Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet Matematika fejlesztő feladatok szakiskolások számára
IV.5. GARÁZS 1. A feladatsor jellemzői Tárgy, téma Lineáris egyenlet, egyenletrendszer. Elsőfokú függvény. Többismeretlenes problémák megoldása egyenletrendszerek felírásával algebrai úton, illetve intuitív módszerekkel. Előzmények Egyenletek megoldása, felírása egyszerű szöveges feladatok alapján. Egyenletrendszer megoldása (közvetett formában is elég). Cél A lineáris egyenletrendszer és megoldásának megismerése. Gyakorlati problémák matematikai modelljének megkeresése egyenletrendszer felírásával, a kapott feladat megoldása különböző módszerekkel. A lineáris egyenlet és egyenletrendszer közötti kapcsolat megértése. Az egyenletrendszerek megoldása során a kézenfekvő (legrövidebb) számolás kiválasztása. A feladatsor által fejleszthető kompetenciák Tájékozódás a térben Tájékozódás az időben Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban Tapasztalatszerzés Képzelet Emlékezés Gondolkodás Ismeretek rendszerezése Ismerethordozók használata
+ + + + +
Ismeretek alkalmazása Problémakezelés és -megoldás Alkotás és kreativitás Kommunikáció Együttműködés Motiváltság Önismeret, önértékelés A matematika épülésének elvei
+ + + +
+
Felhasználási útmutató Feldolgozási formaként csoportmunkát ajánlunk tanári irányítással. Az 1. feladat e) és f) kérdésének megválaszolásához a tanulók felhasználhatják a d) kérdéshez elkészített táblázatot. Érdemes a kérdések megválaszolásához szükséges algebrai módszerek alkalmazására is ösztönözni a diákokat. Ha az egyenletrendszer megoldási módszereinek használata korábban még nem szerepelt, akkor az 1. f) feladat megoldásánál kitérhetünk erre. Intuitív alapon is meg lehet közelíteni a problémát, anélkül, hogy a módszereket kifejezetten ismertetnénk, és ebből rá lehet vezetni a tanulókat a kétféle megoldási módszerre mint alkalmazható eljárásra. Hasonló az eljárás a 2. feladat esetén. A 3. feladat b) kérdése a tanulók tapasztalatszerzését erősítheti. Ha rájönnek az egyes sorokba írandó adatok közti összefüggésekre, akkor az üres cellákat gyorsan kitölthetik.
IV. Szöveges egyenletek, egyenlőtlenségek
IV.5. Garázs-1
1.oldal/6
Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet Matematika fejlesztő feladatok szakiskolások számára
GARÁZS Feladatsor
A U T Ó - M OT OR 1.
Egy parkolóház garázsába, melyben személygépkocsikat és motorkerékpárokat tárolnak, hétfő délelőtt 11 óráig 84 kerék gördült be, és még egy jármű sem ment ki. (Eredetileg üres volt a garázs.) Felsorolunk néhány különböző délelőtti eseményt. Válaszolj az alábbi kérdésekre! Hány motor áll a garázsban, ha tudjuk, hogy ... a) 13 autó áll bent? b) az autók és a motorok száma egyenlő? c) legalább 25 autó van bent? d) több autó áll benn, mint motorbicikli? A lehetséges megoldásokat foglald táblázatba! e) az autók száma a motorkerékpárok számának tízszerese? f) a járművek száma (összesen) 24?
M Á SOK 2.
V A GY U N K
A parkolásért behajtáskor minden személyautónak 500 Ft-ot, a motoroknak 200 Ft-ot kell fizetniük. Hány autó és motor érkezett a 84 keréken, ha az összbevétel ... a) 8700 Ft? b) minimális? c) maximális? d) legalább 10 000 Ft?
IV. Szöveges egyenletek, egyenlőtlenségek
IV.5. Garázs-1
2.oldal/6
Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet Matematika fejlesztő feladatok szakiskolások számára
LIFT 3.
A garázsból két lift viszi fel az érkezőket az áruházba. Az egyik lift 20, a másik 12 személyes. Ha egy lift megérkezik, csenget. Egyik délután 14 és 16 óra között a kisebb lift másfélszer annyit fordult, mint a nagy. (Fordulónak azt nevezzük, hogy a lift felmegy, majd visszaérkezik.) a) Fordulhatott-e a nagyobbik lift 17-szer? Mit mondhatunk a nagyobbik lift fordulóinak számáról? b) Készítsünk egy táblázatot, melyben azt tüntetjük fel, hogy a fordulók számától függően legfeljebb hány vásárlót hoztak a liftek ebben a két órában! (Tételezzük fel, hogy a liftek felfelé mindig teli voltak.) Töltsük ki a táblázat hiányzó adatait! Nagy lift fordulóinak száma 2
Kis lift fordu- Nagy lift uta- Kis lift uta- Csengetések Összes utalóinak száma sainak száma sainak száma száma sok száma 3 6 120 180 20 1140
IV. Szöveges egyenletek, egyenlőtlenségek
IV.5. Garázs-1
3.oldal/6
Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet Matematika fejlesztő feladatok szakiskolások számára
