KARAKTERISTIK FUNGSI HAZARD RATE DISTRIBUSI GENERALIZED WEIBULL
(Skripsi)
Oleh MUTIA ADILLAH
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG BANDAR LAMPUNG 2016
ABSTRACT
CHARACTERISTIC OF HAZARD RATE FUNCTION FOR GENERALIZED WEIBULL DISTRIBUTION
By
Mutia Adillah
Survival Analysis is usually used in predicting the probability of survival, recurrence of disease, death and others event until a certain time period. Survival time is the data that measure time to a certain event. The distribution of survival times is usually described or characterized by three functions: the probability density function, the survival function, and the hazard function. The hazard function is used to express the hazard rate. Hazard rate is measure of the failure rate at a particular time. The shape of hazard rate can be increasing, decreasing, bathub, upside-down bathub and constant. The hazard rate has a shape that is different for the different distribution. Therefore, the purpose of the research is to know the characteristic of hazard rate function for generalized weibull distribution. The characteristic of hazard rate function can be analyzed by using Glaser rules that defined by
( )=−
( )
( )
. The characteristic of hazard rate
function for Generalized Weibull distribution are increasing, decreasing and constant.
Key Word : Generalized Weibull Distribution, Hazard Rate, Survival Analysis.
ABSTRAK
KARAKTERISTIK FUNGSI HAZARD RATE DISTRIBUSI GENERALIZED WEIBULL
Oleh
Mutia Adillah
Analisis survival atau analisis kelangsungan hidup biasanya digunakan dalam menduga probabilitas kelangsungan hidup, kekambuhan suatu penyakit, kematian dan peristiwa-peristiwa lainnya sampai pada periode waktu tertentu. Waktu kelangsungan hidup merupakan data yang mengukur waktu pada kejadian tertentu. Distribusi dari waktu kelangsungan hidup biasanya digambarkan oleh tiga fungsi yaitu : Fungsi kepadatan peluang, fungsi kelangsungan hidup (fungsi survival), dan fungsi hazard. Fungsi hazard digunakan untuk menyatakan hazard rate. Hazard rate adalah ukuran laju kegagalan pada waktu tertentu. Hazard rate memiliki bentuk yang berbeda-beda, yaitu dapat berupa increasing, decreasing, bathub, upside-down bathub dan konstan. Hazard rate memiliki bentuk yang berbeda-beda untuk distribusi yang berbeda pula. Oleh karena itu, tujuan dari penelitian ini untuk mengetahui karakteristik hazard rate distribusi Generalized Weibull. Karakteristik Fungsi Hazard Rate dapat dianalisis dengan menggunakan aturan Glaser yang didefinisikan dengan
( )=−
( )
( )
. Karakteristik fungsi
hazard rate distribusi Generalized Weibull adalah increasing (meningkat), decreasing (menurun) dan konstan. Kata Kunci : Distribusi Generalized Weibull, Survival Analysis, Laju Kegagalan (Hazard Rate)
KARAKTERISTIK FUNGSI HAZARD RATE DISTRIBUSI GENERALIZED WEIBULL
Oleh MUTIA ADILLAH
Skripsi Sebagai Salah Satu Syarat untuk Mencapai gelar SARJANA SAINS Pada Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG BANDAR LAMPUNG 2016
RIWAYAT HIDUP
Penulis di lahirkan di Bandar Lampung tepatnya pada tanggal 19 September 1994, sebagai putri ke tiga dari pasangan Bapak Yurni Kesuma Youdha dan (Alm) Ibu Hartini.
Penulis menamatkan pendidikan Sekolah Dasar (SD) di SD Al-kautsar pada tahun 2006, Sekolah Menengah Pertama (SMP) di SMP Al-kautsar pada tahun 2009, dan Sekolah Menengah Atas (SMA) di SMA Negeri 9 Bandar Lampung pada tahun 2012.
Pada tahun 2012 penulis terdaftar sebagai Mahasiswa Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam jurusan Matematika, melalui jalur SNMPTN Tulis. Selama menjadi mahasiswa, penulis bergabung di Himpunan Mahasiswa Matematika
(HIMATIKA)
yang
diamanahkan
sebagai
Anggota
Biro
Kesekretariatan periode 2013-2014.
