SIFAT-SIFAT DASAR FUNGSI KARAKTERISTIK MEDI PRASETIA Program Studi Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Andalas Padang, Kampus Unand Limau Manis, Padang 25163
[email protected]
Abstrak. Fungsi karakteristik ϕX (t) dari peubah acak X didefinisikan sebagai Z ϕX (t) = E[eitX ] = eitx dF (x) √ dimana t ∈ R, i = −1 dan eitX = cos(tX) + i sin(tX). Fungsi ini memiliki sifat-sifat dasar yaitu kontinu seragam dan selalu ada untuk setiap sebaran. Kata kunci: peubah acak, fungsi karakteristik, dan sebaran
1
Pendahuluan
Fungsi karakteristik adalah salah satu jenis transformasi yang sering digunakan pada teori peluang dan statistika. Fungsi karakteristik dari suatu peubah acak X, dinotasikan dengan ϕX (t), didefinisikan sebagai berikut ϕX (t) = E[eitX ],
(1)
di mana eitX = cos(tX) + i sin(tX), −∞ < t < ∞ dan i adalah unit imajiner. Dari (1) terlihat bahwa fungsi karakteristik identik dengan fungsi pembangkit momen MX (t) = E[etX ] dengan penambahan ?i? pada bagian eksponennya. Sama halnya dengan fungsi pembangkit momen, fungsi karakteristik dapat digunakan untuk menghitung momen dari peubah acak X, selain itu fungsi karakteristik dapat juga digunakan untuk menentukan fungsi distribusi dari suatu peubah acak yang dikenal sebagai teorema inversi fungsi karakteristik. Teorema inversi fungsi karakteristik merupakan salah satu sifat yang menjadi ciri khas fungsi karakteristik. Kajian tentang sifat-sifat fungsi karakteristik yang lainnya merupakan masalah yang sangat menarik untuk dipelajari. Dalam makalah akan diberikan beberapa sifat dasar dari fungsi karakteristik dengan memberikan ilustrasi yang bersesuaian.
2
Sifat-sifat Dasar Fungsi Karakteristik
Definisi 1. [1, 2, 3] Jika X suatu peubah acak dengan fungsi kepekatan peluang f (x) dan fungsi sebaran kumulatif F (x), maka fungsi karakteristik ϕX (t) dari peubah acak X didefinisikan sebagai berikut Z itX ϕX (t) = E[e ] = eitx dF (x), di mana t ∈ R, i =
p (−1) dan eitX = cos(tX) + i sin(tX).
Proposisi 1. Misalkan ϕX (t) adalah fungsi karakteristik dari peubah acak X. Maka ϕX (0) = 1. Bukti. Misalkan ϕX (t) = E[eitX ] untuk t = 0. Maka berlaku ϕX (t) = E[eitX ] ϕX (0) = E[e0 ] = E[1] = 1. Proposisi 2. Fungsi karakteristik ada untuk sebarang sebaran. Bukti. Misalkan X adalah sebarang peubah acak dengan fungsi peluang f (x). Berdasarkan definisi eitX = cos(tX) + i sin(tX), diperoleh |eitx |2 = cos2 (tx) + sin2 (tx) = 1. Sehingga Z itx |ϕX (t)| = e f (x)dx Z itx e f (x) dx ≤ Z itx e ||f (x) dx = Z = f (x)dx = 1. Proposisi 3. Misalkan X suatu peubah acak. Maka fungsi karakteristik dari −X adalah ϕX (t). Bukti. Misalkan ϕX (t) adalah sekawan dari fungsi karakteristik ϕX (t). Perhatikan bahwa ϕX (t) = E[eitX ] = E[cos(tX) + i sin(tX)] = E[cos(tX) + i sin(tX)] = E[cos(tX)] + iE[sin(tX)].
(2)
Akan ditunjukkan fungsi karakteristik dari −X adalah ϕX (t) h i E eit(−X) = E e−itX = E[cos(−tX) + i sin(−tX)] = E[cos(tX) − i sin(tX)] = E[cos(tX)] − iE[sin(tX)] = ϕ(t).
