KESULITAN MAHASISWA DALAM MELAKUKAN PEMBUKTIAN TEOREMA
Oleh Erry Hidayanto Jurusan Matematika UM
Abstrak: Tulisan ini merupakan hasil observasi yang dilakukan oleh penulis pada matakuliah Kalkulus I dari suatu kelas Matematika (Offering B) di Jurusan Matematika FMIPA Universitas Negeri Malang. Observasi ini dilakukan
dalam
rangka untuk mengetahui bagaimana mahasiswa melakukan pembuktian dari suatu pernyataan dalam Matematika. Pada tulisan
ini
dibicarakan
tentang
bagaimana
mahasiswa
mengalami kesulitan membuktikan suatu pernyataan atau teorema dan juga kesulitan mahasiswa dalam menuliskan bukti formal pada suatu pernyataan. Juga dituliskan bagaimana upaya-upaya
yang
dilakukan
dosen
untuk
membantu
mahasiswa menuliskan bukti formal dari suatu pernyataan dalam kalkulus.
Kata Kunci: kalkulus, pernyataan, bukti formal. Tulisan ini merupakan hasil observasi di suatu kelas yang menggambarkan bagaimana mahasiswa semester di Jurusan Matematika FMIPA UM mengalami kesulitan dalam melakukan bukti formal dari suatu pernyataan pada matakuliah Kalkulus I. Mahasiswa Jurusan Matematika FMIPA UM semester pertama wajib menempuh matakuliah Kalkulus I. Matakuliah ini wajib ditempuh oleh mahasiswa karena matakuliah ini merupakan matakuliah yang termasuk matakuliah dasar yang wajib 1
dikuasai oleh mahasiswa jurusan matematika. Bisa jadi matakuliah ini mendasari matakuliah-matakuliah selanjutnya yang harus ditempuh mahasiswa selama menjadi mahasiswa jurusan matematika. Matakuliah Kalkulus I memang diberikan pada semester awal atau semester 1. Walaupun begitu bukan berarti matakuliah Kalkulus I merupakan matakuliah yang cukup mudah diikuti oleh mahasiswa semester awal ini. Ada dugaan pada semester awal seperti ini, yang merupakan semester pertama mereka kuliah, mahasiswa belum menegrti atau belum terbiasa melakukan pembuktian formal suatu pernyataan dalam matematika. Observasi ini penulis lakukan untuk melihat benarkah dugaan ini terjadi pada mahasiswa Jurusan Matematika FMIPA UM. Kesulitan-kesulitan yang dialami mahasiswa pada semester-semester awal kuliah telah banyak diteliti oleh para peneliti. Seperti penelitian yang dilakukan oleh Moore dkk (2008), pada matakuliah pre-calculus, mahasiswa mengalami kesulitan untuk mengkonstruksi fungsi serta hubungan dengan fungsi lain. Marilyn Carlson (2008) juga meneliti tentang bagaimana mahasiswa kesulitan menginterpretasikan konsep fungsi pada matakuliah Kalkulus. Syaiful (2002) juga meneliti bagaimana mahasiswa kesulitan menyelesaikan soal dalam kalkulus sehingga ia berupaya meningkatkan mutu perkuliahan Kalkulus I melalui penyelesaian soal secara sistematis. Untuk melihat fenomena yang terjadi pada mahasiswa Jurusan Matematika FMIPA UM, penulis mengobservasi suatu kelas kalkulus. Tetapi bahasan yang diamati belum sampai pada fungsi. Salah satu bahasan yang ada pada matakuliah kalkulus I adalah masalah pertidaksamaan. Pertidaksamaan ini diberikan karena akan mendasari konsep pembuktian limit fungsi. Pada materi petidaksamaan ini ada satu pernyataan yang membicarakan tentang sifat timbal balik suatu urutan bilangan dan kuadratnya, yaitu
2
Untuk a dan b bilangan real dengan a > 0, b > 0, maka berlaku a < b a 2
b2 .
Pertama-tama mahasiswa diberi tugas secara berkelompok untuk membuktikan pernyataan tersebut.
Satu kelas ini dibagi menjadi 9 kelompok dengan jumlah
anggota masing-masing kelompok bervariasi antara 2 sampai 3 mahasiswa. Mahasiswa diberi waktu 2 hari untuk membuktikan pernyatan tersebut. Pada pertemuan berikutnya dosen menanyakan bagaimana hasil pekerjaan masing-masing kelompok. Masing-masing kelompok mengumpulkan hasilnya. Kemudian dosen melihat hasil pekerjaan masing-masing kelompok mahasiswa tersebut. Ternyata dari 9 kelompok yang mengerjakan tugas tersebut, hampir semua, yaitu sebanyak 8 kelompok mengerjakan dengan cara memberikan contoh bilangan sebagai pengganti a dan b dari bentuk pernyataan tersebut. Contoh pembuktian yang dilakukan mahasiswa adalah sebagai berikut ini: a < b a2
b2 .
