KENDALI OPTIMAL PADA MODEL PERIKLANAN NERLOVE-ARROW DENGAN MENGGUNAKAN PRINSIP MAKSIMUM

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

KENDALI OPTIMAL PADA MODEL PERIKLANAN NERLOVE-ARROW DENGAN MENGGUNAKAN PRINSIP MAKSIMUM Skripsi Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika

Oleh: Dewita Nur Fahma NIM: 123114022 PROGRAM STUDI MATEMATIKA/JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2017

i


OPTIMAL CONTROL ON THE NERLOVE-ARROW ADVERTISING MODEL WITH MAXIMUM PRINCIPLE Thesis Presented as a Partial Fulfillment of the Requirement to Obtain the Sarjana Sains Degree in Mathematics

By: Dewita Nur Fahma Student Number: 123114022 MATHEMATICS STUDY PROGRAM/DEPARTMENT OF MATHEMATICS FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA 2017

ii


iii


iv


v


vi


MOTTO DAN PERSEMBAHAN

“Pelangi tidak akan indah jika hanya ada satu warna”.

Karya ini saya persembahkan untuk: Tuhan Yang Maha Esa yang telah melimpahkan rahmat dan karunia-Nya sehingga skripsi ini dapat diselesaikan tepat pada waktunya. Bapak dan Ibu yang telah membesarkan, mendidik, mendoakan dan memberikan dukungan saya dalam segala hal. Terima kasih atas perhatian, kasih sayang dan dukungan yang telah diberikan, sehingga skripsi ini dapat selesai. Bapak Hartono yang dengan sabar membimbing dan membantu saya dalam penulisan skripsi ini.

vii


ABSTRAK Teori kendali optimal adalah cabang matematika yang digunakan untuk mencari penyelesaian optimal pada sistem dinamis. Teori kendali optimal dapat diterapkan dalam bidang manajemen. Aplikasi kendali optimal pada bidang manajemen seringkali diterapkan pada sistem keuangan, ekonomi, proses produksi dan penyimpanan, periklanan, dan lain-lain. Dalam tugas akhir ini akan dibahas mengenai model periklanan, yaitu model periklanan Nerlove-Arrow. Tujuan dari model periklanan Nerlove-Arrow adalah untuk mencari keadaan yang optimal, yaitu nilai maksimal dari fungsi tujuan. Prinsip maksimum digunakan dalam tugas akhir ini untuk memperoleh keadaan optimal. Konsep-konsep yang digunakan dalam memperoleh keadaan optimal adalah persamaan Hamiltonian, dan fungsi adjoin. Kata kunci: Kendali optimal, Goodwill, Model Periklanan, Persamaan Hamiltonian, Fungsi Adjoin, Prinsip Maksimum.

viii


ABSTRACT Optimal control theory is a branch of mathematics developed to find optimal ways to control dynamical system. Optimal control theory can be applied in management area. Optimal control can be applied in finance, economics, production and inventory, advertising, etc. This thesis will discuss Nerlove-Arrow advertising model. The purpose of Nerlove-Arrow advertising model is to find the optimal way, to maximize value of the objective function. Concepts which are used to find the optimal ways is Hamiltonian equation and adjoint function. Keyword: Optimal control, Goodwill, Advertising Model, Hamiltonian equation, Adjoint Function, Maximum Principle.

ix


KATA PENGANTAR

Puji dan Syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa yang telah memberikan

rahmat,

taufik,

dan

hidayah-Nya

sehingga

penulis

dapat

menyelesaikan penulisan skripsi dalam rangka memperoleh gelar Sarjana Sains di Universitas Sanata Dharma. Penulis menyadari bahwa penyusunan skripsi ini dapat diselesaikan karena dukungan dan bantuan dari berbagai pihak, baik perorangan ataupun lembaga. Untuk itu, dengan segala kerendahan hati penulis ingin menyampaikan terima kasih kepada: 1. Y.G. Hartono, Ph. D, selaku dosen pembimbing skripsi, Dosen Pembimbing Akademik, dan sekaligus Ketua Program Studi Matematika yang telah meluangkan waktu, tenaga, dan pikiran serta ilmu yang telah diberikan sehingga terselesaikannya skripsi ini. 2. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D. selaku dekan Fakultas Sains dan Teknologi. 3. Romo Prof. Dr. Frans Susilo, S.J., Ibu M. V. Any Herawati, S.Si., M.Si., Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., Bapak Dr. rer. nat. Herry P. Suryawan, S.Si., M.Si., dan Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si. selaku dosen-dosen prodi matematika yang telah memberikan banyak pengetahuan kepada penulis selama proses perkuliahan.

x


xi


DAFTAR ISI

Halaman HALAMAN JUDUL ............................................................................................ i HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING .................................................. iii HALAMAN PENGESAHAN ............................................................................. iv HALAMAN KEASLIAN KARYA...................................................................... v LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI ............................... vi HALAMAN PERSEMBAHAN ......................................................................... vii ABSTRAK ....................................................................................................... viii ABSTRACT ....................................................................................................... ix KATA PENGANTAR ......................................................................................... x DAFTAR ISI ..................................................................................................... xii BAB I PENDAHULUAN .................................................................................... 1 A. Latar Belakang Masalah ........................................................................ 1 B. Rumusan Masalah ................................................................................. 1 C. Batasan Masalah ................................................................................... 2 D. Tujuan Penulisan .................................................................................. 2 E. Metode Penulisan.................................................................................. 2 F. Manfaat Penulisan ................................................................................ 2

xii


G. Sistematika Penulisan ........................................................................... 4 BAB II PENGANTAR KENDALI OPTIMAL .................................................... 5 A. TEORI KENDALI OPTIMAL .............................................................. 5 B. Contoh-Contoh Kendali Optimal........................................................... 7 C. Notasi dan Konsep .............................................................................. 14 D. Pengantar Prinsip Maksimum ............................................................. 15 D.1. Model Matematika ..................................................................... 15 D.2. Kendala ...................................................................................... 16 D.3. Fungsi Tujuan ............................................................................ 17 D.4. Masalah Kendali Optimal ........................................................... 17 E. Program Dinamik dan Prinsip Maksimum ........................................... 18 E.1. Persamaan Hamilton-Jacobi-Bellman .......................................... 18 F. Derivasi Persamaan Adjoin ................................................................. 23 G. Prinsip Maksimum .............................................................................. 25 G.1. Contoh Prinsip Maksimum .......................................................... 26 H. Prinsip Maksimum Dengan Kendala Ketidaksamaan Campuran ......... 31 H.1. Contoh Prinsip Maksimum Dengan Kendala Ketidaksamaan Campuran .................................................................................................. 33

I. Nilai Sekarang (Current Value)........................................................... 37

xiii


J. Titik Akhir Bebas (free-end-point) ...................................................... 40 K. Jangka Waktu Tak Berhingga (Infinite Horizon) dan Stasioneritas ...... 41 BAB III MODEL PERIKLANAN NERLOVE ARROW ................................... 44 A. Model Matematis ................................................................................ 44 B. Solusi Menggunakan Prinsip Maksimum ............................................ 47 BAB IV PENUTUP ........................................................................................... 52 A. Kesimpulan......................................................................................... 52 B. Saran .................................................................................................. 53 DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................ 54 LAMPIRAN ...................................................................................................... 55

xiv


BAB I PENDAHULUAN

Pada bab ini akan dibahas mengenai latar belakang, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan penulisan, manfaat penulisan, metode penulisan, dan sistematika penulisan.

A.

Latar Belakang Pemasaran merupakan salah satu aspek penting untuk menentukan kesuksesan

keuangan suatu perusahaan. Pemasaran akan berdampak banyak dalam perkembangan ekonomi suatu perusahaan. Pemasaran produk suatu perusahaan akan membuat konsumen mengetahui keberadaan perusahaan dan produk yang dihasilkan. Apabila keduanya semakin dikenal oleh konsumen, maka akan meningkatkan pendapatan suatu perusahaan tersebut. Salah satu strategi pemasaran adalah periklanan. Periklanan yang dilakukan dengan cara yang tepat akan membuat konsumen tertarik dengan produk yang dihasilkan oleh suatu perusahaan. Oleh karena itu, ada keyakinan yang timbul dari para ahli ekonomi bahwa biaya yang dikeluarkan untuk periklanan merupakan investasi. Masalah menentukan kebijakan periklanan dari waktu ke waktu merupakan aspek penting dalam bidang pemasaran. Ada beberapa pendekatan yang berhubungan dengan masalah ini. Di antaranya dengan menggunakan pemrograman matematis dan

1

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 2

pemrograman dinamis. Ada pendekatan lain yaitu dengan menggunakan pendekatan teori kendali optimal. Dalam pendekatan ini, sistem dinamik dimodelkan sebagai satu atau lebih persamaan diferensial yang kemudian dioptimalkan menggunakan prinsip maksimum. Diasumsikan bahwa perusahaan ingin memaksimalkan fungsi tujuan, yaitu nilai sekarang dari keuntungan bersih suatu perusahaan dengan waktu yang terbatas maupun tak terbatas. Jelas bahwa keuntungan bersih suatu perusahaan tergantung pada penjualan dan periklanan. Peranan dari teori kendali optimal adalah untuk menemukan kebijakan periklanan yang memaksimalkan fungsi tujuan perusahaan.

B.

Rumusan Masalah Perumusan masalah yang akan dibicarakan pada tugas akhir ini adalah: 1. Bagaimana memodelkan periklanan dengan model Nerlove-Arrow? 2. Bagaimana menyelesaikan model periklanan Nerlove-Arrow menggunakan prinsip maksimum?

C.

Batasan Masalah Tugas akhir ini dibatasi pada masalah-masalah sebagai berikut: 1. Aplikasi kendali optimal pada bidang periklanan yang akan dibahas adalah model Nerlove-Arrow.


2. Model periklanan Nerlove-Arrow akan diselesaikan menggunakan prinsip maksimum. 3. Model periklanan Nerlove-Arrow hanya akan dibahas pasa kasus linier.

D.

Tujuan Penulisan Tujuan dari penulisan tugas akhir ini adalah untuk mengenalkan aplikasi kendali

optimal pada bidang model periklanan Nerlove-Arrow dan menyelesaikannya dengan menggunakan prinsip maksimum.

E.

Manfaat Penulisan Manfaat yang dapat diperoleh dari penulisan tugas akhir ini adalah pembaca

dapat mengetahui aplikasi kendali optimal pada bidang periklanan serta bagaimana cara penyelesaiannya dengan menggunakan prinsip maksimum. Selain itu pembaca juga dapat memaksimalkan hasil pendapatan bersih suatu perusahaan.

F.

Metode Penulisan Metode yang digunakan penulis dalam penulisan tugas akhir ini adalah studi

pustaka, yaitu dengan membaca dan mempelajari buku-buku atau jurnal-jurnal yang berkaitan dengan model periklanan Nerlove-Arrow serta penyelesaiannya menggunakan prinsip maksimum.


G.

Sistematika Penulisan BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang B. Rumusan Masalah C. Batasan Masalah D. Tujuan Penulisan E.

Manfaat Penulisan

F.

Metode Penulisan

G. Sistematika Penulisan BAB II PENGANTAR KENDALI OPTIMAL A. Teori Kendali Optimal B. Contoh-Contoh Kendali Optimal C. Prinsip Maksimum BAB III MODEL NERLOVE-ARROW A. Model Periklanan Nerlove-Arrow B. Penyelesaian Model Nerlove-Arrow BAB IV PENUTUP A. Kesimpulan B. Penutup DAFTAR PUSTAKA


BAB II PENGANTAR KENDALI OPTIMAL

A. Teori Kendali Optimal Banyak aplikasi dari bidang manajemen yang menggunakan teori kendali optimal. Kendali optimal adalah cabang matematika yang digunakan untuk mencari penyelesaian optimal pada sistem dinamis. Aplikasi kendali optimal pada bidang manajemen seringkali diterapkan pada sistem keuangan, ekonomi, proses produksi dan penyimpanan, periklanan, dan lain-lain. Dimisalkan variabel 𝑥(𝑡) merupakan variabel kondisi (state variable) dari suatu sistem pada waktu 𝑡 ∈ [0, 𝑇], dengan 𝑇 > 0 menunjukkan jangkauan waktu (time horizon) pada suatu sistem. Sebagai contoh, 𝑥(𝑡) dapat menyatakan banyaknya penyimpanan suatu barang pada waktu 𝑡, seberapa populer suatu produk (goodwill) pada waktu t, ataupun besarnya sumber daya alam yang tidak dipakai pada waktu 𝑡. Diasumsikan bahwa ada cara untuk mengendalikan suatu keadaaan pada sistem. Misalkan 𝑢(𝑡) adalah variabel kendali dari suatu sistem pada waktu 𝑡. Sebagai contoh, 𝑢(𝑡) dapat menyatakan besarnya tingkat produksi pada waktu 𝑡, besarnya tingkat periklanan pada waktu 𝑡, dan lain-lain. Diberikan variabel kondisi 𝑥(𝑡), variabel kendali 𝑢(𝑡), dan persamaan sistem dinamis sebagai berikut:

5


𝑥̇ (𝑡) = 𝑓(𝑥(𝑡), 𝑢(𝑡), 𝑡),

𝑥(0) = 𝑥0 ,

(2.1)

di mana 𝑥̇ (𝑡) adalah notasi untuk 𝑑𝑥(𝑡)/𝑑𝑡 yang menyatakan laju perubahan variabel kondisi terhadap waktu 𝑡, 𝑓 adalah fungsi dari 𝑥, 𝑢, 𝑡, dan 𝑥0 adalah kondisi awal dari variabel kondisi. Variabel kondisi dan kendali digunakan untuk memaksimalkan fungsi tujuan yang berbentuk integral sebagai berikut: 𝑇

𝐽 = ∫ 𝐹(𝑥(𝑡), 𝑢(𝑡), 𝑡)𝑑𝑡 + 𝑆[𝑥(𝑇), 𝑇].

