KESALAHAN MAHASISWA DALAM PENGGUNAAN TEOREMA KURATOWSKI UNTUK PEMBUKTIAN PLANARITY

ISSN: 2355-5106

Vol. 3, No. 1, MARET 2016

KESALAHAN MAHASISWA DALAM PENGGUNAAN TEOREMA KURATOWSKI UNTUK PEMBUKTIAN PLANARITY Gendis Murpratiwi Pendidikan Matematika, Pascasarjana, Universitas Negeri Malang [email protected] Abstrak Dunia pendidikan selalu menjadi sorotan utama masyarakat, khususnya di Indonesia. Banyak cara untuk meningkatkan kemajuan pendidikan termasuk meningkatkan kemampuan calon pendidik. Calon pendidik haruslah mampu menguasai bidang yang akan ditekuninya. Perlu adanya tindakan untuk meningkatkan kualitas pembelajaran. Kualitas pembelajaran dapat dilihat dari hasil belajar. Hasil belajar dapat ditunjukkan dari hasil pekerjaan mahasiswa. Pekerjaan mahasiswa yang belum berhasil merupakan suatu hal yang perlu diidentifikasi. Dengan diidentifikasi, pengajar atau dosen dapat mengetahui kesalahan apa saja yang sering dibuat mahasiswa agar dapat merencanakan pembelajaran dengan maksimal. Sejalan dengan hal tersebut, tujuan penelitian ini yaitu untuk mengetahui kesalahan mahasiswa dalam membuktikan planarity menggunakan teorema kuratowski. Penelitian ini menggunakan pendekatan kualitatif dengan jenis penelitian diskriptif. Dari satu kelas, didapat 19 mahasiswa melakukan kesalahan dalam membuktikan planarity menggunakan teorema kuratowski. Kesalahannya yaitu tidak dapat memahami subdivision dengan baik, tidak dapat memahami subdivision dan teorema dengan baik, tidak dapat memahami K5 dan teorema dengan baik, tidak dapat memahami K3,3 dan teorema dengan baik, tidak dapat melakukan penyusutan dengan benar, dan memahami penyusutan sebagai menghilangkan. Kata Kunci: Kesalahan Mahasiswa, Pembuktian Planarity, Teorema Kuratowski

Abstract The education sector has been always the main attention in society, especially in Indonesia. There is many method to improve the education progress likewise to improve the ability prospective educators. Prospective educators must be capable of mastering the sector of wich will be obtain. It needs action to improve the quality of learning. The quality of learning can be seen from the learning outcomes. The learning outcomes can be shown of student’s work. Student’s work who has not been successful is a thing to be identified. With identification, teacher or lecturer will find the mistakes any usual of students to pland maximum learning. In the same way, the purpose of this research was to know the student’s mistakes in proving of planarity with kuratowski theorems. This research used a qualitative approach through the kind of research descriptive. From one class, obtained 19 students make mistakes in proving of planarity with kuratowski theorems. The mistake is they unable to understand subdivision in correctly, unable to understand subdivision and theorem in correctly, unable to understand K5 and theorems in correctly, unable to understand K3,3 and theorems in correctly, can not do depreciation correctly and understand shrinkage as eliminate. Keyword: Kuratowski Theorems, Proving of Planarity, The Student’s Mistakes

JURNAL ILMIAH PENDIDIKAN CITRA BAKTI I 79

ISSN: 2355-5106


PENDAHULUAN Dunia pendidikan selalu menjadi sorotan utama masyarakat, khususnya di Indonesia. Hal ini dikarenakan pendidikan merupakan kegiatan yang penting dilakukan setiap manusia. Pentingnya pendidikan disebabkan perkembangan zaman yang selalu berkembang lebih baik. Sebagai manusia yang cerdas, seharusnya mengikuti perkembangan tersebut agar tidak tertinggal dengan cara belajar.Tirtaraharja (2008:300) mengatakan bahwa pendidikan menduduki posisi sentral dalam pembangunan karena sasarannya juga merupakan alur tengah pembangunan dari seluruh sektor pembangunan. Banyak cara untuk meningkatkan kemajuan pendidikan termasuk meningkatkan kemampuan pendidik. Salah satu cara meningkatkan kemampuan pendidik yaitu dengan memberikan pembelajaran yang maksimal kepada calon pendidik. Resnick (1981), menyatakan “Stored subject-matter knowledge alone cannot solve problems” (menyimpan saja sejumlah pengetahuan tidak akan dapat memecahkan masalah).

