatív gyakoriságát elemezzük. A gyakorisági adatokat hisztogram segítségével szemléltetjük. Gyakoriság vizsgálatakor arra vagyunk kíváncsiak n számú mérési adat esetében, hogy ezek közül egy adott „A” mérési tartományon (osztályon) belül hány mérési adatunk (K) szerepel. „K” értékét, azaz az egy osztályba tartozó mérési adatok számát osztálygyakoriságnak nevezzük. A kumulatív gyakoriság (összegzett gyakoriság, tartósság) tulajdonképpen a gyakoriság integrálja, vagyis a görbe alatti területtel egyenlő. Példa: Dolgozzuk fel egy nagyváros levegőjének SO2 szennyezettségére vonatkozó adatsorát. Határozzuk meg a szükséges paramétereket a relatív és az összetett gyakorisági eloszláshoz egyaránt.

7.3. táblázat - A feladat megoldása – 1. rész Napok

SO2 konc (µg/m3)

Rendezett adatsor

Osztályköz megállapításához használt osztó javasolt értékei

1

21,4

5,0

Adatok száma (n)

Osztó ( C )

2

9,7

5,0

0

3,7

3

10,8

6,5

30

4,1

4

14,3

8,0

50

4,5

5

20,6

8,4

75

4,8

6

20,2

9,1

100

5

7

10,9

9,3

150

5,3

8

5,0

9,6

200

5,5


Adatok előkészítése kiértékelésre (szűrés, normalizálás, u-próba, tpróba) Napok

SO2 konc (µg/m3)

Rendezett adatsor

Osztályköz megállapításához használt osztó javasolt értékei

9

10,1

9,7

300

5,8

10

14,5

10,1

400

5,9

11

18,9

10,8

500

6,1

12

20,2

10,9

700

6,3

13

12,5

10,9

1000

6,5

14

17,2

12,5

15

16,1

12,7

Adatok száma (n)

30,0

16

14,5

13,1

Minimum (Xmin)

5,0

17

9,6

14,3

Maximum (Xmax)

41,5

18

16,7

14,5

Átlag

14,2

19

16,8

14,5

Variáció szélesség (W=Xmax-Xmin)

36,5

20

13,1

16,1

Osztó értéke ( C )

4,1

21

9,3

16,7

Szórás közelítő értéke (S'=W/C)

8,9

22

12,7

16,8

Osztályköz értéke (A=S'/4)

2,2

23

21,2

17,2

24

41,5

18,9

25

10,9

20,2

26

5,0

20,2

27

6,5

20,6

28

9,1

21,2

29

8,4

21,4

30

8,0

41,5

A 6.3 táblázat adatsorai alapján elkészíthetjük a kén-dioxid adott hónapra jellemző 24 órás értékeiből álló vonaldiagramját 6.3 ábra.

7.3. ábra - SO2 koncentráció változása a mintahónapban 57 Created by XMLmind XSL-FO Converter.

Adatok előkészítése kiértékelésre (szűrés, normalizálás, u-próba, tpróba)

7.4. ábra - SO2 koncentráció változása a mintahónapban

A feladat megoldása során elkészítünk egy osztálybeosztást (koncentráció tartomány oszlop), majd meghatározzuk az egyes osztályokba tartozó elemek számát (gyakorisági adatok száma). Az Excel „gyakoriság” függvényének segítségével számítjuk ki a gyakorisági adatok számát (6.4 táblázat).

7.4. táblázat - A feladat megoldása – 2. rész Konc. tart.

Gyakorisági Relatív Relatív adatok gyakoriság gyakoriság A K/n (%) száma K/n (%) K

Konc. Kumulatív Kumulatív Kumulatív tart. A Gyakorisági Relatív Relatív adatok gyakoriság gyakoriság K/n (%) száma K/n (%) K

2

0

0,000

0,00

2

0

0,000

0,00

4

0

0,000

0,00

4

0

0,000

0,00

6

2

0,067

6,67

6

2

0,067

6,67

8

2

0,067

6,67

8

4

0,133

13,33

10

5

0,167

16,67

10

9

0,300

30,00

12

4

0,133

13,33

12

13

0,433

43,33

14

3

0,100

10,00

14

16

0,533

53,33

16

3

0,100

10,00

16

19

0,633

63,33

18

4

0,133

13,33

18

23

0,767

76,67


Adatok előkészítése kiértékelésre (szűrés, normalizálás, u-próba, tpróba) Konc. tart.

Gyakorisági Relatív Relatív adatok gyakoriság gyakoriság A K/n (%) száma K/n (%) K

Konc. Kumulatív Kumulatív Kumulatív tart. A Gyakorisági Relatív Relatív adatok gyakoriság gyakoriság K/n (%) száma K/n (%) K

20

1

0,033

3,33

20

24

0,800

80,00

22

5

0,167

16,67

22

29

0,967

96,67

24

0

0,000

0,00

24

29

0,967

96,67

26

0

0,000

0,00

26

29

0,967

96,67

28

0

0,000

0,00

28

29

0,967

96,67

30

0

0,000

0,00

30

29

0,967

96,67

32

0

0,000

0,00

32

29

0,967

96,67

34

0

0,000

0,00

34

29

0,967

96,67

36

0

0,000

0,00

36

29

0,967

96,67

38

0

0,000

0,00

38

29

0,967

96,67

40

0

0,000

0,00

40

29

0,967

96,67

42

1

0,033

3,33

42

30

1,000

100,00

Össz

30

1,000

100,00

A relatív gyakoriság és a relatív %-os gyakoriság oszlopok kitöltése után megrajzolhatók a gyakorisági eloszlás és kumulált gyakorisági eloszlás függvényeink (6.4 ábra és 6.5 ábra).

7.5. ábra - SO2 tartalom relatív gyakorisági eloszlása



7.6. ábra - SO2 összegzett relatív gyakorisági eloszlása

5. Szórás, konfidencia intervallum Példa: Egyik munkánk során Veszprémben szálló por mintavételezést végeztük 4 helyszínen (6.6. ábra) elsődlegesen olyan meggondolásból, hogy meghatározhassuk, a járműforgalommal különbözőféleképpen terhelt területeken a PM10-ben milyen arányt képvisel a PM2,5 frakció. A mérési sorozatok megkezdése előtt a két – mérések során alkalmazott – mintavevővel párhuzamos méréseket végeztünk (azonos előleválasztó fejeket használva, 6.5 és 6.6. táblázat), annak megállapítására, hogy a mérések során kapott eredmények mennyiben felelnek meg a pontossági kritériumoknak.

7.7. ábra - Párhuzamos mérési helyszínek - Veszprém



Elvégeztük a 95%-os megbízhatósági szinthez tartozó statisztikai vizsgálatokat, a számítási eredmények alapján pedig megállapítható volt, hogy a két féle előleválasztó fejjel végzett párhuzamos összemérésekre kiszámolt K 95 konfidencia intervallumok1 teljesítik a mérések pontosságával kapcsolatos előírásokat, azaz K 95 ≤ 5 µg/m3.

7.5. táblázat - PM10 - párhuzamos mérések eredményei Készülék / Minta azonosító

Dátum/I dő

t

p [mbar]

[h]

T

V

[°C]

[m3]

V0 * [m3]

mpor

c*

[mg]

[µg/m3]

indulleáll 861

P1

szept.04 16:00 szept.05 16:00

24

957

25,6

754,2

699,2

10,0

14,3

861

P2

szept.05 16:00 szept.06 16:00

24

958

26,8

755,3

698,0

12,9

18,5

861

P3

szept.06 16:00 szept.07 16:00

24

954

28,4

758,9

694,7

29,3

42,2

963

P4

szept.04 16:00 szept.05 16:00

24

958

25,4

753,6

699,8

9,5

13,6

Ismert paraméterű mintából következtetünk az ismeretlen paraméterű alapsokaságra. Az alkalmazásokban legtöbbször 95%-os megbízhatósági szintű konfidencia-intervallumokat használnak. 1


Adatok előkészítése kiértékelésre (szűrés, normalizálás, u-próba, tpróba) Készülék / Minta azonosító

Dátum/I dő

t

p [mbar]

[h]

T

V

[°C]

[m3]

V0 * [m3]

mpor

c*

[mg]

[µg/m3]

indulleáll 963

P5

szept.05 16:00 szept.06 16:00

24

954

26,9

757,0

696,5

13,4

19,2

963

P6

szept.06 16:00 szept.07 16:00

24

954

28,4

758,9

694,7

28,9

41,6

V0 * [m3]

mpor

c*

[mg]

[µg/m3]

50,9

71,9

*293K hőmérsékletre; 1,013kPa nyomásra átszámítva

7.8. ábra - PM10 - párhuzamos mérések eredményei ábrázolva

7.6. táblázat - PM2,5 - párhuzamos mérések eredményei Készülék / Minta azonosító

Dátum/I dő

t

p [mbar]

[h]

T

V

[°C]

[m3]

13,9

706,0

indulleáll 861

P7

okt.27 15:00 okt.28 15:00

24

944


708,4

Adatok előkészítése kiértékelésre (szűrés, normalizálás, u-próba, tpróba) Készülék / Minta azonosító

Dátum/I dő

t

p [mbar]

[h]

T

V

[°C]

[m3]

V0 * [m3]

mpor

c*

[mg]

[µg/m3]

indulleáll 861

P8

okt.28 15:00 okt.29 15:00

24

942

15,5

709,3

705,6

29,3

41,5

861

P9

okt.29 15:00 okt.30 15:00

24

937

16,8

711,9

702,2

10,7

15,3

963

P10

okt.27 15:00 okt.28 15:00

24

944

14,2

708,5

708,1

50,5

71,3

963

P11

okt.28 15:00 okt.29 15:00

24

942

15,9

711,2

705,1

29,2

41,4

963

P12

okt.29 15:00 okt.30 15:00

24

935

17,7

713,7

700,3

10,9

15,6

* 293K hőmérsékletre; 1,013kPa nyomásra átszámítva

7.9. ábra - PM2,5 - párhuzamos mérések eredményei ábrázolva



Látható, a következő . táblázatban, hogy a K95 konfidencia intervallumok mindkét esetben teljesítik a pontossággal kapcsolatos előírásokat (K95 ≤ 5 µg/m3).

7.7. táblázat - Statisztikai vizsgálatok eredménye Párhuzamosa Di (µg/m3) n mért minták jele (különbség)

Di2 (µg/m3)2

Di2 /2n

|P1-P4|

0,7

0,49

0,082

|P2-P5|

0,7

0,49

0,082

|P3-P6|

0,6

0,36

0,060

|P7-P10|

0,6

0,36

0,060

|P8-P11|

0,1

0,01

0,002

|P9-P12|

0,3

0,09

0,015

∑Di2 /2n

Sa

K95

PM10 0,223

0,47

2,03

PM2,5 0,077

0,28

1,20

6. Kiugró értékek ellenőrzése (normalizálás) Vannak esetek, amikor egy adathalmazról el kell döntetnünk, hogy a kiugrónak vélt adatokat kizárjuk-e, vagy figyelembe vegyük a számításoknál. Több módszer is létezik az ilyen vizsgálatokra, mint például a Dixon-féle rpróba, a Nalimov-próba, illetve a jelen esetben bemutatott – legegyszerűbb és leggyorsabb – Z-próba. Példa: Egy adatsor a következő elemekből áll: 9, 10, 14, 8, 11, 20, 11, 8, 3, 10, 11. Kizárjuk-e a kiugrónak vélt 3-as és 20-as adatokat az átlagszámításból? Standardizálással oldható meg a feladat a legegyszerűbben.



7.10. ábra - A standard normáleloszlás sűrűségfüggvénye

Lehetőség van Excel programban standardizálásra és a kritikus Z érték meghatározására. Standardizálás: Normalizálás(X;középérték;szórás), mely középértékkel és szórással megadott adatokból standardizált (normalizált) értéket ad eredményül, vagyis a számított Z értéket. A kritikus Z érték: Storneloszl(X), mely a standardizált normáleloszlás értékét számítja ki, így használható a kritikus Z értéket tartalmazó táblázat helyett.

7.8. táblázat - Feladat megoldása standardizálással adatok

3 8 8 9 10 10 11 11 11 14 20

átlag

10,45

szórás

4,18

Z(max)=(Xmax-Xátl)/Sx

2,28

Z(min)=(Xmin-Xátl)/Sx

-1,78


Adatok előkészítése kiértékelésre (szűrés, normalizálás, u-próba, tpróba) Akkor tekintenénk az értékeket kiugrónak jelen példában a Z próba alapján, ha ± 3 értéken kívül esne. Ez a feltétel nem teljesül, tehát nem kiugró értékek jelen vizsgálati módszer alapján.


8. fejezet - Környezetvédelem során mért adatok különleges feldolgozása 1. A mérőeszközök megválasztása A mérőeszközöket, műszereket jellemezhetjük azok leolvasási pontosságával. Vegyük példának a mérlegeket. Beszélhetünk táramérlegről, vagy éppen a pontosabb eredményeket mutató analitikai mérlegről. A megfelelő választást a vizsgálat célja határozza meg.

