KARAKTERISTIK FUNGSI DISTRIBUSI FOUR-PARAMETER GENERALIZED-t

Jurnal e-DuMath Volume 2 No. 1, Januari 2016 Hlm. 38-51

KARAKTERISTIK FUNGSI DISTRIBUSI FOUR-PARAMETER GENERALIZED-t Rahman Cahyadi1, Warsono2, Mustofa Usman3, Dian Kurniasari 4 1 Pendidikan Matematika, STKIP Muhammadiyah Pringsewu Email: [email protected] 2 Matematika, Universitas Lampung 3 Matematika, Universitas Lampung 4 Matematika, Universitas Lampung Abstract This research is about the characteristic function of four-parameter generalized t distribution. Four-parameter generalized t distribution has four parameters which are µ as a location parameter, σ as a scale parameter, p and q as a shape parameter, and B as a function of beta. The characteristic function are retrieved from the expectation of e itx , where i as a imaginary number. Then, the characteristic function of four-parameter generalized t distribution was able to be determined by using definition and trigonometric expansions. Based on those two methods this study got the same results and then will be continued proving the fundamental properties of the characteristic function of four-parameter generalized t distribution. Furthermore, it needs graph simulation on a characteristic function of fourparameter generalized t distribution. Graph simulation result on the characteristic function of four- parameter generalized t distribution was formed a closed curve (circle) are smooth. Keywords: four-parameter generalized t distribution, characteristic function, graph simulation

parameter skala (σ) serta B sebagai

1. PENDAHULUAN

fungsi beta. Sudah banyak peneliti Distribusi t merupakan salah satu dari

keluarga

kontinu

yang

distribusi

peluang

penurunannya

berdasarkan distribusi normal baku dan distribusi khi-kuadrat. Distribusi fourparameter generalized t merupakan bentuk perumuman dari distribusi t dengan menambahkan lagi parameter yang lain. Distribusi four-parameter generalized parameter (p,q),

t yaitu

parameter

memiliki

empat

parameter

bentuk

lokasi

(µ),

dan

yang membahas tentang distribusi four-parameter diantaranya

yaitu:

generalized

t

McDonald

dan

Newey (1988), Boyer dkk (2003), Chan dkk (2007), Lee dkk (2012). Fungsi karakteristik adalah salah satu jenis transformasi yang sering digunakan pada teori peluang dan statistika. Fungsi karakteristik dapat digunakan untuk menentukan fungsi distribusi dari suatu peubah acak yang

dikenal sebagai teorema inversi fungsi Diterbitkan Oleh: http://ejournal.stkipmpringsewu-lpg.ac.id/index.php/edumath Program Studi Pendidikan Matematika STKIP Muhammadiyah Pringsewu Lampung 38


karakteristik. Teorema inversi fungsi

dan B ( . ) Apakah fungsi beta (Chan et

karakteristik merupakan salah satu sifat

al , 2007),

yang

menjadi

ciri

khas

fungsi

Fungsi

karakteristik

dari

karakteristik. Fungsi karakteristik juga

distribusi four-parameter generalized t

memiliki

dapat diperoleh dari fungsi pembangkit

sifat-sifat

dasar.

Namun

demikian, sejauh penelusuran yang

momen

telah penulis lakukan bahwa belum

sebagai bagian imaginer dan ekspansi

ditemukan penjelasan tentang fungsi

trigonometri. Dalam penelitian ini

karakteristik

digunakan dua cara tersebut untuk

khususnya

fungsi

dengan

menambahkan

karakteristik distribusi four-parameter

mencari

generalized t.

distribusi four-parameter generalized t.

Pada penelitian ini, penulis akan membahas

lebih

dalam

fungsi

karakteristik

i

dari

Selanjutnya akan dibuktikan sifat-sifat

mengenai

dasar

fungsi

karakteristik

dari

fungsi karakteristik, dan pembuktian


sifat-sifat dasar fungsi karakteristik

dan melakukan simulasi grafik gambar

dari

fungsi kepekatan peluang dan fungsi

distribusi

four-parameter

generalized t (1), kemudian akan

karakteristik

dilanjutkan

melakukan

parameter generalized t. Berdasarkan

kepekatan

latar belakang yang telah diuraikan

peluang dan fungsi karakteristik dari

dalam penelitian ini akan dibahas


kajian tentang “Fungsi Karakteristik

dengan software MATLAB R2010b.

dari

Menurut McDonald dan Newey (1988)

generalized t”.

simulasi

dengan grafik

fungsi

dari

distribusi

Distribusi

four-

four-parameter

distribusi generalized t memiliki fungsi kepekatan

peluang

GT x;  ,  , p, q  

berbentuk

2. PEMBAHASAN

:

1) Distribusi Four-Parameter

p 1  1  1 x    2q p B , q  1    p   q  

p

for    x  

(1)

1 q p

Generalized t Suatu peubah acak X dikatakan memiliki distribusi generalized t , dengan parameter  ,

,

p dan q , dan

Dimana μ ∈ R adalah parameter lokasi

jika dan hanya jika fungsi kepekatan

, σ > 0 adalah parameter skala , p > 0

peluang dari X adalah

dan q > 0 keduanya parameter bentuk Diterbitkan Oleh: http://ejournal.stkipmpringsewu-lpg.ac.id/index.php/edumath Program Studi Pendidikan Matematika STKIP Muhammadiyah Pringsewu Lampung

39

Jurnal e-DuMath Volume 2 No. 1, Januari 2016 Hlm. 38-51 p

PDF Distribusi Four-Parameter Generalized t 0.01

p  1  1 x    2q B , q  1    p   q   1 p

for    x  

(2)

1 q p

0.008 0.007 0.006

0.003 0.002

, σ > 0 adalah parameter skala , p > 0

0.001 0 -200

dan q > 0 keduanya parameter bentuk

al, 2007). -3

7

0.005 0.004

Dimana μ ∈ R adalah parameter lokasi

dan B ( . ) Adalah fungsi beta (Chan et

p1=1,q1=1,sigma1=50,µ1=0 p2=1,q2=2,sigma2=75,µ2=0 p3=1,q3=3,sigma3=100,µ3=0 p4=1,q4=4,sigma4=125,µ4=0

0.009

f(x)

GT x;  , , p, q  

-150

-100

-50

0 x

50

100

150

200

Gambar 2. Grafik Fungsi kepekatan peluang distribusi four-parameter generalized t dengan p=1, q=(1,2,3,4), σ=(50,75,100,125), µ=0

PDF Distribusi Four-Parameter Generalized t

x 10

(2) Simulasi grafik fungsi kepekatan

6

peluang

5

4

dari

f(x)

parameter

distribusi

four-

generalized t dengan

3

nilai p tetap, q menurun, σ

2

menurun, µ tetap

1

0 -200

-150

-100

-50

0 x

50

100

150

200

PDF Distribusi Four-Parameter Generalized t 0.01 p1=1,q1=4,sigma1=125,µ1=0 p2=1,q2=3,sigma2=100,µ2=0 p3=1,q3=2,sigma3=75,µ3=0 p4=1,q4=1,sigma4=50,µ4=0

0.009

Gambar 1. Grafik Fungsi Kepekatan Peluang dari Distribusi four-parameter generalized t dengan p=1, q=20, σ=100, µ=0

0.008 0.007

f(x)

0.006

2) Simulasi Grafik Fungsi Kepekatan Peluang Distribusi Four-Parameter

bagian

mengenai

ini

akan

simulasi

dibahas

grafik

fungsi

kepekatan peluang dari ditribusi fourparameter

generalized

menggunakan

software

t

dengan

MATLAB

0.003 0.002 0.001

-150

-100

-50

0 x

50

100

150

200

Gambar 3. Grafik Fungsi kepekatan peluang distribusi four-parameter generalized t dengan p=1, q=(4,3,2,1), σ=(125,100,75,50), µ=0

(3) Simulasi grafik fungsi kepekatan peluang

dari

distribusi

four-

parameter generalized t dengan

R2010b. (1) Simulasi grafik fungsi kepekatan peluang

0.004

0 -200

Generalized t Pada

0.005

dari

distribusi

four-

nilai p meningkat, q meningkat, σ menurun, µ tetap

parameter generalized t dengan nilai p tetap, q meningkat, σ meningkat, µ tetap

Diterbitkan Oleh: http://ejournal.stkipmpringsewu-lpg.ac.id/index.php/edumath Program Studi Pendidikan Matematika STKIP Muhammadiyah Pringsewu Lampung

40

Jurnal e-DuMath Volume 2 No. 1, Januari 2016 Hlm. 38-51 PDF Distribusi Four-Parameter Generalized t


0.012 p1=1,q1=1,sigma1=125,µ1=0 p2=2,q2=2,sigma2=100,µ2=0 p3=3,q3=3,sigma3=75,µ3=0 p4=4,q4=4,sigma4=50,µ4=0

0.01


0.009 0.008 0.007

0.008

f(x)

f(x)

0.006

0.006

0.005 0.004

0.004

0.003 0.002

0.002 0.001

0 -200

-150

-100

-50

0 x

50

100

150

0 -200

200

-150

-100

-50

0

50

100

150

x

Gambar 6. Grafik Fungsi kepekatan peluang distribusi four-parameter generalized t dengan p=(4,3,2,1), q=(1,2,3,4), σ=(50,75,100,125), µ=0

Gambar 4. Grafik Fungsi kepekatan peluang distribusi four-parameter generalized t dengan p=(1,2,3,4), q=(1,2,3,4), σ=(125,100,75,50), µ=0 .


dari

distribusi


four-

peluang


dari

distribusi

four-


nilai p meningkat, q menurun, σ

nilai p menurun, q menurun, σ

meningkat, µ tetap

meningkat, µ tetap




0.009 0.008

0.012 p1=4,q1=4,sigma1=50,µ1=0 p2=3,q2=3,sigma2=75,µ2=0 p3=2,q3=2,sigma3=100,µ3=0 p4=1,q4=1,sigma4=125,µ4=0

0.01

0.007

f(x)

0.006

0.008

0.005

f(x)

0.004 0.003

0.006

0.002

0.004

0.001 0 -200

-150

-100

-50

0

50

100

150

0.002

x



dari

distribusi

-150

-100

-50

0

50

100

150

x


four-

parameter generalized t dengan nilai p menurun, q meningkat, σ meningkat, µ tetap

0 -200


dari

distribusi

four-

parameter generalized t dengan nilai p meningkat, q tetap, σ menurun, µ berbeda


41

Jurnal e-DuMath Volume 2 No. 1, Januari 2016 Hlm. 38-51 -3

PDF Distribusi Four-Parameter Generalized t 8

0.01 p1=1,q1=1,sigma1=125,µ1=-50 p2=2,q2=1,sigma2=100,µ2=-25 p3=3,q3=1,sigma3=75,µ3=0 p4=4,q4=1,sigma4=50,µ4=25

0.009 0.008

7 6

0.007

5 f(x)

0.006 f(x)


x 10


4

0.005 3

0.004 2

0.003 0.002

1

0.001

0 -200

-150

-100

-50

0

50

100

150

x

0 -200

-150

-100

-50

0

50

100

150

Gambar 10. Grafik Fungsi kepekatan peluang distribusi four-parameter generalized t dengan p=(1,2,3,4), q=(1,2,3,4), σ=75, µ=0

x

Gambar 8. Grafik Fungsi kepekatan peluang distribusi four-parameter generalized t dengan p=(1,2,3,4), q=1, σ=(125,100,75,50), µ=(-50,-25,0,25)



dari

distribusi

peluang

four-

dari

distribusi

four-



nilai p menurun, q menurun, σ

nilai p menurun, q tetap, σ

tetap, µ tetap

menurun, µ berbeda -3


8

0.01 0.009 0.008

p1=4,q1=1,sigma1=125,µ1=-50 p2=3,q2=1,sigma2=100,µ2=-25 p3=2,q3=1,sigma3=75,µ3=0 p4=1,q4=1,sigma4=50,µ4=25


x 10

7 6

0.007

5 f(x)

f(x)

0.006 0.005 0.004


4 3

0.003

2

0.002 0.001 0 -200

1 -150

-100

-50

0

50

100

x

150

0 -200

-150

-100

-50

0

50

100

150

x

Gambar 9. Grafik Fungsi kepekatan peluang distribusi four-parameter generalized t dengan p=(4,3,2,1), q=1, σ=(125,100,75,50), µ=(-50,-25,0,25)


dari

distribusi

four-

Gambar 11. Grafik Fungsi kepekatan peluang distribusi four-parameter generalized t dengan p=(4,3,2,1), q=(4,3,2,1), σ=75, µ=0


dari

distribusi

four-



nilai p meningkat, q meningkat, σ

nilai p tetap, q meningkat, σ tetap,

tetap, µ tetap

µ tetap


42

Jurnal e-DuMath Volume 2 No. 1, Januari 2016 Hlm. 38-51 -3

7

skala dari grafik yang terbentuk.


x 10

Sedangkan

6

puncak

grafik

yang

terbentuk dipengaruhi oleh meningkat

5


f(x)

4

3

atau menurun nilai p dan q. Kemudian µ adalah parameter lokasi sehingga

2

dapat di lihat pada gambar bahwa

1

0 -200

-150

-100

-50

0

50

100

150

grafik selalu simetri pada µ.

x

Gambar 12. Grafik Fungsi kepekatan peluang distribusi four-parameter generalized t dengan p=1, q=(1,2,3,4), σ=75, µ=0


dari

distribusi

four-


Parameter Generalized t (1) Fungsi

Karakteristik

Four-Parameter

Distribusi

Generalized

t

dengan definisi

nilai p meningkat, q tetap, σ tetap,

Pada bagian ini akan dijelaskan fungsi

µ tetap

karakteristik distribusi four-parameter

-3

7

3) Fungsi Karakteristik Distribusi Four-

generalized


x 10

dari

6

5

distribusi

generalized p1=1,q1=1,sigma1=75,µ1=0 p2=2,q2=1,sigma2=75,µ2=0 p3=3,q3=1,sigma3=75,µ3=0 p4=4,q4=1,sigma4=75,µ4=0

f(x)

4

3

four-parameter

t dapat diperoleh dari

fungsi pembangkit momen dengan menambahkan

2

i

sebagai

bagian

imajiner .

