KONTROL OPTIMAL DAN ANALISIS MODEL DINAMIK VIRUS EBOLA MENGGUNAKAN METODE PRINSIP MINIMUM PONTRYAGIN

TUGAS AKHIR – SM141501

KONTROL OPTIMAL DAN ANALISIS MODEL DINAMIK VIRUS EBOLA MENGGUNAKAN METODE PRINSIP MINIMUM PONTRYAGIN FITRIA FATIMIA AYUNI NRP 1212 100 053 Dosen Pembimbing Dr. Didik Khusnul Arif, S.Si, M.Si Dra. Nur Asiyah, M.Si JURUSAN MATEMATIKA Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya 2017

FINAL PROJECT – SM141501

OPTIMAL CONTROL AND ANALYSIS OF DYNAMIC MODEL OF THE EBOLA VIRUS USING PONTRYAGIN’S MINIMUM PRINCIPLE FITRIA FATIMIA AYUNI NRP 1212 100 053 Supervisors Dr. Didik Khusnul Arif, S.Si, M.Si Dra. Nur Asiyah, M.Si DEPARTMEN OF MATHEMATICS Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya 2017

KONTROL OPTIMAL DAN ANALISIS MODEL DINAMIK VIRUS EBOLA MENGGUNAKAN METODE PRINSIP MINIMUM PONTRYAGIN Nama NRP Jurusan Dosen Pembimbing

: Fitria Fatimia Ayuni : 1212 100 053 : Matematika : Dr. Didik Khusnul Arif, S.Si, M.Si Dra. Nur Asiyah, M.Si

ABSTRAK Penyakit virus Ebola adalah penyakit yang berbahaya dan sangat mematikan. Pertumbuhan kasus yang cukup cepat dari waktu ke waktu, angka kematian yang cukup tinggi dan adanya mekanisme penularan dari manusia ke manusia menyebabkan penyakit virus Ebola mendapatkan perhatian khusus dari negaranegara diseluruh dunia. Sampai tanggal 15 Agustus 2014, World Health Organization (WHO) mencatat kasus penyakit virus Ebola sebanyak 2.127 dengan jumlah kematian 1.145 (Case Fatality Rate sebesar 53,8 %). Negara yang terjangkit sebanyak 4 negara, yang semuanya berada di kawasan Afrika Barat. Negara- negara tersebut antara lain Liberia (786 kasus, 413 kematian), Guinea (519 kasus, 380 kematian), Nigeria (12 kasus, 4 kematian), dan Sierra Leone (810 kasus, 348 kematian). Terdapat dua prinsip pedoman dasar kesehatan publik untuk mengendalikan/ mengelolah penyebaran dari penyakit menular seperti penyakit virus Ebola yang tidak memiliki pengobatan/treatment yang efektif, antara lain yang pertama pengisolasian yang efektif yang terkena penyakit tersebut. Dan yang kedua, mencari sekelompok kasus individu yang terkena penyakit virus Ebola dan mengkarantina untuk dimonitoring. Pada Tugas Akhir ini penulis akan menyelidiki kestabilan, keterkontrolan dan keteramatan dari titik kesetimbangan pada model. Selain itu digunakan kendali

vii

optimal untuk meminimalkan individu yang terinfeksi penyakit virus Ebola dan metode yang digunakan adalah prinsip minimum pontryagin. Kemudian hasil kontrol optimal akan disimulasikan menggunaakan metode runge kutta. Hasil yang diperoleh menunjukkan bahwa individu terinfeksi pada saat dengan kendali mengalami penurunan sebesar 0.00094%

Kata Kunci : Virus Ebola, Analisis Model, Kendali Optimal, Prinsip Minimum Pontryagin, Runge Kutta .

viii

OPTIMAL CONTROL AND ANALYSIS OF DYNAMIC MODEL OF THE EBOLA VIRUS USING PONTRYAGIN’S MINIMUM PRINCIPLE Name NRP Department Supervisors

: Fitria Fatimia Ayuni : 1212 100 053 : Matematika : Dr. Didik Khusnul Arif, S.Si, M.Si Dra. Nur Asiyah, M.Si

ABSTRACT Ebola virus is the dangerous and deadly disease. The cases increase rapidly, the death is quite high and infecting mechanism from human to human makes this Ebola become attention.Until 15th of August ,WHO records an Ebola infectious reachs 2127 cases, with the number of death 1145 cases ( 53,8% case fatality rate). All off our infected countries use on West Africa. They are Liberia 9786cases, 413 death), Guinea (519 cases, 380 death), Nigeria (12 cases, 4 death), and Siera Leone (810 cases, 348 death). These two fundamental principal of public health to control and manage the infectious disease like Ebola which does not have effective treatment. The first is the isolation of infected person. The second is finding the group of infected individual cases that will be quarantined and monitored. This final experiment is aimed to investigate the stability, its controlable and tendency of the mode equilibrium point.Beside that, the optimal control is used to minimize the infected person and control the used method is minimum pontryagin principal. After that, the result of optimal control will be simulated by using

ix

runge kutta method. The result show that the infected person with control decreased by 0.000994%

Keyword : Ebola Disease, The Analysis Model, Optimal Control, Minimum Pontryagin Principal, Runge Kutta .

x

KATA PENGANTAR Syukur Alhamdulillah penulis panjatkan kehadirat Allah SWT, atas limpahan rahmat taufiq dan hidayah-Nya, penulis dapat menyelesaikan tugas akhir dengan judul “KONTROL OPTIMAL DAN ANALISIS MODEL DINAMIK PENYAKIT VIRUS EBOLA MENGGUNAKAN METODE PRINSIP MINIMUM PONTRYAGIN”. Tugas akhir ini merupakan sebagian persyaratan kelulusan dalam menyelesaikan Program Sarjana Jurusan Matematika, FakultasMatematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut TeknologiSepuluh Nopember Surabaya. Dalam penyusunan Tugas akhir tidak lepas dari bantuan , kerja sama dan dukungan berbagai pihak. Sehingga pada kesempatan kali ini penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada: 1. Bapak Dr. Imam Mukhlash, S.Si, MT selaku Ketua Jurusan Matematika ITS. 2. Bapak Dr. Didik Khusnul Arif, S.Si, M. Si dan ibu Dra. Nur Asiyah, M.Si. selaku dosen pembimbing yang telah banyak membantu dan membimbing penulis dalam Penyelesaian Tugas Akhir ini 3. Bapak Dr. Didik Khusnul Arif, S.Si, M. Si dan ibu Dra. Nur Asiyah, M.Si. selaku dosen pembimbing yang telah banyak membantu dan membimbing penulis dalam Penyelesaian Tugas Akhir ini 4. Bapak Drs. Kamiran, M.Si., Drs. Mohammad Setijo Winarko, M.Si, Muhammad Syifa’ul Mufid, S.Si., M.Si. selau dosen penguji yang telah banyak memberikan saran dan kritik kepada penulis dalam Penyelesaian Tugas Akhir ini 5. Ibu Dra. Nuri Wahyuningsih,M. Kes Selaku Dosen Wali.

6.

Bapak dan Ibu dosen, seluruh staf Tata Usaha, dan asisten laboratorium (Pak Muhtadi, Pak Joko, Mas Ali dkk) xi

7. Ibu, Bapak, kakak-adik saya Fahmi dan Fatir, serta seluruh keluarga atas motivasi, bantuan, semangat, dan doanya kepada penulis.

8.

Saudari Nastitie, Tika, Hariyani, Izza, Nihaya, Indah, Adhel, Chibi, Isyi, Mbak Tutud, Firda, Sheerty,Chani, Mbak Tutud, Mbak Anica, Rere, Hariyani, Mas Haqqul, Mas Heri, Mas Yahya, Mas Joko, dan Keluarga MAT12IKS yang telah memotivasi dan memberikan masukan kepada penulis selama pengerjaan Tugas Akhir.

Penulis menyadari bahwa dalam Tugas Akhir ini masih terdapat kekurangan. Oleh sebab itu, kritik dan saran yang bersifat membangun sangat diharapkan oleh penulis. Akhirnya penulis berharap semoga Tugas Akhir ini dapat bermanfaat bagi banyak pihak. Wassalamu’aalaikum Wr. Wb Surabaya, 10 Januari 2017 Penulis

xii

DAFTAR ISI Halaman JUDUL……………………………………………... I LEMBAR PENGESAHAN .................................................... V ABSTRAK ............................................................................. Vii ABSTRACT ........................................................................... Ix KATA PENGANTAR ........................................................... Xi DAFTAR ISI .......................................................................... Xiii DAFTAR GAMBAR ............................................................. Xv DAFTAR TABEL ..................................................................Xvii BAB I

PENDAHULUAN .................................................. 1.1 Latar Belakang ................................................... 1.2 Rumusan Masalah .............................................. 1.3 Batasan Masalah ................................................ 1.4 Tujuan................................................................ 1.5 Manfaat .............................................................. 1.6 Sistematika Penulisan ........................................

1 1 3 4 4 4 4

BAB II TINJAUAN PUSTAKA ......................................... 2.1 Penelitian Terdahulu .......................................... 2.2 Penyakit Virus Ebola .......................................... 2.3 Model Penyakit Virus Ebola .............................. 2.4 Analisis Model Penyakit Virus Ebola................. 2.4.1 Titik Kesetimbangan .................................. 2.4.2 Analisis Kestabilan .................................... 2.4.3 Kriteria Routh-Hurwitz .............................. 2.4.3 Analisis Keterkontrolan ............................. 2.4.4 Analisis Keteramatan ................................. 2.5 Teori Kontrol Optimal ........................................ 2.6 Prinsip Minimum Pontryagin ............................. 2.7 Metode Runge Kutta .......................................... 2.7.1 Metode Runge Kutta Orde 4 ..................... BAB III METODOLOGI PENELITIAN ..........................

7 7 8 10 12 12 12 16 18 18 19 21 23 23 25

xiii

3.1 Studi Literatur ................................................... 25 3.2 Analisis Dinamik Model .................................... 25 3.3 Menetukan Formulasi Masalah Kontrol Optimal .............................................................. 25 3.4 Menyelesaikan Kontrol Optimal ........................ 26 3.5 Simulasi dan Analisis Hasil Simulasi ................. 26 3.5.1 Simulasi .................................................... 26 3.5.2 Analisis Hasil Simulasi ............................. 27 3.6 Kesimpulan dan Saran ........................................ 27 BAB IV ANALISIS DAN PEMBAHASAN ......................... 29 4.1 Analisis Dinamik Model Penyakit Virus Ebola.................................................................. 29 4.1.1 Titik Setimbang ........................................ 33 4.1.2 Analisis Kestabilan ................................... 38 4.1.3 Analisis Keterkontrolan ............................ 50 4.1.4 Analisis Keteramatan ................................ 58 4.2 Penyelesaian Kendali Optimal Penyakit Virus Ebola ........................................................ 62 4.3 Solusi Numerik................................................... 69 4.4 Analisis Hasil Simulasi ...................................... 73 BAB V KESIMPULAN DAN SARAN .............................. 89 5.1 Kesimpulan ....................................................... 89 5.2 Saran ................................................................. 89 DAFTAR PUSTAKA ............................................................ 89 LAMPIRAN 1......................................................................... 91 LAMPIRAN 2......................................................................... LAMPIRAN 97 2 LAMPIRAN 3......................................................................... 99 BIODATA PENULIS ............................................................. 101

xiv

DAFTAR GAMBAR Halaman Gambar 3.1 Diagram Alur Penelitian...................................... 28 Gambar 4.1 Struktur State Model Kompartemen ................... 29 Gambar 4.2 Individu Rentan (Total Populasi 1590)................ 74 Gambar 4.3 Individu Rentan dengan Kendali (Perbesar) ........ 74 Gambar 4.4 Individu Teridentifikasi Penyakit Virus Ebola .................................................................... 75 Gambar 4.5 Individu Terinfeksi Penyakit Virus Ebola Pada Tahap Pertama ............................................. 76 Gambar 4.6 Individu Terinfeksi Penyakit Virus Ebola Pada Tahap Kedua/Super Infeksi ......................... 77 Gambar 4.7 Individu Meninggal Hingga Dikubur ................. 78 Gambar 4.8 Individu Sembuh/ Recovery ............................... 79 Gambar 4.9 Kendali .......................................................... 80 Gambar 4.10 Kendali ........................................................ 80 Gambar 4.11 Kendali ........................................................ 81 Gambar 4.12 Individu Rentan (Total Populasi 10530)............ 82 Gambar 4.13 Individu Rentan dengan kendali (Perbesar) ....... 83 Gambar 4.14 Individu Teridentifikasi Penyakit Virus Ebola .................................................................... 84 Gambar 4.15 Individu Terinfeksi Penyakit Virus Ebola 85 Pada Tahap Pertama ............................................. Gambar 4.16 Individu Terinfeksi Penyakit Virus Ebola 86 Pada Tahap Kedua/Super Infeksi ......................... Gambar 4.17 Individu Meninggal Hingga Dikubur ............... 87 Gambar 4.18 Individu Sembuh/ Recovery ............................. 88

xv

DAFTAR TABEL Halaman Tabel 4.1 Nilai Parameter yang Digunakan dalam Simulasi .................................................................. 32 Tabel 4.2 Routh-Hurwitz ......................................................... 47

xvi

BAB I PENDAHULUAN Pada bab ini dijelaskan hal-hal yang melatar-belakangi munculnya permasalahan yang dibahas dalam Tugas Akhir ini. Kemudian permasalahan tersebut disusun kedalam suatu rumusan masalah. Selanjutnya dijabarkan juga batasan masalah untuk mendapatkan tujuan yang diinginkan serta manfaat yang dapat diperoleh. Adapun sistematika penulisan tugas akhir ini akan diuraikan di bagian akhir bab ini. 1.1 Latar Belakang Banyak sekali penyakit yang telah disebabkan oleh virus. Virus adalah organisme unik yang secara genetik berada di antara hidup dan mati, saat virus berada di luar tubuh inangnya disebut kapsid dan saat menempel pada inangnya, maka virus tersebut akan menginfeksi inang dan bereproduksi [1]. Virus memiliki ukuran yang sangat rennik yaitu antara 25-300 nm. Salah satu penyakit yang di sebabkan oleh virus adalah penyakit virus Ebola. Penyakit virus Ebola adalah penyakit yang berbahaya dan sangat mematikan. Pertumbuhan kasus yang cukup cepat dari waktu ke waktu, angka kematian yang cukup tinggi dan adanya mekanisme penularan dari manusia ke manusia menyebabkan penyakit virus Ebola mendapatkan perhatian khusus dari negaranegara diseluruh dunia. Sampai tanggal 15 Agustus 2014, World Health Organization (WHO) mencatat kasus penyakit virus Ebola sebanyak 2.127 dengan jumlah kematian 1.145 (Case Fatality Rate sebesar 53,8 %). Negara yang terjangkit sebanyak 4 negara, yang semuanya berada di kawasan Afrika Barat. Negara- negara tersebut antara lain Liberia (786 kasus, 413 kematian), Guinea (519 kasus, 380 kematian), Nigeria (12 kasus, 4 kematian), dan Sierra Leone (810 kasus, 348 kematian) [2]. Penyakit virus Ebola terdiri dari lima spesies antara lain, Bundibugyo Ebola virus, Zaire Ebola virus, Sudan Ebola virus, Tai Forest Ebola virus, dan Reston Ebola virus. Empat dari lima spesies virus yang pertama kali tersebut dapat menginfeksi

