KARAKTERISTIK PENDUGA PARAMETER GENERALIZED ESTIMATING EQUATION (GEE) PADA DATA LONGITUDINAL (Skripsi)
Oleh NAELU RASYIDA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG BANDARLAMPUNG 2016
ABSTRACT
PARAMETER ESTIMATION’S CHARACTERISTICS OF GENERALIZED ESTIMATING EQUATION (GEE) ON LONGITUDINAL DATA
By
NAELU RASYIDA
Repeated measurement on longitudinal data can caused autocorrelation. The method to modelling autocorrelation data is Generalized Estimating Equation (GEE), since in this method the correlation is counted so that obtained more efficient model. In this study, will be discussed about parameter estimation’s characteristics on GEE includes unbiased and efficient. Parameter estimator on GEE can be proved unbiased, and the efficiency depend on the best correlation structure choosed. If there are some possibility of the correlation structures to chosen, so the most efficient is that obtained smallest Quasi Information Criterion value. Keyword : longitudinal data, generalized estimating equation, unbiased, efficient
ABSTRAK
KARAKTERISTIK PENDUGA PARAMETER GENERALIZED ESTIMATING EQUATION (GEE) PADA DATA LONGITUDINAL
Oleh
NAELU RASYIDA
Pengukuran berulang pada data longitudinal dapat menyebabkan adanya autokorelasi. Metode yang cocok untuk memodelkan data yang mengandung autokorelasi adalah Generalized Estimating Equation (GEE), karena dalam metode ini korelasi diperhitungkan sehingga menghasilkan model yang lebih efisien. Dalam penelitian ini, akan dikaji mengenai karakteristik penduga parameter pada GEE yang meliputi sifat takbias dan efisien. Penduga parameter pada GEE terbukti takbias, dan keefisienannya tergantung pada pemilihan struktur korelasi yang terbaik. Jika terdapat beberapa struktur korelasi yang mungkin untuk dipilih, maka model yang paling efisien adalah yang menghasilkan nilai Quasi Information Criterion terkecil. Kata kunci : data longitudinal, generalized estimating equation, takbias, efisien
KARAKTERISTIK PENDUGA PARAMETER GENERALIZED ESTIMATING EQUATION (GEE) PADA DATA LONGITUDINAL
Oleh NAELU RASYIDA
Skripsi Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar SARJANA SAINS Pada Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG BANDAR LAMPUNG 2016
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Pringsewu pada tanggal 14 Mei 1995, anak pertama dari dua
bersaudara pasangan Bapak Sukirno dan Ibu Nurhasanah.
Penulis menyelesaikan pendidikan formal di Taman Kanak-Kanak KH. Gholib Pringsewu pada tahun 2001, Sekolah Dasar Negeri 2 Rejosari Pringsewu pada tahun 2007, Sekolah Menengah Pertama Negeri 1 Pringsewu pada tahun 2010, Sekolah Menengah Atas Negeri 1 Gadingrejo pada tahun 2012, dan diterima sebagai mahasiswa di Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Lampung pada tahun 2012 melalui jalur SNMPTN tertulis.
Selama menjadi mahasiswa Universitas Lampung, penulis aktif dalam organisasi kemahasiswaan yaitu sebagai anggota Himpunan Mahasiswa Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung periode 2013-2015 dan sebagai anggota Badan Eksekutif Mahasiswa FMIPA Universitas Lampung periode 2013-2015. Penulis juga pernah menjadi asisten mata kuliah Statistika Dasar dan Statistika Matematika di Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung.
Penulis telah melaksanakan Kerja Praktik (KP) di Dinas Peternakan dan Kesehatan Hewan Provinsi Lampung pada tahun 2015, dan Kuliah Kerja Nyata (KKN) pada tahun 2015 di Desa Gunung Timbul, Kec. Tumijajar, Kab. Tulangbawang Barat.