(2.2)

0

Pada persamaan (2.2), 𝐹 bisa menyatakan tentang besarnya keuntungan dikurangi biaya periklanan, besarnya kegunaan dari konsumsi suatu barang, besarnya biaya minimum pada proses penyimpanan dan produksi, dan lain-lain. 𝑆 pada persamaan (2.2) menyatakan besarnya nilai sisa pada kondisi 𝑥(𝑇) waktu 𝑇. Variabel kendali 𝑢(𝑡) seringkali terbatas, yang dapat dinyatakan sebagai berikut: 𝑢(𝑡) ∈ 𝛺(𝑡),

𝑡 ∈ [0, 𝑇],

(2.3)

dengan Ω(𝑡) adalah himpunan dari variabel kendali yang memungkinkan pada waktu 𝑡. Namun, ada beberapa kendala khusus yang mungkin diperlukan, yaitu: Kendala ketaksamaan campuran 𝑔(𝑥(𝑡), 𝑢(𝑡), 𝑡) ≥ 0, 𝑡 ∈ [0, 𝑇]

(2.4)

dengan 𝑔 adalah fungsi dari 𝑢, 𝑡 dan juga 𝑥. Kendala yang hanya melibatkan variabel kondisi: ℎ(𝑥, 𝑡) ≥ 0, 𝑡 ∈ [0, 𝑇]

(2.5)


dengan ℎ adalah fungsi dari 𝑥 dan 𝑡. Kendala (2.5) seringkali disebut dengan kendala kondisi murni.

Kendala batas dari kondisi akhir 𝑥(𝑇): 𝑥(𝑇) ∈ 𝑋(𝑇),

(2.6)

dengan 𝑋(𝑇) disebut batasan permintaan atau target dari variabel kondisi pada waktu 𝑇.

B. Contoh-Contoh Kedali Optimal Berikut ini adalah contoh-contoh kendali optimal pada bidang produksi, periklaan, dan ekonomi. Pada contoh-contoh berikut ini akan ditunjukkan variabel-variabel dan fungsi yang digunakan pada masing-masing bidangnya.

Contoh 2.2 Model Periklanan Model periklanan yang akan dibahas pada contoh ini adalah Model Periklanan Nerlove-Arrow. Masalah yang harus diselesaikan adalah menentukan tingkat pengiklanan suatu produk pada waktu 𝑡. Variabel kondisinya adalah goodwill, 𝐺(𝑡), yaitu seberapa populer suatu produk pada waktu 𝑡. Diasumsikan bahwa ada koefisien lupa (forgetting) 𝛿, yang menyatakan seberapa besar pelanggan mulai melupakan suatu produk. Untuk mengatasi masalah tersebut, proses periklanan dilakukan pada tingkat


tertentu dan diukur menggunakan variabel kendali 𝑢(𝑡). Maka diperoleh persamaan kondisinya sebagai berikut: 𝐺̇ (𝑡) = 𝑢(𝑡) − 𝛿𝐺(𝑡), dengan 𝐺(0) = 𝐺0 > 0 adalah kondisi awal dari goodwill suatu produk. Berikut ini akan diberikan variabel-variabel yang digunakan dalam Model Periklanan Nerlove-Arrow yang akan ditunjukkan pada tabel 1.2:

Variabel Kondisi

𝐺(𝑡) = Goodwill

Variabel Kendali

𝑢(𝑡) = Tingkat periklanan

Persamaan Kondisi

𝐺̇ (𝑡) = 𝑢(𝑡) − 𝛿𝐺(𝑡),

Fungsi Tujuan

𝐺(0) = 𝐺0 ∞

Memaksimumkan {𝐽 = ∫ 𝑒 −𝜌𝑡 [𝜋(𝐺(𝑡)) − 𝑢(𝑡)]𝑑𝑡} 0

Kendala Kondisi

-

Kendala Kendali

0 ≤ 𝑢(𝑡) ≤ 𝑄

Kondisi Akhir

-

Fungsi Eksogen

𝜋(𝐺(𝑡)) = Laba kotor

Parameter

𝛿 = Nilai konstan goodwill 𝜌 = Tingkat diskon 𝑄 = Batas atas tingkat periklanan 𝐺0 = Nilai awal goodwill Tabel 2.2: Variabel-Variabel Model Periklanan


Fungsi tujuan 𝐽 memerlukan kajian khusus. Perlu diperhatikan bahwa fungsi J akan diintegralkan dari waktu 𝑡 = 0 ke waktu 𝑡 → ∞; karena memiliki batas waktu atas ∞ maka disebut dengan horizon tak hingga (infinite horizon problem). Karenanya, integran dari fungsi tujuan tersebut memuat faktor diskonto 𝑒 −𝜌𝑡 , dengan 𝜌 > 0 adalah tingkat diskon (konstan). Sisa integran di fungsi tujuan terdiri dari tingkat laba kotor 𝜋(𝐺(𝑡)). Tingkat goodwill 𝐺(𝑡) pada waktu t dikurangi biaya iklan yang diasumsikan sebanding dengan 𝑢(𝑡) (faktor proporsionalitas = 1); dengan demikian 𝜋(𝐺(𝑡)) − 𝑢(𝑡) adalah tingkat laba bersih pada waktu t. Begitu juga [𝜋(𝐺(𝑡)) − 𝑢(𝑡)]𝑒 −𝜌𝑡 adalah nilai sekarang dari tingkat keuntungan pada waktu t. Oleh karena itu, J dapat diartikan keuntungan masa depan dan hasil yang ingin kita maksimalkan. Ada kendala kendali 0 ≤ 𝑢(𝑡) ≤ 𝑄 mana 𝑄 adalah batas atas tingkat periklanan. Namun, tidak ada kendala kondisi, karena goodwill 𝐺(𝑡) tidak pernah bernilai negatif.∎ Agar lebih mudah dimengerti, berikut akan diberikan contoh pengaplikasian kendali optimal pada kasus periklanan. Misalkan 𝜋(𝐺) = 2√𝐺, 𝛿 = 0.05, 𝜌 = 0.2, 𝑄 = 2, dan 𝐺0 = 16. Diberikan 𝑢(𝑡) = 0.8 untuk 𝑡 ≥ 0. Buktikan bahwa 𝐺(𝑡) konstan untuk setiap 𝑡. Hitunglah nilai dari fungsi tujuan 𝐽.

Penyelesaian: Seperti yang telah diketahui, persamaan kondisi dari model periklanan adalah 𝐺̇ (𝑡) = 𝑢(𝑡) − 𝛿𝐺(𝑡),

𝐺(0) = 𝐺0 . Kemudian masing-masing kondisi yang telah

diberikan dalam soal disubstitusikan ke dalam persamaan tersebut, menjadi:


𝐺̇ (𝑡) = 0.8 − (0.05)𝐺(𝑡) Karena diketahui kondisi awal 𝐺(0) = 16, maka informasi ini dapat dibawa ke dalam persamaan 𝐺̇ (𝑡), sehingga diperoleh: 𝐺̇ (0) = 0.8 − (0.05)𝐺(0) 𝐺̇ (0) = 0.8 − (0.05)(16) = 0.8 − 0.8 = 0 Selanjutnya, 𝐺̇ (𝑡) + (0.05)𝐺(𝑡) = 0.8

(1)

Untuk membuktikan bahwa 𝐺(𝑡) konstan, maka dicari faktor integral 𝜇(𝑡) yaitu sebagai berikut: 𝜇(𝑡) = 𝑒 ∫ 𝑃(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑒 ∫ 0.05 𝑑𝑡 = 𝑒 0.05𝑡 Kemudian faktor integral tersebut disubstitusikan ke dalam persamaan (1) menjadi: 𝐺̇ (𝑡)𝜇(𝑡) + (0.05)𝐺(𝑡)𝜇(𝑡) = 0.8𝜇(𝑡) 𝐺̇ (𝑡)𝑒 0.05𝑡 + (0.05)𝐺(𝑡)𝑒 0.05𝑡 = 0.8𝑒 0.05𝑡 𝑑 0.05𝑡 [𝑒 𝐺(𝑡)]𝑑𝑡 = 0.8𝑒 0.05𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 ∫

𝑑 0.05𝑡 [𝑒 𝐺(𝑡)]𝑑𝑡 = ∫ 0.08𝑒 0.05𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑒 0.05𝑡 𝐺(𝑡) = 0.8 (

1 0.05𝑡 𝑒 )+𝑐 0.05


𝑒 0.05𝑡 𝐺(𝑡) = 16𝑒 0.05𝑡 + 𝑐 𝐺(𝑡) =

16𝑒 0.05𝑡 + 𝑐 𝑒 0.05𝑡

𝐺(𝑡) = 16 + 𝑐𝑒 −0.05𝑡 . Karena 𝐺(0) = 16, maka: 𝐺(0) = 16 + 𝑐 0 16 = 16 + 𝑐 𝑐 =0 Jadi, terbukti 𝐺(𝑡) = 16 konstan untuk semua 𝑡. Selanjutnya nilai dari fungsi tujuan 𝐽 dapat dihitung menggunakan informasiinformasi yang sudah didapatkan di atas. ∞

𝐽 = ∫ 𝑒 −𝜌𝑡 [𝜋(𝐺(𝑡)) − 𝑢(𝑡)]𝑑𝑡 0 ∞

= ∫ 𝑒 −0.2𝑡 [2√𝐺 − 0.8]𝑑𝑡 0 ∞

= ∫ 𝑒 −0.2𝑡 [2√16 − 0.8]𝑑𝑡 0 ∞

= ∫ 𝑒 −0.2𝑡 [7.2]𝑑𝑡 0 ∞

= 7.2 ∫ 𝑒 −0.2𝑡 𝑑𝑡 0

1 −0.2𝑡 ∞ = 7.2 [− 𝑒 ] 0.2 0


= 7.2 [−

1 −∞ 1 0 𝑒 − (− 𝑒 )] 0.2 0.2

= 7.2(0 + 5) 𝐽 = 36 Jadi, didapatkan 𝐽 = 36.

Gambar 2.1. Grafik Nerlove-Arrow Dari Contoh Di Atas

Permasalahan lain misalkan 𝐺 menyatakan banyaknya orang yang mengetahui suatu produk. 𝐴 menyatakan populasi, maka 𝐴 − 𝐺 adalah banyaknya orang yang tidak mengetahui suatu produk. Jika 𝑢(𝑡) menyatakan besarnya laju periklanan pada waktu 𝑡, diasumsikan bahwa 𝑢(𝐴 − 𝐺) menyatakan laju kenaikan dari 𝐺 karena proses


periklanan. Buatlah model baru dari persamaan kondisi berdasarkan informasiinformasi tersebut! Penyelesaian: 𝐺̇ (𝑡) = 𝑢(𝑡)[𝐴 − 𝐺] − 𝛿𝐺(𝑡), 𝐺(0) = 𝐺0 memaksimalkan 𝐽

∞

= ∫ 𝑒 −𝜌𝑡 [𝜋(𝐺(𝑡)) − 𝑢(𝑡)]𝑑𝑡. 0

Berikut akan diberikan ilustrasi numerisnya. Misalkan 𝐴 = 10000, 𝐺(0) = 𝐺0 = 1

1000, 𝜋(𝐺) = 2 √𝐺, 𝛿 = 0.6, 𝜌 = 0.2, 𝐺(𝑡) = 2500, dan 𝑢(𝑡) = 0.5 untuk 𝑡 ≥ 0. Maka, 𝐺̇ (𝑡) = 𝑢(𝑡)[𝐴 − 𝐺] − 𝛿𝐺(𝑡), 𝐺(0) = 𝐺0 = 0.5[10000 − 2500] − 0.6 ∗ 2500 = 3750 − 1500 = 2250. Jadi, perubahan goodwill terhadap waktu 𝑡 sebesar 2250 orang. Dengan menggunakan informasi-informasi di atas, dapat dihitung nilai dari fungsi tujuan 𝐽. 𝐽

∞

= ∫ 𝑒 −𝜌𝑡 [𝜋(𝐺(𝑡)) − 𝑢(𝑡)]𝑑𝑡. 0 ∞ 1 = ∫ 𝑒 −0.2𝑡 [ √2250 − 0.5] 𝑑𝑡 2 0 ∞

= ∫ 𝑒 −0.2𝑡 [23.22]𝑑𝑡 0


∞

= 23.22 ∫ 𝑒 −0.2𝑡 𝑑𝑡 0

= 23.22 [−

1 −0.2𝑡 ∞ 𝑒 ] 0.2 0

= 23.22 [−

1 −∞ 1 0 𝑒 − (− 𝑒 )] 0.2 0.2

= 23.22(0 + 5) 𝐽 = 116.1 ∎

C. Notasi dan Konsep Berikut akan diberikan penjelasan mengenai konsep yang akan dipakai dalam tugas akhir ini. Hal ini bertujuan agar pembaca dapat memahami dengan jelas ketika membaca tugas akhir ini.