(3)
Berdasarkan (2) dan (3) terlihat bahwa fungsi karakteristik dari −X adalah ϕ(t), sekawan dari ϕ(t). Proposisi 4. Fungsi karakteristik ϕX (t) adalah kontinu seragam.
Bukti. Akan ditunjukkan bahwa untuk setiap > 0, terdapat δ() > 0 sedemikian sehingga |ϕX (s) − ϕX (t)| < , dimana |s − t| < δ. Misalkan h = s − t dimana s > t, maka |ϕX (s) − ϕX (t)| = |EeisX − EeitX | = |Eei(t+h)X − EeitX | = |EeitX (eihX − 1)| ≤ E[|eitX (eihX − 1)| = E[|eitX ||eihX − 1|. Karena eitx = 1, maka dapat diperoleh |ϕX (s) − ϕX (t)| ≤ E |eihX − 1| Z ihx e − 1 dF (x) ≤ Z = | cos(hx) + i sin(hx) − 1|dF (x) Z = |(cos(hx) − 1) + i sin(hx)|dF (x) Z q = [(cos(hx) − 1)2 + sin2 (hx)]dF (x) Z q = [cos2 (hx) − 2 cos(hx) + 1 + sin2 (hx)]dF (x) Z p [2 − 2 cos(hx)]dF (x), =
(4)
untuk h → 0, maka cos(hx) = 1. Sehingga diperoleh Z p |ϕX (s) − ϕX (t)| ≤ [2 − 2 cos(hx)]dF (x) = 0 Jadi, untuk h → 0, |ϕX (h+t)−ϕX (t)| → 0 dan |s−t| → 0. Hal ini menunjukkan δ bergantung pada , di mana |ϕX (h + t) − ϕX (t)| < untuk |s − t| < δ. Proposisi 5. Misalkan X suatu peubah acak. Maka fungsi karakteristik dari a + bX adalah eitX ϕX (bt). Bukti. Akan ditunjukkan fungsi karakteristik dari a + bX sebagai berikut h i E eit(a+bX) = E eita+itbX = E eita eitbX = eita E eitbX = eita ϕX (bt). Proposisi 6. Fungsi karakteristik ϕX (t) dari peubah acak X bernilai riil jika dan hanya jika peubah acak X mempunyai sebaran yang simetrik terhadap ordinat x = 0, yaitu P (X > x) = P (X < −x) untuk x = 0. Bukti. Sebaran dari peubah acak X simetrik jika dan hanya jika X memiliki sebaran yang sama dengan −X. Hal ini benar, apabila peubah acak X dan −X mempunyai fungsi karakteristik yang sama. Dengan menggunakan Proposisi 3, maka ϕX (t) = ϕX (t). Hal ini menunjukkan bahwa ϕX (t) hanya mempunyai bagian riil.
3
Ilustrasi
Misalkan X adalah peubah acak dari sebaran eksponensial dengan fungsi kepekatan peluang f (x) = λe−λx , x ≥ 0, dan λ > 0. Fungsi karakteristik dari sebaran eksponensial tersebut adalah ϕX (t) = E[eitX ] Z ∞ eitx f (x)dx = −∞ t
Z
eitx λe−λx dx
= lim
t→∞
0
= lim λ − t→∞
=
1 e−x(λ−it) λ − it
t dx 0
λ . λ − it
Akan ditunjukkan bahwa fungsi karakteristik sebaran eksponensial memenuhi sifat-sifat fungsi karakteristik. Sifat 1. Misalkan fungsi karakteristik sebaran eksponensial adalah ϕX (t) = Maka ϕX (0) = 1.
λ λ−it .