Pada bulan Januari 2015 penulis melaksanakan Kuliah Kerja Nyata (KKN) di Desa Mekar Indah Jaya, Kecamatan Banjar Baru, Kabupaten Tulang Bawang. Pada bulan Agustus 2015 penulis melaksanakan Kerja Praktek (KP) di Badan Pusat Statistik (BPS) Kota Bandar Lampung guna mengaplikasikan ilmu yang telah didapatkan sewaktu kuliah.
KATA INSPIRASI
Jangan ragu dengan kekuatan Allah SWT. Karena banyak fakta yang bisa kita jadikan bukti kebesarannya
Tidak ada masalah yang tidak bisa diselesaikan selama ada kemauan untuk menyelesaikannya.
Kita akan sukes jika belajar dari kesalahan
PERSEMBAHAN
Kupersembahkan karya kecilku ini teruntuk : Dua nama yang sangat berjasa yaitu Ayahku Yurni Kesuma Youdha dan Alm. Mamahku Hartini serta kakak-kakak dan adikku yang selalu memberikan doa, semangat, dorongan, nasihat, dukungan moril maupun materil, kasih sayang serta pengorbanan yang tak tergantikan. Alhamdulillahirobil’alamin, atas izin-Nya lah skripsi ini dapat terselesaikan. Semoga dapat berguna dan memberikan manfaat yang tidak terputus.
SANWACANA
Puji syukur kehadirat Allah SWT berkat rahmat dan karunia Nya penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul “KARAKTERISTIK FUNGSI HAZARD RATE DISTRIBUSI GENERALIZED WEIBULL”. Dalam penyusunan skripsi ini banyak pihak yang telah terlibat sehingga dapat terselesaikan dengan baik dan tepat waktu. Oleh karena itu penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada : 1. Bapak Ir. Warsono, M.S., Ph.D, selaku Dosen Pembimbing 1 yang telah meluangkan waktu dan membimbing penulis selama menyusun skripsi. 2. Bapak Drs. Eri Setiawan, M.Si, selaku Dosen Pembimbing 2 yang telah memberi banyak masukan dan arahan kepada penulis. 3. Bapak Amanto, S.Si., M.Si, selaku Dosen Pembahas yang memberi masukan dan evaluasi kepada penulis selama menyusun skripsi. 4. Ibu Dian Kurniasari S.Si., M.Sc, yang telah membimbing dan memberikan ilmu dan arahan kepada penulis dalam penyusunan skripsi ini. 5. Bapak Drs. Suharsono S., M.S, M.Sc., Ph.D, selaku dosen pembimbing akademik yang selalu memberikan pengarahan selama masa perkuliahan. 6. Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D, selaku Ketua Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
7. Bapak Prof. Warsito, S.Si., DEA., Ph.D,
selaku Dekan Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas lampung. 8. Dosen, staf, dan karyawan Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung yang telah memberikan ilmu serta bantuan kepada penulis. 9. Ayah, Mamah (Alm), Kakak-kakak dan Adikku tercinta yang selalu memberikan motivasi, doa, kasih sayang dan dukungan moril maupun materil kepada penulis. 10. M. Faisal Wijaya yang selalu memberikan semangat, doa dan dukungannya kepada penulis. 11. Sahabat seperjuangan Merda Gustina yang selalu membantu saling mendoakan dan memberikan dukungan kepada penulis. 12. Elva, Dwi, Agnes, Putri, Erni yang selalu memberikan semangat, bantuan dan dukungan kepada penulis. 13. Gery, Yefta, Ica, Ernia, Lina dan teman-teman angkatan 2012 lainnya yang telah banyak membantu dan memberikan motivasi kepada penulis. 14. Seluruh pihak yang telah membantu penulis dalam menyusun skripsi ini.
Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari kata sempurna, sehingga kritik dan saran yang membangun sangat penulis harapkan. Akhir kata, semoga skripsi ini dapat berguna bagi pembaca sebagai acuan di penelitian selanjutnya.
Bandar Lampung, April 2016 Penulis Mutia Adillah
DAFTAR ISI
Halaman DAFTAR GAMBAR ....................................................................... I.
PENDAHULUAN 1.1. 1.2. 1.3. 1.4.
