Waktu Optimal Dalam Diversifikasi Produksi Sumber Energi Terbarukan dan Tidak Terbarukan dengan Menggunakan Prinsip Minimum Pontryagin

JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 2, No.1, (2013) 2337-3520 (2301-928X Print)

1

Waktu Optimal Dalam Diversifikasi Produksi Sumber Energi Terbarukan dan Tidak Terbarukan dengan Menggunakan Prinsip Minimum Pontryagin Misbahur Khoir, Subchan,

Jurusan Matematika, Fakultas MIPA , Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya 60111 Indonesia e-mail: [email protected] Abstrak: Konsumsi energi di Indonesia terus meningkat karena pertambahan penduduk, pertumbuhan ekonomi dan pola konsumsi energi. Untuk mengatasi permasalahan tersebut, diperlukan adanya pengendalian terhadap tingkat produksi sumber energi. Pada tugas akhir ini, diterapkan teori kendali optimal dalam produksi sumber energi terbarukan dan tidak terbarukan menggunakan metode Prinsip Minimum Pontryagin. model yang digunakan adalah model Lotka-Volterra dengan menginterpretasikan dinamika tingkat produksi sumber energy terbarukan dan tidak terbarukan masing masing 50%. Dalam tugas akhir ini didapatkan waktu yang optimal sebesar 17.69 tahun, untuk mencapai target produksi sumber energi terbarukan dan tidak terbarukan, selain itu juga ditunjukan laju peningkatan produksi sumber energi terbarukan dan laju penurunan produksi sumber energi tidak terbarukan. Kata kunci – Waktu Optimal, PMP (Prinsip Minimum Pontryagin), Sumber Energi I. PENDAHULUAN

K

EBUTUHAN energi di Indonesia terus meningkat karena pertambahan penduduk, pertumbuhan ekonomi dan pola konsumsi energi itu sendiri yang senantiasa meningkat. Sedangkan energy fosil yang selama ini merupakan sumber energi utama ketersediaannya sangat terbatas dan terus menipis. Hal ini menyebabkan kebutuhan dan konsumsi terhadap energi semakin hari semakin tinggi seiring dengan meningkatnya pertumbuhan penduduk setiap tahunnya. Di tengah kekayaan sumberdaya energi yang dimiliki, Indonesia masih sangat menggantungkan konsumsi pada energy yang tidak terbarukan, yang suatu saat akan habis karna terus digunakan, karena memang Energi memiliki peranan yang sangat besar dalam keseharian manusia. Hal ini menyebabkan kebutuhan dan konsumsi terhadap energi semakin hari semakin tinggi seiring dengan meningkatnya pertumbuhan penduduk setiap tahunnya Menurut para ahli minyak bumi, gas alam, dan batu bara yang dikatakan sebagai bahan bakar fosil diperkirakan akan habis 30 tahun lagi, bahan bakar gas habis dalam kurun waktu 70-80 tahun, dan bahan bakar padat 120 tahun lagi. Sehingga diperlukan penghematan untuk bahan bakar fosil. Selain itu produksi minyak bumi