Bismillaahirrohmanirrohiim
Alhamdulillahirobbil’alamiin… Dengan penuh rasa syukur kepada Allah SWT, kupersembahkan karya kecilku ini untuk
Bapak dan Ibu, yang sangat aku cintai
Adikku, yang aku sayangi
Dosen Pembimbing dan Penguji, yang selalu memotivasiku
Sahabat-sahabatku,
yang selalu menyemangatiku
Serta
Almamater tercinta tempatku menuntut ilmu
Hidup adalah Ibadah
Semakin Kamu Belajar, Semakin Kamu Tahu Bahwa Kamu Tidak Tahu
Carilah Ilmu Sejak Dari Buaian Hingga Ke Liang Lahat (Al Hadist)
SANWACANA
Puji syukur kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan karunia-Nya kepada penulis sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini yang berjudul “Karakteristik Penduga Parameter Generalized Estimating Equation (GEE) Pada Data Longitudinal”. Tak lupa shalawat serta salam selalu tercurah kepada Rosululloh Muhammad SAW yang selalu kita harapkan syafaatnya kelak, aamiin.
Banyak pihak yang telah membantu penulis dalam menyelesaikan laporan skripsi ini. Oleh karena itu, penulis mengucapkan terimakasih yang sebesar-besarnya kepada :
1.
Bapak Ir. Warsono, M.S., Ph.D. selaku pembimbing pertama yang telah memberikan ide, pengarahan, serta meluangkan waktu ditengah kesibukannya untuk membimbing penulis.
2.
Ibu Widiarti, S.Si., M.Si. selaku pembimbing kedua yang selalu membimbing penulis dengan sabarnya dan banyak memberikan masukan serta motivasi kepada penulis dalam menyelesaikan skripsi ini.
3.
Ibu Dian Kurniasari, S.Si., M.Sc. selaku penguji yang telah banyak memberikan masukan, kritik dan saran yang sangat membangun demi kesempurnaan skripsi ini.
4.
Bapak Drs. Suharsono S., M.S., M.Sc., Ph.D. selaku pembimbing akademik.
5.
Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D. selaku Ketua Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung.
6.
Bapak Prof. Warsito, S.Si., DEA., Ph.D. selaku Dekan FMIPA Universitas Lampung.
7.
Seluruh dosen Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung.
8.
Bapak Sukirno dan Ibu Nurhasanah, orang tua tercinta yang telah membesarkan dan mendidik dengan penuh kasih sayang, selalu mendukung, menyemangati, memotivasi dan tiada hentinya mendoakan penulis.
9.
Nurul Annisa Fadila, adik yang paling menggemaskan, yang selalu menyemangati dan mendoakan penulis.
10. Wanita-wanita rusuh (Anisa/Icha, Lina, Grita, Citra, Hana, Merda, Sella) dan keluarga besar Matematika 2012 yang telah berjuang bersama dan banyak memberikan semangat serta motivasi kepada penulis. 11. Aan Chumaidi Ab. yang selalu menyemangati dan memotivasi penulis. 12. Semua pihak yang terlibat dalam penyelesaian skripsi ini yang tidak dapat penulis sebutkan satu per satu.
Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari kesempurnaan karena kesempurnaan hanyalah milik Allah SWT. Penulis sangat mengharapkan kritik dan saran yang membangun. Penulis juga berharap agar tulisan ini bermanfaat bagi pembaca. Bandarlampung,
Penulis
Oktober 2016
DAFTAR ISI
Halaman DAFTAR TABEL ......................................................................................... xv I. PENDAHULUAN ..................................................................................... 1 1.1 Latar Belakang dan Masalah ................................................................. 1 1.2 Tujuan Penelitian .................................................................................. 2 1.3 Manfaat Penelitian ................................................................................. 3 II. TINJAUAN PUSTAKA ........................................................................... 4 2.1 Data Longitudinal ................................................................................. 4 2.2 Generalized Linear Model (GLM) ....................................................... 4 2.3 Generalized Estimating Equation (GEE) ............................................. 5 2.3.1 Struktur Data ................................................................................. 6 2.3.2 Pemilihan Working Correlation Matrix ........................................ 7 2.3.3 Menduga Kovarians dari Penduga Parameter................................ 10 2.4 Quasi-likelihood Information Criterion (QIC) ..................................... 11 2.5 Sifat-Sifat Penduga yang Baik .............................................................. 12 III. METODOLOGI PENELITIAN ............................................................ 14 3.1 Waktu dan Tempat Penelitian ............................................................... 14