II.
iii
Latar Belakang dan Masalah .................................................... Tujuan Penelitian...................................................................... Manfaat Penelitian.................................................................... Batasan Masalah.......................................................................
1 3 3 3
TINJAUAN PUSTAKA 2.1 2.2
2.3 2.4 2.5
Analisis Survival (Analisis Kelangsungan Hidup)................... Fungsi Waktu Kelangsungan Hidup ........................................ 2.2.1 Fungsi Kepadatan Peluang (pdf) .................................. 2.2.2 Fungsi Survival............................................................. 2.2.3 Fungsi Hazard .............................................................. Distribusi Weibull .................................................................... Distribusi Generalized Weibull................................................ Analisis Bentuk Fungsi Hazard dengan Aturan Glaser ...........
5 6 7 8 9 12 13 14
III. METODOLOGI PENELITIAN 3.1 3.2
IV.
Waktu dan Tempat Penelitian .................................................. Metode Penelitian.....................................................................
16 16
HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1
4.2 4.3
Fungsi Distribusi Kumulatif Distribusi Generalized Weibull.... 4.1.1 Nilai Harapan Distribusi Generalized Weibull .......... . 4.1.2 Ragam Distribusi Generalized Weibull ....................... Fungsi Ketahanan Hidup Distribusi Generalized Weibull ...... Fungsi Hazard Distribusi Generalized Weibull ......................
18 19 20 22 22
4.4 4.5 4.6 4.7 4.8
V.
Turunan Pertama dari Fungsi Kepadatan Peluang Distribusi Generalized Weibull.................................................. .............. Nilai ( ) ................................................................................. Turunan Pertama ( ) ( ( )).................................................. Karakteristik Fungsi Hazard Rate Distribusi Generalized Weibull.................................................. ................................... Grafik Fungsi Hazard Rate Distribusi Generalized Weibull .
23 24 24 25 28
KESIMPULAN DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN
ii
DAFTAR GAMBAR
Gambar 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10 4.11 4.12 4.13
Halaman Grafik Fungsi Hazard Rate Distribusi Generalized Weibull pada saat = 0,3 = 1 = 0,5 ...................................................... Grafik Fungsi Hazard Rate Distribusi Generalized Weibull pada saat = 1 = 0,3 = 0,5 ...................................................... Grafik Fungsi Hazard Rate Distribusi Generalized Weibull pada saat = 0,5 = 3 = 0,3 ...................................................... Grafik Fungsi Hazard Rate Distribusi Generalized Weibull pada saat = 3 = 0,5 = 0,3 ...................................................... Grafik Fungsi Hazard Rate Distribusi Generalized Weibull pada saat berubah tetap dan tetap ( = 0.3) ...................... Grafik Fungsi Hazard Rate Distribusi Generalized Weibull pada saat tetap berubah dan tetap ( = 0,4) ...................... Grafik Fungsi Hazard Rate Distribusi Generalized Weibull pada saat tetap tetap dan berubah (0 < < 1).................. Grafik Fungsi Hazard Rate Distribusi Generalized Weibull pada saat , dan berubah (0 < < 1) .................................. Grafik Fungsi Hazard Rate Distribusi Generalized Weibull pada saat > 0, > 1, = 1 .......................................................... Grafik Fungsi Hazard Rate Distribusi Generalized Weibull pada saat = 0,5 = 1 = 3......................................................... Grafik Fungsi Hazard Rate Distribusi Generalized Weibull pada saat = 0,5 = 1 = 4......................................................... Grafik Fungsi Hazard Rate Distribusi Generalized Weibull pada saat , berubah dan tetap ( > 1) ................................. Grafik Fungsi Hazard Rate Distribusi Generalized Weibull pada saat = dan berubah ( > 1).......................................
28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang dan Masalah
Statistika merupakan alat analisis yang banyak digunakan dalam berbagai bidang terapan. Salah satu analisis statistika yaitu analisis survival (survival analysis) atau analisis kelangsungan hidup. Analisis ini biasanya digunakan dalam menduga probabilitas kelangsungan hidup, kekambuhan suatu penyakit, kematian dan peristiwa-peristiwa lainnya sampai pada periode waktu tertentu.
