˝ ´ ANAL´IZIS FELADATGYUJTEM ENY I
Jegyzetek ´ es p´ eldat´ arak a matematika egyetemi oktat´ as´ ahoz sorozat
Algoritmuselm´elet Algoritmusok bonyolults´ aga Analitikus m´ odszerek a p´enz¨ ugyben ´es a k¨ozgazdas´agtanban Anal´ızis feladatgy˝ ujtem´eny I Anal´ızis feladatgy˝ ujtem´eny II Bevezet´es az anal´ızisbe Complexity of Algorithms Differential Geometry Diszkr´et matematikai feladatok Diszkr´et optimaliz´ al´ as Geometria Igazs´ agos eloszt´ asok Introductory Course in Analysis Mathematical Analysis – Exercises I Mathematical Analysis – Problems and Exercises II M´ert´ekelm´elet ´es dinamikus programoz´as Numerikus funkcion´ alanal´ızis Oper´ aci´ okutat´ as Oper´ aci´ okutat´ asi p´eldat´ ar Parci´ alis differenci´ alegyenletek P´eldat´ ar az anal´ızishez P´enz¨ ugyi matematika Szimmetrikus strukt´ ur´ ak T¨ obbv´ altoz´ os adatelemz´es Vari´ aci´ osz´ am´ıt´ as ´es optim´ alis ir´any´ıt´as
´mes Margit, Szentmiklo ´ ssy Zolta ´n Ge
ANAL´IZIS ˝ ´ FELADATGYUJTEM ENY I
Eo os Lor´ and Tudom´ anyegyetem ¨tv¨ Term´ eszettudom´ anyi Kar Typotex 2014
c 2014–2019, G´emes Margit, Szentmikl´ossy Zolt´an,
E¨ otv¨ os Lor´ and Tudom´ anyegyetem, Term´eszettudom´anyi Kar Szerkeszt˝ ok: K´ os G´eza ´es Szentmikl´ossy Zolt´an Lektor´ alta: Pach P´eter P´ al
Creative Commons NonCommercial-NoDerivs 3.0 (CC BY-NC-ND 3.0) A szerz˝ o nev´enek felt¨ untet´ese mellett nem kereskedelmi c´ellal szabadon m´ asolhat´ o, terjeszthet˝ o, megjelentethet˝o ´es el˝oadhat´o, de nem m´odos´ıthat´o.
ISBN 978 963 279 230 9 K´esz¨ ult a Typotex Kiad´ o (http://www.typotex.hu) gondoz´as´aban Felel˝ os vezet˝ o: Votisky Zsuzsa M˝ uszaki szerkeszt˝ o: Gerner J´ozsef
´ K´esz¨ ult a TAMOP-4.1.2-08/2/A/KMR-2009-0045 sz´am´ u, Jegyzetek ´es p´eldat´ arak a matematika egyetemi oktat´as´ahoz” c´ım˝ u projekt ” keret´eben.
KULCSSZAVAK: anal´ızis, kalkulus, deriv´alt, integr´al, t¨obb-v´altoz´o, komplex. ´ Ez a feladatgy˝ ¨ OSSZEFOGLAL AS: ujtem´eny els˝osorban azon egyetemi hallgat´ ok sz´ am´ ara k´esz¨ ult, akik matematik´at, ezen bel¨ ul kalkulust ´es anal´ızist tanulnak. A k¨ onyv f˝ o feladata bevezetni az olvas´ot a a differenci´al ´es integr´ alsz´ am´ıt´ asba ´es ezek alkalmaz´asaiba.
Tartalomjegyz´ ek Alapfogalmak, val´ os sz´ amok 1.1. Elemi feladatok . . . . . . . . . . 1.2. Logikai alapfogalmak . . . . . . . 1.3. Bizony´ıt´ asi m´ odszerek . . . . . . 1.4. Halmazok . . . . . . . . . . . . . 1.5. A val´ os sz´ amok axi´ omarendszere 1.6. A sz´ amegyenes . . . . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
7 8 9 14 21 22 27
Sz´ amsorozatok konvergenci´ aja 2.1. Sorozatok hat´ ar´ert´eke . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. A hat´ ar´ert´ek tulajdons´agai . . . . . . . . . . . . . 2.3. Monoton sorozatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. A Bolzano-Weierstrass-t´etel ´es a Cauchy-krit´erium 2.5. Sorozatok nagys´ agrendje . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. Vegyes feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
31 32 38 42 44 45 47
Val´ os fu enyek hat´ ar´ ert´ eke, folytonoss´ aga ¨ ggv´ 3.1. F¨ uggv´enyek glob´ alis tulajdons´agai . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. A hat´ ar´ert´ek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Folytonos f¨ uggv´enyek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48 50 63 71
A differenci´ alsz´ am´ıt´ as ´ es alkalmaz´ asai 4.1. A deriv´ alt fogalma . . . . . . . . . . . 4.2. Deriv´ al´ asi szab´ alyok . . . . . . . . . . 4.3. K¨ oz´ep´ert´ekt´etelek, L’Hospital szab´aly 4.4. Sz´els˝ o´ert´ekkeres´es . . . . . . . . . . . . 4.5. F¨ uggv´enyvizsg´ alat . . . . . . . . . . . 4.6. Elemi f¨ uggv´enyek . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
76 79 81 86 88 90 92
Az egyv´ altoz´ os Riemann-integr´ al 5.1. Hat´ arozatlan integr´ al . . . . . . . . 5.2. Hat´ arozott integr´ al . . . . . . . . . 5.3. A hat´ arozott integr´ al alkalmaz´asai 5.4. Improprius integr´ al . . . . . . . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
98 102 109 115 118
. . . . . .
. . . . . .
. . . .
. . . . . .
. . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
Numerikus sorok 121 6.1. Numerikus sorok konvergenci´aja . . . . . . . . . . . . . . . . 122 6.2. Pozit´ıv tag´ u sorok konvergenciakrit´eriumai . . . . . . . . . . 125 6.3. Felt´eteles ´es abszol´ ut konvergencia . . . . . . . . . . . . . . . 130
6
Fu enysorozatok ´ es sorok 132 ¨ ggv´ 7.1. Pontonk´enti ´es egyenletes konvergencia . . . . . . . . . . . . . 135 7.2. Hatv´ anysorok, Taylor-sor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 7.3. Trigonometrikus sorok, Fourier-sor . . . . . . . . . . . . . . . 143 T¨ obbv´ altoz´ os fu enyek differenci´ al´ asa ¨ ggv´ 8.1. Topol´ ogiai alapfogalmak . . . . . . . . 8.2. T¨ obbv´ altoz´ os f¨ uggv´enyek grafikonja . 8.3. T¨ obbv´ altoz´ os hat´ ar´ert´ek, folytonoss´ag 8.4. Parci´ alis ´es tot´ alis deriv´alt . . . . . . . 8.5. T¨ obbv´ altoz´ os sz´els˝ o´ert´ek . . . . . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
147 149 152 156 158 164
T¨ obbv´ altoz´ os Riemann-integr´ al 169 9.1. Jordan-m´ert´ek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 9.2. T¨ obbv´ altoz´ os Riemann-integr´al . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 Vonalintegr´ al ´ es primit´ıv fu eny 182 ¨ ggv´ 10.1. S´ık ´es t´erg¨ orb´ek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 10.2. Skal´ ar-, ´es vektormez˝ok, differenci´aloper´atorok . . . . . . . . 187 10.3. Vonalintegr´ al . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 Komplex fu enyek ¨ ggv´
196
Megold´ asok
204
Aj´ anlott irodalom
338
1. fejezet Alapfogalmak, val´ os sz´ amok Biztat´ asul k¨ ozl¨ om, hogy t´evesnek bizonyult a c´afolata annak a h´ıresztel´esnek, mely szerint m´egsem hazugs´ag azt tagadni, hogy lesz olyan vizsg´ az´ o, akinek egy anal´ızis t´etel bizony´ıt´as´at sem kell tudnia ahhoz, hogy ne bukjon meg. (Baranyai Zsolt)
1.1. Az A ⊂ R halmazt korl´ atosnak nevezz¨ uk, ha van olyan K ∈ R val´os sz´ am, hogy minden a ∈ A eset´en |a| ≤ K. Az A ⊂ R halmaz felu ol korl´ atos, ha van olyan M ∈ R val´os sz´am (fels˝ o ¨ lr˝ korl´ at), amelyre minden a ∈ A eset´en a ≤ M . Az A ⊂ R halmaz alulr´ ol korl´ atos, ha van olyan m ∈ R val´os sz´am (als´ o korl´ at), amelyre minden a ∈ A eset´en a ≥ m. 1.2. Cantor-axi´ oma: Egym´asba skatuly´azott korl´atos z´art intervallumsorozat metszete nem u ¨res. 1.3. Fels˝ o hat´ ar, szupr´ emum: Ha az A halmaznak van legkisebb fels˝o korl´ atja ´es ez a sz´ am M , akkor ezt az M sz´amot a halmaz fels˝ o hat´ ar´ anak vagy szupr´ emum´ anak nevezz¨ uk ´es M = sup A-val jel¨olj¨ uk. 1.4. Teljess´ egi t´ etel: Ha A ⊂ R fel¨ ulr˝ol korl´atos nem u ¨res halmaz, akkor van legkisebb fels˝ o korl´ atja. 1.5. Bernoulli-egyenl˝ otlens´ eg: Ha n ∈ N ´es x > −1, akkor (1 + x)n ≥ 1 + n · x. Egyenl˝ os´eg akkor ´es csak akkor van, ha n = 0 vagy n = 1 vagy x = 0.
8
´ s sza ´ mok 1. Alapfogalmak, valo
1.1. Elemi feladatok ´ azoljuk a sz´ Abr´ amegyenesen a k¨ ovetkez˝ o egyenl˝ otlens´ egek megold´ ashalmaz´ at! 1.1.
|x − 5| < 3
1.2.
|5 − x| < 3
1.3.
|x − 5| < 1
1.4.
|5 − x| < 0.1
Oldjuk meg az al´ abbi egyenl˝ otlens´ egeket! 1.5.
1 ≥ −1 5x + 6
1.6.
6x2 + 7x − 20 > 0
1.7.
10x2 + 17x + 3 ≤ 0
1.8.
−6x2 + 8x − 2 > 0
1.9.
8x2 − 30x + 25 ≥ 0
1.10.
−4x2 + 4x − 2 ≥ 0
1.11.
9x2 − 24x + 17 ≥ 0
1.12.
−16x2 + 24x − 11 < 0
1.13.
Hol a hiba? log2
1 1 ≤ log2 2 2
´es 2 < 4
¨ Osszeszorozva a k´et egyenl˝otlens´eget: 2 log2
1 1 < 4 log2 2 2
A logaritmus azonoss´ agait haszn´alva: 2 4 1 1 log2 < log2 2 2 A log2 x f¨ uggv´eny szigor´ uan monoton n˝o, teh´at:
9
´ s sza ´ mok 1. Alapfogalmak, valo
1 1 < 4 16 ´ Atszorozva az egyenl˝ otlens´eget: 16 < 4.
Oldjuk meg a k¨ ovetkez˝ o egyenleteket ´ es egyenl˝ otlens´ egeket! 1.14. 1.16. 1.18.
|x + 1| + |x − 2| ≤ 12 x+1 1 2x + 1 > 2 √
x + 3 + |x − 2| = 0
1.15. 1.17. 1.19.
√
x+3+
√
x−5=0
|2x − 1| < |x − 1| √
x + 3 + |x − 2| ≤ 0
1.2. Logikai alapfogalmak 1.20.
Min´el egyszer˝ ubben mondjuk ki az al´abbi ´all´ıt´asok tagad´as´at: (a) Minden eg´er szereti a sajtot. (b) Aki m´ asnak vermet ´as, maga esik bele. (c) Minden asszony ´elet´eben van egy pillanat Mikor olyat akar tenni, amit nem szabad. (d) Van olyan a, hogy minden b-hez egyetlen x tartozik, melyre a+x=b (e) 3 nem nagyobb, mint 2, vagy 5 oszt´oja 10-nek. (f ) Nem z¨ or¨ og a haraszt, ha a sz´el nem f´ ujja. (g) Ha a nagyn´en´emnek kerekei voln´anak, ˝o lenne a miskolci gyorsvonat.
1.21.
Egy udvarban van 5 kecske ´es 20 bolha. Tudjuk, hogy van olyan kecske, amit minden bolha megcs´ıpett. K¨ovetkezik-e ebb˝ol, hogy van olyan bolha, amelyik minden kecsk´et megcs´ıpett?
1.22.
Fogadjuk el igaznak a k¨ovetkez˝o ´all´ıt´asokat:
10
´ s sza ´ mok 1. Alapfogalmak, valo
(a) Ha egy ´ allat eml˝ os, akkor vagy van farka, vagy van kopolty´ uja. (b) Egyik ´ allatnak sincs farka. (c) Minden ´ allat vagy eml˝os, vagy van farka, vagy van kopolty´ uja. K¨ ovetkezik-e ebb˝ ol, hogy minden ´allatnak van kopolty´ uja? 1.23.
Balkezes Bendeg´ uz, aki val´oban balkezes, a bal kez´evel csak igaz ´all´ıt´ asokat tud le´ırni, a jobb kez´evel pedig csak csak hamis ´all´ıt´asokat. Melyik kez´evel ´ırhatja le a k¨ovetkez˝o mondatokat? (a) Balkezes vagyok. (b) Jobbkezes vagyok. (c) Balkezes vagyok ´es Bendeg´ uz a nevem. (d) Jobbkezes vagyok ´es Bendeg´ uz a nevem. (e) Balkezes vagyok vagy Bendeg´ uz a nevem. (f ) Jobbkezes vagyok vagy Bendeg´ uz a nevem. (g) A 0 se nem p´ aros, se nem p´aratlan.
1.24.
Azt mondj´ ak, a fekete macska szerencs´etlens´eget hoz. Melyik mondattal tagadhatjuk ezt? (a) A fekete macska szerencs´et hoz. (b) Nem a fekete macska hoz szerencs´etlens´eget. (c) A feh´er macska hoz szerencs´etlens´eget. (d) A fekete macska nem hoz szerencs´etlens´eget.
1.25.
1.26.
Legyen A a pozit´ıv eg´eszek halmaza. Jelentse a|b azt az ´all´ıt´ast, hogy a oszt´ oja b-nek. D¨ onts¨ uk el, hogy mely ´all´ıt´asok igazak az al´abbiak k¨oz¨ ul: (a) ∀a ∈ A ∃b ∈ A a|b
(b) ∀a ∈ A ∀b ∈ A a|b
(c) ∃a ∈ A ∀b ∈ A a|b
(d) ∃a ∈ A ∃b ∈ A a|b
Matematika orsz´ agban a b´ır´o csak a bizony´ıt´ekoknak hisz. P´eld´aul, ha F azt ´ all´ıtja, hogy van fekete oroszl´an, akkor ´all´ıt´as´anak helyess´eg´er˝ol meggy˝ ozheti a b´ır´ ot azzal, ha mutat neki egy fekete oroszl´ant. (a) F azt ´ all´ıtja, hogy minden oroszl´an fekete. El´eg bizony´ıt´ek-e, ha mutat a b´ır´ onak egy fekete oroszl´ant?
´ s sza ´ mok 1. Alapfogalmak, valo
11
(b) F azt ´ all´ıtja, hogy minden oroszl´an fekete, G pedig azt ´all´ıtja, hogy F t´eved. Hogyan bizony´ıthatn´a G az ´all´ıt´as´at? (c) F azt ´ all´ıtja, hogy minden 2-re v´egz˝od˝o n´egyzetsz´am oszthat´o 3mal. G szerint F t´eved. Hogyan bizony´ıthatn´a G az ´all´ıt´as´at? F-nek vagy G-nek van igaza? (d) F azt ´ all´ıtja, hogy ha egy der´eksz¨og˝ u h´aromsz¨og befog´oi a ´es b, ´atfog´ oja c, akkor a2 + b2 = c2 . Hogyan bizony´ıthatn´a F az ´all´ıt´as´at? (e) F azt ´ all´ıtja, hogy egy m´asodfok´ u egyenletnek lehetnek negat´ıv gy¨ okei. Hogyan bizony´ıthatn´a F az ´all´ıt´as´at? (f ) F azt ´ all´ıtja, hogy egy m´asodfok´ u egyenletnek lehet 3 gy¨oke. G szerint F t´eved. Hogyan bizony´ıthatn´a G az ´all´ıt´as´at? 1.27.
: -) Minden mohik´ an hazudik”, mondta az utols´o mohik´an. Igazat ” mondott?
1.28.
: -)
1) A 3 pr´ımsz´ am. 2) 4 oszthat´ o 3-mal. 3) Ebben a keretben pontosan 1 igaz ´all´ıt´as van.
H´ any igaz ´ all´ıt´ as van a keretben? 1.29.
Egy 13 jegy˝ u k´ odsz´ amban b´armely 3 szomsz´edos sz´amjegy ¨osszege 11. A k´ od m´ asodik jegye 6, a tizenkettedik jegy pedig 4. Mi a 13-adik jegy?
1.30.
Fogadjuk el igaznak, hogy ki kor´an kel, aranyat lel. Melyik ´all´ıt´as igazs´ aga k¨ ovetkezik ebb˝ol? (a) Aki k´es˝ on kel, nem lel aranyat. (b) Aki aranyat lelt, az kor´an kelt. (c) Aki nem lelt aranyat, az k´es˝on kelt.
1.31.
Ha kedd van, akkor Belgiumban vagyunk. Melyik ´all´ıt´as k¨ovetkezik ebb˝ ol? (a) Ha szerda van, akkor nem Belgiumban vagyunk. (b) Ha Belgiumban vagyunk, akkor kedd van. (c) Ha nem Belgiumban vagyunk, akkor nincs kedd.
Mi a logikai kapcsolat az ´ all´ıt´ asok k¨ oz¨ ott? (Melyikb˝ ol k¨ ovetkezik a m´ asik?)
12
´ s sza ´ mok 1. Alapfogalmak, valo
B: x2 > 25
1.32.
A: x > 5
1.33.
A:
1.34.
A:
1.35.
A: x2 − x − 6 = 0
B: x = 2
1.36.
A: x2 − x − 6 > 0
B: x > 2
1.37.
A: 7 = 8
B: 3 = 3
1.38.
A: 7 = 8
B: 3 = 4
1.39.
A: x < 7 ´es y < 3
B: x − y < 4
1.40.
A: |x − 5| < 0, 1 ´es |y − 5| < 0, 1 B: |x − y| < 0, 2
√ √
x2 − 5 < 3
B: x2 − 5 < 9
x2 − 5 > −4
B: x2 − 5 > 16
Tagadjuk a k¨ ovetkez˝ o´ all´ıt´ asokat! D¨ ontsu all´ıt´ as! ¨ k el, hogy igaz-e az ´ Igaz-e a tagad´ asa? 1.41.
∀n ∈ N+ 2|n
1.42.
∃k ∈ N+ 2|k
1.43.
∀n ∈ N+ ∃k ∈ N+ n|k
1.44.
∃k ∈ N+ ∀n ∈ N+ n|k
1.45.
Pistike azt mondta reggel az anyuk´aj´anak, hogy ha a h´o miatt nem j´ ar a busz, nem megy iskol´aba. A busz j´art, Pistike m´egsem ment iskol´ aba. Hazudott-e reggel Pistike, amikor a m´ar eml´ıtett mondatot mondta?
H´ any olyan r´ eszhalmaza van a H = {1, 2, 3, . . . , 100} halmaznak, amelyre igaz, ´ es h´ any olyan, amelyre nem igaz, hogy 1.46.
az 1 benne van a r´eszhalmazban;
1.47.
az 1 ´es a 2 benne van a r´eszhalmazban;
13
´ s sza ´ mok 1. Alapfogalmak, valo
1.48.
az 1 vagy a 2 benne van a r´eszhalmazban;
1.49.
az 1 benne van a r´eszhalmazban vagy a 2 nincs benne a r´eszhalmazban;
1.50.
ha az 1 benne van a r´eszhalmazban, akkor a 2 benne van a r´eszhalmazban?
H´ any olyan H r´ eszhalmaza van az An = {1, 2, . . . , n} halmaznak, amelyre teljesu ¨ l, hogy 1.51.
∀x < n (x ∈ H =⇒ x + 1 ∈1.52. H)
1.53.
∀x (x ∈ H ∧ x + 1 ∈ H =⇒ x + 2 ∈ H)
∀x (x ∈ H =⇒ x + 1 ∈ / H)
´ Irjuk le logikai jelekkel az al´ abbi ´ all´ıt´ asokat! 1.54.
Nem igaz, hogy P vagy Q.
1.55.
Sem Q, sem P.
1.56.
Nem P, ha nem Q.
1.57.
P pedig nem is Q.
1.58.
Csak akkor P, ha Q.
1.59.
Sem P, sem Q.
1.60.
Q, felt´eve, hogy P.
1.61.
Nem P, m´egis Q.
1.62.
P vagy Q, de nem mindkett˝o.
1.63.
Nem igaz, hogy ha P, akkor egy´ uttal Q is.
1.64.
´Irjuk fel logikai kvantorokkal a k¨ovetkez˝o mondatot: Minden tenger´esz ismer olyan kik¨ot˝ot, ahol van olyan kocsma, ahol ” m´eg nem j´ art.” ´Irjuk fel a mondat tagad´as´at sz¨oveggel ´es logikai kvantorokkal is!
14
´ s sza ´ mok 1. Alapfogalmak, valo
1.65.
Van egy zacsk´ o cukorka ´es a tanul´ocsoport hallgat´oi. Melyik ´all´ıt´asb´ol k¨ ovetkezik a m´ asik? (a) A csoport minden hallgat´oja szopogatott cukork´at (a zacsk´ob´ol). (b) Van olyan cukorka (a zacsk´ob´ol), amit minden hallgat´o szopogatott. (c) Van olyan hallgat´o, aki minden cukork´at szopogatott (a zacsk´ob´ ol). (d) Minden cukork´ at (a zacsk´ob´ol) szopogatta valamelyik hallgat´o.
1.3. Bizony´ıt´ asi m´ odszerek Bizony´ıtsuk be, hogy 1.66.
√
3 irracion´ alis;
√ 1.68.
1.69.
1.67.
√ 2 √ irracion´alis; 3
2+1 +3 2 + 5 irracion´alis! 4
Tudjuk, hogy x ´es y racion´alis sz´amok. Bizony´ıtsuk be, hogy (a) x + y
(b) x − y
(c) xy
(d) y 6= 0 eset´en
x y
is racion´ alis! 1.70.
1.71.
Tudjuk, hogy x racion´ alis sz´am, y pedig irracion´alis. (a) Lehet-e x + y racion´alis?
(b) Lehet-e x − y racion´alis?
(c) Lehet-e xy racion´ alis?
(d) Lehet-e
Tudjuk, hogy x ´es y irracion´alis.
x racion´alis? y
15
´ s sza ´ mok 1. Alapfogalmak, valo
(a) Lehet-e x + y racion´alis? 1.72.
(b) Lehet-e xy racion´alis?
Igaz-e, hogy ha (a) a ´es b racion´ alis sz´amok, akkor a + b is racion´alis? (b) a ´es b irracion´ alis sz´amok, akkor a + b is irracion´alis? (c) a racion´ alis sz´ am, b pedig irracion´alis, akkor a + b racion´alis? (d) a racion´ alis sz´ am, b pedig irracion´alis, akkor a + b irracion´alis?
1.73.
´ amnak 2 f¨ Ad´ ule volt. Ha egy ap´anak 2 f¨ ule van, akkor a fi´anak is 2 f¨ ule van. (a) K¨ ovetkezik-e a fenti k´et ´all´ıt´asb´ol, hogy minden ma ´el˝o embernek 2 f¨ ule van? (b) Kikr˝ ol tudjuk biztosan ´all´ıtani a fenti k´et ´all´ıt´as alapj´an, hogy 2 f¨ ul¨ uk van? (c) Mire k¨ ovetkeztethet¨ unk, ha a k´et ´all´ıt´asb´ol az els˝ot elhagyjuk, ´es csak a m´ asodikat haszn´aljuk fel? (d) Mire k¨ ovetkeztethet¨ unk, ha a k´et ´all´ıt´asb´ol a m´asodikat elhagyjuk, ´es csak az els˝ ot haszn´aljuk fel?
1.74.
T´ etel: Az 1 a legnagyobb sz´am. Bizony´ıt´ as: indirekt m´odszerrel. Tegy¨ uk fel, hogy nem 1 a legnagyobb sz´ am, hanem A. Ekkor A > 1. Mivel A > 1, ez´ert A > 0 is teljes¨ ul, teh´ at ha az A > 1 egyenl˝otlens´eget megszorozzuk A-val, az A2 > A egyenl˝ otlens´eget kapjuk. Ez az egyenl˝otlens´eg viszont ellentmond annak, hogy A a legnagyobb sz´am. Teh´at az 1 a legnagyobb sz´am. J´ o ez a bizony´ıt´ as? Ha nem, akkor hol a hiba?
1.75.
Legyen A1 , A2 , . . . ´ all´ıt´ asok egy sorozata. Mi k¨ovetkezik az al´abbiakb´ol? (a) A1 igaz. Ha A1 , A2 , . . . , An mind igaz, akkor An+1 is igaz. (b) A1 igaz. Ha An ´es An+1 igaz, akkor An+2 is igaz. (c) Ha An igaz, akkor An+1 is igaz. A2n hamis minden n-re. (d) A100 igaz. Ha An igaz, akkor An+1 is igaz. (e) A100 igaz. Ha An hamis, akkor An+1 is hamis. (f ) A1 hamis. Ha An igaz, akkor An+1 is igaz. (g) A1 igaz. Ha An hamis, akkor An−1 is hamis.
16
´ s sza ´ mok 1. Alapfogalmak, valo
1.76.
Bizony´ıtsuk be, hogy tetsz˝oleges n ∈ N eset´en 16|5n+1 − 4n − 5.
1.77.
Bizony´ıtsuk be, hogy tg 1◦ irracion´alis.
1.78.
Bizony´ıtsuk be, hogy ha n ∈ N+ , akkor n! ≤
1.79.
Legyen a1 = 0, 9, an+1 = an − a2n . Igaz-e, hogy van olyan n, amelyre an < 10−6 ?
1.80.
´Irjuk fel a k¨ ovetkez˝ o kifejez´eseket n = 1, 2, 3, 6, 7, k ´es k + 1 eset´en (a) (b)
√ √
n 1+
√
2+
√
3 + ··· +
√
n+1 2
n .
n
(c) 12 + 22 + 32 + · · · + n2 1 1 1 1 (d) + + + ··· + 1·2 2·3 3·4 (n − 1) · n (e) 1 · 4 + 2 · 7 + 3 · 10 + · · · + n(3n + 1) (f ) 1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + · · · + n(n + 1) 1.81.
Az els˝ o n´eh´ any tag kisz´am´ıt´asa ut´an sejts¨ uk meg, milyen egyszer˝ ubb kifejez´essel egyenl˝ o az al´abbi ¨osszeg, majd a sejt´est bizony´ıtsuk be teljes indukci´ oval! (a)
1 1 1 + + ··· + 1·2 2·3 (n − 1) · n
(b) 1 + 3 + . . . + (2n − 1)
Bizony´ıtsuk be, hogy minden n pozit´ıv eg´ esz sz´ amra igazak a k¨ ovetkez˝ o azonoss´ agok:
1.82.
an − bn = (a − b)(an−1 + an−2 b + · · · + abn−2 + bn−1 )
1.83.
1 + 2 + ··· + n =
1.84.
1 2 + 2 2 + · · · + n2 =
n(n + 1) 2 n(n + 1)(2n + 1) 6
17
´ s sza ´ mok 1. Alapfogalmak, valo
3
3
3
1.85.
1 + 2 + ··· + n =
1.86.
1−
n(n + 1) 2
2
1 1 1 1 1 1 + − ··· − = + + ··· + 2 3 2n n+1 n+2 2n
Fejezzu ubb alakban a k¨ ovetkez˝ o kifejez´ eseket: ¨ k ki egyszer˝ 1.87.
1 1 1 + + ··· + 1·2 2·3 (n − 1) · n
1.88.
1 1 1 + + ··· + 1·2·3 2·3·4 n · (n + 1) · (n + 2)
1.89.
1 · 2 + 2 · 3 + · · · + n · (n + 1)
1.90.
1 · 2 · 3 + 2 · 3 · 4 + · · · + n · (n + 1) · (n + 2)
1.91.
Egy gazd´ anak van egy p´ar nyula. Minden ny´ ulp´ar 2 h´onapos kor´at´ol minden h´ onapban egy u ´jabb p´arnak ad ´eletet. H´any p´ar ny´ ul lesz a 2., 3., 4., 5. ´es 6. h´ onapban?
Legyen (un ) a Fibonacci-sorozat, azaz u0 = 0, u1 = 1 ´ es n > 1 eset´ en un+1 = un + un−1 . 1.92.
Bizony´ıtsuk be, hogy un ´es un+1 relat´ıv pr´ım sz´amok.
1.93.
Bizony´ıtsuk be, hogy
1.94.
Bizony´ıtsuk be a k¨ ovetkez˝o azonoss´agokat:
1, 6n < un < 1, 7n (n > 0). 3
(a) u1 + u2 + · · · + un = un+2 − 1(b) u2n − un−1 un+1 = (−1)n+1 (c) u21 + u22 + · · · + u2n = un un+1 1.95.
Hozzuk egyszer˝ ubb alakra a k¨ovetkez˝o kifejez´eseket:
18
´ s sza ´ mok 1. Alapfogalmak, valo
1.96.
(a) sn = u0 + u2 + · · · + u2n
(b) sn = u1 + u3 + · · · + u2n+1
(c) sn = u0 + u3 + · · · + u3n
(d) sn = u1 u2 + u2 u3 + · · · + u2n−1 u2n
T´ etel: Minden l´ o egysz´ın˝ u. Bizony´ıt´ as: Teljes indukci´oval bel´atjuk, hogy b´armely n l´o egysz´ın˝ u. n = 1-re az ´ all´ıt´ as nyilv´anval´o. Tegy¨ uk fel, hogy igaz n-re, ´es ebb˝ol fogjuk n + 1-re bel´ atni: adott n + 1 l´o k¨oz¨ ul az indukci´os feltev´es miatt az 1., 2., . . . , n. is egysz´ın˝ u ´es a 2., . . . , n., (n+1). is egysz´ın˝ u, teh´at mind az n + 1 egysz´ın˝ u. J´ o ez a bizony´ıt´ as? Ha nem, akkor hol a hiba?
1.97.
T´ etel: Nincs j´ ozan tenger´esz. Bizony´ıt´ as: Teljes indukci´oval. Tegy¨ uk fel, hogy az ´all´ıt´as igaz n tenger´eszre, ´es ebb˝ ol fogjuk n + 1 tenger´eszre bel´atni. Adott n + 1 tenger´esz k¨ oz¨ ul az indukci´os feltev´es miatt az 1., 2., . . . , n. tenger´esz nem j´ ozan, ´es a 2., . . . , n., (n + 1). tenger´esz sem j´ozan, teh´at mind az n + 1 r´eszeg. J´ o ez a bizony´ıt´ as? Ha nem, akkor hol a hiba?
1.98.
Bizony´ıtsuk be a sz´ amtani-m´ertani k¨oz´ep k¨oz¨otti egyenl˝otlens´eget az n = 2 speci´ alis esetben!
1.99.
Bizony´ıtsuk be, hogy az a1 , a2 , . . . an pozit´ıv sz´amok sz´amtani, m´ertani ´es harmonikus k¨ ozepe a sz´amok legkisebbike ´es legnagyobbika k¨oz´e esik!
Tudjuk, hogy a, b, c > 0 ´ es a + b + c = 18. Hat´ arozzuk meg a, b ´ es c ´ ert´ ek´ et u ´ gy, hogy a ko o kifejez´ esek ´ ert´ eke maxim´ alis legyen: ¨vetkez˝ 1.100.
abc
1.101.
a2 bc
1.102.
a 3 b2 c
1.103.
abc ab + bc + ac
Tudjuk, hogy a, b, c > 0 ´ es abc = 18. Hat´ arozzuk meg a, b ´ es c ´ ert´ ek´ et u ´ gy, hogy a k¨ ovetkez˝ o kifejez´ esek ´ ert´ eke minim´ alis legyen:
19
´ s sza ´ mok 1. Alapfogalmak, valo
1.104.
a+b+c
1.105.
2a + b + c
1.106.
3a + 2b + c
1.107.
a2 + b2 + c2
1.108.
Tudjuk, hogy h´ arom pozit´ıv sz´am szorzata 1. (a) Legal´ abb mennyi lehet az o¨sszeg¨ uk? (b) Legfeljebb mennyi lehet az o¨sszeg¨ uk? (c) Legal´ abb mennyi lehet a reciprok¨osszeg¨ uk? (d) Legfeljebb mennyi lehet a reciprok¨osszeg¨ uk? 1 ≥ 2. a
1.109.
Bizony´ıtsuk be, hogy ha a > 0, akkor a +
1.110.
Bizony´ıtsuk be, hogy ha a, b ´es c pozit´ıv sz´amok, akkor
1.111.
a b c + + ≥ 3. b c a 2n 1 Bizony´ıtsuk be, hogy minden pozit´ıv eg´esz n-re 1 + ≥ 4. n
1.112.
Egy motorcs´ onak motorja a cs´onakot ´all´ov´ızben v sebess´eggel hajtja. A cs´ onak az u sebess´eg˝ u foly´oban s utat tesz meg a foly´as ir´any´aban, majd visszamegy a kiindul´asi hely´ehez. Mennyi lesz az ´atlagsebess´ege a teljes u ´ton v-hez k´epest: v-vel egyenl˝o, v-n´el nagyobb vagy v-n´el kisebb?
1.113.
Egy keresked˝ onek nem pontos a k´etkar´ u m´erlege, mert a karok hossza nem egyenl˝ o. Miut´ an tudja ezt, minden v´as´arl´on´al az ´aru egyik fel´et a m´erleg egyik serpeny˝ oj´eben, a m´asik fel´et a m´erleg m´asik serpeny˝oj´eben m´eri, gondolv´ an, hogy ezzel kik¨ usz¨ob¨oli a m´erleg pontatlans´ag´at. Val´ oban ez a helyzet?
1.114.
Hat´ arozzuk meg az f (x) = x(1−x) f¨ uggv´eny legnagyobb ´ert´ek´et a [0, 1] z´ art intervallumon!
Hol van ´ es mennyi a minimuma az al´ abbi fu enyeknek, ha x > 0? ¨ ggv´
20
´ s sza ´ mok 1. Alapfogalmak, valo
4 x
1.116.
x2 − 3x + 5 x
1.115.
f (x) = x +
1.117.
Hat´ arozzuk meg az x2 (1 − x) f¨ uggv´eny legnagyobb ´ert´ek´et a [0, 1] z´art intervallumon.
1.118.
Mennyi a maximuma a g(x) = x(1 − x)3 f¨ uggv´enynek a [0, 1] intervallumon?
1.119.
Mennyi a minimuma az f (x) = 2x2 +
1.120.
Az y =
1.121.
Melyik az egys´egk¨ orbe ´ırhat´o maxim´alis ter¨ ulet˝ u t´eglalap?
1.122.
Melyik az egyenes k¨ ork´ upba ´ırhat´o maxim´alis t´erfogat´ u henger?
1.123.
Melyik az egys´egg¨ ombbe ´ırhat´o maxim´alis t´erfogat´ u egyenes k¨orhenger?
1.124.
Legyen egy t´eglalap k´et ´ele a ´es b, ´atl´oja pedig c. Ekkor a t´eglalap ter¨ ulete T = ab, ´es a t´eglalap ker¨ ulete K = 2(a + b). T ab Teh´ at: = K 2(a + b) 2 2
g(x) =
3 + 5 f¨ uggv´enynek? x2 + 1
1 2 x parabola melyik pontja van a legk¨ozelebb a (0, 5) ponthoz? 4
´Igy:
Mivel 0 < a < c, ez´ert:
2T c ab c −√ = −√ K a+b 2 2 c ab c 2T √ √ −
Beszorz´ as ut´ an:
2T a ac abc c2 −√ < −√ K a+b 2 2
T ´es K hely´ebe ´ırjunk ab-t ´es 2(a + b)-t:
2a2 b ac abc c2 −√ < −√ 2(a + b) a+b 2 2
Rendez´es ut´ an:
2a2 b abc ac c2 − <√ −√ 2(a + b) a + b 2 2
21
´ s sza ´ mok 1. Alapfogalmak, valo
ab c (a − c) < √ (a − c) a+b 2
Kiemel´es ut´ an:
ab c >√ a+b 2 √ a2 a 2 > √ 2a 2
Osztunk (a − c)-vel, de a − c < 0: √ N´egyzet eset´en b = a ´es c = a 2: Egyszer˝ us´ıt´es ´es rendez´es ut´an:
1>2
Hol a hiba?
1.4. Halmazok 1.125.
Melyik ´ all´ıt´ as nem igaz? (a) A \ B = {x : x ∈ A ∨ x 6∈ B} (b) A \ B = A ∩ B (c) A \ B = (A ∪ B) \ B
1.126.
1.127.
(d) A \ B = A \ (A ∩ B)
Melyik halmazzal egyenl˝o A ∪ B? (a) {x : x 6∈ A ∨ x 6∈ B}
(b) {x : x 6∈ A ∧ x 6∈ B}
(c) {x : x ∈ A ∨ x ∈ B}
(d) {x : x ∈ A ∧ x ∈ B}
Melyik halmazzal egyenl˝o A ∩ (B ∪ C)? (a) A ∪ (B ∩ C)
(b) (A ∩ B) ∪ C
(c) (A ∪ B) ∩ C
(d) (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
´ Allap´ ıtsuk meg, hogy az al´ abbi ´ all´ıt´ asok k¨ ozu es ¨ l melyek igazak ´ melyek hamisak. Ha egy ´ all´ıt´ as igaz, bizony´ıtsuk be, ha hamis, adjunk ellenp´ eld´ at!
22
´ s sza ´ mok 1. Alapfogalmak, valo
1.128.
A\B =A∩B
1.129.
(A ∪ B) \ B = A
1.130.
(A \ B) ∪ (A ∩ B) = A
1.131.
A \ B = A \ B?
1.132.
(A ∪ B) \ A = B
1.133.
(A ∪ B) \ C = A ∪ (B \ C)
1.134.
(A \ B) ∩ C = (A ∩ C) \ B
1.135.
A \ B = A \ (A ∩ B)
Legyenek A, B, C halmazok. ´ Irjuk fel A, B, C ´ es a halmazm˝ uveletek seg´ıts´ eg´ evel, azaz olyan jelleg˝ u formul´ aval, mint p´ eld´ aul (A\B)∪C, az al´ abbi halmazokat! 1.136.
Azon elemek halmaza, amelyek A-ban benne vannak, de B-ben ´es Cben nincsenek benne.
1.137.
Azon elemek halmaza, amelyek A, B ´es C k¨oz¨ ul pontosan egyben vannak benne.
1.138.
Azon elemek halmaza, amelyek A, B ´es C k¨oz¨ ul pontosan kett˝oben vannak benne.
1.139.
Azon elemek halmaza, amelyek A, B ´es C k¨oz¨ ul pontosan h´aromban vannak benne.
1.140.
Bizony´ıtsuk be, hogy tetsz˝oleges A, B halmazokra A ∪ B = A∩B.
1.141.
Bizony´ıtsuk be a De Morgan azonoss´agokat: n [ i=1
Ai =
n \ i=1
Ai
´es
n \ i=1
Ai =
n [
Ai
i=1
1.5. A val´ os sz´ amok axi´ omarendszere 1.142.
Bizony´ıtsuk be, hogy tetsz˝oleges a, b val´os sz´amokra
23
´ s sza ´ mok 1. Alapfogalmak, valo
(a) |a| + |b| ≥ |a + b|
(b) |a| − |b| ≤ |a − b| ≤ |a| + |b|
1.143.
Bizony´ıtsuk be, hogy tetsz˝oleges a1 , a2 , . . . , an val´os sz´amokra igaz, hogy |a1 | + |a2 | + · · · + |an | ≥ |a1 + a2 + · · · + an | .
1.144.
Igaz-e, hogy ha (a) x < A, akkor |x| < |A|
1.145.
(b) |x| < A, akkor |x2 | < A2
Igaz-e minden a1 , a2 , . . . an val´os sz´amra, hogy (a) |a1 + a2 + · · · + an | ≤ |a1 | + |a2 | + · · · + |an | (b) |a1 + a2 + · · · + an | ≥ |a1 | + |a2 | + · · · + |an | (c) |a1 + a2 + · · · + an | < |a1 | + |a2 | + · · · + |an | (d) |a1 + a2 + · · · + an | > |a1 | + |a2 | + · · · + |an |
1.146.
1.147.
1.148.
1.149.
Igaz-e minden a, b val´ os sz´amra, hogy (a) |a + b| ≥ |a| − |b|
(b) |a + b| ≤ |a| − |b|
(c) |a − b| < ||a| − |b||
(d) |a − b| ≤ |a| − |b|
Legyen H a val´ os sz´ amok egy nem u ¨res r´eszhalmaza. Mit jelentenek a k¨ ovetkez˝ o´ all´ıt´ asok? (a) ∀x ∈ H ∃y ∈ H (y < x)
(b) ∀y ∈ H ∃x ∈ H (y < x)
(c) ∃x ∈ H ∀y ∈ H (y ≤ x)
(d) ∃y ∈ H ∀x ∈ H (y ≤ x)
Legyen H1 = {h ∈ R : −3 < h ≤ 1} ´es H2 = {h ∈ R : −3 ≤ h < 1}. Melyik ´ all´ıt´ as igaz, ha H = H1 vagy H = H2 ? (a) ∀x ∈ H ∃y ∈ H (y < x)
(b) ∀y ∈ H ∃x ∈ H (y < x)
(c) ∃x ∈ H ∀y ∈ H (y ≤ x)
(d) ∃y ∈ H ∀x ∈ H (y ≤ x)
Legyen A = {a ∈ R : −3 < a ≤ 1} ´es B = {b ∈ R : −3 < b < 1}. Melyik ´ all´ıt´ as igaz?
24
´ s sza ´ mok 1. Alapfogalmak, valo
(a) ∀a ∈ A ∃b ∈ B b < a
(b) ∃b ∈ B ∀a ∈ A b < a
(c) ∀b ∈ B ∃a ∈ A b < a
(d) ∃a ∈ A ∀b ∈ B b < a
Legyen H ⊂ R. ´ Irjuk fel az al´ abbi ´ all´ıt´ asokat logikai formul´ akkal, ´ırjuk fo asukat, tov´ abb´ a adjunk p´ eld´ at (ha van) olyan H-ra ¨l a tagad´ amelyikre teljesu es olyanra is amelyikre nem! ¨ l, ´ 1.150.
H-nak van legkisebb eleme.
1.151.
H b´ armely k´et (k¨ ul¨ onb¨oz˝o) eleme k¨oz¨ott van (mindkett˝ot˝ol k¨ ul¨onb¨oz˝o) H-beli elem.
Hat´ arozzuk meg a k¨ ovetkez˝ o sz´ amhalmaz-sorozatok metszet´ et! 1 1
1.152.
An = {a ∈ Q : −
1.153.
Bn = {b ∈ R\Q : −
1.154.
1 1
1.155.
Dn = {d ∈ N : −n < d < n}
1.156.
En = {e ∈ R : −n < e < n}
1.157.
Legyen H ⊂ R. ´Irjuk fel a k¨ovetkez˝o ´all´ıt´as tagad´as´at: ∀x ∈ H ∃y ∈ H (x > 2 =⇒ y < x2 )
Hat´ arozzuk meg a k¨ ovetkez˝ o intervallumsorozatok metszet´ et! (P´ eld´ aul rajz seg´ıts´ eg´ evel sejtsu es szerint ¨ k meg a metszetet! Ha a sejt´ a metszet M , akkor bizony´ıtsuk be, hogy ∀x ∈ M eset´ en teljesu ¨ l, hogy ∀n x ∈ In , tov´ abb´ a ha y ∈ / M akkor ∃k y ∈ / Ik . ( Itt k ´ es n pozit´ıv eg´ esz sz´ amok.)
25
´ s sza ´ mok 1. Alapfogalmak, valo
1.158.
In = [−1/n, 1/n]
1.159.
In = (−1/n, 1/n)
1.160.
In = [2 − 1/n, 3 + 1/n]
1.161.
In = (2 − 1/n, 3 + 1/n)
1.162.
In = [0, 1/n]
1.163.
In = (0, 1/n)
1.164.
In = [0, 1/n)
1.165.
In = (0, 1/n]
1.166.
Melyik ´ all´ıt´ as igaz? (A v´alaszt mindig indokoljuk!) (a) Ha egy egym´ asba skatuly´azott intervallumsorozat metszete nem u ¨res, akkor az intervallumok z´artak. (b) Ha egy egym´ asba skatuly´azott intervallumsorozat metszete u ¨res, akkor az intervallumok ny´ıltak. (c) Egy egym´ asba skatuly´azott, z´art intervallumsorozat metszete egyetlen pont. (d) Ha egy egym´ asba skatuly´azott intervallumsorozat metszete u ¨res, akkor van az intervallumok k¨oz¨ott ny´ılt. (e) Ha egy egym´ asba skatuly´azott intervallumsorozat metszete u ¨res, akkor van az intervallumok k¨oz¨ott nem z´art. (f ) Ha egy z´ art intervallumsorozat metszete nem u ¨res, akkor az intervallumok egym´ asba vannak skatuly´azva.
A k¨ ovetkez˝ o feladatokban is indokoljuk meg a v´ alaszokat!
1.167.
Lehet-e egy egym´ asba skatuly´azott intervallumsorozat metszete u ¨res?
1.168.
Lehet-e egy egym´ asba skatuly´azott, z´art intervallumsorozat metszete u ¨res?
1.169.
Lehet-e egy egym´ asba skatuly´azott, z´art intervallumsorozat metszete egyetlen pont?
1.170.
Lehet-e egy egym´ asba skatuly´azott, ny´ılt intervallumsorozat metszete nem u ¨res?
´ s sza ´ mok 1. Alapfogalmak, valo
26
1.171.
Lehet-e egy egym´ asba skatuly´azott, ny´ılt intervallumsorozat metszete u ¨res?
1.172.
Lehet-e egy egym´ asba skatuly´azott, z´art intervallumsorozat metszete val´ odi intervallum (nem csak egy pont)?
1.173.
Lehet-e egy egym´ asba skatuly´azott, ny´ılt intervallumsorozat metszete val´ odi intervallum?
1.174.
Lehet-e egy egym´ asba skatuly´azott, z´art intervallumsorozat metszete val´ odi ny´ılt intervallum?
1.175.
Lehet-e egy egym´ asba skatuly´azott, ny´ılt intervallumsorozat metszete val´ odi ny´ılt intervallum?
1.176.
A val´ os sz´ amok axi´ om´ ai k¨oz¨ ul melyek teljes¨ ulnek ´es melyek nem a racion´ alis sz´ amok halmaz´ ara (a szok´asos m˝ uveletekkel ´es rendez´essel)?
1.177.
Bizony´ıtsuk be az Archim´edeszi axi´om´ab´ol, hogy (∀b, c < 0) (∃n ∈ N) nb < c!
1.178.
Bizony´ıtsuk be, hogy b´armely k´et val´os sz´am k¨oz¨ott van v´eges tizedes t¨ ort!
1.179.
Bizony´ıtsuk be, hogy b´armely k´et val´os sz´am k¨oz¨ott van racion´alis sz´am!
1.180.
Mi a kapcsolat a v´eges tizedest¨ort alakban fel´ırhat´o sz´amok halmaza ´es a racion´ alis sz´ amok halmaza k¨oz¨ott?
1.181.
Bizony´ıtsuk be, hogy egy val´os sz´am tizedest¨ort-alakja akkor ´es csak akkor periodikus, ha a sz´am racion´alis.
1.182.
Ford´ıtsuk le a v´egtelen tizedest¨ortekr˝ol tanultakat kettes sz´amrendszerre, azaz defini´ aljuk a v´eges ´es v´egtelen bin´aris (kettedes) t¨orteket ´es mondjuk ki a t´eteleink megfelel˝oit!
1.183.
Ellen˝ orizz¨ uk, hogy a Cantor-axi´oma ´all´ıt´asa nem marad igaz, ha b´armelyik felt´etel´et elhagyjuk.
1.184.
Igazoljuk a testaxi´ om´ ak seg´ıts´eg´evel a k¨ovetkez˝o azonoss´agokat:
27
´ s sza ´ mok 1. Alapfogalmak, valo
(a) −a = (−1) · a
(b) (a − b) − c = a − (b + c)
(c) (−a) · b = −(a · b)
(d)
(e)
1 b = a/b a
a c a·c · = b d b·d
1.6. A sz´ amegyenes Szeml´ eltessu ovetkez˝ o sz´ amhalmazokat sz´ amegyenesen! D¨ ont¨ k a k¨ su es melyik nem az! Az intervallu¨ k el, hogy melyik intervallum, ´ mok eset´ eben d¨ ontsu art, melyik ny´ılt, ´ es melyik ¨ k el, hogy melyik z´ se nem z´ art, se nem ny´ılt! 1.185.
A = {1, 2, 3}
1.187.
C = {x ∈ R : 2 < x < 6} 1.188.
D = {x ∈ N : 2 ≤ x ≤ 6}
1.189.
E = {x ∈ R : 2 ≤ x ≤ 6} 1.190.
F = {x ∈ R : 2 < x ≤ 6}
1.191.
G = {x ∈ R : 2 ≤ x < 6} 1.192.
H = {x ∈ Q : 2 ≤ x ≤ 6}
1.186.
B = {2.6}
D¨ ontsu abbi halmazokr´ ol, hogy alulr´ ol korl´ atosak-e, felu ¨ k el az al´ ¨ lr˝ ol korl´ atosak-e, korl´ atosak-e, ´ es hogy van-e legkisebb illetve legnagyobb elemu ¨ k? 1.193.
pr´ımsz´ amok halmaza
1.194.
1.195.
[−5, −2)
1.196.
1.197.
{x ∈ R : x ≤ 73}
1.198.
{x ∈ Q : x ≤ 73}
1.199.
{x ∈ R : x ≤
1.200.
{x ∈ Q : x ≤
1.201.
{n ∈ N : n pr´ımsz´ am ∧ n + 2 pr´ımsz´am}
√
2}
pozit´ıv sz´amok halmaza 1 : n ∈ N+ n
√
2}
28
´ s sza ´ mok 1. Alapfogalmak, valo
1.202.
Mi a kapcsolat az al´ abbi k´et ´all´ıt´as k¨oz¨ott, azaz melyikb˝ol k¨ovetkezik a m´ asik? P: Az A halmaz v´eges (azaz v´eges sok eleme van). Q: Az A halmaz korl´ atos.
1.203.
Van-e olyan a1 , a2 , . . . sz´amsorozat, amelyre az {a1 , a2 , . . .} halmaz korl´ atos, de nincs se maximuma, se minimuma?
´ Irjuk fel logikai jelekkel az al´ abbi ´ all´ıt´ asokat! 1.204.
Az A halmaz korl´ atos.
1.205.
1.206.
Az A halmaznak nincs legkisebb eleme.
1.207.
Egy sz´ amhalmaznak h´ any maximuma, illetve fels˝ o korl´ atja lehet?
1.208.
Mi a kapcsolat az al´ abbi k´et ´all´ıt´as k¨oz¨ott, azaz melyikb˝ol k¨ovetkezik a m´ asik?
Az A halmaz alulr´ol nem korl´atos.
P: Az A halmaznak van legkisebb eleme. Q: Az A halmaz alulr´ ol korl´atos. 1.209.
1.210.
1.211.
Legyen A ∩ B 6= ∅. Mit tudunk mondani sup A, sup B, sup(A ∪ B), sup(A ∩ B) ´es sup(A \ B) kapcsolat´ar´ol? √ √ 1 1 + Legyen A = (0, 1), B = [− 2, 2] ´es C = + m : n, m ∈ N . 2n 2 Hat´ arozzuk meg - amennyiben l´eteznek - a fenti halmazok szupr´emum´ at, infimum´ at, maximum´at ´es minimum´at. Legyen A egy tetsz˝ oleges sz´amhalmaz, tov´abb´a 1 B = {−a : a ∈ A} , C = : a ∈ A, a 6= 0 . a Milyen kapcsolat van a fels˝o ´es als´o hat´arok k¨oz¨ott?
Hat´ arozzuk meg a k¨ ovetkez˝ o halmazok minimum´ at, maximum´ at, infimum´ at ´ es szupr´ emum´ at, ha vannak!
29
´ s sza ´ mok 1. Alapfogalmak, valo
1.212.
[1, 2]
1.214.
1 : n ∈ N+ 2n − 1
1.216.
1 1 + √ : n ∈ N+ n n
1.218.
{x : x ∈ (0, 1) ∩ Q}
1.220.
√
1.221. 1.222.
1.224.
1.213.
(1, 2)
1.215.
Q
1.217.
√ n
1.219.
1 1 + : n, k ∈ N+ n k
√
n : n, k ∈ N+ 1 n + : n ∈ N+ n n√ o n 1.223. 2 : n ∈ N+ n+1−
3 : n ∈ N+
√ n
2n − n : n ∈ N
Legyen H a val´ os sz´ amok egy nem u ¨res r´eszhalmaza. Mi a k¨ovetkez˝o all´ıt´ ´ asok logikai kapcsolata? (a) H alulr´ ol nem korl´atos.
(b) H-nak nincs legkisebb eleme.
(c) ∀x ∈ H ∃y ∈ H (y < x).
(d) ∀y ∈ H ∃x ∈ H (y < x).
1.225.
Tudjuk, hogy c fels˝ o korl´atja H-nak. K¨ovetkezik-e ebb˝ol, hogy sup H = c?
1.226.
Tudjuk, hogy H-nak nincs c-n´el kisebb fels˝o korl´atja. K¨ovetkezik-e ebb˝ ol, hogy sup H = c?
1.227.
Legyenek A ´es B a val´os sz´amok nem u ¨res r´eszhalmazai. Bizony´ıtsuk be, hogy ha ∀a ∈ A ∃b ∈ B(a ≤ b), akkor sup A ≤ sup B.
1.228.
Bizony´ıtsuk be, hogy alulr´ol korl´atos, nem u ¨res halmaznak van als´o hat´ ara!
30
´ s sza ´ mok 1. Alapfogalmak, valo
Legyenek x, y, A, B tetsz˝ oleges val´ os sz´ amok, ε pedig pozit´ıv val´ os sz´ am. Mi a P ´ es Q ´ all´ıt´ asok logikai kapcsolata, azaz melyikb˝ ol k¨ ovetkezik a m´ asik? 1.229.
P: |x − A| < ε
Q: A − ε < x < A + ε
1.230.
P: |x − y| < 2ε
Q: |x − A| < ε ´es |y − A| < ε
1.231.
P: |x| < A ´es |y| < B
Q: |x| − |y| < A − B
1.232.
P: |x| < A ´es |y| < B
Q: |x| + |y| < A + B
1.233.
P: |x| < A ´es |y| < B
Q: |x| − |y| < A + B
1.234.
Adjunk p´eld´ at olyan nem u ¨res val´os sz´amhalmazra, amelyik korl´atos, de nincs legkisebb eleme!
1.235.
Tegy¨ uk fel, hogy a H ⊂ R halmaz nem u ¨res. Mi a k¨ovetkez˝o ´all´ıt´asok logikai kapcsolata, azaz melyikb˝ol k¨ovetkezik a m´asik? P: H-nak nincs minimuma.
Q: ∀a ∈ R+ ∃b ∈ H
b
2. fejezet Sz´ amsorozatok konvergenci´ aja 2.1. Az (an ) sorozat konvergens ´es tart a b ∈ R sz´amhoz, ha ∀ε > 0 ∃n0 ∀n ≥ n0 (|an − b| < ε). Egy adott ε-hoz tartoz´ o n0 term´eszetes sz´amot ku obindexnek nevezz¨ uk. ¨ sz¨ Ha az (an ) sorozat tart a b sz´amhoz, ezt a k¨ovetkez˝ok´eppen jel¨olhetj¨ uk: lim an = b vagy lim an = b vagy an → b, ha n → ∞ vagy an → b.
n→∞
Ha az (an ) sorozat nem konvergens, akkor azt mondjuk, hogy az (an ) sorozat divergens. 2.2. Azt mondjuk, hogy az (an ) sorozat hat´ ar´ ert´ eke ∞, vagy (an ) tart v´egtelenhez, ha ∀P ∈ R ∃n0 ∀n ≥ n0 (an > P ). Ennek jele lim an = ∞ vagy lim an = ∞ vagy an → ∞, ha n → ∞ vagy an → ∞.
n→∞
2.3. Azt mondjuk, hogy az (an ) sorozat hat´ ar´ ert´ eke -∞, vagy (an ) tart m´ınusz v´egtelenhez, ha ∀P ∈ R ∃n0 ∀n ≥ n0 (an < P ). Ennek jele lim an = −∞ vagy lim an = −∞ vagy an → −∞,
n→∞
ha n → ∞ vagy an → −∞. 2.4. Azt mondjuk, hogy az (an ) sorozat oszcill´ alva divergens, ha nincs sem v´eges, sem v´egtelen hat´ ar´ert´eke.
32
´ msorozatok konvergencia ´ ja 2. Sza
2.5. Rend˝ or-szab´ aly. Ha valahonnan kezdve an ≤ bn ≤ cn , l´etezik az (an ) ´es a (cn ) sorozat hat´ ar´ert´eke ´es lim an = lim cn ,
n→∞
n→∞
akkor a (bn ) sorozatnak is l´etezik a hat´ar´ert´eke ´es lim an = lim bn = lim cn ,
n→∞
n→∞
n→∞
2.1. Sorozatok hat´ ar´ ert´ eke 1 Legyen az (an ) sorozat a k¨ ovetkez˝ ok´ epp megadva: an = 1 + √ . A n feladatokban szerepl˝ on´ es n0 jelek pozit´ıv eg´ esz sz´ amokat jelo ¨lnek. 2.1.
Adjunk meg olyan n0 sz´amot, hogy ∀n > n0 eset´en teljes¨ ulj¨on, hogy (a) |an − 1| < 0, 1
(b) |an − 1| < 0, 01
2.2.
Van-e olyan n0 sz´ am, hogy ∀n > n0 eset´en teljes¨ ul, hogy |an − 2| < 0, 001?
2.3.
Igaz-e, hogy (a) ∀ε > 0 (b) ∃n0
∃n0
∀n > n0
(|an − 1| < ε)
∀ε > 0
∀n > n0
(|an − 1| < ε)
(c) ∃ε > 0
∃n0
∀n > n0
(|an − 1| < ε)
(d) ∃ε > 0
∃n0
∀n > n0
(|an − 1| > ε)
(e) ∀ε > 0
∃n0
∀n ≤ n0
(|an − 1| < ε)
(f ) ∀ε > 0
∃n0
∀n ≤ n0
(|an − 1| > ε)
Adjunk meg olyan N ku obindexet, ahonnan kezdve az egyik so¨ sz¨ rozat nagyobb, mint a m´ asik! 2.4.
an = 10n2 + 25
bn = n3
2.5.
an = 4n5 − 3n2 − 7
bn = 10n + 30
33
´ msorozatok konvergencia ´ ja 2. Sza
2.6.
an = 3n − n2
bn = 2n + n
2.7.
an = 2n + 3n
bn = 4n
2.8.
an = 2n
bn = n!
2.9.
an = n!
bn = nn
2.10.
an =
2.11.
an = 2n
bn = n3
2.12.
an = 0, 999n
bn =
2.13.
an = 10n
bn = n!
√
n+1−
√
n
bn =
1 n
1 n2
Keressu amot, hogy ∀n > N eset´ en teljesu on, hogy ¨ nk olyan N sz´ ¨ lj¨ 1 ; 100
2.15.
0, 9n <
2 < 1, 01.
2.17.
√ n
2.18.
n2 > 6n + 15
2.19.
n3 > 6n2 + 15n + 37
2.20.
n3 − 4n + 2 > 6n2 − 15n + 37
2.21.
n5 − 4n2 + 2 > 6n3 − 15n + 37
2.14. 2.16.
1, 01n > 1000; √ n
n < 1, 0001.
Mutassuk meg, hogy van olyan n0 sz´ am, amire igaz, hogy minden n > n0 eset´ en √ √ √ √ 2.22. 2.23. n + 1 − n < 0, 01 n + 3 − n < 0, 01 2.24.
√
n+5−
√
n + 1 < 0, 01
2.25.
√
n2 + 5 − n < 0, 01
Bizony´ıtsuk be az al´ abbi egyenl˝ otlens´ egeket!
34
´ msorozatok konvergencia ´ ja 2. Sza
√
2.26.
∀n > 10 eset´en 2n > n3 ;
2.28.
Melyik ´ all´ıt´ asb´ ol k¨ ovetkezik a m´asik?
2.27.
√ 1 1 n ≤ 1 + √ + . . . + √ < 2 n. n 2
P: Az (an ) sorozatban van legnagyobb ´es legkisebb tag. Q: Az (an ) sorozat korl´atos. 2.29.
Igaz-e, hogy b pontosan akkor hat´ar´ert´eke az (an ) sorozatnak, ha (a) b´ armely ε > 0-ra az an sorozatnak v´egtelen sok tagja van ε-n´al k¨ ozelebb b-hez? (b) b´ armely ε > 0-ra az an sorozatnak csak v´eges sok tagja van b-t˝ol legal´ abb ε t´ avols´ agban? (c) van olyan ε > 0, amelyre az an sorozatnak v´egtelen sok tagja van ε-n´ al k¨ ozelebb b-hez? (d) van olyan ε > 0, amelyre az an sorozatnak v´egtelen sok tagja van b-t˝ ol legal´ abb ε t´ avols´agban?
Mit mondhatunk a (−an ) sorozat hat´ ar´ ert´ ek´ er˝ ol, ha 2.30.
lim an = a (a ∈ R);
2.31.
lim an = −∞?
2.33.
n→∞
2.32.
n→∞
2.34.
lim an = ∞;
n→∞
an oszcill´alva divergens?
Mi az al´ abbi k´et ´ all´ıt´ as logikai kapcsolata? P: lim an = ∞ n→∞
Q: (an ) alulr´ ol korl´ atos, de fel¨ ulr˝ol nem korl´atos. Hat´ arozzuk meg a k¨ ovetkez˝ o sorozatok hat´ ar´ ert´ ek´ et, ´ es adjunk meg egy ε-t´ ol fu o ku obindexet: ¨ gg˝ ¨ sz¨
35
´ msorozatok konvergencia ´ ja 2. Sza
2.35. 2.37. 2.39.
2.41. 2.43. 2.45.
2.47.
(−1)n n √ 1+ n n 5n − 1 7n + 2 n + n1 n+1 √ n2 + 1 − n 1 + ··· + n n2 p
n2 + 1 +
p
n2 − 1 − 2n
2.36.
1 √ n
2.38.
n n+1
2.40.
2n6 + 3n5 7n6 − 2
2.42. 2.44.
√
n+1−
√
n
1 √ n− n r
2.46.
n
2.48.
√ 3
! 1 1+ −1 n
n+2−
√ 3
n−2
2.49.
Konvergensek-e vagy divergensek-e a k¨ovetkez˝o sorozatok? Hat´arozzuk meg a hat´ ar´ert´ekeket, ha vannak! ( ( 3, ha n p´aros 3, ha n ≤ 100 (a) an = (b) an = 4, ha n p´aratlan 4, ha n > 100 ( ( 3n, ha n p´aros n, ha n p´aros (c) an = (d) an = 2 4n , ha n p´aratlan 0, ha n p´aratlan
2.50.
Bizony´ıtsuk be, hogy az
2.51.
Bizony´ıtsuk be, hogy a (−1)n
2.52.
Bizony´ıtsuk be, hogy a (−1)n sorozat nem tart 7-hez!
2.53.
Bizony´ıtsuk be, hogy a (−1)n sorozat divergens!
2.54.
Bizony´ıtsuk be, hogy konvergens sorozatnak mindig van legkisebb vagy legnagyobb tagja.
1 sorozat nem tart 7-hez! n 1 sorozat nem tart 7-hez! n
36
´ msorozatok konvergencia ´ ja 2. Sza
an 91 bn
2.55.
Adjunk p´eld´ at arra, hogy an − bn → 0 de
2.56.
Bizony´ıtsuk be, hogy ha (an ) konvergens, akkor (|an |) is. Igaz-e az ´ll´ıt´ a as megford´ıt´ asa ?
2.57.
Abb´ ol, hogy a2n → a2 k¨ovetkezik-e, hogy an → a? ´ abb´ Es ol, hogy a3 → a3 k¨ovetkezik-e, hogy an → a? n
2.58.
Bizony´ıtsuk be, hogy ha an → a > 0, akkor
√
an →
√
a.
Melyik ´ all´ıt´ asb´ ol k¨ ovetkezik, hogy an → ∞? 2.59.
∀K eset´en a (K, ∞) intervallumon k´ıv¨ ul az an sorozatnak csak v´eges sok tagja van.
2.60.
∀K eseten a (K, ∞) intervallumban az an sorozatnak v´egtelen sok tagja van.
2.61.
Tegy¨ uk fel, hogy lim an = ∞. Melyik ´all´ıt´as igaz erre a sorozatra? n→∞ Melyik ´ all´ıt´ asb´ ol k¨ ovetkezik, hogy lim an = ∞? n→∞
(a) Az an sorozatnak nincs legnagyobb tagja. (b) Az an sorozatnak van legkisebb tagja. (c) A (3, ∞) intervallumon k´ıv¨ ul az an sorozatnak csak v´eges sok tagja van. (d) ∀K eset´en a (K, ∞) intervallumon k´ıv¨ ul az an sorozatnak csak v´eges sok tagja van. (e) A (3, ∞) intervallumban az an sorozatnak v´egtelen sok tagja van. (f ) ∀K eseten a (K, ∞) intervallumban az an sorozatnak v´egtelen sok tagja van. 2.62.
Igaz-e, hogy ha egy sorozatnak van (v´eges vagy v´egtelen) hat´ar´ert´eke, akkor a sorozat alulr´ ol vagy fel¨ ulr˝ol korl´atos?
2.63.
Mi az A ´es a B ´ all´ıt´ asok logikai kapcsolata, azaz melyikb˝ol k¨ovetkezik a m´ asik? P: Az (an ) sorozat szigor´ uan monoton n˝o. Q: Az (an ) sorozat tart a v´egtelenhez.
37
´ msorozatok konvergencia ´ ja 2. Sza
Lehet-e az an sorozat hat´ ar´ ert´ eke −∞, ∞ vagy egy val´ os sz´ am, ha 2.64.
a sorozatnak v´egtelen sok 3-n´al nagyobb tagja van?
2.65.
a sorozatnak v´egtelen sok 3-n´al kisebb tagja van?
2.66.
a sorozatnak van legnagyobb tagja?
2.67.
a sorozatnak van legkisebb tagja?
2.68.
a sorozatnak nincs legkisebb tagja?
2.69.
a sorozatnak nincs legnagyobb tagja?
2.70.
Van-e olyan oszcill´ alva divergens sorozat, amelyik (a) korl´ atos
2.71.
(b) nem korl´atos?
Egy sorozatnak v´egtelen sok pozit´ıv ´es v´egtelen sok negat´ıv tagja van. Lehet-e a sorozat konvergens?
A k¨ ovetkez˝ o, v´ egtelenbe tart´ o sorozatokhoz keressu obinde¨ nk ku ¨ sz¨ xet: √ 1 + 2 + ··· + n 2.72. 2.73. n− n n √ √ √ n2 − 10n 1 + 2 + ··· + n 2.75. 2.74. 10n + 100 n 2.76.
2n n
2.78.
Tetsz˝ oleges a val´ os sz´ am eset´en hat´arozzuk meg
2.77.
n! 2n
t´ek´et. 2.79.
Tetsz˝ oleges a val´ os sz´ am eset´en hat´arozzuk meg t´ ar´ert´ek´et.
n2 + 1 − an hat´ar´ern+1 p
n2 − n + 1 − an ha-
38
´ msorozatok konvergencia ´ ja 2. Sza
p (n + a)(n + b)−
2.80.
Tetsz˝ oleges a, b val´ os sz´amok eset´en hat´arozzuk meg n hat´ ar´ert´ek´et.
2.81.
Bizony´ıtsuk be, hogy ha an+1 − an → c > 0, akkor an → ∞.
2.82.
Bizony´ıtsuk be, hogy ha an > 0,
2.83.
Melyek azok az x val´ os sz´amok, amelyekre a tizedest¨ort jegyeib˝ol ´all´o sorozat oszcill´ alva divergens?
an+1 → c > 1, akkor an → ∞. an
2.2. A hat´ ar´ ert´ ek tulajdons´ agai Meg lehet-e mondani az adott egyenl˝ otlens´ egek alapj´ an, hogy a bn sorozatnak van-e hat´ ar´ ert´ eke, illetve meg lehet-e hat´ arozni a hat´ ar´ ert´ eket, ha van? Ha igen, hat´ arozzuk meg bn hat´ ar´ ert´ ek´ et! 1 1 ≤ bn ≤ √ n n
2.84.
1 2 < bn < n n
2.85.
−
2.86.
√ 1 < bn < n n
2.87.
n ≤ bn
2.88.
bn < −1, 01n
2.89.
bn < n2
2.90.
Bizony´ıtsuk be, hogy ha az (an ) sorozatnak nincs v´egtelenhez tart´o r´eszsorozata, akkor a sorozat fel¨ ulr˝ol korl´atos.
2.91.
Bizony´ıtsuk be, hogy ha (a2n ), (a2n+1 ), (a3n ) konvergensek, akkor (an ) is az.
2.92.
Lehets´eges-e, hogy az (an ) sorozatnak nincs konvergens r´eszsorozata, de (|an |) konvergens?
Legyen a egy val´ os sz´ am ´ es an → a. Bizony´ıtsuk be, hogy
39
´ msorozatok konvergencia ´ ja 2. Sza
2.93.
ha a > 1, akkor ann → ∞.
2.95.
ha a > 0, akkor
√ n
ha |a| < 1, akkor ann → 0.
2.94.
ha a < −1, akkor ann divergens.
an → 1. 2.96.
2.97.
Bizony´ıtsuk be, hogy ha (an + bn ) konvergens ´es (bn ) divergens, akkor (an ) divergens.
2.98.
Igaz-e, hogy ha (an · bn ) konvergens ´es (bn ) divergens, akkor (an ) is divergens?
2.99.
Igaz-e, hogy ha (an /bn ) konvergens ´es (bn ) divergens, akkor (an ) is divergens?
2.100.
Bizony´ıtsuk be, hogy ha lim lim an = 1.
2.101.
an − 1 = 0, akkor (an ) konvergens ´es an + 1
Tegy¨ uk fel, hogy az (an ) sorozatra teljes¨ ul, hogy ny´ıtsuk be, hogy an → 10. √ n
2.102.
Tegy¨ uk fel, hogy az (an ) sorozatra an → 0.
2.103.
Legyen p(x) egy polinom. Bizony´ıtsuk be, hogy
an − 5 5 → . Bizoan + 3 13
an → 0, 3. Bizony´ıtand´o, hogy p(n + 1) → 1. p(n)
Tegyu ar´ ert´ eke. Mi a k¨ ovetkez˝ o ¨ k fel, hogy az an sorozatnak van hat´ ´ all´ıt´ asok logikai kapcsolata? 2.104. 2.105. 2.106. 2.107.
P: Minden el´eg nagy n-re
1 < an n
Q: lim an > 0
P: Minden el´eg nagy n-re
1 ≤ an n
Q: lim an ≥ 0
P: Minden el´eg nagy n-re
1 < an n
Q: lim an ≥ 0
P: Minden el´eg nagy n-re
1 ≤ an n
Q: lim an > 0
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
Tegyu es bn sorozatnak van hat´ ar´ ert´ eke. Mi a ¨ k fel, hogy az an ´ k¨ ovetkez˝ o´ all´ıt´ asok logikai kapcsolata?
40
´ msorozatok konvergencia ´ ja 2. Sza
2.108. 2.109.
P: Minden el´eg nagy n-re an < bn
Q: lim an < lim bn
P: Minden el´eg nagy n-re an ≤ bn
Q: lim an ≤ lim bn
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
Melyik ´ all´ıt´ asokb´ ol k¨ ovetkezik, hogy az an sorozatnak van hat´ ar´ ert´ eke? Melyik ´ all´ıt´ asokb´ ol k¨ ovetkezik, hogy an konvergens? Melyik ´ all´ıt´ asokb´ ol k¨ ovetkezik, hogy an divergens? 2.110. 2.111.
bn konvergens ´es an > bn minden el´eg nagy n-re. lim bn = ∞ ´es an > bn minden el´eg nagy n-re.
n→∞
2.112.
lim bn = −∞ ´es an > bn minden el´eg nagy n-re.
n→∞
2.113. 2.114.
bn ´es cn konvergens ´es bn ≤ an ≤ cn minden el´eg nagy n-re. lim bn = ∞ ´es an < bn minden el´eg nagy n-re.
n→∞
Korl´ atosak-e felu ol a ko o sorozatok? Hat´ arozzuk meg a ¨ lr˝ ¨vetkez˝ hat´ ar´ ert´ ekeket, ha vannak! 1 + 2 + ··· + n 1 + 2 + ··· + n 2.115. 2.116. n n2 √ √ √ √ √ √ 1 + 2 + ··· + n 1 + 2 + ··· + n 2.117. 2.118. n n2
Konvergensek-e vagy divergensek-e a k¨ ovetkez˝ o sorozatok? Hat´ arozzuk meg a hat´ ar´ ert´ ekeket, ha vannak! √ √ n n 2.119. 2n + 3n 2.120. 3n − 2n 2.121.
p n 7 + (−1)n
2.122.
√ n
2.123.
√ n
2.124.
√ n
2n + n2
2n − n 2n − n2
41
´ msorozatok konvergencia ´ ja 2. Sza
2.125.
1 − 2 + 3 − · · · − 2n √ n2 + 1 n3 − n2 + 1 n6 + 1 + 100n2 + n + 1 r n + n2 + 1 n 2 3n + n3 + 1 n2 1 1+ n
n n−1 3n r n3 − n2 + 1 n 6 n + 100n2 + n + 1
2.126.
2.127. √
2.128.
2.129.
2.130.
n2 + (−1)n 3n2 + 1
2.132.
n2 − 1 n2 + 1
2.131. 2.133.
1 n3
2.134.
5n − 1 7n + 2
2.135.
n n+1
2.136.
2n6 + 3n5 7n6 − 2
2.137.
n + 1/n n+1
2.138.
7n5 + 2 5n − 1
2.139.
3n7 + 4 −5n2 + 2
2.140.
2n + 3n 4n + (−7)n
2.141.
√ 3n5/3 + n n √ n1/4 + 5 n
2.142.
7n − 2n3 + 18n2 − 9
3n3
Mi a k¨ ovetkez˝ o´ all´ıt´ asp´ arok logikai kapcsolata? 2.143.
P: an konvergens ´es bn konver- Q: an + bn konvergens gens
2.144.
P: an + bn → ∞
Q: an → ∞ ´es bn → ∞
2.145.
P: an + bn → ∞
Q: an → ∞ vagy bn → ∞
2.146.
P: an · bn → 0
Q: an → 0 vagy bn → 0
2.147.
P: an ´es bn korl´ atos
Q: an + bn korl´atos
2.148.
P: an ´es bn korl´ atos
Q: an · bn korl´atos
´ msorozatok konvergencia ´ ja 2. Sza
2.149.
42
Mutassunk p´eld´ akat az an + bn sorozat lehets´eges viselked´es´ere, ha lim an = ∞ ´es lim bn = −∞.
n→∞
2.150.
n→∞
Mutassunk p´eld´ akat az an · bn sorozat lehets´eges viselked´es´ere, ha lim an = 0 ´es lim bn = ∞.
n→∞
2.151.
an sorozat lehets´eges viselked´es´ere, ha bn lim an = 0 ´es lim bn = 0.
Mutassunk p´eld´ akat az n→∞
2.152.
n→∞
n→∞
an sorozat lehets´eges viselked´es´ere, ha bn lim an = ∞ ´es lim bn = ∞.