Penjelasan. Perhatikan bahwa λ λ − it λ ϕX (0) = λ − i0 λ = λ = 1. ϕX (t) =
Sifat 2. Misalkan ϕX (t) adalah fungsi karakteristik dari peubah acak X dengan sebaran eksponensial. Maka fungsi karakteristik peubah acak −X adalah ϕX (t). Penjelasan. Peubah acak X mempunyai sebaran eksponensial f (x) = λe−λx . Misalkan Y = −X, maka diperoleh dx dy = −1 dan mutlak Jacobian |J| = 1. Maka peubah acak Y mempunyai sebaran f (y) = fX (−y)|J| = λeλy . Jadi diperoleh sebaran dari peubah acak −X adalah f (−x) = λeλx . Fungsi karakteristik peubah acak −X adalah ϕ−X (t) = E[e−itx ] Z ∞ = e−itx f (−x)dx −∞
Z = lim
t→∞
t
e−itx λeλx dx
0
t 1 −x(λ+it) = lim λ − e t→∞ λ + it 0 1 = λ λ + it λ = . λ + it
Karena ϕX (t) = adalah ϕX (t).
λ λ−it ,
maka diperoleh bahwa fungsi karakteristik dari −X
Sifat 3. Fungsi karakteristik ϕX (t) =
λ λ−it
adalah kontinu seragam.
λ Penjelasan. Misalkan ϕX (t) = λ−it dan h = s − t dimana s > t, maka akan ditunjukkan bahwa untuk setiap > 0 terdapat δ > 0 sedemikian sehingga λ λ − λ−it |ϕX (s) − ϕX (t)| = λ−is < untuk |s − t| < δ. Perhatikan bahwa
λ λ |ϕX (s) − ϕX (t)| = − (λ − is) (λ − it) −i(λs − λt) = 2 (λ + st) − i(λt + λs) (s − t)λ[−i(λ2 + st) − (λt + st)] . = (λ2 + st)2 + (λt + λs)2 Untuk h → 0, maka |ϕX (h + t) − ϕX (t)| → 0 dimana |s − t| → 0. Hal ini menunjukkan δ bergantung pada dimana |ϕX (h+t)−ϕX (t)| < untuk |s−t| < δ. Sifat 4. Misalkan X adalah suatu peubah acak dari sebaran eksponensial, maka fungsi karakteristik dari a + bX adalah eitX ϕX (bt). Penjelasan. Z h i E ei(a+bX)t =
∞
ei(a+bx)t f (x)dx
−∞
Z
t
= lim
t→0
ei(a+bx)t λe−λx dx
0
= lim λe
iat
t→0
−
1 e−x(λ−ibt) λ − ibx
t 0
λeiat = . λ − ibx Sifat 5. Misalkan X menyebar U N IF (−1, 1). Akan ditentukan fungsi karakteristik dari sebaran seragam tersebut. Penjelasan. Misalkan X ∼ U N IF (−1, 1) dimana f (x) = 21 ; −1 ≤ x ≤ 1. Sebaran ini simetrik terhadap ordinat x = 0. Fungsi karakteristik dari sebaran U N IF (−1, 1) adalah Z 1 itX 1 itx E e = e dx 2 −1 eitx 1 | 2it −1 ieit − ie−it = −2t i(cos t + i sin t) − i(cos(−t) + i sin(−t)) = −2t sin t = . t =
Dapat dilihat bahwa fungsi karakteristik dari sebaran seragam U N IF (−1, 1) hanya mempunyai bagian riil. Hal ini dikarenakan sebaran seragam U N IF (−1, 1) tersebut simetris terhadap ordinat pada nol.
4
Ucapan Terima kasih
Penulis mengucapkan terima kasih kepada Bapak Dr. Dodi Devianto, Bapak Budi Rudianto, M.Si, Ibu Izzati Rahmi HG, M.Si, Ibu Hazmira Yozza, M.Si dan Ibu Dr. Lyra Yulianti yang telah memberikan masukan dan saran sehingga makalah ini dapat diselesaikan dengan baik.
5
Daftar Pustaka
1. Spiegel, M. R. 1964. Peubah Kompleks. Polytechnic Institute Rensselaer 2. Bartle, R.G. dan Donald R.S. 1927. Introduction to Real Analysis. Second Edition. John Wiley and Sons, Inc, Singapore 3. Chung, K.L. 2001. A Course In Probability Theory. Third Edition. Academy Press, San Diego 4. Rao, M.M dan R.J. Swift. 2006. Probability with Applications. Second Edition. Springer, United States of America