Misalkan 𝑦 menyatakan 𝑛-komponen vektor kolom dan 𝑧 menyatakan 𝑚komponen vektor baris, seperti berikut: 𝑦1 𝑦 = ( ⋮ ) = (𝑦1 , 𝑦2 , … , 𝑦𝑛 )𝑇 dan 𝑧 = (𝑧1 , 𝑧1 , … , 𝑧𝑛 ), 𝑦𝑛 dengan huruf 𝑇 di atas sebuah vektor atau matriks menyatakan transpose dari suatu vektor atau matriks. Jika 𝑦 dan 𝑧 merupakan fungsi dari waktu 𝑡 dan merupakan suatu skalar, maka turunan dari 𝑦̇ = 𝑑𝑦⁄𝑑𝑡 dan 𝑧̇ = 𝑑𝑧⁄𝑑𝑡 didefinisikan sebagai berikut:


𝑦̇ =

𝑑𝑦 𝑑𝑧 = (𝑦̇ 1 , 𝑦̇ 2 , … , 𝑦̇𝑛 )𝑇 dan 𝑧̇ = =(𝑧̇1 , 𝑧̇2 , … , 𝑧̇𝑚 ), 𝑑𝑡 𝑑𝑡

di mana 𝑦̇ 𝑖 dan 𝑧̇𝑗 masing-masing menyatakan turunan dari 𝑑𝑦𝑖 ⁄𝑑𝑡 dan 𝑑𝑧𝑖 ⁄𝑑𝑡. Ketika 𝑛 = 𝑚, perkalian dalam (inner product) dapat didefinisikan sebagai: 𝑧 ∙ 𝑦 = ∑𝑛𝑖=1 𝑦𝑖 𝑧𝑖 = 𝑦 𝑇 𝑧.

(2.7)

Lebih jelasnya, jika terdapat matriks 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗 ] berukuran 𝑚 × 𝑘 dan matriks 𝐵 = [𝑏𝑖𝑗 ] berukuran 𝑘 × 𝑛, perkalian matriks didefinisikan sebagai 𝐶 = [𝑐𝑖𝑗 ] = 𝐴𝐵 berukuran 𝑚 × 𝑛 dengan 𝑐𝑖𝑗 = ∑𝑘𝑟=1 𝑎𝑖𝑟 𝑏𝑟𝑗 .

(2.8)

sebagai komponen-komponennya. Misalkan 𝐸 𝑘 menyatakan 𝑘-dimensi ruang Euclides. Elemen-elemennya berupa vektor-vektor dengan 𝑘-komponen, baik itu vektor baris ataupun vektor kolom. Dengan begitu pada persamaan (2.7), 𝑦 ∈ 𝐸 𝑛 merupakan vektor kolom, sedangkan 𝑧 ∈ 𝐸 𝑚 merupakan vektor baris.

D. Pengantar Prinsip Maksimum D.1. Model Matematika Dalam aplikasi kendali optimal, hal yang terpenting yaitu membuat model dari suatu sistem. Model yang baik yaitu model yang jelas, sederhana, dan mudah dipahami. Selain itu, model yang baik juga harus realistis.


Diberikan nilai awal 𝑥0 dan variabel kendali 𝑢(𝑡), 𝑡 ∈ [0, 𝑇]. Perubahan dari sistem terhadap waktu 𝑡 akan didefinisikan menggunakan persamaan diferensial, yang dikenal sebagai persamaan kondisi (state equation) sebagai berikut: 𝑥̇ (𝑡) = 𝒇(𝑥(𝑡), 𝑢(𝑡), 𝑡),

𝑥(0) = 𝑥0

(2.8)

di mana vektor variabel kondisi, 𝒙(𝒕) ∈ 𝐸 𝑛 , vektor variabel kendali, 𝒖(𝒕) ∈ 𝐸 𝑚 , dan 𝒇: 𝐸 𝑛 × 𝐸 𝑚 × 𝐸1 → 𝐸 𝑛 . Fungsi 𝒇 diasumsikan terdiferensial secara kontinu. Selain itu, diasumsikan bahwa 𝒙 merupakan sebuah vektor kolom dan 𝒇 merupakan vektor kolom dengan elemenelemennya suatu fungsi. Lintasan 𝑥(𝑡), 𝑡 ∈ [0, 𝑇], disebut dengan trayektori kondisi (state trajectory) dan 𝑢(𝑡), 𝑡 ∈ [0, 𝑇], disebut dengan trayektori kendali (control trajectory) atau biasa disebut dengan kendali.

D.2. Kendala Kendala-kendala yang akan dibahas dalam subbab ini adalah kendala yang tidak menyerupai persamaan (2.4) dan (2.5). Namun, kendala seperti persamaan (2.3) akan tetap digunakan. Selanjutnya akan didefinisikan kendali yang memungkinkan (admissible control) sebagai trayektori kendali dari 𝑢(𝑡), 𝑡 ∈ [0, 𝑇], yaitu sebagai berikut 𝑢(𝑡) ∈ 𝛺(𝑡) ⊂ 𝐸 𝑚 , 𝑡 ∈ [0, 𝑇].

(2.9)

Biasanya, himpunan 𝛺(𝑡) ditentukan oleh kondisi ekonomi dari variabel kendali pada waktu 𝑡.


D.3. Fungsi Tujuan Fungsi tujuan adalah ukuran kuantitatif performa sistem dari waktu ke waktu. Kendali optimal didefinisikan sebagai suatu kendali yang memaksimalkan fungsi tujuannya. Dalam masalah bisnis atau ekonomi, fungsi tujuan memberikan nilai yang optimal terhadap keuntungan, penjualan, atau kerugian. Secara matematis, fungsi tujuan didefinisikan sebagai berikut 𝑇

𝐽 = ∫ 𝐹(𝑥(𝑡), 𝑢(𝑡), 𝑡)𝑑𝑡 + 𝑆[𝑥(𝑇), 𝑇]

(2.10)

0

dengan fungsi 𝐹: 𝐸 𝑛 × 𝐸 𝑚 × 𝐸1 → 𝐸1 dan 𝑆: 𝐸 𝑛 × 𝐸1 → 𝐸1 diasumsikan terdiferensialkan secara kontinu. Dalam dunia bisnis, 𝐹(𝑥, 𝑢, 𝑡) bisa digunakan untuk mendeskripsikan fungsi keuntungan, sedangkan 𝑆[𝑥, 𝑇] bisa digunakan untuk mendeskripsikan nilai sisa (salvage value) dari 𝑥 pada waktu tujuan 𝑇.

D.4. Masalah Kendali Optimal Dalam kendali optimal, masalah yang harus diselesaikan yaitu mencari kendali 𝑢∗ yang sesuai sehingga dapat memaksimalkan fungsi tujuan (2.10) terhadap persamaan kondisi (2.9). Sekarang, masalah kendali optimal dapat dinyatakan kembali dengan 𝑇

max {𝐽 = ∫ 𝐹(𝑥(𝑡), 𝑢(𝑡), 𝑡)𝑑𝑡 + 𝑆[𝑥(𝑇), 𝑇]}

𝑢(𝑡)∈𝛺(𝑡)

{

0

terhadap 𝑥̇ (𝑡) = 𝑓(𝑥(𝑡), 𝑢(𝑡), 𝑡),

(2.11) 𝑥(0) = 𝑥0


Kendali 𝑢∗ disebut kendali optimal dan 𝑥 ∗ disebut dengan trayektori optimal dengan persamaan kondisi di mana 𝑢 = 𝑢∗ . Nilai optimal dari fungsi tujuan dinotasikan dengan 𝐽(𝑢∗ ) atau 𝐽∗ . Masalah kendali optimal (2.11) disebut dengan persamaan Bolza. Apabila 𝑆 ≡ 0 maka disebut dengan persamaan Lagrange. Apabila diketahui 𝐹 ≡ 0 maka disebut dengan persamaan Mayer. Selain itu, akan disebut persamaan Mayer linier ketika 𝐹 ≡ 0 dan 𝑆 linier, sehingga menjadi, max {𝐽 = 𝑐𝑥(𝑇)}

{


terhadap 𝑥̇ = 𝑓(𝑥, 𝑢, 𝑡), 𝑥(0) = 𝑥0

(2.12)

dengan 𝑐 = (𝑐1, 𝑐2 , … , 𝑐𝑛 ) adalah vektor baris dengan dimensi-n yang elemenelemennya adalah konstanta-konstanta yang diberikan.

E. Program Dinamik dan Prinsip Maksimum Sebelum sampai ke dalam Prinsip Maksimum, berikut ini akan dijelaskan terlebih dahulu Persamaan Hamilton-Jacobi-Bellman dan Derivasi Persamaan Adjoin.

E.1. Persamaan Hamilton-Jacobi-Bellman Misalkan 𝑉(𝑥, 𝑡): 𝐸 𝑛 × 𝐸1 → 𝐸1 adalah nilai maksimum dari fungsi tujuan dari masalah kendali optimal dengan waktu awal 𝑡 pada kondisi 𝑥. Dengan begitu, 𝑇

𝑉(𝑥, 𝑡) =

max ∫ 𝐹(𝑥(𝑠), 𝑢(𝑠), 𝑠)𝑑𝑠 + 𝑆(𝑥(𝑇), 𝑇),

𝑢(𝑠)∈𝛺(𝑠) 0

(2.15)


dengan 𝑠 ≥ 𝑡, 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥(𝑠), 𝑢(𝑠), 𝑠), 𝑥(𝑡) = 𝑥. 𝑑𝑠 Diasumsikan nilai dari fungsi 𝑉(𝑥, 𝑡) ada untuk semua 𝑥 dan 𝑡 pada interval yang relevan. Selanjutnya, digunakan optimisasi untuk menderivatifkan kondisi pada fungsi 𝑉(𝑥, 𝑡). Pertama, batas integral pada fungsi tujuan 𝐽 menjadi 𝑡 sampai 𝑡 + 𝛿𝑡; kedua, nilai fungsi 𝑉(𝑥 + 𝛿𝑥, 𝑡 + 𝛿𝑡) pada waktu 𝑡 + 𝛿𝑡. Kendali 𝑢(𝜏) harus dipilih agar terdapat di dalam 𝛺(𝜏), 𝜏𝜖[𝑡, 𝑡 + 𝛿𝑡], dan memaksimalkan integralnya. Agar mempermudah memahami maksud dari kalimat di atas, berikut ini akan diperlihatkan langkah-langkah untuk mendapatkan bentuk 𝑉(𝑥, 𝑡) yang baru. 𝑡+𝛿𝑡

=

max {∫

𝑢(𝑠)∈𝛺(𝑠)

𝐹(𝑥(𝑠), 𝑢(𝑠), 𝑠)𝑑𝑠

𝑡

𝑉(𝑥, 𝑡)

𝑇

+∫

𝐹(𝑥(𝑠), 𝑢(𝑠), 𝑠)𝑑𝑠 + 𝑆(𝑥(𝑇), 𝑇)}

𝑡+𝛿𝑡 𝑡+𝛿𝑡

=

max ∫

𝐹(𝑥(𝑠), 𝑢(𝑠), 𝑠)𝑑𝑠

𝑢(𝑠)∈𝛺(𝑠) 𝑡

𝑇

+ max ∫

𝑢(𝑠)∈𝛺(𝑠) 𝑡+𝛿𝑡

𝐹(𝑥(𝑠), 𝑢(𝑠), 𝑠)𝑑𝑠 + 𝑆(𝑥(𝑇), 𝑇)

sehingga didapatkan persamaan sebagai berikut 𝑡+𝛿𝑡

𝑉(𝑥, 𝑡) =

max ∫

𝑢(𝑠)∈𝛺(𝑠) 𝑡

𝐹(𝑥(𝑠), 𝑢(𝑠), 𝑠)𝑑𝑠 + 𝑉(𝑥(𝑡 + 𝛿𝑡), 𝑡 + 𝛿𝑡)

(2.16)

dengan 𝛿𝑡 adalah kenaikan atau penambahan waktu 𝑡 yang sangat kecil. Hal ini digunakan untuk membandingkan persamaan (2.16) dengan persamaan (2.15).


Karena 𝐹 adalah fungsi kontinu, integral dari persamaan

(2.16) dapat

diaproksimasikan 𝐹(𝑥, 𝑢, 𝑡)𝛿𝑡, sehingga dapat ditulis menjadi 𝑉(𝑥, 𝑡) =

max {𝐹(𝑥, 𝑢, 𝑡)𝛿𝑡 + 𝑉[𝑥(𝑡 + 𝛿𝑡), 𝑡 + 𝛿𝑡]} + 𝑜(𝛿𝑡)


(2.17)

dengan 𝑜(𝛿𝑡) disebut “little-o” yang menunjukkan koleksi dari suku-suku di dalam 𝛿𝑡 dengan order tinggi. Fungsi 𝐹(𝛿𝑡): 𝐸 𝑚 → 𝐸1 dikatakan order dari 𝑜(𝛿𝑡) jika 𝐹(𝛿𝑡) lim ‖𝛿𝑡‖→0 ‖𝛿𝑡‖

= 0. Diasumsikan bahwa fungsi 𝑉 merupakan fungsi yang bisa diturunkan

dan kontinu (continously differentiable). Maka kita bisa menderetkan Taylor fungsi 𝑉 terhadap 𝛿𝑡, sehingga didapatkan hasil sebagai berikut: 𝑉[𝑥(𝑡 + 𝛿𝑡), 𝑡 + 𝛿𝑡] = 𝑉(𝑥, 𝑡) + [𝑉𝑥 (𝑥, 𝑡)𝑥̇ + 𝑉𝑡 (𝑥, 𝑡)]𝛿𝑡 + 𝑜(𝛿𝑡),

(2.18)

dengan 𝑉𝑥 dan 𝑉𝑡 merupakan turunan parsial dari 𝑉(𝑥, 𝑡) terhadap 𝑥 dan 𝑡, serta 𝑥̇ yang diperoleh dari 𝛿𝑥 = 𝑥(𝑡 + 𝛿𝑡) − 𝑥(𝑡) 𝛿𝑥 𝑥(𝑡 + 𝛿𝑡) − 𝑥(𝑡) = 𝛿𝑡 𝛿𝑡 𝛿𝑥 𝑥(𝑡 + 𝛿𝑡) − 𝑥(𝑡) = lim 𝛿𝑡→0 𝛿𝑡 𝛿𝑡→0 𝛿𝑡 lim

= 𝑥̇ kemudian mensubstitusikan 𝑥̇ pada persamaan (2.8) ke dalam persamaan (2.17), sehingga didapatkan: 𝑉(𝑥, 𝑡) = max {𝐹(𝑥, 𝑢, 𝑡)𝛿𝑡 + 𝑉(𝑥, 𝑡) + 𝑢∈𝛺(𝑡)

𝑉𝑥 (𝑥, 𝑡)𝑓(𝑥, 𝑢, 𝑡)𝛿𝑡 + 𝑉𝑡 (𝑥, 𝑡)𝛿𝑡} + 𝑜(𝛿𝑡).

(2.19)


Dengan menghilangkan 𝑉(𝑥, 𝑡) pada kedua ruas dan diikuti membagi kedua ruas dengan 𝛿𝑡 didapatkan 0 = max {𝐹(𝑥, 𝑢, 𝑡) + 𝑉𝑥 (𝑥, 𝑡)𝑓(𝑥, 𝑢, 𝑡) + 𝑉𝑡 (𝑥, 𝑡)} + 𝑢∈𝛺(𝑡)

𝑜(𝛿𝑡) . 𝛿𝑡

(2.20)

Misalkan 𝛿𝑡 → 0 maka persamaan di atas berubah menjadi 0 = max {𝐹(𝑥, 𝑢, 𝑡) + 𝑉𝑥 (𝑥, 𝑡)𝑓(𝑥, 𝑢, 𝑡) + 𝑉𝑡 (𝑥, 𝑡)} 𝑢∈𝛺(𝑡)

(2.21)

dengan batas 𝑇

𝑉(𝑥, 𝑡) = 𝑚𝑎𝑥 ∫ 𝐹(𝑥(𝑠), 𝑢(𝑠), 𝑠)𝑑𝑠 + 𝑆(𝑥(𝑇), 𝑇) 𝑢(𝑠)∈𝛺(𝑠) 𝑡

𝑇

𝑉(𝑥, 𝑇) = 𝑚𝑎𝑥 ∫ 𝐹(𝑥(𝑠), 𝑢(𝑠), 𝑠)𝑑𝑠 + 𝑆(𝑥(𝑇), 𝑇) 𝑢(𝑠)∈𝛺(𝑠) 𝑇

𝑚𝑎𝑥 0 + 𝑆(𝑥(𝑇), 𝑇) 𝑉(𝑥, 𝑇) = 𝑢(𝑠)∈𝛺(𝑠) 𝑉(𝑥, 𝑇) = 𝑆(𝑥, 𝑇).

(2.22)

Perlu diingat bahwa vektor 𝑉𝑥 (𝑥, 𝑡) dapat diinterpretasikan sebagai kontribusi marginal dari variabel kondisi 𝑥 untuk memaksimalkan fungsi tujuannya. Disimbolkan vektor marginal sepanjang lintasan 𝑥 ∗ (𝑡) dengan vektor baris adjoin 𝜆(𝑡)𝜖𝐸 𝑛 sebagai berikut: 𝜆(𝑡) = 𝑉𝑥 (𝑥 ∗ (𝑡), 𝑡) ≔ 𝑉𝑥 (𝑥, 𝑡)|𝑥=𝑥 ∗(𝑡) .

(2.23)

dengan 𝜆(𝑡) dapat diinterpretasikan sebagai perubahan kecil fungsi tujuannya sebesar 𝑥 ∗ (𝑡) pada waktu 𝑡. Selanjutnya akan diberikan bentuk fungsi Hamiltonian, yaitu:


𝐻[𝑥, 𝑢, 𝑉𝑥 , 𝑡] = 𝐹(𝑥, 𝑢, 𝑡) + 𝜆𝑓(𝑥, 𝑢, 𝑡)

(2.24)

atau dapat disederhanakan menjadi, 𝐻[𝑥, 𝑢, 𝜆, 𝑡] = 𝐹(𝑥, 𝑢, 𝑡) + 𝜆𝑓(𝑥, 𝑢, 𝑡).

(2.25)

Persamaan (2.21) dapat dituliskan kembali menjadi, 0 = max [𝐻(𝑥, 𝑢, 𝑉𝑥 , 𝑡) + 𝑉𝑡 ], 𝑢∈𝛺(𝑡)

(2.26)

yang disebut dengan persamaan Hamilton-Jacobi-Bellman atau persamaan (HJB). Hamiltonian memaksimalkan kondisi dari prinsip maksimum dapat dihitung dari persamaan (2.26) dan (2.23) dengan memastikan bahwa, jika 𝑥 ∗ (𝑡) dan 𝑢∗ (𝑡) merupakan nilai yang paling optimal dari variabel kondisi dan kendali serta 𝜆(𝑡) adalah nilai dari variabel adjoin pada waktu 𝑡 yang bersesuaian, maka kendali optimal 𝑢∗ (𝑡) harus memenuhi persamaan (2.26) untuk semua 𝑢 ∈ 𝛺(𝑡), 𝐻[𝑥 ∗ (𝑡), 𝑢∗ (𝑡), 𝜆(𝑡), 𝑡] + 𝑉𝑡 (𝑥 ∗ (𝑡), 𝑡)

(2.27)

≥ 𝐻[𝑥 ∗ (𝑡), 𝑢(𝑡), 𝜆(𝑡), 𝑡] + 𝑉𝑡 (𝑥 ∗ (𝑡), 𝑡) Dengan menghilangkan 𝑉(𝑡) pada kedua ruas, maka didapatkan 𝐻[𝑥 ∗ (𝑡), 𝑢∗ (𝑡), 𝜆(𝑡), 𝑡] ≥ 𝐻[𝑥 ∗ (𝑡), 𝑢(𝑡), 𝜆(𝑡), 𝑡]

(2.28)

untuk semua 𝑢 ∈ 𝛺(𝑡). Untuk sampai pada prinsip maksimum, ada aspek yang lain yang digunakan untuk menghitung prinsip maksimum, yaitu derivasi persamaan adjoin.


F.

Derivasi Persamaan Adjoin Derivasi persamaan adjoin didapatkan dari persamaan HJB (2.26). Perlu diingat

kembali bahwa 𝑥 ∗ , 𝑢∗ memaksimalkan ruas kanan pada persamaan (2.26) dan nilai maksimumnya adalah nol. Karenanya, misalkan 𝑥(𝑡) = 𝑥 ∗ (𝑡) + 𝛿𝑥(𝑡),

(2.29)

dengan 𝛿𝑥(𝑡), ∥ 𝛿𝑥(𝑡) ∥< 𝜀 untuk 𝜀 kecil positif. Persamaan (2.26) dapat dituliskan kembali sebagai 𝐻[𝑥 ∗ (𝑡), 𝑢∗ (𝑡), 𝑉𝑥 (𝑥 ∗ (𝑡), 𝑡), 𝑡] + 𝑉𝑡 (𝑥 ∗ (𝑡), 𝑡)

(2.30)

≥ 𝐻[𝑥(𝑡), 𝑢∗ (𝑡), 𝑉𝑥 (𝑥 ∗ (𝑡), 𝑡), 𝑡] + 𝑉𝑡 (𝑥(𝑡), 𝑡). Agar lebih mudah dipahami, persamaan (2.26) menjelaskan bahwa ruas kanan dari persamaan (2.30) sama dengan nol jika 𝑢∗ (𝑡) juga merupakan kendali optimal untuk 𝑥(𝑡). Pada umumnya, untuk 𝑥(𝑡) ≠ 𝑥 ∗ (𝑡) maka ruas kanan tidak akan bernilai nol. Ruas kanan dari persamaan (2.30) akan mencapai nilai maksimumnya (nol) saat 𝑥(𝑡) = 𝑥 ∗ (𝑡). Dengan kata lain, apabila ingin mencari fungsi 𝑥(𝑡) yang paling maksimum maka harus dihitung turunan pertama ruas kanan terhadap 𝑥, 𝐻𝑥 [𝑥(𝑡), 𝑢∗ (𝑡), 𝑉𝑥 (𝑥 ∗ (𝑡), 𝑡), 𝑡] + 𝑉𝑡𝑥 (𝑥(𝑡), 𝑡) = 0.

(2.31)

Diasumsikan bahwa 𝑉 merupakan fungsi yang bisa diturunkan dua kali secara kontinu. Dengan menggunakan definisi Hamiltonian pada persamaan (2.24), identitas (2.22), dan fakta bahwa 𝑉𝑥𝑥 = (𝑉𝑥𝑥 )𝑇 , didapatkan 𝐹𝑥 + 𝑉𝑥 𝑓𝑥 + 𝑓 𝑇 𝑉𝑥𝑥 + 𝑉𝑡𝑥 = 𝐹𝑥 + 𝑉𝑥 𝑓𝑥 + (𝑉𝑥𝑥 𝑓)𝑇 + 𝑉𝑡𝑥 = 0, dengan simbol ᵀ merupakan operasi transpose.

(2.32)


Persamaan (2.32) merupakan langkah terpenting dalam menentukan turunan atau derivasi dari persamaaan adjoin. Untuk menentukan turunan dari persamaan adjoin, dimulai dari menurunkan 𝑉𝑥 (𝑥, 𝑡) terhadap 𝑡. Maka, 𝑑𝑉𝑥1 𝑑𝑉𝑥2 𝑑𝑉𝑥𝑛 𝑑𝑉𝑥 =( , ,…, ) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 = (𝑉𝑥1 𝑥 𝑥̇ + 𝑉𝑥1 𝑡 , 𝑉𝑥2 𝑥 𝑥̇ + 𝑉𝑥2 𝑡 , … , 𝑉𝑥𝑛𝑥 𝑥̇ + 𝑉𝑥𝑛𝑡 ) = (∑

𝑛 𝑖=1

𝑉𝑥1𝑥𝑖 𝑥̇ 𝑖 , ∑

𝑛 𝑖=1

𝑉𝑥2𝑥𝑖 𝑥̇ 𝑖 , … , ∑

𝑛 𝑖=1

𝑉𝑥𝑛𝑥𝑖 𝑥̇ 𝑖 ) + (𝑉𝑥 )𝑡

= (𝑉𝑥𝑥 𝑥̇ )𝑇 + 𝑉𝑥𝑡 = (𝑉𝑥𝑥 𝑓)𝑇 + 𝑉𝑡𝑥 . (2.33) Karena ruas kanan persamaan (2.33) sama dengan dua langkah terakhir pada persamaan (2.32), maka persamaan (2.33) menjadi 𝑑𝑉𝑥 𝑑𝑡

= −𝐹𝑥 − 𝑉𝑥 𝑓𝑥 .

(2.34)

Pada persamaan (2.23) telah didefinisikan 𝜆 = 𝑉𝑥 , jadi persamaan (2.34) dapat dituliskan kembali menjadi 𝜆̇ = −𝐹𝑥 − 𝑉𝑥 𝑓𝑥 . Apabila dilihat kembali, persamaan di atas merupakan hasil dari turunan parsial 𝐻 pada persamaan (2.25) tehadap 𝑥. Karenanya, bentuk dari persamaan adjoin adalah sebagai berikut: 𝜆̇ = −𝐻𝑥 .

(2.35)


Dari definisi 𝜆 pada persamaan (2.23) dan kondisi batas pada persamaan (2.22), maka didapatkan kondisi batas akhir (terminal boundary condition), 𝜆(𝑇) = 𝑉𝑥 (𝑇) =

𝜕𝑉(𝑥, 𝑇) 𝜕𝑥

=

𝜕𝑆(𝑥, 𝑇) 𝜕𝑥

=

𝜕𝑆(𝑥, 𝑇) |𝑥=𝑥(𝑇) = 𝑆𝑥 [𝑥(𝑇), 𝑇]. 𝜕𝑥 (2.36)

Dari definisi Hamiltonian pada persamaan (2.25), persamaan kondisi juga dapat ditulis sebagai 𝑥̇ = 𝑓 = 𝐻𝜆 ,

(2.37)

Persamaan (2.25) dan (2.37) dapat dituliskan menjadi sebuah sistem sebagai berikut 𝑥̇ = 𝐻𝜆 , 𝑥(0) = 𝑥0 { ̇ 𝜆 = −𝐻𝑥 , 𝜆(𝑇) = 𝑆𝑥 [𝑥(𝑇), 𝑇],

(2.38)

G. Prinsip Maksimum Karena sebelumnya telah dijelaskan mengenai persamaan Hamiltonian dan derivasi persamaan adjoin, maka prinsip maksimum sudah bisa dirumuskan. Berikut ini adalah kondisi-kondisi yang harus dipenuhi agar 𝑢∗ merupakan suatu kendali optimal:


𝑥̇ ∗ = 𝑓(𝑥 ∗ , 𝑢∗ , 𝑡), 𝑥 ∗ (0) = 𝑥0 , { 𝜆̇ = −𝐻𝑥 [𝑥 ∗ , 𝑢∗ , 𝜆, 𝑡], 𝜆(𝑇) = 𝑆𝑥 [𝑥(𝑇), 𝑇], 𝐻[𝑥 ∗ (𝑡), 𝑢∗ (𝑡), 𝜆(𝑡), 𝑡] ≥ 𝐻[𝑥 ∗ (𝑡), 𝑢, 𝜆(𝑡), 𝑡],

(2.39)

untuk semua 𝑢 ∈ 𝛺(𝑡), 𝑡 ∈ [0, 𝑇]. Hal ini menegaskan kembali bahwa kondisi 𝑥 ∗ (𝑡) dan adjoin 𝜆(𝑡) pada Hamiltonian di kedua ruasnya ikut memaksimalkan persamaan (2.39). Selanjutnya, 𝑢∗ (𝑡) harus maksimum global dari Hamiltonian 𝐻[𝑥 ∗ (𝑡), 𝑢, 𝜆(𝑡), 𝑡] dengan 𝑢 ∈ 𝛺(𝑡). Oleh karena itu, persamaan (2.39) disebut Prinsip Maksimum (maximum principle). Terdapat dua cara untuk menyelesaikan sistem tersebut. Cara pertama dengan menyelesaikan persamaan adjoin terlebih dahulu untuk mendapatkan kendali optimal 𝑢∗ kemudian didapatkan 𝑥 ∗ . Cara kedua digunakan apabila Hamiltonian dapat dimaksimalkan dengan fungsi kendali 𝑢∗ (𝑡) = 𝑢[𝑥 ∗ (𝑡), 𝑢, 𝜆(𝑡), 𝑡], kemudian disubstitusikan pada fungsi kondisi dan fungsi adjoin untuk mendapatkan dua nilai batas pada persamaan diferensial, 𝑥̇ ∗ = 𝑓(𝑥 ∗ , 𝑢(𝑥 ∗ , 𝜆, 𝑡), 𝑡), 𝑥 ∗ (0) = 𝑥0 , { ̇ 𝑥 (𝑥 ∗ , 𝑢(𝑥 ∗ , 𝜆, 𝑡), 𝑡), 𝜆(𝑇) = 𝑆𝑥 [𝑥 ∗ (𝑇), 𝑇]. 𝜆 = −𝐻 Untuk lebih memahami cara menyelesaikan masalah kendali optimal menggunakan prinsip maksimum, akan diberikan contoh-contoh sederhana sebagai berikut.


G.1. Contoh Prinsip Maksimum Diberikan masalah: 1

𝑚𝑎𝑥 {𝐽 = ∫ −𝑥𝑑𝑡} 0

terhadap kondisi 𝑥̇ = 𝑢, 𝑥(0) = 1 dan kendali 𝑢 ∈ Ω = [−1,1] Diketahui bahwa 𝑇 = 1, 𝐹 = −𝑥, 𝑆 = 0, dan 𝑓 = 𝑢. Karena 𝐹 = −𝑥, hal ini bisa dianggap sebagai masalah meminimalkan luas daerah di bawah kurva 𝑥(𝑡), untuk 0 ≤ 𝑡 ≤ 1. Penyelesaian Menurut informasi-informasi yang telah didapatkan di atas, dapat dibentuk persamaan Hamiltonian sebagai berikut: 𝐻(𝑥, 𝑢, 𝜆, 𝑡) = 𝐹(𝑥, 𝑢, 𝑡) + 𝜆𝑓(𝑥, 𝑢, 𝑡) 𝐻 = −𝑥 + 𝜆𝑢. Persamaan Hamiltonian tersebut linier dalam 𝑢. Fungsi yang dapat digunakan untuk menyelesaikan Hamiltonian di atas adalah 𝑢∗ (𝑡) = 𝑏𝑎𝑛𝑔[−1,1; 𝜆(𝑡)]. Fungsi bang (bang function) digunakan pada masalah kendali optimal linier yang didefinisikan sebagai berikut:


jika 𝑊 < 0,

𝑏1 𝑏𝑎𝑛𝑔[𝑏1 , 𝑏2 ; 𝑊] = {tidak terdefinisi 𝑏2

jika 𝑊 = 0, jika 𝑊 > 0.

Pada contoh ini, jika 𝜆(𝑡) < 0, −1 𝑢∗ = {tidak terdefinisi jika 𝜆(𝑡) = 0, 1 jika 𝜆(𝑡) > 0.

Untuk mencari nilai 𝜆, digunakan persamaan adjoin sebagai berikut 𝜆̇ = −𝐻𝑥 𝜆̇ = −(−𝑥 + 𝜆𝑢)𝑥 𝜆̇ = (𝑥 − 𝜆𝑢)𝑥 𝜆̇ = 1 dan 𝜆(1) = 𝑆𝑥 [𝑥(𝑇), 𝑇] 𝜆(1) = 0 Persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan mudah karena tidak memuat 𝑥 dan 𝑢. 𝜆̇ = 1 𝑑𝜆 =1 𝑑𝑡 𝑑𝜆 = 𝑑𝑡


𝜆(𝑡) = 𝑡 + 𝐶 Dengan menggunakan informasi 𝜆(1) = 0, didapatkan 𝜆(1) = 0 𝜆(1) = 1 + 𝐶 0 =1+𝐶 𝐶 = −1 𝜆(𝑡) = 𝑡 − 1 Yang berarti bahwa 𝜆(𝑡) = 𝑡 − 1 ≤ 0 untuk semua 𝑡 ∈ [0,1] dan 𝑢∗ (𝑡) = −1 dengan mendefinisikan 𝑢 pada satu titik 𝑡 = 1, didapat kendali optimal 𝑢∗ (𝑡) = −1 untuk 𝑡 ∈ [0,1]. Kemudian masukkan persamaan tersebut pada persamaan kondisi 𝑥̇ = 𝑢, 𝑥(0) = 1 didapatkan 𝑥̇ = −1, 𝑥(0) = 1 Yang mana penyelesaiannya adalah sebagai berikut 𝑥̇

= −1

𝑑𝑥 = −1 𝑑𝑡 𝑑𝑥 = −𝑑𝑡 𝑥(𝑡) = −𝑡 + 𝐶 Karena 𝑥(0) = 1 𝑥(0) = 1 𝑥(0) = 0 + 𝐶


1 =𝐶 𝐶 =1 Maka penyelesaiannya adalah 𝑥(𝑡) = 1 − 𝑡 untuk 𝑡 ∈ [0,1]. Nilai dari fungsi tujuannya adalah sebagai berikut 1

𝐽∗ = ∫ (1 − 𝑡)𝑑𝑡 0

1 2 1 = (𝑡 − 𝑡 )] 2 0 1 𝐽∗ = − . 2 Berikut adalah grafik yang akan menampilkan laju 𝑥(𝑡), 𝑢∗ (𝑡), dan 𝜆(𝑡) terhadap waktu 𝑡:

Gambar 2.2. Grafik Contoh H.1.


H. Prinsip Maksimum Dengan Kendala Ketidaksamaan Campuran Dalam subbab sebelumnya telah dijelaskan mengenai prinsip maksimum namun tanpa kendala ketidaksamaan campuran. Yang membedakannya, pada subbab ini ditambahkan kendala pada variabel keaadaan dan variabel kendali. Khususnya, untuk setiap 𝑡 ∈ [0, 𝑇], 𝑥(𝑡) dan 𝑢(𝑡) harus memenuhi 𝑔(𝑥, 𝑢, 𝑡) ≥ 0,

𝑡 ∈ [0, 𝑇],

(2.40)

dengan 𝑔: 𝐸 𝑛 × 𝐸 𝑚 × 𝐸1 → 𝐸 𝑞 terdiferensial secara kontinu di semua titik dan harus memuat 𝑢. Kendala (2.40) disebut dengan kendala ketaksamaan (inequality constraint). Kondisi akhir (terminal state) dibatasi oleh pertidaksamaan dan persamaan: 𝑎(𝑥(𝑇), 𝑇) ≥ 0

(2.41)

𝑏(𝑥(𝑇), 𝑇) = 0

(2.42)

dengan : 𝐸 𝑛 × 𝐸1 → 𝐸𝐼𝑎 dan 𝑏: 𝐸 𝑚 × 𝐸1 → 𝐸𝐼𝑏 terdiferensial secara kontinu di semua titik. Kendali 𝑢 disebut kendali yang memungkinkan (admissible control) apabila 𝑢 kontinu sepotong-sepotong atau lebih lanjutnya 𝑢(𝑡) dan 𝑥(𝑡) harus memenuhi kendala (2.40), (2.41), dan (2.42). Dalam merumuskan prinsip maksimum, didefinisikan fungsi Hamiltonian 𝐻: 𝐸 𝑛 × 𝐸 𝑚 × 𝐸 𝑛 × 𝐸1 × 𝐸1 → 𝐸1 sebagai 𝐻[𝑥, 𝑢, 𝜆, 𝑡] ∶= 𝐹(𝑥, 𝑢, 𝑡) + 𝜆𝑓(𝑥, 𝑢, 𝑡)

(2.43)

dengan 𝜆 ∈ 𝐸 𝑛 (vektor baris). Didefinisikan pula fungsi Lagrangian 𝐿: 𝐸 𝑛 × 𝐸 𝑚 × 𝐸 𝑛 × 𝐸 𝑞 × 𝐸1 → 𝐸1 sebagai


𝐿[𝑥, 𝑢, 𝜆, 𝜇, 𝑡] ∶= 𝐻[𝑥, 𝑢, 𝜆, 𝑡] +𝜇𝑔(𝑥, 𝑢, 𝑡)

(2.44)

dengan 𝜇 ∈ 𝐸 𝑞 sebuah vektor baris, yang kompennya disebut dengan pengali Lagrang. Pengali Lagrang ini memiliki sifat: 𝜇 ≥ 0,

(2.45)

𝜇𝑔(𝑥, 𝑢, 𝑡) = 0.