terus nerkurang dan konsumsi (BBM) semakin meningkat melebihi di tingkat produksinya. Saat ini kebutuhan BBM kita mencapai 1.3 barel/hari, sementara produksi minyak yang didapat pemerintah hanya 540.000 barel/hari, itu pun tidak semua diolah menjadi BBM. Oleh karena itu pemerintah harus mengimpor minyak dalam bentuk BBM sebesar 500.00 barel/hari, Oleh sebab itu, untuk mengatasi permasalahan tersebut diperlukan adanya solusi yang tepat. Berdasarkan Kebijakan Umum Bidang Energi (KUBE) dari Departemen Pertambangan dan Energi Indonesia, minyak bumi dan gas alam yang tidak terbarukan (non renewable) serta cadangan di dalam bumi diperkirakan akan menurun, sehingga pemerintah harus berusaha menggalakkan usaha-usaha penghematan energi dan pengembangan sumber energi terbarukan untuk memenuhi kebutuhan energi. Indonesia mempunyai potensi sumber energi terbarukan yang sangat besar, sehingga sangat tepat jika sumber energi terbarukan dikembangkan di Indonesia. Namun pemanfaatan energi pada tahun 2012 masih relatif kecil dibandingkan dengan sumber-sumber energi berbasis fosil. Pemanfaatan energi terbarukan hanya 4,4%, batu bara 30,7%, minyak bumi 43,9%, dan gas bumi 21%. Hal ini disebabkan pengembangan energi terbarukan memerlukan biaya yang tinggi dengan teknologi yang tinggi pula, sehingga untuk memenuhi kebutuhan energi yang semakin hari semakin meningkat diperlukan adanya kebijakan untuk mengombinasikan penggunaan sumber energi terbarukan dan tidak terbarukan dengan cara memproduksi kedua sumber energi tersebut secara optimal agar biaya produksi dapat minimalkan. Melalui Peraturan Presiden Nomor 05 tahun 2006 tentang Kebijakan Energi Nasional (KEN) telah menetapkan target pemanfaatan energi baru dan terbarukan (EBT) sebesar 17% dari total Bauran Energi Nasional (BEN) pada tahun 2025 [4]. Pada paper ini akan di bahas masalah kendali optimal dalam produksi energy terbarukan dan tidak terbarukan, tujuanya adalah untuk mengetahui waktu yang optimal dalam produksi kedua sumber energy tersebut. Pembahasan ini dimulai dari menjelaskan model produksi kedua sumber energy tersebut dan langkah langkah penyelesaiannya dengan menggunakan prinsip minimum pontryagin.

JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 2, No.1, (2013) 2337-3520 (2301-928X Print) II. MODEL SISTEM DINAMIK TINGKAT PRODUKSI SUMBER ENERGI TERBARUKAN DAN TIDAK TERBARUKAN Sistem dinamik dari permasalahan energi terbarukan dan tidak terbarukan merupakan model matematika yang berdasarkan pada model Lotka-Volterra. Model Lotka-Volterra diperkenalkan oleh Alfred Lotka dan Vito Volterra. Model ini merupakan model sederhana yang mendeskripsikan interaksi antar dua spesies dari suatu sumber populasi [5]. Dalam permasalahan energi, interaksi yang terjadi melibatkan dua sumber energi, yaitu terbarukan dan tidak terbarukan. Bentuk model tersebut dinyatakan dalam bentuk persamaan diferensial tak linier. Adapun model matematika dari sistem dinamik sumber energi terbarukan dan tidak terbarukan adalah sebagai berikut [1]: 𝑑𝑥1 𝑥̇1 = = 𝛼1 𝑥1 − 𝛽1 𝑥1 𝑥2 (1) 𝑑𝑡 𝑑𝑥2 𝑥̇ 2 = = 𝛼2 𝑥2 − 𝛽2 𝑥1 𝑥2 (2) 𝑑𝑡 selama jangka waktu 𝐼 = [𝑡0 , 𝑡𝑓 ]. Untuk suatu 𝑡 𝜖 𝐼 dan batas : 𝑥1 (𝑡0 ) = 0.05 𝑥2 (𝑡0 ) = 0.95 𝑥1 (𝑡𝑓 ) = 0.5 𝑥2 (𝑡𝑓 ) = 0.5 dengan: 𝑥1 (𝑡) : tingkat kapasitas produksi sumber energy terbarukan pada waktu t. 𝑥2 (𝑡) : tingkat kapasitas produksi sumber energi tidak terbarukan pada waktu t. 𝛼1 : persentase tingkat pertumbuhan dalam produksi sumber energi terbarukan 𝛼2 : persentase tingkat pertumbuhan dalam produksi sumber energi tidak terbarukan.. 𝛽1 : konstanta positif yang merepresentasikan dampak yang berpengaruh pada produksi energi terbarukan akibat adanya persaingan dengan tingkat produksi sumber energi tidak terbarukan. 𝛽2 : konstanta positif yang merepresentasikan dampak yang berpengaruh pada produksi energi tidak terbarukan akibat adanya persaingan dengan tingkat produksi sumber energi terbarukan. Dari model sistem dinamik pada persamaan (1) dan (2), terlihat bahwa laju perubahan tingkat produksi sumber energi terbarukan dan tidak terbarukan dipengaruhi oleh besar kecilnya persentase tingkat pertumbuhan produksi sumber energi masing-masing dan dipengaruhi oleh adanya faktor persaingan antara kedua sumber energi tersebut sehingga menyebabkan pengurangan pada produksi sumber energi. Dalam permasalahan ini, diasumsikan bahwa persentase dari tingkat pertumbuhan dalam produksi sumber energi dapat berubah-ubah pada waktu t, sehingga 𝛼1 dan 𝛼2 dinyatakan sebagai fungsi waktu yaitu 𝛼1 (𝑡) dan 𝛼2 (𝑡). Semakin besar nilai 𝛼1 (𝑡), maka semakin besar laju perubahan tingkat produksi sumber energi terbarukan. Begitu pula sebaliknya, semakin kecil 𝛼1 (𝑡) maka semakin kecil laju perubahan produksi sumber energi terbarukan. Disisi lain, semakin besar 𝛼2 (𝑡), semakin besar pula laju perubahan produksi sumber energi tidak terbarukan. Sebaliknya, semakin