xiv
3.2 Metode Penelitian .................................................................................. 14 IV. HASIL DAN PEMBAHASAN ............................................................... 16 4.1 Sifat Tak Bias ....................................................................................... 19 4.2 Penduga Efisien ..................................................................................... 20 V. KESIMPULAN ......................................................................................... 33 DAFTAR PUSTAKA ..................................................................................... 34 LAMPIRAN
DAFTAR TABEL
Halaman Tabel 4.1 Respon Pengaruh Obat Pada Penderita Depresi .............................. 24 Tabel 4.2 Keterangan Syntax Program ........................................................... 26 Tabel 4.3 Struktur Korelasi Autoregressive .................................................... 27 Table 4.4 Struktur Korelasi Exchangable ........................................................ 27 Table 4.5 Struktur Matriks Varians-Kovarians Model-Based Autoregressive 28 Table 4.6 Struktur Matriks Varians-Kovarians Model-Based Exchangable .... 29 Tabel 4.7 Struktur Matriks Varians-Kovarians Empirical Autoregressive ...... 29 Tabel 4.8 Struktur Matriks Varians-Kovarians Empirical Exchangable ......... 30 Table 4.9 Dugaan Parameter Berdasarkan Struktur Korelasi .......................... 31 Table 4.10 Nilai QIC Berdasarkan Struktur Korelasi ...................................... 31
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang dan Masalah
Analisis statistika banyak digunakan dalam berbagai bidang seperti ilmu sosial, kesehatan, pendidikan, dan lain-lain. Dalam analisis statistika, terdapat beberapa teknik pengamatan dalam mengumpulkan data, seperti pengamatan cross section, time series, dan longitudinal. Pengamatan longitudinal merupakan pengamatan yang menggabungkan antara pengamatan cross section dan time series.
Kelebihan pengamatan longitudinal dari pengamatan yang lain yaitu mampu memberikan informasi tentang dinamika perubahan pada data cross section dari waktu ke waktu. Namun pengukuran secara berulang pada pengamatan longitudinal dapat menyebabkan terjadinya autokorelasi. Untuk memodelkan data yang mengandung autokorelasi tidak bisa menggunakan model linear biasa maupun model linear yang diumumkan atau yang biasa disebut Generalized Linear Model (GLM). Liang dan Zeger (1986) mengusulkan metode Generalized Estimating Equation (GEE) untuk mengatasi data yang berkorelasi.
GEE merupakan metode yang memodelkan sebuah fungsi yang diketahui dari harapan marginal variabel dependent sebagai fungsi linear dari satu atau lebih variabel penjelas. GEE umumnya digunakan untuk menduga parameter regresi
2
dalam model marginal dan menentukan struktur korelasinya. Pendugaan parameter pada GEE dilakukan menggunakan metode quasi-likelihood dimana hanya mengasumsikan hubungan antara µ dan var(Y) daripada distribusi peluang untuk Y. Quasi-likelihood melambangkan variansnya berupa ϕvar(Y), dimana ϕ merupakan dugaan berdasarkan perubahan yang diobservasi dalam data sampel. Pendugaan quasi-likelihood bukanlah maximum likelihood karena metodenya tidak secara lengkap menggunakan distribusi untuk Y, dan oleh karena itu tidak ada fungsi likelihood.
Pendugaan parameter menggunakan metode GEE untuk kasus data longitudinal yang berdistribusi normal telah dilakukan oleh Hedeker dan Gibbons dalam bukunya yang berjudul Longitudinal Data Analysis (2006). Pada buku tersebut tidak dikaji karakteristik dari penduga yang didapatkan. Karakteristik suatu penduga perlu dievaluasi untuk mendapatkan informasi tentang sifat-sifat dari penduganya. Berdasarkan hal tersebut, penulis tertarik untuk mengkaji karakteristik penduga parameter dari metode GEE yang meliputi sifat tak bias dan efisien.
1.2 Tujuan Penelitian
Adapun tujuan dari penelitian ini yaitu : 1.
Menentukan penduga parameter model data longitudinal menggunakan metode GEE.
2.
Mengkaji karakteristik penduga yang meliputi sifat ketakbiasan dan efisien.
3
1.3 Manfaat Penelitian
Adapun manfaat yang bisa didapatkan dari penelitian ini yaitu : 1.
Menambah wawasan mengenai metode GEE.
2.
Mendapat dugaan parameter model data longitudinal menggunakan metode GEE.
3.
Mengetahui karakteristik penduga parameter dengan metode GEE.
