JURNAL TEKNIK POMITS Vol. 1, No. 1, (2012) 1-6
1
Analisis Model Kinematik Peluru Kendali Pada Penembakan Target Menggunakan Metode Kendali Optimal Restu Tri Astuti, Subchan[1], dan Kamiran[2] Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya 60111 Email:
[email protected][1];
[email protected][2] Abstrak— Peluru kendali merupakan salah satu wahana nir awak (WANA) yang dapat dikendalikan atau memiliki sistem pengendali otomatis untuk mencari target atau menyesuaikan arah. Masalah pengendali dengan kendala sudut dan waktu akhir dikaji dalam Tugas Akhir ini. Variabel bebas pada model kinematik tak-linear peluru kendali ke target diubah dari waktu terbang ke sudut hadap peluru kendali. Kemudian pengendali diperoleh pada transformasi model kinematik tersebut dengan prinsip minimum Pontryagin. Tujuan pengendali adalah menepatkan arah gerak peluru kendali ke target dengan memenuhi kendala sudut dan waktu akhir. Selanjutnya, daerah range pada beberapa parameter kendala dianalisis untuk memeriksa kelayakan pengendali. Dalam Tugas Akhir ini, simulasi numerik diberikan untuk menunjukkan keefektifan metode kendali optimal pada performansi sistem. Kata Kunci— daerah range, sudut hadap, wahana nir awak (WANA), waktu akhir.
1. PENDAHULUAN ASALAH kendali optimal adalah untuk menentukan pengendali yang memenuhi suatu sistem dinamik dan beberapa kendala dengan meminimumkan atau memaksimumkan suatu fungsi tujuan [1]. Kendali itu sendiri mempunyai makna besarnya input yang diberikan untuk membawa suatu keadaan awal ke keadaan akhir yang sesuai dengan fungsi tujuan. Optimasi dilakukan untuk mendapatkan satu penyelesaian masalah yang membutuhkan informasi sebelumnya sehingga dapat menentukan langkah selanjutnya dalam menyelesaikan masalah tersebut. Pada beberapa masalah optimasi juga digunakan karena tidak adanya data pengukuran secara langsung atau sulit untuk diamati secara langsung. Salah satu metode optimasi yang telah dikenal adalah pengendalian optimal. Metode ini untuk mengoptimasi variabel keadaan dari sistem dinamik [2]. Model yang digunakan pada Tugas Akhir ini adalah model kinematik peluru kendali pada penembakan target diam. Model kinematik ini pada awalnya adalah fungsi turunan terhadap waktu. Oleh karena model dari sistem dikendalikan terhadap sudut hadap, maka model kinematik peluru kendali ditransformasi menjadi model kinematik dengan variabel bebasnya adalah sudut hadap peluru kendali sebagai pengganti waktu terbang. Kemudian dilakukan pengendalian optimal pada model kinematik peluru kendali dengan fungsi tujuannya adalah meminimumkan sudut hadap penembakan dan energi yang dibutuhkan. Kendali optimal diselesaikan dengan prinsip minimum Pontryagin dan
M
variabel-variabel yang mempengaruhi kendali optimal untuk peluru kendali dioptimasi dengan menggunakan metode kendali optimal. Hasil optimasi tersebut digunakan untuk mengimplementasikan kendali optimal pada panduan peluru kendali. Kemudian, kelayakan pengendali diselidiki dengan menganalisis daerah range pada beberapa parameter kendala. Dalam hal ini, dipilih parameter yang tepat pada daerah range agar dapat menghasilkan performansi sistem yang diinginkan. Selanjutnya, hasil analisis disimulasi untuk menunjukkan keefektifan metode kendali optimal terhadap performansi sistem. 2. MODEL KINEMATIK PELURU KENDALI Kinematik peluru kendali merupakan gerakan peluru kendali ke target dengan mengabaikan gaya penyebab gerakannya dalam menempuh suatu lintasan tertentu. Secara matematis, peluru kendali dan target diasumsikan sebagai partikel yang diperlakukan sebagai titik. Arah gerak peluru kendali menuju target adalah menyamping dengan sudut hadap awal adalah berlawanan arah jarum jam.