2

kecil 𝛼2 (𝑡) maka semakin kecil laju perubahan produksi sumber energi tidak terbarukan. Oleh sebab itu, dalam mengendalikan tingkat produksi sumber energi terbarukan dan tidak terbarukan, 𝛼1 (𝑡) dan 𝛼2 (𝑡) diasumsikan sebagai variabel pengendali 𝑢1 (𝑡) dan 𝑢2 (𝑡) dimana 𝛼1 (𝑡) = 𝑢1 (𝑡) dan 𝛼2 (𝑡) = 𝑢2 (𝑡) pada interval 𝐼 = [𝑡0 , 𝑡𝑓 ]. III. MEMINIMUMKAN BIAYA IMPLEMEMTASI DENGAN ADANYA TINGKAT PROUKSI Permasalahan ini bertujuan untuk mendapatkan pengendali optimal yang dapat meminimumkan biaya implementasi dengan adanya tingkat produksi di waktu akhir, dalam menyelesaikan permasalahan ini akan dilakukan beberapa langkah. A. Formula Kendali Optimal Dalam permasalahan produksi energi ini, tujuan yang hendak dicapai adalah untuk mendapatkan waktu yang optimal dalam produksi sumber energy terbarukan dan tidak terbarukan sehingga dapat meminimumkan biaya implementasi dengan target produksi yang sudah ditentukan Adapun fungsi tujuan dalam permasalahan energi ini dinyatakan kedalam model matematika sebagai berikut [1]: 𝑡𝑓

𝐽(𝑢) =

1 ∫ {𝑞1 𝑢12 + 𝑞2 𝑢22 } 𝑑𝑡 2 𝑡0

menunjukkan fungsi biaya yang berhubungan dengan usaha pengembangan produksi energi. Parameter 𝑞1 dan 𝑞2 masingmasing merupakan bobot untuk usaha pengembangan energi dalam hal investasi modal, pemeliharaan, dan biaya infrastruktur untuk sumber energy terbarukan dan tidak terbarukan. dimana bobot parameter tersebut di dapatkan dari penelitian yang sudah disesuaikandengan kondisi pengembangan, pemeliharaan dan biaya infrastruktur pada zaman tersebut. B. Penyelesaian Kendali Optimal Dalam penyelesaian ini, langkah pertama adalah mencari fungsi Hamiltonian, dengan: ℋ = ℋ(x(t), u(t), λ(t), t) = 𝑣(𝑥(𝑡), 𝑢(𝑡), 𝑡) + 𝜆′ (𝑡)𝑓(𝑥), 𝑢(𝑡), 𝑡) 1 1 𝑞1 𝑢12 (𝑡) + 𝑞2 𝑢22 (𝑡) 2 2 +𝜆1 (𝑡)𝑢1 (𝑡)𝑥1 (𝑡) − 𝛽1 𝜆1 (𝑡)𝑥1 (𝑡)𝑥2 (𝑡)