Analisis kelangsungan hidup adalah suatu metode statistik yang dapat digunakan untuk menjawab pertanyaan apakah dan kapan suatu kejadian menarik terjadi. Pada analisis survival (survival analysis) terdapat dua fungsi utama, yaitu fungsi kelangsungan hidup (survival) dan fungsi hazard. Fungsi kelangsungan hidup menyatakan peluang suatu sistem atau individu tidak mengalami kegagalan lebih dari waktu . Fungsi ini didefinisikan sebagai: ( ) = P( > ) = 1− ( )
Sedangkan fungsi hazard adalah laju kegagalan sesaat antara selang waktu yang sempit
dan
+ ∆ dengan asumsi obyek telah bertahan sampai waktu ke
Fungsi ini digunakan untuk menyatakan hazard rate. Hazard rate adalah ukuran laju kegagalan pada waktu tertentu. Hazard rate sangat bermanfaat dalam
2
menganalisis data kelangsungan hidup. Hazard rate merupakan perbandingan dari fungsi kepadatan peluang (
) terhadap fungsi kelangsungan hidup ( ( )).
Hazard rate memiliki bentuk yang berbeda-beda, yaitu dapat berupa increasing, decreasing, bathub, upside-down bathub dan konstan. Hazard rate memiliki bentuk yang berbeda-beda untuk distribusi yang berbeda pula. Hal itu juga berlaku pada distribusi Generalized Weibull. Selain itu, dalam memilih model peluang terbaik dalam data kelangsungan hidup bukanlah sesuatu hal yang mudah untuk dilakukan. Satu pendekatan untuk mengatasi masalah ini adalah dengan menggunakan model-model umum (general models). Salah satu model umum yang dapat digunakan adalah model distribusi Generalized Weibull karena memiliki potensi yang akurat untuk mencocokkan data kelangsungan hidup. Distribusi Generalized Weibull merupakan perluasan dari distribusi weibull. Distribusi weibull sering digunakan dalam permodelan analisis kelangsungan hidup. Distribusi ini diperkenalkan oleh seorang matematikawan yang bernama Wallodi Weibull. Distribusi weibull memiliki dua parameter, yaitu β (Paramater skala yang menunjukan besarnya keragaman data distribusi weibull) dan δ (parameter
bentuk).
Sedangkan
pada
disrtribusi
Generalized
Weibull
menambahkan satu parameter lokasi, sehingga distribusi Generalized Weibull memiliki tiga parameter yaitu parameter lokasi, parameter skala dan parameter bentuk.
Oleh karena itu, pada penelitian ini penulis tertarik untuk meneliti bagaimana karakteristik bentuk fungsi hazard rate pada distribusi Generalized Weibull.
3
1.2 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penulisan skripsi ini adalah : 1. Mengetahui fungsi kelangsungan hidup dan fungsi hazard distribusi Generalized Weibull. 2. Mengetahui decreasing,
karakteristik bathub,
hazard
upside-down
rate
yang
bathub
meliputi
dan
increasing,
konstan
distribusi
Generalized Weibull. 3. Membuat
grafik
fungsi
hazard
distribusi
Generalized
Weibull
menggunakan software R.
1.3 Batasan Masalah
Agar tidak memperluas pembahasan maka penelitian ini dibatasi pada hal-hal berikut: 1. Distibusi yang digunakan adalah distribusi Generalized Weibull dengan 3 parameter ( , , ).
2. Mencari karakterisik dari hazard rate yang meliputi increasing, decreasing, bathub, upside-down bathub dan konstan pada distribusi Generalized Weibull berdasarkan aturan Glaser.
1.4 Manfaat Penulisan
Manfaat dari penulisan skripsi ini adalah hasil dari penelitian ini dapat memberikan informasi yang lebih mendalam kepada peneliti lain mengenai fungsi
4
kelangsungan hidup, fungsi hazard dan juga karakteristiknya yang berhubungan dengan distribusi Generalized Weibull .
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Analisis Survival (Analisis Kelangsungan Hidup)
Analisis survival atau lebih dikenal dengan analisis kelangsungan hidup (survival analysis) merupakan analisis statistika khusus yang membantu menganalisis suatu kasus yang tidak dapat diselesaikan dengan analisis statistika pada umumnya. Analisis ini digunakan ketika kasus berkaitan dengan waktu dan lama waktu hingga terjadi peristiwa tertentu dan kemungkinan adanya data tersensor merupakan karakteristik khas yang membedakan dengan analisis lain. Misalnya peristiwa timbulnya suatu penyakit, kambuhnya penyakit, kesembuhan dan kematian (Kleinbaum dan Klein, 2012).
Analisis survival adalah suatu metode yang berhubungan dengan waktu, mulai dari time origin atau start point sampai dengan terjadinya suatu kejadian khusus atau end point. Di dalam analisis survival dibutuhkan beberapa waktu pengukuran, yaitu: 1) Waktu awal pencatatan (start point) yang didefinisikan dengan baik. 2) Waktu akhir pencatatan (end point) yang terdefinisi dengan baik untuk mengetahui status tersensor maupun tidak tersensor suatu data.
6
3) Skala waktu pengukuran yang jelas. Skala diukur dalam hari, minggu atau tahun (Collet, 2003).
Aplikasi analisis survival biasanya digunakan sebagai alasan untuk menjelaskan, mengukur, dan menganalisis kejadian dari suatu peristiwa untuk membuat prediksi tentang tidak hanya bertahan hidup tetapi juga 'dari waktu - sampai ke –proses kejadian '- lamanya waktu sampai perubahan status atau terjadinya suatu peristiwa – seperti sejak hidup sampai mati, sejak single sampai menikah, atau sejak sehat sampai sakit (Xian Liu, 2012).
2.2 Fungsi Waktu Kelangsungan Hidup
Waktu kelangsungan hidup merupakan data yang mengukur waktu pada kejadian tertentu seperti kegagalan, kematian, respon, kekambuhan suatu penyakit, perkembangan suatu penyakit dan lainnya. Distribusi dari waktu kelangsungan hidup biasanya digambarkan atau di karakteristikkan oleh tiga fungsi yaitu : Fungsi kepadatan peluang, fungsi kelangsungan hidup (fungsi survival), dan fungsi hazard. Ketiga fungsi ini equivalen, hal ini berarti jika satu dari ketiganya diberikan maka dua lainnya bisa diperoleh. Misalkan T dinotasikan sebagai waktu kelangsungan hidup. Distribusi dari T bisa digolongkan oleh ketiga fungsi equivalen tersebut (Lee dan Wang, 2003).
7
2.2.1 Fungsi Kepadatan Peluang (pdf)
Fungsi kepadatan peluang merupakan peluang suatu individu mengalami event, gagal atau mati dalam interval waktu
sampai ( + ∆ ) yang dinotasikan dengan
( ).
Fungsi ini dirumuskan sebagai berikut: ( ) = lim ∆ →
P( <
< +∆ ) = lim ∆ → ∆
( +∆ )− ∆
( )
(2.1)
merupakan variabel random non negatif dalam interval [0, ∞), ( )merupakan
fungsi distribusi kumulatif (cdf) dari
. Fungsi ini didefinisikan sebagai peluang
suatu individu mengalami event sampai dengan waktu yang dapat dituliskan sebagai berikut: ( ) = P( ≤ ) =∫
( )
(2.2)
Fungsi kepadatan peluang memiliki 2 sifat yaitu : 1.
( )adalah fungsi non negatif ( ) ≥ 0, untuk semua ≥ 0 ( ) = 0, untuk semua < 0
2. Luas daerah antara kurva kepadatan dengan sumbu sama dengan 1 yaitu ( )
=1
(Lee dan Wang, 2003).
8
2.2.2 Fungsi Survival
Menurut Lee dan Wang (2003) fungsi kelangsungan hidup (fungsi survival) didefinisikan sebagai peluang suatu individu yang bertahan hidup lebih dari waktu yang dinotasikan dengan ( ), yakni sebagai berikut : ( ) =
(suatu individu bertahan lebih dari t)
= ( > ) =∫
( )
(2.3)
Dengan menggunakan definisi fungsi distribusi kumulatif ( ) = ( ≤ ), maka fungsi survival dapat dituliskan sebagai berikut :
( ) = ( > )
=1− ( ≤ ) =1− ( )
( ( ))
=
( ) =−
(1 − ( ))
( ( ))
=− ( )
(2.4)
Secara teori fungsi survival dapat diplot sebagai kurva survival yang menggambarkan peluang kelangsungan suatu individu pada waktu
dalam interval 0 sampai ∞ .