1

0 -200

t . Fungsi karakteristik

-150

-100

-50

0

50

100

150

x

Gambar 13. Grafik Fungsi kepekatan peluang distribusi four-parameter generalized t dengan p=(1,2,3,4), q=1, σ=75, µ=0

Jika X adalah distribusi peubah acak distribusi

generalized

t

dengan

parameter μ∈R dan σ , p , q > 0 , maka fungsi karakteristik X adalah sebagai

Dari

gambar

grafik

fungsi

kepekatan peluang distribusi fourparameter generalized t dapat di lihat

berikut : 

 x t   E e itx    e itx f x dx 

bahwa σ adalah parameter skala, p dan

Oleh karena batas x pada fungsi

q adalah parameter bentuk sehingga

kepekatan peluang distribusi four-

semakin

menurun

nilai

σ

maka

parameter

semakin kecil skala dari grafik yang

   x   ,dan

terbentuk

grafik

dan sebaliknya, semakin

generalized

fungsi

t

adalah

berdasarkan

simulasi

kepekatan

peluang

meningkat nilai σ maka semakin besar Diterbitkan Oleh: http://ejournal.stkipmpringsewu-lpg.ac.id/index.php/edumath Program Studi Pendidikan Matematika STKIP Muhammadiyah Pringsewu Lampung

43


distribusi four-parameter generalized

1

 x   t   e

t diperoleh grafik plot yang simetri pada µ, maka berdasarkan teorema

 x   t   2 e

1

Jadi fungsi karakteristik dari distribusi four-parameter generalized t adalah

simetri berlaku: 

1

 1 p1p itq p       p q

 x t   E e itx   e it E e it ( x   )   e it . x   t 

f x  dx

it ( x   )

1





 2 eit ( x   ) 

p

 e it .e

dx 1 q

p p i  1  1 x    2q p B , q  1   p q     

1 x y q 

Misalkan

p

 1 p it    p

e

1     1 p  it         p    

(2) Fungsi karakteristik distribusi

kita dapat

four-parameter generalized t

menulis ulang persamaan ( 2 ) dalam

dengan ekspansi trigonometri Selain menggunakan metode yang

bentuk berikut

dijelaskan sebelumnya , pada bagian  x   t  



 p 1 1 1p 1 1p e it ( x   ) y q  dy 1   q 1 p p 1 0   1  y p q B , q  p  

1

e

it ( x   )

1  B , q   p 

.

y

1 1 p

1  y 

1 q p

ini akan dijelaskan cara lain untuk menentukan fungsi dari karakteristik , sebagai berikut :

dy

(3)

Menggunakan MacLaurin dari fungsi

Akan ditunjukkan bahwa  x t   E e itx   E Cos tx   i Sin tx 

 ECos tx   i ESin tx 

e it ( x ) , maka persamaan ( 3 ) dapat

ditulis sebagai

e

   it ( x   ) n  y p 1  . x   t   dy 1 q  n!  1  0  n  0  1  y  p B , q  p  1

1

Bukti : 

 x t    e itx f x dx 

n 1 n 1 n  itq p   B  , q   p p p     n! 1  n 0 B , q  p 

Oleh karena batas x pada fungsi



n

 itq p   n n 1   p  p . q  p   n!  1p .q  n 0 1





 

kepekatan peluang distribusi fourparameter



  x  ,

grafik

Dengan pendekatan Stirling, diperoleh  1  1 p1p  itq p       p q        x   t     n! n 0 1

1

   

persamaan

dinyatakan sebagai

generalized

t

adalah

dan berdasarkan simulasi

fungsi

kepekatan

peluang


n

t diperoleh grafik plot yang simetri (4)

pada µ, maka berdasarkan teorema

Dengan menggunakan ekspansi deret MacLaurin,

1     1 p  it        p      

(4)

dapat

simetri berlaku: 

 x   t   2 e it ( x   ) f x  dx 


44

Jurnal e-DuMath Volume 2 No. 1, Januari 2016 Hlm. 38-51 

 2 Cos t ( x   )   i Sin t ( x   )  f x  dx 

(5)

1

Persamaan (5) akan diselesaikan berikut ini f x     Cos t ( x   )

dan

1

Oleh karena, n

 1 it ( x   )2n1 1 1 3 5 it ( x   )   it ( x   )     2n  1! 3! 5! n

Dengan memisahkan menjadi dua bagian, kita selesaikan secara terpisah dari persamaan (5) yang kita miliki,







 Cos t ( x   ) f x  dx     C n 0



p



1    

1 q B , q   p  1 p

n

 (x  ) n  

 1  1 x    q B , q 1    p   q   p

1 p

4!