8.1. ábra - Nagytérfogat-áramú pormintavevő, és a szűrőpapíron felfogott porminta

Példa: Adott egy gravimetriás módszerrel meghatározandó porminta (7.1 ábra). A mintát egy nagytérfogatú pormintavevő segítségével vesszük. Adott térfogatárammal levegőt szívatunk át a rendszeren, és a „levegő útjába” szűrőpapírt teszünk. A szűrőpapírt (szabványban meghatározott módon) klimatizált mérlegszobában a mintavétel előtt üresen, és a mintavételezés után is lemérjük. A kettő különbsége adja a mérési időintervallumra jellemző por tömegét. A tömegeket minden esetben korrigálni kell a referencia szűrőpapírunk tömegváltozásával. Rendkívüli pontosságot megkövetelő mérési folyamatról révén szó, ebben az esetben alapkövetelmény, hogy mérlegünk négy tizedes jegy pontosságig legyen képes eredményt szolgáltatni. Felesleges nagy érzékenységű analitikai mérleget használnunk például akkor, ha valamilyen reagens-oldatot készítünk, amit aztán mérőhengerrel adunk a vizsgálandó anyaghoz. Fontos szem előtt tartani a mérőműszerek mérési tartományát is, hogy azok a vizsgálat céljának megfeleljenek.

2. Megfelelő mérési körülmények biztosítása A mintavétel módja és helyszíne minden esetben függ a vizsgálat céljától, a szennyezés jellegétől, kiterjedésétől, illetve hogy milyen típusú mintavételezésről van szó (on-line1 , in-line 2 , vagy off-line 3 ). Ezek figyelmen kívül hagyása esetén a mintánkra vonatkozó eredmények nem lesznek reprezentatívak. A helyszíntől távol vizsgálandó minták esetében (off-line) figyelemmel kell lenni a minták tartósítására, szállítására és tárolására.

Helyszínen történő szakaszos mintavétel, átlagértékeket kapunk. Helyszínen történő folyamatos mintavétel, melyből átlagérték származtatható. 3 Helyszíntől függetlenül, egy távolabbi helyszínen történik az analízis. 1 2


Környezetvédelem során mért adatok különleges feldolgozása A vonatkozó szabványok részletes leírást adnak minden mintavételezéssel és vizsgálattal kapcsolatos tevékenységről, előírásokról. Vízmintavétel esetében például fontos szem előtt tartani, hogy a levegővel történő érintkezés megváltoztathatja a minta tulajdonságait. A vízminőség legtöbb esetben helyileg és térben is változik, tehát rendszerint sorozatos mintavétel szükséges. Felszín alatti vizek mintavételezése esetén (monitoring kútból) nem a kútban összegyűlt vizet vizsgáljuk, hanem a kútban lévő víz mennyiségének háromszorosát először kitermeljük, és az utána, a földtani közegből helyére áramló vízből kell a mintát venni. A mintatároló edényre vonatkozóan is vannak követelmények, a víz szerves komponenseinek vizsgálatához rendszerint üvegből, szervetlen komponenseinek analíziséhez pedig műanyagból készült palackot kell használni, mintával ezeket túl kell tölteni, és légmentesen szállításhoz lezárni Földtani közeg vizsgálatánál lehetőleg genetikai szintenként kell mintázni. A művelt felső réteget a művelés mélységéig (0-20 vagy 0-30 cm), a bolygatatlan altalajt általában 30 cm-enként. A vizsgálatok jellegéből, céljából adódóan azonban a mintavételi mélység változhat. Szennyezett területen, pl. gyárudvaron, gyakran több méter mélységben nem talaj a takaró réteg, hanem salak vagy iszapok, egyéb üzemi hulladék. Szennyezés esetén a transzportfolyamatokat a földtani közeg szerkezete jelentősen befolyásolja. Levegőtisztaság-védelem területén is megvannak a követelmények a mintavételezés reprezentatív kivitelezéséhez. Immissziós telepített/mobil mérőállomások esetén a mintavételi magasság 3-5 m magasságban legyen, a mintavevő beszívó nyílásait és a meteorológiai árbocot környezeti tárgyak ne zavarják (épületek, fák), és helyükről a szabad égbolt legalább 45° alatt látható legyen minden irányban. Az állomás jó átszellőzésű legyen, és nem lehet szennyező forrás közvetlen közelében. Ez utóbbi miért fontos? A várpalotai mérőkonténer a város egyik legforgalmasabb útszakasza mellett van telepítve. Ennek köszönhetően téli (fűtési) időszakban a szükségesnél gyakrabban kell elrendelni szmog riadót a megnövekedett szálló por koncentráció miatt.


9. fejezet - Adattárolási módok számítógépes feldolgozás során Az adatbázis többnyire strukturált adatok összessége, amelyet egy tárolására, lekérdezésére és szerkesztésére alkalmas szoftvereszköz kezel. Ezek közül ma már egyre inkább az osztott adatbázisok jelentősége nőtt meg.

1. Osztott adatbázisok Az osztott adatbázisok létrehozásának célja több irányba is mutat. E célok lehetnek: • minél nagyobb adatelérési sebesség biztosítása – például a GRID típusú hálózatok alkalmazása esetén; • megosztott munkavégzés (ide értve nem csak a gépek számítási kapacitását, hanem az emberi erőforrásokat is) • megnövelt adatbiztonság • a legjobb tároló hely kihasználtság biztosítása E célok megvalósítását a következő példák szemléltetik.

1.1. GRID rendszerek Az elmúlt évek legígéretesebb informatikai fejlesztési iránya a GRID rendszerek irányába mutatott. Az elképzelés alapja, hogy a mai számítógépek számítási teljesítménye – és sok esetben tárolási is – jelentősen meghaladja a hétköznapi felhasználáshoz szükséges értéket. Tipikus példa erre az adminisztrációs számítógépek, amelyek, melyek a tapasztalatok alapján átlagosan legfeljebb 30%-t használják ki a rendszer számítási teljesítményének. A nem használt teljesítmény kihasználásával több nagy számításigényű alkalmazást sikerült világszerte megvalósítani. Az első szakmailag igen sikeres – bár a célját eddig el nem érő – kísérlet a SETI@Home rendszere volt, amit a Berkeley Egyetem fejlesztett és tart fent a mai napig. E rendszerben a legjobb időszakban 1,5 millió számítógép dolgozott egyszerre. A siker hatására számos egyéb területre elkezdték fejleszteni a GRID-es alkalmazásokat, így nemsokára megjelentek az adatbázis kezelés területén, majd megalkották az Open Grid Services Architecture-t, amely jelentősen megkönnyítette a fejlesztési munkákat. A térinformatika területén szintén a számítási teljesítmény minél jobb kihasználása volt az elsődleges cél, de itt már megjelenik a nagy méretű adatbázisok felosztásának az igénye is.

2. Adatbiztonság Az adatbázisok megosztása esetén kiemelt szempont lehet az adatok biztonsága. Egy adatbázis felépítése és karbantartása ma már lényegesen nagyobb értéket képvisel egy rendszer összértékében, mint 15-20 évvel ezelőtt (8.1 ábra). Ezen felül, míg egy szoftver vagy hardver elemet újra elő lehet állítani, az adatra ez legtöbbször nem igaz. Ezért egyre fontosabb az adatok biztonsága.

9.1. ábra - A hardver, szoftver és az adat árainak egymáshoz viszonyított aránya a számítástechnika korai korszakában és ma


Adattárolási módok számítógépes feldolgozás során

Ezt az adatvédelmi igényt meg lehet oldani folyamatos mentési rendszer felállításával. Ez régebben egyszerű mentésekkel oldották meg (például minden éjszaka), amit később kiegészített a mentett adatok folyamatos tükrözése (például RAID1 vagy RAID5 szervezésű meghajtók üzembe állításával). Ezeknek a módszereknek közös hátrányuk volt, hogy jellemzően fizikailag közel tárolták egymáshoz az éles és a mentett adatokat, ami egy szerencsétlenség vagy egyéb nem várt esemény bekövetkeztekor gyakran járt teljes adatvesztéssel. A széles sávú internet megjelenésével lehetségessé vált a mentések és az éles adatok földrajzilag történő elkülönítése. A földrajzi elkülönítés klasszikus formája a teljes adatállomány teljes átmásolása a világ más pontján lévő biztonsági tározóra. Ez azonban nagy méretű adatbázisok esetén – még a korszerű tömörítési módszerek ellenére is – igen időigényes volt. Erre hozott megoldást az osztott adatbázisok használata, amelyet ötvöztek a 90’ évek végén – igaz más okokból – népszerűvé vált Peer-To-Peer (P2P) technikájával. A kialakított megoldás alapgondolata a következő ábrasorral szemléltethető. Egy 10 TiB méretű adatbázis hardver oldali felépítése klasszikus módon a következő (8.2 ábra):

9.2. ábra - Klasszikus – adatbiztonságra kiépített – adatbázis hardver környezet

Az osztott adatbázisok egyrészt logikailag feldarabolva az adatbázist lecsökkentik a részek méretét – bár sok esetben megnövelik az összes méret – így lehetővé válik, hogy minden rész önálló, kisebb méretű, olcsóbban beszerezhető és fenntartható tárhelyen helyezkedjék el. Ez egyben segíti az adatlekérdezéshez kötődő sávszélesség legjobb kihasználását is. (8.3 ábra)

9.3. ábra - Osztott – adatbiztonságra kiépített – adatbázis hardver környezet



A legkorszerűbb és igen költséghatékony rendszerek jellemzően nem használnak helyi fizikai tükrözést, hanem adatbázis-szegmensenként legalább három számítógép között P2P kapcsolattal folyamatosan biztosítják a gépeken lévő tartalom szinkronizálását. Ez esetben jellemzően mindhárom gép képes adatszolgáltatásra is, ami nagy mértékben megnöveli a lekérdezések válaszsebességét – főleg konkurens felhasználói környezetben. Biztonsági okokból e rendszerekről is készül időnként teljes adatbázismentés, ami egy a szándékos – emberi – beavatkozásra történő adatvesztés kivédésére szolgál. E korszerű rendszerek felépítését alább láthatjuk (8.4 ábra)

9.4. ábra - Korszerű – adatbiztonságra kiépített – adatbázis hardver környezet




10. fejezet - Adatábrázolási technikák, mérési hibák vizuális ábrázolása, görbe és trendvonal illesztése adatsorokra 1. Adatábrázolási technikák Mért adataink gyors áttekintésének módszere a grafikus ábrázolás, végeredménye pedig a grafikon. A grafikonos ábrázolás-technikai eszközei mértani elemek: pont, vonal, téglalap, kör, továbbá ezek kombinációi, így ennek megfelelően beszélhetünk pont-, vonal-, terület- és síkdiagramról. A grafikus ábrázolás módját, eszközét mindig az elérni kívánt cél határozza meg. A mérések számától, illetve a vizsgált változó jellegétől függően különböző ábrázolási módok alkalmazhatók. Néhány speciális grafikus ábra (mint a dobozdiagram és a szár-levél diagram) csak kimondottan statisztikai programok segítségével készíthető el (SPSS), de a legtöbb – a manapság már minden számítógép használó számára elérhető – Excel program segítségével is létrehozható.

1.1. Poláris diagram – sugár diagram A diagramtípus alkalmazási módjának szemléletes bemutatására nézzünk meg egy példát. Készítsünk el a vizsgált mintavételi helyre jellemző összessó-tartalom csillagábrát a megadott adatok alapján.

10.1. táblázat - Vizsgált mintavételi helyre jellemző összessó-tartalom jellemző és számított adatsorai mg/l

egyenérté mgegyenérté k súly egyenérté k % S k

a (cm)

2,6

2,6

K+

0

39,098

0

0

0

2,6

0

Na+

2

22,99

0,87

1,22

0,1

2,6

2,6

Ca2+

101,2

20,04

5,05

70,68

7,4

2,6

0,1

Mg2+

24,4

12,152

2,008

28,1

2,9

2,6

2,6

∑kation

-

-

7,145

100

-

2,6

7,4

SO42-

10

48,029

0,208

1,51

0,2

2,6

2,6

Cl-

0,5

35,453

0,014

0,1

0

2,6

2,9

HCO3-

555

61,017

9,096

65,83

6,9

2,6

2,6

CO32-

135

30,005

4,499

32,56

3,4

2,6

0,2

∑anion

-

-

13,817

100

-

2,6

2,6

∑

-

-

20,962

-

-

2,6

0


K+

Na+

Ca2+

Mg2+

SO42+

Cl-

Adatábrázolási technikák, mérési hibák vizuális ábrázolása, görbe és trendvonal illesztése adatsorokra mg/l

621 µS/cm

egyenérté mgegyenérté k súly egyenérté k % S k sugár r

a (cm)

2,6

2,6

2,6

2,6

2,6

2,6

6,9

2,6

2,6

2,6

3,4

HCO3-

CO32-

El kell készíteni a táblázat első fele alapján a poláris diagramunk adattábláját (utolsó 3 oszlop, 9.1 táblázat. Vizsgált mintavételi helyre jellemző összessó-tartalom jellemző és számított adatsorai), majd a diagramvarázsló sugár-diagram típusának kiválasztásával elkészíthető az alábbi, 9.1 ábra.

10.1. ábra - Összes só-tartalom csillagábra

Az ábráról leolvasható, hogy a legnagyobb részesedésű a kationok közül a Ca 2+, az anionok közül pedig a HCO3.

1.2. Pontdiagram és a vonaldiagram A pontdiagram és a vonaldiagram nagyon hasonlít egymásra, különösen, ha a pontdiagramon az összekötő vonalak is fel vannak tüntetve. Egy formázott pontdiagram számértékeket jelenít meg a vízszintes és a függőleges tengely mentén; az értékeket pedig az adatpontokban egyesíti. Ezzel szemben a formázott vonaldiagram a kategóriaadatokat (jelen esetben időközöket) a vízszintes tengely mentén, a számértékeket pedig a függőleges tengely mentén egyenletesen elosztja.

