PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
KENDALI OPTIMAL PADA MODEL PERIKLANAN NERLOVE-ARROW DENGAN MENGGUNAKAN PRINSIP MAKSIMUM Skripsi Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika
Oleh: Dewita Nur Fahma NIM: 123114022 PROGRAM STUDI MATEMATIKA/JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2017
i
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
OPTIMAL CONTROL ON THE NERLOVE-ARROW ADVERTISING MODEL WITH MAXIMUM PRINCIPLE Thesis Presented as a Partial Fulfillment of the Requirement to Obtain the Sarjana Sains Degree in Mathematics
By: Dewita Nur Fahma Student Number: 123114022 MATHEMATICS STUDY PROGRAM/DEPARTMENT OF MATHEMATICS FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA 2017
ii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
iii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
iv
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
v
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
vi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
MOTTO DAN PERSEMBAHAN
โPelangi tidak akan indah jika hanya ada satu warnaโ.
Karya ini saya persembahkan untuk: Tuhan Yang Maha Esa yang telah melimpahkan rahmat dan karunia-Nya sehingga skripsi ini dapat diselesaikan tepat pada waktunya. Bapak dan Ibu yang telah membesarkan, mendidik, mendoakan dan memberikan dukungan saya dalam segala hal. Terima kasih atas perhatian, kasih sayang dan dukungan yang telah diberikan, sehingga skripsi ini dapat selesai. Bapak Hartono yang dengan sabar membimbing dan membantu saya dalam penulisan skripsi ini.
vii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ABSTRAK Teori kendali optimal adalah cabang matematika yang digunakan untuk mencari penyelesaian optimal pada sistem dinamis. Teori kendali optimal dapat diterapkan dalam bidang manajemen. Aplikasi kendali optimal pada bidang manajemen seringkali diterapkan pada sistem keuangan, ekonomi, proses produksi dan penyimpanan, periklanan, dan lain-lain. Dalam tugas akhir ini akan dibahas mengenai model periklanan, yaitu model periklanan Nerlove-Arrow. Tujuan dari model periklanan Nerlove-Arrow adalah untuk mencari keadaan yang optimal, yaitu nilai maksimal dari fungsi tujuan. Prinsip maksimum digunakan dalam tugas akhir ini untuk memperoleh keadaan optimal. Konsep-konsep yang digunakan dalam memperoleh keadaan optimal adalah persamaan Hamiltonian, dan fungsi adjoin. Kata kunci: Kendali optimal, Goodwill, Model Periklanan, Persamaan Hamiltonian, Fungsi Adjoin, Prinsip Maksimum.
viii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ABSTRACT Optimal control theory is a branch of mathematics developed to find optimal ways to control dynamical system. Optimal control theory can be applied in management area. Optimal control can be applied in finance, economics, production and inventory, advertising, etc. This thesis will discuss Nerlove-Arrow advertising model. The purpose of Nerlove-Arrow advertising model is to find the optimal way, to maximize value of the objective function. Concepts which are used to find the optimal ways is Hamiltonian equation and adjoint function. Keyword: Optimal control, Goodwill, Advertising Model, Hamiltonian equation, Adjoint Function, Maximum Principle.
ix
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
KATA PENGANTAR
Puji dan Syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa yang telah memberikan
rahmat,
taufik,
dan
hidayah-Nya
sehingga
penulis
dapat
menyelesaikan penulisan skripsi dalam rangka memperoleh gelar Sarjana Sains di Universitas Sanata Dharma. Penulis menyadari bahwa penyusunan skripsi ini dapat diselesaikan karena dukungan dan bantuan dari berbagai pihak, baik perorangan ataupun lembaga. Untuk itu, dengan segala kerendahan hati penulis ingin menyampaikan terima kasih kepada: 1. Y.G. Hartono, Ph. D, selaku dosen pembimbing skripsi, Dosen Pembimbing Akademik, dan sekaligus Ketua Program Studi Matematika yang telah meluangkan waktu, tenaga, dan pikiran serta ilmu yang telah diberikan sehingga terselesaikannya skripsi ini. 2. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D. selaku dekan Fakultas Sains dan Teknologi. 3. Romo Prof. Dr. Frans Susilo, S.J., Ibu M. V. Any Herawati, S.Si., M.Si., Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., Bapak Dr. rer. nat. Herry P. Suryawan, S.Si., M.Si., dan Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si. selaku dosen-dosen prodi matematika yang telah memberikan banyak pengetahuan kepada penulis selama proses perkuliahan.
x
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
DAFTAR ISI
Halaman HALAMAN JUDUL ............................................................................................ i HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING .................................................. iii HALAMAN PENGESAHAN ............................................................................. iv HALAMAN KEASLIAN KARYA...................................................................... v LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI ............................... vi HALAMAN PERSEMBAHAN ......................................................................... vii ABSTRAK ....................................................................................................... viii ABSTRACT ....................................................................................................... ix KATA PENGANTAR ......................................................................................... x DAFTAR ISI ..................................................................................................... xii BAB I PENDAHULUAN .................................................................................... 1 A. Latar Belakang Masalah ........................................................................ 1 B. Rumusan Masalah ................................................................................. 1 C. Batasan Masalah ................................................................................... 2 D. Tujuan Penulisan .................................................................................. 2 E. Metode Penulisan.................................................................................. 2 F. Manfaat Penulisan ................................................................................ 2
xii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
G. Sistematika Penulisan ........................................................................... 4 BAB II PENGANTAR KENDALI OPTIMAL .................................................... 5 A. TEORI KENDALI OPTIMAL .............................................................. 5 B. Contoh-Contoh Kendali Optimal........................................................... 7 C. Notasi dan Konsep .............................................................................. 14 D. Pengantar Prinsip Maksimum ............................................................. 15 D.1. Model Matematika ..................................................................... 15 D.2. Kendala ...................................................................................... 16 D.3. Fungsi Tujuan ............................................................................ 17 D.4. Masalah Kendali Optimal ........................................................... 17 E. Program Dinamik dan Prinsip Maksimum ........................................... 18 E.1. Persamaan Hamilton-Jacobi-Bellman .......................................... 18 F. Derivasi Persamaan Adjoin ................................................................. 23 G. Prinsip Maksimum .............................................................................. 25 G.1. Contoh Prinsip Maksimum .......................................................... 26 H. Prinsip Maksimum Dengan Kendala Ketidaksamaan Campuran ......... 31 H.1. Contoh Prinsip Maksimum Dengan Kendala Ketidaksamaan Campuran .................................................................................................. 33
I. Nilai Sekarang (Current Value)........................................................... 37
xiii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
J. Titik Akhir Bebas (free-end-point) ...................................................... 40 K. Jangka Waktu Tak Berhingga (Infinite Horizon) dan Stasioneritas ...... 41 BAB III MODEL PERIKLANAN NERLOVE ARROW ................................... 44 A. Model Matematis ................................................................................ 44 B. Solusi Menggunakan Prinsip Maksimum ............................................ 47 BAB IV PENUTUP ........................................................................................... 52 A. Kesimpulan......................................................................................... 52 B. Saran .................................................................................................. 53 DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................ 54 LAMPIRAN ...................................................................................................... 55
xiv
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB I PENDAHULUAN
Pada bab ini akan dibahas mengenai latar belakang, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan penulisan, manfaat penulisan, metode penulisan, dan sistematika penulisan.
A.
Latar Belakang Pemasaran merupakan salah satu aspek penting untuk menentukan kesuksesan
keuangan suatu perusahaan. Pemasaran akan berdampak banyak dalam perkembangan ekonomi suatu perusahaan. Pemasaran produk suatu perusahaan akan membuat konsumen mengetahui keberadaan perusahaan dan produk yang dihasilkan. Apabila keduanya semakin dikenal oleh konsumen, maka akan meningkatkan pendapatan suatu perusahaan tersebut. Salah satu strategi pemasaran adalah periklanan. Periklanan yang dilakukan dengan cara yang tepat akan membuat konsumen tertarik dengan produk yang dihasilkan oleh suatu perusahaan. Oleh karena itu, ada keyakinan yang timbul dari para ahli ekonomi bahwa biaya yang dikeluarkan untuk periklanan merupakan investasi. Masalah menentukan kebijakan periklanan dari waktu ke waktu merupakan aspek penting dalam bidang pemasaran. Ada beberapa pendekatan yang berhubungan dengan masalah ini. Di antaranya dengan menggunakan pemrograman matematis dan
1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 2
pemrograman dinamis. Ada pendekatan lain yaitu dengan menggunakan pendekatan teori kendali optimal. Dalam pendekatan ini, sistem dinamik dimodelkan sebagai satu atau lebih persamaan diferensial yang kemudian dioptimalkan menggunakan prinsip maksimum. Diasumsikan bahwa perusahaan ingin memaksimalkan fungsi tujuan, yaitu nilai sekarang dari keuntungan bersih suatu perusahaan dengan waktu yang terbatas maupun tak terbatas. Jelas bahwa keuntungan bersih suatu perusahaan tergantung pada penjualan dan periklanan. Peranan dari teori kendali optimal adalah untuk menemukan kebijakan periklanan yang memaksimalkan fungsi tujuan perusahaan.
B.
Rumusan Masalah Perumusan masalah yang akan dibicarakan pada tugas akhir ini adalah: 1. Bagaimana memodelkan periklanan dengan model Nerlove-Arrow? 2. Bagaimana menyelesaikan model periklanan Nerlove-Arrow menggunakan prinsip maksimum?
C.
Batasan Masalah Tugas akhir ini dibatasi pada masalah-masalah sebagai berikut: 1. Aplikasi kendali optimal pada bidang periklanan yang akan dibahas adalah model Nerlove-Arrow.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 3
2. Model periklanan Nerlove-Arrow akan diselesaikan menggunakan prinsip maksimum. 3. Model periklanan Nerlove-Arrow hanya akan dibahas pasa kasus linier.
D.
Tujuan Penulisan Tujuan dari penulisan tugas akhir ini adalah untuk mengenalkan aplikasi kendali
optimal pada bidang model periklanan Nerlove-Arrow dan menyelesaikannya dengan menggunakan prinsip maksimum.
E.
Manfaat Penulisan Manfaat yang dapat diperoleh dari penulisan tugas akhir ini adalah pembaca
dapat mengetahui aplikasi kendali optimal pada bidang periklanan serta bagaimana cara penyelesaiannya dengan menggunakan prinsip maksimum. Selain itu pembaca juga dapat memaksimalkan hasil pendapatan bersih suatu perusahaan.
F.
Metode Penulisan Metode yang digunakan penulis dalam penulisan tugas akhir ini adalah studi
pustaka, yaitu dengan membaca dan mempelajari buku-buku atau jurnal-jurnal yang berkaitan dengan model periklanan Nerlove-Arrow serta penyelesaiannya menggunakan prinsip maksimum.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 4
G.
Sistematika Penulisan BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang B. Rumusan Masalah C. Batasan Masalah D. Tujuan Penulisan E.
Manfaat Penulisan
F.
Metode Penulisan
G. Sistematika Penulisan BAB II PENGANTAR KENDALI OPTIMAL A. Teori Kendali Optimal B. Contoh-Contoh Kendali Optimal C. Prinsip Maksimum BAB III MODEL NERLOVE-ARROW A. Model Periklanan Nerlove-Arrow B. Penyelesaian Model Nerlove-Arrow BAB IV PENUTUP A. Kesimpulan B. Penutup DAFTAR PUSTAKA
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB II PENGANTAR KENDALI OPTIMAL
A. Teori Kendali Optimal Banyak aplikasi dari bidang manajemen yang menggunakan teori kendali optimal. Kendali optimal adalah cabang matematika yang digunakan untuk mencari penyelesaian optimal pada sistem dinamis. Aplikasi kendali optimal pada bidang manajemen seringkali diterapkan pada sistem keuangan, ekonomi, proses produksi dan penyimpanan, periklanan, dan lain-lain. Dimisalkan variabel ๐ฅ(๐ก) merupakan variabel kondisi (state variable) dari suatu sistem pada waktu ๐ก โ [0, ๐], dengan ๐ > 0 menunjukkan jangkauan waktu (time horizon) pada suatu sistem. Sebagai contoh, ๐ฅ(๐ก) dapat menyatakan banyaknya penyimpanan suatu barang pada waktu ๐ก, seberapa populer suatu produk (goodwill) pada waktu t, ataupun besarnya sumber daya alam yang tidak dipakai pada waktu ๐ก. Diasumsikan bahwa ada cara untuk mengendalikan suatu keadaaan pada sistem. Misalkan ๐ข(๐ก) adalah variabel kendali dari suatu sistem pada waktu ๐ก. Sebagai contoh, ๐ข(๐ก) dapat menyatakan besarnya tingkat produksi pada waktu ๐ก, besarnya tingkat periklanan pada waktu ๐ก, dan lain-lain. Diberikan variabel kondisi ๐ฅ(๐ก), variabel kendali ๐ข(๐ก), dan persamaan sistem dinamis sebagai berikut:
5
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 6
๐ฅฬ (๐ก) = ๐(๐ฅ(๐ก), ๐ข(๐ก), ๐ก),
๐ฅ(0) = ๐ฅ0 ,
(2.1)
di mana ๐ฅฬ (๐ก) adalah notasi untuk ๐๐ฅ(๐ก)/๐๐ก yang menyatakan laju perubahan variabel kondisi terhadap waktu ๐ก, ๐ adalah fungsi dari ๐ฅ, ๐ข, ๐ก, dan ๐ฅ0 adalah kondisi awal dari variabel kondisi. Variabel kondisi dan kendali digunakan untuk memaksimalkan fungsi tujuan yang berbentuk integral sebagai berikut: ๐
๐ฝ = โซ ๐น(๐ฅ(๐ก), ๐ข(๐ก), ๐ก)๐๐ก + ๐[๐ฅ(๐), ๐].