Vektor adjoin harus memenuhi 𝜆̇ = −𝐿𝑥 [𝑥, 𝑢, 𝜆, 𝜇, 𝑡]

(2.46)

dengan batas 𝜆(𝑇) = 𝑆𝑥 (𝑥(𝑇), 𝑇)

+𝛼𝑎(𝑥(𝑇), 𝑇)

𝛼 ≥ 0,

+𝛽𝑏(𝑥(𝑇), 𝑇)

𝛼𝑎(𝑥(𝑇), 𝑇) = 0

dengan 𝛼 ∈ 𝐸𝐼𝑎 dan 𝛽 ∈ 𝐸𝐼𝑏 adalah vektor konstan. Informasi-informasi di atas dapat diringkas ke dalam tabel 2.3 sebagai berikut: 𝑥̇ ∗ = 𝑓(𝑥 ∗ , 𝑢∗ , 𝑡), 𝑥 ∗ (0) = 𝑥0 , Memenuhi kendala akhir 𝑎(𝑥 ∗ (𝑇), 𝑇) ≥ 0 dan 𝑏(𝑥 ∗ (𝑇), 𝑇) = 0, 𝜆̇ = −𝐿𝑥 [𝑥 ∗ , 𝑢∗ , 𝜆, 𝜇, 𝑡] Dengan kondisi transversalitas 𝜆(𝑇) = 𝑆𝑥 (𝑥 ∗ (𝑇), 𝑇) + 𝛼𝑎(𝑥 ∗ (𝑇), 𝑇) + 𝛽𝑏(𝑥 ∗ (𝑇), 𝑇),𝛼 ≥ 0, 𝛼𝑎(𝑥 ∗ (𝑇), 𝑇) = 0 Syarat maksimum Hamiltonian 𝐻[𝑥 ∗ (𝑡), 𝑢∗ (𝑡), 𝜆(𝑡), 𝑡] ≥ 𝐻[𝑥 ∗ (𝑡), 𝑢(𝑡), 𝜆(𝑡), 𝑡] Untuk setiap 𝑡 ∈ [0, 𝑇] semua 𝑢 memenuhi


𝑔[𝑥 ∗ (𝑡), 𝑢, 𝑡] ≥ 0, Dan pengali Lagrange 𝜇(𝑡) sedemikian sehingga 𝜕𝐿 𝜕𝐻 𝜕𝑔 |𝑢=𝑢∗(𝑡) ∶= ( + 𝜇 ) |𝑢=𝑢∗(𝑡) = 0 𝜕𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑢 Dan kondisi complementary slackness 𝜇(𝑡) ≥ 0, 𝜇(𝑡)𝑔(𝑥 ∗ , 𝑢∗ , 𝑡) = 0 dipenuhi Tabel 2.3. Prinsip Maksimum Dengan Kendala Ketidaksamaan Campuran

H.1. Contoh Prinsip Maksimum Dengan Kendala Ketidaksamaan Campuran 1

Maks {𝐽 = ∫0 𝑢𝑑𝑡 } terhadap 𝑥̇ = 𝑢,

𝑥(0)

(2.47)

= 1, 𝑢 ≥ 0,

𝑥−𝑢 ≥ 0.

Ingat bahwa kendala (3.11) dapat ditulis sebagai 0 ≤ 𝑢 ≤ 𝑥.

Penyelesaian Dari soal di atas dapat dibentuk fungsi Hamiltonian sebagai berikut: 𝐻 = 𝐹 + 𝜆𝑓 𝐻 = 𝑢 + 𝜆𝑢

(2.48)


𝐻 = (1 + 𝜆)𝑢, Karena 𝑢 linier, maka bentuk kendali optimalnya adalah 𝑢∗ = bang[0, 𝑥; 1 + 𝜆].

(2.49)

Ingat bahwa kendala (2.48) merupakan kasus khusus, sehingga untuk mendapatkan persamaan adjoinya terlebih dahulu dibentuk Lagrangian sebagai berikut: 𝐿 = 𝐻 +𝜇𝑔 = 𝐻 + 𝜇(𝑔1 + 𝑔2 ) = 𝐻 + 𝜇1 𝑢 + 𝜇2 (𝑥 − 𝑢) = (1 + 𝜆)𝑢 + 𝜇1 𝑢 + 𝜇2 (𝑥 − 𝑢) 𝐿 = 𝜇2 𝑥 + (1 + 𝜆 + 𝜇1 − 𝜇2 )𝑢 Dari Lagrangian didapatkan persamaan adjoin 𝜆̇ = −𝐿𝑥 = (𝜇2 𝑥 + (1 + 𝜆 + 𝜇1 + 𝜇2 )𝑢)𝑥 𝜆̇ = 𝜇2 , 𝜆(1) = 0.

(2.50)

Adapun hal lain yang perlu diingat bahwa kendali optimal harus memenuhi 𝐿𝑢 sebagai berikut 𝐿𝑢 = 1 + 𝜆 + 𝜇1 − 𝜇2 = 0,

(2.51)

dan dari persamaan (2.45) 𝜇1 dan 𝜇2 harus memenuhi sifat 𝜇1 ≥ 0, 𝜇1 𝑔 = 𝜇1 𝑢 = 0,

(2.52)

𝜇2 ≥ 0, 𝜇2 = 𝜇2 (𝑥 − 𝑢) = 0.

(2.53)


Dari persamaan (2.47) dan (2.48) didapatkan 𝑢∗ = 0 atau 𝑢∗ = 𝑥. Untuk 𝑢∗ = 𝑥 solusi persamaan (2.47) adalah 𝑥̇

=𝑥

𝑑𝑥 =𝑥 𝑑𝑡 ∫

𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑡 𝑥

𝑙𝑛(𝑥) = 𝑡 + 𝐶 𝑥 = 𝑘𝑒 𝑡 Diketahui kondisi awal 𝑥(0) = 1, dengan begitu 𝑥(0) = 𝑘𝑒 0 1 =𝑘 𝑥(𝑡) = 𝑒 𝑡 Karena 𝑥 = 𝑒 𝑡 > 0 menyebabkan 𝑢∗ = 𝑥 > 0; dengan begitu dari persamaan (2.52) dapat disimpulkan 𝜇1 = 0. Dari persamaan (2.51) substitusikan 𝜇1 = 0 1 + 𝜆 + 𝜇1 − 𝜇2 = 0 1 + 𝜆 + 0 − 𝜇2 = 0 𝜇2 = 1 + 𝜆 Kemudian

substitusikan

𝜇2 = 1 + 𝜆

ke

dalam

persamaan

menyelesaikannya sehingga didapat penyelesaian sebagai berikut 𝜆̇ = −𝜇2

(2.50)

dan


𝜆̇ = −(1 + 𝜆) 𝑑𝜆 = −(1 + 𝜆) 𝑑𝑡 ∫

𝑑𝜆 = ∫ −𝑑𝑡 (1 + 𝜆)

𝑙𝑛(1 + 𝜆) = −𝑡 + 𝐶 1 + 𝜆 = 𝑘𝑒 −𝑡 Diketahui 𝜆(1) = 0, 𝜆(1) = 0 1 + 𝜆(1) = 𝑘𝑒 −1 1 =

𝑘 𝑒

𝑒 =𝑘 1 + 𝜆(𝑡) = 𝑒𝑒 −𝑡 1 + 𝜆(𝑡) = 𝑒 1−𝑡 .

(2.54)

Karena ruas kanan dari persamaan (2.54) selalu positif, 𝑢∗ = 𝑥 memenuhi (2.49). Perhatikan bahwa 𝜇2 = 1 + 𝜆 = 𝑒 1−𝑡 ≥ 0 dan 𝑥 − 𝑢∗ = 0, jadi persamaan (2.53) terpenuhi. Berikut adalah grafik yang memperlihatkan laju 𝑥(𝑡) dan 𝑢∗ terhadap waktu 𝑡:


Gambar 2.3. Grafik Contoh I.1

I.

Nilai Sekarang (Current-Value) Dalam masalah ekonomi dan manajemen, satuan dari fungsi tujuan adalah uang.

Nilai uang di masa depan akan mengalami penurunan. Sebagai permisalannya yaitu uang sebesar Rp 100.000,00 pada tahun 2016 masih dianggap banyak, namun belum tentu demikian pada tahun 2020. Diasumsikan suatu tingkat diskon konstan kontinu 𝜌 ≥ 0. Fungsi tujuan yang disertai dengan tingkat diskon 𝜌 merupakan bentuk khusus dari persamaan (2.10). Karenanya,


𝐹(𝑥, 𝑢, 𝑡) = 𝜙(𝑥, 𝑢)𝑒 −𝜌𝑡 dan 𝑆(𝑥, 𝑇) = 𝜎(𝑥)𝑒 −𝜌𝑇 . Fungsi tujuannya menjadi 𝑇

𝑚𝑒𝑚𝑎𝑘𝑠𝑖𝑚𝑎𝑙𝑘𝑎𝑛 {𝐽 = ∫ 𝜙(𝑥, 𝑢)𝑒 −𝜌𝑡 𝑑𝑡 + 𝜎[𝑥(𝑇)]𝑒 −𝜌𝑇 }

(2.54)

0

terhadap (2.8), (2.40), (2.41), dan (2.42). Untuk masalah nilai sekarang, bentuk dari persamaan Hamiltonian standar adalah 𝐻 𝑠 ∶= 𝑒 −𝜌𝑡 𝜙(𝑥, 𝑢) + 𝜆𝑠 𝑓(𝑥, 𝑢, 𝑡)

(2.55)

dan bentuk dari persamaan Lagrangian standar adalah 𝐿𝑠 ∶= 𝐻 𝑠 + 𝜇 𝑠 𝑔(𝑥, 𝑢, 𝑡)

(2.56)

dengan variabel adjoin standar 𝜆𝑠 dan pengali-pengali standar 𝛼 𝑠 dan 𝛽 𝑠 memenuhi 𝜆̇𝑠 = −𝐿𝑠𝑥

(2.57)

𝜆𝑠 (𝑇) = 𝑆𝑥 (𝑥(𝑇), 𝑇) + 𝛼 𝑠 𝑎𝑥 (𝑥(𝑇), 𝑇) + 𝛽 𝑠 𝑏𝑥 (𝑥(𝑇), 𝑇) = 𝑒 −𝜌𝑡 𝜎𝑥 (𝑥(𝑇), 𝑇) + 𝛼 𝑠 𝑎𝑥 (𝑥(𝑇), 𝑇)

(2.58)

+ 𝛽 𝑠 𝑏𝑥 (𝑥(𝑇), 𝑇), 𝛼 𝑠 ≥ 0, 𝛼 𝑠 𝑎(𝑥(𝑇), 𝑇) = 0,

(2.59)

𝜇 𝑠 ≥ 0, 𝜇 𝑠 𝑔 = 0.

(2.60)

dan 𝜇 𝑠 memenuhi

Pangkat 𝑠 digunakan untuk membedakan fungsi nilai sekarang. Sekarang akan didefinisikan Hamiltonian dari nilai sekarang: 𝐻[𝑥, 𝑢, 𝜆, 𝑡] ≔ 𝜙(𝑥, 𝑢) + 𝜆𝑓(𝑥, 𝑢, 𝑡)

(2.61)


dan Lagrangian dari nilai sekarang: 𝐿[𝑥, 𝑢, 𝜆, 𝜇, 𝑡] ∶= 𝐻 + 𝜇𝑔(𝑥, 𝑢, 𝑡).

(2.62)

𝜆 ∶= 𝑒 𝜌𝑡 𝜆𝑠 dan 𝜇 ∶= 𝑒 𝜌𝑡 𝜇 𝑠 ,

(2.63)

Sekarang didefinisikan

Kemudian persamaan (2.55) dan (2.56) dapat ditulis kembali menjadi 𝐻 = 𝑒 𝜌𝑡 𝐻 𝑠 dan

𝐿 = 𝑒 𝜌𝑡 𝐿𝑠 .

(2.64)

Karena 𝑒 𝜌𝑡 > 0, memaksimalkan 𝐻 𝑠 teradap 𝑢 pada waktu 𝑡 ekivalen dengan memaksimalkan nilai sekarang dari Hamiltonian 𝐻 terhadap 𝑢 pada waktu 𝑡. Selanjutnya, persamaan (2.63) diturunkan teradap 𝑡 didapatkan 𝜆̇ = 𝜌𝑒 𝜌𝑡 𝜆𝑠 + 𝑒 𝜌𝑡 𝜆̇𝑠 .

(2.65)

Untuk menyederanakan persamaan (2.65) digunakan persamaan (2.57), (2.63), dan fakta bahwa 𝐿𝑥 = 𝑒 𝜌𝑡 𝐿𝑠𝑥 yang diperoleh dari persamaan (2.64). Karenanya, 𝜆̇ = 𝜌𝑒 𝜌𝑡 𝜆𝑠 + 𝑒 𝜌𝑡 𝜆̇𝑠 = 𝜌𝜆 + 𝑒 𝜌𝑡 (−𝐿𝑠𝑥 ) = 𝜌𝜆 + 𝑒 𝜌𝑡 (−𝐿𝑥 𝑒 −𝜌𝑡 ) = 𝜌𝜆 − 𝐿𝑥 ,

𝜆(𝑇) = 𝜎𝑥 (𝑥(𝑇), 𝑇) + 𝛼 𝑠 𝛼𝑥 (𝑥(𝑇), 𝑇)

(2.66)

+ 𝛽 𝑠 𝛽𝑥 (𝑥(𝑇), 𝑇), dengan kondisi akhir untuk 𝜆(𝑇) merupakan akibat langsung dari persamaan (2.58) dengan menyubstitusikan definisi dari


𝛼 = 𝑒 𝜌𝑡 𝛼 𝑠 dan 𝛽 = 𝑒 𝜌𝑡 𝛽 𝑠 .