1

2 manusia dan menimbulkan gejala yang berat. Sedangkan tiga spesies virus yang pertama kali adalah yang menyebabkan wabah di Afrika. Gejala dari penyakit virus Ebola adalah demam, sakit kepala, nyeri sendi dan otot, lemah, diare, muntah, sakit perut, kurang nafsu makan, dan perdarahan yang tidak biasa. Gejala paling banyak muncul sekitar 8-10 hari setelah terpapar penyakit virus Ebola. Virus ini menular melalui darah dan cairan tubuh lainnya (termasuk feses, saliva, urine, bekas muntahan dan sperma) dari hewan atau manusia yang terinfeksi penyakit virus Ebola. Virus ini dapat masuk ke tubuh orang lain melalui kulit yang terluka atau melalui membran mukosa yang tidak terlindungi seperti mata, hidung, dan mulut. Selain itu penyakit virus Ebola juga dapat menyebar melalui jarum suntik dan infus yang telah terkontaminasi. Mobilitas dari dan ke negara terjangkit merupakan faktor resiko penyebaran penyakit. Diperlukan pengawasan ketat di daerah masuk imigran dari luar negeri, mengingat masa inkubasi penyakit ini 2-21 hari yang memungkinkan ditemukannya kasus baik di pintu masuk negara. [3] Terdapat dua prinsip pedoman dasar kesehatan publik untuk mengendalikan/ mengelolah penyebaran dari penyakit menular seperti penyakit virus Ebola yang tidak memiliki pengobatan/treatment yang efektif, antara lain yang pertama pengisolasian yang efektif yang terkena penyakit tersebut. Dan yang kedua, mencari sekelompok kasus individu yang terkena penyakit virus Ebola dan mengkarantina untuk dimonitoring. [4] Studi mengenai model penyakit virus Ebola telah banyak dilakukan dengan berbagai macam analisis. Salah satunya adalah penelitian yang dilakukan oleh Abdon. A. dan Emile F.D.G (2014) “On the Mathematical Analysis of Ebola Hemorrhagic Fever : Deathly Infection Disease in west African Countries” yang menganalisis model matematika SIRD pada penyebaran

3 penyakit Ebola atau dikenal dengan penyakit virus Ebola dengan memberikan titik ekuilibrium bebas penyakit dan endemik. Serta menganalisis kestabilan titiknya dan mengasumsikan kematian alami dan kematian lain (selain oleh penyakit virus Ebola) terjadi di populasi total. Endah Purwati (2015) dengan skripsinya yang berjudul “Model Matematika Susceptible-Infected-RecoveryDeaths (SIRD) pada penyebaran penyakit virus Ebola” dikaji dua model matematika Susceptible-Infected-Recovery-Deaths (SIRD) penyebaran penyakit virus Ebola pada populasi manusia. Kedua model matematika Susceptible-Infected-Recovery-Deaths (SIRD) pada penyebaran penyakit virus Ebola yaitu model oleh Abdon A. dan Emile F. D. G dan model pengembangan peneliti. Penelitian ini dilakukan untuk mengetahui titik ekuilibrium bebas penyakit dan titik ekuilibrium endemik serta analisis kestabilan titiktitiknya, dan mengetahui nilai basic reproduction number (R0). Namun pada penelitian ini tidak adanya kontrol yang berupa fasilitas, pengobatan, dan monitoring untuk individu yang terinfeksi penyakit virus Ebola. [5] Berdasarkan permasalahan tersebut, Tugas Akhir ini penulis akan menyelidiki sifat-sifat pada model. Selain itu digunakan kendali optimal untuk meminimalkan individu yang terinfeksi penyakit virus Ebola dengan menjadikan fasilitas, pengobatan, dan monitoring sebagai kontrol, dan metode yang digunakan adalah prinsip minimum pontryagin. 1.2 Rumusan Masalah Permasalahan dalam Tugas Akhir ini adalah : 1. Bagaimana analisis sifat pada model penyakit virus Ebola? 2. Bagaimana mendapatkan kontrol optimal dari model dinamik infeksi penyakit virus Ebola?

4 3. Bagaimana simulasi kontrol optimal dari model dinamik infeksi penyakit virus Ebola? 1.3 Batasan Masalah Batasan masalah yang digunakan dalam Tugas Akhir ini antara lain: 1. Simulasi dilakukan menggunakan MATLAB. 2. Model dinamis yang digunakan adalah model dari Ebenezer Bonyah [4]. 3. Populasi manusia sembuh tidak dapat menjadi populasi manusia terinfeksi. 1.4 Tujuan Tujuan yang ingin dicapai dari penulisan Tugas Akhir ini adalah: 1. Menganalisis sifat pada model penyakit virus Ebola. 2. Mendapatkan kontrol optimal dari model dinamik infeksi penyakit virus Ebola dengan menggunakan metode Prinsip Minimum Pontryagin. 3. Mensimulasikan kontrol optimal yang didapatkan dengan menggunakan software MATLAB. 1.5 Manfaat Manfaat dari Tugas Akhir ini adalah untuk memberikan informasi sifat suatu model infeksi penyakit virus Ebola dan penyelesaian kontrol optimal yang diperoleh dapat menjadi suatu solusi yang optimal dalam mereduksi infeksi penyakit virus Ebola. 1.6 Sistematika Penulisan Penulisan Tugas Akhir ini disusun dalam lima bab, yaitu: 1. BAB I PENDAHULUAN

5

2.

3.

4.

5.

Bab ini berisi tentang gambaran umum dari penulisan Tugas Akhir yang meliputi latar belakang, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan, manfaat, dan sistematika penulisan. BAB II TINJAUAN PUSTAKA Bab ini berisi tentang teori dasar yang mendukung dalam Tugas Akhir ini, antara lain model sistem dinamik yang digunakan, teori-teori analisis model antara lain kestabilan, kekontrolan, dan keteramatan, teori kendali optimal, prinsip minimum potryagin, dan metode runge kutta orde empat. BAB III METODE PENELITIAN Bab ini menjelaskan tahapan-tahapan dan metode yang digunakan untuk menyelesaikan Tugas Akhir ini. BAB IV ANALISIS DAN PEMBAHASAN Bab ini membahas tentang analisis model pada model dinamik penyakit virus Ebola, penerapan prinsip minimum pontryagin dan hamiltonian untuk mencari kendali optimal, mencari solusi numerik dengan metode runge kutta orde empat dan simulasi model tersebut. BAB V PENUTUP Bab ini berisi kesimpulan Tugas Akhir yang diperoleh dari bab pembahasan serta saran untuk pengembangan penelitian selanjutnya.

BAB IITINJAUAN PUSTAKA TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini diuraikan mengenai penelitian terdahulu, penyakit virus Ebola, model penyakit virus Ebola, analisis model meliputi analisis kestabilan, analisis kekontrolan, dan analisis keteramatan, teori optimal kontrol, dan prinsip minimum pontryagin. 2.4.1

Penelitian Terdahulu Ada berbagai literatur yang memodelkan penyebaran penyakit virus Ebola, salah satunya adalah penelitian mengenai model penyakit virus Ebola yang telah diteliti sebelumnya oleh Abdon A. dan Emile F. D. G (2014) “On the Mathematical Analysis of Ebola Hemorrhagic Fever : Death Infection Disease in West African Countries” Model matematika SusceptibleInfected-Recovery-Deaths (SIRD) pada penyebaran penyakit Ebola atau dikenal dengan penyakit virus Ebola dengan memberikan titik ekuilibrium bebas penyakit dan endemik serta analisis kestabilan titiknya, dan mengasumsikan kematian alami dan kematian lain (selain penyakit virus Ebola) terjadi pada populasi total [5]. Namun pada penelitian ini tidak adanya kontrol yang berupa fasilitas, pengobatan, dan monitoring untuk individu yang terinfeksi penyakit virus Ebola. Gerardo Chowell dan Hiroshi Nishiura (2014) “Transmission Dynamics and Control Of Ebola Virus Disease (EVD)”. Dalam penelitiannya membahas tentang penyakit virus Ebola di Afrika Barat dimana penyakit virus Ebola memerlukan perhatian khusus terutama mengenai hal-hal yang bersangkutan dengan karakteristik epidemik dari penyakit virus Ebola. Penyakit virus Ebola berhubungan dengan transmisi dinamis dan dampaknya berhubungan dengan kontrol melawan transmisi penyakit virus Ebola tersebut. Selain itu membutuhkan data-data mengenai epidemik dari perkembangan penyakit virus Ebola pada tahun-tahun sebelumnya dari data-data tersebut, dapat membandingkan model matematika dari penyebaran dan kontrol

7

8 penyakit virus Ebola diwaktu yang lalu dengan yang saat sedang terjadi [6]. Endah Purwati (2015) “ Model Matematika SusceptibleInfected-Recovery-Deaths (SIRD) pada penyebaran penyakit virus Ebola” dalam skripsinya dikaji dua model matematika Susceptible-Infected-Recovery-Deaths (SIRD) penyebaran penyakit virus Ebola pada populasi manusia. Kedua model matematika Susceptible-Infected-Recovery-Deaths (SIRD) pada penyebaran penyakit virus Ebola yaitu model oleh Abdon A. dan Emile F. D. G dan model pengembangan peneliti. Penelitian ini dilakukan untuk mengetahui titik ekuilibrium bebas penyakit dan titik ekuilibrium endemik serta analisis kestabilan titik-titiknya, dan mengetahui nilai basic reproduction number (R0) [5]. 2.4.2

Penyakit Virus Ebola Penyakit virus Ebola pertama kali diidentifikasi di Sudan dan diwilayah yang berdekatan dengan Zaire (saat itu dikenal sebagai Republik Congo) pada tahun 1976, setelah terjadi epidemik di Yambuk, daerah Utara Republik Cono dan Nzara, daerah Selatan Sudan. Negara-negara di benua Afrika yang terkena wabah penyakit virus Ebola mempunyai sistem kesehatan yang sangat lemah, kekurangan sumber daya manusia, dan infrastruktur yang tidak memadai. Inang atau reservoir penyakit virus Ebola belum dapat dipastikan, namun telah diketahui bahwa kelelawar buah adalah salah satu inang alami penyakit virus Ebola. Penyakit virus Ebola juga telah dideteksi pada daging simpanse, gorilla, dan kijang liar. Beberapa hipotesa mengatakan terjadi penularan dari hewan terinfeksi ke manusia kemudian dari manusia, virus bisa ditularkan dengan berbagai cara. Manusia dapat terinfeksi karena kontak dengan darah dan atau sekret orang yang terinfeksi. Selain itu manusia juga bisa terinfeksi karena kontak dengan benda yang terkontaminasi oleh individu terinfeksi. Penularan nosocomial juga dapat terjadi bila tenaga medis tidak memakai alat pelindung diri yang memadai.

9 Penyakit virus Ebola berasal dari genus Ebola Virus famili Filoviridae. Famili Filoviridae memiliki garis tengah 800 nm dan panjang mencapai 1000nm. Penyakit virus Ebola mengandung molekul lurus dan RNA negatif. Penyakit virus Ebola menular melalui darah, muntah feses dan cairan tubuh dari manusia pengidap penyakit virus Ebola ke manusia lain. Penyakit virus Ebola juga bisa ditemukan dalam urin dan cairan sperma infeksi terjadi ketika cairan-cairan tubuh tersebut menyentuh mulut, hidung atau luka terbuka orang sehat. Masa inkubasi (waktu antara paparan virus dan perkembangan penyakit) penyakit virus Ebola antara 2-21 hari. Paling sering antara 4-10 hari walaupun begitu ada 5% masa inkubasi yang mencapai lebih dari 21 hari. Periode ini dapat bervariasi, tergantung pada rute paparan dan jumlah virus yang kontak dengan pasien. Misalnya, pasien disuntik dengan jumlah besar Ebola karena penggunaan kembali jarum yang kotor dapat mengembangkan gejala lebih cepat daripada seseorang terkena melalui kontak eksternal dengan jumlah kecil cairan tubuh lainnya dari pasien yang terinfeksi. Gejala-gejala penyakit virus Ebola adalah demam,sakit kepala, sakit perut, mual kelalahan, dan perasaan sakit umum, biasanya muncul tiba-tiba. Demam biasanya lebih tinggi dari 38.3 0C. Karena gejala-gejala ini umum untuk banyak penyakit, maka sangat sulit untuk membuat diagnosis definitif infeksi penyakit virus Ebola. Penyakit ini timbul seperti diare berdarah, sakit tenggorokan yang parah, dan sakit kuning (menguningnya kulit dan mata karena penumpukan protein hati) adalah gejala umum. Muntah dan anoreksia (kehilangan nafsu makan). Penderita penyakit penyakit virus Ebola berat membutuhkan perawatan intensif. Biasanya pasien mengalami dehidrasi dan membutuhkan cairan infus atau oralit yang mengansung elektrolit. Saat ini belum ada obat untuk penyakit penyakit virus Ebola. Beberapa pasien sembuh dengan penanganan dan perawatan medis yang tepat. Untuk membantu mengendalikan penyebaran infeksi penyakit virus Ebola, pasien

10 terduga atau terkonfirmasi penyakit virus Ebola perlu dirawat diruang isolasi dan fasilitas kesehatan wajib menerapkan tindakan pengendalian infeksi ketat [8]. 2.4.3 Model Penyakit Virus Ebola ( Menurut Ebenezer Bonyah) Model dinamik penyakit virus Ebola menurut Ebenezer Bonyah sebagai berikut [4]: ( (

)(

)

)(

)

) (

(

)

(

)

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

(

(

)

)

( (

)

)

dimana, = Individu recovery = Individu yang rentan = Individu terinfeksi pada tingkat pertama = Individu terinfeksi pada tingkat kedua/ super infeksi = Individu yang sudah diidentifikasi terinfeksi terjangkit penyakit virus Ebola =Populasi individu meninggal akibat penyakit dari tingkat kedua/ super infeksi ( ) = Tingkat individu yang sudaah diidentifiikasi terjangkit penyakit virus Ebola = Jumlah kematian alami individu yang terinfeksi

11

N

=Rata-rata waktu individu terinfeksi pada tingkat pertama ( ) sampai menuju tingkat kedua/super infeksi ( ) = Rata-rata waktu individu terinfeksi pada tingkat kedua/super infeksi ( ) sampai meninggal = Rata-rata waktu individu meninggal sampai dikubur = Rata-rata waktu pemulihan individu recovery =Kontrol yang merepresentasikan fasilitas untuk menjaga jarak agar individu rentan tidak melakukan kontak dengan individu terinfeksi termasuk kampanye dan edukasi publik =Kontrol yang merepresentasikan treatment/pengobatan untuk individu yang sudah diidentifikasi terjangkit penyakit virus Ebola = Kontrol yang merepresentasikan treatment/pengobatan dan monitoring individu pada tingkat pertama ( ) dan tingkat kedua/ super infeksi ( ) = Fraksi individu terinfeksi pada tingkat pertama ( ) dan tingkat kedua/ super infeksi ( ) = Fraksi individu terinfeksi pada tingkat kedua/ super infeksi ( ) sampai meninggal = Tingkat individu rentan menjadi terinfeksi akibat penularan dari manusia terinfeksi tingkat pertama ( ) = Tingkat individu rentan menjadi terinfeksi akibat penularan dari manusia terinfeksi tingkat kedua/ super infeksi ( ) = Tingkat individu rentan menjadi terinfeksi akibat penularan dari manusia terinfeksi yang telah meninggal dan belum dikuburkan. = Total Populasi

Dengan kondisi awal ( ) . Dalam perspektif matematika, untuk waktu tf tetap. Fungsi obyektif sebagai berikut :

12

(

)

∫[ ( )

( ) ( )]

( ) (

( )

)

Dengan A1, A2, A3 adalah variabel bobot yang berkorelasi dengan biaya penggunaan kontrol yaitu sebagai faktor penyeimbang dari biaya pengontrolan sistem. 2.4.4 Analisis Model Penyakit Virus Ebola Analisis dinamik model dilakukan untuk mengetahui perilaku sistem pada model penyakit virus Ebola. Pada penelitian ini akan dianalisis mengenai kestabilan, keterkontrolan, dan keteramatan sistem. 2.4.1 Titik Kesetimbangan Titik kesetimbangan merupakan titik tetap yang tidak berubah terhadap waktu. Definisi 2.1 [9] Titik ̅ disebut titik kesetimbangan dari suatu sistem jika ( ̅) 2.4.2

Analisis Kestabilan Pada penelitian ini akan dibahas mengenai analisis kestabilan sistem penyakit virus Ebola. Namun pada penelitian ini sistem yang digunakan mempunyai bentuk nonlinier, sehingga untuk melakukan analisis kestabilannya adalah dengan menggunakan cara analisis transformasi kestabilan local disertai titik setimbang dari sistem tersebut. Untuk melakukan analisis transformasi kestabilan lokal tersebut, maka digunakan deret Taylor untuk mencari suatu hampiran solusi disekitar titik setimbang. Deret Taylor untuk sistem di sekitar titik setimbang ̅ adalah

13

( )

( ̅)

( ̅)

(

( ̅)

̅)

(

̅)

, …,dihitung pada

Dimana turunan-turunan ,

(

)

̅ . Dengan

mengabaikan suku-suku berorde tinggi, selanjutnya Persamaan (2.9) dapat disederhanakan menjadi ( ̅) ( ) ( ̅) ( ̅) ( ) Persamaan (2.10) akan memberikan suatu model matematik linier dari sistem nonlinier melalui pendekatan deret Taylor. Selanjutnya, ditinjau dari sistem ( ) disekitar titik setimbang ̅ ( ̅ ̅ ̅ ) dan kondisi setimbanganya adalah ketika ( ) , maka Persamaan (2.10) menjadi ( ̅) ( ̅) ( ) ( ( ̅ ) ̅ ) ( ̅) ( )

( ̅)

(

( ̅)

(

(

(

(

̅ )

( ̅)

̅ ) ( ̅)

̅ ) ( ̅)

̅ ) ( ̅)

( )

(

(

̅ )

(‖

̅ ‖)

̅ ) (‖

̅ ‖)

̅ ) (‖

̅ ‖)

Apabila suku-suku nonliniernya diabaikan maka diperoleh ( ̅) ( ̅) ( ) ( ( ̅ ) ̅ )

14 ( ̅) ( ̅)

( )

(

̅ )

( ̅) ( ̅)

( ̅)

( )

( ̅)

(

̅ )

(

̅ )

(

̅ )

(

̅ )

(

̅ )

( ̅)

(

̅ ) (

Selanjutnya didefinisikan ̅ ̅ ̅ Didapat derivatifnya adalah ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ Sehingga ̇ ( ) menjadi ̇ ( ) dan diperoleh ( ̅) ( ̅) ( ) ̇

̇

( ̅) ( )

( ̅)

( ̅) ( ̅)

)

15 ( ̅)

( ) ̇

( ̅)

( ̅)

Jika dinyatakan dalam bentuk matriks, maka diperoleh ( ̅) ( ̅) ( ̅) ̇

( ̅) ̇

( ̅)

( ̅)

( ,

( ,

̇

( ̅)

( ̅)

( ̅)

(

)

atau ditulis menjadi ̇ ( ( ̅ )) Dengan ( ( ̅ )) merupakan matriks Jacobian dan fungsi di titik kesetimbangan ̅ . Berikut merupakan definisi mengenai matriks Jacobian. Definisi 2.2 [9] ( ) Diberikan fungsi dengan dan himpunan terbuka. Matriks ( ̅) ( ̅) ( ̅) ( ̅)

( ̅)

( ̅)

( ̅)

( ̅)

( ̅)

( ( ̅ ))

( dinamakan matriks Jacobian dari

) dari ̅

Matriks Jacobian ( ( ̅ ))dapat digunakan untuk mengidentifikasi sifat kestabilan sistem nonliear di sekitar titik

16 ekuilibrium ̅ asalkan titik kesetimbangan tersebut hiperbolik. Berikut diberikan definisi tentang titik kesetimbangan hiperbolik. Definisi 2.3[10] Titik kesetimbangan ̅ dikatakan hiperbolik jika semua nilai eigen matriks Jacobian ( ( ̅ )) mempunyai bagian real tak nol. Berikut diberikan definisi mengenai sifat kestabilan suatu sistem nonlinear yang ditinjau dari nilai eigen matriks Jacobian. Definisi 2.4 [9] Suatu titik kesetimbangan ̅ pada sistem persamaan diferensial ( ) dikatakan ̇ i. Stabil, jika semua nilai eigen matriks Jacobian ( ( ̅ ))mempunyai bagian real negatif, ii. Tidak stabil, jika semua nilai eigen matriks Jacobian ( ( ̅ ))mempunyai bagian real positif, 2.1 Kriteria Routh-Hurwitz Nilai eigen matriks Jacobi dapat menyelesaikan persamaan karakteristik,

diperoleh

dari

( ) tetapi tidak semua persamaan karakteristik dapat diselesaikan dengan mudah. Dalam hal ini, untuk mengetahui sifat kestabilan dari nilai eigen matriks jacobi dapat dilakukan dengan Kriteria Routh-Hurwitz [10]. Teorema 2.1 Kriteria Routh-Hurwitz Akar-akar persamaan (2.3) mempunyai bagian riil negatif jika, |

|

17

|

Jika

|

|

|

|

|

, maka persaman (2.11) menjadi,

dengan menggunakan tabel Routh-Hurwitz, koefisienkoefisian pada polinomial, dapat disusun menjadi,

dengan,

18

Polinomal stabil jika semua kolom pertama bernilai positif. 2.4.4 Analisis Keterkontrolan Keterkontrolan sistem bermanfaat dalam menstabilkan sistem. Selain itu, solusi dari suatu permasalahan kontrol optimal mungkin tidak akan diperoleh jika sistem yang bersangkutan tidak terkontrol. Maka perlu dianalisis mengenai keterkontrolan sistem. Teorema 2.1. [9] Jika terdapat persamaan matriks state sebagai berikut : ( ) ̇( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Syarat perlu dan cukup sistemterkontrol adalah : Matriks ( | | ) | | mempunyai rank yang sama dengan n. 2.4.5 Analisis Keteramatan Berikut ini akan diberikan definisi dari keteramatan yang merupakan dual dari keterkontrolan. Definisi 2.5. [10]

19 Bila setiap keadaan awal q(0)= secara tunggal dapat diamati dari setiap pengukuran keluaran system dari waktu t=0 ke t= , maka system dikatakan teramati. Istilah dual di atas, kata „terkontrol‟ diganti dengan „teramati‟ masukan ( ) diganti dengan keluaran ( ) yaitu dalam terminology keterkontrolan sebarang keadaan awal dikontrol dengan suatu masukan ( ) ke sebarang keadaan akhir dimana , sedangkan dalam terminology keteramatan sebarang keadaan awal lewat sebarang pengukuran keluaran ( ) diamati pada interval waktu . Terdapat syarat perlu dan syarat cukup untuk suatu system yang teramati, yaitu : Teorema 2.2. [10] Berdasarkan persamaan (2.9). Syarat perlu dan cukup suatu system teramati adalah : 1. Matriks m(0,t) non-singulir 2. Matriks keteramatan

[ ( mempunyai rank sama dengan n

)]

2.5 Teori Kontrol Optimal Pada prinsipnya, tujuan dari pengendalian optimal adalah menentukan signal atau kendali yang akan diproses dalam sistem dinamik dan memenuhi beberapa konstrain, dengan tujuan memaksimumkan atau meminimumkan fungsi tujuan ( ) yang sesuai [7]. Adapun masalah formulasi kendali optimal terdiri dari: a. Mendekripsikan secara matematis suatu model (secara umum dalam bentuk variabel state)

20 b. Menentukan fungsi objektif (performance index) c. Menentukan kendala dan kondisi batas yang harus dipenuhi Secara umum, masalah kendali optimal diformulasikan sebagai berikut, misalkan suatu sistem dinamik diberikan oleh persamaan: ( ( ) ( ) ) ̇ ( ) ) dengan keadaan awal ( dan keadaan akhir ( ) dan ( ) yang menyatakan pengendali keadaan pada waktu t. dalam hal ini, masalah kendali optimal adalah mencari pengendali optimal ( ) yang memenuhi persamaan keadaan (state) dengan syarat nilai J sebagai berikut, ( ( )

)

∫ ( ( ) ( ) )

(

)

adalah minimum atau maksimum. Bentuk umum persamaan J di atas disebut fungsi tujuan bentuk Bolza dengan S adalah bentuk Mayer dan V adalah bentuk Lagrange. Dengan kondisi sistem yaitu waktu akhir tetap atau bebas dan keadaan (state) akhir seluruhnya atau sebagian bebas atau tetap. Pada penelitian ini akan dilakukan kendali optimal terhadap model infeksi penyakit virus Ebola dengan model yang digunakan adalah model Ebenezer Bonyah dkk dan metode yang digunakan untuk menyelesaikan masalah kontrol optimalnya adalah Prinsip Minimum Pontryagin. Kontrol ( ) yang digunakan adalah ( ) kontrol yang merepresentasikan fasilitas untuk menjaga jarak agar individu rentan tidak melakukan kontak dengan individu terinfeksi termasuk kampanye dan edukasi publik, ( ) kontrol yang merepresentasikan treatment/pengobatan untuk individu yang sudah diidentifikasi terjangkit penyakit virus Ebola, dan ( ) Kontrol yang merepresentasikan treatment/pengobatan dan monitoring individu pada tingkat pertama ( ) dan tingkat kedua/super infeksi ( ).