(2.2)
0
Pada persamaan (2.2), ๐น bisa menyatakan tentang besarnya keuntungan dikurangi biaya periklanan, besarnya kegunaan dari konsumsi suatu barang, besarnya biaya minimum pada proses penyimpanan dan produksi, dan lain-lain. ๐ pada persamaan (2.2) menyatakan besarnya nilai sisa pada kondisi ๐ฅ(๐) waktu ๐. Variabel kendali ๐ข(๐ก) seringkali terbatas, yang dapat dinyatakan sebagai berikut: ๐ข(๐ก) โ ๐บ(๐ก),
๐ก โ [0, ๐],
(2.3)
dengan ฮฉ(๐ก) adalah himpunan dari variabel kendali yang memungkinkan pada waktu ๐ก. Namun, ada beberapa kendala khusus yang mungkin diperlukan, yaitu: Kendala ketaksamaan campuran ๐(๐ฅ(๐ก), ๐ข(๐ก), ๐ก) โฅ 0, ๐ก โ [0, ๐]
(2.4)
dengan ๐ adalah fungsi dari ๐ข, ๐ก dan juga ๐ฅ. Kendala yang hanya melibatkan variabel kondisi: โ(๐ฅ, ๐ก) โฅ 0, ๐ก โ [0, ๐]
(2.5)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 7
dengan โ adalah fungsi dari ๐ฅ dan ๐ก. Kendala (2.5) seringkali disebut dengan kendala kondisi murni.
Kendala batas dari kondisi akhir ๐ฅ(๐): ๐ฅ(๐) โ ๐(๐),
(2.6)
dengan ๐(๐) disebut batasan permintaan atau target dari variabel kondisi pada waktu ๐.
B. Contoh-Contoh Kedali Optimal Berikut ini adalah contoh-contoh kendali optimal pada bidang produksi, periklaan, dan ekonomi. Pada contoh-contoh berikut ini akan ditunjukkan variabel-variabel dan fungsi yang digunakan pada masing-masing bidangnya.
Contoh 2.2 Model Periklanan Model periklanan yang akan dibahas pada contoh ini adalah Model Periklanan Nerlove-Arrow. Masalah yang harus diselesaikan adalah menentukan tingkat pengiklanan suatu produk pada waktu ๐ก. Variabel kondisinya adalah goodwill, ๐บ(๐ก), yaitu seberapa populer suatu produk pada waktu ๐ก. Diasumsikan bahwa ada koefisien lupa (forgetting) ๐ฟ, yang menyatakan seberapa besar pelanggan mulai melupakan suatu produk. Untuk mengatasi masalah tersebut, proses periklanan dilakukan pada tingkat
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 8
tertentu dan diukur menggunakan variabel kendali ๐ข(๐ก). Maka diperoleh persamaan kondisinya sebagai berikut: ๐บฬ (๐ก) = ๐ข(๐ก) โ ๐ฟ๐บ(๐ก), dengan ๐บ(0) = ๐บ0 > 0 adalah kondisi awal dari goodwill suatu produk. Berikut ini akan diberikan variabel-variabel yang digunakan dalam Model Periklanan Nerlove-Arrow yang akan ditunjukkan pada tabel 1.2:
Variabel Kondisi
๐บ(๐ก) = Goodwill
Variabel Kendali
๐ข(๐ก) = Tingkat periklanan
Persamaan Kondisi
๐บฬ (๐ก) = ๐ข(๐ก) โ ๐ฟ๐บ(๐ก),
Fungsi Tujuan
๐บ(0) = ๐บ0 โ
Memaksimumkan {๐ฝ = โซ ๐ โ๐๐ก [๐(๐บ(๐ก)) โ ๐ข(๐ก)]๐๐ก} 0
Kendala Kondisi
-
Kendala Kendali
0 โค ๐ข(๐ก) โค ๐
Kondisi Akhir
-
Fungsi Eksogen
๐(๐บ(๐ก)) = Laba kotor
Parameter
๐ฟ = Nilai konstan goodwill ๐ = Tingkat diskon ๐ = Batas atas tingkat periklanan ๐บ0 = Nilai awal goodwill Tabel 2.2: Variabel-Variabel Model Periklanan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 9
Fungsi tujuan ๐ฝ memerlukan kajian khusus. Perlu diperhatikan bahwa fungsi J akan diintegralkan dari waktu ๐ก = 0 ke waktu ๐ก โ โ; karena memiliki batas waktu atas โ maka disebut dengan horizon tak hingga (infinite horizon problem). Karenanya, integran dari fungsi tujuan tersebut memuat faktor diskonto ๐ โ๐๐ก , dengan ๐ > 0 adalah tingkat diskon (konstan). Sisa integran di fungsi tujuan terdiri dari tingkat laba kotor ๐(๐บ(๐ก)). Tingkat goodwill ๐บ(๐ก) pada waktu t dikurangi biaya iklan yang diasumsikan sebanding dengan ๐ข(๐ก) (faktor proporsionalitas = 1); dengan demikian ๐(๐บ(๐ก)) โ ๐ข(๐ก) adalah tingkat laba bersih pada waktu t. Begitu juga [๐(๐บ(๐ก)) โ ๐ข(๐ก)]๐ โ๐๐ก adalah nilai sekarang dari tingkat keuntungan pada waktu t. Oleh karena itu, J dapat diartikan keuntungan masa depan dan hasil yang ingin kita maksimalkan. Ada kendala kendali 0 โค ๐ข(๐ก) โค ๐ mana ๐ adalah batas atas tingkat periklanan. Namun, tidak ada kendala kondisi, karena goodwill ๐บ(๐ก) tidak pernah bernilai negatif.โ Agar lebih mudah dimengerti, berikut akan diberikan contoh pengaplikasian kendali optimal pada kasus periklanan. Misalkan ๐(๐บ) = 2โ๐บ, ๐ฟ = 0.05, ๐ = 0.2, ๐ = 2, dan ๐บ0 = 16. Diberikan ๐ข(๐ก) = 0.8 untuk ๐ก โฅ 0. Buktikan bahwa ๐บ(๐ก) konstan untuk setiap ๐ก. Hitunglah nilai dari fungsi tujuan ๐ฝ.
Penyelesaian: Seperti yang telah diketahui, persamaan kondisi dari model periklanan adalah ๐บฬ (๐ก) = ๐ข(๐ก) โ ๐ฟ๐บ(๐ก),
๐บ(0) = ๐บ0 . Kemudian masing-masing kondisi yang telah
diberikan dalam soal disubstitusikan ke dalam persamaan tersebut, menjadi:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 10
๐บฬ (๐ก) = 0.8 โ (0.05)๐บ(๐ก) Karena diketahui kondisi awal ๐บ(0) = 16, maka informasi ini dapat dibawa ke dalam persamaan ๐บฬ (๐ก), sehingga diperoleh: ๐บฬ (0) = 0.8 โ (0.05)๐บ(0) ๐บฬ (0) = 0.8 โ (0.05)(16) = 0.8 โ 0.8 = 0 Selanjutnya, ๐บฬ (๐ก) + (0.05)๐บ(๐ก) = 0.8
(1)
Untuk membuktikan bahwa ๐บ(๐ก) konstan, maka dicari faktor integral ๐(๐ก) yaitu sebagai berikut: ๐(๐ก) = ๐ โซ ๐(๐ก) ๐๐ก = ๐ โซ 0.05 ๐๐ก = ๐ 0.05๐ก Kemudian faktor integral tersebut disubstitusikan ke dalam persamaan (1) menjadi: ๐บฬ (๐ก)๐(๐ก) + (0.05)๐บ(๐ก)๐(๐ก) = 0.8๐(๐ก) ๐บฬ (๐ก)๐ 0.05๐ก + (0.05)๐บ(๐ก)๐ 0.05๐ก = 0.8๐ 0.05๐ก ๐ 0.05๐ก [๐ ๐บ(๐ก)]๐๐ก = 0.8๐ 0.05๐ก ๐๐ก ๐๐ก โซ
๐ 0.05๐ก [๐ ๐บ(๐ก)]๐๐ก = โซ 0.08๐ 0.05๐ก ๐๐ก ๐๐ก ๐ 0.05๐ก ๐บ(๐ก) = 0.8 (
1 0.05๐ก ๐ )+๐ 0.05
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 11
๐ 0.05๐ก ๐บ(๐ก) = 16๐ 0.05๐ก + ๐ ๐บ(๐ก) =
16๐ 0.05๐ก + ๐ ๐ 0.05๐ก
๐บ(๐ก) = 16 + ๐๐ โ0.05๐ก . Karena ๐บ(0) = 16, maka: ๐บ(0) = 16 + ๐ 0 16 = 16 + ๐ ๐ =0 Jadi, terbukti ๐บ(๐ก) = 16 konstan untuk semua ๐ก. Selanjutnya nilai dari fungsi tujuan ๐ฝ dapat dihitung menggunakan informasiinformasi yang sudah didapatkan di atas. โ
๐ฝ = โซ ๐ โ๐๐ก [๐(๐บ(๐ก)) โ ๐ข(๐ก)]๐๐ก 0 โ
= โซ ๐ โ0.2๐ก [2โ๐บ โ 0.8]๐๐ก 0 โ
= โซ ๐ โ0.2๐ก [2โ16 โ 0.8]๐๐ก 0 โ
= โซ ๐ โ0.2๐ก [7.2]๐๐ก 0 โ
= 7.2 โซ ๐ โ0.2๐ก ๐๐ก 0
1 โ0.2๐ก โ = 7.2 [โ ๐ ] 0.2 0
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 12
= 7.2 [โ
1 โโ 1 0 ๐ โ (โ ๐ )] 0.2 0.2
= 7.2(0 + 5) ๐ฝ = 36 Jadi, didapatkan ๐ฝ = 36.
Gambar 2.1. Grafik Nerlove-Arrow Dari Contoh Di Atas
Permasalahan lain misalkan ๐บ menyatakan banyaknya orang yang mengetahui suatu produk. ๐ด menyatakan populasi, maka ๐ด โ ๐บ adalah banyaknya orang yang tidak mengetahui suatu produk. Jika ๐ข(๐ก) menyatakan besarnya laju periklanan pada waktu ๐ก, diasumsikan bahwa ๐ข(๐ด โ ๐บ) menyatakan laju kenaikan dari ๐บ karena proses
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 13
periklanan. Buatlah model baru dari persamaan kondisi berdasarkan informasiinformasi tersebut! Penyelesaian: ๐บฬ (๐ก) = ๐ข(๐ก)[๐ด โ ๐บ] โ ๐ฟ๐บ(๐ก), ๐บ(0) = ๐บ0 memaksimalkan ๐ฝ
โ
= โซ ๐ โ๐๐ก [๐(๐บ(๐ก)) โ ๐ข(๐ก)]๐๐ก. 0
Berikut akan diberikan ilustrasi numerisnya. Misalkan ๐ด = 10000, ๐บ(0) = ๐บ0 = 1
1000, ๐(๐บ) = 2 โ๐บ, ๐ฟ = 0.6, ๐ = 0.2, ๐บ(๐ก) = 2500, dan ๐ข(๐ก) = 0.5 untuk ๐ก โฅ 0. Maka, ๐บฬ (๐ก) = ๐ข(๐ก)[๐ด โ ๐บ] โ ๐ฟ๐บ(๐ก), ๐บ(0) = ๐บ0 = 0.5[10000 โ 2500] โ 0.6 โ 2500 = 3750 โ 1500 = 2250. Jadi, perubahan goodwill terhadap waktu ๐ก sebesar 2250 orang. Dengan menggunakan informasi-informasi di atas, dapat dihitung nilai dari fungsi tujuan ๐ฝ. ๐ฝ
โ
= โซ ๐ โ๐๐ก [๐(๐บ(๐ก)) โ ๐ข(๐ก)]๐๐ก. 0 โ 1 = โซ ๐ โ0.2๐ก [ โ2250 โ 0.5] ๐๐ก 2 0 โ
= โซ ๐ โ0.2๐ก [23.22]๐๐ก 0
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 14
โ
= 23.22 โซ ๐ โ0.2๐ก ๐๐ก 0
= 23.22 [โ
1 โ0.2๐ก โ ๐ ] 0.2 0
= 23.22 [โ
1 โโ 1 0 ๐ โ (โ ๐ )] 0.2 0.2
= 23.22(0 + 5) ๐ฝ = 116.1 โ
C. Notasi dan Konsep Berikut akan diberikan penjelasan mengenai konsep yang akan dipakai dalam tugas akhir ini. Hal ini bertujuan agar pembaca dapat memahami dengan jelas ketika membaca tugas akhir ini.