Misal: a = 2, b = 3 a < b a2
b2
2 < 3 22
32
2<34<9 (benar) Sebaliknya a2
b2 a < b
22
32 2 < 3
4<92<3 (benar)
3
Satu kelompok yang membuktikan tidak dengan contoh adalah sebagai berikut:
a
0, b
a b
0 a2
b2
Untuk arah ke kanan, mahasiswa menuliskan bukti sebagai berikut: Karena a > 0, dan a < b a 2
ab ……..(1)
Karena b > 0, dan a < b ab b 2 ……..(2) Dari sifat (1) dan (2) diperoleh a 2 Jadi terbukti a < b a 2
ab dan ab b 2 sehingga a 2
b2 .
b2 .
Dalam pembuktian tersebut, ada beberapa hal yang perlu dipertanyakan kepada mahasiswa dalam rangka untuk mengetahui apakah mahasiswa tersebut benar-benar memahami apa yang ditulis. Pertanyaan-pertanyaan tersebut adalah “sifat apa yang digunakan ketika mengambil kesimpulan a 2 sehingga a 2
ab dan
ab b 2
b 2 ?”. Hal ini perlu dipertanyakan agar mahasiswa tidak hanya sekedar
menghafal jawaban saja, tetapi benar-benar memahami apa yang ditulisnya. Pertanyaan lainnya: “ mengapa jika a > 0 dan a < b a 2
ab ? Bagaimana jika a <
0? Apa yang terjadi?”.
Permasalahan berikutnya yang muncul adalah mahasiswa kesulitan membuktikan arah ke kiri, yaitu: a2
b2 a < b
Untuk mengatasi hal ini dosen memancing dengan pertanyaan: “kalau kita mempunyai suatu bentuk implikasi p
q bentuk kontrapositifnya apa?”
4
Mahasiswa bisa menjawab bahwa bentuk kontrapositif dari p
q adalah q
p .
Dosen selanjutnya memberikan kebebasan kepada mahasiswa untuk mencoba menjawab pembuktian ke arah kiri, artinya jika mahasiswa kesulitan membuktikan secara langsung, maka mahasiswa dapat menggunakan sifat kontrapositifnya dalam pembuktian.
Salah seorang mahasiswa mencoba menulis pembuktian ke arah kiri di papan tulis, sementara mahasiswa yang lain terus diberi motivasi untuk mencoba sendiri pembuktiannya. Dalam memberikan motivasi ini dosen berkeliling memantau kegiatan mahasiswa. Adapun yang dituliskan mahasiswa di papan tulis adalah sebagai berikut: a2
a b
b2 ab ……….(1)
a
0, a b
a2
b
0, a
ab b 2 ………..(2)
b
Dari sifat (1) dan (2): a2
ab dan ab b 2 maka a 2
b2 .
Setelah seorang mahasiswa ini selesai menuliskan buktinya di papan tulis, dosen menanyakan apakah ada cara lain selain membuktikan kontrapositifnya. Silahkan dicoba! Dosen terus mendorong mahasiswa untuk terus mencoba, selain itu dosen mencoba memancing dengan pertanyaan sebagai berikut: a; b
0
a2
b2
terus apa yang perlu dilakukan untuk sampai pada kesimpulan a b ?
5
Selanjutnya dosen juga memancing dengan pertanyaan bagaimana dengan x
y
y x 0 atau x y
0
Setelah mahasiswa paham dengan kondisi ini selanjutnya dosen mengajak kembali ke permasalahan bagaimana jika a 2
b 2 ? Apa yang bisa diambil kesimpulan dari
keadaan ini? Akhrnya mahasiswa dapat memahami bahwa dari hal tersebut dapat diambil kesimpulan b2 a 2
0 . Terus selanjutnya bagaimana? Mahasiswa masih
kesulitan apa maksud dari pertanyaan dosen atau mungkin tidak tahu harus bagaimana langkah berikutnya? Setelah ditunggu beberapa lama, ternyata mahasiswa belum bisa juga, akhirnya dosen memberikan pancingan pertanyaan ”bisa difaktorkan apa tidak bentuk b2 a 2
0 tersebut? Dengan pancingan pertanyaan ini mahasiswa bisa
menyimpulkan
bahwa
bentuk
b2 a 2
0
dapat
difaktorkan
menjadi
b2 a 2
0 dapat
(b a)(b a) 0 . Tapi setelah mengetahui bahwa bentuk
difaktorkan, mahasiswa belum paham juga, apa maksudnya atau bagaimana seterusnya? Dosen memberi soal pancingan lagi, jika b 0 dan a
0 apakah b a 0 ?