21 2.6 Prinsip Minimum Pontryagin Prinsip Minimum Pontryagin merupakan salah satu cara dalam menyelesaikan masalah kendali optimal dengan kendala yang terbatas. Metode tersebut digunakan untuk memperoleh kendali terbaik pada sistem dinamik dari state awal hingga akhir, yaitu dengan meminimumkan fungsi objektif. Oleh karena itu, prinsip ini disebut sebagai Prinsip Minimum Pontryagin. Dengan memperhatikan persamaan keadaan dan fungsi tujuan yang telah diberikan pada Persamaan (2.13) dan (2.14), langkah dalam menyelesaikan masalah kendali optimal adalah sebagai berikut [7], a. Langkah 1 Bentuk fungsi Hamiltonian (H) sebagai berikut, ( ( ) ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ( ) ( ) ) dengan tanda “ ” menyatakan suatu transpose. b. Langkah 2 Meminimumkan H terhadap ( ) dengan cara: (

* ( ) sehingga diperoleh kondisi stasioner ( ). c. Langkah 3 Dengan menggunakan hasil yang diperoleh dari langkah 2, akan didapatkan fungsi Hamiltonian yang optimal, , yaitu: ( ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ) ( ( ) ( ) ) d. Langkah 4 Mencari persamaan state dengan cara, ̇ ( ) dan persamaan costate yaitu:

(

*

22 ̇ ( )

(

*

Dengan kondisi batas diberikan oleh keadaan awal dan keadaan akhir yang disebut kondisi transversality. Kondisi batas secara umum sebagai berikut: (

*

[(

*

]

e. Langkah 5 Subtitusi hasil yang diperoleh dari langkah 4 ke dalam persamaan ( ) pada langkah 2 untuk mendapatkan kendali optimal yang dicari. Dalam menentukan kondisi transversality yang sesuai, terdapat macam-macam kondisi batas, yaitu [7]: a. Fixed-final time and fixed-final state system Artinya waktu akhir dan state saat waktu akhir telah diketahui atau ditentukan. ( ) ( ) b. Free-final time and fixed-final state system Artinya waktu akhir belum ditentukan atau tidak diketahui dan state saat waktu akhir telah ditentukan atau diketahui. ( )

( )

(

*

c. Fixed-final time and free-final state system Artinya waktu akhir telah ditentukan atau diketahui sedangkastate saat waktu akhir belum diketahui atau tidak ditentukan. ( )

( )

(

*

d. Free-final time and dependent free-final state system

23 Artinya waktu akhir belum ditentukan atau tidak diketahui dan state saat akhir belum ditentukan atau tidak diketahui dan nilainya bergantung pada sesuatu. ( ) ( ) ((

*

[(

*

( )]

̇ ( ))

e. Free-final time and independent free-final state system Artinya waktu akhir belum ditentukan atau tidak diketahui dan state saat akhir belum ditentukan atau tidak diketahui dan nilainya bergantung pada sesuatu. ( ) (

*

((

( )+

*

2.7 Metode Runge Kutta Metode Runge-Kutta merupakan pengembangan dari metode Euler, dimana perhitungan penyelesaian dilakukan step demi step. Untuk fungsi dari persamaan differensial : (

)

Dengan titik pendekatan awal berdasarkan metode Euler nilai fungsi penyelesaian diperoleh dengan : ( ) adalah langkah waktu. 2.7.1 Metode Runge Kutta Orde 4 Bila pada metode Runge-Kutta 2, nilai koefisien perbaikannya adalah dua buah, maka pada metode ini menggunakan empat nilai koefisien perbaikan. Pandang persamaan differensial.

24

(

)

(

)

Dengan titik awal ( ) , ( ) integrasinya akan diperoleh

, makapenyelesaian

(

)

Dengan (

) (

*

(

*

(

)

Dan (

)

Dengan (

)

(

)

(

)

(

)

BAB III METODE PENELITIAN Bab ini menguraikan metode yang digunakan pada penelitian secara rinci. Metodologi penelitian yang digunakan berguna sebagai acuan sehingga penelitian ini dapat disusun secara sistematis. 3.1 Studi Literatur

Tahap ini dilakukan identifikasi permasalahan dengan mencari referensi yang menunjang penilitian. Referensi bisa berupa tugas akhir, jurnal, buku, maupun artikel terkait. 3.2 Analisis Dinamik Model

Pada tahap ini akan dilakukan analisis mengenai model matematika pada penyakit virus Ebola antara lain menganalisis kestabilan, kekontrolan dan keteramatan sistem. Model yang digunakan merupakan model tak linier sehingga perlu dilakukan pelinieran model. Pelinieran menggunakan Deret Taylor dan dari hasil liniearisasi dilakukan analisis kestabilan pada titik kesetimbangan dengan mencari nilai eigen dari matriks Jacobian. Untuk menganalisis keterkontrolan dapat dilakukan dengan membentuk matriks keterkontrolan dan menentukan jumlah rank dari matriks tersebut. Begitu pula untuk menganalisis keteramatan suatu sistem dengan membentuk matriks keteramatan kemudian menentukan jumlah rank dari matriks tersebut. 3.3 Menentukan Formulasi Masalah Kontrol Optimal

Tahap berikutnya dalah menemtukan fungsi objektif dari model matematika infeksi virus Ebola dan syarat batas

25

26 3.4 Menyelesaikan Kontrol Optimal

Pada tahap ini akan dilakukan penyelesain kontrol optimal menggunakan metode prinsip minimum pontryagin dengan langkah-langkah sebagai berikut : 1. 2. 3. 4. 5.

Membentuk fungsi Hamiltonian Menentukan persamaan state dan costate Menentukan kondisi batas Menentukan kontrol optimal Simulasi dan analisis hasil simulasi

3.5 Simulasi dan Analisis hasil Simulasi Tahap ini dilakukan penyelesaian kendali optimal yang telah diformulasikan pada tahapan sebelumnya. Metode yang digunakan dalam penyelesaian masalah tersebut adalah Prinsip Minimum Pontryagin. Langkah-langkah yang dilakukan dalam tahap ini antara lain: 1. Membentuk fungsi Hamiltonian, 2. Menentukan persamaan state dan costate, 3. Menentukan bentuk kontrol optimal berdasarkan keadaan stasioner. 3.5.1 Simulasi

Penyelesaian kontrol optimal dari model penyakit virus Ebola disimulasikan menggunakan software MATLAB dengan menggunakan numerik Runge-Kutta orde 4. Langkah-langkah yang dilakukan menggunakan metode runge kutta orde 4, 1. Menentukan nilai h(step size) 2. Menentukan nilai dan 3. Menentukan nilai y dari h dan

27 3.5.2

Analisis Hasil Simulasi Pada tahap ini, penulis melakukan analisis terhadap hasil yang telah diperoleh dari simulasi. 3.6 Kesimpulan dan Saran

Setelah dilakukan analisis dan pembahasan maka dapat ditarik suatu kesimpulan dan saran sebagai masukan untuk pengembangan penelitian lebih lanjut.

28 Sistem

Non-linier

Pelinieran

Linier Analisa Dinamik Model : Kestabilan Keterkontrolan Keteramatan

Fungsi Tujuan

Fungsi Hamilton

Persamaan State dan Costate

Simulasi dan analisis hasil simulasi Gambar 3.1 Diagram Alur Penelitian

BAB IV ANALISIS DAN PEMBAHASAN Pada bab ini dibahas mengenai model matematika pada penyakit virus Ebola antara lain menganalisis kestabilan, kekontrolan, dan keteramatan sistem, setelah itu menentukan solusi yang optimal dari model dengan menerapkan Prinsip Minimum Pontryagin. Selanjutnya ditentukan penyelesaian solusi numerik dari model dan mensimulasikan dengan menggunakan MATLAB. 4.1 Analisis Dinamik Model Penyakit Virus Ebola State dari model Ebola adalah enam nonlinier persamaan diferensial biasa. Model tersebut diusulkan oleh Pontryagian et al dan dilakukan sedikit modifikasi [4]

Gambar 4.1. Struktur State Model Kompartemen penyakit virus Ebola. Dimana individu rentan (S), infeksi pertama (I1), terinfeksi (E), infeksi stadium akhir/super infeksi(I2), recovery (R) , Individu Meninggal (F) Berdasarkan Gambar 4.1 diperoleh model interaksi dinamis sebagai berikut,

31

32 1. Laju perubahan jumlah populasi individu rentan bertambah karena adanya kematian alami yang terinfeksi dari total individu rentan yang tidak mendapatkan kendali fasilitas untuk menjaga jarak agar individu rentan tidak melakukan kontak dengan individu terinfeksi termasuk kampanye dan edukasi dan terinfeksi akibat adanya individu terinfeksi pada tahap pertama, individu tahap kedua/super infeksi, dan individu meninggal hingga dikubur dan berkurang akibat adanya kematian alami individu rentan. =

− (1 −

)(

+

+

) −

2. Laju perubahan jumlah populasi individu teridentifikasi terinfeksi virus Ebola bertambah karena adanya individu rentan yang mendapatkan kendali kendali fasilitas untuk menjaga jarak agar individu rentan tidak melakukan kontak dengan individu terinfeksi termasuk kampanye dan edukasi dan terinfeksi akibat adanya individu terinfeksi pada tahap pertama, individu tahap kedua/super infeksi, dan individu meninggal hingga dikubur berkurang karena mengalami kematian alami. = (1 −

)(

+

+

) −(

+ )

3. Laju perubahan jumlah populasi individu terinfeksi penyakit virus Ebola pada tahap pertama bertambah karena adanya kontrol pengobatan dari tingkat individu yang teridentifikasi penyakit virus Ebola dan berkurang karena individu tingkat pertama yang mendapatkan kontrol pengobatan dan monitoring yang juga diperngaruhi oleh fraksi dan waktu individu terinfeksi penyakit virus Ebola.

33 −(

=

+ )

4. Laju perubahan jumlah populasi individu yang terinfeksi penyakit virus Ebola pada tahap kedua bertambah karena adanya individu tingkat pertama yang mendapatkan kendali pengobatan dan monitoring yang juga dipengaruhi oleh fraksi dan waktu individu terinfeksi, namun akan berkurang karena adanya kematian alami dan kendali pengobatan dan monitoring yang juga dipengaruhi oleh fraksi dan waktu individu terinfeksi hingga meninggal. −(

=

+ )

5. Laju perubahan populasi individu yang meninggal hingga dikubur bertambah karena adanya kendali berupa pengobatan dan monitoring yang juga dipengaruhi oleh fraksi dan waktu individu terinfeksi sampai meninggal namun berkurang karena adanya rata-rata waktu individu meninggal sampai dikubur. =

−

6. Laju perubahan populasi individu yang sembuh bertambah karena adanya individu terinfeksi pada tahap pertama yang mendapatkan kendali pengobatan dan monitoring dan tidak mengalami fraksi dan dipengaruhi waktu rata-rata individu terinfeksi, serta bertambah karena inidvidu terinfeksi tahap kedua yang mendapatkan kendali pengobatan dan monitoring dan tidak mengalami fraksi sampai meninggal dan di pengaruhi waktu rata-rata individu terinfeksi, mengalami pengurangan jumlah karena adanya kematian alami dan pemulihan individu.

34

=

(1 −

)

+

(1 −

)

−( +

)

Berikut adalah parameter yang digunakan,

Parameter

Tabel 4.1 Parameter Deskripsi Fraksi individu terinfeksi pada tingkat pertama ( ) dan tingkat kedua/ super infeksi ( ) Fraksi individu terinfeksi pada tingkat kedua/ super infeksi ( ) sampai meninggal Tingkat individu yang sudaah diidentifiikasi terjangkit penyakit virus Ebola Tingkat individu rentan menjadi terinfeksi akibat penularan dari manusia terinfeksi tingkat pertama ( ) Tingkat individu rentan menjadi terinfeksi akibat penularan dari manusia terinfeksi tingkat kedua/ super infeksi ( ) Tingkat individu rentan menjadi terinfeksi akibat penularan dari mansia terinfeksi yang telah meninggal dan belum dikubur Rata-rata waktu individu terinfeksi pada tingkat pertama ( ) sampai menuju tingkat kedua/ super infeksi ( )

Nilai 0.6/ hari

0.7/ hari

8/ hari

0.9/ hari

0.67/ hari

0.67/ hari

5.7/hari

35 Rata-rata waktu individu terinfeksi pada tingkat kedua/ super infeksi ( ) sampai meninggal Rata-rata waktu individu meninggal sampai dikubur

1.4/ hari

1.4/ hari

Rata-rata waktu pemulihan individu recovery

1.4/ hari

Jumlah kematian alami individu yang terinfeksi

0.00005479/ hari

Faktor pembobot Faktor pembobot Faktor pembobot

20 40 50

Untuk melakukan analisis dinamik dari Persamaan (2.1) sampai (2.6), terlebih dahulu menentukan titik setimbang dari sistem dinamik. Selanjutnya, dilakukan analisis kestabilan, keterkontrolan dan keteramatan pada titik setimbang. 4.1.1 Titik Setimbang Titik kesetimbangan dapat diperoleh dengan menyamadengan kan nol state-state yang ada yaitu ̇ = 0, ̇ = 0, ̇ = 0, , ̇ = 0, ̇ = 0, ̇ = 0 sehingga Persamaan (2.1) sampai (2.6) menjadi ̇=0 ) − − (1 − )( + + =0 (4.1) ̇ =0 (1 − )( ̇ =0

+

+

) −(

+ ) =0

(4.2)

36 −(

+ )

=0

(4.3)

̇ =0 −(

+ )

=0

(4.4)

̇ =0 − ̇ =0 (1 −

=0

)

+

(4.5)

(1 −

)

−( +

) = 0 (4.6)

Selanjutnya dicari nilai dari titik setimbang ̅ = ( ̅, , , , , ) sebagai berikut: Pertama-tama akan dicari nilai dari persamaan (4.3) sebagai berikut, −( + ) =0 =

(4.7) + Selanjutnya dicari nilai dari Persamaan (4.4) sebagai berikut, −( + ) =0 =

(4.8) + Dengan mensubstitusikan Persamaan (4.7) ke Persamaan (4.8), maka Persamaan (4.14) menjadi = = =

+ +

(4.9) ( + )( + ) Berdasarkan Persamaan (4.5), nilai F dapat dihitung dengan − =0

37

=

(4.10)

Mensubstitusikan Persamaan (4.9) ke Persamaan (4.10), maka Persamaan (4.10) menjadi = (

=

)(

)

=

(4.11) ( + )( + )( ) Berdasarkan Persamaan (4.3) akan hitung nilai S dengan cara mensubstitusikan Persamaan (4.7),(4.9), dan (4.11 ) ke Persamaan (4.2) sebagai berikut (1 −

)( (



+ )

(

+(

)( (



) )(

)

)



)( (

)



)(

(1 − (

)(

)

)

) )(

)

=( )(

)

)

=( +(

)(

)

=(

+ ) =0

+

+ ) =0 +

+ ) (

+( (

(

−( )(

)( )

)

(

+( (

(

)

)( (

(

) −(

+

) )

+

+ )

)(

+ )

)

+

38 

=

( (

=

)

)(

)

(

)(

)

+ (

)(

)

(

(

)(

(1 − ̅=

)

)(

)

)

+ (

+ )( ) + ( + )(

1 (1 −

( )+ + )( ) (4.12)

)

Substitusikan Persamaan ( 4.7), (4.9)dan (4.11) ke Persamaan (4.7). Sehingga Persamaan (4.1) menjadi − (1 − )( + +  − (1 − )( + +

) − =0 )=

 −(1 −

)=

 −(1 −

)(

+

+

−

)

(

( )+ + )( ) + ( + )( + )( )( + ) (1 − ) (1 − ) ( ( )+ + )( ) + ( + )( + )( )( + )  − = (1 − ) = − (1 − ) (4.13) =− +