1 q p

dx

 1   dx 1 q   1 x pp 1     q 

(6)

1 x y q 

p

 Cos t ( x   ) f x  dx  

  t ( x   ) 2 t ( x   ) 4  p 1 1 1p 1 1p 1     y q  dy 1   q p 2! 4!   1 p   1  y  p    q B , q  p  1

 t ( x   ) 2 t ( x   ) 4  yp 1      dy 1   q 2! 4! 1   1  y  p B , q  0  p  1



4



 Cos t ( x   ) f x dx 

  1  t 2 2p 2  1 2  1 2  t 4 4p 4  1 4 4  B , q   q  B  , q    q  B  , q     p p p  4! p p p  1    p  2!    B , q  p  2 4 1 1  tq p   B 1  2 , q  2   tq p   B 1  4 , q  4    p p  p p p   p        1   2! 4! 1  1  B , q  B , q  p  p 







 i Sin t ( x   ) f x  dx     C n 0



n

1

1

 (x  ) n  

p  1  1 x   q B , q 1   p   q  1 p

p

3 5    p it ( x   )  it ( x   )  1  it ( x   )     3! 5!  1      1 x  q B , q  1  p   q  1 p

kita dapat

menuliskan persamaan ( 6 ) dalam bentuk berikut 

1

Beta, kita memiliki

(8) Dengan memisalkan

Dengan memisalkan

2

Selanjutnya, dengan menggunakan fungsi



p

t ( x   )2  t ( x   )4 2!

1

(7) Bagian kedua ,

Bagian pertama 

1

 1  1  y p 1  1 t2 2  yp p t4 4  4 yp p  dy  q p  2  dy  q p 4  y p dy   1 1 2 1 4  q  q 2  q 4 p p p p p p 2! 4!  1   0 1  y  p    1  y 0 1  y  0  B , q   p 



1 t ( x   )2  1 t ( x   )4     1 t ( x   )2n 2n! 2! 4!

1

1

1

n!

i Sin t ( x   )   it ( x   ) 

1

1 1  2  4  y p 1  1 t2 2 yp t4 4 yp  dy  q p 2  y p dy  q p 4  y p dy   1 1 1 q q p p  1  0 1  y  p  q 2! 4 !  1  y  1  y  0 0  B , q   p 



n 0

1

1 1 1 2    2  t 4  y 1p q 1p   4 y p yp t  1 1  yp  dy    y p q p   dy   dy     1 1 1 q q  2 ! 4 !  1  0 1  y  p  q     p p 1  y  1  y  0 0 B , q    p  1

 1 f x      C n ( x   ) n ; dimana Cn  f n 0

Cos t ( x   )   1 

1

1



f x     Sin t ( x   )



1 1   y p 1 t ( x   )2 y p dy   t ( x   )4 y p dy   1  dy   1 1 1  q q p 2! 4! 1   1  y  p 1  y  p  q 0 0  B , q   0 1  y  p 



y

1 x q 

p

1

q

1

q

p  

p

p  

dx

dx

kita dapat

menuliskan persamaan (8) dalam bentuk berikut 

2 i Sin t ( x   )  f x  dx  

3 5    p it ( x   )  it ( x   )  1 1 1p 1 1p 0  it ( x   )  3!  5!     1p  q p y q  dy   1  1 y q p B , q   p  1


45






5   it ( x   ) 3 it ( x   )  yp  itx      dy 1   q 3! 5! 1   1  y  p B , q  0  p 

1

1



1

1 1 1 3 5     1 yp it ( x   )  yp it ( x   )  yp  it ( x   )  dy   dy   dy   1 1 1 q q q p p p 3 ! 5 !  1   0        1  y 1  y 1  y 0 0  B , q   p  1

1

1

1 1 1 3 5     1 1 p it 3  1p 1p  yp it 5  1p 1p  yp  it  y p q p   y  dy   dy   dy   y q  y q  1 1 1    1  0   1  y  p  q  1  y  p  q  1  y  p  q 0 3!  0 5!  B , q    p  1



 Cos(t ( x   )) f ( x)dx  

1

 

i Sin (t ( x   )) f ( x)dx 



n n 1 n  p  p . q  p 1  itq p   n n 1       p  p q p   1p .q  n ! n0

   q 

 