Gambar 1. Geometri Lintasan [3] Berdasarkan geometri lintasan pada Gambar 1, model kinematik dari peluru kendali ke target yang bergerak vertikal 2 dimensi diberikan sebagai berikut [3]: dX (i ) = V cos θ dt dY = V sin θ ( ii ) (1) dt dθ a = ( iii ) dt V
JURNAL TEKNIK POMITS Vol. 1, No. 1, (2012) 1-6 dengan syarat batas: X (t 0 ) = 0, X (t f ) = X f
(i )
Y (t 0 ) = 0,
Y (t f ) = Y f
( ii )
θ (t 0 ) = θ 0 , θ (t f ) = θ f
( iii )
2 Persamaan ( 4i ) dan ( 4ii ) dibagi oleh ( 4iii ) dengan dimisalkan ω ≠ 0 dan u (θ ) = 1 / ω , sehingga diperoleh: (2)
V adalah kecepatan, t adalah waktu terbang, ( X , Y ) adalah posisi dan θ adalah sudut hadap peluru kendali. Posisi awal peluru kendali diasumsikan menjadi sistem koordinat awal, dengan axis- X positif adalah panjang LOS. Indeks bawah 0 dan f menunjukkan nilai pada kondisi awal dan akhir. Percepatan a tegak lurus terhadap vektor kecepatan peluru kendali. 3. PENGENDALIAN OPTIMAL Prinsip minimum Pontryagin digunakan untuk memperoleh kendali terbaik pada model kinematik dari keadaan awal hingga keadaan akhir, yaitu meminimalkan fungsi tujuan dengan kendali u (θ ) terbatas. Berikut ini diberikan satu cara dalam menyelesaikan masalah kendali optimal yang diformulasikan sebelumnya. Cara ini menggunakan persamaan Hamiltonian. Langkah penyelesaiannya adalah sebagai berikut [4]: 1. Bentuk Hamiltonian, yaitu: H (x ,u , λ , θ ) = L(x ,u , θ ) + λ 'f (x ,u , θ ) . 2. Selesaikan persamaan kendali, minimumkan bentuk ∂H persamaan Hamiltonian H terhadap u . = 0 untuk ∂u memperoleh kondisi stasioner pengendali u *. 3. Dapatkan Hamiltonian saat kondisi stasioner untuk variabel kendali, yaitu: H * ( x , u , λ , θ ) = H ( x , u* , λ , θ ) . 4. Selesaikan persamaan co-state: ∂H * λ (θ ) = − ( x , u , λ , θ ) dengan syarat batas diberikan ∂x oleh state awal dan state akhir. 5. Substitusikan hasil-hasil dari langkah (4) ke dalam persamaan u * pada langkah (2) untuk memperoleh kendali optimal yang dicari. 4. ANALISIS MODEL KINEMATIK PELURU KENDALI Kondisi akhir t f dan θ f pada Persamaan (2) ditentukan dengan transformasi: x =
X
, y=
Y
, dan ω =
V V Persamaan (1) dapat ditulis sebagai berikut: dx (i ) = cos θ dt dy = sin θ ( ii ) dt dθ a = ( iii ) dt V dengan syarat batas: x (t 0 ) = 0, x (t f ) = x f = X f / V (i )
y (t 0 ) = 0,
y (t f ) = y f = Y f / V
θ (t 0 ) = θ 0 , θ (t f ) = θ f
( ii ) ( iii )
a
sehingga
V
dx dθ dy dθ dt
= u (θ ) cos θ
(i )
= u (θ ) sin θ
( ii )
= u (θ ) dθ dengan syarat batas: x (θ 0 ) = 0, x (θ f ) = x f
( iii )
y (θ 0 ) = 0, y (θ f ) = y f t (θ f ) = t f
t (θ 0 ) = 0,
(5)
(i ) ( ii )
(6)
( iii )
Permasalahan dalam Tugas Akhir ini adalah mendapatkan lintasan peluru kendali dari kondisi awal hingga akhir dengan meminimumkan sudut hadap penembakan dan energi yang digunakan pada sistem, yaitu dengan menggunakan sudut yang optimum dari pergerakan peluru kendali ke target sehingga fungsi tujuan dapat diformulasikan sebagai berikut:
θ min J =
1
f
2 ∫ u (θ ) dθ
2θ
(7)
0
dengan: θ = sudut hadap, θ 0 ≤ θ ≤ θ f .