Substitusi Persamaan (4.13) ke Persamaan (4.7), sehingga Persamaan (4.7) menjadi =

+

=

39 (− + +

=

)

(4.14)

Subtitusi Persamaan (4.13) ke Persamaan (4.9), sehingga Persamaan (4.9) menjadi =

=

(

+ )(

+ )

(

(− + ) + )( + )

(4.15)

Subtitusi Persamaan (4.13) ke Persamaan (4.11), sehingga Persamaan (4.11) menjadi =

(

=

+ )(

+ )(

+ )(

(− + ) + )( )

(

) (4.16)

Substitusi Persamaan (4.14), (4.15) ke Persamaan (4.6), sehingga Persamaan (4.6) menjadi (1 − ) + (1 − ) −( + ) = 0 

=



= (1 −

=

(

)

)

(1 −

(

(

)

+

(1 −

+ (− + +

) −

1 +

)

)

(

) )

( (

+

)(

(1

(− + ) + )( + ) (4.17)

) )

40

Berdasarkan Persamaan (4.14), (4.15), (4.16), (4.17), (4.18), dan (4.19) diperoleh titik kesetimbangan ̅ = ( ̅, , , , , ) dengan ̅=

+ (

+ )( ) + ( + )(

( )+ + )( )

1 (1 −

=− + 2 (−

=

3 1 1

= = =

( (

)

+ +

(− + ) + )( + ) (− + ) )( )( ) + + (− + ) (1 − ) + + −

)

(

(1

(− + ) + )( + )

1 +

4.1.2 Analisa Kestabilan Setelah diperoleh titik setimbang dari sistem dinamik penyakit virus Ebola, langkah selanjutnya adalah menganalisisi kestabilan dari sistem. Analisis kestabilan dilakukan untuk mengetahui kestabilan pada suatu persamaan. Sistem dinamik model penyakit virus Ebola (2.1) sampai (2.6) merupakan model persamaan yang tak linier sehingga untuk melakukan analisis kestabilan adalah dengan menggunakan cara menganalisis transformasi kestabilan lokal disekitar titik setimbang dari sistem tersebut. Untuk menganalisis kestabilan pada sistem penyakit virus Ebola, dilakukan pendekatan terhadap deret Taylor seperti Persamaan (2.10) sebagai berikut :

)

41 ( , , , , , ) = + + + + +

( ̅, , , , , ) ( ̅, , , , , ) ( ̅, , , , , ) ( ̅, , , , , ) ( ̅, , , , , ) ( ̅, , , , , )

( − ̅) ( − ) ( − ) ( − ) ( − ) ( − )

( , , , , , ) = + + + + +

( ̅, , , , , ) ( ̅, , , , , ) ( ̅, , , , , ) ( ̅, , , , , ) ( ̅, , , , , ) ( ̅, , , , , )

( − ̅) ( − ) ( − ) ( − ) ( − ) ( − )

42 ( , , , , , ) = + + + + +

( ̅, , , , , ) ( ̅, , , , , ) ( ̅, , , , , ) ( ̅, , , , , ) ( ̅, , , , , ) ( ̅, , , , , )

( − ̅) ( − ) ( − ) ( − ) ( − ) ( − )

( , , , , , ) = + + + + +

( ̅, , , , , ) ( ̅, , , , , ) ( ̅, , , , , ) ( ̅, , , , , ) ( ̅, , , , , ) ( ̅, , , , , )

( − ̅) ( − ) ( − ) ( − ) ( − ) ( − )

43 ( , , , , , ) = + + + + +

( ̅, , , , , ) ( ̅, , , , , ) ( ̅, , , , , ) ( ̅, , , , , ) ( ̅, , , , , ) ( ̅, , , , , )

( − ̅) ( − ) ( − ) ( − ) ( − ) ( − )

( , , , , , ) = + + + + +

( ̅, , , , , ) ( ̅, , , , , ) ( ̅, , , , , ) ( ̅, , , , , ) ( ̅, , , , , ) ( ̅, ,

( − ̅) ( − ) ( − ) ( − ) ( − )

, , , )

Selanjutnya didefinisikan, = ℰ= ℐ = ℐ = ℱ= ℛ=

− ̅ − − − − −

( − )

44 Didapat derivatifnya sebagai berikut: ̇= ( , , , ̇ = ( , , , ̇ = ( , , , ̇ = ( , , , ̇ = ( , , , ̇ = ( , , , sehingga diperoleh : ̇= ( , , , , , ) ( ̅, , , , , = ( ̅, , , , , + ( ,̅ , , , , + + + +

, , , , , ,

) ) )

( ̅, , , , , ) ( ̅, , , , , ) ( ̅, , , , , )

, , , , , ,

), ), ), ), ), )

( ) (ℰ ) (ℐ ) (ℐ ) (ℱ ) (ℛ )

45 ̇ =

( , , , , , ) ( ,̅ , , , , ) ( ) = ( ̅, , , , , ) (ℰ ) + ( ,̅ , , , , ) (ℐ ) + + + +

̇ =

( ̅, , , , , ) ( ̅, , , , , ) ( ̅, , , , , )

(ℐ ) (ℱ ) (ℛ )

( , , , , , ) ( ,̅ , , , , ) ( ) = ( ,̅ , , , , ) (ℰ ) + ( ̅, , , , , ) (ℐ ) + + + +

( ̅, , , , , ) ( ̅, , , , , ) ( ̅, , , , , )

(ℐ ) (ℱ ) (ℛ )

46 ̇ =

( , , , , , ) ( ,̅ , , , , ) ( ) = ( ̅, , , , , ) (ℰ ) + ( ,̅ , , , , ) (ℐ ) + + + +

̇ =

( ̅, , , , , ) ( ̅, , , , , ) ( ̅, , , , , )

(ℐ ) (ℱ ) (ℛ )

( , , , , , ) ( ,̅ , , , , ) ( ) = ( ,̅ , , , , ) (ℰ ) + ( ̅, , , , , ) (ℐ ) + + + +

( ̅, , , , , ) ( ̅, , , , , ) ( ̅, , , , , )

(ℐ ) (ℱ ) (ℛ )

47 ̇ =

( , , , , , ) ( ,̅ , , , , ) ( ) = ( ̅, , , , , ) (ℰ ) + ( ,̅ , , , , ) (ℐ ) + + + +

( ̅, , , , , ) ( ̅, , , , , ) ( ̅, , , , , )

(ℐ ) (ℱ ) (ℛ )

Apabila dinyatakan dalam bentuk matriks, maka diperoleh ⎛ ⎜ ̇ ⎞ ⎜ ̇ ⎜ 1⎟ = ̇2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ̇ ⎜ ̇⎠ ⎜ ̇

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

⎝

( ̅)

( ̅)

( ̅)

( ̅)

( ̅)

( ̅)

( ̅)

( ̅)

( ̅)

( ̅)

( ̅)

( ̅)

( ̅)

( ̅)

( ̅)

( ̅)

( ̅)

( ̅)

(

( ̅)

( ̅)

( ̅)

( ̅)

(

( ̅)

( ̅)

( ̅)

( ̅)

( ̅)

(

( ̅)

( ̅)

( ̅)

( ̅)

( ̅)

( ̅)

⎞ ⎟ ̅ )⎟ ℰ ⎟ ⎛ℐ ⎞ ̅ )⎟ ⎜ ⎜ℐ ⎟ ⎟ ⎟ ℱ ̅ )⎟ ⎝ ⎠ ℛ ⎟

⎠ ̅ ( ) Dengan ̅ = , , , , , kemudian dari hasil tersebut dilakukan pemisalan (Lampiran 1), maka diperoleh, ̇ 0 0 ̇ 0 ⎞ ℰ ⎛ ⎞ ⎛ ̇ 0 0 ⎛ℐ ⎞ 0 0 ⎜ ⎟=⎜ ⎟ (4.20) ⎜ ̇⎟ ⎜0 0 ⎜ℐ ⎟ ⎟ 0 ⎟⎜ 0 ⎜ ⎟ 0 − ℱ 0 0 0 ̇ ⎝ 0 ℛ⎠ ⎝ 0 0 ⎠ ⎝ ̇⎠

48 Matriks Jacobian ( ( ̅ )) dapat digunakan untuk mengidentifikasi sifat kestabilan sistem non linier disekitar titik kesetimbangan ̅ . Kemudian dicari persamaan karakteristik dari matriks Jacobian tersebut dengan mengunakan | ( ( ̅ )) − | = 0 Sehingga, 0 − 0 − 0 − 0 0 0 0 = 0 (4.21) − 0 0 0 0 0 0 − − 0 0 − 0 0 0 Untuk mencari nilai eigen menggunakan cara kofaktor kita mengalami kesulitan sehinga digunakan MATLAB dengan mensubstiusikan nilai parameter pada tabel 4.1, sebesar 0.001, sebesar 0.001 dan sebesar 0.001, maka akan didapatkan = −1.2138 = −0.0765 = −0.0330 = −0.0095 = −1.3 = −1.4001 Jadi sesuai dengan titik setimbang ̅ = ( ̅, , , , , ) bersifat stabil. Untuk menganalisis kestabilan dapat menggunakan metode Routh-Hurwitz, maka diperoleh persamaan karakteristik dari matriks Jacobian (4.21) (Lampiran 2) Persamaan karakteristik dapat ditulis seperti berikut : + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 =0 0 Dimana = − 1 13 16 17 4 8 + 13 15 17 2 4 8 + 1 12 17 3 7 − + + − =− + − − +c c c c c + c c c c c +

49 c c c c c –c c c c c − c c c c –c c c c –c c c c + c c c c –c c c c –c c c c + c c c c –c c c c − c c c c + c c c c –c c c c –c c c c + c c c c = 1 12 17 3 + 1 12 17 7 + 1 12 3 7 − 1 12 4 6 + + − + + − + + − − + + + + + + + + − + + − + − + = − 1 12 17 − 1 12 3 − 1 17 3 − 12 17 3 − 1 12 − − − + − − + − + − − − − − − − − − − − + = 1 12 + 1 17 + 12 17 + 1 3 + 12 3 + + + + + − + + + + +

= − =1

12

−

17

−

3

−

7

−

−

7

1

Menggunakan rumus Routh-Hurwitz dapat dituliskan dalam tabel sebagai berikut : Tabel 4.1 Routh-Hurwitz

=0

0 dengan,

0 0

0 0 0

=0 =0 0 0 0 0

=0 =0 0 0 0 0

50 −

=

,

−

= =

=

−

,

, −

=

=

,

=

−

=

,

−

=

=

−

=

Akan dianalisis nilai , , , , dan . Nilai dianalisis sebagai berikut : =− − − − − − nilai positif ( > 0) jika 0>

Nilai nilai

+

+

+

+

+

dapat dianalisis sebagai berikut: akan bernilai positif

>0

bernilai positif ( > 0), maka akibatnya nilai positif dengan analisis sebagai berikut : = 1 12 + 1 17 + 12 17 + 1 3 + 12 3 + 17 3 + +

+

+

−

akan bernilai positif ( + +

+

+ +

+ +

+

+

dapat

+

+

jika harus 1 7

+

> 0) jika + +

+ +

+ +

+ >

>

Nilai −

(− + +

− − − – )( + + ∗ + + + + + + + + + ) > (1)(− − − − − − − + − − + + − − − − − − − − − − + )

+ − − − −

51 Untuk nilai

dapat dianalisis sebagai berikut : − =

Nilai p1 akan bernilai positif jika > maka akibatnya nilai > 0 jika + + + > + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + Untuk nilai d1 dapat dianalisis sebagai berikut : − = Nilai d1 akan bernilai positif jika > maka akibatnya nilai > 0 jika > (− − − − − − )( + + − + + − + + − + + − − + + + + + + + + − + + − + − + ) > (1)(− + − − +c c c c c + c c c c c + c c c c c –c c c c c − c c c c − c c c c − c c c c + c c c c − c c c c − c c c c + c c c c − c c c c − c c c c + c c c c − c c c c − c c c c + c c c c ) Untuk nilai e1 dapat dianalisis sebagai berikut : − = Nilai e1 akan bernilai positif jika nilai > 0 jika >

>

maka akibatnya

52 Dari Tabel Routh-Hurwitz dapat dilihat bahwa variabel – variabel pada kolom pertama memiliki nilai yang sama yaitu bertanda positif. Titik kesetimbangan untuk model penyakit virus Ebola terbukti stabil jika memenuhi > 0, > , > , > , > .Dengan menggunakan software MATLAB dengan mensubstitusikan nilai parameter pada tabel 4.1, sebesar 0.001, sebesar 0.001 dan sebesar 0.001, didapatkan nilai pada kolom pertama sebagai berikut : = 1 = 4.0329 = 4.8652 = 2.5986 = 5.1444 = 1.2087 4.1.3 Analisis Keterkontrolan Untuk melakukan analisis keterkontolan, maka perluasanya sistem dinamik yang telah dilinierkan. Dari persamaan (2.1) sampai (2.6), jika dilinierkan disekitar titik setimbang menggunakan Jacobian (4.20) dengan memisalkan matriks ̅, diperoleh : 0 0 ⎡ ⎤ 0 ⎥ ⎢ 0 0 ⎥ 0 ̅ =⎢0 (4.22) 0 ⎥ ⎢0 0 0 0 ⎥ − ⎢0 0 0 0 ⎣0 0 ⎦ dan matriks sebagai berikut :

53

( ̅, , , , , )

=

( ̅, , , , , )

( ̅, , , , , )

( ̅, , , , , )

( ̅, , , , , )

( ̅, , , , , )

( ̅, , , , , )

( ̅, , , , , )

( ̅, , , , , )

( ̅, , , , , )

( ̅, , , , , )

( ̅, , , , , )

( ̅, , , , , )

( ̅, , , , , )

( ̅, , , , , )

( ̅, , , , , )

( ̅, , , , , )

( ̅, , , , , )

Dengan ̅ = ( ̅, , , , , ) kemudian dari hasil tersebut dilakukan pemisalan (Lampiran 3), maka diperoleh matriks sebagai berikut 1 2

0 = 0 0 0

0 3 4

0 0 0

0 0 5 6

(4.23)

7 8

Berdasarkan Teorema 2.1 dan solusi Persamaan (2.12) dapat disusun matriks keterkontrolan ( ) sebagai berikut : Untuk matriks ⎡ ⎢ =⎢0 ⎢0 ⎢0 ⎣0