Misalkan ๐ฆ menyatakan ๐-komponen vektor kolom dan ๐ง menyatakan ๐komponen vektor baris, seperti berikut: ๐ฆ1 ๐ฆ = ( โฎ ) = (๐ฆ1 , ๐ฆ2 , โฆ , ๐ฆ๐ )๐ dan ๐ง = (๐ง1 , ๐ง1 , โฆ , ๐ง๐ ), ๐ฆ๐ dengan huruf ๐ di atas sebuah vektor atau matriks menyatakan transpose dari suatu vektor atau matriks. Jika ๐ฆ dan ๐ง merupakan fungsi dari waktu ๐ก dan merupakan suatu skalar, maka turunan dari ๐ฆฬ = ๐๐ฆโ๐๐ก dan ๐งฬ = ๐๐งโ๐๐ก didefinisikan sebagai berikut:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 15
๐ฆฬ =
๐๐ฆ ๐๐ง = (๐ฆฬ 1 , ๐ฆฬ 2 , โฆ , ๐ฆฬ๐ )๐ dan ๐งฬ = =(๐งฬ1 , ๐งฬ2 , โฆ , ๐งฬ๐ ), ๐๐ก ๐๐ก
di mana ๐ฆฬ ๐ dan ๐งฬ๐ masing-masing menyatakan turunan dari ๐๐ฆ๐ โ๐๐ก dan ๐๐ง๐ โ๐๐ก. Ketika ๐ = ๐, perkalian dalam (inner product) dapat didefinisikan sebagai: ๐ง โ ๐ฆ = โ๐๐=1 ๐ฆ๐ ๐ง๐ = ๐ฆ ๐ ๐ง.
(2.7)
Lebih jelasnya, jika terdapat matriks ๐ด = [๐๐๐ ] berukuran ๐ ร ๐ dan matriks ๐ต = [๐๐๐ ] berukuran ๐ ร ๐, perkalian matriks didefinisikan sebagai ๐ถ = [๐๐๐ ] = ๐ด๐ต berukuran ๐ ร ๐ dengan ๐๐๐ = โ๐๐=1 ๐๐๐ ๐๐๐ .
(2.8)
sebagai komponen-komponennya. Misalkan ๐ธ ๐ menyatakan ๐-dimensi ruang Euclides. Elemen-elemennya berupa vektor-vektor dengan ๐-komponen, baik itu vektor baris ataupun vektor kolom. Dengan begitu pada persamaan (2.7), ๐ฆ โ ๐ธ ๐ merupakan vektor kolom, sedangkan ๐ง โ ๐ธ ๐ merupakan vektor baris.
D. Pengantar Prinsip Maksimum D.1. Model Matematika Dalam aplikasi kendali optimal, hal yang terpenting yaitu membuat model dari suatu sistem. Model yang baik yaitu model yang jelas, sederhana, dan mudah dipahami. Selain itu, model yang baik juga harus realistis.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 16
Diberikan nilai awal ๐ฅ0 dan variabel kendali ๐ข(๐ก), ๐ก โ [0, ๐]. Perubahan dari sistem terhadap waktu ๐ก akan didefinisikan menggunakan persamaan diferensial, yang dikenal sebagai persamaan kondisi (state equation) sebagai berikut: ๐ฅฬ (๐ก) = ๐(๐ฅ(๐ก), ๐ข(๐ก), ๐ก),
๐ฅ(0) = ๐ฅ0
(2.8)
di mana vektor variabel kondisi, ๐(๐) โ ๐ธ ๐ , vektor variabel kendali, ๐(๐) โ ๐ธ ๐ , dan ๐: ๐ธ ๐ ร ๐ธ ๐ ร ๐ธ1 โ ๐ธ ๐ . Fungsi ๐ diasumsikan terdiferensial secara kontinu. Selain itu, diasumsikan bahwa ๐ merupakan sebuah vektor kolom dan ๐ merupakan vektor kolom dengan elemenelemennya suatu fungsi. Lintasan ๐ฅ(๐ก), ๐ก โ [0, ๐], disebut dengan trayektori kondisi (state trajectory) dan ๐ข(๐ก), ๐ก โ [0, ๐], disebut dengan trayektori kendali (control trajectory) atau biasa disebut dengan kendali.
D.2. Kendala Kendala-kendala yang akan dibahas dalam subbab ini adalah kendala yang tidak menyerupai persamaan (2.4) dan (2.5). Namun, kendala seperti persamaan (2.3) akan tetap digunakan. Selanjutnya akan didefinisikan kendali yang memungkinkan (admissible control) sebagai trayektori kendali dari ๐ข(๐ก), ๐ก โ [0, ๐], yaitu sebagai berikut ๐ข(๐ก) โ ๐บ(๐ก) โ ๐ธ ๐ , ๐ก โ [0, ๐].
(2.9)
Biasanya, himpunan ๐บ(๐ก) ditentukan oleh kondisi ekonomi dari variabel kendali pada waktu ๐ก.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 17
D.3. Fungsi Tujuan Fungsi tujuan adalah ukuran kuantitatif performa sistem dari waktu ke waktu. Kendali optimal didefinisikan sebagai suatu kendali yang memaksimalkan fungsi tujuannya. Dalam masalah bisnis atau ekonomi, fungsi tujuan memberikan nilai yang optimal terhadap keuntungan, penjualan, atau kerugian. Secara matematis, fungsi tujuan didefinisikan sebagai berikut ๐
๐ฝ = โซ ๐น(๐ฅ(๐ก), ๐ข(๐ก), ๐ก)๐๐ก + ๐[๐ฅ(๐), ๐]
(2.10)
0
dengan fungsi ๐น: ๐ธ ๐ ร ๐ธ ๐ ร ๐ธ1 โ ๐ธ1 dan ๐: ๐ธ ๐ ร ๐ธ1 โ ๐ธ1 diasumsikan terdiferensialkan secara kontinu. Dalam dunia bisnis, ๐น(๐ฅ, ๐ข, ๐ก) bisa digunakan untuk mendeskripsikan fungsi keuntungan, sedangkan ๐[๐ฅ, ๐] bisa digunakan untuk mendeskripsikan nilai sisa (salvage value) dari ๐ฅ pada waktu tujuan ๐.
D.4. Masalah Kendali Optimal Dalam kendali optimal, masalah yang harus diselesaikan yaitu mencari kendali ๐ขโ yang sesuai sehingga dapat memaksimalkan fungsi tujuan (2.10) terhadap persamaan kondisi (2.9). Sekarang, masalah kendali optimal dapat dinyatakan kembali dengan ๐
max {๐ฝ = โซ ๐น(๐ฅ(๐ก), ๐ข(๐ก), ๐ก)๐๐ก + ๐[๐ฅ(๐), ๐]}
๐ข(๐ก)โ๐บ(๐ก)
{
0
terhadap ๐ฅฬ (๐ก) = ๐(๐ฅ(๐ก), ๐ข(๐ก), ๐ก),
(2.11) ๐ฅ(0) = ๐ฅ0
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 18
Kendali ๐ขโ disebut kendali optimal dan ๐ฅ โ disebut dengan trayektori optimal dengan persamaan kondisi di mana ๐ข = ๐ขโ . Nilai optimal dari fungsi tujuan dinotasikan dengan ๐ฝ(๐ขโ ) atau ๐ฝโ . Masalah kendali optimal (2.11) disebut dengan persamaan Bolza. Apabila ๐ โก 0 maka disebut dengan persamaan Lagrange. Apabila diketahui ๐น โก 0 maka disebut dengan persamaan Mayer. Selain itu, akan disebut persamaan Mayer linier ketika ๐น โก 0 dan ๐ linier, sehingga menjadi, max {๐ฝ = ๐๐ฅ(๐)}
{
๐ข(๐ก)โ๐บ(๐ก)
terhadap ๐ฅฬ = ๐(๐ฅ, ๐ข, ๐ก), ๐ฅ(0) = ๐ฅ0
(2.12)
dengan ๐ = (๐1, ๐2 , โฆ , ๐๐ ) adalah vektor baris dengan dimensi-n yang elemenelemennya adalah konstanta-konstanta yang diberikan.
E. Program Dinamik dan Prinsip Maksimum Sebelum sampai ke dalam Prinsip Maksimum, berikut ini akan dijelaskan terlebih dahulu Persamaan Hamilton-Jacobi-Bellman dan Derivasi Persamaan Adjoin.