1 p

1

1



1 1 1  1  1    3 5 p p p 3 3 5 5 itq p  y p y 1 dy  it q p  3 y p y 1 dy  it q p  5 y p y 1 dy      q q q   3 ! 5 ! 1  1  y  p 1  y  p 1  y  p 0 0 0 B , q    p  1

1

1

 1  1  1    1   1 yp p it 3 3 yp p it 5 5 yp p itq p  dy  q p 3  dy  q p 5  dy   1 1 1 3 1 5  q 1  q 3  q 5 p p p p p p p p p 3! 5! 1   0 1  y  0 1  y  0 1  y   B , q   p  1

1

3

1





 





 Cos(t ( x   )) f ( x)dx   i Sin(t ( x   )) f ( x)dx  n

 itq p      1  n . q  p p    n!  1p .q  n0 1





 

n p



memperoleh



 i Sin t ( x   ) f x  dx   1 1  it 3 3p 3  1 3 3  it 5 5p 5  1 5 5 , q    q  B  , q    q  B  , q     p p  3! p  5! p p p p p 

1  p 

1 1 3 1 1 5 3 5 i tq p   B  , q   i tq p   B  , q   p  p  p p  p p     3! 5! 1  1  B , q  B , q  p p    

3

5





 Cos t ( x   ) f x  dx   i Sin t ( x   ) f x  dx  



 itq        n! n 0 

1 p

(9) Mensubstitusikan Persamaan ( 7 ) dan



Persamaan ( 9 ) ke dalam Persamaan ( 5 ),

 itq p        n ! n 0

jadi

n

 2 .e  

2 .e

 1p

1 p

 1p

1 n 1   p p 2

. 2 .e  q q 

q  np  12

1 1  p 2

. 2 .e  q q 

q  12

1 p



 Cos t ( x   ) f x  dx   i Sin t ( x   ) f x  dx  1



n n

n

 1 p1p      p q







Dengan pendekatan Stirling , kita

Beta , kita memiliki  1p  1 itq B  1  p B , q  p   1 1 B  , q  1 p p  itq p   1  B , q  p 



5

Selanjutnya, dengan menggunakan fungsi

1

n

i Sin (t ( x   )) f ( x)dx 

 itq p      1  n . q  n . 1  q p p p p    n!  1p  q . 1p .q  n 0 

1

1



 Cos(t ( x   )) f ( x)dx   1

 i Sin t ( x   ) f x  dx 







 Cos(t ( x   )) f ( x)dx   i Sin(t ( x   )) f ( x)dx  



 Cos t ( x   ) f x  dx   i Sin t ( x   ) f x  dx  2 4   1 1 1 2 1 4 2 4   tq p   B  , q    tq p   B  , q    p  p  p p  p p 1   .  .     2! 4! 1  1  B , q  B , q    p  p   

3 5   1 1 1 1 1 3 1 5 1 3 5  1 B  , q   i tq p   B  , q   i tq p   B  , q    p  p  p p p  p p  p p  itq p  .  .  .     3! 5! 1  1  1  B , q  B , q  B , q    p  p  p   

2 3 1 1 1 1 1 2 1 3 1 2 3 B  , q    tq p   B  , q   i tq p   B  , q   p p p  p p p p p p        1  itq  .  .  .  2! 3! 1  1  1  B , q  B , q  B , q  p  p  p 

 1 1  itq p     p       n! n 0



1 p

1   q

1 p

   

n

(10) dan persamaan ( 10 ) dapat ditulis

1

p

5 1 1 5 5  p  B 1  4 , q  4    i tq p   B  , q    tq    p  p p p   . p p     .  4! 5! 1  1  B , q  B , q  p  p  1

kembali sebagai bentuk berikut

4

1

 x   t   e

1

1

 1 p1p itq p       p q

Jadi fungsi karakteristik dari distribusi Diketahui bahwa i 

1

dari

sehingga

imajiner

,

, i adalah bagian

four-parameter generalized t adalah

persamaan

menjadi Diterbitkan Oleh: http://ejournal.stkipmpringsewu-lpg.ac.id/index.php/edumath Program Studi Pendidikan Matematika STKIP Muhammadiyah Pringsewu Lampung

46


 x t   E e itx   e it E e it ( x   )   e it . x   t  1

 e it .e

 1 p it    p

e

1     1 p  it         p    

 x t   e

  it      

1   1 p     p    

Bukti: Perhatikan bahwa

Dengan demikian , fungsi karakteristik

  it      

 x t   e

dari distribusi four-parameter generalized

1   1 p     p    

Masukan t = 0 , maka kita mendapatkan

t adalah  x t   e

Maka  x (0)  1 .