Mutassunk p´eld´ akat az n→∞
n→∞
2.153.
Tegy¨ uk fel, hogy a bn sorozat egyetlen tagja sem 0. Mi a P ´es a Q ´ll´ıt´ a asok logikai kapcsolata, azaz melyikb˝ol k¨ovetkezik a m´asik? 1 P: bn → ∞ Q: →0 bn
2.154.
Mi a P ´es a Q ´ all´ıt´ asok logikai kapcsolata, azaz melyikb˝ol k¨ovetkezik a m´ asik? an P: →1 Q: an − bn → 0 bn
2.155.
Tegy¨ uk fel, hogy an → ∞ ´es bn → ∞. Mi a P ´es a Q ´all´ıt´asok logikai kapcsolata, azaz melyikb˝ol k¨ovetkezik a m´asik? an P: →1 Q: an − bn → 0 bn
2.156.
Tegy¨ uk fel, hogy an → 0 ´es bn → 0. Mi a P ´es a Q ´all´ıt´asok logikai kapcsolata, azaz melyikb˝ol k¨ovetkezik a m´asik? an P: →1 Q: an − bn → 0 bn
2.3. Monoton sorozatok Legyen (an ) ´ es (bn ) k´ et monoton sorozat. Mit tudunk mondani a monotonit´ as szempontj´ ab´ ol a k¨ ovetkez˝ o sorozatokr´ ol? Milyen tov´ abbi felt´ etelek mellett lesznek monotonok?
43
´ msorozatok konvergencia ´ ja 2. Sza
2.157.
(an + bn )
2.158.
2.159.
(an · bn )
2.160.
2.161.
Legyen a1 = 1, ´es n ≥ 1 eset´en an+1 = an sorozat monoton n¨ov˝o!
(an − bn )
2.162.
2.163.
2.164.
an bn
√
2an . Bizony´ıtsuk be, hogy az
√ 1 Legyen a1 = , ´es n ≥ 1 eset´en an+1 = 1 − 1 − an . Bizony´ıtsuk be, 2 hogy a sorozat minden tagja pozit´ıv, tov´abb´a, hogy a sorozat monoton cs¨ okken˝ o! Legyen a1 = 0, 9, ´es n ≥ 1 eset´en an+1 = an − a2n . Bizony´ıtsuk be, hogy a sorozat minden tagja pozit´ıv, tov´abb´a, hogy a sorozat monoton cs¨ okken˝ o! Mutassuk meg, hogy van olyan n ∈ N+ , amelyre igaz, hogy an < 10−6 , ´es adjunk p´eld´at ilyen n sz´amra! an+1 > 1, 1. Mutassuk meg, an hogy van olyan n ∈ N+ , amelyre igaz, hogy an > 106 , ´es adjunk p´eld´at ilyen n sz´ amra! Legyen a1 > 0, ´es minden n ∈ N+ eset´en
Mi a k¨ ovetkez˝ o ´ all´ıt´ asok logikai kapcsolata, azaz melyikb˝ ol k¨ ovetkezik a m´ asik? 2.165.
P: Az an sorozat monoton n˝o. Q: Az an sorozat v´egtelenhez tart.
2.166.
P: Az an sorozat monoton cs¨okken. Q: Az an sorozat m´ınusz v´egtelenhez tart.
2.167.
Tegy¨ uk fel, hogy az (an ) sorozat tagjai n > 1 eset´en kiel´eg´ıtik a an ≤ an−1 + an+1 egyenl˝ otlens´eget. Bizony´ıtsuk be, hogy az (an ) sorozat 2 nem lehet oszcill´ alva divergens. 1 a Legyen a1 = a > 0 tetsz˝oleges, an+1 = an + . Mutassuk meg, 2 an √ hogy an → a.
2.168.
44
´ msorozatok konvergencia ´ ja 2. Sza
Hat´ arozzuk meg a k¨ ovetkez˝ o rekurz´ıv sorozatok hat´ ar´ ert´ ek´ et, ha van! A rekurz´ıv k´ epletekben n ≥ 1. 2an 2.170. a1 = 1, 5, an+1 = −an + 1 2.169. a1 = 2, an+1 = 1 + a2n an + 2.171.
a1 = 3, an+1 =
2.173.
a1 = 0, an+1 =
2.175.
a1 = 0, an+1 =
2.177.
a1 = 1, an+1 = an +
2.179.
a1 = 1, an+1 =
5 an
2 √
2 + an
1 4 − an
√
2an
1 an
an +
5 an
2.172.
a1 = 6, an+1 =
2.174.
a1 = 0, an+1 =
1 2 − an
2.176.
a1 = 0, an+1 =
1 1 + an
2.178.
a1 = 0, 9, an+1 = an − a2n
2.180.
a1 = 1, an+1 = an +
2
a3n
1 +1
Korl´ atosak-e, illetve monotonok-e a k¨ ovetkez˝ o sorozatok? Hat´ arozzuk meg a hat´ ar´ ert´ ekeket, ha vannak! n n+1 1 1 2.181. 1+ 2.182. 1+ n n n n 1 1 2.183. 2.184. 1− 1+ n 2n
2.4. A Bolzano-Weierstrass-t´ etel ´ es a Cauchy-krit´ erium 2.185.
´Irjuk fel a Cauchy-krit´erium tagad´as´at egy (an ) sorozatra! Mi a fel´ırt all´ıt´ ´ as logikai kapcsolata az (an ) divergens” ´all´ıt´assal? ”
Mi a k¨ ovetkez˝ o´ all´ıt´ asp´ arok logikai kapcsolata? 2.186.
P: a2n ´es a2n+1 konvergens
Q: an konvergens
45
´ msorozatok konvergencia ´ ja 2. Sza
2.187.
P: a2n , a2n+1 ´es a3n konvergens Q: an konvergens
2.188.
P: a2n → 5
Q: an → 5
K¨ ovetkezik-e valamelyik ´ all´ıt´ asb´ ol, hogy a sorozat konvergens? 2.189.
an+1 − an → 0, ha n → ∞
2.190.
|an − am | <
1 minden n, m-re n+m
Do abbi sorozatokr´ ol, hogy van-e konvergens r´ eszsoro¨ntsu ¨ k el az al´ zatuk! 1 2.191. (−1)n 2.192. n 2.193.
√
n
2.194.
(−1)n
1 n
2.195.
Bizony´ıtsuk be, hogy ha az (an ) sorozatnak nincs konvergens r´eszsorozata, akkor |an | → ∞.
2.196.
Bizony´ıtsuk be, hogy ha (an ) korl´atos ´es minden konvergens r´eszsorozata a-hoz tart, akkor an → a.
2.197.
Bizony´ıtsuk be, hogy ha az (an ) sorozatnak nincs k´et, k¨ ul¨onb¨oz˝o hat´ ar´ert´ekhez tart´ o r´eszsorozata, akkor a sorozatnak van hat´ar´ert´eke.
2.198.
Bizony´ıtsuk be, hogy ha |an+1 − an | ≤ 2−n minden n-re, akkor az (an ) sorozat konvergens.
2.199.
Tegy¨ uk fel, hogy an+1 −an → 0. K¨ovetkezik-e ebb˝ol, hogy a2n −an → 0?
2.5. Sorozatok nagys´ agrendje 2.200.
Bizony´ıtsuk be, hogy n! ≺ nn igaz!
46
´ msorozatok konvergencia ´ ja 2. Sza
2.201.
Tegy¨ uk az al´ abbi sorozatokat nagys´agrend szerint sorba! √ n! 7 2 n (n ), (n + 2 ), (100 n), 10
2.202.
Illessz¨ uk be az n ≺ n2 ≺ n3 ≺ · · · ≺ 2n ≺ 3n ≺ · · · ≺ n! ≺ nn sorba a √ √ √ megfelel˝ o helyre n-et, 3 n-et, ... , k n-et!
2.203.
Keress¨ uk meg az al´ abbi sorozatok k¨oz¨ott az ¨osszes aszimptotikusan egyenl˝ o p´ art! √ √ √ √ n (n!), (nn ), (n! + nn ), ( n), ( n n), ( n + 1), ( 2)
Konvergensek-e vagy divergensek-e a k¨ ovetkez˝ o sorozatok? Hat´ arozzuk meg a hat´ ar´ ert´ ekeket, ha vannak! 2n 3n 2.204. 2.205. 3n 2n n 4 2.206. (1, 1)n 2.207. − 5 2.208. 2.210. 2.212.
1 (1, 2)n + 1 3, 01n 2n + 3n √ 3n − n + n10 √ 2n − n n + n!
n+2 n − 3−n
2.209.
√
2.211.
3n (−3)n
2.213.
n100 100n
2.214.
10n n!
2.215.
0, 99n n2
2.216.
n! − 3n n10 − 2n
2.217.
1, 01n n2
2.218.
n3 1, 2n
2.219.
2.220.
3n+6 + n2 2n+3
2.221.
4n + 5n 6n + (−7)n
√ n
2n + n − 1
47
´ msorozatok konvergencia ´ ja 2. Sza
2.6. Vegyes feladatok 2.222.
2.223.
1 1 1 Legyen an = + + · · · + (n tag´ u az ¨osszeg). Mivel a tagokat alkot´o n n n sorozatok 0-hoz tartanak, ez´ert az an sorozat tart 0-hoz. M´asr´eszt 1 minden n-re an = n · = 1, ez´ert an → 1. Melyik k¨ovetkeztet´es a n hib´ as, ´es mi a hiba benne? n 1 1 n Tudjuk, hogy 1 + → 1, tov´abb´a 1 = 1, ez´ert 1 + → 1. n n M´ asr´eszt na Bernoulli-egyenl˝ otlens´ n eg felhaszn´al´as´aval bizony´ıthatjuk, hogy 1 1 1+ ≥ 2, teh´ at 1 + hat´ar´ert´eke nem lehet kisebb 2-n´el. n n Melyik k¨ ovetkeztet´es a hib´as, ´es mi a hiba benne? Tegy¨ uk fel, hogy
√ n
2.225.
Tegy¨ uk fel, hogy
√ n
2.226.
Tegy¨ uk fel, hogy
√ n
2.224.
2.227.
an → 2. Mit mondhatunk a lim an hat´ar´ert´ekr˝ol? n→∞
an →
1 . Mit mondhatunk a lim an hat´ar´ert´ekr˝ol? n→∞ 2
an → 1. Mit mondhatunk a lim an hat´ar´ert´ekr˝ol? n→∞
Tegy¨ uk fel, hogy an → 2. Mit mondhatunk a lim ann hat´ar´ert´ekr˝ol? n→∞
1 . Mit mondhatunk a lim ann hat´ar´ert´ekr˝ol? n→∞ 2
2.228.
Tegy¨ uk fel, hogy an →
2.229.
Tegy¨ uk fel, hogy an → 1. Mit mondhatunk a lim ann hat´ar´ert´ekr˝ol? n→∞
Mutassunk p´ eld´ at olyan an an+1 lim = 1, ´ es n→∞ an 2.230.
sorozatra,
lim an = 1
2.231.
lim an = 0
2.233.
n→∞
2.232.
n→∞
amelyre igaz,
lim an = ∞
n→∞
lim an = 7
n→∞
hogy
3. fejezet Val´ os fu enyek hat´ ar´ ert´ eke, foly¨ ggv´ tonoss´ aga 3.1. Jensen-egyenl˝ otlens´ eg. Az f f¨ uggv´eny akkor ´es csak akkor konvex az (a, b) intervallumon, ha b´ arhogy megadva v´eges sok x1 , x2 , . . . , xn ∈ (a, b) n X sz´ amot ´es t1 , t2 , . . . , tn ≥ 0 s´ ulyokat u ´gy, hogy ti = 1 i=1
f
n X
! ti xi
≤
n X
ti f (xi ),
i=1
i=1
m´ as sz´ oval a s´ ulyozott k¨ oz´epen vett f¨ uggv´eny´ert´ek kisebb vagy egyenl˝o a f¨ uggv´eny´ert´ekek s´ ulyozott k¨ozep´en´el. 3.2. Hat´ ar´ ert´ ek ´ es egyenl˝ otlens´ egek kapcsolata. — Ha a egy k¨ ornyezet´eben f (x) ≤ g(x), f -nek ´es g-nek l´etezik a hat´ar´ert´eke a-ban, akkor lim f (x) ≤ lim g(x). x→a
x→a
— Ha f -nek ´es g-nek l´etezik a hat´ar´ert´eke a-ban ´es lim f (x) < lim g(x),
x→a
x→a
akkor a egy k¨ ornyezet´eben f (x) < g(x). — Rend˝ or-szab´ aly. Ha f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) a egy k¨ornyezet´eben, f -nek ´es h-nak l´etezik a hat´ ar´ert´eke a-ban, lim f (x) = lim h(x),
x→a
x→a
akkor a g f¨ uggv´enynek is l´etezik a hat´ar´ert´eke a-ban ´es lim f (x) = lim g(x) = lim h(x).
x→a
x→a
x→a
´ s f¨ ´nyek hata ´ re ´rte ´ke, folytonossa ´ ga 3. Valo uggve
—
49
0-szor korl´ atos az 0”. Ha lim f (x) = 0 ´es g(x) korl´atos, akkor ” x→a lim f (x)g(x) = 0.
x→a
3.3. Folytonoss´ ag ´ es hat´ ar´ ert´ ek kapcsolata. — Az f f¨ uggv´eny akkor ´es csak akkor folytonos az a pontban, ha az a pontban l´etezik a f¨ uggv´eny hat´ar´ert´eke ´es az megegyezik az f (a) helyettes´ıt´esi ´ert´ekkel. — Az f f¨ uggv´eny akkor ´es csak akkor folytonos jobbr´ol az a pontban, ha az a pontban l´etezik a f¨ uggv´eny jobboldali hat´ar´ert´eke ´es az megegyezik az f (a) helyettes´ıt´esi ´ert´ekkel. — Az f f¨ uggv´eny akkor ´es csak akkor folytonos balr´ol az a pontban, ha az a pontban l´etezik a f¨ uggv´eny baloldali hat´ar´ert´eke ´es az megegyezik az f (a) helyettes´ıt´esi ´ert´ekkel. 3.4. Korl´ atos z´ art intervallumon folytonos fu enyek. ¨ ggv´ — Weierstrass t´ etele: Korl´atos z´art intervallumon folytonos f¨ uggv´enynek van legnagyobb ´ert´eke, azaz maximuma, ´es van legkisebb ´ert´eke, azaz minimuma. — Bolzano t´ etele: Ha az f (x) f¨ uggv´eny folytonos az [a, b] korl´atos z´art intervallumon, akkor a f¨ uggv´eny f (a) ´es f (b) k¨oz¨ott minden ´ert´eket felvesz. — Inverz fu eny folytonoss´ aga: Korl´atos z´art intervallumon folyto¨ ggv´ nos ´es invert´ alhat´ o f¨ uggv´eny ´ert´ekk´eszlete egy korl´atos z´art intervallum, ´es ezen a f¨ uggv´eny inverze folytonos. 3.5. Egyenletes folytonoss´ ag. — Heine-Borel t´ etele: Korl´atos z´art intervallumon folytonos f¨ uggv´eny egyenletesen folytonos. — Az f (x) f¨ uggv´eny akkor ´es csak akkor egyenletesen folytonos a korl´ atos ny´ılt (a, b) intervallumon, ha folytonos (a, b)-n ´es l´eteznek ´es v´egesek a lim+ f (x), lim− f (x) hat´ar´ert´ekek. x→a
x→b
— Ha f (x) folytonos az [a, ∞)-en, deriv´alhat´o (a, ∞)-en ´es a deriv´alt korl´ atos, akkor f (x) egyenletesen folytonos [a, ∞)-en.
50
´ s f¨ ´nyek hata ´ re ´rte ´ke, folytonossa ´ ga 3. Valo uggve
3.1. Fu enyek glob´ alis tulajdons´ agai ¨ ggv´ 3.1.
3.2.
3.3.
Jel¨ olje [x] az x sz´ am eg´eszr´esz´et, azaz azt a legnagyobb eg´esz sz´amot, ´ azoljuk a k¨ovetkez˝o f¨ amelyik nem nagyobb, mint x. Abr´ uggv´enyeket! (a) [x]
(b) [−x]
(c) [x + 0, 5]
(d) [2x]
´ azoljuk a k¨ovetkez˝o Jel¨ olje {x} az x sz´ am t¨ortr´esz´et: {x} = x − [x]. Abr´ f¨ uggv´enyeket! (a) {x}
(b) {−x}
(c) {x + 0, 5}
(d) {2x}
F¨ uggv´enyt ad-e meg a k¨ovetkez˝o k´eplet?
D(x) =
1
ha x ∈ Q
0
ha x ∈ /Q
3.4.
Adjuk meg a k¨ ovetkez˝ o f¨ uggv´enyek k´epleteit a grafikonjaik alapj´an! (a)
(b) 1
1
1
2
1
2
51
´ s f¨ ´nyek hata ´ re ´rte ´ke, folytonossa ´ ga 3. Valo uggve
(c)
(d) 1
1
1
2
1
2
Hat´ arozzuk meg a val´ os sz´ amok legb˝ ovebb r´ eszhalmaz´ at, ahol a k¨ ovetkez˝ o fu enyek ´ ertelmezve lehetnek! ¨ ggv´ √ 3.5. 3.6. log2 x2 x2 − 16 3.7.
3.9.
√
sin x
3.8.
log2 (−x) √ −x
P´ aros´ıtsuk a f¨ uggv´enyeket ´es a f¨ uggv´enygrafikonokat! (a) (x − 1)2 − 4
(b) (x − 2)2 + 2
(c) (x + 2)2 + 2
(d) (x + 3)2 − 2
(A)
(B)
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
0
1
2
3
4
K
4
K
3
K
2
K
1
0
52
´ s f¨ ´nyek hata ´ re ´rte ´ke, folytonossa ´ ga 3. Valo uggve
(C)
(D) K
2
0
1
K
5
K
4
K
3
K
2
K
2
0
1
K
1
3
K
K
2
4
Az al´ abbi ´ abr´ akon az y = −x2 f¨ uggv´eny n´egy eltoltj´anak a grafikonj´at ´ abr´ ´ azoltuk. Irjuk fel a grafikonoknak megfelel˝o k´epleteket! (a)
(b)
4
3
3
2
2
1
K
1
K
4
K
1
1
2
K
2
0
1
K
3
(d) 0
K
3
1
0
(c) 1
2
3
4
K
3
K
2
K
1
K
0
1
K
1
K
2
K
2
K
3
K
3
K
4
K
4
3.11.
3
1
K
3.10.
2
K
1
K
1
Vannak-e egyenl˝ ok a k¨ ovetkez˝o f¨ uggv´enyek k¨oz¨ott?
K
5
1
53
´ s f¨ ´nyek hata ´ re ´rte ´ke, folytonossa ´ ga 3. Valo uggve
√ (a) f1 (x) = x (c) f3 (x) =
(b) f2 (x) =
√ 2 x
(d) f4 (x) = ln ex
(e) f5 (x) = eln x 3.12.
3.13.
x2
(f ) f6 (x) =
√
−x
2
Hat´ arozzuk meg a f¨ uggv´eny´ert´ekeket, ha f (x) = x + 5 ´es g(x) = x2 − 3. (a) f (g(0))
(b) g(f (0))
(c) f (g(x))
(d) g(f (x))
(e) f (f (−5))
(f ) g(g(2))
(g) f (f (x))
(h) g(g(x))
Hat´ arozzuk meg a f¨ uggv´eny´ert´ekeket, ha f (x) = x − 1 ´es g(x) = (a) f (g(1/2))
(b) g(f (1/2))
(c) f (g(x))
(d) g(f (x))
(e) f (f (2))
(f ) g(g(2))
(g) f (f (x))
(h) g(g(x))
1 . x+1
Melyik fu eny p´ aros, melyik p´ aratlan, melyik se nem p´ aros, se ¨ ggv´ nem p´ aratlan, melyik p´ aros is, ´ es p´ aratlan is? 3.14.
x3
3.15.
x4
3.16.
sin x
3.17.
cos x
3.18.
2 + sin x
3.19.
2 + cos x
3.20.
3
3.21.
(x + 1)2
´ s f¨ ´nyek hata ´ re ´rte ´ke, folytonossa ´ ga 3. Valo uggve
3.22.
0
3.23.
3 x
3.24.
[x]
3.25.
{x}
54
Tegyu es g mindenu ertelmezett val´ os fu enyek. ¨ k fel, hogy f ´ ¨ tt ´ ¨ ggv´ Do abbi k¨ ovetkeztet´ esekr˝ ol, hogy igazak-e. A v´ alaszo¨ntsu ¨ k el az al´ kat indokoljuk! 3.26.
Ha f p´ aratlan, akkor f (0) = 0.
3.27.
Ha f (0) = 0, akkor f p´aratlan.
3.28.
Ha f p´ aros, akkor f (−5) = f (5).
3.29.
Ha f (−5) = f (5), akkor f p´aros.
3.30.
Ha f ´es g p´ aros, akkor f g p´aros.
3.31.
Ha f (−5) 6= −f (5), akkor f nem p´aratlan.
3.32.
Ha f ´es g p´ aratlan, akkor f g p´aros.
3.33.
Ha f ´es g p´ aratlan, akkor f g p´aratlan.
3.34.
´ azoljuk a k¨ Abr´ ovetkez˝ o f¨ uggv´enyek grafikonj´at! Sz´ınezz¨ uk be pirossal az x-tengelyen azokat az intervallumokat, ahol a f¨ uggv´eny monoton cs¨ okken. Van-e olyan f¨ uggv´eny ezek k¨oz¨ott, amelyik az eg´esz ´ertelmez´esi tartom´ any´ an monoton cs¨okken? (a) sin x
(b) cos x
(c) x2
(d)
(e) |x|
1 x (f ) x2 − 2
´ s f¨ ´nyek hata ´ re ´rte ´ke, folytonossa ´ ga 3. Valo uggve
(g) tg x 3.35.
55
(h) ctg x
Van-e olyan f¨ uggv´eny, amely R-en monoton n˝o ´es monoton cs¨okken? Ha van, akkor adjuk meg az ¨osszes ilyen f¨ uggv´enyt!
V´ alaszoljunk az al´ abbi k´ erd´ esekre. A v´ alaszokat indokoljuk! 3.36.
Lehet-e k´et szigor´ uan monoton n¨ov˝o f¨ uggv´eny ¨osszege szigor´ uan monoton cs¨ okken˝ o?
3.37.
Lehet-e k´et szigor´ uan monoton n¨ov˝o f¨ uggv´eny szorzata szigor´ uan monoton cs¨ okken˝ o?
3.38.
Igaz-e, hogy k´et szigor´ uan monoton cs¨okken˝o f¨ uggv´eny ¨osszege szigor´ uan monoton cs¨ okken˝ o?
3.39.
Igaz-e, hogy k´et szigor´ uan monoton cs¨okken˝o f¨ uggv´eny szorzata szigor´ uan monoton cs¨ okken˝ o?
Jel¨ olje D(f ) az f fu eny ´ ertelmez´ esi tartom´ any´ at, R(f ) pedig ¨ ggv´ az ´ ert´ ekk´ eszlet´ et. Van-e olyan monoton n¨ ov˝ o fu eny, amelyikre ¨ ggv´ igaz, hogy 3.40.
D(f ) = (0, 1) ´es R(f ) = [0, 1]
3.41.
D(f ) = [0, 1] ´es R(f ) = (0, 1)
3.42.
´Irjuk fel logikai jelekkel, hogy egy f¨ uggv´eny korl´atos!
Adjunk meg als´ o, illetve fels˝ o korl´ atokat a k¨ ovetkez˝ o fu enyek¨ ggv´ hez, ha vannak! Melyik fu eny korl´ atos? ¨ ggv´ 3.43.
x2
3.44.
sin x
3.45.
{x}
3.46.
[x] x
56
´ s f¨ ´nyek hata ´ re ´rte ´ke, folytonossa ´ ga 3. Valo uggve
3.47.
sin2 x
3.48.
2−x
3.49.
log2 x
3.50.
1 1 + x2
Tegyu eny mindenu ertelmezett. ´ Irjuk fel ¨ k fel, hogy az f fu ¨ ggv´ ¨ tt ´ logikai jelekkel ´ es adjunk p´ eld´ at arra, hogy az f fu enynek ¨ ggv´ 3.51.
3-ban maximuma van!
3.52.
a maximuma 3.
3.53.
van maximuma!
3.54.
nincs minimuma!
Mi a k¨ ovetkez˝ o ´ all´ıt´ asok logikai kapcsolata, azaz melyikb˝ ol k¨ ovetkezik a m´ asik? 3.55.
P: Az f f¨ uggv´enynek van maximuma. Q: Az f f¨ uggv´eny fel¨ ulr˝ol korl´atos.
3.56.
P: Az f f¨ uggv´enynek nincs minimuma. Q: Az f f¨ uggv´eny alulr´ol nem korl´atos.
Adjuk meg a k¨ ovetkez˝ o fu enyek m minimum´ at ´ es M maximu¨ ggv´ m´ at a megadott intervallumokon, ha vannak! 3.57.
x2
(−∞, ∞)
3.58.
|x|
[−1, 3]
3.59.
x3
[−1, 1)
3.60.
sin x
(−π, π)
3.61.
cos x
(−π, π)
3.62.
[x]
[−1, 1]
3.63.
[x]
(−1, 1)
3.64.
{x}
[−1, 1]
Mutassunk p´ eld´ at olyan mindenu ertelmezett fu enyre, ame¨ tt ´ ¨ ggv´ lyik 3.65.
sem alulr´ ol, sem fel¨ ulr˝ ol nem korl´atos.
57
´ s f¨ ´nyek hata ´ re ´rte ´ke, folytonossa ´ ga 3. Valo uggve
3.66.
korl´ atos, de nincs sem minimuma, sem maximuma.
Mutassunk p´ eld´ at olyan fu enyre, amelyiknek az ´ ertelmez´ esi tar¨ ggv´ tom´ anya a [−1, 1] intervallum, ´ es a fu eny ¨ ggv´ 3.67.
sem alulr´ ol, sem fel¨ ulr˝ol nem korl´atos.
3.68.
korl´ atos, de nincs sem minimuma, sem maximuma.
Van-e olyan fu eny, amelyik ¨ ggv´ 3.69.
szigor´ uan monoton cs¨ okken (−∞, 0)-ban, szigor´ uan monoton n˝o (0, ∞)en, ´es 0-ban nincs minimuma?
3.70.
monoton cs¨ okken (−∞, 0]-ban, monoton n˝o [0, ∞)-en, ´es 0-ban nincs minimuma?
3.71.
nem korl´ atos [0, 1]-en?
3.72.
korl´ atos [0, 1]-en, de nincs sem maximuma, sem minimuma [0, 1]-en?
3.73.
pozit´ıv R-en, de nincs minimuma?
Adjuk meg a k¨ ovetkez˝ o fu enyek legkisebb pozit´ıv peri´ odus´ at! ¨ ggv´ 3.74.
sin x
3.75.
sin(2x)
3.76.
sin
x 2
3.77.
tg x
3.78.
sin x + tg x
3.79.
sin 2x + tg
3.80.
Bizony´ıtsuk be, hogy ha egy f¨ uggv´eny p szerint periodikus, akkor p minden pozit´ıv eg´esz t¨obbsz¨or¨ose szerint is periodikus!
3.81.
Periodikus-e az f (x) = 3 f¨ uggv´eny? Ha igen, akkor adjuk meg az ¨osszes olyan sz´ amot, amely szerint periodikus!
x 2
´ s f¨ ´nyek hata ´ re ´rte ´ke, folytonossa ´ ga 3. Valo uggve
3.82.
3.83.
58
Van-e minden nem konstans periodikus f¨ uggv´enynek legkisebb pozit´ıv peri´ odusa? Periodikus-e a D(x) =
1
ha x ∈ Q
0
ha x ∈ /Q
Dirichlet-fu eny? Ha igen, akkor adjuk meg az ¨osszes olyan sz´a¨ ggv´ mot, amely szerint periodikus! D¨ ontsu av-e az adott fu eny ¨ k el, hogy konvex-e illetve konk´ ¨ ggv´ (0, ∞)-ben! 3.85.
x2
x
3.87.
−x3
3.88.
sin x
3.89.
[x]
3.90.
Legyen f val´ os f¨ uggv´eny a (0, 10) intervallumon. Mi a P ´es Q ´all´ıt´asok logikai kapcsolata, azaz melyikb˝ol k¨ovetkezik a m´asik?
3.84. 3.86.
x √
P: f konvex az (3, 8) intervallumon. Q: f konvex az (5, 7) intervallumon. 3.91.
Adjuk meg az ¨ osszes olyan f¨ uggv´enyt, amelyik egyszerre konvex ´es konk´ av az (1, 2) intervallumon! Van-e ezek k¨ozt szigor´ uan konvex vagy szigor´ uan konk´ av?
3.92.
Tegy¨ uk fel, hogy f ´ertelmezve van a (−1, 3) intervallumban. Mi a k¨ovetkez˝ o´ all´ıt´ asok logikai kapcsolata, azaz melyikb˝ol k¨ovetkezik a m´asik? f (0) + f (2) P: f (1) ≤ 2 Q: f konvex a (−1, 3) intervallumban.
3.93.
√ D¨ onts¨ uk el, hogy konvex-e illetve konk´av-e a x f¨ uggv´eny a [0, ∞) ´ intervallumban! Irjuk fel a megfelel˝o Jensen-egyenl˝otlens´eget. t1 = 1 . . . = tn = s´ ulyokkal! n
59
´ s f¨ ´nyek hata ´ re ´rte ´ke, folytonossa ´ ga 3. Valo uggve
3.94.
3.95.
3.96.
V´ azoljuk az x10 f¨ uggv´eny grafikonj´at, ´es az [1, 2] intervallum feletti ´ h´ urj´ at! Irjuk fel az x10 f¨ uggv´eny [1, 2] intervallum feletti h´ urj´anak az egyenlet´et! Bizony´ıtsuk be, hogy x10 ≤ 1023x − 1022 minden x ∈ [1, 2]re! hπ πi ´Irjuk fel az sin x f¨ feletti h´ urj´anak egyenlet´et! uggv´eny , 6 2 sin(π/6) + sin(π/2) π/6 + π/2 Melyik nagyobb: vagy sin ? 2 2 ´Irjuk fel az log7 x f¨ uggv´eny [2, 4] feletti h´ urj´anak egyenlet´et! Melyik nagyobb: log7 3 vagy
log7 2 + log7 4 ? 2
Rajzoljunk fu enygrafikont u ´ gy, hogy a fu eny legyen ¨ ggv´ ¨ ggv´ 3.97.
monoton n¨ ov˝ o [1, 2]-ben ´es monoton cs¨okken˝o [3, 4]-ben
3.98.
monoton n¨ ov˝ o [1, 4]-ben ´es monoton cs¨okken˝o [3, 5]-ben
3.99.
konvex [1, 4]-ben ´es konk´av [4, 5]-ben
3.100.
konvex [1, 4]-ben ´es konk´av [2, 5]-ben
3.101.
szigor´ uan monoton n¨ ov˝o [1, 2]-ben, szigor´ uan monoton cs¨okken˝o [2, 4]ben, ´es legyen maximuma 2-ben
3.102.
szigor´ uan monoton n¨ ov˝o [1, 2]-ben, szigor´ uan monoton cs¨okken˝o [2, 4]ben, ´es legyen minimuma 2-ben
Rajzoljunk fu enygrafikont u ´ gy, hogy a fu enyre teljesu on, ¨ ggv´ ¨ ggv´ ¨ lj¨ hogy 3.103.
∀x1 ∈ [1, 2] ∧ ∀x2 ∈ [1, 2] f (x1 ) = f (x2 )
3.104.
∀x1 ∈ [1, 2] ∧ ∀x2 ∈ [1, 2]
(x1 > x2
=⇒
f (x1 ) > f (x2 ))
3.105.
∀x1 ∈ [1, 2] ∧ ∀x2 ∈ [1, 2]
(x1 > x2
=⇒
f (x1 ) ≤ f (x2 ))
3.106.
∀x1 ∈ [1, 2] ∧ ∀x2 ∈ [1, 2]
∃c ∈ [x1 , x2 ] f (c) =
f (x1 ) + f (x2 ) 2
60
´ s f¨ ´nyek hata ´ re ´rte ´ke, folytonossa ´ ga 3. Valo uggve
3.107.
∃x1 ∈ [1, 2] ∧ ∃x2 ∈ [1, 2]
∀x ∈ [1, 2] f (x) 6=
3.108.
∀x1 ∈ [1, 2] ∧ ∀x2 ∈ [1, 2] f
x1 + x2 2
>
1 3 x1 + x2 4 4
f (x1 ) + f (x2 ) 2
f (x1 ) + f (x2 ) 2
1 3 f (x1 ) + f (x2 ) 4 4
3.109.
∀x1 ∈ [1, 2] ∧ ∀x2 ∈ [1, 2] f
3.110.
∃x0 ∈ [1, 2] ∀x ∈ [1, 2] f (x) ≤ f (x0 )
3.111.
(∀x1 ∈ [1, 2] ∃x2 ∈ [1, 2] f (x1 ) < f (x2 )) ∧ (∀x1 ∈ [1, 2] ∃x2 ∈ [1, 2] f (x1 ) > f (x2 ))
3.112.
Melyik f¨ uggv´eny egy-egy ´ertelm˝ u r´ak´epez´es (bijekci´o) az eg´esz sz´amegyenesen? (a) x
(b) x2
(c) x3
(d)
(e) (g) 3.113.
√ 3
<
√
x p (f ) |x|
x
1 x
(h) f (x) =
1/x 0
ha x 6= 0 ha x = 0
Adjuk meg a k¨ ovetkez˝ o f¨ uggv´enyek inverzeit! Rajzoljuk fel egy koordin´ atarendszerbe az inverz p´arokat! (a) x3
(b) x3 + 1
(c) 2x
(d) 2x − 1
Adjunk meg olyan intervallumokat, ahol a fu eny egy-egy ´ ertel¨ ggv´ m˝ u (injekci´ o)! Hat´ arozzuk meg a fu enyek inverz´ et ezeken az ¨ ggv´ intervallumokon! 3.114.
x2
3.115.
√
x
61
´ s f¨ ´nyek hata ´ re ´rte ´ke, folytonossa ´ ga 3. Valo uggve
3.117.
2x
3.116.
sin x
3.118.
Keress¨ unk olyan f¨ uggv´enyeket, amelyek egyenl˝ok az inverz¨ ukkel!
3.119.
Mi a k¨ ovetkez˝ o k´et ´ all´ıt´as logikai kapcsolata, azaz melyikb˝ol k¨ovetkezik a m´ asik? P: Az f f¨ uggv´eny szigor´ uan monoton. Q: Az f f¨ uggv´enynek van inverze.
3.120.
Mutassuk meg, hogy az ( f (x) =
x, ha x ∈ Q −x ha x ∈ /Q
f¨ uggv´eny semmilyen intervallumon sem monoton, de a f¨ uggv´enynek van inverze! 3.121.
Keress¨ unk inverz p´ arokat a grafikonok k¨oz¨ott! (a)
(b)
1 2
K
p
0
1
K
1 2
p
1
62
´ s f¨ ´nyek hata ´ re ´rte ´ke, folytonossa ´ ga 3. Valo uggve
(c)
(d)
(e)
(f )
(g)
(h)
1
Kp
K
1 2
0
p
K
1 2
p
p
1
3.122.
Van-e olyan minden¨ utt ´ertelmezett f¨ uggv´eny, amelynek a grafikonja szimmetrikus az (a) x tengelyre?
3.123.
(b) y tengelyre?
Mi a k¨ ovetkez˝ o´ all´ıt´ asok logikai kapcsolata, azaz melyikb˝ol k¨ovetkezik a m´ asik?
63
´ s f¨ ´nyek hata ´ re ´rte ´ke, folytonossa ´ ga 3. Valo uggve
P: Az f f¨ uggv´eny monoton n˝o R-en. Q: Minden x ∈ R eset´en f (x + 1) ≥ f (x) 1 1 + f¨ uggv´eny a (0, 1) intervalx x−1 lumban minden ´ert´eket pontosan egyszer vesz fel!
3.124.
Bizony´ıtsuk be, hogy az f (x) =
3.125.
Bizony´ıtsuk be, hogy ha minden x ∈ R eset´en f (x + 1) =
1 + f (x) , 1 − f (x)
akkor az f f¨ uggv´eny periodikus! 3.126.
Tegy¨ uk fel, hogy az f f¨ uggv´eny p´aros. Lehet-e f -nek inverze?
3.127.
Tegy¨ uk fel, hogy az f f¨ uggv´eny p´aratlan. K¨ovetkezik-e ebb˝ol, hogy f -nek van inverze?
3.128.
´ azoljuk a k¨ Abr´ ovetkez˝ o f ´es g f¨ uggv´enyeket! Hat´arozzuk meg a g ◦ f f¨ uggv´enyt! Igaz-e, hogy a g f¨ uggv´eny az f f¨ uggv´eny inverze? ha x < 0 ha x < 0 x, x, ´es g(x) = 0 f (x) = 1/2 ha 0 ≤ x < 1 ha x = 0 x − 1 ha x ≥ 1 x + 1 ha x > 0
3.2. A hat´ ar´ ert´ ek 3.129.
Az ´ abr´ an l´ athat´ o f (x) f¨ uggv´eny grafikonja alapj´an d¨onts¨ uk el, hogy l´eteznek-e az al´ abbi hat´ar´ert´ekek, ´es ha igen, adjuk meg ezt az ´ert´eket!
1
0
(a) lim f (x) x→1
1
2
(b) lim f (x) x→2
3
(c) lim f (x) x→3
64
´ s f¨ ´nyek hata ´ re ´rte ´ke, folytonossa ´ ga 3. Valo uggve
3.130.
Az ´ abr´ an l´ athat´ o f (x) f¨ uggv´eny grafikonja alapj´an d¨onts¨ uk el, hogy l´eteznek-e az al´ abbi hat´ar´ert´ekek, ´es ha igen, adjuk meg ezt az ´ert´eket!
1
K
K
2
0
1
1
K
1
(a) lim f (x) x→−2
3.131.
(b) lim f (x) x→−1
(c) lim f (x) x→0
Mely ´ all´ıt´ asok igazak az ´abr´an l´athat´o f (x) f¨ uggv´eny grafikonja alapj´ an?
1
0
1
K
1
(a) lim f (x) l´etezik. (b) lim f (x) = 0 x→0
(d) lim f (x) = 1 x→1
x→0
(c) lim f (x) = 1 x→0
(e) lim f (x) = 0 x→1
(f ) Az f (x) f¨ uggv´enynek a (−1, 1) ny´ılt intervallum minden pontj´aban van hat´ ar´ert´eke. 3.132.
Mely ´ all´ıt´ asok igazak az ´abr´an l´athat´o f (x) f¨ uggv´eny grafikonja alapj´ an?
65
´ s f¨ ´nyek hata ´ re ´rte ´ke, folytonossa ´ ga 3. Valo uggve
1
0
1
2
3
K
1
K
2
(a) lim f (x) nem l´etezik. x→2
(b) lim f (x) = 2 x→2
(c) lim f (x) nem l´etezik. x→1
(d) Az f (x) f¨ uggv´enynek a (−1, 1) ny´ılt intervallum minden pontj´aban van hat´ ar´ert´eke. (e) Az f (x) f¨ uggv´enynek az (1, 3) ny´ılt intervallum minden pontj´aban van hat´ ar´ert´eke. 3.133.
Mely ´ all´ıt´ asok igazak az ´abr´an l´athat´o f (x) f¨ uggv´eny grafikonja alapj´ an?
1
K
1
0
1
2
(a) lim f (x) = 1
(b) lim f (x) = 0
(c) lim f (x) = 1
(d) lim f (x) = lim f (x)
(e) lim f (x) l´etezik.
(f ) lim f (x) = 0
(g) lim f (x) = 1
(h) lim f (x) = 1
x→1+
x→0−
x→0
x→0
x→0−
x→0−
x→0
x→1
x→0+
66
´ s f¨ ´nyek hata ´ re ´rte ´ke, folytonossa ´ ga 3. Valo uggve
(i) lim f (x) = 0
(j) lim f (x) = 2
(k) lim f (x) nem l´etezik.
(l) lim f (x) = 0
x→2−
x→1
x→1−
3.134.
´Irjuk fel logikai jelekkel az al´abbi ´all´ıt´asokat! Adjunk p´eld´at olyan f¨ uggv´enyekre, amelyekre igazak az ´all´ıt´asok! (a) lim f (x) = 4
(b) lim f (x) = ∞
(c) lim f (x) = −∞
(d) lim f (x) = 4
(e) lim f (x) = ∞
(f ) lim f (x) = −∞
(g) lim f (x) = 4
(h) lim f (x) = ∞
(i) lim f (x) = −∞
(j) lim f (x) = 4
(k) lim f (x) = ∞
(l) lim f (x) = −∞
x→3
x→3+
x→3−
x→∞
(m) 3.135.
x→2+
lim f (x) = 4
x→−∞
x→4
x→3+
x→3−
x→∞
(n)
x→5
x→3+
x→3−
lim f (x) = ∞ (o)
x→−∞
x→∞
lim f (x) = −∞
x→−∞
Keress¨ uk meg azokat a f¨ uggv´enyeket, amelyeknek l´etezik ´es ugyanaz a hat´ ar´ert´eke 3-ban! (a) 5 ( (c)
(b) 6 (
5, ha x 6= 3 6, ha x = 3
(d)
5, ha x ∈ Q 6, ha x ∈ /Q
(e)
1 (x − 3)2
(f )
1 cos(x − 3)
(g)
1 sin(x − 3)
(h)
1 x−3
Hat´ arozzuk meg az al´ abbi hat´ ar´ ert´ ekeket behelyettes´ıt´ essel! 3.136.
lim 5x
3.137.
3.138.
lim (7x − 3) x→1/7
lim 5x
x→0
x→3
3.139.
lim
x→1
−2 7x − 3
´ s f¨ ´nyek hata ´ re ´rte ´ke, folytonossa ´ ga 3. Valo uggve
3.140.
lim 3x2 (7x − 3)
3.141.
lim x sin x
3.143.
x→−1
3.142.
3x2 x→1 7x − 3 lim
lim
x→π
x→π/2
67
cos x 1−π
Hat´ arozzuk meg az al´ abbi hat´ ar´ ert´ ekeket a t¨ ortek egyszer˝ us´ıt´ ese ut´ an! x−5 x+3 3.144. lim 2 3.145. lim x→5 x − 25 x→−3 x2 + 4x + 3 3.146. 3.148. 3.150. 3.152.
x2 + 3x − 10 x→−5 x+5 lim
t2 + t − 2 t→1 t2 − 1 √ x−3 lim x→9 x − 9 lim
lim √
x→1
x−1 x+3−2
3.147.
x2 − 7x + 10 x→2 x−2
3.149.
t2 + 3t + 2 t→−1 t2 − t − 2
3.151.
3.153.
√ 3.154.
lim
x→1
x−1 x−1
3.155.
lim
lim
4x − x2 √ x→4 2 − x √ x2 + 8 − 3 lim x→−1 x+1 √ 1 + x2 − 1 lim x→0 x2 lim
Hat´ arozzuk meg a k¨ ovetkez˝ o trigonometrikus hat´ ar´ ert´ ekeket! sin x x
3.157.
3.158.
√ sin(ϑ 2) √ lim ϑ→0 ϑ 2
3.159.
3.160.
lim
sin 3y y→0 4y
3.161.
tg 2x x→0 x
3.163.
3.156.
lim
x→0
3.162.
lim
lim
1 − cos x x2
lim
sin kt t
lim
h sin 3h
lim
2t tg t
x→0
t→0
h→0
t→0
Hat´ arozzuk meg a k¨ ovetkez˝ o hat´ ar´ ert´ ekeket, ha l´ eteznek!
´ s f¨ ´nyek hata ´ re ´rte ´ke, folytonossa ´ ga 3. Valo uggve
3.164.
lim x sin x
3.165.
x→0
lim sin
x→0
68
1 x
Hat´ arozzuk meg a k¨ ovetkez˝ o fu enyek hat´ ar´ ert´ ekeit a ∞-ben ´ es ¨ ggv´ a −∞-ben! 2x + 3 2x2 − 7x + 1 3.166. 3.167. √ 5x + 7 x2 + 1 + 1 3.168.
2x3 − 7x x3 + 1
3.169.
2x + 3 5x2 + 7
3.170.
2x2 − 7x x3 + 1
3.171.
x−1 + x−5 x−2 − x−3
Hat´ arozzuk meg az al´ abbi fu enyek (v´ eges illetve v´ egtelen) ha¨ ggv´ t´ ar´ ert´ ek´ et a ∞-ben! √ √ 2+ x 2 x + x−1 3.173. 3.172. √ 2− x 3x − 7 3.174.
2x3 − 7x x2 + 1
3.175.
3.176.
2x2 − 7x + 1 √ x4 + 1 + 1
3.177.
2x2 − 7x + 1 √ x3 + 3 + 7 √ 3 2x2 + 1 + 1 √ x2 + 1 + 1
Sz´ am´ıtsuk ki a ko o f´ eloldali hat´ ar´ ert´ ekeket! Mindegyik fel¨vetkez˝ adatn´ al sz´ amoljuk ki a m´ asik oldali hat´ ar´ ert´ eket is! 1 5 3.178. 3.179. lim lim x→0+ 3x x→0− 2x 3.180.
lim
x→2−
3.182.
3 x−2 2x x+8
3.183.
lim+
4 (x − 7)2
3.185.
x→7
lim+
x→3
lim
x→−8+
3.184.
3.181.
lim
1 x−3
x→−5−
lim
x→0−
Sz´ am´ıtsuk ki a ko o hat´ ar´ ert´ ekeket! ¨vetkez˝
3x 2x + 10 −1 + 1)
x2 (x
´ s f¨ ´nyek hata ´ re ´rte ´ke, folytonossa ´ ga 3. Valo uggve
3.186.
sin x x→∞ x
3.187.
ex x→∞ x
3.188.
ln x x→∞ x
3.189.
x2 x→∞ ex
lim
lim
69
lim lim
Legyen k egy r¨ ogz´ıtett pozit´ıv eg´ esz sz´ am. Sz´ am´ıtsuk ki a k¨ ovetkez˝ o hat´ ar´ ert´ ekeket: 3.190.
xk x→∞ ex lim
3.191.
ln x lim √ k x
x→∞
Van-e hat´ ar´ ert´ eke 0-ban a k¨ ovetkez˝ o fu enyeknek? Van-e f´ elol¨ ggv´ dali hat´ ar´ ert´ eku ¨ k ugyanitt? 3.192. 3.194.
[x] ( 1, ha x ∈ Q 0, ha x ∈ /Q
3.193. 3.195.
{x} ( x, ha x ∈ Q −x, ha x ∈ /Q
3.196.
Mutassunk p´eld´ at olyan minden¨ utt ´ertelmezett f¨ uggv´enyre, amelyiknek pontosan 2 pontban van hat´ar´ert´eke!
3.197.
Van-e olyan minden¨ utt ´ertelmezett f¨ uggv´eny, amelyiknek v´egtelen sok pontban v´egtelen a hat´ar´ert´eke?
3.198.
Bizony´ıtsuk be, hogy ha f nem konstans, periodikus f¨ uggv´eny, akkor f -nek nincs hat´ ar´ert´eke v´egtelenben!
Van-e hat´ ar´ ert´ eke v´ egtelenben a ko o fu enyeknek? ¨vetkez˝ ¨ ggv´ 3.199.
[x]
3.200.
{x}
3.201.
sin x
3.202.
tg x
Mi a logikai kapcsolata a k¨ ovetkez˝ o ´ all´ıt´ asoknak, azaz melyikb˝ ol k¨ ovetkezik a m´ asik?
´ s f¨ ´nyek hata ´ re ´rte ´ke, folytonossa ´ ga 3. Valo uggve
3.203.
P: lim f (x) = 5
Q: lim f 2 (x) = 25
P: lim f (x) = −5
Q: lim |f (x)| = 5
P: lim f (x) = ∞
Q: lim
x→∞
3.204.
x→∞
x→∞
3.205.
x→∞
x→∞
3.206.
70
x→∞
1 =0 f (x)
Van-e hat´ ar´ert´eke az (a) an = sin(nπ) sorozatnak?
(b) f (x) = sin x f¨ uggv´enynek v´egtelenben?
1 sorozatnak? (c) an = n
(d) f (x) = [x] f¨ uggv´enynek 0-ban?
Mi a logikai kapcsolata a ko o ´ all´ıt´ asoknak, azaz melyikb˝ ol ¨vetkez˝ ko vetkezik a m´ a sik? ¨ 3.207.
P: Az f (n) sorozat hat´ ar´ert´eke 5. Q: lim f (x) = 5. x→∞
3.208.
3.209.
1 P: Az f sorozat hat´ar´ert´eke Q: lim f (x) = 5. x→0 n 5. P: lim (f (x) + g(x)) = ∞ x→∞
Q: lim f (x)g(x) = ∞ x→∞
3.210.
P: lim (f (x) + g(x)) = ∞ x→∞
Q: lim f (x) = ∞ vagy lim g(x) = ∞ x→∞
3.211.
x→∞
P: lim f (x)g(x) = ∞ x→∞
Q: lim f (x) = ∞ vagy lim g(x) = ∞ x→∞
3.212.
x→∞
Legyen f minden¨ utt ´ertelmezett f¨ uggv´eny! Mi a P: lim f (x) = 0 x→∞
Q: Az f (n) sorozat hat´ar´ert´eke 0
all´ıt´ ´ asok logikai kapcsolata, azaz melyikb˝ol k¨ovetkezik a m´asik, ha
´ s f¨ ´nyek hata ´ re ´rte ´ke, folytonossa ´ ga 3. Valo uggve
(a) f tetsz˝ oleges?
(b) f folytonos?
(c) f monoton?
(d) f korl´atos?
71
3.3. Folytonos fu enyek ¨ ggv´ 3.213.
´Irjuk fel logikai jelekkel, hogy az f f¨ uggv´eny folytonos 3-ban!
Mi a k¨ ovetkez˝ o ´ all´ıt´ asok logikai kapcsolata, azaz melyikb˝ ol k¨ ovetkezik a m´ asik? 3.214.
P: Az f f¨ uggv´enynek van hat´ar´ert´eke 3-ban. Q: Az f f¨ uggv´eny folytonos 3-ban.
3.215.
P: Az f f¨ uggv´enynek nincs hat´ar´ert´eke 3-ban. Q: Az f f¨ uggv´eny nem folytonos 3-ban.
3.216.
Folytonosak-e 0-ban a k¨ovetkez˝o f¨ uggv´enyek? ( ( 1, ha x ∈ Q x, ha x ∈ Q (a) D(x) = (b) f (x) = 0, ha x ∈ /Q −x, ha x ∈ /Q
3.217.
Mutassunk p´eld´ at olyan f¨ uggv´enyre, amelyik pontosan 2 pontban folytonos!
3.218.
Az f , g : R → R f¨ uggv´enyek egy pontban elt´ernek, mindenhol m´ashol megegyeznek. Lehet-e mindk´et f¨ uggv´eny mindenhol folytonos?
3.219.
Tegy¨ uk fel, hogy az f , g : R → R f¨ uggv´enyeknek minden pontban van v´eges hat´ ar´ert´ek¨ uk ´es a hat´ar´ert´ekek meg is egyeznek. K¨ovetkezike ebb˝ ol, hogy f = g mindenhol? Mi a helyzet akkor, ha f is, g is folytonos?
3.220.
Mi a k¨ ovetkez˝ o´ all´ıt´ asok logikai kapcsolata, azaz melyikb˝ol k¨ovetkezik a m´ asik? P: Az f ´es g f¨ uggv´enyek folytonosak 3-ban. Q: Az f + g f¨ uggv´eny folytonos 3-ban.
3.221.
Tegy¨ uk fel, hogy f folytonos, g pedig nem folytonos 3-ban. Lehet-e
´ s f¨ ´nyek hata ´ re ´rte ´ke, folytonossa ´ ga 3. Valo uggve
(a) f + g
72
(b) f g
folytonos 3-ban? 3.222.
Tegy¨ uk fel, hogy sem f , sem g nem folytonos 3-ban. K¨ovetkezik-e ebb˝ol, hogy (a) f + g
(b) f g
sem folytonos 3-ban? 3.223.
Tegy¨ uk fel, hogy f is, g is folytonos 3-ban. K¨ovetkezik-ebb˝ol, hogy az f f¨ uggv´eny is folytonos 3-ban? g
Hol folytonosak a k¨ ovetkez˝ o fu enyek? ¨ ggv´ 3.224. 3.226.
3.228.
x2 − 4 x+2
3.225.
√
3.227.
x
x3 − 1 x−1 √ 3
x
Adjunk p´eld´ at olyan f : R → R f¨ uggv´enyre, amelyik sehol nem folytonos, de |f | minden¨ utt folytonos!
Milyen c sz´ am megad´ asa eset´ en lesznek a k¨ ovetkez˝ o fu enyek ¨ ggv´ folytonosak a 0-ban? 2 x +2 ha x ≥ 0 3.229. f (x) = mx + c ha x < 0 ( sin x ha x 6= 0 3.230. f (x) = x c ha x = 0 x3 + x + 1 ha x > 0 3.231. f (x) = ax2 + bx + c ha x ≤ 0 √ x + 2 ha x ≥ 0 3.232. f (x) = (x + c)2 ha x < 0
´ s f¨ ´nyek hata ´ re ´rte ´ke, folytonossa ´ ga 3. Valo uggve
73
3.233.
Bizony´ıtsuk be, hogy minden 3-adfok´ u polinomnak van val´os gy¨oke!
3.234.
Tegy¨ uk fel, hogy az f pozit´ıv f¨ uggv´eny folytonos [a, b]-ben. Bizony´ıtsuk be, hogy van olyan c ∈ [a, b], amelyre igaz, hogy p f (a) + f (b) (b) f (c) = f (a)f (b) (a) f (c) = 2
3.235.
Tegy¨ uk fel, hogy f folytonos [a, b]-ben, tov´abb´a f (a) ≥ a ´es f (b) ≤ b. Bizony´ıtsuk be, hogy van olyan c ∈ [a, b], amire f (c) = c.
3.236.
Tegy¨ uk fel, hogy f ´es g folytonosak [a, b]-ben, tov´abb´a f (a) ≥ g(a) ´es f (b) ≤ g(b). Bizony´ıtsuk be, hogy van olyan c ∈ [a, b], amire f (c) = g(c).
3.237.
Tegy¨ uk fel, hogy f ´es g folytonosak [a, b]-n, ´es minden x ∈ [a, b] eset´en f (x) < g(x). Bizony´ıtsuk be, hogy van olyan m > 0 sz´am, hogy minden x ∈ [a, b] eset´en g(x) − f (x) ≥ m.
3.238.
Adjunk p´eld´ at olyan f : [0, 1] → R f¨ uggv´enyre, amely egy pont kiv´etel´evel folytonos ´es (a) nem korl´ atos.
(b) korl´atos, de nincs legnagyobb ´ert´eke.
Mi a k¨ ovetkez˝ o ´ all´ıt´ asp´ arok logikai kapcsolata, azaz melyikb˝ ol k¨ ovetkezik a m´ asik? 3.239.
P: f folytonos [1, 2]-n Q: f -nek van maximuma ´es minimuma [1, 2]-n
3.240.
P: f folytonos (1, 2)-n Q: f -nek van maximuma ´es minimuma (1, 2)-n
3.241.
P: f korl´ atos (1, 2)-n
3.242.
P: f korl´ atos [1, 2]-n Q: f -nek van maximuma ´es minimuma [1, 2]-n
Q: f -nek van maximuma ´es minimuma (1, 2)-n
Van-e olyan fu eny, amelyik ¨ ggv´ 3.243.
nem folytonos [0, 1]-en, de [0, 1]-en van maximuma is ´es minimuma is?
´ s f¨ ´nyek hata ´ re ´rte ´ke, folytonossa ´ ga 3. Valo uggve
74
3.244.
folytonos (0, 1)-en, ´es (0, 1)-en van maximuma is ´es minimuma is?
3.245.
folytonos (0, 1)-en, de (0, 1)-en nincs sem maximuma, sem minimuma?
3.246.
folytonos [0, 1]-en, de [0, 1]-en nincs sem maximuma, sem minimuma?
Van-e maximuma a k¨ ovetkez˝ o fu enyeknek a [77, 888] intervallu¨ ggv´ mon? √ 3.247. 3x+5 sin x + x 3.248. sin(2x) + cos(3x) 3.249.
[x]
3.250.
{x}
Jel¨ olje D(f ) az f fu eny ´ ertelmez´ esi tartom´ any´ at, R(f ) pedig az ¨ ggv´ ´ ert´ ekk´ eszlet´ et! Van-e olyan fu eny, amelyikre igaz, hogy ¨ ggv´ 3.251.
D(f ) = (0, 1) ´es R(f ) = [0, 1]
3.252.
D(f ) = [0, 1] ´es R(f ) = (0, 1)
3.253.
D(f ) = [0, 1] ´es R(f ) = [3, 4] ∪ [5, 6]
Van-e olyan monoton n¨ ov˝ o fu eny, amelyikre igaz, hogy ¨ ggv´ 3.254.
D(f ) = (0, 1) ´es R(f ) = [0, 1]
3.255.
D(f ) = [0, 1] ´es R(f ) = (0, 1)
3.256.
D(f ) = [0, 1] ´es R(f ) = [3, 4] ∪ [5, 6]
Van-e olyan folytonos fu eny, amelyikre igaz, hogy ¨ ggv´ 3.257.
D(f ) = (0, 1) ´es R(f ) = [0, 1]
3.258.
D(f ) = [0, 1] ´es R(f ) = (0, 1)
´ s f¨ ´nyek hata ´ re ´rte ´ke, folytonossa ´ ga 3. Valo uggve
75
3.259.
D(f ) = [0, 1] ´es R(f ) = [3, 4] ∪ [5, 6]
3.260.
Bizony´ıtsuk be, hogy (korl´atos) z´art intervallumon folytonos f¨ uggv´eny ´ert´ekk´eszlete (korl´ atos) z´art intervallum.
3.261.
Bizony´ıtsuk be, hogy ha az f f¨ uggv´eny folytonos R-en, tov´abb´a a hat´ar´ert´eke v´egtelenben is, ´es m´ınusz v´egtelenben is nulla, akkor f korl´atos!
3.262.
Bizony´ıtsuk be, hogy ha az f f¨ uggv´eny folytonos R-en, tov´abb´a a hat´ ar´ert´eke v´egtelenben is, ´es m´ınusz v´egtelenben is v´egtelen, akkor f -nek van minimuma!
3.263.
Bizony´ıtsuk be, hogy az x sin x = 100 egyenletnek v´egtelen sok gy¨oke van!
Hol folytonosak jobbr´ ol, hol folytonosak balr´ ol, illetve hol folytonosak a ko vetkez˝ o f u ggv´ e nyek? ¨ ¨ 3.264.
[x]
3.265.
[−x]
3.266.
[x] + [−x]
3.267.
[x] − [−x]
Hol folytonosak a k¨ ovetkez˝ o fu enyek? ¨ ggv´ 1 cos , ha x 6= 0 x 3.268. f (x) = 0 ha x = 0 1 x sin , ha x 6= 0 x 3.269. f (x) = 0 ha x = 0 Egyenletesen folytonosak-e a ko o fu enyek az adott inter¨vetkez˝ ¨ ggv´ vallumokban? 3.270.
f (x) = x2
3.271.
f (x) =
1 x
(−∞, ∞), (0, ∞),
[−2, 2],
[1, 2],
(−2, 2)
(1, 2),
[1, ∞)
4. fejezet A differenci´ alsz´ am´ıt´ as ´ es alkalmaz´ asai 4.1. Az f f¨ uggv´enynek pontosan akkor van ´erint˝oje az a pontban, ha itt deriv´ alhat´ o. Ekkor az ´erint˝ o egyenlete y = f 0 (a)(x − a) + f (a) 4.2. Ha az f (x) f¨ uggv´eny deriv´alhat´o az a pontban, akkor a f¨ uggv´eny folytonos az a pontban. Ez a t´etel nem ford´ıthat´ o meg: p´eld´aul az f (x) = |x| f¨ uggv´eny folytonos 0-ban, de itt nem deriv´ alhat´ o! 4.3. Deriv´ al´ asi szab´ alyok. Ha f ´es g deriv´alhat´o a-ban, akkor — tetsz˝ oleges c ∈ R eset´en c · f deriv´alhat´o a-ban ´es (c · f )0 (a) = c · f 0 (a); — f + g deriv´ alhat´ o a-ban ´es (f + g)0 (a) = f 0 (a) + g 0 (a); — f · g deriv´ alhat´ o a-ban ´es (f · g)0 (a) = f 0 (a) · g(a) + f (a) · g 0 (a); — g(a) 6= 0 eset´en
f deriv´alhat´o a-ban, ´es g 0 f f 0 (a) · g(a) − f (a) · g 0 (a) (a) = . g g 2 (a)
77
´ lsza ´ m´ıta ´s e ´s alkalmaza ´ sai 4. A differencia
4.4. L´ ancszab´ aly. Ha g deriv´alhat´o a-ban, f deriv´alhat´o g(a)-ban, akkor f ◦ g deriv´ alhat´ o a-ban ´es (f ◦ g)0 (a) = f 0 (g(a)) · g 0 (a). 4.5. Inverz fu eny deriv´ altja. Ha f folytonos ´es invert´alhat´o a k¨or¨ ul, ¨ ggv´ a-ban deriv´ alhat´ o, ´es f 0 (a) 6= 0, akkor f −1 deriv´alhat´o f (a)-ban ´es (f −1 )0 (f (a)) =
1 f 0 (a)
.
4.6. K¨ oz´ ep´ ert´ ekt´ etelek. — Rolle t´ etele. Ha f folytonos az [a, b] z´art intervallumon, deriv´alhat´o az (a, b) ny´ılt intervallumon ´es f (a) = f (b), akkor van olyan c ∈ (a, b), amelyre f 0 (c) = 0. — Lagrange-ko ep´ ert´ ekt´ etel. Ha f folytonos az [a, b] z´art interval¨z´ lumon, deriv´ alhat´ o az (a, b) ny´ılt intervallumon, akkor van olyan c ∈ (a, b), amelyre f (b) − f (a) f 0 (c) = . b−a A t´etel geometriai jelent´ese az, hogy minden h´ urhoz tal´alhat´o vele p´arhuzamos ´erint˝ o. — Cauchy-ko ep´ ert´ ekt´ etel. Ha f ´es g folytonos az [a, b] z´art interval¨z´ lumon, deriv´ alhat´ o az (a, b) ny´ılt intervallumon, ´es x ∈ (a, b) eset´en g 0 (x) 6= 0, akkor van olyan c ∈ (a, b), amelyre f 0 (c) f (b) − f (a) = . g 0 (c) g(b) − g(a) — Az integr´ alsz´ am´ıt´ as alapt´ etele. Ha f ´es g folytonos az [a, b] z´art intervallumon, deriv´ alhat´o az (a, b) ny´ılt intervallumon ´es x ∈ (a, b) eset´en f 0 (x) = g 0 (x), akkor f − g konstans f¨ uggv´eny. 4.7. Darboux-t´ etel. Ha f deriv´alhat´o (a, b)-ben, a-ban jobbr´ol, b-ben 0 0 balr´ ol deriv´ alhat´ o, akkor az f 0 (x) deriv´altf¨ uggv´eny minden f+ (a) ´es f− (b) k¨ oz¨ otti ´ert´eket felvesz. 4.8. Monotonit´ as ´ es deriv´ alt kapcsolata. Legyen f (x) folytonos [a, b]-n ´es deriv´ alhat´ o (a, b)-n.
´ lsza ´ m´ıta ´s e ´s alkalmaza ´ sai 4. A differencia
78
— Az f (x) f¨ uggv´eny monoton n˝o [a, b]-n, akkor ´es csak akkor, ha minden x ∈ (a, b) eset´en f 0 (x) ≥ 0. — Ha minden x ∈ (a, b) eset´en f 0 (x) > 0, akkor f (x) szigor´ uan monoton n˝ o [a, b]-n. Ez az ´ all´ıt´ as nem ford´ıthat´o meg, p´eld´aul f (x) = x3 szigor´ uan monoton 0 n˝ o de f (0) = 0. — Az f (x) f¨ uggv´eny szigor´ uan monoton n˝o [a, b]-n akkor ´es csak akkor, ha minden x ∈ (a, b) eset´en f 0 (x) ≥ 0 ´es minden a < c < d < b eset´en f 0 (x)-nek csak v´eges sok gy¨oke van (c, d)-ben. 4.9. Lok´ alis sz´ els˝ o´ ert´ ek ´ es a deriv´ alt kapcsolata. Tegy¨ uk fel, hogy f (x) deriv´ alhat´ o a-ban. — Ha f (x)-nek lok´ alis sz´els˝o´ert´eke (maximum vagy minimum) van a-ban, akkor f 0 (a) = 0. — Ha f (x) deriv´ alhat´ o a egy k¨ornyezet´eben, f 0 (a) = 0 ´es f 0 (x) el˝ojelet v´ alt a-ban, akkor f (x)-nek lok´alis sz´els˝o´ert´eke van a-ban, m´egpedig − lok´ alis (szigor´ u) maximuma, ha a-t´ol balra (f 0 (x) > 0) f 0 (x) ≥ 0, 0 ´es a-t´ ol jobbra (f (x) < 0) f 0 (x) ≤ 0, − lok´ alis (szigor´ u) minimuma, ha a-t´ol balra (f 0 (x) < 0) f 0 (x) ≤ 0, 0 ´es a-t´ ol jobbra (f (x) > 0) f 0 (x) ≥ 0. — Ha f (x) k´etszer deriv´ alhat´o a-ban, f 0 (a) = 0 ´es f 00 (a) 6= 0, akkor f (x)nek lok´ alis sz´els˝ o´ert´eke van a-ban, m´egpedig − lok´ alis szigor´ u maximuma, ha f ”(a) < 0, − lok´ alis szigor´ u minimuma, ha f ”(a) > 0. 4.10. Konvexit´ as ´ es a deriv´ alt kapcsolata. Tegy¨ uk fel, hogy f (x) deriv´ alhat´ o (a, b)-ben. — f (x) akkor ´es csak akkor (szigor´ uan) konvex (a, b)-n, ha f 0 (x) (szigor´ uan) monoton n¨ ov˝ o (a, b)-n. — f (x) akkor ´es csak akkor (szigor´ uan) konk´av (a, b)-n, ha f 0 (x) (szigor´ uan) monoton cs¨ okken (a, b)-n. — f (x)-nek a c ∈ (a, b) inflexi´ os pontja akkor ´es csak akkor, ha f 0 (x)-nek c-ben lok´ alis sz´els˝ o´ert´eke van. 4.11. L’Hospital szab´ aly. Tegy¨ uk fel, hogy f ´es g deriv´alhat´o a egy pontozott k¨ ornyezet´eben, f -nek ´es g-nek van hat´ar´ert´eke a-ban ´es vagy mindk´et
´ lsza ´ m´ıta ´s e ´s alkalmaza ´ sai 4. A differencia
79
hat´ ar´ert´ek 0 vagy mindk´et hat´ar´ert´ek ∞, azaz a k´et f¨ uggv´eny h´anyados´af 0 (x) nak hat´ ar´ert´eke kritikus. Ekkor ha l´ etezik a lim 0 hat´ar´ert´ek, akkor x→a g (x) f (x) l´ etezik a lim hat´ ar´ert´ek is, ´es x→a g(x) f (x) f 0 (x) = lim 0 . x→a g(x) x→a g (x) lim
A fenti t´etel a (pontozott) k¨ornyezet ´ertelemszer˝ u m´odos´ıt´as´aval ´erv´enyes marad akkor is, ha a hat´ ar´ert´eket valamelyik v´egtelenben, illetve valamelyik oldalr´ ol vizsg´ aljuk.
4.1. A deriv´ alt fogalma 4.1.
4.2.
√ √ Sz´ am´ıtsuk ki a defin´ıci´o szerint x ´es 3 x differenci´alh´anyados´at az x√ = a pontban! Hol van ´ertelmezve, hol folytonos ´es hol differenci´alhat´o √ a x ´es a 3 x f¨ uggv´eny? Adjuk meg a deriv´altf¨ uggv´enyeket! Tegy¨ uk fel, hogy f (x) − f (3) = 4. x−3 K¨ ovetkezik-e ebb˝ ol, hogy az f f¨ uggv´eny folytonos 3-ban? lim
x→3
4.3.
Tegy¨ uk fel, hogy az f f¨ uggv´eny folytonos 3-ban. K¨ovetkezik-e ebb˝ol, hogy a f (x) − f (3) lim x→3 x−3 hat´ ar´ert´ek l´etezik ´es v´eges?
Sz´ am´ıtsuk ki a k¨ ovetkez˝ o hat´ ar´ ert´ ekeket! √ √ (x + h)2 − x2 x+h− x 4.4. 4.5. lim lim h→0 h h→0 h 4.6.
1/(x + h) − 1/x h→0 h lim
4.7.
(x + h)3 − x3 h→0 h lim
80
´ lsza ´ m´ıta ´s e ´s alkalmaza ´ sai 4. A differencia
4.8.
x2 − x20 x − x0
4.9.
lim
1/x − 1/x0 x − x0
4.11.
x→x0
4.10.
√
lim
x→x0
lim
x→x0
lim
x→x0
√ x − x0 x − x0
x3 − x30 x − x0
Hol folytonosak, ´ es hol differenci´ alhat´ ok a k¨ ovetkez˝ o fu enyek? ¨ ggv´ 4.12.
|x|
4.13.
3 x
4.14.
2 x − 1
4.15.
√ 3 x
Milyen b ´ es c eset´ en lesznek a k¨ ovetkez˝ o fu enyek differenci´ alha¨ ggv´ t´ ok 3-ban? Adjuk meg a deriv´ altakat! x ha x ≥ 3 4.16. f (x) = bx2 − c ha x < 3 x2 ha x ≤ 3 4.17. g(x) = b − cx ha x > 3 (1 − x)(2 − x) ha x ≥ −3 4.18. h(x) = bx + c ha x < −3 Hol differenci´ alhat´ ok a k¨ ovetkez˝ o fu enyek? Hol folytonosak a ¨ ggv´ deriv´ altfu enyek? ¨ ggv´ ( 1 x sin ha x 6= 0 4.19. f (x) = x 0 ha x = 0 ( 1 x2 sin ha x 6= 0 4.20. f (x) = x 0 ha x = 0 4.21.
f (x) = x3
4.22.
f (x) = {x} sin πx
4.23.
f (x) = [x] sin2 πx
81
´ lsza ´ m´ıta ´s e ´s alkalmaza ´ sai 4. A differencia
−x2 x2
ha x ≤ 0 ha x > 0
4.24.
f (x) =
4.25.
1 − x f (x) = (1 − x)(2 − x) −(2 − x)
1 {x} − 2
ha x < 1 ha 1 ≤ x ≤ 2 ha 2 < x
2
4.26.
f (x) =
4.27.
f (x) = [x] sin πx, ahol [x] az x eg´eszr´esz´et jel¨oli.
4.28.
Melyik grafikon az f (x) = sin2 x f¨ uggv´eny´e ´es melyik a g(x) = |sin x| f¨ uggv´eny´e?
, ahol {x} az x t¨ortr´esz´et jel¨oli.
(a)
(b)
Hat´ arozzuk meg a k¨ ovetkez˝ o fu enyek els˝ o, m´ asodik, . . . , n-edik ¨ ggv´ deriv´ altj´ at! 4.29.
x6
4.30.
1 x
4.31.
sin x
4.32.
cos x
4.2. Deriv´ al´ asi szab´ alyok Mi a k¨ ovetkez˝ o ´ all´ıt´ asok logikai kapcsolata, azaz melyikb˝ ol k¨ ovetkezik a m´ asik? 4.33.
P: Az f f¨ uggv´eny p´ aros.
Q: f 0 p´aratlan.
4.34.
P: Az f f¨ uggv´eny p´ aratlan.
Q: f 0 p´aros.
82
´ lsza ´ m´ıta ´s e ´s alkalmaza ´ sai 4. A differencia
Tegyu eny differenci´ alhat´ o. Mi a k¨ ovetkez˝ o ¨ k fel, hogy az f fu ¨ ggv´ ´ all´ıt´ asok logikai kapcsolata, azaz melyikb˝ ol ko asik? ¨vetkezik a m´ 4.35.
P: Az f f¨ uggv´eny periodikus.
Q: Az f 0 f¨ uggv´eny periodikus.
4.36.
P: lim f (x) = 0
Q: lim f 0 (x) = 0
P: lim f (x) = ∞
Q: lim f 0 (x) = ∞
P: f differenci´ alhat´ o a-ban
Q: lim
x→∞
4.37.
x→∞
x→∞
4.38.
x→∞
h→0
f (a + h) − f (a − h) l´etezik. 2h
Keressu eny ´ erint˝ oje p´ ar¨ k meg azokat a helyeket, ahol a sin x fu ¨ ggv´ huzamos az 4.39.
x tengellyel;
4.40.
4.41.
Adjuk meg cos x grafikonj´anak x =
4.42.
´Irjuk fel az f (x) = x3 − 2x2 + 3x + 4 f¨ uggv´eny ´erint˝oj´enek az egyenlet´et az (1; 6) pontban!
4.43.
Hol v´ızszintes a 2x3 − 6x2 + 8 f¨ uggv´eny grafikonj´anak az ´erint˝oje?
4.44.
Adjuk meg 2x3 − 6x2 + 8 grafikonj´anak azokat az ´erint˝oit, amelyek az x-tengellyel 45 fokos, illetve 30 fokos sz¨oget z´arnak be!
4.45.
Milyen sz¨ ogben metszi az x2 f¨ uggv´eny grafikonja az y = 2x egyenest, azaz mekkora a k¨ oz¨ os pontokban az ´erint˝o ´es az egyenes sz¨oge?
4.46.
Bizony´ıtsuk be, hogy az x2 − y 2 = a ´es xy = b g¨orb´ek mer˝olegesen metszik egym´ ast, azaz a metsz´espontokban az ´erint˝ok mer˝olegesek.
4.47.
Hol f¨ ugg˝ oleges az ´erint˝ oje a
4.48.
A k¨ ovetkez˝ o k´et ´ abra egyik´en a tg x, a m´asikon az x3 f¨ uggv´eny szerepel. Melyik rajzhoz melyik f¨ uggv´eny tartozik?
√ 3
az y = x egyenessel.
π pontbeli ´erint˝oj´et! 3
sin x f¨ uggv´eny grafikonj´anak?
83
´ lsza ´ m´ıta ´s e ´s alkalmaza ´ sai 4. A differencia
(a)
(b)
4.49.
Egy aut´ ou ´t – id˝ o f¨ uggv´eny´et az s(t) = 3t2 + 5t + 8 f¨ uggv´eny adja meg. Hat´ arozzuk meg az aut´o pillanatnyi sebess´eg´et a t = 3 pillanatban! Adjuk meg az aut´ o sebess´eg – id˝o f¨ uggv´eny´et!
4.50.
Egy aut´ o sebess´eg – id˝ o f¨ uggv´eny´et a v(t) = 5t + 3 f¨ uggv´eny adja meg. Hat´ arozzuk meg az aut´o pillanatnyi gyorsul´as´at a t = 7 pillanatban! Adjuk meg az aut´ o gyorsul´as – id˝o f¨ uggv´eny´et!
4.51.
Egy rezg˝ o test kit´er´es – id˝o f¨ uggv´enye: y(t) = 5 sin t. Adjuk meg a test sebess´eg – id˝ o f¨ uggv´eny´et! Adjuk meg a test gyorsul´as – id˝o f¨ uggv´eny´et!
Hat´ arozzuk meg a k¨ ovetkez˝ o fu enyek ´ ertelmez´ esi tartom´ any´ at! ¨ ggv´ Deriv´ aljuk a k¨ ovetkez˝ o fu enyeket, ´ es hat´ arozzuk meg a deriv´ al¨ ggv´ tak ´ ertelmez´ esi tartom´ any´ at! 4.52.