(2.67)

𝜆𝑠 (𝑇) = 𝑒 −𝜌𝑡 𝜎𝑥 (𝑥(𝑇), 𝑇) + 𝛼 𝑠 𝑎𝑥 (𝑥(𝑇), 𝑇) + 𝛽 𝑠 𝑏𝑥 (𝑥(𝑇), 𝑇) 𝑒 𝜌𝑡 𝜆𝑠 (𝑇) = 𝑒 𝜌𝑡 [𝑒 −𝜌𝑡 𝜎𝑥 (𝑥(𝑇), 𝑇) + 𝑒 −𝜌𝑡 𝛼𝑎𝑥 (𝑥(𝑇), 𝑇) + 𝑒 −𝜌𝑡 𝛽𝑏𝑥 (𝑥(𝑇), 𝑇)] 𝜆(𝑇) = 𝜎𝑥 (𝑥(𝑇), 𝑇) + 𝛼 𝑠 𝛼𝑥 (𝑥(𝑇), 𝑇) + 𝛽 𝑠 𝛽𝑥 (𝑥(𝑇), 𝑇). Kondisi complimentary slackness ditentukan oleh pengali nilai Lagrang sekarang 𝜇 dan 𝛼 𝜇𝑠 ≥ 0

𝜇𝑠𝑔 = 0

𝜇𝑒 −𝜌𝑡 ≥ 0

𝜇𝑒 −𝜌𝑡 𝑔 = 0

𝜇 ≥ 0,

𝜇𝑔 = 0,

𝛼𝑠 ≥ 0

𝛼𝑠𝑎 = 0

𝛼𝑒 −𝜌𝑡 ≥ 0

𝛼𝑒 −𝜌𝑡 𝑎 = 0

𝛼 ≥ 0,

𝛼𝑎 = 0.

Jadi, nilai sekarang pada persamaan (3.14) akan menjadi 𝐻[𝑥 ∗ (𝑇 ∗ ), 𝑢∗ (𝑇 ∗ ), 𝜆(𝑇 ∗ ), 𝑇 ∗ ] − 𝜌𝜎[𝑥 ∗ (𝑇 ∗ )] = 0

J.

Titik Akhir Bebas (free-end point) Dalam kasus ini, kondisi akhir 𝑥(𝑇) tidak dikenai kendala. Karenanya, 𝑥(𝑇) ∈ 𝑋.

(2.68)


Dari kondisi akhir pada tabel 2.3 maka memungkinkan untuk masalah free-endpoint sehingga 𝑌 = 𝑋, 𝜆(𝑇) = 𝜎𝑥 [𝑥 ∗ (𝑇)].

(2.69)

Ini juga termasuk kondisi 𝜆(𝑇) = 0 pada kasus khusus dari 𝜎(𝑥) ≡ 0.

K. Jangka Waktu Tak Berhingga (Infinite Horizon) dan Stasioneritas Pada subbab ini akan dibahas apabila diberikan jangkauan waktu yang tak berhingga (𝑇 → ∞) pada fungsi tujuan (2.54) yang disebut dengan masalah jangka waktu tak beringga (infinite horizon). Ketika diberikan 𝑇 = ∞ pada fungsi tujuan (2.10) atau (2.54) yang bisa memunculkan masalah jangka waktu tak berhingga yang tidak stasioner. Beberapa masalah tersebut akan sulit untuk diselesaikan. Maka dari itu, pada subbab ini hanya akan dibahas mengenai masalah jangka waktu tak berhingga yang stasioner di mana tidak bergantung pada waktu 𝑡. Selanjutnya, diasumsikan 𝜎(𝑥) ≡ 0 untuk kasus jangka waktu tak berhingga. Untuk kasus penting dalam free-end-point, limit dari kondisi transversalitas akan dihitung dengan 𝑇 → ∞ pada persamaan nilai sekarang (present value): lim 𝜆𝑠 (𝑇) = 0 ⇒ lim 𝑒 −𝜌𝑡 𝜆(𝑇) = 0.

𝑇→∞

𝑇→∞

Kasus penting yang lain adalah kendala satu sisi lim 𝑥(𝑇) ≥ 0.

𝑇→∞

Maka, kondisi transversalitasnya adalah sebagai berikut

(2.70)


lim 𝑒 −𝜌𝑡 𝜆(𝑇) ≥ 0 dan lim 𝑒 −𝜌𝑡 𝜆(𝑇)𝑥 ∗ (𝑇) = 0.

𝑇→∞

𝑇→∞

(2.71)

Dalam masalah ekonomi, fungsi 𝜙, 𝑓, dan 𝑔 secara eksplisit tidak bergantung pada waktu 𝑡. Kondisi seperti ini disebut dengan stasioneritas. Khususnya pada persamaan (2.8), (2.40), dan (2.54), di mana 𝜙 tidak bergantung pada waktu 𝑡, dan tanpa kondisi akhir 𝑥(𝑇), stasioneritas mengakibatkan 𝑓(𝑥, 𝑢, 𝑡) = 𝑓(𝑥, 𝑢),

(2.72)

𝑔(𝑥, 𝑢, 𝑡) = 𝑔(𝑥, 𝑢). Ini berarti bahwa persamaan kondisi, persamaan adjoin nilai sekarang, dan nilai sekarang Hamiltonian pada (2.40) secara eksplisit tidak bergantung pada waktu 𝑡. Sistem yang demikian disebut dengan autonomous. Dalam kasus autonomous, fokusnya ada pada kesetimbangan di mana pergerakan akan berhenti, yaitu nilai dari 𝑥 dan 𝜆 yang mana 𝑥̇ = 0 dan 𝜆̇ = 0. Gagasan yang demikian disebut dengan long-run stationary equilibrium. Hal ini didefinisikan dengan quadraple {𝑥̅ , 𝑢̅, 𝜆̅, 𝜇̅ } yang memenuhi 𝑓(𝑥̅ , 𝑢̅) = 0, 𝜌𝜆̅ = 𝐿𝑥 [𝑥̅ , 𝑢, ̅ 𝜆̅, 𝜇̅ ], 𝜇̅ ≥ 0, 𝜇̅ 𝑔(𝑥̅ , 𝑢̅) = 0, dan 𝐻(𝑥̅ , 𝑢̅, 𝜆̅) ≥ 𝐻(𝑥̅ , 𝑢, 𝜆̅) untuk semua 𝑢 memenuhi 𝑔(𝑥̅ , 𝑢) ≥ 0.

(2.73)


Lebih jelasnya, jika kondisi awal 𝑥0 = 𝑥̅ maka kendali optimalnya adalah 𝑢∗ (𝑡) = 𝑢̅ untuk semua 𝑡. Jika kendala yang melibatkan 𝑔 tidak dikenakan, 𝜇̅ dapat dihhilangkan dari quadraple. Dalam hal ini, kesetimbangan didefinisikan dengan triple {𝑥̅ , 𝑢, ̅ 𝜆̅} yang memenuhi 𝑓(𝑥̅ , 𝑢̅) = 0, 𝜌𝜆̅ = 𝐻𝑥 [𝑥̅ , 𝑢, ̅ 𝜆̅], dan 𝐻𝑢 [𝑥̅ , 𝑢, ̅ 𝜆̅] = 0.

(2.74)


BAB III MODEL PERIKLANAN NERLOVE-ARROW

A.

Model Matematis Periklanan mempengaruhi penjualan pada waktu sekarang dan akan datang.

Nerlove dan Arrow memandang periklanan sebagai suatu penanaman modal dalam mengembangkan suatu modal periklanan yang sering kali disebut dengan goodwill. Atau dengan kata lain, goodwill adalah investasi periklanan. Goodwill dapat diciptakan dengan menambah pelanggan baru atau dengan mengubah selera dan pilihan konsumen, sehingga mengubah fungsi permintaan terhadap produk perusahaan. Goodwill dapat menurun seiring berjalannya waktu karena beralih ke produk atau brand lain sebagai akibat dari periklanan dengan terjadinya kompetisi dari perusahaanperusahaan dan adanya produk baru. Misalkan 𝐺(𝑡) ≥ 0 adalah menyatakan persediaan goodwill pada waktu 𝑡. Diandaikan bahwa persediaan goodwill menurun seiring berjalannya waktu dengan laju proporsional 𝛿, sehingga: 𝐺̇ = 𝑢 − 𝛿𝐺,

𝐺(0) = 𝐺0,

(3.1)

dengan 𝑢 = 𝑢(𝑡) ≥ 0 merupakan usaha periklanan pada waktu 𝑡 yang diukur dalam dollar per satuan waktu. Untuk merumuskan kendali optimal pada perusahaan, diasumsikan bahwa tingkat penjualan 𝑆(𝑡) tergantung pada goodwill 𝐺(𝑡), harga 𝑝(𝑡),

44


dan variabel lain 𝑍(𝑡). Variabel lain yang dimaksud seperti kebutuhan konsumen, besarnya populasi, dan pendapatan konsumen. Maka diperoleh persamaan: 𝑆 = 𝑆(𝑝, 𝐺, 𝑍).

(3.2)

Kemudian diasumsikan bahwa tingkat biaya total dari proses produksi adalah 𝑐(𝑆), maka akan diperoleh total pendapatan 𝑅 yaitu perkalian antara harga dengan tingkat penjualan dikurangi dengan tingkat biaya total proses produksi. Didapatkan persamaan sebagai berikut: 𝑅(𝑝, 𝐺, 𝑍) = 𝑝𝑆(𝑝, 𝐺, 𝑍) − 𝑐(𝑆).

(3.3)

Karena telah didapatkan rumusan pendapatan total, maka biaya periklanan dapat dirumuskan sebagai 𝑅(𝑝, 𝐺, 𝑍) − 𝑢. Kemudian, diasumsikan bahwa perusahaan ingin memaksimalkan pendapatan bersih dengan tingkat diskon 𝜌, sehingga didapatkan persamaan: ∞

max {𝐽 = ∫ 𝑒 −𝜌𝑡 [𝑅(𝑝, 𝐺, 𝑍) − 𝑢]𝑑𝑡}.

𝑢≥0,𝑝≥0

(3.4)

0

Faktor eksponensial menjelaskan bahwa nilai mata uang yang menurun seiring berjalannya waktu. Karena 𝑝 hanya muncul pada integran, 𝐽 dapat dimaksimalkan dengan memaksimalkan 𝑅 terlebih dulu terhadap 𝑝 dengan G tetap. Kemudian memaksimalkan hasilnya terhadap 𝑢. Maka diperoleh persamaan: 𝜕𝑅(𝑝, 𝐺, 𝑧) 𝜕𝑆 𝜕𝑆 =𝑆+𝑝 − 𝑐𝑠 = 0, 𝜕𝑝 𝜕𝑝 𝜕𝑝

(3.5)


yang secara implisit memberikan harga optimal 𝑝∗ = 𝑝(𝐺(𝑡), 𝑍(𝑡)). Kemudian 𝑝

𝜕𝑆

didefinisikan elastisitas permintaan terhadap harga 𝑝, yaitu 𝜂 = −(𝑆 )(𝜕𝑝). Elastisitas permintaan adalah ukuran kepekaan perubahan jumlah permintaan barang terhadap perubahan harga. Selanjutnya, persamaan (3.5) dapat ditulis menjadi: 𝜂𝑐 ′ (𝑆)

𝑝∗ =

𝜂−1

,

(3.6)

dengan kata lain, persamaan (3.6) tersebut menjelaskan bahwa pendapatan marjinal (𝜂 − 1)𝑝/𝜂 harus sama dengan biaya marjinal 𝑐′(𝑆). Untuk mendapatkan model kendali optimal yang diinginkan, selanjutnya akan didefinisikan 𝜋(𝐺, 𝑍) = 𝑅(𝑝∗ , 𝐺, 𝑍). Maka fungsi pada persamaan (3.4) dapat ditulis sebagai: ∞

max {𝐽 = ∫ 𝑒 −𝜌𝑡 [𝜋(𝐺, 𝑍) − 𝑢]𝑑𝑡}. 𝑢≥0

0

Untuk mempermudah, diasumsikan 𝑍 adalah suatu nilai konstan. Dengan demikian, masalah kendali optimal yang baru saja dirumuskan dapat dinyatakan kembali menjadi: ∞

max 𝐽 = ∫ 𝑒 −𝜌𝑡 [𝜋(𝐺) − 𝑢]𝑑𝑡 𝑢≥0

{

0

dengan kendala 𝐺̇ = 𝑢 − 𝛿𝐺, 𝐺(0) = 𝐺0

(3.7)


B.

Solusi Menggunakan Prinsip Maksimum Pada subbab kali ini, akan dibahas mengenai penyelesaian model periklanan

Nerlove-Arow menggunakan prinsip maksimum. Dari persamaan (3.7) didapatkan informasi 𝐹 = 𝜋(𝐺) − 𝑢 dan 𝑓 = 𝑢 − 𝛿𝐺 untuk membentuk persamaan Hamiltonian 𝐻 = 𝐹 + 𝜆𝑓 = (𝜋(𝐺) − 𝑢) + 𝜆(𝑢 − 𝛿𝐺) = 𝜋(𝐺) − 𝑢 + 𝜆𝑢 − 𝜆𝛿𝐺.