ℋ=

+𝜆2 (𝑡)𝑢2 (𝑡)𝑥2 (𝑡) − 𝛽2 𝜆2 (𝑡)𝑥1 (𝑡)𝑥2 (𝑡) (3) Kemudian langkah selanjutnya adalah mendapatkan u* dengan cara menurunkan fungsi Hamiltonian (3) terhadap u, didapatkan: 𝜆1 (𝑡)𝑥1 (𝑡) 𝑢1 (𝑡) = − (4) 𝑞1 𝑢2 (𝑡) = −

𝜆2 (𝑡)𝑥2 (𝑡) 𝑞2

(5)

JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 2, No.1, (2013) 2337-3520 (2301-928X Print) Karena kendali berada pada interval [-1,1] maka u* yang diperolah juga berada pada interval tersebut dan turunan kedua dari fungsi Hamiltonian tersebut adalah positif, yaitu: 𝜕ℋ 𝜕ℋ = 𝑞1 > 0 𝑑𝑎𝑛 = 𝑞2 > 0 𝜕𝑢1 𝜕𝑢2 Menunjukan bahwa ℋ mempunyai nilai minimum. Langkah selanjutnya adalah subtitusi nilai u* kedalam fungsi ℋ untuk mendapatkan ℋ ∗ atau ℋ yang optimal, yaitu: ℋ∗ = −

𝜆1 (𝑡)𝑥12 (𝑡) − 𝛽1 𝜆1 (𝑡)𝑥1 (𝑡)𝑥2 (𝑡) 2𝑞1

𝜆2 (𝑡)𝑥22 (𝑡) − 𝛽2 𝜆2 (𝑡)𝑥1 (𝑡)𝑥2 (𝑡) (6) 2𝑞2 Selanjutnya hasil dari ℋ ∗ digunkan untuk mendapatkan state dan co-state yaitu:

𝑥1 (𝑡𝑓 ) = 0.5 𝑥2 (𝑡𝑓 ) = 0.5 Akan tetapi sebelum dilakukan simulasi, fungsi objektif akan ditransformasikan. untuk menjadikan tf sebagai sebuah parameter dengan mengambil: 𝑧1 = 𝑡𝑓 − 𝑡0 untuk 𝑡0 = 0 maka didapatkan 𝑧1 = 𝑡𝑓 setelah itu dilakukan transformasi dengan menggunakan 𝑡 = 𝑠𝑧1 − 𝑡0 [6]. kemudian kedua ruas diturunkan, didapat 𝑑𝑡 = 𝑧1 𝑑𝑠 sehingga didapatkan fungsi tujuan sebagai berikut: 𝑡𝑓

−

𝑥1̇ (𝑡) =

𝜕ℋ ∗ 𝜆1 (𝑡)𝑥12 (𝑡) =− − 𝛽1 𝑥1 (𝑡)𝑥2 (𝑡) 𝜕𝜆1 (𝑡) 𝑞1

(7)

𝑥2̇ (𝑡) =

𝜕ℋ ∗ 𝜆2 (𝑡)𝑥22 (𝑡) =− − 𝛽2 𝑥1 (𝑡)𝑥2 (𝑡) 𝜕𝜆2 (𝑡) 𝑞2

(8)

3

𝐽(𝑢) =

1 𝑧(1) ∫ {𝑞1 𝑢12 + 𝑞2 𝑢22 } 𝑑𝑠 2 𝑡0

Simulasi pertama yang dilakukan adalah ketika pengendali untuk tingkat produksi sumber energi terbarukan (𝑢1 (𝑡)) dan tidak terbarukan (𝑢2 (𝑡)) bernilai nol. Artinya tidak ada pengendalian terhadap produksi sumber energi. Kemudian simulasi yang kedua adalah dengan adanya pengendalian, sehingga dapat terlihat pengaruh kendali optimal dalam produksi sumber energi terbarukan dan tidak terbarukan.