E.1. Persamaan Hamilton-Jacobi-Bellman Misalkan ๐(๐ฅ, ๐ก): ๐ธ ๐ ร ๐ธ1 โ ๐ธ1 adalah nilai maksimum dari fungsi tujuan dari masalah kendali optimal dengan waktu awal ๐ก pada kondisi ๐ฅ. Dengan begitu, ๐
๐(๐ฅ, ๐ก) =
max โซ ๐น(๐ฅ(๐ ), ๐ข(๐ ), ๐ )๐๐ + ๐(๐ฅ(๐), ๐),
๐ข(๐ )โ๐บ(๐ ) 0
(2.15)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 19
dengan ๐ โฅ ๐ก, ๐๐ฅ = ๐(๐ฅ(๐ ), ๐ข(๐ ), ๐ ), ๐ฅ(๐ก) = ๐ฅ. ๐๐ Diasumsikan nilai dari fungsi ๐(๐ฅ, ๐ก) ada untuk semua ๐ฅ dan ๐ก pada interval yang relevan. Selanjutnya, digunakan optimisasi untuk menderivatifkan kondisi pada fungsi ๐(๐ฅ, ๐ก). Pertama, batas integral pada fungsi tujuan ๐ฝ menjadi ๐ก sampai ๐ก + ๐ฟ๐ก; kedua, nilai fungsi ๐(๐ฅ + ๐ฟ๐ฅ, ๐ก + ๐ฟ๐ก) pada waktu ๐ก + ๐ฟ๐ก. Kendali ๐ข(๐) harus dipilih agar terdapat di dalam ๐บ(๐), ๐๐[๐ก, ๐ก + ๐ฟ๐ก], dan memaksimalkan integralnya. Agar mempermudah memahami maksud dari kalimat di atas, berikut ini akan diperlihatkan langkah-langkah untuk mendapatkan bentuk ๐(๐ฅ, ๐ก) yang baru. ๐ก+๐ฟ๐ก
=
max {โซ
๐ข(๐ )โ๐บ(๐ )
๐น(๐ฅ(๐ ), ๐ข(๐ ), ๐ )๐๐
๐ก
๐(๐ฅ, ๐ก)
๐
+โซ
๐น(๐ฅ(๐ ), ๐ข(๐ ), ๐ )๐๐ + ๐(๐ฅ(๐), ๐)}
๐ก+๐ฟ๐ก ๐ก+๐ฟ๐ก
=
max โซ
๐น(๐ฅ(๐ ), ๐ข(๐ ), ๐ )๐๐
๐ข(๐ )โ๐บ(๐ ) ๐ก
๐
+ max โซ
๐ข(๐ )โ๐บ(๐ ) ๐ก+๐ฟ๐ก
๐น(๐ฅ(๐ ), ๐ข(๐ ), ๐ )๐๐ + ๐(๐ฅ(๐), ๐)
sehingga didapatkan persamaan sebagai berikut ๐ก+๐ฟ๐ก
๐(๐ฅ, ๐ก) =
max โซ
๐ข(๐ )โ๐บ(๐ ) ๐ก
๐น(๐ฅ(๐ ), ๐ข(๐ ), ๐ )๐๐ + ๐(๐ฅ(๐ก + ๐ฟ๐ก), ๐ก + ๐ฟ๐ก)
(2.16)
dengan ๐ฟ๐ก adalah kenaikan atau penambahan waktu ๐ก yang sangat kecil. Hal ini digunakan untuk membandingkan persamaan (2.16) dengan persamaan (2.15).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 20
Karena ๐น adalah fungsi kontinu, integral dari persamaan
(2.16) dapat
diaproksimasikan ๐น(๐ฅ, ๐ข, ๐ก)๐ฟ๐ก, sehingga dapat ditulis menjadi ๐(๐ฅ, ๐ก) =
max {๐น(๐ฅ, ๐ข, ๐ก)๐ฟ๐ก + ๐[๐ฅ(๐ก + ๐ฟ๐ก), ๐ก + ๐ฟ๐ก]} + ๐(๐ฟ๐ก)
๐ข(๐ก)โ๐บ(๐ก)
(2.17)
dengan ๐(๐ฟ๐ก) disebut โlittle-oโ yang menunjukkan koleksi dari suku-suku di dalam ๐ฟ๐ก dengan order tinggi. Fungsi ๐น(๐ฟ๐ก): ๐ธ ๐ โ ๐ธ1 dikatakan order dari ๐(๐ฟ๐ก) jika ๐น(๐ฟ๐ก) lim โ๐ฟ๐กโโ0 โ๐ฟ๐กโ
= 0. Diasumsikan bahwa fungsi ๐ merupakan fungsi yang bisa diturunkan
dan kontinu (continously differentiable). Maka kita bisa menderetkan Taylor fungsi ๐ terhadap ๐ฟ๐ก, sehingga didapatkan hasil sebagai berikut: ๐[๐ฅ(๐ก + ๐ฟ๐ก), ๐ก + ๐ฟ๐ก] = ๐(๐ฅ, ๐ก) + [๐๐ฅ (๐ฅ, ๐ก)๐ฅฬ + ๐๐ก (๐ฅ, ๐ก)]๐ฟ๐ก + ๐(๐ฟ๐ก),
(2.18)
dengan ๐๐ฅ dan ๐๐ก merupakan turunan parsial dari ๐(๐ฅ, ๐ก) terhadap ๐ฅ dan ๐ก, serta ๐ฅฬ yang diperoleh dari ๐ฟ๐ฅ = ๐ฅ(๐ก + ๐ฟ๐ก) โ ๐ฅ(๐ก) ๐ฟ๐ฅ ๐ฅ(๐ก + ๐ฟ๐ก) โ ๐ฅ(๐ก) = ๐ฟ๐ก ๐ฟ๐ก ๐ฟ๐ฅ ๐ฅ(๐ก + ๐ฟ๐ก) โ ๐ฅ(๐ก) = lim ๐ฟ๐กโ0 ๐ฟ๐ก ๐ฟ๐กโ0 ๐ฟ๐ก lim
= ๐ฅฬ kemudian mensubstitusikan ๐ฅฬ pada persamaan (2.8) ke dalam persamaan (2.17), sehingga didapatkan: ๐(๐ฅ, ๐ก) = max {๐น(๐ฅ, ๐ข, ๐ก)๐ฟ๐ก + ๐(๐ฅ, ๐ก) + ๐ขโ๐บ(๐ก)
๐๐ฅ (๐ฅ, ๐ก)๐(๐ฅ, ๐ข, ๐ก)๐ฟ๐ก + ๐๐ก (๐ฅ, ๐ก)๐ฟ๐ก} + ๐(๐ฟ๐ก).
(2.19)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 21
Dengan menghilangkan ๐(๐ฅ, ๐ก) pada kedua ruas dan diikuti membagi kedua ruas dengan ๐ฟ๐ก didapatkan 0 = max {๐น(๐ฅ, ๐ข, ๐ก) + ๐๐ฅ (๐ฅ, ๐ก)๐(๐ฅ, ๐ข, ๐ก) + ๐๐ก (๐ฅ, ๐ก)} + ๐ขโ๐บ(๐ก)
๐(๐ฟ๐ก) . ๐ฟ๐ก
(2.20)
Misalkan ๐ฟ๐ก โ 0 maka persamaan di atas berubah menjadi 0 = max {๐น(๐ฅ, ๐ข, ๐ก) + ๐๐ฅ (๐ฅ, ๐ก)๐(๐ฅ, ๐ข, ๐ก) + ๐๐ก (๐ฅ, ๐ก)} ๐ขโ๐บ(๐ก)
(2.21)
dengan batas ๐
๐(๐ฅ, ๐ก) = ๐๐๐ฅ โซ ๐น(๐ฅ(๐ ), ๐ข(๐ ), ๐ )๐๐ + ๐(๐ฅ(๐), ๐) ๐ข(๐ )โ๐บ(๐ ) ๐ก
๐
๐(๐ฅ, ๐) = ๐๐๐ฅ โซ ๐น(๐ฅ(๐ ), ๐ข(๐ ), ๐ )๐๐ + ๐(๐ฅ(๐), ๐) ๐ข(๐ )โ๐บ(๐ ) ๐
๐๐๐ฅ 0 + ๐(๐ฅ(๐), ๐) ๐(๐ฅ, ๐) = ๐ข(๐ )โ๐บ(๐ ) ๐(๐ฅ, ๐) = ๐(๐ฅ, ๐).
(2.22)
Perlu diingat bahwa vektor ๐๐ฅ (๐ฅ, ๐ก) dapat diinterpretasikan sebagai kontribusi marginal dari variabel kondisi ๐ฅ untuk memaksimalkan fungsi tujuannya. Disimbolkan vektor marginal sepanjang lintasan ๐ฅ โ (๐ก) dengan vektor baris adjoin ๐(๐ก)๐๐ธ ๐ sebagai berikut: ๐(๐ก) = ๐๐ฅ (๐ฅ โ (๐ก), ๐ก) โ ๐๐ฅ (๐ฅ, ๐ก)|๐ฅ=๐ฅ โ(๐ก) .
(2.23)
dengan ๐(๐ก) dapat diinterpretasikan sebagai perubahan kecil fungsi tujuannya sebesar ๐ฅ โ (๐ก) pada waktu ๐ก. Selanjutnya akan diberikan bentuk fungsi Hamiltonian, yaitu:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 22
๐ป[๐ฅ, ๐ข, ๐๐ฅ , ๐ก] = ๐น(๐ฅ, ๐ข, ๐ก) + ๐๐(๐ฅ, ๐ข, ๐ก)
(2.24)
atau dapat disederhanakan menjadi, ๐ป[๐ฅ, ๐ข, ๐, ๐ก] = ๐น(๐ฅ, ๐ข, ๐ก) + ๐๐(๐ฅ, ๐ข, ๐ก).
(2.25)
Persamaan (2.21) dapat dituliskan kembali menjadi, 0 = max [๐ป(๐ฅ, ๐ข, ๐๐ฅ , ๐ก) + ๐๐ก ], ๐ขโ๐บ(๐ก)
(2.26)
yang disebut dengan persamaan Hamilton-Jacobi-Bellman atau persamaan (HJB). Hamiltonian memaksimalkan kondisi dari prinsip maksimum dapat dihitung dari persamaan (2.26) dan (2.23) dengan memastikan bahwa, jika ๐ฅ โ (๐ก) dan ๐ขโ (๐ก) merupakan nilai yang paling optimal dari variabel kondisi dan kendali serta ๐(๐ก) adalah nilai dari variabel adjoin pada waktu ๐ก yang bersesuaian, maka kendali optimal ๐ขโ (๐ก) harus memenuhi persamaan (2.26) untuk semua ๐ข โ ๐บ(๐ก), ๐ป[๐ฅ โ (๐ก), ๐ขโ (๐ก), ๐(๐ก), ๐ก] + ๐๐ก (๐ฅ โ (๐ก), ๐ก)
(2.27)
โฅ ๐ป[๐ฅ โ (๐ก), ๐ข(๐ก), ๐(๐ก), ๐ก] + ๐๐ก (๐ฅ โ (๐ก), ๐ก) Dengan menghilangkan ๐(๐ก) pada kedua ruas, maka didapatkan ๐ป[๐ฅ โ (๐ก), ๐ขโ (๐ก), ๐(๐ก), ๐ก] โฅ ๐ป[๐ฅ โ (๐ก), ๐ข(๐ก), ๐(๐ก), ๐ก]
(2.28)
untuk semua ๐ข โ ๐บ(๐ก). Untuk sampai pada prinsip maksimum, ada aspek yang lain yang digunakan untuk menghitung prinsip maksimum, yaitu derivasi persamaan adjoin.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 23
F.
Derivasi Persamaan Adjoin Derivasi persamaan adjoin didapatkan dari persamaan HJB (2.26). Perlu diingat
kembali bahwa ๐ฅ โ , ๐ขโ memaksimalkan ruas kanan pada persamaan (2.26) dan nilai maksimumnya adalah nol. Karenanya, misalkan ๐ฅ(๐ก) = ๐ฅ โ (๐ก) + ๐ฟ๐ฅ(๐ก),
(2.29)
dengan ๐ฟ๐ฅ(๐ก), โฅ ๐ฟ๐ฅ(๐ก) โฅ< ๐ untuk ๐ kecil positif. Persamaan (2.26) dapat dituliskan kembali sebagai ๐ป[๐ฅ โ (๐ก), ๐ขโ (๐ก), ๐๐ฅ (๐ฅ โ (๐ก), ๐ก), ๐ก] + ๐๐ก (๐ฅ โ (๐ก), ๐ก)
(2.30)
โฅ ๐ป[๐ฅ(๐ก), ๐ขโ (๐ก), ๐๐ฅ (๐ฅ โ (๐ก), ๐ก), ๐ก] + ๐๐ก (๐ฅ(๐ก), ๐ก). Agar lebih mudah dipahami, persamaan (2.26) menjelaskan bahwa ruas kanan dari persamaan (2.30) sama dengan nol jika ๐ขโ (๐ก) juga merupakan kendali optimal untuk ๐ฅ(๐ก). Pada umumnya, untuk ๐ฅ(๐ก) โ ๐ฅ โ (๐ก) maka ruas kanan tidak akan bernilai nol. Ruas kanan dari persamaan (2.30) akan mencapai nilai maksimumnya (nol) saat ๐ฅ(๐ก) = ๐ฅ โ (๐ก). Dengan kata lain, apabila ingin mencari fungsi ๐ฅ(๐ก) yang paling maksimum maka harus dihitung turunan pertama ruas kanan terhadap ๐ฅ, ๐ป๐ฅ [๐ฅ(๐ก), ๐ขโ (๐ก), ๐๐ฅ (๐ฅ โ (๐ก), ๐ก), ๐ก] + ๐๐ก๐ฅ (๐ฅ(๐ก), ๐ก) = 0.
(2.31)
Diasumsikan bahwa ๐ merupakan fungsi yang bisa diturunkan dua kali secara kontinu. Dengan menggunakan definisi Hamiltonian pada persamaan (2.24), identitas (2.22), dan fakta bahwa ๐๐ฅ๐ฅ = (๐๐ฅ๐ฅ )๐ , didapatkan ๐น๐ฅ + ๐๐ฅ ๐๐ฅ + ๐ ๐ ๐๐ฅ๐ฅ + ๐๐ก๐ฅ = ๐น๐ฅ + ๐๐ฅ ๐๐ฅ + (๐๐ฅ๐ฅ ๐)๐ + ๐๐ก๐ฅ = 0, dengan simbol แต merupakan operasi transpose.
(2.32)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 24
Persamaan (2.32) merupakan langkah terpenting dalam menentukan turunan atau derivasi dari persamaaan adjoin. Untuk menentukan turunan dari persamaan adjoin, dimulai dari menurunkan ๐๐ฅ (๐ฅ, ๐ก) terhadap ๐ก. Maka, ๐๐๐ฅ1 ๐๐๐ฅ2 ๐๐๐ฅ๐ ๐๐๐ฅ =( , ,โฆ, ) ๐๐ก ๐๐ก ๐๐ก ๐๐ก = (๐๐ฅ1 ๐ฅ ๐ฅฬ + ๐๐ฅ1 ๐ก , ๐๐ฅ2 ๐ฅ ๐ฅฬ + ๐๐ฅ2 ๐ก , โฆ , ๐๐ฅ๐๐ฅ ๐ฅฬ + ๐๐ฅ๐๐ก ) = (โ
๐ ๐=1
๐๐ฅ1๐ฅ๐ ๐ฅฬ ๐ , โ
๐ ๐=1
๐๐ฅ2๐ฅ๐ ๐ฅฬ ๐ , โฆ , โ
๐ ๐=1
๐๐ฅ๐๐ฅ๐ ๐ฅฬ ๐ ) + (๐๐ฅ )๐ก
= (๐๐ฅ๐ฅ ๐ฅฬ )๐ + ๐๐ฅ๐ก = (๐๐ฅ๐ฅ ๐)๐ + ๐๐ก๐ฅ . (2.33) Karena ruas kanan persamaan (2.33) sama dengan dua langkah terakhir pada persamaan (2.32), maka persamaan (2.33) menjadi ๐๐๐ฅ ๐๐ก
= โ๐น๐ฅ โ ๐๐ฅ ๐๐ฅ .
