KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristan Satya Wacana. Bagian 3. Limit & Kontinuitas ALZ DANNY WOWOR

KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristan Satya Wacana

Bagian 3

Limit & Kontinuitas ALZ DANNY WOWOR

Monday, July 1, 2013

Topik yang dibahas A. Limit Fungsi B. Perhitungan Limit (menggunakan hukum limit) C. Kontinuitas


A. Limit Fungsi


1. Pengertian Limit Limit suatu fungsi merupakan salah satu konsep mendasar dalam kalkulus dan analisis, yang melihat tentang perilaku suatu fungsi mendekati suatu titik tertentu.


Contoh 1 Selidikilah perilaku dari fungsi f(x) = x 2 – x + 2 untuk x mendekati 2.


Perhatikan Tabel berikut memberikan nilai-nilai f(x) untuk x mendekati 2, tetapi tidak sama degan 2.


Proses ini, juga dapat dilakukan dengan mengambil nilai x sedekat mungkin dengan 2, hal ini diungkapkan dengan “limit fungsi f(x) = x2 – x + 2, jika x mendekati 2 sama dengan 4”, Notasinya:


Defenisi 1 (Limit fungsi) Diberikan

merupakan “limit f(x) ketika x mendekati a sama dengan L”

Jika dapat dibuat nilai f(x) sembarang yang dekat dengan L (sedekat yang kita inginkan), dengan cara mengambil nilai x yang sedekat dengan a, tetapi tidak sama dengan a.


2. Hal penting dalam Limit Perhatikan kalimat “tetapi x ≠ a” pada defenisi limit. Hal ini menujukkan bahwa dalam menentukan limit f(x) ketika x mendekati a, tidak pernah dianggap x = a. Bahkan tidak harus terdefenisi pada x = a. Hal yang diperlukan adalah bagaimana f didefenisikan di dekat a


Perhatikan ketiga grafik fungsi f(x) berikut:


Dari ketiga grafik di atas

Bagian (a) f(x) terdefenisi disemua titik Bagian (b) nilai f(a) ≠ L Bagian (c), f(a) tidak terdefenisi

Pada ketiga kasus di atas, apa pun yang terjadi di titik a,


Contoh 2 Carilah nilai

Pembahasan: Diketahui fungsi f(x) tifdak terdefenisi pada saat x = 1. Tetepi dengan limit menjadi tidak masalah karena dicari nilai x yang mendekati a.


Gambar f(x) dan tabel nilai,

Sehingga


Contoh 3 Diberikan sebuah fungsi

Hitunglah


Pembahasan

Contoh 3

Gambar dari g(x) adalah

Sehingga diperoleh: dan


3. Limit Satu Sisi Limit satu sisi merupakan teknik menentukan nilai limit dengan melihat satu sisi (sisi kiri dan kanan) dari fungsi terhadap titik yang didekati.


Defenisi 2 Diberikan sebuah fungsi f(x) maka limit f(x) ketika x mendakati a dari kiri

dan limit f(x) ketika x mendakati a dari kanan


Defenisi 3 Nilai suatu limit f(x) ada, misalanya

jika dan hanya jika


Contoh 4 Gunakan grafik berikut untuk menyatakan nilai limit berikut (jika ada)


Pembahasan Contoh 4

tidak ada


Limit Takhingga Untuk menerangkan limit takhingga, dijelaskan melalui contohcontoh berikut.


Contoh 5 Carilah


jika ada

Dibuat tabel

Dari tabel, ketika x diambil mendekati 0, f(x) semakin besar. Dengan demikian nilai f(x) tidak mendekati suatu bilangan, sehingga tidak ada


Contoh 6 Diberikan fungsi f(x),

maka tentukanlah


Dari grafik f(x)

diperoleh

tidak ada


2. Perhitungan Limit


(menggunakan hukum limit)

1. Hukum Limit Andaikan bahwa c adalah konstanta dan

dan ada, maka


Hukum Limit (tambahan)

jika

dengan n bilangan bulat positif


Hukum Limit (tambahan) dengan n bilangan bulat positif

dengan n bilangan bulat positif (Jika n genap, diasumsikan bahwa a > 0)

dengan n bilangan bulat positif (Jika n genap, diasumsikan bahwa


)

Contoh 7 Hitunglah Pembahasan


Contoh 8 Hitunglah

Pembahasan


Defenisi 3 Jika f adalah fungsi polinom atau rasional dan a dalam daerah asal f, maka

Catatan: Apabila hasil limit berbentuk,

atau yang lainnya

maka limit tersebut harus dirasionalkan untuk dihitung kembali .


Contoh 9 Hitunglah

Pembahasan


Contoh 10 Hitunglah Pembahasan


jika ada

2. Limit menuju ∞ dan −∞ Pada fungsi polinomial:

Pada fungsi rasional:

Untuk tiap p(x) dan q(x) membagi variabel berderajat paling tinggi.


Contoh 11 Hitunglah

Pembahasan:


Contoh 12 Hitunglah Pembahasan:


3. Kontinuitas


Defenisi 4 (kontinuitas) Sebuah fungsi f kontinu pada sebuah bilangan a jika

Jika f tidak kontinu di a, maka f disebut diskontinu.


Secara eksplisit, defenisi kontinuitas mensyaratkan: 1. f(a) terdefenisi (yaitu a berada di daerah asal f)

2.

ada (sehingga f harus terdefenisi pada selang terbuka yang memuat a)

3.


f(a).

Contoh 13 Dimanakah masing-masing fungsi berikut diskontinu?


Pembahasan (contoh 13) a) Perhatikan bahwa f(2) tidak terdefenisi, maka f diskontinu pada x = 2. b) Disini f(0) = 1, terdefenisi. Tetapi

tidak ada, maka f diskontinu di x = 0.


KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristan Satya Wacana. Bagian 3. Limit & Kontinuitas ALZ DANNY WOWOR

Recommend Documents