θ 0 = sudut hadap awal. θ f = sudut hadap akhir. Pengendalian optimal diperoleh dengan meminimumkan persamaan state terhadap pengendali dalam daerah pengendali. Sehingga kondisi perlu yang dibentuk oleh prinsip minimum Pontryagin adalah persamaan co-state dan kondisi stasioner dari persamaan Hamiltonian. 1. Persamaan Hamiltonian H = L + λ'f 1 2 = u (θ ) + (λ x cos θ + λ y sin θ + λt )u (θ ) (8) 2 2. Kondisi stasioner ∂H =0 ∂u u (θ ) = −(λ x cos θ + λ y sin θ + λt ) (9) 3. Persamaan co-state
(3)
(4)
∂H − λx ∂x 0 λ y = − ∂H = 0 ∂y λt ∂H 0 − ∂t
(10)
4. Subsitusi persamaan (10) ke Persamaan (5), diperoleh: dx 2 = −(λ x cos θ + λ y sin θ cos θ + λt cos θ ) dθ
JURNAL TEKNIK POMITS Vol. 1, No. 1, (2012) 1-6
dy dθ dt
= − (λ x sin θ cos θ + λ y sin θ + λt sin θ ) 2
(11) = − (λ x cos θ + λ y sin θ + λt ) dθ 5. Integral Persamaan (11) dengan syarat batas (6), diperoleh nilai pengali Lagrange sebagai berikut: −tf 1 [ (sin θ f − sin θ 0 )(sin(θ f − θ 0 ) λx = det A 2 − xf 1 2 − (θ f − θ 0 ))] + [ (θ f − θ 0 ) det A 2
−
1 4
(θ f − θ 0 )(sin 2θ f − sin 2θ 0 )
3 persamaan percepatan akan berlaku jika dan hanya jika persamaan penyebut (denumenator) tidak bernilai nol selama peluru kendali bergerak. Teorema 1[3]: Dengan kondisi batas x f , θ 0 , θ f , dan t f , pengendali akan fisibel jika dan hanya jika λ x cos θ + λ y sin θ + λt ≠ 0
∀θ ∈ [θ 0 , θ f ] atau [θ f , θ 0 ]
fisibel jika dan hanya jika
λt − λ x − λ y > 0 2
− (cos θ f − cos θ 0 ) ]
(16)
Akibat 1: Dengan kondisi batas x f , θ 0 , θ f , dan t f , pengendali akan 2
2
(17)
2
λy =
Untuk mencapai target dengan waktu yang tepat, maka perlu untuk menentukan daerah range waktu akhir pada pengendali. Penentuan daerah range ini dapat menghasilkan performansi sistem yang diinginkan. Berikut diberikan definisi dari daerah range waktu akhir, yaitu: Definisi 1[3]: Dengan kondisi batas x f , θ 0 , θ f , himpunan waktu akhir t f
tf
1 [ (cos θ f − cos θ 0 )(sin(θ f − θ 0 ) det A 2 xf 1 − (θ f − θ 0 ))] + [ − (θ f − θ 0 ) det A 4 (cos 2θ f − cos 2θ 0 ) + (cos θ f − cos θ 0 )
yang memenuhi persamaan (16)-(17) disebut daerah range waktu akhir t f dan dinotasikan sebagai Φ (t f ) .