(2.34)
Pada persamaan (2.23) telah didefinisikan ๐ = ๐๐ฅ , jadi persamaan (2.34) dapat dituliskan kembali menjadi ๐ฬ = โ๐น๐ฅ โ ๐๐ฅ ๐๐ฅ . Apabila dilihat kembali, persamaan di atas merupakan hasil dari turunan parsial ๐ป pada persamaan (2.25) tehadap ๐ฅ. Karenanya, bentuk dari persamaan adjoin adalah sebagai berikut: ๐ฬ = โ๐ป๐ฅ .
(2.35)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 25
Dari definisi ๐ pada persamaan (2.23) dan kondisi batas pada persamaan (2.22), maka didapatkan kondisi batas akhir (terminal boundary condition), ๐(๐) = ๐๐ฅ (๐) =
๐๐(๐ฅ, ๐) ๐๐ฅ
=
๐๐(๐ฅ, ๐) ๐๐ฅ
=
๐๐(๐ฅ, ๐) |๐ฅ=๐ฅ(๐) = ๐๐ฅ [๐ฅ(๐), ๐]. ๐๐ฅ (2.36)
Dari definisi Hamiltonian pada persamaan (2.25), persamaan kondisi juga dapat ditulis sebagai ๐ฅฬ = ๐ = ๐ป๐ ,
(2.37)
Persamaan (2.25) dan (2.37) dapat dituliskan menjadi sebuah sistem sebagai berikut ๐ฅฬ = ๐ป๐ , ๐ฅ(0) = ๐ฅ0 { ฬ ๐ = โ๐ป๐ฅ , ๐(๐) = ๐๐ฅ [๐ฅ(๐), ๐],
(2.38)
G. Prinsip Maksimum Karena sebelumnya telah dijelaskan mengenai persamaan Hamiltonian dan derivasi persamaan adjoin, maka prinsip maksimum sudah bisa dirumuskan. Berikut ini adalah kondisi-kondisi yang harus dipenuhi agar ๐ขโ merupakan suatu kendali optimal:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 26
๐ฅฬ โ = ๐(๐ฅ โ , ๐ขโ , ๐ก), ๐ฅ โ (0) = ๐ฅ0 , { ๐ฬ = โ๐ป๐ฅ [๐ฅ โ , ๐ขโ , ๐, ๐ก], ๐(๐) = ๐๐ฅ [๐ฅ(๐), ๐], ๐ป[๐ฅ โ (๐ก), ๐ขโ (๐ก), ๐(๐ก), ๐ก] โฅ ๐ป[๐ฅ โ (๐ก), ๐ข, ๐(๐ก), ๐ก],
(2.39)
untuk semua ๐ข โ ๐บ(๐ก), ๐ก โ [0, ๐]. Hal ini menegaskan kembali bahwa kondisi ๐ฅ โ (๐ก) dan adjoin ๐(๐ก) pada Hamiltonian di kedua ruasnya ikut memaksimalkan persamaan (2.39). Selanjutnya, ๐ขโ (๐ก) harus maksimum global dari Hamiltonian ๐ป[๐ฅ โ (๐ก), ๐ข, ๐(๐ก), ๐ก] dengan ๐ข โ ๐บ(๐ก). Oleh karena itu, persamaan (2.39) disebut Prinsip Maksimum (maximum principle). Terdapat dua cara untuk menyelesaikan sistem tersebut. Cara pertama dengan menyelesaikan persamaan adjoin terlebih dahulu untuk mendapatkan kendali optimal ๐ขโ kemudian didapatkan ๐ฅ โ . Cara kedua digunakan apabila Hamiltonian dapat dimaksimalkan dengan fungsi kendali ๐ขโ (๐ก) = ๐ข[๐ฅ โ (๐ก), ๐ข, ๐(๐ก), ๐ก], kemudian disubstitusikan pada fungsi kondisi dan fungsi adjoin untuk mendapatkan dua nilai batas pada persamaan diferensial, ๐ฅฬ โ = ๐(๐ฅ โ , ๐ข(๐ฅ โ , ๐, ๐ก), ๐ก), ๐ฅ โ (0) = ๐ฅ0 , { ฬ ๐ฅ (๐ฅ โ , ๐ข(๐ฅ โ , ๐, ๐ก), ๐ก), ๐(๐) = ๐๐ฅ [๐ฅ โ (๐), ๐]. ๐ = โ๐ป Untuk lebih memahami cara menyelesaikan masalah kendali optimal menggunakan prinsip maksimum, akan diberikan contoh-contoh sederhana sebagai berikut.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 27
G.1. Contoh Prinsip Maksimum Diberikan masalah: 1
๐๐๐ฅ {๐ฝ = โซ โ๐ฅ๐๐ก} 0
terhadap kondisi ๐ฅฬ = ๐ข, ๐ฅ(0) = 1 dan kendali ๐ข โ ฮฉ = [โ1,1] Diketahui bahwa ๐ = 1, ๐น = โ๐ฅ, ๐ = 0, dan ๐ = ๐ข. Karena ๐น = โ๐ฅ, hal ini bisa dianggap sebagai masalah meminimalkan luas daerah di bawah kurva ๐ฅ(๐ก), untuk 0 โค ๐ก โค 1. Penyelesaian Menurut informasi-informasi yang telah didapatkan di atas, dapat dibentuk persamaan Hamiltonian sebagai berikut: ๐ป(๐ฅ, ๐ข, ๐, ๐ก) = ๐น(๐ฅ, ๐ข, ๐ก) + ๐๐(๐ฅ, ๐ข, ๐ก) ๐ป = โ๐ฅ + ๐๐ข. Persamaan Hamiltonian tersebut linier dalam ๐ข. Fungsi yang dapat digunakan untuk menyelesaikan Hamiltonian di atas adalah ๐ขโ (๐ก) = ๐๐๐๐[โ1,1; ๐(๐ก)]. Fungsi bang (bang function) digunakan pada masalah kendali optimal linier yang didefinisikan sebagai berikut:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 28
jika ๐ < 0,
๐1 ๐๐๐๐[๐1 , ๐2 ; ๐] = {tidak terdefinisi ๐2
jika ๐ = 0, jika ๐ > 0.
Pada contoh ini, jika ๐(๐ก) < 0, โ1 ๐ขโ = {tidak terdefinisi jika ๐(๐ก) = 0, 1 jika ๐(๐ก) > 0.
Untuk mencari nilai ๐, digunakan persamaan adjoin sebagai berikut ๐ฬ = โ๐ป๐ฅ ๐ฬ = โ(โ๐ฅ + ๐๐ข)๐ฅ ๐ฬ = (๐ฅ โ ๐๐ข)๐ฅ ๐ฬ = 1 dan ๐(1) = ๐๐ฅ [๐ฅ(๐), ๐] ๐(1) = 0 Persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan mudah karena tidak memuat ๐ฅ dan ๐ข. ๐ฬ = 1 ๐๐ =1 ๐๐ก ๐๐ = ๐๐ก
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 29
๐(๐ก) = ๐ก + ๐ถ Dengan menggunakan informasi ๐(1) = 0, didapatkan ๐(1) = 0 ๐(1) = 1 + ๐ถ 0 =1+๐ถ ๐ถ = โ1 ๐(๐ก) = ๐ก โ 1 Yang berarti bahwa ๐(๐ก) = ๐ก โ 1 โค 0 untuk semua ๐ก โ [0,1] dan ๐ขโ (๐ก) = โ1 dengan mendefinisikan ๐ข pada satu titik ๐ก = 1, didapat kendali optimal ๐ขโ (๐ก) = โ1 untuk ๐ก โ [0,1]. Kemudian masukkan persamaan tersebut pada persamaan kondisi ๐ฅฬ = ๐ข, ๐ฅ(0) = 1 didapatkan ๐ฅฬ = โ1, ๐ฅ(0) = 1 Yang mana penyelesaiannya adalah sebagai berikut ๐ฅฬ
= โ1
๐๐ฅ = โ1 ๐๐ก ๐๐ฅ = โ๐๐ก ๐ฅ(๐ก) = โ๐ก + ๐ถ Karena ๐ฅ(0) = 1 ๐ฅ(0) = 1 ๐ฅ(0) = 0 + ๐ถ
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 30
1 =๐ถ ๐ถ =1 Maka penyelesaiannya adalah ๐ฅ(๐ก) = 1 โ ๐ก untuk ๐ก โ [0,1]. Nilai dari fungsi tujuannya adalah sebagai berikut 1
๐ฝโ = โซ (1 โ ๐ก)๐๐ก 0
1 2 1 = (๐ก โ ๐ก )] 2 0 1 ๐ฝโ = โ . 2 Berikut adalah grafik yang akan menampilkan laju ๐ฅ(๐ก), ๐ขโ (๐ก), dan ๐(๐ก) terhadap waktu ๐ก:
Gambar 2.2. Grafik Contoh H.1.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 31
H. Prinsip Maksimum Dengan Kendala Ketidaksamaan Campuran Dalam subbab sebelumnya telah dijelaskan mengenai prinsip maksimum namun tanpa kendala ketidaksamaan campuran. Yang membedakannya, pada subbab ini ditambahkan kendala pada variabel keaadaan dan variabel kendali. Khususnya, untuk setiap ๐ก โ [0, ๐], ๐ฅ(๐ก) dan ๐ข(๐ก) harus memenuhi ๐(๐ฅ, ๐ข, ๐ก) โฅ 0,
๐ก โ [0, ๐],
(2.40)
dengan ๐: ๐ธ ๐ ร ๐ธ ๐ ร ๐ธ1 โ ๐ธ ๐ terdiferensial secara kontinu di semua titik dan harus memuat ๐ข. Kendala (2.40) disebut dengan kendala ketaksamaan (inequality constraint). Kondisi akhir (terminal state) dibatasi oleh pertidaksamaan dan persamaan: ๐(๐ฅ(๐), ๐) โฅ 0
(2.41)
๐(๐ฅ(๐), ๐) = 0
(2.42)
dengan : ๐ธ ๐ ร ๐ธ1 โ ๐ธ๐ผ๐ dan ๐: ๐ธ ๐ ร ๐ธ1 โ ๐ธ๐ผ๐ terdiferensial secara kontinu di semua titik. Kendali ๐ข disebut kendali yang memungkinkan (admissible control) apabila ๐ข kontinu sepotong-sepotong atau lebih lanjutnya ๐ข(๐ก) dan ๐ฅ(๐ก) harus memenuhi kendala (2.40), (2.41), dan (2.42). Dalam merumuskan prinsip maksimum, didefinisikan fungsi Hamiltonian ๐ป: ๐ธ ๐ ร ๐ธ ๐ ร ๐ธ ๐ ร ๐ธ1 ร ๐ธ1 โ ๐ธ1 sebagai ๐ป[๐ฅ, ๐ข, ๐, ๐ก] โถ= ๐น(๐ฅ, ๐ข, ๐ก) + ๐๐(๐ฅ, ๐ข, ๐ก)
(2.43)
dengan ๐ โ ๐ธ ๐ (vektor baris). Didefinisikan pula fungsi Lagrangian ๐ฟ: ๐ธ ๐ ร ๐ธ ๐ ร ๐ธ ๐ ร ๐ธ ๐ ร ๐ธ1 โ ๐ธ1 sebagai
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 32
๐ฟ[๐ฅ, ๐ข, ๐, ๐, ๐ก] โถ= ๐ป[๐ฅ, ๐ข, ๐, ๐ก] +๐๐(๐ฅ, ๐ข, ๐ก)
(2.44)
dengan ๐ โ ๐ธ ๐ sebuah vektor baris, yang kompennya disebut dengan pengali Lagrang. Pengali Lagrang ini memiliki sifat: ๐ โฅ 0,
(2.45)
๐๐(๐ฅ, ๐ข, ๐ก) = 0.