10.2. ábra - Példaként bemutatott 9.3 diagramjának adatsora – részlet a 24 órás mérés eredményeiből


Adatábrázolási technikák, mérési hibák vizuális ábrázolása, görbe és trendvonal illesztése adatsorokra

10.3. ábra - Hőmérséklet – UVA sugárzás pont (felső)- illetve vonaldiagramon (alsó)


Adatábrázolási technikák, mérési hibák vizuális ábrázolása, görbe és trendvonal illesztése adatsorokra Tehát pont- és a vonaldiagram között az a legfőbb különbség, ahogyan az adatokat a tengelyeken ábrázoljuk. Ha például a 9.2 ábrán szereplő munkalapadatok alapján készítünk egy pont- és egy vonaldiagramot, látható, hogy az adatok elosztása eltérő lesz a két esetben (9.3. ábra.).

1.3. Területdiagram Egy vagy több adathalmazból képezett görbe által lefedett terület megjelenítését szolgálja (9.4 ábra). Vonal-, illetve pontdiagramnál látványosabb prezentációját szolgálja az adatoknak.

10.4. ábra - 2010. október 8-9. – Devecseri mérésünk PM10 koncentráció értékei és a határérték

1.4. Kör- és perecdiagram A kördiagram és a perecdiagram is a részek egészhez való viszonyát tükrözi, a perecdiagram ugyanakkor több adatsort is tartalmazhat egyszerre.

10.5. ábra - Földhasználat művelési ágak szerint (2010) – KSH adatai szerint



10.6. ábra - Földhasználat művelési ágak szerint – KSH adatai szerint

A perec diagram lehetőséget biztosít több adatsor egyidejű összehasonlítására (9.6 ábra). Az előző ábrán látható 2010-es statisztikai adatokat összehasonlíthatjuk például korábbi évek statisztikai adataival. Példánk esetében a 2008-as és 2010-es évet vizsgáltam.

10.7. ábra - Földhasználat művelési ágak szerint (2010-külső perec, 2008-belső perec) – KSH adatai szerint



1.5. Oszlopdiagram Az oszlopdiagramok a nagyságok, eloszlások, vagy részekből összetevődő egész alkotóelemeinek egymáshoz való viszonyát (halmozott oszlop) képesek szemléltetni. Az oszlopok nagysága rendszerint arányos az ábrázolni kívánt mennyiséggel. Az oszlopdiagram szerkezete alapján lehet egyszerű, kétirányú (két egymással logikailag összefüggő adatsor esetén, 9.7 ábra), osztott (összetétel ábrázolása, 9.8 ábra). Speciális változata a gyakorisági eloszlások szemléltetésére használt ún. hisztogram, melynek vízszintes tengelyén az osztályokat, függőleges tengelyén a gyakoriságokat ábrázoljuk (9.7 ábra).

10.8. ábra - Balaton Pláza – egyidejűleg mért PM10/PM2,5 szálló por frakciók koncentráció értékei



10.9. ábra - Balaton Pláza – PM2,5 frakció aránya a PM10 koncentrációban

10.10. ábra - Diagram rajzolása


11. fejezet - Nagy mennyiségű adatok kezelése és összehasonlítási módszerei Bármilyen adatfeldolgozás első lépése az adatsor ellenőrzése, melynek során a kiugró, nem reális értékeket ki kell zárni az értékelésből. Számolnunk kell azzal a ténnyel is, hogy hosszú időtartamú mérések esetén meghibásodás, kalibrálás miatt mindig történik adatkiesés is. A hatályos jogszabály alapján ahhoz, hogy az értékelés elfogadható legyen, minimálisan 90 %-os adatmennyiség szükséges. Az adatok magas szintű kezelésének az alapja a kapcsolati vizsgálatok. A kapcsolati vizsgálatok környezetvédelemben használt leggyakoribb típusa a koncentráció görbe és a Lorenz.

1. Lorenz görbe és a Gini együttható A összes adat jelentős részének kis tartományba történő csoportosulását koncentrációnak nevezzük. Típusai: • Abszolút (a csoportosulás nagyon kis tartományba történik) • Relatív (a teljes tartományhoz képest kicsi a tömörülés) • Negatív (ha egyenletes az eloszlás) A koncentráció ábrázolását Lorenz görbével szoktuk megoldani. Ezt rangsorból vagy osztályközös kumulált relatív gyakoriságból állítjuk elő. A Lorencz görbe egy egységoldalú (jellemzően 100*100-as) négyzetben elhelyezett ábra, ami a kumulált relatív gyakoriságok függvényében ábrázolja a kumulált relatív értékösszegeket. Amennyiben az egységeknek az értékösszegből való részesedése azonos, azaz teljesen egyenletes az eloszlás, akkor a kumulált relatív gyakoriságok és a kumulált relatív értékösszegek minden esetbe megegyeznek. Ekkor a görbe azonos a négyzet átlójával. (Teljes egyenlőség áll fenn.) Előfordulhat, hogy teljes koncentráció, vagyis teljes egyenlőtlenség lép fel, ebben az esetben a görbe egybeesik a négyzet oldalaival (azaz a tengelyekkel). A Lorenz görbe kiemelt jelentőségű része a koncentrációs terület, azaz az átló és a Lorenz görbe által bezárt terület. Minél nagyobb ez a terület, annál nagyobb a koncentráció. Bizonyos esetekben a görbe már nem ad értékelhető eredményt, ezért azt számszerűsíteni kell. Erre szolgál a Gini együttható. Számítása:

Példa: Egy ipari parkban 14 szennyvíz-forrás üzemel. Ábrázoljuk, illetve fejezzük ki Gini együtthatóval, mennyire egyenletesen veszik ki a részüket az ipari park összes szennyezéséből az egyes források.

11.1. táblázat - Szennyvízkibocsátók az ipari parkban. A

B


C

D

Nagy mennyiségű adatok kezelése és összehasonlítási módszerei

A

B

C

D

1

Forrás megnevezése

Szennyvíz kibocsájtás (m3/nap)

→

Rangsor

2

Kis ZRt.

100

50

3

Lakatos Kft.

250

90

4

Kereki Kft.

110

100

5

Kovács ZRt.

340

100

6

Szalonka NyRt.

50

110

7

Kocsis Kft.

230

110

8

Nyulas Kft.

170

120

9

Tamás NyRt.

210

150

10

Mérleg ZRt.

100

170

11

Takács Kft.

120

210

12

Motoros Kft.

90

230

13

Keleti ZRt.

150

230

14

Lajos Kft.

110

250

15

Kertész Kft.

230

340

11.1. ábra - Szennyvízkibocsátók az ipari parkban.



Első lépésként rangsort (lásd. fent), majd osztályközös gyakoriságokat készítünk.

A fenti egyenleteket MS Office és LiberOffice esetén a következő módon tudjuk kiszámolni:

11.2. táblázat - Előzetes számítások a Gini-együtthatóhoz. F

G

1

Osztályközös gyakoriság

2

N

14*

3

k

4**

4

h

97,5***

* MS Office esetén: =DARAB(D:D) * LibreOffice esetén: =DARAB(D2:D15) ** MS Office esetén: =KEREK.FEL(LOG10(DARAB(D:D))/LOG10(2);0) ** LibreOffice esetén: =KEREK.FEL(LOG(DARAB(D2:D15);10)/LOG(2;10);0) ***MS Office és LibreOffice esetén: =(MAX(D:D)- MIN(D:D))/G3 Következő lépésben létrehozzuk az osztályközöket:



11.3. táblázat - Osztályközök létrehozása. J

K

L

M

1

Yi0

Yi1

Xi

fi

2

50

122

86

7

3

123

195

159

2

4

196

267

231,5

4

5

268

340

304

1

11.2. ábra - Osztályközök

Ehhez a táblázathoz az alábbi makrót kellet használni MS Office-ban: Sub Ösztályköz_képzés() Dim Köz As Double Dim t, r As Integer Köz = Cells(2, 4) For t = 1 To Cells(3, 7) If t = 1 Then Cells(t + 1, 10) = Int(Köz) Else


Nagy mennyiségű adatok kezelése és összehasonlítási módszerei Cells(t + 1, 10) = Cells(t, 11) + 1 End If Köz = Köz + Cells(4, 7) Cells(t + 1, 11) = Int(Köz) Cells(t + 1, 12) = (Cells(t + 1, 10) + Cells(t + 1, 11))/2 Next t r=0 Köz = 1 For t = 2 To Cells(2, 7) + 1 If Cells(Köz + 1, 11) >= Cells(t, 4) Then 'Még az aktuális osztályközben vagyunk r=r+1 Else ’Új közbe léptünk Cells(Köz + 1, 13) = r Köz = Köz + 1 r=1 End If Next t End Sub Következő lépésként a relatív gyakoriságot és a relatív kumulált gyakoriságot számoljuk ki:

11.4. táblázat - Gyakoriságok értékei. M

N

O

1

fi

gi

g’i

2

7

0,500

0,500

3

2

0,143

0,643

4

4

0,286

0,929

5

1

0,071

1,000

Ezt MS Office és LiberOffice esetén is a következő képletekkel értük el:

11.5. táblázat - Gyakoriságok számítása.



M

N

O

1

fi

gi

g’i

2

7

=M2/$G$2

=N2

3

2

=M3/$G$2

=O2+N3

4

4

=M4/$G$2

=O3+N4

5

1

=M5/$G$2

=O4+N5

Ezután meghatározzuk a relatív értékösszegsort és a kumulált relatív értékösszegsort:

11.6. táblázat - Érkékösszegsorok. P

R

O

1

si

Zii

s’i

2

602

0,280

0,280

3

318

0,148

0,428

4

926

0,431

0,859

5

304

0,141

1,000


11.7. táblázat - Értékösszegsorok számítási módja. P

Q

R

1

si

Zii

s’i

2

=L2*M2

=P2/SZUM(P2:P5)

=Q2

3

=L3*M3

=P3/SZUM(P2:P5)

=Q3+R2

4

=L4*M4

=P4/SZUM(P2:P5)

=Q4+R3

5

=L5*M5

=P5/SZUM(P2:P5)

=Q5+R4

A Lorenz görbe megrajzolásához a relatív kumulált gyakoriságot (O oszlop) kell ábrázolni a kumulált relatív értékösszegsor függvényében. (Javasolt XY grafikont alkalmazni.) Az eredmény a következő lesz:

11.3. ábra - Lorenz görbe.



A Gini együttható meghatározásához érdemes segédtáblázatot készíteni:

11.8. táblázat - Gini együtthatóhoz szükséges segédtábla S

T

U

V

2

0,140

0,000

3

0,095

0,074

Gini együttható:

4

0,400

0,277

0,259

5

0,141

0,131

0,776

0,482

1

6

Összesen:


11.9. táblázat - Gini együtthatóhoz szükséges segédszámítások. S

T

U

V

2

=O2*P2/SZUM($P$ 2:$P$5)

0

3

=O3*P3/SZUM($P$ =O2*P3/SZUM($P$ 2:$P$5) 2:$P$5)

Gini együttható:

4

=O4*P4/SZUM($P$ =O3*P4/SZUM($P$ 2:$P$5) 2:$P$5)

=T6+U6-1

1



S

T

5

6

U

V

=O5*P5/SZUM($P$ =O4*P5/SZUM($P$ 2:$P$5) 2:$P$5) Összesen:

=SZUM(T2:T5)

=SZUM(U2:U5)

A Gini együttható értéke 0,259 (igen kis mértékű koncentráció tapasztalható), ami azt jelenti, hogy a szennyezők közül bár vannak nagyobbak, egyikük sem erőteljes annyira, hogy a szennyvízkibocsátása meghatározó legyen.


12. fejezet - Adattrendek használatának lehetőségei a fenntartható fejlődés tervezésének támogatására Az emberi élet minőségét jelentősen befolyásolja a környezeti levegő minőségének alakulása. Egy lakott terület levegőminőségét elsősorban a lakosság életvitele, a hatásterületen belüli ipari tevékenység és a közlekedésből származó levegőszennyezés határozza meg.

1. Várpalota térségének levegőminősége és változása az elmúlt évtizedekben Jelen fejezetben a „Székesfehérvár - Veszprém Pólustengely” közepén fekvő Várpalota város példáján keresztül vizsgáljuk meg diagramok segítségével a levegőminőség változását, a főbb levegőszennyező forrásokat, és a komponensenkénti megoszlást a több évtizedes trend alapján. Az adatsorok az OLM rendszeréből, továbbá a KDT-KTVF Veszprémi Levegőtisztaság-védelmi Laboratóriumából származnak. Várpalota a Dunántúlon, Veszprém megye északkeleti szélén terül el. A lakosság számát tekintve a megye negyedik legnagyobb városa. Budapesttől 90 km-e, két megyeszékhely, Székesfehérvár és Veszprém között félúton fekszik, a Bakony lábánál, a Balatontól alig 30 km-re. Várpalota1 város fejlettségét az elmúlt fél évszázadban döntően a nehéziparral lehetne jellemezni. Így érthető, hogy a térség környezeti és levegőminőségi állapota az országos átlagnál lényegesen rosszabb volt. Fontos azonban megjegyeznünk, hogy az ipari szennyezések – melyek elsődlegesen a várpalotai szénbányászathoz, Inotai Hőerőműhöz, Alumíniumkohóhoz, Nitrogénművek Zrt.-hez voltak köthetők – jelentősen csökkentek az elmúlt években, amely elsősorban a 90-es évek változásainak köszönhető: • a nehézipar összeomlása, • 1996-ban véglegesen megszűnt a szénbányászat, a Földtani Kutató és Fúró Kft, • 1997-ben felszámolták az addig stabilnak hitt Vegyesipari Szövetkezet is. A 90-es évek második felében a város és térsége jelentős fejlesztéseket valósított meg, amely főként az 1995ben elnyert japán hitelből jöhetett létre. A fejlesztéseket az a tény is nélkülözhetetlenné tette, hogy egy rendszerváltás előtti felmérés az ország egyik legszennyezettebb területének minősítette Várpalotát és térségét. Megvalósult többek között Várpalota és további öt település – Berhida, Ősi, Öskü, Pétfürdő, Tés - földgáz- és ivóvízellátását, valamint a szennyvíztisztítás fejlesztését célzó program is, amely 1995 szeptemberében kezdődött és 1998. október végéig el is készült. A következőkben nézzük meg a legjelentősebb légszennyező anyagok koncentrációinak változását, miként változtak az évtizedek során.

