Jegyzetek és példatárak a matematika egyetemi oktatásához sorozat

˝ ´ ANALÍZIS FELADATGYUJTEM ENY I

Jegyzetek ´ es p´ eldat´ arak a matematika egyetemi oktat´ as´ ahoz sorozat

Algoritmuselmélet Algoritmusok bonyolults´ aga Analitikus m´ odszerek a pénz¨ ugyben és a közgazdaságtanban Anal´ızis feladatgy˝ ujtemény I Anal´ızis feladatgy˝ ujtemény II Bevezetés az anal´ızisbe Complexity of Algorithms Differential Geometry Diszkrét matematikai feladatok Diszkrét optimaliz´ al´ as Geometria Igazs´ agos eloszt´ asok Introductory Course in Analysis Mathematical Analysis – Exercises I Mathematical Analysis – Problems and Exercises II Mértékelmélet és dinamikus programozás Numerikus funkcion´ alanal´ızis Oper´ aci´ okutat´ as Oper´ aci´ okutat´ asi példat´ ar Parci´ alis differenci´ alegyenletek Példat´ ar az anal´ızishez Pénz¨ ugyi matematika Szimmetrikus strukt´ ur´ ak T¨ obbv´ altoz´ os adatelemzés Vari´ aci´ osz´ am´ıt´ as és optim´ alis irány´ıtás

´mes Margit, Szentmiklo ´ ssy Zolta ń Ge

ANALÍZIS ˝ ´ FELADATGYUJTEM ENY I

Eo os Lor´ and Tudom´ anyegyetem ¨tv¨ Term´ eszettudom´ anyi Kar Typotex 2014

c 2014–2019, Gémes Margit, Szentmiklóssy Zoltán,

E¨ otv¨ os Lor´ and Tudom´ anyegyetem, Természettudományi Kar Szerkeszt˝ ok: K´ os Géza és Szentmiklóssy Zoltán Lektor´ alta: Pach Péter P´ al

Creative Commons NonCommercial-NoDerivs 3.0 (CC BY-NC-ND 3.0) A szerz˝ o nevének felt¨ untetése mellett nem kereskedelmi céllal szabadon m´ asolhat´ o, terjeszthet˝ o, megjelentethet˝o és el˝oadható, de nem módos´ıtható.

ISBN 978 963 279 230 9 Kész¨ ult a Typotex Kiad´ o (http://www.typotex.hu) gondozásában Felel˝ os vezet˝ o: Votisky Zsuzsa M˝ uszaki szerkeszt˝ o: Gerner József

´ Kész¨ ult a TAMOP-4.1.2-08/2/A/KMR-2009-0045 szám´ u, Jegyzetek és példat´ arak a matematika egyetemi oktatásához” c´ım˝ u projekt ” keretében.

KULCSSZAVAK: anal´ızis, kalkulus, derivált, integrál, több-változó, komplex. ´ Ez a feladatgy˝ ¨ OSSZEFOGLAL AS: ujtemény els˝osorban azon egyetemi hallgat´ ok sz´ am´ ara kész¨ ult, akik matematikát, ezen bel¨ ul kalkulust és anal´ızist tanulnak. A k¨ onyv f˝ o feladata bevezetni az olvasót a a differenciál és integr´ alsz´ am´ıt´ asba és ezek alkalmazásaiba.

Tartalomjegyz´ ek Alapfogalmak, val´ os sz´ amok 1.1. Elemi feladatok . . . . . . . . . . 1.2. Logikai alapfogalmak . . . . . . . 1.3. Bizony´ıt´ asi m´ odszerek . . . . . . 1.4. Halmazok . . . . . . . . . . . . . 1.5. A val´ os sz´ amok axi´ omarendszere 1.6. A sz´ amegyenes . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

7 8 9 14 21 22 27

Sz´ amsorozatok konvergenci´ aja 2.1. Sorozatok hat´ arértéke . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. A hat´ arérték tulajdonságai . . . . . . . . . . . . . 2.3. Monoton sorozatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. A Bolzano-Weierstrass-tétel és a Cauchy-kritérium 2.5. Sorozatok nagys´ agrendje . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. Vegyes feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

31 32 38 42 44 45 47

Val´ os fu enyek hat´ ar´ ert´ eke, folytonoss´ aga ¨ ggv´ 3.1. F¨ uggvények glob´ alis tulajdonságai . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. A hat´ arérték . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Folytonos f¨ uggvények . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48 50 63 71

A differenci´ alsz´ am´ıt´ as ´ es alkalmaz´ asai 4.1. A deriv´ alt fogalma . . . . . . . . . . . 4.2. Deriv´ al´ asi szab´ alyok . . . . . . . . . . 4.3. K¨ ozépértéktételek, L’Hospital szabály 4.4. Széls˝ oértékkeresés . . . . . . . . . . . . 4.5. F¨ uggvényvizsg´ alat . . . . . . . . . . . 4.6. Elemi f¨ uggvények . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

76 79 81 86 88 90 92

Az egyv´ altoz´ os Riemann-integr´ al 5.1. Hat´ arozatlan integr´ al . . . . . . . . 5.2. Hat´ arozott integr´ al . . . . . . . . . 5.3. A hat´ arozott integr´ al alkalmazásai 5.4. Improprius integr´ al . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

98 102 109 115 118

. . . . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

Numerikus sorok 121 6.1. Numerikus sorok konvergenciája . . . . . . . . . . . . . . . . 122 6.2. Pozit´ıv tag´ u sorok konvergenciakritériumai . . . . . . . . . . 125 6.3. Feltételes és abszol´ ut konvergencia . . . . . . . . . . . . . . . 130

6

Fu enysorozatok ´ es sorok 132 ¨ ggv´ 7.1. Pontonkénti és egyenletes konvergencia . . . . . . . . . . . . . 135 7.2. Hatv´ anysorok, Taylor-sor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 7.3. Trigonometrikus sorok, Fourier-sor . . . . . . . . . . . . . . . 143 T¨ obbv´ altoz´ os fu enyek differenci´ al´ asa ¨ ggv´ 8.1. Topol´ ogiai alapfogalmak . . . . . . . . 8.2. T¨ obbv´ altoz´ os f¨ uggvények grafikonja . 8.3. T¨ obbv´ altoz´ os hat´ arérték, folytonosság 8.4. Parci´ alis és tot´ alis derivált . . . . . . . 8.5. T¨ obbv´ altoz´ os széls˝ oérték . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

147 149 152 156 158 164

T¨ obbv´ altoz´ os Riemann-integr´ al 169 9.1. Jordan-mérték . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 9.2. T¨ obbv´ altoz´ os Riemann-integrál . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 Vonalintegr´ al ´ es primit´ıv fu eny 182 ¨ ggv´ 10.1. S´ık és térg¨ orbék . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 10.2. Skal´ ar-, és vektormez˝ok, differenciáloperátorok . . . . . . . . 187 10.3. Vonalintegr´ al . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 Komplex fu enyek ¨ ggv´

196

Megold´ asok

204

Aj´ anlott irodalom

338

1. fejezet Alapfogalmak, val´ os sz´ amok Biztat´ asul k¨ ozl¨ om, hogy tévesnek bizonyult a cáfolata annak a h´ıresztelésnek, mely szerint mégsem hazugság azt tagadni, hogy lesz olyan vizsg´ az´ o, akinek egy anal´ızis tétel bizony´ıtását sem kell tudnia ahhoz, hogy ne bukjon meg. (Baranyai Zsolt)

1.1. Az A ⊂ R halmazt korl´ atosnak nevezz¨ uk, ha van olyan K ∈ R valós sz´ am, hogy minden a ∈ A esetén |a| ≤ K. Az A ⊂ R halmaz felu ol korl´ atos, ha van olyan M ∈ R valós szám (fels˝ o ¨ lr˝ korl´ at), amelyre minden a ∈ A esetén a ≤ M . Az A ⊂ R halmaz alulr´ ol korl´ atos, ha van olyan m ∈ R valós szám (als´ o korl´ at), amelyre minden a ∈ A esetén a ≥ m. 1.2. Cantor-axi´ oma: Egymásba skatulyázott korlátos zárt intervallumsorozat metszete nem u ¨res. 1.3. Fels˝ o hat´ ar, szupr´ emum: Ha az A halmaznak van legkisebb fels˝o korl´ atja és ez a sz´ am M , akkor ezt az M számot a halmaz fels˝ o hat´ ar´ anak vagy szupr´ emum´ anak nevezz¨ uk és M = sup A-val jelölj¨ uk. 1.4. Teljess´ egi t´ etel: Ha A ⊂ R fel¨ ulr˝ol korlátos nem u ¨res halmaz, akkor van legkisebb fels˝ o korl´ atja. 1.5. Bernoulli-egyenl˝ otlens´ eg: Ha n ∈ N és x > −1, akkor (1 + x)n ≥ 1 + n · x. Egyenl˝ oség akkor és csak akkor van, ha n = 0 vagy n = 1 vagy x = 0.

8

´ s sza ´ mok 1. Alapfogalmak, valo

1.1. Elemi feladatok ´ azoljuk a sz´ Abr´ amegyenesen a k¨ ovetkez˝ o egyenl˝ otlens´ egek megold´ ashalmaz´ at! 1.1.

|x − 5| < 3

1.2.

|5 − x| < 3

1.3.

|x − 5| < 1

1.4.

|5 − x| < 0.1

Oldjuk meg az al´ abbi egyenl˝ otlens´ egeket! 1.5.

1 ≥ −1 5x + 6

1.6.

6x2 + 7x − 20 > 0

1.7.

10x2 + 17x + 3 ≤ 0

1.8.

−6x2 + 8x − 2 > 0

1.9.

8x2 − 30x + 25 ≥ 0

1.10.

−4x2 + 4x − 2 ≥ 0

1.11.

9x2 − 24x + 17 ≥ 0

1.12.

−16x2 + 24x − 11 < 0

1.13.

Hol a hiba? log2

1 1 ≤ log2 2 2

és 2 < 4

¨ Osszeszorozva a két egyenl˝otlenséget: 2 log2

1 1 < 4 log2 2 2

A logaritmus azonoss´ agait használva: 2 4 1 1 log2 < log2 2 2 A log2 x f¨ uggvény szigor´ uan monoton n˝o, tehát:

9


1 1 < 4 16 ´ Atszorozva az egyenl˝ otlenséget: 16 < 4.

Oldjuk meg a k¨ ovetkez˝ o egyenleteket ´ es egyenl˝ otlens´ egeket! 1.14. 1.16. 1.18.

|x + 1| + |x − 2| ≤ 12 x+1 1 2x + 1 > 2 √

x + 3 + |x − 2| = 0

1.15. 1.17. 1.19.

√

x+3+

√

x−5=0

|2x − 1| < |x − 1| √

x + 3 + |x − 2| ≤ 0

1.2. Logikai alapfogalmak 1.20.

Minél egyszer˝ ubben mondjuk ki az alábbi áll´ıtások tagadását: (a) Minden egér szereti a sajtot. (b) Aki m´ asnak vermet ás, maga esik bele. (c) Minden asszony életében van egy pillanat Mikor olyat akar tenni, amit nem szabad. (d) Van olyan a, hogy minden b-hez egyetlen x tartozik, melyre a+x=b (e) 3 nem nagyobb, mint 2, vagy 5 osztója 10-nek. (f ) Nem z¨ or¨ og a haraszt, ha a szél nem f´ ujja. (g) Ha a nagynénémnek kerekei volnának, ˝o lenne a miskolci gyorsvonat.

1.21.

Egy udvarban van 5 kecske és 20 bolha. Tudjuk, hogy van olyan kecske, amit minden bolha megcs´ıpett. Következik-e ebb˝ol, hogy van olyan bolha, amelyik minden kecskét megcs´ıpett?

1.22.

Fogadjuk el igaznak a következ˝o áll´ıtásokat:

10


(a) Ha egy ´ allat eml˝ os, akkor vagy van farka, vagy van kopolty´ uja. (b) Egyik ´ allatnak sincs farka. (c) Minden ´ allat vagy eml˝os, vagy van farka, vagy van kopolty´ uja. K¨ ovetkezik-e ebb˝ ol, hogy minden állatnak van kopolty´ uja? 1.23.

Balkezes Bendeg´ uz, aki valóban balkezes, a bal kezével csak igaz áll´ıt´ asokat tud le´ırni, a jobb kezével pedig csak csak hamis áll´ıtásokat. Melyik kezével ´ırhatja le a következ˝o mondatokat? (a) Balkezes vagyok. (b) Jobbkezes vagyok. (c) Balkezes vagyok és Bendeg´ uz a nevem. (d) Jobbkezes vagyok és Bendeg´ uz a nevem. (e) Balkezes vagyok vagy Bendeg´ uz a nevem. (f ) Jobbkezes vagyok vagy Bendeg´ uz a nevem. (g) A 0 se nem p´ aros, se nem páratlan.

1.24.

Azt mondj´ ak, a fekete macska szerencsétlenséget hoz. Melyik mondattal tagadhatjuk ezt? (a) A fekete macska szerencsét hoz. (b) Nem a fekete macska hoz szerencsétlenséget. (c) A fehér macska hoz szerencsétlenséget. (d) A fekete macska nem hoz szerencsétlenséget.

1.25.

1.26.

Legyen A a pozit´ıv egészek halmaza. Jelentse a|b azt az áll´ıtást, hogy a oszt´ oja b-nek. D¨ onts¨ uk el, hogy mely áll´ıtások igazak az alábbiak köz¨ ul: (a) ∀a ∈ A ∃b ∈ A a|b

(b) ∀a ∈ A ∀b ∈ A a|b

(c) ∃a ∈ A ∀b ∈ A a|b

(d) ∃a ∈ A ∃b ∈ A a|b

Matematika orsz´ agban a b´ıró csak a bizony´ıtékoknak hisz. Például, ha F azt ´ all´ıtja, hogy van fekete oroszlán, akkor áll´ıtásának helyességér˝ol meggy˝ ozheti a b´ır´ ot azzal, ha mutat neki egy fekete oroszlánt. (a) F azt ´ all´ıtja, hogy minden oroszlán fekete. Elég bizony´ıték-e, ha mutat a b´ır´ onak egy fekete oroszlánt?


11

(b) F azt ´ all´ıtja, hogy minden oroszlán fekete, G pedig azt áll´ıtja, hogy F téved. Hogyan bizony´ıthatná G az áll´ıtását? (c) F azt ´ all´ıtja, hogy minden 2-re végz˝od˝o négyzetszám osztható 3mal. G szerint F téved. Hogyan bizony´ıthatná G az áll´ıtását? F-nek vagy G-nek van igaza? (d) F azt ´ all´ıtja, hogy ha egy derékszög˝ u háromszög befogói a és b, átfog´ oja c, akkor a2 + b2 = c2 . Hogyan bizony´ıthatná F az áll´ıtását? (e) F azt ´ all´ıtja, hogy egy másodfok´ u egyenletnek lehetnek negat´ıv gy¨ okei. Hogyan bizony´ıthatná F az áll´ıtását? (f ) F azt ´ all´ıtja, hogy egy másodfok´ u egyenletnek lehet 3 gyöke. G szerint F téved. Hogyan bizony´ıthatná G az áll´ıtását? 1.27.

: -) Minden mohik´ an hazudik”, mondta az utolsó mohikán. Igazat ” mondott?

1.28.

: -)

1) A 3 pr´ımsz´ am. 2) 4 oszthat´ o 3-mal. 3) Ebben a keretben pontosan 1 igaz áll´ıtás van.

H´ any igaz ´ all´ıt´ as van a keretben? 1.29.

Egy 13 jegy˝ u k´ odsz´ amban bármely 3 szomszédos számjegy összege 11. A k´ od m´ asodik jegye 6, a tizenkettedik jegy pedig 4. Mi a 13-adik jegy?

1.30.

Fogadjuk el igaznak, hogy ki korán kel, aranyat lel. Melyik áll´ıtás igazs´ aga k¨ ovetkezik ebb˝ol? (a) Aki kés˝ on kel, nem lel aranyat. (b) Aki aranyat lelt, az korán kelt. (c) Aki nem lelt aranyat, az kés˝on kelt.

1.31.

Ha kedd van, akkor Belgiumban vagyunk. Melyik áll´ıtás következik ebb˝ ol? (a) Ha szerda van, akkor nem Belgiumban vagyunk. (b) Ha Belgiumban vagyunk, akkor kedd van. (c) Ha nem Belgiumban vagyunk, akkor nincs kedd.

Mi a logikai kapcsolat az ´ all´ıt´ asok k¨ oz¨ ott? (Melyikb˝ ol k¨ ovetkezik a m´ asik?)

12


B: x2 > 25

1.32.

A: x > 5

1.33.

A:

1.34.

A:

1.35.

A: x2 − x − 6 = 0

B: x = 2

1.36.

A: x2 − x − 6 > 0

B: x > 2

1.37.

A: 7 = 8

B: 3 = 3

1.38.

A: 7 = 8

B: 3 = 4

1.39.

A: x < 7 és y < 3

B: x − y < 4

1.40.

A: |x − 5| < 0, 1 és |y − 5| < 0, 1 B: |x − y| < 0, 2

√ √

x2 − 5 < 3

B: x2 − 5 < 9

x2 − 5 > −4

B: x2 − 5 > 16

Tagadjuk a k¨ ovetkez˝ o´ all´ıt´ asokat! D¨ ontsu all´ıt´ as! ¨ k el, hogy igaz-e az ´ Igaz-e a tagad´ asa? 1.41.

∀n ∈ N+ 2|n

1.42.

∃k ∈ N+ 2|k

1.43.

∀n ∈ N+ ∃k ∈ N+ n|k

1.44.

∃k ∈ N+ ∀n ∈ N+ n|k

1.45.

Pistike azt mondta reggel az anyukájának, hogy ha a hó miatt nem j´ ar a busz, nem megy iskolába. A busz járt, Pistike mégsem ment iskol´ aba. Hazudott-e reggel Pistike, amikor a már eml´ıtett mondatot mondta?

H´ any olyan r´ eszhalmaza van a H = {1, 2, 3, . . . , 100} halmaznak, amelyre igaz, ´ es h´ any olyan, amelyre nem igaz, hogy 1.46.

az 1 benne van a részhalmazban;

1.47.

az 1 és a 2 benne van a részhalmazban;

13


1.48.

az 1 vagy a 2 benne van a részhalmazban;

1.49.

az 1 benne van a részhalmazban vagy a 2 nincs benne a részhalmazban;

1.50.

ha az 1 benne van a részhalmazban, akkor a 2 benne van a részhalmazban?

H´ any olyan H r´ eszhalmaza van az An = {1, 2, . . . , n} halmaznak, amelyre teljesu ¨ l, hogy 1.51.

∀x < n (x ∈ H =⇒ x + 1 ∈1.52. H)

1.53.

∀x (x ∈ H ∧ x + 1 ∈ H =⇒ x + 2 ∈ H)

∀x (x ∈ H =⇒ x + 1 ∈ / H)

´ Irjuk le logikai jelekkel az al´ abbi ´ all´ıt´ asokat! 1.54.

Nem igaz, hogy P vagy Q.

1.55.

Sem Q, sem P.

1.56.

Nem P, ha nem Q.

1.57.

P pedig nem is Q.

1.58.

Csak akkor P, ha Q.

1.59.

Sem P, sem Q.

1.60.

Q, feltéve, hogy P.

1.61.

Nem P, mégis Q.

1.62.

P vagy Q, de nem mindkett˝o.

1.63.

Nem igaz, hogy ha P, akkor egy´ uttal Q is.

1.64.

Írjuk fel logikai kvantorokkal a következ˝o mondatot: Minden tengerész ismer olyan kiköt˝ot, ahol van olyan kocsma, ahol ” még nem j´ art.” Írjuk fel a mondat tagadását szöveggel és logikai kvantorokkal is!

14


1.65.

Van egy zacsk´ o cukorka és a tanulócsoport hallgatói. Melyik áll´ıtásból k¨ ovetkezik a m´ asik? (a) A csoport minden hallgatója szopogatott cukorkát (a zacskóból). (b) Van olyan cukorka (a zacskóból), amit minden hallgató szopogatott. (c) Van olyan hallgató, aki minden cukorkát szopogatott (a zacskób´ ol). (d) Minden cukork´ at (a zacskóból) szopogatta valamelyik hallgató.

1.3. Bizony´ıt´ asi m´ odszerek Bizony´ıtsuk be, hogy 1.66.

√

3 irracion´ alis;

√ 1.68.

1.69.

1.67.

√ 2 √ irracionális; 3

2+1 +3 2 + 5 irracionális! 4

Tudjuk, hogy x és y racionális számok. Bizony´ıtsuk be, hogy (a) x + y

(b) x − y

(c) xy

(d) y 6= 0 esetén

x y

is racion´ alis! 1.70.

1.71.

Tudjuk, hogy x racion´ alis szám, y pedig irracionális. (a) Lehet-e x + y racionális?

(b) Lehet-e x − y racionális?

(c) Lehet-e xy racion´ alis?

(d) Lehet-e

Tudjuk, hogy x és y irracionális.

x racionális? y

15


(a) Lehet-e x + y racionális? 1.72.

(b) Lehet-e xy racionális?

Igaz-e, hogy ha (a) a és b racion´ alis számok, akkor a + b is racionális? (b) a és b irracion´ alis számok, akkor a + b is irracionális? (c) a racion´ alis sz´ am, b pedig irracionális, akkor a + b racionális? (d) a racion´ alis sz´ am, b pedig irracionális, akkor a + b irracionális?

1.73.

´ amnak 2 f¨ Ad´ ule volt. Ha egy apának 2 f¨ ule van, akkor a fiának is 2 f¨ ule van. (a) K¨ ovetkezik-e a fenti két áll´ıtásból, hogy minden ma él˝o embernek 2 f¨ ule van? (b) Kikr˝ ol tudjuk biztosan áll´ıtani a fenti két áll´ıtás alapján, hogy 2 f¨ ul¨ uk van? (c) Mire k¨ ovetkeztethet¨ unk, ha a két áll´ıtásból az els˝ot elhagyjuk, és csak a m´ asodikat használjuk fel? (d) Mire k¨ ovetkeztethet¨ unk, ha a két áll´ıtásból a másodikat elhagyjuk, és csak az els˝ ot használjuk fel?

1.74.

T´ etel: Az 1 a legnagyobb szám. Bizony´ıt´ as: indirekt módszerrel. Tegy¨ uk fel, hogy nem 1 a legnagyobb sz´ am, hanem A. Ekkor A > 1. Mivel A > 1, ezért A > 0 is teljes¨ ul, teh´ at ha az A > 1 egyenl˝otlenséget megszorozzuk A-val, az A2 > A egyenl˝ otlenséget kapjuk. Ez az egyenl˝otlenség viszont ellentmond annak, hogy A a legnagyobb szám. Tehát az 1 a legnagyobb szám. J´ o ez a bizony´ıt´ as? Ha nem, akkor hol a hiba?

1.75.

Legyen A1 , A2 , . . . ´ all´ıt´ asok egy sorozata. Mi következik az alábbiakból? (a) A1 igaz. Ha A1 , A2 , . . . , An mind igaz, akkor An+1 is igaz. (b) A1 igaz. Ha An és An+1 igaz, akkor An+2 is igaz. (c) Ha An igaz, akkor An+1 is igaz. A2n hamis minden n-re. (d) A100 igaz. Ha An igaz, akkor An+1 is igaz. (e) A100 igaz. Ha An hamis, akkor An+1 is hamis. (f ) A1 hamis. Ha An igaz, akkor An+1 is igaz. (g) A1 igaz. Ha An hamis, akkor An−1 is hamis.

16


1.76.

Bizony´ıtsuk be, hogy tetsz˝oleges n ∈ N esetén 16|5n+1 − 4n − 5.

1.77.

Bizony´ıtsuk be, hogy tg 1◦ irracionális.

1.78.

Bizony´ıtsuk be, hogy ha n ∈ N+ , akkor n! ≤

1.79.

Legyen a1 = 0, 9, an+1 = an − a2n . Igaz-e, hogy van olyan n, amelyre an < 10−6 ?

1.80.

Írjuk fel a k¨ ovetkez˝ o kifejezéseket n = 1, 2, 3, 6, 7, k és k + 1 esetén (a) (b)

√ √

n 1+

√

2+

√

3 + ··· +

√

n+1 2

n .

n

(c) 12 + 22 + 32 + · · · + n2 1 1 1 1 (d) + + + ··· + 1·2 2·3 3·4 (n − 1) · n (e) 1 · 4 + 2 · 7 + 3 · 10 + · · · + n(3n + 1) (f ) 1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + · · · + n(n + 1) 1.81.

Az els˝ o néh´ any tag kiszám´ıtása után sejts¨ uk meg, milyen egyszer˝ ubb kifejezéssel egyenl˝ o az alábbi összeg, majd a sejtést bizony´ıtsuk be teljes indukci´ oval! (a)

1 1 1 + + ··· + 1·2 2·3 (n − 1) · n

(b) 1 + 3 + . . . + (2n − 1)

Bizony´ıtsuk be, hogy minden n pozit´ıv eg´ esz sz´ amra igazak a k¨ ovetkez˝ o azonoss´ agok:

1.82.

an − bn = (a − b)(an−1 + an−2 b + · · · + abn−2 + bn−1 )

1.83.

1 + 2 + ··· + n =

1.84.

1 2 + 2 2 + · · · + n2 =

n(n + 1) 2 n(n + 1)(2n + 1) 6

17


3

3

3

1.85.

1 + 2 + ··· + n =

1.86.

1−

n(n + 1) 2

2

1 1 1 1 1 1 + − ··· − = + + ··· + 2 3 2n n+1 n+2 2n

Fejezzu ubb alakban a k¨ ovetkez˝ o kifejez´ eseket: ¨ k ki egyszer˝ 1.87.

1 1 1 + + ··· + 1·2 2·3 (n − 1) · n

1.88.

1 1 1 + + ··· + 1·2·3 2·3·4 n · (n + 1) · (n + 2)

1.89.

1 · 2 + 2 · 3 + · · · + n · (n + 1)

1.90.

1 · 2 · 3 + 2 · 3 · 4 + · · · + n · (n + 1) · (n + 2)

1.91.

Egy gazd´ anak van egy pár nyula. Minden ny´ ulpár 2 hónapos korától minden h´ onapban egy u ´jabb párnak ad életet. Hány pár ny´ ul lesz a 2., 3., 4., 5. és 6. h´ onapban?

Legyen (un ) a Fibonacci-sorozat, azaz u0 = 0, u1 = 1 ´ es n > 1 eset´ en un+1 = un + un−1 . 1.92.

Bizony´ıtsuk be, hogy un és un+1 relat´ıv pr´ım számok.

1.93.

Bizony´ıtsuk be, hogy

1.94.

Bizony´ıtsuk be a k¨ ovetkez˝o azonosságokat:

1, 6n < un < 1, 7n (n > 0). 3

(a) u1 + u2 + · · · + un = un+2 − 1(b) u2n − un−1 un+1 = (−1)n+1 (c) u21 + u22 + · · · + u2n = un un+1 1.95.

Hozzuk egyszer˝ ubb alakra a következ˝o kifejezéseket:

18


1.96.

(a) sn = u0 + u2 + · · · + u2n

(b) sn = u1 + u3 + · · · + u2n+1

(c) sn = u0 + u3 + · · · + u3n

(d) sn = u1 u2 + u2 u3 + · · · + u2n−1 u2n

T´ etel: Minden l´ o egysz´ın˝ u. Bizony´ıt´ as: Teljes indukcióval belátjuk, hogy bármely n ló egysz´ın˝ u. n = 1-re az ´ all´ıt´ as nyilvánvaló. Tegy¨ uk fel, hogy igaz n-re, és ebb˝ol fogjuk n + 1-re bel´ atni: adott n + 1 ló köz¨ ul az indukciós feltevés miatt az 1., 2., . . . , n. is egysz´ın˝ u és a 2., . . . , n., (n+1). is egysz´ın˝ u, tehát mind az n + 1 egysz´ın˝ u. J´ o ez a bizony´ıt´ as? Ha nem, akkor hol a hiba?

1.97.

T´ etel: Nincs j´ ozan tengerész. Bizony´ıt´ as: Teljes indukcióval. Tegy¨ uk fel, hogy az áll´ıtás igaz n tengerészre, és ebb˝ ol fogjuk n + 1 tengerészre belátni. Adott n + 1 tengerész k¨ oz¨ ul az indukciós feltevés miatt az 1., 2., . . . , n. tengerész nem j´ ozan, és a 2., . . . , n., (n + 1). tengerész sem józan, tehát mind az n + 1 részeg. J´ o ez a bizony´ıt´ as? Ha nem, akkor hol a hiba?

1.98.

Bizony´ıtsuk be a sz´ amtani-mértani közép közötti egyenl˝otlenséget az n = 2 speci´ alis esetben!

1.99.

Bizony´ıtsuk be, hogy az a1 , a2 , . . . an pozit´ıv számok számtani, mértani és harmonikus k¨ ozepe a számok legkisebbike és legnagyobbika közé esik!

Tudjuk, hogy a, b, c > 0 ´ es a + b + c = 18. Hat´ arozzuk meg a, b ´ es c ´ ert´ ek´ et u ´ gy, hogy a ko o kifejez´ esek ´ ert´ eke maxim´ alis legyen: ¨vetkez˝ 1.100.

abc

1.101.

a2 bc

1.102.

a 3 b2 c

1.103.

abc ab + bc + ac

Tudjuk, hogy a, b, c > 0 ´ es abc = 18. Hat´ arozzuk meg a, b ´ es c ´ ert´ ek´ et u ´ gy, hogy a k¨ ovetkez˝ o kifejez´ esek ´ ert´ eke minim´ alis legyen:

19


1.104.

a+b+c

1.105.

2a + b + c

1.106.

3a + 2b + c

1.107.

a2 + b2 + c2

1.108.

Tudjuk, hogy h´ arom pozit´ıv szám szorzata 1. (a) Legal´ abb mennyi lehet az o¨sszeg¨ uk? (b) Legfeljebb mennyi lehet az o¨sszeg¨ uk? (c) Legal´ abb mennyi lehet a reciprokösszeg¨ uk? (d) Legfeljebb mennyi lehet a reciprokösszeg¨ uk? 1 ≥ 2. a

1.109.

Bizony´ıtsuk be, hogy ha a > 0, akkor a +

1.110.

Bizony´ıtsuk be, hogy ha a, b és c pozit´ıv számok, akkor

1.111.

a b c + + ≥ 3. b c a 2n 1 Bizony´ıtsuk be, hogy minden pozit´ıv egész n-re 1 + ≥ 4. n

1.112.

Egy motorcs´ onak motorja a csónakot állóv´ızben v sebességgel hajtja. A cs´ onak az u sebesség˝ u folyóban s utat tesz meg a folyás irányában, majd visszamegy a kiindulási helyéhez. Mennyi lesz az átlagsebessége a teljes u ´ton v-hez képest: v-vel egyenl˝o, v-nél nagyobb vagy v-nél kisebb?

1.113.

Egy keresked˝ onek nem pontos a kétkar´ u mérlege, mert a karok hossza nem egyenl˝ o. Miut´ an tudja ezt, minden vásárlónál az áru egyik felét a mérleg egyik serpeny˝ ojében, a másik felét a mérleg másik serpeny˝ojében méri, gondolv´ an, hogy ezzel kik¨ uszöböli a mérleg pontatlanságát. Val´ oban ez a helyzet?

1.114.

Hat´ arozzuk meg az f (x) = x(1−x) f¨ uggvény legnagyobb értékét a [0, 1] z´ art intervallumon!

Hol van ´ es mennyi a minimuma az al´ abbi fu enyeknek, ha x > 0? ¨ ggv´

20


4 x

1.116.

x2 − 3x + 5 x

1.115.

f (x) = x +

1.117.

Hat´ arozzuk meg az x2 (1 − x) f¨ uggvény legnagyobb értékét a [0, 1] zárt intervallumon.

1.118.

Mennyi a maximuma a g(x) = x(1 − x)3 f¨ uggvénynek a [0, 1] intervallumon?

1.119.

Mennyi a minimuma az f (x) = 2x2 +

1.120.

Az y =

1.121.

Melyik az egységk¨ orbe ´ırható maximális ter¨ ulet˝ u téglalap?

1.122.

Melyik az egyenes k¨ ork´ upba ´ırható maximális térfogat´ u henger?

1.123.

Melyik az egységg¨ ombbe ´ırható maximális térfogat´ u egyenes körhenger?

1.124.

Legyen egy téglalap két éle a és b, átlója pedig c. Ekkor a téglalap ter¨ ulete T = ab, és a téglalap ker¨ ulete K = 2(a + b). T ab Teh´ at: = K 2(a + b) 2 2

g(x) =

3 + 5 f¨ uggvénynek? x2 + 1

1 2 x parabola melyik pontja van a legközelebb a (0, 5) ponthoz? 4

Így:

Mivel 0 < a < c, ezért:

2T c ab c −√ = −√ K a+b 2 2 c ab c 2T √ √ −
Beszorz´ as ut´ an:

2T a ac abc c2 −√ < −√ K a+b 2 2

T és K helyébe ´ırjunk ab-t és 2(a + b)-t:

2a2 b ac abc c2 −√ < −√ 2(a + b) a+b 2 2

Rendezés ut´ an:

2a2 b abc ac c2 − <√ −√ 2(a + b) a + b 2 2

21


ab c (a − c) < √ (a − c) a+b 2

Kiemelés ut´ an:

ab c >√ a+b 2 √ a2 a 2 > √ 2a 2

Osztunk (a − c)-vel, de a − c < 0: √ Négyzet esetén b = a és c = a 2: Egyszer˝ us´ıtés és rendezés után:

1>2

Hol a hiba?

1.4. Halmazok 1.125.

Melyik ´ all´ıt´ as nem igaz? (a) A \ B = {x : x ∈ A ∨ x 6∈ B} (b) A \ B = A ∩ B (c) A \ B = (A ∪ B) \ B

1.126.

1.127.

(d) A \ B = A \ (A ∩ B)

Melyik halmazzal egyenl˝o A ∪ B? (a) {x : x 6∈ A ∨ x 6∈ B}

(b) {x : x 6∈ A ∧ x 6∈ B}

(c) {x : x ∈ A ∨ x ∈ B}

(d) {x : x ∈ A ∧ x ∈ B}

Melyik halmazzal egyenl˝o A ∩ (B ∪ C)? (a) A ∪ (B ∩ C)

(b) (A ∩ B) ∪ C

(c) (A ∪ B) ∩ C

(d) (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

´ Allap´ ıtsuk meg, hogy az al´ abbi ´ all´ıt´ asok k¨ ozu es ¨ l melyek igazak ´ melyek hamisak. Ha egy ´ all´ıt´ as igaz, bizony´ıtsuk be, ha hamis, adjunk ellenp´ eld´ at!

22


1.128.

A\B =A∩B

1.129.

(A ∪ B) \ B = A

1.130.

(A \ B) ∪ (A ∩ B) = A

1.131.

A \ B = A \ B?

1.132.

(A ∪ B) \ A = B

1.133.

(A ∪ B) \ C = A ∪ (B \ C)

1.134.

(A \ B) ∩ C = (A ∩ C) \ B

1.135.

A \ B = A \ (A ∩ B)

Legyenek A, B, C halmazok. ´ Irjuk fel A, B, C ´ es a halmazm˝ uveletek seg´ıts´ eg´ evel, azaz olyan jelleg˝ u formul´ aval, mint p´ eld´ aul (A\B)∪C, az al´ abbi halmazokat! 1.136.

Azon elemek halmaza, amelyek A-ban benne vannak, de B-ben és Cben nincsenek benne.

1.137.

Azon elemek halmaza, amelyek A, B és C köz¨ ul pontosan egyben vannak benne.

1.138.

Azon elemek halmaza, amelyek A, B és C köz¨ ul pontosan kett˝oben vannak benne.

1.139.

Azon elemek halmaza, amelyek A, B és C köz¨ ul pontosan háromban vannak benne.

1.140.

Bizony´ıtsuk be, hogy tetsz˝oleges A, B halmazokra A ∪ B = A∩B.

1.141.

Bizony´ıtsuk be a De Morgan azonosságokat: n [ i=1

Ai =

n \ i=1

Ai

és

n \ i=1

Ai =

n [

Ai

i=1

1.5. A val´ os sz´ amok axi´ omarendszere 1.142.

Bizony´ıtsuk be, hogy tetsz˝oleges a, b valós számokra

23


(a) |a| + |b| ≥ |a + b|

(b) |a| − |b| ≤ |a − b| ≤ |a| + |b|

1.143.

Bizony´ıtsuk be, hogy tetsz˝oleges a1 , a2 , . . . , an valós számokra igaz, hogy |a1 | + |a2 | + · · · + |an | ≥ |a1 + a2 + · · · + an | .

1.144.

Igaz-e, hogy ha (a) x < A, akkor |x| < |A|

1.145.

(b) |x| < A, akkor |x2 | < A2

Igaz-e minden a1 , a2 , . . . an valós számra, hogy (a) |a1 + a2 + · · · + an | ≤ |a1 | + |a2 | + · · · + |an | (b) |a1 + a2 + · · · + an | ≥ |a1 | + |a2 | + · · · + |an | (c) |a1 + a2 + · · · + an | < |a1 | + |a2 | + · · · + |an | (d) |a1 + a2 + · · · + an | > |a1 | + |a2 | + · · · + |an |

1.146.

1.147.

1.148.

1.149.

Igaz-e minden a, b val´ os számra, hogy (a) |a + b| ≥ |a| − |b|

(b) |a + b| ≤ |a| − |b|

(c) |a − b| < ||a| − |b||

(d) |a − b| ≤ |a| − |b|

Legyen H a val´ os sz´ amok egy nem u ¨res részhalmaza. Mit jelentenek a k¨ ovetkez˝ o´ all´ıt´ asok? (a) ∀x ∈ H ∃y ∈ H (y < x)

(b) ∀y ∈ H ∃x ∈ H (y < x)

(c) ∃x ∈ H ∀y ∈ H (y ≤ x)

(d) ∃y ∈ H ∀x ∈ H (y ≤ x)

Legyen H1 = {h ∈ R : −3 < h ≤ 1} és H2 = {h ∈ R : −3 ≤ h < 1}. Melyik ´ all´ıt´ as igaz, ha H = H1 vagy H = H2 ? (a) ∀x ∈ H ∃y ∈ H (y < x)

(b) ∀y ∈ H ∃x ∈ H (y < x)

(c) ∃x ∈ H ∀y ∈ H (y ≤ x)

(d) ∃y ∈ H ∀x ∈ H (y ≤ x)

Legyen A = {a ∈ R : −3 < a ≤ 1} és B = {b ∈ R : −3 < b < 1}. Melyik ´ all´ıt´ as igaz?

24


(a) ∀a ∈ A ∃b ∈ B b < a

(b) ∃b ∈ B ∀a ∈ A b < a

(c) ∀b ∈ B ∃a ∈ A b < a

(d) ∃a ∈ A ∀b ∈ B b < a

Legyen H ⊂ R. ´ Irjuk fel az al´ abbi ´ all´ıt´ asokat logikai formul´ akkal, ´ırjuk fo asukat, tov´ abb´ a adjunk p´ eld´ at (ha van) olyan H-ra ¨l a tagad´ amelyikre teljesu es olyanra is amelyikre nem! ¨ l, ´ 1.150.

H-nak van legkisebb eleme.

1.151.

H b´ armely két (k¨ ul¨ onböz˝o) eleme között van (mindkett˝ot˝ol k¨ ulönböz˝o) H-beli elem.

Hat´ arozzuk meg a k¨ ovetkez˝ o sz´ amhalmaz-sorozatok metszet´ et! 1 1
1.152.

An = {a ∈ Q : −

1.153.

Bn = {b ∈ R\Q : −

1.154.

1 1
1.155.

Dn = {d ∈ N : −n < d < n}

1.156.

En = {e ∈ R : −n < e < n}

1.157.

Legyen H ⊂ R. Írjuk fel a következ˝o áll´ıtás tagadását: ∀x ∈ H ∃y ∈ H (x > 2 =⇒ y < x2 )

Hat´ arozzuk meg a k¨ ovetkez˝ o intervallumsorozatok metszet´ et! (P´ eld´ aul rajz seg´ıts´ eg´ evel sejtsu es szerint ¨ k meg a metszetet! Ha a sejt´ a metszet M , akkor bizony´ıtsuk be, hogy ∀x ∈ M eset´ en teljesu ¨ l, hogy ∀n x ∈ In , tov´ abb´ a ha y ∈ / M akkor ∃k y ∈ / Ik . ( Itt k ´ es n pozit´ıv eg´ esz sz´ amok.)

25


1.158.

In = [−1/n, 1/n]

1.159.

In = (−1/n, 1/n)

1.160.

In = [2 − 1/n, 3 + 1/n]

1.161.

In = (2 − 1/n, 3 + 1/n)

1.162.

In = [0, 1/n]

1.163.

In = (0, 1/n)

1.164.

In = [0, 1/n)

1.165.

In = (0, 1/n]

1.166.

Melyik ´ all´ıt´ as igaz? (A választ mindig indokoljuk!) (a) Ha egy egym´ asba skatulyázott intervallumsorozat metszete nem u ¨res, akkor az intervallumok zártak. (b) Ha egy egym´ asba skatulyázott intervallumsorozat metszete u ¨res, akkor az intervallumok ny´ıltak. (c) Egy egym´ asba skatulyázott, zárt intervallumsorozat metszete egyetlen pont. (d) Ha egy egym´ asba skatulyázott intervallumsorozat metszete u ¨res, akkor van az intervallumok között ny´ılt. (e) Ha egy egym´ asba skatulyázott intervallumsorozat metszete u ¨res, akkor van az intervallumok között nem zárt. (f ) Ha egy z´ art intervallumsorozat metszete nem u ¨res, akkor az intervallumok egym´ asba vannak skatulyázva.

A k¨ ovetkez˝ o feladatokban is indokoljuk meg a v´ alaszokat!

1.167.

Lehet-e egy egym´ asba skatulyázott intervallumsorozat metszete u ¨res?

1.168.

Lehet-e egy egym´ asba skatulyázott, zárt intervallumsorozat metszete u ¨res?

1.169.

Lehet-e egy egym´ asba skatulyázott, zárt intervallumsorozat metszete egyetlen pont?

1.170.

Lehet-e egy egym´ asba skatulyázott, ny´ılt intervallumsorozat metszete nem u ¨res?


26

1.171.

Lehet-e egy egym´ asba skatulyázott, ny´ılt intervallumsorozat metszete u ¨res?

1.172.

Lehet-e egy egym´ asba skatulyázott, zárt intervallumsorozat metszete val´ odi intervallum (nem csak egy pont)?

1.173.

Lehet-e egy egym´ asba skatulyázott, ny´ılt intervallumsorozat metszete val´ odi intervallum?

1.174.

Lehet-e egy egym´ asba skatulyázott, zárt intervallumsorozat metszete val´ odi ny´ılt intervallum?

1.175.

Lehet-e egy egym´ asba skatulyázott, ny´ılt intervallumsorozat metszete val´ odi ny´ılt intervallum?

1.176.

A val´ os sz´ amok axi´ om´ ai köz¨ ul melyek teljes¨ ulnek és melyek nem a racion´ alis sz´ amok halmaz´ ara (a szokásos m˝ uveletekkel és rendezéssel)?

1.177.

Bizony´ıtsuk be az Archimédeszi axiómából, hogy (∀b, c < 0) (∃n ∈ N) nb < c!

1.178.

Bizony´ıtsuk be, hogy bármely két valós szám között van véges tizedes t¨ ort!

1.179.

Bizony´ıtsuk be, hogy bármely két valós szám között van racionális szám!

1.180.

Mi a kapcsolat a véges tizedestört alakban fel´ırható számok halmaza és a racion´ alis sz´ amok halmaza között?

1.181.

Bizony´ıtsuk be, hogy egy valós szám tizedestört-alakja akkor és csak akkor periodikus, ha a szám racionális.

1.182.

Ford´ıtsuk le a végtelen tizedestörtekr˝ol tanultakat kettes számrendszerre, azaz defini´ aljuk a véges és végtelen bináris (kettedes) törteket és mondjuk ki a tételeink megfelel˝oit!

1.183.

Ellen˝ orizz¨ uk, hogy a Cantor-axióma áll´ıtása nem marad igaz, ha bármelyik feltételét elhagyjuk.

1.184.

Igazoljuk a testaxi´ om´ ak seg´ıtségével a következ˝o azonosságokat:

27


(a) −a = (−1) · a

(b) (a − b) − c = a − (b + c)

(c) (−a) · b = −(a · b)

(d)

(e)

1 b = a/b a

a c a·c · = b d b·d

1.6. A sz´ amegyenes Szeml´ eltessu ovetkez˝ o sz´ amhalmazokat sz´ amegyenesen! D¨ ont¨ k a k¨ su es melyik nem az! Az intervallu¨ k el, hogy melyik intervallum, ´ mok eset´ eben d¨ ontsu art, melyik ny´ılt, ´ es melyik ¨ k el, hogy melyik z´ se nem z´ art, se nem ny´ılt! 1.185.

A = {1, 2, 3}

1.187.

C = {x ∈ R : 2 < x < 6} 1.188.

D = {x ∈ N : 2 ≤ x ≤ 6}

1.189.

E = {x ∈ R : 2 ≤ x ≤ 6} 1.190.

F = {x ∈ R : 2 < x ≤ 6}

1.191.

G = {x ∈ R : 2 ≤ x < 6} 1.192.

H = {x ∈ Q : 2 ≤ x ≤ 6}

1.186.

B = {2.6}

D¨ ontsu abbi halmazokr´ ol, hogy alulr´ ol korl´ atosak-e, felu ¨ k el az al´ ¨ lr˝ ol korl´ atosak-e, korl´ atosak-e, ´ es hogy van-e legkisebb illetve legnagyobb elemu ¨ k? 1.193.

pr´ımsz´ amok halmaza

1.194.

1.195.

[−5, −2)

1.196.

1.197.

{x ∈ R : x ≤ 73}

1.198.

{x ∈ Q : x ≤ 73}

1.199.

{x ∈ R : x ≤

1.200.

{x ∈ Q : x ≤

1.201.

{n ∈ N : n pr´ımsz´ am ∧ n + 2 pr´ımszám}

√

2}

pozit´ıv számok halmaza 1 : n ∈ N+ n

√

2}

28


1.202.

Mi a kapcsolat az al´ abbi két áll´ıtás között, azaz melyikb˝ol következik a m´ asik? P: Az A halmaz véges (azaz véges sok eleme van). Q: Az A halmaz korl´ atos.

1.203.

Van-e olyan a1 , a2 , . . . számsorozat, amelyre az {a1 , a2 , . . .} halmaz korl´ atos, de nincs se maximuma, se minimuma?

´ Irjuk fel logikai jelekkel az al´ abbi ´ all´ıt´ asokat! 1.204.

Az A halmaz korl´ atos.

1.205.

1.206.

Az A halmaznak nincs legkisebb eleme.

1.207.

Egy sz´ amhalmaznak h´ any maximuma, illetve fels˝ o korl´ atja lehet?

1.208.

Mi a kapcsolat az al´ abbi két áll´ıtás között, azaz melyikb˝ol következik a m´ asik?

Az A halmaz alulról nem korlátos.

P: Az A halmaznak van legkisebb eleme. Q: Az A halmaz alulr´ ol korlátos. 1.209.

1.210.

1.211.

Legyen A ∩ B 6= ∅. Mit tudunk mondani sup A, sup B, sup(A ∪ B), sup(A ∩ B) és sup(A \ B) kapcsolatáról? √ √ 1 1 + Legyen A = (0, 1), B = [− 2, 2] és C = + m : n, m ∈ N . 2n 2 Hat´ arozzuk meg - amennyiben léteznek - a fenti halmazok szuprémum´ at, infimum´ at, maximumát és minimumát. Legyen A egy tetsz˝ oleges számhalmaz, továbbá 1 B = {−a : a ∈ A} , C = : a ∈ A, a 6= 0 . a Milyen kapcsolat van a fels˝o és alsó határok között?

Hat´ arozzuk meg a k¨ ovetkez˝ o halmazok minimum´ at, maximum´ at, infimum´ at ´ es szupr´ emum´ at, ha vannak!

29


1.212.

[1, 2]

1.214.

1 : n ∈ N+ 2n − 1

1.216.

1 1 + √ : n ∈ N+ n n

1.218.

{x : x ∈ (0, 1) ∩ Q}

1.220.

√

1.221. 1.222.

1.224.

1.213.

(1, 2)

1.215.

Q

1.217.

√ n

1.219.

1 1 + : n, k ∈ N+ n k

√

n : n, k ∈ N+ 1 n + : n ∈ N+ n n√ o n 1.223. 2 : n ∈ N+ n+1−

3 : n ∈ N+

√ n

2n − n : n ∈ N

Legyen H a val´ os sz´ amok egy nem u ¨res részhalmaza. Mi a következ˝o all´ıt´ ´ asok logikai kapcsolata? (a) H alulr´ ol nem korlátos.

(b) H-nak nincs legkisebb eleme.

(c) ∀x ∈ H ∃y ∈ H (y < x).

(d) ∀y ∈ H ∃x ∈ H (y < x).

1.225.

Tudjuk, hogy c fels˝ o korlátja H-nak. Következik-e ebb˝ol, hogy sup H = c?

1.226.

Tudjuk, hogy H-nak nincs c-nél kisebb fels˝o korlátja. Következik-e ebb˝ ol, hogy sup H = c?

1.227.

Legyenek A és B a valós számok nem u ¨res részhalmazai. Bizony´ıtsuk be, hogy ha ∀a ∈ A ∃b ∈ B(a ≤ b), akkor sup A ≤ sup B.

1.228.

Bizony´ıtsuk be, hogy alulról korlátos, nem u ¨res halmaznak van alsó hat´ ara!

30


Legyenek x, y, A, B tetsz˝ oleges val´ os sz´ amok, ε pedig pozit´ıv val´ os sz´ am. Mi a P ´ es Q ´ all´ıt´ asok logikai kapcsolata, azaz melyikb˝ ol k¨ ovetkezik a m´ asik? 1.229.

P: |x − A| < ε

Q: A − ε < x < A + ε

1.230.

P: |x − y| < 2ε

Q: |x − A| < ε és |y − A| < ε

1.231.

P: |x| < A és |y| < B

Q: |x| − |y| < A − B

1.232.

P: |x| < A és |y| < B

Q: |x| + |y| < A + B

1.233.

P: |x| < A és |y| < B

Q: |x| − |y| < A + B

1.234.

Adjunk péld´ at olyan nem u ¨res valós számhalmazra, amelyik korlátos, de nincs legkisebb eleme!

1.235.

Tegy¨ uk fel, hogy a H ⊂ R halmaz nem u ¨res. Mi a következ˝o áll´ıtások logikai kapcsolata, azaz melyikb˝ol következik a másik? P: H-nak nincs minimuma.

Q: ∀a ∈ R+ ∃b ∈ H

b
2. fejezet Sz´ amsorozatok konvergenci´ aja 2.1. Az (an ) sorozat konvergens és tart a b ∈ R számhoz, ha ∀ε > 0 ∃n0 ∀n ≥ n0 (|an − b| < ε). Egy adott ε-hoz tartoz´ o n0 természetes számot ku obindexnek nevezz¨ uk. ¨ sz¨ Ha az (an ) sorozat tart a b számhoz, ezt a következ˝oképpen jelölhetj¨ uk: lim an = b vagy lim an = b vagy an → b, ha n → ∞ vagy an → b.

n→∞

Ha az (an ) sorozat nem konvergens, akkor azt mondjuk, hogy az (an ) sorozat divergens. 2.2. Azt mondjuk, hogy az (an ) sorozat hat´ ar´ ert´ eke ∞, vagy (an ) tart végtelenhez, ha ∀P ∈ R ∃n0 ∀n ≥ n0 (an > P ). Ennek jele lim an = ∞ vagy lim an = ∞ vagy an → ∞, ha n → ∞ vagy an → ∞.

n→∞

2.3. Azt mondjuk, hogy az (an ) sorozat hat´ ar´ ert´ eke -∞, vagy (an ) tart m´ınusz végtelenhez, ha ∀P ∈ R ∃n0 ∀n ≥ n0 (an < P ). Ennek jele lim an = −∞ vagy lim an = −∞ vagy an → −∞,

n→∞

ha n → ∞ vagy an → −∞. 2.4. Azt mondjuk, hogy az (an ) sorozat oszcill´ alva divergens, ha nincs sem véges, sem végtelen hat´ arértéke.

32

´ msorozatok konvergencia ´ ja 2. Sza

2.5. Rend˝ or-szab´ aly. Ha valahonnan kezdve an ≤ bn ≤ cn , létezik az (an ) és a (cn ) sorozat hat´ arértéke és lim an = lim cn ,

n→∞

n→∞

akkor a (bn ) sorozatnak is létezik a határértéke és lim an = lim bn = lim cn ,

n→∞

n→∞

n→∞

2.1. Sorozatok hat´ ar´ ert´ eke 1 Legyen az (an ) sorozat a k¨ ovetkez˝ ok´ epp megadva: an = 1 + √ . A n feladatokban szerepl˝ on´ es n0 jelek pozit´ıv eg´ esz sz´ amokat jelo ¨lnek. 2.1.

Adjunk meg olyan n0 számot, hogy ∀n > n0 esetén teljes¨ uljön, hogy (a) |an − 1| < 0, 1

(b) |an − 1| < 0, 01

2.2.

Van-e olyan n0 sz´ am, hogy ∀n > n0 esetén teljes¨ ul, hogy |an − 2| < 0, 001?

2.3.

Igaz-e, hogy (a) ∀ε > 0 (b) ∃n0

∃n0

∀n > n0

(|an − 1| < ε)

∀ε > 0

∀n > n0

(|an − 1| < ε)

(c) ∃ε > 0

∃n0

∀n > n0

(|an − 1| < ε)

(d) ∃ε > 0

∃n0

∀n > n0

(|an − 1| > ε)

(e) ∀ε > 0

∃n0

∀n ≤ n0

(|an − 1| < ε)

(f ) ∀ε > 0

∃n0

∀n ≤ n0

(|an − 1| > ε)

Adjunk meg olyan N ku obindexet, ahonnan kezdve az egyik so¨ sz¨ rozat nagyobb, mint a m´ asik! 2.4.

an = 10n2 + 25

bn = n3

2.5.

an = 4n5 − 3n2 − 7

bn = 10n + 30

33


2.6.

an = 3n − n2

bn = 2n + n

2.7.

an = 2n + 3n

bn = 4n

2.8.

an = 2n

bn = n!

2.9.

an = n!

bn = nn

2.10.

an =

2.11.

an = 2n

bn = n3

2.12.

an = 0, 999n

bn =

2.13.

an = 10n

bn = n!

√

n+1−

√

n

bn =

1 n

1 n2

Keressu amot, hogy ∀n > N eset´ en teljesu on, hogy ¨ nk olyan N sz´ ¨ lj¨ 1 ; 100

2.15.

0, 9n <

2 < 1, 01.

2.17.

√ n

2.18.

n2 > 6n + 15

2.19.

n3 > 6n2 + 15n + 37

2.20.

n3 − 4n + 2 > 6n2 − 15n + 37

2.21.

n5 − 4n2 + 2 > 6n3 − 15n + 37

2.14. 2.16.

1, 01n > 1000; √ n

n < 1, 0001.

Mutassuk meg, hogy van olyan n0 sz´ am, amire igaz, hogy minden n > n0 eset´ en √ √ √ √ 2.22. 2.23. n + 1 − n < 0, 01 n + 3 − n < 0, 01 2.24.

√

n+5−

√

n + 1 < 0, 01

2.25.

√

n2 + 5 − n < 0, 01

Bizony´ıtsuk be az al´ abbi egyenl˝ otlens´ egeket!

34


√

2.26.

∀n > 10 esetén 2n > n3 ;

2.28.

Melyik ´ all´ıt´ asb´ ol k¨ ovetkezik a másik?

2.27.

√ 1 1 n ≤ 1 + √ + . . . + √ < 2 n. n 2

P: Az (an ) sorozatban van legnagyobb és legkisebb tag. Q: Az (an ) sorozat korlátos. 2.29.

Igaz-e, hogy b pontosan akkor határértéke az (an ) sorozatnak, ha (a) b´ armely ε > 0-ra az an sorozatnak végtelen sok tagja van ε-nál k¨ ozelebb b-hez? (b) b´ armely ε > 0-ra az an sorozatnak csak véges sok tagja van b-t˝ol legal´ abb ε t´ avols´ agban? (c) van olyan ε > 0, amelyre az an sorozatnak végtelen sok tagja van ε-n´ al k¨ ozelebb b-hez? (d) van olyan ε > 0, amelyre az an sorozatnak végtelen sok tagja van b-t˝ ol legal´ abb ε t´ avolságban?

Mit mondhatunk a (−an ) sorozat hat´ ar´ ert´ ek´ er˝ ol, ha 2.30.

lim an = a (a ∈ R);

2.31.

lim an = −∞?

2.33.

n→∞

2.32.

n→∞

2.34.

lim an = ∞;

n→∞

an oszcillálva divergens?

Mi az al´ abbi két ´ all´ıt´ as logikai kapcsolata? P: lim an = ∞ n→∞

Q: (an ) alulr´ ol korl´ atos, de fel¨ ulr˝ol nem korlátos. Hat´ arozzuk meg a k¨ ovetkez˝ o sorozatok hat´ ar´ ert´ ek´ et, ´ es adjunk meg egy ε-t´ ol fu o ku obindexet: ¨ gg˝ ¨ sz¨

35


2.35. 2.37. 2.39.

2.41. 2.43. 2.45.

2.47.

(−1)n n √ 1+ n n 5n − 1 7n + 2 n + n1 n+1 √ n2 + 1 − n 1 + ··· + n n2 p

n2 + 1 +

p

n2 − 1 − 2n

2.36.

1 √ n

2.38.

n n+1

2.40.

2n6 + 3n5 7n6 − 2

2.42. 2.44.

√

n+1−

√

n

1 √ n− n r

2.46.

n

2.48.

√ 3

! 1 1+ −1 n

n+2−

√ 3

n−2

2.49.

Konvergensek-e vagy divergensek-e a következ˝o sorozatok? Határozzuk meg a hat´ arértékeket, ha vannak! ( ( 3, ha n páros 3, ha n ≤ 100 (a) an = (b) an = 4, ha n páratlan 4, ha n > 100 ( ( 3n, ha n páros n, ha n páros (c) an = (d) an = 2 4n , ha n páratlan 0, ha n páratlan

2.50.

Bizony´ıtsuk be, hogy az

2.51.

Bizony´ıtsuk be, hogy a (−1)n

2.52.

Bizony´ıtsuk be, hogy a (−1)n sorozat nem tart 7-hez!

2.53.

Bizony´ıtsuk be, hogy a (−1)n sorozat divergens!

2.54.

Bizony´ıtsuk be, hogy konvergens sorozatnak mindig van legkisebb vagy legnagyobb tagja.

1 sorozat nem tart 7-hez! n 1 sorozat nem tart 7-hez! n

36


an 91 bn

2.55.

Adjunk péld´ at arra, hogy an − bn → 0 de

2.56.

Bizony´ıtsuk be, hogy ha (an ) konvergens, akkor (|an |) is. Igaz-e az ´ll´ıt´ a as megford´ıt´ asa ?

2.57.

Abb´ ol, hogy a2n → a2 következik-e, hogy an → a? ´ abb´ Es ol, hogy a3 → a3 következik-e, hogy an → a? n

2.58.

Bizony´ıtsuk be, hogy ha an → a > 0, akkor

√

an →

√

a.

Melyik ´ all´ıt´ asb´ ol k¨ ovetkezik, hogy an → ∞? 2.59.

∀K esetén a (K, ∞) intervallumon k´ıv¨ ul az an sorozatnak csak véges sok tagja van.

2.60.

∀K eseten a (K, ∞) intervallumban az an sorozatnak végtelen sok tagja van.

2.61.

Tegy¨ uk fel, hogy lim an = ∞. Melyik áll´ıtás igaz erre a sorozatra? n→∞ Melyik ´ all´ıt´ asb´ ol k¨ ovetkezik, hogy lim an = ∞? n→∞

(a) Az an sorozatnak nincs legnagyobb tagja. (b) Az an sorozatnak van legkisebb tagja. (c) A (3, ∞) intervallumon k´ıv¨ ul az an sorozatnak csak véges sok tagja van. (d) ∀K esetén a (K, ∞) intervallumon k´ıv¨ ul az an sorozatnak csak véges sok tagja van. (e) A (3, ∞) intervallumban az an sorozatnak végtelen sok tagja van. (f ) ∀K eseten a (K, ∞) intervallumban az an sorozatnak végtelen sok tagja van. 2.62.

Igaz-e, hogy ha egy sorozatnak van (véges vagy végtelen) határértéke, akkor a sorozat alulr´ ol vagy fel¨ ulr˝ol korlátos?

2.63.

Mi az A és a B ´ all´ıt´ asok logikai kapcsolata, azaz melyikb˝ol következik a m´ asik? P: Az (an ) sorozat szigor´ uan monoton n˝o. Q: Az (an ) sorozat tart a végtelenhez.

37


Lehet-e az an sorozat hat´ ar´ ert´ eke −∞, ∞ vagy egy val´ os sz´ am, ha 2.64.

a sorozatnak végtelen sok 3-nál nagyobb tagja van?

2.65.

a sorozatnak végtelen sok 3-nál kisebb tagja van?

2.66.

a sorozatnak van legnagyobb tagja?

2.67.

a sorozatnak van legkisebb tagja?

2.68.

a sorozatnak nincs legkisebb tagja?

2.69.

a sorozatnak nincs legnagyobb tagja?

2.70.

Van-e olyan oszcill´ alva divergens sorozat, amelyik (a) korl´ atos

2.71.

(b) nem korlátos?

Egy sorozatnak végtelen sok pozit´ıv és végtelen sok negat´ıv tagja van. Lehet-e a sorozat konvergens?

A k¨ ovetkez˝ o, v´ egtelenbe tart´ o sorozatokhoz keressu obinde¨ nk ku ¨ sz¨ xet: √ 1 + 2 + ··· + n 2.72. 2.73. n− n n √ √ √ n2 − 10n 1 + 2 + ··· + n 2.75. 2.74. 10n + 100 n 2.76.

2n n

2.78.

Tetsz˝ oleges a val´ os sz´ am esetén határozzuk meg

2.77.

n! 2n

tékét. 2.79.

Tetsz˝ oleges a val´ os sz´ am esetén határozzuk meg t´ arértékét.

n2 + 1 − an határérn+1 p

n2 − n + 1 − an ha-

38


p (n + a)(n + b)−

2.80.

Tetsz˝ oleges a, b val´ os számok esetén határozzuk meg n hat´ arértékét.

2.81.

Bizony´ıtsuk be, hogy ha an+1 − an → c > 0, akkor an → ∞.

2.82.

Bizony´ıtsuk be, hogy ha an > 0,

2.83.

Melyek azok az x val´ os számok, amelyekre a tizedestört jegyeib˝ol álló sorozat oszcill´ alva divergens?

an+1 → c > 1, akkor an → ∞. an

2.2. A hat´ ar´ ert´ ek tulajdons´ agai Meg lehet-e mondani az adott egyenl˝ otlens´ egek alapj´ an, hogy a bn sorozatnak van-e hat´ ar´ ert´ eke, illetve meg lehet-e hat´ arozni a hat´ ar´ ert´ eket, ha van? Ha igen, hat´ arozzuk meg bn hat´ ar´ ert´ ek´ et! 1 1 ≤ bn ≤ √ n n

2.84.

1 2 < bn < n n

2.85.

−

2.86.

√ 1 < bn < n n

2.87.

n ≤ bn

2.88.

bn < −1, 01n

2.89.

bn < n2

2.90.

Bizony´ıtsuk be, hogy ha az (an ) sorozatnak nincs végtelenhez tartó részsorozata, akkor a sorozat fel¨ ulr˝ol korlátos.

2.91.

Bizony´ıtsuk be, hogy ha (a2n ), (a2n+1 ), (a3n ) konvergensek, akkor (an ) is az.

2.92.

Lehetséges-e, hogy az (an ) sorozatnak nincs konvergens részsorozata, de (|an |) konvergens?

Legyen a egy val´ os sz´ am ´ es an → a. Bizony´ıtsuk be, hogy

39


2.93.

ha a > 1, akkor ann → ∞.

2.95.

ha a > 0, akkor

√ n

ha |a| < 1, akkor ann → 0.

2.94.

ha a < −1, akkor ann divergens.

an → 1. 2.96.

2.97.

Bizony´ıtsuk be, hogy ha (an + bn ) konvergens és (bn ) divergens, akkor (an ) divergens.

2.98.

Igaz-e, hogy ha (an · bn ) konvergens és (bn ) divergens, akkor (an ) is divergens?

2.99.

Igaz-e, hogy ha (an /bn ) konvergens és (bn ) divergens, akkor (an ) is divergens?

2.100.

Bizony´ıtsuk be, hogy ha lim lim an = 1.

2.101.

an − 1 = 0, akkor (an ) konvergens és an + 1

Tegy¨ uk fel, hogy az (an ) sorozatra teljes¨ ul, hogy ny´ıtsuk be, hogy an → 10. √ n

2.102.

Tegy¨ uk fel, hogy az (an ) sorozatra an → 0.

2.103.

Legyen p(x) egy polinom. Bizony´ıtsuk be, hogy

an − 5 5 → . Bizoan + 3 13

an → 0, 3. Bizony´ıtandó, hogy p(n + 1) → 1. p(n)

Tegyu ar´ ert´ eke. Mi a k¨ ovetkez˝ o ¨ k fel, hogy az an sorozatnak van hat´ ´ all´ıt´ asok logikai kapcsolata? 2.104. 2.105. 2.106. 2.107.

P: Minden elég nagy n-re

1 < an n

Q: lim an > 0


1 ≤ an n

Q: lim an ≥ 0


1 < an n

Q: lim an ≥ 0


1 ≤ an n

Q: lim an > 0

n→∞

n→∞

n→∞

n→∞

Tegyu es bn sorozatnak van hat´ ar´ ert´ eke. Mi a ¨ k fel, hogy az an ´ k¨ ovetkez˝ o´ all´ıt´ asok logikai kapcsolata?

40


2.108. 2.109.

P: Minden elég nagy n-re an < bn

Q: lim an < lim bn

P: Minden elég nagy n-re an ≤ bn

Q: lim an ≤ lim bn

n→∞

n→∞

n→∞

n→∞

Melyik ´ all´ıt´ asokb´ ol k¨ ovetkezik, hogy az an sorozatnak van hat´ ar´ ert´ eke? Melyik ´ all´ıt´ asokb´ ol k¨ ovetkezik, hogy an konvergens? Melyik ´ all´ıt´ asokb´ ol k¨ ovetkezik, hogy an divergens? 2.110. 2.111.

bn konvergens és an > bn minden elég nagy n-re. lim bn = ∞ és an > bn minden elég nagy n-re.

n→∞

2.112.

lim bn = −∞ és an > bn minden elég nagy n-re.

n→∞

2.113. 2.114.

bn és cn konvergens és bn ≤ an ≤ cn minden elég nagy n-re. lim bn = ∞ és an < bn minden elég nagy n-re.

n→∞

Korl´ atosak-e felu ol a ko o sorozatok? Hat´ arozzuk meg a ¨ lr˝ ¨vetkez˝ hat´ ar´ ert´ ekeket, ha vannak! 1 + 2 + ··· + n 1 + 2 + ··· + n 2.115. 2.116. n n2 √ √ √ √ √ √ 1 + 2 + ··· + n 1 + 2 + ··· + n 2.117. 2.118. n n2

Konvergensek-e vagy divergensek-e a k¨ ovetkez˝ o sorozatok? Hat´ arozzuk meg a hat´ ar´ ert´ ekeket, ha vannak! √ √ n n 2.119. 2n + 3n 2.120. 3n − 2n 2.121.

p n 7 + (−1)n

2.122.

√ n

2.123.

√ n

2.124.

√ n

2n + n2

2n − n 2n − n2

41


2.125.

1 − 2 + 3 − · · · − 2n √ n2 + 1 n3 − n2 + 1 n6 + 1 + 100n2 + n + 1 r n + n2 + 1 n 2 3n + n3 + 1 n2 1 1+ n

n n−1 3n r n3 − n2 + 1 n 6 n + 100n2 + n + 1

2.126.

2.127. √

2.128.

2.129.

2.130.

n2 + (−1)n 3n2 + 1

2.132.

n2 − 1 n2 + 1

2.131. 2.133.

1 n3

2.134.

5n − 1 7n + 2

2.135.

n n+1

2.136.

2n6 + 3n5 7n6 − 2

2.137.

n + 1/n n+1

2.138.

7n5 + 2 5n − 1

2.139.

3n7 + 4 −5n2 + 2

2.140.

2n + 3n 4n + (−7)n

2.141.

√ 3n5/3 + n n √ n1/4 + 5 n

2.142.

7n − 2n3 + 18n2 − 9

3n3

Mi a k¨ ovetkez˝ o´ all´ıt´ asp´ arok logikai kapcsolata? 2.143.

P: an konvergens és bn konver- Q: an + bn konvergens gens

2.144.

P: an + bn → ∞

Q: an → ∞ és bn → ∞

2.145.

P: an + bn → ∞

Q: an → ∞ vagy bn → ∞

2.146.

P: an · bn → 0

Q: an → 0 vagy bn → 0

2.147.

P: an és bn korl´ atos

Q: an + bn korlátos

2.148.

P: an és bn korl´ atos

Q: an · bn korlátos


2.149.

42

Mutassunk péld´ akat az an + bn sorozat lehetséges viselkedésére, ha lim an = ∞ és lim bn = −∞.

n→∞

2.150.

n→∞

Mutassunk péld´ akat az an · bn sorozat lehetséges viselkedésére, ha lim an = 0 és lim bn = ∞.

n→∞

2.151.

an sorozat lehetséges viselkedésére, ha bn lim an = 0 és lim bn = 0.

Mutassunk péld´ akat az n→∞

2.152.

n→∞

n→∞

an sorozat lehetséges viselkedésére, ha bn lim an = ∞ és lim bn = ∞.

Mutassunk péld´ akat az n→∞

n→∞

2.153.

Tegy¨ uk fel, hogy a bn sorozat egyetlen tagja sem 0. Mi a P és a Q ´ll´ıt´ a asok logikai kapcsolata, azaz melyikb˝ol következik a másik? 1 P: bn → ∞ Q: →0 bn

2.154.

Mi a P és a Q ´ all´ıt´ asok logikai kapcsolata, azaz melyikb˝ol következik a m´ asik? an P: →1 Q: an − bn → 0 bn

2.155.

Tegy¨ uk fel, hogy an → ∞ és bn → ∞. Mi a P és a Q áll´ıtások logikai kapcsolata, azaz melyikb˝ol következik a másik? an P: →1 Q: an − bn → 0 bn

2.156.

Tegy¨ uk fel, hogy an → 0 és bn → 0. Mi a P és a Q áll´ıtások logikai kapcsolata, azaz melyikb˝ol következik a másik? an P: →1 Q: an − bn → 0 bn

2.3. Monoton sorozatok Legyen (an ) ´ es (bn ) k´ et monoton sorozat. Mit tudunk mondani a monotonit´ as szempontj´ ab´ ol a k¨ ovetkez˝ o sorozatokr´ ol? Milyen tov´ abbi felt´ etelek mellett lesznek monotonok?

43


2.157.

(an + bn )

2.158.

2.159.

(an · bn )

2.160.

2.161.

Legyen a1 = 1, és n ≥ 1 esetén an+1 = an sorozat monoton növ˝o!

(an − bn )

2.162.

2.163.

2.164.

an bn

√

2an . Bizony´ıtsuk be, hogy az

√ 1 Legyen a1 = , és n ≥ 1 esetén an+1 = 1 − 1 − an . Bizony´ıtsuk be, 2 hogy a sorozat minden tagja pozit´ıv, továbbá, hogy a sorozat monoton cs¨ okken˝ o! Legyen a1 = 0, 9, és n ≥ 1 esetén an+1 = an − a2n . Bizony´ıtsuk be, hogy a sorozat minden tagja pozit´ıv, továbbá, hogy a sorozat monoton cs¨ okken˝ o! Mutassuk meg, hogy van olyan n ∈ N+ , amelyre igaz, hogy an < 10−6 , és adjunk példát ilyen n számra! an+1 > 1, 1. Mutassuk meg, an hogy van olyan n ∈ N+ , amelyre igaz, hogy an > 106 , és adjunk példát ilyen n sz´ amra! Legyen a1 > 0, és minden n ∈ N+ esetén

Mi a k¨ ovetkez˝ o ´ all´ıt´ asok logikai kapcsolata, azaz melyikb˝ ol k¨ ovetkezik a m´ asik? 2.165.

P: Az an sorozat monoton n˝o. Q: Az an sorozat végtelenhez tart.

2.166.

P: Az an sorozat monoton csökken. Q: Az an sorozat m´ınusz végtelenhez tart.

2.167.

Tegy¨ uk fel, hogy az (an ) sorozat tagjai n > 1 esetén kielég´ıtik a an ≤ an−1 + an+1 egyenl˝ otlenséget. Bizony´ıtsuk be, hogy az (an ) sorozat 2 nem lehet oszcill´ alva divergens. 1 a Legyen a1 = a > 0 tetsz˝oleges, an+1 = an + . Mutassuk meg, 2 an √ hogy an → a.

2.168.

44


Hat´ arozzuk meg a k¨ ovetkez˝ o rekurz´ıv sorozatok hat´ ar´ ert´ ek´ et, ha van! A rekurz´ıv k´ epletekben n ≥ 1. 2an 2.170. a1 = 1, 5, an+1 = −an + 1 2.169. a1 = 2, an+1 = 1 + a2n an + 2.171.

a1 = 3, an+1 =

2.173.

a1 = 0, an+1 =

2.175.

a1 = 0, an+1 =

2.177.

a1 = 1, an+1 = an +

2.179.

a1 = 1, an+1 =

5 an

2 √

2 + an

1 4 − an

√

2an

1 an

an +

5 an

2.172.

a1 = 6, an+1 =

2.174.

a1 = 0, an+1 =

1 2 − an

2.176.

a1 = 0, an+1 =

1 1 + an

2.178.

a1 = 0, 9, an+1 = an − a2n

2.180.

a1 = 1, an+1 = an +

2

a3n

1 +1

Korl´ atosak-e, illetve monotonok-e a k¨ ovetkez˝ o sorozatok? Hat´ arozzuk meg a hat´ ar´ ert´ ekeket, ha vannak! n n+1 1 1 2.181. 1+ 2.182. 1+ n n n n 1 1 2.183. 2.184. 1− 1+ n 2n

2.4. A Bolzano-Weierstrass-t´ etel ´ es a Cauchy-krit´ erium 2.185.

Írjuk fel a Cauchy-kritérium tagadását egy (an ) sorozatra! Mi a fel´ırt all´ıt´ ´ as logikai kapcsolata az (an ) divergens” áll´ıtással? ”

Mi a k¨ ovetkez˝ o´ all´ıt´ asp´ arok logikai kapcsolata? 2.186.

P: a2n és a2n+1 konvergens

Q: an konvergens

45


2.187.

P: a2n , a2n+1 és a3n konvergens Q: an konvergens

2.188.

P: a2n → 5

Q: an → 5

K¨ ovetkezik-e valamelyik ´ all´ıt´ asb´ ol, hogy a sorozat konvergens? 2.189.

an+1 − an → 0, ha n → ∞

2.190.

|an − am | <

1 minden n, m-re n+m

Do abbi sorozatokr´ ol, hogy van-e konvergens r´ eszsoro¨ntsu ¨ k el az al´ zatuk! 1 2.191. (−1)n 2.192. n 2.193.

√

n

2.194.

(−1)n

1 n

2.195.

Bizony´ıtsuk be, hogy ha az (an ) sorozatnak nincs konvergens részsorozata, akkor |an | → ∞.

2.196.

Bizony´ıtsuk be, hogy ha (an ) korlátos és minden konvergens részsorozata a-hoz tart, akkor an → a.

2.197.

Bizony´ıtsuk be, hogy ha az (an ) sorozatnak nincs két, k¨ ulönböz˝o hat´ arértékhez tart´ o részsorozata, akkor a sorozatnak van határértéke.

2.198.

Bizony´ıtsuk be, hogy ha |an+1 − an | ≤ 2−n minden n-re, akkor az (an ) sorozat konvergens.

2.199.

Tegy¨ uk fel, hogy an+1 −an → 0. Következik-e ebb˝ol, hogy a2n −an → 0?

2.5. Sorozatok nagys´ agrendje 2.200.

Bizony´ıtsuk be, hogy n! ≺ nn igaz!

46


2.201.

Tegy¨ uk az al´ abbi sorozatokat nagyságrend szerint sorba! √ n! 7 2 n (n ), (n + 2 ), (100 n), 10

2.202.

Illessz¨ uk be az n ≺ n2 ≺ n3 ≺ · · · ≺ 2n ≺ 3n ≺ · · · ≺ n! ≺ nn sorba a √ √ √ megfelel˝ o helyre n-et, 3 n-et, ... , k n-et!

2.203.

Keress¨ uk meg az al´ abbi sorozatok között az összes aszimptotikusan egyenl˝ o p´ art! √ √ √ √ n (n!), (nn ), (n! + nn ), ( n), ( n n), ( n + 1), ( 2)

Konvergensek-e vagy divergensek-e a k¨ ovetkez˝ o sorozatok? Hat´ arozzuk meg a hat´ ar´ ert´ ekeket, ha vannak! 2n 3n 2.204. 2.205. 3n 2n n 4 2.206. (1, 1)n 2.207. − 5 2.208. 2.210. 2.212.

1 (1, 2)n + 1 3, 01n 2n + 3n √ 3n − n + n10 √ 2n − n n + n!

n+2 n − 3−n

2.209.

√

2.211.

3n (−3)n

2.213.

n100 100n

2.214.

10n n!

2.215.

0, 99n n2

2.216.

n! − 3n n10 − 2n

2.217.

1, 01n n2

2.218.

n3 1, 2n

2.219.

2.220.

3n+6 + n2 2n+3

2.221.

4n + 5n 6n + (−7)n

√ n

2n + n − 1

47


2.6. Vegyes feladatok 2.222.

2.223.

1 1 1 Legyen an = + + · · · + (n tag´ u az összeg). Mivel a tagokat alkotó n n n sorozatok 0-hoz tartanak, ezért az an sorozat tart 0-hoz. Másrészt 1 minden n-re an = n · = 1, ezért an → 1. Melyik következtetés a n hib´ as, és mi a hiba benne? n 1 1 n Tudjuk, hogy 1 + → 1, továbbá 1 = 1, ezért 1 + → 1. n n M´ asrészt na Bernoulli-egyenl˝ otlens´ n eg felhasználásával bizony´ıthatjuk, hogy 1 1 1+ ≥ 2, teh´ at 1 + határértéke nem lehet kisebb 2-nél. n n Melyik k¨ ovetkeztetés a hibás, és mi a hiba benne? Tegy¨ uk fel, hogy

√ n

2.225.

Tegy¨ uk fel, hogy

√ n

2.226.

Tegy¨ uk fel, hogy

√ n

2.224.

2.227.

an → 2. Mit mondhatunk a lim an határértékr˝ol? n→∞

an →

1 . Mit mondhatunk a lim an határértékr˝ol? n→∞ 2

an → 1. Mit mondhatunk a lim an határértékr˝ol? n→∞

Tegy¨ uk fel, hogy an → 2. Mit mondhatunk a lim ann határértékr˝ol? n→∞

1 . Mit mondhatunk a lim ann határértékr˝ol? n→∞ 2

2.228.

Tegy¨ uk fel, hogy an →

2.229.

Tegy¨ uk fel, hogy an → 1. Mit mondhatunk a lim ann határértékr˝ol? n→∞

Mutassunk p´ eld´ at olyan an an+1 lim = 1, ´ es n→∞ an 2.230.

sorozatra,

lim an = 1

2.231.

lim an = 0

2.233.

n→∞

2.232.

n→∞

amelyre igaz,

lim an = ∞

n→∞

lim an = 7

n→∞

hogy

3. fejezet Val´ os fu enyek hat´ ar´ ert´ eke, foly¨ ggv´ tonoss´ aga 3.1. Jensen-egyenl˝ otlens´ eg. Az f f¨ uggvény akkor és csak akkor konvex az (a, b) intervallumon, ha b´ arhogy megadva véges sok x1 , x2 , . . . , xn ∈ (a, b) n X sz´ amot és t1 , t2 , . . . , tn ≥ 0 s´ ulyokat u ´gy, hogy ti = 1 i=1

f

n X

! ti xi

≤

n X

ti f (xi ),

i=1

i=1

m´ as sz´ oval a s´ ulyozott k¨ ozépen vett f¨ uggvényérték kisebb vagy egyenl˝o a f¨ uggvényértékek s´ ulyozott közepénél. 3.2. Hat´ ar´ ert´ ek ´ es egyenl˝ otlens´ egek kapcsolata. — Ha a egy k¨ ornyezetében f (x) ≤ g(x), f -nek és g-nek létezik a határértéke a-ban, akkor lim f (x) ≤ lim g(x). x→a

x→a

— Ha f -nek és g-nek létezik a határértéke a-ban és lim f (x) < lim g(x),

x→a

x→a

akkor a egy k¨ ornyezetében f (x) < g(x). — Rend˝ or-szab´ aly. Ha f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) a egy környezetében, f -nek és h-nak létezik a hat´ arértéke a-ban, lim f (x) = lim h(x),

x→a

x→a

akkor a g f¨ uggvénynek is létezik a határértéke a-ban és lim f (x) = lim g(x) = lim h(x).

x→a

x→a

x→a

´ s f¨ ńyek hata ´ re ´rte ´ke, folytonossa ´ ga 3. Valo uggve

—

49

0-szor korl´ atos az 0”. Ha lim f (x) = 0 és g(x) korlátos, akkor ” x→a lim f (x)g(x) = 0.

x→a

3.3. Folytonoss´ ag ´ es hat´ ar´ ert´ ek kapcsolata. — Az f f¨ uggvény akkor és csak akkor folytonos az a pontban, ha az a pontban létezik a f¨ uggvény határértéke és az megegyezik az f (a) helyettes´ıtési értékkel. — Az f f¨ uggvény akkor és csak akkor folytonos jobbról az a pontban, ha az a pontban létezik a f¨ uggvény jobboldali határértéke és az megegyezik az f (a) helyettes´ıtési értékkel. — Az f f¨ uggvény akkor és csak akkor folytonos balról az a pontban, ha az a pontban létezik a f¨ uggvény baloldali határértéke és az megegyezik az f (a) helyettes´ıtési értékkel. 3.4. Korl´ atos z´ art intervallumon folytonos fu enyek. ¨ ggv´ — Weierstrass t´ etele: Korlátos zárt intervallumon folytonos f¨ uggvénynek van legnagyobb értéke, azaz maximuma, és van legkisebb értéke, azaz minimuma. — Bolzano t´ etele: Ha az f (x) f¨ uggvény folytonos az [a, b] korlátos zárt intervallumon, akkor a f¨ uggvény f (a) és f (b) között minden értéket felvesz. — Inverz fu eny folytonoss´ aga: Korlátos zárt intervallumon folyto¨ ggv´ nos és invert´ alhat´ o f¨ uggvény értékkészlete egy korlátos zárt intervallum, és ezen a f¨ uggvény inverze folytonos. 3.5. Egyenletes folytonoss´ ag. — Heine-Borel t´ etele: Korlátos zárt intervallumon folytonos f¨ uggvény egyenletesen folytonos. — Az f (x) f¨ uggvény akkor és csak akkor egyenletesen folytonos a korl´ atos ny´ılt (a, b) intervallumon, ha folytonos (a, b)-n és léteznek és végesek a lim+ f (x), lim− f (x) határértékek. x→a

x→b

— Ha f (x) folytonos az [a, ∞)-en, deriválható (a, ∞)-en és a derivált korl´ atos, akkor f (x) egyenletesen folytonos [a, ∞)-en.

50


3.1. Fu enyek glob´ alis tulajdons´ agai ¨ ggv´ 3.1.

3.2.

3.3.

Jel¨ olje [x] az x sz´ am egészrészét, azaz azt a legnagyobb egész számot, ´ azoljuk a következ˝o f¨ amelyik nem nagyobb, mint x. Abr´ uggvényeket! (a) [x]

(b) [−x]

(c) [x + 0, 5]

(d) [2x]

´ azoljuk a következ˝o Jel¨ olje {x} az x sz´ am törtrészét: {x} = x − [x]. Abr´ f¨ uggvényeket! (a) {x}

(b) {−x}

(c) {x + 0, 5}

(d) {2x}

F¨ uggvényt ad-e meg a következ˝o képlet?

D(x) =

  1

ha x ∈ Q

0

ha x ∈ /Q



3.4.

Adjuk meg a k¨ ovetkez˝ o f¨ uggvények képleteit a grafikonjaik alapján! (a)

(b) 1

1

1

2

1

2

51


(c)

(d) 1

1

1

2

1

2

Hat´ arozzuk meg a val´ os sz´ amok legb˝ ovebb r´ eszhalmaz´ at, ahol a k¨ ovetkez˝ o fu enyek ´ ertelmezve lehetnek! ¨ ggv´ √ 3.5. 3.6. log2 x2 x2 − 16 3.7.

3.9.

√

sin x

3.8.

log2 (−x) √ −x

P´ aros´ıtsuk a f¨ uggvényeket és a f¨ uggvénygrafikonokat! (a) (x − 1)2 − 4

(b) (x − 2)2 + 2

(c) (x + 2)2 + 2

(d) (x + 3)2 − 2

(A)

(B)

6

6

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

0

1

2

3

4

K

4

K

3

K

2

K

1

0

52


(C)

(D) K

2

0

1

K

5

K

4

K

3

K

2

K

2

0

1

K

1

3

K

K

2

4

Az al´ abbi ´ abr´ akon az y = −x2 f¨ uggvény négy eltoltjának a grafikonját ´ abr´ ´ azoltuk. Irjuk fel a grafikonoknak megfelel˝o képleteket! (a)

(b)

4

3

3

2

2

1

K

1

K

4

K

1

1

2

K

2

0

1

K

3

(d) 0

K

3

1

0

(c) 1

2

3

4

K

3

K

2

K

1

K

0

1

K

1

K

2

K

2

K

3

K

3

K

4

K

4

3.11.

3

1

K

3.10.

2

K

1

K

1

Vannak-e egyenl˝ ok a k¨ ovetkez˝o f¨ uggvények között?

K

5

1

53


√ (a) f1 (x) = x (c) f3 (x) =

(b) f2 (x) =

√ 2 x

(d) f4 (x) = ln ex

(e) f5 (x) = eln x 3.12.

3.13.

x2

(f ) f6 (x) =

√

−x

2

Hat´ arozzuk meg a f¨ uggvényértékeket, ha f (x) = x + 5 és g(x) = x2 − 3. (a) f (g(0))

(b) g(f (0))

(c) f (g(x))

(d) g(f (x))

(e) f (f (−5))

(f ) g(g(2))

(g) f (f (x))

(h) g(g(x))

Hat´ arozzuk meg a f¨ uggvényértékeket, ha f (x) = x − 1 és g(x) = (a) f (g(1/2))

(b) g(f (1/2))

(c) f (g(x))

(d) g(f (x))

(e) f (f (2))

(f ) g(g(2))

(g) f (f (x))

(h) g(g(x))

1 . x+1

Melyik fu eny p´ aros, melyik p´ aratlan, melyik se nem p´ aros, se ¨ ggv´ nem p´ aratlan, melyik p´ aros is, ´ es p´ aratlan is? 3.14.

x3

3.15.

x4

3.16.

sin x

3.17.

cos x

3.18.

2 + sin x

3.19.

2 + cos x

3.20.

3

3.21.

(x + 1)2


3.22.

0

3.23.

3 x

3.24.

[x]

3.25.

{x}

54

Tegyu es g mindenu ertelmezett val´ os fu enyek. ¨ k fel, hogy f ´ ¨ tt ´ ¨ ggv´ Do abbi k¨ ovetkeztet´ esekr˝ ol, hogy igazak-e. A v´ alaszo¨ntsu ¨ k el az al´ kat indokoljuk! 3.26.

Ha f p´ aratlan, akkor f (0) = 0.

3.27.

Ha f (0) = 0, akkor f páratlan.

3.28.

Ha f p´ aros, akkor f (−5) = f (5).

3.29.

Ha f (−5) = f (5), akkor f páros.

3.30.

Ha f és g p´ aros, akkor f g páros.

3.31.

Ha f (−5) 6= −f (5), akkor f nem páratlan.

3.32.

Ha f és g p´ aratlan, akkor f g páros.

3.33.

Ha f és g p´ aratlan, akkor f g páratlan.

3.34.

´ azoljuk a k¨ Abr´ ovetkez˝ o f¨ uggvények grafikonját! Sz´ınezz¨ uk be pirossal az x-tengelyen azokat az intervallumokat, ahol a f¨ uggvény monoton cs¨ okken. Van-e olyan f¨ uggvény ezek között, amelyik az egész értelmezési tartom´ any´ an monoton csökken? (a) sin x

(b) cos x

(c) x2

(d)

(e) |x|

1 x (f ) x2 − 2


(g) tg x 3.35.

55

(h) ctg x

Van-e olyan f¨ uggvény, amely R-en monoton n˝o és monoton csökken? Ha van, akkor adjuk meg az összes ilyen f¨ uggvényt!

V´ alaszoljunk az al´ abbi k´ erd´ esekre. A v´ alaszokat indokoljuk! 3.36.

Lehet-e két szigor´ uan monoton növ˝o f¨ uggvény összege szigor´ uan monoton cs¨ okken˝ o?

3.37.

Lehet-e két szigor´ uan monoton növ˝o f¨ uggvény szorzata szigor´ uan monoton cs¨ okken˝ o?

3.38.

Igaz-e, hogy két szigor´ uan monoton csökken˝o f¨ uggvény összege szigor´ uan monoton cs¨ okken˝ o?

3.39.

Igaz-e, hogy két szigor´ uan monoton csökken˝o f¨ uggvény szorzata szigor´ uan monoton cs¨ okken˝ o?

Jel¨ olje D(f ) az f fu eny ´ ertelmez´ esi tartom´ any´ at, R(f ) pedig ¨ ggv´ az ´ ert´ ekk´ eszlet´ et. Van-e olyan monoton n¨ ov˝ o fu eny, amelyikre ¨ ggv´ igaz, hogy 3.40.

D(f ) = (0, 1) és R(f ) = [0, 1]

3.41.

D(f ) = [0, 1] és R(f ) = (0, 1)

3.42.

Írjuk fel logikai jelekkel, hogy egy f¨ uggvény korlátos!

Adjunk meg als´ o, illetve fels˝ o korl´ atokat a k¨ ovetkez˝ o fu enyek¨ ggv´ hez, ha vannak! Melyik fu eny korl´ atos? ¨ ggv´ 3.43.

x2

3.44.

sin x

3.45.

{x}

3.46.

[x] x

56


3.47.

sin2 x

3.48.

2−x

3.49.

log2 x

3.50.

1 1 + x2

Tegyu eny mindenu ertelmezett. ´ Irjuk fel ¨ k fel, hogy az f fu ¨ ggv´ ¨ tt ´ logikai jelekkel ´ es adjunk p´ eld´ at arra, hogy az f fu enynek ¨ ggv´ 3.51.

3-ban maximuma van!

3.52.

a maximuma 3.

3.53.

van maximuma!

3.54.

nincs minimuma!


P: Az f f¨ uggvénynek van maximuma. Q: Az f f¨ uggvény fel¨ ulr˝ol korlátos.

3.56.

P: Az f f¨ uggvénynek nincs minimuma. Q: Az f f¨ uggvény alulról nem korlátos.

Adjuk meg a k¨ ovetkez˝ o fu enyek m minimum´ at ´ es M maximu¨ ggv´ m´ at a megadott intervallumokon, ha vannak! 3.57.

x2

(−∞, ∞)

3.58.

|x|

[−1, 3]

3.59.

x3

[−1, 1)

3.60.

sin x

(−π, π)

3.61.

cos x

(−π, π)

3.62.

[x]

[−1, 1]

3.63.

[x]

(−1, 1)

3.64.

{x}

[−1, 1]

Mutassunk p´ eld´ at olyan mindenu ertelmezett fu enyre, ame¨ tt ´ ¨ ggv´ lyik 3.65.

sem alulr´ ol, sem fel¨ ulr˝ ol nem korlátos.

57


3.66.

korl´ atos, de nincs sem minimuma, sem maximuma.

Mutassunk p´ eld´ at olyan fu enyre, amelyiknek az ´ ertelmez´ esi tar¨ ggv´ tom´ anya a [−1, 1] intervallum, ´ es a fu eny ¨ ggv´ 3.67.

sem alulr´ ol, sem fel¨ ulr˝ol nem korlátos.

3.68.

korl´ atos, de nincs sem minimuma, sem maximuma.

Van-e olyan fu eny, amelyik ¨ ggv´ 3.69.

szigor´ uan monoton cs¨ okken (−∞, 0)-ban, szigor´ uan monoton n˝o (0, ∞)en, és 0-ban nincs minimuma?

3.70.

monoton cs¨ okken (−∞, 0]-ban, monoton n˝o [0, ∞)-en, és 0-ban nincs minimuma?

3.71.

nem korl´ atos [0, 1]-en?

3.72.

korl´ atos [0, 1]-en, de nincs sem maximuma, sem minimuma [0, 1]-en?

3.73.

pozit´ıv R-en, de nincs minimuma?

Adjuk meg a k¨ ovetkez˝ o fu enyek legkisebb pozit´ıv peri´ odus´ at! ¨ ggv´ 3.74.

sin x

3.75.

sin(2x)

3.76.

sin

x 2

3.77.

tg x

3.78.

sin x + tg x

3.79.

sin 2x + tg

3.80.

Bizony´ıtsuk be, hogy ha egy f¨ uggvény p szerint periodikus, akkor p minden pozit´ıv egész többszöröse szerint is periodikus!

3.81.

Periodikus-e az f (x) = 3 f¨ uggvény? Ha igen, akkor adjuk meg az összes olyan sz´ amot, amely szerint periodikus!

x 2


3.82.

3.83.

58

Van-e minden nem konstans periodikus f¨ uggvénynek legkisebb pozit´ıv peri´ odusa? Periodikus-e a D(x) =

  1

ha x ∈ Q

0

ha x ∈ /Q



Dirichlet-fu eny? Ha igen, akkor adjuk meg az összes olyan szá¨ ggv´ mot, amely szerint periodikus! D¨ ontsu av-e az adott fu eny ¨ k el, hogy konvex-e illetve konk´ ¨ ggv´ (0, ∞)-ben! 3.85.

x2

x

3.87.

−x3

3.88.

sin x

3.89.

[x]

3.90.

Legyen f val´ os f¨ uggvény a (0, 10) intervallumon. Mi a P és Q áll´ıtások logikai kapcsolata, azaz melyikb˝ol következik a másik?

3.84. 3.86.

x √

P: f konvex az (3, 8) intervallumon. Q: f konvex az (5, 7) intervallumon. 3.91.

Adjuk meg az ¨ osszes olyan f¨ uggvényt, amelyik egyszerre konvex és konk´ av az (1, 2) intervallumon! Van-e ezek közt szigor´ uan konvex vagy szigor´ uan konk´ av?

3.92.

Tegy¨ uk fel, hogy f értelmezve van a (−1, 3) intervallumban. Mi a következ˝ o´ all´ıt´ asok logikai kapcsolata, azaz melyikb˝ol következik a másik? f (0) + f (2) P: f (1) ≤ 2 Q: f konvex a (−1, 3) intervallumban.

3.93.

√ D¨ onts¨ uk el, hogy konvex-e illetve konkáv-e a x f¨ uggvény a [0, ∞) ´ intervallumban! Irjuk fel a megfelel˝o Jensen-egyenl˝otlenséget. t1 = 1 . . . = tn = s´ ulyokkal! n

59


3.94.

3.95.

3.96.

V´ azoljuk az x10 f¨ uggvény grafikonját, és az [1, 2] intervallum feletti ´ h´ urj´ at! Irjuk fel az x10 f¨ uggvény [1, 2] intervallum feletti h´ urjának az egyenletét! Bizony´ıtsuk be, hogy x10 ≤ 1023x − 1022 minden x ∈ [1, 2]re! hπ πi Írjuk fel az sin x f¨ feletti h´ urjának egyenletét! uggvény , 6 2 sin(π/6) + sin(π/2) π/6 + π/2 Melyik nagyobb: vagy sin ? 2 2 Írjuk fel az log7 x f¨ uggvény [2, 4] feletti h´ urjának egyenletét! Melyik nagyobb: log7 3 vagy

log7 2 + log7 4 ? 2

Rajzoljunk fu enygrafikont u ´ gy, hogy a fu eny legyen ¨ ggv´ ¨ ggv´ 3.97.

monoton n¨ ov˝ o [1, 2]-ben és monoton csökken˝o [3, 4]-ben

3.98.

monoton n¨ ov˝ o [1, 4]-ben és monoton csökken˝o [3, 5]-ben

3.99.

konvex [1, 4]-ben és konkáv [4, 5]-ben

3.100.

konvex [1, 4]-ben és konkáv [2, 5]-ben

3.101.

szigor´ uan monoton n¨ ov˝o [1, 2]-ben, szigor´ uan monoton csökken˝o [2, 4]ben, és legyen maximuma 2-ben

3.102.

szigor´ uan monoton n¨ ov˝o [1, 2]-ben, szigor´ uan monoton csökken˝o [2, 4]ben, és legyen minimuma 2-ben

Rajzoljunk fu enygrafikont u ´ gy, hogy a fu enyre teljesu on, ¨ ggv´ ¨ ggv´ ¨ lj¨ hogy 3.103.

∀x1 ∈ [1, 2] ∧ ∀x2 ∈ [1, 2] f (x1 ) = f (x2 )

3.104.

∀x1 ∈ [1, 2] ∧ ∀x2 ∈ [1, 2]

(x1 > x2

=⇒

f (x1 ) > f (x2 ))

3.105.

∀x1 ∈ [1, 2] ∧ ∀x2 ∈ [1, 2]

(x1 > x2

=⇒

f (x1 ) ≤ f (x2 ))

3.106.

∀x1 ∈ [1, 2] ∧ ∀x2 ∈ [1, 2]

∃c ∈ [x1 , x2 ] f (c) =

f (x1 ) + f (x2 ) 2

60


3.107.

∃x1 ∈ [1, 2] ∧ ∃x2 ∈ [1, 2]

∀x ∈ [1, 2] f (x) 6=

3.108.

∀x1 ∈ [1, 2] ∧ ∀x2 ∈ [1, 2] f

x1 + x2 2

>

1 3 x1 + x2 4 4

f (x1 ) + f (x2 ) 2

f (x1 ) + f (x2 ) 2

1 3 f (x1 ) + f (x2 ) 4 4

3.109.

∀x1 ∈ [1, 2] ∧ ∀x2 ∈ [1, 2] f

3.110.

∃x0 ∈ [1, 2] ∀x ∈ [1, 2] f (x) ≤ f (x0 )

3.111.

(∀x1 ∈ [1, 2] ∃x2 ∈ [1, 2] f (x1 ) < f (x2 )) ∧ (∀x1 ∈ [1, 2] ∃x2 ∈ [1, 2] f (x1 ) > f (x2 ))

3.112.

Melyik f¨ uggvény egy-egy értelm˝ u ráképezés (bijekció) az egész számegyenesen? (a) x

(b) x2

(c) x3

(d)

(e) (g) 3.113.

√ 3

<

√

x p (f ) |x|

x

1 x

(h) f (x) =

1/x 0

ha x 6= 0 ha x = 0

Adjuk meg a k¨ ovetkez˝ o f¨ uggvények inverzeit! Rajzoljuk fel egy koordin´ atarendszerbe az inverz párokat! (a) x3

(b) x3 + 1

(c) 2x

(d) 2x − 1

Adjunk meg olyan intervallumokat, ahol a fu eny egy-egy ´ ertel¨ ggv´ m˝ u (injekci´ o)! Hat´ arozzuk meg a fu enyek inverz´ et ezeken az ¨ ggv´ intervallumokon! 3.114.

x2

3.115.

√

x

61


3.117.

2x

3.116.

sin x

3.118.

Keress¨ unk olyan f¨ uggvényeket, amelyek egyenl˝ok az inverz¨ ukkel!

3.119.

Mi a k¨ ovetkez˝ o két ´ all´ıtás logikai kapcsolata, azaz melyikb˝ol következik a m´ asik? P: Az f f¨ uggvény szigor´ uan monoton. Q: Az f f¨ uggvénynek van inverze.

3.120.

Mutassuk meg, hogy az ( f (x) =

x, ha x ∈ Q −x ha x ∈ /Q

f¨ uggvény semmilyen intervallumon sem monoton, de a f¨ uggvénynek van inverze! 3.121.

Keress¨ unk inverz p´ arokat a grafikonok között! (a)

(b)

1 2

K

p

0

1

K

1 2

p

1

62


(c)

(d)

(e)

(f )

(g)

(h)

1

Kp

K

1 2

0

p

K

1 2

p

p

1

3.122.

Van-e olyan minden¨ utt értelmezett f¨ uggvény, amelynek a grafikonja szimmetrikus az (a) x tengelyre?

3.123.

(b) y tengelyre?

Mi a k¨ ovetkez˝ o´ all´ıt´ asok logikai kapcsolata, azaz melyikb˝ol következik a m´ asik?

63


P: Az f f¨ uggvény monoton n˝o R-en. Q: Minden x ∈ R esetén f (x + 1) ≥ f (x) 1 1 + f¨ uggvény a (0, 1) intervalx x−1 lumban minden értéket pontosan egyszer vesz fel!

3.124.

Bizony´ıtsuk be, hogy az f (x) =

3.125.

Bizony´ıtsuk be, hogy ha minden x ∈ R esetén f (x + 1) =

1 + f (x) , 1 − f (x)

akkor az f f¨ uggvény periodikus! 3.126.

Tegy¨ uk fel, hogy az f f¨ uggvény páros. Lehet-e f -nek inverze?

3.127.

Tegy¨ uk fel, hogy az f f¨ uggvény páratlan. Következik-e ebb˝ol, hogy f -nek van inverze?

3.128.

´ azoljuk a k¨ Abr´ ovetkez˝ o f és g f¨ uggvényeket! Határozzuk meg a g ◦ f f¨ uggvényt! Igaz-e, hogy a g f¨ uggvény az f f¨ uggvény inverze?     ha x < 0 ha x < 0 x, x, és g(x) = 0 f (x) = 1/2 ha 0 ≤ x < 1 ha x = 0     x − 1 ha x ≥ 1 x + 1 ha x > 0

3.2. A hat´ ar´ ert´ ek 3.129.

Az ´ abr´ an l´ athat´ o f (x) f¨ uggvény grafikonja alapján dönts¨ uk el, hogy léteznek-e az al´ abbi határértékek, és ha igen, adjuk meg ezt az értéket!

1

0

(a) lim f (x) x→1

1

2

(b) lim f (x) x→2

3

(c) lim f (x) x→3

64


3.130.

Az ´ abr´ an l´ athat´ o f (x) f¨ uggvény grafikonja alapján dönts¨ uk el, hogy léteznek-e az al´ abbi határértékek, és ha igen, adjuk meg ezt az értéket!

1

K

K

2

0

1

1

K

1

(a) lim f (x) x→−2

3.131.

(b) lim f (x) x→−1

(c) lim f (x) x→0

Mely ´ all´ıt´ asok igazak az ábrán látható f (x) f¨ uggvény grafikonja alapj´ an?

1

0

1

K

1

(a) lim f (x) létezik. (b) lim f (x) = 0 x→0

(d) lim f (x) = 1 x→1

x→0

(c) lim f (x) = 1 x→0

(e) lim f (x) = 0 x→1

(f ) Az f (x) f¨ uggvénynek a (−1, 1) ny´ılt intervallum minden pontjában van hat´ arértéke. 3.132.


65


1

0

1

2

3

K

1

K

2

(a) lim f (x) nem létezik. x→2

(b) lim f (x) = 2 x→2

(c) lim f (x) nem létezik. x→1

(d) Az f (x) f¨ uggvénynek a (−1, 1) ny´ılt intervallum minden pontjában van hat´ arértéke. (e) Az f (x) f¨ uggvénynek az (1, 3) ny´ılt intervallum minden pontjában van hat´ arértéke. 3.133.


1

K

1

0

1

2

(a) lim f (x) = 1

(b) lim f (x) = 0

(c) lim f (x) = 1

(d) lim f (x) = lim f (x)

(e) lim f (x) létezik.

(f ) lim f (x) = 0

(g) lim f (x) = 1

(h) lim f (x) = 1

x→1+

x→0−

x→0

x→0

x→0−

x→0−

x→0

x→1

x→0+

66


(i) lim f (x) = 0

(j) lim f (x) = 2

(k) lim f (x) nem létezik.

(l) lim f (x) = 0

x→2−

x→1

x→1−

3.134.

Írjuk fel logikai jelekkel az alábbi áll´ıtásokat! Adjunk példát olyan f¨ uggvényekre, amelyekre igazak az áll´ıtások! (a) lim f (x) = 4

(b) lim f (x) = ∞

(c) lim f (x) = −∞

(d) lim f (x) = 4

(e) lim f (x) = ∞

(f ) lim f (x) = −∞

(g) lim f (x) = 4

(h) lim f (x) = ∞

(i) lim f (x) = −∞

(j) lim f (x) = 4

(k) lim f (x) = ∞

(l) lim f (x) = −∞

x→3

x→3+

x→3−

x→∞

(m) 3.135.

x→2+

lim f (x) = 4

x→−∞

x→4

x→3+

x→3−

x→∞

(n)

x→5

x→3+

x→3−

lim f (x) = ∞ (o)

x→−∞

x→∞

lim f (x) = −∞

x→−∞

Keress¨ uk meg azokat a f¨ uggvényeket, amelyeknek létezik és ugyanaz a hat´ arértéke 3-ban! (a) 5 ( (c)

(b) 6 (

5, ha x 6= 3 6, ha x = 3

(d)

5, ha x ∈ Q 6, ha x ∈ /Q

(e)

1 (x − 3)2

(f )

1 cos(x − 3)

(g)

1 sin(x − 3)

(h)

1 x−3

Hat´ arozzuk meg az al´ abbi hat´ ar´ ert´ ekeket behelyettes´ıt´ essel! 3.136.

lim 5x

3.137.

3.138.

lim (7x − 3) x→1/7

lim 5x

x→0

x→3

3.139.

lim

x→1

−2 7x − 3


3.140.

lim 3x2 (7x − 3)

3.141.

lim x sin x

3.143.

x→−1

3.142.

3x2 x→1 7x − 3 lim

lim

x→π

x→π/2

67

cos x 1−π

Hat´ arozzuk meg az al´ abbi hat´ ar´ ert´ ekeket a t¨ ortek egyszer˝ us´ıt´ ese ut´ an! x−5 x+3 3.144. lim 2 3.145. lim x→5 x − 25 x→−3 x2 + 4x + 3 3.146. 3.148. 3.150. 3.152.

x2 + 3x − 10 x→−5 x+5 lim

t2 + t − 2 t→1 t2 − 1 √ x−3 lim x→9 x − 9 lim

lim √

x→1

x−1 x+3−2

3.147.

x2 − 7x + 10 x→2 x−2

3.149.

t2 + 3t + 2 t→−1 t2 − t − 2

3.151.

3.153.

√ 3.154.

lim

x→1

x−1 x−1

3.155.

lim

lim

4x − x2 √ x→4 2 − x √ x2 + 8 − 3 lim x→−1 x+1 √ 1 + x2 − 1 lim x→0 x2 lim

Hat´ arozzuk meg a k¨ ovetkez˝ o trigonometrikus hat´ ar´ ert´ ekeket! sin x x

3.157.

3.158.

√ sin(ϑ 2) √ lim ϑ→0 ϑ 2

3.159.

3.160.

lim

sin 3y y→0 4y

3.161.

tg 2x x→0 x

3.163.

3.156.

lim

x→0

3.162.

lim

lim

1 − cos x x2

lim

sin kt t

lim

h sin 3h

lim

2t tg t

x→0

t→0

h→0

t→0

Hat´ arozzuk meg a k¨ ovetkez˝ o hat´ ar´ ert´ ekeket, ha l´ eteznek!


3.164.

lim x sin x

3.165.

x→0

lim sin

x→0

68

1 x

Hat´ arozzuk meg a k¨ ovetkez˝ o fu enyek hat´ ar´ ert´ ekeit a ∞-ben ´ es ¨ ggv´ a −∞-ben! 2x + 3 2x2 − 7x + 1 3.166. 3.167. √ 5x + 7 x2 + 1 + 1 3.168.

2x3 − 7x x3 + 1

3.169.

2x + 3 5x2 + 7

3.170.

2x2 − 7x x3 + 1

3.171.

x−1 + x−5 x−2 − x−3

Hat´ arozzuk meg az al´ abbi fu enyek (v´ eges illetve v´ egtelen) ha¨ ggv´ t´ ar´ ert´ ek´ et a ∞-ben! √ √ 2+ x 2 x + x−1 3.173. 3.172. √ 2− x 3x − 7 3.174.

2x3 − 7x x2 + 1

3.175.

3.176.

2x2 − 7x + 1 √ x4 + 1 + 1

3.177.

2x2 − 7x + 1 √ x3 + 3 + 7 √ 3 2x2 + 1 + 1 √ x2 + 1 + 1

Sz´ am´ıtsuk ki a ko o f´ eloldali hat´ ar´ ert´ ekeket! Mindegyik fel¨vetkez˝ adatn´ al sz´ amoljuk ki a m´ asik oldali hat´ ar´ ert´ eket is! 1 5 3.178. 3.179. lim lim x→0+ 3x x→0− 2x 3.180.

lim

x→2−

3.182.

3 x−2 2x x+8

3.183.

lim+

4 (x − 7)2

3.185.

x→7

lim+

x→3

lim

x→−8+

3.184.

3.181.

lim

1 x−3

x→−5−

lim

x→0−

Sz´ am´ıtsuk ki a ko o hat´ ar´ ert´ ekeket! ¨vetkez˝

3x 2x + 10 −1 + 1)

x2 (x


3.186.

sin x x→∞ x

3.187.

ex x→∞ x

3.188.

ln x x→∞ x

3.189.

x2 x→∞ ex

lim

lim

69

lim lim

Legyen k egy r¨ ogz´ıtett pozit´ıv eg´ esz sz´ am. Sz´ am´ıtsuk ki a k¨ ovetkez˝ o hat´ ar´ ert´ ekeket: 3.190.

xk x→∞ ex lim

3.191.

ln x lim √ k x

x→∞

Van-e hat´ ar´ ert´ eke 0-ban a k¨ ovetkez˝ o fu enyeknek? Van-e f´ elol¨ ggv´ dali hat´ ar´ ert´ eku ¨ k ugyanitt? 3.192. 3.194.

[x] ( 1, ha x ∈ Q 0, ha x ∈ /Q

3.193. 3.195.

{x} ( x, ha x ∈ Q −x, ha x ∈ /Q

3.196.

Mutassunk péld´ at olyan minden¨ utt értelmezett f¨ uggvényre, amelyiknek pontosan 2 pontban van határértéke!

3.197.

Van-e olyan minden¨ utt értelmezett f¨ uggvény, amelyiknek végtelen sok pontban végtelen a határértéke?

3.198.

Bizony´ıtsuk be, hogy ha f nem konstans, periodikus f¨ uggvény, akkor f -nek nincs hat´ arértéke végtelenben!

Van-e hat´ ar´ ert´ eke v´ egtelenben a ko o fu enyeknek? ¨vetkez˝ ¨ ggv´ 3.199.

[x]

3.200.

{x}

3.201.

sin x

3.202.

tg x

Mi a logikai kapcsolata a k¨ ovetkez˝ o ´ all´ıt´ asoknak, azaz melyikb˝ ol k¨ ovetkezik a m´ asik?


3.203.

P: lim f (x) = 5

Q: lim f 2 (x) = 25

P: lim f (x) = −5

Q: lim |f (x)| = 5

P: lim f (x) = ∞

Q: lim

x→∞

3.204.

x→∞

x→∞

3.205.

x→∞

x→∞

3.206.

70

x→∞

1 =0 f (x)

Van-e hat´ arértéke az (a) an = sin(nπ) sorozatnak?

(b) f (x) = sin x f¨ uggvénynek végtelenben?

1 sorozatnak? (c) an = n

(d) f (x) = [x] f¨ uggvénynek 0-ban?

Mi a logikai kapcsolata a ko o ´ all´ıt´ asoknak, azaz melyikb˝ ol ¨vetkez˝ ko vetkezik a m´ a sik? ¨ 3.207.

P: Az f (n) sorozat hat´ arértéke 5. Q: lim f (x) = 5. x→∞

3.208.

3.209.

1 P: Az f sorozat határértéke Q: lim f (x) = 5. x→0 n 5. P: lim (f (x) + g(x)) = ∞ x→∞

Q: lim f (x)g(x) = ∞ x→∞

3.210.

P: lim (f (x) + g(x)) = ∞ x→∞

Q: lim f (x) = ∞ vagy lim g(x) = ∞ x→∞

3.211.

x→∞

P: lim f (x)g(x) = ∞ x→∞

Q: lim f (x) = ∞ vagy lim g(x) = ∞ x→∞

3.212.

x→∞

Legyen f minden¨ utt értelmezett f¨ uggvény! Mi a P: lim f (x) = 0 x→∞

Q: Az f (n) sorozat határértéke 0

all´ıt´ ´ asok logikai kapcsolata, azaz melyikb˝ol következik a másik, ha


(a) f tetsz˝ oleges?

(b) f folytonos?

(c) f monoton?

(d) f korlátos?

71

3.3. Folytonos fu enyek ¨ ggv´ 3.213.

Írjuk fel logikai jelekkel, hogy az f f¨ uggvény folytonos 3-ban!


P: Az f f¨ uggvénynek van határértéke 3-ban. Q: Az f f¨ uggvény folytonos 3-ban.

3.215.

P: Az f f¨ uggvénynek nincs határértéke 3-ban. Q: Az f f¨ uggvény nem folytonos 3-ban.

3.216.

Folytonosak-e 0-ban a következ˝o f¨ uggvények? ( ( 1, ha x ∈ Q x, ha x ∈ Q (a) D(x) = (b) f (x) = 0, ha x ∈ /Q −x, ha x ∈ /Q

3.217.

Mutassunk péld´ at olyan f¨ uggvényre, amelyik pontosan 2 pontban folytonos!

3.218.

Az f , g : R → R f¨ uggvények egy pontban eltérnek, mindenhol máshol megegyeznek. Lehet-e mindkét f¨ uggvény mindenhol folytonos?

3.219.

Tegy¨ uk fel, hogy az f , g : R → R f¨ uggvényeknek minden pontban van véges hat´ arérték¨ uk és a határértékek meg is egyeznek. Következike ebb˝ ol, hogy f = g mindenhol? Mi a helyzet akkor, ha f is, g is folytonos?

3.220.

Mi a k¨ ovetkez˝ o´ all´ıt´ asok logikai kapcsolata, azaz melyikb˝ol következik a m´ asik? P: Az f és g f¨ uggvények folytonosak 3-ban. Q: Az f + g f¨ uggvény folytonos 3-ban.

3.221.

Tegy¨ uk fel, hogy f folytonos, g pedig nem folytonos 3-ban. Lehet-e


(a) f + g

72

(b) f g

folytonos 3-ban? 3.222.

Tegy¨ uk fel, hogy sem f , sem g nem folytonos 3-ban. Következik-e ebb˝ol, hogy (a) f + g

(b) f g

sem folytonos 3-ban? 3.223.

Tegy¨ uk fel, hogy f is, g is folytonos 3-ban. Következik-ebb˝ol, hogy az f f¨ uggvény is folytonos 3-ban? g

Hol folytonosak a k¨ ovetkez˝ o fu enyek? ¨ ggv´ 3.224. 3.226.

3.228.

x2 − 4 x+2

3.225.

√

3.227.

x

x3 − 1 x−1 √ 3

x

Adjunk péld´ at olyan f : R → R f¨ uggvényre, amelyik sehol nem folytonos, de |f | minden¨ utt folytonos!

Milyen c sz´ am megad´ asa eset´ en lesznek a k¨ ovetkez˝ o fu enyek ¨ ggv´ folytonosak a 0-ban? 2 x +2 ha x ≥ 0 3.229. f (x) = mx + c ha x < 0 ( sin x ha x 6= 0 3.230. f (x) = x c ha x = 0 x3 + x + 1 ha x > 0 3.231. f (x) = ax2 + bx + c ha x ≤ 0 √ x + 2 ha x ≥ 0 3.232. f (x) = (x + c)2 ha x < 0


73

3.233.

Bizony´ıtsuk be, hogy minden 3-adfok´ u polinomnak van valós gyöke!

3.234.

Tegy¨ uk fel, hogy az f pozit´ıv f¨ uggvény folytonos [a, b]-ben. Bizony´ıtsuk be, hogy van olyan c ∈ [a, b], amelyre igaz, hogy p f (a) + f (b) (b) f (c) = f (a)f (b) (a) f (c) = 2

3.235.

Tegy¨ uk fel, hogy f folytonos [a, b]-ben, továbbá f (a) ≥ a és f (b) ≤ b. Bizony´ıtsuk be, hogy van olyan c ∈ [a, b], amire f (c) = c.

3.236.

Tegy¨ uk fel, hogy f és g folytonosak [a, b]-ben, továbbá f (a) ≥ g(a) és f (b) ≤ g(b). Bizony´ıtsuk be, hogy van olyan c ∈ [a, b], amire f (c) = g(c).

3.237.

Tegy¨ uk fel, hogy f és g folytonosak [a, b]-n, és minden x ∈ [a, b] esetén f (x) < g(x). Bizony´ıtsuk be, hogy van olyan m > 0 szám, hogy minden x ∈ [a, b] esetén g(x) − f (x) ≥ m.

3.238.

Adjunk péld´ at olyan f : [0, 1] → R f¨ uggvényre, amely egy pont kivételével folytonos és (a) nem korl´ atos.

(b) korlátos, de nincs legnagyobb értéke.

Mi a k¨ ovetkez˝ o ´ all´ıt´ asp´ arok logikai kapcsolata, azaz melyikb˝ ol k¨ ovetkezik a m´ asik? 3.239.

P: f folytonos [1, 2]-n Q: f -nek van maximuma és minimuma [1, 2]-n

3.240.

P: f folytonos (1, 2)-n Q: f -nek van maximuma és minimuma (1, 2)-n

3.241.

P: f korl´ atos (1, 2)-n

3.242.

P: f korl´ atos [1, 2]-n Q: f -nek van maximuma és minimuma [1, 2]-n

Q: f -nek van maximuma és minimuma (1, 2)-n

Van-e olyan fu eny, amelyik ¨ ggv´ 3.243.

nem folytonos [0, 1]-en, de [0, 1]-en van maximuma is és minimuma is?


74

3.244.

folytonos (0, 1)-en, és (0, 1)-en van maximuma is és minimuma is?

3.245.

folytonos (0, 1)-en, de (0, 1)-en nincs sem maximuma, sem minimuma?

3.246.

folytonos [0, 1]-en, de [0, 1]-en nincs sem maximuma, sem minimuma?

Van-e maximuma a k¨ ovetkez˝ o fu enyeknek a [77, 888] intervallu¨ ggv´ mon? √ 3.247. 3x+5 sin x + x 3.248. sin(2x) + cos(3x) 3.249.

[x]

3.250.

{x}

Jel¨ olje D(f ) az f fu eny ´ ertelmez´ esi tartom´ any´ at, R(f ) pedig az ¨ ggv´ ´ ert´ ekk´ eszlet´ et! Van-e olyan fu eny, amelyikre igaz, hogy ¨ ggv´ 3.251.

D(f ) = (0, 1) és R(f ) = [0, 1]

3.252.

D(f ) = [0, 1] és R(f ) = (0, 1)

3.253.

D(f ) = [0, 1] és R(f ) = [3, 4] ∪ [5, 6]

Van-e olyan monoton n¨ ov˝ o fu eny, amelyikre igaz, hogy ¨ ggv´ 3.254.

D(f ) = (0, 1) és R(f ) = [0, 1]

3.255.

D(f ) = [0, 1] és R(f ) = (0, 1)

3.256.

D(f ) = [0, 1] és R(f ) = [3, 4] ∪ [5, 6]

Van-e olyan folytonos fu eny, amelyikre igaz, hogy ¨ ggv´ 3.257.

D(f ) = (0, 1) és R(f ) = [0, 1]

3.258.

D(f ) = [0, 1] és R(f ) = (0, 1)


75

3.259.

D(f ) = [0, 1] és R(f ) = [3, 4] ∪ [5, 6]

3.260.

Bizony´ıtsuk be, hogy (korlátos) zárt intervallumon folytonos f¨ uggvény értékkészlete (korl´ atos) zárt intervallum.

3.261.

Bizony´ıtsuk be, hogy ha az f f¨ uggvény folytonos R-en, továbbá a határértéke végtelenben is, és m´ınusz végtelenben is nulla, akkor f korlátos!

3.262.

Bizony´ıtsuk be, hogy ha az f f¨ uggvény folytonos R-en, továbbá a hat´ arértéke végtelenben is, és m´ınusz végtelenben is végtelen, akkor f -nek van minimuma!

3.263.

Bizony´ıtsuk be, hogy az x sin x = 100 egyenletnek végtelen sok gyöke van!

Hol folytonosak jobbr´ ol, hol folytonosak balr´ ol, illetve hol folytonosak a ko vetkez˝ o f u ggv´ e nyek? ¨ ¨ 3.264.

[x]

3.265.

[−x]

3.266.

[x] + [−x]

3.267.

[x] − [−x]

Hol folytonosak a k¨ ovetkez˝ o fu enyek? ¨ ggv´  1  cos , ha x 6= 0  x 3.268. f (x) =    0 ha x = 0  1  x sin , ha x 6= 0  x 3.269. f (x) =    0 ha x = 0 Egyenletesen folytonosak-e a ko o fu enyek az adott inter¨vetkez˝ ¨ ggv´ vallumokban? 3.270.

f (x) = x2

3.271.

f (x) =

1 x

(−∞, ∞), (0, ∞),

[−2, 2],

[1, 2],

(−2, 2)

(1, 2),

[1, ∞)

4. fejezet A differenci´ alsz´ am´ıt´ as ´ es alkalmaz´ asai 4.1. Az f f¨ uggvénynek pontosan akkor van érint˝oje az a pontban, ha itt deriv´ alhat´ o. Ekkor az érint˝ o egyenlete y = f 0 (a)(x − a) + f (a) 4.2. Ha az f (x) f¨ uggvény deriválható az a pontban, akkor a f¨ uggvény folytonos az a pontban. Ez a tétel nem ford´ıthat´ o meg: például az f (x) = |x| f¨ uggvény folytonos 0-ban, de itt nem deriv´ alhat´ o! 4.3. Deriv´ al´ asi szab´ alyok. Ha f és g deriválható a-ban, akkor — tetsz˝ oleges c ∈ R esetén c · f deriválható a-ban és (c · f )0 (a) = c · f 0 (a); — f + g deriv´ alhat´ o a-ban és (f + g)0 (a) = f 0 (a) + g 0 (a); — f · g deriv´ alhat´ o a-ban és (f · g)0 (a) = f 0 (a) · g(a) + f (a) · g 0 (a); — g(a) 6= 0 esetén

f deriválható a-ban, és g 0 f f 0 (a) · g(a) − f (a) · g 0 (a) (a) = . g g 2 (a)

77

´ lsza ´ m´ıta ´s e ´s alkalmaza ´ sai 4. A differencia

4.4. L´ ancszab´ aly. Ha g deriválható a-ban, f deriválható g(a)-ban, akkor f ◦ g deriv´ alhat´ o a-ban és (f ◦ g)0 (a) = f 0 (g(a)) · g 0 (a). 4.5. Inverz fu eny deriv´ altja. Ha f folytonos és invertálható a kör¨ ul, ¨ ggv´ a-ban deriv´ alhat´ o, és f 0 (a) 6= 0, akkor f −1 deriválható f (a)-ban és (f −1 )0 (f (a)) =

1 f 0 (a)

.

4.6. K¨ oz´ ep´ ert´ ekt´ etelek. — Rolle t´ etele. Ha f folytonos az [a, b] zárt intervallumon, deriválható az (a, b) ny´ılt intervallumon és f (a) = f (b), akkor van olyan c ∈ (a, b), amelyre f 0 (c) = 0. — Lagrange-ko ep´ ert´ ekt´ etel. Ha f folytonos az [a, b] zárt interval¨z´ lumon, deriv´ alhat´ o az (a, b) ny´ılt intervallumon, akkor van olyan c ∈ (a, b), amelyre f (b) − f (a) f 0 (c) = . b−a A tétel geometriai jelentése az, hogy minden h´ urhoz található vele párhuzamos érint˝ o. — Cauchy-ko ep´ ert´ ekt´ etel. Ha f és g folytonos az [a, b] zárt interval¨z´ lumon, deriv´ alhat´ o az (a, b) ny´ılt intervallumon, és x ∈ (a, b) esetén g 0 (x) 6= 0, akkor van olyan c ∈ (a, b), amelyre f 0 (c) f (b) − f (a) = . g 0 (c) g(b) − g(a) — Az integr´ alsz´ am´ıt´ as alapt´ etele. Ha f és g folytonos az [a, b] zárt intervallumon, deriv´ alható az (a, b) ny´ılt intervallumon és x ∈ (a, b) esetén f 0 (x) = g 0 (x), akkor f − g konstans f¨ uggvény. 4.7. Darboux-t´ etel. Ha f deriválható (a, b)-ben, a-ban jobbról, b-ben 0 0 balr´ ol deriv´ alhat´ o, akkor az f 0 (x) deriváltf¨ uggvény minden f+ (a) és f− (b) k¨ oz¨ otti értéket felvesz. 4.8. Monotonit´ as ´ es deriv´ alt kapcsolata. Legyen f (x) folytonos [a, b]-n és deriv´ alhat´ o (a, b)-n.


78

— Az f (x) f¨ uggvény monoton n˝o [a, b]-n, akkor és csak akkor, ha minden x ∈ (a, b) esetén f 0 (x) ≥ 0. — Ha minden x ∈ (a, b) esetén f 0 (x) > 0, akkor f (x) szigor´ uan monoton n˝ o [a, b]-n. Ez az ´ all´ıt´ as nem ford´ıtható meg, például f (x) = x3 szigor´ uan monoton 0 n˝ o de f (0) = 0. — Az f (x) f¨ uggvény szigor´ uan monoton n˝o [a, b]-n akkor és csak akkor, ha minden x ∈ (a, b) esetén f 0 (x) ≥ 0 és minden a < c < d < b esetén f 0 (x)-nek csak véges sok gyöke van (c, d)-ben. 4.9. Lok´ alis sz´ els˝ o´ ert´ ek ´ es a deriv´ alt kapcsolata. Tegy¨ uk fel, hogy f (x) deriv´ alhat´ o a-ban. — Ha f (x)-nek lok´ alis széls˝oértéke (maximum vagy minimum) van a-ban, akkor f 0 (a) = 0. — Ha f (x) deriv´ alhat´ o a egy környezetében, f 0 (a) = 0 és f 0 (x) el˝ojelet v´ alt a-ban, akkor f (x)-nek lokális széls˝oértéke van a-ban, mégpedig − lok´ alis (szigor´ u) maximuma, ha a-tól balra (f 0 (x) > 0) f 0 (x) ≥ 0, 0 és a-t´ ol jobbra (f (x) < 0) f 0 (x) ≤ 0, − lok´ alis (szigor´ u) minimuma, ha a-tól balra (f 0 (x) < 0) f 0 (x) ≤ 0, 0 és a-t´ ol jobbra (f (x) > 0) f 0 (x) ≥ 0. — Ha f (x) kétszer deriv´ alható a-ban, f 0 (a) = 0 és f 00 (a) 6= 0, akkor f (x)nek lok´ alis széls˝ oértéke van a-ban, mégpedig − lok´ alis szigor´ u maximuma, ha f ”(a) < 0, − lok´ alis szigor´ u minimuma, ha f ”(a) > 0. 4.10. Konvexit´ as ´ es a deriv´ alt kapcsolata. Tegy¨ uk fel, hogy f (x) deriv´ alhat´ o (a, b)-ben. — f (x) akkor és csak akkor (szigor´ uan) konvex (a, b)-n, ha f 0 (x) (szigor´ uan) monoton n¨ ov˝ o (a, b)-n. — f (x) akkor és csak akkor (szigor´ uan) konkáv (a, b)-n, ha f 0 (x) (szigor´ uan) monoton cs¨ okken (a, b)-n. — f (x)-nek a c ∈ (a, b) inflexi´ os pontja akkor és csak akkor, ha f 0 (x)-nek c-ben lok´ alis széls˝ oértéke van. 4.11. L’Hospital szab´ aly. Tegy¨ uk fel, hogy f és g deriválható a egy pontozott k¨ ornyezetében, f -nek és g-nek van határértéke a-ban és vagy mindkét


79

hat´ arérték 0 vagy mindkét határérték ∞, azaz a két f¨ uggvény hányadosáf 0 (x) nak hat´ arértéke kritikus. Ekkor ha l´ etezik a lim 0 határérték, akkor x→a g (x) f (x) l´ etezik a lim hat´ arérték is, és x→a g(x) f (x) f 0 (x) = lim 0 . x→a g(x) x→a g (x) lim

A fenti tétel a (pontozott) környezet értelemszer˝ u módos´ıtásával érvényes marad akkor is, ha a hat´ arértéket valamelyik végtelenben, illetve valamelyik oldalr´ ol vizsg´ aljuk.

4.1. A deriv´ alt fogalma 4.1.

4.2.

√ √ Sz´ am´ıtsuk ki a defin´ıció szerint x és 3 x differenciálhányadosát az x√ = a pontban! Hol van értelmezve, hol folytonos és hol differenciálható √ a x és a 3 x f¨ uggvény? Adjuk meg a deriváltf¨ uggvényeket! Tegy¨ uk fel, hogy f (x) − f (3) = 4. x−3 K¨ ovetkezik-e ebb˝ ol, hogy az f f¨ uggvény folytonos 3-ban? lim

x→3

4.3.

Tegy¨ uk fel, hogy az f f¨ uggvény folytonos 3-ban. Következik-e ebb˝ol, hogy a f (x) − f (3) lim x→3 x−3 hat´ arérték létezik és véges?

Sz´ am´ıtsuk ki a k¨ ovetkez˝ o hat´ ar´ ert´ ekeket! √ √ (x + h)2 − x2 x+h− x 4.4. 4.5. lim lim h→0 h h→0 h 4.6.

1/(x + h) − 1/x h→0 h lim

4.7.

(x + h)3 − x3 h→0 h lim

80


4.8.

x2 − x20 x − x0

4.9.

lim

1/x − 1/x0 x − x0

4.11.

x→x0

4.10.

√

lim

x→x0

lim

x→x0

lim

x→x0

√ x − x0 x − x0

x3 − x30 x − x0

Hol folytonosak, ´ es hol differenci´ alhat´ ok a k¨ ovetkez˝ o fu enyek? ¨ ggv´ 4.12.

|x|

4.13.

3 x

4.14.

2 x − 1

4.15.

√ 3 x

Milyen b ´ es c eset´ en lesznek a k¨ ovetkez˝ o fu enyek differenci´ alha¨ ggv´ t´ ok 3-ban? Adjuk meg a deriv´ altakat! x ha x ≥ 3 4.16. f (x) = bx2 − c ha x < 3 x2 ha x ≤ 3 4.17. g(x) = b − cx ha x > 3 (1 − x)(2 − x) ha x ≥ −3 4.18. h(x) = bx + c ha x < −3 Hol differenci´ alhat´ ok a k¨ ovetkez˝ o fu enyek? Hol folytonosak a ¨ ggv´ deriv´ altfu enyek? ¨ ggv´ ( 1 x sin ha x 6= 0 4.19. f (x) = x 0 ha x = 0 ( 1 x2 sin ha x 6= 0 4.20. f (x) = x 0 ha x = 0 4.21.

f (x) = x3

4.22.

f (x) = {x} sin πx

4.23.

f (x) = [x] sin2 πx

81


−x2 x2

ha x ≤ 0 ha x > 0

4.24.

f (x) =

4.25.

  1 − x f (x) = (1 − x)(2 − x)   −(2 − x)

1 {x} − 2

ha x < 1 ha 1 ≤ x ≤ 2 ha 2 < x

2

4.26.

f (x) =

4.27.

f (x) = [x] sin πx, ahol [x] az x egészrészét jelöli.

4.28.

Melyik grafikon az f (x) = sin2 x f¨ uggvényé és melyik a g(x) = |sin x| f¨ uggvényé?

, ahol {x} az x törtrészét jelöli.

(a)

(b)

Hat´ arozzuk meg a k¨ ovetkez˝ o fu enyek els˝ o, m´ asodik, . . . , n-edik ¨ ggv´ deriv´ altj´ at! 4.29.

x6

4.30.

1 x

4.31.

sin x

4.32.

cos x

4.2. Deriv´ al´ asi szab´ alyok Mi a k¨ ovetkez˝ o ´ all´ıt´ asok logikai kapcsolata, azaz melyikb˝ ol k¨ ovetkezik a m´ asik? 4.33.

P: Az f f¨ uggvény p´ aros.

Q: f 0 páratlan.

4.34.

P: Az f f¨ uggvény p´ aratlan.

Q: f 0 páros.

82


Tegyu eny differenci´ alhat´ o. Mi a k¨ ovetkez˝ o ¨ k fel, hogy az f fu ¨ ggv´ ´ all´ıt´ asok logikai kapcsolata, azaz melyikb˝ ol ko asik? ¨vetkezik a m´ 4.35.

P: Az f f¨ uggvény periodikus.

Q: Az f 0 f¨ uggvény periodikus.

4.36.

P: lim f (x) = 0

Q: lim f 0 (x) = 0

P: lim f (x) = ∞

Q: lim f 0 (x) = ∞

P: f differenci´ alhat´ o a-ban

Q: lim

x→∞

4.37.

x→∞

x→∞

4.38.

x→∞

h→0

f (a + h) − f (a − h) létezik. 2h

Keressu eny ´ erint˝ oje p´ ar¨ k meg azokat a helyeket, ahol a sin x fu ¨ ggv´ huzamos az 4.39.

x tengellyel;

4.40.

4.41.

Adjuk meg cos x grafikonjának x =

4.42.

Írjuk fel az f (x) = x3 − 2x2 + 3x + 4 f¨ uggvény érint˝ojének az egyenletét az (1; 6) pontban!

4.43.

Hol v´ızszintes a 2x3 − 6x2 + 8 f¨ uggvény grafikonjának az érint˝oje?

4.44.

Adjuk meg 2x3 − 6x2 + 8 grafikonjának azokat az érint˝oit, amelyek az x-tengellyel 45 fokos, illetve 30 fokos szöget zárnak be!

4.45.

Milyen sz¨ ogben metszi az x2 f¨ uggvény grafikonja az y = 2x egyenest, azaz mekkora a k¨ oz¨ os pontokban az érint˝o és az egyenes szöge?

4.46.

Bizony´ıtsuk be, hogy az x2 − y 2 = a és xy = b görbék mer˝olegesen metszik egym´ ast, azaz a metszéspontokban az érint˝ok mer˝olegesek.

4.47.

Hol f¨ ugg˝ oleges az érint˝ oje a

4.48.

A k¨ ovetkez˝ o két ´ abra egyikén a tg x, a másikon az x3 f¨ uggvény szerepel. Melyik rajzhoz melyik f¨ uggvény tartozik?

√ 3

az y = x egyenessel.

π pontbeli érint˝ojét! 3

sin x f¨ uggvény grafikonjának?

83


(a)

(b)

4.49.

Egy aut´ ou ´t – id˝ o f¨ uggvényét az s(t) = 3t2 + 5t + 8 f¨ uggvény adja meg. Hat´ arozzuk meg az autó pillanatnyi sebességét a t = 3 pillanatban! Adjuk meg az aut´ o sebesség – id˝o f¨ uggvényét!

4.50.

Egy aut´ o sebesség – id˝ o f¨ uggvényét a v(t) = 5t + 3 f¨ uggvény adja meg. Hat´ arozzuk meg az autó pillanatnyi gyorsulását a t = 7 pillanatban! Adjuk meg az aut´ o gyorsulás – id˝o f¨ uggvényét!

4.51.

Egy rezg˝ o test kitérés – id˝o f¨ uggvénye: y(t) = 5 sin t. Adjuk meg a test sebesség – id˝ o f¨ uggvényét! Adjuk meg a test gyorsulás – id˝o f¨ uggvényét!

Hat´ arozzuk meg a k¨ ovetkez˝ o fu enyek ´ ertelmez´ esi tartom´ any´ at! ¨ ggv´ Deriv´ aljuk a k¨ ovetkez˝ o fu enyeket, ´ es hat´ arozzuk meg a deriv´ al¨ ggv´ tak ´ ertelmez´ esi tartom´ any´ at! 4.52.

3 3x8 − x6 + 2 4

4.54.

x+

4.56.

r q √ x x x

4.57.

4.58.

4 sin x

4.59.

sin x + cos x 3

4.60.

sin x22

4.61.

(sin x)

1 √ + x x

4.53.

5x + 3 2x − 1 √ 3

4.55.

x +7 5 r q √ x+ x+ x 2

3x −

22

84


4.62.

sin x − x cos x cos x + x sin x

4.63.

4x3 tg(x2 + 1)

4.64.

sin x cos x

4.65.

sin

4.66.

x sin x

4.67.

(3x5 + 1) cos x

4.68.

xx

4.69.

√ x

4.70.

x−x

4.71.

e

4.72.

p x x2 + 1

4.73.

e−3x

4.74.

log4 x

4.75.

logx 4

4.76.

ln(ln x)

4.77.

1 x+1 ln 2 x−1

4.78.

p ln x + x2 + 1 ,

4.79.

p ln ex + 1 + e2x2

4.80.

4 sh x

4.82.

sh x22

4.84.

1 x

x

√

x

2

(x > 1)

4.81.

sh x + ch x 3

4.83.

(sh x)

sh x − x ch x ch x + x sh x

4.85.

4x3 th(x2 + 1)

4.86.

sh x ch x

4.87.

sh

4.88.

x sh x

4.89.

(3x5 + 1) ch x

4.90.

log3 x · cos x

4.91.

sin x + 2 ln x √ x+1

4.92.

x2 ex − 3x ln x + cos π x2 + 1

4.93.

ln sin x + cos2 x

22

1 x


4.94.

cos(3x ) + 5 ln(sin x) + x2

4.95.

(sin x)cos x

4.96.

ln(sin x)

4.97.

xtg x

85

Mutassuk meg, hogy a ko o fu enyek invert´ alhat´ oak egy al¨vetkez˝ ¨ ggv´ kalmas intervallumon, ´ es sz´ am´ıtsuk ki az inverz deriv´ altj´ at a megadott helyen! 4.98.

x + sin x,

4.99.

3x3 + x,

4.100.

f (x) = x5 + x2 (x > 0),

4.101.

−2x3 +

√

a = 1 + π/2 a=4

x,

a=2

a = −1

Hat´ arozzuk meg a ko o trigonometrikus fu enyek inverze¨vetkez˝ ¨ ggv´ inek a deriv´ altj´ at! 4.102.

arcsin x

4.103.

arccos x

4.104.

arctg x

4.105.

arcctg x

Hol deriv´ alhat´ o´ es mi a deriv´ altja a k¨ ovetkez˝ o fu enyeknek? ¨ ggv´ 4.106.

arcsin(cos x)

4.107.

sin(arccos x)

4.108.

arctg(sin x)

4.109.

tg(arcsin x)

4.110.

arsh(ch x)

4.111.

sh(arch x)

4.112.

arth(sh x)

4.113.

th(arsh x)

Sz´ am´ıtsuk ki a k¨ ovetkez˝ o hat´ ar´ ert´ ekeket, ha l´ eteznek!

86


4.114.

lim x→π/6

4.116.

2 sin x − 1 6x − π

cos x x→π/2 x − π/2 lim

4.115.

lim x→π/2

4.117.

sin x − 2/(πx) cos x

ex − 1 x→0 x lim

Sz´ am´ıtsuk ki a k¨ ovetkez˝ o sorozatok hat´ ar´ ert´ ek´ et, ha l´ eteznek! ! r 1 n+1 4.119. lim n cos − 1 4.118. lim n −1 n→∞ n n→∞ n 4.120.

lim ne1/n − 1

n→∞

4.121.

lim n2 sin

n→∞

1 √ n e−1 n

Sz´ amoljuk ki a k¨ ovetkez˝ o fu enyek m´ asodik deriv´ altj´ at: ¨ ggv´ 4.122.

x3 + 2x2 + x + 1

4.123.

esin x

4.124.

ln cos x

4.125.

arctg

1 x

4.3. K¨ oz´ ep´ ert´ ekt´ etelek, L’Hospital szab´ aly 4.126.

Van-e olyan f¨ uggvény, amelyiknek a deriváltja a [−3, 5] intervallumon [x], azaz x egész része?

4.127.

Van-e olyan f¨ uggvény, amelyiknek a deriváltja nem folytonos?

4.128.

Legyen f (x) = arctg x,

4.129.

Tegy¨ uk fel,hogy f és g differenciálható f¨ uggvények, továbbá f (0) ≥ 0 g(0), és hogy minden x ∈ R esetén f (x) > g 0 (x). Bizony´ıtsuk be, hogy ekkor f (x) > g(x), ha x > 0.

1+x és h(x) = f (x) − g(x). Bi1−x 0 zony´ıtsuk be, hogy h (x) = 0. Következik-e ebb˝ol, hogy h(x) konstans f¨ uggvény? Sz´ am´ıtsuk ki h(0)-t, és a lim h(x) határértéket! Magyarázx→∞ zuk meg az eredményt! g(x) = arctg

H´ any gy¨ oke van a k¨ ovetkez˝ o egyenleteknek?

87


4.130.

x3 + 2x + 4 = 0

4.131.

x5 − 5x + 2 = 0

4.132.

ex = 2x + 2

4.133.

sin x =

x 2

Sz´ am´ıtsuk ki a k¨ ovetkez˝ o hat´ ar´ ert´ ekeket! π x 4.134. 4.135. lim lim x − arctg x x→∞ x→0 ln(1 + x) 2 4.136.

4.138.

1 − sin x x→π/2 1 + cos 2x

4.137.

ln x ctg x

4.139.

lim

lim

x→0+

4.140. 4.142.

lim

x→0

4.144.

4.141.

x ctg x − 1 x2

4.143.

lim (1 + x)

lim

x→0

4.148. 4.150.

1/x

4.152.

1 + ex 2

ctg x

ln x lim √ x→∞ x lim

x→0

x + ln x x→∞ x + 1 lim

sin x − x tg x − x 1 lim ctg x − x→0 x lim

4.145.

lim

x→0

x √ sin x

x→0

x→0

4.146.

x→0

x+1 e−x

lim

x→−∞

lim+

4.147. 4.149. 4.151.

1/x2

x3 + x2 + 1 x→∞ ex lim

lim x sin

x→∞

ch x − cos x x2

sin x x

lim

x→∞

1 x+1

1 + arctg x sh x + ch x

sin x határértéket! x→0 x + 1 Megold´ as: A L’Hospital-szabály alkalmazásával: Sz´ amoljuk ki a lim

lim

x→0

Mi a hiba?

sin x cos x = lim =1 x→0 x+1 1


4.153.

88

x+1 határértéket! 2x + 2 Megold´ as: A L’Hospital-szabály alkalmazásával: Sz´ amoljuk ki a lim

x→0

lim

x→0

1 1 x+1 = lim = 2x + 2 x→0 2 2

Mi a hiba? 4.154.

sin x határértéket! x Megold´ as: A L’Hospital-szabály alkalmazásával: Sz´ amoljuk ki a lim

x→∞

sin x cos x lim = lim = lim cos x. x→∞ x x→∞ x→∞ 1 Ez a hat´ arérték nem létezik. Mi a hiba?

4.4. Sz´ els˝ o´ ert´ ekkeres´ es Hat´ arozzuk meg k¨ ovetkez˝ o fu enyek abszol´ ut sz´ els˝ o´ ert´ ekeit a ¨ ggv´ megadott intervallumokon! 4.155.

x3 − 12x

[−10; 3],

4.156.

x3 + 2x5

[−1, 4],

4.157.

A vékony lencsék leképezési törvénye szerint

[0; 3] [2, 5],

[−7, 3]

1 1 1 = + , f t k ahol f a lencse f´ okusztávolsága, t a tárgy távolsága a lencsét˝ol és k a képt´ avols´ ag. Adott f fókusztávolság esetén mennyi legyen a tárgytávols´ ag, hogy t + k maximális, illetve minimális legyen? 4.158.

A ferde haj´ıt´ asn´ al a f¨ oldr˝ol α szögben v0 kezd˝osebességgel kil˝ott test a kil¨ ovés helyét˝ ol 2v02 sin α cos α g t´ avols´ agra ér f¨ oldet, ha a közegellenállástól eltekint¨ unk. Milyen szögben l˝ oj¨ uk ki a testet, hogy a lehet˝o legmesszebb rep¨ uljön?


4.159.

89

Az egyenl˝ o sz´ ar´ u derékszög˝ u háromszögbe ´ırható téglalapok köz¨ ul melyiknek a ter¨ ulete a legnagyobb? Na és melyiknek a ker¨ ulete a legnagyobb? Itt be´ırt t´ eglalapon olyan téglalapot ért¨ unk, amelynek két szomszédos cs´ ucsa az ´ atfog´ on, a t¨ obbi cs´ ucsa a befogókon van.

4.160.

Hat´ arozzuk meg egy adott a alkotój´ u egyenes körk´ up alapkörének R sugar´ at és m magass´ agát u ´gy, hogy a k´ up térfogata maximális legyen!

4.161.

A 16cm2 ter¨ ulet˝ u téglalapok köz¨ ul melyiknek a ker¨ ulete minimális? Mekkor´ ak ennek az oldalai?

4.162.

A 8 egység ker¨ ulet˝ u téglalapok köz¨ ul miért a négyzetnek legnagyobb a ter¨ ulete?

4.163.

Legfeljebb mekkora lehet a derékszög˝ u háromszög ter¨ ulete, ha az egyik befog´ oj´ anak és az ´ atfogójának az összege 10 cm?

4.164.

Egy téglalap egyik oldala az x tengelyen fekszik, két fels˝o cs´ ucsa pe2 dig az y = 12 − x parabolán. Mikor maximális a ter¨ ulete egy ilyen téglalapnak?

4.165.

8 x 15 dm-es kartonlapból téglalap alak´ u, nyitott dobozt kész´ıt¨ unk u ´gy, hogy a kartonlap sarkaiból egybevágó négyzeteket vágunk ki, majd felhajtjuk az oldalakat. Milyenek legyenek a doboz méretei, ha azt szeretnénk elérni, hogy a lehet˝o legnagyobb legyen a térfogata? Mekkora lesz a maxim´ alis térfogat?

4.166.

Hozzunk létre egy h´ aromszöget a koordináta-rendszer els˝o s´ıknegyedében u ´gy, hogy az x-, illetve y-tengely (a, 0), (0, b) koordinátáj´ u pontjait egy 20 egység hossz´ u egyenes szakasszal összekötj¨ uk. Mutassuk meg, hogy a k¨ ozbez´ art h´ aromszög ter¨ ulete akkor lesz a legnagyobb, ha a = b.

4.167.

Egy farmon az ´ allatok számára el kell ker´ıteni egy téglalap alak´ u karámot. A ter¨ uletet egyik oldalról folyó határolja, a másik három oldalon egysz´ alas vezetéket kell kifesz´ıteni, amelybe aztán áramot vezetnek. A rendelkezésre ´ all´ o 800 méternyi vezetékkel mekkora ter¨ uletet lehet elker´ıteni, és milyen méret˝ u lesz a maximális ter¨ ulet˝ u karám?

4.168.

Hat´ arozzuk meg egy adott V térfogat´ u egyenes körhenger alapkörének R sugar´ at és m magasságát u ´gy, hogy a henger felsz´ıne minimális legyen!


90

4.169.

Egy bors´ ou u részét be kell ker´ıteni, ¨ltetvény 216 m2 -es téglalap alak´ majd a ker´ıtés egyik oldalával párhuzamosan két egyenl˝o részre kell osztani. Mekkor´ ak legyenek a k¨ uls˝o téglalap oldalai, hogy a lehet˝o legkevesebb ker´ıtésfonatot kelljen felhasználni? Milyen hossz´ u ker´ıtésre van sz¨ ukség?

4.170.

Egy f¨ ugg˝ olegesen mozgó test magasságát az s = −4, 9t2 + 30t + 34 f¨ uggvény adja meg, ahol s-t méterben, t-t másodpercben mérj¨ uk. Mekkora lesz (a) a test sebessége a t = 0 id˝opontban; (b) a legnagyobb magassága, és mikor éri azt el; (c) a sebessége, amikor s = 0?

4.171.

Janka a partt´ ol 3 kilométerre egy csónakban u ¨l, és szeretne eljutni a t˝ole légvonalban 5 kilométerre lév˝o part menti faluba. 2 km/h sebességgel tud evezni és 5 km/h sebességgel gyalogolni. Hol szálljon ki a csónakból, hogy a lehet˝ o legr¨ ovidebb id˝o alatt érjen a faluba?

4.172.

Két részecske helyzetét az s-tengelyen az s1 = cos t és s2 = cos(t + π/4) f¨ uggvények ´ırj´ ak le. (a) Mekkora a részecskék legnagyobb távolsága? (b) Mikor u oznek ¨ ossze? ¨tk¨

4.5. Fu enyvizsg´ alat ¨ ggv´ Tegyu alhat´ o R-en. Mi a k¨ ovetkez˝ o´ all´ıt´ asok ¨ k fel, hogy f differenci´ logikai kapcsolata, azaz melyikb˝ ol k¨ ovetkezik a m´ asik? 4.173.

P: f 0 (a) = 0

Q: f -nek lokális széls˝oértéke van a-ban

4.174.

P: f 0 (a) 6= 0

Q: f -nek nincs lokális széls˝oértéke a-ban

4.175.

P: f 0 (x) ≥ 0

(3, 5)-ben

Q: f monoton n˝o (3, 5)-ben


4.176.

P: f 0 (x) > 0

(3, 5)-ben

91

Q: f szigor´ uan monoton n˝o (3, 5)-ben

Tegyu etszer differenci´ alhat´ o R-en. Mi a k¨ ovetkez˝ o ¨ k fel, hogy f k´ ´ all´ıt´ asok logikai kapcsolata, azaz melyikb˝ ol k¨ ovetkezik a m´ asik? 4.177.

P: f 00 (a) > 0

Q: f -nek lokális minimuma van a-ban

4.178.

P: f 0 (a) = 0 és f 00 (a) > 0

Q: f -nek lokális minimuma van a-ban

4.179.

P: f 00 (a) = 0

Q: f -nek inflexiós pontja van aban

4.180.

P: f 00 (a) = 0

Q: f -nek inflexiós pontja vagy lokális széls˝oértéke van a-ban

4.181.

P: f 00 (x) ≥ 0

(3, 5)-ben

Q: f konvex (3, 5)-ben

4.182.

P: f 00 (x) > 0

(3, 5)-ben

Q: f szigor´ uan konvex (3, 5)-ben

Milyen intervallumokon n¨ ovekszik, illetve cs¨ okken, hol van lok´ alis sz´ els˝ o´ ert´ eke a k¨ ovetkez˝ o fu enyeknek? ¨ ggv´ 4.183.

f (x) = −x2 − 3x + 23

4.184.

f (x) = 2x3 − 18x + 23

4.185.

f (x) = x4 − 4x3 + 4x2 + 23

4.186.

f (x) = x

4.187.

√ f (x) = x2 5 − x

4.188.

f (x) =

p

9 − x2

x2 − 9 x−2

Keressu ovetkez˝ o fu enyek lok´ alis sz´ els˝ o´ ert´ ekeit, ´ es ha¨ k meg a k¨ ¨ ggv´ t´ arozzuk meg a t´ıpusaikat!

92


4.189.

y = xe−x

4.190.

y = 2 + x − x2

4.191.

y = x3 − 6x2 + 9x − 4

4.192.

y = x + sin x

V´ egezzu ovetkez˝ o fu enyek teljes fu enyvizsg´ alat´ at! ¨ k el a k¨ ¨ ggv´ ¨ ggv´ 4.193.

f (x) = x +

4.195.

f (x) =

4.197.

1 x

1 x2

4.194.

f (x) = x −

1 1 + x2

4.196.

f (x) =

x 1 + x2

f (x) =

x+1 1 + x2

4.198.

f (x) =

x3 x2 + 1

4.199.

f (x) =

x3 x2 − 1

4.200.

f (x) = x +

4.201.

f (x) =

1 1 − x2 (x − 12 )

4.202.

√ x 1−x f (x) = 1+x

2x x2 − 1

´ azoljuk a k¨ Abr´ ovetkez˝ o fu enyeket! ¨ ggv´ 4.203.

f (x) = 6 − 2x − x2

4.204.

f (x) = x3 − 3x + 3

4.205.

f (x) = x(6 − 2x)2

4.206.

f (x) = 1 − 9x − 6x2 − x3

4.207.

f (x) = (x − 2)3 + 1

4.208.

f (x) = 1 − (x + 1)3

4.6. Elemi fu enyek ¨ ggv´ V´ egezzu ovetkez˝ o fu enyek teljes fu enyvizsg´ alat´ at! ¨ k el a k¨ ¨ ggv´ ¨ ggv´ 4.209.

x2n ,

n ∈ N+

4.210.

x2n+1 ,

n ∈ N+

93


4.211.

x−2n , √

4.213.

2n

4.215.

ax ,

4.217.

loga x,

4.219.

x,

n ∈ N+

4.212.

n ∈ N+

4.214.

x−(2n+1) , √

2n+1

ax ,

4.218.

loga x,

sin x

4.220.

tg x

4.221.

arcsin x

4.222.

arctg x

4.223.

sh x =

4.224.

ch x =

4.225.

arsh x

4.226.

arch x

(a > 1)

ex − e−x 2

n ∈ N+

x,

4.216.

(a > 1)

n ∈ N+

(0 < a < 1) (0 < a < 1)

ex + e−x 2

Sz´ am´ıtsuk ki a k¨ ovetkez˝ o´ ert´ ekeket! ln 100 ln 2

4.227.

2

4.229.

arcsin

4.228.

− log3 7 1 9

4.230.

arctg(−1) 1 sin arcsin 3 arcsin(sin 3)

√

3 2

4.231.

arccos(cos(9π))

4.232.

4.233.

tg(arctg 100)

4.234.

Periodikusak-e a ko o fu enyek? Ha igen, adjunk meg egy ¨vetkez˝ ¨ ggv´ peri´ odust! 4.235.

tg(10x)

4.236.

ctg(πx)

4.237.

sin

x 5

4.238.

cos

x x + tg 2 3

94


4.239.

A k¨ ovetkez˝ o f¨ uggvények köz¨ ul ábrázoltunk néhányat, keress¨ uk meg a grafikonokhoz tartoz´ o képleteket! sh x,

ch x,

ex ,

e−x ,

log3 x,

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f )

log0,5 x,

ln(−x),

x3 ,

x−3

95


4.240.

A k¨ ovetkez˝ o f¨ uggvények köz¨ ul ábrázoltunk néhányat, keress¨ uk meg a grafikonokhoz tartoz´ o képleteket! sin x,

cos 2x,

sin(x − 2),

2 sin x,

tg x,

sin2 x,

ctg x,

− cos x,

|cos x|

(b)

(a) 1

Kp

K

1 2

1

0

p

1 2

K

p

Kp

p

K

1 2

0

p

1 2

K

1

p

p

p

p

p

p

1

(c)

(d) 1 1

Kp

Kp K

1 2

0

p

(e)

1 2

p

p

K

1 2

1 2

0

p

2

K

1

2

2

1

1

0

p

1

(f )

3

Kp

K

1 2

K

p

p

Kp

K

1 2

0

p

K

1

1 2

1

K

K

2

2

K

3

4.241.

A k¨ ovetkez˝ o f¨ uggvényeket ábrázoltuk, keress¨ uk meg a grafikonokhoz tartoz´ o képleteket! arcsin x, sin(arcsin x),

arccos x,

arcsin(sin x),

arctg x,

arcctg x

tg(arctg x),

arctg(tg x)

96


(a)

(b)

p

1 2

1 2

p

p

K

0

1

K

0

1

K

1

1

2

(c)

1

p

(d) 1

p

1 2

K

3

K

p

K

3

K

2

0

1

0

1

K 1

2

2

3

(e)

p

K

1

K

2

2

1

2

3

1

2

3

1

2

3

p

(f ) 1 2

p 1

Kp

K

1 2

0

p

1 2

p

K

p

3

K

2

K

0

1

K

1

K

1 2

p

(g)

(h)

3

2

1

1

Kp

K

1 2

0

p

K

1

1 2

p

p

K

3

K

2

K

0

1

K

1

K

2

K

3

4.242.

A k¨ ovetkez˝ o f¨ uggvényeket ábrázoltuk, keress¨ uk meg a grafikonokhoz tartoz´ o képleteket!

97


sin(arccos x), tg(arcctg x),

arccos(sin x),

cos(arcsin x),

arcctg(tg x),

ctg(arctg x),

(a)

arcsin(cos x) arctg(ctg x)

(b) p

1 1 2

p

K

3

Kp

K

1 2

0

p

1 2

K

K

2

0

1

1

2

3

p

p

(c)

(d) 1 2

p

1

K

3

K

Kp

K

2

0

1

1

2

K

1 2

0

p

2

K

1 2

(e)

1

p

p

p

p

3

p

(f )

3

p 2

1

1 2

K

3

K

K

2

0

1

1

2

p

3

K

Kp

1

K

1 2

0

p

1 2

K

2

K

3

(g)

(h) 1 2

3

p 2

1

Kp

K

1 2

0

p

1 2

K

1 2

p

p

K

3

p

K

2

K

0

1

K

1

K

2

K

3

1

2

3

5. fejezet Az egyv´ altoz´ os Riemann-integr´ al 5.1. Alapintegr´ alok Z Z 1 1 α α+1 x dx = x + C (α 6= dx = ln |x| + C α+1 x −1) Z Z 1 x a + C (a 6= 1) ex dx = ex + C ax dx = ln a Z Z cos x dx = sin x + C sin x dx = − cos x + C Z Z

1 dx = tg x + C cos2 x √

1 dx = arcsin x + C 1 − x2

Z

Z

1 dx = − ctg x + C sin2 x

Z

1 dx = arctg x + C 1 + x2

Z ch x dx = sh x + C

Z

√

sh x dx = ch x + C Z

1 dx = arsh x + C 1 + x2

√

1 dx = arch x + C x2 − 1

5.2. Integr´ al´ asi szab´ alyok — Ha f -nek és g-nek van primit´ıv f¨ uggvénye, akkor f + g-nek és c · f -nek is van, nevezetesen Z

Z (f + g) =

Z f+

Z g,

Z c·f =c

f

— Ha F primit´ıv f¨ uggvénye f -nek, akkor minden a, b ∈ R, a 6= 0 esetén Z f (ax + b) dx =

1 F (ax + b) + C a

99

´ ltozo ´ s Riemann-integra ´l 5. Az egyva

— Ha f deriv´ alhat´ o és minden¨ utt pozit´ıv, akkor Z

f α (x)f 0 (x) dx =

f α+1 (x) +C α+1

(α 6= −1)

— Ha f deriv´ alhat´ o, és sehol sem nulla, akkor Z

f 0 (x) dx = ln |f (x)| + C f (x)

— Parci´ alis integr´ al´ as: Ha f és g deriv´ alhat´ o, és f g 0 -nek van primit´ıv f¨ uggvénye, akkor f 0 g-nek is, és Z

Z

0

f g = fg −

f g0

— Integr´ al´ as helyettes´ıt´ essel: Ha g(x) deriv´ alhat´ o, f (y) értelmezett g(x) értékkészletén, és itt van primit´ıv f¨ uggvénye, akkor az f (g(x)) · g 0 (x) összetett f¨ uggvénynek is van primit´ıv f¨ uggvénye és Z

f (g(x)) · g 0 (x) dx = F (g(x)) + C,

ahol F (y) az f (y) f¨ uggvény egyik primit´ıv f¨ uggvénye. 5.3. Newton-Leibniz formula. Ha f integrálható az [a, b] zárt intervallumon, létezik az F primit´ıv f¨ uggvénye az (a, b) ny´ılt intervallumon, és F folytonos az [a, b] z´ art intervallumon, akkor Zb f (x) dx = F (b) − F (a), a

azaz az integr´ al megegyezik a primit´ıv f¨ uggvény megváltozásával. 5.4. Integr´ altranszform´ aci´ o. Ha f folytonos az [a, b] intervallumon, g : [c, d] → [a, b] folytonosan deriválható f¨ uggvény és g(c) = a, g(d) = b, akkor Zb

Zd f (x) dx =

a

c

f (g(t))g 0 (t) dt.

100


A fenti képlet el˝ onye, hogy nem kell ismern¨ unk a g helyettes´ıt˝o f¨ uggvény inverzét, elég ha a c és d pontokat meghatározzuk. 5.5. A hat´ arozott integr´ al alkalmaz´ asai. — Fu enyg¨ orbe alatti teru ¨ ggv´ ¨ let. Ha f : [a, b] → R integrálható, és sehol sem negat´ıv, akkor az A = {(x; y) : x ∈ [a, b], 0 ≤ y ≤ f (x)} s´ıkidomnak van ter¨ ulete, és Zb t(A) =

f (x) dx. a

— Norm´ altartom´ any teru uggvény ¨ lete. Ha f és g két integrálható f¨ [a, b]-n, x ∈ [a, b] esetén g(x) ≥ f (x), akkor a N = {(x; y) : x ∈ [a, b], f (x) ≤ y ≤ g(x)} norm´ altartom´ anynak van ter¨ ulete és Zb (g(x) − f (x)) dx

t(N ) = a

— Szektorszer˝ u tartom´ any teru ¨ lete. Ha az S tartományt a polárkoordin´ at´ akkal megadott r = r(ϕ), ϕ ∈ [α, β] s´ıkgörbe és az origóból a g¨ orbe két végpontj´ aba h´ uzott szakaszok határolják, és r(ϕ) integrálhat´ o, akkor az S s´ıkidomnak van ter¨ ulete, és 1 t(S) = 2

Zβ

r2 (ϕ) dϕ.

α

— Fu enygrafikon ´ıvhossza. Ha az f f¨ uggvény az [a, b] intervallu¨ ggv´ mon folytonosan deriv´ alható, akkor a f¨ uggvény grafikonjának van ´ıvhossza, és Zb p 1 + (f 0 (x))2 dx. L= a

101


— Forg´ astest t´ erfogata. Ha f : [a, b] → R integrálható és sehol sem negat´ıv, akkor az A = (x; y; z) : a ≤ x ≤ b, y 2 + z 2 ≤ f 2 (x) forg´ astestnek van térfogata és Zb V =π

f 2 (x) dx.

a

5.6. Majoriz´ aci´ os-elv vagy ¨ osszehasonl´ıt´ o krit´ erium. Ha f és g integr´ alhat´ o [a, ∞) minden korl´ atos zárt részintervallumán, és x ∈ [a, ∞) esetén Z∞ Z∞ |f (x)| ≤ g(x) és g(x) dx konvergens, akkor f (x) dx is (abszol´ ut) konvergens.

a

a

5.7. Nagys´ agrendi krit´ erium vagy hat´ ar´ ert´ ek o o krit´ e¨sszehasonl´ıt´ rium. Ha f és g pozit´ıv és integrálható [a, ∞) minden korlátos zárt részintervallum´ an, f (x) lim =L x→∞ g(x) létezik, és 0 < L < ∞, akkor az Z∞

Z∞ f (x) dx

a

és

g(x) dx a

improprius integr´ alok egyszerre konvergensek vagy divergensek. A két fenti konvergencia-kritérium értelemszer˝ uen megfogalmazható korlátos intervallumokon vett improprius integrálok esetén is.

102


5.1. Hat´ arozatlan integr´ al 5.1.

A k¨ ovetkez˝ o f¨ uggvényeket a baloldali oszlopban, deriváltjaikat a jobboldali oszlopban ´ abr´ azoltuk. Keress¨ uk meg ˝oket! x3 − 4x, (1)

x3 ,

x + sin x,

tg x,

(A)

20

2

10

K2

e−x

1

0

K10

2

(2)

(B)

0

K2

10

2

10

K2

0

K10

2

K10 K20

(3)

(C) 2 5,0

K1

0

K2

1

2,5

K

2

0

2

103


(4)

(D) 2,5

K

0

2

4

2

2

K

2,5

K1

(5)

0

1

0

2

(E) 20 10

K10

10 0

10

K10

K2

Sz´ am´ıtsuk ki a k¨ ovetkez˝ o hat´ arozatlan integr´ alokat! Z Z 5.2. 5.3. sin(x + 3) dx (1 + x + 5x2 ) dx 5.4. 5.6.

Z

Z

√

x + 2 dx

5.5.

1 dx (x + 2)3

5.7.

Z

2

(sin x + cos x) dx Z

e2x+3 dx

Alapintegr´ alokra val´ o visszavezet´ essel. illetve line´ aris helyettes´ıt´ es alkalmaz´ as´ aval sz´ am´ıtsuk ki a k¨ ovetkez˝ o hat´ arozatlan integr´ alokat! Az eredm´ enyt minden esetben ellen˝ orizzu al´ assal! ¨ k deriv´

104


5.8. 5.10. 5.12. 5.14.

Z

Z

x3/2 dx −5 dx x−7

5.11.

sin 2x + 3 cos x dx

5.13.

Z

Z

Z

5.9.

2x−3

e

dx

5.15.

Z

Z Z

Z

f0

√

x+

1 x

dx

x5 − 3x3 + x − 2 dx x2 2x dx e−x + 3 cos

x dx 2

Z

vagy f a f 0 alak´ ura visszavef zethet˝ o hat´ arozatlan integr´ alokat! Az eredm´ enyt minden esetben ellen˝ orizzu al´ assal! ¨ k deriv´ Z Z 1 x2 5.17. ln2 x · dx 5.16. dx x x3 + 1 Z Z p 2x + 1 5.18. 5.19. √ dx x x2 + 1 dx x2 + x + 1 Z Z 1 x 5.21. dx 5.20. √ dx 2 x ln x x +1 Z Z 1 sin x 5.23. 5.22. dx dx (1 + x2 ) arctg x cos2013 x Hat´ arozzuk meg a k¨ ovetkez˝ o

A k¨ ovetkez˝ o hat´ arozatlan integr´ alok nevez˝ oj´ eben m´ asodfok´ u kifejez´ esek vannak. A megold´ asban seg´ıthet a parci´ alisZ t¨ ortekre bont´ as, 1 f0 az alakok felismer´ ese, illetve visszavezet´ es az dx alapf 1 + x2 integr´ alra. Az eredm´ enyt minden esetben ellen˝ orizzu al´ assal! ¨ k deriv´ 5.24. 5.26.

Z

1 dx 2 + x2

5.25.

Z

1 dx 4 − x2

5.27.

Z

4 dx 5 + 6x2

Z

1 dx 4 − 9x2

105


5.28. 5.30. 5.32. 5.34. 5.36. 5.38.

Z

3 dx (x + 3)(x + 2)

5.29.

Z

1 dx 10 − x2

5.31.

Z

x−2 dx x2 − 2x + 6

5.33.

Z

x2 + 1 dx x2 − 1

5.35.

Z

3x3 + 2x − 1 dx x2 − x − 6

5.37.

Z

x4 + 2 dx x2 + 1

5.39.

Z

3 dx (x + 3)(2 − x)

Z

1 dx 10 + x2

Z x2

x dx − 2x + 6

Z

x2 − 1 dx x2 + 1

Z

3x2 + 2x − 1 dx x2 − 2x + 6

Z

x4 − 2 dx x2 − 1

Integr´ aljuk a k¨ ovetkez˝ o racion´ alis t¨ ortfu enyeket! ¨ ggv´ Z Z 1 1 5.41. dx 5.40. dx 3+x 3 2 x x +x Z Z x x 5.42. 5.43. dx dx x2 − 2x + 5 x2 − 2x − 3 Z 2 Z x +2 x+2 5.45. 5.44. dx dx x−1 x−1 Z 2 Z x −2 3x2 + 2 5.46. 5.47. dx dx x+1 x3 + 2x Z Z 2 x+2 5.49. dx 5.48. dx 2 (x − 1)2 x + 2x + 2

Z

f0

Z

vagy f 0 f a alakok f felismer´ es´ evel, illetve trigonometrikus azonoss´ agok felhaszn´ al´ as´ aval sz´ am´ıtsuk ki a k¨ ovetkez˝ o hat´ arozatlan integr´ alokat! Az eredm´ enyt minden esetben ellen˝ orizzu al´ assal! ¨ k deriv´

Alapintegr´ alokra val´ o visszavezet´ essel,

106


5.50. 5.52.

5.54. 5.56. 5.58.

Z

sin2 x dx

5.51.

Z

3 dx cos2 x

5.53.

Z

5 dx 2 cos (1 − x)

5.55.

Z

(sin x + cos x)2 dx sin2 x

5.57.

Z

sin2 2x + 1 dx cos2 x

5.59.

Z

Z

cos2 2x dx 4 dx sin2 (3x − 5)

Z tg x dx Z

(sin x − cos x)2 dx cos2 x

Z

√

1 + sin x dx

Hat´ arozzuk meg parci´ alis integr´ al´ assal a k¨ ovetkez˝ o hat´ arozatlan integr´ alokat! Z Z 5.61. x2 sin x dx 5.60. x cos x dx 5.62. 5.64. 5.66. 5.68.

5.70.

Z

ex sin x dx

5.63.

arctg x dx

5.65.

x sh x dx

5.67.

Z

Z

Z x ln

1+x dx 1−x

5.69.

Z

x2 e−x dx

Z x arctg x dx Z

x ln2 x dx

Z sin 3x · cos 4x dx

Helyes-e a k¨ ovetkez˝ o parciális integrálás? Ha igen, akkor 0 = 1?

Z

1 1 1 · dx = ln x · − x ln x ln x

Z

1 Z 1 1 x ln x · 2 dx = 1 + · dx x ln x ln x −

Hat´ arozzuk meg a k¨ ovetkez˝ o hat´ arozatlan integr´ alokat a javasolt helyettes´ıt´ esekkel!

107


5.71. 5.72. 5.73. 5.74.

5.75. 5.76. 5.77. 5.78. 5.79. 5.80. 5.81. 5.82.

Z Z

Z

2

xex dx,

t=

x2 dx, 1 − x2

x = sin t

Z

1 p

Z

√

p x3 + 1 dx,

x2 √

t = x2

x(1 − x)

x3 + 1

x = sin2 t

dx,

1 dx, sin x

t = cos x

1 dx, 1 + cos2 x

t = tg x

Z

1 dx, 2x + 4x

t = 2x

Z

1 dx, 1 + sin2 x

t = tg x

1 √ dx, (1 − x2 ) 1 − x2

x = sin t

Z

Z

Z

1 √

(1 +

x2 )

(1 +

x2 )

Z

Z

1 √

1 + x2 1 + x2

dx,

x = tg t

dx,

x = sh t

1 dx, (x + 1)2 (x − 2)3

t=

x+1 x−2

Sz´ amoljuk ki a k¨ ovetkez˝ o hat´ arozatlan integr´ alokat helyettes´ıt´ esekkel! Z Z 2 5.84. cos x esin x dx 5.83. (2x + 1)ex +x+1 dx 5.85.

Z

dx p

x(1 − x)

5.86.

Z

x dx (x2 + 1)2

108


Z

5.87.

Z

5.89.

ex + 2 dx ex + e2x

5.88.

2x + 3 dx 2x + 22x

5.90.

Z ex Z

1 dx + e−x

1 dx cos x

Sz´ amoljuk ki a k¨ ovetkez˝ o hat´ arozatlan integr´ alokat! Z Z x+1 1 5.92. dx 5.91. dx 2 x +x+1 (x + 2)(x − 1) Z Z x e − e−x 5.93. cos3 x sin2 x dx 5.94. dx ex + e−x Z Z 1 5.96. x sin(x2 + 1) dx 5.95. dx x −x e +e Z Z 1 5.97. 5.98. √ dx ln x dx 1+ x Z Z 1 2 5.100. dx 5.99. ln(x + 1) dx (1 + x2 ) arctg x Z Z 1 arctg x 5.101. 5.102. dx dx 1 + cos x 1 + x2 Z Z 2 5.104. e−3x − 2 sin(3x − 2) dx 5.103. 2x sin(x + 1) dx 5.105. 5.107. 5.109. 5.111. 5.113.

Z

2

222

(2x + 2)(x + 2x)

dx

5.106.

Z

e2x dx 1 + ex

5.108.

Z

1 √ dx 1+ x

5.110.

Z

2

(x + x) ln x dx Z sin x · cos

3000

x dx

5.112. 5.114.

Z ctg x dx Z

Z

Z

Z

√

2 − x dx

x2 ln x dx √ 3 4 x + 2 dx 1 dx x ln x

109


5.115. 5.117.

5.119. 5.121.

Z Z

3−2x dx

5.116.

cos x · esin x dx

5.118.

Z

1 dx 2 sin x cos4 x

5.120.

Z

1 dx cos4 x

5.122.

Z p

2 − x2 dx

Z

cos3 x dx sin4 x

Z

cos5 x dx sin3 x

Z

cos x sin2 x dx

5.2. Hat´ arozott integr´ al 5.123.

Ellen˝ orizz¨ uk, hogy a [−2, 4] intervallumban megadott pontok megfelelneke a Riemann-integr´ al defin´ıciójában szerepl˝o felosztásnak? Ha igen, hat´ arozzuk meg a feloszt´ as finomságát! (a) x0 = −2, x1 = −1, x2 = 0, x3 =

1 , x4 = 4 2

(b) x0 = −1, x1 = 2, x2 = 4 (c) x0 = −2, x1 = 4 1 1 (d) x0 = −2, x1 = x0 + 1, x2 = x1 + , . . . , xn = xn−1 + 2 n (e) x0 = −2, x1 = −1, 5, x2 = 3, x3 = 4 5.124.

Finom´ıt´ asai-e egym´ asnak a következ˝o felosztások a [−2, 4] intervallumban? 1 Φ = {−2; −1; 0; ; 3; 4} 2 Φ = {−2; −1; 0; 3; 4}

(a) F={-2; -1; 0; 4} (b) F={-2; -1,5; 3; 4}

Hat´ arozzuk meg a k¨ ovetkez˝ o fu enyek als´ o ´ es fels˝ o ¨ osszeg´ et az ¨ ggv´ adott feloszt´ as eset´ en a [−2, 4] intervallumban! ( 5.125.

f (x) =

1, ha x ∈ Q 0, ha x ∈ /Q

,

Φ = {−2, 1, 5, 4}

110


5.126.

x2 ,

Φ = {−2, −1, 0, 4}

5.127.

x2 ,

Φ = {−2, 4}

5.128.

[x],

Φ = {−2, −1, 0, 4}

5.129.

[x],

Φ = {−2, 1, 5, 4}

5.130.

Hat´ arozzuk meg az

f (x) =

 1   0, ha 0 ≤ x <   2    1, ha 1 ≤ x ≤ 1 2

f¨ uggvény als´ o és fels˝ o összegeinek halmazát a [0, 1] intervallum esetén! Adjuk meg az als´ o¨ osszegek szuprémumát és a fels˝o összegek infimumát! Riemann-integr´ alhat´ ok-e a ko o fu enyek a megadott I in¨vetkez˝ ¨ ggv´ tervallumokban? 5.131.

f (x) = 5

5.133.

f (x) = [x] I = [2, 4]

5.135.

5.136.

5.137.

5.138.

I = [0, 1]

 1    x , ha x 6= 0 f (x) =    0, ha x = 0 ( 1, ha x ∈ Q D(x) = 0, ha x ∈ /Q ( x, ha x ∈ Q g(x) = −x, ha x ∈ /Q

5.132.

f (x) = −4

I = (−1, 2)

5.134.

f (x) = |x|

I = [−2, 1]

I = [0, 1]

I = [3, 5]

I = [3, 5]

Bizony´ıtsuk be, hogy ha minden x ∈ [a, b] esetén teljes¨ ul, hogy m ≤ f (x) ≤ M , tov´ abb´ a f integrálható [a, b]-n, akkor Zb m(b − a) ≤

f (x) dx ≤ M (b − a). a

111


5.139.

Bizony´ıtsuk be, hogy ha minden x ∈ [a, b] esetén teljes¨ ul, hogy f (x) ≤ g(x), tov´ abb´ a f és g integrálható [a, b]-n, akkor Zb

Zb f (x) dx ≤

a

g(x) dx. a

Bizony´ıtsuk be a k¨ ovetkez˝ o egyenl˝ otlens´ egeket! 5.140.

Z2

1 dx ≤ 1 2 x + ex

0≤

5.141.

1≤

ln x + 0, 2 dx ≤ 2

4

1

5.142.

Z5 p

Legyen Zx f (t) = sgn t és G(x) =

f (t) dt

(x > −6).

−6

Hat´ arozzuk meg G(−4), G(0), G(1), G(6) értékét! Határozzuk meg G(x) deriv´ altj´ at! 5.143.

Legyen  1, ha t = 1 (n ∈ N+ ) f (t) = n 0 egyébként

Zx és G(x) =

f (t) dt

(x > 0).

0

Hat´ arozzuk meg a G(x) és G0 (x) f¨ uggvényeket! 5.144.

Lehet-e sgn x valamilyen f¨ uggvénynek az integrálf¨ uggvénye [−1, 1]-en? Van-e sgn x-nek primit´ıv f¨ uggvénye (−1, 1)-en?

5.145.

Legyen ( F (x) =

x2 , ha x 6= 0 0, ha x = 0

( és g(x) =

F 0 (x), ha x 6= 0 1, ha x = 0

.

Van-e g-nek primit´ıv f¨ uggvénye? Integrálható-e a g f¨ uggvény? Deriválhatóe a g f¨ uggvény?

112


Sz´ am´ıtsuk ki a k¨ ovetkez˝ o sorozatok hat´ ar´ ert´ ek´ et! 1 2 n sin + sin + · · · + sin n n n 5.146. lim n→∞ n √ √ √ 1 + 1 + ··· + n 5.147. √ lim n→∞ n n √ √ √ 3 1 + 3 2 + ··· + 3 n 5.148. √ lim n→∞ n3n 2 n n X X i i 5.150. 5.149. lim n lim n 2 + i2 n→∞ n→∞ n n i=1 i=1 5.151.

n X √ √ lim ln n n + i − ln n n

n→∞

5.152.

i=1

Legyen f korl´ atos f¨ uggvény [0, 1]-ben, és tegy¨ uk fel, hogy n 1 2 f +f + ··· + f n n n lim = 5. n→∞ n Z1 K¨ ovetkezik-e ebb˝ ol, hogy f integrálható [0, 1]-ben, és hogy

f (x) dx = 5? 0

5.153.

Mi a k¨ ovetkez˝ o két ´ all´ıtás logikai kapcsolata, azaz melyikb˝ol következik a m´ asik? P: Az f f¨ uggvény integrálható [a, b]-n. Q: Az |f | f¨ uggvény integrálható [a, b]-n.

5.154.

Sz´ am´ıtsuk ki a  x2 sin 1 , ha x 6= 0 G(x) = x 0, ha x = 0 f¨ uggvény deriv´ altj´ at! Bizony´ıtsuk be ennek seg´ıtségével, hogy az  cos 1 , ha x 6= 0 f (x) = x 0, ha x = 0

113


f¨ uggvénynek van primit´ıv f¨ uggvénye! 5.155.

Tudjuk, hogy az  cos 1 , ha x 6= 0 f (x) = x 0, ha x = 0 f¨ uggvénynek van primit´ıv f¨ uggvénye. Lehet-e primit´ıv f¨ uggvénye a  cos 1 , ha x 6= 0 g(x) = x 1, ha x = 0 f¨ uggvénynek?

Hat´ arozzuk meg a k¨ ovetkez˝ o fu enyek deriv´ altj´ at! ¨ ggv´ 5.156.

Zx H(x) =

1 dt. ln t

5.157.

ch x Z

L(x) =

2

1 dt. ln t

2

Hat´ arozzuk meg a k¨ ovetkez˝ o hat´ ar´ ert´ ekeket! 5.158.

ln x x→∞ x

Zx

lim

1 dt ln t

5.159.

2

ln x lim x→∞ x

ch x Z

1 dt ln t

2

Legyen f integr´ alhat´ o [−a, a]-n. Bizony´ıtsuk be, hogy ha f 5.160.

Za p´ aros f¨ uggvény, akkor

Za f (x) dx = 2

−a

5.161.

f (x) dx, 0

Za p´ aratlan f¨ uggvény, akkor

f (x) dx = 0. −a

Sz´ am´ıtsuk ki a k¨ ovetkez˝ o hat´ arozott integr´ alokat!

114


5.162.

5.164.

Z3

2

5.163.

x dx 2

4

Zπ

Z4

sin x dx

5.165.

0

5.166.

Z6

45x+6 dx

x2 ln x dx

3

Z0

2

5.167.

sin x dx −2π

Z3

3x4 + 4x3 − 2x + 1 dx x2 + 1

−2

Hat´ arozzuk meg a k¨ ovetkez˝ o hat´ arozott integr´ alokat a javasolt helyettes´ıt´ esekkel! √

5.168.

Z3/2

√

x2 dx, 1 − x2

x = sin t

1/2

5.169.

Z5

x2

p x3 + 1 dx,

t=

p x3 + 1

2

Hat´ arozzuk meg a k¨ ovetkez˝ o hat´ arozott integr´ alokat helyettes´ıt´ esekkel! Z2 x Z1 √ 3 +2 5.170. 5.171. dx arctg x · x dx 3x + 32x 1

5.172.

Zπ/2

0

1 dx 1 + tg x

5.173.

52x dx 1 + 5x

1

π/6

5.174.

Z2

Z2 Sz´ am´ıtsuk ki az −2

4

sin9 x · ex dx integrált!


115

5.3. A hat´ arozott integr´ al alkalmaz´ asai 5.175.

Hat´ arozzuk meg a −x2 + 3 f¨ uggvény grafikonja alatti ter¨ uletet!

5.176.

Hat´ arozzuk meg a sin2 x f¨ uggvény egy huplija” alatti ter¨ uletet! ”

Hat´ arozzuk meg az f ´ es g fu enyek grafikonja ´ altal bez´ art tar¨ ggv´ tom´ anyok teru et! ¨ let´ 5.177.

f (x) = x2 ,

5.178.

f (x) = −x2 + 2x,

5.179.

f (x) =

5.180.

f (x) =

√ √

g(x) = −x + 2 g(x) = −x

1 − x2 ,

g(x) = 0

1 − x2 ,

g(x) = −x

Hat´ arozzuk meg az adott g¨ orb´ ek ´ altal bez´ art teru ¨ letet! 5.181.

x tengely, ln x grafikonja, x = e egyenes

5.182.

x tengely, tg x grafikonja, x = π/4 egyenes

5.183.

y tengely, x2 grafikonja, y = 3 egyenes

5.184.

y tengely, ex grafikonja, y = 5 egyenes

5.185.

1 x2 grafikonja, grafikonja 1 + x2 2

5.186.

x2 grafikonja, y = x egyenes, y = −x + 1 egyenes

5.187.

x2 grafikonja, 2x2 grafikonja, y = x egyenes

5.188.

1 grafikonja, y = x egyenes, y = −2x + 4, 5 egyenes x

116


5.189.

Bizony´ıtsuk be, hogy az ábrán látható parabolaszeletnek a ter¨ ulete, amelyiknek a magass´ aga m, és amelyet h hossz´ uság´ u h´ ur határol, T = 2 mh. 3

m

h Hat´ arozzuk meg a k¨ ovetkez˝ o, pol´ arkoordin´ at´ akkal megadott g¨ orb´ ek ´ altal hat´ arolt s´ıkidomok teru et! ¨ let´ 5.190.

r = cos ϕ

5.191.

r = cos 2ϕ

5.192.

r = cos 3ϕ

5.193.

r=

1 , 1 1 + cos ϕ 2

0≤ϕ≤

π 2

Forgassuk meg a k¨ ovetkez˝ o fu enyek grafikonjait az x tengely ¨ ggv´ k¨ oru am´ıtsuk ki a keletkezett ¨ l a megadott I intervallumok felett! Sz´ forg´ astestek t´ erfogat´ at! 5.194.

e−x

5.196.

sin x

I = [0, 1] I = [0, π]

5.195. 5.197.

√

x

1 x

I = [0, 1] I = [1, 4]

Forgassuk meg a k¨ ovetkez˝ o fu enyek grafikonjait az y tengely ¨ ggv´ ko am´ıtsuk ki a keletkezett ¨ru ¨ l a megadott intervallumokban! Sz´ forg´ astestek t´ erfogat´ at! 5.198.

e−x

5.200.

sin x

x ∈ [0, 1] x ∈ [0, π/2]

5.199. 5.201.

√ 1 x

x

x ∈ [0, 1] x ∈ [1, 4]

117


Forgassuk meg f ´ es g grafikonj´ at az x tengely k¨ oru ¨ l az [x1 , x2 ] intervallumban, majd sz´ amoljuk ki azoknak a forg´ astesteknek a t´ erfogat´ at, amelyeket a megforgatott grafikonok, illetve az x = x1 ´ es x = x2 s´ıkok hat´ arolnak! 5.202.

f (x) = −x2 + 4

g(x) = −2x2 + 8

5.203.

f (x) = sin x

g(x) = −4x4 + 4

x1 = 0 x2 = 1

5.204.

f (x) = ex

g(x) =

1 x

x1 = 1 x2 = 2

5.205.

f (x) = ln x

g(x) = ch x

x1 = −2

x2 = 2

x1 = 1 x2 = 2

Sz´ am´ıtsuk ki a k¨ ovetkez˝ o fu enygrafikonok ´ıvhossz´ at a megadott ¨ ggv´ I intervallumokon! √ √ √ 5.206. 5.207. ln x, I = [ 3, 8] x, I = [0, 1] 5.208.

ch x,

I = [−1, 1]

5.209.

x3/2 ,

I = [0, 4]

Hat´ arozzuk meg az egyenesvonal´ u p´ aly´ an mozg´ o pont ´ altal megtett utat az adott id˝ ointervallumokban, ha a mozg´ o pont sebess´ ege az id˝ o fu eny´ eben ¨ ggv´ 5.210.

v(t) = 5t2

t ∈ [0, 2]

5.211.

v(t) = 3 sin 2t

t ∈ [0, 2π]

Egy testet az x tengelyen az x tengely ir´ any´ aban hat´ o F (x) er˝ o mozgat az x1 pontb´ ol az x2 pontba. Mekkora munk´ at v´ egez az er˝ o? 5.212.

F (x) = 2x,

[x1 , x2 ] = [0, 2]

118


5.213.

F (x) = 3 sin x,

[x1 , x2 ] = [0, π/4]

Egy 1 m´ eter hossz´ us´ ag´ u rudat az x tengelyre helyezu ´ gy, hogy ¨ nk u a r´ ud bal v´ egpontja az orig´ o. Mekkora a r´ ud t¨ omege, ha a s˝ ur˝ us´ ege az orig´ ot´ ol x t´ avols´ agra %(x)? x2 1000

5.214.

%(x) = 2 + x

5.216.

Hat´ arozzuk meg az el˝ oz˝o feladatban a rudak tömegközéppontját!

5.217.

Hat´ arozzuk meg az el˝ oz˝o feladatban a rudak y tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomatékát!

5.218.

Mekkora munk´ at kell végezn¨ unk ahhoz, hogy az x tengely x0 pontjában lév˝ o q t¨ oltést az x tengely mentén a 2x0 pontba vigy¨ uk, ha az origóban egy Q t¨ oltést r¨ ogz´ıtett¨ unk?

5.219.

Egy homogén r´ ud l hossz´ uság´ u, m tömeg˝ u. A rudat az x tengelyre helyezz¨ uk u ´gy, hogy a r´ ud bal végpontja az origó. Mekkora er˝ovel vonzza ez a r´ ud a (0, y0 ) pontban lév˝o M tömeg˝ u anyagi pontot?

5.215.

%(x) = 2 +

5.4. Improprius integr´ al 5.220.

Z∞ Milyen c esetén konvergens az

1 dx improprius integrál? xc

1

5.221.

Z1 Milyen c esetén konvergens az

1 dx improprius integrál? xc

0

5.222.

Melyik ´ all´ıt´ asb´ ol k¨ ovetkezik, hogy az

R∞ 1

vergens vagy az, hogy divergens?

f (x) dx improprius integrál kon-

119


(a) ∀x ∈ [1, ∞) (c) ∀x ∈ [1, ∞)

1 x2 1 |f (x)| > x

|f (x)| <

(b) f (x) >

1 x3

(d) ∀x ∈ [1, ∞)

|f (x)| <

1 x

Konvergensek-e, ´ es ha igen, mennyi az ´ ert´ eku abbi improprius ¨ k az al´ integr´ aloknak! Z∞ Z1 dx 5.223. 2−x dx 5.224. x−1 3

5.225.

Z∞

0

dx x3

5.226.

2

5.227.

Z∞

5.229.

dx √ x

5.228.

5.231.

dx x ln x

5.230.

5.233.

5.235.

5.237.

Z∞

5.232.

Z2

dx x ln x

0

dx √ x+ x

5.234.

Z1 0

Z1

Z

dx √ 1 − x2

Zπ/2 tg x dx 0

dx x ln x

1

dx x ln x

1

0

dx √ x

2

1 2

Z∞

Z1 0

1

Z1

dx x3

0

1

Z2

Z7

5.236.

dx √ x+ x 1

ln x dx 0

5.238.

+∞ Z

dx 1 + x2

−∞

Do abbi improprius integr´ alokr´ ol, hogy konvergensek, ¨ntsu ¨ k el az al´ abszol´ ut konvergensek vagy divergensek!

120


5.239.

Z∞

√

dx x + x2

5.240.

1

5.241.

Z∞

dx dx x ln2 x

5.242.

+∞ Z

Z∞

x2 dx 4 x − x2 + 1

5.244.

x+1 dx x3 + x

5.246.

dx sin x

5.248.

cos x dx x2

5.250.

1

5.251.

xe +∞ Z

0

+∞ Z

Z1

Z∞

x+1 √ dx x4 + 1

√

dx x + x3 2

e−x dx

Z∞

ln x dx x2

1

Z∞

−x2

dx

5.252.

0

5.253.

dx x + x3

0

0

5.249.

√

0

Zπ/2

Z∞

Z∞

1

1

5.247.

dx x + x2

1

0

5.245.

√

0

2

5.243.

Z1

Z∞

2

x2 e−x dx

0

dx x2

5.254.

+∞ Z

1

cos x dx x2

6. fejezet Numerikus sorok 6.1. Konvergenciakrit´ eriumok. — Ha

∞ X

an konvergens, akkor an → 0.

n=1

— Sorok Cauchy-krit´ eriuma. A

∞ X

an numerikus sor akkor és csak

n=1

akkor konvergens, ha m X ak < ε). ∀ε > 0 ∃n0 ∀n, m (n0 ≤ n ≤ m =⇒ k=n

— Major´ ans krit´ erium. Ha véges sok kivétellel minden n ∈ N+ esetén ∞ ∞ X X |an | ≤ bn és bn konvergens, akkor a an sor abszol´ ut konvergens. n=1

n=1

— Nagys´ agrendi krit´ erium vagy hat´ ar´ ert´ ek ¨ osszehasonl´ıt´ o krit´ e∞ ∞ X X rium. Ha an és bn két pozit´ıv tag´ u sor, valamint létezik a n=1

n=1

an = c hat´ arérték és 0 < c < ∞, akkor a két sor egyszerre konn→∞ bn vergens vagy divergens. lim

— H´ anyadoskrit´ erium. Ha lim

n→∞

esetén a

∞ X

|an+1 | létezik és értéke q, akkor q < 1 |an |

an sor abszol´ ut konvergens, q > 1 esetén pedig divergens.

n=1

q = 1 esetén a h´ anyadoskritériummal nem tudjuk eldönteni, hogy a sor konvergens vagy divergens.

122

6. Numerikus sorok

p — Gyo erium. Ha lim n |an | létezik és értéke q, akkor q < 1 ¨kkrit´ n→∞ ∞ X esetén a an sor abszol´ ut konvergens, q > 1 esetén pedig divergens. n=1

q = 1 esetén a gy¨ okkritériummal nem tudjuk eldönteni, hogy a sor konvergens vagy divergens. — Integr´ alkrit´ erium. Ha f egy monoton csökken˝o pozit´ıv f¨ uggvény Z∞ ∞ X az [1, ∞) félegyenesen, akkor a f (n) végtelen sor és a f (x) dx n=1

1

improprius integr´ al egyszerre konvergens vagy divergens. — Leibniz-krit´ erium. A

∞ X

(−1)n an numerikus sort Leibniz-t´ıpus´ u sor-

n=1

nak vagy r¨ oviden Leibniz-sornak nevezz¨ uk, ha az (an ) sorozat monoton cs¨ okken˝ oen null´ ahoz tart. A Leibniz-t´ıpus´ u sorok konvergensek.

6.1. Numerikus sorok konvergenci´ aja ´ Irjuk fel a k¨ ovetkez˝ o sorok n-edik r´ eszlet¨ osszeg´ et! Hat´ arozzuk meg a r´ eszlet¨ osszegek hat´ ar´ ert´ ek´ et! Adjuk meg a sorok ¨ osszeg´ et! 6.1.

1+

1 1 1 + + ··· + k + ··· 2 4 2

6.2.

1+

1 1 1 + + ··· + k + ··· 10 100 10

6.3.

1 1 1 + + ··· + + ··· 1·2 2·3 k · (k + 1)

6.4.

1 1 1 + + ··· + + ··· 1·4 4·7 (3k − 2) · (3k + 1)

6.5.

1 1 1 + + ··· + + ··· 1·4 2·5 k · (k + 3)

Hat´ arozzuk meg a k¨ ovetkez˝ o sorok ¨ osszeg´ et, ha konvergensek!

123

6. Numerikus sorok

6.6.

∞ X 4n 9n n=1

6.7.

∞ X 5n 9n n=1

6.8.

∞ X 4n + 5 n 9n n=1

6.9.

∞ X 2 · 4n (−9)n n=1 ∞ X (−2)n 5n n=1

∞ X

6.10.

9n n 4 + 5n n=1

6.11.

6.12.

∞ X 3n 10n n=1

6.13.

6.14.

Konvergens-e a

∞ X

∞ X

4n (−3)n n=1

(−1)n sor?

n=1

6.15.

Bizony´ıtsuk be, hogy ha

∞ X

an konvergens, akkor lim an = 0 (lásd a

n=1

n→∞

tagok 0-hoz tart´ as´ ar´ ol szóló konvergencia kritériumot). 6.16.

Bizony´ıtsuk be, hogy a

∞ X 1 harmonikus sor divergens. n n=1

V´ altozhat-e egy v´ egtelen sor konvergenci´ aja, illetve o ¨sszege, ha 6.17.

a sorba u ´j z´ ar´ ojeleket tesz¨ unk?

6.18.

a sorba véges sok u ´j tagot illeszt¨ unk?

6.19.

a sorb´ ol z´ ar´ ojeleket vesz¨ unk ki?

6.20.

a sorb´ ol véges sok tagot elhagyunk?

Igaz-e, hogy ha 6.21.

an → 0, akkor

∞ X n=1

an konvergens?

124

6. Numerikus sorok

6.22.

∞ X

an konvergens, akkor an → 0?

n=1

6.23.

an → 1, akkor

∞ X

an divergens?

n=1

6.24.

∞ X

an divergens, akkor an → 1?

n=1

Hova tartanak a k¨ ovetkez˝ o sorok tagjaib´ ol ´ all´ o sorozatok? Konvergensek-e a sorok? 6.25.

∞ X

1 n + 1 n=1

∞ X 1 2 n n=1

6.27.

1 n + n2 n=1

6.28.

∞ X 2 2 n n=1

6.29.

∞ X 1 3n n=1

6.30.

∞ X 1 √ n n=1

6.31.

∞ X 1 √ 3 n n=1

6.32.

∞ X 1 √ n 3 n=1

1 0, 01

6.34.

∞ X 1 √ n n n=1

sin(nπ)

6.36.

6.33.

∞ X

6.26.

∞ X n=1

6.35.

∞ X

√ n

n=1

6.37.

cos(nπ)

n=1

Bizony´ıtsuk be, hogy ha minden n pozit´ıv egész esetén an > 0, an ≤ ∞ ∞ ∞ X X X bn ≤ cn , tov´ abb´ a an = 7 és cn = 10, akkor bn konvergens! n=1

6.38.

∞ X

n=1

n=1

Bizony´ıtsuk be, hogy ha minden n pozit´ıv egész esetén an > 0, akkor ∞ X an konvergens vagy végtelen. n=1

125

6. Numerikus sorok

6.39.

Tegy¨ uk fel, hogy

∞ X

an konvergens, és hogy minden pozit´ıv egész n

n=1

sz´ am esetén bn < an . Következik-e ebb˝ol, hogy

∞ X

bn konvergens?

n=1

6.40.

Tegy¨ uk fel, hogy

∞ X

an divergens, és hogy minden pozit´ıv egész n szám

n=1

esetén bn > an . K¨ ovetkezik-e ebb˝ol, hogy

∞ X

bn divergens?

n=1

6.2. Pozit´ıv tag´ u sorok konvergenciakrit´ eriumai Do ans krit´ erium seg´ıts´ eg´ evel, hogy konvergensek-e ¨ntsu ¨ k el a major´ a ko vetkez˝ o sorok! ¨ ∞ ∞ X X 1 1 6.41. 6.42. n + 4 2n +1 n=1 n=1 6.43.

6.45.

∞ X

1 2 n +4 n=1

6.44.

∞ X 1 2n n=1

Tegy¨ uk fel, hogy minden pozit´ıv egész n-re an > 0. Mit áll´ıthatunk a ∞ X an sor konvergenci´ aját illet˝oen biztosan, ha n=1

(a) lim

an+1 > 1; an

(b) lim

an+1 < 1; an

(c) lim

an+1 = 1? an

Do anyadoskrit´ erium seg´ıts´ eg´ evel, hogy konvergensek-e ¨ntsu ¨ k el a h´ a k¨ ovetkez˝ o sorok! ∞ ∞ X X 1 n2 6.46. 6.47. n! n! n=1 n=1

126

6. Numerikus sorok

6.48.

6.50.

∞ X 3n n! nn n=1

6.49.

∞ X 2n n! nn n=1

Tegy¨ uk fel, hogy minden pozit´ıv egész n-re an > 0. Mit áll´ıthatunk a ∞ X an sor konvergenci´ aját illet˝oen biztosan, ha n=1

(a) lim

√ n

an > 1

(b) lim

√ n

an < 1

(c) lim

√ n

an = 1

Do okkrit´ erium seg´ıts´ eg´ evel, hogy konvergensek-e a ¨ntsu ¨ k el a gy¨ k¨ ovetkez˝ o sorok! ∞ ∞ X X n 2n + 1 6.51. 6.52. n 2 3n n=1 n=1 6.53.

∞ X 1 n=1

6.55.

1 + 2 n

n 6.54.

∞ X 3 n=1

Tegy¨ uk fel, hogy bn 6= 0 Mit ´ all´ıthatunk a

∞ X

1 − 2 n

n

(n = 1, 2, 3, . . . ), továbbá lim

n→∞

an = c > 0. bn

an sor konvergenciáját illet˝oen biztosan, ha

n=1

(a)

∞ X

bn konvergens.

Tegy¨ uk fel, hogy bn 6= 0 all´ıthatunk a ´

∞ X

bn divergens.

n=1

n=1

6.56.

(b)

∞ X n=1

(n = 1, 2, 3, . . . ), továbbá lim

n→∞

an = 0. Mit bn


127

6. Numerikus sorok

(a)

∞ X

bn konvergens.

(b)

n=1

6.57.

∞ X

bn divergens.

n=1

Tegy¨ uk fel, hogy bn 6= 0 all´ıthatunk a ´

∞ X

(n = 1, 2, 3, . . . ), továbbá lim

n→∞

an = ∞. Mit bn


n=1

(a)

∞ X

bn konvergens.

(b)

∞ X

bn divergens.

n=1

n=1

Do agrendj´ evel val´ o ¨ osszehasonl´ıt´ assal ¨ntsu ¨ k el ismert sorok nagys´ (ld. nagys´ agrendi krit´ erium), hogy konvergensek-e a k¨ ovetkez˝ o sorok! 6.58.

6.60.

6.62.

∞ X n2 + 4 n4 + 3n n=1 ∞ X

6.59.

√

2n6 2 n +3 n=1

6.61.

∞ X n=1

√ 3 √

3n9

n4 + 3

Z∞ Tegy¨ uk fel, hogy

f (x) dx = 5. Következik-e ebb˝ol, hogy

∞ X

f (n) = 5?

n=1

1

6.63.

∞ X 2n3 n2 + 3 n=1

Z∞ Tegy¨ uk fel, hogy az e ebb˝ ol, hogy

∞ X

f (x) dx improprius integrál konvergens. Következik1

f (n) konvergens?

n=2

6.64.

Tegy¨ uk fel, hogy f (x) > 0, és f (x) monoton csökken az (1, ∞) intervalZ∞ ∞ X lumban, tov´ abb´ a f (x) dx = 5. Következik-e ebb˝ol, hogy f (n) = 5? 1

n=2

128

6. Numerikus sorok

6.65.

Tegy¨ uk fel, hogy f (x) > 0 és f (x) monoton csökken az (1, ∞) inZ∞ tervallumban, tov´ abb´ a az f (x) dx improprius integrál konvergens. 1

K¨ ovetkezik-e ebb˝ ol, hogy

∞ X

f (n) konvergens?

n=2

Do alkrit´ erium seg´ıts´ eg´ evel, hogy konvergensek-e ¨ntsu ¨ k el az integr´ a k¨ ovetkez˝ o sorok! ∞ ∞ X X 1 1 6.66. 6.67. 4/5 n ln n n n=2 n=2

D¨ ontsu ovetkez˝ o sorok! ¨ k el, hogy konvergensek-e a k¨ 6.68.

∞ X

1 √ n + n n=1 ∞ X

6.69.

∞ X

4 √ 2+ n n n=1 ∞ X

6.70.

1 (−1)n √ n n=1

6.71.

6.72.

∞ X n2 3n n=1

6.73.

∞ X n2 2n n=1

6.75.

6.76.

n ∞ X 2 − 3 n=1

6.77.

6.78.

∞ X 1000n n! n=1

6.79.

1 n ln2 n n=2

6.81.

n ∞ X 1 n 2 n=1

6.74.

6.80.

∞ X

n10 3n − 2n n=1

1 (−1)n √ n n n=1 ∞ X

r (−1)

n

n

n=1 ∞ X 1 n=1

2

−

1 n

∞ X n! n n n=1 ∞ X

1 2

n

129

6. Numerikus sorok

6.82.

6.84.

∞ X

n 1 (−1) − n n=1 n

n ∞ X n + 200

6.88.

∞ X 2n + 3 n 5n n=1

∞ X

∞ X

6.96.

6.89.

1 n

1−

1 n

1+

∞ X (n + 1)3 3n n=1 ∞ X

∞ X

r (−1)

n

n

∞ n X 2

5

n ∞ X 1 1− n n=1

6.93.

n ∞ X 1 1+ n n=1

6.95.

∞ X

(−1)n √ n

n=1

6.97.

n(n + 5)

1 2

6.91.

n=1

6.98.

n5 + 3 n3 − n + 2 n=1

n=1

n=1

6.94.

∞ X

n=1

2

n=1

6.92.

6.87.

∞ n X 5 n=1

6.90.

6.85.

2n + 7

n=1

6.86.

6.83.

n ∞ X 3 − 2 n=1

∞ X √

1 n2 + 1

n+1−

√ n

n=1

Tegy¨ uk fel, hogy

∞ X

an = A ∈ R és

n=1

∞ X

bn = B ∈ R, valamint c egy

n=1

val´ os sz´ am. K¨ ovetkeznek-e ebb˝ol az alábbi áll´ıtások? (a)

(c)

∞ X

c · an = c · A

(b)

∞ X

(an + bn ) = A + B

n=1

n=1

∞ X

∞ X

(an − bn ) = A − B

(d)

n=1 ∞ X A an = (e) b B n=1 n

(an bn ) = AB

n=1

(bn 6= 0)

(f )

∞ X n=1

|an | = |A|

6. Numerikus sorok

130

6.3. Felt´ eteles ´ es abszol´ ut konvergencia 6.99.

Igaz-e, hogy ha egy végtelen sorban a tagok el˝ojele váltakozik, akkor a sor konvergens?

6.100.

Igaz-e, hogy ha egy végtelen sorban a tagokból álló sorozat monoton cs¨ okken, akkor a sor konvergens?

6.101.

Igaz-e, hogy ha egy végtelen sorban a tagok el˝ojele váltakozik, és a tagok abszol´ ut értékeib˝ol álló sorozat monoton csökken, akkor a sor konvergens?

6.102.

Igaz-e, hogy ha egy végtelen sorban a tagokból álló sorozat monoton cs¨ okkenve 0-hoz tart, akkor a sor konvergens?

6.103.

Igaz-e, hogy ha egy végtelen sorban a tagok el˝ojele váltakozik, és a tagok abszol´ ut értékeib˝ ol ´ all´ o sorozat 0-hoz tart, akkor a sor konvergens?

Melyik sor Leibniz-sor? Melyik sor konvergens? 6.104.

1−

1 1 1 + − + ··· 2 3 4

6.105.

1−

1 1 1 + − + ··· 3 5 7

6.106.

1−

1 1 1 + − + ··· 1·3 3·5 5·7

6.107.

1−

1 1 1 + − + ··· 2 4 8

6.108.

1 1 1 1− √ + √ − √ + ··· 3 4 2 3 4

6.109.

1−

1 1 1 + − + ··· 2 · 3 4 · 9 8 · 27

Do ut konvergensek-e a ¨ntsu ¨ k el, hogy konvergensek-e, illetve abszol´ k¨ ovetkez˝ o sorok!

131

6. Numerikus sorok

6.110.

∞ X

(−1)n

6.111.

n=1

6.112.

6.114.

∞ X

−

1 2

n

6.116.

∞ X

(−1)n

1 n3

6.117.

(−1)n

1 n1,3

6.119.

n=1

6.120.

6.122.

∞ X

sin n n2 n=1

∞ X

(−1)n

n=1

6.115.

n=1

6.118.

6.113. 1 2n + 1

(−1)n

n=1 ∞ X

(−2)n

n=1

∞ X n=1

∞ X

∞ X

(−1)n

n=1

1 n · (n + 1)

∞ X

1 (−1)n √ 5 n n=1 ∞ X

(−1)n

n=1

6.121.

1 n

1 n0,3

∞ X (sin n)2 n2 n=1

V´ altozhat-e egy pozit´ıv tag´ u végtelen sor konvergenciája, illetve összege, ha (a) a sorba u ´j z´ ar´ ojeleket tesz¨ unk? (b) a sorb´ ol z´ ar´ ojeleket vesz¨ unk ki? (c) a sor tagjainak a sorrendjét átrendezz¨ uk?

7. fejezet Fu enysorozatok ´ es sorok ¨ ggv´ 7.1. Az egyenletes konvergencia tulajdons´ agai. — Folytonoss´ ag. Folytonos f¨ uggvények egyenletesen konvergens sorozat´ anak hat´ arértéke folytonos. — Deriv´ alhat´ os´ ag. Ha a deriválható f¨ uggvényekb˝ol álló fn sorozat pontonként tart az f f¨ uggvényhez, fn0 pedig egyenletesen tart egy g f¨ uggvényhez az (a, b) intervallumon, akkor ezen az intervallumon f deriválhat´ o és f 0 = g, azaz 0 lim fn0 = lim fn = f 0 n→∞

n→∞

— Integr´ alhat´ os´ ag. Ha a Riemann-integrálható f¨ uggvényekb˝ol álló fn sorozat egyenletesen tart az f f¨ uggvényhez az [a, b] intervallumon, akkor az f f¨ uggvény is integrálható, és integrálja megegyezik a sorozat integr´ aljainak hat´ arértékével, azaz Zb lim

fn (x) dx =

n→∞

Zb

a

Zb

lim fn (x) dx =

f (x) dx

n→∞ a

a

7.2. Egyenletes konvergencia Weierstrass-krit´ eriuma. Ha a

∞ X

fn (x)

n=1

f¨ uggvénysornak van a H halmazon konvergens numerikus major´ ansa, azaz van olyan (Mn ) sorozat, hogy minden n ∈ N és x ∈ H esetén |fn (x)| ≤ Mn

és

∞ X

Mn < ∞,

n=1

akkor a

∞ X

fn (x) f¨ uggvénysor abszol´ ut és egyenletesen konvergens H-n.

n=1

7.3. Hatv´ anysorok konvergenciatartom´ anya.

133

ńysorozatok e ´s sorok 7. F¨ uggve

— A

∞ X

an (x − c)n hatv´ anysor konvergenciatartománya egy olyan inter-

n=0

vallum, amelyik az esetleges végpontokat kivéve szimmetrikus a hatv´ anysor k¨ ozéppontj´ ara, c-re. A fenti tételbe beleértend˝o az az eset, amikor ez a tartomány az egész sz´ amegyenes, illetve az egyed¨ ul a c pontból álló halmaz. — Konvergenciasug´ ar. Ha lim sup

p |an+1 | n |an | = L, illetve ha lim sup |an |

= L, akkor a konvergenciasugár  1     L R= ∞     0

ha 0 < L < ∞ ha L = 0 ha L = ∞

— A konvergenciatartom´ any belsejében minden zárt intervallumon egyenletes a konvergencia és ´ıgy lehet tagonként deriválni és integrálni. 7.4. Ha f ak´ arh´ anyszor deriválható a c pontban, akkor a ∞ X f (n) (c) (x − c)n n! n=0

hatv´ anysort az f f¨ uggvény c pontbeli Taylor-sor´ anak nevezz¨ uk, a fenti sorban szerepl˝ o f (n) (c) an = n! egy¨ utthat´ okat pedig Taylor-egyu oknak. ¨ tthat´ 7.5. Lagrange-marad´ ek. Legyen az f f¨ uggvény n + 1-szer deriválható a [c, x] intervallumon. Ekkor van olyan d ∈ (c, x) szám, amelyre f (x) =

n X f (k) (c) k=0

k!

(x − c)k +

f (n+1) (d) (x − c)n+1 . (n + 1)!

Ha az f f¨ uggvény n + 1-szer deriválható az [x, c] intervallumon, akkor van olyan d ∈ (x, c) sz´ am, amelyre a fenti egyenl˝oség teljes¨ ul. 7.6. Egyenletesen korl´ atos derivált´ u f¨ uggvényt el˝oáll´ıt a Taylor-sora, azaz ha az (a, b) intervallumon az f f¨ uggvény akárhányszor deriválható, és megadható

134


egy M sz´ am u ´gy, hogy tetsz˝ oleges n ∈ N és x ∈ (a, b) esetén f (n) (x) ≤ M , akkor minden c ∈ (a, b)-re a c-hez tartozó Taylor-sor el˝oáll´ıtja a f¨ uggvényt az egész (a, b) intervallumon. 7.7. Nevezetes Taylor-sorok. ∞ X xn e = n! n=0 x

sin x =

∞ X

ha x ∈ R;

(−1)n

n=0

x2n+1 (2n + 1)!

cos x =

∞ X

(−1)n

n=0

ha x ∈ R;

x2n (2n)!

ha x ∈ R;

∞ X x2n+1 (2n + 1)! n=0 ha x ∈ R;

∞ X x2n (2n)! n=0 ha x ∈ R;

sh x =

ch x =

∞ X 1 = xn 1 − x n=0

ln(1 + x) =

∞ X n=0

ha |x| < 1 (Geometriai sor);

(−1)n

xn+1 n+1

arctg x =

∞ X

(−1)n

n=0

ha |x| < 1;

x2n+1 2n + 1

ha |x| < 1.

7.8. Fourier-sor. — Ha f : R → R periodikus 2π szerint és Riemann-integrálható a [0, 2π]-n, akkor az ∞ X a0 + (an cos nx + bn sin nx) n=1

trigonometrikus sort az f f¨ uggvény Fourier-sor´ anak nevezz¨ uk, ahol 1 a0 = 2π

Z2π 0

1 f (x) dx, an = π

Z2π

1 f (x) cos nx dx, bn = π

0

az f f¨ uggvény Fourier-egyu oi. ¨ tthat´

Z2π f (x) sin nx dx 0

135


— Cantor t´ etele. Ha f (x) = a0 +

∞ X

(an cos nx + bn sin nx) [0, 2π]-n,

n=1

akkor az a0 , an és bn egy¨ utthatók egyértelm˝ uen meghatározottak, azaz egy f¨ uggvényt csak egyféleképpen lehet trigonometrikus sorral el˝oall´ıtani. Ha a konvergencia egyenletes, akkor f (x) folytonos, és ez a ´ trigonometrikus sor az f Fourier-sora. — Pontonk´ enti konvergencia. Ha az f (x) f¨ uggvény 2π szerint periodikus és szakaszonként folytonosan deriválható, akkor az f (x) f¨ uggvény Fourier-sora minden¨ utt konvergens, az f (x) f¨ uggvény folytonossági helyein a Fourier-sor el˝ o´ all´ıtja a f¨ uggvényt, a szakadási helyeken pedig a f¨ uggvény bal-, és jobboldali határértékének a számtani közepe, azaz minden x ∈ R esetén a0 +

∞ X

(an cos nx + bn sin nx) =

n=1

f (x+ ) + f (x− ) 2

7.1. Pontonk´ enti ´ es egyenletes konvergencia Hol konvergensek ´ es mi a pontonk´ enti hat´ ar´ ert´ eku abbi fu ¨ k az al´ ¨ ggv´ enysorozatoknak? Milyen intervallumokban egyenletes a konvergencia? 7.1.

fn (x) = xn

7.3.

fn (x) =

x n

7.5.

fn (x) =

p n r

7.7.

fn (x) =

7.9.

fn (x) =

7.11.

1 + x2n

1 x+ n

sin x n  1, ha x = 1 fn (x) = n 0, egyébként

7.2.

fn (x) = xn − xn+1

7.4.

fn (x) =

xn n!

7.6.

fn (x) =

p n

|x|

r

1 n2

7.8.

fn (x) =

7.10.

fn (x) = sin

7.12.

 1, ha 0 < x < 1 fn (x) = n 0, egyébként

x2 + x n


136

Mi a k¨ ovetkez˝ o ´ all´ıt´ asp´ arok logikai kapcsolata, azaz melyikb˝ ol k¨ ovetkezik a m´ asik? 7.13.

P: ∀x ∈ [a, b] Q: ∀n ∈ N

7.14.

lim fn (x) = 5

n→∞

lim fn (x) = 5

x→∞

P: ∀x ∈ [a, b] Q: ∀x ∈ [a, b]

lim fn (x) = f (x)

n→∞

lim (fn (x) − f (x)) = 0

n→∞

7.15.

P: fn pontonként konvergál I-n. Q: fn egyenletesen konvergál I-n.

7.16.

Bizony´ıtsuk be, hogy az fn (x) = cos nx f¨ uggvénysorozat konvergens az x = 2kπ (x ∈ Z) pontokban. Konvergens-e a f¨ uggvénysorozat az x = kπ (x ∈ Z) pontokban?

7.17.

Adjunk meg 3 k¨ ul¨ onb¨ oz˝o f¨ uggvénysorozatot u ´gy, hogy mindhárom f¨ uggvénysorozat konverg´ aljon az azonosan 5 f¨ uggvényhez [0, 1]-en!

7.18.

Megadhat´ o-e olyan f¨ uggvénysorozat, amelyik [0, 1]-en az azonosan 5 f¨ uggvényhez konverg´ al, és a f¨ uggvénysorozat egyetlen tagja sem folytonos [0, 1]-en?

7.19.

Adjunk péld´ at olyan f¨ uggvénysorozatra, amelynek minden tagja minden pontban szakad a [0, 1] intervallumban, de a f¨ uggvénysorozat egyenletesen tart egy [0, 1]-ben folytonos f¨ uggvényhez!

7.20.

Adjunk péld´ at olyan f¨ uggvénysorozatra, amelynek minden tagja minden pontban folytonos, és a f¨ uggvénysorozat az ( 1, ha x = 5 f (x) = 0, egyébként f¨ uggvényhez tart! Lehet-e a konvergencia egyenletes?

7.21.

Adjunk meg 3 k¨ ul¨ onb¨ oz˝o f¨ uggvénysorozatot u ´gy, hogy mindhárom f¨ uggvénysorozat egyenletesen konvergáljon a ( 1, ha x ∈ Q D(x) = 0, egyébként

137


´ Dirichlet-f¨ uggvényhez [0, 1]-en! Allhatnak-e az el˝obbi f¨ uggvénysorozatok csak folytonos f¨ uggvényekb˝ol? 7.22.

Legyen fn (x) = n2 (xn−1 − xn ). Bizony´ıtsuk be, hogy (a) ∀x ∈ [0, 1]

lim fn (x) = 0

n→∞

Z1 fn (x) dx 6= 0

(b) lim

n→∞ 0

7.23.

(c) [0, 1]-en az fn f¨ uggvénysorozat nem tart egyenletesen az azonosan 0 f¨ uggvényhez. r 1 Legyen fn (x) = x2 + . Bizony´ıtsuk be, hogy n (a) ∀n

fn (x) differenciálható 0-ban.

(b) lim fn (x) = |x| n→∞

(c) fn egyenletesen konvergál |x|-hez. (d) |x| nem differenci´ alható 0-ban. 7.24.

Melyik f¨ uggvényhez konvergál az fn (x) = xn − xn+1 f¨ uggvénysorozat a [0, 1] intervallumon? Egyenletes-e a konvergencia?

Alkalmazzuk a Weierstrass-krit´ eriumot, azaz keressu ¨ nk olyan konvergens numerikus sorokat, amelyek tagonk´ ent nagyobbak a fu ¨ ggv´ enysor tagjainak abszol´ ut ´ ert´ ek´ en´ el, ´ es ezzel bizony´ıtsuk, hogy a fu enysorok egyenletesen konvergensek! ¨ ggv´ 7.25.

∞ X

1 2 n + n4 x2n n=1

7.26.

∞ X 1 sinn x 2 n n=1

Konvergensek-e, illetve egyenletesen konvergensek-e R-en a k¨ ovetkez˝ o fu enysorok? ¨ ggv´ ∞ ∞ X X 1 7.27. 7.28. (xn − xn−1 ) 2 + n2 x n=1 n=1

138


7.29.

7.31.

∞ X (−1)n x4 + 2 n n=1

7.30.

∞ X sin nx n! n=1

7.32.

∞ X

(arctg(n + 1)x − arctg (nx))

n=1 ∞ X

2n xn

n=1

7.33.

1 2 n [1 + (nx)2 ] n=1

7.34.

∞ X sin nx n2 n=1

7.35.

∞ X cos nx n! + 2n n=1

7.36.

∞ X 1 n x n=1

7.37.

∞ X

∞ P n=1

7.39.

x4

x4 + 2n

7.38.

∞ P n=1

∞ P

Hol konvergens a

(−1)n x6 + 3 n

xn f¨ uggvénysor? Egyenletes-e a konvergencia a

n=1

konvergenciatartom´ anyban? 7.40.

Egyenletesen konvergens-e a

∞ X sin(2n − 1)x f¨ uggvénysor? 2n − 1 n=1

7.2. Hatv´ anysorok, Taylor-sor 7.41.

Konvergens-e

∞ X

(2n + 3n )xn hatványsor

x =

n=0

1 1 , x = 0, 3, x = , 6 2

x = 1 esetén?

Milyen x eset´ en konvergensek a k¨ ovetkez˝ o hatv´ anysorok? 7.42.

7.44.

∞ X n! n x n n n=0 ∞ X n=1

1+

7.43.

∞ X

(−1)n+1

n=1

1 n

n

2

xn

7.45.

∞ X n=1

nxn

xn n2

139


7.46.

∞ X xn n n=1

7.47.

∞ X xn n7 n=1

Hat´ arozzuk meg a k¨ ovetkez˝ o hatv´ anysorok konvergenciasugar´ at! 7.48.

∞ X

n2 xn

7.49.

∞ X xn n2 n=1 ∞ X (n − 1)! (x − 3)n n n n=1

n=0

7.50.

∞ X 1000n (x − 2)n n! n=1

7.51.

7.52.

∞ X n n x 2n n=1

7.53.

∞ X (x + 5)n n · 2n n=1

7.55.

∞ X (x − 6)n n! n=1

7.57.

∞ X (x + 1)n √ n n=1

7.54.

7.56.

∞ X

∞ X

(x + 4)n

n=1

n!(x + 7)n

n=1

7.58.

∞ X 1000n n x n2 + 1 n=1

7.59.

∞ X 2n + 3 n n x nn n=1

7.60.

∞ X xn n · 3n n=1

7.61.

∞ X xn nn n=1

7.62.

∞ X

2n xn

7.63.

∞ X (n!)2 n x (2n)! n=0

7.65.

n=1

7.64.

∞ X

xn (−1)n+1 √ n n=1 ∞ X n=0

Igazak-e a k¨ ovetkez˝ o´ all´ıt´ asok?  0,3  ! Z0,3 X Z ∞ ∞ X  7.66. xn dx xn dx = −0,2

n=0

n=1

−0,2

n!xn

140


7.67.

Z3

∞ X

7.69.

xn

dx =

n=0

−2

7.68.

!

∀x ∈ R − re

∀ |x| < 1 − re

∞ X



Z3

 n=1

 xn dx

−2

∞ X

1 xn+1 n + 1 n=0 ∞ X

!0

1 xn+1 n + 1 n=0

=

1 1−x

!0 =

1 1−x

Hat´ arozzuk meg a k¨ ovetkez˝ o hatv´ anysorok konvergenciasugar´ at! A konvergenciatartom´ any belsej´ eben adjuk meg az ¨ osszegfu enye¨ ggv´ ket! 7.70.

1 + x + x2 + x3 + · · ·

7.71.

1 − x + x2 − x3 + · · ·

7.72.

x+

x2 x3 + + ··· 2 3

7.73.

1 − x2 + x4 − x6 + x8 − · · ·

7.74.

x+

x3 x5 + + ··· 3 5

7.75.

x + 2x2 + 3x3 + · · ·

Hol konvergensek a k¨ ovetkez˝ o fu enysorok? ¨ ggv´ osszegfu enyeket! ¨ ¨ ggv´ 7.76.

∞ X

(sin x)n

7.77.

n=0

7.78.

∞ X n=1

∞ X

Adjuk meg az

(1 + x2 )n

n=1

1 0, 1 + 0, 2 cos2 x

n 7.79.

∞ X

1 n xn 2 n=1

Sz´ am´ıtsuk ki a k¨ ovetkez˝ o hatv´ anysorok konvergenciasugar´ at ´ es osszeg´ et: ¨ 7.80.

f (x) =

∞ X

xn n(n + 1) n=1

7.81.

∞ X xn n+1 n=0

141


7.82.

f (x) =

∞ X

nxn

7.83.

n=1

7.84.

f (x) =

∞ X

∞ X

n2 xn

n=1

n(n + 1)xn

7.85.

n=1

∞ X x2n+1 2n + 1 n=0

Adjuk meg a k¨ ovetkez˝ o fu enyek a = 0 k¨ oru at! Ha¨ ggv´ ¨ li Taylor-sor´ t´ arozzuk meg a konvergenciatartom´ anyokat! El˝ o´ all´ıtja-e sor a fu ¨ ggv´ enyt a konvergenciatartom´ anyban? 7.86.

ex

7.87.

e2x

7.88.

e−x

7.89.

e−x

7.90.

sh x

7.91.

ch x

7.92.

1 1−x

7.93.

1 1+x

7.94.

1 1 + x2

7.95.

x3 1 − x2

7.96.

ln(1 + x)

7.97.

arctg x

7.98.

1 2+x

7.99.

f (x) =

7.100.

sin x

7.101.

cos x

7.102.

sin(2x)

7.103.

cos x2

7.104.

sin2 x

7.105.

cos2 x

2

1 1 + x + x2

Legyen f : R → R, 0-ban ak´ arh´ anyszor differenci´ alhat´ o fu ¨ ggv´ eny. Igazak-e a k¨ ovetkez˝ o ´ all´ıt´ asok? A v´ alaszt minden esetben indokoljuk meg!

142


7.106.

f Taylor-sora mindig fel´ırható.

7.107.

f Taylor-sora minden valós x helyen konvergens.

7.108.

Ha f Taylor-sora konvergens egy x0 pontban, akkor abban a pontban a Taylor-sor ¨ osszege f (x0 ).

7.109.

Ha egy

∞ P

an xn sor el˝oáll´ıtja az f f¨ uggvényt, akkor ez a hatványsor

n=0

megegyezik f Taylor-sorával. 7.110.

Ha f (x) Taylor-sora

∞ P

an xn , akkor minden valós x esetén

n=0

∞ P

an xn =

n=0

f (x).

7.111.

Sz´ am´ıtsuk ki 10−2 pontossággal sin 1 illetve e értékét!

7.112.

Sz´ am´ıtsuk ki az 1 −

7.113.

Bizony´ıtsuk be, hogy az f (x) =

π2 π4 π6 π 2n + − + · · · + (−1)n +... 2 4! 6! (2n)!

összeget!

∞ X x3k f¨ uggvény kielég´ıti az f 000 (x) = (3k)!

k=0

f (x) egyenletet! 7.114.

Írjuk fel az f (x) =

Zx e

−t2

Z1 dt Taylor-sorát! Szám´ıtsuk ki

0

0

értékét két tizedesjegy pontossággal! 7.115.

Bizony´ıtsuk be, hogy az e szám irracionális!

Sz´ am´ıtsuk ki a keresett deriv´ altakat az x = 0 helyen! 7.116. 7.118.

1 1−x

(135)

(arctg x)(356)

(136)

7.117.

7.119.

(arctg x)(357)

ex

2

2

e−x dx

143


7.120.

Írjuk fel az f (x) = tg x f¨ uggvény harmadik Taylor-polinomját a 0ban.

7.121.

A fon´ alinga mozg´ as´ at le´ıró törvényben a sin x f¨ uggvényt az x f¨ uggvénnyel k¨ ozel´ıtik. Mekkora lesz legfeljebb az elkövetett hiba, ha a kitérés sz¨ oge legfeljebb 5◦ < 0, 1 radián?

7.122.

H´ any tagot vegy¨ unk figyelembe sin x Taylor-sorából, ha azt akarjuk, hogy |x| < 0, 1 esetén a hiba legfeljebb 10−6 legyen?

7.123.

H´ any tagot vegy¨ unk figyelembe sin x Taylor-sorából, ha azt akarjuk, hogy π |x| < 1 < (= 60◦ ) esetén a hiba legfeljebb 10−3 legyen? 3

7.124.

Fejts¨ uk hatv´ anysorba az f (x) = x2 + x + 1 f¨ uggvényt (a) 0-k¨ or¨ ul;

7.125.

(b) 1-kör¨ ul.

Fejts¨ uk hatv´ anysorba az f (x) =

1 f¨ uggvényt 2+x

(a) 0-k¨ or¨ ul;

(b) 1-kör¨ ul.

7.3. Trigonometrikus sorok, Fourier-sor

´ ıtsuk el˝ All´ o az al´ abbi fu enyek Fourier-sor´ at! ¨ ggv´ 7.126.

sin2 x

7.127.

cos2 x

Fejtsu abbi fu enye¨ k Fourier-sorba a (−π, π) intervallumon az al´ ¨ ggv´ ket: 7.128. 7.129.

f (x) = sgn x −π < x < π 1 ha 0 < x < π f (x) = 0 ha − π < x < 0

144


7.130.

f (x) = | sgn x|

−π < x < π

A fenti h´ arom f¨ uggvény megegyezik a (0, π) intervallumon! 7.131.

f (x) = x

−π < x < π

7.132.

f (x) = |x|

−π < x < π

Az el˝ oz˝ o két f¨ uggvény megegyezik a (0, π) intervallumon! 2 x ha 0 < x < π 7.133. f (x) = −x2 ha − π < x < 0

7.134.

Legyen most f (x) az a 2π szerint periodikus f¨ uggvény, amelyikre f (x) = π−x , ha x ∈ (0, 2π) és f (0) = 0. Ezt a f¨ uggvényt f˝ urészfog-f¨ uggvénynek 2 is nevezik. (a) Fejts¨ uk Fourier-sorba az f (x) f¨ uggvényt a (0, 2π) ny´ılt intervallumon. ∞ X 1 (−1)n (b) Sz´ amoljuk ki a numerikus sor összegét. 2n + 1 n=0

7.135.

Legyen f az a periodikus f¨ uggvény, amelyre f (x) = x2 , ha x ∈ [−π, π]. (a) Fejts¨ uk Fourier-sorba az f (x) f¨ uggvényt a [−π, π] intervallumon. (b) Sz´ amoljuk ki a

∞ X 1 numerikus sor összegét. 2 n n=1

Kirajzoltuk n´ eh´ any el˝ oz˝ o feladat fu enyeit ´ es a 10-edik ( egyn´ el ¨ ggv´ az 5-o ozel´ıt´ eseit. Melyek ezek a fu enyek? ¨dik ) Fourier k¨ ¨ ggv´ 7.136.

K4 K3 K2 K1

1

2

x

3

4

K4 K3 K2 K1

1

2

x

3

4

145


7.137.

K4 K3 K2 K1

0

1

2

3

4

K4 K3 K2 K1

3

4

K4 K3 K2 K1

3

4

K4 K3 K2 K1

0

K4 K3 K2 K1

0

x

0

1

2

1

2

1

2

x

3

4

3

4

3

4

7.138.

K4 K3 K2 K1

1

2

1

2

x

x

7.139.

K4 K3 K2 K1

0

x

x

7.140.

K4 K3 K2 K1

0

1

2

3 x

4

1

2

3 x

4

146


7.141.

K4 K3 K2 K1

K4 K3 K2 K1

1 2 3 4 x

1 2 3 4 x

Fejtsu ovetkez˝ o fu enyeket a (−π, π) interval¨ k Fourier-sorba a k¨ ¨ ggv´ lumban! 7.142.

ex

7.143.

e2x

7.144.

sh x

7.145.

sh 3x

7.146.

ch x

7.147.

ch 4x

8. fejezet To altoz´ os fu enyek differen¨bbv´ ¨ ggv´ ci´ al´ asa 8.1. Euklideszi terek topol´ ogi´ aja. — A G ⊂ Rn halmaz ny´ılt akkor és csak akkor, ha egyetlen határpontját sem tartalmazza. — Az F ⊂ Rn halmazra a következ˝o áll´ıtások ekvivalensek: - Az F halmaz z´ art. - Az F halmaz tartalmazza minden határpontját. - Nem lehet F -b˝ ol kikonvergálni, azaz ha {pn : n ∈ N} ⊂ F, és pn −→ p, akkor p ∈ F. — A K ⊂ Rn halmazra a következ˝o áll´ıtások ekvivalensek: - A K halmaz kompakt. - A K halmaz korl´ atos és zárt. - Minden K-beli sorozatnak van K-beli ponthoz konvergáló részsorozata. 8.2. T¨ obbv´ altoz´ os Bolzano-Weierstrass-t´ etel. Korlátos pontsorozatnak van konvergens részsorozata. 8.3. T¨ obbv´ altoz´ os Weierstrass-t´ etel. Kompakt halmaz folytonos képe kompakt. Speci´ alisan kompakt halmazon folytonos f¨ uggvénynek van maximuma (és minimuma). ¨ 8.4. T¨ obbv´ altoz´ os Bolzano-t´ etel. Osszef¨ ugg˝o halmaz folytonos képe osszef¨ ugg˝ o. ¨

´ ltozo ´ s f¨ ńyek differencia ´ la ´ sa 8. T¨ obbva uggve

148

8.5. To altoz´ os deriv´ alt. ¨bbv´ — Ha az f f¨ uggvény (tot´ alisan) deriválható a p pontban, akkor itt folytonos, minden parci´ alis deriváltja létezik, és a derivált koordinátái a megfelel˝ o parci´ alis deriváltak. — Ha az f f¨ uggvény parciális deriváltjai léteznek a p pont egy környezetében, és ezek p -ben folytonosak (folytonosan deriv´ alhat´ o p -ben), akkor f deriv´ alhat´ o p -ben. — Ha az f f¨ uggvény (tot´ alisan) deriválható a p pontban, akkor itt minden v 6= 0 ir´ any mentén deriválható, és ∂ 1 f (p ) = v · grad f (p ) ∂v |v | Ennek k¨ ovetkezményeként ∂ 2 f (p ) : |v | = 1 = |grad f (p)| max ∂v — Ha az f : Rn → R f¨ uggvény deriválható a p pontban, akkor grafikonj´ anak van ´ erint˝ o hipers´ıkja a p pont felett, és ennek egyenlete y = f (p ) + grad f · (x − p ). 8.6. Young-t´ etel. Ha az n-változós f f¨ uggvény kétszer folytonosan deriv´ alhat´ o a p pont egy k¨ ornyezetében, akkor minden 1 ≤ i, j ≤ n esetén fx00i xj (p ) = fx00j xi (p ). 8.7. To altoz´ os sz´ els˝ o´ ert´ ek. ¨bbv´ — Ha az f : Rn → R n-változós f¨ uggvénynek lokális széls˝oértéke van az értelmezési tartom´ any p bels˝o pontjában, és p -ben (parciálisan) deriv´ alhat´ o, akkor grad f (p ) = 0 . — Tegy¨ uk fel, hogy az f : Rn → R f¨ uggvény kétszer folytonosan deriválhat´ o a p pontban és grad f (p ) = 0 . Jelölje H az f másodrend˝ u parciális deriv´ altjaib´ ol ´ all´ o szimmetrikus Hesse-mátrixot a p pontban, valamint Q(x ) = x · Hx a H-hoz tartozó kvadratikus leképezést. Ekkor - ha Q pozit´ıv definit, akkor p -ben lokális minimum van;

149


- ha Q negat´ıv definit, akkor p -ben lokális maximum van; - ha Q indefinit, akkor p -ben nincs széls˝oérték (nyeregpont); - ha Q szemidefinit, akkor p -ben ez a próba nem dönti el, hogy van-e széls˝ oérték. Speci´ alisan kétv´ altoz´ os f¨ uggvény esetén ha f 00 f 00 xy xx D = det H = 00 00 fyx fyy a Hesse-m´ atrix determinánsa a p pontban, akkor 00 > 0; - minimum van, ha D > 0 és fxx 00 < 0; - maximum van, ha D > 0 és fxx

- nincs széls˝ oérték, ha D < 0; - ez a pr´ oba nem dönti el, hogy van-e széls˝oérték, ha D = 0. 8.8. Felt´ eteles sz´ els˝ o´ ert´ ek, Lagrange-f´ ele multiplik´ ator m´ odszer. Ha az f : Rn → R f¨ uggvénynek lokális széls˝oértéke van aza pontban a gk (x ) = 0, k = 1, 2, . . . , p feltételek mellett, akkor megadhatók olyan λ1 , λ2 , . . . , λp val´ os sz´ amok, hogy p

X ∂ ∂ f (a ) + λk gk (a ) = 0, ∂xi ∂xi

i = 1, 2, . . . , n

k=1

8.1. Topol´ ogiai alapfogalmak ´ Irjuk fel a megadott pontok t´ avols´ ag´ at! 8.1.

p , q ∈ R2

p = (−1, 3) q = (5, −4)

8.2.

p , q ∈ R3

p = (−1, 3, 5) q = (5, −4, 0)

8.3.

p , q ∈ Rn

p = (p1 , p2 , . . . pn ) q = (q1 , q2 , . . . qn )

8.4.

Írjuk fel az orig´ o k¨ ozéppont´ u, 1 sugar´ u (ny´ılt) gömböt meghatározó k egyenl˝ otlenséget R -ban, ahol k = 1, 2, 3, n.


8.5.

150

Írjuk fel a c k¨ ozéppont´ u, r sugar´ u (ny´ılt) gömböt meghatározó egyenk l˝ otlenséget R -ban, ahol k = 1, 2, 3, n.

Rajzoljuk le az al´ abbi halmazokat, hat´ arozzuk meg a bels˝ o-, ku o¨ ls˝ ´ es hat´ arpontjaikat, ´ es d¨ ontsu ol, hogy ny´ılt¨ k el mindegyik halmazr´ e, z´ art-e, ´ es hogy korl´ atos-e! 8.6.

{h ∈ R : −3 < h ≤ 5}

8.7.

{(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 = 1}

8.8.

{(x, y) ∈ R2 : 1 < x2 + y 2 < 4}

8.9.

{(x, y) ∈ R2 : −3 < x < 5}

8.10.

{(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≥ 4}

8.11.

{(x, y) ∈ R2 : −1 ≤ x, y ≤ 1}

8.12.

{(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≥ 0}

8.13.

{(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ −4}

Melyik halmaz ny´ılt, melyik z´ art, melyik ny´ılt is, z´ art is, ´ es melyik se nem ny´ılt, se nem z´ art? Indokoljuk a v´ alaszokat! A feladatokban x´ es y val´ os sz´ amokat jel¨ olnek. 8.14.

H = {x : 0 < x < 1}

8.15.

H = {(x, 0) : 0 < x < 1}

8.16.

H = {x : 0 ≤ x ≤ 1}

8.17.

H = {(x, 0) : 0 ≤ x ≤ 1}

8.18.

H = {x : 0 ≤ x < 1}

8.19.

H = {(x, 0) : 0 ≤ x < 1}

8.20.

H = {(x, y) : x2 + y 2 < 1}

8.21.

H = {(x, y, 0) : x2 + y 2 < 1}

8.22.

H = {(x, y) : x ∈ Q, y ∈ Q}


8.23.

151

H = {(x, y) : 0 < x < 1, 0 < y < 1}

Adjuk meg a k¨ ovetkez˝ o s´ıkbeli halmazok bels˝ o pontjait, ku o pont¨ ls˝ jait ´ es hat´ arpontjait! 8.24.

H = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ x ≤ 1}

8.25.

H = {(x, y) : 0 ≤ x < 1, 0 < y ≤ 1}

8.26.

H = {(x, y) : x ∈ Q, y ∈ Q, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}

8.27.

H = {(x, y) : 0 < x < 1, y = 0}

Adjuk meg a k¨ ovetkez˝ o t´ erbeli halmazok bels˝ o pontjait, ku o pont¨ ls˝ jait ´ es hat´ arpontjait! 8.28.

H = {(x, y, z) : x2 + y 2 + z 2 < 1}

8.29.

H = {(x, y, z) : x2 + y 2 + z 2 ≤ 1}

8.30.

H = {(x, y, z) : x ∈ Q, y ∈ Q, z ∈ Q, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1}

8.31.

H = {(x, y, z) : x ∈ Q, 0 < x < 1, y = z = 0}

8.32.

Legyen H ⊂ Rn . Igazak-e a következ˝o áll´ıtások? (a) Ha x ∈ H, akkor x bels˝o pontja H-nak. (b) Ha x ∈ / H, akkor x nem lehet bels˝o pontja H-nak. (c) Ha x ∈ H, akkor x nem lehet határpontja H-nak. (d) Ha x ∈ / H, akkor x nem lehet határpontja H-nak. (e) Van olyan halmaz, amelynek minden pontja határpont. (f ) Van olyan halmaz, amelynek minden pontja bels˝o pont. (g) Van olyan halmaz, amelynek nincs bels˝o pontja.

152


8.2. T¨ obbv´ altoz´ os fu enyek grafikonja ¨ ggv´ Sz´ am´ıtsuk ki a k¨ ovetkez˝ o fu enyek helyettes´ıt´ esi ´ ert´ ek´ et a meg¨ ggv´ adott p pontokban! 8.33.

f (x, y) = x + y 2

8.34.

f (x, y) = arctg x + arcsin xy

8.35.

f (x, y, z) = x(y

8.36.

f (x, y, z) = xy

z

p = (2, 3)

)

z

p = (π/4, 0)

p = (4, 3, 2) p = (4, 3, 2)

Adjuk meg a k¨ ovetkez˝ o fu enyek helyettes´ıt´ esi ´ ert´ ek´ et a meg¨ ggv´ adott g¨ orb´ ek pontjaiban! 8.37.

f (x, y) = x2 + y 2 ,

y = x, illetve x2 + y 2 = 1

8.38.

f (x, y) = x − y,

y = x, illetve y = x2

8.39.

f (x, y) = sin x,

x = π/4, illetve y = π/4

8.40.

f (x, y) = sin xy,

x = π/4, illetve y = π/4

8.41.

Keress¨ uk meg a k¨ ovetkez˝o kétváltozós f¨ uggvények grafikonjait az ábrák k¨ oz¨ ott! (a) x2 + y 2

(b) (x + y)2

(c) x2 − y 2

(d) xy

(e) sin x + sin y

(f ) sin x sin y

153


(A)

(B) 2

17,5

1 15,0

-4 -2

2

-2 2

4

12,5

-4

0 00

y

10,0

x

7,5

4

-1

5,0 -3 -2

-2

y 2,5 -1 0 0,0

3

(C)

-2

-1 1

0

1

2

-3

x 2

(D) 8,5

35

6,0 -3

3,5

30

-2 1,0

3

2

y

-1

25

0

1

0 -1,5 1

20 -1

-2

2 -4,0

3

x

-3

15 10

-3

-6,5

-2 -9,0

5y -1 00

2

3

(E)

0

1

1

-2

-1 2

-3

x

(F) 1,0

8,5

6,0 0,5 3,5

-4

-3 -2 y 2

4

-1

-2

2 -0,5

3

x 4

1,0 -2

-4

0,0 0 0

2

1

y

0 0 -1,5 -1 1 2 3 -4,0

-6,5

-1,0

-9,0

-2 x

-3

154


8.42.

Az el˝ oz˝ o f¨ uggvényeknek kirajzoltuk a szintvonalait is. Keress¨ uk meg a rajzokhoz tartoz´ o képleteket! (A)

(B)

3

3

2

2

y

y

1

K3

K2

K1

1

0

(C)

1

x

2

3

K3

K2

K1

0

K1

K1

K2

K2

K3

K3

(D)

4

K3

K2

K1

0

1

2

3

x

K1

4

K3

K2

K1

0

(F)

4 3 y

y

1

K3

2 1

0

K2

3

K3

2

K1

x

K2

3

K1

1

K1

K4

K2

2

1

K3

K3

3

2

K2

(E)

2

y

2 1

K4

x

3

3 y

1

1

x

2

3

K4

K3

K2

K1

0

K1 K2 K3 K4

1

2

x

3

4

155


´ azoljuk a k¨ Abr´ ovetkez˝ o fu enyek szintvonalait! ¨ ggv´ fu enyek grafikonj´ ar´ ol t´ erbeli rajzot! ¨ ggv´ p 8.44. x2 + y 2 8.43. (x + y)2 8.45.

xy

8.46.

(x − y)2

8.47.

x2 + y 2 ,

8.48.

|x|

8.49.

x2 − y 2

8.50.

|x + y|

K´ esz´ıtsu ¨ nk a

Hat´ arozzuk meg a k¨ ovetkez˝ o fu enyek szintfelu ¨ ggv´ ¨ leteit! 8.51.

f (x, y, z) = x + y + z

8.52.

f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2

8.53.

f (x, y, z) = x + y

8.54.

f (x, y, z) = y 2

Do abbi t´ erbeli halmazokr´ ol, hogy lehetnek-e ¨ntsu ¨ k el az al´ grafikonjai-e valamilyen k´ etv´ altoz´ os fu enynek! Ha igen, akkor ¨ ggv´ adjunk meg ilyen fu enyt! ¨ ggv´ 8.55.

s´ık

8.56.

gömbfel¨ ulet

8.57.

k´ uppal´ ast

8.58.

hengerpalást

8.59.

félhenger pal´ astja

8.60.

félgömb fel¨ ulete

Hat´ arozzuk meg a ko o fu enyek lehets´ eges legb˝ ovebb ´ er¨vetkez˝ ¨ ggv´ telmez´ esi tartom´ any´ at! p √ x+y 8.62. f (x, y) = 1 − x2 + y 2 + 1 8.61. f (x, y) = x−y p 1 8.64. 8.63. f (x, y) = 1 − x2 − y 2 f (x, y) = 2 x + y2 8.65.

f (x, y, z) =

z cos y sin x

156


8.66.

f (x, y, z) =

x y z + − 2 y−z x+z x − y2

8.3. T¨ obbv´ altoz´ os hat´ ar´ ert´ ek, folytonoss´ ag Van-e a k¨ ovetkez˝ o t¨ obbv´ altoz´ os fu enyeknek hat´ ar´ ert´ eke az ¨ ggv´ adott pontokban? Ha igen, mennyi? Hol folytonosak ezek a fu ¨ ggv´ enyek? 8.67.

f (x, y) = 7

p = (0, 0)

8.68.

f (x, y) = x + y

p = (3, 5)

8.69.

f (x, y) =

x y

p = (3, 0)

8.70.

f (x, y) =

sin xy x

p = (0, 2)

8.71.

f (x, y) =

sin xy tg 2xy

p = (0, 3)

8.72.

f (x, y) =

sin x − sin y x−y

p = (0, 0)

8.73.

f (x, y) =

sin x − sin y ex − ey

p = (0, 0)

8.74.

p

x+y−1

p = (0, 0)

8.75.

xy ln(x2 + y 2 )

p = (0, 0)

( 8.76.

f (x, y) = (

8.77.

f (x, y) = (

8.78.

f (x, y) =

1, ha x 6= 0 és y 6= 0 0, ha x = 0 vagy y = 0

p = (0, 0),

q = (0, 1)

1, ha x 6= 0 0, ha x = 0

p = (0, 0), q = (0, 1), r = (1, 0)

1, ha x2 + y 2 6= 0 0, egyébként

p = (0, 0),

q = (0, 1)

157


( 8.79.

f (x, y) = (

x, ha x = y 0, egyébként

p = (0, 0),

q = (0, 1)

1, ha x = y 0, egyébként

p = (0, 0),

q = (0, 1)

8.80.

f (x, y) =

8.81.

Legyen f (x, y) =

x−y . Léteznek-e a következ˝o határértékek? x+y (a) lim f (x, y) (b) lim lim f (x, y) (x,y)→(0,0) x→0

(c) lim

y→0

8.82.

lim f (x, y)

(d) lim f (x, x) x→0

x→0

Legyen f (x, y) = (x + y) sin

y→0

1 1 sin . Léteznek-e a következ˝o határértéx y

kek? (a)

lim

f (x, y)

(x,y)→(0,0)

(c) lim

y→0

8.83.

(b) lim

x→0

lim f (x, y)

lim f (x, y)

y→0

(d) lim f (x, x)

x→0

x→0

Legyen   2xy , f (x, y) = x2 + y 2 0,

ha x2 + y 2 6= 0

.

egyébként

Bizony´ıtsuk be, hogy a g(x) = f (x, 0) és a h(y) = f (0, y) f¨ uggvények folytonosak x = 0-ban, illetve y = 0-ban! Bizony´ıtsuk be, hogy az f (x, y) f¨ uggvény nem folytonos (x, y) = (0, 0)-ban! 8.84.

Bizony´ıtsuk be, hogy ha f (x, y) folytonos a s´ıkon, akkor (a) a G = {(x, y) : f (x, y) > 0} halmaz ny´ılt; (b) az F = {(x, y) : f (x, y) ≥ 0} halmaz zárt!


158

8.4. Parci´ alis ´ es tot´ alis deriv´ alt 8.85.

Mutassunk péld´ at olyan kétváltozós f¨ uggvényre, amelynek mindkét parci´ alis deriv´ altja létezik az origóban, de a f¨ uggvény nem folytonos az orig´ oban!

Hat´ arozzuk meg a k¨ ovetkez˝ o fu enyek parci´ alis deriv´ altjait! ¨ ggv´ 8.86.

f (x, y) = x sin y

8.87.

f (x, y) = sin(xy)

8.88.

f (x, y) = (x + 2y) sin(x + 2y)

8.89.

f (x, y) = 3x2 y 4 − 4

8.90.

f (x, y) =

8.91.

f (x, y) = (5x + y 2 )e

8.92.

g(x, y, z) = sin z · (cos x)ln y z x g(x, y, z) = y

8.93.

x+y x − y2 x2

+3y

8.94.

f (x, y) = x2 + xy + y 2

8.95.

f (x, y) = ex−y

8.96.

g(x, y, z) = xy

8.97.

g(x, y, z) =

8.98.

f (x, y, z) = sin(x2 + y 3 + z 4 )

8.99.

f (x, y) = arctg

z

z arctg x2 y √ 1 + ln(xy 3 + 2x z)

1−x 1−y

159


8.100.

f (x, y) = xy + y x

8.101.

f (x, y, z) = xyz

8.102.

Parci´ alisan deriv´ alhat´ o-e f (x, y) = |x| + |y| a (0, 0) pontban?

8.103.

Mi a k¨ ovetkez˝ o két ´ all´ıtás logikai kapcsolata, azaz melyikb˝ol következik a m´ asik? P: f (x, y) folytonos (0, 0)-ban Q: f (x, y) parci´ alis deriváltjai léteznek (0, 0)-ban

8.104.

Tudjuk, hogy f (1, 2) = 3, továbbá hogy minden (x, y) pontban fx0 (x, y) = 0 és fy0 (x, y) = 0. Mennyi lehet f (5, 10) ?

8.105.

Hol folytonosak az  (x + y) sin 1 sin y, f (x, y) = x 0,

ha x 6= 0 és y 6= 0 ha x = 0 vagy y = 0

f¨ uggvény parci´ alis derivált f¨ uggvényei? Hat´ arozzuk meg a k¨ ovetkez˝ o fu enyek m´ asodik parci´ alis deri¨ ggv´ v´ altjait! 8.106.

g(x, y, z) = xy 2 sin z

8.107.

g(x, y, z) =

8.108.

g(x, y, z) = 2 + x + y 2 + z 3

8.109.

g(x, y, z) = ln(x + y 2 + z 3 )

x y+z

´ Irjuk fel a ko o fu enyek ir´ anymenti deriv´ altjait az adott ¨vetkez˝ ¨ ggv´ pontokban az adott ir´ anyban! 8.110.

f (x, y) = x + y 2

p = (2, 3),

v = (3, 4)

160


8.111.

f (x, y) = sin xy

p = (0, 0),

v = (1, −1)

8.112.

f (x, y) = ex+y · ln y

p = (0, 1),

v = (−4, 3)

8.113.

f (x, y) =

p = (1, 1),

v = (−1, −1)

x y

Hat´ arozzuk meg a ko o fu enyek α = 30◦ -os szo ¨vetkez˝ ¨ ggv´ ¨gho ¨z tartoz´ o ir´ anymenti deriv´ altj´ at a (3, 5) pontban! 8.114.

f (x, y) = x2 − y 2

8.115.

h(x, y) = xey

Milyen ir´ anyban lesz az ir´ anymenti deriv´ alt maxim´ alis, illetve minim´ alis a (−4, 2) pontban? 8.116.

f (x, y) = (x − y)2

8.117.

g(x, y) = x2 +

2 xy

Egy terepasztal felu et az f (x, y) fu ennyel adjuk meg. Milyen ¨ let´ ¨ ggv´ ir´ anyban indul el a felu ¨ let adott A = (1, 2), B = (2, 1), C = (2, 0) ´ es D = (−2, 1) pontjai f¨ ol´ e helyezett goly´ o? 2

+y 2 )

8.118.

e−(x

8.120.

Egy buck´ as domb fel¨ uletét az f (x, y) = −x2 + sin y f¨ uggvény adja meg, ha −2 ≤ x ≤ 2, −10 ≤ y ≤ 10. Milyen irányban induljon el a s´ıel˝o a p = (1, π/3) pontb´ ol, ha a lehet˝o legmeredekebb pályán akar lecs´ uszni?

8.121.

p Legyen f (x, y) = 1 − x2 − y 2 . Írja fel az (1/2, 1/2) ponton áthaladó szintvonal egyenletét, valamint a szintvonal érint˝ojét az (1/2, 1/2) pontban! Írjuk fel a f¨ uggvény gradiensét az (1/2, 1/2) pontban! Mekkora sz¨ oget z´ ar be a szintvonal érint˝oje a gradienssel?

8.122.

Adjunk péld´ at olyan f (x, y) f¨ uggvényre, ahol a gradiens létezik, de nem mer˝ oleges a szintvonal érint˝ojére! Seg´ıtség: vizsg´ aljuk az

8.119.

x3 + y 3 − 9xy


  0, f (x, y) = y,   x

161

ha (x − 1)2 + y 2 = 1 ha x = 0 és y 6= 0 egyébként

f¨ uggvényt az orig´ oban! 8.123.

p Legyen f (x, y) = 1 − x2 − y 2 . Ellen˝orizz¨ uk, hogy az (1/2, 1/2) pontban a f¨ uggvény gradiense mer˝oleges a szintvonal érint˝ojére!

8.124.

Írjuk fel az f (x, y) = sgn x sgn y f¨ uggvény gradiensét azokban a pontokban, ahol létezik!

Egy terepasztal felu et az f (x, y) fu eny adja meg. Tegyu ¨ let´ ¨ ggv´ ¨ k fel, hogy az x tengely kelet fel´ e, az y tengely pedig ´ eszak fel´ e mutat. Hat´ arozzuk meg a p ponton ´ atmen˝ o, ´ eszak-´ eszaknyugati ir´ anyban indul´ o¨ osv´ eny meredeks´ eg´ et a p pontban! 8.125.

f (x, y) = x2 − y 2

8.126.

x3 + y 3 − 9xy

8.127.

 x2 − y 2   xy x2 + y 2 , Legyen f (x, y) =    0,

p = (1, 2, −3)

p = (2, 0, 8)

ha x2 + y 2 6= 0 ha x2 + y 2 = 0

(a) Mennyi fx0 (0, 0) és fy0 (0, 0)? (b) Mennyi fx0 (0, y) ha y 6= 0 és mennyi fy0 (x, 0) ha x 6= 0? 00 00 (c) Mennyi fxy (0, 0) és fyx (0, 0)?

(d) Miért nincs ez ellentmondásban Young tételével? (e) Differenci´ alhat´ o-e kétszer f a (0, 0)-ban? 8.128.

Legyen f : Rn → R f¨ uggvény. Melyik áll´ıtás igaz és melyik hamis az al´ abbiak k¨ oz¨ ul? Ha egy áll´ıtás hamis, adjunk ellenpéldát! (a) Ha f folytonos a p pontban, akkor ott differenciálható. (b) Ha f differenci´ alható a p pontban, akkor f a p pontban folytonos.


162

(c) Ha f -nek léteznek a parciális deriváltjai a p pontban, akkor f a p pontban folytonos. (d) Ha f -nek léteznek és folytonosak a parciális deriváltjai a p pontban, akkor f a p pontban differenciálható. (e) Ha f -nek léteznek és folytonosak a parciális deriváltjai a p pontban, akkor f a p pontban folytonos. (f ) Ha f differenci´ alható a p pontban, akkor f -nek p -ben léteznek a parci´ alis deriv´ altjai. (g) Ha p -ben f -nek léteznek a másodrend˝ u parciális deriváltjai, akkor f 2-szer differenci´ alható p -ben. (h) Ha p -ben f -nek léteznek és folytonosak a másodrend˝ u parciális deriv´ altjai, akkor f 2-szer differenciálható p -ben. (i) Ha f a p pontban 2-szer differenciálható, akkor p -ben léteznek f m´ asodrend˝ u parciális deriváltjai. (j) Ha f a p pontban 2-szer differenciálható, akkor p -ben léteznek f parci´ alis deriv´ altjai, és a parciális deriváltak p -ben folytonosak.

Van-e olyan f : R2 → R fu eny, amelyre ¨ ggv´ 8.129.

fx0 (x, y) = sin y, fy0 (x, y) = x cos y

8.130.

fx0 (x, y) = exy , fy0 (x, y) = cos(x − y)

Hat´ arozzuk meg az al´ abbi fu enyeket a megadott pontokban ¨ ggv´ ´ erint˝ o s´ıkok illetve hipers´ıkok egyenlet´ et! 8.131.

f (x, y) = xy

p = (2, 3)

8.132.

f (x, y) = sin(xy)

p = (1/2, π)

8.133.

f (x, y, z) = xy 2 − z 3

p = (3, 2, 1)

8.134.

f (x1 , . . . , xn ) = x1 · x2 · . . . · xn

p = (1, 2, . . . , n)

´ Irjuk fel a G(t) = F (r (t)) ¨ osszetett fu enyt! Hat´ arozzuk meg ¨ ggv´ G0 (t)-t k¨ ozvetlenu epletb˝ ol, ´ es a l´ ancszab´ aly seg´ıts´ eg´ evel is! ¨ l a k´

163


8.135.

F (x, y) = x2 + y 2

r (t) = cos t · i + sin t · j

t ∈ [0, 2π]

8.136.

F (x, y) = x2 − y 2

r (t) = cos t · i + sin t · j

t ∈ [0, 2π]

8.137.

F (x, y) = x2 + y 2

r (t) = t · i + 3t · j

t ∈ [0, 10]

´ Irjuk fel a k¨ ovetkez˝ o¨ osszetett lek´ epez´ esek Jacobi-m´ atrix´ at. 8.138.

g(t) = (sin t, cos t),

8.139.

f (u, v) = (sin uv, cos uv),

8.140.

f (u, v) =

u2 v 2 ,

1 uv

f (x, y) = x + y,

h = f ◦ g.

g(x, y) = x2 + y 2 ,

h=g◦f

,

g(x, y) = ln x + ln y,

h = g ◦ f.

Adjuk meg a k¨ ovetkez˝ o s´ıkbeli lek´ epez´ esek Jacobi-m´ atrix´ at! 8.141.

v = sin xy · i + x cos y · j

8.142.

v =

8.143.

v = (ln x + ln y) · i + x2 · j

8.144.

v = sin(x + 3y 2 ) · i + exy · j

8.145.

Legyen F (x, y) = xy, és legyenek f : R2 → R, g : R2 → R differencialhat´ ´ o f¨ uggvények! Írjuk fel az F (f, g) összetett f¨ uggvény deriváltját a l´ ancszab´ aly seg´ıtségével!

8.146.

Legyen r : R → R2 differenciálható, és legyen f (x, y) = x + y. Írjuk fel f ◦ r deriv´ altj´ at a l´ ancszabály seg´ıtségével!

xy x ·i + 2 ·j 2 1+x x + y2

´ Irjuk fel a ko o fu enyek P ponton ´ athalad´ o szintvonalainak ¨vetkez˝ ¨ ggv´ ´ erint˝ oj´ et a P pontban! 8.147.

f (x, y) = xy ,

P (3, 5)


8.148.

f (x, y) = x2 − y 2

164

P (5, 3)

8.5. T¨ obbv´ altoz´ os sz´ els˝ o´ ert´ ek Van-e abszol´ ut sz´ els˝ o´ ert´ eku ovetkez˝ o fu enyeknek az adott ¨ k a k¨ ¨ ggv´ halmazokon? Indokoljuk a v´ alaszokat! 1 x

8.149.

f (x) =

8.150.

f (x) = sin2

8.151.

f (x, y) =

8.152.

f (x, y) = x2 + ey sin x3 y 2

8.153.

f (x, y) = x2 + y 2

H = {(x, y) : x2 + y 2 < 1}

8.154.

f (x, y) = x + y

H = {(x, y) : 0 < x < 1, 0 < y < 1}

8.155.

f (x, y) = xy

H = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}

8.156.

f (x, y, z) = xyz

H = {(x, y, z) : (x−1)2 +(y +2)2 +(z −3)2 ≤ 4}

H = {(x) : x 6= 0} √ 7

x3

y x

H = {(x) : x ∈ R} H = {(x, y) : x 6= 0}

H = {(x, y) : x2 + y 2 ≤ 1}

Hat´ arozzuk meg a k¨ ovetkez˝ o fu enyek abszol´ ut sz´ els˝ o´ ert´ ekeit a ¨ ggv´ megadott halmazokon! 8.157.

f (x, y) = x3 y 2 (1 − x − y) 1}

8.158.

f (x, y) = x2 + y 2 + (x + y + 1)2 H = R2

8.159.

f (x, y) = x − y − 3

8.160.

H = {(x, y) : 0 ≤ x, 0 ≤ y, x + y ≤

H = {(x, y) : x2 + y 2 ≤ 1}

1 1 f (x, y) = ln x · ln y + ln x + ln y 2 2 1 1 H = {(x, y) : ≤ x ≤ e, ≤ y ≤ e} e e


8.161.

f (x, y) = sin x + sin y + sin(x + y) π π H = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ , 0 ≤ y ≤ } 2 2

8.162.

f (x, y) = x2 − 2xy + 2y 2 − 2x + 4y H = {(x, y) : |x| ≤ 3, |y| ≤ 3}

165

Keressu ovetkez˝ o fu enyek lok´ alis sz´ els˝ o´ ert´ ekhelyeit, ha ¨ k meg a k¨ ¨ ggv´ vannak! 8.163.

f (x, y) = 3x2 + 5y 2

8.164.

f (x, y) = (2x − 5y)2

8.165.

f (x, y) = 2x2 − 3y 2

8.166.

f (x, y) = 2x2 − y 2 + 4x + 4y − 3

8.167.

f (x, y) = x2 + y 2 − 6x + 8y + 35

8.168.

f (x, y) = 3 −

8.169.

f (x, y) = −y 2 + sin x

8.170.

f (x, y) = e−(x

8.171.

f (x, y) = (x − y 2 )(2x − y 2 )

8.172.

f (x, y) = −2x2 − 2xy − 2y 2 + 36x + 42y − 158

8.173.

Van-e olyan egyv´ altozós polinom, amelynek értékkészlete (0, ∞)? Ha igen, adjunk r´ a péld´ at! Van-e olyan kétváltozós polinom, amelynek értékkészlete (0, ∞)? Ha igen, adjunk rá példát!

8.174.

Adjunk meg olyan kétváltozós f¨ uggvényt, amelyiknek végtelen sok szigor´ u lok´ alis maximuma van, de nincs lokális minimuma!

8.175.

Hat´ arozzuk meg a 2x + 3y + 4z f¨ uggvény maximumát és minimumát az orig´ o k¨ ozéppont´ u 1 sugar´ u gömb felsz´ınén!

p

2

2 − (x2 + y 2 )

+y 2 )

166


8.176.

Hat´ arozzuk meg a p (t) = 2t · i + t · j + (1 − t) · k és a q (t) = 3t · i + t · j + (2t − 1) · k egyenesek távolságát!

8.177.

Igazak-e a k¨ ovetkez˝ o´ all´ıtások? (a) Ha fx0 (x0 , y0 ) = 0, akkor f -nek az (x0 , y0 ) pontban lokális széls˝oértékhelye van. (b) Ha fx0 (x0 , y0 ) = 0 és fy0 (x0 , y0 ) = 0, akkor f -nek az (x0 , y0 ) pontban lok´ alis széls˝ oértékhelye van. 00 00 (x0 , y0 ) = 0, akkor f -nek az (x0 , y0 ) (x0 , y0 ) = 0 és fyx (c) Ha fxy pontban lok´ alis széls˝oértékhelye van. 00 00 00 (d) Ha fxx (x0 , y0 )fyy (x0 , y0 ) − (fxy (x0 , y0 ))2 < 0, akkor f -nek az (x0 , y0 ) pontban nincs lokális széls˝oértékhelye. 00 00 00 (x0 , y0 ))2 ≤ 0, akkor f -nek az (x0 , y0 ) − (fxy (x0 , y0 )fyy (e) Ha fxx (x0 , y0 ) pontban nincs lokális széls˝oértékhelye. 00 (x0 , y0 ) < 0, akkor f -nek az (x0 , y0 ) pontban nincs lokális (f ) Ha fxx minimumhelye.

Mely (x, y) ∈ R2 pontokban nulla az f (x, y) fu eny mindk´ et ¨ ggv´ parci´ alis deriv´ altja? Mely (x, y) ∈ R2 pontokban van az f (x, y) fu enynek lok´ alis sz´ els˝ o´ ert´ ekhelye? ¨ ggv´ 8.178.

f (x, y) = x3

8.179.

f (x, y) = x2

8.180.

f (x, y) = x2 − y 2

8.181.

f (x, y) = x2 + y 2

8.182.

f (x, y) = (x + y)2

8.183.

f (x, y) = x3 + y 3

8.184.

f (x, y) = e−(x

+y 2 )

8.185.

f (x, y) = x2 + sin y

8.186.

f (x, y) = 3x2 + 5y 2

8.187.

f (x, y) =

8.188.

f (x, y) = xy

8.189.

f (x, y) = ey

8.190.

f (x, y, z) = xyz + x2 + y 2 + z 2

8.191.

f (x, y) = x3 − y 3

2

2 3 x + y 4 + xy 3 2

−x2

167


8.192.

f (x, y) = x4 + y 4

8.193.

f (x, y) = −2x2 − y 4

8.194.

f (x, y) = (2x − 5y)2

8.195.

f (x, y) = (1 + ey ) cos x − yey

Egy hegy felu et az F (x, y) = 30 − ¨ let´

x2

−

y2

fu eny ´ırja le. ¨ ggv´ 100 100 Adjuk meg a kir´ andul´ oo sv´ e ny legmagasabb pontj´ a t, ha az o eny ¨ ¨sv´ pontjainak koordin´ at´ ai kiel´ eg´ıtik a ko vetkez˝ o felt´ e teleket: ¨ 8.196. 3x + 3y = π sin x + π sin y 8.197. 8.198. y =

1 1 + x2

8.199.

4x2 + 9y 2 = 36 x2 + y 2 = 25

Hat´ arozzuk meg f maximum´ at a megadott felt´ etel mellett! 8.200.

f (x, y) = xy,

x2 + y 2 = 1

8.201.

f (x, y, z) = x − y + 3z,

x2 +

8.202.

f (x, y, z) = xyz,

x2 + y 2 + z 2 = 3

8.203.

f (x, y) = xy,

x+y+z =5

8.204.

f (x, y) = xyz,

xy + yz + xz = 8

8.205.

f (x, y) = xyz,

xy + yz + xz = 8,

8.206.

Egy részecske az x2 + y 2 = 25 körpályán mozoghat azon a s´ıkon, ahol az (x, y) pontban az energiája E(x, y) = x2 + 24xy + 8. Van-e a részecskének stabil egyens´ ulyi helyzete?

8.207.

Egy u artott termék mennyisége az x és y paraméterekt˝ol ¨zemben a gy´ f¨ ugg: M (x, y) = xy. A termelési költség C(x, y) = 2x + 3y. Legfeljebb mennyi terméket gy´ arthat az u ¨zem, ha C(x, y) = 10 egységnyi pénze van a termelés k¨ oltségeire?

y2 z2 + =1 2 3

x, y, z ≥ 0


168

8.208.

Adott térfogat´ u tégl´ ak köz¨ ul melyiknek a legkisebb a felsz´ıne?

8.209.

Hat´ arozzuk meg annak a háromszögnek a szögeit, amelynek a ker¨ ulete K, és a ter¨ ulete maximális!

8.210.

Hat´ arozzuk meg a 3x2 +2y 2 +z 2 = 9 egyenlet˝ u ellipszoidot az (1, −1, 2) pontban érint˝ o s´ık egyenletét!

8.211.

Legyen P = (3, −7, −1), Q = (5, −3, 5), S pedig az a Q-n átmen˝o s´ık, amelyik mer˝ oleges a P Q szakaszra! (a) Írjuk fel az S s´ık egyenletét! (b) Írjuk fel a s´ık egy pontjának és az origónak a távolságát! (c) Melyik pontja van az S s´ıknak legközelebb az origóhoz? (d) Mutassuk meg, hogy az el˝obb kapott pontot az origóval összeköt˝o szakasz mer˝ oleges az S s´ıkra! Magyarázzuk meg geometriailag is, hogy ez miért van ´ıgy!

9. fejezet To altoz´ os Riemann-integr´ al ¨bbv´ 9.1. Jordan-m´ erhet˝ o halmazok tulajdons´ agai. — Ha A ⊂ Rn korl´ atos, akkor b(A) = b(int A), k(A) = k A . — Az A ⊂ Rn korl´ atos halmaz akkor és csak akkor Jordan-mérhet˝o, ha hat´ ara nullmérték˝ u. — Ha A ⊂ Rn Jordan-mérhet˝o, és f : A → R korlátos, akkor f pontosan akkor integr´ alhat´ o, ha graf f ⊂ Rn+1 nullmérték˝ u. 9.2. Az integr´ al tulajdons´ agai. Z — Ha A Jordan-mérhet˝ o halmaz, akkor t(A) =

χA , ahol χA az A halA

maz karakterisztikus fu enye, ¨ ggv´ 1 ha x ∈ A χA (x) = 0 ha x ∈ /A — Ha A és B két korl´ atos halmaz, int A ∩ int B = ∅ (egym´ asba nem ny´ ul´ o halmazok), f integrálható A-n és B-n is, akkor f integrálható a C = A ∪ B halmazon és Z Z Z f = f + f. C

A

B

— Mérhet˝ o z´ art halmazon folytonos f¨ uggvény integrálható. — Ha f és g egy nullmérték˝ u halmazt kivéve megegyezik a mérhet˝o A halmazon, és f integr´ alható A-n, akkor g is integrálható A-n, és Z Z f = g. A

A

170

´ ltozo ´ s Riemann-integra ´l 9. T¨ obbva

— Ha f és g integr´ alhat´ o az A halmazon, c pedig egy tetsz˝oleges valós sz´ am, akkor f + g és c · f is integrálható, és Z Z Z Z Z (f + g) = f + g, (c · f ) = c f. A

A

A

A

A

9.3. Integr´ al´ asi m´ odszerek. — Szukcessz´ıv integr´ al´ as - Fubini-t´ etel. Legyen A ⊂ Rn−1 egy zárt Jordan-mérhet˝o halmaz, B = [a, b]×A ⊂ Rn és f : B → R folytonos, akkor Zb

ZZ f (x, y) dx dy =

a

B

  Z  f (x, y) dy  dx A

— Integr´ al´ as norm´ altartom´ anyon. Legyen A ⊂ Rn−1 egy zárt Jordan-mérhet˝o halmaz, ϕ : A → R, ψ : A → R két folytonos f¨ uggvény, ϕ ≤ ψ az A pontjaiban, N = {(x, y) : x ∈ A, ϕ(x) ≤ y ≤ ψ(x)} ⊂ Rn ,

f :N →R

folytonos f¨ uggvény. Ekkor N Jordan-mérhet˝o, f integrálható N -en, és   ψ(x) ZZ Z Z   f (x, y) dy  dx. f (x, y) dx dy =  N

A

ϕ(x)

— Integr´ altranszform´ aci´ o. Legyen A ⊂ Rn z´ art Jordan-mérhet˝o halmaz, Φ : A → Rn folytonos, int A-n egy-egy értelm˝ u és folytonosan deriválható, B = {Φ(x) : x ∈ A} = Ψ(A), valamint f : B → R folytonos f¨ uggvény. Ekkor B (zárt) Jordan-mérhet˝ o halmaz, és Z Z f (y) dy = |J| f (Ψ(x)) dx, B

A

ahol J = det(Ψ0 ) a Ψ leképezés Jacobi-determin´ ansa.


171

9.1. Jordan-m´ ert´ ek Van-e teru o s´ıkbeli halmazok hat´ ar´ anak? Ha igen, ¨ lete a ko ¨vetkez˝ hat´ arozzuk meg a teru let´ e t! ¨ 9.1.

H = {(x, y) : 0 ≤ x < 1, 0 < y ≤ 1}

9.2.

H = {(x, y) : x ∈ Q, y ∈ Q, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}

Van-e t´ erfogata a k¨ ovetkez˝ o t´ erbeli halmazok hat´ ar´ anak? Ha igen, hat´ arozzuk meg a t´ erfogat´ at! 9.3.

H = {(x, y, z) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1}

9.4.

H = {(x, y, z) : x ∈ Q, y ∈ Q, z ∈ Q, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1}

Hat´ arozzuk meg a k¨ ovetkez˝ o s´ıkbeli halmazok ku o´ es bels˝ o teru ¨ ls˝ ¨let´ et! Melyik halmaz m´ erhet˝ o? 9.5.

H = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}

9.6.

H = {(x, y) : 0 ≤ x < 1, 0 < y ≤ 1}

9.7.

H = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x}

9.8.

H = {(x, y) : x ∈ Q, y ∈ Q, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}

Hat´ arozzuk meg a ko o t´ erbeli halmazok ku o´ es bels˝ o m´ er¨vetkez˝ ¨ ls˝ t´ ek´ et! Melyik halmaz m´ erhet˝ o? 9.9.

H = {(x, y, z) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1}

9.10.

H = {(x, y, z) : 0 ≤ x < 1, 0 < y < 1, 0 < z < 1}

9.11.

H = {(x, y, z) : 0 < x < 1, 0 < y < 1, 0 < z < x + y}

172


9.12.

H = {(x, y, z) : x ∈ Q, y ∈ Q, z ∈ Q, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1}

9.13.

Bizony´ıtsuk be, hogy egy korlátos halmaz pontosan akkor mérhet˝o, ha a hat´ ar´ anak a mértéke 0.

9.14.

Bizony´ıtsuk be, hogy ha a H1 és H2 halmazok mérhet˝ok, akkor a H1 ∪ H2 , H1 \ H2 , H1 ∩ H2 halmazok is mérhet˝ok!

9.15.

Van-e olyan korl´ atos A és B s´ıkbeli halmaz, amelyikre teljes¨ ul, hogy (a) b(A ∪ B) > b(A) + b(B)?

9.16.

(b) k(A ∪ B) < k(A) + k(B)?

Van-e olyan korl´ atos és diszjunkt A és B s´ıkbeli halmaz, amelyikre teljes¨ ul, hogy (a) b(A ∪ B) > b(A) + b(B)?

(b) k(A ∪ B) < k(A) + k(B)?

9.17.

Tegy¨ uk fel, hogy a korlátos H halmaz határának a ter¨ ulete 0. Következike ebb˝ ol, hogy a H halmaz belseje u ¨res?

9.18.

Tegy¨ uk fel, hogy a korlátos H halmaz belseje u ¨res. Következik-e ebb˝ol, hogy a H halmaz mérhet˝o?

9.19.

Legyen R egy tengelypárhuzamos tégla, és legyen H ⊂ R tetsz˝oleges halmaz. Bizony´ıtsuk be, hogy b(H) + k(R \ H) = t(R)!

9.20.

Legyen R egy tengelypárhuzamos tégla, és legyen H ⊂ R tetsz˝oleges halmaz. Bizony´ıtsuk be, hogy H pontosan akkor mérhet˝o, ha k(H) + k(R \ H) = t(R)!

9.21.

Van-e olyan korl´ atos H halmaz, amelyikre teljes¨ ul, hogy

9.22.

(a) k(H) > b(H)

(b) k(H) < b(H)

(c) t(∂H) > b(H)

(d) t(∂H) > k(H)?

Van-e olyan mérhet˝ o H halmaz, amelyikre teljes¨ ul, hogy

173


(a) k(H) > b(H)

(b) t(∂H) = 1?

9.23.

Tegy¨ uk fel, hogy H korlátos halmaz. Igaz-e, hogy ha H mérhet˝o, akkor H ∪ ∂H is mérhet˝ o?

9.24.

Legyen Kn az orig´ o középpont´ u, 1/n sugar´ u körvonal a s´ıkban! Hatá∞ [ rozzuk meg az Kn halmaz ter¨ uletét! n=1

9.25.

Legyen Kn az (1/n, 1/n) középpont´ u, 1/n sugar´ u körvonal a s´ıkban! S∞ Hat´ arozzuk meg az n=1 Kn halmaz ter¨ uletét!

9.26.

Legyen f : [a, b] → R korlátos f¨ uggvény, és Gf = {(x, y) : a ≤ x ≤ b, y = f (x)}, a f¨ uggvény grafikonja. Bizony´ıtsuk be, hogy Gf pontosan akkor Jordan-mérhet˝ o, ha f integrálható!

9.27.

Sz´ amoljuk ki az egységnégyzet racionális pontjaiból álló halmaz bels˝o, illetve k¨ uls˝ o mértékét.

9.28.

Adjunk meg a s´ıkban egy korlátos ny´ılt halmazt, amelynek nincs Jordanter¨ ulete.

9.29.

Adjunk meg a s´ıkban korlátos zárt halmazt, amelynek nincs Jordanter¨ ulete.

9.30.

Bizony´ıtsuk be, hogy tetsz˝oleges korlátos A ⊂ Rn halmazra b(A) = 0 ⇐⇒ int A = ∅.

9.31.

Bizony´ıtsuk be, hogy ha A ⊂ Rn Jordan-mérhet˝o, akkor ∀ ε > 0 ∃ K ⊂ A z´ art, és ∃ G ⊃ A ny´ılt mérhet˝o halmaz u ´gy, hogy t(A) − ε < t(K) ≤ t(A) ≤ t(G) < t(A) + ε.

9.32.

Legyen C ⊂ R a Cantor-halmaz. H = C ×[0, 1] ⊂ R2 . Jordan-mérhet˝oe H, és ha igen, mennyi a ter¨ ulete?

9.33.

Legyen H = vonal.

S∞

n=1

Kn , ahol Kn az origó középpont´ u, 1/n sugar´ u kör-

174


(a) Mérhet˝ o halmaz H? (b) Van-e olyan S ⊂ R2 (mérhet˝o) halmaz, amelyre ∂ S = H? (c) Van-e olyan S ⊂ R2 (mérhet˝o) halmaz, amelyre ∂ S ⊃ H?

9.2. T¨ obbv´ altoz´ os Riemann-integr´ al 9.34.

Legyen H = [−1, 1] × [0, 1], és ( |x|, f (x, y) = 0, Z1 Mutassuk meg, hogy



0



Z1



ha y ∈ Q ha y ∈ /Q

f (x, y) dx dy = 0, és hogy f nem integ-

−1

r´ alhat´ o H-n! 9.35.

Legyen H = {x2 + y 2 ≤ 1}, és ( f (x, y) =

1, −1,

ha x ≥ 0 ha x < 0

Sz´ am´ıtsuk ki f als´ o és fels˝o integrálját a H halmazon! Integrálható-e f a H halmazon? Integr´ alhat´ ok-e az N = [0, 1] × [0, 1] egys´ egn´ egyzeten a k¨ ovetkez˝ o fu enyek? Ha igen, sz´ am´ıtsuk ki az integr´ al ´ ert´ ek´ et! ¨ ggv´ ( 0, ha y > x 9.36. f (x, y) = 1, ha y ≤ x ( 1, ha y ≥ x 9.37. f (x, y) = 0, ha y < x ( 0, ha xy 6= 0 9.38. f (x, y) = 1, ha xy = 0 ( 1, ha x, y ∈ Q 9.39. f (x, y) = 0, egyébként

175


9.40.

9.41.

9.42.

9.43.

(

1, 2,

ha x ≥ 1/2 ha x < 1/2

(

1, 2,

ha y ≥ 1/2 ha y < 1/2

f (x, y) =

f (x, y) =

( 1, ha t ∈ Q f (x, y) = D(x)D(y), ahol D(t) = a Dirichlet-f¨ uggvény. 0, ha t ∈ /Q n ha x + y = 1/n, n ∈ N+ Legyen f (x, y) = . 0 egyébként Mutassuk meg, hogy f nem integrálható az N egységnégyzeten, de     Z1 Z1 Z1 Z1  f (x, y) dy  dx = 0.  f (x, y) dx dy = 0 és 0

0

0

0

Sz´ am´ıtsuk ki az N = [0, 1] × [0, 1] halmazon a k¨ ovetkez˝ o teru ¨ leti integr´ alokat! Alkalmazzuk Fubini t´ etel´ et! ZZ ZZ 9.44. 9.45. sin x dx dy sin y dx dy

9.46.

9.48.

N

N

ZZ

ZZ

sin(x + y) dx dy

9.47.

sin xy dx dy

N

N

ZZ

ZZ

e2x+y dx dy

9.49.

N

xy dx dy N

Legyen N = [0, 1]2 ⊂ R2 az egys´ egn´ egyzet. Integr´ aljuk N -en a k¨ ovetkez˝ o f (x, y) fu enyeket: ¨ ggv´ √ 9.50. 9.51. f (x, y) = x f (x, y) = x3 − x2 y + y 9.52.

f (x, y) = ex+2y

9.53.

f (x, y) = xexy

176


9.54.

f (x, y) =

9.56.

f (x, y) =

9.57.

f (x, y) =

1 ha x = y 0 ha x 6= y

9.55.

f (x, y) =

1 0

ha x + y = 1 egyébként

1 0

ha x = 1/n, n ∈ N+ egyébként

1 0

ha x = y ha x < y

Hat´ arozzuk meg a k¨ ovetkez˝ o teru alokat a megadott t´ eg¨ leti integr´ lalapokon: ZZ 9.58. (x + y) dx dy T : 0 ≤ x ≤ 1, 1 ≤ y ≤ 3 T

9.59.

ZZ xy dx dy

T : 0 ≤ x ≤ 1, 1 ≤ y ≤ 3

ex+y dx dy

T : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1

xey dx dy

T : 1 ≤ x ≤ 2, 3 ≤ y ≤ 4

x dx dy y

T : 1 ≤ x ≤ 2, 3 ≤ y ≤ 4

x sin y dx dy

T : 0 ≤ x ≤ 1, 2 ≤ y ≤ 3

T

9.60.

ZZ T

9.61.

ZZ T

9.62.

ZZ T

9.63.

ZZ T

Sz´ am´ıtsuk ki a H = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ π/2, 0 ≤ y ≤ sin x} halmazon a k¨ ovetkez˝ o teru alokat! Alkalmazzuk Fubini t´ etel´ et! ¨ leti integr´ ZZ ZZ 9.64. 9.65. (x − y) dx dy xy dx dy

9.66.

H

H

ZZ

ZZ

y sin x dx dy H

9.67.

H

x p dx dy 1 + y2

Hat´ arozzuk meg a k¨ ovetkez˝ o teru alokat a megadott hal¨ leti integr´ mazokon:

177


9.68.

ZZ (x + y) dx dy

T : x2 + y 2 ≤ 1

xy dx dy

T : (x − 1)2 + (y + 1)2 ≤ 4

xy dx dy

T :

(x − xy) dx dy

T : (x − 2)2 + (y + 3)2 ≤ 4

T

9.69.

ZZ T

9.70.

ZZ

(x − 1)2 + y 2 = 1 (x − 2)2 + y 2 = 4

körök által határolt tartomány.

T

9.71.

ZZ T

9.72.

ZZ

2

e−x dx dy

T : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x

T

9.73.

ZZ

(x2 + y 2 )3/2 dx dy T : x2 + y 2 ≤ 1

T

Legyen T = [0, 1] × [0, 2] × [0, 3] ⊂ R3 . Sz´ amoljuk ki a k¨ ovetkez˝ o t´ erfogati integr´ alokat a T t´ egl´ an: ZZZ ZZZ 9.75. xyz dx dy dz 9.74. (x + y + z) dx dy dz

9.76.

T

T

ZZZ

ZZZ

ex+y+z dx dy dz

9.77.

T

(xz + y 2 ) dx dy dz

T

Hat´ arozzuk meg a k¨ ovetkez˝ o g¨ orb´ ek ´ altal hat´ arolt s´ıkidomok teru ¨let´ et! 9.78.

y = x2 ,

x = y2

9.79.

y = 2x − x2 ,

y = x2

9.80.

2y = x2 ,

y=x

9.81.

4y = x2 − 4x,

x−y−3=0

9.82.

y = x2 , y = 2x2 , xy = 1, xy = 2

9.83.

x2 − y 2 = 1, x2 − y 2 = 4, xy = 1, xy = 2


178

p 1 − x2 } halmaz

9.84.

Hat´ arozzuk meg a H = {(x, y) : −1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ ter¨ uletét!

9.85.

Sz´ amoljuk ki az y = x2 , y = 2x2 parabolák és az x = 1 egyenes által hat´ arolt s´ıkidom ter¨ uletét.

9.86.

Sz´ amoljuk ki az x2 + y 2 = 1 hengerpal´ ast és az x+y+z = 2, z = 0 s´ıkok ´ altal hat´ arolt test térfogat´ at. A keresett test:

9.87.

Sz´ amoljuk ki az x2 + y 2 = 1 hengerpal´ ast és az x+y+z = 1, z = 0 s´ıkok ´ altal hat´ arolt test térfogat´ at. A keresett test:

9.88.

9.89.

x2 y2 − f¨ uggvény grafikonja alatti test 2 2 térfogat´ at a H halmaz felett, ha H = [0, 1] × [0, 1]! Sz´ am´ıtsuk ki az f (x, y) = 1 −

Sz´ am´ıtsuk ki az f (x, y) = x+y f¨ uggvény grafikonja alatti test térfogatát a H halmaz felett, ha H = {0 ≤ x + y ≤ 1, 0 ≤ x, 0 ≤ y}!

Rajzoljuk le azt a testet, amelyiknek a t´ erfogat´ at az adott integr´ allal sz´ amolhatjuk ki! Sz´ am´ıtsuk ki a t´ erfogatokat!

179


9.90.

ZZ

2

x +y

2

dy dx

Z1

9.91.

|x|+|y|≤1

0

 1−x  Z  x2 + y 2 dy  dx 0

Sz´ am´ıtsuk ki a k¨ ovetkez˝ o felu altal hat´ arolt testek t´ erfogat´ at! ¨ letek ´ 9.92.

x + y + z = 6,

x = 0,

9.93.

x − y + z = 6,

x + y = 2,

9.94.

z = 1 − x2 − y 2 ,

9.95.

z = cos x cos y,

z = 0,

x + 2y = 4

x = y,

y = 0,

z=0

x2 + y 2 ≤ 1 |x + y| ≤

π , 2

z=0

Sz´ am´ıtsuk ki a k¨ ovetkez˝ o testek t´ erfogat´ at! 9.96.

g¨ omb

9.97.

ellipszoid

9.98.

k¨ orhenger

9.99.

forgásk´ up

Tegyu anyt %(x, y) s˝ ur˝ us´ eg˝ u anyag ¨ k fel, hogy a H s´ıkbeli tartom´ to lti ki. Ekkor a test t o mege: ¨ ¨ ZZ M = %(x, y) dx dy, H

a test t¨ omegk¨ oz´ eppontj´ anak a koordin´ at´ ai pedig ZZ ZZ 1 1 Sx = x%(x, y) dx dy, Sy = y%(x, y) dx dy. M M H

H

Hat´ arozzuk meg a t¨ omegk¨ oz´ eppont koordin´ at´ ait, ha H = [0, 1] × [0, 1] ´ es, 9.100.

%(x, y) = x2

9.101.

%(x, y) = x + y

180


9.102.

9.103.

%(x, y) = xy

%(x, y) = x2 + y 2

Hat´ arozzuk meg annak a k´ etdimenzi´ os testnek a t¨ omegk¨ oz´ eppontj´ at, amelyiket az y = 0, x = 2, y = 1, y = x egyenesek hat´ arolnak, ´ es amelyiknek a s˝ ur˝ us´ ege 9.104.

%(x, y) = 1

9.105.

%(x, y) = x

9.106.

%(x, y) = y

9.107.

%(x, y) = xy

9.108.

%(x, y) =

9.109.

%(x, y) = ex+y

1 x + y3

Az xy s´ıkban lev˝ o test tehetetlens´ egi nyomat´ eka a z tengelyre n´ ezve ZZ Θ= r 2 (x, y)%(x, y) dx dy, H

ahol r(x, y) az (x, y) pont t´ avols´ aga a z tengelyt˝ ol. Hat´ arozzuk meg a % s˝ ur˝ us´ eg˝ u, egys´ egoldal´ u n´ egyzet z tengelyre vonatkoz´ o tehetetlens´ egi nyomat´ ek´ at, ha a n´ egyzet egyik cs´ ucsa ´ er hozz´ a a z tengelyhez! 9.110.

%(x, y) = 1

9.111.

9.112.

Hat´ arozzuk meg az el˝ oz˝o két feladatban szerepl˝o négyzetek tehetetlenségi nyomaték´ at az z tengelyre vonatkozóan, ha a négyzet egyik oldal´ anak a felez˝ opontja ér hozzá a z tengelyhez!

9.113.

Egy vékony lemezt az y = 0, x = 1 és az y = 2x egyenesek határolnak. A lemez s˝ ur˝ usége %(x, y) = 6x + 6y + 6. Határozzuk meg a test tömegét és tömegközéppontj´ anak koordin´ at´ ait!

9.114.

Egy test az els˝ o térnyolcadban van, a koordinátas´ıkok és az x+y+z = 2 s´ık hat´ arolja, a s˝ ur˝ usége pedig %(x, y, z) = 2x. Határozzuk meg a test t¨ omegét és t¨ omegk¨ ozéppontjának koordinátáit!

%(x, y) = xy

181


9.115.

Egy 1 méter mély g¨ od¨ orb˝ol a felsz´ınre szivatty´ uzzuk a vizet. Mennyi munk´ at végz¨ unk a gravitáció ellenében, ha a gödör (a) kocka alak´ u,

(b) félgömb alak´ u?

10. fejezet Vonalintegr´ al ´ es primit´ıv fu eny ¨ ggv´ ´ 10.1. Erint˝ oegyenes. Az r (t) térgörbe érint˝ojének egyenlete az r 0 = r (t0 ) pontban r = r 0 + v · t, ahol v = r˙ (t0 ) az érint˝ oegyenes irányvektora. 10.2. S´ık ´ es t´ ergo ¨rbe ´ıvhossza. — Ha az r : [a, b] → R2 s´ıkgörbe folytonosan deriválható, akkor rektifik´ alhat´ o, és ´ıvhossza Zb |r˙ | dt =

L= a

Zb p

x˙ 2 + y˙ 2 dt.

a

— Ha f : [a, b] → R folytonosan deriválható, akkor grafikonja rektifikálhat´ o, és ´ıvhossza Zb p L= 1 + (f 0 )2 dx. a

— Ha az r : [a, b] → R3 térgörbe folytonosan deriválható, akkor rektifik´ alhat´ o, és ´ıvhossza Zb |r˙ | dt =

L= a

Zb p

x˙ 2 + y˙ 2 + z˙ 2 dt.

a

´ 10.3. Erint˝ os´ık. Az r (u, v) fel¨ ulet érint˝os´ıkjának egyenlete az r 0 = r (u0 , v0 ) pontban n · r = n · r0 ahol n = r 0u (u0 , v0 ) × r 0v (u0 , v0 ) az érint˝os´ık normálisa.

´l e ´s primit´ıv f¨ ńy 10. Vonalintegra uggve

183

Speci´ alisan a z = f (x, y) grafikonjának érint˝os´ıkja az (x0 , y0 ) pont felett z = f (x0 , y0 ) + fx0 (x0 , y0 )(x − x0 ) + fy0 (x0 , y0 )(y − y0 ) 10.4. Felsz´ın. Ha az r : A → R3 fel¨ ulet folytonosan deriválható, akkor a fel¨ uletnek van (véges) felsz´ıne, és ZZ S= |r 0u × r 0v | du dv. A

Speci´ alisan a z = f (x, y) folytonosan deriválható f¨ uggvény grafikonjának felsz´ıne az A mérhet˝ o s´ıkidom felett ZZ q 1 + (zx0 )2 + (zy0 )2 dx dy. S= A

10.5. Vonalintegr´ al kisz´ amol´ asa. Ha v = v1 (x, y, z) · i + v2 (x, y, z) · j + v3 (x, y, z) · k vektormez˝ o folytonos a G tartományon, r : [a, b] → G, r (t) = x(t)·i +y(t)·j +z(t)·k folytonosan deriválható, akkor v vonalmenti integrálja létezik a Γ : r (t) g¨ orbe mentén, és Zb

Z

v (r (t)) · r˙ (t) dt.

v dr = Γ

a

Koordin´ at´ akkal ki´ırva Z v1 (x, y, z) dx + v2 (x, y, z) dy + v3 (x, y, z) dz = Γ

Zb =

[v1 (x, y, z)x˙ + v2 (x, y, z)y˙ + v3 (x, y, z)z] ˙ dt. a

Hasonl´ oan, s´ıkbeli vektormez˝o és görbe esetén Zb

Z v1 (x, y) dx + v2 (x, y) dy = Γ

[v1 (x, y)x˙ + v2 (x, y)y] ˙ dt. a

184


10.6. Konzervat´ıv vektort´ er. — A v vektormez˝ o pontosan akkor konzervat´ıv a G tartományon, ha minden G-ben fekv˝ o z´ art rektifikálható Γ görbén I v dr = 0, Γ

azaz minden k¨ orintegr´ al nulla. — Newton-Leibniz-formula vonalintegrálokra. Ha a v vektortér konzervat´ıv a G tartományon és U (r ) egy primit´ıv f¨ uggvénye G-n, Γ egy folytonosan deriválható G-beli görbe az a kezd˝o és b végpontokkal, akkor Z v dr = U (b ) − U (a ). Γ

— Ha a v vektormez˝ o konzervat´ıv és folytonosan deriválható a G tartom´ anyon, akkor rot v = 0 , azaz a keresztbe vett deriváltak megegyeznek, ¨ orv´ enymentes a vektormez˝ o. — Ha a v vektormez˝ o folytonosan deriválható az egyszeresen ¨ osszefu ¨ gg˝ o G tartom´ anyon, és G pontjaiban rot v = 0 , akkor v konzervat´ıv.

10.1. S´ık ´ es t´ ergo ek ¨rb´ ´ azoljuk a ko Abr´ o s´ıkgo eket! ¨vetkez˝ ¨rb´ 10.1.

r = t · i + t2 · j

10.2.

t ∈ [0, 4] 10.3.

r =

√

t·i +t·j

t ∈ [0, 16]

r = t2 · i + t · j t ∈ [0, 16]

10.4.

r =t·i + t ∈ [0, 4]

√

t·j


10.5.

r = 2t · i + 4t2 · j

10.6.

t ∈ [0, 2] 10.7.

r = cos t · i + sin t · j

t ∈ [0, 4] 10.8.

t ∈ [0, 2π] 10.9.

r = cos t · i + sin t · j

r = 4 cos t · i + 2 sin t · j

10.10.

r = t cos t · i + sin t · j

10.12.

10.14.

´ azoljuk a k¨ Abr´ ovetkez˝ o t´ erg¨ orb´ eket! r = t · i + 2t · j + 3t · k t ∈ [2, 4] 10.16.

r = −2t · i + t · j − (t/3) · k t ∈ [2, 4]

10.17.

r = cos t · i + sin t · j + t · k t ∈ [0, 6π]

10.18.

r = t · i + sin t · j + cos t · k t ∈ [0, 6π]

10.19.

r = 2 sin t · i − t2 · j + cos t · k t ∈ [2, 6π]

10.20.

r = t cos t · i + t sin t · j + t · k t ∈ [2, 6π]

r = cos t · i + t sin t · j t ∈ [0, 2π]

t ∈ [0, 6π]

10.15.

r = 2 cos t · i + 4 sin t · j t ∈ [0, 2π]

t ∈ [π/2, 3π/2] 10.13.

r = cos t · i + sin t · j t ∈ [0, π]

t ∈ [−π/2, π/2] 10.11.

r = t2 · i + t2 · j

r = t cos t · i + t sin t · j t ∈ [0, 4π]

185

186


10.21.

Adjunk meg olyan g¨ orbét, amelyik (a) egy hengerre felcsavarodó spirál; (b) egy k´ upra felcsavarodó spirál!

10.22.

Sz´ amoljuk ki az el˝ oz˝ o görbék ´ıvhosszát, ha adott a henger, illetve k´ up alapk¨ orének a sugara, továbbá a henger és a k´ up magassága!

V´ azoljuk a k¨ ovetkez˝ o s´ıkg¨ orb´ eket! ´ Irjuk fel az ´ erint˝ ok egyenlet´ et t = π/4-ben! 10.23.

r (t) = 2 cos t · i + 3 sin t · j

t ∈ [0, 8π]

10.24.

r (t) = t cos t · i + t sin t · j

t ∈ [0, 8π]

´ Irjuk fel a ko o s´ıkgo ek ´ erint˝ oit a megadott P pontokban! ¨vetkez˝ ¨rb´ 10.25.

x2 − xy 3 + y 5 = 17

P (5, 2)

10.26.

(x2 + y 2 )2 = 3x2 y − y 3

P (0, 0)

Sz´ amoljuk ki a k¨ ovetkez˝ o t´ erg¨ orb´ ek ´ erint˝ oinek egyenlet´ et a megadott helyeken: 10.27.

r (t) = (t−3)·i +(t2 +1)·j +t2 ·k t = 2

10.28.

r (t) = sin t · i + cos t · j +

1 ·k p = j + k cos t

Hat´ arozzuk meg az al´ abbi s´ıkg¨ orb´ ek ´ıvhossz´ at: 10.29.

(ciklois) x = r(t − sin t) y = r(1 − cos t)

10.30.

0 ≤ t ≤ 2π

(arkhimédészi spir´ alis) r = aϕ

0 ≤ ϕ ≤ 2π

187


10.31.

y=

√

0≤x≤a

x

10.2. Skal´ ar-, ´ es vektormez˝ ok, differenci´ aloper´ atorok 10.32.

Milyen geometriai transzformációnak felel meg a s´ıkon az x y f (x, y) = ,− 2 x2 + y 2 x + y2 leképezés?

Adjunk meg olyan f : R2 → R2 lek´ epez´ eseket, amelyeknek H az ´ ertelmez´ esi tartom´ anya, ´ es K az ´ ert´ ekk´ eszlete! 10.33.

H = {(x, y) : 0 < x < 1, 0 < y < 1} K = {(x, y) : 0 < x < 2, 0 < y < 4}

10.34.

H = {(x, y) : 0 < x < 1, 0 < y < 1, x + y < 1} K = {(x, y) : 0 < x < 1, 0 < y < 1}

10.35.

H = {(x, y) : 0 < x ≤ 1, y = 0} K = {(x, y) : x2 + y 2 = 1}

10.36.

H = {(x, y) : 0 < x < 1, 0 < y < 2} K = {(x, y) : x2 + y 2 < 1}

Hat´ arozzuk meg grad f = ∇f -et, ha 10.37.

f (x, y) = x2 − y 2

10.39.

f (x, y) = x4 − 6x2 y 2 + y 4 10.40.

10.38.

f (x, y) = x2 + y 2 f (x, y) =

p

x2 + y 2

´ Irjuk fel a k¨ ovetkez˝ o fu enyek gradiens´ et a megadott pontokban! ¨ ggv´ 10.41.

f (x, y) = x2 sin y

p = (π/3, −π/4)

188


√

p = (e2 , e4 )

10.42.

f (x, y) =

10.43.

f (x, y, z) = x + xy 2 + x2 z 3

p = (2, −1, 1)

10.44.

f (x, y, z) = x sin y + z 2 cos y

p = (π/2, π/6)

x ln xy

Sz´ amoljuk ki a k¨ ovetkez˝ o skal´ armez˝ ok gradiens´ et, itt ’a ’ egy r¨ ogz´ıtett ´ alland´ o vektort jel¨ ol, ’r ’ pedig egy t´ erbeli vektorv´ altoz´ ot: 10.45.

U (r ) = a · r

10.47.

U (r ) = r 2 +

1 r2

10.46.

U (r ) = |a × r |

10.48.

U (r ) =

a2 r2

Hat´ arozzuk meg az al´ abbi felu erint˝ os´ıkj´ at az adott helyeken: ¨ letek ´ 10.49.

r = (u2 − v) · i + (u − v 3 ) · j − (u + v·)k ;

u = 1, v = 2

10.50.

z = x2 + y 2 ;

x = 1, y = 2

Sz´ amoljuk ki az al´ abbi felu et: ¨ letdarabok felsz´ın´ 10.51.

r = u cos v · i + u sin v · j + u · k

10.52.

z=

x2 2y

0 ≤ u ≤ 1; 0 ≤ v ≤ π 0 ≤ x ≤ 1; 1 ≤ y ≤ 2

10.3. Vonalintegr´ al Legyen v = (x + y) · i + (x − y) · j . Sz´ am´ıtsuk ki v vonalintegr´ alj´ at a ko o s´ıkgo eken! ¨vetkez˝ ¨rb´ 10.53. 10.54.

Γ:t·i t ∈ [0, 1] ( t · i + (t + 1) · j , ha t ∈ [−1, 0] Γ: t · i + (−t + 1) · j , ha t ∈ (0, 1]


10.55.

Γ : cos t · i + sin t · j

10.56.

 (1 + cos t) · i + sin t · j , ha t ∈ [0, π] Γ: t−π  · i, ha t ∈ (π, 2π] π

189

t ∈ [0, π]

Legyen v = (x2 − 2xy) · i + (y 2 − 2xy) · j . Sz´ am´ıtsuk ki v vonalintegr´ alj´ at a k¨ ovetkez˝ o g¨ orb´ eken! 10.57.

Γ : t · i + t2 · j

t ∈ [−1, 1]

10.58.

Γ:t·i +j

t ∈ [−1, 1]

Legyen a Γ1 g¨ orbe az A(0, 0) ´ es B(1, 1) pontokat ¨ osszek¨ ot˝ o egyenes szakasz, Γ2 pedig az A(0, 0) ´ es B(1, 1) pontokat ¨ osszek¨ ot˝ o parabola´ıv, m´ egpedig az y = x2 fu eny grafikonja 0 ´ es 1 k¨ oz¨ ott. Sz´ am´ıt¨ ggv´ suk ki ezeken a g¨ orb´ eken a k¨ ovetkez˝ o lek´ epez´ esek vonalintegr´ alj´ at!

10.59.

v = (x − y) · i + (x + y) · j

10.60.

v =x·i +y·j

10.61.

v =y·i +x·j

10.62.

v = (x2 + y 2 ) · i + (x2 − y 2 ) · j

Legyen a Γ g¨ orbe az A(0, 0), B(1, 0) ´ es a C(0, 1) pontokat ¨ osszek¨ ot˝ o t¨ or¨ ottvonal. Sz´ am´ıtsuk ki ezen a g¨ orb´ en a k¨ ovetkez˝ o lek´ epez´ esek vonalintegr´ alj´ at! 10.63.

v = −2x · i + y · j

10.64.

v = i + x2 · j

10.65.

v = y2 · i − j

10.66.

v = xy · i + (x + y) · j

190


10.67.

Legyen a Γ g¨ orbe az A(−2, 0) és a B(1, 0) pontokat o¨sszeköt˝o egyenes szakasz. Sz´ am´ıtsuk ki ezen a görbén az v =

1 2x3 − 3x ·i + 2 ·j x2 + y 2 x + y2

leképezés vonalintegr´ alját! Legyen v = (x + y) · i + (y + z) · j + (z + x) · k . Sz´ am´ıtsuk ki v vonalintegr´ alj´ at a k¨ ovetkez˝ o g¨ orb´ eken! 10.68.

Γ : t · i + 2t · j + 3t · k

t ∈ [0, 1]

10.69.

Γ : t · i + t2 · j

t ∈ [1, 2]

10.70.

Γ : cos t · i + sin t · j + t · k

t ∈ [0, π]

10.71.

Γ : cos t · i + sin t · j + t · k

t ∈ [π, 2π]

Legyen a Γ g¨ orbe az A(0, 0, 0) ´ es B(1, 1, 1) pontokat ¨ osszek¨ ot˝ o egyenes szakasz. Sz´ am´ıtsuk ki ezen a g¨ orb´ en a k¨ ovetkez˝ o lek´ epez´ esek vonalintegr´ alj´ at! 10.72.

v = xz · i + yx · j + xy · k

10.73.

v = (x − y) · i + (x + y) · j + z · k

10.74.

v = xy · i + yz · j + xz · k

10.75.

v = y 2 · i + z 2 · j + x2 · k

10.76.

Legyen a Γ g¨ orbe az A(−2, 0, 1) és a B(1, 0, 3) pontokat összeköt˝o egyenes szakasz. Sz´ am´ıtsuk ki ezen a görbén a v =

1 z x ·i + 2 ·j + 2 ·k x2 + y 2 + z 2 x + y2 + z2 x + y2 + z2

leképezés vonalintegr´ alját!

191


Hat´ arozzuk meg az al´ abbi vonalintegr´ alokat: Z 10.77. (x2 − 2xy) dx + (y 2 − 2xy) dy Γ : y = x2

(−1 ≤ x ≤ 1)

C

10.78.

I (x + y) dx + (x − y) dy

Γ:

x2 y2 + =1 a2 b2

C

10.79.

(

Z y dx + z dy + x dz

C:

C

x = a cos t y = a sin t z = bt

0 ≤ t ≤ 2π

Van-e a k¨ ovetkez˝ o s´ıkbeli vektormez˝ oknek primit´ıv fu enye? Ha ¨ ggv´ igen, hat´ arozzuk meg ˝ oket! 10.80.

v =y·i +x·j

10.81.

v =x·i +y·j

10.82.

v = (x − y) · i + (y − x) · j

10.83.

v = (x4 + 4xy 3 ) · i + (6x2 y 2 − 5y 4 ) · j

10.84.

v = (x + y) · i + (x − y) · j

10.85.

v = ex · i + ey · j

10.86.

v = ey · i + ex · j

10.87.

v = ex cos y · i − ex sin y · j

10.88.

v = (x2 + y) · i + (x + ctg y) · j

10.89.

v = sin y · i + sin x · j

10.90.

v = cos xy · i + sin xy · j

10.91.

v = y sin xy · i + x sin xy · j


10.92.

v =

10.93.

v =

10.94.

v =

10.95.

v =

10.96.

v =

10.97.

x2

192

x y ·i + 2 ·j 2 +y x + y2

y x ·i − 2 ·j x2 + y 2 x + y2 x2

x y ·i + 2 ·j 2 +y x + y2

x y ·i − 2 ·j x2 + y 2 x + y2 y (x2

v =−

+

2 y2 )

·i +

y (x2

+

2 y2 )

x (x2

·i +

·j

2

+ y2 ) x

(x2

2

+ y2 )

·j

Sz´ am´ıtsuk ki a 10.80. ´ es 10.97. ko o lek´ e¨zo ¨tti feladatokban szerepl˝ pez´ esek vonalintegr´ alj´ at 10.98.

az orig´ o k¨ or¨ uli egységsugar´ u körön pozit´ıv irányban haladva;

10.99.

azon a négyzeten, amelynek cs´ ucspontjai A(−1, −1), B(1, −1), C(1, 1) és D(−1, 1), pozit´ıv ir´ anyban haladva végig a négyzet teljes ker¨ uletén.

Konzervat´ıvak-e k¨ ovetkez˝ o er˝ oterek az eg´ esz s´ıkon? Ha igen, adjunk meg egy potenci´ alfu enyt! ¨ ggv´ 10.100.

E = 9, 81 · j

10.101.

E = (y + x) · i + x · j

10.102.

E = (y + sgn x) · i + x · j

10.103.

E = (x + y) · i + (x + [y]) · j

10.104.

E = x · i + 2y · j

10.105.

E = (x2 − 2xy) · i + (y 2 − 2xy) · j

10.106.

E =−

y x ·i + 2 ·j x2 + y 2 x + y2


10.107.

E =

x (x2

+

3/2 y2 )

·i +

y (x2

+ y2 )

3/2

193

·j

Van-e a k¨ ovetkez˝ o t´ erbeli vektormez˝ oknek primit´ıv fu enye? Ha ¨ ggv´ igen, hat´ arozzuk meg ˝ oket! 10.108.

v = yz · i + xz · j + xy · k

10.109.

v = xy · i + yz · j + xz · k

10.110.

v = (x + y) · i + (z − y) · j + xz · k

10.111.

v =

10.112.

v = 2xy 3 z 4 · i + 3x2 y 2 z 4 · j + 4x2 y 3 z 3 · k

10.113.

v = 3xy 3 z 4 · i + 3x2 y 2 z 4 · j + x2 y 3 z 3 · k

10.114.

v = sin y · i + x cos y · j + 2z · k

10.115.

v = ex z sin y · i + ex z cos y · j + ex sin y · k

10.116.

A 10.108. és 10.115. közötti feladatokban szerepl˝o leképezések köz¨ ul melyeknek lesz biztosan 0 a vonalintegrálja bármely (3, 4, 5) középpont´ u, 1 sugar´ u k¨ orvonalon?

10.117.

Hat´ arozzuk meg az al´ abbi vonalintegrált, és ellen˝orizz¨ uk, hogy a keresztbe vett deriv´ altak megegyeznek: I y dx − x dy , Γ : x2 + y 2 = R 2 . x2 + y 2

−x2 + y 2 + z 2 x2 − y 2 + z 2 x2 + y 2 − z 2 ·i + 2 ·j + 2 ·k 2 2 2 2 2 x +y +z x +y +z x + y2 + z2

C

Hat´ arozzuk meg a z(x, y) primit´ıv fu enyt: ¨ ggv´ 10.118.

dz = (x2 + 2xy − y 2 ) dx + (x2 − 2xy − y 2 ) dy

10.119.

dz =

y dx − x dy 3x2 − 2xy + 3y 2


10.120.

dz =

194

(x2 + 2xy + 5y 2 ) dx + (x2 − 2xy + y 2 ) dy (x + y)3

Hat´ arozzuk meg az u(x, y, z) primit´ıv fu enyt: ¨ ggv´ 10.121. 10.122. 10.123.

du = (x2 − 2yz) dx + (y 2 − 2xz) dy + (z 2 − 2xy) dz xy 1 y x x du = 1 − + dx + + 2 dy − 2 dz y z z y z du =

(x + y) dx + (x + y) dy + z dz x2 + y 2 + z 2 + 2xy

Az orig´ oban elhelyezett M to om ¨megpont az (x, y, z) pontban lev˝ to megpontra ¨ Mm c 2 x + y2 + z2 gravit´ aci´ os vonz´ oer˝ ovel hat, ahol c egy ´ alland´ o. Az er˝ o ir´ anya megegyezik az (x, y, z) pontb´ ol az orig´ oba mutat´ o vektor ir´ any´ aval. Sz´ am´ıtsuk ki a gravit´ aci´ os er˝ o munk´ aj´ at, ha az m t¨ omeg˝ u test a k¨ ovetkez˝ o g¨ orb´ eken mozog: 10.124.


t ∈ [0, 2π]

10.125.


t ∈ [0, π]

10.126.

Γ : t · i + 2t · j + 3t · k

10.127.

Γ : az a négyzet, amelynek cs´ ucspontjai A(−1, −1, 0), B(1, −1, 0), C(1, 1, 0), D(−1, 1, 0) pozit´ıv irányban végighaladva a négyzet teljes ker¨ uletén.

10.128.

Hat´ arozzuk meg az el˝ oz˝o feladatokban szerepl˝o gravitációs er˝o potenci´ alf¨ uggvényét!

t ∈ (0, 1]

Az orig´ oban elhelyezett Q pontszer˝ u t¨ olt´ es az (x, y, z) pontban lev˝ o, q pontszer˝ u t¨ olt´ esre Mm c 2 x + y2 + z2 tasz´ıt´ o er˝ ovel hat, ahol c egy ´ alland´ o, ´ es az er˝ o ir´ anya ellent´ etes az (x, y, z) pontb´ ol az orig´ oba mutat´ o vektor ir´ any´ aval.


195

10.129.

Mekkora munk´ at végez ez az elektrosztatikus er˝o, amikor a q töltést az (1, 2, 3) pontb´ ol az (5, 6, 7) pontba viszi? F¨ ugg-e a végzett munka az u ´tvonalt´ ol?

10.130.

Mekkora munk´ at végez ez az elektrosztatikus er˝o, amikor a q töltést az (1, 2, 3) pontb´ ol a végtelen távoli pontba viszi? F¨ ugg-e a végzett munka az u ´tvonalt´ ol?

10.131.

Hat´ arozzuk meg az el˝ oz˝o feladatokban szerepl˝o elektrosztatikus er˝o potenci´ alf¨ uggvényét!

10.132.

Az asztal lapj´ an cs´ usz´ o m tömeg˝ u testre az asztal lapja c · m s´ urlódási er˝ ovel hat, ahol c egy állandó. Az er˝o iránya mindig ellentétes az elmozdul´ as ir´ any´ aval. Mekkora munkát végez a s´ urlódási er˝o, amikor a testet a (0, 0) pontból egy egyenes szakasz mentén a (3, 4) pontba cs´ usztatjuk? Mekkora munkát végez a s´ urlódási er˝o, amikor a testet a (0, 0) pontb´ ol el˝ osz¨ or egy egyenes szakasz mentén a (3, 0), majd egy csatlakoz´ o egyenes szakasz mentén a (3, 4) pontba cs´ usztatjuk? F¨ ugg-e végzett munka az u ´tvonaltól?

10.133.

Van-e az el˝ oz˝ o feladatban szerepl˝o s´ urlódási er˝onek potenciálf¨ uggvénye?

11. fejezet Komplex fu enyek ¨ ggv´ 11.1. Cauchy-Riemann differenci´ alegyenletek. Ha az f (z) = f (x + iy) = u(x, y) + i · v(x, y) deriválható a z0 = x0 + iy0 pontban, akkor u0x (x0 , y0 ) = vy0 (x0 , y0 ),

u0y (x0 , y0 ) = −vx0 (x0 , y0 ).

Megford´ıtva, ha teljes¨ ulnek a fenti egyenletek az (x0 , y0 ) pontban és ebben a pontban u és v tot´ alisan deriválható (mint kétváltozós valós f¨ uggvények), akkor az f (z) komplex f¨ uggvény (komplex értelemben) deriválható z0 -ban. 11.2. Cauchy-f´ ele integr´ alt´ etel. Ha f analitikus a Γ egyszer˝ u zárt görbe belsejében, Ω-ban, a Γ pontjaiban folytonos, akkor I f (z) dz = 0. Γ

11.3. Cauchy-f´ ele integr´ alformul´ ak. Ha f analitikus a-ban, Γ pozit´ıv ir´ any´ıt´ as´ u z´ art k¨ orvonal a k¨ or¨ ul az f regularitási tartományában, akkor I n! f (z) (n) f (a) = dz. 2πi (z − a)n+1 Γ

11.4. Holomorf fu enyek. ¨ ggv´ — Maximum elv. Egyszeresen összef¨ ugg˝o tartományon holomorf f¨ uggvény abszol´ ut-értékének nincs (lokális) maximuma a tartomány pontjaiban. — Liouville t´ etele. Az egész komplex s´ıkon holomorf korlátos f¨ uggvény konstans. — Rouch´ e t´ etele. Legyen Γ egyszer˝ u zárt görbe a komplex s´ıkon, belseje Ω, f és g két folytonos komplex f¨ uggvény Ω = Ω ∪ Γ-n, f és g holomorf Ω-n, valamint tegy¨ uk fel, hogy minden z ∈ Γ esetén |g(z)| > |f (z) − g(z)| .

197

ńyek 11. Komplex f¨ uggve

Ekkor a két f¨ uggvénynek, multiplicitással számolva, ugyanannyi gyöke van Ω-ban. 11.5. Meromorf fu enyek. ¨ ggv´ — Ha f (z) Laurent-sorba fejthet˝o a kör¨ ul, f (z) =

∞ X

an (z − a)n ,

n= −∞

akkor Res(f, a) = a−1

1 = 2πi

I f (z) dz, Γ

ahol Γ egy pozit´ıv ir´ any´ıtás´ u körvonal a kör¨ ul, amelynek sugara kisebb a Laurent-sor konvergenciasugaránál. — Residuum t´ etel. Ha D ⊂ C egyszeresen összef¨ ugg˝o tartomány, f meromorf D-ben, Γ pedig D-beli egyszer˝ u zárt görbe pozit´ıv irány´ıtással, amely nem megy ´ at p´ oluson, akkor I X f (z) dz = 2πi {Res(f, a) : a ∈ Ω} Γ

ahol Ω a Γ g¨ orbe belseje. 11.1.

Bizony´ıtsuk be, hogy a z komplex szám konjugáltjának reciproka megegyezik z reciprok´ anak konjugáltjával!

11.2.

Tegy¨ uk fel, hogy |z| < 1 és |α| < 1. Bizony´ıtsuk be, hogy ekkor z−α 1 − zα < 1.

Ellen˝ orizzu al¨ k, hogy teljesu ¨ lnek-e a Cauchy-Riemann differenci´ egyenletek a k¨ ovetkez˝ o komplex fu enyek eset´ eben! ¨ ggv´ 11.3.

f (z) = z 2

11.5.

f (z) =

1 , z

z 6= 0

11.4.

f (z) = z n ,

11.6.

f (z) =

n ∈ N+

1 z2 + 1

198


11.7.

p Teljes¨ ulnek-e a Cauchy-Riemann differenciálegyenletek az f (z) = |xy| f¨ uggvényre, ahol x a z komplex szám valós, y pedig a képzetes része? Differenci´ alhat´ o-e az el˝oz˝o f¨ uggvény z = 0-ban?

11.8.

Bizony´ıtsuk be, hogy az f (z) = 2x2 + 3y 2 + xy + 2x + i(4xy + 5y) f¨ uggvény a s´ık egyetlen tartományán sem differenciálható!

Keressu alhat´ o! ¨ k meg azokat a pontokat, ahol f differenci´ 11.9.

f (x + iy) = xy + iy

11.10.

f (x + iy) = 2x2 − y + i x2 + y 2

Hat´ arozzuk meg a differenci´ alhat´ o f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) fu enyt a ko o felt´ etelek mellett! ¨ ggv´ ¨vetkez˝ 11.11.

u(x, y) = x2 − y 2 + xy,

11.12.

v(x, y) =

x2 , x2 + y 2

f (0) = 0

f (2) = 0

Hat´ arozzuk meg a k¨ ovetkez˝ o hatv´ anysorok konvergenciasugar´ at! 11.13.

11.15.

∞ X 1 (z − i)n n n=1 ∞ X

n2 (z − 2 − 2i)n

11.14.

11.19.

∞ X (n2 )! n z 3n! n=0 ∞ X 1 n z n n=1

2n (z + i)n

n=1

11.16.

n=1

11.17.

∞ X

11.18.

∞ X (n − 1)! n z n! n=1 ∞ X

ln(n!)z n

n=1 2

11.20.

n ∞ X in zn n + 1 n=0

Adjuk meg a k¨ ovetkez˝ o hatv´ anysorok konvergenciasugar´ at ´ es osszegfu eny´ et! ¨ ¨ ggv´

199


11.21.

∞ X

zn

11.22.

n=1

11.23.

∞ X

∞ X

in z n

n=0

(n + 1)z n

11.24.

n=0

∞ X

(n + 2)(n + 1)z n

n=0

Bizony´ıtsuk be a megfelel˝ o hatv´ anysorok felhaszn´ al´ as´ aval az Eulerf´ ele ¨ osszefu eseket: ¨ gg´ 11.26.

e−iz = cos z − i sin z

11.28.

sin z =

11.25.

eiz = cos z + i sin z

11.27.

cos z =

11.29.

Bizony´ıtsuk be az Euler-féle összef¨ uggések seg´ıtségével, hogy az ez exponenci´ alis f¨ uggvény 2πi szerint periodikus!

11.30.

Bizony´ıtsuk be, hogy a sin z és cos z f¨ uggvényeknek pontosan ugyanazok a zérushelyei, mint a valós sin x és cos x f¨ uggvényeknek!

1 iz e + e−iz 2

1 iz e − e−iz 2i

Legyen Γ a |z| = 1 k¨ orvonal, ´ es integr´ aljuk a z´ art k¨ orvonalon pozit´ıv ir´ anyban a k¨ ovetkez˝ o fu enyeket! ¨ ggv´ 11.31.

f (x + iy) = x

11.32.

f (x + iy) = y

11.33.

f (x + iy) = x − iy

11.34.

f (x + iy) = x + iy

Legyen Γ a |z| = R k¨ orvonal, ´ es integr´ aljuk a z´ art k¨ orvonalon pozit´ıv ir´ anyban a ko o fu enyeket! ¨vetkez˝ ¨ ggv´ 11.35.

f (z) =

1 z

11.36.

f (z) =

1 z2

Integr´ aljuk az f (z) = |z| fu enyt a k¨ ovetkez˝ o, z1 = −1-b˝ ol ki¨ ggv´ indul´ o, z2 = i-be ´ erkez˝ o go eken! Fu al ´ ert´ eke az ¨rb´ ¨ gg-e az integr´ u ´ tvonalt´ ol?

200


11.37.

Γ = {e−it : t ∈ [π, 3π/2]}

11.38.

Γ = {t : t ∈ [−1, 0]}

11.39.

Sz´ am´ıtsuk ki a

11.40.

kiindul´ o és a 3 + 2i pontba érkez˝o szakaszon (valós) primit´ıv f¨ uggvény seg´ıtségével! Z Sz´ am´ıtsuk ki a (x2 − y 2 ) dx − 2xy dy vonalintegrált az 1 + i pontból

Z

S

{it : t ∈ [0, 1]}

(x2 − y 2 ) dx − 2xy dy vonalintegrált az 1 + i pontból

kiindul´ o és a 3 + 2i pontba érkez˝o szakaszon a Cauchy-féle integráltétel seg´ıtségével! Legyen Γ : z(t) = 1 + it, t ∈ [0, 1]. Integr´ aljuk a Γ g¨ orb´ en a Cauchyf´ ele integr´ alt´ etel seg´ıts´ eg´ evel a k¨ ovetkez˝ o fu enyeket! ¨ ggv´ 1 z

11.41.

f (z) = 3z 2

11.42.

f (z) =

11.43.

f (z) = ez

11.44.

f (z) = zez

Z Hat´ arozzuk meg az

1 z2 + 1

2

dz integr´ alt a ko o z´ art go e¨vetkez˝ ¨rb´

Γ

ken! 11.45.

Γ : |z| = 1/2

11.46.

Γ : |z| = 3

11.47.

Γ : |z − i| = 1

11.48.

Γ : |z + i| = 1

´ Irjuk fel a k¨ ovetkez˝ o fu enyek adott a pont k¨ oru anysor´ at! ¨ ggv´ ¨ li hatv´ 11.49.

1 , (1 − z)2

a=3

11.50.

1 , (z − 2)(z − 3)

a=5

201


11.51.

1 , 1 − z + z2

11.52.

a=0

3z − 6 , (z − 4)(z + 25)

a = 10

Sz´ am´ıtsuk ki az f (z) fu eny z0 = 0 pontbeli reziduum´ at! ¨ ggv´ 11.53.

f (z) =

ez z2

11.54.

1

Sz´ am´ıtsuk ki az f (z) =

z3

f (z) =

fu eny z0 pontbeli reziduum´ at! ¨ ggv´

− z5

11.55.

z0 = 0

11.56.

z0 = 1

11.57.

z0 = −1

11.58.

z0 = i

Sz´ am´ıtsuk ki az f (z) = 11.59.

z2 2

(z 2 + 1)

fu eny z0 pontbeli reziduum´ at! ¨ ggv´

11.60.

z0 = i

cos z sin z

z0 = −i

I Hat´ arozzuk meg az

f (z) dz k¨ orintegr´ alt, ahol |z|=4

11.61.

f (z) =

ez sin z z−1

11.62.

f (z) =

esin z z2

11.63.

f (z) =

esin z z−2

11.64.

f (z) =

esin z (z − 1)(z − 2)

11.65.

f (z) =

ez cos z z−π

11.66.

f (z) =

esin z z2 − 1

Legyen Γ : z(t) = t + it, t ∈ [0, 1]. Integr´ aljuk a Γ g¨ orb´ en a k¨ ovetkez˝ o fu enyeket! ¨ ggv´

202


11.67.

f (z) = z 2

11.68.

f (z) = ez

Legyen Γ az |z − 2i| = 1 k¨ orvonal, ´ es pozit´ıv k¨ oru ar´ asi ir´ anyban ¨ lj´ integr´ aljuk a Γ g¨ orb´ en a k¨ ovetkez˝ o fu enyeket! ¨ ggv´ 1 11.69. f (z) = z 2 11.70. f (z) = z 11.71.

f (z) = z 2 +

1 z

11.72.

f (z) = z +

1 z

H´ any gy¨ oke van a k¨ ovetkez˝ o egyenleteknek az |z| < 1 k¨ orben? (Seg´ıts´ eg: alkalmazzuk Rouch´ e t´ etel´ et.) 11.73.

11.75.

11.74.

z 6 − 6z + 10 = 0

Z∞ Sz´ am´ıtsuk ki az −∞

1 (x2

+ 1)

2

z 4 − 5z + 1 = 0

dx integrált a komplex száms´ıkon görbe

menti integr´ al´ assal! 11.76.

Hova képezi az f (z) = gar´ u k¨ ort?

11.77.

az + b f¨ uggvény az origó középpont´ u, egységsucz + d

Adjunk meg olyan komplex f¨ uggvényt, amelyik a fels˝o féls´ıkot az origó k¨ ozéppont´ u, egységsugar´ u körbe viszi!

Milyen g¨ orb´ eket vagy tartom´ anyokat hat´ aroznak meg a k¨ ovetkez˝ o felt´ etelek? 11.78. |z − 2| < |z| 11.79. z 2 − 1 < 1 11.80.

Im

1 =2 z

11.81.

Re z = Im z

A w = f (z) fu eny a z = x + iy s´ıkot a w = u + iv s´ıkba k´ epezi ¨ ggv´ le. Hat´ arozzuk meg az adott T tartom´ anyok k´ ep´ et!

203


11.82.

w = z2,

T = {x + iy : x ≥ 0, y ≥ 0}

11.83.

w = ez ,

T = {x + iy : 0 < y <

π } 2

Megold´ asok Alapfogalmak, val´ os sz´ amok 1.1 Elemi feladatok 1.1.

A megold´ ashalmaz a (2, 8) ny´ılt intervallum. 2

5

8

1.2.

Ugyanaz, mint az el˝ oz˝ o feladatban.

1.3.

A megold´ ashalmaz a (4, 6) ny´ılt intervallum. 4

1.5.

5

6

Az eredeti egyenl˝ otlenség: 1 ≥ −1 5x + 6 Szorozzuk ´ at az egyenl˝ otlenséget 5x + 6-tal. Két esetet kell megk¨ ulönb¨ oztetn¨ unk: I. eset: 5x + 6 > 0, azaz x > −6/5. Ekkor az u ´j egyenl˝otlenség: 1 ≥ −(5x + 6),

5x ≥ −7,

x ≥ −7/5

A vizsg´ alt esetben ez csak akkor lehetséges, ha x > −6/5. II. eset: 5x + 6 < 0, azaz x < −6/5. Ekkor az u ´j egyenl˝otlenség megfordul: 1 ≤ −(5x + 6), 5x ≤ −7, x ≤ −7/5 A vizsg´ alt esetben ez csak akkor lehetséges, ha x ≤ −7/5. Teh´ at az ¨ osszes megoldás egy zárt és egy ny´ılt félegyenes uniója: x ∈ (−∞, −7/5] ∪ (−6/5, ∞) 1.7.

Az eredeti egyenl˝ otlenség: 10x2 + 17x + 3 ≤ 0

´ s sza ´ mok – Megolda ´ sok 1. Alapfogalmak, valo

205

A baloldalon szerepl˝ o másodfok´ u polinom f˝oegy¨ utthatója pozit´ıv, ezért a parabola pontjai a két gyök által kapott intervallumban vannak az x tengely alatt. Sz´ amoljuk ki a két gyököt: 10x2 + 17x + 3 = 0 3 x1 = − , 2

x2 = −

1 5

Teh´ at a megold´ asok halmaza: x ∈ [−3/2, −1/5] 1.9.

Az eredeti egyenl˝ otlenség: 8x2 − 30x + 25 ≥ 0 Sz´ amoljuk ki a m´ asodfok´ u egyenlet gyökeit:

x1,2

8x2 − 30x + 25 = 0 √ 5 5 30 ± 900 − 800 , x1 = , x2 = = 16 2 4

Mivel a f˝ oegy¨ utthat´ o pozit´ıv, ezért a másodfok´ u polinom a két gyök altal meghat´ ´ arozott intervallumon k´ıv¨ ul pozit´ıv, tehát a megoldások x ∈ (−∞, 5/4] ∪ [5/2, ∞) 1.11.

Az eredeti egyenl˝ otlenség: 9x2 − 24x + 17 ≥ 0 Sz´ amoljuk ki a m´ asodfok´ u egyenlet gyökeit: 9x2 − 24x + 17 = 0 Ennek az egyenletnek a diszkriminánsa negat´ıv (−36), ezért a másodfok´ u polinom sehol sem nulla. Mivel a f˝oegy¨ uttható pozit´ıv, ezért minden x ∈ R esetén 9x2 − 24x + 17 > 0 Teh´ at az egyenl˝ otlenségnek minden x ∈ R megoldása.


1.14.

206

Milyen x ∈ R esetén lesz |x + 1| + |x − 2| ≤ 12 ? H´ arom esetet k¨ ul¨ onb¨ oztethet¨ unk meg aszerint, hogy (x + 1) és (x − 2) milyen el˝ ojel˝ u. I. eset: x < −1, azaz mindkét tag negat´ıv. −(x + 1) − (x − 2) ≤ 12,

−2x ≤ 11,

x≥−

11 2

Ebben az esetben a megoldások: x ∈ [−11/2; −1) II. eset: −1 ≤ x < 2, azaz az els˝o tag nem negat´ıv, a második negat´ıv. (x + 1) − (x − 2) ≤ 12,

3 ≤ 12,

x tetsz˝oleges

Ebben az esetben a megoldások: x ∈ [−1; 2) III. eset: x ≥ 2, azaz egyik tag sem negat´ıv. (x + 1) + (x − 2) ≤ 12,

2x ≤ 13,

x≤

13 2

Ebben az esetben a megoldások: x ∈ [2; 13/2] ¨ Osszes´ ıtve a h´ arom esetet x ∈ [−11/2; 13/2] az ¨ osszes megold´ as. 1.16.

x+1 1 > ? Milyen x ∈ R esetén lesz 2x + 1 2 I. eset: x < −1, azaz a számláló és a nevez˝o is negat´ıv. x+1 1 > , 2x + 1 2

2(x + 1) < 2x + 1,

2<1

Ebben az esetben nincs megoldás. II. eset: x > −1/2, azaz a számláló és a nevez˝o is pozit´ıv. x+1 1 > , 2x + 1 2

2(x + 1) > 2x + 1,

2>1


207

Ebben az esetben a megoldások: x ∈ (−1/2; ∞) III. eset: −1 < x < −1/2, azaz a számláló pozit´ıv a nevez˝o pedig negat´ıv. A negat´ıv nevez˝ovel átszorozva megfordul az egyenl˝otlenség: x+1 x+1 1 3 2x + 1 = − 2x + 1 > 2 , −2(x + 1) < 2x + 1, 4x > −3, x > − 4 Ebben az esetben a megoldások: x ∈ (−3/4; −1/2) Ha a nevez˝ o pozit´ıv, akkor a számláló is az, ezért több eset nincs. Így az ¨ osszes megold´ as: x ∈ (−3/4; −1/2) ∪ (−1/2; ∞) 1.18.

√

x + 3 + |x − 2| = 0

Két nem negat´ıv sz´ am ¨ osszege csak u ´gy lehet nulla, ha mindkett˝o nulla. Teh´ at x + 3 = 0 és x − 2 = 0 Ez a két egyenlet semmilyen x-re sem teljes¨ ul egyszerre, ezért az egyenletnek nincs megold´ asa.

1.2 Logikai alapfogalmak 1.20.

(a) Van olyan egér, amelyik nem szereti a sajtot. (b) Valaki m´ asnak vermet ásott és nem esett bele. (c) Van olyan asszony, aki csak olyat akar tenni, amit szabad. (d) Minden a-hoz van olyan b, hogy az a+x = b legalább két k¨ ulönböz˝o x-re teljes¨ ul. (e) 3 nagyobb, mint 2, és 5 nem osztója 10-nek. (f ) Z¨ or¨ og a haraszt és nem f´ uj a szél. (g) A nagynénémnek kerekei vannak, mégsem ˝o a miskolci gyorsvonat.


208

1.22.

Igen: (b)+(c) =⇒ Minden állat vagy eml˝os, vagy van kopolty´ uja. (b)+(a) =⇒ Ha egy állat eml˝os, akkor van kopolty´ uja. Teh´ at egy ´ allatnak akár eml˝os akár nem, van kopolty´ uja.

1.25.

Csak a (b) ´ all´ıt´ as hamis, a többi igaz.

1.27.

Ehhez a Minden mohikán hazudik” mondathoz nem lehet igazságérté” ket rendelni, ha csak egy mohikán van. Ha a mondat igaz lenne, akkor az utolsó mohikán is hazudott, tehát nem igaz a mondat. Ha a mondat hamis lenne, akkor van igazmondó mohikán. De ha csak egy mohik´ an van, akkor ˝o az igazmondó. Ezért igaz amit mondott, teh´ at igaz a mondat.

1.29.

Jel¨ olje x az els˝ o, y pedig a harmadik számjegyet. A feltevés miatt x + y = 5. Most m´ ar az összes számjegy fel´ırható x és y seg´ıtségével: x, 6, y, x, 6, y, x, 6, y, x, 6, y, x A 12. jegy y = 4, és ezért x = 1. Tehát a kód: 1641641641641 Azaz a 13-adik jegy 1.

1.31.

Csak a (c) ´ all´ıt´ as k¨ ovetkezik, s˝ot a két áll´ıtás ekvivalens: (A =⇒ B) ⇐⇒ (¬B =⇒ ¬A)

1.32.

A =⇒ B (mert 5 pozit´ıv), de B =⇒ 6 A ha például x = −6.

1.34.

B =⇒ A, mert az A ´ all´ıtás mindig igaz (ha értelmes a gyökös kifejezés). Ford´ıtva nem igaz a k¨ ovetkeztetés, például ha x = 3.

1.36.

Egyikb˝ ol sem k¨ ovetkezik a másik (mert x2 − x − 6 gyökei −2 és 3). Péld´ aul ha x = −3 akkor A igaz de B nem, ha pedig x = 3 akkor A hamis és B igaz.

1.38.

Mindkét ´ all´ıt´ as hamis, ezért mindegyikb˝ol következik a másik (és bármely egyéb ´ all´ıt´ as).


1.40.

209

A =⇒ B, mert a két egyenl˝otlenséget o¨sszeadva, felhasználva a háromsz¨ og egyenl˝ otlenséget: 0, 2 = 0, 1 + 0, 1 > |x − 5| + |y − 5| = |x − 5| + |5 − y| ≥ ≥ |x − 5 − y + 5| = |x − y| B =⇒ 6 A, péld´ aul ha x = y = 0

1.42.

∃k ∈ N+ 2|k jelentése: van páros pozit´ıv egész szám, ez igaz. Tagad´ asa: ∀k ∈ N+ 2 - k, azaz minden pozit´ıv egész páratlan. Ez nem igaz, péld´ aul k = 2-re.

1.43.

∀n ∈ N+ ∃k ∈ N+ n|k jelentése: minden n pozit´ıv egésznek van többsz¨ or¨ ose. Ez igaz, minden n ∈ N+ esetén legyen k = 2 · n Tagad´ asa: ∃n ∈ N+ ∀k ∈ N+ n - k, azaz van olyan n ∈ N+ , amelyik egyetlen pozit´ıv egésznek sem osztója. Ez nem igaz (mert az eredeti all´ıt´ ´ as igaz).

1.45.

Nem hazudott. Akkor hazudott volna, hogyha a hó miatt nem járt a busz, Pistike mégis elment az iskolába.

1.47.

298 részhalmaz esetén igaz, 2100 − 298 = 3 · 298 esetén pedig nem.

1.49.

1 benne van: 299 részhalmaz. 2 nincs benne: 299 részhalmaz. 1 benne van és 2 nincs benne: 298 részhalmaz. 1 benne van a részhalmazban vagy a 2 nincs benne: 299 + 299 − 298 = 3 · 298 A komplementer esemény: 298 részhalmaz esetén 1 nincs benne és 2 benne van.

1.51.

Az u ¨res halmaz ilyen. Ha H 6= ∅, legyen k = min H. De akkor H = {i : k ≤ i ≤ n}. Teh´ at n + 1 ilyen halmaz van.

1.52.

Jel¨ olje An az ilyen halmazok halmazát, an az An számosságát. Nyilván a1 = 2 és a2 = 3. Ha most n > 2, akkor legyen Bn = {A ∈ An : n ∈ / A} és Cn = {A ∈ An : n ∈ A ∧ n − 1 ∈ / A} K¨ onnyen l´ athat´ o, hogy A ∈ Bn ⇐⇒ A ∈ An−1 és A ∈ Cn ⇐⇒ A ∩ An−2 ∈ An−2 .


210

Teh´ at an = an−1 + an−2 . Ez az un. Fibonacci-sorozat, pontosabban an = un+2 . 1.53.

Jel¨ olje most Bn a feltételnek megfelel˝o halmazok halmazát, B ∈ B esetén két lehet˝ oség van: (1) Minden x ∈ B esetén x + 1 ∈ / B. Ilyen halmaz az el˝oz˝o feladat szerint an = un+2 darab van. (2) Van olyan x ∈ B, amelyre x + 1 ∈ B. Ebben az esetben legyen k(B) = min {x ∈ B : x + 1 ∈ B} . Ha most bk = |{B ∈ B : k(B) = k}|, akkor nyilv´ an bk = ak−2 = uk , k = 1, 2, . . . , n − 1. Teh´ at |Bn | = (u1 + u2 + · · · + un ) + un+2 . A Fibonacci számok összegére vonatkoz´ o képlet a Fibonacci-sorozatról szóló feladatok közt megtalálhat´ o.

1.55.

¬P ∩ ¬Q

1.57.

P ∩ ¬Q

1.59.

¬P ∩ ¬Q

1.61.

¬P ∩ Q

1.63.

¬(P =⇒ Q) = P ∩ ¬Q

1.65.

(b) =⇒ (a),

(c) =⇒ (d).

M´ as k¨ ovetkeztetés nem igaz.

1.3 Bizony´ıt´ asi m´ odszerek 1.66.

Indirekt m´ odon tegy¨ uk fel, hogy van olyan p, q ∈ N+ , amelyekre p ´ . Feltehetj¨ uk azt is, hogy p és q relat´ıv pr´ım. Atalak´ ıtás után: q 3=

p2 , q2

3q 2 = p2 .

√

3=


211

Eszerint p2 oszthat´ o 3-mal, de mivel 3 pr´ımszám, ezért p is osztható 3-mal: p2 = 9r2 . Így tehát 3q 2 = 9r2 ,

q 2 = 3r2 .

Megismételve az el˝ oz˝ o gondolatmenetet p helyett q-ra, azt kapjuk, hogy q is oszthat´ o 3-mal. ami ellentmond annak, hogy p és q relat´ıv pr´ım. 1.68.

Indirekt m´ odon tegy¨ uk fel, hogy √ r=

2+1 +3 2 +5 4

racion´ alis. De akkor √ (r − 5) · 4 =

2+1 +3 2

√ is racion´ alis. Tov´ abb folytatva az okoskod´ ast, azt kapjuk, hogy 2 raci√ on´ alis. Ez √ ellentmond´ as. Azt, hogy 2 irracionális, ugyan´ ugy láthatjuk be, ahogy 3 esetén. 1.70.

(a) Nem lehet: ha x + y racionális lenne, akkor (x + y) − x = y is az lenne. (b) Nem lehet: ha x − y racionális lenne, akkor x − (x − y) = y is az lenne. (c) Lehet, de csak ha x = 0. (d) Lehet, de csak ha x = 0.

1.72.

(a) Igaz. (b) Nem igaz: péld´ aul a =

√

2,

√ b=− 2

(c) Nem igaz, a + b irracionális. (d) Igaz. 1.74.

Annak tagad´ asa, hogy 1 a legnagyobb szám az, hogy 1-nél van nagyobb sz´ am, nem pedig az, hogy egy másik szám a legnagyobb szám. A valós (vagy a természetes) számok között nincs legnagyobb!

1.76.

Teljes indukci´ oval: n = 1 : 16|16


212

n + 1-re: Mivel ha k|a − b és k|b, akkor k|a, ezért elég belátni, hogy 16|(5n+2 −4(n+1)−5)−(5n+1 −4n−5) azaz, hogy 16|4·(5n+1 −1). Ez teljes¨ ul, ha 4|5n+1 − 1. Ezt teljes indukcióval könny˝ u bizony´ıtani. 1.77.

Indirekt, tegy¨ uk fel, hogy tg 1◦ racionális. Ekkor teljes indukcióval bebizony´ıtjuk, hogy minden n ∈ N+ , n < 90 esetén tg n◦ racionális. Ez k¨ ovetkezik a sz¨ ogek ¨ osszegére vonatkozó képletb˝ol: tg n◦ + tg 1◦ ◦ tg(n + 1) = 1 − tg n◦ · tg 1◦ Ennek a racion´ alis kifejezésnek minden eleme racionális, ´ıgy az eredmény is az. Mivel tg 30◦ irracionális, ellentmondásra jutottunk.

1.78.

A sz´ amtani és mértani közepekre vonatkozó egyenl˝otlenség szerint √ √ 1 + 2 + ···n n+1 n n n! = 1 · 2 · · · n ≤ = n 2 Mindkét oldalt az n-edik hatványra emelve a k´ıvánt egyenl˝otlenséget kapjuk.

1.79.

Igaz az ´ all´ıt´ as. Indirekt m´ odon tegy¨ uk fel, hogy minden an ≥ 10−6 és ´ıgy a2n ≥ d = 10−12 > 0. Ezért an+1 ≤ an − d és általában an+k ≤ an − k · d. Tehát a 1 k = 1012 = v´ alaszt´ assal a1+k ≤ 0, 9−1 < 0 < 10−6 . Ez ellentmondás. d

1.81.

(a) Jel¨ olje a keresett ¨ osszeget sn , azaz sn =

1 1 1 + + ··· + . 1·2 2·3 (n − 1) · n

Kisz´ amoljuk sn értékét n = 2, 3, 4 esetében. s2 =

1 2 3 , s3 = , s4 = , · · · 2 3 4

A sejtés az ¨ osszegképletre: sn =

n−1 1 =1− . n n

Bizony´ıt´ as teljes indukcióval: n = 2-re igaz. Tegy¨ uk fel, hogy n-re igaz az ´ all´ıt´ as.

sn+1 =

1 1 1 1 1 + +· · ·+ + = sn + = 1·2 2·3 (n − 1) · n n · (n + 1) n · (n + 1)


=

213

n−1 1 (n − 1)(n + 1) + 1 n + = = n n · (n + 1) n · (n + 1) n+1

Egy m´ asik bizony´ıtást láthatunk az 1.87. feladat megoldásánál. (b) Most legyen sn = 1 + 3 + . . . + (2n − 1) a páratlan számok összege. s1 = 1, s2 = 4, s3 = 9, s4 = 16, · · · A sejtés: sn = n2 . Teljes indukci´ oval: n = 1-re igaz. Tegy¨ uk fel, hogy n-re igaz az all´ıt´ ´ as. sn + 1 = 1 + 3 + . . . + (2n − 1) + (2n + 1) = = sn + (2n + 1) = n2 + 2n + 1 = (n + 1)2 1.82.

A jobb oldalon elvégezve az (a − b)-vel való szorzást, két tagot kivéve minden tag kiesik.

1.83.

Els˝ o bizony´ıt´ as: Teljes indukcióval. n = 1-re az áll´ıtás igaz. Ha n-re igaz, akkor (1 + 2 + · · · + n) + (n + 1) =

n(n + 1) (n + 1)(n + 2) + (n + 1) = 2 2

M´ asodik bizony´ıt´ as: Írjuk egymás alá kétszer az összeget, de másodszor ford´ıtott sorrendben: 1+

2

+ ··· + n

n + (n − 1) + · · · + 1 Az ´ıgy kialakult oszlopokban a számok összege n + 1 és mivel n darab oszlop van, a keresett összeg kétszerese éppen n(n + 1). 1.84.

Teljes indukci´ oval. n = 1-re az áll´ıtás igaz. Ha n-re igaz az áll´ıtás, akkor n(n + 1)(2n + 1) 12 + 22 + · · · + n2 + (n + 1)2 = + (n + 1)2 = 6 (n + 1)(n + 2)(2(n + 1) + 1) = 6


1.85.

Teljes indukci´ oval. n = 1-re az áll´ıtás igaz. Ha n-re igaz az áll´ıtás, akkor 3

3

1 + 2 + ··· + n

3

3

2

n(n + 1) 2

(n + 1)(n + 2) 2

+ (n + 1) = =

1.86.

214

+ (n + 1)3 = 2

Legyen sn az egyenl˝ oség baloldalán, tn pedig a jobboldalán szerepl˝o osszeg. ¨ 1 1 1 + − ··· − 2 3 2n 1 1 1 tn = + + ··· + n+1 n+2 2n

sn = 1 −

Teljes indukci´ oval. n = 1-re az áll´ıtás igaz, azaz s1 = t1 . Ha n-re igaz az ´ all´ıt´ as, akkor 1 1 − = = sn + 2n + 1 2n + 2 1 1 1 1 1 = 1 − + − ··· − + − = 2 3 2n 2n + 1 2n + 2 1 1 1 1 1 = + + ··· + − + = n+1 n+2 2n 2n + 1 2n + 2 1 1 1 1 1 1 = + +· · ·+ + + − = n+1 n+2 2n 2n + 1 2(n + 1) n + 1 1 1 1 + + ··· + = tn+1 = n+2 n+3 2(n + 1)

sn+1

1.87.

Felhaszn´ alva, hogy

1 1 1 = − , un. teleszkopikus összeget (k − 1)k k−1 k

kapunk: 1 1 1 + + ··· + = 1·2 2·3 (n − 1) · n 1 1 1 1 1 1 1 = − + − + ··· + − =1− 1 2 2 3 n−1 n n


1.88.

215

Itt két teleszkopikus o ¨sszegre lehet bontani az eredeti o¨sszeget, mivel 1 1 1 2 1 = − + = k(k + 1)(k + 2) 2 k k+1 k+2 1 1 1 1 1 1 = − − − . 2 k k+1 2 k+1 k+2 Teh´ at: n X

n n 1 1X 1 1 1X 1 1 = − − − = k(k + 1)(k + 2) 2 k k+1 2 k+1 k+2 k=1 k=1 k=1 1 1 1 1 = − + . 2 2 n+1 n+2 1.89.

A 1.83. és 1.84. feladatokban szerepl˝o képletek felhasználásával: n X

k(k + 1) =

k=1

n X

2

k +

k=1

n X

k=

k=1

n(n + 1)(2n + 1) n(n + 1) + = 6 2

n(n + 1)(n + 2) = 3 1.90.

A 1.83. , 1.84. és 1.85. feladatokban szerepl˝o képletek felhasználásával: n X

k(k + 1)(k + 2) =

n X k=1

k=1

k3 + 3

n X k=1

k2 + 2

n X

k=

k=1

2 n(n + 1) n(n + 1)(2n + 1) n(n + 1) +3· +2· = 2 6 2 n(n + 1)(n + 2)(n + 3) n(n + 1)(n2 + 5n + 6) = = 4 4

=

1.92.

Teljes indukci´ oval: n = 0 esetén igaz. Tegy¨ uk fel, hogy n-re igaz az all´ıt´ ´ as és, hogy egy k pozit´ıv egész szám osztója un+1 -nek és un+2 -nek is. De akkor k oszt´ oja un+2 − un+1 = un -nek is. Mivel az indukciós feltevés szerint un és un+1 relat´ıv pr´ımek, ezért k = 1, tehát un+1 és un+2 is relat´ıv pr´ım sz´ amok.

1.93.

Teljes indukci´ oval: Az n = 1 és az n = 2 eset könnyen ellen˝orizhet˝o.


216

Tegy¨ uk fel, hogy n > 2 és n − 1-re illetve n − 2-re igaz az áll´ıtás. 1, 6n−2 1, 6n−2 1, 6n−1 + = (1, 6 + 1) > un = un−1 + un−2 > 3 3 3 n−2 n 1, 6 1, 6 1, 62 = 3 3 M´ asrészt un = un−1 + un−2 < 1, 7n−1 + 1, 7n−2 = 1, 7n−2 (1, 7 + 1) < n−2 1, 7 1, 72 = 1, 7n 1.94.

Teljes indukci´ oval: Az n = 1 eset mindegyik feladatnál könnyen ellenorizhet˝ ˝ o. Tegy¨ uk fel, hogy n-re igaz a megfelel˝o áll´ıtás, be kell látnunk, hogy akkor n + 1-re is. (a) (u1 + u2 + · · · un ) + un+1 = un+2 − 1 + un+1 = un+3 − 1 (b) u2n+1 − un un+2 = u2n+1 − un (un+1 + un ) = un+1 (un+1 − un ) − u2n = un+1 un−1 − u2n = −(−1)n+1 = (−1)n+2 (c) (u21 + u22 + · · · + u2n ) + u2n+1 = un un+1 + u2n+1 = un+1 (un + un+1 ) = un+1 un+2

1.95.

Az al´ abbi formul´ ak teljes indukcióval könnyen bizony´ıthatók. (a) sn = α · u2n+1 + β = u2n+1 − 1. (b) sn = α · u2n+2 + β = u2n+2 . u3n+2 − 1 . (c) sn = α · u3n+2 + β = 2 (d) sn = u22n

1.97.

Az indokl´ as csak akkor helyes, ha n legalább 2. Ezért az n = 1 és az n = 2 eseteket nem bizony´ıtottuk” be. ”

1.99.

Mindh´ arom k¨ ozepet csökkentj¨ uk illetve növelj¨ uk, ha minden számot lecserél¨ unk a legkisebbre, illetve a legnagyobbra.

1.101.

Az a2 bc egy négytényez˝os szorzat. Írjuk fel a megadott 3 tag´ u o¨sszeget 4 tag´ u o sszegk´ e nt ´ e s haszn´ a ljuk a sz´ a mtani ´ e s m´ e rtani k¨ o zepek közti ¨ egyenl˝ otlenséget 4 sz´ am esetén: a a r r + +b+c a a 4 1 2 2 2 ≥ 4 · ·b·c= a bc 4 2 2 4 Eszerint 18 9 = ≥ 4 2

r 4

1 2 a bc 4


217

Negyedik hatv´ anyra emelés és átrendezés után: 4 9 a bc ≤ 4 2 2

a A jobboldalon szerepl˝ o szám a keresett maximum, hiszen = b = c = 2 18 9 = esetén egyenl˝ oség van. 4 2 1.103.

Haszn´ aljuk a harmonikus és a számtani közepek közötti egyenl˝otlenséget: abc 1 3 18 1 a+b+c = · = =2 ≤ · ab + bc + ac 3 1 1 1 3 3 9 + + c a b Itt egyenl˝ oség pontosan akkor van, ha a = b = c = 6

1.105. p √ √ 2a + b + c 3 3 ≥ 3 3 (2a)bc = 3 2 · 18 = 3 36 3 √ 3 Itt egyenl˝ oség pontosan akkor van, ha 2a = b = c = 36. 2a + b + c = 3 ·

1.107.

Felhaszn´ aljuk a mértani és a négyzetes közepek közötti egyenl˝otlenséget: r 2

2

2

a +b +c =3

a2 + b2 + c2 3

!2 ≥3

√ 3

2 √ 2 3 abc = 3 18

Itt egyenl˝ oség pontosan akkor van, ha a = b = c =

√ 3

18.

1.109. 1 r a+ 1 1 a a+ =2· ≥2· a· =2 a 2 a 1.112.

Természetesen csak akkor értelmes a feladat, ha v > u. A va átlagsebesség a megtett u ´t osztva a megtételhez sz¨ ukséges t id˝ovel: va =

2s t


218

Sz´ amoljuk ki t-t. A folyásirányban a sebesség v+u, az s u ´thoz sz¨ ukséges id˝ o s t1 = v+u Az ellenkez˝ ou ´ton a sebesség v − u, az s u ´thoz sz¨ ukséges id˝o t2 =

s v−u

Mivel t = t1 + t2 va =

2 2s s = 1 s 1 + + v+u v−u v+u v−u

Teh´ at va éppen a harmonikus közepe a v + u, v − u számoknak, és ezért u > 0 esetén hat´ arozottan kisebb a két szám számtani közepénél, v-nél. 1.114. f (x) = x(1 − x) =

p 2 x + (1 − x) 2 1 x(1 − x) ≤ = 2 4

Itt egyenl˝ oség van, ha x = 1 − x =

1 2

1.115. 4 r x+ 4 x ≥2· x· 4 =4 f (x) = x + = 2 · x 2 x A minimum ott van, ahol egyenl˝oség van, azaz x = 1.117.

4 = 2. x

Felhaszn´ alva a sz´ amtani és mértani közepek közötti egyenl˝otlenséget: x x 3 + + (1 − x) x x 2  = 4 x2 (1 − x) = 4 · · · (1 − x) ≤ 4 ·  2 2 2 3 27 x 2 Egyenl˝ oség csak akkor van, ha = 1 − x, azaz x = . 2 3 4 Teh´ at a keresett maximum: . 27


1.119.

219

3 . A g(x) f¨ uggvénynek x2 + 1 ugyanott van a minimuma, mint f (x)-nek. Mivel a pozit´ıv 2(x2 + 1) 3 és 2 sz´ amoknak a szorzata állandó (= 6), ezért az összeg¨ uk akkor x +1 minim´ alis, ha megegyeznek. Legyen g(x) = f (x) − 3 = 2(x2 + 1) +

2(x2 + 1) = Innen x2 = mg = g

p

3 x2 + 1

3/2 − 1 és ´ıgy g(x) minimuma

q p

p √ 3 6 3/2 − 1 = 2 3/2 + p =p = 2 6, 3/2 3/2

f (x) minimuma pedig √ mf = mg + 3 = 2 6 + 3

1.121.

Az ´ abra jel¨ oléseit használva, a téglalap ter¨ ulete: T = 4F , ahol F = x · y és x2 + y 2 = 1. p Ezért F = x 1 − x2 . Számoljuk ki F 2 maximum´ at: 2 2 x + (1 − x2 ) 1 F 2 = x2 (1−x2 ) ≤ = . 2 4

(x,y)

Egyenl˝ oség csak akkor van, ha x2 = 1 − 2 x , azaz 1 x=y= √ . 2 Teh´ at a maxim´ alis ter¨ ulet: T = 2, mégpedig a négyzet esetén. 1.122.

Az ´ abra a k´ up és a henger egy s´ıkmetszetét ábrázolja. Az ábra jelöléseit haszn´ alva, a henger térfogata: V = πr2 h. Mivel

h R−r πm 2 = , ezért V = · r (R − r) m R R


220

Az el˝ oz˝ o feladathoz hasonlóan

V =

4πm r r 4πm · · ·(R−r) ≤ R 2 2 R

R 3

3 =

4 πmR2 27 m

r Egyenl˝ oség csak akkor van, ha = R−r. 2 Ekkor a henger sugara, illetve magassága: r=

m 2 R, h = 3 3

Teh´ at a maxim´ alis térfogat: 4 πRm. 27 1.123.

h 0

V

r

R

=

Az ´ abra a g¨ omb és a henger egy s´ıkmetszetét ábrázolja. Az ábra jelöléseit haszn´ alva, a henger térfogata: V = 2π · U, ahol U = x2 · y és x2 + y 2 = 1, 0 ≤ x ≤ 1. Ezért U = x2 maximum´ at:

p

1 − x2 . Számoljuk ki

U2 4

x4 (1 − x2 ) x2 x2 U2 = = · · (1 − x2 ) 4 4 2 2

(x,y)

Az itt szerepl˝ o h´ arom pozit´ıv szám összege x-t˝ ol f¨ uggetlen¨ ul 1, és ´ıgy szorzatuk akkor maxim´ alis, ha megegyeznek: √ x2 1 2 2 = 1 − x azaz x = √ , y = √ . 2 3 3 4π Teh´ at a maxim´ alis térfogat: V = √ . 3 3 1.124.

c Mikor az els˝ o egyenl˝ oség mindkét oldalából kivonjuk a √ számot, 2 negat´ıv sz´ amot kapunk. Ezzel beszorozva az a < c egyenl˝otlenséget, az egyenl˝ otlenség megfordul.


221

1.4 Halmazok 1.126.

A (b)-ben szerepl˝ o halmazzal: A ∪ B = {x : x 6∈ A ∧ x 6∈ B}.

1.128.

Igaz az ´ all´ıt´ as. x ∈ (A \ B) ⇐⇒ (x ∈ A) ∧ (x ∈ / B) ⇐⇒ (x ∈ A) ∧ (x ∈ B) ⇐⇒ ⇐⇒ x ∈ (A ∩ B)

1.131.

Nem igaz, legyen péld´ aul A = B = {1} ⊂ R. Ekkor A\B = A = R\{1}, viszont A \ B = A = {1}.

1.132.

Nem igaz, legyen péld´ aul A = B = {1}. Ekkor (A ∪ B) \ A = ∅ = 6 B.

1.135.

Igaz az ´ all´ıt´ as. Els˝ o bizony´ıt´ as. Megmutatjuk, hogy A \ B ⊂ A \ (A ∩ B), és azt is, hogy A \ (A ∩ B) ⊂ A \ B. Legyen x ∈ A \ B tetsz˝oleges. Ekkor x ∈ / B és ezért x ∈ / A ∩ B. Mivel x ∈ A, ezért x ∈ A \ (A ∩ B). Legyen most x ∈ A \ (A ∩ B) tetsz˝oleges. Ekkor x ∈ / A ∩ B. Mivel ´ x ∈ A, ezért x ∈ / B \ A. Igy tehát x ∈ / (B \ A) ∪ (A ∩ B) = B. Eszerint x ∈ A \ B. M´ asodik bizony´ıt´ as. (lásd a 1.128. feladatot) A \ (A ∩ B) = A ∩ (A ∩ B) = A ∩ (A ∪ B) = (A ∩ A) ∪ (A ∩ B) = = ∅ ∪ (A ∩ B) = (A ∩ B) = A \ B

1.136. A \ (B ∪ C) 1.138. ((A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)) \ (A ∩ B ∩ C) 1.140. x ∈ (A ∪ B) ⇐⇒ x ∈ / (A ∪ B) ⇐⇒ (x ∈ / A) ∧ (x ∈ / B) ⇐⇒ ⇐⇒ (x ∈ A) ∧ (x ∈ B) ⇐⇒ x ∈ (A ∩ B)


222

1.5 A val´ os sz´ amok axi´ omarendszere 1.144.

(a) Nem igaz, péld´ aul x = −1, A = 0 esetén. (b) Igaz. Mivel az els˝ o egyenl˝otlenség, |x| < A bal oldala nem negat´ıv, ezért saj´ at mag´ aval szorozható, azaz |x|2 < A2 . Mivel |x|2 = |x2 | ezért |x2 | < A2 .

1.147.

(a) A H halmaznak nincs minimuma (minimális eleme). (b) H-nak nincs maximuma. (c) H-nak van maximuma. (d) A H halmaznak van minimuma.

1.149. 1.152.

A (b) ´ all´ıt´ as nem igaz, a többi igaz. ∞ \

An = {0}

n=1

1.157.

1.153.

∞ \

Bn = ∅

n=1

Form´ alisan: ∃x ∈ H ∀y ∈ H (x > 2 ∧ y ≥ x2 ) Ez az ´ all´ıt´ as egyetlen H ⊂ R esetén sem teljes¨ ul, mert y = x választással ha x > 2 (x > 1) akkor x < x2 .

1.158.

M=

∞ \

In = {0}

n=1

Mivel minden n ∈ N+ esetén −1/n ≤ 0 ≤ 1/n, azaz 0 ∈ In , ezért 0 ∈ M . Ha x 6= 0, akkor van olyan k ∈ N+ , amelyre 1/k < |x|. Erre a k-ra x ∈ / Ik = [−1/k, 1/k]. 1.159.

M=

∞ \

In = {0}

n=1

1.164.

M=

∞ \

In = {0}

n=1

Mivel minden n ∈ N+ esetén 0 < 1/n azaz 0 ∈ In , ezért 0 ∈ M . Ha x 6= 0, akkor van olyan k ∈ N+ , amelyre 1/k < |x|. Erre a k-ra x∈ / Ik = [0, 1/k).


1.165.

M=

∞ \

223

In = ∅

n=1

Mivel minden n ∈ N+ esetén 0 ∈ / In , ezért 0 ∈ / M . Ha x 6= 0, akkor van olyan k ∈ N+ , amelyre 1/k < |x|. Erre a k-ra x ∈ / Ik = (0, 1/k]. 1.166.

Egyed¨ ul a 1.166.e ´ all´ıt´ as igaz.

1.168.

Nem lehet a Cantor-axióma miatt.

1.174.

Nem lehet. Ak´ arh´ any z´ art intervallum metszete vagy u ¨res, vagy egy pont, vagy egy z´ art intervallum. Ezért a metszet nem lehet valódi ny´ılt intervallum.

1.175.

Lehet, de csak akkor, ha valahonnan kezdve ugyanazok az intervallumok. Legyen ugyanis In = (an , bn ). Az, hogy ezek egymásba vannak skatu” ly´ azva”, azt jelenti, hogy minden n esetén an ≤ an+1 < bn+1 ≤ bn Legyen a = sup an ,

b = inf bn . Tudjuk, hogy a ≤ b.

Négy esetet k¨ ul¨ onb¨ oztet¨ unk meg: 1) a = max an és b = min bn . Ez pontosan akkor teljes¨ ul, ha valahonnan ∞ \ kezdve an = an+1 és bn = bn+1 . Ekkor In = IN = (a, b). n=1

2) a = max an és a bn -ek között nincs minimális. Ekkor

∞ \

In = (a, b],

n=1

ami u ¨res, ha a = b és nem u ¨res balról ny´ılt, jobbról zárt intervallum, ha a < b. ∞ \ 3) an -ek k¨ oz¨ ott nincs maximális, de b = min bn . Ekkor In = [a, b). n=1

4) an -ek k¨ oz¨ ott nincs maximális és a bn -ek között nincs minimális. ∞ \ Ekkor In = [a, b]. n=1

1.176.

A Cantor-axi´ oma kivételél minden teljes¨ ul.

1.180.

Minden véges tizedest¨ ort alakban fel´ırható szám racionális, de például az 1/3-nak nincs véges tizedestört alakja.


224

Pontosan azoknak a racionális számoknak van véges tizedestört alakja, amelyek fel´ırhat´ ok u ´gy két egész szám hányadosaként, hogy a nevez˝onek csak a 2 és az 5 a pr´ımosztói. 1.183.

Az In intervallumsorozatra két feltételt követel meg a Cantor-axióma: 1. Az In -ek korl´ atos z´ art intervallumok. 2. Az In -ek egym´ asba skatulyázottak”, azaz a nagyobb index˝ u inter” vallum része a kisebb index˝ unek. Ha az els˝ o feltételt elhagyom, akkor például az In = (0, 1/n) ny´ılt intervallumsorozat metszete u ¨res. Ha a m´ asodik feltételt hagyom el, akkor például az In = [n, n + 1] zárt intervallumsorozat metszete u ¨res. Megjegyzés: a 2. feltétel helyettes´ıthet˝o azzal a gyengébb feltétellel, hogy bármely véges sok intervallum metszete nem u ¨res. Ha a szerepl˝ o intervallumok tetsz˝oleges t´ıpus´ uak és sem a bal sem a jobb végpontok sorozata nem stabilizálódik”, azaz végtelen sok k¨ ulönböz˝o ” bal és jobb végpont van, akkor (a 2. feltétel meghagyása mellett) a metszet nem u ¨res.

1.6 A sz´ amegyenes 1.186.

B = {2.6}, amely egyetlen pontból áll. Ez a feladat mutatja, hogy a tizedes vessz˝ o haszn´ alata bizonyos helyzetekben félreérthet˝o, hiszen a {2, 6} halmaznak két eleme van.

1.187.

C = (2, 6)

1.188.

D = {2, 3, 4, 5, 6}

1.189.

E = [2, 6]

1.190.

F = (2, 6]

1.191.

G = [2, 6)

1.192.

H = [2, 6] ∩ Q, nem intervallum!

1.196.

1 : n ∈ N+ halmaz alulról korlátos, legnagyobb alsó korlátja n a 0, fel¨ ulr˝ ol is korl´ atos, mert van maximuma, legnagyobb eleme az 1. Mivel alulr´ ol és fel¨ ulr˝ ol is korlátos, ezért korlátos. Az A =


1.201.

1.203.

Az Ip = {n ∈ N : n pr´ımszám ∧ n + 2 pr´ımszám} halmaz, az u ´gynevezett ikerpr´ımek halmaza alulról korlátos, hiszen például a 0 egy alsó korl´ at. Az, hogy fel¨ ulr˝ol nem korlátos, azaz van-e végtelen sok ikerpr´ım, a mai napig (2014. m´ arcius 4.) nem ismert. 1 Ilyen sorozat péld´ aul az an = (−1)n · 1 − , azaz n

an =

 1    1− n

ha n páros

   −1 + 1 n

ha n páratlan

1.206.

∀x ∈ A ∃y ∈ A (y < x)

1.209.

sup(A∪B) = max {sup A, sup B},

1.214.

1.216.

1.220.

1.222.

225

sup(A∩B) = min {sup A, sup B}.

Ha sup(A \ B) 6= ∅, azaz A * B, akkor sup(A \ B) ≤ sup A. 1 + A = :n∈N , inf A = 0, sup A = max A = 1, nincs 2n − 1 minimuma. 1 1 + A= +√ :n∈N esetén inf A = 0, sup A = max A = 2, nincs n n minimuma. 1 1 A= + : n ∈ N+ esetén inf A = 0, sup A = max A = 2, nincs n k minimuma. n√ o n Legyen A = 2 : n ∈ N+ . Az világos, hogy sup A = max A = √ 2. Bel´ atjuk, hogy inf A = 1. Mivel n 2 > 1, ezért 1 alsó korlát. Megmutatjuk, hogy tetsz˝oleges x > 0 esetén 1 + x nem alsó korlát: Mivel a Bernoulli-egyenl˝otlenség szerint (1 + x)n ≥ 1 + nx és 1 + nx > 2 1 ha n > , ezért van olyan n (valahonnan kezdve mindegyik n), hogy x√ 1 + x > n 2.

1.223.

√ Legyen A = n 2n − n : n ∈ N+ . Mivel minden n ∈ N+ esetén 2n ≥ n + 1 a Bernoulli-egyenl˝otlenség szerint, ezért sup A = min A = 1.


226

M´ asrészt 2n − n < 2n , ezért A egy fels˝o korlátja 2. Ez egyben az A halmaz szuprémuma is, sup A = 2, mert √ n

2n − n ≥

p n

1 2n − 2n−1 = 2 · √ n 2

és az el˝ oz˝ o feladat szerint 1 1 + √ =1 :n∈N = sup √ n n 2 inf 2 : n ∈ N+ Mivel 2 ∈ / A, ezért az A halmaznak nincs maximuma. 1.227.

A szuprémum defin´ıci´ oja miatt elég megmutatni, hogy a B halmaz minden fels˝ o korl´ atja az A halmaznak is fels˝o korlátja. Legyen teh´ at K tetsz˝ oleges fels˝o korlátja B-nek, továbbá a ∈ A tetsz˝ oleges. A feltétel szerint van olyan b ∈ B, amelyre a ≤ b. Mivel K fels˝ o korl´ at, ezért b ≤ K is teljes¨ ul. Így tehát tetsz˝oleges a ∈ A esetén a ≤ K, azaz K fels˝ o korlátja A-nak.

1.230.

Q =⇒ P: |x−y| = |(x−A)+(A−y)| ≤ |x−A|+|A−y| = |x−A|+|y−A| < ε+ε = 2ε. P =⇒ 6 Q: Legyen péld´ aul x = y = 0, ε = 1 és A = 2.

1.235.

P =⇒ 6 Q: Legyen például H = (1, 2]. Ekkor P teljes¨ ul de az a = 1 v´ alaszt´ as mutatja, hogy Q nem teljes¨ ul. Q =⇒ 6 P: Legyen például H = {−1}.

´ msorozatok konvergencia ´ ja – Megolda ´ sok 2. Sza

227

Sz´ amsorozatok konvergenci´ aja 2.1 Sorozatok hat´ ar´ ert´ eke 2.1.

Mivel an → 1, ezért megadhatók a keresett k¨ uszöbindexek. (a) ε = 0, 1 √ 1 1 √ |an − 1| = 1 + − 1 = √ < 0, 1 ⇐⇒ n > 10 ⇐⇒ n > 102 n n Teh´ at az n0 = 102 választás megfelel. (b) ε = 0, 01 Az el˝ oz˝o megoldásban 0, 1-et 0, 01-re cserélve kapjuk, hogy az n0 = 104 választás megfelel.

2.2.

Nincs ilyen n0 k¨ usz¨ obindex, ugyanis az el˝oz˝o feladat (a) részének megold´ asa szerint ha n > 104 , akkor |an − 1| < 0, 1. Ezért ezekre az n-ekre |an − 2| = |(an − 1) − (2 − 1)| ≥ |1 − |an − 1|| > 1−0, 1 = 0, 9 > 0, 001.

2.3.

Ezek a feladatok a konvergencia defin´ıciójában szerepl˝o jelek (logikai kvantorok, egyenl˝ otlenség) sorrendjének és t´ıpusának a fontosságát mutatj´ ak meg. (a) Igaz. A 2.1. feladatot általános´ıtva könnyen látható, hogy an → 1 és ez a formula éppen ezt mondja. (b) Nem igaz. Ez a formula pontosan akkor teljes¨ ul egy (an ) sorozatra, ha valahonnan kezdve a sorozat minden tagja 1. A megadott sorozat nem ilyen. (c) Igaz. A formula pontosan akkor teljes¨ ul egy (an ) sorozatra, ha a sorozat korl´ atos. A megadott sorozat korlátos. (d) Nem igaz. A formula pontosan akkor teljes¨ ul egy (an ) sorozatra, ha van olyan ny´ılt (ε sugar´ u) intervallum az 1 kör¨ ul, amelyik a sorozatnak csak véges sok tagját tartalmazza. (e) Igaz. A formula pontosan akkor teljes¨ ul egy (an ) sorozatra, ha a sorozat els˝ o tagja a1 = 1, ugyanis az n0 = 1 választás minden ε esetén megfelel. (f ) Nem igaz. A formula pontosan akkor teljes¨ ul egy (an ) sorozatra, ha a sorozat els˝ o tagja a1 6= 1.


2.4.

228

Megmutatjuk, hogy elég nagy n-re bn > an : 10n2 + 25 ≤ 10n2 + n2 = 11n2 , ha n ≥ 5. M´ asrészt 11n2 < n3 , ha n > 11. Így az N = 11 v´ alaszt´ assal bn > an , ha n > N .

2.6.

Az (an ) a nagyobb valahonnan kezdve: 3n − n2 > 2n + n ⇐⇒ 3n > 2n + n2 + n. Bel´ atjuk el˝ osz¨ or, hogy valahonnan kezdve 2n > n2 . A binomiális kifejtést haszn´ alva n X n n n(n − 1)(n − 2) 2n = (1 + 1)n = > = > k 3 6 k=0 n 3 1 n3 > · = > n2 2 6 48 Ez teljes¨ ul ha egyrészt n − 2 > n > 48 = 23 · 6 esetén

n , azaz n > 4, másrészt n > 48. Tehát 2

2n + n2 + n < 2n + 2n + 2n = 3 · 2n < 3n . Az egyenl˝ otlenség biztosan teljes¨ ul, ha n 3 = (1 + 0, 5)n > 3. 2 Ez ut´ obbi pedig a Bernoulli-egyenl˝otlenség szerint igaz, ha n > 4. Teh´ at ¨ osszefoglalva a keresett N számra kapott feltételeket, az N = 48 v´ alaszt´ as megfelel. 2.8.

A (bn ) a nagyobb valahonnan kezdve: Ha n > 3, akkor n! = 6 · (4 · 5 · · · n) > 6 · 4n−3 =

6 2n 2 > 2n 43

43 27 Az egyenl˝ otlenség teljes¨ ul, ha 2n > = , ez pedig akkor, ha n > 8. 6 3 Teh´ at az N = 8 v´ alasztás megfelel.


2.16.

√ n

229

2 < 1, 01 = 1 + 0, 1 ⇐⇒ 2 < (1 + 0, 1)n

A Bernoulli-egyenl˝ otlenség szerint (1 + 0, 1)n ≥ 1 + 0, 1n > 0, 1n > 2 ha n > 20. 2.17.

√ n

n < 1, 0001 ⇐⇒ n < 1 + 10−4

n

A binomi´ alis kifejtést használva 1 + 10

−4 n

=

n X n k=0

k

−4k

10

n n(n − 1) n2 > 10−8 = > >n 2 2 · 108 8 · 108

ha n > 8 · 108 . 2.25. p

n2

√ p n2 + 5 + n 5 5 2 + 5−n = ( n + 5−n)· √ =√ < < 0, 01 2 2 n n +5+n n +5+n

ha n > 500. 2.28.

P =⇒ Q, mert a legkisebb tag alsó korlát, a legnagyobb pedig fels˝o korl´ at. 1 Q =⇒ 6 P, mert péld´ aul az an = sorozat korlátos, de nincs legkisebb n eleme.

2.29.

(b) igaz, a t¨ obbi nem igaz.

2.40. 2n6 + 3n5 2 = n→∞ 7n6 − 2 7 lim

6 2n + 3n5 2 7(2n6 + 3n5 ) − 2(7n6 − 2) 21n5 + 4 − = = < 7n6 − 2 6 7 7(7n − 2) 7(7n6 − 2) <

21n5 + 4n5 25 1 1 = · < < ε. 7(7n6 − 2n6 ) 35 n n


230

1 Ez ut´ obbi egyenl˝ otlenség biztosan teljes¨ ul, ha n > , és ´ıgy k¨ uszöbinε dexnek megfelel a 1 +1 n0 = ε 2.47.

p p p lim ( n2 + 1 − n) = lim ( n2 − 1 − n) = 0, ezért lim ( n2 + 1 + n→∞ n→∞ n→∞ p n2 − 1 − 2n) = 0. √ ε ulön az an = n2 + 1 − n és a bn = Keress¨ unk k¨ usz¨ obindexet -höz k¨ 2 √ n2 − 1 − n sorozathoz. |an | = teljes¨ ul, ha n >

p

n2 + 1 − n = √

1 1 ε < < n 2 n2 + 1 + n

2 . ε

1 1 ε √ < < . n 2 n2 − 1 2 2 Ez is teljes¨ ul, ha n > , tehát az n0 = megfelel k¨ uszöbindexnek: ε ε p p p p n2 + 1 + n2 − 1 − 2n ≤ n2 + 1 − n + n2 − 1 − n < ε ε < + =ε 2 2 |bn | = n −

p n2 − 1 =

n+

ha n > n0 . 2.49.

(a) Az (an ) sorozat oszcillálva divergens. (b) Az (an ) sorozat konvergens, an → 4. (c) Az (an ) sorozat divergens, an → ∞. (d) Az (an ) sorozat oszcillálva divergens. 1 , n

1 . n2

2.55.

Legyen péld´ aul an =

2.58.

Mivel a > 0, ezért az (an ) sorozatnak csak véges sok tagja lehet negat´ıv, √ ´ıgy valahonnan kezdve an értelmes.

bn =

√ √ |a − a| an − a = √|an − a| √ ≤ n√ an + a a


231

Mivel an → a, v´ alaszthatunk olyan n0 k¨ uszöbindexet, hogy n > n0 √ esetén |an − a| < ε · a legyen. Ez az n0 megfelel a keresett k¨ uszöbindexnek: √ √ an − a ≤ |an√− a| < ε√· a = ε, a a ha n > n0 . 2.61.

Mindegyik ´ all´ıt´ as igaz. Egyed¨ ul a (d) áll´ıtás jelenti azt, hogy an → ∞.

2.66.

A sorozat nem tarthat ∞-hez, de tarthat −∞-hez vagy egy valós számhoz.

2.69.

A sorozat nem tarthat −∞-hez, de a többi eset lehetséges.

2.74. √

1+

√

2 + ··· + n

√

rh i √ n rh i + ··· + n n 1 n n 2 > > · · > n n 2 2

1 n > · · n 2

r

n −1>K 2

ha n > 8K 2 + 2. Teh´ at megfelel˝o k¨ uszöbindex az n0 = [8K 2 + 2] + 1. 2.81.

A feltétel szerint van olyan N szám, hogy n > N esetén an+1 − an > d =

c > 0. 2

Teljes indukci´ oval k¨ onnyen látható, hogy n > N esetén an > aN + d · (n − N ). Mivel lim (aN + d · (n − N )) = ∞, ezért a rend˝or-szabály szerint n→∞ lim an = ∞. n→∞

2.2 A hat´ ar´ ert´ ek tulajdons´ agai 2.84.

Mivel

1 2 → 0 és → 0, ezért a rend˝or-szabály szerint bn → 0. n n


232

2.89.

Semmit sem lehet mondani a (bn ) viselkedésér˝ol, tarthat bárhova és lehet oszcill´ alva divergens is.

2.91.

Elég megmutatni, hogy a2n és a2n+1 ugyanoda tart, mert a két részsorozatra kapott k¨ usz¨ obindexek köz¨ ul a nagyobbik az egész sorozatra is megfelel. Az a6n k¨ oz¨ os részsorozata a2n -nek és a3n -nek, ezért lim a2n = lim a3n .

n→∞

n→∞

M´ asrészt az a6n+3 k¨ ozös részsorozata a2n+1 -nek és a3n -nek, ezért lim a2n+1 = lim a3n .

n→∞

2.95.

n→∞

Mivel a > 0, valahonnan kezdve

a < an < 2a, és ezért 2

√ √ a n < n an < 2a. 2 √ Mivel tetsz˝ oleges c ∈ R+ esetén n c → 1, ezért a rend˝or-szabály szerint √ n an → 1. r n

2.100. an + 1 − 2 2 an − 1 = =1− →0 an + 1 an + 1 an + 1 Fejezz¨ uk ki an -t bn seg´ıtségével: bn =

2 = 1 − bn , an + 1

an + 1 =

2 , 1 − bn

an =

2 −1 1 − bn

A hat´ arérték m˝ uveleti szabályait alkalmazva kapjuk, hogy an → 1. 2.102.

Valahonnan kezdve 0 ≤

2.107.

P =⇒ 6

√ n

an < 0, 5, és ezért 0 ≤ an < 0, 5n → 0.

1 Q: legyen például an = √ n Q =⇒ P: Legyen lim an = a > 0. n→∞

Els˝ o eset: a = ∞. Ekkor van olyan N k¨ uszöbindex, hogy n > N esetén an > 1 ≥

1 . n


233

a M´ asodik eset: 0 < a < ∞: Válasszunk az ε = -höz egy N k¨ uszöbin2 dexet, amelyre 1 |an − a| < ε és < ε. n ha n > N . De akkor 1 a < ε = = a − ε < an . n 2 2.111.

Az ´ all´ıt´ asb´ ol k¨ ovetkezik, hogy an → ∞, rend˝or-szabály a végtelenre”: ” Legyen ugyanis K ∈ R tetsz˝oleges. Mivel bn → ∞, ezért van olyan N k¨ usz¨ obindex, hogy n > N esetén K < bn . De a feltétel szerint ezekre az n-ekre K < an is igaz.

2.114.

Semmi sem k¨ ovetkezik: az (an ) sorozat lehet konvergens, például ha an = 0, tarthat ∞-hez, péld´ aul ha an = bn − 1 vagy −∞-hez, péld´ aul ha an = −n, de lehet oszcill´ alva divergens is, például ha an = (−1)n .

2.118.

Korl´ atos, mert konvergens, √ lim

1+

n→∞

√

2 + ··· + n2

√

n

= 0,

ugyanis √ √ √ √ √ √ √ 1 + 2 + ··· + n n + n + ··· + n n n 1 0< ≤ = 2 = √ → 0. 2 2 n n n n 2.120.

Mivel valahonnan kezdve 2n < 3 √ = n 2

r n

1 n 3 , ezért 2

√ √ 1 n 3n − 3n < n 3n − 2n < 3n = 3, 2

3 ha n elég nagy. Az egyenl˝otlenség baloldala √ → 3, és ezért a rend˝orn 2 szab´ aly szerint √ n 3n − 2n → 3.


2.125.

234

Hozzuk egyszer˝ ubb alakra a sorozat tagjait: an =

1 − 2 + 3 − · · · − 2n (1 − 2) + (3 − 4) + · · · + (2n − 1 − 2n) √ √ = = n2 + 1 n2 + 1 n = −√ 2 n +1

Végig osztva a sz´ aml´ alót és a nevez˝ot a nevez˝o nagyságrendjével, n-nel, kapjuk, hogy an = − √

1 n = −r → −1. n2 + 1 1 1+ 2 n

2.131.

A 2.181. feladat szerint n 1 1+ ≥ 2. n an =

2.140.

1 1+ n

1+

n2

1 n

n monoton növ˝o sorozat, és ezért

n 2 1 = 1+ ≥ 2n → ∞. n

Ennél a t¨ ortnél a nevez˝ o nagyságrendje” 7n , de a váltakozó el˝ojel prob” 2n + 3n lém´ at okoz. Megmutatjuk, hogy an = n → 0. Ehhez elég azt 4 + (−7)n megmutatni, hogy |an | → 0.

n 2 + 3 n 2n + 3 n ≤ |an | = n = 4 + (−7)n 7n − 4n

2.146.

P =⇒ 6 Q: legyen 1 ha n páros , an = 1/n ha n páratlan

n n 2 3 + 7 7 n → 0. 4 1− 7

bn =

1/n 1

ha n páros ha n páratlan

1 , bn = n n Megjegyzés: Ha az egyik sorozat 0-hoz tart, a másik pedig korlátos, akkor igaz, hogy an · bn tart 0-hoz.

Q =⇒ 6 P: legyen an =


2.152.

an an konvergens és lim > 0: n→∞ bn bn an an (b) konvergens és lim = 0: n→∞ bn bn an an (c) divergens és lim = ∞: n→∞ bn bn (a)

an (d) oszcill´ alva divergens: bn

2.155.

P =⇒ 6 Q: legyen például an = n + 1, Q =⇒ P: Mivel bn → ∞ ezért

an = n,

bn = n + 1.

an = n,

bn = n2 .

an = n2 ,

bn = n.

n n2

ha n páros , ha n páratlan

n2 n


an = bn =

235

bn = n.

1 an − bn an → 0 és ´ıgy = − 1 → 0. bn bn bn

2.3 Monoton sorozatok 2.159.

– Két pozit´ıv tag´ u monoton növ˝o/csökken˝o sorozat szorzata monoton n˝ o/cs¨ okken. – Két negat´ıv tag´ u monoton növ˝o/csökken˝o sorozat szorzata monoton cs¨ okken/n˝ o. – Egy pozit´ıv tag´ u monoton növ˝o és egy negat´ıv tag´ u monoton csökken˝ o sorozat szorzata monoton csökken. – Egy pozit´ıv tag´ u monoton csökken˝o és egy negat´ıv tag´ u monoton n¨ ov˝ o sorozat szorzata monoton n˝o. M´ as esetekben nem ´ all´ıthatjuk biztosan, hogy a szorzat monoton.

2.164.

Teljes indukci´ oval k¨ onnyen bizony´ıtható, hogy an > a1 · (1, 1)n−1 . Elég 106 teh´ at tal´ alnunk egy olyan n-et, amelyre 1, 1n−1 > . A Bernoullia1 egyenl˝ otlenség szerint 1, 1n−1 = (1 + 0, 1)n−1 ≥ 1 + (n − 1) · 0, 1 > (n − 1) · 0, 1 >

Ez biztosan teljes¨ ul, ha n − 1 >

107 107 , azaz ha n > + 1. a1 a1

106 . a1


2.168.

236

Els˝ o lépésként bel´ atjuk, hogy a sorozat minden tagja pozit´ıv, de ez teljes indukci´ oval nyilv´ anvaló. Most már jobb alsó becslést is mondhatunk a sorozat tagjaira: a (két tag´ u) számtani és mértani közepek közötti egyenl˝ otlenség szerint r √ a 1 a an+1 = an + ≥ an · = a. 2 an an Bel´ atjuk, hogy n = 2-t˝ol kezdve az (an ) sorozat monoton csökken. Felhaszn´ alva, hogy an > 0 √ 1 a an + ≤ an ⇐⇒ a2n + a ≤ 2a2n ⇐⇒ a2n ≥ a ⇐⇒ an ≥ a. 2 an √ De az el˝ obb m´ ar bel´ attuk, hogy minden n ≥ 2 esetén an ≥ a, tehát a sorozat monoton cs¨ okken és (alulr´ √ ol) korlátos, de akkor konvergens. Legyen lim an = b, és persze b ≥ a. De akkor lim an+1 = b is igaz. n→∞ n→∞ M´ asrészt 1 a a 1 an+1 = an + b+ . → 2 an 2 b Teh´ at

2.173.

√ a 1 b+ = b ⇐⇒ b = a. 2 b

A rekurz´ıv képletb˝ ol könny˝ u kiolvasni, hogy an ≥ 0 (s˝ot azt is, hogy √ an ≥ 2, ha n > 1). Másrészt teljes indukcióval bizony´ıtjuk, hogy an < 2. n = 1 re ez igaz. Tegy¨ uk fel, hogy n-re igaz, hogy an < 2. √ √ an+1 = 2 + an < 2 + 2 = 2. √ Megmutatjuk, hogy a sorozat monoton n˝o. Oldjuk meg a 2 + x ≥ x egyenl˝ otlenséget a nemnegat´ıv számok körében: √ 2 + x ≥ x ⇐⇒ 2 + x ≥ x2 ⇐⇒ x2 − x − 2 ≤ 0 ⇐⇒ 0 ≤ x ≤ 2. Mivel m´ ar bel´ attuk, hogy 0 ≤ an < 2, ezért x helyébe ´ırhatunk an -et, és ´ıgy an+1 ≥ an . Tehát (an ) monoton n˝o és (fel¨ ulr˝ol) korlátos, ezért konvergens. Legyen a = lim an . Mivel a sorozat tagjai nemnegat´ıvok, n→∞ ezért a ≥ 0. A hat´ arérték m˝ uveleti szabályai és a rekurz´ıv képlet miatt √ a = 2 + a ⇐⇒ a = 2.


2.180.

a1 > 0 és ha an > 0, akkor

an+1 = an +

n-re an > 1. A rekurz´ıv képlet szerint an+1 − an =

237

1 > 0, ezért minden a3n + 1

1 > 0, a3n + 1

teh´ at a sorozat (szigor´ uan) monoton n˝o. Indirekt módon megmutatjuk, hogy a sorozat nem konvergens és ezért nem is korlátos. Ha lim an = n→∞

a, akkor a ≥ 0, mert an ≥ 0, és ezért a3 + 1 6= 0. a=a+

1 . a3 + 1

De ennek az egyenletnek nincs megoldása! Tehát (an ) monoton n˝o és nem korl´ atos, ezért an → ∞. 2.181.

Megmutatjuk, hogy a sorozat szigor´ uan monoton n˝o. Felhasználva az n + 1 tag´ u sz´ amtani és mértani közepek egyenl˝otlenségét n+1 1 n n n+1 1 + n · 1 + n  1 1  = 1+ 1 1+ = 1· 1 + < .   n n n+1 n+1



Most bel´ atjuk, hogy n n 1 1 1 < 4 ⇐⇒ 1+ < 1. 1+ n 4 n Most n + 2 tagra használva a számtani és mértani közepek egyenl˝otlenségét n+2 1 1 1 + + n · 1 + 2 2 n   < = 1.   n+2 

1 4

1+

1 n

n =

1 1 · 2 2

1+

1 n

n

n 1 Teh´ at az 1 + sorozat konvergens. A sorozat határértékét Eulern konstansnak nevezz¨ uk és e-vel jelölj¨ uk. Belátható, hogy 2 < e < 3, e irracion´ alis (s˝ ot transzcendens) és e = 2, 71 . . . .


238

2.4 A Bolzano-Weierstrass-t´ etel ´ es a Cauchy-krit´ erium 2.186.

P =⇒ 6 Q: legyen an = (−1)n Q =⇒ P: Ha (an ) konvergens, akkor minden részsorozata is konvergens (és ugyanoda tart).

2.189.

Ez a feltétel nem elég (viszont sz¨ ukséges) a konvergenciához. Ha például √ √ √ √ an = n, akkor n + 1 − n → 0 de n → ∞.

2.195.

Az (an ) sorozatnak pontosan akkor nincs konvergens részsorozata a Bolzano-Weierstrass-tétel szerint, ha nincs korlátos részsorozata. Ez akkor igaz, ha minden K > 0 valós számra csak véges sok tagja van a sorozatnak a [−K, K] intervallumban, azaz véges sok n kivételével |an | > K. Ez pedig éppen azt jelenti, hogy |an | → ∞.

2.198.

Bel´ atjuk, hogy a sorozatra teljes¨ ul a Cauchy-kritérium. Legyen ε > 0 tetsz˝ oleges, tov´ abb´ a n < m. |an − am | = |(an+1 − an ) + (an+2 − an+1 ) + · · · + (am − am−1 )| ≤ ≤ |an+1 − an | + |an+2 − an+1 | + · · · + |am − am−1 | ≤ ≤ 2−n + 2−(n+1) + · · · + 2−(m−1) = = 2−n · 2 · 1 − 2−(m−n) < 2−(n−1) . Mivel 2−(n−1) → 0, ezért valahonnan kezdve |an − am | < 2−(n−1) < ε.

2.5 Sorozatok nagys´ agrendje 2.203. nn ∼ n! + nn ,

√

n∼

√

n + 1.

M´ as aszimptotikusan egyenl˝o pár nincs a sorozatok között. √ n 2 √ → 1, de ezek a sorozatok nem tartanak ∞-hez. n n

Habár


239

2.210. n 3, 1 3, 01n 3 = n . n n 2 +3 2 +1 3

3, 1 Itt a sz´ aml´ al´ o ∞-hez tart, mert > 1, a nevez˝o pedig 1-hez, mert 3 2 < 1. Teh´ at 3 3, 01n = ∞. lim n n→∞ 2 + 3n 2.216.

A nevez˝ o nagys´ agrendje 2n . n n! 3 − n! − 3n 2n 2 = . n10 − 2n n10 − 1 2n n10 Mivel n → 0, ezért a nevez˝o −1-hez tart. Viszont a számláló még 2 mindig kritikus, ulönbsége. Felhasználent végtelenhez tartó sorozat k¨ nk´ , va, hogy n! > 4 n n n n 3 3 24 3 n! n n − > − > − > 2n 2 8 2 8 2 n n n 3 3 3 >2· − = , 2 2 2 ha n ≥ 24. Így teh´ at a számláló ∞-hez tart és n! − 3n → −∞. n10 − 2n

2.6 Vegyes feladatok 2.222.

A sorozat nem ´ all el˝ o az (1/n) sorozat v´ eges sok tag´ u o¨sszegeként, hiszen az an -ben szerepl˝o összeg tagjainak a száma tart végtelenhez. Teh´ at az els˝ o okoskod´ as a hibás.


2.225.

an → 0. Ugyanis van olyan N k¨ uszöbindex, hogy n > N esetén n √ 2 2 0 < n an < ⇐⇒ 0 < an < 3 3 n 2 → 0, ezért a rend˝or-szabály szerint an → 0. Mivel 3

2.228.

ann → 0. Ugyanis van olyan N k¨ uszöbindex, hogy n > N esetén n 2 2 n 0 < an < , ⇐⇒ 0 < an < 3 3 n 2 Mivel → 0, ezért a rend˝or-szabály szerint ann → 0. 3

2.232.

Legyen péld´ aul an =

1 . n

240

´ s f¨ ńyek hata ´ re ´rte ´ke, folytonossa ´ ga – Megolda ´ sok 241 3. Valo uggve

Val´ os fu enyek hat´ ar´ ert´ eke, folytonoss´ aga ¨ ggv´ 3.1 Fu enyek glob´ alis tulajdons´ agai ¨ ggv´ 3.3.

Igen, f¨ uggvény. A neve Dirichlet-f¨ uggvény.

3.8.

−∞ < x < 0.

3.11.

Írjuk fel a f¨ uggvények értelmezési tartományát és a f¨ uggvény formulát egyszer˝ ubb alakban: √ (a) f1 (x) = x, (b) f2 (x) = x2 = |x| , Df1 = (−∞, ∞) Df2 (−∞, ∞) √ 2 (c) f3 (x) = x =x Df3 = [0, ∞)

(d) f4 (x) = ln ex = x Df4 = (−∞, ∞)

(e) f5 (x) = eln x = x Df5 = (0, ∞)

√ 2 −x = |x| (f ) f6 (x) = Df6 = (−∞, 0]

Mivel két f¨ uggvény pontosan akkor egyezik meg, ha megegyezik az értelmezési tartom´ anyuk és minden helyen ugyanazt az értéket veszik fel, ezért csak az f1 és az f4 f¨ uggvények egyeznek meg egymással. 3.14.

P´ aratlan.

3.19.

Páros.

3.22.

P´ aros is és p´ aratlan is.

3.25.

Se nem páros, se nem páratlan.

3.28.

Igaz.

x 5

ha x 6= −5 ha x = −5

3.29.

Nem igaz, péld´ aul f (x) =

3.34.

1 A ctg x és az f¨ uggvény az egész értelmezési tartományán (szigor´ uan) x cs¨ okken, a t¨ obbinek vannak monoton növ˝o szakaszai.


(a)

(b)

[

]

[

(c)

]

[

]

[

]

(d)

) (

]

(e)

(f )

]

(g)

]

]

(h)

(

3.38.

[

( )

) (

) (

)

Igaz. Két szigor´ uan monoton csökken˝o (növ˝o) f¨ uggvény összege szigor´ uan monoton cs¨ okken (n˝o).


3.39.

´ Altal´ aban nem igaz, például ha f (x) = g(x) = −x, akkor f (x) · g(x) = 2 x nem (minden¨ utt) csökken. Ha viszont mindkét f¨ uggvény pozit´ıv és szigor´ uan monoton csökken (n˝ o), akkor a szorzatuk is szigor´ uan monoton csökken (n˝o).

3.43.

Alulr´ ol korl´ atos, legnagyobb alsó korlát a 0. Fel¨ ulr˝ol nem korlátos.

3.47.

Alulr´ ol korl´ atos, legnagyobb alsó korlát a 0. Fel¨ ulr˝ol is korlátos, legkisebb fels˝ o korl´ at az 1.

3.51.

∀x ∈ R (f (x) ≤ f (3)). Például f (x) = −(x − 3)2 .

3.54.

∀x ∈ R ∃y ∈ R (f (y) < f (x)). Például f (x) = x.

3.57.

m = 0, M nem létezik.

3.60.

m = −1,

3.63.

m = −1,

3.66.

Például arctg x.

3.68.

M = 0. x Péld´ aul f (x) = 0

M = 1.

ha − 1 < x < 1 ha x = −1 vagy x = 1

3.74.

2π

3.76.

4π

3.78.

2π

3.79.

2π

3.82.

A Dirichlet-f¨ uggvénynek minden nem nulla racionális szám periódusa, ezért nincs legkisebb periódusa.

3.86.

A

√

x f¨ uggvény (szigor´ uan) konkáv a (0, ∞) félegyenesen.

Elég bel´ atni, hogy minden 0 < a < x < b esetén √ √ √ √ b− a x> (x − a) + a b−a azaz √ √ √ √ x− a b− a > . x−a b−a ´ Atalak´ ıt´ as ut´ an √ √ √ √ √ √ 1 1 √ √ >√ √ ⇐⇒ b + a > x + a ⇐⇒ b > x. x+ a b+ a Mivel a feltevés szerint 0 < x < b, ezért az utolsó egyenl˝otlenség igaz.


3.92.

P =⇒ 6 Q: Péld´ aul f (x) = sin πx Q =⇒ P: Ha az f (x) f¨ uggvény konvex (−1, 3)-on, akkor minden −1 < a < b < 3 és 0 < t < 1 esetén f (ta + (1 − t)b) ≤ tf (a) + (1 − t)f (b). 1 Az a = 0, b = 2, t = választással épp a P-ben szerepl˝o egyenl˝otlen2 séget kapjuk.

3.96.

A h´ ur egyenlete h(x) =

log7 4 − log7 2 log7 2 (x − 2) + log7 2 = x. 4−2 2

Írjunk x helyébe 3-at. Mivel log7 x konkáv, ezért log7 3 ≥ h(3) =

3.100.

3.112.

3 log7 2 log7 8 log7 2 + log7 4 = = . 2 2 2

Mivel a f¨ uggvény a [2, 4] intervallumon egyszerre konvex és konk´ av, ezért itt csak lineáris kifejezés lehet. Legyen péld´ aul  ha 1 ≤ x ≤ 2  (x − 2)2 0 ha 2 < x ≤ 4 f (x) =  −(x − 4)2 ha 4 < x ≤ 5

3

Az x, x ,

√ 3

x és az f (x) =

1/x 0

ha x 6= 0 f¨ uggvények bijekciók, ha x = 0

a t¨ obbi nem az. √

3.114.

f (x) = x2 invert´ alható [0, ∞)-en, itt f −1 (x) = √ f −1 (x) = −x.

3.116.

f (x) = sin x tetsz˝ oleges n ∈ Z esetén invertálható a [−π/2 + nπ, π/2 + nπ] intervallumon. Az inverz f¨ uggvény minden esetben a [−1, 1] zárt

x és (−∞, 0]-n, itt


intervallumon van értelmezve. Ha arcsin x jelöli a sin x inverzét a [−π/2, π/2] intervallumon, akkor a [−π/2+nπ, π/2+nπ] intervallumon f −1 (x) =

nπ + arcsin x nπ − arcsin x


vagy m´ asképp fel´ırva f −1 (x) = nπ + (−1)n arcsin x.

3.122.

(a) Van ilyen, de csak egy, az azonosan nulla f¨ uggvény. Az, hogy egy f¨ uggvény grafikonja szimmetrikus az x tengelyre, pontosan akkor teljes¨ ul, ha minden x ∈ Df esetén f (x) = −f (x). (b) Van, péld´ aul az f (x) = x2 f¨ uggvény. Az, hogy egy f¨ uggvény grafikonja szimmetrikus az y tengelyre, pontosan akkor teljes¨ ul, ha minden x ∈ Df esetén f (−x) = f (x), azaz a f¨ uggvény páros.

3.125.

Bel´ atjuk, hogy az f (x) f¨ uggvénynek a 4 periódusa. El˝obb fejezz¨ uk ki f (x + 2)-t f (x) seg´ıtségével:

1 + f (x + 1) = f (x + 2) = 1 − f (x + 1)

1 + f (x) 1 1 − f (x) =− . 1 + f (x) f (x) 1− 1 − f (x) 1+

Mivel ez minden x-re igaz, f (x + 4) = −

3.128.

1 =− f (x + 2)

1 = f (x). 1 − f (x)

A h = g ◦ f f¨ uggvény minden¨ utt értelmezve van és h(x) = g(f (x)) = x. A g(x) f¨ uggvény mégsem az f f¨ uggvény inverze, mert értelmezési tartom´ anya b˝ ovebb mint f értékkészlete.


f (x)

g(x)

f −1 (x)

3.2 A hat´ ar´ ert´ ek 3.130. (a)lim f (x) = 0 x→−2

3.133.

(b) lim f (x) = −1 x→−1

(c) lim f (x) nem létezik. x→0

Igazak: (b), (d), (e), (f). Hamisak: (a), (c), (g), (h), (i), (j), (k), (l).

3.136.

lim 5x = 5 · lim x = 5 · 3 = 15

x→3

3.139. 3.142.

x→3

−2 1 −2 = =− x→1 7x − 3 7·1−3 2 lim

lim x sin x = x→π/2

π π π sin = 2 2 2

3.148.

t2 + t − 2 (t − 1)(t + 2) t+2 3 = = −→ = 2 t −1 (t − 1)(t + 1) t + 1 t→1 2

3.149.

t2 + 3t + 2 (t + 1)(t + 2) t+2 1 = = −→ − 2 t −t−2 (t + 1)(t − 2) t − 2 t→−1 3

3.154.

√ B˝ ov´ıts¨ uk a t¨ ortet x + 1-gyel (a számláló gyöktelen´ıtése”). ” √ √ √ x−1 ( x − 1)( x + 1) x−1 1 1 √ √ = = =√ −→ x−1 (x − 1)( x + 1) (x − 1)( x + 1) x + 1 x→1 2


3.155.

A t = 1 + x2 helyettes´ıtést elvégezve és az el˝oz˝o feladat eredményét felhaszn´ alva: √ √ 1 + x2 − 1 t−1 1 = lim lim = t→1 t − 1 x→0 x2 2 Helyettes´ıtés nélk¨ ul, gyöktelenitéssel”: ” √ √ √ 2 x2 1+x −1 1 + x2 − 1 1 + x2 + 1 √ √ = · = = 2 2 x x 1 + x2 + 1 x2 ( 1 + x2 + 1) 1 1 =√ −→ 1 + x2 + 1 x→0 2

3.156.

Mivel a sin x p´ aratlan f¨ uggvény, ezért elég a jobboldali” határértéket ” π kisz´ amolni. Ha 0 < x < , akkor 2 0 < sin x < x < tg x Osszuk el az egyenl˝ otlenségeket a pozit´ıv sin x-szel: 1<

1 x < sin x cos x

Mivel a szerepl˝ o kifejezések mind pozit´ıvak, vehetj¨ uk az egyenl˝otlenségek reciprokait: sin x cos x < <1 x Tudjuk, hogy lim cos x = 1, mert a cos x f¨ uggvény folytonos a 0-ban. x→0

Ezért alkalmazhat´ o a rend˝or-szabály: lim

x→0

3.157.

sin x = 1. x

B˝ ov´ıts¨ uk a t¨ ortet 1 + cos x-szel: (1 − cos x)(1 + cos x) sin2 x 1 1 1 − cos x = = · → x2 x2 (1 + cos x) x2 1 + cos x 2

3.162.

tg 2x tg 2x sin 2x 2 sin t 2 = ·2= · = · −→ 2. x 2x 2x cos 2x t cos t t→0 Itt felhaszn´ altuk, hogy t = 2x → 0 ha x → 0.


3.167.

Osszuk el a sz´ aml´ al´ ot és a nevez˝ot a nevez˝o nagyságrendjével, x-szel. ∞ Ezzel megsz¨ untetj¨ uk a határérték kritikusságát”, a esetet. Ha x > ” ∞ 0, akkor 1 2x − 7 + 2x2 − 7x + 1 x √ =r → ∞, ha x → ∞. x2 + 1 + 1 1 1 1+ 2 + x x

3.172.

3.176.

3.180.

A −∞-ben ugyanezt a határértéket kapjuk, ha negat´ıv x esetén nagy” s´ agrendnek” a |x|-szet választjuk. √ 1 x √ 2 + 2 2 x + x−1 0+0 x x = =0 → 7 3x − 7 3−0 3− x 7 1 2− + 2 2x2 − 7x + 1 x x √ =r →2 x4 + 1 + 1 1 1 1+ 4 + 2 x x lim−

3 3 = − = −∞, x−2 0

lim+

4 4 = lim− =∞ 2 (x − 7) x→7 (x − 7)2

x→2

3.184.

x→7

3.190.

Legyen a =

√ k

lim+

x→2

3 = ∞. x−2

e > 1.

x k xk = → 0. ex ax Ez az eredmény ´ altal´ anosabban azt jelenti, hogy az exponenciális f¨ uggvény minden polinomnál gyorsabban tart a végtelenbe. 3.191.

Vezess¨ uk be a t = ln x helyettes´ıtést. Ekkor √ k és ezért

x=

√ k

et =

t √ k e = at ,

ln x t lim √ = lim t = 0. k t→∞ a x

x→∞

Eszerint teh´ at a logaritmus-f¨ uggvény minden gyökös kifejezésnél lassabban tart a végtelenbe.


3.196.

Legyen péld´ aul f (x) =

x2 1

ha x ∈ Q ha x ∈ /Q

Ennek a f¨ uggvénynek az x = −1-ben és az x = 1-ben van határértéke, de m´ asutt nincs. 3.198.

Legyen p > 0 egy (pozit´ıv) periódus, a és b pedig két olyan valós szám, amelyre f (a) 6= f (b). Ekkor xn = a + n · p → ∞, f (a) = f (xn ) → f (a), yn = b + n · p → ∞, f (b) = f (yn ) → f (b). Az ´ atviteli elv szerint lim f (x) nem létezik. x→∞

3.203.

P =⇒ Q: A szorz´ asi szabály szerint lim f 2 (x) =

x→∞

lim f (x) · lim f (x) = 5 · 5 = 25.

x→∞

x→∞

Q =⇒ 6 P: Legyen például f (x) = −5. 3.206.

(a) an = sin(nπ) = 0 → 0. (b) Az f (x) = sin x f¨ uggvény nem konstans periodikus f¨ uggvény, ezért nincs hat´ arértéke a végtelenben (lásd a 3.198. feladatot). 1 (c) an = = 0, ha n > 1, ezért an → 0. n (d) Mivel lim [x] = 0 6= −1 = lim [x], ezért az f (x) = [x] (x egészx→0+

x→0−

része) f¨ uggvénynek nincs határértéke a 0-ban.

3.208.

ha valamely n-re x = 1/n . k¨ ulönben 1 = 5 → 5. Ennek a f¨ uggvénynek nincs határértéke 0-ban, de f n

P =⇒ 6 Q: Legyen például f (x) =

5 0

1 Q =⇒ P: Az ´ atviteli elv szerint, mivel → 0 és lim f (x) = 5, ezért x→0 n 1 f → 5. n


3.212.

P =⇒ Q: Az ´ atviteli elv szerint ez tetsz˝oleges f¨ uggvény esetén is igaz. Q =⇒ P? Ha az f f¨ uggvény monoton ((c) eset), akkor van (véges vagy végtelen) hat´ arértéke a végtelenben és akkor az átviteli elv miatt ez csak 0 lehet. A t¨ obbi esetben nem igaz a következtetés: legyen f (x) = sin(πx). Ez egy folytonos és korlátos (nem konstans) periodikus f¨ uggvény és nincs hat´ arértéke a végtelenben. De minden n-re f ((n) = 0.

3.3 Folytonos fu enyek ¨ ggv´ 3.216.

(a) Ez a f¨ uggvény a D(x) Dirichlet-f¨ uggvény, sehol sem folytonos, s˝ot hat´ arértéke sincs. Ugyanis tetsz˝oleges a ∈ R esetén van olyan xn ∈ Q és yn ∈ / Q sorozat, amelyre a 6= xn , a 6= yn , xn → a és yn → a. De ´ıgy D(xn ) → 1 és D(yn ) → 0. Az átviteli elv miatt ezért a-ban nincs határértéke a D(x) f¨ uggvénynek. (b) f (x) folytonos a 0-ban (de másutt nem). Legyen ugyanis ε > 0 tetsz˝ oleges. δ = ε. Ha |x − 0| = |x| < δ, akkor |f (x) − f (0)| = |f (x)| = |x| < ε = δ.

3.221.

(a) A h = f + g f¨ uggvény nem folytonos 3-ban. Indirekt módon, ha az lenne, akkor a m˝ uveleti szabályok miatt a g = h − f is folytonos lenne. (b) f · g lehet folytonos 3-ban, de csak u ´gy, ha f (3) = 0. Legyen péld´ aul f (x) = 0 és g(x) = D(x) a Dirichlet-f¨ uggvény.

3.224.

3.226. 3.229.

x2 − 4 f¨ uggvény az x = −2 kivételével minden¨ utt folytonos. Az x+2 2 x −4 x = −2-ben megsz¨ untethet˝o szakadása van, lim = −4. x→−2 x + 2 Az

Az

√

x f¨ uggvény folytonos, ha x > 0. A 0-ban jobbról folytonos. 2 x +2 ha x ≥ 0 Az f (x) = f¨ uggvény pontosan akkor folytonos mx + c ha x < 0 a 0-ban, ha balr´ ol is és jobbról is folytonos. Az f (x) jobbról”, azaz ” x ≥ 0 esetén megegyezik az x2 + 2 f¨ uggvénnyel, amelyik minden¨ utt, teh´ at 0-ban is folytonos. Az f (x) f¨ uggvény x < 0 esetén megegyezik az mx + c f¨ uggvénnyel, amelynek baloldali” határértéke 0-ban c. Ezért tehát az f f¨ uggvény ” pontosan akkor folytonos 0-ban, ha 2 = f (0) = c.


sin x ha x 6= 0 f¨ uggvény pontosan akkor folytonos a x c ha x = 0 0-ban, ha itt van hat´ arértéke és az megegyezik a helyettes´ıtési értékkel. (

3.230.

Az f (x) =

lim f (x) = lim

x→0

x→0

sin x = 1 és f (0) = c. x

Így teh´ at a c = 1 esetben lesz a f¨ uggvény folytonos a 0-ban. 3.233.

Legyen p(x) tetsz˝ oleges harmadfok´ u polinom. Elég azt az esetet vizsg´ alni, amikor p(x) f˝ oegy¨ utthatója (az x3 -ös tag egy¨ utthatója) pozit´ıv. De akkor lim p(x) = ∞, lim p(x) = −∞. x→∞

x→−∞

Ezért a p(x) f¨ uggvény biztosan felvesz pozit´ıv értéket is (valahonnan kezdve p(x) > 0) és negat´ıv értéket is. De akkor a Bolzano-tétel szerint a 0-t is felveszi értékként. 3.236.

Legyen h(x) = f (x) − g(x). A h f¨ uggvény folytonos [a, b]-ben, h(a) ≥ 0, h(b) ≤ 0. A Bolzano-tétel szerint van olyan c ∈ [a, b], amelyre h(c) = f (c) − g(c) = 0.

3.237.

Legyen most h(x) = g(x)−f (x). Ez a h(x) f¨ uggvény pozit´ıv és folytonos [a, b]-n. A Weierstrass-tétel szerint a h(x)-nek van minimuma, azaz van olyan c ∈ [a, b], hogy minden x ∈ [a, b] esetén 0 < m = h(c) ≤ h(x) = g(x) − f (x).

3.242.

P =⇒ 6 Q: Legyen például f (x) =

x2 2

ha x ∈ (1, 2) ha x = 1 vagy x = 2

Q =⇒ P: Az f f¨ uggvény maximuma fels˝o korlát, minimuma pedig alsó korl´ at. 3.245.

Igen, péld´ aul az f (x) = x f¨ uggvény.

3.249.

Az [x] f¨ uggvény monoton növ˝o, ezért minden korlátos zárt intervallumon van maximuma, a jobb végpontban felvett érték. Tehát max {[x] : x ∈ [77, 888]} = [888] = 888.


3.250.

Az f (x) = {x} f¨ uggvénynek nincs maximuma egyetlen olyan [a, b] intervallumon sem, amelynek a hossza legalább 1, ugyanis sup {f (x) : x ∈ [a, b]} = sup {f (x) : x ∈ [a, a + 1]} = = sup {f (x) : x ∈ [0, 1]} = 1, mivel a t¨ ortrész x f¨ uggvény 1 szerint periodikus. Másrészt f (x) = {x} = 6 1.

3.254.

Van ilyen f¨ uggvény, még folytonos  0      3x − 1 f (x) =      1

is: ha 0 < x < 1/3 ha 1/3 ≤ x ≤ 2/3 ha 2/3 < x < 1

3.257.

Van ilyen f¨ uggvény. A 3.254. feladat megoldásában szerepl˝o f¨ uggvény folytonos.

3.258.

Nincs ilyen f¨ uggvény. Indirekt módon tegy¨ uk fel, hogy f (x) folytonos a [0, 1] z´ art intervallumon és értékkészlete a (0, 1) ny´ılt intervallum. A Weierstrass-tétel szerint az f (x) f¨ uggvénynek van maximuma. Legyen ez a maximum M . A feltevés miatt M < 1 és mivel M maximális érték, ezért f (x) ∈ / (M, 1). Ez az ´ all´ıt´ as sokkal ´ altalánosabban is bizony´ıtható, lásd a 3.260. feladatot.

3.260.

Legyen az f f¨ uggvény folytonos az [a, b] intervallumon. A Weierstrasstétel szerint f -nek van minimuma, legyen ez m és maximuma, legyen ez M . Eszerint R(f ) ⊂ [m, M ]. M´ asrészt a Bolzano-tétel szerint az f f¨ uggvény m és M között minden értéket felvesz, azaz R(f ) ⊃ [m, M ].

3.263.

Legyen xn =

π 3π + 2πn, yn = + 2πn. Ha n > 100, akkor 2 2

xn sin xn = xn > 2πn > 100

és

yn sin yn = −yn < −100.

A Bolzano-tétel szerint minden n > 100 esetén van olyan zn ∈ [xn , yn ], amelyre zn sin zn = 100.


Mivel az [xn , yn ] intervallumok diszjunktak, ezért a zn gyökök k¨ ulönb¨ oznek. 3.271.

Az f (x) =

1 f¨ uggvény x

(a) nem egyenletesen folytonos (0, ∞)-en. Megmutatjuk, hogy az ε = 1-hez nincs j´ o” δ > 0. Tetsz˝oleges δ > 0 esetén válasszunk olyan ” n ∈ N+ pozit´ıv egész számot, amelyre 1 1 − < δ. n n+1 Ekkor

1 f 1 − f = 1 ≮ ε. n n+1

(b) egyenletesen folytonos [1, 2]-n a Heine-Borel tétel szerint. (c) egyenletesen folytonos (1, 2)-n, mivel a b˝ovebb [1, 2] halmazon is egyenletesen folytonos. (d) egyenletesen folytonos [1, ∞)-en. Legyen ε > 0 tetsz˝oleges, δ = ε. Ha x, y ≥ 1 és |x − y| < δ, akkor 1 1 |x − y| |f (x) − f (y)| = − = ≤ |x − y| < δ = ε. x y xy

´ lsza ´ m´ıta ´s e ´s alkalmaza ´ sai – Megolda ´ sok 4. A differencia

254

A differenci´ alsz´ am´ıt´ as ´ es alkalmaz´ asai 4.1 A deriv´ alt fogalma 4.2.

f (x) − f (3) = 4, akkor a derivált defin´ıciója szerint az f (x) x−3 f¨ uggvény deriv´ alhat´ o 3-ban és f 0 (3) = 4. A 4.2. áll´ıtás szerint tehát f (x) folytonos 3-ban.

Ha lim

x→3

4.3. 4.5.

4.10.

Nem k¨ ovetkezik, péld´ aul ha f (x) = |x − 3|. √ Ez a hat´ arérték a x f¨ uggvény deriváltját adja meg tetsz˝oleges x > 0 pontban. √ √ √ √ √ √ x+h− x x+h− x x+h+ x 1 1 = ·√ √ =√ √ −→ √ h h x+h+ x x + h + x h→0 2 x Legyen x0 6= 0 tetsz˝ oleges. 1/x − 1/x0 x0 − x 1 1 = =− −→ − x − x0 xx0 (x − x0 ) xx0 x→x0 x20 1 1 f¨ uggvény deriváltja − 2 . x x 2 Az f (x) = x − 1 f¨ uggvény minden¨ utt folytonos, az 1 és a −1 kivételével deriv´ alhat´ o, mert ilyenekb˝ol van összerakva”, azaz alkalmazhatjuk ” a megfelel˝ o m˝ uveleti szabályokat. Megmutatjuk, hogy 1-ben a differenciah´ anyadosnak balr´ ol más a határértéke, mint jobbról, és ezért nem deriv´ alhat´ o. A k¨ ovetkez˝o kifejezésekben feltessz¨ uk, hogy x > 0. (Miért tehet˝ o fel?) 2 x − 1 f (x) − f (1) |x − 1| = = (x + 1) = x−1 x−1 x−1 2 ha x → 1+ = (x + 1) sgn(x − 1) → −2 ha x → 1− Teh´ at az

4.14.

Mivel a f¨ uggvény p´ aros, ezért −1-ben sem deriválható. 4.18.

El˝ obb megvizsg´ aljuk, hogy milyen b és c esetén lesz folytonos a (1 − x)(2 − x) ha x ≥ −3 h(x) = bx + c ha x < −3


255

f¨ uggvény −3-ban. lim h(x) = lim (1 − x)(2 − x) = 20, x→−3

x→−3+

lim h(x) = lim (bx + c) = −3b + c

x→−3−

x→−3

Így teh´ at a f¨ uggvény pontosan akkor folytonos −3-ban, ha −3b + c = 20 A h(x) f¨ uggvény akkor deriválható −3-ban, ha itt a differenciahányados bal és jobboldali hat´ arértéke megegyezik. Mivel a h1 (x) = (1−x)(2−x) és a h2 (x) = bx + c f¨ uggvény deriválható −3-ban, ez akkor teljes¨ ul, ha h01 (−3) = h02 (−3). h01 (x) = ((1−x)(2−x))0 = −(2−x)−(1−x) = 2x−3,

h01 (−3) = −9,

h02 (x) = (bx + c)0 = b Teh´ at a h(x) f¨ uggvény pontosan akkor deriválható −3-ban, ha folytonos, azaz −3b + c = 20 és b = −9. A két egyenletb˝ol b = −9,

c = −7

Megjegyz´ es: A feladat valójában azt kérdezi, hogy melyik egyenessel folytathat´ o balra” deriválható módon a h1 (x) = (1−x)(2−x) f¨ uggvény ” a −3-ban. Az érint˝ oegyenes defin´ıciója szerint ez az egyenes csak az érint˝ o lehet, azaz bx + c ≡ h01 (−3)(x + 3) + h1 (−3) 4.19.

Az x = 0-´ at kivéve f (x) deriválható és f 0 (x) folytonos, mert alkalmazhatjuk a m˝ uveleti szabályokat. Mivel 0 kör¨ ul f (x) egy 0-hoz tartó és egy korl´ atos f¨ uggvény szorzata, ezért lim f (x) = 0 = f (0) (lásd 3.2. ). x→0

Így teh´ at 3.3. szerint f (x) folytonos 0-ban is. Az f (x) f¨ uggvény 0-ban nem deriválható, ugyanis a g(x) =

f (x) − f (0) 1 = sin x x

differenciah´ anyadosnak nincs határértéke 0-ban. 1 Az ´ abr´ an j´ ol l´ athat´ o, hogy a g(x) = sin f¨ uggvényt beszor´ıtottuk” az ” x x és −x egyenesek k¨ ozé.


4.20.

256

Az f (x) f¨ uggvény minden¨ utt deriválható. Az x = 0-át kivéve ez nyilv´ anval´ o. Megmutatjuk, hogy x = 0-ban a differenciahányados határértéke 0. f (x) − f (0) 1 lim = lim x sin = 0, x→0 x→0 x x 1 mivel a g(x) = x sin f¨ uggvény 0 kör¨ ul egy 0-hoz tartó és egy korlátos x f¨ uggvény szorzata (l´ asd 3.2. ). A deriváltf¨ uggvény  1 1   2x sin − cos ha x 6= 0 x x 0 f (x) =   0 ha x = 0 folytonos, ha x 6= 0, de nincs határértéke és ezért nem is folytonos 0-ban. 1 Az ´ abr´ an j´ ol l´ athat´ o, hogy a g(x) = sin f¨ uggvényt beszor´ıtottuk” az ” x 2 2 x és −x parabol´ ak k¨ ozé.

4.25.

Az f (x) f¨ uggvény az 1 és a 2 kivételével folytonosan deriválható. Mindkét kivételes pontban folytonos. Számoljuk ki a középs˝o rész”, a ” g(x) = (1 − x)(2 − x) = x2 − 3x + 2 deriváltját és érint˝oegyeneseit az 1-ben és 2-ben: g 0 (x) = 2x − 3, e1 (x) = 1 − x,

g 0 (1) = −1,

g 0 (2) = 1

e2 (x) = x − 2 = −(2 − x).


257

Mivel mindkét pontban a g(x) f¨ uggvény az érint˝ovel folytatódik”, ezért ” ezeken a helyeken is folytonosan deriválható az f (x) f¨ uggvény.

4.31.

Ha f (x) = sin x, akkor   sin x  cos x f 0 (x) = cos x, f 00 (x) = − sin x, f (n) (x) = − sin x    − cos x

4.32.

ha ha ha ha

n = 4k n = 4k + 1 n = 4k + 2 n = 4k + 3

Ha f (x) = cos x, akkor  cos x    − sin x f 0 (x) = − sin x, f 00 (x) = − cos x, f (n) (x) =  − cos x    sin x

ha ha ha ha

n = 4k n = 4k + 1 n = 4k + 2 n = 4k + 3

4.2 Deriv´ al´ asi szab´ alyok 4.33.

P =⇒ Q: Mivel f (x) = f (−x), ezért f 0 (x) = f 0 (−x)·(−1) = −f 0 (−x). Q =⇒ P: Legyen g(x) = f (−x). Mivel f 0 (x) = −f 0 (−x), ezért g 0 (x) = −f 0 (−x) = f 0 (x). Eszerint f és g deriváltja minden¨ utt megegyezik, ezért az integr´ alsz´ am´ıtás alaptétele szerint van olyan c ∈ R, amelyre g(x) = f (x) + c, azaz f (−x) = f (x) + c. Mivel ez minden x-re teljes¨ ul, ezért x = 0-ra alkalmazva f (0) = f (0) + c

4.34.

⇐⇒

c = 0.

P =⇒ Q: Mivel f (x) = −f (−x), ezért f 0 (x) = −f 0 (−x) · (−1) = f 0 (−x). Q =⇒ 6 P: Legyen például f (x) = x + 1.


258

Ha még azt is feltessz¨ uk, hogy f (0) = 0, akkor már igaz, hogy f páratlan: Legyen g(x) = −f (−x). Mivel f 0 (x) = f 0 (−x), ezért g 0 (x) = f 0 (−x) = f 0 (x). Eszerint f és g deriváltja minden¨ utt megegyezik, ezért az integr´ alsz´ am´ıt´ as alaptétele szerint van olyan c ∈ R, amelyre g(x) = f (x) + c, azaz − f (−x) = f (x) + c. Mivel ez minden x-re teljes¨ ul, ezért x = 0-ra alkalmazva 0 = f (0) = f (0) + c 4.38.

⇐⇒

c = 0.

P =⇒ Q: f (a + h) − f (a − h) = h→0 2h 1 f (a + h) − f (a) f (a) − f (a − h) = lim + = 2 h→0 h h 1 f (a + h) − f (a) f (a) − f (a − h) = lim + lim = h→0 2 h→0 h h 1 = (f 0 (a) + f 0 (a)) = f 0 (a). 2 lim

Q =⇒ 6 P: Legyen például a = 0, f (x) = |x|. 4.42.

Ellen˝ orizz¨ uk, hogy az adott pont rajta van-e a görbén! Ehhez az kell, hogy a f¨ uggvény értéke az 1 helyen éppen 6 legyen: f (1) = 13 − 2 · 12 + 3 · 1 + 4 = 6. Az érint˝ oegyenes egyenlete y = m(x−x0 )+y0 , ahol most x0 = 1, y0 = 6 és m = f 0 (1). A f¨ uggvény deriv´ altja f 0 (x) = 3x2 − 4x + 3. Innen m = f 0 (1) = 2. Teh´ at az érint˝ o egyenlete az adott pontban:

4.56.

y = 2(x − 1) + 6, vagy másképp fel´ırva y = 2x + 4. r q √ Legyen f (x) = x x x. Ekkor Df = [0, ∞) és Df 0 = (0, ∞). Írjuk fel az f (x) f¨ uggvényt törtkitev˝os” alakban: ” r q 1/2 1/2 √ 1/2 f (x) = x x x = x · x · (x) = =

1/2 1/2 1/2 x · x3/2 = x7/4 = x7/8


259

Így teh´ at f 0 (x) = r 4.57.

Legyen f (x) =

x+

0

q

f (x) = q 2 x+ 4.62.

Legyen f (x) =

x+

1 p

√

7 −1/8 7 x = √ 8 88x

x. Ekkor Df = [0, ∞) és Df 0 = (0, ∞). 1

x+

√

x

1+ p √ 2 x+ x

1 1+ √ 2 x

!

sin x − x cos x . Az értelmezési tartomány cos x + x sin x

Df = {x : cos x + x sin x 6= 0} = {x : ctg x 6= −x} . Alkalmazzuk a h´ anyados deriválási szabályát: f 0 (x) =

(sin x − x cos x)0 (cos x + x sin x) − (sin x − x cos x)(cos x + x sin x)0 . (cos x + x sin x)2

Kisz´ am´ıtjuk a sz´ aml´ al´ oban szerepl˝o deriváltakat az összeg és a szorzat deriv´ al´ asi szab´ aly´ at felhasználva: (sin x − x cos x)0 = cos x − cos x + x sin x = x sin x (cos x + x sin x)0 = − sin x + sin x + x cos x = x cos x Ezeket behelyettes´ıtve: f 0 (x) =

x sin x(cos x + x sin x) − (sin x − x cos x)x cos x x2 = (cos x + x sin x)2 (cos x + x sin x)2

A deriv´ altf¨ uggvény értelmezési tartománya Df 0 = Df . 4.63.

Legyen f (x) = 4x3 tg(x2 + 1). Az értelmezési tartomány r n πo π 2 Df = x : x + 1 6= (2n + 1) = R \ ± (2n − 1) − 1 : n ∈ N . 2 2 f 0 (x) = 12x2 tg(x2 + 1) + 4x3 (tg(x2 + 1))0 A l´ ancszab´ aly szerint (tg(x2 + 1))0 =

1 2x · 2x = . cos2 (x2 + 1) cos2 (x2 + 1)


260

Így teh´ at f 0 (x) = 12x2 tg(x2 + 1) +

2x . cos2 (x2 + 1)

A deriv´ altf¨ uggvény értelmezési tartománya Df 0 = Df . 4.68.

f (x) = xx = ex ln x ,

Df = Df 0 = (0, ∞).

0

f 0 (x) = (xx ) = ex ln x

4.69.

f (x) =

√ x

x = x1/x = e

ln x x

f 0 (x) =

4.74.

f (x) = log4 x =

ln x , ln 4

,

0

= ex ln x (ln x + 1) = xx (ln x + 1).

Df = Df 0 = (0, ∞).

0 ln x 0 √ 1 − ln x √ x x x = e x x = x2 Df = Df 0 = (0, ∞). 0

0

f (x) = (log4 x) =

4.75.

f (x) = logx 4 =

ln 4 , ln x 0

0 =

1 x ln 4

Df = Df 0 = (0, 1) ∪ (1, ∞). 0

f (x) = (logx 4) =

4.84.

ln x ln 4

ln 4 ln x

0 =−

ln 4 x ln2 x

sh x − x ch x . Mivel a nevez˝o sehol sem 0, Df = R. ch x + x sh x Alkalmazzuk a h´ anyados deriválási szabályát:

Legyen f (x) =

f 0 (x) =

(sh x − x ch x)0 (ch x + x sh x) − (sh x − x ch x)(ch x + x sh x)0 . (ch x + x sh x)2

Kisz´ am´ıtjuk a sz´ aml´ al´ oban szerepl˝o deriváltakat az összeg és a szorzat deriv´ al´ asi szab´ aly´ at felhasználva: (sh x − x ch x)0 = ch x − ch x − x sh x = −x sh x (ch x + x sh x)0 = sh x + sh x + x ch x = 2 sh x + x ch x


261

Ezeket behelyettes´ıtve: f 0 (x) = =

−x sh x(ch x + x sh x) − (sh x − x ch x)(2 sh x + x ch x) = (ch x + x sh x)2 x2 − 2 sh2 x (ch x + x sh x)2

A deriv´ altf¨ uggvény értelmezési tartománya Df 0 = Df = R. 4.85.

Legyen f (x) = 4x3 th(x2 + 1). Az értelmezési tartomány Df = R, mert ch x sehol sem 0. f 0 (x) = 12x2 th(x2 + 1) + 4x3 (th(x2 + 1))0 A l´ ancszab´ aly szerint (th(x2 + 1))0 =

1 2x · 2x = 2 2 . ch2 (x2 + 1) ch (x + 1)

Így teh´ at f 0 (x) = 12x2 th(x2 + 1) +

2x . ch (x2 + 1) 2

A deriv´ altf¨ uggvény értelmezési tartománya Df 0 = Df = R. 4.90.

f (x) = log3 x · cos x,

Df = Df 0 = (0, ∞). f 0 (x) =

4.91.

f (x) =

sin x + 2 ln x √ , x+1

Df = Df 0 = (0, ∞).

cos x + f 0 (x) =

4.96.

f (x) = ln(sin x),

cos x − log3 x · sin x x ln 3

2 x

√ sin x + 2 ln x √ · ( x + 1) − 2 x √ ( x + 1)2

Df = Df 0 = {x : sin x > 0}. f 0 (x) =

cos x = ctg x sin x


262

n o π Df = Df 0 = x : x 6= (2n + 1) , tg x > 0 . 2 tg x ln x ln x·tg x 0 tg x 0 tg x 0 = e =x f (x) = x + x cos2 x

4.97.

f (x) = xtg x = eln x·tg x ,

4.100.

Els˝ o lépésként keress¨ uk meg azt a c helyet, ahol a f¨ uggvény értéke a = 2, azaz az inverz f¨ uggvény értékét a a = 2 helyen. Ezt próbálgatással kaphatjuk: c = 1. Mivel a (0, ∞) félegyenesen az f (x) szigor´ uan n˝o, mert a deriv´ alt pozit´ıv, ezért csak ezen a helyen lesz a f¨ uggvény értéke 2. Az inverz f¨ uggvény deriváltjáról szóló képlet szerint (f −1 )0 (2) =

1 . f 0 (1)

A f¨ uggvény deriv´ altja f 0 (x) = 5x4 + 2x és ´ıgy f 0 (1) = 7. Tehát (f −1 )0 (2) =

1 . 7

Megjegyzés: Meg kell azt is vizsgálni, hogy van-e inverze az adott f¨ uggvénynek. A deriváltf¨ uggvény vizsgálatábólp kider¨ ul, hogy az egész sz´ amegyenesen nem invertálható f (x), hiszen 3 −2/5-ben lokális szigor´ u maximuma, 0-ban minimuma van, ezért nem szigor´ uan monoton. Mivel m´ınusz végtelenben végtelenhez tart a f¨ uggvény, 0-ban pedig 0 = f (0) < 2, ezért f (x) = 2 valahol −∞ és 0 között. Viszont az 1-et tartalmaz´ o (0, ∞) félegyenesen f (x) szigor´ uan monoton növ˝o, ezért itt invert´ alhat´ o. 4.104.

Mivel arctg x a tg x f¨ uggvény inverze, ezért (arctg x)0 =

1 1 = cos2 (arctg x) = . 2 tg (arctg x) 1 + tg (arctg x) 0

Mivel tg(arctg x) = x, ezért (arctg x)0 = 4.108.

1 1 + x2

f (x) = arctg(sin x),

Df 0 = R.

f 0 (x) =

1 cos x · cos x = 1 + sin2 x 1 + sin2 x


4.109.

f (x) = tg(arcsin x), f 0 (x) = =

Df 0 = (−1, 1).

1 cos2 (arcsin x) (1 −

1 √

x2 )

263

·√

1 1 1 = ·√ = 2 2 1 − sin (arcsin x) 1−x 1 − x2

1 − x2

4.114. 1 π √ 2 sin x − 2 π 2 sin x − 1 2 sin x − sin 6 2 3 = · · cos = = → π π 6x − π 6 6 6 6 6 x− x− 6 6 4.119.

1 lim n cos − 1 n→∞ n

cos

= lim

n→∞

1 − cos 0 n = − sin 0 = 0 1/n

4.123. esin x

0

= cos x · esin x 00 0 esin x = cos x · esin x = (cos2 x − sin x)esin x

4.3 K¨ oz´ ep´ ert´ ekt´ etelek, L’Hospital szab´ aly 4.128.

Ha f (x) = arctg x,

g(x) = arctg

1+x és h(x) = f (x) − g(x), akkor 1−x

0 (1 − x) − (1 + x)(−1) 2 1+x = = , 1−x (1 − x)2 (1 − x)2 0 1 2 1+x 0 g (x) = arctg = = · 2 1−x (1 − x)2 (1 + x) 1+ (1 − x)2 2 1 = = . 2 2 (1 − x) + (1 + x) 1 + x2

Ezért h0 (x) = 0 minden¨ utt, ahol h(x) deriválható! De mivel g(x) 1-ben nem értelmes, ezért h(x) sem, és ´ıgy h(x) nem is deriválható 1 ben. π h(0) = arctg 0 − arctg 1 = − , 4


lim h(x) = lim arctg x − lim arctg

x→∞

x→∞

x→∞

264

1+x π π 3π = + = . 1−x 2 4 4

Teh´ at h(x) nem konstans, mert h(0) 6= h(∞) = lim h(x). Viszont az x→∞

integr´ alsz´ am´ıt´ as alaptétele alkalmazható a (−∞, 1) és (1, ∞) félegyenesekre. 4.129.

Legyen h(x) = f (x) − g(x). Ekkor h(x) folytonos [0, ∞)-n, h0 (x) > 0, ha x > 0, ezért a 4.8. tétel szerint szigor´ uan monoton n˝o [0, ∞)-en. Így teh´ at 0 ≤ h(0) = f (0) − g(0) < h(x) = f (x) − g(x), ha x > 0.

4.131.

Keress¨ uk meg az f (x) = x5 − 5x + 2 f¨ uggvény monoton szakaszait. f 0 (x) = 5(x4 − 1) = 5(x2 + 1)(x2 − 1), f 0 (x) > 0, ha x ∈ (−∞, −1) ∪ (1, ∞), és f 0 (x) < 0, ha x ∈ (−1, 1). Eszerint a f¨ uggvény −1-t˝ol balra és 1-t˝ol jobbra szigor´ uan n˝o, (−1, 1)ben pedig szigor´ uan cs¨ okken. lim f (x) = −∞, f (−1) = 6 > 0, f (1) = −2 < 0, lim f (x) = ∞

x→−∞

x→∞

A Bolzano tétel szerint f (x)-nek van gyöke a három diszjunkt ny´ılt intervallumon. A szigor´ u monotonitás miatt mindegyik intervallumon pontosan egy gy¨ ok van, tehát összesen három. 4.138.

Mivel a hat´ arérték ∞/∞ alak´ u, ezért alkalmazhatjuk a L’Hospital szab´ alyt. (ln x)0 lim = lim + x→0 (ctg x)0 x→0+

1 sin x x = − lim · sin x = 0. + 1 x x→0 − 2 sin x

ln x = 0. x→0 ctg x 1 A lim ctg x − határérték kritikus (∞ − ∞ alak´ u). Írjuk fel a x→0 x k¨ ul¨ onbséget h´ anyados alakban: Teh´ at lim+

4.143.

ctg x −

1 cos x 1 x cos x − sin x = − = . x sin x x x sin x


265

Erre a h´ anyadosra alkalmazhatjuk a L’Hospital szabályt mert 0/0 alak´ u. cos x − x sin x − cos x (x cos x − sin x)0 = lim = x→0 x→0 (x sin x)0 sin x + x cos x sin x = − lim = 0. x→0 sin x + cos x x 1 Teh´ at lim ctg x − = 0. x→0 x lim

4.144.

Hozzuk az exponenci´ alis kifejezést e alap´ ura: x1 1 ln(1+x) (1 + x) x = eln(1+x) =e x . Mivel lim

x→0

ln(1 + x) = 1 és az ex f¨ uggvény folytonos, ezért x 1

lim (1 + x) x = e1 = e.

x→0

1/x2 sin x határérték kritikus, mert 1∞ alak´ u. Alak´ıtsuk át A lim x→0 x 1/x a kifejezést u ´gy, hogy alkalmazhassuk a lim (1 + x) = e nevezetes

4.145.

x→0

hat´ arértéket (l´ asd a 4.144. feladatot):   sin x − x 1 x x3 sin x x2 sin x − x sin x − x   = 1+  x x Ez az exponenci´ alis kifejezés már nem kritikus, mert az u ´j” alap e-hez ” tart. (Miért?) Sz´ amoljuk ki az u ´j” kitev˝o határértékét a L’Hospital ” szab´ aly seg´ıtségével (0/0 alak´ u): (sin x − x)0 1 cos x − 1 1 = lim =− . 3 0 2 x→0 (x ) 3 x→0 x 6 lim

Teh´ at lim

x→0

sin x − x 1 = − , és ezért 3 x 6 lim

x→0

1 sin x x2 1 = e−1/6 = √ . 6 x e


4.148.

266

A hat´ arérték ∞/∞, alak´ u, ezért alkalmazhatjuk a L’Hospital szabályt. 1 √ (ln x)0 2 x 2 x lim √ 0 = lim = lim = lim √ = 0. 1 x→∞ ( x) x→∞ x→∞ x x→∞ x √ 2 x ln x Teh´ at lim √ = 0. x→∞ x

4.4 Sz´ els˝ o´ ert´ ekkeres´ es 4.155.

Legyen f (x) = x3 − 12x. Az f (x) f¨ uggvénynek ott lehet abszol´ ut széls˝ oértéke (maximuma vagy minimuma) ahol a derivált nulla, vagy pedig a z´ art intervallum végpontjaiban. Keress¨ uk meg a derivált gyökeit: f 0 (x) = (x3 − 12x)0 = 3x2 − 12 = 0 A két gy¨ ok: x1 = −2 és x2 = 2. A [−10; 3] intervallum esetén: f (−10) = −880,

f (−2) = 16,

f (2) = −16,

f (3) = −9

Így teh´ at a [−10; 3] intervallumon az f (x) = x3 −12x f¨ uggvény abszol´ ut minimuma −880 az x = −10 pontban, abszol´ ut maximuma pedig 16 az x = −2 pontban. A [0; 3] intervallum esetén: f (0) = 0,

f (2) = −16,

f (3) = −9.

(Mivel a −2 nem esik bele a vizsgált intervallumba, ezért az itt felvett f¨ uggvényértéket nem vessz¨ uk szám´ıtásba!) Így teh´ at a [0; 3] intervallumon az f (x) = x3 − 12x f¨ uggvény abszol´ ut minimuma −16 az x = 2 pontban, abszol´ ut maximuma pedig 0 az x = 0 pontban. 4.159.

Mivel csak a téglalap alakjára (oldalainak arányára) vagyunk k´ıváncsiak, feltehetj¨ uk, hogy a befoglaló derékszög˝ u háromszög átfogója 2. Az abra jel¨ ´ oléseit haszn´ alva, fejezz¨ uk ki x seg´ıtségével a keresett téglalap T (x) ter¨ uletét illetve k(x) ker¨ uletét. y = 1 − x, T (x) = 2xy = 2x(1 − x),

k(x) = 2(2x + y) = 2(1 + x).


267

A feltételek szerint 0 ≤ x ≤ 1. Mivel k(x) monoton növ˝o f¨ uggvény, ezért maximum´ at az x = 1 esetben veszi fel, ami egy elfajult téglalap (y = 0). A T (x) folytonos f¨ uggvény maximuma (lásd Weierstrass-tétel) nincs a széleken, mert T (0) = T (1) = 0, ezért a maximum lokális maximum is, teh´ at itt T 0 (x) = 0 (l´ asd a 4.9. tételt).

1

T 0 (x) = 2[(1 − x) − x] = 2 − 4x = 0, 1 , 2 azaz a téglalap egyik (az ábra szerint v´ızszintes) oldala kétszerese a másiknak.

P x, y

x=

-1

0

1

T (x) = x(1 − x) f¨ uggvény maximuma a 2 sz´ amtani és mértani k¨ ozepek közötti egyenl˝otlenség szerint a (0, 1) in1 tervallumon akkor van, ha x = 1 − x, azaz x = . 2 Megjegyz´ es: Az f (x) =

4.163.

Jel¨ olje x a h´ aromsz¨ og egyik befogóját és y a másikat, z pedig az átfogót. Akkor az ´ atfog´ o z = 10 − x, és a másik befogó p √ √ y = (10 − x)2 − x2 = 100 − 20x = 2 25 − 5x, a h´ aromsz¨ og ter¨ ulete pedig T (x) =

√ 1 xy = x 25 − 5x. 2

Itt 0 ≤ x ≤ 5 lehet, ezért a feladatunk az, hogy megkeress¨ uk a T (x) folytonos f¨ uggvény abszol´ ut maximumát a [0, 5] zárt intervallumon. A Weierstrass-tétel szerint van maximum. Mivel T (x) ≥ 0, T (0) = T (5) = 0, ezért a maximumot a (0, 5) ny´ılt intervallumon veszi fel a T (x) f¨ uggvény. De akkor ez a maximum lokális maximum is, ezért a 4.9. tétel szerint itt a derivált nulla. Keress¨ uk meg a T 0 (x) gyökeit: T 0 (x) = √

5x 25 − 5x = √ 2 25 − 5x

√

5x 25 − 5x − √ =0 2 25 − 5x ⇐⇒

2(25 − 5x) = 5x

⇐⇒

x=

10 3


268

Mivel a deriv´ altnak pontosan egy gyöke van, ezért a (lokális) maximum csak itt lehet. Így teh´ at r 50 10 10 50 25 − max T = T = = √ . 3 3 3 3 3 Teh´ at a ter¨ ulet akkor maximális, ha x=

10 , 3

√ 10 y = √ = x 3, 3

z=

20 = 2x. 3

Eszerint az adott feltétel mellett annak a derékszög˝ u háromszögnek a π ter¨ ulete maxim´ alis, amelyiknek a nagyobbik hegyesszöge = 60◦ , azaz 3 a szab´ alyos h´ aromsz¨ og fele. Megjegyz´ es: A T (x) f¨ uggvénynek ugyanott van a maximuma, mint a f (x) = T 2 (x) = x2 (25 − 5x) f¨ uggvénynek. Ennek a f¨ uggvénynek a maximum´ at deriv´ al´ as nélk¨ ul is kiszámolhatjuk, ha u ¨gyesen” alkalmaz” zuk a sz´ amtani és mértani közepek közötti egyenl˝otlenséget. Tekints¨ uk ugyanis az 2 5 x (25 − 5x) 2 h´ aromtényez˝ os szorzatot a (0, 5) intervallumon. Itt mindegyik tényez˝ o pozit´ıv, ¨ osszeg¨ uk pedig 25, nem f¨ ugg x-t˝ol. Ezért a szorzat akkor maxim´ alis, ha a tényez˝ok megegyeznek, azaz 5 x = 25 − 5x 2 4.168.

⇐⇒

15x = 50

⇐⇒

x=

10 . 3

A henger felsz´ıne és térfogata F = 2πR2 + 2πmR,

V = mR2 π.

A térfogat képletéb˝ ol fejezz¨ uk ki m-et és helyettes´ıts¨ uk be a felsz´ın képletébe: V 2V . m= , F (R) = 2πR2 + 2 πR R Az F (R) f¨ uggvény a (0, ∞) ny´ılt félegyenesen van értelmezve, és itt végig pozit´ıv, 0-hoz k¨ ozeli (kicsi), illetve ∞-hez közeli (nagy) R-ek esetén F (R) értéke nagy”, ezért a keresett abszol´ ut minimum egyben lokális ” minimum is. Keress¨ uk meg tehát az F (R) f¨ uggvény deriváltjának a gy¨ okeit: r V 2V 3 V 0 . F (R) = 4πR − 2 = 0, azaz 2πR = 2 , R = R R 2π


269

Teh´ at az adott V térfogat´ u egyenes körhenger felsz´ıne akkor minimális, ha r 3 V R= . 2π Sz´ amoljuk ki az ehhez a sugárhoz tartozó magasságot, illetve a magass´ ag és az ´ atmér˝ o ar´ anyát: r V m 3 4V = m= , = 1. πR2 π 2R Teh´ at annak a hengernek a felsz´ıne minimális, amelynek az átmér˝oje megegyezik a magass´ aggal! Megjegyz´ es: Annak belátása, hogy az F (R) f¨ uggvénynek van abszol´ ut minimuma még h´ atra van, az err˝ol szóló fenti okoskodás” semmiképp ” sem tekinthet˝ o bizony´ıtásnak. Lássunk tehát egy korrekt bizony´ıtást: Legyen F0 = F (1) = 2π + 2V . Mivel lim F (R) = lim F (R) = ∞, R→0+

R→∞

ezért megadhat´ o egy 0 < a < 1, és egy 1 < b u ´gy, hogy R ∈ (0, a], illetve R ∈ [b, ∞) esetén F (R) > F0 . A Weierstrass-tétel szerint az F (R) f¨ uggvénynek van minimuma az [a, b] zárt intervallumon. Az a és b megv´ alaszt´ asa miatt ez a minimum az egész (0, ∞) félegyenesen is minimum. Mivel ez a minimumhely nem lehet az [a, b] intervallum egyik végpontja sem, ezért ez egyben lokális minimum is. Itt tehát a 4.9. tétel szerint a deriv´ alt nulla. Ilyen R azonban az egész félegyenesen csak egy van, teh´ at ez a keresett minimumhoz tartozó sugár. 4.171.

Haszn´ aljuk az ´ abra jelöléseit. A feladat tehát az O pontból eljutni a P pontba (a faluba) a Q ponton kereszt¨ ul a lehet˝o legrövidebb id˝o alatt. A partvonal teljes hossza x + y = √ 25 − 9 = 4, és ´ıgy

y

y(x) = 4 − x.

Q

Fejezz¨ uk ki x seg´ıtségével az O és Q pont, 3 km illetve a Q és P pont t´ avolságát: p p OQ = 9 + y 2 = 9 + (4 − x)2 , QP = x.

O

A t´ avols´ agok megtételéhez sz¨ ukséges id˝o or´ ´ aban mérve: t(x) = tf (x) + tb (x) =

x 1p + 9 + (4 − x)2 . 5 2

x

5 km

P


270

A t(x) f¨ uggvény minimumát keress¨ uk 0 és 4 között. Ez vagy a végpontok valamelyikén felvett érték, vagy lokális minimum, ahol tehát a deriv´ alt nulla (l´ asd 4.9. ). t0 (x) =

1 1 4−x =0 − p 5 2 9 + (4 − x)2

25(4 − x)2 = 4(9 + (4 − x)2 ), y =4−x=

3 , 2

16(4 − x)2 = 36 x=

5 . 2

A monotonit´ as vizsg´ alatával megmutatjuk, hogy a t(x) f¨ uggvénynek az 5 x0 = pontban abszol´ ut minimuma van. 2 t0 (0) =

1 1 2 − = − < 0, 5 5 5

t0 (4) =

1 > 0. 5

Mivel a deriv´ altnak csak az x0 -ban van gyöke, ezért a Darboux-tétel miatt a (0, x0 ) intervallumon t0 (x) < 0, és ´ıgy itt t(x) szigor´ uan csökken. Hasonl´ oan kapjuk, hogy t(x) szigor´ uan növ˝o (x0 , 4)-en.

4.5 Fu enyvizsg´ alat ¨ ggv´ 4.175.

P ⇐⇒ Q: l´ asd a 4.8. tételt.

4.179.

P =⇒ 6 Q: Legyen például f (x) = x4 , a = 0. Q =⇒ P: L´ asd a konvexitásról és derivált kapcsolatáról szóló tételeket.

4.185.

Keress¨ uk meg f 0 (x) gy¨ okeit: f 0 (x) = 4x3 − 12x2 + 8x = 4x(x2 − 3x + 2) = 4x(x − 1)(x − 2) = 0, x1 = 0,

x2 = 1,

x3 = 2.

A deriv´ alt tényez˝ oinek az el˝ojele, és ´ıgy a derivált el˝ojele könnyen kaphat´ o az egész sz´ amegyenesen: uan csökken – Ha x < 0, akkor f 0 (x) < 0, és ezért f (x) szigor´ (−∞, 0)-ban. – Ha 0 < x < 1, akkor f 0 (x) > 0, és ezért f (x) szigor´ uan n˝o (0, 1)ben.


271

– Ha 1 < x < 2, akkor f 0 (x) < 0, és ezért f (x) szigor´ uan csökken (1, 2)-ben. – Ha 2 < x, akkor f 0 (x) > 0, és ezért f (x) szigor´ uan n˝o (2, ∞)-ben. A monoton szakaszok találkozásánál lokális szigor´ u széls˝oérték van, mégpedig – 0-ban minimum, – 1-ben maximum, – 2-ben minimum. 4.189.

y 0 = e−x + xe−x (−1) = (1 − x)e−x . Keress¨ uk meg a deriv´ alt gyökeit. Az (1 − x)e−x = 0 egyenletb˝ol kapjuk, hogy x = 1, ezért a f¨ uggvénynek csak a c = 1-ben lehet lokális széls˝ oértéke. Mivel y 0 (x) > 0, ha x < 1, és y 0 (x) < 0, ha x > 1, ezért a f¨ uggvénynek lok´ alis szigor´ u maximuma van és itt az érték e−1 . A f¨ uggvény további vizsg´ alat´ ab´ ol az is kider¨ ul, hogy ez egyben abszol´ ut maximuma is a f¨ uggvénynek.

4.197.

x+1 értelmezési tartománya R, minden¨ utt akárhányszor 1 + x2 deriv´ alhat´ o. x+1 x+1 = lim = 0. lim x→∞ 1 + x2 x→−∞ 1 + x2

Az f (x) =

1 + x2 − 2x(x + 1) 1 − 2x − x2 (x − x1 )(x − x2 ) = =− (1 + x2 )2 (1 + x2 )2 (1 + x2 )2 √ √ ahol x1 = −1 − 2 és x2 = −1 + 2 a számláló gyökei. f 0 (x) =

(−2 − 2x)(1 + x2 )2 − 4x(1 − 2x − x2 )(1 + x2 ) = (1 + x2 )4 (1 + x)(1 + x2 ) + 2x(1 − 2x − x2 ) = −2 = (1 + x2 )3 x3 + 3x2 − 3x − 1 =2 = (1 + x2 )3 (x − X1 )(x − X2 )(x − X3 ) =2 (1 + x2 )3 √ √ ahol X1 = −2 − 3, X2 = −2 + 3, X3 = 1 a számláló gyökei növekv˝o sorrendben. Az els˝ o derivált el˝ojelének vizsgálatával kapjuk, hogy f 00 (x) =


272

– f (x) szigor´ uan csökken (−∞, x1 )-ben, – x1 -ben szigor´ u minimum van, – f (x) szigor´ uan n˝ o (x1 , x2 )-ben, – x2 -ben szigor´ u maximum van, – f (x) szigor´ uan csökken (x2 , ∞)-ben. A m´ asodik deriv´ alt el˝ ojelének vizsgálatával kapjuk, hogy – f (x) szigor´ uan konkáv (−∞, X1 )-ben, – f (x) szigor´ uan konvex (X1 , X2 )-ben, – f (x) szigor´ uan konkáv (X2 , X3 )-ban, – f (x) szigor´ uan konvex (X3 , ∞)-ben, – X1 , X2 és X3 -ban inflexió van. 4.206.

Az f (x) = 1 − 9x − 6x2 − x3 f¨ uggvény egy harmadfok´ u polinom, akárh´ anyszor deriv´ alhat´ o R-en. Mivel a f˝oegy¨ uttható negat´ıv, lim 1 − 9x − 6x2 − x3 = ∞,

x→−∞

lim 1 − 9x − 6x2 − x3 = −∞

x→∞

Sz´ amoljuk ki az els˝ o és a második derivált gy¨ okeit: f 0 (x) = −9 − 12x − 3x2 = 0, x1 = −3, x2 = −1. 00

f (x) = −12 − 6x = 0,

X1 = −2.

Az ´ abr´ ab´ ol kiolvashat´ o, a deriváltak vizsg´ alat´ aval pedig bizony´ıtható, hogy x1 ben minimum, x2 -ben maximum, X1 -ben pedig inflexi´ o van, (−∞, −3]-ban csökken, [−3, −1]-ben n˝ o, [−1, ∞)-ben csökken, (−∞, −2]-ben konvex, és (−2, ∞)ben konk´ av a f¨ uggvény.

4.6 Elemi fu enyek ¨ ggv´ 4.227. 4.229.

ln 100 ln 2

= 2log2 100 = 100. √ 3 π arcsin = (= 60◦ ). 2 3 2

K

3

K

2

K

1


4.231.

arccos(cos(9π)) = π (és nem 9π).

4.233.

tg(arctg 100) = 100.

4.238.

273

x x x Az f (x) = cos + tg periódusa például a p = 12π, mert cos -nek a 2 3 2 x 4π, tg -nek pedig a 3π periódusa. 3

´ ltozo ´ s Riemann-integra ´ l – Megolda ´ sok 5. Az egyva

274

Az egyv´ altoz´ os Riemann-integr´ al 5.1 Hat´ arozatlan integr´ al 5.1.

5.5.

f (x) = x3 − 4x,

f (x) : (2),

f 0 (x) : (E).

f (x) = x3 ,

f (x) : (4),

f 0 (x) : (C).

f (x) = x + sin x,

f (x) : (5),

f 0 (x) : (A).

f (x) = tg x,

f (x) : (4),

f 0 (x) : (D).

f (x) = e−x ,

f (x) : (1),

f 0 (x) : (B).

El˝ obb alak´ıtsuk ´ at az integrandust: 2

(sin x + cos x) = sin2 x + 2 sin x cos x + cos2 x = 1 + 2 sin x cos x = 1 + sin 2x. Z

Z

2

(sin x + cos x) dx =

Z (1 + sin 2x) dx =

=x− 5.8. 5.10. 5.12. 5.14. 5.16.

5.20.

Z

Z

x3/2 dx =

cos 2x +C 2

2 5/2 x +C 5

−5 dx = −5 ln(x − 7) + C x−7

Z sin 2x + 3 cos x dx = − Z

Z dx +

cos 2x + 3 sin x + C 2

1 2x−3 e +C 2 Z Z Z 1 3x2 1 (x3 + 1)0 x2 dx = dx = dx = 3 3 x +1 3 x +1 3 x3 + 1 = Z √

e2x−3 dx =

1 3

ln(x3 + 1) + C

√

x x2

+1

dx =

x2 + 1 + C

1 2

Z

√

2x 1 dx = 2 2 x +1

Z

(x2 + 1)0 √ dx = x2 + 1

sin 2x dx =


5.24.

5.28.

Z

1 1 dx = 2 + x2 2

Z

1 1 2 dx = √ arctg 2 x 1+ √ 2

275

x √ 2

+C

Bontsuk parci´ alis t¨ ortekre az integrandust: 3 A B = + (x + 3)(x + 2) x+2 x+3 Szorozzuk be mindkét oldalt a baloldal nevez˝ojével: 3 = A(x + 3) + B(x + 2) Az egy¨ utthat´ ok ¨ osszehasonl´ıtásával lineáris egyenletrendszert kapunk A-ra és B-re: 3A + 2B = 3 A + B = 0 A = 3, Így teh´ at Z

3 dx = (x + 3)(x + 2)

5.32.

Z

B = −3

3 dx − x+2

Z

3 x+2 dx = 3 ln +C x+3 x+3

Az integrandus nevez˝ ojének nincs valós gyöke. Els˝o lépésként szabaduljunk meg a sz´ aml´ alóban az x”-es tagtól a nevez˝o deriváltjának a ” becsempészésével”: ” Z Z 1 x−2 (2x − 2) − 2 dx = dx = 2 x − 2x + 6 2 x2 − 2x + 6 Z Z 1 2x − 2 1 = dx − dx 2 x2 − 2x + 6 x2 − 2x + 6 A jobboldalon az els˝ o integrál f 0 /f alak´ u, és a nevez˝o pozit´ıv, ezért Z 2x − 2 dx = ln(x2 − 2x + 6) + C. x2 − 2x + 6 Z 1 A m´ asodik integr´ alt visszavezetj¨ uk az dt alapintegrálra a teljes 1 + t2 négyzetté kiegész´ıtés módszerével: Z Z Z 1 1 1 1 dx = dx = dx = 2 x2 − 2x + 6 (x − 1)2 + 5 5 x 1 √ −√ +1 5 5 1 x 1 = √ arctg √ − √ + C. 5 5 5


276

Így teh´ at Z x−2 x 1 1 1 2 + C. dx = ln(x − 2x + 6) − √ arctg √ − √ x2 − 2x + 6 2 5 5 5 5.36.

Írjuk fel az integrandust egy polinom és egy val´ odi (számláló foka kisebb a nevez˝ o fokn´ al) racionális f¨ uggvény összegeként a polinomok maradékos oszt´ as´ anak seg´ıtségével: 23x + 17 23x + 17 3x3 + 2x − 1 = 3x + 3 + 2 = 3x + 3 + 2 x −x−6 x −x−6 (x − 3)(x + 2) Z Z Z 23x + 17 3x3 + 2x − 1 dx = (3x + 3) dx + dx x2 − x − 6 (x − 3)(x + 2) A jobboldal m´ asodik integráljában szerepl˝o racionális f¨ uggvényt bontsuk fel parci´ alis t¨ ortek o¨sszegére: 23x + 17 A B = + (x − 3)(x + 2) x−3 x+2 23x + 17 = A(x + 2) + B(x − 3) A 2A

+ B − 3B

= 23 = 17

Az els˝ o egyenlet h´ aromszorosát a másodikhoz adva: 5A = 86 A= Z

3x3 + 2x − 1 dx = x2 − x − 6

= 5.40.

Z

86 , 5

B=

86 (3x + 3) dx + 5

Z

29 5 1 29 dx + x−3 5

Z

1 dx = x+2

3 2 86 29 x + 3x + ln |x − 3| + ln |x + 2| + C 2 5 5

Bontsuk parci´ alis t¨ ortekre az integrandust: 1 A B C = + 2+ x3 + x2 x x x+1 1 = Ax(x + 1) + B(x + 1) + Cx2


277

Ha x helyébe 0-´ at helyettes´ıt¨ unk, megkapjuk B-t, −1-et helyettes´ıtve pedig megkapjuk C-t. Ezek seg´ıtségével pedig A-t:

Z

A = −1, B = 1, C=1 Z Z Z x + 1 1 1 1 1 1 − +C dx = − dx+ dx+ dx = ln x3 + x2 x x2 x+1 x x

5.44. Z

Z Z Z x+2 (x − 1) + 3 1 dx = dx = dx + 3 dx = x−1 x−1 x−1 = x + 3 ln |x − 1| + C

5.48. Z

Z 1 x+2 (2x + 2) + 2 dx = dx = x2 + 2x + 2 2 x2 + 2x + 2 Z 1 1 = ln(x2 + 2x + 2) + dx = 2 2 x + 2x + 2 Z 1 1 = ln(x2 + 2x + 2) + dx = 2 (x + 1)2 + 1 1 = ln(x2 + 2x + 2) + arctg(x + 1) + C 2

5.50. Z

sin2 x dx =

Z

1 − cos 2x x sin 2x dx = − +C 2 2 4

5.54. Z

5 cos2 (1

− x)

dx = −5 tg(1 − x) + C

5.58. Z

sin2 2x + 1 dx = cos2 x

Z

4 sin2 x cos2 x + 1 dx = 2x − sin 2x + tg x + C cos2 x

Itt felhaszn´ altuk az 5.50. feladat eredményét.


5.60.

278

Legyen f (x) = x, g 0 (x) = cos x. Ezzel a szereposztással Z

Z x cos x dx = x sin x −

sin x dx = x sin x + cos x + C.

5.64. Z

Z

Z

1 · arctg x dx = x arctg x − Z 1 2x = x arctg x − dx = 2 1 + x2 1 = x arctg x − ln(1 + x2 ) + C 2

arctg x dx =

x = 1 + x2

5.68. Z x ln

2 x2 · dx = 1 + x (1 − x)2 1−x Z 1 2 1+x x2 = x ln − dx 2 1−x 1 − x2

1+x 1 1+x 1 dx = x2 ln − 1−x 2 1−x 2

Z

Z Z 1 − x2 − 1 1 x2 dx = dx = x − dx 2 2 1−x 1−x 1 − x2 Z Z 1 1 1 1 1 1+x dx = + dx = ln +C 1 − x2 2 1−x 1+x 2 1−x Z

−

Felhaszn´ altuk, hogy az eredeti integrandus csak

1+x > 0 esetén ér1−x

telmes. Így teh´ at Z 1+x 1 1+x 1 1+x x ln dx = x2 ln + x − ln +C 1−x 2 1−x 2 1−x 5.71. t = x2 ,

Z

2

xex dx =

1 2

Z

dt = 2x dx Z 2 1 1 1 2 2xex dx = et dt = et + C = ex + C 2 2 2


279

5.75. dt = − sin x dx

t = cos x, Z

sin x − sin x dx = − dx = 2 1 − cos2 x Zsin x 1 1−t 1 1 − cos x 1 dt = ln + C = ln +C =− 1 − t2 2 1+t 2 1 + cos x

1 dx = sin x

Z

Z

Itt felhaszn´ altuk az 5.68. feladat egy részeredményét és azt, hogy |t| < 1 1−t miatt > 0. 1+t 5.79. x = sin t,

Z

dx = cos t dt, t = arcsin x Z 1 1 √ dx = cos t dt = 2 2 2 (1 − sin t) cos t (1 − x ) 1 − x Z 1 = dt = tg t + C = cos2 t sin t x =p +C = √ +C 2 1 − x2 1 − sin t

5.83. Z

t = x2 + x + 1, dt = 2x + 1 Z 2 2 (2x + 1)ex +x+1 dx = et dt = et + C = ex +x+1 + C

5.87. dt dx = t Z Z Z ex + 2 t + 2 dt t+2 dx = · = dt ex + e2x t + t2 t t2 (t + 1) t = ex ,

x = ln t,

Bontsuk parci´ alis t¨ ortekre az integrandust: t+2 A B C = + 2+ t2 (t + 1) t t t+1 t + 2 = At(t + 1) + B(t + 1) + Ct2 Z

A = −1, B = 2, C=1 Z t+2 1 2 1 2 t+1 dt = − + 2+ dt = − + ln +C t2 (t + 1) t t t+1 t t


Felhaszn´ altuk, hogy Z

280

t+1 > 0. Elvégezve a visszahelyettes´ıtést t

2 ex + 1 ex + 2 dx = − + ln + C = −2e−x + ln(1 + e−x ) + C ex + e2x ex ex

5.91. Z

1 1 dx = (x + 2)(x − 1) 3

Z

1 1 − x−1 x+2

dx =

1 x − 1 +C ln 3 x + 2

5.95. Z

1 1 dx = ex + e−x 2

Z

1 dx = ch x 2

Z

1 ch x dx = arctg sh x + C 2 2 1 + sh x

5.99. Z

ln(x2 + 1) dx = Z Z

Z

1 · ln(x2 + 1) dx = x ln(x2 + 1) − 2

x2 dx = 2 x +1

Z

Z

x2 dx +1

x2

(x2 + 1) − 1 dx = x − arctg x + C x2 + 1

ln(x2 + 1) dx = x ln(x2 + 1) − 2x + 2 arctg x + C

5.103. Z

2x sin(x2 + 1) dx =

Z

(x2 + 1)0 sin(x2 + 1) dx = − cos(x2 + 1) + C

5.107. Z

e2x dx = 1 + ex

Z

ahol t = ex . Z

ex x e dx = x e +1

Z

t dt = t − ln(t + 1) + C t+1

e2x dx = ex − ln(ex + 1) + C 1 + ex


281

5.111. Z

Z 2 x3 x2 x x (x + x) ln x dx = + ln x − + dx = 3 2 3 2 3 x x2 x3 x2 = + ln x − − +C 3 2 9 4

2

5.115. Z

−2x

3

Z dx =

e(−2 ln 3)x dx = −

1 (−2 ln 3)x 1 −2x e +C =− 3 +C 2 ln 3 2 ln 3

5.119. 1 t2 1 dx, cos2 x = , sin2 x = 2 2 cos x 1+t 1 + t2 Z Z Z 2 1 1 1 (t + 1)2 dx = · dx = dt = t2 sin2 x cos4 x sin2 x cos2 x cos2 x Z 1 1 t3 = t2 + 2 + 2 dt = + 2t − + C = t 3 t

t = tg x,

dt =

=

tg3 x + 2 tg x − ctg x + C 3

5.2 Hat´ arozott integr´ al 5.124.

(a) A Φ finom´ıt´ asa az F felosztásnak. (b) A Φ nem finom´ıt´ asa F -nek, mert 1, 5 nem szerepel a Φ osztópontjai k¨ oz¨ ott. Az F sem finom´ıtása Φ-nek, mert −1 nem szerepel az F osztópontjai k¨ oz¨ ott.

5.125. SΦ = 6,

sΦ = 0

5.128. SΦ = −1 · 1 + 0 · 1 + 4 · 4 = 15,

sΦ = −2 · 1 − 1 · 1 + 0 · 4 = −3


5.131.

Igen, mert f (x) folytonos (és monoton).

5.135.

Nem, mert f (x) nem korlátos [0, 1]-en.

5.140.

Legyen f (x) =

282

1 . Ekkor x ∈ [1, 2] esetén 0 < f (x) < 1, és ´ıgy a x2 + ex 5.138. feladat szerint Z2 0 = 0 · (2 − 1) ≤

1 dx ≤ 1 · (2 − 1) = 1 x2 + ex

1

5.144.

Mivel minden integr´ alf¨ uggvény folytonos, sgn x pedig 0-ban nem folytonos, ezért sgn x nem lehet integrálf¨ uggvény [−1, 1]-en. A Darboux-tétel szerint sgn x-nek nincs primit´ıv f¨ uggvénye (−1, 1)-en. 1 2 n + sin + · · · + sin n n n integrálközel´ıt˝o összege az integrálA σn = n hat´ o sin x f¨ uggvénynek a [0, 1] intervallum egyenletes felosztásán, ezért sin

5.146.

sin σn =

2 n 1 Z1 + sin + · · · + sin n n n → sin x dx = 1 − cos 1 n 0

5.150.

n

n X i=1

n

X i = 2 2 n +i i=1

i 1 Z1 1 ln 2 x 2 n dx = ln(1 + x ) = 2 → 2 1+x 2 2 i 0 0 1+ n

5.154.  1 1   2x sin − cos x x 0 g(x) = G (x) =   0 Mivel

 1   2x sin x h(x) = f (x) + g(x) =   0

ha x 6= 0 ha x = 0 ha x 6= 0 ha x = 0


283

folytonos minden¨ utt, ezért van primit´ıv f¨ uggvénye, de akkor az f (x) = h(x) − g(x) f¨ uggvénynek is van primit´ıv f¨ uggvénye. 5.156. Zx H(x) =

1 dt, ln t

H 0 (x) =

1 ln x

2

5.158.

x Mivel lim = ∞ és lim x→∞ ln x x→∞

Zx

1 dt = ∞, ezért az ln t

2

ln x x

Zx 2

Rx 1 dt 1 2 ln t dt = x ln t ln x

h´ anyadosra alkalmazhatjuk a L’Hospital szabályt: ln x lim x→∞ x

Zx 2

1 1 ln x = lim ln x = 1 dt = lim x→∞ ln x − 1 x→∞ ln x − 1 ln t 2 ln x

5.162. Z3

x2 dx =

2

x3 3

3 =9− 2

8 3

5.166. Z0

2

Z0

sin x dx = −2π

−2π

0 1 − cos 2x x sin 2x dx = − =π 2 2 4 −2π

5.168. x = sin t,

dx = cos t dt,

1 π = sin , 2 6

√

3 π = sin 2 3

´ ltozo ´ s Riemann-integra ´ l – Megolda ´ sok 5. Az egyva √

Z3/2

x2 √ dx = 1 − x2

1/2

Zπ/3

sin2 t p

π/6

1 − sin2 t

284

cos t dt =

π/3 Zπ/3 t sin 2t π = sin2 t dt = − = 2 4 12 π/6 π/6

(l´ asd az 5.50. feladatot). 5.172. t = tg x, Zπ/2 π/6

x = arctg t,

dx =

1 , dt

tg

√ π 3 = , 6 3

tg

π =∞ 2

Z∞ Z∞ 1 1−t 1 1 1 dx = dt = + dt = 1 + tg x (1 + t)(1 + t2 ) 2√ t + 1 1 + t2 √ 3/3

=

3/3

√ ∞ 1 1+t 1 1+ 3 π ln √ = − ln + + arctg t √ 2 2 2 6 1 + t2 3/3

5.3 A hat´ arozott integr´ al alkalmaz´ asai 5.177.

Sz´ amoljuk ki a parabola és az egyenes két metszéspontját: x2 = −x + 2,

x1 = −2, x2 = 1

A két metszéspont k¨ oz¨ ott a −x + 2 egyenes a nagyobb” ” Z1 T = −2

Z1

(−x+2−x2 ) dx =

−2

1 x2 x3 3 7 (2−x−x2 ) dx = 2x − − = 6+ + 2 3 −2 2 3

5.181. Ze

e

ln x dx = [x ln x − x]1 = 1

T = 1


5.185.

A két metszéspont: 1 x2 = , 2 1+x 2 Z1 T =

x4 + x2 − 2 = 0,

x2 1 − 2 1+x 2

−1

5.189.

x1 = −1, x2 = 1

1 x3 π 1 dx = arctg x − = − 6 −1 2 3

4 Egy ilyen parabolaszeletet kapunk, ha tekintj¨ uk az y = m 1 − 2 x2 h parabola és az x tengely által határolt s´ıkidom ter¨ uletét. Zh/2 T =

4 m 1 − 2 x2 h

h/2 4 3 h 2 dx = m x − 2 x =m h− = mh 3h 3 3 −h/2

−h/2

5.192.

285

Itt −

π π ≤ϕ≤ . 6 6 1 T = 2

Zπ/6

cos2 3ϕ dϕ =

−π/6

π/6 π 1 ϕ sin 6ϕ = + 2 2 6 12 −π/6

5.196. Zπ V =π

x sin 2x − sin x dx = π 2 4 2

0

π = 0

π2 2

5.200. Z1 V =π 0

Zπ/2 arcsin y dy = π x2 cos x dx 2

0

Z Sz´ amoljuk ki kétszeres parciális integrálással a

x2 cos x dx határozat-

lan integr´ alt: Z Z x2 cos x dx = x2 sin x − 2 x sin x dx = Z 2 = x sin x + 2x cos x − 2 cos x dx = = x2 sin x + 2x cos x − 2 sin x + C.


286

Ezt felhaszn´ alva Zπ/2 π/2 π3 V =π − 2π. x2 cos x dx = π x2 sin x + 2x cos x − 2 sin x 0 = 4 0

5.204. Z2 V =π

e2x −

1 x2

dx = π

e2x 1 + 2 x

1

2

=π

1

e2 (e2 − 1) 1 − 2 2

5.208. Z1 p Z1 1 2 L= 1 + sh x dx = ch x dx = [sh x]−1 = 2 sh 1 −1

−1

5.4 Improprius integr´ al 5.220.

Ha c 6= 1, akkor Z∞

1 1 1 · c−1 dx = c x 1−c x

1

∞ = 1

  

1 c−1

ha c > 1

 

∞

ha c < 1

Ha pedig c = 1, akkor Z∞

1 ∞ dx = [ln x]1 = ∞. x

1

Z∞ Teh´ at az

1 dx improprius integrál akkor és csak akkor konvergens, xc

1

ha c > 1. 5.223. Z∞

−x

2 3

−x ∞ 1 2 = dx = − ln 2 3 8 ln 2


5.227.

Z∞ Az 5.220. feladat megoldása szerint

287

dx √ divergens. x

1

5.231. Z1

dx 1− = [ln |ln x|]1/2 = −∞ x ln x

1 2

5.235. Z1

√

0

dx π 1− = [arcsin x]0 = 2 2 1−x

5.239. Z∞

dx √ < x + x2

Z∞

dx <∞ x2

1

1

(l´ asd a 5.220. feladatot). 5.243.

x2 f¨ uggvény Riemann-integrálható [0, 1]-en (mert a nevez˝o − x2 + 1 +∞ Z x2 nem nulla), ezért elég megmutatni, hogy az dx improx4 − x2 + 1

Az

x4

1

prius integr´ al konvergens. x2 1 és a g(x) = 2 f¨ uggvény nagyságrendje − x2 + 1 x Z∞ dx azonos (a két f¨ uggvény hányadosa tart 1-hez a ∞-ben), pedig x2 Mivel az f (x) =

x4

1 +∞ Z

konvergens, ezért a nagyságrendi kritérium szerint

x2 dx x4 − x2 + 1

1

is konvergens. 5.247.

Zπ/2 Mivel sin x ∼ x a 0-ban, gens.

0

dx pedig divergens, ezért x

Zπ/2 0

dx diversin x


5.251. Z∞ 0

2

xe−x dx = −

1 1 h −x2 i∞ e = 2 2 0

288

´ sok 6. Numerikus sorok – Megolda

289

Numerikus sorok 6.1 Numerikus sorok konvergenci´ aja 6.1.

A véges geometriai sor összegképletét használva n+1 1 1− n k X 1 1 1 1 1 2 sn = 1+ + +· · ·+ n = = 2 1 − n+1 −→ 2 = 1 2 4 2 2 2 k=0 2

6.5. 1 1 1 1 = − k(k + 3) 3 k k+3 n n X 1 1X 1 1 sn = = − = k(k + 3) 3 k k+3 k=1 k=1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 − − 1+ + − −→ 1+ + = = 3 2 3 n+1 n+2 n+3 3 2 3 18 6.8. ∞ ∞ n ∞ n X X X 4n + 5n 4 4 5 = + = n 9 9 9 9 n=1 n=1 n=1

1 4 1− 9

+

5 9

1 5 1− 9

=

4 5 + 5 4

6.13.

Mivel a tagok nem tartanak 0-hoz, ezért a sor divergens (lásd a tagok 0-hoz tart´ as´ ar´ ol sz´ ol´ o konvergencia kritériumot).

6.15.

Ha A jel¨ oli a végtelen sor összegét sn pedig az els˝o n tag összegét, akkor sn −→ A,

6.16.

sn−1 −→ A,

an = sn − sn−1 −→ 0.

Megmutatjuk, hogy a harmonikus sor nem teljes´ıti a Cauchy-kritériumot, 1 mert az ε = esetén nem található jó” k¨ uszöbindex: ” 2 s2n − sn =

1 1 1 1 1 1 1 1 + +· · ·+ > + +· · ·+ = n· = n+1 n+2 2n 2n 2n 2n 2n 2


6.21. 6.27.

Nem, péld´ aul a harmonikus sor divergens, de tagjai 0-hoz tartanak. ∞ X

∞

X 1 1 A = sor részletösszegei u ´gynevezett teleszko2 n + n n(n + 1) n=1 n=1 pikus ¨ osszegek: sn =

n X k=1

6.31.

290

Z∞ Mivel az

n

X 1 = k(k + 1)

k=1

1 1 − k k+1

=1−

1 −→ 1. n+1

dx √ improprius integrál divergens, ezért az integrálkritéri3 x

1

um szerint a

∞ X 1 √ sor is divergens. 3 n n=1

1 1 ≥ . Haszn´ alhatjuk a majoráns-kritériumot is, mivel √ 3 n n 6.35. ∞ X

0=0

n=1

n=1

6.40.

∞ X

sin(nπ) =

Nem, legyen péld´ aul bn = 0, an = −1. Ha viszont feltessz¨ uk azt is, hogy an > 0, akkor a majoráns-kritérium ∞ X kontra-pozit´ıv” verzi´ oja szerint bn divergens. ” n=1

6.2 Pozit´ıv tag´ u sorok konvergenciakrit´ eriumai ∞ X 1 1 -re alkalmazva) a sor 2 x2 n n=1 ∞ ∞ X X 1 1 konvergens major´ ansa a sornak, ez´ e rt a sor is 2+4 2+4 n n n=1 n=1 konvergens.

6.43.

Mivel az integr´ alkritérium szerint (az

6.45.

L´ asd a h´ anyadoskritériumot.


291

6.48. 3 3 an+1 3n+1 (n + 1)! nn · −→ > 1. = = an (n + 1)n+1 3n n! (1 + 1/n)n e ∞ X 3n n! sor divergens. Ezért a nn n=1 6.50.

L´ asd a gy¨ okkritériumot.

6.53. √ n

A

∞ X 1 n=1

6.58.

A

1 + 2 n

s an =

n

1 1 + 2 n

n =

1 1 1 + −→ < 1. 2 n 2

n sor konvergens.

∞ X n2 + 4 1 sor nagyságrendje 2 : 4 n + 3n n n=1

n2 + 4 1 (n2 + 4)n1 : = −→ 1, n4 + 3n n2 n4 + 3n és a

6.62.

∞ ∞ X X 1 n2 + 4 sor konvergens, ez´ e rt a sor is konvergens. 2 n n4 + 3n n=1 n=1

Nem, még akkor sem, ha f (x) monoton csökken. Legyen például f (x) = 5e−x+1 . Ekkor Z∞

∞ 5e−x+1 dx = −5e−x+1 1 = 5,

n=1

1

6.66.

∞ X

5e−n+1 = 5

1 e =5 6= 5 1 − 1/e e−1

1 ln x + 1 f¨ uggvény deriváltja f 0 (x) = − 2 2 < 0, ha x ≥ 2, x ln x x ln x teh´ at f (x) monoton csökken és pozit´ıv az [2, ∞) félegyenesen. Alkalmazhatjuk erre a f¨ uggvényre az integrálkritériumot:

Az f (x) =

Z∞

1 ∞ dx = [ln ln x]2 = ∞, x ln x

2

ezért a

∞ X

1 sor divergens. n ln n n=2


292

6.68. ∞ ∞ X 1 1 1X1 √ > = = ∞, 2 n=1 n n + n n=1 2n n=1 ∞ X

teh´ at

∞ X

1 √ divergens (majoráns-kritérium). n+ n n=1

6.74. r n

teh´ at

6.80.

√ 2 n2 ( n n) 1 = −→ < 1, 2n 2 2

∞ X n2 konvergens (gyökkritérium). 2n n=1

n10 2n10 1 < , ha 2n < 3n , ami valahonnan kezdve igaz. n 2 3n 2 2n10 sorra alkalmazva a gyökkritériumot 3n n=1 3n − ∞ X

r n

ezért a

2n10 = 3n

√ n

√ 10 2 ( n n) 1 −→ < 1, 3 3

∞ X

n10 sor konvergens. 3n − 2n n=1

6.86. ∞ ∞ n ∞ n X X X 2n + 3 n 2 3 2 3 = + = + <∞ n 5 5 5 3 2 n=1 n=1 n=1

6.92.

A sor tagjai nem tartanak 0-hoz (konvergencia kritériumok): 1+

1 −→ 1 6= 0, n

∞ X 1 teh´ at a 1+ sor divergens. n n=1

A


293

6.3 Felt´ eteles ´ es abszol´ ut konvergencia 6.99. 6.104.

6.108.

6.114.

6.120.

Nem igaz, péld´ aul legyen an = (−1)n . ∞ X 1 1 1 1 1 + − + ··· = mono(−1)n+1 Leibniz-sor, mert 2 3 4 n n n=1 ton cs¨ okken˝ oen tart 0-hoz, tehát a sor konvergens (de nem abszol´ ut konvergens).

Az 1 −

∞ X 1 1 1 1 √ √ √ (−1)n √ + 3 − 4 +· · · = sor ugyan váltakozó el˝ojel˝ u, A 1− n n 2 3 4 n=1 de tagjai nem tartanak 0-hoz (|an | → 1), ezért a sor divergens. ∞ X

1 sor konvergens, mert Leibniz-t´ıpus´ u, de nem abszo2n +1 n=1 l´ ut konvergens. ∞ X sin n 1 sin n sor abszol´ ut konvergens, mert 2 ≤ 2 . A 2 n n n n=1 A

(−1)n

ńysorozatok e ´s sorok – Megolda ´ sok 7. F¨ uggve

294

Fu enysorozatok ´ es sorok ¨ ggv´ 7.1 Pontonk´ enti ´ es egyenletes konvergencia 7.1.

Az fn (x) = xn f¨ uggvénysorozat a (−1, 1] intervallum pontjaiban konvergens, m´ asutt divergens. 0 ha |x| < 1 lim xn = 1 ha x = 1 n→∞ Minden −1 < a < b < 1 esetén az [a, b] intervallumon egyenletes a konvergencia, mert n

max {|xn | : x ∈ [a, b]} = (max {|a|, |b|}) −→ 0. Mivel a limesz-f¨ uggvény nem folytonos (balról 1-ben) a (−1, 1]-ben ezért a 7.1. tétel szerint a konvergencia nem egyenletes az egész konvergenciatartom´ anyban. 7.5.

p n Az fn (x) = 1 + x2n sorozat pontonként tart az egész számegyenesen a konstans 1 f¨ uggvényhez. Minden korlátos [a, b] intervallumon egyenletes a konvergencia, mivel 1+x2n korlátos [a, b]-n. Mivel minden n ∈ N esetén p n lim fn (x) = lim 1 + x2n = ∞, x→∞

x→∞

azaz fn nem korl´ atos, ezért fn nem egyenletesen tart a korlátos f (x) ≡ 1 f¨ uggvényhez R-en illetve [0, ∞)-en. Az fn (x) f¨ uggvények párosak, ezért a konvergencia a (−∞, 0] félegyenesen sem egyenletes. 7.11.

Minden x ∈ R esetén lim fn (x) = 0. Ez a konvergencia egyenlen→∞ tes minden olyan intervallumon vagy félegyenesen, amelyik csak véges 1 sok alak´ u pontot tartalmaz, de minden b > 0 esetén a (0, b) intern vallumon (és minden ilyennél b˝ovebb intervallumon) nem egyenletes a konvergencia, mert az ε = 1/b-hez nincs jó k¨ uszöbindex.

7.18.

Igen, legyen péld´ aul gn (x) = fn (x) + 5, ahol fn a 7.11. feladatban szerepl˝ o f¨ uggvény. r r 1 1 2 x + − f (x) − f (0) n n n n (a) f 0 (0) = lim = lim = x→0 x→0 x x

7.23.


= lim

x→0

x s

s

1 1 x2 + + n n

295

= 0.

√ 1 = x2 = |x|. n→∞ n→∞ n 1 r r 1 1 n 2 (c) |fn (x) − |x|| = x + − |x| = r ≤ −→ 0. n n 1 2 x + + |x| n (d) Mivel a bal- és jobboldali deriváltja nem egyezik meg (−1 illetve 1), |x| nem deriv´ alható 0-ban. r

(b) lim fn (x) = lim

x2 +

7.25. |fn (x)| =

7.29.

7.35.

∞ X

∞ X 1 1 ≤ < ∞. 2 4 2n n +n x n2 n=1 n=1

1 1 ≤ 2, 2 4 2n n +n x n

∞ X (−1)n sor egyenletesen konvergens a Weierstrass-kritérium szex4 + 2 n n=1 rint, mert ∞ X (−1)n 1 ≤ 1 , < ∞. x4 + 2n 2n n 2 n=1

A

A Weierstrass-kritérium szerint en, mert

∞ X cos nx egyenletesen konvergens Rn! + 2n n=1

cos nx 1 1 n! + 2n ≤ n! + 2n ≤ n! ,

∞ X 1 < ∞. n! n=1

7.2 Hatv´ anysorok, Taylor-sor 7.42.

∞ X n! n x hatványsor R konvergenciasugarát. A 7.3. nn n=0 tételt haszn´ aljuk:

Sz´ amoljuk ki a

an+1 (n + 1)! nn 1 1 n −→ , = · = n+1 an (n + 1) n! e 1 1+ n

R = e.


296

n n , és ezért Ismert (Stirling-formula), hogy elég nagy n-re n! > e a konvergenciatartom´ any végpontjaiban, e-ben és −e-ben a sor tagjai nem tartanak 0-hoz: e n n! n e > 1, = n! · nn n ha n elég nagy. 7.48.

7.54.

7.60.

√ p √ n n |an | = n2 = ( n n)2 → 1, R = 1. A végpontokban divergens, mert nem tartanak 0-hoz a tagok. r 1 1 1 n −→ , R = 2. Tehát a konvergenciatartomány belse= √ n n n2 2 2 n je a (−7, −3) intervallum. A jobb végpontban divergens (harmonikus sor), a bal végpontban Leibniz-sor. r 1 1 1 n = √ −→ , R = 3. Tehát a konvergenciatartomány beln n n3 3 3 n seje a (−3, 3) intervallum. A jobb végpontban divergens (harmonikus sor), a bal végpontban Leibniz-sor.

7.64.

|an+1 | ((n + 1)!)2 (2n)! (n + 1)2 1 = · = → . Ezért R = 4. 2 |an | (2n + 2)! (n!) (2n + 1)(2n + 2) 4

7.66.

A

∞ X

xn hatv´ anysor konvergenciasugara 1, ezért a tagonkénti integrá-

n=0

l´ asr´ ol sz´ ol´ o tétel szerint igaz az áll´ıtás. 7.72.

∞ X x2 xn x3 + + ··· = hatványsor konvergencia sugara 1. Je2 3 n n=1 l¨ olje f (x) a hatv´ anysor összegf¨ uggvényét a (−1, 1) intervallumon. A tagonkénti deriv´ al´ asr´ ol szóló tétel szerint

A x+

∞ ∞ ∞ X X X n · xn−1 1 n−1 f (x) = = x = xk = , n 1 − x n=1 n=1 0

k=0

´ıgy teh´ at f (x) primit´ıv f¨ uggvénye az ezért f (x) = − ln(1 − x),

1 f¨ uggvénynek, és f (0) = 0, 1−x −1 < x < 1.

Megjegyz´ es: Mivel −1-ben a sor konvergens (Leibniz-sor), ezért az u ´gy nevezett Abel-kritérium seg´ıtségével belátható, hogy a fenti képlet −1-ben is érvényes.


7.76.

Felhaszn´ alva a geometriai sor o¨sszegf¨ uggvényét ∞ X

(sin x)n =

n=0

s 7.80.

297

n

1 1 − sin x

, ha

|sin x| = 6 1

, azaz x 6=

π + kπ, k ∈ Z 2

1 → 1, teh´ at R = 1. n(n + 1)

Legyen g(x) = x·f (x) = ∞ X xn . n n=1

∞ X

xn+1 . Tagonkénti deriválással g 0 (x) = n(n + 1) n=1

´ Ujabb deriv´ al´ assal g 00 (x) =

∞ X

xn−1 =

n=1

Z

∞ X k=0

1 dx = − ln(1 − x), 1−x x + (1 − x) ln(1 − x).

Ezért g 0 (x) =

1 . 1−x Z g(x) = − ln(1 − x) dx =

xk =

1−x Így teh´ at f (x) = 1 + ln(1 − x), ha |x| < 1. x 7.82.

√ n

n → 1, teh´ at R = 1.

Legyen g(x) =

∞ f (x) X n−1 = nx . x n=1

Legyen h(x) az a primit´ıv f¨ uggvénye g(x)-nek, amelyre h(0) = 0. Ezt a f¨ uggvényt a hatv´ anysor tagonkénti integrálásával kaphatjuk meg: h(x) =

∞ X n=1

xn =

1 x 1 −1 = . Így tehát g(x) = h0 (x) = , 1−x 1−x (1 − x)2

ezért f (x) = x · g(x) = 7.84.

x . (1 − x)2

p n n(n + 1) → 1, teh´ at R = 1. Legyen g(x) az a primit´ıv f¨ uggvénye f (x)-nek, amelyre g(0) = 0. Ezt a f¨ uggvényt a hatv´ anysor tagonkénti integrálásával kaphatjuk meg:


g(x) =

∞ X

nxn+1 = x

n=1

∞ X

298

nxn . Az el˝oz˝o feladat eredményét felhasznál-

n=1

x2 . va g(x) = (1 − x)2 Innen m´ ar k¨ onnyen kapjuk f (x)-et: f (x) = g 0 (x) =

7.87.

x(1 − x) + x2 x 2x(1 − x)2 + 2x2 (1 − x) =2 =2 4 (1 − x) (1 − x)3 (1 − x)3

Helyettes´ıts¨ unk az ex Taylor-sorában x helyébe 2x-et (nevezetes Taylorsorok). ∞ ∞ X X (2x)n 2n n e2x = = x , x ∈ R. n! n! n=0 n=0

7.93. ∞ ∞ X X 1 1 (−1)n xn , (−x)n = = = 1+x 1 − (−x) n=0 n=0

7.96.

Legyen f (x) = ln(1 + x). Ekkor a 7.93. feladat szerint f 0 (x) = Zx f (x) = 0

7.99.

|x| < 1.

∞ X 1 (−1)n xn , = 1 + x n=0

ha |x| < 1.

x

Z ∞ ∞ ∞ X X X 1 xn+1 xn n (−1) (−1)n (−1)n dt = tn dt = = 1+t n + 1 n=1 n n=0 n=0 0

B˝ ov´ıts¨ uk a f¨ uggvényt 1 − x-szel: f (x) =

1−x 1−x = . 2 (1 + x + x )(1 − x) 1 − x3

Felhaszn´ alva a geometriai sor összegf¨ uggvényét, x helyébe x3 -öt ´ırva ∞ X 1 = x3n , 1 − x3 n=0

|x| < 1.

Ezért ∞ ∞ ∞ X X X 1 1 3n 3n+1 f (x) = −x = x − x = ak xk , 1 − x3 1 − x3 n=0 n=0 k=0


ahol

  1 −1 ak =  0

299

ha k = 3n ha k = 3n + 1 ha k = 3n + 2

7.105. cos2 x =

∞ 1 1 1 1X (2x)2n + cos 2x = + (−1)n = 2 2 2 2 n=0 (2n)!

=1+

∞ X

(−1)n 22n−1

n=1

7.111.

x2n , (2n)!

x ∈ R.

A Lagrange-maradék seg´ıtségével becs¨ ulj¨ uk meg a f¨ uggvényérték és egy Taylor-polinom eltérését. Az f (x) = sin x f¨ uggvény esetén valamilyen d ∈ [0, 1]-re n−1 X 1 k |sin 1 − T2n (1)| = sin 1 − (−1) = (2k + 1)! k=0

d2n+1 1 = ≤ < 10−2 , (2n + 1)! (2n + 1)! ha n ≥ 2. Ezért 1 |sin 1 − T4 (1)| = sin 1 − 1 + = sin 1 − 3!

5 < 10−2 . 6

Az f (x) = ex f¨ uggvény esetén valamilyen d ∈ [0, 1]-re d n+1 1 e e − Tn (1) = e − Tn (1) = e d ≤ < 10−2 , (n + 1)! (n + 1)!

ha n ≥ 5. Ezért 1 1 1 1 e − T5 (1) = e − 1 + 1 + + + + = 2 6 24 120 43 ∼ e − 2.716666667 < 10−2 =e− 2+ 60 7.117.

2

A keresett deriv´ alt az f (x) = ex f¨ uggvény 0 kör¨ uli Taylor-sorában az 136 x hatv´ anyhoz tartozó egy¨ uttható és 136! szorzata. 2

f (x) = ex =

∞ X 1 2n x , n! n=0

f (136) (0) =

136! 68!


7.120.

300

1 cos2 x 0 1 sin x 00 00 f (x) = (tg x) = =2 3 2 cos x cos x 0 sin x cos4 x + 3 sin2 x cos2 x f 000 (x) = (tg x)000 = 2 3 =2 = cos x cos6 x f 0 (x) = (tg x)0 =

1 + 2 sin2 x cos2 x + 3 sin2 x = 2 cos4 x cos4 x Teh´ at f (0) = 0, f 0 (0) = 1, f 00 (0) = 0, f 000 (0) = 2. Tehát a 3-adik Taylor-polinom =2

x3 . 3 Mivel tg x p´ aratlan f¨ uggvény, ezért a negyedik deriváltja a 0-ban 0. Teh´ at a fenti polinom egyben a negyedik Taylor-polinom is, t3 (x) = t4 (x). t3 (x) = x +

7.125.

∞ X 1 1 1 1 = = (−1)n n+1 xn , 2+x 2 1 − −x 2 n=0 2 1 1 1 1 (b) = = = −(x − 1) 2+x 3 + (x − 1) 3 1− 3 ∞ X 1 (−1)n n+1 (x − 1)n , = |x − 1| < 3 3 n=0

(a)

|x| < 2

7.3 Trigonometrikus sorok, Fourier-sor 1 1 − cos 2x 2 2

7.126.

sin2 x =

7.128.

Mivel sgn x p´ aratlan, ezért minden an = 0. 1 bn = π

Zπ −π

Zπ 2 2 π sin nx dx = − sgn x sin nx dx = [cos nx]0 = π πn 0  4   ha n páratlan πn =   0 ha n páros


301

Mivel a sgn x f¨ uggvény szakaszonként folytonosan deriválható és 0-ban az érték a két féloldali” határérték számtani közepe, ezért a Fourier” sora el˝ o´ all´ıtja a (−π, π) intervallumon. ∞ 4 X sin(2k + 1)x π 2k + 1

sgn x =

ha − π < x < π.

k=0

7.134.

(a) Ez a f¨ uggvény p´ aratlan f¨ uggvény, azaz f (−x) = −f (x), ezért minden an = 0. Z2π 0

2π Z2π π−x 1 1 π−x cos nx dx = sin nx dx = − · cos nx − 2 2 n 2n 0 0

x−π = cos nx 2n

2π 0

π = n

Így teh´ at 1 bn = π

Z2π

π−x 1 sin nx dx = . 2 n

0

Mivel az f (x) f¨ uggvény szakaszonként folytonosan deriválható, azért (0, 2π)-n, a folytonoss´ agi helyein a f¨ uggvényt el˝oáll´ıtja a Fourier-sora. ∞ π − x X sin nx = , 2 n n=1

ha 0 < x < 2π.

π (b) Az el˝ oz˝ o Fourier-sorfejtésben ´ırjunk x helyébe -t. 2  n ha k = 2n + 1 π  (−1) Mivel sin k = , ezért  2 0 ha k = 2n ∞ X 1 π = (−1)n . 4 2n +1 n=0

7.135.

(a) Mivel f p´ aros f¨ uggvény, 1 bn = π

Zπ −π

x2 sin nx dx = 0, azaz a bn -ek mind nullák.


Zπ

1 a0 = 2π

−π

302

π 1 x3 π2 x dx = = 2π 3 −π 3 2

ha n > 0, kétszer parciálisan integrálva kapjuk, hogy π Zπ Zπ 2 1 2 2 x sin x dx = x sin nx − x cos nx dx = n n −π −π

−π

=

2 2 π [x cos nx]−π − 2 2 n n

=

(−1)n 4π n2 .

Zπ

cos nx dx = (−1)n

4π 2 π − 3 [sin nx]−π = 2 n n

−π

Így teh´ at n > 0 esetén Zπ 1 4 an = x2 cos nx dx = (−1)n 2 . π n −π

X 1 Mivel konvergens, ezért f Fourier-sora egyenletesen konvern2 gens a Weierstrass-kritérium szerint, és mivel f folytonos, a Fouriersora el˝ o´ all´ıtja a f¨ uggvényt. ∞ 2 X π cos nx x2 = , ha −π ≤ x ≤ π. (−1)n +4· 3 n2 n=1 (b) Ha az el˝ oz˝ o Fourier-sorban x helyébe π-t ´ırunk, és felhasználjuk, hogy cos nπ = (−1)n kapjuk, hogy π2 =

∞ X 1 π2 +4· . 3 n2 n=1

´ Atrendez´ es ut´ an pedig ∞ X 1 π2 = . n2 6 n=1 7.142. x

e = a0 +

∞ X

(an cos nx + bn sin nx)

n=1

Kétszer parci´ alisan integrálva kapjuk, hogy Z cos nx + n sin nx x ex cos nx dx = e + C, n2 + 1


Z

ex sin nx dx =

303

sin nx − n cos nx x e +C n2 + 1

Ezt felhaszn´ alva 1 a0 = 2π

Zπ

ex dx =

1 eπ − e−π · , 2 π

−π

1 an = π

Zπ

ex cos nx dx = (−1)n

1 eπ − e−π · , n2 + 1 π

−π

bn =

1 π

Zπ

ex sin nx dx = (−1)n+1

n eπ − e−π · n2 + 1 π

−π

Behelyettes´ıtés ut´ an eπ − e−π e = π x

! ∞ 1 X (−1)n + (cos nx − n sin nx) , 2 n=1 n2 + 1

−π < x < π

´ ltozo ´ s f¨ ńyek differencia ´ la ´ sa – Megolda ´ sok 8. T¨ obbva uggve

304

T¨ obbv´ altoz´ os fu enyek differenci´ al´ asa ¨ ggv´ 8.1 Topol´ ogiai alapfogalmak p

8.2.

|p − q | = √ 110

8.5.

k=1:

x2 < r 2

k=2:

x2 + y 2 < r 2

k=3:

x2 + y 2 + z 2 < r 2

k=n:

x21 + x22 + · · · + x2n < r2

8.8.

(−1 − 5)2 + (3 − (−4))2 + (5 − 0)2 =

Ez a halmaz az ´ abr´ an látható ny´ılt k¨ orgy˝ ur˝ u. Ny´ılt és korlátos halmaz, hat´ arpontjai az x2 + y 2 = 1 és az 2 x + y 2 = 4 k¨ orvonal pontjai.

√

36 + 49 + 25 =

2

1

K

2

K

0

1

1

2

K

1

K

2

8.14.

H = {x : 0 < x < 1} ⊂ R ny´ılt (ny´ılt intervallum), mert ha x ∈ H, r = min{x, 1 − x}, akkor {y : |x − y| < r} ⊂ H.

8.15.

Ha H = {(x, 0) : 0 < x < 1} ⊂ R2 , akkor ∂ H = {(x, 0) : 0 ≤ x ≤ 1}. A 8.1. tétel szerint H nem ny´ılt, mert H ∩ ∂ H 6= ∅, és nem zárt, mert ∂ H * H.

8.22.

Ha H = {(x, y) : x ∈ Q, y ∈ Q} ⊂ R2 , akkor ∂ H = R2 , és ezért a 8.1. tétel szerint H se nem ny´ılt, se nem zárt.

8.23.

A H = {(x, y) : 0 < x < 1, 0 < y < 1} ⊂ R2 halmaz ny´ılt (ny´ılt téglalap), mert p = (x, y) ∈ H, r = min {x, 1 − x, y, 1 − y} > 0 esetén B(p; r) = q ∈ R2 : |p − q| < r ⊂ H.


305

8.29. H = {(x, y, z) : x2 +y 2 +z 2 ≤ 1},

int H = {(x, y, z) : x2 +y 2 +z 2 < 1},

ext H = {(x, y, z) : x2 +y 2 +z 2 > 1}, 8.32.

∂ H = {(x, y, z) : x2 +y 2 +z 2 = 1}

(a) Nem igaz, péld´ aul H = {0 } , x = 0 . (b) Igaz, mert int H ⊂ H. (c) Nem igaz, péld´ aul H = {0 }. (d) Nem igaz, péld´ aul H = {p ∈ Rn : |p| < 1} , x = (1, 0, . . . , 0). (e) Igaz, péld´ aul H = Qn . (f ) Igaz, péld´ aul H = {p ∈ Rn : |p| < 1}. (g) Igaz, péld´ aul H = {p ∈ Rn : |p| = 1}.

8.2 T¨ obbv´ altoz´ os fu enyek grafikonja ¨ ggv´ 8.33.

f (p ) = f (2, 3) = 2 + 32 = 11.

8.38.

f (x, y) = x − y,

8.41.

(a) — (B), (b) — (D), (c) — (C), (d) — (F), (e) — (A), (f) — (E)

8.43.

f (x, x2 ) = x − x2 .

f (x, x) = 0,

3

2 y 35

1 30 25

K3

K2

K1

0

1

x

2

3

20

K1

15 10

-3

K2

-2

5y -1 00

K3

szintvonalak

3

2

1

0

1

-2

-1 2

grafikon

x

-3


8.45.

306

3

2

8,5

y 6,0

1 3,5

K3

K2

-3

K1

0

1

x

2

-1 1

2

3

K1

1,0 -2

3

y

-2

0 0 -1,5 -1 1 2 3

-3

x

-4,0

K2

-6,5

-9,0

K3

szintvonalak 8.47.

grafikon

3

2 y 17,5

1 15,0

12,5

K3

K2

K1

0

1

x

2

3

10,0

K1

7,5

5,0 -3

K2

-2

y 2,5 -1 0 0,0

K3

szintvonalak

3

2

1

0

-2

-1 1 x 2

grafikon

-3


8.49.

307

3

2

8,5

y 6,0

1

-3

3,5 -2

K3

K2

1,0

3

K1

0

1

x

2

2

3

y

-1

0

1

0 -1,5 1

-1

-2

2

K1

3

-4,0

x

-3

-6,5

K2

-9,0

K3

szintvonalak 8.61.

f (x, y) =

x+y , x−y

grafikon

Df = (x, y) ∈ R2 : x 6= y .

8.3 T¨ obbv´ altoz´ os hat´ ar´ ert´ ek, folytonoss´ ag 8.67.

f (x, y) = 7,

lim

f (x, y) =

(x,y)→(0,0)

lim

7 = 7. A f¨ uggvény minde-

(x,y)→(0,0)

n¨ utt folytonos. 8.73.

sin x − sin y f¨ uggvény nincs értelmezve ha x = y, és ´ıgy ex − ey nincs értelmezve az origó egy pontozott környezetében. Az origóban ezért nincs hat´ arérték. Az f (x, y) f¨ uggvény folytonos az {(x, y) : x 6= y} értelmezési tartom´ any minden pontjában. Az f (x, y) =

8.79. ( x, ha x = y f (x, y) = 0, egyébként A f¨ uggvény minden¨ utt folytonos, kivéve a H = {(x, x) : x 6= 0} halmaz pontjait. Ezért (0, 0)-ban is és (0, 1)-ben is van határérték, mégpedig a helyettes´ıtési érték: lim (x,y)→(0,0)

f (x, y) = f (0, 0) = 0,

lim (x,y)→(0,1)

f (x, y) = f (0, 1) = 0.


308

8.4 Parci´ alis ´ es tot´ alis deriv´ alt 8.85.

Legyen péld´ aul f (x, y) =

  

2xy x2 + y 2

 

ha x2 + y 2 > 0 . 2

0

2

ha x + y > 0

Mivel f (x, 0) ≡ 0 ≡ f (0, y), ezért az origóban mindkét parciális derivált létezik és nulla. De mivel f (x, x) ≡ 1 6= 0, ezért még határértéke sincs f -nek az orig´ oban. 8.90.

Ha x 6= y 2 , akkor az f (x, y) =

x+y f¨ uggvény (parciálisan) deriválhax − y2

t´ o, és fx0 (x, y) = fy0 (x, y) =

8.96.

(x − y 2 ) − (x + y) y2 + y = − , (x − y 2 )2 (x − y 2 )2

(x − y 2 ) + (x + y) · 2y x + y 2 + 2xy = . 2 2 (x − y ) (x − y 2 )2

z

A g(x, y, z) = xy f¨ uggvény értelmezési tartománya a {(x, y, z) ∈ R3 : x > 0, y > 0} térnegyed. Ennek pontjaiban deriválható, és z ∂ yz x = x(y −1) · y z , ∂x

z ∂ yz x = xy · ln x · z · y z−1 , ∂y

z ∂ yz x = xy · ln x · ln y · y z ∂z

8.102.

Egyik parci´ alis deriv´ alt sem létezik az origóban, mert az f (x, 0) = |x|,illetve f (0, y) = |y| egyváltozós f¨ uggvények nem deriválhatók 0-ban.

8.108. g(x, y, z) = 2 + x + y 2 + z 3 , gx0 (x, y, z) = 1,

gy0 (x, y, z) = 2y,

00 00 gxy (x, y, z) = gyx (x, y, z) = 0, 00 gyy (x, y, z) = 2,

gz0 (x, y, z) = 3z 2 ,

00 gxx (x, y, z) = 0,

00 00 gxz (x, y, z) = gzx (x, y, z) = 0,

00 00 gyz (x, y, z) = gzy (x, y, z) = 0, 00 gzz (x, y, z) = 6z


8.112.

A v = (−4, 3) vektor hossza |v | = 5. Mivel az f (x, y) = ex+y ·ln y f¨ uggvény a p = (0, 1) pontban deriválható ezért ebben a pontban minden ir´ anyban deriv´ alhat´ o (lásd a 8.5. tételt), és 1 ∂ ∂ ∂ f (0, 1) = −4 f (0, 1) + 3 f (0, 1) . ∂v 5 ∂x ∂y ∂ ∂ 1 ex+y · ln y = ex+y · ln y, ex+y · ln y = ex+y · ln y + ∂x ∂y y Behelyettes´ıtés ut´ an

8.119.

309

3e ∂ f (0, 1) = . ∂v 5

Egy (sima) fel¨ ulet tetsz˝oleges pontjában az iránymenti deriváltak abszol´ ut értékben a gradiens irányában maximálisak (lásd a 8.5. tételt), és ezért a goly´ o ebben az irányban lefelé indul el. fx0 (x, y) = 3x2 − 9y,

fy0 (x, y) = 3y 2 − 9x

grad f (1, 2) = (−15, 3),

grad f (2, 1) = (3, −15),

grad f (2, 0) = (12, −18),

grad f (−2, 1) = (3, 21)

8.127.  x2 − y 2   xy x2 + y 2 , f (x, y) =    0,

ha x2 + y 2 6= 0 ha x2 + y 2 = 0

Ha x2 + y 2 6= 0 x2 − y 2 x2 + y 2 x2 − y 2 =y 2 x + y2 x2 − y 2 fy0 (x, y) = x 2 x + y2 x2 − y 2 =x 2 x + y2

fx0 (x, y) = y

(a) f (x, 0) = f (0, y) = 0, (b) fx0 (0, y) = −y,

2x(x2 + y 2 ) − 2x(x2 − y 2 ) = (x2 + y 2 )2 4xy 2 + xy 2 (x + y 2 )2 −2y(x2 + y 2 ) − 2y(x2 − y 2 ) + xy = (x2 + y 2 )2 4x2 y − xy 2 (x + y 2 )2 + xy

fx0 (0, 0) = fy0 (0, 0) = 0

fy0 (x, 0) = x

´ ltozo ´ s f¨ ńyek differencia ´ la ´ sa – Megolda ´ sok 8. T¨ obbva uggve 00 (c) fxy (0, 0) = −1,

310

00 fyx (0, 0) = 1

(d) Mert a m´ asodrend˝ u parciális deriváltak nem folytonosak az origóban. (e) Bel´ atjuk, hogy f nem deriválható kétszer, mert fx0 nem deriválható az orig´ oban. Az eddigi eredményeket felhasználva 00 00 fx0 (0, 0) = 0, fxx (0, 0) = 0, fxy (0, 0) = −1 00 00 fx0 (x, y) − fxx (0, 0)x + fxy (0, 0)y + fx0 (0, 0) fx0 (x, y) + y p = p x2 + y 2 x2 + y 2

Megmutatjuk, hogy ez a kifejezés nem tart 0-hoz (0, 0)-ban már az y = x egyenes mentén sem. √ fx0 (x, x) + x 2x √ =√ = 2 2x x2 + x2 8.129.

Igen, péld´ aul az f (x, y) = x sin y megfelel.

8.131.

Ha x > 0, akkor grad f (x, y) = (yxy−1 , xy ln x),

grad f (2, 3) = (12, 8 ln 2).

Az érint˝ o s´ık egyenlete z = 8 + 12(x − 2) + 8 ln 2 · (y − 3). 8.134. y = n! +

n X n! k=1

8.140.

k

(xk − k)

Itt h = g ◦ f : R2 → R, h(u, v) = g(f (u, v)) = g(f1 (u, v), f2 (u, v)) ahol 1 f1 (u, v) = u2 v 2 , f2 (u, v) = . uv h0u (u, v) = gx0 (f (u, v))(f1 )0u (u, v) + gy0 (f (u, v))(f2 )0u (u, v) = 1 1 1 = 2 2 · 2uv 2 + uv · − 2 = u v u v u h0v (u, v) = gx0 (f (u, v))(f1 )0v (u, v) + gy0 (f (u, v))(f2 )0v (u, v) = 1 1 1 = 2 2 · 2u2 v + uv · − 2 = u v uv v


J = (h0u (u, v), h0v (u, v)) =

1 1 , u v

311

Ellen˝ orizz¨ uk ezt az eredményt u ´gy, hogy kiszámoljuk a h(u, v) f¨ uggvényt, majd deriv´ aljuk. 1 2 2 h(u, v) = ln(u v ) + ln = 2 ln u + 2 ln v − ln u − ln v = ln u + ln v uv 8.146.

Jel¨ olje t az r s´ıkg¨ orbe változóját. r (t) = (x(t), y(t)) h = f ◦ r,

h(t) = f (r (t)) = x(t) + y(t),

h0 (t) = h0 (r (t)) · r 0 (t) = x0 (t) + y 0 (t)

8.5 T¨ obbv´ altoz´ os sz´ els˝ o´ ert´ ek 8.152.

Az f (x, y) = x2 + ey sin x3 y 2 f¨ uggvény folytonos a kompakt (korlátos és z´ art) H = {(x, y) : x2 + y 2 ≤ 1} halmazon, ezért a Weierstrass-tétel szerint van abszol´ ut maximuma és minimuma H-n.

8.157.

Az f (x, y) = x3 y 2 (1 − x − y) f¨ uggvény minden¨ utt folytonos, a korlátos és z´ art H = {(x, y) : 0 ≤ x, 0 ≤ y, x + y ≤ 1} halmazon (z´ art h´ aromszög) f nem negat´ıv. A háromszög peremén (hat´ ar´ an) f (x, y) = 0, a belsejében pedig f (x, y) > 0. Ezért az f f¨ uggvény maximuma a h´ aromszög belsejében van, és ´ıgy ez lokális maximum is. Sz´ amoljuk ki az f f¨ uggvény stacionárius pontjait, azaz a derivált gyökeit (8.7. tétel), ha x, y > 0, x + y < 1. fx0 (x, y) = 3x2 y 2 (1 − x − y) − x3 y 2 = 0,

4x + 3y = 3

fy0 (x, y) = 2x3 y(1 − x − y) − x3 y 2 = 0,

2x + 3y = 2

x=

1 , 2

y=

1 3

Mivel csak egy gy¨ ok¨ ot kaptunk, ezért ez a maximumhely.


8.163.

312

Az f (x, y) = 3x2 + 5y 2 f¨ uggvény sehol sem negat´ıv, és az origót kivéve minden pontban szigor´ uan monoton a koordináta-tengelyek mentén, ezért egyetlen széls˝ oértéke az origóban van, mégpedig minimum. Ellenorizz¨ ˝ uk ezt a tényt a derivált vizsgálatával (8.7. tétel). fx0 (x, y) = 6x = 0,

x=0

fy0 (x, y) = 10y = 0,

y=0

Teh´ at az orig´ o az egyetlen stacionárius pont. 8.169.

Keress¨ uk meg az f (x, y) = −y 2 + sin x f¨ uggvény stacionárius pontjait. fx0 (x, y) = cos x = 0,

π x = (2n + 1) , n ∈ Z 2

fy0 (x, y) = −2y = 0,

y=0

Teh´ uggvény stacion´ arius pontjai az x-tengelyen a o n at af¨ π p n = (2n + 1) , 0 : n ∈ Z pontok. Vizsgáljuk meg a megfelel˝o 2 kvadratikus alakok definitségét (8.7. tétel). 00 fxx (x, y) = − sin x,

00 00 fxy (x, y) = fyx (x, y) = 0.

A Hesse-m´ atrixok ezekben a pontokban (−1)n+1 Hn = 0

0 −2

00 fyy (x, y) = −2

A Hn m´ atrix determinánsa negat´ıv ha n páratlan, ezért ezekben a pontokban nincs széls˝ oérték. 00 Ha n p´ aros, akkor f -nek a p n -ben maximuma van, mert fxx < 0 ezekben a pontokban.

8.176.

Írjuk fel a két egyenes egy-egy tetsz˝oleges pontjának a távolságát p d(p (t), q (s)) = (2t − 3s)2 + (t − s)2 + (2 − t − 2s)2 , t, s ∈ R. A t´ avols´ agok minimuma ugyanott van, ahol a távolságok négyzetének a minimuma. Keress¨ uk tehát az f (t, s) = (2t−3s)2 +(t−s)2 +(2−t−2s)2 = 6t2 −10ts+14s2 −4t−8s+4 kétv´ altoz´ os f¨ uggvény minimumát a s´ıkon. ft0 (t, s) = 12t − 10s − 4 = 0,

6t − 5s = 2


313

fs0 (t, s) = −10t + 28s − 8 = 0, −5t + 14s = 4 48 34 4 t= , s= , min {f (t, s) : t, s ∈ R} = 59 59 59 2 Teh´ at a két egyenes t´ avolsága √ . 59 8.182. f (x, y) = (x + y)2 ,

fx0 (x, y) = fy0 (x, y) = 2(x + y)

Teh´ at az x + y = 0 egyenes összes pontja kritikus pont. Ezekben a pontokban a f¨ uggvény értéke nulla, másutt pozit´ıv, tehát f -nek minimuma van az x + y = 0 pontjaiban. Megjegyezz¨ uk, hogy ezekben a pontokban nem tudunk d¨ onteni a második parciális deriváltak seg´ıtségével, mert a kvadratikus alak szemidefinit: 2 2 00 00 00 = 0. fxx = fxy = fyy = 2, D = 2 2 8.190. f (x, y, z) = xyz + x2 + y 2 + z 2 fx0 (x, y, z) = yz + 2x = 0,

fy0 (x, y, z) = xz + 2y = 0,

fz0 (x, y, z) = xy + 2z = 0 Az egyenletek ´ atalak´ıt´ asa után xyz + 2x2 = 0,

xyz + 2y 2 = 0,

xyz + 2z 2 = 0

Innen x2 = y 2 = z 2 . Könnyen látható, hogy ha az egyik változó nulla, akkor a m´ asik kett˝ o is. Az egyik kritikus pont tehát az a = (0, 0, 0) (origó). A t¨ obbi esetet nézve xyz negat´ıv kell, hogy legyen, ezért vagy mindhárom negat´ıv, és akkor b = (−2, −2, −2) megold´ as, vagy az egyik negat´ıv, a másik kett˝o pozit´ıv, és akkor a c 1 = (−2, 2, 2), c 2 = (2, −2, 2), c 3 = (2, 2, −2) a tov´ abbi h´ arom kritikus pont. Mivel a f¨ uggvény változóinak szerepe felcserélhet˝ o, ezért elég a három utolsó gyök köz¨ ul az egyiket megvizsg´ alni. 00 fxx = 2,

00 00 fxy = fyx = z,

00 00 fxz = fzx = y,

00 00 fyz = fzy = x,

´ ltozo ´ s f¨ ńyek differencia ´ la ´ sa – Megolda ´ sok 8. T¨ obbva uggve 00 fyy = 2,

314

00 fzz =2

A Hesse-m´ atrix a -ban 

2 Ha = 0 0

 0 0 . 2

0 2 0

Mivel a sarok-determin´ ansok pozit´ıvak, ezért az origóban minimum van. A Hesse-m´ atrix b -ben 

2 Hb = −2 −2

−2 2 −2

 −2 −2 . 2

A kvadratikus alak indefinit, mivel van negat´ıv (−2) és pozit´ıv (4) saj´ atértéke is. Teh´ at a q = (−2, −2, −2) pontban nincs széls˝oérték. Ezt bel´ athatjuk u ´gy is, hogy megmutatjuk, hogy a q ponthoz akármilyen k¨ ozel az f felvesz f (−2, −2, −2) = 4-nél nagyobb és kisebb értéket is. Ugyanis a g(x) = f (x, x, x) = x3 + 3x2 f¨ uggvénynek szigor´ u lokális maximuma van −2-ben, a h(x) = f (x, −2, −2) = x2 + 4x + 8 f¨ uggvénynek pedig szigor´ u minimuma. Vég¨ ul pedig péld´ aul c 1 -ben nincs széls˝oérték, mert a g(x) = f (x, −x, −x) = x3 + 3x2 f¨ uggvénynek szigor´ u lokális maximuma van −2-ben, a h(x) = f (x, 2, 2) = x2 + 4x + 8-nek pedig szigor´ u minimuma. 8.197.

A Lagrange-multiplik´ ator módszer szerint keress¨ uk az L(x, y) = 30 −

x2 y2 − + λ(4x2 + 9y 2 − 36) 100 100

kritikus pontjait a 4x2 + 9y 2 = 36 feltétel mellett. x 1 L0x (x.y) = − + 8λx = 8λ − x=0 50 50 y 1 0 Ly (x.y) = − + 18λy = 18λ − y=0 50 50 4x2 + 9y 2 = 36 A h´ aromismeretlenes egyenletrendszer megoldásai x1 = 0,

y1 = 2,

λ1 =

1 18 · 50


315

1 8 · 50 Mivel a feltételt kielég´ıt˝o pontok egy kompakt halmaz (zárt körvonal) pontjai, ezért itt F -nek van maximuma és minimuma is. Mivel a zárt k¨ orvonalnak nincs pereme”, ezért a széls˝oértékek a fenti két pontban ” vannak, lok´ alis széls˝ oértékek. x2 = 3,

4 , 100

F (0, 2) = 30 −

y2 = 0,

λ2 =

F (3, 0) = 30 −

9 , 100

F (0, 2) > f (3, 0)

Teh´ at az ¨ osvény legmagasabb pontja (0, 2) felett, legalacsonyabb pontja pedig (3, 0) felett van. 8.202.

Mivel f (x, y, z) minden változójában páratlan, ezért a minimum értékek a maximumok neg´ altjai. Elég tehát az xyz f¨ uggvény maximumát keresni az x > 0,

y > 0,

z > 0,

x2 + y 2 + z 2 = 3

feltételek mellett. A mértani és a négyzetes közepek közötti egyenl˝otlenséget haszn´ alva r xyz ≤

x2 + y 2 + z 2 3

!3 =1

és egyenl˝ oség pontosan akkor van, ha x = y = z. De akkor x = y = z = 1. 8.208.

Ha a tégla térfogata V , akkor tehát keress¨ uk a F (x, y, z) = 2(xy + xz + yz) f¨ uggvény minimum´ at az xyz = V,

x > 0,

y > 0,

z>0

feltételek mellett. Ez nyilván ugyanott van ahol az f (x, y, z) = xy+xz+ yz f¨ uggvénynek. A Lagrange-multiplikátor módszer szerint keress¨ uk az L(x, y, z) = xy + xz + yz + λ(xyz − V ) f¨ uggvény kritikus pontjait. L0x (x, y, z) = y + z + λyz = 0


316

L0y (x, y, z) = x + z + λxz = 0 L0z (x, y, z) = x + y + λxy = 0 Az els˝ o egyenletet yz-vel, a másodikat xz-vel, a harmadikat xy-nal osztva kapjuk, hogy 1 1 1 1 1 1 + = + = + = −λ, z y z x y x √ 3 ahonnan x = y = z = V .

´ ltozo ´ s Riemann-integra ´ l – Megolda ´ sok 9. T¨ obbva

317

T¨ obbv´ altoz´ os Riemann-integr´ al 9.1 Jordan-m´ ert´ ek 9.1.

H = {(x, y) : 0 ≤ x < 1, 0 < y ≤ 1},

t(h) = 1.

9.2. H = {(x, y) : x ∈ Q, y ∈ Q, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}, int H = ∅,

H = N = [0, 1] × [0, 1].

Az 9.1. tétel szerint b(H) = 0 6= 1 = k(H), és ´ıgy H nem Jordanmérhet˝ o. 9.8.

L´ asd a 9.2. feladatot.

9.12.

H = {(x, y, z) : x ∈ Q, y ∈ Q, z ∈ Q, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1} Hasonl´ oan a 9.2. feladathoz b(H) = 0,

9.18. 9.24.

k(H) = 1.

Nem, l´ asd a 9.2. feladatot. 1 körvonal nullMinden n ∈ N esetén a Kn = p ∈ R : |p | = n ∞ [ mérték˝ u. Megmutatjuk, hogy a H = Kn halmaz is mérhet˝o és +

2

n=1

null-mérték˝ u. Ehhez elég megmutatni, hogy H k¨ uls˝o mértéke nulla. Legyen ε > 0 tetsz˝ oleges, r > 0 esetén Gr = p ∈ R2 : |p | < r az orig´ o k¨ ozéppont´ u r sugar´ u ny´ılt körlap, [ 1 Hr = Gr ∪ Kn : r ≤ . n Ekkor Hr véges sok mérhet˝o halmaz diszjunkt uniója, ezért mérhet˝o. Mivel minden r > 0 esetén H ⊂ Hr , ezért k(H) ≤ k (Hr ) = t (Hr ) = t (Gr ) = πr2 < ε, ha r elég kicsi. 9.30.

Felhaszn´ aljuk, hogy minden (nem elfajuló) tégla tartalmaz gömböt, és minden g¨ omb tartalmaz (nem elfajuló) téglát. Legyen tehát A ⊂ Rn tetsz˝ oleges korl´ atos halmaz.


318

b(A) = 0 akkor és csak akkor, ha A nem tartalmaz téglát, akkor és csak akkor, ha A nem tartalmaz gömböt, akkor és csak akkor, ha int(A) = ∅.

9.2 T¨ obbv´ altoz´ os Riemann-integr´ al 9.34. ( |x|, ha y ∈ Q f (x, y) = 0, ha y ∈ /Q   Z1 Z1 Z1 Z1  f (x, y) dx dy = g(y) dy = 0. g(y) = f (x, y) dx = 0, −1

0

−1

0

Bontsuk ketté a H halmazt: H1 = {(x, y) ∈ H : x ≤ 0} és H2 = {(x, y) ∈ H : x > 0}. Ekkor H1 -en minden fels˝o o¨sszeg nulla, és H2 -n minden fels˝o o¨sszeg legal´ abb 1/2, és ´ıgy Z Z Z 1 f≥ f+ f≥ . 2 H

H1

H2

Mivel H-n minden als´ o összeg nulla, ezért a Darboux-integrálok nem egyeznek meg, Z Z 1 f = 0 < ≤ f, 2 H

9.40.

H

teh´ at f nem integr´ alható H-n. 1 1 Legyen A = (x, y) ∈ N : x ≥ , B = N \A = (x, y) ∈ N : x < . 2 2 Mindkét halmaz mérhet˝o (téglalapok), és rajtuk az ( 1, ha x ≥ 1/2 f (x, y) = 2, ha x < 1/2 f¨ uggvény konstans. Így tehát f integrálható N -en, és ZZ ZZ ZZ 1 3 f (x, y) dx dy = 1 dx dy + 2 dx dy = + 1 = 2 2 N

A

B


9.43.

319

Mivel f (x, y) nem korlátos, ezért nem integrálható. Másrészt minden v´ızszintes és f¨ ugg˝ oleges egyenesen a f¨ uggvény véges sok hely kivételével nulla. Megjegyz´ es: Megadható korlátos példa is. Legyen ugyanis py px ,y = , (px , q) = (py , q) = 1 . H = (x, y) ∈ N : x, y ∈ Q, x = q q Kissé pongyola m´ odon, H azon racionális pontpárokból áll, amelyeknek k¨ oz¨ os a nevez˝ oj¨ uk” (egyszer˝ us´ıtés után). ” Legyen f (x, y) a H halmaz karakterisztikus f¨ uggvénye, azaz 1 ha (x, y) ∈ H f (x, y) = χH (x, y) = . 0 egyébként

9.46. 

Z1

ZZ sin(x + y) dx dy =

sin(x + y) dx dy =

 0

0

N



Z1

Z1

1

=

[− cos(x + y)]x=0 dy = 0

Z1

1

(cos y − cos(1 + y)) dy = [sin y − sin(1 + y)]0 =

= 0

= 2 sin 1 − sin 2 9.52.  ZZ

ex+2y dx dy = 

Z1

  1  Z e2 − 1 ex dx ·  e2y dy  = (e − 1) 2

0

N

0

9.58. Z3

ZZ (x + y) dxdy =

1

T

Z3 = 1

 1  1 Z Z3 2 x  (x + y) dx dy = + xy dy = 2 x=0 0

1

2 3

1 y y + y dy = + 2 2 2

=5 y=1


320

9.60. ZZ

 1   1   1 2 Z Z Z ex+y dxdy =  ex dx ·  ey dy  =  ex dx = 0

T

0

0

2 1 2 = [ex ]0 = (e − 1) 9.69.

Alkalmazzuk a k¨ orlapokra vonatkozó transzformációs képletet: Z2

ZZ xy dxdy =

 2π  Z  r(r cos ϕ + 1)(r sin ϕ − 1)dϕ dr = 0

0

T

  2π Z 3 r sin(2ϕ) + r2 (sin ϕ − cos ϕ) − r dϕ dr = =  2 0 0  2   2π  Z Z 3 r = dr  sin(2ϕ) dϕ + 2 0 0  2   2π  Z Z +  r2 dr  (sin ϕ − cos ϕ) dϕ − Z2

0

0

 2   2π  Z Z −  r dr  1 dϕ = 0

0

 2   2π  Z Z = −  r dr  1 dϕ = −4π 0

0

Felhaszn´ altuk, hogy a sin(2ϕ) és a (sin ϕ − cos ϕ) f¨ uggvények primit´ıv f¨ uggvényei 2π szerint periodikusak, ezért megváltozásuk a [0, 2π] intervallumon 0.


321

9.74. Z3

ZZZ (x + y + z) dx dy dz =

0

T

Z3 =



Z2



=

x2 + xy + xz 2



Z2

 0

Z3 =

1 +y+z 2

0

0



1

0

0

Z3

dy  dz = x=0



dy  dz =

0

y y2 + + yz 2 2

Z3

2

0

9.82.

 2 1   Z Z   (x + y + z) dx dy  dz =

dz = y=0

3 (3 + 2z) dz = 3z + z 2 0 = 18

0

Jel¨ olje H az y = x2 , y = 2x2 , xy = 1, xy = 2 g¨ orbék ´ altal határolt s´ıkidomot. Tekints¨ uk azt a Ψ : R2 → R2 ,

Ψ(u, v) = (x(u, v), y(u, v))

transzform´ aci´ ot, amelyet az y = ux2 ,

xy = v

egyenletrendszer hat´ aroz meg, azaz x = u−1/3 v 1/3 ,

y = u1/3 v 2/3 . A H s´ıkidom

Erre a Ψ transzform´ aci´ ora teljes¨ ulnek az integráltranszformációról szóló tétel feltételei. A H halmaz a T = [1, 2] × [1, 2] négyzet transzformáltja, H = Ψ(T ). Sz´ amoljuk ki a Ψ Jacobi-determinánsát. ! − 31 u−4/3 v 1/3 31 u−1/3 v −2/3 1 1 0 Ψ (u, v) = , J = − , |J| = 1 −2/3 2/3 2 1/3 −1/3 3u 3u u v u v 3

ZZ t(H) =

3

ZZ dx dy =

H

T

 2  2  Z Z 1 1  1  ln 2 du dv = du dv  = 3u 3 u 3 1

1


9.88.

322

x2 y2 − , H = [0, 1] × [0, 1], 2 2 N = {(x, y, z) : (x, y) ∈ H, 0 ≤ z ≤ f (x, y)}

f (x, y) = 1 −

ZZZ t(N ) =

dx dy dz = N

 ZZ =



fZ (x,y)

 dz  dx dy =

  0

H

ZZ y2 x2 − dx dy = = 1− 2 2 H   Z1 Z1 2 2 x y =  1− − dx dy = 2 2 0

0

Z1 =

2

5 y − 6 2

dy =

1−

x2 2

−

y2 2

alatti test.

2 3

0

9.94.

H = (x, y, z) : x2 + y 2 ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1 − x2 − y 2 .

ZZZ t(H) =

dx dy dz = H

 ZZ =

 dz  dx dy =

 

x2 +y 2 ≤1

ZZ



2 2 1−x Z −y

0

1 − x2 − y 2 dx dy =

= x2 +y 2 ≤1

Z1 =

 2π  Z  r(1 − r2 ) dϕ dr =

0

0

r2 r3 = 2π − 2 3

1 = 0

π 3

1 − x2 − y 2 alatti test.


9.100.

%(x, y) = x2 ,

H = [0, 1] × [0, 1] Z1

ZZ M=

%(x, y) dx dy = 0

H

Z1 Sx = 3



Z1



 1  Z 2  x dx dy = 1 3 0



Z1

3 x dx dy = , 4 3

Sy = 3

0

0

9.106.

323

  1 Z 2  x y dx dy = 1 2 0

0

Az y = 0, x = 2, y = 1, y = x egyenesek által határolt H s´ıkidom egy trapéz, amelyik egy normáltartomány az y-tengely mentén. H = {(x, y) : 0 ≤ y ≤ 1, y ≤ x ≤ 2} Ha %(x, y) = y, akkor Z1

ZZ M=

y dx dy = H

3 Sx = 2

ZZ

 2  Z Z1  y dx dy = y(2 − y) dy = 2 3 y

0

3 xy dx dy = 2

Z1

0

 2  Z  xy dx dy = y

0

H

Z1

y2 3 7 21 y 2− dy = · = 2 2 8 16 0   ZZ Z1 Z2 3 3  Sy = y 2 dx dy = y 2 dx dy = 2 2 =

3 2

y

0

H

3 = 2

Z1 0

3 y (2 − y) dy = 2 2

2 1 − 3 4

=

5 8

´l e ´s primit´ıv f¨ ńy – Megolda ´ sok 10. Vonalintegra uggve

Vonalintegr´ al ´ es primit´ıv fu eny ¨ ggv´ 10.1 S´ık ´ es t´ erg¨ orb´ ek 10.1.

r = t · i + t2 · j t ∈ [0, 4]

10.7.

r = cos t · i + sin t · j t ∈ [0, 2π]

324


325

10.13.

r = t cos t · i + sin t · j t ∈ [0, 6π]

10.19.

r = 2 sin t · i − t2 · j + cos t · k t ∈ [2, 6π]

10.25.

A x2 − xy 3 + y 5 = 17 s´ıkgörbe a P (5, 2) pont kör¨ ul meghatároz egy implicit y(x) f¨ uggvényt. Ennek a f¨ uggvénynek keress¨ uk az érint˝oegyenesét a P pontban. Az implicit egyenlet deriválásával megkapjuk az érint˝ o meredekségét: 2x − y 3 − 3xy 2 y 0 + 5y 4 y 0 = 0,

y0 =

y 3 − 2x 8 − 10 1 = =− . 4 2 5y − 3xy 80 − 60 10

Így teh´ at az érint˝ o egyenlete a P (5, 2) pontban y=−

1 (x − 5) + 2, vagy normál alakban x + 10y = 25. 10


10.27.

326

Sz´ amoljuk ki az érint˝ oegyenes v irányvektorát, azaz a görbe deriváltvektor´ at a t = 2 paraméterérték esetén: r (t) = (t − 3)i + (t2 + 1)j + t2 k r˙ (t) = i + 2tj + 2tk Az ir´ anyvektor: v = r˙ (2) = i + 4j + 4k . Az érintési pont: r 0 = r (2) = −i + 5j + 4k . Az érint˝ o ir´ anyvektoros alakja: r 0 + v t = (t − 1)i + (4t + 5)j + (4t + 4)k .

10.29.

Az 10.2. képletek szerint a ciklois ´ıvhossza

L=

Z2πp

Z2πq x˙ 2 + y˙ 2 dt = r2 (1 − cos t)2 + r2 sin2 t dt =

0

0

Z2π =r

√

Z2πr 2 − 2 cos t dt = r

0

4 sin2

t dt = 2

0

Z2π = 2r 0

2π t t = 8r. sin dt = 4r − cos 2 2 0

10.2 Skal´ ar-, ´ es vektormez˝ ok, differenci´ aloper´ atorok 10.35.

Legyen péld´ aul f (x, y) = cos(2πx) · i + sin(2πx) · j , (x, y) ∈ H = {(x, y) : 0 < x ≤ 1, y = 0}. Ekkor Rf = K = {(x, y) : x2 + y 2 = 1}.

10.39.

f (x, y) = x4 − 6x2 y 2 + y 4 , ∂ ∂ grad f = f ·i + f · j = (4x3 − 12xy 2 ) · i + (4y 3 − 12x2 y) · j ∂x ∂y

10.43.

f (x, y, z) = x + xy 2 + x2 z 3 ,

p = (2, −1, 1)

grad f (x, y, z) = (1 + y 2 + 2xz 3 ) · i + 2xy · j + 3x2 z 2 · k grad f (2, −1, 1) = 6i − 4j + 12k


327

10.47. 1 1 grad U (r ) = ∇U (r ) = ∇ r 2 + 2 = 2 1 − 4 r r r 10.50.

A z = f (x, y) = x2 + y 2 f¨ uggvény grafikonjának érint˝os´ıkja az x = 1, y = 2 pont felett z = f (x0 , y0 )+fx0 (x0 , y0 )(x−x0 )+fy0 (x0 , y0 )(y−y0 ) = 5+2(x−1)+4(y−2)

10.51. r = u cos v · i + u sin v · j + u · k ,

A = [0, 1] × [0, π]

r 0u = cos v · i + sin v · j + k , r 0v = −u sin v · i + u cos v · j i j k 0 0 sin v 1 = −u cos v · i − u sin v · j + u · k r u × r v = cos v −u sin v u cos v 0 p √ |r 0u × r 0v | = u2 cos2 v + u2 sin2 v + u2 = u 2 A felsz´ın kisz´ amol´ as´ ar´ ol szóló tétel szerint   √ ZZ Zπ Z1 √ 2 0 0   π. S= |r u × r v | du dv = 2 u du dv = 2 0

A

0

10.3 Vonalintegr´ al 10.55.

A vonalintegr´ al kisz´ amolásáról szóló tétel szerint Z (x + y) dx + (x − y) dy = Γ

Zπ [(cos t + sin t)(− sin t) + (cos t − sin t) cos t] dt =

= 0

Zπ

(cos 2t − sin 2t) dt =

= 0

sin 2t cos 2t + 2 2

π =0 0


328

Megjegyz´ es: Mivel a v = (x + y) · i + (x − y) · j vektormez˝o egy primit´ıv f¨ uggvénye x2 y2 U (x, y) = + xy − , ezért a konzervat´ıv er˝otér integrálja a primit´ıv 2 2 f¨ uggvény megv´ altoz´ asa: Z v dr = U (−1, 0) − U (1, 0) = 0 Γ

10.61.

A Γ1 g¨ orbe egy parametrizálása x = t, y = t, a Γ2 görbének pedig x = t, y = t2 , ahol 0 ≤ t ≤ 1. A v = y · i + x · j vektormez˝o integráljai Z1

Z y dx + x dy =

2t dt = 1, 0

Γ1

Z1

Z y dx + x dy = Γ2

3t2 dt = 1.

0

Megjegyz´ es: A v = y · i + x · j vektormez˝o konzervat´ıv U (x, y) = xy primit´ıv f¨ uggvénnyel. 10.67.

A vonalintegr´ al nem létezik, mert v nincs értelmezve az origóban, a Γ g¨ orbe pedig ´ atmegy az origón.

10.70. Z (x + y) dx + (y + z) dy + (z + x) dz = Γ

Zπ =

[(cos t + sin t)(− sin t) + (sin t + t) cos t + (t + cos t)] dt = 0

Zπ =

(− sin2 t + t cos t + t + cos t) dt =

0

π t cos 2t t2 = − + + t sin t + cos t + + sin t = 2 4 2 0 =−

π π2 π2 π +0+0−2+ +0= − −2 2 2 2 2


10.77.

329

A Γ g¨ orbe paraméteres alakja: r (t) = t · i + t2 · j ,

−1 ≤ t ≤ 1

azaz x = t, y = t2 ,

dx = x(t) ˙ = 1, dy = y(t) ˙ = 2t,

−1 ≤ t ≤ 1.

A vonalintegr´ al kisz´ amolásáról szóló képlet szerint Z (x2 − 2xy) dx + (y 2 − 2xy) dy = Γ

Z1

2 (t − 2t3 ) · 1 + (t4 − 2t3 ) · 2t dt =

= −1

Z1 =

(t2 − 2t3 − 4t4 + 2t5 ) dt =

t3 2t4 4t5 2t6 − − + 3 4 5 6

−1

= 10.78.

1 = t=−1

2 8 14 − =− 3 5 15

Az ellipszis természetes paraméterezéseként válasszuk az x = a cos t, y = b sin t,

0 ≤ t ≤ 2π

paraméterezést. Ekkor dx, illetve dy helyébe dx = −a sin t, dy = b cos t ker¨ ul. Így az integr´ al visszavezethet˝o egyváltozós Riemann-integrálra: I (x + y) dx + (x − y) dy = Γ

=

Z2π [−a(a cos t + b sin t) sin t + b(a cos t − b sin t) cos t] dt = 0

Z2π = (−ab sin2 t + ab cos2 t − a2 sin t cos t − b2 sin t cos t) dt = 0

Z2π a2 + b2 sin 2t) dt = 0 = (ab cos 2t − 2 0


330

Megjegyz´ es: x2 y2 K¨ onnyen l´ athat´ o, hogy az U (x, y) = + xy − f¨ uggvény primit´ıv 2 2 f¨ uggvénye az integrandusnak, ezért a körintegrál értéke 0. 10.84.

Igen, a v = (x + y) · i + (x − y) · j vektormez˝o primit´ıv f¨ uggvényei: U (x, y) =

x2 y2 + xy − + C. 2 2

10.90.

Nincs primit´ıv f¨ uggvény, mivel a keresztbe vett deriváltak nem egyeznek meg: ∂ ∂ (cos xy) = −x sin xy 6= (sin xy) = y cos xy ∂y ∂x

10.95.

Av =

y x ·i − 2 · j vektormez˝o keresztbe vett deriváltjai x2 + y 2 x + y2 megegyeznek: ∂ y x x2 − y 2 ∂ x2 − y 2 − = , = 2 . 2 2 2 2 2 2 2 ∂y x + y (x + y ) ∂x x +y (x + y 2 )2 Mégsincs primit´ıv f¨ uggvény, mert ha Γ : x = cos t, y = sin t, 0 ≤ t ≤ 2π a z´ art egység-k¨ orvonal, akkor I

x y dx − 2 dy = x2 + y 2 x + y2

Z2π (− sin2 t − cos2 t) dt = −2π 6= 0. 0

Γ

A problém´ at az okozza, hogy v nincs értelmezve az origóban, a Γ görbe pedig megker¨ uli az origót. 10.101.

Az E = (y + x) · i + x · j er˝otér konzervat´ıv, primit´ıv f¨ uggvénye U (x, y) =

10.107.

x2 x2 + xy, potenciálja Φ(x, y) = −U (x, y) = − − xy. 2 2

Mivel nincs értelmezve az origóban, ezért nincs potenciálf¨ uggvénye az 2 egész s´ıkon. Viszont a pontozott s´ıkon, R \ {0 }-n már van: Φ(x, y) =

(x2

1 . + y 2 )1/2


10.108.

331

A v = yz · i + xz · j + xy · k vektormez˝o rotációja nulla a tér minden pontj´ aban, ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (yz) = (xz) = z, (yz) = (xy) = y, (xz) = (xy) = x, ∂y ∂x ∂z ∂x ∂z ∂y ezért van primit´ıv f¨ uggvénye, U (x, y, z). Mivel Ux0 = yz, ezért Z U (x, y, z) = yz dx = xyz + f (y, z). Uy0 =

∂ (xyz + f (y, z)) = xz + fy0 (y, z) = xz. ∂y

ugg y-tól, f (y, z) = g(z). Innen fy0 (y, z) = 0, azaz f (y, z) nem f¨ Uz0 =

∂ (xyz + g(z)) = xy + g 0 (z) = xy, ∂z

és ´ıgy g 0 (z) = 0, azaz a g f¨ uggvény konstans. Tehát U (x, y, z) = xyz+C, ahol C tetsz˝ oleges konstans lehet. Persze az xyz primit´ıv f¨ uggvényt minden számolás nélk¨ ul is elég könny˝ u megtal´ alni. 10.113.

A v = 3xy 3 z 4 · i + 3x2 y 2 z 4 · j + x2 y 3 z 3 · k vektormez˝onek nincs primit´ıv f¨ uggvénye, mivel péld´ aul ∂ ∂ (3xy 3 z 4 ) = 9xy 2 z 4 6= (3x2 y 2 z 4 ) = 6xy 2 z 4 . ∂y ∂x

10.118.

Keress¨ unk egy olyan z(x, y) kétváltozós f¨ uggvényt, amelyre zx0 (x, y) = p(x, y) = x2 + 2xy − y 2 , Z z(x, y) =

Z p(x, y) dx =

zy0 (x, y) = q(x, y) = x2 − 2xy − y 2

(x2 + 2xy − y 2 ) dx =

x3 + x2 y − xy 2 + g(y) 3

Itt g(y) egyel˝ ore ismeretlen (deriválható) f¨ uggvénye y-nak. z(x, y) f¨ uggvényre teljes¨ ulnie kell, hogy zy0 (x, y) = x2 − 2xy + g 0 (y) = q(x, y) = x2 − 2xy − y 2 . Ebb˝ ol az egyenletb˝ ol g 0 (y) = −y 2 , ezért g(y) = −

y3 + C. 3

Erre a


332

Így teh´ at az ¨ osszes primit´ıv f¨ uggvény z(x, y) =

x3 y3 + x2 y − xy 2 − + C. 3 3

10.123. u0x (x, y, z) =

x+y , x2 + y 2 + z 2 + 2xy

Z

x+y dx = + + z 2 + 2xy 1 = ln x2 + y 2 + z 2 + 2xy + f (y, z) 2 x + y x+y u0y (x, y, z) = 2 + fy0 (y, z) = 2 , 2 2 2 x + y + z + 2xy x + y + z 2 + 2xy u(x, y, z) =

x2

y2

teh´ at f (y, z) = g(z). u0z (x, y, z) =

x2

+

y2

z z + g 0 (z) = 2 , 2 2 + z + 2xy x + y + z 2 + 2xy

ezért g 0 (z) = 0, g konstans. u(x, y, z) =

1 2 ln x + y 2 + z 2 + 2xy + C 2

az ¨ osszes primit´ıv f¨ uggvény.

ńyek – Megolda ´ sok 11. Komplex f¨ uggve

333

Komplex fu enyek ¨ ggv´ 11.3.

z 2 = (x2 − y 2 ) + 2xyi, tehát ux = vy = 2x és vx = −uy = 2y.

11.6. 1 1 x2 − y 2 + 1 − 2xyi = = = z2 + 1 x2 − y 2 + 1 + 2xyi (x2 − y 2 + 1)2 + 4x2 y 2 x2 − y 2 + 1 − 2xyi = 2 . (x − y 2 + 1)2 + 4x2 y 2 u(x, y) =

(x2

x2 − y 2 + 1 , − y 2 + 1)2 + 4x2 y 2

v(x, y) = −

(x2

−

y2

2xy + 1)2 + 4x2 y 2

A parci´ alis deriv´ altak kiszámolása után látható, hogy teljes¨ ulnek a Cauchy-Riemann differenciálegyenletek, ha z 2 + 1 6= 0. 11.7. Re f (z) = u(x, y) =

p |xy|,

Im f (z) = v(x, y) = 0

Mivel u(x, 0) = 0 = v(0, y) és u(0, y) = 0 = v(x, 0), ezért u0x (0, 0) = 0 = vy0 (0, 0) és u0y (0, 0) = 0 = vx0 (0, 0), ezért ux (0, 0) = uy (0, 0) = 0, teh´ at a Cauchy-Riemann differenciálegyenletek teljes¨ ulnek z = 0-ban. Ugyanakkor az y = x egyenes mentén f (z) = (|x|)2 , tehát az f (z) f¨ uggvény az orig´ oban nem differenciálható. 11.8. u(x, y) = 2x2 + 3y 2 + xy + 2x,

v(x, y) = 4xy + 5y.

A Cauchy-Riemann differenciálegyenletek szerint 4x + y + 2 = 4x + 5, és 6y + x = −4y minden olyan pontban, ahol f deriválható. Az egyenletrendszer csak x = −30, y = 3 esetén teljes¨ ul, tehát a f¨ uggvény máshol nem differenci´ alhat´ o. 11.9. ∂ (xy) = y, ∂x

∂ (y) = 1, ∂y

∂ (xy) = x, ∂y

∂ (y) = 0 ∂x

Ezért a Cauchy-Riemann differenciálegyenletek csak a z = i pontban teljes¨ ulnek.


11.10.

334

Írjuk fel a Cauchy-Riemann differenciálegyenleteket: ∂u ∂v = 4x = 2y = ∂x ∂y pontosan akkor, ha y = 2x, továbbá ∂u ∂v = −1 = −2x = − ∂y ∂x 1 1 pontosan akkor, ha x = . Ezért a f¨ uggvény egyed¨ ul az + i pontban 2 2 differenci´ alhat´ o.

11.11.

A Cauchy-Riemann differenciálegyenleteknek teljes¨ ulni¨ uk kell, ezért vy0 (x, y)

=

u0x (x, y)

Z = 2x+y,

v(x, y) =

(2x+y) dy = 2xy +

y2 +g(x) 2

vx0 (x, y) = 2y + g 0 (x) = −u0y (x, y) = 2y − x, x2 g(x) = − + C 2 x2 y2 2 2 f (z) = (x − y + xy) + i 2xy − + +C 2 2 g 0 (x) = −x,

Mivel f (0) = 0, ezért C = 0 x2 y2 f (z) = (x − y + xy) + i 2xy − + 2 2 2

11.13.

R=1

11.14.

R=

11.15.

lim

n→∞

11.20.

1 2 √ n

2

n2 = 1, ´ıgy R = 1

A gy¨ okkritérium felhasználásával: v u n2 −n u in 1 1 n t lim = , ´ıgy R = e. = lim 1 + n→∞ n→∞ n+1 n e


11.21.

∞ X

zn =

n=1

11.22.

z , 1−z

335

R=1

A gy¨ okkritérium felhasználásával: lim

p n

n→∞

∞ X

11.23.

in z n =

∞ X

n=0

n=0

∞ X

n

n

(iz) =

(n + 1)z =

n=0

11.24.

∞ X

1 1−z

(n + 2)(n + 1)z n =

n=0

|in | = 1, ´ıgy R = 1.

1 1 − iz 0 =

1 , (1 − z)2

1 1−z

00 =

R=1

2 , (1 − z)3

R=1

11.29.

Haszn´ aljuk fel az ex+iy = ex · eiy = ex · (cos y + i sin y) összef¨ uggést!

11.31.

R

11.32.

f (x + iy) dz = iπ

Γ

11.33.

R

f (x + iy) dz = −π

Γ

11.34.

f (x + iy) dz = 2iπ

Γ

11.35.

R

R

f (x + iy) dz = 0

Γ

Paraméterezz¨ uk a g¨ orbét: z(t) = eit , t ∈ [0, 2π]. Ekkor Z

1 dz = z

Z2π

ieit dt = i eit

0

Γ

dz = ieit . Így dt

Z2π dt = 2πi 0

11.36. Z Γ

11.37.

1 dz = z2

Z2π 0

ieit dt = e2it

Z2π 0

3π/2 Z

−it e (−i)e−it dt = i +11.38. 1

(3.2) Z

(x2 − y 2 ) dx − 2xy dy =

(1,1)

Z0

Z1 |t| dt +

−1

π

11.39.

2π ie−it dt = −e−it 0 = −1 − (−1) = 0

x3 − xy 2 3

|it| dt = 0 0

(3,2) =− (1,1)

7 3


11.40.

3+2i Z

2

3+2i Z

2

(x −y ) dx−2xy dy = Re 1+i

11.41.

z dz = Re

(3 + 2i)3 (1 + i)3 − 3 3

=

1+i

7 − 3 Z 1+i 3z 2 dz = z 3 1 = −3 + 2i 11.42.

Z1+i

1 1 π 1+i dz = [Log z]1 = ln 2 + i z 2 4

1

Z1+i

z

e dz =

1+i [ez ]1

Z1+i

11.44.

"

z2

ze

1

11.65.

2

Γ

11.43.

336

2

ez dz = 2

#1+i 1

1

I f (z) dz = 2π·i·Res

Alkalmazzuk a reziduumtételt:

ez cos z ,π z−π

=

|z|=4

11.67.

2π · i · eπ cos π. 3 1+i Z (1 + i)3 z 2 = z dz = 3 0 3 Γ

11.68.

Z1+i 1+i ez dz = [ez ]0 = e1+i − 1 0

11.73.

11.75.

Legyen g(z) = 10 − 6z, f (z) = z 6 − 6z + 10. Ha z az egységkörvonal tetsz˝ oleges pontja, azaz |z| = 1, akkor |f (z) − g(z)| = z 6 = 1, |g(z)| = |10 − 6z| ≥ 10 − 6 = 4, teljes¨ ulnek a Rouché tétel feltételei. Mivel a g(z) = 10−6z f¨ uggvénynek nincs gy¨ oke az egységk¨ orben, ezért az f (z) = z 6 − 6z + 10 f¨ uggvénynek sincs. Z∞ 1 A keresett ert 2 dx konvergens, ez´ 2 (x + 1) −∞

Z∞ −∞

ZR

1 (x2 + 1)

2

dx = lim

R→∞ −R

1 (x2 + 1)

2

dx.

Legyen ΓR = ΦR + ΨR az a zárt görbe, amelyre ΦR a valós tengely [−R, R] szakasza, ΨR pedig az R sugar´ u, origó középpont´ u körvonal


337

fels˝ o féls´ıkba es˝ o része. Ha f (z) = szerint I I f (z) dz = ΓR

(z 2

1 , akkor a residuum tétel + 1)2 I

dz = 2πi Res(f, i) = (z 2 + 1)2

ΓR

dz = (z 2 + 1)2

|z−i|=1

I =

1 dz 1 π · = 2πi · g 0 (i) = −4πi = . (z + i)2 (z − i)2 (2i)3 2

|z−i|=1

Itt a Cauchy integr´ alformulát használtuk az i-ben reguláris g(z) = 1 1 f¨ uggvényre. A fels˝o félkörön |f (z)| < 2 , ha R elég nagy, (z + i)2 R Z 1 ezért lim dz = 0. R→∞ (z 2 + 1)2 ΨR

π = lim R→∞ 2

Z

dz = lim 2 R→∞ (z + 1)2

ΓR

Z

dz + lim 2 (z + 1)2 R→∞

ΦR

Z∞ = −∞

Z

ΨR

1 (x2 + 1)

2

dx

(z 2

dz = + 1)2

Aj´ anlott irodalom Laczkovich Mikl´ os – T. S´ os Vera: Anal´ızis I. és II., Nemzeti Tankönyvkiadó, 2007. Laczkovich Mikl´ os – T. S´ os Vera: Val´ os Anal´ızis, TypoTex Kiadó, 2012–2013. Urb´ an J´ anos: Matematikai logika, M˝ uszaki Kiadó Kft., 2006. Urb´ an J´ anos: Hat´ arértéksz´ am´ıt´ as, M˝ uszaki Kiadó Kft., 2009. Gyemidovics: Matematikai anal´ızis, Tankönyvkiadó Vállalat, 1974. – TypoTex Kiad´ o (reprint) Thomas-féle kalkulus I., II., III., TypoTex Kiadó, 2008. B´ arczy Barnab´ as: Differenci´ alsz´ am´ıt´ as, M˝ uszaki Kiadó, 2005. B´ arczy Barnab´ as: Integr´ alsz´ am´ıt´ as, M˝ uszaki Kiadó, 2003.

Jegyzetek és példatárak a matematika egyetemi oktatásához sorozat

Recommend Documents