1    1 p it       p    

    

Berdasarkan penjabaran tersebut dalam menentukan

fungsi

karakteristik

 x (0)  e  x (0)  1

  0     

1   1 p     p    

 e0

Sifat 2.  x (t )  1 Bukti:

menggunakan definisi dan menggunakan

Menurut definisi , diketahui bahwa :

ekspansi trigonometri diperoleh hasil

eitx  cos ( t x)  i sin ( t x)

yang sama. Sehingga dapat disimpulkan

dan

fungsi karakteristik dari distribusi four-

 x t   e

i

 1 , sehingga

 cos 2 (tx )  sin 2 (tx )  1

e itx  1  1

parameter generalized t adalah : 1    1 p it        p  

e

itx 2

jadi diperoleh

    

~

 x (t )  2 e itx .dF 



(3) Pembuktian Sifat-Sifat Dasar Fungsi

 2  e itx dF 



Karakteristik dari Fungsi

 2  1.dF 

Karakteristik Distribusi Four-



 2  dF

Parameter Generalized t



Pada bagian ini akan dibahas

tentang

sifat-sifat dasar fungsi karakteristik dari



 2  f  x  dx  ~

fungsi karakteristik distribusi parameter

generalized

t

four.

 2 . 

Akan

four-parameter generalized t

memenuhi sifat-sifat dasar dari fungsi

1 q p p  1  1 x   2q B , q  1   p  q  

dx

1 p



ditunjukkan bahwa fungsi karakteristik distribusi

p



~



p p . dx 1  q 1  q B , q    1 x   p  p   p  1    q  1 p

karakteristik. Sifat 1. Misalkan fungsi karakteristik distribusi adalah

four-parameter

generalized

(15) Misalkan

y

1 x q 

p

kita dapat menulis

ulang persamaan ( 15 ) dalam bentuk

berikut Diterbitkan Oleh: http://ejournal.stkipmpringsewu-lpg.ac.id/index.php/edumath Program Studi Pendidikan Matematika STKIP Muhammadiyah Pringsewu Lampung

47


 x (t ) 

~

p 1 1 1p 1 1p . y q  dy  1 1  1  0 1  y  p  q p p q B , q  p  1



1

1 yp  dy 1   1  1  y  p  q B , q  0 p  

y Karena B 1 , q   p   



1 1 p

q 0 1  y  1 p

karakteristik

tersebut,

maka

dapat

disimpulkan bahwa fungsi karakteristik dari distribusi four-parameter generalized t memenuhi sifat-sifat dasar dari fungsi karakteristik. Selanjutnya akan dilakukan

dy , maka

simulasi grafik fungsi karakteristik dari

1  B , q   1   p  B , q  p  1 ▄

 x t  

Dari pembuktian ketiga sifat fungsi

1


3) Simulasi Grafik Fungsi Karakteristik Sifat 3. Misalkan  x t   e

1    1 p it        p  

    

Distribusi adalah

fungsi

Four-Parameter

Generalized t

karakteristik dari peubah acak X dari

Pada bagian ini akan dibahas mengenai


simulasi grafik fungsi karakteristik dari

Maka fungsi karakteristik peubah acak -X

ditribusi four-parameter generalized t

adalah  x (t )

dengan menggunakan software MATLAB R2010b.

Bukti.

1. Simulasi grafik fungsi Karakteristik

Misalkan  x (t ) adalah konjugat kompleks

dari

dari x (t) , akan ditunjukkan bahwa fungsi

generalized t dengan µ=0,σ=1 dan

karakteristik (-t) adalah  x (t ) , maka :

p=1.

 x (t )  e

1     1 p  it         p    

distribusi

four-parameter

Characteristic Function of Four-Parameter Generalized t distribution with Mu=0,sigma=1, p=1 1 0.8 0.6 0.4

1

 e

0.2

1     1 p  it         p    

0 -0.2 -0.4 -0.6

1   x (t )

-0.8 -1

  x (t )

Jadi,

fungsi

karakteristik

(-t)

dari

-1

-0.5

0

0.5

1

Gambar 14. Grafik Fungsi karakteristik distribusi four-parameter generalized t dengan µ=0,σ=1 dan p=1.

distribusi four-parameter generalized t adalah  x  t  

1 e

1     1 p  it         p    

2. Simulasi grafik fungsi Karakteristik dari

distribusi

four-parameter

generalized t dengan µ=0,σ=1 dan p=1,5.


48

Jurnal e-DuMath Volume 2 No. 1, Januari 2016 Hlm. 38-51 Characteristic Function of Four-Parameter Generalized t distribution with Mu=0,sigma=1, p=1.5


0.8

dari

0.6

distribusi

four-parameter

0.4


0.2 0 -0.2

p=3,5.