1.1. NO2 koncentrációk változása 12.1. ábra - Várpalota, Inota, Pétfürdő – NO2 koncentrációk éves átlagértékeinek változása 1979-2008 között

1

A „piszkos tizenkettő” névvel illetett városok közé tartozott. Így nevezték el a legszennyezettebb levegőjű városokat Magyarországon.


Adattrendek használatának lehetőségei a fenntartható fejlődés tervezésének támogatására

1.2. SO2 koncentrációk változása 12.2. ábra - Várpalota, Pétfürdő – SO2 koncentrációk éves átlagértékeinek változása 1979-2008 között



1.3. Ülepedő por koncentrációk változása 12.3. ábra - Várpalota, Inota, Pétfürdő – Ülepedő por koncentrációk éves átlagértékeinek változása 1979-2008 között

1.4. Ammónia koncentrációk változása Pétfürdőn a manuális mérések keretében az ammónia koncentrációját is regisztrálják, amelyre a műtrágyagyártás kibocsátásainak ellenőrzése miatt van szükség.

12.4. ábra - Pétfürdő – Ammónia koncentrációk éves átlagértékeinek változása 19792006 között



2. Várpalota és térsége levegőminőségének jellemzése A 11.1 - 11.4. számú diagramokon jól látható, hogy a régebben jelentős mértékben szennyezett levegőjű Várpalota és környéke jelentős változáson ment keresztül és megy napjainkban is. Várpalota esetében elmondható – csakúgy, mint városaink nagy többségénél –, hogy ma már leginkább a közlekedésből származó emisszió okoz esetenként magasabb szennyezőanyag-koncentrációt. Különösen a nitrogén-oxidok és a szálló por légköri koncentrációjának alakulását kell figyelemmel kísérnünk, tekintettel arra, hogy a kedvezőtlen meteorológiai körülmények között ezen anyagok koncentrációja esetleg meghaladhatja a határértéket, továbbá nyári hónapokban az ózon koncentrációja lehet átmenetileg magasabb a megengedett egészségügyi határértékeknél. Összességében azonban elmondható, hogy Várpalota ma már a közepes légszennyezettségű városok közé tartozik. Pétfürdőn szintén nagymértékű javulás tapasztalható, csakúgy, mint Várpalota-Inotán. Amíg a levegőszennyezettség csökkenése Pétfürdőn főként a Nitrogénművek Zrt. kibocsátásainak mérséklődése, valamint a technológia korszerűsödése folytán következett be, addig Inotán a javulás legfőbb oka a hőerőmű, illetve az alumíniumkohó elektrolízis üzemeinek bezárása volt. A fentebb leírtakat alapul véve a jövőre nézve tehát a vizsgált térségben elsősorban a közlekedési eredetű szennyezőanyagok elleni védekezés jelentheti a fő problémakört (ugyanis a 8. számú főút forgalma jelentősen terheli Várpalota és Inota települését is). Nehéz megfogalmazni mi is lehetne az a megoldás, amit mindenki a sajátjának érezhetne, és be is betartana. A levegőszennyezettség kialakulásának megakadályozására – főként a nitrogén-oxidok és a szálló por koncentrációja tekintetében – alkalmas intézkedés lehetne például a lámpás kereszteződések körforgalmi csomópontokra történő átépítése is, melynek következtében az átmenő forgalom a városon keresztül történő folyamatos, megállás nélküli áthaladással kevésbé terheli a levegőt. Hatékony megoldás lehetne továbbá Várpalotán a zöldterületek növelése, valamint a 8-as út menti fásítás, amely intézkedések szintén nagyban hozzájárulnának a város levegőjének javulásához. ELLENŐRZŐ KÉRDÉSEK Mutassa be az adatbázisok alkalmazásának jogi hátterét! Milyen módszereket ismer az adatok kiértékelésére? Ismertesse Várpalota levegőminőségének változását az elmúlt 30 év távlatában! 91 Created by XMLmind XSL-FO Converter.

13. fejezet - Kérdések 13.1. ábra - Jelen és jövő

Definiálja a „statisztika” fogalmát Definiálja a következő fogalmakat: sokaság (populáció), megfigyelési egység, számbavételi egység Sorolja fel, és ismertesse a „sokasági kategóriákat” Definiálja az „ismérv (attribútum)” fogalmát! Milyen csoportjait ismerni az „ismérveknek”? Ismertesse a kategóriákat! Ismertesse a környezetvédelemben használatos „mérési skálákat”! Mutassa be a környezetvédelemben használatos „mérési skálákat” példákon keresztül! Ismertesse a statisztikai sorok fajtáit! A statisztikai sorokban szereplő adatok, milyen csoportokra bonthatók összegezhetőség szerint? A statisztikai sorokban szereplő adatoknak milyen fajtáit ismeri? Sorolja fel és ismertesse az egyes fajtákat! Mit ért az „állapot idősor” alatt? Mi a „tartam idősor”? Mit ért a „területi sor” alatt? Mit ért a „leíró sor” alatt? Mi a statisztikai viszonyszám? Milyen típusú viszonyszámokat ismer? Mi a dinamikus viszonyszám? Mi a láncviszonyszám felhasználásának veszélye? Mi a megoszlási viszonyszám? Mi az intenzitási viszonyszám? Vizsgálja meg, hogyan alakul a szmog-riadót hirdetett napok száma egy adott településen. Számítsa ki a 2008hoz, mint bázisévhez viszonyítva, a 2011-es év viszonyszámát! Év

Szmog-riadók száma [nap]

2008

3

2009

6

2010

8

2011

5

Milyen szempontokra kell figyelemmel lenni a statisztikai vizsgálatok során az esetleges félreértelmezések elkerülése érdekében? Melyek az „eloszlás-elemzés” legfontosabb eszközei? Mit tud a gyakorisági sorokról?


Kérdések

Értelmezze az abszolút gyakoriság és a relatív gyakoriság különbségét. Mi az osztályközép érték fogalma? Hogyan számítja az osztályköz hosszúságot. Milyen osztályközöket ismer? Melyek az „osztályközös gyakoriság” számításának lépései? Mit ért a „kumulálás” alatt? Ismertesse a kumulálás menetét! Mi a relatív és abszolút kumulálás közötti különbség? Mit ért az „értékösszeg” alatt? Számítási feladat: Egy terepi mérés során 1; 3 és 5 fős mérőcsoportokat küldtek ki. A csoportok száma rendre 3; 11 és 4 darab volt. Melyik létszámú mérőcsoportban mekkora összlétszám dolgozott? Mi volt a csoportokban dolgozók egymáshoz viszonyított aránya? Melyik a legnagyobb súlyú csoport? Ismertesse a „kvantilisek módszerét”! Ismertesse a kvantilisek típusait! Melyik kvantilist használja a Box&Whiskers módszerben? Egészítse ki az alábbi táblázatot! Osztályközök száma (k)

Elnevezés

Jelölés

2 4 5 10 100 Milyen „középérték típusokat” ismer? Mi a medián? Milyen módon számítható a medián? Mi a módusz? Hogyan számítja a számtani átlagot? Hogyan számítja a mértani átlagot? Hogyan számítja a harmonikus átlagot? Hogyan számítja a négyzetes átlagot? Mi a statisztikai mutatók szerepe? Mit tud a „terjedelem mutatóról”? Ismertesse a „terjedelem mutató” főbb típusait! Mit ért interkvantilis terjedelem alatt?



Kérdések

Milyen „statisztikai momentumokat” ismer? Mi a szóródás? Hogyan számítható a relatív szóródás? Mi a relatív szóródás? Hogyan számítható a külső szóródás? Mit tud a Corrado Gini-féle szóródás vizsgálatról? Mit ért az „általános (abszolút) különbség” alatt? Mit ért a „momentum képzés” alatt? ? Milyen nevezetes momentumokat ismer? Hogyan számítja ki momentummal a négyzetes átlagot? Melyik weboldal foglalkozik Veszprém város környezeti adataival? Milyen környezetvédelemmel kapcsolatos weboldalakat ismer? Mit tud az OKIR adatbázisról? Milyen információkhoz juthatunk az OKIR adatbázis segítségével? Mely területekről nyerhető információ az OKIR segítségével a környezetvédelemben? Mi a „zöldhatóságok” felügyeleti szerve? Mely városokban működnek a „Környezetvédelmi, természetvédelmi és vízügyi felügyelőségek”? Mi a nevük? Mi az OLM? Milyen funkcióit ismeri az Országos Légszennyezettségi Mérőhálózatnak? Milyen komponensek mérhetők az OLM automata mérőhálózatában? Mit tud az OLM manuális mérőhálózatáról? Melyek a hálózatban vizsgált komponensek? Milyen információkhoz juthatunk az Országos Meteorológiai Szolgálat honlapjának segítségével? Melyik weboldal foglalkozik a Tiszta vízgyűjtő monitoring rendszerével? Milyen információkat szolgáltat az adott honlap? Definiálja a következő fogalmakat: személyes adat, különleges adat, bűnügyi személyes adat, közérdekű adat, közérdekből nyilvános adat Ismertesse a környezetvédelmi vonatkozású adatok szabályozási rendszerét! Melyek a környezetvédelmi vonatkozású közérdekű adatok megismerésének korlátai? Mit ért az elektronikus információszabadság alatt? Milyen adatminőségi osztályokat ismer? Méréseink mindig hibásak, és eredményeink megítélése szempontjából rendkívül fontos a mérési hiba nagyságának, és típusának ismerete. Milyen típusú hibákat ismer? Csoportosítsa és ismertesse őket! Környezetvédelmi mérések során milyen hibaforrások lehetségesek?


Kérdések

Az adatok előkészítése során milyen módszereket alkalmazhatunk? Értelmezze a következő fogalmakat: Számtani közép, Pontosság, Adatok szórása, Szórásnégyzet (variancia), Középérték szórása (standard hiba), Változási együttható (variációs koefficiens), Középérték százalékos hibája (relatív hiba) Számítási feladat: Titrimetriás meghatározásnál a hallgatók által mért fogyások a következők: 0,98 cm3; 0,78 cm3; 0,90 cm3; 0,94 cm3; 0,96 cm3; 0,98 cm3; 0,94 cm3; 1,00 cm3; 1,12 cm3; 1,05 cm3; 0,98 cm3; 1,02 cm3; 0,92. A pontos érték 1,00 cm3 lett volna. Határozzuk meg a hibaszámítási adatokat. Pontos középérték [cm3] Adatok száma [db] Átlag [cm3] Adatok szórása [szórás] Átlag szórása [standard hiba] Variancia Variációs koefficiens Átlag százalékos hibája [relatív hiba] Pontosság Számítási feladat: Egy mérőoldat koncentrációja 0,2 M volt készítéskor. Bizonyos idő eltelte után a töménységet újból ellenőriztük: 0,1968; 0,1950; 0,2018; 0,1938; 0,1944 M. Megváltozott-e a mérőoldat összetétele? Számítási feladat: Egy adatsor a következő elemekből áll: 9, 10, 14, 8, 11, 20, 11, 8, 3, 10, 11. Kizárjuk-e a kiugrónak vélt 3-as és 20-as adatokat az átlagszámításból? A környezetvédelmi mérések során milyen szempontokra kell figyelemmel lenni a mérőeszközök megfelelő megválasztása során? Környezetvédelmi mérések kivitelezése során: mire kell figyelemmel lenni vízmintavétel esetében? Környezetvédelmi mérések kivitelezése során: mire kell figyelemmel lenni földtani közeg esetében? Környezetvédelmi mérések kivitelezése során: mire kell figyelemmel lenni levegőtisztaság-védelem esetében? Mi az „osztott adatbázisok” célja? Mit tud a GRID rendszerekről? Milyen megoldási lehetőségeket ismer az „adatvédelem” területén? Milyen adatábrázolási technikákat ismer? Jellemezze őket röviden! Lorenz görbe és a Gini együttható Minek köszönhető, hogy Várpalota térségében a levegő minősége számottevően javult az elmúlt évtizedet során? Mely légszennyező anyagoknak a vizsgálata volt kiemelkedő fontosságú Várpalota térségében az elmúlt évtizedekben? Mely légszennyező anyagok váltak jelentőssé napjainkra Várpalota térségében?


14. fejezet - Ajánlott irodalom Dr. Szabó Imre (szerk.): Környezetinformatika Pannon Egyetem 2008. (elektronikus jegyzet http://mkweb.unipannon.hu/hefop33//anyagok.html) Vág András: Statisztika online - oktatási portál Typotex, 2005 http://www.tankonyvtar.hu/konyvek/statisztikaonline/statisztika-online-090211-11 Fidy Judit , Makara Gábor dr.: http://www.tankonyvtar.hu/statisztika/biostatisztika-080904-92

Biostatisztika

Typotex,

2005

Michelberger Pál – Szeidl László – Várlaki Péter: Alkalmazott folyamatstatisztika és idősor-analízis, Alkalmazott matematika sorozat Typotex Kiadó, 2001 Borovkov, A. A: Matematikai statisztika Typotex Elektronikus Kiadó, 1999 Kröpfl-Peschek-Schneider-Schönlieb: Alkalmazott statisztika Műszaki Könyvkiadó, 2000 Szűcs István (szerk.): Alkalmazott statisztika Agroinform Kiadóház, 2004 Dr. Abonyi János (szerk.): Adatbányászat - a hatékonyság eszköze, Computerbooks 2006. Dr. Bodon Ferenc: Adatbányászati algoritmusok, Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem, 2010 (elektronikus jegyzet) http://www.cs.bme.hu/~bodon/magyar/adatbanyaszat/tanulmany/adatbanyaszat.pdf Dr. Harnos Zsolt, Dr. Herdon Miklós (szerk): Informatikai alapok, Debreceni Egyetem Agrártudományi Centrum, Agrárgazdasági és Vidékfejlesztési Kar, 2006 (elektronikus jegyzet)


15. fejezet - Segédtáblázatok 1. Segédtáblázat: χ2 eloszlás kritikus értékei (χ2 próbához) 0,999-0,50 tartományban

DF\χ2

0,999

0,99

0,98

0,95

0,90

0,80

0,50

1

0,0000

0,0002

0,0006

0,0039

0,0158

0,0642

0,4549

2

0,0020

0,0201

0,0404

0,1026

0,2107

0,4463

1,3863

3

0,0243

0,1148

0,1848

0,3518

0,5844

1,0052

2,3660

4

0,0908

0,2971

0,4294

0,7107

1,0636

1,6488

3,3567

5

0,2102

0,5543

0,7519

1,1455

1,6103

2,3425

4,3515

6

0,3811

0,8721

1,1344

1,6354

2,2041

3,0701

5,3481

7

0,5985

1,2390

1,5643

2,1673

2,8331

3,8223

6,3458

8

0,8571

1,6465

2,0325

2,7326

3,4895

4,5936

7,3441

9

1,1519

2,0879

2,5324

3,3251

4,1682

5,3801

8,3428

10

1,4787

2,5582

3,0591

3,9403

4,8652

6,1791

9,3418

11

1,8339

3,0535

3,6087

4,5748

5,5778

6,9887

10,3410

12

2,2142

3,5706

4,1783

5,2260

6,3038

7,8073

11,3403

13

2,6172

4,1069

4,7654

5,8919

7,0415

8,6339

12,3398

14

3,0407

4,6604

5,3682

6,5706

7,7895

9,4673

13,3393

15

3,4827

5,2293

5,9849

7,2609

8,5468

10,3070

14,3389

16

3,9416

5,8122

6,6142

7,9616

9,3122

11,1521

15,3385

17

4,4161

6,4078

7,2550

8,6718

10,0852

12,0023

16,3382

18

4,9048

7,0149

7,9062

9,3905

10,8649

12,8570

17,3379

19

5,4068

7,6327

8,5670

10,1170

11,6509

13,7158

18,3377

20

5,9210

8,2604

9,2367

10,8508

12,4426

14,5784

19,3374

21

6,4467

8,8972

9,9146

11,5913

13,2396

15,4446

20,3372

22

6,9830

9,5425

10,6000

12,3380

14,0415

16,3140

21,3370

23

7,5292

10,1957

11,2926

13,0905

14,8480

17,1865

22,3369


Segédtáblázatok

DF\χ2

0,999

0,99

0,98

0,95

0,90

0,80

0,50

24

8,0849

10,8564

11,9918

13,8484

15,6587

18,0618

23,3367

25

8,6493

11,5240

12,6973

14,6114

16,4734

18,9398

24,3366

26

9,2221

12,1981

13,4086

15,3792

17,2919

19,8202

25,3365

27

9,8028

12,8785

14,1254

16,1514

18,1139

20,7030

26,3363

28

10,3909

13,5647

14,8475

16,9279

18,9392

21,5880

27,3362

29

10,9861

14,2565

15,5745

17,7084

19,7677

22,4751

28,3361

30

11,5880

14,9535

16,3062

18,4927

20,5992

23,3641

29,3360

31

12,1963

15,6555

17,0423

19,2806

21,4336

24,2551

30,3359

32

12,8107

16,3622

17,7827

20,0719

22,2706

25,1478

31,3359

33

13,4309

17,0735

18,5271

20,8665

23,1102

26,0422

32,3358

34

14,0567

17,7891

19,2754

21,6643

23,9523

26,9383

33,3357

35

14,6878

18,5089

20,0274

22,4650

24,7967

27,8359

34,3356

36

15,3241

19,2327

20,7829

23,2686

25,6433

28,7350

35,3356

37

15,9653

19,9602

21,5419

24,0749

26,4921

29,6355

36,3355

38

16,6112

20,6914

22,3040

24,8839

27,3430

30,5373

37,3355

39

17,2616

21,4262

23,0693

25,6954

28,1958

31,4405

38,3354

40

17,9164

22,1643

23,8376

26,5093

29,0505

32,3450

39,3353

41

18,5754

22,9056

24,6087

27,3256

29,9071

33,2506

40,3353

42

19,2385

23,6501

25,3827

28,1440

30,7654

34,1574

41,3352

43

19,9055

24,3976

26,1594

28,9647

31,6255

35,0653

42,3352

44

20,5763

25,1480

26,9386

29,7875

32,4871

35,9743

43,3352

45

21,2507

25,9013

27,7203

30,6123

33,3504

36,8844

44,3351

46

21,9287

26,6572

28,5045

31,4390

34,2152

37,7955

45,3351

47

22,6101

27,4158

29,2910

32,2676

35,0814

38,7075

46,3350

48

23,2949

28,1770

30,0798

33,0981

35,9491

39,6205

47,3350

49

23,9828

28,9406

30,8708

33,9303

36,8182

40,5344

48,3350


Segédtáblázatok

DF\χ2

0,999

0,99

0,98

0,95

0,90

0,80

0,50

50

24,6739

29,7067

31,6639

34,7643

37,6886

41,4492

49,3349

51

25,3680

30,4750

32,4590

35,5999

38,5604

42,3649

50,3349

52

26,0651

31,2457

33,2562

36,4371

39,4334

43,2814

51,3349

53

26,7650

32,0185

34,0553

37,2759

40,3076

44,1987

52,3348

54

27,4677

32,7934

34,8563

38,1162

41,1830

45,1167

53,3348

55

28,1731

33,5705

35,6592

38,9580

42,0596

46,0356

54,3348

56

28,8812

34,3495

36,4639

39,8013

42,9373

46,9552

55,3348

57

29,5918

35,1305

37,2702

40,6459

43,8161

47,8755

56,3347

58

30,3049

35,9135

38,0783

41,4920

44,6960

48,7965

57,3347

59

31,0204

36,6982

38,8881

42,3393

45,5770

49,7182

58,3347

60

31,7383

37,4849

39,6994

43,1880

46,4589

50,6406

59,3347

61

32,4586

38,2732

40,5123

44,0379

47,3418

51,5636

60,3346

62

33,1811

39,0633

41,3268

44,8890

48,2257

52,4873

61,3346

63

33,9058

39,8551

42,1428

45,7414

49,1105

53,4116

62,3346

64

34,6326

40,6486

42,9602

46,5949

49,9963

54,3365

63,3346

65

35,3616

41,4436

43,7790

47,4496

50,8829

55,2620

64,3346

66

36,0926

42,2402

44,5992

48,3054

51,7705

56,1880

65,3345

67

36,8257

43,0384

45,4208

49,1623

52,6588

57,1147

66,3345

68

37,5606

43,8380

46,2437

50,0202

53,5481

58,0418

67,3345

69

38,2976

44,6392

47,0680

50,8792

54,4381

58,9696

68,3345

70

39,0364

45,4417

47,8934

51,7393

55,3289

59,8978

69,3345

71

39,7770

46,2457

48,7202

52,6003

56,2206

60,8266

70,3345

72

40,5195

47,0510

49,5481

53,4623

57,1129

61,7558

71,3344

73

41,2637

47,8577

50,3773

54,3253

58,0061

62,6856

72,3344

74

42,0097

48,6657

51,2076

55,1892

58,9000

63,6158

73,3344

75

42,7573

49,4750

52,0391

56,0541

59,7946

64,5466

74,3344


Segédtáblázatok

DF\χ2

0,999

0,99

0,98

0,95

0,90

0,80

0,50

76

43,5066

50,2856

52,8717

56,9198

60,6899

65,4777

75,3344

77

44,2576

51,0974

53,7054

57,7864

61,5858

66,4094

76,3344

78

45,0101

51,9104

54,5401

58,6539

62,4825

67,3415

77,3344

79

45,7642

52,7247

55,3760

59,5223

63,3799

68,2740

78,3343

80

46,5199

53,5401

56,2128

60,3915

64,2778

69,2069

79,3343

81

47,2770

54,3566

57,0507

61,2615

65,1765

70,1403

80,3343

82

48,0357

55,1743

57,8896

62,1323

66,0757

71,0741

81,3343

83

48,7958

55,9931

58,7295

63,0039

66,9756

72,0083

82,3343

84

49,5573

56,8130

59,5703

63,8763

67,8761

72,9429

83,3343

85

50,3203

57,6339

60,4121

64,7494

68,7772

73,8779

84,3343

86

51,0846

58,4559

61,2548

65,6233

69,6788

74,8132

85,3343

87

51,8503

59,2790

62,0984

66,4979

70,5810

75,7490

86,3342

88

52,6173

60,1030

62,9430

67,3732

71,4838

76,6851

87,3342

89

53,3856

60,9281

63,7884

68,2493

72,3872

77,6216

88,3342

90

54,1552

61,7541

64,6347

69,1260

73,2911

78,5584

89,3342

91

54,9261

62,5811

65,4818

70,0035

74,1955

79,4956

90,3342

92

55,6983

63,4090

66,3298

70,8816

75,1005

80,4332

91,3342

93

56,4716

64,2379

67,1786

71,7603

76,0060

81,3711

92,3342

94

57,2462

65,0677

68,0282

72,6398

76,9119

82,3093

93,3342

95

58,0220

65,8984

68,8786

73,5198

77,8184

83,2478

94,3342

96

58,7989

66,7299

69,7298

74,4005

78,7254

84,1867

95,3342

97

59,5770

67,5624

70,5817

75,2819

79,6329

85,1259

96,3342

98

60,3562

68,3957

71,4345

76,1638

80,5408

86,0654

97,3341

99

61,1365

69,2299

72,2880

77,0463

81,4493

87,0052

98,3341

100

61,9179

70,0649

73,1422

77,9295

82,3581

87,9453

99,3341

110

69,7894

78,4583

81,7228

86,7916

91,4710

97,3624

109,3341


Segédtáblázatok

DF\χ2

0,999

0,99

0,98

0,95

0,90

0,80

0,50

120

77,7551

86,9233

90,3667

95,7046

100,6236

106,8056

119,3340

130

85,8037

95,4510

99,0662

104,6622

109,8110

116,2717

129,3339

140

93,9256

104,0344

107,8149

113,6593

119,0293

125,7581

139,3339

150

102,1133

112,6676

116,6076

122,6918

128,2751

135,2625

149,3339

160

110,3603

121,3456

125,4400

131,7561

137,5457

144,7834

159,3338

170

118,6611

130,0644

134,3084

140,8492

146,8389

154,3190

169,3338

180

127,0111

138,8204

143,2096

149,9688

156,1526

163,8682

179,3338

190

135,4061

147,6104

152,1411

159,1125

165,4853

173,4298

189,3338

200

143,8428

156,4320

161,1003

168,2786

174,8353

183,0028

199,3337

210

152,3180

165,2826

170,0852

177,4652

184,2014

192,5864

209,3337

220

160,8290

174,1604

179,0941

186,6711

193,5825

202,1798

219,3337

230

169,3734

183,0633

188,1253

195,8949

202,9775

211,7824

229,3337

240

177,9491

191,9899

197,1774

205,1354

212,3856

221,3936

239,3337

250

186,5541

200,9386

206,2490

214,3916

221,8059

231,0128

249,3337

260

195,1867

209,9082

215,3391

223,6625

231,2378

240,6396

259,3336

270

203,8453

218,8974

224,4465

232,9474

240,6804

250,2735

269,3336

280

212,5285

227,9051

233,5703

242,2454

250,1334

259,9142

279,3336

290

221,2349

236,9305

242,7096

251,5559

259,5960

269,5612

289,3336

300

229,9634

245,9725

251,8637

260,8781

269,0679

279,2143

299,3336

350

273,9020

291,4058

297,8312

307,6476

316,5504

327,5607

349,3336

400

318,2596

337,1553

344,0781

354,6410

364,2074

376,0218

399,3335

450

362,9598

383,1633

390,5532

401,8173

412,0071

424,5766

449,3335

500

407,9470

429,3875

437,2194

449,1468

459,9261

473,2099

499,3335

550

453,1789

475,7964

484,0486

496,6068

507,9470

521,9100

549,3335

600

498,6229

522,3651

531,0191

544,1801

556,0560

570,6680

599,3335

650

544,2530

569,0741

578,1134

591,8526

604,2424

619,4769

649,3335


Segédtáblázatok

DF\χ2

0,999

0,99

0,98

0,95

0,90

0,80

0,50

700

590,0480

615,9075

625,3175

639,6130

652,4973

668,3308

699,3334

750

635,9907

662,8521

672,6198

687,4522

700,8136

717,2250

749,3334

800

682,0665

709,8969

720,0107

735,3623

749,1852

766,1555

799,3334

850

728,2630

757,0328

767,4820

783,3369

797,6070

815,1189

849,3334

900

774,5698

804,2517

815,0267

831,3702

846,0746

864,1125

899,3334

950

820,9778

851,5469

862,6386

879,4574

894,5842

913,1337

949,3334

1000

867,4791

898,9124

910,3127

927,5944

943,1326

962,1803

999,3334

2. Segédtáblázat: χ2eloszlás kritikus értékei (χ2 próbához) 0,20-0,001 tartományban

DF\χ2

0,20

0,10

0,05

0,02

0,01

0,001

1

1,6424

2,7055

3,8415

5,4119

6,6349

10,8276

2

3,2189

4,6052

5,9915

7,8240

9,2103

13,8155

3

4,6416

6,2514

7,8147

9,8374

11,3449

16,2662

4

5,9886

7,7794

9,4877

11,6678

13,2767

18,4668

5

7,2893

9,2364

11,0705

13,3882

15,0863

20,5150

6

8,5581

10,6446

12,5916

15,0332

16,8119

22,4577

7

9,8032

12,0170

14,0671

16,6224

18,4753

24,3219

8

11,0301

13,3616

15,5073

18,1682

20,0902

26,1245

9

12,2421

14,6837

16,9190

19,6790

21,6660

27,8772

10

13,4420

15,9872

18,3070

21,1608

23,2093

29,5883

11

14,6314

17,2750

19,6751

22,6179

24,7250

31,2641

12

15,8120

18,5493

21,0261

24,0540

26,2170

32,9095

13

16,9848

19,8119

22,3620

25,4715

27,6882

34,5282

14

18,1508

21,0641

23,6848

26,8728

29,1412

36,1233

15

19,3107

22,3071

24,9958

28,2595

30,5779

37,6973

16

20,4651

23,5418

26,2962

29,6332

31,9999

39,2524


Segédtáblázatok

DF\χ2

0,20

0,10

0,05

0,02

0,01

0,001

17

21,6146

24,7690

27,5871

30,9950

33,4087

40,7902

18

22,7595

25,9894

28,8693

32,3462

34,8053

42,3124

19

23,9004

27,2036

30,1435

33,6874

36,1909

43,8202

20

25,0375

28,4120

31,4104

35,0196

37,5662

45,3147

21

26,1711

29,6151

32,6706

36,3434

38,9322

46,7970

22

27,3015

30,8133

33,9244

37,6595

40,2894

48,2679

23

28,4288

32,0069

35,1725

38,9683

41,6384

49,7282

24

29,5533

33,1962

36,4150

40,2704

42,9798

51,1786

25

30,6752

34,3816

37,6525

41,5661

44,3141

52,6197

26

31,7946

35,5632

38,8851

42,8558

45,6417

54,0520

27

32,9117

36,7412

40,1133

44,1400

46,9629

55,4760

28

34,0266

37,9159

41,3371

45,4188

48,2782

56,8923

29

35,1394

39,0875

42,5570

46,6927

49,5879

58,3012

30

36,2502

40,2560

43,7730

47,9618

50,8922

59,7031

31

37,3591

41,4217

44,9853

49,2264

52,1914

61,0983

32

38,4663

42,5847

46,1943

50,4867

53,4858

62,4872

33

39,5718

43,7452

47,3999

51,7429

54,7755

63,8701

34

40,6756

44,9032

48,6024

52,9952

56,0609

65,2472

35

41,7780

46,0588

49,8018

54,2438

57,3421

66,6188

36

42,8788

47,2122

50,9985

55,4889

58,6192

67,9852

37

43,9782

48,3634

52,1923

56,7305

59,8925

69,3465

38

45,0763

49,5126

53,3835

57,9688

61,1621

70,7029

39

46,1730

50,6598

54,5722

59,2040

62,4281

72,0547

40

47,2685

51,8051

55,7585

60,4361

63,6907

73,4020

41

48,3628

52,9485

56,9424

61,6654

64,9501

74,7449

42

49,4560

54,0902

58,1240

62,8918

66,2062

76,0838


Segédtáblázatok

DF\χ2

0,20

0,10

0,05

0,02

0,01

0,001

43

50,5480

55,2302

59,3035

64,1155

67,4593

77,4186

44

51,6389

56,3685

60,4809

65,3367

68,7095

78,7495

45

52,7288

57,5053

61,6562

66,5553

69,9568

80,0767

46

53,8177

58,6405

62,8296

67,7714

71,2014

81,4003

47

54,9056

59,7743

64,0011

68,9852

72,4433

82,7204

48

55,9926

60,9066

65,1708

70,1968

73,6826

84,0371

49

57,0786

62,0375

66,3386

71,4061

74,9195

85,3506

50

58,1638

63,1671

67,5048

72,6133

76,1539

86,6608

51

59,2481

64,2954

68,6693

73,8183

77,3860

87,9680

52

60,3316

65,4224

69,8322

75,0214

78,6158

89,2722

53

61,4142

66,5482

70,9935

76,2226

79,8433

90,5734

54

62,4961

67,6728

72,1532

77,4218

81,0688

91,8718

55

63,5772

68,7962

73,3115

78,6191

82,2921

93,1675

56

64,6576

69,9185

74,4683

79,8147

83,5134

94,4605

57

65,7373

71,0397

75,6237

81,0085

84,7328

95,7510

58

66,8162

72,1598

76,7778

82,2007

85,9502

97,0388

59

67,8945

73,2789

77,9305

83,3911

87,1657

98,3242

60

68,9721

74,3970

79,0819

84,5799

88,3794

99,6072

61

70,0490

75,5141

80,2321

85,7672

89,5913

100,8879

62

71,1253

76,6302

81,3810

86,9529

90,8015

102,1662

63

72,2010

77,7454

82,5287

88,1372

92,0100

103,4424

64

73,2761

78,8596

83,6753

89,3199

93,2169

104,7163

65

74,3506

79,9730

84,8206

90,5012

94,4221

105,9881

66

75,4245

81,0855

85,9649

91,6812

95,6257

107,2579

67

76,4978

82,1971

87,1081

92,8597

96,8278

108,5256

68

77,5707

83,3079

88,2502

94,0370

98,0284

109,7913


Segédtáblázatok

DF\χ2

0,20

0,10

0,05

0,02

0,01

0,001

69

78,6429

84,4179

89,3912

95,2129

99,2275

111,0551

70

79,7146

85,5270

90,5312

96,3875

100,4252

112,3169

71

80,7859

86,6354

91,6702

97,5609

101,6214

113,5769

72

81,8566

87,7430

92,8083

98,7331

102,8163

114,8351

73

82,9268

88,8499

93,9453

99,9041

104,0098

116,0915

74

83,9965

89,9560

95,0815

101,0739

105,2020

117,3462

75

85,0658

91,0615

96,2167

102,2425

106,3929

118,5991

76

86,1346

92,1662

97,3510

103,4101

107,5825

119,8503

77

87,2030

93,2702

98,4844

104,5765

108,7709

121,1000

78

88,2709

94,3735

99,6169

105,7418

109,9581

122,3480

79

89,3383

95,4762

100,7486

106,9061

111,1440

123,5944

80

90,4053

96,5782

101,8795

108,0693

112,3288

124,8392

81

91,4720

97,6796

103,0095

109,2316

113,5124

126,0826

82

92,5382

98,7803

104,1387

110,3928

114,6949

127,3244

83

93,6039

99,8805

105,2672

111,5530

115,8763

128,5648

84

94,6693

100,9800

106,3948

112,7123

117,0565

129,8037

85

95,7343

102,0789

107,5217

113,8706

118,2357

131,0412

86

96,7990

103,1773

108,6479

115,0279

119,4139

132,2773

87

97,8632

104,2750

109,7733

116,1844

120,5910

133,5121

88

98,9271

105,3722

110,8980

117,3400

121,7671

134,7455

89

99,9906

106,4689

112,0220

118,4946

122,9422

135,9776

90

101,0537

107,5650

113,1453

119,6485

124,1163

137,2084

91

102,1165

108,6606

114,2679

120,8014

125,2895

138,4379

92

103,1790

109,7556

115,3898

121,9535

126,4617

139,6661

93

104,2411

110,8502

116,5110

123,1048

127,6329

140,8931

94

105,3028

111,9442

117,6317

124,2553

128,8032

142,1189


Segédtáblázatok

DF\χ2

0,20

0,10

0,05

0,02

0,01

0,001

95

106,3643

113,0377

118,7516

125,4049

129,9727

143,3435

96

107,4254

114,1307

119,8709

126,5538

131,1412

144,5670

97

108,4862

115,2232

120,9896

127,7019

132,3089

145,7892

98

109,5467

116,3153

122,1077

128,8492

133,4757

147,0104

99

110,6068

117,4069

123,2252

129,9958

134,6416

148,2304

100

111,6667

118,4980

124,3421

131,1417

135,8067

149,4493

110

122,2495

129,3851

135,4802

142,5617

147,4143

161,5807

120

132,8063

140,2326

146,5674

153,9182

158,9502

173,6174

130

143,3401

151,0452

157,6099

165,2192

170,4231

185,5710

140

153,8537

161,8270

168,6130

176,4709

181,8403

197,4508

150

164,3492

172,5812

179,5806

187,6785

193,2077

209,2646

160

174,8283

183,3106

190,5165

198,8464

204,5301

221,0190

170

185,2926

194,0174

201,4234

209,9782

215,8117

232,7194

180

195,7434

204,7037

212,3039

221,0772

227,0561

244,3705

190

206,1818

215,3711

223,1602

232,1460

238,2664

255,9763

200

216,6088

226,0210

233,9943

243,1869

249,4451

267,5405

210

227,0252

236,6549

244,8076

254,2021

260,5947

279,0661

220

237,4317

247,2739

255,6018

265,1934

271,7172

290,5558

230

247,8291

257,8788

266,3781

276,1623

282,8145

302,0120

240

258,2179

268,4707

277,1376

287,1103

293,8881

313,4369

250

268,5986

279,0504

287,8815

298,0388

304,9396

324,8324

260

278,9718

289,6186

298,6106

308,9489

315,9702

336,2003

270

289,3379

300,1759

309,3258

319,8416

326,9811

347,5422

280

299,6972

310,7230

320,0278

330,7179

337,9735

358,8595

290

310,0502

321,2604

330,7174

341,5786

348,9483

370,1534

300

320,3971

331,7885

341,3951

352,4246

359,9064

381,4252


Segédtáblázatok

DF\χ2

0,20

0,10

0,05

0,02

0,01

0,001

350

372,0506

384,3060

394,6258

406,4574

414,4736

437,4883

400

423,5895

436,6490

447,6325

460,2108

468,7245

493,1318

450

475,0347

488,8493

500,4562

513,7359

522,7169

548,4324

500

526,4014

540,9303

553,1268

567,0698

576,4928

603,4460

550

577,7013

592,9095

605,6668

620,2407

630,0842

658,2147

600

628,9433

644,8004

658,0936

673,2703

683,5156

712,7712

650

680,1344

696,6141

710,4211

726,1761

736,8067

767,1415

700

731,2805

748,3591

762,6607

778,9721

789,9735

821,3468

750

782,3863

800,0428

814,8215

831,6698

843,0290

875,4044

800

833,4557

851,6712

866,9114

884,2789

895,9843

929,3289

850

884,4923

903,2495

918,9369

936,8077

948,8485

983,1326

900

935,4987

954,7819

970,9036

989,2631

1001,6296

1036,8260

950

986,4775

1006,2723

1022,8164

1041,6512

1054,3344

1090,4182

1000

1037,4309

1057,7239

1074,6794

1093,9772

1106,9690

1143,9171

3. segédtáblázat: Student-eloszlás kritikus értékei (kétoldali t-próbához) 0,90-0,30 tartományban