Menurut Wood

(dalam Suherman, 2001) para ahli konstruktivis mengatakan bahwa ketika murid mencoba menyelesaikan tugas-tugas di kelas, maka pengetahuan matematika dikonstruksi secara aktif. Menurut Hudojo (2003), pemecahan masalah secara sederhana, merupakan proses penerimaan masalah sebagai tantangan untuk menyelesaikan masalah tersebut. Calon pendidik haruslah mampu menguasai bidang yang akan ditekuninya. Misalkan saja calon pendidik matematika atau mahasiswa pendidikan matematika harus mampu menguasai bidang matematika dengan baik. Berdasarkan observasi awal melalui wawancara dengan dosen S-1 Pendidikan Matematika Universitas Negeri Malang, mahasiswa sering mengalami kesulitan dalam menguasai beberapa materi matematika. Salah satunya adalah teorema kuratowski pada mata kuliah teori graf . Menurut Aldous & Wilson (2004:263), pentingnya teorema kuratowski adalah menentukan kondisi planarity suatu graf secara teoritis (subgraph, subdivision, penyusutan graf), bukan dalam hal geometris (crossing, menggambar plane). Teorema kuratowski digunakan untuk membuktikan planarity secara teoritis, bukan secara geometris. Hal ini dikarenakan teorema kuratowski menggunakan teori-teori planar seperti subgraph, subdivision, dan penyusutan graf. Sedangkan pembuktian geometris hanya menunjukkan crossing dan gambar plane. Menurut Aldous & Wilson (2004) teorema kuratowski ada dua yaitu (1) graf adalah planar jika dan hanya jika tidak memuat subdivision K5 atau K3,3, dan (2) graf adalah planar jika dan hanya jika tidak memuat subgraf dari Graf K5 atau K3,3 pada penyusutannya. Dalam pembuktiannya dapat dipilih salah satu. Untuk membuktikan menggunakan teorema kuratowski, mahasiswa perlu memahami subdivision, subgraf, dan penyusutan. Pembuktian dengan teori kuratowski yang pertama, menuntut mahasiswa untuk menunjukkan subgraf dari subdivision adalah K5 atau K3,3. Menurut Wilson (1998:11), A subgraph of a graph G is a graph, each of whose vertices belongs to V(G) and each of JURNAL ILMIAH PENDIDIKAN CITRA BAKTI I 80

ISSN: 2355-5106


whose edges belongs to E(G). Sedangkan subdivision (Aldous & Wilson, 2004) adalah penambahan titik yang berderajat dua pada suatu graf. Hal yang perlu dilakukan untuk menggunakan teorema ini yaitu menambahkan titik pada suatu graf yang mana penambahan titik tersebut dapat membentuk graf yang memuat (subgraf) dengan K5 atau K3,3. Jika tidak dapat membentuk subgraf dari K5 atau K3,3, maka graf tersebut planar. Pembuktian teorema kuratowski yang kedua melibatkan subgraf dan penyusutan. Penyusutan dilakukan dengan mendekatkan satu titik dan lebih dekat ke titik lain sampai berhimpit, dan kemudian penggabungan setiap sisi ranggap menjadi sisi tunggal (Aldous & Wilson,

2004).