Fungsi survival mempunyai karakteristik, yaitu sebagai berikut: a. Fungsi survival merupakan fungsi monoton tak naik. b. Pada saat , = 0, ( ) = (0) = 1
Pada awal dimulainya penelitian, karena belum ada individu yang mengalami event maka probabilitas survival pada saat = 0 adalah satu.
9
c. Pada saat , = ∞, ( ) ≈ 0
Secara teori, apabila periode penelitian meningkat tanpa batas, maka diakhir waktu tidak ada seorang individu yang akan bertahan hidup, sehingga kurva survival akan bergerak menuju nol (Klein dan Kleinbaum, 2012).
2.2.3 Fungsi Hazard
Fungsi hazard atau fungsi kegagalan dikenal juga sebagai hazard rate yang dinotasikan dengan ℎ( ). Menurut Lee dan Wang (2003), fungsi kegagalan dari waktu
tahan hidup T didefinisikan sebagai peluang suatu individu gagal di dalam interval waktu yang sangat kecil, dengan diasumsikan bahwa individu memiliki hidup yang lebih lama pada awal dari interval, atau sebagai limit dari peluang individu gagal dalam interval yang sangat kecil,
ke
matematis dapat dinyatakan sebagai berikut: ℎ( ) = lim ∆ →
= lim ∆ →
= lim ∆ →
= lim ∆ →
= lim ∆ →
=
P( <
< +∆ | ≥ ) ∆
< + ∆ ) ∩ ( ≥ )] /( ≥ ) ∆
P[( < P[( <
< +∆ ∩ ∆ P( ≥ )
≥ )]
P( < < + ∆ ) ∆ (1 − ( ))
1
+∆ .
(t + ∆t) − F(t) ∆ (1 − ( )) lim
(1 − ( )) ∆
→
F(t + ∆t) − F(t) ∆
Fungsi kegagalannya secara
10
= =
( ) (1 − ( ))
Dimana
( ) ( )
( ) adalah fungsi kepekatan (density function) dan
kelangsungan hidup.
(2.5)
( ) adalah fungsi
Fungsi hazard kumulatif didefinisikan sebagai : ( ) = ∫ ℎ( )
(2.6)
Dari persamaan (2.5) di atas, telah diketahui bahwa ( )=−
ℎ( ) =
( )
( ) ( )
=− =−
, sehingga ℎ( ) dapat dinyatakan sebagai berikut :
( )
.
1 ( )
ln ( )
Selanjutnya dengan mengintegralkan persamaan (2.8) dari 0 sampai t , maka
(2.7)
diperoleh : ℎ( ) −
ℎ( )
=− =
ln ( ) ln ( )
= ln ( ) |
= ln ( ) − ln (0)
Karena (0) = 1 maka ln (0) = ln 1 = 0, sehingga persamaan diatas menjadi :
11
−
ℎ( )
= ln ( )
− ( ) = ln ( )
(2.8)
Dan diperoleh persamaan untuk fungsi kelangsungan hidup, yaitu : [− ( )] =
( )=
[ln ( )]
− [ ( )]
(2.9)
Dari persamaan (2.6) dihubungkan dengan persamaan (2.9) akan diperoleh : ( ) = ℎ( )
− ∫ ℎ( )
; ≥0
(2.10)
Menurut McDonald dan Richard (1978) untuk mengetahui karakteristik fungsi hazardnya, ℎ( ) diturunkan terhadap t sehingga: ℎ( ) ℎ( ) ℎ( )
= = =
( ) ( ) − ( )(− ( )) ( ) ( )+
( ) + ( )
( )
( ) ( )
Setelah diperoleh turunan pertama dari ℎ( ), untuk mengetahui kapan ℎ( ) naik, turun atau konstan maka langkah selanjutnya adalah membuat ℎ( )
=0
( ) + ( )
( ) =0 ( )
( ) ( ) = − ( ) ( )
( )
=0
12
( ) =− ( ) ( )
Dari persamaan di atas sekarang dapat diketahui bahwa sebuah distribusi akan 1.
Memiliki laju hazard naik (increasing) jika
2.
Memiliki laju hazard turun (decreasing) jika
3.
Memiliki laju hazard konstan jika
( )
( )
( )
( )
> − ( ),
( )
( )
= − ′ ( ).