𝜆21 (𝑡)𝑥1 (𝑡) 𝜕ℋ ∗ = + 𝛽1 𝜆1 (𝑡)𝑥2 (𝑡) 𝑞1 𝜕𝑥1 (𝑡) +𝛽2 𝜆2 (𝑡)𝑥2 (𝑡) (9)

𝜆1̇ (𝑡) =

𝜆2̇ (𝑡) =

𝜆22 (𝑡)𝑥2 (𝑡) 𝜕ℋ ∗ = + 𝛽1 𝜆1 (𝑡)𝑥1 (𝑡) 𝜕𝑥2 (𝑡) 𝑞2 +𝛽2 𝜆2 (𝑡)𝑥1 (𝑡) (10)

Formulasi kendali optimal pada permasalahan ini menggunakan sistem dengan 𝑡𝑓 bebas dan x(𝑡𝑓 ) ditentukan, sehingga kondisi transversalitasnya adalah: (ℋ ∗ +

𝜕𝑆 ) =0 𝜕𝑡 𝑡𝑓

Didapatkan (−

𝑥12 (𝑡𝑓) 2 𝑥22 (𝑡𝑓) 2 ) 𝜆1 (𝑡𝑓) − (− ) 𝜆2 (𝑡𝑓) 2𝑞1 2𝑞2 −(𝛽1 𝑥1 (𝑡𝑓)𝑥2 (𝑡𝑓))𝜆1 (𝑡𝑓 ) −(𝛽2 𝑥1 (𝑡𝑓)𝑥2 (𝑡𝑓))𝜆2 (𝑡𝑓 ) = 0

C. Analisa Hasil Simulasi Dalam simulasi diberikan nilai parameter yang digunakan untuk memproduksi sumber energi terbarukan dan tidak terbarukan. Dalam hal ini, energi yang dihasilkan berupa pembangkit listrik dengan satuan MW( Mega Watt). Adapun nilai inputan parameternya antara lain : 𝑞1=2, 𝑞2=2, 𝑥1(0)=0.05 , 𝑥2(0)=0.95 . Sedangkan nilai parameter komputasi yang digunakan adalah: 𝛽1=0.008, 𝛽2=0.01,. Dalam kasus ini, diinginkan waktu akhir produksi dengan kondisi batas yang sdah ditentukan, yaitu: 𝑥1 (𝑡0 ) = 0.05 𝑥2 (𝑡0 ) = 0.95

Gambar 1. Tingkat produksi energi terbarukan tanpa pengendalian Dalam simulasi tersebut menunjukkan perilaku tingkat produksi sumber energi terbarukan tanpa pengendalian. Dari grafik tersebut terlihat bahwa tingkat produksi sumber energy terbarukan tidak mengalami penurunan maupun peningkatan produksi. Tingkat produksi awal untuk sumber energy terbarukan adalah 0.05, kemudian berjalan konstan hingga akhir waktu. sehingga tidak ditemukan waktu akhir dalam produksi ini, karena produksi tidak akan pernah mencapai nilai target produksi sebesar 0.5 (50%). Hal ini disebabkan tidak adanya pengendali sehingga laju perubahan produksi konstan. kemudian simulasi yang kedua adalah tingkat produksi sumber energi tidak terbarukan tanpa adanya pengendalian.

JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 2, No.1, (2013) 2337-3520 (2301-928X Print)

4

Dari gambar 4 tersebut terlihat bahwa produksi energy tidak terbarukan dengan pengendalian dengan kondisi awal untuk energi terbarukan adalah sebesar 0.95 (5%) dan mengalami penurunan hingga mencapai 0.5 (50%) di akhir waktu. Untuk simulasi kelima adalah untuk menunjukkan tingkat pengendalian pada produksi sumber energi terbarukan.

Gambar 2. Tingkat produksi energi tidak terbarukan tanpa pengendalian Dan dalam simulasi ke 2 tersebut menunjukkan perilaku yang sama dengan produksi sumber energi terbarukan tanpa pengendalian. Dari grafik tersebut terlihat bahwa tingkat produksi sumber energi tidak terbarukan tidak mengalami penurunan maupun peningkatan produksi. Tingkat produksi awal untuk sumber energi terbarukan adalah 0.95, kemudian berjalan konstan hingga akhir waktu. sehingga tidak ditemukan waktu akhir dalam produksi ini, karena produksi tidak akan pernah mencapai nilai target produksi sebesar 0.5(50%). Hal ini disebabkan tidak adanya pengendali sehingga laju perubahan produksi konstan. kemudian simulasi selanjutnya adalah ketika pengendali untuk tingkat produksi sumber energi terbarukan(u1(t)) dan tidak terbarukan (u2(t)) bernilai 6= nol. Artinya ada pengendalian terhadap produksi sumber energi.