Penggunaan

teorema

ini

perlu

dilakukan

penyusutan

dan

hasil

penyusutannya tidak boleh berupa subgraf dari graf K5 atau K3,3. Jika hasil penyusutannya berupa subgraf dari graf K5 atau K3,3, maka graf tersebut tidak planar. Pembuktian teorema kuratowski memang bukan cara yang mudah. Menurut Aldous & Wilson (2004), teorema kuratowski bukan cara mudah untuk menunjukkan bahwa graf yang diberikan adalah planar atau non-planar, karena akan melibatkan banyak bentuk subgraph dan memverifikasi bahwa tidak satupun dari mereka adalah subdivision K5 atau K3,3 dan penyusutan menjadi K5 atau K3,3. Perlu adanya cara untuk membelajarkan mahasiswa agar dapat memahami teori ini dengan baik. Untuk memuat rancangan pembelajaran dengan baik, perlu adanya analisis kesalahan terlebih dahulu sebagai bahan pertimbangan mengurangi kesulitan mahasiswa. Kesulitan-kesulitan yang muncul dalam pengalaman belajar matematika merupakan salah satu faktor pemicu rendahnya tingkat motivasi belajar matematika (Suherman, dkk., 2003:223). Akibatnya dapat melakukan hal-hal buruk terkait dengan pembelajaran matematika, seperti membolos, gagal dalam belajar matematika, dan menolak mengikuti kegiatan yang berhubungan dengan matematika (Suherman, dkk, 2003:235). Untuk mencegah hal-hal yang tidak diinginkan tersebut, perlu adanya tindakan untuk meningkatkan motivasi dengan cara meningkatkan kualitas pembelajaran. Kualitas pembelajaran dapat dilihat dari hasil belajar. Suprijono (2011:5) menyatakan bahwa hasil belajar adalah pola-pola perbuatan, nilai-nilai, pengertian-pengertian, sikapsikap, apresiasi dan keterampilan. Hasil belajar dapat ditunjukkan dari hasil pekerjaan mahasiswa. Dari hasil pekerjaan mahasiswa, dapat dilihat pola berpikir siswa dalam menyelesaikan permasalah. Pola berpikir mahasiswa tentunya bermacam-macam. Pola tersebut menentukan pekerjaan yang dilakukan benar atau salah. Pekerjaan mahasiswa yang salah merupakan suatu hal yang perlu diidentifikasi. Dengan diidentifikasi, pengajar atau dosen dapat mengetahui kesalahan apa saja yang sering dibuat mahasiswa. Dosen dapat memperbaiki pembelajarannya dengan cara mengetahui kesalahan apa yang sering dilakukan mahasiswa, sehingga tahu hal mana yang perlu dititik beratkan agar pembelajaran maksimal. Menurut Gregory (2010:50) analisis adalah langkah pertama dalam proses perencanaan. Hal tersebut sejalan dengan tujuan JURNAL ILMIAH PENDIDIKAN CITRA BAKTI I 81

ISSN: 2355-5106


penelitian ini yaitu untuk mengetahui kesalahan mahasiswa dalam membuktikan planarity menggunakan teorema kuratowski. METODE PENELITIAN Penelitian ini menggunakan pendekatan kualitatif dan jenis penelitiannya deskriptif. Penelitian

kualitatif

ditujukan

untuk

mengungkapkan

suatu

masalah

dan

mengembangkannya secara detail untuk memahami pusat fenomena dari suatu masalah (Creswell, 2012:16). Selain itu pendekatan ini dipilih karena penelitian ini memenuhi karakteristik penelitian kualitatif sebagaimana dikemukakan oleh Moleong (1996: 4-8) yaitu (1) mempunyai latar alamiah atau kondisi objek penelitian alamiah, (2) peneliti sebagai instrumen utama, (3) analisis data secara induktif, (4) teori dari dasar (grounded theory), (5) kaya akan data yang bersifat deskriptif, (6) lebih mementingkan “proses” daripada hasil, (7) adanya batasan permasalahan yang ditentukan oleh fokus penelitian, (8) adanya kriteria khusus untuk keabsahan data, (9) desain penelitian yang bersifat sementara, dan (10) hasil penelitian dirundingkan dan disepakati bersama. Sedangkan Johnson & Christensen (2004: 347) mengemukakan bahwa tujuan utama dari penelitian deskriptif adalah untuk memberikan gambaran yang akurat atau gambaran status atau karakteristik dari suatu situasi atau fenomena. Penelitian ini di lakukan pada mahasiswa S-1 Universitas Negeri Malang angkatan 2013 kelas offering B. Peneliti memberikan tes kepada mahasiswa tersebut. Banyaknya mahasiswa yang mengalami kesalahan yaitu 19 orang yang terdiri dari 2 mahasiswa laki-laki dan 17 mahasiswa perempuan. Kesembilan belas mahasiswa tersebut dipilah berdasarkan kesalahan yang dilakukan. Dari setiap kesalahan diambil satu pekerjaan mahasiswa untuk dilakukan analisis lebih dalam. Pengambilan subjek pada penelitian ini yaitu menggunakan teknik purposive sampling. Teknik purposive sampling yaitu memilih subjek yang menyediakan informasi yang diperlukan untuk menuju pada tujuan penelitian (Johnson & Christensen, 2004:220). Sumber data dalam penelitian ini yaitu hasil tes mahasiswa. Tes yang diberikan kepada mahasiswa merupakan tes mengenai pengujian planarity menggunakan teorema kuratowski. Tes yang diberikan sebanyak satu soal. Berikut tes yang diberikan. Apakah graf G di bawah ini planar? Buktikan dengan menggunakan teorema kuratowski!