(sin θ f − sin θ 0 )]
λt =
−tf
1 2 2 [ ((θ f − θ 0 ) − sin (θ f − θ 0 ))] det A 4 +
Selanjutnya, untuk mendapatkan daerah range waktu akhir t f , yaitu dengan menggunakan Persamaan (17) dapat
− xf 1 [ (sin θ f − sin θ 0 ) det A 2
ditulis sebagai berikut:
λt − λ x − λ y = (c3 2 − c1 2 − c 2 2 )t f 2 + 2
(sin(θ f − θ 0 ) − (θ f − θ 0 ))] dengan det A = [(θ f − θ 0 ) − sin(θ f − θ 0 )]
2
2
2
(18)
dengan: c1 = −(sin θ f − sin θ 0 )[sin(θ f − θ 0 ) − (θ f − θ 0 )] / 2
Untuk mendapatkan waktu tempuh, maka persamaan (13) disubsitusikan ke persamaan (1iii), kemudian diintegralkan dengan syarat batas (2iii). 1. Subsitusi persamaan (13) ke (1iii), diperoleh: dθ 1 =− (14) dt λ cos θ + λ sin θ + λ t
2. Integral persamaan (14) dengan syarat batas (2iii), diperoleh: Tgo = −λ x (sin θ f − sin θ 0 ) +
λ y (cos θ f − cos θ 0 ) − λt (θ f − θ 0 )
2(c3 d 3 − c1 d1 − c 2 d 2 )t f +
d 3 − d1 − d 2 > 0
Berdasarkan Persamaan (5), yaitu u (θ ) = 1 / ω dan ω = a / V , maka penyelesaian analitik pada masalah kendali dengan kendala waktu dan sudut yaitu: −V a= (13) λ x cos θ + λ y sin θ + λt
y
2
(12)
1 1 2 × [ (θ f − θ 0 ) + (θ f − θ 0 ) 4 4 sin(θ f − θ 0 ) + cos(θ f − θ 0 ) − 1]
x
2
c 2 = (cos θ f − cos θ 0 )[sin(θ f − θ 0 ) − (θ f − θ 0 )] / 2 c3 = [sin(θ f − θ 0 ) + (θ f − θ 0 )][sin(θ f − θ 0 ) − (θ f − θ 0 )] / 4
1 1 2 d1 = − x f [ (θ f − θ 0 ) − (θ f − θ 0 )(sin 2θ f − sin 2θ 0 ) − 2 4 (cos θ f − cos θ 0 ) ] 2
1 d 2 = x f [ − (θ f − θ 0 )(cos 2θ f − cos 2θ 0 ) + 4 (cos θ f − cos θ 0 )(sin θ f − sin θ 0 )] d 3 = − x f (sin θ f − sin θ 0 )[sin(θ f − θ 0 ) − (θ f − θ 0 )] / 2 sehingga dari Persamaan (17), diperoleh: Akibat 2: Dengan kondisi batas x f , θ 0 , θ f , dan t f , pengendali dikatakan fisibel jika:
h (t f ) = (c3 − c1 − c 2 )t f + 2
(15)
Pengendali dikatakan fisibel jika kendala akhir terpenuhi. Berdasarkan persamaan (13) dapat dinyatakan bahwa
2
2
2
2(c3 d 3 − c1 d1 − c 2 d 2 )t f +
d 3 − d1 − d 2 > 0 2
2
2
(19)
JURNAL TEKNIK POMITS Vol. 1, No. 1, (2012) 1-6
4
dengan memperhatikan Persamaan (18)-(19), diperoleh:
c3 − c1 − c 2 = 2
2
2
sin 2 ∆θ
×
4
Tabel 2. Data Parameter Kinematik Misil II Parameter Nilai
(sin ∆θ − ∆θ ) 2 4 +
∆θ sin ∆θ ∆θ 2 + + 2 cos ∆θ − 2 2 4
dengan ∆θ = θ f − θ 0 , sehingga dapat ditulis:
c3 − c1 − c 2 < 0 ⇔ ∆θ ∈ (− 4.28, 4.28) dan ∆θ ≠ 0 . 2
2
2
V
( 250m / s )
( x0 , y 0 )
(0,0)
(x f , y f )
( 40,0)
(θ 0 , θ f )
( −60 , 45 )
0
0
2
5. SIMULASI DAN ANALISIS Hasil analisis parameter kendala sudut hadap dan waktu akhir pada model kinematik peluru kendali selanjutnya diimplementasikan untuk proses simulasi. Simulasi ini diberikan untuk menunjukkan keefektifan metode kendali optimal terhadap performansi sistem. Untuk nilai parameter dari kinematik peluru kendali dapat digunakan nilai data pada Tabel 1-3.
Berikut ini adalah grafik lintasan peluru kendali. Berdasarkan nilai parameter pada Tabel 2, maka dari Persamaan (19) diperoleh daerah range waktu akhir Φ (t f ) = ( 45.5s ,51.9 s ) . Pada Tugas Akhir ini diambil beberapa nilai waktu akhir dari daerah rangenya, yaitu: waktu akhir t f = 46 s , 48s , 51s .