Mahasiswa ada yang menjawab;”belum tentu”, contohnya jika b = 10 dan a = 5 maka
b a 0 . Terus dosen memberikan pertanyaan, “nah jika b 0 dan a
0 bentuk
bagaimanakah selanjutnya yang pasti positif?” Hal ini dikaitkan dengan bentuk (b a)(b a) 0 . Akhirnya mahasiswa dapat menajwab bahwa bentuk yang jelas
positif hádala bentuk b a . Jadi dari pemfaktoran (b a)(b a) 0 yang jelas positif adalah b a . Akibatnya apa jika b a 0 ? Sampai disini dosen terus memberikan dorongan kepada mahasiswa untuk menemukan sendiri sampai pada kesimpulan. Selanjutnya dosen meminta kepada
6
mahasiswa untuk menuliskan secara rinci apa-apa yang telah dipahami tadi dalam b2 a < b
membuktikan pernyataan a 2
secara langsung, atau tidak melalui bentuk kontrapositif, dan menjelaskan kepada temannya. Setelah beberapa lama mahasiswa mencoba menuliskan bukti pernyataan tersebut secara langsung, seorang mahasiswa ke papan tulis menuliskan jawaban sebagai berikut: a, b
a2
0
b 2 , maka b2 a 2
0
(b a)(b a) 0 bernilai positif jika
b a 0 dan b a 0 Jadi a 2
b2 a < b
Jawaban ini belum ada alasan mengapa b a harus lebih dari 0 dan b a juga harus lebih dari 0.
Mahasiswa kedua menuliskan jawaban di apapn tulis sebagai berikut: a, b
0
a2
b2
b2 a 2
0
(b a)(b a) 0
b a 0 b a b Jadi a 2
b2 b
b a 0 b
a
a tidak digunakan a
7
Mahasiswa ketiga menuliskan jawaban di papan tulis sebagai berikut: a, b
0
Karena x a2
y x 0 , maka
y
b2
b2 a 2
0
Difaktorkan (b a)(b a) 0
b a 0
b a 0
Karena a dan b positif maka bentuk b a pasti positif. Jadi dari b a 0 sama artinya dengan a b .
Dosen bertanya mengapa muncul tulisan b a 0
b a 0?
Ada yang tahu mengapa? atau bagaimana seharusnya? Setelah berpikir beberapa lama dan tidak ada mahasiswa yang bisa menjawab akhirnya dosen memberi bimbingan bahwa b2 a 2
0
(b a)(b a) 0
Karena a, b 0 maka b a 0 Karena (b a)(b a) 0 dan b a 0 maka haruslah b a 0 . Untuk mengecek pemahaman mahasiswa dosen memberikan pertanyaan dari bentuk (b a)(b a) 0
Selanjutnya dituliskan
b a 0
b a 0 boleh apa tidak?
Kesimpulan
8
Dari hasil pengamatan penulis, penulis mengambil kesimpulan terhadap pembuktian suatu pernyataan pada salah satu bahasan pada matakuliah Kalkukus I yang dilakukan oleh mahasiswa adalah: 1. Mahasiswa masih mengalami kesulitan membuktian suatu pernyataan dalam matematika. Mahasiswa masih mengalami kesulitan untuk mengetahui apa yang harus dilakukan untuk melakukan suatu pembuktian teorema. 2. Alur pembuktian mahasiswa masih belum jelas. Nampaknya mahasiswa belum memahami arah atau tujuan pembuktian yang akan dilakukan. Untuk mengatasi kesulitan-kesulitan mahasiswa dalam melakukan pembuktian suatu pernyataan atau teorema, yang harus dilakukan dosen adalah: 1. Dosen hendaknya memberikan kebebasan kepada mahasiswa untuk memilih suatu cara pembuktian yang diminatinya. 2. Dosen hendaknya bersabar dengan memberikan kesempatan seluas-luasnya kepada mahasiswa dalam mencoba melakukan pembuktian suatu pernyataan atau teorema dan tidak terburu-buru memberikan jawabannya. 3. Dosen hendaknya terus memberikan dorongan, semangat serta bimbingan agar mahasiswa tidak berputus asa dalam mencoba melakukan pembuktian suatu pernyataan atau teroma. 4. Mahasiswa hendaknya tidak takut mencoba melakukan pembuktian dengan menuliskan jawaban sebisanya, dalam hal ini dosen harus menghargai apapun upaya yang dilakukan oleh mahasiswa.
Rujukan Carlson, M. P. Tanpa tahun. A Study Of Second Semester Calculus Students' Function Conceptions. Arizona State University
9
Moore dkk. 2008. The Role of Quantitative Reasoning in Solving Applied Precalculus Problems. Research Report in National Science Foundation Grants No. EHR0412537. Syaiful. 2002. Upaya Peningkatan Mutu Perkuliahan Mata Kuliah Kalkulus I melalui Penyelesaian Soal Secara Sistematis. Jurnal Matematika, Jurnal Matematika atau Pembelajarnnya, Tahun VIII, Edisi Khusus, Juli.
10