G


ISSN: 2355-5106


Analisis dalam penelitian ini menggunakan analisis yang dikemukakan oleh Creswell. Data yang diperoleh dalam penelitian ini dianalisis dengan tahap yaitu (1) menyiapkan dan mengumpulkan data untuk dianalisis, (2) mengembangkan dan mengkode data, (3) membuat kode berdasarkan deskripsi-deskripsi, (4) menyajikan dan melaporkan hasil yang ditemukan, (5) menginterpretasikan hasil yang ditemukan, (6) memvalidasi keakuratan dari hasil yang ditemukan (Creswell, 2012: 261). HASIL DAN PEMBAHASAN Hasil analisis dari 19 subjek didapat 6 macam kesalahan mahasiswa dalam membuktikan planarity menggunakan teorema kuratowski. Keenam kesalahannya yaitu tidak dapat memahami subdivision dengan baik, tidak dapat memahami subdivision dan teorema dengan baik, tidak dapat memahami K5 dan teorema dengan baik, tidak dapat memahami K3,3 dan teorema dengan baik, tidak dapat melakukan penyusutan dengan benar, dan memahami penyusutan sebagai menghilangkan. Berikut banyaknya mahasiswa yang mengalami kesalahan tersebut. Tabel 1. Rekapitulasi Hasil Analisis Kesalahan Banyaknya Mahasiswa

Bentuk Kesalahannya

2

Tidak dapat memahami subdivision dengan baik

5

Tidak dapat memahami subdivision dan teorema dengan baik

8

Tidak dapat memahami K5 dan teorema dengan baik

1

Tidak dapat memahami K3,3 dan teorema dengan baik

2

Tidak dapat melakukan penyusutan dengan benar

1

Memahami penyusutan sebagai menghilangkan

Enam macam kesalahan mahasiswa tersebut akan diambil salah satu yang mewakili bentuk keslahannya. Berikut akan diuraian satu persatu kesalahan mahasiswa. Kesalahan Memahami Subdivision Suatu Graf Salah satu pekerjaan mahasiswa yang mengalami kesalahan memahami subdivision suatu graf ditunjukkan pada Gambar 1. Dari gambar tersebut dapat dilihat bahwa mahasiswa menuliskan jawaban bahwa graf tersebut tidak planar, kemudian disertakan alasan. Alasan mahasiswa tersebut adalah graf G memuat subdivision dari K3,3. Jika memuat subdivision dari K3,3 maka mahasiswa seharusnya menunjukkan subdivion K3,3.