Tabel 1. Data Parameter Kinematik Misil I Parameter Nilai
( 250m / s )
( x0 , y 0 )
(0,0)
(x f , y f )
( 40,0)
(θ 0 , θ f )
( −60 ,90 )
0
-1000 -2000 tf=46 s tf=48 s tf=51 s
-3000 -4000 -2000
0
Berikut ini adalah grafik lintasan peluru kendali. Berdasarkan nilai parameter pada Tabel 1, maka dari Persamaan (19) diperoleh daerah range waktu akhir Φ (t f ) = (50.8s ,70.6 s ) . Pada Tugas Akhir ini diambil beberapa nilai waktu akhir dari daerah rangenya, yaitu: waktu akhir t f = 51s , 55 s , 60 s , 65 s , 70 s . Simulasi Lintasan Peluru Kendali
1000
0
Y (m)
2
V
Simulasi Lintasan Peluru Kendali
1000
0
2000
4000
X (m)
6000
8000
10000
Gambar 3. Grafik Lintasan dengan Kendala Sudut Hadap dan Waktu Akhir. Berdasarkan hasil simulasi pada Gambar 3 diperoleh jarak antara peluru kendali ke target pada saat waktu akhir t f = 46 s , t f = 48s , dan t f = 51s adalah berada di range 10.000 m. Tabel 3. Data Parameter Kinematik Misil III Parameter Nilai
0 -1000
Y (m)
-2000 -3000 -4000
tf=51 tf=55 tf=60 tf=65 tf=70
-5000 -6000 -7000
0
s s s s s
2000
4000
X (m)
6000
8000
10000
Gambar 2. Grafik Lintasan dengan Kendala Sudut Hadap dan Waktu Akhir. Berdasarkan hasil simulasi pada Gambar 2 diperoleh jarak antara peluru kendali ke target pada saat waktu akhir t f = 51s , t f = 55 s , t f = 60 s , t f = 65s , dan t f = 70 s adalah berada di range 10.000 m.
2
V
( 250m / s )
( x0 , y 0 )
(0,0)
(x f , y f )
( 40,0)
(θ 0 , θ f )
( −90 , 45 )
0
0
Berikut ini adalah grafik lintasan peluru kendali. Berdasarkan nilai parameter pada Tabel 3, maka dari Persamaan (19) diperoleh daerah range waktu akhir Φ (t f ) = ( 46.9 s ,58.4 s ) . Pada Tugas Akhir ini diambil beberapa nilai waktu akhir dari daerah rangenya, yaitu: waktu akhir t f = 47 s , 50 s , 55 s , 58s .
JURNAL TEKNIK POMITS Vol. 1, No. 1, (2012) 1-6 Simulasi Lintasan Peluru Kendali
1000
Berdasarkan hasil simulasi pada Gambar 5-7 menunjukkan bahwa nilai waktu akhir t f yang mendekati
0
daerah range
-1000
Y (m)
5
-3000
tf=47 tf=50 tf=55 tf=58
-4000 -5000 -2000
2000
0
4000
X (m)
8000
6000
s s s s 10000
Gambar 4. Grafik Lintasan dengan Kendala Sudut Hadap dan Waktu Akhir. Berdasarkan hasil simulasi pada Gambar 4 diperoleh jarak antara peluru kendali ke target pada saat waktu akhir t f = 47 s , t f = 50 s , t f = 55s dan t f = 58s adalah
persamaan
λt − λ x − λ y 2
2
tf=51 tf=55 tf=60 tf=65 tf=70
300
200
2
2
2
Ketika
tf
akan
mendekati
nol
sehingga
nilai
Berikut ini adalah grafik hubungan pengendali dan percepatan yang digunakan peluru kendali untuk bergerak menuju target. Berdasarkan nilai parameter pada Tabel 1-3 diperoleh: Percepatan VS Pengendali
300
Percepatan
Simulasi Percepatan yang Digunakan Peluru Kendali
λt − λ x − λ y = 0 .
denumenator pada Persamaan (13) akan mendekati nol pula.
200 100
s s s s s
0
0
20
40
60
Pengendali
80
100
Gambar 8. Grafik Hubungan Antara Percepatan dan Pengendali pada Tabel 1.