DF\t

0,90

0,80

0,70

0,60

0,50

0,40

0,30

1

0,1584

0,3249

0,5095

0,7265

1,0000

1,3764

1,9626

2

0,1421

0,2887

0,4447

0,6172

0,8165

1,0607

1,3862

3

0,1366

0,2767

0,4242

0,5844

0,7649

0,9785

1,2498

4

0,1338

0,2707

0,4142

0,5686

0,7407

0,9410

1,1896

5

0,1322

0,2672

0,4082

0,5594

0,7267

0,9195

1,1558

6

0,1311

0,2648

0,4043

0,5534

0,7176

0,9057

1,1342

7

0,1303

0,2632

0,4015

0,5491

0,7111

0,8960

1,1192

8

0,1297

0,2619

0,3995

0,5459

0,7064

0,8889

1,1081

9

0,1293

0,2610

0,3979

0,5435

0,7027

0,8834

1,0997


Segédtáblázatok

DF\t

0,90

0,80

0,70

0,60

0,50

0,40

0,30

10

0,1289

0,2602

0,3966

0,5415

0,6998

0,8791

1,0931

11

0,1286

0,2596

0,3956

0,5399

0,6974

0,8755

1,0877

12

0,1283

0,2590

0,3947

0,5386

0,6955

0,8726

1,0832

13

0,1281

0,2586

0,3940

0,5375

0,6938

0,8702

1,0795

14

0,1280

0,2582

0,3933

0,5366

0,6924

0,8681

1,0763

15

0,1278

0,2579

0,3928

0,5357

0,6912

0,8662

1,0735

16

0,1277

0,2576

0,3923

0,5350

0,6901

0,8647

1,0711

17

0,1276

0,2573

0,3919

0,5344

0,6892

0,8633

1,0690

18

0,1274

0,2571

0,3915

0,5338

0,6884

0,8620

1,0672

19

0,1274

0,2569

0,3912

0,5333

0,6876

0,8610

1,0655

20

0,1273

0,2567

0,3909

0,5329

0,6870

0,8600

1,0640

21

0,1272

0,2566

0,3906

0,5325

0,6864

0,8591

1,0627

22

0,1271

0,2564

0,3904

0,5321

0,6858

0,8583

1,0614

23

0,1271

0,2563

0,3902

0,5317

0,6853

0,8575

1,0603

24

0,1270

0,2562

0,3900

0,5314

0,6848

0,8569

1,0593

25

0,1269

0,2561

0,3898

0,5312

0,6844

0,8562

1,0584

26

0,1269

0,2560

0,3896

0,5309

0,6840

0,8557

1,0575

27

0,1268

0,2559

0,3894

0,5306

0,6837

0,8551

1,0567

28

0,1268

0,2558

0,3893

0,5304

0,6834

0,8546

1,0560

29

0,1268

0,2557

0,3892

0,5302

0,6830

0,8542

1,0553

30

0,1267

0,2556

0,3890

0,5300

0,6828

0,8538

1,0547

31

0,1267

0,2555

0,3889

0,5298

0,6825

0,8534

1,0541

32

0,1267

0,2555

0,3888

0,5297

0,6822

0,8530

1,0535

33

0,1266

0,2554

0,3887

0,5295

0,6820

0,8526

1,0530

34

0,1266

0,2553

0,3886

0,5294

0,6818

0,8523

1,0525

35

0,1266

0,2553

0,3885

0,5292

0,6816

0,8520

1,0520


Segédtáblázatok

DF\t

0,90

0,80

0,70

0,60

0,50

0,40

0,30

36

0,1266

0,2552

0,3884

0,5291

0,6814

0,8517

1,0516

37

0,1265

0,2552

0,3883

0,5289

0,6812

0,8514

1,0512

38

0,1265

0,2551

0,3882

0,5288

0,6810

0,8512

1,0508

39

0,1265

0,2551

0,3882

0,5287

0,6808

0,8509

1,0504

40

0,1265

0,2550

0,3881

0,5286

0,6807

0,8507

1,0500

41

0,1264

0,2550

0,3880

0,5285

0,6805

0,8505

1,0497

42

0,1264

0,2550

0,3880

0,5284

0,6804

0,8503

1,0494

43

0,1264

0,2549

0,3879

0,5283

0,6802

0,8501

1,0491

44

0,1264

0,2549

0,3878

0,5282

0,6801

0,8499

1,0488

45

0,1264

0,2549

0,3878

0,5281

0,6800

0,8497

1,0485

46

0,1264

0,2548

0,3877

0,5281

0,6799

0,8495

1,0483

47

0,1263

0,2548

0,3877

0,5280

0,6797

0,8493

1,0480

48

0,1263

0,2548

0,3876

0,5279

0,6796

0,8492

1,0478

49

0,1263

0,2547

0,3876

0,5278

0,6795

0,8490

1,0475

50

0,1263

0,2547

0,3875

0,5278

0,6794

0,8489

1,0473

51

0,1263

0,2547

0,3875

0,5277

0,6793

0,8487

1,0471

52

0,1263

0,2546

0,3875

0,5276

0,6792

0,8486

1,0469

53

0,1263

0,2546

0,3874

0,5276

0,6791

0,8485

1,0467

54

0,1263

0,2546

0,3874

0,5275

0,6791

0,8483

1,0465

55

0,1262

0,2546

0,3873

0,5275

0,6790

0,8482

1,0463

56

0,1262

0,2546

0,3873

0,5274

0,6789

0,8481

1,0461

57

0,1262

0,2545

0,3873

0,5273

0,6788

0,8480

1,0459

58

0,1262

0,2545

0,3872

0,5273

0,6787

0,8479

1,0458

59

0,1262

0,2545

0,3872

0,5272

0,6787

0,8478

1,0456

60

0,1262

0,2545

0,3872

0,5272

0,6786

0,8477

1,0455

61

0,1262

0,2545

0,3871

0,5272

0,6785

0,8476

1,0453


Segédtáblázatok

DF\t

0,90

0,80

0,70

0,60

0,50

0,40

0,30

62

0,1262

0,2544

0,3871

0,5271

0,6785

0,8475

1,0452

63

0,1262

0,2544

0,3871

0,5271

0,6784

0,8474

1,0450

64

0,1262

0,2544

0,3871

0,5270

0,6783

0,8473

1,0449

65

0,1262

0,2544

0,3870

0,5270

0,6783

0,8472

1,0448

66

0,1261

0,2544

0,3870

0,5269

0,6782

0,8471

1,0446

67

0,1261

0,2544

0,3870

0,5269

0,6782

0,8470

1,0445

68

0,1261

0,2543

0,3870

0,5269

0,6781

0,8469

1,0444

69

0,1261

0,2543

0,3869

0,5268

0,6781

0,8469

1,0443

70

0,1261

0,2543

0,3869

0,5268

0,6780

0,8468

1,0442

71

0,1261

0,2543

0,3869

0,5268

0,6780

0,8467

1,0441

72

0,1261

0,2543

0,3869

0,5267

0,6779

0,8466

1,0440

73

0,1261

0,2543

0,3868

0,5267

0,6779

0,8466

1,0438

74

0,1261

0,2543

0,3868

0,5267

0,6778

0,8465

1,0437

75

0,1261

0,2542

0,3868

0,5266

0,6778

0,8464

1,0436

76

0,1261

0,2542

0,3868

0,5266

0,6777

0,8464

1,0436

77

0,1261

0,2542

0,3868

0,5266

0,6777

0,8463

1,0435

78

0,1261

0,2542

0,3867

0,5266

0,6776

0,8463

1,0434

79

0,1261

0,2542

0,3867

0,5265

0,6776

0,8462

1,0433

80

0,1261

0,2542

0,3867

0,5265

0,6776

0,8461

1,0432

81

0,1261

0,2542

0,3867

0,5265

0,6775

0,8461

1,0431

82

0,1261

0,2542

0,3867

0,5264

0,6775

0,8460

1,0430

83

0,1260

0,2542

0,3867

0,5264

0,6775

0,8460

1,0429

84

0,1260

0,2542

0,3866

0,5264

0,6774

0,8459

1,0429

85

0,1260

0,2541

0,3866

0,5264

0,6774

0,8459

1,0428

86

0,1260

0,2541

0,3866

0,5263

0,6774

0,8458

1,0427

87

0,1260

0,2541

0,3866

0,5263

0,6773

0,8458

1,0426


Segédtáblázatok

DF\t

0,90

0,80

0,70

0,60

0,50

0,40

0,30

88

0,1260

0,2541

0,3866

0,5263

0,6773

0,8457

1,0426

89

0,1260

0,2541

0,3866

0,5263

0,6773

0,8457

1,0425

90

0,1260

0,2541

0,3866

0,5263

0,6772

0,8456

1,0424

91

0,1260

0,2541

0,3865

0,5262

0,6772

0,8456

1,0424

92

0,1260

0,2541

0,3865

0,5262

0,6772

0,8455

1,0423

93

0,1260

0,2541

0,3865

0,5262

0,6771

0,8455

1,0422

94

0,1260

0,2541

0,3865

0,5262

0,6771

0,8455

1,0422

95

0,1260

0,2541

0,3865

0,5262

0,6771

0,8454

1,0421

96

0,1260

0,2541

0,3865

0,5261

0,6771

0,8454

1,0421

97

0,1260

0,2540

0,3865

0,5261

0,6770

0,8453

1,0420

98

0,1260

0,2540

0,3865

0,5261

0,6770

0,8453

1,0419

99

0,1260

0,2540

0,3864

0,5261

0,6770

0,8453

1,0419

100

0,1260

0,2540

0,3864

0,5261

0,6770

0,8452

1,0418

110

0,1260

0,2540

0,3863

0,5259

0,6767

0,8449

1,0413

120

0,1259

0,2539

0,3862

0,5258

0,6765

0,8446

1,0409

130

0,1259

0,2539

0,3862

0,5257

0,6764

0,8444

1,0406

140

0,1259

0,2538

0,3861

0,5256

0,6762

0,8442

1,0403

150

0,1259

0,2538

0,3861

0,5255

0,6761

0,8440

1,0400

160

0,1259

0,2538

0,3860

0,5254

0,6760

0,8439

1,0398

170

0,1258

0,2537

0,3860

0,5254

0,6759

0,8437

1,0396

180

0,1258

0,2537

0,3859

0,5253

0,6759

0,8436

1,0394

190

0,1258

0,2537

0,3859

0,5253

0,6758

0,8435

1,0393

200

0,1258

0,2537

0,3859

0,5252

0,6757

0,8434

1,0391

210

0,1258

0,2537

0,3858

0,5252

0,6757

0,8433

1,0390

220

0,1258

0,2537

0,3858

0,5252

0,6756

0,8433

1,0389

230

0,1258

0,2536

0,3858

0,5251

0,6756

0,8432

1,0388


Segédtáblázatok

DF\t

0,90

0,80

0,70

0,60

0,50

0,40

0,30

240

0,1258

0,2536

0,3858

0,5251

0,6755

0,8431

1,0387

250

0,1258

0,2536

0,3858

0,5251

0,6755

0,8431

1,0386

260

0,1258

0,2536

0,3857

0,5250

0,6754

0,8430

1,0385

270

0,1258

0,2536

0,3857

0,5250

0,6754

0,8430

1,0384

280

0,1258

0,2536

0,3857

0,5250

0,6754

0,8429

1,0384

290

0,1258

0,2536

0,3857

0,5250

0,6753

0,8429

1,0383

300

0,1258

0,2536

0,3857

0,5250

0,6753

0,8428

1,0382

350

0,1258

0,2535

0,3856

0,5249

0,6752

0,8426

1,0380

400

0,1257

0,2535

0,3856

0,5248

0,6751

0,8425

1,0378

450

0,1257

0,2535

0,3856

0,5248

0,6750

0,8424

1,0376

500

0,1257

0,2535

0,3855

0,5247

0,6750

0,8423

1,0375

550

0,1257

0,2535

0,3855

0,5247

0,6749

0,8423

1,0374

600

0,1257

0,2535

0,3855

0,5247

0,6749

0,8422

1,0373

650

0,1257

0,2535

0,3855

0,5247

0,6749

0,8422

1,0373

700

0,1257

0,2534

0,3855

0,5246

0,6748

0,8421

1,0372

750

0,1257

0,2534

0,3855

0,5246

0,6748

0,8421

1,0372

800

0,1257

0,2534

0,3855

0,5246

0,6748

0,8421

1,0371

850

0,1257

0,2534

0,3855

0,5246

0,6748

0,8420

1,0371

900

0,1257

0,2534

0,3854

0,5246

0,6748

0,8420

1,0370

950

0,1257

0,2534

0,3854

0,5246

0,6747

0,8420

1,0370

1000

0,1257

0,2534

0,3854

0,5246

0,6747

0,8420

1,0370

∞

0,1257

0,2533

0,3853

0,5244

0,6745

0,8416

1,0364

4. segédtáblázat: Student-eloszlás kritikus értékei (kétoldali t-próbához) 0,20-0,001 tartományban