ISSN: 2355-5106


Gambar 1. Kesalahan Mahasiswa Memahami Subdivision Suatu Graf Alasan mahasiswa tidak sesuai dengan pembuktian yang dilakukan. Pada pekerjaan mahasiswa selanjutnya, mahasiswa tidak menunjukkan sama sekali bentuk subdivision K3,3. Mahasiswa menunjukkan gambar graf G tanpa titik s dan w. Terlihat bahwa mahasiswa melakukan penyusutan pada graf G. Hasil penyusutan tersebut berbentuk graf K3,3. Jika melakukan penyusutan pada graf G, maka titik yang mengalami penyusutan seharusnya ditulis juga. Jawaban mahasiswa cenderung menunjukkan subgraf dari graf G adalah K3,3. Padahal yang seharusnya ditunjukkan adalah subdivisionnya graf G terdiri dari subgraf dari graf K3,3. Pekerjaan mahasiswa menunjukkan kesalahan mahasiswa tidak dapat memahami subdivision dengan benar. Dari pekerjaan mahasiswa tidak ada penambahan titik sama sekali. Bahkan yang dilakukan mahasiswa menghilangkan titik s dan w. Kesalahan ini menunjukkan bahwa pengajar harus menekankan pembelajaran dengan memahamkan terlebih dahulu yang dimaksud dengan subdivision. Tidak dapat Memahami Subdivision dan Teorema dengan Baik Mahasiswa yang mengalami kesalahan pada pemahaman subdivision dan teorema kuratowski banyak, yaitu ada 5 mahasiswa. Mahasiswa mengaitkan kedua teorema kuratowski, padahal teorema tersebut berdiri sendiri-sendiri. Gambar 2 menunjukkan pekerjaan mahasiswa tersebut.

Gambar 2. Kesalahan Mahasiswa Tidak dapat Memahami Subdivision dan Teorema dengan Baik JURNAL ILMIAH PENDIDIKAN CITRA BAKTI I 84

ISSN: 2355-5106


Pada hasil pekerjaan mahasiswa di atas menunjukkan bahwa langkah awal yang dilakukan adalah penyusutan. Dia mendekatkan titik v dan w hingga berhimpit, serta mendekatkan titik r dan s hingga berhimpit. Selanjutnya ia menggabungkan sisi rangkap yang mengaitkan titik v/w dan r/s. Hasil penyusutan graf G membentuk graf K3,3. Langkah yang dilakukan mahasiswa ini benar, namun alas an yang digunakan salah. Langkah yang dilakukan merupakan pembukian teorema kuratowski yang kedua. Namun mahasiswa memberikan alasan mengenai teorema kuratowski yang pertama. Mahasiswa memberikan alasan bahwa graf G memuat subdivision K3,3 sehingga mahasiswa menyimpulkan graf tersebut non planar. Alasan yang diberikan mahasiswa tidak sesuai dengan pembuktian yang dilakukan. Hal ini jelas bahwa mahasiswa tidak dapat memahami teorema dengan baik. Selain itu mahasiswa juga tidak memahami maksud dari subdivision. Mahasiswa menunjukkan subgraf dari hasil penyusutan graf G. Tetapi yang ia sadari adalah ia menunjukkan graf G memuat subdivision dari K3,3. Tidak dapat Memahami K5 dan Teorema dengan Baik Kesalahan mahasiswa tidak dapat memahami K5 dan teorema dengan baik banyak sekali terjadi. Terdapat 8 mahasiswa yang melakukan hal ini.

Salah satu pekerjaan

mahasiswa dapat dilihat pada Gambar 3 di bawah ini.

Gambar 3. Kesalahan Mahasiswa Tidak dapat Memahami K5 dan Teorema dengan Baik Pada awal pekerjaan mahasiswa menunjukkan bahwa langkah awal yang dilakukan adalah mendekatkan titik p dan q hingga perhimpit. Kemudian mahasiswa mendekatkan titik u dan v hingga berhimpit. Selanjutnya mahasiswa

mendekatkan titik s dan t hingga

berhimpit. Dari langkah tersebut, didapat tiga titik pasang yang berhimpitan. Langkah akhir mahasiswa yaitu menyimpulkan hasil pembuktiannya. Mahasiswa menyatakan graf G bukan graf planar karena mengandung K5. Padahal jelas hal tersebut terbalik. Dari gambar menunjukkan bahwa K5 mengandung graf G yang mengalamii penyusutan. Alasan mahasiswa tersebut menunjukkan bahwa mahasiswa memahami bentuk K5 seperti yang digambarkan terakhir. Mahasiswa tidak memahami K5 dan teorema.