Vektor adjoin harus memenuhi ๐ฬ = โ๐ฟ๐ฅ [๐ฅ, ๐ข, ๐, ๐, ๐ก]
(2.46)
dengan batas ๐(๐) = ๐๐ฅ (๐ฅ(๐), ๐)
+๐ผ๐(๐ฅ(๐), ๐)
๐ผ โฅ 0,
+๐ฝ๐(๐ฅ(๐), ๐)
๐ผ๐(๐ฅ(๐), ๐) = 0
dengan ๐ผ โ ๐ธ๐ผ๐ dan ๐ฝ โ ๐ธ๐ผ๐ adalah vektor konstan. Informasi-informasi di atas dapat diringkas ke dalam tabel 2.3 sebagai berikut: ๐ฅฬ โ = ๐(๐ฅ โ , ๐ขโ , ๐ก), ๐ฅ โ (0) = ๐ฅ0 , Memenuhi kendala akhir ๐(๐ฅ โ (๐), ๐) โฅ 0 dan ๐(๐ฅ โ (๐), ๐) = 0, ๐ฬ = โ๐ฟ๐ฅ [๐ฅ โ , ๐ขโ , ๐, ๐, ๐ก] Dengan kondisi transversalitas ๐(๐) = ๐๐ฅ (๐ฅ โ (๐), ๐) + ๐ผ๐(๐ฅ โ (๐), ๐) + ๐ฝ๐(๐ฅ โ (๐), ๐),๐ผ โฅ 0, ๐ผ๐(๐ฅ โ (๐), ๐) = 0 Syarat maksimum Hamiltonian ๐ป[๐ฅ โ (๐ก), ๐ขโ (๐ก), ๐(๐ก), ๐ก] โฅ ๐ป[๐ฅ โ (๐ก), ๐ข(๐ก), ๐(๐ก), ๐ก] Untuk setiap ๐ก โ [0, ๐] semua ๐ข memenuhi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 33
๐[๐ฅ โ (๐ก), ๐ข, ๐ก] โฅ 0, Dan pengali Lagrange ๐(๐ก) sedemikian sehingga ๐๐ฟ ๐๐ป ๐๐ |๐ข=๐ขโ(๐ก) โถ= ( + ๐ ) |๐ข=๐ขโ(๐ก) = 0 ๐๐ข ๐๐ข ๐๐ข Dan kondisi complementary slackness ๐(๐ก) โฅ 0, ๐(๐ก)๐(๐ฅ โ , ๐ขโ , ๐ก) = 0 dipenuhi Tabel 2.3. Prinsip Maksimum Dengan Kendala Ketidaksamaan Campuran
H.1. Contoh Prinsip Maksimum Dengan Kendala Ketidaksamaan Campuran 1
Maks {๐ฝ = โซ0 ๐ข๐๐ก } terhadap ๐ฅฬ = ๐ข,
๐ฅ(0)
(2.47)
= 1, ๐ข โฅ 0,
๐ฅโ๐ข โฅ 0.
Ingat bahwa kendala (3.11) dapat ditulis sebagai 0 โค ๐ข โค ๐ฅ.
Penyelesaian Dari soal di atas dapat dibentuk fungsi Hamiltonian sebagai berikut: ๐ป = ๐น + ๐๐ ๐ป = ๐ข + ๐๐ข
(2.48)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 34
๐ป = (1 + ๐)๐ข, Karena ๐ข linier, maka bentuk kendali optimalnya adalah ๐ขโ = bang[0, ๐ฅ; 1 + ๐].
(2.49)
Ingat bahwa kendala (2.48) merupakan kasus khusus, sehingga untuk mendapatkan persamaan adjoinya terlebih dahulu dibentuk Lagrangian sebagai berikut: ๐ฟ = ๐ป +๐๐ = ๐ป + ๐(๐1 + ๐2 ) = ๐ป + ๐1 ๐ข + ๐2 (๐ฅ โ ๐ข) = (1 + ๐)๐ข + ๐1 ๐ข + ๐2 (๐ฅ โ ๐ข) ๐ฟ = ๐2 ๐ฅ + (1 + ๐ + ๐1 โ ๐2 )๐ข Dari Lagrangian didapatkan persamaan adjoin ๐ฬ = โ๐ฟ๐ฅ = (๐2 ๐ฅ + (1 + ๐ + ๐1 + ๐2 )๐ข)๐ฅ ๐ฬ = ๐2 , ๐(1) = 0.
(2.50)
Adapun hal lain yang perlu diingat bahwa kendali optimal harus memenuhi ๐ฟ๐ข sebagai berikut ๐ฟ๐ข = 1 + ๐ + ๐1 โ ๐2 = 0,
(2.51)
dan dari persamaan (2.45) ๐1 dan ๐2 harus memenuhi sifat ๐1 โฅ 0, ๐1 ๐ = ๐1 ๐ข = 0,
(2.52)
๐2 โฅ 0, ๐2 = ๐2 (๐ฅ โ ๐ข) = 0.
(2.53)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 35
Dari persamaan (2.47) dan (2.48) didapatkan ๐ขโ = 0 atau ๐ขโ = ๐ฅ. Untuk ๐ขโ = ๐ฅ solusi persamaan (2.47) adalah ๐ฅฬ
=๐ฅ
๐๐ฅ =๐ฅ ๐๐ก โซ
๐๐ฅ = โซ ๐๐ก ๐ฅ
๐๐(๐ฅ) = ๐ก + ๐ถ ๐ฅ = ๐๐ ๐ก Diketahui kondisi awal ๐ฅ(0) = 1, dengan begitu ๐ฅ(0) = ๐๐ 0 1 =๐ ๐ฅ(๐ก) = ๐ ๐ก Karena ๐ฅ = ๐ ๐ก > 0 menyebabkan ๐ขโ = ๐ฅ > 0; dengan begitu dari persamaan (2.52) dapat disimpulkan ๐1 = 0. Dari persamaan (2.51) substitusikan ๐1 = 0 1 + ๐ + ๐1 โ ๐2 = 0 1 + ๐ + 0 โ ๐2 = 0 ๐2 = 1 + ๐ Kemudian
substitusikan
๐2 = 1 + ๐
ke
dalam
persamaan
menyelesaikannya sehingga didapat penyelesaian sebagai berikut ๐ฬ = โ๐2
(2.50)
dan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 36
๐ฬ = โ(1 + ๐) ๐๐ = โ(1 + ๐) ๐๐ก โซ
๐๐ = โซ โ๐๐ก (1 + ๐)
๐๐(1 + ๐) = โ๐ก + ๐ถ 1 + ๐ = ๐๐ โ๐ก Diketahui ๐(1) = 0, ๐(1) = 0 1 + ๐(1) = ๐๐ โ1 1 =
๐ ๐
๐ =๐ 1 + ๐(๐ก) = ๐๐ โ๐ก 1 + ๐(๐ก) = ๐ 1โ๐ก .
(2.54)
Karena ruas kanan dari persamaan (2.54) selalu positif, ๐ขโ = ๐ฅ memenuhi (2.49). Perhatikan bahwa ๐2 = 1 + ๐ = ๐ 1โ๐ก โฅ 0 dan ๐ฅ โ ๐ขโ = 0, jadi persamaan (2.53) terpenuhi. Berikut adalah grafik yang memperlihatkan laju ๐ฅ(๐ก) dan ๐ขโ terhadap waktu ๐ก:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 37
Gambar 2.3. Grafik Contoh I.1
I.
Nilai Sekarang (Current-Value) Dalam masalah ekonomi dan manajemen, satuan dari fungsi tujuan adalah uang.
Nilai uang di masa depan akan mengalami penurunan. Sebagai permisalannya yaitu uang sebesar Rp 100.000,00 pada tahun 2016 masih dianggap banyak, namun belum tentu demikian pada tahun 2020. Diasumsikan suatu tingkat diskon konstan kontinu ๐ โฅ 0. Fungsi tujuan yang disertai dengan tingkat diskon ๐ merupakan bentuk khusus dari persamaan (2.10). Karenanya,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 38
๐น(๐ฅ, ๐ข, ๐ก) = ๐(๐ฅ, ๐ข)๐ โ๐๐ก dan ๐(๐ฅ, ๐) = ๐(๐ฅ)๐ โ๐๐ . Fungsi tujuannya menjadi ๐
๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐ {๐ฝ = โซ ๐(๐ฅ, ๐ข)๐ โ๐๐ก ๐๐ก + ๐[๐ฅ(๐)]๐ โ๐๐ }
(2.54)
0
terhadap (2.8), (2.40), (2.41), dan (2.42). Untuk masalah nilai sekarang, bentuk dari persamaan Hamiltonian standar adalah ๐ป ๐ โถ= ๐ โ๐๐ก ๐(๐ฅ, ๐ข) + ๐๐ ๐(๐ฅ, ๐ข, ๐ก)
(2.55)
dan bentuk dari persamaan Lagrangian standar adalah ๐ฟ๐ โถ= ๐ป ๐ + ๐ ๐ ๐(๐ฅ, ๐ข, ๐ก)
(2.56)
dengan variabel adjoin standar ๐๐ dan pengali-pengali standar ๐ผ ๐ dan ๐ฝ ๐ memenuhi ๐ฬ๐ = โ๐ฟ๐ ๐ฅ
(2.57)
๐๐ (๐) = ๐๐ฅ (๐ฅ(๐), ๐) + ๐ผ ๐ ๐๐ฅ (๐ฅ(๐), ๐) + ๐ฝ ๐ ๐๐ฅ (๐ฅ(๐), ๐) = ๐ โ๐๐ก ๐๐ฅ (๐ฅ(๐), ๐) + ๐ผ ๐ ๐๐ฅ (๐ฅ(๐), ๐)
(2.58)
+ ๐ฝ ๐ ๐๐ฅ (๐ฅ(๐), ๐), ๐ผ ๐ โฅ 0, ๐ผ ๐ ๐(๐ฅ(๐), ๐) = 0,
(2.59)
๐ ๐ โฅ 0, ๐ ๐ ๐ = 0.
(2.60)
dan ๐ ๐ memenuhi
Pangkat ๐ digunakan untuk membedakan fungsi nilai sekarang. Sekarang akan didefinisikan Hamiltonian dari nilai sekarang: ๐ป[๐ฅ, ๐ข, ๐, ๐ก] โ ๐(๐ฅ, ๐ข) + ๐๐(๐ฅ, ๐ข, ๐ก)
(2.61)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 39
dan Lagrangian dari nilai sekarang: ๐ฟ[๐ฅ, ๐ข, ๐, ๐, ๐ก] โถ= ๐ป + ๐๐(๐ฅ, ๐ข, ๐ก).
(2.62)
๐ โถ= ๐ ๐๐ก ๐๐ dan ๐ โถ= ๐ ๐๐ก ๐ ๐ ,
(2.63)
Sekarang didefinisikan
Kemudian persamaan (2.55) dan (2.56) dapat ditulis kembali menjadi ๐ป = ๐ ๐๐ก ๐ป ๐ dan
๐ฟ = ๐ ๐๐ก ๐ฟ๐ .
(2.64)
Karena ๐ ๐๐ก > 0, memaksimalkan ๐ป ๐ teradap ๐ข pada waktu ๐ก ekivalen dengan memaksimalkan nilai sekarang dari Hamiltonian ๐ป terhadap ๐ข pada waktu ๐ก. Selanjutnya, persamaan (2.63) diturunkan teradap ๐ก didapatkan ๐ฬ = ๐๐ ๐๐ก ๐๐ + ๐ ๐๐ก ๐ฬ๐ .
(2.65)
Untuk menyederanakan persamaan (2.65) digunakan persamaan (2.57), (2.63), dan fakta bahwa ๐ฟ๐ฅ = ๐ ๐๐ก ๐ฟ๐ ๐ฅ yang diperoleh dari persamaan (2.64). Karenanya, ๐ฬ = ๐๐ ๐๐ก ๐๐ + ๐ ๐๐ก ๐ฬ๐ = ๐๐ + ๐ ๐๐ก (โ๐ฟ๐ ๐ฅ ) = ๐๐ + ๐ ๐๐ก (โ๐ฟ๐ฅ ๐ โ๐๐ก ) = ๐๐ โ ๐ฟ๐ฅ ,
๐(๐) = ๐๐ฅ (๐ฅ(๐), ๐) + ๐ผ ๐ ๐ผ๐ฅ (๐ฅ(๐), ๐)
(2.66)
+ ๐ฝ ๐ ๐ฝ๐ฅ (๐ฅ(๐), ๐), dengan kondisi akhir untuk ๐(๐) merupakan akibat langsung dari persamaan (2.58) dengan menyubstitusikan definisi dari
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 40
๐ผ = ๐ ๐๐ก ๐ผ ๐ dan ๐ฝ = ๐ ๐๐ก ๐ฝ ๐ .