DF\t

0,20

0,10

0,05

0,02

0,01

0,001

1

3,0777

6,3138

12,7062

31,8205

63,6567

636,6192


Segédtáblázatok

DF\t

0,20

0,10

0,05

0,02

0,01

0,001

2

1,8856

2,9200

4,3027

6,9646

9,9248

31,5991

3

1,6377

2,3534

3,1824

4,5407

5,8409

12,9240

4

1,5332

2,1318

2,7764

3,7469

4,6041

8,6103

5

1,4759

2,0150

2,5706

3,3649

4,0321

6,8688

6

1,4398

1,9432

2,4469

3,1427

3,7074

5,9588

7

1,4149

1,8946

2,3646

2,9980

3,4995

5,4079

8

1,3968

1,8595

2,3060

2,8965

3,3554

5,0413

9

1,3830

1,8331

2,2622

2,8214

3,2498

4,7809

10

1,3722

1,8125

2,2281

2,7638

3,1693

4,5869

11

1,3634

1,7959

2,2010

2,7181

3,1058

4,4370

12

1,3562

1,7823

2,1788

2,6810

3,0545

4,3178

13

1,3502

1,7709

2,1604

2,6503

3,0123

4,2208

14

1,3450

1,7613

2,1448

2,6245

2,9768

4,1405

15

1,3406

1,7531

2,1314

2,6025

2,9467

4,0728

16

1,3368

1,7459

2,1199

2,5835

2,9208

4,0150

17

1,3334

1,7396

2,1098

2,5669

2,8982

3,9651

18

1,3304

1,7341

2,1009

2,5524

2,8784

3,9216

19

1,3277

1,7291

2,0930

2,5395

2,8609

3,8834

20

1,3253

1,7247

2,0860

2,5280

2,8453

3,8495

21

1,3232

1,7207

2,0796

2,5176

2,8314

3,8193

22

1,3212

1,7171

2,0739

2,5083

2,8188

3,7921

23

1,3195

1,7139

2,0687

2,4999

2,8073

3,7676

24

1,3178

1,7109

2,0639

2,4922

2,7969

3,7454

25

1,3163

1,7081

2,0595

2,4851

2,7874

3,7251

26

1,3150

1,7056

2,0555

2,4786

2,7787

3,7066

27

1,3137

1,7033

2,0518

2,4727

2,7707

3,6896


Segédtáblázatok

DF\t

0,20

0,10

0,05

0,02

0,01

0,001

28

1,3125

1,7011

2,0484

2,4671

2,7633

3,6739

29

1,3114

1,6991

2,0452

2,4620

2,7564

3,6594

30

1,3104

1,6973

2,0423

2,4573

2,7500

3,6460

31

1,3095

1,6955

2,0395

2,4528

2,7440

3,6335

32

1,3086

1,6939

2,0369

2,4487

2,7385

3,6218

33

1,3077

1,6924

2,0345

2,4448

2,7333

3,6109

34

1,3070

1,6909

2,0322

2,4411

2,7284

3,6007

35

1,3062

1,6896

2,0301

2,4377

2,7238

3,5911

36

1,3055

1,6883

2,0281

2,4345

2,7195

3,5821

37

1,3049

1,6871

2,0262

2,4314

2,7154

3,5737

38

1,3042

1,6860

2,0244

2,4286

2,7116

3,5657

39

1,3036

1,6849

2,0227

2,4258

2,7079

3,5581

40

1,3031

1,6839

2,0211

2,4233

2,7045

3,5510

41

1,3025

1,6829

2,0195

2,4208

2,7012

3,5442

42

1,3020

1,6820

2,0181

2,4185

2,6981

3,5377

43

1,3016

1,6811

2,0167

2,4163

2,6951

3,5316

44

1,3011

1,6802

2,0154

2,4141

2,6923

3,5258

45

1,3006

1,6794

2,0141

2,4121

2,6896

3,5203

46

1,3002

1,6787

2,0129

2,4102

2,6870

3,5150

47

1,2998

1,6779

2,0117

2,4083

2,6846

3,5099

48

1,2994

1,6772

2,0106

2,4066

2,6822

3,5051

49

1,2991

1,6766

2,0096

2,4049

2,6800

3,5004

50

1,2987

1,6759

2,0086

2,4033

2,6778

3,4960

51

1,2984

1,6753

2,0076

2,4017

2,6757

3,4918

52

1,2980

1,6747

2,0066

2,4002

2,6737

3,4877

53

1,2977

1,6741

2,0057

2,3988

2,6718

3,4838


Segédtáblázatok

DF\t

0,20

0,10

0,05

0,02

0,01

0,001

54

1,2974

1,6736

2,0049

2,3974

2,6700

3,4800

55

1,2971

1,6730

2,0040

2,3961

2,6682

3,4764

56

1,2969

1,6725

2,0032

2,3948

2,6665

3,4729

57

1,2966

1,6720

2,0025

2,3936

2,6649

3,4696

58

1,2963

1,6716

2,0017

2,3924

2,6633

3,4663

59

1,2961

1,6711

2,0010

2,3912

2,6618

3,4632

60

1,2958

1,6706

2,0003

2,3901

2,6603

3,4602

61

1,2956

1,6702

1,9996

2,3890

2,6589

3,4573

62

1,2954

1,6698

1,9990

2,3880

2,6575

3,4545

63

1,2951

1,6694

1,9983

2,3870

2,6561

3,4518

64

1,2949

1,6690

1,9977

2,3860

2,6549

3,4491

65

1,2947

1,6686

1,9971

2,3851

2,6536

3,4466

66

1,2945

1,6683

1,9966

2,3842

2,6524

3,4441

67

1,2943

1,6679

1,9960

2,3833

2,6512

3,4417

68

1,2941

1,6676

1,9955

2,3824

2,6501

3,4394

69

1,2939

1,6672

1,9949

2,3816

2,6490

3,4372

70

1,2938

1,6669

1,9944

2,3808

2,6479

3,4350

71

1,2936

1,6666

1,9939

2,3800

2,6469

3,4329

72

1,2934

1,6663

1,9935

2,3793

2,6459

3,4308

73

1,2933

1,6660

1,9930

2,3785

2,6449

3,4289

74

1,2931

1,6657

1,9925

2,3778

2,6439

3,4269

75

1,2929

1,6654

1,9921

2,3771

2,6430

3,4250

76

1,2928

1,6652

1,9917

2,3764

2,6421

3,4232

77

1,2926

1,6649

1,9913

2,3758

2,6412

3,4214

78

1,2925

1,6646

1,9908

2,3751

2,6403

3,4197

79

1,2924

1,6644

1,9905

2,3745

2,6395

3,4180


Segédtáblázatok

DF\t

0,20

0,10

0,05

0,02

0,01

0,001

80

1,2922

1,6641

1,9901

2,3739

2,6387

3,4163

81

1,2921

1,6639

1,9897

2,3733

2,6379

3,4147

82

1,2920

1,6636

1,9893

2,3727

2,6371

3,4132

83

1,2918

1,6634

1,9890

2,3721

2,6364

3,4116

84

1,2917

1,6632

1,9886

2,3716

2,6356

3,4102

85

1,2916

1,6630

1,9883

2,3710

2,6349

3,4087

86

1,2915

1,6628

1,9879

2,3705

2,6342

3,4073

87

1,2914

1,6626

1,9876

2,3700

2,6335

3,4059

88

1,2912

1,6624

1,9873

2,3695

2,6329

3,4045

89

1,2911

1,6622

1,9870

2,3690

2,6322

3,4032

90

1,2910

1,6620

1,9867

2,3685

2,6316

3,4019

91

1,2909

1,6618

1,9864

2,3680

2,6309

3,4007

92

1,2908

1,6616

1,9861

2,3676

2,6303

3,3994

93

1,2907

1,6614

1,9858

2,3671

2,6297

3,3982

94

1,2906

1,6612

1,9855

2,3667

2,6291

3,3971

95

1,2905

1,6611

1,9853

2,3662

2,6286

3,3959

96

1,2904

1,6609

1,9850

2,3658

2,6280

3,3948

97

1,2903

1,6607

1,9847

2,3654

2,6275

3,3937

98

1,2902

1,6606

1,9845

2,3650

2,6269

3,3926

99

1,2902

1,6604

1,9842

2,3646

2,6264

3,3915

100

1,2901

1,6602

1,9840

2,3642

2,6259

3,3905

110

1,2893

1,6588

1,9818

2,3607

2,6213

3,3812

120

1,2886

1,6577

1,9799

2,3578

2,6174

3,3735

130

1,2881

1,6567

1,9784

2,3554

2,6142

3,3669

140

1,2876

1,6558

1,9771

2,3533

2,6114

3,3614

150

1,2872

1,6551

1,9759

2,3515

2,6090

3,3566


Segédtáblázatok

DF\t

0,20

0,10

0,05

0,02

0,01

0,001

160

1,2869

1,6544

1,9749

2,3499

2,6069

3,3524

170

1,2866

1,6539

1,9740

2,3485

2,6051

3,3487

180

1,2863

1,6534

1,9732

2,3472

2,6034

3,3454

190

1,2860

1,6529

1,9725

2,3461

2,6020

3,3425

200

1,2858

1,6525

1,9719

2,3451

2,6006

3,3398

210

1,2856

1,6521

1,9713

2,3442

2,5994

3,3375

220

1,2854

1,6518

1,9708

2,3434

2,5984

3,3353

230

1,2852

1,6515

1,9703

2,3427

2,5974

3,3333

240

1,2851

1,6512

1,9699

2,3420

2,5965

3,3315

250

1,2849

1,6510

1,9695

2,3414

2,5956

3,3299

260

1,2848

1,6507

1,9691

2,3408

2,5949

3,3283

270

1,2847

1,6505

1,9688

2,3402

2,5942

3,3269

280

1,2846

1,6503

1,9685

2,3397

2,5935

3,3256

290

1,2845

1,6501

1,9682

2,3393

2,5929

3,3244

300

1,2844

1,6499

1,9679

2,3388

2,5923

3,3233

350

1,2840

1,6492

1,9668

2,3370

2,5899

3,3185

400

1,2837

1,6487

1,9659

2,3357

2,5882

3,3150

450

1,2834

1,6482

1,9652

2,3347

2,5868

3,3123

500

1,2832

1,6479

1,9647

2,3338

2,5857

3,3101

550

1,2831

1,6476

1,9643

2,3331

2,5848

3,3083

600

1,2830

1,6474

1,9639

2,3326

2,5840

3,3068

650

1,2829

1,6472

1,9636

2,3321

2,5834

3,3056

700

1,2828

1,6470

1,9634

2,3317

2,5829

3,3045

750

1,2827

1,6469

1,9631

2,3313

2,5824

3,3035

800

1,2826

1,6468

1,9629

2,3310

2,5820

3,3027

850

1,2825

1,6466

1,9628

2,3307

2,5816

3,3020


Segédtáblázatok

DF\t

0,20

0,10

0,05

0,02

0,01

0,001

900

1,2825

1,6465

1,9626

2,3305

2,5813

3,3014

950

1,2824

1,6465

1,9625

2,3303

2,5810

3,3008

1000

1,2824

1,6464

1,9623

2,3301

2,5808

3,3003

∞

1,2816

1,6449

1,9600

2,3263

2,5758

3,2905

5. segédtáblázat: Standard normális eloszlás Használati példa: Ha a Z értéke 0,83, akkor az eloszlási értéket a 0,8x sorában és a 0,03 oszlopában találjuk meg (értéke 0,7967).

Z\x

0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

0,0x

0,5000

0,5040

0,5080

0,5120

0,5160

0,5199

0,5239

0,5279

0,5319

0,5359

0,1x

0,5398

0,5438

0,5478

0,5517

0,5557

0,5596

0,5636

0,5675

0,5714

0,5753

0,2x

0,5793

0,5832

0,5871

0,5910

0,5948

0,5987

0,6026

0,6064

0,6103

0,6141

0,3x

0,6179

0,6217

0,6255

0,6293

0,6331

0,6368

0,6406

0,6443

0,6480

0,6517

0,4x

0,6554

0,6591

0,6628

0,6664

0,6700

0,6736

0,6772

0,6808

0,6844

0,6879

0,5x

0,6915

0,6950

0,6985

0,7019

0,7054

0,7088

0,7123

0,7157

0,7190

0,7224

0,6x

0,7257

0,7291

0,7324

0,7357

0,7389

0,7422

0,7454

0,7486

0,7517

0,7549

0,7x

0,7580

0,7611

0,7642

0,7673

0,7704

0,7734

0,7764

0,7794

0,7823

0,7852

0,8x

0,7881

0,7910

0,7939

0,7967

0,7995

0,8023

0,8051

0,8078

0,8106

0,8133

0,9x

0,8159

0,8186

0,8212

0,8238

0,8264

0,8289

0,8315

0,8340

0,8365

0,8389

1,0x

0,8413

0,8438

0,8461

0,8485

0,8508

0,8531

0,8554

0,8577

0,8599

0,8621

1,1x

0,8643

0,8665

0,8686

0,8708

0,8729

0,8749

0,8770

0,8790

0,8810

0,8830

1,2x

0,8849

0,8869

0,8888

0,8907

0,8925

0,8944

0,8962

0,8980

0,8997

0,9015

1,3x

0,9032

0,9049

0,9066

0,9082

0,9099

0,9115

0,9131

0,9147

0,9162

0,9177

1,4x

0,9192

0,9207

0,9222

0,9236

0,9251

0,9265

0,9279

0,9292

0,9306

0,9319

1,5x

0,9332

0,9345

0,9357

0,9370

0,9382

0,9394

0,9406

0,9418

0,9429

0,9441

1,6x

0,9452

0,9463

0,9474

0,9484

0,9495

0,9505

0,9515

0,9525

0,9535

0,9545

1,7x

0,9554

0,9564

0,9573

0,9582

0,9591

0,9599

0,9608

0,9616

0,9625

0,9633


Segédtáblázatok

Z\x

0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

1,8x

0,9641

0,9649

0,9656

0,9664

0,9671

0,9678

0,9686

0,9693

0,9699

0,9706

1,9x

0,9713

0,9719

0,9726

0,9732

0,9738

0,9744

0,9750

0,9756

0,9761

0,9767

2,0x

0,9772

0,9778

0,9783

0,9788

0,9793

0,9798

0,9803

0,9808

0,9812

0,9817

2,1x

0,9821

0,9826

0,9830

0,9834

0,9838

0,9842

0,9846

0,9850

0,9854

0,9857

2,2x

0,9861

0,9864

0,9868

0,9871

0,9875

0,9878

0,9881

0,9884

0,9887

0,9890

2,3x

0,9893

0,9896

0,9898

0,9901

0,9904

0,9906

0,9909

0,9911

0,9913

0,9916

2,4x

0,9918

0,9920

0,9922

0,9925

0,9927

0,9929

0,9931

0,9932

0,9934

0,9936

2,5x

0,9938

0,9940

0,9941

0,9943

0,9945

0,9946

0,9948

0,9949

0,9951

0,9952

2,6x

0,9953

0,9955

0,9956

0,9957

0,9959

0,9960

0,9961

0,9962

0,9963

0,9964

2,7x

0,9965

0,9966

0,9967

0,9968

0,9969

0,9970

0,9971

0,9972

0,9973

0,9974

2,8x

0,9974

0,9975

0,9976

0,9977

0,9977

0,9978

0,9979

0,9979

0,9980

0,9981

2,9x

0,9981

0,9982

0,9982

0,9983

0,9984

0,9984

0,9985

0,9985

0,9986

0,9986

3,0x

0,9987

0,9987

0,9987

0,9988

0,9988

0,9989

0,9989

0,9989

0,9990

0,9990

3,1x

0,9990

0,9991

0,9991

0,9991

0,9992

0,9992

0,9992

0,9992

0,9993

0,9993

3,2x

0,9993

0,9993

0,9994

0,9994

0,9994

0,9994

0,9994

0,9995

0,9995

0,9995

3,3x

0,9995

0,9995

0,9995

0,9996

0,9996

0,9996

0,9996

0,9996

0,9996

0,9997

3,4x

0,9997

0,9997

0,9997

0,9997

0,9997

0,9997

0,9997

0,9997

0,9997

0,9998

3,5x

0,9998

0,9998

0,9998

0,9998

0,9998

0,9998

0,9998

0,9998

0,9998

0,9998

3,6x

0,9998

0,9998

0,9999

0,9999

0,9999

0,9999

0,9999

0,9999

0,9999

0,9999

3,7x

0,9999

0,9999

0,9999

0,9999

0,9999

0,9999

0,9999

0,9999

0,9999

0,9999

3,8x

0,9999

0,9999

0,9999

0,9999

0,9999

0,9999

0,9999

0,9999

0,9999

0,9999

3,9x

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000

1,0000


Adatok gyűjtésének és értékelésének módszerei Domokos, Endre Csom, Veronika

Recommend Documents