MEGOLDÁSOK 1. a) 13 autónak 13 4 = 52 kereke van. Maradt 84 – 52 = 32 kerék. Ez 32 : 2 = 16 motorkerékpárt jelent. Egyenlet felírásával Legyen x a motorok száma. A kerekek összes száma 13 4 + 2 x = 84, innen x = 16. b) Az autók és a motorok párba állíthatók, egy párban a kerekek száma 6. Tehát összesen 84 : 6 = 14 pár van, tehát 14 autó és 14 motor áll a garázsban. Egyenlet felírásával Jelölje az autók, illetve motorkerékpárok számát x. A kerekek száma most 4x + 2x = 84, azaz 6x = 84, tehát x = 14. Így a motorok száma 14. c) Ez nem lehetséges, hiszen 25 autónak 100 kereke van és 100 > 84. d) A b) feladat megoldásából kiindulva 15 vagy több autó áll a garázsban. Egy autó többlet két motorkerékpár elvételét jelenti. A lehetséges megoldások: autók
15
16
17
18
19
20
21
motorok
12
10
8
6
4
2
0
Egyenlőtlenség felírásával Jelölje az autók számát a, a motorok számát m. Tudjuk, hogy a > m, és a kereke számára teljesül, hogy 4a + 2m = 84. Ez utóbbi összefüggésből m kifejezhető: m = 42 – 2a. Ezt az egyenlőtlenségbe helyettesítve a > 42 – 2a, rendezve a > 14. Tehát legalább 15 autónak kell lennie a garázsban. Mivel a motorok száma nem lehet negatív, ezért annak is teljesülnie kell, hogy 42 – 2a > 0, azaz 21 > a. Az autók és motorok száma közti öszszefüggés alapján kitölthető a táblázat. e) Mivel az autók száma a motorok számának tízszerese, ezért most 10 autót és 1 motort vehetünk egy egységnek, ezeknek összesen 42 kerekük van. Ilyen egységből 84 : 42 = 2 van, ezért 2 motor és 20 autó áll a garázsban. Egyenletrendszer felírásával A korábban használt a és m jelölésekkel az alábbi összefüggések írhatók fel: 4a 2m 84 . a 10m Írjunk most az első egyenletben a helyett 10m-et, így 42m = 84, azaz m = 2. Ekkor a = 20. (Szerepel a táblázatban.) f) Ha minden járművünk autó lenne, akkor 4 24 = 96 kerekük lenne összesen. Ez 12-vel több, mint a 84. A többlet abból származik, hogy minden motor helyett autót, azaz két kerékkel többet számoltunk. Így hat autóval többet vettünk, tehát 18 autó van és 6 motor. Egyenletrendszer segítségével A már bevált jelölésekkel: 4a + 2m = 84 és a + m = 24.
IV. Szöveges egyenletek, egyenlőtlenségek
IV.5. Garázs-1
4.oldal/6
Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet Matematika fejlesztő feladatok szakiskolások számára
Az egyenletrendszer egyenlő együtthatók vagy behelyettesítő módszerrel is megoldható. (Megjegyzés: a második egyenlet egyszerűsége miatt nem feltétlenül szükséges két ismeretlen használata; itt a fejlesztési cél közelítése miatt szerepel ez a megoldás.) Egyenlő együtthatók módszerével 4a 2m 84 . a m 24 A második egyenletet szorozzuk 4-gyel! 4a 2m 84 . 4a 4m 96 Vonjuk ki a második egyenletből az elsőt! 2m 12. m 6. Az eredeti második egyenletből a = 24 – 6 = 18. (Szerepel a táblázatban.) Behelyettesítő módszerrel a = 24 – m. 4(24 – m) + 2m = 84. 96 – 4m + 2m = 84. 12 = 2m. 6 = m. Ebből a = 18. 2. a) Egyenlő együtthatók módszerével 4a 2m 84 . 500a 200m 8700 Most az egyenlő együtthatók kialakításához az első egyenlet százszorosát vehetjük. 400a 200m 8400 . 500a 200m 8700 A másodikból az elsőt kivonva 100a 300. a 3. Az első egyenletből 84 4 3 m 36 . Ellenőrzés: 3 500 + 36 200 = 8700. 2 b) A legkevesebb bevételt a motorok számának maximalizálásával érhetjük el (lásd fent). Tehát 84 : 2 = 42 motor esetén a legkisebb a bevétel, 42 200 = 8 400 Ft. c) A lehető legtöbb autó kell hozzá. Ez maximum 21, tehát a legnagyobb elérhető bevétel 21 500 = 10 500 Ft. d) Megoldandó a 4a 2m 84 500a 200m 10000 IV. Szöveges egyenletek, egyenlőtlenségek
IV.5. Garázs-1
5.oldal/6
Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet Matematika fejlesztő feladatok szakiskolások számára
egyenletrendszer. (A második egyenlet helyett valójában egyenlőtlenséget kellene írnunk, de itt most a minimális bevétellel, azaz a minimális autószámmal számolunk.) A fenti módon haladva 400a 200m 8400 , amiből 500a 200m 10000 100a 1600
a 16, vagyis ha 16 gépkocsi jött be, éppen 10 000 Ft a bevétel. (Ekkor a 16 autó mellett 10 motor van a garázsban.) Ezt úgy növelhetjük, ha két motor helyett egy autó jön be, ez 500 – 2 200 = 100 Ft bevételnövekedést jelent. Tehát legalább 16 autó (és legfeljebb 10 motor) állhat a garázsban. 3. a) A nagyobbik lift fordulóinak párosnak kell lenni, mert különben a másfélszerese nem egész. Ezért a nagy lift 17 fordulót nem teljesíthetett. b) Nagy lift fordu- Kis lift fordu- Nagy lift uta- Kis lift uta- Csengetések Összes utalóinak száma lóinak száma sainak száma sainak száma száma sok száma 2 4
3
40
36
5
76
6
80
72
10
152
6
9
108
15
228
10
15
120 200
25
380
8
12
160
180 144
304
30
45
600
540
20 75
IV. Szöveges egyenletek, egyenlőtlenségek
IV.5. Garázs-1
1140
6.oldal/6