-0.4 -0.6

Characteristic Function of Four-Parameter Generalized t distribution with Mu=0,sigma=1, p=3.5

-0.8 0.8

-1

-0.5

0

0.5

1 0.6

Gambar 15. Grafik Fungsi karakteristik distribusi four-parameter generalized t dengan µ=0, σ=1 dan p=1,5

0.4 0.2 0 -0.2 -0.4


distribusi

-0.6 -0.8

-1

four-parameter

generalized t dengan µ=0,σ=1 dan p=2 Characteristic Function of Four-Parameter Generalized t distribution with Mu=0,sigma=1, p=2 1

-0.5

0

0.5

1

Gambar 18. Grafik Fungsi karakteristik distribusi four-parameter generalized t dengan µ=0,σ=1 dan p=3,5


0.8

dari

0.6

distribusi

four-parameter

0.4


0.2 0

p=5.

-0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1

Characteristic Function of Four-Parameter Generalized t distribution with Mu=0,sigma=1, p=5 1 -1

-0.5

0

0.5

1

0.8 0.6

Gambar 16. Grafik Fungsi karakteristik distribusi four-parameter generalized t dengan µ=0,σ=1 dan p=2

0.4 0.2 0 -0.2 -0.4


distribusi

four-parameter

generalized t dengan µ=0,σ=1 dan p=2,5.

-0.6 -0.8 -1

-1

-0.5

0

0.5

1


Characteristic Function of Four-Parameter Generalized t distribution with Mu=0,sigma=1, p=2.5


0.8 0.6

dari

0.4

distribusi

four-parameter

0.2


0 -0.2

p=10.

-0.4 -0.6 -0.8

-1

-0.5

0

0.5

1

Gambar 17. Grafik Fungsi karakteristik distribusi four-parameter generalized t dengan µ=0,σ=1 dan p=2,5.


49

Jurnal e-DuMath Volume 2 No. 1, Januari 2016 Hlm. 38-51 Characteristic Function of Four-Parameter Generalized t distribution with Mu=0,sigma=1, p=10 1 0.8

3. KESIMPULAN

0.6 0.4

Kita dapat menyimpulkan beberapa poin

0.2 0

dari paparan diatas sebagai berikut :

-0.2 -0.4 -0.6

1. Fungsi karakteristik dari distribusi

-0.8 -1

-1

-0.5

0

0.5

1

four-parameter generalized t adalah



distribusi

four-parameter


 x t   e

  it      

1   1 p      p  

2. Fungsi karakteristik distribusi fourparameter generalized t memenuhi sifat-sifat dasar fungsi karakteristik. 3. Hasil simulasi grafik menunjukan

p=100. Characteristic Function of Four-Parameter Generalized t distribution with Mu=0,sigma=1, p=100 1 0.8

bahwa

semakin

meningkat

nilai

parameter p yaitu parameter bentuk,

0.6 0.4

maka

0.2

grafik

fungsi

karakteristik

0


-0.2 -0.4

t

-0.6

membentuk

kurva

tertutup

-0.8 -1

-1

-0.5

0

0.5

1

Gambar 21. Grafik Fungsi karakteristik distribusi four-parameter generalized t dengan µ=0,σ=1 dan p=100.

Berdasarkan hasil simulasi grafik fungsi karakteristik dari distribusi four-parameter generalized t dengan menggunakan

software

MATLAB

(lingkaran) yang mulus.

4. DAFTAR PUSTAKA Boyer, Brian H., James B. McDonald, Whitney K. Newey. (2003). A Comparison of Partially Adaptive and Reweighted Least Squares Estimation. Econometric Reviews Vol.22. No.2 pp: 115-134.

R2010b dapat disimpulkan bahwa semakin meningkat nilai parameter bentuk yaitu p, maka grafik fungsi karakteristik distribusi four-parameter generalized t akan membentuk kurva tertutup (lingkaran) yang mulus.

Chan, J.S.K, Choy, S.T.B, and Markov U.E: 2007. Robust Bayesian Analysis of Loss Reserves Data Using the Generalized-t Distribution. Quantitative Finance Research Centre. University of Technology Sydney. www.qfrc.uts.edu.au Lee, Anthony, Francois Caron, Arnaud Doucet, and Chris Holmes. (2012). Bayesian Sparsity-Path-


50


Analysis of Genetic Association Signal using Generalized t Priors. Statistical Applications in Genetics and Molecular Biology. Computational Statistical Methods For Genomics And Systems Biology. McDonald ,James B and Whitney K. Newey. (1988). Partially Adaptive Estimation of Regression Models Via The Generalized t Distribution. Econmet Theory 4: 428-457.


51

KARAKTERISTIK FUNGSI DISTRIBUSI FOUR-PARAMETER GENERALIZED-t

Recommend Documents