(2.67)
๐๐ (๐) = ๐ โ๐๐ก ๐๐ฅ (๐ฅ(๐), ๐) + ๐ผ ๐ ๐๐ฅ (๐ฅ(๐), ๐) + ๐ฝ ๐ ๐๐ฅ (๐ฅ(๐), ๐) ๐ ๐๐ก ๐๐ (๐) = ๐ ๐๐ก [๐ โ๐๐ก ๐๐ฅ (๐ฅ(๐), ๐) + ๐ โ๐๐ก ๐ผ๐๐ฅ (๐ฅ(๐), ๐) + ๐ โ๐๐ก ๐ฝ๐๐ฅ (๐ฅ(๐), ๐)] ๐(๐) = ๐๐ฅ (๐ฅ(๐), ๐) + ๐ผ ๐ ๐ผ๐ฅ (๐ฅ(๐), ๐) + ๐ฝ ๐ ๐ฝ๐ฅ (๐ฅ(๐), ๐). Kondisi complimentary slackness ditentukan oleh pengali nilai Lagrang sekarang ๐ dan ๐ผ ๐๐ โฅ 0
๐๐ ๐ = 0
๐๐ โ๐๐ก โฅ 0
๐๐ โ๐๐ก ๐ = 0
๐ โฅ 0,
๐๐ = 0,
๐ผ๐ โฅ 0
๐ผ๐ ๐ = 0
๐ผ๐ โ๐๐ก โฅ 0
๐ผ๐ โ๐๐ก ๐ = 0
๐ผ โฅ 0,
๐ผ๐ = 0.
Jadi, nilai sekarang pada persamaan (3.14) akan menjadi ๐ป[๐ฅ โ (๐ โ ), ๐ขโ (๐ โ ), ๐(๐ โ ), ๐ โ ] โ ๐๐[๐ฅ โ (๐ โ )] = 0
J.
Titik Akhir Bebas (free-end point) Dalam kasus ini, kondisi akhir ๐ฅ(๐) tidak dikenai kendala. Karenanya, ๐ฅ(๐) โ ๐.
(2.68)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 41
Dari kondisi akhir pada tabel 2.3 maka memungkinkan untuk masalah free-endpoint sehingga ๐ = ๐, ๐(๐) = ๐๐ฅ [๐ฅ โ (๐)].
(2.69)
Ini juga termasuk kondisi ๐(๐) = 0 pada kasus khusus dari ๐(๐ฅ) โก 0.
K. Jangka Waktu Tak Berhingga (Infinite Horizon) dan Stasioneritas Pada subbab ini akan dibahas apabila diberikan jangkauan waktu yang tak berhingga (๐ โ โ) pada fungsi tujuan (2.54) yang disebut dengan masalah jangka waktu tak beringga (infinite horizon). Ketika diberikan ๐ = โ pada fungsi tujuan (2.10) atau (2.54) yang bisa memunculkan masalah jangka waktu tak berhingga yang tidak stasioner. Beberapa masalah tersebut akan sulit untuk diselesaikan. Maka dari itu, pada subbab ini hanya akan dibahas mengenai masalah jangka waktu tak berhingga yang stasioner di mana tidak bergantung pada waktu ๐ก. Selanjutnya, diasumsikan ๐(๐ฅ) โก 0 untuk kasus jangka waktu tak berhingga. Untuk kasus penting dalam free-end-point, limit dari kondisi transversalitas akan dihitung dengan ๐ โ โ pada persamaan nilai sekarang (present value): lim ๐๐ (๐) = 0 โ lim ๐ โ๐๐ก ๐(๐) = 0.
๐โโ
๐โโ
Kasus penting yang lain adalah kendala satu sisi lim ๐ฅ(๐) โฅ 0.
๐โโ
Maka, kondisi transversalitasnya adalah sebagai berikut
(2.70)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 42
lim ๐ โ๐๐ก ๐(๐) โฅ 0 dan lim ๐ โ๐๐ก ๐(๐)๐ฅ โ (๐) = 0.
๐โโ
๐โโ
(2.71)
Dalam masalah ekonomi, fungsi ๐, ๐, dan ๐ secara eksplisit tidak bergantung pada waktu ๐ก. Kondisi seperti ini disebut dengan stasioneritas. Khususnya pada persamaan (2.8), (2.40), dan (2.54), di mana ๐ tidak bergantung pada waktu ๐ก, dan tanpa kondisi akhir ๐ฅ(๐), stasioneritas mengakibatkan ๐(๐ฅ, ๐ข, ๐ก) = ๐(๐ฅ, ๐ข),
(2.72)
๐(๐ฅ, ๐ข, ๐ก) = ๐(๐ฅ, ๐ข). Ini berarti bahwa persamaan kondisi, persamaan adjoin nilai sekarang, dan nilai sekarang Hamiltonian pada (2.40) secara eksplisit tidak bergantung pada waktu ๐ก. Sistem yang demikian disebut dengan autonomous. Dalam kasus autonomous, fokusnya ada pada kesetimbangan di mana pergerakan akan berhenti, yaitu nilai dari ๐ฅ dan ๐ yang mana ๐ฅฬ = 0 dan ๐ฬ = 0. Gagasan yang demikian disebut dengan long-run stationary equilibrium. Hal ini didefinisikan dengan quadraple {๐ฅฬ
, ๐ขฬ
, ๐ฬ
, ๐ฬ
} yang memenuhi ๐(๐ฅฬ
, ๐ขฬ
) = 0, ๐๐ฬ
= ๐ฟ๐ฅ [๐ฅฬ
, ๐ข, ฬ
๐ฬ
, ๐ฬ
], ๐ฬ
โฅ 0, ๐ฬ
๐(๐ฅฬ
, ๐ขฬ
) = 0, dan ๐ป(๐ฅฬ
, ๐ขฬ
, ๐ฬ
) โฅ ๐ป(๐ฅฬ
, ๐ข, ๐ฬ
) untuk semua ๐ข memenuhi ๐(๐ฅฬ
, ๐ข) โฅ 0.
(2.73)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 43
Lebih jelasnya, jika kondisi awal ๐ฅ0 = ๐ฅฬ
maka kendali optimalnya adalah ๐ขโ (๐ก) = ๐ขฬ
untuk semua ๐ก. Jika kendala yang melibatkan ๐ tidak dikenakan, ๐ฬ
dapat dihhilangkan dari quadraple. Dalam hal ini, kesetimbangan didefinisikan dengan triple {๐ฅฬ
, ๐ข, ฬ
๐ฬ
} yang memenuhi ๐(๐ฅฬ
, ๐ขฬ
) = 0, ๐๐ฬ
= ๐ป๐ฅ [๐ฅฬ
, ๐ข, ฬ
๐ฬ
], dan ๐ป๐ข [๐ฅฬ
, ๐ข, ฬ
๐ฬ
] = 0.
(2.74)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB III MODEL PERIKLANAN NERLOVE-ARROW
A.
Model Matematis Periklanan mempengaruhi penjualan pada waktu sekarang dan akan datang.
Nerlove dan Arrow memandang periklanan sebagai suatu penanaman modal dalam mengembangkan suatu modal periklanan yang sering kali disebut dengan goodwill. Atau dengan kata lain, goodwill adalah investasi periklanan. Goodwill dapat diciptakan dengan menambah pelanggan baru atau dengan mengubah selera dan pilihan konsumen, sehingga mengubah fungsi permintaan terhadap produk perusahaan. Goodwill dapat menurun seiring berjalannya waktu karena beralih ke produk atau brand lain sebagai akibat dari periklanan dengan terjadinya kompetisi dari perusahaanperusahaan dan adanya produk baru. Misalkan ๐บ(๐ก) โฅ 0 adalah menyatakan persediaan goodwill pada waktu ๐ก. Diandaikan bahwa persediaan goodwill menurun seiring berjalannya waktu dengan laju proporsional ๐ฟ, sehingga: ๐บฬ = ๐ข โ ๐ฟ๐บ,
๐บ(0) = ๐บ0,
(3.1)
dengan ๐ข = ๐ข(๐ก) โฅ 0 merupakan usaha periklanan pada waktu ๐ก yang diukur dalam dollar per satuan waktu. Untuk merumuskan kendali optimal pada perusahaan, diasumsikan bahwa tingkat penjualan ๐(๐ก) tergantung pada goodwill ๐บ(๐ก), harga ๐(๐ก),
44
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 45
dan variabel lain ๐(๐ก). Variabel lain yang dimaksud seperti kebutuhan konsumen, besarnya populasi, dan pendapatan konsumen. Maka diperoleh persamaan: ๐ = ๐(๐, ๐บ, ๐).
(3.2)
Kemudian diasumsikan bahwa tingkat biaya total dari proses produksi adalah ๐(๐), maka akan diperoleh total pendapatan ๐
yaitu perkalian antara harga dengan tingkat penjualan dikurangi dengan tingkat biaya total proses produksi. Didapatkan persamaan sebagai berikut: ๐
(๐, ๐บ, ๐) = ๐๐(๐, ๐บ, ๐) โ ๐(๐).
(3.3)
Karena telah didapatkan rumusan pendapatan total, maka biaya periklanan dapat dirumuskan sebagai ๐
(๐, ๐บ, ๐) โ ๐ข. Kemudian, diasumsikan bahwa perusahaan ingin memaksimalkan pendapatan bersih dengan tingkat diskon ๐, sehingga didapatkan persamaan: โ
max {๐ฝ = โซ ๐ โ๐๐ก [๐
(๐, ๐บ, ๐) โ ๐ข]๐๐ก}.
๐ขโฅ0,๐โฅ0
(3.4)
0
Faktor eksponensial menjelaskan bahwa nilai mata uang yang menurun seiring berjalannya waktu. Karena ๐ hanya muncul pada integran, ๐ฝ dapat dimaksimalkan dengan memaksimalkan ๐
terlebih dulu terhadap ๐ dengan G tetap. Kemudian memaksimalkan hasilnya terhadap ๐ข. Maka diperoleh persamaan: ๐๐
(๐, ๐บ, ๐ง) ๐๐ ๐๐ =๐+๐ โ ๐๐ = 0, ๐๐ ๐๐ ๐๐
(3.5)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 46
yang secara implisit memberikan harga optimal ๐โ = ๐(๐บ(๐ก), ๐(๐ก)). Kemudian ๐
๐๐
didefinisikan elastisitas permintaan terhadap harga ๐, yaitu ๐ = โ(๐ )(๐๐). Elastisitas permintaan adalah ukuran kepekaan perubahan jumlah permintaan barang terhadap perubahan harga. Selanjutnya, persamaan (3.5) dapat ditulis menjadi: ๐๐ โฒ (๐)
๐โ =
๐โ1
,
(3.6)
dengan kata lain, persamaan (3.6) tersebut menjelaskan bahwa pendapatan marjinal (๐ โ 1)๐/๐ harus sama dengan biaya marjinal ๐โฒ(๐). Untuk mendapatkan model kendali optimal yang diinginkan, selanjutnya akan didefinisikan ๐(๐บ, ๐) = ๐
(๐โ , ๐บ, ๐). Maka fungsi pada persamaan (3.4) dapat ditulis sebagai: โ
max {๐ฝ = โซ ๐ โ๐๐ก [๐(๐บ, ๐) โ ๐ข]๐๐ก}. ๐ขโฅ0
0
Untuk mempermudah, diasumsikan ๐ adalah suatu nilai konstan. Dengan demikian, masalah kendali optimal yang baru saja dirumuskan dapat dinyatakan kembali menjadi: โ
max ๐ฝ = โซ ๐ โ๐๐ก [๐(๐บ) โ ๐ข]๐๐ก ๐ขโฅ0
{
0
dengan kendala ๐บฬ = ๐ข โ ๐ฟ๐บ, ๐บ(0) = ๐บ0
(3.7)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 47
B.
Solusi Menggunakan Prinsip Maksimum Pada subbab kali ini, akan dibahas mengenai penyelesaian model periklanan
Nerlove-Arow menggunakan prinsip maksimum. Dari persamaan (3.7) didapatkan informasi ๐น = ๐(๐บ) โ ๐ข dan ๐ = ๐ข โ ๐ฟ๐บ untuk membentuk persamaan Hamiltonian ๐ป = ๐น + ๐๐ = (๐(๐บ) โ ๐ข) + ๐(๐ข โ ๐ฟ๐บ) = ๐(๐บ) โ ๐ข + ๐๐ข โ ๐๐ฟ๐บ.