ISSN: 2355-5106


Tidak dapat Memahami K3,3 dan Teorema dengan Baik Ada dua mahasiswa yang mengalami kesalahan dalam memahami K3,3 dan teorema kurtowski. Mahasiswa tidak dapat menyebutkan teorema dengan benar. Selain itu mahasiswa juga tidak dapat memahami K3,3. Hal tersebut ditunjukkan pada Gambar 4 berikut ini.

Gambar 4. Kesalahan Mahasiswa Tidak dapat Memahami K3,3 dan Teorema dengan Baik Hal yang dilakukan mahasiswa di awal mengerjaannya yaitu menggambarkan penambahan dua titik berderajat dua pada graf G. Ia menambahkan satu titik antara titik p dan q, serta satu titik antara titik q dan r. Selanjutnya mahasiswa memberi keterangan bahwa penambahan titik (berderajat 2) pada graf G tidak mempengaruhi keplanaran. Pernyataan mahasiswa benar, namun tidak berhungungan dengan pembuktian selanjutnya. Dia menuliskan jika graf G adalah sub bagian graf non-planar, maka graf G adalah nonplanar. Jika diperhatikan dari pekerjaannya, sub bagian yang dimaksud adalah subgraf. Kemudian mahasiswa memberikan jawaban bahwa graf tersebut tidak planar dengan alasan graf G sub bagian dari K3,3. Penambahan titik yang dilakukan mahasiswa di awal tidak berhubungan dengan alasan tersebut. Terlihat dari gambar yang digambarkannya setelah menyatakan alasan berbeda dengan gambar awal. Gambar setelah alasan tidak ada titik yang ditambahkan di awal. Mahasiswa menyatakan bahwa gambar setelah alasan adalah sub bagian dari graf K3,3. Ini yang menunjukkan bahwa mahasiswa tidak paham graf K3,3. Graf K3,3 mempunyai 6 titik, namun yang digambarkan mahasiswa ada 8 titik. Jika maksud mahasiswa gambar tersebut adalah bagian dari graf K3,3 maka seharusnya ada 6 titik yang harus dia tunjukkan. Teori kuratowski yang dipahami mahasiswa masih kurang. Mahasiswa tersebut tidak menggunakan teorema kuratowski yang pertama maupun yang kedua. Jika dia membahas mengenai subdivision atau penambahan titik berderajat dua, maka yang harus dia tunjukkan JURNAL ILMIAH PENDIDIKAN CITRA BAKTI I 86

ISSN: 2355-5106


adalah penambahan titik tersebut menunjukkan graf G subgraf dari graf K3,3. Namun penambahan titik yang dilakukan mahasiswa tidak menunjukkan hal tersebut. Tidak Dapat Melalukan Penyusutan dengan Benar Ada dua mahasiswa yang tidak dapat menentukan hasil penyusutan suatu graf. Penyusutan yang dilakukan tidak menunjukkan langsung pada graf G. Namun yang ditunjukkan langsung dalam bentuk K3,3. Berikut pekerjaan mahasiswa pada Gambar 5.

Gambar 5. Kesaahan Mahasiswa Tidak dapat Melakukan Penyusutan dengan Benar Pada awal pengerjaannya mahasiswa ini menunjukkan akan membuktikannya dengan teorema kuratowski yang kedua yaitu menggunakan penyusutan. Penyusutan yang ia lakukan yaitu dengan cara mendekatkan titik w dan p hingga berhimbit, serta mendekatkan titik u dan t hingga berhimpit. Jika melakukan penyusutan seperti itu, seharusnya ada sisi yang menghubungkan titik p dan titik t. Namun mahasiswa tidak menghubungkan titik tersebut sehingga hasil penyusutannya salah. Hal ini terlihat bahwa mahasiswa tidak dapat melakukan penyusutan dengan benar. Mahasiswa memahami teori kuartowski. Jika dilihat hasil pekerjaan tersebut, mahasiswa dapat menuliskan teorema kuratowski dengan benar. Mahasiswa kurang teliti dalam menggambarkan hasil penyusutannya. Untuk menanggulangi hal ini, seharusnya ditulis lebih rinci bantuk penyusutannya yang terjadi. Memahami Penyusutan sebagai Menghilangkan Mahasiswa yang menganggap penyusutan sebagai menghilangkan ini ada satu. Ia memahami penyusutan merupakan menghilangkan sisi. Berikut ini gambar 6 yang menunjukkan pekerjaan mahasiswa tersebut.