<− ( )
Syarat cukup sebuah fungsi kepekatan bukan merupakan suatu kondisi yang diperlukan untuk menentukan karakteristik laju hazardnya. Fungsi hazard juga dapat diplot sebagai kurva fungsi hazard terhadap seperti fungsi survival. Akan tetapi, terdapat perbedaan antara kedua fungsi tersebut. Pada fungsi hazard, kurva ℎ( ) tidak harus dimulai dari satu dan bergerak menuju nol, tetapi
kurva ℎ( ) dapat dimulai dari nilai berapapun dengan syarat ℎ( ) ≥ 0 dan dapat bergerak ke atas maupun ke bawah terhadap waktu (Klein dan Kleinbaum, 2012).
2.3 Distribusi Weibull
Distribusi Weibull diperkenalkan oleh seorang matematikawan yang bernama Wallodi Weibull. Distribusi Weibull sering digunakan dalam permodelan analisis kelangsungan hidup yang memiliki daerah fungsi peluang densitas positif dengan peubah acak kontinu. Distribusi Weibull memiliki dua parameter, yaitu: β : Paramater skala yang menunjukan besarnya keragaman data distribusi Weibull. δ : Parameter bentuk
13
Misalkan X adalah peubah acak dari distribusi Weibull dengan dua parameter, maka fungsi kepekatan peluang dari peubah acak Weibull adalah sebagai berikut: ( )=
0
(2.1)(2,k
;
;
≥ 0,
> 0,
>0; k(2.11)
Fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Weibull didefinisikan sebagai: ( ) = 1-
Nilai harapan dari distribusi Weibull adalah: ( ) =
Г 1+
Ragam (variance) distribusi Weibull adalah: ( )=
Г 1+
−Г 1+
(Kundu dan Mangalick, 2004).
2.4 Distribusi Generalized Weibull
Distribusi Generalized Weibull (Generalized Weibull Distribution) merupakan perluasan dari distribusi Weibull dengan menambahkan satu parameter lokasi, sehingga distribusi Generalized Weibull memiliki tiga parameter yaitu parameter lokasi, parameter skala dan parameter bentuk. Model distribusi Generalized Weibull merupakan salah satu model umum yang dapat diterapkan dalam data hidup.
14
Misalkan X adalah peubah acak dari distribusi Generalized Weibull dengan tiga parameter, fungsi kepekatan peluang dari peubah acak tersebut adalah ( )=
;
dengan
<
< ∞,
≥ 0,
> 0,
>0
(2.12)
:
Peubah acak yang didefinisikan sebagai waktu gagal (failure time)
:
Parameter lokasi yang menunjukkan lokasi waktu, dimana pada saat lokasi waktu tersebut belum ada objek pengamatan yang gagal maupun hilang
:
Parameter skala yang menunjukkan besarnya keragaman data distribusi
kkkkkkWeibull :
Parameter bentuk yang menunjukkan laju kematian/kerusakan data distribusi Generalized Weibull (Jhonson dan Kotz, 1970).
2.5 Analisis Bentuk Fungsi Hazard Rate dengan Aturan Glaser
Untuk melihat bagaimana laju hazard yang dipengaruhi oleh kombinasi dari nilainilai parameter maka Glaser (1980) membuat metode untuk menentukan bentuk laju hazard dengan satu turning point (titik belok). Dalam metodenya, Glaser menggunakan fungsi kepekatan peluang. Titik belok (turning point) dari suatu fungsi adalah suatu titik maksimum atau minimum dalam suatu fungsi atau kurva dan didefinisikan sebagai berikut : ( )=−
( )
( )
(2.13)
15
Fungsi ini memiliki peranan penting dalam mengkaji karakteristik fungsi dan bentuk laju hazard. Aturan Glaser (1980) sendiri adalah sebagai berikut : a. Jika ′( ) > 0 untuk semua > 0, maka Increasing (I)
b. Jika ′( ) < 0 untuk semua > 0, maka Decreasing (D)
> 0, sehingga ′( ) < 0 untuk semua є (0, ), ′( ) = 0,
c. Misal terdapat
dan ′( ) > 0 untuk semua >
Jika lim Jika lim
d. Misal terdapat dan
→ →
( ) = 0, maka Increasing (I) ( ) → ∞, maka Bathub (U)
> 0, sehingga
( ) < 0 untuk semua > Jika lim Jika lim
→ →
,
( ) > 0 untuk semua є (0,
), ′( ) = 0,
,
( ) = 0, maka Upside-down Bathub (∩) ( ) → ∞, maka Decreasing (D)
(Glaser, 1980).