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Data Longitudinal
Menurut (Johnston, 1984) data panel biasa disebut juga data longitudinal atau data runtun waktu silang (cross-sectional time series), di mana banyak kasus (orang, perusahaan, negara dan lain-lain) diamati pada dua periode waktu atau lebih yang diindikasikan dengan penggunaan data time series. Data panel dapat menjelaskan dua macam informasi yaitu informasi cross-section pada perbedaan antar subyek, dan informasi time series yang merefleksikan perubahan pada dimensi waktu. Ketika kedua informasi tersebut tersedia, maka analisis data panel dapat digunakan.
2.2 Generalized Linear Model (GLM)
Menurut Agresti (2015), Generalized Linear Models (GLM) memperluas model regresi linear dasar meliputi distribusi respon tidak normal dan kemungkinan fungsi tidak linear dari nilai tengahnya. GLM mempunyai tiga komponen yaitu : 1.
Komponen acak (random component), menetapkan variabel respon y dan distribusi peluangnya. Suatu pengamatan 𝒚 = (𝑦1 , … , 𝑦𝑛 )𝑇 pada distribusinya diperlakukan saling bebas (independent).
5
2.
Prediktor linear (linear predictor). Untuk sebuah vektor parameter 𝜷 = (𝛽1 , … , 𝛽𝑝 )𝑇 dan sebuah X matriks model n x p yang berisi nilai-nilai dari variabel penjelas p untuk n pengamatan, prediktor linearnya adalah 𝑿𝜷.
3.
Fungsi link (link function), yaitu fungsi g yang digunakan untuk setiap komponen penjelas dari E(y) yang merelasikannya ke prediktor linear, sehingga persamaan pada GLM adalah g[E(y)]=Xβ. Dalam model linear klasik, fungsi link bisa berupa fungsi yang identik atau kanonik. Suatu fungsi link dikatakan fungsi link kanonik bila parameter kanoniknya sama dengan fungsi linknya, yaitu 𝜂=𝜃 dimana 𝜃 adalah parameter kanonik. Berikut fungsi link kanonik untuk beberapa distribusi : Distribusi
Fungsi link kanonik
Normal
𝜂=𝜇
Poisson
𝜂 = log 𝜇
Binomial
𝜇 𝜂 = log ( ⁄(1 − 𝜇))
Gamma
𝜂 = 𝜇−1
2.3 Generalized Estimating Equation (GEE)
Menurut Nelder dan Wedderburn (1972) , metode GEE adalah perluasan dari GLM dengan tambahan : 1.
Varians dari 𝑦𝑖 adalah 𝑣𝑖 = 𝑣𝑖 (𝜇𝑖 ) dan merupakan sebuah fungsi yang ditentukan dari nilai tengah 𝜇𝑖 .
6
2.
𝑦𝑖 merupakan keluarga eksponensial. Distribusinya antara lain binomial, poisson, gamma, dan invers Gaussian. Ketika diasumsikan distribusi dari 𝑦𝑖 adalah normal dan menetapkan fungsi link identitas g(µi) = µi, hal ini sama dengan menyusun model sebagai GLM.
GEE digunakan untuk mengatasi data yang berkorelasi dan merupakan sebuah perluasan dari quasi-score equation. Metode GEE memodelkan sebuah fungsi yang diketahui dari harapan marginal variabel dependent sebagai fungsi linear dari satu atau lebih variabel penjelas. GEE mendeskripsikan komponen acak model untuk setiap respon marginal dengan sebuah fungsi link umum dan varians, serupa dengan model GLM. Model GEE secara umum sama dengan model GLM yaitu g[E(y)]=Xiβ dimana 1 𝑋𝑖11 𝛽0 𝛽1 1 𝑋𝑖21 𝜷 = [ ] 𝑑𝑎𝑛 𝑿𝑖 = ⋮ ⋮ ⋮ 𝛽𝑝 [1 𝑋𝑖𝑛𝑖 1
𝑋𝑖12 𝑋𝑖22 ⋮ 𝑋𝑖𝑛𝑖 2
⋯ 𝑋𝑖1𝑝 ⋯ 𝑋𝑖2𝑝 ⋱ ⋮ ⋯ 𝑋𝑖𝑛𝑖 𝑝 ]
Penduga GEE dari 𝜷 didapatkan dengan menyelesaikan persamaan 𝑁
̂ )]−𝟏 (𝒚𝒊 − 𝝁𝒊 ) = 0 ∑ 𝑫′𝒊 [𝑽(𝜶 𝑖=1
dimana 𝛼̂ adalah penduga yang konsisten bagi 𝛼 dan 𝑫𝑖 = 𝜕𝝁𝒊⁄𝜕𝜷
2.3.1 Struktur Data
Menurut Kleinbaum (2010), persamaan untuk GEE adalah sebagai berikut 𝑌𝑖𝑗 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑋𝑖𝑗1 + 𝛽2 𝑋𝑖𝑗2 + ⋯ + 𝛽𝑝 𝑋𝑖𝑗𝑝 + 𝜀
7
Dimana 𝑌𝑖𝑗 melambangkan respon dari subyek ke-i pada pengamatan ke-j, untuk i = 1, …, n dan j = 1, …, ti, 𝑋𝑖𝑗𝑝 adalah variabel penjelas ke-p pada subyek ke-i pengamatan ke-j, 𝜀 mengandung autokorelasi akibat pengamatan yang berulang.