ISSN: 2355-5106


Gambar 6. Kesalahan Mahasiswa Memahami Penyusutan sebagai Menghilangkan Pekerjaan tersebut menunjukkan bahwa di awal mahasiswa manyatakan teorema kuratowski menggunnakan cara menghapus sisi. Padahal kedua teorema kuratowski tidak ada yang membahas menghapus sisi. Sisi yang hilang itu karena ada penyusutan. Namun penyusutan tersebut dipahami mahasiswa ini sebagai penghapusan. Jelas sekali penghapusan sisi berbeda dengan penyusutan. Langkah selanjutnya mahasiswa menghilangkan titik v dan titik r sehingga graf tersebut membentuk K3,3. Karena membentuk graf K3,3, ia menganggap graf yang diberikan bukan planar. Dari pekerjaan tersebut jelas sekali mahasiswa menganggap menghilangkan titik dan menghapus sisi merupakan penyusutan. Padahal penyusutan yang dimaksudkan dalam teorema kuratowski tidak seperti itu. SIMPULAN DAN SARAN Dari 19 subjek, dapat dianalisis bahwa kesalahan yang dilakukan oleh mahasiswa dalam membuktikan planarity menggunakan teorema kuratowski ada 6 macam. Keenam kesalahannya yaitu tidak dapat memahami subdivision dengan baik, tidak dapat memahami subdivision dan teorema dengan baik, tidak dapat memahami K5 dan teorema dengan baik, tidak dapat memahami K3,3 dan teorema dengan baik, tidak dapat melakukan penyusutan dengan benar, dan memahami penyusutan sebagai menghilangkan. Keenam macam kesalahan tersebut dikarenakan pemahaman mahasiswa yang masih kurang terhadap teorema kuratowski. Hal lain yang mahasiswa kurang faham yaitu mengenai subdivision, subbagian, dan isomorfis. Saran peneliti kepada pembaca khususnya untuk pembaca yang seorang dosen pengampuh mata kuliah teori graf untuk memberikan pemahaman kepada mahasiswa terlebih dahulu mengenai subdivision, subbagian, dan isomorfis. Ketika mahasiswa diberikan teori graf, mahasiswa tidak lagi bingung untuk membuktikannya.


ISSN: 2355-5106


DAFTAR PUSTAKA Aldous, J.M dan Wilson, R.2004. Graph and Applications; An Introductory Approach. London: Springer Creswell, Jhon W. 2012. Educational Research “Planning, Conducting, and Evaluating Quantitative and Qualitative Research”. Amerika : Pearson. Hudojo, Herman 2003. Pengembangan Kurikulum dan Pembelajaran Matematika. Malang: Universitas Negeri Malang. Johnson, B. & Christensen, L. 2004. Educational Research: Quantitative, Qualitative, and Mixed Approaches Second Edition. United Stated of America : Pearson Education. Lauren B. Resnick, 1981. The Psychology of Mathematics for Instruction, Lawrence Erlbaum Associates. Moleong, Lexy J. 1996. Metodologi Penelitian Kualitatif. Bandung: PT Remaja Rosdakarya. Suherman, dkk. 2003. Strategi Pembelajaran Matematika Kontemporer. Bandung: UPI. Suprijono A. (2011). Cooperative Learning Teori dan Aplikasi Paikem. Yogyakarta: Pustaka Pelajar Tirtaraharja. (2008). Pengantar Pendidikan. Jakarta: Rineka Cipta Wilson, Robin J. 1998. Introduction to Graph Theory. England: Prentice Hall


KESALAHAN MAHASISWA DALAM PENGGUNAAN TEOREMA KURATOWSKI UNTUK PEMBUKTIAN PLANARITY

Recommend Documents