ˇ sen´ı u Reˇ ´tern´ı ment´ aln´ı procviˇ cky ??
prvn´ı otazn´ık ?? Jde jen o sestaven´ı soustavy rovnic. Jsou-li vˇeky dcer S a J, maj´ı rovnice tvar 2(S + J) − 2 = 4(S − 2), 2(S + J) − 4 = 6(J − 4),
jejichˇz ˇreˇsen´ım je S = 16, J = 13 a Alanovi je osmapades´at.
??
druh´ y otazn´ık ?? u Rozloˇz´ıme t´ıhovou s´ılu p˚ usob´ıc´ı na horn´ı kl´adu na dvˇe s´ıly F1 a F2 ve smˇerech do stˇred˚ kl´ad ve spodn´ı ˇradˇe. S´ılu F2 jeˇste rozloˇz´ıme na sloˇzku F22 rovnobˇeˇznou s rovinou korby a sloˇzku F21 na ni kolmou (viz obr´azek). Aby se kl´ady nerozjely, mus´ı b´yt splnˇena podm´ınka rovnov´ahy F22 ≤ mg sin ϑ. Sloˇzku F22 je moˇzn´e vyj´adˇrit ve tvaru F22
sin(30◦ − ϑ) √ . = mg 3
. ˇ sen´ım je u Reˇ ´ hel ϑ = 10, 893◦.
??
tˇ ret´ı otazn´ık ?? Zvolme poˇc´atek souˇradnic tak, ˇze nejniˇzˇs´ı destiˇcka m´a tˇeˇziˇstˇe v m´ıstˇe s x-ovou souˇradnic´ı rovnou nule. Potom i-t´a destiˇcka m´a x-ovou souˇradnici tˇeˇziˇstˇe (i − 1) La . x-ov´a souˇradnice tˇeˇziˇstˇe n − 1 destiˇcek (nejspodnˇejˇs´ı nepoˇc´ıt´ame, ta nem´a jak spadnout) potom je Pn m(i − 1) La nL xT = i=2 = , (n − 1)m 2a kde m je hmotnost kaˇzd´e destiˇcky. Aby se destiˇcky nepˇrev´aˇzily, mus´ı b´yt tˇeˇziˇstˇe cel´e soustavy nad“ nejspodnˇejˇs´ı destiˇckou, tedy nejd´ale L2 . Odtud dost´av´ame, ˇze a = n, tedy ” destiˇcek, vˇcetnˇe t´e spodn´ı, m˚ uˇze b´yt nejv´yˇse n.
??
ˇ ctvrt´ y otazn´ık ?? Myˇslenka je stejn´a jako ve tˇret´ım otazn´ıku. Teˇziˇstˇe soustavy destiˇcek m˚ uˇze b´yt nejd´ale na hranˇe destiˇcky pod nimi. Kdyˇz takto konstruujeme vˇeˇz z destiˇcek tak, ˇze pod jiˇz vytvoˇrenou soustavu podsuneme dalˇs´ı destiˇcku, zjist´ıme, ˇze posunut´ı destiˇcek jsou postupnˇe 1 1 1 , , , . . .. Souˇcet ˇc´ısel 2 4 6 ∞ X 1 2n i=1 1
diverguje ( je nekoneˇcno“), je tedy moˇzn´e dostat libovoln´e posunut´ı (samozˇrejmˇe, ˇze pokud ” nˇekde posunut´ı zmenˇs´ıme oproti maxim´aln´ımu moˇzn´emu, rovnov´ahu nepokaz´ıme).
??
p´ at´ y otazn´ık ?? Moˇzn´e rozm´ıstˇen´ı ˇc´ısel je napˇr´ıklad toto:
2
ˇ sen´ı stˇredeˇ Reˇ cn´ı ment´ aln´ı procviˇ cky ??
prvn´ı otazn´ık Oznaˇc´ıme-li v´yroky
??
A = nehodu zavinil ˇridiˇc A“ ” B = nehodu zavinil ˇridiˇc B“ ” C = nehodu zavinil ˇridiˇc C“, ” potom podm´ınky ze zad´an´ı lze zapsat pomoc´ı v´yrokov´e formule P = (B ∨ C) ∧ (C ⇒ A) ∧ (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ C ′ ). Nyn´ı staˇc´ı ovˇeˇrit jej´ı platnost pro osm kombinac´ı platnost´ı v´yrok˚ u A, B, C. Tak zjist´ıme, ˇze ´ ’ nehodu zavinil ˇridiˇc B bud s´am, nebo spoleˇcnˇe s ˇridiˇcem A. (Uloha tedy nem´a jednoznaˇcn´e rozˇreˇsen´ı.)
??
druh´ y otazn´ık ?? Uv´aˇz´ıme-li soustavu spojenou s v´ahou, tedy tu, ve kter´e prob´ıh´a mˇeˇren´ı, potom zjiˇs’t ujeme, ˇze bˇehem pohybu je potˇreba od t´ıhov´e s´ıly odeˇc´ıst setrvaˇcnou s´ılu, kter´a na fyzika p˚ usob´ı. Jej´ı velikost je rovna pr˚ umˇetu pohybov´e sloˇzky t´ıhov´e s´ıly fyzika do svisl´eho smˇeru (do smˇeru t´ıhov´eho zrychlen´ı). Takto dostaneme, ˇze mg − mg sin2 α = m′ g, ˇ ıselnˇe dostaneme α = 30◦ . kde m′ = 60 kg je hmotnost fyzika namˇeˇren´a bˇehem pohybu. C´
??
tˇ ret´ı otazn´ık ?? Cel´y probl´em je ten, ˇze sˇc´ıt´ame veliˇciny, kter´e sˇc´ıtat nelze: v´ydaje rekreant˚ u s pˇr´ıjmy chlapce. Prvn´ı popis situace je spr´avn´y, ve druh´em je tˇreba ˇr´ıci, ˇze onˇech 3 ×15 Kˇc = 45 Kˇc je 40 Kˇc za jablka a 5 Kˇc v´ydˇelku chlapce. Zbyl´ych 15 Kˇc je zbyl´a ˇc´astka, kterou si mezi sebe rozdˇelili.
??
ˇ ctvrt´ y otazn´ık ?? Dle Newtonova gravitaˇcn´ıho z´akona F =κ
m1 m2 r2
je rozmˇer gravitaˇcn´ı konstanty κ [κ] = m3 · s−2 · kg−1 . Pro elektrickou intenzitu E =
F Q
dostaneme
[E] = kg · m · s−3 · A−1 = V · m−1 , 1
coˇz je bˇeˇznˇe pouˇz´ıvan´a jednotka intenzity. V Lond´ynˇe je o hodinu m´enˇe neˇz v Jedovnic´ıch, tj. pokud je m´ıstn´ı ˇst´abn´ı ˇcasov´y u ´ daj 17 : 58 : 41, je v Lond´ynˇe 16 : 58 : 41.
??
p´ at´ y otazn´ık ?? Tak tady pˇredhazujeme nˇekolik moˇzn´ych ˇreˇsen´ı:
2
16 12 18
18
10 2 4
20 8
20 12
6 10
14
8
16 6
4
2
8 16
8 4
14
6
18
2
20 10
20 12
4 14
12
12
14 4
18
8
6 14
18 8
10
4
16
2
2
20 16
20 16
2 10
18
16
12 2
6
6
14 6
12 4
12
10
14
6
20 10
20 8
4 18
8
14 2 18 16
10
ˇ sen´ı ˇ Reˇ ctvrteˇ cn´ı ment´ aln´ı procviˇ cky ??
prvn´ı otazn´ık ?? Rovnost plat´ı. Jde vlastnˇe o nejednoznaˇcnost z´apisu ˇc´ısla, tzn. existuj´ı dva symboly (2 a 1, 9) pro jedin´e ˇc´ıslo. Zp˚ usob˚ u d˚ ukazu je nˇekolik. •
1 9
= 0, 111 . . . ⇒ 1 = 9 ·
1 9
= 0, 999 . . .. A je to.
• 9 · 1, 9 = (10 − 1) · 1, 9 = 19, 999 . . . − 1, 999 . . . = 18 = 9 · 2. A je to.
??
druh´ y otazn´ık ?? Sledujme cel´y probl´em z inerci´aln´ı soustavy spojen´e s koul´ı. Co je potˇreba, aby se ten hmotn´y bod pohyboval po kruˇznici? Dostˇrediv´a s´ıla o velikosti mv 2 /R. Touto silou m˚ uˇze b´yt jen t´ıhov´a, resp. jej´ı pr˚ umˇet do ”dostˇrediv´eho” smˇeru. Je-li ϑ u ´ hel mezi vertik´aln´ım smˇerem a pr˚ uvodiˇcem, je ten spr´avn´ y pr˚ umˇet roven mg cos ϑ. Rychlost v vyj´adˇr´ıme tˇreba p ze z´akona zachov´an´ı energie. v = 2gR(1 − cos ϑ). Hmotn´y bod se od koule ”odlep´ı” v okamˇziku, kdy uˇz t´ıhov´a s´ıla na nˇej p˚ usob´ıc´ı nestaˇc´ı plnit roli s´ıly dostˇrediv´e, tzn. m
v2 = mg cos ϑ R
Dosad´ıme a zjist´ıme, ˇze dan´y okamˇzik nastane, kdyˇz se uvaˇzovan´y hmotn´y bod bude nach´azet v poloze, kter´a splˇ nuje 2 cos ϑ = . 3 . . ◦ A tedy ϑ = 48 a vypoˇc´ıtat d´elku dr´ahy jiˇz je trivi´aln´ı. (Vyjde to = 0, 84R). Vˇsimnˇete si, ˇze u ´ hel, pˇri kter´em se hmotn´y bod odlep´ı“ od koule, nijak nez´avis´ı ani na t´ıhov´em ” zrychlen´ı, ani na hmotnosti hmotn´eho bodu, ani na polomˇeru koule!
??
tˇ ret´ı otazn´ık ?? Jednoduˇse jde o to, dos´ahnout co nejlepˇs´ıho vyuˇzit´ı lucerniˇcky. Jednoduch´e devaten´actiminutov´e ˇreˇsen´ı spoˇc´ıv´a v tom, ˇze nejrychlejˇs´ı trpasl´ık postupnˇe pˇrev´ad´ı ostatn´ı pˇres most. Ale vˇsimnˇete si, ˇze kdyˇz jde nejrychlejˇs´ı spolu s nejpomalejˇs´ım, ztrat´ı ten nejrychlejˇs´ı devˇet minut, kter´e by mohl vyuˇz´ıt jinak a l´epe! Existuje kratˇs´ı ˇreˇsen´ı – na 17 minut: Nejprve jdou trpasl´ıci 1 a 2, pak se trpasl´ık 1 vr´at´ı, pot´e jdou spolu trpasl´ıci 5 a 10, a s lucerniˇckou se vrac´ı trpasl´ık 2, kter´y z˚ ustal na druh´e stranˇe. Pak jdou trasl´ıci 1 a 2. (Snad jste vˇsichni pochopili, ˇze jsem trpasl´ıky oˇc´ısloval podle doby, jakou jim trv´a pˇrejit´ı mostu.) To d´av´a dohromady 2 + 1 + 10 + 2 + 2 = 17 (minut).
??
ˇ ctvrt´ y otazn´ık ?? Jak plyne z obr´azku, bude zrychlen´ı urˇcitˇe u ´ mˇern´e rychlosti medvˇeda v2 , jde jen o to, jak si vhodnˇe poradit s u ´ hlem mezi rychlostmi v bl´ızk´ych okamˇzic´ıch. Konkr´etnˇe ∆t · a = 2v2 sin 1
α . 2
Protoˇze medvˇed st´ale smˇeˇruje k medvˇedici, dostaneme (opˇet dle obr´azku) tan α =
v1 ∆t . l
Budeme-li uvaˇzovat pˇrechod ∆t → 0, bude i α → 0. Pro velmi mal´e u ´ hly plat´ı pˇribl´ıˇzen´ı . . tan α = sin α = α, a proto dost´av´ame, ˇze a=
v1 v2 . l
??
p´ at´ y otazn´ık ?? ´ Uloha je pˇrevzata z popul´arn´ı literatury, a proto nebyla pˇr´ıliˇs pˇresnˇe zad´ana. Podm´ınk´am ze zad´an´ı asi nejl´epe vyhovuje obrazec, kter´y je n´ıˇze nakreslen (obr. 1). Dalˇs´ı ˇreˇsen´ı, kter´e jste napsali, bylo opˇet kruhov´eho tvaru, avˇsak se stˇr´ıdaj´ıc´ımi se barvami. Tento u ´ tvar nem´a pravo–levou ˇcerno–b´ılou symetrii. Oproti ˇctverci ze zad´an´ı je imunn´ı“ proti otoˇcen´ı ” π . Druh´y v´ami navrˇzen´y zp˚ usob (obr. 3) opˇet nem´a ˇcerno–b´ılou symetrii a nav´ıc je tam 4 v´ıce neˇz osm lini´ı se tˇremi kameny.
2
ˇ sen´ı p´ Reˇ ateˇ cn´ı ment´ aln´ı procviˇ cky ??
prvn´ı otazn´ık ?? Staˇcilo si uvˇedomit, ˇze K m˚ uˇze b´yt pouze 1, 5 nebo 6, aby platilo, ˇze K · K konˇc´ı na K. Nav´ıc, aby souˇcin dvou sedmicifern´ych stejn´ych ˇc´ısel nebyl v´ıce neˇz tˇrin´acticifern´y, m˚ uˇze b´yt K nejv´yˇse 3. Proto K = 3. Nyn´ı jiˇz prost´ym dosazen´ım dostaneme, ˇze Y = 4: 1111111 · 1111111 = 1234567654321 (Vˇsimnˇete si, ˇze KOBYLAMALYBOK se ˇcte zepˇredu i zezadu stejnˇe :–)
??
druh´ y otazn´ık ?? Bˇehem tisku se n´am do pracovny vloudil tiskaˇrsk´y ˇsotek a tak trochu zam´ıchal ˇc´ıs´ılka. Jak nˇekteˇr´ı z v´as spr´avnˇe odhalili, polomˇer Mˇes´ıce je samozˇrejmˇe vˇetˇs´ı, MM = 1740 km. Pro v´ypoˇcet vyuˇzijeme Newtonova gravitaˇcn´ıho z´akona. V´ıme, ˇze zrychlen´ı voln´eho p´adu, coˇz je gravitaˇcn´ı zrychlen´ı, je vlastnˇe intenzita gravitaˇcn´ıho pole. Proto: MZ , RZ2 MM =κ 2 . RM
gZ = κ gM Odtud dost´av´ame
gM = gZ
MM RZ2 , 2 MZ RM
coˇz ˇc´ıselnˇe d´a hodnotu pˇribliˇznˇe 1, 6 m.s−2 .
??
tˇ ret´ı otazn´ık ?? Jedn´a se o jednoduchou slovn´ı u ´ lohu. Jej´ı zapeklitost spoˇc´ıv´a ve sloˇzitˇe formulovan´em zad´an´ı. Zaˇcnˇeme jej luˇstit pozp´atku. Oznaˇc´ıme-li vˇek prvn´ıho a druh´eho A, B v dobˇe, kdy plat´ı posledn´ı podm´ınka (prvn´ı je dvakr´at starˇs´ı nˇeˇz druh´y), dostaneme prvn´ı podm´ınku A = 2B.
Dalˇs´ı okamˇzik podstatn´y v zad´an´ı je o rok dˇr´ıve, tedy ve vˇeku A − 1 prvn´ıho a B − 1 druh´eho. D´ale se zad´an´ı zmiˇ nuje o dobˇe, kdy vˇek prvn´ıho byl 16/3 vˇeku B − 1. V t´eto dobˇe bylo prvn´ımu 16 16 B− 3 3 a druh´emu 16 16 13 16 ( B− − (A − 1)) + B − 1 = . . . = B − . 3 3 3 3 1
Analogicky zpracujeme posledn´ı podm´ınku, ˇc´ımˇz se dostaneme do okamˇziku, kdy vˇek prvn´ıho je 65 B−5 16 a druh´eho 49 B − 5. 16 ˇ sen´ım je B = 16, ˇc´ımˇz obdrˇz´ıme souˇcasn´y vˇek V t´eto dobˇe je souˇcet vˇek˚ u 104 let. Reˇ prvn´ıho 60 let a druh´eho 44 let.
??
ˇ ctvrt´ y otazn´ık ?? Jako kaˇzd´y podobn´y probl´em, i tento je jednoduch´y, kdyˇz zn´ate ˇreˇsen´ı :-). Zn´ate zp˚ usob, jak odˇcerpat z akv´arka vodu pouze s pouˇzit´ım hadice? Strˇc´ıte hadici do akv´arka tak, aby jej´ı druh´y konec byl n´ıˇze neˇz prvn´ı. A pak nasajete vodu aˇz ke ´ e stejn´y trik spodn´ımu konci. Voda bude vyt´ekat sama. Uplnˇ pouˇzijeme i v t´eto u ´ loze, jen zaˇr´ızen´ı postav´ıme tak, aby vodu nebylo tˇreba nas´avat. (Koukni na obr´azek!)
??
p´ at´ y otazn´ık
??
Tak tohle je jedno z moˇzn´ych ˇreˇsen´ı: 14 → 3, 4 → 8, 9 → 13, 12 → 1, 11 → 1, 7 → 13, 5 → 10, 2 → 8, 6 → 10, 15 → 3.
Pozn´amka: Ze zad´an´ı docela jasnˇe vypl´ yv´a, ˇze sudy se pˇren´aˇs´ı pˇres tˇri jin´e sudy, nikoliv pˇres tˇri hrom´ adky sud˚ u.
2
