KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristen Satya Wacana. Bagian 4. Derivatif ALZ DANNY WOWOR

KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristen Satya Wacana

Bagian 4

Derivatif ALZ DANNY WOWOR

Monday, July 1, 2013

Cakupan Materi A.

Defenisi Derivatif

B.

Rumus-rumus Derivatif

C. Aplikasi Derivatif


A. Defenisi Derivatif Monday, July 1, 2013

Pendahuluan Derivatif yang sering disebut sebagai diferensial atau turunan, merupakan salah satu bagian terbesar dari Kalkulus selain integral Defenisi dari derivatif dapat ditemukan dengan menggunakan konsep limit.


1. Defenisi derivatif dari konsep limit Diberikan grafik berikut Turunan fungsi f pada bilangan a dinyatakan dengan f’(a) adalah f (a + h) − f (a) f '(x) = lim h→0 h jika limitnya ada


Contoh 1 Carlah turunan dari f(x) = x2 − 8x + 9 pada bilangan a.

Penyelesaian:


2. Dervatif sebagai kemiringan garis singgung Garis singgung pada y = f(x) di titik (a, f(a)) adalah garis yang melalui (a, f(a)) yang kemiringannya sama dengan fʼ(a), yakni turunan f di a. Sehingga persamaan garis singgung pada kurva y = f(x) di titik (a, f(a)):

y − f (a) = f ′(a)(x − a)


Contoh 2 Carlah persamaan garis singgung pada parabola y = x2 − 8x + 9 di titik (3, −6).


Penyelesaian Contoh 2 Dari Contoh 1, kita mengatahui bahwa turunan f(x) di a adalah f’(a) = 2a − 8. Karena itu kemiringan garis singgung di (3, 6) adalah fʼ(3) = 2(3) − 8 = −2 Jadi persamaan garis singgung, diperlihatkan pada gambar adalah y − (−6) = (−2)(x − 3) atau


y = −2x

3. Derivatif dari fungsi Bagian sebelum dibahas derivatif suatu fungsi f pada suatu titik tetap a dengan

Apabila dipandang a berubah-ubah. Jika a denganti dengan sebuah variabel x, diperoleh


Contoh 3 Jika f(x) = x3 − x, carilah rumus untuk fʼ(x) Penyelesaian


Contoh 4 Jika f(x) = x1/2, carilah derivatif dari f dan nyatakan domain dari fʻ. Penyelesaian

Diperoleh fʼ(x) ada jika x > 0, sehingga domain fʼ adalah (0, ∞), yang lebih kecil dari domain f yaitu [0, ∞).


B. Rumus-rumus Derivatif Monday, July 1, 2013

1. Derivatif Fungsi Konstanta Diambil fungsi konstanta f(x) = c, Grafiknya berupa garis mendatar y = c, yang kemiringannya 0.


Bila dibuktikan dengan defenisi turunan

Sehingga Turunan Fungsi Konstanta dengan notasi Leibniz

d (c) = 0 dx


2. Turunan Fungsi Pangkat Jika f(x) = xn, dengan n bilangan bulat positif, maka derivatif dari f(x) adalah


Jika diambil n = 1, maka f(x) = x berupa garis y = x, yang memiliki kemiringan 1.

Sehingga


d (x) = 1 dx

Hal yang sama juga terjadi untuk n = 2 dan n = 3. Diperoleh

d 2 (x ) = 2x dx

d 3 (x ) = 3x 2 dx

Sehingga secara umum jika n bilangan bulat positif, maka

d n (x ) = nx n −1 dx


Contoh 5 Berikut diberikan soal dan penyelesaian, dengan berbagai notasi a) Jika f(x) = x6, maka fʼ(x) = 6x5 b) Jika y = x1000, maka yʼ = 1000x999 c)

Jika y = t4, maka dy/dt = 4t3

d) d/dt (r3) = 3r2 e) Du(um) = mum-1


3. Derivatif Perkalian Konstanta Turunan konstanta kali fungsi adalah konstanta kali turunan fungsi tersebut. Jika c konstanta dan f fungsi yang dapat didiferensialkan, maka

d d [cf (x)] = c f (x) dx dx


Bukti: Misalkan g(x) = c·f(x), maka


Contoh 6 Carilah derivatif dari: a) 3x4 dan b) −x Pembahasan d d 4 4 a) (3x ) = 3 (x ) = 3(4x 3 ) = 12x 3 dx dx d d d b) (-x) = [(-1)(x) = (-1) (x) = -1(1) = -1 dx dx dx


4. Derivatif dari Aturan Jumlah Derivatif dari jumlah fungsi adalah jumlah dari turunan fungsi Jika f dan g keduanya dapat didiferensialkan maka

d d d [ f(x) + g(x)] = f(x) + g(x) dx dx dx


Bukti Misalkan F(x) = f(x) + g(x). Maka


Lanjutan aturan jumlah Aturan jumlah dapat diperluas ke sembarang banyaknya fungsi. Misal, dengan menggunakan teorema ini dua kali, diperoleh:

Untuk hubungan f - g sebagai f + (-1)g dan dengan aturan jumlah diperoleh d d d [ f(x) - g(x)] = f(x) - g(x) dx dx dx


Contoh 7 Carilah turunan dari x8 + 12x5 − 4x4 + 10x3 − 6x + 5

Penyelesaian


5. Derivatif Hasil Kali Jika f dan g keduanya dapat didiferensialkan, maka


Bukti Misalkan F(x) = f(x)·g(x), maka


Contoh 8 Carilah Fʼ(x) jika F(x) = (6x3)(7x4)

Pembahasan:


6. Derivatif Hasil bagi Jika f dan g keduanya dapat didiferensialkan, maka


Bukti Misalkan F(x) = f(x)·g(x), maka

Dengan menambahkan f(x)·g(x) − f(x)·g(x) pada pembilang maka diperoleh



Contoh 9 x2 + x − 2 . Carilah yʼ Diberikan y = 3 x +6 Pembahasan:


Derivatif Pangkat Umum Jika n bilangan bulat positif, maka

d −n (x ) = −nx − n −1 dx

Jika n sembarang bilangan real, maka

d n (x ) = nx n −1 dx


Contoh 10


Contoh 11


C. Aplikasi Derivatif Monday, July 1, 2013

Aplikasi dalam Fisika Posisi partikel diberikan oleh persamaan s = f(t) = t3 − 6t2 + 9t, dengan t diukur dalam detik dan s dalam meter. a) Carilah kecepatan pada waktu t b) Berapa kecepatan setelah 9 detik? c) Kapan partikel berhenti?


Bahasan: a)

Fungsi kecepatan adalah turunan dari fungsi posisi ds s = f (t) = t − 6t + 9t → v(t) = = 3t 2 − 12t + 9 dt 3

b)

2

Kecepatan setelah 4 detik, bermakna pada saat t = 4. ds v(2) = = 3(4)2 − 1(4) + 9 = 9 m / s dt t = 4

c)

Partikel berhenti bilamana v(t) = 0, yaitu 3t 2 − 12t + 9 = 3(t 2 − 4t + 3) = 3(t − 1)(t − 3) = 0 Diperoleh t = 1 atau t = 3. Jadi partikel berhenti setelah 1 detik dan setelah 3 detik


Maslah Pengoptimalan


KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristen Satya Wacana. Bagian 4. Derivatif ALZ DANNY WOWOR

Recommend Documents