= diperoleh, 0 0 0 0 0

0

0 0 − 0

0 0 0 0 0

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

1 2

0 0 0 0

0 3 4

0 0 0

0 0 5 6 7 8

54 +

⎡ 1 ⎢ =⎢ ⎢ 0 ⎢ 0 ⎣ 0

+

+ + + −

0 +

Dengan memisalkan nilai dari perkalian sehingga diperoleh : = 1 = = = = + = = = = + = + = = + = − = + Sehingga matriks

+

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

matriks tersebut,

+ +

+

menjadi

⎡ ⎢ ⎢ ⎢0 ⎢0 ⎣0

Untuk matriks = [ ̅][

+

0

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

diperoleh, ]

(4.24)

55

⎡ ⎢ =⎢0 ⎢0 ⎢0 ⎣0 ⎡ ⎢ =⎢ ⎢ ⎢ ⎣

0 0 0 0 0

0 +

+ +

0 0 − 0

+

+

⎤⎡ 1 ⎥⎢ 2 ⎥⎢ 3 ⎥⎢ 0 ⎥⎢ 0 ⎦⎣ 0

+ + + +

+

0 0 0 0 0

4

9

⎤ ⎥ 11 ⎥ 12 ⎥ 13 ⎥ 14 ⎦

5

10

6 7

0 8

+ +

+

+ + + + −

0 +

+

+

Dengan memisalkan nilai dari perkalian matriks tersebut, sehingga diperoleh : = + = + + = + = = = + + = + + + = + = + = = + + = + + + = + + + + = + = + = − = + + Sehingga matriks

menjadi,

+ +

+

+

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

56 1

6

12

⎡ 2 7 ⎢ 3 8 =⎢ 4 9 ⎢ ⎢0 10 ⎣ 5 11 Selanjutnya untuk matriks = [ ̅] 0 ⎡ ⎢ 0 =⎢0 ⎢0 0 ⎢0 0 0 ⎣0 0 ⎡ ⎢ =⎢ ⎢ ⎢ ⎣

+ +

+ +

0 0 0 0 0

0 0 − 0

+ + + +

+

⎤ ⎥ 14 ⎥ 15 ⎥ 16 ⎥ 17 ⎦ diperoleh 13

+

+ +

+

6

12

7

13

⎤ ⎥ 14 ⎥ 15 ⎥ 16 ⎥ 17 ⎦

8 9 10 11

+

+ +

+ + − +

⎤⎡ 1 ⎥⎢ 2 ⎥⎢ 3 ⎥⎢ 4 ⎥⎢ 0 ⎦⎣ 5

(4.25)

+

2 12

+

+ +

+ +

+ + − +

+

Dengan memisalkan nilai dari perkalian matriks tersebut, sehingga diperoleh : = + + = + + + = + = + = = + + = + + + = + + + + = + = + = − = + + = + + + = + + + +

+

+

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

57 = + = + = − = + Sehingga matriks 1

+ menjadi, 7

13

⎡ ⎤ 2 8 14 ⎢ ⎥ 3 9 15 ⎥ =⎢ 10 16 ⎥ ⎢ 4 ⎢ 5 11 17 ⎥ ⎣ 6 18 ⎦ 12 Selanjutnya untuk matriks = [ ̅] 0 ⎡ ⎢ 0 =⎢0 ⎢0 0 ⎢0 0 0 ⎣0 0 ⎡ ⎢ =⎢ ⎢ ⎢ ⎣

+ +

+ +

(4.26)

diperoleh

0 0 − 0

+ +

0 0 0 0 0

+ +

+

+ +

+ + − +

+

1

7

13

2

8

14

3

9

4

10

5

11

6

12

⎤ ⎥ 15 ⎥ 16 ⎥ 17 ⎥ 18 ⎦ +

+ +

+ + − +

⎤⎡ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎦⎣ +

2

13

+

+ +

`

+ +

+ + − +

+

Dengan memisalkan nilai dari perkalian matriks tersebut, sehingga diperoleh : = + + + = + + + + = + = + = − = + + = + + + = + + + + = +

+

+

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

58 = + = − = + = + = + ` = + = + = − = + Sehingga matriks 1

+ + +

+ +

+

+ menjadi, 7

13

⎡ ⎤ 2 8 14 ⎢ ⎥ 3 9 15 ⎥ =⎢ 10 16 ⎥ ⎢ 4 ⎢ 5 11 17 ⎥ ⎣ 6 18 ⎦ 12 Selanjutnya untuk matriks 5 10 ⎡ 1 0 ⎢ 2 =⎢0 ⎢0 ⎢0 ⎣0 ⎡ ⎢ =⎢ ⎢ ⎢ ⎣

+ +

3

6

11

4

7

0

0 0 0

8

12

0

13

9

14

+ +

diperoleh 0 ⎤ 15 ⎡ 0 ⎥⎢ 16 0 ⎥⎢ 0 0 ⎥⎢ 0 0 ⎥⎢ − 17 ⎦ ⎣ 0

+ +

(4.27 )

+ +

+

+ +

+ + − +

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

+ +

+ +

+

+ +

+ + − +

+

+ +

+ + − +

+

Dengan memisalkan nilai dari perkalian matriks tersebut, sehingga diperoleh : = + + + = + + + + = + = + = −

+

+

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

59 = + + = + + + = + + + = + = + = − = + + = + + + = + + + = + = + = − = + + Sehingga matriks menjadi,

⎡ ⎢ =⎢ ⎢ ⎢ ⎣

1

7

13

2

8

14

3

9

4

10

5

11

6

12

⎤ ⎥ 15 ⎥ 16 ⎥ 17 ⎥ 18 ⎦

+

+

(4.28)

Dari hasil perhitungan diatas , maka Persamaan (4.23) hingga (4.28) dapat disusun menjadi matriks keterkontrolan seperti berikut : = ⎡ ⎢ ⎢0 ⎢0 ⎢0 ⎣0

0

0 0 0

0 0 0 0 0

0

0

Dengan didapatkannya matriks keterkontrolan diatas dapat diamati bahwa rank ( ) = 6 . dengan demikian sistem dinamik dari penyakit virus Ebola bersifat terkontrol

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

60 4.1.4 Analisis Keteramatan Untuk melakukan analisis keteramatan, maka perlu adanya sistem dinamik yang telah dilinierkan. Dari persamaan (2.1) sampai (2.6), jika dilinierkan disekitar titik setimbang menggunakan Jacobian (4.20) dengan memisalkan matriks ̅ seperti Persamaan (4.22). Dan matriks ̅ diperoleh berdasarkan fungsi tujuan pada permalasahan ini yaitu ( , , )=∫ ( )+ ( )+ ( )+ ( )+ . Dengan demikian dapat dibentuk matriks ̅ sebagai berikut : ( )

⎛ ̅= 001000 ⎜ 000100 ⎜

⎞ ⎟ (4.29) ⎟

⎝ Mencari matriks

diperoleh :

⎡ 1 ⎢ 2 = 0 0 1 0 0 0 ⎢0 0 0 0 1 0 0 ⎢0 ⎢0 ⎣0 = 0 0

⎠

4

7

0

0

8

12

Selanjutnya untuk mendapat

0 0

0

5

10

15

3

6

11

4

7

0

16

0 0 0

8

12

0

13

9

14

0 0

diperoleh :

0 0 − 0

0 0 0 0 0

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 17 ⎦

(4.30)

61

= 0 0

4

7

0

0

8

12

⎡ 1 ⎢ 2 0 ⎢0 0 ⎢0 ⎢0 ⎣0

0 0

5

10

15

3

6

11

4

7

0

16

0 0 0

8

12

0

13

9

14

0 0 0 0 0

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 17 ⎦

0 0 − 0

+ 7 7 4 11 4 16 0 2 + 0 0 0 8 4 8 7 12 8 12 Dengan memisalkan nilai dari perkalian matriks tersebut dengan variabel baru, sehingga diperoleh : = = + = = + = + = = = Sehingga matriks menjadi, =

4 2 3 4

=

+

0

2

1

0

4 7

4

3

5


=

1

0

2 3

4 5

6

8

7

0

4 6

6

8

7

0

0 0

(4.31)

diperoleh : ⎡ 1 ⎢ 2 0 ⎢0 0 ⎢0 ⎢0 ⎣0

0

5

10

15

3

6

11

4

7

0

16

0 0 0

8

12

0

13

9

14

0 0 − 0

0 0 0 0 0

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 17 ⎦

62

=

+ +

+

+ +

+ +

+

+ +

+

+

−

0 0

Dengan memisalkan nilai dari perkalian matriks tersebut dengan variabel baru, sehingga diperoleh : = + = = + = + = + + = + + = + + + = + = + − = Sehingga matriks menjadi, =

1

3

5

7

9

2

4

6

8

10


=

1 2

=

+ +

3 4

+ +

5 6

7

10

+

+ +

+ +

(4.32)

diperoleh :

0

⎡ ⎢ 0 ⎢0 0 ⎢0 ⎢0 ⎣0

9

8

0 0

0 0 0 0 + +

0 + +

+ +

0 0 0 0 0

0 0 − 0 + +

− −

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ 0 0

Dengan memisalkan nilai dari perkalian matriks tersebut dengan variabel baru, sehingga diperoleh : = + = + = + = +

63 = + + + = + + = + + + = + + + = + − = + − Sehingga matriks menjadi, =

1

3

5

7

9

2

4

6

8

10


0 0

(4.33)

diperoleh :

=

=

1

3

5

7

9

2

4

6

8

10

+ +

+ +

+

⎡ ⎢ 0 ⎢0 0 ⎢0 ⎢0 ⎣0

+ +

+

0 0 0 0 0 + +

+

0 + +

+ +

0 0 0 0 0

0 0 − 0 + +

− −

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ 0 0

Dengan memisalkan nilai dari perkalian matriks tersebut dengan variabel baru, sehingga diperoleh : = + = + = + = + = + + + = + + = + + + = + + + = + − = + − Sehingga matriks menjadi, =

1

3

5

7

9

2

4

6

8

10

0 0

(4.33)

64 Dari hasil perhitungan diatas , maka Persamaan (4.29) hingga (4.34) dapat disusun menjadi matriks keteramatan seperti berikut : ⎡0 ⎢0 ⎢0 ⎢0 ⎢ ⎢ ⎢0 =⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

0 0

1 0

0 1 0

0

0 0 0 0 0

0⎤ 0⎥ 0⎥ 0⎥ ⎥ 0⎥ 0⎥ ⎥ 0⎥ 0⎥ 0⎥ 0⎥ ⎥ 0⎥ 0⎦

(4.35)

Dengan didapatkannya matriks keteramatan diatas dapat diamati bahwa rank ( ) = 5. Dengan demikian sistem dinamik dari penyakit virus Ebola bersifat tidak teramati. 4.2 Penyelesaian Kontrol Optimal Penyakit Virus Ebola Dalam menyelesaikan kontrol optimal ini bertujuan untuk meminimalkan jumlah individu terinfeksi. Diberikan fungsi tujuan sebagai berikut : (

,

,

)=

( )+

( )+

( )+

2

2

( )+

2

( )

Dengan A1, A2, A3 adalah variabel bobot yang berkorelasi dengan biaya penggunaan kontrol yaitu sebagai faktor penyeimbang dari biaya pengontrolan sistem, langkah awal yang harus dilakukan adalah menentukan fungsi Hamiltonian dan model matematika pada Persamaan (2.1) sampai (2.6), diperoleh fungsi Hamiltonian sebagai berikut,

= ( , , )+ =

( )+ ( )+

( , , ) 2

( )+

2

( )+

2

( )

65 ) − ) + ( − (1 − )( + + ) −( + (1 − )( + + + ) + ( −( + ) ) + ( −( + ) ) ) + ( − + ( (1 − ) + (1 − ) − ( + ) )(4.36) Langkah selanjutnya adalah menentukan kondisi stasioner dari Persamaan (4.36) untuk mendapatkan persamaan kontrol optimal. Persamaan (4.36) diturunkan terhadap , , dan sehingga diperoleh + + + − − − =0 (4.37) − + =0 (4.38) Dan,

−

−

+

−

+

−

+

+

=0

(4.39)

Berdasarkan Persamaan (4.39) hingga(4.41) didapat persamaan kendali optimal sebagai berikut, ( )(− ) + − − (4.40) ∗ = ∗

(4.41)

=

,dan ∗ =

(4.42)

dengan memperhatikan batas kendali

,

, dan

Persamaan (4.40) hingga (4.42) menjadi =

0, min 1,

=

0, min 1,

dan

(

+ −

)(−

−

−

)

, maka

66

⎧ ⎪ =

⎨ ⎪ ⎩

−

⎧ ⎪

+

+ −

0, min 1, ⎨ ⎪ ⎩

+

+

⎫⎫ ⎪⎪

+

⎬⎬ ⎪⎪ ⎭⎭

Substitusikan Persamaan (4.40) hingga (4.42) ke dalam Persamaan (4.36), sehingga diperoleh : = + +

+

( )+ ( )+

−

+

(

) −

1 1

2

−

2 2

−

1

1

2

2 1

−

2

+

1 1 1

+

2

+

2

+

2 2 2

−

1 1

+

2 2

3

− 1−

+

(

) −

1 1

−

2 2

−

(

+

) −

+

1

+

1−

+

(

) − 1 1− 2 2−

(

+

+

)

1

−

−

1

+

2

−

+

1

2

−

1

−

2

+

1 1 1

+

2

+

+ 3

2 2 2

−

1 1

+

2 2

+

67

⎛ ⎜

+

1

−

2

+

+

1 1 1

+

2

+

−

2 2 2

1 1

+

2 2

3

⎝ 1

−

−

2

+

1 1 1

+

2

+

+

2 2 2

−

1 1

+

2 2

⎞ ⎟

+

3

⎠ −

1

+

2

+

+

1 1 1

+

2

+

2 2 2

−

1 1

+

2 2

−

3

1

+

− 2+

1 1 1+

2

+

+

2 2 2−

1 1+ 2 2

(1 −

)

+

3

1

− 2+

1 1 1+

2

+

+

2 2 2−

1 1+ 2 2

(1 −

−( +

)

)

(4.43)