2.3.2 Pemilihan Working Correlation Matrix
Liang dan Zeger (1986) telah memperoleh beberapa dugaan struktur working correlation untuk digunakan dalam pendugaan GEE. Berikut ini beberapa pilihan untuk R dengan rumus matriks untuk t = 4.
1.
Independence : R = R0 = I 1 𝐑 = [0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0] 0 1
Dalam kasus ini, penyelesaian GEE sama seperti menentukan model regresi biasa untuk data independent, dan menghasilkan parameter dugaan yang sama. Tetapi, galat bakunya berbeda.
2.
Fixed : R = R0
Matriks korelasi fixed terjadi ketika ada determinasi bentuk dari analisis sebelumnya. Maka langsung masukkan matriks kovariansnya.
8
3.
Exchangeable 1 𝛼
𝑗 = 𝑗′ } 𝑗 ≠ 𝑗′
𝛼 𝛼 1 𝛼
𝛼 𝛼 ] 𝛼 1
𝐶𝑜𝑟𝑟(𝑦𝑖𝑗 , 𝑦𝑖,𝑗′ ) = { 1 𝐑 = [𝛼 𝛼 𝛼
𝛼 1 𝛼 𝛼 𝐾
1 𝛼̂ = ∗ ∑ ∑ 𝑒𝑖𝑗 𝑒𝑖𝑗′ (𝑁 − 𝑝)𝜙 𝑖=1 𝑗<𝑗′
𝐾 ∗
𝑁 = 0.5 ∑ 𝑛𝑖 (𝑛𝑖 − 1) 𝑖=1
Rincian struktur korelasi ini memuat konstanta korelasi-korelasi antara dua pengukuran dalam sebuah subyek, yaitu, Rjj’ = α, untuk j ≠ j’. struktur korelasi ini diasumsikan dalam sebuah model random effects dengan sebuah intersep acak dan juga diketahui sebagai compound symmetry dalam literatur pengukuran berulang ANOVA.
4.
Unstructured
𝐶𝑜𝑟𝑟(𝑦𝑖𝑗 , 𝑦𝑖,𝑗′ ) = { 1 𝛼 𝐑 = [𝛼21 31 𝛼41
𝛼21 1 𝛼32 𝛼42
1 𝛼𝑗𝑗′
𝑗 = 𝑗′ } 𝑗 ≠ 𝑗′
𝛼31 𝛼32 1 𝛼43
𝛼41 𝛼42 ] 𝛼43 1
𝐾
𝛼̂𝑗𝑗′
1 = ∑ 𝑒𝑖𝑗 𝑒𝑖𝑗′ (𝐾 − 𝑝)𝜙 𝑖=1
9
Ketika matriks korelasi tidak terinci secara lengkap, ada 𝑡(𝑡 − 1)/2 parameter untuk diestimasi. Struktur ini menyediakan estimasi yang lebih efisien untuk β tapi hanya digunakan ketika ada secara relative beberapa waktu observasi atau kondisi. Sebagai tambahan, ketika ada data hilang dan/atau macam-macam jumlah observasi tiap subyek, penduga dari struktur korelasi lengkap mungkin hasil dalam sebuah matriks definit nonpositive dan penduga parameter mungkin tidak dihasilkan.