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian ini dilakukan pada semester genap tahun akademik 2014/2015, bertempat di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.
3.2 Metode Penelitian
Penulisan skripsi ini dilakukan dengan menggunakan studi literatur secara sistematis yang diperoleh dari buku-buku atau media lain untuk mendapatkan informasi sebanyak mungkin untuk mendukung penulisan skripsi ini. Adapun langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Mencari fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Generalized Weibull. 2. Mencari fungsi ketahanan hidup dari distribusi Generalized Weibull. 3. Mencari fungsi hazard dari distribusi Generalized Weibull. 4. Mencari nilai turunan pertama dari fungsi kepekatan peluang pada distribusi Generalized Weibull. 5. Mencari nilai ( ) = −
( )
( )
dan nilai ′( ) (turunan pertamanya).
16
17
6. Mengkaji karakteristik fungsi hazard dengan menggunakan aturan Glaser (1980) sebagi berikut: a. Jika ′( ) > 0 untuk semua > 0, maka Increasing (I)
b. Jika ′( ) < 0 untuk semua > 0, maka Decreasing (D) c. Misal
terdapat
> 0,
sehingga ′( ) < 0
є (0, ), ′( ) = 0, ′( ) > 0 untuk semua >
Jika lim Jika lim
→ →
d. Misalkan terdapat
Jika lim Jika lim
→ →
semua
, dan
( ) = 0, maka Increasing (I) ( ) → ∞, maka Bathub (U)
> 0, sehingga
( ) < 0 untuk semua >
untuk
, dan
( ) > 0 untuk semua
є (0, ),
( ) = 0, maka Upside-down Bathub (∩) ( ) → ∞, maka Decreasing (D)
7. Membuat grafik fungsi hazard dari distribusi Generalized Weibull dengan menggunakan software R.
V. KESIMPULAN
Berdasarkan hasil dari penelitian yang telah dilakukan, maka dapat ditarik kesimpulan sebagai berikut : 1.
Fungsi Kelangsungan hidup distribusi Generalized Weibull adalah Sedangkan −
2.
fungsi
hazard
distribusi
Generalized
Weibull
adalah
.
Karakteristik Hazard Rate distribusi Generalized Weibull yang telah dianalisis berdasarkan aturan Glaser berbentuk Increasing apabila parameter bentuk ( ) bernilai > 1, berbentuk Decreasing apabila parameter bentuk ( ) bernilai 0 <
< 1. Selain itu,
karakteristik Hazard Rate distribusi
Generalized Weibull apabila parameter bentuk ( ) bernilai = 1 berbentuk konstan. 3.
Secara grafis, karakteristik Hazard Rate distribusi Generalized Weibull juga berbentuk Increasing (meningkat), Decreasing (menurun) dan Konstan.
DAFTAR PUSTAKA
Collet, D. 2003. Modelling Survival Data in Medical Research - Second Edition. Chapman and Hall, London.
Glaser, R.E. 1980. Bathub Related Failure Rate Characterizations. Journal of the American Statistical Association. Vol 75 (371).
Jhonshon, N.L. and Kotz, S. 1970. Continous Unvariate Distribution. John Wiley, New York.
Kleinbaum, David. G. dan Klein, Mitchel. 2012. Survival Analysis A Self Learning Text. Springer Verlag, New York.
Kundu, D. dan Manglick, A. 2004. Discriminating Between The Weibull and Log-normal Distribution. Journal of Applied Statistical Sciences. 20: 70-78.
Lee, E. T., dan Wang, J. W. 2003. Statistical Methods for Survival Data Analysis Third Edition. John Wiley & Sons, Inc, New Jersey.
McDonald, J.B dan Richard, D.O. 1978. Hazard Rate and Generalized Beta Distribution. IEEE Transaction Realibility. R-36.
Xian Liu. 2012. Survival Analysis Models and Applications. John Wiley & Sons, Ltd, United Kingdom.