(3.8)
Setelah itu, dirumuskan persamaan adjoinnya sebagai berikut: ๐ฬ = ๐๐ โ ๐ป๐บ = ๐๐ โ [๐(๐บ) โ ๐ข + ๐๐ข โ ๐๐ฟ๐บ]๐บ = ๐๐ โ [ = ๐๐ โ
๐๐ โ ๐๐ฟ] ๐๐บ
๐๐ + ๐๐ฟ ๐๐บ
๐๐ ๐ฬ = ๐(๐ + ๐ฟ) โ ๐๐บ
(3.9)
lim ๐ โ๐๐ก ๐(๐ก) = 0.
(3.10)
dengan syarat cukup ๐กโ+โ
Persamaan Hamiltonian (3.8) dapat diinterpretasikan sebagai tingkat keuntungan dinamis: i.
(๐(๐บ) โ ๐ข) merupakan tingkat laba bersih sekarang (current net profit rate).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 48
ii.
๐๐บฬ = ๐(๐ข โ ๐ฟ) merupakan goodwill baru yang didapat setelah periklanan ke ๐ข.
๐บ
๐๐
Kemudian, didefinisikan ๐ฝ = ( ๐ ) (๐๐บ) sebagai elastisitas permintaan dari ๐๐
permintaan teradap goodwill. Dari ๐ฝ bisa didapatkan (๐๐บ) =
๐ฝ๐ ๐บ
. Ada tiga persamaan
yang perlu diingat kembali, yaitu: i.
Persamaan (3.3) yaitu ๐
(๐, ๐บ, ๐) = ๐๐(๐, ๐บ, ๐) โ ๐(๐)
ii.
Persamaan (3.5) yaitu
iii.
๐๐
(๐,๐บ,๐ง) ๐๐
๐๐
๐๐
= ๐ + ๐ ๐๐ โ ๐๐ ๐๐ = 0
๐๐ Persamaaan (3.9) yaitu ๐ฬ = ๐(๐ + ๐ฟ) โ ๐๐บ.
Ketiga persamaan tersebut akan digunakan untuk memperolehh ๐บ yang optimal yaitu ๐บ โ . Pada awal telah didefinisikan ๐(๐บ, ๐) = ๐
(๐โ , ๐บ, ๐). Maka, ๐๐ ๐๐
๐๐โ ๐๐
= โ + ๐๐บ ๐๐ ๐๐บ ๐๐บ =
๐๐
๐๐บ
=๐ Sedangkan dari definisi ๐ฝ didapatkan
๐๐ ๐๐ โ ๐โฒ ๐๐บ ๐๐บ
๐๐ ๐๐บ
=
๐๐ฝ ๐บ
๐
dan dari ๐โ didapatkan ๐ โ ๐ โฒ = . Maka ๐
didapatkan ๐บโ =
๐ฝ๐๐ ๐[(๐ + ๐ฟ)๐ โ ๐ฬ]
.
(3.11)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 49
๐บ โ merupakan kondisi optimal dari goodwill. Di mana besarnya hasil dari penjualan akan berbanding lurus dengan elastisitas dari goodwill, berbanding terbalik dengan elastisitas harga, dan berbanding terbalik dengan jumlah biaya peluang marjinal (๐ + ๐ฟ)๐ ditambah dengan (โ๐ฬ). Untuk menghitung titik kesetimbangan stasioner {๐บฬ
, ๐ขฬ
, ๐ฬ
} digunakan persamaan (3.74). Dari persamaan (3.8) didapatkan ๐๐ป = [๐(๐บ) โ ๐ข + ๐๐ข โ ๐๐ฟ๐บ]๐ข ๐๐ข = โ1 + ๐ dengan
๐๐ป ๐๐ข
= 0 maka didapatkan ๐ = ๐ฬ
= 1 dan ๐ฬ = 0. Dengan mensubstitusikannya
ke dalam persamaan (3.11) didapatkan ๐บฬ
= ๐บ ๐ =
๐ฝ๐๐ . ๐(๐ + ๐ฟ)
(3.12)
Dalam persamaan periklanan Nerlove-Arrow, untuk mengetahui berapa besarnya ๐บฬ
, dapat dicari menggunakan ๐บฬ = ๐ข โ ๐ฟ๐บ. Hal ini dikarenakan kondisi optimal yang ๐๐บ
diperoleh adalah stasioner yang mana tidak bergantung pada waktu ๐ก. Karenanya, ๐๐ก = ๐บฬ = 0, sehingga ๐ข = ๐ขโ = ๐ฟ๐บฬ
. Berikut adalah ilustrasi mengenai ๐บฬ
yang mana goodwill akan secepat mungkin menuju ๐บฬ
. Hal ini akan dibagi menjadi dua kasus, karena besar kecilnya goodwill yang dilakukan oleh perusahaan akan mempengaruhi kecepatannya menuju ๐บฬ
.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 50
Kasus I. Kasus pertama yaitu jika ๐บ0 < ๐บฬ
, goodwill yang turun akan menuju ๐บฬ
secara cepat dengan menggunakan impuls pada saat ๐ก = 0 dan kemudian melakukan kendali ๐ขโ (๐ก) = ๐ขฬ
= ๐ฟ๐บฬ
untuk ๐ก > 0.
Gambar 3.1: Kasus 1 ๐บ0 < ๐บฬ
.
Kasus II. Kasus kedua yaitu jika ๐บ0 > ๐บฬ
, kendali yang diberikan akan sama dengan nol sampai stok goodwill menurun menuju ๐บฬ
. Ketika sudah mencapai ๐บฬ
maka ada kendali yang diberikan yaitu ๐ขโ (๐ก) = ๐ขฬ
= ๐ฟ๐บฬ
. Karena apabila tidak diberi kendali, maka goodwill akan terus menurun. Kendali yang diberikan tersebut tetap dengan tujuan untuk mempertahankan laju ๐บฬ
dari goodwill.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Gambar 3.2: Kasus 2 ๐บ0 > ๐บฬ
.
51
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB IV
PENUTUP
A.
KESIMPULAN Pemasaran merupakan salah satu aspek penting untuk menentukan kesuksesan
keuangan suatu perusahaan. Pemasaran produk suatu perusahaan akan membuat konsumen mengetahui keberadaan perusahaan dan produk yang dihasilkan. Apabila keduanya semakin dikenal oleh konsumen, maka akan meningkatkan pendapatan suatu perusahaan tersebut. Salah satu strategi pemasaran adalah periklanan. Periklanan yang dilakukan dengan cara yang tepat akan membuat konsumen tertarik dengan produk yang dihasilkan oleh suatu perusahaan. Pada Model Periklanan Nerlove-Arrow, periklanan dapat digunakan sebagai suatu investasi, yang disebut goodwill, di mana akan mempengaruhi keuntungan perusahaan di masa sekarang dan di masa depan. Model Periklanan Nerlove-Arrow bertujuan untuk memaksimalkan keuntungan perusahaan dengan melakukan periklanan. Goodwill akan menurun seiring berjalannya waktu karena beralih ke produk atau brand lain sebagai akibat dari periklaan dengan terjadinya kompetisi dari perusahaan-perusahaan dan adanya produk baru. Oleh karena itu diperlukan kendali ๐ข(๐ก) untuk mengendalikan pergerakan dari goodwill. Prinsip maksimum digunakan untuk menemukan kendali terbaik dan digunakan dalam analisis model linier.
52
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 53
B.
SARAN Dalam menuliskan tugas akhir ini, penulis berharap agar para pembaca dapat
melanjutkan penulisan Model Periklanan Nerlove-Arrow pada analisis nonlinier dan memperbanyak contoh numeris agar lebih mudah dipahami. Selain itu, penulis berharap agar para pembaca dapat menganalisis model periklanan lain seperti model periklanan Vidale-Wolfe.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
DAFTAR PUSTAKA
Chiang, Alpha C. (1992). Dynamic Optimization. New York: McGraw-Hill. Leonard, Daniel and Long, Ngo Van. (1992). Optimal Control Theory and Static Optimization in Economics and Management, 2nd Ed. Amsterdam: Elsevier Science B V. Sethi, Suresh P. dan Gerald L.T. (2000). Optimal Control Theory. Applications to Management Science and Economics. (2nd edition). New York: Springer. Sethi, Suresh P. (1977). Optimal Advertising for the Nerlove-Arrow Model Under a Budget Constraint. Operational Research Quarterly. 28(3): 683-693. Sethi, Suresh P. (1977). Dynamic Optimal Control Models in Advertising: A Survey. SIAM Review. 19(4):6885-725.
54
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 55
LAMPIRAN
Tabel 2.2: Variabel-Variabel Model Periklanan VariabelKondisi
๐บ(๐ก) = Goodwill
Variabel Kendali
๐ข(๐ก) = Tingkat periklanan
Persamaan Kondisi
๐บฬ (๐ก) = ๐ข(๐ก) โ ๐ฟ๐บ(๐ก),
Fungsi Tujuan
๐บ(0) = ๐บ0 โ
Memaksimumkan {๐ฝ = โซ ๐ โ๐๐ก [๐(๐บ(๐ก)) โ ๐ข(๐ก)]๐๐ก} 0
Kendala Kondisi
...
Kendala Kendali
0 โค ๐ข(๐ก) โค ๐
Kondisi Akhir
...
Fungsi Eksogen
๐(๐บ(๐ก)) = Laba kotor
Parameter
๐ฟ = Nilai konstan goodwill ๐ = Tingkat diskon ๐ = Batas atas tingkat periklanan ๐บ0 = Nilai awal goodwill
Tabel 2.3. Prinsip Maksimum Dengan Kendala Ketidaksamaan Campuran ๐ฅฬ โ = ๐(๐ฅ โ , ๐ขโ , ๐ก), ๐ฅ โ (0) = ๐ฅ0 , Memenuhi kendala akhir ๐(๐ฅ โ (๐), ๐) โฅ 0 dan ๐(๐ฅ โ (๐), ๐) = 0,
55
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 56
๐ฬ = โ๐ฟ๐ฅ [๐ฅ โ , ๐ขโ , ๐, ๐, ๐ก] Dengan kondisi transversalitas ๐(๐) = ๐๐ฅ (๐ฅ โ (๐), ๐) + ๐ผ๐(๐ฅ โ (๐), ๐) + ๐ฝ๐(๐ฅ โ (๐), ๐),๐ผ โฅ 0, ๐ผ๐(๐ฅ โ (๐), ๐) = 0 Syarat maksimum Hamiltonian ๐ป[๐ฅ โ (๐ก), ๐ขโ (๐ก), ๐(๐ก), ๐ก] โฅ ๐ป[๐ฅ โ (๐ก), ๐ข(๐ก), ๐(๐ก), ๐ก] Untuk setiap ๐ก โ [0, ๐] semua ๐ข memenuhi ๐[๐ฅ โ (๐ก), ๐ข, ๐ก] โฅ 0, Dan pengali Lagrange ๐(๐ก) sedemikian sehingga ๐๐ฟ ๐๐ป ๐๐ |๐ข=๐ขโ(๐ก) โถ= ( + ๐ ) |๐ข=๐ขโ(๐ก) = 0 ๐๐ข ๐๐ข ๐๐ข Dan kondisi complementary slackness ๐(๐ก) โฅ 0, ๐(๐ก)๐(๐ฅ โ , ๐ขโ , ๐ก) = 0 dipenuhi
Langkah-langkah contoh 2.2 clc t=0:0.01:10; G=16; delta=0.05; rho=0.2; piG=2*sqrt(G); u=delta*G subplot(2,1,1) plot(t,G) xlabel('t') ylabel('G') subplot(2,1,2) plot(t,u) xlabel('t') ylabel('u') syms t J=int((exp(-rho*t))*(piG-u),0,inf); J
56
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 57
Langkah-langkah contoh G.1 clc t=0:0.01:1; lamda_t=t-1; xt=1-t; u_star=-1; subplot(3,1,1) plot(t,xt) xlabel('t') ylabel('x') subplot(3,1,2) plot(t,lamda_t) xlabel('t') ylabel('lambda') subplot(3,1,3) plot(t,u_star) xlabel('t') ylabel('u') syms t J=int(t-1,0,1); J
Langkah-langkah contoh H.1 clc t=0:0.01:1; xt=exp(t); u_star=xt; subplot(2,1,1) plot(t,xt) xlabel('t') ylabel('x') subplot(2,2,1) plot(t,u_star) xlabel('t') ylabel('u') syms t J=int(exp(t),0,1); J