3 3x8 − x6 + 2 4
4.54.
x+
4.56.
r q √ x x x
4.57.
4.58.
4 sin x
4.59.
sin x + cos x 3
4.60.
sin x22
4.61.
(sin x)
1 √ + x x
4.53.
5x + 3 2x − 1 √ 3
4.55.
x +7 5 r q √ x+ x+ x 2
3x −
22
84
´ lsza ´ m´ıta ´s e ´s alkalmaza ´ sai 4. A differencia
4.62.
sin x − x cos x cos x + x sin x
4.63.
4x3 tg(x2 + 1)
4.64.
sin x cos x
4.65.
sin
4.66.
x sin x
4.67.
(3x5 + 1) cos x
4.68.
xx
4.69.
√ x
4.70.
x−x
4.71.
e
4.72.
p x x2 + 1
4.73.
e−3x
4.74.
log4 x
4.75.
logx 4
4.76.
ln(ln x)
4.77.
1 x+1 ln 2 x−1
4.78.
p ln x + x2 + 1 ,
4.79.
p ln ex + 1 + e2x2
4.80.
4 sh x
4.82.
sh x22
4.84.
1 x
x
√
x
2
(x > 1)
4.81.
sh x + ch x 3
4.83.
(sh x)
sh x − x ch x ch x + x sh x
4.85.
4x3 th(x2 + 1)
4.86.
sh x ch x
4.87.
sh
4.88.
x sh x
4.89.
(3x5 + 1) ch x
4.90.
log3 x · cos x
4.91.
sin x + 2 ln x √ x+1
4.92.
x2 ex − 3x ln x + cos π x2 + 1
4.93.
ln sin x + cos2 x
22
1 x
´ lsza ´ m´ıta ´s e ´s alkalmaza ´ sai 4. A differencia
4.94.
cos(3x ) + 5 ln(sin x) + x2
4.95.
(sin x)cos x
4.96.
ln(sin x)
4.97.
xtg x
85
Mutassuk meg, hogy a ko o fu enyek invert´ alhat´ oak egy al¨vetkez˝ ¨ ggv´ kalmas intervallumon, ´ es sz´ am´ıtsuk ki az inverz deriv´ altj´ at a megadott helyen! 4.98.
x + sin x,
4.99.
3x3 + x,
4.100.
f (x) = x5 + x2 (x > 0),
4.101.
−2x3 +
√
a = 1 + π/2 a=4
x,
a=2
a = −1
Hat´ arozzuk meg a ko o trigonometrikus fu enyek inverze¨vetkez˝ ¨ ggv´ inek a deriv´ altj´ at! 4.102.
arcsin x
4.103.
arccos x
4.104.
arctg x
4.105.
arcctg x
Hol deriv´ alhat´ o´ es mi a deriv´ altja a k¨ ovetkez˝ o fu enyeknek? ¨ ggv´ 4.106.
arcsin(cos x)
4.107.
sin(arccos x)
4.108.
arctg(sin x)
4.109.
tg(arcsin x)
4.110.
arsh(ch x)
4.111.
sh(arch x)
4.112.
arth(sh x)
4.113.
th(arsh x)
Sz´ am´ıtsuk ki a k¨ ovetkez˝ o hat´ ar´ ert´ ekeket, ha l´ eteznek!
86
´ lsza ´ m´ıta ´s e ´s alkalmaza ´ sai 4. A differencia
4.114.
lim x→π/6
4.116.
2 sin x − 1 6x − π
cos x x→π/2 x − π/2 lim
4.115.
lim x→π/2
4.117.
sin x − 2/(πx) cos x
ex − 1 x→0 x lim
Sz´ am´ıtsuk ki a k¨ ovetkez˝ o sorozatok hat´ ar´ ert´ ek´ et, ha l´ eteznek! ! r 1 n+1 4.119. lim n cos − 1 4.118. lim n −1 n→∞ n n→∞ n 4.120.
lim ne1/n − 1
n→∞
4.121.
lim n2 sin
n→∞
1 √ n e−1 n
Sz´ amoljuk ki a k¨ ovetkez˝ o fu enyek m´ asodik deriv´ altj´ at: ¨ ggv´ 4.122.
x3 + 2x2 + x + 1
4.123.
esin x
4.124.
ln cos x
4.125.
arctg
1 x
4.3. K¨ oz´ ep´ ert´ ekt´ etelek, L’Hospital szab´ aly 4.126.
Van-e olyan f¨ uggv´eny, amelyiknek a deriv´altja a [−3, 5] intervallumon [x], azaz x eg´esz r´esze?
4.127.
Van-e olyan f¨ uggv´eny, amelyiknek a deriv´altja nem folytonos?
4.128.
Legyen f (x) = arctg x,
4.129.
Tegy¨ uk fel,hogy f ´es g differenci´alhat´o f¨ uggv´enyek, tov´abb´a f (0) ≥ 0 g(0), ´es hogy minden x ∈ R eset´en f (x) > g 0 (x). Bizony´ıtsuk be, hogy ekkor f (x) > g(x), ha x > 0.
1+x ´es h(x) = f (x) − g(x). Bi1−x 0 zony´ıtsuk be, hogy h (x) = 0. K¨ovetkezik-e ebb˝ol, hogy h(x) konstans f¨ uggv´eny? Sz´ am´ıtsuk ki h(0)-t, ´es a lim h(x) hat´ar´ert´eket! Magyar´azx→∞ zuk meg az eredm´enyt! g(x) = arctg
H´ any gy¨ oke van a k¨ ovetkez˝ o egyenleteknek?
87
´ lsza ´ m´ıta ´s e ´s alkalmaza ´ sai 4. A differencia
4.130.
x3 + 2x + 4 = 0
4.131.
x5 − 5x + 2 = 0
4.132.
ex = 2x + 2
4.133.
sin x =
x 2
Sz´ am´ıtsuk ki a k¨ ovetkez˝ o hat´ ar´ ert´ ekeket! π x 4.134. 4.135. lim lim x − arctg x x→∞ x→0 ln(1 + x) 2 4.136.
4.138.
1 − sin x x→π/2 1 + cos 2x
4.137.
ln x ctg x
4.139.
lim
lim
x→0+
4.140. 4.142.
lim
x→0
4.144.
4.141.
x ctg x − 1 x2
4.143.
lim (1 + x)
lim
x→0
4.148. 4.150.
1/x
4.152.
1 + ex 2
ctg x
ln x lim √ x→∞ x lim
x→0
x + ln x x→∞ x + 1 lim
sin x − x tg x − x 1 lim ctg x − x→0 x lim
4.145.
lim
x→0
x √ sin x
x→0
x→0
4.146.
x→0
x+1 e−x
lim
x→−∞
lim+
4.147. 4.149. 4.151.
1/x2
x3 + x2 + 1 x→∞ ex lim
lim x sin
x→∞
ch x − cos x x2
sin x x
lim
x→∞
1 x+1
1 + arctg x sh x + ch x
sin x hat´ar´ert´eket! x→0 x + 1 Megold´ as: A L’Hospital-szab´aly alkalmaz´as´aval: Sz´ amoljuk ki a lim
lim
x→0
Mi a hiba?
sin x cos x = lim =1 x→0 x+1 1
´ lsza ´ m´ıta ´s e ´s alkalmaza ´ sai 4. A differencia
4.153.
88
x+1 hat´ar´ert´eket! 2x + 2 Megold´ as: A L’Hospital-szab´aly alkalmaz´as´aval: Sz´ amoljuk ki a lim
x→0
lim
x→0
1 1 x+1 = lim = 2x + 2 x→0 2 2
Mi a hiba? 4.154.
sin x hat´ar´ert´eket! x Megold´ as: A L’Hospital-szab´aly alkalmaz´as´aval: Sz´ amoljuk ki a lim
x→∞
sin x cos x lim = lim = lim cos x. x→∞ x x→∞ x→∞ 1 Ez a hat´ ar´ert´ek nem l´etezik. Mi a hiba?
4.4. Sz´ els˝ o´ ert´ ekkeres´ es Hat´ arozzuk meg k¨ ovetkez˝ o fu enyek abszol´ ut sz´ els˝ o´ ert´ ekeit a ¨ ggv´ megadott intervallumokon! 4.155.
x3 − 12x
[−10; 3],
4.156.
x3 + 2x5
[−1, 4],
4.157.
A v´ekony lencs´ek lek´epez´esi t¨orv´enye szerint
[0; 3] [2, 5],
[−7, 3]
1 1 1 = + , f t k ahol f a lencse f´ okuszt´avols´aga, t a t´argy t´avols´aga a lencs´et˝ol ´es k a k´ept´ avols´ ag. Adott f f´okuszt´avols´ag eset´en mennyi legyen a t´argyt´avols´ ag, hogy t + k maxim´alis, illetve minim´alis legyen? 4.158.
A ferde haj´ıt´ asn´ al a f¨ oldr˝ol α sz¨ogben v0 kezd˝osebess´eggel kil˝ott test a kil¨ ov´es hely´et˝ ol 2v02 sin α cos α g t´ avols´ agra ´er f¨ oldet, ha a k¨ozegellen´all´ast´ol eltekint¨ unk. Milyen sz¨ogben l˝ oj¨ uk ki a testet, hogy a lehet˝o legmesszebb rep¨ ulj¨on?
´ lsza ´ m´ıta ´s e ´s alkalmaza ´ sai 4. A differencia
4.159.
89
Az egyenl˝ o sz´ ar´ u der´eksz¨og˝ u h´aromsz¨ogbe ´ırhat´o t´eglalapok k¨oz¨ ul melyiknek a ter¨ ulete a legnagyobb? Na ´es melyiknek a ker¨ ulete a legnagyobb? Itt be´ırt t´ eglalapon olyan t´eglalapot ´ert¨ unk, amelynek k´et szomsz´edos cs´ ucsa az ´ atfog´ on, a t¨ obbi cs´ ucsa a befog´okon van.
4.160.
Hat´ arozzuk meg egy adott a alkot´oj´ u egyenes k¨ork´ up alapk¨or´enek R sugar´ at ´es m magass´ ag´at u ´gy, hogy a k´ up t´erfogata maxim´alis legyen!
4.161.
A 16cm2 ter¨ ulet˝ u t´eglalapok k¨oz¨ ul melyiknek a ker¨ ulete minim´alis? Mekkor´ ak ennek az oldalai?
4.162.
A 8 egys´eg ker¨ ulet˝ u t´eglalapok k¨oz¨ ul mi´ert a n´egyzetnek legnagyobb a ter¨ ulete?
4.163.
Legfeljebb mekkora lehet a der´eksz¨og˝ u h´aromsz¨og ter¨ ulete, ha az egyik befog´ oj´ anak ´es az ´ atfog´oj´anak az ¨osszege 10 cm?
4.164.
Egy t´eglalap egyik oldala az x tengelyen fekszik, k´et fels˝o cs´ ucsa pe2 dig az y = 12 − x parabol´an. Mikor maxim´alis a ter¨ ulete egy ilyen t´eglalapnak?
4.165.
8 x 15 dm-es kartonlapb´ol t´eglalap alak´ u, nyitott dobozt k´esz´ıt¨ unk u ´gy, hogy a kartonlap sarkaib´ol egybev´ag´o n´egyzeteket v´agunk ki, majd felhajtjuk az oldalakat. Milyenek legyenek a doboz m´eretei, ha azt szeretn´enk el´erni, hogy a lehet˝o legnagyobb legyen a t´erfogata? Mekkora lesz a maxim´ alis t´erfogat?
4.166.
Hozzunk l´etre egy h´ aromsz¨oget a koordin´ata-rendszer els˝o s´ıknegyed´eben u ´gy, hogy az x-, illetve y-tengely (a, 0), (0, b) koordin´at´aj´ u pontjait egy 20 egys´eg hossz´ u egyenes szakasszal ¨osszek¨otj¨ uk. Mutassuk meg, hogy a k¨ ozbez´ art h´ aromsz¨og ter¨ ulete akkor lesz a legnagyobb, ha a = b.
4.167.
Egy farmon az ´ allatok sz´am´ara el kell ker´ıteni egy t´eglalap alak´ u kar´amot. A ter¨ uletet egyik oldalr´ol foly´o hat´arolja, a m´asik h´arom oldalon egysz´ alas vezet´eket kell kifesz´ıteni, amelybe azt´an ´aramot vezetnek. A rendelkez´esre ´ all´ o 800 m´eternyi vezet´ekkel mekkora ter¨ uletet lehet elker´ıteni, ´es milyen m´eret˝ u lesz a maxim´alis ter¨ ulet˝ u kar´am?
4.168.
Hat´ arozzuk meg egy adott V t´erfogat´ u egyenes k¨orhenger alapk¨or´enek R sugar´ at ´es m magass´ag´at u ´gy, hogy a henger felsz´ıne minim´alis legyen!
´ lsza ´ m´ıta ´s e ´s alkalmaza ´ sai 4. A differencia
90
4.169.
Egy bors´ ou u r´esz´et be kell ker´ıteni, ¨ltetv´eny 216 m2 -es t´eglalap alak´ majd a ker´ıt´es egyik oldal´aval p´arhuzamosan k´et egyenl˝o r´eszre kell osztani. Mekkor´ ak legyenek a k¨ uls˝o t´eglalap oldalai, hogy a lehet˝o legkevesebb ker´ıt´esfonatot kelljen felhaszn´alni? Milyen hossz´ u ker´ıt´esre van sz¨ uks´eg?
4.170.
Egy f¨ ugg˝ olegesen mozg´o test magass´ag´at az s = −4, 9t2 + 30t + 34 f¨ uggv´eny adja meg, ahol s-t m´eterben, t-t m´asodpercben m´erj¨ uk. Mekkora lesz (a) a test sebess´ege a t = 0 id˝opontban; (b) a legnagyobb magass´aga, ´es mikor ´eri azt el; (c) a sebess´ege, amikor s = 0?
4.171.
Janka a partt´ ol 3 kilom´eterre egy cs´onakban u ¨l, ´es szeretne eljutni a t˝ole l´egvonalban 5 kilom´eterre l´ev˝o part menti faluba. 2 km/h sebess´eggel tud evezni ´es 5 km/h sebess´eggel gyalogolni. Hol sz´alljon ki a cs´onakb´ol, hogy a lehet˝ o legr¨ ovidebb id˝o alatt ´erjen a faluba?
4.172.
K´et r´eszecske helyzet´et az s-tengelyen az s1 = cos t ´es s2 = cos(t + π/4) f¨ uggv´enyek ´ırj´ ak le. (a) Mekkora a r´eszecsk´ek legnagyobb t´avols´aga? (b) Mikor u oznek ¨ ossze? ¨tk¨
4.5. Fu enyvizsg´ alat ¨ ggv´ Tegyu alhat´ o R-en. Mi a k¨ ovetkez˝ o´ all´ıt´ asok ¨ k fel, hogy f differenci´ logikai kapcsolata, azaz melyikb˝ ol k¨ ovetkezik a m´ asik? 4.173.
P: f 0 (a) = 0
Q: f -nek lok´alis sz´els˝o´ert´eke van a-ban
4.174.
P: f 0 (a) 6= 0
Q: f -nek nincs lok´alis sz´els˝o´ert´eke a-ban
4.175.
P: f 0 (x) ≥ 0
(3, 5)-ben
Q: f monoton n˝o (3, 5)-ben
´ lsza ´ m´ıta ´s e ´s alkalmaza ´ sai 4. A differencia
4.176.
P: f 0 (x) > 0
(3, 5)-ben
91
Q: f szigor´ uan monoton n˝o (3, 5)-ben
Tegyu etszer differenci´ alhat´ o R-en. Mi a k¨ ovetkez˝ o ¨ k fel, hogy f k´ ´ all´ıt´ asok logikai kapcsolata, azaz melyikb˝ ol k¨ ovetkezik a m´ asik? 4.177.
P: f 00 (a) > 0
Q: f -nek lok´alis minimuma van a-ban
4.178.
P: f 0 (a) = 0 ´es f 00 (a) > 0
Q: f -nek lok´alis minimuma van a-ban
4.179.
P: f 00 (a) = 0
Q: f -nek inflexi´os pontja van aban
4.180.
P: f 00 (a) = 0
Q: f -nek inflexi´os pontja vagy lok´alis sz´els˝o´ert´eke van a-ban
4.181.
P: f 00 (x) ≥ 0
(3, 5)-ben
Q: f konvex (3, 5)-ben
4.182.
P: f 00 (x) > 0
(3, 5)-ben
Q: f szigor´ uan konvex (3, 5)-ben
Milyen intervallumokon n¨ ovekszik, illetve cs¨ okken, hol van lok´ alis sz´ els˝ o´ ert´ eke a k¨ ovetkez˝ o fu enyeknek? ¨ ggv´ 4.183.
f (x) = −x2 − 3x + 23
4.184.
f (x) = 2x3 − 18x + 23
4.185.
f (x) = x4 − 4x3 + 4x2 + 23
4.186.
f (x) = x
4.187.
√ f (x) = x2 5 − x
4.188.
f (x) =
p
9 − x2
x2 − 9 x−2
Keressu ovetkez˝ o fu enyek lok´ alis sz´ els˝ o´ ert´ ekeit, ´ es ha¨ k meg a k¨ ¨ ggv´ t´ arozzuk meg a t´ıpusaikat!
92
´ lsza ´ m´ıta ´s e ´s alkalmaza ´ sai 4. A differencia
4.189.
y = xe−x
4.190.
y = 2 + x − x2
4.191.
y = x3 − 6x2 + 9x − 4
4.192.
y = x + sin x
V´ egezzu ovetkez˝ o fu enyek teljes fu enyvizsg´ alat´ at! ¨ k el a k¨ ¨ ggv´ ¨ ggv´ 4.193.
f (x) = x +
4.195.
f (x) =
4.197.
1 x
1 x2
4.194.
f (x) = x −
1 1 + x2
4.196.
f (x) =
x 1 + x2
f (x) =
x+1 1 + x2
4.198.
f (x) =
x3 x2 + 1
4.199.
f (x) =
x3 x2 − 1
4.200.
f (x) = x +
4.201.
f (x) =
1 1 − x2 (x − 12 )
4.202.
√ x 1−x f (x) = 1+x
2x x2 − 1
´ azoljuk a k¨ Abr´ ovetkez˝ o fu enyeket! ¨ ggv´ 4.203.
f (x) = 6 − 2x − x2
4.204.
f (x) = x3 − 3x + 3
4.205.
f (x) = x(6 − 2x)2
4.206.
f (x) = 1 − 9x − 6x2 − x3
4.207.
f (x) = (x − 2)3 + 1
4.208.
f (x) = 1 − (x + 1)3
4.6. Elemi fu enyek ¨ ggv´ V´ egezzu ovetkez˝ o fu enyek teljes fu enyvizsg´ alat´ at! ¨ k el a k¨ ¨ ggv´ ¨ ggv´ 4.209.
x2n ,
n ∈ N+
4.210.
x2n+1 ,
n ∈ N+
93
´ lsza ´ m´ıta ´s e ´s alkalmaza ´ sai 4. A differencia
4.211.
x−2n , √
4.213.
2n
4.215.
ax ,
4.217.
loga x,
4.219.
x,
n ∈ N+
4.212.
n ∈ N+
4.214.
x−(2n+1) , √
2n+1
ax ,
4.218.
loga x,
sin x
4.220.
tg x
4.221.
arcsin x
4.222.
arctg x
4.223.
sh x =
4.224.
ch x =
4.225.
arsh x
4.226.
arch x
(a > 1)
ex − e−x 2
n ∈ N+
x,
4.216.
(a > 1)
n ∈ N+
(0 < a < 1) (0 < a < 1)
ex + e−x 2
Sz´ am´ıtsuk ki a k¨ ovetkez˝ o´ ert´ ekeket! ln 100 ln 2
4.227.
2
4.229.
arcsin
4.228.
− log3 7 1 9
4.230.
arctg(−1) 1 sin arcsin 3 arcsin(sin 3)
√
3 2
4.231.
arccos(cos(9π))
4.232.
4.233.
tg(arctg 100)
4.234.
Periodikusak-e a ko o fu enyek? Ha igen, adjunk meg egy ¨vetkez˝ ¨ ggv´ peri´ odust! 4.235.
tg(10x)
4.236.
ctg(πx)
4.237.
sin
x 5
4.238.
cos
x x + tg 2 3
94
´ lsza ´ m´ıta ´s e ´s alkalmaza ´ sai 4. A differencia
4.239.
A k¨ ovetkez˝ o f¨ uggv´enyek k¨oz¨ ul ´abr´azoltunk n´eh´anyat, keress¨ uk meg a grafikonokhoz tartoz´ o k´epleteket! sh x,
ch x,
ex ,
e−x ,
log3 x,
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f )
log0,5 x,
ln(−x),
x3 ,
x−3
95
´ lsza ´ m´ıta ´s e ´s alkalmaza ´ sai 4. A differencia
4.240.
A k¨ ovetkez˝ o f¨ uggv´enyek k¨oz¨ ul ´abr´azoltunk n´eh´anyat, keress¨ uk meg a grafikonokhoz tartoz´ o k´epleteket! sin x,
cos 2x,
sin(x − 2),
2 sin x,
tg x,
sin2 x,
ctg x,
− cos x,
|cos x|
(b)
(a) 1
Kp
K
1 2
1
0
p
1 2
K
p
Kp
p
K
1 2
0
p
1 2
K
1
p
p
p
p
p
p
1
(c)
(d) 1 1
Kp
Kp K
1 2
0
p
(e)
1 2
p
p
K
1 2
1 2
0
p
2
K
1
2
2
1
1
0
p
1
(f )
3
Kp
K
1 2
K
p
p
Kp
K
1 2
0
p
K
1
1 2
1
K
K
2
2
K
3
4.241.
A k¨ ovetkez˝ o f¨ uggv´enyeket ´abr´azoltuk, keress¨ uk meg a grafikonokhoz tartoz´ o k´epleteket! arcsin x, sin(arcsin x),
arccos x,
arcsin(sin x),
arctg x,
arcctg x
tg(arctg x),
arctg(tg x)
96
´ lsza ´ m´ıta ´s e ´s alkalmaza ´ sai 4. A differencia
(a)
(b)
p
1 2
1 2
p
p
K
0
1
K
0
1
K
1
1
2
(c)
1
p
(d) 1
p
1 2
K
3
K
p
K
3
K
2
0
1
0
1
K 1
2
2
3
(e)
p
K
1
K
2
2
1
2
3
1
2
3
1
2
3
p
(f ) 1 2
p 1
Kp
K
1 2
0
p
1 2
p
K
p
3
K
2
K
0
1
K
1
K
1 2
p
(g)
(h)
3
2
1
1
Kp
K
1 2
0
p
K
1
1 2
p
p
K
3
K
2
K
0
1
K
1
K
2
K
3
4.242.
A k¨ ovetkez˝ o f¨ uggv´enyeket ´abr´azoltuk, keress¨ uk meg a grafikonokhoz tartoz´ o k´epleteket!
97
´ lsza ´ m´ıta ´s e ´s alkalmaza ´ sai 4. A differencia
sin(arccos x), tg(arcctg x),
arccos(sin x),
cos(arcsin x),
arcctg(tg x),
ctg(arctg x),
(a)
arcsin(cos x) arctg(ctg x)
(b) p
1 1 2
p
K
3
Kp
K
1 2
0
p
1 2
K
K
2
0
1
1
2
3
p
p
(c)
(d) 1 2
p
1
K
3
K
Kp
K
2
0
1
1
2
K
1 2
0
p
2
K
1 2
(e)
1
p
p
p
p
3
p
(f )
3
p 2
1
1 2
K
3
K
K
2
0
1
1
2
p
3
K
Kp
1
K
1 2
0
p
1 2
K
2
K
3
(g)
(h) 1 2
3
p 2
1
Kp
K
1 2
0
p
1 2
K
1 2
p
p
K
3
p
K
2
K
0
1
K
1
K
2
K
3
1
2
3
5. fejezet Az egyv´ altoz´ os Riemann-integr´ al 5.1. Alapintegr´ alok Z Z 1 1 α α+1 x dx = x + C (α 6= dx = ln |x| + C α+1 x −1) Z Z 1 x a + C (a 6= 1) ex dx = ex + C ax dx = ln a Z Z cos x dx = sin x + C sin x dx = − cos x + C Z Z
1 dx = tg x + C cos2 x √
1 dx = arcsin x + C 1 − x2
Z
Z
1 dx = − ctg x + C sin2 x
Z
1 dx = arctg x + C 1 + x2
Z ch x dx = sh x + C
Z
√
sh x dx = ch x + C Z
1 dx = arsh x + C 1 + x2
√
1 dx = arch x + C x2 − 1
5.2. Integr´ al´ asi szab´ alyok — Ha f -nek ´es g-nek van primit´ıv f¨ uggv´enye, akkor f + g-nek ´es c · f -nek is van, nevezetesen Z
Z (f + g) =
Z f+
Z g,
Z c·f =c
f
— Ha F primit´ıv f¨ uggv´enye f -nek, akkor minden a, b ∈ R, a 6= 0 eset´en Z f (ax + b) dx =
1 F (ax + b) + C a
99
´ ltozo ´ s Riemann-integra ´l 5. Az egyva
— Ha f deriv´ alhat´ o ´es minden¨ utt pozit´ıv, akkor Z
f α (x)f 0 (x) dx =
f α+1 (x) +C α+1
(α 6= −1)
— Ha f deriv´ alhat´ o, ´es sehol sem nulla, akkor Z
f 0 (x) dx = ln |f (x)| + C f (x)
— Parci´ alis integr´ al´ as: Ha f ´es g deriv´ alhat´ o, ´es f g 0 -nek van primit´ıv f¨ uggv´enye, akkor f 0 g-nek is, ´es Z
Z
0
f g = fg −
f g0
— Integr´ al´ as helyettes´ıt´ essel: Ha g(x) deriv´ alhat´ o, f (y) ´ertelmezett g(x) ´ert´ekk´eszlet´en, ´es itt van primit´ıv f¨ uggv´enye, akkor az f (g(x)) · g 0 (x) ¨osszetett f¨ uggv´enynek is van primit´ıv f¨ uggv´enye ´es Z
f (g(x)) · g 0 (x) dx = F (g(x)) + C,
ahol F (y) az f (y) f¨ uggv´eny egyik primit´ıv f¨ uggv´enye. 5.3. Newton-Leibniz formula. Ha f integr´alhat´o az [a, b] z´art intervallumon, l´etezik az F primit´ıv f¨ uggv´enye az (a, b) ny´ılt intervallumon, ´es F folytonos az [a, b] z´ art intervallumon, akkor Zb f (x) dx = F (b) − F (a), a
azaz az integr´ al megegyezik a primit´ıv f¨ uggv´eny megv´altoz´as´aval. 5.4. Integr´ altranszform´ aci´ o. Ha f folytonos az [a, b] intervallumon, g : [c, d] → [a, b] folytonosan deriv´alhat´o f¨ uggv´eny ´es g(c) = a, g(d) = b, akkor Zb
Zd f (x) dx =
a
c
f (g(t))g 0 (t) dt.
100
´ ltozo ´ s Riemann-integra ´l 5. Az egyva
A fenti k´eplet el˝ onye, hogy nem kell ismern¨ unk a g helyettes´ıt˝o f¨ uggv´eny inverz´et, el´eg ha a c ´es d pontokat meghat´arozzuk. 5.5. A hat´ arozott integr´ al alkalmaz´ asai. — Fu enyg¨ orbe alatti teru ¨ ggv´ ¨ let. Ha f : [a, b] → R integr´alhat´o, ´es sehol sem negat´ıv, akkor az A = {(x; y) : x ∈ [a, b], 0 ≤ y ≤ f (x)} s´ıkidomnak van ter¨ ulete, ´es Zb t(A) =
f (x) dx. a
— Norm´ altartom´ any teru uggv´eny ¨ lete. Ha f ´es g k´et integr´alhat´o f¨ [a, b]-n, x ∈ [a, b] eset´en g(x) ≥ f (x), akkor a N = {(x; y) : x ∈ [a, b], f (x) ≤ y ≤ g(x)} norm´ altartom´ anynak van ter¨ ulete ´es Zb (g(x) − f (x)) dx
t(N ) = a
— Szektorszer˝ u tartom´ any teru ¨ lete. Ha az S tartom´anyt a pol´arkoordin´ at´ akkal megadott r = r(ϕ), ϕ ∈ [α, β] s´ıkg¨orbe ´es az orig´ob´ol a g¨ orbe k´et v´egpontj´ aba h´ uzott szakaszok hat´arolj´ak, ´es r(ϕ) integr´alhat´ o, akkor az S s´ıkidomnak van ter¨ ulete, ´es 1 t(S) = 2
Zβ
r2 (ϕ) dϕ.
α
— Fu enygrafikon ´ıvhossza. Ha az f f¨ uggv´eny az [a, b] intervallu¨ ggv´ mon folytonosan deriv´ alhat´o, akkor a f¨ uggv´eny grafikonj´anak van ´ıvhossza, ´es Zb p 1 + (f 0 (x))2 dx. L= a
101
´ ltozo ´ s Riemann-integra ´l 5. Az egyva
— Forg´ astest t´ erfogata. Ha f : [a, b] → R integr´alhat´o ´es sehol sem negat´ıv, akkor az A = (x; y; z) : a ≤ x ≤ b, y 2 + z 2 ≤ f 2 (x) forg´ astestnek van t´erfogata ´es Zb V =π
f 2 (x) dx.
a
5.6. Majoriz´ aci´ os-elv vagy ¨ osszehasonl´ıt´ o krit´ erium. Ha f ´es g integr´ alhat´ o [a, ∞) minden korl´ atos z´art r´eszintervallum´an, ´es x ∈ [a, ∞) eset´en Z∞ Z∞ |f (x)| ≤ g(x) ´es g(x) dx konvergens, akkor f (x) dx is (abszol´ ut) konvergens.
a
a
5.7. Nagys´ agrendi krit´ erium vagy hat´ ar´ ert´ ek o o krit´ e¨sszehasonl´ıt´ rium. Ha f ´es g pozit´ıv ´es integr´alhat´o [a, ∞) minden korl´atos z´art r´eszintervallum´ an, f (x) lim =L x→∞ g(x) l´etezik, ´es 0 < L < ∞, akkor az Z∞
Z∞ f (x) dx
a
´es
g(x) dx a
improprius integr´ alok egyszerre konvergensek vagy divergensek. A k´et fenti konvergencia-krit´erium ´ertelemszer˝ uen megfogalmazhat´o korl´atos intervallumokon vett improprius integr´alok eset´en is.
102
´ ltozo ´ s Riemann-integra ´l 5. Az egyva
5.1. Hat´ arozatlan integr´ al 5.1.
A k¨ ovetkez˝ o f¨ uggv´enyeket a baloldali oszlopban, deriv´altjaikat a jobboldali oszlopban ´ abr´ azoltuk. Keress¨ uk meg ˝oket! x3 − 4x, (1)
x3 ,
x + sin x,
tg x,
(A)
20
2
10
K2
e−x
1
0
K10
2
(2)
(B)
0
K2
10
2
10
K2
0
K10
2
K10 K20
(3)
(C) 2 5,0
K1
0
K2
1
2,5
K
2
0
2
103
´ ltozo ´ s Riemann-integra ´l 5. Az egyva
(4)
(D) 2,5
K
0
2
4
2
2
K
2,5
K1
(5)
0
1
0
2
(E) 20 10
K10
10 0
10
K10
K2
Sz´ am´ıtsuk ki a k¨ ovetkez˝ o hat´ arozatlan integr´ alokat! Z Z 5.2. 5.3. sin(x + 3) dx (1 + x + 5x2 ) dx 5.4. 5.6.
Z
Z
√
x + 2 dx
5.5.
1 dx (x + 2)3
5.7.
Z
2
(sin x + cos x) dx Z
e2x+3 dx
Alapintegr´ alokra val´ o visszavezet´ essel. illetve line´ aris helyettes´ıt´ es alkalmaz´ as´ aval sz´ am´ıtsuk ki a k¨ ovetkez˝ o hat´ arozatlan integr´ alokat! Az eredm´ enyt minden esetben ellen˝ orizzu al´ assal! ¨ k deriv´
104
´ ltozo ´ s Riemann-integra ´l 5. Az egyva
5.8. 5.10. 5.12. 5.14.
Z
Z
x3/2 dx −5 dx x−7
5.11.
sin 2x + 3 cos x dx
5.13.
Z
Z
Z
5.9.
2x−3
e
dx
5.15.
Z
Z Z
Z
f0
√
x+
1 x
dx
x5 − 3x3 + x − 2 dx x2 2x dx e−x + 3 cos
x dx 2
Z
vagy f a f 0 alak´ ura visszavef zethet˝ o hat´ arozatlan integr´ alokat! Az eredm´ enyt minden esetben ellen˝ orizzu al´ assal! ¨ k deriv´ Z Z 1 x2 5.17. ln2 x · dx 5.16. dx x x3 + 1 Z Z p 2x + 1 5.18. 5.19. √ dx x x2 + 1 dx x2 + x + 1 Z Z 1 x 5.21. dx 5.20. √ dx 2 x ln x x +1 Z Z 1 sin x 5.23. 5.22. dx dx (1 + x2 ) arctg x cos2013 x Hat´ arozzuk meg a k¨ ovetkez˝ o
A k¨ ovetkez˝ o hat´ arozatlan integr´ alok nevez˝ oj´ eben m´ asodfok´ u kifejez´ esek vannak. A megold´ asban seg´ıthet a parci´ alisZ t¨ ortekre bont´ as, 1 f0 az alakok felismer´ ese, illetve visszavezet´ es az dx alapf 1 + x2 integr´ alra. Az eredm´ enyt minden esetben ellen˝ orizzu al´ assal! ¨ k deriv´ 5.24. 5.26.
Z
1 dx 2 + x2
5.25.
Z
1 dx 4 − x2
5.27.
Z
4 dx 5 + 6x2
Z
1 dx 4 − 9x2
105
´ ltozo ´ s Riemann-integra ´l 5. Az egyva
5.28. 5.30. 5.32. 5.34. 5.36. 5.38.
Z
3 dx (x + 3)(x + 2)
5.29.
Z
1 dx 10 − x2
5.31.
Z
x−2 dx x2 − 2x + 6
5.33.
Z
x2 + 1 dx x2 − 1
5.35.
Z
3x3 + 2x − 1 dx x2 − x − 6
5.37.
Z
x4 + 2 dx x2 + 1
5.39.
Z
3 dx (x + 3)(2 − x)
Z
1 dx 10 + x2
Z x2
x dx − 2x + 6
Z
x2 − 1 dx x2 + 1
Z
3x2 + 2x − 1 dx x2 − 2x + 6
Z
x4 − 2 dx x2 − 1
Integr´ aljuk a k¨ ovetkez˝ o racion´ alis t¨ ortfu enyeket! ¨ ggv´ Z Z 1 1 5.41. dx 5.40. dx 3+x 3 2 x x +x Z Z x x 5.42. 5.43. dx dx x2 − 2x + 5 x2 − 2x − 3 Z 2 Z x +2 x+2 5.45. 5.44. dx dx x−1 x−1 Z 2 Z x −2 3x2 + 2 5.46. 5.47. dx dx x+1 x3 + 2x Z Z 2 x+2 5.49. dx 5.48. dx 2 (x − 1)2 x + 2x + 2
Z
f0
Z
vagy f 0 f a alakok f felismer´ es´ evel, illetve trigonometrikus azonoss´ agok felhaszn´ al´ as´ aval sz´ am´ıtsuk ki a k¨ ovetkez˝ o hat´ arozatlan integr´ alokat! Az eredm´ enyt minden esetben ellen˝ orizzu al´ assal! ¨ k deriv´
Alapintegr´ alokra val´ o visszavezet´ essel,
106
´ ltozo ´ s Riemann-integra ´l 5. Az egyva
5.50. 5.52.
5.54. 5.56. 5.58.
Z
sin2 x dx
5.51.
Z
3 dx cos2 x
5.53.
Z
5 dx 2 cos (1 − x)
5.55.
Z
(sin x + cos x)2 dx sin2 x
5.57.
Z
sin2 2x + 1 dx cos2 x
5.59.
Z
Z
cos2 2x dx 4 dx sin2 (3x − 5)
Z tg x dx Z
(sin x − cos x)2 dx cos2 x
Z
√
1 + sin x dx
Hat´ arozzuk meg parci´ alis integr´ al´ assal a k¨ ovetkez˝ o hat´ arozatlan integr´ alokat! Z Z 5.61. x2 sin x dx 5.60. x cos x dx 5.62. 5.64. 5.66. 5.68.
5.70.
Z
ex sin x dx
5.63.
arctg x dx
5.65.
x sh x dx
5.67.
Z
Z
Z x ln
1+x dx 1−x
5.69.
Z
x2 e−x dx
Z x arctg x dx Z
x ln2 x dx
Z sin 3x · cos 4x dx
Helyes-e a k¨ ovetkez˝ o parci´alis integr´al´as? Ha igen, akkor 0 = 1?
Z
1 1 1 · dx = ln x · − x ln x ln x
Z
1 Z 1 1 x ln x · 2 dx = 1 + · dx x ln x ln x −
Hat´ arozzuk meg a k¨ ovetkez˝ o hat´ arozatlan integr´ alokat a javasolt helyettes´ıt´ esekkel!
107
´ ltozo ´ s Riemann-integra ´l 5. Az egyva
5.71. 5.72. 5.73. 5.74.
5.75. 5.76. 5.77. 5.78. 5.79. 5.80. 5.81. 5.82.
Z Z
Z
2
xex dx,
t=
x2 dx, 1 − x2
x = sin t
Z
1 p
Z
√
p x3 + 1 dx,
x2 √
t = x2
x(1 − x)
x3 + 1
x = sin2 t
dx,
1 dx, sin x
t = cos x
1 dx, 1 + cos2 x
t = tg x
Z
1 dx, 2x + 4x
t = 2x
Z
1 dx, 1 + sin2 x
t = tg x
1 √ dx, (1 − x2 ) 1 − x2
x = sin t
Z
Z
Z
1 √
(1 +
x2 )
(1 +
x2 )
Z
Z
1 √
1 + x2 1 + x2
dx,
x = tg t
dx,
x = sh t
1 dx, (x + 1)2 (x − 2)3
t=
x+1 x−2
Sz´ amoljuk ki a k¨ ovetkez˝ o hat´ arozatlan integr´ alokat helyettes´ıt´ esekkel! Z Z 2 5.84. cos x esin x dx 5.83. (2x + 1)ex +x+1 dx 5.85.
Z
dx p
x(1 − x)
5.86.
Z
x dx (x2 + 1)2
108
´ ltozo ´ s Riemann-integra ´l 5. Az egyva
Z
5.87.
Z
5.89.
ex + 2 dx ex + e2x
5.88.
2x + 3 dx 2x + 22x
5.90.
Z ex Z
1 dx + e−x
1 dx cos x
Sz´ amoljuk ki a k¨ ovetkez˝ o hat´ arozatlan integr´ alokat! Z Z x+1 1 5.92. dx 5.91. dx 2 x +x+1 (x + 2)(x − 1) Z Z x e − e−x 5.93. cos3 x sin2 x dx 5.94. dx ex + e−x Z Z 1 5.96. x sin(x2 + 1) dx 5.95. dx x −x e +e Z Z 1 5.97. 5.98. √ dx ln x dx 1+ x Z Z 1 2 5.100. dx 5.99. ln(x + 1) dx (1 + x2 ) arctg x Z Z 1 arctg x 5.101. 5.102. dx dx 1 + cos x 1 + x2 Z Z 2 5.104. e−3x − 2 sin(3x − 2) dx 5.103. 2x sin(x + 1) dx 5.105. 5.107. 5.109. 5.111. 5.113.
Z
2
222
(2x + 2)(x + 2x)
dx
5.106.
Z
e2x dx 1 + ex
5.108.
Z
1 √ dx 1+ x
5.110.
Z
2
(x + x) ln x dx Z sin x · cos
3000
x dx
5.112. 5.114.
Z ctg x dx Z
Z
Z
Z
√
2 − x dx
x2 ln x dx √ 3 4 x + 2 dx 1 dx x ln x
109
´ ltozo ´ s Riemann-integra ´l 5. Az egyva
5.115. 5.117.
5.119. 5.121.
Z Z
3−2x dx
5.116.
cos x · esin x dx
5.118.
Z
1 dx 2 sin x cos4 x
5.120.
Z
1 dx cos4 x
5.122.
Z p
2 − x2 dx
Z
cos3 x dx sin4 x
Z
cos5 x dx sin3 x
Z
cos x sin2 x dx
5.2. Hat´ arozott integr´ al 5.123.
Ellen˝ orizz¨ uk, hogy a [−2, 4] intervallumban megadott pontok megfelelneke a Riemann-integr´ al defin´ıci´oj´aban szerepl˝o feloszt´asnak? Ha igen, hat´ arozzuk meg a feloszt´ as finoms´ag´at! (a) x0 = −2, x1 = −1, x2 = 0, x3 =
1 , x4 = 4 2
(b) x0 = −1, x1 = 2, x2 = 4 (c) x0 = −2, x1 = 4 1 1 (d) x0 = −2, x1 = x0 + 1, x2 = x1 + , . . . , xn = xn−1 + 2 n (e) x0 = −2, x1 = −1, 5, x2 = 3, x3 = 4 5.124.
Finom´ıt´ asai-e egym´ asnak a k¨ovetkez˝o feloszt´asok a [−2, 4] intervallumban? 1 Φ = {−2; −1; 0; ; 3; 4} 2 Φ = {−2; −1; 0; 3; 4}
(a) F={-2; -1; 0; 4} (b) F={-2; -1,5; 3; 4}
Hat´ arozzuk meg a k¨ ovetkez˝ o fu enyek als´ o ´ es fels˝ o ¨ osszeg´ et az ¨ ggv´ adott feloszt´ as eset´ en a [−2, 4] intervallumban! ( 5.125.
f (x) =
1, ha x ∈ Q 0, ha x ∈ /Q
,
Φ = {−2, 1, 5, 4}
110
´ ltozo ´ s Riemann-integra ´l 5. Az egyva
5.126.
x2 ,
Φ = {−2, −1, 0, 4}
5.127.
x2 ,
Φ = {−2, 4}
5.128.
[x],
Φ = {−2, −1, 0, 4}
5.129.
[x],
Φ = {−2, 1, 5, 4}
5.130.
Hat´ arozzuk meg az
f (x) =
1 0, ha 0 ≤ x < 2 1, ha 1 ≤ x ≤ 1 2
f¨ uggv´eny als´ o ´es fels˝ o ¨osszegeinek halmaz´at a [0, 1] intervallum eset´en! Adjuk meg az als´ o¨ osszegek szupr´emum´at ´es a fels˝o ¨osszegek infimum´at! Riemann-integr´ alhat´ ok-e a ko o fu enyek a megadott I in¨vetkez˝ ¨ ggv´ tervallumokban? 5.131.
f (x) = 5
5.133.
f (x) = [x] I = [2, 4]
5.135.
5.136.
5.137.
5.138.
I = [0, 1]
1 x , ha x 6= 0 f (x) = 0, ha x = 0 ( 1, ha x ∈ Q D(x) = 0, ha x ∈ /Q ( x, ha x ∈ Q g(x) = −x, ha x ∈ /Q
5.132.
f (x) = −4
I = (−1, 2)
5.134.
f (x) = |x|
I = [−2, 1]
I = [0, 1]
I = [3, 5]
I = [3, 5]
Bizony´ıtsuk be, hogy ha minden x ∈ [a, b] eset´en teljes¨ ul, hogy m ≤ f (x) ≤ M , tov´ abb´ a f integr´alhat´o [a, b]-n, akkor Zb m(b − a) ≤
f (x) dx ≤ M (b − a). a
111
´ ltozo ´ s Riemann-integra ´l 5. Az egyva
5.139.
Bizony´ıtsuk be, hogy ha minden x ∈ [a, b] eset´en teljes¨ ul, hogy f (x) ≤ g(x), tov´ abb´ a f ´es g integr´alhat´o [a, b]-n, akkor Zb
Zb f (x) dx ≤
a
g(x) dx. a
Bizony´ıtsuk be a k¨ ovetkez˝ o egyenl˝ otlens´ egeket! 5.140.
Z2
1 dx ≤ 1 2 x + ex
0≤
5.141.
1≤
ln x + 0, 2 dx ≤ 2
4
1
5.142.
Z5 p
Legyen Zx f (t) = sgn t ´es G(x) =
f (t) dt
(x > −6).
−6
Hat´ arozzuk meg G(−4), G(0), G(1), G(6) ´ert´ek´et! Hat´arozzuk meg G(x) deriv´ altj´ at! 5.143.
Legyen 1, ha t = 1 (n ∈ N+ ) f (t) = n 0 egy´ebk´ent
Zx ´es G(x) =
f (t) dt
(x > 0).
0
Hat´ arozzuk meg a G(x) ´es G0 (x) f¨ uggv´enyeket! 5.144.
Lehet-e sgn x valamilyen f¨ uggv´enynek az integr´alf¨ uggv´enye [−1, 1]-en? Van-e sgn x-nek primit´ıv f¨ uggv´enye (−1, 1)-en?
5.145.
Legyen ( F (x) =
x2 , ha x 6= 0 0, ha x = 0
( ´es g(x) =
F 0 (x), ha x 6= 0 1, ha x = 0
.
Van-e g-nek primit´ıv f¨ uggv´enye? Integr´alhat´o-e a g f¨ uggv´eny? Deriv´alhat´oe a g f¨ uggv´eny?
112
´ ltozo ´ s Riemann-integra ´l 5. Az egyva
Sz´ am´ıtsuk ki a k¨ ovetkez˝ o sorozatok hat´ ar´ ert´ ek´ et! 1 2 n sin + sin + · · · + sin n n n 5.146. lim n→∞ n √ √ √ 1 + 1 + ··· + n 5.147. √ lim n→∞ n n √ √ √ 3 1 + 3 2 + ··· + 3 n 5.148. √ lim n→∞ n3n 2 n n X X i i 5.150. 5.149. lim n lim n 2 + i2 n→∞ n→∞ n n i=1 i=1 5.151.
n X √ √ lim ln n n + i − ln n n
n→∞
5.152.
i=1
Legyen f korl´ atos f¨ uggv´eny [0, 1]-ben, ´es tegy¨ uk fel, hogy n 1 2 f +f + ··· + f n n n lim = 5. n→∞ n Z1 K¨ ovetkezik-e ebb˝ ol, hogy f integr´alhat´o [0, 1]-ben, ´es hogy
f (x) dx = 5? 0
5.153.
Mi a k¨ ovetkez˝ o k´et ´ all´ıt´as logikai kapcsolata, azaz melyikb˝ol k¨ovetkezik a m´ asik? P: Az f f¨ uggv´eny integr´alhat´o [a, b]-n. Q: Az |f | f¨ uggv´eny integr´alhat´o [a, b]-n.
5.154.
Sz´ am´ıtsuk ki a x2 sin 1 , ha x 6= 0 G(x) = x 0, ha x = 0 f¨ uggv´eny deriv´ altj´ at! Bizony´ıtsuk be ennek seg´ıts´eg´evel, hogy az cos 1 , ha x 6= 0 f (x) = x 0, ha x = 0
113
´ ltozo ´ s Riemann-integra ´l 5. Az egyva
f¨ uggv´enynek van primit´ıv f¨ uggv´enye! 5.155.
Tudjuk, hogy az cos 1 , ha x 6= 0 f (x) = x 0, ha x = 0 f¨ uggv´enynek van primit´ıv f¨ uggv´enye. Lehet-e primit´ıv f¨ uggv´enye a cos 1 , ha x 6= 0 g(x) = x 1, ha x = 0 f¨ uggv´enynek?
Hat´ arozzuk meg a k¨ ovetkez˝ o fu enyek deriv´ altj´ at! ¨ ggv´ 5.156.
Zx H(x) =
1 dt. ln t
5.157.
ch x Z
L(x) =
2
1 dt. ln t
2
Hat´ arozzuk meg a k¨ ovetkez˝ o hat´ ar´ ert´ ekeket! 5.158.
ln x x→∞ x
Zx
lim
1 dt ln t
5.159.
2
ln x lim x→∞ x
ch x Z
1 dt ln t
2
Legyen f integr´ alhat´ o [−a, a]-n. Bizony´ıtsuk be, hogy ha f 5.160.
Za p´ aros f¨ uggv´eny, akkor
Za f (x) dx = 2
−a
5.161.
f (x) dx, 0
Za p´ aratlan f¨ uggv´eny, akkor
f (x) dx = 0. −a
Sz´ am´ıtsuk ki a k¨ ovetkez˝ o hat´ arozott integr´ alokat!
114
´ ltozo ´ s Riemann-integra ´l 5. Az egyva
5.162.
5.164.
Z3
2
5.163.
x dx 2
4
Zπ
Z4
sin x dx
5.165.
0
5.166.
Z6
45x+6 dx
x2 ln x dx
3
Z0
2
5.167.
sin x dx −2π
Z3
3x4 + 4x3 − 2x + 1 dx x2 + 1
−2
Hat´ arozzuk meg a k¨ ovetkez˝ o hat´ arozott integr´ alokat a javasolt helyettes´ıt´ esekkel! √
5.168.
Z3/2
√
x2 dx, 1 − x2
x = sin t
1/2
5.169.
Z5
x2
p x3 + 1 dx,
t=
p x3 + 1
2
Hat´ arozzuk meg a k¨ ovetkez˝ o hat´ arozott integr´ alokat helyettes´ıt´ esekkel! Z2 x Z1 √ 3 +2 5.170. 5.171. dx arctg x · x dx 3x + 32x 1
5.172.
Zπ/2
0
1 dx 1 + tg x
5.173.
52x dx 1 + 5x
1
π/6
5.174.
Z2
Z2 Sz´ am´ıtsuk ki az −2
4
sin9 x · ex dx integr´alt!
´ ltozo ´ s Riemann-integra ´l 5. Az egyva
115
5.3. A hat´ arozott integr´ al alkalmaz´ asai 5.175.
Hat´ arozzuk meg a −x2 + 3 f¨ uggv´eny grafikonja alatti ter¨ uletet!
5.176.
Hat´ arozzuk meg a sin2 x f¨ uggv´eny egy huplija” alatti ter¨ uletet! ”
Hat´ arozzuk meg az f ´ es g fu enyek grafikonja ´ altal bez´ art tar¨ ggv´ tom´ anyok teru et! ¨ let´ 5.177.
f (x) = x2 ,
5.178.
f (x) = −x2 + 2x,
5.179.
f (x) =
5.180.
f (x) =
√ √
g(x) = −x + 2 g(x) = −x
1 − x2 ,
g(x) = 0
1 − x2 ,
g(x) = −x
Hat´ arozzuk meg az adott g¨ orb´ ek ´ altal bez´ art teru ¨ letet! 5.181.
x tengely, ln x grafikonja, x = e egyenes
5.182.
x tengely, tg x grafikonja, x = π/4 egyenes
5.183.
y tengely, x2 grafikonja, y = 3 egyenes
5.184.
y tengely, ex grafikonja, y = 5 egyenes
5.185.
1 x2 grafikonja, grafikonja 1 + x2 2
5.186.
x2 grafikonja, y = x egyenes, y = −x + 1 egyenes
5.187.
x2 grafikonja, 2x2 grafikonja, y = x egyenes
5.188.
1 grafikonja, y = x egyenes, y = −2x + 4, 5 egyenes x
116
´ ltozo ´ s Riemann-integra ´l 5. Az egyva
5.189.
Bizony´ıtsuk be, hogy az ´abr´an l´athat´o parabolaszeletnek a ter¨ ulete, amelyiknek a magass´ aga m, ´es amelyet h hossz´ us´ag´ u h´ ur hat´arol, T = 2 mh. 3
m
h Hat´ arozzuk meg a k¨ ovetkez˝ o, pol´ arkoordin´ at´ akkal megadott g¨ orb´ ek ´ altal hat´ arolt s´ıkidomok teru et! ¨ let´ 5.190.
r = cos ϕ
5.191.
r = cos 2ϕ
5.192.
r = cos 3ϕ
5.193.
r=
1 , 1 1 + cos ϕ 2
0≤ϕ≤
π 2
Forgassuk meg a k¨ ovetkez˝ o fu enyek grafikonjait az x tengely ¨ ggv´ k¨ oru am´ıtsuk ki a keletkezett ¨ l a megadott I intervallumok felett! Sz´ forg´ astestek t´ erfogat´ at! 5.194.
e−x
5.196.
sin x
I = [0, 1] I = [0, π]
5.195. 5.197.
√
x
1 x
I = [0, 1] I = [1, 4]
Forgassuk meg a k¨ ovetkez˝ o fu enyek grafikonjait az y tengely ¨ ggv´ ko am´ıtsuk ki a keletkezett ¨ru ¨ l a megadott intervallumokban! Sz´ forg´ astestek t´ erfogat´ at! 5.198.
e−x
5.200.
sin x
x ∈ [0, 1] x ∈ [0, π/2]
5.199. 5.201.
√ 1 x
x
x ∈ [0, 1] x ∈ [1, 4]
117
´ ltozo ´ s Riemann-integra ´l 5. Az egyva
Forgassuk meg f ´ es g grafikonj´ at az x tengely k¨ oru ¨ l az [x1 , x2 ] intervallumban, majd sz´ amoljuk ki azoknak a forg´ astesteknek a t´ erfogat´ at, amelyeket a megforgatott grafikonok, illetve az x = x1 ´ es x = x2 s´ıkok hat´ arolnak! 5.202.
f (x) = −x2 + 4
g(x) = −2x2 + 8
5.203.
f (x) = sin x
g(x) = −4x4 + 4
x1 = 0 x2 = 1
5.204.
f (x) = ex
g(x) =
1 x
x1 = 1 x2 = 2
5.205.
f (x) = ln x
g(x) = ch x
x1 = −2
x2 = 2
x1 = 1 x2 = 2
Sz´ am´ıtsuk ki a k¨ ovetkez˝ o fu enygrafikonok ´ıvhossz´ at a megadott ¨ ggv´ I intervallumokon! √ √ √ 5.206. 5.207. ln x, I = [ 3, 8] x, I = [0, 1] 5.208.
ch x,
I = [−1, 1]
5.209.
x3/2 ,
I = [0, 4]
Hat´ arozzuk meg az egyenesvonal´ u p´ aly´ an mozg´ o pont ´ altal megtett utat az adott id˝ ointervallumokban, ha a mozg´ o pont sebess´ ege az id˝ o fu eny´ eben ¨ ggv´ 5.210.
v(t) = 5t2
t ∈ [0, 2]
5.211.
v(t) = 3 sin 2t
t ∈ [0, 2π]
Egy testet az x tengelyen az x tengely ir´ any´ aban hat´ o F (x) er˝ o mozgat az x1 pontb´ ol az x2 pontba. Mekkora munk´ at v´ egez az er˝ o? 5.212.
F (x) = 2x,
[x1 , x2 ] = [0, 2]
118
´ ltozo ´ s Riemann-integra ´l 5. Az egyva
5.213.
F (x) = 3 sin x,
[x1 , x2 ] = [0, π/4]
Egy 1 m´ eter hossz´ us´ ag´ u rudat az x tengelyre helyezu ´ gy, hogy ¨ nk u a r´ ud bal v´ egpontja az orig´ o. Mekkora a r´ ud t¨ omege, ha a s˝ ur˝ us´ ege az orig´ ot´ ol x t´ avols´ agra %(x)? x2 1000
5.214.
%(x) = 2 + x
5.216.
Hat´ arozzuk meg az el˝ oz˝o feladatban a rudak t¨omegk¨oz´eppontj´at!
5.217.
Hat´ arozzuk meg az el˝ oz˝o feladatban a rudak y tengelyre vonatkoz´o tehetetlens´egi nyomat´ek´at!
5.218.
Mekkora munk´ at kell v´egezn¨ unk ahhoz, hogy az x tengely x0 pontj´aban l´ev˝ o q t¨ olt´est az x tengely ment´en a 2x0 pontba vigy¨ uk, ha az orig´oban egy Q t¨ olt´est r¨ ogz´ıtett¨ unk?
5.219.
Egy homog´en r´ ud l hossz´ us´ag´ u, m t¨omeg˝ u. A rudat az x tengelyre helyezz¨ uk u ´gy, hogy a r´ ud bal v´egpontja az orig´o. Mekkora er˝ovel vonzza ez a r´ ud a (0, y0 ) pontban l´ev˝o M t¨omeg˝ u anyagi pontot?
5.215.
%(x) = 2 +
5.4. Improprius integr´ al 5.220.
Z∞ Milyen c eset´en konvergens az
1 dx improprius integr´al? xc
1
5.221.
Z1 Milyen c eset´en konvergens az
1 dx improprius integr´al? xc
0
5.222.
Melyik ´ all´ıt´ asb´ ol k¨ ovetkezik, hogy az
R∞ 1
vergens vagy az, hogy divergens?
f (x) dx improprius integr´al kon-
119
´ ltozo ´ s Riemann-integra ´l 5. Az egyva
(a) ∀x ∈ [1, ∞) (c) ∀x ∈ [1, ∞)
1 x2 1 |f (x)| > x
|f (x)| <
(b) f (x) >
1 x3
(d) ∀x ∈ [1, ∞)
|f (x)| <
1 x
Konvergensek-e, ´ es ha igen, mennyi az ´ ert´ eku abbi improprius ¨ k az al´ integr´ aloknak! Z∞ Z1 dx 5.223. 2−x dx 5.224. x−1 3
5.225.
Z∞
0
dx x3
5.226.
2
5.227.
Z∞
5.229.
dx √ x
5.228.
5.231.
dx x ln x
5.230.
5.233.
5.235.
5.237.
Z∞
5.232.
Z2
dx x ln x
0
dx √ x+ x
5.234.
Z1 0
Z1
Z
dx √ 1 − x2
Zπ/2 tg x dx 0
dx x ln x
1
dx x ln x
1
0
dx √ x
2
1 2
Z∞
Z1 0
1
Z1
dx x3
0
1
Z2
Z7
5.236.
dx √ x+ x 1
ln x dx 0
5.238.
+∞ Z
dx 1 + x2
−∞
Do abbi improprius integr´ alokr´ ol, hogy konvergensek, ¨ntsu ¨ k el az al´ abszol´ ut konvergensek vagy divergensek!
120
´ ltozo ´ s Riemann-integra ´l 5. Az egyva
5.239.
Z∞
√
dx x + x2
5.240.
1
5.241.
Z∞
dx dx x ln2 x
5.242.
+∞ Z
Z∞
x2 dx 4 x − x2 + 1
5.244.
x+1 dx x3 + x
5.246.
dx sin x
5.248.
cos x dx x2
5.250.
1
5.251.
xe +∞ Z
0
+∞ Z
Z1
Z∞
x+1 √ dx x4 + 1
√
dx x + x3 2
e−x dx
Z∞
ln x dx x2
1
Z∞
−x2
dx
5.252.
0
5.253.
dx x + x3
0
0
5.249.
√
0
Zπ/2
Z∞
Z∞
1
1
5.247.
dx x + x2
1
0
5.245.
√
0
2
5.243.
Z1
Z∞
2
x2 e−x dx
0
dx x2
5.254.
+∞ Z
1
cos x dx x2
6. fejezet Numerikus sorok 6.1. Konvergenciakrit´ eriumok. — Ha
∞ X
an konvergens, akkor an → 0.
n=1
— Sorok Cauchy-krit´ eriuma. A
∞ X
an numerikus sor akkor ´es csak
n=1
akkor konvergens, ha m X ak < ε). ∀ε > 0 ∃n0 ∀n, m (n0 ≤ n ≤ m =⇒ k=n
— Major´ ans krit´ erium. Ha v´eges sok kiv´etellel minden n ∈ N+ eset´en ∞ ∞ X X |an | ≤ bn ´es bn konvergens, akkor a an sor abszol´ ut konvergens. n=1
n=1
— Nagys´ agrendi krit´ erium vagy hat´ ar´ ert´ ek ¨ osszehasonl´ıt´ o krit´ e∞ ∞ X X rium. Ha an ´es bn k´et pozit´ıv tag´ u sor, valamint l´etezik a n=1
n=1
an = c hat´ ar´ert´ek ´es 0 < c < ∞, akkor a k´et sor egyszerre konn→∞ bn vergens vagy divergens. lim
— H´ anyadoskrit´ erium. Ha lim
n→∞
eset´en a
∞ X
|an+1 | l´etezik ´es ´ert´eke q, akkor q < 1 |an |
an sor abszol´ ut konvergens, q > 1 eset´en pedig divergens.
n=1
q = 1 eset´en a h´ anyadoskrit´eriummal nem tudjuk eld¨onteni, hogy a sor konvergens vagy divergens.
122
6. Numerikus sorok
p — Gyo erium. Ha lim n |an | l´etezik ´es ´ert´eke q, akkor q < 1 ¨kkrit´ n→∞ ∞ X eset´en a an sor abszol´ ut konvergens, q > 1 eset´en pedig divergens. n=1
q = 1 eset´en a gy¨ okkrit´eriummal nem tudjuk eld¨onteni, hogy a sor konvergens vagy divergens. — Integr´ alkrit´ erium. Ha f egy monoton cs¨okken˝o pozit´ıv f¨ uggv´eny Z∞ ∞ X az [1, ∞) f´elegyenesen, akkor a f (n) v´egtelen sor ´es a f (x) dx n=1
1
improprius integr´ al egyszerre konvergens vagy divergens. — Leibniz-krit´ erium. A
∞ X
(−1)n an numerikus sort Leibniz-t´ıpus´ u sor-
n=1
nak vagy r¨ oviden Leibniz-sornak nevezz¨ uk, ha az (an ) sorozat monoton cs¨ okken˝ oen null´ ahoz tart. A Leibniz-t´ıpus´ u sorok konvergensek.
6.1. Numerikus sorok konvergenci´ aja ´ Irjuk fel a k¨ ovetkez˝ o sorok n-edik r´ eszlet¨ osszeg´ et! Hat´ arozzuk meg a r´ eszlet¨ osszegek hat´ ar´ ert´ ek´ et! Adjuk meg a sorok ¨ osszeg´ et! 6.1.
1+
1 1 1 + + ··· + k + ··· 2 4 2
6.2.
1+
1 1 1 + + ··· + k + ··· 10 100 10
6.3.
1 1 1 + + ··· + + ··· 1·2 2·3 k · (k + 1)
6.4.
1 1 1 + + ··· + + ··· 1·4 4·7 (3k − 2) · (3k + 1)
6.5.
1 1 1 + + ··· + + ··· 1·4 2·5 k · (k + 3)
Hat´ arozzuk meg a k¨ ovetkez˝ o sorok ¨ osszeg´ et, ha konvergensek!
123
6. Numerikus sorok
6.6.
∞ X 4n 9n n=1
6.7.
∞ X 5n 9n n=1
6.8.
∞ X 4n + 5 n 9n n=1
6.9.
∞ X 2 · 4n (−9)n n=1 ∞ X (−2)n 5n n=1
∞ X
6.10.
9n n 4 + 5n n=1
6.11.
6.12.
∞ X 3n 10n n=1
6.13.
6.14.
Konvergens-e a
∞ X
∞ X
4n (−3)n n=1
(−1)n sor?
n=1
6.15.
Bizony´ıtsuk be, hogy ha
∞ X
an konvergens, akkor lim an = 0 (l´asd a
n=1
n→∞
tagok 0-hoz tart´ as´ ar´ ol sz´ol´o konvergencia krit´eriumot). 6.16.
Bizony´ıtsuk be, hogy a
∞ X 1 harmonikus sor divergens. n n=1
V´ altozhat-e egy v´ egtelen sor konvergenci´ aja, illetve o ¨sszege, ha 6.17.
a sorba u ´j z´ ar´ ojeleket tesz¨ unk?
6.18.
a sorba v´eges sok u ´j tagot illeszt¨ unk?
6.19.
a sorb´ ol z´ ar´ ojeleket vesz¨ unk ki?
6.20.
a sorb´ ol v´eges sok tagot elhagyunk?
Igaz-e, hogy ha 6.21.
an → 0, akkor
∞ X n=1
an konvergens?
124
6. Numerikus sorok
6.22.
∞ X
an konvergens, akkor an → 0?
n=1
6.23.
an → 1, akkor
∞ X
an divergens?
n=1
6.24.
∞ X
an divergens, akkor an → 1?
n=1
Hova tartanak a k¨ ovetkez˝ o sorok tagjaib´ ol ´ all´ o sorozatok? Konvergensek-e a sorok? 6.25.
∞ X
1 n + 1 n=1
∞ X 1 2 n n=1
6.27.
1 n + n2 n=1
6.28.
∞ X 2 2 n n=1
6.29.
∞ X 1 3n n=1
6.30.
∞ X 1 √ n n=1
6.31.
∞ X 1 √ 3 n n=1
6.32.
∞ X 1 √ n 3 n=1
1 0, 01
6.34.
∞ X 1 √ n n n=1
sin(nπ)
6.36.
6.33.
∞ X
6.26.
∞ X n=1
6.35.
∞ X
√ n
n=1
6.37.
cos(nπ)
n=1
Bizony´ıtsuk be, hogy ha minden n pozit´ıv eg´esz eset´en an > 0, an ≤ ∞ ∞ ∞ X X X bn ≤ cn , tov´ abb´ a an = 7 ´es cn = 10, akkor bn konvergens! n=1
6.38.
∞ X
n=1
n=1
Bizony´ıtsuk be, hogy ha minden n pozit´ıv eg´esz eset´en an > 0, akkor ∞ X an konvergens vagy v´egtelen. n=1
125
6. Numerikus sorok
6.39.
Tegy¨ uk fel, hogy
∞ X
an konvergens, ´es hogy minden pozit´ıv eg´esz n
n=1
sz´ am eset´en bn < an . K¨ovetkezik-e ebb˝ol, hogy
∞ X
bn konvergens?
n=1
6.40.
Tegy¨ uk fel, hogy
∞ X
an divergens, ´es hogy minden pozit´ıv eg´esz n sz´am
n=1
eset´en bn > an . K¨ ovetkezik-e ebb˝ol, hogy
∞ X
bn divergens?
n=1
6.2. Pozit´ıv tag´ u sorok konvergenciakrit´ eriumai Do ans krit´ erium seg´ıts´ eg´ evel, hogy konvergensek-e ¨ntsu ¨ k el a major´ a ko vetkez˝ o sorok! ¨ ∞ ∞ X X 1 1 6.41. 6.42. n + 4 2n +1 n=1 n=1 6.43.
6.45.
∞ X
1 2 n +4 n=1
6.44.
∞ X 1 2n n=1
Tegy¨ uk fel, hogy minden pozit´ıv eg´esz n-re an > 0. Mit ´all´ıthatunk a ∞ X an sor konvergenci´ aj´at illet˝oen biztosan, ha n=1
(a) lim
an+1 > 1; an
(b) lim
an+1 < 1; an
(c) lim
an+1 = 1? an
Do anyadoskrit´ erium seg´ıts´ eg´ evel, hogy konvergensek-e ¨ntsu ¨ k el a h´ a k¨ ovetkez˝ o sorok! ∞ ∞ X X 1 n2 6.46. 6.47. n! n! n=1 n=1
126
6. Numerikus sorok
6.48.
6.50.
∞ X 3n n! nn n=1
6.49.
∞ X 2n n! nn n=1
Tegy¨ uk fel, hogy minden pozit´ıv eg´esz n-re an > 0. Mit ´all´ıthatunk a ∞ X an sor konvergenci´ aj´at illet˝oen biztosan, ha n=1
(a) lim
√ n
an > 1
(b) lim
√ n
an < 1
(c) lim
√ n
an = 1
Do okkrit´ erium seg´ıts´ eg´ evel, hogy konvergensek-e a ¨ntsu ¨ k el a gy¨ k¨ ovetkez˝ o sorok! ∞ ∞ X X n 2n + 1 6.51. 6.52. n 2 3n n=1 n=1 6.53.
∞ X 1 n=1
6.55.
1 + 2 n
n 6.54.
∞ X 3 n=1
Tegy¨ uk fel, hogy bn 6= 0 Mit ´ all´ıthatunk a
∞ X
1 − 2 n
n
(n = 1, 2, 3, . . . ), tov´abb´a lim
n→∞
an = c > 0. bn
an sor konvergenci´aj´at illet˝oen biztosan, ha
n=1
(a)
∞ X
bn konvergens.
Tegy¨ uk fel, hogy bn 6= 0 all´ıthatunk a ´
∞ X
bn divergens.
n=1
n=1
6.56.
(b)
∞ X n=1
(n = 1, 2, 3, . . . ), tov´abb´a lim
n→∞
an = 0. Mit bn
an sor konvergenci´aj´at illet˝oen biztosan, ha
127
6. Numerikus sorok
(a)
∞ X
bn konvergens.
(b)
n=1
6.57.
∞ X
bn divergens.
n=1
Tegy¨ uk fel, hogy bn 6= 0 all´ıthatunk a ´
∞ X
(n = 1, 2, 3, . . . ), tov´abb´a lim
n→∞
an = ∞. Mit bn
an sor konvergenci´aj´at illet˝oen biztosan, ha
n=1
(a)
∞ X
bn konvergens.
(b)
∞ X
bn divergens.
n=1
n=1
Do agrendj´ evel val´ o ¨ osszehasonl´ıt´ assal ¨ntsu ¨ k el ismert sorok nagys´ (ld. nagys´ agrendi krit´ erium), hogy konvergensek-e a k¨ ovetkez˝ o sorok! 6.58.
6.60.
6.62.
∞ X n2 + 4 n4 + 3n n=1 ∞ X
6.59.
√
2n6 2 n +3 n=1
6.61.
∞ X n=1
√ 3 √
3n9
n4 + 3
Z∞ Tegy¨ uk fel, hogy
f (x) dx = 5. K¨ovetkezik-e ebb˝ol, hogy
∞ X
f (n) = 5?
n=1
1
6.63.
∞ X 2n3 n2 + 3 n=1
Z∞ Tegy¨ uk fel, hogy az e ebb˝ ol, hogy
∞ X
f (x) dx improprius integr´al konvergens. K¨ovetkezik1
f (n) konvergens?
n=2
6.64.
Tegy¨ uk fel, hogy f (x) > 0, ´es f (x) monoton cs¨okken az (1, ∞) intervalZ∞ ∞ X lumban, tov´ abb´ a f (x) dx = 5. K¨ovetkezik-e ebb˝ol, hogy f (n) = 5? 1
n=2
128
6. Numerikus sorok
6.65.
Tegy¨ uk fel, hogy f (x) > 0 ´es f (x) monoton cs¨okken az (1, ∞) inZ∞ tervallumban, tov´ abb´ a az f (x) dx improprius integr´al konvergens. 1
K¨ ovetkezik-e ebb˝ ol, hogy
∞ X
f (n) konvergens?
n=2
Do alkrit´ erium seg´ıts´ eg´ evel, hogy konvergensek-e ¨ntsu ¨ k el az integr´ a k¨ ovetkez˝ o sorok! ∞ ∞ X X 1 1 6.66. 6.67. 4/5 n ln n n n=2 n=2
D¨ ontsu ovetkez˝ o sorok! ¨ k el, hogy konvergensek-e a k¨ 6.68.
∞ X
1 √ n + n n=1 ∞ X
6.69.
∞ X
4 √ 2+ n n n=1 ∞ X
6.70.
1 (−1)n √ n n=1
6.71.
6.72.
∞ X n2 3n n=1
6.73.
∞ X n2 2n n=1
6.75.
6.76.
n ∞ X 2 − 3 n=1
6.77.
6.78.
∞ X 1000n n! n=1
6.79.
1 n ln2 n n=2
6.81.
n ∞ X 1 n 2 n=1
6.74.
6.80.
∞ X
n10 3n − 2n n=1
1 (−1)n √ n n n=1 ∞ X
r (−1)
n
n
n=1 ∞ X 1 n=1
2
−
1 n
∞ X n! n n n=1 ∞ X
1 2
n
129
6. Numerikus sorok
6.82.
6.84.
∞ X
n 1 (−1) − n n=1 n
n ∞ X n + 200
6.88.
∞ X 2n + 3 n 5n n=1
∞ X
∞ X
6.96.
6.89.
1 n
1−
1 n
1+
∞ X (n + 1)3 3n n=1 ∞ X
∞ X
r (−1)
n
n
∞ n X 2
5
n ∞ X 1 1− n n=1
6.93.
n ∞ X 1 1+ n n=1
6.95.
∞ X
(−1)n √ n
n=1
6.97.
n(n + 5)
1 2
6.91.
n=1
6.98.
n5 + 3 n3 − n + 2 n=1
n=1
n=1
6.94.
∞ X
n=1
2
n=1
6.92.
6.87.
∞ n X 5 n=1
6.90.
6.85.
2n + 7
n=1
6.86.
6.83.
n ∞ X 3 − 2 n=1
∞ X √
1 n2 + 1
n+1−
√ n
n=1
Tegy¨ uk fel, hogy
∞ X
an = A ∈ R ´es
n=1
∞ X
bn = B ∈ R, valamint c egy
n=1
val´ os sz´ am. K¨ ovetkeznek-e ebb˝ol az al´abbi ´all´ıt´asok? (a)
(c)
∞ X
c · an = c · A
(b)
∞ X
(an + bn ) = A + B
n=1
n=1
∞ X
∞ X
(an − bn ) = A − B
(d)
n=1 ∞ X A an = (e) b B n=1 n
(an bn ) = AB
n=1
(bn 6= 0)
(f )
∞ X n=1
|an | = |A|
6. Numerikus sorok
130
6.3. Felt´ eteles ´ es abszol´ ut konvergencia 6.99.
Igaz-e, hogy ha egy v´egtelen sorban a tagok el˝ojele v´altakozik, akkor a sor konvergens?
6.100.
Igaz-e, hogy ha egy v´egtelen sorban a tagokb´ol ´all´o sorozat monoton cs¨ okken, akkor a sor konvergens?
6.101.
Igaz-e, hogy ha egy v´egtelen sorban a tagok el˝ojele v´altakozik, ´es a tagok abszol´ ut ´ert´ekeib˝ol ´all´o sorozat monoton cs¨okken, akkor a sor konvergens?
6.102.
Igaz-e, hogy ha egy v´egtelen sorban a tagokb´ol ´all´o sorozat monoton cs¨ okkenve 0-hoz tart, akkor a sor konvergens?
6.103.
Igaz-e, hogy ha egy v´egtelen sorban a tagok el˝ojele v´altakozik, ´es a tagok abszol´ ut ´ert´ekeib˝ ol ´ all´ o sorozat 0-hoz tart, akkor a sor konvergens?
Melyik sor Leibniz-sor? Melyik sor konvergens? 6.104.
1−
1 1 1 + − + ··· 2 3 4
6.105.
1−
1 1 1 + − + ··· 3 5 7
6.106.
1−
1 1 1 + − + ··· 1·3 3·5 5·7
6.107.
1−
1 1 1 + − + ··· 2 4 8
6.108.
1 1 1 1− √ + √ − √ + ··· 3 4 2 3 4
6.109.
1−
1 1 1 + − + ··· 2 · 3 4 · 9 8 · 27
Do ut konvergensek-e a ¨ntsu ¨ k el, hogy konvergensek-e, illetve abszol´ k¨ ovetkez˝ o sorok!
131
6. Numerikus sorok
6.110.
∞ X
(−1)n
6.111.
n=1
6.112.
6.114.
∞ X
−
1 2
n
6.116.
∞ X
(−1)n
1 n3
6.117.
(−1)n
1 n1,3
6.119.
n=1
6.120.
6.122.
∞ X
sin n n2 n=1
∞ X
(−1)n
n=1
6.115.
n=1
6.118.
6.113. 1 2n + 1
(−1)n
n=1 ∞ X
(−2)n
n=1
∞ X n=1
∞ X
∞ X
(−1)n
n=1
1 n · (n + 1)
∞ X
1 (−1)n √ 5 n n=1 ∞ X
(−1)n
n=1
6.121.
1 n
1 n0,3
∞ X (sin n)2 n2 n=1
V´ altozhat-e egy pozit´ıv tag´ u v´egtelen sor konvergenci´aja, illetve ¨osszege, ha (a) a sorba u ´j z´ ar´ ojeleket tesz¨ unk? (b) a sorb´ ol z´ ar´ ojeleket vesz¨ unk ki? (c) a sor tagjainak a sorrendj´et ´atrendezz¨ uk?