(3.8)

Setelah itu, dirumuskan persamaan adjoinnya sebagai berikut: 𝜆̇ = 𝜌𝜆 − 𝐻𝐺 = 𝜌𝜆 − [𝜋(𝐺) − 𝑢 + 𝜆𝑢 − 𝜆𝛿𝐺]𝐺 = 𝜌𝜆 − [ = 𝜌𝜆 −

𝜕𝜋 − 𝜆𝛿] 𝜕𝐺

𝜕𝜋 + 𝜆𝛿 𝜕𝐺

𝜕𝜋 𝜆̇ = 𝜆(𝜌 + 𝛿) − 𝜕𝐺

(3.9)

lim 𝑒 −𝜌𝑡 𝜆(𝑡) = 0.

(3.10)

dengan syarat cukup 𝑡→+∞

Persamaan Hamiltonian (3.8) dapat diinterpretasikan sebagai tingkat keuntungan dinamis: i.

(𝜋(𝐺) − 𝑢) merupakan tingkat laba bersih sekarang (current net profit rate).


ii.

𝜆𝐺̇ = 𝜆(𝑢 − 𝛿) merupakan goodwill baru yang didapat setelah periklanan ke 𝑢.

𝐺

𝜕𝑆

Kemudian, didefinisikan 𝛽 = ( 𝑆 ) (𝜕𝐺) sebagai elastisitas permintaan dari 𝜕𝑆

permintaan teradap goodwill. Dari 𝛽 bisa didapatkan (𝜕𝐺) =

𝛽𝑆 𝐺

. Ada tiga persamaan

yang perlu diingat kembali, yaitu: i.

Persamaan (3.3) yaitu 𝑅(𝑝, 𝐺, 𝑍) = 𝑝𝑆(𝑝, 𝐺, 𝑍) − 𝑐(𝑆)

ii.

Persamaan (3.5) yaitu

iii.

𝜕𝑅(𝑝,𝐺,𝑧) 𝜕𝑝

𝜕𝑆

𝜕𝑆

= 𝑆 + 𝑝 𝜕𝑝 − 𝑐𝑠 𝜕𝑝 = 0

𝜕𝜋 Persamaaan (3.9) yaitu 𝜆̇ = 𝜆(𝜌 + 𝛿) − 𝜕𝐺.

Ketiga persamaan tersebut akan digunakan untuk memperolehh 𝐺 yang optimal yaitu 𝐺 ∗ . Pada awal telah didefinisikan 𝜋(𝐺, 𝑍) = 𝑅(𝑝∗ , 𝐺, 𝑍). Maka, 𝜕𝜋 𝜕𝑅 𝜕𝑝∗ 𝜕𝑅 = ∙ + 𝜕𝐺 𝜕𝑝 𝜕𝐺 𝜕𝐺 =

𝜕𝑅 𝜕𝐺

=𝑝 Sedangkan dari definisi 𝛽 didapatkan

𝜕𝑆 𝜕𝑆 − 𝑐′ 𝜕𝐺 𝜕𝐺

𝜕𝑆 𝜕𝐺

=

𝑆𝛽 𝐺

𝑝

dan dari 𝑝∗ didapatkan 𝑝 − 𝑐 ′ = . Maka 𝜂

didapatkan 𝐺∗ =

𝛽𝑝𝑆 𝜂[(𝜌 + 𝛿)𝜆 − 𝜆̇]

.

(3.11)


𝐺 ∗ merupakan kondisi optimal dari goodwill. Di mana besarnya hasil dari penjualan akan berbanding lurus dengan elastisitas dari goodwill, berbanding terbalik dengan elastisitas harga, dan berbanding terbalik dengan jumlah biaya peluang marjinal (𝜌 + 𝛿)𝜆 ditambah dengan (−𝜆̇). Untuk menghitung titik kesetimbangan stasioner {𝐺̅ , 𝑢̅, 𝜆̅} digunakan persamaan (3.74). Dari persamaan (3.8) didapatkan 𝜕𝐻 = [𝜋(𝐺) − 𝑢 + 𝜆𝑢 − 𝜆𝛿𝐺]𝑢 𝜕𝑢 = −1 + 𝜆 dengan

𝜕𝐻 𝜕𝑢

= 0 maka didapatkan 𝜆 = 𝜆̅ = 1 dan 𝜆̇ = 0. Dengan mensubstitusikannya

ke dalam persamaan (3.11) didapatkan 𝐺̅ = 𝐺 𝑠 =

𝛽𝑝𝑆 . 𝜂(𝜌 + 𝛿)

(3.12)

Dalam persamaan periklanan Nerlove-Arrow, untuk mengetahui berapa besarnya 𝐺̅ , dapat dicari menggunakan 𝐺̇ = 𝑢 − 𝛿𝐺. Hal ini dikarenakan kondisi optimal yang 𝜕𝐺

diperoleh adalah stasioner yang mana tidak bergantung pada waktu 𝑡. Karenanya, 𝜕𝑡 = 𝐺̇ = 0, sehingga 𝑢 = 𝑢∗ = 𝛿𝐺̅ . Berikut adalah ilustrasi mengenai 𝐺̅ yang mana goodwill akan secepat mungkin menuju 𝐺̅ . Hal ini akan dibagi menjadi dua kasus, karena besar kecilnya goodwill yang dilakukan oleh perusahaan akan mempengaruhi kecepatannya menuju 𝐺̅ .


Kasus I. Kasus pertama yaitu jika 𝐺0 < 𝐺̅ , goodwill yang turun akan menuju 𝐺̅ secara cepat dengan menggunakan impuls pada saat 𝑡 = 0 dan kemudian melakukan kendali 𝑢∗ (𝑡) = 𝑢̅ = 𝛿𝐺̅ untuk 𝑡 > 0.

Gambar 3.1: Kasus 1 𝐺0 < 𝐺̅ .

Kasus II. Kasus kedua yaitu jika 𝐺0 > 𝐺̅ , kendali yang diberikan akan sama dengan nol sampai stok goodwill menurun menuju 𝐺̅ . Ketika sudah mencapai 𝐺̅ maka ada kendali yang diberikan yaitu 𝑢∗ (𝑡) = 𝑢̅ = 𝛿𝐺̅ . Karena apabila tidak diberi kendali, maka goodwill akan terus menurun. Kendali yang diberikan tersebut tetap dengan tujuan untuk mempertahankan laju 𝐺̅ dari goodwill.


Gambar 3.2: Kasus 2 𝐺0 > 𝐺̅ .

51


BAB IV

PENUTUP

A.

KESIMPULAN Pemasaran merupakan salah satu aspek penting untuk menentukan kesuksesan

keuangan suatu perusahaan. Pemasaran produk suatu perusahaan akan membuat konsumen mengetahui keberadaan perusahaan dan produk yang dihasilkan. Apabila keduanya semakin dikenal oleh konsumen, maka akan meningkatkan pendapatan suatu perusahaan tersebut. Salah satu strategi pemasaran adalah periklanan. Periklanan yang dilakukan dengan cara yang tepat akan membuat konsumen tertarik dengan produk yang dihasilkan oleh suatu perusahaan. Pada Model Periklanan Nerlove-Arrow, periklanan dapat digunakan sebagai suatu investasi, yang disebut goodwill, di mana akan mempengaruhi keuntungan perusahaan di masa sekarang dan di masa depan. Model Periklanan Nerlove-Arrow bertujuan untuk memaksimalkan keuntungan perusahaan dengan melakukan periklanan. Goodwill akan menurun seiring berjalannya waktu karena beralih ke produk atau brand lain sebagai akibat dari periklaan dengan terjadinya kompetisi dari perusahaan-perusahaan dan adanya produk baru. Oleh karena itu diperlukan kendali 𝑢(𝑡) untuk mengendalikan pergerakan dari goodwill. Prinsip maksimum digunakan untuk menemukan kendali terbaik dan digunakan dalam analisis model linier.

52


B.

SARAN Dalam menuliskan tugas akhir ini, penulis berharap agar para pembaca dapat

melanjutkan penulisan Model Periklanan Nerlove-Arrow pada analisis nonlinier dan memperbanyak contoh numeris agar lebih mudah dipahami. Selain itu, penulis berharap agar para pembaca dapat menganalisis model periklanan lain seperti model periklanan Vidale-Wolfe.


DAFTAR PUSTAKA

Chiang, Alpha C. (1992). Dynamic Optimization. New York: McGraw-Hill. Leonard, Daniel and Long, Ngo Van. (1992). Optimal Control Theory and Static Optimization in Economics and Management, 2nd Ed. Amsterdam: Elsevier Science B V. Sethi, Suresh P. dan Gerald L.T. (2000). Optimal Control Theory. Applications to Management Science and Economics. (2nd edition). New York: Springer. Sethi, Suresh P. (1977). Optimal Advertising for the Nerlove-Arrow Model Under a Budget Constraint. Operational Research Quarterly. 28(3): 683-693. Sethi, Suresh P. (1977). Dynamic Optimal Control Models in Advertising: A Survey. SIAM Review. 19(4):6885-725.

54


LAMPIRAN

Tabel 2.2: Variabel-Variabel Model Periklanan VariabelKondisi

𝐺(𝑡) = Goodwill

Variabel Kendali

𝑢(𝑡) = Tingkat periklanan

Persamaan Kondisi

𝐺̇ (𝑡) = 𝑢(𝑡) − 𝛿𝐺(𝑡),

Fungsi Tujuan

𝐺(0) = 𝐺0 ∞

Memaksimumkan {𝐽 = ∫ 𝑒 −𝜌𝑡 [𝜋(𝐺(𝑡)) − 𝑢(𝑡)]𝑑𝑡} 0

Kendala Kondisi

...

Kendala Kendali

0 ≤ 𝑢(𝑡) ≤ 𝑄

Kondisi Akhir

...

Fungsi Eksogen

𝜋(𝐺(𝑡)) = Laba kotor

Parameter

𝛿 = Nilai konstan goodwill 𝜌 = Tingkat diskon 𝑄 = Batas atas tingkat periklanan 𝐺0 = Nilai awal goodwill

Tabel 2.3. Prinsip Maksimum Dengan Kendala Ketidaksamaan Campuran 𝑥̇ ∗ = 𝑓(𝑥 ∗ , 𝑢∗ , 𝑡), 𝑥 ∗ (0) = 𝑥0 , Memenuhi kendala akhir 𝑎(𝑥 ∗ (𝑇), 𝑇) ≥ 0 dan 𝑏(𝑥 ∗ (𝑇), 𝑇) = 0,

55


𝜆̇ = −𝐿𝑥 [𝑥 ∗ , 𝑢∗ , 𝜆, 𝜇, 𝑡] Dengan kondisi transversalitas 𝜆(𝑇) = 𝑆𝑥 (𝑥 ∗ (𝑇), 𝑇) + 𝛼𝑎(𝑥 ∗ (𝑇), 𝑇) + 𝛽𝑏(𝑥 ∗ (𝑇), 𝑇),𝛼 ≥ 0, 𝛼𝑎(𝑥 ∗ (𝑇), 𝑇) = 0 Syarat maksimum Hamiltonian 𝐻[𝑥 ∗ (𝑡), 𝑢∗ (𝑡), 𝜆(𝑡), 𝑡] ≥ 𝐻[𝑥 ∗ (𝑡), 𝑢(𝑡), 𝜆(𝑡), 𝑡] Untuk setiap 𝑡 ∈ [0, 𝑇] semua 𝑢 memenuhi 𝑔[𝑥 ∗ (𝑡), 𝑢, 𝑡] ≥ 0, Dan pengali Lagrange 𝜇(𝑡) sedemikian sehingga 𝜕𝐿 𝜕𝐻 𝜕𝑔 |𝑢=𝑢∗(𝑡) ∶= ( + 𝜇 ) |𝑢=𝑢∗(𝑡) = 0 𝜕𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑢 Dan kondisi complementary slackness 𝜇(𝑡) ≥ 0, 𝜇(𝑡)𝑔(𝑥 ∗ , 𝑢∗ , 𝑡) = 0 dipenuhi

Langkah-langkah contoh 2.2 clc t=0:0.01:10; G=16; delta=0.05; rho=0.2; piG=2*sqrt(G); u=delta*G subplot(2,1,1) plot(t,G) xlabel('t') ylabel('G') subplot(2,1,2) plot(t,u) xlabel('t') ylabel('u') syms t J=int((exp(-rho*t))*(piG-u),0,inf); J

56


Langkah-langkah contoh G.1 clc t=0:0.01:1; lamda_t=t-1; xt=1-t; u_star=-1; subplot(3,1,1) plot(t,xt) xlabel('t') ylabel('x') subplot(3,1,2) plot(t,lamda_t) xlabel('t') ylabel('lambda') subplot(3,1,3) plot(t,u_star) xlabel('t') ylabel('u') syms t J=int(t-1,0,1); J

Langkah-langkah contoh H.1 clc t=0:0.01:1; xt=exp(t); u_star=xt; subplot(2,1,1) plot(t,xt) xlabel('t') ylabel('x') subplot(2,2,1) plot(t,u_star) xlabel('t') ylabel('u') syms t J=int(exp(t),0,1); J

KENDALI OPTIMAL PADA MODEL PERIKLANAN NERLOVE-ARROW DENGAN MENGGUNAKAN PRINSIP MAKSIMUM

Recommend Documents