100
Percepatan VS Pengendali
80 -40
-20
0
20
40
Sudut Hadap (deg)
100
80
60
Gambar 5. Grafik Percepatan dengan Sudut Hadap dan Waktu Akhir pada Tabel 1. Simulasi Percepatan yang Digunakan Peluru Kendali
Percepatan
0 -60
tf=46 s tf=48 s tf=51 s
60 50
60 40 20 0
0
20
40
60
Pengendali
80
100
40
Gambar 9. Grafik Hubungan Antara Percepatan dan Pengendali pada Tabel 2.
30 20
Percepatan VS Pengendali
400
10 0 -60
-40
-20
0
20
Sudut Hadap (deg)
40
60
Gambar 6. Grafik Percepatan dengan Sudut Hadap dan Waktu Akhir pada Tabel 2. Simulasi Percepatan yang Digunakan Peluru Kendali
Percepatan
Percepatan yang Digunakan
2
400
Berikut ini adalah grafik percepatan yang digunakan peluru kendali untuk bergerak menuju target. Berdasarkan nilai parameter pada Tabel 1-3, diperoleh:
Percepatan yang Digunakan
polinomial
mendekati nilai batas rangenya, maka nilai persamaan
berada di range 10.000 m.
70
menyebabkan percepatan yang
diperlukan peluru kendali semakin besar. Hal ini dikarenakan nilai batas Φ (t f ) merupakan akar kuadrat dari
-2000
400
Φ (t f )
300 200 100
Percepatan yang Digunakan
400
tf=47 tf=50 tf=55 tf=58
350 300 250
s s s s
0
0
20
40
60
Pengendali
80
100
Gambar 10. Grafik Hubungan Antara Percepatan dan Pengendali pada Tabel 3.
200 150 100 50 0 -100
-50
0
50
Sudut Hadap (deg)
Gambar 7. Grafik Percepatan dengan Sudut Hadap dan Waktu Akhir pada Tabel 3.
Dari simulasi pada Gambar 8-10 dapat dilihat bahwa percepatan yang digunakan peluru kendali untuk bergerak mencapai target adalah berbanding terbalik dengan nilai pengendali pada sistem. Semakin besar percepatan yang digunakan, maka semakin kecil nilai pengendali pada sistem. Sebaliknya, semakin kecil percepatan yang digunakan, maka
JURNAL TEKNIK POMITS Vol. 1, No. 1, (2012) 1-6 semakin besar nilai pengendali pada sistem. Hal ini sesuai dengan Persamaan (13). 6. KESIMPULAN Berdasarkan hasil simulasi dari analisis dan pembahasan yang telah dilakukan mengenai analisis model kinematik peluru kendali dengan menggunakan metode kendali optimal, diperoleh kesimpulan bahwa : a) Jarak antara peluru kendali ke target pada saat waktu akhir t f adalah berada di range 10.000 m. Semakin besar nilai waktu akhir t f , maka lintasan peluru kendali semakin panjang. Sehingga lintasan yang paling optimal adalah pada saat nilai waktu akhir t f mendekati daerah range waktu akhir Φ (t f ) . b) Nilai waktu akhir t f yang mendekati daerah range waktu akhir Φ (t f ) menyebabkan percepatan yang diperlukan peluru kendali semakin besar sehingga semakin besar percepatan yang digunakan peluru kendali untuk bergerak menuju target, maka semakin kecil nilai pengendali pada sistem. Sebaliknya, semakin kecil percepatan yang digunakan peluru kendali untuk bergerak menuju target, maka semakin besar nilai pengendali pada sistem. DAFTAR PUSTAKA [1] [2]
[3]
[4]
Siouris, G. (2003). Missile Guidance and Control Systems. USA:Springer. Tahiyatul, A., Subchan. (2011). “Control Estimation with EKF-UIWDF Method of The Missile-Target Interception Model”. Proceedings of The IceMath. Topics, pp. xx-xx. Zhao, S., Zhou, R., dan Wei, C. (2009). “Design and Feasibility Analysis of a Closed-Form Guidance Law with both Impact Angle and Time Constraints”. Journal of Astronautics. Vol.30, Hal. 1000-1328. Naidu, S.D. (2002). Optimal Control System. CRC Press, USA.
6