7. fejezet Fu enysorozatok ´ es sorok ¨ ggv´ 7.1. Az egyenletes konvergencia tulajdons´ agai. — Folytonoss´ ag. Folytonos f¨ uggv´enyek egyenletesen konvergens sorozat´ anak hat´ ar´ert´eke folytonos. — Deriv´ alhat´ os´ ag. Ha a deriv´alhat´o f¨ uggv´enyekb˝ol ´all´o fn sorozat pontonk´ent tart az f f¨ uggv´enyhez, fn0 pedig egyenletesen tart egy g f¨ uggv´enyhez az (a, b) intervallumon, akkor ezen az intervallumon f deriv´alhat´ o ´es f 0 = g, azaz 0 lim fn0 = lim fn = f 0 n→∞
n→∞
— Integr´ alhat´ os´ ag. Ha a Riemann-integr´alhat´o f¨ uggv´enyekb˝ol ´all´o fn sorozat egyenletesen tart az f f¨ uggv´enyhez az [a, b] intervallumon, akkor az f f¨ uggv´eny is integr´alhat´o, ´es integr´alja megegyezik a sorozat integr´ aljainak hat´ ar´ert´ek´evel, azaz Zb lim
fn (x) dx =
n→∞
Zb
a
Zb
lim fn (x) dx =
f (x) dx
n→∞ a
a
7.2. Egyenletes konvergencia Weierstrass-krit´ eriuma. Ha a
∞ X
fn (x)
n=1
f¨ uggv´enysornak van a H halmazon konvergens numerikus major´ ansa, azaz van olyan (Mn ) sorozat, hogy minden n ∈ N ´es x ∈ H eset´en |fn (x)| ≤ Mn
´es
∞ X
Mn < ∞,
n=1
akkor a
∞ X
fn (x) f¨ uggv´enysor abszol´ ut ´es egyenletesen konvergens H-n.
n=1
7.3. Hatv´ anysorok konvergenciatartom´ anya.
133
´nysorozatok e ´s sorok 7. F¨ uggve
— A
∞ X
an (x − c)n hatv´ anysor konvergenciatartom´anya egy olyan inter-
n=0
vallum, amelyik az esetleges v´egpontokat kiv´eve szimmetrikus a hatv´ anysor k¨ oz´eppontj´ ara, c-re. A fenti t´etelbe bele´ertend˝o az az eset, amikor ez a tartom´any az eg´esz sz´ amegyenes, illetve az egyed¨ ul a c pontb´ol ´all´o halmaz. — Konvergenciasug´ ar. Ha lim sup
p |an+1 | n |an | = L, illetve ha lim sup |an |
= L, akkor a konvergenciasug´ar 1 L R= ∞ 0
ha 0 < L < ∞ ha L = 0 ha L = ∞
— A konvergenciatartom´ any belsej´eben minden z´art intervallumon egyenletes a konvergencia ´es ´ıgy lehet tagonk´ent deriv´alni ´es integr´alni. 7.4. Ha f ak´ arh´ anyszor deriv´alhat´o a c pontban, akkor a ∞ X f (n) (c) (x − c)n n! n=0
hatv´ anysort az f f¨ uggv´eny c pontbeli Taylor-sor´ anak nevezz¨ uk, a fenti sorban szerepl˝ o f (n) (c) an = n! egy¨ utthat´ okat pedig Taylor-egyu oknak. ¨ tthat´ 7.5. Lagrange-marad´ ek. Legyen az f f¨ uggv´eny n + 1-szer deriv´alhat´o a [c, x] intervallumon. Ekkor van olyan d ∈ (c, x) sz´am, amelyre f (x) =
n X f (k) (c) k=0
k!
(x − c)k +
f (n+1) (d) (x − c)n+1 . (n + 1)!
Ha az f f¨ uggv´eny n + 1-szer deriv´alhat´o az [x, c] intervallumon, akkor van olyan d ∈ (x, c) sz´ am, amelyre a fenti egyenl˝os´eg teljes¨ ul. 7.6. Egyenletesen korl´ atos deriv´alt´ u f¨ uggv´enyt el˝o´all´ıt a Taylor-sora, azaz ha az (a, b) intervallumon az f f¨ uggv´eny ak´arh´anyszor deriv´alhat´o, ´es megadhat´o
134
´nysorozatok e ´s sorok 7. F¨ uggve
egy M sz´ am u ´gy, hogy tetsz˝ oleges n ∈ N ´es x ∈ (a, b) eset´en f (n) (x) ≤ M , akkor minden c ∈ (a, b)-re a c-hez tartoz´o Taylor-sor el˝o´all´ıtja a f¨ uggv´enyt az eg´esz (a, b) intervallumon. 7.7. Nevezetes Taylor-sorok. ∞ X xn e = n! n=0 x
sin x =
∞ X
ha x ∈ R;
(−1)n
n=0
x2n+1 (2n + 1)!
cos x =
∞ X
(−1)n
n=0
ha x ∈ R;
x2n (2n)!
ha x ∈ R;
∞ X x2n+1 (2n + 1)! n=0 ha x ∈ R;
∞ X x2n (2n)! n=0 ha x ∈ R;
sh x =
ch x =
∞ X 1 = xn 1 − x n=0
ln(1 + x) =
∞ X n=0
ha |x| < 1 (Geometriai sor);
(−1)n
xn+1 n+1
arctg x =
∞ X
(−1)n
n=0
ha |x| < 1;
x2n+1 2n + 1
ha |x| < 1.
7.8. Fourier-sor. — Ha f : R → R periodikus 2π szerint ´es Riemann-integr´alhat´o a [0, 2π]-n, akkor az ∞ X a0 + (an cos nx + bn sin nx) n=1
trigonometrikus sort az f f¨ uggv´eny Fourier-sor´ anak nevezz¨ uk, ahol 1 a0 = 2π
Z2π 0
1 f (x) dx, an = π
Z2π
1 f (x) cos nx dx, bn = π
0
az f f¨ uggv´eny Fourier-egyu oi. ¨ tthat´
Z2π f (x) sin nx dx 0
135
´nysorozatok e ´s sorok 7. F¨ uggve
— Cantor t´ etele. Ha f (x) = a0 +
∞ X
(an cos nx + bn sin nx) [0, 2π]-n,
n=1
akkor az a0 , an ´es bn egy¨ utthat´ok egy´ertelm˝ uen meghat´arozottak, azaz egy f¨ uggv´enyt csak egyf´elek´eppen lehet trigonometrikus sorral el˝oall´ıtani. Ha a konvergencia egyenletes, akkor f (x) folytonos, ´es ez a ´ trigonometrikus sor az f Fourier-sora. — Pontonk´ enti konvergencia. Ha az f (x) f¨ uggv´eny 2π szerint periodikus ´es szakaszonk´ent folytonosan deriv´alhat´o, akkor az f (x) f¨ uggv´eny Fourier-sora minden¨ utt konvergens, az f (x) f¨ uggv´eny folytonoss´agi helyein a Fourier-sor el˝ o´ all´ıtja a f¨ uggv´enyt, a szakad´asi helyeken pedig a f¨ uggv´eny bal-, ´es jobboldali hat´ar´ert´ek´enek a sz´amtani k¨ozepe, azaz minden x ∈ R eset´en a0 +
∞ X
(an cos nx + bn sin nx) =
n=1
f (x+ ) + f (x− ) 2
7.1. Pontonk´ enti ´ es egyenletes konvergencia Hol konvergensek ´ es mi a pontonk´ enti hat´ ar´ ert´ eku abbi fu ¨ k az al´ ¨ ggv´ enysorozatoknak? Milyen intervallumokban egyenletes a konvergencia? 7.1.
fn (x) = xn
7.3.
fn (x) =
x n
7.5.
fn (x) =
p n r
7.7.
fn (x) =
7.9.
fn (x) =
7.11.
1 + x2n
1 x+ n
sin x n 1, ha x = 1 fn (x) = n 0, egy´ebk´ent
7.2.
fn (x) = xn − xn+1
7.4.
fn (x) =
xn n!
7.6.
fn (x) =
p n
|x|
r
1 n2
7.8.
fn (x) =
7.10.
fn (x) = sin
7.12.
1, ha 0 < x < 1 fn (x) = n 0, egy´ebk´ent
x2 + x n
´nysorozatok e ´s sorok 7. F¨ uggve
136
Mi a k¨ ovetkez˝ o ´ all´ıt´ asp´ arok logikai kapcsolata, azaz melyikb˝ ol k¨ ovetkezik a m´ asik? 7.13.
P: ∀x ∈ [a, b] Q: ∀n ∈ N
7.14.
lim fn (x) = 5
n→∞
lim fn (x) = 5
x→∞
P: ∀x ∈ [a, b] Q: ∀x ∈ [a, b]
lim fn (x) = f (x)
n→∞
lim (fn (x) − f (x)) = 0
n→∞
7.15.
P: fn pontonk´ent konverg´al I-n. Q: fn egyenletesen konverg´al I-n.
7.16.
Bizony´ıtsuk be, hogy az fn (x) = cos nx f¨ uggv´enysorozat konvergens az x = 2kπ (x ∈ Z) pontokban. Konvergens-e a f¨ uggv´enysorozat az x = kπ (x ∈ Z) pontokban?
7.17.
Adjunk meg 3 k¨ ul¨ onb¨ oz˝o f¨ uggv´enysorozatot u ´gy, hogy mindh´arom f¨ uggv´enysorozat konverg´ aljon az azonosan 5 f¨ uggv´enyhez [0, 1]-en!
7.18.
Megadhat´ o-e olyan f¨ uggv´enysorozat, amelyik [0, 1]-en az azonosan 5 f¨ uggv´enyhez konverg´ al, ´es a f¨ uggv´enysorozat egyetlen tagja sem folytonos [0, 1]-en?
7.19.
Adjunk p´eld´ at olyan f¨ uggv´enysorozatra, amelynek minden tagja minden pontban szakad a [0, 1] intervallumban, de a f¨ uggv´enysorozat egyenletesen tart egy [0, 1]-ben folytonos f¨ uggv´enyhez!
7.20.
Adjunk p´eld´ at olyan f¨ uggv´enysorozatra, amelynek minden tagja minden pontban folytonos, ´es a f¨ uggv´enysorozat az ( 1, ha x = 5 f (x) = 0, egy´ebk´ent f¨ uggv´enyhez tart! Lehet-e a konvergencia egyenletes?
7.21.
Adjunk meg 3 k¨ ul¨ onb¨ oz˝o f¨ uggv´enysorozatot u ´gy, hogy mindh´arom f¨ uggv´enysorozat egyenletesen konverg´aljon a ( 1, ha x ∈ Q D(x) = 0, egy´ebk´ent
137
´nysorozatok e ´s sorok 7. F¨ uggve
´ Dirichlet-f¨ uggv´enyhez [0, 1]-en! Allhatnak-e az el˝obbi f¨ uggv´enysorozatok csak folytonos f¨ uggv´enyekb˝ol? 7.22.
Legyen fn (x) = n2 (xn−1 − xn ). Bizony´ıtsuk be, hogy (a) ∀x ∈ [0, 1]
lim fn (x) = 0
n→∞
Z1 fn (x) dx 6= 0
(b) lim
n→∞ 0
7.23.
(c) [0, 1]-en az fn f¨ uggv´enysorozat nem tart egyenletesen az azonosan 0 f¨ uggv´enyhez. r 1 Legyen fn (x) = x2 + . Bizony´ıtsuk be, hogy n (a) ∀n
fn (x) differenci´alhat´o 0-ban.
(b) lim fn (x) = |x| n→∞
(c) fn egyenletesen konverg´al |x|-hez. (d) |x| nem differenci´ alhat´o 0-ban. 7.24.
Melyik f¨ uggv´enyhez konverg´al az fn (x) = xn − xn+1 f¨ uggv´enysorozat a [0, 1] intervallumon? Egyenletes-e a konvergencia?
Alkalmazzuk a Weierstrass-krit´ eriumot, azaz keressu ¨ nk olyan konvergens numerikus sorokat, amelyek tagonk´ ent nagyobbak a fu ¨ ggv´ enysor tagjainak abszol´ ut ´ ert´ ek´ en´ el, ´ es ezzel bizony´ıtsuk, hogy a fu enysorok egyenletesen konvergensek! ¨ ggv´ 7.25.
∞ X
1 2 n + n4 x2n n=1
7.26.
∞ X 1 sinn x 2 n n=1
Konvergensek-e, illetve egyenletesen konvergensek-e R-en a k¨ ovetkez˝ o fu enysorok? ¨ ggv´ ∞ ∞ X X 1 7.27. 7.28. (xn − xn−1 ) 2 + n2 x n=1 n=1
138
´nysorozatok e ´s sorok 7. F¨ uggve
7.29.
7.31.
∞ X (−1)n x4 + 2 n n=1
7.30.
∞ X sin nx n! n=1
7.32.
∞ X
(arctg(n + 1)x − arctg (nx))
n=1 ∞ X
2n xn
n=1
7.33.
1 2 n [1 + (nx)2 ] n=1
7.34.
∞ X sin nx n2 n=1
7.35.
∞ X cos nx n! + 2n n=1
7.36.
∞ X 1 n x n=1
7.37.
∞ X
∞ P n=1
7.39.
x4
x4 + 2n
7.38.
∞ P n=1
∞ P
Hol konvergens a
(−1)n x6 + 3 n
xn f¨ uggv´enysor? Egyenletes-e a konvergencia a
n=1
konvergenciatartom´ anyban? 7.40.
Egyenletesen konvergens-e a
∞ X sin(2n − 1)x f¨ uggv´enysor? 2n − 1 n=1
7.2. Hatv´ anysorok, Taylor-sor 7.41.
Konvergens-e
∞ X
(2n + 3n )xn hatv´anysor
x =
n=0
1 1 , x = 0, 3, x = , 6 2
x = 1 eset´en?
Milyen x eset´ en konvergensek a k¨ ovetkez˝ o hatv´ anysorok? 7.42.
7.44.
∞ X n! n x n n n=0 ∞ X n=1
1+
7.43.
∞ X
(−1)n+1
n=1
1 n
n
2
xn
7.45.
∞ X n=1
nxn
xn n2
139
´nysorozatok e ´s sorok 7. F¨ uggve
7.46.
∞ X xn n n=1
7.47.
∞ X xn n7 n=1
Hat´ arozzuk meg a k¨ ovetkez˝ o hatv´ anysorok konvergenciasugar´ at! 7.48.
∞ X
n2 xn
7.49.
∞ X xn n2 n=1 ∞ X (n − 1)! (x − 3)n n n n=1
n=0
7.50.
∞ X 1000n (x − 2)n n! n=1
7.51.
7.52.
∞ X n n x 2n n=1
7.53.
∞ X (x + 5)n n · 2n n=1
7.55.
∞ X (x − 6)n n! n=1
7.57.
∞ X (x + 1)n √ n n=1
7.54.
7.56.
∞ X
∞ X
(x + 4)n
n=1
n!(x + 7)n
n=1
7.58.
∞ X 1000n n x n2 + 1 n=1
7.59.
∞ X 2n + 3 n n x nn n=1
7.60.
∞ X xn n · 3n n=1
7.61.
∞ X xn nn n=1
7.62.
∞ X
2n xn
7.63.
∞ X (n!)2 n x (2n)! n=0
7.65.
n=1
7.64.
∞ X
xn (−1)n+1 √ n n=1 ∞ X n=0
Igazak-e a k¨ ovetkez˝ o´ all´ıt´ asok? 0,3 ! Z0,3 X Z ∞ ∞ X 7.66. xn dx xn dx = −0,2
n=0
n=1
−0,2
n!xn
140
´nysorozatok e ´s sorok 7. F¨ uggve
7.67.
Z3
∞ X
7.69.
xn
dx =
n=0
−2
7.68.
!
∀x ∈ R − re
∀ |x| < 1 − re
∞ X
Z3
n=1
xn dx
−2
∞ X
1 xn+1 n + 1 n=0 ∞ X
!0
1 xn+1 n + 1 n=0
=
1 1−x
!0 =
1 1−x
Hat´ arozzuk meg a k¨ ovetkez˝ o hatv´ anysorok konvergenciasugar´ at! A konvergenciatartom´ any belsej´ eben adjuk meg az ¨ osszegfu enye¨ ggv´ ket! 7.70.
1 + x + x2 + x3 + · · ·
7.71.
1 − x + x2 − x3 + · · ·
7.72.
x+
x2 x3 + + ··· 2 3
7.73.
1 − x2 + x4 − x6 + x8 − · · ·
7.74.
x+
x3 x5 + + ··· 3 5
7.75.
x + 2x2 + 3x3 + · · ·
Hol konvergensek a k¨ ovetkez˝ o fu enysorok? ¨ ggv´ osszegfu enyeket! ¨ ¨ ggv´ 7.76.
∞ X
(sin x)n
7.77.
n=0
7.78.
∞ X n=1
∞ X
Adjuk meg az
(1 + x2 )n
n=1
1 0, 1 + 0, 2 cos2 x
n 7.79.
∞ X
1 n xn 2 n=1
Sz´ am´ıtsuk ki a k¨ ovetkez˝ o hatv´ anysorok konvergenciasugar´ at ´ es osszeg´ et: ¨ 7.80.
f (x) =
∞ X
xn n(n + 1) n=1
7.81.
∞ X xn n+1 n=0
141
´nysorozatok e ´s sorok 7. F¨ uggve
7.82.
f (x) =
∞ X
nxn
7.83.
n=1
7.84.
f (x) =
∞ X
∞ X
n2 xn
n=1
n(n + 1)xn
7.85.
n=1
∞ X x2n+1 2n + 1 n=0
Adjuk meg a k¨ ovetkez˝ o fu enyek a = 0 k¨ oru at! Ha¨ ggv´ ¨ li Taylor-sor´ t´ arozzuk meg a konvergenciatartom´ anyokat! El˝ o´ all´ıtja-e sor a fu ¨ ggv´ enyt a konvergenciatartom´ anyban? 7.86.
ex
7.87.
e2x
7.88.
e−x
7.89.
e−x
7.90.
sh x
7.91.
ch x
7.92.
1 1−x
7.93.
1 1+x
7.94.
1 1 + x2
7.95.
x3 1 − x2
7.96.
ln(1 + x)
7.97.
arctg x
7.98.
1 2+x
7.99.
f (x) =
7.100.
sin x
7.101.
cos x
7.102.
sin(2x)
7.103.
cos x2
7.104.
sin2 x
7.105.
cos2 x
2
1 1 + x + x2
Legyen f : R → R, 0-ban ak´ arh´ anyszor differenci´ alhat´ o fu ¨ ggv´ eny. Igazak-e a k¨ ovetkez˝ o ´ all´ıt´ asok? A v´ alaszt minden esetben indokoljuk meg!
142
´nysorozatok e ´s sorok 7. F¨ uggve
7.106.
f Taylor-sora mindig fel´ırhat´o.
7.107.
f Taylor-sora minden val´os x helyen konvergens.
7.108.
Ha f Taylor-sora konvergens egy x0 pontban, akkor abban a pontban a Taylor-sor ¨ osszege f (x0 ).
7.109.
Ha egy
∞ P
an xn sor el˝o´all´ıtja az f f¨ uggv´enyt, akkor ez a hatv´anysor
n=0
megegyezik f Taylor-sor´aval. 7.110.
Ha f (x) Taylor-sora
∞ P
an xn , akkor minden val´os x eset´en
n=0
∞ P
an xn =
n=0
f (x).
7.111.
Sz´ am´ıtsuk ki 10−2 pontoss´aggal sin 1 illetve e ´ert´ek´et!
7.112.
Sz´ am´ıtsuk ki az 1 −
7.113.
Bizony´ıtsuk be, hogy az f (x) =
π2 π4 π6 π 2n + − + · · · + (−1)n +... 2 4! 6! (2n)!
¨osszeget!
∞ X x3k f¨ uggv´eny kiel´eg´ıti az f 000 (x) = (3k)!
k=0
f (x) egyenletet! 7.114.
´Irjuk fel az f (x) =
Zx e
−t2
Z1 dt Taylor-sor´at! Sz´am´ıtsuk ki
0
0
´ert´ek´et k´et tizedesjegy pontoss´aggal! 7.115.
Bizony´ıtsuk be, hogy az e sz´am irracion´alis!
Sz´ am´ıtsuk ki a keresett deriv´ altakat az x = 0 helyen! 7.116. 7.118.
1 1−x
(135)
(arctg x)(356)
(136)
7.117.
7.119.
(arctg x)(357)
ex
2
2
e−x dx
143
´nysorozatok e ´s sorok 7. F¨ uggve
7.120.
´Irjuk fel az f (x) = tg x f¨ uggv´eny harmadik Taylor-polinomj´at a 0ban.
7.121.
A fon´ alinga mozg´ as´ at le´ır´o t¨orv´enyben a sin x f¨ uggv´enyt az x f¨ uggv´ennyel k¨ ozel´ıtik. Mekkora lesz legfeljebb az elk¨ovetett hiba, ha a kit´er´es sz¨ oge legfeljebb 5◦ < 0, 1 radi´an?
7.122.
H´ any tagot vegy¨ unk figyelembe sin x Taylor-sor´ab´ol, ha azt akarjuk, hogy |x| < 0, 1 eset´en a hiba legfeljebb 10−6 legyen?
7.123.
H´ any tagot vegy¨ unk figyelembe sin x Taylor-sor´ab´ol, ha azt akarjuk, hogy π |x| < 1 < (= 60◦ ) eset´en a hiba legfeljebb 10−3 legyen? 3
7.124.
Fejts¨ uk hatv´ anysorba az f (x) = x2 + x + 1 f¨ uggv´enyt (a) 0-k¨ or¨ ul;
7.125.
(b) 1-k¨or¨ ul.
Fejts¨ uk hatv´ anysorba az f (x) =
1 f¨ uggv´enyt 2+x
(a) 0-k¨ or¨ ul;
(b) 1-k¨or¨ ul.
7.3. Trigonometrikus sorok, Fourier-sor
´ ıtsuk el˝ All´ o az al´ abbi fu enyek Fourier-sor´ at! ¨ ggv´ 7.126.
sin2 x
7.127.
cos2 x
Fejtsu abbi fu enye¨ k Fourier-sorba a (−π, π) intervallumon az al´ ¨ ggv´ ket: 7.128. 7.129.
f (x) = sgn x −π < x < π 1 ha 0 < x < π f (x) = 0 ha − π < x < 0
144
´nysorozatok e ´s sorok 7. F¨ uggve
7.130.
f (x) = | sgn x|
−π < x < π
A fenti h´ arom f¨ uggv´eny megegyezik a (0, π) intervallumon! 7.131.
f (x) = x
−π < x < π
7.132.
f (x) = |x|
−π < x < π
Az el˝ oz˝ o k´et f¨ uggv´eny megegyezik a (0, π) intervallumon! 2 x ha 0 < x < π 7.133. f (x) = −x2 ha − π < x < 0
7.134.
Legyen most f (x) az a 2π szerint periodikus f¨ uggv´eny, amelyikre f (x) = π−x , ha x ∈ (0, 2π) ´es f (0) = 0. Ezt a f¨ uggv´enyt f˝ ur´eszfog-f¨ uggv´enynek 2 is nevezik. (a) Fejts¨ uk Fourier-sorba az f (x) f¨ uggv´enyt a (0, 2π) ny´ılt intervallumon. ∞ X 1 (−1)n (b) Sz´ amoljuk ki a numerikus sor ¨osszeg´et. 2n + 1 n=0
7.135.
Legyen f az a periodikus f¨ uggv´eny, amelyre f (x) = x2 , ha x ∈ [−π, π]. (a) Fejts¨ uk Fourier-sorba az f (x) f¨ uggv´enyt a [−π, π] intervallumon. (b) Sz´ amoljuk ki a
∞ X 1 numerikus sor ¨osszeg´et. 2 n n=1
Kirajzoltuk n´ eh´ any el˝ oz˝ o feladat fu enyeit ´ es a 10-edik ( egyn´ el ¨ ggv´ az 5-o ozel´ıt´ eseit. Melyek ezek a fu enyek? ¨dik ) Fourier k¨ ¨ ggv´ 7.136.
K4 K3 K2 K1
1
2
x
3
4
K4 K3 K2 K1
1
2
x
3
4
145
´nysorozatok e ´s sorok 7. F¨ uggve
7.137.
K4 K3 K2 K1
0
1
2
3
4
K4 K3 K2 K1
3
4
K4 K3 K2 K1
3
4
K4 K3 K2 K1
0
K4 K3 K2 K1
0
x
0
1
2
1
2
1
2
x
3
4
3
4
3
4
7.138.
K4 K3 K2 K1
1
2
1
2
x
x
7.139.
K4 K3 K2 K1
0
x
x
7.140.
K4 K3 K2 K1
0
1
2
3 x
4
1
2
3 x
4
146
´nysorozatok e ´s sorok 7. F¨ uggve
7.141.
K4 K3 K2 K1
K4 K3 K2 K1
1 2 3 4 x
1 2 3 4 x
Fejtsu ovetkez˝ o fu enyeket a (−π, π) interval¨ k Fourier-sorba a k¨ ¨ ggv´ lumban! 7.142.
ex
7.143.
e2x
7.144.
sh x
7.145.
sh 3x
7.146.
ch x
7.147.
ch 4x
8. fejezet To altoz´ os fu enyek differen¨bbv´ ¨ ggv´ ci´ al´ asa 8.1. Euklideszi terek topol´ ogi´ aja. — A G ⊂ Rn halmaz ny´ılt akkor ´es csak akkor, ha egyetlen hat´arpontj´at sem tartalmazza. — Az F ⊂ Rn halmazra a k¨ovetkez˝o ´all´ıt´asok ekvivalensek: - Az F halmaz z´ art. - Az F halmaz tartalmazza minden hat´arpontj´at. - Nem lehet F -b˝ ol kikonverg´alni, azaz ha {pn : n ∈ N} ⊂ F, ´es pn −→ p, akkor p ∈ F. — A K ⊂ Rn halmazra a k¨ovetkez˝o ´all´ıt´asok ekvivalensek: - A K halmaz kompakt. - A K halmaz korl´ atos ´es z´art. - Minden K-beli sorozatnak van K-beli ponthoz konverg´al´o r´eszsorozata. 8.2. T¨ obbv´ altoz´ os Bolzano-Weierstrass-t´ etel. Korl´atos pontsorozatnak van konvergens r´eszsorozata. 8.3. T¨ obbv´ altoz´ os Weierstrass-t´ etel. Kompakt halmaz folytonos k´epe kompakt. Speci´ alisan kompakt halmazon folytonos f¨ uggv´enynek van maximuma (´es minimuma). ¨ 8.4. T¨ obbv´ altoz´ os Bolzano-t´ etel. Osszef¨ ugg˝o halmaz folytonos k´epe osszef¨ ugg˝ o. ¨
´ ltozo ´ s f¨ ´nyek differencia ´ la ´ sa 8. T¨ obbva uggve
148
8.5. To altoz´ os deriv´ alt. ¨bbv´ — Ha az f f¨ uggv´eny (tot´ alisan) deriv´alhat´o a p pontban, akkor itt folytonos, minden parci´ alis deriv´altja l´etezik, ´es a deriv´alt koordin´at´ai a megfelel˝ o parci´ alis deriv´altak. — Ha az f f¨ uggv´eny parci´alis deriv´altjai l´eteznek a p pont egy k¨ornyezet´eben, ´es ezek p -ben folytonosak (folytonosan deriv´ alhat´ o p -ben), akkor f deriv´ alhat´ o p -ben. — Ha az f f¨ uggv´eny (tot´ alisan) deriv´alhat´o a p pontban, akkor itt minden v 6= 0 ir´ any ment´en deriv´alhat´o, ´es ∂ 1 f (p ) = v · grad f (p ) ∂v |v | Ennek k¨ ovetkezm´enyek´ent ∂ 2 f (p ) : |v | = 1 = |grad f (p)| max ∂v — Ha az f : Rn → R f¨ uggv´eny deriv´alhat´o a p pontban, akkor grafikonj´ anak van ´ erint˝ o hipers´ıkja a p pont felett, ´es ennek egyenlete y = f (p ) + grad f · (x − p ). 8.6. Young-t´ etel. Ha az n-v´altoz´os f f¨ uggv´eny k´etszer folytonosan deriv´ alhat´ o a p pont egy k¨ ornyezet´eben, akkor minden 1 ≤ i, j ≤ n eset´en fx00i xj (p ) = fx00j xi (p ). 8.7. To altoz´ os sz´ els˝ o´ ert´ ek. ¨bbv´ — Ha az f : Rn → R n-v´altoz´os f¨ uggv´enynek lok´alis sz´els˝o´ert´eke van az ´ertelmez´esi tartom´ any p bels˝o pontj´aban, ´es p -ben (parci´alisan) deriv´ alhat´ o, akkor grad f (p ) = 0 . — Tegy¨ uk fel, hogy az f : Rn → R f¨ uggv´eny k´etszer folytonosan deriv´alhat´ o a p pontban ´es grad f (p ) = 0 . Jel¨olje H az f m´asodrend˝ u parci´alis deriv´ altjaib´ ol ´ all´ o szimmetrikus Hesse-m´atrixot a p pontban, valamint Q(x ) = x · Hx a H-hoz tartoz´o kvadratikus lek´epez´est. Ekkor - ha Q pozit´ıv definit, akkor p -ben lok´alis minimum van;
149
´ ltozo ´ s f¨ ´nyek differencia ´ la ´ sa 8. T¨ obbva uggve
- ha Q negat´ıv definit, akkor p -ben lok´alis maximum van; - ha Q indefinit, akkor p -ben nincs sz´els˝o´ert´ek (nyeregpont); - ha Q szemidefinit, akkor p -ben ez a pr´oba nem d¨onti el, hogy van-e sz´els˝ o´ert´ek. Speci´ alisan k´etv´ altoz´ os f¨ uggv´eny eset´en ha f 00 f 00 xy xx D = det H = 00 00 fyx fyy a Hesse-m´ atrix determin´ansa a p pontban, akkor 00 > 0; - minimum van, ha D > 0 ´es fxx 00 < 0; - maximum van, ha D > 0 ´es fxx
- nincs sz´els˝ o´ert´ek, ha D < 0; - ez a pr´ oba nem d¨onti el, hogy van-e sz´els˝o´ert´ek, ha D = 0. 8.8. Felt´ eteles sz´ els˝ o´ ert´ ek, Lagrange-f´ ele multiplik´ ator m´ odszer. Ha az f : Rn → R f¨ uggv´enynek lok´alis sz´els˝o´ert´eke van aza pontban a gk (x ) = 0, k = 1, 2, . . . , p felt´etelek mellett, akkor megadhat´ok olyan λ1 , λ2 , . . . , λp val´ os sz´ amok, hogy p
X ∂ ∂ f (a ) + λk gk (a ) = 0, ∂xi ∂xi
i = 1, 2, . . . , n
k=1
8.1. Topol´ ogiai alapfogalmak ´ Irjuk fel a megadott pontok t´ avols´ ag´ at! 8.1.
p , q ∈ R2
p = (−1, 3) q = (5, −4)
8.2.
p , q ∈ R3
p = (−1, 3, 5) q = (5, −4, 0)
8.3.
p , q ∈ Rn
p = (p1 , p2 , . . . pn ) q = (q1 , q2 , . . . qn )
8.4.
´Irjuk fel az orig´ o k¨ oz´eppont´ u, 1 sugar´ u (ny´ılt) g¨omb¨ot meghat´aroz´o k egyenl˝ otlens´eget R -ban, ahol k = 1, 2, 3, n.
´ ltozo ´ s f¨ ´nyek differencia ´ la ´ sa 8. T¨ obbva uggve
8.5.
150
´Irjuk fel a c k¨ oz´eppont´ u, r sugar´ u (ny´ılt) g¨omb¨ot meghat´aroz´o egyenk l˝ otlens´eget R -ban, ahol k = 1, 2, 3, n.
Rajzoljuk le az al´ abbi halmazokat, hat´ arozzuk meg a bels˝ o-, ku o¨ ls˝ ´ es hat´ arpontjaikat, ´ es d¨ ontsu ol, hogy ny´ılt¨ k el mindegyik halmazr´ e, z´ art-e, ´ es hogy korl´ atos-e! 8.6.
{h ∈ R : −3 < h ≤ 5}
8.7.
{(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 = 1}
8.8.
{(x, y) ∈ R2 : 1 < x2 + y 2 < 4}
8.9.
{(x, y) ∈ R2 : −3 < x < 5}
8.10.
{(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≥ 4}
8.11.
{(x, y) ∈ R2 : −1 ≤ x, y ≤ 1}
8.12.
{(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≥ 0}
8.13.
{(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ −4}
Melyik halmaz ny´ılt, melyik z´ art, melyik ny´ılt is, z´ art is, ´ es melyik se nem ny´ılt, se nem z´ art? Indokoljuk a v´ alaszokat! A feladatokban x´ es y val´ os sz´ amokat jel¨ olnek. 8.14.
H = {x : 0 < x < 1}
8.15.
H = {(x, 0) : 0 < x < 1}
8.16.
H = {x : 0 ≤ x ≤ 1}
8.17.
H = {(x, 0) : 0 ≤ x ≤ 1}
8.18.
H = {x : 0 ≤ x < 1}
8.19.
H = {(x, 0) : 0 ≤ x < 1}
8.20.
H = {(x, y) : x2 + y 2 < 1}
8.21.
H = {(x, y, 0) : x2 + y 2 < 1}
8.22.
H = {(x, y) : x ∈ Q, y ∈ Q}
´ ltozo ´ s f¨ ´nyek differencia ´ la ´ sa 8. T¨ obbva uggve
8.23.
151
H = {(x, y) : 0 < x < 1, 0 < y < 1}
Adjuk meg a k¨ ovetkez˝ o s´ıkbeli halmazok bels˝ o pontjait, ku o pont¨ ls˝ jait ´ es hat´ arpontjait! 8.24.
H = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ x ≤ 1}
8.25.
H = {(x, y) : 0 ≤ x < 1, 0 < y ≤ 1}
8.26.
H = {(x, y) : x ∈ Q, y ∈ Q, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}
8.27.
H = {(x, y) : 0 < x < 1, y = 0}
Adjuk meg a k¨ ovetkez˝ o t´ erbeli halmazok bels˝ o pontjait, ku o pont¨ ls˝ jait ´ es hat´ arpontjait! 8.28.
H = {(x, y, z) : x2 + y 2 + z 2 < 1}
8.29.
H = {(x, y, z) : x2 + y 2 + z 2 ≤ 1}
8.30.
H = {(x, y, z) : x ∈ Q, y ∈ Q, z ∈ Q, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1}
8.31.
H = {(x, y, z) : x ∈ Q, 0 < x < 1, y = z = 0}
8.32.
Legyen H ⊂ Rn . Igazak-e a k¨ovetkez˝o ´all´ıt´asok? (a) Ha x ∈ H, akkor x bels˝o pontja H-nak. (b) Ha x ∈ / H, akkor x nem lehet bels˝o pontja H-nak. (c) Ha x ∈ H, akkor x nem lehet hat´arpontja H-nak. (d) Ha x ∈ / H, akkor x nem lehet hat´arpontja H-nak. (e) Van olyan halmaz, amelynek minden pontja hat´arpont. (f ) Van olyan halmaz, amelynek minden pontja bels˝o pont. (g) Van olyan halmaz, amelynek nincs bels˝o pontja.
152
´ ltozo ´ s f¨ ´nyek differencia ´ la ´ sa 8. T¨ obbva uggve
8.2. T¨ obbv´ altoz´ os fu enyek grafikonja ¨ ggv´ Sz´ am´ıtsuk ki a k¨ ovetkez˝ o fu enyek helyettes´ıt´ esi ´ ert´ ek´ et a meg¨ ggv´ adott p pontokban! 8.33.
f (x, y) = x + y 2
8.34.
f (x, y) = arctg x + arcsin xy
8.35.
f (x, y, z) = x(y
8.36.
f (x, y, z) = xy
z
p = (2, 3)
)
z
p = (π/4, 0)
p = (4, 3, 2) p = (4, 3, 2)
Adjuk meg a k¨ ovetkez˝ o fu enyek helyettes´ıt´ esi ´ ert´ ek´ et a meg¨ ggv´ adott g¨ orb´ ek pontjaiban! 8.37.
f (x, y) = x2 + y 2 ,
y = x, illetve x2 + y 2 = 1
8.38.
f (x, y) = x − y,
y = x, illetve y = x2
8.39.
f (x, y) = sin x,
x = π/4, illetve y = π/4
8.40.
f (x, y) = sin xy,
x = π/4, illetve y = π/4
8.41.
Keress¨ uk meg a k¨ ovetkez˝o k´etv´altoz´os f¨ uggv´enyek grafikonjait az ´abr´ak k¨ oz¨ ott! (a) x2 + y 2
(b) (x + y)2
(c) x2 − y 2
(d) xy
(e) sin x + sin y
(f ) sin x sin y
153
´ ltozo ´ s f¨ ´nyek differencia ´ la ´ sa 8. T¨ obbva uggve
(A)
(B) 2
17,5
1 15,0
-4 -2
2
-2 2
4
12,5
-4
0 00
y
10,0
x
7,5
4
-1
5,0 -3 -2
-2
y 2,5 -1 0 0,0
3
(C)
-2
-1 1
0
1
2
-3
x 2
(D) 8,5
35
6,0 -3
3,5
30
-2 1,0
3
2
y
-1
25
0
1
0 -1,5 1
20 -1
-2
2 -4,0
3
x
-3
15 10
-3
-6,5
-2 -9,0
5y -1 00
2
3
(E)
0
1
1
-2
-1 2
-3
x
(F) 1,0
8,5
6,0 0,5 3,5
-4
-3 -2 y 2
4
-1
-2
2 -0,5
3
x 4
1,0 -2
-4
0,0 0 0
2
1
y
0 0 -1,5 -1 1 2 3 -4,0
-6,5
-1,0
-9,0
-2 x
-3
154
´ ltozo ´ s f¨ ´nyek differencia ´ la ´ sa 8. T¨ obbva uggve
8.42.
Az el˝ oz˝ o f¨ uggv´enyeknek kirajzoltuk a szintvonalait is. Keress¨ uk meg a rajzokhoz tartoz´ o k´epleteket! (A)
(B)
3
3
2
2
y
y
1
K3
K2
K1
1
0
(C)
1
x
2
3
K3
K2
K1
0
K1
K1
K2
K2
K3
K3
(D)
4
K3
K2
K1
0
1
2
3
x
K1
4
K3
K2
K1
0
(F)
4 3 y
y
1
K3
2 1
0
K2
3
K3
2
K1
x
K2
3
K1
1
K1
K4
K2
2
1
K3
K3
3
2
K2
(E)
2
y
2 1
K4
x
3
3 y
1
1
x
2
3
K4
K3
K2
K1
0
K1 K2 K3 K4
1
2
x
3
4
155
´ ltozo ´ s f¨ ´nyek differencia ´ la ´ sa 8. T¨ obbva uggve
´ azoljuk a k¨ Abr´ ovetkez˝ o fu enyek szintvonalait! ¨ ggv´ fu enyek grafikonj´ ar´ ol t´ erbeli rajzot! ¨ ggv´ p 8.44. x2 + y 2 8.43. (x + y)2 8.45.
xy
8.46.
(x − y)2
8.47.
x2 + y 2 ,
8.48.
|x|
8.49.
x2 − y 2
8.50.
|x + y|
K´ esz´ıtsu ¨ nk a
Hat´ arozzuk meg a k¨ ovetkez˝ o fu enyek szintfelu ¨ ggv´ ¨ leteit! 8.51.
f (x, y, z) = x + y + z
8.52.
f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2
8.53.
f (x, y, z) = x + y
8.54.
f (x, y, z) = y 2
Do abbi t´ erbeli halmazokr´ ol, hogy lehetnek-e ¨ntsu ¨ k el az al´ grafikonjai-e valamilyen k´ etv´ altoz´ os fu enynek! Ha igen, akkor ¨ ggv´ adjunk meg ilyen fu enyt! ¨ ggv´ 8.55.
s´ık
8.56.
g¨ombfel¨ ulet
8.57.
k´ uppal´ ast
8.58.
hengerpal´ast
8.59.
f´elhenger pal´ astja
8.60.
f´elg¨omb fel¨ ulete
Hat´ arozzuk meg a ko o fu enyek lehets´ eges legb˝ ovebb ´ er¨vetkez˝ ¨ ggv´ telmez´ esi tartom´ any´ at! p √ x+y 8.62. f (x, y) = 1 − x2 + y 2 + 1 8.61. f (x, y) = x−y p 1 8.64. 8.63. f (x, y) = 1 − x2 − y 2 f (x, y) = 2 x + y2 8.65.
f (x, y, z) =
z cos y sin x
156
´ ltozo ´ s f¨ ´nyek differencia ´ la ´ sa 8. T¨ obbva uggve
8.66.
f (x, y, z) =
x y z + − 2 y−z x+z x − y2
8.3. T¨ obbv´ altoz´ os hat´ ar´ ert´ ek, folytonoss´ ag Van-e a k¨ ovetkez˝ o t¨ obbv´ altoz´ os fu enyeknek hat´ ar´ ert´ eke az ¨ ggv´ adott pontokban? Ha igen, mennyi? Hol folytonosak ezek a fu ¨ ggv´ enyek? 8.67.
f (x, y) = 7
p = (0, 0)
8.68.
f (x, y) = x + y
p = (3, 5)
8.69.
f (x, y) =
x y
p = (3, 0)
8.70.
f (x, y) =
sin xy x
p = (0, 2)
8.71.
f (x, y) =
sin xy tg 2xy
p = (0, 3)
8.72.
f (x, y) =
sin x − sin y x−y
p = (0, 0)
8.73.
f (x, y) =
sin x − sin y ex − ey
p = (0, 0)
8.74.
p
x+y−1
p = (0, 0)
8.75.
xy ln(x2 + y 2 )
p = (0, 0)
( 8.76.
f (x, y) = (
8.77.
f (x, y) = (
8.78.
f (x, y) =
1, ha x 6= 0 ´es y 6= 0 0, ha x = 0 vagy y = 0
p = (0, 0),
q = (0, 1)
1, ha x 6= 0 0, ha x = 0
p = (0, 0), q = (0, 1), r = (1, 0)
1, ha x2 + y 2 6= 0 0, egy´ebk´ent
p = (0, 0),
q = (0, 1)
157
´ ltozo ´ s f¨ ´nyek differencia ´ la ´ sa 8. T¨ obbva uggve
( 8.79.
f (x, y) = (
x, ha x = y 0, egy´ebk´ent
p = (0, 0),
q = (0, 1)
1, ha x = y 0, egy´ebk´ent
p = (0, 0),
q = (0, 1)
8.80.
f (x, y) =
8.81.
Legyen f (x, y) =
x−y . L´eteznek-e a k¨ovetkez˝o hat´ar´ert´ekek? x+y (a) lim f (x, y) (b) lim lim f (x, y) (x,y)→(0,0) x→0
(c) lim
y→0
8.82.
lim f (x, y)
(d) lim f (x, x) x→0
x→0
Legyen f (x, y) = (x + y) sin
y→0
1 1 sin . L´eteznek-e a k¨ovetkez˝o hat´ar´ert´ex y
kek? (a)
lim
f (x, y)
(x,y)→(0,0)
(c) lim
y→0
8.83.
(b) lim
x→0
lim f (x, y)
lim f (x, y)
y→0
(d) lim f (x, x)
x→0
x→0
Legyen 2xy , f (x, y) = x2 + y 2 0,
ha x2 + y 2 6= 0
.
egy´ebk´ent
Bizony´ıtsuk be, hogy a g(x) = f (x, 0) ´es a h(y) = f (0, y) f¨ uggv´enyek folytonosak x = 0-ban, illetve y = 0-ban! Bizony´ıtsuk be, hogy az f (x, y) f¨ uggv´eny nem folytonos (x, y) = (0, 0)-ban! 8.84.
Bizony´ıtsuk be, hogy ha f (x, y) folytonos a s´ıkon, akkor (a) a G = {(x, y) : f (x, y) > 0} halmaz ny´ılt; (b) az F = {(x, y) : f (x, y) ≥ 0} halmaz z´art!
´ ltozo ´ s f¨ ´nyek differencia ´ la ´ sa 8. T¨ obbva uggve
158
8.4. Parci´ alis ´ es tot´ alis deriv´ alt 8.85.
Mutassunk p´eld´ at olyan k´etv´altoz´os f¨ uggv´enyre, amelynek mindk´et parci´ alis deriv´ altja l´etezik az orig´oban, de a f¨ uggv´eny nem folytonos az orig´ oban!
Hat´ arozzuk meg a k¨ ovetkez˝ o fu enyek parci´ alis deriv´ altjait! ¨ ggv´ 8.86.
f (x, y) = x sin y
8.87.
f (x, y) = sin(xy)
8.88.
f (x, y) = (x + 2y) sin(x + 2y)
8.89.
f (x, y) = 3x2 y 4 − 4
8.90.
f (x, y) =
8.91.
f (x, y) = (5x + y 2 )e
8.92.
g(x, y, z) = sin z · (cos x)ln y z x g(x, y, z) = y
8.93.
x+y x − y2 x2
+3y
8.94.
f (x, y) = x2 + xy + y 2
8.95.
f (x, y) = ex−y
8.96.
g(x, y, z) = xy
8.97.
g(x, y, z) =
8.98.
f (x, y, z) = sin(x2 + y 3 + z 4 )
8.99.
f (x, y) = arctg
z
z arctg x2 y √ 1 + ln(xy 3 + 2x z)
1−x 1−y
159
´ ltozo ´ s f¨ ´nyek differencia ´ la ´ sa 8. T¨ obbva uggve
8.100.
f (x, y) = xy + y x
8.101.
f (x, y, z) = xyz
8.102.
Parci´ alisan deriv´ alhat´ o-e f (x, y) = |x| + |y| a (0, 0) pontban?
8.103.
Mi a k¨ ovetkez˝ o k´et ´ all´ıt´as logikai kapcsolata, azaz melyikb˝ol k¨ovetkezik a m´ asik? P: f (x, y) folytonos (0, 0)-ban Q: f (x, y) parci´ alis deriv´altjai l´eteznek (0, 0)-ban
8.104.
Tudjuk, hogy f (1, 2) = 3, tov´abb´a hogy minden (x, y) pontban fx0 (x, y) = 0 ´es fy0 (x, y) = 0. Mennyi lehet f (5, 10) ?
8.105.
Hol folytonosak az (x + y) sin 1 sin y, f (x, y) = x 0,
ha x 6= 0 ´es y 6= 0 ha x = 0 vagy y = 0
f¨ uggv´eny parci´ alis deriv´alt f¨ uggv´enyei? Hat´ arozzuk meg a k¨ ovetkez˝ o fu enyek m´ asodik parci´ alis deri¨ ggv´ v´ altjait! 8.106.
g(x, y, z) = xy 2 sin z
8.107.
g(x, y, z) =
8.108.
g(x, y, z) = 2 + x + y 2 + z 3
8.109.
g(x, y, z) = ln(x + y 2 + z 3 )
x y+z
´ Irjuk fel a ko o fu enyek ir´ anymenti deriv´ altjait az adott ¨vetkez˝ ¨ ggv´ pontokban az adott ir´ anyban! 8.110.
f (x, y) = x + y 2
p = (2, 3),
v = (3, 4)
160
´ ltozo ´ s f¨ ´nyek differencia ´ la ´ sa 8. T¨ obbva uggve
8.111.
f (x, y) = sin xy
p = (0, 0),
v = (1, −1)
8.112.
f (x, y) = ex+y · ln y
p = (0, 1),
v = (−4, 3)
8.113.
f (x, y) =
p = (1, 1),
v = (−1, −1)
x y
Hat´ arozzuk meg a ko o fu enyek α = 30◦ -os szo ¨vetkez˝ ¨ ggv´ ¨gho ¨z tartoz´ o ir´ anymenti deriv´ altj´ at a (3, 5) pontban! 8.114.
f (x, y) = x2 − y 2
8.115.
h(x, y) = xey
Milyen ir´ anyban lesz az ir´ anymenti deriv´ alt maxim´ alis, illetve minim´ alis a (−4, 2) pontban? 8.116.
f (x, y) = (x − y)2
8.117.
g(x, y) = x2 +
2 xy
Egy terepasztal felu et az f (x, y) fu ennyel adjuk meg. Milyen ¨ let´ ¨ ggv´ ir´ anyban indul el a felu ¨ let adott A = (1, 2), B = (2, 1), C = (2, 0) ´ es D = (−2, 1) pontjai f¨ ol´ e helyezett goly´ o? 2
+y 2 )
8.118.
e−(x
8.120.
Egy buck´ as domb fel¨ ulet´et az f (x, y) = −x2 + sin y f¨ uggv´eny adja meg, ha −2 ≤ x ≤ 2, −10 ≤ y ≤ 10. Milyen ir´anyban induljon el a s´ıel˝o a p = (1, π/3) pontb´ ol, ha a lehet˝o legmeredekebb p´aly´an akar lecs´ uszni?
8.121.
p Legyen f (x, y) = 1 − x2 − y 2 . ´Irja fel az (1/2, 1/2) ponton ´athalad´o szintvonal egyenlet´et, valamint a szintvonal ´erint˝oj´et az (1/2, 1/2) pontban! ´Irjuk fel a f¨ uggv´eny gradiens´et az (1/2, 1/2) pontban! Mekkora sz¨ oget z´ ar be a szintvonal ´erint˝oje a gradienssel?
8.122.
Adjunk p´eld´ at olyan f (x, y) f¨ uggv´enyre, ahol a gradiens l´etezik, de nem mer˝ oleges a szintvonal ´erint˝oj´ere! Seg´ıts´eg: vizsg´ aljuk az
8.119.
x3 + y 3 − 9xy
´ ltozo ´ s f¨ ´nyek differencia ´ la ´ sa 8. T¨ obbva uggve
0, f (x, y) = y, x
161
ha (x − 1)2 + y 2 = 1 ha x = 0 ´es y 6= 0 egy´ebk´ent
f¨ uggv´enyt az orig´ oban! 8.123.
p Legyen f (x, y) = 1 − x2 − y 2 . Ellen˝orizz¨ uk, hogy az (1/2, 1/2) pontban a f¨ uggv´eny gradiense mer˝oleges a szintvonal ´erint˝oj´ere!
8.124.
´Irjuk fel az f (x, y) = sgn x sgn y f¨ uggv´eny gradiens´et azokban a pontokban, ahol l´etezik!
Egy terepasztal felu et az f (x, y) fu eny adja meg. Tegyu ¨ let´ ¨ ggv´ ¨ k fel, hogy az x tengely kelet fel´ e, az y tengely pedig ´ eszak fel´ e mutat. Hat´ arozzuk meg a p ponton ´ atmen˝ o, ´ eszak-´ eszaknyugati ir´ anyban indul´ o¨ osv´ eny meredeks´ eg´ et a p pontban! 8.125.
f (x, y) = x2 − y 2
8.126.
x3 + y 3 − 9xy
8.127.
x2 − y 2 xy x2 + y 2 , Legyen f (x, y) = 0,
p = (1, 2, −3)
p = (2, 0, 8)
ha x2 + y 2 6= 0 ha x2 + y 2 = 0
(a) Mennyi fx0 (0, 0) ´es fy0 (0, 0)? (b) Mennyi fx0 (0, y) ha y 6= 0 ´es mennyi fy0 (x, 0) ha x 6= 0? 00 00 (c) Mennyi fxy (0, 0) ´es fyx (0, 0)?
(d) Mi´ert nincs ez ellentmond´asban Young t´etel´evel? (e) Differenci´ alhat´ o-e k´etszer f a (0, 0)-ban? 8.128.
Legyen f : Rn → R f¨ uggv´eny. Melyik ´all´ıt´as igaz ´es melyik hamis az al´ abbiak k¨ oz¨ ul? Ha egy ´all´ıt´as hamis, adjunk ellenp´eld´at! (a) Ha f folytonos a p pontban, akkor ott differenci´alhat´o. (b) Ha f differenci´ alhat´o a p pontban, akkor f a p pontban folytonos.
´ ltozo ´ s f¨ ´nyek differencia ´ la ´ sa 8. T¨ obbva uggve
162
(c) Ha f -nek l´eteznek a parci´alis deriv´altjai a p pontban, akkor f a p pontban folytonos. (d) Ha f -nek l´eteznek ´es folytonosak a parci´alis deriv´altjai a p pontban, akkor f a p pontban differenci´alhat´o. (e) Ha f -nek l´eteznek ´es folytonosak a parci´alis deriv´altjai a p pontban, akkor f a p pontban folytonos. (f ) Ha f differenci´ alhat´o a p pontban, akkor f -nek p -ben l´eteznek a parci´ alis deriv´ altjai. (g) Ha p -ben f -nek l´eteznek a m´asodrend˝ u parci´alis deriv´altjai, akkor f 2-szer differenci´ alhat´o p -ben. (h) Ha p -ben f -nek l´eteznek ´es folytonosak a m´asodrend˝ u parci´alis deriv´ altjai, akkor f 2-szer differenci´alhat´o p -ben. (i) Ha f a p pontban 2-szer differenci´alhat´o, akkor p -ben l´eteznek f m´ asodrend˝ u parci´alis deriv´altjai. (j) Ha f a p pontban 2-szer differenci´alhat´o, akkor p -ben l´eteznek f parci´ alis deriv´ altjai, ´es a parci´alis deriv´altak p -ben folytonosak.
Van-e olyan f : R2 → R fu eny, amelyre ¨ ggv´ 8.129.
fx0 (x, y) = sin y, fy0 (x, y) = x cos y
8.130.
fx0 (x, y) = exy , fy0 (x, y) = cos(x − y)
Hat´ arozzuk meg az al´ abbi fu enyeket a megadott pontokban ¨ ggv´ ´ erint˝ o s´ıkok illetve hipers´ıkok egyenlet´ et! 8.131.
f (x, y) = xy
p = (2, 3)
8.132.
f (x, y) = sin(xy)
p = (1/2, π)
8.133.
f (x, y, z) = xy 2 − z 3
p = (3, 2, 1)
8.134.
f (x1 , . . . , xn ) = x1 · x2 · . . . · xn
p = (1, 2, . . . , n)
´ Irjuk fel a G(t) = F (r (t)) ¨ osszetett fu enyt! Hat´ arozzuk meg ¨ ggv´ G0 (t)-t k¨ ozvetlenu epletb˝ ol, ´ es a l´ ancszab´ aly seg´ıts´ eg´ evel is! ¨ l a k´
163
´ ltozo ´ s f¨ ´nyek differencia ´ la ´ sa 8. T¨ obbva uggve
8.135.
F (x, y) = x2 + y 2
r (t) = cos t · i + sin t · j
t ∈ [0, 2π]
8.136.
F (x, y) = x2 − y 2
r (t) = cos t · i + sin t · j
t ∈ [0, 2π]
8.137.
F (x, y) = x2 + y 2
r (t) = t · i + 3t · j
t ∈ [0, 10]
´ Irjuk fel a k¨ ovetkez˝ o¨ osszetett lek´ epez´ esek Jacobi-m´ atrix´ at. 8.138.
g(t) = (sin t, cos t),
8.139.
f (u, v) = (sin uv, cos uv),
8.140.
f (u, v) =
u2 v 2 ,
1 uv
f (x, y) = x + y,
h = f ◦ g.
g(x, y) = x2 + y 2 ,
h=g◦f
,
g(x, y) = ln x + ln y,
h = g ◦ f.
Adjuk meg a k¨ ovetkez˝ o s´ıkbeli lek´ epez´ esek Jacobi-m´ atrix´ at! 8.141.
v = sin xy · i + x cos y · j
8.142.
v =
8.143.
v = (ln x + ln y) · i + x2 · j
8.144.
v = sin(x + 3y 2 ) · i + exy · j
8.145.
Legyen F (x, y) = xy, ´es legyenek f : R2 → R, g : R2 → R differencialhat´ ´ o f¨ uggv´enyek! ´Irjuk fel az F (f, g) ¨osszetett f¨ uggv´eny deriv´altj´at a l´ ancszab´ aly seg´ıts´eg´evel!
8.146.
Legyen r : R → R2 differenci´alhat´o, ´es legyen f (x, y) = x + y. ´Irjuk fel f ◦ r deriv´ altj´ at a l´ ancszab´aly seg´ıts´eg´evel!
xy x ·i + 2 ·j 2 1+x x + y2
´ Irjuk fel a ko o fu enyek P ponton ´ athalad´ o szintvonalainak ¨vetkez˝ ¨ ggv´ ´ erint˝ oj´ et a P pontban! 8.147.
f (x, y) = xy ,
P (3, 5)
´ ltozo ´ s f¨ ´nyek differencia ´ la ´ sa 8. T¨ obbva uggve
8.148.
f (x, y) = x2 − y 2
164
P (5, 3)
8.5. T¨ obbv´ altoz´ os sz´ els˝ o´ ert´ ek Van-e abszol´ ut sz´ els˝ o´ ert´ eku ovetkez˝ o fu enyeknek az adott ¨ k a k¨ ¨ ggv´ halmazokon? Indokoljuk a v´ alaszokat! 1 x
8.149.
f (x) =
8.150.
f (x) = sin2
8.151.
f (x, y) =
8.152.
f (x, y) = x2 + ey sin x3 y 2
8.153.
f (x, y) = x2 + y 2
H = {(x, y) : x2 + y 2 < 1}
8.154.
f (x, y) = x + y
H = {(x, y) : 0 < x < 1, 0 < y < 1}
8.155.
f (x, y) = xy
H = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}
8.156.
f (x, y, z) = xyz
H = {(x, y, z) : (x−1)2 +(y +2)2 +(z −3)2 ≤ 4}
H = {(x) : x 6= 0} √ 7
x3
y x
H = {(x) : x ∈ R} H = {(x, y) : x 6= 0}
H = {(x, y) : x2 + y 2 ≤ 1}
Hat´ arozzuk meg a k¨ ovetkez˝ o fu enyek abszol´ ut sz´ els˝ o´ ert´ ekeit a ¨ ggv´ megadott halmazokon! 8.157.
f (x, y) = x3 y 2 (1 − x − y) 1}
8.158.
f (x, y) = x2 + y 2 + (x + y + 1)2 H = R2
8.159.
f (x, y) = x − y − 3
8.160.
H = {(x, y) : 0 ≤ x, 0 ≤ y, x + y ≤
H = {(x, y) : x2 + y 2 ≤ 1}
1 1 f (x, y) = ln x · ln y + ln x + ln y 2 2 1 1 H = {(x, y) : ≤ x ≤ e, ≤ y ≤ e} e e
´ ltozo ´ s f¨ ´nyek differencia ´ la ´ sa 8. T¨ obbva uggve
8.161.
f (x, y) = sin x + sin y + sin(x + y) π π H = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ , 0 ≤ y ≤ } 2 2
8.162.
f (x, y) = x2 − 2xy + 2y 2 − 2x + 4y H = {(x, y) : |x| ≤ 3, |y| ≤ 3}
165
Keressu ovetkez˝ o fu enyek lok´ alis sz´ els˝ o´ ert´ ekhelyeit, ha ¨ k meg a k¨ ¨ ggv´ vannak! 8.163.
f (x, y) = 3x2 + 5y 2
8.164.
f (x, y) = (2x − 5y)2
8.165.
f (x, y) = 2x2 − 3y 2
8.166.
f (x, y) = 2x2 − y 2 + 4x + 4y − 3
8.167.
f (x, y) = x2 + y 2 − 6x + 8y + 35
8.168.
f (x, y) = 3 −
8.169.
f (x, y) = −y 2 + sin x
8.170.
f (x, y) = e−(x
8.171.
f (x, y) = (x − y 2 )(2x − y 2 )
8.172.
f (x, y) = −2x2 − 2xy − 2y 2 + 36x + 42y − 158
8.173.
Van-e olyan egyv´ altoz´os polinom, amelynek ´ert´ekk´eszlete (0, ∞)? Ha igen, adjunk r´ a p´eld´ at! Van-e olyan k´etv´altoz´os polinom, amelynek ´ert´ekk´eszlete (0, ∞)? Ha igen, adjunk r´a p´eld´at!
8.174.
Adjunk meg olyan k´etv´altoz´os f¨ uggv´enyt, amelyiknek v´egtelen sok szigor´ u lok´ alis maximuma van, de nincs lok´alis minimuma!
8.175.
Hat´ arozzuk meg a 2x + 3y + 4z f¨ uggv´eny maximum´at ´es minimum´at az orig´ o k¨ oz´eppont´ u 1 sugar´ u g¨omb felsz´ın´en!
p
2
2 − (x2 + y 2 )
+y 2 )
166
´ ltozo ´ s f¨ ´nyek differencia ´ la ´ sa 8. T¨ obbva uggve
8.176.
Hat´ arozzuk meg a p (t) = 2t · i + t · j + (1 − t) · k ´es a q (t) = 3t · i + t · j + (2t − 1) · k egyenesek t´avols´ag´at!
8.177.
Igazak-e a k¨ ovetkez˝ o´ all´ıt´asok? (a) Ha fx0 (x0 , y0 ) = 0, akkor f -nek az (x0 , y0 ) pontban lok´alis sz´els˝o´ert´ekhelye van. (b) Ha fx0 (x0 , y0 ) = 0 ´es fy0 (x0 , y0 ) = 0, akkor f -nek az (x0 , y0 ) pontban lok´ alis sz´els˝ o´ert´ekhelye van. 00 00 (x0 , y0 ) = 0, akkor f -nek az (x0 , y0 ) (x0 , y0 ) = 0 ´es fyx (c) Ha fxy pontban lok´ alis sz´els˝o´ert´ekhelye van. 00 00 00 (d) Ha fxx (x0 , y0 )fyy (x0 , y0 ) − (fxy (x0 , y0 ))2 < 0, akkor f -nek az (x0 , y0 ) pontban nincs lok´alis sz´els˝o´ert´ekhelye. 00 00 00 (x0 , y0 ))2 ≤ 0, akkor f -nek az (x0 , y0 ) − (fxy (x0 , y0 )fyy (e) Ha fxx (x0 , y0 ) pontban nincs lok´alis sz´els˝o´ert´ekhelye. 00 (x0 , y0 ) < 0, akkor f -nek az (x0 , y0 ) pontban nincs lok´alis (f ) Ha fxx minimumhelye.
Mely (x, y) ∈ R2 pontokban nulla az f (x, y) fu eny mindk´ et ¨ ggv´ parci´ alis deriv´ altja? Mely (x, y) ∈ R2 pontokban van az f (x, y) fu enynek lok´ alis sz´ els˝ o´ ert´ ekhelye? ¨ ggv´ 8.178.
f (x, y) = x3
8.179.
f (x, y) = x2
8.180.
f (x, y) = x2 − y 2
8.181.
f (x, y) = x2 + y 2
8.182.
f (x, y) = (x + y)2
8.183.
f (x, y) = x3 + y 3
8.184.
f (x, y) = e−(x
+y 2 )
8.185.
f (x, y) = x2 + sin y
8.186.
f (x, y) = 3x2 + 5y 2
8.187.
f (x, y) =
8.188.
f (x, y) = xy
8.189.
f (x, y) = ey
8.190.
f (x, y, z) = xyz + x2 + y 2 + z 2
8.191.
f (x, y) = x3 − y 3
2
2 3 x + y 4 + xy 3 2
−x2
167
´ ltozo ´ s f¨ ´nyek differencia ´ la ´ sa 8. T¨ obbva uggve
8.192.
f (x, y) = x4 + y 4
8.193.
f (x, y) = −2x2 − y 4
8.194.
f (x, y) = (2x − 5y)2
8.195.
f (x, y) = (1 + ey ) cos x − yey
Egy hegy felu et az F (x, y) = 30 − ¨ let´
x2
−
y2
fu eny ´ırja le. ¨ ggv´ 100 100 Adjuk meg a kir´ andul´ oo sv´ e ny legmagasabb pontj´ a t, ha az o eny ¨ ¨sv´ pontjainak koordin´ at´ ai kiel´ eg´ıtik a ko vetkez˝ o felt´ e teleket: ¨ 8.196. 3x + 3y = π sin x + π sin y 8.197. 8.198. y =
1 1 + x2
8.199.
4x2 + 9y 2 = 36 x2 + y 2 = 25
Hat´ arozzuk meg f maximum´ at a megadott felt´ etel mellett! 8.200.
f (x, y) = xy,
x2 + y 2 = 1
8.201.
f (x, y, z) = x − y + 3z,
x2 +
8.202.
f (x, y, z) = xyz,
x2 + y 2 + z 2 = 3
8.203.
f (x, y) = xy,
x+y+z =5
8.204.
f (x, y) = xyz,
xy + yz + xz = 8
8.205.
f (x, y) = xyz,
xy + yz + xz = 8,
8.206.
Egy r´eszecske az x2 + y 2 = 25 k¨orp´aly´an mozoghat azon a s´ıkon, ahol az (x, y) pontban az energi´aja E(x, y) = x2 + 24xy + 8. Van-e a r´eszecsk´enek stabil egyens´ ulyi helyzete?
8.207.
Egy u artott term´ek mennyis´ege az x ´es y param´eterekt˝ol ¨zemben a gy´ f¨ ugg: M (x, y) = xy. A termel´esi k¨olts´eg C(x, y) = 2x + 3y. Legfeljebb mennyi term´eket gy´ arthat az u ¨zem, ha C(x, y) = 10 egys´egnyi p´enze van a termel´es k¨ olts´egeire?
y2 z2 + =1 2 3
x, y, z ≥ 0
´ ltozo ´ s f¨ ´nyek differencia ´ la ´ sa 8. T¨ obbva uggve
168
8.208.
Adott t´erfogat´ u t´egl´ ak k¨oz¨ ul melyiknek a legkisebb a felsz´ıne?
8.209.
Hat´ arozzuk meg annak a h´aromsz¨ognek a sz¨ogeit, amelynek a ker¨ ulete K, ´es a ter¨ ulete maxim´alis!
8.210.
Hat´ arozzuk meg a 3x2 +2y 2 +z 2 = 9 egyenlet˝ u ellipszoidot az (1, −1, 2) pontban ´erint˝ o s´ık egyenlet´et!
8.211.
Legyen P = (3, −7, −1), Q = (5, −3, 5), S pedig az a Q-n ´atmen˝o s´ık, amelyik mer˝ oleges a P Q szakaszra! (a) ´Irjuk fel az S s´ık egyenlet´et! (b) ´Irjuk fel a s´ık egy pontj´anak ´es az orig´onak a t´avols´ag´at! (c) Melyik pontja van az S s´ıknak legk¨ozelebb az orig´ohoz? (d) Mutassuk meg, hogy az el˝obb kapott pontot az orig´oval ¨osszek¨ot˝o szakasz mer˝ oleges az S s´ıkra! Magyar´azzuk meg geometriailag is, hogy ez mi´ert van ´ıgy!
9. fejezet To altoz´ os Riemann-integr´ al ¨bbv´ 9.1. Jordan-m´ erhet˝ o halmazok tulajdons´ agai. — Ha A ⊂ Rn korl´ atos, akkor b(A) = b(int A), k(A) = k A . — Az A ⊂ Rn korl´ atos halmaz akkor ´es csak akkor Jordan-m´erhet˝o, ha hat´ ara nullm´ert´ek˝ u. — Ha A ⊂ Rn Jordan-m´erhet˝o, ´es f : A → R korl´atos, akkor f pontosan akkor integr´ alhat´ o, ha graf f ⊂ Rn+1 nullm´ert´ek˝ u. 9.2. Az integr´ al tulajdons´ agai. Z — Ha A Jordan-m´erhet˝ o halmaz, akkor t(A) =
χA , ahol χA az A halA
maz karakterisztikus fu enye, ¨ ggv´ 1 ha x ∈ A χA (x) = 0 ha x ∈ /A — Ha A ´es B k´et korl´ atos halmaz, int A ∩ int B = ∅ (egym´ asba nem ny´ ul´ o halmazok), f integr´alhat´o A-n ´es B-n is, akkor f integr´alhat´o a C = A ∪ B halmazon ´es Z Z Z f = f + f. C
A
B
— M´erhet˝ o z´ art halmazon folytonos f¨ uggv´eny integr´alhat´o. — Ha f ´es g egy nullm´ert´ek˝ u halmazt kiv´eve megegyezik a m´erhet˝o A halmazon, ´es f integr´ alhat´o A-n, akkor g is integr´alhat´o A-n, ´es Z Z f = g. A
A
170
´ ltozo ´ s Riemann-integra ´l 9. T¨ obbva
— Ha f ´es g integr´ alhat´ o az A halmazon, c pedig egy tetsz˝oleges val´os sz´ am, akkor f + g ´es c · f is integr´alhat´o, ´es Z Z Z Z Z (f + g) = f + g, (c · f ) = c f. A
A
A
A
A
9.3. Integr´ al´ asi m´ odszerek. — Szukcessz´ıv integr´ al´ as - Fubini-t´ etel. Legyen A ⊂ Rn−1 egy z´art Jordan-m´erhet˝o halmaz, B = [a, b]×A ⊂ Rn ´es f : B → R folytonos, akkor Zb
ZZ f (x, y) dx dy =
a
B
Z f (x, y) dy dx A
— Integr´ al´ as norm´ altartom´ anyon. Legyen A ⊂ Rn−1 egy z´art Jordan-m´erhet˝o halmaz, ϕ : A → R, ψ : A → R k´et folytonos f¨ uggv´eny, ϕ ≤ ψ az A pontjaiban, N = {(x, y) : x ∈ A, ϕ(x) ≤ y ≤ ψ(x)} ⊂ Rn ,
f :N →R
folytonos f¨ uggv´eny. Ekkor N Jordan-m´erhet˝o, f integr´alhat´o N -en, ´es ψ(x) ZZ Z Z f (x, y) dy dx. f (x, y) dx dy = N
A
ϕ(x)
— Integr´ altranszform´ aci´ o. Legyen A ⊂ Rn z´ art Jordan-m´erhet˝o halmaz, Φ : A → Rn folytonos, int A-n egy-egy ´ertelm˝ u ´es folytonosan deriv´alhat´o, B = {Φ(x) : x ∈ A} = Ψ(A), valamint f : B → R folytonos f¨ uggv´eny. Ekkor B (z´art) Jordan-m´erhet˝ o halmaz, ´es Z Z f (y) dy = |J| f (Ψ(x)) dx, B
A
ahol J = det(Ψ0 ) a Ψ lek´epez´es Jacobi-determin´ ansa.
´ ltozo ´ s Riemann-integra ´l 9. T¨ obbva
171
9.1. Jordan-m´ ert´ ek Van-e teru o s´ıkbeli halmazok hat´ ar´ anak? Ha igen, ¨ lete a ko ¨vetkez˝ hat´ arozzuk meg a teru let´ e t! ¨ 9.1.
H = {(x, y) : 0 ≤ x < 1, 0 < y ≤ 1}
9.2.
H = {(x, y) : x ∈ Q, y ∈ Q, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}
Van-e t´ erfogata a k¨ ovetkez˝ o t´ erbeli halmazok hat´ ar´ anak? Ha igen, hat´ arozzuk meg a t´ erfogat´ at! 9.3.
H = {(x, y, z) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1}
9.4.
H = {(x, y, z) : x ∈ Q, y ∈ Q, z ∈ Q, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1}
Hat´ arozzuk meg a k¨ ovetkez˝ o s´ıkbeli halmazok ku o´ es bels˝ o teru ¨ ls˝ ¨let´ et! Melyik halmaz m´ erhet˝ o? 9.5.
H = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}
9.6.
H = {(x, y) : 0 ≤ x < 1, 0 < y ≤ 1}
9.7.
H = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x}
9.8.
H = {(x, y) : x ∈ Q, y ∈ Q, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}
Hat´ arozzuk meg a ko o t´ erbeli halmazok ku o´ es bels˝ o m´ er¨vetkez˝ ¨ ls˝ t´ ek´ et! Melyik halmaz m´ erhet˝ o? 9.9.
H = {(x, y, z) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1}
9.10.
H = {(x, y, z) : 0 ≤ x < 1, 0 < y < 1, 0 < z < 1}
9.11.
H = {(x, y, z) : 0 < x < 1, 0 < y < 1, 0 < z < x + y}
172
´ ltozo ´ s Riemann-integra ´l 9. T¨ obbva
9.12.
H = {(x, y, z) : x ∈ Q, y ∈ Q, z ∈ Q, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1}
9.13.
Bizony´ıtsuk be, hogy egy korl´atos halmaz pontosan akkor m´erhet˝o, ha a hat´ ar´ anak a m´ert´eke 0.
9.14.
Bizony´ıtsuk be, hogy ha a H1 ´es H2 halmazok m´erhet˝ok, akkor a H1 ∪ H2 , H1 \ H2 , H1 ∩ H2 halmazok is m´erhet˝ok!
9.15.
Van-e olyan korl´ atos A ´es B s´ıkbeli halmaz, amelyikre teljes¨ ul, hogy (a) b(A ∪ B) > b(A) + b(B)?
9.16.
(b) k(A ∪ B) < k(A) + k(B)?
Van-e olyan korl´ atos ´es diszjunkt A ´es B s´ıkbeli halmaz, amelyikre teljes¨ ul, hogy (a) b(A ∪ B) > b(A) + b(B)?
(b) k(A ∪ B) < k(A) + k(B)?
9.17.
Tegy¨ uk fel, hogy a korl´atos H halmaz hat´ar´anak a ter¨ ulete 0. K¨ovetkezike ebb˝ ol, hogy a H halmaz belseje u ¨res?
9.18.
Tegy¨ uk fel, hogy a korl´atos H halmaz belseje u ¨res. K¨ovetkezik-e ebb˝ol, hogy a H halmaz m´erhet˝o?
9.19.
Legyen R egy tengelyp´arhuzamos t´egla, ´es legyen H ⊂ R tetsz˝oleges halmaz. Bizony´ıtsuk be, hogy b(H) + k(R \ H) = t(R)!
9.20.
Legyen R egy tengelyp´arhuzamos t´egla, ´es legyen H ⊂ R tetsz˝oleges halmaz. Bizony´ıtsuk be, hogy H pontosan akkor m´erhet˝o, ha k(H) + k(R \ H) = t(R)!
9.21.
Van-e olyan korl´ atos H halmaz, amelyikre teljes¨ ul, hogy
9.22.
(a) k(H) > b(H)
(b) k(H) < b(H)
(c) t(∂H) > b(H)
(d) t(∂H) > k(H)?
Van-e olyan m´erhet˝ o H halmaz, amelyikre teljes¨ ul, hogy
173
´ ltozo ´ s Riemann-integra ´l 9. T¨ obbva
(a) k(H) > b(H)
(b) t(∂H) = 1?
9.23.
Tegy¨ uk fel, hogy H korl´atos halmaz. Igaz-e, hogy ha H m´erhet˝o, akkor H ∪ ∂H is m´erhet˝ o?
9.24.
Legyen Kn az orig´ o k¨oz´eppont´ u, 1/n sugar´ u k¨orvonal a s´ıkban! Hat´a∞ [ rozzuk meg az Kn halmaz ter¨ ulet´et! n=1
9.25.
Legyen Kn az (1/n, 1/n) k¨oz´eppont´ u, 1/n sugar´ u k¨orvonal a s´ıkban! S∞ Hat´ arozzuk meg az n=1 Kn halmaz ter¨ ulet´et!
9.26.
Legyen f : [a, b] → R korl´atos f¨ uggv´eny, ´es Gf = {(x, y) : a ≤ x ≤ b, y = f (x)}, a f¨ uggv´eny grafikonja. Bizony´ıtsuk be, hogy Gf pontosan akkor Jordan-m´erhet˝ o, ha f integr´alhat´o!
9.27.
Sz´ amoljuk ki az egys´egn´egyzet racion´alis pontjaib´ol ´all´o halmaz bels˝o, illetve k¨ uls˝ o m´ert´ek´et.
9.28.
Adjunk meg a s´ıkban egy korl´atos ny´ılt halmazt, amelynek nincs Jordanter¨ ulete.
9.29.
Adjunk meg a s´ıkban korl´atos z´art halmazt, amelynek nincs Jordanter¨ ulete.
9.30.