3

dengan menggunakan Persamaan (4.43) , didapatkan state dan costate yang optimal sebagai berikut, Persamaan state Untuk memperoleh ̇ ( )dilakukan dengan cara, ∗ ∗̇ (

∗̇ (

)= )=

2

(

2

+

) −

1 1

−

2 2

2

−

+

1

− 1−

(

+

) − 1 1− 2 2−

(

1

+

+

) −

(4.44) Sedangkan ̇∗ ( ) diperoleh dengan cara menurunkan Persamaan (4.43) terhadap ∗

̇∗ ( ) = = +

(

+ −

)(−

+

− 2

−2

−

)

+ 2

(

)

+

68 (

1−

)(

)

−

(

+

+

(4.45)

Persamaan (4.43) diturunkan terhadap sehingga,

−2

= 1

+

2

+

−

+

2

−

untuk mendapatkan

̇∗

∗

̇ ∗( ) =

−

)

+

1 1 1+

2

+

+

(

+

2 2 2−

)

−

+

+ 2 2 1 1 1 1

3

+

(4.46)

1

Sedangkan ̇ ∗ ( ) diperoleh dengan cara menurunkan Persamaan (4.43) terhadap 2 ∗

̇ ∗( ) = =

−

+

−

1

−

2

+

−

−

+

+

(

) +

+

+

1 1 1+

2

+

+

+

2 2 2−

∗

)=

+

2

+

2 2 2 3

−

2 2

)= 2

)

1 1+ 2 2

Persamaan (4.43) diturunkan terhadap sehingga,

∗̇ (

(

+

3

∗̇ (

+

+

+

+

2

(4.47)

untuk mendapatkan

∗̇

69

1

−

+

2

1 1 1

+

2

+

+

2 2 2

−

1 1

+

2 2

3

− Persamaan (4.43) diturunkan terhadap sehingga,

(4.48) untuk mendapatkan

∗

̇∗ ( ) =

2

̇∗ (

∗̇

)=

2

+

+

2

+

2 2 2

1 1

+

2 2

3

−

+

(1 −

+

+

+

−

+

)

1

+

+

−

2

+

1 1 1

+

2

+

+

2 2 2

−

1 1

+

2 2

3

(1 −

)

−( +

(4.49)

)

Persamaan costate Untuk memperoleh ̇ ∗ ( ) dilakukan dengan caramenurunkan Persamaan (4.43) terhadap ∗

̇ ∗( ) = −

+2

̇ ∗( ) = − +(

−

−

)

−

)

−

1−

(−

+

(

+

)(−

−

−

)

(

+

+

(4.50)

)

70 Sedangkan ̇ ∗ ( ) diperoleh dengan cara menurunkan Persamaan (4.43) terhadap ∗

̇ ∗( ) = −

2

̇ ∗( ) = −

−2

1

2

+

1

−

+

2 1

+

2

−

−

2 1

(4.51)

1

2

Sedangkan 1̇ ∗ ( ) diperoleh dengan cara menurunkan Persamaan (4.43) terhadap ∗

̇ ∗( ) = − 1

1

= −1 − − +(

+ − −

(

2

+ −2

) (− 2 +2 (

) 1−

− −

+

+

−

)

− −

2 +

−2

+2 2 (2 +2

)(− +

−

−

+

−

−

+

−

) +

)

+

−

+

−

+

+

−

(1 −

)

(1 −

)

(4.52)

Sedangkan 2̇ ∗ ( ) diperoleh dengan cara menurunkan Persamaan (4.43) terhadap ̇ ∗( ) = −

∗

= −1 + (

−

)

71 (

1− +

)(−

+

−

)

−

− −

+

−

−

(1 −

+

+

)

+

+

+

+

−

+

−

+

+

(4.53)

+

̇∗

Sedangkan ( ) diperoleh dengan cara menurunkan Persamaan (4.43) terhadap ̇ ∗( ) = −

∗

=(

)

− ( 1−

+

)(−

−

−

)

(4.54) ∗ ̇ Sedangkan ( ) diperoleh dengan cara menurunkan Persamaan (4.43) terhadap +

̇ ∗( ) = − =

∗

+

(4.55)

4.3 Solusi Numerik Penyelesaian kendali optimal pada Tugas Akhir ini diselesaikan dengan penyelesaian numerik. Metode numerik yang digunakan adalah Runge-Kutta orde empat karena galat yang dihasilkan kecil. Metode Runge Kutta orde empat adalah satu dari metode yang banyak digunakan untuk menyelesaikan persamaan differensial. Metode Runge-Kutta orde empat digunakan untuk menyelesaikan Persamaan (2.1) sampai (2.6). Metode ini mempunyai suatu galat pemotongan ℎ, ℎ adalah langkah waktu

72 (step size). Persamaan state dan costate yang digunakan dalam metode ini adalah Persamaan state (4.44) sampai (4.49)danPersamaan costate (4.50) sampai (4.55). Karena pada persaman state diketahui nilai awal sedangkan pada persamaan costate diketahui nilai akhir maka untuk menyelesaikan persamaan state digunakan metode forward sweep karena nilai awal state diketahui, sedangkan costate diselesaikan dengan menggunakan metode backward sweep karena nilai akhir costate diketahui berdasarkan kondisi transversality. Sehingga metode yang digunakan adalah forward-backward sweep dimana solusi numerik yang digunakan adalaha Runge-Kutta orde empat. Berikut langkah-langkah metode forward-backward sweep, 1. Langkah 1 Inisialisasi nilai , , , , , , , , , , , , , dalam bentuk vektor nol dengan sebanyak elemen. 2. Langkah 2 Mengganti nilai (0) = 0, (0) = 0, (0) = 0, (0) = 0, (0) = 0, (0) = 0, (0) = 0, (0) = 0, (0) = 0, (t ) = 0, (t ) = 0, (t ) = 0, (t ) = 0, (t ) = 0 dan (t ) = 0. 3. Langkah 3 Menghitung (− + )( ) + + = 0, 1, =

0,

1,

dan

73

⎧ ⎪ 0, ⎨ ⎪ ⎩

=

−

⎧ ⎪ 1, ⎨ ⎪ ⎩

+

+

−

(−

−

+ )

⎬⎬ ⎪⎪ ⎭⎭

4. Langkah 4 Persamaan state diselesaikan secara forward sweep. Integrasi numerik dari persamaan state (Persamaan (4.44) sampai (4.49)) dengan menggunakan Runge-Kutta orde empat dapat dinyatakan sebagai berikut: 1 = + , +2 , +2 , + , 6 1 = + , +2 , +2 , + , 6 1 = + , +2 , +2 , + , 6 1 = + , +2 , +2 , + , 6 1 = + , +2 , +2 , + , 6 1 = + , +2 , +2 , + , 6 dengan, , , , , , , , , ) , =ℎ ( ,

=ℎ +

,

+ ,

2 ,

=ℎ +

,

,

2

,

2

,

2 +

+ ,

)

,

,

,

+

+

+⎫⎫ ⎪⎪

2

,

,

+ ,

2

,

,

2

, ,

+ ,

2 +

2

,

+

,

+

,

2

,

, ,

2

,

2

,

74 , ,

=ℎ +

)

, +

,

,

,

,

,

+

+ ,

,

,

+

, ,

,

+

,

,

)

,

, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , dan , didapatkan dengan cara yang sama. 5. Langkah 5 Persamaan costate(Persamaan (4.50) sampai (4.55)) diselesaikan secara backward sweep. Integrasi numerik dari persamaan costate dengan menggunakna Runge-Kutta orde empat dapat dinyatakan sebagai berikut: 1 = − ( , +2 , +2 , + , ) 6 1 = − ( , +2 , +2 , + , ) 6 1 = − ( , +2 , +2 , + , ) 6 1 = − +2 , +2 , + , , 6 1 = − ( , +2 , +2 , + , ) 6 1 = − ( , +2 , +2 , + , ) 6 dengan, =ℎ ( , , , , , , , , , , , , , , , ) ,

,

=ℎ ( −

− ,

2

,

,

2

, −

− ,

2

,

,

2

, −

,

2

,

75 ,

− =ℎ (

,

−

,

2

=ℎ ( −

,

,

, ,

, ,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

, , −

,

,

,

−

,

,

)

,

,

)

,

2

,

, − , , ,

,

,

,

,

,

,

, ,

, ,

,

− ,

,

, , ,

,

2

,

2

,

,

−

−

2 − ,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

, , ,

, ,

,

,

) ,

,

, , , , diperoleh dengan cara yang sama. , Pada simulasi ini digunakan nilai input parameter seperti pada Tabel 4.1. ,

,

,

,

,

2

,

− untuk , , , ,

, ,

−

− ,

,

2

,

4.4 Analisa Hasil Simulasi Pada subbab ini akan dilakukan analisis dari hasil simulasi, dengan menggunakan nilai parameter diatas. Simulasi yang dilakukan meliputi simulasi populasi individu rentan dengan dan tanpa kontrol, populasi individu teridentifikasi virus Ebola dengan dan tanpa kontrol, populasi individu terinfeksi pada tahap pertama dengan dan tanpa kontrol, populasi individu terinfeksi pada tahap kedua dengan dan tanpa kontrol, populasi individu meninggal hingga dikubur dengan dan tanpa kontrol, populasi individu sembuh/recovery dengan dan tanpa kontrol. Dengan menggunakan parameter pada Tabel 4.1 dan dengan populasi total sebesar 10590 orang.

76

12000 tanpa kendali dengan kendali 10000

Individu Rentan

8000

6000

4000

2000

0

0

5

10

15

Time (t)

Gambar 4.1 Individu Rentan tanpa kendali dengan kendali

350

300

Individu Rentan

250

200

150

100

50

0

0

0.05

0.1

0.15

0.2 0.25 Time (t)

0.3

0.35

0.4

0.45

Gambar 4.2 Individu Rentan dengan kendali (Perbesar)

Dari Gambar 4.1 dapat diamati populasi individu rentan saat tidak menggunakan kendali dari hari pertama hingga hari ke14 tidak mengalami penurunan, tetapi pada hari ke-15 populasi individu mengalami penurunan sebesar 0.68% Sedangkan saat

77 menggunakan kendali populasi individu rentan mengalami penurunan yang signifikan hal ini dikarenakan adanya kendali yang merepresentasikan fasilitas untuk menjaga jarak agar individu rentan tidak melakukan kontak dengan individu terinfeksi, pengobatan/treatment untuk individu yang teridentifikasi terjangkit virus Ebola, dan pengobatan/treatment monitoring individu terinfeksi pada tahap pertama dan individu terinfeksi pada tahap kedua.

12000 tanpa kendali dengan kendali

Individu Teridentifikasi Penyakit

10000

8000

6000

4000

2000

0

0

5

10

15

Time (t)

Gambar 4.3 Individu Sudah Teridentifikasi Penyakit Virus Ebola

Gambar 4.3 dapat diamati populasi individu teridentifikasi penyakit saat tidak menggunakan kendali individu mengalami kenaikan sebesar 0.13%. Jumlah populasi individu teridentifikasi penyakit mengalami peningkatan disebabkan karena tidak adanya fasilitas untuk menjaga jarak agar individu rentan tidak melakukan kontak dengan individu terinfeksi. Sedangkan pada saat mendapatkan kendali individu teridentifikasi

78 penyakit mengalami penurunan, tetapi pada saat hari ke 15 individu teridentifikasi penyakit mengalami peningkatan sebesar 0.31%. Kendali yang diberikan adalah kendali yang merepresentasikan fasilitas untuk menjaga jarak agar individu rentan tidak melakukan kontak dengan individu terinfeksi. Selain itu, kendali yang merepresentasikan pengobatan/treatment untuk individu yang teridentifikasi penyakit virus Ebola, dan yang terakhir adalah pengobatan/treatment monitoring individu terinfeksi pada tahap pertama dan individu terinfeksi pada tahap kedua. 300

Individu Terinfeksi Pada Tahap Pertama

tanpa kendali dengan kendali 250

200

150

100

50

0

0

5

10

15

Time (t)

Gambar 4.4Individu Terifeksi Penyakit Virus Ebola Pada Tahap Pertama

Pada gambar diatas dapat diamati populasi individu terinfeksi pada tahap pertama saat tidak menggunakan kendali individu terinfeksi pada tahap pertama tidak mengalami penurunan yang signifikan yaitu sebesar 0.0056%. Sedangkan pada saat dengan kendali individu terinfeksi pada tahap pertama

79

Individu Teridentifikasi Pada Tahap Kedua/Super Infeksi

mengalami kenaikan sebesar 0.024% lalu mengalami penurunan sebesar 0.0009442871%. Hal ini dikarenakan adanya jumlah individu terinfeksi pada tahap pertama mendapatkan kendali yang merepresentasikan pengobatan/treatment dan monitoring individu pada tingkat pertama dan tingkat kedua. 300 tanpa kendali dengan kendali 250

200

150

100

50

0

0

5

10

15

Time (t)

Gambar 4.5 Individu Terifeksi Penyakit Virus Ebola Pada Tahap Kedua/Super Infeksi

Pada Gambar 4.5 dapat diamati populasi individu terinfeksi pada tahap kedua saat tidak menggunakan kendali individu terinfeksi pada tahap pertama tidak mengalami penurunan yang signifikan yaitu sebesar 0.0037%. Sedangkan pada saat dengan kendali individu terinfeksi pada tahap kedua mengalami kenaikan sebesar 0.025% lalu mengalami penurunan hingga 0.00095%. Hal ini dikarenakan adanya jumlah individu terinfeksi pada tahap kedua mendapatkan kendali yang

80 merepresentasikan pengobatan/treatment dan monitoring individu pada tingkat pertama dan tingkat kedua 180 tanpa kendali dengan kendali

160

Individu Meninggal

140 120 100 80 60 40 20 0

0

5

10

15

Time (t)

Gambar 4.6 Individu Meninggal Hingga Dikubur

Pada gambar 4.6 diatas dapat diamati populasi individu meninggal saat tidak menggunakan kendali populasi individu meninggal mengalami kenaikan 0.017%, menurun pada hari ke-7 sebesar 0.00094%. Sedangkan pada saat dengan kendali individu meninggal mengalami penurunan sebesar 0.00047% orang pada hari ke-2.

81


Individu Sembuh

200

150

100

50

0

0

5

10

15

Time (t)

Gambar 4.7 Individu Sembuh/Recovery

Pada Gambar 4.7 populasi individu sembuh saat tidak menggunakan kendali populasi individu sembuh mengalami penurunan pada hari ke-3 sebesar 0.00047%. Pada saat dengan kendali populasi individu mengalami peningkatan hingga 0.023%, secara perlahan mengalami penurunan populasi karena adanya kematian alami.

82

1 u1 0.9 0.8 0.7

0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

0

5

10

15

Time (t)

Gambar 4.8 Kontrol 1 u2 0.9 0.8 0.7 0.6 Kontrol

Kontrol

0.6

0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

0

5

10 Time (t)

Gambar 4.9 Kontrol

15

83

1 u3 0.9 0.8 0.7

Kontrol

0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

0

5

10

15

Time (t)

Gambar 4.10 Kontrol

Pada Gambar 4.8 merupakan grafik kendali yang merepresentasikan fasilitas untuk menjaga jarak agar individu rentan tidak melakukan kontak dengan individu terinfeksi. Saat kendali berada pada kondisi awal mencapai kondisi maksimum atau satu , kemudian kondisi kendali mengalami penurunankenaikan terus,dan mengalami penurunan sebesar 0.001. sedangkan pada Gambar 4.9 adalah grafik kendali yang merepresentasikan pengobatan/treatment untuk individu yang teridentifikasi terjangkit virus Ebola pada kondisi awal mencapai maksimum yaitu satu, kendali tersebut mengalami penurunan dan kenaikan. Pada hari ke-15 kendali mengalami penurunan di nol. Pada Gambar 4.10 dapat diamati bahwa grafik kendali yang merepresentasikan treatment/pengobatan dan monitoring individu pada tingkat pertama dan individu terinfeksi pada tingkat kedua. Pada kondisi awal kendali bernilai satu kemudian mengalami penaikan dan penurunan, kemudian mengalami penurunan hingga bernilai nol.

84 Pada simulasi dibawah ini populasi total individu sebesar 10530. Populasi yang diamati antara lain individu rentan, individu teridentifikasi penyakit virus Ebola, individu terinfeksi pada tahap pertama, individu terinfeksi pada tahap kedua, individu meninggal hingga dikubur, dan individu sembuh. 12000 tanpa kendali dengan kendali 10000

Individu Rentan

8000

6000

4000

2000

0

0

5

10 Time (t)

Gambar 4.11 Individu Rentan

15

85

tanpa kendali dengan kendali

350

300

Individu Rentan

250

200

150

100

50

0

0

0.05

0.1

0.15

0.2 0.25 Time (t)

0.3

0.35

0.4

0.45

Gambar 4.12 Individu Rentan dengan kendali (Perbesar)

Dari Gambar 4.12 dapat diamati populasi individu rentan saat tidak menggunakan kendali dari hari pertama hingga hari ke14 tidak mengalami penurunan, tetapi pada hari ke-15 populasi individu mengalami penurunan sebesar 0.68% Sedangkan saat menggunakan kendali populasi individu rentan dengan kondisi awal yang sama yaitu 0.944% mengalami penurunan yang signifikan hal ini dikarenakan adanya kendali yang merepresentasikan fasilitas untuk menjaga jarak agar individu rentan tidak melakukan kontak dengan individu terinfeksi, pengobatan/treatment untuk individu yang teridentifikasi terjangkit virus Ebola, dan pengobatan/treatment monitoring individu terinfeksi pada tahap pertama dan individu terinfeksi pada tahap kedua.

86


Individu Teridentifikasi Penyakit

10000

8000

6000

4000

2000

0

0

5

10

15

Time (t)

Gambar 4.13 Individu Sudah Teridentifikasi Penyakit Virus Ebola

Gambar 4.13 dapat diamati populasi individu teridentifikasi penyakit pada kondisi awal sebesar 400 orang. Saat tidak menggunakan kendali individu mengalami kenaikan sebesar 0.13%. Jumlah populasi individu teridentifikasi penyakit mengalami peningkatan disebabkan karena tidak adanya fasilitas untuk menjaga jarak agar individu rentan tidak melakukan kontak dengan individu terinfeksi. Sedangkan pada saat mendapatkan kendali individu teridentifikasi penyakit mengalami penurunan, tetapi pada saat hari ke 15 individu teridentifikasi penyakit mengalami peningkatan sebesar 0.310%. Kendali yang diberikan adalah kendali yang merepresentasikan fasilitas untuk menjaga jarak agar individu rentan tidak melakukan kontak dengan individu terinfeksi. Selain itu, kendali yang merepresentasikan pengobatan/treatment untuk individu yang teridentifikasi penyakit virus Ebola, dan yang terakhir adalah pengobatan/treatment

87 monitoring individu terinfeksi pada tahap pertama dan individu terinfeksi pada tahap kedua. 300

Individu Terinfeksi Pada Tahap Pertama

tanpa kendali dengan kendali 250

200

150

100

50

0

0

5

10

15

Time (t)

Gambar 4.14 Individu Terifeksi Penyakit Virus Ebola Pada Tahap Pertama

Pada gambar diatas dapat diamati populasi individu terinfeksi pada tahap pertama saat tidak menggunakan kendali individu terinfeksi pada tahap pertama tidak mengalami penurunan yang signifikan yaitu sebesar 0.0056%. Sedangkan pada saat dengan kendali individu terinfeksi pada tahap pertama kenaikan sebesar 0.024% lalu mengalami penurunan hingga 0.00094%. Hal ini dikarenakan adanya jumlah individu terinfeksi pada tahap pertama mendapatkan kendali yang merepresentasikan pengobatan/treatment dan monitoring individu pada tingkat pertama dan tingkat kedua.

Individu Teridentifikasi Pada Tahap Kedua/Super Infeksi

88

300 tanpa kendali dengan kendali 250

200

150

100

50

0

0

5

10

15

Time (t)

Gambar 4.15 Individu Terifeksi Penyakit Virus Ebola Pada Tahap Kedua/Super Infeksi

Pada Gambar 4.15 dapat diamati populasi individu terinfeksi pada tahap kedua pada kondisi awal sebesar 0 orang. Saat tidak menggunakan kendali individu terinfeksi pada tahap pertama tidak mengalami penurunan yang signifikan yaitu sebesar 0.0037%. Sedangkan pada saat dengan kendali individu terinfeksi pada tahap kedua tidak ada kemudian mengalami kenaikan sebesar 0.025% lalu mengalami penurunan 0.0009% Hal ini dikarenakan adanya individu tingkat pertama yang mendapatkan kendali pengobatan dan monitoring dan dipenngaruhi fraksi waktu individu terinfeksi. Namun akan berkurang karena adanya kematian alami.

89


140

Individu Meninggal

120 100 80 60 40 20 0

0

5

10

15

Time (t)

Gambar 4.16 Individu Meninggal Hingga Dikubur

Pada gambar 4.6 diatas dapat diamati populasi individu meninggal saat tidak menggunakan kendali populasi individu meninggal mengalami kenaikan 0.0145%, menurun pada hari ke-7 sebesar 0.0003%. Sedangkan pada saat dengan kendali individu meninggal mengalami penurunan sebesar 0.00047% pada hari ke-2.

90


Individu Sembuh

200

150

100

50

0

0

5

10

15

Time (t)

Gambar 4.17 Individu Sembuh/Recovery

Pada Gambar 4.17 populasi individu sembuh pada saat tidak menggunakan kendali populasi individu sembuh mengalami penurunan pada hari ke-3 sebesar 0.00019% . Pada saat dengan kendali populasi individu mengalami peningkatan 0.022%, secara perlahan mengalami penurunan populasi karena adanya kematian alami.

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN Bab ini membahas mengenai kesimpulan dari hasil pembahasan pada bab sebelumnya, serta saran yang diberikan jika penelitian ini ingin dikembangkan. 5.1 Kesimpulan Dari analisis dan pembahasan pada bab sebelumnya, maka dapat diambuil kesimpulan sebagai berikut : 1. Sistem pada model dinamik penyakit virus Ebola bersifat stabil, terkontrol, dan tidak teramati sehingga sistem tersebut dapat terapkan kendali optimal.

2. Kendali optimal yang diperoleh pada upaya meminimalkan individu terinfeksi, dengan menerapkan teori kendali menggunakan Prinsip Minimum Pontryagin, maka diperoleh pengendali optimal berupa yang yang merepresentasikan fasilitas untuk menjaga jarak agar individu rentan tidak melakukan kontak dengan individu terinfeksi termasuk kampanye dan edukasi publik, kontrol yang merepresentasikan treatment/pengobatan untuk individu yang sudah diidentifikasi terjangkit penyakit virus Ebola, dan kontrol yang merepresentasikan treatment/pengobatan dan monitoring individu pada tingkat pertama ( dan tingkat kedua/ super infeksi ( .

3. Berdasarkan hasil simulasi,individu terinfeksi pada saat dengan kendali mengalami penurunan sebesar 0.00094%

5.2 Saran Adapun saran dari Tugas Akhir ini adalah : 1. Pada penelitian selanjutnya dapat dikembangkan dengan menggunakan metode lain dalam penyelesaian kendali optimalnya.

89

90 2. Dapat dikembangkan dengan menggunakan model yang berbeda.

DAFTAR PUSTAKA

[1] Emiliani, C. 1993. “Extinction and viruses”. Biosystems no. 31: 155-159. [2] Dinkes Jatim. (8 September 2016). “ Penyakit Penyakit virus Ebola”. http://dinkes.jatimprov.go.id/userimage/Ebola.pdf [3] Direktur Jenderal PP dan Pl. (2015) “Pedoman Kesiapsiagaan Menghadapi Penyakit Penyakit virus Ebola”. Jakarta [4] Bonyah, E., Badn K., Asiedu-Addo S.K. (2016). “Optimal Control Application To An Ebola Model”. Jurnal Asian Pacific Jurnal of Tropical Biomedicine. Hal. 283-289 [5] Purwati, E. (2015). “Model Matematika SusceptibleInfected-Recovery-Deaths (SIRD) Pada Penyebaran Penyakit virus Ebola”. Tugas Akhir S1Jurusan Matematika UIN Sunan Kalijaga. Yogyakarta [6] Chowell, Gerardo., Nishiura Hiroshi. (2014). “Transmission Dynamics and Control Of Ebola Virus Disease (EVD)”. Jurnal Medicine For Global Health, 12:196. Hal. 1741-7015. [7] Naidu, S. D. (2002). “Optimal Control System”. USA : CRC Press LLC. [8] Rencana Kontijensi dan Respon Pandemi-Tim Manajemen Operasi Satuan Tugas Pandemi PBB di Indonesia. (7September 2016). “Penyakit Penyakit virus Ebola”. http://www.searo.who.int/indonesia/areas/surveillance/a boutebolavirusdisease_v19112014_bahasaindonesia.pdf [9] Perko, Lawrence. 2001. “Differential Equations and Dynamical Systems”. USA : Department of Mathematics Northern Arizona University. 91

92 [10] Subiono. 2013. Sistem Linier dan Kendali Optimal. Versi 2.2.1. Surabaya: Jurusan Matematika FMIPA, ITS.

93 LAMPIRAN 1 PENDIFERENSIAL SISTEM (2.1)-(2.6) 1.

( ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅)

( (

(

2.

( ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅)

4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13.

)(

(

)(

(

( ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅) ( ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅) ( ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅)

( ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅) ( ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅) ( ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅) ( ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅)

(

)

)

) )(

( ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅)

( ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅)

)

) (

( ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅)

( ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅)

)

) (

(

3.

)(

)

)

94 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24.

25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32.

( ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅) ( ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅) ( ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅) ( ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅) ( ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅)

(

)

( ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅) ( ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅) ( ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅) ( ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅)

(

)

( ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅) ( ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅) ( ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅) ( ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅) ( ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅) ( ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅) ( ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅) ( ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅) ( ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅) ( ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅)

(

)

95 33. 34. 35. 36.

( ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅) ( ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅) ( ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅) ( ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅)

= (

)

96

97 LAMPIRAN 2 PERSAMAAN KARAKTERISTIK (

)

( ) (

) (

) (

) ( )= 0

98

99 LAMPIRAN 3 PENDIFERENSIALAN TERHADAP KENDALI ( ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅)

1.

(

)(

(

)

)(

)

( (

(

2.

( ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅)

) ) (

(

)(

)(

)

(

)( (

3. 4. 5.

6.

7.

)

) ) (

( ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅)

(

)(

)

)

( ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅)

(

)

( ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅)

( ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅)

( ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅)

(

)

(

(

)(

)

)

(

(

(

)

)

(

)

)

)

100

8.

( ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅)

(

)(

)

( 9. 10. 11.

12. 13. 14. 15. 16. 17. 18.

( ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅)

(

)

) (

)

( ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅)

(

)

( ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅)

( ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅)

(

( ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅)

( ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅)

)

(

(

(

)(

)

)

)(

( ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅)

(

)

)

(

(

)

)

( ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅)

(

)

( ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅)

( ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅)

(

(

)

(

)

)

(

(

)

)

BIODATA PENULIS Penulis yang mempunyai nama lengkap Fitria Fatimia Ayuni lahir di Surabaya. Pada tanggal 23 November 1993. Penulis merupakan anak kedua dari tiga bersaudara, dari Bapak Syamsul Hadi dan Ibu Nur Aini Sofwana. Penulis telah menempuh pendidikan formal dari SD Negeri Pucang 2 Sidoarjo, SMP Negeri 1 Candi-Sidoarjo dan SMA IPIEMS Surabaya. Setelah menamatkan jenjang formal, penulis melanjutkan studi S1 di Jurusan Matematika ITS dengan melalui jalur SBMPTN dengan NRP 1212 100 053 dan selama kuliah penulis mengambil bidang minat Terapan. Pada waktu kuliah penulis juga pernah aktif dalam Himpunan Mahasiswa Matematika sebagai anggota SC Desa Binaan HIMATIKA (DENAH) Departemen SOSMAS 2013/2014 dan SC Desa Binaan HIMATIKA (DENAH) Departemen PENGMAS 2014/2015.

101

KONTROL OPTIMAL DAN ANALISIS MODEL DINAMIK VIRUS EBOLA MENGGUNAKAN METODE PRINSIP MINIMUM PONTRYAGIN

Recommend Documents