5.
m-dependent 1 ; 𝑠=0 𝐶𝑜𝑟𝑟(𝑦𝑖𝑗 , 𝑦𝑖,𝑗+𝑠 ) = { 𝛼𝑠 ; 𝑠 = 1, 2, … , 𝑚 0 ;𝑠 > 𝑚 1 𝛼 𝐑 = [𝛼1 2 0
𝛼1 1 𝛼1 𝛼2
𝛼2 𝛼1 1 𝛼1
0 𝛼2 ] 𝛼1 1
𝐾
1 𝛼̂𝑡 = ∑ ∑ 𝑒𝑖𝑗 𝑒𝑖,𝑗+𝑡 (𝐾𝑡 − 𝑝)𝜙 𝑖=1 𝑗≤𝑛𝑖 −𝑡
𝐾
𝐾𝑡 = ∑(𝑛𝑖 − 𝑡) 𝑖=1
Dengan struktur m-dependent, korelasi tergantung pada jarak antara pengukuran. Sehingga, nilainya mendekati nol untuk s > m.
6.
Auto-regressive (AR-1) 𝐶𝑜𝑟𝑟(𝑦𝑖𝑗 , 𝑦𝑖,𝑗+𝑠 ) = 𝛼 𝑠 ; 𝑠 = 0, 1, 2, … , 𝑡𝑖 − 𝑗
10
1 𝛼 𝐑=[ 2 𝛼 𝛼3
𝛼 1 𝛼 𝛼2
𝛼2 𝛼 1 𝛼
𝛼3 𝛼2] 𝛼 1
𝐾
1 𝛼̂ = ∑ ∑ 𝑒𝑖𝑗 𝑒𝑖,𝑗+1 (𝐾1 − 𝑝)𝜙 𝑖=1 𝑗≤𝑛𝑖 −1
𝐾
𝐾1 = ∑(𝑛𝑖 − 1) 𝑖=1
Dengan sebuah struktur korelasi auto-regressive, korelasi tergantung pada jarak antar pengukuran, semakin jauh jaraknya maka nilai korelasinya semakin kecil.
2.3.3 Menduga Kovarians dari Penduga Parameter
Setelah penduga GEE diperoleh, kemudian kovariansnya juga diduga. Penduga ̂ adalah invers dari matriks informasi model-based dari matriks kovarians untuk 𝜷 terobservasi ̂ ) = 𝑰−1 𝑽𝒎 (𝜷 0 dimana 𝑛
𝑰0 = ∑ 𝑫′𝑖 𝑽−1 𝑖 𝑫𝑖 𝑖=1
ini merupakan penduga yang konsisten jika model dan matriks working correlation ditentukan secara spesifik (Albert dan McShane, 1995). ̂ ) diberikan sebagai berikut Penduga empirical sandwich (robust) dari Cov(𝜷 −1 ̂ 𝑰−1 0 𝑰1 𝑰0 = 𝑽𝒆 (𝜷)
Dimana
11
𝑛 −1 𝑰1 = ∑ 𝑫′𝑖 𝑽−1 𝑖 𝐶𝑜𝑣(𝒀𝑖 )𝑽𝑖 𝑫𝑖 𝑖=1
Cov(𝒀𝑖 ) diduga dengan ̂ )) (𝒀𝒊 − 𝝁𝒊 (𝜷 ̂ )) (𝒀𝒊 − 𝝁𝒊 (𝜷
′
ini adalah penduga yang tetap konsisten ketika V(µij) ≠ 𝑣(𝜇̂ 𝑖𝑗 ), atau ketika 𝑹𝒊 (𝜶) bukan matriks korelasi dari Yi, atau ketika korelasi sebenarnya berubah-ubah untuk setiap subyek.
2.4 Quasi-likelihood Information Criterion (QIC)
Quasi-likelihood information criterion (QIC) merupakan modifikasi dari Akaike information criterion (AIC) yang diterapkan pada model GEE. QIC didefinisikan sebagai berikut ̂ , 𝜙) + 2𝑡𝑟𝑎𝑐𝑒[𝑽−𝟏 ̂ ̂ 𝑄𝐼𝐶 = −2𝚀(𝜷 𝒎 (𝜷)𝑽𝒆 (𝜷)] ̂ , 𝜙) merupakan fungsi quasi-likelihood yang didefinisikan Dimana 𝚀(𝜷 ̂ , 𝜙) = 𝚀(𝜷
𝚀𝑖𝑗 𝜙
𝐾
𝑛𝑖
𝜙 diduga dengan 1 2 𝜙̂ = ∑ ∑ 𝑒𝑖𝑗 𝑁−𝑝 𝑖=1 𝑗=1
(Pan, 2001). McCullagh dan Nelder (1989) mendefinisikan beberapa fungsi 𝚀𝑖𝑗 untuk beberapa distribusi sebagai berikut
12
1.
