Kdy potřebujeme zaznamenat počet?
množství vyhlédnuté kořisti
potřebný počet lovců
množství ulovené kořisti
počet žen, potomků, příbuzných, obyvatel vesnice,...
počet chovaných zvířat
množství nasbíraných plodů
množství vypěstované úrody
Jak znázornit počet?
Jak zaznamenat počet? Vrubovky
Věstonická vrubovka, dokládající paleolitické pokusy o zápis čísel, byla nalezena na našem území. Je to asi 18 cm dlouhá vřetenní kost mladého vlka, kterou v roce 1937 nalezl prof. Karel Absolon ve Věstonicích. Je na ní 57 hlubokých zářezů: prvních 25 stejně dlouhých zářezů je – při troše fantazie – uspořádáno do skupin po pěti, pak následují 2 dlouhé zářezy, které oddělují dalších 30 krátkých zářezů. Nejstarší známá vrubovka: nalezena v Africe v pohoří Lebombo na hranicích Svazijska. – malá část stehenní kosti paviána s 29 zářezy, stará asi 35 000 let.
Dodnes:
•
máš u mě vroubek
•
napiš mi to na futro
•
dej mi to na vrub
•
...
Záznam čísel pomocí uzlů • Jihoameričtí Inkové – kipu • v muzeích je uloženo kolem 600 • asi čtyři pětiny z nich zaznamenávají pouze čísla, pětinu se ještě nepodařilo rozluštit • „četly“ se zrakem i hmatem; záleželo na barvě, tloušťce, popisovaném tématu, druhu uzlu • čísla vyjadřována v desítkové soustavě, číselnou hodnotu uzlu udávalo to, kolikrát se provlékl provázek uzlem.
Záznam čísel pomocí vrubovek či uzlů se udržel dlouho. Pro běžný život to zpočátku postačovalo. Avšak vývoj šel dál a člověk objevil další způsob zaznamenávání, totiž na větší hladké plochy. Začal objevovat písmo. První zápisy jsou jen malby na stěnách jeskyň představující nějakou událost. Postupem času se události začaly vyjadřovat pomocí více obrázků. Později se obrázky ještě zjednodušily, značně jich přibylo (např. obrázky pro vlastnosti předmětů) a ustálily se. Před asi 5000 lety tak vzniklo hieroglyfické písmo.
Jak vyjádřit velká čísla?
1
10
30
1ks
10ks
30ks (3balení)
180ks (6 plat)
360 (2 přepravky)
4320 ks (12 krabic)
1
10
360
4 320
86 400
4 320 000
432 000 000
1
10
360
4 320
86 400
4 320 000
432 000 000
1
10
100
1 000
10 000
100 000
1 000 000
1
10
360
4 320
86 400
4 320 000
432 000 000
1
10
100
1 000
10 000
100 000
1 000 000
Egyptské hieroglyfy (3. tisíciletí př. Kr.):
1
10
100
1 000
10 000
100 000
1 000 000
měřicí hůl
kraví pouta
měřicí provazec
květ lotosu
ukazovák
pulec
klečící postava (bůh vzduchu a prostoru)
Zápis čísel pomocí hieroglyfů
" Příklad:
Jak počítat s hieroglyfy – v nepoziční číselné soustavě?
" Příklad: 983 + 289 343 + 234 343 – 285 13 x 15 1 120 : 80
" Příklad: krát
\
\ \ _______________________________
" Příklad:
\ krát
1
15
2
30
\
4
60
\
8
120
––––––––––– 195 \
\ \ _______________________________
" Příklad: \ děleno
\
1
80
10
800
2
160
4
320
––––––––––––– 1 120
\
\ _______________________________
Papyrus je drahý, psaní hieroglyfů pracné – nelze počítání usnadnit?
Papyrus je drahý, psaní hieroglyfů pracné – nelze počítání usnadnit? Počítací desky Čína, 4. stol. př. Kr.
Papyrus je drahý, psaní hieroglyfů pracné – nelze počítání usnadnit? Počítací desky Čína, 4. stol. př. Kr.
Papyrus je drahý, psaní hieroglyfů pracné – nelze počítání usnadnit? Počítací desky Čína, 4. stol. př. Kr.
Papyrus je drahý, psaní hieroglyfů pracné – nelze počítání usnadnit? Počítací desky Čína, 4. stol. př. Kr.
" Příklad:
57 777
Početní soustava ve starověké Číně, 4. stol. př. Kr. Číňané vytvořili desítkovou soustavu a číslice používané pro vědecké účely zapisovali pomocí vodorovných a kolmých svislých čárek
Pokud čísla od 1 do 9 používali na místě desítek a tisíců, zapsali je obráceně
(i v psaných textech, především matematických)
" Příklad:
9 876 + 5 647
" Příklad:
9 876 + 5 647
" Příklad:
9 876 + 5 647
" Příklad:
9 876 + 5 647
" Příklad:
9 876 + 5 647
" Příklad:
9 876 + 5 647
" Příklad:
9 876 + 5 647 = 15 523
" Příklad:
234 x 24
" Příklad:
234 x 24
" Příklad:
234 x 24
" Příklad:
234 x 24
" Příklad:
234 x 24
" Příklad:
234 x 24
" Příklad:
234 x 24 = 5 616
Čínský abakus, 14. stol. n. l.
Čínský abakus, 14. stol. n. l.