Gambar 5. pengendali tingkat produksi energi terbarukan Kemudian Gambar 5, terlihat bahwa pengendali yang didapat berada dalam interval [-1; 1]. Persentase tingkat pertumbuhan dari sumber energi terbarukan (pengendali 1) berada di sumbu positif, menunjukkan bahwa produksi sumber energi tersebut ditingkatkan dan upaya pengendalian yang diberikan pun juga diminimumkan.

Gambar 6: pengendali tingkat produksi energi tidak terbarukan Gambar 3. Tingkat produksi energi terbarukan dengan pengendalian. Dari gambar 3 tersebut terlihat bahwa produksi energy terbarukan dengan pengendalian dengan kondisi awal untuk energi terbarukan adalah sebesar 0.05 (5%) dan mengalami peningkatan hingga mencapai 0.5 (50%) di akhir waktu. untuk simulasi keempat, adalah untuk menunjukkan tingkat produksi sumber energi tidak terbarukan dengan pengendalian.

Gambar 4. tingkat produksi energi tidak terbarukan dengan pengendalian

Selanjutnya Gambar 6, terlihat bahwa pengendali yang didapat berada dalam interval [-1; 1]. Persentase tingkat pertumbuhan dari sumber energi tidak terbarukan (pengendali 2) berada di sumbu negatif, menunjukkan bahwa produksi sumber energi tersebut diturunkan. kemudian yang terakhir akan ditunjukan hasil dari waktu optimal dalam diversi_kasi produksi sumber energi terbarukan dan tidak terbarukan. gambar 4.7 menunjukan waktu akhir energi terbarukan dengan tingkat produksi awal adalah 0.05% dan target akhir adalah sebesar 0.56%, sedangkan untuk sumber energi yang tidak terbarukan dengan target produksi awal sebesar 0.95% dan target akhir sebesar 0.5%, adalah:

Gambar 7: waktu akhir untuk tingkat produksi energi

JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 2, No.1, (2013) 2337-3520 (2301-928X Print)

Dengan menggunakan fungsi objektif yang sudah ditransformasikan (4.9), dan inpu parameter 𝑞1 = 1:1, 𝑞2 = 0:75, 𝑢1 (𝑡𝑓 ) = 0.77, dan 𝑢2 (𝑡𝑓 ) = -0.2 maka akan didapatkan 𝑧1 sebesar 17.69, dan karena 𝑧1 = 𝑡𝑓 , maka waktu akhir didapatkan sebesar 17.69 tahun. IV. KESIMPULAN Berdasarkan analisis dan pembahasan yang telah disajikan pada bab sebelumnya, dapat disimpulkan bahwa dengan menerapkan PMP (Prinsip Minimum Pontryagin) diperoleh pengendali optimal dalam produksi sumber energi terbarukan dan tidak terbarukan dan didapatkan waktu yang optimal dalam produksi sumber energi terbarukan dengan nilai awal produksi sebesar 0.05 (5%) dan produksi sumber energi tidak terbarukan dengan nilai produksi awal 0.95% dan niali akhir produksi masing masing sebesar 50% adalah selama 17.69 tahun. IV. SATUAN WAKTU.DAFTAR PUSTAKA [1] Miah, M. S., Ahmed, N. U., Chowdhury, M. (2011). “Optimum Policy for Integration of Renewable energy sources into the power Generation System”. Elsevier. Energy Economics pp: 558-567. [2] Fitria, (2013). “Kendali Optimal Pada Produksi Energi Terbarukan dan Tidak Terbarukan”. Paper Jurusan Matematika Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya. [3] Naidu, S. D. (2002). Optimal Control System. USA: CRC Press LLC. [4] Perpres. (2006). Peraturan Presiden Republik Indonesia. Jakarta. [5] Shonkwiler dan Herod. (2009) Mathematical Biology:An Introduction with Maple and Matlab USA [6] Cahyaningtias, 2011 “Waktu Optimum Peluru Kendali Dengan Manuver Akhir Menghujam Vertikal” Paper Jurusan Matematika Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya.

5