Normal 1 2 𝚀𝑖𝑗 = − (𝑦𝑖𝑗 − 𝜇𝑖𝑗 ) 2
2.
Inverse Gaussian 𝚀𝑖𝑗 =
3.
(𝜇𝑖𝑗 − 0,5𝑦𝑖𝑗 ) 2 𝜇𝑖𝑗
Gamma 𝑦𝑖𝑗 𝚀𝑖𝑗 = − [ + log(𝜇𝑖𝑗 )] 𝜇𝑖𝑗
4.
Negative Binomial 𝑘𝜇𝑖𝑗 1 1 1 1 𝚀𝑖𝑗 = [log Γ (𝑦𝑖𝑗 + ) − log Γ ( ) + 𝑦𝑖𝑗 log ( ) + log ( )] 𝑘 𝑘 1 + 𝑘𝜇𝑖𝑗 𝑘 1 + 𝑘𝜇𝑖𝑗
5.
Poisson 𝚀𝑖𝑗 = 𝑦𝑖𝑗 log(𝜇𝑖𝑗 ) − 𝜇𝑖𝑗
6.
Binomial 𝚀𝑖𝑗 = 𝑟𝑖𝑗 log(𝑝𝑖𝑗 ) − ( 𝑦𝑖𝑗 − 𝜇𝑖𝑗 ) log(1 − 𝑝𝑖𝑗 )
2.5 Sifat-Sifat Penduga yang Baik
Suatu penduga dikatakan penduga yang baik jika penduga tersebut memiliki sifat tak bias dan efisien. Berikut ini akan didefinisikan sifat-sifat penduga yang baik.
1.
Sifat Tak Bias
Penduga 𝑈(𝑿) dikatakan sebagai penduga tak bias bagi g(𝜽) jika 𝐸(𝑈(𝑿)) = g(𝜽), ∀𝜽 ∈ 𝛀 (Hoog and Craig, 1995).
13
2.
Sifat Efisien
Setelah diketahui sifat ketakbiasan suatu penduga, selanjutnya yaitu menyelidiki apakah penduga tersebut efisien. Suatu penduga dikatakan efisien jika variansnya minimum. Sifat varians minimum suatu penduga didefinisikan sebagai berikut. Jika T* merupakan penduga bagi g(𝜽), dan ada T sebarang penduga bagi g(𝜽), maka T* dikatakan penduga dengan varians minimum jika 𝑉𝑎𝑟(𝑇 ∗ ) ≤ 𝑉𝑎𝑟(𝑇) (Hoog and Craig, 1995).
Varians minimum suatu penduga juga dapat diketahui dengan menggunakan pertidaksamaan Rao-Cramer dengan definisi sebagai berikut. Misal T* merupakan penduga tak bias g(𝜽), maka untuk sebarang penduga tak bias T bagi g(𝜽) disebut penduga yang efisien jika Var(T*) ≤ Var(T) untuk setiap 𝜽 ∈ 𝛀 dimana 2 𝜕 𝑔(𝜽)) 𝜕𝜽 𝑉𝑎𝑟(𝑇) ≥ 2 𝜕 𝑛. 𝐸 [ ln 𝑓(𝑿; 𝜽)] 𝜕𝜽
(
(Bain and Engelhardt, 1992).
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian
Penulis melakukan penelitian ini pada semester genap tahun ajaran 2015-2016 di Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Lampung.
3.2 Metode Penelitian
Adapun langkah-langkah peneliti dalam melakukan penelitian ini yaitu : 1.
Mengkaji jurnal-jurnal dan penelitian-penelitian terdahulu mengenai metode Generalized Estimating Equation (GEE).
2.
Melakukan estimasi parameter dari model yang didapat menggunakan metode GEE. Menurut Stokes, Davis, and Koch (2012), langkah-langkah dalam menduga parameter dengan metode GEE adalah sebagai berikut : a. Merelasikan respon marginal 𝜇𝑖𝑗 = 𝐸(𝑦𝑖𝑗 ) dengan kombinasi linear dari ′ kovariat yaitu g(µij) = 𝑥𝑖𝑗 β, dimana 𝜷 = (𝛽1 , 𝛽2 , … , 𝛽𝑝 )′ adalah vektor p x
1 dari parameter yang tidak diketahui dan g adalah fungsi link yang diketahui. Vektor parameter 𝜷 mengkarakteristikkan bagaimana distribusi respon cross-sectional tergantung pada variabel penjelas.