Bizony´ıtsuk be, hogy tetsz˝oleges korl´atos A ⊂ Rn halmazra b(A) = 0 ⇐⇒ int A = ∅.
9.31.
Bizony´ıtsuk be, hogy ha A ⊂ Rn Jordan-m´erhet˝o, akkor ∀ ε > 0 ∃ K ⊂ A z´ art, ´es ∃ G ⊃ A ny´ılt m´erhet˝o halmaz u ´gy, hogy t(A) − ε < t(K) ≤ t(A) ≤ t(G) < t(A) + ε.
9.32.
Legyen C ⊂ R a Cantor-halmaz. H = C ×[0, 1] ⊂ R2 . Jordan-m´erhet˝oe H, ´es ha igen, mennyi a ter¨ ulete?
9.33.
Legyen H = vonal.
S∞
n=1
Kn , ahol Kn az orig´o k¨oz´eppont´ u, 1/n sugar´ u k¨or-
174
´ ltozo ´ s Riemann-integra ´l 9. T¨ obbva
(a) M´erhet˝ o halmaz H? (b) Van-e olyan S ⊂ R2 (m´erhet˝o) halmaz, amelyre ∂ S = H? (c) Van-e olyan S ⊂ R2 (m´erhet˝o) halmaz, amelyre ∂ S ⊃ H?
9.2. T¨ obbv´ altoz´ os Riemann-integr´ al 9.34.
Legyen H = [−1, 1] × [0, 1], ´es ( |x|, f (x, y) = 0, Z1 Mutassuk meg, hogy
0
Z1
ha y ∈ Q ha y ∈ /Q
f (x, y) dx dy = 0, ´es hogy f nem integ-
−1
r´ alhat´ o H-n! 9.35.
Legyen H = {x2 + y 2 ≤ 1}, ´es ( f (x, y) =
1, −1,
ha x ≥ 0 ha x < 0
Sz´ am´ıtsuk ki f als´ o ´es fels˝o integr´alj´at a H halmazon! Integr´alhat´o-e f a H halmazon? Integr´ alhat´ ok-e az N = [0, 1] × [0, 1] egys´ egn´ egyzeten a k¨ ovetkez˝ o fu enyek? Ha igen, sz´ am´ıtsuk ki az integr´ al ´ ert´ ek´ et! ¨ ggv´ ( 0, ha y > x 9.36. f (x, y) = 1, ha y ≤ x ( 1, ha y ≥ x 9.37. f (x, y) = 0, ha y < x ( 0, ha xy 6= 0 9.38. f (x, y) = 1, ha xy = 0 ( 1, ha x, y ∈ Q 9.39. f (x, y) = 0, egy´ebk´ent
175
´ ltozo ´ s Riemann-integra ´l 9. T¨ obbva
9.40.
9.41.
9.42.
9.43.
(
1, 2,
ha x ≥ 1/2 ha x < 1/2
(
1, 2,
ha y ≥ 1/2 ha y < 1/2
f (x, y) =
f (x, y) =
( 1, ha t ∈ Q f (x, y) = D(x)D(y), ahol D(t) = a Dirichlet-f¨ uggv´eny. 0, ha t ∈ /Q n ha x + y = 1/n, n ∈ N+ Legyen f (x, y) = . 0 egy´ebk´ent Mutassuk meg, hogy f nem integr´alhat´o az N egys´egn´egyzeten, de Z1 Z1 Z1 Z1 f (x, y) dy dx = 0. f (x, y) dx dy = 0 ´es 0
0
0
0
Sz´ am´ıtsuk ki az N = [0, 1] × [0, 1] halmazon a k¨ ovetkez˝ o teru ¨ leti integr´ alokat! Alkalmazzuk Fubini t´ etel´ et! ZZ ZZ 9.44. 9.45. sin x dx dy sin y dx dy
9.46.
9.48.
N
N
ZZ
ZZ
sin(x + y) dx dy
9.47.
sin xy dx dy
N
N
ZZ
ZZ
e2x+y dx dy
9.49.
N
xy dx dy N
Legyen N = [0, 1]2 ⊂ R2 az egys´ egn´ egyzet. Integr´ aljuk N -en a k¨ ovetkez˝ o f (x, y) fu enyeket: ¨ ggv´ √ 9.50. 9.51. f (x, y) = x f (x, y) = x3 − x2 y + y 9.52.
f (x, y) = ex+2y
9.53.
f (x, y) = xexy
176
´ ltozo ´ s Riemann-integra ´l 9. T¨ obbva
9.54.
f (x, y) =
9.56.
f (x, y) =
9.57.
f (x, y) =
1 ha x = y 0 ha x 6= y
9.55.
f (x, y) =
1 0
ha x + y = 1 egy´ebk´ent
1 0
ha x = 1/n, n ∈ N+ egy´ebk´ent
1 0
ha x = y ha x < y
Hat´ arozzuk meg a k¨ ovetkez˝ o teru alokat a megadott t´ eg¨ leti integr´ lalapokon: ZZ 9.58. (x + y) dx dy T : 0 ≤ x ≤ 1, 1 ≤ y ≤ 3 T
9.59.
ZZ xy dx dy
T : 0 ≤ x ≤ 1, 1 ≤ y ≤ 3
ex+y dx dy
T : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1
xey dx dy
T : 1 ≤ x ≤ 2, 3 ≤ y ≤ 4
x dx dy y
T : 1 ≤ x ≤ 2, 3 ≤ y ≤ 4
x sin y dx dy
T : 0 ≤ x ≤ 1, 2 ≤ y ≤ 3
T
9.60.
ZZ T
9.61.
ZZ T
9.62.
ZZ T
9.63.
ZZ T
Sz´ am´ıtsuk ki a H = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ π/2, 0 ≤ y ≤ sin x} halmazon a k¨ ovetkez˝ o teru alokat! Alkalmazzuk Fubini t´ etel´ et! ¨ leti integr´ ZZ ZZ 9.64. 9.65. (x − y) dx dy xy dx dy
9.66.
H
H
ZZ
ZZ
y sin x dx dy H
9.67.
H
x p dx dy 1 + y2
Hat´ arozzuk meg a k¨ ovetkez˝ o teru alokat a megadott hal¨ leti integr´ mazokon:
177
´ ltozo ´ s Riemann-integra ´l 9. T¨ obbva
9.68.
ZZ (x + y) dx dy
T : x2 + y 2 ≤ 1
xy dx dy
T : (x − 1)2 + (y + 1)2 ≤ 4
xy dx dy
T :
(x − xy) dx dy
T : (x − 2)2 + (y + 3)2 ≤ 4
T
9.69.
ZZ T
9.70.
ZZ
(x − 1)2 + y 2 = 1 (x − 2)2 + y 2 = 4
k¨or¨ok ´altal hat´arolt tartom´any.
T
9.71.
ZZ T
9.72.
ZZ
2
e−x dx dy
T : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x
T
9.73.
ZZ
(x2 + y 2 )3/2 dx dy T : x2 + y 2 ≤ 1
T
Legyen T = [0, 1] × [0, 2] × [0, 3] ⊂ R3 . Sz´ amoljuk ki a k¨ ovetkez˝ o t´ erfogati integr´ alokat a T t´ egl´ an: ZZZ ZZZ 9.75. xyz dx dy dz 9.74. (x + y + z) dx dy dz
9.76.
T
T
ZZZ
ZZZ
ex+y+z dx dy dz
9.77.
T
(xz + y 2 ) dx dy dz
T
Hat´ arozzuk meg a k¨ ovetkez˝ o g¨ orb´ ek ´ altal hat´ arolt s´ıkidomok teru ¨let´ et! 9.78.
y = x2 ,
x = y2
9.79.
y = 2x − x2 ,
y = x2
9.80.
2y = x2 ,
y=x
9.81.
4y = x2 − 4x,
x−y−3=0
9.82.
y = x2 , y = 2x2 , xy = 1, xy = 2
9.83.
x2 − y 2 = 1, x2 − y 2 = 4, xy = 1, xy = 2
´ ltozo ´ s Riemann-integra ´l 9. T¨ obbva
178
p 1 − x2 } halmaz
9.84.
Hat´ arozzuk meg a H = {(x, y) : −1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ ter¨ ulet´et!
9.85.
Sz´ amoljuk ki az y = x2 , y = 2x2 parabol´ak ´es az x = 1 egyenes ´altal hat´ arolt s´ıkidom ter¨ ulet´et.
9.86.
Sz´ amoljuk ki az x2 + y 2 = 1 hengerpal´ ast ´es az x+y+z = 2, z = 0 s´ıkok ´ altal hat´ arolt test t´erfogat´ at. A keresett test:
9.87.
Sz´ amoljuk ki az x2 + y 2 = 1 hengerpal´ ast ´es az x+y+z = 1, z = 0 s´ıkok ´ altal hat´ arolt test t´erfogat´ at. A keresett test:
9.88.
9.89.
x2 y2 − f¨ uggv´eny grafikonja alatti test 2 2 t´erfogat´ at a H halmaz felett, ha H = [0, 1] × [0, 1]! Sz´ am´ıtsuk ki az f (x, y) = 1 −
Sz´ am´ıtsuk ki az f (x, y) = x+y f¨ uggv´eny grafikonja alatti test t´erfogat´at a H halmaz felett, ha H = {0 ≤ x + y ≤ 1, 0 ≤ x, 0 ≤ y}!
Rajzoljuk le azt a testet, amelyiknek a t´ erfogat´ at az adott integr´ allal sz´ amolhatjuk ki! Sz´ am´ıtsuk ki a t´ erfogatokat!
179
´ ltozo ´ s Riemann-integra ´l 9. T¨ obbva
9.90.
ZZ
2
x +y
2
dy dx
Z1
9.91.
|x|+|y|≤1
0
1−x Z x2 + y 2 dy dx 0
Sz´ am´ıtsuk ki a k¨ ovetkez˝ o felu altal hat´ arolt testek t´ erfogat´ at! ¨ letek ´ 9.92.
x + y + z = 6,
x = 0,
9.93.
x − y + z = 6,
x + y = 2,
9.94.
z = 1 − x2 − y 2 ,
9.95.
z = cos x cos y,
z = 0,
x + 2y = 4
x = y,
y = 0,
z=0
x2 + y 2 ≤ 1 |x + y| ≤
π , 2
z=0
Sz´ am´ıtsuk ki a k¨ ovetkez˝ o testek t´ erfogat´ at! 9.96.
g¨ omb
9.97.
ellipszoid
9.98.
k¨ orhenger
9.99.
forg´ask´ up
Tegyu anyt %(x, y) s˝ ur˝ us´ eg˝ u anyag ¨ k fel, hogy a H s´ıkbeli tartom´ to lti ki. Ekkor a test t o mege: ¨ ¨ ZZ M = %(x, y) dx dy, H
a test t¨ omegk¨ oz´ eppontj´ anak a koordin´ at´ ai pedig ZZ ZZ 1 1 Sx = x%(x, y) dx dy, Sy = y%(x, y) dx dy. M M H
H
Hat´ arozzuk meg a t¨ omegk¨ oz´ eppont koordin´ at´ ait, ha H = [0, 1] × [0, 1] ´ es, 9.100.
%(x, y) = x2
9.101.
%(x, y) = x + y
180
´ ltozo ´ s Riemann-integra ´l 9. T¨ obbva
9.102.
9.103.
%(x, y) = xy
%(x, y) = x2 + y 2
Hat´ arozzuk meg annak a k´ etdimenzi´ os testnek a t¨ omegk¨ oz´ eppontj´ at, amelyiket az y = 0, x = 2, y = 1, y = x egyenesek hat´ arolnak, ´ es amelyiknek a s˝ ur˝ us´ ege 9.104.
%(x, y) = 1
9.105.
%(x, y) = x
9.106.
%(x, y) = y
9.107.
%(x, y) = xy
9.108.
%(x, y) =
9.109.
%(x, y) = ex+y
1 x + y3
Az xy s´ıkban lev˝ o test tehetetlens´ egi nyomat´ eka a z tengelyre n´ ezve ZZ Θ= r 2 (x, y)%(x, y) dx dy, H
ahol r(x, y) az (x, y) pont t´ avols´ aga a z tengelyt˝ ol. Hat´ arozzuk meg a % s˝ ur˝ us´ eg˝ u, egys´ egoldal´ u n´ egyzet z tengelyre vonatkoz´ o tehetetlens´ egi nyomat´ ek´ at, ha a n´ egyzet egyik cs´ ucsa ´ er hozz´ a a z tengelyhez! 9.110.
%(x, y) = 1
9.111.
9.112.
Hat´ arozzuk meg az el˝ oz˝o k´et feladatban szerepl˝o n´egyzetek tehetetlens´egi nyomat´ek´ at az z tengelyre vonatkoz´oan, ha a n´egyzet egyik oldal´ anak a felez˝ opontja ´er hozz´a a z tengelyhez!
9.113.
Egy v´ekony lemezt az y = 0, x = 1 ´es az y = 2x egyenesek hat´arolnak. A lemez s˝ ur˝ us´ege %(x, y) = 6x + 6y + 6. Hat´arozzuk meg a test t¨omeg´et ´es t¨omegk¨oz´eppontj´ anak koordin´ at´ ait!
9.114.
Egy test az els˝ o t´ernyolcadban van, a koordin´atas´ıkok ´es az x+y+z = 2 s´ık hat´ arolja, a s˝ ur˝ us´ege pedig %(x, y, z) = 2x. Hat´arozzuk meg a test t¨ omeg´et ´es t¨ omegk¨ oz´eppontj´anak koordin´at´ait!
%(x, y) = xy
181
´ ltozo ´ s Riemann-integra ´l 9. T¨ obbva
9.115.
Egy 1 m´eter m´ely g¨ od¨ orb˝ol a felsz´ınre szivatty´ uzzuk a vizet. Mennyi munk´ at v´egz¨ unk a gravit´aci´o ellen´eben, ha a g¨od¨or (a) kocka alak´ u,
(b) f´elg¨omb alak´ u?
10. fejezet Vonalintegr´ al ´ es primit´ıv fu eny ¨ ggv´ ´ 10.1. Erint˝ oegyenes. Az r (t) t´erg¨orbe ´erint˝oj´enek egyenlete az r 0 = r (t0 ) pontban r = r 0 + v · t, ahol v = r˙ (t0 ) az ´erint˝ oegyenes ir´anyvektora. 10.2. S´ık ´ es t´ ergo ¨rbe ´ıvhossza. — Ha az r : [a, b] → R2 s´ıkg¨orbe folytonosan deriv´alhat´o, akkor rektifik´ alhat´ o, ´es ´ıvhossza Zb |r˙ | dt =
L= a
Zb p
x˙ 2 + y˙ 2 dt.
a
— Ha f : [a, b] → R folytonosan deriv´alhat´o, akkor grafikonja rektifik´alhat´ o, ´es ´ıvhossza Zb p L= 1 + (f 0 )2 dx. a
— Ha az r : [a, b] → R3 t´erg¨orbe folytonosan deriv´alhat´o, akkor rektifik´ alhat´ o, ´es ´ıvhossza Zb |r˙ | dt =
L= a
Zb p
x˙ 2 + y˙ 2 + z˙ 2 dt.
a
´ 10.3. Erint˝ os´ık. Az r (u, v) fel¨ ulet ´erint˝os´ıkj´anak egyenlete az r 0 = r (u0 , v0 ) pontban n · r = n · r0 ahol n = r 0u (u0 , v0 ) × r 0v (u0 , v0 ) az ´erint˝os´ık norm´alisa.
´l e ´s primit´ıv f¨ ´ny 10. Vonalintegra uggve
183
Speci´ alisan a z = f (x, y) grafikonj´anak ´erint˝os´ıkja az (x0 , y0 ) pont felett z = f (x0 , y0 ) + fx0 (x0 , y0 )(x − x0 ) + fy0 (x0 , y0 )(y − y0 ) 10.4. Felsz´ın. Ha az r : A → R3 fel¨ ulet folytonosan deriv´alhat´o, akkor a fel¨ uletnek van (v´eges) felsz´ıne, ´es ZZ S= |r 0u × r 0v | du dv. A
Speci´ alisan a z = f (x, y) folytonosan deriv´alhat´o f¨ uggv´eny grafikonj´anak felsz´ıne az A m´erhet˝ o s´ıkidom felett ZZ q 1 + (zx0 )2 + (zy0 )2 dx dy. S= A
10.5. Vonalintegr´ al kisz´ amol´ asa. Ha v = v1 (x, y, z) · i + v2 (x, y, z) · j + v3 (x, y, z) · k vektormez˝ o folytonos a G tartom´anyon, r : [a, b] → G, r (t) = x(t)·i +y(t)·j +z(t)·k folytonosan deriv´alhat´o, akkor v vonalmenti integr´alja l´etezik a Γ : r (t) g¨ orbe ment´en, ´es Zb
Z
v (r (t)) · r˙ (t) dt.
v dr = Γ
a
Koordin´ at´ akkal ki´ırva Z v1 (x, y, z) dx + v2 (x, y, z) dy + v3 (x, y, z) dz = Γ
Zb =
[v1 (x, y, z)x˙ + v2 (x, y, z)y˙ + v3 (x, y, z)z] ˙ dt. a
Hasonl´ oan, s´ıkbeli vektormez˝o ´es g¨orbe eset´en Zb
Z v1 (x, y) dx + v2 (x, y) dy = Γ
[v1 (x, y)x˙ + v2 (x, y)y] ˙ dt. a
184
´l e ´s primit´ıv f¨ ´ny 10. Vonalintegra uggve
10.6. Konzervat´ıv vektort´ er. — A v vektormez˝ o pontosan akkor konzervat´ıv a G tartom´anyon, ha minden G-ben fekv˝ o z´ art rektifik´alhat´o Γ g¨orb´en I v dr = 0, Γ
azaz minden k¨ orintegr´ al nulla. — Newton-Leibniz-formula vonalintegr´alokra. Ha a v vektort´er konzervat´ıv a G tartom´anyon ´es U (r ) egy primit´ıv f¨ uggv´enye G-n, Γ egy folytonosan deriv´alhat´o G-beli g¨orbe az a kezd˝o ´es b v´egpontokkal, akkor Z v dr = U (b ) − U (a ). Γ
— Ha a v vektormez˝ o konzervat´ıv ´es folytonosan deriv´alhat´o a G tartom´ anyon, akkor rot v = 0 , azaz a keresztbe vett deriv´altak megegyeznek, ¨ orv´ enymentes a vektormez˝ o. — Ha a v vektormez˝ o folytonosan deriv´alhat´o az egyszeresen ¨ osszefu ¨ gg˝ o G tartom´ anyon, ´es G pontjaiban rot v = 0 , akkor v konzervat´ıv.
10.1. S´ık ´ es t´ ergo ek ¨rb´ ´ azoljuk a ko Abr´ o s´ıkgo eket! ¨vetkez˝ ¨rb´ 10.1.
r = t · i + t2 · j
10.2.
t ∈ [0, 4] 10.3.
r =
√
t·i +t·j
t ∈ [0, 16]
r = t2 · i + t · j t ∈ [0, 16]
10.4.
r =t·i + t ∈ [0, 4]
√
t·j
´l e ´s primit´ıv f¨ ´ny 10. Vonalintegra uggve
10.5.
r = 2t · i + 4t2 · j
10.6.
t ∈ [0, 2] 10.7.
r = cos t · i + sin t · j
t ∈ [0, 4] 10.8.
t ∈ [0, 2π] 10.9.
r = cos t · i + sin t · j
r = 4 cos t · i + 2 sin t · j
10.10.
r = t cos t · i + sin t · j
10.12.
10.14.
´ azoljuk a k¨ Abr´ ovetkez˝ o t´ erg¨ orb´ eket! r = t · i + 2t · j + 3t · k t ∈ [2, 4] 10.16.
r = −2t · i + t · j − (t/3) · k t ∈ [2, 4]
10.17.
r = cos t · i + sin t · j + t · k t ∈ [0, 6π]
10.18.
r = t · i + sin t · j + cos t · k t ∈ [0, 6π]
10.19.
r = 2 sin t · i − t2 · j + cos t · k t ∈ [2, 6π]
10.20.
r = t cos t · i + t sin t · j + t · k t ∈ [2, 6π]
r = cos t · i + t sin t · j t ∈ [0, 2π]
t ∈ [0, 6π]
10.15.
r = 2 cos t · i + 4 sin t · j t ∈ [0, 2π]
t ∈ [π/2, 3π/2] 10.13.
r = cos t · i + sin t · j t ∈ [0, π]
t ∈ [−π/2, π/2] 10.11.
r = t2 · i + t2 · j
r = t cos t · i + t sin t · j t ∈ [0, 4π]
185
186
´l e ´s primit´ıv f¨ ´ny 10. Vonalintegra uggve
10.21.
Adjunk meg olyan g¨ orb´et, amelyik (a) egy hengerre felcsavarod´o spir´al; (b) egy k´ upra felcsavarod´o spir´al!
10.22.
Sz´ amoljuk ki az el˝ oz˝ o g¨orb´ek ´ıvhossz´at, ha adott a henger, illetve k´ up alapk¨ or´enek a sugara, tov´abb´a a henger ´es a k´ up magass´aga!
V´ azoljuk a k¨ ovetkez˝ o s´ıkg¨ orb´ eket! ´ Irjuk fel az ´ erint˝ ok egyenlet´ et t = π/4-ben! 10.23.
r (t) = 2 cos t · i + 3 sin t · j
t ∈ [0, 8π]
10.24.
r (t) = t cos t · i + t sin t · j
t ∈ [0, 8π]
´ Irjuk fel a ko o s´ıkgo ek ´ erint˝ oit a megadott P pontokban! ¨vetkez˝ ¨rb´ 10.25.
x2 − xy 3 + y 5 = 17
P (5, 2)
10.26.
(x2 + y 2 )2 = 3x2 y − y 3
P (0, 0)
Sz´ amoljuk ki a k¨ ovetkez˝ o t´ erg¨ orb´ ek ´ erint˝ oinek egyenlet´ et a megadott helyeken: 10.27.
r (t) = (t−3)·i +(t2 +1)·j +t2 ·k t = 2
10.28.
r (t) = sin t · i + cos t · j +
1 ·k p = j + k cos t
Hat´ arozzuk meg az al´ abbi s´ıkg¨ orb´ ek ´ıvhossz´ at: 10.29.
(ciklois) x = r(t − sin t) y = r(1 − cos t)
10.30.
0 ≤ t ≤ 2π
(arkhim´ed´eszi spir´ alis) r = aϕ
0 ≤ ϕ ≤ 2π
187
´l e ´s primit´ıv f¨ ´ny 10. Vonalintegra uggve
10.31.
y=
√
0≤x≤a
x
10.2. Skal´ ar-, ´ es vektormez˝ ok, differenci´ aloper´ atorok 10.32.
Milyen geometriai transzform´aci´onak felel meg a s´ıkon az x y f (x, y) = ,− 2 x2 + y 2 x + y2 lek´epez´es?
Adjunk meg olyan f : R2 → R2 lek´ epez´ eseket, amelyeknek H az ´ ertelmez´ esi tartom´ anya, ´ es K az ´ ert´ ekk´ eszlete! 10.33.
H = {(x, y) : 0 < x < 1, 0 < y < 1} K = {(x, y) : 0 < x < 2, 0 < y < 4}
10.34.
H = {(x, y) : 0 < x < 1, 0 < y < 1, x + y < 1} K = {(x, y) : 0 < x < 1, 0 < y < 1}
10.35.
H = {(x, y) : 0 < x ≤ 1, y = 0} K = {(x, y) : x2 + y 2 = 1}
10.36.
H = {(x, y) : 0 < x < 1, 0 < y < 2} K = {(x, y) : x2 + y 2 < 1}
Hat´ arozzuk meg grad f = ∇f -et, ha 10.37.
f (x, y) = x2 − y 2
10.39.
f (x, y) = x4 − 6x2 y 2 + y 4 10.40.
10.38.
f (x, y) = x2 + y 2 f (x, y) =
p
x2 + y 2
´ Irjuk fel a k¨ ovetkez˝ o fu enyek gradiens´ et a megadott pontokban! ¨ ggv´ 10.41.
f (x, y) = x2 sin y
p = (π/3, −π/4)
188
´l e ´s primit´ıv f¨ ´ny 10. Vonalintegra uggve
√
p = (e2 , e4 )
10.42.
f (x, y) =
10.43.
f (x, y, z) = x + xy 2 + x2 z 3
p = (2, −1, 1)
10.44.
f (x, y, z) = x sin y + z 2 cos y
p = (π/2, π/6)
x ln xy
Sz´ amoljuk ki a k¨ ovetkez˝ o skal´ armez˝ ok gradiens´ et, itt ’a ’ egy r¨ ogz´ıtett ´ alland´ o vektort jel¨ ol, ’r ’ pedig egy t´ erbeli vektorv´ altoz´ ot: 10.45.
U (r ) = a · r
10.47.
U (r ) = r 2 +
1 r2
10.46.
U (r ) = |a × r |
10.48.
U (r ) =
a2 r2
Hat´ arozzuk meg az al´ abbi felu erint˝ os´ıkj´ at az adott helyeken: ¨ letek ´ 10.49.
r = (u2 − v) · i + (u − v 3 ) · j − (u + v·)k ;
u = 1, v = 2
10.50.
z = x2 + y 2 ;
x = 1, y = 2
Sz´ amoljuk ki az al´ abbi felu et: ¨ letdarabok felsz´ın´ 10.51.
r = u cos v · i + u sin v · j + u · k
10.52.
z=
x2 2y
0 ≤ u ≤ 1; 0 ≤ v ≤ π 0 ≤ x ≤ 1; 1 ≤ y ≤ 2
10.3. Vonalintegr´ al Legyen v = (x + y) · i + (x − y) · j . Sz´ am´ıtsuk ki v vonalintegr´ alj´ at a ko o s´ıkgo eken! ¨vetkez˝ ¨rb´ 10.53. 10.54.
Γ:t·i t ∈ [0, 1] ( t · i + (t + 1) · j , ha t ∈ [−1, 0] Γ: t · i + (−t + 1) · j , ha t ∈ (0, 1]
´l e ´s primit´ıv f¨ ´ny 10. Vonalintegra uggve
10.55.
Γ : cos t · i + sin t · j
10.56.
(1 + cos t) · i + sin t · j , ha t ∈ [0, π] Γ: t−π · i, ha t ∈ (π, 2π] π
189
t ∈ [0, π]
Legyen v = (x2 − 2xy) · i + (y 2 − 2xy) · j . Sz´ am´ıtsuk ki v vonalintegr´ alj´ at a k¨ ovetkez˝ o g¨ orb´ eken! 10.57.
Γ : t · i + t2 · j
t ∈ [−1, 1]
10.58.
Γ:t·i +j
t ∈ [−1, 1]
Legyen a Γ1 g¨ orbe az A(0, 0) ´ es B(1, 1) pontokat ¨ osszek¨ ot˝ o egyenes szakasz, Γ2 pedig az A(0, 0) ´ es B(1, 1) pontokat ¨ osszek¨ ot˝ o parabola´ıv, m´ egpedig az y = x2 fu eny grafikonja 0 ´ es 1 k¨ oz¨ ott. Sz´ am´ıt¨ ggv´ suk ki ezeken a g¨ orb´ eken a k¨ ovetkez˝ o lek´ epez´ esek vonalintegr´ alj´ at!
10.59.
v = (x − y) · i + (x + y) · j
10.60.
v =x·i +y·j
10.61.
v =y·i +x·j
10.62.
v = (x2 + y 2 ) · i + (x2 − y 2 ) · j
Legyen a Γ g¨ orbe az A(0, 0), B(1, 0) ´ es a C(0, 1) pontokat ¨ osszek¨ ot˝ o t¨ or¨ ottvonal. Sz´ am´ıtsuk ki ezen a g¨ orb´ en a k¨ ovetkez˝ o lek´ epez´ esek vonalintegr´ alj´ at! 10.63.
v = −2x · i + y · j
10.64.
v = i + x2 · j
10.65.
v = y2 · i − j
10.66.
v = xy · i + (x + y) · j
190
´l e ´s primit´ıv f¨ ´ny 10. Vonalintegra uggve
10.67.
Legyen a Γ g¨ orbe az A(−2, 0) ´es a B(1, 0) pontokat o¨sszek¨ot˝o egyenes szakasz. Sz´ am´ıtsuk ki ezen a g¨orb´en az v =
1 2x3 − 3x ·i + 2 ·j x2 + y 2 x + y2
lek´epez´es vonalintegr´ alj´at! Legyen v = (x + y) · i + (y + z) · j + (z + x) · k . Sz´ am´ıtsuk ki v vonalintegr´ alj´ at a k¨ ovetkez˝ o g¨ orb´ eken! 10.68.
Γ : t · i + 2t · j + 3t · k
t ∈ [0, 1]
10.69.
Γ : t · i + t2 · j
t ∈ [1, 2]
10.70.
Γ : cos t · i + sin t · j + t · k
t ∈ [0, π]
10.71.
Γ : cos t · i + sin t · j + t · k
t ∈ [π, 2π]
Legyen a Γ g¨ orbe az A(0, 0, 0) ´ es B(1, 1, 1) pontokat ¨ osszek¨ ot˝ o egyenes szakasz. Sz´ am´ıtsuk ki ezen a g¨ orb´ en a k¨ ovetkez˝ o lek´ epez´ esek vonalintegr´ alj´ at! 10.72.
v = xz · i + yx · j + xy · k
10.73.
v = (x − y) · i + (x + y) · j + z · k
10.74.
v = xy · i + yz · j + xz · k
10.75.
v = y 2 · i + z 2 · j + x2 · k
10.76.
Legyen a Γ g¨ orbe az A(−2, 0, 1) ´es a B(1, 0, 3) pontokat ¨osszek¨ot˝o egyenes szakasz. Sz´ am´ıtsuk ki ezen a g¨orb´en a v =
1 z x ·i + 2 ·j + 2 ·k x2 + y 2 + z 2 x + y2 + z2 x + y2 + z2
lek´epez´es vonalintegr´ alj´at!
191
´l e ´s primit´ıv f¨ ´ny 10. Vonalintegra uggve
Hat´ arozzuk meg az al´ abbi vonalintegr´ alokat: Z 10.77. (x2 − 2xy) dx + (y 2 − 2xy) dy Γ : y = x2
(−1 ≤ x ≤ 1)
C
10.78.
I (x + y) dx + (x − y) dy
Γ:
x2 y2 + =1 a2 b2
C
10.79.
(
Z y dx + z dy + x dz
C:
C
x = a cos t y = a sin t z = bt
0 ≤ t ≤ 2π
Van-e a k¨ ovetkez˝ o s´ıkbeli vektormez˝ oknek primit´ıv fu enye? Ha ¨ ggv´ igen, hat´ arozzuk meg ˝ oket! 10.80.
v =y·i +x·j
10.81.
v =x·i +y·j
10.82.
v = (x − y) · i + (y − x) · j
10.83.
v = (x4 + 4xy 3 ) · i + (6x2 y 2 − 5y 4 ) · j
10.84.
v = (x + y) · i + (x − y) · j
10.85.
v = ex · i + ey · j
10.86.
v = ey · i + ex · j
10.87.
v = ex cos y · i − ex sin y · j
10.88.
v = (x2 + y) · i + (x + ctg y) · j
10.89.
v = sin y · i + sin x · j
10.90.
v = cos xy · i + sin xy · j
10.91.
v = y sin xy · i + x sin xy · j
´l e ´s primit´ıv f¨ ´ny 10. Vonalintegra uggve
10.92.
v =
10.93.
v =
10.94.
v =
10.95.
v =
10.96.
v =
10.97.
x2
192
x y ·i + 2 ·j 2 +y x + y2
y x ·i − 2 ·j x2 + y 2 x + y2 x2
x y ·i + 2 ·j 2 +y x + y2
x y ·i − 2 ·j x2 + y 2 x + y2 y (x2
v =−
+
2 y2 )
·i +
y (x2
+
2 y2 )
x (x2
·i +
·j
2
+ y2 ) x
(x2
2
+ y2 )
·j
Sz´ am´ıtsuk ki a 10.80. ´ es 10.97. ko o lek´ e¨zo ¨tti feladatokban szerepl˝ pez´ esek vonalintegr´ alj´ at 10.98.
az orig´ o k¨ or¨ uli egys´egsugar´ u k¨or¨on pozit´ıv ir´anyban haladva;
10.99.
azon a n´egyzeten, amelynek cs´ ucspontjai A(−1, −1), B(1, −1), C(1, 1) ´es D(−1, 1), pozit´ıv ir´ anyban haladva v´egig a n´egyzet teljes ker¨ ulet´en.
Konzervat´ıvak-e k¨ ovetkez˝ o er˝ oterek az eg´ esz s´ıkon? Ha igen, adjunk meg egy potenci´ alfu enyt! ¨ ggv´ 10.100.
E = 9, 81 · j
10.101.
E = (y + x) · i + x · j
10.102.
E = (y + sgn x) · i + x · j
10.103.
E = (x + y) · i + (x + [y]) · j
10.104.
E = x · i + 2y · j
10.105.
E = (x2 − 2xy) · i + (y 2 − 2xy) · j
10.106.
E =−
y x ·i + 2 ·j x2 + y 2 x + y2
´l e ´s primit´ıv f¨ ´ny 10. Vonalintegra uggve
10.107.
E =
x (x2
+
3/2 y2 )
·i +
y (x2
+ y2 )
3/2
193
·j
Van-e a k¨ ovetkez˝ o t´ erbeli vektormez˝ oknek primit´ıv fu enye? Ha ¨ ggv´ igen, hat´ arozzuk meg ˝ oket! 10.108.
v = yz · i + xz · j + xy · k
10.109.
v = xy · i + yz · j + xz · k
10.110.
v = (x + y) · i + (z − y) · j + xz · k
10.111.
v =
10.112.
v = 2xy 3 z 4 · i + 3x2 y 2 z 4 · j + 4x2 y 3 z 3 · k
10.113.
v = 3xy 3 z 4 · i + 3x2 y 2 z 4 · j + x2 y 3 z 3 · k
10.114.
v = sin y · i + x cos y · j + 2z · k
10.115.
v = ex z sin y · i + ex z cos y · j + ex sin y · k
10.116.
A 10.108. ´es 10.115. k¨oz¨otti feladatokban szerepl˝o lek´epez´esek k¨oz¨ ul melyeknek lesz biztosan 0 a vonalintegr´alja b´armely (3, 4, 5) k¨oz´eppont´ u, 1 sugar´ u k¨ orvonalon?
10.117.
Hat´ arozzuk meg az al´ abbi vonalintegr´alt, ´es ellen˝orizz¨ uk, hogy a keresztbe vett deriv´ altak megegyeznek: I y dx − x dy , Γ : x2 + y 2 = R 2 . x2 + y 2
−x2 + y 2 + z 2 x2 − y 2 + z 2 x2 + y 2 − z 2 ·i + 2 ·j + 2 ·k 2 2 2 2 2 x +y +z x +y +z x + y2 + z2
C
Hat´ arozzuk meg a z(x, y) primit´ıv fu enyt: ¨ ggv´ 10.118.
dz = (x2 + 2xy − y 2 ) dx + (x2 − 2xy − y 2 ) dy
10.119.
dz =
y dx − x dy 3x2 − 2xy + 3y 2
´l e ´s primit´ıv f¨ ´ny 10. Vonalintegra uggve
10.120.
dz =
194
(x2 + 2xy + 5y 2 ) dx + (x2 − 2xy + y 2 ) dy (x + y)3
Hat´ arozzuk meg az u(x, y, z) primit´ıv fu enyt: ¨ ggv´ 10.121. 10.122. 10.123.
du = (x2 − 2yz) dx + (y 2 − 2xz) dy + (z 2 − 2xy) dz xy 1 y x x du = 1 − + dx + + 2 dy − 2 dz y z z y z du =
(x + y) dx + (x + y) dy + z dz x2 + y 2 + z 2 + 2xy
Az orig´ oban elhelyezett M to om ¨megpont az (x, y, z) pontban lev˝ to megpontra ¨ Mm c 2 x + y2 + z2 gravit´ aci´ os vonz´ oer˝ ovel hat, ahol c egy ´ alland´ o. Az er˝ o ir´ anya megegyezik az (x, y, z) pontb´ ol az orig´ oba mutat´ o vektor ir´ any´ aval. Sz´ am´ıtsuk ki a gravit´ aci´ os er˝ o munk´ aj´ at, ha az m t¨ omeg˝ u test a k¨ ovetkez˝ o g¨ orb´ eken mozog: 10.124.
Γ : cos t · i + sin t · j
t ∈ [0, 2π]
10.125.
Γ : cos t · i + sin t · j
t ∈ [0, π]
10.126.
Γ : t · i + 2t · j + 3t · k
10.127.
Γ : az a n´egyzet, amelynek cs´ ucspontjai A(−1, −1, 0), B(1, −1, 0), C(1, 1, 0), D(−1, 1, 0) pozit´ıv ir´anyban v´egighaladva a n´egyzet teljes ker¨ ulet´en.
10.128.
Hat´ arozzuk meg az el˝ oz˝o feladatokban szerepl˝o gravit´aci´os er˝o potenci´ alf¨ uggv´eny´et!
t ∈ (0, 1]
Az orig´ oban elhelyezett Q pontszer˝ u t¨ olt´ es az (x, y, z) pontban lev˝ o, q pontszer˝ u t¨ olt´ esre Mm c 2 x + y2 + z2 tasz´ıt´ o er˝ ovel hat, ahol c egy ´ alland´ o, ´ es az er˝ o ir´ anya ellent´ etes az (x, y, z) pontb´ ol az orig´ oba mutat´ o vektor ir´ any´ aval.
´l e ´s primit´ıv f¨ ´ny 10. Vonalintegra uggve
195
10.129.
Mekkora munk´ at v´egez ez az elektrosztatikus er˝o, amikor a q t¨olt´est az (1, 2, 3) pontb´ ol az (5, 6, 7) pontba viszi? F¨ ugg-e a v´egzett munka az u ´tvonalt´ ol?
10.130.
Mekkora munk´ at v´egez ez az elektrosztatikus er˝o, amikor a q t¨olt´est az (1, 2, 3) pontb´ ol a v´egtelen t´avoli pontba viszi? F¨ ugg-e a v´egzett munka az u ´tvonalt´ ol?
10.131.
Hat´ arozzuk meg az el˝ oz˝o feladatokban szerepl˝o elektrosztatikus er˝o potenci´ alf¨ uggv´eny´et!
10.132.
Az asztal lapj´ an cs´ usz´ o m t¨omeg˝ u testre az asztal lapja c · m s´ url´od´asi er˝ ovel hat, ahol c egy ´alland´o. Az er˝o ir´anya mindig ellent´etes az elmozdul´ as ir´ any´ aval. Mekkora munk´at v´egez a s´ url´od´asi er˝o, amikor a testet a (0, 0) pontb´ol egy egyenes szakasz ment´en a (3, 4) pontba cs´ usztatjuk? Mekkora munk´at v´egez a s´ url´od´asi er˝o, amikor a testet a (0, 0) pontb´ ol el˝ osz¨ or egy egyenes szakasz ment´en a (3, 0), majd egy csatlakoz´ o egyenes szakasz ment´en a (3, 4) pontba cs´ usztatjuk? F¨ ugg-e v´egzett munka az u ´tvonalt´ol?
10.133.
Van-e az el˝ oz˝ o feladatban szerepl˝o s´ url´od´asi er˝onek potenci´alf¨ uggv´enye?
11. fejezet Komplex fu enyek ¨ ggv´ 11.1. Cauchy-Riemann differenci´ alegyenletek. Ha az f (z) = f (x + iy) = u(x, y) + i · v(x, y) deriv´alhat´o a z0 = x0 + iy0 pontban, akkor u0x (x0 , y0 ) = vy0 (x0 , y0 ),
u0y (x0 , y0 ) = −vx0 (x0 , y0 ).
Megford´ıtva, ha teljes¨ ulnek a fenti egyenletek az (x0 , y0 ) pontban ´es ebben a pontban u ´es v tot´ alisan deriv´alhat´o (mint k´etv´altoz´os val´os f¨ uggv´enyek), akkor az f (z) komplex f¨ uggv´eny (komplex ´ertelemben) deriv´alhat´o z0 -ban. 11.2. Cauchy-f´ ele integr´ alt´ etel. Ha f analitikus a Γ egyszer˝ u z´art g¨orbe belsej´eben, Ω-ban, a Γ pontjaiban folytonos, akkor I f (z) dz = 0. Γ
11.3. Cauchy-f´ ele integr´ alformul´ ak. Ha f analitikus a-ban, Γ pozit´ıv ir´ any´ıt´ as´ u z´ art k¨ orvonal a k¨ or¨ ul az f regularit´asi tartom´any´aban, akkor I n! f (z) (n) f (a) = dz. 2πi (z − a)n+1 Γ
11.4. Holomorf fu enyek. ¨ ggv´ — Maximum elv. Egyszeresen ¨osszef¨ ugg˝o tartom´anyon holomorf f¨ uggv´eny abszol´ ut-´ert´ek´enek nincs (lok´alis) maximuma a tartom´any pontjaiban. — Liouville t´ etele. Az eg´esz komplex s´ıkon holomorf korl´atos f¨ uggv´eny konstans. — Rouch´ e t´ etele. Legyen Γ egyszer˝ u z´art g¨orbe a komplex s´ıkon, belseje Ω, f ´es g k´et folytonos komplex f¨ uggv´eny Ω = Ω ∪ Γ-n, f ´es g holomorf Ω-n, valamint tegy¨ uk fel, hogy minden z ∈ Γ eset´en |g(z)| > |f (z) − g(z)| .
197
´nyek 11. Komplex f¨ uggve
Ekkor a k´et f¨ uggv´enynek, multiplicit´assal sz´amolva, ugyanannyi gy¨oke van Ω-ban. 11.5. Meromorf fu enyek. ¨ ggv´ — Ha f (z) Laurent-sorba fejthet˝o a k¨or¨ ul, f (z) =
∞ X
an (z − a)n ,
n= −∞
akkor Res(f, a) = a−1
1 = 2πi
I f (z) dz, Γ
ahol Γ egy pozit´ıv ir´ any´ıt´as´ u k¨orvonal a k¨or¨ ul, amelynek sugara kisebb a Laurent-sor konvergenciasugar´an´al. — Residuum t´ etel. Ha D ⊂ C egyszeresen ¨osszef¨ ugg˝o tartom´any, f meromorf D-ben, Γ pedig D-beli egyszer˝ u z´art g¨orbe pozit´ıv ir´any´ıt´assal, amely nem megy ´ at p´ oluson, akkor I X f (z) dz = 2πi {Res(f, a) : a ∈ Ω} Γ
ahol Ω a Γ g¨ orbe belseje. 11.1.
Bizony´ıtsuk be, hogy a z komplex sz´am konjug´altj´anak reciproka megegyezik z reciprok´ anak konjug´altj´aval!
11.2.
Tegy¨ uk fel, hogy |z| < 1 ´es |α| < 1. Bizony´ıtsuk be, hogy ekkor z−α 1 − zα < 1.
Ellen˝ orizzu al¨ k, hogy teljesu ¨ lnek-e a Cauchy-Riemann differenci´ egyenletek a k¨ ovetkez˝ o komplex fu enyek eset´ eben! ¨ ggv´ 11.3.
f (z) = z 2
11.5.
f (z) =
1 , z
z 6= 0
11.4.
f (z) = z n ,
11.6.
f (z) =
n ∈ N+
1 z2 + 1
198
´nyek 11. Komplex f¨ uggve
11.7.
p Teljes¨ ulnek-e a Cauchy-Riemann differenci´alegyenletek az f (z) = |xy| f¨ uggv´enyre, ahol x a z komplex sz´am val´os, y pedig a k´epzetes r´esze? Differenci´ alhat´ o-e az el˝oz˝o f¨ uggv´eny z = 0-ban?
11.8.
Bizony´ıtsuk be, hogy az f (z) = 2x2 + 3y 2 + xy + 2x + i(4xy + 5y) f¨ uggv´eny a s´ık egyetlen tartom´any´an sem differenci´alhat´o!
Keressu alhat´ o! ¨ k meg azokat a pontokat, ahol f differenci´ 11.9.
f (x + iy) = xy + iy
11.10.
f (x + iy) = 2x2 − y + i x2 + y 2
Hat´ arozzuk meg a differenci´ alhat´ o f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) fu enyt a ko o felt´ etelek mellett! ¨ ggv´ ¨vetkez˝ 11.11.
u(x, y) = x2 − y 2 + xy,
11.12.
v(x, y) =
x2 , x2 + y 2
f (0) = 0
f (2) = 0
Hat´ arozzuk meg a k¨ ovetkez˝ o hatv´ anysorok konvergenciasugar´ at! 11.13.
11.15.
∞ X 1 (z − i)n n n=1 ∞ X
n2 (z − 2 − 2i)n
11.14.
11.19.
∞ X (n2 )! n z 3n! n=0 ∞ X 1 n z n n=1
2n (z + i)n
n=1
11.16.
n=1
11.17.
∞ X
11.18.
∞ X (n − 1)! n z n! n=1 ∞ X
ln(n!)z n
n=1 2
11.20.
n ∞ X in zn n + 1 n=0
Adjuk meg a k¨ ovetkez˝ o hatv´ anysorok konvergenciasugar´ at ´ es osszegfu eny´ et! ¨ ¨ ggv´
199
´nyek 11. Komplex f¨ uggve
11.21.
∞ X
zn
11.22.
n=1
11.23.
∞ X
∞ X
in z n
n=0
(n + 1)z n
11.24.
n=0
∞ X
(n + 2)(n + 1)z n
n=0
Bizony´ıtsuk be a megfelel˝ o hatv´ anysorok felhaszn´ al´ as´ aval az Eulerf´ ele ¨ osszefu eseket: ¨ gg´ 11.26.
e−iz = cos z − i sin z
11.28.
sin z =
11.25.
eiz = cos z + i sin z
11.27.
cos z =
11.29.
Bizony´ıtsuk be az Euler-f´ele ¨osszef¨ ugg´esek seg´ıts´eg´evel, hogy az ez exponenci´ alis f¨ uggv´eny 2πi szerint periodikus!
11.30.
Bizony´ıtsuk be, hogy a sin z ´es cos z f¨ uggv´enyeknek pontosan ugyanazok a z´erushelyei, mint a val´os sin x ´es cos x f¨ uggv´enyeknek!
1 iz e + e−iz 2
1 iz e − e−iz 2i
Legyen Γ a |z| = 1 k¨ orvonal, ´ es integr´ aljuk a z´ art k¨ orvonalon pozit´ıv ir´ anyban a k¨ ovetkez˝ o fu enyeket! ¨ ggv´ 11.31.
f (x + iy) = x
11.32.
f (x + iy) = y
11.33.
f (x + iy) = x − iy
11.34.
f (x + iy) = x + iy
Legyen Γ a |z| = R k¨ orvonal, ´ es integr´ aljuk a z´ art k¨ orvonalon pozit´ıv ir´ anyban a ko o fu enyeket! ¨vetkez˝ ¨ ggv´ 11.35.
f (z) =
1 z
11.36.
f (z) =
1 z2
Integr´ aljuk az f (z) = |z| fu enyt a k¨ ovetkez˝ o, z1 = −1-b˝ ol ki¨ ggv´ indul´ o, z2 = i-be ´ erkez˝ o go eken! Fu al ´ ert´ eke az ¨rb´ ¨ gg-e az integr´ u ´ tvonalt´ ol?
200
´nyek 11. Komplex f¨ uggve
11.37.
Γ = {e−it : t ∈ [π, 3π/2]}
11.38.
Γ = {t : t ∈ [−1, 0]}
11.39.
Sz´ am´ıtsuk ki a
11.40.
kiindul´ o ´es a 3 + 2i pontba ´erkez˝o szakaszon (val´os) primit´ıv f¨ uggv´eny seg´ıts´eg´evel! Z Sz´ am´ıtsuk ki a (x2 − y 2 ) dx − 2xy dy vonalintegr´alt az 1 + i pontb´ol
Z
S
{it : t ∈ [0, 1]}
(x2 − y 2 ) dx − 2xy dy vonalintegr´alt az 1 + i pontb´ol
kiindul´ o ´es a 3 + 2i pontba ´erkez˝o szakaszon a Cauchy-f´ele integr´alt´etel seg´ıts´eg´evel! Legyen Γ : z(t) = 1 + it, t ∈ [0, 1]. Integr´ aljuk a Γ g¨ orb´ en a Cauchyf´ ele integr´ alt´ etel seg´ıts´ eg´ evel a k¨ ovetkez˝ o fu enyeket! ¨ ggv´ 1 z
11.41.
f (z) = 3z 2
11.42.
f (z) =
11.43.
f (z) = ez
11.44.
f (z) = zez
Z Hat´ arozzuk meg az
1 z2 + 1
2
dz integr´ alt a ko o z´ art go e¨vetkez˝ ¨rb´
Γ
ken! 11.45.
Γ : |z| = 1/2
11.46.
Γ : |z| = 3
11.47.
Γ : |z − i| = 1
11.48.
Γ : |z + i| = 1
´ Irjuk fel a k¨ ovetkez˝ o fu enyek adott a pont k¨ oru anysor´ at! ¨ ggv´ ¨ li hatv´ 11.49.
1 , (1 − z)2
a=3
11.50.
1 , (z − 2)(z − 3)
a=5
201
´nyek 11. Komplex f¨ uggve
11.51.
1 , 1 − z + z2
11.52.
a=0
3z − 6 , (z − 4)(z + 25)
a = 10
Sz´ am´ıtsuk ki az f (z) fu eny z0 = 0 pontbeli reziduum´ at! ¨ ggv´ 11.53.
f (z) =
ez z2
11.54.
1
Sz´ am´ıtsuk ki az f (z) =
z3
f (z) =
fu eny z0 pontbeli reziduum´ at! ¨ ggv´
− z5
11.55.
z0 = 0
11.56.
z0 = 1
11.57.
z0 = −1
11.58.
z0 = i
Sz´ am´ıtsuk ki az f (z) = 11.59.
z2 2
(z 2 + 1)
fu eny z0 pontbeli reziduum´ at! ¨ ggv´
11.60.
z0 = i
cos z sin z
z0 = −i
I Hat´ arozzuk meg az
f (z) dz k¨ orintegr´ alt, ahol |z|=4
11.61.
f (z) =
ez sin z z−1
11.62.
f (z) =
esin z z2
11.63.
f (z) =
esin z z−2
11.64.
f (z) =
esin z (z − 1)(z − 2)
11.65.
f (z) =
ez cos z z−π
11.66.
f (z) =
esin z z2 − 1
Legyen Γ : z(t) = t + it, t ∈ [0, 1]. Integr´ aljuk a Γ g¨ orb´ en a k¨ ovetkez˝ o fu enyeket! ¨ ggv´
202
´nyek 11. Komplex f¨ uggve
11.67.
f (z) = z 2
11.68.
f (z) = ez
Legyen Γ az |z − 2i| = 1 k¨ orvonal, ´ es pozit´ıv k¨ oru ar´ asi ir´ anyban ¨ lj´ integr´ aljuk a Γ g¨ orb´ en a k¨ ovetkez˝ o fu enyeket! ¨ ggv´ 1 11.69. f (z) = z 2 11.70. f (z) = z 11.71.
f (z) = z 2 +
1 z
11.72.
f (z) = z +
1 z
H´ any gy¨ oke van a k¨ ovetkez˝ o egyenleteknek az |z| < 1 k¨ orben? (Seg´ıts´ eg: alkalmazzuk Rouch´ e t´ etel´ et.) 11.73.
11.75.
11.74.
z 6 − 6z + 10 = 0
Z∞ Sz´ am´ıtsuk ki az −∞
1 (x2
+ 1)
2
z 4 − 5z + 1 = 0
dx integr´alt a komplex sz´ams´ıkon g¨orbe
menti integr´ al´ assal! 11.76.
Hova k´epezi az f (z) = gar´ u k¨ ort?
11.77.
az + b f¨ uggv´eny az orig´o k¨oz´eppont´ u, egys´egsucz + d
Adjunk meg olyan komplex f¨ uggv´enyt, amelyik a fels˝o f´els´ıkot az orig´o k¨ oz´eppont´ u, egys´egsugar´ u k¨orbe viszi!
Milyen g¨ orb´ eket vagy tartom´ anyokat hat´ aroznak meg a k¨ ovetkez˝ o felt´ etelek? 11.78. |z − 2| < |z| 11.79. z 2 − 1 < 1 11.80.
Im
1 =2 z
11.81.
Re z = Im z
A w = f (z) fu eny a z = x + iy s´ıkot a w = u + iv s´ıkba k´ epezi ¨ ggv´ le. Hat´ arozzuk meg az adott T tartom´ anyok k´ ep´ et!
203
´nyek 11. Komplex f¨ uggve
11.82.
w = z2,
T = {x + iy : x ≥ 0, y ≥ 0}
11.83.
w = ez ,
T = {x + iy : 0 < y <
π } 2
Megold´ asok Alapfogalmak, val´ os sz´ amok 1.1 Elemi feladatok 1.1.
A megold´ ashalmaz a (2, 8) ny´ılt intervallum. 2
5
8
1.2.
Ugyanaz, mint az el˝ oz˝ o feladatban.
1.3.
A megold´ ashalmaz a (4, 6) ny´ılt intervallum. 4
1.5.
5
6
Az eredeti egyenl˝ otlens´eg: 1 ≥ −1 5x + 6 Szorozzuk ´ at az egyenl˝ otlens´eget 5x + 6-tal. K´et esetet kell megk¨ ul¨onb¨ oztetn¨ unk: I. eset: 5x + 6 > 0, azaz x > −6/5. Ekkor az u ´j egyenl˝otlens´eg: 1 ≥ −(5x + 6),
5x ≥ −7,
x ≥ −7/5
A vizsg´ alt esetben ez csak akkor lehets´eges, ha x > −6/5. II. eset: 5x + 6 < 0, azaz x < −6/5. Ekkor az u ´j egyenl˝otlens´eg megfordul: 1 ≤ −(5x + 6), 5x ≤ −7, x ≤ −7/5 A vizsg´ alt esetben ez csak akkor lehets´eges, ha x ≤ −7/5. Teh´ at az ¨ osszes megold´as egy z´art ´es egy ny´ılt f´elegyenes uni´oja: x ∈ (−∞, −7/5] ∪ (−6/5, ∞) 1.7.
Az eredeti egyenl˝ otlens´eg: 10x2 + 17x + 3 ≤ 0
´ s sza ´ mok – Megolda ´ sok 1. Alapfogalmak, valo
205
A baloldalon szerepl˝ o m´asodfok´ u polinom f˝oegy¨ utthat´oja pozit´ıv, ez´ert a parabola pontjai a k´et gy¨ok ´altal kapott intervallumban vannak az x tengely alatt. Sz´ amoljuk ki a k´et gy¨ok¨ot: 10x2 + 17x + 3 = 0 3 x1 = − , 2
x2 = −
1 5
Teh´ at a megold´ asok halmaza: x ∈ [−3/2, −1/5] 1.9.
Az eredeti egyenl˝ otlens´eg: 8x2 − 30x + 25 ≥ 0 Sz´ amoljuk ki a m´ asodfok´ u egyenlet gy¨okeit:
x1,2
8x2 − 30x + 25 = 0 √ 5 5 30 ± 900 − 800 , x1 = , x2 = = 16 2 4
Mivel a f˝ oegy¨ utthat´ o pozit´ıv, ez´ert a m´asodfok´ u polinom a k´et gy¨ok altal meghat´ ´ arozott intervallumon k´ıv¨ ul pozit´ıv, teh´at a megold´asok x ∈ (−∞, 5/4] ∪ [5/2, ∞) 1.11.
Az eredeti egyenl˝ otlens´eg: 9x2 − 24x + 17 ≥ 0 Sz´ amoljuk ki a m´ asodfok´ u egyenlet gy¨okeit: 9x2 − 24x + 17 = 0 Ennek az egyenletnek a diszkrimin´ansa negat´ıv (−36), ez´ert a m´asodfok´ u polinom sehol sem nulla. Mivel a f˝oegy¨ utthat´o pozit´ıv, ez´ert minden x ∈ R eset´en 9x2 − 24x + 17 > 0 Teh´ at az egyenl˝ otlens´egnek minden x ∈ R megold´asa.
´ s sza ´ mok – Megolda ´ sok 1. Alapfogalmak, valo
1.14.
206
Milyen x ∈ R eset´en lesz |x + 1| + |x − 2| ≤ 12 ? H´ arom esetet k¨ ul¨ onb¨ oztethet¨ unk meg aszerint, hogy (x + 1) ´es (x − 2) milyen el˝ ojel˝ u. I. eset: x < −1, azaz mindk´et tag negat´ıv. −(x + 1) − (x − 2) ≤ 12,
−2x ≤ 11,
x≥−
11 2
Ebben az esetben a megold´asok: x ∈ [−11/2; −1) II. eset: −1 ≤ x < 2, azaz az els˝o tag nem negat´ıv, a m´asodik negat´ıv. (x + 1) − (x − 2) ≤ 12,
3 ≤ 12,
x tetsz˝oleges
Ebben az esetben a megold´asok: x ∈ [−1; 2) III. eset: x ≥ 2, azaz egyik tag sem negat´ıv. (x + 1) + (x − 2) ≤ 12,
2x ≤ 13,
x≤
13 2
Ebben az esetben a megold´asok: x ∈ [2; 13/2] ¨ Osszes´ ıtve a h´ arom esetet x ∈ [−11/2; 13/2] az ¨ osszes megold´ as. 1.16.
x+1 1 > ? Milyen x ∈ R eset´en lesz 2x + 1 2 I. eset: x < −1, azaz a sz´aml´al´o ´es a nevez˝o is negat´ıv. x+1 1 > , 2x + 1 2
2(x + 1) < 2x + 1,
2<1
Ebben az esetben nincs megold´as. II. eset: x > −1/2, azaz a sz´aml´al´o ´es a nevez˝o is pozit´ıv. x+1 1 > , 2x + 1 2
2(x + 1) > 2x + 1,
2>1
´ s sza ´ mok – Megolda ´ sok 1. Alapfogalmak, valo
207
Ebben az esetben a megold´asok: x ∈ (−1/2; ∞) III. eset: −1 < x < −1/2, azaz a sz´aml´al´o pozit´ıv a nevez˝o pedig negat´ıv. A negat´ıv nevez˝ovel ´atszorozva megfordul az egyenl˝otlens´eg: x+1 x+1 1 3 2x + 1 = − 2x + 1 > 2 , −2(x + 1) < 2x + 1, 4x > −3, x > − 4 Ebben az esetben a megold´asok: x ∈ (−3/4; −1/2) Ha a nevez˝ o pozit´ıv, akkor a sz´aml´al´o is az, ez´ert t¨obb eset nincs. ´Igy az ¨ osszes megold´ as: x ∈ (−3/4; −1/2) ∪ (−1/2; ∞) 1.18.
√
x + 3 + |x − 2| = 0
K´et nem negat´ıv sz´ am ¨ osszege csak u ´gy lehet nulla, ha mindkett˝o nulla. Teh´ at x + 3 = 0 ´es x − 2 = 0 Ez a k´et egyenlet semmilyen x-re sem teljes¨ ul egyszerre, ez´ert az egyenletnek nincs megold´ asa.
1.2 Logikai alapfogalmak 1.20.
(a) Van olyan eg´er, amelyik nem szereti a sajtot. (b) Valaki m´ asnak vermet ´asott ´es nem esett bele. (c) Van olyan asszony, aki csak olyat akar tenni, amit szabad. (d) Minden a-hoz van olyan b, hogy az a+x = b legal´abb k´et k¨ ul¨onb¨oz˝o x-re teljes¨ ul. (e) 3 nagyobb, mint 2, ´es 5 nem oszt´oja 10-nek. (f ) Z¨ or¨ og a haraszt ´es nem f´ uj a sz´el. (g) A nagyn´en´emnek kerekei vannak, m´egsem ˝o a miskolci gyorsvonat.
´ s sza ´ mok – Megolda ´ sok 1. Alapfogalmak, valo
208
1.22.
Igen: (b)+(c) =⇒ Minden ´allat vagy eml˝os, vagy van kopolty´ uja. (b)+(a) =⇒ Ha egy ´allat eml˝os, akkor van kopolty´ uja. Teh´ at egy ´ allatnak ak´ar eml˝os ak´ar nem, van kopolty´ uja.
1.25.
Csak a (b) ´ all´ıt´ as hamis, a t¨obbi igaz.
1.27.
Ehhez a Minden mohik´an hazudik” mondathoz nem lehet igazs´ag´ert´e” ket rendelni, ha csak egy mohik´an van. Ha a mondat igaz lenne, akkor az utols´o mohik´an is hazudott, teh´at nem igaz a mondat. Ha a mondat hamis lenne, akkor van igazmond´o mohik´an. De ha csak egy mohik´ an van, akkor ˝o az igazmond´o. Ez´ert igaz amit mondott, teh´ at igaz a mondat.
1.29.
Jel¨ olje x az els˝ o, y pedig a harmadik sz´amjegyet. A feltev´es miatt x + y = 5. Most m´ ar az ¨osszes sz´amjegy fel´ırhat´o x ´es y seg´ıts´eg´evel: x, 6, y, x, 6, y, x, 6, y, x, 6, y, x A 12. jegy y = 4, ´es ez´ert x = 1. Teh´at a k´od: 1641641641641 Azaz a 13-adik jegy 1.
1.31.
Csak a (c) ´ all´ıt´ as k¨ ovetkezik, s˝ot a k´et ´all´ıt´as ekvivalens: (A =⇒ B) ⇐⇒ (¬B =⇒ ¬A)
1.32.
A =⇒ B (mert 5 pozit´ıv), de B =⇒ 6 A ha p´eld´aul x = −6.
1.34.
B =⇒ A, mert az A ´ all´ıt´as mindig igaz (ha ´ertelmes a gy¨ok¨os kifejez´es). Ford´ıtva nem igaz a k¨ ovetkeztet´es, p´eld´aul ha x = 3.
1.36.
Egyikb˝ ol sem k¨ ovetkezik a m´asik (mert x2 − x − 6 gy¨okei −2 ´es 3). P´eld´ aul ha x = −3 akkor A igaz de B nem, ha pedig x = 3 akkor A hamis ´es B igaz.
1.38.
Mindk´et ´ all´ıt´ as hamis, ez´ert mindegyikb˝ol k¨ovetkezik a m´asik (´es b´armely egy´eb ´ all´ıt´ as).
´ s sza ´ mok – Megolda ´ sok 1. Alapfogalmak, valo
1.40.
209
A =⇒ B, mert a k´et egyenl˝otlens´eget o¨sszeadva, felhaszn´alva a h´aromsz¨ og egyenl˝ otlens´eget: 0, 2 = 0, 1 + 0, 1 > |x − 5| + |y − 5| = |x − 5| + |5 − y| ≥ ≥ |x − 5 − y + 5| = |x − y| B =⇒ 6 A, p´eld´ aul ha x = y = 0
1.42.
∃k ∈ N+ 2|k jelent´ese: van p´aros pozit´ıv eg´esz sz´am, ez igaz. Tagad´ asa: ∀k ∈ N+ 2 - k, azaz minden pozit´ıv eg´esz p´aratlan. Ez nem igaz, p´eld´ aul k = 2-re.
1.43.
∀n ∈ N+ ∃k ∈ N+ n|k jelent´ese: minden n pozit´ıv eg´esznek van t¨obbsz¨ or¨ ose. Ez igaz, minden n ∈ N+ eset´en legyen k = 2 · n Tagad´ asa: ∃n ∈ N+ ∀k ∈ N+ n - k, azaz van olyan n ∈ N+ , amelyik egyetlen pozit´ıv eg´esznek sem oszt´oja. Ez nem igaz (mert az eredeti all´ıt´ ´ as igaz).
1.45.
Nem hazudott. Akkor hazudott volna, hogyha a h´o miatt nem j´art a busz, Pistike m´egis elment az iskol´aba.
1.47.
298 r´eszhalmaz eset´en igaz, 2100 − 298 = 3 · 298 eset´en pedig nem.
1.49.
1 benne van: 299 r´eszhalmaz. 2 nincs benne: 299 r´eszhalmaz. 1 benne van ´es 2 nincs benne: 298 r´eszhalmaz. 1 benne van a r´eszhalmazban vagy a 2 nincs benne: 299 + 299 − 298 = 3 · 298 A komplementer esem´eny: 298 r´eszhalmaz eset´en 1 nincs benne ´es 2 benne van.
1.51.
Az u ¨res halmaz ilyen. Ha H 6= ∅, legyen k = min H. De akkor H = {i : k ≤ i ≤ n}. Teh´ at n + 1 ilyen halmaz van.
1.52.
Jel¨ olje An az ilyen halmazok halmaz´at, an az An sz´amoss´ag´at. Nyilv´an a1 = 2 ´es a2 = 3. Ha most n > 2, akkor legyen Bn = {A ∈ An : n ∈ / A} ´es Cn = {A ∈ An : n ∈ A ∧ n − 1 ∈ / A} K¨ onnyen l´ athat´ o, hogy A ∈ Bn ⇐⇒ A ∈ An−1 ´es A ∈ Cn ⇐⇒ A ∩ An−2 ∈ An−2 .
´ s sza ´ mok – Megolda ´ sok 1. Alapfogalmak, valo
210
Teh´ at an = an−1 + an−2 . Ez az un. Fibonacci-sorozat, pontosabban an = un+2 . 1.53.
Jel¨ olje most Bn a felt´etelnek megfelel˝o halmazok halmaz´at, B ∈ B eset´en k´et lehet˝ os´eg van: (1) Minden x ∈ B eset´en x + 1 ∈ / B. Ilyen halmaz az el˝oz˝o feladat szerint an = un+2 darab van. (2) Van olyan x ∈ B, amelyre x + 1 ∈ B. Ebben az esetben legyen k(B) = min {x ∈ B : x + 1 ∈ B} . Ha most bk = |{B ∈ B : k(B) = k}|, akkor nyilv´ an bk = ak−2 = uk , k = 1, 2, . . . , n − 1. Teh´ at |Bn | = (u1 + u2 + · · · + un ) + un+2 . A Fibonacci sz´amok ¨osszeg´ere vonatkoz´ o k´eplet a Fibonacci-sorozatr´ol sz´ol´o feladatok k¨ozt megtal´alhat´ o.
1.55.
¬P ∩ ¬Q
1.57.
P ∩ ¬Q
1.59.
¬P ∩ ¬Q
1.61.
¬P ∩ Q
1.63.
¬(P =⇒ Q) = P ∩ ¬Q
1.65.
(b) =⇒ (a),
(c) =⇒ (d).
M´ as k¨ ovetkeztet´es nem igaz.
1.3 Bizony´ıt´ asi m´ odszerek 1.66.
Indirekt m´ odon tegy¨ uk fel, hogy van olyan p, q ∈ N+ , amelyekre p ´ . Feltehetj¨ uk azt is, hogy p ´es q relat´ıv pr´ım. Atalak´ ıt´as ut´an: q 3=
p2 , q2
3q 2 = p2 .
√
3=
´ s sza ´ mok – Megolda ´ sok 1. Alapfogalmak, valo
211
Eszerint p2 oszthat´ o 3-mal, de mivel 3 pr´ımsz´am, ez´ert p is oszthat´o 3-mal: p2 = 9r2 . ´Igy teh´at 3q 2 = 9r2 ,
q 2 = 3r2 .
Megism´etelve az el˝ oz˝ o gondolatmenetet p helyett q-ra, azt kapjuk, hogy q is oszthat´ o 3-mal. ami ellentmond annak, hogy p ´es q relat´ıv pr´ım. 1.68.
Indirekt m´ odon tegy¨ uk fel, hogy √ r=
2+1 +3 2 +5 4
racion´ alis. De akkor √ (r − 5) · 4 =
2+1 +3 2
√ is racion´ alis. Tov´ abb folytatva az okoskod´ ast, azt kapjuk, hogy 2 raci√ on´ alis. Ez √ ellentmond´ as. Azt, hogy 2 irracion´alis, ugyan´ ugy l´athatjuk be, ahogy 3 eset´en. 1.70.
(a) Nem lehet: ha x + y racion´alis lenne, akkor (x + y) − x = y is az lenne. (b) Nem lehet: ha x − y racion´alis lenne, akkor x − (x − y) = y is az lenne. (c) Lehet, de csak ha x = 0. (d) Lehet, de csak ha x = 0.
1.72.
(a) Igaz. (b) Nem igaz: p´eld´ aul a =
√
2,
√ b=− 2
(c) Nem igaz, a + b irracion´alis. (d) Igaz. 1.74.
Annak tagad´ asa, hogy 1 a legnagyobb sz´am az, hogy 1-n´el van nagyobb sz´ am, nem pedig az, hogy egy m´asik sz´am a legnagyobb sz´am. A val´os (vagy a term´eszetes) sz´amok k¨oz¨ott nincs legnagyobb!
1.76.
Teljes indukci´ oval: n = 1 : 16|16
´ s sza ´ mok – Megolda ´ sok 1. Alapfogalmak, valo
212
n + 1-re: Mivel ha k|a − b ´es k|b, akkor k|a, ez´ert el´eg bel´atni, hogy 16|(5n+2 −4(n+1)−5)−(5n+1 −4n−5) azaz, hogy 16|4·(5n+1 −1). Ez teljes¨ ul, ha 4|5n+1 − 1. Ezt teljes indukci´oval k¨onny˝ u bizony´ıtani. 1.77.
Indirekt, tegy¨ uk fel, hogy tg 1◦ racion´alis. Ekkor teljes indukci´oval bebizony´ıtjuk, hogy minden n ∈ N+ , n < 90 eset´en tg n◦ racion´alis. Ez k¨ ovetkezik a sz¨ ogek ¨ osszeg´ere vonatkoz´o k´epletb˝ol: tg n◦ + tg 1◦ ◦ tg(n + 1) = 1 − tg n◦ · tg 1◦ Ennek a racion´ alis kifejez´esnek minden eleme racion´alis, ´ıgy az eredm´eny is az. Mivel tg 30◦ irracion´alis, ellentmond´asra jutottunk.
1.78.
A sz´ amtani ´es m´ertani k¨ozepekre vonatkoz´o egyenl˝otlens´eg szerint √ √ 1 + 2 + ···n n+1 n n n! = 1 · 2 · · · n ≤ = n 2 Mindk´et oldalt az n-edik hatv´anyra emelve a k´ıv´ant egyenl˝otlens´eget kapjuk.
1.79.
Igaz az ´ all´ıt´ as. Indirekt m´ odon tegy¨ uk fel, hogy minden an ≥ 10−6 ´es ´ıgy a2n ≥ d = 10−12 > 0. Ez´ert an+1 ≤ an − d ´es ´altal´aban an+k ≤ an − k · d. Teh´at a 1 k = 1012 = v´ alaszt´ assal a1+k ≤ 0, 9−1 < 0 < 10−6 . Ez ellentmond´as. d
1.81.
(a) Jel¨ olje a keresett ¨ osszeget sn , azaz sn =
1 1 1 + + ··· + . 1·2 2·3 (n − 1) · n
Kisz´ amoljuk sn ´ert´ek´et n = 2, 3, 4 eset´eben. s2 =
1 2 3 , s3 = , s4 = , · · · 2 3 4
A sejt´es az ¨ osszegk´epletre: sn =
n−1 1 =1− . n n
Bizony´ıt´ as teljes indukci´oval: n = 2-re igaz. Tegy¨ uk fel, hogy n-re igaz az ´ all´ıt´ as.
sn+1 =
1 1 1 1 1 + +· · ·+ + = sn + = 1·2 2·3 (n − 1) · n n · (n + 1) n · (n + 1)
´ s sza ´ mok – Megolda ´ sok 1. Alapfogalmak, valo
=
213
n−1 1 (n − 1)(n + 1) + 1 n + = = n n · (n + 1) n · (n + 1) n+1
Egy m´ asik bizony´ıt´ast l´athatunk az 1.87. feladat megold´as´an´al. (b) Most legyen sn = 1 + 3 + . . . + (2n − 1) a p´aratlan sz´amok ¨osszege. s1 = 1, s2 = 4, s3 = 9, s4 = 16, · · · A sejt´es: sn = n2 . Teljes indukci´ oval: n = 1-re igaz. Tegy¨ uk fel, hogy n-re igaz az all´ıt´ ´ as. sn + 1 = 1 + 3 + . . . + (2n − 1) + (2n + 1) = = sn + (2n + 1) = n2 + 2n + 1 = (n + 1)2 1.82.
A jobb oldalon elv´egezve az (a − b)-vel val´o szorz´ast, k´et tagot kiv´eve minden tag kiesik.
1.83.
Els˝ o bizony´ıt´ as: Teljes indukci´oval. n = 1-re az ´all´ıt´as igaz. Ha n-re igaz, akkor (1 + 2 + · · · + n) + (n + 1) =
n(n + 1) (n + 1)(n + 2) + (n + 1) = 2 2
M´ asodik bizony´ıt´ as: ´Irjuk egym´as al´a k´etszer az ¨osszeget, de m´asodszor ford´ıtott sorrendben: 1+
2
+ ··· + n
n + (n − 1) + · · · + 1 Az ´ıgy kialakult oszlopokban a sz´amok ¨osszege n + 1 ´es mivel n darab oszlop van, a keresett ¨osszeg k´etszerese ´eppen n(n + 1). 1.84.
Teljes indukci´ oval. n = 1-re az ´all´ıt´as igaz. Ha n-re igaz az ´all´ıt´as, akkor n(n + 1)(2n + 1) 12 + 22 + · · · + n2 + (n + 1)2 = + (n + 1)2 = 6 (n + 1)(n + 2)(2(n + 1) + 1) = 6
´ s sza ´ mok – Megolda ´ sok 1. Alapfogalmak, valo
1.85.
Teljes indukci´ oval. n = 1-re az ´all´ıt´as igaz. Ha n-re igaz az ´all´ıt´as, akkor 3
3
1 + 2 + ··· + n
3
3
2
n(n + 1) 2
(n + 1)(n + 2) 2
+ (n + 1) = =
1.86.
214
+ (n + 1)3 = 2
Legyen sn az egyenl˝ os´eg baloldal´an, tn pedig a jobboldal´an szerepl˝o osszeg. ¨ 1 1 1 + − ··· − 2 3 2n 1 1 1 tn = + + ··· + n+1 n+2 2n
sn = 1 −
Teljes indukci´ oval. n = 1-re az ´all´ıt´as igaz, azaz s1 = t1 . Ha n-re igaz az ´ all´ıt´ as, akkor 1 1 − = = sn + 2n + 1 2n + 2 1 1 1 1 1 = 1 − + − ··· − + − = 2 3 2n 2n + 1 2n + 2 1 1 1 1 1 = + + ··· + − + = n+1 n+2 2n 2n + 1 2n + 2 1 1 1 1 1 1 = + +· · ·+ + + − = n+1 n+2 2n 2n + 1 2(n + 1) n + 1 1 1 1 + + ··· + = tn+1 = n+2 n+3 2(n + 1)
sn+1
1.87.
Felhaszn´ alva, hogy
1 1 1 = − , un. teleszkopikus ¨osszeget (k − 1)k k−1 k
kapunk: 1 1 1 + + ··· + = 1·2 2·3 (n − 1) · n 1 1 1 1 1 1 1 = − + − + ··· + − =1− 1 2 2 3 n−1 n n
´ s sza ´ mok – Megolda ´ sok 1. Alapfogalmak, valo
1.88.
215
Itt k´et teleszkopikus o ¨sszegre lehet bontani az eredeti o¨sszeget, mivel 1 1 1 2 1 = − + = k(k + 1)(k + 2) 2 k k+1 k+2 1 1 1 1 1 1 = − − − . 2 k k+1 2 k+1 k+2 Teh´ at: n X
n n 1 1X 1 1 1X 1 1 = − − − = k(k + 1)(k + 2) 2 k k+1 2 k+1 k+2 k=1 k=1 k=1 1 1 1 1 = − + . 2 2 n+1 n+2 1.89.
A 1.83. ´es 1.84. feladatokban szerepl˝o k´epletek felhaszn´al´as´aval: n X
k(k + 1) =
k=1
n X
2
k +
k=1
n X
k=
k=1
n(n + 1)(2n + 1) n(n + 1) + = 6 2
n(n + 1)(n + 2) = 3 1.90.
A 1.83. , 1.84. ´es 1.85. feladatokban szerepl˝o k´epletek felhaszn´al´as´aval: n X
k(k + 1)(k + 2) =
n X k=1
k=1
k3 + 3
n X k=1
k2 + 2
n X
k=
k=1
2 n(n + 1) n(n + 1)(2n + 1) n(n + 1) +3· +2· = 2 6 2 n(n + 1)(n + 2)(n + 3) n(n + 1)(n2 + 5n + 6) = = 4 4
=
1.92.
Teljes indukci´ oval: n = 0 eset´en igaz. Tegy¨ uk fel, hogy n-re igaz az all´ıt´ ´ as ´es, hogy egy k pozit´ıv eg´esz sz´am oszt´oja un+1 -nek ´es un+2 -nek is. De akkor k oszt´ oja un+2 − un+1 = un -nek is. Mivel az indukci´os feltev´es szerint un ´es un+1 relat´ıv pr´ımek, ez´ert k = 1, teh´at un+1 ´es un+2 is relat´ıv pr´ım sz´ amok.
1.93.
Teljes indukci´ oval: Az n = 1 ´es az n = 2 eset k¨onnyen ellen˝orizhet˝o.
´ s sza ´ mok – Megolda ´ sok 1. Alapfogalmak, valo
216
Tegy¨ uk fel, hogy n > 2 ´es n − 1-re illetve n − 2-re igaz az ´all´ıt´as. 1, 6n−2 1, 6n−2 1, 6n−1 + = (1, 6 + 1) > un = un−1 + un−2 > 3 3 3 n−2 n 1, 6 1, 6 1, 62 = 3 3 M´ asr´eszt un = un−1 + un−2 < 1, 7n−1 + 1, 7n−2 = 1, 7n−2 (1, 7 + 1) < n−2 1, 7 1, 72 = 1, 7n 1.94.
Teljes indukci´ oval: Az n = 1 eset mindegyik feladatn´al k¨onnyen ellenorizhet˝ ˝ o. Tegy¨ uk fel, hogy n-re igaz a megfelel˝o ´all´ıt´as, be kell l´atnunk, hogy akkor n + 1-re is. (a) (u1 + u2 + · · · un ) + un+1 = un+2 − 1 + un+1 = un+3 − 1 (b) u2n+1 − un un+2 = u2n+1 − un (un+1 + un ) = un+1 (un+1 − un ) − u2n = un+1 un−1 − u2n = −(−1)n+1 = (−1)n+2 (c) (u21 + u22 + · · · + u2n ) + u2n+1 = un un+1 + u2n+1 = un+1 (un + un+1 ) = un+1 un+2
1.95.
Az al´ abbi formul´ ak teljes indukci´oval k¨onnyen bizony´ıthat´ok. (a) sn = α · u2n+1 + β = u2n+1 − 1. (b) sn = α · u2n+2 + β = u2n+2 . u3n+2 − 1 . (c) sn = α · u3n+2 + β = 2 (d) sn = u22n
1.97.
Az indokl´ as csak akkor helyes, ha n legal´abb 2. Ez´ert az n = 1 ´es az n = 2 eseteket nem bizony´ıtottuk” be. ”
1.99.
Mindh´ arom k¨ ozepet cs¨okkentj¨ uk illetve n¨ovelj¨ uk, ha minden sz´amot lecser´el¨ unk a legkisebbre, illetve a legnagyobbra.
1.101.
Az a2 bc egy n´egyt´enyez˝os szorzat. ´Irjuk fel a megadott 3 tag´ u o¨sszeget 4 tag´ u o sszegk´ e nt ´ e s haszn´ a ljuk a sz´ a mtani ´ e s m´ e rtani k¨ o zepek k¨ozti ¨ egyenl˝ otlens´eget 4 sz´ am eset´en: a a r r + +b+c a a 4 1 2 2 2 ≥ 4 · ·b·c= a bc 4 2 2 4 Eszerint 18 9 = ≥ 4 2
r 4
1 2 a bc 4
´ s sza ´ mok – Megolda ´ sok 1. Alapfogalmak, valo
217
Negyedik hatv´ anyra emel´es ´es ´atrendez´es ut´an: 4 9 a bc ≤ 4 2 2
a A jobboldalon szerepl˝ o sz´am a keresett maximum, hiszen = b = c = 2 18 9 = eset´en egyenl˝ os´eg van. 4 2 1.103.
Haszn´ aljuk a harmonikus ´es a sz´amtani k¨ozepek k¨oz¨otti egyenl˝otlens´eget: abc 1 3 18 1 a+b+c = · = =2 ≤ · ab + bc + ac 3 1 1 1 3 3 9 + + c a b Itt egyenl˝ os´eg pontosan akkor van, ha a = b = c = 6
1.105. p √ √ 2a + b + c 3 3 ≥ 3 3 (2a)bc = 3 2 · 18 = 3 36 3 √ 3 Itt egyenl˝ os´eg pontosan akkor van, ha 2a = b = c = 36. 2a + b + c = 3 ·
1.107.
Felhaszn´ aljuk a m´ertani ´es a n´egyzetes k¨ozepek k¨oz¨otti egyenl˝otlens´eget: r 2
2
2
a +b +c =3
a2 + b2 + c2 3
!2 ≥3
√ 3
2 √ 2 3 abc = 3 18
Itt egyenl˝ os´eg pontosan akkor van, ha a = b = c =
√ 3
18.
1.109. 1 r a+ 1 1 a a+ =2· ≥2· a· =2 a 2 a 1.112.
Term´eszetesen csak akkor ´ertelmes a feladat, ha v > u. A va ´atlagsebess´eg a megtett u ´t osztva a megt´etelhez sz¨ uks´eges t id˝ovel: va =
2s t
´ s sza ´ mok – Megolda ´ sok 1. Alapfogalmak, valo
218
Sz´ amoljuk ki t-t. A foly´asir´anyban a sebess´eg v+u, az s u ´thoz sz¨ uks´eges id˝ o s t1 = v+u Az ellenkez˝ ou ´ton a sebess´eg v − u, az s u ´thoz sz¨ uks´eges id˝o t2 =
s v−u
Mivel t = t1 + t2 va =
2 2s s = 1 s 1 + + v+u v−u v+u v−u
Teh´ at va ´eppen a harmonikus k¨ozepe a v + u, v − u sz´amoknak, ´es ez´ert u > 0 eset´en hat´ arozottan kisebb a k´et sz´am sz´amtani k¨ozep´en´el, v-n´el. 1.114. f (x) = x(1 − x) =
p 2 x + (1 − x) 2 1 x(1 − x) ≤ = 2 4
Itt egyenl˝ os´eg van, ha x = 1 − x =
1 2
1.115. 4 r x+ 4 x ≥2· x· 4 =4 f (x) = x + = 2 · x 2 x A minimum ott van, ahol egyenl˝os´eg van, azaz x = 1.117.
4 = 2. x
Felhaszn´ alva a sz´ amtani ´es m´ertani k¨ozepek k¨oz¨otti egyenl˝otlens´eget: x x 3 + + (1 − x) x x 2 = 4 x2 (1 − x) = 4 · · · (1 − x) ≤ 4 · 2 2 2 3 27 x 2 Egyenl˝ os´eg csak akkor van, ha = 1 − x, azaz x = . 2 3 4 Teh´ at a keresett maximum: . 27
´ s sza ´ mok – Megolda ´ sok 1. Alapfogalmak, valo
1.119.
219
3 . A g(x) f¨ uggv´enynek x2 + 1 ugyanott van a minimuma, mint f (x)-nek. Mivel a pozit´ıv 2(x2 + 1) 3 ´es 2 sz´ amoknak a szorzata ´alland´o (= 6), ez´ert az ¨osszeg¨ uk akkor x +1 minim´ alis, ha megegyeznek. Legyen g(x) = f (x) − 3 = 2(x2 + 1) +
2(x2 + 1) = Innen x2 = mg = g
p
3 x2 + 1
3/2 − 1 ´es ´ıgy g(x) minimuma
q p
p √ 3 6 3/2 − 1 = 2 3/2 + p =p = 2 6, 3/2 3/2
f (x) minimuma pedig √ mf = mg + 3 = 2 6 + 3
1.121.
Az ´ abra jel¨ ol´eseit haszn´alva, a t´eglalap ter¨ ulete: T = 4F , ahol F = x · y ´es x2 + y 2 = 1. p Ez´ert F = x 1 − x2 . Sz´amoljuk ki F 2 maximum´ at: 2 2 x + (1 − x2 ) 1 F 2 = x2 (1−x2 ) ≤ = . 2 4
(x,y)
Egyenl˝ os´eg csak akkor van, ha x2 = 1 − 2 x , azaz 1 x=y= √ . 2 Teh´ at a maxim´ alis ter¨ ulet: T = 2, m´egpedig a n´egyzet eset´en. 1.122.
Az ´ abra a k´ up ´es a henger egy s´ıkmetszet´et ´abr´azolja. Az ´abra jel¨ol´eseit haszn´ alva, a henger t´erfogata: V = πr2 h. Mivel
h R−r πm 2 = , ez´ert V = · r (R − r) m R R
´ s sza ´ mok – Megolda ´ sok 1. Alapfogalmak, valo
220
Az el˝ oz˝ o feladathoz hasonl´oan
V =
4πm r r 4πm · · ·(R−r) ≤ R 2 2 R
R 3
3 =
4 πmR2 27 m
r Egyenl˝ os´eg csak akkor van, ha = R−r. 2 Ekkor a henger sugara, illetve magass´aga: r=
m 2 R, h = 3 3
Teh´ at a maxim´ alis t´erfogat: 4 πRm. 27 1.123.
h 0
V
r
R
=
Az ´ abra a g¨ omb ´es a henger egy s´ıkmetszet´et ´abr´azolja. Az ´abra jel¨ol´eseit haszn´ alva, a henger t´erfogata: V = 2π · U, ahol U = x2 · y ´es x2 + y 2 = 1, 0 ≤ x ≤ 1. Ez´ert U = x2 maximum´ at:
p
1 − x2 . Sz´amoljuk ki
U2 4
x4 (1 − x2 ) x2 x2 U2 = = · · (1 − x2 ) 4 4 2 2
(x,y)
Az itt szerepl˝ o h´ arom pozit´ıv sz´am ¨osszege x-t˝ ol f¨ uggetlen¨ ul 1, ´es ´ıgy szorzatuk akkor maxim´ alis, ha megegyeznek: √ x2 1 2 2 = 1 − x azaz x = √ , y = √ . 2 3 3 4π Teh´ at a maxim´ alis t´erfogat: V = √ . 3 3 1.124.
c Mikor az els˝ o egyenl˝ os´eg mindk´et oldal´ab´ol kivonjuk a √ sz´amot, 2 negat´ıv sz´ amot kapunk. Ezzel beszorozva az a < c egyenl˝otlens´eget, az egyenl˝ otlens´eg megfordul.
´ s sza ´ mok – Megolda ´ sok 1. Alapfogalmak, valo
221
1.4 Halmazok 1.126.
A (b)-ben szerepl˝ o halmazzal: A ∪ B = {x : x 6∈ A ∧ x 6∈ B}.
1.128.
Igaz az ´ all´ıt´ as. x ∈ (A \ B) ⇐⇒ (x ∈ A) ∧ (x ∈ / B) ⇐⇒ (x ∈ A) ∧ (x ∈ B) ⇐⇒ ⇐⇒ x ∈ (A ∩ B)
1.131.
Nem igaz, legyen p´eld´ aul A = B = {1} ⊂ R. Ekkor A\B = A = R\{1}, viszont A \ B = A = {1}.
1.132.
Nem igaz, legyen p´eld´ aul A = B = {1}. Ekkor (A ∪ B) \ A = ∅ = 6 B.
1.135.
Igaz az ´ all´ıt´ as. Els˝ o bizony´ıt´ as. Megmutatjuk, hogy A \ B ⊂ A \ (A ∩ B), ´es azt is, hogy A \ (A ∩ B) ⊂ A \ B. Legyen x ∈ A \ B tetsz˝oleges. Ekkor x ∈ / B ´es ez´ert x ∈ / A ∩ B. Mivel x ∈ A, ez´ert x ∈ A \ (A ∩ B). Legyen most x ∈ A \ (A ∩ B) tetsz˝oleges. Ekkor x ∈ / A ∩ B. Mivel ´ x ∈ A, ez´ert x ∈ / B \ A. Igy teh´at x ∈ / (B \ A) ∪ (A ∩ B) = B. Eszerint x ∈ A \ B. M´ asodik bizony´ıt´ as. (l´asd a 1.128. feladatot) A \ (A ∩ B) = A ∩ (A ∩ B) = A ∩ (A ∪ B) = (A ∩ A) ∪ (A ∩ B) = = ∅ ∪ (A ∩ B) = (A ∩ B) = A \ B
1.136. A \ (B ∪ C) 1.138. ((A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)) \ (A ∩ B ∩ C) 1.140. x ∈ (A ∪ B) ⇐⇒ x ∈ / (A ∪ B) ⇐⇒ (x ∈ / A) ∧ (x ∈ / B) ⇐⇒ ⇐⇒ (x ∈ A) ∧ (x ∈ B) ⇐⇒ x ∈ (A ∩ B)
´ s sza ´ mok – Megolda ´ sok 1. Alapfogalmak, valo
222
1.5 A val´ os sz´ amok axi´ omarendszere 1.144.
(a) Nem igaz, p´eld´ aul x = −1, A = 0 eset´en. (b) Igaz. Mivel az els˝ o egyenl˝otlens´eg, |x| < A bal oldala nem negat´ıv, ez´ert saj´ at mag´ aval szorozhat´o, azaz |x|2 < A2 . Mivel |x|2 = |x2 | ez´ert |x2 | < A2 .
1.147.
(a) A H halmaznak nincs minimuma (minim´alis eleme). (b) H-nak nincs maximuma. (c) H-nak van maximuma. (d) A H halmaznak van minimuma.
1.149. 1.152.
A (b) ´ all´ıt´ as nem igaz, a t¨obbi igaz. ∞ \
An = {0}
n=1
1.157.
1.153.
∞ \
Bn = ∅
n=1
Form´ alisan: ∃x ∈ H ∀y ∈ H (x > 2 ∧ y ≥ x2 ) Ez az ´ all´ıt´ as egyetlen H ⊂ R eset´en sem teljes¨ ul, mert y = x v´alaszt´assal ha x > 2 (x > 1) akkor x < x2 .
1.158.
M=
∞ \
In = {0}
n=1
Mivel minden n ∈ N+ eset´en −1/n ≤ 0 ≤ 1/n, azaz 0 ∈ In , ez´ert 0 ∈ M . Ha x 6= 0, akkor van olyan k ∈ N+ , amelyre 1/k < |x|. Erre a k-ra x ∈ / Ik = [−1/k, 1/k]. 1.159.
M=
∞ \
In = {0}
n=1
1.164.
M=
∞ \
In = {0}
n=1
Mivel minden n ∈ N+ eset´en 0 < 1/n azaz 0 ∈ In , ez´ert 0 ∈ M . Ha x 6= 0, akkor van olyan k ∈ N+ , amelyre 1/k < |x|. Erre a k-ra x∈ / Ik = [0, 1/k).
´ s sza ´ mok – Megolda ´ sok 1. Alapfogalmak, valo
1.165.
M=
∞ \
223
In = ∅
n=1
Mivel minden n ∈ N+ eset´en 0 ∈ / In , ez´ert 0 ∈ / M . Ha x 6= 0, akkor van olyan k ∈ N+ , amelyre 1/k < |x|. Erre a k-ra x ∈ / Ik = (0, 1/k]. 1.166.
Egyed¨ ul a 1.166.e ´ all´ıt´ as igaz.
1.168.
Nem lehet a Cantor-axi´oma miatt.
1.174.
Nem lehet. Ak´ arh´ any z´ art intervallum metszete vagy u ¨res, vagy egy pont, vagy egy z´ art intervallum. Ez´ert a metszet nem lehet val´odi ny´ılt intervallum.
1.175.
Lehet, de csak akkor, ha valahonnan kezdve ugyanazok az intervallumok. Legyen ugyanis In = (an , bn ). Az, hogy ezek egym´asba vannak skatu” ly´ azva”, azt jelenti, hogy minden n eset´en an ≤ an+1 < bn+1 ≤ bn Legyen a = sup an ,
b = inf bn . Tudjuk, hogy a ≤ b.
N´egy esetet k¨ ul¨ onb¨ oztet¨ unk meg: 1) a = max an ´es b = min bn . Ez pontosan akkor teljes¨ ul, ha valahonnan ∞ \ kezdve an = an+1 ´es bn = bn+1 . Ekkor In = IN = (a, b). n=1
2) a = max an ´es a bn -ek k¨oz¨ott nincs minim´alis. Ekkor
∞ \
In = (a, b],
n=1
ami u ¨res, ha a = b ´es nem u ¨res balr´ol ny´ılt, jobbr´ol z´art intervallum, ha a < b. ∞ \ 3) an -ek k¨ oz¨ ott nincs maxim´alis, de b = min bn . Ekkor In = [a, b). n=1
4) an -ek k¨ oz¨ ott nincs maxim´alis ´es a bn -ek k¨oz¨ott nincs minim´alis. ∞ \ Ekkor In = [a, b]. n=1
1.176.
A Cantor-axi´ oma kiv´etel´el minden teljes¨ ul.
1.180.
Minden v´eges tizedest¨ ort alakban fel´ırhat´o sz´am racion´alis, de p´eld´aul az 1/3-nak nincs v´eges tizedest¨ort alakja.
´ s sza ´ mok – Megolda ´ sok 1. Alapfogalmak, valo
224
Pontosan azoknak a racion´alis sz´amoknak van v´eges tizedest¨ort alakja, amelyek fel´ırhat´ ok u ´gy k´et eg´esz sz´am h´anyadosak´ent, hogy a nevez˝onek csak a 2 ´es az 5 a pr´ımoszt´oi. 1.183.
Az In intervallumsorozatra k´et felt´etelt k¨ovetel meg a Cantor-axi´oma: 1. Az In -ek korl´ atos z´ art intervallumok. 2. Az In -ek egym´ asba skatuly´azottak”, azaz a nagyobb index˝ u inter” vallum r´esze a kisebb index˝ unek. Ha az els˝ o felt´etelt elhagyom, akkor p´eld´aul az In = (0, 1/n) ny´ılt intervallumsorozat metszete u ¨res. Ha a m´ asodik felt´etelt hagyom el, akkor p´eld´aul az In = [n, n + 1] z´art intervallumsorozat metszete u ¨res. Megjegyz´es: a 2. felt´etel helyettes´ıthet˝o azzal a gyeng´ebb felt´etellel, hogy b´armely v´eges sok intervallum metszete nem u ¨res. Ha a szerepl˝ o intervallumok tetsz˝oleges t´ıpus´ uak ´es sem a bal sem a jobb v´egpontok sorozata nem stabiliz´al´odik”, azaz v´egtelen sok k¨ ul¨onb¨oz˝o ” bal ´es jobb v´egpont van, akkor (a 2. felt´etel meghagy´asa mellett) a metszet nem u ¨res.
1.6 A sz´ amegyenes 1.186.
B = {2.6}, amely egyetlen pontb´ol ´all. Ez a feladat mutatja, hogy a tizedes vessz˝ o haszn´ alata bizonyos helyzetekben f´elre´erthet˝o, hiszen a {2, 6} halmaznak k´et eleme van.
1.187.
C = (2, 6)
1.188.
D = {2, 3, 4, 5, 6}
1.189.
E = [2, 6]
1.190.
F = (2, 6]
1.191.
G = [2, 6)
1.192.
H = [2, 6] ∩ Q, nem intervallum!
1.196.
1 : n ∈ N+ halmaz alulr´ol korl´atos, legnagyobb als´o korl´atja n a 0, fel¨ ulr˝ ol is korl´ atos, mert van maximuma, legnagyobb eleme az 1. Mivel alulr´ ol ´es fel¨ ulr˝ ol is korl´atos, ez´ert korl´atos. Az A =
´ s sza ´ mok – Megolda ´ sok 1. Alapfogalmak, valo
1.201.
1.203.
Az Ip = {n ∈ N : n pr´ımsz´am ∧ n + 2 pr´ımsz´am} halmaz, az u ´gynevezett ikerpr´ımek halmaza alulr´ol korl´atos, hiszen p´eld´aul a 0 egy als´o korl´ at. Az, hogy fel¨ ulr˝ol nem korl´atos, azaz van-e v´egtelen sok ikerpr´ım, a mai napig (2014. m´ arcius 4.) nem ismert. 1 Ilyen sorozat p´eld´ aul az an = (−1)n · 1 − , azaz n
an =
1 1− n
ha n p´aros
−1 + 1 n
ha n p´aratlan
1.206.
∀x ∈ A ∃y ∈ A (y < x)
1.209.
sup(A∪B) = max {sup A, sup B},
1.214.
1.216.
1.220.
1.222.
225
sup(A∩B) = min {sup A, sup B}.
Ha sup(A \ B) 6= ∅, azaz A * B, akkor sup(A \ B) ≤ sup A. 1 + A = :n∈N , inf A = 0, sup A = max A = 1, nincs 2n − 1 minimuma. 1 1 + A= +√ :n∈N eset´en inf A = 0, sup A = max A = 2, nincs n n minimuma. 1 1 A= + : n ∈ N+ eset´en inf A = 0, sup A = max A = 2, nincs n k minimuma. n√ o n Legyen A = 2 : n ∈ N+ . Az vil´agos, hogy sup A = max A = √ 2. Bel´ atjuk, hogy inf A = 1. Mivel n 2 > 1, ez´ert 1 als´o korl´at. Megmutatjuk, hogy tetsz˝oleges x > 0 eset´en 1 + x nem als´o korl´at: Mivel a Bernoulli-egyenl˝otlens´eg szerint (1 + x)n ≥ 1 + nx ´es 1 + nx > 2 1 ha n > , ez´ert van olyan n (valahonnan kezdve mindegyik n), hogy x√ 1 + x > n 2.
1.223.
√ Legyen A = n 2n − n : n ∈ N+ . Mivel minden n ∈ N+ eset´en 2n ≥ n + 1 a Bernoulli-egyenl˝otlens´eg szerint, ez´ert sup A = min A = 1.
´ s sza ´ mok – Megolda ´ sok 1. Alapfogalmak, valo
226
M´ asr´eszt 2n − n < 2n , ez´ert A egy fels˝o korl´atja 2. Ez egyben az A halmaz szupr´emuma is, sup A = 2, mert √ n
2n − n ≥
p n
1 2n − 2n−1 = 2 · √ n 2
´es az el˝ oz˝ o feladat szerint 1 1 + √ =1 :n∈N = sup √ n n 2 inf 2 : n ∈ N+ Mivel 2 ∈ / A, ez´ert az A halmaznak nincs maximuma. 1.227.
A szupr´emum defin´ıci´ oja miatt el´eg megmutatni, hogy a B halmaz minden fels˝ o korl´ atja az A halmaznak is fels˝o korl´atja. Legyen teh´ at K tetsz˝ oleges fels˝o korl´atja B-nek, tov´abb´a a ∈ A tetsz˝ oleges. A felt´etel szerint van olyan b ∈ B, amelyre a ≤ b. Mivel K fels˝ o korl´ at, ez´ert b ≤ K is teljes¨ ul. ´Igy teh´at tetsz˝oleges a ∈ A eset´en a ≤ K, azaz K fels˝ o korl´atja A-nak.
1.230.
Q =⇒ P: |x−y| = |(x−A)+(A−y)| ≤ |x−A|+|A−y| = |x−A|+|y−A| < ε+ε = 2ε. P =⇒ 6 Q: Legyen p´eld´ aul x = y = 0, ε = 1 ´es A = 2.
1.235.
P =⇒ 6 Q: Legyen p´eld´aul H = (1, 2]. Ekkor P teljes¨ ul de az a = 1 v´ alaszt´ as mutatja, hogy Q nem teljes¨ ul. Q =⇒ 6 P: Legyen p´eld´aul H = {−1}.
´ msorozatok konvergencia ´ ja – Megolda ´ sok 2. Sza
227
Sz´ amsorozatok konvergenci´ aja 2.1 Sorozatok hat´ ar´ ert´ eke 2.1.
Mivel an → 1, ez´ert megadhat´ok a keresett k¨ usz¨obindexek. (a) ε = 0, 1 √ 1 1 √ |an − 1| = 1 + − 1 = √ < 0, 1 ⇐⇒ n > 10 ⇐⇒ n > 102 n n Teh´ at az n0 = 102 v´alaszt´as megfelel. (b) ε = 0, 01 Az el˝ oz˝o megold´asban 0, 1-et 0, 01-re cser´elve kapjuk, hogy az n0 = 104 v´alaszt´as megfelel.
2.2.
Nincs ilyen n0 k¨ usz¨ obindex, ugyanis az el˝oz˝o feladat (a) r´esz´enek megold´ asa szerint ha n > 104 , akkor |an − 1| < 0, 1. Ez´ert ezekre az n-ekre |an − 2| = |(an − 1) − (2 − 1)| ≥ |1 − |an − 1|| > 1−0, 1 = 0, 9 > 0, 001.
2.3.
Ezek a feladatok a konvergencia defin´ıci´oj´aban szerepl˝o jelek (logikai kvantorok, egyenl˝ otlens´eg) sorrendj´enek ´es t´ıpus´anak a fontoss´ag´at mutatj´ ak meg. (a) Igaz. A 2.1. feladatot ´altal´anos´ıtva k¨onnyen l´athat´o, hogy an → 1 ´es ez a formula ´eppen ezt mondja. (b) Nem igaz. Ez a formula pontosan akkor teljes¨ ul egy (an ) sorozatra, ha valahonnan kezdve a sorozat minden tagja 1. A megadott sorozat nem ilyen. (c) Igaz. A formula pontosan akkor teljes¨ ul egy (an ) sorozatra, ha a sorozat korl´ atos. A megadott sorozat korl´atos. (d) Nem igaz. A formula pontosan akkor teljes¨ ul egy (an ) sorozatra, ha van olyan ny´ılt (ε sugar´ u) intervallum az 1 k¨or¨ ul, amelyik a sorozatnak csak v´eges sok tagj´at tartalmazza. (e) Igaz. A formula pontosan akkor teljes¨ ul egy (an ) sorozatra, ha a sorozat els˝ o tagja a1 = 1, ugyanis az n0 = 1 v´alaszt´as minden ε eset´en megfelel. (f ) Nem igaz. A formula pontosan akkor teljes¨ ul egy (an ) sorozatra, ha a sorozat els˝ o tagja a1 6= 1.
´ msorozatok konvergencia ´ ja – Megolda ´ sok 2. Sza
2.4.
228
Megmutatjuk, hogy el´eg nagy n-re bn > an : 10n2 + 25 ≤ 10n2 + n2 = 11n2 , ha n ≥ 5. M´ asr´eszt 11n2 < n3 , ha n > 11. ´Igy az N = 11 v´ alaszt´ assal bn > an , ha n > N .
2.6.
Az (an ) a nagyobb valahonnan kezdve: 3n − n2 > 2n + n ⇐⇒ 3n > 2n + n2 + n. Bel´ atjuk el˝ osz¨ or, hogy valahonnan kezdve 2n > n2 . A binomi´alis kifejt´est haszn´ alva n X n n n(n − 1)(n − 2) 2n = (1 + 1)n = > = > k 3 6 k=0 n 3 1 n3 > · = > n2 2 6 48 Ez teljes¨ ul ha egyr´eszt n − 2 > n > 48 = 23 · 6 eset´en
n , azaz n > 4, m´asr´eszt n > 48. Teh´at 2
2n + n2 + n < 2n + 2n + 2n = 3 · 2n < 3n . Az egyenl˝ otlens´eg biztosan teljes¨ ul, ha n 3 = (1 + 0, 5)n > 3. 2 Ez ut´ obbi pedig a Bernoulli-egyenl˝otlens´eg szerint igaz, ha n > 4. Teh´ at ¨ osszefoglalva a keresett N sz´amra kapott felt´eteleket, az N = 48 v´ alaszt´ as megfelel. 2.8.
A (bn ) a nagyobb valahonnan kezdve: Ha n > 3, akkor n! = 6 · (4 · 5 · · · n) > 6 · 4n−3 =
6 2n 2 > 2n 43
43 27 Az egyenl˝ otlens´eg teljes¨ ul, ha 2n > = , ez pedig akkor, ha n > 8. 6 3 Teh´ at az N = 8 v´ alaszt´as megfelel.
´ msorozatok konvergencia ´ ja – Megolda ´ sok 2. Sza
2.16.
√ n
229
2 < 1, 01 = 1 + 0, 1 ⇐⇒ 2 < (1 + 0, 1)n
A Bernoulli-egyenl˝ otlens´eg szerint (1 + 0, 1)n ≥ 1 + 0, 1n > 0, 1n > 2 ha n > 20. 2.17.
√ n
n < 1, 0001 ⇐⇒ n < 1 + 10−4
n
A binomi´ alis kifejt´est haszn´alva 1 + 10
−4 n
=
n X n k=0
k
−4k
10
n n(n − 1) n2 > 10−8 = > >n 2 2 · 108 8 · 108
ha n > 8 · 108 . 2.25. p
n2
√ p n2 + 5 + n 5 5 2 + 5−n = ( n + 5−n)· √ =√ < < 0, 01 2 2 n n +5+n n +5+n
ha n > 500. 2.28.
P =⇒ Q, mert a legkisebb tag als´o korl´at, a legnagyobb pedig fels˝o korl´ at. 1 Q =⇒ 6 P, mert p´eld´ aul az an = sorozat korl´atos, de nincs legkisebb n eleme.
2.29.
(b) igaz, a t¨ obbi nem igaz.
2.40. 2n6 + 3n5 2 = n→∞ 7n6 − 2 7 lim
6 2n + 3n5 2 7(2n6 + 3n5 ) − 2(7n6 − 2) 21n5 + 4 − = = < 7n6 − 2 6 7 7(7n − 2) 7(7n6 − 2) <
21n5 + 4n5 25 1 1 = · < < ε. 7(7n6 − 2n6 ) 35 n n
´ msorozatok konvergencia ´ ja – Megolda ´ sok 2. Sza
230
1 Ez ut´ obbi egyenl˝ otlens´eg biztosan teljes¨ ul, ha n > , ´es ´ıgy k¨ usz¨obinε dexnek megfelel a 1 +1 n0 = ε 2.47.
p p p lim ( n2 + 1 − n) = lim ( n2 − 1 − n) = 0, ez´ert lim ( n2 + 1 + n→∞ n→∞ n→∞ p n2 − 1 − 2n) = 0. √ ε ul¨on az an = n2 + 1 − n ´es a bn = Keress¨ unk k¨ usz¨ obindexet -h¨oz k¨ 2 √ n2 − 1 − n sorozathoz. |an | = teljes¨ ul, ha n >
p
n2 + 1 − n = √
1 1 ε < < n 2 n2 + 1 + n
2 . ε
1 1 ε √ < < . n 2 n2 − 1 2 2 Ez is teljes¨ ul, ha n > , teh´at az n0 = megfelel k¨ usz¨obindexnek: ε ε p p p p n2 + 1 + n2 − 1 − 2n ≤ n2 + 1 − n + n2 − 1 − n < ε ε < + =ε 2 2 |bn | = n −
p n2 − 1 =
n+
ha n > n0 . 2.49.
(a) Az (an ) sorozat oszcill´alva divergens. (b) Az (an ) sorozat konvergens, an → 4. (c) Az (an ) sorozat divergens, an → ∞. (d) Az (an ) sorozat oszcill´alva divergens. 1 , n
1 . n2
2.55.
Legyen p´eld´ aul an =
2.58.
Mivel a > 0, ez´ert az (an ) sorozatnak csak v´eges sok tagja lehet negat´ıv, √ ´ıgy valahonnan kezdve an ´ertelmes.
bn =
√ √ |a − a| an − a = √|an − a| √ ≤ n√ an + a a
´ msorozatok konvergencia ´ ja – Megolda ´ sok 2. Sza
231
Mivel an → a, v´ alaszthatunk olyan n0 k¨ usz¨obindexet, hogy n > n0 √ eset´en |an − a| < ε · a legyen. Ez az n0 megfelel a keresett k¨ usz¨obindexnek: √ √ an − a ≤ |an√− a| < ε√· a = ε, a a ha n > n0 . 2.61.
Mindegyik ´ all´ıt´ as igaz. Egyed¨ ul a (d) ´all´ıt´as jelenti azt, hogy an → ∞.
2.66.
A sorozat nem tarthat ∞-hez, de tarthat −∞-hez vagy egy val´os sz´amhoz.
2.69.
A sorozat nem tarthat −∞-hez, de a t¨obbi eset lehets´eges.
2.74. √
1+
√
2 + ··· + n
√
rh i √ n rh i + ··· + n n 1 n n 2 > > · · > n n 2 2
1 n > · · n 2
r
n −1>K 2
ha n > 8K 2 + 2. Teh´ at megfelel˝o k¨ usz¨obindex az n0 = [8K 2 + 2] + 1. 2.81.
A felt´etel szerint van olyan N sz´am, hogy n > N eset´en an+1 − an > d =
c > 0. 2
Teljes indukci´ oval k¨ onnyen l´athat´o, hogy n > N eset´en an > aN + d · (n − N ). Mivel lim (aN + d · (n − N )) = ∞, ez´ert a rend˝or-szab´aly szerint n→∞ lim an = ∞. n→∞
2.2 A hat´ ar´ ert´ ek tulajdons´ agai 2.84.
Mivel
1 2 → 0 ´es → 0, ez´ert a rend˝or-szab´aly szerint bn → 0. n n
´ msorozatok konvergencia ´ ja – Megolda ´ sok 2. Sza
232
2.89.
Semmit sem lehet mondani a (bn ) viselked´es´er˝ol, tarthat b´arhova ´es lehet oszcill´ alva divergens is.
2.91.
El´eg megmutatni, hogy a2n ´es a2n+1 ugyanoda tart, mert a k´et r´eszsorozatra kapott k¨ usz¨ obindexek k¨oz¨ ul a nagyobbik az eg´esz sorozatra is megfelel. Az a6n k¨ oz¨ os r´eszsorozata a2n -nek ´es a3n -nek, ez´ert lim a2n = lim a3n .
n→∞
n→∞
M´ asr´eszt az a6n+3 k¨ oz¨os r´eszsorozata a2n+1 -nek ´es a3n -nek, ez´ert lim a2n+1 = lim a3n .
n→∞
2.95.
n→∞
Mivel a > 0, valahonnan kezdve
a < an < 2a, ´es ez´ert 2
√ √ a n < n an < 2a. 2 √ Mivel tetsz˝ oleges c ∈ R+ eset´en n c → 1, ez´ert a rend˝or-szab´aly szerint √ n an → 1. r n
2.100. an + 1 − 2 2 an − 1 = =1− →0 an + 1 an + 1 an + 1 Fejezz¨ uk ki an -t bn seg´ıts´eg´evel: bn =
2 = 1 − bn , an + 1
an + 1 =
2 , 1 − bn
an =
2 −1 1 − bn
A hat´ ar´ert´ek m˝ uveleti szab´alyait alkalmazva kapjuk, hogy an → 1. 2.102.
Valahonnan kezdve 0 ≤
2.107.
P =⇒ 6
√ n
an < 0, 5, ´es ez´ert 0 ≤ an < 0, 5n → 0.
1 Q: legyen p´eld´aul an = √ n Q =⇒ P: Legyen lim an = a > 0. n→∞
Els˝ o eset: a = ∞. Ekkor van olyan N k¨ usz¨obindex, hogy n > N eset´en an > 1 ≥
1 . n
´ msorozatok konvergencia ´ ja – Megolda ´ sok 2. Sza
233
a M´ asodik eset: 0 < a < ∞: V´alasszunk az ε = -h¨oz egy N k¨ usz¨obin2 dexet, amelyre 1 |an − a| < ε ´es < ε. n ha n > N . De akkor 1 a < ε = = a − ε < an . n 2 2.111.
Az ´ all´ıt´ asb´ ol k¨ ovetkezik, hogy an → ∞, rend˝or-szab´aly a v´egtelenre”: ” Legyen ugyanis K ∈ R tetsz˝oleges. Mivel bn → ∞, ez´ert van olyan N k¨ usz¨ obindex, hogy n > N eset´en K < bn . De a felt´etel szerint ezekre az n-ekre K < an is igaz.
2.114.
Semmi sem k¨ ovetkezik: az (an ) sorozat lehet konvergens, p´eld´aul ha an = 0, tarthat ∞-hez, p´eld´ aul ha an = bn − 1 vagy −∞-hez, p´eld´ aul ha an = −n, de lehet oszcill´ alva divergens is, p´eld´aul ha an = (−1)n .
2.118.
Korl´ atos, mert konvergens, √ lim
1+
n→∞
√
2 + ··· + n2
√
n
= 0,
ugyanis √ √ √ √ √ √ √ 1 + 2 + ··· + n n + n + ··· + n n n 1 0< ≤ = 2 = √ → 0. 2 2 n n n n 2.120.
Mivel valahonnan kezdve 2n < 3 √ = n 2
r n
1 n 3 , ez´ert 2
√ √ 1 n 3n − 3n < n 3n − 2n < 3n = 3, 2
3 ha n el´eg nagy. Az egyenl˝otlens´eg baloldala √ → 3, ´es ez´ert a rend˝orn 2 szab´ aly szerint √ n 3n − 2n → 3.
´ msorozatok konvergencia ´ ja – Megolda ´ sok 2. Sza
2.125.
234
Hozzuk egyszer˝ ubb alakra a sorozat tagjait: an =
1 − 2 + 3 − · · · − 2n (1 − 2) + (3 − 4) + · · · + (2n − 1 − 2n) √ √ = = n2 + 1 n2 + 1 n = −√ 2 n +1
V´egig osztva a sz´ aml´ al´ot ´es a nevez˝ot a nevez˝o nagys´agrendj´evel, n-nel, kapjuk, hogy an = − √
1 n = −r → −1. n2 + 1 1 1+ 2 n
2.131.
A 2.181. feladat szerint n 1 1+ ≥ 2. n an =
2.140.
1 1+ n
1+
n2
1 n
n monoton n¨ov˝o sorozat, ´es ez´ert
n 2 1 = 1+ ≥ 2n → ∞. n
Enn´el a t¨ ortn´el a nevez˝ o nagys´agrendje” 7n , de a v´altakoz´o el˝ojel prob” 2n + 3n l´em´ at okoz. Megmutatjuk, hogy an = n → 0. Ehhez el´eg azt 4 + (−7)n megmutatni, hogy |an | → 0.
n 2 + 3 n 2n + 3 n ≤ |an | = n = 4 + (−7)n 7n − 4n
2.146.
P =⇒ 6 Q: legyen 1 ha n p´aros , an = 1/n ha n p´aratlan
n n 2 3 + 7 7 n → 0. 4 1− 7
bn =
1/n 1
ha n p´aros ha n p´aratlan
1 , bn = n n Megjegyz´es: Ha az egyik sorozat 0-hoz tart, a m´asik pedig korl´atos, akkor igaz, hogy an · bn tart 0-hoz.
Q =⇒ 6 P: legyen an =
´ msorozatok konvergencia ´ ja – Megolda ´ sok 2. Sza
2.152.
an an konvergens ´es lim > 0: n→∞ bn bn an an (b) konvergens ´es lim = 0: n→∞ bn bn an an (c) divergens ´es lim = ∞: n→∞ bn bn (a)
an (d) oszcill´ alva divergens: bn
2.155.
P =⇒ 6 Q: legyen p´eld´aul an = n + 1, Q =⇒ P: Mivel bn → ∞ ez´ert
an = n,
bn = n + 1.
an = n,
bn = n2 .
an = n2 ,
bn = n.
n n2
ha n p´aros , ha n p´aratlan
n2 n
ha n p´aros ha n p´aratlan
an = bn =
235
bn = n.
1 an − bn an → 0 ´es ´ıgy = − 1 → 0. bn bn bn
2.3 Monoton sorozatok 2.159.
– K´et pozit´ıv tag´ u monoton n¨ov˝o/cs¨okken˝o sorozat szorzata monoton n˝ o/cs¨ okken. – K´et negat´ıv tag´ u monoton n¨ov˝o/cs¨okken˝o sorozat szorzata monoton cs¨ okken/n˝ o. – Egy pozit´ıv tag´ u monoton n¨ov˝o ´es egy negat´ıv tag´ u monoton cs¨okken˝ o sorozat szorzata monoton cs¨okken. – Egy pozit´ıv tag´ u monoton cs¨okken˝o ´es egy negat´ıv tag´ u monoton n¨ ov˝ o sorozat szorzata monoton n˝o. M´ as esetekben nem ´ all´ıthatjuk biztosan, hogy a szorzat monoton.
2.164.
Teljes indukci´ oval k¨ onnyen bizony´ıthat´o, hogy an > a1 · (1, 1)n−1 . El´eg 106 teh´ at tal´ alnunk egy olyan n-et, amelyre 1, 1n−1 > . A Bernoullia1 egyenl˝ otlens´eg szerint 1, 1n−1 = (1 + 0, 1)n−1 ≥ 1 + (n − 1) · 0, 1 > (n − 1) · 0, 1 >
Ez biztosan teljes¨ ul, ha n − 1 >
107 107 , azaz ha n > + 1. a1 a1
106 . a1
´ msorozatok konvergencia ´ ja – Megolda ´ sok 2. Sza
2.168.
236
Els˝ o l´ep´esk´ent bel´ atjuk, hogy a sorozat minden tagja pozit´ıv, de ez teljes indukci´ oval nyilv´ anval´o. Most m´ar jobb als´o becsl´est is mondhatunk a sorozat tagjaira: a (k´et tag´ u) sz´amtani ´es m´ertani k¨ozepek k¨oz¨otti egyenl˝ otlens´eg szerint r √ a 1 a an+1 = an + ≥ an · = a. 2 an an Bel´ atjuk, hogy n = 2-t˝ol kezdve az (an ) sorozat monoton cs¨okken. Felhaszn´ alva, hogy an > 0 √ 1 a an + ≤ an ⇐⇒ a2n + a ≤ 2a2n ⇐⇒ a2n ≥ a ⇐⇒ an ≥ a. 2 an √ De az el˝ obb m´ ar bel´ attuk, hogy minden n ≥ 2 eset´en an ≥ a, teh´at a sorozat monoton cs¨ okken ´es (alulr´ √ ol) korl´atos, de akkor konvergens. Legyen lim an = b, ´es persze b ≥ a. De akkor lim an+1 = b is igaz. n→∞ n→∞ M´ asr´eszt 1 a a 1 an+1 = an + b+ . → 2 an 2 b Teh´ at
2.173.
√ a 1 b+ = b ⇐⇒ b = a. 2 b
A rekurz´ıv k´epletb˝ ol k¨onny˝ u kiolvasni, hogy an ≥ 0 (s˝ot azt is, hogy √ an ≥ 2, ha n > 1). M´asr´eszt teljes indukci´oval bizony´ıtjuk, hogy an < 2. n = 1 re ez igaz. Tegy¨ uk fel, hogy n-re igaz, hogy an < 2. √ √ an+1 = 2 + an < 2 + 2 = 2. √ Megmutatjuk, hogy a sorozat monoton n˝o. Oldjuk meg a 2 + x ≥ x egyenl˝ otlens´eget a nemnegat´ıv sz´amok k¨or´eben: √ 2 + x ≥ x ⇐⇒ 2 + x ≥ x2 ⇐⇒ x2 − x − 2 ≤ 0 ⇐⇒ 0 ≤ x ≤ 2. Mivel m´ ar bel´ attuk, hogy 0 ≤ an < 2, ez´ert x hely´ebe ´ırhatunk an -et, ´es ´ıgy an+1 ≥ an . Teh´at (an ) monoton n˝o ´es (fel¨ ulr˝ol) korl´atos, ez´ert konvergens. Legyen a = lim an . Mivel a sorozat tagjai nemnegat´ıvok, n→∞ ez´ert a ≥ 0. A hat´ ar´ert´ek m˝ uveleti szab´alyai ´es a rekurz´ıv k´eplet miatt √ a = 2 + a ⇐⇒ a = 2.
´ msorozatok konvergencia ´ ja – Megolda ´ sok 2. Sza
2.180.
a1 > 0 ´es ha an > 0, akkor
an+1 = an +
n-re an > 1. A rekurz´ıv k´eplet szerint an+1 − an =
237
1 > 0, ez´ert minden a3n + 1
1 > 0, a3n + 1
teh´ at a sorozat (szigor´ uan) monoton n˝o. Indirekt m´odon megmutatjuk, hogy a sorozat nem konvergens ´es ez´ert nem is korl´atos. Ha lim an = n→∞
a, akkor a ≥ 0, mert an ≥ 0, ´es ez´ert a3 + 1 6= 0. a=a+
1 . a3 + 1
De ennek az egyenletnek nincs megold´asa! Teh´at (an ) monoton n˝o ´es nem korl´ atos, ez´ert an → ∞. 2.181.
Megmutatjuk, hogy a sorozat szigor´ uan monoton n˝o. Felhaszn´alva az n + 1 tag´ u sz´ amtani ´es m´ertani k¨ozepek egyenl˝otlens´eg´et n+1 1 n n n+1 1 + n · 1 + n 1 1 = 1+ 1 1+ = 1· 1 + < . n n n+1 n+1
Most bel´ atjuk, hogy n n 1 1 1 < 4 ⇐⇒ 1+ < 1. 1+ n 4 n Most n + 2 tagra haszn´alva a sz´amtani ´es m´ertani k¨ozepek egyenl˝otlens´eg´et n+2 1 1 1 + + n · 1 + 2 2 n < = 1. n+2
1 4
1+
1 n
n =
1 1 · 2 2
1+
1 n
n
n 1 Teh´ at az 1 + sorozat konvergens. A sorozat hat´ar´ert´ek´et Eulern konstansnak nevezz¨ uk ´es e-vel jel¨olj¨ uk. Bel´athat´o, hogy 2 < e < 3, e irracion´ alis (s˝ ot transzcendens) ´es e = 2, 71 . . . .
´ msorozatok konvergencia ´ ja – Megolda ´ sok 2. Sza
238
2.4 A Bolzano-Weierstrass-t´ etel ´ es a Cauchy-krit´ erium 2.186.
P =⇒ 6 Q: legyen an = (−1)n Q =⇒ P: Ha (an ) konvergens, akkor minden r´eszsorozata is konvergens (´es ugyanoda tart).
2.189.
Ez a felt´etel nem el´eg (viszont sz¨ uks´eges) a konvergenci´ahoz. Ha p´eld´aul √ √ √ √ an = n, akkor n + 1 − n → 0 de n → ∞.
2.195.
Az (an ) sorozatnak pontosan akkor nincs konvergens r´eszsorozata a Bolzano-Weierstrass-t´etel szerint, ha nincs korl´atos r´eszsorozata. Ez akkor igaz, ha minden K > 0 val´os sz´amra csak v´eges sok tagja van a sorozatnak a [−K, K] intervallumban, azaz v´eges sok n kiv´etel´evel |an | > K. Ez pedig ´eppen azt jelenti, hogy |an | → ∞.
2.198.
Bel´ atjuk, hogy a sorozatra teljes¨ ul a Cauchy-krit´erium. Legyen ε > 0 tetsz˝ oleges, tov´ abb´ a n < m. |an − am | = |(an+1 − an ) + (an+2 − an+1 ) + · · · + (am − am−1 )| ≤ ≤ |an+1 − an | + |an+2 − an+1 | + · · · + |am − am−1 | ≤ ≤ 2−n + 2−(n+1) + · · · + 2−(m−1) = = 2−n · 2 · 1 − 2−(m−n) < 2−(n−1) . Mivel 2−(n−1) → 0, ez´ert valahonnan kezdve |an − am | < 2−(n−1) < ε.
2.5 Sorozatok nagys´ agrendje 2.203. nn ∼ n! + nn ,
√
n∼
√
n + 1.
M´ as aszimptotikusan egyenl˝o p´ar nincs a sorozatok k¨oz¨ott. √ n 2 √ → 1, de ezek a sorozatok nem tartanak ∞-hez. n n
Hab´ar
´ msorozatok konvergencia ´ ja – Megolda ´ sok 2. Sza
239
2.210. n 3, 1 3, 01n 3 = n . n n 2 +3 2 +1 3
3, 1 Itt a sz´ aml´ al´ o ∞-hez tart, mert > 1, a nevez˝o pedig 1-hez, mert 3 2 < 1. Teh´ at 3 3, 01n = ∞. lim n n→∞ 2 + 3n 2.216.
A nevez˝ o nagys´ agrendje 2n . n n! 3 − n! − 3n 2n 2 = . n10 − 2n n10 − 1 2n n10 Mivel n → 0, ez´ert a nevez˝o −1-hez tart. Viszont a sz´aml´al´o m´eg 2 mindig kritikus, ul¨onbs´ege. Felhaszn´alent v´egtelenhez tart´o sorozat k¨ nk´ , va, hogy n! > 4 n n n n 3 3 24 3 n! n n − > − > − > 2n 2 8 2 8 2 n n n 3 3 3 >2· − = , 2 2 2 ha n ≥ 24. ´Igy teh´ at a sz´aml´al´o ∞-hez tart ´es n! − 3n → −∞. n10 − 2n
2.6 Vegyes feladatok 2.222.
A sorozat nem ´ all el˝ o az (1/n) sorozat v´ eges sok tag´ u o¨sszegek´ent, hiszen az an -ben szerepl˝o ¨osszeg tagjainak a sz´ama tart v´egtelenhez. Teh´ at az els˝ o okoskod´ as a hib´as.
´ msorozatok konvergencia ´ ja – Megolda ´ sok 2. Sza
2.225.
an → 0. Ugyanis van olyan N k¨ usz¨obindex, hogy n > N eset´en n √ 2 2 0 < n an < ⇐⇒ 0 < an < 3 3 n 2 → 0, ez´ert a rend˝or-szab´aly szerint an → 0. Mivel 3
2.228.
ann → 0. Ugyanis van olyan N k¨ usz¨obindex, hogy n > N eset´en n 2 2 n 0 < an < , ⇐⇒ 0 < an < 3 3 n 2 Mivel → 0, ez´ert a rend˝or-szab´aly szerint ann → 0. 3
2.232.
Legyen p´eld´ aul an =
1 . n
240
´ s f¨ ´nyek hata ´ re ´rte ´ke, folytonossa ´ ga – Megolda ´ sok 241 3. Valo uggve
Val´ os fu enyek hat´ ar´ ert´ eke, folytonoss´ aga ¨ ggv´ 3.1 Fu enyek glob´ alis tulajdons´ agai ¨ ggv´ 3.3.
Igen, f¨ uggv´eny. A neve Dirichlet-f¨ uggv´eny.
3.8.
−∞ < x < 0.
3.11.
´Irjuk fel a f¨ uggv´enyek ´ertelmez´esi tartom´any´at ´es a f¨ uggv´eny formul´at egyszer˝ ubb alakban: √ (a) f1 (x) = x, (b) f2 (x) = x2 = |x| , Df1 = (−∞, ∞) Df2 (−∞, ∞) √ 2 (c) f3 (x) = x =x Df3 = [0, ∞)
(d) f4 (x) = ln ex = x Df4 = (−∞, ∞)
(e) f5 (x) = eln x = x Df5 = (0, ∞)
√ 2 −x = |x| (f ) f6 (x) = Df6 = (−∞, 0]
Mivel k´et f¨ uggv´eny pontosan akkor egyezik meg, ha megegyezik az ´ertelmez´esi tartom´ anyuk ´es minden helyen ugyanazt az ´ert´eket veszik fel, ez´ert csak az f1 ´es az f4 f¨ uggv´enyek egyeznek meg egym´assal. 3.14.
P´ aratlan.
3.19.
P´aros.
3.22.
P´ aros is ´es p´ aratlan is.
3.25.
Se nem p´aros, se nem p´aratlan.
3.28.
Igaz.
x 5
ha x 6= −5 ha x = −5
3.29.
Nem igaz, p´eld´ aul f (x) =
3.34.
1 A ctg x ´es az f¨ uggv´eny az eg´esz ´ertelmez´esi tartom´any´an (szigor´ uan) x cs¨ okken, a t¨ obbinek vannak monoton n¨ov˝o szakaszai.
´ s f¨ ´nyek hata ´ re ´rte ´ke, folytonossa ´ ga – Megolda ´ sok 242 3. Valo uggve
(a)
(b)
[
]
[
(c)
]
[
]
[
]
(d)
) (
]
(e)
(f )
]
(g)
]
]
(h)
(
3.38.
[
( )
) (
) (
)
Igaz. K´et szigor´ uan monoton cs¨okken˝o (n¨ov˝o) f¨ uggv´eny ¨osszege szigor´ uan monoton cs¨ okken (n˝o).
´ s f¨ ´nyek hata ´ re ´rte ´ke, folytonossa ´ ga – Megolda ´ sok 243 3. Valo uggve
3.39.
´ Altal´ aban nem igaz, p´eld´aul ha f (x) = g(x) = −x, akkor f (x) · g(x) = 2 x nem (minden¨ utt) cs¨okken. Ha viszont mindk´et f¨ uggv´eny pozit´ıv ´es szigor´ uan monoton cs¨okken (n˝ o), akkor a szorzatuk is szigor´ uan monoton cs¨okken (n˝o).
3.43.
Alulr´ ol korl´ atos, legnagyobb als´o korl´at a 0. Fel¨ ulr˝ol nem korl´atos.
3.47.
Alulr´ ol korl´ atos, legnagyobb als´o korl´at a 0. Fel¨ ulr˝ol is korl´atos, legkisebb fels˝ o korl´ at az 1.
3.51.
∀x ∈ R (f (x) ≤ f (3)). P´eld´aul f (x) = −(x − 3)2 .
3.54.
∀x ∈ R ∃y ∈ R (f (y) < f (x)). P´eld´aul f (x) = x.
3.57.
m = 0, M nem l´etezik.
3.60.
m = −1,
3.63.
m = −1,
3.66.
P´eld´aul arctg x.
3.68.
M = 0. x P´eld´ aul f (x) = 0
M = 1.
ha − 1 < x < 1 ha x = −1 vagy x = 1
3.74.
2π
3.76.
4π
3.78.
2π
3.79.
2π
3.82.
A Dirichlet-f¨ uggv´enynek minden nem nulla racion´alis sz´am peri´odusa, ez´ert nincs legkisebb peri´odusa.
3.86.
A
√
x f¨ uggv´eny (szigor´ uan) konk´av a (0, ∞) f´elegyenesen.
El´eg bel´ atni, hogy minden 0 < a < x < b eset´en √ √ √ √ b− a x> (x − a) + a b−a azaz √ √ √ √ x− a b− a > . x−a b−a ´ Atalak´ ıt´ as ut´ an √ √ √ √ √ √ 1 1 √ √ >√ √ ⇐⇒ b + a > x + a ⇐⇒ b > x. x+ a b+ a Mivel a feltev´es szerint 0 < x < b, ez´ert az utols´o egyenl˝otlens´eg igaz.
´ s f¨ ´nyek hata ´ re ´rte ´ke, folytonossa ´ ga – Megolda ´ sok 244 3. Valo uggve
3.92.
P =⇒ 6 Q: P´eld´ aul f (x) = sin πx Q =⇒ P: Ha az f (x) f¨ uggv´eny konvex (−1, 3)-on, akkor minden −1 < a < b < 3 ´es 0 < t < 1 eset´en f (ta + (1 − t)b) ≤ tf (a) + (1 − t)f (b). 1 Az a = 0, b = 2, t = v´alaszt´assal ´epp a P-ben szerepl˝o egyenl˝otlen2 s´eget kapjuk.
3.96.
A h´ ur egyenlete h(x) =
log7 4 − log7 2 log7 2 (x − 2) + log7 2 = x. 4−2 2
´Irjunk x hely´ebe 3-at. Mivel log7 x konk´av, ez´ert log7 3 ≥ h(3) =
3.100.
3.112.
3 log7 2 log7 8 log7 2 + log7 4 = = . 2 2 2
Mivel a f¨ uggv´eny a [2, 4] intervallumon egyszerre konvex ´es konk´ av, ez´ert itt csak line´aris kifejez´es lehet. Legyen p´eld´ aul ha 1 ≤ x ≤ 2 (x − 2)2 0 ha 2 < x ≤ 4 f (x) = −(x − 4)2 ha 4 < x ≤ 5
3
Az x, x ,
√ 3
x ´es az f (x) =
1/x 0
ha x 6= 0 f¨ uggv´enyek bijekci´ok, ha x = 0
a t¨ obbi nem az. √
3.114.
f (x) = x2 invert´ alhat´o [0, ∞)-en, itt f −1 (x) = √ f −1 (x) = −x.
3.116.
f (x) = sin x tetsz˝ oleges n ∈ Z eset´en invert´alhat´o a [−π/2 + nπ, π/2 + nπ] intervallumon. Az inverz f¨ uggv´eny minden esetben a [−1, 1] z´art
x ´es (−∞, 0]-n, itt
´ s f¨ ´nyek hata ´ re ´rte ´ke, folytonossa ´ ga – Megolda ´ sok 245 3. Valo uggve
intervallumon van ´ertelmezve. Ha arcsin x jel¨oli a sin x inverz´et a [−π/2, π/2] intervallumon, akkor a [−π/2+nπ, π/2+nπ] intervallumon f −1 (x) =
nπ + arcsin x nπ − arcsin x
ha n p´aros ha n p´aratlan
vagy m´ ask´epp fel´ırva f −1 (x) = nπ + (−1)n arcsin x.
3.122.
(a) Van ilyen, de csak egy, az azonosan nulla f¨ uggv´eny. Az, hogy egy f¨ uggv´eny grafikonja szimmetrikus az x tengelyre, pontosan akkor teljes¨ ul, ha minden x ∈ Df eset´en f (x) = −f (x). (b) Van, p´eld´ aul az f (x) = x2 f¨ uggv´eny. Az, hogy egy f¨ uggv´eny grafikonja szimmetrikus az y tengelyre, pontosan akkor teljes¨ ul, ha minden x ∈ Df eset´en f (−x) = f (x), azaz a f¨ uggv´eny p´aros.
3.125.
Bel´ atjuk, hogy az f (x) f¨ uggv´enynek a 4 peri´odusa. El˝obb fejezz¨ uk ki f (x + 2)-t f (x) seg´ıts´eg´evel:
1 + f (x + 1) = f (x + 2) = 1 − f (x + 1)
1 + f (x) 1 1 − f (x) =− . 1 + f (x) f (x) 1− 1 − f (x) 1+
Mivel ez minden x-re igaz, f (x + 4) = −
3.128.
1 =− f (x + 2)
1 = f (x). 1 − f (x)
A h = g ◦ f f¨ uggv´eny minden¨ utt ´ertelmezve van ´es h(x) = g(f (x)) = x. A g(x) f¨ uggv´eny m´egsem az f f¨ uggv´eny inverze, mert ´ertelmez´esi tartom´ anya b˝ ovebb mint f ´ert´ekk´eszlete.
´ s f¨ ´nyek hata ´ re ´rte ´ke, folytonossa ´ ga – Megolda ´ sok 246 3. Valo uggve
f (x)
g(x)
f −1 (x)
3.2 A hat´ ar´ ert´ ek 3.130. (a)lim f (x) = 0 x→−2
3.133.
(b) lim f (x) = −1 x→−1
(c) lim f (x) nem l´etezik. x→0
Igazak: (b), (d), (e), (f). Hamisak: (a), (c), (g), (h), (i), (j), (k), (l).
3.136.
lim 5x = 5 · lim x = 5 · 3 = 15
x→3
3.139. 3.142.
x→3
−2 1 −2 = =− x→1 7x − 3 7·1−3 2 lim
lim x sin x = x→π/2
π π π sin = 2 2 2
3.148.
t2 + t − 2 (t − 1)(t + 2) t+2 3 = = −→ = 2 t −1 (t − 1)(t + 1) t + 1 t→1 2
3.149.
t2 + 3t + 2 (t + 1)(t + 2) t+2 1 = = −→ − 2 t −t−2 (t + 1)(t − 2) t − 2 t→−1 3
3.154.
√ B˝ ov´ıts¨ uk a t¨ ortet x + 1-gyel (a sz´aml´al´o gy¨oktelen´ıt´ese”). ” √ √ √ x−1 ( x − 1)( x + 1) x−1 1 1 √ √ = = =√ −→ x−1 (x − 1)( x + 1) (x − 1)( x + 1) x + 1 x→1 2
´ s f¨ ´nyek hata ´ re ´rte ´ke, folytonossa ´ ga – Megolda ´ sok 247 3. Valo uggve
3.155.
A t = 1 + x2 helyettes´ıt´est elv´egezve ´es az el˝oz˝o feladat eredm´eny´et felhaszn´ alva: √ √ 1 + x2 − 1 t−1 1 = lim lim = t→1 t − 1 x→0 x2 2 Helyettes´ıt´es n´elk¨ ul, gy¨oktelenit´essel”: ” √ √ √ 2 x2 1+x −1 1 + x2 − 1 1 + x2 + 1 √ √ = · = = 2 2 x x 1 + x2 + 1 x2 ( 1 + x2 + 1) 1 1 =√ −→ 1 + x2 + 1 x→0 2
3.156.
Mivel a sin x p´ aratlan f¨ uggv´eny, ez´ert el´eg a jobboldali” hat´ar´ert´eket ” π kisz´ amolni. Ha 0 < x < , akkor 2 0 < sin x < x < tg x Osszuk el az egyenl˝ otlens´egeket a pozit´ıv sin x-szel: 1<
1 x < sin x cos x
Mivel a szerepl˝ o kifejez´esek mind pozit´ıvak, vehetj¨ uk az egyenl˝otlens´egek reciprokait: sin x cos x < <1 x Tudjuk, hogy lim cos x = 1, mert a cos x f¨ uggv´eny folytonos a 0-ban. x→0
Ez´ert alkalmazhat´ o a rend˝or-szab´aly: lim
x→0
3.157.
sin x = 1. x
B˝ ov´ıts¨ uk a t¨ ortet 1 + cos x-szel: (1 − cos x)(1 + cos x) sin2 x 1 1 1 − cos x = = · → x2 x2 (1 + cos x) x2 1 + cos x 2
3.162.
tg 2x tg 2x sin 2x 2 sin t 2 = ·2= · = · −→ 2. x 2x 2x cos 2x t cos t t→0 Itt felhaszn´ altuk, hogy t = 2x → 0 ha x → 0.
´ s f¨ ´nyek hata ´ re ´rte ´ke, folytonossa ´ ga – Megolda ´ sok 248 3. Valo uggve
3.167.
Osszuk el a sz´ aml´ al´ ot ´es a nevez˝ot a nevez˝o nagys´agrendj´evel, x-szel. ∞ Ezzel megsz¨ untetj¨ uk a hat´ar´ert´ek kritikuss´ag´at”, a esetet. Ha x > ” ∞ 0, akkor 1 2x − 7 + 2x2 − 7x + 1 x √ =r → ∞, ha x → ∞. x2 + 1 + 1 1 1 1+ 2 + x x
3.172.
3.176.
3.180.
A −∞-ben ugyanezt a hat´ar´ert´eket kapjuk, ha negat´ıv x eset´en nagy” s´ agrendnek” a |x|-szet v´alasztjuk. √ 1 x √ 2 + 2 2 x + x−1 0+0 x x = =0 → 7 3x − 7 3−0 3− x 7 1 2− + 2 2x2 − 7x + 1 x x √ =r →2 x4 + 1 + 1 1 1 1+ 4 + 2 x x lim−
3 3 = − = −∞, x−2 0
lim+
4 4 = lim− =∞ 2 (x − 7) x→7 (x − 7)2
x→2
3.184.
x→7
3.190.
Legyen a =
√ k
lim+
x→2
3 = ∞. x−2
e > 1.
x k xk = → 0. ex ax Ez az eredm´eny ´ altal´ anosabban azt jelenti, hogy az exponenci´alis f¨ uggv´eny minden polinomn´al gyorsabban tart a v´egtelenbe. 3.191.
Vezess¨ uk be a t = ln x helyettes´ıt´est. Ekkor √ k ´es ez´ert
x=
√ k
et =
t √ k e = at ,
ln x t lim √ = lim t = 0. k t→∞ a x
x→∞
Eszerint teh´ at a logaritmus-f¨ uggv´eny minden gy¨ok¨os kifejez´esn´el lassabban tart a v´egtelenbe.
´ s f¨ ´nyek hata ´ re ´rte ´ke, folytonossa ´ ga – Megolda ´ sok 249 3. Valo uggve
3.196.
Legyen p´eld´ aul f (x) =
x2 1
ha x ∈ Q ha x ∈ /Q
Ennek a f¨ uggv´enynek az x = −1-ben ´es az x = 1-ben van hat´ar´ert´eke, de m´ asutt nincs. 3.198.
Legyen p > 0 egy (pozit´ıv) peri´odus, a ´es b pedig k´et olyan val´os sz´am, amelyre f (a) 6= f (b). Ekkor xn = a + n · p → ∞, f (a) = f (xn ) → f (a), yn = b + n · p → ∞, f (b) = f (yn ) → f (b). Az ´ atviteli elv szerint lim f (x) nem l´etezik. x→∞
3.203.
P =⇒ Q: A szorz´ asi szab´aly szerint lim f 2 (x) =
x→∞
lim f (x) · lim f (x) = 5 · 5 = 25.
x→∞
x→∞
Q =⇒ 6 P: Legyen p´eld´aul f (x) = −5. 3.206.
(a) an = sin(nπ) = 0 → 0. (b) Az f (x) = sin x f¨ uggv´eny nem konstans periodikus f¨ uggv´eny, ez´ert nincs hat´ ar´ert´eke a v´egtelenben (l´asd a 3.198. feladatot). 1 (c) an = = 0, ha n > 1, ez´ert an → 0. n (d) Mivel lim [x] = 0 6= −1 = lim [x], ez´ert az f (x) = [x] (x eg´eszx→0+
x→0−
r´esze) f¨ uggv´enynek nincs hat´ar´ert´eke a 0-ban.
3.208.
ha valamely n-re x = 1/n . k¨ ul¨onben 1 = 5 → 5. Ennek a f¨ uggv´enynek nincs hat´ar´ert´eke 0-ban, de f n
P =⇒ 6 Q: Legyen p´eld´aul f (x) =
5 0
1 Q =⇒ P: Az ´ atviteli elv szerint, mivel → 0 ´es lim f (x) = 5, ez´ert x→0 n 1 f → 5. n
´ s f¨ ´nyek hata ´ re ´rte ´ke, folytonossa ´ ga – Megolda ´ sok 250 3. Valo uggve
3.212.
P =⇒ Q: Az ´ atviteli elv szerint ez tetsz˝oleges f¨ uggv´eny eset´en is igaz. Q =⇒ P? Ha az f f¨ uggv´eny monoton ((c) eset), akkor van (v´eges vagy v´egtelen) hat´ ar´ert´eke a v´egtelenben ´es akkor az ´atviteli elv miatt ez csak 0 lehet. A t¨ obbi esetben nem igaz a k¨ovetkeztet´es: legyen f (x) = sin(πx). Ez egy folytonos ´es korl´atos (nem konstans) periodikus f¨ uggv´eny ´es nincs hat´ ar´ert´eke a v´egtelenben. De minden n-re f ((n) = 0.
3.3 Folytonos fu enyek ¨ ggv´ 3.216.
(a) Ez a f¨ uggv´eny a D(x) Dirichlet-f¨ uggv´eny, sehol sem folytonos, s˝ot hat´ ar´ert´eke sincs. Ugyanis tetsz˝oleges a ∈ R eset´en van olyan xn ∈ Q ´es yn ∈ / Q sorozat, amelyre a 6= xn , a 6= yn , xn → a ´es yn → a. De ´ıgy D(xn ) → 1 ´es D(yn ) → 0. Az ´atviteli elv miatt ez´ert a-ban nincs hat´ar´ert´eke a D(x) f¨ uggv´enynek. (b) f (x) folytonos a 0-ban (de m´asutt nem). Legyen ugyanis ε > 0 tetsz˝ oleges. δ = ε. Ha |x − 0| = |x| < δ, akkor |f (x) − f (0)| = |f (x)| = |x| < ε = δ.
3.221.
(a) A h = f + g f¨ uggv´eny nem folytonos 3-ban. Indirekt m´odon, ha az lenne, akkor a m˝ uveleti szab´alyok miatt a g = h − f is folytonos lenne. (b) f · g lehet folytonos 3-ban, de csak u ´gy, ha f (3) = 0. Legyen p´eld´ aul f (x) = 0 ´es g(x) = D(x) a Dirichlet-f¨ uggv´eny.
3.224.
3.226. 3.229.
x2 − 4 f¨ uggv´eny az x = −2 kiv´etel´evel minden¨ utt folytonos. Az x+2 2 x −4 x = −2-ben megsz¨ untethet˝o szakad´asa van, lim = −4. x→−2 x + 2 Az
Az
√
x f¨ uggv´eny folytonos, ha x > 0. A 0-ban jobbr´ol folytonos. 2 x +2 ha x ≥ 0 Az f (x) = f¨ uggv´eny pontosan akkor folytonos mx + c ha x < 0 a 0-ban, ha balr´ ol is ´es jobbr´ol is folytonos. Az f (x) jobbr´ol”, azaz ” x ≥ 0 eset´en megegyezik az x2 + 2 f¨ uggv´ennyel, amelyik minden¨ utt, teh´ at 0-ban is folytonos. Az f (x) f¨ uggv´eny x < 0 eset´en megegyezik az mx + c f¨ uggv´ennyel, amelynek baloldali” hat´ar´ert´eke 0-ban c. Ez´ert teh´at az f f¨ uggv´eny ” pontosan akkor folytonos 0-ban, ha 2 = f (0) = c.
´ s f¨ ´nyek hata ´ re ´rte ´ke, folytonossa ´ ga – Megolda ´ sok 251 3. Valo uggve
sin x ha x 6= 0 f¨ uggv´eny pontosan akkor folytonos a x c ha x = 0 0-ban, ha itt van hat´ ar´ert´eke ´es az megegyezik a helyettes´ıt´esi ´ert´ekkel. (
3.230.
Az f (x) =
lim f (x) = lim
x→0
x→0
sin x = 1 ´es f (0) = c. x
´Igy teh´ at a c = 1 esetben lesz a f¨ uggv´eny folytonos a 0-ban. 3.233.
Legyen p(x) tetsz˝ oleges harmadfok´ u polinom. El´eg azt az esetet vizsg´ alni, amikor p(x) f˝ oegy¨ utthat´oja (az x3 -¨os tag egy¨ utthat´oja) pozit´ıv. De akkor lim p(x) = ∞, lim p(x) = −∞. x→∞
x→−∞
Ez´ert a p(x) f¨ uggv´eny biztosan felvesz pozit´ıv ´ert´eket is (valahonnan kezdve p(x) > 0) ´es negat´ıv ´ert´eket is. De akkor a Bolzano-t´etel szerint a 0-t is felveszi ´ert´ekk´ent. 3.236.
Legyen h(x) = f (x) − g(x). A h f¨ uggv´eny folytonos [a, b]-ben, h(a) ≥ 0, h(b) ≤ 0. A Bolzano-t´etel szerint van olyan c ∈ [a, b], amelyre h(c) = f (c) − g(c) = 0.
3.237.
Legyen most h(x) = g(x)−f (x). Ez a h(x) f¨ uggv´eny pozit´ıv ´es folytonos [a, b]-n. A Weierstrass-t´etel szerint a h(x)-nek van minimuma, azaz van olyan c ∈ [a, b], hogy minden x ∈ [a, b] eset´en 0 < m = h(c) ≤ h(x) = g(x) − f (x).
3.242.
P =⇒ 6 Q: Legyen p´eld´aul f (x) =
x2 2
ha x ∈ (1, 2) ha x = 1 vagy x = 2
Q =⇒ P: Az f f¨ uggv´eny maximuma fels˝o korl´at, minimuma pedig als´o korl´ at. 3.245.
Igen, p´eld´ aul az f (x) = x f¨ uggv´eny.
3.249.
Az [x] f¨ uggv´eny monoton n¨ov˝o, ez´ert minden korl´atos z´art intervallumon van maximuma, a jobb v´egpontban felvett ´ert´ek. Teh´at max {[x] : x ∈ [77, 888]} = [888] = 888.
´ s f¨ ´nyek hata ´ re ´rte ´ke, folytonossa ´ ga – Megolda ´ sok 252 3. Valo uggve
3.250.
Az f (x) = {x} f¨ uggv´enynek nincs maximuma egyetlen olyan [a, b] intervallumon sem, amelynek a hossza legal´abb 1, ugyanis sup {f (x) : x ∈ [a, b]} = sup {f (x) : x ∈ [a, a + 1]} = = sup {f (x) : x ∈ [0, 1]} = 1, mivel a t¨ ortr´esz x f¨ uggv´eny 1 szerint periodikus. M´asr´eszt f (x) = {x} = 6 1.
3.254.
Van ilyen f¨ uggv´eny, m´eg folytonos 0 3x − 1 f (x) = 1
is: ha 0 < x < 1/3 ha 1/3 ≤ x ≤ 2/3 ha 2/3 < x < 1
3.257.
Van ilyen f¨ uggv´eny. A 3.254. feladat megold´as´aban szerepl˝o f¨ uggv´eny folytonos.
3.258.
Nincs ilyen f¨ uggv´eny. Indirekt m´odon tegy¨ uk fel, hogy f (x) folytonos a [0, 1] z´ art intervallumon ´es ´ert´ekk´eszlete a (0, 1) ny´ılt intervallum. A Weierstrass-t´etel szerint az f (x) f¨ uggv´enynek van maximuma. Legyen ez a maximum M . A feltev´es miatt M < 1 ´es mivel M maxim´alis ´ert´ek, ez´ert f (x) ∈ / (M, 1). Ez az ´ all´ıt´ as sokkal ´ altal´anosabban is bizony´ıthat´o, l´asd a 3.260. feladatot.
3.260.
Legyen az f f¨ uggv´eny folytonos az [a, b] intervallumon. A Weierstrasst´etel szerint f -nek van minimuma, legyen ez m ´es maximuma, legyen ez M . Eszerint R(f ) ⊂ [m, M ]. M´ asr´eszt a Bolzano-t´etel szerint az f f¨ uggv´eny m ´es M k¨oz¨ott minden ´ert´eket felvesz, azaz R(f ) ⊃ [m, M ].
3.263.
Legyen xn =
π 3π + 2πn, yn = + 2πn. Ha n > 100, akkor 2 2
xn sin xn = xn > 2πn > 100
´es
yn sin yn = −yn < −100.
A Bolzano-t´etel szerint minden n > 100 eset´en van olyan zn ∈ [xn , yn ], amelyre zn sin zn = 100.
´ s f¨ ´nyek hata ´ re ´rte ´ke, folytonossa ´ ga – Megolda ´ sok 253 3. Valo uggve
Mivel az [xn , yn ] intervallumok diszjunktak, ez´ert a zn gy¨ok¨ok k¨ ul¨onb¨ oznek. 3.271.
Az f (x) =
1 f¨ uggv´eny x
(a) nem egyenletesen folytonos (0, ∞)-en. Megmutatjuk, hogy az ε = 1-hez nincs j´ o” δ > 0. Tetsz˝oleges δ > 0 eset´en v´alasszunk olyan ” n ∈ N+ pozit´ıv eg´esz sz´amot, amelyre 1 1 − < δ. n n+1 Ekkor
1 f 1 − f = 1 ≮ ε. n n+1
(b) egyenletesen folytonos [1, 2]-n a Heine-Borel t´etel szerint. (c) egyenletesen folytonos (1, 2)-n, mivel a b˝ovebb [1, 2] halmazon is egyenletesen folytonos. (d) egyenletesen folytonos [1, ∞)-en. Legyen ε > 0 tetsz˝oleges, δ = ε. Ha x, y ≥ 1 ´es |x − y| < δ, akkor 1 1 |x − y| |f (x) − f (y)| = − = ≤ |x − y| < δ = ε. x y xy
´ lsza ´ m´ıta ´s e ´s alkalmaza ´ sai – Megolda ´ sok 4. A differencia
254
A differenci´ alsz´ am´ıt´ as ´ es alkalmaz´ asai 4.1 A deriv´ alt fogalma 4.2.
f (x) − f (3) = 4, akkor a deriv´alt defin´ıci´oja szerint az f (x) x−3 f¨ uggv´eny deriv´ alhat´ o 3-ban ´es f 0 (3) = 4. A 4.2. ´all´ıt´as szerint teh´at f (x) folytonos 3-ban.
Ha lim
x→3
4.3. 4.5.
4.10.
Nem k¨ ovetkezik, p´eld´ aul ha f (x) = |x − 3|. √ Ez a hat´ ar´ert´ek a x f¨ uggv´eny deriv´altj´at adja meg tetsz˝oleges x > 0 pontban. √ √ √ √ √ √ x+h− x x+h− x x+h+ x 1 1 = ·√ √ =√ √ −→ √ h h x+h+ x x + h + x h→0 2 x Legyen x0 6= 0 tetsz˝ oleges. 1/x − 1/x0 x0 − x 1 1 = =− −→ − x − x0 xx0 (x − x0 ) xx0 x→x0 x20 1 1 f¨ uggv´eny deriv´altja − 2 . x x 2 Az f (x) = x − 1 f¨ uggv´eny minden¨ utt folytonos, az 1 ´es a −1 kiv´etel´evel deriv´ alhat´ o, mert ilyenekb˝ol van ¨osszerakva”, azaz alkalmazhatjuk ” a megfelel˝ o m˝ uveleti szab´alyokat. Megmutatjuk, hogy 1-ben a differenciah´ anyadosnak balr´ ol m´as a hat´ar´ert´eke, mint jobbr´ol, ´es ez´ert nem deriv´ alhat´ o. A k¨ ovetkez˝o kifejez´esekben feltessz¨ uk, hogy x > 0. (Mi´ert tehet˝ o fel?) 2 x − 1 f (x) − f (1) |x − 1| = = (x + 1) = x−1 x−1 x−1 2 ha x → 1+ = (x + 1) sgn(x − 1) → −2 ha x → 1− Teh´ at az
4.14.
Mivel a f¨ uggv´eny p´ aros, ez´ert −1-ben sem deriv´alhat´o. 4.18.
El˝ obb megvizsg´ aljuk, hogy milyen b ´es c eset´en lesz folytonos a (1 − x)(2 − x) ha x ≥ −3 h(x) = bx + c ha x < −3
´ lsza ´ m´ıta ´s e ´s alkalmaza ´ sai – Megolda ´ sok 4. A differencia
255
f¨ uggv´eny −3-ban. lim h(x) = lim (1 − x)(2 − x) = 20, x→−3
x→−3+
lim h(x) = lim (bx + c) = −3b + c
x→−3−
x→−3
´Igy teh´ at a f¨ uggv´eny pontosan akkor folytonos −3-ban, ha −3b + c = 20 A h(x) f¨ uggv´eny akkor deriv´alhat´o −3-ban, ha itt a differenciah´anyados bal ´es jobboldali hat´ ar´ert´eke megegyezik. Mivel a h1 (x) = (1−x)(2−x) ´es a h2 (x) = bx + c f¨ uggv´eny deriv´alhat´o −3-ban, ez akkor teljes¨ ul, ha h01 (−3) = h02 (−3). h01 (x) = ((1−x)(2−x))0 = −(2−x)−(1−x) = 2x−3,
h01 (−3) = −9,
h02 (x) = (bx + c)0 = b Teh´ at a h(x) f¨ uggv´eny pontosan akkor deriv´alhat´o −3-ban, ha folytonos, azaz −3b + c = 20 ´es b = −9. A k´et egyenletb˝ol b = −9,
c = −7
Megjegyz´ es: A feladat val´oj´aban azt k´erdezi, hogy melyik egyenessel folytathat´ o balra” deriv´alhat´o m´odon a h1 (x) = (1−x)(2−x) f¨ uggv´eny ” a −3-ban. Az ´erint˝ oegyenes defin´ıci´oja szerint ez az egyenes csak az ´erint˝ o lehet, azaz bx + c ≡ h01 (−3)(x + 3) + h1 (−3) 4.19.
Az x = 0-´ at kiv´eve f (x) deriv´alhat´o ´es f 0 (x) folytonos, mert alkalmazhatjuk a m˝ uveleti szab´alyokat. Mivel 0 k¨or¨ ul f (x) egy 0-hoz tart´o ´es egy korl´ atos f¨ uggv´eny szorzata, ez´ert lim f (x) = 0 = f (0) (l´asd 3.2. ). x→0
´Igy teh´ at 3.3. szerint f (x) folytonos 0-ban is. Az f (x) f¨ uggv´eny 0-ban nem deriv´alhat´o, ugyanis a g(x) =
f (x) − f (0) 1 = sin x x
differenciah´ anyadosnak nincs hat´ar´ert´eke 0-ban. 1 Az ´ abr´ an j´ ol l´ athat´ o, hogy a g(x) = sin f¨ uggv´enyt beszor´ıtottuk” az ” x x ´es −x egyenesek k¨ oz´e.
´ lsza ´ m´ıta ´s e ´s alkalmaza ´ sai – Megolda ´ sok 4. A differencia
4.20.
256
Az f (x) f¨ uggv´eny minden¨ utt deriv´alhat´o. Az x = 0-´at kiv´eve ez nyilv´ anval´ o. Megmutatjuk, hogy x = 0-ban a differenciah´anyados hat´ar´ert´eke 0. f (x) − f (0) 1 lim = lim x sin = 0, x→0 x→0 x x 1 mivel a g(x) = x sin f¨ uggv´eny 0 k¨or¨ ul egy 0-hoz tart´o ´es egy korl´atos x f¨ uggv´eny szorzata (l´ asd 3.2. ). A deriv´altf¨ uggv´eny 1 1 2x sin − cos ha x 6= 0 x x 0 f (x) = 0 ha x = 0 folytonos, ha x 6= 0, de nincs hat´ar´ert´eke ´es ez´ert nem is folytonos 0-ban. 1 Az ´ abr´ an j´ ol l´ athat´ o, hogy a g(x) = sin f¨ uggv´enyt beszor´ıtottuk” az ” x 2 2 x ´es −x parabol´ ak k¨ oz´e.
4.25.
Az f (x) f¨ uggv´eny az 1 ´es a 2 kiv´etel´evel folytonosan deriv´alhat´o. Mindk´et kiv´eteles pontban folytonos. Sz´amoljuk ki a k¨oz´eps˝o r´esz”, a ” g(x) = (1 − x)(2 − x) = x2 − 3x + 2 deriv´altj´at ´es ´erint˝oegyeneseit az 1-ben ´es 2-ben: g 0 (x) = 2x − 3, e1 (x) = 1 − x,
g 0 (1) = −1,
g 0 (2) = 1
e2 (x) = x − 2 = −(2 − x).
´ lsza ´ m´ıta ´s e ´s alkalmaza ´ sai – Megolda ´ sok 4. A differencia
257
Mivel mindk´et pontban a g(x) f¨ uggv´eny az ´erint˝ovel folytat´odik”, ez´ert ” ezeken a helyeken is folytonosan deriv´alhat´o az f (x) f¨ uggv´eny.
4.31.
Ha f (x) = sin x, akkor sin x cos x f 0 (x) = cos x, f 00 (x) = − sin x, f (n) (x) = − sin x − cos x
4.32.
ha ha ha ha
n = 4k n = 4k + 1 n = 4k + 2 n = 4k + 3
Ha f (x) = cos x, akkor cos x − sin x f 0 (x) = − sin x, f 00 (x) = − cos x, f (n) (x) = − cos x sin x
ha ha ha ha
n = 4k n = 4k + 1 n = 4k + 2 n = 4k + 3
4.2 Deriv´ al´ asi szab´ alyok 4.33.
P =⇒ Q: Mivel f (x) = f (−x), ez´ert f 0 (x) = f 0 (−x)·(−1) = −f 0 (−x). Q =⇒ P: Legyen g(x) = f (−x). Mivel f 0 (x) = −f 0 (−x), ez´ert g 0 (x) = −f 0 (−x) = f 0 (x). Eszerint f ´es g deriv´altja minden¨ utt megegyezik, ez´ert az integr´ alsz´ am´ıt´as alapt´etele szerint van olyan c ∈ R, amelyre g(x) = f (x) + c, azaz f (−x) = f (x) + c. Mivel ez minden x-re teljes¨ ul, ez´ert x = 0-ra alkalmazva f (0) = f (0) + c
4.34.
⇐⇒
c = 0.
P =⇒ Q: Mivel f (x) = −f (−x), ez´ert f 0 (x) = −f 0 (−x) · (−1) = f 0 (−x). Q =⇒ 6 P: Legyen p´eld´aul f (x) = x + 1.
´ lsza ´ m´ıta ´s e ´s alkalmaza ´ sai – Megolda ´ sok 4. A differencia
258
Ha m´eg azt is feltessz¨ uk, hogy f (0) = 0, akkor m´ar igaz, hogy f p´aratlan: Legyen g(x) = −f (−x). Mivel f 0 (x) = f 0 (−x), ez´ert g 0 (x) = f 0 (−x) = f 0 (x). Eszerint f ´es g deriv´altja minden¨ utt megegyezik, ez´ert az integr´ alsz´ am´ıt´ as alapt´etele szerint van olyan c ∈ R, amelyre g(x) = f (x) + c, azaz − f (−x) = f (x) + c. Mivel ez minden x-re teljes¨ ul, ez´ert x = 0-ra alkalmazva 0 = f (0) = f (0) + c 4.38.
⇐⇒
c = 0.
P =⇒ Q: f (a + h) − f (a − h) = h→0 2h 1 f (a + h) − f (a) f (a) − f (a − h) = lim + = 2 h→0 h h 1 f (a + h) − f (a) f (a) − f (a − h) = lim + lim = h→0 2 h→0 h h 1 = (f 0 (a) + f 0 (a)) = f 0 (a). 2 lim
Q =⇒ 6 P: Legyen p´eld´aul a = 0, f (x) = |x|. 4.42.
Ellen˝ orizz¨ uk, hogy az adott pont rajta van-e a g¨orb´en! Ehhez az kell, hogy a f¨ uggv´eny ´ert´eke az 1 helyen ´eppen 6 legyen: f (1) = 13 − 2 · 12 + 3 · 1 + 4 = 6. Az ´erint˝ oegyenes egyenlete y = m(x−x0 )+y0 , ahol most x0 = 1, y0 = 6 ´es m = f 0 (1). A f¨ uggv´eny deriv´ altja f 0 (x) = 3x2 − 4x + 3. Innen m = f 0 (1) = 2. Teh´ at az ´erint˝ o egyenlete az adott pontban:
4.56.
y = 2(x − 1) + 6, vagy m´ask´epp fel´ırva y = 2x + 4. r q √ Legyen f (x) = x x x. Ekkor Df = [0, ∞) ´es Df 0 = (0, ∞). ´Irjuk fel az f (x) f¨ uggv´enyt t¨ortkitev˝os” alakban: ” r q 1/2 1/2 √ 1/2 f (x) = x x x = x · x · (x) = =
1/2 1/2 1/2 x · x3/2 = x7/4 = x7/8
´ lsza ´ m´ıta ´s e ´s alkalmaza ´ sai – Megolda ´ sok 4. A differencia
259
´Igy teh´ at f 0 (x) = r 4.57.
Legyen f (x) =
x+
0
q
f (x) = q 2 x+ 4.62.
Legyen f (x) =
x+
1 p
√
7 −1/8 7 x = √ 8 88x
x. Ekkor Df = [0, ∞) ´es Df 0 = (0, ∞). 1
x+
√
x
1+ p √ 2 x+ x
1 1+ √ 2 x
!
sin x − x cos x . Az ´ertelmez´esi tartom´any cos x + x sin x
Df = {x : cos x + x sin x 6= 0} = {x : ctg x 6= −x} . Alkalmazzuk a h´ anyados deriv´al´asi szab´aly´at: f 0 (x) =
(sin x − x cos x)0 (cos x + x sin x) − (sin x − x cos x)(cos x + x sin x)0 . (cos x + x sin x)2
Kisz´ am´ıtjuk a sz´ aml´ al´ oban szerepl˝o deriv´altakat az ¨osszeg ´es a szorzat deriv´ al´ asi szab´ aly´ at felhaszn´alva: (sin x − x cos x)0 = cos x − cos x + x sin x = x sin x (cos x + x sin x)0 = − sin x + sin x + x cos x = x cos x Ezeket behelyettes´ıtve: f 0 (x) =
x sin x(cos x + x sin x) − (sin x − x cos x)x cos x x2 = (cos x + x sin x)2 (cos x + x sin x)2
A deriv´ altf¨ uggv´eny ´ertelmez´esi tartom´anya Df 0 = Df . 4.63.
Legyen f (x) = 4x3 tg(x2 + 1). Az ´ertelmez´esi tartom´any r n πo π 2 Df = x : x + 1 6= (2n + 1) = R \ ± (2n − 1) − 1 : n ∈ N . 2 2 f 0 (x) = 12x2 tg(x2 + 1) + 4x3 (tg(x2 + 1))0 A l´ ancszab´ aly szerint (tg(x2 + 1))0 =
1 2x · 2x = . cos2 (x2 + 1) cos2 (x2 + 1)
´ lsza ´ m´ıta ´s e ´s alkalmaza ´ sai – Megolda ´ sok 4. A differencia
260
´Igy teh´ at f 0 (x) = 12x2 tg(x2 + 1) +
2x . cos2 (x2 + 1)
A deriv´ altf¨ uggv´eny ´ertelmez´esi tartom´anya Df 0 = Df . 4.68.
f (x) = xx = ex ln x ,
Df = Df 0 = (0, ∞).
0
f 0 (x) = (xx ) = ex ln x
4.69.
f (x) =
√ x
x = x1/x = e
ln x x
f 0 (x) =
4.74.
f (x) = log4 x =
ln x , ln 4
,
0
= ex ln x (ln x + 1) = xx (ln x + 1).
Df = Df 0 = (0, ∞).
0 ln x 0 √ 1 − ln x √ x x x = e x x = x2 Df = Df 0 = (0, ∞). 0
0
f (x) = (log4 x) =
4.75.
f (x) = logx 4 =
ln 4 , ln x 0
0 =
1 x ln 4
Df = Df 0 = (0, 1) ∪ (1, ∞). 0
f (x) = (logx 4) =
4.84.
ln x ln 4
ln 4 ln x
0 =−
ln 4 x ln2 x
sh x − x ch x . Mivel a nevez˝o sehol sem 0, Df = R. ch x + x sh x Alkalmazzuk a h´ anyados deriv´al´asi szab´aly´at:
Legyen f (x) =
f 0 (x) =
(sh x − x ch x)0 (ch x + x sh x) − (sh x − x ch x)(ch x + x sh x)0 . (ch x + x sh x)2
Kisz´ am´ıtjuk a sz´ aml´ al´ oban szerepl˝o deriv´altakat az ¨osszeg ´es a szorzat deriv´ al´ asi szab´ aly´ at felhaszn´alva: (sh x − x ch x)0 = ch x − ch x − x sh x = −x sh x (ch x + x sh x)0 = sh x + sh x + x ch x = 2 sh x + x ch x
´ lsza ´ m´ıta ´s e ´s alkalmaza ´ sai – Megolda ´ sok 4. A differencia
261
Ezeket behelyettes´ıtve: f 0 (x) = =
−x sh x(ch x + x sh x) − (sh x − x ch x)(2 sh x + x ch x) = (ch x + x sh x)2 x2 − 2 sh2 x (ch x + x sh x)2
A deriv´ altf¨ uggv´eny ´ertelmez´esi tartom´anya Df 0 = Df = R. 4.85.
Legyen f (x) = 4x3 th(x2 + 1). Az ´ertelmez´esi tartom´any Df = R, mert ch x sehol sem 0. f 0 (x) = 12x2 th(x2 + 1) + 4x3 (th(x2 + 1))0 A l´ ancszab´ aly szerint (th(x2 + 1))0 =
1 2x · 2x = 2 2 . ch2 (x2 + 1) ch (x + 1)
´Igy teh´ at f 0 (x) = 12x2 th(x2 + 1) +
2x . ch (x2 + 1) 2
A deriv´ altf¨ uggv´eny ´ertelmez´esi tartom´anya Df 0 = Df = R. 4.90.
f (x) = log3 x · cos x,
Df = Df 0 = (0, ∞). f 0 (x) =
4.91.
f (x) =
sin x + 2 ln x √ , x+1
Df = Df 0 = (0, ∞).
cos x + f 0 (x) =
4.96.
f (x) = ln(sin x),
cos x − log3 x · sin x x ln 3
2 x
√ sin x + 2 ln x √ · ( x + 1) − 2 x √ ( x + 1)2
Df = Df 0 = {x : sin x > 0}. f 0 (x) =
cos x = ctg x sin x
´ lsza ´ m´ıta ´s e ´s alkalmaza ´ sai – Megolda ´ sok 4. A differencia
262
n o π Df = Df 0 = x : x 6= (2n + 1) , tg x > 0 . 2 tg x ln x ln x·tg x 0 tg x 0 tg x 0 = e =x f (x) = x + x cos2 x
4.97.
f (x) = xtg x = eln x·tg x ,
4.100.
Els˝ o l´ep´esk´ent keress¨ uk meg azt a c helyet, ahol a f¨ uggv´eny ´ert´eke a = 2, azaz az inverz f¨ uggv´eny ´ert´ek´et a a = 2 helyen. Ezt pr´ob´algat´assal kaphatjuk: c = 1. Mivel a (0, ∞) f´elegyenesen az f (x) szigor´ uan n˝o, mert a deriv´ alt pozit´ıv, ez´ert csak ezen a helyen lesz a f¨ uggv´eny ´ert´eke 2. Az inverz f¨ uggv´eny deriv´altj´ar´ol sz´ol´o k´eplet szerint (f −1 )0 (2) =
1 . f 0 (1)
A f¨ uggv´eny deriv´ altja f 0 (x) = 5x4 + 2x ´es ´ıgy f 0 (1) = 7. Teh´at (f −1 )0 (2) =
1 . 7
Megjegyz´es: Meg kell azt is vizsg´alni, hogy van-e inverze az adott f¨ uggv´enynek. A deriv´altf¨ uggv´eny vizsg´alat´ab´olp kider¨ ul, hogy az eg´esz sz´ amegyenesen nem invert´alhat´o f (x), hiszen 3 −2/5-ben lok´alis szigor´ u maximuma, 0-ban minimuma van, ez´ert nem szigor´ uan monoton. Mivel m´ınusz v´egtelenben v´egtelenhez tart a f¨ uggv´eny, 0-ban pedig 0 = f (0) < 2, ez´ert f (x) = 2 valahol −∞ ´es 0 k¨oz¨ott. Viszont az 1-et tartalmaz´ o (0, ∞) f´elegyenesen f (x) szigor´ uan monoton n¨ov˝o, ez´ert itt invert´ alhat´ o. 4.104.
Mivel arctg x a tg x f¨ uggv´eny inverze, ez´ert (arctg x)0 =
1 1 = cos2 (arctg x) = . 2 tg (arctg x) 1 + tg (arctg x) 0
Mivel tg(arctg x) = x, ez´ert (arctg x)0 = 4.108.
1 1 + x2
f (x) = arctg(sin x),
Df 0 = R.
f 0 (x) =
1 cos x · cos x = 1 + sin2 x 1 + sin2 x
´ lsza ´ m´ıta ´s e ´s alkalmaza ´ sai – Megolda ´ sok 4. A differencia
4.109.
f (x) = tg(arcsin x), f 0 (x) = =
Df 0 = (−1, 1).
1 cos2 (arcsin x) (1 −
1 √
x2 )
263
·√
1 1 1 = ·√ = 2 2 1 − sin (arcsin x) 1−x 1 − x2
1 − x2
4.114. 1 π √ 2 sin x − 2 π 2 sin x − 1 2 sin x − sin 6 2 3 = · · cos = = → π π 6x − π 6 6 6 6 6 x− x− 6 6 4.119.
1 lim n cos − 1 n→∞ n
cos
= lim
n→∞
1 − cos 0 n = − sin 0 = 0 1/n
4.123. esin x
0
= cos x · esin x 00 0 esin x = cos x · esin x = (cos2 x − sin x)esin x
4.3 K¨ oz´ ep´ ert´ ekt´ etelek, L’Hospital szab´ aly 4.128.
Ha f (x) = arctg x,
g(x) = arctg
1+x ´es h(x) = f (x) − g(x), akkor 1−x
0 (1 − x) − (1 + x)(−1) 2 1+x = = , 1−x (1 − x)2 (1 − x)2 0 1 2 1+x 0 g (x) = arctg = = · 2 1−x (1 − x)2 (1 + x) 1+ (1 − x)2 2 1 = = . 2 2 (1 − x) + (1 + x) 1 + x2
Ez´ert h0 (x) = 0 minden¨ utt, ahol h(x) deriv´alhat´o! De mivel g(x) 1-ben nem ´ertelmes, ez´ert h(x) sem, ´es ´ıgy h(x) nem is deriv´alhat´o 1 ben. π h(0) = arctg 0 − arctg 1 = − , 4
´ lsza ´ m´ıta ´s e ´s alkalmaza ´ sai – Megolda ´ sok 4. A differencia
lim h(x) = lim arctg x − lim arctg
x→∞
x→∞
x→∞
264
1+x π π 3π = + = . 1−x 2 4 4
Teh´ at h(x) nem konstans, mert h(0) 6= h(∞) = lim h(x). Viszont az x→∞
integr´ alsz´ am´ıt´ as alapt´etele alkalmazhat´o a (−∞, 1) ´es (1, ∞) f´elegyenesekre. 4.129.
Legyen h(x) = f (x) − g(x). Ekkor h(x) folytonos [0, ∞)-n, h0 (x) > 0, ha x > 0, ez´ert a 4.8. t´etel szerint szigor´ uan monoton n˝o [0, ∞)-en. ´Igy teh´ at 0 ≤ h(0) = f (0) − g(0) < h(x) = f (x) − g(x), ha x > 0.
4.131.
Keress¨ uk meg az f (x) = x5 − 5x + 2 f¨ uggv´eny monoton szakaszait. f 0 (x) = 5(x4 − 1) = 5(x2 + 1)(x2 − 1), f 0 (x) > 0, ha x ∈ (−∞, −1) ∪ (1, ∞), ´es f 0 (x) < 0, ha x ∈ (−1, 1). Eszerint a f¨ uggv´eny −1-t˝ol balra ´es 1-t˝ol jobbra szigor´ uan n˝o, (−1, 1)ben pedig szigor´ uan cs¨ okken. lim f (x) = −∞, f (−1) = 6 > 0, f (1) = −2 < 0, lim f (x) = ∞
x→−∞
x→∞
A Bolzano t´etel szerint f (x)-nek van gy¨oke a h´arom diszjunkt ny´ılt intervallumon. A szigor´ u monotonit´as miatt mindegyik intervallumon pontosan egy gy¨ ok van, teh´at ¨osszesen h´arom. 4.138.
Mivel a hat´ ar´ert´ek ∞/∞ alak´ u, ez´ert alkalmazhatjuk a L’Hospital szab´ alyt. (ln x)0 lim = lim + x→0 (ctg x)0 x→0+
1 sin x x = − lim · sin x = 0. + 1 x x→0 − 2 sin x
ln x = 0. x→0 ctg x 1 A lim ctg x − hat´ar´ert´ek kritikus (∞ − ∞ alak´ u). ´Irjuk fel a x→0 x k¨ ul¨ onbs´eget h´ anyados alakban: Teh´ at lim+
4.143.
ctg x −
1 cos x 1 x cos x − sin x = − = . x sin x x x sin x
´ lsza ´ m´ıta ´s e ´s alkalmaza ´ sai – Megolda ´ sok 4. A differencia
265
Erre a h´ anyadosra alkalmazhatjuk a L’Hospital szab´alyt mert 0/0 alak´ u. cos x − x sin x − cos x (x cos x − sin x)0 = lim = x→0 x→0 (x sin x)0 sin x + x cos x sin x = − lim = 0. x→0 sin x + cos x x 1 Teh´ at lim ctg x − = 0. x→0 x lim
4.144.
Hozzuk az exponenci´ alis kifejez´est e alap´ ura: x1 1 ln(1+x) (1 + x) x = eln(1+x) =e x . Mivel lim
x→0
ln(1 + x) = 1 ´es az ex f¨ uggv´eny folytonos, ez´ert x 1
lim (1 + x) x = e1 = e.
x→0
1/x2 sin x hat´ar´ert´ek kritikus, mert 1∞ alak´ u. Alak´ıtsuk ´at A lim x→0 x 1/x a kifejez´est u ´gy, hogy alkalmazhassuk a lim (1 + x) = e nevezetes
4.145.
x→0
hat´ ar´ert´eket (l´ asd a 4.144. feladatot): sin x − x 1 x x3 sin x x2 sin x − x sin x − x = 1+ x x Ez az exponenci´ alis kifejez´es m´ar nem kritikus, mert az u ´j” alap e-hez ” tart. (Mi´ert?) Sz´ amoljuk ki az u ´j” kitev˝o hat´ar´ert´ek´et a L’Hospital ” szab´ aly seg´ıts´eg´evel (0/0 alak´ u): (sin x − x)0 1 cos x − 1 1 = lim =− . 3 0 2 x→0 (x ) 3 x→0 x 6 lim
Teh´ at lim
x→0
sin x − x 1 = − , ´es ez´ert 3 x 6 lim
x→0
1 sin x x2 1 = e−1/6 = √ . 6 x e
´ lsza ´ m´ıta ´s e ´s alkalmaza ´ sai – Megolda ´ sok 4. A differencia
4.148.
266
A hat´ ar´ert´ek ∞/∞, alak´ u, ez´ert alkalmazhatjuk a L’Hospital szab´alyt. 1 √ (ln x)0 2 x 2 x lim √ 0 = lim = lim = lim √ = 0. 1 x→∞ ( x) x→∞ x→∞ x x→∞ x √ 2 x ln x Teh´ at lim √ = 0. x→∞ x
4.4 Sz´ els˝ o´ ert´ ekkeres´ es 4.155.
Legyen f (x) = x3 − 12x. Az f (x) f¨ uggv´enynek ott lehet abszol´ ut sz´els˝ o´ert´eke (maximuma vagy minimuma) ahol a deriv´alt nulla, vagy pedig a z´ art intervallum v´egpontjaiban. Keress¨ uk meg a deriv´alt gy¨okeit: f 0 (x) = (x3 − 12x)0 = 3x2 − 12 = 0 A k´et gy¨ ok: x1 = −2 ´es x2 = 2. A [−10; 3] intervallum eset´en: f (−10) = −880,
f (−2) = 16,
f (2) = −16,
f (3) = −9
´Igy teh´ at a [−10; 3] intervallumon az f (x) = x3 −12x f¨ uggv´eny abszol´ ut minimuma −880 az x = −10 pontban, abszol´ ut maximuma pedig 16 az x = −2 pontban. A [0; 3] intervallum eset´en: f (0) = 0,
f (2) = −16,
f (3) = −9.
(Mivel a −2 nem esik bele a vizsg´alt intervallumba, ez´ert az itt felvett f¨ uggv´eny´ert´eket nem vessz¨ uk sz´am´ıt´asba!) ´Igy teh´ at a [0; 3] intervallumon az f (x) = x3 − 12x f¨ uggv´eny abszol´ ut minimuma −16 az x = 2 pontban, abszol´ ut maximuma pedig 0 az x = 0 pontban. 4.159.
Mivel csak a t´eglalap alakj´ara (oldalainak ar´any´ara) vagyunk k´ıv´ancsiak, feltehetj¨ uk, hogy a befoglal´o der´eksz¨og˝ u h´aromsz¨og ´atfog´oja 2. Az abra jel¨ ´ ol´eseit haszn´ alva, fejezz¨ uk ki x seg´ıts´eg´evel a keresett t´eglalap T (x) ter¨ ulet´et illetve k(x) ker¨ ulet´et. y = 1 − x, T (x) = 2xy = 2x(1 − x),
k(x) = 2(2x + y) = 2(1 + x).
´ lsza ´ m´ıta ´s e ´s alkalmaza ´ sai – Megolda ´ sok 4. A differencia
267
A felt´etelek szerint 0 ≤ x ≤ 1. Mivel k(x) monoton n¨ov˝o f¨ uggv´eny, ez´ert maximum´ at az x = 1 esetben veszi fel, ami egy elfajult t´eglalap (y = 0). A T (x) folytonos f¨ uggv´eny maximuma (l´asd Weierstrass-t´etel) nincs a sz´eleken, mert T (0) = T (1) = 0, ez´ert a maximum lok´alis maximum is, teh´ at itt T 0 (x) = 0 (l´ asd a 4.9. t´etelt).
1
T 0 (x) = 2[(1 − x) − x] = 2 − 4x = 0, 1 , 2 azaz a t´eglalap egyik (az ´abra szerint v´ızszintes) oldala k´etszerese a m´asiknak.
P x, y
x=
-1
0
1
T (x) = x(1 − x) f¨ uggv´eny maximuma a 2 sz´ amtani ´es m´ertani k¨ ozepek k¨oz¨otti egyenl˝otlens´eg szerint a (0, 1) in1 tervallumon akkor van, ha x = 1 − x, azaz x = . 2 Megjegyz´ es: Az f (x) =
4.163.
Jel¨ olje x a h´ aromsz¨ og egyik befog´oj´at ´es y a m´asikat, z pedig az ´atfog´ot. Akkor az ´ atfog´ o z = 10 − x, ´es a m´asik befog´o p √ √ y = (10 − x)2 − x2 = 100 − 20x = 2 25 − 5x, a h´ aromsz¨ og ter¨ ulete pedig T (x) =
√ 1 xy = x 25 − 5x. 2
Itt 0 ≤ x ≤ 5 lehet, ez´ert a feladatunk az, hogy megkeress¨ uk a T (x) folytonos f¨ uggv´eny abszol´ ut maximum´at a [0, 5] z´art intervallumon. A Weierstrass-t´etel szerint van maximum. Mivel T (x) ≥ 0, T (0) = T (5) = 0, ez´ert a maximumot a (0, 5) ny´ılt intervallumon veszi fel a T (x) f¨ uggv´eny. De akkor ez a maximum lok´alis maximum is, ez´ert a 4.9. t´etel szerint itt a deriv´alt nulla. Keress¨ uk meg a T 0 (x) gy¨okeit: T 0 (x) = √
5x 25 − 5x = √ 2 25 − 5x
√
5x 25 − 5x − √ =0 2 25 − 5x ⇐⇒
2(25 − 5x) = 5x
⇐⇒
x=
10 3
´ lsza ´ m´ıta ´s e ´s alkalmaza ´ sai – Megolda ´ sok 4. A differencia
268
Mivel a deriv´ altnak pontosan egy gy¨oke van, ez´ert a (lok´alis) maximum csak itt lehet. ´Igy teh´ at r 50 10 10 50 25 − max T = T = = √ . 3 3 3 3 3 Teh´ at a ter¨ ulet akkor maxim´alis, ha x=
10 , 3
√ 10 y = √ = x 3, 3
z=
20 = 2x. 3
Eszerint az adott felt´etel mellett annak a der´eksz¨og˝ u h´aromsz¨ognek a π ter¨ ulete maxim´ alis, amelyiknek a nagyobbik hegyessz¨oge = 60◦ , azaz 3 a szab´ alyos h´ aromsz¨ og fele. Megjegyz´ es: A T (x) f¨ uggv´enynek ugyanott van a maximuma, mint a f (x) = T 2 (x) = x2 (25 − 5x) f¨ uggv´enynek. Ennek a f¨ uggv´enynek a maximum´ at deriv´ al´ as n´elk¨ ul is kisz´amolhatjuk, ha u ¨gyesen” alkalmaz” zuk a sz´ amtani ´es m´ertani k¨ozepek k¨oz¨otti egyenl˝otlens´eget. Tekints¨ uk ugyanis az 2 5 x (25 − 5x) 2 h´ aromt´enyez˝ os szorzatot a (0, 5) intervallumon. Itt mindegyik t´enyez˝ o pozit´ıv, ¨ osszeg¨ uk pedig 25, nem f¨ ugg x-t˝ol. Ez´ert a szorzat akkor maxim´ alis, ha a t´enyez˝ok megegyeznek, azaz 5 x = 25 − 5x 2 4.168.
⇐⇒
15x = 50
⇐⇒
x=
10 . 3
A henger felsz´ıne ´es t´erfogata F = 2πR2 + 2πmR,
V = mR2 π.
A t´erfogat k´eplet´eb˝ ol fejezz¨ uk ki m-et ´es helyettes´ıts¨ uk be a felsz´ın k´eplet´ebe: V 2V . m= , F (R) = 2πR2 + 2 πR R Az F (R) f¨ uggv´eny a (0, ∞) ny´ılt f´elegyenesen van ´ertelmezve, ´es itt v´egig pozit´ıv, 0-hoz k¨ ozeli (kicsi), illetve ∞-hez k¨ozeli (nagy) R-ek eset´en F (R) ´ert´eke nagy”, ez´ert a keresett abszol´ ut minimum egyben lok´alis ” minimum is. Keress¨ uk meg teh´at az F (R) f¨ uggv´eny deriv´altj´anak a gy¨ okeit: r V 2V 3 V 0 . F (R) = 4πR − 2 = 0, azaz 2πR = 2 , R = R R 2π
´ lsza ´ m´ıta ´s e ´s alkalmaza ´ sai – Megolda ´ sok 4. A differencia
269
Teh´ at az adott V t´erfogat´ u egyenes k¨orhenger felsz´ıne akkor minim´alis, ha r 3 V R= . 2π Sz´ amoljuk ki az ehhez a sug´arhoz tartoz´o magass´agot, illetve a magass´ ag ´es az ´ atm´er˝ o ar´ any´at: r V m 3 4V = m= , = 1. πR2 π 2R Teh´ at annak a hengernek a felsz´ıne minim´alis, amelynek az ´atm´er˝oje megegyezik a magass´ aggal! Megjegyz´ es: Annak bel´at´asa, hogy az F (R) f¨ uggv´enynek van abszol´ ut minimuma m´eg h´ atra van, az err˝ol sz´ol´o fenti okoskod´as” semmik´epp ” sem tekinthet˝ o bizony´ıt´asnak. L´assunk teh´at egy korrekt bizony´ıt´ast: Legyen F0 = F (1) = 2π + 2V . Mivel lim F (R) = lim F (R) = ∞, R→0+
R→∞
ez´ert megadhat´ o egy 0 < a < 1, ´es egy 1 < b u ´gy, hogy R ∈ (0, a], illetve R ∈ [b, ∞) eset´en F (R) > F0 . A Weierstrass-t´etel szerint az F (R) f¨ uggv´enynek van minimuma az [a, b] z´art intervallumon. Az a ´es b megv´ alaszt´ asa miatt ez a minimum az eg´esz (0, ∞) f´elegyenesen is minimum. Mivel ez a minimumhely nem lehet az [a, b] intervallum egyik v´egpontja sem, ez´ert ez egyben lok´alis minimum is. Itt teh´at a 4.9. t´etel szerint a deriv´ alt nulla. Ilyen R azonban az eg´esz f´elegyenesen csak egy van, teh´ at ez a keresett minimumhoz tartoz´o sug´ar. 4.171.
Haszn´ aljuk az ´ abra jel¨ol´eseit. A feladat teh´at az O pontb´ol eljutni a P pontba (a faluba) a Q ponton kereszt¨ ul a lehet˝o legr¨ovidebb id˝o alatt. A partvonal teljes hossza x + y = √ 25 − 9 = 4, ´es ´ıgy
y
y(x) = 4 − x.
Q
Fejezz¨ uk ki x seg´ıts´eg´evel az O ´es Q pont, 3 km illetve a Q ´es P pont t´ avols´ag´at: p p OQ = 9 + y 2 = 9 + (4 − x)2 , QP = x.
O
A t´ avols´ agok megt´etel´ehez sz¨ uks´eges id˝o or´ ´ aban m´erve: t(x) = tf (x) + tb (x) =
x 1p + 9 + (4 − x)2 . 5 2
x
5 km
P
´ lsza ´ m´ıta ´s e ´s alkalmaza ´ sai – Megolda ´ sok 4. A differencia
270
A t(x) f¨ uggv´eny minimum´at keress¨ uk 0 ´es 4 k¨oz¨ott. Ez vagy a v´egpontok valamelyik´en felvett ´ert´ek, vagy lok´alis minimum, ahol teh´at a deriv´ alt nulla (l´ asd 4.9. ). t0 (x) =
1 1 4−x =0 − p 5 2 9 + (4 − x)2
25(4 − x)2 = 4(9 + (4 − x)2 ), y =4−x=
3 , 2
16(4 − x)2 = 36 x=
5 . 2
A monotonit´ as vizsg´ alat´aval megmutatjuk, hogy a t(x) f¨ uggv´enynek az 5 x0 = pontban abszol´ ut minimuma van. 2 t0 (0) =
1 1 2 − = − < 0, 5 5 5
t0 (4) =
1 > 0. 5
Mivel a deriv´ altnak csak az x0 -ban van gy¨oke, ez´ert a Darboux-t´etel miatt a (0, x0 ) intervallumon t0 (x) < 0, ´es ´ıgy itt t(x) szigor´ uan cs¨okken. Hasonl´ oan kapjuk, hogy t(x) szigor´ uan n¨ov˝o (x0 , 4)-en.
4.5 Fu enyvizsg´ alat ¨ ggv´ 4.175.
P ⇐⇒ Q: l´ asd a 4.8. t´etelt.
4.179.
P =⇒ 6 Q: Legyen p´eld´aul f (x) = x4 , a = 0. Q =⇒ P: L´ asd a konvexit´asr´ol ´es deriv´alt kapcsolat´ar´ol sz´ol´o t´eteleket.
4.185.
Keress¨ uk meg f 0 (x) gy¨ okeit: f 0 (x) = 4x3 − 12x2 + 8x = 4x(x2 − 3x + 2) = 4x(x − 1)(x − 2) = 0, x1 = 0,
x2 = 1,
x3 = 2.
A deriv´ alt t´enyez˝ oinek az el˝ojele, ´es ´ıgy a deriv´alt el˝ojele k¨onnyen kaphat´ o az eg´esz sz´ amegyenesen: uan cs¨okken – Ha x < 0, akkor f 0 (x) < 0, ´es ez´ert f (x) szigor´ (−∞, 0)-ban. – Ha 0 < x < 1, akkor f 0 (x) > 0, ´es ez´ert f (x) szigor´ uan n˝o (0, 1)ben.
´ lsza ´ m´ıta ´s e ´s alkalmaza ´ sai – Megolda ´ sok 4. A differencia
271
– Ha 1 < x < 2, akkor f 0 (x) < 0, ´es ez´ert f (x) szigor´ uan cs¨okken (1, 2)-ben. – Ha 2 < x, akkor f 0 (x) > 0, ´es ez´ert f (x) szigor´ uan n˝o (2, ∞)-ben. A monoton szakaszok tal´alkoz´as´an´al lok´alis szigor´ u sz´els˝o´ert´ek van, m´egpedig – 0-ban minimum, – 1-ben maximum, – 2-ben minimum. 4.189.
y 0 = e−x + xe−x (−1) = (1 − x)e−x . Keress¨ uk meg a deriv´ alt gy¨okeit. Az (1 − x)e−x = 0 egyenletb˝ol kapjuk, hogy x = 1, ez´ert a f¨ uggv´enynek csak a c = 1-ben lehet lok´alis sz´els˝ o´ert´eke. Mivel y 0 (x) > 0, ha x < 1, ´es y 0 (x) < 0, ha x > 1, ez´ert a f¨ uggv´enynek lok´ alis szigor´ u maximuma van ´es itt az ´ert´ek e−1 . A f¨ uggv´eny tov´abbi vizsg´ alat´ ab´ ol az is kider¨ ul, hogy ez egyben abszol´ ut maximuma is a f¨ uggv´enynek.
4.197.
x+1 ´ertelmez´esi tartom´anya R, minden¨ utt ak´arh´anyszor 1 + x2 deriv´ alhat´ o. x+1 x+1 = lim = 0. lim x→∞ 1 + x2 x→−∞ 1 + x2
Az f (x) =
1 + x2 − 2x(x + 1) 1 − 2x − x2 (x − x1 )(x − x2 ) = =− (1 + x2 )2 (1 + x2 )2 (1 + x2 )2 √ √ ahol x1 = −1 − 2 ´es x2 = −1 + 2 a sz´aml´al´o gy¨okei. f 0 (x) =
(−2 − 2x)(1 + x2 )2 − 4x(1 − 2x − x2 )(1 + x2 ) = (1 + x2 )4 (1 + x)(1 + x2 ) + 2x(1 − 2x − x2 ) = −2 = (1 + x2 )3 x3 + 3x2 − 3x − 1 =2 = (1 + x2 )3 (x − X1 )(x − X2 )(x − X3 ) =2 (1 + x2 )3 √ √ ahol X1 = −2 − 3, X2 = −2 + 3, X3 = 1 a sz´aml´al´o gy¨okei n¨ovekv˝o sorrendben. Az els˝ o deriv´alt el˝ojel´enek vizsg´alat´aval kapjuk, hogy f 00 (x) =
´ lsza ´ m´ıta ´s e ´s alkalmaza ´ sai – Megolda ´ sok 4. A differencia
272
– f (x) szigor´ uan cs¨okken (−∞, x1 )-ben, – x1 -ben szigor´ u minimum van, – f (x) szigor´ uan n˝ o (x1 , x2 )-ben, – x2 -ben szigor´ u maximum van, – f (x) szigor´ uan cs¨okken (x2 , ∞)-ben. A m´ asodik deriv´ alt el˝ ojel´enek vizsg´alat´aval kapjuk, hogy – f (x) szigor´ uan konk´av (−∞, X1 )-ben, – f (x) szigor´ uan konvex (X1 , X2 )-ben, – f (x) szigor´ uan konk´av (X2 , X3 )-ban, – f (x) szigor´ uan konvex (X3 , ∞)-ben, – X1 , X2 ´es X3 -ban inflexi´o van. 4.206.
Az f (x) = 1 − 9x − 6x2 − x3 f¨ uggv´eny egy harmadfok´ u polinom, ak´arh´ anyszor deriv´ alhat´ o R-en. Mivel a f˝oegy¨ utthat´o negat´ıv, lim 1 − 9x − 6x2 − x3 = ∞,
x→−∞
lim 1 − 9x − 6x2 − x3 = −∞
x→∞
Sz´ amoljuk ki az els˝ o ´es a m´asodik deriv´alt gy¨ okeit: f 0 (x) = −9 − 12x − 3x2 = 0, x1 = −3, x2 = −1. 00
f (x) = −12 − 6x = 0,
X1 = −2.
Az ´ abr´ ab´ ol kiolvashat´ o, a deriv´altak vizsg´ alat´ aval pedig bizony´ıthat´o, hogy x1 ben minimum, x2 -ben maximum, X1 -ben pedig inflexi´ o van, (−∞, −3]-ban cs¨okken, [−3, −1]-ben n˝ o, [−1, ∞)-ben cs¨okken, (−∞, −2]-ben konvex, ´es (−2, ∞)ben konk´ av a f¨ uggv´eny.
4.6 Elemi fu enyek ¨ ggv´ 4.227. 4.229.
ln 100 ln 2
= 2log2 100 = 100. √ 3 π arcsin = (= 60◦ ). 2 3 2
K
3
K
2
K
1
´ lsza ´ m´ıta ´s e ´s alkalmaza ´ sai – Megolda ´ sok 4. A differencia
4.231.
arccos(cos(9π)) = π (´es nem 9π).
4.233.
tg(arctg 100) = 100.
4.238.
273
x x x Az f (x) = cos + tg peri´odusa p´eld´aul a p = 12π, mert cos -nek a 2 3 2 x 4π, tg -nek pedig a 3π peri´odusa. 3
´ ltozo ´ s Riemann-integra ´ l – Megolda ´ sok 5. Az egyva
274
Az egyv´ altoz´ os Riemann-integr´ al 5.1 Hat´ arozatlan integr´ al 5.1.
5.5.
f (x) = x3 − 4x,
f (x) : (2),
f 0 (x) : (E).
f (x) = x3 ,
f (x) : (4),
f 0 (x) : (C).
f (x) = x + sin x,
f (x) : (5),
f 0 (x) : (A).
f (x) = tg x,
f (x) : (4),
f 0 (x) : (D).
f (x) = e−x ,
f (x) : (1),
f 0 (x) : (B).
El˝ obb alak´ıtsuk ´ at az integrandust: 2
(sin x + cos x) = sin2 x + 2 sin x cos x + cos2 x = 1 + 2 sin x cos x = 1 + sin 2x. Z
Z
2
(sin x + cos x) dx =
Z (1 + sin 2x) dx =
=x− 5.8. 5.10. 5.12. 5.14. 5.16.
5.20.
Z
Z
x3/2 dx =
cos 2x +C 2
2 5/2 x +C 5
−5 dx = −5 ln(x − 7) + C x−7
Z sin 2x + 3 cos x dx = − Z
Z dx +
cos 2x + 3 sin x + C 2
1 2x−3 e +C 2 Z Z Z 1 3x2 1 (x3 + 1)0 x2 dx = dx = dx = 3 3 x +1 3 x +1 3 x3 + 1 = Z √
e2x−3 dx =
1 3
ln(x3 + 1) + C
√
x x2
+1
dx =
x2 + 1 + C
1 2
Z
√
2x 1 dx = 2 2 x +1
Z
(x2 + 1)0 √ dx = x2 + 1
sin 2x dx =
´ ltozo ´ s Riemann-integra ´ l – Megolda ´ sok 5. Az egyva
5.24.
5.28.
Z
1 1 dx = 2 + x2 2
Z
1 1 2 dx = √ arctg 2 x 1+ √ 2
275
x √ 2
+C
Bontsuk parci´ alis t¨ ortekre az integrandust: 3 A B = + (x + 3)(x + 2) x+2 x+3 Szorozzuk be mindk´et oldalt a baloldal nevez˝oj´evel: 3 = A(x + 3) + B(x + 2) Az egy¨ utthat´ ok ¨ osszehasonl´ıt´as´aval line´aris egyenletrendszert kapunk A-ra ´es B-re: 3A + 2B = 3 A + B = 0 A = 3, ´Igy teh´ at Z
3 dx = (x + 3)(x + 2)
5.32.
Z
B = −3
3 dx − x+2
Z
3 x+2 dx = 3 ln +C x+3 x+3
Az integrandus nevez˝ oj´enek nincs val´os gy¨oke. Els˝o l´ep´esk´ent szabaduljunk meg a sz´ aml´ al´oban az x”-es tagt´ol a nevez˝o deriv´altj´anak a ” becsemp´esz´es´evel”: ” Z Z 1 x−2 (2x − 2) − 2 dx = dx = 2 x − 2x + 6 2 x2 − 2x + 6 Z Z 1 2x − 2 1 = dx − dx 2 x2 − 2x + 6 x2 − 2x + 6 A jobboldalon az els˝ o integr´al f 0 /f alak´ u, ´es a nevez˝o pozit´ıv, ez´ert Z 2x − 2 dx = ln(x2 − 2x + 6) + C. x2 − 2x + 6 Z 1 A m´ asodik integr´ alt visszavezetj¨ uk az dt alapintegr´alra a teljes 1 + t2 n´egyzett´e kieg´esz´ıt´es m´odszer´evel: Z Z Z 1 1 1 1 dx = dx = dx = 2 x2 − 2x + 6 (x − 1)2 + 5 5 x 1 √ −√ +1 5 5 1 x 1 = √ arctg √ − √ + C. 5 5 5
´ ltozo ´ s Riemann-integra ´ l – Megolda ´ sok 5. Az egyva
276
´Igy teh´ at Z x−2 x 1 1 1 2 + C. dx = ln(x − 2x + 6) − √ arctg √ − √ x2 − 2x + 6 2 5 5 5 5.36.
´Irjuk fel az integrandust egy polinom ´es egy val´ odi (sz´aml´al´o foka kisebb a nevez˝ o fokn´ al) racion´alis f¨ uggv´eny ¨osszegek´ent a polinomok marad´ekos oszt´ as´ anak seg´ıts´eg´evel: 23x + 17 23x + 17 3x3 + 2x − 1 = 3x + 3 + 2 = 3x + 3 + 2 x −x−6 x −x−6 (x − 3)(x + 2) Z Z Z 23x + 17 3x3 + 2x − 1 dx = (3x + 3) dx + dx x2 − x − 6 (x − 3)(x + 2) A jobboldal m´ asodik integr´alj´aban szerepl˝o racion´alis f¨ uggv´enyt bontsuk fel parci´ alis t¨ ortek o¨sszeg´ere: 23x + 17 A B = + (x − 3)(x + 2) x−3 x+2 23x + 17 = A(x + 2) + B(x − 3) A 2A
+ B − 3B
= 23 = 17
Az els˝ o egyenlet h´ aromszoros´at a m´asodikhoz adva: 5A = 86 A= Z
3x3 + 2x − 1 dx = x2 − x − 6
= 5.40.
Z
86 , 5
B=
86 (3x + 3) dx + 5
Z
29 5 1 29 dx + x−3 5
Z
1 dx = x+2
3 2 86 29 x + 3x + ln |x − 3| + ln |x + 2| + C 2 5 5
Bontsuk parci´ alis t¨ ortekre az integrandust: 1 A B C = + 2+ x3 + x2 x x x+1 1 = Ax(x + 1) + B(x + 1) + Cx2
´ ltozo ´ s Riemann-integra ´ l – Megolda ´ sok 5. Az egyva
277
Ha x hely´ebe 0-´ at helyettes´ıt¨ unk, megkapjuk B-t, −1-et helyettes´ıtve pedig megkapjuk C-t. Ezek seg´ıts´eg´evel pedig A-t:
Z
A = −1, B = 1, C=1 Z Z Z x + 1 1 1 1 1 1 − +C dx = − dx+ dx+ dx = ln x3 + x2 x x2 x+1 x x
5.44. Z
Z Z Z x+2 (x − 1) + 3 1 dx = dx = dx + 3 dx = x−1 x−1 x−1 = x + 3 ln |x − 1| + C
5.48. Z
Z 1 x+2 (2x + 2) + 2 dx = dx = x2 + 2x + 2 2 x2 + 2x + 2 Z 1 1 = ln(x2 + 2x + 2) + dx = 2 2 x + 2x + 2 Z 1 1 = ln(x2 + 2x + 2) + dx = 2 (x + 1)2 + 1 1 = ln(x2 + 2x + 2) + arctg(x + 1) + C 2
5.50. Z
sin2 x dx =
Z
1 − cos 2x x sin 2x dx = − +C 2 2 4
5.54. Z
5 cos2 (1
− x)
dx = −5 tg(1 − x) + C
5.58. Z
sin2 2x + 1 dx = cos2 x
Z
4 sin2 x cos2 x + 1 dx = 2x − sin 2x + tg x + C cos2 x
Itt felhaszn´ altuk az 5.50. feladat eredm´eny´et.
´ ltozo ´ s Riemann-integra ´ l – Megolda ´ sok 5. Az egyva
5.60.
278
Legyen f (x) = x, g 0 (x) = cos x. Ezzel a szereposzt´assal Z
Z x cos x dx = x sin x −
sin x dx = x sin x + cos x + C.
5.64. Z
Z
Z
1 · arctg x dx = x arctg x − Z 1 2x = x arctg x − dx = 2 1 + x2 1 = x arctg x − ln(1 + x2 ) + C 2
arctg x dx =
x = 1 + x2
5.68. Z x ln
2 x2 · dx = 1 + x (1 − x)2 1−x Z 1 2 1+x x2 = x ln − dx 2 1−x 1 − x2
1+x 1 1+x 1 dx = x2 ln − 1−x 2 1−x 2
Z
Z Z 1 − x2 − 1 1 x2 dx = dx = x − dx 2 2 1−x 1−x 1 − x2 Z Z 1 1 1 1 1 1+x dx = + dx = ln +C 1 − x2 2 1−x 1+x 2 1−x Z
−
Felhaszn´ altuk, hogy az eredeti integrandus csak
1+x > 0 eset´en ´er1−x
telmes. ´Igy teh´ at Z 1+x 1 1+x 1 1+x x ln dx = x2 ln + x − ln +C 1−x 2 1−x 2 1−x 5.71. t = x2 ,
Z
2
xex dx =
1 2
Z
dt = 2x dx Z 2 1 1 1 2 2xex dx = et dt = et + C = ex + C 2 2 2
´ ltozo ´ s Riemann-integra ´ l – Megolda ´ sok 5. Az egyva
279
5.75. dt = − sin x dx
t = cos x, Z
sin x − sin x dx = − dx = 2 1 − cos2 x Zsin x 1 1−t 1 1 − cos x 1 dt = ln + C = ln +C =− 1 − t2 2 1+t 2 1 + cos x
1 dx = sin x
Z
Z
Itt felhaszn´ altuk az 5.68. feladat egy r´eszeredm´eny´et ´es azt, hogy |t| < 1 1−t miatt > 0. 1+t 5.79. x = sin t,
Z
dx = cos t dt, t = arcsin x Z 1 1 √ dx = cos t dt = 2 2 2 (1 − sin t) cos t (1 − x ) 1 − x Z 1 = dt = tg t + C = cos2 t sin t x =p +C = √ +C 2 1 − x2 1 − sin t
5.83. Z
t = x2 + x + 1, dt = 2x + 1 Z 2 2 (2x + 1)ex +x+1 dx = et dt = et + C = ex +x+1 + C
5.87. dt dx = t Z Z Z ex + 2 t + 2 dt t+2 dx = · = dt ex + e2x t + t2 t t2 (t + 1) t = ex ,
x = ln t,
Bontsuk parci´ alis t¨ ortekre az integrandust: t+2 A B C = + 2+ t2 (t + 1) t t t+1 t + 2 = At(t + 1) + B(t + 1) + Ct2 Z
A = −1, B = 2, C=1 Z t+2 1 2 1 2 t+1 dt = − + 2+ dt = − + ln +C t2 (t + 1) t t t+1 t t
´ ltozo ´ s Riemann-integra ´ l – Megolda ´ sok 5. Az egyva
Felhaszn´ altuk, hogy Z
280
t+1 > 0. Elv´egezve a visszahelyettes´ıt´est t
2 ex + 1 ex + 2 dx = − + ln + C = −2e−x + ln(1 + e−x ) + C ex + e2x ex ex
5.91. Z
1 1 dx = (x + 2)(x − 1) 3
Z
1 1 − x−1 x+2
dx =
1 x − 1 +C ln 3 x + 2
5.95. Z
1 1 dx = ex + e−x 2
Z
1 dx = ch x 2
Z
1 ch x dx = arctg sh x + C 2 2 1 + sh x
5.99. Z
ln(x2 + 1) dx = Z Z
Z
1 · ln(x2 + 1) dx = x ln(x2 + 1) − 2
x2 dx = 2 x +1
Z
Z
x2 dx +1
x2
(x2 + 1) − 1 dx = x − arctg x + C x2 + 1
ln(x2 + 1) dx = x ln(x2 + 1) − 2x + 2 arctg x + C
5.103. Z
2x sin(x2 + 1) dx =
Z
(x2 + 1)0 sin(x2 + 1) dx = − cos(x2 + 1) + C
5.107. Z
e2x dx = 1 + ex
Z
ahol t = ex . Z
ex x e dx = x e +1
Z
t dt = t − ln(t + 1) + C t+1
e2x dx = ex − ln(ex + 1) + C 1 + ex
´ ltozo ´ s Riemann-integra ´ l – Megolda ´ sok 5. Az egyva
281
5.111. Z
Z 2 x3 x2 x x (x + x) ln x dx = + ln x − + dx = 3 2 3 2 3 x x2 x3 x2 = + ln x − − +C 3 2 9 4
2
5.115. Z
−2x
3
Z dx =
e(−2 ln 3)x dx = −
1 (−2 ln 3)x 1 −2x e +C =− 3 +C 2 ln 3 2 ln 3
5.119. 1 t2 1 dx, cos2 x = , sin2 x = 2 2 cos x 1+t 1 + t2 Z Z Z 2 1 1 1 (t + 1)2 dx = · dx = dt = t2 sin2 x cos4 x sin2 x cos2 x cos2 x Z 1 1 t3 = t2 + 2 + 2 dt = + 2t − + C = t 3 t
t = tg x,
dt =
=
tg3 x + 2 tg x − ctg x + C 3
5.2 Hat´ arozott integr´ al 5.124.
(a) A Φ finom´ıt´ asa az F feloszt´asnak. (b) A Φ nem finom´ıt´ asa F -nek, mert 1, 5 nem szerepel a Φ oszt´opontjai k¨ oz¨ ott. Az F sem finom´ıt´asa Φ-nek, mert −1 nem szerepel az F oszt´opontjai k¨ oz¨ ott.
5.125. SΦ = 6,
sΦ = 0
5.128. SΦ = −1 · 1 + 0 · 1 + 4 · 4 = 15,
sΦ = −2 · 1 − 1 · 1 + 0 · 4 = −3
´ ltozo ´ s Riemann-integra ´ l – Megolda ´ sok 5. Az egyva
5.131.
Igen, mert f (x) folytonos (´es monoton).
5.135.
Nem, mert f (x) nem korl´atos [0, 1]-en.
5.140.
Legyen f (x) =
282
1 . Ekkor x ∈ [1, 2] eset´en 0 < f (x) < 1, ´es ´ıgy a x2 + ex 5.138. feladat szerint Z2 0 = 0 · (2 − 1) ≤
1 dx ≤ 1 · (2 − 1) = 1 x2 + ex
1
5.144.
Mivel minden integr´ alf¨ uggv´eny folytonos, sgn x pedig 0-ban nem folytonos, ez´ert sgn x nem lehet integr´alf¨ uggv´eny [−1, 1]-en. A Darboux-t´etel szerint sgn x-nek nincs primit´ıv f¨ uggv´enye (−1, 1)-en. 1 2 n + sin + · · · + sin n n n integr´alk¨ozel´ıt˝o ¨osszege az integr´alA σn = n hat´ o sin x f¨ uggv´enynek a [0, 1] intervallum egyenletes feloszt´as´an, ez´ert sin
5.146.
sin σn =
2 n 1 Z1 + sin + · · · + sin n n n → sin x dx = 1 − cos 1 n 0
5.150.
n
n X i=1
n
X i = 2 2 n +i i=1
i 1 Z1 1 ln 2 x 2 n dx = ln(1 + x ) = 2 → 2 1+x 2 2 i 0 0 1+ n
5.154. 1 1 2x sin − cos x x 0 g(x) = G (x) = 0 Mivel
1 2x sin x h(x) = f (x) + g(x) = 0
ha x 6= 0 ha x = 0 ha x 6= 0 ha x = 0
´ ltozo ´ s Riemann-integra ´ l – Megolda ´ sok 5. Az egyva
283
folytonos minden¨ utt, ez´ert van primit´ıv f¨ uggv´enye, de akkor az f (x) = h(x) − g(x) f¨ uggv´enynek is van primit´ıv f¨ uggv´enye. 5.156. Zx H(x) =
1 dt, ln t
H 0 (x) =
1 ln x
2
5.158.
x Mivel lim = ∞ ´es lim x→∞ ln x x→∞
Zx
1 dt = ∞, ez´ert az ln t
2
ln x x
Zx 2
Rx 1 dt 1 2 ln t dt = x ln t ln x
h´ anyadosra alkalmazhatjuk a L’Hospital szab´alyt: ln x lim x→∞ x
Zx 2
1 1 ln x = lim ln x = 1 dt = lim x→∞ ln x − 1 x→∞ ln x − 1 ln t 2 ln x
5.162. Z3
x2 dx =
2
x3 3
3 =9− 2
8 3
5.166. Z0
2
Z0
sin x dx = −2π
−2π
0 1 − cos 2x x sin 2x dx = − =π 2 2 4 −2π
5.168. x = sin t,
dx = cos t dt,
1 π = sin , 2 6
√
3 π = sin 2 3
´ ltozo ´ s Riemann-integra ´ l – Megolda ´ sok 5. Az egyva √
Z3/2
x2 √ dx = 1 − x2
1/2
Zπ/3
sin2 t p
π/6
1 − sin2 t
284
cos t dt =
π/3 Zπ/3 t sin 2t π = sin2 t dt = − = 2 4 12 π/6 π/6
(l´ asd az 5.50. feladatot). 5.172. t = tg x, Zπ/2 π/6
x = arctg t,
dx =
1 , dt
tg
√ π 3 = , 6 3
tg
π =∞ 2
Z∞ Z∞ 1 1−t 1 1 1 dx = dt = + dt = 1 + tg x (1 + t)(1 + t2 ) 2√ t + 1 1 + t2 √ 3/3
=
3/3
√ ∞ 1 1+t 1 1+ 3 π ln √ = − ln + + arctg t √ 2 2 2 6 1 + t2 3/3
5.3 A hat´ arozott integr´ al alkalmaz´ asai 5.177.
Sz´ amoljuk ki a parabola ´es az egyenes k´et metsz´espontj´at: x2 = −x + 2,
x1 = −2, x2 = 1
A k´et metsz´espont k¨ oz¨ ott a −x + 2 egyenes a nagyobb” ” Z1 T = −2
Z1
(−x+2−x2 ) dx =
−2
1 x2 x3 3 7 (2−x−x2 ) dx = 2x − − = 6+ + 2 3 −2 2 3
5.181. Ze
e
ln x dx = [x ln x − x]1 = 1
T = 1
´ ltozo ´ s Riemann-integra ´ l – Megolda ´ sok 5. Az egyva
5.185.
A k´et metsz´espont: 1 x2 = , 2 1+x 2 Z1 T =
x4 + x2 − 2 = 0,
x2 1 − 2 1+x 2
−1
5.189.
x1 = −1, x2 = 1
1 x3 π 1 dx = arctg x − = − 6 −1 2 3
4 Egy ilyen parabolaszeletet kapunk, ha tekintj¨ uk az y = m 1 − 2 x2 h parabola ´es az x tengely ´altal hat´arolt s´ıkidom ter¨ ulet´et. Zh/2 T =
4 m 1 − 2 x2 h
h/2 4 3 h 2 dx = m x − 2 x =m h− = mh 3h 3 3 −h/2
−h/2
5.192.
285
Itt −
π π ≤ϕ≤ . 6 6 1 T = 2
Zπ/6
cos2 3ϕ dϕ =
−π/6
π/6 π 1 ϕ sin 6ϕ = + 2 2 6 12 −π/6
5.196. Zπ V =π
x sin 2x − sin x dx = π 2 4 2
0
π = 0
π2 2
5.200. Z1 V =π 0
Zπ/2 arcsin y dy = π x2 cos x dx 2
0
Z Sz´ amoljuk ki k´etszeres parci´alis integr´al´assal a
x2 cos x dx hat´arozat-
lan integr´ alt: Z Z x2 cos x dx = x2 sin x − 2 x sin x dx = Z 2 = x sin x + 2x cos x − 2 cos x dx = = x2 sin x + 2x cos x − 2 sin x + C.
´ ltozo ´ s Riemann-integra ´ l – Megolda ´ sok 5. Az egyva
286
Ezt felhaszn´ alva Zπ/2 π/2 π3 V =π − 2π. x2 cos x dx = π x2 sin x + 2x cos x − 2 sin x 0 = 4 0
5.204. Z2 V =π
e2x −
1 x2
dx = π
e2x 1 + 2 x
1
2
=π
1
e2 (e2 − 1) 1 − 2 2
5.208. Z1 p Z1 1 2 L= 1 + sh x dx = ch x dx = [sh x]−1 = 2 sh 1 −1
−1
5.4 Improprius integr´ al 5.220.
Ha c 6= 1, akkor Z∞
1 1 1 · c−1 dx = c x 1−c x
1
∞ = 1
1 c−1
ha c > 1
∞
ha c < 1
Ha pedig c = 1, akkor Z∞
1 ∞ dx = [ln x]1 = ∞. x
1
Z∞ Teh´ at az
1 dx improprius integr´al akkor ´es csak akkor konvergens, xc
1
ha c > 1. 5.223. Z∞
−x
2 3
−x ∞ 1 2 = dx = − ln 2 3 8 ln 2
´ ltozo ´ s Riemann-integra ´ l – Megolda ´ sok 5. Az egyva
5.227.
Z∞ Az 5.220. feladat megold´asa szerint
287
dx √ divergens. x
1
5.231. Z1
dx 1− = [ln |ln x|]1/2 = −∞ x ln x
1 2
5.235. Z1
√
0
dx π 1− = [arcsin x]0 = 2 2 1−x
5.239. Z∞
dx √ < x + x2
Z∞
dx <∞ x2
1
1
(l´ asd a 5.220. feladatot). 5.243.
x2 f¨ uggv´eny Riemann-integr´alhat´o [0, 1]-en (mert a nevez˝o − x2 + 1 +∞ Z x2 nem nulla), ez´ert el´eg megmutatni, hogy az dx improx4 − x2 + 1
Az
x4
1
prius integr´ al konvergens. x2 1 ´es a g(x) = 2 f¨ uggv´eny nagys´agrendje − x2 + 1 x Z∞ dx azonos (a k´et f¨ uggv´eny h´anyadosa tart 1-hez a ∞-ben), pedig x2 Mivel az f (x) =
x4
1 +∞ Z
konvergens, ez´ert a nagys´agrendi krit´erium szerint
x2 dx x4 − x2 + 1
1
is konvergens. 5.247.
Zπ/2 Mivel sin x ∼ x a 0-ban, gens.
0
dx pedig divergens, ez´ert x
Zπ/2 0
dx diversin x
´ ltozo ´ s Riemann-integra ´ l – Megolda ´ sok 5. Az egyva
5.251. Z∞ 0
2
xe−x dx = −
1 1 h −x2 i∞ e = 2 2 0
288
´ sok 6. Numerikus sorok – Megolda
289
Numerikus sorok 6.1 Numerikus sorok konvergenci´ aja 6.1.
A v´eges geometriai sor ¨osszegk´eplet´et haszn´alva n+1 1 1− n k X 1 1 1 1 1 2 sn = 1+ + +· · ·+ n = = 2 1 − n+1 −→ 2 = 1 2 4 2 2 2 k=0 2
6.5. 1 1 1 1 = − k(k + 3) 3 k k+3 n n X 1 1X 1 1 sn = = − = k(k + 3) 3 k k+3 k=1 k=1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 − − 1+ + − −→ 1+ + = = 3 2 3 n+1 n+2 n+3 3 2 3 18 6.8. ∞ ∞ n ∞ n X X X 4n + 5n 4 4 5 = + = n 9 9 9 9 n=1 n=1 n=1
1 4 1− 9
+
5 9
1 5 1− 9
=
4 5 + 5 4
6.13.
Mivel a tagok nem tartanak 0-hoz, ez´ert a sor divergens (l´asd a tagok 0-hoz tart´ as´ ar´ ol sz´ ol´ o konvergencia krit´eriumot).
6.15.
Ha A jel¨ oli a v´egtelen sor ¨osszeg´et sn pedig az els˝o n tag ¨osszeg´et, akkor sn −→ A,
6.16.
sn−1 −→ A,
an = sn − sn−1 −→ 0.
Megmutatjuk, hogy a harmonikus sor nem teljes´ıti a Cauchy-krit´eriumot, 1 mert az ε = eset´en nem tal´alhat´o j´o” k¨ usz¨obindex: ” 2 s2n − sn =
1 1 1 1 1 1 1 1 + +· · ·+ > + +· · ·+ = n· = n+1 n+2 2n 2n 2n 2n 2n 2
´ sok 6. Numerikus sorok – Megolda
6.21. 6.27.
Nem, p´eld´ aul a harmonikus sor divergens, de tagjai 0-hoz tartanak. ∞ X
∞
X 1 1 A = sor r´eszlet¨osszegei u ´gynevezett teleszko2 n + n n(n + 1) n=1 n=1 pikus ¨ osszegek: sn =
n X k=1
6.31.
290
Z∞ Mivel az
n
X 1 = k(k + 1)
k=1
1 1 − k k+1
=1−
1 −→ 1. n+1
dx √ improprius integr´al divergens, ez´ert az integr´alkrit´eri3 x
1
um szerint a
∞ X 1 √ sor is divergens. 3 n n=1
1 1 ≥ . Haszn´ alhatjuk a major´ans-krit´eriumot is, mivel √ 3 n n 6.35. ∞ X
0=0
n=1
n=1
6.40.
∞ X
sin(nπ) =
Nem, legyen p´eld´ aul bn = 0, an = −1. Ha viszont feltessz¨ uk azt is, hogy an > 0, akkor a major´ans-krit´erium ∞ X kontra-pozit´ıv” verzi´ oja szerint bn divergens. ” n=1
6.2 Pozit´ıv tag´ u sorok konvergenciakrit´ eriumai ∞ X 1 1 -re alkalmazva) a sor 2 x2 n n=1 ∞ ∞ X X 1 1 konvergens major´ ansa a sornak, ez´ e rt a sor is 2+4 2+4 n n n=1 n=1 konvergens.
6.43.
Mivel az integr´ alkrit´erium szerint (az
6.45.
L´ asd a h´ anyadoskrit´eriumot.
´ sok 6. Numerikus sorok – Megolda
291
6.48. 3 3 an+1 3n+1 (n + 1)! nn · −→ > 1. = = an (n + 1)n+1 3n n! (1 + 1/n)n e ∞ X 3n n! sor divergens. Ez´ert a nn n=1 6.50.
L´ asd a gy¨ okkrit´eriumot.
6.53. √ n
A
∞ X 1 n=1
6.58.
A
1 + 2 n
s an =
n
1 1 + 2 n
n =
1 1 1 + −→ < 1. 2 n 2
n sor konvergens.
∞ X n2 + 4 1 sor nagys´agrendje 2 : 4 n + 3n n n=1
n2 + 4 1 (n2 + 4)n1 : = −→ 1, n4 + 3n n2 n4 + 3n ´es a
6.62.
∞ ∞ X X 1 n2 + 4 sor konvergens, ez´ e rt a sor is konvergens. 2 n n4 + 3n n=1 n=1
Nem, m´eg akkor sem, ha f (x) monoton cs¨okken. Legyen p´eld´aul f (x) = 5e−x+1 . Ekkor Z∞
∞ 5e−x+1 dx = −5e−x+1 1 = 5,
n=1
1
6.66.
∞ X
5e−n+1 = 5
1 e =5 6= 5 1 − 1/e e−1
1 ln x + 1 f¨ uggv´eny deriv´altja f 0 (x) = − 2 2 < 0, ha x ≥ 2, x ln x x ln x teh´ at f (x) monoton cs¨okken ´es pozit´ıv az [2, ∞) f´elegyenesen. Alkalmazhatjuk erre a f¨ uggv´enyre az integr´alkrit´eriumot:
Az f (x) =
Z∞
1 ∞ dx = [ln ln x]2 = ∞, x ln x
2
ez´ert a
∞ X
1 sor divergens. n ln n n=2
´ sok 6. Numerikus sorok – Megolda
292
6.68. ∞ ∞ X 1 1 1X1 √ > = = ∞, 2 n=1 n n + n n=1 2n n=1 ∞ X
teh´ at
∞ X
1 √ divergens (major´ans-krit´erium). n+ n n=1
6.74. r n
teh´ at
6.80.
√ 2 n2 ( n n) 1 = −→ < 1, 2n 2 2
∞ X n2 konvergens (gy¨okkrit´erium). 2n n=1
n10 2n10 1 < , ha 2n < 3n , ami valahonnan kezdve igaz. n 2 3n 2 2n10 sorra alkalmazva a gy¨okkrit´eriumot 3n n=1 3n − ∞ X
r n
ez´ert a
2n10 = 3n
√ n
√ 10 2 ( n n) 1 −→ < 1, 3 3
∞ X
n10 sor konvergens. 3n − 2n n=1
6.86. ∞ ∞ n ∞ n X X X 2n + 3 n 2 3 2 3 = + = + <∞ n 5 5 5 3 2 n=1 n=1 n=1
6.92.
A sor tagjai nem tartanak 0-hoz (konvergencia krit´eriumok): 1+
1 −→ 1 6= 0, n
∞ X 1 teh´ at a 1+ sor divergens. n n=1
A
´ sok 6. Numerikus sorok – Megolda
293
6.3 Felt´ eteles ´ es abszol´ ut konvergencia 6.99. 6.104.
6.108.
6.114.
6.120.
Nem igaz, p´eld´ aul legyen an = (−1)n . ∞ X 1 1 1 1 1 + − + ··· = mono(−1)n+1 Leibniz-sor, mert 2 3 4 n n n=1 ton cs¨ okken˝ oen tart 0-hoz, teh´at a sor konvergens (de nem abszol´ ut konvergens).
Az 1 −
∞ X 1 1 1 1 √ √ √ (−1)n √ + 3 − 4 +· · · = sor ugyan v´altakoz´o el˝ojel˝ u, A 1− n n 2 3 4 n=1 de tagjai nem tartanak 0-hoz (|an | → 1), ez´ert a sor divergens. ∞ X
1 sor konvergens, mert Leibniz-t´ıpus´ u, de nem abszo2n +1 n=1 l´ ut konvergens. ∞ X sin n 1 sin n sor abszol´ ut konvergens, mert 2 ≤ 2 . A 2 n n n n=1 A
(−1)n
´nysorozatok e ´s sorok – Megolda ´ sok 7. F¨ uggve
294
Fu enysorozatok ´ es sorok ¨ ggv´ 7.1 Pontonk´ enti ´ es egyenletes konvergencia 7.1.
Az fn (x) = xn f¨ uggv´enysorozat a (−1, 1] intervallum pontjaiban konvergens, m´ asutt divergens. 0 ha |x| < 1 lim xn = 1 ha x = 1 n→∞ Minden −1 < a < b < 1 eset´en az [a, b] intervallumon egyenletes a konvergencia, mert n
max {|xn | : x ∈ [a, b]} = (max {|a|, |b|}) −→ 0. Mivel a limesz-f¨ uggv´eny nem folytonos (balr´ol 1-ben) a (−1, 1]-ben ez´ert a 7.1. t´etel szerint a konvergencia nem egyenletes az eg´esz konvergenciatartom´ anyban. 7.5.
p n Az fn (x) = 1 + x2n sorozat pontonk´ent tart az eg´esz sz´amegyenesen a konstans 1 f¨ uggv´enyhez. Minden korl´atos [a, b] intervallumon egyenletes a konvergencia, mivel 1+x2n korl´atos [a, b]-n. Mivel minden n ∈ N eset´en p n lim fn (x) = lim 1 + x2n = ∞, x→∞
x→∞
azaz fn nem korl´ atos, ez´ert fn nem egyenletesen tart a korl´atos f (x) ≡ 1 f¨ uggv´enyhez R-en illetve [0, ∞)-en. Az fn (x) f¨ uggv´enyek p´arosak, ez´ert a konvergencia a (−∞, 0] f´elegyenesen sem egyenletes. 7.11.
Minden x ∈ R eset´en lim fn (x) = 0. Ez a konvergencia egyenlen→∞ tes minden olyan intervallumon vagy f´elegyenesen, amelyik csak v´eges 1 sok alak´ u pontot tartalmaz, de minden b > 0 eset´en a (0, b) intern vallumon (´es minden ilyenn´el b˝ovebb intervallumon) nem egyenletes a konvergencia, mert az ε = 1/b-hez nincs j´o k¨ usz¨obindex.
7.18.
Igen, legyen p´eld´ aul gn (x) = fn (x) + 5, ahol fn a 7.11. feladatban szerepl˝ o f¨ uggv´eny. r r 1 1 2 x + − f (x) − f (0) n n n n (a) f 0 (0) = lim = lim = x→0 x→0 x x
7.23.
´nysorozatok e ´s sorok – Megolda ´ sok 7. F¨ uggve
= lim
x→0
x s
s
1 1 x2 + + n n
295
= 0.
√ 1 = x2 = |x|. n→∞ n→∞ n 1 r r 1 1 n 2 (c) |fn (x) − |x|| = x + − |x| = r ≤ −→ 0. n n 1 2 x + + |x| n (d) Mivel a bal- ´es jobboldali deriv´altja nem egyezik meg (−1 illetve 1), |x| nem deriv´ alhat´o 0-ban. r
(b) lim fn (x) = lim
x2 +
7.25. |fn (x)| =
7.29.