7 230 189
Japonský abakus – Soroban
Starověké Řecko Salamínská tabule, 4. stol. př. Kr. • nalezena r. 1847 • mramorová deska o rozměrech 1,5 m x 0,75 m
Salamínská tabule, 4. stol. př. Kr. (vpravo zlomky: 1/6, 1/12, 1/24, 1/48)
" Příklad:
289 + 428
" Příklad:
289 + 428
Římský kapesní abakus,
12,5 cm x 8 cm
Evropa, 10. stol. n. l. Hladká dřevěná deska rozdělená obvykle na 30 sloupců – první tři zpravidla pro počítání se zlomky, ostatní s přirozenými čísly (jednotky, desítky, stovky,...)
Gerbert (asi 940 – 1003) Modifikace abaku: místo hromadění kaménků do příslušných sloupců: apices – početní známky se speciálními znaky (předchůdci našich 1, 2, ... , 9) Apexy používány většinou jen v klášterních školách, rozšířil se abakus s římskými číslicemi – používán až do konce 15 stol. (výběrčí daní, kupci)
Liny – od konce 12. století
Sčítání:
3 507 + 7 249 = 10 756
Odčítání:
Násobení:
66
96
425 – 279 = 146
66 x 96 = 6 336
6x6
6x90
60x6
60x90
Gregor Reisch, 1504: dřevoryt Margareta philosophica (Perla filozofie)
kontrast mezi výkonností algoritmika (Boetius) a neschopností abakisty (nešťastný Pythagoras)
Poziční číselný systém Mezopotámie, 3. tisíciletí př. Kr. šedesátková poziční číselná soustava Dlouho chybí znak pro nulu – nejednoznačnost zápisu:
= 10 + 10 = 10 × 60 + 10 Kolem r. 400 př. Kr. separátor:
nebo Příklad:
2 × 60 2 + 0 × 60 + 15
Objevování nuly:
Početní soustava ve starověké Indii a objev nuly Velmi rozvinutá kultura již okolo roku 3 000 př.n.l. 1. – 2. stol. př. Kr.:
Existence speciálních symbolů pro čísla od 1 do 9 = charakteristický a významný rys indické aritmetiky = základní předpoklad pro vytvoření poziční desítkové číselné soustavy Bráhmanská soustava se proměnila v poziční se základem 10 pravděpodobně v šestém století – využila existence různých znaků pro čísla 1 až 9 a úsporné notace pro větší čísla i názvů pro vyšší mocniny deseti.
Nejstarší písemný doklad jejího užívání (bez nuly): 595, měděná náhrobní deska ze Sankhedy
Nejběžnější poziční notace užívala písma nagari:
Nula (tečka, později malý kroužek) – v dnešním smyslu: Nejstarší příklad užití znaku pro nulu: r. 458 – dochovaný spis o kosmologii (jsou však nepřímé doklady, že byla v užívání již 200 let před naším letopočtem) Na rozdíl od Babyloňanů a Mayů indičtí počtáři nulu bez váhání uznali za výsledek odečtení čísla od sebe samého. Roku 628 ji indický astronom Brahmagupta tímto způsobem definoval a vyjádřil algebraická pravidla pro sčítání, odečítaní, násobení a – což je nejpřekvapivější – i pro dělení. Uveďme alespoň jedno z jeho pravidel: Od většího je nutno odečíst menší, výsledek je kladný, jestliže odečítáme kladné od kladného a záporný, jestliže odečítáme záporné od záporného. Jestliže se odečítá větší od menšího, tento rozdíl (co do znaménka) se obrací, záporné se stává kladným a kladné se stává záporným. Jestliže se kladné odečítá od záporného nebo záporné od kladného, je nutné je sečíst. Brahmagupta definoval i nekonečno jako číslo, které vznikne dělením každého jiného čísla nulou, a vypracoval obecný soubor pravidel pro násobení a dělení kladných i záporných veličin.
Pronikání indicko-arabských číslic do Evropy 7. století: arabské kmeny si podmanily mnoho sousedních států, vytvořily jednotnou říši 8. století: Arabové vtrhli do Evropy, obsadili Španělsko Boje o španělské území pak trvaly celá staletí. Byly však střídány s obdobími míru, kdy arabští kupci obchodovali s Francií a Itálií a kdy evropská mládež jezdila studovat do vyhlášených arabských kulturních center jako byly Cordoba a Toledo. Tak se postupně dostávaly od Arabů do Evropy věda a umění z Egypta (přes ten také ze starého Řecka), Mezopotámie i Indie. Číslice 1 až 9 užívá Evropa od 12. století Nulu jako číslo uznává běžněji (díky Leonardu Pisánskému, zvanému Fibonacci) až ve 13. století Proč trvalo tak dlouho, než římské číslice v Evropě ustoupily praktičtějším? Západní Evropě přišla pohanská věda podezřelá. Arabské číslice byly prohlášeny za ďáblův nástroj. Ještě v srpnu roku 1359 se na jednání významných osob té doby v domě kanovníka Franceska Granacciho ve Florencii rokovalo dny a noci o arabských číslicích (a záporných číslech), avšak jejich používání nebylo ani doporučeno ani zakázáno. Nakonec zvítězila neústupnost kupců a bankéřů, hlavně však také moudrost a poznání, jakým přínosem je používání arabských číslic. Číslice samotné neměly ustálený tvar. 1299, Florencie: nařízení, že ve smlouvách se musí čísla vypisovat slovně, aby se zamezilo švindlování – např. proměnlivost číslice 2 ve středověkých rukopisech:
