Obsah JEDNODUCHÉ LINEÁRNÍ A KVADRATICKÉ FUNKCE V GEOGEBŘE....................................2 Co je to funkce? ..............................................................................................................................2 Existuje snadnější definice funkce? ................................................................................................2 Dobře, pořád se mi to zdá trochu moc komplikonavané. Můžeme se na základní pojmy podívat v GeoGebře?.......................................................................................................................................3 Jak zapsat funkci jako množinu bodů?............................................................................................3 Stále mi není úplně jasné označení nezávislá a závislá proměnná?................................................4 Existuje nějaká jednodušší varianta jak vytvořit graf funkce, pokud znám její předpis a definiční obor?................................................................................................................................................7 Jak si mohu k dané funkci vytvořit tabulku hodnot?.......................................................................8 Existují ještě nějaké funkce, které by mi pomohli najít průsečíky funkce s osou x nebo osou y?. .9 Dal by se tento postup využít k řešení kvadratických rovnic?......................................................10 Můžeme podobně jednoduchý způsobem najít vrchol paraboly?..................................................10
JEDNODUCHÉ LINEÁRNÍ A KVADRATICKÉ FUNKCE V GEOGEBŘE 29.7.2012
Funkce je jedním z nejdůležitějších matematických pojmů, pochopení jejího významu a práce s funkcemi vám velmi zjednoduší práci v hodinách matematiky. Dříve než se pustíme do samotné funkce v GeoGebře bude nezbytné utřídit si některé základní pojmy, které se k funkcím váží. Potom se už pustíme do práce v samotné GeoGebře.
Co je to funkce? Z hlediska množinového pojetí definujeme funkci jako množinu U uspořádaných dvojic [x, y] reálných čísel, pro něž platí, že ke každému x ∈ R existuje právě jedno y ∈ R tak, že [x,y] ∈ R.
Existuje snadnější definice funkce? Souhlasím stím, že definice na první pohled není moc srozumitelná. Není v tom žádná velká záhada, protože se jedná o jeden ze základních matmatických pojmů, musí být jednoduchý a musí být schopný popsat nekonečné množství variant, ve kterých ho lze použít. Proto se na první pohled může někomu zdát příliš vykonstruovaný nebo nepochopitelý. Pro náš další postup si můžeme udělat představu o funkci jako o množině bodů, které jsme umístili do pravoúhlé souřadné soustavy. Každý z bodů „bydlí na své adrese“, která se skládá z dvojice čísel tvaru např. [1; 5]. „Adresa bodu“ není nic jiného než způsob jak jednotlivé body od sebe odlišit. První číslo v „adrese“ je pravoúhlý průmět do osy x a druhé číslo pravoúhlý průmět bodu do osy y. Každá funkce tedy má své body bydlící na určitých adresách. Funkce se od sebe liší tím, že obsahují různé body (liší se adresami) a také tím kolik takových bodů obsahují. Některé funkce mohou obsahovat třeba jen tři body, jiné nekonečné množství bodů. Podstatným požadavkem na body uvnitř funkce je druhá část množinové definice, která říká, že uvnitř funkce se nesmí objevit dva nebo více různých bodů se stejným číslem na první pozici. Například množina U1 = {[1;3], [2;5], [3;7]} obsahuje tři různé body a je zároveň funkcí splňující naši definici. Naproti tomu množina U2 = {[1;5], [2;6], [1;8]} funkcí není, obsahuje sice tři různé body, ale dva různé body bydlící na stejné x-ové adrese. (jenom pro úplnost v zápisu množiny se neobjevují jména bodů, tak jak jsme zvyklí např. A, B, C ale jenom jejich souřadnice uzavřené do závorek typu []) Pokusili jsme se o jinou definici a stalo se to co matematici nemají rádi. Místo jednoduché věty nebo dvou máme popsánu půlstránku, navíc jsme si svévolně zavedli další objekty jako je bod, adresa, osa x, …
DODATEK K DEFINICI FUNKCE: •
•
• • • •
funkce označujeme v obecném případě písmeny, která slouží k jejich odlišení např. f, g, F, f1 … nebo f(x), g(x) … nebo x → f(x). Volby konkrétní formy nebo písmene je zcela ve vašich rukách, obvykle si vystačíme s písmeny f a g. V konkrétních případech můžeme použít formy y=x 2 +6, f → y=3x−1, g : y =3x 4−2x apod. je-li dána číselná množina A, pak číslo, které funkce f přiřazuje prvku a ∈ Α se nazývá hodnota funkce v bodě a a značí se f(a). To znamená, že uvnitř funkce se nacházejí uspořádané dvojice čísel tvaru …,[a; f(a)],... Například A = {1; 2; 3} a funkce f bude definována předpisem f : y =2x+1 . Funkce je množina uspořádaných dvojic {[1; 3], [2;5], [3; 7]}, množina A se nazývá definiční obor funkce. Je tedy tvořena čísly z prvních pozic uspořádaných dvojic, množina {f(a); a ∈ Α} se nazývá obor hodnot funkce, je tvořen čísly z druhých pozic uspořádaných dvojic není-li výslovně udáno, pro která x je funkce předpisem definována (jaký je její definiční obor), rozumí se obvykle, že je funkce definována pro všechna taková reálná čísla x, pro něž má předpis smysl,
Dobře, pořád se mi to zdá trochu moc komplikonavané. Můžeme se na základní pojmy podívat v GeoGebře? Dobře postupně si projdeme pojmy z předchozích řádků.
Jak zapsat funkci jako množinu bodů? Nejprve si vytvoříme jednoduchou funkci f = {[1; 5], [2;6], [3; 0]}. Vidíme, že si funkci mohu představit jako množinu tří bodů A=[1; 5], B = [2; 6] a C=[3;0]. Zkusíme si body vytvořit také v GeoGebře. Otevřeme si nový soubor a zobrazíme si Nákresnu, Vstupní řádek a Algebraické okno. Bod A vytvoříme jednoduše tak, že do Vstupního řádku napíšeme A=(1, 5). Všimněte si malé změny oproti klasickému matematickému zápisu užívanému ve zdejších zemích. Místo hranatých závorek píšeme závorky kulaté, čísla neoddělujeme středníkem, ale čárkou. Pokud byste chtěli zapsat souřadnice jako číslo s desetinnou čárkou, použijete místo ní desetinnou tečku. Podobně zaznamenáte body B a C. Výsledek v GeoGebře vypadá takto:
Funkci f vytvoříte vložením příkazu f={A, B, C} do Vstupního řádku. Definiční obor funkce f označíme jako Df a získáme ho zadáním příkazu Df = {x(A), x(B), x(C)} do Vstupního řádku. Operace x(A) umožňuje získat x-ovou souřadnici bodu A, podobně x(B), x(C). Obdobným postupem získáme obor hodnot označený Hf, do vstupního řádku vložíme příkaz Hf={y(A), y(B), y(C)}. Výsledný vzhled algebraického okna je možno prohlédnout zde:
Celý příklad je vyřešen zde: Funkce č 1.ggb
Stále mi není úplně jasné označení nezávislá a závislá proměnná? Jedná se o označení proměnných v předpisu funkce. Proměnná na pravé straně předpisu (obvykle x) se nazývá nezávislá, protože za ní do předpisu mohu dosadit libovolné číslo z definičního oboru dané funkce. Proměnná na levé straně předpisu (obvykle y) se nazývá závislou, protože její hodnota je dopočítána až po dosazení konkrétního čísla za proměnnou x, tudíž na x „závisí“. Mějme například funkci f : y =2x . Nezávislá proměnná je x, za kterou mohu dosadit libovolné reálné číslo a závislou proměnnou je y, jejíž hodnotu dopočítávám pro konkrétní x. Je-li x = 1 je y=2, je-li x = 2 je y = 4 … (z uvedených hodnot vidím, že funkce obsahuje uspořádané dvojice [1;2] a [2;4]). Často se místo označení y používá zápis f(x), který čteme jako funkční hodnota v bodě x. Pro naši funkci f : y =2x bych mohl pro závislou a nezávislou proměnnou použít zápis f(1)=2 a f(2)=4. (tentokrát je nezávislá proměnná vlevo a závislá vpravo vzhledem k symbolu „=“, nejedná se ale o zápis předpisu funkce) Pojďme se na obě proměnné podívat do prostředí GeoGebry. Vytvoříme si komplexní a dynamický příklad v novém souboru, který pojmenjte zápisFunkce. Vytvoříme nový soubor a necháme si zobrazit Algebraické okno, Nákresnu, Vstupní řádek a Tabulku. Pro jistotu, vaše okono v Geogebře by mělo vapadat takto:
Všímněte si nástroje Posuvník, je zobrazen v Panelu nástrojů druhý z prava. Jeho ikona vypadá takto:
Nástroj Posuvník použijeme k animaci v našem souboru. Je-li nástroj zvolen a kliknete do nákresny zobrazí se jeho vlastnosti:
Funkce posuvníku je v našem případě jednoduchá, slouží k načítání reálného čísla z intervalu <-5;5> do proměnné a. Ve vlastnostech Posuvníku je nataven krok na 0.1, to znamená, že se hodnota proměnné a bude zvyšovat nebo snižovat právě o toto číslo.V Algebraickém okně vidíte proměnnou a a její aktuální hodnotu. Vyzkoušejte si pohyb jezdce na posuvníku a příslušnou změnu hodnoty a. Nastavte posuvníkem hodnotu a = -1. Pomocí tohoto posuvníku se pokusíme vytvořit funkci f : y =2x , x ∈<−5 ; 5 > . Z předpisu vidíme, že všechny body naší funkce budou popsány jako uspořádané dvojice tvaru [a;2a], kde a ∈ <−5;5> . Jeden z těchto bodů pojmenujeme A a necháme si ho vykreslit GeoGebrou tak, že do vstupního řádku napíšeme příkaz A=(a,2a). Pokud jste příkaz zadali správně a stiskli Enter v Nákresně se zobrazil bod A = (-1;-2). V Panelu nástrojů si vyberte Ukazovátko a měňte hodnotu proměnné a, příslušně by se měla měnit i poloha bodu A. Kde je slibovaná funkce? Hned se k ní dostaneme. Vidíte, že bod A se pohybuje po budoucím grafu funkce f, jeho stopu nám GeoGebra umožní zachytit tak, že klikneme na bod A v Nákresně pravým tlačítkem a z místní nabídky vybereme volbu Stopa zapnuta. Viz obrázek:
Vrátíme se k Posuvníku a opět zkusíme měnit hodnotu proměnné a. Část okna GeoGebry bude po nějakém čase mít tento vzhled:
Vidíme graf naší funkce f : y =2x , x ∈<−5 ; 5 > . Podobně si necháme vytvořit tabulku funkce s uspořádanými dvojicemi čísel, která nleží do naší funkce f. Stačí jen z místní nabídky bodu A vybrat volbu Zaznamenat do tabulky.
V přednastavených volbách nebudeme nic měnit a potvríme nabídku klikem na tlačítko Zavřít. Do Vstupního řádku napíšeme a = -5 a stiskneme Enter. Potom můžeme posuvníkem měnit krajní hodnotu a a zároveň sledovat, jak se uspořádané dvojice čísel zapisují do tabulky naší funkce f. V okně GeoGebry by se měl objevit následující obrázek:
Vidíme přibližný graf a tabulku hodnot funkce f. Přehledně vidíme běžné způsoby záznamu funkce: předpis, graf i tabulku. Celý příklad je vyřešen zde: Funkce č. 2.ggb
Existuje nějaká jednodušší varianta jak vytvořit graf funkce, pokud znám její předpis a definiční obor? Samozřejmě, že existuje. Předchozí varianta měla jen objasnit základní pojmy, které se týkají funkcí. Pokud chcete vytvořit graf zadané funkce například f : y =2x−1 . Stačí tento předpis zadat do Vstupního řádku, GeoGebra se postará o zbytek. Chceteli změnit vzhled grafu, opět stačí kliknout na graf pravým tlačítkem a z místní nabídky vybrat změnu vlastností grafu.
Vidíme ukázku volby vlastností pro naší funkci f. Všimněte si, že funkce f se objevila také v Algebraickém okně. Volba Zobrazit popis s možnostmi Název & Hodnota umožňuje ke grafu funkce zobrazit její název a předpis. Možnosti pro formátování vzhledu grafu jsou mnohem bohatší a každý uživatel je si jistě vyzkouší a ocení. K vlastnostem grafu lze přistupovat také po uzavření algebraického okna z panelu nástrojů pro formátování objektů v Nákresně. Máme-li zadánu funkci s omezeným definičním oborem, který je zapsán pomocí ohraničeného intervalu, využijeme k jejímu vykreslení příkaz Funkce. Dejme tomu, že budeme chtí sestrojit graf funkce f : y=x 2−1, x ∈〈−1 ; 2 〉 Příkaz má následující podobu: Funkce[
,,]. Do pole napíšeme pravou stranu předpisu funkce, jejíž graf chceme vykreslit. je menší hraniční hodnota a je vyšší hodnota z daného intervalu, na kterém je funkce definována. V našem případě by příkaz vypadal následovně: Funkce[x^2-1,-1,2]. Výsledek v GeoGebře je následující:
Jak si mohu k dané funkci vytvořit tabulku hodnot? Zůstaneme u předešlého příkladu. Budeme chtít k naší funkci f : y =x 2−1, x ∈〈−1 ; 2〉 vytvořit tabulku hodnot pro x = -1; 0; 1; 2. Využije k řešení funkce Tabulky a výsledku minulého příkladu. Tabulku si necháme zobrazit a nastavíme její šířku tak, abychom viděli alespoň dva sloupce. Do prvního řádku prvního sloupce napíšeme „ x“(mezi uvozovkami je mezera a x) a do druhého sloupce prvního řádku napíšeme y. Do sloupce pod x napíšeme -1 a pod ní 0. Obě dvě čísla označíme a tažením myši za současného stisku levého tlačítka vložíme do dalších řádků hodnoty 1 a 2.(řada čísel, kterou můžete vkládat do tabulky závisí na rozdílu prvních dvou vybraných čísel, počet vkládaných čísel není nijak omezen) Do sloupce pod y vložíme vzorec =f(A2). Ve vzorci je f jméno naší funkce a A2 je adresa, na které se nachází číslo -1. Stiskneme Enter. Pokud je buňka vybrána, můžeme do zbylých řádků vložit hodnoty pro y tak, že držíme levé tlačítko myši a pohybujeme pravým dolním rohem vybrané buňky.(obě operace, které jsme prováděli ve shodě s tím, jak se obvykle provádí v tabulkových kalkulátorech Excel či OOCalc) Pokud se vám operace provedlo uskutečnit bez chyby vypadá tabulka v GeoGebře následovně:
Celý příklad ukončíme tím, že si tabulku funkce přidáme do Nákresny. Vrátíme se k zobrazení Tabulky a vybereme hodnoty, které chceme zobrazit v Nákresně. Potom z místní nabídky (pravé tlačítko myši) vybereme operaci Vytvořit → Tabulka. Výslednou tabulku posuneme pomocí Ukazovátka do vhodnější pozice. Výsledné zobrazení Nákresny vypadá takto:
Existují ještě nějaké funkce, které by mi pomohli najít průsečíky funkce s osou x nebo osou y? Průsečíky s osou x získáme pomocí příkazu NuloveBody[]. Do závorek napíšete jméno funkce. Pokud využijeme výsledků minulého příkladu na píšeme do Vstupního řádku příkaz NuloveBody[f]. V Algebraickém okně i v Nákresně se zobrazí dvojice bodů A a B, které jsou průsečíky funkce s osou x. Výsledek vypadá takto:
Průsečík s osou y získáme jednoduše. Jedná se o bod se souřadnicemi typu [0; f(0)]. Do vstupního řádku napíšeme Poy=(0,f(0)). Výsledek si můžete prohlédnout zde:
Celý příklad je vyřešen zde: Funkce č. 3.ggb
Dal by se tento postup využít k řešení kvadratických rovnic? Jistě dal. Zůstaneme u minulého souboru GeoGebry a pokusíme se ho využít k řešení kvadratické rovnice x 2−1=0 . Víme, že řešením této rovnice jsou x-ové souřadnice průsečíků s osou x. Pokud již průsečíky s osou x máme (naše body A a B), stačí jen do Vstupního řádku napsat x_1=x(A) a stisknou Enter, x_2=x(B) a stisknout Enter. V Algebraickém okně máme hledané kořeny x1 a x2. (symbol „_“ slouží k vytvoření dolního indexu)Výsledek opět vidíte zde:
Můžeme podobně jednoduchý způsobem najít vrchol paraboly? Můžeme, tentokrát si vytvoříme nový soubor v GeoGebře. Bude v něm hledat vrchol paraboly funkce f : y =x 2−4x . Graf funkce vytvoříme známým postupem tak, že do Vstupního řádku napíšeme příkaz f: y=x^2-4x. GeoGebra vytvoří graf funkce f a my do Vstupního řádku vložíme další příkaz V=Extrem[x^2-4x]. V je označení pro vrchol paraboly, uvnitř závorek je mnohočlen z pravé strany předpisu funkce.
To je výsledek v GeoGebře, vidíme souřadnice vrcholu grafu funkce f. V = [2; -4]. Celý příklad je vyřešen zde: Funkce č. 4.ggb