7.35.
∞ X
∞ X 1 1 ≤ < ∞. 2 4 2n n +n x n2 n=1 n=1
1 1 ≤ 2, 2 4 2n n +n x n
∞ X (−1)n sor egyenletesen konvergens a Weierstrass-krit´erium szex4 + 2 n n=1 rint, mert ∞ X (−1)n 1 ≤ 1 , < ∞. x4 + 2n 2n n 2 n=1
A
A Weierstrass-krit´erium szerint en, mert
∞ X cos nx egyenletesen konvergens Rn! + 2n n=1
cos nx 1 1 n! + 2n ≤ n! + 2n ≤ n! ,
∞ X 1 < ∞. n! n=1
7.2 Hatv´ anysorok, Taylor-sor 7.42.
∞ X n! n x hatv´anysor R konvergenciasugar´at. A 7.3. nn n=0 t´etelt haszn´ aljuk:
Sz´ amoljuk ki a
an+1 (n + 1)! nn 1 1 n −→ , = · = n+1 an (n + 1) n! e 1 1+ n
R = e.
´nysorozatok e ´s sorok – Megolda ´ sok 7. F¨ uggve
296
n n , ´es ez´ert Ismert (Stirling-formula), hogy el´eg nagy n-re n! > e a konvergenciatartom´ any v´egpontjaiban, e-ben ´es −e-ben a sor tagjai nem tartanak 0-hoz: e n n! n e > 1, = n! · nn n ha n el´eg nagy. 7.48.
7.54.
7.60.
√ p √ n n |an | = n2 = ( n n)2 → 1, R = 1. A v´egpontokban divergens, mert nem tartanak 0-hoz a tagok. r 1 1 1 n −→ , R = 2. Teh´at a konvergenciatartom´any belse= √ n n n2 2 2 n je a (−7, −3) intervallum. A jobb v´egpontban divergens (harmonikus sor), a bal v´egpontban Leibniz-sor. r 1 1 1 n = √ −→ , R = 3. Teh´at a konvergenciatartom´any beln n n3 3 3 n seje a (−3, 3) intervallum. A jobb v´egpontban divergens (harmonikus sor), a bal v´egpontban Leibniz-sor.
7.64.
|an+1 | ((n + 1)!)2 (2n)! (n + 1)2 1 = · = → . Ez´ert R = 4. 2 |an | (2n + 2)! (n!) (2n + 1)(2n + 2) 4
7.66.
A
∞ X
xn hatv´ anysor konvergenciasugara 1, ez´ert a tagonk´enti integr´a-
n=0
l´ asr´ ol sz´ ol´ o t´etel szerint igaz az ´all´ıt´as. 7.72.
∞ X x2 xn x3 + + ··· = hatv´anysor konvergencia sugara 1. Je2 3 n n=1 l¨ olje f (x) a hatv´ anysor ¨osszegf¨ uggv´eny´et a (−1, 1) intervallumon. A tagonk´enti deriv´ al´ asr´ ol sz´ol´o t´etel szerint
A x+
∞ ∞ ∞ X X X n · xn−1 1 n−1 f (x) = = x = xk = , n 1 − x n=1 n=1 0
k=0
´ıgy teh´ at f (x) primit´ıv f¨ uggv´enye az ez´ert f (x) = − ln(1 − x),
1 f¨ uggv´enynek, ´es f (0) = 0, 1−x −1 < x < 1.
Megjegyz´ es: Mivel −1-ben a sor konvergens (Leibniz-sor), ez´ert az u ´gy nevezett Abel-krit´erium seg´ıts´eg´evel bel´athat´o, hogy a fenti k´eplet −1-ben is ´erv´enyes.
´nysorozatok e ´s sorok – Megolda ´ sok 7. F¨ uggve
7.76.
Felhaszn´ alva a geometriai sor o¨sszegf¨ uggv´eny´et ∞ X
(sin x)n =
n=0
s 7.80.
297
n
1 1 − sin x
, ha
|sin x| = 6 1
, azaz x 6=
π + kπ, k ∈ Z 2
1 → 1, teh´ at R = 1. n(n + 1)
Legyen g(x) = x·f (x) = ∞ X xn . n n=1
∞ X
xn+1 . Tagonk´enti deriv´al´assal g 0 (x) = n(n + 1) n=1
´ Ujabb deriv´ al´ assal g 00 (x) =
∞ X
xn−1 =
n=1
Z
∞ X k=0
1 dx = − ln(1 − x), 1−x x + (1 − x) ln(1 − x).
Ez´ert g 0 (x) =
1 . 1−x Z g(x) = − ln(1 − x) dx =
xk =
1−x ´Igy teh´ at f (x) = 1 + ln(1 − x), ha |x| < 1. x 7.82.
√ n
n → 1, teh´ at R = 1.
Legyen g(x) =
∞ f (x) X n−1 = nx . x n=1
Legyen h(x) az a primit´ıv f¨ uggv´enye g(x)-nek, amelyre h(0) = 0. Ezt a f¨ uggv´enyt a hatv´ anysor tagonk´enti integr´al´as´aval kaphatjuk meg: h(x) =
∞ X n=1
xn =
1 x 1 −1 = . ´Igy teh´at g(x) = h0 (x) = , 1−x 1−x (1 − x)2
ez´ert f (x) = x · g(x) = 7.84.
x . (1 − x)2
p n n(n + 1) → 1, teh´ at R = 1. Legyen g(x) az a primit´ıv f¨ uggv´enye f (x)-nek, amelyre g(0) = 0. Ezt a f¨ uggv´enyt a hatv´ anysor tagonk´enti integr´al´as´aval kaphatjuk meg:
´nysorozatok e ´s sorok – Megolda ´ sok 7. F¨ uggve
g(x) =
∞ X
nxn+1 = x
n=1
∞ X
298
nxn . Az el˝oz˝o feladat eredm´eny´et felhaszn´al-
n=1
x2 . va g(x) = (1 − x)2 Innen m´ ar k¨ onnyen kapjuk f (x)-et: f (x) = g 0 (x) =
7.87.
x(1 − x) + x2 x 2x(1 − x)2 + 2x2 (1 − x) =2 =2 4 (1 − x) (1 − x)3 (1 − x)3
Helyettes´ıts¨ unk az ex Taylor-sor´aban x hely´ebe 2x-et (nevezetes Taylorsorok). ∞ ∞ X X (2x)n 2n n e2x = = x , x ∈ R. n! n! n=0 n=0
7.93. ∞ ∞ X X 1 1 (−1)n xn , (−x)n = = = 1+x 1 − (−x) n=0 n=0
7.96.
Legyen f (x) = ln(1 + x). Ekkor a 7.93. feladat szerint f 0 (x) = Zx f (x) = 0
7.99.
|x| < 1.
∞ X 1 (−1)n xn , = 1 + x n=0
ha |x| < 1.
x
Z ∞ ∞ ∞ X X X 1 xn+1 xn n (−1) (−1)n (−1)n dt = tn dt = = 1+t n + 1 n=1 n n=0 n=0 0
B˝ ov´ıts¨ uk a f¨ uggv´enyt 1 − x-szel: f (x) =
1−x 1−x = . 2 (1 + x + x )(1 − x) 1 − x3
Felhaszn´ alva a geometriai sor ¨osszegf¨ uggv´eny´et, x hely´ebe x3 -¨ot ´ırva ∞ X 1 = x3n , 1 − x3 n=0
|x| < 1.
Ez´ert ∞ ∞ ∞ X X X 1 1 3n 3n+1 f (x) = −x = x − x = ak xk , 1 − x3 1 − x3 n=0 n=0 k=0
´nysorozatok e ´s sorok – Megolda ´ sok 7. F¨ uggve
ahol
1 −1 ak = 0
299
ha k = 3n ha k = 3n + 1 ha k = 3n + 2
7.105. cos2 x =
∞ 1 1 1 1X (2x)2n + cos 2x = + (−1)n = 2 2 2 2 n=0 (2n)!
=1+
∞ X
(−1)n 22n−1
n=1
7.111.
x2n , (2n)!
x ∈ R.
A Lagrange-marad´ek seg´ıts´eg´evel becs¨ ulj¨ uk meg a f¨ uggv´eny´ert´ek ´es egy Taylor-polinom elt´er´es´et. Az f (x) = sin x f¨ uggv´eny eset´en valamilyen d ∈ [0, 1]-re n−1 X 1 k |sin 1 − T2n (1)| = sin 1 − (−1) = (2k + 1)! k=0
d2n+1 1 = ≤ < 10−2 , (2n + 1)! (2n + 1)! ha n ≥ 2. Ez´ert 1 |sin 1 − T4 (1)| = sin 1 − 1 + = sin 1 − 3!
5 < 10−2 . 6
Az f (x) = ex f¨ uggv´eny eset´en valamilyen d ∈ [0, 1]-re d n+1 1 e e − Tn (1) = e − Tn (1) = e d ≤ < 10−2 , (n + 1)! (n + 1)!
ha n ≥ 5. Ez´ert 1 1 1 1 e − T5 (1) = e − 1 + 1 + + + + = 2 6 24 120 43 ∼ e − 2.716666667 < 10−2 =e− 2+ 60 7.117.
2
A keresett deriv´ alt az f (x) = ex f¨ uggv´eny 0 k¨or¨ uli Taylor-sor´aban az 136 x hatv´ anyhoz tartoz´o egy¨ utthat´o ´es 136! szorzata. 2
f (x) = ex =
∞ X 1 2n x , n! n=0
f (136) (0) =
136! 68!
´nysorozatok e ´s sorok – Megolda ´ sok 7. F¨ uggve
7.120.
300
1 cos2 x 0 1 sin x 00 00 f (x) = (tg x) = =2 3 2 cos x cos x 0 sin x cos4 x + 3 sin2 x cos2 x f 000 (x) = (tg x)000 = 2 3 =2 = cos x cos6 x f 0 (x) = (tg x)0 =
1 + 2 sin2 x cos2 x + 3 sin2 x = 2 cos4 x cos4 x Teh´ at f (0) = 0, f 0 (0) = 1, f 00 (0) = 0, f 000 (0) = 2. Teh´at a 3-adik Taylor-polinom =2
x3 . 3 Mivel tg x p´ aratlan f¨ uggv´eny, ez´ert a negyedik deriv´altja a 0-ban 0. Teh´ at a fenti polinom egyben a negyedik Taylor-polinom is, t3 (x) = t4 (x). t3 (x) = x +
7.125.
∞ X 1 1 1 1 = = (−1)n n+1 xn , 2+x 2 1 − −x 2 n=0 2 1 1 1 1 (b) = = = −(x − 1) 2+x 3 + (x − 1) 3 1− 3 ∞ X 1 (−1)n n+1 (x − 1)n , = |x − 1| < 3 3 n=0
(a)
|x| < 2
7.3 Trigonometrikus sorok, Fourier-sor 1 1 − cos 2x 2 2
7.126.
sin2 x =
7.128.
Mivel sgn x p´ aratlan, ez´ert minden an = 0. 1 bn = π
Zπ −π
Zπ 2 2 π sin nx dx = − sgn x sin nx dx = [cos nx]0 = π πn 0 4 ha n p´aratlan πn = 0 ha n p´aros
´nysorozatok e ´s sorok – Megolda ´ sok 7. F¨ uggve
301
Mivel a sgn x f¨ uggv´eny szakaszonk´ent folytonosan deriv´alhat´o ´es 0-ban az ´ert´ek a k´et f´eloldali” hat´ar´ert´ek sz´amtani k¨ozepe, ez´ert a Fourier” sora el˝ o´ all´ıtja a (−π, π) intervallumon. ∞ 4 X sin(2k + 1)x π 2k + 1
sgn x =
ha − π < x < π.
k=0
7.134.
(a) Ez a f¨ uggv´eny p´ aratlan f¨ uggv´eny, azaz f (−x) = −f (x), ez´ert minden an = 0. Z2π 0
2π Z2π π−x 1 1 π−x cos nx dx = sin nx dx = − · cos nx − 2 2 n 2n 0 0
x−π = cos nx 2n
2π 0
π = n
´Igy teh´ at 1 bn = π
Z2π
π−x 1 sin nx dx = . 2 n
0
Mivel az f (x) f¨ uggv´eny szakaszonk´ent folytonosan deriv´alhat´o, az´ert (0, 2π)-n, a folytonoss´ agi helyein a f¨ uggv´enyt el˝o´all´ıtja a Fourier-sora. ∞ π − x X sin nx = , 2 n n=1
ha 0 < x < 2π.
π (b) Az el˝ oz˝ o Fourier-sorfejt´esben ´ırjunk x hely´ebe -t. 2 n ha k = 2n + 1 π (−1) Mivel sin k = , ez´ert 2 0 ha k = 2n ∞ X 1 π = (−1)n . 4 2n +1 n=0
7.135.
(a) Mivel f p´ aros f¨ uggv´eny, 1 bn = π
Zπ −π
x2 sin nx dx = 0, azaz a bn -ek mind null´ak.
´nysorozatok e ´s sorok – Megolda ´ sok 7. F¨ uggve
Zπ
1 a0 = 2π
−π
302
π 1 x3 π2 x dx = = 2π 3 −π 3 2
ha n > 0, k´etszer parci´alisan integr´alva kapjuk, hogy π Zπ Zπ 2 1 2 2 x sin x dx = x sin nx − x cos nx dx = n n −π −π
−π
=
2 2 π [x cos nx]−π − 2 2 n n
=
(−1)n 4π n2 .
Zπ
cos nx dx = (−1)n
4π 2 π − 3 [sin nx]−π = 2 n n
−π
´Igy teh´ at n > 0 eset´en Zπ 1 4 an = x2 cos nx dx = (−1)n 2 . π n −π
X 1 Mivel konvergens, ez´ert f Fourier-sora egyenletesen konvern2 gens a Weierstrass-krit´erium szerint, ´es mivel f folytonos, a Fouriersora el˝ o´ all´ıtja a f¨ uggv´enyt. ∞ 2 X π cos nx x2 = , ha −π ≤ x ≤ π. (−1)n +4· 3 n2 n=1 (b) Ha az el˝ oz˝ o Fourier-sorban x hely´ebe π-t ´ırunk, ´es felhaszn´aljuk, hogy cos nπ = (−1)n kapjuk, hogy π2 =
∞ X 1 π2 +4· . 3 n2 n=1
´ Atrendez´ es ut´ an pedig ∞ X 1 π2 = . n2 6 n=1 7.142. x
e = a0 +
∞ X
(an cos nx + bn sin nx)
n=1
K´etszer parci´ alisan integr´alva kapjuk, hogy Z cos nx + n sin nx x ex cos nx dx = e + C, n2 + 1
´nysorozatok e ´s sorok – Megolda ´ sok 7. F¨ uggve
Z
ex sin nx dx =
303
sin nx − n cos nx x e +C n2 + 1
Ezt felhaszn´ alva 1 a0 = 2π
Zπ
ex dx =
1 eπ − e−π · , 2 π
−π
1 an = π
Zπ
ex cos nx dx = (−1)n
1 eπ − e−π · , n2 + 1 π
−π
bn =
1 π
Zπ
ex sin nx dx = (−1)n+1
n eπ − e−π · n2 + 1 π
−π
Behelyettes´ıt´es ut´ an eπ − e−π e = π x
! ∞ 1 X (−1)n + (cos nx − n sin nx) , 2 n=1 n2 + 1
−π < x < π
´ ltozo ´ s f¨ ´nyek differencia ´ la ´ sa – Megolda ´ sok 8. T¨ obbva uggve
304
T¨ obbv´ altoz´ os fu enyek differenci´ al´ asa ¨ ggv´ 8.1 Topol´ ogiai alapfogalmak p
8.2.
|p − q | = √ 110
8.5.
k=1:
x2 < r 2
k=2:
x2 + y 2 < r 2
k=3:
x2 + y 2 + z 2 < r 2
k=n:
x21 + x22 + · · · + x2n < r2
8.8.
(−1 − 5)2 + (3 − (−4))2 + (5 − 0)2 =
Ez a halmaz az ´ abr´ an l´athat´o ny´ılt k¨ orgy˝ ur˝ u. Ny´ılt ´es korl´atos halmaz, hat´ arpontjai az x2 + y 2 = 1 ´es az 2 x + y 2 = 4 k¨ orvonal pontjai.
√
36 + 49 + 25 =
2
1
K
2
K
0
1
1
2
K
1
K
2
8.14.
H = {x : 0 < x < 1} ⊂ R ny´ılt (ny´ılt intervallum), mert ha x ∈ H, r = min{x, 1 − x}, akkor {y : |x − y| < r} ⊂ H.
8.15.
Ha H = {(x, 0) : 0 < x < 1} ⊂ R2 , akkor ∂ H = {(x, 0) : 0 ≤ x ≤ 1}. A 8.1. t´etel szerint H nem ny´ılt, mert H ∩ ∂ H 6= ∅, ´es nem z´art, mert ∂ H * H.
8.22.
Ha H = {(x, y) : x ∈ Q, y ∈ Q} ⊂ R2 , akkor ∂ H = R2 , ´es ez´ert a 8.1. t´etel szerint H se nem ny´ılt, se nem z´art.
8.23.
A H = {(x, y) : 0 < x < 1, 0 < y < 1} ⊂ R2 halmaz ny´ılt (ny´ılt t´eglalap), mert p = (x, y) ∈ H, r = min {x, 1 − x, y, 1 − y} > 0 eset´en B(p; r) = q ∈ R2 : |p − q| < r ⊂ H.
´ ltozo ´ s f¨ ´nyek differencia ´ la ´ sa – Megolda ´ sok 8. T¨ obbva uggve
305
8.29. H = {(x, y, z) : x2 +y 2 +z 2 ≤ 1},
int H = {(x, y, z) : x2 +y 2 +z 2 < 1},
ext H = {(x, y, z) : x2 +y 2 +z 2 > 1}, 8.32.
∂ H = {(x, y, z) : x2 +y 2 +z 2 = 1}
(a) Nem igaz, p´eld´ aul H = {0 } , x = 0 . (b) Igaz, mert int H ⊂ H. (c) Nem igaz, p´eld´ aul H = {0 }. (d) Nem igaz, p´eld´ aul H = {p ∈ Rn : |p| < 1} , x = (1, 0, . . . , 0). (e) Igaz, p´eld´ aul H = Qn . (f ) Igaz, p´eld´ aul H = {p ∈ Rn : |p| < 1}. (g) Igaz, p´eld´ aul H = {p ∈ Rn : |p| = 1}.
8.2 T¨ obbv´ altoz´ os fu enyek grafikonja ¨ ggv´ 8.33.
f (p ) = f (2, 3) = 2 + 32 = 11.
8.38.
f (x, y) = x − y,
8.41.
(a) — (B), (b) — (D), (c) — (C), (d) — (F), (e) — (A), (f) — (E)
8.43.
f (x, x2 ) = x − x2 .
f (x, x) = 0,
3
2 y 35
1 30 25
K3
K2
K1
0
1
x
2
3
20
K1
15 10
-3
K2
-2
5y -1 00
K3
szintvonalak
3
2
1
0
1
-2
-1 2
grafikon
x
-3
´ ltozo ´ s f¨ ´nyek differencia ´ la ´ sa – Megolda ´ sok 8. T¨ obbva uggve
8.45.
306
3
2
8,5
y 6,0
1 3,5
K3
K2
-3
K1
0
1
x
2
-1 1
2
3
K1
1,0 -2
3
y
-2
0 0 -1,5 -1 1 2 3
-3
x
-4,0
K2
-6,5
-9,0
K3
szintvonalak 8.47.
grafikon
3
2 y 17,5
1 15,0
12,5
K3
K2
K1
0
1
x
2
3
10,0
K1
7,5
5,0 -3
K2
-2
y 2,5 -1 0 0,0
K3
szintvonalak
3
2
1
0
-2
-1 1 x 2
grafikon
-3
´ ltozo ´ s f¨ ´nyek differencia ´ la ´ sa – Megolda ´ sok 8. T¨ obbva uggve
8.49.
307
3
2
8,5
y 6,0
1
-3
3,5 -2
K3
K2
1,0
3
K1
0
1
x
2
2
3
y
-1
0
1
0 -1,5 1
-1
-2
2
K1
3
-4,0
x
-3
-6,5
K2
-9,0
K3
szintvonalak 8.61.
f (x, y) =
x+y , x−y
grafikon
Df = (x, y) ∈ R2 : x 6= y .
8.3 T¨ obbv´ altoz´ os hat´ ar´ ert´ ek, folytonoss´ ag 8.67.
f (x, y) = 7,
lim
f (x, y) =
(x,y)→(0,0)
lim
7 = 7. A f¨ uggv´eny minde-
(x,y)→(0,0)
n¨ utt folytonos. 8.73.
sin x − sin y f¨ uggv´eny nincs ´ertelmezve ha x = y, ´es ´ıgy ex − ey nincs ´ertelmezve az orig´o egy pontozott k¨ornyezet´eben. Az orig´oban ez´ert nincs hat´ ar´ert´ek. Az f (x, y) f¨ uggv´eny folytonos az {(x, y) : x 6= y} ´ertelmez´esi tartom´ any minden pontj´aban. Az f (x, y) =
8.79. ( x, ha x = y f (x, y) = 0, egy´ebk´ent A f¨ uggv´eny minden¨ utt folytonos, kiv´eve a H = {(x, x) : x 6= 0} halmaz pontjait. Ez´ert (0, 0)-ban is ´es (0, 1)-ben is van hat´ar´ert´ek, m´egpedig a helyettes´ıt´esi ´ert´ek: lim (x,y)→(0,0)
f (x, y) = f (0, 0) = 0,
lim (x,y)→(0,1)
f (x, y) = f (0, 1) = 0.
´ ltozo ´ s f¨ ´nyek differencia ´ la ´ sa – Megolda ´ sok 8. T¨ obbva uggve
308
8.4 Parci´ alis ´ es tot´ alis deriv´ alt 8.85.
Legyen p´eld´ aul f (x, y) =
2xy x2 + y 2
ha x2 + y 2 > 0 . 2
0
2
ha x + y > 0
Mivel f (x, 0) ≡ 0 ≡ f (0, y), ez´ert az orig´oban mindk´et parci´alis deriv´alt l´etezik ´es nulla. De mivel f (x, x) ≡ 1 6= 0, ez´ert m´eg hat´ar´ert´eke sincs f -nek az orig´ oban. 8.90.
Ha x 6= y 2 , akkor az f (x, y) =
x+y f¨ uggv´eny (parci´alisan) deriv´alhax − y2
t´ o, ´es fx0 (x, y) = fy0 (x, y) =
8.96.
(x − y 2 ) − (x + y) y2 + y = − , (x − y 2 )2 (x − y 2 )2
(x − y 2 ) + (x + y) · 2y x + y 2 + 2xy = . 2 2 (x − y ) (x − y 2 )2
z
A g(x, y, z) = xy f¨ uggv´eny ´ertelmez´esi tartom´anya a {(x, y, z) ∈ R3 : x > 0, y > 0} t´ernegyed. Ennek pontjaiban deriv´alhat´o, ´es z ∂ yz x = x(y −1) · y z , ∂x
z ∂ yz x = xy · ln x · z · y z−1 , ∂y
z ∂ yz x = xy · ln x · ln y · y z ∂z
8.102.
Egyik parci´ alis deriv´ alt sem l´etezik az orig´oban, mert az f (x, 0) = |x|,illetve f (0, y) = |y| egyv´altoz´os f¨ uggv´enyek nem deriv´alhat´ok 0-ban.
8.108. g(x, y, z) = 2 + x + y 2 + z 3 , gx0 (x, y, z) = 1,
gy0 (x, y, z) = 2y,
00 00 gxy (x, y, z) = gyx (x, y, z) = 0, 00 gyy (x, y, z) = 2,
gz0 (x, y, z) = 3z 2 ,
00 gxx (x, y, z) = 0,
00 00 gxz (x, y, z) = gzx (x, y, z) = 0,
00 00 gyz (x, y, z) = gzy (x, y, z) = 0, 00 gzz (x, y, z) = 6z
´ ltozo ´ s f¨ ´nyek differencia ´ la ´ sa – Megolda ´ sok 8. T¨ obbva uggve
8.112.
A v = (−4, 3) vektor hossza |v | = 5. Mivel az f (x, y) = ex+y ·ln y f¨ uggv´eny a p = (0, 1) pontban deriv´alhat´o ez´ert ebben a pontban minden ir´ anyban deriv´ alhat´ o (l´asd a 8.5. t´etelt), ´es 1 ∂ ∂ ∂ f (0, 1) = −4 f (0, 1) + 3 f (0, 1) . ∂v 5 ∂x ∂y ∂ ∂ 1 ex+y · ln y = ex+y · ln y, ex+y · ln y = ex+y · ln y + ∂x ∂y y Behelyettes´ıt´es ut´ an
8.119.
309
3e ∂ f (0, 1) = . ∂v 5
Egy (sima) fel¨ ulet tetsz˝oleges pontj´aban az ir´anymenti deriv´altak abszol´ ut ´ert´ekben a gradiens ir´any´aban maxim´alisak (l´asd a 8.5. t´etelt), ´es ez´ert a goly´ o ebben az ir´anyban lefel´e indul el. fx0 (x, y) = 3x2 − 9y,
fy0 (x, y) = 3y 2 − 9x
grad f (1, 2) = (−15, 3),
grad f (2, 1) = (3, −15),
grad f (2, 0) = (12, −18),
grad f (−2, 1) = (3, 21)
8.127. x2 − y 2 xy x2 + y 2 , f (x, y) = 0,
ha x2 + y 2 6= 0 ha x2 + y 2 = 0
Ha x2 + y 2 6= 0 x2 − y 2 x2 + y 2 x2 − y 2 =y 2 x + y2 x2 − y 2 fy0 (x, y) = x 2 x + y2 x2 − y 2 =x 2 x + y2
fx0 (x, y) = y
(a) f (x, 0) = f (0, y) = 0, (b) fx0 (0, y) = −y,
2x(x2 + y 2 ) − 2x(x2 − y 2 ) = (x2 + y 2 )2 4xy 2 + xy 2 (x + y 2 )2 −2y(x2 + y 2 ) − 2y(x2 − y 2 ) + xy = (x2 + y 2 )2 4x2 y − xy 2 (x + y 2 )2 + xy
fx0 (0, 0) = fy0 (0, 0) = 0
fy0 (x, 0) = x
´ ltozo ´ s f¨ ´nyek differencia ´ la ´ sa – Megolda ´ sok 8. T¨ obbva uggve 00 (c) fxy (0, 0) = −1,
310
00 fyx (0, 0) = 1
(d) Mert a m´ asodrend˝ u parci´alis deriv´altak nem folytonosak az orig´oban. (e) Bel´ atjuk, hogy f nem deriv´alhat´o k´etszer, mert fx0 nem deriv´alhat´o az orig´ oban. Az eddigi eredm´enyeket felhaszn´alva 00 00 fx0 (0, 0) = 0, fxx (0, 0) = 0, fxy (0, 0) = −1 00 00 fx0 (x, y) − fxx (0, 0)x + fxy (0, 0)y + fx0 (0, 0) fx0 (x, y) + y p = p x2 + y 2 x2 + y 2
Megmutatjuk, hogy ez a kifejez´es nem tart 0-hoz (0, 0)-ban m´ar az y = x egyenes ment´en sem. √ fx0 (x, x) + x 2x √ =√ = 2 2x x2 + x2 8.129.
Igen, p´eld´ aul az f (x, y) = x sin y megfelel.
8.131.
Ha x > 0, akkor grad f (x, y) = (yxy−1 , xy ln x),
grad f (2, 3) = (12, 8 ln 2).
Az ´erint˝ o s´ık egyenlete z = 8 + 12(x − 2) + 8 ln 2 · (y − 3). 8.134. y = n! +
n X n! k=1
8.140.
k
(xk − k)
Itt h = g ◦ f : R2 → R, h(u, v) = g(f (u, v)) = g(f1 (u, v), f2 (u, v)) ahol 1 f1 (u, v) = u2 v 2 , f2 (u, v) = . uv h0u (u, v) = gx0 (f (u, v))(f1 )0u (u, v) + gy0 (f (u, v))(f2 )0u (u, v) = 1 1 1 = 2 2 · 2uv 2 + uv · − 2 = u v u v u h0v (u, v) = gx0 (f (u, v))(f1 )0v (u, v) + gy0 (f (u, v))(f2 )0v (u, v) = 1 1 1 = 2 2 · 2u2 v + uv · − 2 = u v uv v
´ ltozo ´ s f¨ ´nyek differencia ´ la ´ sa – Megolda ´ sok 8. T¨ obbva uggve
J = (h0u (u, v), h0v (u, v)) =
1 1 , u v
311
Ellen˝ orizz¨ uk ezt az eredm´enyt u ´gy, hogy kisz´amoljuk a h(u, v) f¨ uggv´enyt, majd deriv´ aljuk. 1 2 2 h(u, v) = ln(u v ) + ln = 2 ln u + 2 ln v − ln u − ln v = ln u + ln v uv 8.146.
Jel¨ olje t az r s´ıkg¨ orbe v´altoz´oj´at. r (t) = (x(t), y(t)) h = f ◦ r,
h(t) = f (r (t)) = x(t) + y(t),
h0 (t) = h0 (r (t)) · r 0 (t) = x0 (t) + y 0 (t)
8.5 T¨ obbv´ altoz´ os sz´ els˝ o´ ert´ ek 8.152.
Az f (x, y) = x2 + ey sin x3 y 2 f¨ uggv´eny folytonos a kompakt (korl´atos ´es z´ art) H = {(x, y) : x2 + y 2 ≤ 1} halmazon, ez´ert a Weierstrass-t´etel szerint van abszol´ ut maximuma ´es minimuma H-n.
8.157.
Az f (x, y) = x3 y 2 (1 − x − y) f¨ uggv´eny minden¨ utt folytonos, a korl´atos ´es z´ art H = {(x, y) : 0 ≤ x, 0 ≤ y, x + y ≤ 1} halmazon (z´ art h´ aromsz¨og) f nem negat´ıv. A h´aromsz¨og perem´en (hat´ ar´ an) f (x, y) = 0, a belsej´eben pedig f (x, y) > 0. Ez´ert az f f¨ uggv´eny maximuma a h´ aromsz¨og belsej´eben van, ´es ´ıgy ez lok´alis maximum is. Sz´ amoljuk ki az f f¨ uggv´eny stacion´arius pontjait, azaz a deriv´alt gy¨okeit (8.7. t´etel), ha x, y > 0, x + y < 1. fx0 (x, y) = 3x2 y 2 (1 − x − y) − x3 y 2 = 0,
4x + 3y = 3
fy0 (x, y) = 2x3 y(1 − x − y) − x3 y 2 = 0,
2x + 3y = 2
x=
1 , 2
y=
1 3
Mivel csak egy gy¨ ok¨ ot kaptunk, ez´ert ez a maximumhely.
´ ltozo ´ s f¨ ´nyek differencia ´ la ´ sa – Megolda ´ sok 8. T¨ obbva uggve
8.163.
312
Az f (x, y) = 3x2 + 5y 2 f¨ uggv´eny sehol sem negat´ıv, ´es az orig´ot kiv´eve minden pontban szigor´ uan monoton a koordin´ata-tengelyek ment´en, ez´ert egyetlen sz´els˝ o´ert´eke az orig´oban van, m´egpedig minimum. Ellenorizz¨ ˝ uk ezt a t´enyt a deriv´alt vizsg´alat´aval (8.7. t´etel). fx0 (x, y) = 6x = 0,
x=0
fy0 (x, y) = 10y = 0,
y=0
Teh´ at az orig´ o az egyetlen stacion´arius pont. 8.169.
Keress¨ uk meg az f (x, y) = −y 2 + sin x f¨ uggv´eny stacion´arius pontjait. fx0 (x, y) = cos x = 0,
π x = (2n + 1) , n ∈ Z 2
fy0 (x, y) = −2y = 0,
y=0
Teh´ uggv´eny stacion´ arius pontjai az x-tengelyen a o n at af¨ π p n = (2n + 1) , 0 : n ∈ Z pontok. Vizsg´aljuk meg a megfelel˝o 2 kvadratikus alakok definits´eg´et (8.7. t´etel). 00 fxx (x, y) = − sin x,
00 00 fxy (x, y) = fyx (x, y) = 0.
A Hesse-m´ atrixok ezekben a pontokban (−1)n+1 Hn = 0
0 −2
00 fyy (x, y) = −2
A Hn m´ atrix determin´ansa negat´ıv ha n p´aratlan, ez´ert ezekben a pontokban nincs sz´els˝ o´ert´ek. 00 Ha n p´ aros, akkor f -nek a p n -ben maximuma van, mert fxx < 0 ezekben a pontokban.
8.176.
´Irjuk fel a k´et egyenes egy-egy tetsz˝oleges pontj´anak a t´avols´ag´at p d(p (t), q (s)) = (2t − 3s)2 + (t − s)2 + (2 − t − 2s)2 , t, s ∈ R. A t´ avols´ agok minimuma ugyanott van, ahol a t´avols´agok n´egyzet´enek a minimuma. Keress¨ uk teh´at az f (t, s) = (2t−3s)2 +(t−s)2 +(2−t−2s)2 = 6t2 −10ts+14s2 −4t−8s+4 k´etv´ altoz´ os f¨ uggv´eny minimum´at a s´ıkon. ft0 (t, s) = 12t − 10s − 4 = 0,
6t − 5s = 2
´ ltozo ´ s f¨ ´nyek differencia ´ la ´ sa – Megolda ´ sok 8. T¨ obbva uggve
313
fs0 (t, s) = −10t + 28s − 8 = 0, −5t + 14s = 4 48 34 4 t= , s= , min {f (t, s) : t, s ∈ R} = 59 59 59 2 Teh´ at a k´et egyenes t´ avols´aga √ . 59 8.182. f (x, y) = (x + y)2 ,
fx0 (x, y) = fy0 (x, y) = 2(x + y)
Teh´ at az x + y = 0 egyenes ¨osszes pontja kritikus pont. Ezekben a pontokban a f¨ uggv´eny ´ert´eke nulla, m´asutt pozit´ıv, teh´at f -nek minimuma van az x + y = 0 pontjaiban. Megjegyezz¨ uk, hogy ezekben a pontokban nem tudunk d¨ onteni a m´asodik parci´alis deriv´altak seg´ıts´eg´evel, mert a kvadratikus alak szemidefinit: 2 2 00 00 00 = 0. fxx = fxy = fyy = 2, D = 2 2 8.190. f (x, y, z) = xyz + x2 + y 2 + z 2 fx0 (x, y, z) = yz + 2x = 0,
fy0 (x, y, z) = xz + 2y = 0,
fz0 (x, y, z) = xy + 2z = 0 Az egyenletek ´ atalak´ıt´ asa ut´an xyz + 2x2 = 0,
xyz + 2y 2 = 0,
xyz + 2z 2 = 0
Innen x2 = y 2 = z 2 . K¨onnyen l´athat´o, hogy ha az egyik v´altoz´o nulla, akkor a m´ asik kett˝ o is. Az egyik kritikus pont teh´at az a = (0, 0, 0) (orig´o). A t¨ obbi esetet n´ezve xyz negat´ıv kell, hogy legyen, ez´ert vagy mindh´arom negat´ıv, ´es akkor b = (−2, −2, −2) megold´ as, vagy az egyik negat´ıv, a m´asik kett˝o pozit´ıv, ´es akkor a c 1 = (−2, 2, 2), c 2 = (2, −2, 2), c 3 = (2, 2, −2) a tov´ abbi h´ arom kritikus pont. Mivel a f¨ uggv´eny v´altoz´oinak szerepe felcser´elhet˝ o, ez´ert el´eg a h´arom utols´o gy¨ok k¨oz¨ ul az egyiket megvizsg´ alni. 00 fxx = 2,
00 00 fxy = fyx = z,
00 00 fxz = fzx = y,
00 00 fyz = fzy = x,
´ ltozo ´ s f¨ ´nyek differencia ´ la ´ sa – Megolda ´ sok 8. T¨ obbva uggve 00 fyy = 2,
314
00 fzz =2
A Hesse-m´ atrix a -ban
2 Ha = 0 0
0 0 . 2
0 2 0
Mivel a sarok-determin´ ansok pozit´ıvak, ez´ert az orig´oban minimum van. A Hesse-m´ atrix b -ben
2 Hb = −2 −2
−2 2 −2
−2 −2 . 2
A kvadratikus alak indefinit, mivel van negat´ıv (−2) ´es pozit´ıv (4) saj´ at´ert´eke is. Teh´ at a q = (−2, −2, −2) pontban nincs sz´els˝o´ert´ek. Ezt bel´ athatjuk u ´gy is, hogy megmutatjuk, hogy a q ponthoz ak´armilyen k¨ ozel az f felvesz f (−2, −2, −2) = 4-n´el nagyobb ´es kisebb ´ert´eket is. Ugyanis a g(x) = f (x, x, x) = x3 + 3x2 f¨ uggv´enynek szigor´ u lok´alis maximuma van −2-ben, a h(x) = f (x, −2, −2) = x2 + 4x + 8 f¨ uggv´enynek pedig szigor´ u minimuma. V´eg¨ ul pedig p´eld´ aul c 1 -ben nincs sz´els˝o´ert´ek, mert a g(x) = f (x, −x, −x) = x3 + 3x2 f¨ uggv´enynek szigor´ u lok´alis maximuma van −2-ben, a h(x) = f (x, 2, 2) = x2 + 4x + 8-nek pedig szigor´ u minimuma. 8.197.
A Lagrange-multiplik´ ator m´odszer szerint keress¨ uk az L(x, y) = 30 −
x2 y2 − + λ(4x2 + 9y 2 − 36) 100 100
kritikus pontjait a 4x2 + 9y 2 = 36 felt´etel mellett. x 1 L0x (x.y) = − + 8λx = 8λ − x=0 50 50 y 1 0 Ly (x.y) = − + 18λy = 18λ − y=0 50 50 4x2 + 9y 2 = 36 A h´ aromismeretlenes egyenletrendszer megold´asai x1 = 0,
y1 = 2,
λ1 =
1 18 · 50
´ ltozo ´ s f¨ ´nyek differencia ´ la ´ sa – Megolda ´ sok 8. T¨ obbva uggve
315
1 8 · 50 Mivel a felt´etelt kiel´eg´ıt˝o pontok egy kompakt halmaz (z´art k¨orvonal) pontjai, ez´ert itt F -nek van maximuma ´es minimuma is. Mivel a z´art k¨ orvonalnak nincs pereme”, ez´ert a sz´els˝o´ert´ekek a fenti k´et pontban ” vannak, lok´ alis sz´els˝ o´ert´ekek. x2 = 3,
4 , 100
F (0, 2) = 30 −
y2 = 0,
λ2 =
F (3, 0) = 30 −
9 , 100
F (0, 2) > f (3, 0)
Teh´ at az ¨ osv´eny legmagasabb pontja (0, 2) felett, legalacsonyabb pontja pedig (3, 0) felett van. 8.202.
Mivel f (x, y, z) minden v´altoz´oj´aban p´aratlan, ez´ert a minimum ´ert´ekek a maximumok neg´ altjai. El´eg teh´at az xyz f¨ uggv´eny maximum´at keresni az x > 0,
y > 0,
z > 0,
x2 + y 2 + z 2 = 3
felt´etelek mellett. A m´ertani ´es a n´egyzetes k¨ozepek k¨oz¨otti egyenl˝otlens´eget haszn´ alva r xyz ≤
x2 + y 2 + z 2 3
!3 =1
´es egyenl˝ os´eg pontosan akkor van, ha x = y = z. De akkor x = y = z = 1. 8.208.
Ha a t´egla t´erfogata V , akkor teh´at keress¨ uk a F (x, y, z) = 2(xy + xz + yz) f¨ uggv´eny minimum´ at az xyz = V,
x > 0,
y > 0,
z>0
felt´etelek mellett. Ez nyilv´an ugyanott van ahol az f (x, y, z) = xy+xz+ yz f¨ uggv´enynek. A Lagrange-multiplik´ator m´odszer szerint keress¨ uk az L(x, y, z) = xy + xz + yz + λ(xyz − V ) f¨ uggv´eny kritikus pontjait. L0x (x, y, z) = y + z + λyz = 0
´ ltozo ´ s f¨ ´nyek differencia ´ la ´ sa – Megolda ´ sok 8. T¨ obbva uggve
316
L0y (x, y, z) = x + z + λxz = 0 L0z (x, y, z) = x + y + λxy = 0 Az els˝ o egyenletet yz-vel, a m´asodikat xz-vel, a harmadikat xy-nal osztva kapjuk, hogy 1 1 1 1 1 1 + = + = + = −λ, z y z x y x √ 3 ahonnan x = y = z = V .
´ ltozo ´ s Riemann-integra ´ l – Megolda ´ sok 9. T¨ obbva
317
T¨ obbv´ altoz´ os Riemann-integr´ al 9.1 Jordan-m´ ert´ ek 9.1.
H = {(x, y) : 0 ≤ x < 1, 0 < y ≤ 1},
t(h) = 1.
9.2. H = {(x, y) : x ∈ Q, y ∈ Q, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}, int H = ∅,
H = N = [0, 1] × [0, 1].
Az 9.1. t´etel szerint b(H) = 0 6= 1 = k(H), ´es ´ıgy H nem Jordanm´erhet˝ o. 9.8.
L´ asd a 9.2. feladatot.
9.12.
H = {(x, y, z) : x ∈ Q, y ∈ Q, z ∈ Q, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1} Hasonl´ oan a 9.2. feladathoz b(H) = 0,
9.18. 9.24.
k(H) = 1.
Nem, l´ asd a 9.2. feladatot. 1 k¨orvonal nullMinden n ∈ N eset´en a Kn = p ∈ R : |p | = n ∞ [ m´ert´ek˝ u. Megmutatjuk, hogy a H = Kn halmaz is m´erhet˝o ´es +
2
n=1
null-m´ert´ek˝ u. Ehhez el´eg megmutatni, hogy H k¨ uls˝o m´ert´eke nulla. Legyen ε > 0 tetsz˝ oleges, r > 0 eset´en Gr = p ∈ R2 : |p | < r az orig´ o k¨ oz´eppont´ u r sugar´ u ny´ılt k¨orlap, [ 1 Hr = Gr ∪ Kn : r ≤ . n Ekkor Hr v´eges sok m´erhet˝o halmaz diszjunkt uni´oja, ez´ert m´erhet˝o. Mivel minden r > 0 eset´en H ⊂ Hr , ez´ert k(H) ≤ k (Hr ) = t (Hr ) = t (Gr ) = πr2 < ε, ha r el´eg kicsi. 9.30.
Felhaszn´ aljuk, hogy minden (nem elfajul´o) t´egla tartalmaz g¨omb¨ot, ´es minden g¨ omb tartalmaz (nem elfajul´o) t´egl´at. Legyen teh´at A ⊂ Rn tetsz˝ oleges korl´ atos halmaz.
´ ltozo ´ s Riemann-integra ´ l – Megolda ´ sok 9. T¨ obbva
318
b(A) = 0 akkor ´es csak akkor, ha A nem tartalmaz t´egl´at, akkor ´es csak akkor, ha A nem tartalmaz g¨omb¨ot, akkor ´es csak akkor, ha int(A) = ∅.
9.2 T¨ obbv´ altoz´ os Riemann-integr´ al 9.34. ( |x|, ha y ∈ Q f (x, y) = 0, ha y ∈ /Q Z1 Z1 Z1 Z1 f (x, y) dx dy = g(y) dy = 0. g(y) = f (x, y) dx = 0, −1
0
−1
0
Bontsuk kett´e a H halmazt: H1 = {(x, y) ∈ H : x ≤ 0} ´es H2 = {(x, y) ∈ H : x > 0}. Ekkor H1 -en minden fels˝o o¨sszeg nulla, ´es H2 -n minden fels˝o o¨sszeg legal´ abb 1/2, ´es ´ıgy Z Z Z 1 f≥ f+ f≥ . 2 H
H1
H2
Mivel H-n minden als´ o ¨osszeg nulla, ez´ert a Darboux-integr´alok nem egyeznek meg, Z Z 1 f = 0 < ≤ f, 2 H
9.40.
H
teh´ at f nem integr´ alhat´o H-n. 1 1 Legyen A = (x, y) ∈ N : x ≥ , B = N \A = (x, y) ∈ N : x < . 2 2 Mindk´et halmaz m´erhet˝o (t´eglalapok), ´es rajtuk az ( 1, ha x ≥ 1/2 f (x, y) = 2, ha x < 1/2 f¨ uggv´eny konstans. ´Igy teh´at f integr´alhat´o N -en, ´es ZZ ZZ ZZ 1 3 f (x, y) dx dy = 1 dx dy + 2 dx dy = + 1 = 2 2 N
A
B
´ ltozo ´ s Riemann-integra ´ l – Megolda ´ sok 9. T¨ obbva
9.43.
319
Mivel f (x, y) nem korl´atos, ez´ert nem integr´alhat´o. M´asr´eszt minden v´ızszintes ´es f¨ ugg˝ oleges egyenesen a f¨ uggv´eny v´eges sok hely kiv´etel´evel nulla. Megjegyz´ es: Megadhat´o korl´atos p´elda is. Legyen ugyanis py px ,y = , (px , q) = (py , q) = 1 . H = (x, y) ∈ N : x, y ∈ Q, x = q q Kiss´e pongyola m´ odon, H azon racion´alis pontp´arokb´ol ´all, amelyeknek k¨ oz¨ os a nevez˝ oj¨ uk” (egyszer˝ us´ıt´es ut´an). ” Legyen f (x, y) a H halmaz karakterisztikus f¨ uggv´enye, azaz 1 ha (x, y) ∈ H f (x, y) = χH (x, y) = . 0 egy´ebk´ent
9.46.
Z1
ZZ sin(x + y) dx dy =
sin(x + y) dx dy =
0
0
N
Z1
Z1
1
=
[− cos(x + y)]x=0 dy = 0
Z1
1
(cos y − cos(1 + y)) dy = [sin y − sin(1 + y)]0 =
= 0
= 2 sin 1 − sin 2 9.52. ZZ
ex+2y dx dy =
Z1
1 Z e2 − 1 ex dx · e2y dy = (e − 1) 2
0
N
0
9.58. Z3
ZZ (x + y) dxdy =
1
T
Z3 = 1
1 1 Z Z3 2 x (x + y) dx dy = + xy dy = 2 x=0 0
1
2 3
1 y y + y dy = + 2 2 2
=5 y=1
´ ltozo ´ s Riemann-integra ´ l – Megolda ´ sok 9. T¨ obbva
320
9.60. ZZ
1 1 1 2 Z Z Z ex+y dxdy = ex dx · ey dy = ex dx = 0
T
0
0
2 1 2 = [ex ]0 = (e − 1) 9.69.
Alkalmazzuk a k¨ orlapokra vonatkoz´o transzform´aci´os k´epletet: Z2
ZZ xy dxdy =
2π Z r(r cos ϕ + 1)(r sin ϕ − 1)dϕ dr = 0
0
T
2π Z 3 r sin(2ϕ) + r2 (sin ϕ − cos ϕ) − r dϕ dr = = 2 0 0 2 2π Z Z 3 r = dr sin(2ϕ) dϕ + 2 0 0 2 2π Z Z + r2 dr (sin ϕ − cos ϕ) dϕ − Z2
0
0
2 2π Z Z − r dr 1 dϕ = 0
0
2 2π Z Z = − r dr 1 dϕ = −4π 0
0
Felhaszn´ altuk, hogy a sin(2ϕ) ´es a (sin ϕ − cos ϕ) f¨ uggv´enyek primit´ıv f¨ uggv´enyei 2π szerint periodikusak, ez´ert megv´altoz´asuk a [0, 2π] intervallumon 0.
´ ltozo ´ s Riemann-integra ´ l – Megolda ´ sok 9. T¨ obbva
321
9.74. Z3
ZZZ (x + y + z) dx dy dz =
0
T
Z3 =
Z2
=
x2 + xy + xz 2
Z2
0
Z3 =
1 +y+z 2
0
0
1
0
0
Z3
dy dz = x=0
dy dz =
0
y y2 + + yz 2 2
Z3
2
0
9.82.
2 1 Z Z (x + y + z) dx dy dz =
dz = y=0
3 (3 + 2z) dz = 3z + z 2 0 = 18
0
Jel¨ olje H az y = x2 , y = 2x2 , xy = 1, xy = 2 g¨ orb´ek ´ altal hat´arolt s´ıkidomot. Tekints¨ uk azt a Ψ : R2 → R2 ,
Ψ(u, v) = (x(u, v), y(u, v))
transzform´ aci´ ot, amelyet az y = ux2 ,
xy = v
egyenletrendszer hat´ aroz meg, azaz x = u−1/3 v 1/3 ,
y = u1/3 v 2/3 . A H s´ıkidom
Erre a Ψ transzform´ aci´ ora teljes¨ ulnek az integr´altranszform´aci´or´ol sz´ol´o t´etel felt´etelei. A H halmaz a T = [1, 2] × [1, 2] n´egyzet transzform´altja, H = Ψ(T ). Sz´ amoljuk ki a Ψ Jacobi-determin´ans´at. ! − 31 u−4/3 v 1/3 31 u−1/3 v −2/3 1 1 0 Ψ (u, v) = , J = − , |J| = 1 −2/3 2/3 2 1/3 −1/3 3u 3u u v u v 3
ZZ t(H) =
3
ZZ dx dy =
H
T
2 2 Z Z 1 1 1 ln 2 du dv = du dv = 3u 3 u 3 1
1
´ ltozo ´ s Riemann-integra ´ l – Megolda ´ sok 9. T¨ obbva
9.88.
322
x2 y2 − , H = [0, 1] × [0, 1], 2 2 N = {(x, y, z) : (x, y) ∈ H, 0 ≤ z ≤ f (x, y)}
f (x, y) = 1 −
ZZZ t(N ) =
dx dy dz = N
ZZ =
fZ (x,y)
dz dx dy =
0
H
ZZ y2 x2 − dx dy = = 1− 2 2 H Z1 Z1 2 2 x y = 1− − dx dy = 2 2 0
0
Z1 =
2
5 y − 6 2
dy =
1−
x2 2
−
y2 2
alatti test.
2 3
0
9.94.
H = (x, y, z) : x2 + y 2 ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1 − x2 − y 2 .
ZZZ t(H) =
dx dy dz = H
ZZ =
dz dx dy =
x2 +y 2 ≤1
ZZ
2 2 1−x Z −y
0
1 − x2 − y 2 dx dy =
= x2 +y 2 ≤1
Z1 =
2π Z r(1 − r2 ) dϕ dr =
0
0
r2 r3 = 2π − 2 3
1 = 0
π 3
1 − x2 − y 2 alatti test.
´ ltozo ´ s Riemann-integra ´ l – Megolda ´ sok 9. T¨ obbva
9.100.
%(x, y) = x2 ,
H = [0, 1] × [0, 1] Z1
ZZ M=
%(x, y) dx dy = 0
H
Z1 Sx = 3
Z1
1 Z 2 x dx dy = 1 3 0
Z1
3 x dx dy = , 4 3
Sy = 3
0
0
9.106.
323
1 Z 2 x y dx dy = 1 2 0
0
Az y = 0, x = 2, y = 1, y = x egyenesek ´altal hat´arolt H s´ıkidom egy trap´ez, amelyik egy norm´altartom´any az y-tengely ment´en. H = {(x, y) : 0 ≤ y ≤ 1, y ≤ x ≤ 2} Ha %(x, y) = y, akkor Z1
ZZ M=
y dx dy = H
3 Sx = 2
ZZ
2 Z Z1 y dx dy = y(2 − y) dy = 2 3 y
0
3 xy dx dy = 2
Z1
0
2 Z xy dx dy = y
0
H
Z1
y2 3 7 21 y 2− dy = · = 2 2 8 16 0 ZZ Z1 Z2 3 3 Sy = y 2 dx dy = y 2 dx dy = 2 2 =
3 2
y
0
H
3 = 2
Z1 0
3 y (2 − y) dy = 2 2
2 1 − 3 4
=
5 8
´l e ´s primit´ıv f¨ ´ny – Megolda ´ sok 10. Vonalintegra uggve
Vonalintegr´ al ´ es primit´ıv fu eny ¨ ggv´ 10.1 S´ık ´ es t´ erg¨ orb´ ek 10.1.
r = t · i + t2 · j t ∈ [0, 4]
10.7.
r = cos t · i + sin t · j t ∈ [0, 2π]
324
´l e ´s primit´ıv f¨ ´ny – Megolda ´ sok 10. Vonalintegra uggve
325
10.13.
r = t cos t · i + sin t · j t ∈ [0, 6π]
10.19.
r = 2 sin t · i − t2 · j + cos t · k t ∈ [2, 6π]
10.25.
A x2 − xy 3 + y 5 = 17 s´ıkg¨orbe a P (5, 2) pont k¨or¨ ul meghat´aroz egy implicit y(x) f¨ uggv´enyt. Ennek a f¨ uggv´enynek keress¨ uk az ´erint˝oegyenes´et a P pontban. Az implicit egyenlet deriv´al´as´aval megkapjuk az ´erint˝ o meredeks´eg´et: 2x − y 3 − 3xy 2 y 0 + 5y 4 y 0 = 0,
y0 =
y 3 − 2x 8 − 10 1 = =− . 4 2 5y − 3xy 80 − 60 10
´Igy teh´ at az ´erint˝ o egyenlete a P (5, 2) pontban y=−
1 (x − 5) + 2, vagy norm´al alakban x + 10y = 25. 10
´l e ´s primit´ıv f¨ ´ny – Megolda ´ sok 10. Vonalintegra uggve
10.27.
326
Sz´ amoljuk ki az ´erint˝ oegyenes v ir´anyvektor´at, azaz a g¨orbe deriv´altvektor´ at a t = 2 param´eter´ert´ek eset´en: r (t) = (t − 3)i + (t2 + 1)j + t2 k r˙ (t) = i + 2tj + 2tk Az ir´ anyvektor: v = r˙ (2) = i + 4j + 4k . Az ´erint´esi pont: r 0 = r (2) = −i + 5j + 4k . Az ´erint˝ o ir´ anyvektoros alakja: r 0 + v t = (t − 1)i + (4t + 5)j + (4t + 4)k .
10.29.
Az 10.2. k´epletek szerint a ciklois ´ıvhossza
L=
Z2πp
Z2πq x˙ 2 + y˙ 2 dt = r2 (1 − cos t)2 + r2 sin2 t dt =
0
0
Z2π =r
√
Z2πr 2 − 2 cos t dt = r
0
4 sin2
t dt = 2
0
Z2π = 2r 0
2π t t = 8r. sin dt = 4r − cos 2 2 0
10.2 Skal´ ar-, ´ es vektormez˝ ok, differenci´ aloper´ atorok 10.35.
Legyen p´eld´ aul f (x, y) = cos(2πx) · i + sin(2πx) · j , (x, y) ∈ H = {(x, y) : 0 < x ≤ 1, y = 0}. Ekkor Rf = K = {(x, y) : x2 + y 2 = 1}.
10.39.
f (x, y) = x4 − 6x2 y 2 + y 4 , ∂ ∂ grad f = f ·i + f · j = (4x3 − 12xy 2 ) · i + (4y 3 − 12x2 y) · j ∂x ∂y
10.43.
f (x, y, z) = x + xy 2 + x2 z 3 ,
p = (2, −1, 1)
grad f (x, y, z) = (1 + y 2 + 2xz 3 ) · i + 2xy · j + 3x2 z 2 · k grad f (2, −1, 1) = 6i − 4j + 12k
´l e ´s primit´ıv f¨ ´ny – Megolda ´ sok 10. Vonalintegra uggve
327
10.47. 1 1 grad U (r ) = ∇U (r ) = ∇ r 2 + 2 = 2 1 − 4 r r r 10.50.
A z = f (x, y) = x2 + y 2 f¨ uggv´eny grafikonj´anak ´erint˝os´ıkja az x = 1, y = 2 pont felett z = f (x0 , y0 )+fx0 (x0 , y0 )(x−x0 )+fy0 (x0 , y0 )(y−y0 ) = 5+2(x−1)+4(y−2)
10.51. r = u cos v · i + u sin v · j + u · k ,
A = [0, 1] × [0, π]
r 0u = cos v · i + sin v · j + k , r 0v = −u sin v · i + u cos v · j i j k 0 0 sin v 1 = −u cos v · i − u sin v · j + u · k r u × r v = cos v −u sin v u cos v 0 p √ |r 0u × r 0v | = u2 cos2 v + u2 sin2 v + u2 = u 2 A felsz´ın kisz´ amol´ as´ ar´ ol sz´ol´o t´etel szerint √ ZZ Zπ Z1 √ 2 0 0 π. S= |r u × r v | du dv = 2 u du dv = 2 0
A
0
10.3 Vonalintegr´ al 10.55.
A vonalintegr´ al kisz´ amol´as´ar´ol sz´ol´o t´etel szerint Z (x + y) dx + (x − y) dy = Γ
Zπ [(cos t + sin t)(− sin t) + (cos t − sin t) cos t] dt =
= 0
Zπ
(cos 2t − sin 2t) dt =
= 0
sin 2t cos 2t + 2 2
π =0 0
´l e ´s primit´ıv f¨ ´ny – Megolda ´ sok 10. Vonalintegra uggve
328
Megjegyz´ es: Mivel a v = (x + y) · i + (x − y) · j vektormez˝o egy primit´ıv f¨ uggv´enye x2 y2 U (x, y) = + xy − , ez´ert a konzervat´ıv er˝ot´er integr´alja a primit´ıv 2 2 f¨ uggv´eny megv´ altoz´ asa: Z v dr = U (−1, 0) − U (1, 0) = 0 Γ
10.61.
A Γ1 g¨ orbe egy parametriz´al´asa x = t, y = t, a Γ2 g¨orb´enek pedig x = t, y = t2 , ahol 0 ≤ t ≤ 1. A v = y · i + x · j vektormez˝o integr´aljai Z1
Z y dx + x dy =
2t dt = 1, 0
Γ1
Z1
Z y dx + x dy = Γ2
3t2 dt = 1.
0
Megjegyz´ es: A v = y · i + x · j vektormez˝o konzervat´ıv U (x, y) = xy primit´ıv f¨ uggv´ennyel. 10.67.
A vonalintegr´ al nem l´etezik, mert v nincs ´ertelmezve az orig´oban, a Γ g¨ orbe pedig ´ atmegy az orig´on.
10.70. Z (x + y) dx + (y + z) dy + (z + x) dz = Γ
Zπ =
[(cos t + sin t)(− sin t) + (sin t + t) cos t + (t + cos t)] dt = 0
Zπ =
(− sin2 t + t cos t + t + cos t) dt =
0
π t cos 2t t2 = − + + t sin t + cos t + + sin t = 2 4 2 0 =−
π π2 π2 π +0+0−2+ +0= − −2 2 2 2 2
´l e ´s primit´ıv f¨ ´ny – Megolda ´ sok 10. Vonalintegra uggve
10.77.
329
A Γ g¨ orbe param´eteres alakja: r (t) = t · i + t2 · j ,
−1 ≤ t ≤ 1
azaz x = t, y = t2 ,
dx = x(t) ˙ = 1, dy = y(t) ˙ = 2t,
−1 ≤ t ≤ 1.
A vonalintegr´ al kisz´ amol´as´ar´ol sz´ol´o k´eplet szerint Z (x2 − 2xy) dx + (y 2 − 2xy) dy = Γ
Z1
2 (t − 2t3 ) · 1 + (t4 − 2t3 ) · 2t dt =
= −1
Z1 =
(t2 − 2t3 − 4t4 + 2t5 ) dt =
t3 2t4 4t5 2t6 − − + 3 4 5 6
−1
= 10.78.
1 = t=−1
2 8 14 − =− 3 5 15
Az ellipszis term´eszetes param´eterez´esek´ent v´alasszuk az x = a cos t, y = b sin t,
0 ≤ t ≤ 2π
param´eterez´est. Ekkor dx, illetve dy hely´ebe dx = −a sin t, dy = b cos t ker¨ ul. ´Igy az integr´ al visszavezethet˝o egyv´altoz´os Riemann-integr´alra: I (x + y) dx + (x − y) dy = Γ
=
Z2π [−a(a cos t + b sin t) sin t + b(a cos t − b sin t) cos t] dt = 0
Z2π = (−ab sin2 t + ab cos2 t − a2 sin t cos t − b2 sin t cos t) dt = 0
Z2π a2 + b2 sin 2t) dt = 0 = (ab cos 2t − 2 0
´l e ´s primit´ıv f¨ ´ny – Megolda ´ sok 10. Vonalintegra uggve
330
Megjegyz´ es: x2 y2 K¨ onnyen l´ athat´ o, hogy az U (x, y) = + xy − f¨ uggv´eny primit´ıv 2 2 f¨ uggv´enye az integrandusnak, ez´ert a k¨orintegr´al ´ert´eke 0. 10.84.
Igen, a v = (x + y) · i + (x − y) · j vektormez˝o primit´ıv f¨ uggv´enyei: U (x, y) =
x2 y2 + xy − + C. 2 2
10.90.
Nincs primit´ıv f¨ uggv´eny, mivel a keresztbe vett deriv´altak nem egyeznek meg: ∂ ∂ (cos xy) = −x sin xy 6= (sin xy) = y cos xy ∂y ∂x
10.95.
Av =
y x ·i − 2 · j vektormez˝o keresztbe vett deriv´altjai x2 + y 2 x + y2 megegyeznek: ∂ y x x2 − y 2 ∂ x2 − y 2 − = , = 2 . 2 2 2 2 2 2 2 ∂y x + y (x + y ) ∂x x +y (x + y 2 )2 M´egsincs primit´ıv f¨ uggv´eny, mert ha Γ : x = cos t, y = sin t, 0 ≤ t ≤ 2π a z´ art egys´eg-k¨ orvonal, akkor I
x y dx − 2 dy = x2 + y 2 x + y2
Z2π (− sin2 t − cos2 t) dt = −2π 6= 0. 0
Γ
A probl´em´ at az okozza, hogy v nincs ´ertelmezve az orig´oban, a Γ g¨orbe pedig megker¨ uli az orig´ot. 10.101.
Az E = (y + x) · i + x · j er˝ot´er konzervat´ıv, primit´ıv f¨ uggv´enye U (x, y) =
10.107.
x2 x2 + xy, potenci´alja Φ(x, y) = −U (x, y) = − − xy. 2 2
Mivel nincs ´ertelmezve az orig´oban, ez´ert nincs potenci´alf¨ uggv´enye az 2 eg´esz s´ıkon. Viszont a pontozott s´ıkon, R \ {0 }-n m´ar van: Φ(x, y) =
(x2
1 . + y 2 )1/2
´l e ´s primit´ıv f¨ ´ny – Megolda ´ sok 10. Vonalintegra uggve
10.108.
331
A v = yz · i + xz · j + xy · k vektormez˝o rot´aci´oja nulla a t´er minden pontj´ aban, ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (yz) = (xz) = z, (yz) = (xy) = y, (xz) = (xy) = x, ∂y ∂x ∂z ∂x ∂z ∂y ez´ert van primit´ıv f¨ uggv´enye, U (x, y, z). Mivel Ux0 = yz, ez´ert Z U (x, y, z) = yz dx = xyz + f (y, z). Uy0 =
∂ (xyz + f (y, z)) = xz + fy0 (y, z) = xz. ∂y
ugg y-t´ol, f (y, z) = g(z). Innen fy0 (y, z) = 0, azaz f (y, z) nem f¨ Uz0 =
∂ (xyz + g(z)) = xy + g 0 (z) = xy, ∂z
´es ´ıgy g 0 (z) = 0, azaz a g f¨ uggv´eny konstans. Teh´at U (x, y, z) = xyz+C, ahol C tetsz˝ oleges konstans lehet. Persze az xyz primit´ıv f¨ uggv´enyt minden sz´amol´as n´elk¨ ul is el´eg k¨onny˝ u megtal´ alni. 10.113.
A v = 3xy 3 z 4 · i + 3x2 y 2 z 4 · j + x2 y 3 z 3 · k vektormez˝onek nincs primit´ıv f¨ uggv´enye, mivel p´eld´ aul ∂ ∂ (3xy 3 z 4 ) = 9xy 2 z 4 6= (3x2 y 2 z 4 ) = 6xy 2 z 4 . ∂y ∂x
10.118.
Keress¨ unk egy olyan z(x, y) k´etv´altoz´os f¨ uggv´enyt, amelyre zx0 (x, y) = p(x, y) = x2 + 2xy − y 2 , Z z(x, y) =
Z p(x, y) dx =
zy0 (x, y) = q(x, y) = x2 − 2xy − y 2
(x2 + 2xy − y 2 ) dx =
x3 + x2 y − xy 2 + g(y) 3
Itt g(y) egyel˝ ore ismeretlen (deriv´alhat´o) f¨ uggv´enye y-nak. z(x, y) f¨ uggv´enyre teljes¨ ulnie kell, hogy zy0 (x, y) = x2 − 2xy + g 0 (y) = q(x, y) = x2 − 2xy − y 2 . Ebb˝ ol az egyenletb˝ ol g 0 (y) = −y 2 , ez´ert g(y) = −
y3 + C. 3
Erre a
´l e ´s primit´ıv f¨ ´ny – Megolda ´ sok 10. Vonalintegra uggve
332
´Igy teh´ at az ¨ osszes primit´ıv f¨ uggv´eny z(x, y) =
x3 y3 + x2 y − xy 2 − + C. 3 3
10.123. u0x (x, y, z) =
x+y , x2 + y 2 + z 2 + 2xy
Z
x+y dx = + + z 2 + 2xy 1 = ln x2 + y 2 + z 2 + 2xy + f (y, z) 2 x + y x+y u0y (x, y, z) = 2 + fy0 (y, z) = 2 , 2 2 2 x + y + z + 2xy x + y + z 2 + 2xy u(x, y, z) =
x2
y2
teh´ at f (y, z) = g(z). u0z (x, y, z) =
x2
+
y2
z z + g 0 (z) = 2 , 2 2 + z + 2xy x + y + z 2 + 2xy
ez´ert g 0 (z) = 0, g konstans. u(x, y, z) =
1 2 ln x + y 2 + z 2 + 2xy + C 2
az ¨ osszes primit´ıv f¨ uggv´eny.
´nyek – Megolda ´ sok 11. Komplex f¨ uggve
333
Komplex fu enyek ¨ ggv´ 11.3.
z 2 = (x2 − y 2 ) + 2xyi, teh´at ux = vy = 2x ´es vx = −uy = 2y.
11.6. 1 1 x2 − y 2 + 1 − 2xyi = = = z2 + 1 x2 − y 2 + 1 + 2xyi (x2 − y 2 + 1)2 + 4x2 y 2 x2 − y 2 + 1 − 2xyi = 2 . (x − y 2 + 1)2 + 4x2 y 2 u(x, y) =
(x2
x2 − y 2 + 1 , − y 2 + 1)2 + 4x2 y 2
v(x, y) = −
(x2
−
y2
2xy + 1)2 + 4x2 y 2
A parci´ alis deriv´ altak kisz´amol´asa ut´an l´athat´o, hogy teljes¨ ulnek a Cauchy-Riemann differenci´alegyenletek, ha z 2 + 1 6= 0. 11.7. Re f (z) = u(x, y) =
p |xy|,
Im f (z) = v(x, y) = 0
Mivel u(x, 0) = 0 = v(0, y) ´es u(0, y) = 0 = v(x, 0), ez´ert u0x (0, 0) = 0 = vy0 (0, 0) ´es u0y (0, 0) = 0 = vx0 (0, 0), ez´ert ux (0, 0) = uy (0, 0) = 0, teh´ at a Cauchy-Riemann differenci´alegyenletek teljes¨ ulnek z = 0-ban. Ugyanakkor az y = x egyenes ment´en f (z) = (|x|)2 , teh´at az f (z) f¨ uggv´eny az orig´ oban nem differenci´alhat´o. 11.8. u(x, y) = 2x2 + 3y 2 + xy + 2x,
v(x, y) = 4xy + 5y.
A Cauchy-Riemann differenci´alegyenletek szerint 4x + y + 2 = 4x + 5, ´es 6y + x = −4y minden olyan pontban, ahol f deriv´alhat´o. Az egyenletrendszer csak x = −30, y = 3 eset´en teljes¨ ul, teh´at a f¨ uggv´eny m´ashol nem differenci´ alhat´ o. 11.9. ∂ (xy) = y, ∂x
∂ (y) = 1, ∂y
∂ (xy) = x, ∂y
∂ (y) = 0 ∂x
Ez´ert a Cauchy-Riemann differenci´alegyenletek csak a z = i pontban teljes¨ ulnek.
´nyek – Megolda ´ sok 11. Komplex f¨ uggve
11.10.
334
´Irjuk fel a Cauchy-Riemann differenci´alegyenleteket: ∂u ∂v = 4x = 2y = ∂x ∂y pontosan akkor, ha y = 2x, tov´abb´a ∂u ∂v = −1 = −2x = − ∂y ∂x 1 1 pontosan akkor, ha x = . Ez´ert a f¨ uggv´eny egyed¨ ul az + i pontban 2 2 differenci´ alhat´ o.
11.11.
A Cauchy-Riemann differenci´alegyenleteknek teljes¨ ulni¨ uk kell, ez´ert vy0 (x, y)
=
u0x (x, y)
Z = 2x+y,
v(x, y) =
(2x+y) dy = 2xy +
y2 +g(x) 2
vx0 (x, y) = 2y + g 0 (x) = −u0y (x, y) = 2y − x, x2 g(x) = − + C 2 x2 y2 2 2 f (z) = (x − y + xy) + i 2xy − + +C 2 2 g 0 (x) = −x,
Mivel f (0) = 0, ez´ert C = 0 x2 y2 f (z) = (x − y + xy) + i 2xy − + 2 2 2
11.13.
R=1
11.14.
R=
11.15.
lim
n→∞
11.20.
1 2 √ n
2
n2 = 1, ´ıgy R = 1
A gy¨ okkrit´erium felhaszn´al´as´aval: v u n2 −n u in 1 1 n t lim = , ´ıgy R = e. = lim 1 + n→∞ n→∞ n+1 n e
´nyek – Megolda ´ sok 11. Komplex f¨ uggve
11.21.
∞ X
zn =
n=1
11.22.
z , 1−z
335
R=1
A gy¨ okkrit´erium felhaszn´al´as´aval: lim
p n
n→∞
∞ X
11.23.
in z n =
∞ X
n=0
n=0
∞ X
n
n
(iz) =
(n + 1)z =
n=0
11.24.
∞ X
1 1−z
(n + 2)(n + 1)z n =
n=0
|in | = 1, ´ıgy R = 1.
1 1 − iz 0 =
1 , (1 − z)2
1 1−z
00 =
R=1
2 , (1 − z)3
R=1
11.29.
Haszn´ aljuk fel az ex+iy = ex · eiy = ex · (cos y + i sin y) ¨osszef¨ ugg´est!
11.31.
R
11.32.
f (x + iy) dz = iπ
Γ
11.33.
R
f (x + iy) dz = −π
Γ
11.34.
f (x + iy) dz = 2iπ
Γ
11.35.
R
R
f (x + iy) dz = 0
Γ
Param´eterezz¨ uk a g¨ orb´et: z(t) = eit , t ∈ [0, 2π]. Ekkor Z
1 dz = z
Z2π
ieit dt = i eit
0
Γ
dz = ieit . ´Igy dt
Z2π dt = 2πi 0
11.36. Z Γ
11.37.
1 dz = z2
Z2π 0
ieit dt = e2it
Z2π 0
3π/2 Z
−it e (−i)e−it dt = i +11.38. 1
(3.2) Z
(x2 − y 2 ) dx − 2xy dy =
(1,1)
Z0
Z1 |t| dt +
−1
π
11.39.
2π ie−it dt = −e−it 0 = −1 − (−1) = 0
x3 − xy 2 3
|it| dt = 0 0
(3,2) =− (1,1)
7 3
´nyek – Megolda ´ sok 11. Komplex f¨ uggve
11.40.
3+2i Z
2
3+2i Z
2
(x −y ) dx−2xy dy = Re 1+i
11.41.
z dz = Re
(3 + 2i)3 (1 + i)3 − 3 3
=
1+i
7 − 3 Z 1+i 3z 2 dz = z 3 1 = −3 + 2i 11.42.
Z1+i
1 1 π 1+i dz = [Log z]1 = ln 2 + i z 2 4
1
Z1+i
z
e dz =
1+i [ez ]1
Z1+i
11.44.
"
z2
ze
1
11.65.
2
Γ
11.43.
336
2
ez dz = 2
#1+i 1
1
I f (z) dz = 2π·i·Res
Alkalmazzuk a reziduumt´etelt:
ez cos z ,π z−π
=
|z|=4
11.67.
2π · i · eπ cos π. 3 1+i Z (1 + i)3 z 2 = z dz = 3 0 3 Γ
11.68.
Z1+i 1+i ez dz = [ez ]0 = e1+i − 1 0
11.73.
11.75.
Legyen g(z) = 10 − 6z, f (z) = z 6 − 6z + 10. Ha z az egys´egk¨orvonal tetsz˝ oleges pontja, azaz |z| = 1, akkor |f (z) − g(z)| = z 6 = 1, |g(z)| = |10 − 6z| ≥ 10 − 6 = 4, teljes¨ ulnek a Rouch´e t´etel felt´etelei. Mivel a g(z) = 10−6z f¨ uggv´enynek nincs gy¨ oke az egys´egk¨ orben, ez´ert az f (z) = z 6 − 6z + 10 f¨ uggv´enynek sincs. Z∞ 1 A keresett ert 2 dx konvergens, ez´ 2 (x + 1) −∞
Z∞ −∞
ZR
1 (x2 + 1)
2
dx = lim
R→∞ −R
1 (x2 + 1)
2
dx.
Legyen ΓR = ΦR + ΨR az a z´art g¨orbe, amelyre ΦR a val´os tengely [−R, R] szakasza, ΨR pedig az R sugar´ u, orig´o k¨oz´eppont´ u k¨orvonal
´nyek – Megolda ´ sok 11. Komplex f¨ uggve
337
fels˝ o f´els´ıkba es˝ o r´esze. Ha f (z) = szerint I I f (z) dz = ΓR
(z 2
1 , akkor a residuum t´etel + 1)2 I
dz = 2πi Res(f, i) = (z 2 + 1)2
ΓR
dz = (z 2 + 1)2
|z−i|=1
I =
1 dz 1 π · = 2πi · g 0 (i) = −4πi = . (z + i)2 (z − i)2 (2i)3 2
|z−i|=1
Itt a Cauchy integr´ alformul´at haszn´altuk az i-ben regul´aris g(z) = 1 1 f¨ uggv´enyre. A fels˝o f´elk¨or¨on |f (z)| < 2 , ha R el´eg nagy, (z + i)2 R Z 1 ez´ert lim dz = 0. R→∞ (z 2 + 1)2 ΨR
π = lim R→∞ 2
Z
dz = lim 2 R→∞ (z + 1)2
ΓR
Z
dz + lim 2 (z + 1)2 R→∞
ΦR
Z∞ = −∞
Z
ΨR
1 (x2 + 1)
2
dx
(z 2
dz = + 1)2
Aj´ anlott irodalom Laczkovich Mikl´ os – T. S´ os Vera: Anal´ızis I. ´es II., Nemzeti Tank¨onyvkiad´o, 2007. Laczkovich Mikl´ os – T. S´ os Vera: Val´ os Anal´ızis, TypoTex Kiad´o, 2012–2013. Urb´ an J´ anos: Matematikai logika, M˝ uszaki Kiad´o Kft., 2006. Urb´ an J´ anos: Hat´ ar´ert´eksz´ am´ıt´ as, M˝ uszaki Kiad´o Kft., 2009. Gyemidovics: Matematikai anal´ızis, Tank¨onyvkiad´o V´allalat, 1974. – TypoTex Kiad´ o (reprint) Thomas-f´ele kalkulus I., II., III., TypoTex Kiad´o, 2008. B´ arczy Barnab´ as: Differenci´ alsz´ am´ıt´ as, M˝ uszaki Kiad´o, 2005. B´ arczy Barnab´ as: Integr´ alsz´ am´ıt´ as, M˝ uszaki Kiad´o, 2003.