15
b. Memilih bentuk working correlation matrix Ri(α) untuk setiap 𝑦𝑖 = (𝑦𝑖1 , 𝑦𝑖2 , … , 𝑦𝑖𝑡𝑖 )′, dimana ti ≤ t. c. Mengestimasi vektor parameter 𝜷. Penduga GEE dari 𝜷 didapatkan dengan menyelesaikan persamaan 𝑁
̂ )]−𝟏 (𝒚𝒊 − 𝝁𝒊 ) = 0 ∑ 𝑫′𝒊 [𝑽(𝜶 𝑖=1
dimana 𝛼̂ adalah penduga yang konsisten bagi 𝛼 dan 𝑫𝑖 = 𝜕𝝁𝒊 ⁄𝜕𝜷. 3.
Mengkaji sifat tak bias penduga 𝜷.
4.
Mengkaji sifat efisien penduga 𝜷.
V. KESIMPULAN
Berdasarkan penelitian yang telah dilakukan, maka diperoleh : 1.
Penduga GEE untuk 𝜷 dengan distribusi marginalnya normal adalah 𝑁
̂ = [∑ 𝑿′𝒊 [𝑽(𝜶 ̂ )]−𝟏 𝑿𝑖 ] 𝜷 𝑖=1
−1
𝑁
̂ )]−𝟏 𝒚𝒊 ] [∑ 𝑿′𝒊 [𝑽(𝜶 𝑖=1
2.
̂ ) = 𝜷. Penduga GEE merupakan penduga yang takbias karena 𝐸(𝜷
3.
Penduga GEE lebih efisien jika pemilihan struktur korelasinya tepat, yaitu struktur korelasi yang menghasilkan nilai QIC terkecil. Dalam penelitian ini, nilai QIC terkecil dihasilkan dari struktur korelasi autoregressive yaitu 1024,8207 daripada struktur korelasi exchangeable yaitu 1024,8260.
DAFTAR PUSTAKA
Agresti, A. 2007. An Introduction to Categorical Data Analysis Second Edition. John Wiley and Sons, Inc, New Jersey. Agresti, A. 2015. Foundations of Linear and Generalized Linear Models. John Wiley and Sons, Inc, New Jersey. Albert, P. and McShane, L. 1995. A Generalized Estimating Equation Approach for Spatially Correlated Binary Data : Application to The Analysis of Neuroimaging Data. Biometrics. Bain, L.J. and Engelhardt, M. 1992. Introduction to Probability and Mathematical Statistics Second Edition. Duxbury Press, California. Hedeker, D. and Gibbons, R.D. 2006. Longitudinal Data Analysis. John Wiley and Sons, New Jersey. Hogg, R.V. and Craig, A.T. 1995. Introduction to Mathematical Statistics. PrenticeHall, New Jersey. Johnston, J. 1984. Econometric Methods. McGraw Hill, USA. Kleinbaum, D.G. 2010. Logistic Regression. Springer Series in Statistics, New York. Liang, K.Y. and Zeger, S.L. 1986. Longitudinal Data Analysis Using Generalized Linear Models. Biometrics. McCullagh, P. and Nelder, J.A. 1989. Generalized Linear Model, 2th Edition. Chapman & Hall, London. Nelder, J.A. and Wedderburn, R.W.M. 1972. Generalized Linear Model. Journal of The Royal Statistical. Pan, W. 2001. Akaike’s Information criterion in Generalized Estimating Equation. Bioimetrics.
35
Stokes, M.E., Davis, C.S. and Koch, G.G. 2012. Categorical Data Analysis Using SAS, Third Edition. SAS Intitute Inc, Cary NL. Swan, T. 2006. Generalized Estimating Equation When The Response Variable Has a Tweedie Distribution : An Application For Multi-site Rainfall Modelling. University of Southern Queensland, Toowoomba QLD. Utami, dkk. 2014. Generalized Method of Moment’s Characteristics on Panel Data. Journal. Sci-int, Lahore. 26 : 985-990.
